,anmerkungen zur ,transkription ,im ,original gesperrter bzw4 kursiver ,text ist so ausgezeichnet4 ,im ,original fettgedruckter ,text ist so markiert4 ,die ,schreibweise x bezeichnet einen hochgestellten1 die ,schreibweise x einen tiefgestellten ,index4 line7,,ab7 bezeichnet eine ,strecke1 arc7,,ab7 eine ,kurve4 ,der ,text enthlt mathematische ,symbole1 die nicht mit jedem ,zeichensatz korrekt angezeigt werden knnen4 ,weitere ,anmerkungen zur ,transkription befinden sich am ,ende des ,buches4 ,mathematisch-,physikalische ,bibliothek ,gemeinverstndliche ,darstellungen aus der ,mathematik u4 ,physik4 ,unter ,mitwirkung von ,fachgenossen hrsg4 von ,dr4 ,w4 ,lietzmann ,direktor der ,oberrealschule zu ,gttingen und ,dr4 ,a4 ,witting ,studienrat1 ,gymnasialprof4 in ,dresden ,fast alle ,bndchen enthalten zahlreiche ,figuren4 kl4 #h4 ,kart4 je ,m4 #b4- ,hierzu ,teuerungszuschlag des ,verlages #abj 7,abnderung vorbeh47 u4 d4 ,buchhandl4 ,die ,sammlung1 die in einzeln kuflichen ,bndchen in zwangloser ,folge herausgegeben wird1 bezweckt1 allen denen1 die ,interesse an den mathematisch-physikalischen ,wissenschaften haben1 es in angenehmer ,form zu ermglichen1 sich ber das gemeinhin in den ,schulen ,gebotene hinaus zu belehren4 ,die ,bndchen geben also teils eine ,vertiefung solcher elementarer ,probleme1 die allgemeinere kulturelle ,bedeutung oder besonderes wissenschaftliches ,gewicht haben1 teils sollen sie ,dinge behandeln1 die den ,leser1 ohne zu groe ,anforderungen an seine ,kenntnisse zu steilen1 in neue ,gebiete der ,mathematik und ,physik einfhren4 ,bisher sind erschienen 7#aiab_/bj73 ,der ,begriff der ,zahl in seiner logischen und historischen ,entwicklung4 ,von ,h4 ,wieleitner4 #b41 durchgeseh4 ,aufl4 7,bd4 #b47 ,ziffern und ,ziffernsysteme4 ,von ,e4 ,lffler4 #b41 neubearb4 ,aufl4 ,i3 ,die ,zahlzeichen der alten ,kulturvlker4 7,bd4 #a47 ,,ii3 ,die ,z4 im ,mittelalter und in der ,neuzeit4 7,bd4 #cd47 ,die #g ,rechnungsarten mit allgemeinen ,zahlen4 ,von ,h4 ,wieleitner4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #g47 ,einfhrung in die ,infinitesimalrechnung4 ,von ,a4 ,witting4 #b4 ,aufl4 ,i3 ,die ,differential-1 ,,ii3 ,die ,integralrechnung4 7,bd4 #i u4 #da47 ,wahrscheinlichkeitsrechnung4 ,v4 ,o4 ,meiner4 #b4 ,auflage4 ,i3 ,grundlehren4 7,bd4 #d47 ,,ii3 ,anwendungen4 7,bd4 #cc47 ,vom periodischen ,dezimalbruch zur ,zahlentheorie4 ,von ,a4 ,leman4 7,bd4 #ai47 ,der pythagoreische ,lehrsatz mit einem ,ausblick auf das ,fermatsche ,problem4 ,von ,w4 ,lietzmann4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #c47 ,darstellende ,geometrie des ,gelndes und verw4 ,anwendungen der ,methode der kotierten ,projektionen4 ,von ,r4 ,rothe4 #b41 verb4 ,aufl4 7,bd4 #ce_/cf47 ,methoden zur ,lsung geometrischer ,aufgaben4 ,von ,b4 ,kerst4 7,bd4 #bf47 ,einfhrung in die projektive ,geometrie4 ,von ,m4 ,zacharias4 7,bd4 #f47 ,konstruktionen in begrenzter ,ebene4 ,von ,p4 ,zhlke4 7,bd4 #aa47 ,nichteuklidische ,geometrie in der ,kugelebene4 ,von ,w4 ,dieck4 7,bd4 #ca47 ,einfhrung in die ,nomographie4 ,von ,p4 ,luckey4 ,i4 ,teil3 ,die ,funktionsleiter4 7,bd4 #bh47 ,,ii4 ,teil3 ,die ,zeichnung als ,rechenmaschine4 7,bd4 #cg47 ,theorie und ,praxis des logarithm4 ,rechenschiebers4 ,von ,a4 ,rohrberg4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #bc47 ,die ,anfertigung mathemat4 ,modelle4 7,fr ,schler mittl4 ,kl47 ,von ,k4 ,giebel4 7,bd4 #af47 ,karte und ,kroki4 ,von ,h4 ,wolff4 7,bd4 #bg47 ,die ,grundlagen unserer ,zeitrechnung4 ,von ,a4 ,baruch4 7,bd4 #bi47 ,die mathemat4 ,grundlagen d4 ,variations- u4 ,vererbungslehre4 ,von ,p4 ,riebesell4 7#bd47 ,mathematik und ,malerei4 #b ,teile in #a ,bande4 ,von ,g4 ,wolff4 7,bd4 #bj_/ba47 ,der ,goldene ,schnitt4 ,von ,h4 ,e4 ,timerding4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #cb47 ,beispiele zur ,geschichte der ,mathematik4 ,von ,a4 ,witting und ,m4 ,gebhard4 7,bd4 #ae47 ,mathematiker-,anekdoten4 ,von ,w4 ,ahrens4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #ah47 ,die ,quadratur d4 ,kreises4 ,von ,e4 ,beutel4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #ab47 ,wo steckt der ,fehler8 ,von ,w4 ,lietzmann und ,v4 ,trier4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #aj47 ,geheimnisse der ,rechenknstler4 ,von ,ph4 ,maennchen4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #ac47 ,riesen und ,zwerge im ,zahlenreiche4 ,von ,w4 ,lietzmann4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #be47 ,was ist ,geld8 ,von ,w4 ,lietzmann4 7,bd4 #cj47 ,die ,fallgesetze4 ,v4 ,h4 ,e4 ,timerding4 7,bd4 #e47 ,ionentheorie4 ,von ,p4 ,bruer4 7,bd4 #ch47 ,das ,relativittsprinzip4 ,leichtfalich entwickelt von ,a4 ,angersbach4 7,bd4 #ci47 ,dreht sich die ,erde8 ,von ,w4 ,brunner4 7#ag47 ,theorie der ,planetenbewegung4 ,von ,p4 ,meth4 7,bd4 #h47 ,beobachtung d4 ,himmels mit einfach4 ,instrumenten4 ,von ,fr4 ,rusch4 #b4 ,aufl4 7,bd4 #ad47 ,mathem4 ,streifzge durch die ,geschichte der ,astronomie4 ,von ,p4 ,kirchberger4 7,bd4 #dj47 ,in ,vorbereitung3 ,doehlemann1 ,mathematik und ,architektur4 ,schips1 ,mathematik und ,biologie4 ,winkelmann1 ,der ,kreisel4 ,wolff1 ,feldmessen und ,hhenmessen4 ,verlag von ,b4 ,g4 ,teubner in ,leipzig und ,berlin ,preise freibleibend4 ,,mathematisch-,,physikalische ,,bibliothek ,,herausgegeben ,,von ,w4 ,,lietzmann ,,und ,a4 ,,witting #ce_/cf ,,darstellende ,,geometrie ,,des ,,gel,,ndes ,,und ,,verwandte ,,anwendungen ,,der ,,methode ,,der ,,kotierten ,,projektionen ,,von ,,rudolf ,,rothe ,,dr4 ,,phil41 ,o4 ,,professor ,,an ,,der ,,techn4 ,,hochschule ,,berlin ,,zweite1 ,,verbesserte ,,auflage ,,mit #ajg ,,figuren ,,im ,,text ,illustration #aiai ,,leipzig ,,und ,,berlin ,,verlag ,,und ,,druck ,,von ,b4 ,g4 ,,teubner ,schutzformel fr die ,vereinigten ,staaten von ,amerika3 ,copyright #aiai by ,b4 ,g4 ,teubner in ,leipzig4 ,,alle ,,rechte1 ,,einschliesslich ,,des ,,bersetzungsrechts1 ,,vorbehalten4 ,,vorwort ,,zur ,,ersten ,,und ,,zweiten ,,auflage ,in der vorliegenden kleinen ,schrift habe ich versucht1 den ,leser in elementarer und leicht verstndlicher ,weise mit der zeichnerischen ,behandlung der topographischen ,flchen nach der ,methode der kotierten ,projektionen bekannt zu machen4 ,die glckliche ,paarung zwischen ,rechnung und ,zeichnung1 auf der diese ,methode beruht1 die darin begrndete ,freiheit1 sich auch an kompliziertere ,aufgaben mit ,aussicht auf ,erfolg zu wagen1 und daher weiter das unbewute ,gefhl1 hier wenigstens der selbstgeschaffenen ,schmerzen der ,mathematiker ledig zu sein1 das alles gibt diesem ,schwestergebiete der darstellenden ,geometrie einen besonderen ,reiz4 ,er wird noch erhht durch die fast unmittelbare ,anwendbarkeit auf praktische ,fragen4 ,ich habe auf diese ,anwendungen groes ,gewicht gelegt2 sie entstammen zum ,teil dem geologisch-bergmnnischen ,gesichtskreis und rhren aus der ,zeit1 als ich an der ,clausthaler ,bergakademie einiges aus diesem ,gebiete in elementaren ,vorlesungen ber darstellende ,geometrie vortrug 444 ,in der zweiten ,auflage1 die dem ,bchlein trotz der ,ungunst der ,zeiten beschieden ist1 konnten mehrere sachliche und sprachliche ,verbesserungen und ,ergnzungen angebracht werden2 so insbesondere in den #fc und #fd1 wo1 wie ich glaube1 der ,begriff des ,talwegs jetzt einwandfrei erklrt worden ist4 ,auch wurde auf mehrfach geuerten ,wunsch ein kurzer ,abschnitt ber ,anwendungen auf die zeichnerische ,analysis und die ,nomographie hinzugefgt4 ,bezglich der ,abbildungen1 die schon wegen des ,formates nicht mehr als einen bloen ,anhalt zum ,anfertigen von ,reinzeichnungen geben wollen1 konnte ich mich auch aus ueren ,grnden nicht entschlieen1 grere nderungen vorzunehmen4 ,wer aus dem ,buche ernsthaft lernen will1 wird gewi nicht unterlassen1 sich ,reinzeichnungen im passenden ,mastabe selbst herzustellen4 brigens ist es ein ,unterschied1 ob es sich um eine ,reinzeichnung handelt1 wie sie in den bungen zur darstellenden ,geometrie gefordert wird1 oder um eine ,konstruktion an einer topographischen oder geologischen ,gelndekarte2 hier wird manche ,zeichnung doch nicht viel grer ausfallen als die ,abbildungen dieses ,bndchens4 ,am ,schlu ist ein alphabetisches ,sachverzeichnis angefgt worden4 ,der erweiterte ,umfang hat es erfordert1 das ,buch als ,doppelbndchen herauszugeben4 ,berlin1 im ,april #aiai4 ,,rudolf ,,rothe ,,inhalt ,seite ,einleitung #a ,i4 ,grundbegriffe und elementare ,konstruktionen ber kotierte ,projektionen #a-bb #b-ah #a4 ,kotierte ,projektion4 ,s4 #b4 #b4 ,mastab der ,zeichnung4 #c4 #c4 ,einschalten eines ,punktes4 #d4 #d4 ,stufung 7,graduierung7 einer ,geraden4 #d4 #e4 ,intervall4 #e4 #f4 ,schnitt zweier ,geraden4 #e4 #g4 ,ebene4 #f4 #h4 ,gefllemastab4 #f4 #i4 ,aufgabe4 #g4 #aj4 ,bschung1 ,fallen und ,streichen4 #g4 #aa4 ,aufgabe4 #h4 #ab ,schnittgerade zweier ,ebenen4 #h4 #ac4 ,ebenen mit parallelen ,gefllemastben4 #i4 #ad4 ,ebenen gleicher ,bschung4 #aj4 #ae4 ,schnittpunkt einer ,geraden mit einer ,ebene4 #aj4 #af4 ,lot von einem ,punkte auf eine ,ebene4 #aa4 #ag4 ,krzester ,abstand zweier windschiefer ,geraden4 #aa4 #ah4 ,drehen einer ,ebene um eine ,streichlinie in die wagerechte ,lage4 #ab4 #ai4 ,schnittwinkel zweier ,ebenen4 #ac4 #bj4 ,bschungskegel4 #ae4 #ba4 ,kreiszylinder1 schiefer ,kreiskegel1 ,kugel4 #af4 #bb4 ,andere ,oberflchen4 #af4 ,,ii4 ,elementare ,anwendungen #bc-cd #ah-be #bc4 ,zweck der ,anwendungen4 #ah4 #bd4 ,auffhrung eines ,dammes4 #ah4 #be4 ,querprofil4 #ai4 #bf4 ,anlage eines ebenen ,platzes4 #ai4 #bg4 ,weg gegebener ,steigung4 #bj4 #bh4 ,streichen und ,fallen einer ,ebene4 #ba4 #bi4 ,dachausmittelung4 #ba4 #cj4 ,aufgabe4 #bb4 #ca4 ,fortsetzung4 #bb4 #cb4 ,aufschttung einer ,halde4 #bb4 #cc4 ,ausschachten einer ,grube4 #bd4 #cd4 ,tunnelmndung4 #bd4 ,,iii4 ,darstellung der ,gelndeflchen #ce-gc #bf-ec #ce4 ,hauptschichtlinien4 #bf4 #cf4 zeichnerische ,bemerkungen4 #bf4 #cg4 ,storchschnabel4 #bg4 #ch4 ,glatte ,kurve4 #bg4 #ci4 ,spiegellineal4 #bh4 #dj4 ,tangente4 #bh4 #da4 ,hllkurve4 #bh4 #db4 ,evolute4 #bi4 #dc4 ,parallelkurven4 #bi4 #dd4 ,berhrungen im ,raume4 #bi4 #de4 ,relief eines ,gelndes4 #cj4 #df4 ,kurven auf einer ,gelndeflche4 #cj4 #dg4 ,darstellung einer ,raumkurve4 #cj4 #dh4 ,einschalten von ,punkten und ,konstruktion von ,schichtlinien4 #ca4 #di4 ,bschung einer ,raumkurve4 #cb4 #ej4 ,bschungslinie4 #cb4 #ea4 ,normalebene1 ,planierungsflche4 #cb4 #eb4 ,schmiegungsebene4 #cc4 #ec4 ,hauptnormale1 ,binormale4 #cd4 #ed4 ,schnitt einer ,flche mit einer ,ebene4 #ce4 #ee4 ,anwendung4 #cf4 #ef4 ,einschalten von ,hhenlinien4 #cf4 #eg4 ,berhrungsebene und ,normale einer ,flche4 #cg4 #eh4 ,normalebene1 ,fallinien einer ,flche4 #ch4 #ei4 ,schraffur einer ,karte4 #ci4 #fj4 ,krmmung einer ,flche4 #ci4 #fa4 ,verlauf der ,schicht- und ,fallinien4 #da4 #fb4 ,gipfel-1 ,mulden- und ,jochpunkt4 #da4 #fc4 ,wasserscheide und ,talweg4 #db4 #fd4 ,fortsetzung4 #dd4 #fe4 ,bschungsflche4 #dg4 #ff4 ,bschungsstreifen4 #dh4 #fg4 ,gratlinie4 #dh4 #fh4 ,ebene ,raumkurven4 #dh4 #fi4 ,bschungsflchen einer ,raumkurve4 #di4 #gj4 ,bschungslinien auf einer ,flche4 #ej4 #ga4 ,aufgabe4 #ea4 #gb4 ,schnitt zweier ,flchen4 #ea4 #gc4 ,durchdringungspunkte einer ,raumkurve mit einer ,gelndeflche4 #eb4 ,,iv4 ,aufgaben und ,anwendungen #gd-hh #ec-fg #gd4 ,zweck der ,aufgaben4 #ec4 #ge4 ,aufschttung und ,abtrag eines ,eisenbahndammes4 #ec4 #gf4 ,die ,ausstrichlinie einer ,mulde mit dem ,gelnde zu bestimmen4 #ed4 #gg4 ,schnittkurve einer zylindrischen ,flche mit dem ,gelnde4 #ee4 #gh4 ,um eine gegebene ,gelndeflche einen ,zylinder mit wagerechten ,mantelgeraden zu umschreiben4 #ef4 #gi4 ,durch eine gegebene ,gerade die ,berhrungsebenen an eine ,gelndeflche zu legen4 #ef4 #hj4 ,umschriebener ,zylinder mit beliebig gegebener ,richtung der ,mantelgeraden4 #eg4 #ha4 ,berhrungsebene4 #eh4 #hb4 ,andere ,konstruktion des umschriebenen ,zylinders und der ,berhrungsebene4 #ei4 #hc4 ,gebrauch einer ,hilfskurve4 #fa4 #hd4 ,schattengrenze4 #fb4 #he4 ,von einem gegebenen ,punkte an eine ,gelndeflche den ,berhrungskegel zu zeichnen4 #fb4 #hf4 ,beispiel4 #fd4 #hg4 ,ansicht des ,gelndes4 a7 ,parallelprojektion4 #fe4 #hh4 b7 ,zentralprojektion4 #ff4 ,v4 ,mabestimmungen und ,beziehungen zur zeichnerischen ,analysis #hi-ajg #fg-hi #hi4 ,lngenmessung4 #fg4 #ij4 ,flchenmessung4 a7 ,quadratteilung4 #fh4 #ia4 b7 ,einteilung in ,streifen gleicher ,breite4 #fi4 #ib4 c7 ,andere ,streifeneinteilung4 #fi4 #ic4 d7 ,planimeter4 #gj4 #id4 ,geneigte ,flche4 #ga4 #ie4 ,flcheninhalt einer ,bschungsflche4 #ga4 #if4 ,rauminhalt eines begrenzten ,gelndeteiles4 #gb4 #ig4 ,aufgabe3 ,rauminhalt einer ,lagersttte4 #gc4 #ih4 ,ausfhrung der ,aufgabe4 #gd4 #ii4 ,zeichnerische ,analysis4 #gg4 #ajj4 ,funktionsskale4 #gh4 #aja4 ,konstruktion besonderer ,funktionsskalen4 #gi4 #ajb4 ,aufgabe4 #ha4 #ajc4 ,zusammengesetzte ,funktionsskalen4 #hb4 #ajd4 ,netzteilung4 #hc4 #aje4 ,logarithmenpapier4 #he4 #ajf4 ,darstellung einer ,funktion von zwei ,vernderlichen durch ein ,rechenblatt4 #hg4 #ajg4 ,rechenblatt mit ungleichmiger ,teilung4 #hh4 ,alphabetisches ,sachverzeichnis #ij-ib ,,einleitung ,eine ,landkarte1 die einen nicht zu groen ,teil der ,erdoberflche darstellt1 gibt im groen und ganzen das ,bild wieder1 das sich einem senkrecht darber befindlichen ,beobachter aus solcher ,hhe darbietet1 wo fr ihn die ,hhenunterschiede des ,gelndes unmerklich geworden sind4 ,um diese ,hhenunterschiede in der ,karte dennoch kenntlich zu machen1 pflegt man eine gengende ,anzahl von ,punkten durch beigesetzte ,hhenzahlen 7,koten7 zu bezeichnen1 die ihre senkrechte ,entfernung von einer gedachten ,horizontalebene1 meist dem ,meeresspiegel1 in einer gewhlten ,lngeneinheit1 z4 ,b4 in ,metern1 angeben4 ,auf diese ,weise entsteht eine mehr oder weniger getreue ,darstellung 7kotierter ,ri7 der ,erdoberflche mit ihren ,erhebungen und ,senken2 oder in allgemeinerer ,bedeutung1 es entsteht die ,darstellung einer ,gelndeflche oder topographischen ,flche1 worunter in der ,regel eine solche verstanden wird1 die von jeder ,senkrechten in genau einem ,punkte geschnitten wird2 bei manchen1 z4 ,b4 bei geologischen ,betrachtungen1 ist diese ,bedingung freilich nicht immer erfllt4 ,eine auf der ,flche gelegene ,linie1 deren smtliche ,punkte die gleiche ,hhe 7,kote7 haben1 heit ,hhenlinie 7,schichtlinie1 ,niveaulinie1 ,isohypse71 bei ,hhen unter dem ,meeresspiegel auch ,tiefenlinie 7,isobathe72 sie ist die ,schnittlinie der ,gelndeflche mit einer horizontalen ,ebene4 ,ein abgelassener ,teich lt oft solche ,schichtlinien1 die ,spuren frherer ,wasserstnde1 an seinen ,ufern erkennen4 ,die ,brauchbarkeit und ,anschaulichkeit der ,darstellung einer ,gelndeflche durch eine ,karte gewinnt erheblich1 wenn auf ihr eine gengende ,anzahl von ,hhenlinien der ,art verzeichnet ist1 da ihnen eine ,einteilung der ,flche in ,schichten gleicher ,dicke entspricht 7,schichtenplan74 ,auf dieser ,darstellung einer ,gelndeflche durch ihre ,schichtlinien beruht die ,mglichkeit1 auf zeichnerisch-konstruktiven ,wegen eine groe ,anzahl von ,fragen und ,aufgaben zu beantworten1 wie sie in der ,vermessungskunde1 ,kartenkunde1 ,geographie1 militrischen ,topographie1 ,bauingenieurwissenschaft1 ,geologie1 ,bergbaukunde usw4 vorkommen knnen4 ,die ,ausfhrung der ,methoden1 die zur zeichnerischen ,lsung solcher ,fragen dienen1 bildet ein wichtiges ,mittel der angewandten ,geometrie1 das sich aus praktischen ,bedrfnissen heraus1 ursprnglich nautischen und militrischen1 entwickelt hat1 zuerst in ,frankreich1 wo die ,kenntnis derartiger ,dinge noch bis vor hundert ,jahren militrisch geheim gehalten wurde4 ,in dieses ,gebiet1 das zum ,verstndnis im allgemeinen nur wenige elementargeometrische ,vorkenntnisse erfordert1 und dessen ,pflege wegen der sofort in die ,augen springenden praktischen ,verwendbarkeit besonders reizvoll und anregend ist1 will die vorliegende ,schrift eine ,einfhrung geben4 ,es wird zweckmig sein1 zunchst auch auf einige grundlegende geometrische ,begriffe und ,konstruktionen einzugehen1 auf denen die alsdann zu besprechenden ,aufgaben ber ,gelndeflchen beruhen4 ,i4 ,,grundbegriffe ,,und ,,elementare ,,konstruktionen ,,ber ,,kotierte ,,projektionen #a4 ,kotierte ,projektion4 ,ein ,punkt ,p' des ,raumes ist durch ,angabe seiner senkrechten ,grundriprojektion ,p auf eine ,horizontalebene 7,riebene1 ,zeichenebene7 und der ,mazahl k seines senkrechten ,abstandes 7,hhenzahl1 ,kote7 von der ,ebene1 gemessen in ,einheiten des ,hhenmastabs1 eindeutig bestimmt3 kotierte ,projektion4 ,eine ,karte mit ,hhenangaben ist also eine geometrische ,grundridarstellung eines ,gelndes durch kotierte ,projektionen3 kotierte ,ebene4 ,zwei ,punkte ,p' und ,p' bestimmen eine ,gerade g'4 ,zur ,ermittelung des spitzen ,winkels 1 unter dem g' gegen die ,horizontalebene geneigt ist1 und der ,entfernung ,p',p' 7,luftlinie7 konstruiert man in der ,zeichenebene das rechtwinklige ,dreieck mit den ,katheten ,p,p und ,p,p99 k - k1 aus dem die gewnschten ,gren mit ,transporteur und ,mastab zu entnehmen sind 7,fig4 #a und #b74 ,illustration3 ,fig4 #a4 ,illustration3 ,fig4 #b4 brigens heit der ,fallwinkel1 tg das ,geflle1 der ,anstieg oder die ,bschung der ,geraden g'4 ,da man es im folgenden immer mit der ,zeichnung in der ,riebene zu tun hat1 so spricht man in der ,regel von dem ,fallwinkel1 dem ,geflle usw4 der gezeichneten ,geraden g1 der ,projektion von g'1 obwohl man darunter natrlich stets die ,gren meint1 die g' selbst zukommen4 ,darauf ist in ,zukunft zu achten4 #b4 ,mastab der ,zeichnung4 ,die ,abmessungen der ,zeichnung werden meist mit denen der ,wirklichkeit nicht bereinstimmen1 sondern geben sie in verkleinerten ,mastben wieder4 ,verhalten sich z4 ,b4 die ,horizontalentfernungen der ,zeichnung zu denen der ,wirklichkeit wie #a 3 7bei den preuischen ,metischblttern wie #a 3 #bejjj71 die gezeichneten ,hhen zu den wirklichen wie #a 3 1 so ist die wirkliche ,entfernung nicht mehr l 7line7,p,p7 7k - k771 sondern sie ist ,l 7 line7,p,p7 7k - k771 und der ,neigungswinkel im allgemeinen nicht 1 so da tg 7k - k7_/line7,p,p71 sondern gleich 1 so da tg _/ 7k - k7_/line7,p,p74 ,nur wenn 1 wenn also ,horizontalentfernungen und ,hhen im selben ,mastab #a 3 aufgetragen sind1 ist ,l l1 4 ,obwohl das praktisch selten angngig ist - meist ist 2 berhhung -1 wird es im folgenden1 wo nichts anderes gesagt ist1 doch der ,einfachheit wegen stets vorausgesetzt1 zumal viele ,konstruktionen von der ,wahl der ,mastbe ganz unabhngig sind4 #c4 ,einschalten eines ,punktes4 ,die ,fig4 #b zeigt auch1 wie man die ,kote k eines beliebigen1 auf g gelegenen ,punktes ,p ermittelt1 denn es ist ,,pp99 k - k4 ,sie zeigt ferner1 wie man bei gegebener ,hhenzahl k den zugehrigen ,punkt ,p auf der ,geraden g konstruiert3 ,man trgt1 unter ,rcksicht auf das ,vorzeichen der ,kotenunterschiede1 auf ,p,p99 k - k die ,strecke k - k ab1 entweder von ,p99 aus bis ,q und zieht dann die ,parallele ,,qp99 zu ,p,p1 oder besser von ,p aus bis ,r und zieht dann die ,parallele ,,rp zu ,p99,p2 wenn k - k und k - k verschiedenes ,vorzeichen haben1 mu man k - k an ,p,p99 verlngernd antragen1 wie es bei der ,konstruktion von 7,p7 geschehen ist4 brigens sind diese ,konstruktionen weder davon1 da ,p,p99 ,p,p ist1 noch von dem gewhlten ,hhenmastab abhngig4 ,auch rechnerisch1 sehr bequem und ausreichend genau mittels des ,rechenschiebers1 lt sich die ,kote von ,p nach der ,formel k k ,p,p_/7,p,p7 7k - k7 bestimmen4 #d4 ,stufung 7,graduierung7 einer ,geraden4 ,durch ,wiederholung der eben beschriebenen ,konstruktion kann man auf einer durch zwei ,punkte ,p,p eines kotierten ,risses gegebenen ,geraden g solche ,punkte bestimmen1 deren ,hhenzahlen von ,einheit zu ,einheit1 oder von #aj zu #aj ,einheiten oder dergleichen1 fortschreiten1 wie das in ,fig4 #c mit bestimmten ,werten ausgefhrt ist4 ,in ,p ist an g unter beliebigem ,winkel die ,strecke ,p,p99 in ,lnge von #bb1f - #ah1g #c1i beliebigen ,einheiten angetragen und auf ihr in denselben ,einheiten #bb1f - #bb #j1f1 #bb1f - #ba #a1f usw4 abgetragen2 die ,parallelen durch die erhaltenen ,punkte schneiden auf g die ,stufung 7,graduierung7 oder den ,gefllemastab aus4 ,die gestufte ,gerade erscheint wie ein aus groer ,hhe gesehener ,steigbaum mit ,sprossen4 ,illustration3 ,fig4 #c4 ,eine lotrechte ,gerade hat als ,projektion einen ,punkt und ist durch dessen ,angabe eindeutig bestimmt4 ,eine wagerechte ,gerade hat keinen ,gefllemastab2 sie ist durch ihre ,projektion und durch ,angabe der ,hhe irgendeines ihrer ,punkte eindeutig bestimmt4 #e4 ,intervall4 ,die ,entfernung zweier aufeinanderfolgender ,punkte des ,gefllemastabes einer gestuften ,geraden1 gemessen in der ,riebene1 heit ihr ,intervall i1 und eine leichte geometrische berlegung oder auch die in #b gegebene ,formel fr das ,geflle ergibt tg #a 3 i4 ,je steiler also die ,gerade ansteigt1 um so kleiner ist ihr ,intervall1 um so enger ihre ,graduierung4 #f4 ,schnitt zweier ,geraden4 ,zwei ,geraden g'1 g' des ,raumes schneiden sich dann und nur dann1 wenn ihre ,projektionen g1 g einen ,punkt mit gleicher ,kote gemeinsam haben2 sie sind parallel1 wenn ihre ,gefllemastbe durch ,parallelverschiebung zur ,deckung gebracht werden knnen1 d4 h4 wenn erstens g parallel zu g1 zweitens i i ist1 und drittens die ,graduierungen von g und g denselben ,richtungssinn haben4 ,ist die dritte ,bedingung nicht erfllt1 so sind die beiden ,geraden g'1 g' nicht parallel1 sondern jede von ihnen ist zu der ,geraden1 die sich durch irgendeinen ihrer ,punkte parallel zur anderen ziehen lt 7z4 ,b4 g'' g'71 symmetrisch bezglich des ,lotes durch diesen ,punkt 7,fig4 #d74 ,illustration3 ,fig4 #d4 ,wenn g und g zusammenfallen1 liegen g'1 g' in derselben lotrechten ,ebene2 der ,winkel von g' und g' ist in einem ,dreieck zu finden 7,fig4 #e u4 #f71 dessen ,grundlinie durch ,zusammenfgen von i und i 7mit ,bercksichtigung des ,richtungssinns7 entsteht1 und dessen ,hhe1 die in dem i und i gemeinsamen ,punkt zu errichten ist1 gleich der ,einheit des ,hhenmastabes ist4 ,der ,schnittwinkel ist ein rechter1 wenn die ,hhe #a die mittlere ,proportionale zwischen i und i ist1 d4 h4 wenn i #a 3 i1 und berdies die ,graduierungen entgegengesetzten ,sinn haben4 ,illustration3 ,fig4 #e4 ,illustration3 ,fig4 #f4 #g4 ,ebene4 ,zwei sich schneidende oder parallele ,geraden des ,raumes bestimmen eine ,ebene4 ,nachdem die beiden ,geraden gestuft sind1 lassen sich die ,schichtlinien der ,ebene als ,verbindungsgeraden der ,punkte gleicher ,hhenzahlen konstruieren2 sie sind also parallele ,geraden4 ,wenn umgekehrt die ,verbindungsgeraden je zweier und daher aller ,punkte gleicher ,hhenzahlen auf zwei gestuften ,geraden einander parallel sind1 dann liegen die ,geraden in einer ,ebene1 d4 h4 schneiden sich1 wie in ,fig4 #g g und g1 oder sind parallel1 wie g und g2 andernfalls kreuzen sie sich1 wie g und g4 ,illustration3 ,fig4 #g4 ,illustration3 ,fig4 #h4 #h4 ,gefllemastab4 ,die zu den ,schichtlinien senkrechten ,geraden der ,ebene heien ihre ,fallinien#a2 durch die ,schnittpunkte mit den ,schichtlinien werden sie graduiert4 ,eine ,ebene ist durch eine gestufte ,fallinie1 ihren ,geflle- oder ,bschungsmastab1 eindeutig gegeben2 man pflegt ihn als gestufte ,doppelgerade 7,fig4 #h7 zu zeichnen1 wobei die strker ausgezogene oder mit einer ,pfeilspitze versehene als die eigentliche ,fallinie gelten soll4 ,der ,gefllemastab einer ,ebene erscheint danach wie eine aus groer ,hhe gesehene ,leiter mit ihren ,sprossen4 #a ,in der ,fig4 #h verluft die ,gerade #c1f 444 #i1f zufllig wie eine ,fallinie4 #i4 ,aufgabe4 ,durch drei kotierte ,punkte eine ,ebene zu legen4 ,man verbindet die ,punkte durch drei ,geraden1 graduiert diese nach #d1 zeichnet durch ,verbindung gleichkotierter ,punkte der ,geraden die ,schichtlinien der ,ebene und danach senkrecht zu diesen den ,gefllemastab 7,fig4 #h74 #aj4 ,bschung1 ,fallen und ,streichen4 ,der ,fallwinkel der ,fallinien heit das ,einfallen oder das ,fallen der ,ebene1 tg ihre ,bschung1 die durch zunehmende ,hhen gegebene ,richtung der ,fallinien die ,anstiegsrichtung der ,ebene4 ,unter ,streichrichtung versteht man diejenige ,richtung der ,schichtlinien - die daher bei der ,ebene auch ,streichlinien heien -1 von der aus man im mathematisch positiven1 d4 h4 dem ,uhrzeigerlaufe entgegengesetzten ,sinne um einen rechten ,winkel zu drehen hat1 um die ,anstiegsrichtung der ,ebene zu erhalten4 ,der ,winkel 1 um den man von einer festen 7,,sn7-,richtung aus im positiven ,sinne zu drehen hat1 um die ,streichrichtung zu erhalten1 heit das ,streichen der ,ebene 7,fig4 #i74 ,illustration3 ,fig4 #i4 ,illustration3 ,fig4 #aj4 ,die ,begriffe und ,bezeichnungen des ,fallens und ,streichens einer ,ebene sind1 wenn auch nicht immer eindeutig genug erklrt1 dem ,bergmanne und ,geologen sehr gelufig1 weil durch die leicht ausfhrbare ,messung dieser ,winkel an einem der ,lage nach bekannten ,orte auch die ,lage der ,ebene1 z4 ,b4 einer erzfhrenden ebenen oder als nahezu eben anzunehmenden ,schicht1 vollstndig bestimmt ist4 #aa4 ,aufgabe4 ,um die soeben angedeutete ,aufgabe zu lsen1 d4 h4 um in einer ,karte die ,ebene zu konstruieren1 von der man an einem bekannten ,punkte ,a 7k #e1d7 das ,fallen 7 #cj7 und ,streichen 7 #abe7 beobachtet hat1 legt man zunchst durch ,antragen des ,winkels an die ,,sn-,richtung die ,streichrichtung und weiter nach positiver ,drehung um #ij die ,anstiegsrichtung der ,ebene fest4 ,ein rechtwinkliges ,hilfsdreieck1 in dem die ,kathete die ,hheneinheit1 der gegenberliegende ,winkel gleich ist1 liefert als andere ,kathete das ,intervall einer ,fallinie4 ,whlt man als ,gefllemastab der ,ebene die durch den ,punkt ,a hindurchgehende ,fallinie1 so hat man von ,a aus in der ,anstiegsrichtung #j1f i abzutragen1 um den ,punkt der runden ,hhenzahl #f zu finden und danach die ,stufung vorzunehmen 7,fig4 #aj74 #ab4 ,schnittgerade zweier ,ebenen4 ,zwei nicht parallele ,ebenen schneiden sich in einer ,geraden4 ,in der ,karte der ,ebenen erhlt man diese ,gerade und zugleich ihre ,stufung im allgemeinen als ,ort der ,schnittpunkte gleichkotierter ,schichtlinien 7,fig4 #aa74 ,illustration3 ,fig4 #aa4 ,illustration3 ,fig4 #ab4 ,das ,verfahren versagt jedoch um so mehr1 je mehr die ,schichtlinien der beiden ,ebenen einander parallel werden4 ,dann schneidet man die beiden ,ebenen 7#a7 und 7#b7 durch eine beliebige ,hilfsebene 7#c7 in geeigneter ,lage1 bestimmt die ,schnittgeraden 7#a1 #c7 und 7#b1 #c7 und deren ,schnittpunkt ,a1 der auf der ,schnittgeraden 7#a1 #b7 gelegen sein mu4 ,eine zweite ,hilfsebene 7#d7 bestimmt ebenso die ,schnittgeraden 7#a1 #d7 und 7#b1 #d7 und deren ,schnittpunkt ,b2 durch ,a und ,b ist aber die gesuchte ,schnittgerade 7#a1 #b7 vllig bestimmt 7,fig4 #ab74 ,zweckmig1 und in der ,figur ist das so ausgefhrt1 whlt man die zweite ,hilfsebene 7#d7 so1 da ihr ,gefllemastab der gleiche1 aber entgegengesetzt gerichtete zu dem von 7#c7 ist4 ,da er ganz willkrlich ist1 so gengt es zur wirklichen ,ausfhrung der ,konstruktion1 die ,schichtlinien der beiden gegebenen ,ebenen durch zwei ,parallelen p'1 p'' in beliebigem ,abstand zu schneiden4 ,illustration3 ,fig4 #ac4 ,illustration3 ,fig4 #ad4 #ac4 ,ebenen mit parallelen ,gefllemastben4 ,dieses ,verfahren ist auch anwendbar1 wenn die ,schichtlinien der beiden gegebenen ,ebenen1 also auch ihre ,gefllemastbe genau parallel sind2 man kann alsdann p'1 p'' mit diesen zusammenfallen lassen4 ,die ,schnittgerade steht jetzt senkrecht auf den beiden ,gefllemastben1 weil sie die gemeinsame ,schichtlinie der beiden ,ebenen ist 7,fig4 #ac74 ,fr den ,fall zweier ,ebenen mit parallelen ,schichtlinien lt sich auch folgende ,konstruktion ausfhren4 ,man denke sich die ,punkte gleicher ,hhenzahlen der beiden parallelen ,gefllemastbe durch ,geraden verbunden2 je zwei werden in ihrem ,schnittpunkt wegen der hnlichkeit der entstehenden ,scheiteldreiecke im ,verhltnis der ,intervalle der beiden ,gefllemastbe geteilt1 sie haben also alle denselben ,schnittpunkt ,p4 ,er mu ein ,punkt der gesuchten ,schnittgeraden sein1 weil diese auch zwei ,punkte gleicher ,hhenzahlen verbindet4 ,die ,schnittgerade ist also das ,lot durch ,p auf den gegebenen ,gefllemastben 7,fig4 #ad74 #ad4 ,ebenen gleicher ,bschung4 ,jeder ,punkt der ,schnittgeraden zweier ,ebenen gleicher ,bschung hat von zwei gleichkotierten ,streichlinien der ,ebenen dieselbe ,entfernung2 denn 7,fig4 #ae7 ,,pa und ,,pb sind ,stcke zwischen gleichkotierten ,punkten auf gleichgraduierten ,fallinien4 ,die ,schnittgerade halbiert ferner in der ,horizontalprojektion den ,winkel der beiden ,schichtlinien2 das folgt aus der ,kongruenz der beiden rechtwinkligen ,dreiecke ,,pac und ,,pbc4 ,diese ,stze gelten auch1 wenn die gerichteten ,fallinien der beiden ,ebenen miteinander einen gestreckten ,winkel bilden4 ,die ,schnittgerade ist dann die ,streichlinie1 die durch den beiden ,fallinien gemeinsamen ,punkt derselben ,hhenzahl hindurchgeht4 ,illustration3 ,fig4 #ae4 ,illustration3 ,fig4 #af4 #ae4 ,schnittpunkt einer ,geraden mit einer ,ebene4 ,man legt durch die gegebene ,gerade g 7,fig4 #af7 eine beliebige ,hilfsebene1 von der irgend zwei ,streichlinien gengen1 und ermittelt deren ,schnittpunkte mit den gleichkotierten ,schichtlinien der gegebenen ,ebene2 damit ist die ,schnittgerade s beider ,ebenen bestimmt1 und dadurch der gesuchte ,punkt ,p als ,schnittpunkt von s mit g4 ,sind die ,schnittgerade und die gegebene ,gerade einander parallel1 wie in der ,figur s und g1 so ist auch die gegebene ,gerade der ,ebene parallel2 der ,gefllemastab der ,geraden kann durch ,parallelverschiebung mit demjenigen zur ,deckung gebracht werden1 den die ,streichlinien der ,ebene auf ihr ausschneiden4 ,um den ,abstand der ,ebene von der parallelen ,geraden zu bestimmen1 ist nur von irgendeinem ihrer ,punkte ein ,lot auf die ,ebene zu fllen und dessen ,lnge zu ermitteln1 wie das sogleich gezeigt werden wird4 #af4 ,lot von einem ,punkte auf eine ,ebene4 ,man legt durch den gegebenen ,punkt ,p 7,fig4 #ag7 eine ,vertikalebene1 die zugleich auf der gegebenen senkrecht steht1 sie demnach in einer ,fallinie1 also in einer ,parallelen zum gegebenen ,gefllemastab e der ,ebene schneidet4 ,das gesuchte ,lot steht auf dieser ,fallinie senkrecht2 nach #f ist demnach seine ,graduierung entgegengesetzt und sein ,intervall i reziprok zu dem des ,gefllemastabes e1 also aus dem in der ,figur angegebenen ,dreieck ,,abc zu entnehmen4 ,das gestufte ,lot l stellt zugleich den ,gefllemastab einer ,ebene dar1 die die gegebene lngs einer ,schichtlinie schneidet1 nmlich derjenigen1 die durch den ,fupunkt ,f des ,lotes geht4 ,man zeichnet diese nach #ac1 ,fig4 #ad und danach die wahre ,lotlnge ,,fq nach #a1 wobei in der ,figur ,,pr die ,hheneinheit ist4 ,illustration3 ,fig4 #ag4 ,illustration3 ,fig4 #ah4 ,zur ,konstruktion des ,fupunktes des ,lotes ist brigens nur erforderlich1 seinen ,durchschnittspunkt mit der ,ebene wie oben 7 #ae7 zu ermitteln4 #ag4 ,krzester ,abstand zweier windschiefer ,geraden4 ,wenn man 7,fig4 #ah7 durch die eine1 g1 der beiden gegebenen windschiefen ,geraden eine ,ebene parallel zur anderen1 g1 legt und sodann von irgendeinem ,punkte ,c der ,geraden g das ,lot ,,cd auf diese ,ebene fllt1 so hat ,,cd dieselbe ,lnge wie der gesuchte krzeste ,abstand selbst4 ,wenn man ferner in der ,ebene durch ,d die ,parallele zu g zieht1 so schneidet sie g im ,punkte ,a1 dem einen ,endpunkte des gesuchten krzesten ,abstandes2 der andere1 ,b1 liegt auf g als ,schnittpunkt des in ,a auf der ,ebene errichteten ,lotes ,,ab4 ,die ,konstruktion ist danach folgendermaen3 ,man legt durch einen beliebigen ,punkt 7#a7 der einen ,geraden g eine ,parallele p zur zweiten g1 so da also p und g gleiche ,stufungen haben4 ,durch p und g ist eine zu g parallele ,ebene bestimmt1 deren ,schichtlinien sich durch ,verbindung gleichkotierter ,punkte von p und g ergeben2 e sei ihr ,gefllemastab4 ,nun fllt man von irgendeinem ,punkte ,c 7 #c7 von g das ,lot ,,cd auf diese ,ebene1 entsprechend dem ,vorhergehenden3 das ,dreieck mit dem rechten ,winkel bei ,h1 dessen ,hhe gleich der ,einheit des ,hhenmastabes ist1 liefert das 7in der ,figur stark ausgezogene7 ,intervall1 das zu dem von e reziprok ist1 und mit dem die durch ,c parallel zu e gezogene ,gerade q entgegengesetzt zu e graduiert wird2 vom ,schnittpunkt ,s der ,verbindungsgeraden #b-b1 #d-d gleichkotierter ,punkte auf q und e ist die ,senkrechte ,,sd auf q gefllt1 die den ,fupunkt ,d des gesuchten ,lotes ergibt4 ,durch ihn zieht man die ,parallele zu g1 die g im ,fupunkt ,a des gesuchten krzesten ,abstandes schneidet4 ,den anderen ,endpunkt ,b findet man durch ,,ab ,,cd4 ,illustration3 ,fig4 #ai4 #ah4 ,drehen einer ,ebene um eine ,streichlinie in die wagerechte ,lage4 ,es kommt oft vor1 da man in einer durch ihren ,gefllemastab gegebenen ,ebene ,messungen von ,winkeln oder ,lngen1 oder ,konstruktionen mastblicher ,natur auszufhren hat2 das ist nicht ohne weiteres mglich1 wenn die ,ebene nicht zur ,zeichenebene parallel1 also nicht wagerecht ist4 ,man hat sie vielmehr erst in die wagerechte ,lage zu bringen1 zweckmig durch ,drehung um eine ,streichlinie4 ,es sei 7,fig4 #ai7 ,,ab 7,hhe #j7 diese ,streichlinie einer ,ebene1 deren ,gefllemastab rechts in der ,figur zu sehen ist4 ,durch ,drehung geht die ,schar der ,streichlinien in eine andere dazu parallele ,schar ber1 die mit der ursprnglichen die ,streichlinie ,,ab gemeinsam hat4 ,in wagerechter ,lage der ,ebene ist der ,abstand zweier ,streichlinien mit dem ursprnglichen ,hhenunterschied #a die ,hypotenuse in dem ,dreieck1 dessen ,katheten das ursprngliche ,intervall i und die ,einheit des ,hhenmastabes sind 7in der ,figur links angegeben74 ,bei der ,drehung beschreibt jeder ,punkt ,c einen ,kreis1 dessen ,ebene zu ,,ab senkrecht ist und daher die ,riebene in dem ,lot ,,ch auf ,,ab schneidet4 ,um also den ,punkt ,c99 zu finden1 in den ,c nach der ,drehung bergeht1 hat man nur die mit ,c gleichkotierte ,schichtlinie 7in der ,figur die mit der ,hhenzahl #g7 nach der ,drehung mit diesem ,lot zum ,schnitt zu bringen4 ,auf diese ,weise lt sich die wahre ,gestalt einer ,figur ,,cdef der gegebenen ,ebene als ,c99,d99,e99,f99 konstruieren2 also auch z4 ,b4 die wahre ,gre des ,schnittwinkels zweier ,geraden ,,ac und ,,bc als ,winkel ,,ac99,b4 ,eine ntzliche ,kontrolle besteht in der ,konstruktion der wahren ,lngen von ,,ac und ,,bc als ,,ac99 und ,,bc99 nach #a1 wie in der ,figur angegeben4 ,durch ,umkehrung der ,konstruktion kann man eine gegebene ,figur in eine durch ihren ,gefllemastab gegebene ,ebene einzeichnen4 #ai4 ,schnittwinkel zweier ,ebenen4 ,wenn man von irgendeinem ,punkte1 der auf keiner der beiden ,ebenen gelegen ist1 auf diese die beiden ,lote fllt1 so schlieen sie miteinander dieselben ,winkel ein wie die beiden ,ebenen4 ,in #af ist das ,fllen eines ,lotes auf eine ,ebene gezeigt worden4 ,durch diese beiden ,lote ist eine ,ebene bestimmt4 ,dreht man nun diese ,ebene der beiden ,lote um eine ihrer ,schichtlinien1 d4 h4 um eine ,verbindungsgerade gleichkotierter ,punkte der ,lote1 in die wagerechte ,lage 7nach #ah71 so erhlt man die gesuchten ,schnittwinkel in wahrer ,gre4 ,der ,leser fhre danach die ,konstruktion aus4 ,eine etwas andere ,lsung der ,aufgabe ist folgende4 ,man zeichnet zuerst nach #ab die ,schnittgerade beider ,ebenen als geometrischen ,ort der ,schnittpunkte gleichhoher ,streichlinien1 sodann irgendeine1 diese ,schnittgerade senkrecht schneidende ,hilfsebene2 ihr ,bschungsmastab luft parallel zur ,projektion der ,schnittgeraden4 ,diese ,hilfsebene schneidet die beiden gegebenen ,ebenen in zwei ,geraden1 die die gesuchten ,winkel miteinander einschlieen4 ,dreht man also die ,hilfsebene um eine ihrer ,schichtlinien in die wagerechte ,lage1 so erhlt man dadurch auch die ,schnittwinkel der beiden gegebenen ,ebenen in wahrer ,gre4 ,illustration3 ,fig4 #bj4 ,die ,durchfhrung der ,konstruktion ist aus der ,fig4 #bj zu entnehmen3 ,i und ,,ii sind die ,gefllemastbe der beiden gegebenen ,ebenen1 s ihre ,schnittgerade1 h der ,gefllemastab der auf s senkrechten ,hilfsebene1 dessen ,intervall reziprok und entgegengesetzt zu dem von s ist4 ,irgendeine ,schichtlinie der ,hilfsebene schneidet die gleichhohen ,schichtlinien von ,i und ,,ii in je einem ,punkte ,a1 ,a4 ,ist ,c die ,projektion des ,schnittpunktes der ,hilfsebene mit der ,geraden s 7 #ae71 so enthlt das ,dreieck1 dessen ,projektion ,a,,ca ist1 bei ,c einen der gesuchten ,winkel1 und man findet seine wahre ,gre durch ,drehung dieses ,dreiecks um die ,gerade ,a,a in die wagrechte ,lage ,a,c99,a4 ,den ,punkt ,c99 findet man einfach1 wenn man durch s einen ,vertikalschnitt legt und diesen in die wagerechte ,lage umklappt4 ,es entsteht das rechtwinklige ,dreieck #bcc' 7worin #cc' der ,hheneinheit gleich ist71 und das ,lot1 das vom ,schnittpunkte ,b von ,a,a mit s auf die ,hypotenuse #bc' gefllt werden kann1 gibt den ,punkt ,c'1 in den durch das ,umklappen der ,scheitel der gesuchten ,winkel bergegangen ist4 ,,bc' ist also die ,hhe des oben erwhnten ,dreiecks1 und man hat mithin nur ,,bc99 ,,bc' von ,b auf s abzutragen1 um den ,punkt ,c99 zu erhalten4 ,der ,winkel ,a,c99,a und sein ,supplementwinkel sind die gesuchten ,schnittwinkel der beiden ,ebenen4 #bj4 ,bschungskegel4 ,alle durch denselben ,punkt gehenden ,ebenen gleichen ,geflles umhllen einen geraden ,kreiskegel1 den ,bschungskegel4 ,die ,bschung der ,ebenen heit auch die des ,kegels4 ,seine ,schichtlinien werden in der ,projektion durch konzentrische ,kreise dargestellt1 deren ,mittelpunkt die ,projektion des ,scheitels des ,kegels ist4 ,die ,radien der ,kreise stellen die ,mantelgeraden des ,kegels dar1 und stimmen1 in geeigneter ,weise durch die ,schichtkreise des ,kegels gestuft1 auch mit den ,gefllemastben der ,ebenen berein4 ,der ,bschungskegel kann zur ,konstruktion folgender ,aufgaben benutzt werden3 #a4 ,in einer gegebenen ,ebene durch einen gegebenen ,punkt die ,geraden von gegebenem ,anstieg zu zeichnen4 ,man mache den ,punkt zur ,spitze des ,bschungskegels vom gegebenen ,anstieg2 seine ,schnittlinien mit der ,ebene sind die gesuchten ,geraden4 ,zu ihrer ,konstruktion gengt es1 irgendeinen ,schichtkreis des ,kegels mit der gleichkotierten ,streichlinie der ,ebene zum ,schnitt zu bringen 7,fig4 #ba74 ,illustration3 ,fig4 #ba4 ,illustration3 ,fig4 #bb4 #b4 ,durch eine gegebene ,gerade die ,ebenen von gegebener ,bschung zu legen4 ,man mache irgendeinen ,punkt der ,geraden zur ,spitze eines ,kegels der gegebenen ,bschung2 die gesuchten ,ebenen sind diejenigen seiner ,berhrungsebenen1 die durch die gegebene ,gerade gehen4 ,man konstruiert sie1 indem man von irgendeinem zweiten ,punkte der ,geraden die beiden ,tangenten an den mit ihm gleichkotierten ,schichtkreis des ,kegels legt 7,fig4 #bb74 ,die ,lsungen beider ,aufgaben werden nicht reell1 wenn die ,bschung der ,ebenen kleiner ist als die der ,geraden4 #ba4 ,kreiszylinder1 schiefer ,kreiskegel1 ,kugel4 ,die ,schichtlinien eines schiefen ,kreiszylinders mit wagerechter ,grundflche sind ,kreise vom selben ,radius1 deren ,mittelpunkte auf der entsprechend der ,neigung gestuften ,zylinderachse liegen4 ,ist der ,zylinder gerade1 so lagern sich alle ,schichtkreise kongruent bereinander4 ,illustration3 ,fig4 #bc4 ,die ,schichtlinien eines schiefen ,kreiskegels mit wagerechter ,grundflche sind ,kreise1 deren ,mittelpunkte auf der gestuften ,projektion der ,kegelachse liegen1 und deren ,radien sich am einfachsten aus demjenigen durch die ,achse gelegten ebenen ,schnitte ergeben1 dessen ,schnittfigur ein gleichschenkliges ,dreieck ist 7,fig4 #bc74 ,die ,figur #bd zeigt die ,darstellung der oberen ,hlfte eines geraden ,kreiszylinders mit wagerechter ,achse2 seine ,schichtlinien sind parallele ,geraden1 seine ,halbkreise stellen sich dar als ,geraden1 die die ,schichtlinien senkrecht durchsetzen und von ihnen nach einem leicht aufzustellenden ,gesetze ungleichmig gestuft werden4 ,eine entsprechende ,darstellung tritt offenbar auch auf bei einem ,zylinder mit beliebigem ,querschnitt1 wenn nur seine erzeugenden ,geraden horizontal verlaufen4 ,sind die erzeugenden ,geraden des ,zylinders nicht horizontal1 so bestehen seine ,schichtlinien aus kongruenten ,kurven1 die aus einer von ihnen durch ,verschiebung lngs der erzeugenden ,geraden hervorgehen2 aus der ,fig4 #gi ,s4 #ee ist ein ,beispiel dafr zu entnehmen4 ,illustration3 ,fig4 #bd4 ,illustration3 ,fig4 #be4 ,die ,schichtlinien einer ,halbkugel sind konzentrische ,kreise1 deren ,radien sich aus einem lotrechten ,schnitt durch den ,mittelpunkt der ,kugel ergeben 7,fig4 #be74 #bb4 ,andere ,oberflchen4 ,von andern gekrmmten ,oberflchen1 die sich durch ihre ,schichtlinien in einfacher ,weise darstellen lassen1 seien hier nur beispielsweise folgende erwhnt3 #a4 ,wenn man die gleichkotierten ,punkte zweier windschiefer ,geraden geradlinig verbindet1 so ergibt sich eine windschiefe ,flche mit geradlinigen ,schichtlinien1 ein hyperbolisches ,paraboloid 7,fig4 #bf74 ,sein ,umri1 aus sehr groer ,hhe von oben gesehen1 ist eine ,parabel1 die auch in der ,figur deutlich erkennbar ist4 ,illustration3 ,fig4 #bf4 #b4 ,der ,leser versuche1 die ,schichtlinien einer gemeinen ,schraubenflche mit senkrechter ,achse darzustellen1 und zwar etwa eine vollstndige ,windung mit der ,ganghhe #h ,hheneinheiten4 ,man kann sie sich vorstellen als ,wendeltreppe1 von der je #h ,stufen einen ,umgang bilden4 ,illustration3 ,fig4 #bg4 #c4 ,die ,darstellung einer ,umdrehungsflche mit lotrechter ,drehachse durch ihre ,schichtlinien ergibt ein ,system konzentrischer ,kreise1 deren ,radien aus einem ,achsenschnitt der ,flche entnommen werden knnen 7,fig4 #bg74 ber die ,bedeutung der ,linie ,,dd vgl4 #fj ,s4 #da4 ,,ii4 ,,elementare ,,anwendungen #bc4 ,zweck der ,anwendungen4 ,in diesem ,abschnitte wird es sich darum handeln1 die ,verwendbarkeit der vorher entwickelten ,konstruktionen an einigen einfachen ,aufgaben zu zeigen4 ,der ,leser wird finden1 da diese ,aufgaben fast smtlich ihre ,anregung gewissen praktischen ,fragen verdanken1 von denen sie1 freilich zunchst unter sehr vereinfachenden ,annahmen1 sozusagen den geometrischen ,kern bilden4 ,es wird fr den ,leser1 der sich damit auch nur ein wenig vertraut machen will1 wohl unerllich sein1 die eine oder andere der ,aufgaben selber zeichnerisch in grerem ,mastabe auszufhren4 ,die einfachsten ,zeichenmittel gengen dazu4 #bd4 ,auffhrung eines ,dammes4 ,zwei ebene geneigte ,hnge mgen ein ,tal bilden1 dessen tiefste ,linie1 der ,talweg1 die ,schnittgerade der beiden ,ebenen 7 #ab7 ist4 ,es soll ein aus ebenen ,flchen gebildeter ,damm von gegebenem trapezfrmigen ,querschnitte1 oder auch von gegebener ,breite und gegebenen ,bschungen 7 #aj71 aufgefhrt werden1 von dem die ,mittellinie der ,dammkrone zwei gegebene gleichkotierte ,punkte der beiden ,hnge geradlinig verbindet4 ,illustration3 ,fig4 #bh4 ,illustration3 ,fig4 #bh a4 ,man ziehe ,parallelen zur ,verbindungslinie der beiden gegebenen ,punkte ,a1 ,b 7,fig4 #bh71 und zwar zunchst die beiden die ,dammkrone begrenzenden ,geraden1 sodann je noch irgendeine andere der ,schichtgeraden beider ,bschungen1 deren senkrechte ,abstnde von der ,mittellinie aus dem gegebenen ,dammprofil 7,fig4 #bh a7 zu entnehmen sind4 ,die ,schnittpunkte dieser ,schichtgeraden mit den gleichkotierten der beiden gegebenen ,ebenen 7 #ab7 sind mit den ,ecken des ,dammes durch ,geraden zu verbinden1 die sich auf dem ,talwege schneiden mssen4 ,illustration3 ,fig4 #bi4 ,bei der ,ausfhrung der ,zeichnung sind nur die sichtbaren ,teile der ,schichtlinien auszuziehen4 #be4 ,querprofil4 ,durch die in der vorigen ,figur #bh gegebene ,gelndeanordnung lngs einer gegebenen ,richtung ,,mn einen ,vertikalschnitt 7,querprofil7 zu legen4 ,da die ,begrenzung des verlangten ,querprofils nur aus geradlinigen ,stcken zusammengesetzt ist1 gengt es1 von jedem dieser ,stcke zwei ,punkte zu ermitteln4 ,man zeichnet die wagerechte ,gerade #f-f und mittels des gegebenen ,hhenmastabs die erforderlichen ,horizontalen in den verschiedenen ,hhen1 auf denen man1 ausgehend von ,m1 die horizontalen ,abstnde der ,punkte des gesuchten ,querprofils abzutragen hat 7,fig4 #bi74 #bf4 ,anlage eines ebenen ,platzes4 ,konstruktion eines rechteckigen ebenen ,platzes in gegebener ,hhe 7#e7 in einem durch zwei ebene ,hnge begrenzten ,gelnde4 ,bschung 7 #aj7 des ,planums im ,auftrage #b 3 #c1 im ,abtrage #c 3 #a4 ,illustration3 ,fig4 #cj4 ,illustration3 ,fig4 #cj a4 ,man bestimmt zunchst die ,schnittpunkte ,a1 ,b1 ,c1 ,d der gleichhohen ,schichtlinien 7#e7 der beiden ,gelndeebenen mit der ,begrenzungslinie des ,platzes1 wodurch ersichtlich wird1 an welchen ,teilen aufgeschttet und an welchen abgetragen werden mu 7,fig4 #cj74 ,nachdem man aus den gegebenen ,bschungen die ,intervalle 7 #e7 und damit die ,gefllemastbe 7 #h7 der ,bschungsebenen ermittelt hat 7vgl4 die kleine ,fig4 #cj a71 gengt es1 von den ,ebenen einige ,streichlinien 7zur ,kontrolle mehr als ntig7 zu zeichnen und ihre ,schnittgeraden mit den ,gelndeebenen und untereinander zu bestimmen 7 #ab72 letztere mssen 7 #ad7 die ,schichtlinienwinkel 7hier rechte71 also auch die 7hier ebenfalls rechten7 ,winkel der ,begrenzung des ,platzes halbieren4 ,zu beachten ist besonders die ,konstruktion des ,bschungseckpunktes ,x talaufwrts1 der als ,schnittpunkt von ,,aa'1 ,,bb' und dem ,talweg beider ,gelndeebenen erhalten wird1 wobei ,a'1 ,b' die ,schnittpunkte der ,bschungsschichtlinie #d mit den1 hier ber den ,talweg hinaus zu verlngernden ,streichlinien #d der ,gelndeebenen sind4 #bg4 ,weg gegebener ,steigung4 ,auf einem gegebenen ebenen ,hange von einem gegebenen ,punkte aus einen geraden ,weg gegebener ,steigung anzulegen1 dessen ,breite und ,bschungen gegeben sind4 ,steigung #bj #a 3 #e1 ,bschung im ,abtrag #c 3 #a1 in der ,aufschttung #b 3 #c 7,fig4 #ca74 ,illustration3 ,fig4 #ca4 ,illustration3 ,fig4 #ca a4 ,man stelle sich aus der gegebenen ,steigung des ,weges zunchst das ,intervall seiner ,mittellinie her 7,fig4 #ca a7 und zeichne sie in das gegebene ,gelnde ein mittels der ,bschungskegel1 wie in #bj angegeben3 zweckmig trgt man immer von dem gegebenen ,punkte ,a aus das ,intervall1 sein ,doppeltes1 ,dreifaches usw4 ab1 und stellt zur ,kontrolle fest1 ob die erhaltenen ,punkte der ,streichlinien auf einer ,geraden liegen4 ,in diesen ,punkten trgt man senkrecht zur ,mittelgeraden die gegebene ,wegebreite auf1 wodurch die ,berandungen des ,weges gefunden und zugleich graduiert werden4 ,durch diese hat man die ,bschungsebenen zu legen1 ebenfalls mittels der ,bschungskegel1 wie in #bj gezeigt4 ,die ,radien der zu zeichnenden ,schichtkreise der ,bschungskegel sind gleichfalls aus der ,fig4 #ca a zu entnehmen4 #bh4 ,streichen und ,fallen einer ,ebene4 ,an den ,bschungsebenen eines ,eisenbahneinschnitts beobachtet man die ,grenzlinie 7,ausbilinie1 d4 h4 ,schnitt mit der ,oberflche7 einer ebenen geologischen ,schicht4 ,es ist ,streichen und ,fallen 7 #aj7 der ,schicht zu bestimmen4 ,illustration3 ,fig4 #cb4 ,man ermittelt die ,schichtlinien der gesuchten ebenen ,schicht durch ,verbindung der gleichkotierten ,schnittpunkte der beiden beobachteten ,geraden und der ,schichtlinien der ,bschungen4 ,jene ,schichtlinien mssen parallel und von gleichem ,abstand sein1 wenn anders die beobachtete ,schicht nicht eben ist4 ,dadurch ist der ,gefllemastab und damit nach #aj das ,streichen und ,fallen bestimmt4 ,der ,streichwinkel ist in der ,fig4 #cb durch einen ,bogen angedeutet4 #bi4 ,dachausmittelung4 ,unter ,dachausmittelung versteht man im darstellend-geometrischen ,sinne die ,konstruktion von 7im allgemeinen7 ebenen ,dachflchen gegebener ,bschung auf einem gegebenen geradlinigen ,gebudegrundri4 ,hierbei wird hauptschlich von den ,stzen des #ad ber den ,schnitt zweier ,ebenen gleichen ,geflles ,gebrauch gemacht4 ,jedoch ist zu bemerken1 da sich nicht allgemeine ,gesichtspunkte zur ,konstruktion von ,dachflchen angeben lassen1 und vor allem1 da die im folgenden ausgefhrten ,konstruktionen nicht immer in der ,praxis der ,architekten ,verwendung finden2 das liegt sowohl in mancherlei ,zweckmigkeitsgrnden wie auch an sthetischen ,rcksichten4 ,hier sollen nur einige einfache ,dachausmittelungen als ,anwendungen gegeben werden4 #cj4 ,aufgabe4 ,ein ,gebude mit viereckigem ,grundri und berall gleich hohen ,mauern zu decken4 ,der ,gefllemastab des ,daches ist gegeben4 ,nach #ad sind die ,schnittlinien benachbarter ,dachflchen die ,winkelhalbierenden der ,schichtlinien1 zu denen auch die wagerechten ,begrenzungen gehren4 ,dadurch entstehen 7,fig4 #cc7 an den krzeren ,vierecksseiten dreieckige ,bedachungen1 an den lngeren viereckige1 deren ,schnittgerade1 die ,firstlinie des ,daches1 durch ,verbindung der ,dreiecksspitzen erhalten wird4 ,sie ist im allgemeinen nicht horizontal4 ,aus sthetischen ,rcksichten pflegt man daher den ber dem tiefsten ,punkt der ,firstlinie gelegenen ,dachteil gesondert mit so flachem ,geflle zu decken1 da dieser ,teil des ,daches von unten praktisch nicht sichtbar ist4 ,man fhre eine solche ,konstruktion aus4 ,illustration3 ,fig4 #cc4 #ca4 ,fortsetzung4 ,da sich drei nicht derselben ,geraden parallele ,ebenen stets in einem ,punkte treffen1 so mu von dem ,schnittpunkte zweier ,schnittlinien1 die zwei ,dachebenen miteinander bilden1 stets eine dritte ,schnittlinie ausgehen4 ,daher geht auch die ,firstlinie durch den ,schnittpunkt der beiden ,dachkanten der in ihr zusammentreffenden ,dcher hindurch2 sie halbiert auch deren ,winkel 7,fig4 #cc74 ,sind demnach diese beiden ,dachkanten parallel1 so ist auch die ,firstlinie parallel und daher horizontal4 ,diese ,bemerkungen erleichtern oft die ,konstruktionen4 ,ein ,beispiel mit einer einspringenden ,ecke gibt die ,fig4 #cd4 ,illustration3 ,fig4 #cd4 #cb4 ,aufschttung einer ,halde4 ,von einer wagerechten ,ebene 7,fig4 #ce1 ,hhe #ej71 an die sich ein ebener ,abhang anschliet1 ist ein horizontales ,geleise gg auf ,trgern ber den ,abhang hinausgebaut1 um von dort ,schlacken auf den ,abhang zu kippen4 ,das ,geleise geht erst gerade1 dann im ,halbkreise1 dann wieder gerade zurck4 ,die ,bschung der ,halde ist gegeben4 ,illustration3 ,fig4 #ce4 ,illustration3 ,fig4 #ce a4 ,bei voller ,aufschttung besteht die ,halde1 soweit das ,geleise geradlinig ist1 aus je zwei dachartig aneinandergesetzten ,ebenen2 ihr ,gefllemastab ist aus der gegebenen ,bschung zu konstruieren4 ,lngs des halbkreisfrmigen ,geleises besteht die ,halde aus zwei geraden ,kegeln1 die einander lngs des ,geleises durchdringen4 ,ihre ,bschung stimmt mit der gegebenen ebenfalls berein2 ihre ,spitzen liegen lotrecht zum ,mittelpunkte des kreisfrmigen ,geleiseteils1 im ,querprofil 7,fig4 #ce a7 bei ,s und ,s4 ,die ,kegel schneiden die ,gelndeebenen in zwei ,kegelschnitten 7,ellipsen - wie in der ,fig4 #ce -1 ,parabeln oder ,hyperbeln1 je nachdem die ,bschung des ebenen ,abhanges kleiner1 ebensogro oder grer als die der ,halde ist72 ihre groen ,hauptachsen liegen in der ,symmetrieebene des ,geleises4 ,ein ,querschnitt durch diese gibt auch die ,lngen dieser ,hauptachsen und die ,mitten der ,ellipsen2 dazu senkrechte ,querschnitte durch die ,ellipsenmitten liefern die ,lngen der kleinen ,achsen4 ,daraus lassen sich bekanntlich die ,ellipsen konstruieren4 ,auf ihnen schneiden sich gleichkotierte ,schichtlinien der ,gelndeebene und der ,haldenflche1 nmlich sowohl der ,bschungsebenen wie der ,bschungskegel2 diese ,schnittpunkte werden daher beim ,ziehen der ,ellipsen von ,nutzen sein4 #cc4 ,ausschachten einer ,grube4 ,an einem ebenen ,abhang soll eine ,grube mit kreisfrmiger wagerechter ,grundflche und gegebener ,bschung ausgeschachtet werden4 ,illustration3 ,fig4 #cf4 ,illustration3 ,fig4 #cf a4 ,die ,lsung dieser ,aufgabe ist der vorigen hnlich und in ,fig4 #cf angegeben4 ,der ,grubenrand ist eine ,ellipse1 deren ,mittelpunkt und ,hauptachsen aus dem ,querschnitt 7,fig4 #cf a7 zu entnehmen sind4 ,auf der ,horizontalprojektion dieser ,ellipse schneiden sich die gleichkotierten ,streichlinien der ,gelndeebene und die ,schichtkreise des ,bschungskegels4 #cd4 ,tunnelmndung4 ,an einem ebenen geneigten ,abhang soll eine ,tunnelmndung angelegt werden4 ,die horizontale ,mittelachse des ,tunnels und sein ,querschnitt sind gegeben2 die ,tunnelmndung ist auch in wahrer ,gestalt zu konstruieren4 ,in der ,fig4 #cg sei rechts der ,gefllemastab der gegebenen ,gelndeebene1 a 7,hhe #f7 die ,tunnelachse1 ,fig4 #cg a sei der gegebene ,querschnitt4 ,da die ,gerade aa zugleich die ,schnittgerade der vertikalen ,schnittebene lngs der ,tunnelachse mit der ,zeichenebene1 und nachdem sie durch die gegebenen ,streichlinien gestuft ist1 auch mit der gegebenen ,ebene angibt1 braucht man nur senkrecht zu ihr in den ,punkten mit den entsprechenden ,koten die ,querdimensionen des ,tunnels1 wie sie das ,profil angibt1 abzutragen und in den ,endpunkten ,parallelen zur ,tunnelachse zu ziehen2 diese ergeben die ,schichtlinien des die ,tunnelwand darstellenden ,zylinders4 ,ihre ,schnittpunkte mit gleichkotierten ,schichtlinien der gegebenen ,ebene sind ,punkte der gesuchten ,tunnelmndung4 ,die wahre ,gestalt dieser ,tunnelmndung ist durch ,drehen der ,ebene um die ,schichtlinie der ,tunnelsohle in die horizontale ,lage nach #ah zu bestimmen3 der ,abstand der ,streichlinien nach der ,drehung ist die ,hypotenuse in einem ,dreieck1 dessen ,katheten das ursprngliche ,intervall und die mit #a bezeichnete1 aus dem gegebenen ,profil zu entnehmende ,einheit des ,hhenmastabs sind 7vgl4 links in der ,fig4 #cg74 ,illustration3 ,fig4 #cg4 ,illustration3 ,fig4 #cg a4 ,bei der ,ausfhrung des in ,fig4 #cg gezeichneten ,beispiels1 bei dem das ,profil aus einem symmetrischen ,trapez und einem darber gesetzten ,halbkreise besteht1 gengt es1 die vier ,ecken des ,trapezes und den obersten ,punkt des ,halbkreises festzulegen4 ,denn die entstehenden ,figuren der ,tunnelmndung in der ,karte und in wahrer ,gestalt bestehen alsdann in einem ,viereck und einer darbergesetzten ,halbellipse1 in der die ursprnglichen horizontalen und vertikalen ,kreishalbmesser konjugierte ,halbmesser geworden sind2 die ,ellipsen sind daher leicht zu zeichnen1 wie das in den ,elementen der darstellenden ,geometrie gezeigt wird4 ,,iii4 ,,darstellung ,,der ,,gel,,ndefl,,chen #ce4 ,hauptschichtlinien4 ,in der ,einleitung wurde bereits von der ,darstellung einer ,gelndeflche durch ihre ,schichtlinien1 die ,schnittkurven mit wagerechten ,ebenen1 gesprochen1 und in den vorhergehenden vorbereitenden ,abschnitten ist davon auch schon bei der ,darstellung der einfachen ,flchen - ,ebene1 ,zylinder1 ,kegel1 ,kugel - ,gebrauch gemacht worden4 ,im folgenden sei nun die ,gestalt der ,gelndeflche willkrlich angenommen1 jedoch vorausgesetzt1 da sie im allgemeinen glatt genug verlaufe1 so da man sie durch die gezeichneten ,schichtlinien als hinreichend gegeben ansehen kann4 ,diese ,schichtlinien1 die gewhnlich ,schichten gleicher ,dicke entsprechen1 und deren ,hhenzahlen auch gewhnlich runde ,zahlen sind1 werden bisweilen ,hauptschichtlinien der ,flche genannt4 ,die kotierte ,projektion der ,hauptschichtlinien eines ,gelndes auf eine wagerechte ,zeichenebene liefert bei ntiger ,verkleinerung eine ,karte oder einen ,plan des ,gelndes4 ,allen folgenden ,betrachtungen wird ein solcher ,schichtenplan zugrunde gelegt2 an ihm knnen alle ,konstruktionen usw4 ausgefhrt werden4 ,daher werden im ,folgenden auch unter ,schichtlinien1 ,fallinien usw4 schlechtweg ihre ,abbildungen 7d4 h4 verkleinerten ,projektionen7 auf einer ,karte verstanden1 wenn nicht etwa aus dem ,zusammenhange hervorgeht1 da die ,originale des ,gelndes selbst gemeint sind4 #cf4 ,zeichnerische ,bemerkungen4 ,zunchst mgen einige ,bemerkungen ber die zeichnerische ,ausfhrung der ,konstruktionen eingeflochten werden1 von denen im folgenden die ,rede sein wird4 ,in den beiden vorhergehenden ,abschnitten war fast alles mit dem ,lineal1 dem ,zirkel1 ,mastab und ,transporteur ausfhrbar4 ,diese elementaren ,gerte werden im folgenden nicht immer gengen1 wie das in der ,natur der ,sache liegt1 wenn sich die ,konstruktionen nicht auf gerade ,linien und ,kreise beschrnken sollen4 ,oft wird es von ,vorteil oder geboten sein1 die ,konstruktionen nicht an der vorhandenen ,karte selbst auszufhren4 ,dann zeichnet man sich den erforderlichen ,teil des ,gelndes auf ein besonderes ,zeichenblatt ab1 entweder mittels ,pauspapiers1 nachdem man eine ,anzahl wichtiger ,punkte und etwa das ,gradnetz des ,gelndes besonders festgelegt hat1 oder besser und genauer mit einem ,storchschnabel 7,pantographen74 ,man kann damit zugleich die herauszuzeichnenden ,teile der ,karte in vergrertem ,mastabe wiedergeben1 was oft sehr ntzlich ist4 ,illustration3 ,fig4 #ch4 #cg4 ,der ,storchschnabel 7,pantograph2 ,christoph ,scheiner1 #afej7 besteht 7,fig4 #ch7 aus zwei durch eine ,parallelogrammfhrung 7,,cd ,,es1 ,,ce ,,ds7 verbundenen ,stangen ,,ac und ,,bc mit gemeinsamem ,drehpunkt ,c2 aus der hnlichkeit der ,dreiecke ,,ads und ,,acb folgt ,,as 3 ,,ab ,,ad 3 ,,ac4 ,wenn also der ,punkt ,a des ,apparates am ,zeichentisch oder ,reibrett festgemacht wird1 bei ,s sich ein ber der abzuzeichnenden ,karte beweglicher ,fahrstift 7scharfe ,spitze1 die durch eine daneben angebrachte ein wenig lngere ,sttze dicht ber der ,karte gefhrt wird71 bei ,b der auf dem ,papier zeichnende ,bleistift befindet1 so liefert der letztere eine ,vergrerung im ,verhltnis ,,ad 3 ,,ac4 ,ist ,,sb' ,,ac1 so beschreibt ,b' dieselbe ,figur wie ,s4 ,fr die hier in ,frage kommenden ,zwecke gengt meist ein ganz einfacher ,apparat1 wie er fr weniges ,geld zu haben ist4 ,man wird ihn ntigenfalls ein wenig ausrichten und seine ,vergrerung prfen mssen4 ,dies geschieht1 indem man mit dem ,fahrstift eine bekannte ,strecke durchluft und sie mit der vom ,bleistift gezeichneten ,strecke vergleicht4 #ch4 ,glatte ,kurve4 ,oft wird verlangt1 durch eine ,reihe passend gegebener ,punkte eine glatte ,kurve zu legen4 ,diese ,aufgabe ist bis zu einem gewissen ,grade willkrlich1 weil der ,begriff der glatten ,kurve nicht bestimmt genug ist4 ,man zieht eine solche ,kurve mit ,benutzung des ,kurvenlineals4 ,auch die ,schichtlinien sind so zu zeichnen1 aber nicht1 wie es manchmal zu sehen ist1 mit willkrlichen ,wellen und ,zacken dazwischen1 die viele ,konstruktionen ganz unausfhrbar machen wrden4 #ci4 ,spiegellineal4 ,um an eine durch ,zeichnung gegebene ebene ,kurve in einem gegebenen ,punkte die ,tangente oder ,normale zu konstruieren1 bedient man sich zweckmig eines ,spiegellineals1 d4 h4 eines ,lineals1 das an einer zur ,zeichenebene senkrechten ebenen ,seitenflche das ,spiegelbild der gezeichneten ,kurve erkennen lt4 ,dreht man es so lange um den gegebenen ,punkt1 bis ,spiegelbild und gezeichnete ,kurve ohne merklichen ,knick ineinander berzugehen scheinen1 so ist die ,schnittgerade der ,spiegel- und ,zeichenebene ,normale der ,kurve1 ihre ,senkrechte im gegebenen ,berhrungspunkte also die ,tangente4 ,als ,spiegellineal lt sich ein mit einer geraden ,kante versehener1 und1 damit die ,vorderflche1 nicht die ,hinterflche spiegelt1 schwarz hinterlegter ,spiegelglasstreifen verwenden2 fr viele ,zwecke gengt auch ein mitten auf die nicht abgeschrgte ,zentimeterteilung eines gewhnlichen ,rechenschiebers geklebtes geglttetes und mit dem ,ballen der ,hand poliertes ,stck ,stanniol4 #dj4 ,tangente4 ,von einem geeignet gegebenen ,punkte1 der nicht auf einer gegebenen ,kurve liegt1 lt sich zwar recht genau an diese eine ,tangente mit dem ,lineal legen2 doch bleibt dabei die ,lage des ,berhrungspunktes unscharf4 ,man findet ihn durch eine ,korrektions- oder ,fehlerkurve1 die man z4 ,b4 erhlt1 indem man eine ,reihe von ,sekanten zieht1 entweder durch den gegebenen ,punkt1 oder der gezeichneten ,tangente parallel1 deren zwischen der ,kurve gelegene ,sehnen man halbiert 7,fig4 #ci74 ,illustration3 ,fig4 #ci4 #da4 ,hllkurve4 ,statt da eine ,kurve zeichnerisch durch eine gengende ,anzahl ,punkte bestimmt wird1 kommt es auch oft vor1 sie zu zeichnen1 wenn eine hinreichende ,anzahl ,tangenten von ihr gegeben sind2 das wird ebenfalls durch passendes ,anlegen des ,kurvenlineals ausgefhrt4 ,man spricht in diesem ,falle davon1 da die ,tangenten die ,kurve einhllen1 letztere die ,hllkurve 7,enveloppe7 der ,tangenten ist4 ,vgl4 z4 ,b4 die ,fig4 #bf4 ,illustration3 ,fig4 #dj4 #db4 ,evolute4 ,zeichnet man zu einer gegebenen ,kurve1 die von einem ,kreise oder einer ,geraden verschieden ist1 7mit dem ,spiegellineal7 gengend viele ,normalen1 so hllen sie im allgemeinen eine zweite ,kurve ein1 die ,evolute der ursprnglichen 7,fig4 #dj74 ,der ,punkt ,m1 in dem diese eine bestimmte1 durch den ,kurvenpunkt ,p gehende ,normale berhrt1 heit der zu ,p gehrige ,krmmungsmittelpunkt der ursprnglichen ,kurve1 so da also die ,evolute der ,ort der ,krmmungsmittelpunkte ist4 ,der ,kreis mit dem ,zentrum ,m und dem ,radius ,,pm heit ,krmmungskreis und schmiegt sich an die gegebene ,kurve in ,p inniger an als jeder andere ,kreis1 obwohl er im allgemeinen die ,kurve durchschneidet4 #dc4 ,parallelkurven4 ,trgt man auf den ,normalen einer ,kurve von dieser aus nach derselben ,seite gleiche ,stcke ab1 so erhlt man eine quidistante oder parallele ,kurve4 ,alle ,parallelkurven haben also dieselben ,normalen und demnach eine gemeinsame ,evolute4 ,sie heien auch die zu der ,evolute gehrigen ,evolventen4 ,auch andere ,kurven1 z4 ,b4 ,kreise1 knnen - natrlich ebenfalls nur bei gewissen ,anordnungen - einhllende ,kurven besitzen4 ,davon macht man unter anderm zweckmig ,gebrauch1 um noch auf eine zweite ,art zu einer gegebenen eine parallele ,kurve im gegebenen ,abstand zu zeichnen4 ,man zieht um eine gengende ,anzahl von ,punkten der gegebenen ,kurve ,kreise1 deren ,radius der gegebene ,abstand ist1 und zeichnet die beiden ,hllkurven dieser ,kreise4 #dd4 ,berhrungen im ,raum4 ,von den folgenden leicht nachzuweisenden ,stzen1 die ber die ,darstellung einer ,berhrung im ,raume gelten1 wird in ,zukunft oft stillschweigend ,gebrauch gemacht1 wenn ,berhrungskonstruktionen statt auf der ,gelndeflche auf einem ,plan von ihr ausgefhrt werden4 ,eine beliebige ,raumkurve1 eine ,tangente an ihr und der ,berhrungspunkt gehen im allgemeinen bei der ,projektion in eine ebene ,kurve1 eine ,tangente an dieser und den ,berhrungspunkt ber1 und zwar entsprechen die beiden ,kurven1 die beiden ,tangenten und die beiden ,berhrungspunkte einander4 ,daraus folgt3 wenn zwei ,raumkurven sich in einem ,punkte berhren1 so berhren sich auch ihre ,projektionen in einem ,punkte1 der die ,projektion jenes ist4 #de4 ,relief eines ,gelndes4 ,die topographische ,aufnahme eines ,gelndes geschieht meist durch ,hhenmessung einer ausreichenden ,anzahl einzelner ,punkte1 deren geographische ,lage 7etwa ,lnge und ,breite1 oder andere ,koordinaten7 bekannt ist4 ,danach werden dann die ,schichtlinien konstruiert1 wovon nachher im #dh noch die ,rede sein wird4 ,wenn man fr jede ,hauptschichtlinie gleich starke ,lagen von ,pappe oder ,holz1 deren ,dicke der ,schichtendicke entspricht1 so ausschneidet1 wie die ,schichtlinie angibt1 und sie dann richtig aufeinanderlegt1 so erhlt man ein terrassenfrmiges ,gebilde1 das angenhert ein ,relief des ,gelndes darstellt4 ,auf diese ,weise werden nach ,ausfllung der ,terrassen meist ,reliefs von gebirgigen ,gegenden wirklich hergestellt4 #df4 ,kurven auf einer ,gelndeflche4 ,auer den ,schichtlinien sind natrlich noch eine ganze ,reihe anderer ,kurven im ,zusammenhang mit einer ,gelndeflche zu betrachten1 die teils auf ihr gelegen sind1 teils sie durchdringen oder berhren3 ,wege auf dem ,gelnde1 ,eisenbahnlinien1 ,schnittkurven mit anderen ,flchen1 scheinbare ,horizonte usw4 ,auch diese alle hat man sich in den ,plan eingezeichnet zu denken4 ,es wird zweckmig sein1 zunchst die hauptschlichsten ,eigenschaften solcher ,raumkurven kennen zu lernen1 da sie naturgem bei den ,konstruktionen an ,gelndeflchen fortgesetzt vorkommen4 #dg4 ,darstellung einer ,raumkurve4 ,eine beliebige ,raumkurve ist durch ihre ,projektion gegeben1 wenn zugleich fr eine gengende ,anzahl ihrer ,punkte die ,hhenzahlen bekannt sind4 ,man denke etwa an die ,darstellung des ,weges1 den ein ,luftschiff durchmessen hat4 ,alle1 die ,punkte einer ,raumkurve projizierenden lotrechten ,strahlen bilden einen ,zylinder1 den projizierenden ,zylinder1 und seine ,abwickelung gibt das ,profil lngs der ,raumkurve1 das ,lngenprofil4 ,man zeichnet diese ,abwickelung1 indem man mittels einer gengend kleinen ,zirkelffnung die ,kurve in so kleine ,stcke teilt1 da sie innerhalb der ,zeichengenauigkeit als geradlinig 7vgl4 #he7 betrachtet werden knnen1 trgt diese ,stcke mittels derselben ,zirkelffnung lngs einer ,geraden ab1 bezeichnet dabei die kotierten ,punkte und trgt in ihnen die entsprechenden ,hhen lotrecht auf4 ,die ,endpunkte dieser ,lote bilden das erwhnte ,lngenprofil 7,fig4 #da u4 #da a74 ,illustration3 ,fig4 #da4 ,illustration3 ,fig4 #da a4 #dh4 ,einschalten von ,punkten und ,konstruktion von ,schichtlinien4 ,man benutzt ein solches ,lngenprofil1 um in die ,kurve ,punkte gegebener ,kote einzuschalten1 z4 ,b4 die ,punkte mit runden ,hhenzahlen 7,hauptpunkte71 wodurch dann eine ,stufung der gegebenen ,kurve in hnlicher ,weise ausgefhrt wird1 wie das frher 7 #d7 bei der geraden ,linie geschehen ist4 ,davon macht man z4 ,b4 ,gebrauch1 um aus den vermessenen ,punkten eines ,gelndes seine ,hauptschichtlinien zu konstruieren 7vgl4 #de74 ,man verbindet zu diesem ,zwecke geeignete vermessene ,punkte der ,flche durch eine glatte ,kurve1 zeichnet deren ,lngenprofil1 aus dem man dann leicht die ,zwischenpunkte mit runden ,hhenzahlen entnehmen kann4 ,das ist in der ,fig4 #da z4 ,b4 an der ,linie ,,ab nher ausgefhrt4 ,die ,verbindungskurven sind mglichst quer zu den zu erwartenden ,schichtlinien zu whlen4 ,ein derartiges ,lngenprofil wird ferner in praktischen ,fllen oft benutzt1 um z4 ,b4 das ,steigen und ,fallen eines ,weges oder einer ,eisenbahnstrecke unabhngig von den ,krmmungen der ,linienfhrung darzustellen1 oder um die geologische ,gestaltung des ,erdinnern lngs eines ,tunnels oder ,stollens zu verfolgen4 #di4 ,bschung einer ,raumkurve4 ,unter dem ,anstieg 7,bschung7 einer ,raumkurve in einem ihrer ,punkte versteht man den ,anstieg der ,tangente in diesem ,punkte4 ,die ,projektion der ,tangente fllt nach #dd zusammen mit der ,tangente der ,projektion der ,raumkurve4 ,da sie bei der ,abwickelung des projizierenden ,zylinders auch in die ,tangente des ,lngenprofils bergeht1 so kann damit ihre ,stufung nach #d leicht ausgefhrt werden 7vgl4 ,fig4 #db74 ,illustration3 ,fig4 #db4 ,illustration3 ,fig4 #dc4 #ej4 ,bschungslinie4 ,unter dem ,intervall einer ,raumkurve in einem ihrer ,punkte versteht man das ,intervall der zugehrigen ,tangente4 ,im allgemeinen ndert es seine ,gre lngs der ,kurve3 je kleiner es ist1 um so steiler1 je grer1 um so flacher verluft die ,kurve in der ,nhe der betreffenden ,stelle4 ,ist das ,intervall lngs der ganzen ,kurve von derselben ,lnge1 so hat die ,kurve konstante ,steigung2 sie heit dann eine ,bschungslinie2 ihr ,lngenprofil ist eine ,gerade1 wie das in ,fig4 #dc gezeigt ist4 ,bei gengend enger ,graduierung ist das ,intervall einer ,raumkurve in einem ,punkte nherungsweise gleich der ,entfernung der beiden benachbarten ,hauptpunkte4 #ea4 ,normalebene1 ,planierungsflche4 ,die auf der ,tangente im ,berhrungspunkte senkrechte ,ebene heit ,normalebene der ,kurve2 ihr ,gefllemastab ist nach #f zu konstruieren als die in einer lotrechten ,ebene gelegene ,senkrechte zur ,tangente im ,berhrungspunkte 7vgl4 ,fig4 #dd73 das ,intervall ist entgegengesetzt gerichtet und reziprok zu dem der ,tangente1 wozu in der ,figur das rechtwinklige ,dreieck mit der ,hhe #a 7,einheit des ,hhenmastabes7 dient4 ,jede in der ,normalebene gelegene1 die ,kurve schneidende ,gerade heit ,normale der ,kurve4 ,illustration3 ,fig4 #dd4 ,illustration3 ,fig4 #de4 ,smtliche horizontalen ,normalen bilden eine im allgemeinen windschiefe ,flche1 die die ,kurve enthlt1 die ,planierungsflche4 ,die ,projektionen dieser ,normalen sind die mittels des ,spiegellineals leicht in die ,karte zu zeichnenden ,normalen der gegebenen ,projektion der ,kurve4 ,trgt man auf ihnen von der ,kurve aus beiderseits dasselbe ,stck ab1 so erhlt man die ,darstellung eines ,weges1 dessen ,mittellinie die gegebene ,kurve ist 7,fig4 #de74 ,im allgemeinen besteht die ,planierungsflche aus zwei ,flgeln1 die lngs derjenigen ,raumkurve aneinanderstoen1 deren ,projektion die ,evolute der gegebenen ,projektion der ,kurve ist4 ,lngs dieser ,raumkurve durchdringt die ,planierungsflche sich selbst4 ,zum ,beispiel ist die ,planierungsflche einer gewhnlichen zylindrischen ,schraubenlinie mit lotrechter ,achse die gemeine ,schraubenflche1 ihre ,selbstdurchdringungskurve die lotrechte ,achse selbst4 #eb4 ,schmiegungsebene4 ,ebenso wie die ,tangente einer ,kurve die ,grenzlage der ,sekante ist fr den ,fall1 da der eine ,kurvenpunkt sich dem anderen mehr und mehr nhert1 so ist die ,schmiegungsebene die ,grenzlage aller durch drei ,punkte der ,kurve gehenden ,ebenen fr den ,fall1 da zwei der ,punkte sich dem dritten mehr und mehr nhern1 brigens1 wenn von einer ,schmiegungsebene berhaupt die ,rede sein soll1 gleichgltig1 in welcher ,weise diese ,annherung ausgefhrt wird4 ,daher ist die ,tangente in der ,schmiegungsebene gelegen4 ,um die ,schmiegungsebene in einem gegebenen ,punkte der ,kurve zu konstruieren1 wird man demnach zuerst die zugehrige ,tangente zu ziehen und nach #di zu graduieren haben4 ,die ,schmiegungsebene wird alsdann eindeutig bestimmt sein1 sobald man die ,richtung einer ihrer ,streichlinien kennt1 z4 ,b4 derjenigen1 die durch den gegebenen ,kurvenpunkt geht4 ,die ,hauptstreichlinien sind zu dieser parallel und gehen durch die ,hauptpunkte der ,tangente4 ,illustration3 ,fig4 #df4 ,bei der ,konstruktion der ,schmiegungsebene mu man natrlich von ihrer ,erklrung ,gebrauch machen und also eine ,reihe von ,ebenen zeichnen1 deren ,grenzlage sie ist4 ,zum ,beispiel kann man zweckmig solche ,ebenen whlen1 deren einer ,punkt der gegebene ist1 whrend die beiden anderen entgegengesetzt gleiche ,hhenabstnde von ihm haben4 ,das ist in ,fig4 #df ausgefhrt1 indem jedesmal die ,verbindungsgerade der beiden letztgenannten ,punkte graduiert ist4 ,diese ,ebenen hllen eine ,flche ein1 auf der die gegebene ,kurve gelegen ist1 und auf der sich leicht die ,hhenlinien als ,verbindungskurven der ,punkte gleicher ,hhenzahlen zeichnen lassen1 insbesondere auch die durch den gegebenen ,kurvenpunkt gehende4 ,irgendeine durch diesen ,punkt gehende ,sekante der ,hhenlinie ist in einer der besagten ,ebenen als ,schichtlinie enthalten4 ,in dem ,grenzfall der ,schmiegungsebene geht also diese ,sekante in die ,tangente der erwhnten ,schichtlinie im gegebenen ,punkte ber und wird zugleich ,schichtlinie der ,schmiegungsebene4 ,danach ist diese leicht zu zeichnen4 #ec4 ,hauptnormale1 ,binormale4 ,die ,schmiegungsebene und die ,normalebene schneiden sich in der ,hauptnormalen der ,kurve4 ,das ,lot auf der ,schmiegungsebene im ,berhrungspunkte heit ,binormale der ,kurve4 ,beide ,geraden lassen sich nach #ab und #f konstruieren4 ,wer die angegebene ,konstruktion der ,tangente1 ,schmiegungsebene usw4 wirklich ausgefhrt hat1 wird unschwer bemerkt haben1 da dabei die ,genauigkeit der ,zeichnung geringer ist als bei den bisherigen ,konstruktionen4 ,der ,grund dafr liegt in den ,erklrungen der ,tangente usw4 als ,grenzlagen gewisser ,geraden usw4 ,diese ,bemerkung gilt auch fr eine ganze ,reihe von ,konstruktionen an ,kurven und ,flchen1 wie sie im folgenden mitgeteilt werden4 ,illustration3 ,fig4 #dg4 #ed4 ,schnitt einer ,flche mit einer ,ebene4 ,um die ,schnittkurve einer ,flche mit einer gegebenen ,ebene zu konstruieren1 bringt man die ,schichtlinien der ,flche mit den gleichkotierten ,streichlinien der ,ebene zum ,schnitt und verbindet die erhaltenen ,punkte durch eine glatte ,kurve4 ,diese wird ,ausschnittlinie1 ,ausbilinie1 ,verschneidung der ,ebene genannt 7,fig4 #dg74 ,illustration3 ,fig4 #dh4 ,illustration3 ,fig4 #dh a4 ,wenn man die gegebene ,flche lngs einer gegebenen ,richtung durch eine lotrechte ,ebene schneidet und diese samt der ,schnittfigur in die ,zeichenebene umklappt1 so erhlt man ein ,querprofil der ,flche lngs der gegebenen ,richtung 7,fig4 #dh74 ,oft ist es zweckmig1 um die ,zeichnung nicht zu verwirren1 oder bei ,benutzung einer ,karte1 das ,querprofil auf eine besondere ,zeichnung zu bertragen3 das geschieht lngs der gegebenen ,richtung mittels des ,zirkels oder einfacher mittels eines angelegten geraden ,papierstreifens 7,fig4 #dh a74 #ee4 ,anwendung4 ,die ,konstruktion von ,ausschnittlinien und ,querprofilen kommt sehr oft bei ,aufgaben des ,tiefbaues1 bei geologischen oder bergmnnischen ,fragen vor4 ,zum ,beispiel1 wenn man an irgendeiner ,stelle des ,gelndes das ,streichen und ,fallen einer 7in erster ,annherung als eben angenommen7 geologischen ,schicht beobachtet hat1 so ist es von ,wichtigkeit1 die 7mutmaliche7 ,ausbilinie dieser ,schicht zu kennen1 um dadurch zu wissen1 an welchen ,stellen des ,gelndes man mit einiger ,aussicht auf ,erfolg durch ,schrfarbeit die ,schicht blolegen und vielleicht abbauen kann2 oder wie tief ein ,schacht1 der an einer gegebenen1 dem ,verkehr zugnglichen ,stelle anzulegen ist1 niedergebracht werden mu1 bis er die ,schicht erreicht4 ,illustration3 ,fig4 #di4 ,man hat dann zunchst aus dem beobachteten ,einfallen und ,streichen die ,schichtlinien der ,ebene und damit ihren ,gefllemastab nach #aa zu konstruieren1 alsdann1 wie im vorigen ,paragraphen angegeben1 ihre ,ausbilinie 7in der ,figur gestrichelt7 mit der ,flche herzustellen1 schlielich durch den ,schacht in der durch die ,fallinie der ,ebene gegebenen ,richtung ein ,querprofil durch das ganze ,gelnde zu legen4 ,daraus ist dann die ,teufe des ,schachtes zu entnehmen4 ,dies ist in der ,fig4 #di ausgefhrt4 #ef4 ,einschalten von ,hhenlinien4 ,fr manche konstruktiven ,zwecke reichen oft die vorhandenen ,hhenlinien nicht an allen ,stellen der ,karte aus1 um die verlangten ,konstruktionen mit gengender ,genauigkeit auszufhren4 ,dann wird es erforderlich1 zwischen die vorhandenen noch andere ,hhenlinien einzuschalten4 ,zweckmig kann das mit ,hilfe von ,querprofilen geschehen1 die man an den betreffenden ,stellen der ,karte in gengender ,anzahl legt1 und aus denen man die erforderlichen ,punkte fr die zu konstruierenden ,zwischenschichtlinien entnimmt 7vgl4 ,fig4 #ej74 ,illustration3 ,fig4 #ej4 ,illustration3 ,fig4 #ea4 ,wenn die ,hhenlinien nur schwach gekrmmt sind1 kann man mittels eines einfach anzulegenden ,mastabes ,punkte der einzuschaltenden ,schichtlinien mit gengender ,annherung auffinden1 wie das aus der ,fig4 #ea hervorgeht2 bei geradlinigen ,schichtlinien wre dieses ,verfahren streng richtig4 ,am genauesten und in jedem ,falle anzuwenden sind die ,lngenprofile quer zu den ,schichtlinien 7lngs der ,fallinien1 vgl4 #eh71 und zwar so1 wie es im #dh gezeigt worden ist4 #eg4 ,berhrungsebene und ,normale einer ,flche4 ,um in einem gegebenen ,punkte der ,flche die ,berhrungsebene zu konstruieren1 bedenke man1 da diese von einer durch den ,punkt gehenden wagerechten ,ebene in einer wagerechten ,geraden geschnitten wird2 diese ,gerade ist eine ,tangente der ,flche in dem gegebenen ,punkte1 also auch eine ,tangente an die durch den ,punkt gehende ,hhenlinie der ,flche4 ,da den ,berhrungen auf der ,flche auch ,berhrungen in der ,karte entsprechen 7 #dd71 so ist demnach auf dem ,plane die ,normale der ,hhenlinie in dem gegebenen ,punkte 7mit dem ,spiegellineal zu zeichnen7 die ,projektion einer ,fallinie der gesuchten ,berhrungsebene4 ,konstruiert man das durch die ,richtung dieser ,fallinie bestimmte ,querprofil der ,flche nach #ed1 so ist die ,fallinie an ihm in dem gegebenen ,punkte ,tangente4 ,ihr ,bschungsmastab ist also auch der ,gefllemastab der gesuchten ,berhrungsebene 7vgl4 ,fig4 #eb u4 #eb a74 ,illustration3 ,fig4 #eb4 ,illustration3 ,fig4 #eb a4 ,die ,flchennormale ist das ,lot auf der ,berhrungsebene im ,berhrungspunkte4 ,da es in der eben erwhnten ,profilebene liegt1 fllt seine ,projektion mit der der ,fallinie der ,berhrungsebene zusammen4 ,sein ,gefllemastab hat nach #f das reziproke ,intervall desjenigen der ,berhrungsebene1 ist ihm entgegengesetzt gerichtet und daher wie dort angegeben zu bestimmen4 #eh4 ,normalebene1 ,fallinien einer ,flche4 ,irgendeine die ,flchennormale enthaltende ,ebene heit ,normalebene der ,flche2 sie schneidet die ,flche in einem ,normalschnitt1 die ,berhrungsebene in einer ,tangente der ,flche4 ,durch jeden ,flchenpunkt gehen also unzhlig viele ,tangenten1 von denen im allgemeinen nur eine1 die zugleich ,tangente der durch den ,berhrungspunkt gehenden ,schichtlinie der ,flche ist1 horizontal luft4 ,die anderen verlaufen paarweise mit demselben ,anstieg1 bis auf eine1 deren ,geflle mit dem der ,ebene bereinstimmt4 ,es ist zugleich das grte unter allen betrachteten und wird ,geflle der ,flche in dem betreffenden ,punkte genannt4 ,geht man von einem ,punkte der ,flche in ,richtung des eben erwhnten grten ,geflles1 der ,fallrichtung1 also senkrecht zur ,schichtlinie1 weiter zu einem ,punkte der nchsten ,schichtlinie1 von da in derselben ,weise weiter und so fort1 so durchluft man eine ,fallinie der ,flche4 ,die ,fallinien stehen auf den ,schichtlinien senkrecht4 ,um sie zu konstruieren 7,fig4 #ec u4 #ed71 bedient man sich zweckmig des ,spiegellineals3 man errichtet1 von einem ,punkte einer ,schichtlinie ausgehend1 auf ihr mittels des ,spiegellineals die ,normale1 setzt an sie in einem ,punkte1 der etwa mitten bis zur nchstfolgenden ,schichtlinie gelegen ist1 die ,normale zu dieser an1 usw4 ,diese ,normalen hllen die gesuchte ,fallinie ein1 deren ,tangenten sie sind 7 #da74 ,dabei ist es erforderlich1 da gengend viele ,schichtlinien zu ,verfgung stehen2 ntigenfalls werden zuvor einige einzuschalten sein 7 #ef74 ,illustration3 ,fig4 #ec4 ,illustration3 ,fig4 #ed4 #ei4 ,schraffur einer ,karte4 ,die ,fallinien einer ,gelndeflche geben die ,richtung des langsam herabflieenden ,wassers an4 ,im allgemeinen geht durch jeden ,punkt der ,flche genau eine ,fallinie2 ber die besonders zu erwhnenden ,ausnahmen s4 weiter unten #fa4 ,der ,anstieg lngs der ,fallinien einer ,flche ist im allgemeinen vernderlich2 man pflegt in der ,kartenkunde das strkere oder schwchere ,geflle des ,gelndes durch strkeres oder schwcheres ,ausziehen der ,fallinien kenntlich zu machen1 um dadurch einen erhabenen ,eindruck der ,karte hervorzurufen4 ,dazu benutzt man meistens eine dem ,geflle entsprechend abgetnte ,schraffur4 ,die ,richtung der ,schraffenstriche stimmt mit der ,richtung der ,fallinien berein4 #fj4 ,krmmung einer ,flche4 ,hinsichtlich der ,punkte1 die eine ,flche auer dem ,berhrungspunkte in seiner ,nachbarschaft mit der ,berhrungsebene gemeinschaftlich haben kann1 sind drei verschiedene ,flle mglich1 wenn man von besonderen ,ausnahmen absieht4 ,entweder hat die ,oberflche mit ihrer ,berhrungsebene in der ,umgebung des ,berhrungspunktes weiter gar keinen ,punkt gemeinsam2 die ,berhrungsebene verluft dort dann also ganz auf einer ,seite der ,flche4 ,dann heit die ,flche in dem betrachteten ,berhrungspunkte bauchig 7positiv oder elliptisch gekrmmt74 ,vgl4 #ee und #ee a4 ,das ,ellipsoid gibt dafr ein ,beispiel in jedem seiner ,punkte4 ,illustration3 ,fig4 #ee4 ,illustration3 ,fig4 #ee a4 ,oder zweitens die ,berhrungsebene durchdringt in der ,nhe des ,berhrungspunktes die ,flche so1 da die ,schnittkurve beider im ,berhrungspunkte einen ,doppelpunkt besitzt4 ,dann heit die ,flche daselbst sattelfrmig 7negativ oder hyperbolisch gekrmmt74 ,vgl4 ,fig4 #ef und #ef a4 ,das einschalige ,hyperboloid oder das hyperbolische ,paraboloid ist in jedem seiner ,punkte sattelfrmig2 die ,schnittkurve besteht hier aus den beiden1 sich im ,berhrungspunkte schneidenden erzeugenden ,geraden4 ,illustration3 ,fig4 #ef4 ,illustration3 ,fig4 #ef a4 ,oder drittens3 die ,berhrungsebene dringt zwar ebenfalls in der ,nhe des ,berhrungspunktes in die ,flche ein1 aber so1 da die ,schnittkurve beider nur einmal durch den ,berhrungspunkt geht4 ,dann heit die ,flche in dem betreffenden ,punkte parabolisch gekrmmt4 ,vgl4 ,fig4 #eg und #eg a4 ,ein ,kegel mit beliebiger ,basis ist in jedem seiner ,punkte parabolisch gekrmmt4 ,flchenstcke1 deren smtliche ,punkte parabolisch gekrmmt sind1 lassen sich ohne ,dehnung und ,faltung derartig verbiegen1 da sie ,teile einer ,ebene werden1 oder1 was dasselbe besagt1 man kann sie auf eine ,ebene abwickeln2 daher heien solche ,flchen abwickelbar4 ,illustration3 ,fig4 #eg4 ,illustration3 ,fig4 #eg a4 ,es kann vorkommen1 da auf einer und derselben ,flche sowohl bauchige wie sattelfrmige ,teile vorhanden sind4 ,sie werden dann getrennt durch eine ,kurve1 die ,krmmungsgrenze 7,demarkationslinie1 parabolische ,kurve71 in deren ,punkten die ,flche parabolisch gekrmmt ist4 ,ein ,beispiel dafr ist die in der ,fig4 #bg auf ,s4 #ah abgebildete glockenfrmige ,umdrehungsflche3 ,,dd bezeichnet die ,krmmungsgrenze1 der obere ,teil ist bauchig1 der untere sattelfrmig4 #fa4 ,der ,verlauf der ,schicht- und ,fallinien lngs einer ,gelndeflche ist uerst mannigfaltig und scheinbar sehr regellos4 ,jedoch kann man oft aus dem bloen ,anblick dieser ,linien in der ,karte geometrische ,eigenschaften der ,flche an der betrachteten ,stelle herauslesen2 und es ist fr die ,beschftigung mit der ,kartenkunde sehr wichtig1 sich darin eine gewisse bung zu verschaffen4 ,da die ,schichtlinien als ,linien gleichen ,wasserstandes aufgefat werden knnen1 mssen sie auf einer nicht willkrlich begrenzten ,gelndeflche stets geschlossen sein4 ,keine zwei ,schichtlinien verschiedener ,hhen knnen sich schneiden4 ,bei ,ausschlu berhngender ,teile des ,gelndes gilt dies auch von den ,projektionen der ,schichtlinien in der ,karte4 ,im allgemeinen geht durch jeden ,punkt des ,planes genau eine ,schichtlinie2 es gibt jedoch gewisse ,ausnahmepunkte4 #fb4 ,gipfel-1 ,mulden- und ,jochpunkt4 ,zunchst gibt es solche ,punkte1 durch die keine ,schichtlinie geht oder1 genauer gesagt1 deren zugehrige ,hhenlinie auf den ,punkt selbst zusammengeschrumpft ist4 ,es sind die ,punkte1 die hher oder tiefer liegen als smtliche ,punkte ihrer ,umgebung4 ,sie heien ,gipfel- oder ,muldenpunkte1 je nachdem die benachbarten ,schichtlinien1 von ellipsenhnlicher ,gestalt1 kleinere oder grere ,hhenzahlen haben 7,fig4 #eh74 ,illustration3 ,fig4 #eh4 ,illustration3 ,fig4 #ei4 ,sodann gibt es solche ,punkte1 durch die zwei1 vielleicht auch mehrere ,schichtlinien 7derselben ,hhenzahl7 hindurchgehen4 ,der gewhnlichste dieser ,punkte ist der ,jochpunkt1 die tiefste ,stelle zwischen zwei ,erhebungen und ,ausgangsstelle zweier durch einen ,bergrcken getrennter ,tler1 oder auch1 was dasselbe bedeutet1 die hchste ,stelle zwischen zwei ,tlern und ,ausgangsstelle zweier durch ein ,tal getrennter ,bergrcken 7,fig4 #ei74 ,besondere ,flle treten ein1 wenn mehrere ,tler und mehrere ,bergrcken von einem gemeinsamen ,punkte entspringen1 wovon die ,fig4 #fj ein ,beispiel gibt4 ,illustration3 ,fig4 #fj4 ,die ,berhrungsebene in einem ,gipfel- oder ,mulden- oder ,jochpunkte ist wagerecht1 wie sich auch aus einer ,betrachtung der ,querprofile sogleich ergibt4 ,da sie in der ,umgebung eines ,gipfelpunktes ganz oberhalb der ,flche1 in der ,umgebung eines ,muldenpunktes ganz unterhalb liegt1 so ist die ,flche in diesen ,punkten bauchig 7 #fj74 ,in einem ,jochpunkt ist sie dagegen sattelfrmig4 #fc4 ,wasserscheide und ,talweg4 ,im allgemeinen geht durch jeden ,punkt einer ,gelndeflche genau eine ,fallinie2 aber auch hiervon gibt es ,ausnahmen4 ,durch jeden ,gipfel- und jeden ,muldenpunkt gehen unzhlig viele ,fallinien1 ebendie1 welche die benachbarten elliptischen ,schichtlinien der ,umgebung senkrecht durchschneiden4 ,die ,fig4 #fa zeigt den ,verlauf dieser ,fallinien1 wie ihn eine genauere ,betrachtung1 die hier zu weit fhren wurde1 erkennen liee3 die ,fallinien berhren nmlich smtlich die gemeinsame groe ,achse der ,ellipsen im ,mittelpunkt1 dem in ,rede stehenden ,gipfel- oder ,muldenpunkt1 bis auf eine1 die in ,richtung der kleinen ,achse verluft4 ,wenn die ,schichtlinien in der ,umgebung eines ,gipfel- oder ,muldenpunktes angenhert konzentrische ,kreise sind1 wie es z4 ,b4 bei einer ,umdrehungsflche mit senkrechter ,drehachse 7vgl4 ,fig4 #bg ,seite #ah7 eintreten kann1 dann verlaufen natrlich die ,fallinien radial1 und keine von ihnen ist bevorzugt 7,kreispunkt oder ,nabelpunkt74 ,illustration3 ,fig4 #fa4 ,in der ,nhe eines ,jochpunktes verlaufen die ,schichtlinien der ,flche angenhert wie ,hyperbeln mit gemeinsamen ,hauptachsenrichtungen und gemeinsamem ,mittelpunkt4 ,den ,verlauf der ,fallinien zeigt die ,fig4 #fb3 durch den ,jochpunkt selbst gehen zwei ,fallinien in ,richtung der ,hauptachsen4 ,illustration3 ,fig4 #fb4 ,auf manchen ,flchen treten ,fallinien auf1 in deren ,umgebung sich die benachbarten um so enger zusammendrngen1 je nher sie an jenen liegen4 ,solche ,fallinien sollen ausgezeichnete ,fallinien heien4 ,es kann ferner vorkommen1 da auf einer solchen ausgezeichneten ,fallinie ein oder mehrere ,punkte liegen1 in denen benachbarte ,fallinien wirklich einmnden oder aus denen sie entspringen1 oder da sich ihr die benachbarten ,fallinien asymptotisch nhern 7in einem sehr fernen ,punkte einmnden74 ,eine derartige ausgezeichnete ,fallinie mit ,mndungspunkten 7einschlielich asymptotischen ,einmndens7 heit ,talweg1 falls die benachbarten ,fallinien im ,sinne abnehmender ,hhen einmnden oder sich ihr im absteigenden ,sinne asymptotisch nhern4 ,dagegen heit sie ,kammweg 7,rckenlinie1 ,wasserscheide71 falls die ,fallinien im ,sinne aufsteigender ,hhen einmnden1 d4 h4 aus ihnen entspringen4 ,eine ausgezeichnete ,fallinie kann in ihrem ,verlauf teils ,talweg1 teils ,wasserscheide1 teils keins von beiden sein4 ,der ,name ,talweg1 der brigens als deutsches ,fremdwort in die franzsische ,sprache eingedrungen ist 7le thalweg71 rhrt von dem deutschen ,wasserbaumeister ,wiebeking 7 #ahdb7 her4 ,die ,begriffe des ,talwegs und der ,wasserscheide spielen bei der ,festsetzung politischer ,grenzen eine ,rolle4 #fd4 ,fortsetzung4 ,fr jeden ,gipfelpunkt1 der kein ,kreispunkt ist1 bildet die in der ,lngsrichtung des ,gipfels hindurchgehende ,fallinie einen ,kammweg2 denn die benachbarten ,fallinien entspringen1 sie berhrend1 aus ihr im ,gipfelpunkte 7vgl4 ,fig4 #fa74 ,und fr jeden ,muldenpunkt1 der nicht zugleich ,kreispunkt ist1 bildet die in der ,lngsrichtung die ,mulde durchziehende ,fallinie einen ,talweg4 ,die ,fig4 #fc gibt den ,verlauf eines ,kammwegs ,k und eines ,talwegs ,t mit sehr fernen ,ursprungs- und ,mndungspunkten wieder4 ,einem solchen ,talweg entspricht in der ,natur der ,weg eines gengend langsam flieenden und schmalen ,baches1 der durch allmhliche ,vereinigung kleinerer ,wasseradern entsteht4 ,ein ,kammweg bildet die ,grenze zwischen zwei ,abflugebieten des ,gelndes4 ,illustration3 ,fig4 #fc4 ,von einem ,jochpunkte 7,fig4 #fb7 gehen zwei ausgezeichnete ,fallinien aus2 der einen nhern sich benachbarte ,fallinien im aufsteigenden1 der anderen im absteigenden ,sinne4 ,man darf aber im allgemeinen weder die erste als ,kammweg noch die zweite als ,talweg bezeichnen4 ,wenn die von einem ,jochpunkte nach einer ,mulde herabfhrende ausgezeichnete ,fallinie die ,mulde nicht in der ,lngsrichtung1 sondern in der ,querrichtung durchluft1 ist sie gewi in diesem ,stcke des ,gelndes kein ,talweg4 ,die ,fig4 #fd gibt dies an2 und die ,fig4 #fe das ,gegenstck dazu1 wo wirklich die ,joch und ,mulde verbindende ,fallinie ein ,talweg ist4 ,illustration3 ,fig4 #fd4 ,auch wenn das von einem ,joch herabziehende ,tal sich so verflacht1 da die ,fallinien sich zwar der durch den ,jochpunkt gehenden ausgezeichneten ,fallinie nhern1 aber doch nicht in asymptotischer ,weise1 kann diese nicht ,talweg sein4 ,in der ,natur wrde dem etwa ein ,tal entsprechen1 das nicht zur ,entstehung eines ,wasserlaufes1 sondern zu einer ,art ,sumpfbildung ,anla gibt4 ,umgekehrt knnen aus einem ,hochmoore ,wasseradern abgehen1 ohne da dort von einer eigentlichen ,wasserscheide gesprochen werden kann 7,fig4 #ff74 ,illustration3 ,fig4 #fe4 ,bemerkenswert ist noch der ,fall1 wenn auf einer ausgezeichneten ,fallinie ein parabolischer ,punkt der ,gelndeflche gelegen ist 7 #fj74 ,die ,fig4 #fg gibt davon ein ,beispiel4 ,in dem parabolischen ,punkte hat hier die ,schichtlinie1 auf der er liegt1 eine ,spitze1 und in ihr endigen alle ,fallinien1 die - wie in der ,figur angegeben - aus greren ,hhen kommen4 ,die ausgezeichnete1 durch den parabolischen ,punkt gehende ,fallinie ist also in ihrem oberen ,teile gewi ein ,talweg4 ,ob sie es dagegen auch in ihrem unteren ,teile ist1 hngt davon ab1 ob sich dort ebenfalls ein ,mndungspunkt befindet 7in der ,figur ist das nicht der ,fall74 ,illustration3 ,fig4 #ff4 ,da durch eine ,karte immer nur ein beschrnkter ,teil des ,gelndes gegeben sein kann1 so wird es praktisch unmglich sein1 bei ,gelndeflchen ein asymptotisches ,einmnden genau festzustellen1 und man wird daher auch in dem ,falle von einem ,talweg und einem ,kammweg reden1 wenn gengend viele benachbarte ,fallinien der ,zeichnung innerhalb der ,zeichengenauigkeit in die ausgezeichnete ,fallinie bergehen4 ,illustration3 ,fig4 #fg4 ,illustration3 ,fig4 #fh4 ,um in einer ,gelndekarte alle ,talwege und ,wasserscheiden zu finden1 wird man unter den ,fallinien zunchst die ausgezeichneten aufsuchen1 d4 h4 diejenigen1 in deren ,nhe sich die brigen mehr und mehr zusammendrngen4 ,unter ihnen hat man aber nur diejenigen beizubehalten1 auf denen ,mndungspunkte der brigen gelegen sind1 oder in die gengend viele benachbarte ,fallinien innerhalb der ,zeichengenauigkeit bergehen4 ,talweg und ,kammweg sind durch die ,art der ,annherung1 ob bei fallender oder steigender ,hhe1 leicht zu unterscheiden4 ,die ,schichtlinien sowohl wie die ,fallinien verlaufen immer stetig1 knnen aber ,ecken1 ,doppelpunkte und dergleichen ,ausnahmestellen haben4 ,ecken treten ein1 wenn das ,gelnde ,grate oder scharf ausgeschnittene ,rinnen besitzt4 ,da in jedem ,punkte eines einfachen ,grates zwei verschiedene ,berhrungsebenen an die ,gelndeflche mglich sind1 gehen durch diesen ,punkt auch zwei verschiedene ,fallinien2 ein ,grat enthlt daher die ,ursprungspunkte von ,fallinien und wird demnach zu den ,wasserscheiden zu rechnen sein1 obwohl er im allgemeinen selbst keine ,fallinie ist4 ,dasselbe gilt entsprechend von einer ,rinne 7vgl4 ,fig4 #fh74 ,die allgemeine ,untersuchung solcher ,stellen einer ,gelndeflche ist schwierig1 erfordert weitergehende ,hilfsmittel und wrde daher hier zu weit fhren4 ,illustration3 ,fig4 #fi4 #fe4 ,bschungsflche4 ,eine ,flche1 auf der smtliche ,fallinien ,geraden sind1 heit ,bschungsflche4 ,es gengt dazu offenbar nicht1 da die ,projektionen der ,fallinien smtlich gerade ,linien sind1 sondern es ist weiter notwendig1 da die ,schichtlinien auf jeder einzelnen von ihnen jedesmal gleiche ,stcke ausschneiden4 ,daraus folgt1 da die ,schichtlinien quidistante ,kurven sind 7,fig4 #fi74 ,alle ,punkte derselben geradlinigen ,fallinie haben dieselbe ,berhrungsebene4 ,eine ,bschungsflche ist daher in jedem ihrer ,punkte parabolisch gekrmmt 7 #fj74 ,sie ist demnach eine abwickelbare ,flche1 d4 h4 man kann eine bewegliche ,ebene so auf ihr ohne ,gleiten abrollen1 da sie sie immer lngs einer ,geraden berhrt2 umgekehrt kann man daher auch die ,flche auf einer ,ebene so abwickeln1 da immer ,berhrung lngs einer ,geraden besteht4 ,von den ,bschungsflchen macht man sehr hufig bei der ,auffhrung von ,erdarbeiten1 bei der ,aufschttung von ,dmmen1 ,halden u4 dgl4 ,gebrauch4 ,davon wird in den ,aufgaben noch wiederholt die ,rede sein4 #ff4 ,bschungsstreifen4 ,bei der zeichnerischen ,darstellung einer ,gelndeflche durch ihre ,schichtlinien ist es oft zweckmig1 diese ntigenfalls durch ,einschalten nach #ef so dicht nebeneinander verlaufen zu lassen1 da jeder zwischen zwei aufeinanderfolgenden ,schichtlinien enthaltene ,teil einer ,fallinie innerhalb der ,zeichengenauigkeit als geradlinig zu betrachten ist4 ,das bedeutet dann also1 da jeder zwischen zwei aufeinanderfolgenden ,schichtlinien enthaltene ,streifen einer ,gelndeflche als ,teil einer ,bschungsflche anzusehen ist3 ,bschungsstreifen4 ,man kann demnach sagen1 da eine ,gelndeflche durch ihre ,schichtlinien mit gengender ,genauigkeit gegeben ist1 wenn ein jeder innerhalb zweier aufeinanderfolgenden ,schichtlinien gelegene ,streifen durch den zugehrigen ,bschungsstreifen ohne merklichen ,fehler ersetzt werden kann4 #fg4 ,gratlinie4 ,eine ,bschungsflche ist vollstndig bestimmt1 wenn der ,bschungswinkel und eine ihrer ,hhenlinien gegeben ist2 denn die ,fallinien sind die ,normalen der gegebenen ,hhenlinie1 der ,bschungswinkel bestimmt ihre ,stufung1 und die ,schichtlinien lassen sich sodann als ,parallelkurven zu der gegebenen ,hhenlinie konstruieren 7 #fe74 ,alle ebenen ,parallelkurven haben eine gemeinsame ,evolute 7 #dc71 die ,hllkurve ihrer gemeinsamen ,normalen2 fat man also die ,parallelkurven und ihre ,normalen als die ,projektionen der ,schicht- und ,fallinien einer ,bschungsflche auf1 so entspricht der ,evolute eine auf der ,flche gelegene ,raumkurve1 lngs der sich benachbarte ,fallinien schneiden4 ,sie bildet also einen scharfen ,grat der ,flche und heit daher ihre ,gratlinie4 ,eine aufgewehte ,schneewchte gibt oft ein ,bild einer ,bschungsflche und ihrer ,gratlinie 7,fig4 #fi bei g74 ,illustration3 ,fig4 #gj4 #fh4 ,ebene ,raumkurven4 ,wenn eine ,raumkurve und eine ,flche gegeben sind1 so ist leicht festzustellen1 ob die ,kurve auf der ,flche gelegen ist4 ,denn dies ist nur der ,fall1 wenn die ,punkte der ,kurve auf den gleichkotierten ,schichtlinien der ,flche liegen4 ,raumkurven1 deren smtliche ,punkte derselben ,ebene angehren1 heien eben4 ,um von einer gegebenen ,raumkurve festzustellen1 ob sie eben ist1 hat man durch drei ihrer ,punkte nach #i eine ,ebene zu legen und nachzusehen1 ob ihre ,streichgeraden die ,kurve in ,punkten schneiden1 deren ,hhenzahlen mit denen der zugehrigen ,schichtlinien bereinstimmen 7,fig4 #gj74 ,die ,schmiegungsebene 7 #eb7 einer ebenen ,raumkurve fllt mit der ,ebene der ,kurve zusammen4 ,wenn die ,ebene der ,kurve lotrecht steht1 wird die ,projektion der ,kurve durch eine ,gerade mit im allgemeinen ungleichmiger ,stufung dargestellt4 #fi4 ,bschungsflche einer ,raumkurve4 ,zu jedem ,punkte einer gegebenen ,raumkurve lt sich ein ,kegel gegebener ,bschung konstruieren1 der den ,punkt als ,spitze hat4 ,smtliche so konstruierten ,bschungskegel derselben ,bschung hllen eine ,flche ein1 eine ,bschungsflche der ,raumkurve2 sie besteht aus zwei ,teilen1 die sich lngs der ,raumkurve durchschneiden4 ,jede ihrer ,schichtlinien ergibt sich als ,hllkurve gleichkotierter ,kreise1 nmlich der ,schichtkreise jener ,bschungskegel4 ,in der ,karte der ,flche liegen die ,mittelpunkte dieser ,kreise auf der ,projektion der ,raumkurve1 und ihre ,radien erhlt man aus dem ,hhenunterschiede zwischen ,mittelpunkt und zu konstruierender ,schichtlinie durch ,multiplikation mit dem gegebenen ,bschungsverhltnis 7,fig4 #ga74 ,illustration3 ,fig4 #ga4 ,von jedem ,punkte der ,raumkurve geht nach beiden ,seiten eine ,fallinie der ,bschungsflche aus2 die beiden zugehrigen ,berhrungsebenen 7vgl4 #fe7 schneiden sich in der zugehrigen ,tangente der ,raumkurve1 und die ,projektion dieser ,tangente halbiert den ,winkel der ,projektionen der beiden ,fallinien4 ,man beachte brigens1 da im allgemeinen ein die ,projektion der ,raumkurve normal durchsetzendes ,querprofil der ,bschungsflche nicht ein ,dreieck ergibt1 sondern eine krummlinige ,schnittfigur4 ,die ,figur bringt das zum ,ausdruck4 ,illustration3 ,fig4 #gb4 #gj4 ,bschungslinien auf einer ,flche4 ,auf einer durch ihre ,schichtlinien gegebenen ,gelndeflche lassen sich von jedem ,punkte aus zwei ,kurven von konstantem ,geflle 7,bschungslinien1 #ej7 ziehen1 wenn nur das ,geflle nicht grer ist als das der ,fallinien der ,flche in den ,punkten der beiden ,kurven4 ,um diese zu konstruieren1 ermittle man zunchst aus dem gegebenen ,bschungsverhltnis das ,intervall der ,bschungslinie4 ,unter der ,voraussetzung1 da die ,schichtlinien gengend nahe gezeichnet sind1 zieht man mit dem ,intervall als ,radius um den gegebenen ,punkt als ,mittelpunkt einen ,kreis4 ,entweder schneidet dieser eine der beiden nchstfolgenden ,hauptschichtlinien in zwei ,punkten1 die auch zusammenfallen knnen1 oder er schneidet sie nicht2 im letzteren ,falle ist das gegebene ,geflle zu gro1 im ersteren sind reelle ,bschungslinien der vorgeschriebenen ,bschung von dem gegebenen ,flchenpunkte aus mglich1 und man erhlt weitere ,punkte von ihnen1 indem man dieselbe ,konstruktion von jedem der beiden ,schnittpunkte aus fortsetzt4 ,wenn man die erhaltenen ,punkte in geeigneter ,weise verbindet1 bekommt man die gesuchten ,bschungslinien mit oder ohne ,kehren 7,fig4 #gb74 ,im allgemeinen gehen von jedem ,flchenpunkte zwei verschiedene ,bschungslinien aus1 lngs deren das ,geflle einen gegebenen ,wert hat4 ,die auf einer ,gelndeflche angelegten ,wege1 ,eisenbahnlinien u4 dgl4 verlaufen in der ,regel auf lngere ,strecken mit unvernderlichem ,geflle4 ,die ,konstruktion von ,bschungslinien hat daher ein gewisses praktisches ,interesse4 ,wenn auch durch ,aufschttung und ,abtrag des ,gelndes grere ,krmmungen eines anzulegenden ,weges vermieden werden1 so wird seine ,fhrung doch im allgemeinen durch eine ,bschungslinie bestimmt4 ,dabei wird besonders die im folgenden ,paragraphen errterte ,aufgabe benutzt4 ,illustration3 ,fig4 #gc4 #ga4 ,aufgabe4 ,bei der ,lsung der ,aufgabe1 zwei gegebene ,punkte einer ,flche durch eine ,kurve von konstanter ,steigung zu verbinden1 hat man sich eines geometrischen ,nherungsverfahrens zu bedienen4 ,man konstruiert zunchst1 von dem einen der gegebenen ,punkte ,a 7,fig4 #gc7 ausgehend1 eine solche ,bschungslinie1 die in der ,nhe des andern gegebenen ,punktes ,b die durch diesen gehende ,schichtlinie schneidet4 ,die ,ausfhrung der ,konstruktion zeigt1 ob das benutzte ,intervall zu gro oder zu klein ist1 wonach man es zu verbessern hat4 ,mit dem verbesserten ,intervall wiederholt man dieselbe ,konstruktion usw41 und nhert sich auf diese ,weise mehr und mehr dem passenden ,werte des ,intervalls4 ,zweckmig ist es dabei1 den ,punkt ,b zwischen zwei der gezeichneten ,bschungslinien einzuschlieen2 ,,ab1 ,,ab1 444 seien solche ,nherungskurven1 ,b',b und ,b',b 444 seien die zugehrigen ,intervalle4 ,man trage in den ,punkten ,b1 ,b1 ,b usw4 diese zugehrigen ,intervalle normal zur ,schichtlinie1 also lngs der ,fallinien auf und verbinde die erhaltenen ,endpunkte durch eine glatte ,kurve 7 #ch72 diese gestattet das gesuchte ,intervall zu entnehmen4 #gb4 ,schnitt zweier ,flchen4 ,das ,verfahren1 nach dem die ,schnittlinie einer ,gelndeflche mit einer ,ebene konstruiert wird1 lt sich genau ebenso anwenden auf die ,bestimmung der ,schnittkurve zweier beliebiger ,flchen miteinander4 ,denn die ,punkte dieser ,schnittkurve gehren beiden ,flchen gemeinsam an1 mssen also auf den gleichhohen ,schichtlinien der beiden ,flchen gelegen sein3 man erhlt sie als ,schnittpunkte gleichkotierter ,schichtlinien4 ,davon macht man sehr hufig ,gebrauch bei der ,bestimmung der ,grenzlinie einer ,bschungsflche mit der gegebenen ,gelndeflche4 ,darauf bezieht sich die ,fig4 #gd1 in der die ,aufschttung einer ,halde oder eines ,dammes mit wagerechter ,krone dargestellt ist4 ,die wagerechte ,verbindungslinie der beiden ,punkte ,a und ,b 7,hhe #bj7 kann etwa als ,fhrungslinie eines auf einem ,gestnge angelegten ,schienengeleises fr ,kippwagen aufgefat werden1 von dem aus die ,halde aufgestrzt wird4 ,kennt man den ,bschungswinkel1 unter dem das ,frdergut der ,halde sich ablagert1 so kann man nach #fe ihre ,schichtlinien als ,parallelkurven der ,geleisfhrung konstruieren4 ,die ,schnittpunkte dieser ,parallelkurven mit den gleichkotierten ,schichtlinien des ,gelndes bestimmen alsdann nach dem oben ,gesagten die ,schnittkurve der ,halde mit dem ,gelnde4 - ,die damit gelste ,aufgabe ist eine ,erweiterung der in #cb besprochenen4 ,illustration3 ,fig4 #gd4 #gc4 ,durchdringungspunkte einer ,raumkurve mit einer ,gelndeflche4 ,man legt durch die gegebene ,raumkurve eine beliebige ,flche1 bestimmt deren ,schnittkurve mit dem ,gelnde1 wie in #gb angegeben1 und konstruiert schlielich die gemeinsamen ,punkte dieser ,schnittkurve mit der gegebenen ,raumkurve4 ,offenbar wird man die ,hilfsflche selber nur in der ,nhe der ,durchdringungspunkte bentigen4 ,illustration3 ,fig4 #ge4 ,als ,hilfsflche nimmt man zweckmig die windschiefe ,planierungsflche 7 #ea71 weil ihre ,schnittkurve mit dem ,gelnde1 die ,nullinie1 am besten darber ,aufschlu gibt1 welche ,teile der ,raumkurve oberhalb des ,gelndes und welche unterhalb gelegen sind 7,fig4 #ge2 die ,nullinie ist ganz gestrichelt74 ,die ,bestimmung der ,durchstopunkte einer ,kurve mit dem ,gelnde ist oft bei der ,linienfhrung einer ,eisenbahnlinie oder dgl4 in gebirgigem ,gelnde auszufhren4 ,sie zeigt dann1 an welchen ,stellen die ,bahnlinie in den ,erdkrper eindringt1 welche ,erdbewegungen1 ,tunnelanlagen u4 dgl4 vorzunehmen sind4 ,um zu bestimmen1 ob ein ,punkt des ,gelndes von irgendeinem anderen ,punkte aus sichtbar ist1 braucht man nur festzustellen1 ob die ,verbindungsgerade das ,gelnde nicht trifft4 ,es gengt dazu1 diese ,gerade zu graduieren und nachzusehen1 ob in der ,projektion fr jeden ,punkt der ,geraden die ,hhenzahl auch nicht kleiner ist als fr denselben ,punkt auf dem ,gelnde4 ,,iv4 ,,aufgaben ,,und ,,anwendungen #gd4 ,zweck der ,aufgaben4 ,in den folgenden ,paragraphen werden eine ,reihe von ,aufgaben besprochen1 die zu ihrer ,lsung der in den frheren ,abschnitten entwickelten ,konstruktionen bedrfen4 ,zumeist sind sie praktischen ,fragen entsprungen oder doch unmittelbar auf solche anwendbar1 die sich bei der ,benutzung der ,karte eines ,gelndes darbieten4 ,der ,krze wegen sind den gestellten ,aufgaben nicht die ,lsungen in ausfhrlicher ,darstellung1 sondern nur allgemeine ,angaben ber den einzuschlagenden ,weg beigegeben1 die indessen in jedem ,falle zur ,konstruktion ausreichen4 ,der ,leser wird gut tun1 die angedeutete ,lsung wirklich zeichnerisch auszufhren1 und zwar drfte es sich in der ,regel empfehlen1 den ,mastab mindestens doppelt so gro zu whlen1 als ihn die ,figuren angeben1 die ja nur als ,skizzen dienen sollen4 #ge4 ,aufschttung und ,abtrag eines ,eisenbahndammes zu konstruieren1 von dem die ,fhrungslinie1 die ,breite1 das ,geflle und die ,dammbschungen gegeben sind4 ,die ,dammkrone bildet einen ,streifen der zur gegebenen ,fhrungslinie gehrigen ,planierungsflche 7vgl4 #ea74 ,man graduiert die ,fhrungslinie nach dem gegebenen ,geflle - in der ,figur ist das ,geflle in der ,kurve geringer angenommen als auf der geraden ,strecke -1 wodurch dann zugleich auch die beiden ,begrenzungen der ,dammkrone mit graduiert sind4 ,jetzt zeichnet man nach #fi beiderseits die ,bschungsflchen der ,dammbegrenzungen1 schlielich nach #gb die ,schnittlinien mit dem ,gelnde4 ,in der ,figur #gf sind die ursprnglichen1 aber durch den ,damm verschtteten oder durch den ,abtrag weggenommenen ,schichtlinien des ,gelndes punktiert gezeichnet2 und die ausgezogenen ,schichtlinien stellen somit diejenigen des ,gelndes nach der ,anlage des ,dammes dar4 ,illustration3 ,fig4 #gf4 #gf4 ,die ,ausstrichlinie einer ,mulde mit dem ,gelnde zu bestimmen4 ,die ,mulde soll ellipsoidische ,gestalt haben mit einer lotrechten ,hauptachse2 ihre ,abmessungen sind durch zwei lotrechte ,hauptschnitte gegeben 7,fig4 #gg74 ,illustration3 ,fig4 #gg4 ,die ,schichtlinien der ,mulde sind ,ellipsen 7,fig4 #gh71 deren ,hauptachsen aus den beiden gegebenen ,querprofilen zu entnehmen sind4 ,die ,ellipsen werden hier am einfachsten nach der bekannten ,papierstreifenmethode gefunden4 ,durch die ,schnittpunkte dieser ,ellipsen mit den gleichkotierten ,hhenlinien des ,gelndes ist dann1 wie in der vorigen ,aufgabe1 die gesuchte ,verschneidung bestimmt4 ,wenn es nur auf diese ,verschneidung ankommt1 braucht man von den ,ellipsen ersichtlich jedesmal nur die ,punkte in der ,nhe der gleichkotierten ,schichtlinien zu bestimmen4 ,illustration3 ,fig4 #gh4 #gg4 ,schnittkurve einer zylindrischen ,flche mit dem ,gelnde4 ,diese ,aufgabe kommt in der ,geologie vor1 wenn es sich darum handelt1 die ,ausstrichlinie einer gefalteten ,schicht 7,sattelfalte7 zu ermitteln4 ,durch die ,beobachtung gefunden seien das ,streichen und ,einfallen der ,schicht an irgendeinem ,punkte1 d4 h4 ,streichen und ,fallen der ,zylindergeraden2 ferner sei gegeben ein scheinbares ,profil der ,schicht1 d4 h4 die ,schnittkurve des ,zylinders mit einer beliebig gegebenen ,ebene4 ,in der ,fig4 #gi sei g eine ,zylindergerade1 deren ,graduierung aus dem beobachteten ,streichen und ,fallen ermittelt sei4 ,der ,gefllemastab der ,ebene des aufgenommenen ,profils p sei 7,e71 ebenfalls aus den beobachteten ,daten konstruiert4 ,um die gesuchte ,schnittkurve zu zeichnen1 bestimme man zunchst die ,hhenlinien des ,zylinders4 ,zu dem ,zwecke ziehe man durch die ,punkte des scheinbaren ,profils p1 das durch die ,streichlinien seiner ,ebene 7,e7 gestuft ist1 die erzeugenden ,geraden des ,zylinders1 d4 h4 man ziehe ,parallelen zu g1 und graduiere diese1 von den ,punkten des ,profils p ausgehend1 mit dem gleichen ,intervalle wie g4 ,die ,verbindung der ,punkte gleicher ,hhenzahlen dieser ,geraden ergibt die erwhnten ,schichtlinien 7in der ,figur gestrichelt72 sie sind untereinander kongruent und gehen aus einer von ihnen durch ,parallelverschiebung lngs der ,richtung g hervor 7vgl4 #ba74 ,sie schneiden die gleichkotierten ,hhenlinien des ,gelndes in ,punkten der gesuchten ,grenzkurve4 ,illustration3 ,fig4 #gi4 ,wenn man sich aus steifem ,papier ein ,muster der ,schichtlinie des ,zylinders ausschneidet und darauf mindestens zwei ,punkte bezeichnet1 durch die die entsprechenden ,mantelgeraden gehen sollen1 so kann man sich damit die ,konstruktion der ,grenzkurve sehr erleichtern4 ,denn durch ,parallelverschiebung des ,musters lngs zweier gestufter ,mantelgeraden kann man die ,schnittpunkte der ,gelndeschichtlinien mit den gleichkotierten des ,zylinders unmittelbar finden1 ohne erst diese zeichnen zu mssen4 #gh4 ,um eine gegebene ,gelndeflche einen ,zylinder mit wagerechten ,mantelgeraden zu umschreiben4 ,die ,richtung g der wagerechten ,mantelgeraden des ,zylinders sei gegeben4 ,man hat dann nur an die ,schichtlinien der ,gelndeflche ,tangenten zu legen1 die der gegebenen ,richtung parallel sind4 ,der geometrische ,ort der ,berhrungspunkte ist die ,berhrungskurve der ,flche und des ,zylinders4 ,sie ist der ,umri der ,flche1 wenn diese in der gegebenen ,richtung aus sehr weiter ,ferne betrachtet wird 7,fig4 #hj gestrichelt74 ,illustration3 ,fig4 #hj4 ,illustration3 ,fig4 #ha4 #gi4 ,durch eine gegebene wagerechte ,gerade die ,berhrungsebenen an eine ,gelndeflche zu legen4 ,die gesuchten ,berhrungsebenen stimmen mit denen berein1 die sich durch dieselbe ,gerade g an den der ,flche umschriebenen ,zylinder legen lassen1 dessen ,mantelgeraden ebenfalls wagerecht und zu g parallel sind4 ,man konstruiere also diesen ,zylinder1 wie in #gh angegeben4 ,man lege weiter senkrecht zu den ,mantelgeraden ein ,querprofil 7 #ed74 ,es wird auch die gegebene ,gerade g in einem bestimmten ,punkte schneiden4 ,die ,tangenten von diesem ,punkte an das ,querprofil sind die ,durchschnittsgeraden der gesuchten ,berhrungsebenen mit der ,querschnittsebene4 ,daraus sind die ,berhrungspunkte und die ,gefllemastbe der ,berhrungsebenen leicht zu entnehmen 7,fig4 #hj u4 #ha74 #hj4 ,umschriebener ,zylinder mit beliebig gegebener ,richtung der ,mantelgeraden4 ,die gegebene ,richtung sei durch eine gestufte ,gerade g dargestellt4 ,man legt parallel zu ihr eine gengende ,anzahl ,vertikalschnitte durch die gegebene ,gelndeflche1 zeichnet die zugehrigen ,profile 7 #ed7 und legt an sie ,tangenten in ,richtung der gegebenen ,geraden4 ,die ,berhrungspunkte ,b bertrgt man aus der ,profilzeichnung wieder in die ,karte der ,flche und erhlt so darin diejenige ,kurve b1 mglicherweise mehrere1 lngs denen der oder die ,zylinder die ,flche berhren 7,fig4 #hb und #hc74 ,in der ,figur sind vier zu g parallele ,querprofile gezeichnet1 die mit #a bis #d angemerkt sind2 der ,deutlichkeit wegen ist #c um #cj und #d um #aj ,hheneinheiten niedriger gelegt1 als der ,wirklichkeit entspricht4 ,an jedes ,profil lassen sich hier zwei zu g parallele ,tangenten legen1 es kommen also je zwei ,berhrungspunkte ,b1 zwei ,berhrungskurven b und daher auch zwei ,zylinder zum ,vorschein1 von denen der eine von unten1 der andere von oben der ,flche umschrieben ist4 bertrgt man zu den ,berhrungspunkten ,b auch ihre ,hhenzahlen aus der ,profilzeichnung1 so lt sich sehr leicht fr jeden ,zylinder die ,schar der ,schichtlinien konstruieren4 ,da jede ,schar aus kongruenten ,kurven besteht1 die auseinander durch ,parallelverschiebung lngs der ,richtung g hervorgehen1 so gengt es1 je eine der ,schichtlinien zu zeichnen4 ,man hat zu dem ,zweck durch die ,punkte ,b die zu g parallelen ,erzeugenden zu ziehen und sie1 von ,b ausgehend mit demselben ,intervall wie g zu graduieren4 ,die ,verbindungslinien der ,punkte gleicher ,hhenzahlen ergeben die gesuchten ,schichtlinien s2 in der ,figur ist fr den einen ,zylinder die ,schichtlinie s #aaj1 fr den anderen die ,schichtlinie s #ej gezeichnet worden4 ,illustration3 ,fig4 #hb4 #ha4 ,berhrungsebene4 ,man kann die eben ausgefhrte ,konstruktion des umgeschriebenen ,zylinders benutzen1 um an eine gegebene ,gelndeflche eine ,berhrungsebene zu legen1 die durch eine gegebene ,gerade geht4 - ,ist g die gegebene ,gerade1 so konstruiert man zunchst1 wie eben gezeigt1 den umschriebenen ,zylinder1 dessen ,mantelgeraden die ,richtung g haben4 ,eine ,schichtlinie s dieses ,zylinders gengt zur ,konstruktion der gesuchten ,berhrungsebene4 ,denn zieht man von dem ,punkte der gegebenen ,geraden g1 der genau die ,hhe s hat1 an die ,schichtlinie s die ,tangente 7in der ,figur #hb3 s #aaj und s #ej1 ,berhrungspunkte ,t71 so ist diese eine ,streichlinie der durch g gehenden ,berhrungsebene des ,zylinders4 ,diese ,berhrungsebene berhrt aber auch die gegebene ,gelndeflche1 und man findet ihren ,berhrungspunkt ,b99 als ,schnittpunkt der ,mantelgeraden ,,tb99 mit der ,berhrungskurve b4 ,in der ,figur sind zwei solche ,berhrungspunkte 7,b99 und ,w7 und demnach zwei verschiedene ,berhrungsebenen vorhanden2 ihre ,gefllemastbe 7in der ,figur angegeben7 sind leicht zu zeichnen4 #hb4 ,andere ,konstruktion des umschriebenen ,zylinders und der ,berhrungsebene4 ,die eben auseinandergesetzte ,konstruktion der ,berhrungsebene ist wegen der zahlreichen ,querschnitte1 die zu zeichnen sind1 wenig bequem und auch wenig genau2 doch ist sie1 etwa zur ,prfung des folgenden ,verfahrens1 dann gut brauchbar1 wenn man die ungefhre ,lage der ,berhrungspunkte kennt und daher mit wenigen ,vertikalschnitten auskommt4 ,illustration3 ,fig4 #hc4 ,der zweite ,weg zur ,lsung der ,aufgabe1 an eine ,gelndeflche eine ,berhrungsebene zu legen1 die durch eine gegebene ,gerade geht1 ist zwar etwas weniger leicht verstndlich1 aber zeichnerisch einfacher und meist auch genauer als der obige4 - ,wenn man von den ,punkten der gegebenen ,geraden g an die gleichkotierten ,schichtlinien der ,flche ,tangenten legt1 so stellen diese die ,schichtlinien einer geradlinigen ,flche dar1 die durch die ,gerade g geht und die ,gelndeflche berhrt4 ,die ,berhrungskurve 7hh in der ,fig4 #hb7 ist als ,ort der ,berhrungspunkte leicht zu zeichnen4 ,auf ihr mu auch der ,berhrungspunkt der gesuchten ,tangentialebene liegen2 und da diese durch g geht1 ist sie auch berhrende ,ebene der geradlinigen ,hilfsflche und hat mit ihr die durch den ,berhrungspunkt gehende ,gerade gemeinsam1 die1 da sie horizontal verluft1 zugleich eine ihrer ,schichtlinien ist4 ,demnach ist die ,aufgabe gelst1 wenn die durch g gehenden ,berhrungsebenen der ,hilfsflche gefunden sind4 ,man betrachte nun alle durch g gehenden ,ebenen1 das ,ebenenbschel mit der ,achse g2 jede von ihnen ist bestimmt durch den ,winkel1 den sie mit einer festen ebenfalls durch g gehenden ,ebene bildet1 etwa derjenigen 7,e71 auf der g eine ,fallinie ist4 ,jede der ,ebenen ist daher auch bestimmt durch den ,winkel 1 den ihre ,streichlinien mit denen der genannten festen ,ebene 7,e7 bilden1 d4 h4 mit der zu g senkrechten ,richtung4 ,zu diesen ,ebenen gehren auch alle solche1 deren ,streichlinien zugleich der geradlinigen ,hilfsflche angehren1 also auch die gesuchten ,berhrungsebenen4 ,man fasse eine solche ,ebene ins ,auge und verfolge den ,verlauf der geradlinigen ,hilfsflche in der ,nhe der ,geraden 1 die sie mit der ,ebene gemeinsam hat4 ,dann sind drei ,mglichkeiten vorhanden3 entweder berhrt die ,ebene die ,flche von unten1 dann liegen die zu benachbarten ,geraden der ,flche smtlich oberhalb der ,ebene2 oder die ,ebene berhrt die ,flche von oben1 dann verlaufen die zu benachbarten ,geraden der ,flche smtlich unterhalb der ,ebene2 oder drittens die ,ebene durchsetzt berhrend die ,flche in der ,geraden 1 was eintritt1 wenn die ,flche hier sattelfrmig verluft4 ,im erstgenannten ,falle ist der oben erwhnte ,winkel fr die ,berhrungsebene kleiner als fr benachbarte durch g gehende ,ebenen2 im zweiten ,falle ist er grer4 ,in diesen beiden ,fllen wird man demnach zur ,konstruktion der ,berhrungsebenen die ,vernderungen des ,winkels zu verfolgen haben1 den die von ,punkten der ,geraden g an die gleichkotierten ,schichtlinien der ,flche gezogenen ,berhrenden mit der auf g senkrechten ,richtung einschlieen1 und darunter diejenigen ,winkel auszusuchen haben1 die grer oder kleiner als die benachbarten sind1 d4 h4 die ein ,maximum oder ,minimum bilden4 ,das ,aussuchen dieser grten und kleinsten ,werte des ,winkels nach dem ,augenma erfordert ziemliche bung1 wenn die danach ausgefhrte ,konstruktion einigermaen genau sein soll4 ,man lege dann ein ,zeichendreieck gegen g unter dem ,winkel an1 den man als grten oder kleinsten geschtzt hat1 und prfe durch ,parallelverschieben des ,dreiecks lngs eines zweiten die ,richtigkeit der ,schtzung4 #hc4 ,gebrauch einer ,hilfskurve4 ,durch die folgende berlegung und das ,zeichnen einer ,hilfskurve kommt man genauer zum ,ziel 7,fig4 #hb74 ,statt den ,verlauf des ,winkels selber kann man nmlich auch den ,verlauf einer stetigen ,funktion von 1 etwa tg verfolgen1 z4 ,b4 indem man eine zu tg proportionale ,strecke jedesmal als ,ordinate zur ,hhenzahl als ,abszisse auftrgt1 die die zugehrige ,streichlinie hat4 ,zu dem ,zweck ziehe man in einem beliebigen nicht zu kleinen ,abstand zu g eine ,parallele g'2 das rechtwinklige ,dreieck k,a,c1 das bestimmt wird durch den auf g gelegenen ,punkt der ,hhe k und die durch ihn gehenden ,streichlinien ,ck der ,hilfsflche und ,ak 7senkrecht auf g7 der ,ebene 7,e71 ergibt ,,ca k,a tg 1 und da fr alle so entstehenden ,dreiecke die entsprechenden ,stcke k,a konstante ,lngen haben1 so sind die ,,ca entsprechenden ,stcke proportional zu tg 4 ,man trgt die ,stcke ,,ca von ,a aus auf k,a ab 7,c,a ,,ca7 und erhlt so eine ,kurve 7#a71 die den ,verlauf von tg wiedergibt4 ,die ,maxima1 ,minima dieser ,kurve und1 fr den erwhnten dritten ,fall einer sattelfrmigen ,berhrung1 die ,wendepunkte mit einer zu g parallelen ,tangente geben diejenigen ,werte von k,a tg 1 zu denen eine einer ,berhrungsebene zukommende ,streichlinie der ,hilfsflche gehrt4 ,um sie zu zeichnen1 hat man nur durch einen solchen ,punkt ,m der ,kurve eine ,senkrechte km,m,d zu g1 g' zu ziehen1 ,,de ,,dm zu machen1 dann ist km,e die gesuchte ,streichlinie2 sie schneidet die ,berhrungskurve hh im ,berhrungspunkte ,b der gesuchten ,berhrungsebene1 deren ,gefllemastab danach leicht herzustellen ist4 ,dieselbe ,konstruktion ist bei dem ,wendepunkt ,w ausgefhrt3 man zieht kw,w,g senkrecht zu g1 g'1 macht ,,gh ,,gw und zieht kw,h1 die ,streichlinie der gesuchten berhrenden ,ebene1 wodurch zugleich deren ,berhrungspunkt ,w als ,schnitt mit der ,kurve hh erhalten wird4 ,die ,genauigkeit der ,konstruktion kann noch leicht verbessert werden1 wenn man die symmetrische ,kurve 7#b7 zeichnet2 man macht ,c,a ,,ca usw4 brigens ist noch eine dritte ,kontrolle fr die gesuchten ,berhrungspunkte dadurch gegeben1 da die ,berhrungskurve hh der ,hilfsflche und die ,berhrungskurven b der umschriebenen ,zylinder 7 #hj7 sich in den gesuchten ,punkten ,b99 und ,w schneiden mssen4 #hd4 ,schattengrenze4 ,wenn die als parallel anzunehmenden ,sonnenstrahlen ein hgeliges ,gelnde in einer gegebenen ,richtung bescheinen1 so liegt ein ,teil des ,gelndes im ,schatten4 ,die ,grenze dieses ,schattens ist die ,schnittkurve der ,gelndeflche mit dem ,zylinder1 der ihr in der ,richtung der ,strahlen von oben umschrieben werden kann4 ,nachdem man diesen ,zylinder nach #hj oder #hb bestimmt hat1 wozu eine ,schichtlinie und zwei gestufte ,mantelgeraden gengen1 findet man die gesuchte ,schnittkurve mit dem ,gelnde nach #gg1 am einfachsten nach dem ,verfahren des verschiebbaren ,musters4 ,der ,leser fhre die ,konstruktion an der ,fig4 #hb aus3 mindestens zwei der ,mantelgeraden #a bis #d sind zu stufen1 indem von der ,schichtlinie s #aaj des oberen ,zylinders das ,intervall von g wiederholt abgetragen wird2 von der genannten ,schichtlinie ist auf steifem ,papier ein ,muster zu verfertigen1 dieses von ,stufe zu ,stufe der ,mantelgeraden zu verschieben1 die ,schnittpunkte mit den gleichkotierten ,schichtlinien des ,gelndes sind aufzusuchen und diese ,punkte durch eine glatte ,kurve zu verbinden4 ,die ,schattengrenze wird hier im unteren ,teile der ,fig4 #hb gelegen sein4 #he4 ,von einem gegebenen ,punkte an eine ,gelndeflche den ,berhrungskegel zu zeichnen4 ,scheinbarer ,umri1 ,horizont4 ,eine ,lsung dieser ,aufgabe liegt auf der ,hand3 man fhrt durch den im ,raume gegebenen ,punkt ,a' gengend viele ,vertikalschnitte1 zeichnet die zugehrigen ,profile der ,flche und legt an diese von ,a' aus ,tangenten2 die ,berhrungspunkte1 in die ,karte bertragen1 ergeben die gesuchte ,berhrungskurve4 ,zweckmig nimmt man die ,profile1 die in der ,karte durch die ,tangenten von ,a1 der ,projektion von ,a'1 an die ,schichtlinien der ,flche bestimmt sind1 weil man an ihnen am leichtesten verfolgen kann1 wie weit es ntig ist1 die ,profile wirklich zu zeichnen4 ,aber dieses ,verfahren ist aus denselben ,grnden1 wie sie oben beim umschriebenen ,zylinder 7 #hb7 angegeben wurden1 praktisch wenig bequem und von geringer ,genauigkeit4 ,folgender ,weg ist bequemer1 oft auch genauer4 ,er beruht auf einer berlegung1 die eine ,erweiterung der in #hb angegebenen darstellt4 ,illustration3 ,fig4 #hd4 ,es sei ,a' 7,hhe #de7 der gegebene ,punkt des ,raumes1 ,a seine ,projektion und ,,ac eine gegebene ,richtung in der ,karte4 ,man kann die ,aufgabe1 von ,a' aus eine ,tangente mit der ,projektion ,,ac an die gegebene ,gelndeflche zu legen1 in der blichen ,weise durch ,zeichnung des ,profils in der ,richtung ,,ac lsen4#b ,man denke sich nun in der ,karte durch ,a eine beliebige ,gerade g gelegt und ihre ,punkte mit den gleichkotierten des ,profils geradlinig verbunden4 ,diese ,geraden sind die ,schichtlinien einer geradlinigen ,flche1 und jede von ihnen kann als ,streichlinie einer durch g hindurchgehenden ,ebene aufgefat werden4 ,wie in #hb wird jede dieser ,ebenen bestimmt durch den ,winkel 1 den ihre ,streichlinien mit denen der ,ebene bilden1 auf der g eine ,fallinie ist4 ,diejenigen der genannten ,ebenen1 die durch die ,tangenten hindurchgehen1 die man von ,a' aus in der ,profilebene ,a',,ac an die ,flche legen kann1 liegen im allgemeinen hher oder tiefer als die benachbarten unter ihnen2 der ,winkel ist also fr sie grer oder kleiner als fr die benachbarten4 ,man kann also jene ,ebenen und damit die ,berhrungspunkte ,b der ,tangenten finden1 indem man fr die grten oder kleinsten ,werte aufsucht1 wozu man sich des in #hc angegebenen ,verfahrens der ,hilfskurve bedienen kann 7,fig4 #hd74 #b ,beim ,umklappen des ,profils in die ,zeichenebene mge ,a' in den durch den kleinen ,kreis und die beigeschriebene ,kote #de bezeichneten ,punkt bergehen4 ,will man nun von ,a' aus den ,berhrungskegel an die gegebene ,flche legen1 so wird man durch ,a eine ,schar von ,geraden ,,ac ziehen und nach dem eben beschriebenen ,verfahren die ,berhrungspunkte ,b der von ,a aus zu ziehenden ,tangenten bestimmen4 ,dabei kann man sich bestndig derselben ,hilfsgeraden g bedienen4 ,einschaltung von ,schichtlinien in der ,nhe von ,b erhht die sonst nicht groe ,zeichengenauigkeit4 #hf4 ,beispiel4 ,die eben besprochene ,aufgabe der ,konstruktion des ,berhrungskegels einer ,gelndeflche findet ihre praktische ,anwendung in der fr militrische ,zwecke wichtigen ,frage nach dem ,horizont1 der von einem bestimmten ,punkte aus sichtbar ist4 ,die ,fig4 #he gibt dafr ein ,beispiel4 ,bei ,a 7,hhe #he7 ist ein #bj ,meter hoher ,standplatz1 ,aussichtsturm oder dgl4 errichtet2 in der ,karte ist der vor und nach ,errichtung des ,turmes von ,a aus sichtbare ,horizont eingezeichnet4 ,die von der ,turmspitze aus nicht sichtbaren ,gelndeteile sind durch ,schraffur hervorgehoben4 ,illustration3 ,fig4 #he a4 ,illustration3 ,fig4 #he4 ,selbstverstndlich stimmen die ,ergebnisse dieser ,konstruktion mit der ,wirklichkeit nur dann angenhert berein1 wenn der gefundene ,gesichtskreis gengend klein ist2 andernfalls spielt natrlich die ,krmmung der ,erdoberflche1 die dann nicht mehr vernachlssigt werden darf1 eine gewisse ,rolle4 #hg4 ,ansicht des ,gelndes4 ,aus einer gegebenen ,karte die ,ansicht des ,gelndes zu konstruieren4 ,unter ,ansicht wird die ,projektion auf eine vertikale ,bildflche verstanden4 - ,bei einer ,ansicht aus sehr weiter ,ferne wird es sich um eine ,parallelprojektion handeln1 whrend bei gegebenem ,aussichtspunkt eine ,zentralprojektion in ,frage kommt1 deren ,zentrum eben dieser ,punkt ist4 ,illustration3 ,fig4 #hf4 a7 ,parallelprojektion4 ,es gengt1 die ,richtung der projizierenden ,strahlen zur ,bildebene senkrecht anzunehmen1 da die schiefe ,parallelprojektion in hnlicher ,weise auszufhren ist4 ,man zeichnet 7,fig4 #hf7 den ,grundri der ,bildebene als ,gerade xx in den ,plan und projiziert zunchst gengend viele ,punkte des ,planes auf sie1 besonders den ,umri 7 #gh2 man zeichne an die ,schichtlinien ,tangenten1 die auf xx senkrecht stehen7 und einzelne hervortretende ,stellen des ,gelndes4 ,auf die anzufertigende ,ansicht 7,aufri7 bertrgt man sodann jeden der projizierten ,punkte mittels einer ,senkrechten auf xx1 deren ,lnge gleich der zugehrigen ,kote ist4 ,die ,hhenlinien wrden in wagerechte ,geraden des ,bildes bergehen4 ,in der ,fig4 #hf ist noch der ,verlauf eines ,weges1 die ,lage eines umfriedigten ,platzes und eines hohen ,gebudes angegeben4 ,das letztere1 dessen ,dachspitze #cj m ber dem ,boden angenommen ist1 ragt nur mit einem ,teile ber dem ,horizont hervor4 #hh4 b7 ,zentralprojektion4 ,man zeichnet 7,fig4 #he7 wieder den ,grundri der ,bildebene als ,gerade xx in den ,plan1 und projiziert vom ,projektionszentrum ,a 7,hhe #he #bj #aje7 aus gengend viele ,punkte auf sie2 dazu hat man die ,verbindungsgeraden von ,a mit jedem der zu projizierenden ,punkte ,p zu graduieren und dadurch die ,hhenzahlen der ,schnittpunkte ,p' mit der ,bildebene zu bestimmen4 ,nach #c kann man das zeichnerisch ausfhren1 wie auch in der ,figur angedeutet ist4 ,man zieht im ,grundri ,,ap bis zum ,schnittpunkte ,x mit der ,geraden xx1 errichtet senkrecht zu ,,ap in ,a die zu ,a1 in ,p die zu ,p gehrige ,hhe und verbindet ihre ,endpunkte4 ,diese ,verbindungsgerade schneidet das auf ,,ap in ,x errichtete ,lot in ,p''1 und es ist ,,xp'' gleich der ,hhe des ,bildpunktes ,p' ber xx4 ,man kann aber auch rechnerisch verfahren2 im vorliegenden ,falle ist dies besonders mit dem ,rechenschieber sehr bequem1 wenn man gleich mit den ,hhendifferenzen gegen ,a rechnet und die ,ergebnisse von der ,geraden yy an auftrgt1 die im ,bilde der ,hhe von ,a entspricht4 ,besonders ist auch der von ,a aus sichtbare ,horizont zu zeichnen1 wie in #hf angegeben4 ,die ,fig4 #he a stellt ein ,bild der zu #hf gehrigen ,fig4 #he dar1 oder genauer gesagt1 eine ,ansicht des ,gelndes von der ,spitze 7,hhe #aje7 des in ,a errichteten ,turmes1 und zwar innerhalb des durch die ,bildgrenzen bestimmten ,ausschnittes4 ,die gestrichelte ,kurve des ,bildes zeigt den vor ,errichtung des ,turmes von der ,stelle ,a 7,hhe #he7 aus sichtbaren ,horizont2 er verdeckt den ganzen ,hintergrund des ,gelndes und lt deutlich erkennen1 welche ,wirkung es hat1 wenn der ,standplatz bei ,a um #bj m erhht wird4 ,in der ,figur sind ferner der ,verlauf eines ,weges und die ,ansicht zweier im ,grundri gleich groer umfriedigter ,pltze angegeben4 ,dies lt die bekannte ,tatsache erkennen1 da die in der ,nhe von ,a gelegenen ,gegenstnde grer erscheinen als die entfernteren2 aber man sieht auch1 da die ,zeichengenauigkeit um so geringer ist1 je weiter der abzubildende ,gegenstand von der ,bildebene entfernt ist4 brigens ist daran zu erinnern1 da den ,geraden des ,grundrisses im allgemeinen keineswegs gerade ,linien im ,bilde entsprechen2 z4 ,b4 sind die ,umzunungen der ,pltze nicht geradlinig1 weil diese auf gekrmmten ,flchen gelegen sind4 ,v4 ,,maszbestimmungen ,,und ,,beziehungen ,,zur ,,zeichnerischen ,,analysis ,die nchsten ,paragraphen sollen kurz zeigen1 in welcher ,weise man ,mabestimmungen der ,lngen1 ,flchen- und ,rauminhalte an einer ,gelndeflche auszufhren hat4 ,illustration3 ,fig4 #hg4 #hi4 ,lngenmessung4 ,um die ,lnge eines ebenen ,kurvenbogens zu bestimmen1 ersetzt man ihn durch einen aus gengend kleinen geradlinigen ,stcken bestehenden ,polygonzug1 dessen ,teile1 lngs einer ,geraden aneinandergesetzt1 die gesuchte ,lnge angenhert ergeben 7,rektifikation74 ,man kann den ,kurvenbogen auf die ,gerade durch ,abgreifen mit einer gengend kleinen ,zirkelffnung bertragen4 ,dabei hat man jedoch zu beachten1 da sich zwar1 je kleiner die ,zirkelffnung1 um so mehr der kleine ,bogen der zugehrigen ,sehne anschmiegt1 aber sich auch um so mehr die durch vielmaliges ,aneinandersetzen des ,zirkels entstehenden ,fehler hufen4 ,das bertragen auf die ,gerade kann man vermeiden1 wenn man den ,zirkel selbst zur ,summierung der ,sehnen benutzt4 ,ist 7,fig4 #hg7 ,,abcd444,u der zu messende ,bogen1 so setzt man zuerst den ,zirkel in ,a und ,b ein1 lftet ihn bei ,a und dreht ihn um ,b in die ,lage ,,ba'1 die ,kurventangente in ,b2 dann lftet man ihn bei ,b und ffnet ihn bis ,c1 lftet ihn bei ,a' und dreht ihn um ,c in die ,lage ,,ca''1 die ,tangente in ,c1 usw4 ,die ,punkte ,a1 ,a'1 ,a''1 444 ,a99 liegen angenhert auf einer ,evolvente der gegebenen ,kurve 7 #db71 und es ist der gesuchte ,bogen arc7,,au7 line7,a99,u74 ,besser ist ein kleines gekordetes ,merdchen 7,kurvimeter71 mit dem man1 die ,radebene senkrecht zur ,papierebene haltend1 den ,kurvenbogen abfhrt1 wobei die ganzen ,umdrehungen durch ein ,zhlwerk angegeben werden4 ,man prft das ,kurvimeter durch ,ausmessen einer geradlinigen oder kreisfrmigen ,strecke bekannter ,lnge4 - ,die ,lnge eines ,kurvenbogens auf einer ,gelndeflche bestimmt man1 indem man das ,lngenprofil der ,kurve konstruiert 7 #dg7 und dieses rektifiziert4 ,aufgabe4 ,ein ,flugzeug hat einen in die ,karte des berflogenen ,gelndes eingetragenen ,weg zurckgelegt1 wobei zugleich die erreichten ,hhen an gengend vielen ,stellen vermerkt sind4 ,es soll die wirkliche ,lnge des ,luftweges ermittelt werden4 ,man hat dazu nur ntig1 das ,lngenprofil der ,raumkurve entsprechend dem gezeichneten ,wege und den darin vermerkten ,hhenangaben zu zeichnen1 wie in #dg angegeben1 und die ,bogenlnge dieses ,profils nach dem soeben ,auseinandergesetzten zu ermitteln4 #ij4 ,flchenmessung4 ,zur praktischen ,ausmessung eines ebenen willkrlich begrenzten ,flchenstckes hat man sich gewisser ,annherungsmethoden zu bedienen1 deren ,berechtigung in der ,integralrechnung streng bewiesen wird1 oder man benutzt ein ,planimeter4 a7 ,quadratteilung4 ,fast fr alle hier in ,frage kommenden ,zwecke ausreichend ist es1 ein ,blatt ,millimeterpauspapier ber das ,flchenstck zu decken4 ,man zhlt die eingeschlossenen ,quadratmillimeter ab und nimmt von den durch die ,begrenzungslinie durchschnittenen entweder die ,hlfte zu oder schtzt ihre ,anteile ab4 ,das ergibt angenhert den ,flcheninhalt in ,quadratmillimetern2 um ihn in den ,flcheneinheiten des ,mastabes der ,karte zu erhalten1 hat man zu ermitteln1 wie viele ,quadratmillimeter auf eine ,flcheneinheit der ,karte gehen4 ,fr den hufigeren ,gebrauch im selben ,mastab zeichnet man ein dazu gehriges gengend engmaschiges ,quadratnetz auf ,pauspapier oder ritzt es mit der ,zirkelspitze auf eine dnne ,zelluloidplatte1 wie sie etwa zu photographischen ,films verwendet wird und also leicht zu beschaffen ist4 ,man legt die geritzte ,seite auf die ,karte4 #ia4 b7 ,einteilung in ,streifen gleicher ,breite4 ,statt der ,quadrateinteilung kann man auch eine ,anzahl paralleler ,geraden in gleichem gengend kleinen ,abstande auf ,pauspapier oder einen ,film zeichnen2 zwischen je zwei ,geraden fgt man noch die ,mittellinien 7in der ,fig4 #hh gestrichelt7 ein4 ,abgesehen von den ,kappenstcken1 die nicht mehr die ,breite haben 7geschrafft71 kann man den zwischen zwei ,geraden a und b enthaltenen ,flchenteil nach der ,simpsonschen ,regel 7,th4 ,simpson #agdc1 ,joh4 ,kepler hat schon #afae dieselbe ,regel zur ,raumberechnung benutzt - ,keplersche ,faregel7 bestimmen4 ,man nimmt das ,mittel der ,anfangs- und ,endsehne1 7a b71 sodann die ,summe aller ausgeschnittenen ,sehnen1 s1 endlich noch die doppelte ,summe der ,mittellinien aller ,streifen1 #bm2 die ,gesamtsumme dieser drei ,werte1 mit multipliziert1 liefert den ,flcheninhalt meist mit groer ,genauigkeit3 ,f 77a b7_/#b s #bm74 ,die beiden ,summen s und m kann man durch einen angelegten ,papierstreifen messen1 auf dem man die einzelnen ,sehnen durch ,aneinanderfgen schon beim ,anlegen summiert1 oder auch mit dem ,streckenrdchen des ,kurvimeters1 oder auch mit der ,millimeterteilung des ,rechenschiebers1 nachdem man an dem ,glaslufer einen kleinen ber der ,millimeterteilung schleifenden ,papierzeiger befestigt hat4 ,illustration3 ,fig4 #hh4 ,die abgeschnittenen ,kappen knnen oft mit gengender ,annherung als ,parabelabschnitte aufgefat und alsdann nach der ,lambertschen ,regel zu a und b berechnet werden1 wobei und ihre ,breiten bedeuten 7,joh4 ,heinr4 ,lambert #agbg-aggg74 #ib4 c7 ,andere ,streifeneinteilung4 ,statt da man das ,flchenstck in gleich breite ,streifen zerlegt1 kann man oft einfacher und nicht minder genau als nach der ,simpsonschen ,regel nach folgendem von ,c4 ,runge angegebenen zeichnerischen ,ausgleichungsverfahren vorgehen4 ,man ersetzt das ,stck der ,begrenzungslinie zwischen den beiden ,geraden des ,streifens durch eine senkrecht zu ihnen verlaufende gerade ,strecke der ,art1 da die in der ,fig4 #hi mit ,schraffen versehenen dreieckigen ,zipfel einander flchengleich werden4 ,wenn es sich um gengend kleine ,dreiecke handelt1 kann die ,abgleichung nach dem ,augenma sehr genau ausgefhrt werden1 und wenn vollends die ,figur auf ,millimeterpapier gezeichnet ist1 hat man durch ,auszhlung und ,abschtzung der wenigen in den ,zipfeln befindlichen ,quadratmillimeter eine gute ,prfung4 ,man verwandelt auf diese sehr empfehlenswerte ,art das krummlinig begrenzte ,flchenstck in eine ,summe von ,rechtecken1 deren ,breite man oft1 wenn die ,kurve weniger gekrmmt verluft1 ziemlich gro annehmen kann4 ,danach lt sich der ,inhalt leicht berechnen3 ,f y4 ,illustration3 ,fig4 #hi4 ,illustration3 ,fig4 #ij4 #ic4 d7 ,planimeter4 ,am schnellsten und auch wohl am genauesten bedient man sich zur ,flchenmessung eines ,planimeters1 wie es in seiner einfachsten ,form des ,polarplanimeters in ,fig4 #ij angedeutet ist4 ,,pd ist eine um den ,nadelspitzpol ,p drehbare ,stange beliebiger ,lnge1 so da also ,d einen ,kreis beschreibt2 ,,df ist eine in ,d drehbare ,stange der ,lnge l1 deren ,fahrstift ,f die ,berandung des auszumessenden ,flchenstckes einmal umfhrt2 ,r ist ein auf der ,zeichenebene rollendes1 nicht gleitendes ,rad vom ,radius r1 dessen ,winkeldrehung an einer ,teilung abgelesen werden kann4 ,man zeigt mit ,hilfe der ,integralrechnung1 da1 wenn der ,pol ,p auerhalb der zu umfahrenden ,flche liegt1 der gesuchte ,flcheninhalt gleich l r ist2 meist gibt die ,teilung der ,merolle dieses ,produkt unmittelbar an4 #id4 ,geneigte ,flche4 ,wenn die ,ebene der auszumessenden ebenen ,flche unter dem ,winkel gegen die ,horizontalebene der ,karte geneigt ist1 so ergibt sich der wahre ,flcheninhalt aus dem seiner ,projektion1 indem man diese durch cos dividiert4 ,das sieht man sogleich ein1 wenn man sich die ,flche und ihre ,projektion durch ,ebenen1 die auf der ,schnittgeraden der ,flche und der ,projektionsebene senkrecht stehen1 in gengend schmale ,streifen der ,breite zerlegt denkt4 ,die mittleren ,lngen des ,streifens und seiner ,projektion verhalten sich wie #a 3 cos 1 daher1 da die ,breite dieselbe ist1 auch ihre ,flcheninhalte1 daher auch die ,flchen selbst4 ,diese ,bemerkung kann man bisweilen benutzen1 um praktisch von einem begrenzten ,teile einer ,gelndeflche den ,flcheninhalt zu bestimmen1 nmlich dann1 wenn sie sich in ,bezirke teilen lt1 innerhalb deren die ,horizontalneigung gengend konstant ist1 was sich brigens sehr leicht am ,verlauf der ,fallinien erkennen lt4 ,illustration3 ,fig4 #ia4 #ie4 ,flcheninhalt einer ,bschungsflche4 ,wie in #fe gezeigt1 ist jede ,bschungsflche auf eine ,ebene abwickelbar1 und zwar so1 da nach und nach jede ihrer geradlinigen ,fallinien in die ,ebene zu liegen kommt4 ,da bei der ,abwickelung auer den ,lngen die ,winkel zwischen den ,kurven der ,bschungsflche sich nicht ndern1 so gehen die ,schichtlinien in ,kurven ber1 die auf den geradlinigen ,fallinien auch nach der ,abwickelung senkrecht stehen4 ,man betrachte nun einen von zwei beliebigen ,schichtlinien und zwei geradlinigen ,fallinien begrenzten ,streifen einer ,bschungsflche4 ,sein ,flcheninhalt bleibt bei der ,abwickelung in die ,zeichenebene1 wodurch die ,figur ,,acdb 7,fig4 #ia7 entstehen mge1 ebenfalls ungendert4 ,es seien ,,mp1 ,,nq die ,abwickelungen zweier naher ,fallinien von der ,lnge l2 sie schneiden das ,flchenstck ,,mpqn aus1 das um so mehr als ,trapez betrachtet werden kann1 je nher ,,mp und ,,nq aneinander liegen4 ,ist ,,rs die ,mittellinie des ,trapezes1 m ihre ,lnge1 so ist seine ,flche gleich l m2 demnach der ,flcheninhalt des ganzen ,stckes ,,abcd gleich l m1 wo m nichts anderes als die ,bogenlnge der mittleren ,schichtlinie ,,ef ist4 ,man findet daher den ,flcheninhalt einer von zwei ,schichtlinien und zwei ,fallinien der wahren ,lnge l begrenzten ,bschungsflche1 indem man l mit der ,bogenlnge der mittleren ,schichtlinie multipliziert4 ,die ,ausfhrung kann unmittelbar an der ,karte der ,bschungsflche vorgenommen werden1 da ja bei jeder ,flche die ,schichtlinien mit ihren ,projektionen kongruent sind4 brigens braucht man die erwhnte mittlere ,schichtlinie nicht erst zu konstruieren1 sondern nimmt einfacher und genauer aus den ,bogenlngen der begrenzenden ,schichtlinien das arithmetische ,mittel4 ,sind die aus der ,karte zu entnehmende konstante ,horizontalentfernung der beiden ,schichtlinien1 k und k ihre ,hhenzahlen1 so ist l 7 7k - k771 also als ,hypotenuse eines rechtwinkligen ,dreiecks mit den ,katheten und 7k - k71 diese in ,einheiten des ,hhenmastabes gemessen1 leicht zu zeichnen4 ,da man nach #ff eine ,gelndeflche1 die durch gengend viele ,schichtlinien gegeben ist1 gleich der erachten kann1 die aus schmalen ,streifen von ,bschungsflchen zusammengesetzt ist1 so lt sich das eben auseinandergesetzte ,verfahren auch benutzen1 um angenhert die ,inhalte beliebiger gekrmmter ,flchenstcke zu bestimmen4 ,eine groe ,genauigkeit wird man freilich nicht zu erwarten haben4 #if4 ,rauminhalt eines begrenzten ,gelndeteiles4 ,es ist eine wichtige ,aufgabe der technischen ,praxis1 den ,rauminhalt von ,erdmassen zu bestimmen4 ,wenn die ,begrenzung ganz willkrlich ist1 mu man sich wie beim ,flcheninhalt gewisser ,annherungsmethoden bedienen1 deren ,berechtigung und ,genauigkeit in der ,integralrechnung gezeigt wird4 ,man denkt sich den auszumessenden ,krper in eine ,anzahl so dnner ,schichten zerlegt1 da sie ohne merklichen ,fehler als zylindrische ,scheiben betrachtet werden knnen1 deren ,inhalt gleich dem ,produkt aus ihrer ,dicke und ihrem ,querschnitt q ist4 ,haben alle ,schichten des ,krpers die gleiche ,dicke 1 so ist das ,volumen des ,krpers v q1 wo q die ,summe aller ,querschnitte bedeutet4 ,die gewhnliche ,zerlegung ist die in wagerechte ,schichten4 ,die ,querschnitte werden also durch die ,schichtlinien der ,flche begrenzt4 ,man kann jeden ,querschnitt nach irgendeinem der in #ij bis #ic angegebenen ,verfahren bestimmen4 ,aber auch v selber kann man nach denselben ,verfahren ermitteln4 ,denn trgt man die gemessenen ,werte der ,querschnitte als ,ordinaten zu den zugehrigen ,hhenzahlen als ,abszissen auf und verbindet ihre ,endpunkte durch eine glatte ,kurve1 so ist die ,mazahl des ,flcheninhalts1 der von dieser ,kurve1 der ,abszissenachse und den ,anfangs- und ,endordinaten begrenzt wird1 gleich v4 #ig4 ,aufgabe3 ,rauminhalt einer ,lagersttte4 ,zur ,erluterung der in den letzten ,paragraphen besprochenen ,mabestimmungen soll jetzt eine dem bergmnnischen ,anwendungsgebiet entnommene ,aufgabe etwas ausfhrlicher besprochen werden4 ,eine nutzbare unterirdische ,lagersttte wird in der ,regel durch eine ,anzahl von ,bohrlchern erschlossen1 die erkennen lassen1 wie weit sich die ,lagersttte in wagerechter und lotrechter ,richtung erstreckt4 ,da mit ,rcksicht auf die ,kosten die ,zahl solcher ,bohrlcher auf das ,mindestma beschrnkt werden mu1 wird aus den ,bohrergebnissen die ,gestalt der ,lagersttte nur in groben ,umrissen entnommen werden knnen1 und daher werden alle darauf bezglichen ,konstruktionen und ,mabestimmungen nur als erste ,annherungen an die ,wirklichkeit zu betrachten sein2 das ist auch bei der ,lsung der folgenden ,aufgabe nicht zu vergessen4 ,ein ,kohlenlager ist durch eine ,reihe von ,bohrlchern angefahren und durchteuft4 ,man soll den ,rauminhalt des ,lagers ermitteln4 ,zunchst einige allgemeine ,bemerkungen zur ,ausfhrung der ,aufgabe4 ,man wird vor allem die beiden topographischen ,flchen zu bestimmen suchen1 die den oberen ,teil 7das ,hangende7 und den unteren 7das ,liegende7 der ,lagersttte begrenzen1 indem man nach #dh die ,schichtlinien durch ,lngenprofile ermittelt4 ,das geschieht am besten in einer besonderen ,karte1 nachdem man darin die ,lage der ,bohrlcher bertragen und die ,tiefenangaben vermerkt hat1 in denen jedesmal die ,lagersttte angebohrt und durchteuft wurde4 ,nunmehr bestimmt man die ,schichtenquerschnitte nach #ij bis #ic1 trgt die ,werte graphisch zu den ,hhenzahlen als ,ordinaten auf1 und planimetriert zur ,bestimmung des ,rauminhalts die entstehende ,kurve1 wie in #if angegeben4 ,illustration3 ,fig4 #ib4 #ih4 ,ausfhrung der ,aufgabe4 ,es verlohnt sich1 die nhere ,ausfhrung etwas eingehender zu besprechen1 weil dabei eine ,menge ,nutzanwendungen der frheren ,stze zum ,vorschein kommen4 ,das soll nun jetzt geschehen4 - ,gegeben ist die ,karte des ,gelndes 7,fig4 #ib - ,schichtlinien ausgezogen -7 und darin verzeichnet die ,lage der ,bohrlcher1 so da man daraus die ,hhenzahlen ihrer ,mundlcher entnehmen kann4 ,auerdem sind zu jedem ,bohrloch gegeben die ,koten 7,teufen71 in denen das ,hangende angebohrt sowie das ,liegende erreicht ist4 ,das folgende ,verzeichnis enthlt diese ,angaben fr die #ac mit ,a bis ,n bezeichneten ,bohrlcher4 ---------------------------------------- - ,bohrloch ,mundloch ,hangendes ,liegendes ,a #ij m #dg m -#cj m ,b #ajc m #bf m - #f m ,c #aab m #ab m #aj m ,d #gb m #gj m -#be m ,e #ee m #ej m #a m ,f #hg m #db m -#ad m ,g #ih m #ae m #g m ,h #he m #de m -#ae m ,i #hd m #bj m #g m ,k #fj m #aa m #i m ,l #ajh m #aj m #e m ,m #ajc m #bj m - #b m ,n #ga m #dj m #j m ---------------------------------------- - ,zur ,bestimmung der ,schichtlinien wird man mglichst solche ,lngenprofile whlen1 die nahezu in ,richtung der ,fallinien verlaufen2 man wird also fr das ,liegende vom ,punkte tiefster ,kote 7,a71 fr das ,hangende vom ,punkte hchster ,kote 7,d7 mglichst radial ausgehen1 also z4 ,b4 namentlich das ,profil ,,cbadek benutzen1 sodann den ,linienzug ,,ihfg1 wobei man die aus dem vorigen ,linienzug interpolierte ,hhenzahl des ,kreuzungspunktes von ,,ad und ,,fh schon als bekannt benutzen darf1 usw4 ,hat man gengend viele ,zwischenpunkte mit runden ,hhenzahlen ermittelt1 so zeichnet man zuerst die ,schichtlinien1 von denen die meisten ,punkte bekannt sind4 ,das erleichtert auch die ,zeichnung der brigen an den ,stellen1 an denen sie sich nicht durch ,querschnitte gengend scharf bestimmen lassen4 ,im vorliegenden ,fall hat die ,lagersttte die ,form einer unregelmig gestalteten ,linse1 wie es in der ,natur manchmal bei ,braunkohlenlagersttten vorkommt4 ,in der ,fig4 #ib sind die ,schichtlinien des ,liegenden gestrichelt1 die des ,hangenden punktiert gezeichnet4 ,in der ,zeichnung findet sich sowohl eine ,schichtlinie #aj fr das ,hangende wie auch eine fr das ,liegende2 von jeder gehrt aber nur ein ,teil der eigentlichen ,lagersttte an2 das kommt daher1 da sich ,hangendes und ,liegendes in einer ,raumkurve durchsetzen1 deren ,projektion zwischen den beiden ,schichtlinien #aj verluft4 ,man konstruiert ihre genauere ,lage 7- - 7 am einfachsten mittels einiger ,querschnitte1 von denen in der ,figur einer 7bei ,l7 angedeutet ist4 ,wenn die ,schichtlinien alle gezeichnet sind1 kann die ,planimetrierung beginnen4 ,dabei treten in der vorliegenden ,figur noch zwei kleine ,erschwerungen auf1 die zu beachten sind4 ,erstens wird verlangt1 da von dem ,volumen nur derjenige ,teil bestimmt wird1 der innerhalb der geradlinigen ,grubengrenzen gg und der dadurch bestimmten lotrechten ,ebenen gelegen ist4 ,die ,querschnitte sind daher jedesmal nur bis zu diesen ,geraden zu planimetrieren4 ,zweitens aber tritt die ,lagersttte zutage1 und daher wird ihre ,gestalt durch das ,gelnde beeinflut4 ,die ,ausbilinie aa ist nach #gb konstruiert worden2 beim ,planimetrieren mu ersichtlich jedesmal der ,teil der ,schichtlinie des ,hangenden1 der von der ,ausbilinie umfat wird1 durch den entsprechenden ,teil der ,schichtlinie des ,gelndes ersetzt werden4 ,das hat man beim ,umfahren mit einem ,polarplanimeter bercksichtigt1 und dann folgende ,querschnitte in willkrlichen ,einheiten p des ,planimeternonius - ,mittel aus mehreren ,beobachtungen - erhalten3 ,hhenzahl3 ,querschnitt3 ,liegendes3 -#cj m #ba1e p -#bj m #aga p -#aj m #ccf p #j m #hbf p #aj m #abhd1e p ,hangendes3 #aj m #abfh p #bj m #igg p #cj m #ffh1e p #dj m #dcd p #ej m #bda p #fj m #gg p #gj m #d1e p ,zugleich ergab eine ,flche1 die im ,mastab der ,zeichnung gemessen #djjjj m entsprach1 planimetriert #aeih p4 ,illustration3 ,fig4 #ic4 ,die graphische ,darstellung dieser ,werte in beliebigen ,mastben ergibt die ,kurve der ,fig4 #ic4 ,sie besteht aus zwei sten1 einem fr das ,hangende 7rechter ,ast7 und einem fr das ,liegende 7linker ,ast71 die sich in einem ,punkte schneiden4 ,zur ,bestimmung des ,rauminhalts hat man die durch sie und die ,abszissenachse begrenzte ,flche zu ermitteln4 ,die ,planimetrierung lieferte in willkrlichen ,einheiten q des ,planimeternonius1 deren ,wert brigens von p verschieden sein kann1 das ,volumen #edi q1 whrend zugleich eine ,flche1 die #ajjj p #ajj m ,kubikeinheiten entsprach - in der ,figur durch das ,rechteck angezeigt -1 #ajig q ergab4 ,daraus folgt fr das gesuchte ,volumen der ,wert #ediq 7#ajjjjjpm7_/7#ajigq7 7#djjjj m7_/7#aeihp7 #abecajj m4 ,es wre sicher nicht richtig1 das ,schluergebnis auf so viele ,stellen anzugeben1 und man wird sich etwa mit der runden ,zahl #abejjjj m begngen mssen1 zumal eine ,abschtzung der ,genauigkeit auf ,grund der gegebenen ,daten nicht einfach ist4 #ii4 ,zeichnerische ,analysis4 ,die in den vorstehenden ,paragraphen auseinandergesetzten und angewandten ,verfahren der ,projektionen mit ,hhenzahlen lassen sich nicht nur auf geometrische ,aufgaben1 sondern auch auf die praktisch zeichnerische ,behandlung analytischer ,fragen mit ,nutzen anwenden4 ,man kann diesen ,teil der angewandten ,mathematik1 dessen ,entstehung erst wenige ,jahrzehnte zurckliegt1 und dessen ,ausbau noch keineswegs abgeschlossen ist1 passend als graphische oder zeichnerische ,analysis bezeichnen4 ,ihre ,ergebnisse finden in fast allen ,zweigen der ,technik1 in der ,vermessungskunde1 der technischen ,physik1 der ,ballistik usw4 mehr und mehr ,anwendung4 ,im ,folgenden mgen einige einfachere ,gegenstnde dieses ,gebietes besprochen werden1 die mit den vorhergehenden ,betrachtungen zum ,teil aufs engste zusammenhngen4 #ajj4 ,funktionsskale4 ,es bedeute x eine reelle ,vernderliche und y f7x7 eine beliebige eindeutig umkehrbare - d4 h4 zu jedem ,wert von y gehrt ein ,wert von x - reelle ,funktion von x1 gegeben durch irgendeine ,rechenvorschrift oder durch eine ,zahlentafel1 derart1 da ihr zeichnerisch im rechtwinkligen ,cartesischen ,koordinatensystem 7x1 y7 eine ,kurve zugeordnet werden kann4 ,einen ,punkt ,p der ,kurve 7,fig4 #id mit y x7 mit der ,abszisse x 7 #c7 projiziere man parallel zur ,abszissenachse auf die ,ordinatenachse nach ,q1 so da ,,oq y 7 #c #a1gc7 ist1 schreibe aber an ,q den zu ,p gehrigen ,abszissenwert x 7 #c74 ,wenn man so fr gengend viele ,punkte verfhrt1 erhlt man die ,skale der ,funktion y f7x74 ,die ,fig4 #id stellt die ,entstehung der ,funktionsskale y x dar4#c #c ,weitere ,beispiele sind in dem ,bndchen von ,paul ,luckey1 ,einfhrung in die ,nomographie1 dieser mathematisch-physikalischen ,bibliothek zu finden4 ,illustration3 ,fig4 #id4 ,auf der ,vorderseite eines gewhnlichen ,rechenschiebers befinden sich die ,skalen der ,funktion y logx in zwei verschiedenen ,mastabseinheiten4 ,die ,funktionsskalen tragen im allgemeinen eine ungleichmige ,einteilung2 gleichmig ist sie nur im ,falle einer linearen ,funktion y ax b1 weil die zugehrige ,kurve hier eine gerade ,linie ist4 ,wenn die ,teilung einer ,funktionsskale so dicht ist1 da eine ,zwischenschaltung weiterer ,funktionswerte nach dem ,augenmae mglich ist1 kann man im ,sinne der zeichnerischen ,analysis die ,funktion als durch ihre ,skale vllig bestimmt ansehen4 ,denkt man sich die ,fig4 #id um einen rechten ,winkel aus der ,papierebene so geschwenkt1 da die x-,achse senkrecht zur ,zeichenebene nach oben gerichtet ist1 dann stellt die ,skale der ,funktion nichts weiter dar als die kotierte ,projektion der ,kurve 7vgl4 #fh71 die durch die ,skale gestuft ist4 ,um von irgendeiner analytisch oder tabellarisch gegebenen ,funktion die ,skale herzustellen1 ist es natrlich nicht erst ntig1 die zugehrige ,kurve zu zeichnen4 ,man braucht nur auf der gewhlten ,geraden1 dem ,trger der ,skale1 von einem beliebig angenommenen ,nullpunkte aus mit der gewhlten ,mastabseinheit den zu x gehrigen ,funktionswert f7x7 y abzutragen und an den ,endpunkt dieser ,strecke die ,zahl x anzuschreiben4 ,illustration3 ,fig4 #ie4 ,wenn die ,funktion nicht eindeutig umkehrbar ist1 also zu einem ,wert von y mehrere ,zahlenwerte von x gehren1 ist ihre ,darstellung durch eine ,skale zwar auch mglich1 aber man mu dann mehrfach bezifferte 7gebrochene7 ,skalen in ,kauf nehmen1 die1 auf demselben ,trger gezeichnet1 sich ganz oder zum ,teil berdecken 7vgl4 ,fig4 #ie74 #aja4 ,konstruktion besonderer ,funktionsskalen4 ,einige ,skalen lassen sich leicht durch eine einfache geometrische ,konstruktion finden4 ,so z4 ,b4 die ,skalen fr sin x und tg x fr spitze ,winkel1 wie aus der ,fig4 #if ersichtlich ist4 ,die ,skale fr sin x gibt zu gleich die fr cos x1 wenn man neben den ,strich mit der ,zahl x in ,graden noch die ,zahl #ij - x schreibt1 und ebenso findet man die ,skale fr ctg x aus der fr tg x4 ,man kann diese z4 ,b4 dann benutzen1 um fr zwei ,punkte einer ,karte eines ebenen ,gelndes1 deren ,hhenunterschied gleich #a ist1 den ,fallwinkel zu bestimmen2 denn die in der ,karte gemessene ,entfernung der ,projektionen beider ,punkte ist gleich ctg 4 ,illustration3 ,fig4 #if4 ,besonders wichtig ist die ,konstruktion der ,skale fr die linear gebrochene ,funktion y 7ax b7_/7cx d71 wo a1 b1 c1 d vier ,konstanten sind1 von denen es ersichtlich gengt1 die drei ,verhltnisse a 3 b 3 c 3 d zu kennen4 ,wenn c #j1 so wrde die ,funktion eine ganze lineare sein1 ihre ,skale also gleichmig geteilt4 ,wenn c #j1 aber ad - bc #j1 wre die ,funktion gar nur eine ,konstante1 wie sofort aus dem ,ausdruck y a_/c 7ad - bc7_/7c7cx d77 folgt1 in den man die ,funktion berfhren kann4 ,sieht man von diesen ,ausnahmefllen ab1 und bezeichnet man mit y1 y1 y1 y die vier zu x1 x1 x1 x gehrigen ,funktionswerte1 so ist - man kann sich davon durch ,ausrechnung leicht berzeugen - 7y - y7_/7y - y7 3 7y - y7_/7y - y7 7x - x7_/7x - x7 3 7x - x7_/7x - x71 d4 h4 die ,doppelverhltnisse von je vier ,werten von x und den zugehrigen ,werten von y sind einander gleich1 und daraus folgt bekanntlich1 da die ,punktreihe ,p1 ,p1 ,p1 ,p mit den ,abszissen x1 x1 x1 x auf einer ,geraden ,i aus der ,punktreihe ,q1 ,q1 ,q1 ,q mit den ,abszissen y1 y1 y1 y auf einer ,geraden ,,ii durch ,projizieren gewonnen werden kann 7,fig4 #ig74 ,zur ,konstruktion einer projektiven ,skale y 7ax b7 3 7cx d7 kann man also folgendermaen verfahren4 ,gegeben sei der ,trger der ,skale1 die ,gerade ,,ii1 ferner der ,anfangspunkt der ,skale1 d4 h4 der ,punkt mit dem ,teilstrich #j1 und der ,mastab1 wodurch zugleich der ,punkt mit dem ,teilstrich #a der ,skale bestimmt ist4 ,nunmehr zeichnet man auf einer beliebigen ,geraden ,i irgendeine gleichmige ,teilung4 ,man verbindet sodann miteinander die ,punkte der ,teilstriche #j und ebenso die ,punkte der ,teilstriche #a4 ,der ,schnittpunkt ,s dieser ,verbindungsgeraden ist der ,mittelpunkt des ,strahlbschels1 das die ,skale ,i auf die ,skale ,,ii projiziert4 7,fig4 #ih47 ,natrlich gibt es auf einer ,geraden unzhlig viele projektive ,skalen mit denselben ,punkten #j und #a2 denn eine projektive ,skale ist erst durch die ,angabe von drei ,punkten eindeutig bestimmt1 entsprechend den drei ,konstantenverhltnissen a 3 b 3 c 3 d4 ,illustration3 ,fig4 #ig4 ,illustration3 ,fig4 #ih4 #ajb4 ,aufgabe4 ,eine ,strecke ,,ab #e cm soll mit einer solchen ,skale versehen werden1 da an jedem ,punkte abgelesen werden kann1 in welchem ,teilverhltnis der beiden ,abschnitte die ,strecke durch ihn geteilt wird4 ,ist ,p ein ,punkt der ,strecke1 ,,ap y1 und x die ,skalenstelle von ,p1 so soll ,,ap 3 ,,pb x oder y_/7,,ab - y7 x sein2 daher ist y x_/7#a x7 ,,ab4 ,illustration3 ,fig4 #ii4 ,zur ,konstruktion der ,skale y auf ,,ab berlegt man1 da dem ,punkte ,a der ,wert x #j1 der ,mitte von ,,ab der ,wert x #a1 dem ,punkte ,b der uneigentliche ,wert x beizuschreiben ist4 ,man zieht also z4 ,b4 durch ,a eine beliebige ,gerade ,,ac mit gleichmiger ,teilung1 die berdies auch in ,a beginnen kann4 ,nun verbindet man den ,teilpunkt #a dieser ,geraden ,,ac mit der ,mitte von ,,ab1 den ,teilpunkt der ,geraden mit dem ,punkte ,b 7d4 h4 man zieht durch ,b eine ,parallele zu ,,ac72 beide ,verbindungslinien schneiden sich in ,s1 dem ,mittelpunkte des projizierenden ,strahlenbschels 7,fig4 #ii74 ,der ,leser mag ferner die ,skale #a 3 x zeichnen4 #ajc4 ,zusammengesetzte ,funktionsskalen4 ,wenn y als ,funktion von x durch eine ,skale gegeben ist und ebenso y als ,funktion von u1 so kann man den funktionalen ,zusammenhang zwischen x und u einfach dadurch graphisch herstellen1 da man die beiden ,skalen mit den zusammengehrigen ,werten von y aneinanderlegt4 ,ein einfaches ,beispiel dafr geben die drei ,thermometerskalen nach ,celsius1 ,raumur und ,fahrenheit1 wenn man sie sich auf demselben ,thermometer angebracht denkt 7,fig4 #ajj72 sie entsprechen folgenden drei linearen ,funktionen3 ,illustration3 ,fig4 #ajj4 ,c x1 ,r #d_/ex1 ,f #i_/ex #cb4 ,auf der ,vorderseite des gewhnlichen ,rechenschiebers findet sich im oberen ,teile die ,skale y lg x1 im unteren dieselbe ,skale im doppelten ,mastab1 d4 h4 die ,skale y #b lg u2 durch den ,strich des ,glaslufers wird daher die ,beziehung lg x #b lg u lg u oder x u1 u x vermittelt4 ,ebenso leicht ist es auch1 wenn y f7x7 und x 7u7 je durch eine ,skale dargestellt sind1 die ,skale herzustellen1 die den funktionalen ,zusammenhang y f77u77 7u7 zwischen y und u liefert1 oder1 anders gesprochen1 die graphische ,elimination von x auszufhren4 ,es wrde an sich gengen1 neben die ,bezifferung x der ,skale y f7x7 den zugehrigen ,wert von u zu schreiben1 wie ihn die ,skale 7u7 ergibt1 nur wrde man dann keine zur ,interpolation brauchbare ,skale mit gleichen ,unterschieden der ,vernderlichen u erhalten4 ,um die dazu erforderliche ,zwischenschaltung der u-,werte mit befriedigender ,genauigkeit ausfhren zu knnen1 zeichnet man zuerst in einem ,koordinatensystem 7x1 y7 mit einer x-,achse1 die zugleich ,trger der ,skale 7u7 ist1 und einer y-,achse1 die zugleich ,trger der ,skale f7x7 ist1 die ,kurve y f7x74 ,nun kann man leicht zu jedem ,teilstrich der ,skale 7u7 den zugehrigen ,teilstrich der ,skale 7u7 auf dem in der ,fig4 #aja durch die ,pfeile angedeuteten ,wege finden4 ,illustration3 ,fig4 #aja4 #ajd4 ,netzteilung4 ,fr viele ,zwecke der zeichnerischen ,analysis ist es wichtig1 eine ,kurve 7,k71 die in einem ,koordinatensystem 7x1 y7 gezeichnet vorliegt1 in eine andere 77 zu verwandeln1 die sich auf ein ,koordinatensystem 71 7 bezieht1 wobei 7x71 7y7 gegebene funktionale ,beziehungen zwischen x und 1 y und bedeuten sollen4 ,wre die ,gleichung der vorgelegten ,kurve 7,k7 bekannt1 etwa ,f7x1 y7 #j1 und wren auch die ,funktionen 7x7 und 7y7 in analytischer ,form gegeben1 so wrde man nur 1 an ,stelle von x1 y einzufhren zu haben1 um die ,gleichung 71 7 #j der verwandelten ,kurve 77 zu erhalten4 ,aber hier handelt es sich darum1 zeichnerisch die ,aufgabe zu lsen1 wenn die ,kurve 7,k7 und die ,funktionen 7x7 und 7y7 graphisch gegeben sind4 ,man trgt auf einer -,achse die ,skale 7x7 auf und ebenso auf einer -,achse die ,skale 7y71 wodurch ein im allgemeinen ungleichmig geteiltes ,netz bestimmt ist1 wie die ,fig4 #ajc angibt4 ,jedem ,koordinatenpaar x1 y entspricht in diesem ,netze ein ,punkt1 der entweder auf einen ,schnittpunkt der ,netzgeraden fllt1 oder dessen ,lage durch ,schtzung leicht zu ermitteln ist4 ,auf diese ,weise kann man die gegebene ,kurve 7,k7 ,punkt fr ,punkt in dieses ,netz bertragen und erhlt so die verwandelte ,kurve 774 ,illustration3 ,fig4 #ajb4 ,beispielsweise geht die ,ellipse mit den ,halbachsen a und b1 deren ,hauptachsenrichtungen mit den ,koordinatenachsen x1 y und deren ,mittelpunkt mit dem ,ursprung zusammenfllt1 deren ,gleichung also x_/a y_/b #a lautet1 durch ,umzeichnung in ein ,netz mit den ,skalen x1 y in die ,gerade mit der ,gleichung _/a _/b #a ber1 die die ,skalen in den ,teilstrichen a und b trifft und also leicht zu zeichnen ist4 ,das wurde auch fr schiefwinklige ,achsen gelten1 wenn a1 b dann konjugierte ,halbmesser bedeuten4 ,man kann von dieser ,bemerkung eine ,anwendung auf folgende ,aufgabe der praktischen ,mathematik machen4 ,es liegt eine eifrmige ,kurve gezeichnet vor1 und es besteht die ,vermutung1 da sie angenhert eine ,ellipse sei2 wie ist das festzustellen8 ,man wird zunchst angenhert den ,mittelpunkt und zwei konjugierte ,durchmesser der ,kurve bestimmen1 indem man ein ihr umschriebenes ,parallelogramm mit seinen ,mittellinien zeichnet4 ,dadurch ist zugleich ein schiefwinkliges ,koordinatensystem x1 y gegeben1 durch das die ,punkte der ,kurve festgelegt werden knnen4 ,man zeichnet jetzt das ungleichmig geteilte ,netz x1 y1 und in dieses trgt man gengend viele ,punkte der eifrmigen ,kurve ein2 sie werden1 den vier ,quadranten der ,kurve entsprechend1 angenhert auf vier ,seiten eines ,parallelogramms liegen4 ,die ,abweichung der ,punkte von diesen ,geraden lt auch die ,abweichung der ,eilinie von der ,ellipse erkennen4 ,wenn man ber die ,punkte1 die angenhert auf einer ,geraden liegen1 einen ,faden spannt oder eine auf einen ,film geritzte ,gerade legt1 kann man in den meisten ,fllen genau genug die ,abweichungen ausgleichen und dadurch die ,lngen fr die konjugierten ,halbmesser der ,ellipse bestimmen1 die die ,eilinie am besten darstellt 7,fig4 #ajc74 ,illustration3 ,fig4 #ajc4 #aje4 ,logarithmenpapier4 ,besonders wichtig ist ein ,netz mit logarithmischer ,einteilung4 ,solche ,netze sind in ,form von ,logarithmenpapier kuflich zu haben4 ,es gibt zwei ,arten davon3 bei der einen ist sowohl die ,abszissenachse1 wie auch die ,ordinatenachse logarithmisch geteilt1 bei der anderen nur die eine der ,koordinatenachsen4 ,ihre ,verwendung wird aus folgenden ,beispielen hervorgehen4 ,wenn es sich darum handelt1 die polytropische ,kurve mit der ,gleichung pv c zu zeichnen1 wo 1 c zwei ,konstanten1 p und v aber ,druck und ,volumen eines ,gases bedeuten1 das sich adiabatisch ausdehnt1 so setze man lg v1 lg p1 ,c lg c und erhlt ,c1 d4 h4 im ,koordinatennetz 1 eine gerade ,linie4 ,man wird hier also die erste ,art des doppelt logarithmisch geteilten ,papiers benutzen 7,fig4 #ajd74 ,illustration3 ,fig4 #ajd4 ,wenn man mit einem gut eingeschossenen ,gewehr nach einem ,punkte ,o einer ebenen senkrechten ,scheibe oftmals schiet1 so werden die ,einschlge sich in der ,nhe von ,o hufen und mit wachsendem ,abstande von ,o an ,zahl abnehmen4 ,gau hat als ,ma fr die ,hufigkeit eines ,treffers im ,abstande von ,o den ,ausdruck 7,fehlergesetz7 z e- angegeben1 dem die ,hufigkeit proportional ist1 unter der ,annahme1 da sie in allen von ,o ausgehenden ,richtungen dieselbe sei4 ,setzt man lg z1 lg e #j1dcdc1 so wird -#j1dcdc 4 ,bei ,verwendung einfach logarithmisch geteilten ,papiers ergibt dies eine ,parabel4 ,setzt man noch 1 d4 h4 bringt man noch auf der gleichmig geteilten ,skale des ,logarithmenpapiers eine quadratische ,teilung an1 so geht die ,parabel in die ,gerade -#j1dcdc ber 7,fig4 #aje74 ,illustration3 ,fig4 #aje4 #ajf4 ,darstellung einer ,funktion von zwei ,vernderlichen durch ein ,rechenblatt4 ,es sei z f7x1 y7 die darzustellende ,funktion der beiden voneinander unabhngigen ,vernderlichen x und y4 ,ihr geometrisches ,bild ist eine ,flche1 wenn man die ,werte von z als ,hhen senkrecht ber einer ,ebene in den ,punkten mit den ,koordinaten x1 y auftrgt4 ,zu jedem festen ,werte von z gehrt eine ,kurve bestimmter ,hhe auf der ,flche1 d4 h4 eine ihrer ,schichtlinien4 ,die ,projektionen der ,schichtlinien auf die als ,zeichenebene gedachte xy-,ebene liefern die ,karte der ,flche und somit eine geometrische ,darstellung der ,funktion durch ,schichtenlinien f7x1 y7 konst4 im ,koordinatensystem 7x1 y74 ,an den ,schichtenlinien hat man sich die zugehrigen ,werte von z als ,hhenzahlen angeschrieben zu denken1 genau so1 wie es bisher bei der kartenmigen ,darstellung der ,gelndeflchen geschehen ist4 ,es ist nicht ntig1 da die ,funktion in entwickelter ,form z f7x1 y7 gegeben sei2 fr eine ,gleichung der ,form ,f7x1 y1 z7 #j ist dieselbe ,darstellung mglich4 ,diese ,darstellung hat man ein ,rechenblatt 7,nomogramm1 ,abakus7 der ,funktion oder der ,gleichung genannt4 ,illustration3 ,fig4 #ajf4 ,in der ,fig4 #ajf ist das ,rechenblatt der ,funktion z dargestellt1 die durch die ,gleichung z xz y #j gegeben ist4 ,die ,schichtlinien sind alle ,geraden4 ,man kann das ,rechenblatt zur zeichnerischen ,auflsung einer beliebigen quadratischen ,gleichung mit reellen ,wurzeln z pz q #j nach der ,unbekannten z gebrauchen4 ,man sucht im ,rechenblatt den ,punkt mit den ,koordinaten p1 q und sieht nach1 welche ,schichtgeraden durch ihn hindurchgehen2 die ,zahlen der ,schichtgeraden1 die ntigenfalls durch schtzendes ,zwischenschalten zu bestimmen sind1 geben die reellen ,wurzeln der ,gleichung an4 ,liegt der ,punkt auf der einhllenden ,parabel x #dy1 so hat die ,gleichung eine ,doppelwurzel1 liegt er im ,innern dieser ,parabel1 so hat die ,gleichung keine reelle ,wurzeln4 ,in hnlicher ,weise lt sich die ,gleichung zn xzm y #j und noch allgemeiner die ,gleichung 7z7 x7z7 y #j behandeln1 wo 7z71 7z7 beliebige ,funktionen bedeuten knnen1 die analytisch oder tabellarisch oder auch zeichnerisch durch ,kurven oder ,funktionsskalen gegeben sein knnen4 ,in allen diesen ,fllen sind die ,kurven des ,rechenblattes gerade ,linien4 ,solche ,rechenbltter sind natrlich besonders leicht herzustellen4 #ajg4 ,rechenblatt mit ungleichmiger ,teilung4 ,auch wenn die ,kurven konstanter ,werte von z zunchst keine geraden ,linien ergeben1 kann man doch hufig durch ,benutzung von ,skalen auf den ,koordinatenachsen bewirken1 da die ,kurven des ,rechenblattes ,geraden werden4 ,zum ,beispiel wenn die ,gleichung 7z7 7x7 7z7 7y7 #j vorliegt1 die eine ,verallgemeinerung der vorhergehenden ist1 so wird man das ,netz der ,skalen 7x71 7y71 wie in #ajc angegeben worden ist1 benutzen knnen2 die ,schichtlinien in diesem ,netze 1 sind dann gerade ,linien1 denn es ist 7z7 7z7 #j fr jeden ,wert von z die ,gleichung einer ,geraden4 ,die ,zustandsgleichung eines vollkommenen ,gases lautet pv ,,rt1 wobei p den ,druck1 v das ,volumen1 ,r die ,gaskonstante1 ,t die absolute ,temperatur des ,gases bedeuten4 ,die ,isothermen ,t konst4 sind1 im ,koordinatensystem p1 v gezeichnet1 gleichseitige ,hyperbeln2 im ,system lg p1 lg v dagegen ergeben sich dafr gerade ,linien4 ,bei ,benutzung doppelt geteilten ,logarithmenpapiers lt sich mithin fr die obige ,zustandsgleichung ein ,rechenblatt mit dem ,lineal allein herstellen4 ,wenn man sich auf doppelt geteiltem ,logarithmenpapier mit den ,skalen lg x1 lg y die ,geraden z xy zeichnet1 so kann das entstandene ,rechenblatt als ,multiplikationstafel dienen2 denn in ihm liegt der ,punkt mit den ,koordinaten x1 y1 den ,faktoren1 jedesmal auf der ,geraden mit der ,hhenzahl xy1 dem ,produkte 7,fig4 #ajg74 ,illustration3 ,fig4 #ajg4 ,,alphabetisches ,,sachverzeichnis ,abtrag und ,aufschttung #ai4 - - - eines ,dammes #ah1 #ec2 einer ,halde #bb1 #eb4 abwickelbare ,flchen #da4 ,analysis1 zeichnerische #gg ff4 ,ansicht des ,gelndes #fe ff4 ,anstieg einer ,geraden #c2 - einer ,ebene #g2 - einer ,raumkurve #cb4 asymptotisches ,einmnden #dd4 ,ausbilinie ,ausschnittlinie #ba1 #ce1 #ed4 ausgezeichnete ,fallinien #dc4 ,ausschachten einer ,grube #bd4 bauchig gekrmmt #dj4 ,berhrungen im ,raume #bi4 ,berhrungsebene einer ,flche #cg4 - durch eine gegebene ,gerade #ef1 #eh4 ,berhrungskegel an einer ,flche #fb4 ,binormale #ce4 ,bogenlnge #fg4 ,bschung einer ,geraden #c2 - einer ,ebene #g2 - einer ,halde #bc2 - einer ,raumkurve #cb4 ,bschungsflche #dg2 - einer ,raumkurve #di4 - ,flcheninhalt #ga4 ,bschungskegel #ae4 ,bschungslinie #cb1 #ej4 ,bschungsmastab einer ,ebene #g4 ,bschungsstreifen #dh4 cos x1 ctg x1 ,skale #hj4 ,dachausmittelung #ba4 ,demarkationslinie #da4 ,drehen einer ,ebene #ab4 ,drehflche #ag4 ,durchdringungspunkte einer ,raumkurve mit einer ,gelndeflche #eb4 ,ebene #f2 -n gegebener ,bschung #ae2 - gleicher ,bschung #aj2 mit parallelen ,gefllemastben #i4 ebener ,platz1 ,anlage #ai4 ,einfallen einer ,ebene #g4 ,einschalten eines ,punktes #d1 #ca4 ,ellipse #bc1 #bd2 angenherte - #hd4 elliptisch gekrmmt #dj4 ,enveloppe ,hllkurve #bh4 ,evolute und ,evolvente #bi4 ,fallen und ,streichen einer ,ebene #g4 ,fallinien #f1 #cg1 #ch1 #da2 ausgezeichnete - #dc4 ,fallwinkel einer ,geraden #c4 ,fehlergesetz1 ,gausches #hf4 ,fehlerkurve #bh4 ,firstlinie eines ,daches #bb4 ,flchen1 krumme #ag4 ,flcheninhalt einer ,bschungsflche #ga4 ,flchenmessung #fh4 ,flugzeug1 durchmessener ,weg #fh4 ,funktionsskalen #gh ff4 ,funktion von zwei ,vernderlichen1 zeichnerische ,darstellung #hg4 gebrochene ,skale #gi4 ,geflle einer ,geraden #c1 #e2 - einer ,ebene #f1 #ae2 - einer ,flche #ch4 - ,kurven konstanten -s #ej4 ,gelndeflche #a1 #bf4 geologische ,schicht1 ,ausbilinie einer #ba1 #cf4 ,gipfelpunkt #da4 glatte ,kurve #bg4 ,graduierung einer ,geraden #d1 ,stufung4 ,grat1 ,gratlinie #dg1 #dh4 ,grenzlinie einer ebenen ,schicht #ba2 - einer ,bschungsflche #ea4 ,grube1 ,ausschachten einer - #bd4 ,halde1 ,aufschttung einer - #bb4 ,hangendes einer ,lagersttte #gc4 ,hauptnormale #cd4 ,hauptpunkte #ca4 ,hauptschichtlinien #bf4 ,hilfskurve #fa1 #fc4 ,hhenlinien #a2 ,einschalten von - #cf4 ,hhenzahl #a1 #b ,kote4 ,horizont #fb1 #fd4 ,hllkurve #bh4 hyperbolisch gekrmmt #dj4 hyperbolisches ,paraboloid #ag4 ,intervall einer ,geraden #e2 - einer ,raumkurve #cb4 ,isobathe #a1 ,tiefenlinie4 ,isohypse #a1 ,hhenlinie1 ,schichtlinie4 ,jochpunkt #db4 ,kammweg #dd4 ,karte eines ,gelndes #bf4 ,keplersche ,faregel #fi2 ,simpsonsche ,regel4 ,korrektionskurve #bh4 ,kote #a1 #b1 ,hhenzahl4 kotierte ,projektion #b2 - ,ebene #b4 ,kreiskegel1 ,kreiszylinder #af4 ,kreispunkt #dc4 krumme ,oberflchen #ag4 ,krmmung einer ,flche #ci4 ,krmmungsmittelpunkt1 -kreis #bi4 ,krmmungsgrenze ,demarkationslinie #da4 ,kurven im ,gelnde #cj4 ,kurvimeter #fh4 krzester ,abstand zweier windschiefer ,geraden #aa4 ,lagersttte1 ,rauminhalt einer - #gc ff4 ,lambertsche ,regel #fi4 ,lngenmessung #hi4 ,lngenprofil einer ,raumkurve #ca4 ,liegendes einer ,lagersttte #gc4 linear gebrochene ,funktion1 ,skale #hj ff4 ,logarithmenpapier #he4 ,lot von einem ,punkte auf eine ,ebene #aa4 ,luftlinie #c4 ,mabestimmungen #fg ff4 ,mastab der ,zeichnung #c4 ,merdchen #fh4 ,mulde1 ,ausstrichlinie einer - #ed4 ,muldenpunkt #db4 ,multiplikationstafel #hi4 ,mndungspunkt #dd4 ,nabelpunkt #dc4 negativ gekrmmt #dj4 ,netzteilung #hc4 ,niveaulinien #a4 ,normale einer ,kurve #cc2 - einer ,flche #cg4 ,normalebene #cb1 #ch4 ,normalschnitt #ch4 ,nullinie #eb4 ,pantograph ,storchschnabel #bg4 ,paraboloid1 hyperbolisches #ag4 parabolisch gekrmmt1 -e ,kurve #da2 -er ,punkt #de4 parallele ,gefllemastbe #i4 ,parallelkurven #bi4 ,parallelprojektion #fe4 ,plan des ,gelndes #bf4 ,planierungsflche #cb1 #eb4 ,planimeter #gj4 ,planum ebener ,platz #ai4 polytropische ,kurve #he4 positiv gekrmmt #dj4 ,profil ,querprofil #ai1 #ce2 scheinbares - #ee4 projektive ,skale #ha4 projizierender ,zylinder #cj4 quadratische ,gleichung1 zeichnerische ,lsung #hg ff4 ,querprofil #ai1 #ce4 ,rauminhalt #gb2 - einer ,lagersttte #gc4 ,raumkurve1 ,darstellung #cj4 ,rechenblatt #hg ff4 ,rechenschieberskalen #gh1 #hb4 ,rektifikation #fg4 ,relief eines ,gelndes #cj4 ,rinne im ,gelnde #dg4 ,rckenlinie #dd4 ,rungesches ,verfahren der ,flchenmessung #gj4 sattelfrmig gekrmmt #dj4 ,sattelfalte #ee4 ,schacht1 ,tiefes eines -es #cf4 ,schattengrenze #fb4 scheinbares ,profil #ee2 -rer ,umri #fb4 ,schicht1 ,ausbilinie einer geologischen - #ba4 ,schichtenplan #a1 #bf4 ,schichtlinien #a1 #f1 #ca1 #da4 ,schmiegungsebene #cc4 ,schnitt zweier ,geraden #e2 - einer ,flche mit einer ,ebene #ce2 - zweier ,flchen #ea2 - einer zylindrischen ,flche mit dem ,gelnde #ee4 ,schnittgerade zweier ,ebenen #h4 ,schnittpunkt einer ,geraden mit einer ,ebene #aj4 ,schnittwinkel zweier ,ebenen #ac4 ,schraffur einer ,karte #ci4 ,schraubenflche #ag1 #cc4 sichtbarer ,teil des ,gelndes #ec4 ,simpsonsche ,regel #fi4 sin x1 ,skale #gi4 ,skale einer ,funktion #gh ff4 ,spiegellineal #bh4 ,steigung1 ,weg gegebener - #bj4 ,storchschnabel #bg4 ,strahlbschel #ha4 ,streichen und ,fallen einer ,ebene #g1 #ba4 ,streichlinien einer ,ebene #g4 ,stufung einer ,geraden ,graduierung #d4 ,talweg #ah1 #dc ff4 ,tangente #bh4 ,teilverhltnis1 ,skale #ha4 tg x1 ,skale #gi4 ,thermometerskalen #hb4 ,tiefenlinien #a4 ,trger einer ,funktionsskale #gi4 ,tunnelmndung #be4 ,turm1 ,aussicht von einem - #ff4 berhhung #d4 ,umdrehungsflche #ag4 ,umri einer ,flche #ef1 #fb4 umschriebener ,zylinder #ef1 #eg1 #ei4 ,verbindungslinien konstanter ,steigung #ea4 ,verschneidung ,ausbilinie #ce1 #ed4 ,vertikalschnitt #ai4 wahre ,gestalt einer ,figur #ac4 ,wasserscheide #db1 #dd4 ,weg gegebener ,steigung #bj4 zeichnerische ,bemerkungen #bf2 - ,analysis #fg ff41 #gg ff4 ,zentralprojektion #ff4 zusammengesetzte ,funktionsskalen #hb4 ,zylinder #af2 projizierender - #cj2 ,schnitt mit dem ,gelnde #ee4 ,feldmessen und ,nivellieren4 ,von ,direktor ,prof4 ,g4 ,volquardts4 7,leitfaden f4 ,baugewerkschulen ,bd4 #ac47 #c4 ,aufl4 ,mit #ch ,figuren4 ,steif geh4 -4#hj ,der ,verfasser hat sich auf die ,besprechung rein feldmesserischer ,arbeiten einfachster ,art beschrnkt1 wie sie der ,hochschulbautechniker in der ,praxis fters auszufhren hat4 ,ein besonderer ,wert wird darauf gelegt1 die ,megerte auf ihre ,richtigkeit zu prfen4 ,das ,feldmessen d4 ,tiefbautechnikers4 ,von ,dipl4-,ing4 ,prof4 ,h4 ,friedrichs4 7,leitf4 f4 ,baugewerkschulen ,bd4 #ad u4 #bb47 ,in zwei ,teilen4 ,teil ,i3 ,reine ,flchenaufnahmen4 #b4 ,aufl4 ,mit #agg ,figuren und #a farbigen ,plan4 ,steif geh4 #c4bj4 ,teil ,,ii3 ,flchen- und ,hhenaufnahmen4 ,mit ,figuren und ,tafeln4 #c4 ,aufl4 ,u4 d4 ,pr4 #aiai4 ,lehrbuch d4 ,vermessungskunde4 ,von ,geh4 ,reg4-,rat ,prof4 ,dr4 ,a4 ,baule4 #b4 ,aufl4 ,mit #bhj ,figuren4 ,geb4 #h4hj ,das ,buch soll dem ,studierenden alles bieten1 was in die niedere ,vermessungskunde gehrt1 und dem ,lehrer die ,mglichkeit geben1 bei ,zugrundelegung eines ,lehrbuches den ,stoff zu bewltigen und durch ,beispiele zu erlutern4 ,leitfaden der technisch wichtigen ,kurven4 ,von ,oberlehrer ,dr4 ,f4 ,ebner4 ,mit #ic ,fig4 ,geb4 #d4- ,das ,buch ist auerordentlich klar geschrieben und jedem ,techniker warm zu empfehlen1 der sich mit den kinematischen ,problemen1 ohne deren ,kenntnis die ,bewegungen der ,maschinen unverstndlich sind1 eingehender befassen wird4 7,zeitschrift fr gewerbl4 ,unterricht47 ,geodsie4 ,eine ,anleitung zur geodt4 ,mess4 f4 ,anfnger4 ,von ,prof4 ,dr4-,ing4 ,h4 ,hohenner4 ,mit #baf ,fig4 ,geb4 #ab4- ,der ,autor nennt seine ,geodsie eine ,anleitung fr ,anfnger2 ich glaube1 sie darf als ,nachschlagebuch warm empfohlen werden 444 7,zt4 d4 ,vereins d4 h4 bayr4 ,vermessungsb47 ,einfhrung in die ,geodsie4 ,von ,prof4 ,dr4 ,o4 ,eggert4 ,mit #bcg ,fig4 i4 ,t4 ,geb4 #aj4- ,das in prgnanter ,krze eine ungeahnte ,flle des ,wissenswerten zusammenfassende ,buch wird ein vorzgliches ,hilfsmittel in der ,hand der ,studierenden sein4 7,archiv der ,mathematik und ,physik47 ,grundzge der ,geodsie mit ,einschlu der ,ausgleichungsrechnung4 ,von ,prof4 ,dr4 ,m4 ,nbauer4 7,handbuch d4 angew4 ,math4 ,bd4 ,,iii47 ,geh4 #i4-1 geb4 #i4fj ,die ,darstellung ist klar und bersichtlich1 die ,figuren sind vortrefflich und belehrend1 auch die ,rechnungsbeispiele drften sehr willkommen sein und sind nett angeordnet4 7,literarisches ,zentralblatt47 ,der ,hohennersche ,przisionsdistanzmesser und seine ,verbindung mit einem ,theodolit 7,d4 ,r4 ,p4 ,nr4 #bggjjj74 ,einrichtung und ,gebrauch des ,instrumentes fr die verschiedenen ,zwecke der ,tachymetrie2 mit ,zahlenbeispielen sowie ,genauigkeitsversuchen4 ,von ,prof4 ,dr4-,ing4 ,h4 ,hohenner4 ,mit #g ,abb4 i4 ,t4 u4 #a ,taf4 ,geh4 #c4bj ,die ,abhandlung gibt die ,beschreibung eines neuen optischen ,entfernungsmessers1 der im ,gegensatz zu der langwierigen und wenig genauen ,messungsmethode mit ,latte und ,band und mit den bisherigen ,distanzmessern ein schnelles und ungemein przises ,arbeiten ermglicht4 ,nach theoretischer ,behandlung des ,instruments wird seine prakt4 ,verwendungsmglichkeit fr die verschiedenen ,zwecke der ,tachymetrie errtert und der ,grad der mit dem ,przisionsdistanzmesser erreichbaren ,genauigkeit an ,hand zahlreicher ,versuche abgeleitet4 ,allgem4 ,kartenkunde4 ,ein ,abri ihrer ,geschichte u4 ihrer ,methoden4 ,von ,dr4 ,h4 ,zondervan4 ,mit #cb ,fig4 ,geh4 #d4fj1 geb4 #e4bj ,das ,buch ermglicht so jedem1 sich rasch ein tieferes ,verstndnis fr die ,karte1 ihre ,entstehung1 ihren ,wert und ihre ,benutzung zu verschaffen4 ,es wird daher fr den ,offizier wie fr den ,lehrer der ,geographie sowie fr jeden1 der die ,karte oft verwendet1 ein unentbehrliches ,hilfsmittel sein4 7,bayr4 ,zeitschr4 f4 ,realschulwesen47 ,leitfaden der ,kartenentwurfslehre4 ,bearbeitet von ,prof4 ,dr4 ,k4 ,zppritz4 ,hrsg4 von ,dr4 ,a4 ,bludau4 ,i3 ,die ,projektionslehre4 #c4 ,aufl4 ,mit #aed ,fig4 u4 zahlr4 ,tabellen4 ,geh4 #i4-1 geb4 #aj4-4 ,,ii3 ,kartographie und ,kartometrie4 #b4 ,aufl4 ,mit #ab ,fig41 #b ,tabellen und #b ,tafeln4 ,geh4 #c4fj1 geb4 #d4dj ,vermess4- u4 ,kartenkunde4 7,a,nu,g #g ,bde47 ,jed4 ,bd4 m4 ,abb4 ,kart4 je #a4fj1 geb4 je #a4ij ,geographische ,ortsbestimmung4 ,von ,prof4 ,schmauder4 7,bd4 #fjf47 ,erdmessung4 ,v4 ,prof4 ,dr4 ,osw4 ,eggert4 7#fjg47 ,landmessung4 ,v4 ,geh4 ,finanzr4 ,suckow4 7#fjh47 ,ausgleichungsrechnung4 ,von ,geh4 ,reg4-,rat ,prof4 ,e4 ,hegemann4 7,bd4 #fji47 ,photogrammetrie und ,stereophotogrammetrie4 ,von ,dipl4-,ing4 ,h4 ,lscher4 7,bd4 #faj47 ,kartenkunde4 ,von ,finanzrat ,dr4-,ingenieur ,a4 ,egerer4 ,i3 ,einfhrung i4 d4 ,kartenverstndnis4 ,,ii3 ,kartenherstellung 7,landesaufnahme74 7,bd4 #faa_/fab47 ,karte u4 ,kroki4 ,von ,dozent ,dr4 ,h4 ,wolff4 ,mit #dg ,fig4 7,math4-phys4 ,bibl4 ,band #bg47 #a4- ,im ersten ,teil wird ein berblick ber alle ,arbeiten gegeben1 die zur ,herstellung unserer ,generalstabskarten ntig sind4 ,auch die ,benutzung der ,karten1 das ,kartenlesen wird eingehend erklrt4 ,der zweite ,teil beschftigt sich mit der ,anfertigung von ,skizzen und ,krokis4 ,auf smtliche ,preise ,teuerungszuschlge des ,verlags und der ,buchhandlungen4 ,verlag von ,b4 ,g4 ,teubner in ,leipzig und ,berlin ,grundzge der ,physiogeographie4 ,v4 ,prof4 ,w4 ,m4 ,davis u4 ,prof4 ,dr4 ,g4 ,braun4 #b4 ,aufl4 in #b ,teilen ,i4 ,teil3 ,grundlagen u4 ,methodik4 ,zum ,gebr4 b4 ,stud4 u4 auf ,exkursionen4 ,mit #hi ,abb41 #a ,taf4 u4 ,hilfstab4 ,geb4 ,m4 #f4-4 ,,ii4 ,teil3 ,morphologie4 ,z4 ,gebr4 b4 ,stud4 u4 auf ,exkursionen4 ,mit #id ,abb4 u4 #a ,tafel4 ,geb4 ,m4 #e4- ,man kann das ,werk in ,wirklichkeit als ein neues bezeichnen1 und zwar nicht blo wegen seiner hufigen ,bezugnahme auf deutsche ,verhltnisse1 sondern auch der ,sprache nach4 ,die bersetzung ist eine sehr flssige4 ,meisterhafte kleine ,skizzen von ,davis' ,hand1 welche zugleich ,ansicht und ,profil einer typischen ,landschaft bieten1 so ,blockdiagramme1 sind eingestreut4 ,daneben laufen ,landschaftsbilder1 ,wiedergaben von ,photographien4 7,a4 ,penck i4 d4 ,zeitschr4 d4 ,ges4 f4 ,erdk41 ,berlin47 ,praktische bungen in physischer ,geographie4 ,von ,prof4 ,w4 ,m4 ,davis4 bertragen und neu bearbeitet von ,prof4 ,dr4 ,k4 ,oestreich4 ,textheft und ,atlas4 ,textheft geh4 ,m4 #b4hj4 ,atlas mit #ch ,tafeln geh4 ,m4 #c4hj ,inhalt des ,textbandes3 ,die ,tler des ,festlandes4 ,die ,kstenebene4 ,die ,tler in der ,kstenebene4 ,tafellnder und ,kanons4 ,skulptur der ,gebirge4 ,vulkane und ,lavastrme4 ,der ,zyklus der ,flsse1 ,wasserflle1 ,stromschnellen und ausgeglichene ,flulufe4 ,der ,zyklus der ,flsse1 ,brcken1 ,tler und ,ablenkung4 ,die erklrende ,beschreibung der ,landformen4 ,von ,w4 ,m4 ,davis4 ,deutsch bearb4 von ,prof4 ,dr4 ,a4 ,rhl4 ,mit #bab ,abb4 u4 #ac ,taf4 ,geb4 ,m4 #ab4- ,das sehr groe ,tatsachenmaterial ist vortrefflich durchgearbeitet und gesichtet1 so da es den ,leser nicht erdrckt4 ,wo es fr das ,verstndnis frderlich war1 sind veranschaulichende landschaftliche ,aufrisse und ,darstellungen dem ,texte beigegeben1 auch hier hat sich der ,verfasser einer weisen ,mahaltung befleiigt4 7,berliner ,tageblatt47 ,eine geographische ,studienreise durch das westliche ,europa4 ,von ,w4 ,hanns1 ,a4 ,rhl1 ,h4 ,spethmann1 ,h4 ,waldbaur4 ,m4 ein4 ,einl4 v4 ,w4 ,m4 ,davis4 ,hrsg4 v4 ,ver4 d4 ,geogr4 a4 d4 ,univ4 ,leipzig4 ,m4 #cg ,abb4 ,steif geh4 ,m4 #b4dj ,zunchst legt ,davis selbst nochmals einige seiner wissenschaftlichen ,grundanschauungen dar4 ,dann wird von den brigen ,verfassern das ,snowdongebiet in ,wales1 der auf ,cornwall fallende ,teil der ,exkursion1 eine ,fahrt von der ,insel ,jersey nach der ,bretagne geschildert und zuletzt das groartige ,bild einer typischen ,gletscherlandschaft im ,haslital entrollt4 ,die ,oberflchengestaltung des norddeutschen ,flachlandes4 ,i4 ,teil3 ,das ,gebiet zwischen ,elbe und ,oder4 ,von ,dr4 ,e4 ,wunderlich4 ,geh4 ,m4 #e4bj ,ausgehend von den in den letzten ,jahren gewonnenen stratigraphisch-geologischen ,ergebnissen sucht ,verf4 an der ,hand einer systematischen ,analyse der verschiedenen ,gebiete in der ,hauptsache die ,frage zu beantworten1 ob das ,relief ,norddeutschlands ausschlielich durch die letzte ,vereisung bedingt ist oder mit dem ,ausdehnungsbereich verschiedener ,vereisungen in genetischer ,beziehung steht4 ,schichtenfolge ,mitteldeutschlands4 ,zu ,tabellen zusammengestellt fr den ,gebrauch auf geologischen ,wanderungen4 ,von ,dr4 ,th4 ,brandes4 ,kart4 ,m4 -4#ej ,geographisches ,wanderbuch4 ,von ,dr4 ,a4 ,berg4 ,ein ,fhrer fr ,wandervgel und ,pfadfinder4 #b4 ,aufl4 ,mit #bab ,abbildungen4 ,geb4 ,m4 #d4dj ,der ,verfasser will die wandernde ,jugend zu richtigen ,forschungsreisenden machen1 die die heimatlichen ,fluren mit beobachtenden ,augen durchstreifen und nicht nur nach ihrem ,stimmungsgehalt ausschpfen1 sie sollen zu hherem1 bleibendem sthetischen ,genu durchdringen 444 7,der ,knabenbndler47 ,geologisches ,wanderbuch4 ,von ,dir4 ,prof4 ,dr4 ,k4 ,g4 ,volk4 ,i4 ,teil4 ,mit #afi ,abbildungen4 ,m4 #d4- ,,ii4 ,teil4 ,mit #bfi ,abbildungen4 ,m4 #d4dj4 ,der bekannte ,verfasser hat hier mit viel ,geschick ein ,buch fr junge ,geologen geschaffen1 an dem man seine helle ,freude haben mu4 ,nach grundlegenden ,beobachtungen und ,experimenten in ,heimatflur und ,studierstbchen durchwandert er mit uns die deutschen ,mittelgebirge1 und zwar so1 da er uns dabei ein anschauliches ,bild von der geologischen ,entwicklung unseres ,vaterlandes vor die ,seele zaubert4 7,thringer ,lehrerzeitung47 ,geographische ,zeitschrift4 ,herausgegeben von ,prof4 ,dr4 ,alfred ,hettner4 ,,xxv4 ,jahrgang4 #aiai4 ,jhrlich #ab ,hefte4 ,halbjhrlich ,m4 #aj4- ,auf smtliche ,preise ,teuerungszuschlge des ,verlags und der ,buchhandlungen4 ,verlag von ,b4 ,g4 ,teubner in ,leipzig und ,berlin ,teubners ,naturwissenschaftliche ,bibliothek ,die ,sammlung will ,lust und ,liebe zur ,natur wecken und frdern1 indem sie in leichtfalicher ,weise ber die uns umgebenden ,erscheinungen aufklrt und die ,selbstttigkeit anzuregen sucht1 sei es durch bewutes ,schauen und sorgfltiges ,beobachten in der freien ,natur oder durch ,anstellung von planmiger ,versuchen daheim4 ,zugleich soll der ,leser einen ,einblick gewinnen in das ,leben und ,schaffen groer ,forscher und ,denker1 durch ,lebensbilder1 die von ,ausdauer1 ,geduld und ,hingabe an eine groe ,sache sprechen4 - ,die mit zahlreichen ,abbildungen geschmckten ,bndchen1 die auf einen geordneten ,anfangsunterricht in der ,schule aufgebaut sind1 sind nicht nur fr ,schler bestimmt1 sie werden auch erwachsenen ,naturfreunden1 denen daran liegt1 die in der ,schule erworbenen ,kenntnisse zu verwerten und zu vertiefen - vor allem aber ,studierenden und ,lehrern -1 ntzlich sein4 ,serie ,a4 ,fr reifere ,schler1 ,studierende und ,naturfreunde4 ,alle ,bnde sind reich illustriert und geschmackvoll gebunden4 ,groe ,physiker4 ,von ,direktor ,prof4 ,dr4 ,joh4 ,keferstein4 ,mit #ab ,bildnissen ,m4 #f4fj ,physikalisches ,experimentierbuch4 ,v4 ,studienr4 ,prof4 ,h4 ,rebenstorff4 ,in #b ,teilen4 ,i4 ,teil4 #b4 ,aufl4 ,mit ,abb4 7,u4 d4 ,pr47 ,,ii4 ,teil4 ,mit #hg ,abb4 ,m4 #d4fj ,chemisches ,experimentierbuch4 ,von ,prof4 ,dr4 ,karl ,scheid4 ,in #b ,teilen4 ,i4 ,teil4 #d4 ,auflage4 ,mit #gg ,abb4 ,m4 #d4-4 ,,ii4 ,teil4 ,mit #ec ,abb4 ,m4 #c4- ,an der ,werkbank4 ,von ,prof4 ,e4 ,gscheidlen4 ,mit #aaj ,abbildungen und #dd ,tafeln ,m4 #f4- 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