,anm]kung5 zur ,transkription4 ,das ,orig9al i/ 9 ,fraktur gesetzt4 ,im ,org9al gesp]rt] ,text i/ s ausgezei*net4 ,im ,orig9al 9 ,antiqua gesetzt] ,text i/ s m>ki]t4 ,im ,orig9al kursiv] ,text i/ s gek5nzei*net4 ,im ,orig9al fett] ,text i/ s d>ge/ellt4 ,ho*ge/ellte ,/]ne s9d s d>ge/ellt3 ,a994 ,tiefge/ellte ,indizes s9d s d>ge/ellt3 ,fb4 ,weit]e ,anm]kung5 zur ,transkription f9d5 si* am ,ende des ,bu*es4 ,die ,sammlung ,aus ,natur und ,gei/eswelt nunmehr s*on b] #ejj ,bnd*5 umfass5d1 w die ,errung5s*aft5 von ,wiss5s*aft1 ,kun/ und ,te*nik weit]5 ,kreis5 zugngli* ma*5 und e9em j$5 die ,mgli*keit biet51 au* auf ihm f]n] lieg5d5 ,gebiet5 d]5 ,=ts*ritte zu v]folg54 ,sie bietet wirkli*e ,e9fhrung5 9 die ,hauptwiss5sgebiete fr d5 ,unt]ri*t od] ,selb/unt]ri*t1 wie sie d5 heutig5 me?odis*5 ,an=d]ung5 entspre*5 -- e9 ,b$rfnis erfll5d1 dem ,skizz5 mit dem ,*>akt] von ,auszg5 aus groen ,lehrb*]n nie entspre*5 knn51 da sol*e vielmehr e9e ,v]trau!it mit dem ,/(fe s*on voraussetz54 ,damit sie /ets auf die ,hhe d] ,=s*ung gebra*t w]d5 knn51 s9d die ,bnd*5 ni*t1 wie die &]] ,sammlung51 /]eotypi]t1 sond]n w]d5 -- 0 freili* die ,aufw5dung5 sehr wes5tli* erhht -- bei j$] ,auflage dur*aus neu be>beitet und vllig neu gesetzt4 ,s konnte d] ,sammlung au* d] ,erfolg ni*t fehl54 b] #bjj ,bnd*5 lieg5 b]eits 9 #b4 bis #f4 ,auflage vor1 insgesamt hat sie bis jetzt e9e ,v]breitung von b] #c ,million5 ,exempl>5 gefund54 ,9 d5 ,di5/ dies] ,aufgabe hab5 si* d>um au* 9 dank5sw]t] ,weise von ,anfang an die be/5 ,nam5 ge/ellt1 g]n die ,geleg5heit b5utz5d1 si* an weite/e ,kreise zu w5d51 d] ,gefahr d] ,spezialisi]ung uns]] ,kultur entgeg5zu>beit5 an ihrem ,teil be/rebt4 ,s v]mag die ,sammlung dem ,les] e9 ,v]/ndnis dafr zu v]mitteln1 wie die mod]ne ,wiss5s*aft es errei*t hat1 b] wi*tige ,frag5 von allgeme9em ,int]esse ,li*t zu v]breit51 und ihn dadur* zu e9em selb/ndig5 ,urteil zu befhig54 ,alles 9 allem s9d die s*mck51 gehaltvoll5 ,bnde1 d55 von ,pr(essor ,tiemann e9 neues kn/l]is*es ,gew& gegeb51 dur*aus geeignet1 die ,freude am ,bu*e zu weck5 und d>an zu gewhn51 e95 kle95 ,betrag1 d5 man fr ,erfllung krp]li*] ,b$rfnisse ni*t anzuseh5 pflegt1 au* fr die ,befri$igung gei/ig] anzuw5d54 ,dur* d5 billig5 ,preis ermgli*5 sie es tats*li* j$em1 au* dem w5ig ,begt]t51 si* e9e ,biblio!k zu s*aff51 die das fr ihn ,w]tvoll/e ,aus ,natur und ,gei/eswelt v]e9igt4 ,j$es d] mei/ rei* illu/ri]t5 ,bnd*5 i/ 9 si* abges*loss5 und e9zeln kufli* ,j$es ,bnd*5 geheftet ,m>k #a4--1 9 ,le9w& gebund5 ,m>k #a4be ,w]ke1 die mehr]e ,bnd*5 umfass51 au* 9 e9em ,b& gebund5 ,leipzig1 #a4 ,janu> #aiae ,b4 ,g4 ,teubn] ,j$es ,bnd*5 geheftet ,m4 #a4--1 9 ,le9w& gebund5 ,m4 #a4be 997 auf ,wuns* au* 9 ,halbp]gam5tbnd5 zu ,m4 #b4-- ,zur bild5d5 ,kun/1 ,musik und ,s*auspielkun/ s9d bi%] ers*i553 ,allgeme9e ,kun/wiss5s*aft1 ,kun/pflege ,bau und ,leb5 d] bild5d5 ,kun/4 ,von ,direktor ,pr(essor ,dr4 ,?4 ,volbehr4 #b4 ,auflage4 ,mit #dd ,abbildung54 7,bd4 #fh4997 /hetik4 ,von ,pr(essor ,dr4 ,r4 ,hamann4 7,bd4 #cde4997 ,kun/pflege 9 ,haus und ,heimat4 ,von ,sup]9t5d5t ,r4 ,brkn]4 #b4 ,auflage4 ,mit #bi ,abbildung54 7,bd4 #gg47 ,kun/gew]be ,deuts*e ,kun/ im tgli*5 ,leb5 bis zum ,s*lusse des #ah4 ,jahrhund]ts4 ,von ,pr(essor ,dr4 ,b4 ,ha5dcke4 ,mit #fc ,abbildung54 7,bd4 #aih47 ,ges*i*te d] ,g>t5kun/4 ,von ,regi]ungs-,baumei/] ,*r4 ,ranck4 ,mit #da ,abbildung54 7,bd4 #bgd47 ,kun/ges*i*te ,die ,entwicklungsges*i*te d] ,/ile 9 d] bild5d5 ,kun/4 ,von ,dr4 ,e4 ,cohn-,wi5]4 #b ,bnde4 ,mit zahlrei*5 ,abbildung54 7,au* 9 #a ,b& gebund547 ,bd4 ,i3 ,vom ,alt]tum bis zur ,gotik4 ,mit #eg ,abbild4 7,bd4 #cag4997 ,bd4 ,,ii3 ,von d] ,r5aissance bis zur ,geg5w>t4 ,mit #ca ,abbildung54 7,bd4 #cah4997 ,alte ,kun/ ,die ,bltezeit d] grie*is*5 ,kun/ im ,spiegel d] ,reliefs>kophage4 ,e9e ,e9fhrung 9 die grie*is*e ,pla/ik4 ,von ,dr4 ,h4 ,wa*tl]4 ,mit #h ,tafeln und #hb ,abbild4 7,bd4 #bgb4997 ,die dekorative ,kun/ des ,alt]tums4 ,von ,dr4 ,fr4 ,p\ls54 ,mit #aab ,abbildung54 7,bd4 #ded4997 ,pompeji1 e9e hell5i/is*e ,/adt 9 ,itali54 ,von ,pr(essor ,dr4 ,fr4 v4 ,duhn4 #b4 ,auflage4 ,mit #fb ,abbildung54 7,bd4 #aad47 ,mi*elangelo4 ,e9e ,e9fhrung 9 das ,v]/ndnis se9] ,w]ke4 ,von ,pr(essor ,dr4 ,e4 ,hildebr&t4 ,mit #dd ,abbildung54 7,bd4 #cib4997 ,die ,r5aissance>*itektur 9 ,itali5 ,i4 ,von ,dr4 ,p4 ,frankl4 ,mit #ab ,tafeln und #bg ,textabbildung54 7,bd4 #cha4997 ,neu]e ,kun/ ,die altdeuts*5 ,mal] 9 ,sddeuts*l&4 ,von ,h4 ,nemitz4 ,mit e9em ,bild]anhang 7,bd4 #dfd4997 ,albre*t ,dr]4 ,von ,dr4 ,r4 ,wu/mann4 ,mit #cc ,abbildung54 7,bd4 #ig4997 ,rembr&t4 ,von ,pr(essor ,dr4 ,p4 ,s*ubr+4 ,mit #ej ,abbildung54 7,bd4 #aeh4997 ,ni$]lndis*e ,mal]ei im #ag4 ,jahrhund]t4 ,von ,dr4 ,h4 ,jantz54 ,mit zahlrei*5 ,abbildung54 7,bd4 #cgc4997 ,deuts*e ,baukun/ im ,mittelalt]4 ,von ,pr(essor ,dr4 ,a4 ,mat?aei4 #c4 ,auflage4 ,mit #bi ,abbildung54 7,bd4 #h4997 ,neu]e ,kun/ ,deuts*e ,baukun/ seit dem ,mittelalt] bis zum ,ausgang des #ah4 ,jahrhund]ts4 ,von ,pr(essor ,dr4 ,a4 ,mat?aei4 ,mit #fb ,abbildung5 und #c ,tafeln4 7,bd4 #cbf4997 ,deuts*e ,baukun/ im #ai4 ,jahrhund]t4 ,von ,pr(essor ,dr4 ,a4 ,mat?aei4 ,mit #ce ,abbildung54 7,bd4 #dec4997 #ai4 ,jahrh4 ,die deuts*e ,mal]ei im #ai4 ,jahrhund]t4 ,von ,pr(essor ,dr4 ,r4 ,hamann4 #b ,bnde ,text1 #b ,bnde mit #eg ganzseitig5 und #bjj halbseitig5 ,abbildung54 7,bd4 #ddh--dea1 9 #b ,doppelbnd51 au* 9 #a ,halbp]gam5t zu ,m4 #f4--7 ,die ,mal] des ,impressionismus4 ,von ,pr(essor ,dr4 ,b4 ,lzr4 ,mit #cb ,abbildung5 und #a f>big5 ,tafel4 7,bd4 #cie4997 ,ori5t4 ,o/asiatis*e ,kun/ und ihr ,e9flu auf ,europa4 ,von ,direktor ,pr(essor ,dr4 ,r4 ,graul4 ,mit #di ,abbildung54 7,bd4 #hg47 ,neu]e ,musikges*i*te ,haydn1 ,moz>t1 ,bee?ov54 ,von ,pr(essor ,dr4 ,c4 ,krebs4 #b4 ,auflage4 ,mit #d ,bildniss54 7,bd4 #ib47 ,die ,bltezeit d] musikalis*5 ,romantik 9 ,deuts*l&4 ,von ,dr4 ,e4 ,i/el4 ,mit #a ,silh\ette4 7,bd4 #bci47 ,das ,kun/w]k ,ri*>d ,wagn]s4 ,von ,dr4 ,e4 ,i/el4 ,mit #a ,bildnis ,ri*>d ,wagn]s4 7,bd4 #ccj47 ,die mod]ne ,op]4 ,von ,dr4 ,e4 ,i/el 7,bd4 #die47 ,musik!orie ,die ,grundlag5 d] ,tonkun/4 ,v]su* e9] g5etis*5 ,d>/ellung d] allgeme95 ,musiklehre4 ,von ,pr(essor ,dr4 ,h4 ,riets*4 7,bd4 #agh47 ,musikalis*e ,kompositions=m54 ,von ,s4 ,g4 ,kall5b]g4 #b ,bnde4 7,bd4 #dab1 #dac1 au* 9 #a ,b& gebund547 ,bd4 ,i3 ,die elem5t>5 ,tonv]b9dung5 als ,grundlage d] ,h>monielehre4 7,bd4 #dab47 ,bd4 ,,ii3 ,kontrapunktik und ,=m5lehre4 7,bd4 #dac47 ,die ,in/rum5te des ,or*e/]s4 ,von ,pr(essor ,dr4 ,fr4 ,volba*4 ,mit #fj ,abbildung54 7,bd4 #chd47 ,das mod]ne ,or*e/] 9 se9] ,entwicklung4 ,von ,pr(4 ,dr4 ,fr4 ,volba*4 ,mit ,p>titurbeispiel5 u4 #c ,tafeln4 7,bd4 #cjh47 ,klavi]1 ,orgel1 ,h>monium4 ,das ,wes5 d] ,ta/59/rum5te4 ,von ,pr(essor ,dr4 ,o4 ,bie4 7,bd4 #cbe47 ,s*auspielkun/ ,das ,!at]4 ,s*auspielhaus und ,s*auspielkun/ vom grie*is*5 ,alt]tum bis auf die ,geg5w>t4 ,von ,dr4 ,*r4 ,gaehde4 #b4 ,auflage4 ,mit #ah ,abbildung54 7,bd4 #bcj47 ,weit]e ,bnde bef9d5 si* 9 ,vorb]eitung4 ,aus ,natur und ,gei/eswelt ,sammlung wiss5s*aftli*-geme9v]/ndli*] ,d>/ellung5 #eaj4 ,bnd*5 ,grundzge d] ,p]spektive neb/ ,anw5dung5 ,von ,dr4 ,k>l ,doehlemann ,o4 4 ,pr(essor an d] ,kgl4 ,te*nis*5 ,ho*s*ule 9 ,mn*5 ,mit #ia ,figur5 und #aa ,abbildung5 ,illu/ration ,druck und ,v]lag von ,b4 ,g4 ,teubn] 9 ,leipzig und ,b]l9 #aiaf ,alle ,re*te1 e9s*lieli* des b]setzungsre*ts1 vorbehalt54 ,vorwort4 ,die ,d>/ellung d] ,grundzge d] ,p]spektive und ihr] ,anw5dung51 wie sie im folg5d5 gegeb5 wird1 i/ h]vorgegang5 aus ff5tli*5 ,vortrg51 die i* seit e9] lang5 ,reihe von ,jahr5 9 ,mn*5 im ,volk%o*s*ulv]e9 halte und die von e9em ,publikum besu*t s9d1 das si* aus all5 ,/nd5 und ,b]ufsklass5 zusamm5setzt4 ,um e9e s*riftli*e ,be>beitung dieses ,geg5/&es weit]5 ,kreis5 zugngli* zu ma*51 s*i5 es mir vor allem notw5dig1 das ,bu* mit mgli*/ zahlrei*5 ,figur5 auszu/att54 ,fa/ j$] grer5 ,aufgabe i/ no* e9e eig5e ,figur beigegeb51 wel*e die ,lage des d>zu/ell5d5 ,geg5/&es geg5 die ,bildtafel wi$]gibt und e9e g5aue ,vor/ellung d] rumli*5 ,anordnung und d] vorzunehm5d5 geometris*5 b]legung5 ermgli*5 soll4 ,bei d] ,wahl d] abzubild5d5 ,geg5/nde w> die ,kl>heit und b]si*tli*keit des ,bildes mageb5d4 ,es mut5 desweg5 e9fa*e ,=m5 gewhlt w]d5 und diese konnt5 ni*t imm] au* 9 /hetis*] ,h9si*t befri$ig54 ,0 die ,abgr5zung des ,/(fes betrifft1 s wurde 9 e9em e9leit5d5 ,abs*nitt die ,d>/ellung e9es ,geg5/&es 9 ,grund- und ,aufri errt]t4 ,i* wte ni*t1 wie man das umgeh5 knnte4 ,d5n es i/ fr d5 ,anfng] do* un]lli*1 da er si* e95 ,krp]1 d5 er 9 ,p]spektive setzt1 vorh] se9] ,gre und ,lage na* g5au be/immt4 ,9 bezug auf ,/r5ge d] ,entwicklung b9 i* s weit gegang51 als es bei e9] fr weit]e ,kreise be/immt5 ,d>/ellung angngig i/3 ,das i/ ntig1 um e9e si*]e ,grundlage zu gew9n54 ,mit allgeme95 und v]s*womm55 ,r$5s>t5 i/ demj5ig5 ni*t g$i5t1 d] zu kl>5 ,begriff5 und ,vor/ellung5 9 dem hi] beh&elt5 ,gebiete gelang5 w4 ,0 viele von d] ,bes*ftigung mit d] ,p]spektive abhlt1 i/ d] ,um/&1 da diese ,diszipl9 si* ohne ,geometrie1 also ohne ma!matis*e ,betra*tung51 ni*t beh&eln lt4 ,9 d] ,tat w]d5 wir im ,laufe uns]] ,betra*tung5 e9ige e9fa*e ,stze aus d] ,planimetrie und d] ,/]eometrie voraussetz5 mss54 ,ab] d>9 lieg5 ni*t die eig5tli*5 ,s*wi]igkeit54 ,diese ,stze w]d5 die ,les] v]hltnismig lei*t v]/eh5 od] als ans*auli*e ,tatsa*5 h9nehm54 ,die ,haupts*wi]igkeit wird vielmehr die se91 da mit all d5 ,figur51 die im folg5d5 zu zei*n5 s9d1 gewisse rumli*e ,vor/ellung5 und b]legung5 zu v]b9d5 s9d4 ,es wird nur dur* ,na*d5k5 mgli* se91 si* 9 diese ,d+e h9e9zuleb54 ,nur auf diesem ,wege wird man d5 ,begriff des gesetzmig51 ma!matis*5 ,bildes gew9n54 ,das ab] i/ fr viele ,b]ufs>t5 ntig1 nam5tli* 9 d] ,geg5w>t1 9 d] neb5 dem ges*rieb55 und g$ruckt5 ,wort das ,bild die ,welt beh]rs*t4 ,inhaltsb]si*t4 ,seite ,vorwort ,,iii ,e9leitung3 ,zwei v]s*i$5e ,art5 von geometris*5 ,bild]n #a #a4 ,das p]spektivis*e ,bild #a #b4 ,d] g]ade ,ri #f ,d] p]spektivis*e ,entwurf #ac #c4 ,die ,s*nittme?ode #ac #d4 ,d] ,satz vom ,flu*tpunkt #bj #e4 ,&]e ,be/immung e9es p]spektivis*5 ,bildes #bd #f4 ,d>/ellung e9es mgli*/ e9fa* geleg55 ,quadrates d] ,grundeb5e4 ,anw5dung5 dies] ,kon/ruktion4 ,tief5ma/ab #bg #g4 ,d>/ellung beliebig]1 g]adl9ig] ,figur5 d] ,grundeb5e #cc #h4 ,d>/ellung e9fa*] ,krp]1 die si* auf d] ,grundeb5e erheb5 #da #i4 ,s*iefe ,l9i5 im ,raume #ei #aj4 ,d] photographis*e ,app>at #fd #aa4 ,die ,wahl d] ,di/anz #fg #ab4 ,unzugngli*e ,di/anz und ,flu*tpunkte #ge #ac4 ,glei*zeitige ,anw5dung d] v]s*i$55 ,me?od5 #hf #ad4 ,die ,d>/ellung des ,kreises #ij #ae4 ,e9fa*e ,s*att5kon/ruktion5 #if #af4 ,kn/l]is*e ,freiheit5 #ii ,lit]aturv]zei*nis #ajb ,sa*regi/] #ajc ,e9leitung4 ,zwei v]s*i$5e ,art5 von geometris*5 ,bild]n4 #a4 ,das p]spektivis*e ,bild4 #a4 ,zweck e9] ,abbildung4 ,nehm5 wir an1 wir betra*t5 irg5de9 ,raumobjekt1 mag es nun e9e ,mas*9e od] e9 ,app>at se91 e9 ,w]k d] ,pla/ik od] d] ,ar*itektur od] au* e9e ,l&s*aft4 ,w5n wir dann b] die geg5seitige ,lage d] e9zeln5 ,teile des ,objektes1 b] die relativ5 ,grenv]hltnisse und s*lieli* au* b] die wirkli*5 ,mae des ,geg5/&es zu e9em gewiss5 ,urteil gelangt s9d1 s da d] ,geg5/& uns kl> zum ,bewutse9 gekomm5 i/1 s sag5 wir1 da wir e9e ,vor/ellung von dem ,objekte hab54 ,d] bloe ,anblick von e9] ,/elle aus wird mei/5s g> ni*t dazu ausrei*54 ,d5n j$es ,objekt v]deckt si*1 w5n es ni*t dur*si*tig i/1 zum ,teil selb/3 wir w]d5 vielmehr im allgeme95 mehr]e ,ansi*t5 brau*54 ,bei kle9]5 ,geg5/nd5 g5g5 zu diesem ,zwecke etwa s*on ,bewegung5 des ,kopfes od] ,ob]krp]s4 ,ausg$ehnt]5 ,objekt5 geg5b]1 wie zum ,beispiel bei e9em ,gebirgs/ock1 s9d unt] ,um/nd5 ganze ,w&]ung5 ntig1 um e9e wirkli*e ,ans*auung d]selb5 zu gew9n54 ,bildli*e ,d>/ellung5 irg5dwel*] ,art di55 nun 9 er/] ,l9ie dem ,zwecke1 dem ,bes*au] die ,mgli*keit zu biet51 si* von d5 betreff5d5 ,objekt5 e9e ,vor/ellung zu bild51 ohne da er sie wirkli* vor ,aug5 hat4 ,die ,bild] ersetz5 also bis zu e9em gewiss5 ,grade die ,objekte4 ,si*] mu uns] ,vor/ellungsv]mg5 s*on ziemli* ausgebildet se91 w5n wir uns auf ,grund e9] ,zei*nung e9 ,objekt vor/ell5 knn54 ,ab] wir eign5 uns diese ,fhigkeit dur* =tgesetzte bung an1 fa/ ohne es zu m]k54 ,s*on dem ,k9de geb5 wir e9 ,bild]bu* 9 die ,h&2 es v]glei*t die ,geg5/nde 9 d] ,natur mit d55 im ,bilde und l]nt dadur* allmhli* ,seh54 ,s kommt es1 da heutzutage bei uns au* d] ,ungebildete und rm/e im/&e i/1 si* e9 ,gebude od] e9e ,l&s*aft e9ig]maen vorzu/ell51 w5n er davon e9e ,abbildung1 etwa e9e ,photographie1 zu seh5 bekommt4 ,illu/ration3 ,abb4 #a4 ,aus all$em folgt nun1 da e9e bildli*e ,d>/ellung die ,geg5/nde s wi$]geb5 mu1 wie wir sie seh51 und wir w]d5 desweg5 aus dem ,vorgang des ,seh5s e9e ,def9ition fr d5 ,begriff des ,bildes abzuleit5 hab54 #b4 ,me*anis*e ,vorri*tung zur ,h]/ellung e9es ,bildes4 ,zun*/ woll5 wir jetzt e9e ,vorri*tung k5n5 l]n51 wel*e es uns ermgli*t1 das1 0 wir e9 ,bild e9es ,geg5/&es n5n51 me*anis* h]zu/ell54 ,e9e dur*si*tige ,glasplatte sei 9 e9em ,holzrahm5 v]tikal vor uns aufge/ellt4 ,h9t] d] ,glasplatte1 von uns]em ,/&punkte aus g]e*net1 bef9det si* d] abzubild5de ,geg5/&4 ,wir seh5 d5selb5 dur* die ,glasplatte h9dur*4 ,um die ,betra*tung zu v]e9fa*51 woll5 wir das e9e ,auge s*lieen1 also d5 ,geg5/& nur mit e9em ,auge betra*t54 ,ab] au* dann wrd5 wir no* bei j$] ,bewegung des ,krp]s od] ,kopfes das ,objekt 9 e9] &]5 ,ansi*t erblick52 desweg5 i/ es weit] ntig1 uns] ,auge im ,raume zu fixi]53 man errei*t dies1 indem man no* e9 ,/ativ mit e9] undur*si*tig5 ,platte anbr+t1 9 wel*e e9e kle9e ffnung1 e9 ,gucklo*1 ges*nitt5 i/4 ,wir woll5 nun d5 ,geg5/& betra*t51 indem wir das ,auge ganz nahe an dieses ,gucklo* br+52 dadur* i/ dem ,auge e9e fe/e ,/elle im ,raume angewies54 ,man v]glei*e dazu au* die ,abbildung #a1 wel*e dem ,bu*e von ,albre*t ,dr]3 ,unt]weisung d] ,messung mit dem ,zirkel und ,ri*ts*eit1 ,nrnb]g #aebe1 entnomm5 i/4 ,re*ts erk5nt man d5 von uns bes*rieb55 ,app>at1 als ,objekt di5t d] l9ks im ,lehn/uhl sitz5de ,mann4 ,wir nehm5 f]n] an1 da die ,glasplatte auf d] dem ,auge zugew&t5 ,seite s prp>i]t sei1 da wir auf ihr zei*n5 knn51 0 etwa dur* ,be/rei*5 mit ,dam>lack zu errei*5 wre4 ,nun endli* geh5 wir dazu b]1 die ,l9i5 des ,krp]s1 wie wir sie von dem ,gucklo* aus seh51 auf d] ,glasplatte na*zuzei*n54 ,es deck5 si* also fr me9 ,auge die gezei*net5 ,l9i5 und die wirkli*5 ,kontur5 des ,geg5/&es4 ,na*dem die ,zei*nung f]tigge/ellt i/1 d5k5 wir uns das ,objekt entf]nt4 ,die ,glasplatte be/rei*5 wir auf d] ,rckseite mit weier ,deckf>be1 s da sie undur*si*tig wird2 im brig5 bleibt sie an d] glei*5 ,/elle4 ,die auf d] &]5 ,seite bef9dli*e ,zei*nung wird dann auf das an dem ,sehlo* bef9dli*e ,auge annh]nd d5 glei*5 ,e9druck ma*5 wie d] ,geg5/& selb/2 i* w]de ihn imm] no* vor mir zu seh5 glaub54 ,weil also diese ,zei*nung e9e ,vor/ellung des ,geg5/&es 9 uns wa*zuruf5 im/&e i/1 n5n5 wir sie e9 ,bild des ,geg5/&es4 ,freili* en?lt uns] ,bild nur ,l9i52 von d5 ,unt]s*i$5 d] ,helligkeit1 von ,li*t und ,s*att51 von d] ,f>be des ,objektes hab5 wir ganz abgeseh54 ,ab] man kann ni*t alles auf e9mal errei*52 es wre e9e zweite ,aufgabe1 au* diese ,eig5s*aft5 im ,bilde wi$]zugeb54 ,die er/e und wi*tig/e ,aufgabe i/ j$5falls die ,h]/ellung e9] ,l9i5zei*nung1 wel*e die ,umrisse und b]haupt die wi*tig/5 ,l9i5 des ,geg5/&es wi$]gibt4 ,ja1 sie g5gt 9 viel5 ,fll5 s*on ganz alle94 ,d5n g]ade die ,l9ie wirkt mit e9] ganz wund]b>5 ,kraft und ,/rke auf uns]e ,vor/ellung4 #c4 ,def9ition des p]spektivis*5 ,bildes4 ,wir mss5 jetzt ab] dazu b]geh51 fr d5 ,begriff des ,bildes e9e ma!matis* /r5ge ,h]leitung zu geb51 indem wir aus dem ,vorgange des ,na*zei*n5s auf d] ,gla/afel das re9 ,geometris*e h]auss*l54 ,illu/ration3 ,fig4 #a4 ,/att d] ,gla/afel d5k5 wir uns e9e eb5e ,fl*e1 also e9e ma!matis*e ,eb5e 1 gewhlt2 sie i/ gegeb5 dur* das ,blatt ,papi]1 das ,reibrett od] die ,s*ultafel1 auf d] die ,zei*nung h]ge/ellt wird4 ,wir n5n5 diese ,eb5e kurz die ,bildeb5e od] au* die ,tafel4 ,d] abzuzei*n5de ,krp] sei eb5falls e9 ma!matis*]1 nmli* e9 ,wrfel abcdefgh4 ,9 ,fig4 #a geb5 wir zun*/ e9e ,d>/ellung des ganz5 ,vorganges4 ,/att d] kle95 ffnung1 dur* wel*e wir h9dur*seh51 d5k5 wir uns e95 ,punkt ,o im ,raume gegeb51 d5 wir 9 ,er9n]ung an uns]5 ,app>at imm] no* das ,auge n5n54 ,w5n wir f]n] an dem ,geg5/& e9zelne ,l9i5 ins ,auge fat5 und sie auf d] ,gla/afel na*zei*net51 s ls5 wir jetzt diese ,l9i5 9 e9zelne ,punkte auf und betra*t5 zun*/ e95 ,punkt des ,krp]s1 z4 ,b4 die ,ecke a4 ,0 heit es nun1 da wir auf d] ,glasplatte die v]s*i$55 ,punkte des ,geg5/&es na*zei*net58 ,(f5b> bef9d5 si* dann d] betreff5de ,punkt a1 die ,blei/iftspitze a'1 wel*e ihn auf d] ,gla/afel m>ki]t1 und das ,gucklo* 9 e9] g]ad5 ,l9ie4 ,d5n w5n si* zwei ,punkte im ,raume fr me9 ,auge deck51 s lieg5 sie auf e9] ,g]ad5 dur* das ,auge4 ,d>auf b]uht ja alles ,visi]54 ,ma!matis* ausg$rckt heit das ab] folg5des3 wir zieh5 dur* d5 ,punkt ,o e9e ,g]ade na* dem ,punkte a und br+5 diese zum ,s*nitt mit d] ,bildtafel4 ,d] ,s*nittpunkt i/ eb5 a'4 ,wir n5n5 a' das ,bild od] d5 ,ri des ,punktes a4 ,die dur* ,o geh5d5 ,g]ad5 od] ,/rahl5 bezei*n5 wir als ,projektions/rahl5 od] ,projizi]5de ,/rahl5 od] ,seh/rahl51 d5 ganz5 ,vorgang als ,z5tralprojektion4 ,illu/ration3 ,fig4 #b4 ,d5k5 wir uns na* all5 ,punkt5 d] ,l9i5 des ,geg5/&es diese ,/rahl5 gezog5 und mit d] ,bildeb5e zum ,s*nitt gebra*t1 s bild5 alle diese ,s*nittpunkte das1 0 wir e9 p]spektivis*es ,bild des ,objektes od] au* e9e ,p]spektive des ,wrfels heien4 ,9 ,fig4 #b i/ e9 sol*es ,bild a'b'c'd'e'f'g'h' 9 se9] wahr5 ,ge/alt wi$]gegeb54 ,die ,bildeb5e i/ hi] die ,eb5e des ,zei*5blattes4 ,(t wird au* ni*t nur d] ganze geometris*e ,proze1 sond]n das ,bild selb/ als e9e ,z5tralprojektion bezei*net4 ,wie si* fr uns] ,auge die ,ansi*t e9es ,krp]s nd]t und imm] wi$] &]s ers*e9t1 w5n wir uns]5 ,/&punkt dem ,krp] geg5b] v]nd]n1 s i/ dieses p]spektivis*e ,bild auf d] ,bildtafel von zwei ,faktor5 abhngig3 nmli* er/5s davon1 wie d] ,punkt ,o geg5b] d] ,bildtafel ang5omm5 wird1 und zweit5s davon1 wel*e ,lage d] ,krp] zur ,bildtafel e9nimmt4 ,s9d ab] d] ,punkt ,o und d] ,krp] fe/ ang5omm51 s i/ au* das ,bild voll/ndig be/immt4 ,man kann also sag53 ,satz #a4 ,s9d die ,bildeb5e 1 das ,auge ,o und d] ,krp] im ,raume gegeb51 s erhlt man das p]spektivis*e ,bild des ,krp]s als d5 ,s*nitt d] na* d5 ,punkt5 des ,krp]s geh5d5 ,projektions/rahl5 mit d] ,bildeb5e4 ,unt] ,p]spektive v]/eht man weit] au* die ,lehre1 wie man sol*e ,bild] unmittelb> auf d] ,zei*5fl*e mit ,blei/ift1 ,l9eal und ,zirkel kon/rui]t1 ohne d5 mhsam5 ,proze des ,na*zei*n5s auf e9] ,gla/afel dur*fhr5 zu mss54 ,da es si* fr uns blo um die ,wi$]gabe d] ,l9i5 des ,krp]s h&elt1 s spri*t man au* von ,l9e>p]spektive od] ,l9i5p]spektive4 ,sol*e p]spektivis*e ,bild] hat j$] s*on (t geseh52 d5n j$e ,photographie i/ e9es4 ,wir w]d5 spt] zeig51 da d] photographis*e ,app>at re9 me*anis* d]>tige ,bild] h]/ellt4 ,d5 ,begriff d] ,z5tralprojektion gewann5 wir als e9e ,v]e9fa*ung des ,vorganges des ,na*zei*n5s3 er i/ e9e ma!matis*e ,ab/raktion aus dem ,sehproze4 ,wir w]d5 ni*t erw>t5 drf51 da si* diese ma!matis*e ,op]ation mit dem ,begriff des ,seh5s deckt4 ,d5n d] physiologis*e ,vorgang des ,seh5s i/ ja tats*li* au* e9 uer/ v]wickelt]4 ,wir seh5 ni*t mit e9em ,auge1 sond]n mit beid5 ,aug51 und wir halt5 die ,aug5 ni*t ruhig1 sond]n beweg5 sie na* all5 ,seit5 h9 und h]2 wir ta/5 d5 ,krp] mit d5 ,aug5 frmli* ab4 ,trotzdem lei/et uns d] ,vorgang d] ,z5tralprojektion s*on 9 se9] roh5 ,annh]ung w]tvolle ,di5/e4 ,d5n die p]spektivis*5 ,bild] s9d unt] all5 gesetzmig def9i]t5 ,abbildung5 weitaus die ans*auli*/5 und naturgetreue/54 ,bevor wir ab] dazu b]geh51 die ,gesetze und ,h]/ellungsweis5 dies] ,bild] zu errt]n1 mss5 wir davon h&eln1 wie man no* auf &]e ,weise ,bild] od] ,abbildung5 von rumli*5 ,geg5/nd5 erhalt5 kann4 #b4 ,d] g]ade 7re*tw9klige7 ,ri4 #d4 ,die ,s5kre*te von e9em ,punkte auf e9e ,eb5e4 ,hng5 wir e95 s*w]5 ,krp]1 z4 ,b4 e9e kle9e ,metallkugel od] e9 ,gewi*t1 v]mittels e9es ,fad5s etwa an d] ,decke e9es ,zimm]s auf1 s nimmt d] ,fad51 na*dem d] ,krp] zur ,ruhe gelangt i/1 unt] dem ,e9flu d] ,anziehung d] ,erde e9e ganz be/immte ,lage an1 wel*e na* dem ,erdmittelpunkt h9 g]i*tet i/4 ,wir n5n5 diese ,ri*tung lotre*t od] v]tikal4 ,d5k5 wir uns weit] unt] dem ,fad5 e9 ,gef mit e9] ,flssigkeit1 z4 ,b4 ,wass] od] ,quecksilb]1 s bildet d]5 ,ob]fl*e e9e ,eb5e1 die wir als wagre*t od] horizontal bezei*n54 ,wir sag5 dann weit]1 da die ,ri*tung des ,fad5s auf d] ,ob]fl*e d] ,flssigkeit s5kre*t /ehe od] lotre*t zu ihr sei4 ,das an e9em ,fad5 befe/igte ,gewi*t lief]t ja au* d5 sog4 ,s5kel1 und mittels dieses allbekannt5 ,in/rum5tes w]d5 beim ,bau e9es ,hauses die ,/e9e 9 horizontal5 ,lag5 angeordnet und die ,mau]n lotre*t aufgefhrt4 ,illu/ration3 ,fig4 #c4 ,diese physikalis*e ,tatsa*e erlei*t]t dann ab] das ,v]/ndnis fr d5 folg5d5 ma!matis*5 ,satz #b4 ,i/ e9e ,eb5e #a gegeb5 und e9 ,punkt p auerhalb d]selb5 7,fig4 #c71 s kann man von dem ,punkte auf diese ,eb5e imm] e9e ,s5kre*te od] e9 ,lot fll54 ,diese ,s5kre*te s*neidet die ,eb5e 9 e9em ,punkte1 d5 wir p#a n5n5 woll54 ,er mag d] ,fupunkt d] ,s5kre*t5 heien4 ,d] ,ab/& des gegeb55 ,punktes von d] gegeb55 ,eb5e i/ glei* d] ,entf]nung1 wel*e d] gegeb5e ,punkt p und d] ,fupunkt p#a be/imm51 also d] ,/recke pp#a4 ,die ,eb5e #a kann ganz beliebig im ,raume lieg54 ,i/ sie im besond]n e9e wagre*te ,eb5e1 s fllt die s5kre*te zu ihr mit d] ,v]tikal5 zusamm54 ,illu/ration3 ,fig4 #d4 #e4 ,d] g]ade 7re*tw9klige7 ,ri4 ,d5 ,fupunkt p#a d] von e9em ,punkte p auf e9e ,eb5e #a gefllt5 ,s5kre*t5 n5nt man d5 g]ad5 od] re*tw9klig5 od] or?ogonal5 ,ri des ,punktes p auf die ,eb5e #a4 ,die ,eb5e #a heit wi$] die ,bildtafel1 ,bildeb5e od] kurz ,tafel4 ,/att ,ri wird au* das ,wort ,projektion gebrau*t1 das all]d+s glei*zeitig d5 ganz5 ,vorgang bezei*net4 ,man sagt au*3 d] ,punkt p i/ or?ogonal auf die ,eb5e #a projizi]t word54 ,0 wir fr e95 e9zeln5 ,punkt dur*gefhrt hab51 knn5 wir jetzt au* auf e95 ,krp] und die an ihm auftret5d5 ,l9i5 anw5d54 ,es sei z4 ,b4 e9 ,wrfel abcdefgh gegeb5 und die ,eb5e #a2 wir erlut]n d5 ganz5 ,vorgang1 wie er si* im ,raume abspielt1 dur* die ,fig4 #d4 a sei e9e ,ecke des ,wrfels4 ,wir d5k5 uns dur* a das ,lot zur ,eb5e #a gezei*net1 wel*es 9 a#a die ,tafel #a dur*setzt4 a#a i/ d] g]ade ,ri des ,punktes a4 ,e9e zweite ,ecke b des ,wrfels lief]t eb5so d5 ,ri b#a4 ,dann wird man lei*t e9seh51 da alle ,punkte auf d] ,v]b9dungs/recke ab ,risse hab51 wel*e auf d] ,v]b9dungs/recke a#a;b#a lieg51 d4 h4 a#a;b#a i/ d] ,ri von ab4 ,fhr5 wir die ,projektion fr alle ,eck5 und ,kant5 des ,wrfels dur*1 s erhalt5 wir die ,figur a#a;b#a;c#a;d#a;e#a;f#a;g#a;h#a1 die d5 or?ogonal5 ,ri des ,wrfels 9 d] ,eb5e #a gibt4 ,9 ,fig4 #e i/ weit] e9 sol*] ,ri 9 se9] wahr5 ,ge/alt wi$]gegeb54 ,dabei wurde also die ,eb5e des ,papi]s als ,tafel #a gewhlt4 ,d] ,wrfel selb/ s*webt im ,raume b] d] ,bu*seite4 ,die ,figur kann au* dazu di551 folg5d5 brig5s lei*t zu beweis5d5 ,satz zu v]ans*auli*53 ,satz #c4 ,die g]ad5 ,risse p>allel] ,g]ad5 s9d selb/ wi$] p>allel4 ,beispielsweise s9d ab und cd zwei im ,raume p>allele ,g]ade1 und ihre ,risse a#a;b#a und c#a;d#a s9d eb5falls p>allel4 ,wir woll5 nun no* e9e ganz selb/v]/ndli*e ,eig5s*aft e9] sol*5 ,d>/ellung k5n5 l]n54 ,illu/ration3 ,fig4 #e4 ,a sei e9e ,g]ade1 wel*e s5kre*t auf d] ,tafel #a /eht 7,fig4 #f74 ,whl5 wir auf ihr beliebig e95 ,punkt a1 s fllt das ,lot1 das man von ihm aus auf die ,tafel fll5 kann1 natrli* mit d] ,g]ad5 ,a zusamm51 und d] re*tw9klige ,ri des ,punktes a wird d] ,punkt a#a1 9 dem die ,g]ade ,a die ,bildeb5e dur*bohrt4 ,ab] au* j$] &]e ,punkt b1 c 444 von ,a hat e95 ,ri b#a1 c#a 4441 d] /ets mit a#a si* deckt4 ,mit &]5 ,wort53 ,die ,g]ade ,a1 wel*e auf d] ,bildtafel s5kre*t /eht1 hat als ,ri e95 ,punkt1 ihr5 ,s*nittpunkt mit d] ,tafel4 ,/ell5 wir uns f]n] e9e ,eb5e efki vor 7,fig4 #f71 wel*e auf d] ,bildeb5e s5kre*t /eht1 also z4 ,b4 e9e lotre*te1 v]tikale ,mau]1 w5n #a horizontal g$a*t wird1 und i/ ef die ,s*nittl9ie dies] ,eb5e mit d] ,tafel1 s fall5 die g]ad5 ,risse all] ,punkte dies] ,eb5e auf die ,l9ie ef4 ,e9e sol*e ,eb5e hat demna* als ,ri e9e ,g]ade1 nmli* die ,s*nittl9ie d] ,eb5e mit d] ,tafel4 ,illu/ration3 ,fig4 #f4 ,g]ade und ,eb551 wel*e auf d] ,bildeb5e s5kre*t /eh51 v]s*w9d5 folgli* gewiss]maen im g]ad5 ,ri2 aus dem ,ri kann man die ,ausdehnung sol*] ,g]ad5 und ,eb55 ni*t beurteil54 ,i/ z4 ,b4 9 ,fig4 #f defghikl e9 ,wrfel1 d] mit se9] e95 ,fl*e defg 9 d] ,tafel liegt1 s i/ d] g]ade ,ri des ,wrfels eb5 dieses ,quadrat defg4 ,die vi] ,kant5 dh1 ei1 fk1 gl ers*e95 als ,punkte1 und die vi] ,eb55 deih1 efki1 fglk und gdhl1 wel*e auf d] ,tafel s5kre*t /eh51 geh5 dur* die ,projektion 9 die ,g]ad5 de1 ef1 fg1 gd b]4 ,setz5 wir ab] auf dies5 er/5 ,wrfel e95 zweit5 ,wrfel hiklmnop1 s hat dies] zweite ,wrfel d5 glei*5 ,ri defg1 und au* das aus d5 beid5 ,wrfeln be/eh5de ,prisma defgmnop hat d5 ,ri defg4 ,fig4 #g gibt wi$] die wahre ,ge/alt d] ,risse4 ,illu/ration3 ,fig4 #g4 ,au* sol*e re*tw9klige ,risse hat e9 j$] s*on geseh54 ,d5n j$] ,plan e9] ,/adt i/ e9 d]>tig] ,ri2 die ,bildtafel i/ dabei e9e horizontale ,eb5e4 ,wir woll5 dieses ,beispiel ab] au* no* dazu b5utz51 um uns d>b] kl> zu w]d51 mit wel*em ,re*te man au* diese re*tw9klig5 ,risse als ,bild] d] betreff5d5 ,geg5/nde bezei*net4 ,wir frag5 uns mi?93 von wo aus betra*tet sieht e9e ,/adt s aus wie ihr ,plan8 ,be/eig5 wir e95 d] ,trme d] ,/adt und blick5 von ihm aus1 also aus e9] ,hhe von viellei*t #ajj m1 auf dieselbe h]unt]1 s wird nur die n*/e ,umgebung des ,turmes s ers*e95 wie auf dem ,plane4 ,von d5 weit] entf]nt geleg55 ,hus]n dageg5 seh5 wir no* ,f5/]1 ,tr5 usf4 ,/eig5 wir ab] 9 e9em ,ballon bis zu e9] ,hhe von etwa #ajjj m b] d] ,/adt auf1 s wird s*on e9 grer]1 unmittelb> unt] dem ,ballon geleg5] ,teil d] ,/adt uns s ers*e951 wie er auf dem ,plane wi$]gegeb5 i/4 ,je hh] wir uns b] die ,/adt erheb51 um s mehr seh5 wir die ,/adt unt] uns s wie auf dem ,plane4 ,ab] er/ w5n wir das ,auge auf e9] ,s5kre*t5 zur ,bildeb5e b] alle ,maen weit entf]nt d5k5 7,fig4 #f71 dann wrde es die ,geg5/nde s seh51 wie sie im re*tw9klig5 ,ri d>ge/ellt s9d4 ,alle ,seh/rahl5 s9d jetzt p>allel1 da sie alle s5kre*t auf d] ,bildeb5e /eh54 ,wir erk5n5 demna*3 ,satz #d4 ,d] re*tw9klige ,ri e9es ,geg5/&es i/ das ,bild1 wie es e9em ,beoba*t] ers*e9t1 d] si* un5dli* weit von d] ,bildeb5e entf]nt bef9det und s5kre*t auf sie h]unt]s*aut4 ,weil alle zur ,bildeb5e s5kre*t5 ,abmessung5 im re*tw9klig5 ,ri v]s*w9d51 s knn5 wir aus e9em ,plan ke95 ,aufs*lu gew9n5 b] die ,hhe d] e9zeln5 ,hus]1 d] ,mau]n1 ,trme4 #f4 ,be/immung e9es ,geg5/&es dur* zwei re*tw9klige ,risse4 ,i/ es nun ab] ni*t mgli*1 e95 ,geg5/& voll/ndig dur* ,risse zu be/imm51 s da alle ,abmessung5 desselb51 ,lnge1 ,breite1 ,hhe usf41 aus d5 ,d>/ellung5 entnomm5 w]d5 knn58 ,da e9 ,ri 9 e9] ,eb5e na* dem ,obig5 ni*t g5gt1 s geb5 wir uns no* e95 zweit5 ,ri 9 e9] zweit5 ,tafel4 ,wir whl5 also no* e9e zweite ,bildtafel #b1 die d] ,e9fa*heit weg5 auf d] er/5 ,bildtafel #a s5kre*t /ehe4 ,die 9 ,fig4 #h gegeb5e ,ansi*t mge wi$] dazu di551 si* die rumli*5 b]legung5 kl> zu ma*54 ,es i/ nun natrli* ntig1 beide ,tafeln und die 9 ihn5 lieg5d5 ,risse zu unt]s*eid54 ,die ,ecke a des ,wrfels lief]t 9 d] er/5 ,tafel #a d5 ,ri a#a4 ,auerdem hat d] ,punkt a ab] au* e95 ,ri 9 d] zweit5 ,tafel4 ,wir erhalt5 d5selb5 na* uns]] ,def9ition1 indem wir uns von a e9e ,s5kre*te zu #b kon/rui]t d5k54 ,dur*setzt diese ,s5kre*te 9 a#b die zweite ,tafel1 s i/ dies] ,punkt d] ,ri von a 9 d] #b4 ,wir n5n5 a#a d5 er/51 a#b d5 zweit5 ,ri des ,punktes a4 ,wie f]n] d] ,wrfel abcdefgh 9 d] #a d5 ,ri a#a;b#a;c#a;d#a;e#a;f#a;g#a;h#a lief]t1 s lt si* nun au* d] zweite ,ri a#b;b#b;c#b;d#b;e#b;f#b;g#b;h#b des ,wrfels 9 d] #b kon/rui]54 ,die beid5 ,risse w]d5 also dur* die re*ts unt5 angebra*t5 ,zahl5 unt]s*i$54 ,die er/e ,tafel #a knn5 wir uns als e9e horizontale ,eb5e d5k51 und wir n5n5 d5 9 ihr geleg55 er/5 ,ri au* d5 ,grundri od] die ,horizontalprojektion4 ,die zweite ,tafel #b i/ dann e9e ,v]tikaleb5e1 und d] 9 ihr geleg5e zweite ,ri heit au* ,aufri od] die ,v]tikalprojektion4 ,0 fr d5 er/5 ,ri errt]t wurde1 gilt natrli* ganz eb5so au* fr d5 zweit54 ,9 ,sond]heit ers*e95 wi$] ,g]ade1 wel*e zur ,aufrieb5e #b s5kre*t /eh51 9 ihr als ,punkte und ,eb551 wel*e auf #b s5kre*t /eh51 bild5 si* als ,g]ade 9 d] #b ab4 ,illu/ration3 ,fig4 #h4 ,d5k5 wir uns jetzt die beid5 ,tafeln #a und #b etwa 9 ,holz gef]tigt und mite9&] fe/ v]bund54 ,weit] sei e9 ,wrfel im ,raume gegeb5 und 9 se9] ,lage geg5 die beid5 ,tafeln fixi]t 7,fig4 #h74 ,wir woll5 von dem ,wrfel d5 ,grundri und d5 ,aufri zei*n54 ,na*dem dieses ges*eh5 i/1 entf]n5 wir d5 ,wrfel4 ,dann i/ dur* die beid5 auf d5 ,tafeln gezei*net5 ,risse d] ,wrfel imm] no* be/immt4 ,d5n wir knn5 von j$] se9] ,eck5 die ,lage im ,raume be/imm54 ,9 d] ,tat s9d z4 ,b4 a#a und a#b die beid5 ,risse e9] ,ecke1 s erri*t5 wir im ,punkt a#a d] ,grundrieb5e e9e ,s5kre*te zur #a1 und eb5so kon/rui]5 wir im ,punkte a#b d] ,aufrieb5e e9e ,s5kre*te zu ihr4 ,dann w]d5 si* diese beid5 ,lote s*neid51 und ihr ,s*nittpunkt gibt die ,ecke a4 ,9 d] glei*5 ,weise knn5 wir fr alle &]5 ,eck5 des ,wrfels ihre ,lage im ,raume be/imm54 ,also i/ au* d] ganze ,wrfel dadur* fe/gelegt3 es wre mgli*1 z4 ,b4 dur* ,/b*5 und ,glasp]l5 die ,eck5 des ,wrfels wirkli* im ,raume anzugeb54 b]haupt kann man sag53 ,satz #e4 ,s9d die beid5 ,tafeln im ,raume gegeb5 und 9 ihn5 die ,risse e9es ,geg5/&es1 9 d] ri*tig5 ,zuordnung1 s da also von j$em ,punkte die beid5 ,risse unt]s*i$5 w]d51 s i/ dadur* d] ,geg5/& und se9e ,lage im ,raume be/immt4 ,illu/ration3 ,fig4 #i4 #g4 ,das ,zusamm5leg5 d] ,tafeln4 ,es wre re*t unbequem1 wollte man si* /ets d] beid5 s5kre*t zue9&] befe/igt5 ,tafeln b$i551 w5n man si* auf ,grund irg5dwel*] ,risse e95 ,krp] vor/ell5 soll4 ,0 wir woll51 i/ e9e auf e9em ,blatte bef9dli*e ,zei*nung1 die dann bequem b]all zu b5utz5 i/4 ,zu e9] sol*5 gelang5 wir1 w5n wir die zweite ,tafel si* mit d] er/5 v]e9ig5 lass54 ,es sei ,k die ,s*nittl9ie d] beid5 ,tafeln 7,fig4 #i71 die wir kurz die ,kante n5n54 ,wir dreh5 nun die #b um ,k wie um e9 ,s*>ni] s lange1 bis #b mit #a zusamm5fllt4 ,die ,figur #i v]ans*auli*t wi$] zun*/ d5 rumli*5 ,vorgang4 ,d] beliebige ,punkt a hat als er/5 ,ri d5 ,punkt a#a1 als zweit5 ,ri d5 ,punkt a#b' ,es fragt si*1 woh9 a#b' gelangt1 w5n die ,aufrieb5e #b dur* die ,drehung mit d] ,grundrieb5e zur ,deckung gebra*t wird4 ,die beid5 ,s5kre*t5 aa#a und aa#b' be/imm5 do* e9e ,eb5e1 wel*e auf d] ,kante ,k s5kre*t /eht4 ,d] ,s*nittpunkt dies] 9 ,fig4 #i s*raffi]t5 ,eb5e mit d] ,kante ,k sei a4 ,es i/ also jetzt s[ohl a#a;a ,k#a als au* a#b';a ,k4 ,bei d] ,drehung d] ,aufrieb5e bes*reibt a#b' e95 ,kreis mit dem ,mittelpunkt a und dem ,radius a#b';a1 d] 9 d] s*raffi]t5 ,eb5e a#a;aa#b';a liegt4 ,i/ also a#b die ,lage1 wel*e a#b' na* ,ausfhrung d] ,drehung annimmt1 s mu au* a#b;a ,k se92 demna* fllt a#b auf die ,v]lng]ung d] ,l9ie a#a;a1 und es i/ a#b;a a#b';a4 #a i/ das ,zei*5 fr s5kre*t auf4 ,illu/ration3 ,fig4 #aj4 ,9 ,fig4 #aj bild5 wir nun das ,zei*5blatt selb/ ab2 es i/ gewiss]maen doppelt zu nehm51 da es s[ohl die ,grund- als die ,aufrieb5e vor/ellt4 ,die ,kante ,k i/ als e9e horizontale ,l9ie d>auf gezei*net4 ,dann mss5 die beid5 ,risse a#a und a#b (f5b> auf e9em ,lote zur ,kante ,k geleg5 se92 d] ,s*nittpunkt des ,lotes a#a;a#b mit ,k i/ d] ,punkt a4 ,es folgt also3 ,satz #f4 ,na* d] ,umlegung d] ,aufrieb5e 9 die ,grundrieb5e lieg5 die beid5 ,risse e9es ,punktes /ets auf e9] ,s5kre*t5 zur ,kante od] kurz auf e9em ,kant5lote4 ,geb5 wir uns irg5d zwei ,punkte1 j$o* s1 da sie auf e9] ,s5kre*t5 zu ,k lieg51 und i/ d] e9e dur* die ,bezei*nung a#a als er/] ,ri1 d] &]e dur* die ,bezei*nung a#b als zweit] ,ri gek5nzei*net1 s be/imm5 diese beid5 ,risse e95 ganz be/immt5 ,punkt a im ,raume4 ,um uns d5selb5 vorzu/ell51 d5k5 wir uns die e9e ,hlfte des ,zei*5blattes1 9 d] a#b liegt1 um ,k 9 die ,hhe g$reht1 bis sie auf d] &]5 ,hlfte des ,blattes s5kre*t /eht4 ,dann s9d die beid5 ,tafeln 9 ihre wahre ,lage gebra*t1 und wir f9d5 d5 ,punkt a auf die ,weise wie es 9 #f4 ause9&]gesetzt wurde4 ,illu/ration3 ,fig4 #aa4 ,e9fa*] i/ es brig5s zu bea*t51 da 9 ,fig4 #i aa#a a#b';a a#b;a4 ,es gibt also 9 ,fig4 #aj die ,/recke a#b;a d5 ,ab/& des ,punktes von d] ,zei*5eb5e4 ,wir hab5 uns demna* 9 a#a e9e ,s5kre*te zur ,fl*e des ,papi]s erri*tet zu d5k54 ,auf dies] ,s5kre*t5 liegt d] ,punkt 9 e9em ,ab/&e von d] ,zei*5fl*e1 d] dur* a#b;a gegeb5 i/4 ,es i/ sehr ntzli* si* zu b]leg51 wie die beid5 ,risse e9es ,punktes geleg5 s9d1 w5n d] betreff5de ,punkt v]s*i$5e ,lag5 im ,raume annimmt4 ,9 d5 ,figur5 #i und #aj i/ no* e9 zweit] ,punkt b e+etrag54 ,9 ,fig4 #aa s9d f]n] die beid5 ,risse e9es ,wrfels wirkli* gezei*net1 von dem die ,fig4 #h die ,lage im ,raume angab4 ,diese hi] nur ihrem ,wes5 na* kurz skizzi]te ,me?ode des ,grund- und ,aufrisses wird 9 d] d>/ell5d5 ,geometrie weit] ausgefhrt4 ,auer d5 p]spektivis*5 ,bild]n und d5 g]ad5 ,riss5 gibt es no* e9e dritte ,art von ,bild]n1 die sog4 ,s*rgbild] od] ,p>allelprojektion54 ,bei ihn5 i/ die ,projektionsri*tung ni*t s5kre*t zur ,bildeb5e1 sond]n beliebig geg5 sie g5eigt4 ,die 9 diesem ,bu*e zur ,erlut]ung beigegeb55 ,figur51 z4 ,b4 #a1 #d1 #f1 #h1 s9d sol*e ,s*rgbild]4 ,man v]glei*e d>b] das ,bnd*5 ,projektionslehre 9 dies] ,sammlung4 ,na* dies5 e9leit5d5 ,betra*tung5 woll5 wir uns nun e+eh5d] mit d5 p]spektivis*5 ,bild]n bes*ftig54 ,d] p]spektivis*e ,entwurf4 #c4 ,die ,s*nittme?ode4 #h4 ,kon/ruktion e9es p]spektivis*5 ,bildes aus ,grund- und ,aufri4 ,soll von e9em ,geg5/&e e9 p]spektivis*es ,bild gezei*net w]d51 s mu d] ,geg5/& selb/ bekannt se9 und auerdem die ,lage des ,projektionsz5trums 7,auges7 geg5 die ,bildeb5e4 ,es i/ zun*/ am e9fa*/51 si* alle diese ,/cke je dur* ,grund- und ,aufri zu geb51 s da wir also folg5de ,elem5te erhalt53 a7 die ,bildtafel 7,zei*5eb5e72 b7 das ,auge ,o2 c7 d5 ,geg5/&4 ,wir beh&eln wi$] e9 e9fa*es ,beispiel4 ,aufgabe #a4 ,e9 ,wrfel i/ gegeb5 9 ,grund- und ,aufri1 eb5so das ,auge ,o2 man zei*ne e9 p]spektivis*es ,bild des ,wrfels1 w5n die ,bildeb5e auf d] ,kante des ,tafelsy/ems s5kre*t /eht4 ,die ,bildeb5e gehe dur* d5 ,punkt ,z d] ,kante 7,fig4 #ab7 und en?alte die beid5 ,l9i5 ,,zx und ,,zy1 wel*e 9 d] #a und 9 d] #b je s5kre*t zur ,kante ,k gezog5 w]d5 knn54 ,glei*zeitig i/ ,,zx d] er/e und ,,zy d] zweite ,ri d] ,bildeb5e 4 ,das ,auge ,o habe die ,risse ,o#a und ,o#b4 ,d] abzubild5de ,wrfel abcdefgh liegt mit d] ,fl*e abcd auf d] ,grundrieb5e4 ,wir hab5 nun d5 9 #b4 bes*rieb55 ,vorgang wirkli* dur*zufhr51 also die e9zeln5 ,eck5 des ,wrfels 9 die ,eb5e zu projizi]54 ,fhr5 wir dies etwa fr die ,ecke e dur*4#b ,wir v]b9d5 ,o mit e1 dann i/ ,o#a;e#a d] er/e ,ri1 ,o#b;e#b d] zweite ,ri dies] ,v]b9dungsl9ie4 ,d] ,s*nittpunkt von ,oe mit sei e'2 d] er/e ,ri von e' kann ni*ts &]es se9 als d] ,s*nittpunkt von ,o#a;e#a mit ,,zx4 ,dies5 ,punkt bezei*n5 wir also mit e#a'4 ,eb5so i/ d] zweite ,ri des ,punktes e' d] ,s*nittpunkt e#b' von ,o#b;e#b mit d] ,l9ie ,,zy4 ,natrli* fall5 alle er/5 ,risse uns]es ,bildes auf die ,g]ade ,,zx1 alle zweit5 auf ,,zy4 #b ,wir rat5 dem ,les]1 alle ,figur5 /ets na* d5 ,angab5 des ,textes selb/ h]zu/ell54 ,es erlei*t]t das ,v]/ndnis ungeme91 w5n man die ,figur allmhli* ent/eh5 sieht4 ,illu/ration3 ,fig4 #ab4 ,nun woll5 wir ab] do* das ,bild selb/ 9 se9] wahr] ,ge/alt auf uns]em ,zei*5blatte vor uns seh54 ,um dieses zu errei*51 mss5 wir die ,eb5e h]au%eb5 und 9 die ,zei*5eb5e leg54 ,das kann man etwa 9 folg5d] ,weise dur*fhr54 ,wir v]s*ieb5 die ,eb5e p>allel zu si* selb/1 bis sie dur* d5 beliebig5 ,punkt 7,z7 d] ,kante geht4 ,sie s*neidet dann die ,tafeln 9 d5 ,lot5 7,z77,x7 und 7,z77,y74 ,na*dem dies ges*eh51 dreh5 wir die ,eb5e um die 9 d] #b geleg5e ,s5kre*te 7,z77,y7 s lange1 bis sie mit d] #b si* deckt4 ,v]folg5 wir d5 ,punkt e' bei dies5 v]s*i$55 ,s*ritt54 ,bei d] ,v]s*iebung d] ,eb5e 9 die ,lage 7,y77,z77,x7 wird e#a' e9e ,p>allele zur ,kante bes*reib54 ,zieh5 wir also dur* e#a' e9e ,p>allele zur ,kante ,k1 s s*neidet diese die ,l9ie 7,z77,x7 9 7e#a'74 ,bei d] ,drehung d] ,eb5e bes*reibt 7e#a'7 e95 ,vi]telskreis um 7,z7 und gelangt na* e#a994 ,dann liegt ab] d] ,punkt e' auf d] ,s5kre*t51 wel*e 9 e#a99 zur ,kante gezei*net w]d5 kann4 ,die ,hhe1 9 wel*] e' b] d] #a liegt1 i/ j$o* bei all5 dies5 ,vorgng5 die glei*e geblieb51 und sie i/ dur* ,ze#b' gegeb54 ,trag5 wir also auf d] 9 e#a99 erri*tet5 ,s5kre*t5 diese ,hhe an od]1 0 das glei*e i/1 zieh5 wir dur* e#b' e9e ,p>allele zur ,kante1 s s*neidet diese auf d] ,s5kre*t5 9 e#a99 d5 ,punkt e' aus4 ,bequem] i/ es1 e9fa* 7,z7e#a99 ,ze#a' mit dem ,zirkel auf d] ,kante anzutrag5 und auf d] ,s5kre*t5 9 e#a99 dann weit] e#a99;e' ,ze#b' abzus*neid54 ,man kann dazu au* no* ,fig4 #a v]glei*54 ,dort i/ die er/e ,tafel #a angegeb5 als e9e horizontale ,eb5e1 die zweite ,tafel g+e dur* ,k und ,,ay4 ,vom ,punkte e' s9d die ,risse e#a und e#b e+etrag54 ,ganz 9 entspre*5d] ,weise kon/rui]t man die ,bild] d] brig5 ,eck5 und erhlt s das ,bild a'b'c'd'e'f'g'h' des ,wrfels4 ,um die ,bildwirkung zu erhh51 d5kt man si* d5 ,wrfel aus e9em undur*si*tig5 ,mat]ial 7,holz1 ,gips7 und zei*net die ,kant51 wel*e man ni*t seh5 wrde1 blo punkti]t4 ,9 uns]] ,figur lieg5 dem ,auge zun*/ die ,kant5 bc1 cg1 gf1 fb f]n] gh1 he1 ef4 ,diese mss5 also ausgezog5 w]d54 ,die brig5 ,kant5 cd1 da1 ab1 dh1 he1 ea w]d5 dem 9 ,o bef9dli*5 ,auge dur* d5 ,wrfel v]deckt2 man htte sie also /r5g g5omm5 ganz wegzulass54 ,es i/ ab] ntzli*1 diese ,kant5 w5ig/5s punkti]t anzudeut51 um die ma!matis*e ,=m bess] zu b]seh54 ,man n5nt die ,b]cksi*tigung dies] ,v]hltnisse die ,si*tb>keit bzw4 ,unsi*tb>keit4 ,nun i/ e9 p]spektivis*es ,bild fr e9 gewisses ,projektionsz5trum kon/rui]t und mu von diesem aus betra*tet w]d54 ,wir w]d5 desweg5 v]lang51 d5 ,punkt im ,raume anzugeb51 von dem aus uns] ,bild b'c'g'h'e'f' zu betra*t5 i/4 ,zu diesem ,zwecke fll5 wir von dem ,z5trum ,o aus auf die ,bildeb5e die ,s5kre*te4 ,ihr er/] ,ri i/ e9e ,p>allele dur* ,o#a zur ,kante1 ihr zweit] ,ri e9e ,p>allele dur* ,o#b zur ,kante4 ,d] ,fupunkt dies] ,s5kre*t51 die au* 9 ,fig4 #a e+etrag5 i/1 heie ,a4 ,die ,risse ,a#a und ,a#b desselb5 s9d die ,s*nittpunkte d] eb5 g5annt5 ,p>allel5 mit ,,zx bzw4 ,,zy4 ,d>aus f9d5 wir die ,lage von ,a wi$]um1 indem wir zun*/ die ,p>allele dur* ,a#a und 7,z77,x7 zum ,s*nitt br+5 9 7,a#a71 dann dur* e95 ,vi]telskreis 7,z7,a#a99 7,z77,a#a7 ma*54 ,auf d] 9 ,a#a99 erri*tet5 ,s5kre*t5 s*neidet die ,p>allele dur* ,a#b wi$] d5 ,punkt ,a aus4 ,jetzt wiss5 wir also1 da uns] ,projektionsz5trum auf d] ,s5kre*t5 liegt1 die 9 ,a zur ,zei*5eb5e g$a*t w]d5 kann4 ,illu/ration3 ,fig4 #ac4 ,weit] gibt nun ab] die ,/recke ,o#a;,a#a od] au* ,o#b;,a#b die ,entf]nung1 9 d] wir auf d] g5annt5 ,s5kre*t5 9 ,a zur ,eb5e des ,blattes uns das ,auge ,o d5k5 mss54 ,br+5 wir uns] ,auge an die dadur* be/immte ,/elle im ,raume1 s wird das ,bild des ,wrfels d5 be/5 ,e9druck ma*54 ,all]d+s hat man die ,figur viel grer1 viellei*t drei- od] vi]mal s gro zu zei*n51 da wir bei normal5 ,aug5 das ,zei*5blatt w5ig/5s #be cm von uns]em ,auge entf]nt halt5 mss54 ,man n5nt d5 ,punkt ,a d5 ,haupt- od] ,augpunkt1 und er i/ wohl zu unt]s*eid5 von dem ,projektionsz5trum od] dem ,auge ,o2 die ,entf]nung ,o,a des ,projektionsz5trums ,o von d] ,bildeb5e1 also die ,/recke ,o#a;,a#a od] ,o#b;,a#b heit die ,di/anz4 ,illu/ration3 ,abb4 #b4 ,me?ode d] me*4 ,kon/ruktion e9] ,p]spektive mittels des ,reiles*5 ,app>ates4 #i4 ,app>at zur ,kon/ruktion e9] ,p]spektive4 ,geht man vom ,grundri des gegeb55 ,geg5/&es aus1 s b]uht das soeb5 dur*gefhrte ,v]fahr5 wes5tli* d>auf1 da man die ,hhe ermittelt1 9 d] das ,bild e9es ,punktes b] d] ,grundrieb5e lag4 ,/att d] ,grundrieb5e kann man au* die ,eb5e b5utz51 wel*e man dur* das ,auge ,o p>allel zur ,grundrieb5e legt4 ,diese ,eb5e heie die ,horizonteb5e und sie s*neidet die ,bildeb5e 9 e9] ,g]ad5 hh1 wel*e dur* d5 ,hauptpunkt ,a geht und d] ,horizont g5annt wird 7,fig4 #ac74 ,es sei nun e9 ,punkt a gegeb51 d] von ,o aus g]e*net vor d] ,bildeb5e liegt1 wel* letzt]e die ,grundrieb5e #a 9 d] ,g]ad5 gg s*neidet4 ,dann knn5 wir das ,bild a' wi$] 9 folg5d] ,weise be/imm54 ,die von a auf #a gefllte ,s5kre*te trifft #a im ,risse a#a1 die ,horizonteb5e dageg5 im ,punkte 7a#a74 ,v]b9d5 wir ,o#a mit a#a1 s i/ dies d] ,ri des ,seh/rahles ,oa4 ,o#a;a#a trifft die ,g]ade 7gg7 9 a#a'1 und auf d] 9 a#a' geleg55 ,s5kre*t5 liegt das ,bild a'4 ,s*neidet diese ,s5kre*te d5 ,horizont 9 7a'71 s i/ die ,l9ie ,o7a'7 p>allel zu ,o#a;a#a'1 und zur ,b]e*nung d] ,hhe a'7a'7 kann die ,proportion di553 a'7a'7_/a7a#a7 ,o7a'7_/,o7a#a74 ,das ,v]hltnis auf d] re*t5 ,seite d>f zun*/ dur* ,o#a;a#a' 3 ,o#a;a#a ersetzt w]d54 ,zieht man f]n] dur* a#a e9e ,p>allele zu gg1 wel*e ,o#a;,a#a 9 ,x trifft1 s wird dies ,v]hltnis au* dur* ,o#a;,a#a 3 ,o#a,x gegeb51 s da man s*lieli* erhlt 7#a7 a'7a'7_/a7a#a7 ,o#a;,a#a_/,o#a,x4 ,die ,/recke a7a#a7 kann aus dem ,aufri entnomm5 w]d5 und i/ glei* d] ,hhe des ,aufrisses b] dem ,horizont4 ,i/ nun 7,abbildung #b7 d] ,grundri 9 ,fig4 ,i1 d] ,aufri 9 ,fig4 ,,ii gegeb5 und i/ die ,bildeb5e um gg 9 die ,grundrieb5e umgeklappt1 s lt si* aus d] ,proportion 7#a7 9 folg5d] ,weise die ,hhe a'7a'7 ermitteln4 ,man zieht dur* d5 ,ri a#a e9e ,p>allele zu hh1 wel*e auf ,o#a;,a#a d5 ,punkt ,x lief]t4 ,auf dies] ,p>allel5 trgt man f]n] die ,hhe ab1 9 d] d] ,aufri von a b] dem ,horizont liegt1 ma*t also ,,xy a#b;ah1 wo a#b;ah aus ,fig4 ,,ii zu entnehm54 ,v]b9det man dies5 ,punkt ,y mit ,o#a1 s s*neidet diese ,l9ie aus gg d5 ,punkt ,b#a aus1 und es gilt nun die ,proportion3 7#b7 ,b#a;,a#a_/,,xy ,o#a;,a#a_/,o#a,x4 ,v]glei*t man 7#a7 und 7#b71 s mss5 also au* die l9k5 ,seit5 e9&] glei* se91 und da ,,xy a#b;ah a7a#a71 s i/ ,b#a;,a#a a'7a'74 ,9 ,b#a;,a#a i/ mi?9 die ,hhe des ,bildes von a b] dem ,horizont ermittelt4 ,v]b9det man demna* no* a#a mit ,o#a1 s lief]t diese ,l9ie auf gg d5 ,punkt a#a'4 ,auf dem 9 a#a' erri*tet5 ,lote liegt a' und wird erhalt51 w5n man vom ,horizont aus ,b#a;,a#a antrgt1 also 7a'7a' ,b#a;,a#a ma*t4 ,h]r ,kun/mal] ,adolf ,reile 9 ,/uttg>t hat 9 d] ,zeits*rift fr gew]bli*5 ,unt]ri*t1 ,jahrg4 ,,xxx1 #aiae ,nr4 #dc e95 e9fa*5 ,app>at angegeb51 d] diese von ihm abgeleitete ,beziehung me*anis* zu kon/rui]5 ge/attet4 ,zwei ,reis*i55 ,l und ,r s9d dur* e9 ,gel5k mite9&] v]kuppelt4 ,d] ,gel5kmittelpunkt wird /ets auf d] ,g]ad5 gg gefhrt1 indem die ,reis*i5e ,r an d] ob]5 ,kante ,,ad des ,reibrettes ,,abcd h+leitet4 ,die ,reis*i5e ,l geht imm] dur* ,o#a h9dur*1 0 dadur* errei*t wird1 da e9e ,hlse dur* e9e ,/ecknadel 9 ,o#a fe/gehalt5 i/1 whr5d die ,s*i5e ,l dur* die ,hlse h9dur*gleitet4 ,um die obige ,kon/ruktion auszufhr51 legt man zun*/ e9e gewhnli*e ,reis*i5e ,r' dur* a#a1 be/immt dur* ,abgreif5 mit dem ,zirkel ,y und v]s*iebt sodann ,l s lange1 bis es dur* ,y geht4 ,die ,kuppelung bef9det si* nun 9 ,b#a1 und die ,s*i5e ,r be/immt auf dem ,horizont die gesu*te ,/recke ,a,b ,a#a;,b#a4 ,legt man endli* ,l dur* a#a1 s gibt die ,s*i5e ,r das ,lot 9 a#a'1 und lngs d]selb5 kann ,a,b angetrag5 w]d54 ,da das ,objekt bei d] 9 ,abb4 #b gema*t5 ,annahme vor d] ,bildeb5e liegt1 s wird es dur* die ,p]spektive v]grert4 ,es gibt ,vorri*tung5 7sog4 ,p]spektograph571 wel*e b]haupt ,p]spektiv5 me*anis* h]/ell52 s hab5 ,g4 ,hauck und ,e4 ,brau] e95 all]d+s komplizi]t5 und teu]5 ,app>at kon/rui]t1 bei dem e9 frei] ,/ift die ,p]spektive bes*reibt1 w5n man mit zwei &]5 ,/ift5 d5 ,grund- und ,aufri na*fhrt4 ,man vgl4 ,zeits*rift des ,v]e9s deuts*] ,+5ieure1 ,bd4 #ce1 #ahia ,nr4 #bh1 ,s4 #ghb4 ,wes5tli* i/1 da das 9 #h4 errt]te ,v]fahr51 das man au* als die ,s*nittme?ode bezei*net1 uns zw> die ,mgli*keit gibt1 das p]spektivis*e ,bild ,punkt fr ,punkt zu zei*n51 da es uns ab] ke95 ,e9blick 9 die ,natur dies] ,bild] gewhrt und uns ke9e ,eig5s*aft5 sol*] ,bild] lief]t4 ,s geh5 beispielsweise 9 ,fig4 #ab die vi] ,l9i5 b'a'1 c'd'1 g'h'1 f'e' h9rei*5d v]lng]t dur* e95 ,punkt1 nmli* dur* ,a1 und es leu*tet ohne weit]es e91 da dies fr die ,zei*nung mit ,vorteil v]w5det w]d5 kann4 ,desweg5 geh5 wir jetzt dazu b]1 d5j5ig5 ,satz zu beweis51 d] die wi*tig/e ,eig5s*aft all] p]spektivis*5 ,bild] lief]t4 #d4 ,d] ,satz vom ,flu*tpunkt4 #aj4 ,d] ,flu*tpunkt e9] ,g]ad54 ,wir er9n]n zun*/ an folg5d51 au* d] ,ans*auung lei*t zugngli*5 ,satz3 ,irg5d zwei p>allele ,g]ade im ,raume be/imm5 e9e ,eb5e1 und j$e ,g]ade1 wel*e diese beid5 p>allel5 ,g]ad5 s*neidet1 liegt eb5falls ganz 9 dies] ,eb5e4 ,dies] grundleg5d5 ,behauptung d] ,geometrie kann man au* folg5de &]e ,fassung geb53 ,i/ e9e ,g]ade ,g gegeb5 und e9 ,punkt ,o 7,fig4 #ad7 und v]b9det man d5 ,punkt ,o mit beliebig5 ,punkt5 a1 b1 444 von ,g1 s lieg5 alle diese ,v]b9dungsl9i5 9 e9] ,eb5e1 und dies] ,eb5e gehrt au* die ,g]ade ,j an1 wel*e dur* ,o p>allel zu ,g gezog5 w]d5 kann4 ,es sei nun weit] die ,bildtafel gegeb5 s[ie das ,auge ,o2 es soll das p]spektivis*e ,bild d] ,g]ad5 ,g gezei*net w]d54 ,dieses ,bild ,g' erhlt man1 w5n man die ,bild] d] e9zeln5 ,punkte a1 b1 c1 444 von ,g aufsu*t4 ,man hat also die ,projektions/rahl5 ,oa1 ,ob1 ,oc1 444 mit zum ,s*nitt zu br+54 ,alle diese ,punkte a'1 b'1 c' 444 lieg5 dann ab] auf d] ,g]ad5 ,g'1 9 wel*] die ,eb5e d] ,projektions/rahl5 ,oa1 ,ob1 ,oc1 444 die ,tafel dur*setzt4 ,9 d] ,eb5e dies] ,projektions/rahl5 liegt nun na* dem obig5 ,satze au* d] ,/rahl ,j1 d] dur* ,o p>allel zu ,g gezog5 w]d5 kann4 ,trifft er 9 f die ,tafel1 s mu also ,g' au* dur* f geh54 ,die ,g]ade ,g s*neidet f]n] die ,tafel 9 e9em ,punkte s2 er heit die ,spur d] ,g]ad51 und er mu selb/v]/ndli* au* auf ,g' geleg5 se94 ,illu/ration3 ,fig4 #ad4 ,d] ,punkt f dageg5 heit d] ,flu*tpunkt od] die ,flu*t od] au* d] ,v]s*w9dungspunkt d] ,g]ad5 ,g4 ,diese sehr treff5de ,bezei*nung erklrt si* 9 folg5d] ,weise4 ,lass5 wir e95 ,punkt si* auf d] ,g]ad5 ,g von d] ,spur s aus na* l9ks imm] weit] und weit] =tbeweg51 s da er die ,lag5 a1 b1 c1 444 annimmt1 s w]d5 si* die ,bild] a'1 b'1 c' 444 dem ,flu*tpunkt f mehr und mehr nh]n4 ,i/ d] ,punkt auf d] ,g]ad5 ,g s*on sehr weit h9ausg]ckt1 s wird das ,bild des ,punktes ziemli* nahe an f lieg54 ,ab] all]d+s gibt es ke95 errei*b>5 ,punkt auf ,g1 dess5 ,bild wirkli* na* f fiele4 ,d5kt man si* die ,g]ade ,g als e9e mat]iell h]ge/ellte1 sehr lange1 dnne ,/ange aus ,draht od] ,holz und wi$] als ,gla/afel und visi]t e9 9 ,o angebra*tes ,auge die ,/ange e91 s wird ihr ,ende nahezu 9 f ers*e951 die ,g]ade v]s*w9det 9 f4 ,das ,bild ,g' luft v]lng]t dur* d5 ,flu*tpunkt1 od] es flieht na* f4 ,wir geb5 no*mals an1 wie d] ,flu*tpunkt e9] ,g]ad5 zu kon/rui]5 i/3 ,satz #g4 ,d] ,flu*tpunkt e9] ,g]ad5 wird erhalt51 w5n man dur* das ,auge e9e ,p>allele zu d] ,g]ad5 zieht4 ,d] ,s*nittpunkt dies] ,p>allel5 mit d] ,tafel 7die ,spur dieses ,p>allel/rahles7 i/ d] ,flu*tpunkt d] ,g]ad54 ,das ,bild ,g' wird man zei*n5 knn51 w5n man #b ,punkte desselb5 be/immt hat4 ,als sol*e biet5 si* ganz von selb/ die ,spur s und die ,flu*t f d>4 ,man kann also sag53 ,satz #h4 ,das ,bild e9] ,g]ad5 i/ die ,v]b9dungsl9ie ihr] ,spur und ihres ,flu*tpunktes4 ,um e9 ,beispiel zu hab51 betra*t5 wir ,fig4 #ab4 ,whl5 wir die ,kante ab des ,wrfels4 ,d] ,flu*tpunkt dies] ,g]ad5 ergibt si*1 w5n wir dur* ,o die ,p>allele zei*n54 ,da die ,kante auf d] ,tafel ,,zxy s5kre*t /eht1 s i/ diese ,p>allele die ,l9ie ,o,a und ,a i/ d] ,flu*tpunkt4 ,es geht also 9 dem p]spektivis*5 ,bilde re*ts ob5 a'b' v]lng]t dur* ,a4 #aa4 ,d] ,satz vom ,flu*tpunkt4 ,d5k5 wir uns nun 7,fig4 #ad7 e9e zweite ,g]ade ,h gegeb51 wel*e zu ,g p>allel se9 soll4 ,die ,spur von ,h sei d] ,punkt s'4 ,dann wei man1 da die ,l9ie ,j od] ,( au* p>allel zu ,h1 und dies besagt do* ni*ts &]es1 als da f au* d] ,flu*tpunkt d] ,g]ad5 ,h se9 mu4 ,das p]spektivis*e ,bild ,h' d] ,g]ad5 ,h luft folgli* dur* f und dur* s'4 ,eb5so wre fr j$e &]e ,g]ade1 wel*e zu ,g p>allel i/1 f d] ,flu*tpunkt4 ,die ,bild] ,g' und ,h' d] p>allel5 ,g]ad5 ,g und ,h lauf5 also im geme9sam5 ,flu*tpunkt f zusamm54 ,damit erhalt5 wir d5 die ganze ,lehre von d] p]spektivis*5 ,zei*nung beh]rs*5d5 ,satz #i4 ,s9d e9e ,anzahl p>allel] ,g]ad5 im ,raume gegeb51 s s9d die p]spektivis*5 ,bild] dies] ,g]ad5 ni*t p>allel1 sond]n sie lauf51 h9rei*5d v]lng]t1 dur* e95 ,punkt1 d5 geme9sam5 ,flu*tpunkt d] p>allel5 ,g]ad54 ,illu/ration3 ,fig4 #ae4 ,man bea*te1 da im ,geg5satze dazu bei d] or?ogonal5 ,projektion na* ,satz #c 7,s4 #g7 p>allele ,g]ade im ,raume au* /ets ,bild] hab51 die wi$] p>allel s9d4 ,die ,figur #ab lief]t uns au* s(ort e9 ,beispiel fr die ,anw5dung dieses ,flu*tpunktsatzes4 ,betra*t5 wir an dem dort d>ge/ellt5 ,wrfel die #d ,kant5 ba1 cd1 gh1 fe1 s erk5nt man lei*t1 da dieses #d p>allele ,g]ade s9d4 ,a i/ (f5b> d] geme9same ,flu*tpunkt d]selb51 und die ,bild] b'a'1 c'd'1 g'h'1 f'e' lauf5 demna* v]lng]t dur* ,a4 ,e9e aufm]ksame ,betra*tung d] ,fig4 #ab kann uns brig5s d>b] belehr51 da es do* p>allele ,g]ade gibt1 d]5 ,bild] au* wi$] p>allel s9d4 ,s s9d die vi] ,g]ad5 bc1 ad1 eh1 fg (f5b> im ,raume p>allel1 und ihre ,bild] b'c'1 a'd'1 e'h'1 f'g' s9d eb5falls p>allel4 ,die glei*e ,eig5s*aft zeig5 die vi] ,kant5 ae1 bf1 cg1 dh4 ,betra*t5 wir nun1 um dies kl> zu b]seh51 e9e ,g]ade ,g1 wel*e zur ,bildeb5e p>allel i/ 7,fig4 #ae74 ,das ,bild ,g' d]selb5 ergibt si* wi$]1 w5n wir na* all5 mgli*5 ,punkt5 von ,g die ,projektions/rahl5 leg5 und diese mit d] ,tafel zum ,s*nitt br+54 ,alle diese ,/rahl5 bild5 ab] e9e ,eb5e1 und diese projizi]5de ,eb5e s*neidet aus das ,bild ,g' aus4 ,w5n wir nun ang5omm5 hab51 da die ,g]ade ,g zur ,bildtafel p>allel i/1 s heit das1 da sie die ,bildtafel ni*t s*neidet4 ,die ,g]ade ,g kann also au* ,g' ni*t s*neid5 od] mit &]5 ,wort53 es i/ ,g p>allel ,g'4 ,i/ nun ,h e9e zweite zu ,g p>allele ,g]ade1 s folgt ganz 9 d] glei*5 ,weise1 da au* ,h p>allel zu ,h' i/1 und d>aus folg]t man s(ort1 da au* ,g' p>allel ,h' i/4 ,diese beid5 p>allel5 ,g]ad5 ,g und ,h hab5 also p>allele ,bild] ,g' und ,h'4 ,allgeme9 kann man dies5 besond]5 ,fall des ,flu*tpunktsatzes ausspre*5 als ,satz #aj4 ,p>allele ,g]ad51 wel*e b]dies zur ,bildeb5e p>allel lauf51 hab5 au* p>allele1 p]spektivis*e ,bild]2 die ,bild] sol*] ,g]ad5 s9d zu d5 ,g]ad5 selb/ p>allel4 ,illu/ration3 ,fig4 #af4 #ab4 ,das ,flu*tpunktgesetz 9 d] ,ers*e9ungswelt4 ,d] ,begriff d] ,z5tralprojektion w> abgeleitet aus dem ,vorgang des ,seh5s1 d5 wir jetzt etwas g5au] unt]su*5 mss54 ,das m5s*li*e ,auge entwirft von beleu*tet5 ,geg5/nd51 die si* vor ihm bef9d51 auf d] im ,h9t]grunde des ,auges bef9dli*5 ,netzhaut kle9e ,bild*51 die dadur* ent/eh51 da man die ,punkte des ,geg5/&es aus e9em be/immt51 im ,auge geleg55 ,punkte o auf die ,netzhaut projizi]t4 ,9 ,fig4 #af i/ das all]d+s 9 ganz unri*tig5 ,grenv]hltniss5 wi$]gegeb54 ,als ,objekte s9d die beid5 p>allel5 ,pfeile ab und cd gewhlt4 o i/ das ,z5trum1 und die von o na* d5 ,punkt5 a1 b1 c1 d geh5d5 ,/rahl5 s*neid5 die ,netzhaut 9 d5 ,punkt5 a'1 b'1 c'1 d'4 ,s ent/eh5 die ,bild*5 a'b' und c'd'4 ,9 zwei]lei ,h9si*t unt]s*eidet si* freili* die hi] zur ,v]w]tung komm5de ,p]spektive von d] von uns betra*tet54 ,er/5s tritt an ,/elle d] eb55 ,bildtafel die kugelfrmig gewlbte ,netzhaut1 und zweit5s bef9d5 si* ,geg5/& und auffang5de ,fl*e auf v]s*i$55 ,seit5 des ,z5trums o4 ,das letzt]e uert si* dadur*1 da die ,bild*5 auf d] ,netzhaut v]kehrt si* ausbild54 ,s s9d z4 ,b4 die ,pfeilspitz5 a'1 c' unt5 geleg54 ,mit dem ,aug5spiegel kann man das direkt beoba*t54 ,d5kt man si* weit] dur* o die ,p>allele zu ab gezog51 s s*neidet diese die ,netzhaut 9 e9em ,punkte f1 d5 wir als d5 ,flu*tpunkt all] zu ab p>allel5 ,l9i5 bezei*n5 mss54 ,je lng] d] ,pfeil ab i/1 de/o mehr /rebt das ,bild*5 a'b' dem ,punkte f zu4 ,die beid5 ,bild] a'b' und c'd' lauf5 v]lng]t dur* f1 und diese ,tatsa*e drckt si* au* 9 uns]em ,wahrnehmungsbild aus1 indem si* die beid5 ,pfeile zu nh]n s*e954 ,9 d] ,tat kann man das auf ,s*ritt und ,tritt beoba*t54 ,w5n e9e ,/rae auf e9e lange ,/recke g]adl9ig v]luft1 s s*e95 die ,hus] am ,ende d]selb5 zusamm5zurck51 eb5so die ,trambahns*i55 und die ,gesimsl9i5 ihr] ,gebude4 ,e9e g]adl9ige ,allee s*liet si* s*e9b> 9 d] ,f]ne1 9 glei*] ,weise e9 sehr lang] ,korridor4 ,am groartig/5 zeigt si* die ,ers*e9ung1 w5n die ,sonn5/rahl5 dur* e9e ,wolk5lcke bre*54 ,sie w]d5 dann 9 ihrem g]adl9ig5 ,v]lauf si*tb>1 indem sie die ,wolk5 od] &]e ,teile d] ,l&s*aft beleu*t54 ,die ,/rahl51 die dur* die ,lcke h9dur*geh51 s9d nun p>allel1 da wir ,/rahl51 die von e9em ,punkte d] ,sonne ausgeh51 als p>allel betra*t5 mss54 ,fr uns] ,auge ab] s*e95 diese ,/rahl5 von e9em ,punkte auszugeh51 eb5 dem ,flu*tpunkte d]selb54 ,s br+t uns uns] ,auge d5 ,satz vom ,flu*tpunkte fa/ 9 j$em ,mom5t zum ,bewutse9 und wir knn5 ni*t b] die ,/rae geh51 ohne ihn zu erleb54 ,das ganze ,weltbild1 das wir be/ndig vor ,aug5 hab51 wird dur* dieses ,gesetz wes5tli* bee9flut4 #e4 ,&]e ,be/immung e9es p]spektivis*5 ,bildes4 ,illu/ration3 ,fig4 #ag4 #ac4 ,die fe/5 ,elem5te4 ,wir woll5 nun e95 &]5 ,weg e9s*lag51 um p]spektivis*e ,bild] von ,krp]n zu zei*n51 indem wir d5 ,satz vom ,flu*tpunkt jetzt s viel als mgli* h]anzieh54 ,es i/ dann zun*/ ntig1 e9e ,anzahl fe/] ,elem5te e9zufhr51 auf die wir die ,d>/ellung bezieh54 ,die ,bildeb5e od] ,tafel d5k5 wir uns wi$] als e9e lotre*te ,eb5e4 ,die d>zu/ell5d5 ,geg5/nde w]d5 si* nun 9 d5 mei/5 ,fll5 auf e9] horizontal5 ,bod5fl*e bef9d52 wir fhr5 dem5tspre*5d e9e zur ,tafel s5kre*te1 wagre*te ,eb5e e91 die wir kurz die ,grundeb5e n5n54 ,die ,figur5 #ag und #ah geb5 wi$] e9e ,ansi*t all] zu b5utz5d5 ,gebilde4 ,die ,grundeb5e #a wird die ,tafel 9 e9] ,g]ad5 gg s*neid51 wel*e ,grundl9ie heien soll4 ,von dem im ,raume gegeb55 ,auge ,o fll5 wir e9e ,s5kre*te auf die ,tafel1 d]5 ,fupunkt d] s*on erwhnte ,haupt- od] ,aug-,punkt ,a i/4 ,da die ,l9ie ,o,a demna* p>allel zur ,grundeb5e v]luft1 s kann man dur* ,o,a e9e ,eb5e leg51 wel*e p>allel zur ,grundeb5e i/4 ,diese ,p>alleleb5e s*neidet aus d] ,tafel e9e ,l9ie hh aus1 wel*e p>allel zur ,grundl9ie gg se9 mu und b]eits als d] ,horizont bezei*net wurde4 ,die ,p>alleleb5e selb/ hie die ,horizonteb5e4 ,d] ,ab/& des ,horizonts von d] ,grundl9ie od]1 0 das glei*e i/1 d] ,ab/& d] ,horizonteb5e von d] ,grundeb5e wird die ,aug5hhe g5annt4 ,endli* trag5 wir no* die ,di/anz ,o,a vom ,augpunkt aus na* beid5 ,seit5 auf dem ,horizont ab1 wodur* wir die ,punkte ,d#a und ,d#b erhalt54 ,diese heien die ,di/anzpunkte4 ,da also ,,ad#a ,a,o ,,ad#b1 s s9d die ,dreiecke ,d#a,o,a und ,d#b,o,a beide glei*s*5klig re*tw9klig1 und es i/ ,,ad#a,o ,,ad#b,o #de4 ,9 d] ,zei*5eb5e geb5 wir uns also 7,fig4 #ai7 zwei p>allele ,l9i5 hh und gg und auf d] ob]5 d5 ,punkt ,a s[ie im glei*5 ,ab/&e re*ts und l9ks die ,punkte ,d#a und ,d#b4 ,die ,lage des ,auges im ,raume i/ damit fe/gelegt3 es liegt auf d] ,s5kre*t51 die wir uns im ,punkte ,a zur ,zei*5eb5e erri*tet d5k51 und zw> 9 e9em ,ab/&e von ,a1 d] glei* ,,ad#a od] ,,ad#b i/4 ,dur* die ,annahme dies] ,elem5te i/ nun b]eits e9e ganze ,anzahl von ,ri*tung5 be/immt4 ,e9e auf d] ,zei*5eb5e s5kre*te ,g]ade ,t lief]t uns die ,ausdehnung des ,geg5/&es na* d] ,tiefe zu1 wie wir ja au* von d] ,tiefe e9es ,ka/5s od] e9] ,bhne spre*5 und d>unt] die ,abmessung v]/eh51 die lotre*t zur ,vord]fl*e erfolgt4 ,wir n5n5 aus diesem ,grunde j$e auf d] ,bildeb5e s5kre*te ,g]ade ,t e9e ,tief5l9ie 7,fig4 #ah ob574 ,die dur* das ,auge ,o zu e9] sol*5 ,tief5l9ie gelegte ,p>allele wird dann ab] imm] d] ,/rahl ,o,a1 und folgli* i/ na* ,satz #g ,a ihr ,flu*tpunkt4 ,damit hab5 wir ab] bewies53 ,satz #aa4 ,d] ,augpunkt ,a i/ d] ,flu*tpunkt fr alle ,tief5l9i51 d4 h4 die ,bild] all] ,tief5l9i5 geh5 v]lng]t dur* d5 ,augpunkt4 ,d] ,augpunkt beh]rs*t desweg5 die ganze ,d>/ellung und legt die im ,bilde fehl5de dritte ,dim5sion fe/4 ,um die ,b$eutung des ,horizontes zu erk5n51 er9n]n wir zun*/ an folg5d5 ,satz aus d] ,/]eometrie3 ,i/ e9e ,eb5e #a gegeb5 und auerhalb d]selb5 e9 ,punkt ,o1 s gibt es dur* ,o nur e9e ,eb5e1 wel*e zu #a p>allel i/4 ,diese ,behauptung kann man au* dur* folg5de &]e ersetz53 ,zieht man 9 d] ,eb5e #a irg5dwel*e ,g]ade und zei*net dur* ,o die ,p>allel5 zu d]selb51 s lieg5 alle diese ,p>allel5 9 e9] ,eb5e1 eb5 9 d] ,p>alleleb5e dur* ,o zu #a4 ,i/ also ,g irg5de9e ,g]ade d] ,grundeb5e 7,fig4 #ag7 und zieh5 wir zu ihr dur* ,o die ,p>allele1 s liegt diese 9 d] ,horizonteb5e1 d] ,s*nittpunkt f d] ,p>allel5 mit d] ,tafel mu demna* auf hh geleg5 se92 er i/ ab] d] ,flu*tpunkt d] ,g]ad5 ,g2 mit &]5 ,wort53 ,satz #ab4 ,alle 9 d] ,grundeb5e geleg55 ,g]ad5 hab5 ihre ,flu*tpunkte auf dem ,horizonte4 ,a i/ im besond]5 d] ,flu*tpunkt all] zur ,grundl9ie gg s5kre*t5 ,g]ad5 d] ,grundeb5e1 0 wir ja s*on wiss54 ,zei*n5 wir f]n] 9 d] ,grundeb5e e9 ,quadrat abcd 7,fig4 #ah71 das mit e9] ,seite ab 9 d] ,grundl9ie liegt4 ,dann s*lieen die ,l9i5 ac und bd1 die sog4 ,diagonal5 des ,quadrates1 mit d] ,grundl9ie ,w9kel von #de e94 ,man vgl4 au* ,fig4 #ai1 9 wel*] unt5 das ,quadrat 7a77b77c77d7 9 se9] wahr5 ,ge/alt zu seh5 i/4 ,es i/ ab] kl>1 da die ,l9ie ,,od#a p>allel zu bd und ,,od#b p>allel zu ac2 ,d#a und ,d#b s9d die ,flu*tpunkte d] ,diagonal5 des ,quadrates und all] zu dies5 beid5 ,g]ad5 p>allel5 ,g]ad5 d] ,grundeb5e d4 h4 ,satz #ac4 ,alle ,l9i5 d] ,grundeb5e1 wel*e mit d] ,grundl9ie d5 ,w9kel von #de na* d] e95 od] &]5 ,seite e9s*lieen1 hab5 die ,di/anzpunkte bzw4 zu ,flu*tpunkt54 ,illu/ration3 ,fig4 #ah4 ,endli* woll5 wir no* e9e &]e ,eig5s*aft des ,horizontes k5n5 l]n54 ,i/ d e9 ,punkt 9 d] ,grundeb5e1 d' se9 ,bild1 also d] ,s*nittpunkt des ,seh/rahles ,od mit 7,fig4 #ah71 s woll5 wir uns vor/ell51 da d] ,punkt d weit] und weit] na* l9ks 9 d] ,grundeb5e h9ausrckt4 ,dann wird das ,bild d' (f5b> imm] hh] 9 d] ,bildtafel h9aufrck51 da si* d] ,/rahl ,od mehr und mehr aufri*tet4 ,i/ d sehr weit entf]nt 9 d] ,grundeb5e ang5omm51 s wird das ,bild d' dem ,horizont hh s*on sehr nahe lieg54 ,wir gew9n5 d>aus folg5de ,deutung fr d5 ,horizont3 ,satz #ad4 ,punkte1 die sehr weit entf]nt 9 d] ,grundeb5e lieg51 hab5 ,bild]1 die nahezu 9 d5 ,horizont fall54 ,e9 s*nes ,beispiel dafr lief]t die ,d>/ellung des (f55 ,me]es4 ,d5n se9e ,ob]fl*e mss5 wir uns als e9e weit ausg$ehnte ,eb5e d5k54 ,i/ also 9 e9em ,gemlde das freie ,me] b]haupt od] e9e weit ausg$ehnte ,wass]fl*e d>ge/ellt1 s gibt die ,gr5zl9ie geg5 d5 ,himmel praktis* h9rei*5d g5au d5 ,horizont des ,bildes 7vgl4 ,fig4 #ej74 ,uns]e b]legung gibt au* die ,erklrung dafr1 w>um si* die ,me]esfl*e s*e9b> s ho* erhebt1 da sie wie e9e ,mau] si* aufzutrm5 s*e9t4 ,9 d] ,tat mu das ,bild j$] sehr weit ausg$ehnt5 horizontal5 ,eb5e bis fa/ 9 ,aug5hhe rei*54 #f4 ,d>/ellung e9es mgli*/ e9fa* geleg55 ,quadrates d] ,grundeb5e4 ,anw5dung5 dies] ,kon/ruktion4 ,tief5ma/ab4 #ad4 ,die ,umlegung und ,v]s*iebung d] ,grundeb5e4 ,unt] ,b5utzung d] s def9i]t5 fe/5 ,elem5te woll5 wir jetzt ,krp] d>/ell54 ,wir beg9n5 ab] mit dem ,e9fa*/51 indem wir zun*/ von ,figur51 die 9 d] ,grundeb5e geleg5 s9d1 die ,bild] zei*n54 ,es i/ dann ab] notw5dig1 da wir uns diese ,figur5 au* selb/ geb51 s[ohl ihr] wahr5 ,ge/alt na* als 9 ihr] ,lage 9 d] ,grundeb5e4 ,zu diesem ,zwecke mss5 wir die ,grundeb5e 9 uns]e ,zei*5eb5e irg5dwie h]e9br+54 ,e9e ,mgli*keit1 dies zu errei*51 i/ folg5de3 wir dreh5 die ,grundeb5e um die ,grundl9ie na* aufwrts im ,s9ne d] beid5 ,pfeile 7,fig4 #ag1 #ah7 s lange1 bis sie mit d] ,tafel si* deckt4 ,dann liegt die ,grundeb5e all]d+s 9 uns]em ,zei*5blatt1 ab] wir hab5 die ,unannehmli*keit1 da die ,figur5 d] ,grundeb5e si* dort bef9d51 wo das ,bild entworf5 w]d5 soll4 ,desweg5 s*ieb5 wir die 7g$rehte7 ,grundeb5e 9 d] ,tafel p>allel zu si* selb/ no* um e9 beliebiges ,/ck h]unt]1 bis die ,grundl9ie die neue ,lage 7g77g7 annimmt 7,fig4 #ai72 irg5de9 ,punkt a d] ,grundl9ie bes*reibt dabei die lotre*te ,l9ie a7a71 w5n wir mit 7a7 die ,lage des ,punktes a na* ,ausfhrung d] ,v]s*iebung bezei*n54 ,die ,entf]nung a7a7 zwis*5 gg und 7g77g7 i/ ganz willkrli* und ri*tet si* na* d] ,gre d] 9 d] ,grundeb5e gegeb55 ,figur4 ,illu/ration3 ,fig4 #ai4 ,na* dies5 ,vorb]eitung5 beh&eln wir folg5de ,aufgabe #b4 ,9 d] ,grundeb5e i/ e9 ,quadrat gegeb51 von dem e9e ,seite ab 9 d] ,grundl9ie liegt4 ,das ,bild des ,quadrates zu zei*n54 ,die ,lage des gegeb55 ,quadrates abcd v]ans*auli*t ,fig4 #ah4 ,9 d] wirkli*5 ,ausfhrung 7,fig4 #ai7 geb5 wir uns d5 ,horizont hh mit dem ,aug5punkt ,a und d5 beid5 ,di/anzpunkt51 ,d#a und ,d#b1 dazu p>allel die ,grundl9ie gg mit d5 beid5 ,eck5 a und b des ,quadrates4 ,um auf ,grund dies] ,/cke das ,bild des ,quadrates zu zei*n51 zieh5 wir 9 beliebigem ,ab/& die ,p>allele 7g77g7 und be/imm5 v]mittels d] ,v]tikal5 dur* a und b die ,lage 7a77b77c77d7 des ,quadrates na* d] ,v]s*iebung4 ,nun s9d die ,quadratseit5 ad und bd ,tief5l9i51 ihre ,bild] mss5 also na* ,satz #aa dur* ,a geh52 die ,punkte a und b s9d ab] die ,spur5 dies] ,g]ad54 ,folgli* erhalt5 wir 9 a,a und b,a die ,bild] d] beid5 ,g]ad51 auf d55 die ,quadratseit5 ad und bc lieg51 und die ,bild] d' und c' mss5 bzw4 auf a,a und b,a geleg5 se94 ,d5k5 wir uns ab] no* die ,diagonale db kon/rui]t1 wel*e 9 uns]] ,v]s*iebung als 7d77b7 zu zei*n5 i/1 s i/ das e9e ,l9ie1 wel*e e95 ,w9kel von #de mit d] ,grundl9ie bildet4 ,na* ,satz #ac i/ also ,d#a d] ,flu*tpunkt dies] ,g]ad51 b ab] i/ ihre ,spur2 mi?9 wird das ,bild d] ,g]ad5 db die ,v]b9dungsl9ie b,d#a4 ,das ,bild d' mu demna* s[ohl auf a,a als au* auf b,d#a lieg51 kann also nur d] ,s*nittpunkt d' dies] beid5 ,l9i5 se94 ,eb5so f9d5 wir das ,bild c' d] ,ecke c als ,s*nittpunkt von a,d#b und b,a4 ,das folgt s(ort aus d] ,betra*tung d] &]5 ,diagonale ac4 ,e9e ,kontrolle fr die ,zei*nung ergibt si* d>aus1 da c'd' von selb/ p>allel gg se9 mu4 ,d5n die ,quadratseite cd i/ ja p>allel zur ,tafel1 also na* ,satz #aj cd c'd'4#c ,da ab] cd ab1 s i/ au* c'd' ab4 ,man erk5nt f]n]1 da es fr die ,kon/ruktion des ,bildes abc'd' g> ni*t ntig gewes5 wre1 die ,v]s*iebung 7a77b77c77d7 zu zei*n54 ,im brig5 sei no*mals an die ,bem]kung auf ,s4 #ad unt5 er9n]t4 #c i/ das ,zei*5 fr p>allel4 ,aufgabe #c4 ,e95 9 d] ,grundeb5e geleg55 quadratis* getfelt5 ,fubod5 zu zei*n54 ,die ,quadrate1 wel*e d5 ,fubod5 lief]n1 s9d 9 ,fig4 #ai 9 d] ,v]s*iebung gezei*net4 ,an das ,quadrat 7a77b77c77d7 s*liet si* die er/e ,reihe1 wel*e an die ,grundl9ie angr5zt1 d>an s*liet si* e9e zweite ,reihe von ,quadrat5 usf4 ,die ,kon/ruktion ,fig4 #ai ergibt si* fa/ von selb/4 ,die ,tief5l9i51 wie z4 ,b4 7e77f71 flieh5 im ,bilde alle na* ,a4 ,f]n] erk5nt man lei*t1 da 9 dem ,sy/em d] ,quadrate alle ,diagonal5 d] e95 und &]5 ,ri*tung si* zu zwei ,s*>5 p>allel] ,g]ad5 zusamm5setz54 ,das gilt also au* fr das ,bild1 nur mit dem ,unt]s*i$1 da die ,bild] all] dies] p>allel5 ,g]ad5 bzw4 na* ,d#a und ,d#b lauf54 ,9 d] ,fig4 #ai s9d d] ,tiefe na* #e ,reih5 von ,quadrat5 gezei*net1 whr5d 9 d] ,v]s*iebung nur #c ,reih5 angegeb5 wurd54 ,da alle ,diagonal5 d] ,quadratbild] na* ,d#a od] ,d#b geh51 und auerdem je zwei ,seit5 e9es ,quadrats p>allel zur ,grundl9ie lauf51 s bietet die ,figur zahllose ,kontroll54 #ae4 ,anw5dung5 dies] ,aufgabe4 ,man wrde ab] irr51 wollte man diese ,figur blo fr e9e ma!matis*e ,spiel]ei halt53 wir knn5 vielmehr von d]selb5 e9e ganze ,anzahl praktis*] ,anw5dung5 ma*54 ,zun*/ i/ es mgli*1 da bei d] bildli*5 ,wi$]gabe e9es ,int]ieurs1 z4 ,b4 e9es ,zimm]s1 an und fr si* e9 sol*] ,p>kettbod5 zu zei*n5 i/4 ,d]selbe bietet dann ab] au* weit] die ,mgli*keit1 ,figur51 ,e9ri*tungsgeg5/nde usf4 e9ig]maen ri*tig im ,raume zu v]teil51 indem man dies5 ,objekt5 e9e dur* die ,s*tzung d] ,quadrate zu beurteil5de ,bod5fl*e zuwei/4 ,j$5falls kann man si* vor ganz grob5 ,irrtm]n dadur* s*tz54 ,als ,beispiel geb5 wir 9 ,abbildung #c das ,ab5dmahl des ,altni$]lnd]s ,dirk ,b\ts 7#adaj787--adgb7 wi$]1 das si* 9 d] ,pet]skir*e 9 ,lw5 bef& und von d5 ,deuts*5 im ,kriege von #aiad g]ettet wurde4 ,auf gewisse ,unri*tigkeit5 d] ,kon/ruktion geh5 wir hi] ni*t e94 ,d] primitiv5 ,kun/ lag e9e sol*e ,rcksi*t auf ri*tige ,v]teilung d] ,objekte im ,raume b]haupt gnzli* f]n4 ,sie zei*net die ,kpfe e9] ,anzahl von ,m5s*5 e9fa* neb5- und b]e9&]1 ohne si* zu frag51 ob die zugehrig5 ,krp] au* wirkli* d5 ihn5 entspre*5d5 ,platz im ,raume hab54 ,illu/ration3 ,abb4 #c4 ,unt] ,um/nd5 kann es au* bequem se91 e9 sol*es ,quadratnetz 9 die ,figur e9zuzei*n51 w5n z4 ,b4 e9 ziemli* unregelmig ge/altet] ,grundri1 e9 ganz] ,/adtplan od] e9e ,g>t5anlage1 9 ,p]spektive gesetzt w]d5 soll 7,fig4 #bj74 ,wir leg5 b] die ,figur e9 d]>tiges ,netz und zei*n5 dess5 ,bild4 ,na*dem dies ges*eh51 b]trag5 wir na* dem ,aug5ma ,quadrat fr ,quadrat die ,l9i5 9 das ,bild4 ,es wird die ,g5auigkeit erhh51 w5n wir e9zelne *>akt]i/is*e ,punkte g5au zei*n51 wobei die folg5de ,aufgabe zu b5utz5 i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #bj4 ,aufgabe #d4 ,e9 ,punkt p 9 d] ,grundeb5e i/ gegeb52 se9 ,bild zu zei*n54 ,diese re9 ma!matis*e ,aufgabe fhr5 wir auf die ,aufgabe #a zurck1 indem wir uns e9 ,quadrat gezei*net d5k51 von dem e9e ,ecke 9 p liegt1 whr5d e9e ,seite auf die ,grundl9ie fllt4 ,man kann si* 9 ,fig4 #ah und #ai etwa die ,ecke d als d5 gegeb55 ,punkt d5k54 ,wir woll5 jetzt die ,zei*nung dur*fhr51 ohne das ganze ,quadrat zu zei*n54 ,d] ,punkt p i/ 9 ,fig4 #ba a 9 d] ,v]s*iebung 7p7 gegeb51 ,wir zei*n5 dur* 7p7 die lotre*te ,tief5l9ie 7,t71 wel*e die dur* p geh5de ,tief5l9ie gibt2 ihre ,spur i/ t1 ihr ,flu*tpunkt ,a1 s da also ihr ,bild ,t' diese beid5 ,punkte v]b9det2 auf ,t' mu j$5falls das gesu*te ,bild p' geleg5 se94 ,illu/ration3 ,fig4 #ba a4 ,um e95 zweit5 ,ort fr p' zu erhalt51 zieh5 wir dur* 7p7 e9e ,l9ie 7,d7 na* re*ts1 wel*e unt] #de geg5 die ,grundl9ie 7g77g7 g5eigt i/ 7,quadratdiagonale74 ,diese ,l9ie 7,d7 s*neidet 7g77g7 9 7s71 und s5kre*t b] diesem ,punkt erhalt5 wir 9 s die ,spur d] ,hilfsl9ie ,d4 ,da f]n] ,d#a ihr ,flu*tpunkt i/1 s wird ,d' d5 ,punkt s mit ,d#a v]b9d54 ,das gesu*te ,bild p' mu also au* auf ,d' lieg51 kann folgli* nur d] ,s*nittpunkt von ,t' und ,d' se94 ,illu/ration3 ,fig4 #ba b4 ,wir htt5 dur* 7p7 no* e9e zweite ,l9ie na* l9ks zieh5 knn51 wel*e au* e95 ,w9kel von #de mit 7g77g7 e9s*liet4 ,dann htt5 wir e9fa* d5 auf d] re*t5 ,seite von ,a geleg55 ,di/anzpunkt ,d#b als ,flu*tpunkt fr diese ,l9ie b5utz5 mss5 und wr5 zu dem glei*5 ,punkte p' gelangt4 ,die ,kon/ruktion i/ eb5falls 9 ,figur #ba a e+etrag54 ,wir knn5 ab] no* e9e ,v]e9fa*ung 9 dies] ,zei*nung anbr+54 ,da 7p77t7 7s77t7 /1 s ergibt si* folg5de e9fa*e ,kon/ruktion 7,fig4 #ba b73 ,man trgt von d] ,spur t aus d5 ,ab/& des ,punktes d] ,grundl9ie etwa na* re*ts als ts auf d] ,grundl9ie an und v]b9det d5 ,punkt s mit dem l9k5 ,di/anzpunkt4 ,dann s*neidet diese ,v]b9dungsl9ie auf d] ,hauptl9ie ,t' d5 gesu*t5 ,punkt p' aus4 ,trgt man d5 ,ab/& na* l9ks auf d] ,grundl9ie auf1 s i/ d] re*te ,di/anzpunkt zu b5utz54 ,die vorlieg5de ,aufgabe lt si* dann au* 9 folg5d] ,weise =muli]53 ,es soll auf e9] im ,bilde gegeb55 ,tief5l9ie e9 ,punkt be/immt w]d51 d] von d] ,grundl9ie e95 dur* e9e ,/recke od] dur* e9e ,zahl gegeb55 ,ab/& hat4 ,aufgabe #e4 ,auf e9] gegeb55 ,tief5l9ie e95 ,ma/ab zu zei*n51 dess5 ,e9heit gegeb5 i/4 ,d5k5 wir uns 9 d] ,grundeb5e e9e ,tief5l9ie gegeb5 und auf d]selb5 die glei*e ,/recke beliebig (t angetrag51 wobei wir 9 d] ,spur d] ,g]ad5 beg9n54 ,diese glei* groen ,/reck5 w]d5 si* selb/v]/ndli* v]s*i$5 gro abbild51 eb5 um s kle9]1 je weit] sie si* vom ,auge entf]n54 ,die 9 ,fig4 #ba b dur*gefhrte ,kon/ruktion gibt s(ort die ,lsung4 ,wir trag5 7,fig4 #bb7 die geg4 ,teilung von d] ,spur t d] geg4 ,tief5l9ie ,t aus na* re*ts auf d] ,grundl9ie ab1 s da also #j4a #a4b #b4c #c4d je d] geg4 ,mae9heit4 ,v]b9d5 wir diese ,punkte dann mit dem l9k5 ,di/anzpunkt ,d#a1 s s*neid5 diese ,l9i5 auf ,t' die gesu*t5 ,bild] #a'1 #b'1 #c' usf4 aus4 ,wir hab5 damit die ,kon/ruktion e9es sog4 ,tief5ma/abes gewonn54 ,illu/ration3 ,fig4 #bb4 ,das ,v]fahr5 bleibt ganz das nmli*e1 w5n ni*t laut] glei*e ,/reck5 auf d] ,tief5l9ie angetrag5 w]d5 soll51 sond]n v]s*i$5e ,/reck54 ,man trgt die ,/reck5 9 ihr] ,reih5folge auf d] ,grundl9ie an2 dann lief]n sie1 aus ,d#a projizi]t1 die ri*tig5 ,bild]4 #g4 ,d>/ellung beliebig]1 g]adl9ig] ,figur5 d] ,grundeb5e4 #af4 ,bild e9] beliebig5 ,g]ad54 ,um nun e9e irg5dwie aus ,g]ad5 zusamm5gesetzte ,figur d] ,grundeb5e abbild5 zu knn51 mss5 wir uns zu]/ damit bes*ftig51 wie man das ,bild e9] beliebig5 ,g]ad5 zei*n5 kann4 ,das fhrt uns unmittelb> zur ,aufgabe #f4 ,e9e beliebige ,g]ade ,a d] ,grundeb5e i/ gegeb52 ihr ,bild zu zei*n54 ,illu/ration3 ,fig4 #bc4 ,die ,flu*t d] ,g]ad5 ergibt si* na* ,satz #g1 indem wir dur* das ,auge e95 ,p>allel/rahl zur ,g]ad5 zei*n5 und dies5 mit d] ,tafel zum ,s*nitt br+54 ,i/ fa dies] ,s*nittpunkt1 s i/ 7,fig4 #bc7 ,(a ,a und fa liegt natrli* auf dem ,horizont hh4 ,wir zieh5 no* dur* das ,auge ,o e9e ,p>allele ii zum ,horizont4 ,die ,g]ade ,a wird mit d] ,grundl9ie gg e95 gewiss5 ,w9kel e9s*lieen4 ,lei*t erk5nt man dann1 da d] ,p>allel/rahl ,(a mit d] ,l9ie ii d5 glei*5 ,w9kel bildet4 ,um diese ,eig5s*aft fr wirkli*e ,kon/ruktion auszunutz51 klapp5 wir die ,horizonteb5e dur* ,o na* unt5 9 die ,bildeb5e 4 ,wir dreh5 also diese ,eb5e um die ,horizontl9ie s lange na* abwrts1 bis sie mit d] ,bildtafel zusamm5fllt4 ,d] ,pfeil 9 d] ,figur #bc deutet diese ,drehung an4 ,die ,l9ie ,o,a bleibt bei dies] ,drehung imm] s5kre*t zum ,horizont2 sie hat also au* am ,s*lusse d] ,drehung no* diese ,eig5s*aft4 ,zei*n5 wir demna* 9 d] ,bildeb5e e9e lotre*te ,l9ie dur* ,a1 s gibt diese die ,lage1 wel*e d] ,/rahl ,o,a na* ,ausfhrung d] ,drehung annimmt4 ,d] ,punkt ,o endli* geht na* ,be5digung d] ,drehung 9 e95 ,punkt ,d#c b]1 d] auf dies] lotre*t5 ,l9ie dur* ,a s liegt1 da die ,/recke ,,ad#c ,o,a d] ,di/anz4 ,die ,p>allele ii geht b] 9 die ,l9ie ll1 wel*e dur* ,d#c p>allel zum ,horizont gezog5 w]d5 kann4 ,die ,l9ie ,d#c;fa bildet mit d] ,l9ie ll wi$] d5 ,w9kel 4 ,das ,weit]e v]folg5 wir an ,fig4 #bd1 wel*e die wirkli*e ,ausfhrung gibt4 ,die ,g]ade ,a i/ 9 d] ,v]s*iebung dur* 7,a7 gegeb54 ,im ,augpunkte ,a erri*t5 wir die ,s5kre*te zum ,horizont und s*neid5 auf ihr die ,di/anz ab1 wodur* wir ,d#c erhalt54 ,es i/ also ,,ad#a ,,ad#b ,,ad#c4 ,dur* ,d#c zieh5 wir die ,p>allele ll zum ,horizont4 ,trag5 wir an diese ,p>allele d5 ,w9kel an1 s s*neidet dess5 #b4 ,s*5kel d5 ,flu*tpunkt fa auf dem ,horizont aus4 ,e9fa*] i/ es ab]1 die ,eig5s*aft d] ,figur zu b5utz51 da (f5b> ,d#c;fa 7,a7 i/4 ,d5n dann hab5 wir nur ntig1 dur* ,d#c e9e ,p>allele zu 7,a7 zu zei*n51 diese s*neidet auf dem ,horizont d5 ,flu*tpunkt fa von ,a aus4 ,die ,v]b9dungsl9ie d] ,spur a mit fa gibt das ,bild ,a' d] ,g]ad5 ,a4 ,illu/ration3 ,fig4 #bd4 ,n5n5 wir ,d#c die ,umlegung des ,auges na* unt5 od] das na* unt5 umgelegte ,auge1 s ergibt si* folg5de e9fa*e ,regel3 ,i/ e9e ,g]ade 9 d] ,v]s*iebung gegeb51 s be/immt die dur* das umgelegte ,auge ,d#c zu ihr gezog5e ,p>allele auf d5 ,horizont d5 ,flu*tpunkt d] ,g]ad54 ,illu/ration3 ,fig4 #be4 ,die ,figur #bd lief]t uns brau*b>e ,eig5s*aft5 ab] au* fr d5 ,fall1 da die ,g]ade ni*t 9 d] ,v]s*iebung1 sond]n auf &]e ,weise be/immt i/4 ,es h&le si* etwa um folg5de ,aufgabe #g4 ,e9 ,punkt p d] ,grundeb5e i/ dur* se9 ,bild p' gegeb52 dur* p soll 9 d] ,grundeb5e e9e ,g]ade gezog5 w]d51 wel*e unt] e9em ,w9kel von #fj geg5 die ,grundl9ie g5eigt i/4 ,das ,bild dies] ,g]ad5 zu zei*n54 ,trag5 wir 7,fig4 #be7 an die ,horizontale dur* ,d#c e95 ,w9kel von #fj an1 s s*neidet dess5 zweit] ,s*5kel auf dem ,horizont d5 ,flu*tpunkt f d] gesu*t5 ,g]ad5 aus4 ,v]b9d5 wir d5 gegeb55 ,punkt p' mit f1 s i/ diese ,l9ie das v]langte ,bild4 ,selb/v]/ndli* gibt es zwei sol*e ,g]ade1 da man d5 ,w9kel au* von d] l9k5 ,seite d] ,p>allel5 ll aus antrag5 kann4 ,zu j$em ,punkte des ,horizontes gehrt demgem e9e gewisse ,ri*tung von ,g]ad52 speziell entspre*5 d5 ,di/anzpunkt51 wie wir ja s*on wiss51 die ,g]ad51 wel*e unt] #de geg5 die ,grundl9ie g5eigt wird4 ,9 d] ,figur s9d auf d] l9k5 ,seite no* bei e9ig5 weit]5 ,punkt5 des ,horizontes die ,w9kel h9zuges*rieb51 zu d55 sie gehr54 #ag4 ,w9kel zwei] ,g]ad54 ,s9d zwei ,g]ade ,a und ,b d] ,grundeb5e gegeb51 s zei*n5 wir ihre ,flu*tpunkte fa und fb1 s da also 7,fig4 #bf7 ,(a ,a und ,(b ,b4 ,bezei*n5 wir d5 ,w9kel1 d5 ,a und ,b e9s*lieen1 mit 1 s erk5nt man s(ort1 da au* fa,(b i/4 ,klapp5 wir wi$]um die dur* das ,auge ,o geh5de ,horizonteb5e na* unt5 9 die ,bildeb5e h]unt]1 wobei d] ,punkt ,o na* ,d#c kommt1 s tritt d] ,w9kel au* hi] auf1 indem fa,d#c;fb od] 9 ,wort5 ausg$rckt3 ,satz #ae4 ,irg5d zwei ,g]ade d] ,grundeb5e s*lieen d5 glei*5 ,w9kel e9 wie die ,seh/rahl51 die vom ,auge na* ihr5 ,flu*tpunkt5 geh51 und au* wie die ,/rahl51 wel*e von d] ,umlegung des ,auges na* ihr5 ,flu*tpunkt5 lauf54 ,illu/ration3 ,fig4 #bf4 ,dies] ,satz gehrt zu d5 all]wi*tig/5 9 d] ,p]spektive weg5 d] viel5 ,anw5dung51 die von ihm gema*t w]d54 ,wir v]ans*auli*5 ihn no* dur* die ,fig4 #bg1 wel*e die wirkli*e ,kon/ruktion gibt4 ,hi] s9d die beid5 ,g]ad5 ,a und ,b 9 d] ,v]s*iebung 7,a7 und 7,b7 gegeb54 ,im ,hauptpunkte ,a i/ e9e ,s5kre*te zum ,horizont angetrag5 und auf ihr die ,umlegung ,d#c des ,auges ermittelt1 9 dem ,,ad#c ,,ad#a ,a,d#b gema*t w]de4 ,dann folgt aus d] unmittelb> vorh]geh5d5 ,betra*tung1 da ,d#c;fa 7,a7 und ,d#c;fb 7,b74 ,d>aus ergibt si* wi$]um1 da fa,d#c;fb 4 ,die ,praktik] drck5 dies s aus3 ,am ,punkte ,d#c kann j$] ,w9kel 9 se9] wahr5 ,gre angetrag5 w]d54 ,9 d] ,figur wurd5 no* die ,spur5 a und b d] beid5 ,g]ad5 kon/rui]t1 s da dann ,a' und ,b' si* je als die ,v]b9dungsl9ie von ,flu*t und ,spur ergeb54 ,d] ,s*nittpunkt von ,a' und ,b' i/ das ,bild des ,s*eitels p4 ,man bea*te1 da d] s*raffi]te ,teil zwis*5 7,a7 und 7,b7 si* 9 d5 s*raffi]t5 ,teil zwis*5 ,a' und ,b' abbildet4 ,e9e zweite ,anw5dung gibt ,aufgabe #h4 ,e9 9 d] ,grundeb5e lieg5des ,re*teck i/ 9 d] ,v]s*iebung 7p77q77r77s7 gegeb52 dess5 ,bild zu zei*n54 ,das ,re*teck en?lt zwei ,pa>e p>allel] ,seit5 7,a7 und 7,a#a71 s[ie 7,b7 und 7,b#a7 7,fig4 #bh74 ,wir zei*n5 zun*/ die ,flu*tpunkte dies] beid5 ,ri*tung5 ,zu diesem ,zwecke zieh5 wir dur* die ,umlegung ,d#c des ,auges die ,p>allel5 zu 7,a7 und 7,b72 diese s*neid5 die ,flu*tpunkte fa und fb auf dem ,horizonte aus4 ,es i/ also ,d#c;fa 7,a7 7,a#a7 und ,d#c;fb 7,b7 7,b#a74 ,jetzt zei*n5 wir die ,bild] q' und s' d] beid5 ,eck5 q und s na* ,aufgabe #d1 indem wir je e9e ,tief5l9ie und e9e unt] #de g5eigte ,l9ie b5utz54 q' lief]t mit fa und fb v]bund5 die ,bild] ,a' und ,b'1 s' mit fa und fb v]bund5 ,a#a' und ,b#a'4 ,die letzt5 ,eck5 r' und p' ergeb5 si* als die ,s*nittpunkte von ,a#a' mit ,b' und ,a' mit ,b#a'4 ,illu/ration3 ,fig4 #bg4 ,das ,bild p'q'r's' hat die *>akt]i/is*e ,eig5s*aft1 da si* die geg5b]lieg5d5 ,seit5 ,a' und ,a#a' s[ie ,b' und ,b#a' v]lng]t je 9 fa und fb auf dem ,horizont s*neid54 ,kontroll5 biet5 si* zahlrei*e1 w5n man die ,tief5l9i5 dur* r und p zieht od] die ,spur5 d] ,re*tecksseit5 b5utzt1 wie das 9 d] ,figur fr die ,seite rq angegeb5 i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #bh4 #ah4 ,umlegung d] ,horizonteb5e na* ob54 ,unt] ,um/nd5 kann es bequem se91 die ,horizonteb5e /att na* unt5 na* ob5 9 die ,bildtafel h]e9zuklapp5 7,fig4 #bf74 ,dann fllt d] ,punkt ,o auf die ,v]lng]ung d] ,l9ie ,,ad#c b] ,a h9aus na* e9em ,punkte ,d1 w5n wi$] ,,ad d] ,di/anz gema*t wird4 ,9 ,fig4 #bg i/ au* diese ,umlegung ob5 gezei*net4 ,natrli* gibt d] ,w9kel fa,dfb au* jetzt wi$] d5 ,w9kel d] beid5 gegeb55 ,g]ad5 ,a und ,b1 s da fa,dfb 1 und au* an dem ,punkte ,d drf5 alle ,w9kel 9 wahr] ,gre angetrag5 w]d54 ,illu/ration3 ,fig4 #bi4 ,e9 ,unt]s*i$ i/ ab] ins(]n vorh&51 als jetzt ni*t mehr 7,a7 ,dfa und ni*t mehr 7,b7 ,dfb4 ,diese ,eig5s*aft d] p>allel5 ,lage i/ nur erfllt bei d] ,drehung na* unt54 ,das hngt damit zusamm51 da wir au* die ,grundeb5e im glei*5 ,s9ne g$reht hab54 ,w5n ab] z4 ,b4 die ,v]s*iebung b]haupt ni*t gezei*net i/1 s kann man sehr wohl die ,horizonteb5e au* na* ob5 dreh51 zumal w5n man ob5 9 d] ,zei*nung mehr ,raum zur ,v]fgung hat4 ,die folg5de ,aufgabe gibt davon e9e ,anw5dung4 ,aufgabe #i4 ,gegeb5 s9d e9e ,g]ade ,a d] ,grundeb5e und e9 ,punkt p auf ihr dur* ihre ,bild] ,a' und p'4 ,man zei*ne das ,bild e9] ,g]ad5 ,b d] ,grundeb5e1 wel*e 9 p auf ,a s5kre*t /eht4 ,br+5 wir das gegeb5e ,bild ,a' mit dem ,horizont zum ,s*nitt 7,fig4 #bi71 s i/ d] ,s*nittpunkt fa d] ,flu*tpunkt d] ,g]ad5 ,a4 ,im ,augpunkt ,a erri*t5 wir e9e ,s5kre*te zum ,horizont hh und ma*5 diese d] ,di/anz1 s da also ,,ad ,,ad#a ,,ad#b4 ,d i/ die ,umlegung des ,auges na* ob54 ,v]b9d5 wir ,d mit fa und erri*t5 9 ,d zu fa,d e9 ,lot1 s s*neidet dieses aus dem ,horizont e95 ,punkt fb aus1 d] d] ,flu*tpunkt all] auf d] ,g]ad5 ,a s5kre*t5 ,g]ad5 i/4 ,die gesu*te ,s5kre*te soll ab] dur* p geh51 ihr ,bild ,b' i/ demna* die ,v]b9dungsl9ie von p' mit fb4 fap'fb i/ also das ,bild e9es horizontal5 re*t5 ,w9kels4 #ai4 ,getr5nte ,lage des ,grundrisses4 ,wir hab5 bi%] imm] ang5omm51 da die ,grundeb5e mitsamt d5 abzubild5d5 ,figur5 9 d] ,v]s*iebung gegeb5 sei4 ,natrli* kann sie au*1 getr5nt von d] ,bildtafel1 gegeb5 und die ,lage d] ,bildeb5e dur* ihre ,spur1 d4 h4 dur* die ,grundl9ie1 be/immt se94 ,beispielsweise sei 9 ,fig4 #cj a e9 ,re*teck #a #b #c #d gezei*net1 auerdem s9d die ,risse ,a#a und ,o#a von ,a und ,o bekannt4 ,9 d] zweit5 ,figur #cj b i/ d] ,horizont hh mit ,a s[ie die ,grundl9ie gg gegeb54 ,v]langt wird das ,bild des ,re*teckes zu zei*n54 ,die fr die ,lsung 9 ,betra*t komm5de geometris*e ,eig5s*aft lief]t e9 ,blick auf ,fig4 #bf4 ,d] dur* das ,auge ,o zur ,g]ad5 ,a d] ,grundeb5e gezog5e ,p>allel/rahl1 wel*] d5 ,flu*tpunkt fa auf dem ,horizont auss*neidet1 hat 9 d] ,grundeb5e e95 ,ri1 d] dur* ,o#a geh5 mu1 s[ie dur* die ,projektion fa#a des ,flu*tpunktes fa1 und weit] mu dies] ,ri p>allel zu ,a se91 also ,o#a;fa#a ,a4 ,illu/ration3 ,fig4 #cj a4 ,zieht man demna* umgekehrt dur* ,o#a ,p>allele zu d5 ,seit5 des ,re*teckes1 s s*neid5 diese auf d] ,grundl9ie gg die ,projektion5 fa#a und fb#a d] ,flu*tpunkte fa und fb aus4 ,da nun die ,grundl9ie mit ihr5 ,punkt5 9 d5 beid5 ,figur5 vorkommt1 s hab5 wir nur die ,/reck5 ,a#a;fa#a und ,a#a;fb#a au* 9 ,fig4 #cj b anzutrag54 ,dann lief]n die 9 fa#a und fb#a erri*tet5 ,lote zu gg auf dem ,horizont die ,flu*tpunkte fa und fb4 b]trgt man no* weit] die ,spur5 d] ,re*tecksseit5 9 die ,fig4 #cj b1 s i/ das ,bild #a'b'c'd' des ,re*tecks lei*t f]tig zu /ell54 ,illu/ration3 ,fig4 #cj b4 #bj4 ,horizontale ,g]ade4 ,die bi%]ig5 ,ausfhrung5 g5g5 voll/ndig1 um j$e 9 d] ,grundeb5e gegeb5e ,figur 9 ,p]spektive zu setz54 ,bevor wir ab] dazu b]geh51 ,krp] abzubild51 woll5 wir vorh] no* e9e sehr wes5tli*e ,v]allgeme9]ung d] ob5 dur*gefhrt5 ,betra*tung5 bespre*54 ,zieh5 wir zu irg5de9] ,g]ad5 d] ,grundeb5e im ,raume e9e ,p>allele1 s n5n5 wir diese neue ,g]ade e9e horizontale ,g]ade4 ,9 g5au] ,fassung w]d5 wir sag53 ,j$e ,g]ade1 wel*e zur ,grundeb5e p>allel luft1 soll e9e horizontale ,g]ade heien4 ,woll5 wir nun d5 ,flu*tpunkt e9] horizontal5 ,g]ad5 be/imm51 s hab5 wir dur* das ,auge e9e ,p>allele zu d] ,g]ad5 zu zei*n54 ,diese ,p>allele i/ dann ab] au* p>allel zur ,grundeb5e1 liegt mi?9 9 d] ,horizonteb5e1 und d] ,flu*tpunkt mu dem ,horizont hh angehr54 ,illu/ration3 ,fig4 #ca4 ,0 die ,lage e9] horizontal5 ,g]ad5 im ,raume betrifft1 s kann sie entw$] ob]halb od] unt]halb d] ,horizonteb5e lieg5 od] 9 d] ,horizonteb5e4 ,d] letzt]e ,fall i/ s(ort erl$igt4 ,d5n j$e ,g]ade d] ,horizonteb5e bildet si* 9 d5 ,horizont ab4 ,liegt e9e horizontale ,g]ade ob]halb d] ,horizonteb5e1 wie z4 ,b4 die ,g]ade ,a 9 ,fig4 #ca1 s mu ihre ,spur a ob]halb des ,horizonts hh geleg5 se92 e9e horizontale ,g]ade ,b dageg51 wel*e unt] d] ,horizonteb5e si* bef9det1 lief]t e9e ,spur b unt] dem ,horizont4 ,die ,bild] zwei] sol*5 ,g]ad5 v]halt5 si* nun v]s*i$54 ,9 ,fig4 #ca i/ no* speziell ang5omm51 da die beid5 ,g]ad5 ,a und ,b 9 d] glei*5 ,v]tikaleb5e lieg51 s da d] ,ri ,a#a von ,a mit dem ,ri ,b#a von ,b si* deckt und die ,spur5 a und b auf e9] lotre*t5 ,l9ie si* bef9d54 ,dur*luft e9 ,punkt die ,g]ade ,a1 indem er von d] ,spur a ausgeht1 im ,s9ne des ,pfeiles1 also 9 d] ,ri*tung von d] ,bildtafel weg1 s bewegt si* se9 ,bild auf ,a' geg5 d5 ,flu*tpunkt fa h94 ,die ,l9ie ,a' geht demna*1 9 d] ,ri*tung von a na* fa dur*lauf51 abwrts1 od] sie fllt4 ,eb5so /eigt die ,l9ie ,b'1 w5n sie 9 d] ,ri*tung geg5 d5 ,flu*tpunkt h9 dur*lauf5 wird4 ,damit hab5 wir e9e sehr brau*b>e ,mal]regel abgeleitet1 die si* wie folgt ausdrck5 lt3 ,satz #af4 ,horizontale ,g]ade hab5 ihre ,flu*tpunkte auf dem ,horizont4 ,lieg5 die ,g]ad5 selb/ ob]halb d] ,horizonteb5e1 s fall5 ihre ,bild]1 w5n sie 9 d] ,ri*tung na* dem ,flu*tpunkt h9 dur*lauf5 w]d52 lieg5 sie unt]halb dies] ,eb5e1 s /eig5 ihre ,bild]1 w5n man sie 9 d] ,ri*tung na* dem ,flu*tpunkt zu dur*luft4 ,die glei*e ,eig5s*aft zeig5 natrli* au* die ,bild] d] ,tief5l9i51 da die letzt]5 ja au* nur horizontale ,g]ade von besond]] ,art s9d4 ,die 9 #af und #ag fr ,g]ade d] ,grundeb5e dur*gefhrt5 ,betra*tung5 gelt51 wir wir jetzt e9seh51 fr j$e horizontale ,g]ade2 speziell gilt ,satz #ae fr zwei ,g]ade1 die 9 irg5de9] zur ,grundeb5e p>allel5 ,eb5e lieg54 #h4 ,d>/ellung e9fa*] ,krp]1 die si* auf d] ,grundeb5e erheb54 #ba4 ,d>/ellung e9] ,pfeil]reihe1 die na* d] ,tiefe geht4 ,w5n wir jetzt dazu b]geh51 ,krp] d>zu/ell51 die si* auf d] ,grundeb5e bef9d51 s tritt als neue ,dim5sion die auf d] ,grundeb5e lotre*te ,ri*tung auf1 also die ,v]tikale4 ,j$e ,eb5e dur* e9e ,v]tikale heit e9e ,v]tikaleb5e4 ,setz5 wir die ,begr5zungsfl*5 des ,krp]s 9 ,beziehung zur ,bildtafel1 s w]d5 vor allem die ,eb55 zu betra*t5 se91 wel*e auf d] ,bildtafel s5kre*t /eh54 ,wir n5n5 sie ,tief5eb55 und seh51 da j$e ,eb5e dur* e9e ,tief5l9ie e9e ,tief5eb5e i/4 ,en?lt e9e ,tief5eb5e e9e ,v]tikale1 s n5n5 wir sie e9e v]tikale od] au* e9e lotre*te ,tief5eb5e4 ,es sei nun zu beh&eln ,aufgabe #aj4 ,e9e ,pfeil]reihe d>zu/ell51 die si* 9 e9] lotre*t5 ,tief5eb5e bef9det4 ,wir v]s9nli*5 j$5 ,pfeil] dur* e9e s*li*te ,g]ade und nehm5 an1 da d] er/e ,pfeil] ab 9 d] ,bildeb5e geleg5 i/ 7,fig4 #cb74 ,f]n] soll5 die ,pfeil] 9 glei*5 ,ab/nd5 aufe9&]folg51 also ac ce ei il ln np se94 ,die ,punkte a1 c 444 p lieg5 auf e9] ,tief5l9ie ,a und eb5so die ob]5 ,end5 d] ,pfeil] b1 d1 f1 k1 m1 r1 q1 auf e9] zweit5 ,tief5l9ie ,b4 ,die ,eb5e dur* ,a und ,b i/ die lotre*te ,tief5eb5e1 9 d] die ,pfeil]reihe geleg5 i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #cb4 ,9 uns]] zu zei*n5d5 ,figur 7,fig4 #cc7 s9d also gegeb5 d] er/e 9 d] ,bildeb5e lieg5de ,pfeil] ab s[ie d] ,ab/& y zwei] aufe9&]folg5d] ,pfeil]4 ,die ,d>/ellung lt si* nun lei*t bew]k/ellig54 ,d] ,punkt a mit dem ,augpunkt ,a v]bund5 lief]t das ,bild ,a' d] ,tief5l9ie ,a4 ,auf ,a' i/ nun e9 ,tief5ma/ab zu zei*n5 mit d] ,e9heit y4 ,na* ,aufgabe #e fhr5 wir dies aus1 indem wir die gegeb5e ,e9heit y von d] ,spur a aus na* re*ts auf d] ,grundl9ie als #j4a1 #a4b1 #b4c 444 antrag5 und diese ,punkte mit dem l9k5 ,di/anzpunkt ,d#a v]b9d54 ,die ,s*nittpunkte mit ,a' geb5 die ,bild] c'1 e'1 i' 444 d] ,pfeil]5d54 ,illu/ration3 ,fig4 #cc4 ,v]b9d5 wir weit] b mit ,a1 s i/ diese ,l9ie das ,bild ,b' d] ,tief5l9ie ,b1 und auf ,b' mss5 die ob]5 ,endpunkte d] ,pfeil] angeordnet se94 ,die ,g]ad5 ab1 cd 444 s9d ab] p>allel zur ,bildeb5e2 na* ,satz #aj s9d also ihre ,bild] au* p>allel1 und b]dies mu beispielsweise c'd' cd se9 usf42 die ,bild] d] ,pfeil] s9d also lotre*te ,l9i54 ,demna* hab5 wir l$igli* dur* die ,punkte c'1 e'1 i' usf4 die ,v]tikal5 zu zei*n5 und diese dur* die ,s*nittpunkte mit d] ,l9ie ,b' zu begr5z54 ,s ergeb5 si* die ,bild] c'd'1 e'f' 444 ,wir knn5 9 uns]] ,figur au* die ,d>/ellung e9es ,/aket5zaunes seh5 od] e9] ,brett]w&1 die aus glei*breit5 ,brett]n zusamm5gesetzt i/4 ,wir ma*5 von d] eb5 dur*gefhrt5 ,kon/ruktion e9e ,anw5dung zur ,lsung folg5d] wi*tig] ,aufgabe #aa4 ,e9 ,punkt p d] ,grundeb5e i/ dur* se9 ,bild p' gegeb52 man zei*ne das ,bild e9] ,l9ie pq von gegeb5] ,lnge1 wel*e 9 p s5kre*t zur ,grundeb5e angetrag5 wird4 ,es soll also mit &]5 ,wort5 9 e9em ,punkte d] ,grundeb5e e9e ,s5kre*te von gegeb5] ,lnge erri*tet w]d54 ,um zur ,lsung zu gelang51 d5k5 wir uns 7,fig4 #cb7 dur* die ,s5kre*te pq e9e ,tief5eb5e gelegt und /ell5 uns e9e ,reihe von ,pfeil]n vor1 wel*e die ,hhe pq hab5 und si* 9 dies] ,eb5e bef9d54 ,&]s ausg$rckt heit das3 wir zieh5 dur* p und q die ,tief5l9i5 ,a und ,b1 wel*e 9 a und b die ,bildeb5e treff54 ab i/ d] 9 d] ,tafel lieg5de ,pfeil]4 ,d>aus ergibt si* folg5de dur* ihre ,e9fa*heit b]ras*5de ,kon/ruktion3 ,d5 gegeb55 ,punkt p' v]b9d5 wir mit ,a 7,fig4 #cd7 und erhalt5 dadur* das ,bild ,a'1 wel*es die ,grundl9ie gg 9 a trifft4 ,9 a trag5 wir die gegeb5e ,hhe als ab v]tikal an4 ,d] ,endpunkt b lief]t mit ,a v]bund5 das ,bild ,b' d] ,tief5l9ie ,b4 ,zieh5 wir endli* dur* p' die ,v]tikale1 s s*neidet sie auf ,b' d5 ,punkt q' aus4 p'q' i/ das ,bild d] gesu*t5 ,s5kre*t54 ,illu/ration3 ,fig4 #cd4 ,da man j$5 beliebig5 ,punkt des ,raumes si* be/imm5 kann dur* se95 re*tw9klig5 ,ri auf die ,grundeb5e und dur* d5 ,ab/& von d] ,grundeb5e1 s knn5 wir damit das ,bild e9es beliebig5 ,raumpunktes zei*n5 und s9d weit] im/&e1 j$5 ,krp]1 w5n au* um/ndli*1 abzubild51 indem wir die ,bild] se9] e9zeln5 ,punkte ermitteln4 ,wir w]d5 spt] ,beispiele fr die ,anw5dung dies] ,kon/ruktion geb51 woll5 ab] zun*/ no* e9ige ,folg]ung5 aus d] ,fig4 #cd zieh54 ,wir knn5 dieselbe unmittelb> zur ,lsung folg5d] neu5 ,aufgabe b5utz53 ,gegeb5 i/ das ,bild p'q' e9] ,/recke pq1 die im ,punkte p d] ,grundeb5e auf dies] s5kre*t si* erhebt2 man be/imme die wahre ,lnge pq dies] ,/recke4 ,wir v]b9d5 p' mit ,a und br+5 diese ,l9ie 9 a mit d] ,grundl9ie zum ,s*nitt2 9 a erri*t5 wir e9e ,v]tikale und s*neid5 diese 9 b mit d] ,v]b9dungsl9ie von ,a na* q'4 ,dann gibt ab die wahre ,lnge d] ,/recke pq4 ,als e9e weit]e ,anw5dung beh&eln wir ,aufgabe #ab4 ,auf e9] lotre*t5 7v]tikal57 ,g]ad5 e95 ,ma/ab zu zei*n54 ,hh5ma/ab4 ,illu/ration3 ,fig4 #ce4 ,d5k5 wir uns auf d] ,lotre*t5 pq von ,fig4 #cb die ,e9heit des ,ma/abes wi$]holt angetrag5 und zieh5 wir dur* die ,teilpunkte die ,tief5l9i51 s b]trag5 diese d5 ,ma/ab auf die ,g]ade ab1 0 9 d] ,figur ang$eutet i/4 ,die ,bild] d] ,tief5l9i5 s9d ab] s(ort zu zei*n54 ,wir erhalt5 also folg5de ,ausfhrung 7,fig4 #ce74 ,gegeb5 i/ das ,bild p'q' d] ,v]tikal51 auf d] mit d] gegeb55 ,/recke y als ,e9heit e9 ,ma/ab gezei*net w]d5 soll1 d] 9 d] ,spur d] ,v]tikal5 beg9nt4 ,wir v]b9d5 d5 ,punkt p' mit dem ,augpunkt ,a und erhalt5 dadur* d5 ,punkt a auf d] ,grundl9ie4 ,9 a erri*t5 wir zur ,grundl9ie gg die ,s5kre*te2 auf dies] trag5 wir von a beg9n5d die ,/recke y ab1 s da also die ,/reck5 #j4a1 #a4b1 #b4c 444 je y4 ,v]b9d5 wir die ,punkte #a1 #b1 #c 444 mit ,a1 s s*neid5 diese ,tief5l9i5 auf p'q' die gesu*t5 ,punkte #a'1 #b'1 #c' 444 aus4 ,aus bekannt5 ,stz5 d] ,planimetrie folgt s(ort1 da au* #j4a' #a'4b' #b'4c' #c'4d'4 ,illu/ration3 ,fig4 #cf4 ,d>aus ergibt si* folg5d] ,satz #ag4 ,d] ,hh5ma/ab auf e9] ,v]tikal5 7und b]haupt auf e9] ,p>allel5 zur ,bildeb5e7 zeigt ke9e ,v]krzung1 sond]n e9e si* glei*bleib5de ,v]jngung4 ,glei*hohe ,f5/] e9] ,fassade1 die auf e9] lotre*t5 ,l9ie lieg51 s9d also beispielsweise glei* ho* zu zei*n54 ,teilung5 e9] v]tikal5 ,/recke b]trag5 si* demna* unmittelb> auf das ,bild4 ,w5n etwa die ,/recke pq 7,fig4 #cb7 9 e9e gewisse ,anzahl glei*] ,teile geteilt w]d5 soll1 s knn5 wir die ,teilung unmittelb> im ,bilde p'q' 7,fig4 #ce7 vornehm54 ,illu/ration3 ,fig4 #cg4 #bb4 ,d>/ellung e9] zur ,bildeb5e p>allel5 ,pfeil]reihe4 ,no* e9fa*] ge/altet si* die zei*n]is*e ,wi$]gabe e9] ,pfeil]reihe od] b]haupt e9] ,reihe glei*groer1 p>allel] ,geg5/nde1 w5n dieselb5 p>allel zur ,bildeb5e angeordnet s9d4 ,dies sei d] ,geg5/& d] ,aufgabe #ac4 ,e9e ,pfeil]reihe d>zu/ell51 die si* 9 e9] zur ,tafel p>allel5 ,eb5e bef9det4 ,i/ pq d] er/e d>zu/ell5de ,pfeil] 7,fig4 #cf71 s zei*n5 wir na* d] ,aufgabe #aa se9 ,bild p'q'4 ,uns]] ,voraussetzung na* lieg5 die ,endpunkte d] ,pfeil] auf zwei p>allel5 ,l9i5 ,p und ,q1 die b]dies zur ,tafel p>allel s9d4 ,es i/ also wi$] na* ,satz #aj au* ,p' ,p und ,q' ,q und da ,p ,q zur ,grundl9ie gg1 s s9d au* die ,bild] ,p' und ,q' p>allel zur ,grundl9ie4 ,auf dies5 beid5 ,horizontal5 lieg5 folgli* die ,bild] d] ,endpunkte1 und sie ergeb5 si* lei*t1 w5n man wi$]um die ,tief5l9i5 dur* die ,punkte selb/ zu ,hilfe nimmt4 ,illu/ration3 ,fig4 #ch4 ,die ,ausfhrung d] ,kon/ruktion zeigt ,fig4 #cg4 ,gegeb5 i/ das ,bild p' des ,punktes p1 die ,hhe d] ,pfeil] und ihr ,ab/& y4 ,wir v]b9d5 p' mit dem ,hauptpunkt ,a2 diese ,tief5l9ie ,a' lief]t auf d] ,grundl9ie gg d5 ,punkt a4 ,9 a erri*t5 wir e9e ,v]tikale ab glei* d] gegeb55 ,hhe d] ,pfeil] und erhalt5 dur* die ,l9ie b,a d5 ,punkt q' auf d] ,lotre*t5 dur* p' und damit das ,bild des er/5 ,pfeil]s pq4 ,auf d5 ,horizontal5 ,p' und ,q' dur* p' und q' lieg5 die brig5 ,endpunkte4 ,trag5 wir d5 gegeb55 wahr5 ,ab/& y zwei] ,pfeil] auf d] ,grundl9ie als die ,/recke #j4a ab1 s gibt die ,l9ie von #a na* ,a das ,bild n' und die ,v]tikale dur* n' auf ,q' das ,bild r'4 ,analog v]fhrt man fr die weit]5 ,punkte #b1 #c 444 ,man erk5nt1 da p'n' n'l' usf41 da also au* die ,bild] d] ,pfeil] glei* weit vone9&] ab/eh54 ,obwohl die ,pfeil] selb/ ganz v]s*i$5e ,entf]nung5 vom ,auge ,o hab51 s9d ihre ,bild] do* glei* gro zu zei*n54 ,hat man b]haupt 9 e9] zur ,bildtafel p>allel5 ,eb5e irg5de9e ,figur1 s i/ ihr ,bild e9e dazu hnli*e ,figur d4 h4 das ,bild i/ e9e ,v]kle9]ung d] gegeb55 ,figur2 es nd]n si* nur die ,grenv]hltnisse d] ,figur1 alle ,w9kel ab]1 und au* die geg5seitig5 ,v]hltnisse d] ,seit5 bleib5 ungend]t4 ,wir knn5 also sag53 ,satz #ah4 ,bef9d5 si* ,geg5/nde von d] glei*5 ,gre irg5dwo 9 e9] ,p>alleleb5e zur ,tafel od] krz] 9 d] glei*5 ,tiefe1 s s9d ihre ,bild] /ets glei* gro zu zei*n54 ,illu/ration3 ,fig4 #ci4 ,illu/ration3 ,fig4 #dj4 ,als ,beispiel d5k5 wir uns1 am ,fue e9es ,turmes bef9de si* e9e m5s*li*e ,figur 7,fig4 #ch7 und ob5 auf dem ,turme1 ab] 9 d] glei*5 ,tiefe1 /ehe od] liege e9e zweite eb5so groe4 ,dann s9d die beid5 ,figur5 glei* gro zu geb54 ,man kann hufig bem]k51 da die ,figur auf dem ,turme kle9] gezei*net i/1 und als ,grund dafr wird angefhrt1 da die ,figur auf dem ,turme do* weit] vom ,auge entf]nt sei als die ,figur am ,fue des ,turmes1 also au* kle9] se9 msse4 ,dabei v]we*selt man die ,ers*e9ung e9es ,geg5/&es und se9e bildli*e ,wi$]gabe4 ,die ,grenv]hltnisse d] uns umgeb5d5 ,krp] beurteil5 wir im allgeme95 na* d5 ,gesi*tsw9keln1 unt] d55 sie uns ers*e954 ,wir betra*t5 nun ab] do* das ,bild mit d5 beid5 ,figur51 und dann i/ 9 d] ,tat1 wie ,fig4 #ci no* kl>] zeigt1 d] ,gesi*tsw9kel 1 unt] dem die ob]e ,figur ers*e9t1 kle9] als d] ,gesi*tsw9kel 1 d] zu d] unt]5 ,figur gehrt4 ,hi] mag no* e9e &]e ,beoba*tung erwhnt w]d51 die si* auf die ,d>/ellung hoh]1 si* 9 ,wirkli*keit ni*t v]jng5d] ,objekte bezieht4 ,d5k5 wir uns z4 ,b4 e95 ,turm mit v]tikal5 ,kant54 ,betra*t5 wir d5selb5 mit g]adgehalt5em ,kopfe1 s ers*e95 die ,kant5 des ,turmes p>allel4 ,leg5 wir uns ab] auf d5 ,rck5 und blick5 an dem ,turm 9 die ,hhe1 s zeig5 se9e ,kant5 e95 ,flu*tpunkt4 ,zwis*5 dies5 beid5 uer/5 ,fll5 gibt es viele b]gnge4 ,w5n wir ni*t weit g5ug von dem ,turme zurcktret5 knn51 s neig5 wir eb5falls d5 ,kopf zurck1 um d5 ,turm 9 se9] ganz5 ,hhe zu b]s*au54 ,dann tritt wi$] die ,flu*tpunkt]s*e9ung auf4 ,aus dies5 b]legung5 h]aus kann man die ,abbildung #d bis zu e9em gewiss5 ,grade fr b]e*tigt erklr54 ,wir bef9d5 uns dabei 9 dem ,gebiet /hetis*-psy*ologis*] ,vorgnge1 und die ,p]spektive als />re ma!matis*e ,s*ablone kann zugun/5 e9] bess]5 ,wirkung modifizi]t w]d54 ,illu/ration3 ,abb4 #d4 ,illu/ration3 ,fig4 #da4 #bc4 ,d>/ellung e9es re*tw9klig begr5zt5 ,raumes4 ,wir woll5 jetzt die ,fig4 #cb erweit]n1 indem wir uns au* auf d] &]5 ,seite des ,auges e9e glei*groe ,pfeil]reihe eb5falls 9 e9] lotre*t5 ,tief5eb5e angebra*t d5k54 ,v]b9d5 wir dann 7,fig4 #dj7 d5 letzt5 ,pfeil] pq d] e95 ,reihe mit dem letzt5 ,pfeil] / d] &]5 ,reihe dur* e9e ,eb5e und leg5 weit] dur* qb und tc eb5falls e9e ,eb5e1 s erhalt5 wir e9 re*teckig begr5ztes ,raum/ck1 d5 ,quad] abcdpqts4 ,die ,pfeil]reihe auf d] re*t5 ,seite i/ eb5so zu zei*n5 wie 9 ,fig4 #cc1 und es ergibt s das ,bild abcdp'q't's' 7,fig4 #da74 ,/ell5 wir uns weit] vor1 da wir dadur* je zwei glei* weit von d] ,tafel entf]nte ,pfeil] weit]e ,eb55 leg51 s s9d diese alle p>allel und s*neid5 die ,grundeb5e 9 ,p>allel5 zur ,grundl9ie4 ,d5 d>ge/ellt5 ,raum teil5 wir dadur* 9 e9e ,anzahl glei*] ,s*i*t51 die eb5falls 9 ,fig4 #da wi$]gegeb5 s9d4 ,endli* s9d no* d] ,fubod5 und die ,wnde mit e9em ,quadratnetz b]zog51 und zw> i/ die ,figur s e+]i*tet1 da 9 d] ,breite1 also von a na* d1 #h ,quadrate1 9 d] ,tiefe von a na* p #e ,quadrate und 9 d] ,hhe von a na* b eb5falls #e ,quadrate lieg54 ,d] ,horizont v]luft 9 e9] ,hhe1 die zwei ,quadratseit5 entspri*t4 ,es i/ lei*t1 diese ,quadrate e9zuzei*n5 7man vgl4 ,fig4 #ai7 und s die ,fig4 #da h]zu/ell54 ,man kann an e9 mit quadratis*5 ,ka*eln ausgelegtes ,zimm] d5k54 ,legt man ab] weit] dur* die smtli*5 ,tief5l9i5 die horizontal5 und v]tikal5 ,eb551 s wird d] ganze ,raum 9 ,wrfel geteilt1 und zw> 9 #e #e #h #bjj4 ,e9] dies] ,wrfel i/ h]ausgezei*net4 ,d] ,les] wird diese ,figur ni*t fr e9e ma!matis*e ,spiel]ei halt51 sond]n s(ort erk5n51 da wir damit e9 ,mittel gewonn5 hab51 j$5 ,krp] im ,raume e9ig]maen ri*tig unt]zubr+51 indem wir ihn 9 e9e ,anzahl von ,wrfeln e9s*lieen4 ,fig4 #da lei/et fr d5 ,raum das glei*e wie ,fig4 #ai fr die ,bod5fl*e4 ,illu/ration3 ,abb4 #e4 ,n5n5 wir1 wie es dem allgeme95 ,gebrau* entspri*t1 die ,abmessung 9 d] ,ri*tung d] ,grundl9ie1 also von a na* d1 die ,breite1 s gibt uns die ,fig4 #da s[ohl e95 ,tief5- und ,hh5- als au* e95 ,breit5ma/ab4 ,d5n wir knn5 angeb51 wie si* die ang5omm5e ,quadratseite an j$] ,/elle des ,raumes d] ,tiefe1 ,hhe und ,breite na* v]krzt4 ,an d] ,/elle i' z4 ,b4 s9d diese ,v]krzung5 dur* i'm'1 i'n' und i'l' gegeb54 ,glei*zeitig ergibt si* no*1 0 brig5s s*on aus ,satz #ah folgt3 ,satz #ai4 ,d] ,breit5ma/ab i/ 9 j$] ,tiefe glei* dem ,hh5ma/ab4 ,endli* gibt ,fig4 #da die e9fa*/e ,d>/ellung e9es ,inn5raumes od] e9es ,int]ieurs4 ,um e95 ges*loss55 ,raum d>zu/ell51 mag man si* e9e ,begr5zungsfl*e desselb5 entf]nt d5k54 ,diese ,fl*e i/ hi] dann als ,bildeb5e b5utzt4 ,wir geb5 als ,beispiel 9 ,abb4 #e e9 ,fresko von ,ghirl&ajo 7#addi--adid71 das die ,geburt ,johannis des ,tuf]s vor/ellt und si* im ,*or d] ,kir*e ,s4 ,m>ia ,novella 9 ,flor5z bef9det4 ,dur* e9ige punkti]te ,tief5l9i5 s9d d] ,augpunkt und d] ,horizont ermittelt4 ,d] ,augpunkt i/ aus d] ,mitte des ,bildes etwas na* re*ts h]ausg]ckt1 wie 9 ,fig4 #da ,a nh] an cd als an ab liegt4 ,whlt man d5 ,augpunkt g5au 9 d] ,mittell9ie des ,bildes1 s ge/altet si* die ,ar*itektur auf beid5 ,seit5 ganz glei*mig3 sie i/ symmetris* zur ,mittell9ie4 ,die ,symmetrie b$+t e9e grere ,ruhe und e9e gewisse ,fei]li*keit im ,bilde1 wie ,abb4 #h zeig5 mag4 #bd4 ,aufsi*t1 ,unt]si*t1 ,seit5ansi*t4 ,die glei*e ,figur #da gibt uns au* ,aufs*lu1 wie wir infolge d] ,fe/legung uns]es ,/&punktes dur* das ,auge ,o horizontale ,eb551 die unt] d] ,horizonteb5e lieg51 von ob5 seh53 wir hab5 auf sie ,aufsi*t1 s z4 ,b4 auf die ,bod5fl*e4 ,von horizontal5 ,eb551 die ob]halb d] ,horizonteb5e lieg51 seh5 wir dageg5 die unt]e ,seite2 sie bef9d5 si* 9 ,unt]si*t1 wie z4 ,b4 die ,decke 9 ,figur #da4 ,die ,horizonteb5e selb/ bildet d5 b]gang zwis*5 beid5 ,art5 von ,eb553 sie ers*e9t als ,l9ie1 nmli* als d] ,horizont4 ,9 d] glei*5 ,weise seh5 wir v]tikale ,tief5eb55 entw$] von re*ts od] von l9ks1 je na*dem sie l9ks od] re*ts von d] dur* das ,auge ,o geh5d5 v]tikal5 ,tief5eb5e lieg54 ,diese letzt]e ers*e9t als die dur* d5 ,augpunkt geh5de ,v]tikale4 ,die ,figur5 #db und #dc mg5 das no* weit] v]ans*auli*54 ,sie /ell5 e9 ,not5pult od] e9 ,b*]ge/ell d>1 das im er/5 ,fall lotre*t /eht1 im zweit5 ,falle auf dem ,bod5 liegt4 ,illu/ration3 ,fig4 #db4 ,aus d] ,tatsa*e1 da die ganze ,horizonteb5e si* 9 d5 ,horizont abbildet1 lt si* no* e9e bem]k5sw]te ,folg]ung zieh54 ,i/ u' das ,bild e9es ,punktes u d] ,grundeb5e 7,fig4 #da7 und erri*t5 wir 9 u' die ,s5kre*te1 wel*e d5 ,horizont im ,punkte v' s*neid5 mge1 s knn5 wir v' als ,bild desj5ig5 ,punktes v anseh51 d] lotre*t b] v 9 d] ,horizonteb5e liegt4 ,die ,/recke uv i/ also glei* d] ,aug5hhe4 ,zu dem glei*5 ,resultat fhrt uns au* die ,betra*tung d] ,figur #cd1 indem si* zu dem ,bilde p'v' als zugehrige ,/recke av#j ergibt1 0 wi$] die ,aug5hhe i/4 ,d>aus folgt demna* folg5d] vielfa* v]w5db>e ,satz #bj4 ,i/ das ,bild e9es ,punktes d] ,grundeb5e gegeb51 s /ellt d] ,ab/& dieses ,bildes vom ,horizont imm] das ,bild d] ,aug5hhe vor4 ,illu/ration3 ,fig4 #dc4 #be4 ,p]son5 9 v]s*i$55 ,tief5 e9es ,bildes4 ,die ,d>/ellung e9] m5s*li*5 ,figur 9 e9em ,bilde gibt uns ,v]anlassung1 b] d5 ,ma/ab e9es ,bildes zu spre*5 und dies] hngt wi$] davon ab1 wie wir uns das ,zei*n5 na* d] ,natur1 also z4 ,b4 die ,wi$]gabe e9] ,l&s*aft vor/ell54 ,bi%] hab5 wir imm] ang5omm51 da das ,bild direkt die ,z5tralprojektion des ,geg5/&es i/1 wie wir das bei d] ,gla/afelp]spektive 79 #b7 errt]t54 ,man kann si* das ab] au* etwas &]s d5k54 ,nehm5 wir z4 ,b4 an1 e9 ,l&s*aftsmal] habe das ,motiv und e95 gn/ig5 ,/&punkt gefund54 ,dann mag er si*1 etwa 9 d] ,entf]nung von e9ig5 ,met]n von se9em ,/&punkte1 die ,bildtafel v]tikal aufge/ellt d5k54 ,auf diese ,eb5e wird von se9em ,auge aus die ,l&s*aft projizi]t4 ,dieses ,bild wird ab] ni*t wirkli* gezei*net4 ,9 se9 ,skizz5bu* od] auf d5 vor ihm /eh5d5 ,rahm5 zei*net d] ,mal] vielmehr e9e ,v]kle9]ung od] e9e ,v]jngung des auf g$a*t5 ,bildes4 ,9 diesem ,falle i/ also die ,zei*5fl*e ni*t die glei*e wie die ,bildeb5e4 ,all]d+s knnte man e9e neue1 dem ,/&punkt n"h1 zu p>allele ,eb5e f9d51 wel*e aus dem ,/rahl5kegel des ,auges ,o g]ade das ,bild auss*neid5 wrde1 das auf dem ,zei*5blatt gezei*net wurde4 ,wie kann man nun be/imm51 9 wel*em ,v]hltnis das ,bild 9 dem ,skizz5bu* geg5b] dem g$a*t5 ,bilde auf v]kle9]t i/8 ,zu dem ,zwecke d5k5 wir uns e95 ,m5s*51 d] ganz nahe h9t] d] ,tafel /eht4 ,er wird dann auf d] ,tafel 9 wirkli*] ,gre ers*e954 ,die ,skizze ab] wird d5 glei*5 ,m5s*5 9 kle9]em ,ma/abe zeig51 z4 ,b4 nur 9 #a_/aj d] ,leb5sgre4 ,dann sag5 wir1 die ,v]jngung od] ,r$uktion sei #a_/aj4 ,woll5 wir1 0 z4 ,b4 bei ,ar*itektur5 ntig i/1 g5aue ,mae hab51 s /ell5 wir uns vor1 da e9e ,melatte mit ,met]mae9teilung 9 d] ,bildeb5e liege4 ,auf dem ,skizz5blatt ab] wird z4 ,b4 e9 ,met] dur* e95 ,dezimet] wi$]gegeb51 w5n die ,v]jngung #a_/aj betrgt4 ,wir beh&eln nun folg5de ,aufgabe #ad4 ,p]son5 9 v]s*i$55 ,tief5 e9es ,bildes d>zu/ell54 ,9 d5 #c ,fll5 sei die ,v]jngung /ets #a_/ajj1 s da also e9 ,met] dur* e95 ,z5timet] d>ge/ellt wird4 ,f]n] nehm5 wir an1 da alle im ,bilde wi$]gegeb55 ,p]son5 #a1e ,met] gro sei51 also e9e mittl]e ,gre hab54 #a4 ,fall4 ,die ,aug5hhe sei #ge cm od] m2 es soll e9e ,p]son gezei*net w]d51 die si* 9 c' auf d] ,grundeb5e bef9det4 ,auf d] l9k5 ,seite gibt uns 9 ,figur #dd die ,/recke #j4a die ,d>/ellung e9es ,met]s2 nehm5 wir drei ,vi]tel dies] ,gre1 s i/ damit d] ,horizont hh gefund51 d] bei dies] ,annahme sehr ni$rig liegt4 ,e9e direkt an d] ,bildtafel /eh5de ,figur i/ #a m ho* zu zei*n51 sie i/ 9 ab ang$eutet1 und sie wird dur* d5 ,horizont halbi]t4 ,wir zieh5 dur* ,a na* a und b die ,tief5l9i54 ,um die 9 c' bef9dli*e ,p]son zu zei*n51 v]s*ieb5 wir sie p>allel d] ,bildeb5e1 also 9 d] glei*5 ,tiefe2 dabei bleibt na* ,satz #ah ihre ,gre ungend]t4 ,demgem zieh5 wir dur* c' die ,p>allele zur ,grundl9ie1 wel*e die ,l9ie ,aa 9 p' s*neidet4 ,die 9 p' bis zum ,s*nitt mit d] &]5 ,tief5l9ie ,ab erri*tete ,s5kre*te p'q' gibt die ,gre d] ,figur2 zieh5 wir dur* q' e9e ,p>allele zur ,grundl9ie1 s s*neidet sie die ,v]tikale dur* c' 9 d' und c'd' i/ die gesu*te ,hhe d] ,figur 9 c'4 ,illu/ration3 ,fig4 #dd4 ,i/ im ,punkte i' d] ,grundeb5e e9e weit]e ,figur zu zei*n51 s zieh5 wir c'i' und br+5 diese ,l9ie 9 f zum ,s*nitt mit dem ,horizont2 v]b9d5 wir f mit d'1 s ergibt die 9 i' erri*tete ,s5kre*te d5 ,punkt k'1 bis zu dem die ,figur rei*t4 ,d5n die ,l9i5 ci und dk s9d p>allele1 horizontale ,g]ade1 mss5 also ihr5 ,flu*tpunkt auf dem ,horizont hab54 ,man sieht lei*t e91 da alle ,figur5 dur* d5 ,horizont halbi]t w]d51 und da man allgeme9 sag5 kann3 ,satz #ba4 ,alle auf d] ,grundeb5e /eh5d5 ,figur5 w]d5 dur* d5 ,horizont im glei*5 ,v]hltnis geteilt4 #b4 ,fall4 ,die ,aug5hhe sei #b m2 es i/ e9e ,figur zu zei*n51 wel*e si* 9 c' auf e9] ,mau] bef9det4 ,illu/ration3 ,fig4 #de4 ,wir hab5 es unt] dies] ,voraussetzung mit e9em hoh5 ,horizont zu tun1 d] 9 d] ,mitte zwis*5 d5 ,ziff]n #b und #c v]luft 7,fig4 #de74 ,e9e ,p]son direkt im ,vord]grund hat wi$] e9e ,hhe ab1 wel*e #a m i/4 ,um die ,gre d] 9 c' bef9dli*5 ,figur zu be/imm51 v]s*aff5 wir uns die dur* c geh5de ,p>alleleb5e zur ,tafel1 da 9 dies] ganz5 ,eb5e die ,figur glei*gro i/4 ,wir zieh5 also dur* c' die ,p>allele zur ,grundl9ie1 geh5 dann an d] ,mau] s5kre*t h]unt] und wi$] p>allel zur ,grundl9ie weit]1 bis wir na* p' gelang54 ,die ,v]tikale 9 p' s*neidet aus d] ,l9ie ,c,a d5 ,punkt q' aus4 p'q' i/ wi$] die ,gre e9] m5s*li*5 ,figur 9 d] ,tiefe p'4 ,die ,figur 9 c' i/ ab] eb5sogro zu zei*n51 also mu c'd' p'q' se94 ,illu/ration3 ,fig4 #df4 ,br+5 wir die ,l9i5 ab und p'q' 9 t' und r' mit dem ,horizont zum ,s*nitt1 s i/ ab 3 at' p'q' 3 p'r' #c 3 #e4 ,es betrgt also die ,hhe j$] auf d] ,grundeb5e /eh5d5 ,figur d] ,hhe bis zum ,horizont4 ,dies i/ wi$]um d] vorige ,satz #ba4 ,wei man umgekehrt ni*t1 wie ho* d] ,horizont i/1 s kann man die ,aug5hhe ungefhr be/imm51 w5n e9e m5s*li*e ,figur ab unmittelb> im ,vord]grund gegeb5 i/4 ,s knnte man 9 uns]] ,figur #de dur* ,s*tzung od] ,abmessung f9d51 da die ,aug5hhe fnfmal s gro i/ als d] dritte ,teil von ab4 ,da fr ab mittl]e ,manne%he #a1ej m ang5omm5 w]d5 d>f1 s i/ d] dritte ,teil davon #ej cm1 und fr die ,aug5hhe at' ergibt si* als ,zahl5w]t #e #ej cm #b1ej m4 #c4 ,fall4 ,die ,aug5hhe sei #a1ej m2 man be/imme die ,gre e9] m5s*li*5 ,figur1 die si* 9 c' auf e9] ,mau] bef9det4 ,e9e unmittelb> im ,vord]grund bef9dli*e ,p]son ab rei*t jetzt g]ade bis an d5 ,horizont4 7,fig4 #df47 7,wollt5 wir uns no* g5au] ausdrck51 s knnt5 wir sag51 da d] ,horizont die ,aug5 all] auf d] ,grundeb5e /eh5d5 ,p]son5 en?alt5 msse47 ,9 d] ,figur s9d e9ige ,melatt5 gezei*net1 die s5kre*t auf d] ,grundeb5e /eh54 ,dann s*neidet d] ,horizont auf j$] ,latte #a1ej m ab4 ,s9d die ,latt5 9 halbe ,met] geteilt1 s geht er also imm] dur* das ,ende des dritt5 ,abs*nittes4 ,um die ,figur 9 c' zu zei*n51 leg5 wir wi$] dur* c die ,p>alleleb5e zur ,tafel1 also dur* c' die ,p>allele zur ,grundl9ie1 geh5 an d] ,mau] s5kre*t h]unt] und p>allel zu gg weit]1 s da wir na* p' gelang54 ,die 9 p' erri*tete ,s5kre*te s*neidet d5 ,horizont 9 q'4 ,die 9 c' bef9dli*e ,figur i/ also p'q' zu ma*51 s da ihre ,gre c'd' p'q'4 ,sie wird an d5 ,fen von d] ,mau]kante b]s*nitt54 ,w5n wir zu e9] ,ar*itektur e9e ,figur als ,/affage beifg51 s i/ damit die ,gre d] ,ar*itektur fe/gelegt4 ,zei*n5 wir die ,/affagefigur kle91 s nimmt die ,ar*itektur dadur* groe ,=m5 an und umgekehrt wird sie dur* e9e groe ,figur v]kle9]t4 #bf4 ,endli* woll5 wir no* e95 etwas komplizi]t]5 e9zeln5 ,geg5/& d>/ell5 9 ,aufgabe #ae4 ,e95 9 ,grund- und ,aufri gegeb55 ,pfeil] d>zu/ell51 w5n die ,vord]fl*e des ,sockels 9 d] ,bildeb5e liegt4 ,d] ,grundri ,p#a i/ 9 d] ,v]s*iebung gegeb5 7,fig4 #dg71 d] ,aufri ,p#b bef9det si* ni*t s5kre*t b] dem ,grundri1 sond]n er wurde na* l9ks h9ausges*ob51 um d5 ,platz fr die ,zei*nung frei zu lass54 ,von dem ,sockel liegt die ,fl*e #a #b #f #e 9 d] ,bildtafel4 ,wir b]trag5 zun*/ d5 ganz5 ,grundri 9 das ,bild und bau5 d>b] d5 ,krp] auf4 ,das ,bild #a #b #c' #d' des ,quadrates 7#a77b77c77d7 i/ s(ort zu zei*n51 da #d' s[ohl auf d] ,tief5l9ie #a4;,a als au* auf d] ,l9ie von #b na* dem ,di/anzpunkt ,d#a liegt4 ,wir zei*n5 weit] die beid5 inn]5 ,quadrate4 ,die ,bild] #i' und #ac' ergeb5 si*1 w5n man dur* 7#i7 und 7#ac7 die ,tief5l9i5 zieht4 ,auerdem lieg5 #i' und #ac' auf d] ,diagonale #a4c'4 ,d] ,sockel kann jetzt d>ge/ellt w]d52 die ,tief5l9i5 dur* #e und #f s*neid5 auf d5 ,v]tikal5 dur* #d' und #c' die ,punkte #h' und #g' aus4 ,um d5 ,s*aft des ,pfeil]s zu zei*n51 hab5 wir im ,punkte #i' e9e ,s5kre*te von gegeb5] ,lnge zu erri*t53 alle diese ,hh5 mess5 wir von d] ,grundeb5e aus4 ,na* ,aufgabe #aa v]b9d5 wir also #i' mit ,a und erhalt5 auf d] ,grundl9ie d5 ,hilfspunkt #aj2 dur* dies5 zieh5 wir e9e ,v]tikale und s*neid5 auf d]selb5 dur* die ,p>allele im ,aufri die anzutrag5de ,hhe #aj4aa ab4 ,dann s*neidet die ,l9ie von #aa na* ,a auf d] ,v]tikal5 dur* #i' das ,bild #ab' d] ob]5 ,ecke aus4 ,die drei brig5 ,eck5 des ,quadrates ergeb5 si* dur* ,p>allele und ,tief5l9i51 und eb5so lei*t i/ das auf d] ob]5 ,fl*e des ,sockels bef9dli*e ,quadrat e9zutrag52 se9e ,eck5 lieg5 auf d5 ,diagonal5 #e4g' und #f4h'4 ,illu/ration3 ,fig4 #dg4 ,nun i/ weit] im ,punkte #ac' die ,s5kre*te zu erri*t54 ,die ,tief5l9ie lief]t d5 ,hilfspunkt #ad und #ad4ae i/ die auf d] ,v]tikal5 anzutrag5de ,/recke4 ,s ergibt si* das ,bild #af' des vorletzt5 ,quadrates4 ,d] ,punkt #ag endli* lief]t 9 #ah' e9e ,ecke d] ,deckfl*e4 ,beide ,quadrate s9d lei*t zu v]voll/ndig54 ,d] ,punkt #ab' gibt mit #af' v]bund5 das ,bild des ,gehrungspr(iles4 ,v]s*afft man si* das ,bild #ai' des ,punktes #ai1 s kann man die ,kontrolle b5utz51 da die vi] ,l9i5 #af'4ab' usf4 dur* #ai' geh54 ,anm]kung4 ,/att die ,bildeb5e dur* die vord]e ,fl*e des ,sockels zu leg51 knnte man sie au* p>allel zu d]selb5 dur* die ,a*se des ,krp]s leg54 ,die ,s*nittfigur d] ,bildeb5e mit dem ,pfeil] /immt dann mit dem ,aufri ,p#b b]e94 ,es lt si* aus diesem ,s*nitt eb5falls das ,bild des ,pfeil]s lei*t h]/ell51 ohne da man ntig hat1 e9e ,v]s*iebung zu b5utz54 ,wir empfehl5 die ,ausfhrung dem ,les]4 ,aufgabe #af4 ,e95 9 ,grund- und ,aufri gegeb55 ,pfeil] d>zu/ell51 d] beliebig auf d] ,grundeb5e /eht1 w5n e9e ,kante des ,sockels 9 d] ,bildtafel liegt4 ,d] ,grundri ,p#a sei wi$] 9 d] ,v]s*iebung gegeb51 ,fig4 #dh1 d] ,aufri ,p#b i/ l9ks h9ausges*ob54 ,wie 9 ,aufgabe #i1 ,fig4 #bh1 zei*n5 wir zun*/ v]mittels d] ,umlegung ,d#c des ,auges die ,flu*tpunkte fa und fb d] beid5 ,ri*tung5 7,a7 und 7,b74 ,f]n] woll5 wir no* d5 ,flu*tpunkt d] ,diagonale #a4c kon/rui]51 d4 h4 wir zieh5 dur* ,d#c e9e ,p>allele zur ,v]b9dungsl9ie #a4c1 wel*e d5 ,horizont 9 ,dg trifft4 ,dies] ,flu*tpunkt ,dg heit au* d] ,diagonalpunkt und es i/ vielfa*1 z4 ,b4 bei ,gehrung51 ntzli*1 ihn e9zufhr54 ,zun*/ b]trag5 wir wi$] d5 ganz5 ,grundri 9 die ,p]spektive4 ,die dur* #a geh5de ,kante des ,sockels liegt 9 d] ,bildeb5e4 ,das ,bild des ,vi]ecks #a #b #c #d kann gezei*net w]d51 sobald von e9] weit]5 ,ecke das ,bild ermittelt i/4 ,wir b5utz5 etwa die ,spur #e d] ,v]b9dungsl9ie #b4c4 ,v]b9d5 wir #e mit fa1 s s*neidet diese ,l9ie auf d] ,l9ie #a4;fb das ,bild #b' aus4 ,die ,ecke #c' ab] wird erhalt5 als ,s*nittpunkt von #a4;,dg mit d] ,l9ie #e4;fa4 ,endli* gibt die ,l9ie fb4#c' 9 ihrem ,s*nitt mit fa4#a d5 ,punkt #d'4 ,9 hnli*] ,weise kann man die ,bild] d] beid5 inn]5 ,quadrate ermitteln4 ,um jetzt d5 ,krp] d] ,hhe na* aufzubau51 be/imm5 wir auf d] ,v]tikal5 dur* #a ohne weit]es die ,ecke #f1 da die ,lnge #a4f im ,aufri ja gegeb54 ,die drei &]5 ,eck5 d] ,deckfl*e des ,sockels s9d auf d5 ,v]tikal5 dur* #b'1 #c' und #d' ohne ,s*wi]igkeit zu f9d54 ,die brig5 ,hh5abmessung5 knn5 wir unt] ,b5utzung d] ,v]tikal5 #a4f und des ,diagonalpunktes ,dg gew9n51 da do* alle dur* ,dg geh5d5 ,l9i5 die ,bild] horizontal] ,g]ad5 s9d1 wel*e zur ,diagonale #a4c p>allel lauf54 ,infolg$ess5 lief]n die ,hilfspunkte #g1 #i1 #aa aus ,dg projizi]t auf d5 betreff5d5 ,v]tikal5 die ,punkte #h'1 #aj'1 #ab'4 ,die fehl5d5 ,eck5 ergeb5 si* dur* ,b5utzung d] ,flu*tpunkte fa und fb4 ,die vi] s*ief5 ,l9i5 d] ,gehrung geh5 dur* d5 ,punkt #ad'1 auf d] ,a*se des ,krp]s2 zu diesem ,punkt #ad' gelangt man vom ,hilfspunkt #ac aus4 ,illu/ration3 ,fig4 #dh4 ,au* 9 diesem ,falle wre es e9e gute bung1 d5 ,krp] d>zu/ell5 unt] d] ,annahme1 da die ,bildeb5e p>allel zu d] eb5 b5utzt5 dur* die ,a*se des ,pfeil]s gelegt wird4 ,die ,figur5 #dg und #dh geb5 zwei *>akt]i/is*e ,=m5 p]spektivis*] ,bild]4 ,9 ,fig4 #dg /eht d] ,krp] s zur ,bildtafel1 da e9 ,teil se9] ,kant5 und ,fl*5 zur ,bildeb5e p>allel1 d] &]e ,teil d] ,kant5 und ,fl*5 zur ,bildeb5e s5kre*t v]luft4 ,im ,bilde selb/ tret5 als wi*tig/e ,l9i5 die ,horizontal5 und die ,tief5l9i5 auf4 ,man sagt1 d] ,krp] bef9de si* 9 ,front/ellung od] frontal und n5nt die ,d>/ellung e9e ,frontansi*t od] 7w5ig] gut7 e9e g]ade ,ansi*t4 ,im zweit5 ,falle1 d] ,fig4 #dh1 s9d die ,kant5 und ,fl*5 des ,krp]s geg5 die ,bildeb5e s*rg ge/ellt2 d] ,krp] bef9det si* 9 b]eck/ellung1 und man n5nt das ,bild e9e s*rge ,ansi*t4 ,die ,bild] d] er/5 ,art 7,fig4 #dg7 zeig5 weg5 d] auftret5d5 ,p>allel5 e9e gewisse ,e9frmigkeit1 whr5d bei d5 ,bild]n d] zweit5 ,art 7,fig4 #dh7 die zwei ,flu*tpunkte e9e rei*]e ,bewegung d] ,l9i5 bewirk54 #i4 ,s*iefe ,l9i5 im ,raume4 #bg4 ,/eig5de und fall5de ,g]ade im ,raume4 ,bi%] hab5 wir nur ,g]ade betra*tet1 wel*e entw$] p>allel od] s5kre*t zur ,grundeb5e w>51 also horizontale od] v]tikale ,l9i54 ,geleg5tli* komm5 ab] do* au* ,g]ade vor1 die ganz beliebig im ,raume v]lauf51 z4 ,b4 die ,giebell9i5 e9es ,da*es od] e9] ,f5/]b$a*ung1 die ,/eigungsl9i5 e9] ,treppe od] e9] an/eig5d5 ,/rae4 ,sol*e ,l9i5 woll5 wir als s*iefe ,g]ade bezei*n54 ,i/ e9e ganz beliebige ,g]ade ,a gegeb51 ,fig4 #di1 s d5k5 wir uns dur* ,a die zur ,grundeb5e lotre*te ,eb5e gelegt1 wel*e aus d] ,grundeb5e d5 re*tw9klig5 ,ri ,a#a auss*neidet4 ,sie i/ 9 d] ,figur v]tikal s*raffi]t4 s sei die ,spur d] ,g]ad5 ,a4 ,dur* s zieh5 wir 9 dies] s*raffi]t5 ,eb5e e9e ,p>allele ,x zu ,a#a4 ,die ,g]ade ,a bildet dann mit ,x e95 ,w9kel 1 d] si* von ,x na* aufwrts er/reckt4 ,von d] ,g]ad5 ,a sag5 wir nun1 sie /eige im ,raume4 ,dabei betra*t5 wir d5j5ig5 ,abs*nitt d] ,g]ad5 ,a1 d] vom ,auge ,o ausg]e*net h9t] d] ,bildtafel liegt und dur*lauf5 ihn1 indem wir 9 d] ,spur s beg9n54 ,illu/ration3 ,fig4 #di4 ,d5 ,flu*tpunkt fa d] ,g]ad5 ,a f9d5 wir dadur*1 da wir dur* das ,auge ,o e9e ,p>allele zu ,a zieh5 und diese mit d] ,tafel zum ,s*nitt br+52 es i/ also ,(a ,a4 ,wir leg5 au* dur* die ,g]ade ,(a e9e lotre*te ,eb5e1 wel*e 9 d] ,figur eb5falls v]tikal s*raffi]t i/4 ,aus e9fa*5 ,stz5 folgt1 da diese beid5 s*raffi]t5 ,eb55 p>allel s9d4 ,die dur* die ,g]ade ,(a gelegte ,v]tikaleb5e mge d5 ,horizont 9 f1 die ,grundl9ie 9 f#a s*neid51 s da die ,punkte fa1 f1 f#a auf d] v]tikal5 ,s*nittl9ie dies] ,eb5e mit d] ,tafel geleg5 s9d4 ,dann tritt d] ,w9kel no*mals auf1 9 dem au* f,ofa und man erk5nt1 da d] ,flu*tpunkt fa ob]halb des ,horizontes geleg5 i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #ej4 ,nehm5 wir jetzt e9e zweite ,g]ade ,b dazu1 die ab] 9 d] glei*5 ,v]tikaleb5e lieg5 und auerdem au* dur* s geh5 soll4 ,dageg5 mge diese zweite ,g]ade e95 ,w9kel mit ,x bild51 d] na* abwrts geht4 ,diese ,g]ade ,b fllt dann4 ,kon/rui]5 wir ihr5 ,flu*tpunkt1 s mss5 wir dur* ,o e9e ,p>allele zu ,b kon/rui]54 ,diese ,p>allele liegt ab] 9 d] zweit51 s*raffi]t5 ,v]tikaleb5e1 d4 h4 fb mu auf d] ,l9ie ff#a geleg5 se94 ,es i/ wi$] f,ofb und d] ,flu*tpunkt fb bef9det si* unt]halb des ,horizontes hh4 ,diese e9fa*5 b]legung5 geb5 uns d5 praktis* w]tvoll5 ,satz #bb4 ,g]ade1 wel*e im ,raume /eig51 hab5 e95 ,flu*tpunkt ob]halb des ,horizontes2 fllt e9e ,g]ade im ,raume1 s liegt ihr ,flu*tpunkt unt] dem ,horizont4 ,illu/ration3 ,fig4 #ej a4 ,man bea*te1 wie die horizontal5 ,g]ad5 d5 b]gang von d5 /eig5d5 zu d5 fall5d5 ,g]ad5 bild5 und desweg5 ihre ,flu*tpunkte auf dem ,horizonte hab54 ,um das glei* an e9em ,beispiel zu v]ans*auli*51 i/ 9 ,fig4 #ej e9e ,brcke skizzi]t4 ,d] mittl]e ,teil d]selb5 luft horizontal entspre*5d dem ,flu*tpunkt f1 d] vord]e ,teil d] ,brcke /eigt geg5 d5 ,flu*tpunkt fa an1 d] rckwrtige fllt na* dem ,flu*tpunkt fb4 ,aus d] ,figur #dg entnehm5 wir no* weit] folg5des3 die beid5 p>allel51 s*raffi]t5 ,eb55 w]d5 von d] ,grundeb5e ges*nitt51 also i/ ,o#a;f#a ,a#a4 ,&]]seits i/ ab] au* ,o#a;f#a ,(4 ,d>aus folgt1 da ,( ,a#a od] mit &]5 ,wort53 f i/ d] ,flu*tpunkt fr d5 ,ri ,a#a d] ,g]ad5 ,a4 ,damit hat si* ergeb53 ,satz #bc4 ,projizi]t man d5 ,flu*tpunkt e9] s*ief5 ,g]ad5 auf d5 ,horizont1 s i/ dies] ,punkt d] ,flu*tpunkt fr die ,projektion d] ,g]ad5 9 die ,grundeb5e4 ,das wurde 9 d] ,figur #ej au* b]cksi*tigt1 indem die #c ,punkte fa1 fb1 f e9] ,v]tikal5 lieg54 ,im besond]5 kann e9e ,g]ade ,c 9 e9] ,v]tikal5 ,tief5eb5e lieg5 7,fig4 #ea74 ,dann wird die ,loteb5e1 wel*e d5 ,ri ,c#a lief]t1 e9e ,tief5eb5e und d] ,ri ,c#a e9e ,tief5l9ie4 ,uns]e ,betra*tung zeigt ohne weit]es1 da d] ,flu*tpunkt fc e9] sol*5 s*ief5 ,g]ad5 ,c auf d] ,v]tikal5 dur* d5 ,augpunkt lieg5 mu4 ,die beid5 p>allel5 ,eb55 s9d 9 d] ,fig4 #ea wi$] s*raffi]t2 man mag si* d>unt] ,tr5 d5k51 die im vorlieg5d5 ,falle unt] #ij geg5 die ,w&fl*e g5eigt s9d1 whr5d sie si* 9 ,fig4 #di w5ig] weit ffn54 ,es folgt also ,satz #bd4 ,liegt e9e s*iefe ,g]ade 9 e9] v]tikal5 ,tief5eb5e1 s mu ihr ,flu*tpunkt auf e9] ,v]tikal5 dur* d5 ,augpunkt geleg5 se94 ,fig4 #ej gibt 9 dem ,gebude l9ks e9 ,beispiel4 ,die ,w& des ,hauses1 9 wel*] si* die ,tre bef9det1 i/ e9e ,tief5eb5e4 ,die ,giebell9i5 lauf5 desweg5 na* d5 ,flu*tpunkt5 ,fa und ,fb1 die auf d] ,s5kre*t5 im ,augpunkt ,a lieg54 ,au* die ,l9i5 des ,trgiebels hab5 diese ,eig5s*aft4 ,illu/ration3 ,fig4 #ea4 ,aus d] ,fig4 #di zieh5 wir endli* no* e9e ,folg]ung4 ,w5n die beid5 ,g]ad5 ,a und ,b glei* g5eigt s9d geg5 die ,g]ade ,x od]1 0 das glei*e i/1 geg5 die ,grundeb5e1 w5n also 1 s ergibt si* aus d5 ,dreieck5 ,(fa und ,(fb s(ort1 da dann au* ffa ffb od] ,satz #be4 ,s9d s*iefe ,g]ade im ,raume glei* g5eigt geg5 die ,grundeb5e1 s lieg5 ihre ,flu*tpunkte glei* weit vom ,horizont entf]nt4 ,illu/ration3 ,fig4 #eb4 ,9 ,fig4 #ej i/ also ,a,fa ,a,fb1 weil die beid5 ,seit5 des ,da*es do* glei*e ,w9kel mit d] ,grundeb5e e9s*lieen1 und da au* re*ts ffa ffb1 s hat die ,brcke zu beid5 ,seit5 d] horizontal5 ,/recke die glei*e ,/eigung4 ,zusatz4 ,wir fg5 hi] e9e vielb5utzte ,kon/ruktion an4 ,d5k5 wir uns die wahre ,ge/alt #a #b #c #d #e d] ,seit5w& #a'b'c'd'e' 9 ,fig4 #ej a h]ausgezei*net und kon/rui]5 wir d5 ,s*nittpunkt #f d] ,diagonal5 #b4d und #a4c1 s hat die ,figur die ,eig5s*aft51 da die ,v]b9dungsl9ie #e4f p>allel zu #a4d und #b4c i/ und da sie die ,seit5 #a4b und #c4d 9 #g und #h halbi]t4 ,9 d] p]spektivis*5 ,zei*nung lt si* #f' s(ort angeb52 #e' liegt also auf d] ,v]tikal5 dur* #f'1 0 e9e ,kontrolle gibt und diese ,v]tikale s*neidet weit] die ,bild] #h' und #g' d] ,mitt5 von #a4b und #c4d aus4 ,i/ also z4 ,b4 die gegeb5e ,/recke #a'4b' zu halbi]51 s hat man nur ntig1 irg5de9 sol*es v]tikales ,re*teck zu zei*n54 ,aufgabe #ag4 ,e9e ,freitreppe d>zu/ell51 w5n die ,wang5 9 ,tief5eb55 geleg5 s9d4 ,das ,v]hltnis d] ,hhe d] ,/ufe zur ,breite sei 4 ,das ,pr(il d] ,treppe i/ 9 ,fig4 #eb unt5 angegeb54 ,die ,/rke d] ,trepp5wange und die ,breite d] ,treppe w]d5 beliebig ang5omm54 ,die ,begr5zungsl9ie ,a d] ,wange und die ,l9i5 ,b und ,c1 wel*e die ,/uf5 be/imm51 bild5 drei p>allele ,l9i54 ,i/ fc d] ,flu*tpunkt fr diese ,l9i51 s liegt na* ,satz #bd fc auf e9] ,s5kre*t5 dur* ,a und es mu au* 7,fig4 #ea7 ,afc ,o,a se94 ,demgem ma*5 wir 9 ,fig4 #eb die 9 ,a erri*tete ,s5kre*te ,afc d] halb5 ,di/anz ,,ad#a_/b4 ,im ,punkte #j d] ,grundl9ie trag5 wir die ,vord]fl*e d] ,wange an und zieh5 dur* die beid5 ob]5 ,eck5 die ,l9i5 na* fc4 ,auf d] ,tief5l9ie von #j na* ,a hat man jetzt d5 ,tief5ma/ab anzutrag51 d] 9 dem ,trepp5pr(il gegeb5 i/4 ,wir trag5 na* ,aufg4 #e d5 ,ma/ab auf d] ,grundl9ie an und projizi]5 ihn aus ,d#a auf die ,tief5l9ie4 ,s erhlt man die ,bild] #a'1 #b'1 #c'1 #d' usf4 ,9 dies5 ,punkt5 s9d jetzt na* ,aufg4 #aa ,hh5 zu erri*t51 die bzw4 e9e1 zwei1 drei ,/uf5hh5 betrag54 ,wir trag5 desweg5 auf d] dur* #j geh5d5 ,v]tikal5 e95 ,ma/ab mit e9] ,e9heit glei* e9] ,/uf5hhe ab2 dann lief]t die ,tief5l9ie #a4;,a auf d] dur* #a' geh5d5 ,s5kre*t5 d5 ,punkt ,i'1 die dur* #b geh5de ,tief5l9ie #b4;,a s*neidet auf d] dur* #b' gezog55 ,v]tikal5 d5 ,punkt ,,ii' aus usf4 ,e9e ,kontrolle be/eht d>91 da alle ,punkte ,i'1 ,,ii'1 ,,iii' 444 auf e9] ,g]ad5 ,b' lieg5 mss51 die dur* fc geht4 ,glei*zeitig erhlt man die auf ,c' geleg55 ,eckpunkte d] unt]5 ,trepp5kant54 ,nun kann man ohne weit]es dur* diese ,punkte die ,horizontal5 zei*n5 bis zur re*t5 ,trepp5wange4 ,man bea*te1 da man auf diej5ig5 ,trepp5/uf51 die unt] dem ,horizont lieg51 ,aufsi*t hat1 auf die b] dem ,horizont bef9dli*5 ,/uf5 dageg5 ,unt]si*t4 ,9 uns]] ,figur i/1 um ,raum zu sp>51 die ,di/anz etwas kle9 ang5omm52 man whle sie grer1 wodur* das ,bild gew9n5 wird4 ,illu/ration3 ,fig4 #ec4 ,es i/ au* ni*t un9t]essant zu bem]k51 da ,l9i51 wel*e im ,raume /eig5 od] fall51 im ,bilde dur*aus ni*t zu /eig5 od] zu fall5 brau*54 ,das kann man an ,fig4 #ec beoba*t54 ,die ,flu*tpunkte des ,giebels s9d fa und fb1 ab] die ,l9ie x'y' fllt im ,bilde1 9 d] ,ri*tung geg5 d5 ,flu*tpunkt dur*lauf51 whr5d die ,g]ade xy selb/ im ,raume (f5b> /eigt4 #aj4 ,d] photographis*e ,app>at4 #bh4 ,die ,ent/ehung des photographis*5 ,bildes4 ,wie allgeme9 v]breitet die p]spektivis*5 ,bild] s9d und wel*e ,b$eutung ihn5 fr die ,v]s9nli*ung d] uns umgeb5d5 ,welt zukommt1 kann dur* ni*ts /rk] zum ,bewutse9 gebra*t w]d5 als dur* die ,tatsa*e1 da j$e ,photographie e9 p]spektivis*es ,bild i/4 ,indem wir h9si*tli* d] ,e9ri*tung e9es photographis*5 ,app>ates und d] ,wirkung des ,objektives auf &]e ,d>/ellung5 v]weis5#d1 bem]k5 wir nur1 da wir uns die ,ent/ehung des ,bildes auf d] ,matts*eibe fr uns]e ,zwecke h9rei*5d g5au 9 folg5d] ,weise d5k5 knn54 #d ,otto ,prel+]1 ,die ,photographie 7,a,nu,g ,bd4 #dad74 #aiad4 ,moritz von ,rohr1 ,die optis*5 ,in/rum5te 7,a,nu,g ,bd4 #hh74 #aijf4 ,illu/ration3 ,fig4 #ed4 ,die ,begr5zungsfl*5 d] ,l9s5 des ,objektives s9d ,auss*nitte aus ,kugelfl*5 und die ,mittelpunkte all] dies] ,kugeln lieg5 auf e9] ,g]ad51 d] optis*5 ,a*se des ,l9s5sy/ems4 ,das photographis*e ,bild ent/eht nun dur* e9e ,z5tralprojektion1 die aus e9em ,punkte ,o erfolgt 7,fig4 #ed71 d] auf d] ,a*se des ,l9s5sy/ems liegt1 und zw> ang5h]t 9 d] ,mitte zwis*5 d5 ,punkt51 9 d55 die ,a*se die vord]/e und h9t]/e ,l9s5fl*e s*neidet4 ,dies] ,punkt heit wohl au* d] ,mittelpunkt des ,objektives4 ,illu/ration3 ,fig4 #ed a4 ,wie v]hlt es si* ab] weit] mit d] ,bildeb5e8 ,die ,haupteig5s*aft des ,l9s5sy/ems i/ die1 da j$e auf d] optis*5 ,a*se s5kre*te ,eb5e wi$] 9 e9e auf d] ,a*se s5kre*te ,eb5e abgebildet wird4 ,photographi]t man also z4 ,b4 e9 ,gemlde od] e9e ,k>te1 s i/ die ,matts*eibe an die ,/elle d] entspre*5d5 ,eb5e zu br+54 ,alle ,punkte des ,gemldes s9d dann s*>f e+e/ellt4 ,weit] kann uns] ,auge die ,uns*rfe er/ von e9em gewiss5 ,grade an erk5n54 ,das hat zur ,folge1 da ni*t nur ,punkte d] betreff5d5 ,eb5e1 sond]n e9e ganze ,s*i*t vor und h9t] ihr geleg5] ,punkte eb5falls s*>f ers*e954 ,es wird folgli* e9 ganzes ,/ck des ,raumes brau*b> abgebildet4 ,am wi*tig/5 wird diese ,eig5s*aft1 w5n wir auf e95 weit entf]nt5 ,geg5/&1 z4 ,b4 e95 ,kir*turm1 e9/ell54 ,dann hat die ,matts*eibe des ,objektives e9e gewisse ,entf]nung vom ,mittelpunkt des ,objektives1 die man die ,br5nweite n5nt4 ,es ers*e9t nun ab] ni*t nur d] ,kir*turm s*>f auf d] ,matts*eibe1 sond]n e9 groer ,teil des ,raumes bis zu e9] be/immt5 ,entf]nung vom ,objektiv lief]t e9 s*>fes ,bild4 ,nimmt man also e9e ,l&s*aft od] e9e ,ar*itektur auf1 s g5gt diese ,e9/ellung fr das ganze ,objekt4 ,man sagt1 es sei auf ,un5dli* e+e/ellt und bei man*5 ,app>at5 i/ die ,matts*eibe b]haupt 9 dies] ,/ellung fixi]t4 ,s9d beispielsweise ab und cd zwei p>allele1 ziemli* entf]nte v]tikale ,g]ade 7,fig4 #ed7 und i/ auf ,un5dli* e+e/ellt1 s ergeb5 si* die ,bild] von ab und cd1 indem man dur* d5 ,mittelpunkt ,o des ,objektives die ,/rahl5 kon/rui]t und diese mit d] ,matts*eibe zum ,s*nitt br+t4 ,es ent/eh5 die ,bild] a'b' und c'd'4 7,e9 ,unt]s*i$ geg5b] uns]] p]spektivis*5 ,abbildung be/eht nur d>91 da wie beim ,vorgang des ,seh5s das ,projektions-,z5trum zwis*5 ,geg5/& und ,bildtafel geleg5 i/4 ,desweg5 ers*e9t das ,bild auf d] ,matts*eibe v]kehrt3 es i/ ob5 und unt51 re*ts und l9ks v]taus*t4 ,man kann si* brig5s e9e ,eb5e d5k51 wel*e zwis*5 dem ,mittelpunkt und dem ,geg5/& p>allel zur ,matts*eibe v]luft und eb5so weit vom ,mittelpunkt entf]nt i/ als die ,matts*eibe4 ,diese ,eb5e wrde aus dem ,bndel d] projizi]5d5 ,/rahl5 das aufre*te ,bild des ,geg5/&es auss*neid54 ,demna* mss5 ,photographi5 alle ,eig5s*aft5 p]spektivis*] ,bild] zeig5 und man mag an d] ,abb4 #g 7,s4 #gj7 die ,v]krzung51 d5 ,v]lauf horizontal] ,g]ad5 und d5 ,flu*tpunktsatz v]folg54 ,speziell aus dem letzt]5 woll5 wir no* e9e ,folg]ung ableit54 ,illu/ration3 ,abb4 #f4 #bi4 ,/rz5de ,l9i54 ,nehm5 wir an1 da ab und cd zwei v]tikale ,g]ade 7,fig4 #ed7 und i/ die ,matts*eibe eb5falls g5au v]tikal ge/ellt1 s s9d ab und cd p>allel zur ,bildeb5e1 also mss5 na* ,satz #aj ihre ,bild] a'b' und c'd' au* p>allel se9 7,fig4 #ed re*ts74 ,9 d] ,tat ers*e95 9 d] ,abb4 #g alle v]tikal5 ,g]ad5 v]tikal4 ,d5k5 wir uns ab]1 da ab und cd etwa zwei 9 ziemli*] ,hhe z4 ,b4 an e9em ,giebel bef9dli*e ,l9i5 sei5 und d] ,photograph wrde1 um sie auf die ,matts*eibe zu bekomm51 d5 ,app>at 9 die ,hhe dreh51 wie es ,fig4 #ed a &eutet4 ,jetzt s9d die p>allel5 ,g]ad5 ab und cd ni*t mehr p>allel zur ,bildeb5e4 ,ihre ,bild] w]d5 also au* ni*t mehr p>allel1 sond]n sie konv]gi]5 na* e9em ,flu*tpunkt f1 d] unt]halb 9 d] erweit]t5 ,eb5e d] ,matts*eibe liegt4 ,das ,bild d] ,g]ad5 zeigt ,fig4 #ed a re*ts4 ,das ,siege/or 9 ,mn*5 wurde 9 dies] ,weise mit ge/rztem ,app>at photographi]t 7,abb4 #f74 ,natrli* liegt d] ,flu*tpunkt jetzt ob51 da wir das ,bild do* umkehr5 ,ab] au* aus ,v]seh5 od] aus ,una*tsamkeit knn5 si* nam5tli* beim ,gebrau* e9] ,h&kam]a sol*e /rz5de ,l9i5 e9/ell54 ,wrde man1 um von e9em hoh5 ,/&punkt 9 die ,tiefe zu photographi]51 d5 ,app>at na* unt5 neig51 s lge d] ,flu*tpunkt d] ,v]tikal5 im ,bilde unt5 und die ,gebude fiel5 auf d5 ,bes*au] zu4 ,man kann brig5s au* bei ge/rztem ,app>at v]tikale ,l9i5 wi$] p>allel und v]tikal erhalt51 w5n man die ,matts*eibe um m s lange dreht 7,fig4 #ed a71 bis sie 9 d] ,/ellung mp wi$] v]tikal /eht4 ,dann mu man all]d+s neu e9/ell54 ,aus diesem ,grunde i/ bei man*51 bess]5 ,app>at5 die ,mgli*keit gegeb51 die ,matts*eibe zu dreh54 ,endli* wird man no* die ,frage /ell5 knn53 ,aus wel*em ,punkte mu d5n e9e ,photographie1 die do* e9 p]spektivis*es ,bild i/1 betra*tet w]d58 ,wir woll5 uns auf d5 ,fall bes*rnk51 da e9 ziemli* entf]ntes ,objekt1 e9e ,l&s*aft od] e9e ,ar*itektur1 mit d] ,e9/ellung auf ,un5dli* aufg5omm5 word5 sei4 ,dann i/ e9e sol*e ,photographie (f5b> aus e9] ,entf]nung zu betra*t51 die glei* d] ,br5nweite i/4 ,es tritt also 9 diesem ,falle als ,di/anz die ,br5nweite e94 #aa4 ,die ,wahl d] ,di/anz4 #cj4 ,gre d] ,di/anz4 ,e9 ,geg5/& sei 9 se9] ,lage geg5 die ,bildeb5e gegeb51 f]n] mge die ,tafel dur* d5 ,bildauss*nitt1 etwa dur* e9 ,re*teck abcd ,fig4 #ee1 begr5zt se94 ,dann kann man no* sehr v]s*i$5e ,bild] dieses ,geg5/&es erhalt51 indem man die ,di/anz und die ,aug5hhe v]s*i$5 whlt4 ,d] ,augpunkt soll dabei imm] 9 d] ,mittell9ie des ,bildes ang5omm5 w]d54 ,als ,geg5/& bild5 wir e95 re*tw9klig begr5zt5 ,raum ab mit e9em quadratis* getfelt5 ,fubod5 und e9em ,wrfel1 d] si* b] e9em ,quadrate des ,fubod5s erhebt4 ,wir whl5 zun*/ die ,di/anz ,,ad#a kle91 nmli* no* kle9] als die kle9]e ,seite des ,bildre*tecks1 und zei*n5 die ,d>/ellung 9 ,fig4 #ee fr e9e mittl]e1 9 ,fig4 #ef fr e9e groe ,aug5hhe4 ,man erk5nt1 da 9 beid5 ,fll51 nam5tli* ab] bei dem hoh5 ,horizont1 die ,bod5fl*e s />k /eigt1 da d>auf bef9dli*e ,figur5 frmli* h]unt]zuruts*5 s*e951 und da si* uns*ne ,v]krzung5 ergeb54 ,die ,abb4 #c 7,s4 #cj7 zeigt uns e9 sol*es ,int]ieur mit sehr hohem ,horizont1 d] etwa 9 #h_/aa d] ,bildhhe v]luft4 ,dageg5 kann fr die ,d>/ellung e9] ,/adt od] e9es ganz5 ,l&es re*t gut e9e ,p]spektive mit sehr hohem ,horizont v]w5det w]d54 ,e9 sol*es ,bild n5nt man dann e9e ,vogelp]spektive4 ,illu/ration3 ,fig4 #ee4 ,illu/ration3 ,fig4 #ef4 ,illu/ration3 ,fig4 #eg4 ,9 d5 ,figur5 #eg und #eh wurde die ,di/anz grer ang5omm51 nmli* #amal s gro als die grere ,seite des ,bildauss*nittes4 ,endli* gibt ,fig4 #ei e9e ,d>/ellung1 9 d] die ,di/anz #cmal s gro gewhlt i/ als die grere ,seite ab des ,bildes4 ,man bem]kt1 wie 9 diesem ,falle die ,bod5fl*e und die ,wnde s*on sehr zusamm5s*rumpf54 ,je grer man die ,di/anz whl5 wrde1 um s mehr wrde si* das ,bild e9] ,or?ogonalprojektion nh]n4 ,es v]wis*5 si* ab] dann die eig5tli*51 p]spektivis*5 ,eig5s*aft5 des ,bildes mehr und mehr4 ,v]glei*t man die fnf ,figur51 s ergibt si*1 da man ,fig4 #ef und ,fig4 #eh wohl als die s*n/5 und /hetis* brau*b>/5 ,bild] bezei*n5 mu4 ,illu/ration3 ,fig4 #eh4 ,wir br+5 dies weit] 9 ,zusamm5hang mit folg5d] ,tatsa*e3 w5n wir irg5de9 greres ,objekt1 sei es nun e9 rumli*] ,geg5/& od] e9 ,bild1 als ,ganzes betra*t5 woll51 s tret5 wir s weit von dem ,objekt zurck1 da wir dasselbe ohne ,bewegung5 des ,kopfes b]seh5 knn54 ,dann er/ hab5 wir e95 ,gesamte9druck4 ,je grer d] ,geg5/& i/1 um s weit] entf]nt whl5 wir uns]5 ,/&punkt4 ,(f5b> beh]rs*t uns] ,auge nur e95 ,kegel von ganz be/immt] ffnung und wir ri*t5 uns]e ,/ellung dem ,objekt geg5b] s e91 da das ,objekt ganz 9 dies5 ,kegel h9e9fllt4 ,illu/ration3 ,fig4 #ei4 ,auf diese ,weise erk5nt man1 da die ,di/anz ni*t vllig willkrli* gewhlt w]d5 d>f4 ,i/ sie zu gro1 s v]li]t das ,bild die *>akt]i/is*51 p]spektivis*5 ,wirkung52 i/ sie zu kle91 s ergeb5 si* b]trieb5e ,v]krzung54 ,aus d] ,praxis h]aus hat si* folg5de ,regel ausgebildet3 ,man whle die ,di/anz #amal bis #bmal s gro als die grere ,seite des ,bildre*teckes4 ,9 betreff d] mit kle9] ,di/anz gezei*net5 ,bild] i/ au* no* d>an zu er9n]n1 da das normale1 ni*t kurzsi*tige ,auge auf ,geg5/nde1 die nh] als etwa #be cm am ,auge lieg51 ni*t mehr akkommodi]5 kann1 das heit es kann sol*e ,objekte ni*t mehr s*>f seh54 ,au* aus diesem ,grunde s9d demna* allzu kle9e ,di/anz5 zu v]meid54 ,illu/ration3 ,fig4 #fj4 ,illu/ration3 ,abb4 #g4 #ca4 ,wirkung e9] zu kle95 ,di/anz1 das ,int]ieur4 ,es liegt weit] nahe1 da man e9e fr e9e kle9e ,di/anz angef]tigte ,zei*nung aus e9] ,entf]nung betra*tet1 die grer i/ als die ,di/anz4 ,dann tret5 b]trieb5e ,tief5wirkung5 auf4 ,9 d] ,tat d5k5 wir uns e95 ,wrfel1 d] mit d] ,fl*e 9 d] ,bildtafel liegt4 ,das ,auge bef9de si* 9 d] ,erweit]ung d] unt]5 ,wrfelfl*e4 ,fig4 #fj 7l9ks7 /ellt d5 ,s*nitt mit e9] ,eb5e d>1 die dur* das ,auge s5kre*t zur ,bildeb5e geht4 ,das ,bild des ,wrfels wird dann dur* a1 b1 c' ang$eutet4 ,i/ nun umgekehrt das ,bild a1 b1 c' gegeb51 s i/ vorauszus*ick51 da natrli* dur* e9 ,bild d] ,krp] ni*t be/immt se9 kann4 ,w5n wir ab] z4 ,b4 no* wiss5 od] /ills*weig5d annehm51 da es si* um e95 re*tw9klig begr5zt5 ,krp] h&elt1 s knn5 wir aus dem e95 ,bild d5 ,krp] rekon/rui]54 ,illu/ration3 ,abb4 #h4 ,es mge nun das ,bild a1 b1 c' aus e9em ,punkte ,o#a betra*tet w]d5 7,fig4 #fj re*ts71 d] weit] von d] ,bildeb5e entf]nt liegt als ,o4 ,d] zum ,punkte c' gehrige ,raumpunkt c liegt dann e9]seits auf d] ,l9ie ,o#a;c'1 &]]seits ab] weg5 d] re*tw9klig5 ,natur des ,krp]s auf d] ,s5kre*t5 9 b zur ,bildeb5e4 ,/att des ,wrfels erhalt5 wir e95 viel lng]51 re*teckig5 ,quad] abcd4 ,es s*e9t also d] ,krp] viel tief] zu se91 als er wirkli* i/4 ,illu/ration3 ,abb4 #i4 ,diese unnatrli*e ,v]tiefung 7,tunnelp]spektive7 kann man z4 ,b4 an photographis*5 ,bild]n beoba*t51 die mit ,objektiv5 von kle9] ,br5nweite h]ge/ellt w]d51 weil sol*e ,d>/ellung5 eb5 mei/5s aus e9] zu groen ,entf]nung betra*tet w]d54 ,s ers*e9t 9 ,abb4 #g 7,s4 #gj7 das ,gebude viel lng] als 9 ,wirkli*keit4 ,e9 e9fa*es ,mittel1 von sol*5 ,photographi5 e9 ri*tiges ,bild zu bekomm51 be/eht d>91 da man sie dur* e9 ,v]grerungsglas betra*tet4 ,dann wird mit dem ,bilde au* die ,di/anz v]grert1 und man gew9nt eh] die ri*tige ,entf]nung fr das ,auge4 ,e9e ganz entspre*5de ,v]krzung des ,objektes d] ,tiefe na* tritt e91 w5n man unt] d] glei*5 ,annahme wie ob5 e9 p]spektivis*es ,bild aus e9] zu kle95 ,di/anz betra*tet4 ,e9e kle9e ,di/anz bevorzugt man bei d] ,d>/ellung e9es ,inn5raumes1 also beim ,int]ieur1 weil dadur* die ,vor/ellung erweckt wird1 da d] ,bes*au] si* no* im ,inn]n des betreff5d5 ,raumes bef9det4 ,prft man beispielsweise 9 dem ,fresko von ,raffael 7#adhe--aebj71 die ,s*ule von ,a!n 7,abb4 #h1 ,s4 #ga71 das die e9e ,w& d] cam]a della segnatura im ,vatikan 9 ,rom e9nimmt1 auf ,grund e9] groen ,photographie die p]spektivis*e ,kon/ruktion1 s /immt diese all]d+s ni*t voll/ndig g5au4 ,als mittl]] ,w]t ergibt si* ab] fr die ,di/anz1 da sie etwas grer i/ als die ,breite des ,bildes 7ungefhr #a d] ,bildbreite74 ,man bea*te ab]1 wel*e unv]glei*li* groartige ,raumwirkung d] ,kn/l] dur* d5 ,kuppelraum mit d5 beid5 ,s*iff5 und die ,vord]grundssz5e erzielt4 ,kle9] als die grere ,seite des ,bildauss*nittes wird man ab] die ,di/anz ni*t whl54 ,illu/ration3 ,fig4 #fa4 ,au* bei man*5 ,hollnd]n des #ag4 ,jahrhund]ts1 z4 ,b4 bei van d] ,me] van ,delft 7#afcb--afge71 f9d5 wir ,int]ieurs mit kle9] ,di/anz4#e ,s i/ bei dem 9 ,abb4 #i wi$]gegeb55 ,bilde1 das si* im kgl4 ,s*lo 9 ,w9dsor bef9det und e9e ,musik/unde d>/ellt1 die ,di/anz w5ig grer als die ,hhe des ,bildes 7etwa #a-a_/ag d]selb574 ,man kann ab] hi] s*on die unang5ehme ,folge]s*e9ung beoba*t51 da bei sol*5 ,bild]n mit kurz] ,di/anz d] ,bod5 im ,vord]grund si* na* abwrts zu neig51 si* h]unt]zuklapp5 s*e9t4 #e ,man vgl4 dazu ,hans ,jantz51 ,ni$]lndis*e ,mal]ei im #ag4 ,jahrhund]t4 ,s4 #eb4 7,a,nu,g ,bd4 #cgc47 #aiab4 ,illu/ration3 ,abb4 #aj4 #cb4 ,das photographis*e ,bild4 ,0 die ,bild] des photographis*5 ,app>ates betrifft1 s lief]n ,objektive mit groer ,br5nweite ,d>/ellung51 die e9] groen ,di/anz entspre*51 ,objektive mit kle9] ,br5nweite1 sog5annte ,weitw9kel1 geb5 ,bild] mit kle9] ,di/anz4 ,die b]trieb5e ,p]spektive sol*] ,weitw9kel erklrt si* abgeseh5 von d] eb5 erwhnt5 ,wahl e9es fals*5 ,/&punkts direkt dur* die ,wirkung d] kle95 ,di/anz4 ,9 d] ,tat s9d ab und cd etwa zwei glei*groe ,objekte1 ,o und ,o' die ,z5tr5 d] ,p]spektive 7,fig4 #fa7 und a'b'1 c'd' ihre ,bild] 9 d] dur* e9e ,g]ade d>ge/ellt5 ,tafel1 s bem]kt man d5 ,unt]s*i$1 je na*dem die ,di/anz kle9 i/ wie 9 d] ob]5 ,figur od] gro wie 9 d] unt]54 ,9 d] ob]5 ,figur i/ c'd' mehr als doppelt s gro wie a'b'1 9 d] unt]5 ni*t ganz doppelt s gro4 ,dadur* da das f]n]e ,objekt beim ,weitw9kel s />k v]kle9]t wird1 ers*e9t das n"h glei*zeitig unv]hltnismig gro4 ,die ,abb4 #aj gibt uns die ,aufnahme e9] sitz5d5 ,p]son1 wobei si* d] ,app>at sehr nahe an d] ,p]son bef&4 ,die an und fr si* ri*tige ,p]spektive fhrt zu komis*5 ,wirkung54 ,do* lass5 si*1 wie ,abb4 #aa zeigt1 mit dem glei*5 ,objektiv etwas bess]e ,bild] erziel51 w5n man nur e95 grer5 ,ab/& von dem ,objekt whlt4 ,fr ,l&s*aftsaufnahm5 s9d diese b]legung5 von groer ,b$eutung4 ,e9 ,weitw9kel lt f]ne1 hohe ,b]ge zu unb$eut5d5 ,hgeln zusamm5s*rumpf51 er treibt d5 ,h9t]grund zurck1 wie die ,photograph5 sag51 und betont d5 ,vord]grund4 ,e9 ,objektiv mit groer ,br5nweite dageg5 gibt f]ne ,b]ge gro1 es zieht d5 ,h9t]grund na* vorn und lt d5 ,vord]grund w5ig] 9 die ,ers*e9ung tret54 ,illu/ration3 ,abb4 #aa4 #ab4 ,unzugngli*e ,di/anz- und ,flu*tpunkte4 #cc4 ,unzugngli*] ,di/anzpunkt4 ,d5 ,augpunkt e9] ,d>/ellung w]d5 wir naturgem 9 d] ,mittell9ie des ,bildauss*nittes annehm51 da man bei ,betra*tung e9es ,bildes do* ganz von selb/ vor die ,mitte tritt4 ,dann folgt ab] aus uns]5 ,errt]ung5 und aus d5 ,figur5 #ee bis #ei ohne weit]es1 da die ,di/anzpunkte ni*t mehr 9 dem ,bildauss*nitt lieg51 sond]n weit d>b] h9aus fall54 ,v]w5det man also ni*t e9e viel grere ,zei*5fl*e1 z4 ,b4 e9 sehr groes ,reibrett1 s s9d die ,di/anzpunkte ni*t mehr zu errei*54 ,das glei*e gilt fr ,flu*tpunkte horizontal] ,g]ad51 die1 wie z4 ,b4 s*on die ,fig4 #dh erk5n5 lt1 hufig weit auf dem ,horizont h9ausfall51 w5n die ,figur ni*t absi*tli* d>na* e+]i*tet wird4 ,es fragt si* nun1 wie man die ,kon/ruktion51 die si* auf sol*e b] die ,zei*5fl*e h9ausfall5de ,punkte bezieh51 trotzdem erl$ig5 kann4 ,das i/ die wi*tig/e ,aufgabe d] praktis*5 ,p]spektive4 ,illu/ration3 ,fig4 #fb4 ,wir woll5 zun*/ seh51 wie man die ,aufgabe #e1 also die ,kon/ruktion e9es ,tief5ma/abes1 dur*fhr5 kann1 w5n die ,di/anzpunkte ni*t mehr errei*b> s9d4 ,w> auf e9] gegeb55 ,tief5l9ie ,t von ihr] ,spur t aus e9e ,/recke anzutrag51 s ma*t5 wir auf d] ,grundl9ie ts dies] ,/recke 7,fig4 #fb7 und v]b&5 d5 ,punkt s mit e9em ,di/anzpunkt ,d#a2 die ,v]b9dungsl9ie s*nitt aus ,t' d5 gesu*t5 ,punkt p' aus 7vgl4 die fr"h ,fig4 #ba b74 ,halbi]5 wir nun ab] die ,/recke ,,ad#a und bezei*n5 die ,mitte mit ,d#a_/b4 ,v]b9d5 wir weit] dies5 ,punkt ,d#a_/b mit p'1 s mge diese ,l9ie die ,grundl9ie im ,punkte q treff54 ,dann gilt die ,proportion3 tq 3 qs ,a ,d#a_/b 3 ,d ,d#a_/b #a 3 #a4 ,es i/ mi?9 au* q die ,mitte von ts und tq qs ts_/#b4 ,illu/ration3 ,fig4 #fc4 ,wir knn5 zum ,punkte p' also au* gelang51 w5n wir die halbe ,/recke tq auf d] ,grundl9ie antrag51 d5 ,endpunkt q mit dem ,punkte ,d#a_/b v]b9d5 und diese ,l9ie mit ,t' zum ,s*nitt br+54 ,soll demna* z4 ,b4 auf d] ,tief5l9ie ,t' e9 ,ma/ab gezei*net w]d51 dess5 ,e9heit gegeb5 i/1 und kann man ,d#a_/b no* errei*5 7,fig4 #fc71 s trag5 wir die halbe ,e9heit auf d] ,grundl9ie wi$]holt ab und projizi]5 diese ,punkte aus ,d#a_/b auf ,t'4 ,dann erhlt man d5 v]langt5 ,tief5ma/ab4 ,illu/ration3 ,fig4 #fd a4 ,illu/ration3 ,fig4 #fd b4 ,rckt die ,teilung auf d] ,grundl9ie zu weit h9aus1 s kann man z4 ,b4 dur* #b' e9e ,p>allele l zur ,grundl9ie zieh5 und die auf dies] ,p>allel5 ausges*nitt5e kle9]e ,/recke #b'c'' auf l wi$]holt antrag5 und aus ,d#a_/b projizi]54 ,d] ,punkt ,d#a_/b heit e9 ,teil-,di/anzpunkt4 ,selb/v]/ndli* knnte man die ganze ,/recke ,,ad#a au* 9 drei glei*e ,teile teil5 und d5 er/5 ,teilpunkt von ,a aus mit ,d#a_/c bezei*n54 ,dann htte man /att d] ganz5 ,/recke blo d5 dritt5 ,teil auf d] ,grundl9ie anzutrag54 ,mit ,d#a_/c v]bund5 lief]n diese ,punkte au* wi$] d5 ,tief5ma/ab usf4 #cd4 ,unzugngli*e ,flu*tpunkte4 ,er/es ,v]fahr54 ,die ,ermittlung des ,flu*tpunktes e9] beliebig51 horizontal5 ,g]ad5 b]uhte wes5tli* auf d5 b]legung5 von 7#af71 die zu d] 9 d] ,fig4 #bd gegeb55 ,kon/ruktion fhrt54 ,i/ nun 9 dies] ,figur d] ,flu*tpunkt fa ni*t zugngli*1 s kann man diese ,s*wi]igkeit 9 folg5d] ,weise umgeh53 wir v]kle9]n die ganze ,figur1 indem wir sie si* geg5 d5 ,punkt ,a zusamm5zieh5 lass54 ,d] aus d] ,geometrie hi]bei anzuw5d5de ,satz i/ 9 d5 ,fig4 #fd a und #fd b no* eig5s v]ans*auli*t4 ,es i/ hi] zu dem ,vieleck abcde 9 folg5d] ,weise e9 neues kon/rui]t word54 ,e9 ,punkt o wird beliebig gewhlt und mit all5 ,eck5 a1 b1 c 444 v]bund54 ,auf dies5 ,v]b9dungsl9i5 w]d5 die ,punkte a'1 b'1 c' 444 dadur* be/immt1 da man alle ,/reck5 oa1 ob1 oc 444 im glei*5 ,v]hltnis teilt1 also beispielsweise imm] a'o ao1 b'o bo1 c'o co 444 ma*t4 ,das neue ,vieleck a'1 b'1 c' 444 hat dann folg5de ,eig5s*aft53 a7 ,entspre*5de ,seit5 d] beid5 ,vielecke s9d /ets p>allel1 d4h4 es i/ ab a'b'1 bc b'c'1 cd c'd' usf4 b7 ,alle ,v]hltnisse d] ,seit5 s9d die glei*51 d4 h4 es i/ ab 3 bc a'b' 3 b'c' usf4 ,illu/ration3 ,fig4 #fe4 ,w5n also z4 ,b4 die ,seite ab doppelt s gro i/ wie bc1 s i/ au* a'b' doppelt s gro wie b'c'4 ,die ,figur5 abcde und a'b'c'd'e' n5nt man hnli* und hnli* lieg5d und o d5 hnli*keitspunkt4 ,im vorlieg5d5 ,falle b5utz5 wir ,a als hnli*keitspunkt4 ,zun*/ i/ 9 ,fig4 #fe die fr"h ,kon/ruktion wi$]holt4 ,auf d] ,l9ie von ,a na* ,d#c whl5 wir nun e95 ,punkt ,d#c_/c s1 da ,a ,d#c_/c ,,ad#c und v]kle9]n die ganze ,figur auf e9 ,drittel4 ,illu/ration3 ,fig4 #ff4 ,wir v]b9d5 also a mit ,a1 teil5 diese ,l9ie 9 drei glei*e ,teile und bezei*n5 d5 er/5 ,teilpunkt von ,a aus mit a_/#c1 s da ,a a_/#c ,aa4 ,zieh5 wir dann dur* d5 ,punkt ,d#c_/c e9e ,p>allele zu fa,d#c1 s s*neidet diese auf dem ,horizont e95 ,punkt fa_/#c aus1 d] die ,eig5s*aft hat1 da au* ,a fa_/#c ,afa und es i/ weit] dann au* afa a_/#c fa_/#c4 ,hat man die v]kle9]te1 punkti]te ,figur gezei*net1 s kann man ,a' f9d51 w5n e9 ,punkt1 etwa die ,spur a1 bekannt i/1 indem man dur* a e9e ,p>allele zu a_/#c fa_/#c zieht4 ,dies i/ 9 d] ,figur #ff ausgefhrt4 ,v]mittels des ,punktes ,d#c_/c wurde zun*/ fa_/#c ermittelt1 9 dem man zur ,v]s*iebung 7,a7 d] ,g]ad5 e9e ,p>allele zog2 v]s*afft man si* weit] die ,spur a d] ,g]ad5 und dazu d5 ,hilfspunkt a_/#c auf d] ,v]b9dungsl9ie a,a1 s i/ das ,bild ,a' p>allel zur ,l9ie a_/#c fa_/#c1 kann also als e9e ,p>allele dur* a zu dies] ,l9ie gezei*net w]d54 ,wie />k wir die ,figur v]jng5 woll51 /eht natrli* 9 uns]em ,belieb52 /att auf zu v]kle9]n1 knn5 wir au* die ,v]jngung auf whl5 od] blo auf 4 ,nur d>f die neue ,figur ni*t zu kle9 w]d54 ,wir geb5 e9e praktis*e ,anw5dung 9 d] folg5d5 ,aufgabe #ah4 ,e9e ,zimm]ecke samt dem quadratis* getfelt5 ,fubod5 d>zu/ell51 w5n d] ,teil-,di/anzpunkt ,d#a_/d no* zugngli* i/4 ,auf d] ,s5kre*t51 die im ,augpunkt ,a zum ,horizont gezog5 w]d5 kann1 nehm5 wir d5 ,punkt ,d#c_/d an 7,fig4 #fg72 auerdem soll gegeb5 se9 die ,eckkante p'q'1 also die ,hhe des ,zimm]s und die e9e ,bod5kante ,a' dur* p'4 ,zun*/ hab5 wir e9e ,l9ie ,b d] ,grundeb5e zu zei*n51 wel*e im ,punkte p auf ,a s5kre*t /eht1 vgl4 ,aufgabe #i4 ,da ,d#c_/d gegeb5 und no* zugngli*1 v]jng5 wir die ganze ,figur auf 4 ,dem5tspre*5d v]b9d5 wir d5 ,punkt p' mit ,a1 teil5 diese ,/recke 9 #d glei*e ,teile und bezei*n5 d5 er/5 an ,a geleg55 ,teilpunkt mit p'_/#d4 ,dur* dies5 ,punkt p'_/#d zieh5 wir e9e ,p>allele zur gegeb55 ,g]ad5 ,a'1 wel*e 9 fa_/#d d5 ,horizont treff5 mge4 ,es i/ also p'_/#d fa_/#d ,a'4 ,nun knn5 wir d5 ,punkt fa_/#d mit ,d#c_/d v]b9d5 und im ,punkte ,d#c_/d e9e ,s5kre*te zu dies] ,l9ie zei*n51 wel*e aus dem ,horizont d5 ,punkt fb_/#d auss*neidet4 ,v]b9d5 wir p'_/#d mit diesem ,teilflu*tpunkt fb_/#d1 s gibt diese ,l9ie die ,ri*tung von ,b'2 es i/ also3 ,b' p'_/#d fb_/#d1 womit die zweite ,bod5kante kon/rui]t i/4 ,die an d] ,decke lauf5d5 ,kant5 f9d5 wir1 w5n wir zum ,punkte q' d5 ,hilfspunkt q'_/#d zei*n54 ,e9e ,v]tikale dur* p'_/#d lief]t ihn s(ort auf d] ,v]b9dungsl9ie ,aq'4 ,dadur* s9d die ,v]b9dungsl9i5 q'_/#d fa_/#d und q'_/#d fb_/#d be/immt und zu ihn5 lauf5 die ,deck5kant5 dur* q' beziehungsweise p>allel4 ,illu/ration3 ,fig4 #fg4 ,man bea*te au*1 wie si* e9 sol*] geg5 d5 ,bes*au] vorspr+5d] re*t] ,w9kel im ,bilde d>/ellt3 se9e beid5 ,s*5kel lauf5 von d5 betreff5d5 ,flu*tpunkt5 weg4 ,dageg5 komm5 bei d] ,d>/ellung e9] ,gebudeecke1 wie 9 ,fig4 #ec od] #gb1 wo d] re*te ,w9kel von auen betra*tet wird1 die ,teile d] ,s*5kel zur ,v]w5dung1 wel*e die ,flu*tpunkte trag54 ,illu/ration3 ,fig4 #fg a4 ,nun sei weit] die ,seite p'#a' e9es ,quadrates des ,fubod5s gegeb54 ,um diese ,teilung auf d] ,g]ad5 ,a' =tzusetz51 v]fahr5 wir wie folgt3 wir d5k5 uns dur* die ,punkte #a1 #b1 #c 444 d] ,kante ,a 9 irg5de9] ,ri*tung p>allele ,g]ade gelegt und br+5 diese 9 ,i1 ,,ii1 ,,iii 444 zum ,s*nitt mit e9] p>allel5 zur ,grundl9ie1 wie die ,neb5figur #fg a dies &eutet4 ,dann s9d au* die ,abs*nitte p,i1 ,i ,,ii1 ,,ii ,,iii usf4 glei* gro und umgekehrt w]d5 glei* groe ,abs*nitte p #a1 #a #b1 #b #c 444 auf ,a erzeugt1 w5n man dur* glei* groe ,/reck5 p,i1 ,i ,,ii1 ,,ii ,,iii 444 die ,p>allel5 legt4 ,im ,bilde geh5 diese ,p>allel5 dann 9 ,l9i5 b]1 wel*e dur* e95 ,punkt des ,horizonts lauf54 ,dem5tspre*5d zieh5 wir dur* p' e9e ,p>allele zur ,grundl9ie und whl5 als ,punkt des ,horizontes etwa ,a4 ,die ,v]b9dungsl9ie von #a' na* ,a s*neidet auf d] ,p>allel5 d5 ,punkt ,i aus und wir ma*5 p',i ,i ,,ii ,,ii ,,iii 444 ,dann lief]n die ,punkte ,,ii1 ,,iii aus ,a projizi]t die ,bild] #b'1 #c' 444 #f'4 ,um die dur* diese ,punkte geh5d5 ,fubod5l9i5 zu f9d51 v]s*aff5 wir uns die zugehrig5 ,hilfspunkte4 ,v]b9d5 wir z4 ,b4 #f' mit ,a1 s erhalt5 wir auf d] ,l9ie p'_/#d fa_/#d d5 entspre*5d5 ,hilfspunkt #f'_/d4 ,die dur* #f' geh5de ,l9ie des ,fubod5mu/]s i/ dann ab] p>allel zur ,v]b9dungsl9ie des ,punktes #f'_/d mit dem ,punkte fb_/#d4 ,die zweite ,s*> von ,p>allel5 des ,fubod5s woll5 wir unt] ,b5utzung des ,diagonalpunktes 7vgl4 ,s4 #eg7 zei*n54 ,halbi]5 wir d5 ,w9kel bei ,d#c_/d1 s s*neidet diese ,l9ie auf dem ,horizont d5 ,teil-,diagonalpunkt ,dg_/#d aus4 ,d>aus erhalt5 wir demna* d5 ,diagonalpunkt ,dg selb/1 w5n wir ,,adg #d ,a ,dg_/#d ma*51 also die ,/recke ,a ,dg_/#d no* dreimal von ,dg_/#d aus na* l9ks antrag54 ,dur* ,dg lauf5 dann ab] alle ,diagonal5 d] e95 ,art 9 d5 ,quadrat5 des ,fubod5s1 s da dies] lei*t gezei*net w]d5 kann4 ,glei*zeitig ergeb5 si* viele ,kontroll54 #ce4 ,unzugngli*e ,flu*tpunkte4 ,zweites ,v]fahr54 ,wir woll5 fr die ,aufgabe #i no* e9e ,lsung geb51 die au* wi$] auf dem ,g$ank5 b]uht1 an ,/elle d] ursprngli*5 ,figur e9e v]kle9]te1 hnli*e zu b5utz54 ,illu/ration3 ,fig4 #fh4 ,i/ ,fa d] ,flu*tpunkt d] gegeb55 ,g]ad5 ,a'1 auf wel*] im ,punkt p' e9e ,s5kre*te ,b' erri*tet w]d5 soll1 s kon/rui]5 wir z4 ,b4 d5 ,punkt ,d#d 7,fig4 #fh7 und trag5 im ,punkte ,d e95 re*t5 ,w9kel von ,fa,d#d aus an2 dann s*nitt d] zweite ,s*5kel dieses re*t5 ,w9kels d5 ,flu*tpunkt ,fb aus1 s da die gesu*te ,g]ade ,b' d5 ,punkt p' mit ,fb v]b&4 ,fllt nun ab] ,fa ni*t mehr auf das ,zei*5blatt1 s fhr5 wir e95 neu5 ,horizont hh e91 d] p>allel zu hh s gewhlt sei1 da si* mit ,a' e9 errei*b>] ,s*nittpunkt fa ergibt4 ,die ganze ,figur lass5 wir si* jetzt um d5 ,punkt p' zusamm5zieh51 s da hh 9 hh b]geht4 ,wir kon/rui]5 also e9e kle9]e hnli*e ,figur mit p' als hnli*keitspunkt4 ,die ,punkte dies] neu5 ,figur bezei*n5 wir mit d5 entspre*5d5 kle95 ,bu*/ab54 ,zun*/ lief]n ,d#a1 ,a und ,fb aus p' auf hh projizi]t die ,punkte d#a1 a und fb4 ,f]n] s9d 9 hnli*5 und hnli* lieg5d5 ,figur5 entspre*5de ,g]ade /ets p>allel 7,s4 #gh74 ,zieh5 wir also dur* a e9e ,p>allele zur ,l9ie ,,ad#d1 s s*neidet diese auf d] ,v]b9dungsg]ad5 p',d#d d5 entspre*5d5 ,punkt d#d aus und es i/ dann fad#d ,fa,d#d und fbd#d ,fb,d#d4 ,nun i/ 9 d] groen ,figur ,,ad#a ,,ad#d1 also i/ au* 9 d] v]kle9]t5 ,figur ad#a ad#d4 ,wir woll5 jetzt annehm51 da au* d] ,punkt ,d#a ni*t mehr auf das ,zei*5blatt fllt1 wohl ab] d] ,teil-,di/anzpunkt ,d#a_/b4 ,kon/rui]5 wir au* zu ihm d5 entspre*5d5 ,punkt d#a_/b1 s i/ d#a d#a_/b a d#a_/b und weit] ad#d #b a d#a_/b4 ,d>aus ergibt si* folg5de ,kon/ruktion 7,fig4 #fi74 ,illu/ration3 ,fig4 #fi4 ,wir zei*n5 d5 neu5 ,horizont hh1 wel*] die gegeb5e ,g]ade ,a' 9 fa und die ,v]b9dungsl9ie von p' na* ,a 9 a trifft4 ,dann erri*t5 wir zu a e9e ,s5kre*te 9 hh und ma*5 diese doppelt s gro als die ,/recke a d#a_/b4 ,i/ d#d d] zweite ,endpunkt dies] ,s5kre*t51 s i/ also ad#d #b a d#a_/b4 ,an die ,v]b9dungsl9ie fad#d trag5 wir e95 re*t5 ,w9kel an1 dess5 zweit] ,s*5kel d5 ,horizont hh 9 fb s*neidet4 ,das ,bild ,b' d] gesu*t5 ,s5kre*t5 v]b9det nun d5 ,punkt p' mit fb4 ,man kann diese ,figur au* b5utz51 um z4 ,b4 d5 ,diagonalpunkt zu ermitteln1 w5n man si* d5 re*t5 ,w9kel zu e9em ,quadrat ergnzt d5kt4 ,wir drf5 ja nur d5 ,w9kel fad#d;fb halbi]51 s lief]t uns die ,halbi]ungsl9ie auf hh d5 ,hilfspunkt dg und w5n wir dies5 mit p' v]b9d51 s s*neidet diese ,l9ie auf dem ,horizont d5 ,diagonalpunkt ,dg selb/ aus4 ,d] ,beweis ergibt si* lei*t aus d] ,figur #fh1 d5n es i/ d#d;dg ,d#d;,dg und da ,d#d;,dg d5 ,w9kel ,fa,d#d;,fb halbi]t1 s mu die ,p>allele d5 ,w9kel fad#d;fb halbi]54 #cf4 ,unzugngli*e ,flu*tpunkte4 ,drittes ,v]fahr54 ,das ,wes5tli*e an d5 eb5 dur*gefhrt5 ,betra*tung5 be/& d>91 da wir gel]nt hab51 das ,bild e9es re*t5 ,w9kels zu zei*n5 au* dann1 w5n die beid5 ,flu*tpunkte se9] ,s*5kel unzugngli* w>54 ,i/ nun das ,bild e9es sol*5 ,w9kels gegeb51 s kommt es hufig vor1 da man weit]e ,l9i5 na* d5 unzugngli*5 ,flu*tpunkt5 zu zieh5 hat4 ,wir beh&eln dem5tspre*5d die ,aufgabe #ai4 ,e9 ,punkt i/ gegeb5 als d] ni*t zugngli*e ,s*nittpunkt zwei] ,g]ad5 ,g' und hh 7,fig4 #ga72 man zei*ne die ,l9ie1 wel*e dies5 unzugngli*5 ,punkt mit e9em weit] gegeb55 ,punkte p' v]b9det4 ,illu/ration3 ,fig4 #gj4 ,die ,lsung gel+t lei*t1 w5n wir uns an e95 bekannt5 ,satz d] ,geometrie er9n]n4 ,s*neidet man drei dur* e95 ,punkt s geh5de ,g]ade ,a1 ,b1 ,c mit irg5d zwei p>allel5 ,g]ad51 s w]d5 die beid5 ,p>allel5 9 glei*em ,v]hltnis geteilt1 d4 h4 es i/ ,fig4 #gj ab 3 bc de 3 ef4 ,teilt man umgekehrt die zwei ,p>allel5 im glei*5 ,v]hltnis1 s da also diese ,glei*ung erfllt i/1 s geht die ,v]b9dungsl9ie be dur* d5 ,s*nittpunkt s d] beid5 ,g]ad5 h9dur*4 ,illu/ration3 ,fig4 #ga4 ,man kann diese beid5 ,stze au* 9 folg5d] ,weise ausdrck53 ,teilt man die ,/recke de beispielsweise 9 vi] glei*e ,teile und v]b9det die ,teilpunkte #b1 #c1 #d mit s1 s wird au* die ,/recke ab 9 vi] glei*e ,teile geteilt4 ,setzt man beide ,teilung5 auf d5 ,p>allel5 =t1 s geh5 die ,v]b9dungsl9i5 glei* num]i]t] ,punkte imm] dur* s4 ,d>aus ergibt si* fr die obige ,aufgabe folg5de ,lsung 7,fig4 #ga74 ,wir zieh5 dur* d5 gegeb55 ,punkt p' irg5de9e ,l9ie df und zu ihr 9 ni*t zu g]+] ,entf]nung e9e ,p>allele1 wel*e 9 a und c die zwei ,g]ad5 trifft4 ,dur* p' w]de e9e ,p>allele zu hh gelegt1 wel*e die ,v]b9dungsl9ie cd 9 g s*neidet4 ,dur* dies5 ,punkt g zieh5 wir e9e ,p>allele zu ,g' und erhalt5 auf ac d5 ,punkt b4 ,dann geht die ,v]b9dungsl9ie p'b dur* d5 unzugngli*5 ,s*nitt von ,g' und hh h9dur*1 i/ also die v]langte4 ,d5n wir entnehm5 unmittelb> aus d] ,figur3 ab 3 bc dg 3 gc und dg 3 gc dp' 3 p'f folgli* au* ab 3 bc dp' 3 p'f4 ,illu/ration3 ,fig4 #gb4 ,i/ e9e grere ,zahl von ,l9i5 na* e9em unzugngli*5 ,punkte zu zei*n51 s wre das eb5 bes*rieb5e ,v]fahr5 zu um/ndli*4 ,man wird dann d5 zweit5 ob5 angefhrt5 ,satz b5utz51 um sol*e ,l9i5 zu erhalt54 ,das folg5de ,beispiel mag dies erlut]n4 ,aufgabe #bj4 ,gegeb5 i/ das ,bild e9es re*t5 ,w9kels bei p' 7vord]e ,ecke e9es ,gebudes72 man zei*ne ,p>allel5 zu d5 ,s*5keln dieses ,w9kels4 ,wir v]lng]n die dur* p' geh5de ,v]tikale1 die ,vord]kante des ,gebudes1 bis sie 9 p#j d5 ,horizont trifft 7,fig4 #gb71 f]n] whl5 wir re*ts und l9ks am ,r&e die ,punkte q' und r' auf d5 ,s*5keln des re*t5 ,w9kels und zieh5 dur* sie die ,s5kre*t5 r'r#j und q'q#j bis zum ,horizont4 ,teil5 wir die drei ,/reck5 p'p#j1 q'q#j1 r'r#j 9 e9e glei*e ,anzahl von ,teil51 z4 ,b4 j$e 9 vi] ,teile1 s geh5 die ,v]b9dungsl9i5 glei* num]i]t] ,punkte bzw4 dur* die ,flu*tpunkte des re*t5 ,w9kels4 ,setzt man die ,teilung5 auf d5 ,g]ad5 p'p#j1 q'q#j1 r'r#j b] d5 ,horizont h9aus =t1 s geh5 au* die ,v]b9dungsl9i5 #f4f1 #g4g usf4 wi$] dur* die unzugngli*5 ,flu*tpunkte4 ,die ,l9i5 #g4g mg5 das ,gebude unt5 abs*lieen4 ,man erhlt ab] weit] au* ,l9i5 dur* die ,flu*tpunkte1 w5n man entspre*5de ,abs*nitte wi$]um 9 glei*viel ,teile teilt1 also beispielsweise von d5 ,/reck5 #a4b je das an d5 ,punkt5 #b geleg5e ,drittel nimmt4 7,siehe ,figur47 ,hat man dann dur* e95 vorgegeb55 ,punkt e9e ,l9ie na* e9em d] zugngli*5 ,flu*tpunkte zu zei*n51 s kann man das na* dem ,aug5ma ausfhr51 indem man das ,l9eal s anlegt1 da es glei*num]i]te ,/reck5 im glei*5 ,v]hltnis teilt4 ,die g5aue ,lsung dies] ,aufgabe hab5 wir ja 9 d] ,aufgabe #ai gegeb54 ,auf d] l9k5 ,seite d] ,figur s9d no* zwei ,f5/]reih5 e+ezei*net4 ,das er/e an d] ,vord]kante p'p#j geleg5e ,f5/] wurde willkrli* ang5omm52 die &]5 ,f5/] soll5 eb5sogro se9 und vone9&] eb5s[eit ab/eh5 als das er/e ,f5/] von d] ,kante p'p#j entf]nt i/4 ,wir br+5 die v]tikal5 ,kant5 d] ,f5/] mit d] ,l9ie #g4g zum ,s*nitt und v]fahr5 nun eb5so wie 9 #cd4 7,fig4 #fg a47 ,als beliebig] ,punkt auf dem ,horizont wurde #e gewhlt4 ,dadur* erhalt5 wir auf d] dur* #g gezog55 ,p>allele zum ,horizont zwei ,/reck51 die abwe*selnd angetrag5 die ,f5/] lief]n4 ,auf d] re*t5 ,seite des ,gebudes i/ eb5so e9e ,tr und e9 ,f5/] kon/rui]t4 ,endli* mag no* erwhnt w]d51 da es au* eig5e ,app>ate1 sog5annte ,flu*tpunkt-,l9eale1 gibt1 um ,g]ade na* unzugngli*5 ,punkte damit zu zei*n54 #ac4 ,glei*zeitige ,anw5dung d] v]s*i$55 ,me?od54 #cg4 ,v]b9dung d] ,s*nittme?ode mit d5 ,flu*tpunktme?od54 ,wir knn5 ab] au* die frh] beh&elte ,s*nittme?ode 7vgl4 #h7 mit d5 ,kon/ruktion51 die si* aus d] ,b5utzung d] ,flu*tpunkte ergeb5 7#ag1 #ah u4 f471 v]b9d5 und erhalt5 dadur* das fr ,d>/ellung ar*itektonis*] ,objekte brau*b>/e ,v]fahr54 ,wir w]d5 dasselbe am be/5 an e9em ,beispiele k5n5 l]n53 ,aufgabe #ba4 ,e9 ,po/am5t i/ dur* ,grund- und ,aufri gegeb5 7,fig4 #gc72 die neue ,bildeb5e1 9 d] e9e ,p]spektive dieses ,objektes entworf5 w]d5 soll1 /eht auf d] ,grundrieb5e s5kre*t1 geht dur* die ,a*se des ,po/am5ts und mag dur* die ,l9ie h#a;h#a be/immt se94 ,auerdem s9d d] ,augpunkt ,a und d] ,horizont hh je dur* ihre ,risse gegeb54 ,man zei*ne das ,bild des ,krp]s1 w5n die ,di/anz #ab cm betrgt4 ,wir whl5 9 d] neu5 ,d>/ellung die ,grundl9ie gg und d>b] 9 d] dur* d5 ,aufri gegeb55 ,hhe d5 ,horizont hh 7,fig4 #gd7 und auf ihm d5 ,augpunkt ,a4 ,dann zei*n5 wir d5 ,s*nitt d] ,bildeb5e mit dem ,krp]1 0 unt] ,b5utzung d] ,s*nittpunkte #a1 #g1 #ac1 #ad1 #h1 #b von h#a;h#a mit dem ,grundri und unt] ,h]anziehung des ,aufrisses lei*t ges*eh5 kann4 ,d5n die dur* ,a gelegte ,v]tikale i/ die ,a*se des ,krp]s4 ,s*neidet sie die ,grundl9ie 9 n1 s ma*5 wir nx ,a#aa4 ,9 x zei*n5 wir wi$] die ,s5kre*te und ma*5 xy glei* d] aus dem ,aufri zu entnehm5d5 ,hhe des ,sockels usf4 ,auf diese ,art erhlt man die ,s*nittfigur d] ,bildeb5e mit dem ,krp]1 die 9 ,fig4 #gd dur* ,s*raffi]ung am ,r&e h]vorgehob5 i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #gc4 ,um jetzt d5 ,grundri des ,krp]s 9 das ,bild zu b]trag51 v]fahr5 wir 9 folg5d] ,weise3 ,wir fhr5 e9e ,p>alleleb5e zur ,grundrieb5e e91 wel*e aus d] ,bildeb5e die ,p>allele ll zum ,horizont auss*neid5 mge4 ,9 diese neue ,eb5e projizi]5 wir d5 ,grundri4 ,das kommt d>auf h9aus1 da d] ,grundri um das ,/ck hl 9 die ,hhe ges*ob5 wird4 ,wir zei*n5 nun zun*/ das ,bild dieses v]s*ob55 ,grundrisses4 ,d] ,grundri be/eht aus zwei ,sy/em5 p>allel] ,g]ad5 und wir w]d5 die beid5 ,flu*tpunkte zu ermitteln hab51 die zu dies5 ,p>allel5 gehr54 ,wir erri*t5 9 ,fig4 #gc im ,punkte ,a#a e9e ,s5kre*te zu h#a;h#a und trag5 auf ihr etwa e9 ,vi]tel d] ,di/anz an1 ma*5 also ,a#a ,o#a_/d #c cm4 ,zieh5 wir sodann dur* ,o#a_/d e9e ,p>allele zu #e4f1 s s*neidet diese auf dem ,horizont d5 ,ri des ,teilflu*tpunktes ,fa_/#d aus4 ,demna* erhalt5 wir 9 ,fig4 #gd d5 ,flu*tpunkt ,fa1 indem wir ,a,fa #d ,a#a ,fa_/#d auf dem ,horizont antrag54 ,d] ,flu*tpunkt ,fb d] &]5 ,ri*tung #f4c1 d] weit b] die ,zei*5eb5e h9ausfllt1 mge na* d] 9 #ce errt]t5 ,me?ode be/immt w]d54 ,wir zieh5 dur* ,fa irg5de9e ,l9ie1 whl5 auf ihr d5 ,punkt p' beliebig und zei*n5 e95 neu5 ,horizont1 d] 9 fa die ,l9ie von ,fa na* p' trifft4 ,nun ermitteln wir e9e horizontale ,l9ie1 wel*e im ,punkte p auf d] ,l9ie ,fap s5kre*t /eht4 7,aufgabe #i47 ,zun*/ zei*n5 wir d5 ,teildi/anzpunkt ,d#a_/d1 indem wir aus ,fig4 #gc die ,/recke ,a#a ,o#a_/d entnehm5 und ,a ,d#a_/d ,a#a ,o#a_/d antrag54 ,dann mg5 die ,v]b9dungsl9i5 von p' na* ,a und ,d#a_/d d5 neu5 ,horizont 9 a und d#a_/d treff54 ,wir erri*t5 gem d] frh]5 ,ableitung 9 a e9e ,s5kre*te zum neu5 ,horizont und ma*5 dieselbe vi]mal s lang als die ,/recke a d#a_/d1 s da also ad#d #d a d#a_/d4 ,v]b9d5 wir d#d mit fa1 s s*neidet e9e ,s5kre*te zu dies] ,l9ie im ,punkte d#d d5 ,punkt fb aus und die ,v]b9dungsl9ie von fb mit p' geht na* dem ,flu*tpunkte ,fb4 ,weit]e ,l9i5 na* ,fb knn5 wir na* dem dritt5 9 #cf angegeb55 ,v]fahr5 ermitteln4 ,zu diesem ,zwecke s9d 9 d] ,figur re*ts und l9ks zwei ,v]tikale gezei*net4 ,die ,v]b9dungsl9ie p'fb s*neidet auf dies5 die ,punkte #j aus2 die ,abs*nitte bis zum ,horizont s9d re*ts und l9ks je 9 zwlf glei*e ,teile geteilt2 alle ,l9i5 na* ,fb teil5 entspre*5de ,abs*nitte d] beid5 ,v]tikal5 im glei*5 ,v]hltnis4 ,es brau*t wohl kaum bem]kt zu w]d51 da die ,numm]n auf d5 beid5 ,v]tikal5 blo dem ,zwecke di551 ,l9i5 na* dem ,flu*tpunkt ,fb zu lief]n1 und da diese ,numm]n ganz unabhngig s9d von d5 brig5 ,ziff]n d] ,figur4 ,die ,kon/ruktion des ,bildes des v]s*ob55 ,grundrisses kann nun wie folgt erfolg54 ,die ,punkte #a1 #g1 #ac1 #ad1 #h1 #b auf d] ,l9ie ll ergeb5 si* s(ort1 indem man die entspre*5d5 ,/reck5 von h#a;h#a b]trgt4 ,i/ also m d] ,s*nittpunkt d] ,a*se des ,krp]s mit ll1 s i/ m#a ,a#aa1 m#g ,a#ag usf4 ,illu/ration3 ,fig4 #gd4 ,v]b9d5 wir dann die ,punkte #a und #b mit ,fa1 s s9d dies zwei ,seit5 des uer5 ,vi]eckes4 ,die auf d] ,l9ie von #b na* ,fa geleg55 ,eck5 #c und #d be/imm5 wir nun etwa dur* ,tief5l9i54 ,wir zei*n5 zun*/ im ,grundri 7,fig4 #gc7 die ,s5kre*te dur* #c zu h#a;h#a1 wel*e 9 s#a die ,bildtafel trifft4 ,ma*5 wir 9 ,fig4 #gd ms ,a#as#a1 s i/ s die ,spur 9 d] ,p>alleleb5e und ,as das ,bild d] ,tief5l9ie4 ,diese ,l9ie ,z s*neidet dann auf d] ,l9ie #b4;,fa d5 ,punkt #c' aus4 ,eb5so mag man die brig5 ,eck5 #d'1 #e'1 #f' ermitteln und es nun als ,kontrolle b5utz51 da #d'4e' und #c'4f' dur* ,fb geh5 mss54 ,man kann au* die ,spur5 d] ,g]ad51 s[eit sie bequem errei*b> s9d1 h9zunehm54 ,um das ,bild des zweit5 ,vi]ecks #i1 #aj1 #aa1 #ab zu zei*n51 i/ im ,grundri die ,spur t#a d] ,l9ie #i4 #ab gezei*net4 ,ma*5 wir 9 ,fig4 #gd mt ,a#at#a1 s i/ t die ,spur d] ,l9ie #i4 #ab und #i'4 #ab' geht v]lng]t dur* t4 ,endli* knn5 wir au* no* die ,eig5s*aft v]w5d51 da die ,v]b9dungsl9i5 #e'4c'1 #f'4d'1 #i'4aa'1 #aj'4ab' usf4 alle dur* m geh5 mss54 ,i/ auf diese ,art das ,bild des v]s*ob55 ,grundrisses ob5 kon/rui]t1 s lief]n die ,v]tikal5 dur* die ,eck5 #c'1 #d'1 #e'1 #f' usf4 je e95 er/5 ,ort1 auf dem die ,bild] des ,grundrisses selb/ geleg5 se9 mss54 ,unt] ,b5utzung d] ,s*nittfigur mit d] ,bildeb5e i/ das ,bild des ,krp]s dann ab] lei*t f]tigzu/ell54 ,s lief]t z4 ,b4 d] ,punkt x mit ,fa v]bund5 die unt]e1 l9ke ,kante des ,sockels und die ,s5kre*t5 dur* #e' und #f' s*neid5 auf ihr die betreff5d5 ,eck5 aus4 ,wie wir bei dies] ,aufgabe die ,grundeb5e na* ob5 v]s*ob5 7,deck5ri71 s kann man unt] ,um/nd5 au* unt]halb d] ,grundeb5e e9e ,p>alleleb5e whl51 9 diese d5 ,grundri projizi]5 7sog4 ,kell]grundri7 und dess5 ,bild zur ,kon/ruktion b5utz54 #ad4 ,die ,d>/ellung des ,kreises4 #ch4 ,d] ,kreis 9 e9] zur ,tafel p>allel5 ,eb5e4 ,bis jetzt hab5 wir uns imm] mit d] ,abbildung g]ad] ,l9i5 bes*ftigt1 wobei uns die ,eig5s*aft zu/att5 kam1 da das ,bild e9] g]ad5 ,l9ie wi$] e9e ,g]ade i/4 ,wir woll5 nun au* das ,bild e9] krumm5 ,l9ie zei*n51 nmli* das des ,kreises4 ,es i/ dann all]d+s ntig1 da wir uns von e9] ,anzahl von ,punkt51 die auf dem ,kreise ang5omm5 w]d51 die ,bild] zei*n5 und diese dur* e95 ,l9i5zug v]b9d54 ,wir woll5 mit dem e9fa*/5 ,falle beg9n51 d] si* ergibt1 w5n das ,bild des gegeb55 ,kreises wi$] e9 ,kreis i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #ge4 ,d] abzubild5de ,kreis liege 9 e9] zur ,tafel p>allel5 ,eb5e 7,fig4 #ge74 ,die vom ,auge na* d5 ,punkt5 des ,kreises geh5d5 ,seh/rahl5 bild5 e95 ,kegel1 d] die ,tafel na* e9] ,figur s*neid5 mu1 die zu dem gegeb55 ,kreise hnli* i/ 7,s4 #de72 diese ,s*nittfigur i/ also selb/ wi$] e9 ,kreis4 ,d] ,mittelpunkt des gegeb55 ,kreises bildet si* wi$] 9 d5 ,mittelpunkt des neu5 ,kreises ab1 d] ,radius des neu5 ,kreises wird je na* d] ,entf]nung des gegeb55 ,kreises v]s*i$5 v]krzt w]d54 ,wir fhr5 die ,kon/ruktion dur* an folg5d] ,aufgabe #bb4 ,e9 ,punkt m i/ gegeb5 dur* se9 ,bild m' und dur* die ,spur a d] dur* ihn geh5d5 ,tief5l9ie ,a 7,fig4 #gf74 ,man zei*ne das ,bild des ,kreises1 d] um m mit gegeb5em ,radius r bes*rieb5 wird und 9 e9] zur ,tafel p>allel5 ,eb5e liegt4 ,illu/ration3 ,fig4 #gf4 ,auf dem ,bilde ,a' d] ,tief5l9ie ,a i/ die ,spur a von ,a und das ,bild m' des ,mittelpunktes gegeb54 ,wir d5k5 uns 7,fig4 #ge7 d5 ,dur*mess] np des ,kreises gezog51 d] zum ,horizont p>allel luft1 und zieh5 dur* se9e beid5 ,endpunkte n und p die ,tief5l9i5 ,b und ,c4 ,die ,spur5 b und c dies] beid5 ,tief5l9i5 erhalt5 wir 9 ,fig4 #gf ohne weit]es1 w5n wir dur* a e9e ,p>allele zum ,horizont zieh5 und auf dies] ,p>allel5 ab und ac je glei* dem gegeb55 ,radius r des ,kreises antrag54 ,v]b9d5 wir b und c mit ,a1 s s9d dies die ,bild] ,b' und ,c' d] ,tief5l9i5 ,b und ,c und sie s*neid5 auf d] ,p>allel5 dur* m' zum ,horizont die ,punkte n' und p' aus4 n'p' i/ d] ,dur*mess] des ,bildes des ,kreises1 das also d>aus gezei*net w]d5 kann4 ,als ,anw5dung dies] ,kon/ruktion geb5 wir 9 ,fig4 #gg das ,bild e9] r+frmig5 ,platte1 die mit ihr] vord]5 ,fl*e 9 d] ,bildtafel liegt1 m i/ d] ,mittelpunkt fr die beid5 vord]5 ,kreise4 ,zieh5 wir dur* m die ,p>allele zum ,horizont und trag5 auf ihr e9e ,/recke mx ab1 wel*e glei* d] gegeb55 ,dicke d] ,platte i/1 s lief]t x mit ,d#a v]bund5 auf d] ,l9ie m,a d5 ,punkt t'1 wel*] d] ,mittelpunkt fr die beid5 rckwrtig5 ,kreise i/2 d]5 ,radi5 ergeb5 si* wie 9 ,fig4 #gf4 ,illu/ration3 ,fig4 #gg4 #ci4 ,d] ,kreis 9 e9] ,horizontaleb5e4 ,wir geh5 nun zu dem ,falle b]1 da d] abzubild5de ,kreis 9 e9] horizontal5 ,eb5e geleg5 i/1 z4 ,b4 9 d] ,grundeb5e4 ,es sei zu beh&eln folg5de ,aufgabe #bc4 ,e9 ,kreis von gegeb5em ,radius liegt 9 d] ,grundeb5e s1 da er die ,grundl9ie b]hrt4 ,das ,bild des ,kreises zu zei*n54 ,illu/ration3 ,fig4 #gh4 ,die ,fig4 #gh zeigt die ,anordnung im ,raume2 9 ,fig4 #gi i/ d] ,kreis 9 d] ,v]s*iebung gezei*net4 ,es i/ nun vorteilhaft1 si* ni*t nur ,punkte des ,bildes zu v]s*aff51 sond]n au* ,l9i51 wel*e das ,bild b]hr51 sog5annte ,b]hrungsl9i5 od] ,tang5t54 ,zu diesem ,zwecke ums*reib5 wir dem ,kreise das ,quadrat 7#a77b77c77d71 dess5 ,seit5 d5 ,kreis 9 d5 ,punkt5 7#e71 7#f71 7#g7 und 7#h7 b]hr54 ,das ,bild dieses ,quadrates i/ lei*t zu zei*n51 7#a77d7 und 7#b77c7 s9d ,tief5l9i52 ihre ,bild] lauf5 also na* ,a2 die ,l9ie 7#b77d7 ab] geht im ,bilde na* dem l9ksseitig5 ,di/anzpunkte ,d#a 7vgl4 #ad74 ,f]n] i/ au* 7#f77h7 e9e ,tief5l9ie und ihr ,bild s*neidet auf d] ,l9ie #b4d' das ,bild m' des ,punktes m aus4 ,die ,l9ie 7#e77g7 geht 9 e9e ,p>allele dur* m' b]1 wel*e auf d5 ,l9i5 #a4d' und #b4c' die ,punkte #e' und #g' lief]t4 ,das ,bild des ,kreises wird 9 diesem ,falle e9e ,ellipse1 wel*e dem ,vi]ecke #a #b #c' #d' e9bes*rieb5 i/ und dess5 ,seit5 9 d5 ,punkt5 #f1 #g'1 #h'1 #e' b]hrt4 ,illu/ration3 ,fig4 #gi4 ,ohne ,beweis sei erwhnt1 da m' ni*t d] ,mittelpunkt d] ,ellipse i/1 da dies] vielmehr 9 die ,mitte d] ,/recke #f4h' fllt4 ,br+t man die ,diagonal5 7#b77d7 und 7#a77c7 des ,quadrates mit dem ,kreise zum ,s*nitt1 s erhlt man die ,punkte #i1 #aj1 #aa1 #ab und au* d]5 ,bild] #i'1 #aj'1 #aa'1 #ab' lass5 si* lei*t ermitteln1 da 7#i7 und 7#aj7 s[ie 7#aa7 und 7#ab7 je auf e9] ,tief5l9ie lieg54 ,si* no* weit]e ,punkte d] ,ellipse aus d5 ,punkt5 des ,kreises zu v]s*aff5 i/ g> ni*t ntig4 ,es wird ntzli* se91 w5n d] ,les] si* au* das ,bild e9es ,kreises zei*net1 d] auf d] re*t5 ,seite des ,hauptpunktes geleg5 i/4 ,die ,figur i/ dann weit] b5utzt1 um das ,bild e9es ,umdrehungs-,zyl9d]s1 also e9] ,walze1 zu zei*n54 ,i/ die ,hhe des ,zyl9d]s dur* die ,/recke #f4f99 gegeb51 s s*neidet die ,deckfl*e des ,zyl9d]s die ,bildeb5e 9 d] ,l9ie ll1 wel*e dur* #f99 p>allel zur ,grundl9ie geht4 ,die ,kon/ruktion des ,bildes des ,deckkreises des ,zyl9d]s erfolgt g5au 9 d] glei*5 ,weise2 entspre*5de ,punkte z4 ,b4 #c' und #c'99 lieg5 brig5s imm] auf ,v]tikal51 0 viele ,kontroll5 lief]t4 ,endli* wird das ,bild des ,zyl9d]s voll5det1 indem man auf beid5 ,seit5 die b]hr5d5 ,v]tikal5 an beide ,ellips5 zei*net4 #dj4 ,d] ,kreis 9 e9] v]tikal5 ,tief5eb5e4 ,9 ganz hnli*] ,weise wie e9 horizontal] ,kreis kann au* e9 ,kreis abgebildet w]d51 d] 9 e9] lotre*t5 ,tief5eb5e liegt4 ,wir beh&eln dies5 ,fall 9 d] folg5d5 ,aufgabe #bd4 ,9 e9] lotre*t5 ,tief5eb5e1 die dur* ihre ,spur ,s gegeb5 i/1 liegt e9 ,kreis von gegeb5em ,radius1 d] die ,grundeb5e und die ,bildtafel b]hrt4 ,das ,bild dieses ,kreises zu zei*n54 ,illu/ration3 ,fig4 #hj4 ,die ,figur #gh zeigt rckwrts d5 ,kreis 9 se9] ,lage geg5 ,grundeb5e und ,bildtafel4 ,wir ums*reib5 demselb5 wi$] das ,quadrat #a #b #c #d1 von dem die ,seite #a4b 9 d] ,spur ,s d] ,eb5e1 #a4d 9 d] ,grundeb5e liegt4 ,um d5 ,kreis au* 9 se9] wahr5 ,ge/alt vor uns hab51 d5k5 wir uns se9e ,eb5e wie e9e ,tre na* auen um die ,spur ,s 9 die ,bildeb5e h9e+$reht1 wie dies d] ,pfeil 9 ,figur #gh &eutet4 ,9 dies] ,lage i/ d] ,kreis1 s[ie das ums*rieb5e ,quadrat #a #b 7#c7 7#d7 9 ,fig4 #hj gezei*net4 ,das ,bild des ,kreises ergibt si* dann wie folgt4 ,die ,tief5l9i5 #a4d und #b4c hab5 als ,bild] die ,l9i5 von #a na* ,a und von #b na* ,a4 ,die letzte ,quadratseite #c4d kann f]n] dur* folg5de b]legung gefund5 w]d54 ,zieh5 wir die ,diagonale #a4c1 wel*e dur* d5 ,mittelpunkt m geht1 s i/ diese ,l9ie unt] #de geg5 die ,grundeb5e g5eigt4 ,die ,p>allele dur* ,o zu dies] ,l9ie s*neidet d5 ,flu*tpunkt d]selb5 aus und d]selbe mu na* ,satz #bd auf d] ,s5kre*t5 dur* ,a lieg5 und von ,a um die ,di/anz ab/eh54 ,d] ,flu*tpunkt i/ also d] s*on frh] gezei*nete ,punkt ,d#d4 ,ganz eb5so ergibt si* als ,flu*tpunkt d] &]5 ,diagonale #b4d d] ,punkt ,d#c1 d] 9 ,fig4 #hj e+ezei*net i/4 ,w5n wir also 9 ,fig4 #hj die ,l9i5 #a4;,d#d #b4;,d#c zieh51 s s*neid5 diese auf d5 ,bild]n #b4;,a und #a4;,a die ,bild] #c' und #d' aus4 ,zur ,probe di5t1 da #c'4d' lotre*t se9 mu4 ,f]n] i/ d] ,s*nittpunkt von #a4;,d#d und #b4;,d#c das ,bild m'4 ,die ,v]tikale dur* m' lief]t auf d5 ,l9i5 #b4;,a und #a4;,a die ,b]hrungspunkte #e' und #g'2 die ,l9ie #f4;,a mu von selb/ dur* m' geh5 und gibt d5 ,b]hrungspunkt #h'4 ,illu/ration3 ,fig4 #ha4 ,9 dem hi] vorlieg5d5 ,falle i/ das ,bild des ,kreises wi$] e9e ,ellipse2 m' i/ ni*t ihr ,mittelpunkt2 d]selbe liegt vielmehr auf d] ,l9ie #f4h' 9 d] ,mitte zwis*5 #f und #h'4 ,die ,bild] d] ,punkte #i1 #aj usw4 lass5 si* wie im vorig5 ,falle be/imm54 ,au* die ,tang5te im ,punkte #i' an die ,ellipse i/ lei*t zu zei*n54 ,da nmli* die ,tang5te im ,punkte #i an d5 ,kreis p>allel zur ,l9ie #a47c7 v]luft1 s mu das ,bild dies] ,tang5te na* ,d#d flieh51 also i/ die ,l9ie #i'4;,d#d diese ,tang5te4 ,als ,anw5dung dies] ,aufgabe geb5 wir 9 ,fig4 #ha das ,bild e9es ,rundbog5s1 d] 9 e9] lotre*t5 ,tief5eb5e geleg5 i/2 ,s sei die ,spur dies] ,tief5eb5e4 ,von dem ,rundbog5 i/ l9ks ob5 die ,hlfte 9 d] ,umlegung 9 die ,tafel gegeb54 ,zur ,kon/ruktion soll d] ,teildi/anzpunkt ,d#a_/b v]w5det w]d54 ,trag5 wir die ,hlfte d] ,/recke #a7m7 auf d] ,horizontal5 dur* #a na* re*ts ab und v]b9d5 d5 ,endpunkt mit ,d#a_/b1 s erhalt5 wir 7,aufg4 #d7 auf d] ,tief5l9ie #a4;,a das ,bild m'2 9 entspre*5d] ,weise ergeb5 si* fr die weit]5 ,punkte 7#c7 444 die ,bild]4 ,die ,p>allele dur* 7#b7 s*neidet ,s 9 e9em ,punkte1 d] mit ,a v]bund5 die ,b]hrungsl9ie im ,s*eitel #b' des ,bog5s lief]t1 wobei #b' auf d] ,v]tikal5 dur* m' geleg5 i/4 ,d] ganze ,rundbog5 i/ dann 9 #g glei*e ,teile geteilt und es s9d die ,bild] d] ,fug5 e+etrag54 ,diese ,fug5 lauf5 alle dur* m'4 ,s*lieli* sei no* erwhnt1 da das ,bild e9es ,kreises ni*t imm] e9e ,ellipse zu se9 brau*t1 sond]n au* e9e sog5annte ,hyp]bel od] e9e ,p>abel se9 kann1 worauf wir ab] ni*t weit] e+eh5 knn54 #ae4 ,e9fa*e ,s*att5kon/ruktion54 #da4 ,s*att5 bei p>allelem ,li*te4 ,die undur*si*tig5 ,krp] hab5 die ,eig5s*aft1 da sie das auf sie fall5de ,li*t irg5de9] ,li*tquelle ni*t dur*geh5 lass51 sond]n es aufhalt5 od] v]s*luck5 7absorbi]571 s da si* h9t] dem ,krp] e9 li*tle]] ,raum1 d] ,s*att51 ausbildet4 ,indem wir d5 ,unt]s*i$ von ,li*t und ,s*att5 au* im ,bilde etwa dur* ,s*raffi]ung d] bes*attet5 ,teile e9ig]maen wi$]geb51 errei*5 wir e9e grere ,naturtreue4 ,illu/ration3 ,fig4 #hb4 ,0 die ,li*tquelle betrifft1 s woll5 wir uns vor/ell51 die ,sonne ziehe si* zu e9em ,punkte zusamm51 etwa auf ihr5 ,mittelpunkt1 und /ehe auerdem fe/ am ,himmel4 ,die dann ent/eh5de ,beleu*tung knn5 wir dur* folg5de ,be/immung ersetz54 ,wir geb5 uns e9e ,g]ade s beliebig im ,raume 7,fig4 #hb7 und nehm5 an1 da alle ,li*t/rahl5 zu dies] ,g]ad5 s p>allel s9d4 ,d] ganze ,raum i/ erfllt von dies5 p>allel5 ,li*t/rahl54 ,wir n5n5 dies e9e ,beleu*tung dur* p>allele ,li*t/rahl54 ,es sei jetzt e9e ,/ange pq gegeb51 die auf d] ,grundeb5e s5kre*t /eht 7,fig4 #hb74 ,wie knn5 wir d5 ,s*att5 ermitteln1 d5 sie 9 die ,grundeb5e wirft8 ,alle auf die ,g]ade pq treff5d5 ,li*t/rahl5 w]d5 aufgehalt5 und bild5 =tgesetzt eb5 d5 ,s*att5 d] ,g]ad5 pq4 ,wir hab5 demna* dur* die ,punkte d] ,g]ad5 pq die p>allel5 zur ,g]ad5 s zu zei*n54 ,alle diese ,p>allel5 lieg5 ab]1 wie man lei*t erk5nt1 9 e9] ,eb5e und diese ,eb5e s*neidet aus d] ,grundeb5e d5 ,s*att5 d] ,g]ad5 pq aus1 d] also e9e ,g]ade i/4 ,(f5b> geht dies] ,s*att5 dur* d5 ,fupunkt q d] ,/ange4 ,das ,ende des ,s*att5s ab] erhalt5 wir1 w5n wir dur* d5 ,endpunkt p d5 ,li*t/rahl leg54 ,trifft dies] 9 p99 die ,grundeb5e1 s i/ p99 d] ,s*att5 des ,punktes p und qp99 wird d] ,s*att5 d] ,g]ad5 pq4 ,im ,geg5satz zu dem ,s*att51 d5 die ,g]ade pq unt] ,um/nd5 auf &]e ,krp] wirft1 n5n5 wir d5 ,s*att5 qp99 auf d] ,grundeb5e d5 ,grunds*att54 ,e9e zweite1 eb5falls auf d] ,grundeb5e s5kre*te ,g]ade rt lief]t ganz 9 d] glei*5 ,weise d5 ,grunds*att5 tr99 und man sieht ohne ,mhe e91 da tr99 qp994 ,allgeme9 kann man sag53 ,satz #bf4 ,p>allele ,g]ade lief]n p>allele ,grunds*att5 auf d] ,grundeb5e4 ,illu/ration3 ,fig4 #hc4 ,weit] h&elt es si* nun d>um1 die ,bild] dies] ,s*att5 zu zei*n54 ,wir bea*t5 zu diesem ,zwecke1 da die ,li*t/rahl5 p>allele1 s*iefe ,g]ade s9d1 wie wir sie im #i betra*tet hab54 ,diese p>allel5 ,g]ad5 hab5 also e95 ,flu*tpunkt1 d5 wir erhalt51 w5n wir dur* das ,auge ,o e9e ,p>allele zur ,g]ad5 s zieh5 und d5 ,s*nittpunkt ,s dies] ,p>allel5 mit d] ,tafel ermitteln4 ,hat d] 9 ,o bef9dli*e ,bes*au] die 7punktfrmige7 ,li*tquelle im ,rck51 s bef9det si* d] ,flu*tpunkt ,s unt]halb des ,horizonts4 ,fll5 wir von ,s aus 9 d] ,bildeb5e e9e ,s5kre*te zum ,horizont und n5n5 ,sh ihr5 ,fupunkt1 s knn5 wir die ,betra*tung von #bg ohne weit]es au* hi] anw5d5 und seh51 da ,,osh qp99 tr994 ,illu/ration3 ,fig4 #hd4 ,mit &]5 ,wort53 ,satz #bg4 ,d] ,punkt ,sh1 die ,projektion des ,flu*tpunktes ,s d] p>allel5 ,li*t/rahl5 auf d5 ,horizont1 i/ d] ,flu*tpunkt d] ,grunds*att54 ,die ,bild] d] ,grunds*att5 flieh5 also alle na* ,sh 7,satz #bc74 ,damit erl$igt si* nun lei*t folg5de ,aufgabe #be4 ,e9e auf d] ,grundeb5e s5kre*te ,g]ade pq i/ im ,bilde gegeb52 man zei*ne ihr5 ,grunds*att51 w5n das p>allele ,li*t dur* d5 ,punkt ,s gegeb5 i/4 ,dur* die ,annahme des ,punktes ,s 7,fig4 #hc7 i/ die ,beleu*tung voll/ndig gegeb51 da damit die ,ri*tung d] ,li*t/rahl5 be/immt wird4 ,fll5 wir von ,s e9 ,lot zum ,horizont1 s lief]t dies d5 ,flu*tpunkt ,sh d] ,grunds*att54 ,i/ p'q' das gegeb5e ,bild 7wir nehm5 an1 es wre b]eits gefund571 s gibt die ,v]b9dungsl9ie von q' na* ,sh d5 ,grunds*att54 ,d] dur* p geh5de ,li*t/rahl mu ab] e9]seits dur* p'1 &]]seits dur* d5 ,flu*tpunkt ,s geh52 demna* s*neidet die ,v]b9dungsl9ie von ,s na* p' auf d] ,l9ie von q' na* ,sh d5 ,endpunkt q99' des ,grunds*att5s aus4 ,es i/ q'p99' das ,bild des ,grunds*att5s4 ,die e9fa*e ,regel lautet also3 p99' i/ d] ,s*nittpunkt d] ,l9i5 q',sh und p',s4 ,damit i/ ab] au* die ,aufgabe gel/3 d5 ,s*att5 e9es beliebig5 ,punktes 9 d] ,grundeb5e zu zei*n54 ,d5n wir brau*5 ja nur von dem ,punkte das ,lot auf die ,grundeb5e zu fll5 und dess5 ,fupunkt zu ermitteln4 ,dann knn5 wir na* d] obig5 ,aufgabe d5 ,s*att5 dies] ,s5kre*t5 ermitteln4 ,wir w5d5 das an 9 folg5d] ,aufgabe #bf4 ,d5 ,s*att5 zu zei*n51 d5 e9 ,obelisk 9 die ,grundeb5e wirft4 ,das ,bild des ,obelisk51 d] auf d] ,grundeb5e /eht1 i/ na* dem ,frh]5 gezei*net 7,fig4 #hd74 ,um d5 ,s*att5 9 d] ,grundeb5e zu ermitteln1 geb5 wir uns d5 ,punkt ,s und se9e ,projektion ,sh4 ,zun*/ zei*n5 wir von d] 9 d] ,tafel lieg5d5 ,kante #a4b des ,sockels na* d] ob5 abgeleitet5 ,regel d5 ,s*att5 #a4b99'2 eb5so f9d5 wir d5 ,s*att5 #d4c99' d] ,kante #c4d4 ,die ,v]b9dungsl9ie #b99'4c99' i/ dann d] ,s*att5 d] ,kante #b4c und sie flieht1 wie man lei*t erk5nt1 na* ,a4 ,nun s9d die ,s*att5 d] #d ,kant5 des ,obelisk5 zu zei*n54 ,die dur* #e geh5de ,kante v]lng]n wir bis zu ihrem ,s*nittpunkt #f mit d] ,grundeb5e und erhalt5 9 #f4e99' ihr5 ,s*att54 ,eb5so wird #h4g99' d] ,s*att5 d] ,kante #g4h4 ,die ,s*att5 d] beid5 &]5 ,kant5 fall51 wie die ,kon/ruktion zeigt1 zwis*5 diese beid5 ,s*att5 h9e91 s da also #f4e99' und #h4g99' d5 ,s*att5 9 d] ,grundeb5e begr5z54 ,zei*n5 wir no* d5 ,s*att5 #i99' d] ,spitze #i1 indem wir die ,s5kre*te #i4aj b5utz51 s i/ d] ,s*lags*att5 des ,obelisk5 9 d] ,grundeb5e f]tigge/ellt1 w5n man #i99' mit #e99' und #g99' v]b9det4 ,es bildet si* ab] au* auf dem ,krp] e9 ,geg5satz von ,li*t und ,s*att5 aus1 9 dem gewisse ,teile des ,krp]s 9 ,s*att5 gesetzt w]d5 7,eig5s*att574 ,s*neidet die ,l9ie #f4e99' die ,kante #a4d 9 #aa1 s geht die ,begr5zung des ,s*att5s auf dem ,sockel s5kre*t 9 die ,hhe na* #ab4 ,auf d] ob]5 ,fl*e des ,sockels gibt dann die ,l9ie von #ac na* #ab die ,gr5ze des ,s*att5s und es kann zur ,kontrolle di551 da sie als e9 ,grunds*att5 na* ,sh lauf5 mu4 ,f]n] bef9d5 si* die dur* die ,kante #ac4e geh5de ,fl*e des ,obelisk5 und die d>an si* s*lieende dur* #e4i geh5de ,deckfl*e im ,s*att51 0 dur* ,s*raffi]ung ang$eutet i/4 ,endli* mag no* bem]kt w]d51 da man d5 ,punkt ,s au* ob]halb des ,horizonts annehm5 kann4 ,dann hat d] ,bes*au] die ,li*tquelle vor si* und die ,s*att5 bild5 si* im ,bilde na* vorne aus4 #af4 ,kn/l]is*e ,freiheit54 #db4 ,frei]e ,ge/altung des ,bildes4 ,am ,s*lusse uns]] ,betra*tung5 angelangt1 woll5 wir uns no* d>b] kl> w]d51 0 die ,lehre von d] ,p]spektive uns bietet1 s da wir uns von e9] b]s*tzung dies] ,wiss5s*aft 9 glei*] ,weise f]nhalt5 wie von e9] ,unt]s*tzung4 ,die ,aufgabe d] ,p]spektive hab5 wir d>9 erkannt1 da sie uns e9 gesetzmig def9i]tes ,bild e9es ,geg5/&es lief]n soll1 das uns s[eit als mgli* d5 ,gesi*tse9druck ersetzt1 d5 wir von dem ,geg5/& erhalt54 ,tats*li* be/eht nun ab] das ,betra*t5 irg5de9es ,krp]s d>91 da wir se9e e9zeln5 ,teile d] ,reihe na* ins ,auge fass5 und uns]5 ,blick von e9] ,/elle zur &]5 gleit5 lass54 ,0 wir dabei zun*/ beurteil5 und abs*tz51 s9d die ,gesi*tsw9kel1 wel*e die ,blickl9i5 na* d5 e9zeln5 ,punkt5 des ,krp]s mite9&] e9s*lieen4 ,aus all5 dies5 ,beoba*tung5 und ,e9drck5 setz5 wir dann das ,bild des ,krp]s im ,auge zusamm54 ,da nun ab] ,w9kel dur* ,kreisbg5 gemess5 w]d51 s gelang5 wir naturgem dazu1 um das ,auge ,o e9e ,kugel mit e9em beliebig5 ,radius zu bes*reib5 und die na* d5 e9zeln5 ,punkt5 des ,objektes geh5d5 ,blickl9i5 mit dies] ,kugel zum ,s*nitt zu br+54 ,das heit dann ab] ni*ts &]es1 als da wir das ,objekt aus dem ,mittelpunkt auf die ,kugelfl*e projizi]54 ,e9 sol*es auf d] ,inn5seite e9] ,kugelfl*e geleg5es ,bild1 das aus dem ,mittelpunkt d] ,kugel betra*tet wird1 g5gt all5 ,anspr*54 ,es kann fr beliebig groe ,teile des ,raumes h]ge/ellt w]d53 e9 ,panorama knnte z4 ,b4 9 dies] ,weise e+]i*tet se94 ,die g]ad5 ,l9i5 des ,raumes geh5 9 grte ,kreise auf d] ,kugel b]4 ,9 d5 all]mei/5 ,fll5 ab] v]lang5 wir aus ,bequemli*keitsgrnd51 da die ,abbildung des ,geg5/&es auf e9] eb55 ,fl*e erfolgt2 wir woll5 das ,bild 9 e9em ,bu*e1 9 e9] ,mappe od] an d] ,w& hab5 und desweg5 i/ das auf e9] ,kugel geleg5e ,bild fr gewhnli* ni*t zu gebrau*54 ,dann liegt es ab] nahe1 die ,kugelfl*e dur* e9e ,eb5e zu ersetz5 9 d] ,weise1 da wir e9e ,eb5e e9fhr51 wel*e im ,punkte a d] ,kugel auf dem ,radius oa s5kre*t /eht 7,fig4 #he74 ,man n5nt diese ,eb5e e9e ,b]hrungseb5e od] ,tang5tialeb5e d] ,kugel4 ,/att auf die ,kugel projizi]5 wir nun die ,geg5/nde auf diese ,eb5e und s9d damit zu d] ,abbildung gelangt1 wie sie die ,p]spektive lief]t4 ,9 d] ,na*b>s*aft des ,punktes a s*miegt si* die ,b]hrungseb5e d] ,kugel an und beide ,abbildung51 die auf d] ,kugel und die auf d] ,eb5e1 /imm5 s ziemli* b]e94 ,je grer ab] d] ,auss*nitt des ,raumes wird1 d5 wir abbild51 um s /rk] wei*5 die beid5 ,abbildung5 vone9&] ab4 ,illu/ration3 ,fig4 #he4 ,es i/ ab] wohl zu bea*t51 da die ,blickri*tung bei ,betra*tung des eb55 ,bildes imm] mit ,oa zusamm5fall5 mu4 ,dreh5 wir d5 ,kopf seitwrts1 s da wir z4 ,b4 9 d] ,ri*tung ,ob seh51 s mss5 wir uns die 9 b b]hr5de ,eb5e als ,tafel e+efhrt d5k54 ,man knnte nun auf d5 ,g$ank5 komm51 die ,bild]1 wie sie d5 ,blickri*tung5 oa1 ob1 oc 444 und d5 9 dies5 ,punkt5 kon/rui]t5 ,b]hrungseb55 entspre*51 e9fa* zu e9em ,gesamtbild zu v]e9ig54 ,ab] au* dies] ,v]su* wrde auf groe ,s*wi]igkeit5 /oen4 ,nehm5 wir etwa an1 es wre e9e ,reihe glei*groer v]tikal] ,pfeil] 7,i1 ,,ii1 ,,iii 4447 wie 9 ,fig4 #cf1 #cg d>zu/ell54 ,dann wre das ,bild des mittl]5 ,pfeil]s ,,iii am grt5 und na* beid5 ,seit5 zu wrd5 die ,bild] kle9] w]d54 ,die ,v]b9dungsl9i5 d] ob]5 und d] unt]5 ,endpunkte wr5 ke9e ,g]ad5 mehr1 sond]n krumme ,l9i51 die ob]e wrde si* na* unt51 die unt]e na* ob5 krmm54 ,wir mt5 also dann d5 ,grundsatz opf]n1 da g]ade ,l9i5 si* wi$] 9 g]ade ,l9i5 abbild5 und damit wrde die ,h]/ellung sol*] ,bild] ungeme9 ers*w]t4 ,das s*liet nun ab] ni*t aus1 da gewisse ,e9zelheit5 9 e9em p]spektivis*5 ,bilde1 nam5tli* geg5 d5 ,r& zu1 ni*t s gezei*net w]d5 drf51 wie es mehr d] direkt5 ,blickri*tung entspri*t4 ,nam5tli* fr m5s*li*e ,figur5 ergeb5 si* unang5ehm wirk5de ,v]z]rung51 indem die ,kpfe und ,krp] zu breit w]d5 und zu all5 ,zeit5 hab5 si* die ,kn/l] dann e9] frei]5 ,d>/ellung b$i5t4 ,e9e ,reihe glei*groer ,sul51 die p>allel zur ,bildeb5e angeordnet s9d1 w]d5 im ,bilde glei*gro wi$]gegeb51 whr5d die uer5 breit] se9 mt51 e9e ,kugel1 die seitwrts im ,bilde zu seh5 i/1 wird dur* e95 ,kreis wi$]gegeb5 und ni*t dur* e9e ,ellipse4 ,9 ,raffaels ,s*ule von ,a!n 7,abb4 #h1 ,seite #ga7 s9d1 um e9 ,beispiel zu geb51 re*ts bei d] ,gruppe d] ,a/ronom5 zwei ,kugeln d>ge/ellt3 die ob]e wird dur* e9e ,ellipse1 die unt]e wohl dur* e95 ,kreis wi$]gegeb54 ,diese und hnli*e ,mild]ung5 d] p]spektivis*5 ,s*ablone kann man ruhig dem ,ges*mack des ,kn/l]s b]lass54 ,w5n er si* nur b] die ,hauptgesetze d] ,l9i5fhrung im kl>5 i/1 wird er au* die e9e od] &]e ,abwei*ung als zweckdi5li* erk5n54 ,d5n die p]spektivis*e ,zei*nung i/ ni*t ,selb/zweck1 sond]n nur e9 ,mittel zum ,zweck4 ,es wird ab] au* hi] das ,wort gelt53 ,und das ,gesetz nur kann uns ,freiheit geb54 ,lit]aturv]zei*nis4 ,s*lotke1 ,j41 ,lehrbu* d] d>/ell5d5 ,geometrie4 ,,iii4 ,teil4 ,p]spektive4 #b4 ,aufl4 ,dresd5 #aijb4 ,ma!matis* dur*gefhrt] ,lehrgang1 9 elem5t>] ,weise gut und ans*auli* begrndet4 ,kleib]1 ,m41 ,angew&te ,p]spektive4 #e4 ,aufl4 ,web]s illu/ri]te ,kate*ism54 ,nr4 #acg4 ,leipzig #aiab4 ,gute1 praktis*e und dur* viele ,beispiele erlut]te ,d>/ellung4 ,hauck1 ,g41 ,mal]is*e ,p]spektive und ,s*att5kon/ruktion54 ,b]l9 #aiaj4 ,niemann1 ,g41 ,h&bu* d] ,l9e>-,p]spektive fr bild5de ,kn/l]4 #b4 ,aufl4 ,/uttg>t #aijb4 ,meisel1 ,f41 ,lehrbu* d] ,p]spektive4 ,leipzig #aijh4 ,dalwigk1 v4 ,f41 ,vorlesung5 b] d>/ell5de ,geometrie4 #b4 ,bd4 ,p]spektive4 ,leipzig u4 ,b]l9 #aiad4 ,rohn u4 ,papp]itz1 ,lehrbu* d] d>/ell5d5 ,geometrie4 #c ,bnde4 ,die ,p]spektive en?lt d] #b4 ,bd4 ,leipzig #aijf4 ,sa*regi/]4 7,die beigefgt5 ,zahl5 geb5 die betreff5de ,seite des ,bu*es an47 ,a*se1 optis*e e9es ,objektives #fd hnli*e ,figur5 #de1 #gh hnli*keitspunkt #gh ,app>at1 photographis*] #fd ,aufri #aj ,aufsi*t #ej ,auge #d1 #af ,augpunkt #af ,aug5hhe #be ,beleu*tung dur* p>alleles ,li*t #if ,bildeb5e #d ,bild1 p]spektivis*es #c ff4 --1 photographis*es #fd1 #gd -- e9es ,punktes #d ,breit5ma/ab #ej ,br5nweite e9es ,objektives #fe ,deck5ri #ij ,diagonale e9es ,quadrates #bf ,diagonalpunkt #eg ,di/anz #af ,di/anzpunkt #be ,eig5s*att5 #ii ,e9/ellung auf ,un5dli* #fe ,ellipse als ,bild e9es ,kreises #ic1 #ie ,fall5de ,l9i5 im ,bilde #dj -- -- im ,raum #ei1 #fj ,flu*t1 ,flu*tpunkt e9] ,g]ad5 #bj ,flu*tpunkt-,l9eal #hf ,freiheit51 kn/l]is*e #ii ,g]ade ,ansi*t #eh ,g]ad] ,ri #g ,gesi*tsw9kel #df ,gesamte9druck #fi ,grundeb5e #bd ,grundl9ie #bd ,grundri #aj ,grunds*att5 #ig ,hauptpunkt #af ,hh5ma/ab #dc1 #dd1 #ej ,horizont #ah ,horizontale ,g]ade #ci ,horizonteb5e #af1 #ah ,horizontalprojektion #aj ,hyp]bel als ,bild e9es ,kreises #ie ,inn5raum #ej1 #gc ,int]ieur #ej1 #gc ,kante #aa ,kell]grundri #ij ,kreis 9 d] ,grundeb5e #ib -- 9 e9] ,horizontaleb5e #ib -- -- -- zur ,tafel p>allel5 ,eb5e #ij -- -- -- ,tief5eb5e #ic ,l9e>p]spektive #e ,l9i5p]spektive #e ,mittelpunkt e9es ,objektives #fd -- e9] ,ellipse #ic1 #ie ,or?ogonal] ,ri #g ,optis*e ,a*se e9es ,objektives #fd ,p>abel als ,bild e9es ,kreises #ie ,p>allelprojektion #ac ,p]spektive #e ,p]spektograph #ai ,p]spektivis*es ,bild #c ff4 ,projektion #g ,projektions/rahl5 #d ,projektionsz5trum #af ,projizi]5de ,/rahl5 #d ,r$uktion #eb ,ri1 g]ad]1 re*tw9klig] #g --1 z5tral] #d ,satz vom ,flu*tpunkt #bb ,s*iefe ,g]ade im ,raum #ei ,s*lags*att5 #ii ,s*nittme?ode #ac ,s*rgbild] #ac ,s*rge ,ansi*t #eh ,seh/rahl5 #d ,seit5ansi*t #ea ,spur e9] ,g]ad5 #bj ,/eig5de ,l9i5 im ,bilde #dj -- -- -- ,raum #ei1 #fj ,/rz5de ,l9i5 #ff ,tafel #d ,tief5eb5e #da ,tief5l9ie #be ,tief5ma/ab #cc1 #ej b]eck/ellung #eh ,umgelegtes ,auge #cd1 #cg ,umlegung des ,auges #cd -- d] ,grundeb5e #cg -- -- ,horizonteb5e #ce1 #cg ,unt]si*t #ea ,unzugngli*] ,di/anzpunkt #ge -- ,flu*tpunkt #gg ff4 ,v]jngung #eb ,v]s*iebung d] ,grundeb5e #bg ,v]s*w9dungspunkt e9] ,g]ad5 #bj ,v]tikalprojektion #aj ,vogelp]spektive #fh ,weitw9kel #gd ,z5tralprojektion #d ,zusamm5leg5 d] ,tafeln #aa ,ges*i*te d] bild5d5 ,kn/e ,e9e ,e9fhrung von ,dr4 ,ern/ ,cohn-,wi5]4 ,geb4 ca4 ,m4 #d4-- ,das ,bu* w ke9 hi/oris* geordnetes ,na*s*lagebu* se91 sond]n mgli*/ viel vom ,wes5 d] ,kun/ und des ,kun/w]kes geb54 ,es su*t neb5 dem bloen ,wiss5 die ,freude am ,kun/w]k zu v]mitteln1 erk5n5 zu lass51 da h9t] dem ,w]k d] ,kn/l] als s*pf]is*e ,p]snli*keit /eht4 ,se9e ,aufgabe1 d] ,selb/belehrung und als ,lehrbu* zu di551 su*t es ni*t zu ls51 indem es dur* ob]fl*li*e ,beh&lung e9es v]wirr5d5 ,viel]ei mitzur$5 befhigt1 sond]n dur* e+eh5de1 ,bildhaftigkeit und ,ans*auli*keit an/reb5de ,bespre*ung d] beh&elt5 ,kun/w]ke su*t es dem ,les] d5 inn]5 ,gehalt d] ,kun/epo*5 s vor ,aug5 zu /ell51 da er au* die ,w]ke1 die das ,b*le9 selb/ ni*t erwhn5 kann1 zu v]/eh5 v]mag4 ,e9e rei*e ,zahl von ,abbildung5 -- d>unt] au* f>bige -- di5t d] ,ans*auli*keit4 ,die neue/e ,zeit i/ besond]s e+eh5d beh&elt word51 weil hi] das ,b$rfnis am unmittelb>/5 i/4 ,elem5t>gesetze d] bild5d5 ,kun/ ,grundlag5 e9] praktis*5 /hetik von ,pr(4 ,dr4 ,hans ,cornelius4 #b4 ,auflage4 ,mit #bde ,abb4 und #ac ,tafeln4 ,geh4 ,m4 #g4--1 geb4 ,m4 #h4-- ,es gibt ke9 ,bu*1 9 dem die elem5t>/5 ,gesetze kn/l]is*] ,raumge/altung s kl> und ans*auli* d>gelegt1 s b]zeug5d abgeleitet wr54 ,wir hab5 hi] zum er/5 ,male e9e zusamm5fass5de1 an zahlrei*5 e9fa*5 ,beispiel5 erlut]te ,d>/ellung d] wes5tli*/5 ,b$+ung51 von d55 nam5tli* die pla/is*e ,ge/altung 9 ,ar*itektur1 ,pla/ik und ,kun/gew]be abhngt4 7,zeits*rift fr /hetik47 ,die bild5d5 ,kn/e ,ihre ,eig5>t und ihr ,zusamm5hang4 ,vorlesung von ,pr(essor ,dr4 ,k>l ,doehlemann4 ,geheftet ,m4 --4#hj ,e9e tiefgrndige ,bespre*ung d] bild5d5 ,kn/e -- ,mal]ei1 ,pla/ik und ,ar*itektur umfass5d -- 9 dur*weg anreg5d] ,=m4 ,die ,fa*welt wie die gebildet5 ,/nde w]d5 die ,s*rift mit hoh] ,befri$igung aufnehm54 7,wi5] ,bau9du/rie-,ztg47 ,uns] ,v]hltnis zu d5 bild5d5 ,kn/5 ,von ,pr(4 ,dr4 ,augu/ ,s*m>s[4 ,geh4 ,m4 #b4--1 geb4 ,m4 #b4fj ,diese ,vortrge bild5 d5 w]tvoll/5 ,beitrag zur ,lit]atur b] die ,kun/]ziehungsfrage4 ,s*m>s[ entwickelt se9e ,ans*auung b] das ,v]hltnis d] ,kn/e zue9&]1 um zu zeig51 wie j$e e9zelne e9] besond]5 ,seite d] m5s*li*5 ,organisation entspre*e1 wie d>um au* alle ,kn/e eng mite9&] v]knpft s9d1 da alle von e9em ,organismus aus/rahl54 7,deuts*e ,lit]aturzeitung47 ,psy*ologie d] ,kun/ ,d>/ellung ihr] ,grundzge4 ,von ,dr4 ,r4 ,mll]-,frei5fels4 #b ,bde4 ,i3 ,die ,psy*ologie d4 ,kun/g5ieens u4 d4 ,kun/s*aff5s4 ,,ii3 ,die ,=m5 d4 ,kun/w]ks u4 d4 ,psy*ol4 d4 ,bew]tung4 ,je ,m4 #d4dj1 9 #a ,bd4 ,m4 #aj4-- ,0 diesem ,w]ke ,bea*tung und ,an]k5nung erworb5 hat1 i/ zum ,teil d] ,um/&1 da es zu d5 sehr selt55 wiss5s*aftli*5 deuts*5 ,b*]n gehrt1 die au* e95 /hetis*5 ,w]t besitz51 aus d55 e9e ,p]snli*keit spri*t1 die b] e9e gute ,beh]rs*ung des gesamt5 psy*ologis*5 und /hetis*5 ,/(fes und b] e9e ungewhnli*e ,gabe d] ,syn!se v]fgt4 7,zeits*rift fr /hetik47 ,die ,natur 9 d] ,kun/ ,/ud4 e9es ,natur=s*]s z4 ,ges*i*te d4 ,mal]ei4 ,von ,pr(4 ,dr4 ,f4 ,ros54 ,m4 #abj ,abb4 na* ,zei*n4 von ,e4 ,s u4 ,photographi5 d4 ,v]f4 ,geb4 ,m4 #ab4-- 444 ,botanik und ,kun/ges*i*te -- zwei ,diszipl951 die e9&] fremd geg5b]zu/eh5 s*e956 ,und do*1 wieviel neu5 ,/(f ergibt dieses doppelte ,/udium4 ,mit wa*s5dem ,int]esse folg5 wir dem ,fhr] und w&eln mit ihm von ,/ufe zu ,/ufe empor4 ,zum ,g5u des anreg5d5 ,bu*es trag5 au* die viel5 ,abbildung5 bei4 7,kun/*ronik47 ,v]lag von ,b4 ,g4 ,teubn] 9 ,leipzig und ,b]l9 ,ma!matik und ,mal]ei4 ,von ,ob]lehr] ,dr4 ,g4 ,wolff4 ,mit #be ,abb4 und #ai ,fig4 im ,text4 ,k>t4 ca4 ,m4 #a4fj ,die nah5 hi/oris*5 ,beziehung5 zwis*5 ,mal]ei und ma!matis*] ,p]spektive w]d5 dazu b5utzt1 um aus =mal] ,d>/ellung e9es ,bildes dess5 kn/l]is*5 ,w]t zu beurteil54 ,d] #a4 ,teil entwickelt im eng/5 ,ans*lu an die ,mal]ei die ,grundlag5 d] mal]is*5 ,p]spektive4 ,d] #b4 ,teil analysi]t mit d5 s gewonn55 ,mitteln e9zelne p]spektivis* besond]s lehrrei*e ,bild]4 ,die altdeuts*5 ,mal] 9 ,sddeuts*l&4 ,von ,hel5e ,nemitz4 ,mit ,bild]anhang ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,das ,bnd*5 su*t das ,v]/ndnis fr die ,eig5>t und ,gre d] altdeuts*5 ,mal]ei des #ae4 ,jahrhund]ts und s d5 ,s9n fr die 9 ihr5 ,w]k5 si* (f5b>5de e*t deuts*e ,s*nheit zu weck54 ,es zeigt1 wie das kraftvolle1 tief9n]li*e ,gefhlsleb5 j5] ,zeit kaum irg5dwo e9e kn/l]is* re9]e ,ausprgung und ,v]klrung gefund5 hat als 9 d5 ,bild]n d] ,mei/] ,sddeuts*l&s4 ,albre*t ,dr]4 ,v4 ,dr4 ,r4 ,wu/mann4 ,m4 ,titelbild u4 #cb ,abb4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,e9e s*li*te und knappe ,erzhlung des gewaltig5 m5s*li*5 und kn/l]is*5 ,entwicklungsganges ,dr]s und e9e ,d>/ellung se9] ,kun/1 9 d] na*e9&] ,selb/- und ,angehrig5bildnisse1 die ,zei*nung5 zur ,apokalypse1 die ,d>/ellung5 von ,mann und ,weib1 das ,m>i5leb51 die ,/iftungsgemlde1 die ,radi]ung5 v4 ,ritt]tum1 ,trau] und ,heiligkeit s[ie die wi*tig/5 ,w]ke aus d] ,zeit d] ,reife beh&elt w]d54 ,ni$]lndis*e ,mal]ei im #ag4 ,jahrhund]t4 ,von ,dr4 ,h4 ,jantz54 ,mit #cg ,abb4 ,geh4 ,m4 #a4--1 9 ,lw4 geb4 ,m4 #a4be ,gibt e9e ,e9fhrung 9 das ,v]/ndnis dies] ,bltezeit d] ,mal]ei1 indem es die zahlrei*51 dort 9 imm] neu5 ,/(fgebiet53 ,hi/ori5mal]ei1 ,portrt1 ,grupp5bild1 ,sitt5bild1 ,int]ieur1 ,l&s*aft1 ,see/ck1 ,kir*5/ck1 ,/illeb5 auftau*5d5 mal]is*5 ,probleme s[ie ihre gesetzmig5 ,zusamm5hnge d>legt und die e9zeln5 h]vortret5d5 ,kn/l]p]snli*keit5 und -grupp5 kurz und treff5d *>akt]isi]t4 ,rembr&t4 ,v4 ,pr(4 ,dr4 ,p4 ,s*ubr+4 ,mit #a ,titelb4 u4 #bai ,abb4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,e9e leb5svolle ,s*ild]ung des m5s*li*5 u4 kn/l4 ,entwicklungsganges ,r's4 ,zur ,d>/ellung gelang5 se9e p]snl4 ,s*icksale bis #afdb1 die ,frhzeit1 die ,zeit bis zu ,saskias ,tode1 die ,na*twa*e1 se9 ,v]hltnis zur ,bibel1 die ,radi]ung51 ,urkundli*es b] die ,zeit na* #afdb1 die ,p]iode des f>big5 ,helldunkels1 die ,gemlde na* d] ,na*twa*e und die ,sptzeit4 ,beigefgt s9d die beid5 lte/5 ,biographi5 ,rembr&ts4 ,die deuts*e ,mal]ei im #ai4 ,jahrhund]t4 ,von ,pr(4 ,dr4 ,r4 ,hamann4 #a ,bd4 ,text1 #a ,bd4 ,abb4 ,geh4 je ,m4 #b4--1 9 ,lw4 geb4 je ,m4 #b4ej1 9 ,halbp]g4 geb4 ,m4 #f4-- ,h4 hat e9e ausgezei*nete ,d>/ellung des ,entwicklungsganges d] ,mal]ei im letzt5 ,jahrhund]t gegeb54 ,me9es ,wiss5s gibt es 9 d] ganz5 mod]n5 ,kun/ges*i*ts*reibung ke9e annh]nd s vortreffli*e ,d>/ellung des ,wes5s d] ,mal]ei seit #ahfj bis zum ,e9bru* des ,naturalismus1 als sie ,h4 im #f4 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,leb5 d] bild5d5 ,kun/4 ,von ,dr4 ,!odor ,volbehr4 ,mit #dd ,abb4 ,geh4 ,m4 #a4--1 9 ,le9w4 geb4 ,m4 #a4be ,im ,geg5satz zu d5 ,komp5di5 und ,leitfad5 alt5 ,/ils1 die1 die ,/ile na* ihr5 uer5 ,m]kmal5 klassifizi]51 su*t d] ,v]fass] von e9em neu5 ,/&punkte aus 9 das ,v]/ndnis des ,wes5s d] bild5d5 ,kun/ h9e9zufhr54 ,9 dur*aus allgeme9v]/ndli*] ,d>/ellung fhrt uns das ,bu* 9 das ,v]/ndnis d] ,kn/l]p]snli*keit als des fr die ,kun/ ents*eid5d5 ,faktors e94 ,die ,entwicklung eig5] ,ansi*t5 v]leiht dem fe9s9nig5 ,bu*e hoh5 ,reiz1 s da es au* d] ,kn/l] u4 d] ,kun/gelehrte ni*t ohne ,anteilnahme les5 wird4 7,zeits*rift f4 d4 gew]bl4 ,unt]ri*t47 ,die ,entwicklungsges*i*te d] ,/ile 9 d] bild5d5 ,kun/4 ,von ,dr4 ,ern/ ,cohn-,wi5] ,bd4 ,i3 ,vom ,alt]tum bis zur ,gotik4 ,mit #eg ,abb4 ,bd4 ,,ii3 ,von d] ,r5aissance bis zur ,geg5w>t4 ,mit #ca ,abb4 ,geh4 je ,m4 #a4--1 9 ,lw4 geb4 je ,m4 #a4be 444 ,e9 fe9s9niges1 9 hohem ,grade anreg5des ,w]k von ersi*tli* />k] ,selb/ndigkeit se9es gei/ig5 ,gehaltes4 ,wir empfehl5 ,cohns ,d>legung5 mit ihrem kl>51 ang5ehm5 ,flu d4 ,d>/ellung d] na*d5kli*5 ,k5ntnisnahme4 7,/4 ,gall] ,bl47 ,zur ,ar*itektur u4 ,pla/ik des frh]5 ,mittelalt]s4 ,unt]su*ung5 v4 ,dr4 ,g4 ,weise4 ,m4 ,abb4 ,u4 d4 ,pr4 ,die hi] v]e9igt5 ,e9zelunt]su*ung5 woll5 als ,vor>beit5 zu e9] umfass5d5 ,ges*i*te d] ,ar*itektur und ,pla/ik des frh]5 ,mittelalt]s neue ,ergebnisse fr die wi*tig/e ,voraussetzung zur ,erk5ntnis ihres ,entwicklungsganges dur* e9e mgli*/ g5aue ,dati]ung d] erhalt55 ,w]ke gew9n5 und s fr die k>ol+is*e und m][+is*e ,zeit e9e ,v]mehrung dieses ,mat]ials lief]n4 ,9 drei ,aufstz5 s9d die ,ergebnisse d] von dem ,v]fass] 9 jng/] ,zeit an v]s*i$55 k>ol+is*5 ,d5kml]n dur*gefhrt5 ,grabung5 ni$]gelegt4 ,e9e ,reihe kle9]] ,aufstze br+5 d5 ,v]su*1 das heute d] ,=s*ung zugngli*e ,mat]ial an k>ol+is*5 ,d5kml]n dur* ,rekon/ruktion e9zeln] v]s*wund5] ,baut5 auf ,grund d] ,quell5na*ri*t5 zu b]ei*]n4 ,mi*elangelo4 ,e9e ,e9fhrung 9 das ,v]/ndnis se9] ,w]ke4 ,von ,pr(4 ,ed4 ,hildebr&4 ,mit #a ,titelbild u4 #dc ,abb4 i4 ,text4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,dies ,bu* drfte zu d5 be/5 populr5 ,w]k5 b] ,m4 gehr54 ,9 b]zeug5d51 kl>5 ,wort5 beh&elt d] ,v]fass] das b]m5s*li*e ,w]k dieses groen ,mei/]s1 se9 ,leb5 und se9 ,wirk54 ,b*] wie diese s9d dazu ges*aff51 tief]es ,int]esse an d] ,kun/ zu erzeug51 zur ,v]$elung d4 ,masse im be/5 ,s9ne beizutrag54 7,d] ,ar*itekt47 ,deuts*e ,baukun/4 ,von ,geh4 ,reg4-,rat ,pr(4 ,dr4 ,ad4 ,mat?aei4 #c ,bnde4 ,bd ,i3 ,deuts*e ,baukun/ im ,mittelalt]4 #c4 ,aufl4 ,mit #bi ,abb4 ,bd4 ,,ii3 ,deuts*e ,baukun/ seit dem ,mittelalt] bis zum ,ausgang des #ah4 ,jahrhund]ts4 ,mit #fb ,abb4 und #c ,tafeln4 ,bd4 ,,iii3 ,deuts*e ,baukun/ im #ai4 ,jahrhund]t und 9 d] ,geg5w>t4 ,mit #ce ,abb4 ,geh4 je ,m4 #a4--1 geb4 je ,m4 #a4be1 9 #a ,bd4 geb4 ,m4 #c4ge 444 ,9 bndig]1 b]aus v]/ndli*] ,spra*e entrollt d] ,v]fass] die ,entwicklungsges*i*te d] deuts*5 ,baukun/4 ,das ,bu* i/ s re*t geeignet1 das zu erfll51 0 d] ,v]fass] am ,s*lusse des ,bu*es als ,zweck desselb5 ausspri*t3 ,d5 ,lai5 ,kl>heit s*aff5 b] die ,frag5 d] ,baukun/ und die ,kn/l] auf j5e ,zeit h9weis51 9 d] die ,baukun/ d] ,ausdruck deuts*5 ,wes5s w>1 und 9 d55 no* man*e entwicklungsfhig5 ,keime ruh5 drft54 7,kun/ und ,h&w]k47 ,die ,entwicklungsphas5 d] neu]5 ,baukun/4 ,von ,dr4 ,paul ,frankl4 ,mit #ej ,abb4 im ,text u4 #bd ,abb4 auf ,tafeln4 ,geh4 ,m4 #f4--1 geb4 ,m4 #g4ej ,inhalt3 ,problem u4 ,me?ode4 ,die ,entwicklungsphas5 d] ,raum=m -- d] ,krp]=m -- d] ,bild=m -- d] ,zweckges9nung4 ,das ,unt]s*eid5de und das ,geme9same d] vi] ,phas54 ,das ,problem1 die ,ar*itektur/ile seit d] ,r5aissance /r5g zu def9i]51 wird hi] von neuem aufg5omm54 ,die ,me?ode i/ die1 da die vi] ,elem5te d] ,ar*itektur1 ,raum=m1 ,krp]=m1 ,bild=m und ,zweckges9nung1 fr si* unt]su*t w]d5 und die ,/ilm]kmale1 die fr j$e d] ,/ilphas51 ,r5aissance1 ,b>ock1 ,rokoko und ,klassizismus1 als die ents*eid5d5 gelt5 soll51 auf die allgeme9/e ,=muli]ung gebra*t w]d54 ,d] geme9same ,grundzug d] ganz5 ,p]iode i/ die ,beziehung zur ,antike zun*/ und d>aus folg5d zu e9em die ,kun/ v]wiss5s*aftli*5d5 ,begriff von ,ri*tigkeit1 d] zuletzt si* ausweitet zu e9em ,neb5e9&] und ,na*e9&] an]kannt] ,/ilri*tigkeit5 im #ai4 ,jahrhund]t4 ,die ,begrndung d] mod]n5 /hetik und ,kun/wiss5s*aft dur* ,leon ,batti/a ,alb]ti4 ,e9e kritis*e ,d>/ellung als ,beitrag zur ,grundlegung d] ,kun/wiss5s*aft4 ,von ,dr4 ,w4 ,flemm+4 ,unt] d] ,presse4 ,mu ,galilei d] ,begrnd] d] mod]n5 ,naturwiss5s*aft g5annt w]d51 s d>f se9 etwas lt]] ,zeitg5osse ,l4 ,b4 ,alb]ti d] ,vat] d] mod]n5 ,kun/wiss5s*aft heien4 ,b$eutungsvoll] no* als se9e ,e9zel]gebnisse i/ se9e ,me?ode4 ,diese h]auszu>beit51 ihre ,fru*tb>keit zu erweis5 und also d5 ,weg des ,flor5t9]s weit]zus*reit51 i/ das ,ziel dies] ,d>/ellung4 ,planimetrie zum ,selb/unt]ri*t4 ,von ,pr(4 ,p4 ,crantz4 ,mit #ii ,fig4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,ma*t1 ohne auf wiss5s*aftli*e ,/r5ge zu v]zi*t51 9 e9fa*] und allgeme9 v]/ndli*] ,d>/ellung1 die dur* hi/oris*e ,bem]kung5 belebt wird1 mit d5 ,grundlehr5 d] eb55 ,geometrie v]traut1 wobei besond]s d] ,zusamm5hang d] e9zeln5 ,stze und ihr ,nutz5 dur* ,angabe praktis*] ,anw5dung5 h]vorgehob5 wird und rei*li*e bungsaufgab5 neb/ ,lsung5 beigegeb5 s9d4 ,ari?metik und ,algebra zum ,selb/unt]ri*t4 ,v4 ,pr(4 ,p4 ,crantz4 #b ,bde4 ,i4 ,teil3 ,die ,re*nungs>t54 ,glei*ung5 er/5 ,grades mit e9] u4 mehr]5 ,unbekannt54 ,glei*ung5 zweit5 ,grades4 ,mit #i ,fig4 #c4 ,aufl4 ,,ii4 ,teil3 ,glei*ung54 ,ari?metis*e u4 geometris*e ,reih54 ,z9sesz9s- u4 ,r5t5re*nung4 ,komplexe ,zahl54 ,b9omis*] ,lehrsatz4 ,mit #ba ,fig4 #b4 ,aufl4 ,j$] ,bd4 geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be 444 ,w 9 lei*t fali*] u4 fr das ,selb//udium geeignet] ,d>/ellg4 b] d4 ,anfangsgrnde d] ,ari?metik u4 ,algebra unt]ri*t54 ,eb5e ,trigonometrie z4 ,selb/unt]ri*t4 ,von ,pr(4 ,p4 ,crantz4 ,mit #ej ,fig4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,w wie die &]n 9 d] ,sammlung ,aus ,natur und ,gei/eswelt ers*i555 ,bnd*5 b] ,ari?metik und ,algebra und die ,planimetrie 9 lei*t v]/ndli*] ,weise mit d5 ,grundlehr5 d] ,trigonometrie bekannt ma*54 ,voll/ndig gel/e ,aufgab5 und praktis*e ,anw5dung5 s9d zur ,erlut]ung e+efgt4 ,analytis*e ,geometrie zum ,selb/unt]ri*t4 ,v4 ,pr(4 ,p4 ,crantz4 ,mit #ee ,fig4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,die fr d5 ,selb/unt]ri*t be/immte lei*t v]/ndli*e ,d>/ellung fhrt nam5tli* dur* ,beigabe zahlrei*] ausfhrli* gel/] ,aufgab5 ras* zu vllig] ,beh]rs*ung des ,/(fes4 ,e9fhrung 9 die projektive ,geometrie4 ,von ,pr(4 ,dr4 ,m4 ,za*>ias4 ,mit #ah ,fig4 ,k>t4 ,m4 --4#hj ,d] ,les] bekommt e9 kl>es ,bild von d] ,ent/ehung d] projektiv5 ,geometrie1 er kann v]folg51 wie sie si* allmhli* zur ,geometrie d] ,lage entwickelt hat4 ,mhelos l]nt er e9e ,reihe d] wi*tig/5 ,lehrstze 9 diesem ,gebiete k5n5 und sieht1 wel*e ,aufgab5 mit ,hilfe dies] ,stze gel/ w]d5 knn54 ,gute1 9 d5 ,text e+]eihte ,figur5 unt]/tz5 im hoh5 ,mae das ,v]/ndnis d] !oretis*5 ,ausfhrung54 ,wir knn5 die ,s*rift be/5s empfehl54 7,wo*5s*r4 f4 d4 ff5tl4 ,baudi5/47 ,kon/ruktion5 9 begr5zt] ,eb5e4 ,von ,direktor ,p4 ,zhlke4 ,mit #fe ,fig4 ,k>t4 ,m4 --4#hj ,selb/ erfahr5e ,fa*mnn] auf diesem ,gebiete w]d5 gewi ,neues f9d51 s die ,h9weise auf die lte/51 bei d5 ,aufgab5 9 ,frage komm5d5 ,fa*s*rift5 und e9ige ,kon/ruktion51 die b]haupt no* ni*t v]ff5tli*t word5 s9d 444 ,druck und ,aus/attung s9d tadellos4 ,es kann ,int]ess5t5 wrm/5s empfohl5 w]d54 7/]r4 ,zeits*r4 f4 ,v]messungswes47 ,s*att5kon/ruktion5 fr d5 ,gebrau* an ,baugew]ks*ul51 ,gew]bes*ul5 u4 hnl4 ,lehran/alt5 s[ie zum ,selb/unt]4 von ,baugew]ks*ullehr] ,j4 ,hempel4 ,mit #ea ,fig4 u4 #bj ,tafeln praktis*] ,beispiele 9 ,li*tdruck4 ,9 ,le9w4 geb4 ,m4 #e4-- ,von d4 ,voraussetzung ausgeh5d1 da alle9 e9 kl>es ,erfass5 des ,raumvorgangs d5 prakt4 ,zei*n] zum si*]5 ,kon/rui]5 befhig5 kann1 gibt d] ,v]fass] na* e9em e9leit5d5 ,text mit zahlr4 bungsbeispiel5 kurze ,erlut]ung5 d4 angew&t5 ,lsungsv]fahr54 -- ,d5 p>allelprojektiv5 ,s*att5kon/ruktion5 i/ no* e9e kle9]e ,gruppe p]spektivis*] ,s*att5kon/ruktion5 angefgt4 ,das ,li*t u4 die ,f>b54 #f ,vorles41 geh4 im ,volk%o*s*ulv]e9 ,mn*54 ,von ,pr(4 ,dr4 ,l4 ,graetz4 #c4 ,aufl4 ,mit #aag ,abb4 ,geh4 ,m4 #a4--1 9 ,le9w& geb4 ,m4 #a4be ,fhrt1 von d5 e9fa*/5 optis*5 ,ers*e9ung5 ausgeh5d1 zur tief]5 ,e9si*t 9 die ,natur des ,li*tes u4 d] ,f>b51 beh&elt1 ausgeh5d v4 d] s*e9b> g]adl9ig5 ,ausbreitung1 ,zurckw]fung und ,bre*ung des ,li*tes1 das ,wes5 d] ,f>b51 die ,beugungs]s*e9ung5 und die ,photographie4 ,die optis*5 ,in/rum5te4 ,von ,dr4 ,m4 von ,rohr4 #b41 v]m4 u4 v]b4 ,aufl4 ,mit #hh ,abb4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,w] die ,s*wi]igkeit5 u4 d5 ,umfang d] ,abbes*5 ,!orie d] optis*5 ,in/rum5te k5nt1 wird d] vortreffli*5 allgeme9 v]/ndli*5 ,d>/ellung se9e ,an]k5nung ni*t v]sag5 knn54 ,j$em1 d] si* b] d5 jetzig5 ,/& od] irg5de9e ,frage d] ,optote*nik ras* belehr5 w1 kann das ,bu* wrm/5s empfohl5 w]d54 7,/reffleurs militr4 ,zeits*rift47 ,das ,/]eoskop und se9e ,anw5dung54 ,von ,pr(4 ,?4 ,h>twig4 ,mit #dj ,abb4 im ,text u4 #ai /]eoskop4 ,taf4 ,geh4 ,m4 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