----------------------------------------
--------------------------              
,anmerkungen zur ,transkription         
9999symbol oder 9999symbols bedeuten    
,symbole im ,text1 die nicht       als  
,text wiedergegeben werden knnen4       
9999arc steht fr einen                  
,kreisbogen ber dem folgenden ,text1    
9999vector fr einen ,pfeil        ber   
dem ,text4                              
n 9999ueber k ist der                   
,binomialkoeffizient n ber k4           
#a-a_/b steht fr den ,bruch #a1 bei     
,subtraktionen ist ein                  
,leerzeichen vor und nach dem           
,minuszeichen1 wie bei #a - #a_/b4      
,hostgestellte ,buchstaben und ,text    
werden als nk oder nk#a                 
dargestellt1 tiefgestellte ,buchstaben  
und ,text als nk oder         nk#a4     
,gesperrter ,text ist als gesperrt      
dargestellt1              ,kursivschrift
 als  kursiv und ,fettschrift als fett4 
,eine ,liste der nderungen befindet sich
 am ,ende des ,buchs4                   

----------------------------------------
--------------------------              
,,geschichte                            
,,der                                   
,,mathematik ,,im ,,altertum            
,,in ,,verbindung ,,mit                 
,,antiker ,,kulturgeschichte            
,,von                                   
,d,r4 ,,max ,,simon                     
,,honorarprofessor ,,der ,,universit,t  
,,strassburg                            
,illustration                           
,,verlag ,,von ,,bruno ,,cassirer       
,,berlin #aiji              ,theodor    
,reye                 ,,in              
,,dankbarkeit ,,und ,,verehrung         
,,gewidmet          ,vorwort      ,diese
 ,schrift ist im wesentlichen eine      
,drucklegung der ,vorlesung1  welche ich
 #aijc in ,strassburg gehalten habe1 nur
 der ,abschnitt ber  ,babylon musste    
infolge der raschen ,arbeit des ,spatens
 in ,mesopotamien  stark erweitert      
werden4 ,die ,vorlesung sollte der      
,ausfhrung des  ,satzes aus meiner      

,didaktik und ,methodik in ,baumeisters 
,handbuch der  ,erziehungs- und         
,unterrichtslehre dienen1 dass1 wie     
jeder ,oberlehrer1 so  besonders der    
,mathematiker mglichst allgemein        
gebildet sein msse4    ,fr gypten hatte 
ich an ,wilhelm ,spiegelberg einen stets
 bereiten  ,fhrer und ,helfer1 fr       
,indien konnte ich mich auf meinen      
langjhrigen  ,freund ,ernst ,leumann    
sttzen4 ,beiden ,herren hier meinen     
herzlichen  ,dank auszusprechen1 mge mir
 erlaubt sein4    ,leider hat die       
,universitas litterarum ,argentoratensis
 eine empfindliche  und schwer          
begreifliche ,lcke1 es fehlt der        
,assyriologe1 und so war  ich hier auf  
mich selbst angewiesen1 da die ,hoffnung
 sich zerschlug  einen ,kritiker in ,w4 
,bezold zu finden1 dessen hchst         
anziehende  ,monographie ,babylon und   
,ninive mich in dies ,gebiet eingefhrt  
hatte1 wie ,ermans klassisches gypten in
 jenes4    ,bei der ,korrektur hat mich 
der ,dozent der ,philosophie an der     

,universitt ,berlin ,dr4 ,e4 ,cassirer1 
der ,verfasser des ,werkes das          
,erkenntnisproblem in der ,philosophie  
und ,wissenschaft der neueren ,zeit     
freiwillig untersttzt1 wofr ich um so   
dankbarer bin als meine ,augen  nicht   
mehr die besten sind4    ,meinem ,schler
 und jngeren ,freund ,herrn             
,diplomingenieur ,ernst ,frank  bin ich 
fr die mhsame und schne ,federzeichnung 
,gudeas und eine  ganze ,anzahl         
,photographien verpflichtet1 aber die   
meisten ,photographien  hat mein        
langjhriger ,kollege der ,maler und     
,zeichenlehrer ,herr ,chr4  ,kneer in   
liebenswrdigster ,weise mir geliefert4  
,zum ,schluss ist es mir ,bedrfnis1 der 
,verlagshandlung ,bruno ,cassirer1  fr  
welche die ,drucklegung dieses ,werkes  
mit ausserordentlicher ,mhe  verknpft   
war1 fr ihre ,sorgfalt und              
,opferwilligkeit meinen ,dank           
auszusprechen4      ,strassburg i4 ,e41 
,nov4 #aijh4                            
,max ,simon            ,meine ,herren6  

,die zusammenhngende ,geschichte der    
,mathematik auf strenger ,grundlage  ist
 einer der jngsten ,zweige unserer      
,wissenschaft2 sie datiert  eigentlich  
erst seit dem grossen ,werke ,jean      
,etienne ,montucla's3  ,histoire des    
,mathmatiques von #ageh oder richtiger  
vom #g4 ,august #agii1  an welchem ,tage
 die beiden ersten ,bnde der zweiten    
,auflage erschienen4  ,es liegt dies in 
der ,natur der ,sache1 eine             
,geschichtsschreibung setzt  immer einen
 gewissen ,abschluss voraus1 es mssen   
die ihrer ,zeit  treibenden ,gedanken --
 damals die ,prinzipien der             
,infinitesimalrechnung  -- ausgebeutet  
sein1 sie mssen ihre treibende ,kraft   
verloren haben1  um einer objektiven    
,darstellung ,raum zu gewhren4 ,ganz    
analog schrieb  der ,aristoteliker      
,eudemos sein leider grsstenteils       
verlornes  ,geschichtswerk1 als die     
,mathematik der ,pythagoreer und        
,platoniker ihre  ,kodifikation durch   
,eudoxos und andere gefunden hatte4 ,man

 darf auch  nicht vergessen1 dass die   
,weltgeschichte selbst erst             
,wissenschaft  geworden ist1 seitdem am 
,ende des #ag4 ,jahrhunderts ,leibniz   
auf  die ,urkunde1 auf die ,forschung in
 den ,archiven als ihre ,grundlage      
hingewiesen hat4    ,so grossartig die  
,leistung ,montuclas war1 so hat doch   
nur ein geringer  ,teil seiner          
,darbietungen die ,kritik bestanden4    
,einerseits war sein  ,plan zu gross fr 
einen einzelnen ,menschen angelegt1 er  
sollte nicht  bloss ,geometrie1         
,algebra1 ,infinitesimalrechnung        
umfassen1 sondern  auch ,astronomie1    
,mechanik und die bis zur franzsischen  
,revolution  zur ,mathematik gezhlten   
,disziplinen1 ,optik1 ,nautik1          
,chronologie und  ,gnomonik4 ,dann aber 
sind erst im #ai4 ,jahrhundert die      
,quellen fr die  gyptische1             
babylonische1 arabische und indische    
,mathematik erschlossen  worden1 und    
selbst die ,mathematik der ,griechen und
 ,rmer erscheint  uns heut in ganz      

anderem ,lichte4 ,der ,neuhumanismus von
 den grossen  ,philologen ,friedrich    
,august ,wolf und ,gottfried ,hermann   
ausgehend1 schuf  eine ,schule von      
,philologen1 ich nenne nur ,diels1      
,heiberg und ,hultsch1  welche mit einer
 vorher unbekannten ,schrfe und         
ungeahntem ,erfolge  die mathematischen 
,werke der ,alten1 ,euklid1 ,ptolemeus1 
,pappus1 ,heron1  ,archimedes1 ,vitruv  
etc4 edierten4    ,der grosse           
,aufschwung1 den das ,interesse fr      
,geschichte der ,mathematik  im #ai4    
,jahrhundert1 besonders seit der ,mitte 
desselben1 genommen1  erklrt sich aber  
auch allgemeiner4 ,mit ,kants ,kritik   
der reinen  ,vernunft setzt die         
kritische ,strmung ein1 die in erster   
,linie das  ,geistesleben des #ai4      
,jahrhunderts beherrscht hat4 ,sie      
unterwarf sich  durch ,bolzano1 ,gauss1 
,kummer1 ,weierstrass1 auch die         
,mathematik und  drngte dazu1 alles     
berlieferte auf seine ,wahrheit und     
seinen inneren  ,zusammenhang zu prfen4 

,dazu kam dann die strkere ,betonung des
 geschichtlichen ,elements fr  die      
,ausbildung der ,methode des            
mathematischen ,unterrichts4 ,er hat    
seine ,geschichte und seine ,koryphen fr
 sich4 ,ich verweise auf die #b4        
,auflage meiner ,didaktik und ,methodik 
des ,rechnens und der ,mathematik       
7,mnchen #aijh74 ,aber die ,lehrer      
begriffen doch allmhlich1 wie die       
zahlreichen l4 c4 erwhnten ,programme1  
denen ich als neuestes das  ,programm   
von ,dr4 ,m4 ,gebhart ,ostern #aijh     
hinzufge1 beweisen1 dass fr  den        
,unterrichtserfolg der ,einblick in das 
historische ,werden durchaus  ntig sei4 
,denn der ,einblick in das historische  
,werden der ,erkenntnis  vermittelt     
zugleich das beste ,verstndnis fr die   
gewordene4 ,es sei  hingewiesen auf ,e4 
,cassirer1 das ,erkenntnisproblem in der
 ,philosophie  und ,wissenschaft der    
neueren ,zeit ,bd4 ,i #aijf1 ,bd4 ,,ii  
#aijh4    ,fr den ,lehrer ist dieser    
,einblick ganz besonders wichtig1 weil  

nur  die ,geschichte ,aufklrung gibt ber
 die ,schwierigkeiten1 welche der       
,geist bei der ,bewltigung der einzelnen
 ,probleme zu berwinden hat4  ,dazu     
kommt noch ein anderer ,umstand1 der fr 
die ,schule ganz besonders  zu betonen  
ist1 der ,hinweis nmlich auf den        
,zusammenhang aller  ,kulturarbeit1 das 
ist kurz auf die ,einheit des           
menschlichen ,geistes4  ,logarithmen und
 ,wahrscheinlichkeitsrechnung haben die 
,statistik und  die ,sozialgesetzgebung 
geschaffen4 ,die stille ,arbeit des     
grossen  ,regiomontan in seiner ,kammer 
zu ,nrnberg berechnete die ,ephemeriden1
  welche ,kolumbus die ,entdeckung      
,amerikas ermglichten4 7,f4 ,rudio47    
,der kritische ,geist des ,jahrhunderts 
zeitigte noch eine ,blte1 die  der      
historischen ,forschung zugute kam1 so  
wenig erfreulich sie sonst  ist4 -- ,ich
 meine die ,priorittsstreitigkeiten1    
wobei allerdings die  historische       
,wahrheit nicht selten durch die        
ebenfalls ganz moderne  ,ausbildung des 

,nationalittsgefhls getrbt wird4        
,dazu kommt noch ein weiteres wichtiges 
und treibendes ,moment der  historischen
 ,forschung1 das ist die nur historisch 
zu begreifende  ,wandlung1 welche die   
,begriffe im ,laufe der ,zeit           
durchmachen1 die  ,umwertung aller      
,werte1 um mit ,nietzsche zu reden4     
,nehmen ,sie z4 ,b4  den                
,funktionsbegriff1 den wichtigsten und  
weittragendsten von allen2  ,leibniz und
 die ,bernoulli1 die diesen ,begriff    
zuerst als einen  selbstndigen ausgeprgt
 haben1 nahmen das ,wort von der        
gemeinsamen  ,bezeichnung der           
verschiedenen ,potenzen von x her und   
bezeichneten y  als ,funktion von x1    
wenn ein analytischer ,ausdruck1 eine   
,gleichung  vorlag1 durch welche die    
nderung des y an die des x gebunden     
wurde4  ,die ,fourierschen ,reihen1 d4  
h4 die nach dem sinus oder cosinus der  
multiplen eines ,argumentes x           
fortschreitenden ,reihen1 welche eine   
einzige ,darstellung fr eine ganz       

willkrliche ,vernderliche lieferten1    
zwangen dann ,dirichlet den ,begriff    
umzuprgen4 ,heute fasst man z4 ,b4  x   
nicht als ,funktion von x auf1 wohl aber
 einen ,dezimalbruch1 dessen  x-,stellen
 in x-,wrfen ausgewrfelt werden4        
,hierher gehrt die ganze  ,lehre vom    
,flchen- und ,krperinhalt1 sowohl die   
,flchenvergleichung  als die            
,inhaltsbestimmung krummlinig begrenzter
 ,flchen1 berhaupt  die ganze rumliche  
,messung4 ,noch ,christoffel sttzte in  
seinen  ,vorlesungen die ,lehre vom     
bestimmten ,integral darauf1 dass das   
,integral  den ,flcheninhalt angibt4 ,er
 versprach zwar an dieser ,stelle immer 
den  arithmetischen ,beweis dafr1 dass  
7y,k#a y,k7 7x,k#a x,k7 eine  bestimmte 
,grenze habe gelegentlich zu liefern1   
aber die ,gelegenheit  fand er nicht4   
,jahrhunderte hindurch wurde die        
,integralrechnung  ,quadratur genannt1  
heute wird umgekehrt der ,flcheninhalt  
durch das  bestimmte ,integral          
definiert4 ,der naive ,mensch verbindet 

mit der  ,strecke sofort ihre ,lnge1    
aber #ahib wurde diese ,lnge definiert  
als  die bestimmte transfinite ,anzahl  
der ,linienelemente4 ,und die ,lehre von
  den ,polyedern und dem ,eulerschen    
,satze6 ,welche ,wandlung hat da schon  
der ,begriff ,polyeder durchgemacht bis 
,c4 ,jordan und ,c4 ,k4 ,becker  den    
,zusammenhang mit der ,riemannschen     
,zahl p1 dem ,geschlecht der  ,abelschen
 ,funktionen1 der ,ordnung des          
,zusammenhanges erkannten4 ,und der     
,begriff der ,flche1 -- man denke an die
 einseitigen ,flchen ,listings  und     
,mbius'1 ferner an die stetigen aber    
nicht differenzierbaren  ,funktionen1 ja
 an den ,begriff der ,geometrie selber1 
der sich in den  letzten #ej ,jahren    
vollkommen verschoben hat4 ,all diese   
,entwicklungen  knnen nur historisch    
oder gar nicht erfasst werden4          
,allmhlich aber hat sich auch in        
weiteren ,kreisen ein reines ,interesse 
an der historischen ,forschung als      
solcher entwickelt4 ,es gewhrt eine     

hohe ,befriedigung1 das grosse ,gesetz  
der ,kontinuitt1 das sich wie  ein roter
 ,faden durch alle menschliche          
,geistesarbeit hindurchzieht  und alle  
menschlichen ,generationen verknpft1    
auch in der ,mathematik  blosszulegen   
und gewissermassen diesen ,faden        
aufzurollen4    ,das ,standardwerk des  
,skulums ist das ,riesenwerk ,moritz    
,cantors in  ,heidelberg1 die ,vorlesung
 ber ,geschichte der ,mathematik in #c  
,bnden4  ,band #a erschien #ahhj1 ,band 
#c wurde #ahii fertig und noch ehe das  
,werk  vollendet war1 #ahid1 erschien   
die #b4 ,auflage des #a4 ,bandes1 #aija 
schon  die des #c4 ,diese rasche ,folge 
ist wohl der sprechendste ,beweis dafr1 
wie sehr das historische ,interesse     
unter den ,mathematikern erstarkt  ist4 
,das ,werk ,cantors ist eine            
staunenswerte ,leistung und wird es     
bleiben1 auch wenn es ihm ergangen sein 
wird1 wie seinem ,vorgnger1  dem        
,montucla2 die von diesem grossen ,werke
 ausgehende ,einzelforschung  wird      

vieles1 ja sehr vieles was im ,cantor   
steht1 berichtigen4 ,fr  indische1      
gyptische1 babylonische1 hellenische    
,mathematik ist diese  verdienstliche   
,maulwurfsarbeit bereits stark im       
,gange4    ,wenn ich mich nun zu meinem 
,gegenstande wende1 so ist es klar1 dass
 ich  nicht mit der ,erfindung der      
,mathematik beginnen kann4 ,die         
,mathematik  ist nie und nirgends       
erfunden worden und wenn die gypter die 
,erfindung  ihrem ,gott ,thot           
zuschrieben1 so ist damit auch nichts   
anderes gesagt4  ,mathematische         
,vorstellungen sind ja keineswegs auf   
den ,menschen  beschrnkt2 die ,henne1   
die all ihre ,kchlein1 der ,hirtenhund1 
der alle  ,tiere seiner ,herde kennt1   
haben ,zahlvorstellungen4 ,die ,spinne1 
wenn  sie ihr ,netz anlegt1 bedient sich
 ihres eigentmlich gebauten ,fusses1    
wie eines ,masszirkels1 die ,bienen     
haben beim ,bau ihrer sechseckigen      
,zellen eine schwierige ,maximumsaufgabe
 gelst4 ,ja selbst der ,regenwurm  dreht

 den ,grashalm um und schleppt ihn mit  
der ,spitze voran in seine  ,rhre1 und  
,proklus erzhlt uns1 dass auch der ,esel
 in gerader ,linie  auf sein ,futter    
ziele4 ,es ist eine lange durch         
ungezhlte ,jahrtausende  fortgesetzte   
und durch ,vererbung erhaltene ,arbeit1 
welche von den  dunkelsten ,reaktionen  
auf ,kontaktreiz etwa in den            
verschiedenen ,wimpern  der ,aktinien   
bis zur bewussten dreidimensionalen     
,reaktion auf ,tast- und  ,hautreiz fhrt
 und unsere ,geometrie geschaffen hat   
und fortwhrend an  ihr schafft4    ,wie 
berall1 so geht auch der geschichtlichen
 ,mathematik eine schier  unendlich     
lange prhistorische ,zeit voraus1 in der
 die wichtigsten  ,begriffe geschaffen  
werden3 der des ,masses1 der ,zahl1 der 
geraden  ,linie1 des ,abstands1 der     
,richtung1 des ,winkels1 des ,punkts1   
der ,flche1  des ,krpers etc42 in dieses
 ,dunkel kann hchstens die              
,sprachforschung  einiges ,licht        
bringen4 ,wir sehen1 dass die ,masse    

berall vom eigenen  ,krper hergenommen  
werden1 von der ,puruscha1 der          
,menschenlnge der  ,inder1 der ,elle    
,mah und ,handbreite der gypter bis zum 
,fusse der  ,griechen1 ,rmer und        
,germanen4 ,die ,finger1 gelegentlich   
auch die ,zehen  bilden die natrlichen  
,komplexe fr die ,zhlung2 #bj1 #aj1 #e  
bilden  die ,abschnitte4 ,wenn die      
,griechen die ,ebene  nennen1 d4 h4     
das1 worauf der ,fuss steht1 so knnen   
wir schliessen1 wie sich ihnen  der     
mathematische ,begriff ,ebene aus dem   
der ,ebenheit entwickelt  hat und 1 was 
ich als die ohne ,zeitverlust           
darauflosgehende  interpretiere und mit 
zusammenbringe1 bezieht sich auf die    
,gerade  als krzeste ,verbindung1 wie   
das lateinische recta mit ,richtung     
zusammenhngt4 ,sinnesreize1             
,sinneswahrnehmungen sind es1 aus denen 
sich  die mathematischen ,vorstellungen 
entwickelten und man kann sich den      
,ursprung und die ,anfangsepoche der    
,mathematik gar nicht grobsinnlich      

genug vorstellen4 ,die ,mathematik1 die 
,arithmetik wie die ,geometrie  ist eine
 ,experimentalwissenschaft bis          
,archimedes gewesen4 ,ja sie ist  es    
noch heute1 man denke an die            
,seifenblasen und die ,gelatineflchen1  
die sich ,kummer herstellte1 an viele   
zahlentheoretische ,stze ,fermats  und  
,eulers1 an ,gauss' ,zahleninduktion2   
und wenn man die ,mathematik            
rubrizieren will1 so gehrt sie          
historisch zu den ,naturwissenschaften1 
wenn sie auch allmhlich mehr und mehr   
den bergang zur reinen                  
,geisteswissenschaft vollfhrt1 und grade
 die gegenwrtige1 durch  ,veronese und  
,hilbert gekennzeichnete ,phase einen   
rein logischen  ,charakter trgt4        
,wenn aber irgendwo der experimentelle  
,charakter der ,mathematik  hervortritt1
 so ist es bei den gyptern1 deren       
,mathematik ganz und  gar auf dem ,wege 
des ,experimentes zustande gekommen ist4
 ,heron aus  ,alexandrien1 der          
,mechanikus1 wie ihn ,proklus nennt1 der

 grosse  ,feldmesser und ,ingenieur1 der
 wahrscheinlich #ajj v4 ,chr4 gelebt    
hat1  ist in ,form und ,inhalt stark von
 altgyptischer ,mathematik beeinflusst4 
,in seinen #aijc von ,schne edierten    
,metrika sagt er3 ,nachdem die  ,krper1 
welche ein bestimmtes ,gesetz befolgen1 
gemessen sind1 ist es  folgerichtig1    
auch die regellosen wie ,baumstmpfe und 
,felsblcke zu  besprechen1 da einige    
berichten1 dass sich ,archimedes dafr   
eine  ,methode ausgedacht hat4 ,falls   
nmlich jener ,krper leicht transportabel
  wre1 sollte man eine hinlnglich       
grosse1 vollkommen rechtwinklige  ,wanne
 machen1 sie mit ,wasser fllen und den  
unregelmssigen ,krper  hineintauchen4   
,es ist nun klar1 dass soviel ,wasser   
berfliessen  wird1 als jener ,krper     
enthlt4 ,soweit ,archimedes1 und nun    
schlgt  ,heron vor1 den betr4 schwer    
transportablen ,krper mit ,wachs oder   
,lehm zu bestreichen und zwar so1 dass  
er mit der ,umhllung zu einem           
balkenfrmigen ,krper wird1 dann den     

,lehm abzukratzen und gleichfalls  in   
,balkenform zu kneten4    ,man sieht1   
wie usserst wahrscheinlich es ist1 dass 
,archimedes1 der in  ,alexandrien       
studiert hat1 seine ,formel ber den     
,inhalt der ,kugel auf  physikalischem  
,wege gefunden hat4    ,diesen          
experimentellen ,charakter hat nun die  
gesamte ,mathematik der  gypter         
besessen1 die ein ,bauernvolk waren und 
sind1 deren ganze ,natur  eine durch und
 durch realistische war1 wie der        
,totenkultus und die  ,kunst bezeugen2  
waren doch ihre ,sulen ,nachbildungen   
der ,lotos und  ,papyrosstauden1 ihr    
,fussboden ,nachahmung der ,erde2 ihr   
,leben nach dem  ,tode ganz nach dem    
,diesseits gemodelt1 von allem andern zu
 schweigen4    ,handel und ,verwaltung  
zwangen zur ,ausbildung der             
,rechenkunst4 ,der  ,handel wurde schon 
vor unvordenklicher ,zeit von ,staats   
wegen getrieben2  grosse                
,handelsexpeditionen nach ,punt         
7,somalikste7 und ,kusch 7,nubien7      

ausgesandt4 ,die ,verwaltung war bis    
aufs kleinste organisiert4 ,ein ,heer   
von ,hofbeamten1 ein ,heer von ,beamten 
der ,lehnsbarone1 sie ist in ,china  und
 in ,deutschland nicht bureaukratischer 
gewesen4 ,wir haben genug  ,denkmler von
 dem ,hochmut der ,beamten und dem      
selbstverstndlich noch  grsseren ihrer  
,schreiber4 ,die ,feldmessung aber und  
die ,baukunst  entwickelten die         
,geometrie4 ,die ,baukunst1 die jene    
,denkmler  geschaffen1 vor denen der    
grosse ,napoleon seinen ,soldaten       
zurief3  ,songez que du haut de ces     
monuments quarante sicles vous          
contemplent2  und die gewaltigen ,kanle1
 ,stau- und ,schleusenwerke und         
,nildmme1 die  sich bis heute erhalten  
haben4 ,die ,feldmessung aber musste in 
hohem  ,ansehen stehen bei dem          
komplizierten auf den ,landbesitz       
gegrndeten  ,steuersystem und dem hohen 
,werte des schmalen ,kulturstreifens    
lngs  des ,niles4 ,herodot1 dem wir die 
erste ,kunde von gypten verdanken1      

berichtet1 dass ,sesostris -- in dieser 
sagenhaften ,figur hat sich die         
,erinnerung an #b ,pharaonen1 den       
mchtigen ,pharao ,sen-wos ret der ,,xii4
  ,dynastie etwa um #bbjj und ,ramses   
,,ii erhalten -- das ,land in ,quadrate 
geteilt und wenn der ,nil in seiner     
berschwemmung ,land ab- oder  angesplt  
hatte1 ,nachmessungen der staatlichen   
,feldmesser stattfanden1  zum ,zwecke   
der richtigen ,steuerveranlagung4       
,daraus ist dann  schliesslich bei      
,strabo die ,erzhlung geworden1 dass das
 ganze ,land1  weil der ,nil die        
,grenzzeichen jhrlich fortgerissen htte1
 jhrlich neu  vermessen wurde4    ,die  
historische1 d4 h4 die auf ,urkunden    
gesttzte ,zeit beginnt mit  den gyptern 
und ,babyloniern4 ,wenn wir mit den     
gyptern beginnen1 so  geschieht es nicht
 deswegen1 weil wir heute noch die      
,vorstellung haben1  wie sie von den    
,griechen ausgehend bis weit ber die    
,mitte des #ai4  ,jahrhunderts          
geherrscht hat1 dass die ,mathematik    

sich von gypten aus  auf die brigen     
,vlker etwa wie eine ,art               
,infektionskrankheit verbreitet  habe4  
,in seiner ,festrede von #ahhd sagt     
,emil ,weyr1 der vor wenigen  ,jahren   
verstorbene ,wiener ,mathematiker3 ,es  
muss als feststehend  angenommen werden1
 dass jedes ,volk in seinem             
,entwicklungsgange  schon durch         
praktische ,bedrfnisse gezwungen war1   
sich geometrische  ,kenntnisse          
anzueignen4 ,die ,hhe dieser ,kenntnisse
 richten sich nach  der ,grsse der      
praktischen ,bedrfnisse1 zu denen auch  
die religisen  gezhlt werden mssen4     
,wie wesentlich1 wie entscheidend diese 
letzteren z4 ,b4 fr die indische        
,mathematik gewesen sind1 wusste ,weyr  
selbst nicht1 als er die ,worte         
aussprach4    ,die ,originalitt der     
gypter ist gerade seit den letzten #cj  
,jahren  keineswegs mehr unbestritten1  
in den letzten #cj ,jahren ist auf den  
uralten ,kulturzusammenhang zwischen    
gyptern und ,babyloniern mehrfach       

hingewiesen worden1 doch ist hier im    
einzelnen noch alles unklar4 ,fr  die   
,wgekunst und die ,messkunst hngen die  
gypter direkt von ,babylon  ab4 ,die    
wunderbaren ,funde von ,tel ,amarna     
zeigten uns krzlich1 dass um  die ,zeit 
des mittleren ,reiches syrische         
,kleinknige1 die unter gypt4            
,oberhoheit standen1 in ,asien an ihren 
,hof babylonisch berichteten1 so  etwa  
wie im #ah4 ,jahrhundert unsere         
,gesandten franzsisch berichteten4  ,und
 was das ,alter betrifft1 so ist das    
gyptische ,papier1 ja selbst  das ,leder
 nicht lter als die ,ziegelsteine       
,babylons4 7,die neuesten  ,forschungen 
,l4 ,w4 ,kings fr ,babylon ,chronicles  
,concerning early  ,babylonian ,kings1  
#b4 voll4 #aijg und ,eduard ,meyers     
gypten zur ,zeit  der ,pyramidenerbauer1
 ,leipzig #aijh geben allerdings dem    
gyptischen  ,staate ein um mehrere      
,jahrhunderte hheres ,alter47 ,aber es  
gibt bis  jetzt kein anderes ,volk1 fr  
das die historische berlieferung so     

wenig ,lcken bietet wie das gyptische4  
,erman in ,berlin1 der durch  seine und 
seiner ,schule ,arbeit eigentlich erst  
die gyptologie auf  wissenschaftliche   
,grundlage gestellt hat1 sagt3 ,von der 
,zeit des ,knigs  ,snofru bis ,alexander
 dem ,grossen und von der griechischen  
,epoche her  bis zum ,einbruch der      
,araber und von diesem wieder bis auf   
unsere ,tage  liegt eine ununterbrochene
 ,kette von ,denkmlern und              
,schriftwerken vor1  die uns die        
,verhltnisse dieses ,landes kennen      
lehren4    ber #fjjj ,jahre knnen wir   
die ,geschichte dieses ,volkes und nur  
dieses  verfolgen4 ,darum und nur darum 
beginne ich mit den gyptern4            
,i4 ,kapitel4    gypten4      gyptische 
,geschichte4    ,eine genaue gyptische  
,chronologie existiert zurzeit nicht1   
obwohl im  letzten ,dezennium1          
insbesondere durch die ,ausgrabungen der
 deutschen  ,orient-,gesellschaft unter 
,leitung von ,borchardt1 wichtige       
,anstze  gewonnen sind4 ,nach dem       

,vorgange des gyptischen ,priesters     
,manetho1  der in griechischer ,sprache 
eine ,knigstafel gab1 von der einiges   
erhalten ist1 hat man die ,geschichte   
bis auf ,alexander in #cj ,dynastien    
geteilt4 ,ich gebe hier die ,epochen    
nach ,ed4 ,meyer 7gypt4 ,chronologie    
#aijd1 ,nachtrge #aijg7 und ,w4         
,spiegelberg1 und zugleich nach diesem  
die der ,kunstgeschichte4 ,der          
ursprngliche ,zustand in einer ,zeit1   
die  sich unserer ,berechnung entzieht1 
ist wohl der einer ,besiedlung des      
,landes durch einzelne selbstndige ,gaue
 gewesen2 diese ,gauverbnde  haben sich 
whrend des ganzen ,altertums erhalten4  
,aber sehr frh muss  der ,riesenstrom1  
der nur durch vereinte ,krfte nutzbar zu
 machen war1  namentlich in ,untergypten
 ein straff zentralisiertes ,reich      
geschaffen  haben1 das bereits vor #djjj
 ein ,kulturland war4 ,nach ,meyer hat  
es  das gyptische ,kalenderjahr         
geschaffen1 das vom #ai4 ,juli #dbda an 
#djjj ,jahr unverndert in gypten        

bestanden hat1 -- das lteste feste      
,datum1 welches die ,geschichte der     
,menschheit kennt4 ,der ,tag ist  durch 
den ,heliakischen ,aufgang des ,sothis  
7,sirius7 festgelegt1 denn  das         
gyptische ,jahr mit #cfe ,tagen sollte  
mit diesem ,aufgang beginnen1  und der  
verschob sich alle #d ,jahre um einen   
,tag4 ,es folgten dann zwei  politisch  
getrennte1 religis und kulturell        
gleichartige ,reiche1 ,unter-  und      
,obergypten1 von denen jenes die        
,fischer und ,schiffer des ,delta1      
dieses die ,ackerbauer des oberen       
,stromlaufs umfasste1 bis etwa um #cdjj 
,menes von ,thinis1 mit ,knigsname      
vielleicht ,namar1 ,wahrheit eignet  dem
 ,re1 ,untergypten unterwarf und die    
beiden ,reiche vereinigte4 ,diese       
,vereinigung war eine wirtschaftliche   
,notwendigkeit2 die ,ackerbauer         
,obergyptens mussten sich die freie     
,ausfuhr ihres ,kornberschusses in  die 
,lnder des ,mittelmeerbeckens sichern4  
,die folgende ,tabelle hat ,w4          

,spiegelberg seiner ,vorlesung ber die  
gyptische ,kunstgeschichte vom ,winter  
#aijfg zugrunde gelegt und  mir die     
,publikation gestattet4 ,als ,zentren   
der ,frhzeit kamen neben  ,hierakonpolis
 7g4 ,nechen7 noch ,buto 7g4 ,pe7 in    
,betracht sowie ,abydos4  ,als ,knige   
der ,kunstblte des alten ,stils sind    
,sahur und ,neweserr zu  nennen         
7,ausgrabungen der deutschen            
,orient-,gesellschaft ,l4 ,borchardt2   
vergl4 ,ed4 ,meyers1 des um die gypt4   
,chronologie hochverdienten  ,forschers 
,vortrag3 gypten zur ,zeit der          
,pyramidenerbauer1 ,leipzig1  ,j4 ,c4   
,hinrichs1 #aijh47 7,siehe ,abb47       
,die ,epochen der gyptischen ,geschichte
 und ,kunst4      ,i4 ,prhistorische    
,zeit4      ,,ii4 ,frhzeit --           
,archaische ,kunst4 ,etwa #cdjj-bijj v4 
,chr4 ,dynastie          ,i-,,iii4      
,,iii4 ,altes ,reich -- ,pyramidenzeit4 
,etwa #bijj-bejj v4 ,chr4          #a4  
,dynastie ,,iv -- ,die ,pyramidenerbauer
 ,cheops1 ,chephren und                 

,mykerinos -- ,entwicklung des neuen    
,stils4          #b4 ,dynastie ,v --    
,bltezeit des neuen ,stils4             
,kunstzentrum3          ,memphis4       
,erste bergangsperiode -- ,dynastie     
,,vi-,,xi -- ,etwa #bejj-bjjj v4        
,chr4 -- ,zerfall des ,reiches in       
,gaustaaten4      ,,iv4 ,mittleres      
,reich -- ,der klassische ,stil --      
,dynastie ,,xii4 ,um          #bjjj-ahjj
 v4 ,chr4 -- ,sen-wosret 7das ,urbild   
des ,sesostris7 und          der        
,labyrintherbauer ,amenemhet-,labares   
7,moeris74 ,kunstzentrum3               
,fajum4      ,zweite bergangsperiode -- 
,dynastie ,,xiii-,,xvii4 ,um #ahjj-aehj 
v4 ,chr4          -- ,hyksosherrschaft4 
,v4 ,neues ,reich -- #aehj-aajj v4 ,chr4
 ,dynastie ,,xviii bis ,,xx4            
#a4 ,wiederbelebung des klassischen     
,stils -- ,knig ,thutmosis ,,iii4       
und ,knigin ,hatschepsowet4 ,um #aefj   
bis #adgj v4 ,chr4          #b4         
,bltezeit -- ,der freiere ,stil4        
,beziehungen zu der                     

mesopotamischen und mykenischen ,kunst4 
-- ,amenophis ,,ii4 ,,iii4              
,thutmosis ,,iv4 -- ,um #adgj-acgj v4   
,chr4          #c4 ,sonderkunst des     
,ketzerknigs ,chinatn 7 ,amenophis      
,,iv47 --          ,ausartung des       
freieren ,stils4 -- ,um #acge-acej v4   
,chr4          #d4 ,die ,restauration --
 7,haremheb1 ,sethos ,i474 ,um          
#acac-abib v4 ,chr4          #e4        
,ramessidenkunst -- 7,ramses ,,ii474    
,impressionistische ,richtung           
in der ,architektur4 -- ,um #abib-aajj  
v4 ,chr4          ,dritte               
bergangsperiode -- ,dynastie            
,,xxi-,,xxv4 ,um #aajj-ffc v4 ,chr4     
,niedergang der ,kunst und ,beginn des  
,archaismus unter der          libyschen
 und thiopischen ,fremdherrschaft4 --   
,schischak4          ,kunstzentrum ist  
im ganzen neuen ,reich ,theben1 mit     
,ausnahme          der ,regierung des   
,chinatn1 wo es ,el-,amarna ist4        
,,vi4 ,die ,sptzeit -- ,um #ffc-ecb v4  
,chr4          #a4 ,saitenzeit --       

,dynastie ,,xxvi4 ,psammetich1 ,amasis1 
,archaismus          und ,renaissance4  
,bltezeit der ,portrtkunst4 -- ,um      
#ffc-ebe v4          ,chr4          #b4 
,perserzeit -- ,verfall der ,kunst      
whrend der persischen                   
,fremdherrschaft 7,herodot74            
,kunstzentrum ist ,sais4          #c4   
,letzte ,blte unter den letzten         
einheimischen ,dynastien --             
7,,xxviii-,,xxx -- ,nektanebos7 --      
#ebe-ccb v4 ,chr4 ,kunstzentrum3        
,phil4      ,,vii4 ,hellenistische ,zeit
 -- ,ausleben und ,erstarren der        
gyptischen          ,kunst -- #ccb v4   
,chr4-#cie n4 ,chr4          #a4        
,ptolemerzeit -- #ccb-cj v4 ,chr4       
#b4 ,rmische ,kaiserzeit -- #cj v4      
,chr4-#cie n4 ,chr4 ,zentrum der        
,kunst und ,wissenschaft ist            
,alexandria4    ,die ersten #f          
,dynastien bilden das alte ,reich1 etwa 
von #cdjj-bejj4 ,die  ,hauptstadt ist   
,memphis1 gegrndet vom ,knige ,menes1   
dem ,men ,herodots1  der lange vllig    

sagenhaft war1 bis vor kurzem sein ,grab
 bei ,negade in  ,obergypten mit der    
,leiche gefunden wurde4 ,das ,grab1 eine
 gewaltige  ,kammer aus ,ziegelsteinen1 
ist eine sogenannte ,mastaba1 ein       
arabisches  ,wort1 das eine grosse ,bank
 bezeichnet4 ,das ,grab1 eine           
,nachbildung des  ,palastes1 ist        
vorbildlich geworden1 aus ihm sind die  
,grber der ,grossen  und die ,pyramiden1
 die ,grber der ,knige1 zunchst die der 
dritten und  vierten ,dynastie1         
hervorgegangen4 ,die ,stufenpyramide von
 ,sakkara  7siehe ,abb47 zeigt1 wie sich
 die ,pyramide aus aufeinandergesetzten 
,mastabas entwickelt hat4 ,nur durch    
ihre ,hhe und ,masse konnten die  ,grber
 vor der ,verwehung durch den ,wstensand
 geschtzt werden4    ,vor der ,scheintr 
in der westlichen ,mitte1 aus der der   
,tote oder  vielmehr seine ,seele1 der  
,ka1 mit der ,welt verkehren sollte1    
waren die  ,opfersteine und spter die   
,opfertempel1 wo die ,angehrigen dem ,ka
 ihre  ,gaben darbringen konnten4 ,die  

vollstndige ,anlage des ,knigsgrabes    
zeigten die ,funde ,borchardts bei      
,abusr1 der aus ihnen die ,grber der    
,knige der ,v4 ,dynastie1 des ,sahur und
 des ,neweserr rekonstruiert hat4       
,zuerst der ,empfangsraum1 in den die   
,knigsleiche aus dem ,kahn getragen     
wird1 dann ein sehr langer gedeckter    
,gang1 mit vielen ,reliefs geziert1  der
 zum ,totentempel fhrt1 in dessen       
,hintergrund sich der ,eingang  in die  
,pyramide1 die ,scheintr der ,mastaba1  
befand4 ,die ,pyramide  enthlt viele    
,kammern und viele ,kostbarkeiten1 aber 
,statuen1 wie in den  ,mastabas1 sind   
dort nicht gefunden worden4 ,die vielen 
,kostbarkeiten  entwickelten eine eigene
 ,zunft der ,grberdiebe1 uns sind die   
,akten  eines grossen ,prozesses unter  
,ramses ,,ix4 erhalten1 und durch einen 
sonderbaren ,zufall haben ,northampton1 
,spiegelberg und ,newberry bei  ihren   
,ausgrabungen in der ,grberstadt        
7,nekropole7 von ,theben diese  ,akten  
verifizieren knnen 7excavations in the  

,theben necropolis1 ,london  #aijh74    
,aus ,furcht vor den ,dieben sind die   
,knigsgrber spter in die schwer         
zugnglichen ,felsentler von ,biban el   
,moluk gelegt1 deren ,zugnge            
polizeilich berwacht wurden1 trotzdem   
sind sie geplndert worden4    ,menes hat
 nach der ,tradition die beiden ,reiche 
,ober- und ,untergypten  vereinigt1 aber
 die ,verwaltung war noch lange         
getrennt1 es gibt zwei  ,silberkammern  
7,reichsbank71 zwei ,oberrichter oder   
,vorsteher des ,sdens  und des ,nordens4
 ,der ,knig trgt die beiden ,kronen von 
,ober- und  ,untergypten4 ,der ,knig ist
 zugleich ,oberpriester1 geniesst       
gttliches  ,ansehen1 er ist ,sohn des   
,amon oder des ,re1 des ,sonnengottes1  
ist ,horus1  d4 h4 ,frhlingsgott4       
,die ,verwaltung ist aufs genaueste     
organisiert1 das ,land ist in ,gaue     
verteilt1 denen ,gaufrsten mit eigenem  
,hofstaat vorstehen4 ,es ist die  ,zeit 
jugendlicher ,kraft1 des ,erblhens von  
,kunst und ,wissenschaft1 die           

,glanzzeit ist die der ,v4 ,dynastie2   
riesige ,tempelbauten1 ,mastabas1       
,steinkammern1 dann die ,riesenpyramiden
 des ,cheops1 des ,chephre und des      
,mykerinos2 sie fallen in die ,,iv4     
,dynastie4 ,die ,bauttigkeit tritt so   
in den ,vordergrund1 dass die ,prinzen  
den ,titel eines ,vorstehers der        
,arbeiten des ,knigs tragen4 ,um den    
,syenit1 das vorzgliche ,baumaterial1   
zu gewinnen1 hat sich das ,reich bis an 
die ,katarakten1 bis nach ,syene        
ausgedehnt4 ,aber nach der ,,vi4        
,dynastie1 nach ,pepi ,,iii4 geriet die 
,knigsmacht in ,verfall4 ,die ,gaugrafen
 werden selbstndig und erblich1  im     
stlichen ,delta um ,tanis setzen sich   
libysche ,stmme fest4 ,schon zur  ,zeit 
,pepis treten neben der ,totenstadt1 der
 ,nekropole1 von ,memphis  andere       
,nekropolen auf1 die ,gaufrsten lassen  
sich in ihrer ,heimat  begraben und     
viele ,vornehme auch auf dem heiligen   
,boden von ,abydos  neben der ,grabsttte
 des ,osiris4 ,es bildet sich dann in   

,theben eine  neue ,dynastie heran1 die 
in der ,,xi4 ,dynastie das ,land        
vereinigt und es  beginnt mit der ,,xii4
 ,dynastie das mittlere ,reich1 dessen  
erster ,knig  ,amenemhet ,i4 grndlich   
,ordnung stiftet4 ,es muss wirr genug in
 gypten  ausgesehen haben als ,amenemhet
 das ,land mit seinem ,heere durchzog4  
,in  der uns erhaltenen ,inschrift des  
,chnemhtep eines sehr hohen ,beamten    
heisst es3 ,damit er die ,snde          
vernichte1 er1 der wie der ,gott ,atum  
glnzte1 da musste er auch wieder        
herstellen1 was er zerstrt fand4 ,er    
trennte eine ,stadt von der anderen2 er 
lehrte jede ,stadt ihre ,grenze  gegen  
die andere kennen und stellte ihre      
,grenzsteine fest wie den  ,himmel auf4 
,er unterrichtete sich ber die          
,wassergebiete der einzelnen  ,stdte aus
 dem was in den ,bchern stand und       
verzeichnete sie nach dem  was in alten 
,schriften stand1 weil er die ,wahrheit 
so sehr liebte4    ,das mittlere ,reich 
geht bis etwa #ahjj4 ,gewaltige ,bauten 

an ,tempeln  und ,grbern besonders in   
,theben1 daneben auch ntzliche ,arbeiten
  wie ,nildmme und besonders das grosse 
,staubecken des ,mrissee1 von           
,amenemhet ,,iii4 ,labares1 dem ,erbauer
 des ,labyrinths angelegt1 das  sich bis
 auf den heutigen ,tag erhalten hat und 
die ,landschaft ,fajum  erst fruchtbar  
machte4 ,zum ersten ,mal wirkliche      
,eroberungskriege2  ,nubien1 ,das elende
 ,kusch1 wird der ,goldminen in seiner  
,wste halber  nach langem ,kampfe       
endgltig von ,sen-wosret erobert1 der im
 ,herzen des  ,landes bei ,semneh die   
,grenzfestung anlegt2 auch mit ,syrien  
und ,arabien  tritt gypten in           
,verbindung4 ,doch nach den #bjj ,jahren
 ,bltezeit unter  der ,,xii4 ,dynastie  
zerrtten ,thronstreitigkeiten1 dieser   
,krebsschaden  aller orientalischen     
,lnder1 ausgehend von den mchtigen      
,gaufrsten1  das ,land4 ,es erliegt dem 
,ansturm semitischer ,nomadenstmme1 den 
,hirtenfrsten1 den ,hyksos der          
,griechen1 die von ,nordosten her1 von  

,suez eindringen und zweifelsohne von   
den ,gaufrsten untersttzt werden4       
,ihre ,herrschaft nahm den ,verlauf1 den
 der ,einbruch der ,mongolen in  das    
,kalifenreich und den der ,germanen in  
das ,rmerreich genommen  hat4 ,mit      
unwiderstehlicher ,gewalt werfen die    
,barbaren das zerrttete  ,reich ber den 
,haufen1 schaffen ,ruhe und sehen dann1 
dass sie einen  solchen ,grossstaat zwar
 erobern aber nicht verwalten knnen4    
,die  alte ,regierungsmaschine arbeitet 
weiter und nur ,garnisonen in den       
,grossstdten erinnern an die            
,fremdherrschaft4 ,nach einigen         
,generationen  nivellieren sich die     
,frsten und ,vornehmen1 und die spteren 
,hyksosknige sind so gut gypter wie die 
,nachkommen ,dschingis ,khans  gute     
,moslems wurden4 ,aber mit der          
,zivilisation1 die sie gewinnen1        
verlieren die ,barbarenfrsten ihre      
,kraft und so wurden die ,hyksos        
allerdings nicht ohne ,kampf nach etwa  
#cjj ,jahren von ,theben aus durch      

,amose ,i4 vertrieben4    ,es beginnt   
das neue ,reich1 #aehj-aajj4 ,die ,zeit 
der ,thutmosen und  ,ramessiden1 gypten 
wird ,weltmacht4 ,noch der ,urenkel des 
grossen  ,eroberers ,thutmose ,,iii41   
,amenhtep ,,iii4 herrschte ber ,nubien1 
,libyen1  gypten1 ,arabien1 ,palstina   
und ,syrien1 bis an den ,euphrat und die
  ,ramessiden behaupteten dieses ,reich 
noch gegen die mchtige semitische       
,grossmacht der ,chetafrsten4 ,aber das 
neue ,reich ist ganz vom alten          
verschieden4 ,der ,feudaladel wird      
systematisch vernichtet1 etwa wie der   
franzsische durch ,richelieu2 es ist ein
 ,militr- und ,priesterstaat4  ,libysche
 und semitische und hellenische ,sldner 
schlagen die ,kriege2  denn der         
gyptische ,bauer1 tapfer wie jeder      
,bauer1 wenn er sein  ,eigentum schtzt1 
ist fr ,eroberungskriege nicht zu       
brauchen4 ,der  ,knig ernhrt die ,heere 
und die ,priester1 alles ,land1 soweit  
es nicht  den ,gttern gehrt1 d4 h4 den  
,priestern1 die durch immer grssere     

,geschenke gewonnen werden1 gehrt dem   
,knig1 der es den ,bauern gegen  eine   
,abgabe von #bj  des ,ertrages          
vermietet4 ,aber in ,wahrheit sind die  
,sldnerfhrer und der ,hohepriester      
mchtiger als der ,knig4 ,es ist die     
bekannte ,verbindung von ,thron und     
,altar1 wobei gewhnlich dem ,altar  der 
,lwenanteil zufllt4    ,sehr lehrreich  
ist hierfr der grosse ,papyrus ,harris1 
ber den uns  ,erman1 ,berl4 ,ber4 ,,xxi1
 #aijc1 aufgeklrt hat4 ,man glaubte     
vorher1  dass es sich um ins            
,ungeheuerliche gehende ,schenkungen    
,ramses ,,iii4  an die ,tempel handle1  
,e4 hat gezeigt1 dass es sich um eine fr
 die  ,begrbnisfeier dieses ,knigs in   
grsster ,eile zusammengestellte         
,lobschrift handle1 und dass die sogen4 
,geschenke die ,besttigung des          
,tempelbesitzes durch den ,knig         
bedeuten4 ,aber wir erfahren auch1 dass 
dieser ,besitz mssig geschtzt ein       
,zehntel des ganzen ,landes umfasste4   
,insbesondere war der ,besitz und damit 

die ,macht der ,priester des ,amon  zu  
,theben ins ,riesenhafte angeschwollen1 
daneben ,heliopolis1 g4 ,on1  mit dem   
,tempel des ,atum1 der ,abendsonne1 und 
,memphis mit dem ,tempel des            
,weltschpfers ,ptah4    ,ich fge hier   
gleich einiges ber die ,religion und den
 ,kultus an4  ,das ursprngliche         
,negervolk hatte ,fetischdienst1 jeder  
,ort und ,gau  seinen ,lokalgott1 wie z4
 ,b4 das ,seenland ,fajum den in        
,krokodilsgestalt  verehrten ,sokk4 ,mit
 dem ,eindringen der sehr stark religis 
veranlagten  ,semiten wurden aus den    
,fetischen im wesentlichen ,lichtgtter1 
insbesondere wird die ,sonne ,gegenstand
 der ,verehrung1 bald als  ,abendsonne  
,atum1 als ,frhlingssonne ,horus1 als   
,mittagssonne ,r1 als  sich stetig      
erneuerndes ,gestirn ,osiris1 als       
,lebenspenderin ,amon4 ,mit  der        
straffen ,zentralisation des ,reiches   
zentralisierte sich auch der  ,olymp1   
die ,hausgtter der ,dynastien wurden    
,herrscher in der ,gtterwelt1  und      

werden mehr und mehr zu einer ,gottheit1
 im wesentlichen die  ,sonne4 ,am       
frhesten sind ,amon und ,r zum ,amon-,r 
verschmolzen4 ,lngst  musste die        
,geheimlehre der ,priester              
monotheistisch gewesen sein1 als        
,amenophis ,,iv4 sich entschloss1 alle  
,machtmittel des ,knigs daran zu        
setzen1 den ,monotheismus zur           
,volksreligion zu machen4 ,zweifelsohne 
haben politische ,motive mitgewirkt1 der
 ,knig erkannte die ,gefahr1  welche die
 ,macht der ,amonspriester zu ,theben fr
 die ,dynastie  barg1 und versuchte sie 
zu brechen4 ,mit wahrhaft fanatischem   
,eifer  bekmpfte er den ,dienst des     
,amon1 aus allen ,denkmlern tilgte er   
den  verhassten ,namen1 seinen eignen   
,namen1 der ,amon enthielt1 nderte er   
in ,chinatn1 ,verkrperung der           
,sonnenscheibe1 und seine ,residenz     
verlegte er aus ,theben nach            
,el-,amarna4 ,ebendort wurde #ahhh von  
,arabern  seine ,korrespondenz mit den  
asiatischen ,tributfrsten in            

,keilschrift  auf ,tontfelchen gefunden1
 sie bewies1 dass er es vorzog1         
,jerusalem  dem ,ansturm der ,chabiri   
7,hebrer7 preiszugeben und das          
,anwachsen der  ,chetamacht zu dulden   
als seine ,truppenmacht fr die          
,durchfhrung der  religis-politischen   
,revolution zu schwchen4    ,die ,macht 
des ,chetareiches ist es wohl auch      
gewesen1 welche bald nach  ,chinatns    
,tode den energischen ,haremheb bewog1  
seinen ,frieden mit  den ,priestern zu  
machen und den alten ,zustand           
rcksichtslos wieder  herzustellen4 ,er  
ermglichte es so seinen ,nachfolgern    
,sethos ,i4 und  ,ramses ,,ii4 den      
,kampf mit den ,cheta mit ,erfolg       
aufzunehmen4 ,der ,kult  der ,gtter war 
ein ,herzensbedrfnis des ,volkes1 im    
,opferzeremoniell  steht der ,knig1 der 
der eigentliche ,hohepriester ist1      
obenan1 wie  es denn berhaupt anfnglich 
ein ,laienpriestertum der hohen ,beamten
  gab1 neben dem aber auch eine eigene  
,priesterkaste stand1 die spter  den    

,kult ausschliesslich leitete4 ,der     
,gott bewirtet das ,volk und ein        
grosser ,teil der ,einknfte der         
,priesterschaft ging fr ,brot und ,bier 
zur ,speisung des ,volkes an den ,festen
 auf1 wie uns die zahlreich  erhaltenen1
 sehr detaillierten ,tempelrechnungen   
beweisen4 ,bei ,erman  findet man ,s4   
#chh die ,beschreibung und ,s4 #chi die 
,abbildung des  grossartigen ,tempels   
der ,sonnenscheibe von ,tell el ,amarna4
    ,etwa ein ,jahrhundert nach der     
,zeit ,ramses ,,iii41 der als der letzte
 das  ,weltreich im vollen ,umfang      
besass1 nahm der ,hohepriester von      
,theben den  ,thron ein1 um #ajj ,jahre 
spter dem gewaltigen ,scheschonk        
7,schischak71  dem ,fhrer der libyschen 
,sldner ,platz zu machen4 ,in den       
,kmpfen1 die  das ,reich zerrtten1      
beginnt der ,vorstoss oder ,rckstoss der
 ,assyrer1  nur noch einmal von #fbe-ebe
 bis auf ,kambyses gelingt es der       
libyschen  ,dynastie1 ,psammetich1      
,nekao1 ,amasis1 aus ,herodot uns       

wohlbekannt1 eine  kurze ,blte          
gyptischer ,kultur1 die absichtlich an  
das alte ,reich  anknpft1 herbeizufhren4
 ,dann wird gypten persisch und wird mit
  ,persien von ,alexander dem ,grossen  
erbeutet4 ,nach dessen ,tode regiert    
#cjj ,jahre lang die ,diadochenfamilie  
der ,ptolemer4 ,die hellenistische      
,kultur dringt ein1 berhrt aber nur die 
,vornehmen1 unter ,kleopatra wird  #cj  
v4 ,chr4 gypten rmische ,provinz4 ,die  
,kultur dieser ,zeit verwchst  mit der  
griechisch-rmischen als hellenistische4 
gyptische ,sprache und ,schrift4        
,die gyptische ,sprache gilt heute als  
verwandt mit dem ,semitischen1 dem      
,arabischen1 ,babylonischen und         
,hebrischen4 ,wir knnen sie verfolgen   
von  #djjj v4 ,chr4 bis #afej n4 ,chr4  
,wir unterscheiden3      #a4 ,das       
,altgyptische1 die ,sprache der         
,pyramidentexte1 die als    gelehrte    
,literatursprache bis in die rmische    
,zeit unter ,kaiser    ,decius fortlebt4
      #b4 ,die ,volkssprache des        

mittleren und neueren ,reiches1 das     
,neugyptische4      #c4 ,das            
,demotische1 die ,volkssprache der      
griechischen ,zeit4      #d4 ,das       
,koptische1 die ,sprache der            
christlichen gypter4    ,das ,demotische
 knpft unmittelbar an das ,altgyptische 
an4 ,das  ,koptische zeigt zwar grosse  
lautliche ,vernderungen durch den       
,einfluss  des ,griechischen1 gewhrt    
aber generaliter die beste ,hilfe fr die
  ,entzifferung des ,altgyptischen1 denn
 die ersten drei ,sprachen wurden  ohne 
,vokale geschrieben4    ,hinsichtlich   
der ,schrift sind #d ,epochen zu        
konstatieren4      #a4 ,die ,periode der
 ,hieroglyphen1 welche von #djjj v4     
,chr4 bis #bej    n4 ,chr4 reicht1      
obwohl in den letzten #ajjj ,jahren nur 
noch zu    dekorativen ,zwecken1 wie    
,tempelinschriften und feierlichen      
,urkunden4      #b4 ,die ,periode der   
hieratischen ,schrift1 welche die       
,periode der    ,hieroglyphen von #bejj1
 von der ,,xi4 ,dynastie an1 begleitet  

bis zu    ,psammetich4 ,sie hat sich aus
 ,abkrzung der ,hieroglyphen entwickelt4
    ,sie ist die ,geschftssprache und   
,schrift und aus ihr entwickelt sich3   
#c4 ,die demotische ,sprache und        
,schrift1 welche dann aber1 als nach    
,diokletian die gyptische ,religion dem 
,christentum erlag1 durch      #d4 die  
koptische ,schrift verdrngt wurde1 die  
griechisch ist1 bis auf    einige       
,zeichen1 die demotisch blieben1 weil   
sie ,laute bezeichnen1    die das       
,griechische nicht hat4 ,das ,koptische 
ist eine tote ,sprache1    es erlag dem 
,arabischen4 ,um die ,mitte des #ag4    
,jahrhunderts1 genauer    noch #afgc    
starb der nachweislich letzte ,mann der 
,koptisch sprach1 der    #hj;jhrige     
,muallim ,athanasios4 ,nur noch im      
koptischen ,kultus hat es    sich als   
,sprache der koptischen ,bibel gehalten1
 wie etwa das ,latein    in der         
katholischen ,kirchensprache4           
gyptische ,kultur4      ,meine ,herren6 
,mit der ,schtzung der gyptischen       

,kultur ist es seltsam  gegangen4 ,im   
ganzen ,kulturgebiet des ,mittelmeeres  
stand gyptische  ,weisheit seit der     
,zeit der ,hellenen bis in die ,mitte   
des #ai4  ,jahrhunderts im hchsten      
,ansehen1 whrend ihre ,kunst als seltsam
 und  barbarisch gering geschtzt wurde4 
,die geheimnisvolle ,weisheit der       
,priester1 die vielen ,inschriften in   
der wunderbaren ,bilderschrift der      
,hieroglyphen -- vielleicht ein         
griechisches ,wort1 das ,einmeisselung  
in  den heiligen ,sttten bedeutet --1   
die unentzifferbaren ,papyrosrollen1    
der einzig dastehende ,totenkult1 alles 
das trug dazu bei1 den ,gedanken  an    
tief verborgene geheimnisvolle ,weisheit
 zu erwecken4 ,welchen  ,eindruck gypten
 auf die ,hellenen gemacht1 erfahren wir
 aus ,herodot1  der ersten und der      
besten alten ,quelle4 ,er1 der gypten   
etwa um die  ,mitte des #e4             
,jahrhunderts bereiste1 schreibt3 ,wie  
der ,himmel bei ihnen  von sonderlicher 
,art1 wie ihr ,strom eine andere ,natur 

hat1 als die  brigen ,flsse1 so sind    
auch fast alle ,sitten und ,gebruche der
 gypter  entgegengesetzt der ,weise der 
anderen ,menschen4 ,bei ihnen sitzen die
  ,weiber auf dem ,markt und handeln1   
die ,mnner bleiben zu ,hause4 ,lasten   
tragen die ,mnner auf dem ,kopf1 die    
,frauen auf den ,schultern4 ,ihre       
,notdurft verrichten sie in den ,husern1
 die ,speisen aber nehmen sie auf  der  
,strasse zu sich und sagen dazu3 ,im    
,verborgenen msse man tun1 was          
unziemlich sei1 aber notwendig1         
ffentlich aber1 was nicht unziemlich    
sei etc4    ,in jeder ,hieroglyphe sah  
man ein ,bild oder ,symbol irgend eines 
tiefen  ,gedankens und suchte sie wie   
einen ,rebus zu erraten4 ,so las der    
bekannte viel wissende ,jesuit          
,athanasius ,kircher1 der von #afja-afhj
  lebte und die ,laterna magica u4 a4   
erfunden hat1 die sieben ,zeichen3      
,illustration    welche in ,wahrheit    
autkrtr heissen und den ,titel 1        
,selbstherrscher1 bezeichnen1 der den   

,titel ,imperator des rmischen  ,kaisers
 wiedergibt1 in folgender ,weise3       
,osiris 79999symbol  a7 ist  ,urheber   
der ,fruchtbarkeit und aller            
,vegetation1 79999symbol  u74 ,seine    
,zeugungskraft 79999symbol  tk7 zieht   
aus dem ,himmel 79999symbol  r7  der    
heilige ,mophta 79999symbol  tr997 in   
sein ,reich1 und in einem  andren ,falle
 las ,kircher die #ag ,buchstaben kasrs 
,tmitins sbsts d4 h4  ,kaiser           
,domitianus ,sebastos so3 ,der wohlttige
 ,vorsteher der ,zeugung  der im ,himmel
 vierfach mchtige bergibt durch den     
wohlttigen ,mophta  die luftige         
,feuchtigkeit an den ,amon1 der in der  
,unterwelt mchtig  ist und durch seine  
,statue und geeignete ,zeremonien       
veranlasst wird1  seine ,macht auszuben4
 ,kircher hat brigens um die ,kenntnis  
des  ,koptischen wirkliche ,verdienste4 
,er hat zuerst das ,koptische als die   
altgyptische ,volkssprache bezeichnet   
7lingua aegyptiaca restituta  #afde74   
,whrend ,kircher metaphysische und      

theosophische ,spekulationen  in die    
,hieroglyphen hineinlas1 fand der ,abb  
,pluche meteorologische  ,beobachtungen 
in ihnen und ein ,anonymus sogar        
,davidische ,psalmen4    99 ,der ,lwe   
ist ein sptes ,zeichen1 das eigentlich  
dazu dient1 r und  l1 die in alter ,zeit
 das gleiche ,zeichen haben1 zu         
unterscheiden4    ,meine ,herren6 ,sie  
knnen sich denken1 dass durch solche    
,spielereien  die ganze ,beschftigung   
mit ,hieroglyphen in ,verruf kam und wir
  blieben fr die wirkliche ,kunde von   
gypten auf die griechischen  ,quellen1  
insbesondere auf ,herodot1 ,eusebios1   
,horapollo1 ,plutarch1  ,diodor und die 
jdischen ,erzhlungen in der ,bibel      
angewiesen4 ,das  wurde mit einem       
,schlage anders1 als ,napoleon im ,jahre
 #agih seinen  ,zug nach gypten         
unternahm1 um von da aus die ,englnder  
in ,indien zu  bedrohen4 ,grossartig wie
 der ,plan und der ,mann nahm er einen  
ganzen  ,stab hervorragender ,gelehrten 
unter ,vorsitz von ,fourier mit1 die    

mit der ,erforschung des ,landes        
beauftragt wurden1 fr welche ,napoleon  
durch des ,mathematikers ,karsten       
,niebuhrs ,reise in ,arabien 7voyage en 
,arabie7 #agfa-fg angeregt worden war4  
,sie haben ihre ,aufgabe glnzend  gelst 
und ihr grosses ,material in der        
description de l',egypte1 dem           
,fundament der gyptologie1 niedergelegt4
 ,statt der wenigen nach ,rom und       
,byzanz verschleppten ,inschriften lag  
jetzt eine ,flle von ,texten vor  und   
die ,entzifferung wre1 wenn auch        
langsam1 gelungen1 wie die der          
,keilschriften ,assyriens gelungen ist1 
auch ohne den glcklichen ,zufall  des   
,fundes von ,rosette4    ,im ,august    
#agii1 als die ,lage des franzsischen   
,heeres schon recht  misslich war1 fand 
man beim ,ausheben von ,schanzen im     
,port ,st4 ,julien  7,raschd71 #g1e km  
,n4 ,w4 von ,rosette in der ,nhe der    
westlichen  ,nilmndung eine schwarze    
,granittafel1 deren ,vorderseite mit    
drei  ,inschriften bedeckt war4 ,die    

oberste in ,hieroglyphen1 die mittlere  
in  der gyptischen ,volksschrift zur    
,zeit der ,ptolemer1 dem ,demotischen1  
und die unterste in griechischer        
,schrift und ,sprache4 ,im griechischen 
,text stand3 ,man solle dieses ,dekret  
der ,priester von ,memphis zu  ,ehren   
des ,knigs 7,ptolemus ,epiphanes1 #aif7 
in heiliger ,schrift1  in ,volksschrift 
und in griechischer schreiben4 ,es war  
also kein  ,zweifel1 dass die beiden    
gyptischen ,texte des ,steines von      
,rosette die  bersetzung des            
,griechischen enthielten4 ,in dem       
,dekret war mehrfach  von ,knig         
,ptolemus die ,rede1 es war             
unwahrscheinlich1 dass fr diesen        
fremden ,namen die ,hieroglyphen als    
,symbolik dienen sollten4 ,die          
,vermutung lag nahe1 dass die           
,hieroglyphen eine ,lautschrift seien4  
,sie wurde #ahaf von dem grossen        
englischen ,physiker ,thomas ,young     
ausgesprochen1 welcher an der durch die 
,kapitulation von ,alexandria  #ahja    

nach ,england gesandten ,tafel i1 n1 p1 
t1 f entzifferte und  unabhngig von ihm 
kam der junge franzsische ,gelehrte     
,jean ,franois  ,champollion-le ,jeune  
auf den gleichen ,gedanken4 ,champollion
 muss  als der eigentliche ,entzifferer 
der ,hieroglyphen angesehen werden4     
,wer sich genau fr ihn und seine ,taten 
interessiert1 findet alles  denkbare    
,material in dem hchst fesselnden ,werke
 von ,h4 ,hartleben3  ,champollion1 sein
 ,leben und sein ,werk #aijf1 in dem mit
 der ganzen  liebevollen ,sorgfalt1     
deren nur eine ,frau fhig ist1 und mit  
glnzendem ,erfolg in vieljhriger        
unermdlicher ,arbeit alle berhaupt      
beschaffbaren ,urkunden verwertet sind4 
,dass ,young und ,champollion  ,vorlufer
 hatten1 ist selbstverstndlich1 so      
erwiesen sich z4 ,b4 die  ,angaben des  
,kirchenvaters ,clemens ,alexandrinus   
ber das altgyptische  ,schriftsystem    
bedeutend zuverlssiger als die des      
,herodot und ,diodor4  ,ganz bedeutend  
muss der ,dne ,georg ,zoga hervorgehoben

 werden1 der  sich von #aghc an mit     
,hieroglyphik beschftigte4 ,zoga1       
geschulter  ,philologe1 -- er war der   
,lieblingsschler des berhmten ,gttinger 
,philologen ,ch4 ,g4 ,heyne --1 hat den 
,lautcharakter der ,hieroglyphen        
erkannt4 ,er hat vermutet1 dass der     
,ring3 9999symbol1 die alphabetisch     
geschriebenen ,namen des ,knigs und der 
,knigin umschlsse und was  die          
,hauptsache war1 er hat die gyptische   
,kunst richtig beurteilt4  ,winckelmann 
hatte die gyptische ,kunst als vllig    
stabil hingestellt4  ,demgegenber zeigte
 ,zoga1 dass es in ihr ,entwicklung1    
,blte und  ,verfall gibt1 kurz          
,bewegung4 ,heute wissen wir1 dass das  
alte ,reich  eine ,zeit der ,entwicklung
 durchmachte von khner1 aber technisch  
unvollkommener ,nachahmung der ,natur   
aufsteigend bis zu ,meisterwerken  wie3 
der ,dorfschulze1 der ,schreiber1 und   
der gewaltigen ,sphinx'1  das ,abbild   
der vollen ,majestt des ,knigs 7siehe   
,abbild474 ,auf diese  ,zeit folgte ein 

,beharren und ein ,stabilwerden im      
mittleren ,reich1  ein ,verfall in der  
,hyksosperiode1 bis dann im neuen       
,reiche die neue  grossartige           
,kunstepoche herbeigefhrt wurde dadurch1
 dass die aus dem  ,verkehr mit ,syrien 
und ,babylonien gewonnenen neuen ,motive
 der ,eigenart  des gyptischen ,volkes  
gemss entwickelt wurden4 ,in dem ,werke 
von  ,h4 ,hartleben finden ,sie1 meine  
,herren1 wie ,champollion von frhester  
,jugend an die ,entzifferung des        
gyptischen ,geheimnisses als sein       
,lebensziel erkannte und wie unentwegt  
er diesem ,ziel trotz ,krankheit  und   
,not nachgestrebt4 ,von besonderem      
,einfluss ist das ,interesse1 das       
,fourier1 der ,verfasser der ,thorie de 
la ,chaleur1 dem genialen ,knaben       
entgegenbrachte1 der #ab;jhrig im       
,herbst #ahjb dem ,prfekten von         
,grenoble  durch den lteren ,bruder1 den
 ebenfalls bedeutenden ,gelehrten       
,jacques  vorgestellt wurde4 ,aber wir  
sehen aus dem ,buche auch1 wie gross die

  ,arbeit1 wie mannigfaltig die         
,schwankungen und ,irrtmer waren1 bis es
  #ahbb ,champollion gelang1 die        
grundlegenden ,stze auszusprechen3      
#a4 ,die drei altgyptischen             
,schriftformen1 ,hieroglyphen1          
,hieratisch1 ,demotisch1 stellen im     
,grunde dasselbe einheitliche           
,system dar4        #b4 ,das ,system    
besteht aus einem ,gemisch von etwa #ai 
teils          figurativer1 teils       
symbolischer ,zeichen4    ,champollion  
ging wie ,young vom ,stein von ,rosette 
aus4 ,dort kam an der  ,stelle1 wo der  
griechische ,text von ,ptolemus spricht1
 derselbe ,ring  vor1 den man von den   
,bildern der ,tempel neben dem ,haupt   
des durch  die ,doppelkrone bezeichneten
 ,knigs her kannte und in diesem ,ring  
9999symbol finden sich die ,zeichen3    
,illustration    ,illustration          
,champollion hatte bemerkt1 dass auf    
einem ,obelisken aus ,phil1 der         
wichtigen ,grenzstadt in ,untergypten1  
neben demselben ,knigsring ein  anderer 

stand1 der #e von den ,zeichen des      
ersten ,ringes enthielt4 ,aus  der      
griechischen ,inschrift an der ,basis   
des ,obelisken liess sich  entnehmen1   
dass es der ,name ,kleopatra sei und er 
musste es sein1 denn  von den drei in   
der ,knigsfamilie blichen ,frauennamen3 
,arsinoe1  ,berenike1 ,kleopatra enthlt 
nur der letzte #e ,buchstaben1 die auch 
in  ,ptolemus vorkommen4 ,so wurden die 
,zeichen fr die ,laute a1 e1 l1 m1 o1   
p1 r1 s1 t gefunden und bald fand       
,champollion ,besttigungen1 die ihn     
weiter fhrten1 so an dem ,knigsnamen    
,aleksentros1 id est ,alexander4  ,dazu 
kam dann bald als der schlagendste      
,beweis1 dass1 wenn man nach  dieser    
,deutung ,worte las1 die phonetisch     
geschrieben1 hinter denen  aber1 was    
sehr hufig ist1 ein ,deutungszeichen    
stand1 wie z4 ,b4    9999symbols ,eh    
und3 9999symbols    erp1 man auf wohl   
bekannte koptische ,worte ehe der ,ochse
 und erp1 der  ,wein stiess4    ,diese  
,determinative oder ,deutungszeichen    

waren unentbehrlich und  wurden immer   
zahlreicher4 ,dieselben beiden ,zeichen 
9999symbols  konnten noch bedeuten3     
,weinen1 dann war ein trnendes ,auge    
dahinter  9999symbol2 ,feld1 dann war   
ein ,markstein dahinter1 wenn es ,strick
  bedeutete 9999symbol4 ,wenn es ,loben1
 ,preisen1 ,rufen1 kurz einen ,ausruf   
bedeutete1 ein sitzender ,mann1 wenn es 
,bedrohen1 ,bedrngen bedeutet1  ein     
bewaffneter ,arm3 9999symbol1 der berall
 vorkommt1 wo ,energie  ihren ,ausdruck 
findet4 ,es sind diese ,determinative   
berreste der  ltesten ,zeit1 wo die     
,hieroglyphen wirklich ,bilderschrift   
war1 wie es  die chinesische ,schrift   
noch heute ist4 -- ,ich nehme als       
,beispiel die  ,hieroglyphe 9999symbol  
per das ,haus1 der rohe ,grundriss eines
 ,hauses1  wie es noch heute der        
gyptische ,bauer bewohnt4 ,aber das     
,zeichen fr  ,haus der ltesten ,zeit    
wurde im ,laufe der ,zeit zum ,zeichen  
der  ,silbe per4 ,dies kann dann sehr   
verschiedenes bedeuten3 9999symbols     

hinausgehen1 9999symbols hineingehen4   
,als ,champollion #ahcb schon #aj ,jahre
 nach seiner ,entdeckung starb1  war es 
ihm gelungen1 das ganze ,schriftsystem  
der ,hieroglyphen zu  entziffern4       
,dieser eine ,mann hatte in einem       
,jahrzehnt das grosse ,rtsel  gelst und 
ein ganzes ,volk wieder in die          
,weltgeschichte eingefhrt4    ,nach den 
,hieroglyphen wurde die hieratische     
,schrift entziffert1 die                
,priesterschrift1 in der die meisten    
,papyri geschrieben sind1 und  die aus  
,zusammenziehung der ,hieroglyphen1     
sogenannten ,ligaturen1  entstanden1    
sich zu jener verhlt1 wie unsere        
,schreibschrift zur  ,druckschrift und  
nach dieser von ,brugsch das            
,demotische4 ,es konnte  eine gyptische 
,grammatik geschrieben werden1 gyptische
 ,literatur  gelesen werden und eine    
glnzende ,besttigung erhielten die      
,arbeiten  der gyptologen als ,lepsius1 
der #ahdb die berhmte1 so erfolgreiche1 
sogenannte preussische ,expedition      

geleitet hatte und die ,grber des  alten
 ,reiches aufgedeckt hatte1 #ahfg auf   
dem ,trmmerfelde der alten  ,stadt      
,tanis eine andere ,trilingue fand1 von 
sehr bedeutender ,lnge und  ganz        
vollkommen erhalten3 ,das ,dekret von   
,canopus1 das sich auf eine             
,kalenderverbesserung bezog4    ,aber   
als nun die gyptische ,literatur        
entziffert war1 machte sich  zunchst    
eine grosse ,enttuschung geltend4 ,an   
,stelle der erwarteten  tiefsinnigen    
,weisheit fand man eine wirre           
,mythologie1 aus der nur die  schon     
durch ,plutarch1 de ,iside1 bekannten   
,gestalten des ,osiris1 der  ,isis1 des 
,seth oder ,typhon1 und des ,horus oder 
besser ,hor deutlicher  sich abhoben4   
,man lese ,erman ,s4 #cfe ff4 ,daneben  
,haarspaltereien1  wie etwa die         
rabbinischen ,untersuchungen ber die    
,jakobsleiter1  ,zaubersprche und eine  
tolle ,dmonologie4 ,die ,papyri         
entpuppten sich  meist als ,schlerhefte 
oder als ,briefe1 die zum ,unterricht   

geschrieben  waren und etwas mehr       
,inhalt boten eigentlich nur die        
,totenbcher1  buchstblich               
,reisehandbcher fr den ,ka1 die ,seele  
des ,verstorbenen1  auf seiner ,reise in
 das ,reich des ,osiris1 in die         
,totenwelt4    ,die ,medizin1 die       
,herodot solchen ,respekt einflsste1    
lernten wir  aus dem grossen ,papyrus   
,ebers kennen1 eine ausserordentliche1  
reiche ,sammlung von ,rezepten1 deren   
vornehmster ,bestandteil ,kot der       
verschiedenartigsten ,tiere1 berhaupt   
die ekelerregendsten ,elemente  sind4   
,beilufig gesagt ist auch fr die        
mathematische ,tradition die  ,bemerkung
 nicht unwichtig1 dass ein ,teil dieser 
,rezepte noch heute  unverndert einen   
,bestandteil der ,volksapotheke in      
,europa bildet4 --  ,so schlug denn die 
,ehrfurcht in ihr ,gegenteil um4 ,man   
unterschtzte  die gyptische             
,wissenschaft1 wie man sie berschtzt    
hatte4 ,aber etwa  seit #ahhj trat eine 
,wandlung ein1 die genaue               

,detailforschung1 gefundene  ,briefe1   
,rechnungen1 ,steuerquittungen1         
,prozessakten zeigten1 dass man  es mit 
einer seit #djjj v4 ,chr4 grossartig    
organisierten ,verwaltung  und mit einem
 ausserordentlich klaren und verstndigen
 ,volke zu tun  hatte4 ,in die          
,geschichte1 in die ,mythologie kam     
,licht1 ,lyrik1 ein  reicher            
,mrchenschatz1 wie ihn noch heute die   
,fellah lieben2 auch die  ,kunst zeigte 
sich zum ,teil auf erstaunlicher ,hhe4  
,vergl4 die kurze  ,kunstgeschichte von 
,w4 ,spiegelberg4 ,man denke an die     
,statuen des  ,pepi und ,ramses ,,ii41  
die herrlichen ,statuen von ,gizeh im   
,louvre etc4  ,ferner an                
,architekturwerke1 ,meisterwerke1 wie   
die ,tempel von ,karnak  und ,luxor4    
,papyri1 wie die lteren1 auf ,leder     
geschriebenen1 z4 ,b4  der ,papyrus     
,prisse1 zeigten wirklich hohe ,weisheit
 auf ethischem  ,gebiet #bejj v4 ,chr4  
,ausserordentlich frh war das           
,barbarentum1 wie  ,menschenopfer1      

,ttung der ,frauen und ,sklaven1 die es 
bei den ,griechen  noch im ,homerischen 
,zeitalter gab1 abgeschafft4 ,auch die  
,stellung der  ,frau zeigt die ethische 
,reife1 sie war weit hher als bei irgend
 einem  orientalischen ,volke1          
vielleicht die ,hebrer ausgenommen1     
selbst der  ,adel der ,herkunft richtet 
sich nach der ,mutter4 ,wir haben ,kunde
 von  der bedeutenden ,rolle1 welche z4 
,b4 ,tye1 die ,mutter des ,chinatn1     
spielte1 deren wundervoller ,goldschmuck
 vor kurzem gefunden wurde1 wir  wissen 
von der zwanzigjhrigen kraftvollen      
,regierung der ,hatschepsowet1  der     
,mutter des grossen ,thutmosis ,,iii41  
welche u4 a4 eine grosse  und           
erfolgreiche ,expedition nach ,punt     
sandte und dort ihre ,statue  aufstellen
 liess4 ,die ,ehe war sehr frh im       
wesentlichen monogamisch1  und das      
,familienleben ausserordentlich innig4  
,vielleicht hat die  ,schwesterehe der  
gypter zu dieser ,wertung der ,frau     
beigetragen4  ,anfnglich ,sitte der     

,vornehmsten1 wohl um ,erbteilungen zu  
vermeiden1  verbreitete sie sich rasch  
ber das ganze ,land1 und die gypter     
haben  fr ,schwester und ,geliebte das  
gleiche ,wort4 -- ,die ,rechtspflege war
  sehr frh geordnet1 ,richter von ,fach 
fhrten die ,untersuchung1 die  ,strafen 
bestimmte der ,knig1 sie waren nicht    
grausamer1 als sie bei uns  bis ins #ai4
 ,jahrhundert hinein gebruchlich waren4 
gyptische ,mathematik4      ,was nun die
 ,mathematik der alten gypter betrifft1 
so waren wir bis  #ahfh auf sehr drftige
 ,quellen angewiesen4 ,dass die gypter  
schon  frh im ,besitze nicht geringer   
mathematischer ,kenntnisse gewesen1     
geht schon aus den gewaltigen ,bauten   
hervor4 ,die ,grber der ,grossen  waren 
genau orientiert4 ,stets stand die      
,statue des ,toten1 die dem ,ka1  der   
,seele1 ,gelegenheit geben sollte in    
seinen ,leib zurckzukehren1  so dass sie
 genau nach ,westen schaute4 ,die       
grossen ,pyramiden waren  auf das       
,genaueste orientiert1 so dass die      

wunderbarsten ,vermutungen1  und zwar   
vor noch nicht langer ,zeit1 ber ihre   
eigentliche ,bedeutung  gemacht wurden4 
,ich nenne nur die des ,ingenieurs      
,price ,smith ber die  ,pyramide des    
,cheops4 ,im allgemeinen standen die    
,tempel im ,meridian4  ,diese           
,orientierung war ,aufgabe einer        
besonderen ,priestergruppe1 der         
,harpedonapten id est der ,seilspanner4 
,der ,knig selbst beteiligte sich       
dabei4 ,man vergleiche die von dem      
frheren ,strassburger gyptologen        
,dmichen verffentlichte ,baugeschichte  
des ,tempels von ,denderah2  der ,tempel
 wird genau nach dem ,eintritt der      
,plejaden in den ,meridian  orientiert4 
,dort ist der ,knig abgebildet an einem 
,pflock stehend1 und  diesem gegenber   
steht ,sfchet1 die ,gttin der           
,wissenschaft und der  ,bibliotheken2   
beide schlagen gleichlange ,pflcke mit  
einer ,keule in  den ,erdgrund und      
halten gemeinsam ein ,seil4 ,die        
,inschrift sagt3 ,ich  habe gefasst die 

,holzpflcke und den ,stiel des          
,schlegels1 ich halte  das ,seil        
gemeinsam mit der ,gttin ,sfchet4 ,mein 
,blick folgt dem ,gange  der ,gestirne2 
wenn mein ,auge an dem ,sternbilde des  
,siebengestirns  angekommen ist und     
erfllt ist der mir bestimmte ,abschnitt 
der ,zahl  der ,uhr1 stelle ich die     
,pflcke auf die ,eckpunkte deines       
,gotteshauses4  ,die ,stelle3 wenn mein 
,auge usw4 wird dadurch verstndlich1    
dass die  ,himmelskarte so angelegt     
wurde1 dass unter der ,mitte des        
,himmels ein  ,mensch aufrecht sitzt und
 nun wird der ,gang der ,sterne         
angegeben4 ,uns  sind mehrere solcher   
,listen erhalten4 ,da heisst es z4 ,b43 
,am #af4 ,phaopi  steht in der #h4      
,stunde die ,fingerspitze des           
,sternbildes ,sa'h id est  ,orion ber   
dem linken ,auge etc4 ,ich will hier nur
 kurz bemerken1 dass  auch unser        
,kalender im wesentlichen auf die gypter
 bezw4 ,babylonier  zurckgeht4    ,an   
,werkzeugen war ihnen schon in ltester  

,zeit der rechte ,winkel1 das           
,richtscheit1 bekannt1 das man u4 a4 in 
einer ,tischlerwerkstatt gefunden  hat2 
die ,orientierung im ,felde geschah     
durch das ,spannen des ,seiles mit  den 
,knoten #c1 #g1 #ab4 ,dass danach das   
pythagoreische ,dreieck mit den  ,seiten
 #c1 #d1 #e den gyptern bekannt war1    
steht unzweifelhaft fest4 ,auch  ,zirkel
 verschiedener ,art knnen nicht gefehlt 
haben4 ,ein eigentmliches  ,instrument  
zum ,ebenmachen1 unserem ,hobel         
entsprechend1 ist ebenfalls  gefunden   
worden4 ,an ,massstben etc4 hat es auch 
nicht gefehlt4 ,das  ,richtscheit kommt 
des fteren auf ,bildern in der ,hand des
 ,knigs vor1  wie etwa der ,pflug in der
 des ,kaisers von ,china4 ,in der       
,ornamentik  findet sich eine ,reihe    
geometrischer ,figuren1 ihre ,wagenrder 
verlangen die ,kreisteilung1 anfangs    
sind sie viergeteilt1 spter nach        
,zusammenstoss mit den ,chaldern oder   
,babyloniern sind sie sechsgeteilt4  ,in
 der grossen ,schenkungsurkunde des     

,tempels von ,edfu haben wir eine  ganze
 ,reihe von ,flchenberechnungen2        
einzelne ,rechenexempel finden sich  in 
den ,papyri1 aber im grossen und ganzen 
waren wir auf sehr drftige  ,nachrichten
 der ,klassiker1 in erster ,linie auf   
,proklus angewiesen4    ,fest steht1    
dass ,thales1 der ,milesier1 etwa um    
#fjj einige ,kenntnisse1  die ihm       
gyptische ,priester vielleicht wegen    
ihrer ,geringfgigkeit  mitgeteilt       
hatten1 nach ,jonien brachte1 darunter  
den ,satz von den  ,basiswinkeln im     
gleichschenkligen ,dreieck1 den #b4     
,kongruenzsatz  und die ,konstruktion   
des gleichseitigen ,dreiecks4 ,weit     
lnger und  fruchtbarer scheint der      
,aufenthalt des ,pythagoras1 dem es     
allem  ,anscheine nach gelang in die    
schwierige ,sprache und in das noch     
schwierigere ,vertrauen der gyptischen  
,priester einzudringen1 gewesen  zu     
sein4 ,pythagoras brachte vermutlich    
auch die ,form1 in welche die  gypter   
,stze und ,aufgaben kleideten1 nach     

,europa1 die sich bei  ,euklid und      
,heron erhalten hat4 ,sicher bezeugt ist
 der ,aufenthalt des  ,mathophilosophen 
,eudoxos und der des ,oinopides1 der die
 ,konstruktion  des ,lotes aus gypten   
importierte4 ,wahrscheinlich der des    
,platon  von ,sizilien aus1 sicher      
wiederum der des ,eudemos1              
wahrscheinlich  der des ,demokrit1 der  
sich rhmte1 dass ihn im ,konstruieren   
nicht  einmal die gypter bertrfen4 ,die 
gyptische ,reisskunst hatte den  hchsten
 ,ruf4 gyptische ,feldmesser und        
,baumeister waren in der  ganzen ,welt  
des ,mittelmeeres bis tief in die       
rmische ,kaiserzeit die  gesuchtesten4  
,einen hohen ,ruf hatten ihre           
astronomischen ,kenntnisse  und         
,beobachtungen1 die sehr lange          
fortgesetzt waren4 ,man muss freilich   
sagen1 dass die eigentmlichen1 ganz     
neuerdings von ,l4 ,borchardt  erklrten 
,instrumente mit unseren astronomischen 
,przisionsinstrumenten  keinen          
,vergleich zulassen1 ja nicht einmal mit

 denen der ,babylonier4    ,eine direkte
 altgyptische ,urkunde sprach zum ersten
 ,male zu uns im  ,papyrus ,rhind1 ber  
welchen #ahfh der ,englnder ,birch im   
,lepsius einen  kurzen ,bericht gab4    
#ahgb erhielt ,august ,eisenlohr in     
,heidelberg eine  lithographische       
,abschrift des ,textes und in fnfjhriger
 mhevoller  ,arbeit entzifferte er      
denselben1 untersttzt von seinem        
,bruder1 dem  ,mathematiker ,friedrich  
,eisenlohr und vor allem von ,moritz    
,cantor4  ,die ,ausgabe ist jetzt       
veraltet1 besonders die ,namen1 aber    
auch die  ,zahlworte und ,masse sind    
falsch gelesen4 ,so ist z4 ,b4 psd #i   
mit paut  ,kreis verwechselt und eine   
neue ,ausgabe vom ,standpunkte der      
heutigen  gyptologie wre sehr zu        
wnschen4    ,der ,papyrus beginnt mit   
den ,worten3 ,vorschrift zu gelangen zur
  ,kenntnis aller dunklen ,dinge1 aller 
,geheimnisse1 welche sind in den        
,dingen4 ,verfasst wurde diese ,schrift 
im ,jahre #cc1 im vierten ,monat        

7,mesori7 der berschwemmungszeit unter  
,knig ,raa-us lebenspendend  nach dem   
,muster alter ,schriften in der ,zeit   
des ,knigs 4444444at vom  ,schreiber    
,aahmesu4 ,der ,knig heisst nicht       
,raa-us1 sondern mit seinem  ,horusnamen
 ,apophis1 wie die furchtbare ,schlange 
des ,typhon4 ,es ist der  ,hyksosknig   
mit seinem ,knigsnamen ,a-vose-re1 gross
 ist die ,macht des  ,re4 ,re1 nicht    
,ra1 ist die heisse ,mittagssonne1 deren
 ,gewalt nirgends  sich fhlbarer machte 
als in gypten1 und deren ,kult im alten 
und  im mittleren ,reich alle brigen    
berbot4 ,der ,knig des ,musters ist     
,amenemhet ,,iii41 etwa um #bbjj4 ,die  
,muster sind1 wie es scheint1 gefunden  
worden von ,flinders ,petrie in ,kahun  
im ,jahre #ahhi1 die ,papyri hat        
,griffith #ahig herausgegeben1          
wenigstens stimmt ,papyrus ,ames mit    
denen  von ,kahun genau berein4         
,eisenlohr und mit ihm ,cantor          
bezeichnen den ,papyrus als ein         
mathematisches ,handbuch der alten      

gypter1 ,cantor nennt es gelegentlich   
sogar ,vademecum eines gyptischen       
,feldmessers1 dem gegenber erklrte      
,eugne ,revillout1 der ,herausgeber der 
,revue gyptologique1 in einer  ,note1   
die ,cantor1 wie es scheint1 entgangen  
ist1 ist sie doch dem  so rhrigen und so
 viel jngeren ,l4 ,borchardt entgangen1 
das ,heft  ganz kurz und klar fr das    
,heft eines mssigen ,schlers1 das einige
  ,jahrhunderte spter von einem         
,schreiber ohne alle mathematische      
,bildung1 und solcher gab es schon im   
alten gypten1 dem ,jamesu1 ,sohn  des   
,mondes1 abgeschrieben und an einen     
schlichten ,landmann verkauft  ist4     
,dieser ,ansicht ,revillouts schloss    
sich ,weyr in seinem ,festvortrag  in   
der ,wiener ,akademie an2 ,borchardt1   
dessen ,autoritt sehr schwer  ins       
,gewicht fllt1 teilte gleichfalls diese 
,ansicht und auch ich  kann ihr nur     
beipflichten4 ,das ,heft wimmelt        
geradezu von groben  ,rechenfehlern1 die
 oft vom ,lehrer mit roter ,tinte tout  

comme chez  nous korrigiert1 fter nur   
generaliter bemerkt sind4 ,so kommt z4  
,b4  ein ,exempel vor1 wo der ,schler   
durchgehend #ad mit #i verwechselt hat1 
das war leicht mglich1 die ,schrift ist 
althieratisch1 ganz hnlich  wie beim    
,papyrus ,ebers1 unserer ,hauptquelle fr
 die ,geschichte der  gyptischen        
,medizin4 ,das ,hieratische verhlt sich1
 wie schon gesagt1  zu den              
,hieroglyphen1 die nur in prhistorischer
 ,zeit wirkliche  ,bilderschrift waren1 
wie unsere ,schreibschrift zur          
,druckschrift1 es  entsteht durch       
,ligaturen4 ,der ,lehrer schreibt nur   
eine #ad an den ,rand2  er lsst1 wenn   
die ,exempel falsch sind1 ,proben       
machen1 gibt auch  gelegentlich dasselbe
 ,exempel mit anderen ,zahlen1 manchmal 
gibt er  selbst die ,lsung an1 die      
mitunter ganz anderen ,gebieten der     
,mathematik  angehrte4 ,daneben kommen  
auch ,fehler genug auf ,rechnung des    
,schreibers  ,jamesu4    ,die ,ansicht  
,revillouts ist schon an und fr sich    

wahrscheinlich1  da die grosse ,mehrzahl
 der auf uns gekommenen ,papyri         
,schlerhefte  waren4 ,es gab schon im   
alten ,reiche ein ausgebildetes         
,schulwesen4 ,die  ,schulen a-sbo waren 
teils staatliche1 teils private4 ,sie   
waren ganz  und gar realistisch4 ,ihr   
,zweck war nicht die formale            
,geistesbildung1  an toten ,sprachen    
abgezogen1 sie bersetzten nicht ihren   
,julius ,csar  ,shakespeares ins        
,lateinische1 um denselben den ,rmern   
zugnglich zu  machen1 sondern sie hatten
 ,fachschulen1 ,schulen fr ,ackersleute1
  fr ,baumeister1 fr ,feldmesser1 fr    
,intendanten1 fr ,kaufleute etc4  ,unser
 ,heft entstammt einer                  
landwirtschaftlichen ,schule4 ,der      
,schreiber  schliesst es mit den        
,worten3 ,fange das ,ungeziefer und die 
,muse1  vertilge das ,unkraut aller     
,art4 ,bitte ,gott ,re um ,wrme1 ,wind  
und hohes  ,wasser4    ,das letzte war  
die ,hauptsache4 gypten1 sagt ,herodot1 
ist ein ,geschenk  des ,niles1 wurde    

doch die ganze straffe ,zusammenfassung 
des ,volkes  unter einen ,knig durch die
 ,notwendigkeit dem gewaltigen ,strom   
mit  vereinten ,krften zu wehren1       
unabweisbar2 damit das ,jahr gut war1   
musste die ,nilhhe am ,pegel von        
,memphis #af ,ellen1  #j1ech m1         
betragen4  ,bei #ah ,ellen war es ein   
gesegnetes1 was darber war1 war         
schdlich4  ,aber auch abgesehen von dem 
,spruche1 bezeugt es der ,inhalt des    
,heftes2  die ,beispiele sind zum       
weitaus grssten ,teil direkt fr den     
,gebrauch  des ,landmanns bestimmt4 ,ein
 nicht unwichtiges ,argument fr         
,revillouts  ,ansicht gab mir ,herr     
,spiegelberg an4 ,der ,papyrus soll     
nmlich  vorzglich erhalten sein1 was    
usserst unwahrscheinlich ist bei einem  
viel gebrauchten ,handbuch4             
gyptische ,arithmetik4      ,das        
,zahlensystem der gypter ist dekadisch4 
,die ,ziffern sind fr die  ,einer       
,striche 9999symbol1 fr die ,zehner     
9999symbol1 fr die ,hunderter           

9999symbol1 fr die ,tausender           
9999symbol1 fr die ,zehntausender       
9999symbol1 fr die ,hunderttausender    
9999symbol4 ,die grssere ,zahl geht  der
 kleineren vor1 z4 ,b4    ,illustration 
gleich #bab1fce4    ,in den             
,stundenangaben und ,datierungen werden 
die ,einer auch noch durch  horizontale 
,striche bezeichnet4    ,illustration   
,in monumentalen ,einmeisselungen stehen
 die ,zahlen auch vertikal1 wie  z4 ,b4 
die ,zahl #geea1 die in der             
,schenkungsurkunde auf der ,tempelmauer 
von ,edfu vorkommt4 ,fr #e kommt auch in
 hieroglyphischen ,ziffern  9999symbol  
vor4    ,die lautliche ,bezeichnung1    
soweit sie feststeht1 ist fr #a wa1 fr  
zwei meist die ,dualform vom ,stamme sen
 ,bruder1 nmlich der eins4 ,die  #e1    
dua1 heisst ,hand1 wie im ,indischen und
 ,mexikanischen und wird auch  meist    
durch eine ,hand determiniert4          
,umgekehrt wird z4 ,b4 ,handwerker      
dargestellt durch fnf ,striche1 dahinter
 ,mann und ,frau4 ,die #aj 7met7  wird  

durch den ,phallus 9999symbol           
geschrieben1 der denselben ,lautwert    
met hat4 ,das ,zeichen fr #ajj          
7vielleicht schent71 eine ,schlinge1    
ist vom zusammengerollten ,seil von #ajj
 ,ellen hergenommen1 #ajjj  7cha7 ist   
die so hufige ,lotosblume1 deba1 d4 i4  
#ajjjj1 ist ,finger1  ,zeichen und ,wort
 fr #ajjjjj ist die ,kaulquappe hafen1  
welche nach der  berschwemmung im       
,nilschlamme in ungeheuren ,mengen      
vorkommt4 ,als der  ,handel im ,delta   
ausserordentlich entwickelt war1 im     
neuen ,reiche gab es  auch ,zeichen fr  
,millionen und ,zehnmillionen4 ,die     
,zeichen kommen schon  frher vor1 sie   
werden dann aber meist1 wie das         
griechische ,myrioi1 fr  unendlich      
gebraucht4 ,der ,gott verspricht dem    
,knige nicht ,millionen  ,jahre1 sondern
 ewiges ,leben4    ,es gab seit der     
ltesten ,zeit ein ,zeichen fr #j nen1   
nichts4    ,nen ist zugleich die        
grammatische ,negation1 die             
,hieroglyphen  9999symbols stellen      

vielleicht eine im ,gleichgewicht       
befindliche ,wage1  vielleicht zwei     
gleichmssig ausgestreckte ,arme1        
9999symbol auch  ,schulter1 ,arme und   
abwinkende ,hnde4 ,determiniert wird nen
 durch das  ,zeichen des ,bsen1         
richtiger des ,ungemtlichen1 ein ,vogel1
 der unserem  ,spatz hnelt 9999symbol4  
,ob die #j vor der ,ptolemer ,zeit als  
,zahl  angesehen wurde1 steht nicht     
fest1 als ,ziffer war sie berflssig1 und
  als ,zahl der ,zahlenreihe1 wie wir   
gleich hervorheben1 nicht mglich4       
,die ,ordinalzahlen werden gebildet     
durch ,anhngen der ,silbe nu  9999symbol
 an die ,kardinalzahl und spter durch   
,vorsetzen von mh  vollmachen1 also der 
die #e vollmacht1 d4 i4 eben der fnfte2 
im  ,koptischen die ausschliessliche    
,ableitung4    ,zu der aufsteigenden    
,zahlenreihe bildeten die gypter auch   
die  absteigende #a_/b1 #a_/c1 #a_/d    
usw41 indem sie ber die ,kardinalzahl   
die  ,partikel ro 9999symbol setzten4   
7,eine ,ausnahme bildet #a_/b1 welches  

mit ,hlfte 9999symbol geschrieben wird47
 ,ro ist das ,zeichen fr ,mund1  das zur
 ,prposition geworden ist und in etwas  
hinein etc4 bedeutet1  auch distributiv 
pro ,tag etc4 bedeutet4 ,im             
,hieratischen ist es zu  einem einfachen
 ,punkt verkrzt worden1 es sind ganz    
hnliche ,gedanken1  und wunderbarerweise
 auch im ,hieratischen dieselbe         
,bezeichnung wie  bei den ,indern1 die  
die absteigende ,reihe als ,reihe der   
negativen  ,zahlen gebildet haben4 ,der 
gypter fasst #c auf als #c  #a und dem  
entspricht die ,zahl1 welche dreimal    
genommen #a gibt4 ,mit dieser           
,auffassung der ,zahlenreihe hngt die so
 eigentmliche und gnzlich               
missverstandene gyptische               
,bruchrechnung1 mit der der ,papyrus    
,ames  beginnt1 aufs innigste zusammen4 
,da heisst es z4 ,b4 noch in einer      
grossen ,abhandlung von #ahie eines um  
die ,geschichte der ,mathematik  sehr   
verdienten ,philologen1 nmlich bei ,f4  
,hultsch3 die gypter  kannten keine     

gemeine ,bruchrechnung1 sondern nur eine
 ,teilung in  der ,einheitsreihe4 ,die  
,rechnung war fr die gypter erst zu     
,ende  gefhrt1 wenn sie den ,quotienten 
in ,zahlen ihrer ,zahlenreihe1 d4 h4  in
 ganze ,zahlen oder ,stammbrche aufgelst
 hatten4 ,ihre ,zahlenreihe  war ihnen  
so gelufig1 wie uns die unsrige und wie 
wir scheinbar immer  mit ,brchen1 mit   
konstantem ,nenner #aj rechnen und die  
,resultate nur  bersehen1 wenn sie uns  
in ,dezimalbruchform vorliegen1 so      
rechneten  die gypter scheinbar nur mit 
,brchen1 mit dem konstanten ,zhler  #a4 
,dass aber dem gypter gemeine           
,bruchrechnung samt ,generalnenner1     
reduzieren1 erweitern etc41 vllig       
vertraut war1 geht aus den ,papyri      
,ames1 denen vom ,kahun1 von ,achmin    
aufs klarste hervor4 ,sie scheuten      
nicht einmal vor ,doppelbrchen4 -- ,eine
 ,ausnahme bildet der ,bruch #b_/c1  der
 auch bei den ,griechen sein eigenes    
,zeichen hat4 ,er heisst neb  9999symbol
 oder 9999symbol4 ,griffith fasst ihn   

als #a_/a4 ,hier war die                
,zusammensetzung aus  und #a_/f eben    
jedem gyptischem ,kinde gelufig4  ,aber 
ich bin hier schon bei der ,division4   
,die ,addition wird bezeichnet  durch   
vorwrtsschreitende ,beine 9999symbol1   
die ,subtraktion durch #b               
rckwrtsschreitende ,beine 9999symbol1 es
 werden auch verba gebraucht1  die      
addieren1 hinzulegen1 hinzufgen bezw4   
zurckkehren1 ausgehen  bedeuten2 bei    
mehreren ,summanden wird die ,summe     
durch eine eigene  ,hieroglyphe         
bezeichnet3 9999symbol1 eine            
,papyrusrolle1 das ,determinativ  fr    
alles ,abstrakte4    ,sidenote3         
,arithmetik der gypter1 ,abschnitt #a   
des ,papyrus ,ames4    ,die             
,multiplikation wird durch das ,wort uah
  vervielfltigen1  eingeleitet2 die     
,division durch nis  teilen1 richtiger  
knden1  klarmachen4 ,die ,division war  
wie die unsrige ein ,einschliessen  in  
,grenzen und wird durch ,multiplikation 
und ,kenntnis des #a  #a  erleichtert4  

,die #a  #a-,tabelle kommt im ,ames     
nicht vor1 sie wird  als bekannt        
vorausgesetzt4 ,hultsch hat das kleine  
#a  #a nach den  ,andeutungen des ,ames 
rekonstruiert4 ,der ,papyrus lehrt      
zunchst die  ,bruchrechnung und beginnt 
mit der ,zerlegung der ,brche von #b_/c 
bis #b_/ii  in ,stammbrche inklusiv     
#b_/c4    ,regeln werden weder hier noch
 sonst irgendwo im ,buche angegeben2    
eine  ,ausnahme macht nur die eine      
,regel in ,n4 #fa;a3 #b_/c zu machen von
 einem  ,bruch 7gebrochenen ,teil74     
,wenn dir gesagt ist3 ,was ist #b_/c von
 #a_/e1 so  nimm seine ,hlfte und seinen
 #f4 ,teil1 das ist sein #b_/c3 ,also   
ist es zu  machen in gleicher ,weise fr 
jeden gebrochenen ,teil1 welcher        
vorkommt4  ,cantor hat den ,schlusssatz 
missverstanden1 er meint1 er bezieht    
sich  darauf1 dass #b_/c durch irgend   
einen andern ,stammbruch ersetzt werden 
knne1 whrend die ,verallgemeinerung sich
 auf #a_/e bezieht1 ,c4 sieht  hierin   
die allgemeine ,vorschrift #b_/u1 wo u  

eine ungerade ,zahl ist1  zu zerlegen in
 #a_/7u_/#b  #a_/b7  #a_/77u_/#b        
#a_/b7u71 die unzweifelhaft1  darin hat 
er recht1 zur ,zeit des ,papyrus bekannt
 war4 ,aber es werden  auch andere      
,formeln fr das an sich unbestimmte     
,problem benutzt1 z4 ,b4  wenn p und q  
ungerade ,zahlen sind1 also #a_/b 7p  q7
 eine ganze ,zahl n3  #b_/7p  q7        
#a_/7pn7  #a_/7qn74 ,meist wird dafr    
gesorgt1 dass der erste  ,bruch einen   
geraden ,nenner hat1 weil dies die ntige
 ,zusammenfassung  bei grsseren         
,dividenden als #b erleichtert4 ,die    
,tabelle enthlt nur  ungerade ,zahlen1  
weil eben den gyptern die ,reduktion    
vllig bekannt  war4    ,sidenote3       
,zerlegung in ,partialbrche4    ,ferner 
wird mglichst dafr gesorgt1 dass die    
,zahl der ,stammbrche so  klein als     
mglich4 ,im ,papyrus ,ames werden als   
,anfangsnenner ausser #b  und #c nur    
teilbare ,anfangsnenner der ,reihe      
zugelassen1 nur einmal kommt  #e vor4   
,im ,papyrus von ,achmin ist diese      

,beschrnkung aufgehoben1 um  die ,zahl  
der ,stammbrche zu verkleinern4 ,jede   
,zerlegung ist von einer  ,probe1 smot  
-- der ,beweis genannt1 begleitet4 ,der 
,beweis1 d4 h4 die  ,probe1 zeigt hier  
schon1 wie vllig die ,beherrschung der  
,bruchrechnung  war1 z4 ,b4 #b_/ag      
7,anfang der #b4 ,kolumne7 nis son      
chent1 d4 h4 mache  deutlich #b durch1  
z4 ,b4 #ag1 hieroglyphisch3 7nis son    
chent met sefech7    9999symbols        
,verdeutliche #b_/ag3 #a_/ab #a_/ea     
#a_/fh      smot #a-a_/c #a_/ab #a_/c   
#a_/d 7,,nb4 #ag_/ab i4 #a-a_/c  #a_/ab7
    ,der ,beweis -- smot 9999symbols    
genannt --1 besteht darin1 dass gezeigt 
wird1 dass #a_/ab der #agte ,teil von   
#a-a_/c #a_/ab oder #a-a_/d #a_/f ist   
und von  dem was noch an #b fehlt1      
nmlich #a_/c  #a_/d1 der #agte ,teil    
#a_/ea und #a_/fh  ist4    ,sidenote3   
,abschnitt #b3 ,zerlegung in            
,zehn-,teile4    ,es folgen dann als #b4
 ,abschnitt die ,dezimalteilungen der   
,zahlen von  #a-i1 eingekleidet als     

,verteilung von ,broten2 die            
,dezimalteilung war  besonders fr die   
,feldteilung wichtig1 #a #c #f #g #h #i 
werden geteilt1  da #b_/aj1 #d_/aj und  
#e_/aj schon in der vorigen ,tabelle    
vorkommen4 ,nur  das letzte der         
,beispiele ist vollstndig erhalten3     
,geben ,brote #i an  ,personen #aj4     
,verfahre wie geschieht1 vervielfltige  
#b_/c #a_/e #a_/cj mit #aj4    ,brot hot
 statt t 9999symbol4 ,um mit #aj zu     
multiplizieren wird mit  #b             
multipliziert1 das zweifache mit #b1 und
 das wieder mit #b und das  zweifach und
 achtfache addiert4                     
9999symbols    _/44 9999symbols 7#a-b_/c
 #a_/aj #a_/cj als zweifaches von #b_/c 
#a_/e #a_/cj7      7#d47 #c #a_/b #a_/aj
    _/ 7#h47 #g #a_/e    ,zusammen #i   
,brote1 welche es sind2 fr zusammen     
9999symbol    ,m4 ,h4 es dauert eine    
ganze ,weile bis wir die ,zerfllungen in
 #b und #d  ausfhren4 ,der gypter       
zerlegt #d_/c in #a-a_/c und #b_/e      
#a_/ae  #a_/c  #b_/ae  und #b_/ae       

#a_/aj  #a_/cj4    ,die gypter wussten  
in ihren ,tabellen vorzglich ,bescheid1 
genau wie  wir mit unserm ,einmaleins4  
,wenn man sich bt1 findet man1 dass der 
,unterschied mit unsern ,methoden       
keineswegs so gross ist4    ,sidenote3  
#c3 ,sequem- oder ,ergnzungsrechnung4   
,die ,tabelle verlangt nun vielfach     
,subtraktion einer ,anzahl von ,brchen  
und ,division einer ,zahl durch eine    
,summe von ,brchen4 ,dazu dient die  im 
#c4 ,abschnitt gegebene ,sequemrechnung 
-- von quem  vollenden -- das  ,causativ
 also3 ,vollende1 ergnze2 quem allein   
kommt auch vor in ,no4 #ba  b1 #bb b1   
#cg e #a4    ,ich greife die beiden     
letzten ,beispiele heraus1 ,no4 #bb3    
9999 symbols                            
7#cj ist m' b 9999 symbol2    sequem m  
neb ro sa em u    statt m ist richtiger 
mi7      ,ergnze #b_/c #a_/cj zu #a4    
#bj   #a    7zu ergnzen ist der         
gemeinsame ,nenner #cj1 die gypter      
beherrschten  die ,bruchrechnung        
vollstndig1 samt ,gleichnamigmachung1   

,krzen etc47  lege zu seinen            
,unterschied1 nmlich #i2 ,zeichen des   
,unterschieds ist  9999symbol gelesen   
chomt1 vervielfltige die ,zahl #cj zu   
vollenden #i4              #cj          
#a_/aj  #c       #a_/e   #f             
-------    zusammen #i    ,es sollen    
hier #b_/c und #a_/cj zu #a ergnzt      
werden2 es sind auf den ,nenner  #cj    
gebracht #bj und #a ,dreissigstel2 es   
fehlen also #i und #i_/cj sind dann     
zerlegt in #a_/aj und #a_/e womit das   
,resultat eben aussprechbar1 d4 h4      
deutlich fr den gypter gemacht ist4     
,no4 #bc3      9999symbols    #a_/d     
#a_/h #a_/aj #a_/cj #a_/de sequem em neb
      9999symbols    cher     em  uah   
hi--f  ir neb      und #a_/i #a_/dj im  
,hinzufgen zu ihm macht #b_/c4    ,als  
,generalnenner wird #de gewhlt und die  
,zhler der ,doppelbrche  werden in      
,stammbruchform geschrieben1 wobei noch 
#a_/h hinzugefgt wird4      #a_/d       
#a_/h       #a_/i #a_/aj  #a_/cj  #a_/dj
  #a_/de #a_/c 9999symbol #a    #aa-a_/d

 #e-a_/b #a_/h #e   #d-a_/b #a-a_/b     
#a-a_/h #a    #ae  macht #a      #d4    
,abschnitt4    ,sidenote3 ,abschnitt #d3
 ,gleichung ersten ,grades              
7,hau-,rechnung74    ,die ,haurechnung  
oder die ,lsung von ,gleichungen ersten 
,grades4 ,no4  #bd-ch4    ,die ,nummern 
#bd-cd sind ,zahlengleichungen2 die vier
 letzten ,aufgaben  beziehen sich auf   
,teilung des ,getreidemasses auit4 ,die 
,unbekannte  heisst hau1 d4 h4 ,haufen1 
also eine unbestimmte ,menge1 analog dem
 cosa  irgend ein ,ding der             
italienischen ,mathematiker der         
,renaissancezeit4  ber die ,lsung der   
,gleichungen entstand ein ,streit       
zwischen  ,j4 ,rodet1 dem bekannten     
franzsischen ,orientalisten1 speziell   
,sanskritisten und ,m4 ,cantor1 in dem1 
wie so hufig beide recht und  beide     
unrecht haben4 ,rodet meint1 die gypter 
hatten die regula falsi  benutzt1       
,cantor sagt1 sie htten gerade so wie   
wir operiert4 ,c4 selbst  bemerkt ganz  
richtig1 dass bei den ,gleichungen      

ersten ,grades beide  ,methoden schwer  
zu unterscheiden sind4 ,ich nehme das   
erste ,beispiel3    ,haufe1 sein        
,siebentel1 sein ,ganzes1 es macht #ai2 
also x_/#g  x  #ai4  ,es ist schwer zu  
sagen1 rechnet der gypter x7#a_/g  #a7  
x #h_/g  #ai2  x_/#g  #ai_/h  x  #ai_/h 
#g oder setzt er probeweise fr x #g1    
wonach er  als ,summe #h statt #ai      
bekommt und somit den                   
,proportionalittsfaktor #ai_/h  erhlt   
und damit seinen ,probewert             
multipliziert4    ,die ,rechnung sieht  
so aus3      _/4 #g       4 #h    _/    
#a_/d #b  _/4  #b-a_/d #a_/h  7n4 b4    
#ai_/h das ist der    _/ #a_/g #a  _/44 
#af   _/ #a_/h #a  _/44 #d-a_/b #a_/d   
,proport4-,faktor7             #a_/b #d 
_/ #d4 #i-a_/b    nun kommt die stehende
 ,formel3      9999symbols rt m cheper1 
tue wie folgt3    ,der ,hau #af-a_/b    
#a_/h 7,probe7 #a_/g 3 #b-a_/d #a_/h    
9999symbol 7zusammen7 #ai4    ,vom      
,beispiel ,no4 #bh an kann man aber     
nicht mehr gut von einem  unmittelbaren 

,probieren reden zum ,beispiel ,no4 #cb3
 x_/#c  x_/#d  x  #b4  ,es wird #a #a_/c
 #a_/d multipliziert bis das ,ergebnis  
#b ist1 d4 h4 es wird x  ausgeklammert  
und mit #a #a_/c #a_/d in #b dividiert4 
,unter den ,beispielen sind einige recht
 komplizierte1 z4 ,b4 ,no4 #bh  und sie 
liefert zugleich ein ,beispiel fr die   
,schwierigkeit der  ,entzifferung4 ,die 
,aufgabe lautet3      9999symbols    neb
 em iw ro chomt em n met uta    #b_/c im
 hinzugehen #a_/c im weggehen #aj sind  
aufzubewahren4    ,gemeint ist3 7x      
#b_/cx7 - #a_/c7x  #b_/cx7  #aj4    ,die
 ,rechnung ist falsch1 das ,resultat #i 
ist richtig2 die ,probe zeigt1  wie die 
,aufgabe gemeint ist4 ,noch             
komplizierter ist ,no4 #bi4 ,ein  wahres
 ,muster von ,kompliziertheit und nicht 
minder von gyptischer  ,bruchrechnung   
sind ,no4 #ca und #cc3 ,haufe sein      
#b_/c1 sein #a_/b1 sein #a_/g1  sein    
,ganzes1 es betrgt #cg4 ,es wird die    
,division mit #a #b_/c #a_/b #a_/g ganz 
direkt durchgefhrt4    ,die ,aufgabe #cj

 bersetze ich abweichend von ,eisenlohr 
und ,cantor3    ,wenn dir der ,schreiber
 7id est ,lehrer7 sagt3 #aj ist das     
,ergebnis von  #b_/c und #a_/aj1 lass   
mich den ,grund hren4    ,um die        
,division von #aj durch #b_/c  #a_/aj   
auszufhren1 wird dies zunchst  mit #ac  
multipliziert1 das gibt #i-bi_/cj2 man  
muss dann noch #a_/cj  dividieren und   
findet zum ,schluss #ac-a_/bc als       
sogenannten ,hau4    ,no4 #ce3 ,um die  
,masseinheit zu erreichen1 bin ich      
dreimal genommen  und #a_/c von mir zu  
mir1 dann bin ich zur ,einheit          
vervollstndigt4  ,diese ,aufgabe #cx    
#a_/c x  #a ist das textliche ,vorbild  
zu einer  ,menge von eingekleideten     
,gleichungen1 die sich noch bis heute in
  den ,rechenbchern finden4 ,die        
,einheit ist das ,hequatmass4 ,die      
,verteilungsaufgaben der ,fruchtmasse   
bedurften smtlich einer genauen         
,revision1 die durch ,erman #aijb und   
,schack-,schackenburg #aijd  vollzogen  
ist4    ,sidenote3 ,arithmetische ,reihe

 7,tunnu-,rechnung74    ,es folgen dann 
zwei ,aufgaben1 die als ,tunnu-,rechnung
 bezeichnet  werden1 zu denen sich      
sachlich noch ,aufgaben aus einem       
spteren  ,abschnitt gesellen1 der eine  
,anzahl praktischer ,beispiele enthlt   
und  vielleicht einem zweiten           
,schlerheft entnommen ist4 ,von         
besonderer  ,bedeutung ist ,no4 #dj3    
,brode #ajj an ,personen #e2 #a_/g der  
#c ersten an die  #b letzten ,personen1 
was ist der ,unterschied8 ,die ,rechnung
 lautet3 ,tue1  wie folgt3 7die stehende
 ,formel7 der ,unterschied #e-a_/b _/   
#bc1 #ag-a_/b1  #ab1 #f-a_/b1 #a        
9999symbol zusammen #fj4 ,vervielfltige 
diese ,zahlen #bc1  #ag-a_/b etc4 mit   
#a-b_/c1 das gibt dann #ch-a_/c1        
#bh-a_/f 444 zusammen #ajj4    ,hier    
haben wir a7 ,gleichungen mit mehreren  
,unbekannten1 b7 die  arithmetische     
,reihe1 c7 unzweifelhaft regula falsi4  
,ist der ,tunnus d  und der ,anteil des 
letzten a1 so bekommen die ,personen    
#d;d  a1 #c;d  a1  #b;d  a1 d  a1 a1 und

 es ist3 #i;d  #c;a  #g 7d  a72 also    
#b;d  #aa;a2 d   #e-a_/b a4 ,es wird nun
 als falscher ,ansatz a  #a gesetzt1    
also d  #e-a_/b  und da #ajj  #fj  #b_/c
  #fj ist1 mit dem                      
,proportionalittsfaktor #a-b_/c         
multipliziert4    ,hierhin gehrt ,no4   
#fd1 die darauf hinausluft eine         
arithmetische ,reihe  von #aj ,gliedern 
zu bilden1 deren ,summe #aj und deren   
,differenz #a_/h ist4  ,es wird wieder  
zuerst das hchste1 das letzte ,glied    
bestimmt4 ,wir haben  aus den bekannten 
,formeln3      s  n_/#b7;a  u7 und u  a 
7n-#a7;d2 u  s_/n  7n - #a7;d_/#b1    d4
 h4 also um das letzte ,glied zu        
bestimmen1 muss man den                 
,durchschnittswert s_/n bilden und dazu 
7n-#a7  d_/#b addieren1 und ganz  genau 
so verfhrt der gyptische ,rechner4      
,ich teile in der ,mitte1 gibt #a2 ziehe
 #a von #aj ab ,rest #i1 halbiere den   
,unterschied3 #a_/af1 nimm es #i mal1   
gibt #a_/b1 #a_/af1 lege es hinzu zum   
,durchschnittswert1 gibt fr u #a #a_/b  

#a_/af etc4 ,ja1 m4 ,h4 hier ist jeder  
,zweifel an der ,kenntnis der           
allgemeinen ,formeln ausgeschlossen4    
,sidenote3 ,geometrische ,reihe4    ,und
 das gleiche gilt von der geometrischen 
,reihe4 ,der fnfte und  zugleich letzte 
,teil enthlt unter ,no4 #fb-hd eine     
,sammlung praktischer  ,beispiele1      
welche sich auf ,landwirtschaft         
beziehen1 ,aichung von  ,bierkrgen1     
,futterverbrauch auf dem ,geflgelhof und
 in ,stallungen1  ,mehlverbrauch beim   
,backen1 ,lohnzahlung etc4 ,solche      
,aufgaben kommen  auch in               
,tempelrechnungen sehr vielfach vor1    
denn die gyptischen  ,priesterschaften  
hatten wie die mittelalterlichen ,klster
 grosse  ,ausgaben um das ,volk an den  
,festtagen zu bekstigen4 ,mitten hinein 
schneit dann die ,aufgabe #ai4 ,die     
,aufgabe war nach ,eisenlohr vllig      
rtselhaft4 ,es ist von einer ,sutek     
7vielleicht ,leiter8 unsre ,skala7 die  
,rede1 deren ,sprossen      #g1 #di1    
#cdc1 #bdja1 #afhjg    sind1 und bei    

diesen ,zahlen stehen ,worte1 welche    
bedeuten3 ,person1  ,katze1 ,maus1      
,gersten1 hre1 ,mass4    ,eisenlohr     
meinte1 dass dies die ,namen der #e     
ersten ,potenzen seien1  whrend doch    
erst ganz vor kurzem bei ,heron         
dynamo-dynamis fr die #d4  ,potenz      
konstatiert ist4    ,die ,rechnung sieht
 so aus3                                
#g    _/4           #bhja        #di    
_/44          #efjb       #cdc    _/444 
#aabjd      #bdjb    9999symbol  #aifjg 
#afhjg               9999symbol #aifjg  
,das ,rtsel hat ,rodet in der schon     
erwhnten ,abhandlung gelst4  ,er fand   
dieselbe ,aufgabe bei ,leonardo ,pisano 
um #abjj in dem  epochemachenden ,liber 
abaci1 das aus ,afrika stammt1 aus      
,bugia1 einer  ,pisaner ,handelsstation1
 der westlichsten von ,nordafrika4      
,die ,aufgabe heisst3 #g ,personen haben
 je #g ,katzen1 jede ,katze frisst  #g  
,muse1 jede ,maus #g hren ,gerste1 jede 
hre bringt #g ,mass 8 ist die  ,summe1  
und sie ist berechnet nach der richtigen

 ,formel3      7an - #a7_/7;a - #a7  a1 
da 7#ge - #a7_/7g - #a7  #afhjf 3 #f    
#bhja ist    wo also die ,multiplikation
 mit #g gut gyptisch vollzogen ist und  
durch  ,addition geprft wird4 ,nicht    
vielleicht1 wie ,cantor meint1 sondern  
unzweifelhaft war die ,summenformel der 
geometrischen ,reihe um #bjjj v4  ,chr4 
bekannt4 ,wir sehen ber #cjjj1          
wahrscheinlich ber #djjj ,jahre hat     
sich die ,aufgabe in den ,schulen       
,afrikas gehalten1 ein ,seitenstck zur  
,bruchrechnung4    ,aber die            
arithmetischen ,kenntnisse der alten    
gypter gingen noch  weit darber hinaus1 
was ,cantor freilich auch bei der #b4   
,auflage  vom ,dezember #ahic nicht     
wissen konnte4 ,in den von ,griffith    
#ahig  herausgegebenen mathematischen   
,papyri der ,funde ,petries in ,kahun   
fand  sich das erste ,beispiel einer    
quadratischen ,gleichung4      ,die     
quadratische ,gleichung der gypter4     
,als ,griffith die ,petriepapyri #ahig  
herausgab1 fand sich dort das erste     

,beispiel einer quadratischen ,gleichung
 auf ,tafel #h des ,papyrus4 #aijj  hat 
,schack im ,berliner ,papyrus #ffai ein 
zweites gefunden4 ,der ,papyrus  ist    
vermutlich aus dem mittleren ,reiche und
 lautet folgendermassen3 ,ein  ferneres 
,beispiel der ,verteilung einer         
gegebenen ,flche auf mehrere  ,quadrate 
wenn dir gesagt wird  #ajj ,quadratellen
 auf zwei unbekannte  ,grssen zu        
verteilen und  #c_/d der ,seite der     
einen ,grsse fr die  andere  zu nehmen  
bitte gib mir  jede der unbekannten     
,grssen an 4    ,die ,ausrechnung       
geschieht mit der regula falsi1 der     
,verfasser drckt  sie so aus3 ,mache ein
 ,rechteck von immer #a 7d4 h4 also ein 
,quadrat7  und nimm #c_/d  der          
,seitenlnge  der einen fr die andere    
dies gibt  #c_/d 4 ,multipliziere dies  
mit #c_/d das gibt #i_/af4 ,wenn so die 
eine  ,grsse zu #a die andere mit #c_/d 
genommen ist1 so vereinige diese beiden 
,grssen1 das gibt #be_/af4 ,nimm die    
,quadratwurzel daraus1 das gibt #e_/d4  

,nimm die ,wurzel der gegebenen von #ajj
 das gibt #aj4 ,teile #aj durch #e_/d1  
der ,quozient ist #h 7,zeichen3         
9999symbol auch ,zeichen der            
,differenz74  ,der ,rest ist zerstrt1   
doch ist noch soviel zu erkennen3 ,nimm 
#c_/d von  diesen #h das gibt #f4 ,hier 
haben wir also      x#b  y#b  #ajj2 x 3 
y  #a 3 #c_/d4    ,das ,beispiel des    
,kahun ,papyrus bezieht sich darauf1    
#abj kubische  ,ellen in #aj ,krper von 
der ,hhe einer ,elle so zu zerlegen1    
dass die  ,grundflchen ,rechtecke sind1 
deren ,seiten sich wie #a 3 #c_/d       
verhalten4    ,hier wrde die ,anwendung 
der regula falsi auf die irrationale    
,quadratwurzel aus #c_/d fhren4 ,der    
,verfasser verfhrt also ganz anders4    
,er geht davon aus1 dass der ,inhalt des
 ,rechtecks mit #d_/c multipliziert  das
 ,quadrat der grossen ,seite gibt4      
,illustration    ,die ,rechnung lautet3 
,dividiere #a 3 #c_/d1 das gibt #a-a_/c1
 multipliziere  #ab mit #a-a_/c1 das    
gibt #af1 die  ist #d1 das ist die ,lnge

 der einen  ,seite4 ,nimm #c_/d1 das ist
 #c4 ,hier haben wir also xy  #ab-x_/y  
#a 3 #c_/d4  ,man sieht1 beide ,male    
haben wir das ,dreieck #c1 #d1 #e bezw4 
#f1 #h1 #aj1 das  also schon um #bbjj   
den gyptern bekannt war4    ,das dritte 
,beispiel hat ,schack #aijc aus         
demselben ,papyrusfragment  entziffert4 
,es handelt sich um3      x 3 y  #b 3   
#a-a_/b und x#b  y#b  #djj4    ,wird    
dann probeweise x  #b1 y  #a-a_/b       
gesetzt1 so gibt es #f-a_/d1 die   ist  
#b-a_/b1 dies ist #a_/h von #bj1 also   
ist x  #af1 y  #ab      #af1 #ab1 #bj   
#c1 #d1 #e  #h1 #f1 #aj    ,das ,zeichen
 der ,quadratwurzel ist dem unsrigen    
nicht unhnlich  9999symbol              
,to-,erdreich1 ,grund1 auf dem etwas    
ruht8    ,in ,mitteilungen zur ,gesch4  
der ,med4 u4 ,naturw4 vom #ah4 ,april   
#aijh p4  #ccg wird diese ,hieroglyphe  
als ,gnomon erklrt1 und den alten       
gyptern  damit eine ,kenntnis des       
,quadratwurzelausziehens nach der       
,formel  7a  b7#b supponiert4 ,einem    

,sprachforscher von ,fach wre die ussere
  hnlichkeit1 ich verweise auf ,max     
,mller1 ein ,grund das ,zeichen nicht   
vom ,gnomon abzuleiten4 ,es ist bisher  
auch keine ,spur einer ,ausziehung  von 
,wurzeln aus ,nicht-quadratzahlen bei   
den alten gyptern gefunden1 so  wie die 
,babylonier haben sie die               
,quadratwurzeln 7tabellarisch87 durch   
,multiplikation von #a  #a1 #b  #b etc4 
gefunden4    ,es ist nicht              
unwahrscheinlich1 dass der ,pythagoras  
den gyptern schon  um jene frhe ,zeit   
bekannt war4      ,geometrie4           
,sidenote3 ,geometrie der gypter4       
,ich komme zur ,geometrie1 sie findet   
sich im ,abschnitt #c und #d des        
,papyrus ,ahmes1 daneben ist fr uns die 
,schenkungsurkunde des ,tempels  von    
,edfu von ,wichtigkeit1 die allerdings  
#aejj ,jahre nach ,ahmes zu  datieren   
ist2 aber auch die #ejj ,jahre lteren   
,papyri von ,kahun kommen  in ,betracht4
 ,vor allem muss ich die ,quadratur des 
,zirkels erwhnen1  ,no4 #da1 ,no4 #dh   

und ,no4 #ej4 ,sie setzen den ,kreis1   
der bald teben1  bald paut1 bald k d    
heisst gleich einem ,quadrat1 dessen    
,seite #h_/i  des ,durchmessers1 d4 h4  
sie setzten  gleich #bef_/ha  #c1afje2  
eine  bereinstimmung mit dem alten      
indischen #aj  #c1afb1 die zu denken    
gibt4 ,die ,frage1 wie sie zu diesem    
erstaunlich genauen ,nherungswert       
gekommen sind1 scheint mir unschwer zu  
beantworten4    ,sidenote3 ,quadratur   
des ,zirkels4    ,sie nahmen einen      
,zylinder mit der ,hhe h und dem        
,durchmesser d des  ,grundkreises und   
gossen ,wasser hinein und dieses ,wasser
 in ein  balkenartiges ,gefss mit dem   
,grundquadrat a#b4 ,das ,wasser stieg   
bis zur  ,hhe 1 dann hatten sie xd#b;h  
a#b und x  a#b_/;d#b  _/h1 falls a   d1 
x  _/h und fanden fr das ,verhltnis _/h1
 oder x den ,wert #fd_/ha4    ,wie      
selbstverstndlich es war1 dass man das  
,volumen eines ,gefsses von  konstantem 
,querschnitt seiner ,hhe proportional   
setzte1 das kann man  bei ,heron lesen4 

,der ,begriff des 7rationalen7          
,verhltnisses war ihnen1  wie schon die 
,rechenaufgaben des ,ahmes zeigen1 vllig
 gelufig4    ,sidenote3                 
,volumenbestimmung4    ,die ,geometrie  
beginnt mit der ,bestimmung des         
,volumens von  ,fruchtspeichern mit     
kreisfrmiger1 bezw4 krummliniger und    
rechteckiger  ,grundflche1 z4 ,b43 ,ein 
rundes ,fruchthaus von #i ,ellen ,hhe in
 der  grssten ,ausdehnung und #f ,ellen 
,breite1 wieviel ,getreide geht hinein8 
,es wird1 wenn statt #i l und statt #f h
 gesetzt wird1 gerechnet nach der       
,formel      7#d_/c  #h_/i l7#b  #b_/c  
h4    ,sidenote3 ,halbkugel4    ,es lsst
 sich mit diesen ,beispielen nicht      
allzuviel anfangen1 die  ,abbildungen   
fehlen und alle nheren ,angaben ber die 
,beschaffenheit der  ,haufen4 ,aber     
schon ,eisenlohr bemerkt3 sollte unserm 
,rechner die zur  ,bestimmung der       
,halbkugel ntige ,formel r#b #b_/c r    
vorgeschwebt haben8    ,ich komme damit 
auf die ,berechnung der ,kugel1 bezw4   

,halbkugel4    ,im ersten ,hefte der    
,kahunpapyri auf ,tafel #h ist eine     
,figur gezeichnet1  die der ,herausgeber
 der ,petriepapyri ,griffith richtig    
umschrieben und  gelesen hat1 deren     
,deutung er aber nicht gefunden zu haben
 bekennt4 ,er  sagt1 es scheint sich um 
den ,inhalt eines kreisfrmigen          
,fruchthaufen zu  handeln1 dessen ,hhe  
#ab und dessen ,durchmesser #h ist4 ,er 
hat sich durch  eine ,zahl #ab1 welche  
ber der ,figur steht1 und die zur       
,rechnung gehrt1  tuschen lassen1 sonst 
wre er wohl selbst darauf gekommen1 dass
  wir hier die ,zahlenrechnung zur      
,ermittelung eines halbkugelfrmigen     
,getreideschobers von #h ,ellen         
,durchmesser vor uns haben4 ,die ,figur 
zeigt  einen ,kreis1 neben dem links #h1
 der ,durchmesser in ,ellen1 steht1 und 
in  dem #acfe-a_/c der ,inhalt zu lesen 
ist4                #ab      9999symbol 
#a    #acfe-a_/c   _/ #a 4  #bef        
,in unserer ,rechnung3      #h          
#b 44 #eab         #h 4 #c_/b      #ab  

#b_/c      #h       _/ #d 4 #ajbd       
#ab 4 #d_/c      #af    _/ #a_/c      #d
      _/ #a_/c4   #he-a_/c    #af 4 #af 
#bef    zusammen  #af  9999symbol       
#acfe-a_/c   #bef 4 #e-a_/c  #acfe-a_/c 
_/ #a       #af    _/#aj      #afj    _/
 #e       #hj    ,heute d#c_/ab         
#acd1jda ,kubikellen  #acdj1da4         
zusammen #bef    ,abgesehen von dem     
,fehler fr  ist also der ,inhalt in     
#a_/aj ,kubikellen  ausgedrckt4 ,was    
dieses ,mass betrifft1 so ist es eine   
ganz natrliche  bereinheit4 ,das        
,haupthohlmass ist das ,hin2 die        
,kubikelle  #cbj ,hin1  die ,elle       
#j1ebfm ergibt fr das ,hin #j1dee       
,liter1 #cb ,hin sind #ad1fa  ,liter1   
ungefhr #a_/b ,scheffel4 ,das ,hin wurde
 geteilt in #a_/b #a_/d #a_/h #a_/af    
#a_/cb1 es ist also #cb ,hin als        
bereinheit durchaus gerechtfertigt4     
,die ,rechnung ist3      7d-#c_/b 4     
#d_/c7b 4 #b_/c d  #cb;d#c_/ab4         
,sidenote3 ,ausmessung eines grossen    
,haufens durch kleines ,mass4    ,der   

,fehler bleibt unter #b1 fr  ergibt sich
 #c1b4 ,dies ist ungenauer  als im      
,handbuch1 wo   #c1af ist1 aber         
,borchardt1 der ,erklrer1  setzt ganz   
richtig hinzu3 ,dies ,resultat ist durch
 hufiges wirkliches  ,ausmessen solcher 
halbkugeligen ,haufen gewonnen worden4  
,dabei waren  viele ,beobachtungsfehler 
unvermeidlich4 ,die mathematische ,form 
der ,haufen war kaum herzustellen1 die  
,hohlmasse 7#cb ,hin7 waren  recht      
ungleich gefllt und endlich lassen sich 
von einem grossen  ,getreidehaufen      
infolge des grsseren ,druckes und       
dadurch veranlassten  dichteren         
,lagerung in seinem ,innern in praxi    
mehr kleinere ,hohlmasse  fllen als man 
theoretisch rein nach der               
,volumenvergleichung erwarten  sollte1  
da sich im kleineren ,masse die ,krner  
naturgemss loser lagern4    ,die        
,aufgabe zu ermitteln1 wieviel kleine   
,masse sich aus einem gegebenen  grossen
 fllen lassen1 gibt so gefasst noch     
unsern heutigen  ,mathophysikern ,rtsel 

auf4 ,davon knnen ,sie sich berzeugen1  
wenn ,sie  z4 ,b4 die ,correspondence   
,quetelet nachlesen1 wo das ,problem    
fter  behandelt wird4 ,daher ist es gar 
nicht zu verwundern1 dass die gypter    
sie nicht aufs ,haar lsen konnten4 ,ich 
weise aber noch auf einen  ,umstand hin1
 der mir ganz besonders wichtig scheint3
 der ,nherungswert  #c1b fr  passt      
vorzglich fr die bereinheit #cb ,hin4   
,sidenote3 ,ausmessung der ,dreiecke und
 ,trapeze4    ,der #c4 ,abschnitt des   
,ahmes1 der eigentlich geometrische     
,teil1  handelt von der ,ausmessung der 
,felder1 kreisfrmiger1 dreieckiger1     
trapezfrmiger1 und solcher1 die in      
,dreiecke und ,trapeze zerlegt  werden4 
,eisenlohr fasst auf ,grund der         
,autoritt ,m4 ,cantors und des  grossen 
gyptologen ,rich4 ,lepsius1 was mir     
beinahe unfassbar ist1  die ,dreiecke   
und ,trapeze als gleichschenklige1 und  
vindiziert den  gyptern den groben      
,fehler1 das gleichschenklige ,dreieck  
zu bestimmen  als halbes ,produkt der   

,grundlinie und des ,schenkels1 und das 
,trapez  als ,produkt der ,mittellinie  
mit dem ,schenkel statt der ,hhe1 und   
diesen  ,fehler sollten sie bis nach    
,christi1 hunderte von ,jahren nach     
,euklid  und ,heron begangen haben1 und 
,cantor hat mit dem ,starrsinn des      
,alters  an seiner ,auffassung          
festgehalten1 trotz der ,kritik         
,revillout's  in der ,revue gyptologique
 von #ahhb und der davon ganz           
unabhngigen  ,borchardt's1 die darauf   
hingewiesen haben1 dass die ,figuren    
ganz rohe  ,handzeichnungen sind1 wie   
,sie z4 ,b4 bei ,nr4 #dh 7,figur7 sich  
berzeugen  knnen1 wo statt des ,kreises 
ein rohes ,achteck gezeichnet ist4 ,die 
,dreiecke sind 7,figur71 wie ,sie       
ebenfalls sehen1 mindestens so gut      
rechtwinklig wie gleichschenklig4       
,illustration    ,m4 ,h41 es ist an sich
 unwahrscheinlich1 dass die gypter      
solche groben  ,fehler begangen haben4  
,aus den von ,wilke mit unendlichem     
,fleiss  gesammelten ,ostraka1 d4 s4 im 

wesentlichen ,steuerquittungen auf dem  
billigsten ,material1 auf ,tonscherben1 
wissen wir1 dass es eine eigene  ,steuer
 gab4  4    ,sidenote3 ,widerlegung der 
,lepsius-,cantor'schen ,formel4    ,die 
gypter besassen nachweislich im alten   
,reich eine ,reichsbank1  sie hatten    
eine ,plankammer1 sie hatten statt des  
,tabakmonopol das  lmonopol4 ,jedes     
,fleckchen1 wo ein lbaum stand1 wurde   
vermessen1 jedes  ,stckchen ,weizenland1
 von dem eine ,naturalabgabe fr die     
,ernhrung  der ,truppen erhoben wurde1  
desgleichen4 ,sie haben von den         
jhrlichen  ,nachmessungen unter         
,sesostris gehrt2 und dann sollen solche
 groben  ,irrtmer begangen worden sein6 
,ich kann ,ihnen fr ,revillouts und     
,borchardts ,auffassung einen           
schlagenden ,beweis geben2 hier sehen   
,sie die ,figur im ,codex               
konstantinopolitanus1 der #aijc von     
,schne  edierten ,metrica des ,hero1 da 
haben ,sie zwei ,figuren zur ,ableitung 
des sogenannten erweiterten ,pythagoras4

 ,die ,hhen sind gefllt und  die ,winkel
 der ,figur weichen vom rechten ,winkel 
weit erheblicher ab  als die des ,ahmes4
 ,man kann gegen die ,ostraka einwenden1
 sie stammen  grsstenteils aus der ,zeit
 der ,ptolemer2 ja1 m4 ,h4 wer den      
,charakter  der gypter kennt1 und nicht 
nur den der gypter1 dem wird klar sein1 
dass die ,steuergesetzgebung so wenig   
wie der ,totenkult und das ,erbrecht    
gendert werden konnte4    ,wenn         
,alexander sich zum ,sohn des ,amon     
machen liess1 so tat er es  wahrlich    
nicht aus ,grssenwahn1 sondern genau so 
wie vor ihm die  ,hyksosknige1 weil das 
,volk seinen ,pharao nur als ,sohn des  
,gottes  anerkannte4    ,und was die    
,steuern betrifft1 als wir #ahgj die    
elsssische ,verwaltung  einrichteten1   
sagte der ,oberprsident von ,mller die  
,fenstersteuer1  das ,enregistrement1   
das ganze ,steuersystem ist miserabel1  
aber wir  rhren nicht daran1 die ,leute 
sind daran gewhnt4    ,cantor sttzte    
sich bei seinem ,widerstand1 ich mchte  

sagen  ausschliesslich1 auf die         
,schenkungsurkunde des ,tempels von     
,edfu1 dessen  ,grundlegung1 wie        
,dmichen nachgewiesen am #bc4 ,aug4 #bcg
 v4 ,chr4 von  ,ptolemus ,,xi1          
,alexander ,i1 ,philometor genau in der 
schon geschilderten  ,weise vollzogen   
ist4 ,die ,schenkungsurkunde nimmt einen
 grossen ,teil der  ,aussenwand der     
stlichen ,umfassungsmauer des ,tempels  
ein4 ,der gesamte  ,text #afd ,kolonnen 
ist auf #h grssere ,felder verteilt1 von
 denen1  als ,cantor seine erste        
,auflage schrieb1 nur die drei ersten   
durch  ,lepsius publiziert waren4 ,es   
werden von den ,feldern von #fj         
,kolonnen  die ,masse angegeben1 z4 ,b4 
#bb  #bc   #d  #d oder #ij etc4    #ae  
#ae   #c-a_/b  #b-a_/b #a_/d #a_/af     
#a_/cb oder #dg-a_/b #a_/h #a_/af4      
7nicht stimmend #dg1 #a_/b 4 #a_/af     
#a_/fd7 richtiger ,wert #dg1effdbe4     
,sidenote3 ,lepsius-,cantor'sche        
,formel4    ,lepsius hat nun gefunden1  
dass diese ,vierecke nach der ,formel   

7a  b7_/#b  7c  d7_/#b berechnet wurden1
 wo a und b das eine ,paar              
,gegenseiten1 c und d das andere ,paar  
ist4 ,es kommen1 wie es  scheint1 ein   
ganzer ,teil ,rechtecke vor1 ein anderer
 ,teil sind  ,trapeze1 dazwischen       
,dreiecke1 die als ,vierecke1 deren eine
 ,seite #j  ist1 aufgefasst werden4 ,in 
dieser ,auffassung liegt soviel von der 
,philosophie der ,null1 die hier als    
,grenzbegriff gefasst ist1 dass ich     
,cantor nicht zustimmen kann1 wenn er   
sagt3 an eine ,zahl #j ist in keiner    
,weise zu denken4    ,sidenote3 #j als  
,grenze4    ,gewiss1 eine ,ziffer #j    
hatten sie nicht1 brauchten sie auch    
nicht2  aber dass sie mit #j rechneten1 
dass ihnen der ,zahlencharakter der     
,null bekannt war1 samt dem             
,grenzbegriff und dem sogen4            
,arbogast'schen  ,prinzip1 das geht doch
 zur ,evidenz aus der ,urkunde hervor4  
,als ,cantor  aber seine zweite ,auflage
 schrieb1 da waren schon die brigen #ih 
,colonnen durch ,brugsch ,pascha        

publiziert1 und da stellt sich die      
,sache sehr anders2 die ,lepsius'sche   
,formel1 welche brigens schon fr  das   
zweite ,beispiel1 das sich bei ,lepsius 
findet1 nicht passt1 ist  hufig genug   
nicht angewandt4 ,sieht man nher zu1 so 
bemerkt man1 dass  es sich um angenherte
 ,quadratwurzelausziehung handelt4 ,ich 
habe fast  alle nachgerechnet1 die      
,fehler sind sehr gering und alle       
,angaben etwas  zu gross z4 ,b4 auf     
,tafel #f3 #b  #a-a_/b2 #a  #j als      
,inhalt #g_/h1 whrend  der richtige     
,inhalt noch nicht #f_/h ist4 ,natrlich1
 der ,knig hatte ja  ein ,interesse     
daran dem ,gott1 oder was dasselbe ist1 
seinen ,priestern  die ,schenkung       
mglichst gross darzustellen4 ,ich       
bemerke1 dass nach  meiner ,erkundigung 
nicht nur die rmischen ,agrimensoren1   
wie ,cantor  angibt1 sondern auch unsere
 heutigen1 und zwar gerade diejenigen1  
welche ber mathematische ,bildung       
verfgen1 sich das ,wurzelziehen         
tunlichst sparen1 indem sie z4 ,b4 fr3  

7#b  7      #a_/b_/ setzen4    ,aus dem 
,text der gyptischen ,aufgabe hat       
,revillout die  ,unwahrscheinlichkeit   
der ,cantor'schen ,auffassung           
nachgewiesen1 die  mit allen            
,traditionen des ,altertums in          
,widerspruch steht4 gyptische           
,baumeister wurden in der ganzen ,welt  
des ,mittelmeeres geholt1 und als       
,augustus das rmische ,reich vermessen  
liess1 nahm er dazu gyptische           
,feldmesser4    ,sidenote3 gyptische    
,trigonometrie4    ,ich komme nun zu dem
 ,bedeutsamsten und zugleich zu dem     
,seltsamsten1 was  sich im ,papyrus     
,ahmes 7#b4 ,schlerheft7 und1 muss ich  
leider sagen1 bei  ,cantor-,eisenlohr   
findet4 ,der #d4 ,teil des ,papyrus     
enthlt die gyptische  ,trigonometrie3   
,aufgabe ,nr4 #ef-fj1 ,aufgabe #ei ist  
doppelt4 ,in den fnf  ersten ,aufgaben  
heisst die ,pyramide1 die stets         
quadratische ,grundflche  hat1 mr 7nicht
 smr7 in der #f4 ,aufg4 ,nr4 #fj1 die   
von einer viel  steileren ,pyramide     

handelt -- ,borchardt vermutet einen    
,monolithen --  heisst sie in4 ,es      
kommen zwei ,abmessungen in ,betracht1  
in den ,aufgaben  #ef-ei2      a7 die   
,pir--m--s ,pirems1 woher vielleicht der
 ,name ,pyramide4      b7 die           
ucha--tebet4    und in ,nr4 #fj a7 k#cy 
--n--h r w4 b7 ,snti3 ,das ,verhltnis   
zwischen #a_/b  b 3 a heisst berall     
,sqd4    ,z4 ,b4 ,nr4 #ef4 ,berechnung  
einer ,pyramide4 ,die uchatebet ist     
#cfj1 ihre  ,pirems #bej4 ,lass mich    
ihren ,seqd wissen4 ,nimm die ,hlfte von
 #cfj1 macht  #ahj1 dividiere mit #bej  
in #ahj macht #a_/b  #a_/e  #a_/ej von  
einer ,elle4  ,eine ,elle hat #g        
,spannen1 multipliziere mit #g3 ihr ,skd
 ist #e-a_/e ,spannen4    ,nr4 #eg4     
,eine ,pyramide1 #adj ist die uchatebet1
 #e-a_/d ,spannen ihr ,skd18  die       
,pirems4 ,antwort3 #ic-a_/c4    ,nr4    
#eh4 ,pirems #ic-a_/c1 uchatebet #adj18 
,sqd4 -- ,antwort3 #e-a_/d wiederum4    
,die ,rechnung enthlt wieder einen      
groben ,fehler des ,schreibers4    ,nr4 

#ei a4 ,pirems ist #ab1 uchatebet #h8   
,sqd4 ,antwort wieder #e-a_/d4    und   
,nr4 #ei b4 ,kontrollaufgabe1 uchatebet 
gefragt1 ganz verworren  abgeschrieben4 
,resultat #d statt #h1 wenn die eine    
,linie #ab und der ,sqd  #e-a_/d4       
,nr4 #fj4 ,ein ,in von #ae ,ellen an    
seinem ,snti und #cj an seinem k#cy--n h
 r  w4 ,lass mich seine ,skd4 wissen4   
,multipliziere #ae2 #a_/b davon ist     
#g-a_/b1  multipliziere #g-a_/b mit #d  
um #cj zu erhalten4 ,sein ,rhi ist      
#d4444 ,das ist  sein ,skd4             
,eisenlohr bemerkt ,rhi ist unklar1 was 
jedoch ohne ,einfluss auf die  ,rechnung
 ist4    ,eisenlohr und ,cantor erklren 
nun die ,pir--m--us als die             
,seitenkante und die ucha tebet als die 
,diagonale des ,grundquadrates1  whrend 
sie durch das ,koptische gezwungen sind 
die ,kaienharu als die  ,hhe und die    
snti als die ,grundlinie aufzufassen2   
sie erklren also den  ,sekt in den fnf  
ersten ,aufgaben als den ,cosinus des   
,neigungswinkels  der ,kante und        

,grundflche und in der letzten als die  
,cotangente des  ,bschungswinkels6      
,dagegen wenden sich nun ganz unabhngig 
voneinander ,revillout und  ,borchardt  
und schon ,weyr trat ihnen bei1 beide   
zunchst vom  ,standpunkt des            
,steinhauers und ,architekten2 beide    
bemerken1 dass der  ,neigungswinkel fr  
den ,steinhauer ganz wertlos4           
,illustration    ,die ,pyramide wurde in
 geraden ,abstzen gebaut1 die dann mit  
mchtigen ,steinplatten ausgefllt wurden4
 ,kannte der ,arbeiter den              
,bschungswinkel1 der an allen ,quadern  
derselbe1 dann konnte er jedes  ,stck   
richtig behauen2 der ,neigungswinkel    
ergab sich dann ganz von  selbst4       
7,figur47    ,eisenlohr erklrt ,piremus 
als die aus der ,sge heraustretende und 
seqet leitet er von qd -- hnlich machen 
-- ab und bersetzt es mit  hnlichkeit1  
besser wre wohl ,verhltnis4 ,revillout  
sagt1 piremus  bedeutet hinausgehen in  
die ,breite oder aus der ,breite und    
beides passt  fr die ,hhe der ,pyramide1

 die ,linie1 welche die ,spitze mit der 
,mitte  der ,grundlinie verbindet2      
uchatebet ist die ,basis1 und beide     
,worte  sind ,synonyma fr ,kainharu und 
senti4 ,cantor noch in dem ,brief an    
,weyr und in der #b4 ,auflage mutet den 
gyptern die ,ungeheuerlichkeit zu  zwei 
verschiedene ,funktionen mit demselben  
,namen bezeichnet zu haben4  ,revillout 
und ,borchardt sagen1 es sei stets die  
,cotangente des  ,bschungswinkels und   
nun erinnern ,sie sich daran1 dass      
gypten aus  zwei verschiedenen ,lndern  
mit verschiedener ,sprache              
zusammengewachsen  ist4 ,synonyma sind  
hufig1 wie wir aus analogen ,grnden die 
hnliche  ,erscheinung im ,englischen    
haben4 ,die ,pyramide heisst smr und in1
 der  ,kreis ,deben und kd1 der ,vater  
heisst if und atef1 der ,knig bjty und  
hk#c usw4    ,sidenote3 ,koordinaten4   
,die ,hhe ist als ,summe der            
,schichtenhhen1 ev4 auch aus der        
,schattenlnge und die ,seite des        
,grundquadrats ganz direkt messbar4 ,die

  ,diagonale muss aber berechnet werden1
 und zwar mit dem ,pythagoras4          
,eisenlohr hat die ,winkel der          
,pyramiden  und  7siehe ,figur ,s4 #ej7 
berechnet aus      cos  entweder #e-a_/d
 ,sp oder #e-a_/be und damit    cos     
#c_/d oder    #abf_/age  #ah_/be    und 
sie stimmen so ziemlich mit den ,winkeln
 der erhaltenen ,pyramiden1  was fr den1
 der weiss1 wie oft grobe ,fehler der   
,schler geringe ,fehler  im ,resultat   
geben1 nicht wunderbar ist4    ,aber    
,borchardt hat die ,neigungswinkel aus  
der ,cotangente berechnet4 ,es  sind    
dies ,winkel von #ed #ad #af2 #ec #g #dh
 7kommt #d mal vor7 und in  ,no4 #fj1   
#ge #eg #ej4    ,von diesen             
,neigungswinkeln gleicht der erste genau
 bis auf die  ,sekunde dem ,winkel an   
der sdlichen ,steinpyramide von ,daschur
 7untere  ,hlfte71 der zweite stimmt1   
ebenso haarscharf mit dem von ,petrie an
 ,ort  und ,stelle gemessenen ,winkel   
der zweiten ,pyramide von ,giseh berein 
und  der letzte ist ebenso genau der von

 ,petrie #ahib nachgewiesene ,winkel    
aus der ,mastaba von ,meidum4 ,und dass 
die ,werkleute wie die unsrigen  nach   
solchen ,vorschriften1 sogenannten      
,leeren1 arbeiteten1 das zeigen  die von
 ,petrie aufgedeckten ,winkelmauern an  
den ,ecken der ,mastaba ,no4  #ag zu    
,meidum4    ,diese ,eckwinkelmauern     
zeigen wie die ,erbauer der ,mastaba    
sich die  anzulegende ,neigung der      
,winkel genau nach der in ,no4 #fj      
gegebenen  ,vorschrift aufgezeichnet    
haben4 ,damit ist die ,seqtfrage        
entschieden4  ,sekt ist die ,cotangente1
 rhi vermutlich nichts anderes als die  
,tangente1 die also den gyptern auch    
schon bekannt war4    ,das ,wort seqd   
aber leitet ,revillout von kd -- bewegen
 ab und aus dem  hapt -- ,richtscheit1  
das ein unentbehrliches ,werkzeug war2  
seine  aufrechtstehende ,kathete ist #a 
,elle1 die untere ist in #g ,spannen und
  #d ,finger geteilt1 und eine ,schnur  
wurde nach dem unteren beweglichen      
,punkte geknpft und gab dem ,arbeiter   

damit durch den sekd unmittelbar  den   
,winkel1 nach dem er seinen ,stein      
zurichtete4    ,ein ganz entscheidendes 
,moment liegt aber in der ,natur der    
,sache2 der  knigliche ,bauherr der     
,pyramide der sagt einfach1 meine       
,pyramide soll  so und so viel im       
,geviert haben und so und so hoch soll  
sie sein1 die  ,ausfhrung berlsst er    
seinem ,architekten4    ,dass die gypter
 aber mit der ,proportionalitts- und    
hnlichkeitslehre  ganz vertraut waren1  
das zeigen ihre ,abbildungen4 ,sie      
teilten die ,wand  durch ,linien in ein 
,netz von ,quadraten1 ganz wie unsere   
,ingenieure ihr  ,zeichenpapier1 und    
trugen in die einzelnen ,quadrate die   
,figuren in  entsprechendem ,massstab   
ein4 ,in dem sogenannten ,grabe ,belzoni
 zu ,biban  el ,moluk ist ein solches   
,coordinatensystem erhalten in einer    
unfertig  gebliebenen ,grabkammer ,knig 
,sety ,i41 des gewaltigsten der         
,bamessiden  nchst seinem ,sohne ,ramses
 ,,ii4    ,sidenote3 ,darstellende      

,geometrie bei den gyptern4    ,nun     
zeigen die ,bilder und ,inschriften1    
hnlich wie die japanischen1  keine      
,perspektive1 und man nahm an1 dass den 
gyptern die ,perspektive  unbekannt     
gewesen sei4 ,aber vor etwa #aj ,jahren 
wurden in ,fayum1 vom  trockenen        
,wstensand geschtzt1 eine grosse ,anzahl
 ,totenmasken1  ,portrts der            
,verstorbenen1 gefunden1 allerdings aus 
hellenistischer  ,zeit1 die meisten     
,handwerksarbeiten1 aber auch eine ganze
 ,anzahl  ,kunstwerke ersten ,ranges1   
die unsern besten ,portrts nicht        
nachstehen4  ,und dazu noch eins1 was   
ich ,ihnen nicht vorenthalten darf1 oben
 auf  dem ,pylon des ,isis-,tempels von 
,phile1 den ,ptolemeus ,,ix4 ,euergetes 
,,ii4  #aej v4 ,chr4 erneuert hat an der
 ,stelle1 von wo der ,werkmeister seinen
  ,bau am besten bersehen konnte1 sind  
in ,stein geritzt zwei ,zeichnungen     
erhalten4    ,m4 ,h4 ,nicht ,menge1     
nicht ,lambert1 nicht ,drer sind die    
,urheber der  darstellenden ,geometrie1 

hier sehen sie eine ,werkzeichnung in   
dem  ,sandstein der ,plattform des      
,pylon1 welche ,borchardt #ahgh         
aufgenommen  hat1 mit beigeschriebenen  
,massen1 ,grundriss und ,aufriss1 und   
noch  steht die ,sule1 welche genau     
danach gearbeitet ist4    ,sidenote3    
,rsum4    ,resumieren wir die gyptische 
,mathematik so weit wir jetzt davon     
wissen4    ,in der ,arithmetik hatten   
sie eine entwickelte ,fingerrechnung und
  ,rechenbretter1 auf denen sie mit     
,steinen rechneten1 kannten alle vier   
,spezies mit ganzen und gebrochenen     
,zahlen1 wussten mit ,gleichungen #a4   
und #b4 ,grades1 arithmetischen und     
geometrischen ,reihen ,bescheid und     
hatten ,nherungsmethoden fr die         
,ausziehung der ,quadratwurzeln4    ,in 
der ,geometrie war ihre ,konstruktions- 
oder ,reisskunst hoch  entwickelt4 #dbj 
v4 ,chr4 rhmte sich der grosse          
,demokrit1 dass ihn in  der ,reisskunst 
nicht einmal die gyptischen             
,harpedonapten bertrfen2  sie hatten    

eine sehr achtenswerte ,quadratur des   
,kreises1 kannten  ,symmetrie und       
,proportion1 waren mit der ,kreisteilung
 vertraut1 hatten  hnlichkeitslehre und 
,anfnge der ,trigonometrie und ,elemente
 der  darstellenden ,geometrie4         
,,ii4 ,kapitel4    ,babylonien --       
,assyrien4    ,ich wende mich nun dem   
,zuge der semitischen ,vlkerwanderung   
folgend  nach dem uralten ,kulturland1  
zwischen den grossen ,strmen ,euphrat   
und ,tigris1 zum ,zweistromland1 dem mtu
 ,pur ,pur1 nach ,mesopotamien1         
,babylonien1 ,assyrien4 ,hier kam zu den
 schon fr gypten fliessenden  ,quellen  
noch ,berossos hinzu1 und die ,bibel in 
weit reichlicherem  ,masse4 ,berosus1   
ein ,babylonischer ,priester des ,bel   
der im #c4 ,jahre v4  ,chr4 in          
griechischer ,sprache schrieb1 hat sich 
als mit den ,traditionen  seines ,volkes
 in ,mythos und ,geschichte sehr        
vertraut erwiesen1 und es  ist zu       
bedauern1 dass von seinem grossen ,werke
 nur ,fragmente durch  ,alexander       

,polyhistor und danach von ,josephus und
 ,eusebios erhalten  sind4 ,verdanken   
wir doch ,berossos die ,kunde von dem   
,babylonischen  ,weltschpfungsmythus1   
die ,sintflut eingeschlossen1 der       
,quelle des  mosaischen1 eine ,kunde1   
welche durch die ,funde von             
,kujundschik-,ninive  so glnzend        
besttigt und erweitert wurde4 ,aber auch
 die ,bibel hat sich  als eine nicht zu 
unterschtzende ,geschichtsquelle        
erwiesen1 und unter  dem ,einfluss der  
,ausgrabungen in den letzten #cj ,jahren
 ist ,babel und  ,bibel 7,p4 ,delitzsch7
 zu einem ,schlagwort geworden4 ,aber   
erst im  letzten ,drittel des #ai4      
,jahrhunderts gelang es durch           
,entzifferung der  rtselhaften          
,keilschrift1 die ,geschichte           
,vorderasiens auf urkundliche           
,grundlage zu stellen4 ,so bedeutend    
aber die ,leistungen der ,schler        
,eberhard ,schraders im letzten         
,dezennium gewesen sind1 so sagt doch   
einer der berufensten unter ihnen ,p4   

,jensen3 ,ein jedes ,werk von           
,assyriologen auch der besten ist und   
wird auf lange noch vergleichbar        
bleiben einem ,feld mit ,hopfenstangen1 
von denen sehr viele zwar  annhernd oder
 durchaus korrekt und gerade1 viele     
aber1 nach allen  ,richtungen hin1      
schief stehen4    ,im ,gegensatz zu     
gypten1 wo wir ein und dasselbe ,volk   
bis zum heutigen  ,tage vor uns haben1  
sind im ,zweistromland zwei der ,rasse  
nach  verschiedene ,vlker zu            
unterscheiden1 die beide langsam        
kulturell  zusammengeschmolzen sind4    
,vom ,nordosten her1 mglicherweise vom  
,altai  und dem ,pamirplateau kamen als 
,nomaden in einzelnen ,schwrmen die     
,sumerer1 ein ,volk1 das bis dato fr    
sich steht1 die sich vorzugsweise  in   
,sdbabylonien in ,sumer ansiedelten1    
vielleicht vom ,meere aus in  die       
,mndungen des ,euphrat und ,tigris      
eindringend4 ,vom ,nordwesten her  in   
gleicher ,weise die ,semiten1 die sich1 
zugleich oder frher1  vorzugsweise in   

,nordbabylonien1 ,accad 7,agade7        
festsetzten4 ,naturgemss  mussten beide 
,vlker zusammenstossen1 und in hin und  
her schwankenden  ,kmpfen drangen       
,sumerer in ,accad und ,accader in      
,sumer ein1 bis seit  ,chammurabi die   
,sumerer endgltig den ,semiten          
unterlagen1 die an  den ,beduinen       
,arabiens immer frischen ,nachschub     
hatten4 ,gehrte doch  nach ,ed4 ,meyer1 
welcher sich dabei sttzt auf ,ranke1    
,early  ,babyl4 personal names 7p4 #cc1 
,band ,,vi1 #a des grossen              
,hilprecht'schen  ,sammelwerkes ber die 
,amerik4 ,ausgrabungen in ,nippur7 und  
noch mehr  auf die ,monumente1          
,chammurabi selbst einem solchen        
frischen ,schwarm  ,amoriter ,beduinen  
an4    ,sidenote3 ,sumerische ,frage4   
,die sogen4 ,sumerische ,frage gehrte zu
 den dunkelsten2 whrend  anfangs der    
,siebziger die ,sumerer als die         
,kulturtrger1 die ,semiten  als rohe    
,nomadenhorden hingestellt wurden1 hat  
spter ein so  bedeutender ,semitologe1  

wie ,halvy1 die ganze ,existenz der     
,sumerer  geleugnet und ihre ,schrift   
und ,sprache fr eine ,art ,stenographie 
der  ,semitisch-,babylonischen erklrt4  
,gesttzt auf die genaue ,untersuchung   
der ihm zugnglichen plastischen         
,denkmler1 hat ,eduard ,meyer in  seiner
 ,abhandlung ,sumerier und ,semiten in  
,babylonien ,abh4 d4 ,kn4  ,preuss4     
,akad4 d4 ,w4 #aijf phil-hist4 die      
,frage aufgehellt4 ,an der  ,existenz   
der ,sumerischen ,sprache konnte1 wie   
,meyer mit ,fug bemerkt1  nach der      
,auffindung der griechischen            
bersetzungen bilinguer ,syllabare1  das 
sind ,listen von ,schriftzeichen mit    
,angabe ihrer ,sumerischen und          
,assyrischen ,silben- und ,wortwerte1   
nicht mehr gezweifelt werden4 ,man  vgl4
 die ,abhandlung von ,t4 ,g4 ,pinches in
 den ,proc4 ,bib4 ,arch4 #bd1 p4  #ajh  
und ,a4 ,h4 ,sayce ibid4 p4 #abj1 in    
denen die ,aspiration des p1 k  und t   
durch die ,griechische bertragung       
konstatiert ist4    ,sidenote3 ,sumerer 

und ,semiten4    ,die ,rassenfrage wurde
 durch die bildlichen ,darstellungen im 
wesentlichen auf ,grund der             
,ausgrabungen de ,sarzecs1 die von      
,heuzey vortrefflich ediert sind1 und   
denen von ,nippur1 die seit  #bj ,jahren
 ununterbrochen fortgesetzt sind1       
unzweifelhaft zugunsten  eines          
selbstndigen ,volks der ,sumerer        
entschieden1 wie es ,bezold1  ,winkler1 
,hilprecht etc4 angenommen hatten4      
,abgesehen von der  ,kleidung1 dem      
sumerischen ,mantel und dem semitischen 
bunten ,plaid1 sind  scharfe und        
stereotype ,unterschiede vorhanden4     
,zunchst zeichnen sich  die ,semiten wie
 noch heute durch ppig wucherndes ,bart-
 und ,haupthaar  aus1 whrend die        
,sumerischen ,kpfe bis auf die          
,augenbrauen vllig ohne  ,haar sind4    
,die ,nase ist von der semitischen      
scharf verschieden1 ebenso  ,mund1      
,backe und ,stirn4 ,auch die ,frauenkpfe
 aus ,tello sehen durchaus  nicht       
semitisch aus4 ,so lehren die ,denkmler 

mit unwiderleglicher  ,evidenz1 dass es 
zwei verschiedene ,rassen in ,babylonien
 gegeben hat1  eine semitische          
vorzugsweise im ,norden1 und eine nicht 
semitische  vorzugsweise im ,sden1 die  
,sumerer4 ,zu diesen beiden ,rassen     
kamen  dann als drittes ,element die    
,beduinischen ,westsemiten ,chammurabis1
 die  das ,haupthaar kurz schneiden und 
die ,lippen rasieren4    ,sidenote3     
,anteil der ,sumerer und der ,semiten an
 der ,kultur4    ,die dritte ,frage1 die
 von ,meyer naturgemss nicht so         
entscheidend1  wie die beiden ersten    
beantwortet wird1 ist die ,frage nach   
dem ,anteil  der beiden ,rassen an der  
,kultur4 ,da hat nun ,meyer             
nachgewiesen1 dass  die ,sumerer der    
,zeit ,gudeas 7etwa um #bfjj71 ihre     
,gtter nicht mit  ihrem eignen          
sumerischen ,typus1 sondern in          
,gesichtsbildung1 ,bart1 ,haar  und     
,gewandung als ,semiten gebildet haben4 
,danach haben auf religisem  ,gebiete   
die ,semiten entschieden die ,fhrung    

gehabt1 wenn naturgemss  auch ihre      
,religion durch die der ,sumerer        
beeinflusst ist1 bis sich  eine         
einheitliche ,religion heranbildete4    
,meyer glaubt die ,sagen von            
,gilgamesch1 dem ,herkules der          
,babylonier1 der ,sintflut etc4 den     
,semiten  zuweisen zu knnen1 whrend     
besonders die ,verbindung der ,gtter mit
 den  ,sternen1 insbesondere die        
,astrologie1 der ,hexen- und            
,dmonenglauben  sumerisch seien1 der    
sich ja von ,babylon aus insbesondere   
durch das  sptere ,judentum und das     
,christentum ber die ganze ,welt        
verbreitet hat4    ,die ,semiten        
scheinen auch auf dem ,gebiet der ,kunst
 die ,fhrenden  gewesen zu sein1 und    
sehr frh haben sie eine hohe ,stufe der 
,kunst  erreicht1 wie die unbertroffene 
,siegesstele des ,naramsin 7s4 u47      
beweist 7vgl4 ,abbildung74              
,illustration3 ,siegesstele des         
,naramsin4    ber einen ,punkt aber     
herrscht unter den ,assyriologen volle  

bereinstimmung1 die ,erfindung der      
,babylonischen ,schrift1 der            
,keilschrift1 ist ,eigentum der         
,sumerer4 ,zwar ist die von ,hilprecht  
als sumerisch angesprochene             
vorsargonische ,periode ,nippurs        
schriftlos1  und wir haben aus der ,zeit
 wo in dieser ,stadt1 dem uralten       
,stammesheiligtum der ,babylonier1 der  
,sumerische ,sturmgott ,en-lil1  dessen 
,idiogramm spter als ,bel gelesen wird1 
seinen ,kult hatte1 keine  ,tafeln mit  
,schriftzeichen gefunden1 aber der      
,beweis liegt darin1 dass  die          
semitischen ,silbenzeichen ursprnglich  
sumerische ,worte bedeuten4  ,meyer     
weist mit ,recht darauf hin1 dass die   
,semiten als ,erfinder der  ,schrift1   
alle ,konsonanten ihrer ,sprache        
bezeichnet htten1 und weist  auf den    
entscheidenden ,einfluss hin1 den die   
sumerische ,schrift und  ,sprache auf   
das ,semitische der ,babylonier fr      
,phonetik und ,satzbau  gebt hat4       
,sidenote3 ,gudea und die ,frstpriester 

von ,telloh4    ,durch die ,ausgrabungen
 de ,sarzecs wissen wir1 dass nach dem  
,tode der  grossen ,semitischen ,frsten 
,sargon und ,naramsin die ,sumerer auch 
in  ,accad vorbergehend zur ,macht      
gelangten in dem ,knigreich von ,sumer  
und ,accad der ,frsten von ,ur2 wir     
kennen durch die so erfolgreichen       
,ausgrabungen ,e4 de ,sarzecs aus       
wunderbaren ,statuen1 denen leider der  
,kopf fehlte 7vgl4 ,abbildung7 und einer
 ,reihe von ,schriften1 genauer         
,vertonungen ihren ,knig oder richtiger 
,frstpriester1 patessi1 denn  nie nennt 
er sich ,knig1 ,gudea2 nach ,winkler war
 er ,vasall des  ,urengur von ,ur1 ,knig
 von ,sumer und ,accad1 und ,gudeas     
,vorgnger  ,urnina1 ,entemena etc4 ,ihre
 ,residenz war ,schirpurla auch         
,lagasch1  heute ,telloh geheissen2 und 
die ,urkunden aus jenen ltesten ,zeiten 
sind fr die ,entwicklung der ,schrift   
ganz besonders wichtig4 ,der ,plan  und 
der ,massstab ,gudeas 7vgl4 ,abb4 ,s4   
#fb7 ist fr die ,metrologie  beinahe    

unschtzbar2 wie die p4 #aje besprochene 
,arbeit ,borchardts  beweist1 ist er    
zirka #cjjj ,jahr in ,gltigkeit         
geblieben1 und stimmt  nach der         
,borchardt'schen ,messung mit ,lehmanns 
,hypothesen 7p4 #ajf7  vortrefflich4    
,illustration3 ,gudea mit ,plan und     
,massstab4    ,illustration3 ,plan der  
,gudeastatue1 #a_/b der nat4 ,grsse4    
,illustration3 ,massstab der            
,gudeastatue1 #a_/b der nat4 ,grsse4    
,sidenote3 ,statuen des ,gudea4         
,durch einen merkwrdigen ,zufall ist uns
 jetzt auch der ,kopf ,gudeas  bekannt  
geworden4 ,der ,nachfolger de ,sarzecs  
in den ,ausgrabungen von  ,tello        
7,sirpurla71 der ,kapitn ,g4 ,cros1 fand
 unweit der ,stelle1  wo jener einen    
prchtig gearbeiteten ,kopf aus ,diorit  
ausgegraben  hatte1 eine kleine ganz    
disproportionierte ,statue ohne ,kopf1  
die laut  ,inschrift als die der ,gudea 
bezeichnet wurde1 von ihm seinem        
speziellen  ,schutzgott1 dem er auch den
 neuen ,tempel in ,tello gebaut hatte1  

dem  ,ningiszida1 dem ,sohn des         
,nin-a-zu 7nach ,meyer ein anderer ,name
 fr  den ,gtterknig ,anu1 den           
,himmelsgott7 gewidmet4 ,lon ,heuzey1   
der  ausgezeichnete ,leiter der         
,assyrischen ,abteilung des ,louvre1    
bemerkte1  dass die ,brche des ,kopfes  
und des ,torso zu einander passten1 er  
setzte den ,kopf auf den ,torso und ohne
 jeden ,kitt sass er fest 7vgl4  ,rev4  
d',assyr4 ,bd4 ,,vi1 #aijg p4 #ai74     
,dadurch besitzen wir jetzt #d ,kpfe    
des ,gudea1 darunter der von ,hilprecht 
in seinem ,vortrag ber die              
,ausgrabungen im ,bl-,tempel zu ,nippur 
,s4 #eb wiedergegebene ,marmorkopf  von 
feinster ,arbeit4 ,die ,kpfe tragen     
smtlich die sogenannte ,kappe  der      
,sumerischen ,frsten1 die wir bei       
,chammurabi 7s4 u47 wiederfinden1  und  
drei davon den ,turban1 der also uralt  
sumerischen ,ursprungs ist4  ,die       
scheinbare ,plumpheit und               
,disproportioniertheit der ,krper der   
,statuen aus ,tello hat ,heuzey m4 ,e4  

sehr zutreffend erklrt4 ,der ,krper     
diente nur als ,sockel fr den ,kopf1    
falls der schwer zu bearbeitende        
,dioritblock fr eine ganze ,statue zu   
klein war1 und ,heuzey bemerkt  sehr    
richtig1 dass unsere ,bsten mit ihrer   
abgespalteten ,brust den  ,sumerern1 so 
sonderbar vorgekommen waren1 wie uns die
 ihren4    ,illustration3 ,kopf des     
,gudea1 ,federzeichnung nach dem ,funde 
des ,cap4  ,cros4    ,sidenote3         
,semitische ,einwanderung in            
,vorderasien4    ,und von der           
entgegengesetzten ,seite her1 wie heute 
ziemlich feststeht1  von ,nordafrika    
her1 drangen nomadische ,semitenschwrme1
 in verschiedene  ,volksstmme1 richtiger
 ,clane gespalten in das reiche         
,zweistromland1 und  siedelten sich in  
der #ac ,meridian breiten1 paradiesisch 
fruchtbaren  ,ebene an4 ,delitzsch      
versetzt geradezu das ,paradies in die  
,gegend  von ,babylon1 den ,euphrat und 
,tigris nennt die ,bibel selbst und die 
beiden andern ,strme erklrt er fr       

,kanle1 was nicht unmglich1 da  die     
,babylonier fr ,kanal und ,fluss        
dasselbe ,wort nru haben4 ,an der       
jetzigen grauenhaften ,verdung dieses   
,paradieses erklrt ,delitzsch  die      
,trken fr unschuldig1 und sicher haben  
,beduinen und ,islam vor  den ,trken die
 ,versandung der ,kanle und damit die   
,verdung des  ,landes auf dem ,gewissen4
 ,wir hegen die begrndete ,hoffnung1    
dass  die deutsche ,bagdadbahn und das  
deutsche ,kapital in wenig mehr als     
einem ,menschenalter die jetzige ,wste  
wieder zu einem grossen ,garten         
umgeschaffen haben wird4    ,sidenote3  
,sargon und ,naramsin4    ,die          
,unterwerfung der ,sumerer gelang um so 
leichter1 als sie keinen  ,grossstaat   
hatten1 sondern nur einzelne grosse     
,stdte1 in denen  sich nach und nach die
 ,semiten ansiedeln4 ,die ,stdte standen
 unter  sogenannten ,frstpriestern1     
,pateissi1 die sich gegenseitig unter   
einander befehdeten1 wie wir aus den    
,inschriften ,gudeas erfahren1 und  aus 

dem von ,cros vor kurzem ausgegrabenen  
,bericht ber die ,verwstung  ,tellos    
durch ,lugalzaggissi1 den ,pateissi der 
,nachbarstadt ,gishu1 bis  sie unter die
 ,oberherrschaft ,semitischer           
,grossknige gerieten1 wie  ,tello unter 
die des grossen ,semitenfrsten ,sargon  
,i41 ,besitzer  von ,argade 7,accad71   
der von ,nordbabylonien1 dem ,lande     
,accad aus1  auch ,sdbabylonien 7,sumer7
 unterwarf4 ,sargons und seines         
ebenfalls  bedeutenden ,sohnes ,naramsin
 ,existenz war lange sagenhaft1 -- die  
,moses-,mythe wird auch von ,sargon     
erzhlt -- bis ,nabonahid und die ,funde 
der ,amerikaner in ,nippur1 dem ,sitz   
eines uralten ,tempels des ,bl1  ihre   
historische ,existenz bewiesen4 ,dort   
ist sogar der ,stempel des  ,sargon     
7vgl4 ,abb47 mit seinen altertmlichen   
,schriftzeichen gefunden  worden4       
,nabonahid1 der letzte ,knig von        
,babylon1 war das1 was wir heute einen  
,romantiker nennen wrden1 seine         
,interessen wurzelten in der ,vorzeit1  

er  wollte den uralten ,dienst des      
,schamasch1 der ,sonne1 und des ,sins1  
des  ,mondes1 wiederherstellen und      
geriet so in ,konflikt mit der mchtigen 
,priesterschaft des ,marduk-,bel in     
,babylonien1 deren ,untersttzung ,cyrus 
mehr fr seinen ,erfolg verdankte als der
 ,macht seiner ,waffen4 ,im  ,grundstein
 des ,tempels von ,sippar1 den ,nabonid 
erneuern wollte1 fand  er die ,urkunde  
,naramsins1 des ,sohnes des ,sar-u-ukin4
 ,die ,gelehrten  des ,knigs berechneten
 nach den ,knigslisten die              
,regierungszeit des  ,naramsin auf #cbjj
 ,jahre frher1 wodurch ,sargon auf #chjj
 v4 ,chr4 gerckt  wurde1 und mit ihm    
,gudea4 ,trotz mancher ,bedenken1 welche
 gegen dieses  hohe ,alter geltend      
gemacht wurden1 insbesondere von ,h4    
,winkler und  ,c4 ,f4 ,lehmann1 nahm    
doch noch ,bezold #aijc diese ,daten als
 richtig  an4 ,aber der ,fund der neuen 
,knigsliste von ,nippur1 aus dem ,ende  
des  #c4 ,jahrtausend der ,schrift nach1
 durch ,hilprecht #aijf im ,,xx4 ,bd4   

der ,berichte publiziert und            
interpretiert1 bewies1 dass ,lehmann mit
  seiner ,vermutung1 dass die ,gelehrten
 des ,nabonid sich um etwa #hjj ,jahre  
geirrt hatten1 im ,recht war und die    
neue ,chronologie von ,l4 ,w4 ,king     
7,chronicles conc4 early ,babyl4 kings  
#b vol #aijg7 setzt ,sargon von ,akkad  
auf #bejj v4 ,chr4 auf ,grund der       
,arbeiten ,h4 ,rankes4    ,illustration 
,sidenote3 ,babylonisch-,assyrische     
,chronologie4    ber die ,chronologie   
sei gleich hier bemerkt1 dass der ,hang 
der  ,babylonier zum genauen ,datieren1 
insbesondere auch die zahllosen         
,geschftsurkunden1 die wir von ,gudea   
bis ,nabonid besitzen1 uns ber  die     
,chronologie der ,assyrer weit besser   
als ber die der gypter  unterrichtet    
haben4 ,in ,krze werden uns die         
,ausgrabungen1 besonders  die der       
,pennsylvania ,universitt in ,nippur bis
 ins #d4 ,jahrtausend  hinein eine vllig
 gesicherte ,zeitfolge der ,geschichte  
gewhren1 von  ,chammurabi bis ,kyros1   

von #bjjj bis #eci steht sie schon jetzt
 auf  sicherem ,boden4 ,vom #ae4        
,jahrhundert bis zum ,jahr #ajjj knnen  
wir uns  auf die sogen4 synchronistische
 ,geschichte sttzen4 ,nach ,h4 ,winkler 
7die ,keilinschr4 u4 das alte ,test4 #c4
 ,aufl4 #aijc p4 #dg7 ist es ein        
,dokument1 in welchem ,adad-nirari      
,,iii4 von ,assyrien 7#hab-ghc7 die     
,vereinigung ,assyriens und ,babyloniens
 als im ,interesse beider ,vlker        
hinstellt1 nach ,bezold ein             
,staatsvertrag beider ,lnder4           
,jedenfalls  wird darin in ,krze die    
,geschichte beider ,lnder chronologisch 
erzhlt4  ,die synchron4 ,geschichte ist 
immerhin nicht ganz einwandfrei1 sie    
enthlt gewissermassen den persnlichen   
,fehler ,adad-niraris4 ,von  diesen sind
 fr ,assyrien die ,eponymenkanones1 fr  
,babylonien die  ,knigslisten frei4 ,das
 ,jahr wurde von ,adad-nirari ,,ii41    
etwa um #ijj  an1 zunchst nach dem die  
,regierung antretenden ,herrscher und   
dann  der ,reihe gemss1 nach den hchsten

 ,beamten benannt1 wie in ,athen  nach  
den ,archonten4 ,beide ,listen sind     
,chroniken zum ,zweck genauer           
,datierung von ,rechtshandlungen4 ,die  
,vergleichbarkeit des ,kanons mit       
unserer ,zeitrechnung wurde mglich durch
 ,erwhnung der ,sonnenfinsternis  im    
,monat ,sivan bei ,gelegenheit eines    
,aufstands gegen ,assur-daja4 ,die      
,astronomische ,berechnung ergab den    
#ae4 ,juni #gfc4 ,eine weitere          
,kontrolle  ergab dann der vllig        
zuverlssige ,kanon des grossen          
,astronomen  ,ptolemaios 7vgl4 ,hellas71
 der uns hilft bis zur ,seleuciden-ra   
7,berossos71 deren ,beginn zwischen #cab
 und #caa schwankt und die              
,arsaciden-ra von #bdh1 welche neben der
 ,seleucidenra hergeht4    ,die ,semiten
 berschwemmten ganz ,westasien1 lngs der
 ,kste des  ,mittelmeeres zogen die     
,phnizier1 besser ,kanaaner1 zu denen   
die  ,chabiri1 die wir jetzt als ,hebrer
 bezeichnen1 gehren1 die1 wie es        
scheint1 noch im ,anfange der           

historischen ,zeit nicht sesshaft waren1
  und erst zur ,zeit ,chinatns ihre     
,stammesgenossen angriffen4    ,arvat1  
,byblos und vor allem ,sydon und ,tyrus 
sind ,stdte der ,phnizier4  ,die zweite 
,sammelgruppe der ,beduinenschwrme      
bilden die ,aramer1 mit  dem ,hauptzweig
 der ,syrer1 die sdlich von den         
,kanaanern hielten  und sich weit nach  
,norden und ,osten vorschoben4 ,hier kam
 es nur in  ,damaskus1 der alt berhmten 
noch heute blhenden ,handelsstadt zu    
einer  ,staatenbildung4 ,am             
ausgedehntesten war die ,wanderung des  
an ,zahl  strksten dritten ,zweiges1 der
 ,babylonier und ,assyrer1 die          
sprachlich  und genealogisch nahe       
verwandt sind4 ,doch sind nach den      
,abbildungen die  ,babylonier weit      
strker mit den ,sumerern blutgemischt   
als die ,assyrer4    ,sidenote3         
,geschichte der ,babylonier und         
,assyrer4    ,die ,assyrer sind         
sprachlich und auch dem ,rassentypus    
nach mit den  ,babyloniern so nahe      

verwandt1 dass die ,annahme ihrer       
,abzweigung von  diesen1 etwa um #aaej1 
nach einem siegreichen ,einfall der     
,elamiten1 sehr  wahrscheinlich ist4    
,sie waren ein ,krieger- und            
,herrenvolk1 das den  ,priestern einen  
weit geringeren ,einfluss einrumte als  
die ,babylonier4  ,ihre ,kmpfe1 wie die 
der ,babylonier1 gelten1 wie leicht     
begreiflich  ist1 dem ,bestreben1 sich  
die grossen ,handelsstrassen nach       
,indien und  nach dem ,kulturzentrum1   
dem ,mittelmeerbecken offen zu halten4  
,wird  ihnen1 durch das ,aufkommen einer
 nicht semitischen ,grossmacht ein      
,handelsweg im ,westen verlegt1 so      
erkmpfen sie sich einen neuen im        
,osten4 ,sehr bald gingen sie gegen     
,babylonien aggressiv vor1 und der      
grausame aber tchtige ,assurnassirpal   
bringt ,babylon vllig unter  seinen     
,einfluss4 ,der eigentliche ,begrnder   
der ,assyrischen ,weltmacht  ,tiglat    
,pileser ,,iii4 besteigt dann #gdd unter
 dem ,namen ,pulu 7,phul  der ,bibel7   

den ,thron ,babels und nennt sich ,knig 
von ,sumer und ,accad4  ,diese          
,glanzzeit ,assyriens hlt unter ,sargon 
,,ii4 und seinem ,sohn  ,sanherib an1   
aber kurz nachdem ,sanherib ,babylon    
zerstrt hatte 7#fhi7  und nach der      
erfolgreichen ,regierung ,assurbanipals 
7,sardanapal7 wird  auch ,ninive1 die   
,residenz seit ,sanherib von den ,medern
 unter ,kyaxares  zerstrt und zwar weit 
grndlicher als ,babel4    ,bis an die   
,hochebene ,mediens in ,nordosten1      
,elams oder ,susa in ,sdosten1  im ,sden
 bis an die ,smpfe der ,mndung des      
,euphrat und ,tigris in  den persischen 
,busen drangen die ,semiten1 auch hier  
zunchst kein  ,grossstaat1 sondern      
,stdte1 die das ,stammesheiligtum bargen
 als ,zentren  des ,kultus1 des         
,marktverkehrs und ,sitz der ,frsten4   
,nach ,agade und  ,sirpurla nenne ich   
,kis1 ,ur 7deren ,frsten sich seit      
,urengur ,knige  der vier ,weltgegenden 
nannten und ,nordbabylonien in          
,abhngigkeit  brachten71 ,nippur1       

,larsam und ,babel1 die mehr oder minder
 zentrale  ,bedeutung gewannen bis      
,chammurabi 7vielleicht der ,amraphel   
der  ,bibel7 ,babel zur ,hauptstadt des 
,grossstaats ,babylon machte1 der nun   
,nordbabylonien 7,accad7 und            
,sdbabylonien 7,sumer7 durch ,eroberung 
von  ,larsam im ,sden und ,absetzung des
 dortigen ,knigs einte4    ,babel war   
eigentlich eine ,doppelstadt1 an einem  
,ufer ,babel -- das  ,tor ,gottes1 am   
andern ,borsippa 7,birs7 -- die ,stadt  
des ,mondgottes  ,sin1 dessen ,kult in  
,sumer1 insbesondere in ,ur blhte1      
whrend in  ,nordbabylonien der ,dienst  
der ,sonne 7,schamasch und ,marduk7 in  
den  ,vordergrund trat4    ,sidenote3   
,chammurabi4    ,illustration3 ammurabi 
empfngt von ,schamasch seine ,gesetze4  
,wir kennen ,chammurabi wie wenige      
,frsten des ,altertums1 und wenige      
,regenten drften ihn in alter und neuer 
,zeit an ,kraft und ,weisheit1  und wenn
 wir seinen ,gesichtszgen 7s4 ,abb47 und
 den zahlreichen  ,rechtsschriften      

,glauben schenken1 auch an              
,gerechtigkeit und ,milde  bertroffen   
haben4 ,was er fr die ,stadt ,babel     
getan1 berichtet er uns  selbst         
sumerisch und babylonisch3 ,chammurabi1 
der mchtige ,knig1 der  ,knig von       
,babylon1 der ,knig der vier            
,weltgegenden1 der ,begrnder des        
,landes1 der ,knig1 dessen ,taten dem   
,fleische des ,gottes ,schamasch und    
des ,gottes ,marduk wohltun1 bin ich4   
,die ,spitze der ,mauer von ,sippar     
habe ich mit ,erdreich wie einen ,berg  
erhht1 mit ,rohrgeflecht habe ich  sie  
umgeben4 ,den ,euphrat grub ich ab gen  
,sippar zu und liess einen  ,damm dafr  
aufwerfen4 ,chammurabi1 der ,begrnder   
des ,landes1 dessen  ,taten etc4        
wohltun1 bin ich4 ,sippar und ,babel    
habe ich auf immerdar zu  behaglichen   
,wohnsttten gemacht4 ,chammurabi1 der   
,gnstling des ,gottes  ,schamasch1 der  
,liebling des ,gottes ,marduk bin ich4  
,was seit uralten  ,tagen kein ,knig dem
 ,herrn der ,stadt 7dem ,schutzgott7    

gebaut hat1 das  habe ich fr ,schamasch1
 meinen ,herrn1 grossartig ausgefhrt4   
,illustration3 ,chammurabi4             
,sidenote3 ,codex des ammurabi4         
,hatte ,c4 ,bezold in ,ninive und       
,babylon schon ,chammurabi in der  eben 
zitierten ,weise gewrdigt1 so wurde die 
,gestalt dieses grossen  ,frsten in noch
 weit helleres ,licht gerckt durch die  
,erfolge der  franzsischen ,ausgrabung  
unter ,g4 de ,morgan in ,susa1 der      
,hauptstadt  von ,elam4 ,in drei ,stcken
 wurde dort im ,dezember #aija und      
,januar #aijb  die ,standsule mit der   
,gesetzsammlung ammurabis gefunden1     
welche  #aijc von ,v4 ,scheil zum ersten
 ,male ediert und in franzsischer       
,sprache erklrt wurde und #aijd von ,h4 
,winkler deutsch und von  ,r4 ,harper   
englisch ebenfalls #aijd1 und vom       
juristischen ,standpunkt  von ,j4 ,khler
 und ,e4 ,peiser #aijd4 ,der ,codex     
,hammurabis steht auf  einer ethischen  
,hhe1 welche dem mosaischen vom ,sinai  
nichts nachgibt1  und ist das erste uns 

erhaltene ,corpus juris4 ,sie genoss1   
,winkler  zufolge1 viele ,jahrhunderte  
das hchste ,ansehen -- wie die ,gesetze 
des  ,moses sind sie von ,gott gegeben1 
das ,bild der ,sule zeigt1 wie der      
,knig die ,gesetze von ,schamasch       
empfngt1 leider ist das ,antlitz des    
,knigs1 der ,kappe und ,stab trgt1      
verstmmelt1 der ,sonnengott ist mit     
,turban und ,faltenrock bekleidet -- sie
 hat das griechische ,recht1  dieses das
 rmische und dieses das unsrige in hohem
 ,grade beeinflusst4  ,die ,strafe ist  
natrlich wie bei den ,hebrern und ,rmern
 ,vergeltung1  bei                      
,sittlichkeitsvergehen ,abschreckung4   
,im ,zivilprozess spielt der ,eid1      
grade wie bedauerlicherweise noch heute1
 eine hervorragende ,rolle4 ,die        
,sammlung weist der ,frau eine          
rechtliche ,stellung an1 welche sie noch
  heute in der ,trkei nicht errungen    
hat1 sie schrnkt die vterliche  ,gewalt1
 ich nenne nur  #afh1 die ,ausweisung   
des ,sohnes betreffend1  erheblich ein1 

und das ,erbrecht ist in sehr zu        
billigender ,weise  geregelt1 denn auch 
hier ist die ,frau und die ,tochter     
geschtzt4 ,das  ,handelsrecht hat er    
wohl kaum modifizieren knnen1 denn das  
war ja  zugleich international1 aber das
 sogenannte ,sumerische ,familienrecht  
zeigt1 dass dieser ,schutz der          
weiblichen ,familienglieder so recht    
dem eigenen ,sinn des grossen ,knigs    
entsprungen ist4 ,und so knnen  wir den 
,worten1 mit denen er auf der ,sule sich
 seiner ,taten nach  orientalischer     
,sitte rhmt -- ,einleitung und ,schluss 
-- wohl ,glauben  schenken4 ,die ,stele 
kam nach ,susa als ,trophe zugleich mit 
anderen  wichtigen steinernen ,urkunden 
im #ab_/aa ,jahr v4 ,chr41 als die      
,elamiten  unter ,sutruk-,nahunte       
,sippar und ,babylonien erobert hatten4 
,es sei hier  auch erwhnt1 dass von dem 
,kampfe ,abrahams zur ,befreiung ,lots  
auch eine  ,urkunde ,chammurabis        
berichten soll4 ,die ,stele mit der     
,gesetzsammlung  zeigt am ,anfang das   

,relief1 welches die bergabe des ,codex 
an den ,knig  durch ,schamasch          
schildert1 das ,relief ist verstmmelt2  
7,abbild4 ,s4 #fi7  die ,legende ist um 
so deutlicher4    ,sidenote3            
,babylonisch-,assyrische ,kultur4       
,die ,geschichte ,babyloniens und       
,assyriens kann ich hier nicht erzhlen1 
sie ist z4 ,t4 in der ,bibel und bei    
,herodot und spter bei ,arrian1         
,diodor1 und vor allem bei ,berossos    
etc4 wenigstens von #bjjj ab erzhlt2    
sie ist jetzt bis #djjj v4 ,chr4 so     
ziemlich aufgehellt2 sie wurde in       
grossen ,zgen durch die verschiedenen   
,schichten der einwandernden            
nomadischen ,semitenschwrme und durch   
die geographische ,lage im  einzelnen   
bedingt4 ,nach ,westen und ,sdosten     
,kmpfe mit den ,aramern  und weiter     
nrdlich mit den ,kanaanern1 ,phniziern  
und ,hebrern1 die  an dem nahen gypten  
,rckendeckung hatten4 ,im nrdlichen     
,syrien auch  ,kmpfe mit dem uralten    
vermutlich von ,kappadocien her         

eingedrungenen  vielleicht              
indogermanischen ,stamm der ,cheti oder 
,hetiter1 die sich  spter mit den       
,hebrern vermischt haben und mit den    
,mitani1 die noch  ziemlich rtselhaft   
sind4 ,im ,norden1 ,osten oder ,sdosten 
ist es die  indogermanische ,wanderung1 
die unausgesetzt das                    
babylonisch-assyrische  ,reich bedroht2 
im ,norden zusammengefasst als ,skythen1
 im ,osten die  ,meder1 in ,sdosten die 
,elamiter mit der ,hauptstadt ,susa4 ,im
 ,sden  wieder hemmten die ,chalder1 die
 im sogenannten neubabylonischen        
,reiche nach jahrhundertelangen ,kmpfen 
schliesslich die ,herrschaft an  sich   
rissen4 ,und hinter den ,medern und     
,elamitern wieder ,indogermanen1  deren 
bedeutsamster ,stamm1 die ,perser1 das  
ganze babylonische ,reich  zerstrten4   
,sidenote3 ,grotefend und die           
,entzifferung der ,keilschrift4    ,die 
,erschliessung der                      
babylonisch-assyrischen ,kultur         
verdanken wir  in erster ,linie dem     

,lehrer am ,gymnasium zu ,gttingen3     
,georg ,friedrich  ,grotefend4 ,aus den 
,ruinen von ,persepolis1 der von        
,alexander dem  ,grossen in der         
,trunkenheit in ,brand gesteckten       
,hauptstadt ,persiens1  waren im ,laufe 
der ,zeit einige ,inschriften in        
eigentmlichen  keilfrmigen ,zeichen     
bekannt geworden1 und ,carsten ,niebuhr1
 der  ,vater des berhmten ,historikers  
hatte #aggj usserst sorgfltige und      
ausfhrliche ,kopien mitgebracht1 welche 
die allgemeine ,aufmerksamkeit  auf die 
,keilschrift lenkten2 er hatte auch     
schon bemerkt1 dass die  ,inschriften   
drei verschiedenen ,schriftsystemen     
angehrten und von  links nach rechts zu 
lesen waren4 ,zufllig wurde ,grotefend  
auf einem  ,spaziergang im ,juli #ahjb  
veranlasst1 sich mit der ,entzifferung  
zu  beschftigen und schon am #d4        
,september #ahjb legte er die ,resultate
  seiner ,forschung der ,gttinger       
gelehrten ,gesellschaft vor4 ,er ging   
davon aus1 dass die in drei             

verschiedenen ,keilschriften und also   
auch wohl in drei verschiedenen         
,sprachen verfassten ,inschriften  von  
den ,erbauern der ,palste1 den          
persischen ,achmeniden ,darius1         
,xerxes1 ,artaxerxes etc4 herrhrten2    
dass also vermutlich die erste  der drei
 ,sprachen die persische1 dass die      
,texte wahrscheinlich auch  die ,namen  
der ,knige enthielten1 dass endlich die 
,schrift des ersten  ,systems wegen der 
geringen ,anzahl der ,zeichen eine      
,buchstabenschrift  sein musste2 danach 
verglich ,grotefend die ihm aus der     
,bibel und  den ,klassikern und aus der 
,zendsprache in den heiligen ,bchern    
,zarathustras bekannten ,namen dieser   
,knige auf ihre ,lnge und die           
,wiederkehr gewisser ,zeichen und kam zu
 folgendem ,schluss3 ,eine hufig        
wiederkehrende ,gruppe von ,zeichen     
musste ,knig oder verdoppelt ,knig  der 
,knige bedeuten1 und in den dieser      
,gruppe vorangehenden ,zeichen  war der 
,name des ,knigs enthalten2 so fand er  

,darius oder vielmehr  die altpersische 
,form ,drhesch1 und ein zweiter ,name   
liess sich als  ,xerxes-,khschrsche1 ein
 dritter als ,hystaspes-,gschtasphe     
deuten  und ebenso bekam er das ,wort   
,sohn heraus4 ,die ,gttinger gelehrte   
,gesellschaft verfuhr mit der           
,abhandlung ,gr4 hnlich wie die dnische 
mit der ,kaspar ,wessels ber die        
geometrische ,darstellung der ,complexen
  ,zahlen und die ,pariser ,akademie mit
 ,abels grsster ,arbeit3 sie  lehnte es 
ab1 die ,abhandlung zu verffentlichen4  
,erst neunzig ,jahre  spter 7#ahic7 ist 
seine ,originalabhandlung von ,prof4    
,wilhelm ,meyer in  ,gttingen wieder    
aufgefunden und in den ,gelehrten       
,nachrichten der  ,akademie             
verffentlicht worden4 7,h4 ,v4          
,hilprecht1 die ,ausgrabungen  in       
,assyrien und ,babylonien #aijd74       
,aber die ,entdeckungen ,grotefends     
wurden vor dem ,schicksal der           
,wessel'schen und ,abel'schen bewahrt1  
dadurch dass sie ,aufnahme fanden  in   

das s4 ,z4 epochemachende ,werk von ,a4 
,heeren1 ,ideen ber ,politik1  den      
,verkehr und den ,handel der alten ,welt
 #d4 ,aufl4 ,i1 #b ,s4 #cde4 ,so war    
die ,grundlage geschaffen1 auf der dann 
die anderen1 ich nenne ,benfey1  ,hinks1
 ,oppert1 ,spiegel weitergebaut haben1  
so dass jetzt die  bisher bekannten     
derartigen ,texte1 mit voller           
,sicherheit gelesen werden4    ,in der  
zweiten ,schrift entdeckten ,norris und 
,oppert eine aus  ,silbenzeichen und    
einigen ,wortzeichen konstruierte       
,schrift1 in der1  wie heute feststeht1 
die susische oder elamitische ,sprache  
ausgedrckt  wurde2 sie enthlt gegen #ajj
 ,zeichen4    ,weit grssere             
,schwierigkeit bot das dritte ,system1  
das ber #cjj  verschiedene              
,keilschriftzeichen enthielt4 ,die      
,entzifferung war schwer  mglich und sie
 gelang ,grotefend nicht4 ,da entdeckte 
,james ,rich1 ein  geborener ,franzose1 
aber ,resident der ostindischen         
,kompagnie in ,bagdad  im ,jahre        

#ahbj-ba gegenber der blhenden          
,handelsstadt ,mossul 7,musselin7  auf  
dem linken ,tigrisufer die ,ruinen von  
,ninive und fand zahlreiche             
,inschriften des dritten ,systems4      
,bemerkenswert ist es1 dass schon im    
#ab4 ,jahrhundert der spanische ,rabbi  
,benjamin von ,tudela den ,ort von      
,ninive bestimmt bezeichnete4    ,fast  
gleichzeitig wurde die sogenannte grosse
 ,dariusinschrift1 eine  sehr lange     
dreisprachige ,inschrift am ,felsen von 
,behistun1 einer #ajj  ,meter steilen   
,felswand1 an der ,grenze des alten     
,mediens gefunden und  #ahce von ,henry 
,rawlinson vermittelst hoher ,leitern   
auf ungeheueren  ,papierabklatschen     
aufgenommen unter grosser ,lebensgefahr 
--1 man nennt  die ,dariusschrift den   
,babylonischen ,stein von ,rosette --4  
,von nun ab  wuchs die ,menge der       
ausgegrabenen ,inschriften rapide1      
besonders durch  die ,arbeiten von ,sir 
,henry ,layard und ,rassam1 im ,auftrage
 des  ,british ,museum1 in ,nimrud1 #be 

,kilometer von ,mossul1 die alte        
,residenz  ,kelach4    ,sidenote3 ,die  
wichtigsten ,ausgrabungen4    ,im ,jahre
 #ahha entdeckte ,hormuz ,rassam die    
,ruinen von ,sippar4 ,r4  hatte schon   
#ahgh in ,balawat1 die fr die assyrische
 ,kunst- und  ,kulturgeschichte gleich  
wichtigen ,bronzetren ,salmanassars     
,,ii4  gefunden4 ,von grsster ,bedeutung
 sind die ,ausgrabungen der ,franzosen  
in  ,tello gewesen1 schon dadurch dass  
die wunderbaren ,funde ,e4 de ,sarzecs  
,franzosen1 ,englnder1 ,amerikaner1     
,deutsche1 ja selbst die hohe ,pforte   
zu weiteren ,arbeiten anspornte4 ,vor de
 ,sarzec hatten schon im ,auftrage  der 
franzsischen ,regierung ,botta und      
,place in ,korsabad den ,palast         
,sargons ,,ii4 gefunden und mit ,glck   
gearbeitet1 und den ,grund zu der       
grossen ,sammlung im ,louvre gelegt4    
,de ,sarzecs ,dcouvertes en ,chalde von 
,lon ,heuzey #ahfh auf ,kosten  der     
,regierung herausgegeben1 wie schon die 
,prachtwerke1 welche ber  ,bottas und   

,places ,arbeiten berichteten3 ,monument
 de ,ninive dcouvert  et dcrit par ,e4  
,botta1 mesur et dessin1 par ,e4        
,flandin1 ,paris  #ahdf-ej und ,v4      
,place1 ,ninive et l',assyrie #ahff-fi1 
haben der modernen  ,assyriologie den   
strksten ,impuls gegeben4 ,die          
,franzosen setzen die  ,ausgrabungen von
 ,tello bis heute fort1 daneben hat die 
,expedition  nach ,elam 7,susa7 unter   
,de ,morgan1 deren ,resultate der       
hochverdiente  ,v4 ,scheil mitgeteilt   
hat1 u4 a4 den ,kodex des ,chammurabi   
aufgefunden4  ,die ,englnder ihrerseits 
haben fleissig unter ,budge und ,king in
  ,kujundschik1 das ,layard seinerzeit  
den ,franzosen weggenommen1  gearbeitet4
 ,die ,deutsche ,orientgesellschaft     
arbeitet seit #ahii  unter ,r4 ,koldwey 
und ,l4 ,borchardt mit grossem ,erfolg  
in ,babylon  und besonders in ,assur4   
,aber mit den ,riesensummen1 welche der 
,staat  ,pennsylvanien und seine        
,universitt ,philadelphia auf die       
,ausgrabungen  in ,nippur verwandt hat1 

ist keine ,konkurrenz mglich4 ,von den  
,leitern  ,j4 ,p4 ,peters1 ,h4 ,v4      
,hilprecht1 ,j4 ,h4 ,haynes ist         
besonders der  ,deutsche ,hilprecht der 
eigentliche ,assyriologe1 unter dessen  
,leitung  die ,excavations in ,assyria  
and ,babylonia die ,resultate der seit  
#ahgi  bis jetzt fortgesetzten          
,ausgrabungen der ,mit- und ,nachwelt   
zugnglich  machen4    ,sidenote3 ,die   
,keilschrift4    ,es gelang vier grossen
 ,forschern ,rawlinson1 ,oppert1 ,de    
,saulcy  und dem scharfsinnigen ,irlnder
 ,hinks die dritte ,schrift und die     
,sprache zu entziffern4 ,die ,schrift   
war eine ,verbindung von ,wort und      
,silbenzeichen1 die ,sprache eine der   
arabischen und hebrischen nahe          
verwandte1 es war die                   
babylonisch-assyrische ,sprache4 ,die   
,schrift war  ursprnglich eine ziemlich 
rohe ,bilderschrift1 zeigt aber schon in
  ihren ltesten ,formen das ,bestreben1 
,bogen durch ,striche zu ersetzen1  aus 
denen sich dann die ,keilschrift        

entwickelte4 ,so sind z4 ,b4 die        
ltesten ,formen fr ,stern1 ,sonne1      
,rohrpflanze3      9999symbol 9999symbol
 fr 9999symbol 9999symbol1 spter        
9999symbols    und weiterhin            
vereinfacht3      9999symbols    und    
analog haben sich aus den ,bildern      
9999symbols fr ,fuss und ,weib die      
betreffenden ,keilschriftzeichen        
entwickelt4    ,diese                   
,keilschriftzeichen lassen sich im      
wesentlichen auf drei  ,grundelemente3  
den horizontalen ,keil 9999symbol1 den  
vertikalen ,keil  9999symbol und den    
schrgen ,keil 9999symbol zurckfhren1    
selten  sind die umgekehrten ,keile1 der
 ,winkelhaken 9999symbol ist wohl aus   
,vereinigung zweier ,keile              
hervorgegangen4 ,die ,keile konnten     
durch  ,wiederholung1 ,neben- und       
bereinanderstellung und ,kreuzung zu den
  mannigfachsten1 oft usserst           
komplizierten ,gruppen vereinigt1 sowohl
  ,worte als ,silben im ,assyrischen    
bezeichnen4 ,dabei zeigte sich aber eine

  anfangs usserst rtselhafte            
,erscheinung1 die sogenannte            
,polyphonie4  ,dasselbe ,zeichen        
bedeutet sehr oft ein oder mehrere      
,worte und daneben  noch ein oder       
mehrere ,silben4 ,so bedeutet das       
,zeichen 9999symbol  nicht nur ,stern1  
assyrisch ,kakkabu1 sondern auch ,himmel
 schami und  ,gott ilu und hatte die    
,silbenwerte an und il4 ,das ,zeichen   
9999symbol  hatte nicht nur die         
,wortbedeutungen ,land 7matu7 ,berg     
7schadu71  erreichen1 erobern ,kaschdu2 
aufgehen 7von der ,sonne1 napchu71      
sondern  konnte auch ausserdem als      
,silbenzeichen in seinen verschiedenen  
,zusammenstellungen mit andern ,zeichen 
noch kur1 mad1 mat1 schad1 schat1  lat1 
nad1 nat1 kin oder gin gelesen werden4  
,das ,rtsel lste sich mit einem ,schlage
 als ,rawlinson aus einer  ,anzahl sehr 
alter ,keilschrifttexte eine neue       
,sprache in genau derselben  ,schrift   
entdeckte1 die ,sprache der ,sumerer4   
,die ,beduinenhorden der ,babylonier    

hatten sich mit dem ,lande zugleich  der
 ,schrift der ,sumerer bemchtigt1       
9999symbol der ,himmel hiess  sumerisch 
an1 hoch und wurde im ,babylonischen    
,zeichen fr den ,begriff  ,himmel und fr
 die ,lautsilbe an1 ,wortzeichen und    
,determinativ fr ,gott  und ebenso wurde
 9999symbol ,land2 ,berg1 sumerisch kur 
als ,wortzeichen  und ,determinativ fr  
,land und ,berg und ,silbenzeichen      
gebraucht4    ,diese ,erklrung wurde    
spter durch die ,auffindung einer       
grossen  ,menge zweisprachiger ,texte1  
babylonisch und sumerisch1 in derselben 
,schrift besttigt4 7,e4 ,bezold3 ,ninive
 und ,babylon1 ,monographien zur        
,weltgeschichte ,,xviii #aijc47         
,sidenote3 ,entwicklung der ,keilschrift
 nach ,delitzsch4    ber die            
,entwicklung der ,schrift oder den      
,ursprung der ,keilinschriften  hat ,fr4
 ,delitzsch1 dem wir ,wrterbuch und     
,grammatik des ,assyrischen  verdanken1 
#ahig ein ,werk verffentlicht1 das1 mgen
 auch ,einzelheiten  verbesserungsfhig  

sein1 die ,prinzipien vllig einleuchtend
 festlegt1  nach denen die ,sumerischen 
,priesterfrsten die ,schrift als        
,verbindung  von ,wortzeichen --        
,idiogrammen -- und ,silbenzeichen      
geschaffen haben4  ,und wenn die        
,schrift planmssig mittelst weniger aber
 wirksamer  ,grundgedanken aus der      
,bilderschrift entstanden ist1 so wird  
damit  auch meine ,ansicht1 dass das    
,zahlsystem eine planmssige und mit     
berlegung ausgefhrte ,schpfung derselben
 ,gelehrten ist1 im hchsten  ,grade     
wahrscheinlich4 ,gesttzt auf die ,formen
 der ,schrift aus ,telloh  und die noch 
lteren aus ,nippur1 die ,geierstele1 die
 ,vase ,entemens1  die ,vase            
,lugat-ug-engur1 welche sicher bis gegen
 #djjj 7#cgjj7  heraufreicht1 und1      
anknpfend an des grossen #aije          
verstorbenen ,jules  ,oppert ,expdition 
en ,msopotamie #ahei ,kap4 ,i1 schied   
,d4 zunchst  #cg ,urzeichen aus1 welche 
sich aus #ba ,urbildern und #af         
,urmotiven  zusammensetzen4 ,ich gebe   

hier die wichtigsten an3 9999symbol     
,stern  etc41 9999symbol ,sonne1        
aufgehend1 ,tag1 ,licht1 hell sein1     
9999symbol  untergehende ,sonne1 schwach
 werden1 niedergehen4 9999symbol        
,zunehmender  ,mond 7,horn71 zunehmen1  
voll werden1 9999symbol schwinden1      
zurckkehren  7abnehmender ,mond71       
9999symbol penis  ,mann1 mnnlich1       
9999symbol ,mann1  ,diener1 9999symbol  
7volva7  ,weib1 9999symbol ,auge aus    
9999symbol2  9999symbol ,hand1          
9999symbol 7,fuss7 gehen1 stehen4       
9999symbol ,herz1  9999symbol ,ochse1   
9999symbol ,werkzeug zum ffnen1 daher   
ffnen1  auflsen1 ,tod1 9999symbol ,netz1
 ,geflecht1 ,gefge1 9999symbol          
,umschliessung1 9999symbol ,raum1       
9999symbol ,kreis 7aus 9999symbol71     
9999symbol das ,richtungsmotiv1 dessen  
,ecken die #d ,kardinalpunkte und       
dessen ,axe die ,nord-,sdlinie          
verbildlicht2 9999symbol oder 9999symbol
  ,spitze1 daher 9999symbol ,gebirge1   
9999symbol ,kopf1 9999symbol ,bogen1    

,kurve etc4    ,aus diesen              
,grundelementen werden dann durch       
,zusammensetzung gleicher  oder         
verschiedener ,zeichen beliebig viele   
neue ,wortzeichen abgeleitet1  welche   
sich hufig als ,definitionen der        
dargestellten ,begriffe erweisen  und   
auf die ,psyche und die ,kultur des     
,volkes der ,sumerer ein so helles      
,schlaglicht werfen1 dass ,d4 daraufhin 
den ,versuch wagen konnte1 ihren        
,kulturzustand zur ,zeit der            
,schrifterfindung zu rekonstruieren4    
,die ,verdoppelung1 im ,altbabylonischen
 auch als ,kreuzung sichtbar  gemacht1  
dient zunchst als ,pluralzeichen und    
,iterativum wie das  hebrische ,pil1    
dann aber auch zu ,neubildungen4 ,aus   
9999symbol geben  wird durch 9999symbol 
hinzugeben1 addieren tab1 dap2 aus      
9999symbol  gross 7nun-rab7 wird        
9999symbol ,herr d4 i4 ,grsster         
7,grossmann  der ,hottentotten71 mit    
doppelten ,zeichen des ,umschliessens   
wird  die ,summe bezeichnet3 9999symbol 

entwickelt zu 9999symbol4 ,fr die       
,zusammensetzung ungleicher ,zeichen    
greife ich aus den ,beispielen von ,d4  
die folgenden heraus3 berufen1 erwhlen  
,auge  werfen1 ,knig  gross   ,mensch1  
,hirt1 9999symbols bei ,gudea  ,stab    
,trger4 ,fgte man in  das ,zeichen fr   
,mund das ,zeichen fr ,brot ein1 so     
erhielt man3 essen1  und das eingefgte  
9999symbol 7,wasser7 ergab trinken und  
trnken4 ,die  ,schlacht wird dargestellt
 als ,handwerk des ,kriegers1 der ,regen
 als  9999symbols gleich ,wasser des    
,himmels1 die ,trnen als ,wasser des    
,auges  9999symbols2 ,vater als ,schtzer
 des ,hauses zu erklren unter ,hinweis  
auf das entsprechende lateinische pater 
familias scheint allerdings  zweifach   
fehlerhaft1 insofern das ,zeichen im    
,haus den ,feind bedeutet  und das      
sanscrit paar schtzen mit piter ,vater  
gar nichts zu tun  hat4 ,die ,verkrzung 
des a zu i in ,jupiter und der          
,komposition 7z4 ,b4  suscipio7 ist eine
 ganz spez4 lateinische                 

,eigentmlichkeit4 ,eins der             
schlagendsten ,beispiele ist ,mond oder 
,monat1 das durch ,tag und #cj          
bezeichnet wird2 9999symbol und         
9999symbol also 9999symbol4             
,sidenote3 ,die ,gunierung4    ,ein     
ebenso einfaches wie weittragendes      
,mittel der ,weiterbildung ist die  von 
den ,babylonisch-,assyrischen           
,grammatikern gun1 d4 i4 ,beschwerung1  
genannte ,steigerung4 ,sie besteht in   
der ,hinzufgung von #d ,strichen oder   
,keilen1 d4 h4 also ,paare von ,paaren1 
die aus ,rcksicht auf den ,raum         
mitunter auf drei reduziert werden4 ,so 
wird aus 9999symbol ,wohnung1  ,wohnraum
 durch ,gunierung 9999symbol ,palast1   
,residenz1 ,grossstadt1 und  damit das  
,determinativ fr die ,sitze der         
,pateissi4 ,aus 9999symbol dem  ,bilde  
des ,unterschenkels mit ,fuss1 das      
zugleich gehen1 stehen1 stellen  etc4   
bedeutet1 wird durch ,gunierung         
9999symbol ,fundament4 ,zu den  von den 
,babylonischen ,grammatikern1           

insbesondere von dem so usserst         
wichtigen ,syllabar b der ,bibliothek   
,sardanapals 7s4 u47 gegebenen hat  ,d4 
eine ganze ,reihe neuer ,gun ,idiogramme
 abgeleitet1 von denen ich  erwhne das  
,schwert als grosser ,dolch2 der        
,vollmond ist der gunierte  ,mond1 d4 h4
 der grosse1 volle1 ,mond1 die          
,monatsmitte1 die vom ,neulicht  7s4 u47
 gezhlt wurde und dann ,mitte           
schlechtweg1 archaisch 9999symbol1  und 
das ,neulicht selbst wird als der grosse
 ,eingang des ,tages oder  als ,anfang  
einer ,tagesreihe guniert geschrieben4  
,es ist ,d4 gelungen1  fr einen sehr    
grossen ,teil der ,idiogramme meist     
recht einleuchtende  ,ableitungen zu    
geben1 auf ,grund derer er es eben wagen
 konnte ein ,bild  des ,kulturzustandes 
der ,sumerer nach ,erfindung der        
,schrift zu geben4  ,und selbst         
,erklrung wie die des ,zeichen fr       
,mensch 9999symbol als des  auf das     
,antlitz geworfenen ,knechts oder       
,hundes der ,gtter sind in  ,anbetracht1

 dass es ,priester waren1 welche die    
,schrift erfanden1 nicht  unglaubwrdig1 
und recht einleuchtend ist die ,erklrung
 fr ,ehemann  oder ,frau als ,verbindung
 von 9999symbol und 9999symbol durch das
  ,vereinigungszeichen 9999symbol p4    
#afa 7vgl4 ,abb474    ,illustration     
,sidenote3 ,die ,determinative und das  
phonetische ,komplement4    ,die        
,schwierigkeiten1 welche die            
,vieldeutigkeit der ,wort- und          
,silbenzeichen boten1 wurden durch zwei 
,mittel wesentlich vermindert1  erstens 
durch die ,determinative1 welche wie im 
gyptischen nicht  mitgelesen wurden1 und
 zweitens durch das sogenannte          
,phonetische  ,komplement 7,delitzsch   
,grammatik #aijg1  #cc a74 ,die         
gebruchlichsten  ,determinative sind    
9999symbol ilu ,gott sum4 an1 das nur   
vor ,an7u7  fehlt1 dem ,himmelsgott1 der
 ja selbst mit an bezeichnet ist1       
9999symbol  vor ,lndern und ,gebirgen1  
,fluss ,kanal 9999symbol 7,euphrat71    
,baum  9999symbol1 ,gert altertmlich    

,holz 9999symbol4 ,mitunter wurden die  
,determinative wie bei den gyptern      
nachgesetzt1 so hinter ,stdten ,ki  und 
hinter ,fischen a4    ,das phonetische  
,komplement besteht in der ,hinzufgung  
einer oder auch  zwei ,silben um durch  
,bestimmung der ,schlusssilbe 7n7 die   
richtige  ,lesung zu sichern4 ,das      
sumerische ,silbenzeichen 9999symbol fr 
kur  bedeutet als ,wortzeichen ,berg    
adu1 ,land mtu1 erobern kaadu etc4      
,folgt auf kur1 u1 a1 i1 plur-e4 --     
,pluralzeichen nachgesetztes            
9999symbol1 vielleicht gunierte eins -- 
so sichert dies adu -- a --  i1 etc41   
whrend ,kur-ti1 ,kur plur-ti auf mti1   
mtati 7,lnder7 und  ,kur-ud auf aksud   
7ich eroberte7 hinfhrt4    ,sidenote3   
,babylonisch-,assyrische ,ausgrabungen4 
,in unerwarteter ,weise haben wir ber   
die ,kultur1 der diese ,sprache  diente1
 ,aufschluss erhalten durch die         
,ausgrabungen einer ganzen ,anzahl  von 
,tempelbibliotheken4 ,im ,jahre #ahed   
entdeckten ,rassam und ,layard  im      

,trmmerhgel von ,kujundschik1 einem     
,dorf gegenber ,mossul1 die  ,bibliothek
 ,assurbanipals1 das ist ,sardanapal1 in
 dem ,nordpalast dieses  vielleicht     
grssten assyrischen ,frsten zu ,ninive1 
dessen ,regierung von  #ffh-fbf fllt4   
ber #bbjjj sorgfltig gebrannte          
,tontfelchen oder ,stcke  solcher       
,tafeln sind allein im ,british ,museum 
geborgen4 ,es sind ,tafeln1  deren      
,flche von #cg  #bb und #b1d  #b        
variiert bei einer mittleren ,dicke  von
 #b1d4 ,vorder- und ,rckflche1 ja       
vielfach auch die ,seitenwnde sind  mit 
sorgfltiger ,schrift beschrieben2 die   
,tafeln enthalten ,lcher  zur ,aufnahme 
kleiner ,holzpflcke1 mit denen die      
,tafeln zu ,bchern  aufgereiht wurden4  
,die ,zusammensetzung ist vielfach      
dadurch ermglicht1  dass1 hnlich wie bei
 unsern ,akten1 das letzte1 fr sich     
stehende1 ,wort  einer ,tafel das       
,anfangswort der folgenden ist4 ,eine   
,anzahl ,tafeln ist  durch ein mit      
,adresse versehenes ,kuvert1 natrlich   

aus ,ton1 geschtzt2  wir haben hier den 
,ursprung unserer ,briefkuverts4 ,es ist
 die lteste  eigentliche ,bibliothek1 d4
 h4 absichtliche ,sammlung zur          
,bewahrung  der ,literatur und zu       
wissenschaftlichen ,zwecken4 ,sehr      
vielfach sind  sorgfltige ,abdrcke      
lterer ,schriften erhalten4             
,sidenote3 ,die ,ausgrabungen von       
,nippur4    #ahgd fanden ,araber in     
,babylon mehr als #cjjj beschriebene    
,tontafeln  geschftlichen ,inhalts1     
#ahha entdeckte ,rassam die ,ruinen von 
,sepharwaim und fand bei ,ausgrabungen  
des ,sonnentempels das ,archiv1 das  aus
 ,tonzylindern und ber #ejjjj allerdings
 sehr schlecht gebrannten  ,tontafeln   
bestand4 ,und die ,ausgrabungen der     
,pennsylvania ,universitt  ,philadelphia
 von #ahhi an haben bereits zwei grosse 
,bibliotheken in  ,nippur zutage        
gefrdert1 wo das lteste grosse          
,landes-,heiligtum des  ,bel matti1 des 
,herrn der ,lnder1 ekur1 das ,haus des  
,berges1 stand4  ,die bedeutendere ber  

#c ,jahrtausende v4 ,chr4 alte1 ist     
durch den  schon erwhnten ,einfall der  
,elamiten gewaltsam zerstrt1 whrend die 
jngere auf schlecht gebrannten ,tafeln1 
neubabylonisch1 allmhlich in  ,verfall  
geraten ist4 ber #bcjjj ,tafeln sind    
geborgen und dabei sind  erst #hj       
,zimmer oder etwa #a_/ab der ,bibliothek
 ausgegraben worden4 ,aus  einer ,reihe 
von ,anzeichen im ,boden schliesst      
,hilprecht1 der ,leiter  der            
,ausgrabungen1 dass in der untersten    
,schicht der ,hgel noch eine  ltere vor 
,sargon1 d4 h4 vor #cjjj entstandene    
,bibliothek verborgen  liegt4 ,hilprecht
 bezeichnet die ,bibliothek geradezu als
 ,universitt1  die sogar nach ,fakultten
 gegliedert war2 eine ,anzahl ,sle      
enthielt die  philologische ,abteilung1 
eine andere die                         
astrologisch-astronomische1  wieder eine
 andere die technische etc4 ,im         
untersten ,grund des  ,tempelturmes fand
 ,hilprecht vorzglich erhalten aus dem  
#e4 oder #d4  ,jahrtausend v4 ,chr4 eine

 ,kanalisations-,einrichtung1 die die   
unseren  beschmt4 ,in mchtigen          
,tonnengewlben1 die noch den ,rmern     
unbekannt  waren1 eingebettet in eine   
,art ,zement1 zwei ,tonrohrleitungen mit
 ,knie-  und ,t-,stcken1 so dass jede   
,reparatur ohne ,belstigung des         
,publikums  vorgenommen werden konnte4  
,illustration3 ,turm zu ,borsippa4      
,sidenote3 ,tempelanlage1               
,priesterausbildung4    ,eine solche    
,tempelanlage bestand aus dem in        
,terrassen gelegentlich auch  mit       
,rampen in #g ,etagen aufgefhrten hohen 
,turme2 ich erinnere an den  ,turm zu   
,borsippa 7vgl4 ,abbildung71 zu ,babel1 
den ,esagila1 auf dessen  ,hhe der ,gott
 wohnt1 in dessen ,mitte die ,menschen  
verkehrten und der  unten mit der       
,unterwelt zusammenhing4 ,daran schloss 
sich der ,palast der  ,priesterfrsten   
und die besonderen ,gebude der          
,unterrichtsanstalten1  das ,archiv1 die
 ,verwaltungsgebude4 ,ein solcher       
,tempel war nicht nur  ,kultsttte1      

nationales ,heiligtum1 ,sitz der        
,frsten1 sondern ,landgut und  ,fabrik1 
,bank1 ,archiv und ,handelshaus4 ,die   
,tempel waren stets nach den #d         
,himmelsgegenden genau ausgerichtet1    
daher bedeutet das ,richtungszeichen    
7s4 o47 auch ,tempelfundament und das   
gunierte ,zeichen 9999symbol  die ,erde 
selbst als das grosse ,fundament1 da    
nach der ,babylonischen                 
,weltschpfungssage die ,erde nach den #d
 ,kardinalpunkten ausgerichtet ist4     
,illustration3 ,tonnengewlbe der        
,kanalisation von ,nippur4    ,wie      
sorgfltig der ,unterricht war1 und wie  
mhsam die ,vorbereitung  eines jungen   
,priesters1 davon knnen wir1 die ber    
berbrdung  klagen bei unserm bisschen   
,unterricht1 uns kaum eine ,vorstellung 
machen4 ,schrift und ,sprache allein    
wrden kaum von uns heutigen  bewltigt2  
hunderte von ,schriftzeichen1 die       
zusammen in mehr denn  #abjjj           
verschiedenen ,anwendungen gebraucht    
wurden1 die alle den  ,adepten gelufig  

sein mussten2 das ,schreiben selbst     
schon so viel  umstndlicher4 -- ,zu den 
wichtigsten ,entdeckungen gehren auch   
die bei  gypten besprochenen ,funde von 
,tell ,amarna #ahhh4    ,illustration3  
,hochrelief ,urnina1 ,knig von ,telloh  
und seine ,familie4    ,sidenote3       
,babylonisch-,assyrische ,kunst4    ,die
 ,kunst zeigt ganz analoge ,entwicklung 
wie die gyptische4  ,von                
naturalistischen ,anfngen wo die        
,kalamones1 das ,rohrgeflecht  der      
,euphrat- und ,tigrismndung als ,vorbild
 dienten1 eine rasche  ,entwicklung2    
dann ein ,sinken1 und wieder ein        
,emporblhen4 ,die erste  ,bltezeit      
entwickelt sich etwa in #bjj ,jahren2   
altsumerisch bezeichnet  den ,anfang    
etwa das ,hochrelief ,urnina1 ,knig von 
,telloh etwas vor  #cjjj1 und seiner    
,familie2 der verhltnismssig            
riesengrosse ,knig1  links1 trgt auf dem
 ,kopf in einem ,korbe ,erde zum ,bau   
seines ,tempels  herbei 7vgl4 ,abb474   
,die genauere ,erklrung bei ,e4 ,meyer  

l4 c4 p4 #gg ff4  ,die nchste ,stufe    
wird verdeutlicht durch die berhmte     
,geierstele  7vgl4 ,abb471 welche den   
,sieg eines ,vorgngers von ,gudea1 des  
,eannatum  ber die feindlichen ,nachbarn
 von ,gishu darstellt1 vgl4 ,meyer p4   
#hb4 ff4 ,es wird die ,hilfe des        
,lokalgottes von ,telloh1 des ,ningirsu1
  verherrlicht1 das ,relief zeigt grosse
 ,fortschritte1 sowohl in der           
,komposition als in der ,technik des    
,hochrelief4 ,unter semitischem         
,einfluss erhebt sich die ,kunst zu der 
,hhe1 welche sie unter ,sargon  und     
,naramsin erreicht1 wofr die herrliche  
,siegesstele des ,naramsin1  von den    
,franzosen unter de ,morgan in ,susa    
gefunden1 der vollgltige  ,beweis ist1  
vgl4 ,meyer p4 #aj ff4 ,diese ,blte     
semitischer ,kunst  beeinflusst auch die
 sumerische1 wofr die ,fundstcke aus der
 ,periode  ,gudeas zeugen4 ,im          
,gegensatz zu dem ,mangel an            
,proportionen bei den  ,sumerern sind   
die ,gestalten schlank und proportional1

 und die ,technik  des ,relief steht auf
 grsster knstlerischer ,hhe4            
,illustration3 ,rckseite der            
,geierstele4    ,illustration3          
,vorderseite der ,geierstele4           
,illustration3 ,relief von den          
,bronzetren aus ,balawat4    ,diese     
,blte hlt an bis auf ,chammurabi und    
seine nchsten ,nachfolger1  die ,knige  
von ,sumer und ,accad4 ,aber mit dem    
,sinken der ,macht dieses               
altbabylonischen ,reiches sinkt auch die
 ,kunst1 um dann unter der  ,assyrischen
 ,macht neu emporzublhen1 etwa von      
,nebukadnezar ,i41 von  #aaej an1 sie   
erreicht unter ,sargon ,,ii4 und        
,sanherib ihre ,hhe1 und  hlt sich auf  
dieser bis ,sardanapal bis etwa #fjj4   
,ich fhre als  ,beispiel hier die       
,bronzetren ,salmanassar ,,ii4 aus      
,balawat 7vgl4 ,abb471  ferner den      
,urkundenstein ,kudurru1 aus dem        
,berliner ,museum1 der die  ,belehnung  
des ,magnaten ,bel-ache-irb seitens des 
,knigs ,mardukbaliddin  ,,ii4 #gae      

darstellt 7vgl4 ,abbildung74 ,meyer     
findet in diesem ,stein den  semitischen
 ,typus am reinsten ausgeprgt4 ,dazu die
 ,dmonen 7vgl4  ,abbildung71 ,engel- und
 ,tierkolosse1 die wunderbaren ,mosaiken
 der  ,fussbden in den ,palsten von     
,khorsabad 7vgl4 ,abb471 und vor allem  
die  herrlichen ,tiergestalten in bunter
 ,mosaik aus der ,zeit ,nebukadnezar    
,,ii41 ,sargons etc4    ,illustration3  
,mosaik aus dem ,palaste ,sargon ,,ii4  
,sidenote3 ,babylonisch-,assyrische     
,wissenschaft4    ,wie es mit der       
,wissenschaft steht1 bleibt noch zu     
untersuchen4 ,von  der                  
,rechtswissenschaft wissen wir1 dass sie
 sich bedeutend entwickelt  hatte1      
insbesondere das ,handelsrecht stand auf
 einer ,hhe1 die dem  rmischen nichts   
nachgibt4 ,wir kennen die ,siegel und   
,namen grosser  ,handelsfirmen wie      
,egibi und ,shne am ,euphrat zur ,zeit  
,nebukadnezars  und die ,firma ,maraschi
 ,shne zu ,nippur zur ,zeit ,ezras und  
,nehemias4  ,wir wissen1 dass sie       

,filialen in allen ,grossstdten hatten1 
und dass  der ,schekverkehr1 unsere     
neueste ,errungenschaft1 bei den        
babylonischen  ,grossfirmen gang und gbe
 war4    ,illustration3 ,belehnung des  
,belacheirba durch ,knig ,mardukbaliddin
 ,,ii4    ,sidenote3 ,medizin1          
,mathematik4    ,aus den ,beitrgen zur  
,kenntnis der assyrisch-babylonischen   
,medizin  von ,f4 ,kchler 7,assyrische  
,bibliothek von ,delitzsch und ,haupt   
,,xviii  #aijd7 sehen wir1 dass die     
,priesterrzte1 abgesehen von den blichen
  ,beschwrungen1 ,omina etc4 ber eine   
sehr ausgedehnte ,pharmazie  geboten4   
,es ist bekannt1 dass die griechische   
,heilkunst stark von der  babylonischen 
beeinflusst ist1 und auf ,hippokrates   
geht unsere ,medizin  zurck4 ,unser     
altes ,apothekergewicht ,gran1 ,skrupel 
geht auf ,babylon  zurck 7vgl4 ,kchler  
,s4 #hd i'u74 ,geht doch auch ,stab und 
,ring unserer  ,bischfe auf             
altbabylonische ,gtterdarstellungen     
zurck 7,winkler1 die  ,gesetze          

,hammurabis #aijd p4 ,,vi74    ,eine    
neue ,ausgabe des ,theophrast ist in    
,vorbereitung und hoffentlich  wird man 
auf dem ,umweg ber die ,griechische     
einigen ,aufschluss ber die             
,babylonische ,pharmakologie erhalten4  
,wenden wir uns nun zur ,mathematik der 
,babylonier1 so mssen wir  sagen1 dass  
von reiner ,mathematik bis jetzt        
verhltnismssig wenig  entziffert ist4   
,das wichtigste sind die sogenannten    
,tafeln von  ,senkereh 7,larsa7 aus dem 
#c4 ,jahrhundert v4 ,chr41 de facto eine
 in zwei  ,stcke zerbrochene ,tafel2 die
 astronomischen ,bcher aus der kniglich 
,sardanapalschen ,bibliothek und die #a 
#a ,tabellen von ,nippur4 ,hilprecht    
sagt3 in geradezu staunenswerter ,weise 
wurde das #a  #a gebt4    ,illustration3
 ,dmon mit ,flgeln4    ,m4 ,h4 ,in      
unserer ,kulturgeschichte wird es als   
hohes wissenschaftliches  ,verdienst des
 ,petrus de ,dacia1 ,rektors der        
,sorbonne vom ,jahre  #acbh gerhmt1 das 
#a  #a bis zu #ej  #ej fortgesetzt zu   

haben1 und  ,hilprecht versichert1 dass 
er in der im #c4 ,jahrtausend zerstrten 
,bibliothek ,tafeln des #a  #a bis #acej
 in der ,hand gehabt hat4 ,das kleine   
#a  #a ging bis zur #fj 7s4 p4 #aac     
ff474    ,illustration3 ,bruchstcke der 
,geierstele1 ,vorderseite4    ,sidenote3
 ,mnz-1 ,mass- und ,gewichtssystem4     
,uns sind zwei ,zahlsysteme bekannt2 das
 eine ist rein dekadisch1  das andere1  
ltere1 ist sexagesimal und hngt auf das 
genaueste  mit dem babylonischen        
,gewichts-1 ,mnz- und ,masssystem       
zusammen1  dessen ,einteilung uns in der
 ,tafel von ,senkereh und in zahlreichen
  griechischen1 rmischen und jdischen   
,quellen enthalten ist4 ,es ist  ja die 
,bibel erst nach der babylonischen      
,gefangenschaft redigiert und  zeigt in 
allen ,namen der ,masse und ,gewichte   
babylonischen ,einfluss4  ,seit der     
grosse ,philologe ,august ,boeckh das   
,mnz- und ,gewichtssystem  der ,rmer    
erschlossen und in der vergleichenden   
,betrachtung der  ,masse ein wichtiges  

,mittel erkannt hat um den ,handels- und
 sonstigen  ,verkehr der ,vlker zu      
erkennen1 haben eine ,reihe von         
,forschern1 ich  nenne ,brandis1        
,ginzel1 ,lehmann und vor allen ,boeckh 
selbst  dargetan1 dass die ,wiege der   
,messkunst in ,babylon steht1 und die   
,masse  der ,babylonier in              
ausgedehntester ,weise bis zum          
,metersystem ,gltigkeit  hatten1 ja1 zum
 ,teil heute noch gelten4 7cf4 ,c4 ,f4  
,lehmann1 das  altbabylonische ,mass-   
und ,gewichtssystem als ,grundlagen des 
antiken  ,gewichts-1 ,mnz- und          
,masssystem4 #h4 intern4 ,orient4       
,kongress1  ,bastiansche ,zeitschrift fr
 ,ethnologie #ahhi4 ,verh4 der ,berl4   
anthrop4  ,gesellschaft #ahhi4 ,als     
selbst4 ,schrift ,leiden #ahic47        
,illustration3 ,gewicht in ,lwenform4   
,die ,babylonier hatten vor #ejjj       
,jahren ein geschlossenes ,masssystem1  
das  in seiner ,anlage unserm metrischen
 ,system sehr hnlich war4 ,wie bei uns  
das ,zehntel des ,meters die ,kante des 

,wrfels bildet1 der ein ,liter  fasst   
und der mit destilliertem ,wasser von #d
 ,c4 gefllt bei der ,wgung  das         
,kilogramm gibt1 so ist das ,zehntel der
 babylonischen ,doppelelle  die ,basis  
des ,hohlmasses1 dessen ,wassergewicht  
die ,mine gibt4 ,es sind  uns           
knstlerisch geformte ,gewichte in       
,eisen- und ,bronzearbeit mit           
,entenform und ,eberkpfen und besonders 
in ,lwenform und ausserdem  einige      
justierte ,gewichte erhalten4    a7     
,frher ,eigentum des ,dr4 ,blau3 ,ein   
sehr harter dunkelgrner  ,stein sehr    
sorgfltig geglttet1 oval1 der in        
altbabylonischer  ,keilschrift und in   
sumerischer ,sprache 7die ja auch       
idiographisch als  babylonisch-assyrisch
 gelesen werden kann7 die ,inschrift    
hat3      #a_/b ma na gina -- gal 7mulu7
  dingir  igi  ma na                    
,mensch        ,gott  ,auge  ,mine    d4
 h4 #a_/b ,mine richtig1 der ,diener des
 ,gottes1 der das ,auge auf der  ,mine  
hat4    ,sidenote3 ,metrologie4    ,die 

,masse unterstanden gttlichem ,schutz2  
in ,athen waren die  ,normalmasse auf   
der ,akropolis2 in ,rom auf dem ,kapitol
 und im ,tempel der  ,juno moneta       
verwahrt 7,generalaichamt74             
,illustration    b7 ,in der             
,vorderasiatischen ,abteilung des       
,berliner ,museums aus  demselben       
,material #a_/f ,mine1 ,inschrift       
unentzifferbar4    c7 ,das ,gewicht der 
amerikanischen ,wolfe ,expedition #ahhe 
7,americ4  ,orient4 ,soc4 ,proceedings  
at ,new ,york #ahhe71 das die bei den   
sogenannten  ,zylindern mit ,bau- und   
,weihinschriften bliche ,fsschenform    
hat1 aus  gleichem ,material1 es wiegt  
fast genau doppelt soviel wie b1 ist    
also  #a_/c ,mine und das besttigt die  
,inschrift3    ,illustration    #a7     
#a_/c u gina1 #b7 e--kalm ,nab -- sum --
 esir 7871 #c7 ablim ,da--lat  7871 #d7 
4444 pte--is--si ili ,marduk    d4 i4   
#a_/c ,mine in ,schekel n ausgedrckt    
,palast des ,nab41 ,sohnes  des ,d41    
,frstpriester des ,marduk 7,lehmann1    

,verh4 der ,berl4 anthrop4              
,gesellschaft #ahia2 ,j4 ,oppert1       
,l'talon des mesures assyr41 ,extrait du
  journal asiat4 ,paris #ahge74    ,die 
,gewichte in ,entenform sind erheblich  
ungenauer1 aber als                     
,durchschnittsgewicht ergibt sich #dia1b
 ,gramm fr die leichte ,mine1  #ihb1d fr
 die schwere4 ,indem man die            
,kubikwurzel aus #ihb1d zieht1  ergibt  
sich fr die #aj;fache ,wurzel1 das ist  
die ,doppelelle #iib1ce  mm4 ,nun ist   
die ,lnge des ,sekundenpendels fr den   
#ca4 ,breitengrad  #iib1ce mm1 und nach 
der ,hypothese ,lehmanns1 welche        
,helmholtz plausibel  erschien1 hatten  
die ,babylonier zur ,zeit ,gudeas den   
,gedanken ,huygens1  die ,lnge des      
,sekundenpendels als natrliches         
,lngenmass zu verwerten1  schon         
vorweggenommen4 ,als ,besttigung der von
 ,lehmann gegebenen  sogenannten        
gemeinen ,norm dient dann eine ,ende des
 ,jahres #ahic in  ,babylon zum         
,vorschein gekommene ganze ,mine1 die   

nach ihrer ,legende  eine ,kopie aus der
 ,zeit ,nebukadnezar ,,ii4 #fjg-efa nach
 einer ,mine aus  der ,regierungszeit   
,dungis ist1 des ltesten erreichbaren   
,knigs eines  grossen ,teils von        
,babylon etwa um #cbjj2 die ,mine1      
welche sich jetzt im  ,british ,museum  
befindet1 hat ein ,gewicht von #igi1b   
,gramm4    ,die meisten und wichtigsten 
antiken ,gewichte sind direkte          
,abkmmlinge  der babylonischen gemeinen 
,norm1 bezw4 der daraus gebildeten      
,silbermine1 welche #aj_/i der          
,gewichtsmine ist4                      
schwer   leicht    ,teilbetrag #fj_/fj2 
,gewichtsmine        #ihb1d   #dia1b    
#ej_/fj2  ,goldmine            #hah1f   
#dji1c              #ej_/de2  babyl4    
,silbermine  #ajia1e   #ede1h           
#ajj_/ace2 phniz4 ,silbermine  #gbg1f   
#cfc1h                       gypt4      
,goldmine             #dji1ca           
babyl4 ,silbermine  #f gypt4 ,pfund  #aj
 ,lot4    ,die rmisch-athenische ,elle  
#aj_/i der babylonischen gemeinen ,elle1

  der ,fuss  #b_/c ,elle und der        
,schritt  #e ,fuss  #a-b_/c ,elle       
#a-a_/b  babylonischen ,elle4    ,wir   
rechnen heute #aad ,schritt in der      
,minute fr die deutsche ,armee1 die     
,babylonier #abj ,schritt  #ahj ,ellen1 
also auf die ,doppelminute #cfj  ,ellen4
    ,j4 ,brandis3 das ,mnz-1 ,mass- und 
,gewichtssystem in ,vorderasien  bis auf
 ,alexander den ,grossen1 ,berlin #ahff4
 ,brandis setzt das  ,wertverhltnis des 
,goldes zu ,silber bei den ,babyloniern 
wie #dj3c   #cfj3bg 7wie ,jahr3,monat74 
,die ,tafel von ,senkereh und das       
,zahlsystem4    ,sidenote3 ,die ,tafel  
von ,senkereh4    ,im ,jahre #ahed fand 
der ,ingenieur ,w4 ,k4 ,loftus in den   
,ruinen von  ,larsam beim heutigen      
,senkereh eine leider stark verstmmelte 
,tafel1  die aber doch fr die ,kenntnis 
des ,zahl- und ,masssystems von grsster 
,wichtigkeit geworden ist4    ,die      
,tafel von ,senkereh enthlt auf der     
,rckseite drei ,kolonnen3 a7  die       
,zahlen von #a-ci mit ihren ,quadraten1 

b7 die ,zahlen der ,quadrate  mit ihren 
,wurzeln #a-ci1 c7 die ,kubikzahlen von 
#a-ci4 ,zu b ist in  ,kujundschik1 der  
,residenz ,salmanassars eine ,ergnzung  
gefunden1 welche  die ,quadrate der     
,zahlen von #dd-fj enthlt4 -- ,auf der  
,vorderseite ist1  stark verstmmelt in  
,kolonne ,i und ,,ii eine ,tabelle1 die 
nach ,finger1  ,ellen und deren         
,vielfachen bis zu #b ,kaspu            
fortschreitet2 ,kol4 ,,iii und  ,,iv    
enthlt dann eine ,tabelle1 die zwei     
,masssysteme vergleicht1 deren  erstes  
die gewhnlichen ,bezeichnungen des      
,lngenmasses trgt1 whrend  die zweite   
nur in unbenannten ,zahlen              
fortschreitet4    ,sidenote3            
,zahlsystem4    ,ehe ich auf die        
,erklrung der ,tabelle eingehe1 muss ich
 ber das  babylonische ,zahlsystem      
sprechen4 ,es sind zwei ,zahlsysteme in 
,gebrauch1  das eine dekadisch1 das     
andere ltere sexagesimal1 das bei       
,massen und  in der ,astronomie sich    
erhalten hat4 ,es ist mglich1 dass die  

dekadisch  ,zhlenden die ,semiten1 und  
die ,sexagesimalen die ,sumerer waren4  
,nach ,lehmanns ,angaben ber die        
sumerischen ,zahlzeichen1 die z4 ,b4 #g 
als #e  #b wiedergeben1 kann ein        
,fnfer-,system das ursprngliche der     
,sumerer gewesen sein1 und das          
,sexagesimalsystem sich von den grossen 
wissenschaftlichen ,zentren aus als     
ursprnglich gelehrte ,schpfung  zunchst 
auf die ,gebildeten und die ,priester   
verbreitet haben1 aus  denen sich die   
,schreiber 7,staatsbeamten7 und         
,handelsherren rekrutierten4    ,sie    
hatten nur zwei ,ziffern1 den einfachen 
,keil fr eins1 istan1 isten  als        
,zahlwort ist1 aus dessen ,hufung die   
,einer gebildet werden1 und  9999symbol 
#aj esru1 ,plural esrit2 dazu kommt     
spter das gemeinsame  semitische 7auch  
gyptische7 ,zahlwort me #ajj geschrieben
 9999symbol4    9999symbol ist eins und 
die ,einer werden durch den betreffenden
 ,haufen  von ,keilen gebildet2 z4 ,b4  
9999symbol si-ba sibista1 die ,zehner   

durch  eben solche ,haufen der ,zahl #aj
 9999symbol esru esertu1 eserte esrit1  
also #aa 9999symbol isten srit4    #a   
isten1 #b sina1 #e hamsu1 #ajj m        
9999symbol1 #ajjj fr das wir bislang    
kein ,zahlwort haben als #aj  #ajj      
9999symbol4 ,dies ist aber zu einem     
eignen ,zahlzeichen geworden1 9999symbol
 ist nicht #bjjj sondern  #aj  #ajjj    
#ajjjj und 9999symbol wrde #ajjjjj sein4
    ,das zweite ,system hat zur         
,einteilungszahl #fj und seine          
bereinheiten  wie #fjb1 #fjc1 seine     
,untereinheit ist #a_/fj1 deren         
,untereinheit  7#a_/fj7b1 die ,eins     
wird1 wie sie bei uns als #ajj1 so hier 
als  #fjj angesehen4 ,alle diese ,zahlen
 drckt dasselbe ,zeichen aus1 der       
einfache ,keil1 und die ,bedeutung      
ergibt sich wie in unserm sogn4         
indisch-arabischen ,system durch        
,position4    ,die #fj heisst sussu     
7,schock71  der ,hellenen1 soss         
assyrisch1  9999symbol1 die #fjb heisst 
,sar1 ,saros der ,hellenen 9999symbol4  

,daneben gibt es ,einheiten ,,ii4       
,klasse1 wie sie ,lehmann nennt4        
#fjc     #fjb   #fj     #a_/fj          
7#a_/fj7b        #cfjjjsar #fjj  #aja_/f
    #a_/cfj        #a_/bafjj            
oder                                    
ner   #f                          fr    
#fjj ist ein eignes ,zahlwort 9999symbol
 ner durchaus belegt und  volkstmlich   
gewesen2 so ist      9999symbol  #fgb   
#aa  #fj  #ab4    ,sidenote3 ,das       
magische ,quadrat4    ,als              
interessantestes ,beispiel              
altchaldischer ,rechnung gebe ich ,ihnen
  die ,bildung des ,quadrats von #fec   
nach einer von ,j4 ,oppert edierten     
magischen ,tafel1 welche aus der        
gleichen ,zeit stammt 7,zeitschrift fr  
,assyriologie #aijc ,bd4 #ag pag4 #fj74 
,die ,zahl #fec ist unter dem ,namen    
,sulbr  ,ewigkeit die magische ,zahl ' 2
    #e  #fec  #cbfe ist die             
,phnixperiode2 #fec ist gleich #bib     
#cfa  und #e  #bib  #adfj ist die       
,sothisperiode2 #e  #cfa  #ahje ist die 

,lunarperiode4 ,ich bemerke1 dass die   
hohe ,wertung der ,zahl #fec ein        
,argument fr ein ursprngliches          
,fnfersystem 7wie bei den ,azteken7 ist4
    ,die ,rechnung gestaltet sich wie   
folgt3      #a7 9999symbols             
9999symbols         #f ,soss #dj idem   
7#djjb7              #dd ,sar #bf ,soss 
#dj  #afjjjj      #b7 9999symbols       
9999symbols         #b ,soss #b  #b     
,soss #b  #abbb         #d ,sar #h ,soss
 #d  #adhhd      #c7 9999symbols        
9999symbols         #cj   #cj_/fj   #cj 
#bg_/fj           #ae ,soss  #bi  #ibi  
#d7 9999symbols                         
9999symbols         #a ,soss #ed  #ad   
,soss  #bd             #bg ,sar  #ba    
,soss   #cf   #ihdif      #e7           
9999symbols                             
9999symbols         #f ,soss   #cj  idem
                   #db ,sar #ae ,soss   
#aebajj      #f7 9999symbols            
9999symbols      ,summe #b ,soss minus  
#b ,sar #b ,ner #f ,soss  #di   von     
welcher ,zahl ist es                    

das ,quadrat4         ,also3 #aah  #fjb 
#b  #fjj  #f  #fj  #di  #dbfdji4        
#g7 9999symbols                         
9999symbols         7,von7 #f   #e  #c  
7ist es das7 ,quadrat4    ,also3 #fecb  
#dbfdji ist zerlegt in3                 
#djjb  #afjjjj               #abbb      
#adhhd    #cj-a_/b  #cj-i_/bj     #ibi  
#aad  #hfd   #ihdif               #cijb 
#aebajj    ,sidenote3 ,die ,tafel von   
,senkereh4    ,ehe ich diese ,rechnung  
weiter bespreche1 mchte ich ,ihnen die  
,tafel  von ,senkereh in #d;facher      
,vergrsserung aus dem grossen und       
kostbaren  ,rawlinson'schen ,werke      
vorfhren und ,sie auf gewisse           
,eigentmlichkeiten  der ,tafel          
aufmerksam machen4 ,leider steht mir nur
 die erste ,auflage  und nicht die      
wesentlich vernderte zweite ,auflage zur
 ,verfgung4  ,sie sehen in der ,tabelle 
,no4 #b die ,tafel der ,quadrate der    
,zahlen von  #a-fj mit einer ,lcke von  
#be-dd1 so dass das ,quadrat voransteht1
 d4 h4  also die ,tabelle ist zum       

,wurzelziehen eingerichtet und daneben  
zum  ,quadrieren4 ,die ,tabelle1 welche 
die berschrift ,reverse trgt1 ist eine  
,tafel der ,kubikzahlen von #a-cb4 ,die 
wichtigste ,tafel1 die 7irrtmlich7  die 
berschrift ,obverse trgt1 ist die rechte
 ,tabelle1 die fr die  ,metrologie von  
entscheidender ,bedeutung geworden4     
,nun sehen ,sie1 bitte1 mal hier        
9999symbol 7#c7 und dort 9999symbol     
7#aba7 und bedenken ,sie die #d;fache   
,vergrsserung1 dann werden ,sie  sehen1 
welche bung und ,schrfe ntig war um die1
 wie ,sie schon an dem  ,beispiel #fec  
gesehen haben und wie bei der           
,besprechung der ,astronomie  noch      
deutlicher hervorgehen wird1 recht      
komplizierten ,rechnungen  auszufhren   
mit einem ,system von #b ,ziffern2 es   
ist klar1 dass sehr  ausgedehnte        
,tabellen diesen ,rechnern vllig gelufig
 sein mussten4  ,kritisch wrde die      
,sache bei #fa sein1 aber ich vermute1  
denn die ,zahl  ist m4 ,w4 nicht        
gefunden1 sie wrden ebenso wie sie dort 

9999symbol #abj  sehen1 ganz ruhig      
geschrieben haben 9999symbol und es dem 
,scharfsinn  des ,lesers berlassen haben
 darin #fj  #a oder #a  #a zu sehen4    
,sidenote3 ,die magische ,rechnung4     
,ich komme nun auf unsere magische      
,tafel und die ,rechnung zurck4         
,berossus und ,eusebios von ,csarea     
berichten uns1 dass die ,chalder  ihre  
heroische ,zeit auf #fj  #fec geschtzt  
haben1 die ,bibel gibt  von ,erschaffung
 der ,welt bis auf ,abraham #bib ,jahre 
und von ,abraham  bis zum ,ende der     
,genesis #cfa1 macht #fec ,jahre4       
,gerade diese beiden  ,bestandteile der 
,zahl sind das1 was sie zur magischen   
,zahl gemacht  hat4 #e  #bib  #adfj ist 
die ,sothisperiode1 die ,anzahl der     
,jahre1 die  vergeht bis der ,anfang des
 brgerlichen ,jahres zu #cfe ,tagen mit 
dem  heliakischen 7heliakisch  ,aufgang 
in der ,morgendmmerung7 ,aufgang des    
,sirius zusammenfllt und #ahje oder #e  
#cfa ,jahre ist die ,lunarperiode1  die 
,zahl der ,jahre1 nach welcher der ,mond

 immer wieder die gleiche  ,stellung    
einnimmt sowohl im ,vergleich zu den    
,jahreszeiten als auch in  seinem       
,abstand von der ,sonne 7,phasen71 in   
bezug auf das ,eintreten der            
,finsternisse als auch in seiner        
,beziehung zu den ,sternen4    ,nimmt   
man das tropische ,jahr der ,babylonier 
zu #cfe;d #bdge1 so sind3      #ahje;a  
#feibga;d ferner3      #bbcbe synod4    
,monate     #feibgj;d 7,neulicht zu     
,neulicht7    #bdbbg draconische ,mon4  
#feibga;d 7,rckkehr zum ,knotenpunkt7   
#bdacj ,siderische ,mon4   #feibga      
7,rckkehr d4 ,mondes z4 ,fixstern74     
,ich will auf das ,exempel noch weiter  
eingehen1 es ist nach ,oppert  ein      
klassisches ,beispiel altchaldischer    
,zahlenmystik1 die unter  dem ,namen der
 ,kabbala bis in die neueste ,zeit1 ja  
noch heute unter  den ,juden ,galiziens 
im ,schwange ist4 ,die ,zahl und        
,rechnung spielten  im ,kulturleben der 
,babylonier eine enorme ,rolle1 jeder   
,gott hat  seine eigene ,zahl1 z4 ,b4   

,bel das ,symbol 9999symbol1 d4 h4      
,gott1 dem  die #bj zukommt1 ,marduk als
 ,stier des ,tierkreises reprsentiert   
die  9999symbol1 die ,zahl der ,zeichen 
die er anfhrt4 ,sin des ,mondes ,gott   
hat die 9999symbol vielleicht weil er in
 ltester ,zeit der ,hauptgott1          
wahrscheinlich wegen des ,monats von #cj
 ,tagen1 die ,engel-,brche etc4 ,die    
,horoskope1 die ja auch babylonischen   
,ursprungs sind1 sind ein ,ausfluss     
solcher ,zahlenmystik1 die sich von     
,babylon aus ber die ganze ,welt        
verbreitet hat4 ,wer unter ,ihnen       
bibelfest ist1 wird sich an die ,kabbala
  im ,daniel erinnern 7s4 u4            
,pythagorer74    ,wir haben bereits eine
 grosse ,anzahl solcher magischer       
,tafeln und  sehen1 wie wir auch an     
unserm ,beispiel nachweisen knnen1 darin
 die  ,anfnge der wissenschaftlichen    
,zahlentheorie1 man vergleiche          
,astronomie  und ,astrologie4    ,unter 
den wenigen aus ,khorsabad geretteten   
,inschriften haben wir  glcklicherweise 

die ,angabe des ,sargon ,,ii4 ber die   
von ihm gegrndete  ,stadt ,dar ,sarkim- 
7,khorsabad von ,e4 ,botta #ahdb-de74   
,die ,mauer war  rechteckig1 sie hat    
#afdg auf #agejm4 ,keine ,halle1 kein   
,zimmer1 kein  ,stadtplan durfte aus    
religiser ,scheu rein quadratisch sein2 
dies  scheint als eine ,verletzung der  
,ehrfurcht gegen den ,gott gegolten zu  
haben1 bei dem ,allerheiligsten war eine
 sehr enge ,annherung an das  ,quadrat  
gestattet4 ,in der ,inschrift von       
,khorsabad gibt ,sarkin nun an1  dass   
der ,umfang der ,mauer die ,zahl seines 
,namens sei2 dieser ,name ist  sar ,frst
 und kin das wir allenfalls mit mchtig  
wiedergeben knnen2  sar entsprach der   
,zahl #bj und kin #dj2 und misst man den
 ,umfang aus1  so findet sich1 dass er  
#bj  #cbfe  #dj  #adfj ,spannen1 d4 h4  
also die  ,stadt sollte #bj ,phnix- und 
#dj ,sothisperioden berdauern4    ,in   
unserer ,tafel haben wir es nun mit     
einem zyklischen ,flchenraum zu  tun1   
#fecb1 und dies ist in ,quadrate zerlegt

 bis auf #iidbe1 das in zwei  ,rechtecke
 zerlegt ist1 das ist auffallend1 da    
doch      #iidbe  #caab  #ebb2 #cjeb    
#hjb2 #bibb  #aaib2 #bhdb  #acgb2       
#bhjb  #adeb2 #bdgb  #aifb    und keine 
dieser ,mglichkeiten den ,chaldern      
unbekannt sein konnte1  die mit der     
,zerlegung von ,quadraten vollkommen    
vertraut waren4 ,ich  halte es fr       
usserst wahrscheinlich1 dass der        
,pythagoras bereits den  ,chaldern      
bekannt war und von ihnen nach ,indien  
gekommen ist4 ,die  ,ausschliessungen   
aller der ,zerlegungen muss also ihren  
guten ,grund  gehabt haben4             
,sidenote3 ,die ,zahlenmystik auf       
,tempel-,grundrisse angewandt4    ,es   
handelt sich um ein schwieriges         
arithmetisches ,problem3 ,ein  heiliges 
,quadrat von #fec so zu zerlegen1 dass  
der ,umfang der ,figur  eine ,zahl von  
,phnix- und ,sothisperioden und die     
,tiefe eine ganze  ,lunarperiode        
darstellt4 ,demgemss wrde der ,tempel   
folgendermassen  angelegt 7nach         

,oppert74 ,ein ,vorhof von #djj ,ellen  
im ,geviert1 mit  einer ffnung von #af  
,ellen1 einer ,vorhalle desgleichen von 
#abb1 eine  kleine heilige ,stelle von  
#cj-a_/b auf #cj-i_/bj1 danach ein      
langer ,gang  von #hfi auf #aad1 eine   
quadratische ,endhalle von #cij4 ,die   
,tiefe ergibt  #ahjf1 was unmerklich von
 #ahje1 der ,lunarperiode1 abweicht1 den
 ,umfang  findet ,oppert1 mittelst der  
ffnung zu #ejhf  #f  #fec  #d  #bib4    
,meine  ,berechnung ergibt aber nur     
#ejga und fr das gesamte ,mauerwerk     
#edbi4  ,die erste ,zahl kann mit #b    
ffnungen hinten und vorn auf die ,summe 
von  #e ,phnix- und #f ,sothis-,perioden
 reduziert werden1 wodurch die heilige  
,zahl des ,marduk ihre ,ehrung findet1  
die letztere 7unwahrscheinlichere7  auf 
#a ,phnix- und #c ,sothisperioden mit   
,zusatz von #h ,ellen fr einen          
,eingangsvorbau4    ,illustration3      
,tempel-,grundriss des ,sargon4    ,als 
sehr interessantes ,beispiel der        
,zahlenschreibung hebe ich ,zeile  #f   

aus der von ,j4 ,oppert #aijc           
behandelten magischen ,quadrattafel     
hervor1 wo sich vorne das von ,oppert   
ergnzte ,summenzeichen tab  9999symbol  
findet1 die #aah sar geschrieben werden 
als #abj - #b1  mit dem ,minuszeichen   
lal1 die beiden ner nicht 9999symbol    
sondern  9999symbol wiedergegeben sind1 
und das ,wortzeichen fr ,ibdi1 ,quadrat1
  9999symbol1 welches selbst in seiner  
neuassyrischen ,form deutlich die       
,kombination von ,zusammenfassung und   
,zwei bekundet1 wie das ,zeichen von    
,kubus1 ,badie1 sich durch drei innere  
,striche kennzeichnet4    ,sidenote3 ber
 das ,vorkommen der #j2 ,entstehung des 
,sexagesimalsystems4    ,es drngt sich  
hier die ,frage auf nach der #j1 denn   
das ist ja noch das  einzige1 was fr die
 ,inder zu retten wre1 da der ,gedanke  
die ,potenzen  der ,grundzahl durch den 
,stellenwert der ,ziffer zu             
kennzeichnen1 wie  ,sie gesehen haben1  
altbabylonisch ist und auf die ltesten  
,zeiten der  ,vlker von ,sumer und      

,accad zurckgeht4 ,da geben nun die     
,tafeln von  ,senkereh keinen           
,aufschluss1 denn weder unter den       
,quadratzahlen noch  unter den          
,kubikzahlen der ,tafel kommt eine ,zahl
 vor1 welche die #j  in der ,mitte      
verlangte4 ,aber in den ,stimmen von    
,maria ,laach haben  die beiden ,patres 
,s4 ,j4 ,strassmaier und ,epping eine   
sehr schne  ,arbeit verffentlicht       
,astronomisches aus ,babylon oder ,das  
,wissen  der ,chalder ber den gestirnten
 ,himmel2 hier kommt der ,fall der #j   
des fteren vor1 da ist nun meist die #j 
aus der ,lcke zu erkennen wie  auch     
sonst1 aber es kommt auch dafr das      
,zeichen 9999symbol1 genannt  der       
,trenner1 vor4 ,mit diesem ,zeichen fr  
die ,null ist die ,mglichkeit  nher     
gerckt1 dass die #j babylonisch ist4 ,es
 spricht allerdings  wieder manches     
dagegen1 so schreibt der ,babylonier #b 
meist 9999symbol  und nicht 9999symbol  
und #fa wird durch 7soss7 d4 h4         
9999symbol  wiedergegeben und z4 ,b4    

#abj kommt bis dato nicht in der ,form  
9999symbol  vor1 statt 9999symbol oder  
9999symbol4    ,sidenote3 ,ursprung des 
,sexagesimalsystems4    ,nun1 meine     
,herren1 lassen ,sie uns die            
allerinteressanteste ,frage  berhren3   
wie ist das ,sexagesimalsystem          
entstanden8    ,da waren nun bis vor    
kurzem alle ,autoritten1 vor allen ,m4  
,cantor  darin einig1 dass es vom       
,himmel stamme1 d4 h4 nicht bildlich    
sondern  physisch1 und dass es auf das  
,engste mit der ,teilung des ,kreises in
  #cfj ,teile1 die als altbabylonisch   
feststeht1 zusammen hnge4 ,nach dem     
,vorgang eines ,italieners ,formaleoni  
von #aghh nahm auch ,m4 ,cantor  #ajj   
,jahre spter an1 die ,quelle der        
,kreisteilung in #cfj sei ein  uralter  
grober ,irrtum der ,babylonier ber das  
,sonnenjahr gewesen4  ,diese schrfsten  
aller ,himmelsbeobachter1 deren ganzes  
,leben seit  uralter ,zeit unter dem    
,einfluss der himmlischen               
,konstellationen stand1  deren ganzer   

,kult ein ,kult der ,sonne1 des ,mondes 
und der ,sterne1 der                    
,naturerscheinungen insgesamt war1 die  
htten einen ,irrtum1 der so grob  war1  
dass er in #h ,jahren #db ,tage betrug1 
nicht eher gemerkt1 als bis  sie ihr    
ganzes ,mass-1 ,mnz- und ,gewichtssystem
 darauf zugeschnitten4  ,cantor meint   
nun1 sie seien zur #fj gekommen von der 
,kreisteilung aus1  auf der ,suche nach 
einer passenden ,untereinheit htten sie 
den ,radius  als ,sehne in den ,kreis   
getragen und dabei gefunden1 dass er    
#a_/f des  ,kreises gleich #fj ,grad    
spanne1 und da htten wir ja glcklich die
 #fj6    ,wenn ,letronne1 ,journal des  
savants trangers #ahag diese ,hypothese 
aufstellte1 so konnte man diesen        
,versuch anerkennen4    ,bis etwa #aijj 
nahmen die ,assyriologen diese ,erklrung
 gedankenlos  hin2 sie hatten so viele  
schwierige ,probleme1 dass sie das      
geringe  mathematische ,material zunchst
 beiseite liessen4 ,wurde doch das      
,sexagesimalsystem erst nach #ahed von  

,e4 ,hincks entdeckt4 ,in dem von  ihm  
behandelten ,mondtfelchen 7,irish       
academy7 handelt es sich um die in  #ae 
auf den ,neumond folgenden ,tagen       
sichtbar werdenden ,teile des ,mondes4  
,es seien1 heisst es1 an diesen #ae     
,tagen der ,reihe nach sichtbar3        
#e     #aj    #bj   #dj   #abj    #acf  
#aeb   #bh   #bbd   #bdj    #bef   #cab 
#cbh  #cdd   #d    ,hincks nahm an1 dass
 die ,mondscheibe in #bdj ,teile zerlegt
 gedacht sei  und die weiter nach links 
stehende ,zahl #a4fj #b4fj etc4         
bedeutete und  die ,beobachtungszahlen  
in den ersten #e ,tagen einer           
geometrischen1 in  den folgenden #aj    
,tagen einer arithmetischen ,reihe      
folgen4 ,nebenbei  bemerkt ist es nicht 
unwichtig hier eine ,kreisteilung in #d 
,quadranten  und jeden ,quadranten in   
#fj ,teile geteilt zu finden1 denn damit
 ist der  astronomische ,ursprung des   
,grades verurteilt4 ,die ,erklrung      
,hincks  wurde dann zuerst #ahed durch  
die ,tafeln von ,senkereh und dann immer

  mehr besttigt4 ,um #aijj wendeten sich
 gleichzeitig drei ,assyriologen        
,mahler1 ,ginzel1 ,lehmann gegen den    
,ursprung des ,systems aus der          
,jahresbewegung4 ,mahler machte hchst   
zutreffend darauf aufmerksam1  dass das 
,jahr sich berhaupt nicht zum           
,massentnehmen eigene1 die  ,babylonier 
schon so lange die ,denkmler reichen mit
 der ,zahl #cfe1b7d7  der ,tage vertraut
 waren und wie auch die gypter ein      
eigenes ,fest der #e  ,extratage        
feierten4 ,er wies darauf hin1 dass die 
tgliche ,bewegung den  ,lichttag als    
,hlfte und ,vor- und ,nachmittag einen  
,vierteltag ergbe4    ,illustration     
,noch ansprechender war die ,hypothese  
,lehmanns1 dass die ,babylonier         
beobachtet htten1 dass der              
,sonnendurchmesser #a_/gbj der ,ekliptik
 und  jedes ,tierkreisbild #a_/ab und   
damit das ,verhltnis #a_/fj gewonnen    
sei4  ,leider stimmt die ,sache nicht4  
,die ,wasseruhr war den ,babyloniern    
bekannt und mit ihrer ,hilfe wurde der  

,sonnendurchmesser zu #cb #f  bestimmt4 
,nebenbei bemerkt1 ist die genaue       
,bestimmung eines der  diffizilsten     
astronomischen ,probleme1 man vgl4 die  
,arbeiten ,auwers in  den ,berliner     
,sitzungsberichten4    ,der ,tierkreis  
ist allerdings unzweifelhaft            
babylonischen ,ursprungs2  ,sie sehen   
hier in der schon erwhnten ,arbeit      
,eppings ,abbildungen4  ,die ,gleichheit
 aber der #ab ,zeichen ist nicht        
ursprnglich4 ,lehmann  fand auch in der 
,festsetzung der ,gold- und             
,silberwhrung #dj 3 #c etwas            
,himmlisches1 nmlich das ,verhltnis der 
,tage des ,jahres #cfj und deren  des   
,monats #bg4 ,alles dies wre sehr schn1 
wenn es nur richtig wre4  ,das          
,verhltnis des ,sonnendurchmessers zum  
,vollkreis ist ungefhr  #a_/fgc1 das des
 ,jahres zum ,monat keineswegs #dj 3 #c4
 ,auch die #ab ,monate  zu #cj ,tagen   
stimmen nicht1 denn nie hat ein ,monat  
volle #cj ,tage4 ,das  erlsende ,wort   
hat #aijd wieder ein ,lehrer der        

,mathematik1 diesmal ein  pensionierter1
 gesprochen1 ,kewitsch in ,freiburg4 ,er
 hat den1 man  sollte meinen1           
selbstverstndlichen ,satz ausgesprochen3
 erst ,zhlen1  dann ,messen2 #f1 #fj1   
#cfj1 #cfjj waren runde ,zahlen bei den 
,babyloniern  und sind von ihnen an den 
,himmel versetzt1 in die ,natur         
hineingelegt4    ,damit ist freilich die
 ,frage wie die #f und die #fj zu       
,grundzahlen  wurden1 nicht gelst4      
,kewitsch leitet sie von der            
,fingerrechnung  ab2 er gibt zwei ,wege 
an2 den ersten hlt er selbst fr nicht   
sehr  wahrscheinlich2 dem zweiten       
zufolge sollen sie1 nachdem alle fnf    
,finger benutzt1 noch einmal die ,hand  
mit weggestrecktem ,daumen als #f       
gezhlt haben und in ,verbindung mit den 
#aj ,fingern zu #f  #aj  #fj als        
,grundzahl gelangt sein4 ,kewitsch fhrt 
den ,umstand1 dass das ,zeichen  fr     
,hand ursprnglich #f ,striche gehabt    
hat1 als ,beweis an3 ,quat-,hand        
9999symbol1 spter 9999symbol2           

andrerseits ist die natrliche ,stellung 
der ausgestreckten ,hand doch die1 dass 
der ,daumen nicht angedrckt  wird4      
,ausserdem scheint mir ,kewitsch einen  
,umstand nicht beachtet zu  haben1      
nmlich den1 dass das ,sexagesimalsystem 
der ,sumerer ein durchaus  knstliches   
ist1 das mit einer ausserordentlichen   
bung im ,rechnen mit  grossen ,zahlen   
verknpft ist und dass das ,zhlen an den 
,fingern bei  ,entwicklung dieses       
,systems ein lngst berwundener          
,standpunkt gewesen  ist4 ,ausserdem ist
 die lteste ,form des ,idiogrammes fr   
,hand1 7s4 o471  ein ganz deutliches    
,bild der #e ,finger mit der ,handwurzel
 und zugleich  ,name fr fnf4    ,ich    
halte die ,frage fr nicht geklrt und    
wage nur ,vermutungen wie  die1 dass es 
sich um eine ganz bewusste von den      
,gelehrten1 d4 h4 den  ,priestern       
ausgehende ,wahl der #f als teilbar     
durch #b und #c gehandelt  haben kann4  
,diese ,teilung war auch technisch      
leicht durchfhrbar1 man  vergleiche die 

,elle des ,gudea bei ,borchardt         
7,berliner ,berichte #ahhh1  ,i72 diese 
,wahl kann sehr wohl astronomisch       
beeinflusst gewesen sein4  ,die #fj     
empfahl sich als ,grundzahl1 weil sie   
durch die ersten #f ,zahlen  teilbar ist
 und sich sowohl ins ,fnfer- als        
,zehner- als ,zwlfer-,system  einfgt4   
,in den ,mondtafeln von ,hincks kommen  
so ziemlich alle ,faktoren  von #fj1    
sogar die ,mandel vor4    ,die          
,beobachtung der ,gestirne durchdrang   
das ganze ,leben des ,volkes1  denn vom 
,himmel holten sie die ,omina1 die      
,vorbedeutungen1 nach denen  sie ihre   
,handlungen einrichteten4 ,ein ,wechsel 
des ,beobachters alle  #d ,stunden1     
spter alle #b ,stunden ist durchaus     
praktisch2 7lsen wir  doch unsere       
,posten alle #b ,stunden ab7 und wir    
wissen jetzt1 man  vergleiche ,epping1  
dass vom ,anbeginn an bis in die        
,seleuciden- und  ,arsacidenzeit die    
,chalder den vollen ,tag in #f ,teile   
oder ,kas4 pu  geteilt haben1 und die   

eigentliche ,bedeutung des ,wortes      
,su-su 7,schock7  ist #a_/f4 ,die       
,unterteilung der ,doppelstunden in #aj 
,teile ist dann zu  genauer             
,ortsbestimmung durchaus praktisch1 und 
die ,zehnteilung ist am  ,system unserer
 ,finger vorgebildet4 ,erst spter trat  
die ,halbierung  der ,doppelstunde und  
damit die ,stunde als #bdstel des ,tages
 ein4 ,der  ,tag1 d4 h4 die ,dauer der  
,rotation ist und bleibt die einzige    
wirklich  in der ,natur gegebene        
,masseinheit1 und selbst wenn die       
,achsendrehung  der ,erde nicht vllig   
konstant ist1 sind wir ausserstande die 
kleinen  ,schwankungen zu konstatieren4 
,nachdem die #cfj-,teilung des ,tages   
durchgefhrt1 lag es nahe zur            
,erleichterung des ,geschftsverkehrs das
  ,geschftsjahr1 wie auch heute auf #cfj
 ,tage und den ,monat auf #cj ,tage     
abzurunden4 ,sie wissen ja1 dass noch   
heute unsere ,soldaten fr den #ca4      
keinen ,sold bekommen4    ,sidenote3    
,die ,tafeln von ,senkereh4    ,ich     

komme nun auf die ,tafel von ,senkereh  
zurck1 von der wir erst  seit #ahgj     
durch ,georg ,smiths wissen1 dass wir   
darin ,zahlentabellen  haben1 und die   
erst ,hincks1 wohl des geistig          
bedeutendsten  ,keilschriftentzifferers 
,entdeckung des ,sexagesimalsystems     
besttigte4  ,r4 ,lepsius1 der grosse    
gyptologe1 hat die ,tafel #ahgg in der  
,berliner  ,akademie in einer lngeren   
,arbeit behandelt4 ,abgesehen davon1    
dass ihm  die mathematische ,bildung    
mangelte um einzusehen1 dass eine       
,tabelle der  ,quadratzahlen zugleich   
eine der ,wurzeln ist1 hat er in der    
,tabelle1  deren linke ,kolonne         
benannte1 deren rechte unbenannte       
,zahlen enthlt1  einen ,vergleich       
sumerischer und assyrischer ,lngenmasse 
gesehen4 ,in  seiner ,arbeit3 ,beitrge  
zur alten ,geschichte1 #aijb1 hat ,c4   
,f4 ,lehmann  nachgewiesen1 dass es sich
 hier um eine ,vergleichung von         
,zeitmass  und ,lngenmass handelt und   
dass wir hier strikte ,durchfhrung  des 

,sexagesimalsystems vor uns haben4      
,lehmann hat nachgewiesen1  dass whrend 
wir #aad ,schritt auf die ,minute       
rechnen1 ,rmer und  ,babylonier #abj    
,schritt  #a-a_/b ,ellen1 also #ahj     
,ellen1 und somit auf  die ,doppelminute
 #cfj ,ellen und auf den ,zeitgrad1 auf 
#a_/cfj ,tages1  #cfj ,doppelellen      
gehen4 ,dass aber die ,doppelelle das   
ursprngliche  ,lngenmass ist1 das zeigen
 uns die beiden ,massstbe der ,gudea1   
von  denen ich hier ,ihnen ein ,exemplar
 vorfhre4    ,illustration3 ,massstab   
der ,gudeastatue1 #a_/b der nat4 ,grsse4
    ,ich gebe nun die ,tafel von        
,senkereh in ,umschreibung wieder3      
,kolonne ,,iii4           ,zeit         
,zeit-    ,grade ,zeiteinheit  ,raum-   
,doppelelle                  doppelelle 
----------------------------------------
----------------    #a ,zeit-,finger    
#a_/fj   #a_/bafjj  #a_/ij ,sek4        
#a_/fj    #e                    #a_/ab  
#a_/dcbj  #a_/ah       #a_/ab    #a     
,elle                #a_/b     #a_/gbj  

#a_/c        #a_/b    #a_/b ,gar        
#c     #a_/abj     #b          #c    #a 
,gar                   #f      #a_/fj   
#d          #f                          
----------------------------------------
----------------    #e ,gar             
#cj      #a_/ab    #bj         #cj    #a
 ,soss  #fj ,gar       #cfj         #a  
#d        #cfj    #a ,kas-pu  #cj ,soss 
#ajhjj        #cj     #b ,std4  #ajhjj  
#b ,kas-pu            #bafjj        #fj 
#d      #bafjj    ,darin scheint nun    
,lehmann recht zu haben1 dass die       
,zeiteinteilung die  ursprngliche       
gewesen und dass die experimentelle     
,beobachtung1 dass  zirka #dhj ,schritt 
auf den ,taggrad kommen1 bezw4 #abj auf 
die ,minute1  dahin gefhrt hat1 das     
,lngenmass auf die ,lnge des            
,sekundenpendels zu  grnden4            
,sidenote3 ,astrologie4    ,welche      
ausserordentliche ,rolle die ,astrologie
 und die sich aus ihr  entwickelnde     
,astronomie fr das religise und         
praktische ,leben der  ,babylonier      

spielte1 darber belehren uns schon die  
jetzt entzifferten  ,denkmler auf das   
genaueste4 ,in dem schon erwhnten ,werk 
,sargons ,i41  das nach seinen          
,anfangsworten genannt wird3 ,wenn der  
,bel-,stern1  sind bereits #ff ganze    
oder gebrochene ,tafeln und teilweise in
  mehreren ,exemplaren bekannt4 ,wir    
haben ein anderes ,werk3 ,wenn der      
,mond bei seinem ,erscheinen2 hunderte  
von ,tafeln mit astrologischen          
,berichterstattungen meist an den ,knig 
sind im ,british ,museum4 ,ich gebe  ein
 paar ,beispiele3    #a7 ,am #ae4 ,tage 
des ,nisan 7,mrz-,april7 halten sich    
,tag und ,nacht die  ,wage2 sechs       
,doppelstunden war ,tag1 sechs          
,doppelstunden ,nacht4 ,mgen  ,nebo und 
,merodach meinem ,herrn ,knig gndig     
sein4 ,nebo1 ,gott der  ,weisheit1 ,sohn
 von ,merodach1 der als ,gott der       
,frhlingssonne ,sohn ,bls1  des ,gottes 
der ,luft gedacht wird4 ,merodach wurde 
zum ,hauptgott in  ,babylonien und      
verschmolz mit ,bl4    #b7 ,an den      

,knig1 meinen ,herrn ,ischtarnadinapal1 
der oberste der  ,astronomen der ,stadt 
,arbela2 ,friedensgruss dem ,knig       
7,salem aleikon7  meinem ,herrn4        
,ischtar 7,astarte1 ,aphrodite7 von     
,arbela sei dem ,knige1  meinem ,herrn  
gndig2 am #bi4 ,tag machten wir eine    
,beobachtung1 aber  die ,sternwarte war 
umwlkt und wir sahen den ,mond nicht4   
,am #a4 ,tag  des ,monats ,schebat      
7,januar-,februar7 im ,eponymat 7s4 u4  
,s4 #ff7 des  ,bilcharranschadua4    #c7
 ,der ,mond ist sichtbar am #a4 ,tag wie
 am #bh43 ,unglck fr das  ,westland4    
,der ,mond ist am #bh4 ,tage sichtbar3  
,glck fr das ,land ,akkad               
7,babylonien71 ,unglck fr das ,westland2
 ,bericht des ,oberastronomen4          
,sidenote3 ,babylonische ,kosmologie4   
,aus derselben ,zeit etwa dem #h4       
,jahrhundert stammen auch mehrere       
,fragmente von ,festkalendern1 welche fr
 jeden einzelnen ,tag des ,monats       
,angaben enthielten1 welchem ,gott der  
,tag geweiht und welche ,opfer in  den  

,tempeln dargebracht werden sollten4    
,diese ,fragmente lassen uns  erkennen1 
dass damals ein ausgebildeter ,kalender 
in ,assyrien bestand1  und wenn wir     
damit den ,eponymenkanon in ,verbindung 
bringen1 so ist  der ,schluss           
berechtigt1 dass dieser ,kalender bis   
zum ,anfang dieses  ,kanons             
heraufreicht1 d4 h4 bis in das #aj4     
,jahrhundert v4 ,chr4 ,aus der          
,astrologie hat sich die ,astronomie der
 ,babylonier entwickelt1 wie aus  der   
,kabbala1 den magischen ,rechnungen1 die
 ,anfnge der ,zahlentheorie4  ,der      
,hauptstern ist der ,nordpol der        
,ekliptik1 der dem ,anu 7,himmel7       
geweiht war4 ,als ,gegenpol ist der     
,ea-,stern 7,ozean7   ,argus4 787       
,die drei ,regionen des ,himmels1 welche
 vom ,nordpol ausgehen1 sind die        
,region des ,anu3 ,stier1 ,zwillinge1   
,krebs und ,lwe1 und1 beginnend mit  dem
 ,aldebaran1 die ,regionen des ,bel     
7,luft73 ,jungfrau1 ,wage1 ,skorpion1   
,schtz2 die ,regionen des ,ea 7,ozean73 

,steinbock1 ,amphora 7,wassermann71     
,fische1 ,widder4    ,die ,milchstrasse1
 mit ihren beiden ,verzweigungen wird   
als ,euphrat  und ,tigris aufgefasst4   
,die ,ekliptik ist die ,furche des      
,himmels2 die  ,milchstrasse erscheint  
auch unter dem ,begriff des             
,hirtenzeltes1 woher  auch unser        
poetisches ,himmelszelt4 ,entstanden ist
 der babylonische  ,tierkreis zu einer  
,zeit als der ,frhlingspunkt1 der       
jhrlich etwa  um #ej zurckweicht1 im    
,stier lag2 also etwa #cjjj-djjj v4     
,chr41  der dann im ,laufe der ,zeit    
mannigfache ,vernderung erlitt bis die  
vllige ,gleichteilung durchgefhrt wurde4
 ,besonders wichtig ist die             
,untersuchung der alten ,grenzsteine    
7,kudurru7 geworden1 von denen  ,hommel 
#ad untersucht hat4 ,die ,abbildung des 
,tierkreises auf diesen  ,steinen       
geschah vielleicht zum ,zweck           
,konstellationen zur ,datierung         
festzuhalten4 ,auf keinem der ,steine   
fehlt die grosse ,schlange als ,bild    

der ,milchstrasse und schon auf dem     
ltesten1 der auf #ajgj datiert ist1     
sind die #ab ,zeichen4 ,die ,bilder sind
 die bei den ,griechen und zum ,teil    
noch heute blichen4    ,das neueste     
,werk ber diese ,grenzsteine ist ,a new 
,boundary ,stone  of ,nebuchadnezzar ,i4
 von ,w4 ,m4 ,j4 ,hinke1 ,bd4 ,,iv der  
,serie ,d des  grossen ,hilprechtschen  
,sammelwerks the ,babylonian ,expedition
 of the  ,univ4 of ,pennsylvania #aijg4 
,hier ist auch der ,zusammenhang mit dem
  tibetanischen und indischen           
,tierkreisen besprochen4    ,sidenote3  
,astronomie4    ,die ,untersuchung der  
,namen etc4 zeigt1 dass der ,tierkreis  
babylonisch-sumerischen ,ursprungs ist  
und sich von den ,babyloniern zu        
gyptern1 ,griechen1 ,indern1 ,chinesen  
und zu uns verbreitet hat4 ,das  gleiche
 gilt von den ,mondstationen oder       
,husern1 ihre ,zahl schwankte  zwischen 
#bd-cf1 und sie haben sich ebenfalls    
nach ,china1 ,indien  7naxatra7 und     
,arabien verbreitet4 ,die helleren      

,sterne waren ihnen in  sehr alter ,zeit
 bekannt4 ,aus der ,arsakidenzeit der   
,jahre #abb v4 ,chr4  und #aaj sind uns 
vollstndige ,ephemeridentafeln1         
,bestimmungen der  ,abstnde der ,sterne 
von festen ,sternen der ,ekliptik1      
erhalten4 ,sie  hatten ganz bestimmte   
,regeln fr die ,berechnung des          
,neumondes und  ,neulichtes1 die von ,j4
 ,epping1 ,s4 ,i4 unter ,beihilfe des   
,assyriologen  ,strassmaier1 ,s4 ,i4    
#ahhi in den ,stimmen aus ,maria ,laach 
unter dem ,titel3  ,astronomisches aus  
,babylon mitgeteilt sind2 es finden sich
 darin auch  ,tabellen des heliakischen 
,auf- und ,untergangs der ,planeten und 
einer  ,anzahl von ,fixsternen1 vor     
allem des ,sothis1 id est ,sirius und   
des  ,kakkab mire des ,orion4 ,sie      
kannten die ,periodizitt der            
,finsternisse  und konnten deren        
,sichtbarkeit fr ,babylon annhernd      
vorausbestimmen4  ,sie hatten           
,instrumente1 die unserem ,astrolabium  
und ,planetarium  entsprechen2 sie      

kannten die mittlere ,geschwindigkeit   
des ,mondes1  d4 h4 den ,bogen1 den der 
,mond durchschnittlich whrend eines     
,tages  in der ,ekliptik beschreibt1 die
 grsste ,geschwindigkeit des ,mondes1   
ebenso die der ,sonne und das ,gesetz1  
nach dem die ,geschwindigkeit  der      
,sonne in der ,ekliptik sich ndert1 sie 
kannten die ,jahresdauer1  die          
,durchschnittsdauer des ,monats von     
,neumond zu ,neumond1 also des          
sogenannten mittleren synodischen       
,monats1 den sie nur um #j1d ,sekunden  
lnger als wir ansetzten1 sowie die      
,durchschnittsdauer von einer  ,erdnhe  
des ,mondes zur andern1 d4 i4 also den  
sogenannten mittleren  anomalistischen  
,monat1 den sie nur um #c1f ,sekunden zu
 lang ansetzten4  ,dabei ist erst ein   
kleiner ,teil des aufgefundenen         
,materials entziffert  und dieser       
aufgefundene ein verschwindender ,teil  
des vorhandenen4  ,hilprecht berechnet  
die ,zeit1 die fr ,nippur ntig ist bei  
#djj  ,arbeitern auf etwa #ajj ,jahre6  

ber die ,instrumente1 deren sich die    
,babylonier zu ihren ,beobachtungen     
bedienten1 ist wenig bekannt2 wir       
wissen1 dass sie die ,zeit durch die    
,wasserwage massen und durch die        
,sonnenuhr1 mittelst des ,gnomon und aus
  der ,schattenlnge die ,meridiane1     
bezw4 den lngsten und krzesten ,tag     
bestimmten4 ,aus dem #c4 ,jahrhundert v4
 ,chr4 sind aber durch ,kugler  eine    
ganze ,reihe sehr feiner                
,positionsbestimmungen festgestellt     
worden1  die nur mit ,hilfe von         
,instrumenten wie der sogenannten       
,armillarsphre1  dem ,diopter etc4      
mglich war4 ,der ,diopter setzt dann    
allerdings die  hnlichkeitslehre fr     
rechtwinklige ,dreiecke1 kurz eine      
,sehnenrechnung  voraus und damit wird  
es wahrscheinlich1 dass die             
,sehnenrechnung1 die  bis dato dem      
,bessel des ,altertums1 ,hipparch von   
,rhodus zugeschrieben  wurde1           
babylonischen ,ursprungs ist4 ,soviel   
steht fest1 wenn auch  anfangs die      

,astrologie zur ,himmelsbeobachtung     
insbesondere der ,sonnen-  und          
,mondfinsternisse trieb1 seit etwa #cjj 
,jahren v4 ,chr4 gab es an  den         
,sternwarten eine vollkommen            
wissenschaftliche ,astronomie1 und die  
,beobachtungen der ,babylonier sind oder
 werden fr unsere ,mondtafeln  noch     
wertvoll4    ,kugler hat seiner         
babylonischen ,mondrechnung von #aijj1  
der  piettvollen ,vollendung des        
,strassmeier-,eppingschen ,werkes1 #aijg
  den ersten ,band seines grossen auf #d
 ,bnde berechneten ,werkes  ,sternkunde 
und ,sterndienst in ,babel folgen       
lassen1 unter dem ,titel  ,entwicklung  
der ,babylonischen ,planetenkunde von   
ihren ,anfngen bis  auf ,christus4      
,wenngleich1 wie ,oefele 7,mitteilungen 
zur ,gesch4 d4  ,med4 u4 ,naturw4 #bi4  
,juni #aijh7 schon hervorgehoben hat1   
dieser ,titel  nicht glcklich gewhlt    
ist1 so ist das ,buch doch reich an     
wichtigen  ,resultaten3 ,der            
unbezweifelbare ,nachweis des           

,babylonischen ,ursprungs  des          
,tierkreises und seiner #ab ,zeichen1   
die ,kenntnis der ,namen fr die         
,planeten und die ,masisterne1 die      
hellen ,sterne der ,ekliptik1 welche zur
  ,positionsbestimmung dienten1 in      
,fortsetzung der ,leistungen ,p4        
,jensens  aus seinem ,hauptwerke1 die   
,kosmologie der ,babylonier #ahij1 die  
,kunde  der technischen ,sprache der    
,babylonischen ,astronomie1 die         
,tatsache  der ,ekliptikkoordinaten1 die
 ,feststellung des ,bogenmasses und der 
,richtungen1 ,festsetzung des ,bogens   
von #bb #c zwischen dem festen          
,koordinatenanfangspunkt #j arietis der 
,babylonier und dem #j-,punkt1  dem     
,frhlingsquinoktium von #ahjj n4 ,chr41 
die ,planetenephemeriden  infolge       
,auffinden von grossen und kleinen      
,perioden1 z4 ,b4 fr ,mars #ga  und #da 
,jahre1 fr ,venus #h ,jahre 7,fehler nur
 #c #ac1c7 etc4 ,freilich  hebt ,kugler 
hervor1 dass im #b4 ,jahrh4 v4 ,chr4 die
 wissenschaftliche  ,astronomie der     

,babylonier sehr grosse ,fortschritte   
gegen die frheren  ,zeiten aufweist1 und
 wie weit dabei hellenischer ,geist     
insbesondere der  grosse ,hipparch in   
,betracht kommt1 msste erst noch        
untersucht werden4    ,illustration     
,sidenote3 ,geometrie4    ber die       
,geometrie der ,babylonier mssen wir uns
 zurzeit kurz fassen  bis grsseres      
,material vorliegt4 ,ein ,bauplan1 eine 
,tempelanlage  von so vorzglicher       
,ausfhrung wie der von ,l4 ,borchardt l4
 c4  verffentlichte1 in dem die         
,trleibungen und die ,mauerstrke        
bercksichtigt ist 7siehe ,fig4 auf ,s4  
#aab71 ,beobachtungen1 wie die  von     
,kugler mitgeteilten1 sind nicht ohne   
bedeutende geometrische  ,kenntnisse    
mglich1 aber was uns direkt bermittelt  
ist1 beschrnkt  sich auf ganz wenige    
,zeichnungen wie die bei ,cantor        
abgedruckten aus  ,a4 ,h4 ,sayce        
,abhandlung3 ,babylonian augury by means
 of geometrical  figures4 ,in der hier  
beigegebenen ,kopie scheinen mir        

mehrfach alte  ,idiogramme wie ,n #ae   
etc4 vorzuliegen4 ,bezold bemerkt 7,z4  
,a4 ,,xvii p4  #ie71 dass ein grosser   
,teil z4 ,b4 der in ,kujundschik        
gefundenen ,figuren  analoge ,bedeutung 
besitzen1 wie die ,oppert'sche ,konstr4 
s4 ,fig4 ,s4 #ajj  und sich auf         
kabbalistische ,rechnung beziehen z4 ,b4
 #aj und #c4    ,illustration3          
,bruchstck des ,bauplanes4              
,illustration3 ,borchardt'scher         
,bauplan4    ,sidenote3 ,babylonische   
,kreisteilung4    ,feststeht aus        
gyptischen und babylonischen            
,abbildungen1 dass den  ,babyloniern die
 ,teilung des ,kreises in #f ,teile     
bekannt gewesen sei1  d4 h4 de facto4   
,vom ,hereintragen des ,radius ist      
bisher keine ,spur  gefunden4 ,wenn     
,cantor meint1 die #f-,teilung ist ohne 
diese ,kenntnis  nicht mglich1 so irrt  
er sehr4 ,man braucht nichts zu wissen  
als die  ,tatsache1 dass das ,rad1 bezw4
 der ,kreis in sich drehbar ist1 also zu
  gleichen ,bogen gleiche ,sehnen etc4  

gehren1 u4 v4 v41 dies reicht aus  den  
,kreis experimentell zu vierteln und zu 
sechsteln4 ,im hchsten ,grade           
wahrscheinlich ist allerdings1 dass sie 
bei einem gesechsteilten ,kreise        
gesehen haben1 dass die ,sehne gleich   
dem ,radius ist4 ,die im ,buche  der    
,knige erwhnten fnfeckigen ,pfosten1    
knnen genau so auf einer                
experimentellen ,teilung des ,kreises in
 fnf gleiche ,teile beruhen1 wie  sie   
meine ,quartaner ohne allen goldenen    
,schnitt sehr exakt ausfhren4    ,es ist
 ausserdem eine ,tafel bekannt geworden1
 aber leider zurzeit nicht  auffindbar1 
in der ein in drei gleiche ,teile       
geteilter rechter ,winkel  vorkommt1 und
 das ist fast alles1 was wir zurzeit von
 der babylonischen  ,geometrie wirklich 
wissen2 vermuten mssen wir sehr viel    
mehr2 wre  der ,pythagoras1 was nach den
 ,beispielen der quadratischen          
,gleichungen  ganz gut mglich1 den      
gyptern bekannt gewesen1 so wre er      
sicher den  ,babyloniern nicht unbekannt

 geblieben1 aber hier heisst es         
abwarten4    ,sidenote3 ,babylonische   
,rechentabellen4    ,von grosser        
,bedeutung fr die ,auffassung der       
,babylonischen ,arithmetik  ist ,band   
,,xx part4 #a ,serie ,a des             
,hilprechtschen ,werkes ,the ,babyl4    
,expedition of the ,univers4 of         
,pennsylv4 #aijf 7mir erst vor kurzem   
zugnglich geworden74 ,es sind hier1     
abgesehen von ,wiederholungen1 #ca      
math4 ,tafeln verffentlicht2            
,multiplikationstafeln1                 
,divisionstafeln1  ,tafeln von          
,quadratzahlen und -,wurzeln1 eine      
geometrische ,progression4  ,auf        
,tafeln1 welche dazu dienen1 die        
,rechnungsresulate rasch in das         
,sexagesimalsystem einzureihen1 hat ,h4 
hingewiesen1 deren eine 7s4  ,bild7 er  
schon in seinem ,vortrag von #aijc ,bild
 #de verffentlicht hat4  ,es hat nun    
,hilprecht bemerkt1 dass smtliche bis   
jetzt bekannten #df                     
,multiplikationstafeln sich auf         

,divisoren der ,zahl #fjd beziehen1     
inkl4  der #b aus ,sippar und           
,kujundschik1 und zwar gehen sie bis    
#ahjjjja4  ,dazu konstatierte er das    
,multiplikationszeichen ,a-,r ,a z4 ,b4 
#ba 77  #b3 9999symbols1 ,plan #a1 ,n4  
#a1 das wie das unsrige1 oft weggelassen
  wird1 das ,divisionszeichen ,igi-,gal1
 habend ,auge gelegentlich mit  hinter  
dem ,quotienten folgenden               
,distributivzeichen a-anje4 ,hilprecht  
konstatierte1 dass alle diese           
,divisionstabellen sich wiederum auf    
#fjd  beziehen1 es sind ,tafel ,n4 #bj1 
#ba1 #bd1 auf denen das                 
,divisionszeichen  fehlt1 und ,tafel #bb
 obv41 wo es gesetzt wird4 ,mit ,hilfe  
der wichtigsten  ,tafel #be ergnzt ,h4  
,tafel #bb3    ,illustration            
,igi-#a-;,gal-,bi  #hfdjjjj             
,igi-#b-;,gal-,bi  #fdhjjjj             
,igi-#c-;,gal-,bi  #dcbjjjj    etc41 das
 ,bi dessen bezeichnet den gemeinsamen  
,dividend #fjd4 ,ich  gebe hier als     
,beispiel die ,multiplikationstabelle   

#ae 7,obv4 und ,bev471  das #aa mit     
#edj1 es ist zunchst eingerichtet wie   
die anderen1 d4 h4  es fehlt das        
,zeichen1 und es enthlt #a;a bis #bj;a1 
und dann #cj;a1 #dj;a1  #ej;a1 so dass  
also #bc;a berechnet wird als #bj;a     
#c;a1 wofr es ja auch  ,tabellen gab4   
,diese ,tafel ist aber besonders        
interessant1 weil sie  eine derjenigen  
ist1 in denen die ,zweideutigkeit durch 
die ,zusatzlinie  am ,schluss gehoben   
wird4 ,die ,tafel lsst es zweifelhaft1  
ob man es mit  dem #a  #i oder #a  #i4fj
 zu tun hat1 die ,schlusszeile          
7colophon7 gibt  die nchstniedrige      
,tabelle der ,serie an und lautet hier  
#h4fj  #bj mal #a  ist #h4fj  #bj id est
 #ejj  #a  #ejj1 somit ist die          
9999symbol in unserer  ,tafel #i4fj4    
,sehr bedeutsam ist die ,tabelle #be1   
welche in ,hilprechts  bertragung       
lautet3      ,linie #a3 #abe            
#gbj          #b3 ,igi-,gal-,bi  #ajcfhj
          #c3 #bej            #cfj      
#d3 ,igi-,gal-,bi   #eahdj          #e3 

#ejj            #ahj          #f3       
,igi-,gal-,bi   #beibj          #g3     
#ajjj            #ij          #h3       
,igi-,gal-,bi   #abifj          #i3     
#bjjj            #ah         #aj3       
,igi-,gal-,bi    #fdhj         #aa3     
#djjj             #i         #ab3       
,igi-,gal-,bi    #cbdj         #ac3     
#hjjj            #ah         #ad3       
,igi-,gal-,bi    #afbj         #ae3     
#afjjj            #i         #af3       
,igi-,gal-,bi     #haj    ,sidenote3    
,babylonische ,divisionstafeln4    ,h4  
erkannte darin unschwer ,divisionen von 
#fjd durch eine aufsteigende  ,reihe von
 ,divisoren1 fr die ,bedeutung der      
,zahlen #gbj2 #cfj etc4 bis  #i wandte  
er sich an ,mathematiker1 diese brachten
 heraus dass1 wenn  man die ,divisoren  
in die ,form a ar  b ner  r schreibt1   
dann #fjb_/r  diese ,zahlen ergibt4     
,hiernach erscheint es allerdings als im
 hohen  ,grade wahrscheinlich1 dass wir 
es hier mit einer kabbalistischen       
,rechnung zu tun haben1 und wir sehen   

dass hier wieder #fjd seine  ,rolle     
spielt4 ,hilprecht selbst zitiert aus   
dem ,literaturverzeichnis  von ,bezold3 
,die ,mathematik stand bei den          
,babyloniern-,assyriern1  soviel wir bis
 jetzt wissen1 vornehmlich im ,dienste  
der ,astronomie und  letztere wiederum  
in dem einer ,pseudowissenschaft1 der   
,astrologie1 die  wahrscheinlich in     
,mesopotamien entstand1 sich von dort   
aus verbreitete4    ,sidenote3 ,die     
goldene ,zahl des ,platon4    ,ich mchte
 aber doch bemerken1 dass wie der       
,mangel an beglaubigender  ,unterschrift
 der ,tafeln aus ,nippur beweist1 und   
nicht minder die  zahlreichen ,fehler1  
dass wir es auch hier1 hnlich wie in    
gypten1  vielfach mit ,schlerbungen zu  
tun haben4 ,ebenso sorgfltig wie das    
,schreiben und ,lesen1 wurde auch die   
,elementarkunst des ,rechnens  gebt1    
selbstverstndlich vorzugsweise an       
heiligen ,zahlen1 von denen  #fjd1 wie  
es scheint1 im ,vordergrund stand4 ,h4  
hat sicher mit ,recht  auf die          

,abhngigkeit ,platons von ,babylon      
hingewiesen4 ,in die ,stelle  ,republik 
,,viii1 #edf ,b-,d hat zuerst der       
grosse1 krzlich verstorbene  ,philologe 
,fr4 ,hultsch1 der ,herausgeber des     
,pappos1 ,licht gebracht1  er hat1      
,schlmilch ,,xxvii hist4 lit4 ,abt4 ,s4 
#da1 in der sehr dunkel  beschriebenen  
,zahl des ,platon die ,zahl #fjd erkannt
 und hervorgehoben1  dass ihre ,teiler  
von glckbringendem ,einfluss auf die    
,geburten und  ,schicksale der          
,menschheit sein sollten1 wie denn      
tatschlich die nach  der krzesten       
,ftalperiode von #baf ,tagen geborenen  
#g ,monatskinder  bessere ,lebenschance 
besitzen als die #h ,monatskinder4      
,wesentlich  ist hier der ,nachweis des 
,einfluss ,babylonischer ,kultur auf die
  ,hellenische1 den brigens m4 ,w4      
niemand mehr bestreitet4 ,gegenber      
,hommel fhre ich an1 dass die           
,babylonische ,phnixperiode #fec ,jahre 
und nicht #ejj betrug1 und gegenber     
,hilprecht1 dass nach ,censorinus1  wie 

,hultsch erwhnt1 ,plato das ,alter der  
,menschen nicht auf #ajj1  sondern auf  
#ha setzte4 ,dass dabei #cfjjj eine     
,rolle gespielt hat1 ist  nicht         
unwahrscheinlich1 denn noch ,ptolemos   
gibt in der    #cfjjj als ,cyclus der   
,przession an1 und ,berosus dieselbe    
,zahl als  altbabylonische              
,przessionszahl4    ,dass aber nicht nur
 die ,inder1 wie bekannt1 in            
,riesenzahlen schwelgten1  sondern auch 
die alten ,babylonier1 beweist die von  
,hilprecht mit ,glck  restaurierte      
,tafel ,bezold1 ,katalogue ,kujundschik 
,vol4 ,i ,n4 #bjfi1  von denen ,bezold  
l4 c4 die folgenden #d ,zeilen 7#b bis  
#e der ,tablette7  verffentlicht hat3   
,illustration    ,sidenote3             
,babylonische ,riesenzahlen2            
,quadratwurzeln4    ,h4 hat berzeugend  
nachgewiesen1 dass diese ,tafel aus der 
,bibliothek  ,asurbanipals mit ihren #bh
 ,zeilen dieselbe ,bedeutung hatte wie  
die  ,tabellen ,no4 #bj1 #ba1 #bb1 #bd  
,hilprecht's auf ,s4 #ba1 es ist eine   

,divisionstabelle1 aber ,divisoren und  
,quotienten beziehen sich  auf          
9999symbol -- -- -- -- -- -- d4 h4 auf  
#fjh  #aj4fjg id est                    
#aie1iee1bjj1jjjjjj also #aie ,billionen
 #ieebjj ,millionen6 ,zu dieser         
,erkenntnis wurde ,h4 in den ,stand     
gesetzt durch die ,bemerkung1 dass  die 
lngste ,zahl links vorn ,teilungsstrich 
vor 9999symbol drei  ,ziffergruppen von 
je zwei ,ziffern hat1 also mit #fjc zu  
multiplizieren  ist1 und die lngste     
,zahl rechts hat hinter ihrer           
,ziffergruppe vier  andere1 ist also mit
 #fjd zu multiplizieren4    ,tabellen   
von ,quadratzahlen bezw4 ,wurzeln sind  
ziemlich zahlreich in  ,nippur gefunden1
 die ,quadrierung ist teils durch das   
,a-,ra mal1 teils  durch das ,idiogramm 
fr ,ibdi das aber etwas von der         
,rawlinsonschen  ,tafel ,,iv1 #dj       
abweichende ,gestalt hat4 ,am           
leichtesten lesbar ist ,pl4 #af1  ,no4  
#bh1 ,quadrate der ,zahlen von #ca-ci1  
die dadurch interessant ist1  dass sie  

sich an die ,tafel des ,berliner        
,museums genau anschliesst4  ,h4 hat aus
 ihr die ,kenntnis der ,formel fr 7a    
b7#b gefolgert1 da  diese ,formel in    
,indien bekannt war1 vgl4 ,s4 #afa1 so  
ist sie hchst  wahrscheinlich auch den  
,babyloniern-,assyriern bekannt gewesen4
 ,ein  irgendwie zwingender ,beweis ist 
aber1 da mir die ,resultate gegeben     
werden1 nicht erbracht4    ,sehr drftig 
ist wenigstens die bisherige ,ausbeute  
fr die ,geometrie1  der ,inhalt des     
geraden ,prisma und des geraden         
,zylinders ist zu allen  ,zeiten ohne   
weiteres als ,grundflche mal ,hhe       
angenommen worden4 ,das  einzige was von
 ,interesse1 ist1 dass nach einer       
,verffentlichung von  ,thureau-,dangin  
schon unter der #b4 ,dynastie von ,ur1  
also rund #cjjj v4  ,chr4 man in        
,babylonien den ,inhalt des ,trapezes   
als ,mittellinie mal ,hhe  berechnen    
konnte4    ,sidenote3 ,vase mit         
geometrischer ,zeichnung4    ,wie hoch  
entwickelt aber schon in unvordenklicher

 ,zeit die  geometrische ,zeichenkunst  
war1 beweist die von ,kapitn ,cros #aijc
 in  ,telloh gefundene ,vase1 mit deren 
,bild ich diesen ,abschnitt schliesse4  
,illustration          ,hellas    ,unser
 ,werdegang msste uns nun eigentlich    
nach ,indien und ,china  fhren1 aber die
 ,kultur der ,inder und ,chinesen ist so
 abhngig von  ,babylon1 oder1 was       
richtiger ist1 ganz ,asien bildete von  
#djjj v4  ,chr4 bis etwa #ajj n4 ,chr4  
ein einziges ,kulturgebiet1 gypten bis  
zum ,nil eingeschlossen1 dass wir uns   
zunchst gleich nach ,hellas  wenden4    
,die ,hellenen sind das erste ,volk1 das
 die ,wissenschaft um der  ,wissenschaft
 willen getrieben hat1 das ,volk1 von   
dem man wohl sagen  kann1 dass ihm an   
,begabung fr ,kunst und ,wissenschaft   
kein anderes je  gleichgekommen ist1 und
 unter ihnen erwuchs im #f4 ,jahrh4 v4  
,chr4 aus  den ,handwerksregeln         
gyptischer und babylonischer ,priester  
die reine  ,mathematik als              
,wissenschaft4    ,wohl steht seit den  

,ausgrabungen ,heinrich ,schliemanns    
fest1 dass  die ,hellenische ,kultur und
 ,kunst sich unter starkem              
orientalischen  ,einflusse1 gypten      
eingeschlossen1 entwickelt hat1 aber    
schon fr  ,kreta1 ja selbst fr ,cypern  
ist auch die selbstndige ,entfaltung    
,hellenischen ,geistes deutlich4 ,die   
,aufeinanderfolge ist wohl diese4       
,cypern fast vllig unterm ,einfluss     
,babyloniens 7,phniziens72  ,kreta3     
gypten und ,babylon vereint4 ,fr ,kreta 
sind epochemachend  die ,ausgrabungen   
von ,evans zu ,knossos1 ,annalen der    
brit4 ,schule  in ,athen #ahii ff4 bes4 
#aijb 7,bd4 #h7 u4 ff4 ,daneben die der 
,italiener  in ,phaistos1 ,acad4 dei    
,lincei ,bd4 ,,xii 7#aijb7 ff4 ,das von 
,evans in  ,knossos gefundene herrliche 
,kunstwerk des becherkredenzenden       
,epheben  7,jngling1 ,page7 geht ber die
 ,orientalischen ,vorbilder schon       
hinaus1  auch ,architektur und          
,kleinkunst1 z4 ,b4 die polychromen     
,vasen 7sogen4  ,kamaris-,stil7 ist     

selbstndig4    ,es folgt dann die durch 
,schliemanns ,ausgrabungen in ,mykene1  
,tyrinz1  ,troja zeitlich frher bekannte
 ,mykene-,periode4 ,auch sie bekundet   
starken ,verkehr mit dem ,orient durch  
kretische ,vermittlung1 aber sie  zeigt 
auch ,kreta gegenber eigenartige        
,entwicklung4 ,die ,palastanlage  ist   
ganz verschieden1 sie ist genau die von 
,homer beschriebene4 ,was  die          
,kleinkunst betrifft1 so gengt es an die
 ,becher von ,vaphio zu  erinnern4 ,fr  
die ,mykeneperiode verweise ich auf ,c4 
,schuchhardts  ,wertung der             
,schliemann'schen ,funde 7#b4 ,aufl474  
,die ,beziehung zwischen  ,mykene und   
,kreta ist zurzeit eine brennende       
,streitfrage4 ,drpfeld1  kret4 u4 hom4  
,palste1 ,athen4 ,mitteilungen ,bd4 #cj 
7#aije p4 #beg71  unterscheidet fr die  
kretischen ,palste zwei ,perioden1 a7   
eine  ltere genuin-kretische1 b7 eine   
jngere1 in der ,mykenische ,eroberer    
ihre ,palste auf den zerstrten ,resten  
der lteren erbaut htten4  ,gegen        

,drpfeld hat ,mackenzie1 ,annals of     
brit4 ,school ,,xi u4 ,,xii  die        
,einheitlichkeit und ,selbstndigkeit der
 kretischen ,palste mit  triftigen      
,grnden behauptet4 ,drpfeld hat #aijg1  
,athen4 ,mitt4 #cb p4 #egf  erwidert4   
,die ,herkunft der altkretischen        
,schrift ist zurzeit noch nicht         
entschieden1 mglicherweise ist sie      
hetitisch4    ,die politische           
,geschichte der ,hellenen und die       
,geschichte der  ,hellenischen ,kunst zu
 schildern1 muss ich den ,historikern   
und  ,archologen von ,fach berlassen4   
,sidenote3 ,mathematikerverzeichnis des 
,proklos4    ,die wichtigste ,stelle fr 
die ,geschichte der hellenischen        
,mathematik  ist das sogenannte         
,mathematikerverzeichnis bei ,proklos4  
,es ist  vermutlich ein bei ,geminus1   
einem ,schriftsteller des ersten ,jahrh4
 v4  ,chr4 erhaltener ,auszug aus der   
,geschichte der ,mathematik des         
,eudemos1  von der leider nur wenige    
,fragmente1 z4 ,b4 in dem ,kommentar des

  ,simplicius zu ,aristoteles uns       
erhalten sind4    ,sidenote3 ,thales von
 ,milet4    ,beginnen wir also mit      
,thales von ,milet4 ,herodot sagt in    
seinem ersten  ,buch1 dass ,thales von  
phnizischer ,abkunft gewesen1           
unzweifelhaft  lebte er im #g4 ,jahrh4  
v4 ,chr4 und war ein ,zeitgenosse des   
,krsos und  ,solon4 ,proklos gibt p4    
#bej der ,friedlein'schen ,ausgabe an1  
dass  er den ,satz von der ,gleichheit  
der ,basiswinkel im gleichschenkligen   
,dreieck gefunden habe und zwar habe er 
die ,winkel nicht  sondern   genannt2 p4
 #bii ,satz von der ,gleichheit der     
,scheitelwinkel2  p4 #aeg ,satz1 dass   
die ,durchmesser den ,kreis halbieren1  
und p4 #ceb  sagt ,proklos1 nach        
,eudemos1 dass ,euclid ,i1 #bf der      
sogenannte #b4  ,kongruenzsatz von      
,thales herrhre1 der sich seiner        
notwendig bedienen  musste bei seiner   
,methode die ,entfernung der ,schiffe im
 ,meere zu  bestimmen4    ,marcus       
,junius ,nipsus1 ein rmischer           

,agrimensor1 gibt 7,m4 ,cantor7         
folgende alte ,methode1 die so ziemlich 
die einzige sein kann1 die mit  den     
geringen ,kenntnissen1 welche nach      
,proklos dem ,thales zur ,verfgung      
standen und zugleich mit der ,angabe des
 ,eudemos stimmt3    ,die ,dreiecke     
,,asd und ,,dcb 7s4 ,fig47 sind nach den
 #b ,congr4 congruent und  damit ist    
,,cb die gesuchte ,entfernung4          
,illustration    ,ausser ,proklos haben 
wir ,angaben von ,plutarch 7#ajj n4     
,chr4  ,neuplatoniker1 ziemlich         
zuverlssig71 in septem sapient4 conviv41
  wonach ,thales die ,hhe der ,pyramide 
durch ,messung ihres ,schattens         
bestimmt habe2 aber die ,quelle dieses  
,berichtes ist nach ,diogenes  ,laertios
 7,kompilator des #c4 ,jahrh4 n4 ,chr47 
,hieronymos von ,rhodos1  welcher sagt1 
er mass die ,pyramiden aus dem          
,schatten1 wenn der ,schatten  der      
,pyramidenhhe gleich1 d4 h4 bei einer   
,sonnenhhe von #de4 ,noch weit          
unsicherer ist die ,angabe bei ,diogenes

 ,laertius3 ,pamphila 7,ende des  #a4   
,jahrh4 n4 ,chr47 erzhlt uns1 dass er   
als der erste1 den ,halbkreis  in den   
rechten ,winkel einschrieb1 und dass er 
bei dieser ,gelegenheit  einen ,ochsen  
opferte4 ,andere1 z4 ,b4 ,apollodoros1  
der ,rechenmeister1  schreiben diesen   
,zug den ,pythagorern zu4 ,da ,proklos  
den ,satz  ausdrcklich erst den         
,pythagorern zuschreibt und eine bei    
,eutokios  erhaltene ,stelle dies       
besttigt1 so verliert die ,nachricht der
 ,pamphila  ihren ,wert4    ,auch als   
,astronom wird ,thales gerhmt2 im       
,thetet des ,platon p4 #agd  lesen wir  
die ,anekdote1 dass1 als er1 den ,blick 
nach oben gerichtet  um den ,himmel zu  
schauen1 in den ,brunnen fiel1 eine     
thracische ,magd  ihn verspottet habe3  
das was am ,himmel vorginge1 wre ihm    
bekannt1  aber was vor seinen ,fssen    
lge1 das she er nicht4 7,socrates setzt 
bekanntlich hinzu1 dass man mit diesem  
,spott noch immer gegen die  ausreiche1 
die in der ,philosophie leben47 ,die von

 ihm vorausgesagte  ,sonnenfinsternis   
ist1 wie ,herodot berichtet1 die vom    
#bh4 ,mai #ehe  bei der ,schlacht       
zwischen ,medern und ,lydern4 ,nach     
,eudemos hat er  auch die ,ungleichheit 
der ,jahreszeiten gekannt4 ,beides wrde 
auf  babylonische ,bildungsquellen      
deuten2 und das wird ganz sicher durch  
ein ,missverstndnis des ,diogenes       
,laertius1 er habe die ,sonne als  #gbj 
mal ,mond angegeben1 whrend der         
eigentliche ,autor ,apulejus  klar und  
deutlich sagt1 er habe den              
,sonnendurchmesser als #a_/gbj der      
,ekliptik gefunden4 ,soviel steht fest  
durch das einwandfreie ,zeugnis  von    
,herodot1 ,platon1 ,aristoteles1        
,eudemos und wohl auch  von ,xenophanes1
 des zeitlich ersten ,eleaten3 sein     
,ruhm war sehr  bedeutend1 er steht     
stets an der ,spitze der sieben ,weisen1
 und nach  ,aristoteles ist er der      
,begrnder der ionischen oder            
physikalischen  ,philosophenschule1 des 
7flschlich7 sogenannten ,hylozoismus4   

,aristoteles sagt1 dass ,thales im      
,wasser die eigentliche ,urmaterie      
gesehen habe und setzt hinzu1 er        
vermute1 dass er dazu durch die         
,beobachtung gefhrt sei1 dass die       
,nahrung aller ,tiere feucht ist und    
dass alles aus ,samenfeuchtigkeit       
entstehe4    ,sidenote3 ,thales von     
,milet1 ,anaximander4    ,aristoteles 7 
1 de anima7 fgt hinzu1 ,thales habe     
vielleicht  angenommen1 dass alles voll 
,gtter sei2 beispielsweise habe er      
gesagt1  dass der ,magnet eine ,seele   
habe4 ,noch mssen wir seinen ,schler    
oder  wohl richtiger jngeren            
,stadtgenossen ,anaximander erwhnen1    
obwohl  das ,mathematikerverzeichnis ihn
 nicht nennt4 ,anaximander markiert  in 
der ,geschichte des ,erkenntnisproblems 
die ,stelle1 in der das                 
,mathematisch-,unendliche auftritt4 ,er 
lehrte1 der ,weltstoff msse  unendlich  
sein1 damit er sich nicht in der        
,erzeugung erschpfe4 ,er darf  daher    
nicht unter den empirisch gegebenen     

,stoffen gesucht werden1 und  es bleibt 
nur das ,merkmal der zeitlichen und     
rumlichen ,unendlichkeit  brig4 ,daher  
sagte er    4 ,anaximander erklrte also 
die sinnliche ,welt durch ein           
,gedachtes1 er sagt3  ist 1  und ist    
somit ein ,vorlufer der ,pythagorer1 und
 er hat auch eine  ,vorstellung davon1  
dass gegen das ,unendliche die ,endliche
 ,anzahl  verschwindet4    ,sidenote3   
,pythagoras4    ,die dem ,thales        
zugeschriebenen ,schriften sind alle    
,flschungen2 der  nach ihm von ,proklos 
genannte ,mamerkos samt seinem ,bruder1 
dem ,dichter  ,stesichoros1 sind spurlos
 verschollen1 nicht aber der zu dritt   
genannte  ,pythagoras1 der einzige      
,mathematiker1 der in den ganz und halb 
gebildeten ,schichten aller             
,kulturnationen populr geworden ist4    
,und  doch ist in dem ,fabelmeer1 in dem
 er geradezu ertrunken ist1 sehr wenig  
wirklich festes ,land zu finden4    ,e4 
,zeller sagt3 ,unter allen              
,philosophenschulen1 welche wir kennen1 

ist keine1 deren ,geschichte von ,sagen 
und ,dichtungen so vielfach  umsponnen  
und fast verhllt1 deren ,lehre in der   
berlieferung mit  einer solchen ,masse  
spterer ,bestandteile versetzt wre wie  
die der  ,pythagorer4    ,sidenote3     
,pythagorer4    ,die ,schriftsteller vor
 ,aristoteles erwhnen des ,pythagoras   
und seiner  ,schler nur selten4 ,aus dem
 #e4 ,jahrh4 haben wir einzelne ,angaben
 von  ,xenophanes1 ,heraklit1           
,empedokles1 ,jon aus ,chios1 ,herodot1 
,demokrit2 aus  dem #d4 ,jahrh4 von     
,platon1 ,isokrates1 ,anaximander ,,ii1 
,andron1 ,heraklid1  ,eudoxos1 ,lyko1   
dem ,pythagorer4 ,platon1 der doch in   
die ,schule der  ,pythagorer ging1 ist  
sehr zurckhaltend mit historischen      
,nachrichten4  ,aristoteles hat zwar die
 pythagorische ,philosophie in eigenen  
,schriften behandelt2 was uns erhalten  
ist1 ist wenig und besonders  was die   
,zahlenlehre betrifft1 nicht frei von   
,unklarheiten4 ,pythagoras  selbst      
spielt dabei nur eine geringe ,rolle4   

,unter den ,schlern des  ,aristoteles   
beginnt schon die ,sage das ,leben des  
,pythagoras zu  umspinnen1 aber erst in 
der ,zeit des ,neupythagoreismus vom #a4
 ,jahrh4  v4 ,chr4 ab sind ,romane wie  
die des ,apollonios von ,thyana und des 
,porphyrios und des ,jamblichos         
entstanden4    ,feststeht durch das     
,zeugnis ,herodots1 ,,iv41 #ie1 der ganz
 beilufig  dort den ,pythagoras erwhnt1 
dass er als ,sohn des ,mnesarchos in    
,samos geboren1 feststeht1 dass er um   
die ,mitte des ,jahrhundert1 etwa  von  
#ehj-ejj gelebt hat1 als reifer ,mann   
#ecj etwa nach ,unteritalien            
ausgewandert ist1 in ,kroton eine       
,kongregation1 die etwa nach ,art der   
,freimaurer organisiert war1 gegrndet   
hat1 und hochbetagt in ,metapont        
gestorben ist4 ,vorher soll er zu seiner
 ,bildung lange ,jahre ,reisen in  so   
ziemlich alle ,lnder des orbis terrarum 
gemacht haben1 und dies  scheint nicht  
unwahrscheinlich4 ,ganz besonders lange 
soll er in gypten  verweilt haben2 aber 

dann wre es im hchsten ,grade           
auffallend1 dass  ,herodot1 der etwa    
#ajj ,jahre nach ihm gypten bereist hat1
 und der den  ,spuren des ,hellenentums 
dort sehr sorgsam nachgegangen ist1 kein
 ,wort  davon erwhnt4    ,der ,bund der 
,pythagorer war ein religis ethischer2  
er sollte eine  ,pflanzschule der       
,mssigkeit1 der ,tapferkeit1 der        
,ordnung1 des ,gehorsams  gegen         
,obrigkeit und ,gesetz1 der             
,freundestreue1 berhaupt aller jener    
,tugenden sein1 die zum griechischen und
 insbesondere zum dorischen             
7,spartaner7 ,begriff eines wackeren    
,mannes gehren4 ,neben den religisen    
,beweggrnden1 die sich aus dem ,walten  
der ,gtter und vor allem aus  des       
,stifters ,lehre von der                
,seelenwanderung fr das sittliche ,ideal
  ergaben1 wurde von ihm auch als       
,bildungsmittel in erster ,linie auf die
  ,beschftigung mit ,mathematik1 ,musik1
 auch auf ,ditetik und ,beschwrung      
mittelst ,zahl und ,musik zur ,heilkunst

 hingewiesen4 ,da der ,bund seiner      
ganzen ,natur nach sehr bald politisch  
oligarchisch wurde und die              
,regierungsgewalt in den grossen        
unteritalienischen ,kommunen ,kroton1   
,tarent1 ,metapont etc4 an sich riss1 so
 richtete sich die demokratische        
,strmung gegen ihn und in den ,kmpfen1  
die um die ,wende des #e4 ,jahrh4  die  
,aristokratie der ,stdte strzten1 wurde 
der ,bund gesprengt1 ein  grosser ,teil 
der ,pythagorer gettet1 darunter        
vielleicht ,pythagoras  selbst1 die     
andern vertrieben4    ,diese            
,vertreibung hatte eine ,wirkung1 die   
wir mit der durch die  ,eroberung von   
,constantinopel geweckten ,renaissance  
vergleichen  knnen4 ,die mathematischen1
 philosophischen1                       
naturwissenschaftlichen  ,kenntnisse1   
die bisher auf einen kleinen ,kreis     
beschrnkt waren1 wurden  nach           
,griechenland1 ,kleinasien1 ,sizilien   
verbreitet und bewirkten dort  das      
,aufblhen der mathematischen            

,wissenschaften4    ,von den ,lehren der
 ,pythagorer ist am bekanntesten die    
,lehre von der  ,seelenwanderung        
7,metempsychose7 und die ,anschauung1   
dass das ,wesen  der ,dinge die ,zahl   
sei1 dann ihre ,kosmologie mit der      
,ordnung der  ,sphren1 dem              
,zentralfeuer1 der ,sphrenmusik1 und    
dann die ,harmonielehre  gesttzt auf die
 ,auffindung der ,intervalle mittelst   
des ,monochords4  ,ihre ganz            
hervorragende ,pflege der ,mathematik   
ist unbestreitbar und  ebenso1 dass sie 
zuerst das ,bedrfnis nach ,systematik   
und wirklichen  ,beweisen empfanden und 
befriedigten4 ,wie weit aber die        
,kenntnisse  der ,pythagorer selbst     
reichten1 ist ganz unmglich zu bestimmen
  und schwierig ist es auch den ,stand  
des ,wissens in der ,schule der         
,pythagorer1 die wir bis zu ,platon und 
,archytas rechnen1 zu  skizzieren4      
,sidenote3 ,philolaos4    ,die ersten   
wirklichen ,nachrichten ber die ,lehre  
des ,pythagoras rhren  von ,philolaos   

her1 einem lteren ,zeitgenossen des     
,sokrates und  ,demokrit1 der nach der  
,vertreibung aus ,unteritalien sich nach
 ,theben  geflchtet hatte4 ,es scheint1 
dass ,platon seine ,schrift von den     
,erben  in ,sizilien gekauft und daraus 
seine ,kunde des ,pythagoreismus und    
auch  viele ,anregung fr seine eignen   
mathematischen und philosophischen      
,gedanken geholt hat4 ,sein ,neffe und  
,nachfolger in der ,leitung der         
,akademie1 ,speusippos1 hat die ,schrift
 geerbt und dessen ,bibliothek  hat     
,aristoteles gekauft1 der das ,werk     
verffentlichte1 d4 h4  mehrfach         
abschreiben liess4 ,nicht unbedeutende  
,fragmente dieses                       
,glaubensbekenntnisses der ,pythagorer  
haben sich erhalten und ,aug4  ,boeckh  
hat ihre ,echtheit dargetan4 ,ausserdem 
besitzen wir eine geringe  ,anzahl      
echter ,bruchstcke des ,archytas und    
haben an guten ,quellen die  ,dialoge   
des ,platon3 ,philebos1 ,thetet1 ,timos1
 der ganz besonders  wichtig ist1 und   

die ,physik und ,metaphysik des absolut 
zuverlssigen  ,aristoteles1 sowie einige
 ,stellen des ,eudemos1 die uns         
besonders  durch ,proklos erhalten sind4
    ,philolaos bezeichnet die ,zahl als 
das ,gesetz und den ,zusammenhalt der   
,welt1 als herrschende ,macht ber ,gtter
 und ,menschen1 die ,bedingung  aller   
,bestimmtheit und ,erkenntnis4 ,das     
,begrenzende aber und das  ,unbegrenzte1
 diese zwei ,bestandteile der ,zahlen1  
sind die ,dinge1 aus  denen alles       
gebildet sei4 ,die ,zahl ist nicht bloss
 die ,form1 durch  welche der           
,zusammenhang der ,dinge bestimmt wird1 
sondern auch die  ,essenz1 das ,wesen1  
7nicht etwa die ,materie71 aus welcher  
sie bestehen1  oder vielleicht richtiger
 das ,gesetz1 welches die ,dinge        
erschafft4  ,in ,fortbildung des auf    
,naturerkenntnis gerichteten            
,gedankengangs der  ,ionier erkannten   
sie die ,bedeutung der ,zahl1           
insbesondere der relativen  ,zahl1 fr   
eben diese ,erkenntnis4 ,philolaos      

braucht die ,ausdrcke 1  ,wesen1 und 1  
,grundlage4 ,aristoteles und ,philolaos 
selbst geben  als ,grund an1 dass alle  
,erscheinungen nach ,zahlen geordnet    
sind1 dass  namentlich die ,verhltnisse 
der ,sphrenharmonie und der ,tne1 alle  
sthetischen1 alle rumlichen             
,bestimmungen1 von gewissen festen      
,zahlen  und ,zahlenverhltnissen        
beherrscht sind4 7,symbolische          
,rundzahlen  z4 ,b4 #dj4 ,kabbala der   
,chalder71 und dass unsre ,erfahrung nur
 in der  ,feststellung der              
,zahlenverhltnisse besteht 7vgl4 ,diels1
 ,fragmente der  ,vorsokratiker p4      
#bej74    ,die ,zahlen zerfallen in     
gerade und ungerade und die             
gerad-ungeraden  #b 7#bn  #a74 ,eins1   
die unteilbare monas1 steht ausser oder 
richtiger  ber den ,zahlen2 in der      
reinen ,eins1 die geradezu mit der      
,gottheit  identifiziert wird1 sind die 
,gegenstze vereinigt1 und so wird auch  
die ,eins als gerad-ungerad bezeichnet4 
,zunchst mchte ich die scheinbaren      

,widersprche1 die sich bei  ,aristoteles
 in seinem ,bericht ber die ,grundlagen 
der ,pythagorischen  ,philosophie       
finden1 rechtfertigen4 ,zwischen der    
phantastisch  orakelnden1 grossartig    
erhabenen ,sprache des ,philolaos und   
der  ,darstellung bei ,archytas1 dem    
grossen ,mathematiker1 sind sicher      
nicht bloss zeitliche1 sondern auch     
sachlich bedeutende ,differenzen4  ,ich 
zweifle gar nicht1 dass ,archytas der   
,pythagorer gewesen1 dessen  einfache   
,klarheit ,dionysios von ,halikarnassos 
rhmt 7,boeckh l4 c4 p4  #dc74 ,und      
zwischen beiden gab es sicher zahlreiche
 ,nuancen4 brigens  interpretiere ich   
die ,stelle ,metaph4 ,,xiii1 #h1 #ajhc;b
 so3 ,die ,krper  bestehen auf ,grund   
von ,zahlen 7,verhltnissen74 ,auf       
chemische ,ideen der  ,pythagorer habe  
ich schon in meinem ,aufsatz ber        
,mathematik1 ,bd4  ,,ii1 ,heft #a der   
,cohen-,natorp'schen ,hefte hingewiesen4
 ,die ,pythagorer  haben die            
,tonempfindungen durch den ,monochord in

 ,zahlenverhltnisse  umgewandelt1 und so
 sind sie es gewesen1 welche zuerst den 
,schritt von  ungeheurer ,tragweite     
getan1 ,qualitten in ,quantitten        
umzusetzen und  so die ,welt der usseren
 ,erscheinungen1 die ,physik1 in die    
,welt der  inneren ,verknpfungen1 die   
,mathematik1 umzuwandeln4 ,und so kommen
 sie  naturgemss darauf als 1 als       
,substanz1 nicht als 1 ,materie1 der    
,dinge1 das ,bleibende in der           
,vergnglichkeit1 die ,zahl zu setzen1 d4
 i4  das math4 ,gesetz4 ,als ,belag fr  
diese ,auffassung gengt es auf die von  
,boeckh p4 #ada angefhrte ,stelle aus   
,stobos zu verweisen2 ,boeckh hat  sie  
frei in dem eben angefhrten ,sinne      
bersetzt1 und den ,vergleich mit  dem   
,gnomon meisterhaft interpretiert3 ,das 
,erkannte 7die ,dinge7 wird  von dem    
,erkennbarmachenden 7der ,zahl7 umfasst 
und ergriffen1 wobei eine  ursprngliche 
bereinstimmung und ,anpassung1 wie des  
,gnomon um sein  ,quadrat herum         
vorausgesetzt wird4    ,das ,gnomon ist 

die ungerade ,zahl #b;a  #a1 welche     
durch ihr ,hinzukommen  aus a#b das     
,quadrat von 7a  #a7 liefert und zwar in
 der geometrischen  ,form des           
,winkelhaken4    ,illustration    ,eine 
nhere ,ausfhrung zeigt die ,analogie mit
 den ,chaldern noch  deutlicher1 die    
,zuordnung von ,zahlen an die ,planeten 
und an bestimmte  ,begriffe4 ,die       
,gerechtigkeit z4 ,b4 entsprach dem  1  
dem  ,gleichmal gleichen1 d4 h4 der #d  
oder der #i1 als der ersten geraden1    
bezw4 ungeraden ,quadratzahl2 #e als    
,verbindung der ersten mnnlichen mit    
der ersten weiblichen ,zahl gleich ,ehe1
 die ,einheit ,vernunft1 weil sie       
unvernderlich1 die #b ,meinung1 weil sie
 vernderlich etc4    ,das ,mnnliche und 
,weibliche bezieht sich auf die         
bekannten #aj  ,gegenstze des           
,philolaos3 #a7 ,grenze und             
,unbegrenztes4 #b7 ,ungerade und        
,gerade4 #c7 ,einheit und ,vielheit4 #d7
 ,rechts und ,links4 #e7 ,mnnliches und 
,weibliches4 #f7 ,ruhendes und          

,bewegtes4 #g7 ,gerades und ,krummes4   
#h7 ,licht  und ,finsternis4 #i7 ,gutes 
und ,bses4 #aj7 ,quadrat und ,rechteck4 
,aristoteles berichtet uns auch in der  
,metaphysik ber das dekadische  ,system4
 ,die ,zahlen ber #aj sind nur          
,wiederholungen der ersten #aj4 7,eine  
,art arithm4 ,kongruenzidee47 ,die      
,dekas umfasst alle ,zahlen und alle    
,krfte der ,zahlen2 sie heisst daher bei
 ,philolaos gross1 gewaltig1  alles     
vollbringend1 ,anfang und ,fhrerin des  
gttlichen wie des  irdischen ,lebens1   
sie gilt ihm nach ,aristoteles als das  
,vollkommene1  welches das ganze ,wesen 
der ,zahl einschliesst4 ,wir danken es  
nur ihr1  dass uns ein ,wissen berhaupt 
mglich ist4    ,eine hnliche ,bedeutung 
hatte die #d;heit nicht als #bb1 sondern
  weil #a  #b  #c  #d  #aj1 so wird in  
der ,tetractys1 dem ,schwur der         
,pythagorer1 die ,zehn1 d4 h4 die ,zahl 
selbst als ,wurzel und ,quelle der      
ewigen ,natur gefeiert4    ,auch von den
 anderen ,zahlen hat jede ihre eigene   

,wesenheit1 z4 ,b4 #c ist  die erste    
vollkommene1 denn sie hat nur ,anfang1  
,mitte und ,ende 7  lteste              
,zahlenschreibung72 #f die zweite gleich
 der ,summe ihrer ,teiler  #a  #b  #c2  
#c1 #d1 #e sind die ,zahlen des         
vollkommensten rechtwinkligen           
,dreiecks4    ,sie sehen in dieser      
,zahlenspielerei den ,ernst der         
,zahlentheorie1  und wenn ,aristoteles  
uns erzhlt1 dass der ,pythagorer        
,eurytos die  ,bedeutung der einzelnen  
,zahlen dadurch beweisen wollte1 dass er
  die ,figuren der ,dinge1 denen sie    
quivalent gesetzt wurden1 aus  der      
entsprechenden ,zahl von ,steinchen     
7,kinderspiel3 ,pythagoras7             
zusammensetzen wollte1 so sehen ,sie    
hier die ,richtung gewiesen1 welche  die
 griechische ,arithmetik 7nicht die     
,logistik1 die ,rechenkunst7  whrend der
 ganzen klassischen ,epoche eingehalten 
hat2 man vergleiche  die ,kapitel des   
,hauptarithmetikers ,nikomachos von     
,gerasa ber die  figurierten ,zahlen4   

,ich komme damit auf die ,anwendung der 
,zahlenlehre auf die geometrischen      
,figuren4 ,aristoteles sagt1 sie haben  
die ,linie durch die ,zahl #b  erklrt4  
,philolaos nennt #d die ,krperzahl1     
,platon scheint die #c-  und #d-,zahl   
als ,flchen- und ,krperzahl von         
,philolaos entnommen zu  haben4 ,die    
,pythagorer setzten die ,einheit den    
,punkten gleich1 weil die   7,leibniz'  
,monade7 unteilbar2 die gerade ,linie   
als #b1 weil sie  durch #b ,punkte      
bestimmt sei1 das ,dreieck durch #c     
,punkte1 der einfachste  ,krper durch #d
 ,punkte bestimmt seien4    ,der ,krper 
besteht ihm zufolge auf ,grund der ihn  
umschliessenden  ,linien und ,flchen1   
wie die ,linien und ,flchen durch       
,punkte und ,linien  determiniert       
werden4 ,von den #d ,elementen weisen   
sie nach ,philolaos  der ,erde den      
,kubus1 dem ,feuer das ,tetrader 7eine  
,ableitung von  ,pyramide71 der ,luft   
den ,oktader1 dem ,wasser den ,ikosader 
zu1 dem  fnften alles umfassenden       

,element1 dem ther1 den ,dodekader1 d4  
h4 sie  nahmen an1 dass die kleinsten   
,teile dieser ,elemente die betreffende 
,form htten4 7,hier haben wir also schon
 den ,grundgedanken der  ,stereochemie1 
nur kommt der ,tetrader dem ,feuer statt
 der ,kohle zu47  ,daher heissen diese  
,krper oft die kosmischen1 und1 da sich 
,platon im  ,timus von ,philolaos diese 
,zueignung angeeignet hat1 so heissen   
sie  auch oft die platonischen4    ,es  
scheint nicht unglaubhaft1 dass der     
fnfte ,krper1 der ,dodekader1  eine     
,entdeckung der ,pythagorer gewesen und 
im ,zusammenhang damit steht  die       
,konstruktion des regelmssigen ,fnfecks 
und damit des goldenen  ,schnittes4     
,sidenote3 ,boeckh's ,interpretation des
 ,philolaos4    ,in der ,geschichte des 
,erkenntnisproblems1 das die eigentliche
  ,geschichte der ,kultur ist1          
bezeichnen die ,pythagorer einen grossen
  ,fortschritt gegenber den ,ioniern1 da
 sie zum ersten ,mal nicht in  religiser
 sondern in philosophischer ,form die   

,erkenntnis haben1 dass  die sinnliche  
,erscheinung der ,welt nicht das letzte1
 sondern dass ein  geistiges ,prinzip   
dahinterstehe4 ,sie fanden es in der    
,mathematik1 die  ja auch ,plato als    
zwischen den ,dingen und den ,ideen     
stehend auffasst2  und nicht weil sie   
sich mit ,mathematik beschftigten1 sahen
 sie in der  ,zahl die ,substanz der    
,dinge1 sondern umgekehrt1 weil sie nach
 einem  die ,erscheinungswelt           
beherrschenden ,gesetz der ,vernunft    
suchten1  fanden sie dies in ,mass und  
,zahl4 ,das ,hauptwerk fr die           
,philosophie  der ,pythagorer ist neben 
,brandis und ,zeller1 die ,geschichte   
der  ,phil4 von ,ritter #ahbh1 wozu die 
,kritik von ,ernst ,reinhold 7,jena7  im
 ,jahrb4 fr wiss4 ,kritik #ahbh p4 #ceh 
zu vergleichen ist4 ,am tiefsten        
scheint mir der grosse ,philologe       
,august ,boeckh in den ,geist der       
,pythagorer eingedrungen zu sein in     
seiner ,schrift3 ,philolaos des         
,pythagorers ,lehren etc41 ,berlin      

#ahai4 ,gegenber ,zeller1 dem ,klassiker
  der griechischen ,philosophie1 der    
aber auch m4 ,e4 nach den ,pythagorern  
nicht gerecht geworden ist1 ist ,w4     
,kinkel in seiner ,geschichte  der      
,philosophie als ,einleitung in das     
,system der ,philosophie ,bd4 #a1  #aijf
 neben eigenen ,auffassungen vielfach   
auf ,ritter und ,boeckh  zurckgegangen4 
,bei dieser ,sachlage sei mir ein nheres
 ,eingehen auf  den ,kern des           
,pythagoreismus gestattet4    ,auch ber 
den dunkelsten ,punkt der ,lehre des    
,philolaos hat ,boeckh  mit             
bewunderungswrdig genialem ,instinkt    
,licht verbreitet3 ,es ist  die ,stelle 
,metaphysik ,i1 #e des ,aristoteles3    
'    1         1  '            1  '    4
 ,grundlegungen der ,zahlen  sind das   
,gerade und das ,ungerade1 das erste    
begrenzt1 das andere  unbegrenzt4 ,die  
,eins besteht aus beiden4 ,die ,zahl    
aber stammt aus  der ,eins4 ,was zunchst
 die ,gegenstze begrenzt 7bei ,philolaos
 und  ,platon richtiger begrenzend oder 

,grenze7 und ,unbegrenztes1 und ,gerade 
und ,ungerade1 wie berhaupt die #aj     
,gegensatzpaare der ,pythagorer         
betrifft1 so stimme ich ,ritter bei1    
dass sie den einen ,heraklitischen      
,gedanken verkrpern1 der ,streit 7id est
 die ,polaritt7 ist der ,vater  der     
,dinge4 ,gerade in der ,ausgleichung    
dieser ,gegenstze besteht nach          
,philolaos die pythagorische ,harmonie4 
,dann aber hat ,boeckh es               
hervorgehoben1 dass hier in andrer ,form
 in der ,bildung der ,zahl aus  ,grenze 
und ,unbegrenztem1 auch ,unbestimmtem1  
eigentlich schon von den  ,pythagorern  
genau dasselbe ausgedrckt wird1 was ich 
#ahhd chemisch  rein von ,kenntnis des  
,pythagoreismus auf ,s4 #a meiner       
,elemente der  ,arithmetik als          
,vorbereitung auf die                   
,funktionentheorie1 sub #d1 d gesagt    
habe3 d7 wird die erzhlte ,zahl als     
,anzahl des abgezhlten ,komplexes       
erhalten durch eine eigne ,ttigkeit1    
welche den ,zhlprozess abschliesst      

7begrenzt74 ,und #aijf fgte ich hinzu3  
,hierin haben wir die erste  usserung   
des so entscheidend wichtigen           
,grenzbegriffs 7,meth4 der  elem4       
,arithm4 p4 #i u474 ,und ganz analog dem
 was bei ,boeckh ,s4 #ee ber #a  und die
 unbestimmte ,zweiheit1 die erst durch  
,anwendung der begrenzenden  ,eins zur  
zwei wird1 gesagt wird1 habe ich l4 c4  
gesagt1 dass zwei im  ,grunde die       
einzige ,zahl sei1 und die ,drei eine   
neue ,zwei4 ,in diesem  doppelten       
,zusammentreffen sehe ich wieder eine   
,besttigung meines  ,lieblingssatzes3   
,nie hat irgendwer irgendwas gefunden4  
,der ,grund1 weshalb in sekundrer ,weise
 die ungeraden ,zahlen dem              
,begrenzenden zugeordnet werden und die 
geraden dem ,unbegrenzten1  scheint mir 
darin zu liegen1 dass aufgelst in       
,einheiten die ungeraden  ,anfang1      
,mitte und ,ende haben1 die geraden nur 
,anfang und ,ende1 und die  ,mitte      
unbestimmt ist4 ,ausserdem hat ,boeckh  
wohl auch darin recht1 dass  im ,volke  

eine ,bevorzugung der ungeraden ,zahl   
herrscht3 7,aller guten  ,dinge sind #c1
 #ajja ,nacht etc474    ,auch der       
,zusammenhang der ,zahl mit der ,zeit   
findet sich angedeutet4  ,zeit und ,raum
 verlegen sie an die ,peripherie der    
,welt1 von wo aus sie  in die ,welt     
eintreten1 und indem sie sich mit der   
schpferischen ,eins  verbinden die      
,erzeugung des ,seienden bewirken4 ,hier
 liegt1 wenn auch  bildlich             
verschleiert1 die ,ahnung von ,zeit und 
,raum als ,bedingung der  ,erfahrung vor
 und zugleich davon1 dass die ,kategorie
 ,zeit mittelst der  ,kategorie ,zahl   
die ,welt der ,erscheinungen realisiert 
d4 h4 begreiflich  macht4    ,sidenote3 
,kosmogonie und ,pantheismus der        
,pythagorer4    ,die ,kosmogonie der    
,pythagorer ist von ,boeckh l4 c4 und in
 seinen  ,arbeiten zum ,timos des       
,platon erschpfend behandelt1 sie ist   
voll  tiefer ,gedanken und der des      
,aristoteles entschieden berlegen4 ,aber
 die  gewaltige ,autoritt des           

,aristoteles1 dem sich ,poseidonios     
anschloss1  hat die ,entwicklung        
heliozentrischer ,ideen wie sie sich    
schon bei  ,philolaos und noch mehr bei 
,hiketas finden auf ,jahrtausende       
gehemmt1  bis infolge der ,renaissance  
,kopernikus auf die ,pythagorer         
zurckging4    ,nur noch ein paar        
,bemerkungen1 welche fr die ,frage nach 
der ,prioritt  des ,pythagorischen      
,satzes wichtig sind4 ,der bei          
,philolaos 7vgl4 ,boeckh  und ,ritter7  
scharf ausgesprochene ,pantheismus und  
die ,weltseele  weisen deutlich auf     
,indien1 wie die ,zahlenmystik1 das     
grosse ,weltjahr  auf ,babylon4 ,wie die
 ,babylonier den einzelnen ,gttern      
einzelne  ,zahlen zuordnen1 so werden   
hier den einzelnen ,gttern1 d4 h4 den   
,personifikationen von ,krften des      
,einen einzelne ,winkel zugeordnet4     
,mglicherweise knnen auch die ,orphiker 
mit ihrer ,geheimlehre die  ,vermittler 
zwischen dem ,orient und den            
,pythagorern gewesen sein4    ,sidenote3

 ,mathematische ,kenntnisse der         
,pythagorer4    ,nach diesem ,exkurs    
fahre ich in dem ,bericht ber die rein  
mathematischen ,kenntnisse der          
,pythagorer fort4    ,es ist sehr       
glaubhaft1 dass ihnen das ,sternfnfeck1 
das ,pentalpha oder  pentagramma bekannt
 gewesen und dass sie sich desselben als
 ,symbol fr  sei gesund bedienten1 wofr 
die bekannte ,stelle aus ,lukianos 7pro 
lapsu in salut47 angefhrt wird 7s4      
,fig474    ,illustration    ,das  statt 
des ,diphtonges 1 die ,figur als ,anfang
 der ,briefe statt  des sonst blichen3  
sei gegrsst4    ,in ,verbindung damit   
steht die ,kenntnis von den             
,proportionen1 der  arithmetischen a - b
  c - d1 der geometrischen a 3 b  c 3 d1
 und der  ,spezialflle a - b  b - c1 a 3
 b  b 3 c1 d4 h4 des arithmetischen  und
 geometrischen ,mittels1 dem sie als    
drittes das harmonische ,mittel         
anreihten3 7a - b7_/7b - c7  a_/c2      
7#b_/;b  #a_/;a  #a_/;c72 harmonisch1   
weil  die ,seitenlngen des ,grundtones c

 der ,quinte g der ,oktave ,c #a1 #b_/c1
 #a_/b  diese ,proportion bilden1 denn  
#a - #b_/c 3 #b_/c - #a_/b  #a_/7a_/b74 
,dass sie  diese ,verhltnisse kannten1  
bezeugt ,philolaos ausdrcklich und      
ebenso  ,eudemos1 und sie fanden sie    
auch am ,wrfel anschaulich vor4    ,in  
der ,geometrie schuldet man ihnen nach  
dem ,zeugnis des ,eudemos bei  ,proklos 
den ,beweis des ,satzes von der         
,winkelsumme im ,dreieck durch  ,ziehen 
der ,parallele und den ,satz von den    
,wechselwinkeln4    ,nach der durch     
,geminos1 dem ,eudemos vorlag1 verbrgten
 ,notiz im  ,kommentar des ,eutokios zu 
den ,kegelschnitten des ,apollonios     
bewiesen  die ,alten den ,satz fr jede  
besondere ,form des ,dreiecks einzeln1  
zuerst fr das gleichseitige aus der     
,sechsteilung des ,kreises1 dann fr  das
 gleichschenklige und zuletzt fr das    
ungleichseitige4    ,diese ,notiz ist fr
 die ,geschichte des ,parallelenaxioms  
von grsster  ,bedeutung1 sie beweist1   
dass der vielleicht neueste ,weg das    

,axiom zu  begrnden1 von der            
,sechsteilung des ,kreises aus1 zugleich
 der lteste  ist4    ,wir haben ferner  
das ,zeugnis des ,eudemos1 ,proklos ,i  
prop4 #dd1 dafr  dass die ,pythagorer   
sich schon mit den drei ,aufgaben       
beschftigten1  welche die ,grundlage der
 ,kegelschnitte enthalten3 ,an eine     
gegebene  ,strecke einen gegebenen      
,flchenraum zu entwerfen 77 bezw4  die  
,aufgabe 7,euclid #a1 #dd ,eucl4 #c1    
#bh1 #bi7 so zu verallgemeinern1 an     
eine gegebene ,strecke ,,ab einen       
gegebenen ,flchenraum als ,rechteck  ,ay
 so anzulegen1 dass ein ,quadrat ,by    
brig bleibt 77 oder  berschiesst 4 ,man 
sieht in der ,tat 7s4 ,fig471 wir haben3
 ax   y#b2 ax - x  y#b2 ax  x#b  y#b4   
,illustration    ,sidenote3 ,das        
,irrationale bei den ,pythagorern4      
,nehmen wir dazu noch die ,kenntnis der 
,pythagorer von der  ,irrationalitt der 
#b und damit die ,entdeckung des        
,irrationalen1  oder1 wie es zuerst weit
 passender genannt wurde1 des 1 so fehlt

  uns nur noch der ,pythagorische       
,lehrsatz selbst4    ,von der           
ungeheueren ,revolution1 die diese      
,entdeckung des ,irrationalen  in den   
,kpfen der griechischen ,mathematiker   
hervorbrachte1 haben wir  noch deutliche
 ,spuren4 ,es wird uns erzhlt1 dass sie 
diese ,kenntnis  als das ,hauptgeheimnis
 behandelten und dass ein ,pythagorer1  
der es  unter die ,leute gebracht1 zur  
,strafe ertrunken sei4 ,man denke sich  
nur den ,eindruck6 ,die ,zahl1 die das  
,mass aller ,dinge1 die ,grundlage      
aller ,ordnung und damit ,erfahrung1    
hier versagte sie1 und ,grssen1  deren  
,verhltnis in der ,potenz1  1 im        
,quadrat1 das denkbar  ,einfachste1     
haben in der ,linie kein ,verhltnis4    
,die ganze ,grundlage des  ,gebudes     
wankte1 alle ,satze1 wie z4 ,b4 die     
,streckenteilung1 mussten neu  geprft   
werden4 ,aristoteles hat uns den        
mutmasslich ltesten ,beweis  erhalten3  
,wenn eine #b existierte1 so msste      
,gerades gleich ,ungeradem sein4    ,wir

 wissen aus dem ,thetet1 dass dann      
geometrische ,beweise gegeben  sind2 der
 fr #b ist im ,euclid erhalten1 der fr  
ist vermutlich der1  den ,bretschneider 
und ich selbst unabhngig von ihm        
gegeben1 fr #e ist  er                  
selbstverstndlich4 ,thetet erzhlt bei   
,plato1 dass der ,pythagorer  ,theodoros
 von ,schritt zu ,schritt bis zu #ag    
solche einzelnen ,beweise  gegeben und  
dann den allgemeinen auf arithmetischer 
,grundlage1 indem er  die ,zahlen in    
,quadratzahlen und in ,rechteckzahlen   
geteilt1 d4 h4 in  solche die nicht in  
zwei gleiche ,faktoren zerlegt werden   
knnen4 ,der  ,beweis war also           
arithmetisch3    n  p#bq1 n  1 #b  p#bq1
   pq1 q  1 q  #b gegen die             
,voraussetzung4    ,resumieren wir1 so  
waren den ,pythagorern im wesentlichen  
die  geometrischen ,stze bekannt1 die   
auf ,gleichungen ersten und zweiten     
,grades fhrten2 das erste und zweite    
,buch des ,euclid1 ein grosser  ,teil   
des dritten und des zwlften2 und ihre   

,auslufer insbesondere  ,archytas und   
,hippokrates haben schon die ,probleme  
dritten ,grades in  ,angriff genommen4  
,sidenote3 ,der ,pythagorische          
,lehrsatz4    ,ich wende mich nun zu dem
 ,satz1 der den ,namen des ,pythagoras  
seit ber  #b ,jahrtausenden trgt4    ber
 diesen grossen ,satz1 den magister     
matheseos1 auf den die  ,flchenrechnung 
und die ,trigonometrie sich sttzen1     
drckt sich  ,proklos sehr vorsichtig so 
aus3 ,wenn wir auf die1 welche alles    
erzhlen wollen1 hren1 so finden wir1    
dass sie diesen ,satz auf  ,pythagoras  
zurckfhren und sagen1 bei der           
,auffindung habe er einen  ,ochsen      
geopfert4 ,der erste ,schriftsteller1   
welcher ganz bestimmt  ,pythagoras      
nennt1 ist der rmische ,architekt       
,vitruv1 und nur  in ,verbindung mit der
 ,hekatombe wird die ,sache erzhlt4     
,hankel  sagt3 ,doch mchte ich nicht so 
weit gehen1 den ,satz dem ,pythagoras   
abzusprechen1 obwohl keine einzige nur  
einigermassen glaubwrdige  ,nachricht   

darber vorhanden ist4 ,cantor pldiert fr
 ,pythagoras  selbst1 und er hat darin  
wohl recht1 dass die ,schule durch den  
,meister  den ,satz kennen gelernt2 den 
,satz selbst aber hat ,pythagoras aus   
,asien  und mit ausserordentlicher      
,wahrscheinlichkeit aus ,indien4 ,auf   
,babylon  weist die ,zahlenmystik1 die  
,symbolisierung der ,begriffe in        
,zahlen1 und  auf ,indien der ,lehrsatz 
und die ,lehre von der ,seelenwanderung4
    ,sidenote3 ,die ,geometrie der      
,inder4    ,m4 ,cantor hat noch in der  
#b4 ,aufl4 die indische ,geometrie als  
nicht  original erklrt1 er hat es       
wiederholt1 dass wir die ,geometrie nur 
auf indischer ,grundlage nicht begreifen
 knnen1 ja1 er hat sie von  ,heron von  
,alexandria1 dessen ,blte zwischen #ajj 
v4 ,chr4 und #ajj n4  ,chr4 schwankt1   
abhngen lassen1 und das1 obwohl er die  
,existenz der  ,sulba-sutras1 d4 i4 der 
,schnurregeln1 der ,zimmermannsregeln fr
  die ,herstellung der ,opfersttte aus  
,thibauts schner ,arbeit in  der        

,asiatic society of ,bengal von #ahge   
kannte4 ,dabei hat #ahhd der            
,sanskritist ,leopold v4 ,schrder ein   
,buch geschrieben3 ,pythagoras und  die 
,inder1 in welchem er bereits ziemlich  
entscheidende ,beweise fr  die          
,beeinflussung der ,pythagorer durch die
 ,inder beigetragen hat4    ,ich schiebe
 hier einiges aus meinem ,vortrag im    
mathem4 ,kolloquium  vom #b4 ,febr4     
#aijc ein4 -- ,als ich fr die           
,enzyklopdie den ,artikel  ,pythagoras  
abschliessen wollte1 machte mich unser  
,indologe ,leumann  auf die damals      
gerade erschienene ,arbeit von ,a4 ,brk 
ber das  ,apastamba ,sulba-sutra        
7,zeitsch4 d4 ,deut4 ,morgenl4 ,ges4    
,bd4 #ee1  #aija1 p4 #edc7 aufmerksam4  
,leumann gab mir auch die ,schrift  ,l4 
v4 ,schrders ,pythagoras und die ,inder 
,dorpat #ahhd4 ,auf ,grund  dieser      
,arbeiten inkl4 ,thibauts trat ich den  
,ansichten ,schrders und  ,brks1 dass   
der ,pythagoras bei den ,indern weit    
lter als bei den  ,hellenen und         

vermutlich von den ,indern her entlehnt 
sei1 bei und  machte die ,mathematiker  
auf die ,arbeit ,brks aufmerksam1       
,hoffm4  ,ztsch4 #cc1 ,s4 #ahc1 #aijb4  
,wie ,brk legte auch ich besonderen     
,wert  auf das ,auftreten des ,satzes   
vom ,gnomon1 d4 i4 von der ,gleichheit  
der ,ergnzungsparallelogramme1 bei den  
,indern4 ,etwa ein ,jahr spter          
erschien1 auf ,verlangen ,cantors       
beschleunigt1 im ,archiv ein ,artikel   
desselben1 in dem er ebenfalls von der  
,arbeit ,brks ,notiz nahm4 ,aber  statt 
dass nun ,cantor die ,selbstndigkeit    
oder wenigstens die relative            
,selbstndigkeit der ,inder1 d4 h4 die   
,unabhngigkeit ihrer ,geometrie  von den
 ,griechen zugegeben1 drckt er sich     
usserst gewunden aus1 ja  selbst seine  
,heron-,hypothese gab er nicht auf1     
indem er sie hinter  der zweifelnden    
,frage am ,schluss versteckt1 ob nicht  
am ,ende in  den ,sulba-sutras          
verhltnismssig moderne ,einschiebsel    
seien4 ,das  ,auftreten von ,stammbrchen

 bei den erstaunlich genauen            
,nherungswerten  von #b sollte auf      
,heron und gypten hinweisen2 aber sieht 
man nher zu1  so liegt gerade hier ein  
entscheidender ,unterschied4 ,whrend bei
 den  gyptern die gemeinen ,brche als   
,summe von ,stammbrchen erscheinen1     
haben wir bei den ,indern auch          
,differenzen oder genauer ,aggregate2   
und  die ,stammbruchform rechtfertigt   
sich als ,bruchteilung der ,massschnur4 
,kulturzusammenhnge bezweifle ich so    
wenig wie jeder der sich nicht  bloss   
mit der ,kultur eines einzigen ,volkes  
beschftigt hat4 ,angesichts  der        
babylonischen ,zahlenzerlegungen und der
 quadratischen ,gleichungen  der gypter 
glaube ich persnlich1 dass der          
,pythagoras ,babyloniern wie  gyptern   
vielleicht schon vor #cjjj v4 ,chr4     
bekannt war4 ,aber ,glauben  ist kein   
,beweis4    ,und was den ,einschub in   
das ,sulba-sutra nach ,apastamba        
betrifft1 so  wre der gleiche ,einschub 
bei ,taittirya1 ,baudhyana1 ,maitryana1 

,katyyana und ,mnava1 und im            
,satapatha-,brhmana gemacht worden6     
,als ich ,heft #i des ,bhler'schen      
,grundrisses der ,indo-,arischen        
,philologie1 ,astronomie1 ,astrologie   
und ,mathematik von ,g4 ,thibaut  las1  
wunderte ich mich1 wie befangen sich    
dieser hervorragende ,kenner  des       
indischen ,wissens auf dem ,gebiet der  
exakten ,wissenschaften der  ,autoritt  
,cantors gegenber zeigte4 ,derselbe     
,mann1 der #ahge so  treffend           
geschrieben hatte3 ,was nur immer fest  
mit altindischer  ,religion verknpft    
ist1 muss betrachtet werden1 als bei den
 ,indern  selbst entsprungen1 wenigstens
 so lange bis das ,gegenteil erwiesen1  
der liess sich verblffen durch          
,argumentationen von solcher            
,ungeheuerlichkeit1 wie die rhetorische 
,frage3 ,kann unmittelbare  ,anschauung 
zur ,erfindung neuer ,satze fhren8 ,ich 
sehe von ,jakob  ,steiner ganz ab1 von  
dem es ja notorisch ist1 wie viele      
seiner  ,stze1 gelegentlich auch        

unrichtigen1 er der unmittelbaren       
,anschauung  verdankt1 sondern weise nur
 auf ,e4 ,e4 ,kummer hin1 gewiss ein    
reiner  ,mathematiker wie nur einer1 und
 doch der eigentliche ,urheber der      
,modellgeometrie fr ,flchen4 ,herr ,brk 
hat sich dann auch nicht  geniert1 die  
,schwche der ,cantor'schen ,argumente   
auch bezglich der  ,seilspannung beim   
,tempel von ,edfu -- nebenbei bemerkt   
erst #bcg v4  ,chr4 -- aufzudecken1 und 
er wies mit ,recht auf ,h4 ,hankel hin1 
dessen  dnnleibige ,fragmente von einem 
fast prophetischen1 wahrhaft genialen   
,verstndnis fr die ,seele der ,vlker    
zeugen4 ,angesichts einiger             
,bemerkungen mchte ich hier sagen1 dass 
ich von ,bewunderung fr die  beinahe    
bermenschliche ,arbeitsleistung ,cantors
 erfllt bin1 aber die  betreffenden     
usserungen in meiner ,entwicklung der   
,elementargeometrie  aufrecht halte4    
,das ,recht zur ,kritik1 das mir        
,weierstrass zugestand1  lasse ich mir  
von niemandem und niemand gegenber      

rauben1 und wenn an  irgend einer       
,stelle1 so gilt fr die ,wertung der    
indischen ,mathematik  durch ,cantor das
 ,horazische3      ,interdum bonus      
dormitat ,homerus1    ,nec semper arcum 
tendit ,apollo4    brigens ist die      
indische ,verwandlung des ,rechtecks in 
ein ,quadrat  ohne eine schulgerechte   
,analyse unmglich1 und bei der          
,ausmessung der  ,saumiki vedi findet   
sich derselbe ,beweis1 den wir heute    
noch fr die  ,flchenformel des ,trapezes
 geben4    ,erklrlich wird das          
,verhalten ,cantors durch sein ,dogma1  
dass die  ,hellenen speziell fr         
,geometrie1 die ,inder fr ,arithmetik1  
insbesondere  fr ,rechnen begabt waren4 
,leider ist dies in dem ,umfange1 wie es
  ,cantor annimmt1 falsch4 ,der leitende
 ,gesichtspunkt der ,entwicklung  der   
griechischen ,mathematik war ein rein   
arithmetischer4 ,sie haben  erst die    
,gleichungen ersten ,grades in ,form der
 ,proportion gelst1 dann  die der       
zweiten vermge der ,satzgruppe des      

,pythagoras und dann die  ,gleichungen  
dritten ,grades angegriffen1 wie man    
absolut deutlich aus  den beiden        
sogenannten ,delischen ,problemen1 der  
,verdoppelung1 bezw4  ,vervielfachung   
des ,wrfels und der ,trisektion des     
,winkels erkennt1  an die sie sich      
unmittelbar nach der im zweiten ,buch   
des ,euclid  ausfhrlich behandelten     
,lsung der quadratischen ,gleichungen   
machten4  ,und die ,inder1 welche im    
,anfang ihrer ,geschichte in der        
,astronomie und  damit in der           
,rechenkunst durchaus abhngig von       
,babylon waren1 haben  hchst            
wahrscheinlich ihre ,geometrie infolge  
ihres ,kultus selbstndig  entwickelt4   
,sidenote3 ,abhngigkeit der ,pythagorer 
von den ,indern4    ,fr die ,abhngigkeit
 der ,pythagorer von den ,indern hat v4 
,schrder  auf die ,lehre von der        
,seelenwanderung hingewiesen2 sie war   
ein  ,hauptbestandteil der              
,pythagorischen ,lehre1 unzweifelhaft1  
schon  ,xenophanes berhrt sie2          

,philolaos trgt sie vor2 ,aristoteles   
bezeichnet  sie als pythagorisch2 ,plato
 hat seine poetische ,darstellung von   
dem  ,zustand nach dem ,tode den        
,pythagorern nachgebildet4 ,philolaos   
sagt1  die ,seele sei an den ,krper zur 
,strafe gefesselt und gleichsam im      
,krper begraben4 ,diese ,anschauung hat 
,platon in dem durch und durch  von     
,philolaos beeinflussten ,timos         
angenommen1 im ,gegensatz zu seiner     
frher z4 ,b4 im ,phdon aufgestellten    
,ansicht4    ,herodot1 der die          
,seelenwanderung als durchaus           
unhellenisch  bezeichnet1 schreibt sie  
den gyptern zu1 aber die ,denkmler der  
gypter1 soviel sie sich auch mit dem    
,tode und dem ,leben nach dem  ,tode    
beschftigen1 weisen keine ,spur der     
,metempsychose auf4 ,und was  fr einen  
,zweck htten dann die riesigen ,opfer1  
welche die gypter  fr die ,behaglichkeit
 des ,kha brachten1 ihre                
,pyramidenbauten1 ihre  ,einbalsamierung
 gehabt8 ,ein einziges gyptisches       

,mrchen1 das von den  drei ,brdern1     
knnte allenfalls herangezogen werden1   
doch das gehrt  unzweifelhaft in den    
,kreis der ,osirissage4    ,sidenote3   
,altindischer ,kulturzustand4    ,aber  
in ,indien da beherrschte und durchdrang
 gerade um diese ,zeit  die ,lehre von  
der ,seelenwanderung das ganze ,volk4   
,wir wissen mit  ,bestimmtheit1 dass    
gerade um diese ,zeit der ,buddhismus   
hereinbrach1  als dessen ,ziel einzig   
und allein die ,befreiung von dem       
,kreislauf  der ,geburten1 von der      
,wanderung der ,seelen durch immer neue 
,existenzen bezeichnet werden muss4 ,und
 nicht ,buddha ,gautama war der  erste  
7,oldenberg #ahha1 ,buddha1 sein ,leben1
 seine ,lehre1 seine  ,gemeinde71       
sondern vor und mit ihm durchzogen schon
 ,asceten1 ,mnche1  ,wanderpriester     
teils einzeln1 teils schon ,orden und   
,kongregationen  bildend das ,land1 um  
in ,busse das ,ziel der ,erlsung zu     
suchen4    ,buddhas ,erfolg beruht      
gerade darauf1 dass er den ,zug nach    

,erlsung von  der sich immer            
wiederholenden ,qual des ,sterbens durch
 seine ,lehre  befriedigte4             
,sidenote3 ,der ,rigveda und der        
,yajurveda4    ,die ,lehre von der      
,seelenwanderung entwickelte sich in    
,indien  naturgemss im ,zusammenhange   
mit der ,lehre vom ,all-,einen1 deren   
,wurzeln  schon in dem ,rigveda1 der    
,sammlung der uralten heiligen ,lieder1 
die  die ,inder zum ,teil beim          
,einwandern aus ,afghanistan            
mitbrachten1 zu  finden sind4 ,wohl sind
 auch ein paar weltliche ,lieder dabei1 
aber sie  finden sich erst im #aj4 ,buch
 des anerkannten ,textes1 der ,redaktion
 der  akalaschule1 das erst etwa um     
#ajjj v4 ,chr4 den brigen #i ,bchern    
oder  mandala zugefgt ist1 wenngleich   
ihr ,ursprung natrlich viel lter  ist4  
,wenn wir uns den ,kulturzustand der    
,inder1 der ,arya zurzeit der           
,entstehung des ,rigveda vergegenwrtigen
 wollen1 so brauchen wir nur die        
,germania des ,tacitus zu lesen1 nicht  

einmal der ,spieltrieb fehlt1 wie  #aj1 
#cd bekundet3 ,nach seinem ,weibe       
greifen fremde ,hnde1 indes mit  ,wrfeln
 er auf ,beute ausgeht4 ,auch hier ein  
freies ,volk1 der ,knig  eigentlich nur 
,herzog1 d4 h4 ,heerfhrer im ,kampfe1   
der ,hausvater1  der ,sippenlteste1     
,herr und ,knig in seinem ,hause und    
zugleich auch  ,priester4 ,eine         
eigentliche ,priesterkaste1 ein         
,bramanentum gab es noch  nicht1        
berhaupt kein ,kastenwesen1 auch keine  
,witwenverbrennung4 ,das  alles hat sich
 erst in der folgenden ,periode         
entwickelt und hngt mit  der ,ausbildung
 des ,opferrituals eng zusammen4 ,wohl  
spielt auch im  ,rigveda das ,opfer1    
insbesondere das des ,agni und noch mehr
 des ,soma  eine bedeutende ,rolle1 aber
 im ,vordergrund steht doch der ,hymnus4
  brigens ist die ,periode des ,rigveda 
nicht mehr die altindogermanische1  wie 
aus dem ,zurcktreten des                
indogermanischen ,lichtgottes ,djaus1   
,zeus1  des ,tiu der ,germanen1         

angerufen als ,djas-pitar1 ,griech4  1  
umbrisch ,dispiter1 ,lat4 ,jupiter 7vgl4
 ,a4 ,kaegi1 der ,rigveda ,anm4 #aab71  
des ,lichtgottes1 des ,himmelsvaters1   
und der ,ga1 der ,mutter ,erde1         
,prithivi1 hervorgeht4    ,auch die     
,gtter des ,rigveda mssen in der        
,brahmanen-,periode dem  ,dreigestirn   
,brhman1 ,vishnu1 iva weichen4 ,der     
erstere eine  priesterliche ,abstraktion
 der ,weltseele1 die beiden anderen1 in 
den  ,veden erwhnt1 aber doch erst spter
 hervortretend gegen ,varuna1 den       
,himmel1 und ,indra1 den ,kriegsgott1   
den eigentlichen ,nationalgott  des     
,rigveda4 ,namentlich der ,kult des     
schrecklichen ,zerstrers iva  entstammt 
so recht eigentlich dem ,grund der      
einheimischen ,volksseele1  welche die  
,gewalt der ,naturmchte oder ,gtter als 
schwer vershnliche  ,feinde der         
,menschheit empfindet4 ,im brigen sei fr
 die altindische  ,kultur zur ,vedenzeit
 auf ,h4 ,zimmers klassisches ,werk3    
,altindisches  ,leben 7#ahgi7 verwiesen4

    ,sidenote3 ,die ,bedeutung des      
,opfers4    ,in der auf die ,rigvedazeit
 folgenden ,periode1 der des ,yajurveda1
  der ,lehre vom ,opfer1 und der        
,brhmana-,texte1 der ,kommentare der    
einzelnen hervorragenden ,weisen1 nimmt 
der ,zug nach ,erlsung von der  ,qual   
des ,wiedersterbens seinen ,anfang4 ,und
 auf der andern ,seite in  der ,flucht  
der ,erscheinungen bildet nur eins den  
ruhenden ,pol1 der  ,kern aller ,wesen1 
der ,atman ,brahman1 der in allem ist1  
die heilige  ,weltseele4 ,seelen1 die in
 der ,hlle der ,existenz wandern1 werden
 durch  ,busse erlst zu einem seligen   
,sein auf dem ,monde1 aber die gleiche  
,vorstellung findet sich bei den        
,pythagorern1 nur dass an ,stelle des   
,mondes die ,sonne tritt1 wie im        
,satapatha ,brhmana die seligen ,seelen 
als ,sonnenstubchen erscheinen4         
,gemeinsam ist auch in der ,buddha- und 
,pythagorassage die ,erinnerung an  den 
frheren ,seelenzustand4    v4 ,schrder  
sagt in ,pythagoras und die ,inder3     

,wer nun mit dieser durch mehrere       
,jahrhunderte sich erstreckenden        
,epoche der indischen ,kulturgeschichte 
vertraut ist1 der nur eigentlich  vermag
 es ganz zu ermessen1 welch eine ,rolle 
zu jener ,zeit das ,opfer  mit seinen   
unzhligen ,details im ,geistesleben der 
,inder spielte4  ,das gesamte ,sinnen   
und ,trachten des hochbegabten ,volkes  
ist in  diesem ,jahrhundert auf das     
,opfer1 seine ,vorbereitung und         
,ausfhrung  gerichtet4 ,die umfangreiche
 ,literatur1 die als ,zeuge jener       
,zeiten  zu uns redet1 handelt vom      
,opfer und immer nur vom ,opfer4 ,dem   
,opfer  in allen seinen ,einzelheiten   
wird die hchste ,bedeutung beigelegt1   
die ,kraft ,gtter und ,welten zu        
zwingen1 ,natur und ,menschen zu        
beherrschen4 ,wunderbar bernatrliche    
,macht wohnt ihm inne und selbst  die   
,kosmogonie geht auf das ,opfer zurck4  
,aus ,opfern sind alle ,welten  und     
,wesen1 alle ,gtter und ,menschen1      
,tiere und ,pflanzen entstanden4  ,das  

,zeremoniell des ,opfers1 wie schon die 
,yajurveden zeigen1 ist ein  ungeheuer  
kompliziertes und die kleinste          
usserlichkeit wird mit  einem ,nimbus   
von ,wichtigkeit umgeben1 der fr uns    
nicht selten das  ,lcherliche streift4  
,die ,vorbereitung zum ,opfer1 die      
,fertigstellung  des ,opferplatzes etc4 
spielt hier eine hervorragende ,rolle4  
,dabei  ist natrlich die ,konstruktion  
der ,altre von allerhchster  ,bedeutung4
 ,jede ,linie1 jeder ,punkt1 jedes      
,formverhltnis war hier von             
entscheidender ,wichtigkeit und konnte  
nach dem indischen ,glauben jener       
,zeit1 je nachdem es ausgefhrt war1     
,segen oder ,unheil bringen4 ber  die   
,gestalt und ,grsse der ,altre1 ihr     
,verhltnis zueinander und  zu ihren     
einzelnen ,teilen1 zu den mannigfachsten
 abstrakten ,begriffen1  ihre           
symbolische ,bedeutung und die richtige1
 nicht bloss gottgefllige1  sondern     
selbst ,gtter zwingende ,art ihrer      
,herstellung haben  ,generationen eines 

hochbegabten1 fr ,spekulation und       
,abstraktion und  namentlich fr         
rechnerische ,leistung sehr beanlagten  
,volkes gegrbelt  und immer wieder      
gegrbelt4    ,und ,brk und ,leumann     
stimmen dem zu4    ,es mussten daher die
 ,inder schon in jener sehr frhen ,zeit 
gezwungen  werden1 wenigstens auf dem   
,opferplatze eine ,feldmesskunst        
auszubilden4  ,cantors ,ansicht ist um  
so unbegreiflicher als er selbst sagt1  
dass  die ,sulba-sutras ,schriften von  
geometrisch-theologischem ,charakter    
sind2 wie sie abgesehen von einigen     
gyptischen ,inschriften in keiner       
,literatur sich wiederfinden4           
,sidenote3 ,konstruktion der            
,opfersttten und ,altre4    ,wenn nun   
,pythagoras in ,indien war1 so konnte er
 nicht nur1 so musste  er von dort den  
,satz ber das ,quadrat der ,hypotenuse  
mitbringen4 ,selbst  ,cantor hat sich   
dem1 wie erwhnt1 nicht ganz             
verschliessen knnen4    ,das            
,apastamba-,sulbasutra1 die ,lehre von  

der ,messschnur nach ,apastamba1  gehrt 
in den ,ausgang der ,brhmana-,literatur1
 der ,zeit1 die auf die  ,veden folgt4  
,die ,veden1 von ,veda 7,lehre1         
,wissenschaft71 enthalten die ltesten   
religisen ,satzungen3 den ,rigveda1     
soweit sie sich in ,liedern             
formulieren1 und den 7schwarzen und     
weissen7 ,yajurveda1 der vom ,opfer1    
seiner ,zurstung1 den ,zeremonien etc4  
handelt4 ,die ,veden sind kurz und      
dunkel4 ,die riesige ,brhmana-,literatur
 bestand in ,kommentaren zu den  ,veden1
 die die ,veden selbst als bekannt      
voraussetzen4 ,gehren die ,veden  der   
,zeit von #abjj-ajjj an1 so gehen die   
,brhmanas bis etwa #fjj1 der  ,zeit vor 
dem ,auftreten ,buddhas4    ,die        
,sulba-sutras bilden in den             
verschiedenen ,lehrbchern der ,schulen  
ein ,kapitel der ,kalpa-,sutras oder    
rauta-,sutras1 deren ,aufgabe es ist    
das ,opferritual bersichtlich           
darzustellen1 und ihr ,sulba-,sutra gibt
  die ,regeln fr die genaue ,abmessung  

des ,opferplatzes1 der verschiedenen    
,altre etc4    ,diese ,schulen          
entsprechen den ,babylonischen          
,tempelhochschulen1 und wie  die        
,frstpriester ,babylons stehen die      
altindischen ,weisen1 die rishi1  an    
genialer ,begabung fr religise und      
philosophische ,spekulation  keinem     
,platon und ,aristoteles nach4    ,die  
,anfnge des indischen ,opferwesens      
reichen bis in die ,zeit des  ,rigveda  
zurck2 schon in ihm werden die          
,altar-,sttten 7vedi7 und der  dreifache
 tri-schadhastha ,sitz des ,agni1 des   
,feuers 7 lat4 igni-s71  des sozusagen  
irdischen ,gottes im ,rigveda1 die drei 
geschichteten  ,altre erwhnt3 der ,altar
 des ,hausherrn1 der garhapatya -- der  
ahavanya -- ,opferaltar -- und der      
daksinagni -- ,sdaltar4 ,nach den       
,angaben des ,yajurveda handelte es sich
 bei dieser ,dreiteilung um  ,quadrate1 
,kreise und ,halbkreise1 die von        
gleicher ,flche sein mussten4           
,sidenote3 ,altindische ,geometrie4     

,das ,verfahren wird selbstverstndlich  
in dem ,rigveda1 den wir auf  #abjj v4  
,chr4 setzen1 nicht erwhnt1 doch heisst 
es3 kundige ,mnner  massen den ,sitz des
 ,agni aus4 ,die eigentliche ,bltezeit  
des indischen  ,opferwesens war die     
,periode der ,brahmanas1 welche nach    
,leumann sich  bis ins #g4 ,jahrhundert 
vor ,chr4 erstreckt4 ,l4 v4 ,schrder    
sagt in  ,pythagoras und die ,inder1 was
 ,brk und ,leumann akzeptieren3 ,auf    
,grund dieser ,sulba-,sutras und unter  
,berufung auf noch bedeutend ltere      
,werke wie die ,taittirya-,samhita      
7,sammlung7 und das so hochbedeutende   
,satapatha-,brhmana 7die hundertpfadige 
,lehre7 lassen sich nun die             
geometrischen ,kenntnisse bestimmen1    
welche die ,konstruktion der ,altre     
erforderte1 und ich werde hier also     
,gelegenheit nehmen auf die  altindische
 ,geometrie nher einzugehen4    ,bei den
 ,altren unterscheidet man die vedi1 d4 
h4 das ,altarbett1 und  den ,agni1 d4 h4
 den beim ,agni-,opfer und beim ,soma-  

7dem heiligen  ,trank-7 ,opfer aus meist
 quadratischen ,backsteinen             
geschichteten  ,feueraltar4 ,das        
,somafest wurde zu ,ehren ,indras1 des  
,kriegsgottes1  gefeiert4 ,der ,gott und
 die ,krieger sollten sich berauschen an
 dem  ,somatrank1 der aus einer stark   
milchsafthaltigen ,pflanze bereitet     
wurde4 ,es hatte so hohe ,bedeutung1    
dass der ,somatrank selbst zum ,gott    
gemacht wurde4    ,i4 ,vedi4 ,die ,inder
 legten grossen ,wert auf genaue        
rechtwinklige  ,herstellung ihrer       
,altre1 und ,apastamba lehrt zu diesem  
,zwecke bei  der ,vedi fr das ,somafest 
mehrere ganzzahlig rechtwinklige        
,dreiecke  anzuwenden1 deren ,masse zum 
,teil schon im ,taittirya- ,text und im 
,satapatha-,brhmana vorkommen4 ,und auf 
diese bei der ,saumiki vedi  gelehrte   
,methode der ,ausmessung weist er bei   
einer ,reihe andrer ,vedis  zurck4      
,unter diesen ist erstens noch die ,vedi
 der ,sautramani-,zeremonie             
hervorzuheben1 welche nach einer alten  

,vorschrift #a_/c der ,saumiki vedi     
messen soll 7,thibaut74 ,es handelt sich
 dabei um das ,opfer fr ,indra          
,su-trman 7 74 ,ihre ,konstruktion      
geschah entweder mit ,hilfe  der        
tri-karani oder trtya-karani 7der drei  
oder #a_/c machenden71 d4 h4  entweder  
mittelst der geometrischen ,konstruktion
 von #c oder #a_/c1  und das geht nicht 
ohne ,pythagoras 7denn #a_/c  #a_/cc74  
,apastamba  ,kap4 ,,ii1 #b steht die    
,figur 7s4 ,s4 #aeh71 natrlich ohne     
,buchstaben4  ,ferner die vedi beim     
asvamedha 7,rossopfer72 da diese doppelt
 so gross  als die ,saumiki vedi sein   
soll1 wird sie mit der dvi-karani2 der  
#b1  ausgemessen4    ,sidenote3         
,grundriss des ,normalaltar4    ,damit  
ist auch die trtya-karani erklrt3 das   
,quadrat ber der  tri-karani ist in #i  
,teile zu teilen 7,fig4 ,s4 #aeh74      
,nur wenn die ,vedi genau den           
,vorschriften entsprach1 war das ,opfer 
,gott  wohlgefllig1 im andern ,fall eine
 ,beleidigung4 ,die genannten ,arten der

  ,vedi und die meisten andern hatten   
die ,form eines ,achsentrapez2 dies     
musste zuerst in ein ,rechteck          
verwandelt werden 7,ap4 ,v1 #g71 dessen 
,berechnung1 z4 ,b4 ,ap4 ,s4 ,v #g und  
#i gelehrt wird4    ,,ii4 ,agni --      
geschichteter ,feueraltar4 ,alle in den 
,brhmanas und  ,sutras vorkommenden     
,vorschriften beziehen sich1 wenn nicht 
anders  angegeben wird1 auf den         
catur-asra syena-cit1 auf den viereckig 
falkenfrmigen4 ,der atman 7,wesen1      
,seele1 ,krper7 des ,altars1 der die    
,gestalt eines ,falken in rohen         
,umrissen nachahmte1 bestand aus vier   
,quadraten ber dem purusa               
7,menschenlnge7 und der ,schwanz und    
jeder  ,flgel aus einem ,quadrat-purusa2
 um der ,gestalt des ,vogels noch nher  
zu kommen wird jeder ,flgel um #a aratni
 7,elle  #a_/e purusa7 und der  ,schwanz
 um #a pradesa 7 #a_/aj purusa7         
verlngert 7s4 ,fig474 ,gemss  seiner    
,zusammensetzung heisst dieser ,altar   
auch agni saratni-pradesa  saptavidha   

7z4 ,b4 ,ap4 ,sulb4 s4 ,,xv1 #c474      
,illustration    ,sidenote3 ,altindische
 ,geometrie zur ,konstruktion der       
,altre4    ,bei der ,anlage der         
,grundflche handelt es sich nun um die  
,konstruktion  von ,quadraten1 wofr     
,apastamba zwei ,methoden berliefert4   
,die erste  ,ap4 ,,viii1 #h bis ,,ix1 #b
 beschrieben1 ist hchst altertmlich und 
primitiv 7,fig4 #b71 sie ist lter als   
die bei ,thibaut beschriebene von       
,baudhyana zum caturasra-karana4 ,fr    
alle vier ,quadrate sieht sie aus  wie  
,fig4 #c1 aus der sich dann die von     
,baudhyana beschriebene ,fig4 #d        
entwickelt hat4    ,illustration    ,die
 zweite jngere ist die mittelst des     
visesa1 d4 h4 mit einem ,rest1  d4 h4   
der ,nherungswert #ag_/ab 7,thibaut7 fr 
die #b1 also #a1dag1 ,fehler   #j1jjc2  
sie setzt den ,pythagoras voraus fr den 
,spezialfall4 7,ap4  ,sulba sutra ,,ix1 
#c71 bei ,apastamba #egg_/djh           
#a1dadbaef2 der ,bruch ist  auf #e      
,dezimalen richtig      #a  #a_/c       

#a_/7cd7 - #a_/7cdcd72 #b  #a1dadbac2   
,fehler  #c_/ajf4    ,wenn der ,inder   
durch das ,opfer besondere ,wnsche      
erzielen wollte1 so  traten an die      
,stelle der ,normalform die ,kamyas1 d4 
h4 es gibt besondere  agnis fr solche   
,zwecke4 ,dahin gehrt der agni in       
,gestalt eines ,falken  mit eingebogenen
 ,flgeln und ausgebreitetem ,schwanze1  
der in ,form eines  gleichschenkligen   
,dreiecks praga-cit1 vordere            
ochsenjochfrmig1 eines  ,doppeldreiecks1
 eines ,wagenrads1 rathacakra-cit1 eines
 ,troges etc4 ,aber  so mannigfach die  
,gestalten der ,kamyas waren1 so musste 
die ,grundflche  genau so gross sein wie
 bei der ,normalform4 ,man musste also  
schon zur  ,zeit der ,taittirya ,samhita
 verstehen1 eine geometrische ,figur in 
eine  andere ihr flchengleiche zu       
verwandeln4    ,die ,aufgabe zu diesem  
,zwecke war3    #a4 ,beim kreisfrmigen  
hatte man zunchst ein ,quadrat  der     
#g-a_/b  ,quadrat-purusa messenden      
,grundflche des caturasra syena-cit zu  

zeichnen1 was ohne ,pythagoras nicht    
mglich1 und das ,quadrat in einen       
,kreis zu verwandeln4    #b4 ,beim      
praga-cit musste man das ,quadrat       
#g-a_/b verdoppeln1 also die  dvi-karani
 konstruieren2 die ,hlfte des ,quadrats 
ber der #b gab dann  das gesuchte       
gleichschenklige ,dreieck4 ,nun kommt   
das fr die ,geometrie  eigentlich       
,wesentlichste3 ,nach                   
,satapatha-,brhmana1 ,baudhyana ,sulb4  
,sutra2 ,ap4 ,s4 und ,ap4 ,sulba ,s4 war
 der agni1 wenn er das zweite ,mal      
konstruiert wurde1 um einen             
,quadrat-purusa grsser als beim ersten  
,mal1  ebenso beim dritten um einen     
,quadrat-purusa grsser als das zweite   
,mal  und so fort4 ,also mussten die    
,inder sptestens schon zur ,zeit der    
,sat4  ,brh4 verstehen eine ,figur zu   
konstruieren1 die einer gegebenen hnlich
  ist und zu derselben in bestimmtem    
,verhltnis steht4    a7 ,war nun der    
erstmals konstruierte agni der einfache 
7eka-vidha7  gleich ein ,quadrat-purusa 

-- was ,apastamba nebenbei noch zulsst1 
whrend ,satapatha ,brhmana es verbietet 
-- so hatte man den zweiten  ebenfalls  
quadratischen doppelt so gross          
herzustellen1 den dritten  dreimal und  
,apastamba geht bis zum sechsfachen1 d4 
h4 der ,reihe nach  #b #c bis #f zu     
konstruieren1 d4 h4 die ,summe zweier   
,quadrate zu  addieren1 also            
,pythagoras4    b7 ,war aber der erste  
agni der sapta-vidha wie meist1 so      
konnte man bei  den folgenden ,malen    
entweder1 wie ,baudhyana vorschreibt1   
alle ,teile  der ,normalform            
proportional vergrssern und dann das1   
was hinzukam  zunchst in #ae gleiche    
,teile teilen1 oder1 wie ,apastamba nach
 lterer  ,tradition lehrt1 nur die #g   
purusas1 nicht aber auch die beiden     
aratnis  und den pradesa des caturasra  
syena-cit zunehmen lassen und dann  den 
,zuwachs in #g gleiche ,teile teilen4   
,ein solches ,siebentel musste  dann1   
wenn es zunchst als ,rechteck gezeichnet
 war1 in ein ,quadrat  verwandelt werden

 7,apast4 ,s4 ,s4 ,,ii4 #g7 und hierbei 
tritt bei ,apastamba  die ,subtraktion  
von ,quadraten als ,hilfskonstruktion   
auf1 und  dieses ,quadrat musste dann   
mit jedem der sieben zu einem neuen     
,quadrat  vereinigt werden4    #c4 ,beim
 asva-medha musste der sapta-vidha von  
vornherein mit #c oder  #ba             
multipliziert werden1 und beide         
,vorschriften sind nach ,angabe des     
,baudhyana ,sulba ,sutra durch          
,brhmana-,stellen belegt4    ,sidenote3 
,pythagoras bei den ,indern4    ,wir    
sehen also1 dass der ,pythagoras und    
seine ,satzgruppe eine geradezu         
prominente ,rolle beim indischen        
,opferkult spielt4    ,wir kommen nun zu
 der ,frage1 wie alt ist der            
,pythagoras8    ,ausgesprochen ist der  
,satz bei ,baudhyana1 ,katyyana1        
,apastamba1  z4 ,b4 ,ap4 ,sulba ,s4 ,i1 
#g3 ,die ,diagonale eines ,rechtecks    
bringt beides  hervor1 was die lngere   
und die krzere ,seite desselben jede fr 
sich  hervorbringen1 und ,i1 #e3 ,die   

,diagonale eines ,quadrates bringt eine 
doppelt so grosse ,flche des ,quadrates 
hervor samasya dvi-karani 7die  das     
,doppelte hervorbringende74 ,der ,satz  
ist also jedenfalls so alt als  die     
genannten ,sulba ,sutras4 ,die des      
,apastamba bildeten den #bd4 ,prasna    
7,buch7 des ,srauta ,sutra1 und dieses  
kann nach der ,untersuchung der         
,sanskritisten nicht nach dem ,anfang   
des #d4 ,jahrh4 v4 ,chr4 entstanden     
sein4 ,damit ist die ,heron-,hypothese  
,cantors ohne weiteres beseitigt4       
,aber der ,pythagoras ist den ,indern1  
musste den ,indern viel lnger  bekannt  
sein4 ,zunchst ist das ,baudhyana ,s4   
,s4 wahrscheinlich  mindestens #bjj     
,jahre vor dem ,apastamba ,sulba ,sutra 
redigiert2 und  dann ist klar1 dass die 
,vorschriften selbst weit lter sind als 
ihre  schriftliche ,fixierung4          
,insbesondere scheint das ,apast4 ,sulba
 ,sutra  durchaus die ltere ,tradition  
festgehalten zu haben4 ,dann aber finden
  sich ,vorschriften ber die            

,vergrsserung z4 ,b4 des ,asvamedha- und
  ,sutrmani-,altars und ber die         
,konstruktion der ,kamyas in der        
,taittirya  ,samhita und ber die        
,vergrsserung des falkenfrmigen         
,normalaltars im  ,satapatha-,brhmana1  
die ohne ,pythagoras unmglich sind4 ,nun
 ist die  ,taittirya ,s4 noch etwas lter
 als das ,satapatha1 und beide gehren zu
  einer ,klasse von ,werken1 von denen  
,oldenberg 7,buddha #c4 ,aufl4 ,s4 #ai7 
sagt3 ,wir werden schwerlich fehlgehen1 
wenn wir ihre ,entstehung vom  #aj4-h4  
,jahrh4 setzen4 brigens wird dieses     
,minimal-,alter durch ,brk  l4 c4       
nachgewiesen mittelst zweier ,stellen1  
je eine aus der ,taitt4  ,samh4 und aus 
dem ,sat4 ,brh4 ,taitt4 ,samh4 #f4 #b1  
#d1 #e heisst es von der  ,vedi fr das  
,somaopfer3 ,die westliche ,seite ist   
#cj padas lang1 die  praci #cf2 die     
stliche ,seite #bd1 und genau dasselbe  
sagt die ,stelle  im ,satapatha-,brhm4  
#aj1 #b1 #c1 #d4    ,illustration       
,bei ,baudhyana erscheint der allgemeine

 ,pythagoras an zweiter ,stelle1  und er
 setzt hinzu3 diesen zweiten ,fall      
erkennt man aus den ,rechtecken  mit den
 ,seiten #c und #d1 aus #ab und #e1 aus 
#ae und #h1 aus #g und #bd1 aus  #ab und
 #ce1 aus #ae und #cf1 und ,cantor      
selbst sagt #b4 ,aufl4 ,s4 #cih3  ,das  
ist nun offenbar der ,pythagorische     
,lehrsatz1 erlutert an                  
,zahlenbeispielen4 ,das ,fehlen der     
,hypotenuse darf nicht auffallen4  ,die 
,taittirya- und die anderen             
,srauta-sutras sind die ,yajurveden in  
der ,redaktion der betreffenden ,schule 
und diese enthalten diejenigen  ,sprche 
oder ,verse1 welche der die eigentliche 
,opferhandlung  verrichtende ,priester1 
der ,adhvaryu1 zu sprechen oder zu      
murmeln hatte4    ,auch die ,brhmanas   
bieten keine fortlaufende ,darstellung  
des ,opfers1  sondern vielmehr          
,erluterungen zu demselben4 ,im ,sulba  
,sutra bei  ,apastamba1 da wird die     
wirkliche ,konstruktion gegeben und da  
tritt denn  auch z4 ,b4 beim ,dreieck   

#cj 3 #ae die ganzzahlige ,hypotenuse   
#ci auf4    ,sidenote3 ,das ,alter des  
,pythagoras bei den ,indern4    ,somit  
ist der ,pythagoras bei den ,indern aus 
dem #h4 ,jahrh4 sicher  konstatiert1    
aber hchst wahrscheinlich den ,indern   
schon viele  ,jahrhunderte vorher       
bekannt gewesen4 7,h4 ,hankel47 -- ,was 
nun  das ,alter der ,sulba-,sutras      
betrifft1 so weiss jeder1 der sich mit  
indischer ,literatur beschftigt hat1    
dass jedes ,erzeugnis nach seinem       
,zusammenhange mit der ganzen           
,literaturgruppe1 zu der es gehrt1      
beurteilt werden muss4 7,e4 ,leumann47  
,da kann nun kein ,zweifel  darber sein1
 dass die ,sulbas1 sie mgen             
niedergeschrieben sein wann  sie wollen1
 zur ,yajurveden-,literatur gehren1 d4  
h4 zum ,opferkult1  sie bilden ein      
durchaus ntiges ,kapitel des ,srauta    
,sutra1 der bis  aufs i-,pnktchen       
detaillierten ,lehre vom                
,opferzeremoniell und damit  ist        
entschieden1 dass ihr ,inhalt bis etwa  

#ijj v4 ,chr41 vielleicht  sogar noch   
hher hinaufreicht1 und insbesondere     
zeichnen sich die  ,apastamba- wie die  
,taittirya-,schule durch ,bewahrung     
alter ,tradition  aus4 ,nun sind noch   
zwei ,punkte zu besprechen4 ,indische   
,manuskripte sind  verhltnismssig jung4 
,baumrinde kann sich an ,dauerhaftigkeit
 nicht  mit ,papyrus1 noch weniger mit  
gebrannten ,tontafeln messen1 zudem     
tritt  die ,schrift im eigentlichen     
,sinne bei den ,indern verhltnismssig   
spt  auf und ist nicht original4        
,dasselbe wrde ja auch fr das gewaltig  
umfangreiche ,heldengedicht des         
,mahabharata gelten4 ,aber abgesehen    
davon1 dass ,zeichen analog den ,runen  
der ,germanen vermutlich auch bei  den  
,indern uralt waren1 so war das         
,gedchtnis eben durch den ,mangel  an   
,schrift enorm entwickelt4 ,leute1 die  
tglich ein ,kapitel auswendig  lernten1 
etwa wie die arabischen ,geistlichen die
 ,suren des ,koran1  die kannten bald   
ganze ,werke auswendig1 und auch heute  

sind solche  ,gedchtnisknstler nicht    
selten unter den ,brahmanen4    ,ein    
zweiter ,einwand klingt einleuchtender4 
,die erstaunlich  verklausulierten      
,vorschriften der ,kalpasutras sollen   
,zeichen der  ,erstarrung und des       
,verfalls sein4 ,ganz abgesehen davon1  
dass die  ,indologen von ,fach die ,blte
 des detaillierten ,opferkults zwischen 
#ajjj und #hjj setzen1 ist darauf       
folgendes zu erwidern3 ,das richtig     
vollbrachte ,opfer hat die ,macht1 die  
,gtter unter den ,willen des  ,opferers 
zu beugen2 ich habe ja schon bei        
,babylon darauf hingewiesen1  dass die  
,arier sich der ,gottheit nicht annhernd
 so knechtisch  gegenberstellten wie die
 ,semiten4 ,ein durch ,germanen1        
,hellenen und  ,inder1 kurz durch die   
ganze ,arische ,welt hindurchgehender   
,zug ist  das ,misstrauen gegen die     
,gtter1 die ,furcht vor ihrem ,neide1   
die  ,teufelslehre knpft hier an1 und   
der ,stammbegriff des ,wortes ,teufel   
ist  das ,sanskritische ,wort fr ,gott4 

,grade aus der ltesten ,zeit tiefster   
,religiositt stammt dies ,gefhl und jene
 ,genauigkeit ist grade ein  ,zeichen   
der naiven ,periode1 es darf dem ,gott  
auch nicht die leiseste  ,handhabe      
geboten werden1 seinem ,unwillen ber den
 auf ihn ausgebten  ,zwang ,ausdruck zu 
verleihen4    ,ich glaube nicht1 dass   
irgend ein heutiger ,indologe bezweifeln
 wird1  dass das ,alter der             
,sulba-,sutras dem ,inhalt nach bis     
mindestens #ajjj  heraufgeht1 und dass  
sich die indische ,geometrie auf dem    
,boden der  ,opferlehre1 des ,aufbaues  
der ,altre entwickelt hat4    ,sidenote3
 ,der ,satz vom ,gnomon4    ,was aber   
die ,entlehnung des ,pythagoras von den 
,indern seitens des  ,pythagoras noch   
viel sicherer macht1 das ist das        
,auftreten des  sogenannten ,gnomon1 des
 ,satzes von dem                        
,ergnzungsparallelogramm4 ,schon        
,bretschneider sagt1 dass die ,kenntnis 
dieses ,satzes dem ,pythagoras          
mutmasslich zur ,auffindung des ,satzes 

gedient hat1 und ,hankel sagt  l4 c4 mit
 ahnungsvollem ,scharfblick1 diese      
,herleitung erscheine  wahrscheinlich4  
,aber eben dieser ,gnomon war den       
,indern auch bekannt4  ,baudhyana geht  
mittelst desselben vom ,quadrat mit der 
,seite #af zu  dem mit der ,seite #ag2  
er sagt z4 ,b43 ,wenn man aus #bef      
quadratischen  ,backsteinen ein ,quadrat
 gebildet habe1 so soll man nun #cc     
,backsteine  hinzufgen4 ,und ,apastamba 
sagt ,,ii1 #g1 es folgt nun eine        
allgemeine  ,regel3 ,man fgt3 #a4 das   
,rechteck1 welches man mit der          
jedesmaligen  ,verlngerung 7und mit den 
,seiten des gegebenen ,quadrates7       
umzieht  d4 h4 herstellt1 an den zwei   
,seiten des ,quadrates1 nmlich an der   
stlichen und an der nrdlichen hinzu1 und
 #b4 an der nrdlichen ,ecke  das        
,quadrat1 welches durch die ,verlngerung
 hervorgebracht wird2 dazu  die ,figur  
und das ist klipp und klar      7a  b7#b
  a#b  #b;ab  b#b4    ,der ,satz konnte 
ihnen1 da sie meist mit ,backsteinen    

arbeiteten1 gar  nicht entgehen4        
,illustration    ,illustration          
,sidenote3 ,die ,pythagorischen         
,dreiecke bei den ,indern4    ,dass die 
,inder den ,satz gefunden haben1 ist    
natrlich nicht bewiesen1  aber so lange 
babylonische und gyptische ltere        
,quellen uns nicht zur  ,verfgung       
stehen1 sind sie diejenigen1 die am     
frhesten nachweisbar den  ,satz besessen
 haben und die ,auffindung kann ganz gut
 so wie ,brk es  angibt1 geschehen sein2
 sie kann aber auch ganz leicht direkt  
erfolgt  sein1 zunchst fr das ,dreieck  
#c1 #d1 #e durch ,drehen der ,schnur1   
was  ja eine ihnen ganz gelufige        
,operation war4 ,es kommen im ,apastamba
  ,sulba-,sutra #e erkennbare1 d4 h4    
ganzzahlige rechtwinklige ,dreiecke     
vor1 die ,inder sagen3 ,rechtecke4      
#c  #d   #e     #e #ab  #ac     #g #bd  
#be     #h #ae  #ag    #ab #ce  #cg     
#ae #cf  #ci1 letzteres    das          
wichtigste fr die ,vedi4 ,davon fallen  
die ersten #c auch unter  die von       

,proklos ausdrcklich dem ,pythagoras1   
bezw4 seinen ,schlern  zugeschriebenen  
,formeln #b;a  #a2 #b;a#b  #b;a2 #b;a#b 
#b;a  #a2 die beiden  folgenden sind    
platonisch #b;a2 a#b - #a2 a#b  #a4     
,illustration    ,das letztere ist dem  
zweiten hnlich2 aus ,apastamba ,v1 #d   
folgt1 dass  diese hnlichkeit ihm vllig 
klar war4 ,angesichts von ,thibauts     
,darstellung in ,bhlers ,grundr4 ist es 
nicht uninteressant an der  ,hand der   
,sulba-,sutras nachzusehen1 was den     
,indern jedenfalls um #hjj v4  ,chr4 an 
geom4 ,kenntnissen zur ,verfgung stand4 
,ich benutze ,thibauts  bersetzung des  
,baudhyana und ,brks bers4 des ,ap4 ,s4 
,s4 im #ef4  ,bande der ,zeitschrift der
 ,d4 ,morgenlndischen ,gesellschaft4    
,das  ,werkzeug1 dessen sie sich fr ihre
 ,konstruktionen bedienten1 war die     
,schnur 7sulba oder rajju71 und         
gelegentlich auch ein ,bambusstab4 ,ich 
beginne mit der ,konstruktion des       
einfachen ,quadrats1 ,ap4 ,kap4 ,,viii1 
#e-aj1 ,,ix1 #a4    ,illustration       

,man schneide an einem ,bambusrohr in   
einer ,entfernung gleich der ,hhe  des  
,opferers mit emporgehobenen ,armen 7der
 purusa1 ,menschenlnge1  spter war das  
,mass die babylonische ,doppelelle7 zwei
 ,zeichen 7,a  und ,b7 ein1 und in der  
,mitte ein drittes 7die ,mitte wird     
durch die  zusammengelegte ,schnur      
bestimmt74 ,man lege das ,bambusrohr    
westlich  von der ,grube des            
,opferpfostens lngs der prsthya 7d4 i4  
,rckenlinie1  die schon zuvor ein fr    
allemal von ,westen nach ,osten prak    
gezogen  war1 daher sie auch oft praci  
heisst74 ,schlage an den ,einschnitten  
,pflcke ein 7,d1 ,e1 ,f71 mache 7das    
,rohr7 von den beiden westlichen        
7,pflcken ,e und ,f7 los und beschreibe 
7von ,f aus7 in der ,richtung nach      
,sdosten einen ,kreisbogen bis zu dem   
7stlichen7 ,ende 7des zu konstr4        
,quadrats74 ,entsprechend verfhrt man   
von ,f aus1 legt das ,rohr von  ,e ber  
,g nach ,h1 schlage in ,h einen ,pflock 
ein1 befestige in ,h das  mittlere      

,zeichen des ,rohrs1 lege die beiden    
andern an die ,enden der  beiden ,linien
 und schlage in die beiden ,zeichen zwei
 ,pflcke4    ,sidenote3 ,altindische    
,geometrie4    ,hier haben wir die      
,konstruktion des ,lotes mittelst der   
,symmetrieachse1 und die gemeinsame     
,tangente zweier ,kreise im  speziellen 
,falle und die ,quadratkonstruktion1 die
 wir mit #d ,kreisen  ausfhren1 zugleich
 eine ,art mechanischer ,konstruktion1  
die bei den  ,hellenen ,neusis heisst   
7s4 unter ,apollonius74    ,diese       
,methode gilt als die lteste fr die     
,quadratmachung1 das                    
,catur-asra-karana1 lter als die des    
,baudhyana1 welche die ,figur auf  ,s4  
#adh zeigt4 ,von der einfachen          
,quadratform war dann der ,agni vom     
einfachen bis zum #f;fachen des         
,grundquadrats1 es musste also mittels  
,pythagoras das ,quadrat mit #b1 #c1 #d1
 #e1 #f multipliziert werden4 ,dann kam 
der ,saratni-pradesa saptavidha1 d4 h4  
also der caturasra syena-cit1  der      

viereckig falkenfrmige1 und dann die    
,vorschrift3 ,was beim #h;fachen  und   
den folgenden von den #g verschieden    
ist1 teile man in #g ,teile1 und  lasse 
in jedes purusa einen ,teil eingehen1   
weil die ,vernderung der  ,gestalt nicht
 schriftgemss wre4 ,auch hier hat       
,apastamba weitaus die  ltere ,methode1 
whrend ,b41 wie oben gesagt1 die        
,zunahme auf alle #aj  ,flchen          
gleichmssig verteilt1 da auch paksa und 
puccha1 ,flgel und  ,schwanz1           
bercksichtigt werden1 was schon recht   
komplizierte ,teilungs-  und            
,messungsoperationen voraussetzt4 ,a4   
geht bis zum #aja;fachen des            
,quadratpurusa4    ,i1 #b ,konstruktion 
der ,achsentrapez-frmigen ,opfergrube1  
,vedi1 mittelst  des rechtwinkligen     
,dreiecks #cf1 #ae1 #ci4                
,illustration    ,man nimmt eine        
,massschnur 7pramna1 ,a#a;,b#a  #cf1    
,fig4 #a71 verlngert  sie um ihre ,hlfte
 7bis ,g71 macht dann am westlichen     
,drittel 7d4 h4  also von ,g aus7       

weniger #a_/f desselben ein ,zeichen    
7,h74 ,man befestigt  die beiden ,enden 
7der verlngerten ,schnur7 an den ,enden 
der prsthya1  zieht an dem ,zeichen nach
 ,sden 7daksina71 ebenso verfhrt man im 
,norden 7uttara71 und nachdem man       
vertauscht hat1 nmlich die in ,a  und ,g
 befestigten ,enden1 nach beiden ,seiten
 7im ,osten74 ,denn die  ,fertigstellung
 durch diese wird eine ,verkrzung oder  
eine ,verlngerung  7#ab1 #ag7           
herbeifhren4    ,illustration    ,i1 #c 
wird dann zur ,konstr4 des rechten      
,winkels das ,dreieck #c1 #d1 #e  analog
 benutzt 7,fig4 #b74    ,i1 #d und #e   
der ,pythagoras4    ,bei ,apastamba     
zuerst in #d der allgemeine3    ,die    
,querschnur 7aksnaya-rajju1 ,diagonale7 
eines ,rechtecks1 was die  lngere und   
krzere jede fr sich hervorbringt1 das   
bringt sie zusammen  hervor4 ,mittelst  
dieser und zwar solcher1 die erkennbar  
sind1 ist die  ,konstruktion 7in  #b u4 
#c7 gelehrt worden4 7jneya wrde wohl    
besser mit  feststellbar d4 h4 als      

ganzzahlige rechtw4 ,dreiecke           
wiedergegeben47    #e4 ,die ,diagonale  
des ,vierecks erzeugt die zweifache     
,flche  7ausdrcklich das ,wort bhumi    
,flche1 dvis-tvati bhumi71 sie des      
,quadrats ,doppeltes hervorbringende    
7dvi-karani74 ,viereck1 schlechtweg     
catur-asra1 ist wie das griechische  das
 ,quadrat1 um aber  ganz deutlich zu    
sein1 wird es im ,nachsatz sama das mit 
gleichen  ,seiten genannt4 ,katyyana    
unterscheidet sogar die beiden ,arten   
gleichseitiger ,vierecke4    ,sidenote3 
,wurzel aus #b4    #f4 ,konstruktion des
 besseren ,nherungswertes der #b4       
,illustration    ,man verlngere das     
,mass ,a ,b um seinen dritten ,teil und 
diesen wieder  um seinen vierten ,teil  
weniger einem #cdstel dieses vierten    
,teils 7,fig4  #c74 ,die #b1 die        
dvi-karani von karana machen1 heisst    
7sa-visesa7  d4 h4 die ,zahl mit dem    
,rest4 ,die ,verlngerung ist der visesa2
 #b ist  also #a  #a_/c  #a_/7cd7 -     
#a_/7cdcd7  #egg_/djh  #a1dadbaef2 da #b

   #a1dadbac1 so ist der ,fehler kleiner
 als #c ,einheiten der #f4 ,dezimale4   
,der ,nherungswert des ,baudhyana ist   
#ag_/ab  #a1dag1 also genau bis  auf    
#j1jjc4 ,g4 ,thibaut hat ganz richtig   
7bis auf einen kleinen                  
,rechnungsfehler7 angegeben1 wie sie zu 
beiden ,nherungswerten gekommen  sind4  
,sie suchten zunchst nach einem         
,quadrat1 das doppelt so gross wie  ein 
anderes sei1 und fanden1 dass #babb     
annhernd gleich #agb1 und  setzten daher
 #b  #ag_/ab1 wodurch der ,gott ja nicht
 zu wenig erhielt4  ,da sie aber genauer
 verfahren wollten1 so setzten sie 7#ag 
- x7#b   #bhh4 ,dass ihnen der ,satz vom
 ,gnomon bekannt1 wird gleich aus dem   
,text nachgewiesen werden4 ,das ergab   
#cdx - x#b  #a1 und indem sie das       
ersichtlich sehr kleine x#b             
vernachlssigten1 setzten sie #cdx  #a1  
also  x  #a_/cd und somit die           
,dvi-karani 7rajju7 gleich #ag_/ab -    
#a_/ab  #a_/cd1  was ja immer noch eine 
,zugabe enthielt4    ,hervorzuheben ist 

hier zunchst die intuitive ,erfassung   
der  hnlichkeit4 ,sodann setzt die      
,konstruktion die ,teilung der ,strecke 
im  vollen ,umfang voraus1 aber auch    
,ansatz und ,lsung einer ,gleichung4    
,ausserdem geht aus der ,bezeichnung der
 #b als der ,zahl mit dem ,rest  hervor1
 dass sie sich bewusst waren1 die #b    
zwar geometrisch1 aber  nicht           
arithmetisch genau konstruieren zu      
knnen1 d4 h4 also1 dass sie  bis zu     
einem gewissen ,grade in diesem einen   
,falle die ,erkenntnis der              
,irrationalen hatten4 ,ob sie den       
,begriff des ,areton1 des ,alogon       
gehabt haben1 bleibt freilich durchaus  
zweifelhaft2 aber1 und darauf  ist der  
,hauptwert zu legen1 diese              
,nherungskonstruktion kann keine        
,frucht des ,zufalls sein1 sondern sie  
musste eine ,folge zielbewusster        
,ttigkeit sein4    ,kap4 ,,ii1 #a wird  
dann die eben konstruierte              
,savisesa-,grsse  zur ,konstruktion des 
,quadrats benutzt4 ,sehr hbsch ist das  

,sama-caturasra-karana in ,i1 #g1 wo    
gleich alle #d ,quadrate des ,atman des 
,falkenfrmigen konstruiert werden       
mittelst der ,raute1 die aus zwei       
gleichseitigen ,dreiecken besteht4      
7,euklid ,i1 prop4 #a4 ,die ,figur wird 
wohl gengen47    ,illustration    ,,ii1 
#b wird dann1 wie schon oben ,s4 #aef   
beschrieben1 die dvi-karani und  mit ihr
 nach ,i1 #d die tri-karani und mittelst
 ihrer in ,,ii1 #c die 7#a_/c7  als     
#a_/cc konstruiert4    ,sidenote3       
,anwendungen des ,pythagoras4    ,,ii1  
#d wird der ,pythagoras zur ,addition   
zweier ,quadrate verwandt1 ,,ii1  #e    
dann zur ,subtraktion2 es wird ein      
regelrechter ,beweis in ,n #f  mittelst 
des ,pythagoras gegeben4 ,wir sehen1    
dass die ,bedeutung des  ,pythagoras fr 
die ,flchenrechnung vollkommen klar     
erkannt ist2 es wird  systematisch      
multipliziert1 addiert1 subtrahiert und 
dann dividiert1  wozu es erforderlich   
ist1 ein ,rechteck in ein ,quadrat zu   
verwandeln2  dies lehrt ,i1 #g4 ,das    

,rechteck heisst dirgha-caturasra1      
directum  quadrangulum1 die ,aufgabe das
 sama-caturasra-cikirsana4 ,wnscht man  
das  ,rechteck in ein ,quadrat zu       
verwandeln1 so schneide man mit der     
krzeren  ,seite ab1 teile den ,rest1 fge
 an beiden ,seiten hinzu1 flle den      
leeren  ,platz mit einem zugefgten      
,stck1 dessen ,subtraktion gelehrt      
worden ist4    ,illustration3 ,addition 
zweier ,quadrate4    ,illustration3     
,subtraktion zweier ,quadrate4          
,illustration    ,m4 ,h4 ,diese         
,verwandlung setzt notwendig die        
,analysis voraus a7a  b7   a#b  ab  a#b 
#b7;ab7_/#b  a#b  #b7;ab7_/#b  7b_/#b7b 
- 7b_/#b7b   7a  b_/#b7b - 7b_/#b7b4    
,sie kommt m4 ,w4 bei den ,hellenen     
nicht vor4    ,,iii1 #a4 ,will man ein  
,quadrat in ein ,rechteck verwandeln1 so
 mache  man eine ,seite so lang als man 
das ,rechteck wnscht4 7,es ist ganz     
klar1 dass hier die ,rechnung xy  a#b   
die ,analyse gibt1 und dass sie  wissen1
 dass eine ,seite unbestimmt bleibt1    

also so lang sein kann als  man wnscht47
 ,darauf fge man den ,rest zu dem       
,rechteck hinzu wie es  passt4 ,die     
,methode wird dann von dem ,kommentator 
,sundara des ,baudh4  an dem ,beispiel  
des ,quadrats mit der ,seite #f erlutert
 7s4 ,fig471 das  in ein ,rechteck mit  
der ,seite #d verwandelt werden soll #cf
  #d 4 #f   #d 4 #b  #d 4 #a  #d7f  #b  
#a7  #d 4 #i4    ,illustration          
,hochinteressant ist es1 dass hier die  
,inhaltsgleichheit wie bei  ,wolfgang   
,bolyai aufgefasst wird4 ,der           
,kommentator des ,baudh41  ,g4 ,thibaut 
#ahge l4 c4 #bdg1 gibt dann unsere auf  
den ,satz von den                       
,ergnzungsparallelogrammen gegrndete    
,kegel1 doch kommt dies fr die          
altindische ,geometrie nicht in         
,betracht4    ,sidenote3 ,verwandlung   
des ,quadrats in den ,kreis und v4 v4   
,,iii1 #b4 ,verwandlung eines ,quadrats 
in einen ,kreis 7ntig fr den  ,aufbau   
des rathacakra-cit1 s4 ,fig471 denn so  
viel als verloren geht1  kommt hinzu4   

,der ,kreis hat den ,radius ,,mn  ,,mg  
#a_/c ,,ge und wenn ,,mg   #a gesetzt   
wird1 so ist ,,mn  #a  #a_/c des visesa 
#a  #j1dadbac 3 #c   #a1achjga1 also    
#a1achjgab  #d1 also   #c1jhhc  #ah7c - 
#bb7  #aje_/cd4  ,die ,regel scheint    
durch ,probieren gewonnen1 die halbe    
,seite ist zu  klein1 und die halbe     
,diagonale zu gross4    ,illustration   
,,iii1 #c4 ,kreis-,quadratur1 ntig fr   
,vervielfltigung des  ,wagenradfrmigen4 
,als ,seite wird #ac_/ae des            
,durchmessers genommen1  also   #afi 4  
#d_/bbe  #c1jjd4 ,baudhyana hat genau   
den vorhin  ermittelten ,wert fr  nmlich
 #aje_/cd und gibt als ,regel an  #g_/h 
#a_/7h 4 #bi7 - #a_/7h 4 #bi 4 #f7      
#a_/7h 4 #bi 4 #f 4 #h7 vom             
,durchmesser4  ,dies setzt erstens eine 
sehr bedeutende ,gewandtheit in der     
,bruchrechnung voraus1 zweitens die     
,auflsung einer reinquadratischen       
,gleichung1 d4 h4 die ,ausziehung der   
,quadratwurzel1 da der ,wert    7_/#d7  
7#aje_/acf7  #j1ggbjehhbcec  #j1hghffhh 

mit seiner ,zahl  #ighe_/aaacf          
#j1hghfhb bereinstimmt bis auf #ac      
,einheiten der #f ,dezimale6    ,,iii1  
#g4 ,eine ,schnur bringt jedesmal soviel
 ,reihen hervor als sie ,masse  enthlt1 
d4 h4 ein ,quadrat ber a ,lngeneinheiten
 enthlt a ,reihen von  ,flcheneinheiten 
zu a2 also die ,inhaltsformel des       
,quadrates1 die in   #d1 #f1 #h1 #aj    
spezialisiert ist4    ,illustration     
,sidenote3 ,der ,satz vom ,gnomon4      
,,iii1 #i4 ,der ,satz vom ,gnomon3 ,es  
folgt nun eine allgemeine ,weise        
7nmlich ein ,quadrat zu vergrssern1 s4  
,fig474 ,man fgt das 7,rechteck71       
welches man mit der jedesmaligen        
,verlngerung umzieht1 an zwei ,seiten   
7,norden und ,osten7 hinzu und an der   
7nordstlichen7 ,ecke das ,quadrat1      
welches durch die betreffende           
,verlngerung hervorgebracht wird4 --    
,d4 h4 also nichts anderes als 7a  b7#b 
a#b  #b;ab  b#b4    ,der ,satz vom      
,gnomon konnte ihnen1 da sie ihre       
,quadrate vergrsserten  und meist mit   

quadratischen ,backsteinplatten         
arbeiteten1 nicht  entgehen1 und dass in
 ihm die ,quelle des ,pythagoras liegt1 
haben  ,bretschneider und ,hankel       
gesehen4 ,der durch die punktierte      
,linie  angedeutete ,beweis1 der sich   
bei ,bhaskara findet1 heisst noch heute 
der  indische und beruht vermutlich auf 
uralter ,tradition4    ,sidenote3       
,dreieck und ,trapez4    ,kap4 ,,iv1 #d 
wird gelegentlich der ,anlage der drei  
,feueraltre 7,s4 #ade7  die             
,konstruktion des ,dreiecks aus den drei
 ,seiten gelehrt4    ,man teilt eine    
,schnur gleich dem ,abstand zwischen    
garhapatya und  ahavanya 7der1 falls der
 ,opferpriester ein brhmana war1 #h     
,schritt  betrug7 in #e oder #f ,teile1 
fgt einen #f4 bezw4 #g4 ,teil hinzu1    
teilt  das ,ganze in #c ,teile und macht
 am westlichen ,drittel ein ,zeichen1   
dann  befestigt man die beiden ,enden am
 garh4 und ahav41 zieht die ,schnur  an 
dem ,zeichen nach ,sden und macht ein   
,zeichen2 das ist1 gemss der  ,schrift1 

die ,sttte des daksinagni4    ,sie      
wissen1 wie man sieht1 dass #b ,seiten  
eines ,dreiecks zusammen  grsser sind   
als die dritte4    ,illustration        
,kap4 ,v ist von besonderer ,bedeutung4 
,zuerst  #a die ,konstruktion der       
grossen ,vedi fr das ,somaopfer aus ,i1 
#b1 nur dass statt des ,rechtecks  das  
,achsentrapez gezeichnet wird2 das      
rechtw4 ,dreieck oder nach  indischem   
,sprachgebrauch das ,rechteck ist das   
mit den ,seiten #cf und #ae  und der    
,diagonale 7,hypotenuse7 #ci4 ,ganz     
besonders ist  #c interessant4  ,es     
heisst da3 ,sind die beiden ,seiten     
eines ,rechtecks #c und #d1 so  ist die 
,diagonale #e4 ,mit diesen legt man die 
beiden amsa 7,schultern71  nachdem man  
sie je um ihr ,dreifaches verlngert hat1
 fest1 und nachdem  sie um ihr          
,vierfaches verlngert worden sind1 die  
beiden sroni 7die  ,schenkel74          
,sidenote3 hnlichkeit4    ,hier leuchtet
 ein1 dass sie mit dem ,begriff der     
hnlichkeit vertraut  gewesen sind4 ,das 

gleiche gilt bei ,no4 #d4 ,die beiden   
,seiten #ab und #e1  die ,diagonale #ac4
 ,mit diesen die beiden ,amsa und       
nachdem sie um ihr  ,doppeltes verlngert
 sind1 die sroni4    ,illustration      
,illustration    ,v1 #e4 ,das ,dreieck  
#ae1 #h1 #ag gibt die sroni2 sind die   
,seiten #ce und #ab1  so ist die        
,diagonale #cg1 mit diesen die amsa4    
,so viele 7als rational7 feststellbare  
,konstruktionen der vedi gibt es4       
,illustration    ,v1 #g4 ,die grosse    
,vedi 7d4 h4 die sub #b-e konstruierte  
,saumiki  ,vedi7 misst #igb 7,quadrat7  
pada 7,fuss74 ,man ziehe vom sdlichen   
,amsa zur sdlichen sroni hin zu #ab 7s4 
,fig474 ,darauf drehe man das           
abgeschnittene ,stck um und fge es auf  
der ,nordseite hinzu4 ,so erhlt  die    
,vedi die ,gestalt eines ,rechtecks4 ,in
 dieser ,form berechne man den  ,inhalt 
#bg 4 #cf  #igb4    ,hier haben wir     
einen vollgltigen ,beweis1 denselben1   
den wir heute noch  geben1    ,v1 #h4   
,fr die ,sautrmani-,zeremonie wird      

gelehrt3 ,man opfere in dem #c4  ,teil  
der vedi des ,soma-,opfers2 hier tritt  
die trtya-karan an ,stelle  des pramana 
7des ,grundmasses74 ,oder man           
konstruiere mit der tri-karani  7#c74   
,hierbei sind die krzeren ,seiten #h und
 #aj und die prsthya 7die  ,rckenlinie7 
das #ab;fache desselben4 7,ich vermute1 
dass die ,vedis den  ,querschnitt durch 
einen menschlichen ,rumpf darstellen    
sollten47 ,hier  ist die hnlichkeit     
sogar erfasst als ,abnderung des        
,massstabs6    ,und das wird durch die  
,vorschriften in ,v1 #aj und ,,vi1 #a   
besttigt4 ,in  ,v1 #aj heisst es3 ,die  
,vedi des asva-medha1 des ,rossopfers1  
soll das  ,doppelte der saumiki vedi    
sein und in ,,vi1 #a heisst es3 ,es     
tritt die  dvi-karani des ,masses an    
,stelle desselben6    ,es folgen nun in 
den ,sulba-,sutras die detaillierten    
,vorschriften fr  den ,aufbau der       
verschiedenen ,kamyas2 sie sind alle in 
,beziehung auf  die speziellen ,wnsche  
gedacht1 der falkenfrmige ,agni z4 ,b4  

fr den1  der die himmlische ,welt zu    
erlangen wnscht1 weil der ,falke sich   
dem  ,himmel am nchsten aufschwingt4    
,die ,vorschriften fr die ,anfertigung  
der ,ziegel offenbaren ein ganzes ,teil 
mathematischer ,kenntnisse1             
insbesondere der ,flchenteilung1 wie    
beim ,anblick der ,figur das            
vakra-paksa-syena-cit des ,falken mit   
den krummen ,flgeln klar wird4          
,illustration3 vakra-paksa-syena-cit4   
,aber das hier ,mitgeteilte gengt1 um   
den ,standpunkt der indischen  ,weisen  
etwa um #ijj v4 ,chr4 zu beurteilen4    
,zunchst ist es ,ehrenpflicht1  des     
,mannes zu gedenken1 der zuerst auf die 
,sulba-,sutras als ,schlssel  zur       
,geometrie der ,inder hingewiesen4 ,es  
war ,a4 ,c4 ,burnell1 der in  seinem    
,catalogue of a ,collection of ,sanscrit
 ,manuscripts #ahfi p4 #bi  gesagt hat3 
,wir mssen die ,sulba-,teile der        
,kalpa-sutras ansehen als  die ersten   
,anfnge der ,geometrie unter den        
,brahmanas4 ,die ,kenntnisse  selber    

sind achtbar genug2 sie umfassen so     
ziemlich das ganze erste  ,buch des     
,euklid inkl4 ,i1 #dg 7der ,pythagoras71
 ,streckenteilung1  ,flchenberechnung1  
hnlichkeit und die ,kenntnis einer      
,anzahl  ganzzahliger rechtwinkliger    
,dreiecke4    ,sidenote3 ,altindische   
,arithmetik4    ,sidenote3 ,die ,null   
bei den ,indern4    ,auch die           
arithmetischen ,kenntnisse der          
,sulba-sutras sind keineswegs           
unbedeutend2 sie kennen                 
,quadratwurzelausziehung1 auch ,auflsung
  von ,gleichungen1 sind mit der        
,bruchrechnung vertraut4 ,gegen die     
,rigveda-,zeit zeigen die ,yajur-veden  
sehr erhebliche ,fortschritte4  ,h4     
,zimmer l4 c4 p4 #cdh gibt an1 dass die 
hchste bestimmte ,zahl im  ,rig-veda    
#ajjjjj sata sahasra ist2 aber schon in 
der ,yajurveden-,zeit1  wie z4 ,b4 in   
der ,taitt4 ,samh4 und im               
,satapatha-,brahmana finden sich        
,zahlworte bis zu #aj ,billionen1 und im
 ,mahabhrata ,zahlworte fr  die         

,potenzen von #aj bis #ajag4 ,im        
,rig-veda kommen nur wenig ,brche  vor2 
ardha halb1 auch sami1 pada ein ,viertel
 7der ,fuss des ,rindes71  tri-pad drei 
,viertel1 sapha ein ,achtel 7,halbhuf   
der ,kuh71 kala ein  ,sechzehntel4 ,als 
eine ,grosstat1 wozu sich zwei gewaltige
 ,gtter1  ,indra und ,vishnu1 vereinigen
 mssen1 gilt die ,teilung von #ajjj     
durch  #c4 ,dagegen finden sich schon im
 ,satapatha-,br4 eigene ,namen bis zu   
#ae-dcj-a als ,zeitmass1 und die        
,sulbas1 insbesondere ,baudh41  haben   
hoch entwickelte ,bruchrechnung4 ,was   
das indische ,positionssystem  betrifft1
 kann hchstens noch1 vgl4 ,babylonien1  
die ,einfhrung der  ,null in ,frage     
kommen4 ,nun kommt die ,null vor in dem 
,manuskript von  ,bakhshali4 ,in        
,bakhshali 7im nordwestlichen ,indien7  
wurden #ahha  ,bruchstcke eines         
,manuskripts auf ,birkenrinde           
ausgegraben4 ,da die  ,indologen das    
,alter dieses ,manuskriptes oder seines 
,inhaltes jetzt auf  den ,beginn unserer

 ra setzen1 so mssen wir es hier        
besprechen4 ,es  enthlt                 
,textgleichungen1 auch diophantische1   
und die ,kuttaka- d4 h4  ,zerstubungs-  
id est ,kettenbruchmethode2 diese wrde  
damit vermutlich  schon #ejj ,jahre vor 
,aryabhata indischer ,besitz gewesen    
sein2 ferner  ,summation arithmetischer 
,reihen1 ein eigenes                    
,subtraktionszeichen2  und was fr uns   
das ,bedeutsamste ist1 es enthlt die    
,null in ,form  eines ,punktes 4 als    
,zeichen fr das leere ,feld und als     
,bezeichnung  der ,unbekannten1 die ja  
auch vorlufig leer ist4 ,die erste      
sonstige  ,erwhnung der ,null1 auch in  
,form eines ,punktes1 findet sich in    
,subandhu's ,vasavadatta1 wo die ,sterne
 mit ,nullen verglichen werden1 die  der
 ,schpfer bei der ,berechnung des       
,wertes des ,alls wegen der absoluten   
,wertlosigkeit des ,samsara             
7,weltgetriebe7 mit seiner ,kreide --   
der  ,mondsichel -- berall auf das      
,firmament einzeichnete4 7,g4 ,bhler1   

,grundriss der ,indo-,arischen ,philol4 
u4 ,altertumskunde ,,ii1 #aa p4 #gh47   
,die ,null in ,kreisform kommt zuerst in
 den ,cicavole ,kupferplatten vor4  ,ihr
 ,name ist eigentlich sunya-bindu und   
wird abgekrzt zu sunya oder  bindu4 ber 
die verschiedene ,bezeichnung der       
,zahlen und ,ziffern vgl4  ,bhler l4 c4 
,kap4 ,,vi1 die ,zahlenbezeichnung4     
,sidenote3 ,eleaten3 ,xenophanes1       
,parmenides4    ,wenden wir uns nun aus 
,indien nach ,hellas zurck und zunchst  
zu den  ,eleaten4    ,xenophanes aus    
,kolophon1 ein jngerer ,zeitgenosse des 
,pythagoras1 ist  ihr ,stifter4 ,das    
,weltganze als unvergngliches1 ewig     
unvernderliches1  ewig gleichartiges    
,sein ist sein ,gott1 er ist der erste  
wirkliche  ,pantheist4 ,wenige          
,fragmente seiner ,lehrgedichte sind    
erhalten1 aus  denen ich die ,stellen   
anfhre3             1         4    ,ein 
,gott unter den ,gttern und unter den   
,menschen der ,grsste1 nicht an         
,gestalt den ,menschen vergleichbar noch

 auch an ,denkkraft4    ,und an einer   
andern ,stelle sagt er1 nachdem er gegen
 den  ,anthropomorphismus geeifert3     
,wenn die ,pferde und ,ochsen ihre      
,gtter  malen knnten1 so wrden sie      
dieselben ohne ,zweifel als ,pferde und 
,ochsen darstellen4 ,xenophanes ist der 
,urheber der ,lehre vom    1 von der    
,einheit aller ,dinge1 wie ,platon und  
,aristoteles1  ,theophrast und ,timon   
bereinstimmend bezeugen4 ,ob der        
,pantheismus des  ,xenophanes von den   
,pythagorern beeinflusst ist1 ob beide  
von den  ,orphikern1 und diese wieder   
von den ,indern hierin beeinflusst sind1
  wage ich nicht zu entscheiden4        
,xenophanes1 der sich in ,elea in       
,lukanien niedergelassen hatte1 ist  fr 
uns besonders wichtig1 als ,lehrer des  
,parmenides aus ,elea1 des  eigentlichen
 ,hauptes der ,eleaten1 welche noch weit
 schrfer als  die ,pythagorer1 ja bis   
zum ,extrem1 die ,prioritt der ,begriffe
 vor  den ,erscheinungen gelehrt haben4 
,geboren etwa um #eae aus vornehmer     

,familie1 fllt seine 1 seine ,bltezeit1 
etwa um #dhj4 ,die ,lehre  der          
,pythagorer war ihm vertraut2 ohne der  
,schule anzugehren1 hat  er sich die    
,sittenlehre der ,pythagorer zur        
,richtschnur genommen1  whrend er als   
,philosoph die ,lehre des ,xenophanes1  
welche hauptschlich  theologischen      
,charakter hatte1 weiterbildete4 ,er hat
 seine ,ansichten  in seinem            
,lehrgedicht   niedergelegt1 von dem uns
 nicht  unbedeutende ,bruchstcke        
erhalten sind1 welche zuletzt von ,diels
  mit dem ganzen ,rstzeug philologischer
 ,schrfe herausgegeben sind4  7,h4      
,diels1 ,p4 ,lehrgedicht1 griech4 und   
deutsch1 ,berl4 #ahia47    ,sidenote3   
,eleaten3 ,parmenides1 ,zenon4          
,parmenides ging weit ber ,xenophanes   
hinaus4 ,es gibt1 ihm zufolge1  nur ein 
einziges unteilbares lckenloses         
,kontinuum des ,seienden1               
unvernderlich1 nicht werdend1 nicht     
geworden1 unbeweglich1 zeitlos4  ,es ist
 klar1 dass die ,eleaten mit der        

,vernderung auch das ,zeitproblem       
ausschalteten4 ,die ,zeit1 mitsamt der  
,vielheit der ,dinge1 ihr ,werden  und  
,vergehen1 wird uns durch die ,sinne    
vorgetuscht 7die ,maja der  ,inder671   
als ,bleibendes1 als einziges ,sein     
erkannten sie nur das des  ,begriffes1  
und das enthlt die ,zeit nicht mehr4    
,indem ,parmenides  aussprach1 dass     
wahres bleibendes ,sein nur dem         
,begriffe zukommt1  identifizierte er   
,denken und ,substanz4 ,das fr uns      
interessanteste ist1  was ,parmenides   
ber den ,raum sagt4 ,da zitiere ich l4  
c4 ,vers #db ff4 die  ,stelle3         1
      1                           4     
,aber da es eine letzte ,grenze gibt1 so
 ist er von allen ,seiten aus           
abgeschlossen1 der wohlgerundeten ,kugel
 hnlich an ,gestalt1 von der  ,mitte aus
 an ,krften gleich berall1 denn da darf 
es kein ,mehr oder  ,weniger1 ,hier oder
 ,dorten geben4 ,hier also bei          
,parmenides treffen  wir ,jahrtausende  
vor ,riemann die ,hypothese von der     

,endlichkeit des  ,raumes an und        
zugleich das ,axiom von der             
,gleichfrmigkeit des ,raumes4           
,parmenides hat auch das ,verdienst1 auf
 das ,problem der ,kontinuitt  weit     
deutlicher hingewiesen zu haben als die 
,pythagorer1 die das  ,problem          
allerdings auch in ihrer geometrischen  
,veranschaulichung der                  
,zahlenbeziehungen gestreift haben4 ,und
 ,zeno1 der dritte grosse ,eleat1  hat  
grade durch diese ,frage seine bleibende
 ,stelle in der ,geschichte  der        
,mathematik3    ,sidenote3 ,die         
,paradoxien des ,zenon4    ,zenon 77 aus
 ,elea1 der ,sohn des ,teleutagoras1 ist
 ungefhr  #ejj geboren und seine ,reife 
fllt um #dej4 ,es ist sein ,verdienst1  
die  ,schwierigkeiten und ,widersprche1 
welche der ,begriff der ,bewegung1  wie 
berhaupt der der ,vernderung enthlt1    
aufgedeckt zu haben1  ,widersprche1     
welche zu ihrer ,auflsung den           
,grenzbegriff1 diesen  wichtigsten aller
 mathematischen ,begriffe erfordern4    

,eine ,geschichte  der                  
,differentialrechnung wird stets von    
,zeno und seinen berhmten  ,paradoxien  
auszugehen haben4 ,von ,zeno            
aufgestellt1 um einerseits  die ,einheit
 und ,unvernderlichkeit des ,seins und  
andrerseits die  ,unbeweglichkeit des   
,seienden zu beweisen1 sind sie uns in  
der ,fassung  des ,aristoteles1 ,physik 
#bjb;a1 #baj;b erhalten und die ,beweise
  insbesondere durch den ,kommentar des 
,simplicius zur ,physik des             
,aristoteles4    ,a7 ,beweise gegen die 
,vielheit des ,seienden4    #a4 ,wenn   
das ,seiende ,vieles wre1 so msste es   
zugleich unendlich klein  und unendlich 
gross sein4 ,unendlich klein1 denn jede 
,vielheit ist ,summe  von ,einheiten1   
diese selbst aber unteilbar             
7,pythagorer71 also hat sie  keine      
,grsse1 ist nichts1 also ihre ,summe    
desgleichen4 ,andrerseits muss  jede    
solche ,vielheit1 um zu sein1 ,grsse    
haben1 ihre ,teile voneinander  entfernt
 sein1 die ,teile der ,teile desgleichen

 und so fort1 also mssen  sie unendlich 
gross sein4    #b4 ,zeigt ,zeno1 dass   
das ,viele auch der ,anzahl nach        
begrenzt und  unbegrenzt zugleich sein  
msste4 ,begrenzt1 denn es ist so ,vieles
 als  es ist1 nicht mehr und nicht      
weniger4 ,unbegrenzt1 denn zwei ,dinge  
sind nur dann zwei1 wenn sie voneinander
 getrennt sind2 damit sie  getrennt     
sein1 muss etwas zwischen ihnen sein    
usw4    ,als konsequenter ,denker und   
ausgezeichneter ,dialektiker leugnet    
,zeno  in ,numero #c den ,raum4    #c4  
,die ,dinge scheinen sich im ,raum zu   
befinden1 aber das ist nicht  wahr1 es  
gibt gar keinen ,raum4 ,denn jedes ,ding
 ist in einem andern2 ist  nun der ,raum
 wirklich1 so ist auch er in einem      
andern ,dinge1 und muss  doch wohl in   
einem andern ,raume sein2 von diesem    
gilt nun dasselbe wie  vom ersten1 es   
ist also kein letzter ,raum denkbar1    
mithin auch kein  erster und berhaupt   
keiner4 7,dies ist wrtlich ,kants       
,antinomie47    #d4 ,ein fallendes ,korn

 macht kein ,gerusch1 aber der          
,scheffel1 also auch  das ,korn1 denn #j
  #j wre #j2 also tuscht uns das        
,gesicht1 wenn es uns  eine ,vielheit   
von ,krnern vorspiegelt4    ,b7 ,beweise
 gegen die ,bewegung4    #a4 ,der sich  
bewegende ,krper1 der durch unzhlig     
viele ,punkte  hindurchgehen msste1 was 
nicht mglich4    #b4 ,der ,achilleus2   
,achilleus1 der #ajjmal schneller als   
die ,schildkrte  ist1 kann diese1 wenn  
sie einen ,vorsprung von einem ,stadion 
hat1 nicht  einholen1 denn whrend er das
 ,stadion zurcklegt1 kommt die          
,schildkrte  um #j1ja vorwrts1 und so   
fort in inf4    #c4 ,der fliegende      
,pfeil msste in einem bestimmten        
,augenblick an einem  bestimmten ,orte  
sein und nicht sein4    ,ein vierter    
,beweis bezieht sich auf die ,relativitt
 der ,bewegung4  7,einem ruhenden ,krper
 gegenber scheint die relative ,bewegung
 zweier  sich mit gleicher aber         
entgegengesetzter ,geschwindigkeit      
bewegender  ,krper verdoppelt47 ,sie    

sehen1 wie bei ,zeno der ,begriff der   
unendlichen  ,reihe nach ,gestaltung    
ringt2 den infinitren ,prozess hat er   
erfasst1  aber noch nicht seinen        
,abschluss1 den ,grenzbegriff1 auf dem  
die  ,konvergenz der ,reihe beruht1 und 
der zugleich das ,differential  liefert4
 ,den hat erst ein grsserer als ,zeno1  
den hat ,demokrit  erkannt4 ,aber ,sie  
sehen auch1 dass die ganze ,lehre von   
der ,bewegung1  von der ,vernderung     
berhaupt1 von der ,stetigkeit1 von der  
,grenze  ihre ,quelle bei ,zeno hat1 der
 seinerseits in der ,erfassung des      
,widerspruchs an die ,pythagorer        
anknpft4    ,die ,bearbeitung der       
,paradoxien des ,zeno hat sehr viel     
,gedankenarbeit  hervorgerufen1 ist doch
 nach ,hegel die ,auflsung des          
,widerspruchs  die ,hauptarbeit des     
menschlichen ,geistes4 ,die ,paradoxien 
des ,zeno  kehren in anderer ,form immer
 wieder4 ,es gengt1 an ,berkeley zu     
erinnern und seine ,kritik des          
infiniment petit4 ,aber sie haben noch  

heutigen ,tages ihre ,geltung fr nicht  
hinlnglich philosophisch  durchgebildete
 ,mathematiker1 erst vor wenigen ,wochen
 las ich in einer  mir zur ,durchsicht  
gegebenen pdagogischen ,arbeit so       
ziemlich dieselben  ,einwnde4           
,insbesondere haben sich1 wie in der    
,natur der ,sache liegt1 die            
,scholastiker mit ,zenon beschftigt1 und
 namentlich der grsste der              
,scholastiker und einer der grssten     
,denker berhaupt1 ,thomas von  ,aquino1 
hat die ,paradoxien mit grossem         
,scharfsinn kritisiert4  ,die vllige    
berwindung der ,schwierigkeiten danken  
wir ,galilei1  ,leibniz1 ,bolzano1 an   
den ,kerry in ,versuch eines ,systems   
der  ,grenzbegriffe anknpft4 ,aber vor  
allen diesen1 insbesondere auch  vor ,g4
 ,cantor1 hat ,aristoteles das          
schwierigste ,paradoxon1 ,b #a1         
aufgeklrt4 ,die einzelnen ,punkte der   
,raum- und ,zeitstrecke zwischen        
,anfang und ,ende der ,bewegung lassen  
sich gegenseitig eindeutig einander     

zuordnen1 d4 h4 in der ,sprache ,g4     
,cantors3 die ,raum- und ,zeitstrecke   
sind von gleicher ,mchtigkeit1 und      
dieser so hochmoderne ,begriff hat      
seine ,quelle bei ,aristoteles1 der     
,zeno gradezu als den ,erfinder der     
,dialektik bezeichnet4    ,was den      
,achilleus betrifft1 so bildet er       
heutzutage eins der typischen           
,beispiele der ,grenze1 indem die       
,differenzen zwischen den ,reihenzahlen 
#a1ja und #a-a_/i eine ,nullreihe       
bilden4    ,mit den ,paradoxien des     
,zeno haben sich auch ,bayle1 ,descartes
  und ,leibniz beschftigt1 von ,neueren 
nenne ich ,ch4 ,l4 ,gerling  7,marburg74
 ,ed4 ,wellmann1 ,prgr4 ,frankf4 a4 ,o4 
#ahgj1 ,p4 ,tannery1  ,rev4 philos4 ,b4 
,x1 #ahhe4 ,tannery behauptet1 dass     
,zeno nur habe  beweisen wollen1 dass   
der ,raum nicht aus ,punkten1 die ,zeit 
nicht  aus ,augenblicken bestehe1 aber  
ohne ,beweise fr seine ,behauptung      
beizubringen4 ,diese ,stze selbst sind  
von ,aristoteles ,phys4 ,,vi1 #a1  #bca 

a #bd bewiesen4 ,ich erwhne noch ,j4 ,h4
 ,loewe1 ,bhm4 ,gesellsch4 d4  ,wiss4   
,,vi4 ,folge #a4 ,bd4 #ahfg1 und berweg1
 ,system d4 ,logik #e4 ,aufl4  #ahhb ,s4
 #bde ff4    ,sidenote3 ,paradoxien des 
,zenon2 ,anaxagoras1 ,oinopides4    ,das
 ,mathematikerverzeichnis des ,proklos  
erwhnt den ,zeno  nicht1 es wertet die  
,begriffsmathematiker nicht1 sondern    
grade  so wie noch heute1 zhlt es nur   
die doch gegen jene sekundren           
,problemmathematiker1 die geschickten   
,handwerker der ,mathematik1 zu  den    
wirklichen ,mathematikern4 ,zunchst wird
 ,anaxagoras erwhnt1 aber  nicht als    
,philosoph1 nicht wegen des             
monotheistischen ,prinzipes1 der        
,vernunft1 des 1 der die ,welt geordnet 
hat1 sondern weil er sich  im ,gefngnis 
mit der ,quadratur des ,zirkels         
beschftigt hat4 ,danach  wird ,oinopides
 genannt1 der die ,konstruktion des zu  
fllenden ,lotes  aus gypten importiert  
haben soll1 und es fhrt dann mit        
,hippokrates  aus ,chios fort1 den man  

nicht mit ,hippokrates aus ,kos1 dem    
,vater  der ,medizin1 verwechseln darf4 
,proklos sagt3 ,nach diesen wurden      
,hippokrates der ,chier1 der die        
,quadratur der ,mndchen fand1 und       
,theodoros aus ,kyrene in der           
,mathematik berhmt4    ,sidenote3       
,hippokrates von ,chios und seine       
,mndchen4    ,hippokrates gehrte dem    
,pythagorischen ,kreise an1 ,aristoteles
  erwhnt seiner als eines ,menschen1 der
 im gewhnlichen ,leben unbeholfen  und  
stumpfsinnig gewesen1   1 und doch ein  
tchtiger  ,mathematiker4 7brigens auch  
heute noch nichts ,seltenes47 ,nach     
,verlust  seines ,vermgens soll er in   
,athen von mathematischem ,unterricht   
gelebt  haben4 ,ob er wirklich ,mitglied
 des ,bundes war1 ist nicht sicher1     
jedenfalls knpft seine ,beschftigung mit
 der ,quadratur und der  ,winkelteilung 
an den ,gedankenkreis der ,pythagorer   
an4 ,seine ,bltezeit  fllt etwa um #dcj 
v4 ,chr4    ,sidenote3 ,lunulae         
,hippocratis4    ,ihnen allen sind ja   

die ,lunulae ,hippocratis bekannt4 ,sie 
haben den ,satz  gelernt in der ,form3  
die beiden ,halbmonde1 begrenzt von den 
,halbkreisen  ber den ,katheten nach    
aussen und dem ber der ,hypotenuse nach 
innen  sind gleich dem rechtwinkligen   
,dreieck4 ,und dieser ,satz steht als   
,satz des ,hippokrates selbst in der #f4
 ,aufl4 des einzigen in bezug auf       
historische ,angaben zuverlssigen       
,elementarbuches1 das ich kenne1 die    
,elemente der ,mathematik von ,r4       
,baltzer1 ja selbst im ,rouch von       
#aijj4    ,hippokrates hat nur einen    
,mond 7,meniskos1 lunula7 quadriert und 
zwar zuerst den1 dessen usserer ,bogen  
der ,halbkreis1 dessen innerer  der     
,quadrant ist4 ,den allgemeinen ,satz   
von den ,lunulae gleich dem             
rechtwinkligen ,dreieck fand ich weder  
bei ,heron1 noch ,pappos1 noch  bei     
,cardano1 ,vieta1 ,clavius1 ,gregorius  
a4 ,st4 ,vincentio1 und ,sturm1  wohl   
aber in der ,ausgabe des ,taquet von    
,whiston und zwar schrg  gedruckt1 also 

nicht von ,taquet herrhrend1 und noch   
frher in der #d4  ,ausgabe der ,elemente
 der ,geometrie von #afhc bei ,pardies1 
,soc4 ,jesu4  ,der ,satz ist aber       
zweifelsohne erheblich lter4 -- ,die    
,arbeit des  ,hippokrates ist durch     
einen ,glcksfall erhalten4              
,simplicius aus ,kilikien1 der          
,neuplatoniker1 der zu den von          
,justinian  #ebi vertriebenen           
,professoren der ,hochschule ,athen     
gehrte1 hat einen  umfangreichen        
,kommentar zur ,physik des ,aristoteles 
verfasst und uns  darin ein ,bruchstck  
aus des ,eudemos ,geschichte der        
,mathematik  aufbewahrt4 ,es ist zuerst 
von ,bretschneider griechisch und       
deutsch  #ahgj publiziert nach der      
lateinischen ,ausgabe ,l4 ,spengel's3   
,eudemi  ,rhodii ,peripatetici          
,fragmenta quae supersunt4 ,berlin      
#ahfe1 #b4 ,aufl4  #ahgj1 whrend der    
,kommentar des ,simplicius schon #aebf  
bei ,aldus  ,manutius in ,venedig       
gedruckt ist und #ahhb in dem grossen   

,kommentar der  ,aristoteles-,ausgabe   
der ,berliner ,akademie von ,h4 ,diels4 
,die wichtigste neuere ,arbeit zur      
,simpliciusfrage ist die von ,rudio     
#aijb in der ,bibliotheca mathematica   
von ,enestrm3 ,der ,bericht des         
,simplicius ber die ,quadraturen des    
,antiphon und des ,hippokrates4         
,aristoteles bekmpft in seiner ,physik  
im #a4 ,buch an einer ,stelle die       
eleatische ,weltanschauung1 die das     
,seiende als eins und unwandelbar       
auffasste1 und erklrt dabei1 dass man   
nicht alle falschen ,stze  widerlegen   
msse1 sondern nur solche1 die nicht     
schon von vornherein  gegen die         
,prinzipien verstossen1 und als         
,beispiel gibt er an3 ,so ist  zum      
,beispiel der ,geometer verpflichtet1   
die ,quadratur 7sc4 des ,zirkels7       
mittelst der ,segmente zu widerlegen1   
die des ,antiphon aber nicht4 ,und      
hierzu gibt ,simplicius einen ,bericht  
ber die genannten ,quadraturen1  der fr 
uns vorn historischen ,standpunkt aus   

gradezu unschtzbar ist4    ,es ist      
,rudio gelungen1 nach ,vorarbeiten von  
,p4 ,tannery1 dem  vor kurzem           
gestorbenen grossen ,kenner hellenischer
 ,mathematik und  hellenischer          
,wissenschaft1 und ,allman1 seinem      
englischen ,nebenbuhler1  den ,text des 
,eudemos wohl so ziemlich endgltig      
festgestellt zu haben4  ,rudio hat durch
 eine einzige1 ganz nahe liegende1      
schlagend einfache  ,konjunktur ,licht  
und ,klarheit in den ganzen ,bericht und
 zugleich in den  ,gedankengang des     
,hippokrates gebracht und zugleich sein 
,urteil ber  ,simplicius als eines      
durchaus tchtigen ,mathematikers1 wie   
dies ja  von ,simplicius dem            
,philosophen schon feststand1 begrndet4 
,es handelt  sich um das ,wort 1 das von
  schneiden herkommt und allgemein      
irgend einen ,abschnitt1 im speziellen  
,kreissegment1 bezeichnet1 aber  auch1  
wie ,rudio bemerkt1 den ,sektor und an  
der entscheidenden ,stelle  kann es nur 
,sektor heissen2 dann lautet die ,stelle

 nach ,rudio3    ,aber auch die         
,quadraturen der ,mndchen1 die als      
solche von nicht  gewhnlichen ,figuren  
erschienen wegen der ,verwandtschaft mit
 dem  ,kreise1 wurden zuerst von        
,hippokrates beschrieben und schienen   
nach  rechter ,art auseinandergesetzt zu
 sein1 deshalb wollen wir uns           
ausfhrlicher mit ihnen befassen und sie 
durchnehmen4 ,er bereitete sich  nun    
eine ,grundlage und stellte als ersten  
der hierzu dienenden ,stze  den auf1    
dass die hnlichen ,segmente der ,kreise 
dasselbe ,verhltnis  haben wie ihre     
,grundlinien in der ,potenz 771 d4 h4 im
 ,quadrat4  ,dies bewies er aber        
dadurch1 dass er zeigte1 dass die       
,durchmesser in  der ,potenz dasselbe   
,verhltnis haben wie die ,kreise4 ,wie  
sich nmlich  die ,kreise verhalten1 so  
verhalten sich auch die hnlichen        
,sektoren  774 hnliche ,sektoren nmlich 
sind die1 die denselben ,teil des       
,kreises ausmachen wie z4 ,b4 ,halbkreis
 und ,halbkreis und ,drittelkreis  und  

,drittelkreis2 deswegen nehmen die      
hnlichen ,segmente auch gleiche  ,winkel
 auf4 ,und zwar sind die aller          
,halbkreise rechte und die der  grsseren
 kleiner als rechte1 und zwar um so     
viel1 um wie viel die  ,segmente grsser 
als ,halbkreise sind1 und die der       
kleineren grsser und  zwar um so viel1  
um wie viel die ,segmente kleiner sind4 
,sie sehen1 ,hippokrates kannte die     
,stze vom ,peripheriewinkel  ganz genau2
 er hat den wichtigen ,satz ,euklid1    
,elem4 ,,xii1 #b2  k 3 k  d#b 3 d#b     
bewiesen1 vermutlich wie ,euklid1 ihm   
war  die hnlichkeitslehre vllig vertraut
 wie allerdings schon den  ,pythagorern1
 er kannte1 wie aus dem folgenden       
hervorgeht1 auch den  sogenannten       
erweiterten ,pythagoras4    ,was nun die
 ,quadratur der ,halbmonde betrifft1 so 
kann es keinem ,zweifel  unterliegen1   
dass ,hippokrates von folgender von     
,tannery1 aber auch  schon einige       
,jahrhunderte frher von ,vieta1         
angegebenen ,erwgung  ausgegangen ist3  

3 i  p 3 q z4 ,b4 #e 3 #c2 _/#e  i_/#c  
und _/p  i_/q    ,dann sind die         
,segmente e#a und i#a1 welche von den   
kleinen  ,sehnen abgeschnitten werden1  
hnlich und es ist e#a 3 i#a   re#b 3    
ri#b4 ,wenn nun re#b 3 ri#b gleich q 3 p
 gemacht  wre1 so wre e#a 3 i#a  q 3 p  
7hier #c 3 #e7 und damit pe#a   qi#a1 d4
 h4 aber der ,sehnenzug im usseren      
,bogen schneidet so viel  an ,flche ab1 
als der des inneren hinzubringt und das 
,mndchen ist  gleich der von des beiden 
,sehnenzgen begrenzten geradlinigen     
,figur4  ,damit aber der ,halbmond      
quadrierbar sei1 ist ntig1 dass die     
,figur mit  ,zirkel und ,lineal         
konstruiert werden knne1 und dies tritt 
ein fr p_/q   #b_/a2 #c_/a2 #c_/b2      
#e_/a2 #e_/c4    ,sie sehen aus der     
,gleichung ,winkel _/i  p_/q  ri#b_/re#b
 oder  re#b 4   ri#b;i1 dass die        
,sektoren ,,aeb und ,,ajb flchengleich  
sein mssen1 dazu ist ,,ab  ,,ab1 also re
 sin _/#b  ri sin i_/#b1 also  haben wir
 die entscheidende ,gleichung3 p 4 sin  

i_/#b  q 4 sin _/#b4    ,illustration   
,die elementare ,behandlung findet sich 
bei ,vieta 7,variorum de rebus  mathem4 
responsorum liber ,,viii #aeic74        
,hippokrates hat die ,flle #b_/a1       
#c_/a1 #c_/b erledigt2 die ,flle #e_/a  
und #e_/c von ,th4 ,clausen1 ,crelle #ba
  7#ahdj74 ,smtliche #e quadrierbare    
,mndchen finden sich aber schon in  der 
,dissertation von ,m4 ,j4 ,wallenius    
7,abveae #agff74 ,vgl4 den ,artikel  #f 
bei ,m4 ,simon1 ber die ,entwicklung der
 ,el4 ,geom4 im #ai4 ,jh4 p4 #gc        
7#aijf74 ,der ,fall #b_/a ist der       
bekannteste1 er sichert ,hippokrates das
  ,verdienst1 die erste krummlinige     
,figur quadriert zu haben4 ,den ,fall   
#c_/b findet man ausfhrlich bei ,f4     
,enriques ,questioni riguardanti  la    
,geom4 elem4 7#aijj7 p4 #eah1 er bietet1
 trigonometrisch behandelt1  keinerlei  
,schwierigkeit4 ,den ,fall #d_/a        
behandelt ,vieta4 ,er fhrt auf  eine    
reine ,gleichung #c4 ,grades und damit  
auf die ,verdoppelung des  ,wrfels1 und 

dass ,hippokrates diesen ,weg gegangen1 
das geht klar  daraus hervor1 dass er   
nach dem ,zeugnis des ,proklos-,geminos 
und  dem wichtigeren des ,eratosthenes  
das ,problem auf die ,einschiebung      
zweier mittleren ,proportionalen        
zwischen a und #b;a zurckgefhrt hat1  a 
3 x  x 3 y  y 3 #b;a und so ,proklos    
zufolge das erste ,beispiel einer  1    
einer ,zurckfhrung eines ,problems auf  
ein anderes1 noch  dazu in einem ber das
 ,elementare hinausgehenden ,fall       
geliefert hat4  ,hippokrates ist auch   
der erste ,grieche1 der ,elemente       
geschrieben  hat1 wie ,proklos im       
,mathematikerverzeichnis angibt1 und sie
 knnen nach  dem ,muster von            
,hippokrates ,darstellung aus des       
,simplicius ,kommentar in  der ,form    
nicht sehr wesentlich vom ,euklid       
verschieden gewesen sein1  wenn nicht   
,eudemos 7oder ,simplicius7 redigiert   
haben4 ,hippokrates hat  dann auch noch1
 wie wir bei ,simplicius lesen1 die     
,summe eines ,mondes  und eines ,kreises

 quadriert1 den ,zirkel selbst natrlich 
nicht1 obwohl  er hchstwahrscheinlich   
bei der ,suche nach dieser ,quadratur   
auf seine  ,monde gekommen ist4         
,sidenote3 ,antiphon4    ,sidenote3     
,bryson4    ,der gleichzeitig erwhnte   
,antiphon1 ein ,sophist1 ,zeitgenosse   
des  ,sokrates1 glaubte die ,quadratur  
des ,zirkels dadurch gefunden zu  haben1
 dass er in den ,kreis ein regulres     
,polygon1 z4 ,b4 ein ,quadrat           
einschrieb1 dann ber die ,seiten        
gleichschenklige ,dreiecke u4 s4 f41    
und annahm1 dass eines dieser ,polygone 
dem ,kreise gleich sein msste4  ,wenn   
nun auch ,aristoteles die ,annahme des  
,antiphon als gegen die  ,prinzipien der
 ,logik verstossend scharf getadelt hat1
 so hat doch  ,hankel vollstndig recht1 
wenn er sagt3 er verdient einen         
ehrenvollen  ,platz in der ,geschichte  
der ,geometrie1 denn er hat1 als der    
erste1 den  vllig richtigen ,weg        
betreten1 um den ,flcheninhalt eines    
krummlinigen  ,raumes zu ermitteln1     

indem er ihn durch ,vielecke von immer  
wachsender  ,seitenzahl zu erschpfen    
7exhaurire7 suchte4 ,der gleichzeitig   
mit ihm  genannte ,bryson hat dann das  
umgeschriebene ,polygon hinzugefgt2     
lcheln wir auch heute ber seinen        
,schluss1 weil der ,kreis zwischen  dem 
ein- und umgeschriebenen ,quadrate #br#b
 und #dr#b so schn in der  ,mitte liege1
 wie #c zwischen #b und #d1 so msste der
 ,kreis gleich #cr#b  sein1 so haben    
doch ,antiphon und ,bryson den ,weg     
gewiesen1 auf dem dann  ,archimedes     
gegangen und der das ,riesenproblem     
beherrscht hat1 bis er  schliesslich    
,vieta zu dem unendlichen ,produkt fr   
_/#b fhrte4    ,auf ,hippokrates und    
seine ,elemente folgt bei ,proklos      
unmittelbar  ,platon1 aber eine         
,geschichte der ,mathematik1 welche     
zugleich auf die  ,begriffsbildung ,wert
 legt1 darf an den beiden ihm an ,tiefe 
ebenbrtigen  ,vorgngern ,heraklit und   
,demokrit nicht vorbergehen4            
,sidenote3 ,heraklit4    ,heraklit1 1   

aus ,ephesos in ,kleinasien1 aus der    
angesehenen  ,familie des ,grnders von  
,ephesos1 des ,kodriden ,androklos1 war 
ein  ,zeitgenosse des ,xenophanes1 er   
hat seine ,bltezeit um #ejj4 ,wir haben 
als ,hauptquellen fr seine ,lehre die   
,fragmente seiner einzigen ,schrift     
7,von der ,natur1 ed4 von ,h4 ,diels    
#aija7 und ,platons  ,dialog ,kratylos1 
ferner ,aristoteles und seine           
,kommentatoren4  ,daneben kommen        
,plutarch und ,diogenes ,laertios in    
,betracht4 ,eine  fr ihre ,zeit         
ausgezeichnete ,darstellung gab der     
bekannte ,ferdinand  ,lassalle in seiner
 ,schrift ,die ,philosophie ,herakleitos
 des ,dunkeln1  ,bd4 #b1 ,berlin #aheh1 
aus neuester ,zeit nenne ich ,w4        
,kinkel1 l4 c4  #aijf4 ,h4 ,diels1 ,her4
 von ,eph41 ,berl4 #aija1 ,p4 ,natorp1  
,neue  ,heraklitforschung1 ,ph4         
,monatsh4 #bd4 ,heraklit1 der ,dunkle1  
1  war kein ,systematiker1 aber vor     
seinen tiefsinnigen1 orakelhaften       
,weisheitssprchen stand das ganze       

,altertum voll staunender ,ehrfurcht4   
,er erinnert an ,nietzsche1 der         
formaliter und materialiter sehr viel   
von ,heraklit entlehnt hat4 ,am         
bekanntesten ist das  1 alles  fliesst2 
1 alles weicht und nichts bleibt2  --   
1 der ,streit ist der ,vater der ,dinge4
 ,in der  ,kosmologie knpft ,heraklit   
zunchst an seine ,ionischen ,landsleute1
 an  ,anaximander und besonders an      
dessen schwcheren ,nachfolger           
,anaximenes  an1 der die ,luft als      
,grundstoff 77 ansah4 ,heraklit nimmt   
das ,feuer  als ,substanz aller ,dinge  
an1 aber ein ideales ,feuer1 das        
zugleich die  ,weltvernunft1 der ,logos1
 die ,weltseele ist4 ,im bewussten      
,gegensatz  zu den ,eleaten1            
insbesondere zu ,xenophanes1 denn       
,parmenides ist  jnger1 leugnet er alles
 ,sein1 und erfasst die ,welt als in    
bestndiger  ,vernderung1 in ewigem      
,wechsel befindlich4 ,wir steigen nicht 
zweimal  in denselben ,strom4 ,ein      
,schein des ,beharrens wird nur dadurch 

erzeugt1  dass ,abfluss und ,zufluss des
 ,feuers annhernd gleich ist4 ,er ist in
  noch hherem ,masse und mit voller     
,klarheit ,pantheist als ,xenophanes4   
,das ,urfeuer oder die ,gottheit1 ist1  
in bestndiger ,umwandlung  begriffen1 in
 allem1 soweit es berhaupt ist4 ,dieses 
,weltganze  7,kosmos7 hat keiner von    
allen ,gttern und keiner von allen      
,menschen  geschaffen1 sondern es war1  
ist und wird sein ein ewig lebendiges   
,feuer1 das sich entzndet und verlscht  
nach bestimmter ,ordnung4 ,man  sieht1  
es ist die ,kategorie ,bewegung1 die er1
 etwa wie seinerzeit  ,ad4              
,trendelenburg1 als das ,bleibende im   
,wechsel setzt1 whrend die  ,eleaten    
grade die ,bewegung leugneten4 ,und     
indem ihm der ,widerspruch im  ,begriff 
des ,werdens1 das zugleich ein ,sein und
 ,nicht-sein ist1 nicht  entging1 fasste
 er eben diesen ,widerspruch als ,vater 
der ,dinge4  ,hegel hat in seiner ,logik
 an ,heraklit angeknpft1 der            
,widerspruch1  berall vorhanden und doch

 fr uns undenkbar1 erfordert seine      
,auflsung  und ,vershnung als unsere    
geistige ,arbeit4 ,die spteren ,stoiker 
schliessen sich direkt an ,heraklit an  
wie auch ,philon von ,alexandria  in    
seiner ,logos-,lehre4 ,fr uns kommt vom 
,standpunkt der exakten  ,wissenschaft  
besonders in ,betracht1 dass sich bei   
ihm der erste ,gedanke  eines           
physikalischen ,kreisprozesses findet4  
,in dieselben ,strme und  aus denselben 
steigen wir4    ,rein mathematisch ist  
von ,bedeutung die grosse ,betonung der 
,vernderlichkeit aller ,werte und       
,grssen2 auffallend ist es1 dass er1    
der kein ,entstehen und ,vergehen der   
,materie1 sondern eine bestndige        
,bewegung gelehrt hat1 das ,zeitproblem1
 wie es scheint1 nie gestreift  hat4    
,die ,dunkelheit des ,heraklit erklrt   
sich zum ,teil daraus1 dass er fr  seine
 tiefe ,lehre vom ,logos keine termini  
technici vorfand1 welche  begriffliches 
,denken mitteilsam machen1 immerhin ist 
er der erste  ,philosoph1 welcher das   

,problem der ,erkenntnis als solches    
empfunden  hat1   7ich suchte mir mich  
selbst zu verschaffen74    ,sidenote3   
,empedokles1 ,sophisten4    ,ich bergehe
 ,empedokles aus ,agrigent1 so wichtig  
er auch fr die  ,physiker und ,chemiker 
ist1 denn er hat zuerst die #d          
,elemente1 ,feuer1  ,wasser1 ,luft und  
,erde1 als qualitativ und quantitativ   
unvernderliche  ,urstoffe aufgestellt1  
um mich zu den sogen4 ,atomikern zu     
wenden zum  ,leukipp und seinem grossen 
,schler ,demokrit4 ,vorher aber noch    
ein paar ,worte ber die so bel          
berchtigten ,sophisten1 deren           
,bekmpfung das ,leben des ,sokrates     
galt1 und zugleich der ,tod4 ,denn      
dadurch1 dass er jene mit ihrer eignen  
,waffe1 der ,dialektik1 bekmpfte1  hielt
 ihn das ,volk fr den ,hauptsophisten1  
und er fiel dem ,aufbumen  des          
,volksgeistes gegen die unsittliche     
,lehre der ,sophisten zum ,opfer4       
,das geistige ,haupt der ,sophisten ist 
,protagoras aus ,abdera1 von  #dhj-daj2 

von ,zeno1 ,heraklit und ,leukipp       
beeinflusst1 war er an sich von         
durchaus ernster1 wissenschaftlich nicht
 unbedeutender ,beschaffenheit1  so     
schildert ihn auch der gleichnamige     
,dialog des ,platon1 ein ,kunstwerk     
ersten ,ranges4    ,indem ,protagoras   
ganz wie ,kant empfand1 dass wir das    
,ding an  sich nicht erkennen1 sondern  
nur unsere ,wahrnehmung1 kam er zu dem  
,faustischen3 ,seh ein1 dass wir nichts 
wissen knnen1 wenigstens  nichts von    
allgemeiner1 sondern nur etwas von      
subjektiver ,wahrheit4 ,und  indem er   
ausspricht1 dass unsere ,wahrnehmung1 fr
 uns wahr ist1  formulierte er den      
,satz3 ,der ,mensch ist das ,mass der   
,dinge4 ,von  diesem ,standpunkt aus    
kamen seine ,nachfolger ,gorgias1       
,hippias etc4 zu  einer ,verwerfung     
aller sittlichen ,normen und von allen  
,wissenschaften  blieb nur die          
,dialektik brig oder die ,rhetorik1 die 
,kunst1 den eignen  ,willen1 das eigene 
,mass1 den anderen aufzuzwingen4        

,zeitlich traf ihre  ,blte mit dem      
grossen ,aufschwung des ffentlichen     
,lebens in ,hellas  nach den            
,perserkriegen zusammen1 wodurch eine   
zweckmssige ,vorbildung  der            
,staatsmnner ntig wurde4 ,die ,sophisten
 fanden daher als ,lehrer  der          
,redekunst gewinnreiche ,ttigkeit1      
,protagoras selbst war ein sehr         
geschtzter ,wanderlehrer4 ,so haben die 
,sophisten1 die prinzipiellen  ,gegner  
des ,wissens1 dennoch die ,wissenschaft 
der ,satzbildung1 der  ,grammatik1 des  
,wohlklangs gradezu geschaffen1 und was 
sie fr uns  ,mathematiker wichtig macht1
 sie haben die ,lehre vom ,beweis mchtig
  gefrdert4    ,ich komme zu den        
,atomikern4 ,vom ,leukipp wissen wir so 
wenig1 dass  ,epikur meinen konnte1 er  
habe gar nicht existiert4 ,das ,zeugnis 
des  ,aristoteles ist aber unanfechtbar4
 ,leukipp ist wohl der ,urheber des     
,grundgedankens1 aber in der berragenden
 ,persnlichkeit seines ,schlers         
,demokrit ist er verschwunden4 ,zeller  

fasst beide zusammen als  ,atomiker4    
,sidenote3 ,demokrit4    ,demokrit ist  
in ,abdera etwa um #dgj geboren1 und ist
 zwischen #ij  und #ajj ,jahre alt      
geworden4 ,an umfassender ,bildung nur  
dem ,aristoteles  vergleichbar1 hat er  
das ,wissen1 das er auf vielen ,reisen1 
insbesondere  nach gypten und           
,babylonien1 erworben1 in einer ,reihe  
von ,schriften  niedergelegt1 von denen 
leider zurzeit nur wenige ,bruchstcke1  
meist ethischen ,inhalts1 erhalten sind4
 ,glcklicherweise hat sich  ,aristoteles
 sehr viel mit ,demokrit beschftigt1    
whrend ,platon in  auffallender ,weise  
ber ihn schweigt4 ,platon neigt berhaupt
 nicht  zu literarischen ,angaben in    
seinen ,dialogen1 und wird wohl in      
seinen  ,vorlesungen sich gengend mit   
,demokrit beschftigt haben1 auch konnte 
er die ,lehre des ,demokrit zu seiner   
,zeit als bekannt voraussetzen4         
,jedenfalls ist beim ,charakter ,platons
 irgendwelche bswillige                 
,absichtlichkeit zurckzuweisen4 ,soviel 

steht fest1 je tiefer die               
,quellenforschung ging1 um so hher ist  
die ,gestalt des ,demokrit              
emporgewachsen1 den wir jetzt neben     
,platon und ,aristoteles als den        
dritten grossen ,hellenischen           
,philosophen werten4 ,trotz des geringen
  ,umfangs der erhaltenen ,fragmente    
knnen wir uns von der ,flle und         
,khnheit seiner ,gedanken ein ziemlich  
deutliches ,bild machen4    ,mit den    
,eleaten hat er die ,ewigkeit und       
,unvernderlichkeit des  ,seienden       
gemeinsam1 die berzeugung von der       
,unzerstrbarkeit der  ,materie4 ,aber   
,heraklit missverstehend1 fassten jene  
sein ,werden  als ein ,vergehen und     
,entstehen der ,materie und nicht als   
einen ,wechsel  der ,form im            
,kreisprozess1 und da sie den           
,unterschied zwischen ,werden  und      
,vernderung verfehlten1 leugneten sie   
schlankweg die ,bewegung  und damit die 
ganze erkenntnistheoretische ,physik der
 ,erscheinung1  welche ja in der reinen 

,bewegungslehre besteht4 ,hier setzen   
,leukipp  und ,demokrit ein1 sie mssen  
den ,begriff der ,materie umarbeiten1 um
  die ,bewegung begreiflich zu machen4  
,das ,seiende ist ihnen nicht1 wie  dem 
,parmenides1 die kugelfrmig gedachte1   
lckenlose ,masse alles  reell           
,existierenden1 sondern es sind die     
unteilbaren1 1  ,atome1  1 die er       
hochmodern als der 1 dem ,wesen nach1   
ganz gleich denkt1 nur mathematisch1 d4 
h4 in bezug auf ,figur1 ,grsse  und     
,zahl verschieden4 ,leukipp und         
,demokrit haben den ,begriff des ,atoms 
geschaffen1 diesen ,hilfsbegriff1 den   
,physik und ,chemie bis auf den         
heutigen ,tag und in alle ,zukunft nicht
 entbehren knnen2 ein sehr  bekannter   
,chemiker sagte mir3 ,was ,demokrit ber 
die ,atome gesagt1  bildet die beste    
,einleitung zu einem modernen ,lehrbuch 
der ,chemie4    ,und von ,heraklit      
entnahm er den ,gedanken der bestndigen 
,bewegung  und ,vernderung in der       
,zusammensetzung der ,atome zu          

,moleklen4 ,die  ,atome bewegen sich    
ewig und anfangslos1 weil das in ihrem  
,wesen liegt1  nach einem ,grund dieser 
,bewegung zu fragen1 erklrt er fr       
tricht1  wie etwa die ,frage1 warum ein 
,lwe ,fleisch frisst4 ,dass aber die    
,atome  sich bewegen knnen1 das liegt   
daran1 dass sie voneinander durch den   
leeren ,raum getrennt werden1 und auch  
dieser fr die ,mathematik so            
entscheidend wichtige ,grenzbegriff des 
leeren ,raumes und der ,porositt  hat   
bei ,demokrit seine ,formulierung       
gefunden1 denn das ,leere 7  7 der      
,pythagorer ist wohl nur ein ,synonym fr
 ,raum berhaupt1  obwohl                
selbstverstndlich ,keime fr             
,demokritische ,gedanken bei den        
,pythagorern liegen4    ,dieser leere   
,raum1 von dem er mit ironischer        
,anpassung an des  ,parmenides   1      
7,es gibt ein ,sein1 ein  ,nichtsein    
gibt es nicht7 sagt1 dass er das ,nichts
 ist1 ermglicht alles  wirkliche ,sein  
der ,aussenwelt4 ,aristoteles1 ,metaph4 

,i1 #d1 #ihe;b3                  1      
1  '         1         1        4       
,leukipp und ,demokrit1 sein ,genosse1  
erklren  das ,volle und das ,leere als  
die ,elemente und nennen jenes das      
,seiende1  dieses das ,nichtseiende1 und
 diese beiden sind die ,ursache1 der    
,stoff1  alles ,wahrnehmbaren4 ,ja mit  
bewundernswerter ,khnheit der           
,spekulation  sagt ,demokrit3        4  
,das ,nichts ist  ebenso                
existenzberechtigt als das ,ichts4      
,wie das ,atom nichts anderes ist als   
das ,differential1 der ,ursprung der    
,masse1 so ist dieses  nichts anderes1  
als das ,differential1  der ,ursprung   
des ,raumes4 ,dass dies keine leere     
,vermutung ist1 dass  ,demokrit als der 
erste erreichbare ,urheber der          
,differentialrechnung  anzusehen ist1   
dafr haben wir jetzt einen ,beweis in   
dem #aijg von  ,heiberg aus dem         
,palimpsest entzifferten  7so viel wie  
,methode7 des ,archimedes1 welche ,h4   
,zeuthen bersetzt hat4 ,die  ,formel fr 

das ,volumen der ,pyramide und des      
,kegels1 die nach der ,angabe  des      
,archimedes von ,eudoxos streng d4 h4   
euklidisch bewiesen1 die  habe1 steht im
 ,ephodion1 ,demokrit gefunden aber     
nicht bewiesen d4 h4  nicht streng1     
grade so wie ,archimedes seine mit      
,differentialrechnung  gefundenen       
,formeln nur fr wahrscheinlich aber     
nicht fr streng  bewiesen erachtet4 ,das
 ,verfahren des ,demokrit kann kein     
anderes gewesen  sein als das des       
,cavalieri1 das ,volumen ist das        
,integral1 die ,summe  der unzhlig      
vielen unendlich kleinen ,prismen1 deren
 ,grundflchen  die vernderlichen        
,querschnitte sind4 ,man vergleiche dazu
 die ,angabe  ,plutarchs1 ,diels        
,fragmente #aee 7auch ,anmerkung ,s4    
#gbc73 ,es machte ihm  nmlich die ,frage
 ,schwierigkeiten1 ob1 wenn man einen   
,kegel parallel  der ,basis             
durchschnitte1 die so entstehenden      
,schnittflchen einander  gleich seien   
oder nicht4 ,schon ,aristoteles hat     

darauf hingewiesen1  wie stark          
mathematisch durchtrnkt die ,lehre des  
,demokrit gewesen1 der  sich1 ,plutarch 
zufolge1 rhmte1 selbst die gyptischen   
,harpedonapten  in der ,reisskunst zu   
bertreffen4 ,bisher schwebte diese      
,angabe in  der ,luft1 jetzt ist sie    
durch den ,palimpsest besttigt worden4  
,ich  mache auch auf den uns erhaltenen 
,titel der ,schrift3           und auf  
seinen ,einfluss auf  ,archimedes und   
dadurch auf ,galilei aufmerksam4 ,dass  
sich ,demokrit  eingehend mit dem       
,problem der ,kontinuitt beschftigt hat 
geht aus dem  erhaltenen ,titel der     
verlorenen ,schrift3       7ber         
irrationale ,strecken und das           
,kontinuum7 hervor4    ,demokrit ist von
 ,grund aus ,naturforscher im ,gegensatz
 zu ,platon1  dem ,dichter und          
,metaphysiker1 er hat zum ersten ,male  
versucht ernsthaft  eine mechanische    
,welttheorie durchzufhren4 ,seine       
,wirbelbewegung  treffen wir bei        
,descartes wieder1 wie auch seine       

,unterscheidung  der primren ,qualitten 
7,schwere1 ,hrte1 mathematische ,gestalt
  etc471 der ,eigenschaften der ,atome1 
von den sekundren1 wie ,farbe1          
,geschmack etc4 ,die ,zahl und die      
,figur der ,atome ist es1 welche die    
wesentliche ,verschiedenheit der ,dinge 
bewirkt1 mit der ,trias1 ,atom1  leerer 
,raum1 ,bewegung haben ,leukipp und     
,demokrit die mathematische             
,naturerkenntnis geschaffen4 ,das ,atom 
sowohl wie der leere ,raum sind  ,ideen1
 das ,wort rhrt von ,demokrit her1 und  
an ,demokrit knpft die  ,platonische    
,ideenlehre an4 ,h4 ,cohen zhlt in      
seinem vorzglichen  ,marburger ,programm
 ,demokrit mit vollem ,recht zu den     
,idealisten und  zum recht eigentlichen 
,vorgnger von ,platon4 ,wie dieser      
bezeichnet  er die ,sinneswahrnehmung   
als dunkele1 die logische als klare     
,erkenntnis2 ,w4 ,kinkel sagt1 es ist   
schwer begreiflich wie man ihn  hat zum 
,materialisten stempeln knnen4 ,ich     
mchte aber bemerken1 dass  der          

,idealismus sowohl des ,demokrit als der
 brigen idealistischen  ,philosophen im 
,grunde eine ,doppelnatur besitzt1 eine 
skeptische1  insofern er die ,realitt   
der ,sinneswahrnehmung leugnet1 und eine
  supranaturalistische1 insofern er die 
,realitt des ,geistigen lehrt4  ,daher  
ist es ganz begreiflich1 dass von       
,demokrit eine ,schule der              
,materialisten ausgehen konnte1 wie von 
,platon ,skeptizismus und  insbesondere 
,mystizismus 7,plotin1 ,augustin74      
,jedenfalls ist die  tyche ,d4's nicht  
der blinde ,zufall1 sondern das         
,schicksal als eine  durchaus vernnftige
 ,gesetzmssigkeit des in ,erscheinung   
tretenden  7der ,phnomena74 ,nicht bloss
 auf metaphysischem ,gebiet ist         
,demokrit  ein ,vorlufer des ,platon1   
sondern auch auf ethischem ,gebiet1 in  
der  ,auffassung des ,menschen als  --  
das ,wort ist demokritisch  -- in der   
,wertung der ,erziehung berhrt er sich  
mit ,platon4 ,ich  nenne hier ausser    
,zeller und ,kinkel noch ,p4 ,natorp1   

,forsch4 z4  ,gesch4 des                
,erkenntnisproblems im ,altertum2 ,g4   
,hart1 ,zur ,seelen-  und               
,erkenntnislehre des ,dem41 ,progr4     
,mhlhausen 7im ,elsass7 #ahhf2  ,p4     
,natorp1 ,die ,ethik des ,dem41 ,marburg
 #ahic4    ,sidenote3 ,platon4          
,platon1 der ,gttliche1 wie ihn         
,schopenhauer bezeichnet1 ist im        
,todesjahre des ,perikles #dbi aus      
vornehmster ,familie geboren1 mit ihm   
erreicht die ,hellenische ,philosophie  
ihren ,hhepunkt4 ,wie in einem          
,brennpunkt fasst er alle bedeutenden   
,gedanken seiner ,vorgnger1 der         
,pythagorer1 der ,eleaten1 des ,heraklit
 und vor allem des ,demokrit  zusammen1 
um sie als ,bausteine seiner ,theorie   
des ,erkennens zu  verwenden4 ,es ist   
das ,kennzeichen der ,allergrssten1 dass
 sie ber  den ,parteien stehen1 oder    
richtiger1 wie ,lange in der ,geschichte
  des ,materialismus sagt1 dass sie die 
,gegenstze ihrer ,epoche in sich  zur   
,vershnung bringen4 ,er ist mit ,kant   

der grsste ,idealist aller  ,zeiten1 und
 keiner hat auf ,kant solchen ,einfluss 
gebt1 nicht einmal  ,hume1 wie ,platon4 
,ich verstehe aber unter ,idealismus in 
der ,philosophie diejenige              
,weltanschauung1 welche die ,welt der   
,dinge nur insofern als seiend          
auffasst1 als sie ,gegenstand oder      
,objekt der ,erkenntnis eines           
erkennenden ,subjektes ist4 ,sagt doch  
,platon oft gradezu 7z4 ,b4 ,rep4  #ebi1
 ,phaed4 #hcc1 ,tim4 #eac7 das ,seiende 
ist das ,unsichtbare1 das von  uns nicht
 ,wahrnehmbare1 sondern nur ,gedachte1  
das was das ,bewusstsein  selbst bei    
sich selbst sieht4 ,unter ,realitt der  
,erscheinung  versteht man im           
idealistischen ,sinne diejenige         
,eigenschaft derselben1  vermge derer   
sie zu in ,zeit und ,raum geordneten    
,gegenstnden der  ,erfahrung werden4 ,es
 ist ,platons ewiges ,verdienst1 dass er
 das ,problem  des ,erkennens als das   
eigentliche ,grundproblem der           
,philosophie in diese  ,wissenschaft    

eingefhrt hat1 die er mit der ,frage   1
 was  ist ,wissen1 eigentlich erst als  
,wissenschaft geschaffen hat4    ,kant  
trifft auch darin mit ,platon zusammen1 
dass beide fr ihre  ,erkenntnistheorie  
von der ,frage nach dem ,erkenntniswert 
der ,mathematik  ausgingen4 ,ich nehme  
hier ,gelegenheit den ,dank             
auszusprechen1 den  ich fr das          
,verstndnis des ,philosophen ,platon der
 trefflichen  ,jugendschrift ,h4        
,cohens1 ,plato und die ,mathematik1    
,marburg #ahgh  schulde4 ,platon den    
,dichter und ,gottsucher schildert eine 
,broschre  ,windelbands in              
hervorragender ,weise4    ,viel         
schuldete er seinem ,lehrer ,sokrates1  
sowohl in bezug auf das  ,interesse an  
der ,ethik1 an den sittlichen ,gesetzen 
und ,idealen der  ,menschheit1 als      
besonders hinsichtlich des ,bestrebens  
die einzelnen  ,begriffe scharf zu      
definieren4 ,nach dem ,tode des         
,sokrates floh er aus  ,athen1 und      
brachte etwa #aj ,jahre auf ,reisen zu1 

berall den ,verkehr  mit den geistigen  
,grssen suchend4 ,in ,cyrene hat er beim
 ,pythagorer  ,theodoros1 dessen wir    
schon bei ,gelegenheit des ,thetet      
gedacht  haben1 sich das mathematische  
,wissen der ,pythagorer angeeignet1 in  
,unteritalien den grossen ,archytas von 
,tarent kennen gelernt1 und in          
,sizilien ebenfalls viel mit            
,pythagorern verkehrt2 dass er von      
,sizilien  aus gypten besucht hat1 ist  
sehr wahrscheinlich4    ,nach ,athen    
zurckgekehrt1 grndete er dort den       
,freund- und ,schlerbund  der ,akademie1
 ein ,gymnasium bei ,athen1 nach dem    
attischen ,heros   benannt1 wo ,platon  
ein ,landgut besass4 ,ein glcklicher    
,zufall  hat uns das ,testament des     
,platon erhalten1 es findet sich bei    
,diogenes  ,laertios und ist von ,u4 v4 
,wilamowitz und ,kiessling ,phil4       
,unters4  ,,iv4 ediert4    ,schon #bjjj 
,jahre vor den ,amerikanischen          
,multimillionren hat hier  ein          
,privatmann aus seinen ,mitteln eine    

,universitt gegrndet1 die  ,universitt  
,athen1 die bedeutendste des ,altertums1
 an der ,euklid und  ,cicero studierten1
 welche etwa #ijj ,jahre blhte1 bis sie 
,justinian  #ebi n4 ,chr4 aufhob1 teils 
um sich ihren ,besitz anzueignen1 teils 
weil  die ,professoren auf ,seiten der  
,gemahlin des ,kaisers1 der ,theodora1  
standen1 und das ,heidentum oder        
richtiger den ,neuplatonischen          
,mystizismus untersttzten1 whrend der   
,kaiser das ,christentum oder das       
,gottesgnadentum des ,monarchen als     
,staatsreligion durchfhren wollte4      
,eine zweite ,reise nach ,sizilien #cfg 
ist wohl von ,dion1 dem ,freunde  des   
,platon und ,schwager des ,dionys ,i41  
der s4 ,z4 ,platon seiner  ,freimtigkeit
 wegen als ,sklaven verkaufen liess1    
veranlasst4  ,platon sollte den jungen  
,dionysios ,,ii4 nach den in der        
,republik  niedergelegten ethischen und 
politischen ,prinzipien erziehen4       
,aber wie fast alle ,theoretiker der    
,pdagogik war er kein glcklicher        

,praktiker4 ,noch einmal #cfa unterbrach
 eine zugunsten des ,dion  unternommene 
,reise seine im hchsten ,grade          
erfolgreiche akademische  ,lehrttigkeit1
 die bis zu seinem #cdg im #hj4 ,jahre  
eingetretenen ,tode  angehalten haben   
soll4    ,was nun ,platon als           
,mathematiker von ,fach betrifft1 so ist
 die ,legende  von ,platons ,leistungen 
in der speziellen ,problemmathematik    
schon von  ,c4 ,blass in seiner         
,dissertation de ,platone mathematico1  
,bonn #ahfa1  zerstrt worden2 als reinen
 ,mathematiker haben ihn seine          
,zeitgenossen  ,archytas1 ,thetet und   
besonders der grosse ,eudoxos von       
,knidos  sicher weit bertroffen1 er ist 
von der ,philosophie zur ,mathematik    
gekommen und nicht umgekehrt4 ,platon   
hat nicht die ,philosophie der          
,mathematik geschaffen1 wie ,m4 ,cantor 
sagt1 -- das wrde weit eher  auf        
,demokrit und ,eudoxos passen --1 aber  
was eben so wertvoll ist1  er hat die   
,bedeutung der ,mathematik fr die       

,philosophie erfasst1 und  es bedarf    
nicht des seit ,melanchthon immer wieder
 zitierten       1 ,kein der ,mathematik
 ,unkundiger  betrete meine ,schwelle1  
aus der zweifelhaften ,quelle des       
,tzetzes1 um  uns darber zu belehren4   
,platon erkannte1 dass die ,mathematik  
fr die  ,philosophie dieselbe ,bedeutung
 als ,hilfswissenschaft hat1 welche der 
,physik fr die ,mathematik zukommt4     
,einerseits liefert sie fr die ,logik   
die einfachsten und schlagendsten       
,beispiele1 wie uns denn ,aristoteles   
den ,beweis der ,pythagorer fr die      
,irrationalitt der ,wurzel aus #b als   
,beispiel eines indirekten ,beweises    
erhalten hat1 andrerseits liefert  sie  
fr die ,erkenntnistheorie die ,probleme1
 an deren ,lsung sich die  ,philosophie 
entwickelt hat4 ,und ,platon gab mit der
 ,betonung dieser  ,bedeutung der       
,mathematik den mchtigen ,impuls1 der   
die ,bltezeit der  ,hellenischen        
,mathematik im #c4 ,jahrhundert         
herbeifhrte4 ,ganz besonders  sind die  

erkenntnistheoretischen ,probleme1      
welche die inkommensurabeln             
,streckenbrche geben1 von ,platon und   
seinen ,schlern und ,mitarbeitern1  von 
,thetet und insbesondere von ,eudoxos   
bearbeitet worden4    ,sidenote3 ,platon
 und die ,mathematik4    ,und noch in   
einer zweiten ,richtung sind wir ,platon
 den grssten ,dank  schuldig2 ohne ihn  
und die scharfen ,worte1 mit denen er   
den gewaltigen  ,wert der ,mathematik fr
 die ,bildung der ,jugend dargelegt hat1
 wrde  wahrscheinlich die ,mathematik   
ihre ,stellung als ,hauptfach in unseren
  ,gymnasien weder erhalten noch        
behauptet haben4 ,in seiner ,schrift vom
  ,staate1 der 1 der bedeutsamsten      
,utopie1 die je geschrieben1  in der er 
als der ,erste den grossen ,plan einer  
idealen staatlichen  ,erziehung der     
,jugend ins ,einzelne durchgefhrt1      
entwirft1 sogar  bis auf die            
,schulzimmer1 vergleicht er die         
,bedeutung1 welche die  ,mathematik in  
seiner ,zeit hat1 mit der1 welche sie   

haben sollte4 ,er  geht in seiner       
,wertung der ,mathematik als            
,bildungsmittel von dem                 
,fundamentalsatz aus3 die ,wahrnehmungen
 zerfallen in zwei ,klassen1 die  einen 
finden eine ,ergnzung durch das reine   
,denken1 die andern nicht4  ,politeia   
#ebc heisst es3 ,ich zeige dir also1    
wenn du es 7ein7siehst1  einiges was gar
 nicht die ,vernunft herbeiruft1 es wird
 schon durch die  ,wahrnehmung          
hinlnglich beurteilt1 andres hingegen1  
was auf alle ,weise  die ,wahrnehmung zu
 untersuchen auffordert4 7hnlich ,timos 
#df47 ,und  diese ,untersuchung der     
,wahrnehmung1 welche sie umprgt in      
,erfahrung  im ,kantischen ,sinne1      
bewirkt in erster ,linie die            
,mathematik4 ,sie ist  ihm der          
,paraklet1 der ,wecker der reinen1      
vernnftigen1 der wahren  ,erkenntnis4   
,zunchst die ,arithmetik1 d4 h4 nicht   
die praktische ,rechenkunst1 die        
,logistik1 sondern die wissenschaftliche
 ,zahlenlehre1 deren ,hauptteil  die    

,lehre von der relativen ,zahl1 von den 
,verhltnissen1 bildet1 die  1 die innere
 ,schau1 der ,zahlenverhltnisse4 ,und   
dasjenige in der  ,wahrnehmung1 was     
solche ,verhltnisse liefert1 das ist    
dadurch1 das  es uns veranlasst1 ber die
 ,grnde dieser ,verhltnisse             
nachzudenken1  der ,herbeirufer1 der    
,paraklet1 der reinen ,vernunft4 ,die   
,betonung der  dritten ,quelle1 aus der 
unser ,zahlbegriff fliesst1 der         
,kategorie oder  ,konstituente des      
,bewusstseins ,relation1 bildet ein     
grosses ,verdienst  ,platons um die     
,begriffsbildung in der ,mathematik4    
,aus zahlreichen  ,stellen 7man vgl4    
auch ,theon ,smyrneus trad4 du ,grec en 
,franais p4  ,j4 ,dupuis #ahib7 geht    
hervor1 dass ihm die ,zahl vorzugsweise 
relative  ,zahl oder ,masszahl ist1 auf 
der alle ,erweiterungen des             
,zahlbegriffs  beruhen1 da die          
,cardinalzahl1 die ,vieleinheit1 und die
 ,ordinalzahl1 die  ,reihungszahl1 eine 
,begriffserweiterung nicht zulassen4    

,die gleiche ,bedeutung wie der         
,arithmetik erkennt er der ,geometrie   
zu4 ,er weiss sehr wohl1 dass ihr       
,ursprung1 der ,veranlassung nach1  die 
,wahrnehmung1 d4 h4 der sinnliche       
,eindruck ist1 und spricht dies  nicht  
nur in der ,republik1 sondern auch im   
,timos ganz unumwunden  aus4 ,aber1 sagt
 er1 der ,begriff des ,gleichen1 die    
,idee ,gleichheit1  steckt nicht in der 
,wahrnehmung gleicher ,steine1 obwohl   
wir ihn ohne  diese ,wahrnehmung nicht  
htten4 ,die gleichen ,steine dienten als
  ,rechenpfennige1 daher  lat4 calculare
 fr rechnen4 ,und er  warnt nachdrcklich
 davor1 die ,wertung der ,geometrie von 
ihrem ,nutzen  fr die ,praxis abhngig zu
 machen1 sondern sie lehrt und          
erleichtert  uns die ,erkenntnis    des 
,wahrhaft-,seienden1 der ,idee1  ja sie 
bewirkt1 dass die hchste ,idee1 die     
,idee des ,guten leichter  geschaut     
werde4    ,sidenote3 ,platonische       
,ideen4    ,da es ,platon ist1 der      
zuerst die ,bedeutung der ,idealisierung

 fr die  reine ,geometrie erkannt hat1  
wird es ntig auf die so viel umstrittene
  ,platonische ,ideenlehre nher         
einzugehen4 ,sie ist der ,grundstein    
seiner ,philosophie1 und zugleich von   
,anfang an grade durch seinen           
bedeutendsten ,schler1 durch            
,aristoteles missverstanden1 verspottet 
und entwertet worden4 ,nur aus dem      
,verstndnis der ,platonischen ,idee     
lsst sich einsehen wie viel ,kant fr    
seine transzendentale sthetik  des      
,raumes aus ,platon entnommen hat4 ber  
die ,beziehung zwischen ,kant  und      
,platon verweise ich auf einen kleinen  
,aufsatz in den ,philos4  ,arbeiten1    
her4 von ,h4 ,cohen und ,p4 ,natorp ,bd4
 #b ,heft #a #aijh ber  ,mathematik4    
,vom ,sokrates nahm er die ,betrachtung1
 dass dem allgemeinen 7,gattungs7       
,begriff jeder einzelne ,gegenstand1 von
 dem er abstrahiert wird1  zukommt4 ,von
 den ,pythagorern das ,interesse fr die 
geistigen  ,prozesse der ,mathematik1   
von den ,eleaten den ,grundgedanken1    

dass nur  dem durch die ,vernunft       
erkannten bleibendes ,sein zukommt1 von 
den  ,atomikern die ,erkenntnis1 dass   
die ,zahl- und ,raumbegriffe1 grade weil
  sie vom sinnlichen ,standpunkt aus    
,nichts sind1 das wirkliche ,sein       
reprsentieren und schmolz alles zusammen
 in seiner ,idee4 ,durch eine  wahrhaft 
gttliche ,eigenschaft der ,vernunft wird
 dieselbe1 und zwar  am leichtesten     
durch ,vermittlung der ,mathematik1     
angeregt1 in den  einzelnen             
,erfahrungen1 die das ,daseiende 7 7    
liefert1 das dauernd  ,seiende 7  71 die
 ,urbilder1 die ,ideen zu erschauen1    
,hypothesen  oder ,grundlegungen der    
reinen ,vernunft4 ,von ihnen als dem    
ewig  ,seienden1 obwohl in keiner       
einzelnen ,erscheinung verkrpert1       
empfngt  das ,daseiende sein ,sein1     
seine ,essenz1 seine ,substanz4    ,sind
 die ,ideen wie die des ,gleichen1 des  
,schnen1 des ,wahren1 und  die hchste   
,idee1 welche alle andern trgt1 die des 
,guten erschaut1  denn ,idee1 1 kommt   

von  7schauen71 so werden ihnen die     
,erscheinungen untergeordnet1 und nun   
wird im einzelnen die ,idee  geschaut1  
im breiten ,strich die ,gerade1 im ,ball
 die ,kugel etc4 ,beim  reifen ,menschen
 geht die ,idee der sinnlichen          
,erscheinung voraus4 ,ehe  wir also     
anhuben zu sehen und zu hren und die    
,aussenwelt wahrzunehmen1  mussten wir  
in uns1 irgend woher genommen1 die      
,erkenntnis des  ,gleichen angetroffen  
haben1 das1 worauf wir die aus den      
,wahrnehmungen  stammenden ,gleichheiten
 beziehen knnen 7,phaedon p4 #geh1      
,thetet p4  #ahf c74 ,die ,platonische  
,idee nhert sich1 wie aus dieser        
,darstellung  hervorgeht1 der           
7idealistisch aufgefassten7 ,kategorie  
der ,substanz  einerseits1 und berhrt   
sich andererseits mit dem ,begriff der  
,kraft1  denn z4 ,b4 die ,idee des      
,guten ist die ,ursache aller           
,vollkommenheit1  sie ist gradezu die   
gttliche schpferische ,vernunft4 ,die   
,idee1 wie  z4 ,b4 ,sophist #bdh ,a     

beweist1 hat ,bewegung1 ,leben1 ,seele1 
wie die  ,leibnizsche ,monade1 sie wird 
fters gradezu  oder 1 ,einheit  genannt4
    ,die ,stellung1 welche ,platon der  
,mathematik anweist1 erinnert           
unwillkrlich an ,kant1 auch bei ,platon 
hat die ,mathematik eine                
,zwischenstellung zwischen ,sinnlichkeit
 und ,logik1 auch bei ihm ist  sie reine
 ,sinnlichkeit a priori1 die in das     
,objekt der sinnlichen  ,wahrnehmung1   
,zahl und ,gestalt hineinsieht und als  
,ewig-,seiendes1 die  im barbarischen   
,schlamme der ,sinnlichkeit steckende   
,seele hinleitet1  im ,abbilde das      
,urbild das wahrhaft ,seiende zu sehen4 
,in der ,republ4  #ebi ,d1 #ebj ,c1 im  
,timos #bh heisst es3 ,das1 was ihr     
,wirklichkeit  nennt1 die bunten        
,gestalten am ,himmel und auf ,erden1   
sind nur die  ,abbilder von den         
,urbildern in der ,erkenntnis und dem   
,bewusstsein4  ,in seiner ,lehrttigkeit1
 welche der ,hauptfaktor seines         
,einflusses  auf seine ,zeitgenossen    

war1 unterschied er ,empfindung2        
,anschauung2  ,hinzuziehung von ,mass   
und ,zahl -- 2 und ,hinzuziehung der    
,idee1  die transzendentale ,erkenntnis1
 die 4    ,sidenote3 ,raum bei ,platon4 
,platon hat das ,kategorische des       
,raumbegriffes oder besser die ,idealitt
  des ,raumes1 die ja schon die richi   
der ,inder empfunden haben1  scharf     
hervorgehoben1 whrend er ,zeit und      
,bewegung nicht hinlnglich  geschieden  
hat4 ,die bekannteste ,stelle findet    
sich #ej-eb des ,timos1  des            
schwierigsten ,dialogs1 welcher beweist1
 wie vllig ,platon im ,alter  unter den 
,bann pythagorischer ,gedankenkreise    
geraten war 7vgl4 den  zitierten        
,aufsatz von #aijh74 ,es heisst da3 ,der
 ,raum ist die aufnehmende  ,mutter1 die
 ,idee1 das reine ,erzeugnis der        
,vernunft1 der ,vater der  ,gegenstnde  
der ,wahrnehmung der ,natur 7#ej ,d74   
,er bildet die #c4 ,art  der            
,erkenntnis1 der ewige unvergngliche    
,raum 7#eb ,b71 der uns durch           

nichtsinnliche ,wahrnehmung 7' 7 durch  
eine ,art von  unechter                 
,vernunftttigkeit mhsam klar wird1 den  
wir mit offenen ,augen  trumen4 ,das ist
 nichts anderes als der ideale ,raum    
,kants1 die reine  ,form des usseren    
,seins fr das erkennende ,bewusstsein   
als solches1  losgelst von aller        
,individualitt4    ,seit ,aristoteles   
und durch ,aristoteles ist die ,meinung 
verbreitet1  dass ,platon ,raum und     
,materie identifiziert hat1 und ,fr4    
,ast hat  dies #ahaf1 ,plat4 ,leben und 
,schriften ,note p4 #cfb in feiner      
,weise  aus dem ,gedankengang ,platons  
abzuleiten versucht4 ,dass ich anderer  
,meinung bin1 habe ich schon in dem     
erwhnten ,aufsatz der ,marburger        
philosophischen ,arbeiten von #aijh     
gesagt1 es handelt sich bei der         
,ableitung der ,krperwelt im ,timos im  
wesentlichen um eine ,kombination       
,pythagorischer und ,demokritischer     
,gedanken4 ,auf ,demokrit weist auch    
die so wichtige ,auffassung des ,punktes

 als ,streckendifferential1  als  1     
,ursprung der ,linie4 ,proklos          
7,friedlein ,s4 #hh7  sagt1 aber es     
liegt in ihm verborgen eine unbegrenzte 
,macht ,lngen zu  erzeugen4    ,so hoch 
das ,verdienst ,platons um die          
erkenntniskritische ,untersuchung  des  
,raumbegriffs zu veranschlagen ist1 so  
muss doch auch die ,sage  von ,platon   
als dem ,erfinder stereometrischer ,stze
 als unbegrndet  zurckgewiesen werden4  
,er hat dies selbst1 so drastisch als   
man es nur  wnschen kann1 getan4 ,in der
 bekannten ,stelle der ,republik heisst 
es3  ,ausserdem aber legen sie 7die     
,griechen7 hinsichtlich der ,messung von
  allem was ,lnge1 ,breite1 ,tiefe hat  
eine bei allen ,menschen vorhandene1    
eben so lcherliche als schmhliche       
,unwissenheit an den ,tag4    ,kleinias 
fragt3 ,welche und wie beschaffene      
meinst du8    ,sokrates-,platon3 ,mein  
lieber ,kleinias1 habe ich doch selbst  
erst  spt davon gehrt1 wie es mit uns in
 dieser ,hinsicht bestellt ist1  nmlich 

meiner ,ansicht nach1 nicht wie es sich 
fr ,menschen gehrt1  sondern fr         
,schweine4    ,wie es mit den ,griechen 
in dieser ,hinsicht bestellt war1       
erfahren wir  aus ,thukydides1 wo die   
,griechen den ,inhalt einer ,insel dem  
,umfang  proportional setzen4 ,platon   
ist sicher kein ,erfinder               
stereometrischer  ,stze gewesen1 sein   
,verdienst ist auch hier ein            
methodisches4 ,durch  seinen ,umgang mit
 ,archytas und ,eudoxos hat er die      
,bedeutung der  ,stereometrie erkannt1  
und die ihm zuteil gewordene ,anregung  
auf seine  ,schler bertragen1 die denn  
auch nicht ermangelten die ,stereometrie
 zu  frdern4    ,sidenote3 ,platon als  
,mathematiker4    ,eben so falsch ist   
es1 dass ,platon die sogen4 ,analysis   
zur ,lsung  der ,konstruktionsaufgaben  
erfunden habe4 ,dass ,platon die        
analytische  ,methode gekannt hat1 geht 
unwiderleglich aus ,menon ,s4 #hg bei   
der  ,frage1 ob ein gegebenes ,dreieck  
in einen gegebenen ,kreis eingetragen   

werden knne1 hervor4 ,proklos p4 #eh3   
,sie berlieferten die  trefflichste     
,methode1 und zwar die1 welche durch die
 ,analyse das  ,gesuchte auf ein        
anerkanntes ,prinzip zurckfhrt1 welche  
auch ,platon1  wie sie sagen1 dem       
,laodamas hinterliess1 mit der dieser   
vieles in der  ,geometrie gefunden haben
 soll1 dann aber auch jene1 die auf     
genauer  ,einteilung beruht1 welche     
,platon ebenfalls stark betonte4 7,fr   
letztere  ,methode denke man an die     
,untersuchungen ber die ,beziehungen    
zwischen  ,gerade und ,gerade1 ,gerade  
und ,kreis etc47 ,bei ,diogenes         
,laertios ,,iii1  #be heisst es3        
,aber ,pappos1 der im ,buch ,,vii seiner
 ,kollektaneen1 diesem ,inventar        
,hellenischen ,knnens1 sehr ausfhrlich  
ber die ,analysis gehandelt  hat1 erwhnt
 mit keinem ,wort des ,platon4 ,die     
,sage liebt es eben1 alle  ,heldentaten 
auf das ,haupt des ,haupthelden zu      
hufen4    ,aber die ,sache ist an sich  
klar1 in dem oben erwhnten berrest der  

,arbeit des ,hippokrates ist die        
analytische ,methode angewandt1  und    
jede ,gleichung ist ein ,beispiel       
derselben1 die ,verwandlung des         
,rechtecks in ein ,quadrat bei den      
,indern 7,s4 #aei7 ist ohne ,analyse    
unmglich1 und im ,grunde verfhrt jeder  
,knstler analytisch4 ,erst muss  das    
,kunstwerk1 der ,plan des ,architekten1 
im ,kopfe fix und fertig sein1  ehe der 
erste ,pinselstrich1 der erste          
,spatenstich erfolgen kann4 ,die        
,definition von ,analysis findet sich   
,euklid ,,xiii1 #e und sie rhrt1 wie    
,bretschneider1 ,geometrie und ,geometer
 vor ,euklides1 bemerkt hat1 von        
,eudoxos her3 ,analysis ist die ,annahme
 des ,gesuchten als zugestanden  durch  
die ,folgerung hindurch bis zu einem als
 wahr ,bekannten4    ,platon hat als    
,philosoph auf die ,bedeutung der       
analytischen ,methode  fr die           
,konstruktion und als ,beweismittel in  
jeder ,wissenschaft  aufmerksam gemacht 
und grade an der angefhrten ,stelle     

,menon ,s4 #hg  wird die mathematische  
,anwendung als ,beispiel gebraucht1 weil
 sie  besonders einfach ist und ,plato  
sagt selbst3 ,ich brauche den ,ausdruck 
,aus der ,voraussetzung so1 wie oft die 
,geometer argumentieren4 ,ebenso        
apokryph ist die unter ,platons ,namen  
gehende ,lsung des ,problems der        
,wrfelverdoppelung4 ,in meinem ,urteil  
ber ,platon den ,mathematiker  schliesse
 ich mich vllig ,blass an1 der seine    
,dissertation de ,platone  ,mathematico 
also beendet3 nam si amicus ,plato1     
amicior tamen veritas3  et is quoque1   
qui scientiae amorem aliis iniecit1 de  
scientia bene est  meritus4      ,die   
,wrfelverdoppelung4    ,sidenote3       
,wrfelverdoppelung 7,delisches          
,problem74    ,dies ,problem1 das sogen4
 erste ,delische ,problem1 ist eins der 
drei  grossen ,probleme3                
,wrfelverdoppelung1 ,winkel- oder       
,bogenteilung  7,kreisteilung71         
,quadratur des ,zirkels1 an deren       
,bewltigung sich die  ,hellenische      

,mathematik zu ihrer bewundernswerten   
,hhe entwickelt  hat4 ,die beiden ersten
 ,probleme sind von den ,pythagorern und
 ihren  ,auslufern1 unmittelbar nachdem 
sie durch die nach ,pythagoras genannte 
,satzgruppe die ,probleme1 welche auf   
,gleichungen zweiten ,grades fhren1     
bewltigt hatten1 in ,angriff genommen   
worden4 ,diese ,tatsache liefert  einen 
klaren ,beweis1 dass der eigentlich     
leitende ,gesichtspunkt der  ,hellenen  
der arithmetische war und dass die      
,griechen schon zu jener  ,zeit klar den
 ,satz des ,vieta erkannten1 dass mit   
der ,vervielfltigung  des ,wrfels und   
der ,trisektion des ,winkels die        
,gleichung dritten 7und  vierten7       
,grades allgemein gelst sei4    ,in drei
 aufeinanderfolgenden ,programmen von   
,linz hat ,ambros ,sturm  #ahie1 #if1   
#ig eine vortreffliche ,geschichte des  
,delischen ,problems  geliefert1 im     
,anschluss an ,montuclas ,quadrature du 
cercle4 ber  den ,ursprung unseres      
,problems berichtet ein ,brief das      

,eratosthenes  7s4 u471 den ,eutokios1  
,bischof von ,askalon1 geb4 #dhj n4     
,chr41 in  seinem ,kommentar zu         
,archimedes ,kugel und ,zylinder        
berliefert hat4    ,eratosthenes wnscht1
 dass es dem ,knige ,ptolemaios         
wohlergehe4  ,es wird erzhlt1 dass ein  
alter ,tragiker1 den ,minos eingefhrt   
habe1  der dem ,glaukos ein ,grabmal    
erbauen lassen wollte1 und als er dabei 
bemerkte1 dass es nach allen drei       
,dimensionen #ajj ,fuss mass1 soll er   
gesagt haben3      ,zu klein hast du des
 ,knigs ,grab mir angelegt1    ,drum    
dopple es1 doch nicht vergiss der schnen
 ,form1    ,verdopple jede ,kante       
schnell des ,grabs4    ,er schien aber  
sich geirrt zu haben1 denn durch        
,verdopplung der ,seiten  wird das ebene
 ,feld vervierfacht1 der ,raum          
verachtfacht4 ,seitens der  ,geometer   
wurde nun geforscht1 wie man einen      
,krper unter ,beibehaltung  seiner      
,gestalt verdoppeln knne und man nannte 
dies ,problem die  ,wrfelverdopplung 7  

71 denn vom ,wrfel ausgehend  suchten   
sie diesen zu verdoppeln4 ,whrend aber  
alle lange ,zeit nicht  aus noch ein    
wussten1 wurde es zuerst dem            
,hippokrates von ,chios klar1  dass der 
,wrfel verdoppelt werden wrde1 wenn     
zwischen zwei ,strecken1  von denen die 
grssere das ,doppelte der kleineren ist1
 zwei mittlere  ,proportionalen in      
stetiger ,proportion gefunden wren4 ,so 
verwandelte er  diese ,schwierigkeit in 
eine andere nicht geringere4    ,nach   
einiger ,zeit sollen einige ,delier1    
welche durch einen ,orakelspruch  zur   
,verdoppelung eines ,altars gedrngt     
wurden1 in dieselbe ,verlegenheit       
geraten sein4 ,und sie sollen die       
,geometer aus der ,umgebung des ,platon 
in der ,akademie gebeten haben das      
,gesuchte zu finden4 -- ,die letztere   
,version war im ganzen ,altertum        
verbreitet1 z4 ,b4 ,theon von ,smyrna   
7aus einer andern nicht weiter bekannten
 ,schrift des ,eratosthenes   7,ambros  
,sturm71 ,plutarch an #b ,stellen ,de   

genio ,socratis  ,,vii2 ,de  apud4      
,delphos ,,vi1 ,joh4 ,philopmos1        
7,commentator des  ,aristoteles2    71  
,vitruv1 ,valerius  ,maximus4 ,wir sehen
 hier einen der deutlichsten ,beweise fr
 den  ,zusammenhang der hellenischen    
,mathematik mit der indischen1 nur dass 
die ,inder1 entsprechend der frheren    
,entwicklungsstufe die ,flche           
verdoppeln1 d4 h4 sich mit der          
quadratischen ,gleichung begngen1       
whrend die ,pythagorer1 das kulturelle  
,problem von den ,indern  aufnehmend1   
das ,volumen verdoppeln1 d4 h4 zur      
,gleichung #c4 ,grades  fortschreiten4  
,sidenote3 ,archytas4    ,die lteste    
,lsung zufolge ,eutokios ,bericht aus   
,eudemos 7nach  ,p4 ,tannery aus        
,sporus1 der etwa um #cjj n4 ,chr4      
,eudemos benutzt  hat7 ist die des      
,archytas aus ,tarent1 den ,horaz in der
 ,ode #bh des  ,buch ,i erwhnt te maris 
et terrae numeroque carentis arenae     
mensorem  cohibent1 ,archyta1 der etwa  
#dcj bis #cfe zu setzen ist1 wo er durch

  ,schiffbruch am ,kap ,matinum den ,tod
 fand4 ,platon hatte bei seiner  ersten 
,reise nach ,sizilien die ,bekanntschaft
 des als ,staatsmann1  ,philosoph und   
,mathematikers gleich ausgezeichneten   
,pythagorers  gemacht1 und stand mit ihm
 in ,briefwechsel4 ,archytas soll       
seinerseits  den ,platon in ,athen      
wiederbesucht haben4 ,von den           
,schriften1 die unter  seinen ,namen auf
 uns gekommen sind1 ist fast alles als  
unecht erwiesen4  ,seine ,lsung des     
,delischen ,problems1 die bedeutendste  
von allen1 zeigt  ihn als erstklassigen 
,mathematiker4 ,ich gebe den ,wortlaut  
7s4 ,figur74    ,illustration     und   
mgen die beiden gegebenen ,strecken     
darstellen1 verlangt  zwischen  und     
zwei mittlere ,proportionalen zu finden4
 -- ,um die  grssere1 nmlich 1 mge der  
,kreis  beschrieben werden und ihm      
werde die  gleiche ,sehne  eingefgt1 und
 ausgezogen soll diese  mit der in      
berhrenden ,linie des ,kreises in       
zusammentreffen4  ,neben  d4 h4 parallel

  mge  gefhrt werden1 auch ein          
,halbcylinder ersonnen werden senkrecht 
auf den ,halbkreis  und ein  senkrechter
 ,halbkreis auf 1 welcher in dem        
,parallelogramm 7dem  ,achsenschnitt7   
des ,cylinders liegt4    ,wird nun der  
,halbkreis herumgefhrt in der ,richtung 
von  nach 1  whrend der ,endpunkt  des  
,durchmessers fest bleibt1 so wird er   
die  cylindrische ,flche schneiden und  
in ihr eine ,linie einzeichnen4 ,und    
wenn wiederum herumgedreht wurde und    
zwar bei beharrender ,linie   das       
,dreieck 1 in dem ,halbkreis            
entgegengesetzter ,bewegung1 wird es  fr
 die ,strecke  eine ,kegelflche         
erzeugen4 ,und diese wird bei der       
,drehung die ,linie auf dem ,cylinder in
 einem gewissen ,punkte treffen1  und   
zugleich wird auch ,punkt  einen        
,halbkreis in der ,kegelflche           
beschreiben4 ,an dem ,orte des          
,zusammentreffens der ,linien habe nun  
der  bewegte ,halbkreis eine ,lage wie  
etwa 1 das entgegengesetzt gedrehte     

,dreieck die von 1 und der ,punkt des   
besagten ,zusammentreffens sei  4 ,und  
der von  beschriebene ,halbkreis sei    
und sein ,schnitt mit   sei die ,sehne 4
 ,und es werde von  auf die ,ebene des  
,halbkreis   das ,lot gezogen1 so wird  
es auf die ,peripherie des ,kreises     
fallen  wegen des ,senkrechtstehens des 
,cylinders4 ,es falle also und sei  und 
die von  an  geknpfte ,linie treffe  in 
1 und  den ,halbkreis   in 4 ,es mge    
auch 1 1  gezogen werden4 ,da nun jeder 
der  ,halbkreise  und  senkrecht steht  
zur ,grundebene1 so steht auch  ihr     
gemeinsamer ,schnitt senkrecht zur      
,ebene des ,kreises1 daher steht  auch  
senkrecht auf 1 das heisst das ,rechteck
 aus  und  ist  gleich dem ,quadrat ber 
4 ,folglich ist das ,dreieck  jedem der 
,dreiecke 1  hnlich1 und ist            
rechtwinklig4 ,aber auch das ,dreieck   
ist rechtwinklig2 folglich sind die     
,linien  und  parallel1  und es wird das
 ,verhltnis bestehen wie  zu 1 ebenso   
ist  zu   und so auch  zu  wegen der    

hnlichkeit der ,dreiecke1 also sind die 
#d 7,strecken7 1 1 1  der ,reihe nach in
 ,proportion und  ist  gleich 1 da sie  
gleich  ist4 ,zu den beiden gegebenen   
und  sind  also die beiden mittleren    
,proportionalen gefunden worden  u4 4   
,analytisch geometrisch ist diese       
,konstruktion1 welche ein glnzendes     
,zeugnis von dem ,knnen des ,archytas   
ablegt1 sehr leicht zu  verifizieren4   
,whlt man  als ,abscissenaxe1  als      
,anfangspunkt1 und  die ,tangente in  an
 den ,kreis  als ,ordinatenaxe1 so ist1 
wenn    x1 y1 z2   a und     b gesetzt  
wird1 da  auf ,zylinder1 ,kegel  und    
,wulst liegt3    #a7 x#b  y#b  ax       
7,gleichung des ,cylinders72 #b7 x#b    
y#b  z#b   7a#b_/;b#b7x#b 7,gleichung   
des ,kegels durch doppelten ,ausdruck   
des ,cosinus  des konstanten            
ffnungswinkels7 #c7 x#b  y#b  z#b  7x#b 
y#b7  7,gleichung des ,wulstes74 ,daraus
 fr ,punkt 3 7ax7  a#bx#b 3 b#b und     
a#cx  a#dx#d 3 b#d2 x#c  b#d 3 a2 x  b7b
 3 a71 7x#b  y#b7     7ab#b7 und 7x#b   

y#b  z#b7    7a#b;b71 also  3    3    3 
4    ,dass ,archytas seine ,konstruktion
 analytisch d4 h4 von der gelsten       
,aufgabe aus rckwrts gehend gefunden1   
unterliegt keinem ,zweifel und          
ebensowenig die ,ansicht                
,bretschneiders1 dass er vom            
rechtwinkligen  ,dreieck  ausging und   
auf  projizierte4    ,die ,lsung des    
,archytas wird besttigt durch den oben  
besprochenen  ,brief des ,eratosthenes1 
durch ,vitruv und ,diogenes ,lartios    
7#bjj  n4 ,chr474 ,wir sehen hier wie   
hoch etwa um #djj die ,kenntnisse der   
,pythagorer stehen2 der ,potenzsatz 7der
 zweite ,hauptsatz vom  ,kreise71 die   
,stze vom rechtwinkligen ,dreieck und   
ihre ,umkehr1 die  hnlichkeitslehre1 die
 ,anwendung der ,bewegung zur           
,konstruktion1  allerdings nach dem     
,vorgang des ,hippias von ,elis und     
seiner  ,quadratrix 7s4 u47    ,der     
,satz3 ,stehen #b ,ebenen auf einer     
dritten senkrecht1 so steht ihre        
,schnittgerade auch auf dieser          

senkrecht1 die ,kenntnis und ,benutzung 
der geometrischen ,orte2 ,schnitt eines 
,cylinders und eines ,kegels1 und  damit
 die erste ,raumkurve1 der ,wulst und   
sein ,schnitt1 die erste  von ,proklos  
spirische benannte ,linie1 und berhaupt 
so grosse  stereometrische ,kenntnisse1 
dass es klar wird1 dass die ,pythagorer1
  vor allem ,archytas die ,lehrer des   
,platon gewesen sind1 und nicht         
umgekehrt1 wie das ja die oben zitierte 
,stelle der ,gesetze besttigt4          
,sidenote3 ,eudoxos4    ,die nchste     
,lsung fhrt uns auf den grssten         
,mathematiker und ,astronom  zur ,zeit  
des ,platon1 auf ,eudoxos von ,knidos1  
dessen ,ruhm durch  den des ,platon     
lange verdunkelt ist und den die        
zusammenfassende  ,geschichte der       
,mathematik bisher zu stiefmtterlich    
behandelt hat4 ,die  ,programme von ,h4 
,knssberg1 ,dinkelsbhl #ahhh-ij1 der    
,astron41 ,math4  und ,geograph ,e4 v4  
,knidos1 werden ihm gerecht4 ,eudoxos   
auf allen  drei ,gebieten und auch auf  

dem der ,gesetzgebung gleich bedeutend1 
ist etwa um #daj zu ,knidos1 einer      
dorischen ,stadt in ,karien1 an der     
,kste von ,kleinasien1 aus armer        
,familie hervorgegangen1 frh kam er  in 
das ebenfalls dorische ,tarent und      
genoss dort in ,mathematik und          
,astronomie den ,unterricht des grssten 
,pythagorers1 des ,archytas4  ,etwa #bc 
,jahre alt ging er nach kurzem          
,aufenthalt in ,athen1 wo er  ,platon   
gehrt haben soll1 nach gypten1          
vermutlich als ,begleiter eines  ,arztes
 ,chrysippos1 mit ,empfehlung des       
,sparterknigs ,agesilaos an  ,nektanebos
 7,necht-,harebht74 ,die ,reise fllt    
gegen #chj1 da etwa von  #cid-chj       
,nektanebos den ,aufruhr seiner gypter  
bekmpfen musste4 ,dort  verkehrte er in 
,heliopolis mit den ,priestern          
insbesondere mit dem  ,priester         
,chonuphis und indem er vllig ihre      
,sitten annahm 7     1 geschoren am     
,scham und ,augenbrauen7 bekam er       
,einblick  in das riesige astronomische 

,beobachtungsmaterial und dort schrieb  
er  seine ,octateris etwa um #cge1      
vergl4 ,a4 ,boeckh3 ber die vierjhrigen 
,sonnenkreise der ,alten #ahfc4 ,die    
,octateris ist eine #h;jhrige ,periode  
zum ,ausgleich des ,mond- und           
,sonnenjahres4 #h  #ced  #c  #cj  #bibb 
#h  #cfe-a_/d4    ,etwa um #cgj in der  
,akme grndete er in ,kyzikos in ,mysien 
7,panorma am  ,marmorameer7 eine        
,hochschule1 die rasch zu grosser ,blte 
gelangte1  aber schon nach wenigen      
,jahren trieb ihn sein rastloser        
,bildungseifer  in die ,weite4 ,zunchst 
zog er nach ,athen und fhrte eine grosse
 ,anzahl  seiner ,schler dem ,platon zu1
 darunter die bedeutendsten             
,mathematiker  der ,akademie1 wie       
,menaichmos1 den eigentlichen ,entdecker
 der  ,kegelschnitte1 ,dinostratos1 der 
den ,nutzen der ,kurve des ,hippias  von
 ,elis fr die ,quadratur des ,zirkels   
erkannte und ihr den ,namen             
,quadratrix1 1 verschaffte1 ,athenaios1 
,helikon etc4 ,von  ,athen zog er nach  

,sizilien und studierte dort unter dem  
italischen  ,lokrer ,philistion1        
vermutlich auch ein ,pythagorer1        
,medizin4 ,dann  kehrte er von ,knidos  
zurck1 mit grossen ,ehren empfangen1 und
 schuf fr  die ,stadt neue ,gesetze4    
,unsere fast einzige ,quelle ber        
,eudoxos ist ,diogenes ,laertios1 die   
sich aber auf gute ,autoritten wie      
,kallimachos1 ,sotios1 ,nikomachos1     
,eratosthenes sttzt4 ,sonst haben wir   
nur eine kurze ,notiz in der  ,ethik des
 ,aristoteles #agb1 b4 #ae1 wonach er   
,hedoniker etwa im ,sinne  ,demokrits   
war und in dem bekannten ,lexikon des   
,suidas1 der zwar die  drei sehr        
gelehrten ,tchter des ,eudoxos mit      
,namen nennt1 aber ber ihn  selbst so   
gut wie nichts sagt4 ,doch gibt         
,aristoteles seinem ,charakter  ein     
gnstiges ,zeugnis4 ,aber ber die        
wissenschaftliche ,bedeutung des        
,mannes war das ganze ,altertum einig1  
und ich kann dafr auf ,cicero           
verweisen1 den ich1 wie sehr ,sie auch  

sein ,cato major1 sein ,llius1  seine   
,officien gelangweilt haben mgen1 als   
,historiker nicht zu  unterschtzen      
bitte4 ,diogenes ,laertios berichtet1   
dass er in ,knidos  statt ,eudoxos in   
,endoxos umgetauft wurde1 d4 h4 der     
,anerkannte  und ,eratosthenes nennt    
ihn1 den ,astronomen1 ,mathematiker1    
,geographen1  ,philosophen1 ,mediziner1 
,staatsmann1 der an die ,allmenschen des
  ,cinquecento an ,leonardo da ,vinci   
und ,michelangelo erinnert1 den         
,gttergleichen in dem ,epigramm3       4
    ,auch ,platon hatte die hchste      
,achtung vor ,eudoxos als ,mathematiker1
 wie  aus seiner #ac4 ,epistel          
hervorgeht und aus der ,angabe bei      
,plutarch1 dass  er die ,delier an den  
,eudoxos verwiesen habe4 ,er starb #ec  
,jahre alt um  #cef4    ,sidenote3      
,lsung des ,delischen ,problems von     
,eudoxos4    ,seine ,lsung des          
,delischen ,problems bergeht ,eutokios1 
die kurze  ,andeutung bei ,eratosthenes 
war ihm unverstndlich1 und die ihm      

vorliegende ,lsung fehlerhaft           
berliefert4 ,eratosthenes sagt in dem   
zitierten ,briefe3 ,whrend nun diese    
7die ,geometer der ,akademie7  sich     
arbeitsfreudig drangaben und zu zwei    
gegebenen zwei mittlere  zu fassen      
suchten1 soll sie ,archytas der         
,tarentiner mittelst des  ,halbcylinders
 gefunden haben und ,eudoxos von ,knidos
 mittelst der  bogenfrmig 77 genannten  
,linien4 ,das ,wort ,kampylos bedeutet  
gekrmmt insbesondere gekrmmt nach ,art  
des ,kriegsbogens der ,griechen         
9999symbol1 den ,homer stets mit diesem 
epitheton ornans bezeichnet4    ,es ist 
,p4 ,tannery gelungen 7,sur les         
solutions du problme de ,delos  par     
,archytas et par ,eudoxe1 ,mm4 de       
,bordeaux ,ser4 #b1 ,t4 ,,ii ,paris     
#ahgh p4 #bgg71 die naturgemss eng an   
,archytas anschliessende ,lsung  des    
,eudoxos wiederherzustellen1 dadurch    
dass er erkannte die ,kurve  msse ein   
dem griechischen ,kriegsbogen hnliches  
,aussehen haben und  daraufhin1 nicht   

wie ,v4 ,flauti1 ,geom4 di sit4 ,napol4 
#ahdb1 #c4 ,aufl4  die ,projektion der  
,schnittkurve des ,wulstes und des      
,kegels auf die zx  ,ebene1 sondern auf 
den ,grundkreis1 auf die xy ,ebene1     
untersuchte4    ,illustration           
,eudoxos betrachtete die ,schnittkurve  
des ,wulstes und des ,kegels1 d4 h4     
also er sah zunchst davon ab1 dass      
,punkt  der ,figur99 auf der            
,peripherie des ,grundkreises liegt1    
immer ist3 #b_/7b7  #b_/7b7   _/ oder   
,i3 #b  b#b_/;a4    99 ,in der ,figur   
ist  durch ,q1  durch 1 und  durch ,s   
ersetzt4    ,dadurch ist die ,projektion
 eines ,punktes  der ,schnittkurve und  
damit ihre ,projektion auf die xy       
,ebene1 die ,ebene des ,grundkreises1   
definiert4 ,sowohl ihre ,gleichung wie  
ihre ,konstruktion ist nun ohne         
weiteres klar1 sobald man noch          
nachgewiesen1 dass   1 wo  die          
,abscisse x von  7und 74    ,es ist3 _/ 
_/ oder  4 x   4   b#b_/;a 4  also nach 
x   also die ,gleichung der ,kurve #b   

x#b  y#b  a#bx#d_/;b#d  d4 h4 also eine 
durch die ,substitution   x#b1   y#b    
transformierte  ,parabel1 welche        
,tannery analytisch untersucht hat4     
,ihre geometrische  ,konstruktion ist   
usserst einfach vergl4 die ,fig4 #a und 
das richtige   der ,punkt wo diese      
,kurve den ,halbkreis schneidet4    ,es 
ist nach ,konstruktion3 #a  #a und      
#a_/7a7  #a_/1 oder  #b   4  und da #b  
a 4  so ist #b  b#b_/;a somit   ein     
,punkt des ,ortes4    ,sidenote3        
,mechanische ,lsung von ,eudoxos        
7,platon74    ,vom ,eudoxos rhrt m4 ,e4 
auch die ,konstruktion her1 welche      
,eutokios dem  ,platon zuschreibt4  und 
1 s4 ,fig41 seien die gegebenen         
,strecken2  man verlngere sie nach  und 
1 so dass  und  rechte ,winkel  sind1   
dann ist nach der ,satzgruppe des       
,pythagoras  3    3     3 4             
,illustration    ,illustration    ,die  
,punkte  und  lassen sich auf           
mechanischem ,wege leicht  finden       
mittelst zweier aufeinander             

verschiebbarer rechten ,winkel          
7,winkelhaken72 es wurde ein eigenes    
,hilfsinstrument 7siehe ,figur7         
angefertigt1 durch einen beilfrmigen    
,einschnitt  in die ,lineale  71 ,kanon7
 wurde dafr gesorgt1 dass sich  nur     
parallel zu   bewegen konnte1 die nhere 
,beschreibung siehe man bei ,a4 ,sturm  
l4 c4 p4 #ej4 ,die ganze ,konstruktion  
ist so unplatonisch wie mglich1  wir    
wissen dass gerade auf ,platon die      
strenge ,beschrnkung der  geometrischen 
,hilfsmittel auf ,zirkel und ,lineal    
zurckgeht1 dass er die  sogenannte      
,neusis1 die ,einschiebung von ,strecken
 auf mechanischem ,wege  verpnte4       
,ausserdem berichtet ,plutarch ganz     
ausdrcklich ,quaest1 conv4  ,,viii p4 c4
 #a3 ,platon tadelte ,eudoxos1 ,archytas
 und ,menaichmos1 weil  sie die         
,verdoppelung eines ,krpers auf         
instrumentale und mechanische  ,apparate
 zurckfhrten4 ,dagegen passt sowohl die 
,anwendung des  ,satzes von der ,hhe im 
rechtwinkligen ,dreieck1 den auch       

,archytas  anwandte und die ,lsung      
mittelst eines ,instrumentes sehr gut   
auf  ,eudoxos1 der als                  
leidenschaftlicher ,astronom mit        
,apparaten durchaus  vertraut war4 ,ich 
schliesse hier gleich den ,bericht ber  
,eudoxos  ,gesamtleistungen an4 ,von    
,eudoxos rhrt fast sicher das ganze #e4 
,buch  der ,elemente des ,euklid her1   
die so diffizile ,lehre vom             
,streckenbuch1  und zwar wrtlich2 man   
vergl4 ,proklos1 ed4 ,friedlein p4 #fh  
und s4 u4  ,euklid4 ,und ein ,scholion  
der lat4 ,ausgabe der #f ersten ,bcher  
,basel  #aeej zum #e4 ,buch des ,adelos 
und im prchtigen ,codex des ,euklid aus 
der ,sammlung ,mazarin ist von ,knoche  
als von ,proklos herrhrend  erkannt1 es 
heisst da3 ,einige sagen dass dieses    
,buch die ,erfindung des  ,eudoxos sei1 
-- und das wird direkt besttigt durch   
weitere ,scholien  7,knoche #ahfe7 und  
indirekt dadurch1 dass ,buch #g der     
,elemente die  ,lehre von den           
,proportionen fr ganze ,zahlen noch     

einmal aufnimmt1  ohne irgend eine      
,rcksicht auf das #e4 ,buch4 ,von       
,eudoxos rhren die  fnf ersten ,stze des
 ,,xiii4 ,buchs samt der ,definition von
 ,analysis  und ,synthesis her1         
vermutlich auch ein ganzer ,teil der    
weiteren ,stze  ber die #e ,platonischen
 ,krper4 ,eudoxos1 der als grosser      
,astronom auf  das genaueste mit der    
,sphrik vertraut war1 ist wohl der      
eigentliche  ,schpfer der spter von     
,theodosios bearbeiteten ,sphrik4    ,fr
 eine ,anzahl wichtigster ,stze der     
,stereometrie haben wir das             
schwerwiegende ,zeugnis des ,archimedes1
 der in seiner ,quadratur der  ,parabel1
 der ersten grossen ,leistung der       
,integralrechnung1 das nach  ihm        
benannte jetzt so viel besprochene      
,prinzip lteren ,geometern  vindiziert1 
welche damit bewiesen1 dass ,kreise sich
 wie die ,quadrate1  ,kugeln wie die    
,kuben ihrer ,durchmesser verhalten1    
ferner dass jede  ,pyramide der dritte  
,teil des ,prisma von gleicher          

,grundflche und ,hhe1  jeder ,kegel der 
dritte ,teil des ,cylinders von gleicher
 ,basis und  ,hhe sei4 ,alles das haben 
sie durch ,annahme des aufgestellten    
,lemma  bewiesen4 ,hier wurde ,eudoxos  
,name nicht genannt4 ,aber in der       
,einleitung  zum ersten ,buch seiner    
,schrift3    4 heisst  es3 ,ebenso      
verhlt es sich mit vielen von ,eudoxos  
ber die ,krper  aufgefundenen ,stzen1   
die ,beifall erhalten haben z4 ,b4 dass 
jede  ,pyramide etc41 jeder ,kegel etc4 
,denn obgleich diese ,stze ber diese    
,gebilde schon frher experimentell      
bekannt waren1 so traf es sich doch1    
obgleich es vor ,eudoxos viele          
erwhnenswerte ,geometer gab1 dass sie   
von  keinem begrifflich erkannt und auch
 von keinem folgerichtig bewiesen       
wurden4    ,demnach hat ,eudoxos auch   
einen bedeutenden ,anteil am ,,xii4     
,buch der  ,elemente4 ,im besonderen    
sind die wertvollen ,beweise ,,xii1 #b  
-- ,,xii1 #aj  ,eigentum des ,eudoxos1  
und indem sie sich eng an die           

,definitionen und  ,stze des #e4 ,buches
 anschliessen1 geben sie wie ,l4        
,ofterdinger  bemerkt hat1 zugleich     
einen ,beweis fr das ,eigentumsrecht des
 ,eudoxos  auf ,buch ,v4 ,freilich mssen
 wir das mathophilosophische ,verdienst 
des  ,eudoxos jetzt nach dem ,ephodion  
erheblich einschrnken4 ,das ,prinzip    
der ,exhaustionsmethode des ,euklid ist 
im ,grunde nichts weiter als das        
unendlich kleine des ,demokrit1 das     
,eudoxos den ,hellenen mundgerecht      
gemacht hatte1 welche vor der           
rcksichtslosen ,khnheit1 mit der        
,demokrit seine ,differentiale der      
,masse und des ,raumes einfhrte1        
scheuten4 ,es ist so ziemlich derselbe  
,vorgang1 welcher sich in der  ,neuzeit 
abspielte1 als die ,fluxion1 das ,moment
 des ,newton1 das  infiniment petit des 
,leibniz von ,lagrange durch die        
,ableitung ersetzt  wurde4    ,sidenote3
 ,das ,weltsystem des ,eudoxos4    ,so  
gross die ,leistungen des ,eudoxos auf  
mathematischem ,gebiete waren1  so      

bedeutend er als ,geograph war durch    
seine  1 eine  umfassende ,lnder- und   
,vlkerkunde1 am grssten steht er doch   
als  ,astronom da4 ,so leidenschaftlich 
war seine ,liebe zur ,sternkunde1  dass 
er wie ,plutarch erzhlt1 geussert hat   
,ich wnschte auf die  ,sonne zu kommen  
um die ,gestalt und ,grsse des          
,gestirnes kennen zu  lernen und wre es 
auch um den ,preis1 wie ,phaton zu      
verbrennen4  ,an den verschiedensten    
,punkten des ,orbis terrarum hat er die 
,sterne  beobachtet1 noch ,strabo wurde 
seine ,warte bei ,heliopolis gezeigt1   
auch eine eigentmliche ,sonnenuhr       
7,spinne1 wohl von der  hnlichkeit mit  
dem ,netze einer ,spinne7 hat er        
konstruiert4 ,wir  verdanken die ,kunde 
seines ,weltsystems1 des ersten1 das    
streng  mathematisch die ,bewegungen der
 ,gestirne zu erklren suchte1           
,aristoteles in der ,metaphysik und     
besonders dem so wichtigen  ,commentar  
des ,simplicius zu ,aristoteles de      
coelo1 auf den gesttzt  ,i4 ,k4         

,schaubach in seiner klassischen        
,geschichte der griech4  ,astron4 bis   
auf ,eratosthenes ,gtt4 #ahjb und der   
grosse ,chronologe  ,chr4 ,l4 ,ideler   
#ahjf und besonders #ahbh1 #bi ,eudoxos 
als ,astronom  wrdigen konnten4 ,die    
vllige ,aufklrung gab der hervorragende 
italienische ,astronom ,g4 ,v4          
,schiaparelli in ,le sfere omocentriche 
di ,eudosso1 di ,calippo e di           
,aristotele 7,mil4 #ahge71 gelesen bei  
,gelegenheit des #djj4 ,geburtstags des 
,copernicus zu ,mailand #bj4 ,febr4     
#ahge1 deutsch von ,w4 ,horn im         
,supplementband des ,schlmilch von      
#ahgg4  ,er konnte dabei schon einen von
 ,brunet de ,presle aus dem ,nachlass   
des bedeutenden ,historikers der        
,mathematik ,letronne in den ,not4  et  
extraits des ,manscr4 de la bibl4 imp4  
,t4 #ah1 p4 ,i ,par4 #ahfe              
verffentlichten ,papyrus des ,louvre    
benutzen1 der vermutlich ein aus  #aij  
v4 ,chr4 stammendes ,kollegienheft einer
 alexandrinischen ,vorlesung  ber       

,astronomie ist4 ,ich folge hier im     
,wesentlichen ,schiaparelli und         
,knssberg ,th4 ,i #ahhi4    ,das        
,prinzip von dem ,eudoxos ausging1 war  
dasselbe1 dem wir ,kepler's  harmonice  
mundi verdanken und das bewusst oder    
unbewusst jeder annimmt1  das ,prinzip3 
der ,kosmos ist nach einem einzigen     
allgemeinen ,gesetze  geordnet4         
,schiaparelli sagt3 den griechischen    
,astronomen fehlte das  physikalische   
,gesetz der allgemeinen ,schwere1 sie   
mussten sich daher  an geometrische     
,gesetze halten4 ,nun aber bot der      
tgliche ,umschwung  des ,fixsternhimmels
 eine gleichfrmige ,kreisbewegung dar   
und ebenso  schienen die monatlichen und
 jhrlichen ,bewegungen des ,mondes und  
der  ,sonne gleichfrmig in ,kreisbahnen 
vor sich zu gehen4 ,die ,planeten1      
besonders die oberen1 zeigten zwar      
grosse ,unregelmssigkeiten1 sie         
beschrieben ja ganz verwickelte         
,schleifenlinien1 aber man entnahm aus  
dem obigen ,prinzip das ,axiom1 es      

mssten sich alle diese ,abweichungen    
aus dem ,zusammenwirken von mehreren    
gleichfrmigen ,kreisbewegungen  erklren 
lassen4 ,dies ,axiom soll nach ,gemnos  
7,gminus71 isagoge  eis phaenomena ,cap4
 ,i1 von den ,pythagorern herrhren und  
hat die  theoretische ,astronomie bis   
,galilei und ,newton beherrscht4        
,schiaparelli sagt3 ,eine andere        
,bedingung1 der sich die1 welche  zuerst
 ber den ,bau des ,universums           
nachdachten1 fgen mussten1 war  diese1  
fr denselben die grsste ,einfachheit und
 ,symmetrie anzunehmen4  ,da bildeten im
 ,system des ,philolaos 7s4 ,pythagorer7
 die ,bahnen der  ,himmelskrper ein     
,system von ,kreisen1 die um ein        
gemeinsames ,zentrum  beschrieben       
wurden1 und dieselbe ,regel oder        
wenigstens eine hnliche  ist in den     
verschiedenen ,systemen des ,platon     
beobachtet4 ,timaios #aa4  ,an dieser   
,grundanschauung hielt auch ,eudoxos    
fest und stellte sich  vor1 dass alle   
seine ,sphren konzentrisch um die ,erde 

gleichmssig  beschrieben seien1 weshalb 
ihnen spter der ,name homozentrische    
,sphren beigelegt wurde4 ,durch diese   
,anschauung wurde das ,problem viel     
schwieriger1 weil dadurch diesen ,sphren
 jede fortschreitende ,bewegung         
genommen wurde und dem ,geometer zur    
,erklrung ihrer ,bewegung nichts        
anderes brig blieb als die ,kombination 
ihrer ,rotationsbewegung1 aber  dem ,bau
 der ,welt wurde dadurch eine ,eleganz  
bewahrt1 von welcher die                
,konstruktionen des ,hipparch von       
,rhodos1 des ,ptolemaios und alle       
andern1 selbst des ,copernicus weit     
entfernt blieben und die bis ,kepler    
ihresgleichen nicht wiederfand4 --      
,eudoxos dachte sich ungefhr wie        
,platon1 dass jeder ,himmelskrper  von  
einer um zwei ,pole in gleichfrmiger    
,rotation drehbaren ,sphre  in          
kreisfrmige ,bewegung versetzt wrde4 ,er
 nahm ausserdem an1 dass  derselbe in   
einem ,punkt des quators dieser ,sphre  
befestigt sei4  ,zur ,erklrung der      

,planetenbewegung gengte diese          
,hypothese nicht1  ,eudoxos setzte      
deshalb fest1 dass die ,pole der den    
,planeten tragenden  ,sphre nicht       
unbeweglich bleiben1 sondern von einer  
grsseren1 der  ersten konzentrischen    
getragen wrden1 welche gleichfrmig und  
mit  einer ihr eigentmlichen            
,geschwindigkeit um zwei von den vorigen
  verschiedene ,pole rotiere4 ,da auch  
dies noch nicht gengte1 so liess  er die
 ,pole der zweiten auf einer dritten    
konzentrischen grsseren  ,kugel fest    
sein2 welche wieder ihre besonderen     
,pole und ihre besondere                
,geschwindigkeit besass4 ,und wo drei   
,sphren nicht ausreichten1 nahm  er noch
 eine vierte hinzu1 welche die drei     
ersten umschloss und die  zwei ,pole der
 dritten enthielt1 und mit eigener      
,geschwindigkeit um  ihre ,pole         
rotierte4 ,fr ,sonne und ,mond fand er  
#c ,sphren bei passender  ,wahl der     
,geschwindigkeiten1 der ,pole und der   
,neigungswinkel gengend1  fr die #e     

anderen ,planeten fand er #d ,sphren    
ntig4 ,die bewegende  ,sphre eines jeden
 ,planeten machte er vllig unabhngig von
 denen der  anderen4 ,fr die ,fixsterne 
gengte eine einzige ,sphre um die       
tgliche  ,bewegung hervorzubringen4 ,fr 
die ,sonne htte er mit zwei ,sphren     
auskommen knnen1 da er die sogen4       
,anomalie1 die ungleiche ,dauer der     
,jahreszeiten1 d4 h4 die                
,ungleichfrmigkeit der ,geschwindigkeit 
nicht  bercksichtigte1 aber er glaubte  
an eine geringfgige ,vernderung der     
,sonnenbreite in bezug auf die          
,ekliptik4 ,somit hatte er #bg ,sphren  
ntig4    ,illustration    ,hier die     
,figur1 das ,abbild eines von ,knssberg 
nach ,eudoxos  konstruierten            
,planetolabium ist durchaus geeignet das
 ,system klar zu  machen4 ,kreis ,i     
dient dazu die tgliche1 ,kreis ,,ii die 
,bewegung in der  ,ekliptik1 ,kreis     
,,iii die ,abweichung von der ,ekliptik1
 ,kreis ,,iv die  ,ungleichfrmigkeit des
 ,planeten in ,bezug auf                

,geschwindigkeit und  ,richtung zu      
erklren4 ,ich hebe hervor1 dass ,eudoxos
 den ,neigungswinkel  von etwa #e der   
,mondbahn gegen die ,ekliptik kannte und
 damit dem  ,babylonischen ,saros von   
#fehe-a_/h ,tagen und dass auch die     
,reihenfolge  der ,planeten die         
,babylonische ist4 ,ich muss fr weiteres
 auf  ,schiaparelli und ,o4 ,tannery    
,note s4 le syst4 astron4 d',eudoxe1    
,mm4 de ,bordeaux1 ,ser4 ,,ii ,t4 #a    
7#ahgf7 und ,t4 #e 7#ahhc7 verweisen1   
welche beide erklren1 dass das ,system  
nach der ,verbesserung durch  ,kallippos
 ebenso gut die ,bewegung von ,sonne und
 ,mond darstelle1  sowie die            
hauptschlichen ,unregelmssigkeiten der  
,planetenbahnen wie  die ,epicykeln des 
,ptolemaios4 ,nur noch einige           
,bemerkungen ber die  eigentliche ,bahn 
der ,planeten1 welche durch die beiden  
innersten ,kugeln  #c und #d            
hervorgebracht wird1 die sogen4         
,hippopede 7,pferdefessel7  des         
,eudoxos1 die erste sphrische           

,raumkurve1 welche ,schiaparelli sehr   
richtig als ,lemniskate bezeichnet4     
,eudoxos hat nur auf die                
,elementargeometrie gesttzt das folgende
  schwierige ,problem gelst3 um zwei    
feste ,pole dreht sich eine ,kugel      
gleichfrmig1 um zwei ,pole auf dieser   
dreht sich ebenso eine zweite  mit      
derselben aber entgegengesetzt          
gerichteten ,geschwindigkeit1  welche   
,bahn beschreibt ein ,punkt des quators4
 ,die ,kurve ist dadurch  ausgezeichnet1
 dass ihre ,bogenlnge wie die der ebenen
 ,lemniskate  durch ein elliptisches    
,integral #b4 ,gattung dargestellt wird4
 ,die  elementargeometrische ,behandlung
 der ,kurve wre eine vorzgliche         
bungsaufgabe4    ,die grossen           
,verdienste des ,eudoxos um ,geographie 
und ,kalender sind  neben ,schaubach    
auch von ,a4 ,boeckh in der cit4        
,schrift #ahfc voll  gewrdigt4          
,sidenote3 ,lsung des ,delischen        
,problems durch ,menaichmos4    ,ich    
verlasse ,eudoxos1 den grssten          

,mathematiker seiner ,zeit1 der         
vermutlich ebenso nchtern war wie       
,platon phantastisch war1 berichtet     
doch ,cicero in ,de ,divinatione1 dass  
er die ,astrologie der ,babylonier  fr  
,unsinn hielt und dies1 obwohl er       
unzweifelhaft von ,babylonischer        
,astronomie beeinflusst war1 wie schon  
aus seiner ,festsetzung des             
,verhltnisses von ,sonnen- und          
,monddurchmesser hervorgeht und wende   
mich zum ,delischen ,problem zurck4     
,knpfte ,eudoxos an seinen ,lehrer      
,archytas an1 so folgte ihm wieder sein 
,schler ,menaichmos1 den er  seinerzeit 
dem ,platon zugefhrt hatte4 ,menaichmos1
 der um die ,mitte  des #d4 ,jahrh4     
lebte1 wird von den ,alten einstimmig   
als der ,erfinder  der ,kegelschnitte   
bezeichnet4 ,eratosthenes nennt sie in  
dem ,briefe1  die ,menchmischen ,triaden
 man braucht nicht die ,men4 ,triaden   
aus dem  ,kegel zu schneiden4 ,proklos  
7oder ,gemnos7 beziehen sich auf diese  
,stelle 7,friedl4 p4 #aaa74 ,und aus des

 ,eutoxios ,excerpt aus ,eudemos oder   
,geminos sehen wir dass die ,delische   
,aufgabe und der ,weg des ,archytas  und
 ,eudoxos den ,menaichmos geleitet      
haben4 ,es heisst bei ,eutokios3        
,illustration    ,so wie ,menaichmos3   
,es seien die gegebenen ,geraden 7die   
,alten kannten  den ,ausdruck ,strecke  
nicht7  und 1 gefordert zwischen  und   
zwei  mittlere ,proportionalen zu       
finden4 ,es sei geschehen und sie sollen
   und  sein1 uns mge die im ,punkte    
begrenzte ,grade 7d4 h4 der  ,strahl7   
gezeichnet vorliegen  4 und bei  liege  
auf  ihr die  gleiche ,strecke 1 und    
senkrecht dazu werde  gezogen  7als     
,strahl7 und  als ,strecke 7s4 ,figur7  
gleich  gemacht4 ,da nun  die drei      
,geraden 1 1 1 proportional so ist das  
,rechteck aus  und   gleich dem ,quadrat
 ber 4 ,es ist also   #b  #b   4 1      
folglich liegt  auf der ,parabel mit dem
 ,scheitel 1 der ,axe  und dem          
,parameter ,a_/#b4 ,da auch das         
,rechteck  oder  4  gegeben ist1 weil   

es gleich  4  ist1 so liegt  auch auf   
der gleichseitigen ,hyperbel  mit den   
,asymptoten  und 1 also ist  gefunden4  
,es folgt dann bei  ,eutokios nach      
dieser ,analyse auch die ,synthese1     
ausdrcklich als solche  bezeichnet1 und 
darauf eine zweite ,lsung des           
,menaichmos2 von der ich  auch nur die  
,analysis 7s4 ,figur7 gebe4    ,es seien
 die auf einander senkrechten ,strecken 
und  die gegebenen1   und  die          
gesuchten1 so dass  3    3    3 4 ,man  
ziehe  die ,normalen 1 1 so ist  4   #b 
#b1 also  auf eine  ,parabel1 deren     
,achse 1 deren ,parameter #a_/b 4 ,da   
aber auch  4    #b  #b ist1 so liegt    
auch auf der ,parabel1 deren ,axe 1     
deren  ,parameter #a_/b ist4            
,illustration    ,die ,darstellung ist  
jedenfalls von ,eutokios oder schon von 
,geminos  redigiert1 denn die ,namen    
,parabel1 ,ellipse1 ,hyperbel sind erst 
von  ,apollonios von ,pergae 7s4 u47 im 
#c4 ,jahrh4 eingefhrt1 ebenso wie  das  
,wort ,asymptote4    ,sidenote3         

,menaichmos1 ,kegelschnitte4    ,den    
,gedankengang des ,menaichmos hat       
,bretschneider1 ,geom4 und ,geometer    
vor ,euklides #ahgj p4 #aef ff41        
wiederhergestellt4 ,derselbe ,eutokios  
erzhlt in seinem ,kommentar zu des      
,apollonius ,knika1 dass die ,alten  den
 ,kegel nur erzeugten durch ,rotation   
eines rechtwinkligen ,dreiecks um  eine 
seiner ,katheten4 ,je nachdem nun der   
ffnungswinkel spitz1 recht  oder stumpf 
war1 erhielt ,menaichmos ,ellipse1      
,parabel1 ,hyperbel1 wenn  er den ,kegel
 durch eine ,ebene1 welche auf einer    
,seitenkante senkrecht  stand1          
durchschnitt4 ,die ,ellipse war brigens 
als ,cylinderschnitt  schon den gyptern 
7vergl4 die ,sulen des ,tempels von     
,luxor7 und auch  den ,hellenen vor     
,menaichmos bekannt1 ihr alter ,name war
  77   4 vielleicht die ,schildfrmige   
,linie1 das ,oval1 obwohl das  ovale    
,schild gew4  und nicht  heisst4 ,die   
,erzeugung des  ,menaichmos gab sofort  
die ,hauptachsen des ,kegelschnitts4    

,men4 erkannte  die ,verwandtschaft     
seiner ,kurven mit dem ,kreise1 da er   
sah dass  dieselben ,projektionen des   
,kreises waren1 und suchte daher nach   
einem ,analogon zum ,potenzsatz1 im     
,anschluss an ,archytas und ,eudoxos1   
und fand es auch4 ,der ,begriff der     
,verwandtschaft gehrt zu denen1  welche 
sich den ,geometern von selbst          
aufdrngen1 man vergleiche die           
hnlichkeitslehre bei gyptern und        
,indern1 wenn auch ,theorien der        
,verwandtschaften als solcher modernen  
,ursprungs sind4 ,als ,beispiel  nehme  
ich die ,parabel1 den ,schnitt des      
rechtwinkligen ,kegels wie sie  noch bei
 ,archimedes heisst und sogar noch bei  
,proklos4 ,es ist ,,lad1  s4 ,fig4      
rechtwinklig bei ,a1 der ,schnitt       
,,midkn normal gegen die  ,kante ,,ac   
gefhrt1 also ,,id  ,,ab4 ,es ist        
,,ig_/,,ld  ,,di_/,,al  also gleich ,,ig
 4 ,,hi 3 ,,ld#b  ,,ik#b 3 ,,dl#b       
7,potenzsatz des  ,kreises74 ,ferner    
wenn ,,lm  ,,ld1 ist ,,md 3 ,,ld  ,,ld 3

 ,,al1  ,,ld#b  ,,md 4 ,,al oder ,,ik#b 
3 ,,md 4 ,,al  ,,di 3 ,,al1 also  ,,ik#b
  ,,md 4 ,,di1 dies ist die             
,grundeigenschaft 7,gleichung7 der      
,parabel4 ,analog ist die ,herleitung fr
 ,ellipse und ,hyperbel4                
,illustration    ,sidenote3 ,parabel2   
,trisektion 7,dinostratos74    ,da die  
nchste ,lsung1 die des ,eratosthenes    
selbst ist1 so unterbreche  ich hier die
 ,geschichte des ,delischen ,problems um
 mit ,dinostratos1  den ,bruder des     
,menaichmos der ebenfalls ,schler des   
,eudoxos und ,platon  ist1 auf die      
beiden andern grossen ,probleme1 welche 
die ,pythagorer  in die ,hellenische    
,wissenschaft einfhrten1 berzugehen4    
,zunchst die  ,trisektion1 die          
,dreiteilung des ,winkels4 ,das ,problem
 ist unzweifelhaft  von den ,pythagorern
 gestellt worden1 und geradezu im       
,zusammenhange mit  dem ,delischen      
,problem4 ,wie die mittlere             
,proportionale der ,natur nach          
zusammenhing mit der ,halbierung des    

,bogens1 so glaubte man wrden die       
beiden ,medianen mit der ,dreiteilung   
zusammenhngen und indem man die         
reinkubische ,gleichung lsen wollte1 kam
 man auf die gemischte1 es ist  also    
kein ,zufall1 dass dies ,problem das    
zweite ,delische genannt wurde4  ,dass  
die ,kenntnisse der ,pythagorer zu der  
,aufstellung der ,gleichung             
ausreichten1 ist leicht zu zeigen vergl4
 ,figur4 ,man muss nur sehen1  dass     
,,abc   ist4 ,es werde bezeichnet3      
,,ab  z1 ,a  #b   y1 ,,ad  s1 ,,af  1   
,,mf  p1 ,,bc  u  1 dann ist #a7 s_/y   
7y  z7_/z1 #b7 u#b  #a_/dy#b  z#b1 #c7  
weil ,,mfb  ,,abc1 #bup  y7 - z7  #d7 #b
  p#b  r#b4    ,illustration    ,setzt  
man u  z1 so ist nach #b7 y#b_/d  z#b7a 
- #b7 und nach #c7  gleich z#bbp#b_/7 - 
z7#b also #e7 #a - #b  #bp#b_/7 - z7#b  
aus #a7  und #c7 folgt #f7 s7 -         
z7_/7#bpz7  #bp_/7 - z7  #a4    ,aus #e7
 folgt  - z  p 3  wo   7#a - #b7 ist1   
also z    - p 3 1 also geht #f7 ber in  
#g7 s  7#b  #a7b7 - p 3 72 s   7#b      

#a77s - #bp7 woraus nach leichter       
,rechnung #dc - #c  ps 3 r#b   #j und da
 ps  r1 wenn die ,hhe des ,dreiecks     
,,amd von ,d aus  genannt  wird1 #h7 #dc
 - #c  _/r  #j4    ,das ist die bekannte
 ,gleichung fr sin _/#c da  3 r  sin    
ist4    ,es gewannen also die beiden    
,delischen ,probleme die ,bedeutung der 
,auflsung der kubischen ,gleichung1 da  
sich fr y die ,gleichung #d4  ,grades   
y#d  sy#c - #cy#br#b - #bysr#b  s#br#b  
#j ergibt1 so ist damit  zugleich die   
,lsung der ,gleichung des #d4 ,grades   
angebahnt4    ,sidenote3 ,hippias von   
,elis1 ,dinostratos 7,quadratrix74      
,das arithmetische ,problem vermochten  
die ,pythagorer nicht zu lsen1  und das 
geometrische nicht mittelst ,zirkel und 
,lineal1 d4 h4 elementar1  doch scheuten
 sie sich wie wir bei ,archytas gesehen 
haben1 keineswegs  vor                  
,bewegungsgeometrie und so erfand denn  
der seiner ,zeit ziemlich  bel          
berchtigte ,sophist ,hippias von ,elis  
im letzten ,drittel des  #e4 ,jahrh4    

eine mechanische ,lsung und damit die   
erste uns bekannte vom  ,kreise         
verschiedene nach bestimmten ,gesetz    
erzeugte ,kurve1 die spter  vermutlich  
durch oder doch nach ,archimedes1       
nachdem ,dinostratos  ihren ,gebrauch   
zur ,rektifikation 7,streckung7 und     
damit auch zur  ,quadratur des ,zirkels 
gelehrt hatte1 den ,namen  lat4         
,quadratrix erhielt4 ,es sind sogar     
gegen die ,autorschaft des ,hippias von 
,elis ,bedenken erhoben 7,blass1        
,friedlein7 und ,h4 ,hankel der         
genialste  ,historiker der ,mathematik  
hat sich sehr scharf gegen die          
,autorschaft  des ,hippias von ,elis    
ausgesprochen1 aber ,grnde hat er nicht 
angegeben  und ich muss ,cantor         
beipflichten1 der aus der stndigen      
,gewohnheit  des ,proklos nur bei der   
ersten ,erwhnung die ,herkunft anzugeben
 und  sie spter als schon genannt       
wegzulassen1 mit grsster ,energie sich  
fr den ,hippias von ,elis aussprach4    
,proklos kann nur diesen ,hippias       

meinen und wenn auch der ,hippias major 
des ,platon vermutlich unecht1 so  gengt
 doch der ,hippias minor um zu beweisen1
 dass ,hippias seinerzeit  fr einen     
hervorragend tchtigen ,mathematiker     
galt4 ,pappos1 dem wir  die ,kenntnis   
der ,kurve verdanken1 erwhnt den ,namen 
des ,hippias nicht4  ,die ,kurve und    
ihre ,konstruktion finden sich ,buch    
,,iv prop4 #be p4 #bec  der ,hultschen  
,ausgabe4 ,whrend der ,radius 1 vergl4  
die ,fig41 sich  gleichfrmig um  bis    
dreht1 verschiebt sich ebenfalls        
gleichfrmig   bis 1 unsere ,kurve ist   
der ,ort des ,schnittpunktes  der beiden
  sich bewegenden ,strecken4 ,die       
,grundeigenschaft ist3 _/  7,bogen      
7_/7,bogen 7  _/7_/#b74 ,damit ist nicht
 nur die ,trisektion sondern  sogar die 
,multisection vollzogen1 denn nichts    
hindert  oder irgend  ein ,stck von  in 
beliebig viele gleiche ,teile zu teilen4
 ,es folgt3  7 - 7_/  7_/#b - 7_/7_/#b7 
oder #a7 y 4 _/#b  9999arc1 daraus  y#a 
3 y#b  9999arc#a 3 9999arc#b und als    

,gleichung der  ,kurve #b7 x  y cot     
y_/#b4 ,die ,proportion #a1 kann auch   
heissen ,quadrant_/r   9999arc_/4       
,dinostratos1 der mit ,demokritischen   
,gedanken vertraut  war1 bemerkte nun1  
dass der ,bruch rechts auf der ,grenze1 
wenn   unendlich nahe bei  ist1 weil der
 ,sektor dann in ein ,dreieck bergeht   
gleich  3    3  gleich r 3 x#j ist1     
womit zwar nicht  die ,quadratur aber   
doch die ,rektifikation des ,kreises    
mittelst der  gezeichnet vorliegenden   
,kurve vollzogen ist4 ,der ,beweis des  
,dinostratos  den ,pappos l4 c4         
mitteilt1 rechnet selbstverstndlich     
nicht mit dem  ,unendlich kleinen1      
sondern ersetzt die                     
,differentialrechnung durch  die        
,grenzmethode1 wie das auch ,archimedes 
selbst noch getan1 obwohl  wir aus dem  
,ephodion sehen1 wie genau er sich der  
,tragweite der  ,infinitesimalrechnung  
bewusst war4 ,man braucht ja nur an des 
,cavalieri  geometria indivisibilium zu 
denken1 die er umarbeiten musste1 weil  

seine ,zeitgenossen an dem nackten      
,unendlich kleinen und grossen1 am      
,differential und ,integral des         
,volumens1 ,anstoss nahmen4 ,newton der 
,urheber des selbstndigen               
,differentialkalkls hat in den          
,prinzipien  und in seinen geometrischen
 ,werken ngstlich die ,methode          
verschleiert  und noch heute gibt es    
,mathematiker genug1 welche vor dem     
infiniment  petit scheuen1 wie etwa     
,pferde vor einem ,automobil4           
,illustration    ,sidenote3 ,theatetos  
und ,theudios4    ,sind ,menaichmos und 
,dinostratos die produktivsten          
,mitglieder des  ,platonischen ,kreises1
 derer um ,platon1 so sind ,theatetos   
der  ,athener und ,theudios der         
,magnesier1 7wohl in ,karien7           
diejenigen1  welche die methodische     
,seite der ,akademie am energischsten   
vertreten4  ,von 1 dem schon oft        
genannten1 rhrt ein grosser ,teil der   
selbst fr uns ,heutige nicht leichten   
,stze des ,x4 ,buchs der ,elemente  des 

,eukleides her1 das selbst ein ,petrus  
,ramus1 obwohl ein genauer  ,kenner von 
,proklos' ,kommentar zum ,i4 ,buch1     
nicht verstand1 und     hat das         
,lehrbuch der ,akademie verfasst4 ,von  
ihm sagt  ,proklos3 ,er brachte gute    
,ordnung in die ,elemente und           
verallgemeinerte  vieles in den         
einzelnen ,abschnitten 7,friedl4 p4 #fg1
 wenn 1 was  ,friedlein bezweifelt1     
richtig ist1 so kann es auch vielleicht 
besser  als begrenzt d4 h4 zu eng       
gefasst bersetzt werden1 er machte die  
,begrenzungen weiter74    ,sidenote3    
,aristoteles4    ,die ,elemente des     
,theudios gehen denen des ,euklid       
unmittelbar voran1 und  auf sie beziehen
 sich die mathematischen ,angaben bei   
,aristoteles4    ,sidenote3 ,zeit bei   
,platon4    ,dieser weltumfassendste    
,geist nicht bloss des ,altertums1 der  
,wissenschaft und ,kunst fast #bjjj     
,jahre lang beherrscht hat und die      
formale ,logik sogar bis auf ,sigwart1  
d4 h4 bis zum letzten ,drittel  des #ai4

 ,jahrhunderts1 hat noch weit mehr als  
,platon die ,mathematik  nur als        
,hilfswissenschaft der ,philosophie     
insbesondere fr die ,lehre  vom ,schluss
 und von den ,beweisen betrachtet1 und  
allenfalls fr die  ,astronomie1 in der  
er wie ,kant den strksten ,beweis des fr
 sein  ,system ganz unentbehrlichen     
,gottesbegriffes sah4 ,es steht nicht   
einmal  fest1 ob ,aristoteles auf der   
vollen ,hhe der mathematischen ,bildung 
seiner ,zeit gestanden hat1 von hheren  
,problemen streift er eigentlich  nur   
einmal ganz gelegentlich in de coelo die
 ,quadratur des ,zirkels4  ,dass er die 
,kegelschnitte nicht beachtet hat1      
versteht sich von selbst1  da sie ja    
gerade zu seiner ,zeit von seinem       
,mitschler ,menaichmos  gefunden wurden4
 ,aber um so grsser ist seine ,bedeutung
 fr die  ,grundbegriffe der ,mathematik4
 ,whrend ,j4 ,l4 ,heiberg 7,teubner     
,abh4  z4 ,gesch4 der ,math4 ,wiss4     
,heft #ah1 #aijd7 das spez4             
,mathematische bei  ,aristoteles        

gesammelt hat1 hnlich wie ,theon        
,smyrneus die ,mathematik  bei ,platon1 
ist ,a4 ,grland in seiner ,dissertation 
und besonders  in dem ,werke3           
,aristoteles und die ,mathematik1       
,marburg #ahii auch der  begrifflichen  
,seite gerechter geworden4 ,aristoteles 
ist auch der  erste der ,hellenen der   
sich genauer mit dem ,begriff ,zeit     
beschftigt  hat4 ,platon1 wie er den    
,aristoteles an schpferischer ,kraft der
  ,phantasie weit berragt1 bertrifft ihn
 auch in der ,erkenntnis gerade  der    
tiefsten ,quellen unserer ,erkenntnis1  
aber dass die ,zeit auch eine  ,idee    
sei1 wie das ,gute1 ist dem ,idealisten 
entgangen4 ,die  ,hauptstelle findet    
sich ,timos #cff-cgj4 ,gott schuf die   
,welt als ,abbild  der ewigen ,ideen    
7personifiziert durch die einzelnen     
,gtter71 und in  der ,freude ber seine  
,schpfung beschloss er sie dem ,urbilde 
noch  hnlicher zu machen und schuf dazu 
die ,zeit als bewegliches1 nach         
,zahlenverhltnissen fortschreitendes1   

ewiges ,abbild4 ,denn ,tage und  ,nchte 
und ,monate und ,jahre gab es nicht1    
bevor der ,himmel geschaffen1  sondern  
damals als dieser zusammengesetzt wurde1
 bewirkte er zugleich  auch ihre        
,entstehung4 ,alle diese 7die ,tage     
etc47 sind ,teile der ,zeit1  und das   
,es war und das ,es wird sein sind      
entstandene ,formen  der ,zeit1 die wir 
unvermerkt auf das ewige ,wesen         
bertragen1 und  mit ,unrecht4 ,denn wir 
sprechen von einem es war1 es ist1 es   
wird  sein jener aber kommt in ,wahrheit
 nur das ,es ist zu1 das war  und das   
wird sein aber ziemt es sich von der in 
der ,zeit sich  bewegenden ,entstehung  
auszusagen4 ,wenn hier auch die         
transzendentale  ,idealitt der ,zeit    
gestreift ist1 so sind doch ,zeit und   
,bewegung nicht  scharf geschieden1 und 
insbesondere scheint die ,zeit selbst   
als ,dauer  aufgefasst zu sein1 was     
schon eine ,anwendung der ,kategorie    
,raum auf die  ,zeit einschliesst4      
,sidenote3 ,aristoteles ber ,zeit4      

,aristoteles hat sich besonders in der  
,physik mit der ,zeit  beschftigt1 er   
hat den ,zusammenhang der ,zeit mit der 
,zahl erkannt und  im direkten          
,gegensatz zu ,kant die ,zeit auf die   
,zahl zurckgefhrt4 ,im  ,buch ,,iv der  
,physik heisst es3 die ,zeit scheint die
 ,bewegung einer  ,kugel zu sein1 weil  
durch sie die brigen ,bewegungen        
7,rotationen7  gemessen werden4 -- ,ganz
 hnlich heisst es in der                
,naturphilosophie  ,lorenz ,oken's1 des 
,vorgngers von ,darwin1 die ,zeit ist   
gleichsam  eine fortrollende ,kugel1 die
 immer in sich selbst wiederkehrt4 --   
,an  anderer ,stelle nennt er die ,zeit 
die ,zahl des ,kontinuums1 und die      
,zahl der ,bewegung in bezug auf vorher 
und nachher1 ,mass der ,ruhe  und       
,bewegung4 ,wichtig ist1 dass er ,phys4 
#aj auseinandersetzt1 dass die  ,zeit   
nicht aus ,momenten bestehe und ganz des
 ,aristoteles wrdig ist die  ,stelle    
,phys4 ,,iv ,kap4 #aj3 ,ob das ,jetzt1  
das ,vergangenheit und ,zukunft  trennt1

 immer ein und dasselbe sei1 oder       
anderes und anderes1 das ist  nicht     
leicht zu entscheiden4    ,sidenote3    
,aristoteles 7vita74    ,aristoteles1   
der ,stagirite1 wie er oft genannt wird1
 ist #chd in  ,stageira einer ,stadt der
 athenischen ,landschaft ,chalcidice    
geboren4  ,sein ,vater ,nikomachos war  
,leibarzt des ,knigs ,amyntas von       
,macedonien1  des ,vaters ,philipps der 
die entzweiten ,hellenen unter das      
,macedonische  ,joch einte4 ,im #ah4    
,jahre kam er nach dem ,tode beider     
,eltern als ein  wohlhabender und       
wohlerzogener ,hellene nach ,athen      
vermutlich um  ,platons willen1 dessen  
,schule er bis zum ,tod ,platons1       
zwanzig ,jahre  lang angehrte4 ,daneben 
muss der ,sohn des ,arztes mit dem      
,fleiss und  der ungeheuren             
,arbeitskraft eines grossen ,genius     
geschafft haben um  sich auf            
naturwissenschaftlichem und             
politisch-historischem ,gebiete  das    
,riesenmaterial von ,kenntnissen        

anzueignen1 das in seinen ,schriften    
verarbeitet ist4 ,zwei ,strmungen von   
ganz ungewhnlicher ,strke sind in       
,aristoteles vereinigt1 einerseits ist  
er der erste grosse ,biologe1  der mit  
gleicher ,sorgfalt das grsste wie das   
kleinste ,lebewesen  beobachtet1 er hat 
es ja selbst ausgesprochen1 dass es fr  
den  ,forscher nichts ,grosses und      
nichts ,kleines gebe1 -- andererseits   
ein  ,systematiker von extremer         
,nchternheit und ,klarheit4    ,dass der
 ber dreissigjhrige ,mann in den letzten
 ,jahren seines ,lehrers  dem           
,platonismus schon mit kritischem       
,geiste gegenberstand1 ist an sich  im  
hchsten ,grade wahrscheinlich1 auch wenn
 es nicht durch den ,klatsch  der       
,schule bezeugt wre4 ,insbesondere      
richtete sich seine ,kritik wohl  damals
 schon gegen die ,ideenlehre4           
,aristoteles hat hier wohl von  ,anfang 
an dem ,schwunge des ,dichters nicht    
folgen knnen1 vermge einer  ,schwche    
seiner ,begabung gerade auf dem ,gebiete

 der ,phantasie4 ,und  dann muss gesagt 
werden1 dass ,platon selbst seine eigene
 grossartige  ,auffassung der ,idee1 des
 reinen ewigen ,urbilds1 die ber den    
,dingen  stehend1 die ,kraft ist1 welche
 die ,dinge schafft1 mit zunehmendem    
,alter mehr und mehr verdunkelt und     
abgeschwcht hat1 man vergleiche  die 1  
die ,gesetze1 auch den ,zusatz1 die 4   
,so erklrt es  sich1 dass in der        
,darstellung des ,aristoteles die       
,ideenlehre in die  ,zahlenmystik der   
,pythagorer berging4    ,doch war und   
blieb er ,platoniker1 wie schon daraus  
hervorgeht1 dass er  unmittelbar nach   
dem ,tode des ,meisters ,athen fr lange 
,zeit verliess1  und zwar in            
,gemeinschaft mit dem                   
leidenschaftlichsten ,verehrer ,platons1
  dem ,xenokrates1 der nach dem ,tode   
von ,platons ,neffen ,speusippos  der   
,leiter der ,akademie war4 ,aristoteles 
brachte die nchsten drei  ,jahre bei    
seinem ,bundesbruder ,hermias1 dem      
,frsten von ,atarneos und  ,assos zu1   

und heiratete nach dessen ,tode die     
,schwester oder ,nichte  desselben4 ,im 
,jahre #cdc 7oder #cdb7 bernahm er die  
,ausbildung des  damals dreizehnjhrigen 
,alexander1 und diese ,verbindung1      
obwohl sie  nur #c ,jahre dauerte1 da   
,alexander schon mit #af ,jahren die    
,vertretung  seines ,vaters ,philipp in 
,macedonien bernahm1 wurde fr beide     
grosse  ,mnner von hchster ,bedeutung4  
-- ,aristoteles ging zunchst in seine   
,heimatstadt ,stageira1 er blieb aber   
bis kurz vor ,alexanders ,tode1 bis  er 
durch die ,torheit seines ,neffen       
,kallisthenes jenem entfremdet wurde1   
in innigster ,verbindung mit dem ,knige4
 ,mit kniglicher ,freigebigkeit  gewhrte
 ,alexander die ,mittel1 welche er zu   
seinen ,arbeiten brauchte1  alle fremden
 ,tiere und ,pflanzen wurden ihm        
zugesandt1 und die ,summen1  derer er zu
 seiner grossen ,bibliothek bedurfte1   
verdankte er wohl auch  zum grossen     
,teil dem ,knige4 ,aristoteles ist der  
erste ,gelehrte1 von  dem wir wissen1   

dass er sich eine grosse ,bchersammlung 
angelegt hat1  und das war damals ein   
noch weit kostspieligeres ,vergngen als 
heute1  um so mehr als er auch dafr     
sorgte1 dass die wichtigsten ,werke     
durch  ,abschriften weiteren ,kreisen   
zugnglich gemacht wurden4 ,die ,sammlung
  hat er seinem bedeutendsten ,schler1  
dem ,theophrast hinterlassen4           
,dreizehn ,jahre nach dem ,tode ,platons
 kehrte er nach ,athen zurck1 nahm  den 
,unterricht in der ,rhetorik1 den er    
schon bei ,lebzeiten ,platons sehr      
erfolgreich gefhrt hatte1 wieder auf1   
und erffnete jetzt ebenfalls  bei einem 
,gymnasium1 dem ,lyceum1 eine eigene    
,philosophenschule und  begrndete den   
dazu gehrigen ,freundschaftsbund4 ,in   
den ,parkanlagen des  ,lyceums auf- und 
abgehend1 disputierte er mit seinen     
,schlern und von  dieser ,gewohnheit    
erhielten die ,jnger den ,namen der     
,peripatetiker4  bermenschliches hat er 
in den #ab ,jahren seiner ,lehrttigkeit 
geleistet4 ,abgesehen von einzelnen     

,dialogen1 welche schon zu  ,platons    
,zeiten verffentlicht waren1 sind fast  
alle seine grossen  ,lehrschriften1 die 
ja im wesentlichen ,vorlesungshefte fr  
seinen und  seine ,schler ,gebrauch     
waren1 hier entweder entstanden oder    
doch wenn  nicht konzipiert1 so doch    
redigiert4 ,aristoteles starb #ccb zu   
,chalcis  auf ,euboea1 wo er ein        
,landgut besass1 an einem ,magenleiden4 
,sidenote3 ,aristoteles1 ,werke4    ,ich
 erwhne zuerst seine grossartigen       
naturwissenschaftlichen ,werke1  als    
,systematiker beginnt er mit der        
unorganischen ,natur4 ,zunchst die      
,physik1  1 #h ,bcher1 zu denen uns der 
sehr wichtige  ,kommentar des           
,simplicius erhalten ist4 ,dies ,werk   
hat bis an das #ah4  ,jahrh4 heran den  
,stoff fr die ,vorlesungen ber ,physik  
gegeben4 ,dann  die ,astronomie1   de   
coelo1 #d ,bcher 7dazu ,kommentar des   
,simplicius74 ,er kritisiert die        
,pythagorer1 den ,hiketas1 den          
,aristarch  von ,samos1 welche die      

zentrale ,stellung der ,erde im         
,weltsystem  aufgegeben2 und seine      
,autoritt hat bis auf ,kopernikus den   
,weg zum  ,fortschritt versperrt4 ,in de
 coelo  #ac1 #bic lesen wir3        4   
,man muss der ,erde die ,stelle des     
,mittelpunktes  wiedergeben3 denn  ,raum
 steht bei ,aristoteles hufig fr   ,ort4
 ,weiter nenne ich die ,schrift ber     
,entstehen und ,vergehen1      #b       
,bcher1 die ,meteorologie #d ,bcher1    
woran sich  auch ein ,werk ber          
,mathematik im engeren ,sinne           
angeschlossen haben  soll1 was aber     
nicht gerade wahrscheinlich ist4 ,es    
schliessen sich dann  die ,werke ber die
 lebenden ,wesen an1 beschreibende und  
untersuchende4  ,zunchst die grossartige
 ,zoologie1    4 #i ,bcher1  dann #g    
,bcher ,anatomie1 dann die              
7physiologische7 ,psychologie1   1      
,wahrnehmen und ,wahrgenommenes1        
,gedchtnis und ,erinnerung1  ,traum und 
,wachen4 -- ,ferner ber ,kurz- und      
,langlebigkeit1 ,leben  und ,tod1 und   

damit verbunden1 ber das ,atmen4 ber die
 ,teile der  ,tiere1 die ,erzeugung und 
den ,gang der ,tiere 7wahrscheinlich    
unecht74  -- ,die #b ,bcher ber die     
,pflanzen sind verloren1 weil sie von   
der  reichhaltigeren ,schrift des       
,theophrast aufgesaugt und verdrngt     
sind1 eine im ,altertum hufige          
,erscheinung4 -- ,an die ,zoologie1     
welche  mit dem ,menschen endet1 reihen 
sich dann folgerichtig die grossen      
,werke ber das sittliche ,handeln des   
einzelnen ,menschen1 und ber  sein      
,leben im ,staate an1 ,ethik und        
,politik4 ,von den drei ,ethiken ist    
die grosse sog4 ,nikomachische ,ethik   
unbezweifelt das echte ,werk  des       
,aristoteles1 whrend die andere die     
,eudemische ein ,kollegienheft  des     
,eudemos ist1 und die dritte1 die sog4  
grosse ,moral ein ,auszug  aus dem      
,eudemos ist4 ,die ,ethik handelt von   
dem hchsten ,gut1 von der  ,tugend1 von 
der ,freundschaft etc4 ,das hchste ,gut 
sieht sie in der  reinen ,denkttigkeit2 

die wissenschaftliche ,arbeit um ihrer  
selbst  willen1 diese ist gttlich4 ,ihr 
zunchst steht im ,werte die ,tugend1 die
  ethische ,tugend ist auf den ,willen  
gerichtet1 der lernen muss1 um es  kurz 
auszudrcken1 die richtige ,mitte        
zwischen zwei ,lastern zu halten4  ,tief
 empfunden und wahrhaft beredt ist1 was 
,aristoteles ber die  ,freundschaft     
sagt1 ohne die ihm zufolge keine        
,gemeinschaft bestehen  kann4    ,von   
den staatswissenschaftlichen ,werken ist
 uns die ,politik  erhalten1 #h ,bcher1 
unvollendet1 aber wie ,zeller sagt1 eins
 von  den reifsten und                  
bewundernswertesten ,erzeugnissen seines
 ,geistes4  ,verloren sind bis auf      
wenige ,bruchstcke1 die sog4 1 eine     
wahrscheinlich lexikalisch geordnete    
,sammlung der ,verfassung von #aeh      
,staaten oder ,stdten1 anfangend mit    
,athen4 ,vor wenigen ,jahren ist  gerade
 die ,verfassung ,athens in der         
,leichenbinde einer gyptischen  ,mumie  
gefunden und von ,keibel und ,kiessling 

meisterhaft  bersetzt worden4 ,sie zeigt
 uns was wir verloren haben und ist     
unschtzbar fr die ,beurteilung des      
,aristoteles4 ,whrend dieser in  den    
exakt-wissenschaftlichen und            
philosophischen ,schriften in ,sprache  
und ,form meist trocken1 nchtern und    
knapp ist1 -- er hat ja die             
philosophische ,fachsprache1 ich mchte  
sagen1 den ,jargon geschaffen1  der die 
meisten philosophischen ,werke so       
ungeniessbar macht1 --  begreifen wir   
hier wie ,cicero sagen konnte1          
,aristoteles habe die  alten ,rhetoren  
suavitate et brevitate dicendi1 durch   
,anmut und  treffende ,krze der         
,sprache1 weit hinter sich gelassen4    
,zugleich aber bekommen wir auch zum    
ersten ,male ein genaues ,bild vom      
alten ,athen und sind imstande die      
,anziehungskraft zu begreifen1 welche   
,athen auf die ,hellenen ausbte4 ,wir   
sehen hier eine ,verfassung von  solchem
 echten ,liberalismus und von solcher   
,humanitt1 wie sie noch nie  zum zweiten

 ,male existiert hat4 ,selbst die       
,staatssklaven der ,athener  erfreuten  
sich einer ,freiheit1 die in vieler     
,hinsicht grsser war als  die der       
heutigen ,staatssklaven1 der ,beamten4  
,interessant ist auch die  ,rolle1      
welche die ,erbtochter schon damals     
spielte4    ,die ,anschauung des        
,aristoteles ber ,kunst kann ich hier   
nur flchtig  streifen1 erhalten ist nur 
die ,potik1 und auch sie nur als        
,fragment1 aber ,sie wissen1 welchen    
langdauernden ,einfluss die sog4  drei  
,einheiten1 welche ,aristoteles fr das  
,drama forderte1 die ,einheit  des      
,orts1 der ,zeit und der ,handlung1     
gerade weil die ,forderungen            
missverstanden wurden1 insbesondere auf 
das klassische ,drama der  ,franzosen   
gehabt haben4    ,nun zu den            
eigentlichen philosophischen ,schriften 
des ,aristoteles4  ,zuerst bereitet er  
sich den ,boden fr das ,verstndnis      
seiner ,gedanken  dadurch1 dass er die  
,gesetze1 denen unser ,denken           

unterworfen ist1  die ,lehre vom        
,schluss und vom ,beweise1 die formale  
,logik1 als der  ,erste genau           
formulierte4 ,die ,logik des            
,aristoteles zerfllt in #b  grosse      
,abteilungen1 die ,topik und die        
,analytik1 zusammengefasst  als ,organon
 id est ,werkzeug4 ,ich nenne hier ,f4  
,kampe1 die  ,erkenntnistheorie des     
,aristoteles ,leipz4 #ahgj1 ,r4 ,eucken1
 die  ,methode der arist4 ,forschung    
,berl4 #ahgb4 ,von neuen ,ausgaben seien
 die  der ,berliner ,akademie von       
#ahca-gj in #e ,bnden und die auf #ce   
,bnde  berechnete der griech4           
,kommentare hervorgehoben1 darunter die 
,physik  des ,simplicius von ,h4 ,diels 
#ahhb und eben desselben ,astronomie von
  ,j4 ,l4 ,heiberg #ahid4    ,die       
,grundlagen jeder wissenschaftlichen    
,arbeit sind im ,organon fr ewig        
gelegt4 ,die ,logik wird als            
wissenschaftliche ,technik aufgefasst1  
er  will keine vollstndige              
,erkenntnistheorie geben1 etwa wie ,h4  

,cohen's  ,logik der reinen ,erkenntnis1
 sondern zunchst eine ,untersuchung ber 
die ,formen und ,gesetze der            
wissenschaftlichen ,beweisfhrung4 ,die  
,topik  beschftigt sich mit der         
,dialektik1 der ,lehre vom ,beweisbaren 
und  dem ,wahrscheinlichen2 von den     
,analytiken beschftigt sich die erste   
mit dem ,schlusse1 die andere mit der   
,beweisfhrung gesttzt auf den           
,syllogismus4 ,die ,syllogistik hat es  
mit der ,erkenntnis derjenigen          
,denkformen zu tun1 denen zufolge mit   
,hilfe eines ,zwischenbegriffs1  der im 
einen ,urteil ,prdikat1 im anderen      
,subjekt ist1 entschieden  werden soll1 
ob ein ,begriff unter einem andern      
subsumiert werden soll1  ganz oder      
teilweise1 oder nicht4 ,aristoteles hat 
die ,urteile nach  ,quantitt und        
,qualitt eingeteilt1 und zwar nach      
,quantitt3 generelle1  partikulre1      
singulre1 7allgemeine1 besondere1       
einzelne7 und nach  ,qualitt3           
affirmative und negative 7bejahende und 

verneinende74    ,ein ,punkt der fr     
,mathematiker besonders wichtig ist muss
 betont  werden4 ,nicht ,schopenhauer   
hat zuerst die ,forderung erhoben3 der  
wahre ,beweis muss nicht nur dass etwas 
ist1 sondern warum es ist1  aufdecken1  
sondern ,aristoteles hat   ,,ii1 #b mit 
grsster  ,schrfe das nmliche gefordert4 
,sidenote3 ,aristoteles ,philosophie4   
,an die ,logik1 die ,wissenschaftslehre1
 schliesst sich die ,metaphysik  an4    
,aristoteles setzt die ,platonische     
,philosophie voraus1 und indem  er sie  
umbildet1 verbildet und fortbildet1 ist 
er der ,vollender der                   
,begriffsphilosophie4 ,die ,metaphysik  
beginnt mit der berhmten ,tafel  der    
,kategorien1 der irreduzibeln           
,stammbegriffe der ,vernunft1 die       
,grundformen aller ,aussagen4 ,sie sind 
bei ihm nicht vllig das was ich         
,konstituenten des ,intellekts nenne1   
,methoden grosse ,gruppen von           
,erkenntnissen zusammenzufassen und zu  
ordnen4    ,sidenote3 ,aristoteles ber  

,grsse4    ,er unterscheidet3 #a7       
,substanz 71 ,wesenheit7 #b7 ,grsse1    
,quantitt1  41 #c7 ,beschaffenheit1     
,qualitt1 1 #d7 ,beziehung1 ,relation1  
41 #e7 ,worin1 ,raum1 41 #f7 ,wann1     
,zeit1 41 #g7 ,lage1 1  #h7 ,haben1 1   
#i7 ,wirken1 1 #aj7 ,leiden1 4 ,lage und
  ,haben scheinen nur aufgestellt1 um   
die ,zehnzahl der ,pythagorer voll  zu  
machen1 er lsst sie im ,laufe der       
,untersuchung fallen4 ,doch wird  die   
die ,lage von ihm als ,grundeigenschaft 
des ,raumes erkannt4  ,uns interessiert 
am meisten was er ber ,grsse sagt4      
,alles was sich in  substantielle ,teile
 teilen lsst1 ist eine ,grsse 7dieselbe 
,definition  gab ,weierstrass im        
,colleg474 ,sind die ,teile             
zusammenhngend1 so ist  die ,grsse      
stetig 771 die ,lehre von der           
kontinuierlichen  ,grsse geht wie       
beinahe jede scharfe begriffliche       
,untersuchung auf  ,aristoteles zurck1  
der auch die recht eigentlichen         
mathematischen  ,probleme1 die          

,zusammensetzung und ,trennung des      
,kontinuums erfasst  hat4 ,ausfhrlicher 
spricht er sich ber ,kontinuitt in der  
,physik c4  #c1 #bbg und #aj aus3 ,es   
sei etwas stetig1 wenn die ,grenze eines
 jeden  zweier aufeinander folgenden    
,teile1 in der dieselben sich berhren1  
ein und dieselbe ist1 und sie1 wie es   
auch das ,wort bedeutet1 7  zusammen1   
halten7 zusammengehalten werden4 ,sind  
die ,teile in einer  bestimmten ,lage1  
so sind die ,grssen extensive oder      
,raumgrssen1  das ,ungeteilte oder die  
,einheit1 mit der sie gemessen wird1 und
  die ,messbarkeit1 dass sie ein ,mass  
hat1 ist das unterscheidende  ,merkmal  
der ,grssen4 ,auch die fr die           
,ausbildung des ,integralbegriffs       
grundlegenden ,probleme der             
,zusammensetzung und ,trennung des      
,kontinuums  sind von ihm gestellt4 ,und
 wenn auch    vielleicht  wie ,tannery  
meint1 nur ein ,schlerheft1 so ist doch 
unbestritten4 ,das ,argument mit dem    
,aristoteles bewies1 dass ,raum und     

,zeit nicht aus ,punkten bestehen 7es   
htten sonst z4 ,b4 ,seite und           
,diagonale des ,quadrats gleichviel     
,punkte und wren gleich7 haben die      
,arabischen ,aristoteliker1 7wie        
,averros71 gegen die ,mutakallimun      
7,logiker7 gebraucht4    ,fr die        
,qualitten werden zwei ,hauptarten      
unterschieden1 diejenigen1  welche sich 
auf einen substantiellen ,unterschied   
und diejenigen1 welche  sich auf        
,bewegung und ,ttigkeit beziehen4 ,als  
ein charakteristisches  ,merkmal der    
,qualitt wird der ,gegensatz des        
hnlichen und ,unhnlichen  betrachtet2 zu
 bemerken ist hier1 dass ,kategorien der
 ,anschauung von  ,aristoteles nicht    
aufgestellt werden1 wie z4 ,b4 ,abstand1
 ,richtung4    ,der wichtigste          
,stammbegriff ist der der ,substanz1 der
 der ,trger der  brigen ist1 und so ist 
es die ,untersuchung ber das ,seiende   
als  ,seiendes von der die ,philosophie1
 welche den ,zweck hat die ,erfahrung   
zur ,einheit zusammenzufassen1 ausgehen 

muss4 ,ich fhre hier als den            
wichtigsten ,satz an das berhmte3  '    
41 der  widerspruchsfreie ,begriff      
begrndet keine ,existenz des            
,definierten1 mit  dem z4 ,b4 der       
ontologische ,beweis des ,daseins       
,gottes und die ,grundlage  ,spinozas   
zusammenbricht4 ,die erste und hchste   
,philosophie hat die  ,aufgabe die      
letzten 7,a4 sagt richtiger die ersten7 
und allgemeinsten  ,grnde der ,dinge zu 
erforschen1 sie gewhrt das umfassendste 
,wissen1  dasjenige1 welches am         
schwersten zu erlangen ist1 da die      
allgemeinsten  ,prinzipien von der      
sinnlichen ,erfahrung am weitesten      
abliegen1 das  sicherste1 weil sie es   
mit den irreduziblen ,begriffen und     
,axiomen zu  tun hat1 das was am meisten
 ,selbstzweck ist1 weil es die ,zwecke1 
denen  alles dient1 feststellt4 ,sie    
muss alles ,wirkliche schlechthin       
umfassen1  denn die letzten 77 ,grnde   
sind nur die1 welche alles ,seiende als 
,solches erklren4 ,andere               

,wissenschaften1 wie ,medizin und       
,mathematik1  beschrnken sich auf ihr   
,gebiet1 das sie nicht weiter           
definieren1 die  ,wissenschaft von den  
letzten ,grnden muss die ,gesamtheit der
 ,dinge  auf ihre ewigen ,ursachen und  
in letzter ,instanz auf das ,unbewegte  
und  ,unkrperliche1 d4 h4 auf ,gott     
zurckfhren1 von dem alle ,bewegung  und 
,gestaltung des ,krperlichen ausgeht4   
,er nennt diese ,wissenschaft1  die     
,metaphysik1 erste ,philosophie auch    
,theologie4 ,angesichts des  ,schwungs  
der ,sprache und der ,wucht der ,grnde  
mit denen ,aristoteles  den             
,gottesbegriff sttzt1 wird es           
begreiflich1 wie die ,scholastik1 wie   
ein ,thomas von ,aquino im ,gegensatz zu
 ,platon1 mehr und mehr sich auf        
,aristoteles sttzen musste1 der fast zu 
einem ,heiligen der katholischen        
,kirche geworden ist4 ,verbot doch im   
,jahr #afbd das franzsische  ,parlament 
jeden ,angriff gegen seine ,autoritt bei
 ,todesstrafe4    ,sidenote3            

,aristoteles und die ,ideenlehre4       
,indem er nun nher auf dasjenige        
eingeht1 was allen ,seienden als        
solchem zukommt1 untersucht er den ,satz
 vom ,widerspruch1 der ja in der        
,mathematik eine so entscheidende       
,stelle im indirekten ,beweis einnimmt1 
denken ,sie nur an die grosse ,menge    
stereometrischer ,stze1 welche sich  auf
 den ,widerspruch gegen das             
,parallelenaxiom zurckfhren lassen4 ,er 
knpft an seine ,untersuchung den ,satz  
vom ausgeschlossenen ,dritten  7aut est1
 aut non est1 tertium non datur74 ,ich  
muss fr ,aristoteles'  ,metaphysik auf  
,bonitz1 ,windelband1 ,zeller etc4      
verweisen1 nur seine  ,gestaltung der   
,ideenlehre muss ich besprechen1 denn in
 ihr besteht  ja seine ,emanzipation von
 ,platon4 ,aristoteles hat die ,idee    
,platons  missverstanden1 vielleicht    
weil ,platon sich nicht mit ,konsequenz 
dahin  ausgesprochen1 dass seine ,idee  
auf der ,ausschaltung des ,zuflligen    
beruht4 ,letzteres ist fr uns           

unbefriedigend und indem wir es         
auffassen  als etwas1 was sein oder     
nicht sein kann1 verstsst es gegen den  
,satz  vom ,widerspruch4 ,die           
,platonische ,idee1 als zeitlose ,norm  
aus wenigen  ,erfahrungen vermge eines  
,grundtriebs unseres ,intellekts        
geschaffen1  steht ber den ,dingen1     
,aristoteles und vermge seiner ,autoritt
 fast  alle ,nachfolger fassen sie als  
neben den ,dingen1    41  als ausserhalb
 der wirklichen ,welt und in keinem     
,zusammenhange mit  ihr stehend1 wie die
 praestabilierte ,harmonie des ,leibniz1
 wo ihre  ,wirkung dann allerdings      
unerklrlich ist4 ,aristoteles fasst die 
,idee  als   1 als in jedem ,dinge1     
jedes ,ding existiert eigentlich  nur   
insoweit1 als es seine ,idee ausdrckt4  
,man sieht1 dass er ,platon             
missversteht1 um im ,grunde auf ihn     
zurckzugreifen4 ,aristoteles            
unterscheidet die 1 den ,stoff1 die     
,materie1 die gestaltlos1 nur die       
,mglichkeit1 die 1 zum ,wirklichen1 zur 

hat1 das ihnen  allein durch die ,idee 1
 die ,form zugefhrt wird4 ,die ,idee ist
  zugleich die ,zweckursache1 der gemss 
die ,wesen sich entwickeln1 sie  ist die
 ,seele jedes einzelnen ,dinges4        
,sidenote3 ,aristoteles1 ,stoff und     
,form4    ,man darf den aristotelischen 
,begriff der ,form nicht mit unserm     
,wort  verwechseln1 ein toter ,mensch   
ist der ,idee nach kein ,mensch1 noch   
ein  gefllter ,baum ein ,baum4 ,stoff   
und ,form wechseln1 ,bauholz ist in     
,bezug  auf den lebenden ,baum ,stoff1  
in ,bezug auf den unbehauenen ,stamm    
,form1  ,erz fr den ,bildhauer ,stoff1  
fr den ,erzgiesser ,form etc4 ,so stellt
  sich die ,gesamtheit alles ,seienden  
als eine ,stufenleiter dar1 deren       
unterste ,stufe1 die erste ,materie oder
  1 unterschiedslos1  unbestimmt und    
formlos1 deren oberste eine letzte      
,idee1 der mit gar  keinen ,stoff       
behaftete absolute gttliche ,geist4 ,der
 ,gottesbegriff des  ,aristoteles hat   
etwas berwltigendes4 ,er hat den        

ontologischen1 den  kosmologischen1 den 
teleologischen1 den moralischen ,beweis 
fr das  ,dasein ,gottes geschaffen1 er  
beherrscht die katholische ,theologie   
nicht  nur durch das ganze ,mittelalter1
 sondern noch heute und ,metaphysik     
,,xii finden ,sie in einen bei          
,aristoteles ganz ungewhnlichen fast    
dichterischem ,schwung die ,schilderung 
des ,wesens der ,gottheit4    ,in dem   
,verhltnis des ,stoffs zur ,form hat nun
 ,aristoteles die beiden  fr sein       
,system und fr die ,mathematik gleich   
wichtigen ,begriffe  des ,potentiellen  
und ,aktuellen1 der  und  7auch         
,vollendung71 ,mglichkeit und           
,wirksamkeit geschaffen1 denken  ,sie   
nur an die potentielle und aktuelle     
7kinetische7 ,energie der  heutigen     
,mechanik4 ,in der ,auffassung der      
,bewegung als bergang des               
,potentiell-,seienden zum               
,aktuell-,seienden hat er die           
,schwierigkeit die  der ,begriff des    
,werdens seinen ,vorgngern machte       

berwunden2 es ist  ein und dasselbe     
,sein1 um das es sich handelt1 nur auf  
verschiedener  ,entwicklungsstufe4      
,potentiell1   ist das ,samenkorn ein   
,baum1  der ausgewachsene ,baum ist es  
aktuell1 ' 4 ,potentieller  ,philosoph  
ist ,aristoteles1 wenn er schlft1 der   
bessere ,feldherr ,sieger  vor der      
,schlacht1 potentiell ist der ,raum ins 
,unendliche teilbar1 die  ,zahl ins     
,unendliche zhlbar1 potentiell ist      
,alles1 was sich gemss der  in ihm      
liegenden ,idee entwickeln kann1 wenn   
mglich zur ,vollendung1 zur             
,entelechie1 zur vollendeten            
,darstellung seiner ,idee4    ,sidenote3
 ,aristoteles1 das ,unendliche4         
,diese beiden fundamentalen             
,unterschiede des ,seins1 das           
,potentielle  und das ,aktuelle1 hat    
,aristoteles auch im ,begriff des       
,unendlichen  hervorgehoben2 von ihm    
rhrt die bis auf den heutigen ,tag1 ich 
nenne  ,georg ,cantor1 herrschende      
,unterscheidung des infinitum potentia  

et actu1 des ,unendlichen im ,werden und
 des ,unendlichen im ,sein4 ,es  ist    
unmglich die ,scholastiker oder ,cusanus
 zu verstehen1 ohne diese               
,unterscheidung zu kennen4 ,aristoteles 
hat zuerst und bis auf ,galilei  als der
 ,einzige wissenschaftlich den ,begriff 
,unendlich untersucht4 ,wohl  hat ,zeno 
den ,integralbegriff gestreift1         
,demokrit diesen ganz bewusst  benutzt1 
aber hier handelt es sich um eine       
logische ,untersuchung1  denn           
,unendlichkeitsbetrachtungen sind an    
sich so alt wie der ,mensch4  ,schon in 
den ,veden kommt die ,gttin des         
,unendlichen1 ,aditi1 vor  und ,max     
,mller sagt in seiner ersten            
,strassburger ,vorlesung alle  ,religion
 entspringt aus dem ,druck1 den das     
,unendliche auf das ,endliche  ausbt4   
,ich habe l4 c4 auf den ,ursprung des   
,unendlichkeitsbegriffs  aus dem        
,werkzeug unseres ,intellekts3 ,zeit    
hingewiesen1 bezw1 darauf1  dass wir uns
 ein ,ende unserer ,erlebnisse nicht    

denken knnen4 ,wenn  ,frege in seinen   
,grundlagen der ,arithmetik von #ahhd   
den ,versuch macht  die ,existenz von 7n
  #a7 mittelst des ,schlusses von n auf 
n  #a zu  beweisen1 so halte ich dagegen
 die ,unendlichkeit der ,anzahlenreihe  
fr  das ,prius1 das unmittelbar durch   
den ,zusammenhang der ,ordinalzahl mit  
der ,zeit gegeben ist4 ,mit jedem neuen 
,erlebnis ist eben auch eine neue       
,einheitssetzung und damit eine neue    
,ordinal- und ,kardinalzahl gegeben4    
,aristoteles kommt wie ,gauss zu dem    
,schluss1 dass das ,unendliche im       
,sein1 das infinitum actu oder ' 1 das 1
 das wovon  es kein ,jenseits gibt1 in  
der ,natur nicht existiert1      1 also 
als sinnlich wahrnehmbar existiert keine
 unendliche  ,grsse4 ,nur in ,gott als  
der unendlichen ,kraft1 welche die      
unendliche  ,bewegung der ,welt         
hervorbringt1 existiert das infinitum   
actu4 ,wohl  aber gibt er zu1 dass es   
ein infinitum potentia 7 7 gibt4  ,die  
,raumgrsse ist unbegrenzt teilbar1 aber 

ein unendlich kleines gibt  es nicht1   
sondern das  ist nur im ,entstehen und  
,vergehen4 ,und  die ,zeit und mit ihr  
die ,zahl ist unendlich gross im        
,werden1 aber auch  hier ist die        
,zunahme endlich1 die grosse ,zahl      
entsteht und vergeht1 und  macht der    
grsseren ,zahl ,platz1 eine unendlich   
grosse ,zahl existiert  nicht4 ,aber    
dieser grosse ,denker streift doch schon
 die ,lsung1 er  sagt in der ,physik    
,cap4 #e1 #bjd3 ,vielleicht ist die     
,untersuchung ob  das ,unendliche auch  
in der ,mathematik und in dem ,denkbaren
 und in  demjenigen was keine ,grsse    
hat1 existiere1 eine weit allgemeinere4 
,die ,lsung liegt eben darin1 dass das  
mathematisch ,unendliche  berhaupt keine
 ,grsse besitzt4 ,es genge hier auf ,b4 
,bolzano's  klassische ,paradoxien des  
,unendlichen zu verweisen4 ,bolzano1 auf
  den ,weierstrass und ,g4 ,cantor ganz 
unmittelbar fussen1 hat den             
,hauptanstoss hinweggerumt1 allerdings  
wrtlich nach ,galilei1 als  er          

hervorhob1 dass der ,begriff des ,ganzen
 keineswegs durch alle seine  ,teile    
hindurchzugehen braucht4 ,ich verweise  
hier auf einen ,vortrag im              
internationalen ,kongress zu ,rom4      
,sidenote3 ,raum und ,zeit4    ,mit dem 
was ,aristoteles ber das  sagt1 hngen   
seine  ,betrachtungen ber ,raum und     
,zeit und ,bewegung eng zusammen4 ,der  
,raum  kann wohl unbegrenzt verkleinert1
 aber nicht unbegrenzt vergrssert       
werden1 auch gegen den ,demokritischen  
,begriff des leeren ,raumes 7und  des   
,atoms7 polemisiert er1 dagegen nhert er
 sich der ,auffassung  ,kants und noch  
mehr der von ,h4 ,cohen betrchtlich und 
fhrt die  ,zeit auf die ,bewegung des   
,jetzt 7 7 zurck und bemerkt1 dass  sie 
ohne das erkennende ,subjekt nicht      
existiere4 ,sehr wichtig ist  das1 was  
er vom ,zeit- und ,raumpunkt sagt3 das  
zeitlich und rumlich  nicht mehr        
,teilbare ist niemals an und fr sich    
7actu7 gegeben1  sondern nur potentiell 
in der stetigen ,grsse enthalten1 und   

wird  nur durch ,verneinung d4 h4 durch 
negative ,prdikate 7limitierende        
,urteil ,cohens7 erkannt4 ,und          
einigermassen erstaunt war ich1 als ich 
die ,auffassung der ,ruhe als ,grenze   
der sich stetig verlangsamenden         
,bewegung1 welche ich mir vor #cj       
,jahren ohne noch ,leibniz zu kennen    
gebildet hatte1 dem ,wesen nach bei     
,aristoteles fand1 der sagt1 dass  es in
 einem ,zeitpunkt weder ,ruhe noch      
,bewegung gibt1 sondern nur einen       
bergang und der ,krper1 wenn er von der 
,bewegung zur ,ruhe bergeht1  noch in   
,bewegung ist4    ,aristoteles der heute
 nach mehr als #bjjj ,jahren noch       
lebendig  fortwirkt1 der auf            
,christentum1 ,judentum1 ja selbst auf  
den ,islam  auf das tiefste eingewirkt  
hat1 -- ist doch ,moses ben ,maimon1    
der auf ,thomas von ,aquino so          
bedeutenden ,einfluss bte1 durch  seine 
,schule gegangen -- der abstrakteste    
,denker und zugleich der  exakteste     
,beobachter1 der grsste ,empiriker und  

zugleich einer der  grssten ,idealisten1
 hat eigentlich erst die einzelnen      
,disziplinen  geschaffen4 ,bis zu ihm   
gibt es eine ,gesamtwissenschaft  1  von
 ihm ab und durch ihn existieren die    
einzelnen ,disziplinen4 ,sein  ,schler  
,medon schrieb nach seinem ,plan die    
,medizin 41 seine  ,physik1 ,astronomie1
 ,zoologie1 ,psychologie bilden den     
,inhalt der  ,universittsvorlesungen bis
 in die ,neuzeit1 ,botanik1             
,meteorologie1  ja selbst ,chemie wie   
,rhetorik1 ,poetik etc4 werden          
selbstndig1 wie  ,mathematik und die    
,philosophie selbst1 der er die         
besondere ,aufgabe  zuwies1 die         
,erfahrung zur ,einheit                 
zusammenzufassen4 ,und nicht minder  die
 ,geschichte1 das erste ,buch seiner    
,metaphysik ist die erste und  zugleich 
mit die beste ,geschichte der           
,philosophie und berall hat  er         
,geschichte und ,kritik hineingewoben4  
,von ihm an beginnt eine  #ejj ,jahre   
andauernde ,periode der                 

,einzelforschung1 die erst bei den      
,neuplatonikern zur ,zusammenfassung    
fhrt4    ,sidenote3 ,aristoteles3       
,theophrast1 ,eudemos4    ,die beiden   
bedeutendsten ,peripatetiker1           
,theophrast1 der ,freund und  ,schler   
des ,aristoteles1 der die ,botanik      
seiner ,zeit kodifiziert hat1  und      
,eudemos der ,rhodier haben beide eine  
,geschichte der ,mathematik             
geschrieben4 ,die des ,theophrast ist   
spurlos verschwunden1 von der  des      
,eudemos sind sprliche ,fragmente durch 
,proklos1 ,eutokios und  ,simplicius    
erhalten1 sowie eine ,notiz aus dem     
,buch ber den ,winkel1   1 bei ,proklos4
 ,das wichtigste ist das oft erwhnte    
,mathematikerverzeichnis bei ,proklos4  
,friedl4 ,prolog ,,ii p4 #fe ff41 das   
aber ,tannery zufolge nicht direkt aus  
,eudemos stammt1 sondern aus  einer     
,verarbeitung des ,eudemos durch        
,geminos im #a4 ,jahrh4 n4 ,chr4 ,es    
endigt unmittelbar vor ,euklid4         
,sidenote3 ,euklid1 vita4    ,von dem   

,verfasser der ,elemente1 des ,werkes1  
das unter allen  mathematischen ,werken 
fr die ,bildung der ,menschheit weitaus 
das  wichtigste gewesen ist1 kennt man  
weder ,ort noch ,zeit der ,geburt  und  
des ,todes1   4 ,seinen ,zeitgenossen   
und der  nchstfolgenden ,generation war 
,euklid einfach der 1  der ,verfasser   
der ,elemente und bald ging die         
,kenntnis seiner ,person  verloren4     
,viele ,jahrhunderte ist er mit dem     
,philosophen ,euklid von  ,megara       
verwechselt worden1 der nach dem ,tode  
des ,sokrates die ,schule               
zusammenhielt1 und dieser ,irrtum findet
 sich schon bei ,valerius  ,maximus um  
#cj v4 ,chr4 und ist dort aus einer     
falschen ,auffassung einer  ,stelle bei 
,geminos 7,prokl4 p4 #fj7 entstanden4 --
 ,das ,wenige1 was wir  von ihm wissen1 
verdanken wir zumeist ,proklos1 einem   
,neuplatoniker  und ,nachfolger         
7,diadochos7 des ,plato in der ,leitung 
der ,akademie1  d4 h4 also ,rektor der  
,universitt ,athen1 der um #dej n4 ,chr4

 einen  ,kommentar zum ,euklid verfasst 
hat1 von dem uns die beiden ,prologe und
  der ,kommentar des ersten ,buchs der  
,elemente erhalten sind4 ,die ,stelle   
7,friedl4 ,s4 #fh7 lautet3 ,nicht viel  
jnger als diese 7,hermotimos1 der       
,kolophoner und ,philippos1 der ,schler 
,platons7 ist ,eukleds1 der die         
,elemente   verfasste1 wobei er vieles  
was vom ,eudoxos  herrhrte1 in          
zusammenhngende ,ordnung brachte1 vieles
 was ,theaitet  begonnen1 vollendete und
 ausserdem so manches was frher ohne    
rechte  ,strenge bewiesen war1 auf      
unantastbare ,beweise zurckfhrte4 ,und  
dieser ,mann lebte unter ,ptolemaios dem
 ersten1 denn ,archimedes1  dessen      
,lebenszeit sich an die des ersten      
,ptolemaios anschliesst1  erwhnt des    
,euklid in    1 ,heib4 ,i1 #b1 p4 #ad   
und zwar erzhlt er3 ,ptolemaios frug    
einmal den ,euklid1 ob es nicht  zur    
,geometrie einen bequemeren ,weg gebe   
als die ,elemente4 ,jener aber          
antwortete3 ,zur ,geometrie gibt es fr  

,knige keinen ,privatweg       4 ,er ist
 also jnger als die direkten  ,schler   
des ,platon und lter als ,eratosthenes  
und ,archimedes1 denn  diese waren      
,zeitgenossen1 wie ,eratosthenes        
irgendwo sagt4 ,aus ,grundsatz  war er  
,platoniker und in der ,platonischen    
,philosophie zu ,hause4    ,danach      
ergibt sich fr ,euklid etwa #cjj v4     
,chr4 als ,zeit seines  ,mannesalters   
7der 1 der ,zeit blhendster ,krper- und 
,geisteskraft1  welche die ,hellenen in 
das vierzigste ,jahr verlegten71 und    
dass er  in ,athen an der ,akademie     
gehrt hatte und dem engeren ,kreise der 
,akademiker angehrte4    ,zur           
,charakterisierung des ,euklid haben wir
 noch eine ,stelle bei  ,stobaios4 ,ein 
,mensch1 der bei ,euklid ,unterricht in 
der ,geometrie zu  nehmen begonnen      
hatte1 frug1 nachdem er den ersten ,satz
 der ,elemente  kennen gelernt hatte1   
was habe ich nun davon1 dass ich das    
weiss8  ,euklid rief seinen ,sklaven und
 sagte3 ,gib dem ,manne drei ,obolen1 da

 er  studiert um ,profit zu machen4 ,und
 schliesslich schildert ihn ,pappos  in 
der ,vorrede zum #g4 ,buch der          
,kollektaneen wie folgt3 ,erat ingenio  
mitissimus et erga omnes1 ut par erat1  
benignus qui vel tantillum  mathematicas
 disciplinas promovere poterant1        
aliisque nullo modo  infensus1 sed summe
 accuratus4 ,er war von mildester       
,gesinnung und wie  es sich geziemt     
wohlwollend gegen jeden1 der und wr's   
noch so wenig1  die mathematischen      
,disziplinen zu frdern vermochte1 in    
keiner ,weise  anderen gehssig1 sondern 
im hchsten ,grade rcksichtsvoll4 ,sie   
sehen1  dass ,euklid in der ,tradition  
seines ,volkes als hochgesinnter1 reiner
  wissenschaftlicher ,ttigkeit          
hingegebener ,mann fortlebte4           
,gelehrt hat er fr reife ,leute1 ganz in
 der ,weise unserer                     
,universittsprofessoren1 an der         
,universitt 7,museum7 ,alexandria1  wie 
uns l4 c4 ,pappos berichtet4 ,unter der 
den ,wissenschaften beraus  ergebenen   

,diadochen-,dynastie der ,ptolemer      
entwickelte sich des grossen  ,alexander
 ,stadt zur ,zentrale des ,hellenischen 
,geisteslebens4 ,man nennt  diese       
,periode die ,hellenistische4 ,es ist   
lange ,zeit ,mode gewesen die           
,alexandriner zu verspotten als         
,pedanten1 wegen ihrer grammatischen1   
auf die einzelnen ,worte gerichteten    
,untersuchungen1 haben sie doch  z4 ,b4 
die ,akzente eingefhrt4 ,aber auf dem   
,gebiete der exakten  ,wissenschaften   
ist die ,hellenistische ,periode        
erstklassig4 ,euklid grade  hat den     
,schwerpunkt von ,athen nach            
,alexandrien verlegt1 ,archimedes1      
,apollonios1 ,eratosthenes sind aus der 
,alexandrinischen ,schule               
hervorgegangen4 --    ,sidenote3        
,euklid1 ,schriften3 die ,data4    ,die 
,euklidischen ,schriften kennen wir     
durch die ,angaben der ,proklos  p4 #fh 
f4 und ,pappos l4 c4 ,von den ,elementen
 abgesehen sind im  griechischen ,urtext
 erhalten a7 die ,data1 1 ,gegebenes1   

mit  einer ,vorrede des ,marinos von    
,neapolis in ,palstina1 einem ,schler   
des ,proklos4 ,die ,echtheit des ,textes
 wird durch die ,inhaltsangabe  bei     
,pappos 7#cjj n4 ,chr47 besttigt1 welche
 im ,wesentlichen mit dem  ,text der    
,codices bereinstimmt4 ,die ,schrift    
enthlt #ie ,stze 7,pappos  #ij7 welche  
aussagen1 dass wenn gewisse geometrische
 ,gebilde gegeben  sind1 andere dadurch 
mit bestimmt sind1 also eine ,art       
geometrischer  ,funktionentheorie4      
,beispiele3 ,satz #b3 ,wenn eine        
gegebene ,grsse zu  einer zweiten ,grsse
 ein gegebenes ,verhltnis hat1 so ist   
die zweite  ebenfalls gegeben4 ,satz    
#cc3 ,in einem gegebenen ,streifen ist  
durch die  ,winkel1 welche eine         
,querstrecke mit den ,grenzen bildet1   
die ,lnge  der ,querstrecke bestimmt4   
,dem ,inhalt nach gehen die ,data nicht 
ber  die ,elemente hinaus1 doch war und 
ist eine solche ,zusammenstellung       
praktisch im hohen ,grade wertvoll fr   
die ,anwendung der seit und durch       

,platon sich immer mehr ausbreitenden   
analytischen ,methode1 deren ,wesen     
gerade darin besteht1 die durch die     
gegebenen ,stcke mit bestimmten         
,punkte1 ,linien1 ,figuren aufzusuchen1 
bis man zu einer konstruierbaren        
,nebenfigur gelangt4 ,die ,data sind    
daher eine sich eng an die ,elemente    
anschliessende ,anleitung zum           
,konstruieren nach der analytischen     
,methode1 etwa entsprechend ,petersen's 
bekannten ,methoden und  ,theorien4     
,sidenote3 ,astronomie4    ,erhalten ist
 unter dem ,titel ,phaenomena eine      
,schrift ber ,astronomie  7lectio       
sphaerica7 mit den ,anfangsgrnden der   
,sphrik4 ,die ,schrift  geht bedeutend  
ber die kurz vorhergehende des          
,autolykos hinaus4 ,ich  bemerke        
beilufig1 das die lectio sphaerica bis  
in die ,neuzeit hinein  der             
,schrittmacher fr die ,geometrie        
gewesen1 die sich im ,lehrplan der      
,gymnasien erst aus ihr entwickelt hat4 
,die ,schrift beginnt mit dem  ,satz3   

,die ,erde liegt in der ,mitte der ,welt
 und vertritt in bezug auf  dieselbe die
 ,stelle des ,mittelpunkts              
7,aristoteles7 und schliesst mit  dem   
,satz3 ,von zwei gleichen ,bogen des    
,halbkreises zwischen dem quator  und   
dem ,sommerwendekreis durchwandelt der  
eine1 beliebig genommen in  lngerer     
,zeit die sichtbare ,halbkugel als der  
andere die unsichtbare4  ,das ,wort     
,horizont stammt aus der ,schrift1      
welche von ,pappos im  #f4 ,buch seiner 
,kollektaneen erlutert und ergnzt wurde4
 7,a4 ,nokk1  deutsche bersetzung ,prgr4
 ,freiburg i4 ,brg4 #ahej74 ,heiberg hat
  nach einer ,bemerkung ,nokks bewiesen1
 dass diese ,schrift des ,euklid  einen 
sehr wesentlichen ,bestandteil der fr   
unsere elementare ,sphrik  grundlegenden
 ,schrift des ,theodosios von ,tripolis 
7etwa #ajj v4 ,chr47  gebildet hat      
7siehe ,m4 ,simon1 ,euklid und die sechs
 planim4 ,bcher1  ,leipzig #aija74      
,sidenote3 ,optik4    ,echt ,euklidisch 
sind auch die ,optica1 deren ,text      

,heiberg restituiert  hat4 ,der sonst   
gebruchliche ,text geht vermutlich auf  
ein ,kollegienheft  nach ,theon von     
,alexandrien1 dem ,vater der ,hypatia1  
der ersten uns  bekannten ordentlichen  
,professorin4 ,sie ist mutmasslich der  
,autor  unserer ,quadratwurzelausziehung
 und bekannt durch ihre ,schnheit  und  
ihr unglckliches ,schicksal4 ,von dem   
bestialischen christlichen  ,mnchspbel  
,alexandriens zerrissen1 wurde sie nach 
ihrem ,tode zu  ,professorenromanen     
ausgeschlachtet4 ,die ,schrift ,euklids 
gehrte zu der  ,sammlung1 welche unter  
dem ,titel  1 der kleine  ,astronom1    
neben den ,elementen das ,rstzeug des   
,astronomen bildete1  ehe er an das     
grosse ,lehrbuch des ,ptolemaios1 die   
7der ,almagest7 gehen konnte4 ,die      
,schrift gibt die ,anfangsgrnde der     
,perspektive4    ,dagegen ist die andere
 ,schrift ber ,optik1 welche unter      
,euklids ,namen  ging1 die ,katoptrik   
unecht4 ,heiberg macht es sehr          
wahrscheinlich1  dass die von ,proklos  

unter diesem ,titel erwhnte ,schrift des
 ,euklid  rasch durch das inhaltreiche  
,werk des ,archimedes ber den gleichen  
,gegenstand verdrngt wurde4             
,sidenote3 ,euklid1 ,schriften3 ,musik4 
,noch ber einen anderen ,zweig der      
angewandten ,mathematik haben  wir eine 
,schrift des ,euklid1 die  1 die ,lehre 
von  den musikalischen ,intervallen1 #bj
 ,stze1 wissenschaftlich auf dem        
,standpunkt der ,pythagorer4 ,eine      
zweite musikalische ,schrift1 die       
,harmonielehre1  1 rhrt wie schon ,hugo 
,grotius  #aeii erkannte von dem        
,aristoxenianer ,kleonides her4         
,aristoxenos1  direkter ,schler des     
,aristoteles als ,philosoph1 setzte der 
auf die  arithmetischen ,intervalle     
gegrndete ,harmonielehre der ,pythagorer
 die  ,lehre von den harmonischen       
,sinneseindrcken entgegen4    ,sidenote3
 ber ,teilung4    ,aus ,arabischen      
,quellen besitzen wir durch ,dee #aefc  
eine ,bearbeitung  und durch ,woepcke   
#ahea eine bersetzung der von ,proklos  

zweimal  erwhnten ,schrift  1 ber       
,teilungen1 welche wertvolle  ,aufgaben 
ber ,flchenteilung enthielt4 ,dort      
findet sich die noch  heute im          
,schulunterricht stets vorkommende      
,aufgabe3 ein ,dreieck durch  ,gerade   
von gegebener ,richtung in ,teile zu    
teilen1 welche ein gegebenes  ,verhltnis
 haben2 ferner ,teilung von ,vierecken1 
von ,kreisen1 von  ,figuren die von     
,kreisbogen und ,geraden begrenzt sind4 
,euklid zeigt sich  hier als sehr       
gewandter ,konstrukteur1 er benutzt     
ausser den ,stzen der  ,elemente nur    
solche1 welche sich mhelos aus ihnen    
ergeben4    ,sidenote3 ,euklid1         
,verlorene ,schriften4    ,verloren sind
 die ,schriften1 welche sich auf die    
eigentliche hhere  ,mathese seiner ,zeit
 beziehen4 ,zunchst die zwei wichtigen  
,bcher    1 ,oberflchen als geometrische
 ,orte1 welche ,proklos und  ,pappos    
erwhnen4 ,der ,begriff des geometrischen
 ,ortes wird schon von  ,pappos gerade  
so wie heute definiert als die          

,gesamtheit aller ,punkte1  denen ein   
und dieselbe bestimmte ,eigenschaft     
7,symptoma7 zukommt1 und je  nachdem    
diese ,gesamtheit eine ,linie oder eine 
,flche bildete1 heissen  die ,orte      
,linien- oder ,flchenorte4 ,davon       
verschieden sind krperliche  ,orte 771  
dies sind ,linien1 welche durch den     
,schnitt von  ,krpern entstehen1 wie die
 ,kegelschnitte4 ,die ,schrift des      
,euklid  hat nach ,pappos vermutlich    
,ortseigenschaften der ,kugel-1 ,kegel- 
und  ,zylinderflchen behandelt und      
scheint in der bedeutenderen ,arbeit des
  ,archimedes ber ,konoide und ,sphroide
 aufgegangen zu sein4    ,sidenote3     
,porismata4    ,sidenote3 ,elemente4    
,mehr wissen wir von den #c ,bchern     
,porismata1 da ,pappos den ,inhalt  so  
ausfhrlich angegeben hat1 dass ,michael 
,chasles danach eine  ,rekonstruktion   
versucht hat1 nach ,vorarbeiten von ,r4 
,simson1 dessen  ,euklidbearbeitung von 
#agef noch heute fr ,england massgebend 
ist4  ,allerdings hat ,p4 ,breton de    

,champ zuerst erkannt1 dass die #bi     
,stze in der ,vorrede des ,,vii4 ,buches
 bei ,pappos ein ,rsum der #aga  ,stze  
des ,euklid enthalten4 ,das ,wort       
,porisma selbst bildet noch eine        
,streitfrage4 ,es hat #b ,bedeutungen1  
erstens ,zusatz1 so kommt es vielfach   
in den ,handschriften der ,elemente vor1
 zweitens bedeutet es ein  ,mittelding  
zwischen einem gewhnlichen ,lehrsatz und
 einem sogenannten  ,ortssatz1 d4 h4    
einem ,satz der ausspricht1 dass eine   
bestimmte ,kurve  eine bestimmte        
,eigenschaft hat4 ,als ,beispiel diene  
der ,satz3 ,der  ,ort der ,punkte1 deren
 ,abstnde von zwei festen ,punkten ein  
festes  ,verhltnis haben ist der ,kreis 
7des ,apollonios7 dessen ,durchmesser   
die ,strecke zwischen den beiden in     
diesem ,verhltnis zu den gegebenen      
,punkten harmonischen auf der gegebenen 
,graden ist4 ,ein ,porisma wre          
demzufolge in der ,geometrie etwa das1  
was man in der ,arithmetik  einen       
,existenzbeweis nennt1 es sprche aus1   

dass ein bestimmter ,ort  existiert1    
ohne ihn direkt zu konstruieren4 ,die   
,porismata bildeten  vermutlich fr die  
synthetische oder direkte               
,konstruktionsmethode  ein ,seitenstck  
zu den ,data als ,hilfsmittel fr die    
analytische  ,methode4 ,nach dem ,rsum  
bei ,pappos gingen sie weit ber die     
,elemente  hinaus und mit ,chasles und  
,h4 ,zeuthen mssen wir annehmen1 dass   
sie die ,grundlagen fr die projektive   
,behandlung der ,kegelschnitte          
enthalten4    ,auch ber diese zu seiner 
,zeit hchste ,mathematik hat ,euklid    
geschrieben1 vier ,bcher ,konika4       
,ebenso wie ,euklid die ,arbeiten seiner
  ,vorgnger insbesondere des ,theudios  
fr seine ,elemente benutzte und         
verdrngte1 wurden seine ,konika nach dem
 ,zeugnis des ,pappos von dem           
grossartigen ,werk der #h ,bcher ,konika
 des ,apollonios verdrngt1 in  dessen   
erste #d ,bcher sie vermutlich          
vollstndig ,aufnahme gefunden  haben4   
,sie werden daher auch schwerlich aus   

arabischen ,quellen je  wieder zum      
,vorschein kommen1 wenn sie nicht       
zufllig als ,leichenbinde  einer ,mumie 
gefunden werden4    ,verloren ist auch  
eine ,schrift mathophilosophischen      
,charakters  1 ,trugschlsse genannt und 
zwar sind absichtliche  ,falschschlsse  
gemeint4 ,proklos nennt die ,schrift    
1 reinigend und bend durch ,anstrengung 
d4 h4 die ,schrift  war zur             
,geistesgymnastik der ,schler bestimmt4 
,und nun zu dem ,werke das den ,namen   
des ,euklid unsterblich gemacht hat1  zu
 den ,elementen1 die 1 wozu ich meine   
,schrift ,euklid etc4  von #aija        
heranzuziehen bitte4      ,die ,elemente
 des ,euklid4    ,sidenote3 ,die        
,elemente des ,euklid4    ,den #ac      
,bchern der ,elemente des ,euklid wurden
 schon frh zwei ,bcher  angehngt4 ,das  
#ad4 ,buch ist eine tchtige ,arbeit des 
in ,alexandrien  etwa #aej v4 ,chr4     
lebenden ,mathematikers und ,astronomen 
,hypsikls1  ber die fnf regulren        
7platonischen7 ,krper2 das #ae4 ,buch   

ist  eine weit schwchere ,arbeit und hat
 nach ,tannery und ,heiberg1  beides    
grosse ,kenner der hellenischen         
,mathematik1 einen ,schler des          
,isidoros1 des ,erbauers der            
,sophienkirche um #ecj n4 ,chr4 zum     
,verfasser4    ,den ,zweck der ,elemente
 gibt ,proklos ,s4 #gb an3 ,elemente    
nennt man  das1 dessen ,theorie         
hinreicht zum ,verstndnis von allem     
anderen1 und  mittelst dessen man im    
,stande ist die ,schwierigkeiten1 welche
 das  andere bietet1 aus dem ,wege zu   
rumen4 ,stoicheion bedeutet eigentlich  
,buchstabe und l4 c4 sagt ,proklos      
gradezu3 die ,elemente enthalten  die   
,stze1 welche als ,bestandteile aller   
folgenden auftreten1 wie  die           
,buchstaben im ,wort4 ,die              
,grundbedeutung von ,stoichos ist eine  
militrische es bedeutet das1 was wir    
einen ,zug nennen1 also auch die        
,grundlage der ,formation4    ,der      
,zweck und die ,notwendigkeit der       
,euklid'schen ,elemente folgt aus der   

,entwicklung der hellenischen           
,mathematik4 ,die ,pythagorer 7s4 d47   
waren  bei den ,problemen zweiten       
,grades auf die #b1 die ,savisescha     
gestossen  oder gestossen worden und    
damit auf die ,irrationalzahl und die   
,inkommensurabilitt4 ,damit wurden alle 
frheren ,beweise ber ,teilung1          
hnlichkeit1 ,flchenmessung hinfllig4    
,das #d4 ,jahrhundert1 ,platon1         
,theaitet1 ,eudoxos und die ,schler des 
,platon und ,eudoxos1 widmeten  sich der
 methodischen ,arbeit die neuen         
,grundlagen festzustellen4 ,boten  doch 
die mathematischen ,definitionen ,platon
 vortreffliche ,beispiele  seinem       
sokratischen ,hang zur ,definition der  
,begriffe zu folgen4 ,von  ,eudoxos rhrt
 das ganze fnfte ,buch der ,elemente1   
die ,lehre von  den ,proportionen in1   
ich mchte sagen1 ,weierstrass'scher     
,strenge1  her1 er ist der eigentliche  
,schpfer der ,exhaustionsmethode1 die   
vermutlich durch ihn schon bei          
,aristoteles erwhnt ist1 und die  sich  

spter1 befruchtet mit dem               
,demokritischen ,differentialbegriff1   
bei ,archimedes und ,apollonios zur     
,infinitesimalrechnung auswuchs4 ,von   
,theaitet wissen wir1 dass er die       
,einteilung der ,irrationalzahlen oder  
genauer die ,lsung von ,gleichungen #d4 
,grades1 welche auf quadratische        
,gleichungen reduzierbar sind1          
jedenfalls begonnen hat4 ,wahrscheinlich
  von ,platon selbst1 jedenfalls aus    
seiner ,schule1 rhren die ,fassungen    
vieler ,definitionen und ,axiome bei    
,euklid her1 welche ,aristoteles 7vgl4  
,heiberg1 ,teubnersche ,abh4 z4 ,gesch4 
etc4 ,heft #ah1 #aijd7 nach den         
,elementen des ,magnesiers ,theudios    
zitiert4 ,nach einem ,jahrhundert waren 
die methodischen ,arbeiten zum          
,abschluss reif und den gab ,euklid1 bei
  dem das methodische ,gefhl bereits in 
so eminenten ,grade ausgebildet  ist1   
dass er mit dem ,beweise schliesst3     
,mehr als fnf regelmssige  ,krper kann  
es nicht geben4    ,die ,aufgabe die er 

sich setzte auf ,grund der notwendigsten
  ,voraussetzungen die ,geometrie und in
 geometrischer ,einkleidung auch die    
,arithmetik als ein zusammenhngendes    
,ganzes unantastbar darzustellen1  hat  
er in einer ,weise gelst1 die alle      
,vorgnger spurlos verschwinden  liess   
und die1 niemals bertroffen1 die        
,bewunderung aller ,zeiten und  aller   
,vlker erregt hat4    ,daran schliesst  
sich die ,frage1 inwieweit ,euklid in   
den ,elementen  ,eigenes gegeben4 ,die  
,frage ist nur summarisch zu            
beantworten4  ,m4 ,cantor sagt3 ,ein    
grosser ,mathematiker wird auch da1 wo  
er  anderen folgt1 seine                
,eigentmlichkeit nicht verleugnen1 und  
so war  es sicherlich auch bei ,euklid4 
,gewiss1 denn so ist es ja bei jedem    
,schullehrer1 der seine ,elemente       
gedruckt oder ungedruckt traktiert4     
,aber ebenso klar ist es auch1 dass ein 
,werk wie die ,elemente die ,krfte      
eines einzelnen bersteigt1 und eine     
ganze ,reihe von ,vorarbeiten           

erfordert1 von ,hippokrates1 ,len1 der  
die ,flle der ,stze und ,strenge  der   
,beweise erhhte 7,proklos #ff unten7 bis
 auf ,theudios1 der sich auch  in den   
anderen ,wissenschaften auszeichnete4   
,die von ,heiberg l4 c4  gesammelten    
,zitate aus seinen ,elementen zeigen    
vielfach wrtliche  bereinstimmung4      
,ebenso sicher ist die ,form des        
,vortrags die zum ,teil  schon von den  
gyptern berkommene gewesen1 samt den so 
berhmten  ,schlussformeln quod erat     
demonstrandum1 was zu beweisen war1    1
 und quod erat faciendum1 was zu machen 
war1    4 ,euklid gehrt wohl vor allem  
die ,auswahl der ,definitionen an1  die 
,forderungen 7,erfahrungstatsachen7 sind
 sein ,eigentum1 wie ,heiberg  l4 c4    
festgestellt hat1 oder wenigstens ihre  
,trennung von den ,axiomen1  und dann   
die strenge ,durchfhrung des ,prinzips  
keinen frheren ,satz  mittelst eines    
spteren zu beweisen1 kein ,gebilde zu   
benutzen1 dessen  ,existenz nicht vorher
 durch geforderte oder gegebene         

,konstruktion  gesichert ist4    ,ferner
 gehrt ihm ein grosser ,teil des zehnten
 ,buches1 die ,vollendung  der          
,einteilung der ,irrationalitten durch  
,theaetet4 ,dem ,euklid  gehrt der      
elementare ,beweis 7ohne                
,integralrechnung7 des ,satzes1  dass   
die ,pyramide gleich dem dritten ,teil  
des ,prisma ist1 dass mit  ihr gleiche  
,grundflche und ,hhe hat2 sodann viele  
,stze des #ac4  ,buches ber die         
,bestimmung von ,stcken der regulren    
,krper und mit  grsster                 
,wahrscheinlichkeit der schon erwhnte   
,schlusssatz4 ,etwa #dbj  war das       
,dodekader den ,hellenen bekannt        
geworden1 wenig frher war  berhaupt erst
 das logische ,element in der           
,geometrie1 die ,forderung  nach dem    
,beweise1 zur ,geltung gekommen4 ,die   
,ausbildung des logischen  ,sinnes bis  
zum ,bedrfnis eines solchen             
,existenzbeweises erforderte  sicher ein
 ,jahrhundert4 ,der einzige1 der noch in
 ,frage kommen konnte  wre ,eudoxos1    

doch berwog bei ihm auf der ,hhe seiner 
,kraft das  astronomische ,interesse4   
,sidenote3 ,parallelentheorie4    ,wenn 
ich aber trotz der verhltnismssig       
geringen ,produktivitt  ,euklids doch   
,m4 ,cantor beipflichte1 der ihn zu den 
drei ,heroen der  griechischen          
,mathematik im #c4 ,jahrh4 zhlt1 so tue 
ich es mit ,rcksicht  auf ,euklids      
,behandlung des ,parallelenproblemes1   
dass er so recht  eigentlich in die     
,welt geworfen hat und das bis auf den  
heutigen ,tag1  ja heute noch mehr als  
je im ,zentrum des ,interesses steht4   
,der gesamte  ,aufbau des grundlegenden 
ersten ,buches wird vom                 
,parallelenproblem  beherrscht4 ,euklid 
hat rund #bjjj ,jahre vor ,saccheri und 
,legendre  den ,zusammenhang des        
,problems mit dem ,satz ber die         
,winkelsumme  im ,dreieck erkannt4      
,schon ,proklos hat bemerkt1 dass das   
berhmte  und berchtigte sogen4 #aa4     
,axiom1 richtiger die #e4 ,forderung1   
hervorgegangen ist aus dem vergeblichen 

,bemhen den ,satz3 ,in jedem  ,dreieck  
sind zwei ,winkel zusammen kleiner als  
#b ,rechte umzukehren2 und  so kam er zu
 der ,forderung in der ,fassung3 ,und   
wenn eine1 zwei ,geraden  schneidende1  
,gerade mit ihnen innere an derselben   
,seite liegende ,winkel  bildet1 die    
zusammen kleiner sind als #b ,rechte1 so
 schneiden sich jene  beiden ,geraden   
bei unbegrenzter ,verlngerung an der    
,seite1 auf der  diese beiden ,winkel   
liegen4    ,sidenote3 ,die ,elemente des
 ,euklid1 ,ausgaben4    ,von der ,bibel 
abgesehen1 ist niemals ein ,werk in so  
vielen ,auflagen und  ,bearbeitungen    
verbreitet gewesen1 als die #ac  des    
,eukledes1  dessen ,namen geradezu mit  
der ,geometrie identifiziert wird4 ,eine
  sehr vollstndige ,zusammenstellung    
findet sich in ,mem4 d4 ,r4 ,acad4  d4  
,sc4 d4 ,ist4 di ,bologna ,serie ,,ix1  
,t4 ,,viii und ,x #ahhg und #ahij von   
,p4 ,riccardi2 ,r4 ,bonola1 ,bull4 d4   
,loria und ,festschr4 f4 ,joh4  ,bolyai 
#aijb zhlt gegen #agjj ,ausgaben4 ,im   

,mittelalter und bis in die  ,neuzeit   
wird die ,professur fr ,geometrie hufig 
als die des ,euklid  bezeichnet1 die    
,studenten lasen den ,text1 sei es ganz1
 sei es im  ,auszug1 und der ,professor 
kommentierte1 wobei selten mehr als das 
erste ,buch erledigt wurde4 ,savile1 der
 die noch heute in ,oxford  bestehende  
,professur des ,euklid stiftete1 kam bis
 zum #h4 ,satz des  ersten ,buches1 nur 
,petrus ,ramus1 dessen ,bedeutung in    
erster ,linie auf  seiner ,lehrttigkeit 
und seiner grossen literarischen        
,bildung beruht1  rhmte sich die ganzen 
,elemente in einer ,vorlesung erledigt  
zu haben4  ,es war selbstverstndlich1   
dass der ,text im ,laufe der            
,jahrhunderte  entstellt1 verdorben1    
erweitert wurde4 ,letzteres gilt        
besonders fr die  schwierigen ,teile des
 zehnten bis letzten ,buches4           
,sidenote3 ,euklid1 bersetzungen der    
,elemente4    ,ich verweise auch fr die 
,bibliographie der ,elemente auf meine  
,schrift  von #aija1 hervorzuheben ist  

die ,bearbeitung des ,theon v4          
,alexandria1  der etwa #cej n4 ,chr4    
lebte und lehrte1 sie muss die frheren  
fast  vllig im ,buchhandel verdrngt     
haben1 obwohl sie keinen ,fortschritt   
bedeutete4 ,alle bis #ahjh bekannte     
,codices1 deren ,zahl sehr gross ist1   
alle ,drucke und bersetzungen sind1 wenn
 man von arabischen ,quellen  absieht1  
aus dieser ,ausgabe hervorgegangen4     
,erst #ahjh fand ,f4 ,peyrard  in einer 
durch ,napoleon dem ,vatikan geraubten  
,handschrift 7,vatic4  #aij1 #ahad      
zurckgegeben7 die bis jetzt einzige     
vollstndige  ,handschrift1 welche auf   
eine ltere und bessere ,ausgabe         
zurckgeht4 ,aus  diesem ,codex konnte   
man die nderungen des ,theon feststellen
 und die  ,codices kritisieren1 eine    
,arbeit1 welche von ,e4 ,f4 ,august     
#ahbf-bi in  seiner griechischen und    
noch grndlicher von ,j4 ,l4 ,heiberg in 
der  griech4-lat4 ,ausgabe von #ahhb-hh 
geleistet ist4 ,ausser dem ,vat4 #aij   
geht auch der ,palimpsest ,bologna ,m4  

#agba 7,heiberg1 ,cant4-,schlm4 #bi7    
auf ltere ,quellen als ,theon zurck4    
,neben drftigen ,auszgen die1 von oder  
nach ,botius 7etwa #ejj n4  ,chr47      
verfasst1 sich in den ,klstern und      
,klosterschulen hielten und  besonders  
durch ,gerbert den nachmaligen ,papst   
,sylvester ,,ii4 von  ,wichtigkeit      
wurden1 verdankt ,europa die ,kenntnis  
der ,elemente den  arabischen           
bersetzungen und ,bearbeitungen4 ,auf   
sie geht die erste  gedruckte ,ausgabe  
zurck1 die dem ,giovanni ,campano aus   
,novara  zugeschrieben wird1 der um die 
,mitte des #ac4 ,jahrh4 gelebt hat1 und 
#adhb bei ,erhard ,ratdolt in ,venedig  
erschienen ist4 ,die ,ausgabe  ist sehr 
selten1 sie ist von ,a4 ,g4 ,kstner     
,gesch4 der ,math4 ,bd4 ,i  ,s4 #bhi f4 
genau beschrieben4    ,als der          
hellenische ,geist zum zweiten ,male fr 
die europische ,kultur  fruchtbar wurde 
in jener ,glanzepoche1 die man die      
,renaissance nennt1  erschienen zunchst 
lateinische ,ausgaben gesttzt auf       

griechische  ,codices4 ,die erste       
,originalausgabe ist die des ,simon     
,grynaeus des  lteren1 sie erschien     
#aecc bei ,herwagen1 der auch in        
,strassburg eine  ,druckerei besass1    
leider verarbeitet diese ,ausgabe zwei  
sehr schlechte  ,handschriften4         
,sidenote3 ,euklid-,commentatoren4      
,indem ich wieder auf meine zitierte    
,schrift verweise1 erwhne ich  nur noch 
die beiden wichtigsten lateinischen     
,ausgaben1 die des  ,commandinus ,pisa  
#aegb1 der zuerst unseren ,euklid von   
dem ,megarenser  schied1 und die des    
,clavius von #aegd4 ,die ,arbeit dieses 
fr seine  ,zeit hoch bedeutenden        
,jesuiten ist von allen ,historikern der
 ,mathematik  von ,montucla und ,kstner 
bis auf ,m4 ,cantor gleich hoch gewertet
  worden2 ,kstner nennt sie die         
,pandekten der ,mathematik1 sie soll #bb
  ,auflagen gefunden haben4    ,die     
,commentatoren des ,euklid1 vergl4      
,euklid #aija p4 #af ff4    ,der        
festgefgte ,bau der ,elemente hat1 wie  

er seinerseits die hchste  ,bewunderung 
erregte1 andererseits die ,versuchung   
erweckt die  ,geometrie auf andere      
,weise ebenfalls zu begrnden4 ,dazu     
kommt1 dass  der ,euklid in seinem      
ersten ,buch einen mathophilosophischen 
,teil  enthlt1 der die ,grundbegriffe   
der ,geometrie und die ntigen und       
hinreichenden ,voraussetzungen angibt1  
von denen die ersteren ihrer  ,natur    
nach unauflslich1 die anderen variabel  
sind4 ,so haben die  ,elemente des      
,euklid1 und das ist vielleicht sein    
grsstes ,verdienst1  eine staunenswerte 
,geistesarbeit hervorgerufen1 die       
besonders in der  ,geschichte des       
,parallelenaxioms zutage tritt4 ,hier   
will ich nur 7,euklid  #aija7 einen     
berblick ber die hervorragendsten       
,interpretationen geben1  welche zeigen1
 wie ,recht ,gino ,loria hat1 wenn er   
als ,prinzip seiner  schnen ,arbeit     
,della varia fortuna di ,euclide1 ,roma 
#ahic das ,gesetz  der ,kontinuitt      
ausspricht4 ,es geht ein                

ununterbrochener ,zusammenhang  von     
,archimedes und ,apollonios bis         
,veronese und ,hilbert4    ,von         
,apollonios sind ,spuren eigener        
,elemente erhalten2 darunter eine  ganz 
allgemeine ,definition des ,winkels     
7,heiberg ,v ,s4 #hh74    ,archimedes   
gab eine von ,euklid abweichende        
mechanische  ,grundeigenschaft der      
,geraden 7ebenfalls auch der ,ebene7 an 
und neue  ,prinzipien1 darunter das nach
 ihm benannte1 obwohl von ,eudoxos  oder
 vielleicht ,demokrit stammende fr die  
,exhaustionsmethode1 die  er zur        
,integralrechnung umbildete4 ,ihm       
schliesst sich ,heron von  ,alexandrien1
 der grsste ,mechaniker des #a4 ,jahrh4 
an2 von seinem  ,kommentar sind uns     
,fragmente durch ,proklos und           
,an-,narizi 7s4 u4 bei  ,heron7         
berliefert4    ,aus der                 
,zusammenstellung der ,euklidstellen bei
 ,heron durch ,heiberg  geht klar       
hervor1 dass die ,definitionen des      
,euklid schon zu ,herons  ,zeit die uns 

berlieferte ,form hatten1 ,euklid also  
damals schon1 wie  ,tannery sagt1 der   
unantastbare ,klassiker der ,elemente   
war4    ,es ist das ,parallelenaxiom und
 die ,definitionen1 berhaupt die ganze  
,anordnung der ersten ,bcher1 dann      
gewisse ,inkongruenzen zwischen dem     
sechsten und den beiden letzten ,bchern1
 der sonderbare ,umstand1  dass ,euklid 
die ,lehre von den ,proportionen ganz   
allgemein im fnften  ,buch begrndet1 und
 dann die elementare ,lehre von den     
,verhltnissen  ganzer ,zahlen noch      
einmal im siebenten ,buche gibt1 was von
 jeher die  ,kommentatoren in ,ttigkeit 
gesetzt hat4    ,die ,inkongruenz       
bezieht sich besonders auf die          
,bewegung4 ,in den  sechs               
planimetrischen ,bchern wird sie        
ngstlich vermieden2 nur zum  ,beweis des
 #d4 ,satzes 7ersten ,kongruenzsatz7 und
 seiner ,umkehrung wird  sie            
herangezogen1 dagegen scheut sich       
,euklid im #aa4 und #ab41 den           
stereometrischen ,bchern1 absolut nicht 

die ,definition der ,krper auf  die     
,bewegung zu sttzen4    ,man hat daraus 
schliessen wollen1 einen ,homeros gab es
 nie1 sondern  acht bis zehn1 aber      
,euklid war ,platoniker1 und nach       
,platon und  ,aristoteles setzt der     
,begriff der ,bewegung einen krperlichen
 ,raum  voraus4    ,auf ,heron folgt    
,gemnos1 bezw4 ,gminus1 von dem ,proclus
 berichtet1  er habe die                
,verschiebbarkeit in sich der           
,schraubenlinie auf dem                 
,rotationscylinder1 wenn nicht gefunden1
 so doch gekannt4 ,es folgt  eine ra1 in
 der die zusammenfassende eigentlich    
philosophische  ,geistesrichtung unter  
dem ,einfluss des ,aristoteles gegen die
 ,ausbildung  der einzelnen             
,spezialwissenschaften zurcktritt4 ,aus 
dieser ,zeit1 in  der sich von          
mathematischen ,disziplinen die         
,trigonometrie 7ebene und  sphrische7 im
 ,anschluss an die ,astronomie          
entwickelt1 wissen wir von  besonderen  
,kommentaren nichts1 aber von den       

,elementen1 dass sie fr  unentbehrlich  
zur ,ausbildung der angewandten         
,mathematiker galten4    ,als           
gleichzeitig mit dem ,christentum gegen 
diese nchterne ,periode  in ,anlehnung  
an den ,theosophen ,platon zunchst der  
,neupythagoreismus  sich erhob1 war es  
anfangs die arithmetische ,seite des    
,euklid1 die  ,bcher #g1 #h1 #i1 die in 
,nikomachos von ,gerasa um #ajj n4 ,chr4
 dem  ,elementenschreiber der           
,arithmetik 7,m4 ,cantor7 und in ,theon 
von  ,smyrna ihre ,kommentatoren fand4  
,um #cjj lehrte dann zu ,alexandria     
,pappos1 dessen ,kollektaneen von       
unschtzbarer ,bedeutung sind4 ,pappos   
hat sicher einen ,kommentar zum zehnten 
,buch geschrieben1 von dem ,reste  im   
,vaticanus erhalten sind und der uns    
nach ,heiberg wahrscheinlich ganz  in   
einem noch unedierten ,leydener         
,manuskripte erhalten ist4    ,mit dem  
,neuplatonismus1 jener seltsamen        
,mischung christlicher und  platonischer
 ,mystik1 nimmt auch die ,mathematik die

 platonische ,richtung  auf die         
,probleme1 welche die geometrischen     
,grundbegriffe und die  ,methodik bieten
 energisch auf4 ,ich nenne ,jamblichos1 
,porphyrios1  von denen uns ,spuren     
ihrer ,scholien erhalten sind1 ,theon   
und  ,proklos1 dessen ,kommentar zum    
ersten ,buch uns fast ganz erhalten ist4
  ,der ,kommentar1 der bis #ahgc nur in 
der ,ausgabe von ,simon ,grynus  #aecc  
bei ,herwagen gedruckt war1 ist fr die  
,geschichte der ,mathematik  bei den    
,hellenen einzig2 ,tannery1 der         
zuverlssigste ,detailforscher           
hellenischer ,mathematik1 nennt sein    
,verstndnis geradezu das ,problem  der  
,geschichte der ,mathematik4    ,die    
,ausgabe von ,friedlein #ahgc ist       
philologisch sehr bedeutend1 wenn  auch 
nach ,heiberg noch nicht das letzte     
,wort ber ,proklos1 aber  griechisch2 es
 existiert nur die lateinische          
bersetzung des ,barocci  von #aefj1     
welche oft nur eine ,wortbersetzung ist 
und von ,taylor  ebenso wrtlich ins     

,englische bertragen ist4    ,als       
,justinian #ebi die ,schule von ,athen1 
mit der die hellenische  ,kultur begann 
und schloss1 aufhob und die ,lehrer     
vertrieb1 kam ,euklid  mit ihnen nach   
,persien und so an die ,araber1 wo er1  
wie schon gesagt1  im #h4 und #i4       
,jahrh4 an ,haggag und ,ishaq bersetzer 
fand4 ,sehr bald  darauf muss es auch   
arabische ,kommentare gegeben haben1 wie
 aus  der ,ausgabe des ,campanus        
hervorgeht2 der schon erwhnte ,nasir ed 
,din im #ac4 ,jahrh4 ist keineswegs     
unbedeutend1 der auch zuerst die        
,trigonometrie als eigenen ,zweig       
behandelt hat4    ,die ,renaissance     
macht ,proklos bekannt1 an ihn schliesst
 sich  ,commandinus und ,clavius an4    
,der erstere wirkte besonders auf  die  
,englnder1 auf ,savile1 der die         
,professur des ,euklid in ,oxford       
begrndete1 wodurch ,wallis und wohl auch
 ,barrow 7erste ,ausgabe  #afeb7 und    
durch diese ,newton auf ,euklid und die 
,beschftigung mit den  ,grundlagen      

hingewiesen wurden4    ,vor allem haben 
wir ,robert ,simson zu nennen1 der      
direkt ,commandinus  zugrunde legt und  
der besonders auf die englische         
,schulmathematik vorn                   
allerwesentlichsten ,einfluss gewesen   
ist4 ,der ,kommentar erschien #agef1    
,titel3 die sechs ersten ,bcher des     
,euklid mit ,verbesserung der ,fehler1  
wodurch ,theon und ,andere sie entstellt
 haben etc4 mit erklrenden  ,anmerkungen
 7aus dem ,englischen bersetzt von      
,rieder4 ,herausg4 von  ,niesert1       
,paderborn #ahjf74    ,clavius kennt den
 ,proklos ganz genau2 auch er harrt noch
 der  deutschen ,herausgabe1 der er in  
hohem ,grade wert ist2 er hat neben     
,borelli 7,euklides restitutus #afeh7   
sicher auf seinen ,ordensbruder         
,saccheri gewirkt1 von dessen3 ,euklides
 ab omni naevo vindicatus  7,mediol4 in 
#d4 #agcc71 die heutige sogenannte      
nicht-,euklidische  ,geometrie gezhlt   
wird4 ,es ist wahrscheinlich1 dass      
,lambert in  ,chur den ,saccheri kennen 

lernte und fast sicher1 dass ,gauss     
wieder  ,lamberts ,abhandlung im        
,hindenburg'schen ,archiv von #aghf     
gelesen4  ,gauss wirkte dann auf seinen 
,jugendfreund ,wolfgang ,bolyai und     
durch  ihn auf seinen ,sohn ,johann und 
durch ,vermittelung von ,bartels auf    
,lobatscheffski4    ,fr ,frankreich ist 
ausser ,clavius noch ,petrus ,ramus1 der
  sogenannte ,besieger der ,scholastik1 
von ,bedeutung4 ,ramus1 dem es  an      
philosophischer ,tiefe fehlte1 war nicht
 imstande den ,euklid zu  wrdigen wie   
ganz besonders seine ,kritik des zehnten
 ,buches beweist1  aber seine           
revolutionre ,anfechtung der ,autoritt  
kommt in ,frankreich  im #ah4 ,jahrh4   
zur ,geltung4 ,hier geht der ,weg von   
,clavius ber ,tacquet  #afei und        
,arnauld durch ,zurckgreifen auf ,ramus 
zu ,clairaut #agda und  ,legendre #agid 
und ,bertrand #ahaj4 ,clairaut1 dessen  
wahrhaft khne  ,elemente der ,geometrie 
vom ,rechteck als der unmittelbar       
anschaulichen  ,figur ausgeht1 hat sich 

auch auf die deutschen ,ritterakademien1
 z4 ,b4  ,ilfeld verbreitet4 ,es        
scheint1 als ob auch ,lambert ihn       
gekannt hat2  doch ist der              
,ausgangspunkt vom ,rechteck ein so     
natrlicher1 dass ich  selbst um #ahhj   
ohne eine ,ahnung von ,clairaut oder    
,lambert zu haben1 im  ,unterricht einen
 ganz hnlichen ,weg einschlug4 ,der     
ausserordentliche  ,erfolg und die      
grosse ,verbreitung der ,elements       
,legendres 7#agid7  ist bekannt und     
berechtigt2 noch heute beeinflussen sie 
den ,unterricht  auf den ,mittelschulen 
nicht nur ,frankreichs sondern          
,spaniens1 ,hollands  und ,deutschlands4
    ,sidenote3 ,euklid-,gegner4    ,was 
die deutschen ,schulen betrifft1 so     
mchte ich auf eine ,schrift  ,hubert    
,mller's aus ,metz aufmerksam machen3   
,besitzt die heutige  ,schulgeometrie   
noch die ,vorzge des ,euklid-,originals8
 ,ich kann meine  ,kritik in der        
deutschen ,literaturz4 #ahhg ,no4 #cg   
nur dahin ergnzen3 die  deutsche        

,schulgeometrie hat sie nie besessen4   
,weder ,johannes ,vogelin1  bekannt     
durch die ,vorrede ,melanchthons in der 
,ausgabe von #aecf1 noch  des ,conrad   
,dasypodius ,volumen ,i und ,,ii1 noch  
die ,mathesis juvenilis  ,sturms oder   
,wolffs oder ,kstners ,anfangsgrnde oder
 ,thibauts ,grundriss1  von ,kambly1    
,mehler1 ,henrici und ,treutlein ganz zu
 schweigen1 sind  jemals dem ,gange     
,euklids gefolgt4 ,dagegen waren die    
,studenten und die  ,lehrer bis etwa um 
#ahfj1 wie die rasch auf einander       
folgenden ,ausgaben  beweisen1 vllig mit
 dem ,euklid vertraut4 ,von da an ndert 
sich die  ,sache1 und ich bin sicher1   
dass es nur eine minimale ,anzahl von   
,lehrern  gibt1 die den ,euklid gelesen 
haben4    ,einen ,teil der ,schuld an   
dem ,sinken der ,autoritt ,euklids      
tragen  auch die ,angriffe              
,schopenhauers gegen die                
,mausefallenbeweise des  ,euklid4       
,schopenhauer hatte als ,knstler1 der er
 war1 fr die intuitive  ,erkenntnis     

vollstes ,verstndnis1 aber bar aller    
mathematischen ,bildung1  fehlte ihm    
jedes ,verstndnis fr die logische       
,erkenntnis1 die oft  ebenso unmittelbar
 wie jene ist4 ,nun ist aber die        
euklidische ,geometrie  als             
,wissenschaft eine chemische ,verbindung
 von ,anschauung und ,logik1  und darum 
musste der ,versuch1 den z4 ,b4 ,kosak  
in dem ,nordhuser  ,programm anstellte  
die ,geometrie nur auf ,anschauung zu   
begrnden1  gerade so scheitern wie der  
noch berhmtere ,bolzanos von #ahjd die  
,geometrie rein logisch zu begrnden4    
,bolzano hat brigens viel mehr  von     
,leibniz entlehnt als bekannt ist4 ,der 
grosse aemulus ,newtons  zeigt sich auch
 in der ,auffassung der ,grundlagen als 
,widerpart4    ,whrend ,newton in der   
,vorrede der ,principia phil4 nat4      
ausdrcklich  auf den ,ursprung der      
mathematischen ,grundgebilde aus der    
,mechanik  hinweist3 ,gerade ,linien und
 ,kreise zu beschreiben sind ,probleme1 
aber  keine geometrischen1 ist ,leibniz 

bemht der ,anschauung so wenig als      
mglich einzurumen4 ,es scheint wenig    
oder gar nicht bekannt1 dass  schon bei 
,lebzeiten ,leibniz' ,ansichten         
desselben ber die ,grundlagen  der      
,geometrie verffentlicht sind bei ,la   
,montre #afia3 ,les #dg propos4  du ,i  
livre des ,elm4 d',euclide avec des     
remarques de ,g4 ,g4 ,leibniz4    hnlich
 wie in ,deutschland liegt die ,sache in
 ,frankreich und ,italien1  nur in      
,england folgt ,ausgabe auf ,ausgabe und
 noch ist der sogenannte  ,syllabus     
nicht zustande gekommen1 der den ,euklid
 verdrngen sollte1  doch ist das        
,festhalten an ,euklid mehr ,schein als 
,wirklichkeit s4 mein  ,referat von     
#aijf1 ,no4 #d p4 #bf4 ,auch in         
,schweden und ,norwegen scheint  sich   
,interesse fr ,euklid dauernd erhalten  
zu haben4 ,fr ,deutschland  und ,italien
 ist mit dem ,ende des #ai4 ,jahrh4 ein 
,umschwung eingetreten1  man kann       
geradezu sagen1 dass die ,kenntnis des  
,euklid durch die neueste  ,richtung1   

deren ,haupt in ,deutschland ,hilbert1  
in ,italien ,veronese  ist1 wieder      
unentbehrlich wird4    ,sidenote3       
,euklid's ,elemente3 ,definitionen4     
ber den ,inhalt des ,euklid muss ich    
sehr kurz sein1 von meinen ,hrern  kann 
ich erwarten1 dass sie den ,euklid      
selbst lesen4 ,nur wenige ,worte  ber   
das ,wichtigste des ,wichtigsten1 die 1 
1   1 die ,definitionen1 ,postulate und 
,axiome des ersten ,buches4 ,eine       
,bibliothek ist gleich ber die ersten   
,worte geschrieben3       7oft auch 74  
,punkt ist das1 dessen ,teil nichts ist 
oder das keinen ,teil hat4 ,in  beiden  
,fllen ist klar1 dass ,euklid1 der      
seinen ,platon und ,aristoteles  kannte1
 hiermit ausdrcklich gesagt hat1 dass   
der ,punkt nicht unter die  ,kategorie  
,grsse fllt2 so klar dies ist1 ist es   
doch niemals gedruckt  worden1 ausser   
bei ,kant 7,kritik d4 reinen ,vernunft  
p4 #afi71 wo es frei  nach ,aristoteles 
heisst3 ,punkte und ,augenblicke sind   
nur ,grenzen1 der  ,raum besteht nur aus

 ,rumen1 die ,zeit aus ,zeiten4    ,die 
,definition ist sicher platonisch2      
,aristoteles sagt der ,punkt ist        
eine ,einheit1 welche ,lage hat4        
,definition #d3    1     '   4 ,die     
,gerade  ist diejenige ,linie1 welche   
gleichmssig durch ihre ,punkte gesetzt  
ist4 ,auch ber diese ,definition        
existiert eine ganze ,literatur4 ,man   
hat nicht bercksichtigt1 dass ,euklid   
die gerade ,linie erst vllig  definiert 
durch die ,forderungen #a und #b4 ,es   
soll gefordert werden  #a7 dass sich von
 jedem ,punkte bis zu jedem ,punkte eine
 und nur eine  ,strecke fhren lasse1 #b7
 und diese ,strecke sich kontinuierlich 
auf  ihrer ,geraden 7vielleicht         
richtiger bis zur ,vollendung der       
,geraden7  ausziehen lasse4 ,mit        
,definition #d zusammen definiert sie   
die ,gerade  vllig1 natrlich nicht      
anschaulich1 denn die ,anschauung der   
,geraden1  die psychologisch ist und    
experimentell gewonnen wird1 setzt      
,euklid bei  seinen ,hrern voraus4      

,euklid sagt1 die ,gerade ist eine      
unterschiedslose  und unendliche ,linie1
 die durch zwei ihrer ,punkte vllig     
bestimmt ist4    ,def4 #g7 ,ein ebener  
,winkel entsteht1 wenn zwei ,linien der 
,ebene  zusammentreffen1 welche nicht in
 derselben ,geraden liegen1 durch die   
,biegung von der einen ,linie zur       
andern4 ,die ,definition des ,winkels   
ist oft und mit ,recht getadelt worden4 
,in ,schottens vergleichender           
,planimetrie fllen die ,abnderungen #dj 
,seiten aus2 die von mir  herrhrende der
 ,winkel ist die ,grenze des            
,kreissektors bei ber jedes  ,mass      
wachsendem ,radius1 ist fr den          
,unterricht ungemein zweckmssig1  aber  
ich fand sie nachtrglich schon #gj      
,jahre vor mir bei ,stein in  ,gergonnes
 ,annales ,bd4 ,,xv 7#ahbd7 p4 #gg4 --  
,das ,wort 4 ,neigung kann              
,richtungsnderung bedeuten1 kann        
,drehung bedeuten etc4 ,proklos         
7,eudemos7 setzt daher  in   4 d4 h4    
,brechung4 ,apollonius definiert3 der   

,winkel ist die  ,verengerung der ,ebene
 oder des ,raumes an einem ,punkte      
infolge der  ,biegung von ,linien oder  
,flchen4    ,dass ,euklid den           
gradlinigen ,winkel abc im ,wesentlichen
 als eine  ,flchengrsse auffasst1 das   
folgt aus der ,definition #i des        
gradlinigen  ,winkels1 wo  enthaltend   
gebraucht wird1 und aus der  stndigen   
,anwendung der ,winkel   d4 h4 1 der von
 dem  gebrochenen ,linienzug            
umschlossene und besonders da er        
unmittelbar  vom ,winkel als der nicht  
vllig begrenzten ,flche auf die ,figur  
bergeht als der vllig begrenzten4       
,sidenote3 ,euklid's ,elemente3         
,forderungen4    ,nun zu den fnf        
,forderungen3    ,proklos sagt1 dass die
 ,forderungen von den ,grundstzen sich  
unterscheiden wie die ,aufgaben von den 
,lehrstzen4 ,die ersteren  verlangen    
,konstruktionen1 die jeder leicht       
ausfhren kann1 die andern  ,stze1 die   
jeder leicht zugibt4    ,aristoteles    
sagt3 die ,forderung ermangelt des      

,beweises1 den man gern  geben mchte1   
wenn man nur knnte1 whrend der          
,grundsatz von jedem ohne  ,weiteres als
 richtig anerkannt wird4    ,die        
,unterscheidung des ,proklos passt aber 
nur auf das schon genannte  #a4 ,petitum
 und das #c4 ,und um jedes ,zentrum und 
mit jedem ,abstand  sich ein und nur ein
 ,kreis zeichnen lasse1 d4 h4 dass vom  
gegebenen  ,zentrum aus durch jeden     
,punkt der ,ebene ein und nur ein ,kreis
 geht4 ,es  enthalten aber ,no4 #a und  
#c ,forderungen1 die1 ich erinnere an   
,newton1  von der angewandten ,mechanik 
ihre ,lsungen empfangen haben4 ,es darf 
daher nicht berraschen1 wenn in den     
,handschriften eine ziemliche           
,verwirrung herrscht und sich z4 ,b4 in 
sehr vielen ,no4 #e1 das schon  erwhnte 
,parallelenaxiom1 als #aa4 ,grundsatz   
findet und das schon vor  ,theon        
rezipierte unechte zwei ,gerade         
schliessen keinen ,raum ein sich  im    
,vaticanus als ,forderung #f und in     
andern ,codices als ,grundsatz #i       

findet4 ,der richtige ,unterschied ist  
der3 die ,forderungen enthalten         
,grundtatsachen der ,anschauungen und   
die ,axiome ,grundtatsachen der ,logik4 
,forderung #d3 ,und alle rechte ,winkel 
einander gleich seien4    ,sie ist nach 
,proklos von ,geminos und anderen       
angegriffen als beweisbar4  ,ich gebe   
hier den ,beweis des ,geminos3 ,wre     
und legte man   auf 1 so dass  u4       
zusammenfallen1 so fiele  als           
innerhalb und dann wre  das nach        
,definition des rechten ,winkels    ist 
1 also  zugleich kleiner und grsser als 
7,fig474    ,illustration    ,der       
,beweis setzt voraus1 dass die          
,verlngerung von  sich nicht mit        
deckt1 d4 h4 also1 dass eine ,strecke   
sich nur auf eine ,weise zu  einer      
,geraden verlngern lasse4 ,darin hat ,h4
 ,zeuthen recht1 aber  dies zu sagen wre
 die ,forderung eine seltsame ,form und 
,euklid hat  eine ganze ,reihe          
stillschweigender ,voraussetzungen ohne 
die keine  geometrische1 d4 h4          

anschauliche ,geometrie existieren kann1
 und die  genannte ,forderung hat er in 
,no4 #a und #b ausgesprochen4    ,dem   
,geminos und den andern1 vermutlich den 
,mechanikern ,heron und  ,archimedes ist
 die strenge ,aristotelische ,auffassung
 der ,bewegung  verloren gegangen2 der  
,beweis verlangt ja auch die            
,verschiebbarkeit und  ,drehung der     
,ebene in sich selbst1 bezw4 die dritte 
,dimension und die  will und kann       
,euklid von seinem ,standpunkte aus hier
 nicht zu ,hilfe  nehmen2 so bleibt ihm 
nur brig zur ,forderung seine ,zuflucht 
zu nehmen4    ,sidenote3 ,euklid's      
,elemente3 ,grundstze4    ber die #e4   
und letzte ,forderung1 das              
,parallelenaxiom1 und dem was drum  und 
dran hngt1 kann ich auf ,f4 ,engel und  
,p4 ,stckel1 ,theorie d4                
,parallellinien 7#ahie7 und auf meine   
frheren ,schriften verweisen4 ,so  gehe 
ich zu den ,grundstzen4 ,von ,proklos   
sind als echt bezeichnet3    #a7 ,was   
demselben 7zu ergnzen3 dritten7 gleich  

ist1 ist unter sich  gleich4    #b7 ,und
 wird ,gleiches zu ,gleichem            
hinzugesetzt1 so sind die ,ganzen       
gleich4    #c7 ,und wird von ,gleichem  
hinweggenommen1 so sind die ,reste      
gleich4    #h7 ,und das ,ganze ist      
grsser als sein ,teil4    #g7 ,und      
einander ,deckendes ist gleich4         
,euklid sagt3  4 ,allen ,vernnftigen    
gemeinsame ,einsicht4    ,proklos sagt3 
,axiome eigentlich ,meinungen1 aber nach
 dem  ,sprachgebrauch des ,aristoteles  
allgemein angenommene logische ,stze1   
die man nicht beweisen kann1 weil sie   
die logischen ,grundlagen des  ,beweises
 sind4 ,proklos hat nur die #e angefhrt1
 richtig #h vor #g1 da  #g nicht rein   
logisch ist1 sondern von dem            
,zusammenfallen in der  ,anschauung     
ausgeht um daraus den logischen ,schluss
 der ,gleichheit zu  ziehen4    ,das    
,axiom #g ist von ,schopenhauer die     
,welt als ,wille und ,vorstellung  ,t4  
#b ,s4 #add angegriffen1 weil es        
entweder eine ,tautologie ist oder eine 

,bewegung voraussetzt4 ,es ist von      
,bolzano und ,grassmann 7,leibniz7      
durch das ,prinzip ersetzt worden3      
,dinge1 deren bestimmende ,stcke  gleich
 sind1 sind gleich 7eine andere ,fassung
 fr gleiche ,ursachen  gleiche          
,wirkungen74    ,schopenhauer hat       
,euklid gar nicht verstanden2 ,euklid   
braucht  ,axiom #g zuerst beim ,beweis  
des ersten ,theorems1 ,satz #d1 der     
erste ,kongruenzsatz1 und dort im       
,grunde nur als ,axiom von der          
,gleichfrmigkeit des ,raumes1 bezw4 in  
dem ,sinne ,bolzanos und  ,grassmanns4  
,ich halte es fr einen ,fehler1 dass    
,euklid nicht den #a4 und  #c4          
,kongruenzsatz in die ,forderungen      
aufgenommen hat4    ,sidenote3          
,technologie der ,elemente4    ,es      
folgen nun die #dh ,protasis            
7,propositionen d4 i4 ,stze7 des ersten 
,buches4 ,die ,stze zerfallen in        
,probleme1 ,aufgaben1 die zur ,erzeugung
  eines ,gebildes fhren und ,theoreme   
,lehrstze4 ,den ,unterschied  definiert 

,proklos ,s4 #bja1 wo er1 um mit ,p4    
,tannery 7,gomtrie  grecque ,s4 #hg7 zu 
sprechen1 von der ,technologie der      
,elemente handelt  wie folgt3 ,bei den  
,problemen handelt es sich darum sich   
,fehlendes  zu beschaffen1 anschaulich  
hinzustellen und mit den ,kunstmitteln  
7,lineal und ,zirkel7 zu erzeugen4 ,im  
,theorem nimmt man sich vor das         
,vorhandensein einer ,eigenschaft bezw4 
das ,nichtvorhandensein zu sehen1  zu   
erkennen1 zu beweisen4 ,jedes ,problem  
aber und jedes ,theorem1 das  aus seinen
 vollstndigen ,teilen zusammengesetzt   
ist1 muss folgendes  in sich enthalten3 
#a7 ,vorlage 774 #b7 ,feststellung des  
,gegebenen 747 ,voraussetzung4 #c7      
,feststellung des ,geforderten  747     
,behauptung4 #d7 ,konstruktion 7474 #e7 
,beweis  747 #f7 ,schluss 774    ,die   
,protasis sagt aus1 was gegeben und was 
gefordert wird2 denn die  vollstndige   
,protasis besteht aus beiden4    ,die   
,ekthesis setzt das ,gegebene an und fr 
sich1 7d4 h4 ohne ,rcksicht  auf das    

,geforderte7 genau auseinander und      
arbeitet dadurch der  ,untersuchung vor4
    ,der ,diorismos aber macht das      
,gesuchte1 es sei1 was es sei1 an und   
fr sich deutlich4 ,der ,ausdruck        
,diorismos wird hier bei ,proklos       
anders gebraucht als bei ,pappos2       
,peyrard hat ,prodiorismos3 ,bei ,pappos
  bezeichnet ,diorismos genau das1 was  
wir heute ,determination nennen1  d4 h4 
die ,angabe derjenigen ,einschrnkungen  
in bezug auf die gegebenen  ,stcke1     
welche zur ,ausfhrbarkeit der           
,konstruktion ntig sind4    ,die        
,kataskeu fgt das hinzu1 was dem        
,gegebenen zur ,erlangung des           
,gesuchten mangelt4 ,proklos sagt zur   
,jagd  und braucht das ,bild            
wiederholt1 so alt ist das ,bewusstsein 
des ,kampfes des ,mathematikers  mit    
seinem ,problem4    ,die ,apodeixis     
leitet das ,vorliegende logisch von dem1
 was bereits  feststeht1 ab4    ,das    
,symperasma aber kehrt wieder zur       
,vorlage zurck1 indem es den  bewiesenen

 ,satz klar und deutlich ausspricht4    
,und dies sind alle ,teile  sowohl der  
,probleme als der ,theoreme4      #a7 4 
,sidenote3 ,technologie1 ,beispiel4     
,ich gebe ein ,beispiel 7,s4 #e73 ,im   
gleichschenkligen ,dreieck sind die     
,winkel an der ,basis einander gleich1  
und werden die gleichen ,schenkel       
verlngert1 so sind die ,winkel unterhalb
 der ,basis einander gleich4            
,illustration      #b7 4     sei das    
gleichschenklige ,dreieck mit  gleich   
und es mgen auf  ihrer ,geraden  und    
verlngert werden um  und 4      #c7 4   
,ich behaupte etc4      #d7 4    ,man   
nehme auf  einen beliebigen ,punkt  an1 
von  nehme man   gleich  weg und ziehe  
und 4 7,fig47      #e7 4    ,dann ist   
7,satz #d71 folglich    und   1  und da 
und ihr ,teil  und  auch gleich1 so ist 
7,ax4 #c7    2 und1 da bereits bewiesen1
 dass    und   1 so ist  7#d7 ,dreieck  
1 folglich   1 und   4 ,da nun  der     
ganze ,winkel   dem ganzen ,winkel      
erwiesen wurde1 und die  ,teile  und    

gleich1 so ist 7,ax4 #c7    und dies    
sind die  ,basiswinkel4 ,die ,gleichheit
 aber von  und  wurde schon gezeigt  und
 sie liegen unterhalb der ,basis4       
#f7 4    ,also sind im gleichschenkligen
 ,dreieck etc4    ,m4 ,h46 ich habe dies
 ,beispiel absichtlich gewhlt1 weil es  
zeigt1 wie  turmhoch ,euklid ber den    
,beweisen unserer geometrischen         
,lehrbcher  steht1 und weil aus         
,heibergs zitierter ,arbeit ber die     
,mathematik  bei ,aristoteles folgt1    
dass hier ein bedeutender ,fortschritt  
des  ,eukleides ber den ,theudios       
vorliegt4 ,es fllt ,euklid gar nicht    
ein den ,satz zu benutzen3 wenn die     
,winkel gleich sind1 so sind ihre       
,nebenwinkel gleich4    ,proklos fhrt   
fort3 ,am notwendigsten aber und in     
allem vorhanden  sind die ,vorlage1 der 
,beweis und der ,schluss4 ,denn man muss
 a7  vorher wissen1 was zu suchen ist   
und b7 es durch eine ,kette von         
,schlssen beweisen und c7 das ,resultat 
einsammeln4 ,die andern ,teile  fehlen  

mitunter wie ,diorismos und ,ekthesis   
bei dem ,problem3 ,ein                  
gleichschenkliges ,dreieck zu           
konstruieren1 worin jeder ,basiswinkel  
das ,doppelte des ,winkels an der       
,spitze4 ,dies ,fehlen tritt ein1 sagt  
,proklos1 wenn die ,vorlage kein        
,gegebenes enthlt 7d4 h4 wenn es        
ausgelassen ist7 wie in dem zitierten   
,beispiel die ,basis des ,dreiecks  wie 
in ,b4 ,x ,s4 #bj eine #d4 ,wurzel zu   
konstruieren 7nmlich bei gegebener  aber
 nicht erwhnter ,einheitsstrecke74      
,sidenote3 ,technologie der ,elemente1  
,lemma1 ,porisma4    ,die ,konstruktion 
aber fehlt in weitaus den meisten       
,theoremen1 da  die ,ekthesis hinreicht 
um ohne einen ,zusatz 7nmlich von       
,zeichnung7  das ,vorgesetzte 7d4 i4 die
 ,figur1 um die es sich handelt7        
sichtbar  zu machen4 ,hin und wieder    
findet sich ein ,hilfssatz1 ,lemma1 7von
  7 und ,zugaben1 ,porisma4 ,lemma ist  
eigentlich in der ,geometrie  ein ,satz1
 der noch des ,beweises bedarf1 den wir 

fr eine ,konstruktion  oder einen       
,beweis einstweilen annehmen            
vorbehaltlich des ,beweises1  und der   
sich durch diesen ,vorbehalt von den    
,axiomen und ,forderungen               
unterscheidet1 welche wir ohne dass sie 
bewiesen1 zur ,rechtfertigung  anderer  
,stze herbeiziehen4 ,porisma ist ein    
,zusatz1 der sich beim  ,beweis eines   
anderen als eine ,gottesgabe ungewollt  
von selbst ergibt1  im wesentlichen also
 eine andere ,fassung des bewiesenen    
,satzes4  brigens sind die meisten1 ich 
mchte sagen alle ,lemmata und vielleicht
  auch die ,porismata verdchtig1 so     
fehlt z4 ,b4 das ,porisma zu ,i1 #ae3   
7,scheitelwinkel sind gleich7 ,wenn zwei
 ,gerade einander schneiden1 so  sind   
die vier ,winkel vier ,rechten gleich1  
obwohl es sich bei ,proklos  findet in  
den besten ,handschriften4    ,zu       
bemerken ist1 dass in den guten         
,handschriften sich weder  berschriften 
noch ,bezeichnungen der einzelnen ,teile
 finden4 ,die  ,stze sind numeriert und 

dies ist sicher nicht original1 da      
,euklid  nicht auf die betreffende      
,nummer verweist1 sondern den           
einschlagenden  ,satz vollstndig angibt4
 ,dies ,schleppende der ,darstellung    
veranlasste  vermutlich die ,bezifferung
 und zwang zu ,abkrzungen4 brigens      
erklrt  sich die ,breite1 wenn man sich 
vergegenwrtigt1 dass das ,original zu   
mndlichem ,vortrag im ,kolleg vor       
,studenten der ,universitt ,alexandria  
bestimmt war4 ,und dies ist ein         
,umstand1 der bei der ,klage ber ,euklid
  und ,euklids ,methode viel zu wenig   
bercksichtigt ist2 das ,buch war fr     
reife ,mnner bestimmt nur die ,torheit  
der ,scholarchen hat aus einem der      
tiefsinnigsten ,werke aller ,zeiten ein 
,buch fr ,schulknaben gemacht4          
,sidenote3 ,euklids ,elemente1 ,buch #a 
bis #e4    ,die ,inhaltsangabe sei ganz 
kurz als ,schluss angefgt4 ,buch #a1 das
  bedeutendste1 zerfllt in drei der     
,ausdehnung nach sehr ungleiche  ,teile4
 ,satz #a-bf die wichtigsten ,stze ber  

,dreiecke und ,winkel mit  den drei     
,kongruenzstzen und unabhngig vom       
,parallelenaxiom2 ,satz  #bg-cc         
,parallelentheorie mit ,satz #cb        
,winkelsumme2 ,satz #cd-dh die          
,flchenvergleichung1 7#dg ,pythagoras1  
#dh seine ,umkehrung74    ,das #b4 ,buch
 ist lngst als geometrische ,algebra    
erkannt1 in  ,ausfhrung des ,pythagoras 
wird das ,rechnen mit ,flchen gelehrt1  
z4 ,b4  7a#b  b#b71 7a#b - b#b71 dann   
die ,multiplikation von ,aggregaten1  es
 geht bis zur ,auflsung quadratischer   
,gleichungen in geometrischer           
,einkleidung1 zunchst nur im speziellen 
,fall und endet mit dem  geometrischen  
,existenzbeweis der ,quadratwurzel durch
 die ,verwandlung  des ,rechtecks in ein
 ,quadrat4    ,das #c4 ,buch handelt vom
 ,kreis1 aber die ,kreisberechnung wird 
nicht  gelehrt4    ,buch #d handelt von 
den dem ,kreis ein- und umgeschriebenen 
,figuren1  speziell von der             
,kreisteilung2 es geht bis zur          
,konstruktion des  regulren #ae;,ecks   

7ebenso wie wir3 #b_/ae  #a_/c - #a_/e7 
,s4 #af2 der dadurch  merkwrdig ist1    
dass sogar die ,analyse in die          
,konstruktion verwebt ist4  ,das #d4    
,buch hat seine ,fortsetzung im ,anfang 
des #ab4 ,buches1 wo in ,satz  #b3      
,kreise verhalten sich wie die ,quadrate
 ihrer ,durchmesser1 alles  steht1 was  
bei ,euklid ber die ,quadratur des      
,zirkels vorkommt4    ,sidenote3        
,euklids ,elemente1 ,buch #e und #f4    
,das #e4 ,buch enthlt die ,lehre vom    
,verhltnis und der ,gleichheit der      
,verhltnisse 7,proportionen7            
gleichartigen ,grssen in vollstndiger   
,allgemeinheit4 ,es ist mit grsster     
,wahrscheinlichkeit ein ,werk des       
,eudoxos und scheint nur wenig von      
,euklid berarbeitet zu sein1 da  wo     
statt  steht 4 ,auf sein hheres ,alter  
deutet noch  das ,ringen mit dem        
,ausdruck und die oft schwer            
verstndliche ,fassung  der ,stze hin4   
,es fehlt die ,definition des ,begriffes
 kontinuierliche  ,grsse1 sie war aber  

durch ,aristoteles gegeben1 vermutlich  
auch  von ,eudoxos4 ,clavius 7,ausgabe  
von #afjg p4 #dcf7 hebt wie ,campanus   
,s4 #c hervor1 dass dem #e4 ,buch ein   
,axiom zugrunde liegt1 welches  ,clavius
 formuliert3 ,quam proportionem habet   
magnitudo aliqua ad aliam1  eandem habet
 quaevis magnitudo proposita ad aliquam 
aliam1 et eandem  habebit quaepiam alia 
magnitudo ad quamvis magnitudinem       
propositam4  -- ,das ,verhltnis1 das    
irgend eine ,grsse zu einer andern hat1 
das  wird jede beliebige gegebene ,grsse
 zu irgend einer andern haben  und eben 
dasselbe wird irgend eine ,grsse zu     
jeder gegebenen ,grsse  haben4 ,es ist  
das ,axiom im ,grunde nichts anderes als
 die ,umkehrung  des ,weierstrass'schen 
,axioms3 ,zu jedem ,punkt in der        
,zahlenreihe gibt  es eine ,zahl4 ,es   
wird zwar immer behauptet1 die ,hellenen
 htten in  der ,irrationalzahl keine    
,zahl gesehen1 aber aus dem #e4 ,buch   
geht  unwiderleglich hervor1 dass sie   
den ,zahlbegriff in voller1 fast        

wrtlich mit der ,weierstrass'schen      
,auffassung sich deckender ,schrfe      
besassen und dass ,euklid wie ,eudoxos  
im ,verhltnis zweier gleichartiger      
,grssen nichts anderes sahen als eine   
,zahl4 ,und das erhellt schon aus  dem  
,kunstausdruck  fr ,verhltnis2 denn     
,logik ist die ,rechnung1  ,logistik die
 ,rechenkunst und ,logos heisst im      
,grunde nichts anderes als  ,masszahl   
einer ,grsse in bezug auf eine andere4  
#f4 ,buch3 hnlichkeitslehre4 ,mit dem   
#f4 ,buch schliessen die eigentlichen   
planimetrischen ,bcher2 wohl kommen noch
 einzelne planimetrische  ,stze in den  
stereometrischen ,bchern vor1 wie z4 ,b4
 die auf die  stetige ,teilung          
bezglichen ,stze ,,xiii1 #a-ab und      
besonders der ,satz  ,,xii1 #a und #b1  
aber sie werden doch nur zum ,zweck     
ihrer ,verwendung fr  stereometrische   
,konstruktionen und ,satze gegeben4     
,nachdem so die ,planimetrie zu einem   
gewissen ,abschluss gekommen war1  sind 
die ,bcher #g1 #h1 #i der ,arithmetik   

oder eigentlich besser der              
,zahlentheorie gewidmet4    ,das #g4    
,buch knpft geistig an die ,lehre von   
den ,verhltnissen an und  lehrt den     
,algorithmus des ,aufsuchens des grssten
 gemeinsamen ,teilers1  auf dem unsere  
ganze ,zahlentheorie ruht1 gerade so wie
 wir noch heute1  durch die ,kette von  
,teilungen4    ,sidenote3 ,euklid1      
,elemente1 ,buch #h bis #ab4    ,buch #h
 behandelt die ,proportionen noch       
ausfhrlicher1 d4 h4 die ,lehre  von den 
,gleichungen ersten ,grades4    ,das #i4
 ,buch beschftigt sich besonders mit den
 ,primzahlen und  enthlt den ,satz1 der 
der ganzen ,entwicklung nach fr         
,eigentum  des ,euklid gehalten werden  
muss1 den einfachen ,beweis1 dass die   
,menge der ,primzahlen unendlich3       
,entweder #a  #b  #c  444 p  #a  ist    
keine ,primzahl1 dann ist sie durch eine
 ,primzahl  p teilbar  oder sie ist     
prim4 ,die erste ,zahl die keine        
,primzahl ist1 gibt  #b  #c  #e  #g  #aa
  #ac  #a  #cjjca1 die zweite das       

,produkt der  ,primzahlen von #b bis #ag
  #a1 welche schon durch #ai teilbar    
ist4    ,das #aj4 ,buch zum ,teil von   
,thetet herrhrend1 handelt ausfhrlich   
von den ,irrationalzahlen1 welche mit   
,zirkel und ,lineal konstruierbar  sind1
 d4 h4 im ,grunde von den ,gleichungen  
#d4 ,grades1 welche sich auf            
quadratische reduzieren1 dabei kommt    
auch die allgemeine ,lsung des          
,pythagoras gleichzeitig vor durch die  
,formeln3 2 7#b - #b7_/b2  7#b  #b7_/b4 
,der letzte ,satz gibt dann den         
geometrischen ,beweis von  der          
,inkommensurabilitt von ,seite und      
,diagonale des ,quadrats4    ,das #aa41 
#ab41 #ac4 ,buch sind dann die          
stereometrischen ,bcher4 #aa4 ,buch  die
 ,anfangsgrnde1 der granitne ,satz vom  
,lote auf der ,ebene1 dann die          
dreiseitige ,ecke1 das                  
,parallelepipedon1 das ,prisma4    ,das 
#ab4 ,buch enthlt im wesentlichen       
,krperberechnung1 d4 h4 es gibt  nicht  
die wirklichen ,formeln1 sondern beweist

 nur1 dass ,pyramide bezw4  ,kegel #a_/c
 vom ,prisma bezw4 ,cylinder sind1      
beweist als ,lemma mittelst  des        
,exhaustionsbeweis1 den er ,buch #aj    
formuliert hat3 ,sind zwei  ungleiche   
,grssen gegeben und nimmt man von der   
grsseren die ,hlfte  weg und so fort1 so
 kommt man zu einem ,reste1 welcher     
kleiner ist als  die gegebene kleinere  
,grsse dass ,kreise sich wie die        
,quadrate ihrer  ,durchmesser verhalten 
und damit dass ,kugeln sich wie die     
,kuben ihrer  ,durchmesser verhalten4   
,sidenote3 ,euklid1 ,elemente ,buch #ac4
    ,buch #ac behandelt die platonischen
 ,krper und gibt einleitend #ab ,stze1  
die das ,thema von ,buch #f1 die        
,kreisteilung oder die ,konstruktion    
regulrer ,polygone1 noch einmal         
aufnehmen und geht dann auf die         
regulren ,krper ein2 es schliesst mit   
dem schon hervorgehobenen ,beweis  der  
,nichtexistenz eines sechsten regulren  
,krpers4 ,wir knnten auf  ,euklid       
denselben ,schlusssatz wie bei ,platon  

anwenden1 ,euklid hat das  unscheinbare 
aber unerschtterliche ,fundament        
geschaffen1 auf dem  sich der stolze    
,bau des ,archimedes erheben konnte1 dem
 wir uns jetzt  zuwenden4    ,sidenote3 
,archimedes 7vita74    ,an ,euklid1 dem 
,stoicheiotes1 schliesst sich           
,archimedes an1 der  ,erzdenker1 wie ich
 seinen ,namen bersetze1 der princeps   
matheseos des  ,altertums und vielleicht
 aller ,zeiten1 der nur an ,galilei1    
,gauss1  ,newton und ,fermat seines     
,gleichen hat4 ,gleich gross als        
,mathematiker1  ,physiker1 ,mechaniker  
und ,astronom4 ,auch von seinem ,leben  
wissen wir  wenig1 eine ,biographie     
seines ,zeitgenossen ,herakleides1      
welche dem  ,eutokios noch vorlag1 ist  
vllig verloren4 ,das ,todesjahr steht   
fest1 er  fiel bei der ,einnahme seiner 
,vaterstadt ,syrakus durch4 ,marcellus  
der  ,roheit eines ,soldaten zum ,opfer2
 also #bab1 und zwar hochbetagt2 zum    
,schmerz des ,marcellus1 der ausdrcklich
 befohlen hatte des ,archimedes  zu     

schonen4 ,tzetzes sagt1 7chiliad4 ,,ii1 
#cf1 #aje7 im ,alter von #ge  ,jahren1  
dann war er #bhg geboren1 jedenfalls    
hochbetagt4 ,sein ,vater soll  der      
,astronom ,pheidias gewesen sein und    
dann wre auch ,archimedes gleich  wie   
,aristoteles auf die exakten            
,wissenschaften erblich hingewiesen4    
,plutarch erzhlt im ,leben des          
,marcellus1 dass er dem ,knige ,hiero   
,,ii4  dem trefflichsten ,regenten1 den 
,syrakus besessen1 nahe verwandt gewesen
  und jedenfalls war er ihm und seinem  
,sohne ,gelon eng befreundet4 ,eine     
andere ,version lsst ihn durch          
,missverstndnis einer ,stelle bei       
,cicero  in den ,tusculanen ,v1 #bc aus 
armer ,familie und von niedriger ,geburt
  sein4 ,der humilis homunculus bezieht 
sich nur auf das traurige ,ende  des    
,archimedes4 ,diese andere ,version ist 
so gut wie ausgeschlossen1 wir  wissen1 
dass er jede gewinnbringende ,ttigkeit  
geringschtzte1 ja sogar  jede           
praktische1 und nur auf ,bitten des     

,hiero und schliesslich bei  der        
,verteidigung seiner ,vaterstadt sein   
technisches ,genie bettigte4  ,in den   
tiefsten rein wissenschaftlichen        
,spekulationen fand er seine            
,befriedigung und im ganzen spteren     
,altertum wurde ein schwieriges         
,problem ,archimedeon problema genannt  
vergl4 ,cicero ep4 ad ,atticum #ab1  #d2
 #ac1 #bh etc4 7,bunte1 ,progr4 ,leer   
#ahgg1 ,heiberg1 ,quaest4 ,archim4      
#ahgi74 ,und auch sein ,tod soll nach   
mehrfach beglaubigter ,angabe eine      
,folge seiner ,vertiefung in die        
,wissenschaft gewesen sein4 ,jedenfalls 
war er nach dem schmucklosen und        
glaubhaften ,bericht des ,livius so     
tief in ,gedanken versunken1 dass er die
 ,einnahme von ,syrakus nicht  bemerkt  
hat4 ,das ,noli turbare circulos meos   
7,stre ja nicht meine  ,kreise7 geht auf
 ,tzetzes zurck oder richtiger auf      
,diodor41 die andere  ,version1 die ,g4 
,valla nach ,zonaras berichtet1 lautet3 
7,verletze den ,kopf1 aber nicht meine  

,linie74    ,niemals ist das ,wesen des 
,archimedes treffender verkndet worden1 
als  es ,schiller1 ,dichter und ,prophet
 im ,horazischen ,sinne1 mit dem        
,epigramm  ,archimedes und der ,schler  
vermocht hat4        ,zu ,archimedes kam
 ein wissbegieriger ,jngling1           
,weihe mich1 sprach er zu ihm1 ein in   
die gttliche ,kunst      ,die so        
herrliche ,frucht dem ,vaterlande       
getragen      ,und die ,mauern der      
,stadt vor der ,sambuca beschtzt4       
,gttlich nennst du die ,kunst8 ,sie     
ist's1 versetzte der ,weise1      ,aber 
das war sie1 mein ,sohn1 eh' sie dem    
,staat noch gedient4      ,willst du nur
 ,frchte von ihr1 die kann auch die     
,sterbliche zeugen1      ,wer um die    
,gttin freit1 suche in ihr nicht das    
,weib4    ,die ,sambuca war eine von    
,marcellus mit grossen ,kosten erbaute  
gewaltige  ,maschine1 durch welche die  
,mauern der ,achradina1 der ,seefestung 
von  ,syrakus1 in der vermutlich        
,archimedes selbst wohnte1 zertrmmert   

werden  sollte4 ,archimedes zerstrte die
 ,sambuca durch drei hintereinander     
folgende ,wrfe4 ,seine ,maschinen       
7organa71 ,wurfmaschinen -- ,katapulte  
und ,ballisten --1 und eiserne ,krane1  
die mit ihrem ,arm die ,schiffe der     
,rmer ergriffen1 hochhoben und mit      
furchtbarer ,gewalt fallen liessen1     
wirkten derart1 dass die ,rmer1 sobald  
nur ein ,seil sichtbar wurde1           
davonliefen4 ,plutarch lsst ,marcellus  
sagen3 ,sollten wir nicht aufhren  gegen
 den mathematischen ,briareus1 den      
hundertarmigen ,giganten zu  kmpfen4    
,und er hob tatschlich die ,belagerung  
auf und schloss die  ,stadt nur ein1    
welche erst durch ,verrat und           
berrumpelung in seine  ,hnde fiel4      
,aus dem ,leben des ,archimedes steht   
soviel fest1 dass er1 vermutlich  im    
,mannesalter1 in ,alexandria war1 und   
dort wenn auch nicht unter  ,euklid     
selbst aber unter ,schlern des ,euklid  
studierte4 ,es ist nicht                
unwahrscheinlich1 dass er bei dem       

ausgezeichneten ,mathematiker und       
,astronom ,konon aus ,samos hrte1 mit   
dem er befreundet war und dem  er spter 
seine ,entdeckungen zusandte1 wie er    
selbst berichtet4 ,nach  ,pappos        
7,collect4 ,i p4 #bcd7 ist ,konon1 von  
dessen ,schriften nichts  erhalten ist1 
der ,entdecker der ,archimedischen      
,spirale gewesen  7s4 u474 ,auch mit    
,eratosthenes muss ,archimedes dort     
verkehrt haben1  das berhmte            
,rinderproblem ist an jenen gerichtet1  
und wenn auch die  ,verse des ,epigramm 
nicht echt sein mgen1 das ,problem      
selbst und die  ,sendung an den         
,alexandriner zu bezweifeln liegt kein  
,grund vor4 ,seit  ,sommer #aijf ist der
 ,verkehr zwischen beiden ,mathematikern
 durch das  von ,j4 ,l4 ,heiberg        
entdeckte ,ephodion 7s4 u471 erwiesen4  
,dort in  ,alexandria hat er die berhmte
 ,schraube erfunden1 die 1 nach  der    
,schnecke mit gewundenem ,gehuse1 der   
,purpurschnecke ,kochlos1 aber  auch    
,helix genannt wurde1 mit der das       

,wasser aus dem ,nil auf die ,felder    
gehoben wurde4    ,zurckgekehrt         
beschftigte er sich mit den subtilsten  
mathematischen  ,untersuchungen1        
insbesondere mit ,ausbildung der        
infinitesimalen  ,methoden und nur zu   
seiner ,erholung mit praktischer        
,mechanik4 ,berhmt  sind die von ,cicero
 in de republica beschriebenen ,globen1 
von denen  namentlich die ,hohlkugel1   
ein gewaltiges1 mit ,wasserkraft        
getriebenes  ,planetarium fr ein        
,wunderwerk galt4 ,es war das einzige   
,beutestck1 das  ,marcellus aus ,syrakus
 fr sich nahm4 ,auch die einzige        
,schrift1 welche  ,archimedes ber       
,technik verfasst hat1 ist nach dem     
,zeugnis des ,plutarch  die ,schrift ber
 ,anfertigung von ,globen1  4    ,von   
,archimedes werden zwei ,zge autoritr   
berichtet und besonders der  erste so   
gut beglaubigt1 dass er wahr erscheint4 
,knig ,hiero liess  unter ,leitung des  
,archimedes ein prchtig ausgerstetes    
,riesenschiff  bauen1 etwa unsern       

,salondampfern vergleichbar1 das        
,athenaios 7#b ,jahrh4  nach ,chr41     
,alexandriner1 der uns ,auszge aus sehr 
vielen verlorenen  ,werken in seinen    
,deipnosophistae-,gastmahle ,gelehrter  
-- erhalten  hat2 siehe ,details ber das
 ,schiff bei ,bunte l4 c47 ausfhrlich   
beschreibt4 ,hiero bezweifelte ob man   
das ,riesenschiff vom ,stapel lassen    
knne1 da zog ,archimedes mit dem von ihm
 erfundenen ,flaschenzug  allein ein    
beladenes ,schiff1 ,proklos sagt sogar  
das ,schiff1 ans ,ufer  indem er sagte3 
4 7,gib mir einen  festen ,punkt1 und   
ich will die ,erde bewegen47 ,proklos   
7,friedlein p4 #fc7  berichtet weiter3  
1 1        4 ,und der erstaunte ,hiero  
sagte3 ,von heute ab mag  ,archimedes   
behaupten was es sei1 man muss ihm      
,glauben schenken4 ,das  ,hebelgesetz1  
die ,grundlagen der ,statik hat         
unbezweifelt ,archimedes  bewiesen      
vergl4 ,pappos ,,viii1 #ai4    ,die     
andere ,anekdote knpft an seine         
,auffindung des ,hydrostatischen        

,grundgesetzes von der gleichmssigen    
,fortpflanzung des ,druckes in          
,flssigkeiten an1 des ,archimedischen   
,prinzip3 ,der ,auftrieb ist gleich  dem
 ,gewicht der verdrngten ,wassermasse4  
,sie wird uns von ,vitruv1  dem         
bedeutendsten ,rmischen ,baumeister1 dem
 ,lehrmeister unserer  ,architekten und 
,ingenieure1 in de ,architectura ,,ix   
mitgeteilt4 ,es ist  die bekannte in    
jeder ,aufgabensammlung stehende        
,gleichung von der ,krone  des ,hiero1  
,proklos nennt l4 c4 ,gelon1 doch hat   
,h4 ,heiberg hchst  wahrscheinlich      
recht1 dass richtiger ,hieron zu lesen  
ist1 da ,proklos zu  ,gelon nichts      
hinzusetzt4 ,der ,knig glaubte sich von 
seinem ,goldschmied  betrogen1 der      
,silber unter das ,gold gemischt1 und   
stellte die ,aufgabe1  ohne die ,krone  
aufzulsen1 herauszubringen1 wieviel     
,gold und wie viel  ,silber die ,krone  
enthalte4 ,archimedes habe sich im ,bade
 mit dem ,problem  beschftigt und als er
 das ,steigen des ,wassers in der ,wanne

 beobachtet1  sei er mit dem ,ausruf1 1 
1 ich hab's 7gefunden7 ich hab's1  nackt
 aus dem ,bade gesprungen4 ,die ganze   
,badegeschichte fehlt bei  ,proklos1 der
 nur angibt1 dass jener die ihm         
gestellte ,aufgabe gelst  habe4         
,sicher steht dagegen die ,tatsache1    
dass ,archimedes den ,wunsch            
ausgesprochen1 man mge ihm auf sein     
,grab eine von einem ,cylinder          
umschlossene ,kugel setzen1 mit der     
,angabe des ,verhltnis der ,volumina  #b
 3 #c1 denn auf diese ,entdeckung legte 
er den grssten ,wert1 7man  denke an    
,newton und den ,binom74 ,marcellus hat 
den ,wunsch erfllt1  ,cicero berichtet  
l4 c4 dass er1 der #ge v4 ,chr4 als     
,qustor auf ,sicilien  seines ,amtes    
waltete1 an dieser ,inschrift das       
verfallene ,grabmal des  ,archimedes    
erkannt und das ,grab wieder in ,stand  
gesetzt habe4    ,sidenote3 ,archimedes'
 ,werke4    ,und nun zu dem1 was        
unsterblich an ,archimedes ist1 seine   
,leistungen  und ,schriften4 ,die grosse

 ,bedeutung seiner ,entdeckungen fr die 
reine  und angewandte ,mathematik haben 
bewirkt1 dass nur ein verhltnismssig    
kleiner ,bruchteil wirklich verloren    
gegangen ist1 wenn uns auch die         
,originalfassungen vielfach fehlen4     
,archimedes sprach und schrieb im       
dorischen ,dialekt und seine ,schriften 
sind erst spter attisiert4 ,einen  ,teil
 kennen wir aus arabischen ,quellen und 
lateinischen bersetzungen4              
,archimedes verdankte seine ,leistungen 
der so seltenen ,verbindung  des hchsten
 experimentellen mit hchstem            
spekulativen ,scharfsinn4  ,schon in der
 ,einleitung habe ich das ,citat aus    
,herons ,metrika  angefhrt und die      
,auffindung des ,kugelvolums1 und ebenso
 ruht1 wenn  nicht die ,einfhrung1 doch 
sicher die ,benutzung des ,schwerpunktes
  auf experimenteller ,grundlage4 ,aber 
was er auf dem ,wege des  ,experimentes 
gefunden1 das vermochte er zu beweisen  
mit ,hilfe von                          
,infinitesimalbetrachtungen1 die er sehr

 frh mit vorbildlicher ,klarheit  und   
,schrfe ausgebildet haben muss4 ,es     
scheint mir ganz sicher zu  sein1 dass  
sein erster rein mathematischer ,vorwurf
 das ,problem der  ,bogenteilung und    
,quadratur des ,zirkels1 welche ja schon
 ,dinostratos  zusammengezogen hatte1   
gewesen ist1 wenn auch die ,kreismessung
 spter  redigiert ist4 ,dies geht daraus
 hervor1 dass die an ,konon gesandten   
,stze ber die ,archimedische ,spirale   
zeitlich so ziemlich das ,erste  sind1  
was er verffentlicht hat4 ,die ,spirale 
selbst soll ja ,pappos  zufolge ,konon  
und nicht ,archimedes gefunden haben1   
die ,benutzung  derselben zur           
,winkelteilung und ,kreismessung und die
 ,auffindung  ihrer ,eigenschaften sind 
sein ,eigentum4 ,die ,beweise der ,stze 
fand  er mit ,hilfe des                 
,infinitesimalen1 auf                   
,differentialrechnung beruht  seine     
,konstruktion der ,tangente an die      
,spirale1 die nichts anderes  ist als   
die ,roberval-,torricelli'sche ,methode1

 auf ,integration die  ,flchen- und     
,volumenbestimmung4 ,freilich sah auch  
er sich durch die  ,rcksicht auf seine  
,leser gentigt1 die                     
,differentialrechnung hinter dem        
sogenannten ,archimedischen ,prinzipe   
7s4 u47 zu verstecken1 wie wir  das     
schon bei ,eudoxos konstatierten1 sind  
doch m4 ,e4 die ,schriften  des         
,demokrit nur deswegen verloren         
gegangen1 weil sie mangels              
,konzessionen an die ,beschrnktheit     
nicht verstanden wurden4 ,eine  der     
frhesten ,anwendung muss der ,hauptsatz 
der  1 der  ,kreismessung1 gewesen sein1
 und die ,auffassung des ,kreises als   
,grenze  der regulren ,polygone4        
,sidenote3 ,archimedes' ,werke          
7,ephodion74    ,wie klar sich          
,archimedes ber die ,tragweite der      
,infinitesimalrechnung  gewesen und wie 
scharf er den ,grenzbegriff erfasst hat1
 ist jetzt  durch die ,wiederauffindung 
des bis #aijg verloren geglaubten       
,ephodion  77 erwiesen4 ,j4 ,l4 ,heiberg

 hat durch die ,entzifferung  des       
,palimpsest publiziert in deutscher     
bersetzung ,enestrm ,folge  ,,iii1 #g1  
#aijg ,s4 #ca ff4 und griechisch ,hermes
 #db ,heft #b auf den  ihn ,h4 ,schoene1
 der ,auffinder der ,metrika des ,heron 
hingewiesen  hatte1 seinen ohnehin schon
 berreichen ,verdiensten um die         
,geschichte  ,hellenischer ,wissenschaft
 die ,krone aufgesetzt4 ,er hatte dabei 
die  ,freude die ,vermutung die er in   
dem ,quaestiones ,archimedeae ber den   
,inhalt des 4 #ahgi ausgesprochen hatte1
 #aijg vollbesttigt  zu sehen4 ,es      
heisst da3 ,potius crediderim1  esse    
librum methodi  mathematicae scientiam  
complectentem 4442  enim post           
,aristotelem  significat methodum4      
,die ,schrift mag druckfertig gemacht   
sein wann sie will1 ihr  wesentlicher   
,inhalt fllt nicht nur vor ,kugel und   
,cylinder1 sondern  bildete mit dem     
,begriffe des statischen ,moments den   
,ausgangspunkt1  gewissermassen das     
,leitmotiv seiner ganzen                

wissenschaftlichen  ,ttigkeit1          
wenigstens soweit ,mechanik und         
,geometrie in ,betracht kommen4  ,in    
einem ,vortrag zu ,frankfurt auf der    
,naturforscherversammlung #ahic  sagte  
ich schon1 dass ,galilei so genau an    
,archimedes anknpfe1 als  habe er bei   
ihm gehrt4 ,das ,ephodion zeigt1 dass   
selbst die ,form  ,galileis und noch    
mehr ,cavalieris1 seines ,schlers1      
merkwrdig mit  ,archimedes bereinstimmt4
 ,die ,renaissance besass gewiss ein    
ganz  ,teil ,originaltexte die          
inzwischen verloren gingen1 wie das von 
der  ,sammlung ,regiomontans feststeht  
und von des ,archimedes-,schrift   41   
von der brigens ein grosses ,stck sich  
im selben  ,palimpsest vorgefunden hat  
und es scheint mir wahrscheinlich1 dass 
ein ,exemplar des  ,galilei und         
,cavalieri vorgelegen hat4 ,so  ist der 
,kunstausdruck fr das ,integral1 den    
auch ,leibniz zuerst von  ,cavalieri    
entnommen1 omnia1 eine bersetzung des   
aus dem  ,ephodion1 so die ,stelle      

,hermes ,s4 #bej ,z4 #ae-ai von  bis 4  
und  #bed1 #ba von  bis 41 welche den   
,archimedes1 der doch  seinen           
,aristoteles genau genug kannte1 wie    
seiner ,zeit ,cavalieri dem  ,verdacht  
aussetzten die ,flche als ,summe von    
,linien1 den ,krper als  ,summe von     
,flchen anzusehen4 ,die ,identitt der   
,exhaustionsmethode  mit der            
,differentialrechnung hat kein          
,geringerer als ,wallis zuerst          
hervorgehoben2 ich verweise hierfr auf  
die #b4 ,auflage meiner ,didaktik  und  
,methodik1 ,baumeisters ,handbuch ,,ix  
pg4 #afh 7#aijg74    ,sidenote3         
,archimedes' ,werke 7,ausgabe74         
,archimedes' gesammelte ,werke sind     
griechisch und lateinisch zuerst  #aedd 
bei ,herwagen in ,basel1 der auch in    
,strassburg eine ,druckerei  besass1    
gedruckt worden1 der ,herausgeber       
,thomas ,grechauff nennt sich  auf dem  
,titelblatt nicht4 ,der lateinische     
,text ist weit besser als  der          
griechische1 ,heiberg macht es          

wahrscheinlich1 dass wir es hier  mit   
den ,verbesserungen ,regiomontans zu tun
 haben und ausserdem hat  noch der von  
,nrnberg aus #aebi nach ,strassburg     
berufene ,christian  ,herlin            
wesentlichen ,anteil4 ,das ,exemplar1   
welches nach mannigfachen  ,schicksalen 
jetzt die ,bibliothek des ,lyceums      
ziert1 kann sehr wohl  ,herlins eigenes 
,exemplar gewesen sein1 der ursprnglich 
als ,stdtischer  ,rechenmeister1 dann   
als erster ,mathematiker des ,sturmschen
 7jetzigen  ,protestantischen7          
,gymnasium bis #aefb in ,strassburg     
wirkte4 ,die nchste  ,gesamtausgabe     
griechisch und lateinisch ist die       
,oxforder ,ausgabe in  ,riesenformat des
 ,giuseppe ,torelli von #agib1 sie wre  
ein ,meisterstck  geworden1 wenn nicht  
der #agha im #fa4 ,lebensjahr erfolgte  
,tod des  hervorragenden ,gelehrten die 
endgltige ,ausgabe in die ,hand des     
,englnders ,abraham ,robertson gelegt   
htte1 der sie vergl4 ,heiberg1  ,quaest4
 ,arch4 p4 #aaj und ,e4 ,nizze p4 ,,ix  

verdorben hat4 ,heiberg  erwhnt noch    
wenig rhmend die ,ausgabe des ,rivaltus 
,paris #afae fol41  sie ist aber durch  
gute ,figuren bemerkenswert4 ,torelli   
hat das  ,verdienst1 durch ,benutzung   
der ,begleitbriefe mit denen ,archimedes
 die  meisten ,werke in die ,welt       
gesandt1 und der eignen ,zitate die     
,schriften  in chronologisch richtigere 
,reihenfolge gebracht zu haben1 als sie 
der ,codex ,florentinus1 der wichtigste 
aller1 da der ,archetyp der  ,codex des 
,georg ,valla 7,heib4 ,praef47 seit     
#aedd noch nicht wieder zum  ,vorschein 
gekommen ist1 und mit ihm die andern    
enthalten4    ,es folgt als letzte und  
beste die ,ausgabe von ,i4 ,l4 ,heiberg 
,teubner  #ahhj-ha1 ebenfalls mit dem   
,kommentar des ,eutokios1 griechisch und
  lateinisch1 ,heiberg bereitet auf     
,grund des von ihm entzifferten         
,palimpsest 7s4 o47 eine zweite ,auflage
 vor4    ,sidenote3 ,archimedes' ,werke 
7bersetzungen1 ,kommentare74    ,von    
bersetzungen hebe ich hervor die        

lateinische des ,federico  ,commandino  
,venedig #ae41 der schon als            
,euklidbersetzer gerhmt werden  musste2 
die deutsche des ,altdorfer ,professor  
,chr4 ,sturm1 den ich in  der ,didaktik 
und ,methodik so vielfach erwhnen       
musste1 den ,verfasser  der ,mathesis   
juvenilis1 die franzsische von ,f4      
,peyrard #ahjg mit  einem ,anhang       
,delambres ber griechisches             
,zahlenrechnen 7,logistik7 und  die     
vortreffliche des ,stralsunder ,ernst   
,nizze von #ahbd mit wichtigen          
kritischen ,anmerkungen1 in denen auch  
der ,kommentar des ,eutokios  des       
einzigen1 der aus dem ,altertum selbst  
rhrt 7,nizze p4 ,,vii7  bercksichtigt   
ist4 ber ihn sagt die ,florentinus      
7,heiberg1 ,quaest4 p4  #aac73         1
  '     1    4      ,treffliche ,arbeit 
des weisen ,eutokios1 einstens          
geschrieben1    ,welche die ,neider des 
,manns fter mit ,unrecht geschmht4      
,ich wage es brigens zu sagen1 dass die 
einleitenden ,worte ,heib4 ,b4 #c1  p4  

#b zu frei bersetzt sind1 ich wrde      
wiedergeben3 obwohl die ,schwierigkeit  
mich zaudern liess1 den  ,superlativ    
verisimillimum als bersetzung von   mit 
nicht  unwahrscheinlich und das reizende
         4 und wenn ich auch meiner     
,jugend wegen ab und an falsch  singen  
wrde etc4 ,leider hat ,eutokios nur ,no4
 #a1 #c1 #d der ,schriften  kommentiert4
    ,sidenote3 ,archimedes' ,werke      
7,reihenfolge74    ,die jetzt           
festgehaltene ,reihenfolge der          
,schriften ist3    #a7   1 ,buch ,i vom 
,gleichgewicht der ,ebenen  7,flchen74  
#b7    1 ,quadratur der ,parabel4    ber
 die ,dorischen ,eigenarten s4 ,heibergs
 ,quaest4 ,arch4 ,cap4 ,v4    #c7   1   
,buch ,,ii vom ,gleichgewicht der       
,ebenen  7,flchen7 oder vom ,schwerpunkt
 derselben4    #d7     1 #b ,bcher von  
der ,kugel und dem  ,cylinder4    #e7  1
 ber die ,schneckenlinien               
7,archimedische ,spirale74    #f7 ber   
,konoide und ,sphroide 7ber             
,rotationsflchen #b4 ,grades74    #g7  1

 die ,kreismessung4    #h7 1 der        
,sandzhler1 lateinisch arenarius4    #i7
  1 ber schwimmende ,krper4 #b ,bcher1  
bis vor kurzem  nur lateinisch erhalten4
    #aj7  1 das ,rinderproblem1 bis vor 
kurzem 7bis vor  ,entdeckung des        
,pariser ,codex7 bezweifelt4    #aa7 1  
,methodik1 das oben besprochene1 jetzt  
erst wieder zum  ,vorschein gekommene   
,werk1 welches ,h4 ,zeuthen l4 c4 vor   
,no4 #d ansetzt1  ich vermute1 dass     
,heiberg in seiner neuen ,ausgabe mit   
dem   beginnen wird1 da er jetzt schon  
die ,schriften nach ihrem sachlichen    
,zusammenhang geordnet hat1 ohne sich   
weiter ber seine ,grnde in der  ,vorrede
 zu ussern4    ,aus dem arabischen      
,manuskript des ,thabit ibn ,qurrah1 der
 die  ,euklidbersetzung des ,ishaq ibn  
,hunein wesentlich verbessert hat1 ist  
von ,s4 ,foster #afei eine angeblich von
 ,archimedes herrhrende ,sammlung  von  
#ac ,stzen herausgegeben unter dem      
,titel liber assumptorum 1  ,wahlstze4  
,dass ein ,teil sicher auf ihn          

zurckgeht1 wird durch ,pappos  bezeugt4 
,dass der grosse ,mann auch ein         
,kinderspiel loculus ,archimedis unter  
dem ,namen 41 von ,drachmann mit        
,neckspiel 7,heiberg1  ,hermes #db1     
#bdj7 wiedergegeben1 ersonnen hatte1    
wird von ,heiberg auf  ,grund des       
,palimpsest von #aijf besttigt1 es      
bestand 7,quaest4 ,archim4  #dc1 #b7 aus
 #ad teils quadratischen teils          
dreieckigen ,plttchen aus  ,elfenbein   
und hat sich bis heute als das          
,pythagoras genannte  ,zusammensetzspiel
 erhalten4    ,aus einer verlorenen     
,schrift hat uns ,pappos1 ,buch ,v1     
,kap4 #cc-cf die  #ac sogen4            
,archimedischen ,krper erhalten1 das    
sind halbregulre  ,polyder1 begrenzt von
 abwechselnden regelmssigen ,polygonen  
zweier  ,gattungen1 worber man ,r4      
,baltzers klassische ,elemente nachsehen
  mge4 ,aus dem ,umstand1 dass          
,archimedes diese ,krper1 abgesehen von 
den  ,prismaten1 vollstndig aufgestellt 
hat1 geht klar hervor1 dass er den      

sogen4 ,euler'schen ,satz e  f  k  #b   
kannte1 wie es ja auch ziemlich  sicher 
ist1 dass er die bei ,pappos gegebene   
sogen4 ,guldinsche ,regel  vom ,volumen 
der ,rotationskrper kannte4    ,bis auf 
minimale ,spuren verloren sind  1 ber   
,wgen1  4   1 welche von ,pappos1 ,theon
 und  ,proklos erwhnt werden4           
,analyse der ,schriften des ,archimedes4
    ,sidenote3 ,analyse der ,schriften  
des ,archimedes4    ,dieselbe wird      
dadurch erleichtert1 dass sie           
,archimedes selbst gleich in  der       
,einleitung gibt4    ,ich beginne mit   
der ,quadratur der ,parabel von         
,archimedes 7s4 o47  ,schnitt des       
rechtwinkligen ,kegels genannt4 ,aus    
,euklids ,konika  schickt er #c ,stze   
als bekannt voraus4 ,i4 ,wenn ,,abc eine
 ,parabel1  die ,gerade ,,bd entweder   
der ,axe 7,durchmesser7 parallel oder   
die ,axe  selbst ist1 und wenn ,,adc der
 berhrenden an dem ,punkte  der ,parabel
  7,scheiteltangente des ,durchmessers7 
parallel ist1 so wird ,,ad  ,,dc  sein1 

und wenn ,,ad  ,,dc ist1 so werden ,,adc
 und die berhrende an  dem ,punkt  der  
,parabel parallel sein4    ,,ii4 ,die   
,tangente im ,endpunkt einer ,sehne     
schneidet den konjugierten  ,durchmesser
 so weit hinter dem ,scheitel wie die   
,sehne vor4    ,,iii4 ,die ,quadrate    
zweier paralleler ,sehnen verhalten sich
 wie ihre  ,abstnde vom ,scheitel des   
konjugierten ,durchmessers4    ,es folgt
 dann die ,quadratur mittelst der ,stze 
der ,statik aus dem #a4  ,buch des      
,gleichgewicht der ,ebenen unter        
,bildung des statischen  ,moments und   
dann von ,satz #ah bis #bd die          
,quadratur in bekannter ,weise  als3    
#a_/dn wobei der strenge ,beweis durch  
das ,archimedische ,prinzip  gegeben    
wird4 ,das ,interessanteste ist wohl die
 ,vorrede3    ,archimedes wnscht dem    
,dositheos ,wohlergehen4 ,mit der       
,nachricht von  dem ,tode des ,konon1   
der mir aus dem ,freundeskreise noch    
brig  geblieben war1 verband sich die1  
dass du sein ,vertrauter gewesen und    

ein geschickter ,geometer bist4 ,in der 
,trauer ber den ,verstorbenen1  der mir 
lieb war und ein bewunderungswrdiger    
,mathematiker1 fasste ich  den          
,entschluss1 wie sonst mit ihm1 so jetzt
 mit dir in schriftliche  ,verbindung zu
 treten und dir ein bisher nicht        
aufgestelltes  geometrisches ,theorem zu
 senden1 das jetzt von mir bewiesen ist 
und  zwar wurde es zuerst statisch      
gefunden1 dann aber auch geometrisch    
bewiesen4    ,sidenote3 ,quadratur der  
,parabel4    ,einige von denen1 welche  
sich frher mit ,geometrie beschftigten1 
unterfingen sich zu schreiben es sei    
mglich eine geradlinige ,figur zu       
finden1 welche einem gegebenen ,kreise  
oder ,kreisabschnitt gleich sei4        
,danach versuchten sie auch die ,ellipse
 zu quadrieren ,ellipse gleich     41   
die beiden andern  d4 h4 unvollendbar   
unter ,annahme von ,stzen1 die man ihnen
 nicht wohl zugestehen konnte4  ,doch   
hat meines ,wissens keiner von den      
frheren versucht den von  dem ,schnitt  

des rechtwinkligen ,kegels  ,parabel und
 einer ,geraden  umschlossenen ,raum zu 
quadrieren1 was jetzt von uns           
aufgefunden ist4  ,denn es wird gezeigt1
 dass jedes ,parabelsegment #d_/c des   
,dreiecks ist1  das mit ihm gleiche     
,grundlinie und ,hhe hat1 unter ,annahme
 folgenden  ,hilfssatzes3 ,der          
,unterschied zweier ,flchen einer       
grsseren und einer  kleineren kann durch
 ,vervielfltigung jede vorgelegte       
begrenzte ,flche  bertreffen4 --        
,sidenote3 ,archimedes' ,werke          
7,prinzip2 ,kugel und ,cylinder74       
,dies ist also das ,archimedische       
,prinzip in ,originalfassung4    ,es    
kommt noch einmal vor am ,schluss der   
,einleitung zu der ,spirale ,heib4      
,,ii1 #ad1 wrtlich wie hier1 nur dass es
 auch noch auf lineare ,grssen          
ausgedehnt ist2 in ,kugel und ,cylinder 
,heib4 #a1 #aj1  ist es auch auf  ,krper
 ausgedehnt1 vergl4 darber ,eudoxos4    
,,ii4 ,kugel und ,cylinder4             
,archimedes grsst den ,dositheos4 ,frher

 habe ich dir brieflich das  damals     
mehrfach behandelte ,theorem1 dass jedes
 ,parabelsegment #d_/c des  ,dreiecks   
ist1 das mit ihm gleiche ,grundlinie und
 ,hhe hat1 mit den  ,beweisen zugesandt4
 ,danach bin ich auf einige noch nicht  
bewiesene  ,stze gestossen und habe die 
,beweise ausgearbeitet4 ,es sind        
folgende3  ,erstens1 dass die ,oberflche
 der ,kugel das ,vierfache ihres grssten
  ,kreises ist1 sodann1 dass der ,flche 
jedes ,kugelsegments ein ,kreis         
gleichkommt1 dessen ,radius#a gleich der
 ,verbindungslinie des ,scheitels  mit  
einen ,punkt des ,grundkreises ist2 dazu
 kommt der ,satz1 dass jeder  ,cylinder 
der den grssten ,kreis zur ,basis und   
den ,kugeldurchmesser zur  ,hhe hat1 das
 anderthalbfache der ,kugel ist1 wie    
seine ,oberflche von  der der ,kugel4   
#a ,der ,radius heisst    2 zu ergnzen  
ist  die  ,linie aus dem ,zentrum1 das  
,wort ,radius  kommt1 vergl4 ,simon     
,euklid #aija1 p4 #hj ,anmerk4 #a zuerst
 bei ,cicero4 ,timaeus cap4 ,,vi vor4   

,es folgt dann die schon bei ,eudoxos   
erwhnte ,stelle ber die ,stze mit  denen
 dieser die ,demokritische ,formel ber  
die ,volumina der ,pyramiden  und ,kegel
 bewiesen hatte4 ,wichtig sind die      
,annahmen1 die sich an die #f  ,axiome  
der ,einleitung anschliessen4    #a7    
,von den ,linien1 welche dieselben      
,endpunkte haben1 ist am krzesten  die  
,gerade4    ,archimedes hat auch nicht  
im mindesten die ,absicht mit dieser    
,forderung eine ,definition der ,geraden
 zu geben4    #b7 ,von zwei nach        
denselben ,seiten hohlen 7gekrmmten7    
,verbindungslinien  zweier ,punkte ist  
die umschlossene die kleinere4    #c7   
,ebenso ist von den ,flchen1 welche     
dieselben ,grenzen haben1 falls  diese  
,grenzen in einer ,ebene liegen1 die    
,ebene die kleinste4    #d7 ,von zwei   
solchen ,flchen1 welche nach derselben  
,seite hohl sind1 ist  die umschlossene 
die kleinere4    #e7 ,auch ist bei      
ungleichen ,linien1 ,flchen oder ,krpern
 der ,unterschied  so beschaffen1 dass  

es durch ,vervielfltigung desselben     
mglich ist  jede ,grsse derselben ,art  
zu bertreffen4    ,no4 #e ist das       
,archimedische ,prinzip in allgemeinster
 ,fassung4    ,es folgt dann die        
,integration oder ,quadratur der        
,kugelflche in der  auch in unsern      
,elementarbchern leider noch oft        
gegebenen ,weise als  ,grenze einer     
,summe von ,kegelmnteln und die des     
,kugelvolumens durch  den ,satz eine von
 ,kegelflchen begrenzte ,figur die in   
eine ,kugel  eingeschrieben ist1 ist    
gleich einem ,kegel1 dessen ,grundflche 
die  ,flche der eingeschriebenen ,figur 
ist1 und dessen ,hhe gleich dem ,lot    
vom ,zentrum auf die ,kante eines der   
,kegel ist2 also als ,grenzfall3  ,kugel
  ,kegel dessen ,grundflche die ,kugel1 
dessen ,hhe der ,radius ist4            
,sidenote3 ,archimedes' ,kreismessung4  
,im ,ephodion ,,ii hat ,archimedes dann 
uns verraten1 dass er erst das          
,kugelvolumen mittelst ,integration     
7durch geschickte ,benutzung des        

,hebelsatzes1 die heute berflssig ist7  
gefunden hat und dann die  ,kugelflche  
wie wir1 durch den ,satz1 dass die      
,kugel eine ,pyramide ist1  welche die  
,flche zur ,grundflche und den ,radius  
zur ,hhe hat1 der  heute jedem mit      
,grenzbetrachtung vertrauten ,primaner  
einleuchtet4  ,zugleich berichtet er uns
 in der ,anmerkung1 dass die            
,kreisberechnung  ihn auf diesen ,gang  
gefhrt und man sieht1 dass die          
,kreisberechnung  faktisch der          
,kugelberechnung voranging1 was ich     
schon in der ,vorlesung  von #aijc      
gesagt hatte4    ,archimedes hat wohl   
mit ,fug und ,recht das ,buch ,i der    
,sphaira als  seine bedeutendste        
,leistung angesehen1 obwohl er u4 a4 im 
zweiten  ,teil unter ,no4 #e die        
,aufgabe lste von einer ,kugel durch    
einen ebenen  ,schnitt einen gegebenen  
,bruchteil abzuschneiden1 die auf eine  
,gleichung  dritten ,grades und zwar auf
 den casus irreducibilis fhrt und in    
enger  ,beziehung zur ,winkelteilung    

steht4    ,das ,eindringen in die       
,prinzipien der ,integralrechnung und   
seine  ,kenntnis der ,integrale         
rationaler ,integranden tritt am        
deutlichsten  in der ,abhandlung ,no4 #d
 ber ,konoide und ,sphroide hervor1 d4  
h4  ber ,rotations-,paraboloide und     
-,hyperboloide 7,konoide7 und           
,rotations-,ellipsoide 7,sphroide74     
,hier quadriert er auch die ,ellipse1   
den ,schnitt des spitzwinkligen ,kegels1
 und zeigt1 dass er die ,gleichung  der 
auf ihre konjugierten ,axen bezogenen   
,ellipse und ,hyperbel kennt4    ,ich   
komme zur  1 sie ist dem ,wesen nach    
schon vor der  sphaera entstanden1 aber 
spter redigiert4 7,vorlesung #aijc47    
,sie  beginnt mit dem wieder auf das    
,prinzip gesttzten ,nachweis1 dass der  
,kreis gleich einem ,dreieck1 dessen    
,grundlinie die ,peripherie und dessen  
,hhe der ,radius ist4 ,es wird wohl     
niemand mehr bezweifeln1 dass er das    
gleichschenklige ,dreieck1 dessen       
,grundlinie das ,bogenelement ist1 als  

,differential und die ,kreisflche selbst
 als ,integral ansah1 wodurch  es sich  
auch erklrt1 dass er die ,existenz eines
 solchen ,dreiecks bei  seiner          
,verkleidung der ,infinitesimalrechnung 
stillschweigend annahm4  ,durch diesen  
,satz ,i hat ,archimedes die ,probleme  
der ,quadratur und  ,rektifikation des  
,kreises vereinigt4 ,die beiden ,stze1  
welche gestatten  die ,kette der ein-   
und umgeschriebenen regulren #bk n ,ecke
 beliebig  weit fortzusetzen1 sind heute
 ,inventar unserer ,schulgeometrie4 ,die
  ,arbeit gipfelt in dem berhmten ,satz 
,,iii1 den ,ulrich v4 ,wilamowitz in    
sein bungsbuch aufgenommen hat3         
1           1      41 wo dann in den    
griechischen ,zahlwrtern und den        
,dativen  etc4 jedes ,philologenherz    
schwelgen kann4 ,jedes  ,kreises ,umfang
 ist des ,durchmessers ,dreifaches und  
geht darber hinaus  durch einen ,teil   
des ,durchmessers der geringer ist als  
ein ,siebentel  und grosser als #aj     
,einundsiebzigstel4 ,ausgegangen wird   

vom #f ,eck1  als ,grenze dient das ein-
 und umgeschriebene #if ,eck4 ,wie er   
die  ,quadratwurzeln mit solcher        
,genauigkeit gezogen1 steht noch nicht  
fest1  doch hat er sich vermutlich eines
 ,kettenbruch hnlichen ,algorithmus     
bedient und vermutlich auch die ,formel 
gekannt      a  b_/7#b;a7  7a#b  b7  a  
b_/7#b;a  #a7    ,sidenote3 ,spirale4   
,fr ,kreismessung und ,kugel-,cylinder  
sind die ,handschriften am              
verdorbensten4 ,eng an die ,kreismessung
 schliesst sich die ,schrift   1 ber die
 ,archimedische ,spirale1 erzeugt durch 
einen ,punkt  1 der sich gleichfrmig auf
 einem sich gleichfrmig drehenden       
,radius  bewegt4 ,da die ,gleichung der 
,kurve in ,polarkoordinaten r  a 4 1 wo 
a#b gleich der ,strecke  ist1 welche    
auf dem ,radius whrend eines  vollen    
,umlaufs zurcklegt1 so gibt die ,kurve  
sowohl den ,kreisumfang als  auch jede  
beliebige ,bogen- oder ,winkelteilung4  
,sie wird mit den denkbar  einfachsten  
geometrischen ,mitteln behandelt1 noch  

elementarer als in  der kleinen         
analytischen ,geometrie1 ,sammlung      
,gschen ,no4 #fe1 auch der              
,flcheninhalt durch ,integration des    
,polarflchenelements #a_/b r#b d        
ermittelt4 ,die ,einleitung ist fr die  
,datierung der ,werke wichtig1 sie      
wiederholt die vor langen ,jahren an    
,konon gesandten ,stze1 darunter  zwei  
,vexierstze1 es heisst3 ,es trifft sich1
 dass darunter zwei ,platz  gefunden    
haben1 welche eine ,erfllung 7nmlich der
 ,forderung sie zu  beweisen7 vermissen 
lassen1 damit die ,leute1 welche        
behaupten1 sie  knnten alles finden1    
whrend sie doch keinen ,beweis          
herausbringen1  berfhrt werden1 dass sie
 hier mal eingestanden haben1 das       
,unmgliche  zu finden4    ,sidenote3    
,archimedes3 ,ephodion4    ber das  habe
 ich schon ,einiges gesagt4 ,es fhrt im 
,palimpsest  ,heiberg1 ,hermes #db p    
#bdc den ,titel ,archimedous peri tn    
mechanikn  ,therematn pros ,eratosthenen
 ephodos2 seine ,existenz war bis #aijc 

nur  durch eine ,stelle des             
,lexikographen ,suidas bekannt1 und     
#aijc durch  ein ,zitat in dem von      
,schoene herausgegebenen ,codex         
,constantinopolitanus  der ,metrika des 
,heron von ,alexandria4 ,die beiden von 
,heron angefhrten  ,stze ber die        
kubierbaren ,krper1 den ,cylinderhuf und
 den ,schnitt  zweier im selben ,wrfel  
eingeschriebener ,cylinder mit          
aufeinander  senkrechten ,achsen werden 
gleich in der ,einleitung als           
,hauptleistungen  des 1 der ,methode1   
angefhrt4 ,den ersten ,satz habe ich als
  ,primaner unter ,bertram1 der ihn wohl
 durch ,schellbach kannte1  selbst      
bewiesen1 und seit #ahgc meinen         
,primanern fast regelmssig  vorgesetzt4 
,wer ihn wieder aufgefunden weiss ich   
nicht1 vielleicht  ,luca ,valerio der   
zweite ,archimedes4 ,als ,beispiel der  
,methode gebe  ich die ,kugelberechnung1
 aus der sowohl die ,kunst des          
,archimedes als  auch die eigenartige   
,verquickung von ,statik und            

,differentialrechnung in  der ,methode  
auf das deutlichste hervorgeht4         
,sidenote3 ,archimedes3 ,ephodion1      
daraus ,kugelberechnung4                
,illustration    ,,ii4 ,dies 7die       
,parabelquadratur7 ist zwar durch das   
jetzt ,gesagte nicht  voll bewiesen1    
aber es gibt doch gewissermassen den    
,nachweis1 dass die  ,schlussfolge      
richtig sei etc4 ,dass aber jede ,kugel 
das vierfache 7im  ,text fehlt der      
,doppellngsstrich ber das  von 7 des    
,kegels  ist1 der zur ,basis den grssten
 ,kugelkreis und zur ,hhe den           
,kugelradius  hat und von dem ,cylinder1
 der den grssten ,kugelkreis zur ,basis 
und  eine ,hhe gleich dem               
,kugeldurchmesser hat1 das              
anderthalbfache ist1  wird              
folgendermassen nach dieser ,methode    
erschaut4 ,gegeben eine  ,kugel1 in     
welcher ein grsster ,kreis  7s4 ,fig47  
u4  seine  zwei aufeinander senkrechte  
,durchmesser1 und um den ,durchmesser   
sei der auf den ,kreis  senkrechte      

,kreis gezogen und von diesem           
senkrechten 7,kreis7 aus1 sei ein ,kegel
 beschrieben der seinen ,scheitel  im   
,punkte  habe und nachdem seien         
,oberflche ausgezogen soll der  ,kegel  
geschnitten worden sein von einer ,ebene
 durch  parallel zur  ,basis4 ,sie wird 
aber einen ,kreis schaffen senkrecht auf
 1 und  sein ,durchmesser ist 4 ,und von
 diesem ,kreis aus soll ein ,cylinder   
angeschrieben worden sein1 der eine     
,achse hat 77 welche   gleich ist1 und  
,kanten des ,cylinders solle  und  sei4 
,und  ist  verlngert worden 7eig4 weiter
 geworfen1 vom ,seil mit dem die ,gerade
  ursprnglich konstruiert wurde7 und es 
wurde ihr gleich gesetzt   7 ist hier   
nicht liegen1 sondern wie hufig ,passiv 
von   setzen71 und es werde  als        
,wagebalken gedacht dessen ,mitte ,punkt
 1  und es sollte irgend eine ,parallele
 gezogen werden zu 1 die ,linie         
7wrtlich die fr  vorhanden seiende71 und
 sie soll den ,kreis   schneiden in den 
,punkten  und  ,punkt wird durch den    

,strich ber   und  angedeutet und den   
,durchmesser  in  und die ,gerade  in 1 
und  in  und von der ,geraden  aus soll 
eine ,ebene senkrecht zu   gestellt     
worden sein4 ,diese wird nun in dem     
,cylinder als ,schnitt  bewirken den    
,kreis dessen ,durchmesser  sein wird   
und in der ,kugel   den ,kreis dessen   
,durchmesser  sein wird und in dem      
,kegel   den ,kreis dessen ,durchmesser 
sein wird4 ,weil nun das ,rechteck aus  
und  -- denn  ist gleich  und  gleich   
-- und das ,rechteck  aus  und  gleich  
ist den ,quadrat ber 1 das heisst #b    
plus  #b1 so ist folglich das ,rechteck 
aus  und  gleich #b  #b4  ,ich bemerke  
dass ,zeile #bb am ,schluss statt       
gelesen werden muss  4 ,und weil  3  wie
  3  und  gleich 1 folglich  3     3 1  
d4 h4 gleich #b 3  4 4 ,das ,rechteck   
aus  und  wurde  gleich erwiesen #b  #b2
 also  3  wie #b 3 7#b  #b7  wie #b 3 #b
  #b4 ,sowie #b 3 #b  #b so verhlt sich 
der  ,kreis im ,cylinder mit dem        
,durchmesser  zu der ,summe der ,kreise1

 des  im ,kegel mit ,durchmesser  und   
des in der ,kugel dessen ,durchmesser  4
 ,also  3  so wie der ,kreis im         
,cylinder zu den 7beiden7 ,kreisen      
7zusammen7 dem in der ,kugel und dem im 
,kegel4 ,wegen dieses ,verhltnis  von  3
  wird der ,cylinderkreis in bezug auf  
,punkt  den beiden  ,kreisen zusammen   
mit den ,durchmessern  und 1            
fortgetragen und so  zu  gesetzt1 dass  
der ,schwerpunkt jedes der beiden       
,kreise ist1  das ,gleichgewicht halten 
etc4 444 ,nachdem nun der ,cylinder von 
dem  angenommenen ,kreise ausgefllt ist4
 ,wegen dieser selbstverstndigen        
,abkrzung1 die auch heute noch wohl     
jeder1 der den ,satz und ,beweis in  der
 ,prima vortrgt1 gebrauchen wird1 ist   
ein ,archimedes beschuldigt  worden1 den
 ,krper gleich der ,summe von ,flchen1  
wie aus gleichem  ,grunde bei ,satz ,i1 
der ,parabelquadrierung1 die ,flche als 
,summe von  ,linien angesehen zu haben1 
hundert ,jahre nach ,aristoteles und    
noch dazu  wohl kurz nach seinem        

,weggang aus ,alexandrien1 wo doch      
wahrlich ein  strenger ,dogmatismus     
herrschte6 ,heranzuziehen ist aus der   
,einleitung  des ,arenarius die ,stelle 
#fc4 #b1           etc47 wird der       
,cylinder im ,punkte  der ,kugel und    
dem ,kegel zusammen das ,gleichgewicht  
halten4 ,da der ,schwerpunkt des        
,cylinders im ,punkte  liegt und der der
 beiden andern ,krper in 1  so wird nach
 dem ,hebelgesetz1 das in   ,i bewiesen 
ist1 der ,cylinder doppelt so gross     
sein1 als die beiden andern ,krper      
zusammen4 ,mit diesem ,nachweis ist das 
,theorem1 da der ,kegel nach  ,demokrit 
und ,eudoxos #a_/c des ,cylinders ist1  
der mit ihm gleiche  ,grundlinie und    
,hhe hat1 im wesentlichen bewiesen4 ,man
 sieht auch1  dass das ,buch ,i vom     
,schwerpunkt ebener ,flchen der         
,ausgangspunkt fr  ,archimedes gewesen  
und dass er um ,buch ,,ii schreiben zu  
knnen seine  ,differentialrechnung      
ausbilden musste1 ich setze daher das   
,ephodion  gleich hinter ,buch ,i der   

,konzeption nach4 --    ,sidenote3      
,archimedes3 ,die zwei ,bcher vom       
,schwerpunkt4    ,buch ,i der ,schrift  
ber den ,schwerpunkt ist die erste von  
,archimedes  verffentlichte ,schrift1   
,nizze vermutet wohl richtig1 dass sie  
dem  ,konon gewidmet gewesen1 sie ist   
auch inhaltlich wohl die erste  gewesen4
 ,sie ist vermutlich kurz nach des      
,archimedes ,rckkehr in die  ,heimat    
verfasst worden1 denn er war unter dem  
,einfluss der stark auf  angewandte     
,mathematik gerichteten                 
,alexandrinischen ,schule1 wie auch aus 
der ,erfindung der  hervorgeht1 viel mit
 ,mechanik beschftigt4  ,es ist vom     
,standpunkt der reinen ,mathematik zu   
bedauern1 dass er seine                 
,differentialrechnung von vornherein mit
 statischen ,ideen belastet hat4  ,der  
,inhalt dieses ersten ,buches fehlt in  
keinem elementaren ,schulbuch  der      
,physik1 das ,hebelgesetz selbst ist in 
,satz #f und #g auseinander  gezogen1 da
 es fr kommensurable und inkommensurable

 ,massen gesondert  bewiesen wird1 es   
wird ,buch ,,ii1 #a noch einmal         
bewiesen1 mit ,hilfe der  einfachsten   
,stze ber den ,schwerpunkt des          
,parallelogramms ,i1 #i und #aj4  ,den  
,begriff ,schwerpunkt definiert er      
nicht1 da er ihn als dem ,konon  bekannt
 voraussetzt4    ,sidenote3 ,schwerpunkt
 ,,ii4    ,buch ,,ii beschftigt sich im 
wesentlichen mit parabolischen ,flchen1 
es zeigt vor allem eine                 
ausserordentliche ,vertrautheit mit dem 
,proportionenkalkl1 sicher ein ,rstzeug 
aus der ,alexandrinischen  ,schule1 doch
 ist es von geringerer ,wichtigkeit wie 
,buch ,i4 ,die beiden  ,bcher ber       
schwimmende ,krper gehren zu seinen     
grssten ,leistungen1  sie enthalten die 
unverrckbare ,grundlage der             
,hydrodynamik1 auch ihr  ,inhalt ist uns
 in succum et sanguinem bergegangen4    
,annahme ,i1 ,satz  #f und #g enthalten 
die eigentlichen ,prinzipien und werden 
heute als  ,archimedisches ,prinzip     
bezeichnet4 ,unter ,gewicht ist1 wie    

,nizze  bemerkt1 immer das spezifische  
,gewicht zu verstehen4 ,buch ,,ii       
wiederholt  das ,prinzip und geht dann  
auf die speziellen ,flle in             
,flssigkeiten  eingetauchter            
,umdrehungsparaboloide ein4 ,die        
,annahme #aa von ,buch ,i  ist keine    
gengend klare ,fassung des ,prinzips von
 der gleichmssigen  ,fortpflanzung des  
,druckes in ,flssigkeiten4 ,buch ,,ii   
ist fr die  ,beurteilung der vis        
mathematica des ,archimedes von hohem   
,wert und seine  ,theorie der           
,hydrostatik ist auch fr beliebige      
,krper anwendbar4    ,das ,werk hat ein 
eigentmliches ,schicksal gehabt4 ,der   
,dominikanermnch  ,wilhelmus de ,morbeca
 hat es um die ,mitte des #ac4 ,jahrh4  
aus  griechischem ,text lateinisch      
bersetzt2 ob dem ,verfasser des general 
trattato1 ,nik4 ,tartaglia1 ein         
griechischer ,codex vorgelegen1 ist     
nicht sicher1 er gab ,buch ,i lat4 #aedc
 7,venedig7 heraus und aus seinem       
,nachlass verffentlichte ,trojanus      

,curtius #aefe das zweite ,buch4 ,jetzt 
berichtet ,heiberg dass der ,palimpsest 
den ,text von    fast vollstndig enthlt 
und konnte daraufhin schon die          
,unechtheit des  von ,a4 ,mai aus       
,vatikanischen ,codices edierten        
,fragments1 ,forderung #a  und die #h   
ersten ,stze1 feststellen4    ,sidenote3
 ,wahlstze4    ,von den ,wahlstzen1 dem 
liber assumptorum sind als echt erwiesen
  die ,stze ber den ,arblos1 das        
,schustermesser und ber die  flschlich  
,wogenflche1 richtiger ,eppigblatt      
genannte ,flche 4  ,meine ,didaktik und 
,methodik weist die ,lehrer auf diese   
bei der  ,kreisberechnung in ,secunda so
 erwnschten ,aufgaben hin4 ,fr den      
,arblos  verweise ich auf meine         
,entwicklung der ,elementar-,geometrie  
7#aijf7 ,no4  #i p4 #hg f4 ,die #ae     
,stze sind aber alle miteinander fr den 
,unterricht  sehr verwendbar1 sie machen
 brigens durchaus nicht den ,eindruck1  
als  ob sie von verschiedenen ,autoren  
herrhren und knnen ganz wohl aus  einem 

,buch des ,archimedes ber               
,kreisberhrungen stammen4    ,sidenote3 
,archimedes3 ,arenarius 7,sandzhler74   
,von arithmetischen ,werken ist         
unzweifelhaft in der ,fassung des       
,archimedes nur ein einziges erhalten1  
der 1 arenarius1 der  ,sandzhler4 ,die  
,einleitung der an den ,knig ,glon1 den 
,sohn des ,hiero  gerichteten ,schrift  
lautet3    ,es glauben manche1 ,knig    
,glon1 des ,sandes ,zahl sei unendlich  
der  ,menge nach1 ich spreche aber nicht
 nur von dem um ,syrakus und das  brige 
,sizilien1 sondern auch von dem auf     
jedem ,raum1 bewohnten wie  unbewohnten4
    ,es gibt aber auch ,leute1 welche   
zwar nicht annehmen1 dass derselbe      
unendlich sei1 aber doch1 dass keine    
aussprechbare ,zahl existiere1  welche  
die ,menge des ,sandes bertrfe4 ,wenn   
diejenigen1 welche solche  ,ansicht     
haben eine aus ,sand zusammengesetzte   
,kugel sich denken wrden1  so gross im  
brigen wie die ,erdkugel1 aber so1 dass 
auf dieser alle  ,meere und ,hhlungen   

bis zur ,hhe der hchsten ,berge         
ausgefllt wrden1  so wrden sie noch viel
 mehr der ,meinung sein1 dass keine     
,zahl genannt  werden knne1 welche die  
,menge des ,sandes ihrer ,kugel bertrfe4
  ,ich aber will versuchen dir durch    
mathematische ,beweise1 welchen du      
beipflichten wirst1 zu zeigen1 dass     
unter den von mir benannten ,zahlen1    
welche sich in meiner ,schrift an den   
,zexippos finden1 einige nicht  nur die 
,zahl des ,sandes bertreffen1 der die   
,grsse der ,erde hat1  ausgefllt so wie 
wir gesagt haben1 sondern auch dessen1  
der die ,grsse  des ,weltalls hat4      
,du weisst ja1 dass die meisten         
,astronomen unter ,kosmos eine ,kugel   
verstehen1 deren ,zentrum das ,zentrum  
der ,erde ist und deren ,radius  vom    
,zentrum der ,erde bis zum ,zentrum der 
,sonne reicht4 ,denn dies wird          
gewhnlich geschrieben1 wie du von den   
,astronomen erfahren hast4  ,aristarch  
von ,samos dagegen gab schriftlich      
einige ,hypothesen  heraus1 aus denen1  

nach dem ,vorliegenden hervorgeht1 dass 
die ,welt  vielmal grsser sei als die   
eben genannte4 ,er nimmt nmlich an1 dass
  die ,fixsterne und die ,sonne         
unbeweglich seien1 die ,erde aber sich  
in einer ,kreislinie um die ,sonne1     
welche mitten in der ,bahn steht1       
herumbewege4 ,die ,kugel der ,fixsterne 
nun1 mit der ,sonne um dasselbe         
,zentrum liegend1 habe eine solche      
,grsse1 dass der ,kreis1 in welchem     
nach seiner ,annahme die ,erde sich     
bewegt1 zur ,entfernung der ,fixsterne  
ein solches ,verhltnis hat wie das      
,zentrum der ,kugel zur ,oberflche4     
,dies ist nun in seiner ,unmglichkeit   
ganz offenkundig ,archimedes setzt  nun 
auseinander1 dass ,aristarchos das      
,verhltnis der ,erde zur ,welt  dem der 
,kuben der ,radien des ,erd- und        
,fixsternkreises gleich erachte1  ein   
wie ,nizze mit ,recht hervorhebt        
absichtliches ,missverstehen der        
eigentlichen ,meinung1 dass die ,erde   
gegen die ,welt als verschwindend zu    

betrachten sei4 ,der ,schluss lautet3   
,ich behaupte nun1 dass wenn auch  eine 
,kugel aus ,sandkrnern existieren sollte
 von der ,grsse welche nach  der        
,annahme des ,aristarch die             
,fixsternsphre hat1 auch dennoch von den
  in den ,anfangsgrnden 77 benannten    
,zahlen sich einige aufweisen  lassen   
wrden1 welche an ,flle die ,zahl des    
,sandes bertrfen1 der  eine ,grsse hat  
gleich der besagten ,kugel1 und zwar auf
 folgenden  ,grundlagen4                
,kulturhistorisch wichtig ist besonders 
,paragraph #c und #d1 sie zeigen1  wie  
grundlos das ,vorurteil ist1 dass die   
,alten nicht experimentiert  htten1 was 
z4 ,b4 noch ,ch4 ,thurot in den         
,recherches hist4 sur le  princ4        
d',arch41 ,rev4 d',archol4 #ahfh ,b4 #ah
 etc4 ausspricht2 es ist  dies          
,vorurteil ebenso unausrottbar wie die  
,anschauung1 dass sie die  ,brche etc4  
nicht als ,zahlen angesehen1 oder die   
,bewegung nicht als  ,hilfsmittel fr die
 ,konstruktion zugelassen4    ,die      

,archai sind eine verlorene ,schrift an 
den 1 der wohl zum  ,freundeskreis aus  
der ,studierzeit gehrte1 sie handelte   
vermutlich von  der ,zahl und dem       
,zhlen4      ,exkurs ber das elementare 
,rechnen der ,griechen4    ,sidenote3   
,exkurs ber das elementare ,rechnen der 
,griechen 7,logistik74    ,hier ist nun 
die ,stelle1 wo ich gezwungen werde auf 
die griechischen  ,zahlzeichen und die  
praktische ,rechenkunst1 die ,logistik1 
einzugehen4  ,als ,quellen fhre ich     
,ihnen an3 ,j4 ,b4 ,j4 ,delambre1       
,arithm4 d4 ,grecs1  ,anhang zu         
,peyrards bersetzung des ,archimedes von
 #ahjg und noch in  ,hist4 de l'astron4 
anc4 ,par4 #ahag1 ,nesselmanns          
treffliche ,algebra der  ,griechen nach 
den ,quellen bearbeitet ,berl4 #ahdb1   
leider nur ein ,band1  ,g4 ,friedlein   
die ,zahlzeichen und das elementare     
,rechnen der ,griechen  und ,rmer1 ,erl4
 #ahfi2 ,f4 ,hultsch script4 ,graec4    
metrol4 #ahfd1  ,s4 ,gnther ,gesch4 der 
,math4 und ,naturw4 im ,iwan ,mller1 und

 dann die  ,geschichtswerke4            
,anfnglich sind wie berall ,striche die 
,zahlzeichen1 dann zur ,zeit  des ,solon
 etwa1 bezeichnete man die ,zahl mit den
 ,anfangsbuchstaben  des ,zahlworts3    
war  77 fnf1  war  zehn1  war #ajj1 sie 
heissen ,herodianisch nach einem spteren
 ,alexandrinischen ,grammatiker1  so    
findet sich z4 ,b4 auf der ,tafel von   
,salamis   #cdi4 ,von  hier aus war zur 
,annahme des ,semitischen ,gedankens die
 ,zahlen mit den  ,buchstaben des       
,alphabets zu bezeichnen1 nur ein       
kleiner ,schritt1 und  diese ,methode   
verbreitet sich von #ejj ab4 ,dabei     
nahmen sie #c ,buchstaben  des          
phnicischen ,alphabets die              
,lautabstufung bezeichneten1 die        
,hellenischer ,zunge oder ,kehle        
unaussprechbar waren als sogen4         
7,zusatzzeichen7 auf2 es sind das  ,bau 
oder ,wau fr #f1  ,koppa fr #ij  und    
sampi ein liegendes  fr #ijj4 ,sie      
schreiben also3      #a   #b   #c   #d  
#e   #f   #g   #h   #i                  

,die untereinander stehenden ,zahlen    
unterscheiden sich durch den ,faktor    
#aj also #cdi gleich 4    ,sollten die  
,buchstaben ,zahlen bedeuten1 so bekamen
 sie meistens einen  wagerechten ,strich
 oberhalb z1 ,b4  7die jetzigen         
,grammatiken 74 ,die  #i ,tausender     
werden durch die betreffenden ,einer mit
 einem kleinen  ,strich darunter        
dargestellt1 also 4444 ,das ,zeichen fr 
#ajjjj war ,m  oder  von  ,myrioi7      
#ajjjj z4 ,b4 _/,m fr #fjjjj4 ,hufig    
wird nur  ein ,punkt gesetzt z4 ,b4 4   
gleich #dcdeh4 ,so konnte man bis #iiii 
#iiii also #ajh - #a kommen1 griech4 44 
,die ,brche wurden  meist nach          
gyptischem ,vorbild in ,stammbrche      
zerlegt und dann nur der  ,nenner mit   
einem ,akzent geschrieben1 also   #a_/h1
 besondere ,zeichen  gab es 7gypten7 fr 
#a_/b3  und #b_/c3 4 ,wurde der ,bruch  
unzerlegt  hingeschrieben1 so deutete   
man den ,zhler durch einen ,akzent an   
und  schrieb den ,nenner doppelt mit #b 
,akzenten also     #cd_/hhh4  ,addition 

und ,subtraktion waren von der unsrigen 
nicht verschieden1  man schrieb die     
gleich benannten ,zahlen unter einander1
 addierte sie  und behielt die          
berschiessenden ,einheiten im ,kopf1 und
 entsprechend  verfuhr man bei der      
,subtraktion1 wofr das ,beispiel aus    
,eutokios  ,kommentar zur   entnommen   
ist4      4    #icfcf    4     #bcdji   
-------    -----    4      #gjbbg       
,auch die ,multiplikation vollzog sich  
unschwer1 nach dem ,schema des          
,eutokischen ,beispiels4                
#ega                    #ega            
---------      -------    4             
#be4444      '            #ce444        
#e44                #ce444    ''        
#di44                        #g4        
#ega    ---------      -------    4     
#cbm#fjda      '        '               
#ajji-a_/f    '    '                    
#ajji-a_/f    '    '           #ajjiaff 
#a_/f    '                     #ijha    
'                        #a    ''       
#aff  #a_/f                             

#a  #a_/cf    ---------------           
--------------------    '               
#ajahdag-a_/c  #a_/cf    '    ,delambre 
sagt mit ,recht sie ist leichter als    
unsere1 weniger ,fehlern  ausgesetzt1   
nur etwas lnger4 ,fr die ,division haben
 wir bei ,eutokios  kein ausgefhrtes    
,beispiel1 aber in ,theon des           
,alexandriners ,kommentar  zum ,almagest
 findet sich eine ,anleitung zum        
,rechnen mit ,astronomischen  ,brchen d4
 h4 mit ,sexagesimalzahlen 7s4 ,babylon7
 welche genau unsern  ,dezimalbrchen    
entsprechen1 der ,algorithmus der       
,division bei ,theon  ist nur etwas     
zeitraubender1 whrend das               
,quadratwurzelausziehen vom  unsrigen   
nicht verschieden ist4    ,sidenote3    
,archimedes1 ,arenarius4    ,im         
,sandzhler nimmt ,archimedes das        
einzelne ,sandkorn so klein an1  dass   
#ajd auf ein ,mohnkorn gehen4    ,dann  
weist er nach1 dass #fdjjj ,mohnkrner   
ein ,volumen liefern1 grsser  als eine  
,kugel von #a ,zoll 7,finger7           

,durchmesser1 also ist die ,zahl der    
,sandkrner1 welche diese ,kugel fassen  
kann  #fd 4 #ajg also  #aji1  also die  
,sandzahl der ,kugel von #ajj ,zoll     
kleiner als #ajf 4 #aji oder  #ajae und 
die der ,kugel von #ajd ,zoll           
,durchmesser  #ajba4 ,aber  ein ,stadion
 zu #fjj ,fuss hat nur #ifjj ,zoll1 also
 ist die ,sandzahl  der ,kugel vom      
,durchmesser eines ,stadion kleiner als 
die ,zahl #ajba1  und die von #ajj      
,stadien kleiner als #ajbg und die von  
#ajjjj ,stadien  kleiner als #ajcc und  
die ,sandzahl der ,kugel vom            
,durchmesser #ajjjj  ,millionen ,stadien
 kleiner als #ajea4    ,nun hat auf     
,grund der experimentellen ,untersuchung
 des ,gesichtswinkels1  in  #c und  #d  
erzhlt1 ,archimedes festgestellt1 dass  
der  ,sonnendurchmesser grsser sei als  
die ,seite eines reg4 ,tausendecks1 das 
in einen grssten ,kreis der ,weltkugel  
eingeschrieben ist1 also ist der        
,umfang dieses ,tausendecks kleiner als 
#ajjj ,sonnendurchmesser4 ,setzt  man   

nun den ,sonnendurchmesser nicht grsser 
als #cj ,monddurchmesser  und den       
,monddurchmesser kleiner als den des    
,erddurchmessers1 so ist  der ,umfang   
des ,tausendecks kleiner als #cjjjj     
,erddurchmesser1 also der  ,durchmesser 
des ,welthauptkreis kleiner als #ajjjj  
dieser4 ,archimedes  setzt nun1 was fr  
seinen ,zweck mglichst hohe ,zahlen     
abzhlbar  zu machen1 ein ,vorteil1 den  
,erdumfang auf weniger als #c ,millionen
  ,stadien1 7eine gegen die fast        
gleichzeitige ,eratosthenessche ,messung
  auffallende berschtzung7 und kommt so 
fr den ,weltdurchmesser zu der  oberen  
,grenze von #ajjjj ,millionen ,stadien1 
deren ,sandzahl kleiner als  #ajea war4 
-- ,archimedes zhlt nun zunchst in      
gewhnlicher ,weise  bis zur oberen      
,grenze1 d4 h4 also ,myrio ,myriaden -- 
#a4 4   #ii1iii1iii4 ,diese ,zahlen     
nennt er erste1 d4 h4 erster ,ordnung1  
und macht nun #ajh zu einer neuen       
,einheit1 die er zweite nennt1 und  kann
 nun bis ,myrio ,myrioi ,myriaden d4 h4 

#ajaf - #a zhlen1 dann  kommen die      
,zahlen dritter ,ordnung von #ajaf bis  
#ajbd - #a1 und so  fort1 d4 h4 also er 
teilt die ,zahlen ab nach ,oktaden4     
,aber auch  die ,ordinalzahlen1 die er  
zur ,abzhlung der ,oktaden braucht1     
werden  mit der #ajj ,millionsten       
weniger ,eins erschpft1 er fasst also   
die  bisher benannten ,zahlen zusammen  
als ,zahlen der ersten ,periode1 er     
gelangt so zu einer ,zahl welche wir mit
 #gii1iii1iii ,neunen schreiben  wrden1 
die ,zahl #ii1iii1iii der               
#ii1iii1iiisten ,ordnung1 er macht nun  
7#ajh77ajh-a7 oder 7#ajjjjb77ajjjjb-a7  
zu einer neuen ,einheit  und zur zweiten
 ,periode und gelangt so schliesslich   
zur ,zahl #ajh1 der  ,ordnung #ajh der  
,periode #ajh welche wir mit #a und     
#hjjjj ,billionen  ,nullen schreiben    
wrden4    ,der ,paragraph #i der        
,nizzeschen bersetzung 7,heiberg #bfh   
f47 zeigt  dass ,archimedes keineswegs  
wie ,nesselmann meint1 nur neue         
,zahlworte  geschaffen hat1 sondern     

tatschlich das ,positionssystem gefunden
 und  ebenso zeigt  #aj wie dicht er an 
,potenz und ,logarithmenrechnung        
gestreift hat4 ,er fhrt darin den       
,begriff des ,abstands ein1 und nur     
dadurch1 dass er der ,einer-,ziffer den 
,exponent #a statt #j gibt1 wird  seine 
,regel #ajn#a 4 #ajm#a  #ajnm#a von     
unsern ,fundamentalsatz  #aj;a 4 #aj;b  
#aj;ab abweichend4    ,die gefundene    
,zahl #ajea ist die #c4 ,stelle der #g4 
,oktade1 steht also  ziemlich am ,anfang
 der ersten ,periode1 welche #ajj       
,millionen ,oktaden  weniger einer      
enthlt1 aber selbst wenn er statt der   
,weltkugel die  ,fixsternkugel wie er   
sie dem ,aristarch zuschreibt1 annimmt1 
deren  ,durchmesser kleiner ist als #ajd
 ,weltdurchmesser1 so wird die ,sandzahl
  kleiner als #ajfc d4 h4 als die #h4   
,stelle der #h4 ,oktade4    ,sidenote3  
,archimedes3 ,rinderproblem1            
,eratosthenes4    ,an den ,psammites    
schliesst sich das ,rinderproblem1   an1
 es  ist in ,distichen abgefasst und an 

,eratosthenes gesandt2 gefunden wurde   
es von ,gotthold ,ephraim ,lessing als  
,bibliothekar in ,wolfenbttel  und #aggc
 ediert4 ,wenn auch die ,echtheit der   
,verse zweifelhaft sein  mag1 so ist es 
jedenfalls ein ,archimedisches ,problem 
und ,heiberg  sagt1 dass kein ,grund    
vorliegt1 es ,archimedes selbst         
abzusprechen4  ,die ,einkleidung des    
,problems schliesst an ,odyssee ,v4 #g  
an3        1 es soll die ,zahl der      
,rinder des  ,sonnengotts auf ,trinakria
 7,sizilien1 nach seiner dreieckigen    
,gestalt  genannt71 berechnet werden4   
,es handelt sich um weisse 7w71 blaue   
7b71 gelbbraune 7g7 und scheckige 7s72  
,stiere und ,khe durch ,striche         
unterschieden4 ,zur ,bestimmung der #h  
,unbekannten hat man #g ,gleichungen    
ersten ,grades1 es handelt sich also um 
eine sogen4 ,diophantische  ,aufgabe4   
,dazu kommen noch zwei ,bedingungen w  b
 soll eine ,quadratzahl1  g  s eine     
,dreieckszahl1 d4 h4 von der ,form 7n   
9999ueber #b7 sein4 ,m4 ,e4  hat        

,nesselmann und nach ihm ,struve etc4   
den ,text ganz missverstanden1  nach    
meiner ,auffassung lauten die sieben    
,gleichungen3      w  #e_/f b  g  g     
w  #g_/ab 7b  b7   und3 w  b  n#b    b  
#i_/bj s  g  g          b  #i_/bj 7s  s7
     gs  n7n-#a7_/7ab7    #aa_/bj s     
#ac_/db w  g  g   s  #aa_/cj 7g  g7#d   
g  #ac_/db 7w  w7    ,heiberg ist mit   
,fug und ,recht der ,ansicht1 dass die  
,behandlung eines  solchen ,systems die 
,krfte eines ,archimedes nicht berstieg1
 dessen  im ,sinne ,h4 ,webers          
spezifische mathematische ,begabung     
ihresgleichen  nicht gefunden hat4      
brigens ist die ,weglassung des ,faktors
 #d  77 bei der ,gleichung fr s         
unberechtigt4 ,zur ,durchfhrung fehlt   
es mir an ,zeit4    ,der zweite der     
,heroen des #c4 ,jahrhunderts1 wenn auch
 in weitem ,abstand  von ,archimedes ist
 ,eratosthenes4 ,quellen3 ,f4 ,susemihl1
 ,geschichte  der griechischen          
,literatur in der ,alexandrinerzeit2    
,bernhardy1  ,artikel ,eratosthenes im  

,ersch und ,gruber2 ,berger1 ,die       
geographischen  ,fragmente des          
,eratosthenes1 ,leipzig #ahhj2 ,quellen 
ber sein ,leben2  ,suidas und ,strabon4 
,sidenote3 ,eratosthenes 7vita74        
,eratosthenes wurde #bgf in ,kyrene     
geboren1 zuerst in seiner ,heimat durch 
den ,grammatiker ,lysanias unterrichtet1
 studierte dann in ,alexandria  unter   
,kallimachos1 dem berhmten ,dichter und 
,leiter der ,ptolemischen  ,bibliothek1 
ging dann nach ,athen1 wo er bei den der
 stoischen ,richtung  angehrigen        
,philosophen ,ariston und ,arkesilaos   
sich philosophisch  aber auch besonders 
mathematisch bildete und eigene         
bedeutende  ,schriften verfasste4 ,er   
folgte etwa um #bce einem ,rufe des     
,ptolemos  ,euergetes als ,nachfolger   
des ,kallimachos und blieb bis zu seinem
 ,tode  ,leiter der ,bibliothek4 ,da er 
infolge seiner angestrengten ,arbeit  zu
 erblinden frchtete1 so ttete er1 der   
,stoiker war1 sich durch                
,nahrungsverweigerung im #hj4 oder #hb4 

,lebensjahre etwa um #aif v4 ,chr4      
,ein hervorragender ,zug des            
,eratosthenes ist seine ,freiheit von   
nationalen ,vorurteilen2 im ,gegensatz  
zu ,aristoteles hat er ,alexanders      
grossartige ,idee ,orient und ,okzident 
zu verschmelzen1 voll gewrdigt1  und ist
 so ziemlich der erste1 wenn nicht      
einzige ,hellene1 der fremde  ,kultur   
objektiv zu beurteilen vermochte4       
,wie erzhlt wird1 ward er  genannt nach 
einer ,version1 weil er es  in allen    
,knsten und ,wissenschaften zum ,rang   
des zweiten gebracht1  nach andern als  
zweiter ,platon2 auch  wird er genannt1 
der  ,fnfkmpfer1 denn er war in der ,tat
 einer der vielseitigsten ,gelehrten    
aller ,zeiten4 ,am bedeutendsten war er 
wohl als ,geograph und ,astronom1  wenn 
ihn auch auf letzterem ,gebiet ,hipparch
 von ,nicaea 7,bithynien7 der  auch nach
 ,rhodos genannt wird1 bertroffen hat4  
,wir haben von seinen  drei ,bchern     
bedeutende ,fragmente1 und ihr ,inhalt  
ist uns  durch ,strabon und durch die   

,kritik ,hipparchs erhalten4            
,sidenote3 ,eratosthenes3 ,geographie4  
,eratosthenes hat besonders die         
sogenannte mathematische und            
physikalische ,geographie als           
,wissenschaft im heutigen ,sinne        
geschaffen1  allerdings ,vorarbeiten des
 ,dikaiarchos benutzend4 ,im #a4 ,buch  
gibt  ,eratosthenes eine kritische      
,geschichte der geographischen          
,kenntnisse  der ,hellenen bei ,homer   
und ,hesiod1 wobei er sich nicht im     
geringsten  scheute die ,unwissenheit   
des homerischen ,zeitalters zu betonen1 
dann  wandte er sich zu der ,geographie1
 beginnend mit ,anaximander1 dem        
,schler und ,freunde des ,thales4       
,das #b4 ,buch enthlt sodann die        
mathematische und physikalische         
,geographie nebst dem ,bedeutendsten der
 eigenen ,leistungen2 die  ,grundlage   
bildet seine ,gradmessung4 ,eratosthenes
 hatte bemerkt1 dass  am lngsten ,tage  
in ,syne die ,sonne um ,mittag den      
,boden eines ,brunnens  bescheint1 d4 h4

 im ,zenith steht1 also ,syne unterm    
,wendekreis des  ,krebses liegt1 und    
glaubte1 dass ,alexandria und ,syne auf 
demselben  ,meridiane lgen4 ,er mass nun
 am lngsten ,tage in ,alexandria die    
,kulminationshhe der ,sonne1 bezw4 die  
,zenithdistanz mittelst eines           
,skaphion1 einer hohlen ,halbkugel1 und 
bestimmte dadurch im ,gradmass  die     
,distanz ,siene-,alexandria1 dann mass  
er1 allerdings auf ,grund der           
gyptischen nomen oder der               
,gaueinteilung1 die direkte ,entfernung 
und  bestimmte so die ,lnge des ,grades4
    ,die ,methode ist im ,prinzip die   
noch heute angewandte1 nur irrte sich   
,eratosthenes darin1 dass ,alexandria   
und ,syne auf demselben ,meridian  lgen4
 ,weil aber auch die alten nomen        
ziemlich fehlerhaft waren1 so  glichen  
sich die ,fehler so ziemlich aus und die
 ,angabe des ,eratosthenes  auf #aji    
kil4 statt #aaa ist merkwrdig genau4    
,die ,gradmessung scheint  er nach      
,makrobios schon vorher in einer eignen 

,schrift mitgeteilt  zu haben4 ,den     
,umfang der ,erde bestimmte er auf rund 
#bejjjj ,stadien1  genauer #bebjjj4     
,der #c4 ,teil enthlt eine kurz gefasste
 ,einteilung und ,beschreibung der      
bewohnten ,erde4 ,er teilte die bewohnte
 ,erde durch einen ,parallelkreis  von  
,gibraltar bis ,china in nrdliche und   
sdliche ,hlfte und jede  ,hlfte durch   
,striche zwischen je zwei ,meridiane in 
d4 h4  wrtlich3 ,siegelabdrcke1 die er  
dann topographisch und ethnographisch   
beschrieb und kartographisch aufnahm4   
,sidenote3 ,chronographie4    ,nicht    
minder bedeutend waren seine zwei andern
 ,hauptwerke3    #a7   vermutlich eine  
,kritik der bisherigen                  
,zeitbestimmungen und eine ,anweisung   
einen chronologisch richtigen  ,abriss  
der ,geschichte inkl4 der               
,literaturgeschichte zu schreiben4      
,wahrscheinlich ist ,eratosthenes der   
,urheber der ,einfhrung des             
,schalttages bei den gyptern durch das  
,edikt von ,kanopus1 das bei  gypten    

erwhnt ist4    ,er beschrnkte sich nicht
 auf die politische ,geschichte1 er     
bevorzugte  die ,kulturgeschichte1      
,philosophen1 ,dichter etc4 und hat ein 
eigenes  ,werk3  geschrieben4 ,in der   
,schrift     4 zeigte er sich als       
feinster ,kritiker und wissenschaftlich 
recht bedeutender ,philologe und als    
,kenner alles dessen1 was zur           
,bhnentechnik gehrt1 auch gibt er eine  
,menge geschichtlicher  ,notizen z4 ,b4 
ber ,einrichtung bei den ,olympischen   
und anderen  ,spielen4 brigens war er   
auch selbst kein unbedeutender ,dichter1
 vide  ,e4 ,hiller1 ,er4 carminum       
reliquiae ,leipzig #ahgb4    ,sidenote3 
,wrfelverdopplung4    ,von seinen       
mathematischen ,werken ist nur wenig    
erhalten1 das  meiste in dem schon      
erwhnten ,brief an den ,ptolemaios ,,iii
 ber die  ,wrfelverdoppelung im         
,kommentar des ,eutokios zu   etc4      
,heiberg1 ,arch4 p4 ,,iii ,s4 #ajb-aad4 
,nach dem historischen ,bericht gibt    
,eratosthenes seine eigene ,lsung       

mittelst eines ,instruments das nach    
,pappos und ,vitruv ,mesolabos 7von  den
 mittleren ,proportionalen7 hiess4 ,es  
bestand aus drei massiven  kongruenten  
,rechtecken1 welche zwischen zwei mit je
 drei ,nuten  versehenen ,linealen      
bereinander geschoben werden konnten4   
,illustration    ,die ,anfangslage ist  
bei ,eutokios die der ,figur4 ,war nun  
die grssere   die kleinere ,strecke1 so 
musste man die ,rechtecke so            
verschieben1  dass das erste einen ,teil
 des zweiten1 dieses einen ,teil des    
dritten  verbarg1 und zwar so1 dass die 
,linie  durch die ,punkte  und  ging1   
an denen die ,diagonalen sichtbar       
wurden2 siehe ,figur4  und  sind  dann  
die mittleren ,proportionalen1 da 1 1   
einander parallel sind4    ,illustration
    ,der ,brief ist von ,e4 ,hiller     
angezweifelt1 insbesondere erklrt er    
das ,epigramm am ,schluss fr            
zweifelsohne unecht4 ,aber ,proklos hat 
p4 #aaa ,z4 #bc den ,vers von den       
,menchmischen ,triaden zitiert und das  

,missverstndnis des  im ersten ,vers    
wirft auf den ,scharfsinn  des          
,herausgebers kein gnstiges ,licht4 ,die
 von ,ambros ,sturm l4 c4  angefhrte    
,begrndung ,hillers ist sehr schwach1   
noch dazu gegenber  ,eutokios und       
,proklos und ,heiberg fertigt sie mit   
den ,worten nulla  idonea causa adlata  
ab4    ,auf diesem allerdings           
mechanischen ,wege organica mesolabi    
ratione  7,vitruv7 konnte man wie       
,eratosthenes selbst angab1 beliebig    
viele  ,mittlere erhalten1 d4 h4 durch n
  #a ,tfelchen die n-,wurzel ziehen4    
,verloren ist eine ,schrift ber         
,mittelgrssen   auch  ,orte in bezug auf
 ,mittelgrssen1    genannt1  von der wir
 durch ,pappos ,kunde haben4 ,zeuthen   
vermutet in seinem  ausgezeichneten     
,werke3 die ,lehre von den              
,kegelschnitten im ,altertum1  deutsche 
,ausgabe #ahhf1 dass es sich1 in        
,ergnzung der harmonischen  ,polare     
eines ,punktes als ,pol fr einen        
gegebenen ,kegelschnitt1 um die  ,orte  

des arithmetischen und geometrischen    
,mittels der ,sehnenschaar des  ,pols   
gehandelt habe4 ,es ist leicht zu       
zeigen1 dass die beiden ,orte           
,kegelschnitte sind1 welche dem         
gegebenen hnlich sind4    ,vielleicht   
aus einer verlorenen grsseren           
arithmetischen ,schrift  ist uns in der 
,arithmetik des ,nikomachos 7s4 u47 die 
noch heute  gebruchliche ,methode       
erhalten die ,primzahlen unter p        
herauszusieben1  die noch heute ,sieb 71
 cribrum7 des ,eratosthenes heisst4     
,vllig  verloren sind die rein          
philosophischen ,schriften1 deren       
bedeutendste  die von ,strabon genannte 
ber ,gutes und ,bses1      gewesen sein 
soll1 darunter bedauerlicherweise auch  
die ,schrift  1 ein ,kommentar zu der   
,pythagorischen ,kosmologie in  ,platons
 ,timaeos4    ,sidenote3 ,apollonios von
 ,pergae 7vita74    ,sidenote3 ,konika  
7,kegelschnitte74    ,der eigentliche   
,aemulus1 der ,nebenbuhler des          
,archimedes im ,ruhme der  ,alten1      

,apollonios von ,pergae in ,pamphylien  
war erheblich jnger als  jener1 er ist  
frhestens um #bfe unter ,ptolemaios     
,euergetes geboren  und hatte seine     
,bltezeit unter ,ptolemaios ,philopator4
 ,gestorben ist  er gegen #aij4 ,er     
studierte in ,alexandria bei den        
,schlern des ,euklid  ,mathematik1      
,hultsch ,p4 ,,iii ,s4 #fgh oder nach   
,hultsch ein ,scholiar des  ,pappos     
sagt3                  4 ,die ganze     
nicht gerade geschmackvolle ,stelle     
lautet eigentlich wrtlich3 ,da er  die  
,schule teilte mit den ,schlern des     
,euklid in ,alexandrien sehr  lange     
,zeit1 woher er auch ein solches nicht  
unmathematisches ,verhalten  hatte4 767 
,demnach wrde ,apollonios ein direkter  
,schler des ,euklid  gewesen sein von   
mssiger mathematischer ,begabung6 ,aber 
im eigentlichen  ,hauptkodex steht nur  
und das heisst mit dem ,dativ bei       
jemanden  in die ,schule ging1 und so   
ist die lateinische bersetzung von      
,hultsch  zutreffend1 die ,konjektur    

dagegen scheint mir nicht glcklich4     
,dann  lebte er in ,pergamon und in     
,ephesos befreundet mit einem ,eudemos1 
dem  er sein grosses ,werk ber die      
,kegelschnitte1 die  widmete4  ,eudemos 
starb aber vor der ,vollendung des      
,werkes und daher gab  ,apollonios dem  
vierten ,buch einen ,widmungsbrief an   
den ,knig ,attalos  ,i4 von ,pergamon   
mit1 in welchem er den ,tod des ,eudemos
 beklagte4 ,dem  ,attalos sind dann auch
 die folgenden ,bcher gewidmet4 ,von dem
 ,werke1  das dem ,verfasser nach dem   
,zeugnis des ,geminos 7,eutokios1       
,heiberg  ,s4 #agj7 den ,beinamen des   
grossen ,mathematikers   eintrug1  sind 
nur die vier ersten ,bcher mit dem      
,kommentar des ,eutokios  erhalten1 die 
drei folgenden in arabischer bersetzung4
 ,das letzte  ,buch ist verloren1 doch  
haben wir eine ,inhaltsangabe bei       
,pappos1 auf  ,grund derer der durch    
seinen ,komet noch heute viel genannte  
,halley  #agaj eine ,rekonstruktion     
versuchte4 ,die vier ersten ,bcher      

wurden  zuerst von ,joh4 ,baptist ,memus
 schlecht ins ,lateinische bersetzt  und
 von seinem ,sohn #aecg ediert4 ,weit   
besser ist die bersetzung von  ,federico
 ,commandino1 dessen wir schon bei      
,euklid und ,archimed rhmend  gedenken  
mussten1 sie enthielt auch den          
,kommentar des ,eutokios und  die       
,lemmata des ,pappos4 ,ins ,arabische   
wurden die #g ersten ,bcher  schon unter
 ,al ,mamun1 #hcj bertragen1 aber diese 
bersetzung ist  bisher nicht            
aufgefunden4 ,dagegen kam eine zweite   
von ,abulphat von  ,ispahan #iid        
verfasste1 im #ag4 ,jh4 durch den       
,leydener ,orientalisten  und           
,mathematiker ,golius nach ,europa1 der 
das ,exemplar dem ,grossherzog  von     
,toskana verkaufte4 ,es wurde von dem   
,orientalisten ,abraham v4  ,echelles in
 ,gemeinschaft mit dem bedeutenden      
,mathematiker ,borelli  7s4 ,euklid7    
#afga ,lateinisch ediert1 und besttigte 
glnzend die kurz  vorher von ,viviani   
7einer der bedeutendsten ,schler        

,galileis1 der  ,urheber des            
,florentiner ,problems der ,quadrierung 
einer durchbrochenen  ,kugelkappe7      
versuchte ,restitution des #e4 ,buches4 
,der ,anfang des #e4  ,buches1 wohl das 
bedeutendste1 ist nach dem ,arabischen  
des mehrfach  genannten ,thabit ibn     
,qurrah #ahii von ,nix in ,leipzig      
herausgegeben4  ,die einzigen           
,griechischen ,ausgaben sind die von    
,halley1 ,oxford  #agaj ,folio mit      
,eutokios und der ,divinatio libri      
octavi und die von  ,heiberg mit        
,eutokios ,kommentar und                
,fragmentensammlung ,teubner  #ahij-ic4 
,von besonderer ,bedeutung fr           
,apollonios ,wertung ist das oben       
genannte ,werk von ,zeuthen4 ,eine freie
 ,bearbeitung der ,konika gab  ,h4      
,balsam1 ,berlin #ahfa4 ,die            
,kegelschnitte des ,apollonios haben die
  ,eigenschaften der ,kurven in solcher 
,vollstndigkeit aufgedeckt1 dass        
eigentlich nichts ,neues im ,laufe der  
,jahrtausende gefunden ist4 ,selbst  der

 ,satz von ,desargues und seine         
selbstverstndliche ,anwendung1 der      
,satz von ,pascal1 sind eigentlich schon
 bei ,apollonios4 ,involution1          
,brennpunktseigenschaften1 ,erzeugung   
durch projektive ,punktreihen1          
,asymptoten1 konjugierte ,hyperbel etc41
 alles findet sich bei ihm4  ,dass er   
nun seine ,vorgnger1 insbesondere       
,archimedes und ,euklid und  ,aristaios 
benutzt hat1 das ist selbstverstndlich1 
aber es bleibt doch  ein gewaltiges     
,quantum selbstndiger ,arbeit1 und      
,pappos selbst sagt1  dass er die #d    
,bcher  des ,euklid stark vermehrt habe 
7   7 und dann noch die #d weitem ,bcher
 hinzugefgt habe4 ,vor  allem hat       
,apollonios zuerst bewiesen1 dass die   
,triaden des ,menaichmos  aus jedem     
beliebigen ,kegel #b4 ,grades           
herausgeschnitten werden knnen4  ,er hat
 die vollstndige ,hyperbel d4 h4 beide  
ste in welche sie  zerfllt betrachtet1  
er hat die ,kurven aus den              
,bestimmungsstcken  konstruiert1 nachdem

 schon ,euklid die ebene ,konstruktion  
aus ,leitlinien  und ,brennpunkten      
gekannt hatte4 ,fr ,genaueres1          
insbesondere auch die  ,werke des       
,aristaios1 verweise ich auf ,zeuthens  
mehrfach zitiertes  ,werk ber die       
,kegelschnitte im ,altertum2 nur die    
,vorrede mochte ich  ,ihnen nicht       
vorenthalten4    ,apollonios sendet dem 
,eudemos ,grsse4 ,es wre schn wenn es   
dir  krperlich gut ginge und alles brige
 nach ,wunsch stnde4 ,mir selbst  geht  
es ja auch ziemlich4 ,als wir seinerzeit
 in ,pergamos beisammen  waren1 bemerkte
 ich1 dass du dich lebhaft fr meine     
,arbeiten ber die  ,kegelschnitte       
interessiertest4 ,ich schicke dir nun   
das vllig richtig  gestellte erste      
,buch2 das brige werde ich senden1      
sobald es mich  befriedigt haben wird4  
,ich glaube aber du erinnerst dich noch 
wohl von  mir gehrt zu haben1 weshalb   
ich diese ,arbeit unternahm4 ,naukrates 
der ,geometer hatte mich dazu           
aufgefordert1 als er bei mir whrend     

seines ,aufenthalts in ,alexandria      
weilte und deswegen gab ich sie ihm1  in
 #h ,bchern behandelt1 von dort aus mit1
 und weil er im ,einschiffen  begriffen 
war1 konnte ich sie nicht sorgfltig     
bereinigen1 sondern  schrieb alles      
gerade so hin wie es mir unterlief1     
indem ich mir eine  letzte              
,durcharbeitung vorbehielt4 ,und da ich 
jetzt dazu ,zeit gefunden1  so gebe ich 
was eben ganz richtig gestellt ist1     
heraus4 ,da es sich  aber traf1 dass    
auch einige andere meiner ,genossen vom 
ersten und  zweiten ,buch vor der       
,verbesserung ,kenntnis gewonnen haben1 
so wundere  dich1 bitte1 nicht1 wenn dir
 abweichende ,fassungen begegnen4       
,von den #h ,bchern fiel den vier ersten
 die ,einfhrung in die  ,elemente zu4   
,es enthlt aber das erste ,buch die     
,erzeugung der #c  ,schnitte und der    
gegenberliegenden sowie deren           
,grundeigenschaften  vollstndiger und   
umfassender ausgearbeitet im ,vergleich 
mit den  frheren ,bearbeitungen4 ,und   

das zweite enthlt die ,eigenschaften der
  ,durchmesser1 ,axen1 ,asymptoten und  
anderes1 was zum ,gebrauch fr die       
,konstruktionsbedingungen ntig und      
hinreichend ist4 ,was ich unter         
,durchmesser und ,axe verstehe1 wirst du
 aus diesem ,buche ersehen4    ,das     
dritte ,buch enthlt viele und           
auffallende ,stze1 welche brauchbar     
sind fr die ,konstruktionen der         
krperlichen ,orte und fr die            
,existenzbedingungen1 von denen die     
meisten und schnsten neu sind4  ,und    
nachdem ich sie ersonnen hatte1 sah ich 
ein1 dass von ,euklid der  ,ort zu drei 
und vier geraden ,linien nicht          
aufgestellt sei1 sondern  nur ein       
zuflliger ,teil desselben und auch      
dieser nicht gerade gut  getroffen4 ,es 
ist auch gar nicht mglich ohne die von  
mir gefundenen  ,stze die ,synthesis    
durchzufhren4 ,das #d4 ,buch gibt an1   
auf wie  vielerlei ,art die             
,kegelschnitte mit einander und der     
,peripherie des  ,kreises               

zusammentreffen1 und anderes darber     
hinaus1 worber von meinen  ,vorgngern   
nichts geschrieben worden ist1 z4 ,b4 in
 wieviel ,punkten ein  ,kegelschnitt und
 eine ,kreislinie zusammentreffen4 ,der 
,rest geht noch  weit darber hinaus4 ,da
 handelt ein ,buch ausfhrlich ber       
,minima und  ,maxima1 ein anderes ber   
gleiche und hnliche ,kegelschnitte1 noch
 ein  anderes ber ,satze1 welche        
,existenzbedingungen angeben1 und das   
letzte  bringt ,probleme ber            
,bestimmungen von ,kegelschnitten4 ,und 
frwahr1 dann  erst wenn alles           
herausgegeben ist1 ist es denen die     
darauf stossen  erlaubt es zu beurteilen
 wie es wohl jeder von ihnen fr richtig 
hlt4  ,gehab dich wohl4    ,was zunchst 
des ,aristaios   betrifft1 so ist nach  
,zeuthen diese ,schrift noch vor des    
,euklids #d ,bcher  erschienen1  sie    
behandelte zweifelsohne ,aufgaben ber   
geometrische ,orte1 welche  sich als    
,kegelschnitte herausstellten4 ,die     
,alten unterschieden die  krperlichen   

,orte1 das sind die ,kegelschnitte1 von 
den ebenen ,orten1  das sind ,gerade und
 ,kreis1 und spter noch die linearen    
,orte1 zu denen  alle andern und auch   
die ,raumkurven gehrten4 ,hiervon       
verschieden sind  die #b verlorenen     
,bcher des ,euklid die   1 das sind     
,flchen als geometrische ,orte4         
,sidenote3 ,apollonios1 ,ort zu #c und  
#d ,geraden4    ,sodann der ,ort zu #c  
und #d ,geraden4 ,man nennt ihn         
gewhnlich nach ,pappos  die ,pappos'sche
 ,aufgabe4 ,es handelt sich im          
allgemeinen ,falle um den  ,ort der     
,punkte1 deren ,abstnde in gegebener    
,richtung gemessen von vier  gegebenen  
,geraden der ,gleichung gengen xy_/zu   
c4 ,dabei werden die  ,linien x  #j1 z  
#j1 und y  #j1 u  #j als gegenberliegend
 bezeichnet4  ,apollonios hat die       
,aufgabe vollstndig gelst und den       
,nachweis1 dass  der ,ort ein           
,kegelschnitt ist1 direkt gefhrt4 ,fr   
das ,nhere1 den  ,zusammenhang mit der  
projektiven ,geometrie1 ,newtons        

,wiederherstellung  der ,apollonischen  
,lsung etc4 verweise ich auf ,zeuthen   
bezw4 auf meine  analytische ,geometrie 
in der ,sammlung ,schubert4 ,soviel     
steht fest1 so  unberechtigt es ist1 von
 einer ,erfindung der                   
,differentialrechnung durch  einen der  
,neueren1 es sei nun ,galilei1 ,fermat1 
,leibniz oder ,newton  zu sprechen1     
angesichts der ,werke des ,archimedes1  
so unberechtigt  ist es auch1 den ,alten
 angesichts der ,werke des ,archimedes  
und des  ,apollonios die analytische    
,geometrie abzusprechen4 ,apollonios hat
  nicht nur ,koordinaten1 sondern auch  
,koordinatentransformation und          
,archimedes analytische ,geometrie      
dreier ,dimensionen4    ,sidenote3      
,apollonios1 ,verhltnisschnitt4    ,auch
 die andern geometrischen ,schriften des
 ,apollonios hngen eng  mit der ,theorie
 der ,kegelschnitte zusammen4 ,da kommen
 zunchst die  beiden ,schriften3 ,de    
sectione rationis1 die   1 der          
,verhltnisschnitt1 und ,de sectione     

spatii die   1  der ,flchenschnitt4 ,die
 #b ,bcher der ersten ,schrift sind nach
 einer  arabischen ,handschrift1 welche 
der ,prof4 ,bernard in ,oxford gefunden1
  #agjf von ,e4 ,halley herausgegeben4  
,die ,aufgabe besteht darin1 durch      
einen ,punkt ,p 7s4 ,fig47 eine ,linie  
so zu ziehen1 dass sie auf zwei         
gegebenen ,linien ,l und ,l#a von zwei  
gegebenen ,punkten ,a und  ,a#a aus     
,strecken ,,am und ,a#a,m#a abschneidet1
 welche in  einem gegebenen ,verhltnis  
stehen4 ,die ,aufgabe wird im zweiten   
,buch auf  den im ersten behandelten    
speziellen ,fall zurckgefhrt1 wo ,a#a   
mit dem ,schnittpunkt ,a#aa der beiden  
,geraden zusammenfllt4 ,diese  ,aufgabe 
wird gelst durch ,ziehen der ,parallelen
 ,,pb zu ,a#a,m#a  und desgleichen durch
 den ,schnittpunkt ,a#aa von ,l und     
,,pa#a1  welche ,,pmm#a in ,m#aa        
schneidet und ,annahme eines            
,hilfspunktes  ,c auf ,l1 der so        
gelegen1 dass ,,bp_/,,ac                
,a#aa,m#aa_/;,,am   1 dann folgt durch  

,umstellung ,,am_/,,ac                  
,a#aa,m#aa_/;,,bp   ,a#aa,m_/,,bm -- und
 durch ,subtraktion3 ,,bm  ,,mc         
,,ba#aa  ,,ac  gegebener ,flche4        
,illustration    ,sidenote3 ,sectio     
spatii und determinata 7,involution74   
,die ,aufgabe ist1 wie man leicht sieht1
 identisch mit der ,aufgabe3  von einem 
gegebenen ,punkt aus an eine durch zwei 
,tangenten und deren  ,berhrungspunkte  
gegebene ,parabel die ,tangenten zu     
ziehen 7,simon1  ,parabel #ahgh74 ,das  
#c4 ,buch ,satz #da handelt von der     
,parabeltangente1  ,satz #db und #dc von
 den entsprechenden ,aufgaben3 ,von     
einem gegebenen  ,punkte aus an eine    
durch konjugierte ,durchmesser gegebene 
,ellipse oder  ,hyperbel die ,tangenten 
zu ziehen und zeigt1 dass dies spezielle
 ,flle  der ,aufgabe sind von einem     
gegebenen ,punkt ,p eine ,gerade zu     
ziehen1  welche auf #b gegebenen        
,geraden von gegebenen ,punkten aus     
,strecken  abschneidet1 deren ,rechteck 
gegeben ist4 ,diese ,aufgabe hat        

,apollonios  in den beiden ,bchern der  
,schrift de sectione spatii behandelt1  
welche  ,halley nach der ,inhaltsangabe 
bei ,pappos und der ,angabe ihrer       
bereinstimmung mit der ersten ,schrift  
in der ,form gleichzeitig  rekonstruiert
 hat4 ,zu diesen beiden ,schriften      
gesellt sich als dritte  die von ,rob4  
,simson nach ,pappos wiederhergestellte 
de sectione  determinata1     1 ber den 
involutorischen  ,schnitt4 ,wenn ,,abcd 
gegebene ,punkte einer ,geraden l sind1 
soll ein  ,punkt ,p auf l so bestimmt   
werden1 dass ,,ap 4 ,,cp_/7,,bp 4 ,,dp7 
ist d4 h4 also die ,theorie der         
,involution1 welche er wie wir mittelst 
der ,theorie des ,kreisbschels und der  
,zentrale des ,bschels gelst  hat2 und  
er hat sie benutzt um den ,schnitt einer
 ,geraden mit einem  durch #e ,punkte   
gegebenen ,kegelschnitt zu bestimmen4   
,die ,halley'schen  und die ,simson'sche
 ,bearbeitungen sind frei wiedergegeben 
von ,ad4  ,diesterweg1 ganz besonders   
lesenswert ist das ,programm des um die 

,elementarmathematik hochverdienten v4  
,lhmann1 weiland ,subrektor zu          
,knigsberg in der ,neumark1 von #ahhb3  
die ,sectio rationis1 sectio spatii  und
 sectio determinata des ,apollonios4    
,sidenote3 ,taktionsproblem4    ,es geht
 aus diesen ,schriften hervor1 dass     
,apollonios die ,erzeugung der          
,kegelschnitte als ,enveloppe der       
,verbindungsgeraden zweier projektiven  
,punktreihen kannte1 die sich erst      
wieder findet in ,newtons principien    
lib4 ,i ,l4 #be4 ,die                   
,brennpunktseigenschaften und die       
,konstruktionen bei  gegebenem          
,brennpunkt haben dann1 wie ,zeuthen    
hervorhebt1 ,apollonios auf  die        
,beschftigung mit dem nach ihm genannten
 ,taktionsproblem gefhrt4  ,ist doch    
schon die ,aufgabe1 den ,schnitt einer  
,geraden mit einer durch  ,leitlinie und
 ,brennpunkt gegebenen ,parabel zu      
bestimmen identisch mit  der ,aufgabe1  
einen ,kreis zu konstruieren1 der durch 
zwei gegebene  ,punkte geht und eine    

gegebene ,gerade berhrt1 also zwei      
#j-,kreise und  einen unendlich grossen4
 ,nach ,pappos1 ,hultsch ,s4 #hdh hat   
,apollonios  die ,lsung auf den         
,spezialfall des ,castillon'schen       
,problemes  zurckgefhrt1 in dem alle #c 
gegebenen ,punkte auf derselben ,graden 
liegen4 ,die ,geschichte des            
,taktionsproblems siehe ,simon1         
,entwicklung  der ,elem4 ,geom4 ,das    
,problem selbst gehrt heute zur eisernen
 ,ration  der ,gymnasiasten1 mit den    
,lsungen aus ,fr4 ,vietas ,apollonius   
,gallus1  und zugleich hat ,apollonios  
sich in der ,schrift   ber              
,brennspiegel1 der                      
,brennpunktseigenschaften der           
,umdrehungsflchen #b4  ,grades bedient4 
,zeuthen vermutet1 und ich glaube mit   
,recht1 dass der  ,parabolische         
,spiegel1 der praktisch wichtigste1     
schon von ,archimedes  erfunden sei und 
dass die ,sage1 er habe mit             
,brennspiegeln die ,rmische  ,flotte    
verbrannt1 hier ihren ,ursprung habe4   

,ausserdem hat ,apollonios auch eine    
,schrift geschrieben  4  ber            
,einschiebungen auf mechanischem ,wege1 
dadurch dass ein ,lineal  oder ein      
,streifen meist von gegebener ,strecke  
so bewegt wird -- hufig  durch ,drehung 
der zu ihr gehrigen ,geraden um einen   
festen ,punkt --  dass sie zwischen zwei
 gegebene ,linien fllt4 ,die ,neusis    
galt sowohl  den ltern ,mathematikern   
als auch dem ,archimedes1 der sich ihrer
  bei der ,arbeit ber die ,spirale wie  
berhaupt zur ,winkeldrittelung  bedient 
hat1 als auch dem ,apollonios und       
berhaupt den angewandten  ,mathematikern
 fr ein durchaus erlaubtes ,hilfsmittel1
 wie sie ja auch  ,newton gebilligt hat1
 erst die ,neuplatoniker strikter       
,observanz  wie ,pappos missbilligten   
sie und ersetzten sie durch             
,kegelschnitte1  was stets mglich1      
sobald die gegebenen ,linien den zweiten
 ,grad  nicht bersteigen4 ,die ,schrift 
des ,apollonios ist nach ,pappos        
wiederhergestellt von dem ,ragusischen  

,patrizier ,marino ,ghetaldi #afjg4     
,sidenote3 ,wrfelverdoppelung4    ,sie  
enthielt vielleicht die von ,eutokios l4
 c4 mitgeteilte  ,wrfelverdoppelung auf 
welche ,pappus ,i p4 #ef hingewiesen hat
  7,heiberg #c1 p4 #gh47 ,es sei aus den
 beiden gegebenen ,strecken  und   das  
,rechteck  konstruiert1 dann ist die    
,gleichung des ihm  umgeschriebenen     
,kreises wenn   a und   b gesetzt wird  
x#b -  ax  y#b - by  #j1 oder 7x - a7 3 
7b - y7  y 3 x4 ,die ,gleichung  einer  
,hyperbel1 welche durch  geht und  und  
zu ,asymptoten  hat1 ist aber xy  ab    
also haben wir fr den zweiten           
,schnittpunkt ,m  nach leichter         
,rechnung a 3 x  x 3 y  y 3 b4 ,zur     
,konstruktion des  ,schnittpunkts ,m    
benutzt ,apollonios den ,umstand1 dass  
die ,abschnitte  einer ,hyperbelsehne   
zwischen ,asymptote und ,kurve gleich   
sind1 und dass  die ,kreissehne vom     
,mittelpunktslote halbiert wird4 ,es    
braucht also nur  ein ,lineal so um     
gedreht werden1 dass die ,punkte  und   

in denen es  die ,axen schneidet vom    
,zentrum des ,rechtecks gleich weit     
entfernt sind4  ,s4 ,fig4 unten4    ,in 
einer verlorenen ,schrift   hat         
,apollonios sich mit der                
,schraubenlinie auf dem ,cylinder       
beschftigt4    ,der grosse ,geometer hat
 sich aber auch mit den einfachsten     
,elementen  der ,geometrie beschftigt1  
wie wir schon bei ,euklid erwhnt haben1 
u4 a4 danken wir ihm die ,halbierung der
 ,strecke mit den beiden gleichen       
,kreisen um die ,endpunkte1 ,proklos    
,friedl4 ,s4 #bgf3               4      
,illustration    ,sidenote3 ,apollonios1
 ,arithmetische ,schriften4    ,auch auf
 arithmetischem ,gebiete hat der        
,pergaier ,grosses geleistet4  ,eutokios
 erzhlt ,heib4 #c ,s4 #cjj3 ,man soll   
auch wissen1 dass ,apollonios  der      
,pergaier in seinem ,okytokion          
7,schnellgeburt1 ,schnellrechner7       
dasselbe durch andere ,zahlen gezeigt   
hat1 die einander noch nher  kommen1 d4 
h4 er hat die ,zahl  in noch engere     

,grenzen als ,archimedes                
eingeschlossen4 ,ob der ,okytokion      
dieselbe ,schrift war1 von der ,pappos  
im #b4 ,buch grosse ,stcke uns          
aufbewahrt hat1 wird von den besten     
,kennern1 von ,nesselmann und ,hultsch  
stark bezweifelt1 doch spricht der      
,titel eigentlich dafr4 ,auch jene      
zweite ,schrift hat im wesentlichen  die
 ,abkrzung des ,algorithmus insbesondere
 der ,multiplikation zum  ,gegenstande4 
,die ,schrift schloss an den ,sandzhler 
des ,archimedes an1  nur dass           
,apollonios statt der ,oktaden die den  
,griechen gelufigen  ,tetraden1 die     
,myriaden1 setzte1 die er als erste1    
zweite1 dritte  u4 s4 w4 bezeichnete1   
die er durch 1  etc4 bezeichnet und     
deren  ,ordnungsziffer er durch         
,division mit #d bestimmte4 ,so ist z4  
,b1  #ddddddddddddd  #d 4 #ajab  #d 4   
#ajaa  44     #a    #a 4 ,auf ,grund    
seiner ,ordnungszahlen lieferte er dann 
ein ,verfahren zur ,multiplikation1 das 
im ,grunde das unsrige ist2  die        

,ordnungszahlen werden addiert und die 1
 d4 h4 unsere  ,einerziffer1 die aber   
hier aus dem ,tableau von  bis  genommen
 werden  konnten1 multipliziert4 ,auch  
,apollonios1 und er fast noch mehr als  
,archimedes1 hat die ,grundgedanken des 
,positionssystemes1 und wie  ,r4        
,baltzer in seinem ,brief an ,hultsch   
auf den ich noch zurckkommen  werde1    
sehr richtig bemerkt1 sind beide an     
,buchstabenrechnung und                 
,dezimalrechnung nur dadurch gehindert  
worden1 dass die ,hellenen von  den     
,kanaanern die ,buchstaben als          
,zahlzeichen bernommen hatten4 ,die     
aller ,wahrscheinlichkeit nach          
bedeutendste ,leistung des ,apollonios  
auf  arithmetischem ,gebiete ist leider 
bis dato nur ganz fragmentarisch        
erhalten1 sie war vermutlich ,pappos    
entweder selbst zu schwierig oder       
schien ihm auf einen zu geringen        
,interessenkreis rechnen zu knnen4 ,die 
,schrift war eine ,weiterfhrung der     
,theorie der ,irrationalzahlen1 wie  sie

 fr quadratische und biquadratische     
durch das ,x4 ,buch des ,euklid  gegeben
 war4 ,aus einem ,kommentar zum ,x4     
,buch1 von dem ,f4 ,woepcke  eine       
,arabische bersetzung durch ,abu ,ottmn 
den ,damascener aufgefunden  hat und von
 dem er die auf ,apollonios bezglichen  
,stellen ,arabisch und  ,franzsisch     
herausgegeben hat1 geht hervor1 dass    
dieser in die ,theorie  der             
algebraischen ,zahlen1 soweit sie durch 
,radicale darstellbar sind1  sehr tief  
eingedrungen war4 ,den ,kommentar selbst
 vindiziert ,woepcke dem  ,griechisch   
schreibenden ,rmer ,vettius ,valens 7#e4
 ,jh4 n4 ,chr47 und die  bersetzung wrde
 etwa ins #i4 ,jh4 fallen4    ,sidenote3
 ,apollonios als ,astronom4    ,ob      
,apollonius mit dem unter dem ,namen    
,epsilon berhmten  zeitgenssischen      
,astronomen1 der sich besonders mit der 
,mondtheorie  beschftigt hat1 identisch 
ist1 ist nicht unwahrscheinlich1 aber   
steht  nicht fest4 ,dass der grosse     
,geometer ein hervorragender ,astronom  

war1  wissen wir aus ,ptolemaios megale 
syntaxis ,,xii1 #a1 wo er den           
,stillstand  und die ,rcklufigkeit der  
,planeten mit der ,theorie der          
,epizyklen  mathematisch ableitet und   
dabei eine ,maximumsaufgabe lst1 welche 
den  grossen ,leistungen des #e4 ,buches
 der ,konika nicht nachsteht4           
,sidenote3 ,elementarmathematik4        
,noch ist fr seine ,leistungen auf dem  
,gebiete der ,elementarmathematik       
nachzuholen1 dass der ,satz ,x des      
sogen4 #ad4 ,buches der ,elemente des   
,euklid3 ,die ,volumina des derselben   
,kugel eingeschriebenen regulren        
,ikosaders und ,dodekaders verhalten    
sich wie die ,oberflchen1 von  ihm      
herrhrt1 laut der ,vorrede des          
,verfassers des #ad4 ,buches1 des       
,hypsikles4 ,hypsikles knpfte daran die 
,folgerung1 dass die ,umkreise  der     
,seitenflchen beider ,krper gleich sind4
    ,mit ,eudoxos1 ,archimedes und      
,apollonios hat die reine ,mathematik   
der  ,griechen ihren ,hhepunkt erreicht1

 die ,theorie des ,irrationalen und des 
,kontinuums1 die ,prinzipien der        
,infinitesimalrechnung1 die analytische 
,geometrie1 die rechnende und projektive
 ,geometrie1 sind geschaffen  und neue  
,methoden1 die auf allgemeine           
,problemklassen anwendbar sind1  treten 
nicht mehr auf4 ,der eben erwhnte       
,hypsikles schliesst sich  wohl         
unmittelbar an ,apollonios an1 ,m4      
,cantor setzt das #ad4 ,buch um #ahj    
an1 er war ein tchtiger ,mathematiker1  
der auch noch eine uns erhaltene        
,schrift ber die ,aufgnge der ,gestirne1
 im ,anschluss an ,autolykos  und       
,euklid geschrieben hat4 ,sie ist vergl4
 ,m4 ,cantor ,i p4 #cdd  dadurch        
merkwrdig1 dass sich in ihr zum ersten  
,male auf ,hellenischem  ,boden die     
babylonische ,teilung des ,kreises in   
dreihundertsechzig  ,grade findet4 ,auch
 auf arithmetischem ,gebiete haben wir  
,hypsikles als  ,vorgnger des           
,nikomachos 7s4 u47 fr die ,theorie der 
figurierten  ,zahlen zu erwhnen4    ,die

 theoretische ,mathematik sinkt nun im  
#b4 ,jahrh4 langsam von ihrer  ,hhe oder
 richtiger das ,interesse der           
bedeutenden ,geister wendet sich  den   
angewandten ,disziplinen zu2 ,astronomie
 und in ihrem ,gefolge die              
,trigonometrie1 ,mechanik1 ,medizin etc4
 nehmen ihre ,stelle ein4 ,dazu kam  fr 
,hellas das ,anwachsen der              
bildungsfeindlichen rmischen ,macht und 
fr ,alexandrien das mrderische ,regiment
 des ,ptolemaios ,,vii4 ,physcn         
7,schmerbauch1 auch ,euergetes ,,ii47   
#ada-aaf1 der nach ,ermordung seines    
,neffen ,eupator sich des ,thrones      
bemchtigt hatte und die bedeutendsten   
,gelehrten und ,knstler von ,alexandria 
vertrieb4 ,da nun der ,unterricht  im   
wesentlichen auf dem ,vortrag im ,kolleg
 beruhte -- ,archimedes und  ,apollonios
 hatten gewissermassen nur zufllig an   
ihre auswrtigen  ,freunde ,schriftstcke 
gerichtet -- so machte sich jetzt der   
,mangel  an ,bchern und damit an einer  
festen ,formelsprache geltend und man   

kann annehmen1 dass schon im ,laufe des 
,jahrhunderts manches von den           
,leistungen der ,heroen verloren ging4  
,das ,entscheidende sind wohl die       
,brnde der ,alexandrinischen ,bibliothek
 unter ,csar und vor allem in  den wsten
 ,emeuten des fanatischen ,mnchpbels und
 seiner wrdigen  ,patriarchen4 ,die     
,sage von der ,vernichtung der grossen  
,bibliothek durch  ,omar gehrt zu den   
bswilligsten ,flschungen der            
,weltgeschichte4 ,auch  die grosse      
,bibliothek von ,pergamon1 das sich zur 
,konkurrenzstadt  ,alexandriens unter   
,attalos und ,eumenes entwickelt hatte1 
ging verloren1  nachdem sie ,antonius an
 ,kleopatra geschenkt hatte4            
,sidenote3 ,nikomedes4    ,sidenote3    
,die ,konchoide4    ,dort in ,pergamon  
war vermutlich wenn nicht die ,wiege1 so
 doch das  ,domizil des ,nikomedes1 den 
,m4 ,cantor vorsichtig ins #b4 ,jahrh4  
verweist1 whrend ,p4 ,tannery ihn nicht 
ohne triftigen ,grund zwischen          
,eratosthenes und ,apollonios           

einschiebt4 ,dass er der ,erfinder der  
,konchoide1 der ,muschellinie gewesen1  
unterliegt keinem ,zweifel1  ,proklos   
sagt ,friedlein ,s4 #bgb im ,anschluss  
an die ,winkelhalbierung  bei ,euklid3  
,nikomedes drittelte mit der ,konchoide1
 deren ,erzeugung1  ,gestalt und        
,eigenschaften er berlieferte1 jeden    
geradlinigen ,winkel1  und er selbst war
 es der ihre ,eigenart gefunden hat4    
,pappos und  ,eutokios haben ihre       
,anwendung zur ,lsung des 7ersten7      
,delischen  ,problemes durch ,nikomedes 
ausdrcklich bezeugt1 und da sie genau   
bereinstimmen1 so ist es sicher1 dass   
die ,lsung sowohl wie ihr ,beweis  ganz 
auf das ,konto des ,nikomedes zu setzen 
ist4 ,in der ,stelle ,hultsch  #bdf oben
 nimmt ,pappos die ,winkeldrittelung    
durch die ,konchoide nicht  fr sich in  
,anspruch1 er sagt nur1 dass er die     
,kurve dabei gebraucht  habe1 dagegen   
sagt er #bdf unten 7 #db7 ganz bestimmt 
er habe zur  ,konstruktion des          
,nikomedes fr die ,wrfelverdoppelung den

 ,beweis  geliefert1 was der ,angabe des
 ,eutokios widerspricht4 ,dass          
,nikomedes  sich des ,zusammenhangs     
beider ,probleme1 die er mit der einen  
,kurve  lste1 klar bewusst war1 scheint 
mir vllig sicher1 es entspricht das  dem
 ganzen historischen ,gange der         
,griechischen ,mathematik4 ,nikomedes   
kannte die ,winkeldrittelung des        
,archimedes durch die ,neusis1 die      
,einschiebung1 und wie dem ,archimedes  
der ,zusammenhang zwischen der          
,kugeldrittelung und der                
,winkeldrittelung nicht hat entgehen    
knnen1 so  hat auch ,nikomedes gesehen1 
dass es sich bei ,wrfelverdoppelung und 
,trisektion um ,probleme #c4 ,grades    
handelte4    ,illustration    ,sidenote3
 ,trisektion4    ,die ,kurve selbst ist 
eine ebene ,kurve1 sie wird erzeugt     
durch ,drehung  einer ,geraden um einen 
festen ,punkt1 so dass sie eine gegebene
  ,leitlinie schneidet und beschrieben  
durch einen ,punkt  der sich  drehenden 
,geraden1 der von dem ,schnittpunkt     

einen unvernderlichen  ,abstand hat4    
,nikomedes hat das abgebildete einfache 
,instrument zur  mechanischen ,erzeugung
 angegeben1 es besteht aus einem        
,richtscheit1 in  dessen horizontalem   
,lineal ein ,schlitz in der ,mitte ist1 
whrend das  vertikale den ,pol durch    
einen ,nagel angibt4 ,ein drittes       
,lineal ist fest  mit den beiden        
verbunden und hat in  einen ,zapfen der 
in dem ,schlitz  des zweiten ,lineals   
gleitet1 whrend  der gegebene ,abstand  
ist4 ,legt  man die x-,axe durch den    
,pol  nennt den ,abstand b und den      
,abstand des  ,pols vom horizontalen    
,lineal a so ist die ,gleichung der     
,kurve r 3 b   y 3 7y - a71 also        
quadriert und multipliziert 7x#b  y#b77y
 - a7#b   b#by#b4 ,die ,kurve ist also  
vom #d4 ,grade1 geht durch die imaginren
  ,kreispunkte im ,unendlichen1 und hat 
in  einen ,doppelpunkt4 ,die            
vollstndige ,kurve1 welche ,nikomedes   
auch betrachtet zu haben scheint1  da er
 die hier konstruierte als erste        

,konchoide bezeichnete1 besteht  aus der
 oberhalb der ,axe und der unterhalb der
 ,axe beschriebenen4  ,ausser den in    
,wlffings so hchst dankenswerter        
,bibliographie  angegebenen             
,monographien verweise ich auf ,g4 de   
,longchamps cours de  ,math4 spec4 und  
auf das ,journal von ,bourget4          
,nikomedes hat gezeigt1 dass  eine      
,asymptote ist1 und dass jede ,gerade   
zwischen  und der ,kurve diese          
schneidet1 ,eutokios1 ,heiberg ,archim4 
#c ,s4 #aah und #abj findet sich der    
,beweis1 whrend ,pappos l4 c4 nur die   
,tatsache angibt4    ,illustration      
,sidenote3 ,trisektionen bei ,montucla4 
,die ,anwendung zur ,winkeldrittelung   
ist uns von ,pappos p4 #bge  berliefert1
 sie ist1 wie ,montucla in der noch     
heute lesenswerten  ,histoire des       
recherches sur la quadrature du cercle  
,nouv4 ,edition 7par  ,lacroix7 #ahca p4
 #bdj sagt1 fast selbstverstndlich1 und 
stimmt im  ,prinzip mit der des         
,archimedes berein4    ,ist  7s4 ,figur7

 der gegebene ,winkel1 so ist nur ntig1 
von   als ,pol aus eine ,strecke        
zwischen  und der verlngerte  so        
einzuschieben1 dass  gleich #b ist1 dann
 ist   #a_/c4 ,man  findet also  durch  
den ,schnitt von  mit der ,konchoide1   
deren ,pol 1  deren ,axe  und deren     
,abstand #b ist4    ,montucla gibt l4 c4
 #bdc an1 dass auch die ,konstruktion   
des ,archimedes  mittelst der ,konchoide
 gelst werden kann1 nur muss ihr ,zweig 
unter  der ,axe benutzt werden4 ,ist    
,,abc der gegebene ,winkel1 7,figur7 so 
beschreibt man mit ,c als ,pol1 ,,ba als
 ,axe und ,,bc als ,abstand die #b      
7untere7 ,konchoide1 welche den ,kreis  
um ,b mit ,,bc in ,d schneidet1  so ist 
,,dbe  #a_/c ,,cba4    ,illustration    
,montucla gibt auch den ,hinweis auf den
 ,appendix ,newtons zur  ,arithmetica   
universalis1 der so recht deutlich      
zeigt1 wie innig ,newton  mit der       
hellenischen ,geometrie vertraut war4   
,nachdem ,vieta 7,oper4 ed4  van        
,schooten #afae7 gezeigt hatte1 dass die

 ,gleichung dritten ,grades  sich auf   
die ,wrfelvervielfltigung und die       
,trisektionsgleichung  zurckfhren lasse1
 hat ,newton l4 c4 fr alle ,arten       
gemischter  kubischer ,gleichungen den  
zu trisezierenden ,winkel und die ,lage 
des ,pols und die ,grsse des ,abstands  
angegeben 7berechnet74 ,er hat          
ausgesprochen1 dass zur ,lsung von      
,gleichungen dritten ,grades die        
,konchoide des ,nikomedes das bequemste 
,mittel ist2 dass dieser sich des       
,vorzugs seiner leicht konstruierbaren  
,kurve vor der ,probiermethode des      
,eratosthenes voll bewusst war1 kann man
 bei ,eutokios nachlesen4    ,sidenote3 
,wrfelverdopplung nach ,nikomedes4      
,schwieriger gestaltet sich die         
,anwendung der ,kurve fr die            
,wrfelverdoppelung1 die ,lsung der      
reinen kubischen ,gleichung oder die    
,auffindung der beiden ,mittleren4      
,eutokios beginnt den ,bericht also3    
,nachdem dies bewiesen 7nmlich dass     
,asymptote1 das ,wort fehlt1  was auch  

fr hheres ,alter als ,apollonios        
spricht1 etc47 seien die  gegebenen     
,strecken  und  senkrecht aufeinander1  
zu denen es den  beiden kontinuierlich  
proportionalen 7      7 zu finden gilt4 
,mache das ,rechteck  fertig1 halbiere  
in  und  in 4 ,verlngere  und  bis sie  
sich in  schneiden1  errichte in  auf   
die senkrechte 1 mache  gleich  und     
verbinde   mit  und ziehe zu ihr        
parallel 4 ,und nun konstruiere man die 
,konchoide von  als ,pol1  als          
,leitlinie und    als ,abstand1  welche 
in  schneidet1 ziehe 1 schneidet  in  so
 behaupte ich1  dass  3    3    3  ist4 
,illustration    ,die ,pointe ist1 dass 
gleich  ist4 ,sei   x und   y1   a  und 
b so ist x 3 a  b 3 y1 und  3 7#a_/b b7 
#b;a 3 y also  3 a   b 3 y also   x1    
ferner weil  und  rechtwinklige         
,dreiecke  mit der gemeinsamen ,kathete 
1 so ist 7x  #a_/b b7#b - 7y  #a_/b a7#b
   7b_/#b7b - 7a_/#b7b oder x7x  b7  y7y
  a71 x_/y  7y  a7_/7x  b7   _/  _/4    
,die ,lsung des ,nikomedes ist von      

,newton l4 c4 wesentlich  vereinfacht   
worden4 ,die ,konchoide auf zirkulrer   
,basis ist von  ,roberval ,limaon de    
,pascal1 ,pascalsche ,schnecke1 genannt 
worden1 sie  ist vielfach im ,journ4 lm4
 7v4 ,bourget7 behandelt worden4        
,sidenote3 ,diokles3 ,kissoide4         
,sidenote3 ,wrfelverdopplung mit        
,kissoide4    ,mit ,nikomedes wird      
stets1 infolge des ,kommentars des      
,eutokios1  ,diokles genannt1 von dessen
 ,lebensfhrung uns zwar so gut wie      
nichts  bekannt ist1 der aber nach      
seiner ,kugelteilung welche ,eutokios1  
,heib4 #c1 ,s4 #ahh ff4 mitteilt1 und   
ebenfalls nach seiner ,lsung der        
,wrfelverdoppelung1 ib4 ,s4 #gh1 ein    
sehr achtbarer ,geometer gewesen  ist4  
,nach dem gedanklichen ,inhalt der      
beiden ,fragmente aus seiner  ,schrift  
77 halte ich ihn fr ziemlich            
gleichzeitig mit  ,nikomedes und fr nur 
wenig jnger als ,apollonios4 ,das       
,fragment ber  die ,kugelteilung enthlt 
zwar schon die ,apollonischen           

,benennungen  ,ellipse1 ,hyperbel1      
,asymptote1 aber es ist sicher von      
,eutokios  berarbeitet1 der wie ,heiberg
 ,s4 #bjg anmerkt1 die ,konstruktion der
  ,hyperbel1 wenn die ,asymptoten und   
ein ,punkt gegeben worden sind de  suo  
hinzufgte4 ,das ,problem der            
,wrfelverdoppelung lste ,diokles        
mittelst der ,kissoide1 die er wie folgt
 konstruierte4 ,man zeichne  einen      
,kreis um ,m1 den ,leitkreis1 mit       
,radius r1 ziehe darin den  ,durchmesser
 ,,ss gleich d4 ,ziehe ,,bc und ,b,c    
senkrecht zu ,,ss  und symmetrisch zu   
,m4 ,ziehe ,,sb welche ,,bc in ,p       
schneidet1  so ist die ,kurve der ,ort  
des ,punktes ,p wenn ,b,c sich von ,s   
nach ,s bewegt 7die allgemeine ,kurve   
entsteht3 wenn man ,a,b sich  unbegrenzt
 in der ,richtung ,s,s und daher ,,ab   
von ,s nach ,s  zu bewegen lsst74 ,nimmt
 man als #j-,punkt ,s und als  x-,axe   
den  ,strahl 9999vector7,,ss71 zieht    
,,ac und nennt es z1 so ergeben die     
elementarsten ,stze die ,proportion 7d -

 x7 3 z  z 3 x  x 3 y d4 h4 x  und z    
sind zwischen d - x und y die           
,mesoteten4 ,will man nun zwischen  a   
und b die mittleren einschalten1 so     
braucht man der ,symmetrie wegen  nur   
auf dem zu ,,ss senkrechten ,durchmesser
 einen ,punkt ,k so zu  bestimmen1 dass 
,s,m 3 ,,mk  a 3 b ist und ,s,k         
auszuziehen1 bis es  die ,kissoide in ,p
 schneidet1 so ist nur noch d - x und y 
proportional  in a und b zu verwandeln4 
,illustration    ,da aus dem            
grundlegenden ,streifensatz folgt1 dass 
,,sp  ,b,d ist  7entsprechende          
,querstrecken71 so lsst sich die ,kurve 
auch bequemer so  erzeugen1 dass man von
 ,s aus nach allen ,punkten des         
,leitkreises die  ,strahlen zieht und   
das ,stck zwischen der festen ,tangente 
in ,s und  dem ,kreise von ,s aus auf   
den ,leitstrahlen bis ,p abtrgt4        
,illustration    ,sidenote3 ,newton'sche
 ,erzeugung4    ,aus der ersten         
,erzeugung durch ,diokles lsst sich     
ebenso elementar  7vgl4 a4 ,samml4      

,gschen #fe p4 #adh7 die mechanische    
,herstellung der  ,kurve von ,newton 7l4
 c47 ableiten1 welche ,montucla l4 c4   
,s4 #aci  beschreibt4 ,er bedarf dazu   
nur noch eines ,richtscheites1 dessen   
einer  ,schenkel d ist1 ,endpunkt ,b1   
und der in der ,mitte einen ,stift ,p   
hat4 ,dreht man das ,richtscheit um den 
,pol ,m1 so auf ,,ss gewhlt1  dass ,m,s 
r ist1 so dass ,b auf dem konjugierten  
,durchmesser zu  ,,ss gleitet1 so       
beschreibt ,p die ,kissoide4            
,sidenote3 ,diokles4    ,sidenote3      
,zenodoros4    ,sidenote3               
,isoperimetrie4    ,die ,kurve hat die  
,gleichung 7x#b  y#b7x  dy#b1 ist also  
eine ,kurve  #c4 ,grades1 geht auch     
durch die beiden unendlich fernen       
imaginren  ,kreispunkte1 hat die        
,kreistangenten ,s zur ,asymptote1 ist  
,fusspunktenkurve1 ,rollkurve1 durch    
reciproke ,radien transformierte  der   
,parabel4 ,sie ist elementar behandelt  
l4 c41 auch vielfach im  ,journal de    
,math4 spec4 ,dass die ,kurve in ,s eine

 ,spitze hat wusste  schon ,proklos1 der
 die ,kurve viel erwhnt1 ,friedl4 ,s4   
#abf sagt3          1       --       -- 
4 ,wenn die ,kissoidenlinien sich nach  
einem ,punkt zu neigen1  wie die ,bltter
 des ,efeu -- und sie hat ja davon ihren
 ,namen -- so  bilden sie einen ,winkel4
 ,sehr auffallend ist1 dass ,proklos    
trotz der  hufigen ,erwhnung der ,kurve 
den ,diokles nicht nennt1 so wenig wie  
,pappos1 der ihrer zweimal gedenkt4     
,aber wenigstens bei ,proklos ist im    
,zusammenhang des ,textes die           
,auslassung des ,autornamens ganz       
sachgemss1  ,s4 #aaa1 #f z4 ,b4 wird von
 der ,einteilung der ,kurven durch      
,gemnos  geredet1 wobei die ,kissoide   
7,kittoide7 nur als ,beispiel einer     
,figur  bildenden ,kurve erwhnt wird1   
woraus brigens hervorgeht1 dass ,gemnos 
schon die ,asymptote der ,kurve kannte4 
,so liegt kein ,grund vor1 dass         
zuverlssige ,zeugnis des ,eutokios zu   
bezweifeln4 ,und dies um so weniger  als
 ,pappos auch den ,namen des dritten    

hervorragenden ,mathematikers           
verschweigt1 der um #bjj anzusetzen ist1
 den des ,znodoros1 von  dessen         
,lebensumstnden nichts weiter feststeht1
 als dass er nach  ,archimedes und vor  
,quintilian gelebt hat1 also ein        
,spielraum von fast  #djj ,jahren4 ,aber
 ,hultsch und ,cantor setzen ihn auf    
,grund seiner  ,sprache und seines engen
 ,anschluss an den ,gedankenkreis des   
,euklid und  ,archimedes gewiss mit     
,recht in die ,nhe des ,archimedes1     
vergl4 dazu  noch ,w4 ,schmidt ,enestr4 
#aija ,s4 #h4 ,und man kann wohl        
hinzusetzen1  dass der ,gegenstand1 den 
er sich zum ,vorwurf nahm1 auch auf     
,vorangang  des ,apollonios schliessen  
lsst4 ,mit dem ,namen des ,zenodoros    
sind  die ,probleme1 welche wir heute   
als pars pro toto1 isoperimetrische     
nennen1 fr immer verknpft4 ,er selbst   
hat zwar seine ,schrift1 wie  ,hultsch1 
,papp4 ,,iii1 #aahi hervorgehoben ber   
,inhalte von gleichen  ,massen1         
genannt1 aber man versteht heute  unter 

,isoperimetrie sowohl ,untersuchungen   
ber ,konfigurationen1 die  bei gleichen 
,massen der ,begrenzung den grssten     
,inhalt haben1 als  diejenigen1 welche  
bei gleichem ,inhalte grsste ,begrenzung
 bieten4 ,es  ist jene hochwichtige     
,problemklasse aus der sich im #ah4     
,jahrh4 die  ,variationsrechnung        
entwickelte4 ,die ,notiz des ,simplicius
 welche  ,w4 ,schmidt1 ,enestrm #aija   
,s4 #e anfhrt1 bezieht sich m4 ,e4 nur  
auf die  ,kreis- und ,kugelmessung durch
 ,archimedes1 welcher ja de facto in    
sehr vielen ,fllen den ,beweis fr die   
,isoperimetrie des ,kreises und  der    
,kugel liefert4 ,die ,schrift selbst ist
 uns inhaltlich auf dreierlei  ,art     
erhalten1 a7 sowie es scheint1 wrtlich1 
durch den ,kommentar des  ,theon von    
,alexandrien zum ,almagest 7,pariser    
,ausgabe #ahba ,halma1  #cc ff471 b7    
freier aber vllig zu a7 stimmend durch  
,pappos1 ,buch ,v1  ,s4 #cjh ff47 c7    
,abhandlung eines ,anonymos ber die     
isoperimetrischen  ,figuren1 welche     

,hultsch1 ,papp4 ,,iii #aach-aafe       
herausgegeben hat1  ebenfalls vielfach  
wrtlich zu ,theons ,mitteilung stimmend4
    ,die ,arbeit zerfllt in einen       
planimetrischen und einen               
stereometrischen  ,teil1 sie gipfelt in 
den ,stzen1 dass unter allen ebenen     
,figuren von  gleichem ,umfange der     
,kreis den grssten ,inhalt hat und unter
 allen  rumlichen ,gebilden von gleicher
 ,oberflche die ,kugel das grsste       
,volumen hat4 ,dass beide ,stze nicht   
streng bewiesen sind1 braucht  kaum     
bemerkt zu werden1 hat doch ,jacob      
,steiner nicht vermocht1  den           
planimetrischen ,satz streng zu         
beweisen1 und der ,satz ber die         
,isoperimetrie der ,kugel ist erst #ahhd
 von ,h4 ,a4 ,schwarz mit den  ,mitteln 
der hchsten ,analysis bewiesen worden4  
,illustration    ,der ebene ,teil des   
,werkes ist deutsch bearbeitet von ,a4  
,nokk1  ,programm ,freiburg #ahfj4 ,nokk
 hat dort ,zenodoros1 der bis dahin als 
,zeitgenosse des ,oinopides also auf    

#ejj v4 ,chr4 geschtzt war1 als         
,epigonen des ,archimedes erwiesen1 auch
 auf die ,besttigung der  ,authentizitt 
von ,theons ,wiedergabe durch ,proklos  
hingewiesen2  ,friedlein ,s4 #afe ,z4   
#bd3    1   '       4 ,es gibt eine     
dreiwinklige 7,figur7 mit vier ,seiten1 
von ,jenen 7,theudios und ,euklid87     
,lanzen spitzenfrmig geheissen1 vom     
,zenodoros aber hohlwinklig4 ,und       
dieser ,ausdruck kommt bei ,theon vor4  
,zu bemerken ist1 dass die ,winkel  auf 
solche1 welche kleiner als der          
gestreckte1 beschrnkt waren1 d4 h4  auf 
solche die im ,dreiseit vorkommen       
konnten und dies noch bei ,proklos1  der
 allerdings wie die ,neuplatoniker      
berhaupt1 archaistisch ist4 ,die  ,figur
 galt also dem ,euklid und ,proklos als 
dreiwinklig1 trotz ihrer #d  ,ecken und 
#d ,seiten4 ,der ,ausdruck hohlwinklig  
ist sehr auffallend1 es  scheint aus ihm
 hervorzugehen1 dass ,zenodoros die     
,figur schon fr  vierwinklig ansah und  
seine ,lebenszeit wrde dadurch noch     

herabgedrckt  werden1 wenn es nicht     
wahrscheinlicher wre1 dass ein          
literarisch so  gebildeter ,autor wie   
,proklos den ,ausdruck eben aus ,theons 
,kommentar  entlehnt hat2 wodurch dann  
wieder sein ,zeugnis fr die ,echtheit   
von  ,theons ,wiedergabe entkrftet wrde4
    ,sidenote3 ,zenodoros' ,satz3 ,der  
,kreis ist grsser als das               
isoperimetrische regelmssige ,vieleck4  
,als ,probe gebe ich ,ihnen den ,beweis 
des zweiten ,satzes nach ,nokk4  ,wenn  
ein regulres ,polygon mit einem ,kreise 
gleichen ,umfang hat1 so hat  der ,kreis
 den grsseren ,flcheninhalt4            
,illustration    ,der ,kreis sei ,,abg1 
das regulre ,polygon von gleichem       
,umfange ,,dez4  ,das ,zentrum des      
,kreises sei ,h1 das des ,polygons sei  
,t1 man  beschreibe um den ,kreis ,h das
 dem ,polygon ,,dez hnliche1 7,fig474   
,verbinde ,h mit ,b1 flle von ,t auf    
,,ez das ,lot ,,tn und ziehe  ,,hl und  
,,te4 ,da nun der ,umfang des ,vielecks 
,,klm grsser ist als  der ,umfang des   

,kreises ,,abg1 wie es vom ,archimedes  
in seiner ,schrift  ber ,kugel und      
,cylinder unterstellt wird1 der ,umfang 
des ,kreises  ,,abg aber1 dem des       
,vielecks ,,dez gleich ist1 so ist auch 
der ,umfang  des ,vielecks ,,klm grsser 
als der von ,,dez4 ,allein die ,vielecke
  sind hnlich1 mithin ,,bl grsser als   
,,ne und ,,hb  ,,nt4 ,also  das         
,rechteck aus dem ,umfang des ,kreises  
und ,,hb  als das ,rechteck  aus dem    
,umfang des ,vielecks und ,,nt4 ,allein 
das erste ,rechteck ist  wie ,archimedes
 gezeigt hat das doppelte der           
,kreisflche und das  zweite das doppelte
 der ,flche des ,polygon und somit der  
,satz bewiesen  7allerdings mit ,hilfe  
des ,axiom3 ,archimedes ,kugel und      
,cylinder ,annahme  #b74    ,sidenote3  
,hipparch von ,rhodos4    ,in diese     
,epoche der durch ,archimedes1          
,eratosthenes und ,apollonios           
herbeigefhrten ,erweiterung des         
mathematisch-physikalischen             
,gesichtskreises der ,hellenen1 fllt    

auch der grsste ,beobachter des         
,himmels unter den ,hellenen1 ,hipparch 
von ,nicaea oder auch von  ,rhodos4     
,hipparch ist allerdings beim           
geozentrischen ,weltsystem  stehen      
geblieben1 obwohl kurz vorher ,seleukos1
 der ,kopernikus des  ,altertums wie ihn
 ,susemihl nennt1 das ,weltsystem des   
,aristarch von  ,samos1 dessen wir beim 
,psammites gedachten1 auf wirkliche     
,beweise  sttzte4 ,seleukos hat auch als
 der erste auf den ,einfluss des        
,mondes fr ,ebbe und ,flut hingewiesen  
und als ,grund fr die ,annahme  der     
,rotation der ,erde darauf1 dass die    
,flut am quator am strksten  ist4       
,hipparchos muss etwa um #aij geboren   
sein1 seine ,beobachtungen  von #afa bis
 #abf sind uns durch ,ptolemaios        
erhalten1 seine letzten  ,beobachtungen1
 ,mondbestimmungen1 sind vom ,juni #abf 
aus ,rhodos4  ,ptolemaios nennt ihn     
,almagest ,,iii1 #b p4 #adj1 einen ,mann
 von ,arbeits-  und ,wissenstrieb4 ,von 
seinen ,schriften ist uns nur eine      

einzige  erhalten1 eine ,exegese zu den 
,phainomena des ,eudoxos 7und ,aratos7  
in  #c ,bchern1 von ,vettori1 ,florenz  
#aefg ,folio1 herausgegeben1 kritisch   
und mit deutscher bersetzung #ahid      
,leipz4 von ,manutius4 ,es war          
vermutlich eine ,jugendarbeit1 weil er  
darin noch nicht die vielen             
,abweichungen der ,beobachtungen des    
,eudoxos von den seinen auf die         
,przession zurckgefhrt hat1 die er spter
 genau feststellte und damit  die ,dauer
 des ,jahres von #cfe1be ,tagen um #e   
reduzierte4 ,er berechnete  ferner die  
,exzentrizitt der ,sonnenbahn1 wenn auch
 etwas zu gross1  desgleichen die der   
,mondbahn1 legte sowohl die ,sonnenbahn 
als die  ,mondbahn durch ,beobachtung   
der ,fixsterne1 welche ihre obere       
,kulmination  hatten wenn jene ihre     
untere1 genau fest1 gab die             
,entfernungen der  ,sonne und des       
,mondes weit genauer1 7namentlich       
letztere7 an1 als seine  ,vorgnger1     
kritisierte die bisherigen              

,planetentheorien1 und erklrte  die     
,ungleichheit der ,jahreszeiten durch   
die ,annahme der exzentrischen          
,kreisbahn1 welche ,kepler vielleicht   
die ,anregung zur ,auffindung  seines   
ersten ,gesetzes gab4 ,hipparchs        
,methode die ,sonnendistanz             
7,parallaxe1 d4 h4 der ,winkel unter dem
 der ,erdradius von der ,sonne  aus     
gesehen erscheint7 mittelst der         
,mondparallaxe zu bestimmen durch  den  
von ihm gegebenen ,satz3 ,die ,summe der
 ,parallaxen von ,sonne und  ,mond ist  
gleich der ,summe der scheinbaren       
,halbmesser der ,sonne und des          
,schattenkegels der ,erde1 ist          
theoretisch richtig4 -- ,das ,auftreten 
eines neuen ,fixsternes im ,jahre #acd  
brachte ihn auf den ,gedanken einer     
mglichen ,eigenbewegung derselben1 und  
er soll 7vgl4 ,gartz und  ,schaubach7   
mittelst von ihm erfundener             
,instrumente1 ,astrolabien1 und         
verbessertem ,visierrohr oder ,diopter  
7,archimedes im ,psammites7 die         

,position und scheinbare ,grsse des     
,sternes genau festgestellt haben4      
,jedenfalls nahm er hier ,veranlassung  
einen ,sternkatalog anzulegen und       
verzeichnete ,ptolemaios zufolge selbst 
#ajhj ,fixsterne4 ,aus der ,arbeit  von 
,frz4 ,boll #aija in ,mnchen entnehme   
ich1 dass der ,sternkatalog  des        
,hipparch zufolge des ,fundes von ,a4   
,olivieris #ahih hchstens #hej  ,sterne 
umfasste1 so dass die ,meinung ,tannerys
 und ,delambres der  ,ptolomische       
,katalog sei der des ,hipparch gewesen1 
hinfllig wird4    ,sein ,beweggrund war1
 spteren ,astronomen die ,erkenntnis zu 
ermglichen1  nicht nur ob ,sterne       
verschwnden und neue entstnden1 sondern 
auch1 ob  sich die ,lage der ,fixsterne 
gegen einander nicht ndere und ob ihre  
scheinbare ,grsse nicht zu- oder abnhme4
 ,diese ,beobachtungen fhrten  ihn eben 
zur ,auffindung der ,przession2 denn als
 er die seinigen  mit etwa #ajj ,jahre  
lteren verglich1 fand er1 dass sich zwar
 die  ,breiten1 die sphrischen ,abstnde 

von der ,ekliptik oder ,sonnenbahn1     
nicht gendert1 wohl aber die ,lngen um  
den konstanten ,betrag von  #a-a_/c     
vergrssert hatten1 d4 h4 also1 dass die 
quinoktialpunkte  auf der ,ekliptik     
gegen die ,bewegung der ,sonne hin      
fortrckten4 ,wir  verdanken auch diese  
,kunde dem ,almagest1 die theoretische  
,erklrung der  ,przession durch die     
,rotation der ,erdaxe um die ,axe der   
,ekliptik aus  der ,anziehung von       
,sonne1 ,mond1 ,jupiter etc4 auf dem    
,wulst des quators  gab erst            
,d',alembert4    ,sidenote3 ,heron von  
,alexandria4    ,hipparch wird aber auch
 als der ,begrnder der ,trigonometrie   
angesehen1 wenn berhaupt von einem      
solchen 7vgl4 gypten7 die ,rede  sein   
kann4 ,theon teilt uns in dem schon     
erwhnten ,kommentar zum  ,almagest mit1 
dass jener in einem grsseren ,werke     
eine ,sehnentafel gegeben4 ,siehe hierzu
 die  ,besttigung bei ,heron in der     
,metrik ,s4 #eh1 #c4 #ai1 wo der ,titel 
7s4 u4  ,heron7 angegeben ist4 ,es steht

 jetzt so ziemlich fest1 dass die ganze 
,sexagesimalbruchrechnung inkl4         
,wurzelausziehung ,eigentum des         
,hipparch  war 7cf4 ,hultsch1 die       
,sexagesimalrechnungen in den ,scholien 
zu  ,euklids ,elementen1 ,biblioth4     
,math4 #e1 #aijd1 #bbe74    ,nach       
arabischen ,nachrichten hat er auch ber 
quadratische ,gleichungen  geschrieben  
und durch ,strabon sind wir ber seine   
,schrift    gut unterrichtet4 ,in den   
beiden ersten ,bchern gab er  eine      
scharfe und nicht immer gerechte        
,kritik1 denn genaue ,lngen- und        
,breitebestimmungen waren dem           
,eratosthenes nicht mglich1 im dritten  
die ,begrndung seines eigenen ,systems  
und die ,tabellen der ,breiten von  #ab 
,stdten und ,bestimmung der             
,finsternisse4 ,wenn man von            
,eratosthenes  ,sphragides absieht1 ist 
,hipparch auch als ,begrnder des        
sphrischen  ,koordinatensystems         
anzusehen4    ,an ,hipparch1 den        
,astronomen1 schliessen wir ,heron1 den 

,mechaniker an2    nennt ihn ,proklos1  
,fried4 #cje1 #bd2 #cdf1 #ac1 und in der
 ,tat  ist er in ,mechanik und ,technik 
geradeso der ,lehrer der ,welt gewesen  
wie  ,euklid fr ,geometrie4 ,ob ,heron  
,nachfolger oder ,vorlufer des ,hipparch
  gewesen ist1 steht nicht einmal       
absolut fest4 ,doch wird in der ,metrik 
die von ,theon erwhnte ,schrift unter   
dem ,titel           als vollkommen     
bekannt zitiert4    ,sidenote3          
,lebenszeit4    ,die sogen4 ,heronische 
,frage ist eine der diffizilsten1 die   
,ansichten  der berhmtesten ,historiker 
schwanken zwischen dem #c4 ,jahrh4 v4   
,chr4  und dem zweiten ,jahrh4 n4 ,chr4 
,ein ,forscher von dem ,range ,diels    
setzt ihn um #ajj n4 ,chr41 ,de ,vaux   
und ,paul ,tannery sogar um #bjj1  der  
,herausgeber der neuesten ,gesamtausgabe
 ,w4 ,schmidt setzt ihn etwa  auf #ef v4
 ,chr4 ,dem gegenber stehen ,susemihl1  
der genaue ,kenner der  ,hellenistik1   
der ihn um #bjj v4 ,chr4 ansetzt und ,m4
 ,cantor1 der ihn  um #ajj v4 ,chr4     

setzt4 ,ich glaube1 dass ,cantor im     
ganzen das ,richtige  getroffen und     
neige dazu ,herons ,geburt etwa um #aej 
zu setzen und  stimme der ,beweisfhrung 
,edmund ,hoppes im ,programm des        
,hamburger  ,wilhelm-,gymnasiums von    
#aijb bei1 welche ich noch bekrftigt    
finde durch  die von ,h4 ,schoene #aijc 
zum ersten ,mal herausgegebene ,metrika1
  deren ,handschrift ,r4 ,schoene #ahif 
im ,codex ,constantinopolitanus         
aufgefunden hatte4 ,da ,programme       
bekanntermassen wenig bekannt zu werden 
pflegen1 so setze ich den ,schluss der  
,hoppe'schen ,arbeit hierher1 und  um so
 lieber1 als ich bedauerlicherweise     
vergessen habe1 diese tchtige  ,arbeit  
in der #b4 ,aufl4 meiner ,methodik von  
#aijg unter den historischen            
,programmen anzufhren1 obwohl sie mir   
seit #aijc bekannt war4 ,hoppe          
schliesst3 ,wenn er den lteren          
,poseidnios zitiert hat1 rckt ,heron    
gnzlich in das zweite ,sec4 v4 ,chr4    
,dahin passt er auch seinem ganzen      

,inhalte nach durchaus4 ,heron steht    
ausschliesslich auf den ,schultern  des 
,archimedes und ,ktesibios in seiner    
,mechanik und ,pneumatik1 in der        
,philosophie und ,mathematik ist er     
abhngig von ,aristoteles1 ,platon1      
,pythagoras und ,euklid1 welche er alle 
zitiert4 ,alles ,sptere ist  fr ,heron  
nicht vorhanden4 ,heron aber geht ber   
seine ,quellen weit  hinaus4 ,die       
physikalischen ,anschauungen1 welche er 
in der ,einleitung  zur ,pneumatik      
darlegt1 hat vor ihm keiner und auch    
nach ihm keiner4  ,wohl in ,einzelheiten
 finden sich bei frheren ,anklnge1 aber 
ein solch  umfassendes ,wissen von der  
,mechanik der ,gase1 von der ,elastizitt
 etc4  hat keiner seiner ,vorgnger4     
,nach ihm hat man dies alles nicht mehr 
verstanden1 die rmischen ,epigonen      
griechischer ,kulturwelt konnten  wohl  
,automaten und ,wasserorgeln nachmachen1
 aber seine physikalischen  ,gedanken   
begriffen sie nicht4 ,das               
charakterisiert ,heron als den letzten  

einer untergehenden ,schule4 ,darum muss
 man ,heron ansetzen zu einer  ,zeit1 wo
 gypten vor einer ,katastrophe stand1   
nach einer ,periode der  ,blte4 ,diese  
,blte war unter den ,ptolemern1 die     
,katastrophe war das  ,einsetzen der    
,rmerherrschaft4 ,somit spricht alles fr
 den ,ausgang des  zweiten sec4 a4 ,chr4
 ,macht man1 wie ,schmidt es will1      
,philon von ,byzanz  und ,ktesibios zu  
,zeitgenossen des ,archimedes1 so wre   
mglich fr ,heron  die ,zeit am ,anfang  
des zweiten sec4 anzunehmen4 ,setzt man 
,ktesibios  an das ,ende des zweiten    
sec41 so bleibt fr ,heron die ,zeit um  
#ajj n4  ,chr41 wie ,cantor annimmt1    
bestehen2 ein weiterer ,spielraum       
scheint  ausgeschlossen4    ,zu den von 
,heron benutzten ,autoren kommt nach    
,metrik ,s4 #eh ,z4 #ai noch  ,hipparch 
hinzu und ,apollonios de sectione spatii
 7    7 ,schne ,s4 #afb1 sowie          
,dionysodoros dessen ,kugelteilung      
,eutokios gegeben4 ,auch die ,heronische
 ,wrfelverdoppelung zeigt den  ,einfluss

 des ,apollonios4 ,ungelst ist auch noch
 die ,frage inwiefern  ,heron fr seine  
,geschtzlehre und seine ,lehre vom      
,luftdruck aus  ,philon von ,byzanz 7   
47 geschpft hat4 ,die  ,vorstellung1    
dass schwere ,krper schneller fallen    
mssen als leichte  findet sich z4 ,b4   
bei ,beiden4 ,die ,zuverlssigkeit der   
,literaturangaben  des ,eutokios ist    
durch die ,auffindung der ,mechanik     
wieder besttigt  worden1 ,eutokios      
berschreibt die ,lsung mit den ,worten  
wie ,heron  in der ,einfhrung in die    
,mechanik und in den ,belopoiika        
7,anfertigung  von ,geschtzen7 und sie  
hat sich auch in der ,mechanik1 ,ausgabe
 von ,nix  ,s4 #bd gefunden4    ,ich    
mchte zu den ,datierungsfragen allgemein
 bemerken1 dass was fr  ,indien gilt    
mutatis mutandis auch fr alle diese     
,streitfragen gilt4  ,der gedankliche   
,zusammenhang1 die ,darstellung1 die    
,hilfsmittel sind  der wichtigste       
,anhaltepunkt1 und der spricht fr ,heron
 entschieden fr  engen ,anschluss an    

,archimedes1 wie es insbesondere die    
,metrika zeigen  und fr die ,cantorsche 
,auffassung1 welche auch von ,hultsch   
geteilt  wurde4 ,auch die sehr          
sorgfltige ,dissertation von ,r4 ,meier 
de ,herone  aetatis1 ,leipz4 #aije kommt
 zum gleichen ,resultat4 ,wie die       
,heronische  ,frage hat entstehen knnen1
 darber spricht sich ,cantor vllig      
zutreffend aus4 ,fr #a-a_/b ,jahrtausend
 ist wie ,euklid fr ,mathematik so      
,heron ,lehrer fr ,geodsie und          
angewandte ,mechanik4 beraus zahlreich1 
griechisch1 lateinisch1 arabisch1 sind  
die ,codices1 ,excerpte1  ,bearbeitungen
 und ebenso zahlreich sind die          
,entstellungen und ,zustze1             
,verschlimmbesserung der ,abschreiber   
und ,ausschreiber4    ,sidenote3 ,heron1
 ,werke4    ,whrend die physikalischen  
,schriften ,herons ab und an ediert     
sind1  ist die erste kritische ,ausgabe 
der unter seinem ,namen gehenden        
mathematischen ,schriften von ,fr4      
,hultsch1 der bei seiner grossen        

,arbeit ber die ,schriftsteller der     
,alten1 welche sich mit ,messkunst      
beschftigten1 sich mit ,heron           
beschftigen musste4 ,die ,hultsche      
,ausgabe  von #ahfd1 fr ihre ,zeit      
mustergiltig1 gibt uns den griechischen 
,text mglichst bereinigt1 sie enthlt die
 ,heronischen ,definitionen1  die jetzt 
noch oder wieder fr teilweise echt      
gelten1 die ,geometria  und als         
,anhngsel einige an sich wichtige       
,tafeln der ,masse1 die  aber           
grsstenteils unecht sind1 dann die      
,stereometrie1 ein ,buch  ber ,flchen-  
und ,raummessung1 dann das liber        
geoponicus1 das ein  ziemlich drftiges  
,excerpt ist1 wie der #h4 ,abschnitt ein
 ungenaues  ,excerpt aus der unten zu   
besprechenden ,dioptra1 und dann        
vergleichende  ,zustze4 ,aber nach etwa 
einem ,menschenalter machten grossartige
 neue  ,funde 7s4 u47 eine neue ,ausgabe
 ntig4 ,sie ist von ,w4 ,schmidt1  einem
 ,hultsch ebenbrtigen ,kenner der       
antiken math4 ,schriftsteller1          

unternommen1 als ,gesamtausgabe ,herons 
und mit deutscher bersetzung4           
,erschienen sind3 ,band #a1 #ahii von   
,w4 ,schmidt1 die ,druckwerke und  das  
,automatentheater1 mit einem            
,supplementheft3 die ,geschichte der    
,textberlieferung und ,griech4          
,wortregister4    ,bd4 ,,ii1 #aijj die  
,mechanik und ,katoptrik1 erstere von   
,l4 ,nix aus  dem ,arabischen1 letztere 
von ,w4 ,schmidt2 -- ,b4 ,,iii #aijc1   
die  ,messungslehre 7,metrika7 und die  
,dioptra ,vermessungslehre von  ,h4     
,schne4 ,leider ist der verhltnismssig  
jugendliche ,w4 ,schmidt  ,hultsch im   
,tode vorausgegangen4 ,aber schon das   
jetzige gengt um sich  von ,herons      
wirklicher ,bedeutung ein ,bild zu      
machen1 und zeigt1 dass der  grsste     
,teil der von ,hultsch edierten         
,schriften hchstens inhaltlich  auf     
,heron zurckgeht4 ,w4 ,schmidt konnte   
die ,ansicht ,hultschs  besttigen1      
wonach sich ,herons ,schriften          
vermutlich auf drei grosse  ,werke      

verteilten3 #a4 ber ,feldmesskunst1 von 
denen die grosse ,arbeit  ber die       
,dioptra die wichtigste ist4 #b4 ber    
,mechanik4 #c4 ber ,metrik1  d4 h4 die  
,lehre vom ,inhalt der ,flchen und      
,krper4    ,sidenote3 ,heron1 ,leben4   
,von den ,lebensumstnden ,herons scheint
 noch festzustehen1 dass er in          
,alexandrien hnlich wie ,pappos einen   
zahlreichen ,schlerkreis um sich        
gesammelt hatte1 sodass seine ,werke als
 ,lehrbcher fr seine ,schler  vielleicht
 im ,auftrage der ,regierung entstanden 
sind4 ,es ist nicht  unwahrscheinlich1  
dass ,heron selbst gyptischer           
,nationalitt war1 was  auch seinen ,stil
 erklren wrde4 ,jedenfalls hat er auf   
gyptische  ,feldmesser als ,leser und   
,hrer gerechnet1 und war mit den        
gyptischen  ,methoden vllig vertraut4   
,rtselhaft war lange ,zeit die ,methode 
mit  der ,heron besonders in ,metrik und
 ,dioptra die auffallend genauen        
,quadratwurzeln gezogen und in der      
,metrik sogar die ,kubikwurzel aus #ajj 

7,s4 #gh74 ,g4 ,wertheim einer der      
tchtigsten ,schler ,m4 ,cantors hat  das
 ,rtsel gelst4 ,die kurze ,notiz steht  
,cantor-,schlmilch ,hist4 litt4  ,abt4  
,band #dd1 #ahii ,s4 #a1 es ist so      
ziemlich das letzte ,vermchtnis des     
,diophantherausgebers4    ,sidenote3    
,herons ,wurzelausziehung4    ,heron    
will #ajj bestimmen4 ,die ,kuben        
zwischen denen #ajj liegt sind #fd  und 
#abe1 die erstere ist um #cf zu klein1  
die letztere um #be zu gross4  ,die     
sind bezw4 #d und #e4 ,daher wird #ajj  
gleich #d  einem ,bruche sein4  ,um den 
,zhler zu finden multipliziert er #cf   
mit #e1 gibt #ahj4 ,der ,nenner  ist    
#ajj  #ahj4 ,der ,bruch ist also #i_/ad 
und so ergibt sich ihm der              
,nherungswert #d-i_/ad4    ,wertheim    
nimmt nun nicht wie ,m4 ,curtze1 der    
,freund und ,genosse  ,m4 ,cantors1 die 
#e als #be sondern als #abe und #ajj    
sieht er nicht wie  ,curtze als den     
gegebenen ,radikand an1 sondern als das 
,produkt von #d  als #fd mit #ec - #ajj4

    ,auf diese ,weise stellt sich       
,herons ,verfahren als ein dem doppelten
  falschen ,ansatz analoges dar4    ,ich
 erinnere1 dass schon die ltesten gypter
 die ,regula falsi  benutzten4 ,wertheim
 zeigt1 dass die ebenso rtselhaften     
,nherungswerte  des ,archimedes fr die  
,quadratwurzeln mit der gleichen        
,methode  gefunden werden knnen und     
weist dies an den ,grenzwerten des der  
#c aus  der ,kreismessung #bfe_/aec und 
#acea_/ghj nach4 ,dieser ,nachweis macht
 die  ,erklrung ,wertheims              
wahrscheinlicher als die sachlich       
einfachere der  am selben ,ort          
mitgeteilten von ,a4 ,kerber sub4 #i4   
,nov4 #ahig an ,curtze  gesandt4    ,sei
 die zu kleine ,wurzel a1 und die um #a 
grssere schon zu grosse a#a1  so ist    
7x#c - a#c7  f  7x - a77x#b  ax  a#b7   
annhernd gleich  7,zeichen 73 7x -      
a7#c;ax4 ,ebenso ist -f#a  #c;a#ax1 und 
durch ,division  erhlt man f_/-f#a  7x -
 a7a_/77x - a#a7;a#a71 wenn man x - a  z
 setzt1  so ist x - a#a  z - #a und z   

7fa#a7_/7;a#a;f  af#a7 und dies ist die 
,korrektion des ,heron4    ,die ,methode
 wrde fr die ,quadratwurzel ergeben z   
f_/7a  a#a7 also  fr #fc2 z  #ad_/ae    
aber ,heron setzt sie gleich #g-a_/b1   
#a_/d1 #a_/h1 #a_/af1  7gut gyptisch71  
das ist #g-ae_/af1 welches genauer ist  
als #g-ad_/ae und  fr #fgejj statt #bei 
den ,wert #bei-dai_/eae1 was bedeutend  
genauer als  ,herons ,wert1 der         
auffallend ungenau2 es ist seltsam1 dass
 ,heron nicht  #bfj gewhlt hat4 ,aber   
auch der vierfache falsche ,ansatz passt
 fr #fc  nicht4 ,denkt man aber an die  
alte gyptische ,unterteilung und        
bedenkt1  dass die ,nherungsformel 7a#b 
7  a  _/7#b;a  #a7 zunchst #g-ad_/ae    
gab1 so liegt es nahe1 dass probeweise  
#g-ae_/af gesetzt wurde4 brigens  findet
 sich bei ,theon von ,smyrna ein        
,kettenbruchverfahren fr #b1 und  dieses
 oder ein sehr hnlicher ,algorithmus ist
 vermutlich ,archimedes  und ,heron auch
 bekannt gewesen4    ,sidenote3 ,heron  
als ,schler des ,ktesibios4    ,dass    

,heron nicht nach ,caesar gelebt haben  
kann1 das geht schon  aus der           
,abhngigkeit ,vitruvs von ,heron hervor1
 die ich schon um  deswegen nicht       
bezweifle1 weil ,vitruv den ,heron nicht
 erwhnt4 ,als  sein ,lehrer gilt        
,ktesibios1 weil ein ,werk des ,heron   
die 1  ,geschtzverfertigung1 in einigen 
,handschriften darunter die beste1      
berschrieben ist   4 ,wilhelm ,schmidt1 
der  verdienstvolle ,neubearbeiter des  
,heron1 verwirft diese ,begrndung1 und  
mit ,recht1 spricht sich aber ber die   
,tatsache selbst nicht weiter  aus4 ,mir
 scheint das ,faktum richtig4 ,dass auch
 ,heron ein ,alexandriner1  1 gewesen   
wie ,ktesibios steht fest1 und dass     
,ktesibios der  ltere war1 ebenfalls1   
und gerade in den ,pneumatika der ,lehre
 von  der mechanischen ,anwendung des   
,luftdrucks1 schliesst sich ,heron eng  
an  ,ktesibios an4 ,und sehr spricht fr 
das ,schlerverhltnis die ,stelle  bei   
,proklos1 ,friedl4 ,s4 #da3         1   
4    ,sidenote3 ,der ,dampf als ,motor4 

,nach ,susemihl lebte ,ktesibios unter  
,ptolemaios ,philadelphos und           
,euergetes ,i in ,alexandrien und       
zeichnete sich durch ,erfindung         
schwerer ,geschtze1 die er mit          
komprimierter ,luft trieb1 aus4 ,wohl   
war die ,triebkraft der gepressten ,luft
 schon dem ,aristoteles  bekannt1 aber  
die ,windbchse hat jener konstruiert1   
der nicht mit dem  anderen ,ktesibios1  
der eine ,wasserorgel konstruiert hat   
dem ,sohn  des ,bartscherers zu         
verwechseln ist4 ,ktesibios konstruierte
 auch  einen ,apparat zur               
,mauerersteigung1 sowie ,automaten und  
schrieb eine  theoretische ,mechanik4   
,an ihn schliesst sich ,heron als       
praktischer  ,mechaniker zunchst an1 in 
der ,schrift 1 ,druckwerke1 in  #b      
,bchern1 welche besonders den ,luftdruck
 verwertet1 allerdings ohne  die heutige
 ,theorie4 ,die in der ,einleitung      
erwhnte ,schrift ber die  ,wasseruhren  
7wrtlich ,stundenzeiger mittelst        
,wassers7 in #d ,bchern ist  bis auf ein

 ganz winziges ,fragment verloren4      
,neben vielen ergtzlichen  ,spielereien 
findet sich darin der ,heber 7,philon7  
der ,heronsbrunnen1 der  ,heronsball1   
das ,gesetz der kommunizierenden ,rhren1
 die ,druckpumpe1  die ,feuerspritze1   
die nachweislich erste ,anwendung des   
,dampfes als  ,triebkraft1 ein          
,dampfkessel mit ,innenfeuerung und     
,schlangenrohr als  ,badeofen etc4      
,unter den ,automaten ist die sich      
selbst regulierende  ,lampe1 das        
automatische ,restaurant etc4           
,illustration    ,sidenote3 ,anwendungen
 des ,dampfes4    ,ich gebe hier ,,ii1  
,,vi die erste konstatierte ,anwendung  
des ,dampfes  als ,motor1 nach ,w4      
,schmidts neuer ,ausgabe wieder4 ,ferner
 ,kugeln1  welche sich auf ,luft        
bewegen4 ,ein ,kessel mit ,wasser1 der  
an der ,mndung  verstopft ist1 wird     
unterfeuert1 s4 ,fig4 ,von der          
,verstopfung aus  erstreckt sich eine   
,rhre1 mit welcher oben eine hohle      
,halbkugel durch  ,bohrung in           

,verbindung gesetzt worden ist4 ,werfen 
wir nun ein leichtes  ,kgelchen in die  
,halbkugel1 so wird es sich ergeben1    
dass der aus dem  ,kessel durch die     
,rhre getriebene ,dampf das ,kgelchen in
 die ,luft  emporhebt1 so dass es darauf
 getragen wird4    ,ist hier der ,dampf 
nur zur ,spielerei benutzt1 so leistet  
in ,,ii #cd in  dem ,badeofen1 nach     
seiner ,form die einem rmischen         
,meilenstein hnelt1  ,miliarion genannt1
 der ,dampf ntzliche ,dienste4 ,die     
,figur bedarf keiner  ,erluterung4 ,wir 
haben hier einen ,dampfkessel mit       
,innenfeuerung und  den ,anfang des     
kupfernen ,schlangenrohres1 welches     
etwas spter daraus  hervorging4 ,der    
,dampf steigt durch eine ,rhre1 welche  
in das den ,deckel  durchsetzende ,rohr 
eingeschlossen und darin drehbar ist1 in
 den ,mund  des kleinen ,genius1 der nur
 als ,blasebalg fr die ,kohlenfeuerung  
dient4  ,hier wird man wohl wieder sagen
 mssen1 dass es nichts ,neues unter der 
,sonne gibt4    ,illustration           

,sidenote3 ,automatentheater4    ,an die
 ,pneumatika schliesst sich das         
,automatentheater wie  ,w4 ,schmidt     
sinngemss den eigentlichen ,titel       
bersetzt2 auch hier wie ,heron selbst   
angibt1 in der ,einleitung zu  den      
stehenden ,automaten1 ,schmidt ,i1 ,s4  
#djd1 ,z4 #ab1 sttzt er sich auf        
,philon4 ,die ,automaten1 die heute bei 
uns nur noch auf den ,jahrmrkten  und zu
 ,reklamezwecken in den ,schaufenstern  
dienen1 abgesehen von den  grsslichen   
,musikautomaten1 spielten im #ag4 und   
#ah4 ,jahrh4 eine sehr  grosse ,rolle in
 den ,belustigungen auch der            
,hochgestellten1 -- ganz wie  zur ,zeit 
des ,philon und ,heron4 ,ich gebe hier  
den ,bericht des ,heron ber  die        
,auffhrung der ,pantomime ,nauplios     
7durch ,philon74 ,der ,sage nach war    
,nauplios der ,vater des ,palamedes1 der
 den ,tod seines ,sohnes ,palamedes1  an
 den ,argivern rchte1 den ,odysseus um  
seinen ,konkurrenten in der  ,klugheit  
zu beseitigen1 verursacht hatte4 ,athene

 stand ihm bei1 sie  zrnte besonders    
,ajax dem ,lokrer1 der ihr ,palladion   
geschndet hatte4  ,also3 auf der ,bhne  
war das auf ,nauplios bezgliche ,stck   
vorbereitet  7das ,stck selbst3 1       
vermutlich von ,sophokles71 das         
,einzelne  verhielt sich so3 ,zu ,anfang
 ffnete sich die ,bhne1 dann erschienen 
zwlf ,figuren im ,bilde1 diese waren auf
 drei ,reihen verteilt4 ,sie  waren als 
,danaer dargestellt1 welche die ,schiffe
 ausbessern und  ,vorbereitungen treffen
 um sie ins ,meer zu ziehen4 ,diese     
,figuren  bewegten sich1 indem die einen
 sgten1 die andern mit ,beilen          
zimmerten1  andere hmmerten1 wieder     
andere mit grossen und kleinen ,bohrern 
arbeiteten4 ,sie verursachten ein der   
,wirklichkeit entsprechendes1  lautes   
,gerusch4 ,nach geraumer ,zeit wurden   
aber die ,tren geschlossen  und wieder  
geffnet1 und es gab ein anderes ,bild4  
,man konnte nmlich  sehen1 wie die      
,schiffe von den ,achern ins ,meer      
gezogen wurden4  ,nachdem die ,tren     

geschlossen und wieder geffnet waren1   
sah man  nichts auf der ,bhne als       
gemalte ,luft und ,meer4 ,bald darauf   
segelten  die ,schiffe in ,kiellinie    
vorbei4 ,whrend die einen verschwanden1 
kamen  andere zum ,vorschein4 ,oft      
schwammen auch ,delphine daneben1 die   
bald  im ,meere untertauchten1 bald     
sichtbar wurden1 wie in ,wirklichkeit4  
,allmhlich wurde das ,meer strmisch und 
die ,schiffe segelten dicht             
zusammengedrngt4 ,machte man wieder zu  
und auf1 war von den ,segelnden  nichts 
zu sehen1 sondern man bemerkte ,nauplios
 mit erhobener ,fackel  und ,athene1    
welche neben ihm stand4 ,dann wurde ber 
der ,bhne ,feuer  angezndet1 wie wenn   
oben die ,fackel mit ihrer ,flamme      
leuchtete4 ,machte  man wieder zu und   
auf1 sah man den ,schiffbruch und wie   
,ajax schwamm4  ,athene wurde auf einer 
,schwebemaschine und zwar oberhalb der  
,bhne  emporgehoben1 ,donner krachte1   
ein ,blitzstrahl traf unmittelbar auf   
der  ,bhne den ,ajax und seine ,figur   

verschwand4 ,so hatte das ,stck1 nachdem
  geschlossen war1 ein ,ende4           
,sidenote3 ,heron1 ,euthytonos          
7,geradspanner74    ,illustration    ,es
 folgen dann die genauen ,vorschriften  
zur ,anfertigung der ,automaten4    ,die
 ,pneumatik zeigt zugleich1 wie falsch  
die ,vorstellung ist1 dass das          
,experimentieren erst etwa durch ,bacon 
erfunden sei1 z4 ,b4 ,pneum4 #bh1  #bi1 
aber nicht nur ,heron war ein tchtiger  
,experimentator1 sondern  schon         
,demokrit hat seine physikalischen      
,theorien auf ,experimente  gesttzt1    
indem er z4 ,b4 ,versuche ber           
,filtrierung von ,meerwasser  angestellt
 hat4    ,sidenote3                     
,geschtzverfertigung4    ,es folgt die 1
 den ,titel hat ,h4 ,degering nicht ohne
 ,geist  erklrt als ,herons ,bearbeitung
 von ,ktesibios ,geschtzverfertigung2   
die ,frage nach den antiken ,geschtzen1 
fr die bisher das grosse  ,werk von     
,kchly und ,major ,rstow ausschlaggebend
 war1 ist durch  die ,versuche von ,e4  

,schramm in ,metz in ein neues aber noch
 nicht  abgeschlossenes ,stadium        
getreten4 ,dass ,griechen und ,rmer ber 
ein  sehr hochentwickeltes ,geschtzwesen
 verfgten und eigene kaiserliche        
,waffentechniker1 armamentarii          
imperatoris1 besassen ist bekannt2 soll 
doch nach ,athenodoros der              
,winkelspanner des ,archimedes einen    
#ab;elligen  ,balken auf die ,weite     
eines ,stadions geworfen haben4    ,die 
,figur ,s4 #cbc stellt den ,geradspanner
 7,euthytonos7 des ,heron dar4          
,illustration    ,sidenote3 ,das        
,delische ,problem4    ,der ,schluss des
 ,werkes enthlt die von ,eutokios       
mitgeteilte  ,konstruktion fr das       
,delische ,problem1 welche mit der des  
,apollonios  im ,prinzip und mit der des
 ,philon1 der als #d4 ,buch seiner      
,mechanik  ebenfalls ber ,geschtzbau    
ausfhrlich gehandelt hat1 bereinstimmt4 
,sollte die ,kraft der ,geschosse       
verdreifacht werden1 so musste der      
,cylinder1 der den ,spanner aufnahm1    

verdreifacht werden und damit war  das  
,delische ,problem gegeben1 dessen      
,lsung sich von der des ,apollonios  und
 besonders der des ,philon nur sehr     
wenig1 und im ,prinzip gar nicht        
unterscheidet4    ,der ,bericht des     
,eutokios ist berarbeitet1 der des      
,pappos ,,iii p4 #fb  scheint fast genau
 mit dem ,original zu stimmen1 bis auf  
geringfgige  ,zustze1 wie z4 ,b4        
gleichen ,umfang 4 ,das ,original  ist  
zum ,schluss vollstndig verworren1 und  
ich folge der von ,kchly  jedenfalls mit
 ,benutzung von ,pappos gegebenen       
,sanierung und nicht der  in der        
,mechanik ,s4 #bd aus dem ,arabischen   
bertragenen4 ,die ,konstruktion  des    
,philon die bei ,eutokios sich          
anschliesst findet sich ,kchly ,s4 #bch 
skizziert4    ,illustration    ,heron3  
,es seien 1  die gegebenen ,strecken1   
senkrecht zu einander1  es soll das     
,rechteck  vollendet und 1  verlngert   
worden sein4  ,du sollst an ,punkt  ein 
,lineal anlegen1 das die verlngerten    

,strecken  schneidet und das besagte    
,lineal bewegen bis die zwei  mit den   
,schnitten verbindenden einander gleich 
sind4 ,es habe nun das ,lineal die      
,lage der ,geraden  und die beiden      
andern ,geraden seien  und 1 so         
behaupte ich1 dass 1  die mittleren     
,proportionalen der ,strecken 1   sind4 
,der ,beweis mittelst 7a  b77a - b7     
gleich a#b - b#b 7oder auch mit dem     
,potenzsatz7 ist ohne weiteres klar4    
,die ,konstruktion des ,philon fhrt die 
,gleichheit von  und  auf die  von  und 
zurck1 was mittelst geteilten           
,drehlineals praktisch  vorteilhaft ist4
    ,sidenote3 ,katoptrik4    ,ebenfalls
 experimenteller ,physik gehrt ,herons  
,katoptrik1 die ,lehre  vom             
reflektierten ,licht an1 die ,lehre vom 
,spiegel1 ,winkelspiegel1               
,vexierhohlspiegel1 ,spiegel zu         
,geistererscheinungen etc4 ,sie ist     
jetzt  unter den ,werken ,herons von ,w4
 ,schmidt #aija 7,bd4 ,,ii7             
herausgegeben1  nach einem lat4         

,manuskript des ,wilhelm von ,mrbeck1   
den wir schon bei  ,archimedes als      
bersetzer erwhnten4 ,das griech4        
,original wird sich  vermutlich im      
,vatikan finden1 jedenfalls hat es sich 
dort befunden4 ,die  ,schrift war unter 
dem ,titel ,claudii ,ptolemei de        
,speculis #aeah gedruckt  worden4 ,als  
die weit ber ,heron hinausgehende ,optik
 des ,ptolemaios  in einer aus dem      
,arabischen bersetzten ,optik des       
,admirals ,eugenius  ,siculus 7vgl4 die 
,einleitung ,w4 ,schmidts ,s4 #cjc7     
erkannt war1 bewiesen  ,h4 ,martin1     
,rose und ,schmidt dass jene frhere     
,schrift eine  verkrzte und verstmmelte 
,wiedergabe der ,katoptrik des ,heron   
sei1 von  der ,kunde existierte4        
,sidenote3 ,reflexionsgesetz4    ,heron 
legt die ,emissionstheorie zugrunde1 die
 ,sehstrahlen sind eine ,art            
thermolekle1 die vom ,auge aus mit      
unendlicher ,geschwindigkeit gesandt    
werden4 ,seine mathematischen           
,ableitungen beruhen auf dem ,satz3 das 

,licht bewegt sich auf krzestem ,wege   
7wie s4 ,z4 ,fresnel74 ,ich gebe  die   
,einleitung wrtlich und die ,ableitung  
des ,reflexionsgesetzes aus  ,kp4 ,,iv  
und ,v dem ,sinne nach4 ,einleitung3    
,da es zwei ,sinne gibt1 durch welche   
man nach ,platon zur ,weisheit  gelangt1
 nmlich das ,gehr und das ,gesicht1 so  
hat man sein ,augenmerk  auf beide zu   
richten4 ,von dem1 was in das ,gebiet   
des ,gehrs fllt1  beruht die ,musik auf 
der ,kenntnis der wohlklingenden        
,tonbildung und  ist1 um es kurz zu     
sagen1 die ,theorie von dem ,wesen der  
,melodie und  den ,gesetzen der         
,tonlehre4 ,was die ,mglichkeit         
betrifft1 dass die  ,welt entsprechend  
der musikalischen ,harmonie geordnet    
sei1 so stellt  die ,theorie viele      
verschiedenartige ,behauptungen darber  
auf4 ,wenn  man nmlich den ganzen       
,himmel der ,zahl nach in acht ,sphren  
einteilt1  nmlich in die der #g         
,planeten und in diejenige1 welche alle 
7sieben7  umfasst und welche nur die    

,fixsterne tragt1 so ist die ,folge1    
dass bei  den ,planeten das ,vorrcken   
der ,gestirne melodis und harmonisch    
wird  wegen der gleichmssig starken     
,bewegungen unter ihnen1 wie auch auf   
dem  ,instrumente der ,leier die ,saiten
 melodisch erklingen4 ,denn wie man     
sich vorstellen muss1 vernimmt man      
infolge des ,vorrckens der ,gestirne    
durch die ,luft gewisse ,tne und zwar   
bald tiefere1 bald hellere1 je  nachdem 
die einen sich langsamer1 die andern    
sich schneller bewegen4  ,wie wir also  
nach dem ,anschlagen der ,saite die     
,luftschwingungen  erkennen1 so gewhrt1 
wie man sich denken muss1 uns die ,luft 
dadurch1  dass sie infolge der ,bewegung
 der ,gestirne durch den ,tierkreis     
ununterbrochen sich verndert und        
verwandelt 7in ,schwingungen versetzt   
wird7 einen ,akkord4 7,die ,sphrenmusik 
der ,pythagorer47      ,ableitung des   
,reflexionsgesetzes4    ,fr den         
,planspiegel gengt die ,figur hier4 ,es 
sei ab ein ebener  ,spiegel1 g der      

,augenpunkt1 d das ,gesehene4 ,es ist da
 g#a symmetrisch  zu g1 klar1 dass der  
,weg gad da er gleich der ,geraden      
g#a;ad  krzer ist als gbd1 welcher      
gleich der gebrochenen ,linie g#a;bd    
ist4    ,illustration    ,illustration  
,man denke sich dann einen gekrmmten    
7,convex7 ,spiegel1 bei dem ab  die     
,peripherie1 g das ,auge1 d das         
,gesehene sei4 ,und es sollen ga und  ad
 unter gleichen ,winkeln einfallen1 gb  
und bd unter ungleichen4  ,dann ist nach
 vorigen ,beweis ga  ad  gz  zd und dies
   gz  zb  bd  gb  bd 7#b ,seiten       
zusammen lnger als die  dritte74        
,illustration    ,sidenote3 ,dioptrik   
7,feldmessung74    ,heron selbst        
berichtet in der ,katoptrik1 dass er ihr
 die ,dioptrik1  sein ,hauptwerk ber    
,feldmesskunst1 vorausgeschickt habe2   
sie ist1  in der ,schmidtschen ,ausgabe 
von ,h4 ,schne mit der ,metrik zusammen 
nach dem ,codex ,constp4 herausgegeben4 
,zuerst wird die von ,heron  sehr       
wesentlich verbesserte ,dioptra         

beschrieben und dann die grosse  ,anzahl
 mittelst ihrer vorgenommenen           
,vermessungsaufgaben4 ,die ,dioptra     
hatte ,hipparch nach einer ,anregung die
 er der ,bestimmung des                 
,sonnendurchmessers im ,psammites des   
,archimedes verdankte1 eingefhrt4  ,sie 
bestand1 vgl4 ,hultsch1 ,winkelmessung  
durch die ,hipparchische  ,dioptra      
,festschrift f4 ,m4 ,cantor #ahii aus   
einem soliden ,richtscheit1  auf dessen 
,oberflche senkrecht zu derselben ein   
kleines ,plttchen  verschiebbar war1    
dessen ,rnder von einer kleinen ffnung  
an einem  ,plttchen1 das fest mit dem   
oberen ,ende des ,richtscheits verbunden
 war1  abvisiert werden knnen4 ,hipparch
 hat mit diesem primitiven ,instrument  
die scheinbaren ,monddurchmesser        
bewunderungswrdig genau gemessen4 ,die  
,dioptra des ,heron1 s4 ,abbild41 ist   
ein sehr vollkommenes ,instrument1  ihr 
fehlte wie man sieht zu unserm          
,theodoliten nichts als die ,linsen1    
und zugleich diente sie als ,kanalwage1 

als ,nivellierinstrument1 wozu  die     
,plinthe ,,kl abgehoben und das         
,nivellierlineal1 s4 ,abbildung1        
aufgesetzt wurde4 ,ebenso sind die zum  
,gebrauch des ,visierinstruments  ntigen
 ,schiebelatten mit allem ,raffinement  
ausgefhrt4 ,w4 ,schmidt  und ,h4 ,schne 
haben die ,einrichtung festgestellt1    
ersterer ,enestrm  #aijc1 #g-ab1 ,schne1
 ,jahrb4 arch4 ,instit4 #ad1 #ahii1 ,s4 
#ia-ajc4 ,unter  den ,messungen erwhne  
ich den ,bau der ,mole und den          
,tunnelbau1 sowie  die allerdings von   
der ,dioptra unabhngige ,bestimmung der 
,entfernung  von ,rom und ,alexandria4  
,die ,methode fr diese ,messung ist noch
 heute  giltig1 es wird aus der         
,zeitdifferenz1 die durch ,eintreten der
  ,mondfinsternis festgelegt ist1 der   
,lngenunterschied zwischen beiden       
,orten bestimmt und dadurch die         
,entfernung1 wenn der ,erdradius bekannt
  ist4 ,dabei hat ,hoppe schon darauf   
hingewiesen1 dass die ,annahme des      
,erdumfanges von #bebjjj ,stadien1 also 

des ,wertes von ,eratosthenes und  nicht
 die von #bdjjjj1 welche ,ptolemaios    
nach ,poseidonios dem ,rhodier  gibt1   
zeigt1 dass ,heron lter ist als jener4  
,illustration    ,sidenote3 ,tunnelbau4 
,ich gebe hier den ,tunnelbau wieder1   
,herodot hat ,,iii1 #fj 7,w4 ,schmidt   
l4 c47 schon den ,tunnel von ,samos des 
,eupalinos zu den ,wunderwerken  der    
,hellenischen ,baukunst gerechnet4 ,die 
,tunnelbauten dienten  den              
,wasserleitungen4 ,dioptra ,,xv1 ,einen 
,berg in gerader ,linie zu  durchgraben1
 wenn die ,mndungen des ,grabens im     
,berg gegeben sind4 ,man  denke sich als
 des ,berges ,grundriss 7 nicht 1 die   
,flche1 auf  der der ,berg ruht7 die    
,linie  s4 ,fig4 ,s4 #ccj1 und als die  
,mndungen  durch welche gegraben werden 
muss  und 4 ,ich zog 7weil er eine      
wirklich ausgefhrte ,arbeit beschreibt7 
von  aus auf dem ,boden die  ,strecke   
nach ,belieben1 und mit der ,dioptra von
  aus rechtwinklig  1 und dazu von dem  
beliebigen  mit der ,dioptra zu         

rechtwinklig  4 ,ferner vom beliebigen  
zu  rechtwinklig 2 schliesslich vom     
beliebigen  zu  rechtwinklig 1 und zu   
rechtwinklig 4 ,nun  fhrte ich die      
,dioptra lngs der ,graden  bis durch    
,einstellung  des ,visierlineals im     
rechten ,winkel der ,punkt  erschien1 er
 mge  erschienen sein als die ,dioptra  
in  war4 ,nun denke man sich   verlngert
 bis  und bis zu ihr hin  als ,lot4 --  
,da jetzt  als       und  als    - 7  7 
bestimmt sind1 so ist auch  ihr         
,verhltnis und damit die ,richtung des  
,grabens bestimmt4    ,illustration     
,entsteht der ,graben auf diese ,weise1 
werden die ,arbeiter einander  begegnen4
 7,was bei dem ,tunnel auf ,salamis     
nicht der ,fall war47 ,heron  braucht   
rechtwinklige ,coordinaten nicht nur    
hier1 sondern vielfach  z4 ,b4 ,no4 #bd 
und ,no4 #be1 auch hier im ,grunde      
altgyptischer ,tradition  folgend4 ,die 
,dioptra enthlt jetzt auch die berhmte  
,heronische  ,dreiecksberechnung aus den
 #c ,seiten unverstmmelt und            

bereinstimmend  mit der ,metrik1 von der
 ,hultsch noch #ahfd berichtete3        
,infinitum paene  laborem mihi attulit  
gravissimum illud theorema1 quo areae   
triangularis  mensura ex tribus         
lateribus efficitur4 ,hultsch hielt sie 
fr in die  ,dioptra eingeschoben1 jetzt 
sieht man1 dass sie ganz naturgemss dort
  hingehrt im ,anschluss an             
,flchenteilungen2 dem ,feldmesser ist es
  durchaus bequem die ,seiten zu messen 
und wenn er gebt ist1 sie auch so       
abzustecken1 dass die ,differenzen      
konstant sind4    ,sidenote3 ,mechanik4 
,ich komme nun zu dem theoretischen     
,hauptwerk ,herons des  ,mechanikers1   
die ,mechanik4 ,lange ,zeit galten die  
bei ,pappos im #h4  ,buch als ,heronisch
 angegebenen ,fragmente aus dem sogen4 1
 dem  ,lastenzieher und der ,mechanik fr
 ,teile zweier verschiedenen ,schriften4
  ,da wurde von ,carra de ,vaux #ahic in
 ,leyden eine arabische ,handschrift    
gefunden und im ,journal ,asiatique     
,ser4 #i1 #a und #b herausgegeben1      

welche  bewies1 dass die ,fragmente bei 
,pappos zu einem ,werke1 der ,mechanik1 
gehren4 ,da in kurzer ,zeit noch drei   
andere zum selben ,archetyp  wie die    
,leydener gehrenden ,handschriften      
gefunden wurden1 und die  ,handschriften
 sich gegenseitig ergnzten1 so nahm     
,schmidt die arabisch  und deutsche     
,ausgabe der ,mechanik von ,l4 ,nix als 
,band #b in die  neue ,edition der      
,heronischen ,werke auf4 ,die bersetzung
 ist laut den  ,handschriften von ,kosta
 ben ,luka auf ,befehl des ,chalifen    
,abul ,abbs  7#hfb-hff71 ,nachfolger    
,harun al ,raschids1 angefertigt1 gehrt 
also zu  den frhen ,aneignungen         
,hellenischen ,wissens seitens der      
,araber4 ,das  ,leydener ,manuskript ist
 durch den schon bei ,apollonios        
erwhnten ,golius  dorthin gebracht      
worden4    ,die ,schrift zeigt1 dass    
,heron keineswegs der blosse ,praktiker 
war1  sondern die theoretische ,mechanik
 im ,anschluss an ,aristoteles und      
,archimedes vollstndig beherrschte4 ,er 

hat das statische ,moment scharf        
hervorgehoben1 das ,grundgesetz         
formuliert3 was an ,kraft gewonnen wird1
  geht an ,zeit verloren4 ,er gibt die  
vollstndige ,theorie der #e einfachen   
,maschinen2 ,wellrad1 ,rolle1           
,flaschenzug1 ,keil1 ,schraube1 alle auf
 den  ,hebel zurckgefhrt1 7fr die ,rolle
 mit einem ,fehler in bezug auf feste   
und lose ,rolle71 er streift auch die   
schiefe ,ebene4 ,das dritte ,buch ist   
wieder vorzugsweise praktisch1 es       
handelt von den ,mitteln zur ,bewegung  
von ,lasten auf ,ebenen1 und finden wir 
auf ,s4 #bfg den ,vorlufer unserer      
,drahtseilbahnen3 die ,bergseilbahn zum 
,transport von ,steinblcken1 und  daran 
schliessend die ,fruchtpressen1 ber     
deren ,zusammenhang bezw4  ,abweichung  
von den bei ,vitruv beschriebenen ,hoppe
 l4 c4 ausfhrlich  gehandelt hat4 ,die  
,schrift enthlt in den beiden ersten    
,bchern auch  ein ganzes ,teil          
mathematisch ,interessantes1 so bei     
,gelegenheit der  ,aufgabe zu einem     

gegebenen ,krper einen hnlichen zu      
konstruieren1  die schon mitgeteilte    
,lsung der ,wrfelvervielfltigung auf ,s4
 #bd1 so  auf ,s4 #bh die ,einfhrung des
 hnlichkeitspunktes1 so auf ,s4 #cb den 
,proportionalzirkel1 auf ,s4 #ahh den   
geom4 ,beweis1 dass die ,medianen  des  
,dreiecks sich im ,verhltnis #b3a       
schneiden und auf ,s4 #aif die          
,bestimmung eines ,punktes aus seinen   
baryzentrischen ,koordinaten4    ,die   
physikalischen ,kenntnisse ,herons sind 
in einer vortrefflich  bersichtlichen   
,weise zusammengestellt von ,franz      
,knauff1 ,progr4 des  ,sophien ,g4 zu   
,berlin ,ostern #aijj1 fr die           
,druckwerke konnte er schon  ,w4        
,schmidts ,arbeit verwerten4            
,illustration    ,sidenote3 ,heron1     
reine ,mathematik4    ,ich komme nun zu 
den eigentlich mathematischen ,schriften
 und beginne  mit den ,horoi1 den       
,definitionen4 ,es scheinen berarbeitete
 ,reste seines  ,euklidkommentars zu    
sein4 ,dass sich ,heron mit den         

,elementen stark  beschftigte1 geht aus 
,proklos unzweifelhaft hervor4 ,ich gebe
 hier  den hbschen direkten ,beweis des 
,satzes3 ,stimmen #b ,dreiecke in zwei  
,seiten berein und sind die dritten     
,seiten ungleich1 so sind die ihnen     
gegenberliegenden ,winkel in derselben  
,weise ungleich4 ,die ,dreiecke  seien  
und  und   4 ,man schneide auf  die     
,strecke  ab  bis  und schlage um  mit  
einen ,kreis der  in  trifft und um     
mit 4 ,dieser ,kreis muss den ersten    
schneiden und zwar zwischen   und 1 da  
ausserhalb liegt und   4 7,summe zweier 
,seiten47 ,der  ,schnitt sei 4 ,man     
ziehe  und 1 so ist    und ,winkel      
d4 h4   4 ,die ,schlussformel lautet    
nicht q4 e4 d4 sondern  wiederholt die  
,behauptung4 ,hinweisen will ich auf den
 ,ausdruck   4 und auf das fter         
gebrauchte ,wort fliessen4 ,es          
unterliegt wohl  keinem ,zweifel1 dass  
,cavalieri seinen ,ausdruck fliessen    
7fluere71 aus  ,heron entnommen hat1 der
 vielleicht auf ,demokrit zurckgeht4    

,seltsam  hat es mich berhrt1 als ich   
mein ,beispiel fr den ,begriff ,flche   
aus  den ,elem4 der ,geom4 von #ahia bei
 ,heron fand in  4  ,hultsch ,s4 #aj ,z4
 #ai    1 nur dass ,heron wie es scheint
  abstinenter war4 ,der ,satz lautet    
vollstndig3 der ,begriff 7,flche7  wird 
erfasst da wo sich ,luft mit ,erde oder 
einem andern festen ,krper  mischt1 oder
 ,luft mit ,wasser1 oder ,wasser mit    
einem ,trinkgefss oder  irgend einem    
andern ,behlter4    ,eine deutsche      
bersetzung des planimetrischen ,teils   
ist #ahfa von ,prof4  ,val4 ,mayring als
 ,programm von ,neuburg a4 d4 ,d7onau7  
verfasst1 leider  noch vor der          
,hultschen ,sanierung des ,textes4      
,sidenote3 ,euklid-,kommentar           
7,an-,nairizi74    ,in der lateinischen 
bersetzung des ,kommentars ,an-,nairz   
7,al-,neirizi7  zu den #aj ersten       
,bchern von ,gherardus ,cremonensis aus 
dem #ab4 ,jh4  welche ,m4 ,curtze #ahif 
in ,krakau auffand1 ist der ,kommentar  
des ,heron  wie es scheint fast         

vollstndig erhalten1 und demnach hat    
,heron nur die  acht ersten ,bcher      
kommentiert1 und besonders ausfhrlich   
das erste  und zweite ,buch4 ,auch der  
,kommentar zeigt1 dass ,heron ein       
tchtiger  ,geometer ist1 unter den      
vielen ,stzen1 die ,heron hinzufgt1 ist 
wohl  der interessanteste der ohne      
hnlichkeitslehre mit drei ,hilfslinien  
gegebene ,beweis des ,satzes1 dass die  
drei ,hilfslinien1 welche der           
,euklidische ,beweis des ,pythagoras    
erfordert1 sich in einem ,punkte        
schneiden4    ,illustration             
,sidenote3 ,metrik4    ,sidenote3       
,beweis der ,heronischen ,formel4       
,das ,hauptwerk ,herons fr reine        
,mathematik sind die ,metrika4 ,in einem
  schon lange bekannten ,codex in       
,konstantinopel aus dem ,,xii4 ,jh41    
fand  ,r4 ,schne neben der ,dioptra auch
 eine vollstndige ,handschrift der      
,metrika1 die sein ,sohn ,h4 ,schne als 
,band ,,iii des ,schmidtschen ,werkes   
#aijc herausgab4 ,das ,werk zerfllt in  

#c ,bcher1 ,buch ,i ,flchenmessung1     
,buch ,,ii ,krpermessung1 ,buch ,,iii   
,teilung von ,flchen und ,krpern4 ,es   
zeigt1 dass die von ,hultsch            
herausgegebene ,geometrie1              
,stereometrie1  liber geoponicus1 stark 
berarbeitete ,teile dieses ,werks sind4 
,das  ,buch ,geoponicus 7ber ,erdarbeit7
 erinnert sehr stark an den ,papyrus    
,aames und spricht am strksten fr das   
,wurzeln ,herons in gyptischer          
,tradition4 ,buch ,i findet sich auf ,s4
 #bj ff der ,beweis der ,heronischen    
,formel wie in der ,dioptra3 s  7s7s -  
a77s - b77s - c77 und zwar  sehr elegant
 und zunchst an dem sog4 ,heronischen   
,dreieck #ac1 #ad1  #ae exemplifiziert1 
das aus den beiden ganzzahligen         
7,pythagorischen7  rechtwinkligen       
,dreiecken #ae1 #ab1 #i und #ac1 #ab1 #e
 zusammengesetzt ist2  und dann an dem  
nicht rationalen ,dreieck #h1 #aj1 #ab4 
,es wird gefordert  sich dann den       
,inhalt zu verschaffen1 ausser der ,hhe4
 ,das gegebene  ,dreieck sei  und jede  

der 7,strecken7 1 1  sei gegeben3 den   
,inhalt zu finden4 ,es soll in das      
,dreieck der ,kreis  eingeschrieben     
sein1 dessen ,zentrum  ist1 und in die  
,verbindungslinie 1 1 1  gezogen werden 
444 ,es ist also das ,rechteck aus dem  
,umfang des ,dreiecks   und 1 dem       
,radius des ,kreises 1 das ,doppelte des
 ,dreiecks4   werde ausgezogen und  dem 
gleichgesetzt4 ,es ist also  die  ,hlfte
 des ,umfangs des ,dreiecks 444         
,folglich ist das ,rechteck aus   und   
gleich dem ,dreieck 4 ,das ,produkt aus 
und  ist die ,wurzel  7,pleura d4 h4    
,seite7 des ,quadrats von  und          
,quadrat2 also ist das  mit sich selbst 
multiplierte ,dreieck  gleich #b mal #b4
 ,es soll  einerseits zu  rechtwinklig 1
 andrerseits zu  rechtwinklig   gezogen 
worden sein1 und  mit  verbunden4 ,da   
nun ein ,rechter jeder  der ,winkel  und
  so ist  ein ,viereck im ,kreise ,satz 
vom  ,peripherienzirkel auf dem         
,halbkreis4 ,es sind folglich  77       
zweien ,rechten gleich4 ,es ist aber    

auch    gleich #b ,rechten  444 ,also   
ist  gleich 4 444 ,also ist das ,dreieck
  hnlich dem  ,dreieck 1 folglich  zu   
wie  zu  d4 h4 wie  zu  und  umgekehrt  
3  wie  3  wie  3  444 ,und durch       
,zusammensetzung   3  wie  3  so dass   
auch #b 3  4    4  3  4     4  3 #b4    
,denn im rechtwinkligen ,dreieck wurde  
vom rechten  das ,lot  gezogen4 ,daher  
wird #b 4 #b1 dessen ,wurzel der ,inhalt
  des ,dreiecks  war1 gleich  4  4  4   
sein d4 h4 also ,j#b   s7s - a77s - b77s
 - c74    ,die ,form des ,beweises ist  
von der ,euklids und ,archimedes nicht  
verschieden4 ,der ,beweis selbst sollte 
von allen ,lehrern gekannt sein4    ,der
 ,inhalt des ,dreiecks #h2 #aj2 #ab ist 
#aege1 ,heron bestimmt sie zu  #ci-a_/b 
#a_/h #a_/af d4 h4 #ci-aa_/af und das   
,quadrat weicht von #aege um noch  nicht
 #j1a ab4    ,es folgt die ,ausmessung  
des ,trapezes1 das von ,heron vielfach  
zu  ,aufgaben verwertet wird und        
neuerdings wieder als ,quelle hbscher   
,elementaraufgaben erkannt ist4 ,es     

werden dann die regelmssigen  ,polygone 
bis zum #ab;,eck inklusive einzeln      
ausgemessen1 im ,grunde  mit den        
,cotangenten von #ahj_/n1 die aber      
geometrisch und nicht  trigonometrisch  
abgeleitet werden1 was einerseits wieder
 an den ,skd  der gypter erinnert1      
andererseits fr das ,alter ,herons      
spricht4    ,heron geht dann zur        
,kreismessung und erwhnt1 dass          
,archimedes in einer  7bis dato7        
verlorenen ,schrift3     zwischen  die  
,grenzen #baahge 3 #fgdda und #aighhh 3 
#fbcea eingeschlossen habe1  d4 h4  bis 
etwa #a_/adjjj bestimmt hat4 ,es folgen 
dann ,formeln fr die  ,kreissegmente1   
,nherungsformeln fr ,bogen und ,flchen4 
,paul ,tannery  hat sie mit ,hilfe der  
,integralrechnung1 ,mem4 de ,bordeaux #b
 ,v4 ,s4 #cdg1  geprft und sie teilweise
 von erstaunlicher ,genauigkeit         
gefunden4 ,er  behandelt auch1 als      
,vorlufer von ,diophant 7s4 u47         
,quadratische  ,gleichungen rein        
arithmetisch1 er scheut sich nicht      

,kreisflche und  ,peripherie zu addieren
 und hat bereits fr die #d ,potenz den  
terminus  technicus  d4 h4              
biquadratisch4 ,zylinder- und           
,kegelmantel  berechnet er wie wir1     
durch ,aufrollen1 und fr die ,kugelflche
 hlt er  sich an ,archimedes4 ,wenn man 
die ,metrik liest1 hat man den          
,eindruck1  dass ,archimedes zur ,zeit  
des ,heron in voller1 alles andre       
berragenden  ,bedeutung gewesen sei und 
wird geneigt1 ,heron nicht mehr als zwei
  ,menschenalter nach ihm anzusetzen4   
,das #b4 ,buch ist der ,krpermessung    
gewidmet1 hier kommen die bei           
,archimedes erwhnten ,zitate aus dem    
vor1 leider ohne die  ,beweise4    ,den 
,schluss dieses zweiten ,buches habe ich
 einleitend bei gypten auf  ,s4 ,,xv    
angefhrt4 ,der #c4 ,teil enthlt ,flchen-
 und ,krperteilungen1 es  sind ,aufgaben
 die uns meist noch heute als           
,schleraufgaben gelufig  sind4 ,ich     
erwhne die ,aufgabe #ah3 ,einen ,kreis  
annhernd in drei gleiche  ,teile zu     

teilen4 ,es wird die ,seite des regulren
 ,dreiecks eingetragen1  durch das      
,zentrum die ,parallele gezogen1 so ist 
das ,segment    #a_/c4 ,da das ,stck1 um
 welches das ,segment  grsser ist als   
dieses1  7nmlich das ,drittel1 und nicht
 wie ,schne versehentlich bersetzt1  als
 sie71 unerheblich ist im ,verhltnis zum
 ganzen ,kreis4 ,der  ,schlusssatz      
besttigt1 dass ,archimedes im #b4 ,buch 
die ,kugel im gegebenen ,verhltnis      
geteilt hat4    ,wenn ich bei ,heron    
langer verweilt habe1 als ,ihnen        
vielleicht  wnschenswert erscheint1 so  
tat ich es einerseits weil ,heron hufig 
unterschtzt wurde und andrerseits weil  
er fr die ,geschichte der  ,kultur als  
,techniker sich wrdig ,euklid dem reinen
 ,geometer an die  ,seite stellt1 und   
unter anderen einer der ,riesen der     
,renaissance  ,leonardo da ,vinci die   
deutlichsten ,spuren seines ,wirkens    
zeigt4    ,sidenote3 ,theodosios1       
,sphrik4    ,ich erwhne kurz einige     
historisch wichtige ,namen4 ,ich nenne  

,theodosios1 mglicherweise aus einem    
,tripolis1 wahrscheinlich aus           
,bithynien1 den ,cantor als             
,zeitgenossen des ,geminos ansetzt1     
whrend  ,tannery in seiner ,untersuchung
 ber antike ,astronomie ihn als         
,zeitgenossen des ,hipparch und als     
,bithynier ansieht4 ,seine ,sphrik  in  
#c ,bchern ist eine reine ,geometrie auf
 der ,kugel1 und hat erst  im #ah4 und  
#ai4 ,jahrh4 ,nachfolger gefunden1 sie  
hat den ,inhalt von  ,euklids ,phnomenen
 aufgenommen4 ,e4 ,nizze hat sie #ahbf  
in ,stralsund  ins ,deutsche bertragen  
mit ,erluterungen und ,zustzen4 ,sie ist
  interessant insbesondere auch fr die  
,geometrie des ,riemannschen  endlichen 
,raumes4 ,nizze hat die ,sphrik dann    
#aheb in ,berlin griechisch  und        
lateinisch ediert1 nachdem ,a4 ,nokk    
darber ein ,programm #ahdg in  ,bruchsal
 geschrieben4 ,das griechische          
,originalwerk ist zuerst #aeeh  von     
,joh4 ,pena mit lateinischer bersetzung 
ediert4 ,schon im #aa4  ,jahrh4 wurde   

durch ,platon von ,tivoli 7nchst        
,gherard von ,cremona der  fleissigste  
bersetzer7 eine arabische ,bearbeitung  
der ,sphairika1 der  ,kugelschnitte     
durch ,ebenen1 ins ,lateinische         
bersetzt1 und #aeeh von  ,maurolycus    
desgleichen4 ,aus den vielen ,zustzen   
des oder der ,araber  erwhne ich3 wenn  
die gerade ,linie aus dem ,pole eines   
,kugelkreises  nach dessen ,umfange     
gleich ist der ,seite des in diesen     
,kreis  eingeschriebenen ,quadrats1 so  
ist der ,kreis selbst ein grsster       
,kreis4  ,es ist dies die ,umkehr des   
von ,theodosios ,i1 #af gegebenen       
,satzes4 --  ,eine tchtige1 kritische   
und sachliche ,arbeit ber die ,sphrik   
ist  das ,programm von ,a4 ,nokk4 ,die  
,arbeit des ,theodosios lsst sich noch  
heute ganz vortrefflich fr den          
,unterricht in der ,prima eines ,real-  
oder humanistischen ,gymnasiums         
verwerten4 ,nokk zeigt wie sich die     
,kenntnis der ,geometrie auf der ,kugel 
kontinuierlich von ,autolykos  ber      

,euklid zu ,theodosios und von da zu    
,ptolemaios entwickelt4 ,da  neben und  
vielleicht auch vor der ,feldmessung die
 ,astronomie die ,quelle  der           
,mathematik ist1 so war die ,geometrie  
auf der ,kugel schon frh eine           
,notwendigkeit4 ,und mit ,nokk und      
,nizze muss man ,theodosios1 wenn auch  
als keinen ,geometer ersten ,ranges1 so 
doch als einen sehr tchtigen  ,geometer 
zweiten ,ranges ansehen1 dessen ,schrift
 nach ,inhalt und ,form  auf die ,zeit  
des ,hipparch oder die nchstfolgende    
,generation hinweist4    ,sidenote3     
,geminos4    ,in gleiche ,zeit mit      
,theodosios setzt ,cantor ,geminus oder 
,geminos  774 ,mit ihm beginnt ,loria   
das silberne ,zeitalter der             
griechischen ,geometrie1 das ,zeitalter 
der ,commentatoren4 ,von dem  grossen   
,werk ,gino ,lorias ,le science esatte  
nell' antica ,grecia  standen mir leider
 nur die drei letzten ,bnde von #aijb   
zur ,verfgung1  und auch diese nur      
italienisch1 da bedauerlicherweise eine 

deutsche  bersetzung von dem ,werke     
dieses als ,mathematiker wie als        
,historiker  der ,mathematik gleich     
hervorragenden ,gelehrten noch nicht    
erschienen  ist4 ,proklos erwhnt den    
,geminos #ahmal1 7den ,platon #cimal74  
,besonders  wichtig ist #ch das grssere 
,zitat und #aab1 #bd2 #aac1 #bf4        
,demnach hat ,geminos hnlich wie in     
unseren ,tagen ,papperitz eine          
,einteilung der mathematischen          
,disziplinen gegeben1 ebenso eine       
,einteilung der ,kurven4    ,sidenote3  
,poseidonios4    ,sidenote3 ,stoa4      
,sidenote3 ,zenon4    ,sidenote3        
,chrysippos4    ,sidenote3 ,stoiker4    
,sidenote3 ,epikurer4    ,das ,citat    
#aab vindiziert dem ,geminos den        
,nachweis der ,verschiebbarkeit  des    
,kreises1 der ,geraden1 und der         
,schraubenlinie auf dem geraden         
,kreiszylinder und den ,satz3 wenn von  
einem ,punkt aus an zwei in sich        
verschiebbare 77 ,linien zwei ,geraden  
unter gleichen ,winkeln  gezogen werden1

 so sind sie gleich lang4 ,ich vermute  
aber1 dass diese  ,betrachtungen aus dem
 ,werke des ,apollonios ber die         
,schraubenlinie  auf dem ,zylinder      
herrhren4 ,in derselben ,schrift hat    
,geminos auch  nach ,proklos1 ,friedl4  
#aac1 ,z4 #d und #e die ,erzeugung der  
,spirischen  ,linien 7,schneckenlinien  
und ,wulstschnitte7 und der ,konchoden  
und  ,kissoden gelehrt4 ,besonderen     
,wert lege ich auf die ,stelle ,s4 #agf 
f41 dort erwhnt ,proklos1 dass          
,poseidnios1 gemeint kann nur der       
,rhodier sein1 die ,euklidische         
,definition3 ,parallelen sind           
,asymptoten1  dahin umgendert1 dass es  
,abstandslinien sind1 und ,geminos hat  
diese  ,auffassung akzeptiert4 ,dies    
scheint mir fr die ,datierung des       
,geminus entscheidend1 ,poseidnios war  
der ,lehrer des ,cicero1 um #ge und     
vermutlich auch des ,geminus1 so kann   
dieser nicht gut vor #gj angesetzt      
werden1 was ,cantor auch tut4 ,die      
,persnlichkeit des ,poseidnios1  der1   

obwohl aus ,apamea in ,syrien nach      
seinem ,wirkungsort meist der  ,rhodier 
genannt wird1 tritt im ,laufe des       
letzten ,dezenniums immer  mehr hervor2 
auch die ,philosophie der ,mathematik   
bei ,geminus stammt  vermutlich ihrem   
gedanklichen ,inhalt nach von ihm vergl4
 ,proklos #hj1  #bj f41 #adc1 #h f41    
#aii und #bjj4 ,und dass er auch mit    
,unterscheidungen  und ,einteilungen    
sich beschftigte1 zeigt ,proklos ,s4    
#agj4 ,aus #bjj  und besonders aus dem  
,exkurs zur ,konstruktion der           
,symmetrieaxe geht  hervor1 dass sich   
,poseidnios sehr eingehend gerade mit   
den ,elementen  der ,geometrie          
beschftigt hat4 ,dass ,poseidnios als   
,stoiker sich  besonders gegen ,epikur  
richtet ist erklrlich4 ,die ,stoa ist fr
 das  ,verstndnis des rmischen ,lebens  
der letzten ,zeit der ,republik und des 
,kaiserreichs von grsster ,bedeutung1 da
 sie aber fr die ,geschichte der        
,naturerkenntnis nur von geringem ,wert 
ist1 so will ich mich auf ganz  kurze   

,notizen beschrnken4 ,der ,grnder war   
,znon der in der bekannten  bunten      
,halle ,stoa ,poikile lehrte1 etwa um   
#cdj-cbe4 ,in engem ,anschluss  an die  
,cyniker1 an ,antisthenes und an seinen 
,lehrer ,krates hielt auch  ,znon       
,bedrfnislosigkeit fr die erste         
,bedingung zur ,glckseligkeit1  aber er 
enthielt sich alles ,cynismus4 ,auch er 
stellte die ,forderung  auf1 der ,natur 
zu gehorchen1 aber diese ,natur ist ihm 
das von der  ,vernunft gegebene ,gesetz4
 ,als das einzige ,gut gilt den         
,stoikern die  ,tugend und als diese die
 ,herrschaft der ,vernunft ber die      
,erregung der  ,seele4 ,nie darf der    
,weise sich hinreissen lassen ,lust oder
 ,schmerz zu  empfinden1 sein ,ideal ist
 etwa der ,zustand einer vlligen        
,apathie4  ,fhlt die ,vernunft1 dass sie
 der ,affekte nicht ,herr werden kann1  
so  hat sie das ,mittel durch           
,selbstmord die ,niederlage zu          
vermeiden4 ,so  soll ,zenon selbst in   
hohem ,alter durch ,selbstmord geendet  

haben4 ,der  ,gegensatz zu ,platon und  
,aristoteles in der lteren ,stoischen   
,schule  liegt hauptschlich in der      
,ausbildung des ,egoismus1 zu der die   
,lehre  notwendig fhren musste2 eine    
enthusiastische ,hingabe an den ,staat1 
an  die ,gottheit1 an die reine         
,erkenntnis verstiess gegen die         
,forderung  der ,affektlosigkeit4 ,das  
geistige ,haupt der lteren ,stoa        
,chrysippos  aus ,soloi in ,kilikien1   
der etwa um #bdj blhte1 hat die ,lehren 
des  ,zenon1 die er schon wesentlich in 
ihrer praktischen ,seite mssigte1       
streng wissenschaftlich verteidigt4 ,von
 seiner ausserordentlichen              
schriftstellerischen ,ttigkeit1 durch   
die er der ,stoa erst ihre  ,verbreitung
 gegeben nicht nur nach ,rom1 sondern   
auch nach ,alexandrien1  wo er selbst   
einen ,eratosthenes gewann1 sind uns nur
 wenige  ,bruchstcke durch ,plutarch    
erhalten4 ,die ,hauptquellen ber die    
,stoiker  sind ,diogenes ,laertios und  
,cicero 7,de ,officiis1 ,timaeus und vor

  allem de finibus74 ,ihre              
,hauptbedeutung liegt in ihrer ,ethik1  
die sie  als praktische ,wissenschaft   
systematisch erfassten4 ,die ,lehre des 
,chrysipp von den ,affekten war von der 
des ,spinoza in der ,ethik nicht        
wesentlich verschieden4 ,wenn ,chrysipp1
 das ,haupt der lteren ,stoa1 sich      
stark polemisch gegen den ,idealismus   
wandte1 so suchten die ,hupter der      
mittleren ,stoa1 ,panaitios und         
,poseidnios um so mehr zu vermitteln1   
sie sind die ,begrnder des besonders von
 ,cicero1 aber auch sonst  von der      
spteren rmischen ,zeit vertretenen      
,eklekticismus der ein  mixtum          
compositum so ziemlich aller ,schulen1  
vielleicht mit ,ausnahme  der ,skeptiker
 7vergl4 oben die ,sophisten7 war4      
,panaitios aus ,rhodos  der mit den     
vornehmsten ,rmern seiner ,zeit         
insbesondere mit ,llius  und dem jngeren
 ,scipio befreundet war1 trgt durch sein
 ,werk     ber das ,geziemende die      
moralische ,schuld an ,ciceros          

,officien4 ,panaitios und ,poseidnios1  
der bei ihm gehrt hat1 erhoben  schon   
die ,forderung die ,waffen nieder1 indem
 sie in dem 7,rmischen7  ,weltreich eine
 moralische ,forderung erblickten4      
brigens sehen wir aus  ,proklos1 dass   
,poseidnios scharf genug gegen die      
,epikurer geschrieben  hat4 ber ,epikur 
und die ,epikurer will ich mich kurz    
fassen1 sie  waren besser als ihr ,ruf1 
wenn sie es auch nicht liebten sich ber 
die  schwierigen ,probleme der          
,erkenntnistheorie die ,kpfe zu         
zerbrechen4  ,wenn sie auch im ,prinzip 
an die ,lustlehre des ,aristippos       
anknpften1  so war das ,ideal der ,lust 
des ,epikur und seiner ,genossenschaft  
nicht  die rohe ,sinnenlust1 sondern    
jene althellenische ,tugend der 1  der  
temperantia1 des ,masshaltens4 ,freilich
 mssen sie sich in praxi von  dieser    
temperantia ziemlich entfernt haben1 ich
 verweise auf ,horaz  ,epist4 ,i1 s4 u4 
besonders ,i1 ,,iv an den ,dichter      
,tibull3        ,me pinguem et nitidum  

bene curata cute vises1      ,cum videre
 voles ,epicuri de grege porcum4        
,wenn du fettglnzend mich mit           
wohlgepflegetem ,buchlein      ,sehen   
wirst1 willst du beschaun ein ,schwein  
,epicurischer ,herde4    ,sidenote3     
,stoiker4    ,die ,stoiker knpfen in    
ihrer ,physik ganz direkt an ,heraklit  
und  sein ,urfeuer an2 die neuere ,stoa1
 deren ,hauptvertreter ,epiktet1        
,seneca und der treffliche ,kaiser ,marc
 ,aurel waren1 knpften auch  in ihrer   
,ethik an ,heraklit und seine ,lehre von
 der ,vergnglichkeit  der ,dinge und an 
seinen ,pantheismus an1 fr die          
praktische ,moral und  die              
,weisheitslehre im engeren ,sinne gehen 
sie auf ,chrysipp zurck und  verwerfen  
den ,eklekticismus des ,panaitios und   
,poseidnios1 welche  die ,lehren der    
,stoa stark mit                         
platonisch-aristotelischen ,gedanken    
durchsetzt hatten4 ,poseidnios muss     
brigens dem stoischen ,ideal  des       
,weisen1 der vermge der ,hegemonie der  

,vernunft alles weiss1  fast vollstndig 
entsprochen haben1 er wusste so ziemlich
 alles1  was seinerzeit zu wissen war4  
,dass er nicht nur als ,philosoph der   
,mathematik bedeutend war1 sondern auch 
als ,astronom wissen wir aus            
,ptolemaios1 der durch seinen ,einfluss 
beim geozentrischen ,system stehen      
blieb1 er berechnete die ,entfernung der
 ,erde von der ,sonne richtiger  als    
,newton4 ,dass er auch als ,meteorologe 
bedeutend war1 wissen wir  durch eine   
,anzahl bei spteren ,schriftstellern    
mitgeteilter ,fragmente4  ,da ich fr    
,poseidnios nicht ber ,studien der      
,originale verfge1 so  verweise ich auf 
,w4 ,chapelle1 die ,schrift von der     
,welt  1  ,neue ,jahrb4 fr das klass4   
,altertum etc4 ,b4 ,,xv1 #aije p4 #ebi  
ff4 und  zitiere daraus3    ,sidenote3  
,poseidonios4    ,von der umfassenden   
,schriftstellerei des ,poseidonios ist  
uns kein ,werk  erhalten4 ,aber seine   
,nachwirkung in der griechischen und    
rmischen1  auch der altchristlichen     

,literatur ist einzig in ihrer ,art1    
seine  berragende ,bedeutung in ihrem   
,einfluss auf die ,folgezeit nur der des
  ,aristoteles vergleichbar4            
,sidenote3 ,jngere ,stoa1 ,marc ,aurel4 
,wie die ,stoiker an ,heraklit und sein 
,feuer fr ihre ,physik1 oder  wie es    
,aristoteles richtiger nennt1 fr ihre   
,physiologie anknpfen1  so tun sie das  
auch in ihrer ,metaphysik4 ,der ,logos  
des ,heraklit  ist die ,weltvernunft1   
das dem ,feuer als ,trger des           
,geschehens1 der  ,vernderung1          
gegenberstehende gemeinsame ewige       
,gesetz1 das besonders  auf ethischem   
,gebiet das ,werden bestimmt1 und eben  
dieselbe ,rolle hat  der ,logos bei den 
,stoikern4 ,ist ,heraklit kurz1         
aphoristisch dunkel1 so  verweilen die  
,stoiker sehr ausfhrlich bei dem        
,logosbegriff1 der dann  spter1 wenn    
auch stark modifiziert1 eine so grosse  
,rolle bei ,philon  7s4 u471 den        
,neuplatonikern und den christlichen    
,gnostikern spielt4  ,freilich wird1    

gemss eines stark materialistischen     
,zuges der ,stoa1  auch der ,logos      
materialisiert1 verkrperlicht1 und die  
weltgestaltende  ,kraft wird zum ,logos 
spermatikos1 zum ,weltsamen1 aus dem das
  ,welt-,lebewesen 7,zoon7 hervorwchst4 
,ganz an ,giordano ,bruno erinnert  die 
,stelle bei ,marc ,aurel1 dem           
philosophischen ,kaiser3 ,der ,kosmos   
ist  vorzustellen1 wie ein ,lebewesen1  
das im ununterbrochenen ,zusammenhang   
ein ,sein und eine ,seele hat4 --    ,um
 auf ,geminos zurckzukommen1 so ist von 
ihm noch ein astronomisches  ,lehrbuch  
erhalten1 ich werte es hher wie         
,cantor1 schon deswegen1 weil darin eine
 sehr klare ,schilderung des            
,sonnensystems des ,hipparch erhalten   
ist4    ,illustration    ,sidenote3     
,menelaos4    ,sidenote3 ,ptolemaios4   
,in die ,zeit des ,trajan1 also         
vielleicht noch vor ,geminos1 fllt      
,menelaos1 ,mathematiker und ,astronom2 
auch er1 wie ,heron1 aus  ,alexandria1  
aber durch ,ptolemaios steht fest1 dass 

er auch in  ,rom im ,jahre #ih          
observiert hat4 ,denn ,ptolemaios hat   
zwei seiner  ,fixsternbeobachtungen     
aufgenommen1 whrend es sehr             
wahrscheinlich ist1  dass er sehr viele 
und gewissenhafte ,beobachtungen von    
,fixsternen  ausgefhrt hat1 welche      
,ptolemaios fr seinen ,katalog          
zurechtgemacht  hat1 vgl4 ,a4 ,a4       
,bjrnbo1 ,enestrm #aija1 ,s4 #aif4      
,proklos teilt uns  ,s4 #cde den        
einfachen ,beweis des ,satzes mit3 der  
grsseren ,seite  liegt der grssere      
,winkel gegenber1 s4 ,heron1 welchen3   
4 ,menelaos muss also auch ber  die     
,stoicheia der ,geometrie geschrieben   
haben4 ,wenn  und  die  ,dreiecke sind  
und   1    und   1 so trage man  auf    
auf bis  und ,winkel  an  und mache     
gleich 1 so ist 7nach bc1  7   1 und    
gleich  gleich 1 somit im ,dreieck      
,seite     also   1 somit da            
gleichschenklig    als    also auch als 
4    ,das ,werk des ,menelaos ber die   
,geraden im ,kreise1 d4 h4 ber          

,sehnenberechnung oder doppelte         
,sinustafeln1 in #f ,bchern1 ist als    
selbstndiges ,werk verloren gegangen1   
weil es vermutlich ,aufnahme in  die    
,tafel des ,ptolemaios gefunden hat4    
,dagegen sind seine #c ,bcher  ,sphrik  
in arabischer und hebrischer bersetzung 
erhalten1 sie  stellen die lteste uns   
erhaltene sphrische ,trigonometrie dar4 
,die  ,sphrik enthielt die meisten      
elementaren ,stze ber das sphrische     
,dreieck1 und darunter auch den noch    
heute nach ,menelaos genannten ,satz    
ber die ,transversale im planen und     
sphrischen ,dreieck1 wonach die         
,produkte der ,wechselabschnitte bezw4  
deren ,sinus einander gleich sind4      
,chasles hat es als wahrscheinlich      
hingestellt1 dass der ,satz 7fr das     
plane ,dreieck7 schon in den ,porismaten
 des ,euklid gestanden habe4            
,ptolemaios hat aus diesem ,satz die    
sphrische ,trigonometrie mhelos         
abgeleitet4    ,sidenote3 ,almagest4    
,der ,zeit nach mssten wir an ,menelaos 

den ,arithmetiker ,nikomachos           
anschliessen1 aber sachlich fgt sich an 
ihn der weitaus bekannteste  und lange  
,zeit fr den bedeutendsten gehaltene    
,astronom ,klaudios  ,ptolemaios an4    
,nach einer aus ,arabischer ,quelle     
stammenden ,nachricht  des zuverlssigen 
,gherard von ,cremona stammt auch er aus
 ,alexandrien4  ,sein ,hauptwerk ist die
  1 die grosse ,zusammenstellung1  die  
,kodifikation der antiken ,astronomie1  
inkl4 der ,babylonischen1 das  wie heute
 etwa die ,theoria motus von ,gauss das 
wesentliche ,rstzeug  des ,astronomen   
bildete1 von den ,arabern schon unter   
,harun al ,raschid  und dann gut unter  
,al-,mamn von ,haggag 7siehe ,euklid7   
bersetzt1 und  gewhnlich mit            
latinisierter arabischer ,bezeichnung   
,almagest genannt4  ,mehr und mehr wird 
es klar1 dass das ,werk1 so bedeutsam es
 fr die  ,kulturgeschichte ist1 doch im 
grossen und ganzen tatschlich nur eine  
grosse ,zusammenstellung gewesen ist4   
,das ,ptolemische ,weltsystem hat  sich 

eigentlich bis ,kepler gehalten4 ,denn  
,kopernikus sah sich noch  wegen der    
,annahme der ,kreisbahnen gezwungen     
vielfach auf ,ptolemaios                
zurckzugreifen4 ,freilich ist das was   
,ptolemaios selbst ersonnen hat1  gewiss
 nicht sehr viel gewesen4 ,die          
,exzentrische ,sonnenbahn rhrt von      
,hipparch1 der ,epizykel von ,apollonios
 her1 der damit ,stillstand  und        
,rcklufigkeit der ,planeten 7s4 o47     
befriedigend erklrte4  ,ptolemaios      
kombinierte zur                         
,planetenbewegungstheorie die ,epizykel 
des  ,apollonios mit dem ,exzenter des  
,hipparch und liess die ,planeten sich  
gleichfrmig bewegen auf einem ,kreise1  
der in einem ,deferenzkreise  rollte1   
dessen ,zentrum sich in einem zur ,erde 
exzentrischen ,kreise  bewegte4 ,der    
,almagest ist im hchsten ,grade         
wertvoll1 einerseits durch  die         
systematische ,durchfhrung der          
mathematischen ,theorie fr die          
,himmelsbewegungen1 andrerseits durch   

die ,nachrichten ber die ,arbeiten  des 
,hipparch1 durch die vollstndige ebene  
,trigonometrie und die fast  vollstndige
 ,sphrische ,trigonometrie des          
rechtwinkligen ,dreiecks1 --  es fehlt  
nur die ,formel des ,djabir 7,geber7    
#aa4 ,jahrh43 cos   cos a  sin  und cot 
cot   cos b4 ,die ,ableitung des        
,additionstheorems fr  den 7doppelten7  
,sinus1 das ,verhltnis der ,sehne zum   
,radius1 grndete er  auf den nach ihm   
benannten ,satz vom ,kreisviereck fr den
 ,spezialfall1  dass die eine ,seite der
 ,durchmesser ist4 ,von meinem          
subjektiven  ,standpunkt aus gengt mir  
schon die ,tatsache1 dass der ,satz     
7,halma  #aac7 nach ,ptolemaios heisst1 
um dessen ,autorschaft zu verwerfen4 ,er
  wird vermutlich in des ,hipparchs     
,geraden im ,kreise gestanden haben4    
,auch als ,beobachter ist die ,wertung  
des ,ptolemaios in jngster ,zeit  stark 
herabgegangen1 vgl4 den zit4 ,aufsatz   
von ,bjrnbo ber die  fehlerhafte        
,beobachtung der ,przession und die     

tadelnswerte ,korrektion  der lteren    
,beobachtungen4 ,doch ist seine         
,entdeckung der ,przession  des ,mondes1
 der ,evektion1 nicht bestritten4 ,fr   
sein ,geographisches  ,werk war er      
jedenfalls auch dem ,poseidonios        
verschuldet1 dagegen ist  seine         
,katoptrik das bedeutendste was das     
,altertum auf diesem ,gebiet            
aufzuweisen hat4    ,sidenote3          
,parallelentheorie4    ,durch ,proklos  
p4 #aia wissen wir1 dass ,ptolemaios ein
 ,werk ber  ,parallelentheorie          
geschrieben hat1 es ist1 wenn nicht das 
erste1 so  doch eins der ersten aus der 
,bibliothek1 welche die #e4 ,forderung  
ins  ,leben gerufen hat4 ,der ,beweis   
des ,parallelenaxioms1 den ,proklos     
,friedl4  ,s4 #cfe-ff gibt1 ist von     
,proklos fehlerhaft kritisiert4 ,er ist 
nur in  der ,form mangelhaft1 man muss  
bedenken1 dass ,ptolemaios wie          
,poseidnios  die ,parallelen als        
,abstandslinien auffasst1 womit der     
zweite  ,kongruenzsatz 7a1 b1 c7 die    

,gleichheit des ,wechselwinkel ohne     
weiteres  gibt4 ,sein ,beweis ,s4 #cfb  
des vom ,parallelenaxiom unabhngigen    
,satzes3  wenn ein ,paar innerer ,winkel
 zwei ,rechte betrgt1 so sind die       
,linien  parallel ist leider noch immer 
in den deutschen ,lehrbchern blich1     
whrend von ,euklid ,i1 #bg so schlagend 
einfach mit ,i1 #af bewiesen wird4      
,sidenote3 ,nikomachos von ,gerasa4     
,wir kehren jetzt zur ,zeit des         
,menelaos zurck und wenden uns zu       
,nikomachos von ,gerasa1 vermutlich nahe
 bei der im alten ,testament  erwhnten  
,stadt ,bozra4 ,wir sehen hier recht    
deutlich1 wie genau die  ,entwicklung   
der ,mathematik mit den allgemeinen die 
,zeit beherrschenden  ,geistesstrmungen 
zusammenhngt4    ,um die ,zeit des      
,beginns der christlichen ra waren die  
tiefer  angelegten ,naturen der         
,nchternheit der ,stoischen und         
,epikureischen  ,lehren satt1 die sich  
im ,skeptizismus bis zum unvernnftigen  
,extrem  berschlagen hatten4 ,schon     

,aristoteles hat verglichen mit ,platon1
  den ich meiner ,auffassung des        
,grenzbegriffs gemss1 als die           
,vollendung  des ,pythagoreismus        
definieren knnte1 einen                 
rationalistischen  ,einschlag1 auf den  
sich die ,entwicklung der               
,naturwissenschaften und der            
angewandten ,mathematik aufbaute1 und in
 den genannten ,philosophischen         
,schulen trat das ideale ,element im    
,geistesleben der ,menschheit immer     
mehr in den ,hintergrund1 bis es von den
 ,skeptikern geradezu geleugnet  wurde4 
,gegen diese ,verflachung des           
,seelenlebens erhub sich nun in         
mchtiger ,reaktion der neubelebte       
,idealismus4 ,whrend die trostlosen     
realen1 die wirtschaftlichen und        
sozialen ,zustnde -- man denke nur  an  
den zum ,ding im rmischen ,recht        
gewordenen ,sklaven -- die grossen      
,massen des rmischen1 von ,prtoren und  
,prtorianern ausgesogenen  ,weltreichs  
fr die ,essischen ,lehren empfnglich    

machte und sich  das ,juden-,christentum
 infolge seines ,sozialismus rapide     
unter ihnen  verbreitete1 suchten die   
,gebildeten in der ,rckkehr zum         
,idealismus  der alten ,schulen1 der    
,pythagorer und des ,platons1 die       
,befriedigung1  welche sie im wirklichen
 ,leben und in der ,philosophie1 die    
sich den  faktischen ,zustnden angepasst
 hatte1 nicht fanden4    ,mit dem       
,pythagoreismus lebt zugleich das       
,interesse fr ,zahlentheorie1  fr       
,arithmetik und fr ,zahlenmystik1       
,zahlentheologie --    4 -- genannt1    
wieder auf1 und findet in ,nikomachos   
seinen wichtigsten ,vertreter4          
,sidenote3 ,nikomachos1 ,introductio4   
,die ,theologoumenen sind in dem        
flschlich ,nikomachos zugeschriebenen   
,sammelwerke nur fragmentarisch         
erhalten1 das #aedc in ,paris gedruckt  
ist4 ,weil das ,werk von usserster      
,seltenheit1 ich glaube nur in  einem   
,exemplar vorhanden1 und doch von       
hchster ,bedeutung fr den               

,pythagoreismus und die ,philosophie    
oder richtiger ,theologie der           
,neupythagorer ist1 hat ,fr4 ,ast1 der  
verdienstliche ,platoforscher1  es #ahag
 zugleich mit dem ,hauptwerk des        
,nikomachos1 der ,einfhrung in  die     
,arithmetik1  4 #ahag herausgegeben1 die
 #aech in  ,paris vom selben ,verlag    
ediert war und ebenfalls sehr selten    
geworden4  ,gesttzt auf einen neuen     
,codex aus ,zeitz hat dann #ahff ,r4    
,hoche die  ,eisagoge ediert1 hchst     
bedauerlicher- und schwer               
begreiflicherweise  ohne deutsche oder  
lateinische bersetzung4    ,das         
,verdienst1 die jetzigen ,mathematiker  
auf ,nikomachos hingewiesen  zu haben1  
hat sich ,g4 ,f4 ,h4 ,nesselmann in     
seiner trefflichen  ,algebra der        
,griechen ,berl4 #ahdb erworben1 der ihm
 #cd ,seiten des  knapp gehaltenen      
,buches widmete4 ,er hat mit ,recht     
hervorgehoben1 dass  die ,einfhrung in  
die ,arithmetik eine neue ,epoche der   
,mathematik  bezeichnet1 es ist eine    

wirkliche ,arithmetisierung der         
griechischen  ,mathematik welche nach   
,nesselmann vom #b4 ,jahrh4 n4 ,chr4 bis
 zum #ad4  ,maximus ,planudes gedauert  
hat4 ,wie bedeutend das ,werk des       
,nikomachos  den ,zeitgenossen erschien1
 erhellt daraus1 dass es schon im #b4   
,jahrh4  ins ,lateinische von ,apulejus 
aus ,madaura bersetzt ist1 eine ,schrift
  die fast spurlos verloren gegangen    
ist1 vermutlich weil sie durch die      
,bearbeitung des ,botius aus dem #f4    
,jahrh4 verdrngt ist4 ,apulejus  ist fr 
uns insofern von ,wert1 als er uns die  
reizende ,erzhlung  von ,amor und       
,psyche1 ein ,mrchen auf                
orientalisch-mythologischer  ,grundlage 
erhalten hat4 ,ob ,botius wirklich nach 
dem ,original oder  nach der            
,bearbeitung des ,apulejus gearbeitet1  
scheint mir trotz der  an den ,patrizier
 ,symmachos1 seinen ,erzieher1          
gerichteten ,einleitung  zweifelhaft4   
,botius hat auch die ,musikalische      
,theorie der ,pythagorer  ebenfalls nach

 ,nikomachos der die ,tonleiter bis zur 
zweiten  ,oktave ausgedehnt hatte1      
gegeben2 vergl4 ,g4 ,friedleins ,ausgabe
  der ,arithmetik1 der ,institutio      
musica nebst der sogen4 ,geometrie  des 
,botius1 dessen ,abacus 7,rechentisch7  
mit den ,apices1 den  ,staubziffern der 
,westaraber so viel ,staub aufgewirbelt 
hat4    ,die vom ,mathematischen        
,standpunkt aus minderwertige ,arbeit   
des ,botius  ist schulgeschichtlich von 
hchster ,bedeutung1 denn sie ist es     
gewesen1  welche dem arithmetischen     
,unterricht der ,klosterschulen zugrunde
 lag4    ,schon ,m4 ,cantor hat sich der
 ,ansicht des ,isidorus von ,sevilla1   
der  #fjj ,bischof von ,hispalis war und
 #fcf gestorben ist1 angeschlossen1 dass
  wir in der ,isagoge im wesentlichen   
das ,wissen der ,pythagorer und zwar    
der ,alt- und ,neupythagorer kodifiziert
 und systematisiert vor uns  haben1 und 
in diesem ,sinne wird ,nikomachos       
richtig als der ,euklid  der ,arithmetik
 gekennzeichnet4 ,der ,vergleich mit    

,philolaos und dem  oben zit4 ,werk des 
,theon von ,smyrna zeigt1 dass es der   
,gedankenkreis  der ,pythagorer ist1 der
 uns hier bermittelt wird1 wenn auch das
  ,material durch einen an ,archimedes  
und den anderen ,grossen gebildeten     
,mathematiker vermehrt ist4             
,sidenote3 ,nikomachos1 ,einleitung der 
,introductio4    ,die ,einleitung ist   
sowohl von ,nesselmann1 als von ,cantor 
und  ,loria bergangen und doch ist sie  
vielleicht das interessanteste4  ,ich   
werde sie an anderer ,stelle ganz geben1
 hier hebe ich aus ihr  hervor3 ,cap4   
,,iv1 ,hoche p4 #i2 die ,arithmetik1 ist
 dies die ,mutter der  anderen          
,wissenschaften nicht allein1 weil wir  
sagten1 dass sie in dem  ,intellekt des 
gttlichen ,knstlers den brigen          
vorangegangen sei1 wie  ein die ,welt   
ordnender und vorbildlicher ,plan1 auf  
den gesttzt der  ,werkmeister das ,ganze
 etwa wie auf eine ,vorlage und ein     
erstgeprgtes  ,vorbild das aus ,materie 
,geschaffene in schne ,ordnung brachte  

und  bewirkte1 dass es den richtigen    
,zweck erreichte1 sondern auch weil sie 
von ,natur den anderen vorangeht1       
insofern sie die andern aufhebt1 aber   
nicht von ihnen aufgehoben wird4        
7,archytas47    ,also eine in ,zahlen   
gegebene ,praestabilierte ,harmonie4 -- 
,ferner3  ,nikomachos unterscheidet     
,grssen und ,mengen1 ,cap4 ,,ii4 ,grssen
 sind  in einer ,vorstellung            
zusammengefasst 77 und kontinuierlich  7
 ein ,synonym fr 71 ,mengen sind diskret
  77 und in ,nebeneinanderstellung 747  
wie ein ,haufen4  ,dann fhrt er fort3 da
 die ,menge1 7,anzahl7 und die ,grsse   
ihrer ,natur  nach notwendigerweise     
unendlich ist1 7die ,menge von einer    
bestimmten  ,wurzel der ,eins ausgehend1
 lsst sich ins ,unendliche fortsetzen1  
die  ,grsse von einer bestimmten        
,ganzheit aus geteilt1 hat keinen       
letzten  ,teil und erstreckt sich       
dadurch ins ,unendliche7 die            
,wissenschaften aber  durchaus ,wissen  
vom ,endlichen und niemals vom          

,unendlichen sind1 so  ist wohl klar1   
dass es von der ,grsse und der ,menge   
schlechthin keine  ,wissenschaft geben  
wrde 7denn unbestimmt sind beide1 die   
,menge in  bezug auf ,vermehrung1 die   
,grsse in bezug auf ,verminderung7      
sondern nur  in bezug auf etwas von     
beiden ,abgegrenztes1 und zwar von der  
,menge als  begrenzter ,vielheit und von
 der ,grsse als begrenzter ,grsse4      
,hier sieht man1 wie klar das           
,kontinuittsproblem erfasst ist4        
,noch bemerke ich1 dass der so berhmte  
,ausdruck3 ,quadrivium1 fr die #d       
,wissenschaften ,arithmetik1 ,musik1    
,geometrie1 ,astronomie 7 ist  nicht1   
wie ,nesselmann sagt1 ,trigonometrie1   
sondern ,astronomie71 der  von ,botius  
aus das ,ideal hherer ,bildung          
bezeichnete1 eine wrtliche  bersetzung  
von ,kap4 ,,iv1 ,hoche #i    ist4       
,archytas1  ,harmonik4    ,es schliesst 
sich an die ,einleitung die ,definition 
der ,zahl an1 welche  wiederum zeigt1   
dass die ,dreiteilung des ,zahlbegriffs 

alt pythagoreisch  7platonisch7 ist4    
,die ,zahl ist entweder ,anzahl         
7,kardinalzahl1   7 oder ,ordnungszahl 7
 7 oder ,masszahl 7relative  ,zahl1     
der aus ,einheiten  zusammengesetzte    
,strom der ,wievielheit74    ,sidenote3 
,nikomachos1 ,introd4 ,buch #a4    ,das 
#a4 ,buch wiederholt nur von ,philolaos1
 ,euklid und ,eratosthenes  gegebenes1  
,kap4 ,,xiii wird das ,sieb des         
,eratosthenes beschrieben4 ,das         
,diagramm im ,codex von ,zeitz ist nicht
 nur eine ,primzahlen- sondern  zugleich
 eine ,faktorentabelle1 ,kap4 ,,xix1    
,hoche p4 #ea1 findet sich dann  das    
erste ,diagramm des kleinen ,einmaleins 
in der uns gelufigen ,form3             
----------------------------------------
-                                       
----------------------------------------
                                        
----------------------------------------
                                        
----------------------------------------
                                        

----------------------------------------
                                        
----------------------------------------
                                        
----------------------------------------
                                        
----------------------------------------
                                        
----------------------------------------
                                        
----------------------------------------
                                        
----------------------------------------
      ,sidenote3 ,nikomachos1 ,introd4  
,buch #b4    ,weit bedeutender ist das  
zweite ,buch1 es enthlt eine ganz       
achtbare  ,zahlentheorie auf            
altpythagoreischer ,grundlage1 wie sich 
,nikomachos1  man vgl4 ,a4 ,boeckhs     
,philolaos1 durchaus auch in seiner     
,philosophie  ganz eng an ,philolaos    
anschliesst4 ,zunchst kommen            
,betrachtungen ber  gewisse1 schon den  
,altpythagorern gelufige ,beziehungen   
zwischen  ,ketten von geometrischen     

,reihen desselben ,exponenten1 die im   
,kap4 #d  aber nichts ,geringeres       
enthalten als den ,binomischen ,satz1   
und zwar  im ,grunde nach demselben     
,bildungsgesetz1 welches im sog4        
,pascalschen  ,dreieck angewandt wird4  
,es folgt dann die ,lehre von den       
figurierten ,zahlen1 von denen die      
,dreieckszahlen 7n 9999ueber #b7 und die
 ,viereckszahlen1 die ,quadrate1  sowie 
die ,tetraederzahlen 7n 9999ueber #c7   
und ,wrfelzahlen1 ,kuben1  jedenfalls   
allbekannt waren4 ,aber die ,lehre von  
den figurierten ,zahlen  77 ist bei     
,nikomachos1 der an ,hypsikles einen    
,vorgnger  hatte1 sehr ausfhrlich       
behandelt1 und sie spielte1 man sehe das
 so  wichtige ,werk ,r4 ,baltzers1      
,elem4 d4 ,math41 von da ab bis in die  
,mitte des #ai4 ,jahrh4 eine grosse     
,rolle auch im ,elementarunterricht4    
,die p-te ,polygonalzahl ist von der    
,form n  7p - #b77n 9999ueber #b7 und   
der ,gnomon im ,heronschen ,sinne der   
von n auf 7n  #a7 berfhrt ist  #a  7p - 

#b7n2 die ,figur zeigt die #e-;,ecke der
 ,seiten #a1 #b1 #c1 #d1 #e4            
x-----x-----x-----x-----x               
_/                                      
_/                                      
_/                                      
x                               x       
_/                                      
_/        x-----x-----x-----x           
_/        _/                            
x        _/                             
x           _/        _/                
_/        x                         x   
_/        _/                            
x        _/        x-----x-----x        
x       _/        _/        _/          
_/        x        _/                   
x             _/        _/        _/    
x        _/        x                   x
                x            _/         
_/                                      
x        _/        x-----x              
x                   _/        _/        
x        _/                 x           
_/                                    x 

x                                  x    
,die n-te 7p  #a7-;,eckzahl ist gleich  
der n-ten p-,eckzahl vermehrt  um die 7n
 - #a7te ,dreieckszahl4 ,es handelt     
sich1 wie man sieht1 um  ,summation     
arithmetischer ,reihen erster ,ordnung4 
,interessant ist der  ,satz ,kap4 #bj3  
n#c  n7n - #a7  #bk - #a wo k von #a bis
 n geht4 ,nicht  minder interessant ist 
,kap4 #g1 wo die ,definitionen des      
,platon und  ,aristoteles ber ,punkt1   
,linie1 ,flche1 zwar vereinigt werden1  
aber  die ,platonische benutzt wird1 um 
aus dem ,ursprung der vorhergehenden    
die folgenden ,zahlen zu definieren2 die
 ,flchenzahl ist ,summe der             
7vorhergehenden7 ,linienzahlen1 bezw4   
,reihe von ihnen1 die ,krperzahl        
wiederum von ,flchenzahlen4             
,sidenote3 ,proportionenlehre4    ,mit  
,kapitel #ba beginnt dann die ganz      
ausfhrliche ,lehre von den              
,proportionen1 neu ist vielleicht die   
,lehre von der vollkommensten1 der      
musikalischen a 3 7a  b7_/#b  #b;ab_/7a 

b7 3 b z4 ,b4 #f_/i  #h_/ab welche      
,pythagoras1 wie ,jamblichos sagt1 aus  
,babylon nach ,griechenland  gebracht   
hat4 ,mit ,unrecht tadelt ,nesselmann   
die ,definition des  ,verhltnis bei     
,nikomachos2 sie heisst3 ,verhltnis 71  
ratio7 ist  das gegenseitige            
,enthaltensein zweier bestimmter        
,grssen1 denn   ist bei ,nikomachos und 
allgemein der technische ,ausdruck fr   
die     fr die ,messung der einen durch 
die andere4    ,aus dem ,rsum           
,nesselmanns hebe ich ,no4 #a hervor3   
,bei ,nikomachos  erscheint die         
,arithmetik zum ersten ,mal frei von den
 ,fesseln  geometrischer ,vorstellungen1
 mit denen sie bei ,euklides noch       
behaftet  ist4 7,aber kaum mehr bei     
,heron47    ,sidenote3 ,theon4    ,auch 
,nikomachos teilt die altpythagorische  
,ansicht1 dass die  unzerlegbare ,eins  
keine ,zahl sei4 ,diese ,ansicht hat    
sich von ,botius  bis in die            
,rechenbcher des #ah4 ,jahrh4 gehalten1 
wenn ,nikomachos sie  auch nicht so klar

 ausgesprochen hat1 wie der vielleicht  
etwas ltere  ,astronom ,theon von       
,smyrna in seinem schon mehrfach        
erwhnten ,werk           2  was man an  
,mathematischem wissen muss1 um ,platon 
zu verstehen4  ,erhalten sind grosse    
,fragmente der ,arithmetik1 der ,musik1 
d4 h4 der  theoretischen ,lehre von den 
,intervallen und dem ,kontrapunkt1 sowie
 der  ,astronomie1 #ahib von ,j4 ,dupuis
 ,griechisch und ,franzsisch ediert4    
,in der ,astronomie hngt er von dem     
,peripatetiker ,adrastos ab1 der u4 a4  
einen ,kommentar zum ,timaios verfasst  
hat4 ,erwhnung verdient ,theon nur1     
weil sich bei ihm die                   
,kettenbruchentwicklung der #b findet1  
die sich  auch mit einer ,nikomachischen
 ,formel berhrt1 die selbst wieder      
seltsam  an f7x  #b;dx7  f7x7  #b;f7x7dx
  f7x7dx#b erinnert1 die ihrerseits     
wieder den ,keim zu einer elementaren1  
wenn auch nicht strengen  ,ableitung der
 ,taylorschen ,reihe birgt4 ,einen ,weg 
der weder fr ,theon  noch einen andern  

,pythagorer gangbar war1 der aber       
geistvoll ist1 hat  der ,norweger ,t4   
,bergh1 ,schlm-,cantor #ca1 ,s4 #ace    
angegeben4 ,geht man  von einem         
gleichschenklig rechtwinkligen ,dreieck 
aus1 dessen ,katheten  n-#a und n-#a    
sind und verlngert beide ,katheten um   
n-#a und  verbindet die freien          
,endpunkte1 so ist n  n-#a  n-#a und  dn
  #bn-#a  n-#a und dies sind die        
,prkursionsformeln fr die               
,nherungswerte des ,kettenbruchs #b     
7#ab71 wenn man #a  #a  #a  setzen knnte
 wie ,theon tut4 ,viel wahrscheinlicher 
ist es1 dass wir es  hier mit altem ,gut
 der ,pythagorer zu tun haben1 bezw4 der
 ,platoniker  und dass sie nach         
,auflsung der ,diophantischen ,gleichung
 x#b  y#b   z#b sich an die ,gleichung  
x#b - #by#b  #a gemacht haben4          
,sidenote3 ,jamblichos1 ,thymaridas4    
,ich schliesse hier gleich ,jamblichos  
geboren etwa #ccj in ,chalkis in        
,coelesyrien an1 der als ,philosoph der 
,stifter der sogen4 ,syrischen  ,abart  

des ,neupythagoreismus oder             
,neuplatonismus ist1 und der ein        
grosses ,werk in #aj ,bchern    1       
,sammlung  der ,pythagorischen ,lehren1 
geschrieben1 deren erstes ,buch der     
,roman3  das ,leben des ,pythagoras1 ist
 und deren #d4 ,buch die ,erluterungen  
zu ,nikomachos ,arithmetik wichtig ist1 
erstens fr das ,verstndnis  des         
,nikomachos und zweitens weil darin     
beilufig das ,epanthema  d4 h4 ,blte des
 ,thymaridas berliefert wird1           
mglicherweise eines  ,altpythagorers1   
obwohl der ,name ,blte indische         
,reminiscenzen  weckt1 wo poetische und 
phantastische ,bezeichnungen gang und   
gbe  waren1 und ferner das gnzliche     
,fehlen jeder geometrischen ,einkleidung
  auf eine erheblich d4 h4 mindestens #c
 bis #d ,jahrhunderte sptere ,zeit      
weisen4 ,die ,regel selbst ist von      
,nesselmann1 trotz des schlechten       
,textes und der schlechten bersetzung   
des ,tenulius der #affh den  ,kommentar 
ediert hat1 vllig richtig gestellt ,sind

 x y,i y,,ii  y,,iii y,,iv etc4 eine    
,anzahl unbestimmter 7,grssen71   und   
ist x   yk  a d4 h4 bestimmt 771 und x  
yk   bk1 so ist x  7 7bk - ak77_/7n -   
#a74 ,das von mir mehrfach als  ,gesetz 
fr ,datierungen angefhrte ,prinzip auf  
den ganzen gedanklichen  ,zusammenhang  
zu sehen1 bestimmt mich auch den        
,thymaridas in die ,zeit  der           
,arithmetisierung der ,mathematik zu    
setzen4 ,von eigener ,mathematik  des   
,jamblichos wren etwa die ,stze n#b  n  
#b7a  #b  444 n - #a7  zu erwhnen4 ,eine
 moderne1 philologische ,ausgabe des    
,kommentars ist  #ahid von ,i4 ,pistelli
 gemacht worden1 den als arithmetisches 
,werk  ,nesselmann sehr ausfhrlich ,s4  
#bcf-bdb behandelt hat4    ,sidenote3   
,plotin4    ,auch die ,philosophie des  
,jamblichos1 obwohl ihn ,proklos im     
,kommentar  zum ,timaios den ,gttlichen 
nennt und obwohl der ,kaiser ,julianus  
,apostata fr ihn schwrmte1 ist nur eine 
phantastische und vielleicht            
absichtlich unklar gehaltene ,ausfhrung 

der ,lehren des ,porphyrios oder        
vielmehr des ,plotin1 interessant wre es
 allerdings1 den babylonischen  und     
besonders den indischen ,einflssen bei  
,jamblichos nachzugehen1  z4 ,b4 fr die 
,rolle1 welche ,opfer und ,gebet in     
seiner ,lehre spielen4  ,plotin den man 
vielleicht statt ,neuplatoniker den     
neuen ,platon  nennen knnte1 ist das    
geistige ,haupt der ,schule und durch   
seinen  ,einfluss auf ,augustinus1 den  
grossen kirchlichen ,neuplatoniker1 den 
,plotins ,lehre vom ,snder zum ,heiligen
 wandelte1 kulturgeschichtlich  von     
grsster ,bedeutung1 und ich bedaure     
aufrichtig m4 ,h41 dass ich fr  ,plotin 
zur ,zeit nicht ber ,quellenstudien     
verfge4 ,plotin war aber auch           
mathematisch gebildet und gab in ,rom   
mathematischen ,unterricht1 und         
,augustins ungeheurem ,einfluss auf die 
,abendlndische ,kirche wenigstens  von  
#djj-abjj danken wir die                
,bercksichtigung der ,arithmetik als    
,wissenschaft in den ,kathedralschulen4 

,plotin ist #bjb oder #bje in ,lykopolis
 in gypten 7,siwet  ,assiut7  geboren1  
seine philosophische ,bildung hat er in 
,alexandrien erhalten1  dem ,brennpunkt 
des wissenschaftlichen ,lebens in der   
,schlussperiode der  antiken ,welt4     
,dort weilte er vom #ah4 bis #bh4       
,lebensjahre als ,schler  des           
,neuplatonikers ,ammonios1 ,saccas1 d4  
h4 der ,lasttrger genannt4  ,dieser hat 
wie es scheint nichts geschrieben1 aber 
wie bedeutend er  war1 zeigen seine     
,schler1 ,longin1 ,origenes und ,plotin1
 der von allen  anderen ,lehrern        
unbefriedigt1 zehn ,jahre in seiner     
,schule blieb4    ,sidenote3 ,philon von
 ,alexandria4    ,mehr noch als dem     
,ammonios verdankte ,plotin den         
,schriften ,philons4  ,philon1 etwa von 
#bh v4 ,chr4 bis #ej n4 ,chr4 war zwar  
usserlich strenger  ,israelit1 aber er  
hatte in die heiligen ,schriften des    
,judentums eine  ,symbolik              
hineininterpretiert1 welche seiner      
eigenen ,philosophie  oder richtiger    

,religion entsprach4 ,unter dem         
,einfluss stoischer  7,heraklitischer7  
essischer und christlicher ,lehren1 kann
 man die seine  als eine ,lehre von der 
,zweieinigkeit ,gottes und des ,logos1  
der zugleich  ,heiliger ,geist und      
,gottes ,sohn1 bezeichnen4 ,die         
,symbolische ,deutung  der heiligen     
,schriften1 welche sich im gewissen     
,sinne schon bei ,platon  und           
,aristoteles und ihren ,schlern findet1 
die den ,konflikt mit der               
,volksreligion vermeiden wollten1 hat   
sich von ,philon ab bis heute in  der   
,theologie erhalten4 ,von ,philon hat   
,plotin die ,askese und die  ,ekstase1  
d4 i4 die ,vereinigung mit ,gott oder   
,erfassung 77 ,gottes4  ,dieses         
,gottwerden der ,menschen durch         
,kasteiung1 ,gebet und ,busse1 weist    
wiederum nach ,indien1 wo solche        
gottgewordene ,menschen noch heute      
verehrt werden4 ,und auch in der        
,allgemeinheit und damit ,leerheit des  
eigentlichen ,gottesbegriffs wurzelt    

,plotin in ,philon4    ,sidenote3       
,plotin4    ,um #bdc nahm ,plotin an dem
 ,feldzug ,gordian ,,iii4 gegen die     
,parther  teil1 wozu ihn das ,interesse 
an der persischen ,religion1 an dem was 
,zarathustra sprach1 antrieb4 ,in der   
,askese und ,ekstase und auch in dem    
,dualismus zwischen ,ormuz und ,ahriman 
fanden sich enge ,beziehungen zu  seinen
 eigenen ,gedanken4 ,nach dem           
unglcklichen ,ausgang des ,feldzugs     
ging er nach ,rom1 und er muss schon    
damals berhmt gewesen sein1 da er  in   
der ,weltstadt zahlreichen ,zulauf fand 
und den ,kaiser ,galienus selbst  zu    
seinen ,schlern zhlte4 ,in ,rom lehrte  
er von #bdd-bfh1 dann zog er  sich      
schwer leidend auf ein ,landgut bei     
,minturnae in ,campanien zurck1  wo sich
 seine ,seele aus ihrem ,krper befreite4
 ,die ,vorlesungsnotizen1  welche       
,plotin etwa mit #fj ,jahren            
niedergeschrieben1 wurden in seinem     
,auftrag von seinem ,lieblingsschler    
,porphyrios redigiert und in #f         

,enneaden d4 h4 in #f ,bchern zu #i     
,abschnitten herausgegeben4    ,der     
wesentliche ,unterschied zwischen       
,plotin und ,platon liegt in der        
,ideenlehre4 ,die ,ideen1 die bei       
,platon aus der ,erfahrung der          
,einzelnen  abstrahierte grundlegende   
,konzeptionen der gesamten ,vernunft der
  ,menschheit sind1 welche als solche   
ewige ,dauer und regulative ,kraft      
besitzen1 werden zu ,ideen oder         
,gedanken a priori der von der ,gottheit
  ausstrahlenden ,vernunft1 des ,logos  
bei ,philo1 des ,nos 77 bei  ,plotin4   
,die ,emanation stellt sich ,plotin etwa
 vor1 wie wir die  ,radiumemanationen4  
,die ,gottheit selbst bleibt unbewegt   
und ohne ,teilnahme1 an dem was sie     
ausstrahlt1 sie ist das ,eine           
schlechtweg1 das   der ,pythagorer  und 
steht so hoch ber uns1 dass wir         
eigentlich gar nichts von ihr  aussagen 
knnen als jene ,ausstrahlung4 ,bei den  
spteren ,neuplatonikern1  insbesondere  
bei ,proklos ist der ,begriff der       

,gottheit so leer geworden1  dass er    
besser als mit der ,eins mit der ,null  
verglichen werden knnte4  ,der ,nos     
selbst aber zeigt schon eine            
,entzweiung1 eine ,trennung in          
,denkkraft und ,gedanken4 ,abbild und   
,erzeugung des ,nos1 der von ,gott      
emanierenden ,weltvernunft1 ist die     
,psyche und sie1 die ,seele1 erzeugt1   
mittelst des ,substrats der ,materie1   
der ,hyle1 die sie durchdringt  wie etwa
 das ,licht ein ,medium1 die ,krperwelt1
 an deren ,leiden oder  richtiger       
,reizungen die wahrnehmende ,empfindung 
eigentlich keinen  ,anteil hat4 ,da die 
,psyche ,funktion der ,vernunft und     
diese wieder  ,funktion ,gottes ist1 so 
ist es dem ,menschen gegeben nach       
hnlichkeit  mit ,gott zu streben und    
darin liegt die ,tugend4 ,ja durch      
,abtten des  ,sinnlichen und vlliges    
,versenken in die religise ,betrachtung 
des  ,einen kann es gelingen zur        
,ekstase1 d4 h4 zur ,vereinigung mit    
,gott zu  kommen und in diesem ,zustand 

war ,plotin nach ,angabe des ,porphyrios
  viermal4 ,die spteren ,neuplatoniker1 
wie ,apollonios von ,thyana und         
,jamblichos1 knpften an diesen ,zustand1
 der etwa dem entspricht1  was die      
heutigen ,mystiker ,trans nennen an1 um 
die ,mglichkeit des  ,prophezeiens und  
der ,wundertaten zu begrnden4    ,ich   
mchte noch hervorheben1 dass die ,quelle
 der ,schopenhauerschen  sthetik        
eigentlich bei ,plotin liegt4 ,nach     
jenem liegt das ,wesen  der ,kunst in   
der intuitiven ,erfassung der im ,objekt
 zur ,erscheinung  kommenden ,idee1 d4  
h4 der bestimmten ,abstufung des        
,willens an sich1  losgelst von jeder   
,beziehung auf das individuelle         
erkennende ,subjekt1  und der ,wert der 
knstlerischen ,betrachtung darin1 dass  
das ,ixionsrad  des eigenen ,wollens    
stille steht und wir vor dem ,schnen und
 durch  das ,schne zum reinen           
willenlosen ,subjekte der ,erkenntnis   
werden4  ,plotin sagt1 ,enneade ,v1 #ha3
 ,nicht in der blossen ,symmetrie1      

sondern  in der ,herrschaft des ,hohen  
ber das ,niedere1 der ,ideen ber den    
,stoff1 der ,seele ber den ,leib1 der   
,vernunft und des ,guten ber die        
,seele1 liegt das ,wesen der ,schnheit4 
,sidenote3 ,porphyrios4    ,porphyrios  
hat bei ,plotin auch ,mathematik        
gelernt1 er wird von  ,proklos des      
fteren erwhnt1 ich fhre ,s4 #caa den    
,beweis von ,i #ah  an3 ,der grsseren   
,seite liegt der grssere ,winkel        
gegenber1 den ich  unsern ,schulen      
wieder gewinnen mchte3 ,wenn  das       
,dreieck und    1 so mache man  mit     
gleich 1 dann ist  gleichschenklig und  
,winkel      und  noch kleiner als  nach
 ,i1 #af1 dem ,satz vom  ,aussenwinkel4 
,sidenote3 ,diophant4    ,den ,schluss  
und zugleich den ,gipfel der            
,hellenistischen  ,arithmetisierung der 
,mathematik bildet ,diophantos von      
,alexandrien4    ,seine  bedeuten den   
durch eine weite ,kluft von allem       
anderen  getrennten ,hhepunkt dessen1   
was die ,griechen auf arithmetischem    

,gebiet  geleistet haben4 ,sein ,werk   
ist so einzigartig1 dass es keineswegs  
ausgeschlossen ist1 dass ,indische und  
,babylonische ,einflsse wirksam  gewesen
 sind4 ,seine ,lebenszeit ist           
wahrscheinlich das ,ende des #d4        
,jahrhunderts nach ,christi1 wie        
,nesselmann l4 c4 festgestellt hat4     
,dass ,pappos ihn nicht erwhnt1 kann ich
 mir nur dadurch erklren1 dass  er nach 
,pappos geschrieben4 ,alles was wir von 
ihm wissen1 steht im  ,epigramm #ai der 
von ,maximus ,planudes1 einem           
byzantinischen ,mnch1 aus  lteren       
,exzerpten gesammelten ,anthologie3     
,hier das ,grabmal deckt ,diophant1 ein 
,wunder zu schauen1      ,durch         
arithmetische ,kunst lehrt sein ,alter  
der ,stein4      ,knabe zu sein gewhrte 
ein ,gott ihm ein ,sechstel des ,lebens2
      ,noch ein ,zwlftel dazu1 spross   
auf der ,wange der ,bart4      ,und ein 
,siebentel mehr1 sieh ,hymens ,fackel   
entbrannte1      ,fnf der ,jahre        
darnach1 teilt er ein ,shnlein ihm zu4  

,ach unglckliches ,kind6 ,halb hatte das
 ,alter des ,vaters      ,es erreicht1  
da nahm's ,hades der ,schaurige auf4    
,noch vier ,jahre ertrug er den         
,schmerz1 der ,wissenschaft lebend1     
,und nun knde das ,ziel1 welches er     
selber erreicht4    ,also mit #cc       
,jahren verheiratet und mit #hd         
gestorben4    ,sidenote3 ,fermatsche    
,satz4    ,so berhmt ,diophant als      
,arithmetiker heute ist1 so wenig wurde 
sein  ,werk von den ,griechen der       
folgenden ,zeit verstanden1 nur ganz    
wenige  und verstmmelte ,handschriften  
seines ,werkes sind erhalten1 alle1     
auch die jngst gefundenen vom selben    
,archetyp stammend4 ,ein einziger       
,grieche1 der schon genannte ,maximus   
,planudes1 der in der ersten  ,hlfte des
 ,,xiv4 ,jahrh4 lebte1 hat ,scholien zu 
den beiden ersten  ,bchern geschrieben4 
,dagegen haben sich die ,araber         
verhltnismssig  frh des ,diophant       
bemchtigt und kein geringerer als ,abul 
,wafa1 der  die ,mondvariation          

festgestellt hat1 bersetzte die ,schrift
 gegen ,ende  des #aj4 ,jahrh4 ,das     
bisher noch nicht aufgefundene ,werk    
findet sich  vielleicht auch noch in    
,leyden4 ,in ,europa hat zuerst         
,regiomontan1  decus ,germaniae1 wie ihn
 ,petrus ,ramus nennt1 #adfd zu ,venedig
 einen  ,diophant-,codex gesehen4 ,die  
erste zwar mangelhafte1 aber vollstndige
  bersetzung ins ,lateinische           
verffentlichte #aege ,wilhelm ,xylander 
oder ,holzmann zu ,augsburg1 sie ist    
eine bibliographische ,raritt4 ,die     
erste ,textausgabe mit lateinischer     
,version und vielen ,zustzen und        
,erluterungen rhrt von ,gaspard ,bachet1
 sieur de ,mziriac her1  -- ,paris      
#afbb1 der durch seine ,problmes        
plaisants et dlectables  7#afab7 so     
bekannt ist4 ,eine zweite ,ausgabe von  
,bachets ,arbeit  veranstaltete ,s4     
,fermat2 die ,ausgabe ist an sich sehr  
mangelhaft1  aber sie enthlt die        
berhmten ,randbemerkungen seines ,vaters
 ,pierre  ,fermat1 ,frankreichs grssten 

,mathematikers1 darunter den berhmten   
,fermatschen ,satz3 ,die ,gleichung xn  
yn  zn ist wenn n  #b  nicht in ganzen  
7rationalen7 ,zahlen lsbar4 ,diese      
,anmerkungen haben  die moderne         
,zahlentheorie1 die ,arithmetica        
sublimior wie ,gauss sie  nannte1       
geschaffen4 ,eine neue sehr sorgfltig   
redigierte ,ausgabe  ist von ,p4        
,tannery #ahic geschaffen4 ,g4 ,wertheim
 hat #ahij eine  tadellose deutsche     
bersetzung der ,arithmetik und der      
,schrift ber  ,polygonalzahlen des      
,diophant und der ,anmerkungen ,fermats 
gegeben4    ,von den #ac ,bchern1 welche
 ,diophant selbst in dem                
,einleitungsschreiben  an einen gewissen
 ,dionysios erwhnt1 sind uns in den     
,handschriften  nur #f erhalten1 aber   
die allgemeine ,ansicht geht dahin1 dass
 das  ,verlorene sich im wesentlichen   
nur auf die ,behandlung der gemischt    
quadratischen ,gleichungen bezogen habe 
und wissenschaftlich der  ,verlust zu   
verschmerzen4 ,dagegen scheint der      

,verlust eines andern  ,werkes der      
,porismata 7vergl4 ,euklid7 schwerer zu 
wiegen1 wenigstens  nach dem ,satz zu   
urteilen1 den ,diophant selbst zitiert3 
die ,differenz  zweier 7rat47           
,kubikzahlen 7a und b7 ist stets die    
,summe zweier 7rat47  ,kubikzahlen4 ,von
 ,vieta gelst3 x  a7a#c - #b;b#c7_/7;a#c
  b#c72 y   b7#b;a#c - b#c7_/7;a#c      
b#c74    ,das erste was wir aus den     
,arithmetica hervorheben1 ist dass bis  
auf  eine einzige vermutlich            
eingeschobene ,aufgabe ,v1 #ac1         
,wertheim ,s4 #bji  niemals die ,zahlen 
seiner ,aufgaben durch ,linien oder     
sonst geometrisch  versinnlicht sind4   
,er spricht zwar oft von rechtwinkligen 
,dreiecken1  aber er meint stets drei   
,zahlen a1 b1 c1 welche der ,gleichung  
a#b  b#b   c#b gengen4 ,zweitens gehen  
auf ,diophant die nach ihm genannten    
,aufgaben der unbestimmten ,analytik    
zurck1 obwohl eine diophantische        
,gleichung in unserem ,sinne bei ihm    
nicht vorkommt4 ,erst ,bachet  hat die  

,gleichung ax  by  c allgemein in ganzen
 ,zahlen aufgelst4  ,diophant begngt    
sich mit rationalen ,zahlen und was die 
,hauptsache1  er gibt immer nur eine    
,lsung4 ,das was speziell an indischen  
,einfluss  denken lsst1 liegt erstens in
 der ,systemlosigkeit und zweitens      
darin1  dass eigentlich1 wenn man vom   
ersten ,buch absieht1 der ,lehre von den
  gewhnlichen ,gleichungen ersten       
,grades1 nirgends allgemeine ,methoden  
vorkommen1 sondern jede ,aufgabe durch  
eigene oft sehr merkwrdige  ,kunstgriffe
 gelst wird4 ,oft ist die ,aufgabe      
allgemein gefasst und wird  durch       
willkrliche ,annahmen eingeschrnkt4     
,ganz eigenartig ist auch die           
,bezeichnung bei ,diophant2 vergl4      
,nesselmann l4 c4 ,kap4 #g4 ,fr die     
,unbekannte die bei ihm  die  ,zahl     
heisst1 hat er ein ,zeichen  oder auch 1
 das man frher fr das  ,schlusssigma    
hielt4 ,t4 ,l4 ,heath1 ,diophantos of   
,alex4 ,cambr4 #ahhe hat  mit guten     
,grnden behauptet1 dass es die          

,abbreviatur von  ist4  ,das ,quadrat   
der ,unbekannten1 unser x#b heisst wie  
gewhnlich 1  ,zeichen 2 x#c desgleichen 
1 ,zeichen 1 x#d bei ihm wie  durch die 
,metrika nachgewiesen bei ,heron3       
,biquadrat  1 x#e  1 x#f 1 4 ,bestimmte 
,zahlen  77 heissen 1 ,zeichen 1 zum    
,unterschiede von den   den zunchst     
unbestimmten1 also wie bei ,jamblichos1 
#a_/x heisst  2 #a_/x#b  u4 s4 f4       
,kein ,zeichen bedeutet die ,addition1  
welche damals also noch als  die        
,hauptoperation galt1 sie heisst 2 die  
,subtraktion heisst  1 ,zeichen ein     
umgekehrtes  also 9999symbol oder 4 ,bei
  7x - a77x - b7 findet sich die ,regel3
 ,minus  ,minus ist plus 74 ist  71 doch
 schliesst ,diophant negative ,zahlen   
wie auch irrationale  ,zahlen           
prinzipiell aus4 ,cantor sagt mit       
,recht1 dass sich bei ,diophant  schon  
eine hoch entwickelte                   
,buchstabenrechnung findet4 ,immerhin   
ist ihr  die ,vieta'sche sehr berlegen4 
,ich gebe nach ,cantor die ,gleichung   

#ajx  #cj  #aax  #ae4                   
7,unbekannte  nun zehn und ,einheiten   
#cj sind gleich ,unbekannten #aa und    
,einheiten  #ae47 ,m4 ,h4 ,cantor hat   
wiederum recht1 wenn er sagt dies ist   
eine  ,stenographie aber noch keine     
,symbolik4    ,die ,gleichheit wird     
brigens oft nur durch  ausgedrckt4      
,sidenote3 ,diophant1 ,beispiele4       
,als ,beispiel ,n4 #a gebe ich ,ihnen   
,i1 #i ,werth4 #ae4 ,von zwei gegebenen 
,zahlen eine und dieselbe ,zahl zu      
subtrahieren1 so dass die erhaltenen    
,reste in einem gegebenen ,verhltnis    
stehen4    ,es muss jedoch dieses       
,verhltnis grsser sein als das in       
welchem die  grssere der beiden         
gegebenen ,zahlen zur kleineren steht4  
,die ,bedingung ist ntig damit x  #j    
wird4    ,es soll z4 ,b4 von #bj und    
#ajj dieselbe ,zahl abgezogen werden und
 so  gewhlt werden1 dass der grssere    
,rest das #f;fache des kleineren ist4   
#ajj - x1 #bj - x die ,reste1 #abj - #fx
  #ajj - x die ,gleichung4    ,wird die 

abzuziehende ,grsse auf beiden ,seiten  
addiert und sodann  ,gleiches vom       
,gleichen subtrahiert1 so erhlt man #ex 
#bj1 x  #d4    ,es folgt die ,probe1 man
 kann wohl sagen bedauerlicherweise4    
,beispiel #b3 ,i1 #cb1 ,w4 #cg4 ,zwei so
 beschaffene ,zahlen zu finden1 dass    
ihre ,summe #bj und die ,differenz ihrer
 ,quadrate #hj1 7auch diese ,aufgabe    
ist allgemein gestellt und wird am      
,beispiel allgemein gelst74    ,wir     
setzen die ,differenz beider ,zahlen    
#bx1 so wird die grssere x  #aj1  die   
kleinere #aj - x betragen4 ,nun ist noch
 zu bewirken1 dass die  ,differenz ihrer
 ,quadrate #hj ist1 sie ist aber #djx1  
also die grssere  #ab1 die kleinere #h4 
,,ii1 #i4 ,w4 #eb4 ,zweite ,lsung der   
,aufgabe eine gegebene ,quadratzahl     
7#af71  in zwei ,quadrate zu zerlegen4  
x sei die eine ,seite1 die andere gleich
 einem um die ,seite des  gegebenen     
,quadrats verminderten beliebigen       
,vielfachen von x1 etwa  #bx - #d1 x    
#af_/e1 y  #ab_/e4    ,zu dieser        

,aufgabe bemerkt ,fermat am ,rand3      
,dagegen ist es ganz unmglich1 einen    
,kubus in zwei ,kuben1 ein ,biquadrat   
in #b ,biquadrate und allgemein irgend  
eine ,potenz ausser dem ,quadrat  in    
zwei ,potenzen von demselben ,exponenten
 zu zerfllen4 ,hierfr habe  ich einen   
wahrhaft wunderbaren ,beweis entdeckt1  
aber der ,rand ist zu  klein ihn zu     
fassen4 --    ,m4 ,h4 es gibt seit #bjj 
,jahren wohl keinen wirklichen          
,mathematiker1 der  nicht versucht      
hatte1 den ,fermatschen ,satz zu        
beweisen1 aber es ist  selbst ,euler1   
,dirichlet und ,kummer nicht gelungen4  
,kummer hat  mit der ad hoc geschaffenen
 ,theorie der idealen ,primzahlen den   
,satz  bewiesen1 mit ,ausnahme der sogn4
 ,bernoullischen ,zahlen4 ,aber dass    
,fermat sich getuscht habe1 ist beinahe 
ausgeschlossen4    ,,iii1 #bb4 ,vier    
,zahlen der ,beschaffenheit zu finden1  
dass das ,quadrat  ihrer ,summe ein     
,quadrat bleibt1 wenn jede der vier     
,zahlen zu ihm  addiert oder von ihm    

subtrahiert wird4    ,d4 h4 also s#b  x2
 s#b  y2 s#b  z2 s#b  u sollen ,quadrate
 sein4    ,ich gebe die ,lsung dieser   
wahrlich nicht leichten ,aufgabe1 die   
sich  zu stellen schon ,mut erfordert1  
nach ,wertheim #aaj ff41 sie hat wie der
  ,zusatz ,fermats beweist sein         
,interesse in hohem ,grade erregt und   
ihn  u4 a4 zu dem ,satz gefhrt3 eine    
,primzahl von der ,form #dn  #a ist nur 
einmal ,hypotenuse eines rechtwinkligen 
,dreiecks1 ihr ,quadrat ist es  zweimal1
 ihr ,kubus dreimal1 ihr ,biquadrat     
viermal usw4 in inf4 ,lsung3  ,in jedem 
rechtwinkligen ,dreieck bleibt das      
,quadrat ber der ,hypotenuse  ein       
,quadrat1 wenn man das doppelte ,produkt
 beider ,katheten zu demselben  addiert 
oder subtrahiert4 ,daher suche ich      
zunchst vier rechtwinklige  ,dreiecke   
mit gleichen ,hypotenusen2 das ist aber 
dasselbe wie die  ,aufgabe3 ein         
beliebiges ,quadrat viermal in je #b    
,quadrate zu teilen und  wir haben schon
 7,,ii1 #aj7 gelernt1 ein gegebenes     

,quadrat auf unzhlig  viele ,arten in   
zwei ,quadrate zu zerlegen4    ,wir     
nehmen also zwei rechtwinklige          
,dreiecke1 deren ,seiten in den         
kleinsten ,zahlen ausgedrckt sind1 wie  
etwa #c1 #d1 #e und #e1 #ab1 #ac4       
,multiplizieren wir jetzt alle ,seiten  
eines jeden mit der ,hypotenuse des     
andern1 so wird das erstere die ,seiten 
#ci1 #eb1 #fe haben und das zweite  die 
,seiten #be1 #fj1 #fe1 und wir erhalten 
zwei rechtwinklige ,dreiecke mit        
gleichen ,hypotenusen4    ,ihrer ,natur 
nach lsst sich ferner die ,zahl #fe in  
je #b ,quadrate zweimal  zerfllen1      
nmlich in #af und #di sowie in #fd und  
#a4 ,dies rhrt daher1  dass #fe durch   
,multiplikation von #ac und #e entsteht 
von denen jede sich  in #b ,quadrate    
zerlegen lsst4 3 7a#b  b#b77;c#b  d#b7  
7ac  bd7#b   7ad - bc7#b  7ad  bc7#b    
7ac - bd7#b1 diese ,formel aus der      
,theorie der quadratischen ,formen1 das 
ist die ,quelle der ,aufgabe4 ,ich      
nehme nun die ,seiten der ,quadrate #di 

und #af nmlich #g und #d und bilde      
vermittelst dieser das rechtwinklige    
,dreieck1 dasselbe hat die ,seiten  #cc1
 #ef1 #fe a#b - b#b2 #b;ab2 a#b  b#b4   
,ebenso nehme ich die ,seiten  der      
,quadrate #fd und #a nmlich #h und #a1  
das rechtwinklige ,dreieck hat  die     
,seiten #af1 #fc1 #fe4 ,nun habe ich    
vier rechtwinklige ,dreiecke mit        
gleichen ,hypotenusen4    ,indem ich    
jetzt zu der ursprnglich gestellten     
,aufgabe schreite1  setze ich die ,summe
 der #d gesuchten ,zahlen gleich #fex1  
jede einzelne  derselben aber gleich x#b
 mit einem ,koefficienten1 der das      
,vierfache  der ,flche eines der #d     
,dreiecke ist #b;ab1 also die erste     
,zahl gleich  #djef x#b1 die zweite     
gleich #cjjj x#b1 die dritte gleich     
#cfif x#b1 die  vierte gleich #bjaf x#b4
 ,es ist dann die ,summe der vier       
,zahlen #abgfh  x#b  #fe x1 und daraus  
ergibt sich x  #fe_/abfgh4 ,daher werden
 die vier  ,zahlen ,brche mit dem       
gemeinschaftlichen ,nenner #afcjbahbd   

sein und zwar  hat die erste ,zahl den  
,zhler #agacffjj1 die zweite #abfgejjj1 
die dritte  #aefaefjj1 die vierte       
#heagfjj4    ,diese ,aufgabe gehrt mit  
zu denen1 welche es am begreiflichsten  
erscheinen lassen1 dass ein             
,mathematiker solchen ,ranges von einem 
,zeitalter des ,verfalles nicht mehr    
begriffen wurde4    ,,iv1 #aa4 x#c  y#c 
x  y4 ,diophant findet durch ein        
,verfahren1 dass  nur zu begreifen ist1 
wenn man annimmt1 dass er die allgemeine
 ,lsung x   7#a - k#b7_/77a  k7#b - k72 
y  7#a  #bk7_/77#a  k7#b - k7 kannte1 x 
#e_/g2 y  #h_/g1 er setzte k  #a_/d in  
der ersten 77 ,lsung und nicht wie      
,wertheim ,s4 #abi angibt k  #a_/b2     
7auch k  -#c_/b in der zweiten negativen
  ,lsung ist richtig71 merkwrdig ist1   
dass auch x  #c_/g und y  #h_/g  eine   
richtige ,lsung ist1 da #d - #dp  #br  o
 ist4 ,v #cd1 ,w4 #bcc3 ,drei           
,quadratzahlen zu finden1 so dass das   
,produkt derselben1 wenn es um jede  der
 ,zahlen vermehrt wird1 ein ,quadrat    

bildet4    ,wir setzen u#bv#bw#b  x#b   
und suchen dann drei ,quadrate1 von     
denen  jedes1 wenn es um #a vermehrt    
wird1 wieder ein ,quadrat gibt4 ,das    
kann  vermittels jedes rechtwinkligen   
,dreiecks geschehen4 ,ich whle also drei
  rechtwinklige ,dreiecke #c1 #d1 #e2   
#e1 #ab1 #ac2 #h1 #ae1 #ag2 so wird das 
eine  ,quadrat #i_/af x#b1 das zweite   
#be_/add x#b1 das dritte #fd_/bbe x#b   
sein1  und jedes derselben bleibt ein   
,quadrat1 wenn es um eins vermehrt wird4
  ,nun soll noch das ,produkt der drei  
,zahlen gleich x#b sein4 ,das ,produkt  
ist aber #addjj_/eahdjj x#f4 ,das soll  
gleich x#b sein4 ,wird alles durch  x#b 
dividiert so folgt #addjj_/eahdjj x#d   
#a1 also #abj_/gbj x#b  #a4  ,nun ist   
die ,einheit eine ,quadratzahl4 ,wenn   
daher auch #abj_/gbj x#b ein  ,quadrat  
wre1 so wrde die ,aufgabe gelst sein4   
,dem ist aber nicht so4    ,diophant    
fhrt die ,aufgabe nicht durch1 seine    
,lsung ist #be_/d2  #bef_/ha2 #i_/af4   
,die ,aufgabe ist von ,fermat wieder    

hergestellt4  ,diophant nimmt drei      
rechtwinklige ,dreiecke a#a b#a c#a2    
a#b b#b c#b2 a#c b#c c#c und setzt u    
a#a_/;b#a  x2 v  a#b_/;b#b x2 w         
a#c_/;b#c x4 ,dann hat man nur noch  zu 
sorgen1 dass                            
7a#a;a#b;a#c7_/7;b#a;b#b;b#c7 oder auch 
a#a;a#b;a#c;b#a;b#b;b#c gleich          
a#a;b#a;a#b;b#b;a#c;b#c  eine           
,quadratzahl ist1 was keine             
,schwierigkeit macht4    ,,vi #c4 ,ein  
rechtwinkliges ,dreieck zu finden1 so   
dass die ,zahl1 welche  den             
,flcheninhalt ausdrckt1 eine            
,quadratzahl wird1 wenn sie um eine     
gegebene ,zahl vermehrt wird4    ,diese 
recht schwierige ,aufgabe ist in        
,wertheim ,s4 #bef und #beg allgemein   
und ihre ,erweiterung durch ,vieta      
7,zetetica ,v1 #i7 angegeben4    ,,vi   
#bf4 ,die letzte ,aufgabe ,diophants3   
,ein rechtwinkliges ,dreieck von der    
,beschaffenheit zu finden1 dass die eine
 seiner ,katheten ein ,kubus1 die       
andere die ,differenz zwischen einem    

,kubus und seiner ,seite1 und die       
,hypotenuse die ,summe eines ,kubus und 
seiner ,seite sei4    ,hypotenuse x#c   
x1 ,kathete x#c - x1 die andere ist dann
 #bx#b und soll  gleich einen ,kubus    
sein4 ,es sei #bx#b  x#c1 so ist x  #b1 
also ist #f1  #h1 #aj eine ,lsung4      
,an die ,weiterfhrung dieser ,aufgabe   
durch ,bachet hat ,fermat eine  ,reihe  
wichtiger zahlentheoretischer ,stze     
geknpft1 wie z4 ,b4 x#d  y#d  ist       
niemals ein ,quadrat1 und n7n  #a7_/b   
nur wenn n gleich #b ist gleich  p#b1   
welche beide von ,euler bewiesen sind4  
7,werth4 ,s4 #bid47    ,die ,schrift ber
 die ,polygonalzahlen1 so interessant   
sie an sich ist1  steht doch an         
,bedeutung der ,arithmetik              
unvergleichlich nach1 so dass  ich auf  
sie nicht nher eingehe1 wertvoller als  
sie sind ,fermats  ,anmerkungen4    ,die
 ,beispiele aus der ,arithmetik gengen1 
um zu zeigen1 wie gross  ,diophant als  
,arithmetiker dasteht1 dabei ist er1    
soweit unsre ,kenntnis  bis jetzt       

reicht1 fast ohne ,vorlufer1 von dem    
einzigen ,heron etwa  abgesehen4        
,nikomachos verschwindet gegen ,diophant
 vollstndig1 und  sein ,ruhm beruht nur 
darauf1 dass sein ,verstndnis verglichen
 mit  ,diophant nur die geringe ,bildung
 erforderte1 welche sich in den ,strmen 
der ,vlkerwanderung mit ihren           
politischen und religisen ,umwlzungen   
erhalten konnte4    ,sidenote3 ,pappos  
aus ,alexandria4    ,von dem letzten und
 grssten ,arithmetiker der ,hellenen    
gehen wir  zu ihrem letzten grossen     
,geometer zurck1 zu ,pappos1 auch er    
,alexandreus4 ,auch von seinen          
,lebensverhltnissen wissen wir so gut   
wie nichts1 doch macht die usserung des 
,proklos       es wahrscheinlich1 dass  
er als ,lehrer in ,alexandrien ttig war 
und das wird noch mehr als durch diese  
immerhin der ,auslegung fhige  ,stelle1 
durch den ,inhalt und ,zweck seines     
,hauptwerkes gesichert1  das ganz und   
gar in der ,absicht geschrieben ist1    
,studierenden eine  richtige und tchtige

 ,ausbildung fr reine und angewandte    
,mathematik  zu sichern4                
,auseinandersetzungen wie die ber       
,analysis und ,synthesis1  ,kritiken1   
wie die allerdings nicht ganz           
gerechtfertigte1 ber das                
,nherungsverfahren zur ,lsung des       
,delischen ,problems 7,,iii1 ,anfang71  
die ,auswahl der ,schriften1 an die er  
seine eigenen ,lemmata anknpft1  zeigen 
hohes pdagogisches ,interesse und       
,erfahrung4 ,hultsch und  ,cantor setzen
 seine ,lebenszeit auf das ,ende des    
dritten ,jahrhunderts1  gesttzt auf eine
 ,notiz1 auf welche der bekannte        
,philologe ,usener  hingewiesen hat1    
dass er unter ,diokletian gelebt habe4  
,fr diese  ,datierung spricht der ganze 
,inhalt seiner ,werke1 insbesondere     
zeigt  das hchst lebhafte ,interesse1   
das er fr ,sphrik und ,astronomie1      
speziell fr ,klaudios ,ptolemaios       
bekundet1 dass er nicht mehr als etwa   
#ajj ,jahre nach diesem anzusetzen ist4 
,zur ,syntaxis und zwar hchst           

wahrscheinlich zur ganzen und nicht nur 
zu den vier ersten ,bchern hat  er einen
 ,kommentar 7,scholion7 geschrieben1 von
 dem ein ,teil1 der sich  auf das #e4   
und #f4 ,buch bezieht1 in der an        
,schtzen reichen ,laurentiana  zu       
,florenz gefunden und eine ,einleitung1 
welche die ,dimensionen der  ,erde1     
,umfang und ,inhalt behandelt und eine  
,definition der ,astronomie  gibt im    
,vaticanus #ahd4 ,hultsch macht es im   
hohen ,grade wahrscheinlich1  dass der  
,ptolemaios-,kommentar des von nur fter 
erwhnten ,theon von  ,alexandrien1 etwa 
#ajj ,jahre spter1 wesentlich aus dem   
des ,pappos  geschpft sei4    ,pappos   
hat auch ,kommentare zu den ,daten und  
den ,elementen des  ,euklid geschrieben1
 von denen ,fragmente bei ,eutokios und 
,proklos  erhalten sind1 und die auch   
von ,marinos aus ,neapolis 7,sichem in  
,palstina71 einem ,schler und           
,nachfolger des ,proklos im ,rektorat   
der  ,akademie1 dem wir die ,erhaltung  
von ,euklids ,daten verdanken1 erwhnt   

werden4 ,ich nenne hier ,friedl4 ,s4    
#bdi-ej den ,beweis der ,gleichheit der 
,basiswinkel im gleichschenkligen       
,dreieck1 weil der auf die ,symmetrie   
des gleichschenkligen ,dreiecks         
begrndete ,beweis meist ,bolzano        
7,betrachtungen etc4 p4 #ag  #be7       
zugeschrieben wird1 der ,quellenangaben 
noch nicht fr erforderlich hielt4 ,der  
,beweis bei ,proklos zeigt  allerdings1 
dass auch ,pappos den leitenden         
,grundsatz des ,euklid1 die  dritte     
,dimension in der ,planimetrie zu       
vermeiden1 nicht recht erfasst  hat4    
,sidenote3 ,pappos1 ,collectiones4      
,erhalten ist uns1 obwohl nirgends von  
den spteren hellenistischen  oder       
rmischen ,autoren erwhnt1 sein          
,hauptwerk die ,synagoge 71  nicht 7 in 
#h ,bchern1 von denen das erste und ein 
grosser  ,teil des zweiten verloren ist4
 ,die ,reste des zweiten ,buches hat    
#afhh ,wallis herausgegeben4 ,unter dem 
,titel3 ,pappi ,alexandrini             
mathematicae collectiones hat ,federico 

,commandino #aehh die ,bcher  #c-h      
lateinisch herausgegeben1 wie alle      
,arbeiten dieses ,mannes fr  ihre ,zeit 
ausgezeichnet4 ,die einzige             
,gesamtausgabe ,griech4 und ,lat4  hat  
,fr4 ,hultsch #ahgf-gh geschaffen1 sie  
ist geradezu vorbildlich  geworden1     
,cantor sagte in der ,besprechung des   
letzten ,bandes  7,cantor-,schlmilch    
#ahgc73 ,hultsch hat uns mit einer      
klassischen  ,ausgabe eines klassischen 
,schriftstellers beschenkt4 ,an dem     
index  graecitatis1 der #abe            
enggedruckte ,seiten umfasst1 hat er ein
 ganzes  ,jahr lang gearbeitet1 nachdem 
er viele ,jahre auf die ,collation der  
,codices verwandt hat und im ,vaticanus 
graecus #bah aus dem #ab4 ,jahrh4  den  
,archetyp smtlicher anderen festgestellt
 hatte4 ,rudio nennt den  ,index        
geradezu ein ,lehrbuch der griechischen 
mathematisch-technischen  ,sprache4 ,die
 ,verdienste des am #f4 ,april #aijf    
verstorbenen ,philologen  um die        
,geschichte der ,mathematik hat ,f4     

,rudio1 ,enestrm ,ser4 ,,iii1  ,bd4     
,,viii meisterlich geschildert1 und in  
diesem ,nachruf findet sich  auch eine  
,analyse der ,synagoge 7 ,sammlung71    
welche an ,klarheit nichts  zu wnschen  
brig lsst1 und die einfach abzuschreiben
 vielleicht  das zweckmssigste wre4     
,trotz dessen halte ich es angezeigt1   
was  ich #aijc gesagt1 hier zu          
wiederholen4 ,die ,sammlung des ,pappos 
ist fr uns die ,hauptquelle der         
griechischen ,geometrie1 sie zeigt1     
dass ,pappos einerseits im hchsten      
,grade literarisch gebildet war  und    
vielleicht noch vor oder zur ,zeit      
,caracallas anzusetzen wre1             
andererseits aber selbst ein produktiver
 ,geometer von hohem ,range  war1 wie z4
 ,b4 seine ,quadrierung des von der     
sphrischen ,spirale  abgeschnittenen    
,stck der ,halbkugel 7,hultsch ,s4 #fhb7
 und seine ,lsung  der ,proprosition #dc
 des ,,iv4 ,buches zeigen4 ,insbesondere
 ist schon so  ziemlich die ganze       
,steinersche ,geometrie1 die ,arbeiten  

,steiners ber  ,isoperimetrie           
eingeschlossen1 in nuce bei ,pappos zu  
finden1 vor allem  der grundlegende     
,satz von der ,constanz des             
anharmonischen ,verhltnisses  und die   
vollstndige ,theorie der ,involution4   
,die im ,altertum so viel  umworbene    
,lehre von den ,proportionen id est die 
,auflsung der ,gleichung  ersten ,grades
 hat er unter einem einzigen einfachen  
,gesichtspunkt  dargestellt4 ,er gibt   
den ,inhalt fast aller bedeutenden      
mathematischen  ,werke bis auf seine    
,zeit mit grosser ,gewissenhaftigkeit   
und unter  ,angabe der ,namen und hat   
uns so1 wie wir ja gesehen haben1 in    
,stand  gesetzt1 eine ganze ,anzahl     
verlorener ,werke der ,heroen entweder  
ganz  oder teilweise zu rekonstruieren4 
,ich nenne nur die ,porismata und die   
,topoi pros ,epiphaneian des ,euklid1   
das #h4 ,buch der ,konika und das       
,taktionsproblem des ,apollonios1 die   
,schrift des ,zenodoros ber die         
,isoperimetrischen ,figuren1 die        

,archimedischen halbregulren ,krper     
etc4 ,hchst wichtig ist auch1 dass wir  
durch ihn in ,stand gesetzt  sind1 die  
,arabischen ,quellen auf ihre           
,zuverlssigkeit zu prfen1 wobei  sich   
die ersten islamitischen ,jahrhunderte  
als durchaus zuverlssig  erwiesen haben1
 z4 ,b4 fr die ,mechanik des ,heron1 die
 ,wahlstze des  ,archimedes4 ,dabei     
begleitet er diese ,schriften berall mit
 wertvollen  eigenen ,bereicherungen4   
,im ,,vi4 ,buch sehen wir1 wie tief die 
,griechen  auch in die ,theorie der     
krummen ,flchen eingedrungen waren1 bei 
der  stereometrischen ,erzeugung der    
,quadratrix1 die an ,archytas erinnert  
aber weit ber ihn hinausgeht4 ,buch     
,,iv1 ,prop4 #cj ,hultsch p4 #bfd findet
  sich die ,quadrierung der             
,spiralflche1 worauf ich schon in einem 
,frankfurter ,vortrag hingewiesen habe4 
,sidenote3 ,kugelspirale4    ,wie man   
einsieht1 dass in der ,ebene eine       
,spirale erzeugt 7  ist durch existere  
nicht sinngemss wiedergegeben7 wird wenn

 ein  ,punkt sich auf einem1 einen      
,kreis beschreibenden ,strahl bewegt und
  in der ,stereometrie z4 ,b4 auf den   
,cylinder- oder ,kegelflchen ist        
unntige ,konjektur von ,h4 wenn ein     
,punkt sich auf einer die ,oberflche    
beschreibenden ,kante bewegt1 so lsst   
sich auch eine auf der ,kugel sich      
ergebende ,spirale begreifen1           
beschrieben auf folgende ,weise4    ,auf
 einer ,kugel gehre zum ,pol  der grsste
 ,kreis  und von  aus  soll der         
,viertelkreis eines ,hauptkreises       
beschrieben worden sein  und der ,kreis 
1 um den ruhenden ,punkt  auf der       
,oberflche der  ,kugel gedreht1 mge in  
sich selbst wieder zurckversetzt worden 
sein  und irgend ein ,punkt auf         
demselben von  aus in ,bewegung gesetzt1
 mge  nach  gelangt sein2 er beschreibt 
nun auf der ,oberflche eine gewisse     
,schneckenlinie wie es  ist1 und welchen
 ,umfang eines grssten  ,kreises man    
auch von  aus beschreiben mge1 so hat er
 zum ,bogen   das ,verhltnis1 welches   

siehe ,figur zu  hat4 ,ich behaupte nun1
  dass wenn ausserhalb nmlich als       
,nebenfigur der ,quadrant  eines        
,hauptkreises auf der ,kugel gelegt wird
 um das ,zentrum  und die  ,sehne       
gezogen wird1 so geht daraus hervor der 
,satz3 wie die  ,halbkugel sich zu dem  
zwischen der ,spirale  und dem ,bogen   
abgeschnittenen ,stck der ,kugelflche   
verhlt1 so der ,sektor   zu dem ,segment
 4    ,illustration    ,illustration    
,sidenote3 ,pappos'sche ,aufgabe4       
,der ,beweis1 dass die ,flche 7#b -     
#d7r#b ist1 kann mit ,integralrechnung  
ohne weiteres gefhrt werden1 aber der   
,beweis des ,pappos1 obwohl  an         
,archimedes gebildet1 ist doch ein      
beredtes ,zeugnis fr seine              
,veranlagung4 ,das ,,iv4 ,buch und die  
im ,,vii4 ,buch gegebene ,guldinsche    
,regel3 das ,volumen des                
,rotationskrpers ist gleich dem ,produkt
 der  ,meridianflche in den ,weg ihres  
,schwerpunktes zeigt uns1 dass die      
,griechen in der ,theorie der krummen   

,oberflche ungefhr so weit  gekommen    
sind1 wie wir durch ,euler und ,gauss2  
vermutlich infolge  verlorener ,werke   
insbesondere von ,archimedes und        
,apollonios 7  74 ,ebenfalls im ,,vii4  
,buch1 dem bedeutsamsten fr die ,wertung
  des ,pappos als ,geometer1 lst er die 
sogen4 ,castillonsche ,aufgabe1  ein    
,dreieck zu konstruieren1 dessen ,seiten
 durch je einen festen ,punkt  gehen und
 das einem gegebenen ,kreise            
einbeschrieben ist1 die spter von       
,giordano da ,ottajano auf ein          
beliebiges n-,eck erweitert wurde1 in   
dem speziellen ,falle1 dass die drei    
,punkte auf einer ,geraden liegen4      
,hier im ,,vii4 ,buch kommt er bei      
,besprechung des ,ortes zu drei und vier
  ,geraden 7,apollonios7 auf die noch   
heute nach ,pappos benannte ,aufgabe3   
wenn eine ,anzahl ,geraden gegeben sind1
 den ,ort des ,punktes zu bestimmen  der
 so beschaffen ist1 dass die von ihm    
nach den ,geraden unter  gegebenen      
,winkeln gezogenen ,strecken in zwei    

,gruppen eingeteilt werden  knnen1 so   
dass die ,produkte der ,gruppen ev4 mit 
,wiederholung oder mit  gegebenen       
,hilfsfaktoren1 zu einander ein         
bestimmtes ,verhltnis haben4  ,dabei ist
 die ,bemerkung wesentlich1 dass wenn   
die ,zahl der ,linien #f  bersteigt1    
eins oder beide ,produkte keinen        
geometrischen ,sinn haben1  aber    1   
die kurz vor ihm lebenden ,mathematiker1
  interpretierten ihn4 ,die ,aufgabe    
wird dann fr beliebig viele ,geraden    
von ,pappos vllig als geometrisch klare 
aufgestellt4 ,und nun fgt er  hinzu3    
weil er sich 7der ungenauen ,arbeiten7  
seiner ,vorgnger schme  und selbst sehr 
viel ,wertvolleres und ,ntzliches       
bewiesen habe1 und  um zu zeigen1 dass  
wenn er dieses von sich ausposaune 77   
er kein leerer ,prahler sei1 gibt er die
 ,guldinsche ,regel4 ,die               
,buchstabenrechnung im ,rest des zweiten
 ,buches ist schon bei ,apollonios      
erwhnt2 wir knnen den ,eindruck der     
,synagoge des ,pappos dahin             

zusammenfassen1 dass wir jedenfalls in  
der ,geometrie nicht wesentlich  ber die
 ,griechen hinausgelangt sind1 selbst   
die ,konstruktionen mit  einer          
,zirkelffnung1 die sogen4               
,mascheroni-,konstruktionen finden  sich
 bei ,pappos4    ,sidenote3 ,niedergang 
der ,hellenischen ,kultur4    ,mit      
,pappos und ,diophant endet die         
,entwicklung der ,hellenischen          
,mathematik jh und in den folgenden     
,jahrhunderten sind es nur einige       
wenige ,kommentatoren1 deren ich schon  
im ,laufe der ,vorlesung wiederholt     
gedacht habe1 welche noch ein           
,verstndnis fr die ,leistungen der      
,vorfahren besassen und bermittelten4   
,da war aus dem #d4 ,jahrh4  ,theon von 
,alexandrien und seine ,tochter ,hypatia
 zu nennen1 aus  dem fnften ,proklos1   
dessen produktive ,befhigung nach dem   
,beweis  des ,parallelenaxioms und der  
wirren ,kosmologie in keinem gnstigen   
,lichte erscheint4 ,im #f4 ,jahrh4      
sammelte sich um den ,baumeister der    

,sophienkirche in ,konstantinopel       
,isidoros von ,milet eine ,schar        
eifriger ,freunde der ,mathematik1 aus  
der ,eutokios von ,askalon1  der        
,kommentator des ,archimedes und        
,apollonios auch als ,mathematiker      
hervorragt4 ,ebenfalls im #f4 ,jahrh4   
lebte ,simplikios1 der wichtigste       
,kommentator des ,aristoteles1 dessen   
wir bei den ,lunulae ,hippocratis       
gedachten4 ,er gehrte zu den ,lehrern   
der ,akademie ,athen1 welche mit  dem   
,rektor ,damaskios nach ,persien zu     
,kosro wanderten und ,euklid  zu den    
,persern und damit zu den ,arabern      
brachten4 ,nicht unbedeutende  ,spuren  
einer ,eukliderklrung des ,simplikios   
hat uns ,al-,neirizi  aufbewahrt4 ,von  
da ab sank das ,hellenentum rapide2     
hatten schon vom #d4  ,jahrhundert ab   
,christentum1 ,vlkerwanderung1 das im   
,gegensatz zu dem  auf freie            
,individualitt der ,gebildeten          
gegrndeten ,hellenismus1 mit  einen     
starken ,tropfen demokratischen les     

gesalbte ,csarentum hchst  ungnstig     
eingewirkt1 so wurden von nun ab die    
,hellenen in ,asien  geistig von den    
,moslimen und in ,europa geistig und    
krperlich von den  ,slaven aufgerieben4 
,aber meine ,aufgabe ist es nicht den   
,untergang der  ,gtter ,griechenlands zu
 schildern4    ,sidenote3 ,rmer4    ,ich
 msste mich nun zu den ,rmern wenden1   
aber ,rom hat eine ,kultur im           
hellenischen ,sinne nie besessen4 ,ihre 
,verdienste um die praktischen          
,wissenschaften1 um das brgerliche      
,recht und das ,verwaltungsrecht1  sind 
gewiss nicht zu unterschtzen4 ,ist doch 
das ,napoleonische ,prfet  und          
,sousprfet noch heute nichts anderes als
 der rmische ,prtor und  ,proprtor4 ,als
 ,wegebauer haben die ,rmer             
ihresgleichen nicht gehabt1  und gross  
stehen sie in ,kriegs-,kunst und        
-,wissenschaft da4 ,aber auf  geistigem 
,gebiet besteht ihr ,verdienst darin den
 konzentrierten  griechischen           
,geistesextrakt so verwssert zu haben1  

dass ,germanen und  ,kelten ihn in      
dieser ,form vertragen und assimilieren 
konnten1 und so in  jener grossen       
,epoche1 die wir ,renaissance nennen1 fr
 das wirkliche  ,hellenentum empfnglich 
wurden4    ,das einzige ,gebiet der     
,mathematik1 auf dem die ,rmer eine     
gewisse1 wenn  auch stark von gypten    
beeinflusste ,selbstndigkeit zeigten1   
war die  ,feldmesskunst1 aber die       
rmischen ,agrimensoren oder wie sie nach
 ihrem  ziemlich rohen ,massinstrument  
hiessen1 die ,gromatiker hat ,m4 ,cantor
  in seinen ,agrimensoren und daraus in 
seinen ,vorlesungen erschpfend          
behandelt4    ,sidenote3 ,schluss4      
,ich ziehe es vor1 hier am ,schluss noch
 einmal auszusprechen1 dass ber  die    
,hellenen hinaus nur der eine ,galilei  
einen wahrhaft weittragenden  neuen     
,gedanken in die mathematische und      
philosophische ,erkenntnis  der ,natur  
hineingetragen hat1 als er durch        
schrfere ,erfassung des                 
,kontinuittsproblems zur                

,geschwindigkeit die ,beschleunigung1   
zur ,statik  die ,dynamik hinzufgte4    
,zur ,sttze meiner ,ansicht zitiere ich 
aus dem ,briefe ,r4 ,baltzers an  ,f4   
,hultsch 7,hultsch ,pap4 p4 #abca-cb7   
die ,stelle3 ,sie werden staunen  ber   
diese ,leistung der ,griechen3 ich bin  
auch nicht wenig erstaunt1  als ich     
diese ,wahrnehmung machte1 um so mehr   
als dies wirkliche  analytische         
,geometrie ist4 ,aber die ,griechen     
drfen dieselbe  doch nicht gehabt haben1
 sonst htte ,descartes die ,erfindung   
der  analytischen ,geometrie nicht      
machen knnen6    7,heute nach           
,auffindung des ,ephodion kann man      
diesen ,satz noch einmal  hinschreiben1 
und statt analytische ,geometrie        
,differentialrechnung  setzen und fr    
,descartes ,newton oder wen man sonst   
will47    ,und damit m4 ,h4 glaube ich  
meine ,aufgabe gelst zu haben4          
,nachwort4      ,um die starke ,betonung
 der ,hellenischen ,philosophie zu      
motivieren1  mchte ich hier nachtrglich 

noch den folgenden ,erffnungsvortrag    
hinzufgen4    ,meine ,herren6 ,wenn ich 
,hellenische ,philosophie und           
,mathematik  gewissermassen in einen    
,begriff zusammengezogen habe1 analog   
dem ,mittelalterlichen ,musica et       
,arithmetica1 so rechtfertigt  sich dies
 dadurch1 dass gerade in der            
schpferischen ,periode der  griechischen
 ,philosophie und ,mathematik1 von      
,thales an bis ,aristoteles             
eingeschlossen1 die beiden              
,wissenschaften nicht getrennt werden   
knnen und grade fr die ,elementare      
,mathematik1 -- ich mchte sie die       
bildende ,mathematik nennen -- meines   
,erachtens nach bis auf den  heutigen   
,tag nicht getrennt werden drfen4       
,wenn ich nun systematischer ,philosoph 
wre1 so msste ich damit  beginnen ,ihnen
 des lngeren und breiteren              
auseinanderzusetzen1  was ,philosophie  
ist1 aber m4 ,h41 in ,scheffels         
,ekkehard sagt der  ,hunnenfhrer auf die
 ,frage was ,philosophie sei3 es ist auf

 hunnisch  schwer zu erklren4 ,so will  
auch ich mich kurz fassen und nur sagen1
  dass ich in der ,philosophie die      
,methode sehe die ,welt der usseren  und
 inneren ,erfahrung in ihrer            
,notwendigkeit zu begreifen1 oder wie   
,spinoza sagt1 diese ,welt zu erfassen  
sub specie aeterni4 ,h4 ,cohen          
bezeichnet in seiner grossartigen ,ethik
 des reinen ,willens von #aija1  welche 
in #e ,jahren die zweite ,auflage erlebt
 hat1 die ,aufgabe der  ,philosophie    
dahin3 die ,wissenschaft selbst und die 
,kultur berhaupt  zum ,verstndnis ihrer 
,voraussetzung zu bringen4 ,dabei ist   
unter ,kultur  allerdings etwas anderes 
zu verstehen als die ,bezwingung der    
rohen  ,energie der ,natur fr die       
,nutzbarmachung unserer ,krfte4 ,kultur 
ist  viel mehr2 alle drahtlose          
,telegraphie1 ,rntgenstrahlen und       
,luftballons1  geben noch keine         
,gesittung1 welche im wesentlichen in   
der ,freimachung  der ethischen ,werte  
besteht1 darin1 dass im einzelnen1 und  

gerade  ber je mehr ,krfte er verfgt um 
so strker1 das ,bewusstsein seiner      
,verantwortlichkeit der ,allgemeinheit  
gegenber1 gegenber dem ,staate  und der 
,menschheit geweckt und ausgebildet     
wird4    ,der von mir betonte           
,gesichtspunkt der ,notwendigkeit1 das  
,streben  nach zwingender               
,folgerichtigkeit1 ist es gerade was    
,mathematik und  ,philosophie verbindet1
 und von ,anfang bis ,ende die          
,mathematik zum  ,hauptgegenstand       
philosophischer ,betrachtung gemacht    
hat1 wenigstens  soweit es sich um den  
ltesten ihrer ,hauptzweige1 die         
,erkenntnistheorie  handelt4 ,erst viel 
spter hat sich die ,methode1 das heisst 
die  ,zusammenfassung grosser ,gruppen  
von ,erkenntnissen unter einen          
,gesichtspunkt1 den ,trieben und        
,gesetzen des menschlichen ,handelns    
zugewandt1 es musste erst die ,theorie  
der ,unsittlichkeit1 wie sie  von den   
,sophisten ausgebildet war1 praktisch in
 dem ,regiment der #cj  ,tyrannen und   

theoretisch durch ,sokrates zerstrt     
werden1 es musste und  zwar zumeist bei 
den ,rmern eine juristische             
,wissenschaft erwachsen1  ehe eine      
systematische ,philosophische ,ethik1   
insbesondere bei den  ,stoikern mglich  
wurde4 ,freilich findet sich eine       
wissenschaftliche  ,behandlung der      
,ethik1 die sich aber nur auf einzelne  
,fragen1 wie  ,tugend1 ,gerechtigkeit1  
,freundschaft bezieht1 schon bei ,platon
 und  nicht minder bei ,aristoteles und 
vor beiden schon bei ,demokrit4 ,was    
uns von den sogenannten #g ,weisen -- es
 sind ihrer beilufig gesagt1  wenn man  
nachzhlt #bb -- berliefert ist1 sind    
meistens sprichwrtliche  oder besser    
geflgelte ,worte1 welche sich auf       
vernunftgemsses  praktisches ,handeln   
beziehen1 wie das bekannte des ,chilon  
oder ,solon   1 ,alles mit ,mass2 und  1
 ,nutze die ,zeit2 das  ,delphische  1  
,erkenne dich selbst4 ,mit der          
,notwendigkeit  kmpfen auch die ,gtter  
vergebens4 7,schiller hat die ,anagke   

durch die  ,dummheit ersetzt1 die ja    
auch ,zwangsvorstellungen liefert74     
,periander  und ,hesiod haben beide den 
,spruch geliefert3 das ,halbe ist mehr  
als das  ,ganze1 was besonders fr       
,festreden zu beherzigen wre4 ,aber auch
 die  grossen ,dichter der ,hellenen wie
 ,homer und besonders ,hesiod erkannten 
es an1 dass der ,mensch zum ,unterschied
 vom ,tier sittlichen ,gesetzen         
untertan sei4 ,ich zitiere nach der     
bersetzung von ,f4 ,blass aus  ,hesiod  
die ,stelle3      ,also hat ja den      
,menschen bestimmt der ,kronide die     
,satzung3 ,zwar den    ,fischen und     
,tieren des ,felds und geflgelten ,vgeln
 ,setzt er einander    zu fressen1 denn 
,recht ist nicht unter ihnen4 ,aber den 
,menschen    verlieh er das ,recht4     
,der dritte ,zweig der ,philosophie ist 
ganz modern1 die ,philosophie  der      
,kunst1 welche die allgemeinen und      
notwendigen ,gesetze des                
sthetisch-,wirksamen aufzustellen hat4  
,die ,potik des ,aristoteles  ist       

eigentlich mehr eine ,technologie fr den
 ,dichter1 der ,laokoon  ,lessings legt 
praktisch den ,unterschied zwischen der 
bildenden und  beschreibenden ,kunst    
fest4 ,erst bei ,kant1 ,schiller1 der   
gerade hier  seine selbstndige ,stellung
 als ,philosoph1 ,vischer und vor allem 
bei  ,schopenhauer haben wir eine reine 
sthetik4    ,hngen ,mathematik und      
,philosophie in und durch den ,trieb    
ihren  ,gegenstand unter dem            
,gesichtspunkt der ,notwendigkeit zu    
fassen1 also  so recht in der ,wurzel   
zusammen1 so sehen wir beide in ihren   
,anfngen  mit der ,theologie auf das    
innigste verwachsen4 ,bei den ,indern   
ist wie  im europischen ,mittelalter1   
die ,philosophie aus dieser ,verbindung 
eigentlich nie gelst worden1 so         
tiefsinnig auch die philosophischen     
,gedanken gerade der indischen          
,theologen sind1 da man den ,buddhismus 
in  seiner reinen ,form eigentlich      
geradezu als ein philosophisches ,system
  bezeichnen knnte4 ,der ,druck1 den das

 ,unendliche auf das ,endliche  ausbt1  
die bermacht der kosmischen             
,erscheinungen1 denen der ,mensch       
hilflos1 machtlos1 gefesselt1 religatus 
gegenbersteht1 erzeugen  das religere1  
die ehrfurchtsvolle ,achtung1 die       
,religion1 und die  ,welt bevlkert sich 
mit ,personifikationen der ,naturkrfte1 
wie denn  ,zeus1 der ,nationalgott der  
,hellenen1 wie ursprnglich aller ,arier1
  die ,personifikation des ,tageslichtes
 ist4 ,bei den rohen ,naturvlkern  wie  
z4 ,b4 auch ursprnglich bei den gyptern 
entwickelt sich der  ,fetischdienst1    
dann bei den begabteren eine ,mythologie
 und im ,laufe  der ,zeit eine          
,theologie1 welche nichts anders ist als
 eine untrennbare  ,verbindung der      
,religion mit der ,philosophie4 ,ich    
wage zu sagen1 dass  die ,religion bis  
auf den heutigen ,tag die einzige ,form 
ist1 in der die  ethischen              
,errungenschaften der ,philosophie dem  
,volke nutzbar gemacht  werden knnen1   
von den #aj ,geboten der ,israeliten1   

dem tat twam asi1  dieses ,andere bist  
du1 der ,inder1 bis zu dem ,liebe deinen
 ,nchsten  wie dich selbst des          
,christentums4 ,und auch fr die         
,mathematik1 die  angewandte wie die    
reine1 ist der mit der ,ausbildung der  
,theologie  sich entwickelnde           
,gottesdienst von hchster ,bedeutung    
gewesen1 ,kultus  und ,kultur sind nicht
 nur wortverwandt4 ,der ,dienst der die 
,welt  regierenden ,gottheit1 die       
,formen in denen der ,mensch seine      
,unterwerfung  unter die ,gtter zum     
,ausdruck bringt1 ihre ,gunst zu        
erringen1 ihren  ,zorn abzuwenden sucht1
 ,opfer und ,gebet1 sind hervorgerufen  
durch  die unbewusste ,erkenntnis1 dass 
der einzelne und wre er der ,knig  der  
,allheit untersteht1 und in eben dieser 
,erkenntnis sahen wir das  ,wesen des   
,sittlichen4 ,der ,tempel der ,gottheit 
muss orientiert werden1  das ,eigentum  
das sie schtzt1 wenn es im ,schweisse   
des ,angesichts  erworben 7,gesetze des 
,manu71 muss abgegrenzt1 vermessen      

werden4 ,die  ,astronomie der           
,babylonier steht in engster ,beziehung 
zur religisen  ,verehrung der ,gestirne1
 die wichtigen ,probleme der            
,flchenmessung und  ,vervielfltigung und
 der ,wrfelverdoppelung knpfen bei      
,indern und  ,griechen unmittelbar an   
das ,opfer an1 ebenso wie das           
arithmetische  ,problem der             
,zahlenzerlegung in ,quadrate ein uralt 
chaldisches ist1  das mit der           
,zahlenmystik1 selbst ein ,ausfluss     
astrologischen ,kultus1  gesetzt ist4   
,eine weitere ,verbindung zwischen      
,philosophie1 ,mathematik und ,theologie
  besteht in ihrer gemeinsamen          
,beziehung zu ,poesie und ,kunst4 ,die  
lteste  ,poesie ist die religise1 die   
,veden1 die ,edda1 die ,hymnen ,homers1 
die  ,psalmen der ,hebrer4 ,andrerseits 
haben ,homer und ,hesiod den ,griechen  
zwar nicht ihre ,gtter aber doch ihren  
,olymp gegeben4 ,und an die  religisen  
,gedichte knpfen die ,lehrgedichte der  
,philosophen an1 die  schwungvolle      

,einleitung des ,parmenideischen        
,lehrgedichts ist die  ,quelle von      
,goethes ,zueignung4 ,ein grosser       
,dichter ist ohne eine grosse           
einheitliche ,weltanschauung berhaupt   
nicht denkbar1 und wie es ,dichter  gab 
welche ,philosophen waren1 ich nenne    
,schiller und ,shakespeare1 hat  es auch
 ,philosophen gegeben1 welche ,dichter  
waren1 wie ,platon und  ,schopenhauer4  
,ihrerseits steht auch die ,mathematik1 
die reine wie die angewandte1  in ganz  
direkter ,beziehung zur dichterischen   
,phantasie und zur  sthetischen         
,schnheit4 ,ich sehe ganz von der       
grossen ,bedeutung ab1  welche          
,symmetrie und ,eleganz fr die ,gebilde 
der ,algebra und ,geometrie  haben1     
sondern verweise auf die ,rolle1 welche 
die schpferische  ,phantasie fr die     
,produktion der grossen ,mathematiker   
gehabt und  bemerke dass ,perspektive   
und darstellende ,geometrie von         
,knstlern  wie ,alberti1 ,leonardo1     
,drer1 fr die ,kunst geschaffen sind4   

,ich erinnere auch an ,schiaparellis    
,ausspruch3 ,das ,grundprinzip  aller   
,astronomischen ,systeme von ,pythagoras
 bis ,kopernikus ist die  berzeugung von
 der ,schnheit und ,einfachheit des     
,kosmos gewesen4    ,und in der einzig  
dastehenden ,befhigung fr das ,schne    
liegt der  ,grund1 warum gerade die     
,hellenische ,philosophie und           
,mathematik der  ,trger der ,bildung    
gewesen ist und sein wird4 ,wie die     
,hellenen  politisch besiegt1 das       
,barbarentum der ,rmer niedergezwungen1 
so  hat in der ,renaissance das erneute 
,hervorsprudeln der hellenischen        
,quellen das ,mittelalter hinweggesplt1 
und drei ,jahrhunderte spter ist  es    
wieder das ,hellenentum gewesen1 welches
 verbunden mit dem tiefen  sittlichen   
,ernst der ,germanen im ,neuhumanismus  
die seichte ,periode1  welche wir       
,aufklrungszeit nennen1 berwunden hat1  
und ohne dass  ,kant und ,goethe nicht  
zu verstehen sind4 ,denn auch die       
,schnheit der  ,wahrheit ist weder      

vorher noch nachher1 je so tief         
empfunden worden1  wie von dem ,volke1  
fr das das   1 das ,schne1  ,gute1      
,wahre1 ein einziger ,begriff gewesen4  
,gerade in der ,jetztzeit1  in der die  
sich hufenden ,entdeckungen auf         
physikalischem und  chemischem ,gebiete 
die ,macht des ,menschen und sein       
,selbstbewusstsein  ins ,ungemessene    
steigernd1 eine rohe ,anbetung des      
materiellen ,genusses  grossgezogen     
haben1 da hat sich wieder der           
,hellenische ,geist mchtig  erhoben1 der
 mit ,platon1 ,aristoteles1 ,lessing das
 ,streben nach der  ,wahrheit um der    
,wahrheit willen als das hchste als das 
befriedigendste  ,gut empfindet4    ,m4 
,h46 ,das ,gesetz der ,kontinuitt1 wie  
es nicht nur die griechische  sondern   
jede ,wissenschaft beherrscht1 gilt auch
 fr die ,hellenische  ,kultur4 ,von     
,anfang an durch die grosse             
,kstenentwicklung und die vielen  ,hfen 
ihres ,landes auf das vlkerverbindende  
,meer hingewiesen1 haben  sie regsamsten

 ,geistes von den gyptern und durch     
,vermittlung der  ,phnizier von den     
,babyloniern gelernt und den ,einfluss  
des ,orients  auf allen ,gebieten des   
,wissens und der ,kunst erlitten1 aber  
ebenso  sicher ist es1 dass sie diese   
,einflsse von ,anfang an selbstndig     
verarbeiteten1 dass sie1 um mit ,ostwald
 zu reden1 diese fremden  ,kulturen     
nicht kopierten1 wohl aber verwerteten4 
,insbesondere gilt  diese               
,selbstndigkeit fr die ,hellenische     
,philosophie und ,mathematik4  ,die     
,philosophie anfnglich auf              
,naturerklrung gerichtet1 nimmt  schon  
mit ,anaximander scharf den ,weg zur    
,naturerkenntnis1 die bei  ,demokrit    
ihren ,hhepunkt erreicht1 um mit ,platon
 und ,aristoteles  die                  
,erkenntnistheorie und                  
,wissenschaftslehre berhaupt zu         
bemeistern4  ,aus gypten und ,babylonien
 haben wir bisher keine ,spur davon     
gefunden1  dass der ,menschengeist      
selbstndig der ,natur gegenbergetreten1 

die  ,semiten begngen sich ihrer eminent
 religisen ,veranlagung nach mit der    
,tatsache3 ,im ,anfang schuf ,gott      
,himmel und ,erde4 ,in ,betracht knnten 
nur die ,inder kommen1 besonders die    
,vaisesikaphilosophie2 aber m4 ,e4      
liegt die ,sache gerade umgekehrt1 und  
sowohl der ,atomismus derselben  als z4 
,b4 die ,einfhrung des ther als fnftes  
,element1 das die  ,schallwellen        
fortlenkt1 sind ,hellenischem ,einfluss 
zuzuschreiben4    ,die wichtigste       
,quelle fr die ,geschichte der          
,hellenischen  ,philosophie ist das     
erste ,buch der ,metaphysik des         
,aristoteles und  fr ,mathematik der    
,kommentar des ,proklos1 besonders das  
sogenannte  ,mathematikerverzeichnis4   
,beide beginnen mit ,thales dem         
,milesier1 so  beginnt denn die         
,geschichte der ,philosophie wie der    
,mathematik mit  ,thales dem ,jonier4   
,ergnzung zur ,lehre der ,pythagoreer4  
,da mir bis vor kurzen die grndliche    
,dissertation von ,w4 ,bauer1  der ltere

 ,pythagoreismus1 ,bern #ahig1 entgangen
 war1 so sehe ich  mich veranlasst1 den 
,abschnitt ber die ,pythagoreer zu      
ergnzen4 ,zu  diesem ,zwecke muss ich   
etwas nher auf ,anaximander den         
,jonischen  ,physiologen eingehen1 sowie
 auf die ,orphiker4 ,anaximander hat    
sicher eine ,schrift peri physeos       
geschrieben1 welche noch dem            
,theophrast vorlag4 ,ob er sein ,apeiron
 als ,stoff oder als ,kraft  gedacht hat
 oder was das wahrscheinlichste1 als    
beides zugleich1  ist zweifelhaft4 ,in  
der sehr merkwrdigen ,stelle            
,aristoteles  ,phys4 #ad4 #bjc;b #f     
7,diels ,frag4 ,s4 #ad7 werden fnf      
,quellen seines  ,unendlichkeitsbegriffs
 angegeben3 die ,zeit1 die ,auflsung des
  ,continuums1 der ,fortgang in der     
,begrenzung des ,begrenzten 7die        
,compositio continui71 die ,zahl1 der   
,raum 7das ausserhalb des  ,himmels74   
,nicht minder interessant ist die       
,stelle bei ,simplicius  7,diels #ac    
oben73 ,anaximander nennt das           

,unendliche ,prinzip und  ,element der  
,dinge4 ,nicht das ,wasser oder ein     
anderes der sogenannten  7vier7         
,elemente1 sondern ein anderes ,wesen1  
das ,apeiron1 sei das  ,prinzip1 aus dem
 alles entstanden sei1 die ,welten und  
ihre  ,ordnungen4 ,woraus aber den      
,dingen die ,entstehung stammt1 eben    
dahin geht auch ihr ,untergang nach     
,notwendigkeit2 denn sie zahlen         
einander ,strafe und ,busse der         
,zeitfolge gemss4 ,in diesem ,satz ist  
a7 die ,unvernderlichkeit des           
,unendlichen dem ,endlichen gegenber    
ausgesprochen1 b7 in dem                
,nebeneinanderstellen von ,prinzip und  
,element1  arche und stoicheion1 wird   
gesagt1 dass etwas vom ,unendlichen     
,bestandteil der ,dinge sei und c7 in   
dem letzten ,satz1 der bei ,diels       
gesperrt gedruckt ist1 liegt eine       
,ahnung von dem ,gesetz der ,erhaltung  
der ,energie4 ,jedes ,entstehende       
entsteht auf ,kosten anderer und bsst   
dafr durch seinen ,untergang4    ,wie   

aus dem ,urstoff1 dem ,unendlichen1 die 
vier ,elemente hervorgegangen1  darber  
fehlen bestimmte ,angaben4 ,nach        
,aristoteles und ,theophrast  scheint   
das ,apeiron qualittslos gedacht und die
 ,elemente sind durch  ,bewegung        
ausgeschieden4 ,zuerst trennten sich das
 ,warme und ,kalte1 wie  etwa ,glas- und
 ,harz-,elektrizitt durch ,reibung4 ,zum
 ,unterschiede von  ,thales hat         
,anaximander den ernsthaften ,versuch   
gemacht den ,kosmos und  die            
,naturerscheinungen wissenschaftlich zu 
erklren1 dabei bekunden  die ,angaben1  
dass er die ,schiefe der ,ekliptik      
gekannt habe und die  ,gestirne als     
,gtter betrachtet1 ,babylonischen       
,einfluss4 -- ,die ,erde  selbst dachte 
er sich in ,form eines ,cylinders1      
dessen ,hhe #a_/c des  ,durchmessers1 im
 ,mittelpunkte des ,kosmos ruhend1      
vermutlich infolge  einer ,ahnung der   
sich gegenseitig aufhebenden ,wirkungen1
 denn der  ,kosmos ist bei ihm          
vielleicht zuerst als ,kugel gedacht4   

,geworden ist  die ,erde infolge der    
fortgesetzten ,austrocknung durch das   
umgebende  ,feuer1 insbesondere die     
,sonne1 weshalb auch die ,meere         
allmhlich  austrocknen4 7,aristoteles   
,meteorol4 ,,ii1 #a1 #cec;b #f74 ,aus   
dem ,urschlamm  sind dann durch die     
belebende ,wirkung der ,sonne die       
,organismen  entstanden1 und hier ist   
also diese ,wandlung der ,sonnenenergie 
zuerst  verwertet4 ,mit das             
interessanteste ist1 dass1 wie ,zeller  
zuerst  hervorgehoben1 ,anaximander als 
,vorlufer ,darwins angesehen werden     
kann4  ,er wies darauf hin1 dass ein so 
hilfloses ,wesen wie das ,menschenkind  
sofort htte zugrunde gehen mssen und so 
meinte er1 dass die ,menschen  sich aus 
alligatorhnlichen ,tieren entwickelt    
htten 7was ja so manchen  ,zug in der   
,menschennatur erklren wrde7 bis ihre   
,entwicklung soweit  gediehen1 dass sie 
ihre ,panzer abwerfen und am ,lande     
leben konnten4    ,aristoteles erwhnt in
 der historischen bersicht in der       

,metaphysik den  grssten der            
,physiologen nicht1 sein ,apeiron passt 
eben in keine der  vier ,archai des     
,kapitel ,,iii1 obwohl das ,wort von ihm
 herrhrt1 aber  der ausserordentliche   
,fortschritt gegen ,thales ist dem      
,aristoteles  nicht entgangen4 ,die     
grossen ,probleme der ,materie und der  
,substanz sind  hier in voller          
,deutlichkeit erfasst1 um nie wieder aus
 der ,philosophie  zu verschwinden1 und 
in seinem ,apeiron ist noch vor den     
,pythagoreern  der ,versuch gemacht vom 
unmittelbar gegebenen ,stoff zu         
abstrahieren  und ihn durch eine        
gedankliche ,hypothese zu ersetzen4 ,das
 ,apeiron des  ,anaximander ist eine der
 ,quellen der ,pythagoreischen          
,kosmogonie4 ,nicht  minder wichtig ist 
die eigentmliche theologisch-poetische  
,bewegung  welche man als ,orphische    
bezeichnet1 fr deren ,verstndnis ich    
,erwin ,rohdes klassischer ,psyche      
7#ahid7 den meisten ,dank schulde4  ,das
 ,jahrhundert von #fbj etwa bis #ebj    

kann man als die griechische  ,sturm-   
und ,drangperiode bezeichnen4 ,neben    
jonischen ,denkern ein  nicht minder    
strmischer ,drang nach religiser        
,vertiefung4 ,die  eleusynischen        
,mysterien1 deren ,inhalt der           
,unsterblichkeitsgedanke oder  richtiger
 das ,fortleben der ,seele nach dem     
,tode bildete1 gewannen  zahlreiche     
,teilnehmer aus dem ganzen ,hellas und  
es entwickelte  sich eine               
philosophisch-theologische ,spekulation 
welche zu einem  abgeschlosseneren      
systematischeren ,kultus fhrte1 als ihn 
die vielfach  lokalisierte              
,volksreligion darbot1 eben die ,orphik4
    ,die ,orphiker1 nach dem durch die  
,sage von ,orpheus in der ,unterwelt    
bekannten ,thrakischen ,snger benannt1  
verehrten auch ,thrakiens ,gott  den    
,bakchos oder ,dionysos4 ,das lteste    
,zeugnis ber sie gibt ,herodot  7#b1    
#ha7 der die bereinstimmung gyptischer  
,priester-,vorschriften mit  den        
orphischen und bakchischen              

,geheimdiensten hervorhebt1 die in      
,wahrheit gyptisch und pythagoreisch    
seien1 d4 h4 nach gyptischem  ,vorbilde 
von ,pythagoras eingefhrt seien1 etwa um
 die ,mitte des #f4  ,jahrhunderts4     
,orphische ,gemeinden bildeten sich in  
,griechenland  und ,gross-,griechenland 
7,unteritalien7 mit ganz festen heiligen
  ,schriften und festem ,kult4 ,rohde   
sagt3 ,die ,verbindung von ,religion    
und einer halbphilosophischen           
,spekulation war eine kennzeichnende    
,eigentmlichkeit der ,orphiker und ihrer
 ,schriftsteller1 von denen ich  als den
 wichtigsten ,pherekydes von der ,insel 
,syros erwhne1 bekannt  durch seine     
,theologia1 einem ,seitenstck zu der    
,hesiod ,theogonie4 ,die  ganze ,lehre  
trgt einen allegorischen ,charakter1 ich
 erwhne nur den  ,abschluss4    ,am     
,ende der sich in ,geschlechterfolge    
entwickelnden ,gtterreihe steht  der    
,sohn des ,zeus und der ,persephone1    
,dionysos1 der als ,unterweltgott       
,zagreus genannt ist4 ,der ,name        

bedeutet starker ,jger1 -- das   ist    
eine ,nebenform von  welches in der     
,komposition gleich dem  lateinischen   
per die ,bedeutung des ,simplex         
tunlichst verstrkt --  und bezieht sich 
auf den ,tod1 den ,hades4 ,dem ,zagreus 
hat ,zeus 7,zas7  schon als ,kind die   
,herrschaft ber die ,welt anvertraut1   
ihn berfallen  die ,feinde des ,zeus und
 der sittlichen ,ordnung1 die ,titanen  
und  nach heftigen ,kampfe wird er      
zerrissen4 ,nur das ,herz rettet        
,athene1  berbringt es dem ,zeus1 der es
 verschlingt4 ,aus ihm entspringt der   
neue  ,dionysos1 des ,zeus und der      
,semele ,sohn1 in dem ,zagreus wieder   
auflebt4  ,die ,titanen stellen die     
,urkraft der ,bsen dar1 sie zerrissen   
den ,einen  in viele ,teile1 durch      
,frevel breitet sich das ,eine1 die     
,gottheit1  in die ,vielheit der ,dinge 
dieser ,welt aus 7,anaximander674 ,aber 
die  ,gottheit entsteht wieder als      
,einheit im ,dionysos4 ,zeus            
zerschmettert  die ,titanen durch seinen

 ,blitzstrahl1 aus ihrer ,asche entsteht
 das  ,geschlecht der ,menschen1 die    
also ihrem ,ursprung nach eine          
,spottgeburt  von ,dreck und ,feuer     
sind1 von ,gutem aus ,zagreus1 von ,bsem
 aus dem  ,titanischen ,elemente4 ,damit
 ist dem ,menschen sein ,weg            
vorgezeichnet1  er soll sich von dem    
titanischen ,elemente befreien und      
zurckkehren  zu ,gott von dem ein ,teil 
in ihm lebendig ist4 ,oder was dasselbe1
 der  ,mensch soll sich frei machen von 
den ,banden des ,krpers in dem die      
,seele gefesselt ist wie in einem       
,kerker4 ,aber der ,weg ist lang1 der   
,tod trennt zwar ,seele und ,krper1 aber
 die ,seele1 die beim ,austritt  aus    
ihrem ,leibe frei in der ,luft schwebt1 
wird in einen neuen ,krper  eingeatmet  
und so durchwandelt sie den weiten      
,kreis der ,notwendigkeit4  ,ja sie kann
 sogar wie ein periodischer             
,dezimalbruch immer dieselben  ,zustnde 
in derselben ,reihenfolge durchlaufen4  
,nur eine ,hilfe gibt es1  die ,askese  

in der gnzlichen ,versenkung in die     
,gottheit4    ,wie man sieht sind       
zeitlich und inhaltlich die indischen   
buddhistischen  ,einflsse unverkennbar4 
,pythagoras nun trat1 ,rohde zufolge1   
dem  ich vllig beipflichte1 in die      
orphische ,gemeinde von ,kroton1 die er 
reformierte4 ,und zwar ist der ,modus   
der stets befolgte und einzig  ,erfolg  
verheissende1 die ,sitten1 ,gebruche1   
den ,kult liess er  unangetastet1 die   
,dogmatik nderte er2 ,askese1           
,seelenwanderung1 ja  ,musik und        
,heilkunst bernahm er von den           
,orphikern4    ,die ursprngliche ,lehre 
selbst zu erkennen1 wird dadurch        
erschwert1  dass wir den ,pythagoreismus
 zuerst in der verhltnismssig spten     
,darstellung des ,philolaos besitzen4   
,philolaos aber zeigt nicht nur  den    
,einfluss des ,anaximander und zwar     
positiv im ,apeiron und negativ  in der 
,betonung der ,einzigheit des ,kosmos1  
sondern auch den des  ,heraklit fr die  
,rolle die das ,feuer im ,kosmos1 einem 

pythagoreischen  ,ausdruck1 spielt4     
,dass ,heraklit in ,unteritalien schon  
kurz nach  #ejj bekannt war1 ist ja     
erwiesen4 ,aber auch die vier ,elemente 
des  ,empedokles und ,momente aus der   
,weltschpfung des ,anaxagoras nahm      
,philolaos auf4 ,ob das formgebende     
,prinzip oder der ordnende ,nous von    
einem ,zentralpunkt dynamisch wirken1   
ist dasselbe4 ,allerdings lagen  dem    
,aristoteles vermutlich auch noch ltere 
,quellen als ,philolaos  vor4 ,was nun  
die sehr dankenswerte ,dissertation von 
,w4 ,bauer  7#ahig7 betrifft1 so scheint
 mir die ,argumentation etwas durch die 
vorgefasste ,meinung des ,verfassers    
beeinflusst1 der die ,quellen je  nach  
dieser wertet1 um z4 ,b4 gegen ,zeller  
einen eignen pythagoreischen  ,gott zu  
konstruieren1 der dann von dem ,nous des
 ,anaxagoras nicht  wesentlich          
verschieden wre4 ,von ,aristoteles nimmt
 er weg1 ,syrion  und ,stobaios legt er 
zu1 das umfassende ,feuer ist keineswegs
 als ein  zusammenfassendes             

gekennzeichnet1 periecho ist nicht      
synecho1 und die  ,lauterkeit der       
,elemente selbst bezieht sich nicht auf 
,materie und  ,form sondern auf die vier
 ,elemente selbst4 ,das umgebende ,feuer
 erklrt  sich einerseits durch die      
,auszeichnung die ,anfang und ,ende     
besitzen und  ,anfang und ,ende reichen 
einander die ,hnde4 ,das von der        
zentralen  ,hestia zur ,erhaltung des   
,kosmos verbrauchte ,feuer wird von da  
aus  ersetzt1 durch den ,atemzug des    
,weltalls4    ,darin pflichte ich ,herrn
 ,bauer bei1 dass die ,betonung der     
,gegenstze1  die orphisch ist1          
vielleicht das ursprngliche ist4 ,man   
muss aber  unterscheiden zwischen dem   
,apeiron1 dem ,peras und dem ,perainon1 
d4 h4  zwischen ,stoff und ,form und    
,formgebung und das formgebende         
,prinzip1 die  ,seele wie des ,menschen 
so der ,welt1 ist1 wenn man das ,wort   
brauchen  will1 der eigentliche ,gott   
der ,pythagoreer1 nmlich die ,harmonie1 
welche die ,gegenstze zur ,vereinigung  

zwang und darin erhlt4 ,auch fr  sie    
lagen orphische vielleicht auch         
,heraklitische ,anregungen vor4    ,von 
der ,harmonie zur ,zahlenlehre der      
,aristotelischen ,darstellung  ist aber 
nur ein kleiner ,sprung1 denn wenn die  
,ordinalzahl1 wie ich  an anderer       
,stelle gesagt habe1 der major domus der
 ,zeit ist1 so ist  es die relative1 die
 ,verhltniszahl1 fr die ,harmonie1 die  
eben nur  in ,verhltniszahlen zum       
,ausdruck kommt4 ,die ,erfindung des    
,monochords  ist von diesem ,prinzip    
geleitet worden2 jedes ,kind1 das an    
einer ,saite  klimpert1 weiss1 dass die 
krzere den helleren ,ton gibt1 aber nur 
wer  den ,gedanken erfasst hat1 dass die
 ,harmonie in ,zahlenverhltnissen  ihre 
,objektivierung finden muss1 wird       
versuchen messend einfache  ,verhltnisse
 herzustellen4 ,so sind es die          
,pythagoreer1 die sicher noch  vor      
,platon die ,bedeutung der relativen    
,zahl erkannt haben1 und hier  liegt    
vielleicht ihr grsstes ,verdienst um die

 ,mathematik4 ,hiermit  hngt auch die   
ihnen eigentmliche ,auffassung der      
,einheit zusammen1 die  keine ,zahl ist1
 wie wir das ja noch in den             
,rechenbchern des #ah4 ,jahrh4  nach    
,chr4 lesen knnen1 sondern eine ,grsse1 
und ich weise hier auf den              
,zusammenhang mit ,galilei hin und auf  
die ,stelle ,aristoteles ,metaph4       
,,xiii #f1 #ajhj1 #f1 #af4    ,zum      
,schluss noch ein paar ,worte ber das   
,kenon1 das ,leere1 der  ,pythagoreer1  
denn hier liegt die ,grundlage fr den   
wichtigen ,begriff  des   des           
,nichtseienden1 das schliesslich bei    
,demokrit und ,platon  geradezu         
positiven oder besser konstruktiven     
,inhalt empfngt4    ,dieses ,leere      
scheint mir nichts anderes zu sein als  
eine ,vermischung  von ,zeit und ,raum1 
die im ,kenon zwar noch ungeschieden1   
aber doch  schon als                    
,sonderungsprinzipien 7principia        
individuationis nach  ,schopenhauer7    
erkannt sind4 ,sie werden aus dem       

,apeiron jenseits  der zehnten ,sphre1  
der des umgebenden ,feuers1 eingesogen  
um die  im ,kosmos zur ordnungsgemssen  
,trennung und ,bewegung der ,sphren     
verbrauchte ,zeit und ,raum zu ersetzen4
 ,die ,polemik des ,parmenides  gegen   
das ,nichtseiende ist also noch mehr    
gegen die ,pythagoreer  als gegen       
,heraklit gerichtet1 denn sie ist gegen 
,zeit und ,raum  und ,bewegung          
gerichtet4 ,aber dieses ,kenon1 dieses  
me on ist dann  von ,demokrit           
aufgenommen1 der in dem ,leeren der     
,pythagoreer1  den ,poren des           
,empedokles und den unzhlig vielen      
unendlich  kleinen ,elementen des       
,anaxagoras die ,bausteine fand1 aus    
denen er  mittelst der ,differentiale   
der ,masse1 des ,raumes und der         
,bewegung1  die unerschtterlichen       
,grundlagen der physikalisch-chemischen 
oder  richtiger der mathematischen      
,naturbeschreibung geschaffen hat4      
,autoren-,register      ,die ,rmischen  
,zahlen bedeuten die ,kapitel1 ,vorwort 

,v1 ,einleitung   ,e1 ,nachwort  ,n4    
,namenfehler im ,buche bitte nach dem   
,register zu  verbessern4               
,aahmes7-,ames7-,jamesu ,i #bg ,z #g1   
#af1 #bg2 #cc ,z #e1 #g1 #cb2 #dc ,z #b1
 #bf2 #dg      ,z #e2 #di ,z #f4        
,abel ,n4 ,h4 ,,ii #gc ,z #ae1 #bc4     
,abulphat v4 ,ispahan ,,iii #bia ,z #ab4
      ,abul ,wafa ,,iii #ceh ,z #cb4    
,adrastos ,,iii #cec ,z #c4      ,ahmes 
s4 ,aahmes4      ,d',alembert ,j4 ,,iii 
#cac ,z #ae4      ,alexander ,polyhistor
 ,,ii #eg ,z #aa4      ,allman ,g4 ,j4  
,,iii #agb ,z #ag4      ,ammonios ,,iii 
#cee ,z #h4      ,anaxagoras ,,iii #agj 
,z #ae ,n #chf ,z #c #ab2 #chh ,z #a4   
,anaximander ,,iii #abd ,z #cb f2 #abe  
,z #e1 #bg2 #agf ,z #bd2 #bgh ,z #b2 ,n 
#chj ,z      #cj2 #cha ,z #bd2 #chb ,z  
#a1 #bb2 #chc ,z #c1 #bj2 #chd ,z #cd2  
#che ,z #cj4      ,anaximenes ,,iii #agf
 ,z #be4      ,andron ,,iii #abe ,z #bg4
      ,anthiphon ,,iii #agb ,z #a1 #aj2 
#age ,z #ab1 #ah4      ,antisthenes     
,,iii #cdj ,z #f4      ,apastamba ,,iii 

#aci ,z #af2 #ade ,z #f2 #adg ,z #cb2   
#adh ,z #ae2 #adi ,z #d1 #bd1 #bi2      
#aej ,z #h1 #ad1 #ba2 #aea ,z #ai2 #aec 
,z #ah2 #aed ,z #b2 #aee ,z #cj2 #aef ,z
 #bd4      ,apollodoros ,,iii #abc ,z   
#ca4      ,apollonios von ,pergae ,,iii 
#bji ,z #aj1 #ae2 #bca ,z #aa2 #bcd ,z  
#cj2 #bce ,z #ad2      #bcf ,z #ca2 #bda
 ,z #bg2 #bdh ,z #ai1 #bij-cjj2 #cja ,z 
#a2 #cjf ,z #i2 #caa ,z      #af2 #cae  
,z #bg1 #cj2 #cbd ,z #bd2 #cci ,z #aj2  
#cdc ,z #e2 #cfi ,z #d2 #cgj ,z #bh2    
#cga ,z #ba2 #cgb ,z #f4                
,apollonios von ,thyana ,,iii #abf ,z   
#c2 #ace ,z #bc2 #ceg ,z #h4            
,apulejus ,,iii #abd ,z #ae2 #cdh ,z #e 
f4      ,aratos ,,iii #caa ,z #cc4      
,archimedes ,e ,x ,z #i2 ,,xiv ,z #ba2  
,,xv ,z #g2 ,,iii ,s4 #age ,z4 #cj2 #aha
 ,z #ah1 #bj1      #bc2 #ahb ,z #f2 #bjb
 ,z #bh2 #baj ,z #a2 #baa ,z #bi2 #bac  
,z #c2 #bbi ,z #cd2 #bcj ,z      #f2    
#bca ,z #aa1 #bcc ,z #aj2 #bcd ,z #ac2  
#bcf ,z #ca2 #bda ,z #be1 #cj2 #bej ,z  
#i1      #beh-bhe2 #bij ,z #e2 #bia ,z  

#h2 #bib ,z #d2 #bid ,z #bg2 #big ,z #f1
 #ae2 #bih ,z      #bc1 #cj2 #bii ,z #f2
 #cjj ,z #ab2 #cja ,z #f2 #cjb ,z #aj2  
#cjc ,z #cd2 #cjd ,z #g2      #cjh ,z   
#ba2 #cji ,z #d2 #caa ,z #c1 #aa1 #ae2  
#cab ,z #bf2 #cae ,z #a1 #bb2 #caf ,z   
#ab2 #cai ,z #ah2 #cbf ,z #b2 #cbh ,z   
#g2 #cca ,z #bg2 #cce ,z #cc2 #ccf ,z   
#ac1 #be1      #ca2 #ccg ,z #i2 #cdh ,z 
#cc4      ,archytas ,,iii #abh ,z #d2   
#abi ,z #g1 #aj2 #acg ,z #aj2 #ahd ,z   
#bf2 #ahe ,z #bf2 #aia      ,z #af2 #aid
 ,z #bi2 #aie ,z #b2 #aig ,z #e1 #bd2   
#aih ,z #e2 #aii ,z #bi2 #bjj ,z #c2    
#bjb ,z #a1 #e2 #bjh ,z #b1 #aa2 #bji ,z
 #bi2 #baa ,z #bd2 #cfi ,z #ad4         
,aristaios ,,iii #bib ,z #e1 #af2 #bic  
,z #cd4      ,aristarch 7von ,samos7    
,,iii #bah ,z #ab2 #bgi ,z #bf2 #bhj ,z 
#c2 #bhd ,z #be2 #caa      ,z #bb4      
,aristippos ,,iii #cda ,z #bb4          
,ariston ,,iii #bhf ,z #d4              
,aristoteles ,,iii #abd ,z #ah1 #bh2    
#abe ,z #bc1 #cj2 #abg ,z #cc2 #abh ,z  
#g1 #bb2      #abi ,z #d2 #acj ,z #ag2  

#aca ,z #ab2 #acb ,z #cb2 #acd ,z #ad2  
#acf ,z #bd2 #ada ,z      #aj2 #afg ,z  
#ah2 #afi ,z #bh2 #agj ,z #f1 #bg2 #aga 
,z #bd2 #agb ,z #c2 #age ,z #ag2        
#agf ,z #i2 #agi ,z #e1 #af1 #bd2 #aha  
,z #a1 #cc2 #ahf ,z #f2 #ahh ,z #h2 #aij
 ,z #ah2      #aii ,z #h2 #bjd ,z #i2   
#bac ,z #ca1 #bad-bbh2 #bcb ,z #ac2 #bcf
 ,z #cj2 #bdb ,z      #bf1 #cc2 #bdg ,z 
#ag1 #bj1 #bc2 #bdi ,z #a2 #bej ,z #i2  
#bec ,z #ai2 #bee ,z #cc2 #beh      ,z  
#bh2 #bhf ,z #ac2 #cae ,z #c2 #cbj ,z   
#f2 #cca ,z #bg2 #cdj ,z #ah2 #cdb ,z   
#bf2 #cdf      ,z #bi2 #ceb ,z #d2 #cee 
,z #bc2 #cgb ,z #h4 ,n #cge ,z #i2 #cgf 
,z #bi2 #cgg ,z #ai2      #chj ,z #ae1  
#cj2 #cha ,z #ab1 #bi2 #chb ,z #ag1 #cc2
 #chc ,z #aj1 #ad2 #chf ,z #ab2         
#chg ,z #ae4      ,aristoxenos ,,iii    
#bcc ,z #ah4      ,arkesilaos ,,iii #bhf
 ,z #d4      ,arnauld ,a4 ,,iii #bde ,z 
#ab4      ,arrian ,,ii #ga ,z #bf4      
,ast ,fr4 ,,iii #aij ,z #bj2 #cdg ,z    
#ba4      ,athenodoros ,,iii #cbd ,z    
#ah4      ,august ,e4 ,f4 ,,iii #bdj ,z 

#h4      ,augustinus ,,iii #ahc ,z #c2  
#ced ,z #bi4      ,autolykos ,,iii #bcb 
,z #h2 #cjj ,z #bb2 #cch ,z #ad4        
,auwers ,ar4 ,,ii #ajc ,z #bb4          
,averros ,,iii #bbb ,z #bh4             
,bachet ,g4 ,,iii #cei ,z #h2 #cfj ,z   
#aj2 #cfe ,z #bh4      ,bacon ,,iii #cbd
 ,z #d4      ,balsam ,h4 ,,iii #bia ,z  
#cj4      ,baltzer ,r4 ,,iii #aga ,z #h2
 #bfh ,z #aj2 #bii ,z #h2 #cea ,z #af2  
#cgc ,z #ah4      ,baudhyana ,,iii #aci 
,z #ag2 #adh ,z #a2 #adi ,z #d2 #aej ,z 
#g1 #bj2 #aea ,z #e2 #aec      ,z #ad2  
#aed ,z #bj2 #aee ,z #bj2 #aeg ,z #ah2  
#aei ,z #bf2 #afj ,z #ae4      ,barocci 
,fr4 ,,iii #bdc ,z #cd4      ,barrow    
,ph4 ,soc4 ,j4 ,,iii #bdd ,z #af4       
,bartels ,j4 ,m4 ,c4 ,,iii #bde ,z #d4  
,bauer ,w4 ,n #cha ,z #ba2 #chf ,z #g1  
#bc4      ,bayle ,p4 ,,iii #afi ,z #cc4 
,becker ,c4 ,k4 ,e ,,xii ,z #ag4        
,benfey ,th4 ,,ii #gc ,z #bg4           
,berger ,hg4 ,,iii #bhe ,z #cj4         
,bergh ,t4 ,,iii #ceb ,z #aa4           
,berkeley ,g4 ,,iii #afi ,z #i4         

,bernardy ,gtf4 ,,iii #bce ,z #b4       
,bernhardy ,,iii #bhe ,z #bi4           
,bernoulli ,j4 ,e ,,xi ,z #bc4          
,berossos ,,ii #eg ,z #f2 #ga ,z #bf2   
#ig ,z #bi2 #aaf ,z #bj4      ,bertram  
,h4 ,,iii #bgd ,z #ah4      ,bertrand   
,l4 ,,iii #bde ,z #ac4      ,bezold ,w4 
,v ,,vii ,z #bf2 ,,ii #ei ,z #ac2 #fe ,z
 #be2 #ff ,z #ad2 #gj ,z #c2 #gg ,z #g2 
#aab ,z #d2 #aae ,z #be2 #aaf ,z #be4   
,birch ,s4 ,i #bf ,z #be4      ,bjrnbo  
,a4 ,a4 ,,iii #cdc ,z #bc2 #cde ,z #bh4 
,blass ,fr4 ,,iii #ahe ,z #bd2 #aib ,z  
#bg2 #baa ,z #cd4 ,n #cgg ,z #aa4       
,boeckh ,a4 ,,ii #ij ,z #ac2 #ia ,z #d2 
,,iii #abh ,z #b2 #abi ,z #aa1 #bf2 #acb
 ,z #bj1      #bg1 #ca2 #acc ,z #aa1    
#bb1 #cd2 #acd ,z #ab1 #bb2 #aih ,z #af2
 #bjg ,z #bg2 #cea ,z      #a4          
,botius ,,iii #bdj ,z #ad2 #cdh ,z #g f2
 #cej ,z #c2 #ceb ,z #bg4      ,boll ,f4
 ,,iii #cab ,z #cj4      ,bolyai ,j4    
,,iii #aei ,z #cb2 #bde ,z #c4          
,bolyai ,w4 ,,iii #bde ,z #b4           
,bolzano ,b4 ,e ,x ,z #af2 ,,iii #afi ,z

 #bj2 #bbg ,z #ae2 #bdf ,z #ah2 #bea ,z 
#e1 #ac2      #cfg ,z #bj4      ,bonitz 
,h4 ,,iii #bbd ,z #ab4      ,bonola ,r4 
,,iii #bci ,z #ae4      ,borchardt ,l4  
,i #c ,z #d2 #d ,z #ad2 #f ,z #bh2 #bf  
,z #ai2 #bg ,z #bd1 #cj2 #de ,z #i2     
#df ,z #aj1 #cd2 #di ,z #ab2 #ej ,z #af2
 #ea ,z #aa1 #cj2 #ec ,z #ag2 ,,ii #fa  
,z #bc1      #bf2 #ge ,z #ab2 #aje ,z   
#a2 #aaa ,z #bb2 #aab ,z #cd4           
,borelli ,j4 ,,iii #bdd ,z #bi2 #bia ,z 
#af4      ,botta ,e4 ,,ii #gd ,z #bi2   
#ge ,z #b2 #ii ,z #e4      ,brandis ,j4 
,,ii #ia ,z #c2 #ic ,z #bh2 ,,iii #acb  
,z #af4      ,bretschneider ,c4 ,a4     
,,iii #acf ,z #cj2 #aec ,z #i2 #aga ,z  
#bf2 #aib ,z #ac2 #aig ,z      #g2 #bji 
,z #ab4      ,brugsch ,h4 ,k1 ,i #dh ,z 
#ae4      ,brunet de ,presle ,,iii #bjd 
,z #bj4      ,bruno ,g4 ,,iii #cdc ,z   
#h4      ,bryson ,,iii #age ,z #be4     
,budge ,e4 ,a4 ,w4 ,,ii #ge ,z #aj4     
,bhler ,g4 ,,iii #aed ,z #af2 #afd ,z   
#cd2 #afe ,z #e4      ,bunte ,brh4 ,,iii
 #bei ,z #aa2 #bfa ,z #ag4      ,brk ,a4

 ,,iii #ach ,z #ad1 #ai1 #bb2 #adj ,z   
#b2 #add ,z #bh2 #adf ,z #g2 #aej ,z    
#cd2      #aec ,z #cc2 #aed ,z #bj4     
,burnell ,a4 ,c4 ,,iii #afc ,z #bd4     
,campano ,g4 ,,iii #bdj ,z #bj2 #bdd ,z 
#i2 #bef ,z #a4      ,cantor ,g4 ,,iii  
#afi ,z #bb1 #bf2 #bbf ,z#g2 #bbg ,z    
#ag4      ,cantor ,m4 ,e ,,xii ,z #cc2  
,i ,s4 #bf ,z #bi2 #bg ,z #ah2 #cc ,z   
#ae2 #cf ,z #bf1 #bh2 #cg      ,z #cb2  
#dj ,z #ab2 #de ,z #cc2 #df ,z #g2 #dg  
,z #bj1 #bg2 #dh ,z #ad2 #di ,z #g2 #ej 
,z      #g2 #ea ,z #h2 ,,ii #aja ,z #bj1
 #bd1 #cc2 #aac ,z #b2 ,,iii #abc ,z    
#aa2 #acg ,z #be1      #cb2 #ach ,z #be1
 #bh2 #aci ,z #bd2 #adj ,z #c f2 #add ,z
 #ca2 #ade ,z #c2 #aea ,z #aa2      #ahe
 ,z #cj2 #bab ,z #d2 #bcg ,z #ai2 #bch  
,z #bd2 #bda ,z #e2 #bdc ,z #aa2 #cjj ,z
 #ai1      #bb2 #cja ,z #ba2 #cjh ,z    
#bj2 #cad ,z #bj2 #caf ,z #ac1 #ag2 #cah
 ,z #b1 #ad2 #ccg ,z      #ba2 #cch ,z  
#bd2 #cci ,z #bg2 #cdc ,z #ad2 #cdh ,z  
#bd2 #cdi ,z #b2 #cfa ,z #d1 #aa2       
#cff ,z #bg2 #cfh ,z #a2 #cgc ,z #g4    

,cardano ,h4 ,,iii #aga ,z #ad4         
,cassirer ,e4 ,v ,z #ca2 ,e ,x ,z #ca4  
,castillon ,e4 ,,iii #bif ,z #ca4       
,cavalieri ,b4 ,,iii #aha ,z #bf2 #bac  
,z #f2 #bfd ,z #ba1 #bh1 #cd2 #ccc ,z   
#aa4      ,censorinus ,,ii #aaf ,z #ag4 
,champollion ,j4 ,f4 ,i #ah ,z #e1 #f1  
#ad2 #ai ,z #ae1 #bb2 #bj ,z #a1 #aj2   
#ba ,z #ad4      ,chapelle ,w4 ,,iii    
#cdb ,z #ai4      ,chasles ,m4 ,,iii    
#bcd ,z #af2 #bce ,z #g2 #cdd ,z #ae4   
,christoffel ,br4 ,e ,,xii ,z #d4       
,chrysippos ,,iii #cdj ,z #bc2 #cda ,z  
#a2 #cdb ,z #e4      ,cicero ,,iii #aii 
,z #aj2 #bjg ,z #ca2 #beh ,z #cd2 #bei  
,z #aj2 #bfc ,z #bj2 #bgj ,anm4      #a2
 #cdj ,z #cb2 #cda ,z #f1 #ac4          
,clairaut ,a4 ,c4 ,,iii #bde ,z #ab1    
#ai4      ,clausen ,th4 ,,iii #agd ,z   
#ah4      ,clavius ,ch4 ,,iii #aga ,z   
#ae2 #bda ,z #b2 #bdd ,z #ac1 #bg2 #bde 
,z #e1 #aa2 #bee ,z      #cd2 #bef ,z   
#b4      ,clemens ,alexandrinus ,i #ah  
,z #af4      ,cohen ,h4 ,,iii #ahb ,z   
#bd2 #ahd ,z #ac2 #ahh ,z #ad2 #bba ,z  

#a2 #bbg ,z #bh2 #bbh ,z      #a4 ,n    
#cge ,z #bb4      ,commandino ,f4 ,,iii 
#bda ,z #a2 #bdd ,z #ac1 #bj2 #bff ,z   
#f2 #bia ,z #g2 #cfg ,z #cb4            
,copernicus ,n4 ,,iii #bje ,z #ca4      
,cros ,g4 ,,ii #fa ,z #cd2 #fd ,z #bh2  
#aah ,z #aj4      ,curtius ,t4 ,,iii    
#bgh ,z #af4      ,curtze ,m4 ,,iii #cah
 ,z #ad1 #cj2 #ccc ,z #bg4      ,cusanus
 ,n4 ,,iii #bbf ,z #aj4        ,darwin  
,g4 ,,iii #bae ,z #ah4 ,n #chc ,z #c4   
,dasypodius ,k4 ,,iii #bde ,z #cb4      
,dee ,j4 ,,iii #bcc ,z #ba4             
,degering ,h4 ,,iii #cbd ,z #i4         
,delambre ,j4 ,b4 ,j4 ,,iii #bff ,z #aa2
 #bhj ,z #cb2 #bhb ,z #bf2 #cab ,z #cc4 
,delitzsch ,fr4 ,,ii #eg ,z #ai2 #fd ,z 
#aa2 #gg ,z #i f2 #gh ,z #i2 #hj ,z #bj4
      ,demokrit ,i #bf ,z #ab2 ,,iii    
#abg ,z #bf2 #afh ,z #cd2 #agf ,z #b2   
#agh ,z #d2 #hh 18      #agi-ahc2 #ahe  
,z #ca2 #aii ,z #e2 #bjc ,z #bb2 #bab ,z
 #bh2 #bbf ,z #ac2 #bcf ,z      #ca2    
#bfc ,z #be2 #bgj ,z #cb2 #bda ,z #cc2  
#bgf ,z #cd2 #cbd ,z #f2 #ccc ,z #ab4 ,n

      #cgf ,z #cj2 #chj ,z #ca2 #chg ,z 
#bj1 #cc4      ,desargues ,g4 ,,iii #bia
 ,z #cc4      ,descartes ,r4 ,,iii #afi 
,z #cd2 #ahb ,z #ad2 #cgc ,z #bc1 #bh4  
,diels ,h4 ,e ,x ,z #af2 ,,iii #abh ,z  
#bi2 #aff ,z #i2 #aga ,z #cb2 #agf ,z   
#i1 #af2 #aha      ,z #bi2 #bbj ,z #cj2 
#cad ,z #ad4 ,n #cha ,z #cj1 #cd2 #chb  
,z #ac4      ,diesterweg ,a4 ,,iii #bif 
,z #ac4      ,dikaiarchos ,,iii #bhf ,z 
#ca4      ,dinostratos ,,iii #ach ,z    
#bg2 #baj-baa2 #bab ,z #bh1 #cd2 #bac ,z
 #ad2 #bfc ,z #i4      ,diodor ,i #ag ,z
 #b2 ,,ii #ga ,z #bf2 ,,iii #bei ,z #ah4
      ,diokles ,,iii #cjf ,z #a1 #bj2   
#cjg ,z #ae2 #cjh ,z #f4      ,dionysios
 von ,halikarnassos ,,iii #abi ,z #aa4  
,dionysodoros ,,iii #cae ,z #bh4        
,diophant ,,iii #ccf ,z #bj2 #ceh-cff2  
#cga ,z #bg4      ,dirichlet ,p4 ,g4 ,e 
,,xi ,z #cg2 ,,iii #cfb ,z #bb4         
,drpfeld ,w4 ,,iii #abb ,z #aa4         
,drachmann ,,iii #bfg ,z #cd4           
,dmichen ,j4 ,i #bd ,z #ba2 #dg ,z #bb4 
,dupuis ,j4 ,,iii #ahg ,z #ai2 #cec ,z  

#a4        ,echelles ,abraham v4 ,,iii  
#bia ,z #af4      ,eisenlohr ,a4 ,i #bf 
,z #bf2 #bg ,z #ah2 #cg ,z #ca2 #ci ,z  
#ai1 #be2 #dd ,z #b2 #de ,z      #cb2   
#di ,z #g2 #ej ,z #e1 #g2 #ea ,z #a1    
#bb4      ,eisenlohr ,fr4 ,i #bf ,z #bi4
      ,empedokles ,,iii #abe ,z #be2    
#agg ,z #cc4 ,n #chf ,z #b2 #chg ,z #cd4
      ,engel ,e4 ,,iii #bej ,z #af4     
,enriques ,f4 ,,iii #agd ,z #bd4        
,epicur ,,iii #agi ,z #d2 #cci ,z #cc2  
#cda ,z #ah4      ,epiktet ,,iii #cdb ,z
 #a4      ,epping ,js4 ,,ii #aja ,z #c2 
#aje ,z #ab2 #aji ,z #bj2 #aaj ,z #bi4  
,eratosthenes ,,iii #agd ,z #ca2 #aic ,z
 #ai2 #aid ,z #af2 #aig ,z #aa2 #aii ,z 
#c1      #ae1 #be2 #bjh ,z #f2 #baj ,z  
#ae2 #bcj ,z #g2 #bca ,z #aa2 #bfj ,z   
#bb2 #bhd ,z #cj2      #bhe-bhi2 #cja ,z
 #bc2 #cjd ,z #bi2 #caa ,z #ae2 #cac ,z 
#bi1 #cb1 #cd2 #cbi ,z      #ai2 #cdj ,z
 #bi2 #cej ,z #ac4      ,erman ,ad4 ,v  
,z #bi2 ,e ,,xvii ,z #bd ,i #aj ,z #d1  
#f2 #bb ,z #e2 #ch ,z #aa4      ,eudemos
 ,e ,,ix ,z #bj2 ,,iii #abb ,z #bh2 #abc

 ,z #f1 #ae2 #abd ,z #aj1 #ah2 #abh ,z  
#g2      #ace ,z #af1 #ba1 #ca2 #aga ,z 
#bd2 #age ,z #g2 #bjh ,z #aj2 #bai ,z #f
 u4 #g2 #bbh ,z      #cc2 #bbi ,z #a1   
#f2 #bdh ,z #ah4      ,eudoxos ,e ,,ix  
,z #bb2 ,i #bf ,z #i2 ,,iii #abe ,z #bg2
 #aha ,z #bj2 #ahe ,z #bg1 #ca2         
#ahf ,z #af2 #aia ,z #ag2 #aib ,z #ae2  
#aig ,z #bh1 #cc2 #aii-baj2 #bbi ,z #cj2
      #bcf ,z #ba1 #bf2 #bch ,z #ba2    
#bda ,z #cc2 #bee ,z #bh1 #cd2 #bef ,z  
#ag2 #bfc ,z #bd2      #bgj ,z #aa1 #bg2
 #bgf ,z #cd2 #cjj ,z #ab2 #caa ,z #cc2 
#cab ,z #c4      ,eucken ,r4 ,,iii #bbj 
,z #bf4      ,euklid ,e ,x #i2 ,i #bf ,z
 #g2 #df ,z #f2 ,,iii #abc ,z #f2 #acf  
,z #a1 #bi2 #acg ,z #h2      #ada ,z #a2
 #agc ,z #af1 #ag2 #age ,z #f2 #ahe ,z  
#d2 #aib ,z #ac2 #bjb ,z #aj u4 #ab2    
#bjc ,z #ba2 #bac ,z #bj1 #bi2 #bbi-beh2
 #bfj ,z #ae2 #bfh ,z #bg2 #bij ,z #ai2 
#bia ,z #g2 #bib ,z #d1 #g2 #bic ,z #ag2
 #bid ,z #a1 #h2 #bii ,z #ai2 #cjj ,z   
#f1 #bg2      #cja ,z #bf2 #cjh ,z #ba2 
#cji ,z #cc2 #caj ,z #e2 #cac ,z #bf2   

#cad ,z #f2 #cae ,z #d2      #caf ,z    
#ah2 #cce ,z #cc2 #ccg ,z #ae1 #bf2 #cch
 ,z #ae2 #cci ,z #af2 #cdd ,z #af1 #cj2 
#cdf ,z #ac2 #cdh ,z #bi2 #cej ,z #ac2  
#ceb ,z #bd2 #cei ,z #cj2 #cfg ,z #ab1  
#bc2 #cfi      ,z #c4      ,euler ,l4 ,e
 ,,xiv ,z #bd2 ,,iii #cfb ,z #bb2 #cfe  
,z #cb2 #cgj ,z #bg4      ,eurytos ,,iii
 #aca ,z #c4      ,eusebios ,i #ag ,z   
#a2 ,,ii #eg ,z #aa2 #ig ,z #bi4        
,eutokios ,,iii #abc ,z #cc2 #ace ,z    
#bb2 #aic ,z #ai2 #aid ,z #bh2 #aii ,z  
#bd2 #bja ,z      #ab2 #bjh ,z #aj1 #ac2
 #bji ,z #h1 #ad2 #bbi ,z #b2 #beh ,z   
#bj2 #bff ,z #b1 #ac1 #bi2      #bhb ,z 
#aa1 #bi2 #bhh ,z #ai1 #bg2 #bhi ,z #aa2
 #bij ,z #ca1 #cd2 #bia ,z #i1 #bg2     
#big ,z #be2 #bih ,z #ag2 #cja ,z #cj2  
#cjb ,z #e2 #cjc ,z #bd2 #cjd ,z #bi1   
#cb2 #cjf      ,z #a1 #ad2 #cjh ,z #ad2 
#cae ,z #bi2 #caf ,z #bd2 #cbd ,z #ac2  
#cbe ,z #c1 #aj2 #cfg ,z      #ac2 #cgb 
,z #e4      ,evans ,,iii #aba ,z #bg4   
,fermat ,p4 ,e ,,xiv ,z #bd2 ,,iii #beh 
,z #ag2 #bid ,z #bc2 #cei ,z #ac1 #bb2  

#cfb ,z #ab1      #be1 #cc2 #cfe ,z #g1 
#bi2 #cff ,z #c4      ,fermat ,s4 ,,iii 
#cei ,z #aa4      ,flandin ,e4 ,,ii #ge 
,z #c4      ,flauti ,v4 ,,iii #bjj ,z   
#g4      ,flinders ,petrie ,i ,z #ae2   
#dj ,z #b2 #eb ,z #b1 #d1 #g4           
,formaleoni ,v4 ,a4 ,,ii #aja ,z #bd4   
,foster ,s4 ,,iii #bfg ,z #bi4          
,frege ,g4 ,,iii #bbf ,z #bc4           
,fresnel ,a4 ,j4 ,,iii #cbf ,z #ag4     
,friedlein ,g4 ,,iii #abc ,z #a2 #aij ,z
 #bh2 #bjb ,z #aa2 #bjh ,z #i2 #bab ,z  
#a2 #bac ,z      #be2 #bbi ,z #e1 #bf2  
#bdc ,z #ca2 #bfa ,z #bc2 #bha ,z #b2   
#bih ,z #ac2 #cja ,z #be2      #cjg ,z  
#cd2 #cji ,z #bi2 #cad ,z #d2 #cai ,z   
#cd2 #cci ,z #ab2 #cdf ,z #e2 #cdh ,z   
#af2      #cfg ,z #ag4        ,galilei  
,,iii #afi ,z #bb2 #ahb ,z #g2 #bje ,z  
#aa2 #bbf ,z #aa2 #bbg ,z #ah2 #beh ,z  
#ag2 #bfd ,z #ai1 #bi2 #bia ,z #ai2 #bid
 ,z #bc2 #cgc ,z #ab4 ,n #chg ,z #ae4   
,gartz ,,iii #cab ,z #bd4      ,gauss ,e
 ,x ,z #af2 ,,xiv ,z #bd2 ,,iii #bbf ,z 
#cj2 #bdd ,z #cd2 #bde ,z #a2 #beh ,z   

#ag2      #cdd ,z #bg2 #cei ,z #ah2 #cgj
 ,z #bg4      ,geber1 7,dschbir7 ,,iii  
#cde ,z #ah4      ,gebhart ,m4 ,e ,x ,z 
#bg4      ,geminos ,,iii #abb ,z #bf2   
#ace ,z #ba2 #agd ,z #cj2 #bje ,z #i2   
#bji ,z #i2 #bbi ,z      #g1 #bj2 #bdb  
,z #bh2 #bdi ,z #bc2 #bej ,z #h2 #bij ,z
 #ca2 #cjh ,z #aj2 #ccg ,z #ba2         
#chh-cci2 #cdc ,z #aa4      ,gerling    
,ch4 ,l4 ,,iii #agj ,z #a4              
,gherardus von ,cremona ,,iii #cch ,z   
#a2 #cdd ,z #bd4      ,ghetaldi ,marino 
,,iii #big ,z #bd4      ,ginzel ,f4 ,k4 
,,ii #ia ,z #c2 #ajb ,z #bh4            
,golius ,jb4 ,,iii #bia ,z #ac2 #cca ,z 
#bd4      ,gorgias ,,iii #agh ,z #bc4   
,grland ,a4 ,,iii #bad ,z #ag4          
,grassmann ,h4 ,g4 ,,iii #bea ,z #f1    
#ac4      ,grechauff ,th4 ,,iii #bfe ,z 
#i4      ,gregorius a4 ,st4 ,vincentio  
,,iii #aga ,z #ae4      ,griffith ,j4 ,i
 #bg ,z #ae2 #cb ,z #be2 #dj ,z #ba2 #da
 ,z #a2 #dd ,z #h4      ,grotefend ,g4  
,f4 ,,ii #gb ,z #ae1 #bd2 #gc ,z #b;f2  
#gd ,z #b4      ,grotius ,h4 ,,iii #bcc 

,z #ag4      ,grynus ,simon ,,iii #bdj  
,z #bi2 #bdc ,z #be4      ,gnther ,s4   
,,iii #bha ,z #d4        ,haggag ,,iii  
#bdd ,z #f2 #cdd ,z #cj4      ,halvy ,j4
 ,,ii #eh ,z #bf4      ,halley ,edm4    
,,iii #bia ,z #c u4 #be2 #bie ,z #b1    
#cc2 #bif ,z #ab4      ,halma ,n4 ,b4   
,,iii #cji ,z #i4      ,hankel ,h4 ,,iii
 #acg ,z #bb2 #adj ,z #f2 #aea ,z #bf2  
#aec ,z #aa2 #age ,z #ai2 #bab ,z       
#a4      ,harper ,r4 ,,ii #gj ,z #ae4   
,hart ,g4 ,,iii #ahc ,z #aa4            
,hartleben ,h4 ,i #ah ,z #i2 #ai ,z #e4 
,haynes ,j4 ,h4 ,,ii #ge ,z #ag4        
,heath ,t4 ,l4 ,,iii #cfj ,z #bc4       
,heeren ,a4 ,,ii #gc ,z #bd4      ,hegel
 ,g4 ,w4 ,f4 ,,iii #afi ,z #f2 #agg ,z  
#ac4      ,heiberg ,j4 ,l4 ,e ,x ,z #g  
,,iii #aha ,z #ag2 #bad ,z #ad2 #bbj ,z 
#ca2 #bcb ,z #bj1 #bf2      #bcc ,z #g2 
#bcf ,z #a2 #bcg ,z #d1 #bi2 #bch ,z #c2
 #bdj ,z #i2 #bda ,z #bi2 #bdb ,z #f2   
#bdc ,z #ae1 #cb2 #bec ,z #ah2 #bei ,z  
#aa2 #bfj ,z #bg2 #bfb ,z #c2 #bfd ,z   
#a2 #bfe      ,z #aj1 #bd1 #cc2 #bff ,z 

#a1 #af1 #bc2 #bfg ,z #c1 #bb2 #bfh ,z  
#a2 #bgj ,z #i1 #aa2      #bgd ,z #h2   
#bgh ,z #af2 #bhd ,z #ac1 #cd2 #bhe ,z  
#ai2 #bhh ,z #bj2 #bhi ,z #ab2 #bij     
,z #ca2 #bia ,z #bg2 #big ,z #bg2 #bih  
,z #ag2 #cjc ,z #bd2 #cjf ,z #ae4       
,helmholtz ,h4 ,,ii #ib ,z #cc4         
,henrici ,j4 ,,iii #bde ,z #cd4         
,heraklit ,,iii #abe ,z #be1 #bg2 #acc  
,z #h2 #agf-agg2 #agh ,z #ac2 #agi ,z   
#ca2      #ahj ,z #ag2 #ahc ,z #bj2 #beh
 ,z #bj2 #cda ,z #cc2 #cdb ,z #b1 #bh1  
#ca4 ,n #che ,z      #cd2 #chg ,z #cj4  
,herlin ,ch4 ,,iii #bfe ,z #ac4         
,hermann ,g4 ,e ,x ,z #e4               
,hermotimos ,,iii #bbi ,z #bg4          
,herodot ,e ,,xvi ,z #aj2 ,i #ae ,z #ac2
 #ag ,z #a2 #bb ,z #ac2 #bh ,z #bh2 ,,ii
 #ga ,z #be2      ,,iii #abb ,z #cj2    
#abd ,z #i1 #ag2 #abe ,z #bf2 #abf ,z   
#e1 #af2 #cbi ,z #bb4 ,n #chd ,z        
#d4      ,heron ,e ,x ,z #i2 ,,xiv ,z   
#cc2 ,,xv ,z #ab2 ,i #bf ,z #h2 #dc ,z  
#bd2 #dg ,z #b2 ,,iii #ach      ,z #a1  
#cb2 #aci ,z #b2 #aga ,z #ad2 #bdb ,z   

#a1 #e1 #bh2 #bej ,z #i2 #bfc ,z #cd2   
#bfd      ,z #d2 #bgd ,z #ac2 #cac ,z   
#bb2 #cad-ccg2 #cdc ,z #bf2 #cea ,z #ai2
 #ceb ,z #bd2      #cfj ,z #bh2 #cff ,z 
#g2 #cfi ,z #aj4      ,hesiod ,n #cgg ,z
 #h1 #aa2 #cgi ,z #h2 #chd ,z #ae4      
,heuzey ,l4 #ei ,z #aj2 #fb ,z #g2 #fd  
,z #a1 #d2 #gd ,z #cc4      ,hieronymos 
v4 ,rhodos ,,iii #abc ,z #bd4           
,hiketas ,,iii #acd ,z #ah2 #bah ,z #ac4
      ,hilbert ,d4 ,e ,,xiv ,z #bh2     
,,iii #bda ,z #bf2 #bdg ,z #g4          
,hiller ,e4 ,,iii #bhh ,z #ae2 #bhi ,z  
#d1 #aj4      ,hilprecht ,h4 ,v4 ,,ii   
#eh ,z #bj2 #ei ,z #ac2 #fj ,z #bh2 #fb 
,z #ab2 #fe ,z #bg2 #gc ,z      #bj2 #ge
 ,z #ag2 #hb ,z #h2 #ij ,z #a2 #aaj ,z  
#h2 #aac ,z #bc f2 #aad ,z #f1 #bd2 #aae
      ,z #h1 #bd2 #aaf ,z #ag1 #bd2 #aag
 ,z #a f4      ,hinke ,w4 ,m4 ,j4 ,,ii  
#aji ,z #d4      ,hinks ,e4 ,,ii #gc ,z 
#bg2 #ge ,z #bc2 #ajb ,z #i1 #ah1 #be2  
#aje ,z #ca f4      ,hipparch v4 ,rhodos
 ,,ii #aaj ,z #ba2 #bje ,z #cj2 #bhf ,z 
#bd2 #caa-cad2 #cae ,z      #bg2 #cbh ,z

 #f1 #ag2 #ccg ,z #bc2 #cch ,z #bb2 #cdc
 ,z #ae2 #cde ,z #f1 #af4      ,hippias 
,,iii #agh ,z #bc2 #aig ,z #ag2 #aih ,z 
#bh2 #baa ,z #bg1 #cd4      ,hippokrates
 aus ,chios ,,iii #acg ,z #aj2 #agj-age2
 #aib ,z #f2 #aid ,z #c2 #bcg      ,z   
#bf4      ,hippokrates aus ,kos ,,iii   
#agj ,z #ba4      ,hoche ,r4 ,,iii #cdg 
,z #bf2 #cdi ,z #d4      ,hommel ,e4    
,,ii #aaf ,z #ae4      ,hoppe ,e4 ,,iii 
#cad ,z #bb1 #bh2 #cbi ,z #ag2 #ccb ,z  
#e4      ,horapollo ,i #ag ,z #b4       
,horn ,w4 ,,iii #bjd ,z #ai4            
,hultsch ,fr4 ,e ,x ,z #g2 ,i #cb ,z #i2
 #cc ,z #f2 ,,ii #aaf ,z #f1 #ag2 #bab  
,z #ae2 #bha      ,z #c2 #bij ,z #aa1   
#bb2 #bif ,z #cj2 #bih ,z #bf2 #bii ,z  
#h2 #cja ,z #cd2 #cjh ,z #ai1      #bh2 
#cji ,z #ab2 #cac ,z #be2 #caf ,z #ac1  
#be2 #cag ,z #ag1 #ai2 #cbh ,z #h2 #ccj 
,z      #cb2 #ccc ,z #ae1 #bc2 #ccd ,z  
#aj2 #cff ,z #bg2 #cfg ,z #g1 #cd2 #cfh 
,z #b2 #cgc ,z      #ah4      ,hume ,d4 
,,iii #ahc ,z #bg4      ,huygens ,ch4   
,,ii #ib ,z #cd4      ,hypatia ,,iii    

#bcb ,z #bi2 #cga ,z #cc4               
,hypsikles ,,iii #bce ,z #cc2 #cjj ,z   
#i1 #ah2 #cea ,z #ad4        ,ideler    
,ch4 ,l4 ,,iii #bjd ,z #ac4      ,jon   
von ,chios ,,iii #abe ,z #bf4           
,ishaq ibn ,hunein ,,iii #bdd ,z #g2    
#bfg ,z #bi4      ,isidorus von ,sevilla
 ,,iii #cdh ,z #bd4      ,isidoros von  
,milet ,,iii #cgb ,z #c4      ,isokrates
 ,,iii #abe ,z #bg4      ,jamblichos    
,,iii #abf ,z #d2 #bdc ,z #bb2 #ceb ,z  
#ad2 #cec-ced2 #ceg ,z #h4      ,jensen 
,p4 ,,ii #eg ,z #be2 #aaa ,z #g4        
,jordan ,c4 ,e ,,xii ,z #ag4            
,josephus ,,ii #eg ,z #aa4        ,kaegi
 ,a4 ,,iii #adb ,z #cd4      ,kaibel ,g4
 ,,iii #bai ,z #be4      ,kallimachos   
,,iii #aii ,z #b2 #bhf ,z #a1 #g4       
,kambly ,l4 ,,iii #bde ,z #cd4          
,kampe ,f4 ,,iii #bbj ,z #be4      ,kant
 ,e ,x ,z #ad2 ,,iii #afh ,z #aa2 #agh  
,z #af2 #ahc ,z #be1 #bf2 #ahd ,z #c2   
#ahg ,z      #d2 #ahh ,z #aa2 #ahi ,z   
#bj2 #aij ,z #ae2 #bad ,z #e2 #bae ,z   
#ac2 #bbg ,z #bg2 #bdg ,z      #ai4 ,n  

#chj ,z #e4      ,kstner ,a4 ,g4 ,,iii  
#bdj ,z #bc2 #bda ,z #e2 #bde ,z #cc4   
,katyayana ,,iii #aci ,z #ah2 #aej ,z   
#g2 #aeg ,z #e4      ,kepler ,j4 ,,iii  
#bjd ,z #bi2 #bje ,z #ca2 #cab ,z #ae2  
#cde ,z #a4      ,kerber ,a4 ,,iii #cah 
,z #bi4      ,kerry ,b4 ,,iii #afi ,z   
#bj4      ,kewitsch ,g4 ,,ii #ajd ,z #d 
f4      ,kiessling ,ad4 ,,iii #ahd ,z   
#cd2 #bai ,z #be4      ,king ,l4 ,w4 ,e 
,,ix ,z #ai2 ,,ii #fe ,z #ca2 #ge ,z    
#aj4      ,kinkel ,w4 ,,iii #acb ,z #bd2
 #agf ,z #ad2 #ahc ,z #aj4      ,kircher
 ,a4 ,i #af ,z #b1 #be4      ,kleonides 
,,iii #bcc ,z #ag4      ,knauff ,f4     
,,iii #ccb ,z #ah4      ,knoche ,j4 ,h4 
,,iii #bjb ,z #ae4      ,kchly ,h4 ,,iii
 #cbd ,z #ab2 #cbe ,z #g1 #aa4          
,khler ,j4 ,,ii #gj ,z #ag4             
,koldwey ,r4 ,,ii #ge ,z #ab4           
,konon ,,iii #bfj ,z #ag1 #bj2 #bfc ,z  
#ab1 #ad2 #bfi ,z #ab2 #bgc ,z #cd2 #bgg
 ,z #i4      ,kopernikus ,,iii #acd ,z  
#ai2 #bah ,z #ad2 #cde ,z #a4 ,n #cgi ,z
 #bg4      ,kosak ,r4 ,,iii #bdf ,z #ae4

      ,krates ,,iii #cdj ,z #f4         
,ktesibios ,,iii #cae ,z #b1 #ba2 #cai  
,z #bc1 #cj2 #cbj ,z #aj2 #cbd ,z #aj4  
,kchler ,f4 ,,ii #hh ,z #i4      ,kugler
 ,fz4 ,x4 ,,ii #aaj ,z #ae1 #bh2 #aaa ,z
 #ae1 #be4      ,kummer ,e4 ,e ,x ,z    
#af2 ,e ,,xiv ,z #bb2 ,,iii #cfb ,z #bb4
      ,knssberg ,h4 ,,iii #aig ,z #cb2  
#bjd ,z #bf2 #bjf ,z #bg4               
,laertius ,diogenes ,,iii #abc ,z #bc1  
#bg2 #abd ,z #ac2 #agf ,z #ab2 #ahd ,z  
#cc2 #aia      ,z #cb2 #aig ,z #aa2 #aii
 ,z #a1 #ac2 #cdj ,z #cb4      ,lagrange
 ,j4 ,l4 ,,iii #bjc ,z #bh4             
,lambert ,j4 ,h4 ,,iii #bdd ,z #cc2 #bde
 ,z #ag4      ,lange ,f4 ,a4 ,,iii #ahc 
,z #bc4      ,lassalle ,f4 ,,iii #agf ,z
 #ac4      ,layard ,h4 ,,ii #gd ,z #ah2 
#ha ,z #g4      ,legendre ,a4 ,m4 ,,iii 
#ach ,z #cb2 #bde ,z #ac1 #bb4          
,lehmann ,c4 ,f4 ,,ii #fa ,z #bg2 #fe ,z
 #bd1 #bi2 #ia ,z #c1 #g2 #ib ,z #cc2   
#id ,z #bj2      #ie ,z #ba2 #ajb ,z    
#bh2 #ajc ,z #d1 #cj2 #ajf ,z #g2 #ajg  
,z #a4      ,leibniz ,g4 ,w4 ,e ,,ix ,z 

#be2 ,e ,,xi ,z #bc2 ,,iii #aca ,z #af2 
#afi ,z #bj1 #cd2 #ahi ,z      #af2 #bjc
 ,z #bg2 #bbd ,z #bf2 #bbh ,z #d2 #bdf  
,z #ai1 #be2 #bea ,z #f2 #bfd ,z #bi2   
#bid ,z #bc4      ,leon ,,iii #bcg ,z   
#bf4      ,leonardo da ,vinci ,,iii #ccg
 ,z #ag4      ,lepsius ,r4 ,i #ba ,z    
#bg2 #de ,z #cd2 #dg ,z #bh2 ,,ii #aje  
,z #cc4      ,lessing ,g4 ,e4 ,,iii #bhd
 ,z #ca4 ,n #chj ,z #ae4      ,letronne 
,j4 ,a4 ,,ii #ajb ,z #d2 ,,iii #bjd ,z  
#bb4      ,leukipp ,,iii #agh ,z #c1    
#ac2 #agi ,z #c1 #e2 #ahj ,z #d1 #aa2   
#aha ,z #e2 #ahb ,z #bj4      ,leumann  
,e4 ,v ,z #ai2 ,,iii #ach ,z #ad1 #af2  
#add ,z #bh2 #adf ,z #e1 #g2 #aea ,z    
#cj4      ,listing ,j4 ,b4 ,e ,,xii ,z  
#bj4      ,livius ,,iii #bei ,z #ae4    
,lobatscheffsky ,n4 ,,iii #bde ,z #d4   
,loftus w4 ,k4 ,,ii #ic ,z #cc4         
,longchamps ,g4 de ,,iii #cjc ,z #bj4   
,longin ,,iii #cee ,z #aa4      ,loria  
,gino4 ,,iii #bda ,z #bb2 #cch ,z #be1  
#bg2 #cdi ,z #b4      ,lwe ,j4 ,h4 ,,iii
 #agj ,z #g4      ,lhmann ,f4 v4 ,,iii  

#bif ,z #ae4      ,luka ,kosta ben ,,iii
 #cca ,z #bj4      ,lukianos ,,iii #ace 
,z #b4      ,lyko ,,iii #abe ,z #bg4    
,mahler ,g4 ,,ii #ajb ,z #bh f4         
,mai ,a4 ,,iii #bgh ,z #ai4             
,maitrayana ,,iii #aci ,z #ah4          
,makrobios ,,iii #bhg ,z #bb4           
,mamercos ,,iii #abe ,z #aa4            
,manava ,,iii #aci ,z #ah4              
,manutius ,,iii #cab ,z #a4             
,marinos v4 ,neapolis ,,iii #bca ,z #af2
 #cfg ,z #ac4      ,mark ,aurel ,,iii   
#cdb ,z #a4      ,martin ,h4 ,,iii #cbf 
,z #i4      ,maurolycus ,,iii #cch ,z   
#d4      ,mayring ,v4 ,,iii #ccc ,z #bb4
      ,medon ,,iii #bbh ,z #ah4         
,mehler ,f4 ,g4 ,,iii #bde ,z #cd4      
,melanchthon ,ph4 ,,iii #bde ,z #ca4    
,memus ,j4 ,b4 ,,iii #bia ,z #e4        
,menaichmos ,,iii #aih ,z #bf2 #bjb ,z  
#a2 #bjh ,z #c f2 #bji ,z #ai f2 #bac ,z
      #ad2 #bad ,z #ab2 #bib ,z #aa4    
,menelaos ,,iii #cdc ,z #ag1 #bh2 #cdd  
,z #d1 #ab2 #cdf ,z #ae4      ,meier ,r4
 ,,iii #caf ,z #ad4      ,meyer ,e4 ,e  

,,xvii ,z #ba2 ,i #c ,z #h1 #ag2 #d ,z  
#ae2 ,,ii #eh ,z #ah1 #cj1 #cd2 #ei ,z  
#bh2 #fj ,z #d1 #cd2 #fb ,z #f2 #he ,z  
#b1 #g2 #hf ,z #c2 #hg ,z #ai4          
,meyer ,w4 ,,ii #gc ,z #ah4      ,mbius 
,a4 ,e ,,xii ,z #ba4      ,la ,montre8  
,,iii #bdf ,z #bi4      ,montucla ,j4   
,e4 ,e ,,ix ,z #aa1 #bh2 ,e ,,xiii ,z   
#f2 ,,iii #aic ,z #ag2 #bda ,z #d2 #cjc 
,z #bh2 #cjd ,z #f2 #cjg ,z #ag4        
,morbeca ,wilhelmus de ,,iii #bgh ,z    
#aa2 #cbf ,z #b4      ,morgan ,g4 de    
,,ii #gj ,z #f2 #ge ,z #g4      ,mller  
,h4 ,,iii #bde ,z #bf4      ,mller ,m4  
,,ii #db ,z #be2 ,,iii #bbf ,z #ag4     
,nasir ed ,din ,,iii #bdd ,z #i4        
,natorp ,p4 ,,iii #agf ,z #ae2 #ahc ,z  
#aj1 #ac2 #ahh ,z #ad4      ,naukrates  
,,iii #bib ,z #bg4      ,nesselmann ,g4 
,f4 ,h4 ,,iii #bhj ,z #cd2 #bhd ,z #ad2 
#bhe ,z #ab2 #bih ,z #bf2 #cdg ,z       
#cj2 #cdh ,z #b2 #cdi ,z #a2 #cej ,z #b2
 #ceb ,z #ae1 #ba2 #ced ,z #d1 #ag2 #ceh
 ,z #i2      #cfj ,z #ba4      ,newberry
 ,percy ,e4 ,i #g ,z #f4      ,newton   

,,iii #bjc ,z #bg2 #bje ,z #aa2 #bac ,z 
#i2 #bdd ,z #af2 #bdf ,z #bb2 #bdi ,z   
#aj2      #beh ,z #ag2 #bfb ,z #ai2 #bid
 ,z #ai1 #bc2 #bif ,z #ba2 #big ,z #ai2 
#cjd ,z #ag2 #cjg      ,z #ag2 #cdb ,z  
#af2 #cgc ,z #bh4      ,niebuhr ,k4 ,i  
#ag ,z #i2 ,,ii #gb ,z #ai4             
,nietzsche ,f4 ,,iii #agf ,z #ai4       
,nikomachos v4 ,gerasa ,,iii #aca ,z    
#aj2 #aii ,z #c2 #bai ,z #d2 #bdc ,z #i2
 #bhi ,z      #cj2 #cjj ,z #bg2 #cdd ,z 
#bj2 #cdf ,z #af2 #cdg-ceb2 #cec ,z #bi2
 #cff ,z #g4      ,nikomedes ,,iii      
#cja-cje4      ,nipsus ,,iii #abc ,z    
#aj4      ,nix ,l4 ,,iii #bia ,z #bc2   
#caf ,z #f2 #cag ,z #aa2 #cca ,z #ah4   
,nizze ,e4 ,,iii #bfe ,z #be2 #bff ,z   
#ab2 #bgg ,z #h2 #bhj ,z #e2 #bhd ,z    
#ac2 #ccg ,z      #cb2 #cch ,z #ai4     
,nokk ,a4 ,,iii #bcb ,z #ai2 #cji ,z    
#be2 #caj ,z #af2 #ccg ,z #ca2 #cch ,z  
#aj1 #ai4      ,norris ,ed4 ,,ii #gc ,z 
#cj4      ,northampton ,marquis of ,i #g
 ,z #e4        ,ofterdinger ,l4 ,f4     
,,iii #bjc ,z #ag4      ,oinopides ,i   

#bf ,z #i2 ,,iii #agj ,z #ah4           
,oldenberg ,h4 ,,iii #aej ,z #ca4       
,olivieri ,a4 ,,iii #cab ,z #cb4        
,onken ,l4 ,,iii #bae ,z #ag4           
,oppert ,j4 ,,ii #gc ,z #bg1 #cj2 #ge ,z
 #bb2 #ib ,z #be2 #ie ,z #cc2 #ih ,z    
#ag2 #ii ,z      #cd2 #ajj ,z #ag2 #aab 
,z #aj4      ,origines ,,iii #cee ,z    
#aa4      ,ottajano ,g4 da ,,iii #cgj ,z
 #cc4      ,ottmn ,abu ,,iii #bii ,z    
#ba4        ,panaitios ,,iii #cda ,z #e1
 #aj2 #cdb ,z #f4      ,pamphila ,,iii  
#abc ,z #bg1 #cd4      ,papperitz ,e4   
,,iii #cci ,z #a4      ,pappos ,e ,x ,z 
#i2 ,,iii #aga ,z #ad2 #aib ,z #a2 #bab 
,z #aa2 #bac ,z #a2 #bcj ,z #bg2        
#bca ,z #a1 #ad2 #bcb ,z #ah2 #bcd ,z   
#b1 #aj1 #ae1 #ba2 #bce ,z #ac2 #bdc ,z 
#ab2 #beb      ,z #f2 #bfj ,z #ai2 #bfa 
,z #bh2 #bfc ,z #ad2 #bfg ,z #cb2 #bfh  
,z #g1 #ai2 #bdc ,z #ab2      #beb ,z   
#f2 #bhh ,z #bb2 #bhi ,z #bj2 #bij ,z   
#ab2 #bia ,z #b1 #i2 #bib ,z #h2 #bid ,z
      #aa2 #bie ,z #cd2 #bif ,z #c1 #cj2
 #big ,z #bj1 #bf2 #bih ,z #bd2 #bii ,z 

#ae2 #cja ,z      #cj2 #cjb ,z #a2 #cjc 
,z #bg2 #cjh ,z #g1 #ae2 #cji ,z #aj2   
#cag ,z #be2 #cbe ,z #c1 #h2      #cca  
,z #h2 #ceh ,z #i2 #cff-cga4            
,pardies ,j4 ,g4 ,,iii #aga ,z #ag4     
,parmenides ,,iii #afe ,z #cj ff2 #aff  
,z #aa f2 #agf ,z #i2 #ahj ,z #f1 #cb4  
,n4      #chg ,z #bi4      ,pascal ,bl4 
,,iii #bia ,z #cd4      ,peiser ,f4 ,e4 
,,ii #gj ,z #ah4      ,pena ,j4 ,,iii   
#ccg ,z #cc4      ,peters ,j4 ,p4 ,,ii  
#ge ,z #ag4      ,petersen ,j4 ,,iii    
#bcb ,z #c4      ,peyrard ,f4 ,,iii #bdj
 ,z #c2 #bec ,z #f2 #bff ,z #aj2 #bhj ,z
 #ci4      ,pheidias ,,iii #beh ,z #bg4 
,pherekydes ,n4 #chd ,z #ad4            
,philippos ,,iii #bbi ,z #bh4           
,philolaos ,,iii #abg ,z #be2 #abh ,z   
#i1 #bb2 #abi ,z #f2 #acj ,z #ab1 #ba2  
#aca ,z #ac1      #bc1 #cj2 #acb ,z #ba1
 #cj2 #acc ,z #d1 #aj2 #acd ,z #ag1 #bb2
 #ace ,z #ae2 #ada ,z #i1      #ab1 #ae2
 #bje ,z #af2 #cdh ,z #cj2 #cej ,z #ac2 
#cea ,z #a4 ,n4 #che ,z #bi2 #chf ,z    
#c1 #f4      ,philon v4 ,alexandria     

,,iii #agg ,z #ah2 #cdc ,z #c2 #cee ,z  
#ad f2 #cef ,z #ai4      ,philon von    
,byzanz ,,iii #cae ,z #bj1 #cb2 #cba ,z 
#ca2 #cbb ,z #a2 #cbd ,z #bf2 #cbe      
,z #a4      ,philopmos ,j4 ,,iii #aid ,z
 #ag4      ,pinches ,t4 ,g4 ,,ii #ei ,z 
#e4      ,pisano ,l4 ,i #dj ,z #b4      
,pistelli ,l4 ,,iii #ced ,z #af4        
,place ,v4 ,,ii #gd ,z #bi2 #ge ,z #c4  
,planudes ,m4 ,,iii #ceh ,z #ab1 #bi4   
,platon ,i #bf ,z #aa2 ,,ii #aaf ,z #d1 
#ah2 ,,iii #abd ,z #b1 #ag2 #abe ,z #bf1
 #bh2 #abg      ,z #bb2 #abh ,z #e2 #aca
 ,z #ad2 #acb ,z #aj2 #acc ,z #e2 #acd  
,z #ac2 #acf ,z #cb2 #ada      ,z #aj1  
#ad2 #age ,z #cd2 #agf ,z #i2 #agh ,z   
#af2 #agi ,z #ag1 #ba1 #bd2 #ahb ,z #ab1
      #bf2 #ahc ,z #b1 #g1 #ae f2 #ahd  
,z #d ff2 #ahe ,z #ad f2 #ahf-aib2 #aid 
,z #cc2      #aie ,z #c2 #aig ,z #be1   
#bi2 #aii ,z #bj2 #bja ,z #ac1 #ca2 #bjb
 ,z #a2 #bje ,z #ai1      #cb2 #bjg ,z  
#cj2 #bjh ,z #d2 #baj ,z #ah2 #bab ,z   
#i2 #bad ,z #b1 #ag1 #ba2 #bae ,z       
#cd2 #baf ,z #ba2 #bbd ,z #ae2 #bca ,z  

#ca2 #bcf ,z #ba2 #bcg ,z #b2 #bdb ,z   
#bf2 #bdc      ,z #g2 #beh ,z #aj2 #bij 
,z #c2 #cae ,z #c2 #cbf ,z #bj2 #cch ,z 
#cc2 #cdj ,z #ah2 #cdf      ,z #be2 #cdg
 ,z #g2 #ceb ,z #d1 #cb2 #cee ,z #bc2   
#cef ,z #ac4 ,n4 #cgf ,z #bi2 #cgi ,z   
#af2 #chj ,z #ae1 #cj2 #chg ,z #i1 #bj4 
,platon v4 ,tivoli ,,iii #cch ,z #a4    
,plotin ,,iii #ahc ,z #b2 #ced-ceg4     
,plutarch ,i #ag ,z #b2 #bb ,z #c2 ,,iii
 #abc ,z #bj2 #agf ,z #aj2 #aha ,z #bi2 
#ahb ,z #a2      #aid ,z #af2 #aii ,z   
#bb2 #bja ,z #cd2 #bjc ,z #cc2 #beh ,z  
#bi2 #bfj ,z #h2 #bfa ,z #h2      #cdj  
,z #ca4      ,porphyrios ,,iii #abf ,z  
#c2 #bdc ,z #bb2 #ced ,z #bc2 #cef ,z   
#aa2 #ceg ,z #cg1 #bf4      ,poseidonios
 ,,iii #acd ,z #af1 #cad ,z #cb2 #cbi ,z
 #bj2 #cci ,z #ae f2 #cda ,z #e1        
#ad1 #ag2 #cdb ,z #f1 #h2 #cde ,z #cc2  
#cdf ,z #g4      ,proklos ,e ,,xiii ,z  
#be2 ,e ,,xiv ,z #cd2 ,i #be ,z #cj2    
,,iii #abb ,z #bf1 #cd2 #abc ,z #f      
f2 #abe ,z #aa2 #abh ,z #h2 #ace ,z #ca2
 #acg ,z #af2 #agj ,z #aj1 #bb2 #agd ,z 

#cj1      #cc2 #age ,z #c1 #cc2 #aij ,z 
#bh2 #aia ,z #bc2 #aig ,z #bb2 #bjb ,z  
#aa1 #ae2 #bjh ,z      #h2 #baj ,z #b2  
#bab ,z #e1 #h2 #bac ,z #bb1 #bd2 #bbi  
,z #b1 #e1 #ba2 #bca ,z #ad2 #bcc       
,z #h1 #bc2 #bcd ,z #b2 #bce ,z #bb2    
#bcf ,z #e2 #bcg ,z #bg2 #bch ,z #cc2   
#bdb ,z #c1      #bh2 #bdc ,z #bc1 #cc2 
#bdd ,z #ab1 #bg2 #bdh ,z #ah1 #ca2 #bdi
 ,z #e1 #bd2 #bej ,z      #ai1 #cj2 #bea
 ,z #ai2 #beb ,z #f1 #ab2 #bec ,z #bc2  
#bfa ,z #bj2 #bfb ,z #c1 #ac2 #bfh      
,z #ai2 #chi ,z #f1 #aa2 #bih ,z #ac2   
#cja ,z #be2 #cjg ,z #cc2 #cjh ,z #f2   
#cji ,z #bi2      #caj ,z #d1 #aa2 #cad 
,z #d2 #cai ,z #cd2 #cch ,z #cc2 #cci ,z
 #ab1 #ae1 #bg2 #cda ,z      #ag2 #cdc  
,z #bd2 #cdf ,z #a1 #e2 #ced ,z #ai2    
#cef ,z #bf2 #ceg ,z #bg2 #cff ,z #af2  
#cfg ,z #ac1 #bb2 #cga ,z #cd4 ,n4 #cha 
,z #ac4      ,protagoras ,,iii #agh ,z  
#ab f4      ,ptolemus ,e ,x ,z #i2 ,,ii 
#aaf ,z #ai2 ,,iii #bje ,z #bi2 #bjg ,z 
#aa2 #bii ,z #cc2 #caa      ,z #bh1 #cj2
 #cab ,z #cj2 #cbf ,z #h2 #cbi ,z #bj2  

#cch ,z #ae2 #cdb ,z #ac2 #cdc ,z       
#ah2 #cdd ,z #g1 #ag1 #bb2 #cde ,z #c1  
#ba2 #cdf ,z #a1g2 #cff ,z #cc2 #cfg ,z 
#h4      ,pythagoras ,i #bf ,z #c2 ,,iii
 #abe ,z #ac1 #bc1 #cc2 #abf ,z #a1 #f  
f2 #abg ,z #b1 #be2      #acg ,z #ab f2 
#ach ,z #g2 #ade ,z #a2 #aec ,z #g2 #cae
 ,z #d2 #ceb ,z #ad2 #cec ,z      #bi4  
,n4 #cgi ,z #bg2 #chd ,z #h2 #che ,z    
#bj4        ,ramus ,petrus ,,iii #bac ,z
 #ba2 #bci ,z #bb2 #bde ,z #e2 #cei ,z  
#c4      ,ranke ,h4 ,,ii #eh ,z #ai2 #fe
 ,z #cc4      ,rassam ,h4 ,,ii #gd ,z   
#ah1 #ba2 #ha ,z #g1 #bh4               
,rawlinson ,h4 ,,ii #gd ,z #ac2 #ge ,z  
#bb2 #gf ,z #bg2 #aag ,z #bf4           
,regiomontan ,,iii #bfd ,z #bd2 #bfe ,z 
#ab2 #cei ,z #b4      ,reinhold ,e4     
,,iii #acb ,z #ah4      ,revillout ,e4  
,i #bg ,z #ba2 #bh ,z #ad2 #bi ,z #d2   
#df ,z #h1 #cc2 #dh ,z #cc2 #ej ,z      
#af2 #ea ,z #aa2 #eb ,z #ae4      ,rhode
 ,e4 ,n #chc ,z #bd2 #chd ,z #aa2 #che  
,z #ba4      ,riccardi p4 ,,iii #bci ,z 
#ad4      ,riche ,j4 ,,ii #gd ,z #c4    

,rieder gleich ,reder ,j4 ,m4 ,,iii #bdd
 ,z #be4      ,riemann ,b4 ,,iii #aff ,z
 #cb4      ,ritter ,h4 ,,iii #acb ,z    
#ag1 #bg2 #acc ,z #g2 #acd ,z #bb4      
,rivaltus ,,iii #bfe ,z #bg4            
,robertson ,abr4 ,,iii #bfe ,z #bd4     
,roberval ,g4 ,p4 de ,,iii #bfc ,z #bj2 
#cje ,z #cb4      ,rodet ,j4 ,i #cf ,z  
#be1 #bh2 #dj ,z #a4      ,rose ,val4   
,,iii #cbf ,z #i4      ,rouch ,e ,,iii  
#aga ,z #i4      ,rudio ,f4 ,e ,,xi ,z  
#aa2 ,,iii #aga ,z #cd2 #agb ,z #ae1    
#bi2 #cfh ,z #h1 #aa4      ,rstow       
7,major7 ,w4 ,,iii #cbd ,z #ab4         
,saccheri ,gir4 ,,iii #bch ,z #ca2 #bdd 
,z #cj1 #cc4      ,sarzec ,e4 de ,,ii   
#ei ,z #i2 #fa ,z #e1 #i1 #cb2 #gd ,z   
#bf1 #cc4      ,saulcy ,f4 ,c4 de ,,ii  
#ge ,z #bc4      ,savile ,h4 ,,iii #bci 
,z #bj2 #bdd ,z #ad4      ,sayce ,a4 ,h4
 ,,ii #ei ,z #e2 #aaa ,z #bh4           
,schack-,schackenburg ,i #ch ,z #ab2 #da
 ,z #c2 #db ,z #aa4      ,schaubach ,j4 
,k4 ,,iii #bjd ,z #aa2 #bjg ,z #bg2 #cab
 ,z #bd4      ,scheil ,v4 ,,ii #gj ,z   

#aa2 #ge ,z #h4      ,schellbach ,k4 ,h4
 ,,iii #bgd ,z #ai4      ,schiaparelli  
,g4 ,v4 ,,iii #bjd ,z #af1 #bf1 #ca2    
#bje ,z #ab2 #bjg ,z #e4 ,n4 #cgi ,z    
#bf4      ,schliemann ,h4 ,,iii #aba ,z 
#ai2 #abb ,z #a1 #i4      ,schmidt ,w4  
,,iii #cjh ,z #bc2 #cji ,z #b2 #cad ,z  
#af2 #cae ,z #bj2 #cag ,z #e f2 #cai    
,z #bf2 #cbj ,z #bi2 #cba ,z #bc2 #cbf  
,z #a1 #i2 #cbh ,z #cc2 #cbi ,z #bc2    
#cca ,z #ag2      #ccb ,z #ai4          
,schne ,h4 ,e ,,xv ,z #c2 ,i #dg ,z #b2 
,,iii #bfd ,z #c2 #bgd ,z #ab2 #cad ,z  
#bd2 #cae ,z      #bh2 #cag ,z #ad2 #cbh
 ,z #b1 #cc2 #ccg ,z #g4      ,schne ,r4
 ,,iii #cad ,z #be2 #ccd ,z #e4         
,schopenhauer ,a4 ,,iii #bba ,z #ag2    
#bdf ,z #h2 #bea ,z #c1 #i2 #ceg ,z #ab4
 ,n #cgi ,z      #af2 #chg ,z #be4      
,schotten ,h4 ,,iii #bdh ,z #aa4        
,schrader ,e4 ,,ii #eg ,z #bc4          
,schramm ,e4 ,,iii #cbd ,z #ac4         
,schrder ,l4 v4 ,,iii #ach ,z #g1 #ag2  
#ada ,z #g2 #adc ,z #bi2 #adf ,z #f4    
,schuchhardt ,c4 ,,iii #abb ,z #h4      

,schwarz ,h4 ,a4 ,,iii #cji ,z #bb4     
,seleukos ,,iii #caa ,z #ba1 #bd4       
,seneca ,,iii #cdb ,z #a4      ,siculus 
,e4 ,,iii #cbf ,z #h4      ,sigwart ,c4 
,w4 ,,iii #bac ,z #cd4      ,simon ,m4  
,,iii #agd ,z #ba2 #bcb ,z #bd2 #bgj    
,anm4 #a2 #bgc ,z #ca2 #bid ,z #bj2 #bie
      ,z #bd2 #bif ,z #cc4              
,simplicius ,,iii #abb ,z #bi2 #afg ,z  
#ai2 #aga ,z #ba2 #agb ,z #a f2 #age ,z 
#e1 #g2      #bjd ,z #aj2 #bah ,z #f1   
#aa2 #bbj ,z #cj2 #bbi ,z #b2 #cji ,z   
#b2 #cgb ,z #g4 ,n #cha ,z      #cd4    
,simson ,r4 ,,iii #bcd ,z #ah2 #bdd ,z  
#ai2 #bif ,z #c4      ,smiths ,g4 ,,ii  
#aje ,z #cj4      ,smiths ,p4 ,i #bd ,z 
#aa4      ,socrates ,,iii #abd ,z #f2   
#abg ,z #bf2 #agh ,z #f2 #ahd ,z #ag1   
#ba2 #ahh ,z #af2 #aia      ,z #g4 ,n   
#cgf ,z #bc4      ,sotios ,,iii #aii ,z 
#b4      ,spengel ,l4 ,,iii #aga ,z #bg4
      ,speusippos ,,iii #abg ,z #cb4    
,spiegel ,f4 7v47 ,,ii #gc ,z #bh4      
,spiegelberg ,w4 ,v ,z #ag2 ,i #c ,z #i2
 #d ,z #h2 #g ,z #f2 #bb ,z #cj2 #bi ,z 

#d4      ,spinoza ,,iii #bbc ,z #aa2    
#cda ,z #a4 ,n #cge ,z #ba4      ,sporos
 ,,iii #aid ,z #bh4      ,stckel ,p4    
,,iii #bej ,z #ag4      ,stein ,j4 ,p4  
,w4 ,,iii #bdh ,z #ae4      ,steiner ,j4
 ,,iii #cji ,z #bj2 #cfh ,z #be4        
,stesichoros ,,iii #abe ,z #ab4         
,stobos ,,iii #abi ,z #bg2 #bcj ,z #ag4 
,n #chf ,z #ab4      ,strabo ,e ,,xvi ,z
 #ah2 ,,iii #bjd ,z #d2 #bhe ,z #cb2    
#bhf ,z #bg2 #bhi ,z #cd2 #cac ,z       
#bh4      ,strassmaier ,j4 ,n4 ,,ii #aja
 ,z #c2 #aji ,z #ba2 #aaj ,z #bi4       
,struve ,j4 u4 ,k4 ,l4 ,,iii #bhe ,z    
#ac4      ,sturm ,ambros ,,iii #aic ,z  
#ae2 #aid ,z #af2 #bja ,z #bh2 #bhi ,z  
#aj4      ,sturm ,ch4 ,,iii #aga ,z #ae2
 #bde ,z #cc2 #bff ,z #h4      ,subandhu
 ,,iii #afd ,z #bi4      ,suidas ,,iii  
#bgd ,z #aa2 #bhe ,z #ca4      ,sundara 
,,iii #aei ,z #bg4      ,susemihl ,f4   
,,iii #bhe ,z #bh2 #caa ,z #ba2 #cad ,z 
#ah2 #cbj ,z #c4      ,syrion ,n #chf ,z
 #ab4        ,tbit ibn ,quorrah ,,iii   
#bfg ,z #bh2 #bia ,z #bc4      ,tacitus 

,,iii #adb ,z #ah4      ,tacquet ,a4    
,,iii #aga ,z #ae2 #bde ,z #aa4         
,tannery ,p4 ,,iii #agj ,z #b2 #agb ,z  
#ae2 #agc ,z #bc2 #aid ,z #bh2 #bjj ,z  
#a2 #bja ,z      #c2 #bjg ,z #e2 #bbb ,z
 #bc2 #bbi ,z #e2 #bcf ,z #a2 #bdb ,z   
#h2 #bdc ,z #bg2 #bea ,z      #bj2 #cja 
,z #bb2 #cab ,z #cc2 #cad ,z #ae2 #ccf  
,z #ag2 #ccg ,z #bb2 #cei ,z #ai4       
,tartaglia ,n4 ,,iii #bgh ,z #ac4       
,taylor ,th4 ,,iii #bdd ,z #a4          
,teleutagoras ,,iii #afg ,z #g4         
,tenulius ,,iii #cec ,z #e4      ,thales
 ,i #be ,z #cj2 ,,iii #abb ,z #cj2 #abc 
,z #g1 #ad1 #ba2 #abd ,z #a1 #bc2 #abe  
,z      #aj2 #ahg ,z #c4 ,n #cge ,z #h2 
#cha ,z #ae2 #chb ,z #ba2 #chc ,z #ad4  
,thetet ,,iii #acf ,z #bh1 #ca2 #ahe ,z 
#bf2 #ahf ,z #af2 #bac ,z #af1 #ah2 #bbi
 ,z #ca2      #bcf ,z #ba1 #cb2 #bch ,z 
#i2 #beg ,z #ae4      ,theodoros ,,iii  
#acf ,z #cb2 #agj ,z #bd2 #ahd ,z #bc4  
,theodosios ,,iii #bjb ,z #be2 #bcb ,z  
#bc2 #ccg ,z #bj2 #cch ,z #h f4         
,theon v4 ,alexandria ,,iii #bcb ,z #bh2

 #bci ,z #ca2 #bdj ,z #g2 #bfh ,z #ai2  
#bhb ,z      #cj2 #cji ,z #h1 #ac1 #bh2 
#caj ,z #a1 #ab2 #cac ,z #ah2 #cad ,z   
#i2 #cfg ,z #i2 #cga ,z      #cc4       
,theon ,smyrneus ,,iii #ahg ,z #ah2 #aid
 ,z #ae2 #bad ,z #af2 #bdc ,z #aa1 #bc2 
#bdd ,z      #bd2 #bdi ,z #ae2 #cai ,z  
#ag2 #cdh ,z #ca2 #ceb ,z #bi2 #cec ,z  
#d1 #aj4      ,theophrast ,,iii #bag ,z 
#bb2 #bah ,z #cb2 #bbh ,z #ca4 ,n #cha  
,z #bf2 #chb ,z #ag4      ,theudios     
,,iii #bac ,z #af1 #bb2 #bce ,z #ab2    
#bcg ,z #bg2 #bec ,z #bj2 #cji ,z #cb4  
,thibaut ,g4 ,,iii #ach ,z #e1 #ai2 #aci
 ,z #bb2 #adf ,z #cb2 #adh ,z #a1 #ac2  
#aed ,z      #ag1 #ai2 #aeg ,z #ah2 #aei
 ,z #cc2 #bde ,z #cd4      ,thomas v4   
,aquino ,,iii #afi ,z #ah2 #bbc ,z #ca2 
#bbh ,z #ab4      ,thureau-,dangin ,frc4
 ,,ii #aah ,z #e4      ,thurot ,ch4     
,,iii #bhj ,z #ag4      ,thymaridas     
,,iii #cec ,z #cb2 #ced ,z #ab4         
,torelli ,g4 ,,iii #bfe ,z #ba1 #bh4    
,torricelli ,ev4 ,,iii #bfc ,z #bj4     
,trendelenburg ,f4 ,a4 ,,iii #agg ,z #h4

      ,treutlein ,p4 ,,iii #bde ,z #cd4 
,tudela ,b4 v4 ,,ii #gd ,z #h4          
,tzetzes ,,iii #ahf ,z #b2 #beh ,z #be2 
#bei ,z #ag4        berweg ,fr4 ,,iii   
#agj ,z #h4      ,usener ,h4 ,,iii #cff 
,z #bi4        ,valens ,vettius ,,iii   
#bii ,z #bg4      ,valerio ,luca ,,iii  
#bgd ,z #ba4      ,valerius ,maximus    
,,iii #bbi ,z #ah4      ,valla ,g4 ,,iii
 #bei ,z #ai2 #bfe ,z #cc4      ,vaux   
,carra de ,,iii #cad ,z #ae2 #cca ,z    
#aj4      ,veronese ,g4 ,e ,,xiv ,z #bh2
 ,,iii #bda ,z #bf2 #bdg ,z #g4         
,vettori ,p4 ,,iii #caa ,z #cc4         
,vieta ,fr4 ,,iii #aga ,z #ad2 #agc ,z  
#cd2 #agd ,z #ad1 #bf2 #age ,z #cb2 #big
 ,z #a2      #cjd ,z #bj2 #cei ,z #cd2  
#cfa ,z #f2 #cfe ,z #ah4      ,vitruv ,e
 ,x ,z #i2 ,,iii #acg ,z #ba2 #aid ,z   
#ai2 #aig ,z #aa2 #bfa ,z #cc2 #bhh ,z  
#bb2      #bhi ,z #ae2 #cae ,z #ba2 #ccb
 ,z #e4      ,viviani ,v4 ,,iii #bia ,z 
#ai4      ,vogelin ,j4 ,,iii #bde ,z    
#cj4        ,wafa s4 ,abul ,wafa4       
,wallenius ,m4 ,j4 ,,iii #agd ,z #ba4   

,wallis ,j4 ,,iii #bdd ,z #ae2 #bfe ,z  
#c2 #cfg ,z #bi4      ,weber ,h4 ,,iii  
#bhe ,z #ba4      ,weierstrass ,c4 ,e ,x
 ,z #ag2 ,,iii #bbc ,z #f2 #bbg ,z #ag2 
#bef ,z #aj4      ,wellmann ,e4 ,,iii   
#agj ,z #a4      ,wertheim ,g4 ,,iii    
#cah ,z #a f2 #cei ,z #bj2 #cfj ,z #c2  
#cfb ,z #cb2 #cfe ,z #ag4      ,wessel  
,k4 ,,ii #gc ,z #ad1 #bc4      ,weyr ,e4
 ,e ,,xvi ,z #bh2 ,,xvii ,z #b2 ,i #bg  
,z #bi2 #ej ,z #af2 #ea ,z #h4          
,whiston ,w4 ,,iii #aga ,z #ae4         
,wilke  ,wilcken ,ul4 ,i #df ,z #ba4    
,wilamowitz ,u4 v4 ,,iii #ahd ,z #cd2   
#bgc ,z #b4      ,windelband ,w4 ,,iii  
#ahd ,z #ae2 #bbd ,z #ab4      ,winkel  
,w4 ,,iii #ahb ,z #bh4      ,winckelmann
 ,j4 ,j4 ,i #ah ,z #be4      ,winkler   
,h4 ,,ii #ei ,z #ac2 #fa ,z #ac2 #fe ,z 
#bd2 #ff ,z #aj2 #gj ,z #ad1 #bc4       
,wolf ,f4 ,a4 ,e ,x ,z #e4      ,wolff  
,chr4 7v47 ,,iii #bde ,z #cc4           
,wlffing ,e4 ,,iii #cjc ,z #ah4         
,wpcke ,f4 ,,iii #bcc ,z #bb2 #bii ,z   
#bj1 #bf4        ,xenokrates ,,iii #baf 

,z #cb4      ,xenophanes ,,iii #abd ,z  
#ah2 #abe ,z #be2 #ada ,z #i2 #afd-aff2 
#agf ,z #bi2 #agg      ,z #a4           
,xylander ,w4 7,holtzmann7 ,,iii #cei ,z
 #e4        ,young ,th4 ,i #ah ,z #b1   
#ad2 #ai ,z #bb4        ,zeller ,e4     
,,iii #abe ,z #ah2 #acb ,z #af2 #agi ,z 
#h2 #ahc ,z #aj2 #bai ,z #ah2 #bbd ,z   
#ab4 ,n #chc ,z #b2 #chf ,z #aj4        
,zenodoros ,,iii #cjh ,z #ag1 #bf2 #cji 
,z #be1 #cc2 #caj ,z #h2 #cfi ,z #d4    
,zenon von ,elea ,,iii #afg-agj2 #agh ,z
 #ab2 #bbf ,z #ac4      ,zenon von      
,kittion #cdj ,z #d f4      ,zeuthen ,h4
 ,,iii #aha ,z #ah2 #bce ,z #g2 #bej ,z 
#c2 #bfg ,z #ba2 #bhi ,z #ba2 #bia ,z   
#bi2 #bib ,z #ag2 #bid ,z #a1 #bj2 #bif 
,z #bc2 #big ,z #d4      ,zexippos ,,iii
 #bgi ,z #ai4      ,zimmer ,h4 ,,iii    
#adc ,z #ac2 #afd ,z #b4      ,zoga ,g4 
,i #ah ,z #ah4      ,zonaras ,,iii #bei 
,z #ai4      ,buchdruckerei ,roitzsch1  
,albert ,schulze1 ,roitzsch4            
----------------------------------------
------------------------                

,anmerkungen zur ,transkription         
,inkonsistenzen wurden beibehalten1 wenn
 beide ,schreibweisen                   
gebruchlich waren1 wie3                 
,aahmesu -- ,aahmes -- ,ahmes -- ,ames  
,abel'schen -- ,abelschen               
,achse -- ,axe                          
,al ,mamun -- ,al-,mamn                 
anderen -- andern -- andren             
,anonymos -- ,anonymus                  
,apollonios -- ,apollonius              
,arsacidenzeit -- ,arsakidenzeit        
asva-medha -- asvamedha                 
,bl -- ,bel                             
,bel-ache-irb -- ,belacheirba           
,berossos -- ,berossus -- ,berosus      
catur-asra -- caturasra                 
,chammurabi -- ,hammurabi -- ammurabi   
,commentar -- ,kommentar                
,coordinaten -- ,koordinaten            
,copernicus -- ,kopernikus              
,cylinder -- ,zylinder                  
eigene -- eigne                         
,einer-,ziffer -- ,einerziffer          
,elementar-,geometrie --                

,elementargeometrie                     
,epicykeln -- ,epizyklen                
,eukleds -- ,euklides                   
,euklid-,kommentar -- ,euklidkommentar  
,fajum -- ,fayum                        
,fnfer-,system -- ,fnfersystem          
,giseh -- ,gizeh                        
gerade -- grade                         
geradlinigen -- gradlinigen             
,grynaeus -- ,grynus                    
,holtzmann -- ,holzmann                 
irreduzibeln -- irreduziblen            
,kaienharu -- ,kainharu                 
,kalpa-,sutras -- ,kalpa-sutras --      
,kalpasutras                            
,lartios -- ,laertios -- ,laertius      
,larsa -- ,larsam                       
,lobatscheffski -- ,lobatscheffsky      
,mamerkos -- ,mamercos                  
,metrica -- ,metrika                    
,mnchpbel -- ,mnchspbel                 
,mykene-,periode -- ,mykeneperiode      
,nabonahid -- ,nabonid                  
,orient-,gesellschaft --                
,orientgesellschaft                     

,pappos -- ,pappus                      
,papyros -- ,papyrus                    
,phaenomena -- ,phnomena                
,proklos -- ,proklus                    
,ptolemaios -- ,ptolemos -- ,ptolemus --
 ,ptolemeus                             
pythagorisch -- pythagoreisch           
,quadrat-purusa -- ,quadratpurusa       
,r -- ,re                               
,rig-veda -- ,rigveda                   
,seleucidenra -- ,seleuciden-ra         
,seqd -- ,sqd                           
,sphaira -- sphaera                     
,soma-,opfer -- ,somaopfer              
,sothis-,perioden -- ,sothisperioden    
,sporos -- ,sporus                      
,stobaios -- ,stobos                    
,sulba-sutra -- ,sulba-,sutra           
,tello -- ,telloh                       
,theaetet -- ,thetet -- ,theaitet       
unseren -- unsern                       
,verdoppelung -- ,verdopplung           
vermittels -- vermittelst               
,vermittelung -- ,vermittlung           
,woepcke -- ,wpcke                      

,interpunktion wurde ohne ,erwhnung     
korrigiert4                      ,im    
,text wurden folgende nderungen         
vorgenommen3                            
,s4 ,,vii ,methotik in ,methodik        
gendert4                           ,s4  
,x   ungeahnten ,erfolge in ungeahntem  
,erfolge gendert4       ,s4 ,,xi        
,anderung in nderung gendert4           
,s4 ,,xii ,christophel in ,christoffel  
gendert4                     ,s4 ,,xii  
,x,k in x,k gendert4                    
,s4 ,,xvii ,babylonias in ,babylonian   
gendert4                      ,s4   #d  
folgenden ,tabelle in folgende ,tabelle 
gendert4          ,s4   #d ,newesserr in
 ,neweserr gendert4                     
,s4   #g ,bibanelmoluk in ,biban el     
,moluk gendert4                 ,s4   #i
 ,dschingiskans in ,dschingis ,khans    
gendert4               ,s4   #i ,lybien 
in ,libyen gendert4                     
,s4   #i libysche in libysche gendert4  
,s4  #aj ,ammon in ,amon gendert4       
,s4  #aj ,ermann in ,erman gendert4     

,s4  #aa libyschen in libyschen gendert4
                         ,s4  #ad       
,diocletian in ,diokletian gendert4     
,s4  #af ,jaques in ,jacques gendert4   
,s4  #af gyptiaca in aegyptiaca gendert4
                        ,s4  #ah        
,winkelmann in ,winckelmann gendert4    
,s4  #ai dem man in den man gendert4    
,s4  #bf dem #b4 ,kongruenzsatz in den  
#b4 ,kongruenzsatz                      
gendert4                                
,s4  #bg ,eugen ,revillout in ,eugne    
,revillout gendert4            ,s4  #bg 
,flynders ,petrie in ,flinders ,petrie  
gendert4             ,s4  #bg ,revue    
,egyptologique in ,revue gyptologique   
gendert4                                
,s4  #bg ,griffiths in ,griffith        
gendert4                          ,s4   
#bg ,uberschwemmungszeit in             
berschwemmungszeit                      
gendert4                                
,s4  #cb ,f4 ,hultzsch in ,f4 ,hultsch  
gendert4                      ,s4  #cb  
,griffiths in ,griffith gendert4        

,s4  #cb ,substraktion in ,subtraktion  
gendert4                    ,s4  #ch    
,schack von ,schackburg in              
,schack-,schackenburg                   
gendert4                                
,s4  #ch #bi-a_/f in #bh-a_/f gendert4  
,s4  #dj ,griffiths in ,griffith        
gendert4                          ,s4   
#dj papiri in ,papyri gendert4          
,s4  #da ,griffiths in ,griffith        
gendert4                          ,s4   
#db ,qadratwurzeln in ,quadratwurzeln   
gendert4                ,s4  #db        
,phythagoras in ,pythagoras gendert4    
,s4  #dd ,petripapyri in ,petriepapyri  
gendert4                    ,s4  #dd    
,griffiths in ,griffith gendert4        
,s4  #dd #h-c_/b in #h 4 #c_/b gendert4 
,s4  #df   in   gendert4             ,s4
  #eb ,biban el ,moleck in ,biban el    
,moluk gendert4              ,s4  #ei   
,ubersetzungen in bersetzungen gendert4 
,s4  #ei ,bilinguer in bilinguer        
gendert4                         ,s4    
#ei ,sumerier in ,sumerer gendert4      

,s4  #fj ,ubereinstimmung in            
bereinstimmung gendert4             ,s4 
#fd ,sumeriern in ,sumerern gendert4    
,s4  #fd festeht in feststeht gendert4  
,s4  #fd paradisisch in paradiesisch    
gendert4                    ,s4  #fd    
,grosstaat in ,grossstaat gendert4      
,s4  #fe ,adadniranis in ,adad-niraris  
gendert4                    ,s4  #fg    
,assyrier in ,assyrer gendert4          
,s4  #fg ,kanaanern in ,kanaanern       
gendert4                        ,s4  #fh
 ,chamurabi in ,chammurabi gendert4     
,s4  #gj ,c4 ,betzold in ,c4 ,bezold    
gendert4                        ,s4     
#gj;f bedauerlicher ,weise in           
bedauerlicherweise                      
gendert4                                
,s4  #ga ,chamurabis in ,chammurabis    
gendert4                      ,s4  #ga  
,kananern in ,kanaanern gendert4        
,s4  #ge ,assyrilogie in ,assyriologie  
gendert4                    ,s4  #ge    
,chamurabi in ,chammurabi gendert4      
,s4  #ge ,exkavations in ,excavations   

gendert4                     ,s4  #ge   
,pensylvanien in ,pennsylvanien gendert4
                  ,s4  #gf              
,ubereinanderstellung in                
bereinanderstellung                     
gendert4                                
,s4  #gg der ,assyrischen in des        
,assyrischen gendert4             ,s4   
#gg niedergehn in niedergehen gendert4  
,s4  #gh ,alt-,babylonischen in         
,altbabylonischen gendert4          ,s4 
#gi ,determiniativ in ,determinativ     
gendert4                  ,s4  #gi      
,juppiter in ,jupiter gendert4          
,s4  #hj in gyptischen in im gyptischen 
gendert4               ,s4  #ha         
,kujundschick in ,kujundschik gendert4  
,s4  #ha ,pensylvania in ,pennsylvania  
gendert4                    ,s4  #hb    
,t-stcken in ,t-,stcken gendert4        
,s4  #hc bischen in bisschen gendert4   
,s4  #hg ,chamurabi in ,chammurabi      
gendert4                        ,s4  #hh
 ,schekverkehr in ,scheckverkehr        
gendert4                  ,s4  #hi      

astromonischen in astronomischen        
gendert4               ,s4  #ia         
,gewichtsystem in ,gewichtssystem       
gendert4                ,s4  #ic        
,gewichtsystem in ,gewichtssystem       
gendert4                ,s4  #id        
,kujundschick in ,kujundschik gendert4  
,s4  #id der ,quadraten in der ,quadrate
 gendert4                  ,s4  #if     
#cifb  #aebajj in #cijb  #aebajj        
gendert4               ,s4  #ii         
,khorsabat in ,khorsabad gendert4       
,s4  #ii #ihdbe  in #iidbe  gendert4    
,s4 #ajj ,offnung in ffnung gendert4    
,s4 #ajj ,offnungen in ffnungen gendert4
                         ,s4 #ajb ,e4   
,hinks in ,e4 ,hincks gendert4          
,s4 #ajd keinesweges in keineswegs      
gendert4                      ,s4 #ajd  
,gudeah in ,gudea gendert4              
,s4 #ajd ,kewitzsch in ,kewitsch        
gendert4                          ,s4   
#aje ,sexagisimalsystems in             
,sexagesimalsystems gendert4       ,s4  
#ajf ,gudeah in ,gudea gendert4         

,s4 #ajg #h7 in #c7 gendert4            
,s4 #ajh ,eponymen ,kanon in            
,eponymenkanon gendert4                 
,s4 #ajh mit den ,aldebaran in mit dem  
,aldebaran gendert4         ,s4 #ajh    
,fischer in ,fische gendert4            
,s4 #aji thibetanischen in tibetanischen
 gendert4                ,s4 #aji univ4 
in ,univ4 gendert4                      
,s4 #aji ,nebuckadnezzar in             
,nebuchadnezzar gendert4                
,s4 #aae ,mesepotamien in ,mesopotamien 
gendert4                   ,s4 #aag     
,kenntniss in ,kenntnis gendert4        
,s4 #abb zn in zu gendert4              
,s4 #abd ,diagones ,laertius in         
,diogenes ,laertius gendert4         ,s4
 #abe gegebnen in gegebenen gendert4    
,s4 #abf ,neupythagorismus in           
,neupythagoreismus gendert4          ,s4
 #abf ,pythagorismus in ,pythagoreismus 
gendert4                ,s4 #abh ,aug4  
,boekh in ,aug4 ,boeckh gendert4        
,s4 #aca ,nikomachus von ,gerasa in     
,nikomachos von ,gerasa                 

gendert4                                
,s4 #acb ,pythagorismus in              
,pythagoreismus gendert4                
,s4 #acc ,heraclitischen in             
,heraklitischen gendert4                
,s4 #acc ,pythagorismus in              
,pythagoreismus gendert4                
,s4 #acc ,lieblingsatzes in             
,lieblingssatzes gendert4               
,s4 #acd ,kopernicus in ,kopernikus     
gendert4                       ,s4 #aci 
,indo-,arischen-,philologie in          
,indo-,arischen ,philologie gendert4    
,s4 #aci ,maassschnur in ,massschnur    
gendert4                      ,s4 #adj  
,ubrigens in brigens gendert4           
,s4 #adb ,juppiter in ,jupiter gendert4 
,s4 #adb ,afganistan in ,afghanistan    
gendert4                      ,s4 #ade  
,meschnur in ,messschnur gendert4       
,s4 #adf ,maasse in ,masse gendert4     
,s4 #adh  #a_/c 4 #d - #a_/c 3 #d 4 #cd 
in  #a_/7cd7 - #a_/7cdcd7               
gendert4                                
,s4 #aea ,sulvas in ,sulbas gendert4    

,s4 #aef rechwinkligen in rechtwinkligen
 gendert4                ,s4 #aff  in   
gendert4                                
,s4 #aga ,lunulae ,hippokratis in       
,lunulae ,hippocratis                   
gendert4                                
,s4 #aga ,pardis in ,pardies gendert4   
,s4 #aga ,hypothenuse in ,hypotenuse    
gendert4                      ,s4 #aga  
,kilicien in ,kilikien gendert4         
,s4 #aga ,fragmente in ,fragmenta       
gendert4                         ,s4    
#aga super sunt in supersunt gendert4   
,s4 #agc #a in e#a gendert4             
,s4 #age ,brison in ,bryson gendert4    
,s4 #ahj   in   gendert4                
,s4 #ahd ,u4 v4 ,willamowitz in ,u4 v4  
,wilamowitz gendert4          ,s4 #ahi  
transcendentale in transzendentale      
gendert4             ,s4 #ahi           
transscendentale in transzendentale     
gendert4            ,s4 #aij aus den    
,gedankengang in aus dem ,gedankengang  
gendert4                                
,s4 #aia gegebnen in gegebenen gendert4 

,s4 #aia gegebnes in gegebenes gendert4 
,s4 #aib amicicior in amicior gendert4  
,s4 #aib injecit in iniecit gendert4    
,s4 #aid  in  gendert4                  
,s4 #aid numero in numeroque gendert4   
,s4 #aie gegebnen in gegebenen gendert4 
,s4 #aif ,abscrissenaxe in ,abscissenaxe
 gendert4                  ,s4 #aif     
verificieren in verifizieren gendert4   
,s4 #aig ,da in ,dass gendert4          
,s4 #aih ,nektanabos in ,nektanebos     
gendert4                       ,s4 #aih 
#h  #ceg in #h  #ced gendert4           
,s4 #bjj  in  gendert4                  
,s4 #bjb #ae #ej in #aeej gendert4      
,s4 #bjb ganz ,teil in ganzer ,teil     
gendert4                       ,s4 #bjd 
klassisischen in klassischen gendert4   
,s4 #bjf ,eudoxes in ,eudoxos gendert4  
,s4 #bjh ,mneichmos in ,menaichmos      
gendert4                       ,s4 #bjh 
,eutoxios in ,eutokios gendert4         
,s4 #bji deren ,ache in deren ,axe      
gendert4                        ,s4 #baa
  o in  #j gendert4                     

,s4 #bac ,unendlich-kleinen und -grossen
 in                                     
,unendlich kleinen und grossen gendert4 
,s4 #baf naturwissenschaftlichen in     
naturwissenschaftlichem                 
gendert4                                
,s4 #bag auf und abgehend in auf- und   
abgehend gendert4          ,s4 #bah     
,znnchst in ,zunchst gendert4           
,s4 #bai bewunderswertesten in          
bewundernswertesten gendert4      ,s4   
#bbc wiederspruchsfreie in              
widerspruchsfreie gendert4        ,s4   
#bbd praestabilitierte ,harmonie in     
praestabilierte ,harmonie gendert4      
,s4 #bbf unserer ,intellekts in unseres 
,intellekts gendert4       ,s4 #bbf uud 
in und gendert4                         
,s4 #bbg  in   gendert4                 
,s4 #bbh auf die ,islam in auf den      
,islam gendert4                 ,s4 #bbh
 ,metereologie in ,meteorologie gendert4
                   ,s4 #bbh #ejj ,jahr  
in #ejj ,jahre gendert4                 
,s4 #bca ,alexandrischen ,schule in     

,alexandrinischen ,schule               
gendert4                                
,s4 #bca gegebenene in gegebene gendert4
                         ,s4 #bcb lectio
 sphrica in lectio sphaerica gendert4   
,s4 #bcc ,katoptik in ,katoptrik        
gendert4                          ,s4   
#bcd bedeuterenden in bedeutenderen     
gendert4                 ,s4 #bcd;f     
,resum in ,rsum gendert4                
,s4 #bce ,appollonios in ,apollonios    
gendert4                      ,s4 #bch  
,dodecader in ,dodekader gendert4       
,s4 #bdj festellen in feststellen       
gendert4                       ,s4 #bdb 
,anarizi in ,an-,narizi gendert4        
,s4 #bdc ,neupythagorismus in           
,neupythagoreismus gendert4         ,s4 
#bdd ,ishak in ,ishaq gendert4          
,s4 #bde ,konrad ,dasypodios in ,conrad 
,dasypodius gendert4         ,s4 #bde   
,mathesis juvenalis in ,mathesis        
juvenilis gendert4       ,s4 #bde       
,melanchtons in ,melanchthons gendert4  
,s4 #bde ,rechtek in ,rechteck gendert4 

,s4 #bdf ententlehnt in entlehnt        
gendert4                        ,s4 #bdf
 garnicht in gar nicht gendert4         
,s4 #bdi ,vatikanus in ,vaticanus       
gendert4                         ,s4    
#beg #b  #c  #e  #g  #i  #aa  #ac  #a   
#cjjca in                        #b  #c 
#e  #g  #aa  #ac  #a  #cjjca gendert4   
,s4 #beg ,knigo in ,knige gendert4      
,s4 #bfa         in                     
gendert4                ,s4 #bfb ,glon  
in ,gelon gendert4                      
,s4 #bfd complectantem in complectentem 
gendert4                 ,s4 #bfe       
,prostestantischen in ,protestantischen 
gendert4          ,s4 #bfe ,archityp in 
,archetyp gendert4                      
,s4 #bff ,federigo ,commandino in       
,federico ,commandino                   
gendert4                                
,s4 #bfg ,thbit ibn ,quorra in ,thabit  
ibn ,qurrah gendert4         ,s4 #bgb   
sphra in sphaera gendert4               
,s4 #bgc 7a#b  b7  a  b_/7#b;a  #a7 in  
7a#b  b7  a  b_/7#b;a  #a7 gendert4     

,s4 #cgh ,kopernicus in ,kopernikus     
gendert4                       ,s4 #bhb 
in   gendert4             ,s4 #bhb  in  
gendert4                                
,s4 #bhb #gf4 in #g4 gendert4           
,s4 #bhb #ajjiaaf in #ajjiaff gendert4  
,s4 #bhc 4 in 4 gendert4                
,s4 #bhc dis er in die er gendert4      
,s4 #bhd ,eratosthemes in ,eratosthenes 
gendert4                   ,s4 #bhe     
,erathostenes in ,eratosthenes gendert4 
,s4 #bhf ,kalimachos in ,kallimachos    
gendert4                      ,s4 #bhf  
,helene in ,hellene gendert4            
,s4 #bhg ,erathostenes in ,eratosthenes 
gendert4                   ,s4 #bhg     
etnographisch in ethnographisch gendert4
                ,s4 #bhh  in  gendert4  
,s4 #bhi ,es ist ist in ,es ist gendert4
                           ,s4 #bij     
frhstens in frhestens gendert4          
,s4 #bia ,federigo ,commandino in       
,federico ,commandino                   
gendert4                                
,s4 #bia ,tabit ibn ,quorrah in ,thabit 

ibn ,qurrah gendert4         ,s4 #bic   
,mimina in ,minima gendert4             
,s4 #bic x  o1 z  o1 und y  o1 u  o in  
x  #j1 z  #j1 und y  #j1 u  #j gendert4 
,s4 #bie ,hyberbel in ,hyperbel gendert4
                           ,s4 #bif     
,o-,kreise in #j-,kreise gendert4       
,s4 #big ,hyberbel in ,hyperbel gendert4
                           ,s4 #big     
,patricier in ,patrizier gendert4       
,s4 #bii  in   gendert4                 
,s4 #bii ,woepke in ,woepcke gendert4   
,s4 #bii ,appollonios in ,apollonios    
gendert4                      ,s4 #bii  
vindiciert in vindiziert gendert4       
,s4 #cjj ,problemenklassen in           
,problemklassen gendert4             ,s4
 #cjc ,irisektion in ,trisektion        
gendert4                       ,s4 #cjc 
x ,axe in x-,axe gendert4               
,s4 #cjc ,wlfings in ,wlffings gendert4 
,s4 #cjc angegebnen in angegebenen      
gendert4                      ,s4 #cjf  
von von in von gendert4                 
,s4 #cjf ,o-,punkt in #j-,punkt gendert4

                      ,s4 #cjg          
,querstecken in ,querstrecken gendert4  
,s4 #cji ,autentizitt in ,authentizitt  
gendert4                  ,s4 #caj      
regelmige in regelmssige gendert4       
,s4 #caa des erste in das erste gendert4
                         ,s4 #cad       
schliesen in schliessen gendert4        
,s4 #caf ,exerpte in ,excerpte gendert4 
,s4 #ccd liber geoponikus in liber      
geoponicus gendert4           ,s4 #cah  
#fi und #abe in #fd und #abe gendert4   
,s4 #cah ,verfahfahren in ,verfahren    
gendert4                      ,s4 #cah  
,nherungwerte in ,nherungswerte gendert4
                ,s4 #cah #bfe_/acc in   
#bfe_/aec gendert4                      
,s4 #cah #acea_/ahj in #acea_/ghj       
gendert4                           ,s4  
#cbj ,ktesebios in ,ktesibios gendert4  
,s4 #cbf ,katatoptrik in ,katoptrik     
gendert4                       ,s4 #cci 
grader in gerader gendert4              
,s4 #cca ,appollonios in ,apollonios    
gendert4                      ,s4 #ccd  

liber geoponikus in liber geoponicus    
gendert4           ,s4 #cce wie  zu  in 
wie  zu  gendert4                   ,s4 
#cce  3  wie  3  in  3  wie  3          
gendert4                                
,s4 #ccf terminus technikus in terminus 
technicus gendert4       ,s4 #ccf       
#bgahge 3 #fgdda in #baahge 3 #fgdda    
gendert4               ,s4 #ccf         
,kotangenten in ,cotangenten gendert4   
,s4 #ccg ,sprik in ,sphrik gendert4     
,s4 #cch ,ubersetzer in bersetzer       
gendert4                       ,s4 #cch 
science in scienze gendert4             
,s4 #cci graden in geraden gendert4     
,s4 #cda nitidam in nitidum gendert4    
,s4 #cdb ,seneka in ,seneca gendert4    
,s4 #cdb ,eklecticismus in              
,eklekticismus gendert4                 
,s4 #cdb geocentrischen in              
geozentrischen gendert4                 
,s4 #cdb ,metereologe in ,meteorologe   
gendert4                     ,s4 #cdc   
vg4 in vgl4 gendert4                    
,s4 #cdf ,parellelentheorie in          

,parallelentheorie gendert4         ,s4 
#cdh ,isidoros von ,sevilla in ,isidorus
 von ,sevilla                           
gendert4                                
,s4 #cdh #eid in #fjj gendert4          
,s4 #cej  in  gendert 7#a-mal-#a        
,tabelle74                      ,s4 #cea
 ,a4 ,boecks in ,a4 ,boeckhs gendert4   
,s4 #cea ,r4 ,balzers in ,r4 ,baltzers  
gendert4                      ,s4 #cec  
,franssisch in ,franzsisch gendert4     
,s4 #cec  in  gendert4                  
,s4 #cee ,philosopie in ,philosophie    
gendert4                      ,s4 #cee  
,zarathusthra in ,zarathustra gendert4  
,s4 #cfj  in  gendert4                  
,s4 #cfj heist in heisst gendert4       
,s4 #cfb giebt in gibt gendert4         
,s4 #cfc rechtwinklingen in             
rechtwinkligen gendert4              ,s4
 #cfg;f ,vatikanus in ,vaticanus        
gendert4                        ,s4 #cfg
 ,federigo ,commandino in ,federico     
,commandino                             
gendert4                                

,s4 #cgb ,moslemin in ,moslimen gendert4
                           ,s4 #cgc     
,geschwindigheit in ,geschwindigkeit    
gendert4             ,s4 #cgg ,aryer in 
,arier gendert4                         
,s4 #cgi ,hellenentnm in ,hellenentum   
gendert4                     ,s4 #cgi   
befriedigenste in befriedigendste       
gendert4              ,s4 #chj den      
,milesier in dem ,milesier gendert4     
,s4 #cha ,metereol4 in ,meteorol4       
gendert4                         ,s4    
#chb abgeschlossneren in                
abgeschlosseneren gendert4          ,s4 
#chd vom ,bsem in von ,bsem gendert4    
,s4 #chh ,amonios in ,ammonios gendert4 
,s4 #chh ,appolodoros in ,apollodoros   
gendert4                     ,s4 #chi   
,baudhayana in ,baudhyana gendert4      
,s4 #chi ,berosos in ,berossos gendert4 
,s4 #cij ,boetius in ,botius gendert4   
,s4 #cia ,copernikus in ,copernicus     
gendert4                       ,s4 #cia 
,dupnis in ,dupuis gendert4             
,s4 #cia ,erathosthenes in ,eratosthenes

 gendert4                  ,s4 #cia     
,ermann in ,erman gendert4              
,s4 #cib ,euken in ,eucken gendert4     
,s4 #cib ,flynders ,petrie in ,flinders 
,petrie gendert4             ,s4 #cic   
,griffiths in ,griffith gendert4        
,s4 #cic ,halevy in ,halvy gendert4     
,s4 #cic ,hieronymus in ,hieronymos     
gendert4                       ,s4 #cid 
,isidorus von ,milet in ,isidoros von   
,milet gendert4       ,s4 #cie          
,kopernicus in ,kopernikus gendert4     
,s4 #cif ,northhampton in ,northampton  
gendert4                    ,s4 #cif    
,ottojano in ,ottajano gendert4         
,s4 #cih ,revillont in ,revillout       
gendert4                         ,s4    
#cih ,schack v4 ,schackburg in          
,schack-,schackenburg                   
gendert4                                
,s4 #cih ,schelbach in ,schellbach      
gendert4                        ,s4 #cii
 ,tbit ibn ,quorrah in ,thabit ibn      
,qurrah gendert4         ,s4 #djj ,vaux 
,cara de in ,vaux ,carra de gendert4    

,s4 #djj ,willamowitz in ,wilamowitz    
gendert4                      ,s4 #djj  
,wpke in ,wpcke gendert4                
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