Ecuaciones cuadráticas

Grados 9–12 Álgebra Cuadráticas

Una cuadrática tiene un x² como potencia mayor: ax² + bx + c = 0. Su gráfica es una parábola — la curva en U de las pelotas lanzadas, las antenas parabólicas y los faros de los autos.

El caso más simple: x² = k

x² = 25 → x = ±5 ← ¡dos respuestas, + y −! x² = 10 → x = ±√10 ≈ ±3,16

La propiedad del producto cero

Si dos cosas multiplicadas dan cero, una de ellas es cero. Por eso factorizar resuelve cuadráticas:

x² + 5x + 6 = 0 (x + 2)(x + 3) = 0 x + 2 = 0 → x = −2 x + 3 = 0 → x = −3 Respuestas: x = −2 o x = −3

La fórmula cuadrática — la llave maestra

Cuando factorizar es imposible, esto siempre funciona:

−b ± √(b² − 4ac) x = ───────────────── 2a

La parte bajo la raíz — b² − 4ac — es el discriminante. Positivo → 2 respuestas, cero → 1 respuesta, negativo → ninguna respuesta real (la parábola nunca cruza el eje x).

Vértice El fondo (o la cima) de la parábola está en x = −b/(2a). Para y = x² − 6x + 5: x = 3 — el eje de simetría sobre el que se pliega la curva.

Práctica

x² = 16 → x = ___ (cualquier raíz vale)

(x + 2)(x + 3) = 0 — una solución es x = ___ (da la mayor)

x² + 9 = 0 tiene:

Para y = x² − 6x + 5, el vértice está en x = ___

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