,anm]kung5 zur ,transkription ,im ,orig9al gesp]rt] bzw4 kursiv] ,text i/ s ausgezei*net4 ,im ,orig9al fettg$ruckt] ,text i/ s m>ki]t4 ,die ,s*reibweise x bezei*net e95 ho*ge/ellt51 die ,s*reibweise x e95 tiefge/ellt5 ,index4 l9e7,,ab7 bezei*net e9e ,/recke1 arc7,,ab7 e9e ,kurve4 ,d] ,text en?lt ma!matis*e ,symbole1 die ni*t mit j$em ,zei*5satz korrekt angezeigt w]d5 knn54 ,weit]e ,anm]kung5 zur ,transkription bef9d5 si* am ,ende des ,bu*es4 ,ma!matis*-,physikalis*e ,biblio!k ,geme9v]/ndli*e ,d>/ellung5 aus d] ,ma!matik u4 ,physik4 ,unt] ,mitwirkung von ,fa*g5oss5 hrsg4 von ,dr4 ,w4 ,lietzmann ,direktor d] ,ob]reals*ule zu ,gtt+5 und ,dr4 ,a4 ,witt+ ,/udi5rat1 ,gymnasialpr(4 9 ,dresd5 ,fa/ alle ,bnd*5 en?alt5 zahlrei*e ,figur54 kl4 #h4 ,k>t4 je ,m4 #b4- ,hi]zu ,teu]ungszus*lag des ,v]lages #abj 7,abnd]ung vorbeh47 u4 d4 ,bu*h&l4 ,die ,sammlung1 die 9 e9zeln kufli*5 ,bnd*5 9 zwanglos] ,folge h]ausgegeb5 wird1 bezweckt1 all5 d551 die ,int]esse an d5 ma!matis*-physikalis*5 ,wiss5s*aft5 hab51 es 9 ang5ehm] ,=m zu ermgli*51 si* b] das geme9h9 9 d5 ,s*ul5 ,gebot5e h9aus zu belehr54 ,die ,bnd*5 geb5 also teils e9e ,v]tiefung sol*] elem5t>] ,probleme1 die allgeme9]e kulturelle ,b$eutung od] besond]es wiss5s*aftli*es ,gewi*t hab51 teils soll5 sie ,d+e beh&eln1 die d5 ,les]1 ohne zu groe ,an=d]ung5 an se9e ,k5ntnisse zu /eil51 9 neue ,gebiete d] ,ma!matik und ,physik e9fhr54 ,bi%] s9d ers*i55 7#aiab_/bj73 ,d] ,begriff d] ,zahl 9 se9] logis*5 und hi/oris*5 ,entwicklung4 ,von ,h4 ,wieleitn]4 #b41 dur*geseh4 ,aufl4 7,bd4 #b47 ,ziff]n und ,ziff]nsy/eme4 ,von ,e4 ,lffl]4 #b41 neube>b4 ,aufl4 ,i3 ,die ,zahlzei*5 d] alt5 ,kulturvlk]4 7,bd4 #a47 ,,ii3 ,die ,z4 im ,mittelalt] und 9 d] ,neuzeit4 7,bd4 #cd47 ,die #g ,re*nungs>t5 mit allgeme95 ,zahl54 ,von ,h4 ,wieleitn]4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #g47 ,e9fhrung 9 die ,inf9itesimalre*nung4 ,von ,a4 ,witt+4 #b4 ,aufl4 ,i3 ,die ,diff]5tial-1 ,,ii3 ,die ,integralre*nung4 7,bd4 #i u4 #da47 ,wahrs*e9li*keitsre*nung4 ,v4 ,o4 ,mein]4 #b4 ,auflage4 ,i3 ,grundlehr54 7,bd4 #d47 ,,ii3 ,anw5dung54 7,bd4 #cc47 ,vom p]iodis*5 ,dezimalbru* zur ,zahl5!orie4 ,von ,a4 ,leman4 7,bd4 #ai47 ,d] py?agoreis*e ,lehrsatz mit e9em ,ausblick auf das ,f]mats*e ,problem4 ,von ,w4 ,lietzmann4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #c47 ,d>/ell5de ,geometrie des ,gelndes und v]w4 ,anw5dung5 d] ,me?ode d] koti]t5 ,projektion54 ,von ,r4 ,ro!4 #b41 v]b4 ,aufl4 7,bd4 #ce_/cf47 ,me?od5 zur ,lsung geometris*] ,aufgab54 ,von ,b4 ,k]/4 7,bd4 #bf47 ,e9fhrung 9 die projektive ,geometrie4 ,von ,m4 ,za*>ias4 7,bd4 #f47 ,kon/ruktion5 9 begr5zt] ,eb5e4 ,von ,p4 ,zhlke4 7,bd4 #aa47 ,ni*teuklidis*e ,geometrie 9 d] ,kugeleb5e4 ,von ,w4 ,dieck4 7,bd4 #ca47 ,e9fhrung 9 die ,nomographie4 ,von ,p4 ,luckey4 ,i4 ,teil3 ,die ,funktionsleit]4 7,bd4 #bh47 ,,ii4 ,teil3 ,die ,zei*nung als ,re*5mas*9e4 7,bd4 #cg47 ,!orie und ,praxis des log>i?m4 ,re*5s*ieb]s4 ,von ,a4 ,rohrb]g4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #bc47 ,die ,anf]tigung ma!mat4 ,modelle4 7,fr ,s*l] mittl4 ,kl47 ,von ,k4 ,giebel4 7,bd4 #af47 ,k>te und ,kroki4 ,von ,h4 ,wolff4 7,bd4 #bg47 ,die ,grundlag5 uns]] ,zeitre*nung4 ,von ,a4 ,b>u*4 7,bd4 #bi47 ,die ma!mat4 ,grundlag5 d4 ,v>iations- u4 ,v]]bungslehre4 ,von ,p4 ,riebesell4 7#bd47 ,ma!matik und ,mal]ei4 #b ,teile 9 #a ,b&e4 ,von ,g4 ,wolff4 7,bd4 #bj_/ba47 ,d] ,gold5e ,s*nitt4 ,von ,h4 ,e4 ,tim]d+4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #cb47 ,beispiele zur ,ges*i*te d] ,ma!matik4 ,von ,a4 ,witt+ und ,m4 ,gebh>d4 7,bd4 #ae47 ,ma!matik]-,anekdot54 ,von ,w4 ,ahr5s4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #ah47 ,die ,quadratur d4 ,kreises4 ,von ,e4 ,beutel4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #ab47 ,wo /eckt d] ,fehl]8 ,von ,w4 ,lietzmann und ,v4 ,tri]4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #aj47 ,geheimnisse d] ,re*5kn/l]4 ,von ,ph4 ,ma5n*54 #b4 ,aufl4 7,bd4 #ac47 ,ries5 und ,zw]ge im ,zahl5rei*e4 ,von ,w4 ,lietzmann4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #be47 ,0 i/ ,geld8 ,von ,w4 ,lietzmann4 7,bd4 #cj47 ,die ,fallgesetze4 ,v4 ,h4 ,e4 ,tim]d+4 7,bd4 #e47 ,ion5!orie4 ,von ,p4 ,bru]4 7,bd4 #ch47 ,das ,relativittspr9zip4 ,lei*tfali* entwickelt von ,a4 ,ang]sba*4 7,bd4 #ci47 ,dreht si* die ,erde8 ,von ,w4 ,brunn]4 7#ag47 ,!orie d] ,planet5bewegung4 ,von ,p4 ,me?4 7,bd4 #h47 ,beoba*tung d4 ,himmels mit e9fa*4 ,in/rum5t54 ,von ,fr4 ,rus*4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #ad47 ,ma!m4 ,/reifzge dur* die ,ges*i*te d] ,a/ronomie4 ,von ,p4 ,kir*b]g]4 7,bd4 #dj47 ,9 ,vorb]eitung3 ,doehlemann1 ,ma!matik und ,ar*itektur4 ,s*ips1 ,ma!matik und ,biologie4 ,w9kelmann1 ,d] ,kreisel4 ,wolff1 ,feldmess5 und ,hh5mess54 ,v]lag von ,b4 ,g4 ,teubn] 9 ,leipzig und ,b]l9 ,preise freibleib5d4 ,,ma!matis*-,,physikalis*e ,,biblio!k ,,h]ausgegeb5 ,,von ,w4 ,,lietzmann ,,und ,a4 ,,witt+ #ce_/cf ,,d>/ell5de ,,geometrie ,,des ,,gel,,ndes ,,und ,,v]w&te ,,anw5dung5 ,,d] ,,me?ode ,,d] ,,koti]t5 ,,projektion5 ,,von ,,rudolf ,,ro! ,,dr4 ,,phil41 ,o4 ,,pr(essor ,,an ,,d] ,,te*n4 ,,ho*s*ule ,,b]l9 ,,zweite1 ,,v]bess]te ,,auflage ,,mit #ajg ,,figur5 ,,im ,,text ,illu/ration #aiai ,,leipzig ,,und ,,b]l9 ,,v]lag ,,und ,,druck ,,von ,b4 ,g4 ,,teubn] ,s*utz=mel fr die ,v]e9igt5 ,/aat5 von ,am]ika3 ,copyright #aiai by ,b4 ,g4 ,teubn] 9 ,leipzig4 ,,alle ,,re*te1 ,,e9s*liessli* ,,des ,,b]setzungsre*ts1 ,,vorbehalt54 ,,vorwort ,,zur ,,er/5 ,,und ,,zweit5 ,,auflage ,9 d] vorlieg5d5 kle95 ,s*rift habe i* v]su*t1 d5 ,les] 9 elem5t>] und lei*t v]/ndli*] ,weise mit d] zei*n]is*5 ,beh&lung d] topographis*5 ,fl*5 na* d] ,me?ode d] koti]t5 ,projektion5 bekannt zu ma*54 ,die glckli*e ,pa>ung zwis*5 ,re*nung und ,zei*nung1 auf d] diese ,me?ode b]uht1 die d>9 begrndete ,freiheit1 si* au* an komplizi]t]e ,aufgab5 mit ,aussi*t auf ,erfolg zu wag51 und dah] weit] das unbewute ,gefhl1 hi] w5ig/5s d] selb/ges*aff55 ,s*m]z5 d] ,ma!matik] l$ig zu se91 das alles gibt diesem ,s*we/]gebiete d] d>/ell5d5 ,geometrie e95 besond]5 ,reiz4 ,er wird no* erhht dur* die fa/ unmittelb>e ,anw5db>keit auf praktis*e ,frag54 ,i* habe auf diese ,anw5dung5 groes ,gewi*t gelegt2 sie ent/amm5 zum ,teil dem geologis*-b]gmnnis*5 ,gesi*tskreis und rhr5 aus d] ,zeit1 als i* an d] ,clau/hal] ,b]gakademie e9iges aus diesem ,gebiete 9 elem5t>5 ,vorlesung5 b] d>/ell5de ,geometrie vortrug 444 ,9 d] zweit5 ,auflage1 die dem ,b*le9 trotz d] ,ungun/ d] ,zeit5 bes*i$5 i/1 konnt5 mehr]e sa*li*e und spra*li*e ,v]bess]ung5 und ,ergnzung5 angebra*t w]d52 s insbesond]e 9 d5 #fc und #fd1 wo1 wie i* glaube1 d] ,begriff des ,talwegs jetzt e9w&frei erklrt word5 i/4 ,au* wurde auf mehrfa* geuert5 ,wuns* e9 kurz] ,abs*nitt b] ,anw5dung5 auf die zei*n]is*e ,analysis und die ,nomographie h9zugefgt4 ,bezgli* d] ,abbildung51 die s*on weg5 des ,=mates ni*t mehr als e95 bloen ,anhalt zum ,anf]tig5 von ,re9zei*nung5 geb5 woll51 konnte i* mi* au* aus uer5 ,grnd5 ni*t ents*lieen1 grere nd]ung5 vorzunehm54 ,w] aus dem ,bu*e ern/haft l]n5 w1 wird gewi ni*t unt]lass51 si* ,re9zei*nung5 im pass5d5 ,ma/abe selb/ h]zu/ell54 brig5s i/ es e9 ,unt]s*i$1 ob es si* um e9e ,re9zei*nung h&elt1 wie sie 9 d5 bung5 zur d>/ell5d5 ,geometrie ge=d]t wird1 od] um e9e ,kon/ruktion an e9] topographis*5 od] geologis*5 ,gelndek>te2 hi] wird man*e ,zei*nung do* ni*t viel grer ausfall5 als die ,abbildung5 dieses ,bnd*5s4 ,am ,s*lu i/ e9 alphabetis*es ,sa*v]zei*nis angefgt word54 ,d] erweit]te ,umfang hat es er=d]t1 das ,bu* als ,doppelbnd*5 h]auszugeb54 ,b]l91 im ,april #aiai4 ,,rudolf ,,ro! ,,inhalt ,seite ,e9leitung #a ,i4 ,grundbegriffe und elem5t>e ,kon/ruktion5 b] koti]te ,projektion5 #a-bb #b-ah #a4 ,koti]te ,projektion4 ,s4 #b4 #b4 ,ma/ab d] ,zei*nung4 #c4 #c4 ,e9s*alt5 e9es ,punktes4 #d4 #d4 ,/ufung 7,gradui]ung7 e9] ,g]ad54 #d4 #e4 ,int]vall4 #e4 #f4 ,s*nitt zwei] ,g]ad54 #e4 #g4 ,eb5e4 #f4 #h4 ,gefllema/ab4 #f4 #i4 ,aufgabe4 #g4 #aj4 ,bs*ung1 ,fall5 und ,/rei*54 #g4 #aa4 ,aufgabe4 #h4 #ab ,s*nittg]ade zwei] ,eb554 #h4 #ac4 ,eb55 mit p>allel5 ,gefllema/b54 #i4 #ad4 ,eb55 glei*] ,bs*ung4 #aj4 #ae4 ,s*nittpunkt e9] ,g]ad5 mit e9] ,eb5e4 #aj4 #af4 ,lot von e9em ,punkte auf e9e ,eb5e4 #aa4 #ag4 ,krze/] ,ab/& zwei] w9ds*ief] ,g]ad54 #aa4 #ah4 ,dreh5 e9] ,eb5e um e9e ,/rei*l9ie 9 die wag]e*te ,lage4 #ab4 #ai4 ,s*nittw9kel zwei] ,eb554 #ac4 #bj4 ,bs*ungskegel4 #ae4 #ba4 ,kreiszyl9d]1 s*ief] ,kreiskegel1 ,kugel4 #af4 #bb4 ,&]e ,ob]fl*54 #af4 ,,ii4 ,elem5t>e ,anw5dung5 #bc-cd #ah-be #bc4 ,zweck d] ,anw5dung54 #ah4 #bd4 ,auffhrung e9es ,dammes4 #ah4 #be4 ,qu]pr(il4 #ai4 #bf4 ,anlage e9es eb55 ,platzes4 #ai4 #bg4 ,weg gegeb5] ,/eigung4 #bj4 #bh4 ,/rei*5 und ,fall5 e9] ,eb5e4 #ba4 #bi4 ,da*ausmittelung4 #ba4 #cj4 ,aufgabe4 #bb4 #ca4 ,=tsetzung4 #bb4 #cb4 ,aufs*ttung e9] ,halde4 #bb4 #cc4 ,auss*a*t5 e9] ,grube4 #bd4 #cd4 ,tunnelmndung4 #bd4 ,,iii4 ,d>/ellung d] ,gelndefl*5 #ce-gc #bf-ec #ce4 ,haupts*i*tl9i54 #bf4 #cf4 zei*n]is*e ,bem]kung54 #bf4 #cg4 ,/or*s*nabel4 #bg4 #ch4 ,glatte ,kurve4 #bg4 #ci4 ,spiegell9eal4 #bh4 #dj4 ,tang5te4 #bh4 #da4 ,hllkurve4 #bh4 #db4 ,evolute4 #bi4 #dc4 ,p>allelkurv54 #bi4 #dd4 ,b]hrung5 im ,raume4 #bi4 #de4 ,relief e9es ,gelndes4 #cj4 #df4 ,kurv5 auf e9] ,gelndefl*e4 #cj4 #dg4 ,d>/ellung e9] ,raumkurve4 #cj4 #dh4 ,e9s*alt5 von ,punkt5 und ,kon/ruktion von ,s*i*tl9i54 #ca4 #di4 ,bs*ung e9] ,raumkurve4 #cb4 #ej4 ,bs*ungsl9ie4 #cb4 #ea4 ,normaleb5e1 ,plani]ungsfl*e4 #cb4 #eb4 ,s*miegungseb5e4 #cc4 #ec4 ,hauptnormale1 ,b9ormale4 #cd4 #ed4 ,s*nitt e9] ,fl*e mit e9] ,eb5e4 #ce4 #ee4 ,anw5dung4 #cf4 #ef4 ,e9s*alt5 von ,hh5l9i54 #cf4 #eg4 ,b]hrungseb5e und ,normale e9] ,fl*e4 #cg4 #eh4 ,normaleb5e1 ,fall9i5 e9] ,fl*e4 #ch4 #ei4 ,s*raffur e9] ,k>te4 #ci4 #fj4 ,krmmung e9] ,fl*e4 #ci4 #fa4 ,v]lauf d] ,s*i*t- und ,fall9i54 #da4 #fb4 ,gipfel-1 ,muld5- und ,jo*punkt4 #da4 #fc4 ,wass]s*eide und ,talweg4 #db4 #fd4 ,=tsetzung4 #dd4 #fe4 ,bs*ungsfl*e4 #dg4 #ff4 ,bs*ungs/reif54 #dh4 #fg4 ,gratl9ie4 #dh4 #fh4 ,eb5e ,raumkurv54 #dh4 #fi4 ,bs*ungsfl*5 e9] ,raumkurve4 #di4 #gj4 ,bs*ungsl9i5 auf e9] ,fl*e4 #ej4 #ga4 ,aufgabe4 #ea4 #gb4 ,s*nitt zwei] ,fl*54 #ea4 #gc4 ,dur*dr+ungspunkte e9] ,raumkurve mit e9] ,gelndefl*e4 #eb4 ,,iv4 ,aufgab5 und ,anw5dung5 #gd-hh #ec-fg #gd4 ,zweck d] ,aufgab54 #ec4 #ge4 ,aufs*ttung und ,abtrag e9es ,eis5bahndammes4 #ec4 #gf4 ,die ,aus/ri*l9ie e9] ,mulde mit dem ,gelnde zu be/imm54 #ed4 #gg4 ,s*nittkurve e9] zyl9dris*5 ,fl*e mit dem ,gelnde4 #ee4 #gh4 ,um e9e gegeb5e ,gelndefl*e e95 ,zyl9d] mit wag]e*t5 ,mantelg]ad5 zu ums*reib54 #ef4 #gi4 ,dur* e9e gegeb5e ,g]ade die ,b]hrungseb55 an e9e ,gelndefl*e zu leg54 #ef4 #hj4 ,ums*rieb5] ,zyl9d] mit beliebig gegeb5] ,ri*tung d] ,mantelg]ad54 #eg4 #ha4 ,b]hrungseb5e4 #eh4 #hb4 ,&]e ,kon/ruktion des ums*rieb55 ,zyl9d]s und d] ,b]hrungseb5e4 #ei4 #hc4 ,gebrau* e9] ,hilfskurve4 #fa4 #hd4 ,s*att5gr5ze4 #fb4 #he4 ,von e9em gegeb55 ,punkte an e9e ,gelndefl*e d5 ,b]hrungskegel zu zei*n54 #fb4 #hf4 ,beispiel4 #fd4 #hg4 ,ansi*t des ,gelndes4 a7 ,p>allelprojektion4 #fe4 #hh4 b7 ,z5tralprojektion4 #ff4 ,v4 ,mabe/immung5 und ,beziehung5 zur zei*n]is*5 ,analysis #hi-ajg #fg-hi #hi4 ,lng5messung4 #fg4 #ij4 ,fl*5messung4 a7 ,quadratteilung4 #fh4 #ia4 b7 ,e9teilung 9 ,/reif5 glei*] ,breite4 #fi4 #ib4 c7 ,&]e ,/reif5e9teilung4 #fi4 #ic4 d7 ,planimet]4 #gj4 #id4 ,g5eigte ,fl*e4 #ga4 #ie4 ,fl*59halt e9] ,bs*ungsfl*e4 #ga4 #if4 ,raum9halt e9es begr5zt5 ,gelndeteiles4 #gb4 #ig4 ,aufgabe3 ,raum9halt e9] ,lag]/tte4 #gc4 #ih4 ,ausfhrung d] ,aufgabe4 #gd4 #ii4 ,zei*n]is*e ,analysis4 #gg4 #ajj4 ,funktionsskale4 #gh4 #aja4 ,kon/ruktion besond]] ,funktionsskal54 #gi4 #ajb4 ,aufgabe4 #ha4 #ajc4 ,zusamm5gesetzte ,funktionsskal54 #hb4 #ajd4 ,netzteilung4 #hc4 #aje4 ,log>i?m5papi]4 #he4 #ajf4 ,d>/ellung e9] ,funktion von zwei ,v]nd]li*5 dur* e9 ,re*5blatt4 #hg4 #ajg4 ,re*5blatt mit unglei*mig] ,teilung4 #hh4 ,alphabetis*es ,sa*v]zei*nis #ij-ib ,,e9leitung ,e9e ,l&k>te1 die e95 ni*t zu groen ,teil d] ,erdob]fl*e d>/ellt1 gibt im groen und ganz5 das ,bild wi$]1 das si* e9em s5kre*t d>b] bef9dli*5 ,beoba*t] aus sol*] ,hhe d>bietet1 wo fr ihn die ,hh5unt]s*i$e des ,gelndes unm]kli* geword5 s9d4 ,um diese ,hh5unt]s*i$e 9 d] ,k>te d5no* k5ntli* zu ma*51 pflegt man e9e g5g5de ,anzahl von ,punkt5 dur* beigesetzte ,hh5zahl5 7,kot57 zu bezei*n51 die ihre s5kre*te ,entf]nung von e9] g$a*t5 ,horizontaleb5e1 mei/ dem ,me]esspiegel1 9 e9] gewhlt5 ,lng5e9heit1 z4 ,b4 9 ,met]n1 angeb54 ,auf diese ,weise ent/eht e9e mehr od] w5ig] getreue ,d>/ellung 7koti]t] ,ri7 d] ,erdob]fl*e mit ihr5 ,erhebung5 und ,s5k52 od] 9 allgeme9]] ,b$eutung1 es ent/eht die ,d>/ellung e9] ,gelndefl*e od] topographis*5 ,fl*e1 worunt] 9 d] ,regel e9e sol*e v]/&5 wird1 die von j$] ,s5kre*t5 9 g5au e9em ,punkte ges*nitt5 wird2 bei man*51 z4 ,b4 bei geologis*5 ,betra*tung51 i/ diese ,b$+ung freili* ni*t imm] erfllt4 ,e9e auf d] ,fl*e geleg5e ,l9ie1 d]5 smtli*e ,punkte die glei*e ,hhe 7,kote7 hab51 heit ,hh5l9ie 7,s*i*tl9ie1 ,niveaul9ie1 ,isohypse71 bei ,hh5 unt] dem ,me]esspiegel au* ,tief5l9ie 7,isoba!72 sie i/ die ,s*nittl9ie d] ,gelndefl*e mit e9] horizontal5 ,eb5e4 ,e9 abgelass5] ,tei* lt (t sol*e ,s*i*tl9i51 die ,spur5 frh]] ,wass]/nde1 an se95 ,uf]n erk5n54 ,die ,brau*b>keit und ,ans*auli*keit d] ,d>/ellung e9] ,gelndefl*e dur* e9e ,k>te gew9nt erhebli*1 w5n auf ihr e9e g5g5de ,anzahl von ,hh5l9i5 d] ,art v]zei*net i/1 da ihn5 e9e ,e9teilung d] ,fl*e 9 ,s*i*t5 glei*] ,dicke entspri*t 7,s*i*t5plan74 ,auf dies] ,d>/ellung e9] ,gelndefl*e dur* ihre ,s*i*tl9i5 b]uht die ,mgli*keit1 auf zei*n]is*-kon/ruktiv5 ,weg5 e9e groe ,anzahl von ,frag5 und ,aufgab5 zu beantwort51 wie sie 9 d] ,v]messungskunde1 ,k>t5kunde1 ,geographie1 militris*5 ,topographie1 ,bau+5ieurwiss5s*aft1 ,geologie1 ,b]gbaukunde usw4 vorkomm5 knn54 ,die ,ausfhrung d] ,me?od51 die zur zei*n]is*5 ,lsung sol*] ,frag5 di551 bildet e9 wi*tiges ,mittel d] angew&t5 ,geometrie1 das si* aus praktis*5 ,b$rfniss5 h]aus1 ursprngli* nautis*5 und militris*51 entwickelt hat1 zu]/ 9 ,frankrei*1 wo die ,k5ntnis d]>tig] ,d+e no* bis vor hund]t ,jahr5 militris* geheim gehalt5 wurde4 ,9 dieses ,gebiet1 das zum ,v]/ndnis im allgeme95 nur w5ige elem5t>geometris*e ,vork5ntnisse er=d]t1 und dess5 ,pflege weg5 d] s(ort 9 die ,aug5 spr+5d5 praktis*5 ,v]w5db>keit besond]s reizvoll und anreg5d i/1 w die vorlieg5de ,s*rift e9e ,e9fhrung geb54 ,es wird zweckmig se91 zun*/ au* auf e9ige grundleg5de geometris*e ,begriffe und ,kon/ruktion5 e9zugeh51 auf d55 die alsdann zu bespre*5d5 ,aufgab5 b] ,gelndefl*5 b]uh54 ,i4 ,,grundbegriffe ,,und ,,elem5t>e ,,kon/ruktion5 ,,b] ,,koti]te ,,projektion5 #a4 ,koti]te ,projektion4 ,e9 ,punkt ,p' des ,raumes i/ dur* ,angabe se9] s5kre*t5 ,grundriprojektion ,p auf e9e ,horizontaleb5e 7,rieb5e1 ,zei*5eb5e7 und d] ,mazahl k se9es s5kre*t5 ,ab/&es 7,hh5zahl1 ,kote7 von d] ,eb5e1 gemess5 9 ,e9heit5 des ,hh5ma/abs1 e9deutig be/immt3 koti]te ,projektion4 ,e9e ,k>te mit ,hh5angab5 i/ also e9e geometris*e ,grundrid>/ellung e9es ,gelndes dur* koti]te ,projektion53 koti]te ,eb5e4 ,zwei ,punkte ,p' und ,p' be/imm5 e9e ,g]ade g'4 ,zur ,ermittelung des spitz5 ,w9kels 1 unt] dem g' geg5 die ,horizontaleb5e g5eigt i/1 und d] ,entf]nung ,p',p' 7,luftl9ie7 kon/rui]t man 9 d] ,zei*5eb5e das re*tw9klige ,dreieck mit d5 ,ka!t5 ,p,p und ,p,p99 k - k1 aus dem die gewns*t5 ,gren mit ,transporteur und ,ma/ab zu entnehm5 s9d 7,fig4 #a und #b74 ,illu/ration3 ,fig4 #a4 ,illu/ration3 ,fig4 #b4 brig5s heit d] ,fallw9kel1 tg das ,geflle1 d] ,an/ieg od] die ,bs*ung d] ,g]ad5 g'4 ,da man es im folg5d5 imm] mit d] ,zei*nung 9 d] ,rieb5e zu tun hat1 s spri*t man 9 d] ,regel von dem ,fallw9kel1 dem ,geflle usw4 d] gezei*net5 ,g]ad5 g1 d] ,projektion von g'1 obwohl man d>unt] natrli* /ets die ,gren me9t1 die g' selb/ zukomm54 ,d>auf i/ 9 ,zukunft zu a*t54 #b4 ,ma/ab d] ,zei*nung4 ,die ,abmessung5 d] ,zei*nung w]d5 mei/ mit d55 d] ,wirkli*keit ni*t b]e9/imm51 sond]n geb5 sie 9 v]kle9]t5 ,ma/b5 wi$]4 ,v]halt5 si* z4 ,b4 die ,horizontal5tf]nung5 d] ,zei*nung zu d55 d] ,wirkli*keit wie #a 3 7bei d5 preuis*5 ,metis*bltt]n wie #a 3 #bejjj71 die gezei*net5 ,hh5 zu d5 wirkli*5 wie #a 3 1 s i/ die wirkli*e ,entf]nung ni*t mehr l 7l9e7,p,p7 7k - k771 sond]n sie i/ ,l 7 l9e7,p,p7 7k - k771 und d] ,neigungsw9kel im allgeme95 ni*t 1 s da tg 7k - k7_/l9e7,p,p71 sond]n glei* 1 s da tg _/ 7k - k7_/l9e7,p,p74 ,nur w5n 1 w5n also ,horizontal5tf]nung5 und ,hh5 im selb5 ,ma/ab #a 3 aufgetrag5 s9d1 i/ ,l l1 4 ,obwohl das praktis* selt5 angngig i/ - mei/ i/ 2 b]hhung -1 wird es im folg5d51 wo ni*ts &]es gesagt i/1 do* d] ,e9fa*heit weg5 /ets vorausgesetzt1 zumal viele ,kon/ruktion5 von d] ,wahl d] ,ma/be ganz unabhngig s9d4 #c4 ,e9s*alt5 e9es ,punktes4 ,die ,fig4 #b zeigt au*1 wie man die ,kote k e9es beliebig51 auf g geleg55 ,punktes ,p ermittelt1 d5n es i/ ,,pp99 k - k4 ,sie zeigt f]n]1 wie man bei gegeb5] ,hh5zahl k d5 zugehrig5 ,punkt ,p auf d] ,g]ad5 g kon/rui]t3 ,man trgt1 unt] ,rcksi*t auf das ,vorzei*5 d] ,kot5unt]s*i$e1 auf ,p,p99 k - k die ,/recke k - k ab1 entw$] von ,p99 aus bis ,q und zieht dann die ,p>allele ,,qp99 zu ,p,p1 od] bess] von ,p aus bis ,r und zieht dann die ,p>allele ,,rp zu ,p99,p2 w5n k - k und k - k v]s*i$5es ,vorzei*5 hab51 mu man k - k an ,p,p99 v]lng]nd antrag51 wie es bei d] ,kon/ruktion von 7,p7 ges*eh5 i/4 brig5s s9d diese ,kon/ruktion5 w$] davon1 da ,p,p99 ,p,p i/1 no* von dem gewhlt5 ,hh5ma/ab abhngig4 ,au* re*n]is*1 sehr bequem und ausrei*5d g5au mittels des ,re*5s*ieb]s1 lt si* die ,kote von ,p na* d] ,=mel k k ,p,p_/7,p,p7 7k - k7 be/imm54 #d4 ,/ufung 7,gradui]ung7 e9] ,g]ad54 ,dur* ,wi$]holung d] eb5 bes*rieb55 ,kon/ruktion kann man auf e9] dur* zwei ,punkte ,p,p e9es koti]t5 ,risses gegeb55 ,g]ad5 g sol*e ,punkte be/imm51 d]5 ,hh5zahl5 von ,e9heit zu ,e9heit1 od] von #aj zu #aj ,e9heit5 od] d]glei*51 =ts*reit51 wie das 9 ,fig4 #c mit be/immt5 ,w]t5 ausgefhrt i/4 ,9 ,p i/ an g unt] beliebigem ,w9kel die ,/recke ,p,p99 9 ,lnge von #bb1f - #ah1g #c1i beliebig5 ,e9heit5 angetrag5 und auf ihr 9 d5selb5 ,e9heit5 #bb1f - #bb #j1f1 #bb1f - #ba #a1f usw4 abgetrag52 die ,p>allel5 dur* die erhalt55 ,punkte s*neid5 auf g die ,/ufung 7,gradui]ung7 od] d5 ,gefllema/ab aus4 ,die ge/ufte ,g]ade ers*e9t wie e9 aus groer ,hhe geseh5] ,/eigbaum mit ,spross54 ,illu/ration3 ,fig4 #c4 ,e9e lotre*te ,g]ade hat als ,projektion e95 ,punkt und i/ dur* dess5 ,angabe e9deutig be/immt4 ,e9e wag]e*te ,g]ade hat ke95 ,gefllema/ab2 sie i/ dur* ihre ,projektion und dur* ,angabe d] ,hhe irg5de9es ihr] ,punkte e9deutig be/immt4 #e4 ,int]vall4 ,die ,entf]nung zwei] aufe9&]folg5d] ,punkte des ,gefllema/abes e9] ge/uft5 ,g]ad51 gemess5 9 d] ,rieb5e1 heit ihr ,int]vall i1 und e9e lei*te geometris*e b]legung od] au* die 9 #b gegeb5e ,=mel fr das ,geflle ergibt tg #a 3 i4 ,je /eil] also die ,g]ade an/eigt1 um s kle9] i/ ihr ,int]vall1 um s eng] ihre ,gradui]ung4 #f4 ,s*nitt zwei] ,g]ad54 ,zwei ,g]ad5 g'1 g' des ,raumes s*neid5 si* dann und nur dann1 w5n ihre ,projektion5 g1 g e95 ,punkt mit glei*] ,kote geme9sam hab52 sie s9d p>allel1 w5n ihre ,gefllema/be dur* ,p>allelv]s*iebung zur ,deckung gebra*t w]d5 knn51 d4 h4 w5n er/5s g p>allel zu g1 zweit5s i i i/1 und dritt5s die ,gradui]ung5 von g und g d5selb5 ,ri*tungss9n hab54 ,i/ die dritte ,b$+ung ni*t erfllt1 s s9d die beid5 ,g]ad5 g'1 g' ni*t p>allel1 sond]n j$e von ihn5 i/ zu d] ,g]ad51 die si* dur* irg5de95 ihr] ,punkte p>allel zur &]5 zieh5 lt 7z4 ,b4 g'' g'71 symmetris* bezgli* des ,lotes dur* dies5 ,punkt 7,fig4 #d74 ,illu/ration3 ,fig4 #d4 ,w5n g und g zusamm5fall51 lieg5 g'1 g' 9 d]selb5 lotre*t5 ,eb5e2 d] ,w9kel von g' und g' i/ 9 e9em ,dreieck zu f9d5 7,fig4 #e u4 #f71 dess5 ,grundl9ie dur* ,zusamm5fg5 von i und i 7mit ,b]cksi*tigung des ,ri*tungss9ns7 ent/eht1 und dess5 ,hhe1 die 9 dem i und i geme9sam5 ,punkt zu erri*t5 i/1 glei* d] ,e9heit des ,hh5ma/abes i/4 ,d] ,s*nittw9kel i/ e9 re*t]1 w5n die ,hhe #a die mittl]e ,proportionale zwis*5 i und i i/1 d4 h4 w5n i #a 3 i1 und b]dies die ,gradui]ung5 entgeg5gesetzt5 ,s9n hab54 ,illu/ration3 ,fig4 #e4 ,illu/ration3 ,fig4 #f4 #g4 ,eb5e4 ,zwei si* s*neid5de od] p>allele ,g]ad5 des ,raumes be/imm5 e9e ,eb5e4 ,na*dem die beid5 ,g]ad5 ge/uft s9d1 lass5 si* die ,s*i*tl9i5 d] ,eb5e als ,v]b9dungsg]ad5 d] ,punkte glei*] ,hh5zahl5 kon/rui]52 sie s9d also p>allele ,g]ad54 ,w5n umgekehrt die ,v]b9dungsg]ad5 je zwei] und dah] all] ,punkte glei*] ,hh5zahl5 auf zwei ge/uft5 ,g]ad5 e9&] p>allel s9d1 dann lieg5 die ,g]ad5 9 e9] ,eb5e1 d4 h4 s*neid5 si*1 wie 9 ,fig4 #g g und g1 od] s9d p>allel1 wie g und g2 &]nfalls kreuz5 sie si*1 wie g und g4 ,illu/ration3 ,fig4 #g4 ,illu/ration3 ,fig4 #h4 #h4 ,gefllema/ab4 ,die zu d5 ,s*i*tl9i5 s5kre*t5 ,g]ad5 d] ,eb5e heien ihre ,fall9i5#a2 dur* die ,s*nittpunkte mit d5 ,s*i*tl9i5 w]d5 sie gradui]t4 ,e9e ,eb5e i/ dur* e9e ge/ufte ,fall9ie1 ihr5 ,geflle- od] ,bs*ungsma/ab1 e9deutig gegeb52 man pflegt ihn als ge/ufte ,doppelg]ade 7,fig4 #h7 zu zei*n51 wobei die /rk] ausgezog5e od] mit e9] ,pfeilspitze v]seh5e als die eig5tli*e ,fall9ie gelt5 soll4 ,d] ,gefllema/ab e9] ,eb5e ers*e9t dana* wie e9e aus groer ,hhe geseh5e ,leit] mit ihr5 ,spross54 #a ,9 d] ,fig4 #h v]luft die ,g]ade #c1f 444 #i1f zufllig wie e9e ,fall9ie4 #i4 ,aufgabe4 ,dur* drei koti]te ,punkte e9e ,eb5e zu leg54 ,man v]b9det die ,punkte dur* drei ,g]ad51 gradui]t diese na* #d1 zei*net dur* ,v]b9dung glei*koti]t] ,punkte d] ,g]ad5 die ,s*i*tl9i5 d] ,eb5e und dana* s5kre*t zu dies5 d5 ,gefllema/ab 7,fig4 #h74 #aj4 ,bs*ung1 ,fall5 und ,/rei*54 ,d] ,fallw9kel d] ,fall9i5 heit das ,e9fall5 od] das ,fall5 d] ,eb5e1 tg ihre ,bs*ung1 die dur* zunehm5de ,hh5 gegeb5e ,ri*tung d] ,fall9i5 die ,an/iegsri*tung d] ,eb5e4 ,unt] ,/rei*ri*tung v]/eht man diej5ige ,ri*tung d] ,s*i*tl9i5 - die dah] bei d] ,eb5e au* ,/rei*l9i5 heien -1 von d] aus man im ma!matis* positiv51 d4 h4 dem ,uhrzeig]laufe entgeg5gesetzt5 ,s9ne um e95 re*t5 ,w9kel zu dreh5 hat1 um die ,an/iegsri*tung d] ,eb5e zu erhalt54 ,d] ,w9kel 1 um d5 man von e9] fe/5 7,,sn7-,ri*tung aus im positiv5 ,s9ne zu dreh5 hat1 um die ,/rei*ri*tung zu erhalt51 heit das ,/rei*5 d] ,eb5e 7,fig4 #i74 ,illu/ration3 ,fig4 #i4 ,illu/ration3 ,fig4 #aj4 ,die ,begriffe und ,bezei*nung5 des ,fall5s und ,/rei*5s e9] ,eb5e s9d1 w5n au* ni*t imm] e9deutig g5ug erklrt1 dem ,b]gmanne und ,geolog5 sehr gelufig1 weil dur* die lei*t ausfhrb>e ,messung dies] ,w9kel an e9em d] ,lage na* bekannt5 ,orte au* die ,lage d] ,eb5e1 z4 ,b4 e9] erzfhr5d5 eb55 od] als nahezu eb5 anzunehm5d5 ,s*i*t1 voll/ndig be/immt i/4 #aa4 ,aufgabe4 ,um die soeb5 ang$eutete ,aufgabe zu ls51 d4 h4 um 9 e9] ,k>te die ,eb5e zu kon/rui]51 von d] man an e9em bekannt5 ,punkte ,a 7k #e1d7 das ,fall5 7 #cj7 und ,/rei*5 7 #abe7 beoba*tet hat1 legt man zun*/ dur* ,antrag5 des ,w9kels an die ,,sn-,ri*tung die ,/rei*ri*tung und weit] na* positiv] ,drehung um #ij die ,an/iegsri*tung d] ,eb5e fe/4 ,e9 re*tw9kliges ,hilfsdreieck1 9 dem die ,ka!te die ,hh5e9heit1 d] geg5b]lieg5de ,w9kel glei* i/1 lief]t als &]e ,ka!te das ,int]vall e9] ,fall9ie4 ,whlt man als ,gefllema/ab d] ,eb5e die dur* d5 ,punkt ,a h9dur*geh5de ,fall9ie1 s hat man von ,a aus 9 d] ,an/iegsri*tung #j1f i abzutrag51 um d5 ,punkt d] rund5 ,hh5zahl #f zu f9d5 und dana* die ,/ufung vorzunehm5 7,fig4 #aj74 #ab4 ,s*nittg]ade zwei] ,eb554 ,zwei ni*t p>allele ,eb55 s*neid5 si* 9 e9] ,g]ad54 ,9 d] ,k>te d] ,eb55 erhlt man diese ,g]ade und zuglei* ihre ,/ufung im allgeme95 als ,ort d] ,s*nittpunkte glei*koti]t] ,s*i*tl9i5 7,fig4 #aa74 ,illu/ration3 ,fig4 #aa4 ,illu/ration3 ,fig4 #ab4 ,das ,v]fahr5 v]sagt j$o* um s mehr1 je mehr die ,s*i*tl9i5 d] beid5 ,eb55 e9&] p>allel w]d54 ,dann s*neidet man die beid5 ,eb55 7#a7 und 7#b7 dur* e9e beliebige ,hilfseb5e 7#c7 9 geeignet] ,lage1 be/immt die ,s*nittg]ad5 7#a1 #c7 und 7#b1 #c7 und d]5 ,s*nittpunkt ,a1 d] auf d] ,s*nittg]ad5 7#a1 #b7 geleg5 se9 mu4 ,e9e zweite ,hilfseb5e 7#d7 be/immt eb5so die ,s*nittg]ad5 7#a1 #d7 und 7#b1 #d7 und d]5 ,s*nittpunkt ,b2 dur* ,a und ,b i/ ab] die gesu*te ,s*nittg]ade 7#a1 #b7 vllig be/immt 7,fig4 #ab74 ,zweckmig1 und 9 d] ,figur i/ das s ausgefhrt1 whlt man die zweite ,hilfseb5e 7#d7 s1 da ihr ,gefllema/ab d] glei*e1 ab] entgeg5gesetzt g]i*tete zu dem von 7#c7 i/4 ,da er ganz willkrli* i/1 s g5gt es zur wirkli*5 ,ausfhrung d] ,kon/ruktion1 die ,s*i*tl9i5 d] beid5 gegeb55 ,eb55 dur* zwei ,p>allel5 p'1 p'' 9 beliebigem ,ab/& zu s*neid54 ,illu/ration3 ,fig4 #ac4 ,illu/ration3 ,fig4 #ad4 #ac4 ,eb55 mit p>allel5 ,gefllema/b54 ,dieses ,v]fahr5 i/ au* anw5db>1 w5n die ,s*i*tl9i5 d] beid5 gegeb55 ,eb551 also au* ihre ,gefllema/be g5au p>allel s9d2 man kann alsdann p'1 p'' mit dies5 zusamm5fall5 lass54 ,die ,s*nittg]ade /eht jetzt s5kre*t auf d5 beid5 ,gefllema/b51 weil sie die geme9same ,s*i*tl9ie d] beid5 ,eb55 i/ 7,fig4 #ac74 ,fr d5 ,fall zwei] ,eb55 mit p>allel5 ,s*i*tl9i5 lt si* au* folg5de ,kon/ruktion ausfhr54 ,man d5ke si* die ,punkte glei*] ,hh5zahl5 d] beid5 p>allel5 ,gefllema/be dur* ,g]ad5 v]bund52 je zwei w]d5 9 ihrem ,s*nittpunkt weg5 d] hnli*keit d] ent/eh5d5 ,s*eiteldreiecke im ,v]hltnis d] ,int]valle d] beid5 ,gefllema/be geteilt1 sie hab5 also alle d5selb5 ,s*nittpunkt ,p4 ,er mu e9 ,punkt d] gesu*t5 ,s*nittg]ad5 se91 weil diese au* zwei ,punkte glei*] ,hh5zahl5 v]b9det4 ,die ,s*nittg]ade i/ also das ,lot dur* ,p auf d5 gegeb55 ,gefllema/b5 7,fig4 #ad74 #ad4 ,eb55 glei*] ,bs*ung4 ,j$] ,punkt d] ,s*nittg]ad5 zwei] ,eb55 glei*] ,bs*ung hat von zwei glei*koti]t5 ,/rei*l9i5 d] ,eb55 dieselbe ,entf]nung2 d5n 7,fig4 #ae7 ,,pa und ,,pb s9d ,/cke zwis*5 glei*koti]t5 ,punkt5 auf glei*gradui]t5 ,fall9i54 ,die ,s*nittg]ade halbi]t f]n] 9 d] ,horizontalprojektion d5 ,w9kel d] beid5 ,s*i*tl9i52 das folgt aus d] ,kongru5z d] beid5 re*tw9klig5 ,dreiecke ,,pac und ,,pbc4 ,diese ,stze gelt5 au*1 w5n die g]i*tet5 ,fall9i5 d] beid5 ,eb55 mite9&] e95 ge/reckt5 ,w9kel bild54 ,die ,s*nittg]ade i/ dann die ,/rei*l9ie1 die dur* d5 beid5 ,fall9i5 geme9sam5 ,punkt d]selb5 ,hh5zahl h9dur*geht4 ,illu/ration3 ,fig4 #ae4 ,illu/ration3 ,fig4 #af4 #ae4 ,s*nittpunkt e9] ,g]ad5 mit e9] ,eb5e4 ,man legt dur* die gegeb5e ,g]ade g 7,fig4 #af7 e9e beliebige ,hilfseb5e1 von d] irg5d zwei ,/rei*l9i5 g5g51 und ermittelt d]5 ,s*nittpunkte mit d5 glei*koti]t5 ,s*i*tl9i5 d] gegeb55 ,eb5e2 damit i/ die ,s*nittg]ade s beid] ,eb55 be/immt1 und dadur* d] gesu*te ,punkt ,p als ,s*nittpunkt von s mit g4 ,s9d die ,s*nittg]ade und die gegeb5e ,g]ade e9&] p>allel1 wie 9 d] ,figur s und g1 s i/ au* die gegeb5e ,g]ade d] ,eb5e p>allel2 d] ,gefllema/ab d] ,g]ad5 kann dur* ,p>allelv]s*iebung mit demj5ig5 zur ,deckung gebra*t w]d51 d5 die ,/rei*l9i5 d] ,eb5e auf ihr auss*neid54 ,um d5 ,ab/& d] ,eb5e von d] p>allel5 ,g]ad5 zu be/imm51 i/ nur von irg5de9em ihr] ,punkte e9 ,lot auf die ,eb5e zu fll5 und dess5 ,lnge zu ermitteln1 wie das soglei* gezeigt w]d5 wird4 #af4 ,lot von e9em ,punkte auf e9e ,eb5e4 ,man legt dur* d5 gegeb55 ,punkt ,p 7,fig4 #ag7 e9e ,v]tikaleb5e1 die zuglei* auf d] gegeb55 s5kre*t /eht1 sie demna* 9 e9] ,fall9ie1 also 9 e9] ,p>allel5 zum gegeb55 ,gefllema/ab e d] ,eb5e s*neidet4 ,das gesu*te ,lot /eht auf dies] ,fall9ie s5kre*t2 na* #f i/ demna* se9e ,gradui]ung entgeg5gesetzt und se9 ,int]vall i reziprok zu dem des ,gefllema/abes e1 also aus dem 9 d] ,figur angegeb55 ,dreieck ,,abc zu entnehm54 ,das ge/ufte ,lot l /ellt zuglei* d5 ,gefllema/ab e9] ,eb5e d>1 die die gegeb5e lngs e9] ,s*i*tl9ie s*neidet1 nmli* d]j5ig51 die dur* d5 ,fupunkt ,f des ,lotes geht4 ,man zei*net diese na* #ac1 ,fig4 #ad und dana* die wahre ,lotlnge ,,fq na* #a1 wobei 9 d] ,figur ,,pr die ,hh5e9heit i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #ag4 ,illu/ration3 ,fig4 #ah4 ,zur ,kon/ruktion des ,fupunktes des ,lotes i/ brig5s nur er=d]li*1 se95 ,dur*s*nittspunkt mit d] ,eb5e wie ob5 7 #ae7 zu ermitteln4 #ag4 ,krze/] ,ab/& zwei] w9ds*ief] ,g]ad54 ,w5n man 7,fig4 #ah7 dur* die e9e1 g1 d] beid5 gegeb55 w9ds*ief5 ,g]ad5 e9e ,eb5e p>allel zur &]51 g1 legt und sodann von irg5de9em ,punkte ,c d] ,g]ad5 g das ,lot ,,cd auf diese ,eb5e fllt1 s hat ,,cd dieselbe ,lnge wie d] gesu*te krze/e ,ab/& selb/4 ,w5n man f]n] 9 d] ,eb5e dur* ,d die ,p>allele zu g zieht1 s s*neidet sie g im ,punkte ,a1 dem e95 ,endpunkte des gesu*t5 krze/5 ,ab/&es2 d] &]e1 ,b1 liegt auf g als ,s*nittpunkt des 9 ,a auf d] ,eb5e erri*tet5 ,lotes ,,ab4 ,die ,kon/ruktion i/ dana* folg5d]maen3 ,man legt dur* e95 beliebig5 ,punkt 7#a7 d] e95 ,g]ad5 g e9e ,p>allele p zur zweit5 g1 s da also p und g glei*e ,/ufung5 hab54 ,dur* p und g i/ e9e zu g p>allele ,eb5e be/immt1 d]5 ,s*i*tl9i5 si* dur* ,v]b9dung glei*koti]t] ,punkte von p und g ergeb52 e sei ihr ,gefllema/ab4 ,nun fllt man von irg5de9em ,punkte ,c 7 #c7 von g das ,lot ,,cd auf diese ,eb5e1 entspre*5d dem ,vorh]geh5d53 das ,dreieck mit dem re*t5 ,w9kel bei ,h1 dess5 ,hhe glei* d] ,e9heit des ,hh5ma/abes i/1 lief]t das 79 d] ,figur />k ausgezog5e7 ,int]vall1 das zu dem von e reziprok i/1 und mit dem die dur* ,c p>allel zu e gezog5e ,g]ade q entgeg5gesetzt zu e gradui]t wird2 vom ,s*nittpunkt ,s d] ,v]b9dungsg]ad5 #b-b1 #d-d glei*koti]t] ,punkte auf q und e i/ die ,s5kre*te ,,sd auf q gefllt1 die d5 ,fupunkt ,d des gesu*t5 ,lotes ergibt4 ,dur* ihn zieht man die ,p>allele zu g1 die g im ,fupunkt ,a des gesu*t5 krze/5 ,ab/&es s*neidet4 ,d5 &]5 ,endpunkt ,b f9det man dur* ,,ab ,,cd4 ,illu/ration3 ,fig4 #ai4 #ah4 ,dreh5 e9] ,eb5e um e9e ,/rei*l9ie 9 die wag]e*te ,lage4 ,es kommt (t vor1 da man 9 e9] dur* ihr5 ,gefllema/ab gegeb55 ,eb5e ,messung5 von ,w9keln od] ,lng51 od] ,kon/ruktion5 ma/bli*] ,natur auszufhr5 hat2 das i/ ni*t ohne weit]es mgli*1 w5n die ,eb5e ni*t zur ,zei*5eb5e p>allel1 also ni*t wag]e*t i/4 ,man hat sie vielmehr er/ 9 die wag]e*te ,lage zu br+51 zweckmig dur* ,drehung um e9e ,/rei*l9ie4 ,es sei 7,fig4 #ai7 ,,ab 7,hhe #j7 diese ,/rei*l9ie e9] ,eb5e1 d]5 ,gefllema/ab re*ts 9 d] ,figur zu seh5 i/4 ,dur* ,drehung geht die ,s*> d] ,/rei*l9i5 9 e9e &]e dazu p>allele ,s*> b]1 die mit d] ursprngli*5 die ,/rei*l9ie ,,ab geme9sam hat4 ,9 wag]e*t] ,lage d] ,eb5e i/ d] ,ab/& zwei] ,/rei*l9i5 mit dem ursprngli*5 ,hh5unt]s*i$ #a die ,hypot5use 9 dem ,dreieck1 dess5 ,ka!t5 das ursprngli*e ,int]vall i und die ,e9heit des ,hh5ma/abes s9d 79 d] ,figur l9ks angegeb574 ,bei d] ,drehung bes*reibt j$] ,punkt ,c e95 ,kreis1 dess5 ,eb5e zu ,,ab s5kre*t i/ und dah] die ,rieb5e 9 dem ,lot ,,* auf ,,ab s*neidet4 ,um also d5 ,punkt ,c99 zu f9d51 9 d5 ,c na* d] ,drehung b]geht1 hat man nur die mit ,c glei*koti]te ,s*i*tl9ie 79 d] ,figur die mit d] ,hh5zahl #g7 na* d] ,drehung mit diesem ,lot zum ,s*nitt zu br+54 ,auf diese ,weise lt si* die wahre ,ge/alt e9] ,figur ,,cdef d] gegeb55 ,eb5e als ,c99,d99,e99,f99 kon/rui]52 also au* z4 ,b4 die wahre ,gre des ,s*nittw9kels zwei] ,g]ad5 ,,ac und ,,bc als ,w9kel ,,ac99,b4 ,e9e ntzli*e ,kontrolle be/eht 9 d] ,kon/ruktion d] wahr5 ,lng5 von ,,ac und ,,bc als ,,ac99 und ,,bc99 na* #a1 wie 9 d] ,figur angegeb54 ,dur* ,umkehrung d] ,kon/ruktion kann man e9e gegeb5e ,figur 9 e9e dur* ihr5 ,gefllema/ab gegeb5e ,eb5e e9zei*n54 #ai4 ,s*nittw9kel zwei] ,eb554 ,w5n man von irg5de9em ,punkte1 d] auf ke9] d] beid5 ,eb55 geleg5 i/1 auf diese die beid5 ,lote fllt1 s s*lieen sie mite9&] dieselb5 ,w9kel e9 wie die beid5 ,eb554 ,9 #af i/ das ,fll5 e9es ,lotes auf e9e ,eb5e gezeigt word54 ,dur* diese beid5 ,lote i/ e9e ,eb5e be/immt4 ,dreht man nun diese ,eb5e d] beid5 ,lote um e9e ihr] ,s*i*tl9i51 d4 h4 um e9e ,v]b9dungsg]ade glei*koti]t] ,punkte d] ,lote1 9 die wag]e*te ,lage 7na* #ah71 s erhlt man die gesu*t5 ,s*nittw9kel 9 wahr] ,gre4 ,d] ,les] fhre dana* die ,kon/ruktion aus4 ,e9e etwas &]e ,lsung d] ,aufgabe i/ folg5de4 ,man zei*net zu]/ na* #ab die ,s*nittg]ade beid] ,eb55 als geometris*5 ,ort d] ,s*nittpunkte glei*hoh] ,/rei*l9i51 sodann irg5de9e1 diese ,s*nittg]ade s5kre*t s*neid5de ,hilfseb5e2 ihr ,bs*ungsma/ab luft p>allel zur ,projektion d] ,s*nittg]ad54 ,diese ,hilfseb5e s*neidet die beid5 gegeb55 ,eb55 9 zwei ,g]ad51 die die gesu*t5 ,w9kel mite9&] e9s*lieen4 ,dreht man also die ,hilfseb5e um e9e ihr] ,s*i*tl9i5 9 die wag]e*te ,lage1 s erhlt man dadur* au* die ,s*nittw9kel d] beid5 gegeb55 ,eb55 9 wahr] ,gre4 ,illu/ration3 ,fig4 #bj4 ,die ,dur*fhrung d] ,kon/ruktion i/ aus d] ,fig4 #bj zu entnehm53 ,i und ,,ii s9d die ,gefllema/be d] beid5 gegeb55 ,eb551 s ihre ,s*nittg]ade1 h d] ,gefllema/ab d] auf s s5kre*t5 ,hilfseb5e1 dess5 ,int]vall reziprok und entgeg5gesetzt zu dem von s i/4 ,irg5de9e ,s*i*tl9ie d] ,hilfseb5e s*neidet die glei*hoh5 ,s*i*tl9i5 von ,i und ,,ii 9 je e9em ,punkte ,a1 ,a4 ,i/ ,c die ,projektion des ,s*nittpunktes d] ,hilfseb5e mit d] ,g]ad5 s 7 #ae71 s en?lt das ,dreieck1 dess5 ,projektion ,a,,ca i/1 bei ,c e95 d] gesu*t5 ,w9kel1 und man f9det se9e wahre ,gre dur* ,drehung dieses ,dreiecks um die ,g]ade ,a,a 9 die wagre*te ,lage ,a,c99,a4 ,d5 ,punkt ,c99 f9det man e9fa*1 w5n man dur* s e95 ,v]tikals*nitt legt und dies5 9 die wag]e*te ,lage umklappt4 ,es ent/eht das re*tw9klige ,dreieck #bcc' 7wor9 #cc' d] ,hh5e9heit glei* i/71 und das ,lot1 das vom ,s*nittpunkte ,b von ,a,a mit s auf die ,hypot5use #bc' gefllt w]d5 kann1 gibt d5 ,punkt ,c'1 9 d5 dur* das ,umklapp5 d] ,s*eitel d] gesu*t5 ,w9kel b]gegang5 i/4 ,,bc' i/ also die ,hhe des ob5 erwhnt5 ,dreiecks1 und man hat mi?9 nur ,,bc99 ,,bc' von ,b auf s abzutrag51 um d5 ,punkt ,c99 zu erhalt54 ,d] ,w9kel ,a,c99,a und se9 ,supplem5tw9kel s9d die gesu*t5 ,s*nittw9kel d] beid5 ,eb554 #bj4 ,bs*ungskegel4 ,alle dur* d5selb5 ,punkt geh5d5 ,eb55 glei*5 ,geflles umhll5 e95 g]ad5 ,kreiskegel1 d5 ,bs*ungskegel4 ,die ,bs*ung d] ,eb55 heit au* die des ,kegels4 ,se9e ,s*i*tl9i5 w]d5 9 d] ,projektion dur* konz5tris*e ,kreise d>ge/ellt1 d]5 ,mittelpunkt die ,projektion des ,s*eitels des ,kegels i/4 ,die ,radi5 d] ,kreise /ell5 die ,mantelg]ad5 des ,kegels d>1 und /imm51 9 geeignet] ,weise dur* die ,s*i*tkreise des ,kegels ge/uft1 au* mit d5 ,gefllema/b5 d] ,eb55 b]e94 ,d] ,bs*ungskegel kann zur ,kon/ruktion folg5d] ,aufgab5 b5utzt w]d53 #a4 ,9 e9] gegeb55 ,eb5e dur* e95 gegeb55 ,punkt die ,g]ad5 von gegeb5em ,an/ieg zu zei*n54 ,man ma*e d5 ,punkt zur ,spitze des ,bs*ungskegels vom gegeb55 ,an/ieg2 se9e ,s*nittl9i5 mit d] ,eb5e s9d die gesu*t5 ,g]ad54 ,zu ihr] ,kon/ruktion g5gt es1 irg5de95 ,s*i*tkreis des ,kegels mit d] glei*koti]t5 ,/rei*l9ie d] ,eb5e zum ,s*nitt zu br+5 7,fig4 #ba74 ,illu/ration3 ,fig4 #ba4 ,illu/ration3 ,fig4 #bb4 #b4 ,dur* e9e gegeb5e ,g]ade die ,eb55 von gegeb5] ,bs*ung zu leg54 ,man ma*e irg5de95 ,punkt d] ,g]ad5 zur ,spitze e9es ,kegels d] gegeb55 ,bs*ung2 die gesu*t5 ,eb55 s9d diej5ig5 se9] ,b]hrungseb551 die dur* die gegeb5e ,g]ade geh54 ,man kon/rui]t sie1 indem man von irg5de9em zweit5 ,punkte d] ,g]ad5 die beid5 ,tang5t5 an d5 mit ihm glei*koti]t5 ,s*i*tkreis des ,kegels legt 7,fig4 #bb74 ,die ,lsung5 beid] ,aufgab5 w]d5 ni*t reell1 w5n die ,bs*ung d] ,eb55 kle9] i/ als die d] ,g]ad54 #ba4 ,kreiszyl9d]1 s*ief] ,kreiskegel1 ,kugel4 ,die ,s*i*tl9i5 e9es s*ief5 ,kreiszyl9d]s mit wag]e*t] ,grundfl*e s9d ,kreise vom selb5 ,radius1 d]5 ,mittelpunkte auf d] entspre*5d d] ,neigung ge/uft5 ,zyl9d]a*se lieg54 ,i/ d] ,zyl9d] g]ade1 s lag]n si* alle ,s*i*tkreise kongru5t b]e9&]4 ,illu/ration3 ,fig4 #bc4 ,die ,s*i*tl9i5 e9es s*ief5 ,kreiskegels mit wag]e*t] ,grundfl*e s9d ,kreise1 d]5 ,mittelpunkte auf d] ge/uft5 ,projektion d] ,kegela*se lieg51 und d]5 ,radi5 si* am e9fa*/5 aus demj5ig5 dur* die ,a*se gelegt5 eb55 ,s*nitte ergeb51 dess5 ,s*nittfigur e9 glei*s*5kliges ,dreieck i/ 7,fig4 #bc74 ,die ,figur #bd zeigt die ,d>/ellung d] ob]5 ,hlfte e9es g]ad5 ,kreiszyl9d]s mit wag]e*t] ,a*se2 se9e ,s*i*tl9i5 s9d p>allele ,g]ad51 se9e ,halbkreise /ell5 si* d> als ,g]ad51 die die ,s*i*tl9i5 s5kre*t dur*setz5 und von ihn5 na* e9em lei*t aufzu/ell5d5 ,gesetze unglei*mig ge/uft w]d54 ,e9e entspre*5de ,d>/ellung tritt (f5b> au* auf bei e9em ,zyl9d] mit beliebigem ,qu]s*nitt1 w5n nur se9e erzeug5d5 ,g]ad5 horizontal v]lauf54 ,s9d die erzeug5d5 ,g]ad5 des ,zyl9d]s ni*t horizontal1 s be/eh5 se9e ,s*i*tl9i5 aus kongru5t5 ,kurv51 die aus e9] von ihn5 dur* ,v]s*iebung lngs d] erzeug5d5 ,g]ad5 h]vorgeh52 aus d] ,fig4 #gi ,s4 #ee i/ e9 ,beispiel dafr zu entnehm54 ,illu/ration3 ,fig4 #bd4 ,illu/ration3 ,fig4 #be4 ,die ,s*i*tl9i5 e9] ,halbkugel s9d konz5tris*e ,kreise1 d]5 ,radi5 si* aus e9em lotre*t5 ,s*nitt dur* d5 ,mittelpunkt d] ,kugel ergeb5 7,fig4 #be74 #bb4 ,&]e ,ob]fl*54 ,von &]n gekrmmt5 ,ob]fl*51 die si* dur* ihre ,s*i*tl9i5 9 e9fa*] ,weise d>/ell5 lass51 sei5 hi] nur beispielsweise folg5de erwhnt3 #a4 ,w5n man die glei*koti]t5 ,punkte zwei] w9ds*ief] ,g]ad5 g]adl9ig v]b9det1 s ergibt si* e9e w9ds*iefe ,fl*e mit g]adl9ig5 ,s*i*tl9i51 e9 hyp]bolis*es ,p>aboloid 7,fig4 #bf74 ,se9 ,umri1 aus sehr groer ,hhe von ob5 geseh51 i/ e9e ,p>abel1 die au* 9 d] ,figur deutli* erk5nb> i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #bf4 #b4 ,d] ,les] v]su*e1 die ,s*i*tl9i5 e9] geme95 ,s*raub5fl*e mit s5kre*t] ,a*se d>zu/ell51 und zw> etwa e9e voll/ndige ,w9dung mit d] ,ganghhe #h ,hh5e9heit54 ,man kann sie si* vor/ell5 als ,w5deltreppe1 von d] je #h ,/uf5 e95 ,umgang bild54 ,illu/ration3 ,fig4 #bg4 #c4 ,die ,d>/ellung e9] ,umdrehungsfl*e mit lotre*t] ,dreha*se dur* ihre ,s*i*tl9i5 ergibt e9 ,sy/em konz5tris*] ,kreise1 d]5 ,radi5 aus e9em ,a*s5s*nitt d] ,fl*e entnomm5 w]d5 knn5 7,fig4 #bg74 b] die ,b$eutung d] ,l9ie ,,dd vgl4 #fj ,s4 #da4 ,,ii4 ,,elem5t>e ,,anw5dung5 #bc4 ,zweck d] ,anw5dung54 ,9 diesem ,abs*nitte wird es si* d>um h&eln1 die ,v]w5db>keit d] vorh] entwickelt5 ,kon/ruktion5 an e9ig5 e9fa*5 ,aufgab5 zu zeig54 ,d] ,les] wird f9d51 da diese ,aufgab5 fa/ smtli* ihre ,anregung gewiss5 praktis*5 ,frag5 v]dank51 von d55 sie1 freili* zun*/ unt] sehr v]e9fa*5d5 ,annahm51 sozusag5 d5 geometris*5 ,k]n bild54 ,es wird fr d5 ,les]1 d] si* damit au* nur e9 w5ig v]traut ma*5 w1 wohl un]lli* se91 die e9e od] &]e d] ,aufgab5 selb] zei*n]is* 9 grerem ,ma/abe auszufhr54 ,die e9fa*/5 ,zei*5mittel g5g5 dazu4 #bd4 ,auffhrung e9es ,dammes4 ,zwei eb5e g5eigte ,hnge mg5 e9 ,tal bild51 dess5 tief/e ,l9ie1 d] ,talweg1 die ,s*nittg]ade d] beid5 ,eb55 7 #ab7 i/4 ,es soll e9 aus eb55 ,fl*5 gebildet] ,damm von gegeb5em trapezfrmig5 ,qu]s*nitte1 od] au* von gegeb5] ,breite und gegeb55 ,bs*ung5 7 #aj71 aufgefhrt w]d51 von dem die ,mittell9ie d] ,dammkrone zwei gegeb5e glei*koti]te ,punkte d] beid5 ,hnge g]adl9ig v]b9det4 ,illu/ration3 ,fig4 #bh4 ,illu/ration3 ,fig4 #bh a4 ,man ziehe ,p>allel5 zur ,v]b9dungsl9ie d] beid5 gegeb55 ,punkte ,a1 ,b 7,fig4 #bh71 und zw> zun*/ die beid5 die ,dammkrone begr5z5d5 ,g]ad51 sodann je no* irg5de9e &]e d] ,s*i*tg]ad5 beid] ,bs*ung51 d]5 s5kre*te ,ab/nde von d] ,mittell9ie aus dem gegeb55 ,dammpr(il 7,fig4 #bh a7 zu entnehm5 s9d4 ,die ,s*nittpunkte dies] ,s*i*tg]ad5 mit d5 glei*koti]t5 d] beid5 gegeb55 ,eb55 7 #ab7 s9d mit d5 ,eck5 des ,dammes dur* ,g]ad5 zu v]b9d51 die si* auf dem ,talwege s*neid5 mss54 ,illu/ration3 ,fig4 #bi4 ,bei d] ,ausfhrung d] ,zei*nung s9d nur die si*tb>5 ,teile d] ,s*i*tl9i5 auszuzieh54 #be4 ,qu]pr(il4 ,dur* die 9 d] vorig5 ,figur #bh gegeb5e ,gelndeanordnung lngs e9] gegeb55 ,ri*tung ,,mn e95 ,v]tikals*nitt 7,qu]pr(il7 zu leg54 ,da die ,begr5zung des v]langt5 ,qu]pr(ils nur aus g]adl9ig5 ,/ck5 zusamm5gesetzt i/1 g5gt es1 von j$em dies] ,/cke zwei ,punkte zu ermitteln4 ,man zei*net die wag]e*te ,g]ade #f-f und mittels des gegeb55 ,hh5ma/abs die er=d]li*5 ,horizontal5 9 d5 v]s*i$55 ,hh51 auf d55 man1 ausgeh5d von ,m1 die horizontal5 ,ab/nde d] ,punkte des gesu*t5 ,qu]pr(ils abzutrag5 hat 7,fig4 #bi74 #bf4 ,anlage e9es eb55 ,platzes4 ,kon/ruktion e9es re*teckig5 eb55 ,platzes 9 gegeb5] ,hhe 7#e7 9 e9em dur* zwei eb5e ,hnge begr5zt5 ,gelnde4 ,bs*ung 7 #aj7 des ,planums im ,auftrage #b 3 #c1 im ,abtrage #c 3 #a4 ,illu/ration3 ,fig4 #cj4 ,illu/ration3 ,fig4 #cj a4 ,man be/immt zun*/ die ,s*nittpunkte ,a1 ,b1 ,c1 ,d d] glei*hoh5 ,s*i*tl9i5 7#e7 d] beid5 ,gelndeeb55 mit d] ,begr5zungsl9ie des ,platzes1 wodur* ersi*tli* wird1 an wel*5 ,teil5 aufges*ttet und an wel*5 abgetrag5 w]d5 mu 7,fig4 #cj74 ,na*dem man aus d5 gegeb55 ,bs*ung5 die ,int]valle 7 #e7 und damit die ,gefllema/be 7 #h7 d] ,bs*ungseb55 ermittelt hat 7vgl4 die kle9e ,fig4 #cj a71 g5gt es1 von d5 ,eb55 e9ige ,/rei*l9i5 7zur ,kontrolle mehr als ntig7 zu zei*n5 und ihre ,s*nittg]ad5 mit d5 ,gelndeeb55 und unt]e9&] zu be/imm5 7 #ab72 letzt]e mss5 7 #ad7 die ,s*i*tl9i5w9kel 7hi] re*te71 also au* die 7hi] eb5falls re*t57 ,w9kel d] ,begr5zung des ,platzes halbi]54 ,zu bea*t5 i/ besond]s die ,kon/ruktion des ,bs*ungseckpunktes ,x talaufwrts1 d] als ,s*nittpunkt von ,,aa'1 ,,bb' und dem ,talweg beid] ,gelndeeb55 erhalt5 wird1 wobei ,a'1 ,b' die ,s*nittpunkte d] ,bs*ungss*i*tl9ie #d mit d51 hi] b] d5 ,talweg h9aus zu v]lng]nd5 ,/rei*l9i5 #d d] ,gelndeeb55 s9d4 #bg4 ,weg gegeb5] ,/eigung4 ,auf e9em gegeb55 eb55 ,hange von e9em gegeb55 ,punkte aus e95 g]ad5 ,weg gegeb5] ,/eigung anzuleg51 dess5 ,breite und ,bs*ung5 gegeb5 s9d4 ,/eigung #bj #a 3 #e1 ,bs*ung im ,abtrag #c 3 #a1 9 d] ,aufs*ttung #b 3 #c 7,fig4 #ca74 ,illu/ration3 ,fig4 #ca4 ,illu/ration3 ,fig4 #ca a4 ,man /elle si* aus d] gegeb55 ,/eigung des ,weges zun*/ das ,int]vall se9] ,mittell9ie h] 7,fig4 #ca a7 und zei*ne sie 9 das gegeb5e ,gelnde e9 mittels d] ,bs*ungskegel1 wie 9 #bj angegeb53 zweckmig trgt man imm] von dem gegeb55 ,punkte ,a aus das ,int]vall1 se9 ,doppeltes1 ,dreifa*es usw4 ab1 und /ellt zur ,kontrolle fe/1 ob die erhalt55 ,punkte d] ,/rei*l9i5 auf e9] ,g]ad5 lieg54 ,9 dies5 ,punkt5 trgt man s5kre*t zur ,mittelg]ad5 die gegeb5e ,wegebreite auf1 wodur* die ,b]&ung5 des ,weges gefund5 und zuglei* gradui]t w]d54 ,dur* diese hat man die ,bs*ungseb55 zu leg51 eb5falls mittels d] ,bs*ungskegel1 wie 9 #bj gezeigt4 ,die ,radi5 d] zu zei*n5d5 ,s*i*tkreise d] ,bs*ungskegel s9d glei*falls aus d] ,fig4 #ca a zu entnehm54 #bh4 ,/rei*5 und ,fall5 e9] ,eb5e4 ,an d5 ,bs*ungseb55 e9es ,eis5bahne9s*nitts beoba*tet man die ,gr5zl9ie 7,ausbil9ie1 d4 h4 ,s*nitt mit d] ,ob]fl*e7 e9] eb55 geologis*5 ,s*i*t4 ,es i/ ,/rei*5 und ,fall5 7 #aj7 d] ,s*i*t zu be/imm54 ,illu/ration3 ,fig4 #cb4 ,man ermittelt die ,s*i*tl9i5 d] gesu*t5 eb55 ,s*i*t dur* ,v]b9dung d] glei*koti]t5 ,s*nittpunkte d] beid5 beoba*tet5 ,g]ad5 und d] ,s*i*tl9i5 d] ,bs*ung54 ,j5e ,s*i*tl9i5 mss5 p>allel und von glei*em ,ab/& se91 w5n &]s die beoba*tete ,s*i*t ni*t eb5 i/4 ,dadur* i/ d] ,gefllema/ab und damit na* #aj das ,/rei*5 und ,fall5 be/immt4 ,d] ,/rei*w9kel i/ 9 d] ,fig4 #cb dur* e95 ,bog5 ang$eutet4 #bi4 ,da*ausmittelung4 ,unt] ,da*ausmittelung v]/eht man im d>/ell5d-geometris*5 ,s9ne die ,kon/ruktion von 7im allgeme957 eb55 ,da*fl*5 gegeb5] ,bs*ung auf e9em gegeb55 g]adl9ig5 ,gebudegrundri4 ,hi]bei wird haupts*li* von d5 ,stz5 des #ad b] d5 ,s*nitt zwei] ,eb55 glei*5 ,geflles ,gebrau* gema*t4 ,j$o* i/ zu bem]k51 da si* ni*t allgeme9e ,gesi*tspunkte zur ,kon/ruktion von ,da*fl*5 angeb5 lass51 und vor allem1 da die im folg5d5 ausgefhrt5 ,kon/ruktion5 ni*t imm] 9 d] ,praxis d] ,ar*itekt5 ,v]w5dung f9d52 das liegt s[ohl 9 man*]lei ,zweckmigkeitsgrnd5 wie au* an /hetis*5 ,rcksi*t54 ,hi] soll5 nur e9ige e9fa*e ,da*ausmittelung5 als ,anw5dung5 gegeb5 w]d54 #cj4 ,aufgabe4 ,e9 ,gebude mit vi]eckigem ,grundri und b]all glei* hoh5 ,mau]n zu deck54 ,d] ,gefllema/ab des ,da*es i/ gegeb54 ,na* #ad s9d die ,s*nittl9i5 b5a*b>t] ,da*fl*5 die ,w9kelhalbi]5d5 d] ,s*i*tl9i51 zu d55 au* die wag]e*t5 ,begr5zung5 gehr54 ,dadur* ent/eh5 7,fig4 #cc7 an d5 krz]5 ,vi]ecksseit5 dreieckige ,b$a*ung51 an d5 lng]5 vi]eckige1 d]5 ,s*nittg]ade1 die ,fir/l9ie des ,da*es1 dur* ,v]b9dung d] ,dreiecksspitz5 erhalt5 wird4 ,sie i/ im allgeme95 ni*t horizontal4 ,aus /hetis*5 ,rcksi*t5 pflegt man dah] d5 b] dem tief/5 ,punkt d] ,fir/l9ie geleg55 ,da*teil gesond]t mit s fla*em ,geflle zu deck51 da dies] ,teil des ,da*es von unt5 praktis* ni*t si*tb> i/4 ,man fhre e9e sol*e ,kon/ruktion aus4 ,illu/ration3 ,fig4 #cc4 #ca4 ,=tsetzung4 ,da si* drei ni*t d]selb5 ,g]ad5 p>allele ,eb55 /ets 9 e9em ,punkte treff51 s mu von dem ,s*nittpunkte zwei] ,s*nittl9i51 die zwei ,da*eb55 mite9&] bild51 /ets e9e dritte ,s*nittl9ie ausgeh54 ,dah] geht au* die ,fir/l9ie dur* d5 ,s*nittpunkt d] beid5 ,da*kant5 d] 9 ihr zusamm5treff5d5 ,d*] h9dur*2 sie halbi]t au* d]5 ,w9kel 7,fig4 #cc74 ,s9d demna* diese beid5 ,da*kant5 p>allel1 s i/ au* die ,fir/l9ie p>allel und dah] horizontal4 ,diese ,bem]kung5 erlei*t]n (t die ,kon/ruktion54 ,e9 ,beispiel mit e9] e9spr+5d5 ,ecke gibt die ,fig4 #cd4 ,illu/ration3 ,fig4 #cd4 #cb4 ,aufs*ttung e9] ,halde4 ,von e9] wag]e*t5 ,eb5e 7,fig4 #ce1 ,hhe #ej71 an die si* e9 eb5] ,abhang ans*liet1 i/ e9 horizontales ,geleise gg auf ,trg]n b] d5 ,abhang h9ausgebaut1 um von dort ,s*lack5 auf d5 ,abhang zu kipp54 ,das ,geleise geht er/ g]ade1 dann im ,halbkreise1 dann wi$] g]ade zurck4 ,die ,bs*ung d] ,halde i/ gegeb54 ,illu/ration3 ,fig4 #ce4 ,illu/ration3 ,fig4 #ce a4 ,bei voll] ,aufs*ttung be/eht die ,halde1 s[eit das ,geleise g]adl9ig i/1 aus je zwei da*>tig ane9&]gesetzt5 ,eb552 ihr ,gefllema/ab i/ aus d] gegeb55 ,bs*ung zu kon/rui]54 ,lngs des halbkreisfrmig5 ,geleises be/eht die ,halde aus zwei g]ad5 ,kegeln1 die e9&] lngs des ,geleises dur*dr+54 ,ihre ,bs*ung /immt mit d] gegeb55 eb5falls b]e92 ihre ,spitz5 lieg5 lotre*t zum ,mittelpunkte des kreisfrmig5 ,geleiseteils1 im ,qu]pr(il 7,fig4 #ce a7 bei ,s und ,s4 ,die ,kegel s*neid5 die ,gelndeeb55 9 zwei ,kegels*nitt5 7,ellips5 - wie 9 d] ,fig4 #ce -1 ,p>abeln od] ,hyp]beln1 je na*dem die ,bs*ung des eb55 ,abhanges kle9]1 eb5sogro od] grer als die d] ,halde i/72 ihre groen ,haupta*s5 lieg5 9 d] ,symmetrieeb5e des ,geleises4 ,e9 ,qu]s*nitt dur* diese gibt au* die ,lng5 dies] ,haupta*s5 und die ,mitt5 d] ,ellips52 dazu s5kre*te ,qu]s*nitte dur* die ,ellips5mitt5 lief]n die ,lng5 d] kle95 ,a*s54 ,d>aus lass5 si* bekanntli* die ,ellips5 kon/rui]54 ,auf ihn5 s*neid5 si* glei*koti]te ,s*i*tl9i5 d] ,gelndeeb5e und d] ,hald5fl*e1 nmli* s[ohl d] ,bs*ungseb55 wie d] ,bs*ungskegel2 diese ,s*nittpunkte w]d5 dah] beim ,zieh5 d] ,ellips5 von ,nutz5 se94 #cc4 ,auss*a*t5 e9] ,grube4 ,an e9em eb55 ,abhang soll e9e ,grube mit kreisfrmig] wag]e*t] ,grundfl*e und gegeb5] ,bs*ung ausges*a*tet w]d54 ,illu/ration3 ,fig4 #cf4 ,illu/ration3 ,fig4 #cf a4 ,die ,lsung dies] ,aufgabe i/ d] vorig5 hnli* und 9 ,fig4 #cf angegeb54 ,d] ,grub5r& i/ e9e ,ellipse1 d]5 ,mittelpunkt und ,haupta*s5 aus dem ,qu]s*nitt 7,fig4 #cf a7 zu entnehm5 s9d4 ,auf d] ,horizontalprojektion dies] ,ellipse s*neid5 si* die glei*koti]t5 ,/rei*l9i5 d] ,gelndeeb5e und die ,s*i*tkreise des ,bs*ungskegels4 #cd4 ,tunnelmndung4 ,an e9em eb55 g5eigt5 ,abhang soll e9e ,tunnelmndung angelegt w]d54 ,die horizontale ,mittela*se des ,tunnels und se9 ,qu]s*nitt s9d gegeb52 die ,tunnelmndung i/ au* 9 wahr] ,ge/alt zu kon/rui]54 ,9 d] ,fig4 #cg sei re*ts d] ,gefllema/ab d] gegeb55 ,gelndeeb5e1 a 7,hhe #f7 die ,tunnela*se1 ,fig4 #cg a sei d] gegeb5e ,qu]s*nitt4 ,da die ,g]ade aa zuglei* die ,s*nittg]ade d] v]tikal5 ,s*nitteb5e lngs d] ,tunnela*se mit d] ,zei*5eb5e1 und na*dem sie dur* die gegeb55 ,/rei*l9i5 ge/uft i/1 au* mit d] gegeb55 ,eb5e angibt1 brau*t man nur s5kre*t zu ihr 9 d5 ,punkt5 mit d5 entspre*5d5 ,kot5 die ,qu]dim5sion5 des ,tunnels1 wie sie das ,pr(il angibt1 abzutrag5 und 9 d5 ,endpunkt5 ,p>allel5 zur ,tunnela*se zu zieh52 diese ergeb5 die ,s*i*tl9i5 des die ,tunnelw& d>/ell5d5 ,zyl9d]s4 ,ihre ,s*nittpunkte mit glei*koti]t5 ,s*i*tl9i5 d] gegeb55 ,eb5e s9d ,punkte d] gesu*t5 ,tunnelmndung4 ,die wahre ,ge/alt dies] ,tunnelmndung i/ dur* ,dreh5 d] ,eb5e um die ,s*i*tl9ie d] ,tunnelsohle 9 die horizontale ,lage na* #ah zu be/imm53 d] ,ab/& d] ,/rei*l9i5 na* d] ,drehung i/ die ,hypot5use 9 e9em ,dreieck1 dess5 ,ka!t5 das ursprngli*e ,int]vall und die mit #a bezei*nete1 aus dem gegeb55 ,pr(il zu entnehm5de ,e9heit des ,hh5ma/abs s9d 7vgl4 l9ks 9 d] ,fig4 #cg74 ,illu/ration3 ,fig4 #cg4 ,illu/ration3 ,fig4 #cg a4 ,bei d] ,ausfhrung des 9 ,fig4 #cg gezei*net5 ,beispiels1 bei dem das ,pr(il aus e9em symmetris*5 ,trapez und e9em d>b] gesetzt5 ,halbkreise be/eht1 g5gt es1 die vi] ,eck5 des ,trapezes und d5 ob]/5 ,punkt des ,halbkreises fe/zuleg54 ,d5n die ent/eh5d5 ,figur5 d] ,tunnelmndung 9 d] ,k>te und 9 wahr] ,ge/alt be/eh5 alsdann 9 e9em ,vi]eck und e9] d>b]gesetzt5 ,halbellipse1 9 d] die ursprngli*5 horizontal5 und v]tikal5 ,krei%albmess] konjugi]te ,halbmess] geword5 s9d2 die ,ellips5 s9d dah] lei*t zu zei*n51 wie das 9 d5 ,elem5t5 d] d>/ell5d5 ,geometrie gezeigt wird4 ,,iii4 ,,d>/ellung ,,d] ,,gel,,ndefl,,*5 #ce4 ,haupts*i*tl9i54 ,9 d] ,e9leitung wurde b]eits von d] ,d>/ellung e9] ,gelndefl*e dur* ihre ,s*i*tl9i51 die ,s*nittkurv5 mit wag]e*t5 ,eb551 gespro*51 und 9 d5 vorh]geh5d5 vorb]eit5d5 ,abs*nitt5 i/ davon au* s*on bei d] ,d>/ellung d] e9fa*5 ,fl*5 - ,eb5e1 ,zyl9d]1 ,kegel1 ,kugel - ,gebrau* gema*t word54 ,im folg5d5 sei nun die ,ge/alt d] ,gelndefl*e willkrli* ang5omm51 j$o* vorausgesetzt1 da sie im allgeme95 glatt g5ug v]laufe1 s da man sie dur* die gezei*net5 ,s*i*tl9i5 als h9rei*5d gegeb5 anseh5 kann4 ,diese ,s*i*tl9i51 die gewhnli* ,s*i*t5 glei*] ,dicke entspre*51 und d]5 ,hh5zahl5 au* gewhnli* runde ,zahl5 s9d1 w]d5 bisweil5 ,haupts*i*tl9i5 d] ,fl*e g5annt4 ,die koti]te ,projektion d] ,haupts*i*tl9i5 e9es ,gelndes auf e9e wag]e*te ,zei*5eb5e lief]t bei ntig] ,v]kle9]ung e9e ,k>te od] e95 ,plan des ,gelndes4 ,all5 folg5d5 ,betra*tung5 wird e9 sol*] ,s*i*t5plan zugrunde gelegt2 an ihm knn5 alle ,kon/ruktion5 usw4 ausgefhrt w]d54 ,dah] w]d5 im ,folg5d5 au* unt] ,s*i*tl9i51 ,fall9i5 usw4 s*le*tweg ihre ,abbildung5 7d4 h4 v]kle9]t5 ,projektion57 auf e9] ,k>te v]/&51 w5n ni*t etwa aus dem ,zusamm5hange h]vorgeht1 da die ,orig9ale des ,gelndes selb/ geme9t s9d4 #cf4 ,zei*n]is*e ,bem]kung54 ,zun*/ mg5 e9ige ,bem]kung5 b] die zei*n]is*e ,ausfhrung d] ,kon/ruktion5 e+eflo*t5 w]d51 von d55 im folg5d5 die ,r$e se9 wird4 ,9 d5 beid5 vorh]geh5d5 ,abs*nitt5 w> fa/ alles mit dem ,l9eal1 dem ,zirkel1 ,ma/ab und ,transporteur ausfhrb>4 ,diese elem5t>5 ,g]te w]d5 im folg5d5 ni*t imm] g5g51 wie das 9 d] ,natur d] ,sa*e liegt1 w5n si* die ,kon/ruktion5 ni*t auf g]ade ,l9i5 und ,kreise bes*rnk5 soll54 ,(t wird es von ,vorteil od] gebot5 se91 die ,kon/ruktion5 ni*t an d] vorh&55 ,k>te selb/ auszufhr54 ,dann zei*net man si* d5 er=d]li*5 ,teil des ,gelndes auf e9 besond]es ,zei*5blatt ab1 entw$] mittels ,pauspapi]s1 na*dem man e9e ,anzahl wi*tig] ,punkte und etwa das ,gradnetz des ,gelndes besond]s fe/gelegt hat1 od] bess] und g5au] mit e9em ,/or*s*nabel 7,pantograph574 ,man kann damit zuglei* die h]auszuzei*n5d5 ,teile d] ,k>te 9 v]grertem ,ma/abe wi$]geb51 0 (t sehr ntzli* i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #ch4 #cg4 ,d] ,/or*s*nabel 7,pantograph2 ,*ri/oph ,s*e9]1 #afej7 be/eht 7,fig4 #ch7 aus zwei dur* e9e ,p>allelogrammfhrung 7,,cd ,,es1 ,,ce ,,ds7 v]bund55 ,/ang5 ,,ac und ,,bc mit geme9samem ,drehpunkt ,c2 aus d] hnli*keit d] ,dreiecke ,,ads und ,,acb folgt ,,z 3 ,,ab ,,ad 3 ,,ac4 ,w5n also d] ,punkt ,a des ,app>ates am ,zei*5tis* od] ,reibrett fe/gema*t wird1 bei ,s si* e9 b] d] abzuzei*n5d5 ,k>te bewegli*] ,fahr/ift 7s*>fe ,spitze1 die dur* e9e daneb5 angebra*te e9 w5ig lng]e ,/tze di*t b] d] ,k>te gefhrt wird71 bei ,b d] auf dem ,papi] zei*n5de ,blei/ift bef9det1 s lief]t d] letzt]e e9e ,v]grerung im ,v]hltnis ,,ad 3 ,,ac4 ,i/ ,,sb' ,,ac1 s bes*reibt ,b' dieselbe ,figur wie ,s4 ,fr die hi] 9 ,frage komm5d5 ,zwecke g5gt mei/ e9 ganz e9fa*] ,app>at1 wie er fr w5iges ,geld zu hab5 i/4 ,man wird ihn ntig5falls e9 w5ig ausri*t5 und se9e ,v]grerung prf5 mss54 ,dies ges*ieht1 indem man mit dem ,fahr/ift e9e bekannte ,/recke dur*luft und sie mit d] vom ,blei/ift gezei*net5 ,/recke v]glei*t4 #ch4 ,glatte ,kurve4 ,(t wird v]langt1 dur* e9e ,reihe pass5d gegeb5] ,punkte e9e glatte ,kurve zu leg54 ,diese ,aufgabe i/ bis zu e9em gewiss5 ,grade willkrli*1 weil d] ,begriff d] glatt5 ,kurve ni*t be/immt g5ug i/4 ,man zieht e9e sol*e ,kurve mit ,b5utzung des ,kurv5l9eals4 ,au* die ,s*i*tl9i5 s9d s zu zei*n51 ab] ni*t1 wie es man*mal zu seh5 i/1 mit willkrli*5 ,well5 und ,zack5 dazwis*51 die viele ,kon/ruktion5 ganz unausfhrb> ma*5 wrd54 #ci4 ,spiegell9eal4 ,um an e9e dur* ,zei*nung gegeb5e eb5e ,kurve 9 e9em gegeb55 ,punkte die ,tang5te od] ,normale zu kon/rui]51 b$i5t man si* zweckmig e9es ,spiegell9eals1 d4 h4 e9es ,l9eals1 das an e9] zur ,zei*5eb5e s5kre*t5 eb55 ,seit5fl*e das ,spiegelbild d] gezei*net5 ,kurve erk5n5 lt4 ,dreht man es s lange um d5 gegeb55 ,punkt1 bis ,spiegelbild und gezei*nete ,kurve ohne m]kli*5 ,knick ine9&] b]zugeh5 s*e951 s i/ die ,s*nittg]ade d] ,spiegel- und ,zei*5eb5e ,normale d] ,kurve1 ihre ,s5kre*te im gegeb55 ,b]hrungspunkte also die ,tang5te4 ,als ,spiegell9eal lt si* e9 mit e9] g]ad5 ,kante v]seh5]1 und1 damit die ,vord]fl*e1 ni*t die ,h9t]fl*e spiegelt1 s*w>z h9t]legt] ,spiegelglas/reif5 v]w5d52 fr viele ,zwecke g5gt au* e9 mitt5 auf die ni*t abges*rgte ,z5timet]teilung e9es gewhnli*5 ,re*5s*ieb]s geklebtes geglttetes und mit dem ,ball5 d] ,h& poli]tes ,/ck ,/anniol4 #dj4 ,tang5te4 ,von e9em geeignet gegeb55 ,punkte1 d] ni*t auf e9] gegeb55 ,kurve liegt1 lt si* zw> re*t g5au an diese e9e ,tang5te mit dem ,l9eal leg52 do* bleibt dabei die ,lage des ,b]hrungspunktes uns*>f4 ,man f9det ihn dur* e9e ,korrektions- od] ,fehl]kurve1 die man z4 ,b4 erhlt1 indem man e9e ,reihe von ,sekant5 zieht1 entw$] dur* d5 gegeb55 ,punkt1 od] d] gezei*net5 ,tang5te p>allel1 d]5 zwis*5 d] ,kurve geleg5e ,sehn5 man halbi]t 7,fig4 #ci74 ,illu/ration3 ,fig4 #ci4 #da4 ,hllkurve4 ,/att da e9e ,kurve zei*n]is* dur* e9e g5g5de ,anzahl ,punkte be/immt wird1 kommt es au* (t vor1 sie zu zei*n51 w5n e9e h9rei*5de ,anzahl ,tang5t5 von ihr gegeb5 s9d2 das wird eb5falls dur* pass5des ,anleg5 des ,kurv5l9eals ausgefhrt4 ,man spri*t 9 diesem ,falle davon1 da die ,tang5t5 die ,kurve e9hll51 letzt]e die ,hllkurve 7,enveloppe7 d] ,tang5t5 i/4 ,vgl4 z4 ,b4 die ,fig4 #bf4 ,illu/ration3 ,fig4 #dj4 #db4 ,evolute4 ,zei*net man zu e9] gegeb55 ,kurve1 die von e9em ,kreise od] e9] ,g]ad5 v]s*i$5 i/1 7mit dem ,spiegell9eal7 g5g5d viele ,normal51 s hll5 sie im allgeme95 e9e zweite ,kurve e91 die ,evolute d] ursprngli*5 7,fig4 #dj74 ,d] ,punkt ,m1 9 dem diese e9e be/immte1 dur* d5 ,kurv5punkt ,p geh5de ,normale b]hrt1 heit d] zu ,p gehrige ,krmmungsmittelpunkt d] ursprngli*5 ,kurve1 s da also die ,evolute d] ,ort d] ,krmmungsmittelpunkte i/4 ,d] ,kreis mit dem ,z5trum ,m und dem ,radius ,,pm heit ,krmmungskreis und s*miegt si* an die gegeb5e ,kurve 9 ,p innig] an als j$] &]e ,kreis1 obwohl er im allgeme95 die ,kurve dur*s*neidet4 #dc4 ,p>allelkurv54 ,trgt man auf d5 ,normal5 e9] ,kurve von dies] aus na* d]selb5 ,seite glei*e ,/cke ab1 s erhlt man e9e quidi/ante od] p>allele ,kurve4 ,alle ,p>allelkurv5 hab5 also dieselb5 ,normal5 und demna* e9e geme9same ,evolute4 ,sie heien au* die zu d] ,evolute gehrig5 ,evolv5t54 ,au* &]e ,kurv51 z4 ,b4 ,kreise1 knn5 - natrli* eb5falls nur bei gewiss5 ,anordnung5 - e9hll5de ,kurv5 besitz54 ,davon ma*t man unt] &]m zweckmig ,gebrau*1 um no* auf e9e zweite ,art zu e9] gegeb55 e9e p>allele ,kurve im gegeb55 ,ab/& zu zei*n54 ,man zieht um e9e g5g5de ,anzahl von ,punkt5 d] gegeb55 ,kurve ,kreise1 d]5 ,radius d] gegeb5e ,ab/& i/1 und zei*net die beid5 ,hllkurv5 dies] ,kreise4 #dd4 ,b]hrung5 im ,raum4 ,von d5 folg5d5 lei*t na*zuweis5d5 ,stz51 die b] die ,d>/ellung e9] ,b]hrung im ,raume gelt51 wird 9 ,zukunft (t /ills*weig5d ,gebrau* gema*t1 w5n ,b]hrungskon/ruktion5 /att auf d] ,gelndefl*e auf e9em ,plan von ihr ausgefhrt w]d54 ,e9e beliebige ,raumkurve1 e9e ,tang5te an ihr und d] ,b]hrungspunkt geh5 im allgeme95 bei d] ,projektion 9 e9e eb5e ,kurve1 e9e ,tang5te an dies] und d5 ,b]hrungspunkt b]1 und zw> entspre*5 die beid5 ,kurv51 die beid5 ,tang5t5 und die beid5 ,b]hrungspunkte e9&]4 ,d>aus folgt3 w5n zwei ,raumkurv5 si* 9 e9em ,punkte b]hr51 s b]hr5 si* au* ihre ,projektion5 9 e9em ,punkte1 d] die ,projektion j5es i/4 #de4 ,relief e9es ,gelndes4 ,die topographis*e ,aufnahme e9es ,gelndes ges*ieht mei/ dur* ,hh5messung e9] ausrei*5d5 ,anzahl e9zeln] ,punkte1 d]5 geographis*e ,lage 7etwa ,lnge und ,breite1 od] &]e ,koord9at57 bekannt i/4 ,dana* w]d5 dann die ,s*i*tl9i5 kon/rui]t1 wovon na*h] im #dh no* die ,r$e se9 wird4 ,w5n man fr j$e ,haupts*i*tl9ie glei* />ke ,lag5 von ,pappe od] ,holz1 d]5 ,dicke d] ,s*i*t5dicke entspri*t1 s auss*neidet1 wie die ,s*i*tl9ie angibt1 und sie dann ri*tig aufe9&]legt1 s erhlt man e9 t]rass5frmiges ,gebilde1 das ang5h]t e9 ,relief des ,gelndes d>/ellt4 ,auf diese ,weise w]d5 na* ,ausfllung d] ,t]rass5 mei/ ,reliefs von gebirgig5 ,geg5d5 wirkli* h]ge/ellt4 #df4 ,kurv5 auf e9] ,gelndefl*e4 ,auer d5 ,s*i*tl9i5 s9d natrli* no* e9e ganze ,reihe &]] ,kurv5 im ,zusamm5hang mit e9] ,gelndefl*e zu betra*t51 die teils auf ihr geleg5 s9d1 teils sie dur*dr+5 od] b]hr53 ,wege auf dem ,gelnde1 ,eis5bahnl9i51 ,s*nittkurv5 mit &]5 ,fl*51 s*e9b>e ,horizonte usw4 ,au* diese alle hat man si* 9 d5 ,plan e+ezei*net zu d5k54 ,es wird zweckmig se91 zun*/ die haupts*li*/5 ,eig5s*aft5 sol*] ,raumkurv5 k5n5 zu l]n51 da sie naturgem bei d5 ,kon/ruktion5 an ,gelndefl*5 =tgesetzt vorkomm54 #dg4 ,d>/ellung e9] ,raumkurve4 ,e9e beliebige ,raumkurve i/ dur* ihre ,projektion gegeb51 w5n zuglei* fr e9e g5g5de ,anzahl ihr] ,punkte die ,hh5zahl5 bekannt s9d4 ,man d5ke etwa an die ,d>/ellung des ,weges1 d5 e9 ,lufts*iff dur*mess5 hat4 ,alle1 die ,punkte e9] ,raumkurve projizi]5d5 lotre*t5 ,/rahl5 bild5 e95 ,zyl9d]1 d5 projizi]5d5 ,zyl9d]1 und se9e ,abwickelung gibt das ,pr(il lngs d] ,raumkurve1 das ,lng5pr(il4 ,man zei*net diese ,abwickelung1 indem man mittels e9] g5g5d kle95 ,zirkelffnung die ,kurve 9 s kle9e ,/cke teilt1 da sie inn]halb d] ,zei*5g5auigkeit als g]adl9ig 7vgl4 #he7 betra*tet w]d5 knn51 trgt diese ,/cke mittels d]selb5 ,zirkelffnung lngs e9] ,g]ad5 ab1 bezei*net dabei die koti]t5 ,punkte und trgt 9 ihn5 die entspre*5d5 ,hh5 lotre*t auf4 ,die ,endpunkte dies] ,lote bild5 das erwhnte ,lng5pr(il 7,fig4 #da u4 #da a74 ,illu/ration3 ,fig4 #da4 ,illu/ration3 ,fig4 #da a4 #dh4 ,e9s*alt5 von ,punkt5 und ,kon/ruktion von ,s*i*tl9i54 ,man b5utzt e9 sol*es ,lng5pr(il1 um 9 die ,kurve ,punkte gegeb5] ,kote e9zus*alt51 z4 ,b4 die ,punkte mit rund5 ,hh5zahl5 7,hauptpunkte71 wodur* dann e9e ,/ufung d] gegeb55 ,kurve 9 hnli*] ,weise ausgefhrt wird1 wie das frh] 7 #d7 bei d] g]ad5 ,l9ie ges*eh5 i/4 ,davon ma*t man z4 ,b4 ,gebrau*1 um aus d5 v]mess55 ,punkt5 e9es ,gelndes se9e ,haupts*i*tl9i5 zu kon/rui]5 7vgl4 #de74 ,man v]b9det zu diesem ,zwecke geeignete v]mess5e ,punkte d] ,fl*e dur* e9e glatte ,kurve1 zei*net d]5 ,lng5pr(il1 aus dem man dann lei*t die ,zwis*5punkte mit rund5 ,hh5zahl5 entnehm5 kann4 ,das i/ 9 d] ,fig4 #da z4 ,b4 an d] ,l9ie ,,ab nh] ausgefhrt4 ,die ,v]b9dungskurv5 s9d mgli*/ qu] zu d5 zu erw>t5d5 ,s*i*tl9i5 zu whl54 ,e9 d]>tiges ,lng5pr(il wird f]n] 9 praktis*5 ,fll5 (t b5utzt1 um z4 ,b4 das ,/eig5 und ,fall5 e9es ,weges od] e9] ,eis5bahn/recke unabhngig von d5 ,krmmung5 d] ,l9i5fhrung d>zu/ell51 od] um die geologis*e ,ge/altung des ,erd9n]n lngs e9es ,tunnels od] ,/oll5s zu v]folg54 #di4 ,bs*ung e9] ,raumkurve4 ,unt] dem ,an/ieg 7,bs*ung7 e9] ,raumkurve 9 e9em ihr] ,punkte v]/eht man d5 ,an/ieg d] ,tang5te 9 diesem ,punkte4 ,die ,projektion d] ,tang5te fllt na* #dd zusamm5 mit d] ,tang5te d] ,projektion d] ,raumkurve4 ,da sie bei d] ,abwickelung des projizi]5d5 ,zyl9d]s au* 9 die ,tang5te des ,lng5pr(ils b]geht1 s kann damit ihre ,/ufung na* #d lei*t ausgefhrt w]d5 7vgl4 ,fig4 #db74 ,illu/ration3 ,fig4 #db4 ,illu/ration3 ,fig4 #dc4 #ej4 ,bs*ungsl9ie4 ,unt] dem ,int]vall e9] ,raumkurve 9 e9em ihr] ,punkte v]/eht man das ,int]vall d] zugehrig5 ,tang5te4 ,im allgeme95 nd]t es se9e ,gre lngs d] ,kurve3 je kle9] es i/1 um s /eil]1 je grer1 um s fla*] v]luft die ,kurve 9 d] ,nhe d] betreff5d5 ,/elle4 ,i/ das ,int]vall lngs d] ganz5 ,kurve von d]selb5 ,lnge1 s hat die ,kurve kon/ante ,/eigung2 sie heit dann e9e ,bs*ungsl9ie2 ihr ,lng5pr(il i/ e9e ,g]ade1 wie das 9 ,fig4 #dc gezeigt i/4 ,bei g5g5d eng] ,gradui]ung i/ das ,int]vall e9] ,raumkurve 9 e9em ,punkte nh]ungsweise glei* d] ,entf]nung d] beid5 b5a*b>t5 ,hauptpunkte4 #ea4 ,normaleb5e1 ,plani]ungsfl*e4 ,die auf d] ,tang5te im ,b]hrungspunkte s5kre*te ,eb5e heit ,normaleb5e d] ,kurve2 ihr ,gefllema/ab i/ na* #f zu kon/rui]5 als die 9 e9] lotre*t5 ,eb5e geleg5e ,s5kre*te zur ,tang5te im ,b]hrungspunkte 7vgl4 ,fig4 #dd73 das ,int]vall i/ entgeg5gesetzt g]i*tet und reziprok zu dem d] ,tang5te1 wozu 9 d] ,figur das re*tw9klige ,dreieck mit d] ,hhe #a 7,e9heit des ,hh5ma/abes7 di5t4 ,j$e 9 d] ,normaleb5e geleg5e1 die ,kurve s*neid5de ,g]ade heit ,normale d] ,kurve4 ,illu/ration3 ,fig4 #dd4 ,illu/ration3 ,fig4 #de4 ,smtli*e horizontal5 ,normal5 bild5 e9e im allgeme95 w9ds*iefe ,fl*e1 die die ,kurve en?lt1 die ,plani]ungsfl*e4 ,die ,projektion5 dies] ,normal5 s9d die mittels des ,spiegell9eals lei*t 9 die ,k>te zu zei*n5d5 ,normal5 d] gegeb55 ,projektion d] ,kurve4 ,trgt man auf ihn5 von d] ,kurve aus beid]seits dasselbe ,/ck ab1 s erhlt man die ,d>/ellung e9es ,weges1 dess5 ,mittell9ie die gegeb5e ,kurve i/ 7,fig4 #de74 ,im allgeme95 be/eht die ,plani]ungsfl*e aus zwei ,flgeln1 die lngs d]j5ig5 ,raumkurve ane9&]/oen1 d]5 ,projektion die ,evolute d] gegeb55 ,projektion d] ,kurve i/4 ,lngs dies] ,raumkurve dur*dr+t die ,plani]ungsfl*e si* selb/4 ,zum ,beispiel i/ die ,plani]ungsfl*e e9] gewhnli*5 zyl9dris*5 ,s*raub5l9ie mit lotre*t] ,a*se die geme9e ,s*raub5fl*e1 ihre ,selb/dur*dr+ungskurve die lotre*te ,a*se selb/4 #eb4 ,s*miegungseb5e4 ,eb5so wie die ,tang5te e9] ,kurve die ,gr5zlage d] ,sekante i/ fr d5 ,fall1 da d] e9e ,kurv5punkt si* dem &]5 mehr und mehr nh]t1 s i/ die ,s*miegungseb5e die ,gr5zlage all] dur* drei ,punkte d] ,kurve geh5d5 ,eb55 fr d5 ,fall1 da zwei d] ,punkte si* dem dritt5 mehr und mehr nh]n1 brig5s1 w5n von e9] ,s*miegungseb5e b]haupt die ,r$e se9 soll1 glei*gltig1 9 wel*] ,weise diese ,annh]ung ausgefhrt wird4 ,dah] i/ die ,tang5te 9 d] ,s*miegungseb5e geleg54 ,um die ,s*miegungseb5e 9 e9em gegeb55 ,punkte d] ,kurve zu kon/rui]51 wird man demna* zu]/ die zugehrige ,tang5te zu zieh5 und na* #di zu gradui]5 hab54 ,die ,s*miegungseb5e wird alsdann e9deutig be/immt se91 sobald man die ,ri*tung e9] ihr] ,/rei*l9i5 k5nt1 z4 ,b4 d]j5ig51 die dur* d5 gegeb55 ,kurv5punkt geht4 ,die ,haupt/rei*l9i5 s9d zu dies] p>allel und geh5 dur* die ,hauptpunkte d] ,tang5te4 ,illu/ration3 ,fig4 #df4 ,bei d] ,kon/ruktion d] ,s*miegungseb5e mu man natrli* von ihr] ,erklrung ,gebrau* ma*5 und also e9e ,reihe von ,eb55 zei*n51 d]5 ,gr5zlage sie i/4 ,zum ,beispiel kann man zweckmig sol*e ,eb55 whl51 d]5 e9] ,punkt d] gegeb5e i/1 whr5d die beid5 &]5 entgeg5gesetzt glei*e ,hh5ab/nde von ihm hab54 ,das i/ 9 ,fig4 #df ausgefhrt1 indem j$esmal die ,v]b9dungsg]ade d] beid5 letztg5annt5 ,punkte gradui]t i/4 ,diese ,eb55 hll5 e9e ,fl*e e91 auf d] die gegeb5e ,kurve geleg5 i/1 und auf d] si* lei*t die ,hh5l9i5 als ,v]b9dungskurv5 d] ,punkte glei*] ,hh5zahl5 zei*n5 lass51 insbesond]e au* die dur* d5 gegeb55 ,kurv5punkt geh5de4 ,irg5de9e dur* dies5 ,punkt geh5de ,sekante d] ,hh5l9ie i/ 9 e9] d] besagt5 ,eb55 als ,s*i*tl9ie en?alt54 ,9 dem ,gr5zfall d] ,s*miegungseb5e geht also diese ,sekante 9 die ,tang5te d] erwhnt5 ,s*i*tl9ie im gegeb55 ,punkte b] und wird zuglei* ,s*i*tl9ie d] ,s*miegungseb5e4 ,dana* i/ diese lei*t zu zei*n54 #ec4 ,hauptnormale1 ,b9ormale4 ,die ,s*miegungseb5e und die ,normaleb5e s*neid5 si* 9 d] ,hauptnormal5 d] ,kurve4 ,das ,lot auf d] ,s*miegungseb5e im ,b]hrungspunkte heit ,b9ormale d] ,kurve4 ,beide ,g]ad5 lass5 si* na* #ab und #f kon/rui]54 ,w] die angegeb5e ,kon/ruktion d] ,tang5te1 ,s*miegungseb5e usw4 wirkli* ausgefhrt hat1 wird uns*w] bem]kt hab51 da dabei die ,g5auigkeit d] ,zei*nung g]+] i/ als bei d5 bi%]ig5 ,kon/ruktion54 ,d] ,grund dafr liegt 9 d5 ,erklrung5 d] ,tang5te usw4 als ,gr5zlag5 gewiss] ,g]ad5 usw4 ,diese ,bem]kung gilt au* fr e9e ganze ,reihe von ,kon/ruktion5 an ,kurv5 und ,fl*51 wie sie im folg5d5 mitgeteilt w]d54 ,illu/ration3 ,fig4 #dg4 #ed4 ,s*nitt e9] ,fl*e mit e9] ,eb5e4 ,um die ,s*nittkurve e9] ,fl*e mit e9] gegeb55 ,eb5e zu kon/rui]51 br+t man die ,s*i*tl9i5 d] ,fl*e mit d5 glei*koti]t5 ,/rei*l9i5 d] ,eb5e zum ,s*nitt und v]b9det die erhalt55 ,punkte dur* e9e glatte ,kurve4 ,diese wird ,auss*nittl9ie1 ,ausbil9ie1 ,v]s*neidung d] ,eb5e g5annt 7,fig4 #dg74 ,illu/ration3 ,fig4 #dh4 ,illu/ration3 ,fig4 #dh a4 ,w5n man die gegeb5e ,fl*e lngs e9] gegeb55 ,ri*tung dur* e9e lotre*te ,eb5e s*neidet und diese samt d] ,s*nittfigur 9 die ,zei*5eb5e umklappt1 s erhlt man e9 ,qu]pr(il d] ,fl*e lngs d] gegeb55 ,ri*tung 7,fig4 #dh74 ,(t i/ es zweckmig1 um die ,zei*nung ni*t zu v]wirr51 od] bei ,b5utzung e9] ,k>te1 das ,qu]pr(il auf e9e besond]e ,zei*nung zu b]trag53 das ges*ieht lngs d] gegeb55 ,ri*tung mittels des ,zirkels od] e9fa*] mittels e9es angelegt5 g]ad5 ,papi]/reif5s 7,fig4 #dh a74 #ee4 ,anw5dung4 ,die ,kon/ruktion von ,auss*nittl9i5 und ,qu]pr(il5 kommt sehr (t bei ,aufgab5 des ,tiefbaues1 bei geologis*5 od] b]gmnnis*5 ,frag5 vor4 ,zum ,beispiel1 w5n man an irg5de9] ,/elle des ,gelndes das ,/rei*5 und ,fall5 e9] 79 er/] ,annh]ung als eb5 ang5omm57 geologis*5 ,s*i*t beoba*tet hat1 s i/ es von ,wi*tigkeit1 die 7mutmali*e7 ,ausbil9ie dies] ,s*i*t zu k5n51 um dadur* zu wiss51 an wel*5 ,/ell5 des ,gelndes man mit e9ig] ,aussi*t auf ,erfolg dur* ,s*rf>beit die ,s*i*t bloleg5 und viellei*t abbau5 kann2 od] wie tief e9 ,s*a*t1 d] an e9] gegeb551 dem ,v]kehr zugngli*5 ,/elle anzuleg5 i/1 ni$]gebra*t w]d5 mu1 bis er die ,s*i*t errei*t4 ,illu/ration3 ,fig4 #di4 ,man hat dann zun*/ aus dem beoba*tet5 ,e9fall5 und ,/rei*5 die ,s*i*tl9i5 d] ,eb5e und damit ihr5 ,gefllema/ab na* #aa zu kon/rui]51 alsdann1 wie im vorig5 ,p>agraph5 angegeb51 ihre ,ausbil9ie 79 d] ,figur ge/ri*elt7 mit d] ,fl*e h]zu/ell51 s*lieli* dur* d5 ,s*a*t 9 d] dur* die ,fall9ie d] ,eb5e gegeb55 ,ri*tung e9 ,qu]pr(il dur* das ganze ,gelnde zu leg54 ,d>aus i/ dann die ,teufe des ,s*a*tes zu entnehm54 ,dies i/ 9 d] ,fig4 #di ausgefhrt4 #ef4 ,e9s*alt5 von ,hh5l9i54 ,fr man*e kon/ruktiv5 ,zwecke rei*5 (t die vorh&55 ,hh5l9i5 ni*t an all5 ,/ell5 d] ,k>te aus1 um die v]langt5 ,kon/ruktion5 mit g5g5d] ,g5auigkeit auszufhr54 ,dann wird es er=d]li*1 zwis*5 die vorh&55 no* &]e ,hh5l9i5 e9zus*alt54 ,zweckmig kann das mit ,hilfe von ,qu]pr(il5 ges*eh51 die man an d5 betreff5d5 ,/ell5 d] ,k>te 9 g5g5d] ,anzahl legt1 und aus d55 man die er=d]li*5 ,punkte fr die zu kon/rui]5d5 ,zwis*5s*i*tl9i5 entnimmt 7vgl4 ,fig4 #ej74 ,illu/ration3 ,fig4 #ej4 ,illu/ration3 ,fig4 #ea4 ,w5n die ,hh5l9i5 nur s*wa* gekrmmt s9d1 kann man mittels e9es e9fa* anzuleg5d5 ,ma/abes ,punkte d] e9zus*alt5d5 ,s*i*tl9i5 mit g5g5d] ,annh]ung auff9d51 wie das aus d] ,fig4 #ea h]vorgeht2 bei g]adl9ig5 ,s*i*tl9i5 wre dieses ,v]fahr5 /r5g ri*tig4 ,am g5aue/5 und 9 j$em ,falle anzuw5d5 s9d die ,lng5pr(ile qu] zu d5 ,s*i*tl9i5 7lngs d] ,fall9i51 vgl4 #eh71 und zw> s1 wie es im #dh gezeigt word5 i/4 #eg4 ,b]hrungseb5e und ,normale e9] ,fl*e4 ,um 9 e9em gegeb55 ,punkte d] ,fl*e die ,b]hrungseb5e zu kon/rui]51 b$5ke man1 da diese von e9] dur* d5 ,punkt geh5d5 wag]e*t5 ,eb5e 9 e9] wag]e*t5 ,g]ad5 ges*nitt5 wird2 diese ,g]ade i/ e9e ,tang5te d] ,fl*e 9 dem gegeb55 ,punkte1 also au* e9e ,tang5te an die dur* d5 ,punkt geh5de ,hh5l9ie d] ,fl*e4 ,da d5 ,b]hrung5 auf d] ,fl*e au* ,b]hrung5 9 d] ,k>te entspre*5 7 #dd71 s i/ demna* auf dem ,plane die ,normale d] ,hh5l9ie 9 dem gegeb55 ,punkte 7mit dem ,spiegell9eal zu zei*n57 die ,projektion e9] ,fall9ie d] gesu*t5 ,b]hrungseb5e4 ,kon/rui]t man das dur* die ,ri*tung dies] ,fall9ie be/immte ,qu]pr(il d] ,fl*e na* #ed1 s i/ die ,fall9ie an ihm 9 dem gegeb55 ,punkte ,tang5te4 ,ihr ,bs*ungsma/ab i/ also au* d] ,gefllema/ab d] gesu*t5 ,b]hrungseb5e 7vgl4 ,fig4 #eb u4 #eb a74 ,illu/ration3 ,fig4 #eb4 ,illu/ration3 ,fig4 #eb a4 ,die ,fl*5normale i/ das ,lot auf d] ,b]hrungseb5e im ,b]hrungspunkte4 ,da es 9 d] eb5 erwhnt5 ,pr(ileb5e liegt1 fllt se9e ,projektion mit d] d] ,fall9ie d] ,b]hrungseb5e zusamm54 ,se9 ,gefllema/ab hat na* #f das reziproke ,int]vall desj5ig5 d] ,b]hrungseb5e1 i/ ihm entgeg5gesetzt g]i*tet und dah] wie dort angegeb5 zu be/imm54 #eh4 ,normaleb5e1 ,fall9i5 e9] ,fl*e4 ,irg5de9e die ,fl*5normale en?alt5de ,eb5e heit ,normaleb5e d] ,fl*e2 sie s*neidet die ,fl*e 9 e9em ,normals*nitt1 die ,b]hrungseb5e 9 e9] ,tang5te d] ,fl*e4 ,dur* j$5 ,fl*5punkt geh5 also unzhlig viele ,tang5t51 von d55 im allgeme95 nur e9e1 die zuglei* ,tang5te d] dur* d5 ,b]hrungspunkt geh5d5 ,s*i*tl9ie d] ,fl*e i/1 horizontal luft4 ,die &]5 v]lauf5 pa>weise mit demselb5 ,an/ieg1 bis auf e9e1 d]5 ,geflle mit dem d] ,eb5e b]e9/immt4 ,es i/ zuglei* das grte unt] all5 betra*tet5 und wird ,geflle d] ,fl*e 9 dem betreff5d5 ,punkte g5annt4 ,geht man von e9em ,punkte d] ,fl*e 9 ,ri*tung des eb5 erwhnt5 grt5 ,geflles1 d] ,fallri*tung1 also s5kre*t zur ,s*i*tl9ie1 weit] zu e9em ,punkte d] n*/5 ,s*i*tl9ie1 von da 9 d]selb5 ,weise weit] und s =t1 s dur*luft man e9e ,fall9ie d] ,fl*e4 ,die ,fall9i5 /eh5 auf d5 ,s*i*tl9i5 s5kre*t4 ,um sie zu kon/rui]5 7,fig4 #ec u4 #ed71 b$i5t man si* zweckmig des ,spiegell9eals3 man erri*tet1 von e9em ,punkte e9] ,s*i*tl9ie ausgeh5d1 auf ihr mittels des ,spiegell9eals die ,normale1 setzt an sie 9 e9em ,punkte1 d] etwa mitt5 bis zur n*/folg5d5 ,s*i*tl9ie geleg5 i/1 die ,normale zu dies] an1 usw4 ,diese ,normal5 hll5 die gesu*te ,fall9ie e91 d]5 ,tang5t5 sie s9d 7 #da74 ,dabei i/ es er=d]li*1 da g5g5d viele ,s*i*tl9i5 zu ,v]fgung /eh52 ntig5falls w]d5 zuvor e9ige e9zus*alt5 se9 7 #ef74 ,illu/ration3 ,fig4 #ec4 ,illu/ration3 ,fig4 #ed4 #ei4 ,s*raffur e9] ,k>te4 ,die ,fall9i5 e9] ,gelndefl*e geb5 die ,ri*tung des langsam h]abflieend5 ,wass]s an4 ,im allgeme95 geht dur* j$5 ,punkt d] ,fl*e g5au e9e ,fall9ie2 b] die besond]s zu erwhn5d5 ,ausnahm5 s4 weit] unt5 #fa4 ,d] ,an/ieg lngs d] ,fall9i5 e9] ,fl*e i/ im allgeme95 v]nd]li*2 man pflegt 9 d] ,k>t5kunde das /rk]e od] s*w*]e ,geflle des ,gelndes dur* /rk]es od] s*w*]es ,auszieh5 d] ,fall9i5 k5ntli* zu ma*51 um dadur* e95 erhab55 ,e9druck d] ,k>te h]vorzuruf54 ,dazu b5utzt man mei/5s e9e dem ,geflle entspre*5d abgetnte ,s*raffur4 ,die ,ri*tung d] ,s*raff5/ri*e /immt mit d] ,ri*tung d] ,fall9i5 b]e94 #fj4 ,krmmung e9] ,fl*e4 ,h9si*tli* d] ,punkte1 die e9e ,fl*e auer dem ,b]hrungspunkte 9 se9] ,na*b>s*aft mit d] ,b]hrungseb5e geme9s*aftli* hab5 kann1 s9d drei v]s*i$5e ,flle mgli*1 w5n man von besond]5 ,ausnahm5 absieht4 ,entw$] hat die ,ob]fl*e mit ihr] ,b]hrungseb5e 9 d] ,umgebung des ,b]hrungspunktes weit] g> ke95 ,punkt geme9sam2 die ,b]hrungseb5e v]luft dort dann also ganz auf e9] ,seite d] ,fl*e4 ,dann heit die ,fl*e 9 dem betra*tet5 ,b]hrungspunkte bau*ig 7positiv od] elliptis* gekrmmt74 ,vgl4 #ee und #ee a4 ,das ,ellipsoid gibt dafr e9 ,beispiel 9 j$em se9] ,punkte4 ,illu/ration3 ,fig4 #ee4 ,illu/ration3 ,fig4 #ee a4 ,od] zweit5s die ,b]hrungseb5e dur*dr+t 9 d] ,nhe des ,b]hrungspunktes die ,fl*e s1 da die ,s*nittkurve beid] im ,b]hrungspunkte e95 ,doppelpunkt besitzt4 ,dann heit die ,fl*e daselb/ sattelfrmig 7negativ od] hyp]bolis* gekrmmt74 ,vgl4 ,fig4 #ef und #ef a4 ,das e9s*alige ,hyp]boloid od] das hyp]bolis*e ,p>aboloid i/ 9 j$em se9] ,punkte sattelfrmig2 die ,s*nittkurve be/eht hi] aus d5 beid51 si* im ,b]hrungspunkte s*neid5d5 erzeug5d5 ,g]ad54 ,illu/ration3 ,fig4 #ef4 ,illu/ration3 ,fig4 #ef a4 ,od] dritt5s3 die ,b]hrungseb5e dr+t zw> eb5falls 9 d] ,nhe des ,b]hrungspunktes 9 die ,fl*e e91 ab] s1 da die ,s*nittkurve beid] nur e9mal dur* d5 ,b]hrungspunkt geht4 ,dann heit die ,fl*e 9 dem betreff5d5 ,punkte p>abolis* gekrmmt4 ,vgl4 ,fig4 #eg und #eg a4 ,e9 ,kegel mit beliebig] ,basis i/ 9 j$em se9] ,punkte p>abolis* gekrmmt4 ,fl*5/cke1 d]5 smtli*e ,punkte p>abolis* gekrmmt s9d1 lass5 si* ohne ,dehnung und ,faltung d]>tig v]bieg51 da sie ,teile e9] ,eb5e w]d51 od]1 0 dasselbe besagt1 man kann sie auf e9e ,eb5e abwickeln2 dah] heien sol*e ,fl*5 abwickelb>4 ,illu/ration3 ,fig4 #eg4 ,illu/ration3 ,fig4 #eg a4 ,es kann vorkomm51 da auf e9] und d]selb5 ,fl*e s[ohl bau*ige wie sattelfrmige ,teile vorh&5 s9d4 ,sie w]d5 dann getr5nt dur* e9e ,kurve1 die ,krmmungsgr5ze 7,dem>kationsl9ie1 p>abolis*e ,kurve71 9 d]5 ,punkt5 die ,fl*e p>abolis* gekrmmt i/4 ,e9 ,beispiel dafr i/ die 9 d] ,fig4 #bg auf ,s4 #ah abgebildete glock5frmige ,umdrehungsfl*e3 ,,dd bezei*net die ,krmmungsgr5ze1 d] ob]e ,teil i/ bau*ig1 d] unt]e sattelfrmig4 #fa4 ,d] ,v]lauf d] ,s*i*t- und ,fall9i5 lngs e9] ,gelndefl*e i/ uer/ mannigfaltig und s*e9b> sehr regellos4 ,j$o* kann man (t aus dem bloen ,anblick dies] ,l9i5 9 d] ,k>te geometris*e ,eig5s*aft5 d] ,fl*e an d] betra*tet5 ,/elle h]ausles52 und es i/ fr die ,bes*ftigung mit d] ,k>t5kunde sehr wi*tig1 si* d>9 e9e gewisse bung zu v]s*aff54 ,da die ,s*i*tl9i5 als ,l9i5 glei*5 ,wass]/&es aufgefat w]d5 knn51 mss5 sie auf e9] ni*t willkrli* begr5zt5 ,gelndefl*e /ets ges*loss5 se94 ,ke9e zwei ,s*i*tl9i5 v]s*i$5] ,hh5 knn5 si* s*neid54 ,bei ,auss*lu b]hng5d] ,teile des ,gelndes gilt dies au* von d5 ,projektion5 d] ,s*i*tl9i5 9 d] ,k>te4 ,im allgeme95 geht dur* j$5 ,punkt des ,planes g5au e9e ,s*i*tl9ie2 es gibt j$o* gewisse ,ausnahmepunkte4 #fb4 ,gipfel-1 ,muld5- und ,jo*punkt4 ,zun*/ gibt es sol*e ,punkte1 dur* die ke9e ,s*i*tl9ie geht od]1 g5au] gesagt1 d]5 zugehrige ,hh5l9ie auf d5 ,punkt selb/ zusamm5ges*rumpft i/4 ,es s9d die ,punkte1 die hh] od] tief] lieg5 als smtli*e ,punkte ihr] ,umgebung4 ,sie heien ,gipfel- od] ,muld5punkte1 je na*dem die b5a*b>t5 ,s*i*tl9i51 von ellips5hnli*] ,ge/alt1 kle9]e od] grere ,hh5zahl5 hab5 7,fig4 #eh74 ,illu/ration3 ,fig4 #eh4 ,illu/ration3 ,fig4 #ei4 ,sodann gibt es sol*e ,punkte1 dur* die zwei1 viellei*t au* mehr]e ,s*i*tl9i5 7d]selb5 ,hh5zahl7 h9dur*geh54 ,d] gewhnli*/e dies] ,punkte i/ d] ,jo*punkt1 die tief/e ,/elle zwis*5 zwei ,erhebung5 und ,ausgangs/elle zwei] dur* e95 ,b]grck5 getr5nt] ,tl]1 od] au*1 0 dasselbe b$eutet1 die h*/e ,/elle zwis*5 zwei ,tl]n und ,ausgangs/elle zwei] dur* e9 ,tal getr5nt] ,b]grck5 7,fig4 #ei74 ,besond]e ,flle tret5 e91 w5n mehr]e ,tl] und mehr]e ,b]grck5 von e9em geme9sam5 ,punkte entspr+51 wovon die ,fig4 #fj e9 ,beispiel gibt4 ,illu/ration3 ,fig4 #fj4 ,die ,b]hrungseb5e 9 e9em ,gipfel- od] ,muld5- od] ,jo*punkte i/ wag]e*t1 wie si* au* aus e9] ,betra*tung d] ,qu]pr(ile soglei* ergibt4 ,da sie 9 d] ,umgebung e9es ,gipfelpunktes ganz ob]halb d] ,fl*e1 9 d] ,umgebung e9es ,muld5punktes ganz unt]halb liegt1 s i/ die ,fl*e 9 dies5 ,punkt5 bau*ig 7 #fj74 ,9 e9em ,jo*punkt i/ sie dageg5 sattelfrmig4 #fc4 ,wass]s*eide und ,talweg4 ,im allgeme95 geht dur* j$5 ,punkt e9] ,gelndefl*e g5au e9e ,fall9ie2 ab] au* hi]von gibt es ,ausnahm54 ,dur* j$5 ,gipfel- und j$5 ,muld5punkt geh5 unzhlig viele ,fall9i51 eb5die1 wel*e die b5a*b>t5 elliptis*5 ,s*i*tl9i5 d] ,umgebung s5kre*t dur*s*neid54 ,die ,fig4 #fa zeigt d5 ,v]lauf dies] ,fall9i51 wie ihn e9e g5au]e ,betra*tung1 die hi] zu weit fhr5 wurde1 erk5n5 liee3 die ,fall9i5 b]hr5 nmli* smtli* die geme9same groe ,a*se d] ,ellips5 im ,mittelpunkt1 dem 9 ,r$e /eh5d5 ,gipfel- od] ,muld5punkt1 bis auf e9e1 die 9 ,ri*tung d] kle95 ,a*se v]luft4 ,w5n die ,s*i*tl9i5 9 d] ,umgebung e9es ,gipfel- od] ,muld5punktes ang5h]t konz5tris*e ,kreise s9d1 wie es z4 ,b4 bei e9] ,umdrehungsfl*e mit s5kre*t] ,dreha*se 7vgl4 ,fig4 #bg ,seite #ah7 e9tret5 kann1 dann v]lauf5 natrli* die ,fall9i5 radial1 und ke9e von ihn5 i/ bevorzugt 7,kreispunkt od] ,nabelpunkt74 ,illu/ration3 ,fig4 #fa4 ,9 d] ,nhe e9es ,jo*punktes v]lauf5 die ,s*i*tl9i5 d] ,fl*e ang5h]t wie ,hyp]beln mit geme9sam5 ,haupta*s5ri*tung5 und geme9samem ,mittelpunkt4 ,d5 ,v]lauf d] ,fall9i5 zeigt die ,fig4 #fb3 dur* d5 ,jo*punkt selb/ geh5 zwei ,fall9i5 9 ,ri*tung d] ,haupta*s54 ,illu/ration3 ,fig4 #fb4 ,auf man*5 ,fl*5 tret5 ,fall9i5 auf1 9 d]5 ,umgebung si* die b5a*b>t5 um s eng] zusamm5drng51 je nh] sie an j55 lieg54 ,sol*e ,fall9i5 soll5 ausgezei*nete ,fall9i5 heien4 ,es kann f]n] vorkomm51 da auf e9] sol*5 ausgezei*net5 ,fall9ie e9 od] mehr]e ,punkte lieg51 9 d55 b5a*b>te ,fall9i5 wirkli* e9mnd5 od] aus d55 sie entspr+51 od] da si* ihr die b5a*b>t5 ,fall9i5 asymptotis* nh]n 79 e9em sehr f]n5 ,punkte e9mnd574 ,e9e d]>tige ausgezei*nete ,fall9ie mit ,mndungspunkt5 7e9s*lieli* asymptotis*5 ,e9mnd5s7 heit ,talweg1 falls die b5a*b>t5 ,fall9i5 im ,s9ne abnehm5d] ,hh5 e9mnd5 od] si* ihr im ab/eig5d5 ,s9ne asymptotis* nh]n4 ,dageg5 heit sie ,kammweg 7,rck5l9ie1 ,wass]s*eide71 falls die ,fall9i5 im ,s9ne auf/eig5d] ,hh5 e9mnd51 d4 h4 aus ihn5 entspr+54 ,e9e ausgezei*nete ,fall9ie kann 9 ihrem ,v]lauf teils ,talweg1 teils ,wass]s*eide1 teils ke9s von beid5 se94 ,d] ,"n ,talweg1 d] brig5s als deuts*es ,fremdwort 9 die franzsis*e ,spra*e e+$rung5 i/ 7le ?alweg71 rhrt von dem deuts*5 ,wass]baumei/] ,wiebek+ 7 #ahdb7 h]4 ,die ,begriffe des ,talwegs und d] ,wass]s*eide spiel5 bei d] ,fe/setzung politis*] ,gr5z5 e9e ,rolle4 #fd4 ,=tsetzung4 ,fr j$5 ,gipfelpunkt1 d] ke9 ,kreispunkt i/1 bildet die 9 d] ,lngsri*tung des ,gipfels h9dur*geh5de ,fall9ie e95 ,kammweg2 d5n die b5a*b>t5 ,fall9i5 entspr+51 sie b]hr5d1 aus ihr im ,gipfelpunkte 7vgl4 ,fig4 #fa74 ,und fr j$5 ,muld5punkt1 d] ni*t zuglei* ,kreispunkt i/1 bildet die 9 d] ,lngsri*tung die ,mulde dur*zieh5de ,fall9ie e95 ,talweg4 ,die ,fig4 #fc gibt d5 ,v]lauf e9es ,kammwegs ,k und e9es ,talwegs ,t mit sehr f]n5 ,ursprungs- und ,mndungspunkt5 wi$]4 ,e9em sol*5 ,talweg entspri*t 9 d] ,natur d] ,weg e9es g5g5d langsam flieend5 und s*mal5 ,ba*es1 d] dur* allmhli*e ,v]e9igung kle9]] ,wass]ad]n ent/eht4 ,e9 ,kammweg bildet die ,gr5ze zwis*5 zwei ,abflugebiet5 des ,gelndes4 ,illu/ration3 ,fig4 #fc4 ,von e9em ,jo*punkte 7,fig4 #fb7 geh5 zwei ausgezei*nete ,fall9i5 aus2 d] e95 nh]n si* b5a*b>te ,fall9i5 im auf/eig5d51 d] &]5 im ab/eig5d5 ,s9ne4 ,man d>f ab] im allgeme95 w$] die er/e als ,kammweg no* die zweite als ,talweg bezei*n54 ,w5n die von e9em ,jo*punkte na* e9] ,mulde h]abfhr5de ausgezei*nete ,fall9ie die ,mulde ni*t 9 d] ,lngsri*tung1 sond]n 9 d] ,qu]ri*tung dur*luft1 i/ sie gewi 9 diesem ,/cke des ,gelndes ke9 ,talweg4 ,die ,fig4 #fd gibt dies an2 und die ,fig4 #fe das ,geg5/ck dazu1 wo wirkli* die ,jo* und ,mulde v]b9d5de ,fall9ie e9 ,talweg i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #fd4 ,au* w5n das von e9em ,jo* h]abzieh5de ,tal si* s v]fla*t1 da die ,fall9i5 si* zw> d] dur* d5 ,jo*punkt geh5d5 ausgezei*net5 ,fall9ie nh]n1 ab] do* ni*t 9 asymptotis*] ,weise1 kann diese ni*t ,talweg se94 ,9 d] ,natur wrde dem etwa e9 ,tal entspre*51 das ni*t zur ,ent/ehung e9es ,wass]laufes1 sond]n zu e9] ,art ,sumpfbildung ,anla gibt4 ,umgekehrt knn5 aus e9em ,ho*moore ,wass]ad]n abgeh51 ohne da dort von e9] eig5tli*5 ,wass]s*eide gespro*5 w]d5 kann 7,fig4 #ff74 ,illu/ration3 ,fig4 #fe4 ,bem]k5sw]t i/ no* d] ,fall1 w5n auf e9] ausgezei*net5 ,fall9ie e9 p>abolis*] ,punkt d] ,gelndefl*e geleg5 i/ 7 #fj74 ,die ,fig4 #fg gibt davon e9 ,beispiel4 ,9 dem p>abolis*5 ,punkte hat hi] die ,s*i*tl9ie1 auf d] er liegt1 e9e ,spitze1 und 9 ihr endig5 alle ,fall9i51 die - wie 9 d] ,figur angegeb5 - aus grer5 ,hh5 komm54 ,die ausgezei*nete1 dur* d5 p>abolis*5 ,punkt geh5de ,fall9ie i/ also 9 ihrem ob]5 ,teile gewi e9 ,talweg4 ,ob sie es dageg5 au* 9 ihrem unt]5 ,teile i/1 hngt davon ab1 ob si* dort eb5falls e9 ,mndungspunkt bef9det 79 d] ,figur i/ das ni*t d] ,fall74 ,illu/ration3 ,fig4 #ff4 ,da dur* e9e ,k>te imm] nur e9 bes*rnkt] ,teil des ,gelndes gegeb5 se9 kann1 s wird es praktis* unmgli* se91 bei ,gelndefl*5 e9 asymptotis*es ,e9mnd5 g5au fe/zu/ell51 und man wird dah] au* 9 dem ,falle von e9em ,talweg und e9em ,kammweg r$51 w5n g5g5d viele b5a*b>te ,fall9i5 d] ,zei*nung inn]halb d] ,zei*5g5auigkeit 9 die ausgezei*nete ,fall9ie b]geh54 ,illu/ration3 ,fig4 #fg4 ,illu/ration3 ,fig4 #fh4 ,um 9 e9] ,gelndek>te alle ,talwege und ,wass]s*eid5 zu f9d51 wird man unt] d5 ,fall9i5 zun*/ die ausgezei*net5 aufsu*51 d4 h4 diej5ig51 9 d]5 ,nhe si* die brig5 mehr und mehr zusamm5drng54 ,unt] ihn5 hat man ab] nur diej5ig5 beizubehalt51 auf d55 ,mndungspunkte d] brig5 geleg5 s9d1 od] 9 die g5g5d viele b5a*b>te ,fall9i5 inn]halb d] ,zei*5g5auigkeit b]geh54 ,talweg und ,kammweg s9d dur* die ,art d] ,annh]ung1 ob bei fall5d] od] /eig5d] ,hhe1 lei*t zu unt]s*eid54 ,die ,s*i*tl9i5 s[ohl wie die ,fall9i5 v]lauf5 imm] /etig1 knn5 ab] ,eck51 ,doppelpunkte und d]glei*5 ,ausnahme/ell5 hab54 ,eck5 tret5 e91 w5n das ,gelnde ,grate od] s*>f ausges*nitt5e ,r9n5 besitzt4 ,da 9 j$em ,punkte e9es e9fa*5 ,grates zwei v]s*i$5e ,b]hrungseb55 an die ,gelndefl*e mgli* s9d1 geh5 dur* dies5 ,punkt au* zwei v]s*i$5e ,fall9i52 e9 ,grat en?lt dah] die ,ursprungspunkte von ,fall9i5 und wird demna* zu d5 ,wass]s*eid5 zu re*n5 se91 obwohl er im allgeme95 selb/ ke9e ,fall9ie i/4 ,dasselbe gilt entspre*5d von e9] ,r9ne 7vgl4 ,fig4 #fh74 ,die allgeme9e ,unt]su*ung sol*] ,/ell5 e9] ,gelndefl*e i/ s*wi]ig1 er=d]t weit]geh5de ,hilfsmittel und wrde dah] hi] zu weit fhr54 ,illu/ration3 ,fig4 #fi4 #fe4 ,bs*ungsfl*e4 ,e9e ,fl*e1 auf d] smtli*e ,fall9i5 ,g]ad5 s9d1 heit ,bs*ungsfl*e4 ,es g5gt dazu (f5b> ni*t1 da die ,projektion5 d] ,fall9i5 smtli* g]ade ,l9i5 s9d1 sond]n es i/ weit] notw5dig1 da die ,s*i*tl9i5 auf j$] e9zeln5 von ihn5 j$esmal glei*e ,/cke auss*neid54 ,d>aus folgt1 da die ,s*i*tl9i5 quidi/ante ,kurv5 s9d 7,fig4 #fi74 ,alle ,punkte d]selb5 g]adl9ig5 ,fall9ie hab5 dieselbe ,b]hrungseb5e4 ,e9e ,bs*ungsfl*e i/ dah] 9 j$em ihr] ,punkte p>abolis* gekrmmt 7 #fj74 ,sie i/ demna* e9e abwickelb>e ,fl*e1 d4 h4 man kann e9e bewegli*e ,eb5e s auf ihr ohne ,gleit5 abroll51 da sie sie imm] lngs e9] ,g]ad5 b]hrt2 umgekehrt kann man dah] au* die ,fl*e auf e9] ,eb5e s abwickeln1 da imm] ,b]hrung lngs e9] ,g]ad5 be/eht4 ,von d5 ,bs*ungsfl*5 ma*t man sehr hufig bei d] ,auffhrung von ,erd>beit51 bei d] ,aufs*ttung von ,dmm51 ,hald5 u4 dgl4 ,gebrau*4 ,davon wird 9 d5 ,aufgab5 no* wi$]holt die ,r$e se94 #ff4 ,bs*ungs/reif54 ,bei d] zei*n]is*5 ,d>/ellung e9] ,gelndefl*e dur* ihre ,s*i*tl9i5 i/ es (t zweckmig1 diese ntig5falls dur* ,e9s*alt5 na* #ef s di*t neb5e9&] v]lauf5 zu lass51 da j$] zwis*5 zwei aufe9&]folg5d5 ,s*i*tl9i5 en?alt5e ,teil e9] ,fall9ie inn]halb d] ,zei*5g5auigkeit als g]adl9ig zu betra*t5 i/4 ,das b$eutet dann also1 da j$] zwis*5 zwei aufe9&]folg5d5 ,s*i*tl9i5 en?alt5e ,/reif5 e9] ,gelndefl*e als ,teil e9] ,bs*ungsfl*e anzuseh5 i/3 ,bs*ungs/reif54 ,man kann demna* sag51 da e9e ,gelndefl*e dur* ihre ,s*i*tl9i5 mit g5g5d] ,g5auigkeit gegeb5 i/1 w5n e9 j$] inn]halb zwei] aufe9&]folg5d5 ,s*i*tl9i5 geleg5e ,/reif5 dur* d5 zugehrig5 ,bs*ungs/reif5 ohne m]kli*5 ,fehl] ersetzt w]d5 kann4 #fg4 ,gratl9ie4 ,e9e ,bs*ungsfl*e i/ voll/ndig be/immt1 w5n d] ,bs*ungsw9kel und e9e ihr] ,hh5l9i5 gegeb5 i/2 d5n die ,fall9i5 s9d die ,normal5 d] gegeb55 ,hh5l9ie1 d] ,bs*ungsw9kel be/immt ihre ,/ufung1 und die ,s*i*tl9i5 lass5 si* sodann als ,p>allelkurv5 zu d] gegeb55 ,hh5l9ie kon/rui]5 7 #fe74 ,alle eb55 ,p>allelkurv5 hab5 e9e geme9same ,evolute 7 #dc71 die ,hllkurve ihr] geme9sam5 ,normal52 fat man also die ,p>allelkurv5 und ihre ,normal5 als die ,projektion5 d] ,s*i*t- und ,fall9i5 e9] ,bs*ungsfl*e auf1 s entspri*t d] ,evolute e9e auf d] ,fl*e geleg5e ,raumkurve1 lngs d] si* b5a*b>te ,fall9i5 s*neid54 ,sie bildet also e95 s*>f5 ,grat d] ,fl*e und heit dah] ihre ,gratl9ie4 ,e9e aufgewehte ,s*neew*te gibt (t e9 ,bild e9] ,bs*ungsfl*e und ihr] ,gratl9ie 7,fig4 #fi bei g74 ,illu/ration3 ,fig4 #gj4 #fh4 ,eb5e ,raumkurv54 ,w5n e9e ,raumkurve und e9e ,fl*e gegeb5 s9d1 s i/ lei*t fe/zu/ell51 ob die ,kurve auf d] ,fl*e geleg5 i/4 ,d5n dies i/ nur d] ,fall1 w5n die ,punkte d] ,kurve auf d5 glei*koti]t5 ,s*i*tl9i5 d] ,fl*e lieg54 ,raumkurv51 d]5 smtli*e ,punkte d]selb5 ,eb5e angehr51 heien eb54 ,um von e9] gegeb55 ,raumkurve fe/zu/ell51 ob sie eb5 i/1 hat man dur* drei ihr] ,punkte na* #i e9e ,eb5e zu leg5 und na*zuseh51 ob ihre ,/rei*g]ad5 die ,kurve 9 ,punkt5 s*neid51 d]5 ,hh5zahl5 mit d55 d] zugehrig5 ,s*i*tl9i5 b]e9/imm5 7,fig4 #gj74 ,die ,s*miegungseb5e 7 #eb7 e9] eb55 ,raumkurve fllt mit d] ,eb5e d] ,kurve zusamm54 ,w5n die ,eb5e d] ,kurve lotre*t /eht1 wird die ,projektion d] ,kurve dur* e9e ,g]ade mit im allgeme95 unglei*mig] ,/ufung d>ge/ellt4 #fi4 ,bs*ungsfl*e e9] ,raumkurve4 ,zu j$em ,punkte e9] gegeb55 ,raumkurve lt si* e9 ,kegel gegeb5] ,bs*ung kon/rui]51 d] d5 ,punkt als ,spitze hat4 ,smtli*e s kon/rui]t5 ,bs*ungskegel d]selb5 ,bs*ung hll5 e9e ,fl*e e91 e9e ,bs*ungsfl*e d] ,raumkurve2 sie be/eht aus zwei ,teil51 die si* lngs d] ,raumkurve dur*s*neid54 ,j$e ihr] ,s*i*tl9i5 ergibt si* als ,hllkurve glei*koti]t] ,kreise1 nmli* d] ,s*i*tkreise j5] ,bs*ungskegel4 ,9 d] ,k>te d] ,fl*e lieg5 die ,mittelpunkte dies] ,kreise auf d] ,projektion d] ,raumkurve1 und ihre ,radi5 erhlt man aus dem ,hh5unt]s*i$e zwis*5 ,mittelpunkt und zu kon/rui]5d] ,s*i*tl9ie dur* ,multiplikation mit dem gegeb55 ,bs*ungsv]hltnis 7,fig4 #ga74 ,illu/ration3 ,fig4 #ga4 ,von j$em ,punkte d] ,raumkurve geht na* beid5 ,seit5 e9e ,fall9ie d] ,bs*ungsfl*e aus2 die beid5 zugehrig5 ,b]hrungseb55 7vgl4 #fe7 s*neid5 si* 9 d] zugehrig5 ,tang5te d] ,raumkurve1 und die ,projektion dies] ,tang5te halbi]t d5 ,w9kel d] ,projektion5 d] beid5 ,fall9i54 ,man bea*te brig5s1 da im allgeme95 e9 die ,projektion d] ,raumkurve normal dur*setz5des ,qu]pr(il d] ,bs*ungsfl*e ni*t e9 ,dreieck ergibt1 sond]n e9e krumml9ige ,s*nittfigur4 ,die ,figur br+t das zum ,ausdruck4 ,illu/ration3 ,fig4 #gb4 #gj4 ,bs*ungsl9i5 auf e9] ,fl*e4 ,auf e9] dur* ihre ,s*i*tl9i5 gegeb55 ,gelndefl*e lass5 si* von j$em ,punkte aus zwei ,kurv5 von kon/antem ,geflle 7,bs*ungsl9i51 #ej7 zieh51 w5n nur das ,geflle ni*t grer i/ als das d] ,fall9i5 d] ,fl*e 9 d5 ,punkt5 d] beid5 ,kurv54 ,um diese zu kon/rui]51 ermittle man zun*/ aus dem gegeb55 ,bs*ungsv]hltnis das ,int]vall d] ,bs*ungsl9ie4 ,unt] d] ,voraussetzung1 da die ,s*i*tl9i5 g5g5d nahe gezei*net s9d1 zieht man mit dem ,int]vall als ,radius um d5 gegeb55 ,punkt als ,mittelpunkt e95 ,kreis4 ,entw$] s*neidet dies] e9e d] beid5 n*/folg5d5 ,haupts*i*tl9i5 9 zwei ,punkt51 die au* zusamm5fall5 knn51 od] er s*neidet sie ni*t2 im letzt]5 ,falle i/ das gegeb5e ,geflle zu gro1 im er/]5 s9d reelle ,bs*ungsl9i5 d] vorges*rieb55 ,bs*ung von dem gegeb55 ,fl*5punkte aus mgli*1 und man erhlt weit]e ,punkte von ihn51 indem man dieselbe ,kon/ruktion von j$em d] beid5 ,s*nittpunkte aus =tsetzt4 ,w5n man die erhalt55 ,punkte 9 geeignet] ,weise v]b9det1 bekommt man die gesu*t5 ,bs*ungsl9i5 mit od] ohne ,kehr5 7,fig4 #gb74 ,im allgeme95 geh5 von j$em ,fl*5punkte zwei v]s*i$5e ,bs*ungsl9i5 aus1 lngs d]5 das ,geflle e95 gegeb55 ,w]t hat4 ,die auf e9] ,gelndefl*e angelegt5 ,wege1 ,eis5bahnl9i5 u4 dgl4 v]lauf5 9 d] ,regel auf lng]e ,/reck5 mit unv]nd]li*em ,geflle4 ,die ,kon/ruktion von ,bs*ungsl9i5 hat dah] e9 gewisses praktis*es ,int]esse4 ,w5n au* dur* ,aufs*ttung und ,abtrag des ,gelndes grere ,krmmung5 e9es anzuleg5d5 ,weges v]mi$5 w]d51 s wird se9e ,fhrung do* im allgeme95 dur* e9e ,bs*ungsl9ie be/immt4 ,dabei wird besond]s die im folg5d5 ,p>agraph5 errt]te ,aufgabe b5utzt4 ,illu/ration3 ,fig4 #gc4 #ga4 ,aufgabe4 ,bei d] ,lsung d] ,aufgabe1 zwei gegeb5e ,punkte e9] ,fl*e dur* e9e ,kurve von kon/ant] ,/eigung zu v]b9d51 hat man si* e9es geometris*5 ,nh]ungsv]fahr5s zu b$i554 ,man kon/rui]t zun*/1 von dem e95 d] gegeb55 ,punkte ,a 7,fig4 #gc7 ausgeh5d1 e9e sol*e ,bs*ungsl9ie1 die 9 d] ,nhe des &]n gegeb55 ,punktes ,b die dur* dies5 geh5de ,s*i*tl9ie s*neidet4 ,die ,ausfhrung d] ,kon/ruktion zeigt1 ob das b5utzte ,int]vall zu gro od] zu kle9 i/1 wona* man es zu v]bess]n hat4 ,mit dem v]bess]t5 ,int]vall wi$]holt man dieselbe ,kon/ruktion usw41 und nh]t si* auf diese ,weise mehr und mehr dem pass5d5 ,w]te des ,int]valls4 ,zweckmig i/ es dabei1 d5 ,punkt ,b zwis*5 zwei d] gezei*net5 ,bs*ungsl9i5 e9zus*lieen2 ,,ab1 ,,ab1 444 sei5 sol*e ,nh]ungskurv51 ,b',b und ,b',b 444 sei5 die zugehrig5 ,int]valle4 ,man trage 9 d5 ,punkt5 ,b1 ,b1 ,b usw4 diese zugehrig5 ,int]valle normal zur ,s*i*tl9ie1 also lngs d] ,fall9i5 auf und v]b9de die erhalt55 ,endpunkte dur* e9e glatte ,kurve 7 #ch72 diese ge/attet das gesu*te ,int]vall zu entnehm54 #gb4 ,s*nitt zwei] ,fl*54 ,das ,v]fahr51 na* dem die ,s*nittl9ie e9] ,gelndefl*e mit e9] ,eb5e kon/rui]t wird1 lt si* g5au eb5so anw5d5 auf die ,be/immung d] ,s*nittkurve zwei] beliebig] ,fl*5 mite9&]4 ,d5n die ,punkte dies] ,s*nittkurve gehr5 beid5 ,fl*5 geme9sam an1 mss5 also auf d5 glei*hoh5 ,s*i*tl9i5 d] beid5 ,fl*5 geleg5 se93 man erhlt sie als ,s*nittpunkte glei*koti]t] ,s*i*tl9i54 ,davon ma*t man sehr hufig ,gebrau* bei d] ,be/immung d] ,gr5zl9ie e9] ,bs*ungsfl*e mit d] gegeb55 ,gelndefl*e4 ,d>auf bezieht si* die ,fig4 #gd1 9 d] die ,aufs*ttung e9] ,halde od] e9es ,dammes mit wag]e*t] ,krone d>ge/ellt i/4 ,die wag]e*te ,v]b9dungsl9ie d] beid5 ,punkte ,a und ,b 7,hhe #bj7 kann etwa als ,fhrungsl9ie e9es auf e9em ,ge/nge angelegt5 ,s*i55geleises fr ,kippwag5 aufgefat w]d51 von dem aus die ,halde aufge/rzt wird4 ,k5nt man d5 ,bs*ungsw9kel1 unt] dem das ,frd]gut d] ,halde si* ablag]t1 s kann man na* #fe ihre ,s*i*tl9i5 als ,p>allelkurv5 d] ,geleisfhrung kon/rui]54 ,die ,s*nittpunkte dies] ,p>allelkurv5 mit d5 glei*koti]t5 ,s*i*tl9i5 des ,gelndes be/imm5 alsdann na* dem ob5 ,gesagt5 die ,s*nittkurve d] ,halde mit dem ,gelnde4 - ,die damit gel/e ,aufgabe i/ e9e ,erweit]ung d] 9 #cb bespro*554 ,illu/ration3 ,fig4 #gd4 #gc4 ,dur*dr+ungspunkte e9] ,raumkurve mit e9] ,gelndefl*e4 ,man legt dur* die gegeb5e ,raumkurve e9e beliebige ,fl*e1 be/immt d]5 ,s*nittkurve mit dem ,gelnde1 wie 9 #gb angegeb51 und kon/rui]t s*lieli* die geme9sam5 ,punkte dies] ,s*nittkurve mit d] gegeb55 ,raumkurve4 ,(f5b> wird man die ,hilfsfl*e selb] nur 9 d] ,nhe d] ,dur*dr+ungspunkte b5tig54 ,illu/ration3 ,fig4 #ge4 ,als ,hilfsfl*e nimmt man zweckmig die w9ds*iefe ,plani]ungsfl*e 7 #ea71 weil ihre ,s*nittkurve mit dem ,gelnde1 die ,null9ie1 am be/5 d>b] ,aufs*lu gibt1 wel*e ,teile d] ,raumkurve ob]halb des ,gelndes und wel*e unt]halb geleg5 s9d 7,fig4 #ge2 die ,null9ie i/ ganz ge/ri*elt74 ,die ,be/immung d] ,dur*/opunkte e9] ,kurve mit dem ,gelnde i/ (t bei d] ,l9i5fhrung e9] ,eis5bahnl9ie od] dgl4 9 gebirgigem ,gelnde auszufhr54 ,sie zeigt dann1 an wel*5 ,/ell5 die ,bahnl9ie 9 d5 ,erdkrp] e9dr+t1 wel*e ,erdbewegung51 ,tunnelanlag5 u4 dgl4 vorzunehm5 s9d4 ,um zu be/imm51 ob e9 ,punkt des ,gelndes von irg5de9em &]5 ,punkte aus si*tb> i/1 brau*t man nur fe/zu/ell51 ob die ,v]b9dungsg]ade das ,gelnde ni*t trifft4 ,es g5gt dazu1 diese ,g]ade zu gradui]5 und na*zuseh51 ob 9 d] ,projektion fr j$5 ,punkt d] ,g]ad5 die ,hh5zahl au* ni*t kle9] i/ als fr d5selb5 ,punkt auf dem ,gelnde4 ,,iv4 ,,aufgab5 ,,und ,,anw5dung5 #gd4 ,zweck d] ,aufgab54 ,9 d5 folg5d5 ,p>agraph5 w]d5 e9e ,reihe von ,aufgab5 bespro*51 die zu ihr] ,lsung d] 9 d5 frh]5 ,abs*nitt5 entwickelt5 ,kon/ruktion5 b$rf54 ,zumei/ s9d sie praktis*5 ,frag5 entsprung5 od] do* unmittelb> auf sol*e anw5db>1 die si* bei d] ,b5utzung d] ,k>te e9es ,gelndes d>biet54 ,d] ,krze weg5 s9d d5 ge/ellt5 ,aufgab5 ni*t die ,lsung5 9 ausfhrli*] ,d>/ellung1 sond]n nur allgeme9e ,angab5 b] d5 e9zus*lag5d5 ,weg beigegeb51 die indess5 9 j$em ,falle zur ,kon/ruktion ausrei*54 ,d] ,les] wird gut tun1 die ang$eutete ,lsung wirkli* zei*n]is* auszufhr51 und zw> drfte es si* 9 d] ,regel empfehl51 d5 ,ma/ab m9de/5s doppelt s gro zu whl51 als ihn die ,figur5 angeb51 die ja nur als ,skizz5 di55 soll54 #ge4 ,aufs*ttung und ,abtrag e9es ,eis5bahndammes zu kon/rui]51 von dem die ,fhrungsl9ie1 die ,breite1 das ,geflle und die ,dammbs*ung5 gegeb5 s9d4 ,die ,dammkrone bildet e95 ,/reif5 d] zur gegeb55 ,fhrungsl9ie gehrig5 ,plani]ungsfl*e 7vgl4 #ea74 ,man gradui]t die ,fhrungsl9ie na* dem gegeb55 ,geflle - 9 d] ,figur i/ das ,geflle 9 d] ,kurve g]+] ang5omm5 als auf d] g]ad5 ,/recke -1 wodur* dann zuglei* au* die beid5 ,begr5zung5 d] ,dammkrone mit gradui]t s9d4 ,jetzt zei*net man na* #fi beid]seits die ,bs*ungsfl*5 d] ,dammbegr5zung51 s*lieli* na* #gb die ,s*nittl9i5 mit dem ,gelnde4 ,9 d] ,figur #gf s9d die ursprngli*51 ab] dur* d5 ,damm v]s*ttet5 od] dur* d5 ,abtrag wegg5omm55 ,s*i*tl9i5 des ,gelndes punkti]t gezei*net2 und die ausgezog55 ,s*i*tl9i5 /ell5 somit diej5ig5 des ,gelndes na* d] ,anlage des ,dammes d>4 ,illu/ration3 ,fig4 #gf4 #gf4 ,die ,aus/ri*l9ie e9] ,mulde mit dem ,gelnde zu be/imm54 ,die ,mulde soll ellipsoidis*e ,ge/alt hab5 mit e9] lotre*t5 ,haupta*se2 ihre ,abmessung5 s9d dur* zwei lotre*te ,haupts*nitte gegeb5 7,fig4 #gg74 ,illu/ration3 ,fig4 #gg4 ,die ,s*i*tl9i5 d] ,mulde s9d ,ellips5 7,fig4 #gh71 d]5 ,haupta*s5 aus d5 beid5 gegeb55 ,qu]pr(il5 zu entnehm5 s9d4 ,die ,ellips5 w]d5 hi] am e9fa*/5 na* d] bekannt5 ,papi]/reif5me?ode gefund54 ,dur* die ,s*nittpunkte dies] ,ellips5 mit d5 glei*koti]t5 ,hh5l9i5 des ,gelndes i/ dann1 wie 9 d] vorig5 ,aufgabe1 die gesu*te ,v]s*neidung be/immt4 ,w5n es nur auf diese ,v]s*neidung ankommt1 brau*t man von d5 ,ellips5 ersi*tli* j$esmal nur die ,punkte 9 d] ,nhe d] glei*koti]t5 ,s*i*tl9i5 zu be/imm54 ,illu/ration3 ,fig4 #gh4 #gg4 ,s*nittkurve e9] zyl9dris*5 ,fl*e mit dem ,gelnde4 ,diese ,aufgabe kommt 9 d] ,geologie vor1 w5n es si* d>um h&elt1 die ,aus/ri*l9ie e9] gefaltet5 ,s*i*t 7,sattelfalte7 zu ermitteln4 ,dur* die ,beoba*tung gefund5 sei5 das ,/rei*5 und ,e9fall5 d] ,s*i*t an irg5de9em ,punkte1 d4 h4 ,/rei*5 und ,fall5 d] ,zyl9d]g]ad52 f]n] sei gegeb5 e9 s*e9b>es ,pr(il d] ,s*i*t1 d4 h4 die ,s*nittkurve des ,zyl9d]s mit e9] beliebig gegeb55 ,eb5e4 ,9 d] ,fig4 #gi sei g e9e ,zyl9d]g]ade1 d]5 ,gradui]ung aus dem beoba*tet5 ,/rei*5 und ,fall5 ermittelt sei4 ,d] ,gefllema/ab d] ,eb5e des aufg5omm55 ,pr(ils p sei 7,e71 eb5falls aus d5 beoba*tet5 ,dat5 kon/rui]t4 ,um die gesu*te ,s*nittkurve zu zei*n51 be/imme man zun*/ die ,hh5l9i5 des ,zyl9d]s4 ,zu dem ,zwecke ziehe man dur* die ,punkte des s*e9b>5 ,pr(ils p1 das dur* die ,/rei*l9i5 se9] ,eb5e 7,e7 ge/uft i/1 die erzeug5d5 ,g]ad5 des ,zyl9d]s1 d4 h4 man ziehe ,p>allel5 zu g1 und gradui]e diese1 von d5 ,punkt5 des ,pr(ils p ausgeh5d1 mit dem glei*5 ,int]valle wie g4 ,die ,v]b9dung d] ,punkte glei*] ,hh5zahl5 dies] ,g]ad5 ergibt die erwhnt5 ,s*i*tl9i5 79 d] ,figur ge/ri*elt72 sie s9d unt]e9&] kongru5t und geh5 aus e9] von ihn5 dur* ,p>allelv]s*iebung lngs d] ,ri*tung g h]vor 7vgl4 #ba74 ,sie s*neid5 die glei*koti]t5 ,hh5l9i5 des ,gelndes 9 ,punkt5 d] gesu*t5 ,gr5zkurve4 ,illu/ration3 ,fig4 #gi4 ,w5n man si* aus /eifem ,papi] e9 ,mu/] d] ,s*i*tl9ie des ,zyl9d]s auss*neidet und d>auf m9de/5s zwei ,punkte bezei*net1 dur* die die entspre*5d5 ,mantelg]ad5 geh5 soll51 s kann man si* damit die ,kon/ruktion d] ,gr5zkurve sehr erlei*t]n4 ,d5n dur* ,p>allelv]s*iebung des ,mu/]s lngs zwei] ge/uft] ,mantelg]ad5 kann man die ,s*nittpunkte d] ,gelndes*i*tl9i5 mit d5 glei*koti]t5 des ,zyl9d]s unmittelb> f9d51 ohne er/ diese zei*n5 zu mss54 #gh4 ,um e9e gegeb5e ,gelndefl*e e95 ,zyl9d] mit wag]e*t5 ,mantelg]ad5 zu ums*reib54 ,die ,ri*tung g d] wag]e*t5 ,mantelg]ad5 des ,zyl9d]s sei gegeb54 ,man hat dann nur an die ,s*i*tl9i5 d] ,gelndefl*e ,tang5t5 zu leg51 die d] gegeb55 ,ri*tung p>allel s9d4 ,d] geometris*e ,ort d] ,b]hrungspunkte i/ die ,b]hrungskurve d] ,fl*e und des ,zyl9d]s4 ,sie i/ d] ,umri d] ,fl*e1 w5n diese 9 d] gegeb55 ,ri*tung aus sehr weit] ,f]ne betra*tet wird 7,fig4 #hj ge/ri*elt74 ,illu/ration3 ,fig4 #hj4 ,illu/ration3 ,fig4 #ha4 #gi4 ,dur* e9e gegeb5e wag]e*te ,g]ade die ,b]hrungseb55 an e9e ,gelndefl*e zu leg54 ,die gesu*t5 ,b]hrungseb55 /imm5 mit d55 b]e91 die si* dur* dieselbe ,g]ade g an d5 d] ,fl*e ums*rieb55 ,zyl9d] leg5 lass51 dess5 ,mantelg]ad5 eb5falls wag]e*t und zu g p>allel s9d4 ,man kon/rui]e also dies5 ,zyl9d]1 wie 9 #gh angegeb54 ,man lege weit] s5kre*t zu d5 ,mantelg]ad5 e9 ,qu]pr(il 7 #ed74 ,es wird au* die gegeb5e ,g]ade g 9 e9em be/immt5 ,punkte s*neid54 ,die ,tang5t5 von diesem ,punkte an das ,qu]pr(il s9d die ,dur*s*nittsg]ad5 d] gesu*t5 ,b]hrungseb55 mit d] ,qu]s*nittseb5e4 ,d>aus s9d die ,b]hrungspunkte und die ,gefllema/be d] ,b]hrungseb55 lei*t zu entnehm5 7,fig4 #hj u4 #ha74 #hj4 ,ums*rieb5] ,zyl9d] mit beliebig gegeb5] ,ri*tung d] ,mantelg]ad54 ,die gegeb5e ,ri*tung sei dur* e9e ge/ufte ,g]ade g d>ge/ellt4 ,man legt p>allel zu ihr e9e g5g5de ,anzahl ,v]tikals*nitte dur* die gegeb5e ,gelndefl*e1 zei*net die zugehrig5 ,pr(ile 7 #ed7 und legt an sie ,tang5t5 9 ,ri*tung d] gegeb55 ,g]ad54 ,die ,b]hrungspunkte ,b b]trgt man aus d] ,pr(ilzei*nung wi$] 9 die ,k>te d] ,fl*e und erhlt s d>9 diej5ige ,kurve b1 mgli*]weise mehr]e1 lngs d55 d] od] die ,zyl9d] die ,fl*e b]hr5 7,fig4 #hb und #hc74 ,9 d] ,figur s9d vi] zu g p>allele ,qu]pr(ile gezei*net1 die mit #a bis #d angem]kt s9d2 d] ,deutli*keit weg5 i/ #c um #cj und #d um #aj ,hh5e9heit5 ni$rig] gelegt1 als d] ,wirkli*keit entspri*t4 ,an j$es ,pr(il lass5 si* hi] zwei zu g p>allele ,tang5t5 leg51 es komm5 also je zwei ,b]hrungspunkte ,b1 zwei ,b]hrungskurv5 b und dah] au* zwei ,zyl9d] zum ,vors*e91 von d55 d] e9e von unt51 d] &]e von ob5 d] ,fl*e ums*rieb5 i/4 b]trgt man zu d5 ,b]hrungspunkt5 ,b au* ihre ,hh5zahl5 aus d] ,pr(ilzei*nung1 s lt si* sehr lei*t fr j$5 ,zyl9d] die ,s*> d] ,s*i*tl9i5 kon/rui]54 ,da j$e ,s*> aus kongru5t5 ,kurv5 be/eht1 die ause9&] dur* ,p>allelv]s*iebung lngs d] ,ri*tung g h]vorgeh51 s g5gt es1 je e9e d] ,s*i*tl9i5 zu zei*n54 ,man hat zu dem ,zweck dur* die ,punkte ,b die zu g p>allel5 ,erzeug5d5 zu zieh5 und sie1 von ,b ausgeh5d mit demselb5 ,int]vall wie g zu gradui]54 ,die ,v]b9dungsl9i5 d] ,punkte glei*] ,hh5zahl5 ergeb5 die gesu*t5 ,s*i*tl9i5 s2 9 d] ,figur i/ fr d5 e95 ,zyl9d] die ,s*i*tl9ie s #aaj1 fr d5 &]5 die ,s*i*tl9ie s #ej gezei*net word54 ,illu/ration3 ,fig4 #hb4 #ha4 ,b]hrungseb5e4 ,man kann die eb5 ausgefhrte ,kon/ruktion des umges*rieb55 ,zyl9d]s b5utz51 um an e9e gegeb5e ,gelndefl*e e9e ,b]hrungseb5e zu leg51 die dur* e9e gegeb5e ,g]ade geht4 - ,i/ g die gegeb5e ,g]ade1 s kon/rui]t man zun*/1 wie eb5 gezeigt1 d5 ums*rieb55 ,zyl9d]1 dess5 ,mantelg]ad5 die ,ri*tung g hab54 ,e9e ,s*i*tl9ie s dieses ,zyl9d]s g5gt zur ,kon/ruktion d] gesu*t5 ,b]hrungseb5e4 ,d5n zieht man von dem ,punkte d] gegeb55 ,g]ad5 g1 d] g5au die ,hhe s hat1 an die ,s*i*tl9ie s die ,tang5te 79 d] ,figur #hb3 s #aaj und s #ej1 ,b]hrungspunkte ,t71 s i/ diese e9e ,/rei*l9ie d] dur* g geh5d5 ,b]hrungseb5e des ,zyl9d]s4 ,diese ,b]hrungseb5e b]hrt ab] au* die gegeb5e ,gelndefl*e1 und man f9det ihr5 ,b]hrungspunkt ,b99 als ,s*nittpunkt d] ,mantelg]ad5 ,,tb99 mit d] ,b]hrungskurve b4 ,9 d] ,figur s9d zwei sol*e ,b]hrungspunkte 7,b99 und ,w7 und demna* zwei v]s*i$5e ,b]hrungseb55 vorh&52 ihre ,gefllema/be 79 d] ,figur angegeb57 s9d lei*t zu zei*n54 #hb4 ,&]e ,kon/ruktion des ums*rieb55 ,zyl9d]s und d] ,b]hrungseb5e4 ,die eb5 ause9&]gesetzte ,kon/ruktion d] ,b]hrungseb5e i/ weg5 d] zahlrei*5 ,qu]s*nitte1 die zu zei*n5 s9d1 w5ig bequem und au* w5ig g5au2 do* i/ sie1 etwa zur ,prfung des folg5d5 ,v]fahr5s1 dann gut brau*b>1 w5n man die ungefhre ,lage d] ,b]hrungspunkte k5nt und dah] mit w5ig5 ,v]tikals*nitt5 auskommt4 ,illu/ration3 ,fig4 #hc4 ,d] zweite ,weg zur ,lsung d] ,aufgabe1 an e9e ,gelndefl*e e9e ,b]hrungseb5e zu leg51 die dur* e9e gegeb5e ,g]ade geht1 i/ zw> etwas w5ig] lei*t v]/ndli*1 ab] zei*n]is* e9fa*] und mei/ au* g5au] als d] obige4 - ,w5n man von d5 ,punkt5 d] gegeb55 ,g]ad5 g an die glei*koti]t5 ,s*i*tl9i5 d] ,fl*e ,tang5t5 legt1 s /ell5 diese die ,s*i*tl9i5 e9] g]adl9ig5 ,fl*e d>1 die dur* die ,g]ade g geht und die ,gelndefl*e b]hrt4 ,die ,b]hrungskurve 7hh 9 d] ,fig4 #hb7 i/ als ,ort d] ,b]hrungspunkte lei*t zu zei*n54 ,auf ihr mu au* d] ,b]hrungspunkt d] gesu*t5 ,tang5tialeb5e lieg52 und da diese dur* g geht1 i/ sie au* b]hr5de ,eb5e d] g]adl9ig5 ,hilfsfl*e und hat mit ihr die dur* d5 ,b]hrungspunkt geh5de ,g]ade geme9sam1 die1 da sie horizontal v]luft1 zuglei* e9e ihr] ,s*i*tl9i5 i/4 ,demna* i/ die ,aufgabe gel/1 w5n die dur* g geh5d5 ,b]hrungseb55 d] ,hilfsfl*e gefund5 s9d4 ,man betra*te nun alle dur* g geh5d5 ,eb551 das ,eb55bs*el mit d] ,a*se g2 j$e von ihn5 i/ be/immt dur* d5 ,w9kel1 d5 sie mit e9] fe/5 eb5falls dur* g geh5d5 ,eb5e bildet1 etwa d]j5ig5 7,e71 auf d] g e9e ,fall9ie i/4 ,j$e d] ,eb55 i/ dah] au* be/immt dur* d5 ,w9kel 1 d5 ihre ,/rei*l9i5 mit d55 d] g5annt5 fe/5 ,eb5e 7,e7 bild51 d4 h4 mit d] zu g s5kre*t5 ,ri*tung4 ,zu dies5 ,eb55 gehr5 au* alle sol*e1 d]5 ,/rei*l9i5 zuglei* d] g]adl9ig5 ,hilfsfl*e angehr51 also au* die gesu*t5 ,b]hrungseb554 ,man fasse e9e sol*e ,eb5e ins ,auge und v]folge d5 ,v]lauf d] g]adl9ig5 ,hilfsfl*e 9 d] ,nhe d] ,g]ad5 1 die sie mit d] ,eb5e geme9sam hat4 ,dann s9d drei ,mgli*keit5 vorh&53 entw$] b]hrt die ,eb5e die ,fl*e von unt51 dann lieg5 die zu b5a*b>t5 ,g]ad5 d] ,fl*e smtli* ob]halb d] ,eb5e2 od] die ,eb5e b]hrt die ,fl*e von ob51 dann v]lauf5 die zu b5a*b>t5 ,g]ad5 d] ,fl*e smtli* unt]halb d] ,eb5e2 od] dritt5s die ,eb5e dur*setzt b]hr5d die ,fl*e 9 d] ,g]ad5 1 0 e9tritt1 w5n die ,fl*e hi] sattelfrmig v]luft4 ,im er/g5annt5 ,falle i/ d] ob5 erwhnte ,w9kel fr die ,b]hrungseb5e kle9] als fr b5a*b>te dur* g geh5de ,eb552 im zweit5 ,falle i/ er grer4 ,9 dies5 beid5 ,fll5 wird man demna* zur ,kon/ruktion d] ,b]hrungseb55 die ,v]nd]ung5 des ,w9kels zu v]folg5 hab51 d5 die von ,punkt5 d] ,g]ad5 g an die glei*koti]t5 ,s*i*tl9i5 d] ,fl*e gezog55 ,b]hr5d5 mit d] auf g s5kre*t5 ,ri*tung e9s*lieen1 und d>unt] diej5ig5 ,w9kel auszusu*5 hab51 die grer od] kle9] als die b5a*b>t5 s9d1 d4 h4 die e9 ,maximum od] ,m9imum bild54 ,das ,aussu*5 dies] grt5 und kle9/5 ,w]te des ,w9kels na* dem ,aug5ma er=d]t ziemli*e bung1 w5n die dana* ausgefhrte ,kon/ruktion e9ig]maen g5au se9 soll4 ,man lege dann e9 ,zei*5dreieck geg5 g unt] dem ,w9kel an1 d5 man als grt5 od] kle9/5 ges*tzt hat1 und prfe dur* ,p>allelv]s*ieb5 des ,dreiecks lngs e9es zweit5 die ,ri*tigkeit d] ,s*tzung4 #hc4 ,gebrau* e9] ,hilfskurve4 ,dur* die folg5de b]legung und das ,zei*n5 e9] ,hilfskurve kommt man g5au] zum ,ziel 7,fig4 #hb74 ,/att d5 ,v]lauf des ,w9kels selb] kann man nmli* au* d5 ,v]lauf e9] /etig5 ,funktion von 1 etwa tg v]folg51 z4 ,b4 indem man e9e zu tg proportionale ,/recke j$esmal als ,ord9ate zur ,hh5zahl als ,abszisse auftrgt1 die die zugehrige ,/rei*l9ie hat4 ,zu dem ,zweck ziehe man 9 e9em beliebig5 ni*t zu kle95 ,ab/& zu g e9e ,p>allele g'2 das re*tw9klige ,dreieck k,a,c1 das be/immt wird dur* d5 auf g geleg55 ,punkt d] ,hhe k und die dur* ihn geh5d5 ,/rei*l9i5 ,ck d] ,hilfsfl*e und ,ak 7s5kre*t auf g7 d] ,eb5e 7,e71 ergibt ,,ca k,a tg 1 und da fr alle s ent/eh5d5 ,dreiecke die entspre*5d5 ,/cke k,a kon/ante ,lng5 hab51 s s9d die ,,ca entspre*5d5 ,/cke proportional zu tg 4 ,man trgt die ,/cke ,,ca von ,a aus auf k,a ab 7,c,a ,,ca7 und erhlt s e9e ,kurve 7#a71 die d5 ,v]lauf von tg wi$]gibt4 ,die ,maxima1 ,m9ima dies] ,kurve und1 fr d5 erwhnt5 dritt5 ,fall e9] sattelfrmig5 ,b]hrung1 die ,w5depunkte mit e9] zu g p>allel5 ,tang5te geb5 diej5ig5 ,w]te von k,a tg 1 zu d55 e9e e9] ,b]hrungseb5e zukomm5de ,/rei*l9ie d] ,hilfsfl*e gehrt4 ,um sie zu zei*n51 hat man nur dur* e95 sol*5 ,punkt ,m d] ,kurve e9e ,s5kre*te km,m,d zu g1 g' zu zieh51 ,,de ,,dm zu ma*51 dann i/ km,e die gesu*te ,/rei*l9ie2 sie s*neidet die ,b]hrungskurve hh im ,b]hrungspunkte ,b d] gesu*t5 ,b]hrungseb5e1 d]5 ,gefllema/ab dana* lei*t h]zu/ell5 i/4 ,dieselbe ,kon/ruktion i/ bei dem ,w5depunkt ,w ausgefhrt3 man zieht kw,w,g s5kre*t zu g1 g'1 ma*t ,,gh ,,gw und zieht kw,h1 die ,/rei*l9ie d] gesu*t5 b]hr5d5 ,eb5e1 wodur* zuglei* d]5 ,b]hrungspunkt ,w als ,s*nitt mit d] ,kurve hh erhalt5 wird4 ,die ,g5auigkeit d] ,kon/ruktion kann no* lei*t v]bess]t w]d51 w5n man die symmetris*e ,kurve 7#b7 zei*net2 man ma*t ,c,a ,,ca usw4 brig5s i/ no* e9e dritte ,kontrolle fr die gesu*t5 ,b]hrungspunkte dadur* gegeb51 da die ,b]hrungskurve hh d] ,hilfsfl*e und die ,b]hrungskurv5 b d] ums*rieb55 ,zyl9d] 7 #hj7 si* 9 d5 gesu*t5 ,punkt5 ,b99 und ,w s*neid5 mss54 #hd4 ,s*att5gr5ze4 ,w5n die als p>allel anzunehm5d5 ,sonn5/rahl5 e9 hgeliges ,gelnde 9 e9] gegeb55 ,ri*tung bes*e951 s liegt e9 ,teil des ,gelndes im ,s*att54 ,die ,gr5ze dieses ,s*att5s i/ die ,s*nittkurve d] ,gelndefl*e mit dem ,zyl9d]1 d] ihr 9 d] ,ri*tung d] ,/rahl5 von ob5 ums*rieb5 w]d5 kann4 ,na*dem man dies5 ,zyl9d] na* #hj od] #hb be/immt hat1 wozu e9e ,s*i*tl9ie und zwei ge/ufte ,mantelg]ad5 g5g51 f9det man die gesu*te ,s*nittkurve mit dem ,gelnde na* #gg1 am e9fa*/5 na* dem ,v]fahr5 des v]s*iebb>5 ,mu/]s4 ,d] ,les] fhre die ,kon/ruktion an d] ,fig4 #hb aus3 m9de/5s zwei d] ,mantelg]ad5 #a bis #d s9d zu /uf51 indem von d] ,s*i*tl9ie s #aaj des ob]5 ,zyl9d]s das ,int]vall von g wi$]holt abgetrag5 wird2 von d] g5annt5 ,s*i*tl9ie i/ auf /eifem ,papi] e9 ,mu/] zu v]f]tig51 dieses von ,/ufe zu ,/ufe d] ,mantelg]ad5 zu v]s*ieb51 die ,s*nittpunkte mit d5 glei*koti]t5 ,s*i*tl9i5 des ,gelndes s9d aufzusu*5 und diese ,punkte dur* e9e glatte ,kurve zu v]b9d54 ,die ,s*att5gr5ze wird hi] im unt]5 ,teile d] ,fig4 #hb geleg5 se94 #he4 ,von e9em gegeb55 ,punkte an e9e ,gelndefl*e d5 ,b]hrungskegel zu zei*n54 ,s*e9b>] ,umri1 ,horizont4 ,e9e ,lsung dies] ,aufgabe liegt auf d] ,h&3 man fhrt dur* d5 im ,raume gegeb55 ,punkt ,a' g5g5d viele ,v]tikals*nitte1 zei*net die zugehrig5 ,pr(ile d] ,fl*e und legt an diese von ,a' aus ,tang5t52 die ,b]hrungspunkte1 9 die ,k>te b]trag51 ergeb5 die gesu*te ,b]hrungskurve4 ,zweckmig nimmt man die ,pr(ile1 die 9 d] ,k>te dur* die ,tang5t5 von ,a1 d] ,projektion von ,a'1 an die ,s*i*tl9i5 d] ,fl*e be/immt s9d1 weil man an ihn5 am lei*te/5 v]folg5 kann1 wie weit es ntig i/1 die ,pr(ile wirkli* zu zei*n54 ,ab] dieses ,v]fahr5 i/ aus d5selb5 ,grnd51 wie sie ob5 beim ums*rieb55 ,zyl9d] 7 #hb7 angegeb5 wurd51 praktis* w5ig bequem und von g]+] ,g5auigkeit4 ,folg5d] ,weg i/ bequem]1 (t au* g5au]4 ,er b]uht auf e9] b]legung1 die e9e ,erweit]ung d] 9 #hb angegeb55 d>/ellt4 ,illu/ration3 ,fig4 #hd4 ,es sei ,a' 7,hhe #de7 d] gegeb5e ,punkt des ,raumes1 ,a se9e ,projektion und ,,ac e9e gegeb5e ,ri*tung 9 d] ,k>te4 ,man kann die ,aufgabe1 von ,a' aus e9e ,tang5te mit d] ,projektion ,,ac an die gegeb5e ,gelndefl*e zu leg51 9 d] bli*5 ,weise dur* ,zei*nung des ,pr(ils 9 d] ,ri*tung ,,ac ls54#b ,man d5ke si* nun 9 d] ,k>te dur* ,a e9e beliebige ,g]ade g gelegt und ihre ,punkte mit d5 glei*koti]t5 des ,pr(ils g]adl9ig v]bund54 ,diese ,g]ad5 s9d die ,s*i*tl9i5 e9] g]adl9ig5 ,fl*e1 und j$e von ihn5 kann als ,/rei*l9ie e9] dur* g h9dur*geh5d5 ,eb5e aufgefat w]d54 ,wie 9 #hb wird j$e dies] ,eb55 be/immt dur* d5 ,w9kel 1 d5 ihre ,/rei*l9i5 mit d55 d] ,eb5e bild51 auf d] g e9e ,fall9ie i/4 ,diej5ig5 d] g5annt5 ,eb551 die dur* die ,tang5t5 h9dur*geh51 die man von ,a' aus 9 d] ,pr(ileb5e ,a',,ac an die ,fl*e leg5 kann1 lieg5 im allgeme95 hh] od] tief] als die b5a*b>t5 unt] ihn52 d] ,w9kel i/ also fr sie grer od] kle9] als fr die b5a*b>t54 ,man kann also j5e ,eb55 und damit die ,b]hrungspunkte ,b d] ,tang5t5 f9d51 indem man fr die grt5 od] kle9/5 ,w]te aufsu*t1 wozu man si* des 9 #hc angegeb55 ,v]fahr5s d] ,hilfskurve b$i55 kann 7,fig4 #hd74 #b ,beim ,umklapp5 des ,pr(ils 9 die ,zei*5eb5e mge ,a' 9 d5 dur* d5 kle95 ,kreis und die beiges*rieb5e ,kote #de bezei*net5 ,punkt b]geh54 ,w man nun von ,a' aus d5 ,b]hrungskegel an die gegeb5e ,fl*e leg51 s wird man dur* ,a e9e ,s*> von ,g]ad5 ,,ac zieh5 und na* dem eb5 bes*rieb55 ,v]fahr5 die ,b]hrungspunkte ,b d] von ,a aus zu zieh5d5 ,tang5t5 be/imm54 ,dabei kann man si* be/ndig d]selb5 ,hilfsg]ad5 g b$i554 ,e9s*altung von ,s*i*tl9i5 9 d] ,nhe von ,b erhht die son/ ni*t groe ,zei*5g5auigkeit4 #hf4 ,beispiel4 ,die eb5 bespro*5e ,aufgabe d] ,kon/ruktion des ,b]hrungskegels e9] ,gelndefl*e f9det ihre praktis*e ,anw5dung 9 d] fr militris*e ,zwecke wi*tig5 ,frage na* dem ,horizont1 d] von e9em be/immt5 ,punkte aus si*tb> i/4 ,die ,fig4 #he gibt dafr e9 ,beispiel4 ,bei ,a 7,hhe #he7 i/ e9 #bj ,met] hoh] ,/&platz1 ,aussi*t/urm od] dgl4 erri*tet2 9 d] ,k>te i/ d] vor und na* ,erri*tung des ,turmes von ,a aus si*tb>e ,horizont e+ezei*net4 ,die von d] ,turmspitze aus ni*t si*tb>5 ,gelndeteile s9d dur* ,s*raffur h]vorgehob54 ,illu/ration3 ,fig4 #he a4 ,illu/ration3 ,fig4 #he4 ,selb/v]/ndli* /imm5 die ,ergebnisse dies] ,kon/ruktion mit d] ,wirkli*keit nur dann ang5h]t b]e91 w5n d] gefund5e ,gesi*tskreis g5g5d kle9 i/2 &]nfalls spielt natrli* die ,krmmung d] ,erdob]fl*e1 die dann ni*t mehr v]na*lssigt w]d5 d>f1 e9e gewisse ,rolle4 #hg4 ,ansi*t des ,gelndes4 ,aus e9] gegeb55 ,k>te die ,ansi*t des ,gelndes zu kon/rui]54 ,unt] ,ansi*t wird die ,projektion auf e9e v]tikale ,bildfl*e v]/&54 - ,bei e9] ,ansi*t aus sehr weit] ,f]ne wird es si* um e9e ,p>allelprojektion h&eln1 whr5d bei gegeb5em ,aussi*tspunkt e9e ,z5tralprojektion 9 ,frage kommt1 d]5 ,z5trum eb5 dies] ,punkt i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #hf4 a7 ,p>allelprojektion4 ,es g5gt1 die ,ri*tung d] projizi]5d5 ,/rahl5 zur ,bildeb5e s5kre*t anzunehm51 da die s*iefe ,p>allelprojektion 9 hnli*] ,weise auszufhr5 i/4 ,man zei*net 7,fig4 #hf7 d5 ,grundri d] ,bildeb5e als ,g]ade xx 9 d5 ,plan und projizi]t zun*/ g5g5d viele ,punkte des ,planes auf sie1 besond]s d5 ,umri 7 #gh2 man zei*ne an die ,s*i*tl9i5 ,tang5t51 die auf xx s5kre*t /eh57 und e9zelne h]vortret5de ,/ell5 des ,gelndes4 ,auf die anzuf]tig5de ,ansi*t 7,aufri7 b]trgt man sodann j$5 d] projizi]t5 ,punkte mittels e9] ,s5kre*t5 auf xx1 d]5 ,lnge glei* d] zugehrig5 ,kote i/4 ,die ,hh5l9i5 wrd5 9 wag]e*te ,g]ad5 des ,bildes b]geh54 ,9 d] ,fig4 #hf i/ no* d] ,v]lauf e9es ,weges1 die ,lage e9es umfri$igt5 ,platzes und e9es hoh5 ,gebudes angegeb54 ,das letzt]e1 dess5 ,da*spitze #cj m b] dem ,bod5 ang5omm5 i/1 ragt nur mit e9em ,teile b] dem ,horizont h]vor4 #hh4 b7 ,z5tralprojektion4 ,man zei*net 7,fig4 #he7 wi$] d5 ,grundri d] ,bildeb5e als ,g]ade xx 9 d5 ,plan1 und projizi]t vom ,projektionsz5trum ,a 7,hhe #he #bj #aje7 aus g5g5d viele ,punkte auf sie2 dazu hat man die ,v]b9dungsg]ad5 von ,a mit j$em d] zu projizi]5d5 ,punkte ,p zu gradui]5 und dadur* die ,hh5zahl5 d] ,s*nittpunkte ,p' mit d] ,bildeb5e zu be/imm54 ,na* #c kann man das zei*n]is* ausfhr51 wie au* 9 d] ,figur ang$eutet i/4 ,man zieht im ,grundri ,,ap bis zum ,s*nittpunkte ,x mit d] ,g]ad5 xx1 erri*tet s5kre*t zu ,,ap 9 ,a die zu ,a1 9 ,p die zu ,p gehrige ,hhe und v]b9det ihre ,endpunkte4 ,diese ,v]b9dungsg]ade s*neidet das auf ,,ap 9 ,x erri*tete ,lot 9 ,p''1 und es i/ ,,xp'' glei* d] ,hhe des ,bildpunktes ,p' b] xx4 ,man kann ab] au* re*n]is* v]fahr52 im vorlieg5d5 ,falle i/ dies besond]s mit dem ,re*5s*ieb] sehr bequem1 w5n man glei* mit d5 ,hh5diff]5z5 geg5 ,a re*net und die ,ergebnisse von d] ,g]ad5 yy an auftrgt1 die im ,bilde d] ,hhe von ,a entspri*t4 ,besond]s i/ au* d] von ,a aus si*tb>e ,horizont zu zei*n51 wie 9 #hf angegeb54 ,die ,fig4 #he a /ellt e9 ,bild d] zu #hf gehrig5 ,fig4 #he d>1 od] g5au] gesagt1 e9e ,ansi*t des ,gelndes von d] ,spitze 7,hhe #aje7 des 9 ,a erri*tet5 ,turmes1 und zw> inn]halb des dur* die ,bildgr5z5 be/immt5 ,auss*nittes4 ,die ge/ri*elte ,kurve des ,bildes zeigt d5 vor ,erri*tung des ,turmes von d] ,/elle ,a 7,hhe #he7 aus si*tb>5 ,horizont2 er v]deckt d5 ganz5 ,h9t]grund des ,gelndes und lt deutli* erk5n51 wel*e ,wirkung es hat1 w5n d] ,/&platz bei ,a um #bj m erhht wird4 ,9 d] ,figur s9d f]n] d] ,v]lauf e9es ,weges und die ,ansi*t zwei] im ,grundri glei* groer umfri$igt] ,pltze angegeb54 ,dies lt die bekannte ,tatsa*e erk5n51 da die 9 d] ,nhe von ,a geleg55 ,geg5/nde grer ers*e95 als die entf]nt]52 ab] man sieht au*1 da die ,zei*5g5auigkeit um s g]+] i/1 je weit] d] abzubild5de ,geg5/& von d] ,bildeb5e entf]nt i/4 brig5s i/ d>an zu er9n]n1 da d5 ,g]ad5 des ,grundrisses im allgeme95 ke9eswegs g]ade ,l9i5 im ,bilde entspre*52 z4 ,b4 s9d die ,umzunung5 d] ,pltze ni*t g]adl9ig1 weil diese auf gekrmmt5 ,fl*5 geleg5 s9d4 ,v4 ,,maszbe/immung5 ,,und ,,beziehung5 ,,zur ,,zei*n]is*5 ,,analysis ,die n*/5 ,p>agraph5 soll5 kurz zeig51 9 wel*] ,weise man ,mabe/immung5 d] ,lng51 ,fl*5- und ,raum9halte an e9] ,gelndefl*e auszufhr5 hat4 ,illu/ration3 ,fig4 #hg4 #hi4 ,lng5messung4 ,um die ,lnge e9es eb55 ,kurv5bog5s zu be/imm51 ersetzt man ihn dur* e95 aus g5g5d kle95 g]adl9ig5 ,/ck5 be/eh5d5 ,polygonzug1 dess5 ,teile1 lngs e9] ,g]ad5 ane9&]gesetzt1 die gesu*te ,lnge ang5h]t ergeb5 7,rektifikation74 ,man kann d5 ,kurv5bog5 auf die ,g]ade dur* ,abgreif5 mit e9] g5g5d kle95 ,zirkelffnung b]trag54 ,dabei hat man j$o* zu bea*t51 da si* zw>1 je kle9] die ,zirkelffnung1 um s mehr d] kle9e ,bog5 d] zugehrig5 ,sehne ans*miegt1 ab] si* au* um s mehr die dur* vielmaliges ,ane9&]setz5 des ,zirkels ent/eh5d5 ,fehl] huf54 ,das b]trag5 auf die ,g]ade kann man v]meid51 w5n man d5 ,zirkel selb/ zur ,summi]ung d] ,sehn5 b5utzt4 ,i/ 7,fig4 #hg7 ,,abcd444,u d] zu mess5de ,bog51 s setzt man zu]/ d5 ,zirkel 9 ,a und ,b e91 lftet ihn bei ,a und dreht ihn um ,b 9 die ,lage ,,ba'1 die ,kurv5tang5te 9 ,b2 dann lftet man ihn bei ,b und ffnet ihn bis ,c1 lftet ihn bei ,a' und dreht ihn um ,c 9 die ,lage ,,ca''1 die ,tang5te 9 ,c1 usw4 ,die ,punkte ,a1 ,a'1 ,a''1 444 ,a99 lieg5 ang5h]t auf e9] ,evolv5te d] gegeb55 ,kurve 7 #db71 und es i/ d] gesu*te ,bog5 arc7,,au7 l9e7,a99,u74 ,bess] i/ e9 kle9es gekordetes ,merd*5 7,kurvimet]71 mit dem man1 die ,radeb5e s5kre*t zur ,papi]eb5e halt5d1 d5 ,kurv5bog5 abfhrt1 wobei die ganz5 ,umdrehung5 dur* e9 ,zhlw]k angegeb5 w]d54 ,man prft das ,kurvimet] dur* ,ausmess5 e9] g]adl9ig5 od] kreisfrmig5 ,/recke bekannt] ,lnge4 - ,die ,lnge e9es ,kurv5bog5s auf e9] ,gelndefl*e be/immt man1 indem man das ,lng5pr(il d] ,kurve kon/rui]t 7 #dg7 und dieses rektifizi]t4 ,aufgabe4 ,e9 ,flugzeug hat e95 9 die ,k>te des b]flog55 ,gelndes e+etrag55 ,weg zurckgelegt1 wobei zuglei* die errei*t5 ,hh5 an g5g5d viel5 ,/ell5 v]m]kt s9d4 ,es soll die wirkli*e ,lnge des ,luftweges ermittelt w]d54 ,man hat dazu nur ntig1 das ,lng5pr(il d] ,raumkurve entspre*5d dem gezei*net5 ,wege und d5 d>9 v]m]kt5 ,hh5angab5 zu zei*n51 wie 9 #dg angegeb51 und die ,bog5lnge dieses ,pr(ils na* dem soeb5 ,ause9&]gesetzt5 zu ermitteln4 #ij4 ,fl*5messung4 ,zur praktis*5 ,ausmessung e9es eb55 willkrli* begr5zt5 ,fl*5/ckes hat man si* gewiss] ,annh]ungsme?od5 zu b$i551 d]5 ,b]e*tigung 9 d] ,integralre*nung /r5g bewies5 wird1 od] man b5utzt e9 ,planimet]4 a7 ,quadratteilung4 ,fa/ fr alle hi] 9 ,frage komm5d5 ,zwecke ausrei*5d i/ es1 e9 ,blatt ,millimet]pauspapi] b] das ,fl*5/ck zu deck54 ,man zhlt die e+es*loss55 ,quadratmillimet] ab und nimmt von d5 dur* die ,begr5zungsl9ie dur*s*nitt55 entw$] die ,hlfte zu od] s*tzt ihre ,anteile ab4 ,das ergibt ang5h]t d5 ,fl*59halt 9 ,quadratmillimet]n2 um ihn 9 d5 ,fl*5e9heit5 des ,ma/abes d] ,k>te zu erhalt51 hat man zu ermitteln1 wie viele ,quadratmillimet] auf e9e ,fl*5e9heit d] ,k>te geh54 ,fr d5 hufig]5 ,gebrau* im selb5 ,ma/ab zei*net man e9 dazu gehriges g5g5d engmas*iges ,quadratnetz auf ,pauspapi] od] ritzt es mit d] ,zirkelspitze auf e9e dnne ,zelluloidplatte1 wie sie etwa zu photographis*5 ,films v]w5det wird und also lei*t zu bes*aff5 i/4 ,man legt die g]itzte ,seite auf die ,k>te4 #ia4 b7 ,e9teilung 9 ,/reif5 glei*] ,breite4 ,/att d] ,quadrate9teilung kann man au* e9e ,anzahl p>allel] ,g]ad5 9 glei*em g5g5d kle95 ,ab/&e auf ,pauspapi] od] e95 ,film zei*n52 zwis*5 je zwei ,g]ad5 fgt man no* die ,mittell9i5 79 d] ,fig4 #hh ge/ri*elt7 e94 ,abgeseh5 von d5 ,kapp5/ck51 die ni*t mehr die ,breite hab5 7ges*rafft71 kann man d5 zwis*5 zwei ,g]ad5 a und b en?alt55 ,fl*5teil na* d] ,simpsons*5 ,regel 7,?4 ,simpson #agdc1 ,joh4 ,kepl] hat s*on #afae dieselbe ,regel zur ,raumb]e*nung b5utzt - ,kepl]s*e ,faregel7 be/imm54 ,man nimmt das ,mittel d] ,anfangs- und ,endsehne1 7a b71 sodann die ,summe all] ausges*nitt55 ,sehn51 s1 endli* no* die doppelte ,summe d] ,mittell9i5 all] ,/reif51 #bm2 die ,gesamtsumme dies] drei ,w]te1 mit multiplizi]t1 lief]t d5 ,fl*59halt mei/ mit groer ,g5auigkeit3 ,f 77a b7_/#b s #bm74 ,die beid5 ,summ5 s und m kann man dur* e95 angelegt5 ,papi]/reif5 mess51 auf dem man die e9zeln5 ,sehn5 dur* ,ane9&]fg5 s*on beim ,anleg5 summi]t1 od] au* mit dem ,/reck5rd*5 des ,kurvimet]s1 od] au* mit d] ,millimet]teilung des ,re*5s*ieb]s1 na*dem man an dem ,glasluf] e95 kle95 b] d] ,millimet]teilung s*leif5d5 ,papi]zeig] befe/igt hat4 ,illu/ration3 ,fig4 #hh4 ,die abges*nitt55 ,kapp5 knn5 (t mit g5g5d] ,annh]ung als ,p>abelabs*nitte aufgefat und alsdann na* d] ,lamb]ts*5 ,regel zu a und b b]e*net w]d51 wobei und ihre ,breit5 b$eut5 7,joh4 ,he9r4 ,lamb]t #agbg-aggg74 #ib4 c7 ,&]e ,/reif5e9teilung4 ,/att da man das ,fl*5/ck 9 glei* breite ,/reif5 z]legt1 kann man (t e9fa*] und ni*t m9d] g5au als na* d] ,simpsons*5 ,regel na* folg5dem von ,c4 ,runge angegeb55 zei*n]is*5 ,ausglei*ungsv]fahr5 vorgeh54 ,man ersetzt das ,/ck d] ,begr5zungsl9ie zwis*5 d5 beid5 ,g]ad5 des ,/reif5s dur* e9e s5kre*t zu ihn5 v]lauf5de g]ade ,/recke d] ,art1 da die 9 d] ,fig4 #hi mit ,s*raff5 v]seh55 dreieckig5 ,zipfel e9&] fl*5glei* w]d54 ,w5n es si* um g5g5d kle9e ,dreiecke h&elt1 kann die ,abglei*ung na* dem ,aug5ma sehr g5au ausgefhrt w]d51 und w5n voll5ds die ,figur auf ,millimet]papi] gezei*net i/1 hat man dur* ,auszhlung und ,abs*tzung d] w5ig5 9 d5 ,zipfeln bef9dli*5 ,quadratmillimet] e9e gute ,prfung4 ,man v]w&elt auf diese sehr empfehl5sw]te ,art das krumml9ig begr5zte ,fl*5/ck 9 e9e ,summe von ,re*teck51 d]5 ,breite man (t1 w5n die ,kurve w5ig] gekrmmt v]luft1 ziemli* gro annehm5 kann4 ,dana* lt si* d] ,inhalt lei*t b]e*n53 ,f y4 ,illu/ration3 ,fig4 #hi4 ,illu/ration3 ,fig4 #ij4 #ic4 d7 ,planimet]4 ,am s*nell/5 und au* wohl am g5aue/5 b$i5t man si* zur ,fl*5messung e9es ,planimet]s1 wie es 9 se9] e9fa*/5 ,=m des ,pol>planimet]s 9 ,fig4 #ij ang$eutet i/4 ,,pd i/ e9e um d5 ,nadelspitzpol ,p drehb>e ,/ange beliebig] ,lnge1 s da also ,d e95 ,kreis bes*reibt2 ,,df i/ e9e 9 ,d drehb>e ,/ange d] ,lnge l1 d]5 ,fahr/ift ,f die ,b]&ung des auszumess5d5 ,fl*5/ckes e9mal umfhrt2 ,r i/ e9 auf d] ,zei*5eb5e roll5des1 ni*t gleit5des ,rad vom ,radius r1 dess5 ,w9keldrehung an e9] ,teilung abgeles5 w]d5 kann4 ,man zeigt mit ,hilfe d] ,integralre*nung1 da1 w5n d] ,pol ,p auerhalb d] zu umfahr5d5 ,fl*e liegt1 d] gesu*te ,fl*59halt glei* l r i/2 mei/ gibt die ,teilung d] ,merolle dieses ,produkt unmittelb> an4 #id4 ,g5eigte ,fl*e4 ,w5n die ,eb5e d] auszumess5d5 eb55 ,fl*e unt] dem ,w9kel geg5 die ,horizontaleb5e d] ,k>te g5eigt i/1 s ergibt si* d] wahre ,fl*59halt aus dem se9] ,projektion1 indem man diese dur* cos dividi]t4 ,das sieht man soglei* e91 w5n man si* die ,fl*e und ihre ,projektion dur* ,eb551 die auf d] ,s*nittg]ad5 d] ,fl*e und d] ,projektionseb5e s5kre*t /eh51 9 g5g5d s*male ,/reif5 d] ,breite z]legt d5kt4 ,die mittl]5 ,lng5 des ,/reif5s und se9] ,projektion v]halt5 si* wie #a 3 cos 1 dah]1 da die ,breite dieselbe i/1 au* ihre ,fl*59halte1 dah] au* die ,fl*5 selb/4 ,diese ,bem]kung kann man bisweil5 b5utz51 um praktis* von e9em begr5zt5 ,teile e9] ,gelndefl*e d5 ,fl*59halt zu be/imm51 nmli* dann1 w5n sie si* 9 ,bezirke teil5 lt1 inn]halb d]5 die ,horizontalneigung g5g5d kon/ant i/1 0 si* brig5s sehr lei*t am ,v]lauf d] ,fall9i5 erk5n5 lt4 ,illu/ration3 ,fig4 #ia4 #ie4 ,fl*59halt e9] ,bs*ungsfl*e4 ,wie 9 #fe gezeigt1 i/ j$e ,bs*ungsfl*e auf e9e ,eb5e abwickelb>1 und zw> s1 da na* und na* j$e ihr] g]adl9ig5 ,fall9i5 9 die ,eb5e zu lieg5 kommt4 ,da bei d] ,abwickelung auer d5 ,lng5 die ,w9kel zwis*5 d5 ,kurv5 d] ,bs*ungsfl*e si* ni*t nd]n1 s geh5 die ,s*i*tl9i5 9 ,kurv5 b]1 die auf d5 g]adl9ig5 ,fall9i5 au* na* d] ,abwickelung s5kre*t /eh54 ,man betra*te nun e95 von zwei beliebig5 ,s*i*tl9i5 und zwei g]adl9ig5 ,fall9i5 begr5zt5 ,/reif5 e9] ,bs*ungsfl*e4 ,se9 ,fl*59halt bleibt bei d] ,abwickelung 9 die ,zei*5eb5e1 wodur* die ,figur ,,acdb 7,fig4 #ia7 ent/eh5 mge1 eb5falls ungend]t4 ,es sei5 ,,mp1 ,,nq die ,abwickelung5 zwei] nah] ,fall9i5 von d] ,lnge l2 sie s*neid5 das ,fl*5/ck ,,mpqn aus1 das um s mehr als ,trapez betra*tet w]d5 kann1 je nh] ,,mp und ,,nq ane9&] lieg54 ,i/ ,,rs die ,mittell9ie des ,trapezes1 m ihre ,lnge1 s i/ se9e ,fl*e glei* l m2 demna* d] ,fl*59halt des ganz5 ,/ckes ,,abcd glei* l m1 wo m ni*ts &]es als die ,bog5lnge d] mittl]5 ,s*i*tl9ie ,,ef i/4 ,man f9det dah] d5 ,fl*59halt e9] von zwei ,s*i*tl9i5 und zwei ,fall9i5 d] wahr5 ,lnge l begr5zt5 ,bs*ungsfl*e1 indem man l mit d] ,bog5lnge d] mittl]5 ,s*i*tl9ie multiplizi]t4 ,die ,ausfhrung kann unmittelb> an d] ,k>te d] ,bs*ungsfl*e vorg5omm5 w]d51 da ja bei j$] ,fl*e die ,s*i*tl9i5 mit ihr5 ,projektion5 kongru5t s9d4 brig5s brau*t man die erwhnte mittl]e ,s*i*tl9ie ni*t er/ zu kon/rui]51 sond]n nimmt e9fa*] und g5au] aus d5 ,bog5lng5 d] begr5z5d5 ,s*i*tl9i5 das ari?metis*e ,mittel4 ,s9d die aus d] ,k>te zu entnehm5de kon/ante ,horizontal5tf]nung d] beid5 ,s*i*tl9i51 k und k ihre ,hh5zahl51 s i/ l 7 7k - k771 also als ,hypot5use e9es re*tw9klig5 ,dreiecks mit d5 ,ka!t5 und 7k - k71 diese 9 ,e9heit5 des ,hh5ma/abes gemess51 lei*t zu zei*n54 ,da man na* #ff e9e ,gelndefl*e1 die dur* g5g5d viele ,s*i*tl9i5 gegeb5 i/1 glei* d] era*t5 kann1 die aus s*mal5 ,/reif5 von ,bs*ungsfl*5 zusamm5gesetzt i/1 s lt si* das eb5 ause9&]gesetzte ,v]fahr5 au* b5utz51 um ang5h]t die ,inhalte beliebig] gekrmmt] ,fl*5/cke zu be/imm54 ,e9e groe ,g5auigkeit wird man freili* ni*t zu erw>t5 hab54 #if4 ,raum9halt e9es begr5zt5 ,gelndeteiles4 ,es i/ e9e wi*tige ,aufgabe d] te*nis*5 ,praxis1 d5 ,raum9halt von ,erdmass5 zu be/imm54 ,w5n die ,begr5zung ganz willkrli* i/1 mu man si* wie beim ,fl*59halt gewiss] ,annh]ungsme?od5 b$i551 d]5 ,b]e*tigung und ,g5auigkeit 9 d] ,integralre*nung gezeigt wird4 ,man d5kt si* d5 auszumess5d5 ,krp] 9 e9e ,anzahl s dnn] ,s*i*t5 z]legt1 da sie ohne m]kli*5 ,fehl] als zyl9dris*e ,s*eib5 betra*tet w]d5 knn51 d]5 ,inhalt glei* dem ,produkt aus ihr] ,dicke und ihrem ,qu]s*nitt q i/4 ,hab5 alle ,s*i*t5 des ,krp]s die glei*e ,dicke 1 s i/ das ,volum5 des ,krp]s v q1 wo q die ,summe all] ,qu]s*nitte b$eutet4 ,die gewhnli*e ,z]legung i/ die 9 wag]e*te ,s*i*t54 ,die ,qu]s*nitte w]d5 also dur* die ,s*i*tl9i5 d] ,fl*e begr5zt4 ,man kann j$5 ,qu]s*nitt na* irg5de9em d] 9 #ij bis #ic angegeb55 ,v]fahr5 be/imm54 ,ab] au* v selb] kann man na* d5selb5 ,v]fahr5 ermitteln4 ,d5n trgt man die gemess55 ,w]te d] ,qu]s*nitte als ,ord9at5 zu d5 zugehrig5 ,hh5zahl5 als ,absziss5 auf und v]b9det ihre ,endpunkte dur* e9e glatte ,kurve1 s i/ die ,mazahl des ,fl*59halts1 d] von dies] ,kurve1 d] ,absziss5a*se und d5 ,anfangs- und ,endord9at5 begr5zt wird1 glei* v4 #ig4 ,aufgabe3 ,raum9halt e9] ,lag]/tte4 ,zur ,erlut]ung d] 9 d5 letzt5 ,p>agraph5 bespro*55 ,mabe/immung5 soll jetzt e9e dem b]gmnnis*5 ,anw5dungsgebiet entnomm5e ,aufgabe etwas ausfhrli*] bespro*5 w]d54 ,e9e nutzb>e unt]irdis*e ,lag]/tte wird 9 d] ,regel dur* e9e ,anzahl von ,bohrl*]n ers*loss51 die erk5n5 lass51 wie weit si* die ,lag]/tte 9 wag]e*t] und lotre*t] ,ri*tung er/reckt4 ,da mit ,rcksi*t auf die ,ko/5 die ,zahl sol*] ,bohrl*] auf das ,m9de/ma bes*rnkt w]d5 mu1 wird aus d5 ,bohr]gebniss5 die ,ge/alt d] ,lag]/tte nur 9 grob5 ,umriss5 entnomm5 w]d5 knn51 und dah] w]d5 alle d>auf bezgli*5 ,kon/ruktion5 und ,mabe/immung5 nur als er/e ,annh]ung5 an die ,wirkli*keit zu betra*t5 se92 das i/ au* bei d] ,lsung d] folg5d5 ,aufgabe ni*t zu v]gess54 ,e9 ,kohl5lag] i/ dur* e9e ,reihe von ,bohrl*]n angefahr5 und dur*teuft4 ,man soll d5 ,raum9halt des ,lag]s ermitteln4 ,zun*/ e9ige allgeme9e ,bem]kung5 zur ,ausfhrung d] ,aufgabe4 ,man wird vor allem die beid5 topographis*5 ,fl*5 zu be/imm5 su*51 die d5 ob]5 ,teil 7das ,hang5de7 und d5 unt]5 7das ,lieg5de7 d] ,lag]/tte begr5z51 indem man na* #dh die ,s*i*tl9i5 dur* ,lng5pr(ile ermittelt4 ,das ges*ieht am be/5 9 e9] besond]5 ,k>te1 na*dem man d>9 die ,lage d] ,bohrl*] b]trag5 und die ,tief5angab5 v]m]kt hat1 9 d55 j$esmal die ,lag]/tte angebohrt und dur*teuft wurde4 ,nunmehr be/immt man die ,s*i*t5qu]s*nitte na* #ij bis #ic1 trgt die ,w]te graphis* zu d5 ,hh5zahl5 als ,ord9at5 auf1 und planimetri]t zur ,be/immung des ,raum9halts die ent/eh5de ,kurve1 wie 9 #if angegeb54 ,illu/ration3 ,fig4 #ib4 #ih4 ,ausfhrung d] ,aufgabe4 ,es v]lohnt si*1 die n"h ,ausfhrung etwas e+eh5d] zu bespre*51 weil dabei e9e ,m5ge ,nutzanw5dung5 d] frh]5 ,stze zum ,vors*e9 komm54 ,das soll nun jetzt ges*eh54 - ,gegeb5 i/ die ,k>te des ,gelndes 7,fig4 #ib - ,s*i*tl9i5 ausgezog5 -7 und d>9 v]zei*net die ,lage d] ,bohrl*]1 s da man d>aus die ,hh5zahl5 ihr] ,mundl*] entnehm5 kann4 ,auerdem s9d zu j$em ,bohrlo* gegeb5 die ,kot5 7,teuf571 9 d55 das ,hang5de angebohrt s[ie das ,lieg5de errei*t i/4 ,das folg5de ,v]zei*nis en?lt diese ,angab5 fr die #ac mit ,a bis ,n bezei*net5 ,bohrl*]4 ---------------------------------------- - ,bohrlo* ,mundlo* ,hang5des ,lieg5des ,a #ij m #dg m -#cj m ,b #ajc m #bf m - #f m ,c #aab m #ab m #aj m ,d #gb m #gj m -#be m ,e #ee m #ej m #a m ,f #hg m #db m -#ad m ,g #ih m #ae m #g m ,h #he m #de m -#ae m ,i #hd m #bj m #g m ,k #fj m #aa m #i m ,l #ajh m #aj m #e m ,m #ajc m #bj m - #b m ,n #ga m #dj m #j m ---------------------------------------- - ,zur ,be/immung d] ,s*i*tl9i5 wird man mgli*/ sol*e ,lng5pr(ile whl51 die nahezu 9 ,ri*tung d] ,fall9i5 v]lauf52 man wird also fr das ,lieg5de vom ,punkte tief/] ,kote 7,a71 fr das ,hang5de vom ,punkte h*/] ,kote 7,d7 mgli*/ radial ausgeh51 also z4 ,b4 nam5tli* das ,pr(il ,,cbadek b5utz51 sodann d5 ,l9i5zug ,,ihfg1 wobei man die aus dem vorig5 ,l9i5zug int]poli]te ,hh5zahl des ,kreuzungspunktes von ,,ad und ,,fh s*on als bekannt b5utz5 d>f1 usw4 ,hat man g5g5d viele ,zwis*5punkte mit rund5 ,hh5zahl5 ermittelt1 s zei*net man zu]/ die ,s*i*tl9i51 von d55 die mei/5 ,punkte bekannt s9d4 ,das erlei*t]t au* die ,zei*nung d] brig5 an d5 ,/ell51 an d55 sie si* ni*t dur* ,qu]s*nitte g5g5d s*>f be/imm5 lass54 ,im vorlieg5d5 ,fall hat die ,lag]/tte die ,=m e9] unregelmig ge/altet5 ,l9se1 wie es 9 d] ,natur man*mal bei ,braunkohl5lag]/tt5 vorkommt4 ,9 d] ,fig4 #ib s9d die ,s*i*tl9i5 des ,lieg5d5 ge/ri*elt1 die des ,hang5d5 punkti]t gezei*net4 ,9 d] ,zei*nung f9det si* s[ohl e9e ,s*i*tl9ie #aj fr das ,hang5de wie au* e9e fr das ,lieg5de2 von j$] gehrt ab] nur e9 ,teil d] eig5tli*5 ,lag]/tte an2 das kommt dah]1 da si* ,hang5des und ,lieg5des 9 e9] ,raumkurve dur*setz51 d]5 ,projektion zwis*5 d5 beid5 ,s*i*tl9i5 #aj v]luft4 ,man kon/rui]t ihre g5au]e ,lage 7- - 7 am e9fa*/5 mittels e9ig] ,qu]s*nitte1 von d55 9 d] ,figur e9] 7bei ,l7 ang$eutet i/4 ,w5n die ,s*i*tl9i5 alle gezei*net s9d1 kann die ,planimetri]ung beg9n54 ,dabei tret5 9 d] vorlieg5d5 ,figur no* zwei kle9e ,ers*w]ung5 auf1 die zu bea*t5 s9d4 ,er/5s wird v]langt1 da von dem ,volum5 nur d]j5ige ,teil be/immt wird1 d] inn]halb d] g]adl9ig5 ,grub5gr5z5 gg und d] dadur* be/immt5 lotre*t5 ,eb55 geleg5 i/4 ,die ,qu]s*nitte s9d dah] j$esmal nur bis zu dies5 ,g]ad5 zu planimetri]54 ,zweit5s ab] tritt die ,lag]/tte zutage1 und dah] wird ihre ,ge/alt dur* das ,gelnde bee9flut4 ,die ,ausbil9ie aa i/ na* #gb kon/rui]t word52 beim ,planimetri]5 mu ersi*tli* j$esmal d] ,teil d] ,s*i*tl9ie des ,hang5d51 d] von d] ,ausbil9ie umfat wird1 dur* d5 entspre*5d5 ,teil d] ,s*i*tl9ie des ,gelndes ersetzt w]d54 ,das hat man beim ,umfahr5 mit e9em ,pol>planimet] b]cksi*tigt1 und dann folg5de ,qu]s*nitte 9 willkrli*5 ,e9heit5 p des ,planimet]nonius - ,mittel aus mehr]5 ,beoba*tung5 - erhalt53 ,hh5zahl3 ,qu]s*nitt3 ,lieg5des3 -#cj m #ba1e p -#bj m #aga p -#aj m #ccf p #j m #hbf p #aj m #abhd1e p ,hang5des3 #aj m #abfh p #bj m #igg p #cj m #ffh1e p #dj m #dcd p #ej m #bda p #fj m #gg p #gj m #d1e p ,zuglei* ergab e9e ,fl*e1 die im ,ma/ab d] ,zei*nung gemess5 #djjjj m entspra*1 planimetri]t #aeih p4 ,illu/ration3 ,fig4 #ic4 ,die graphis*e ,d>/ellung dies] ,w]te 9 beliebig5 ,ma/b5 ergibt die ,kurve d] ,fig4 #ic4 ,sie be/eht aus zwei /51 e9em fr das ,hang5de 7re*t] ,a/7 und e9em fr das ,lieg5de 7l9k] ,a/71 die si* 9 e9em ,punkte s*neid54 ,zur ,be/immung des ,raum9halts hat man die dur* sie und die ,absziss5a*se begr5zte ,fl*e zu ermitteln4 ,die ,planimetri]ung lief]te 9 willkrli*5 ,e9heit5 q des ,planimet]nonius1 d]5 ,w]t brig5s von p v]s*i$5 se9 kann1 das ,volum5 #edi q1 whr5d zuglei* e9e ,fl*e1 die #ajjj p #ajj m ,kubike9heit5 entspra* - 9 d] ,figur dur* das ,re*teck angezeigt -1 #ajig q ergab4 ,d>aus folgt fr das gesu*te ,volum5 d] ,w]t #ediq 7#ajjjjjpm7_/7#ajigq7 7#djjjj m7_/7#aeihp7 #abecajj m4 ,es wre si*] ni*t ri*tig1 das ,s*luergebnis auf s viele ,/ell5 anzugeb51 und man wird si* etwa mit d] rund5 ,zahl #abejjjj m begng5 mss51 zumal e9e ,abs*tzung d] ,g5auigkeit auf ,grund d] gegeb55 ,dat5 ni*t e9fa* i/4 #ii4 ,zei*n]is*e ,analysis4 ,die 9 d5 vor/eh5d5 ,p>agraph5 ause9&]gesetzt5 und angew&t5 ,v]fahr5 d] ,projektion5 mit ,hh5zahl5 lass5 si* ni*t nur auf geometris*e ,aufgab51 sond]n au* auf die praktis* zei*n]is*e ,beh&lung analytis*] ,frag5 mit ,nutz5 anw5d54 ,man kann dies5 ,teil d] angew&t5 ,ma!matik1 dess5 ,ent/ehung er/ w5ige ,jahrzehnte zurckliegt1 und dess5 ,ausbau no* ke9eswegs abges*loss5 i/1 pass5d als graphis*e od] zei*n]is*e ,analysis bezei*n54 ,ihre ,ergebnisse f9d5 9 fa/ all5 ,zweig5 d] ,te*nik1 9 d] ,v]messungskunde1 d] te*nis*5 ,physik1 d] ,balli/ik usw4 mehr und mehr ,anw5dung4 ,im ,folg5d5 mg5 e9ige e9fa*]e ,geg5/nde dieses ,gebietes bespro*5 w]d51 die mit d5 vorh]geh5d5 ,betra*tung5 zum ,teil aufs eng/e zusamm5hng54 #ajj4 ,funktionsskale4 ,es b$eute x e9e reelle ,v]nd]li*e und y f7x7 e9e beliebige e9deutig umkehrb>e - d4 h4 zu j$em ,w]t von y gehrt e9 ,w]t von x - reelle ,funktion von x1 gegeb5 dur* irg5de9e ,re*5vors*rift od] dur* e9e ,zahl5tafel1 d]>t1 da ihr zei*n]is* im re*tw9klig5 ,c>tesis*5 ,koord9at5sy/em 7x1 y7 e9e ,kurve zugeordnet w]d5 kann4 ,e95 ,punkt ,p d] ,kurve 7,fig4 #id mit y x7 mit d] ,abszisse x 7 #c7 projizi]e man p>allel zur ,absziss5a*se auf die ,ord9at5a*se na* ,q1 s da ,,oq y 7 #c #a1gc7 i/1 s*reibe ab] an ,q d5 zu ,p gehrig5 ,absziss5w]t x 7 #c74 ,w5n man s fr g5g5d viele ,punkte v]fhrt1 erhlt man die ,skale d] ,funktion y f7x74 ,die ,fig4 #id /ellt die ,ent/ehung d] ,funktionsskale y x d>4#c #c ,weit]e ,beispiele s9d 9 dem ,bnd*5 von ,paul ,luckey1 ,e9fhrung 9 die ,nomographie1 dies] ma!matis*-physikalis*5 ,biblio!k zu f9d54 ,illu/ration3 ,fig4 #id4 ,auf d] ,vord]seite e9es gewhnli*5 ,re*5s*ieb]s bef9d5 si* die ,skal5 d] ,funktion y logx 9 zwei v]s*i$55 ,ma/abse9heit54 ,die ,funktionsskal5 trag5 im allgeme95 e9e unglei*mige ,e9teilung2 glei*mig i/ sie nur im ,falle e9] l9e>5 ,funktion y ax b1 weil die zugehrige ,kurve hi] e9e g]ade ,l9ie i/4 ,w5n die ,teilung e9] ,funktionsskale s di*t i/1 da e9e ,zwis*5s*altung weit]] ,funktionsw]te na* dem ,aug5mae mgli* i/1 kann man im ,s9ne d] zei*n]is*5 ,analysis die ,funktion als dur* ihre ,skale vllig be/immt anseh54 ,d5kt man si* die ,fig4 #id um e95 re*t5 ,w9kel aus d] ,papi]eb5e s ges*w5kt1 da die x-,a*se s5kre*t zur ,zei*5eb5e na* ob5 g]i*tet i/1 dann /ellt die ,skale d] ,funktion ni*ts weit] d> als die koti]te ,projektion d] ,kurve 7vgl4 #fh71 die dur* die ,skale ge/uft i/4 ,um von irg5de9] analytis* od] tabell>is* gegeb55 ,funktion die ,skale h]zu/ell51 i/ es natrli* ni*t er/ ntig1 die zugehrige ,kurve zu zei*n54 ,man brau*t nur auf d] gewhlt5 ,g]ad51 dem ,trg] d] ,skale1 von e9em beliebig ang5omm55 ,nullpunkte aus mit d] gewhlt5 ,ma/abse9heit d5 zu x gehrig5 ,funktionsw]t f7x7 y abzutrag5 und an d5 ,endpunkt dies] ,/recke die ,zahl x anzus*reib54 ,illu/ration3 ,fig4 #ie4 ,w5n die ,funktion ni*t e9deutig umkehrb> i/1 also zu e9em ,w]t von y mehr]e ,zahl5w]te von x gehr51 i/ ihre ,d>/ellung dur* e9e ,skale zw> au* mgli*1 ab] man mu dann mehrfa* beziff]te 7gebro*5e7 ,skal5 9 ,kauf nehm51 die1 auf demselb5 ,trg] gezei*net1 si* ganz od] zum ,teil b]deck5 7vgl4 ,fig4 #ie74 #aja4 ,kon/ruktion besond]] ,funktionsskal54 ,e9ige ,skal5 lass5 si* lei*t dur* e9e e9fa*e geometris*e ,kon/ruktion f9d54 ,s z4 ,b4 die ,skal5 fr s9 x und tg x fr spitze ,w9kel1 wie aus d] ,fig4 #if ersi*tli* i/4 ,die ,skale fr s9 x gibt zu glei* die fr cos x1 w5n man neb5 d5 ,/ri* mit d] ,zahl x 9 ,grad5 no* die ,zahl #ij - x s*reibt1 und eb5so f9det man die ,skale fr ctg x aus d] fr tg x4 ,man kann diese z4 ,b4 dann b5utz51 um fr zwei ,punkte e9] ,k>te e9es eb55 ,gelndes1 d]5 ,hh5unt]s*i$ glei* #a i/1 d5 ,fallw9kel zu be/imm52 d5n die 9 d] ,k>te gemess5e ,entf]nung d] ,projektion5 beid] ,punkte i/ glei* ctg 4 ,illu/ration3 ,fig4 #if4 ,besond]s wi*tig i/ die ,kon/ruktion d] ,skale fr die l9e> gebro*5e ,funktion y 7ax b7_/7cx d71 wo a1 b1 c1 d vi] ,kon/ant5 s9d1 von d55 es ersi*tli* g5gt1 die drei ,v]hltnisse a 3 b 3 c 3 d zu k5n54 ,w5n c #j1 s wrde die ,funktion e9e ganze l9e>e se91 ihre ,skale also glei*mig geteilt4 ,w5n c #j1 ab] ad - bc #j1 wre die ,funktion g> nur e9e ,kon/ante1 wie s(ort aus dem ,ausdruck y a_/c 7ad - bc7_/7c7cx d77 folgt1 9 d5 man die ,funktion b]fhr5 kann4 ,sieht man von dies5 ,ausnahmefll5 ab1 und bezei*net man mit y1 y1 y1 y die vi] zu x1 x1 x1 x gehrig5 ,funktionsw]te1 s i/ - man kann si* davon dur* ,ausre*nung lei*t b]zeug5 - 7y - y7_/7y - y7 3 7y - y7_/7y - y7 7x - x7_/7x - x7 3 7x - x7_/7x - x71 d4 h4 die ,doppelv]hltnisse von je vi] ,w]t5 von x und d5 zugehrig5 ,w]t5 von y s9d e9&] glei*1 und d>aus folgt bekanntli*1 da die ,punktreihe ,p1 ,p1 ,p1 ,p mit d5 ,absziss5 x1 x1 x1 x auf e9] ,g]ad5 ,i aus d] ,punktreihe ,q1 ,q1 ,q1 ,q mit d5 ,absziss5 y1 y1 y1 y auf e9] ,g]ad5 ,,ii dur* ,projizi]5 gewonn5 w]d5 kann 7,fig4 #ig74 ,zur ,kon/ruktion e9] projektiv5 ,skale y 7ax b7 3 7cx d7 kann man also folg5d]maen v]fahr54 ,gegeb5 sei d] ,trg] d] ,skale1 die ,g]ade ,,ii1 f]n] d] ,anfangspunkt d] ,skale1 d4 h4 d] ,punkt mit dem ,teil/ri* #j1 und d] ,ma/ab1 wodur* zuglei* d] ,punkt mit dem ,teil/ri* #a d] ,skale be/immt i/4 ,nunmehr zei*net man auf e9] beliebig5 ,g]ad5 ,i irg5de9e glei*mige ,teilung4 ,man v]b9det sodann mite9&] die ,punkte d] ,teil/ri*e #j und eb5so die ,punkte d] ,teil/ri*e #a4 ,d] ,s*nittpunkt ,s dies] ,v]b9dungsg]ad5 i/ d] ,mittelpunkt des ,/rahlbs*els1 das die ,skale ,i auf die ,skale ,,ii projizi]t4 7,fig4 #ih47 ,natrli* gibt es auf e9] ,g]ad5 unzhlig viele projektive ,skal5 mit d5selb5 ,punkt5 #j und #a2 d5n e9e projektive ,skale i/ er/ dur* die ,angabe von drei ,punkt5 e9deutig be/immt1 entspre*5d d5 drei ,kon/ant5v]hltniss5 a 3 b 3 c 3 d4 ,illu/ration3 ,fig4 #ig4 ,illu/ration3 ,fig4 #ih4 #ajb4 ,aufgabe4 ,e9e ,/recke ,,ab #e cm soll mit e9] sol*5 ,skale v]seh5 w]d51 da an j$em ,punkte abgeles5 w]d5 kann1 9 wel*em ,teilv]hltnis d] beid5 ,abs*nitte die ,/recke dur* ihn geteilt wird4 ,i/ ,p e9 ,punkt d] ,/recke1 ,,ap y1 und x die ,skal5/elle von ,p1 s soll ,,ap 3 ,,pb x od] y_/7,,ab - y7 x se92 dah] i/ y x_/7#a x7 ,,ab4 ,illu/ration3 ,fig4 #ii4 ,zur ,kon/ruktion d] ,skale y auf ,,ab b]legt man1 da dem ,punkte ,a d] ,w]t x #j1 d] ,mitte von ,,ab d] ,w]t x #a1 dem ,punkte ,b d] uneig5tli*e ,w]t x beizus*reib5 i/4 ,man zieht also z4 ,b4 dur* ,a e9e beliebige ,g]ade ,,ac mit glei*mig] ,teilung1 die b]dies au* 9 ,a beg9n5 kann4 ,nun v]b9det man d5 ,teilpunkt #a dies] ,g]ad5 ,,ac mit d] ,mitte von ,,ab1 d5 ,teilpunkt d] ,g]ad5 mit dem ,punkte ,b 7d4 h4 man zieht dur* ,b e9e ,p>allele zu ,,ac72 beide ,v]b9dungsl9i5 s*neid5 si* 9 ,s1 dem ,mittelpunkte des projizi]5d5 ,/rahl5bs*els 7,fig4 #ii74 ,d] ,les] mag f]n] die ,skale #a 3 x zei*n54 #ajc4 ,zusamm5gesetzte ,funktionsskal54 ,w5n y als ,funktion von x dur* e9e ,skale gegeb5 i/ und eb5so y als ,funktion von u1 s kann man d5 funktional5 ,zusamm5hang zwis*5 x und u e9fa* dadur* graphis* h]/ell51 da man die beid5 ,skal5 mit d5 zusamm5gehrig5 ,w]t5 von y ane9&]legt4 ,e9 e9fa*es ,beispiel dafr geb5 die drei ,!rmomet]skal5 na* ,celsius1 ,raumur und ,fahr5heit1 w5n man sie si* auf demselb5 ,!rmomet] angebra*t d5kt 7,fig4 #ajj72 sie entspre*5 folg5d5 drei l9e>5 ,funktion53 ,illu/ration3 ,fig4 #ajj4 ,c x1 ,r #d_/ex1 ,f #i_/ex #cb4 ,auf d] ,vord]seite des gewhnli*5 ,re*5s*ieb]s f9det si* im ob]5 ,teile die ,skale y lg x1 im unt]5 dieselbe ,skale im doppelt5 ,ma/ab1 d4 h4 die ,skale y #b lg u2 dur* d5 ,/ri* des ,glasluf]s wird dah] die ,beziehung lg x #b lg u lg u od] x u1 u x v]mittelt4 ,eb5so lei*t i/ es au*1 w5n y f7x7 und x 7u7 je dur* e9e ,skale d>ge/ellt s9d1 die ,skale h]zu/ell51 die d5 funktional5 ,zusamm5hang y f77u77 7u7 zwis*5 y und u lief]t1 od]1 &]s gespro*51 die graphis*e ,elim9ation von x auszufhr54 ,es wrde an si* g5g51 neb5 die ,beziff]ung x d] ,skale y f7x7 d5 zugehrig5 ,w]t von u zu s*reib51 wie ihn die ,skale 7u7 ergibt1 nur wrde man dann ke9e zur ,int]polation brau*b>e ,skale mit glei*5 ,unt]s*i$5 d] ,v]nd]li*5 u erhalt54 ,um die dazu er=d]li*e ,zwis*5s*altung d] u-,w]te mit befri$ig5d] ,g5auigkeit ausfhr5 zu knn51 zei*net man zu]/ 9 e9em ,koord9at5sy/em 7x1 y7 mit e9] x-,a*se1 die zuglei* ,trg] d] ,skale 7u7 i/1 und e9] y-,a*se1 die zuglei* ,trg] d] ,skale f7x7 i/1 die ,kurve y f7x74 ,nun kann man lei*t zu j$em ,teil/ri* d] ,skale 7u7 d5 zugehrig5 ,teil/ri* d] ,skale 7u7 auf dem 9 d] ,fig4 #aja dur* die ,pfeile ang$eutet5 ,wege f9d54 ,illu/ration3 ,fig4 #aja4 #ajd4 ,netzteilung4 ,fr viele ,zwecke d] zei*n]is*5 ,analysis i/ es wi*tig1 e9e ,kurve 7,k71 die 9 e9em ,koord9at5sy/em 7x1 y7 gezei*net vorliegt1 9 e9e &]e 77 zu v]w&eln1 die si* auf e9 ,koord9at5sy/em 71 7 bezieht1 wobei 7x71 7y7 gegeb5e funktionale ,beziehung5 zwis*5 x und 1 y und b$eut5 soll54 ,wre die ,glei*ung d] vorgelegt5 ,kurve 7,k7 bekannt1 etwa ,f7x1 y7 #j1 und wr5 au* die ,funktion5 7x7 und 7y7 9 analytis*] ,=m gegeb51 s wrde man nur 1 an ,/elle von x1 y e9zufhr5 zu hab51 um die ,glei*ung 71 7 #j d] v]w&elt5 ,kurve 77 zu erhalt54 ,ab] hi] h&elt es si* d>um1 zei*n]is* die ,aufgabe zu ls51 w5n die ,kurve 7,k7 und die ,funktion5 7x7 und 7y7 graphis* gegeb5 s9d4 ,man trgt auf e9] -,a*se die ,skale 7x7 auf und eb5so auf e9] -,a*se die ,skale 7y71 wodur* e9 im allgeme95 unglei*mig geteiltes ,netz be/immt i/1 wie die ,fig4 #ajc angibt4 ,j$em ,koord9at5pa> x1 y entspri*t 9 diesem ,netze e9 ,punkt1 d] entw$] auf e95 ,s*nittpunkt d] ,netzg]ad5 fllt1 od] dess5 ,lage dur* ,s*tzung lei*t zu ermitteln i/4 ,auf diese ,weise kann man die gegeb5e ,kurve 7,k7 ,punkt fr ,punkt 9 dieses ,netz b]trag5 und erhlt s die v]w&elte ,kurve 774 ,illu/ration3 ,fig4 #ajb4 ,beispielsweise geht die ,ellipse mit d5 ,halba*s5 a und b1 d]5 ,haupta*s5ri*tung5 mit d5 ,koord9at5a*s5 x1 y und d]5 ,mittelpunkt mit dem ,ursprung zusamm5fllt1 d]5 ,glei*ung also x_/a y_/b #a lautet1 dur* ,umzei*nung 9 e9 ,netz mit d5 ,skal5 x1 y 9 die ,g]ade mit d] ,glei*ung _/a _/b #a b]1 die die ,skal5 9 d5 ,teil/ri*5 a und b trifft und also lei*t zu zei*n5 i/4 ,das wurde au* fr s*iefw9klige ,a*s5 gelt51 w5n a1 b dann konjugi]te ,halbmess] b$eut54 ,man kann von dies] ,bem]kung e9e ,anw5dung auf folg5de ,aufgabe d] praktis*5 ,ma!matik ma*54 ,es liegt e9e eifrmige ,kurve gezei*net vor1 und es be/eht die ,v]mutung1 da sie ang5h]t e9e ,ellipse sei2 wie i/ das fe/zu/ell58 ,man wird zun*/ ang5h]t d5 ,mittelpunkt und zwei konjugi]te ,dur*mess] d] ,kurve be/imm51 indem man e9 ihr ums*rieb5es ,p>allelogramm mit se95 ,mittell9i5 zei*net4 ,dadur* i/ zuglei* e9 s*iefw9kliges ,koord9at5sy/em x1 y gegeb51 dur* das die ,punkte d] ,kurve fe/gelegt w]d5 knn54 ,man zei*net jetzt das unglei*mig geteilte ,netz x1 y1 und 9 dieses trgt man g5g5d viele ,punkte d] eifrmig5 ,kurve e92 sie w]d51 d5 vi] ,quadrant5 d] ,kurve entspre*5d1 ang5h]t auf vi] ,seit5 e9es ,p>allelogramms lieg54 ,die ,abwei*ung d] ,punkte von dies5 ,g]ad5 lt au* die ,abwei*ung d] ,eil9ie von d] ,ellipse erk5n54 ,w5n man b] die ,punkte1 die ang5h]t auf e9] ,g]ad5 lieg51 e95 ,fad5 spannt od] e9e auf e95 ,film g]itzte ,g]ade legt1 kann man 9 d5 mei/5 ,fll5 g5au g5ug die ,abwei*ung5 ausglei*5 und dadur* die ,lng5 fr die konjugi]t5 ,halbmess] d] ,ellipse be/imm51 die die ,eil9ie am be/5 d>/ellt 7,fig4 #ajc74 ,illu/ration3 ,fig4 #ajc4 #aje4 ,log>i?m5papi]4 ,besond]s wi*tig i/ e9 ,netz mit log>i?mis*] ,e9teilung4 ,sol*e ,netze s9d 9 ,=m von ,log>i?m5papi] kufli* zu hab54 ,es gibt zwei ,art5 davon3 bei d] e95 i/ s[ohl die ,absziss5a*se1 wie au* die ,ord9at5a*se log>i?mis* geteilt1 bei d] &]5 nur die e9e d] ,koord9at5a*s54 ,ihre ,v]w5dung wird aus folg5d5 ,beispiel5 h]vorgeh54 ,w5n es si* d>um h&elt1 die polytropis*e ,kurve mit d] ,glei*ung pv c zu zei*n51 wo 1 c zwei ,kon/ant51 p und v ab] ,druck und ,volum5 e9es ,gases b$eut51 das si* adiabatis* ausdehnt1 s setze man lg v1 lg p1 ,c lg c und erhlt ,c1 d4 h4 im ,koord9at5netz 1 e9e g]ade ,l9ie4 ,man wird hi] also die er/e ,art des doppelt log>i?mis* geteilt5 ,papi]s b5utz5 7,fig4 #ajd74 ,illu/ration3 ,fig4 #ajd4 ,w5n man mit e9em gut e+es*oss55 ,gewehr na* e9em ,punkte ,o e9] eb55 s5kre*t5 ,s*eibe (tmals s*iet1 s w]d5 die ,e9s*lge si* 9 d] ,nhe von ,o huf5 und mit wa*s5dem ,ab/&e von ,o an ,zahl abnehm54 ,gau hat als ,ma fr die ,hufigkeit e9es ,treff]s im ,ab/&e von ,o d5 ,ausdruck 7,fehl]gesetz7 z e- angegeb51 dem die ,hufigkeit proportional i/1 unt] d] ,annahme1 da sie 9 all5 von ,o ausgeh5d5 ,ri*tung5 dieselbe sei4 ,setzt man lg z1 lg e #j1dcdc1 s wird -#j1dcdc 4 ,bei ,v]w5dung e9fa* log>i?mis* geteilt5 ,papi]s ergibt dies e9e ,p>abel4 ,setzt man no* 1 d4 h4 br+t man no* auf d] glei*mig geteilt5 ,skale des ,log>i?m5papi]s e9e quadratis*e ,teilung an1 s geht die ,p>abel 9 die ,g]ade -#j1dcdc b] 7,fig4 #aje74 ,illu/ration3 ,fig4 #aje4 #ajf4 ,d>/ellung e9] ,funktion von zwei ,v]nd]li*5 dur* e9 ,re*5blatt4 ,es sei z f7x1 y7 die d>zu/ell5de ,funktion d] beid5 vone9&] unabhngig5 ,v]nd]li*5 x und y4 ,ihr geometris*es ,bild i/ e9e ,fl*e1 w5n man die ,w]te von z als ,hh5 s5kre*t b] e9] ,eb5e 9 d5 ,punkt5 mit d5 ,koord9at5 x1 y auftrgt4 ,zu j$em fe/5 ,w]te von z gehrt e9e ,kurve be/immt] ,hhe auf d] ,fl*e1 d4 h4 e9e ihr] ,s*i*tl9i54 ,die ,projektion5 d] ,s*i*tl9i5 auf die als ,zei*5eb5e g$a*te xy-,eb5e lief]n die ,k>te d] ,fl*e und somit e9e geometris*e ,d>/ellung d] ,funktion dur* ,s*i*t5l9i5 f7x1 y7 kon/4 im ,koord9at5sy/em 7x1 y74 ,an d5 ,s*i*t5l9i5 hat man si* die zugehrig5 ,w]te von z als ,hh5zahl5 anges*rieb5 zu d5k51 g5au s1 wie es bi%] bei d] k>t5mig5 ,d>/ellung d] ,gelndefl*5 ges*eh5 i/4 ,es i/ ni*t ntig1 da die ,funktion 9 entwickelt] ,=m z f7x1 y7 gegeb5 sei2 fr e9e ,glei*ung d] ,=m ,f7x1 y1 z7 #j i/ dieselbe ,d>/ellung mgli*4 ,diese ,d>/ellung hat man e9 ,re*5blatt 7,nomogramm1 ,abakus7 d] ,funktion od] d] ,glei*ung g5annt4 ,illu/ration3 ,fig4 #ajf4 ,9 d] ,fig4 #ajf i/ das ,re*5blatt d] ,funktion z d>ge/ellt1 die dur* die ,glei*ung z xz y #j gegeb5 i/4 ,die ,s*i*tl9i5 s9d alle ,g]ad54 ,man kann das ,re*5blatt zur zei*n]is*5 ,auflsung e9] beliebig5 quadratis*5 ,glei*ung mit reell5 ,wurzeln z pz q #j na* d] ,unbekannt5 z gebrau*54 ,man su*t im ,re*5blatt d5 ,punkt mit d5 ,koord9at5 p1 q und sieht na*1 wel*e ,s*i*tg]ad5 dur* ihn h9dur*geh52 die ,zahl5 d] ,s*i*tg]ad51 die ntig5falls dur* s*tz5des ,zwis*5s*alt5 zu be/imm5 s9d1 geb5 die reell5 ,wurzeln d] ,glei*ung an4 ,liegt d] ,punkt auf d] e9hll5d5 ,p>abel x #dy1 s hat die ,glei*ung e9e ,doppelwurzel1 liegt er im ,inn]n dies] ,p>abel1 s hat die ,glei*ung ke9e reelle ,wurzeln4 ,9 hnli*] ,weise lt si* die ,glei*ung zn xzm y #j und no* allgeme9] die ,glei*ung 7z7 x7z7 y #j beh&eln1 wo 7z71 7z7 beliebige ,funktion5 b$eut5 knn51 die analytis* od] tabell>is* od] au* zei*n]is* dur* ,kurv5 od] ,funktionsskal5 gegeb5 se9 knn54 ,9 all5 dies5 ,fll5 s9d die ,kurv5 des ,re*5blattes g]ade ,l9i54 ,sol*e ,re*5bltt] s9d natrli* besond]s lei*t h]zu/ell54 #ajg4 ,re*5blatt mit unglei*mig] ,teilung4 ,au* w5n die ,kurv5 kon/ant] ,w]te von z zun*/ ke9e g]ad5 ,l9i5 ergeb51 kann man do* hufig dur* ,b5utzung von ,skal5 auf d5 ,koord9at5a*s5 bewirk51 da die ,kurv5 des ,re*5blattes ,g]ad5 w]d54 ,zum ,beispiel w5n die ,glei*ung 7z7 7x7 7z7 7y7 #j vorliegt1 die e9e ,v]allgeme9]ung d] vorh]geh5d5 i/1 s wird man das ,netz d] ,skal5 7x71 7y71 wie 9 #ajc angegeb5 word5 i/1 b5utz5 knn52 die ,s*i*tl9i5 9 diesem ,netze 1 s9d dann g]ade ,l9i51 d5n es i/ 7z7 7z7 #j fr j$5 ,w]t von z die ,glei*ung e9] ,g]ad54 ,die ,zu/&sglei*ung e9es vollkomm55 ,gases lautet pv ,,rt1 wobei p d5 ,druck1 v das ,volum51 ,r die ,gaskon/ante1 ,t die absolute ,temp]atur des ,gases b$eut54 ,die ,iso!rm5 ,t kon/4 s9d1 im ,koord9at5sy/em p1 v gezei*net1 glei*seitige ,hyp]beln2 im ,sy/em lg p1 lg v dageg5 ergeb5 si* dafr g]ade ,l9i54 ,bei ,b5utzung doppelt geteilt5 ,log>i?m5papi]s lt si* mi?9 fr die obige ,zu/&sglei*ung e9 ,re*5blatt mit dem ,l9eal alle9 h]/ell54 ,w5n man si* auf doppelt geteiltem ,log>i?m5papi] mit d5 ,skal5 lg x1 lg y die ,g]ad5 z xy zei*net1 s kann das ent/&5e ,re*5blatt als ,multiplikation/afel di552 d5n 9 ihm liegt d] ,punkt mit d5 ,koord9at5 x1 y1 d5 ,faktor51 j$esmal auf d] ,g]ad5 mit d] ,hh5zahl xy1 dem ,produkte 7,fig4 #ajg74 ,illu/ration3 ,fig4 #ajg4 ,,alphabetis*es ,,sa*v]zei*nis ,abtrag und ,aufs*ttung #ai4 - - - e9es ,dammes #ah1 #ec2 e9] ,halde #bb1 #eb4 abwickelb>e ,fl*5 #da4 ,analysis1 zei*n]is*e #gg ff4 ,ansi*t des ,gelndes #fe ff4 ,an/ieg e9] ,g]ad5 #c2 - e9] ,eb5e #g2 - e9] ,raumkurve #cb4 asymptotis*es ,e9mnd5 #dd4 ,ausbil9ie ,auss*nittl9ie #ba1 #ce1 #ed4 ausgezei*nete ,fall9i5 #dc4 ,auss*a*t5 e9] ,grube #bd4 bau*ig gekrmmt #dj4 ,b]hrung5 im ,raume #bi4 ,b]hrungseb5e e9] ,fl*e #cg4 - dur* e9e gegeb5e ,g]ade #ef1 #eh4 ,b]hrungskegel an e9] ,fl*e #fb4 ,b9ormale #ce4 ,bog5lnge #fg4 ,bs*ung e9] ,g]ad5 #c2 - e9] ,eb5e #g2 - e9] ,halde #bc2 - e9] ,raumkurve #cb4 ,bs*ungsfl*e #dg2 - e9] ,raumkurve #di4 - ,fl*59halt #ga4 ,bs*ungskegel #ae4 ,bs*ungsl9ie #cb1 #ej4 ,bs*ungsma/ab e9] ,eb5e #g4 ,bs*ungs/reif5 #dh4 cos x1 ctg x1 ,skale #hj4 ,da*ausmittelung #ba4 ,dem>kationsl9ie #da4 ,dreh5 e9] ,eb5e #ab4 ,drehfl*e #ag4 ,dur*dr+ungspunkte e9] ,raumkurve mit e9] ,gelndefl*e #eb4 ,eb5e #f2 -n gegeb5] ,bs*ung #ae2 - glei*] ,bs*ung #aj2 mit p>allel5 ,gefllema/b5 #i4 eb5] ,platz1 ,anlage #ai4 ,e9fall5 e9] ,eb5e #g4 ,e9s*alt5 e9es ,punktes #d1 #ca4 ,ellipse #bc1 #bd2 ang5h]te - #hd4 elliptis* gekrmmt #dj4 ,enveloppe ,hllkurve #bh4 ,evolute und ,evolv5te #bi4 ,fall5 und ,/rei*5 e9] ,eb5e #g4 ,fall9i5 #f1 #cg1 #ch1 #da2 ausgezei*nete - #dc4 ,fallw9kel e9] ,g]ad5 #c4 ,fehl]gesetz1 ,gaus*es #hf4 ,fehl]kurve #bh4 ,fir/l9ie e9es ,da*es #bb4 ,fl*51 krumme #ag4 ,fl*59halt e9] ,bs*ungsfl*e #ga4 ,fl*5messung #fh4 ,flugzeug1 dur*mess5] ,weg #fh4 ,funktionsskal5 #gh ff4 ,funktion von zwei ,v]nd]li*51 zei*n]is*e ,d>/ellung #hg4 gebro*5e ,skale #gi4 ,geflle e9] ,g]ad5 #c1 #e2 - e9] ,eb5e #f1 #ae2 - e9] ,fl*e #ch4 - ,kurv5 kon/ant5 -s #ej4 ,gelndefl*e #a1 #bf4 geologis*e ,s*i*t1 ,ausbil9ie e9] #ba1 #cf4 ,gipfelpunkt #da4 glatte ,kurve #bg4 ,gradui]ung e9] ,g]ad5 #d1 ,/ufung4 ,grat1 ,gratl9ie #dg1 #dh4 ,gr5zl9ie e9] eb55 ,s*i*t #ba2 - e9] ,bs*ungsfl*e #ea4 ,grube1 ,auss*a*t5 e9] - #bd4 ,halde1 ,aufs*ttung e9] - #bb4 ,hang5des e9] ,lag]/tte #gc4 ,hauptnormale #cd4 ,hauptpunkte #ca4 ,haupts*i*tl9i5 #bf4 ,hilfskurve #fa1 #fc4 ,hh5l9i5 #a2 ,e9s*alt5 von - #cf4 ,hh5zahl #a1 #b ,kote4 ,horizont #fb1 #fd4 ,hllkurve #bh4 hyp]bolis* gekrmmt #dj4 hyp]bolis*es ,p>aboloid #ag4 ,int]vall e9] ,g]ad5 #e2 - e9] ,raumkurve #cb4 ,isoba! #a1 ,tief5l9ie4 ,isohypse #a1 ,hh5l9ie1 ,s*i*tl9ie4 ,jo*punkt #db4 ,kammweg #dd4 ,k>te e9es ,gelndes #bf4 ,kepl]s*e ,faregel #fi2 ,simpsons*e ,regel4 ,korrektionskurve #bh4 ,kote #a1 #b1 ,hh5zahl4 koti]te ,projektion #b2 - ,eb5e #b4 ,kreiskegel1 ,kreiszyl9d] #af4 ,kreispunkt #dc4 krumme ,ob]fl*5 #ag4 ,krmmung e9] ,fl*e #ci4 ,krmmungsmittelpunkt1 -kreis #bi4 ,krmmungsgr5ze ,dem>kationsl9ie #da4 ,kurv5 im ,gelnde #cj4 ,kurvimet] #fh4 krze/] ,ab/& zwei] w9ds*ief] ,g]ad5 #aa4 ,lag]/tte1 ,raum9halt e9] - #gc ff4 ,lamb]ts*e ,regel #fi4 ,lng5messung #hi4 ,lng5pr(il e9] ,raumkurve #ca4 ,lieg5des e9] ,lag]/tte #gc4 l9e> gebro*5e ,funktion1 ,skale #hj ff4 ,log>i?m5papi] #he4 ,lot von e9em ,punkte auf e9e ,eb5e #aa4 ,luftl9ie #c4 ,mabe/immung5 #fg ff4 ,ma/ab d] ,zei*nung #c4 ,merd*5 #fh4 ,mulde1 ,aus/ri*l9ie e9] - #ed4 ,muld5punkt #db4 ,multiplikation/afel #hi4 ,mndungspunkt #dd4 ,nabelpunkt #dc4 negativ gekrmmt #dj4 ,netzteilung #hc4 ,niveaul9i5 #a4 ,normale e9] ,kurve #cc2 - e9] ,fl*e #cg4 ,normaleb5e #cb1 #ch4 ,normals*nitt #ch4 ,null9ie #eb4 ,pantograph ,/or*s*nabel #bg4 ,p>aboloid1 hyp]bolis*es #ag4 p>abolis* gekrmmt1 -e ,kurve #da2 -er ,punkt #de4 p>allele ,gefllema/be #i4 ,p>allelkurv5 #bi4 ,p>allelprojektion #fe4 ,plan des ,gelndes #bf4 ,plani]ungsfl*e #cb1 #eb4 ,planimet] #gj4 ,planum eb5] ,platz #ai4 polytropis*e ,kurve #he4 positiv gekrmmt #dj4 ,pr(il ,qu]pr(il #ai1 #ce2 s*e9b>es - #ee4 projektive ,skale #ha4 projizi]5d] ,zyl9d] #cj4 quadratis*e ,glei*ung1 zei*n]is*e ,lsung #hg ff4 ,qu]pr(il #ai1 #ce4 ,raum9halt #gb2 - e9] ,lag]/tte #gc4 ,raumkurve1 ,d>/ellung #cj4 ,re*5blatt #hg ff4 ,re*5s*ieb]skal5 #gh1 #hb4 ,rektifikation #fg4 ,relief e9es ,gelndes #cj4 ,r9ne im ,gelnde #dg4 ,rck5l9ie #dd4 ,runges*es ,v]fahr5 d] ,fl*5messung #gj4 sattelfrmig gekrmmt #dj4 ,sattelfalte #ee4 ,s*a*t1 ,tiefes e9es -es #cf4 ,s*att5gr5ze #fb4 s*e9b>es ,pr(il #ee2 -r] ,umri #fb4 ,s*i*t1 ,ausbil9ie e9] geologis*5 - #ba4 ,s*i*t5plan #a1 #bf4 ,s*i*tl9i5 #a1 #f1 #ca1 #da4 ,s*miegungseb5e #cc4 ,s*nitt zwei] ,g]ad5 #e2 - e9] ,fl*e mit e9] ,eb5e #ce2 - zwei] ,fl*5 #ea2 - e9] zyl9dris*5 ,fl*e mit dem ,gelnde #ee4 ,s*nittg]ade zwei] ,eb55 #h4 ,s*nittpunkt e9] ,g]ad5 mit e9] ,eb5e #aj4 ,s*nittw9kel zwei] ,eb55 #ac4 ,s*raffur e9] ,k>te #ci4 ,s*raub5fl*e #ag1 #cc4 si*tb>] ,teil des ,gelndes #ec4 ,simpsons*e ,regel #fi4 s9 x1 ,skale #gi4 ,skale e9] ,funktion #gh ff4 ,spiegell9eal #bh4 ,/eigung1 ,weg gegeb5] - #bj4 ,/or*s*nabel #bg4 ,/rahlbs*el #ha4 ,/rei*5 und ,fall5 e9] ,eb5e #g1 #ba4 ,/rei*l9i5 e9] ,eb5e #g4 ,/ufung e9] ,g]ad5 ,gradui]ung #d4 ,talweg #ah1 #dc ff4 ,tang5te #bh4 ,teilv]hltnis1 ,skale #ha4 tg x1 ,skale #gi4 ,!rmomet]skal5 #hb4 ,tief5l9i5 #a4 ,trg] e9] ,funktionsskale #gi4 ,tunnelmndung #be4 ,turm1 ,aussi*t von e9em - #ff4 b]hhung #d4 ,umdrehungsfl*e #ag4 ,umri e9] ,fl*e #ef1 #fb4 ums*rieb5] ,zyl9d] #ef1 #eg1 #ei4 ,v]b9dungsl9i5 kon/ant] ,/eigung #ea4 ,v]s*neidung ,ausbil9ie #ce1 #ed4 ,v]tikals*nitt #ai4 wahre ,ge/alt e9] ,figur #ac4 ,wass]s*eide #db1 #dd4 ,weg gegeb5] ,/eigung #bj4 zei*n]is*e ,bem]kung5 #bf2 - ,analysis #fg ff41 #gg ff4 ,z5tralprojektion #ff4 zusamm5gesetzte ,funktionsskal5 #hb4 ,zyl9d] #af2 projizi]5d] - #cj2 ,s*nitt mit dem ,gelnde #ee4 ,feldmess5 und ,nivelli]54 ,von ,direktor ,pr(4 ,g4 ,volqu>dts4 7,leitfad5 f4 ,baugew]ks*ul5 ,bd4 #ac47 #c4 ,aufl4 ,mit #ch ,figur54 ,/eif geh4 -4#hj ,d] ,v]fass] hat si* auf die ,bespre*ung re9 feldmess]is*] ,arbeit5 e9fa*/] ,art bes*rnkt1 wie sie d] ,ho*s*ulbaute*nik] 9 d] ,praxis ft]s auszufhr5 hat4 ,e9 besond]] ,w]t wird d>auf gelegt1 die ,meg]te auf ihre ,ri*tigkeit zu prf54 ,das ,feldmess5 d4 ,tiefbaute*nik]s4 ,von ,dipl4-,+4 ,pr(4 ,h4 ,fri$ri*s4 7,leitf4 f4 ,baugew]ks*ul5 ,bd4 #ad u4 #bb47 ,9 zwei ,teil54 ,teil ,i3 ,re9e ,fl*5aufnahm54 #b4 ,aufl4 ,mit #agg ,figur5 und #a f>big5 ,plan4 ,/eif geh4 #c4bj4 ,teil ,,ii3 ,fl*5- und ,hh5aufnahm54 ,mit ,figur5 und ,tafeln4 #c4 ,aufl4 ,u4 d4 ,pr4 #aiai4 ,lehrbu* d4 ,v]messungskunde4 ,von ,geh4 ,reg4-,rat ,pr(4 ,dr4 ,a4 ,baule4 #b4 ,aufl4 ,mit #bhj ,figur54 ,geb4 #h4hj ,das ,bu* soll dem ,/udi]5d5 alles biet51 0 9 die ni$]e ,v]messungskunde gehrt1 und dem ,lehr] die ,mgli*keit geb51 bei ,zugrundelegung e9es ,lehrbu*es d5 ,/(f zu bewltig5 und dur* ,beispiele zu erlut]n4 ,leitfad5 d] te*nis* wi*tig5 ,kurv54 ,von ,ob]lehr] ,dr4 ,f4 ,ebn]4 ,mit #ic ,fig4 ,geb4 #d4- ,das ,bu* i/ auerord5tli* kl> ges*rieb5 und j$em ,te*nik] w>m zu empfehl51 d] si* mit d5 k9ematis*5 ,problem51 ohne d]5 ,k5ntnis die ,bewegung5 d] ,mas*95 unv]/ndli* s9d1 e+eh5d] befass5 wird4 7,zeits*rift fr gew]bl4 ,unt]ri*t47 ,geodsie4 ,e9e ,anleitung zur geodt4 ,mess4 f4 ,anfng]4 ,von ,pr(4 ,dr4-,+4 ,h4 ,hoh5n]4 ,mit #baf ,fig4 ,geb4 #ab4- ,d] ,autor n5nt se9e ,geodsie e9e ,anleitung fr ,anfng]2 i* glaube1 sie d>f als ,na*s*lagebu* w>m empfohl5 w]d5 444 7,zt4 d4 ,v]e9s d4 h4 bayr4 ,v]messungsb47 ,e9fhrung 9 die ,geodsie4 ,von ,pr(4 ,dr4 ,o4 ,egg]t4 ,mit #bcg ,fig4 i4 ,t4 ,geb4 #aj4- ,das 9 prgnant] ,krze e9e ungeahnte ,flle des ,wiss5sw]t5 zusamm5fass5de ,bu* wird e9 vorzgli*es ,hilfsmittel 9 d] ,h& d] ,/udi]5d5 se94 7,ar*iv d] ,ma!matik und ,physik47 ,grundzge d] ,geodsie mit ,e9s*lu d] ,ausglei*ungsre*nung4 ,von ,pr(4 ,dr4 ,m4 ,nbau]4 7,h&bu* d4 angew4 ,ma?4 ,bd4 ,,iii47 ,geh4 #i4-1 geb4 #i4fj ,die ,d>/ellung i/ kl> und b]si*tli*1 die ,figur5 s9d vortreffli* und belehr5d1 au* die ,re*nungsbeispiele drft5 sehr willkomm5 se9 und s9d nett angeordnet4 7,lit]>is*es ,z5tralblatt47 ,d] ,hoh5n]s*e ,przisionsdi/anzmess] und se9e ,v]b9dung mit e9em ,!odolit 7,d4 ,r4 ,p4 ,nr4 #bggjjj74 ,e9ri*tung und ,gebrau* des ,in/rum5tes fr die v]s*i$55 ,zwecke d] ,ta*ymetrie2 mit ,zahl5beispiel5 s[ie ,g5auigkeitsv]su*54 ,von ,pr(4 ,dr4-,+4 ,h4 ,hoh5n]4 ,mit #g ,abb4 i4 ,t4 u4 #a ,taf4 ,geh4 #c4bj ,die ,abh&lung gibt die ,bes*reibung e9es neu5 optis*5 ,entf]nungsmess]s1 d] im ,geg5satz zu d] langwi]ig5 und w5ig g5au5 ,messungsme?ode mit ,latte und ,b& und mit d5 bi%]ig5 ,di/anzmess]n e9 s*nelles und ungeme9 przises ,arbeit5 ermgli*t4 ,na* !oretis*] ,beh&lung des ,in/rum5ts wird se9e prakt4 ,v]w5dungsmgli*keit fr die v]s*i$55 ,zwecke d] ,ta*ymetrie errt]t und d] ,grad d] mit dem ,przisionsdi/anzmess] errei*b>5 ,g5auigkeit an ,h& zahlrei*] ,v]su*e abgeleitet4 ,allgem4 ,k>t5kunde4 ,e9 ,abri ihr] ,ges*i*te u4 ihr] ,me?od54 ,von ,dr4 ,h4 ,zond]van4 ,mit #cb ,fig4 ,geh4 #d4fj1 geb4 #e4bj ,das ,bu* ermgli*t s j$em1 si* ras* e9 tief]es ,v]/ndnis fr die ,k>te1 ihre ,ent/ehung1 ihr5 ,w]t und ihre ,b5utzung zu v]s*aff54 ,es wird dah] fr d5 ,(fizi] wie fr d5 ,lehr] d] ,geographie s[ie fr j$51 d] die ,k>te (t v]w5det1 e9 un5tbehrli*es ,hilfsmittel se94 7,bayr4 ,zeits*r4 f4 ,reals*ulwes547 ,leitfad5 d] ,k>t55twurfslehre4 ,be>beitet von ,pr(4 ,dr4 ,k4 ,zppritz4 ,hrsg4 von ,dr4 ,a4 ,bludau4 ,i3 ,die ,projektionslehre4 #c4 ,aufl4 ,mit #aed ,fig4 u4 zahlr4 ,tabell54 ,geh4 #i4-1 geb4 #aj4-4 ,,ii3 ,k>tographie und ,k>tometrie4 #b4 ,aufl4 ,mit #ab ,fig41 #b ,tabell5 und #b ,tafeln4 ,geh4 #c4fj1 geb4 #d4dj ,v]mess4- u4 ,k>t5kunde4 7,a,nu,g #g ,bde47 ,j$4 ,bd4 m4 ,abb4 ,k>t4 je #a4fj1 geb4 je #a4ij ,geographis*e ,ortsbe/immung4 ,von ,pr(4 ,s*maud]4 7,bd4 #fjf47 ,erdmessung4 ,v4 ,pr(4 ,dr4 ,osw4 ,egg]t4 7#fjg47 ,l&messung4 ,v4 ,geh4 ,f9anzr4 ,suck[4 7#fjh47 ,ausglei*ungsre*nung4 ,von ,geh4 ,reg4-,rat ,pr(4 ,e4 ,hegemann4 7,bd4 #fji47 ,photogrammetrie und ,/]eophotogrammetrie4 ,von ,dipl4-,+4 ,h4 ,ls*]4 7,bd4 #faj47 ,k>t5kunde4 ,von ,f9anzrat ,dr4-,+5ieur ,a4 ,eg]]4 ,i3 ,e9fhrung i4 d4 ,k>t5v]/ndnis4 ,,ii3 ,k>t5h]/ellung 7,l&esaufnahme74 7,bd4 #faa_/fab47 ,k>te u4 ,kroki4 ,von ,doz5t ,dr4 ,h4 ,wolff4 ,mit #dg ,fig4 7,ma?4-phys4 ,bibl4 ,b& #bg47 #a4- ,im er/5 ,teil wird e9 b]blick b] alle ,arbeit5 gegeb51 die zur ,h]/ellung uns]] ,g5]al/absk>t5 ntig s9d4 ,au* die ,b5utzung d] ,k>t51 das ,k>t5les5 wird e+eh5d erklrt4 ,d] zweite ,teil bes*ftigt si* mit d] ,anf]tigung von ,skizz5 und ,krokis4 ,auf smtli*e ,preise ,teu]ungszus*lge des ,v]lags und d] ,bu*h&lung54 ,v]lag von ,b4 ,g4 ,teubn] 9 ,leipzig und ,b]l9 ,grundzge d] ,physiogeographie4 ,v4 ,pr(4 ,w4 ,m4 ,davis u4 ,pr(4 ,dr4 ,g4 ,braun4 #b4 ,aufl4 9 #b ,teil5 ,i4 ,teil3 ,grundlag5 u4 ,me?odik4 ,zum ,gebr4 b4 ,/ud4 u4 auf ,exkursion54 ,mit #hi ,abb41 #a ,taf4 u4 ,hilf/ab4 ,geb4 ,m4 #f4-4 ,,ii4 ,teil3 ,morphologie4 ,z4 ,gebr4 b4 ,/ud4 u4 auf ,exkursion54 ,mit #id ,abb4 u4 #a ,tafel4 ,geb4 ,m4 #e4- ,man kann das ,w]k 9 ,wirkli*keit als e9 neues bezei*n51 und zw> ni*t blo weg5 se9] hufig5 ,bezugnahme auf deuts*e ,v]hltnisse1 sond]n au* d] ,spra*e na*4 ,die b]setzung i/ e9e sehr flssige4 ,mei/]hafte kle9e ,skizz5 von ,davis' ,h&1 wel*e zuglei* ,ansi*t und ,pr(il e9] typis*5 ,l&s*aft biet51 s ,blockdiagramme1 s9d e+e/reut4 ,daneb5 lauf5 ,l&s*aftsbild]1 ,wi$]gab5 von ,photographi54 7,a4 ,p5ck i4 d4 ,zeits*r4 d4 ,ges4 f4 ,erdk41 ,b]l947 ,praktis*e bung5 9 physis*] ,geographie4 ,von ,pr(4 ,w4 ,m4 ,davis4 b]trag5 und neu be>beitet von ,pr(4 ,dr4 ,k4 ,oe/rei*4 ,tex!ft und ,atlas4 ,tex!ft geh4 ,m4 #b4hj4 ,atlas mit #ch ,tafeln geh4 ,m4 #c4hj ,inhalt des ,textb&es3 ,die ,tl] des ,fe/l&es4 ,die ,k/5eb5e4 ,die ,tl] 9 d] ,k/5eb5e4 ,tafellnd] und ,kanons4 ,skulptur d] ,gebirge4 ,vulkane und ,lava/rme4 ,d] ,zyklus d] ,flsse1 ,wass]flle1 ,/roms*nell5 und ausgegli*5e ,flulufe4 ,d] ,zyklus d] ,flsse1 ,brck51 ,tl] und ,abl5kung4 ,die erklr5de ,bes*reibung d] ,l&=m54 ,von ,w4 ,m4 ,davis4 ,deuts* be>b4 von ,pr(4 ,dr4 ,a4 ,rhl4 ,mit #bab ,abb4 u4 #ac ,taf4 ,geb4 ,m4 #ab4- ,das sehr groe ,tatsa*5mat]ial i/ vortreffli* dur*ge>beitet und gesi*tet1 s da es d5 ,les] ni*t erdrckt4 ,wo es fr das ,v]/ndnis frd]li* w>1 s9d v]ans*auli*5de l&s*aftli*e ,aufrisse und ,d>/ellung5 dem ,texte beigegeb51 au* hi] hat si* d] ,v]fass] e9] weis5 ,mahaltung befleiigt4 7,b]l9] ,tageblatt47 ,e9e geographis*e ,/udi5reise dur* das we/li*e ,europa4 ,von ,w4 ,hanns1 ,a4 ,rhl1 ,h4 ,spe?mann1 ,h4 ,waldbaur4 ,m4 e94 ,e9l4 v4 ,w4 ,m4 ,davis4 ,hrsg4 v4 ,v]4 d4 ,geogr4 a4 d4 ,univ4 ,leipzig4 ,m4 #cg ,abb4 ,/eif geh4 ,m4 #b4dj ,zun*/ legt ,davis selb/ no*mals e9ige se9] wiss5s*aftli*5 ,grundans*auung5 d>4 ,dann wird von d5 brig5 ,v]fass]n das ,sn[dongebiet 9 ,wales1 d] auf ,cornwall fall5de ,teil d] ,exkursion1 e9e ,fahrt von d] ,insel ,j]sey na* d] ,bretagne ges*ild]t und zuletzt das groartige ,bild e9] typis*5 ,glets*]l&s*aft im ,haslital entrollt4 ,die ,ob]fl*5ge/altung des norddeuts*5 ,fla*l&es4 ,i4 ,teil3 ,das ,gebiet zwis*5 ,elbe und ,od]4 ,von ,dr4 ,e4 ,wund]li*4 ,geh4 ,m4 #e4bj ,ausgeh5d von d5 9 d5 letzt5 ,jahr5 gewonn55 /ratigraphis*-geologis*5 ,ergebniss5 su*t ,v]f4 an d] ,h& e9] sy/ematis*5 ,analyse d] v]s*i$55 ,gebiete 9 d] ,hauptsa*e die ,frage zu beantwort51 ob das ,relief ,norddeuts*l&s auss*lieli* dur* die letzte ,v]eisung b$+t i/ od] mit dem ,ausdehnungsb]ei* v]s*i$5] ,v]eisung5 9 g5etis*] ,beziehung /eht4 ,s*i*t5folge ,mitteldeuts*l&s4 ,zu ,tabell5 zusamm5ge/ellt fr d5 ,gebrau* auf geologis*5 ,w&]ung54 ,von ,dr4 ,?4 ,br&es4 ,k>t4 ,m4 -4#ej ,geographis*es ,w&]bu*4 ,von ,dr4 ,a4 ,b]g4 ,e9 ,fhr] fr ,w&]vgel und ,pfadf9d]4 #b4 ,aufl4 ,mit #bab ,abbildung54 ,geb4 ,m4 #d4dj ,d] ,v]fass] w die w&]nde ,jug5d zu ri*tig5 ,=s*ungsreis5d5 ma*51 die die heimatli*5 ,flur5 mit beoba*t5d5 ,aug5 dur*/reif5 und ni*t nur na* ihrem ,/immungsgehalt auss*pf51 sie soll5 zu hh]em1 bleib5dem /hetis*5 ,g5u dur*dr+5 444 7,d] ,knab5bndl]47 ,geologis*es ,w&]bu*4 ,von ,dir4 ,pr(4 ,dr4 ,k4 ,g4 ,volk4 ,i4 ,teil4 ,mit #afi ,abbildung54 ,m4 #d4- ,,ii4 ,teil4 ,mit #bfi ,abbildung54 ,m4 #d4dj4 ,d] bekannte ,v]fass] hat hi] mit viel ,ges*ick e9 ,bu* fr junge ,geolog5 ges*aff51 an dem man se9e helle ,freude hab5 mu4 ,na* grundleg5d5 ,beoba*tung5 und ,exp]im5t5 9 ,heimatflur und ,/udi]/b*5 dur*w&]t er mit uns die deuts*5 ,mittelgebirge1 und zw> s1 da er uns dabei e9 ans*auli*es ,bild von d] geologis*5 ,entwicklung uns]es ,vat]l&es vor die ,seele zaub]t4 7,?r+] ,lehr]zeitung47 ,geographis*e ,zeits*rift4 ,h]ausgegeb5 von ,pr(4 ,dr4 ,alfr$ ,hettn]4 ,,xxv4 ,jahrgang4 #aiai4 ,jhrli* #ab ,hefte4 ,halbjhrli* ,m4 #aj4- ,auf smtli*e ,preise ,teu]ungszus*lge des ,v]lags und d] ,bu*h&lung54 ,v]lag von ,b4 ,g4 ,teubn] 9 ,leipzig und ,b]l9 ,teubn]s ,naturwiss5s*aftli*e ,biblio!k ,die ,sammlung w ,lu/ und ,liebe zur ,natur weck5 und frd]n1 indem sie 9 lei*tfali*] ,weise b] die uns umgeb5d5 ,ers*e9ung5 aufklrt und die ,selb/ttigkeit anzureg5 su*t1 sei es dur* bewutes ,s*au5 und sorgfltiges ,beoba*t5 9 d] frei5 ,natur od] dur* ,an/ellung von planmig] ,v]su*5 daheim4 ,zuglei* soll d] ,les] e95 ,e9blick gew9n5 9 das ,leb5 und ,s*aff5 groer ,=s*] und ,d5k]1 dur* ,leb5sbild]1 die von ,ausdau]1 ,g$uld und ,h+abe an e9e groe ,sa*e spre*54 - ,die mit zahlrei*5 ,abbildung5 ges*mckt5 ,bnd*51 die auf e95 geordnet5 ,anfangsunt]ri*t 9 d] ,s*ule aufgebaut s9d1 s9d ni*t nur fr ,s*l] be/immt1 sie w]d5 au* erwa*s55 ,naturfreund51 d55 d>an liegt1 die 9 d] ,s*ule erworb55 ,k5ntnisse zu v]w]t5 und zu v]tief5 - vor allem ab] ,/udi]5d5 und ,lehr]n -1 ntzli* se94 ,s]ie ,a4 ,fr reif]e ,s*l]1 ,/udi]5de und ,naturfreunde4 ,alle ,bnde s9d rei* illu/ri]t und ges*mackvoll gebund54 ,groe ,physik]4 ,von ,direktor ,pr(4 ,dr4 ,joh4 ,kef]/e94 ,mit #ab ,bildniss5 ,m4 #f4fj ,physikalis*es ,exp]im5ti]bu*4 ,v4 ,/udi5r4 ,pr(4 ,h4 ,reb5/orff4 ,9 #b ,teil54 ,i4 ,teil4 #b4 ,aufl4 ,mit ,abb4 7,u4 d4 ,pr47 ,,ii4 ,teil4 ,mit #hg ,abb4 ,m4 #d4fj ,*emis*es ,exp]im5ti]bu*4 ,von ,pr(4 ,dr4 ,k>l ,s*eid4 ,9 #b ,teil54 ,i4 ,teil4 #d4 ,auflage4 ,mit #gg ,abb4 ,m4 #d4-4 ,,ii4 ,teil4 ,mit #ec ,abb4 ,m4 #c4- ,an d] ,w]kbank4 ,von ,pr(4 ,e4 ,gs*eidl54 ,mit #aaj ,abbildung5 und #dd ,tafeln ,m4 #f4- ,h]vorrag5de ,lei/ung5 d] ,te*nik4 ,von ,pr(4 ,dr4 ,k4 ,s*reb]4 ,mit #ef ,abbildung54 ,m4 #c4- ,vom ,e9baum zum ,l9i5s*iff4 ,/reifzge auf dem ,gebiete d] ,s*iffahrt und des ,seewes5s4 ,von ,+4 ,k>l ,radunz4 ,mit #ij ,abbildung54 ,m4 #c4- ,die ,lufts*iffahrt4 ,von ,dr4 ,r4 ,nimfhr4 ,mit #ii ,abbildung5 ,m4 #c4- ,aus dem ,luftme]4 ,von ,ob]l4 ,m4 ,sass5feld4 ,mit #dj ,abbildung5 ,m4 #c4- ,himmelsbeoba*tung mit bloem ,auge4 ,von ,ob]lehr] ,franz ,rus*4 #b4 ,aufl4 ,mit zahlrei*5 ,figur54 7,u4 d4 ,pr4 #aiba47 ,an d] ,see4 ,geogr4-geologis*e ,betra*tung54 ,von ,pr(4 ,dr4 ,p4 ,dahms4 ,mit #fa ,abb4 ,m4 #c4- ,k/5w&]ung54 ,biologis*e ,ausflge4 ,von ,dr4 ,v4 ,franz4 ,mit #ib ,figur5 ,m4 #c4- ,geologis*es ,w&]bu*4 ,von ,dir4 ,pr(4 ,dr4 ,k4 ,g4 ,volk4 #b ,teile4 ,i4 ,mit ,abb4 u4 #a ,ori5ti]ung/afel4 #b4 ,aufl4 7,u4 d4 ,pr4 #aiba47 ,,ii4 ,mit #aic ,abbildung5 ,m4 #d4dj ,groe ,geograph54 ,bild] aus d] ,ges*i*te d] ,erdkunde4 ,von ,pr(4 ,dr4 ,felix ,lampe4 ,mit #f ,portrts4 #d ,abb4 und ,k>t5skizz54 ,m4 #d4- ,geographis*es ,w&]bu*4 ,von ,priv4-,doz4 ,dr4 ,a4 ,b]g4 #b4 ,aufl4 ,mit #bab ,abb4 ,m4 #d4dj ,anleitung zu photograph4 ,naturaufnahm54 ,v4 ,lehr4 ,g4 ,e4 ,f4 ,s*ulz4 ,m4 #da photogr4 ,aufn4 ,m4 #f4fj ,vegetationss*ild]ung54 ,von ,pr(4 ,dr4 ,p4 ,grbn]4 ,mit #dj ,abbildung54 ,m4 #c4- ,uns]e ,frhl+spflanz54 ,von ,pr(4 ,dr4 ,fr4 ,hck4 ,mit #gf ,abbildung5 ,m4 #c4- ,groe ,biolog54 ,bild] a4 d4 ,ges*i*te d4 ,biologie4 ,von ,pr(4 ,dr4 ,w4 ,may4 ,mit #ba ,bildniss5 ,m4 #c4- ,biologis*es ,exp]im5ti]bu*4 ,anleitung z4 selb/4 ,/ud4 d4 ,leb5s]s*e9ung4 f4 jug5dl4 ,naturfreunde4 ,v4 ,pr(4 ,dr4 ,c4 ,s*ff]4 ,mit #ajj ,abb4 ,m4 #f4fj ,insekt5biologie4 ,von ,pr(4 ,dr4 ,*r4 ,s*rd]4 7,u4 d4 ,presse #aiba47 ,erlebte ,naturges*i*te4 7,s*l] als ,ti]beoba*t]47 ,von ,rektor ,c4 ,s*mitt4 #b4 ,aufl4 ,mit #ce ,abb4 ,k>t4 ,m4 #f4fj ,das ,leb5 uns]] ,vgel4 ,von ,j4 ,?i5emann4 7,9 ,vorb]47 ,9 ,vorb]eitung3 ,groe deuts*e ,indu/riebegrnd]4 ,von ,c4 ,mats*o4 - ,groe ,ma!matik]4 ,von ,e4 ,lffl]4 ,groe ,*emik]4 ,von ,o4 ,ohmann und ,r4 ,w9d]li*4 ,s]ie ,b4 ,fr jng]e ,s*l] und ,naturfreunde4 ,physikalis*e ,plaud]ei5 fr die ,jug5d4 ,von ,ob]lehr] ,l4 ,wund]4 ,mit #ae ,abb4 ,k>t4 ,m4 #b4- ,*emis*e ,plaud]ei5 fr die ,jug5d4 ,von ,ob]lehr] ,l4 ,wund]4 ,mit #e ,abb4 ,k>t4 ,m4 #a4- ,me9 ,h&w]kszeug4 ,von ,pr(4 ,o4 ,frey4 ,mit #ab ,abbildung5 ,k>t4 ,m4 #a4- ,vom ,ti]leb5 9 d5 ,trop54 ,von ,pr(4 ,dr4 ,k4 ,gu5!r4 ,mit #g ,abbildung54 ,k>t4 ,m4 #a4- ,v]su*e mit leb5d5 ,pflanz54 ,von ,dr4 ,m4 ,oettli4 ,mit #g ,abbildung5 ,k>t4 ,m4 #a4- ,jungdeuts*l& im ,gelnde4 ,unt] ,mit>beit von ,e4 ,do]nb]g]1 ,r4 ,loes]1 ,m4 ,sass5feld1 ,*r4 ,c4 ,silb]horn hrsg4 von ,pr(4 ,dr4 ,ba/ian ,s*mid4 ,mit #cf ,abb4 u4 #h ,k>t54 ,k>t4 ,m4 #b4-4 #aj ,expl4 u4 mehr je #a4hj ,pf41 #be ,expl4 u4 mehr je #a4fj ,pf41 #ej ,expl4 u4 mehr je #a4dj ,pf41 #ajj ,expl4 u4 mehr je #a4bj ,pf4 ,auf smtl4 ,preise ,teu]ungszus*lag des ,v]lags #abj 7,abnd]ung vorbehalt57 u4 teilw4 d4 ,bu*h&l4 ,v]lag von ,b4 ,g4 ,teubn] 9 ,leipzig und ,b]l9 ,preise freibleib5d ,weit]e ,anm]kung5 zur ,transkription ,(f5si*tli*e ,fehl] wurd5 /ills*weig5d korrigi]t4