,anmerkungen zur ,transkription4 ,das ,original ist in ,fraktur gesetzt4 ,im ,orginal gesperrter ,text ist so ausgezeichnet4 ,im ,original in ,antiqua gesetzter ,text ist so markiert4 ,im ,original kursiver ,text ist so gekennzeichnet4 ,im ,original fetter ,text ist so dargestellt4 ,hochgestellte ,sterne sind so dargestellt3 ,a994 ,tiefgestellte ,indizes sind so dargestellt3 ,fb4 ,weitere ,anmerkungen zur ,transkription finden sich am ,ende des ,buches4 ,die ,sammlung ,aus ,natur und ,geisteswelt nunmehr schon ber #ejj ,bndchen umfassend1 will die ,errungenschaften von ,wissenschaft1 ,kunst und ,technik weiteren ,kreisen zugnglich machen und einem jeden die ,mglichkeit bieten1 auch auf ihm ferner liegenden ,gebieten deren ,fortschritte zu verfolgen4 ,sie bietet wirkliche ,einfhrungen in die ,hauptwissensgebiete fr den ,unterricht oder ,selbstunterricht1 wie sie den heutigen methodischen ,anforderungen entsprechen -- ein ,bedrfnis erfllend1 dem ,skizzen mit dem ,charakter von ,auszgen aus groen ,lehrbchern nie entsprechen knnen1 da solche vielmehr eine ,vertrautheit mit dem ,stoffe schon voraussetzen4 ,damit sie stets auf die ,hhe der ,forschung gebracht werden knnen1 sind die ,bndchen nicht1 wie die anderer ,sammlungen1 stereotypiert1 sondern werden -- was freilich die ,aufwendungen sehr wesentlich erhht -- bei jeder ,auflage durchaus neu bearbeitet und vllig neu gesetzt4 ,so konnte der ,sammlung auch der ,erfolg nicht fehlen4 ber #bjj ,bndchen liegen bereits in #b4 bis #f4 ,auflage vor1 insgesamt hat sie bis jetzt eine ,verbreitung von ber #c ,millionen ,exemplaren gefunden4 ,in den ,dienst dieser ,aufgabe haben sich darum auch in dankenswerter ,weise von ,anfang an die besten ,namen gestellt1 gern die ,gelegenheit benutzend1 sich an weiteste ,kreise zu wenden1 der ,gefahr der ,spezialisierung unserer ,kultur entgegenzuarbeiten an ihrem ,teil bestrebt4 ,so vermag die ,sammlung dem ,leser ein ,verstndnis dafr zu vermitteln1 wie die moderne ,wissenschaft es erreicht hat1 ber wichtige ,fragen von allgemeinem ,interesse ,licht zu verbreiten1 und ihn dadurch zu einem selbstndigen ,urteil zu befhigen4 ,alles in allem sind die schmcken1 gehaltvollen ,bnde1 denen von ,professor ,tiemann ein neues knstlerisches ,gewand gegeben1 durchaus geeignet1 die ,freude am ,buche zu wecken und daran zu gewhnen1 einen kleinen ,betrag1 den man fr ,erfllung krperlicher ,bedrfnisse nicht anzusehen pflegt1 auch fr die ,befriedigung geistiger anzuwenden4 ,durch den billigen ,preis ermglichen sie es tatschlich jedem1 auch dem wenig ,begterten1 sich eine ,bibliothek zu schaffen1 die das fr ihn ,wertvollste ,aus ,natur und ,geisteswelt vereinigt4 ,jedes der meist reich illustrierten ,bndchen ist in sich abgeschlossen und einzeln kuflich ,jedes ,bndchen geheftet ,mark #a4--1 in ,leinwand gebunden ,mark #a4be ,werke1 die mehrere ,bndchen umfassen1 auch in einem ,band gebunden ,leipzig1 #a4 ,januar #aiae ,b4 ,g4 ,teubner ,jedes ,bndchen geheftet ,m4 #a4--1 in ,leinwand gebunden ,m4 #a4be 997 auf ,wunsch auch in ,halbpergamentbnden zu ,m4 #b4-- ,zur bildenden ,kunst1 ,musik und ,schauspielkunst sind bisher erschienen3 ,allgemeine ,kunstwissenschaft1 ,kunstpflege ,bau und ,leben der bildenden ,kunst4 ,von ,direktor ,professor ,dr4 ,th4 ,volbehr4 #b4 ,auflage4 ,mit #dd ,abbildungen4 7,bd4 #fh4997 sthetik4 ,von ,professor ,dr4 ,r4 ,hamann4 7,bd4 #cde4997 ,kunstpflege in ,haus und ,heimat4 ,von ,superintendent ,r4 ,brkner4 #b4 ,auflage4 ,mit #bi ,abbildungen4 7,bd4 #gg47 ,kunstgewerbe ,deutsche ,kunst im tglichen ,leben bis zum ,schlusse des #ah4 ,jahrhunderts4 ,von ,professor ,dr4 ,b4 ,haendcke4 ,mit #fc ,abbildungen4 7,bd4 #aih47 ,geschichte der ,gartenkunst4 ,von ,regierungs-,baumeister ,chr4 ,ranck4 ,mit #da ,abbildungen4 7,bd4 #bgd47 ,kunstgeschichte ,die ,entwicklungsgeschichte der ,stile in der bildenden ,kunst4 ,von ,dr4 ,e4 ,cohn-,wiener4 #b ,bnde4 ,mit zahlreichen ,abbildungen4 7,auch in #a ,band gebunden47 ,bd4 ,i3 ,vom ,altertum bis zur ,gotik4 ,mit #eg ,abbild4 7,bd4 #cag4997 ,bd4 ,,ii3 ,von der ,renaissance bis zur ,gegenwart4 ,mit #ca ,abbildungen4 7,bd4 #cah4997 ,alte ,kunst ,die ,bltezeit der griechischen ,kunst im ,spiegel der ,reliefsarkophage4 ,eine ,einfhrung in die griechische ,plastik4 ,von ,dr4 ,h4 ,wachtler4 ,mit #h ,tafeln und #hb ,abbild4 7,bd4 #bgb4997 ,die dekorative ,kunst des ,altertums4 ,von ,dr4 ,fr4 ,poulsen4 ,mit #aab ,abbildungen4 7,bd4 #ded4997 ,pompeji1 eine hellenistische ,stadt in ,italien4 ,von ,professor ,dr4 ,fr4 v4 ,duhn4 #b4 ,auflage4 ,mit #fb ,abbildungen4 7,bd4 #aad47 ,michelangelo4 ,eine ,einfhrung in das ,verstndnis seiner ,werke4 ,von ,professor ,dr4 ,e4 ,hildebrandt4 ,mit #dd ,abbildungen4 7,bd4 #cib4997 ,die ,renaissancearchitektur in ,italien ,i4 ,von ,dr4 ,p4 ,frankl4 ,mit #ab ,tafeln und #bg ,textabbildungen4 7,bd4 #cha4997 ,neuere ,kunst ,die altdeutschen ,maler in ,sddeutschland4 ,von ,h4 ,nemitz4 ,mit einem ,bilderanhang 7,bd4 #dfd4997 ,albrecht ,drer4 ,von ,dr4 ,r4 ,wustmann4 ,mit #cc ,abbildungen4 7,bd4 #ig4997 ,rembrandt4 ,von ,professor ,dr4 ,p4 ,schubring4 ,mit #ej ,abbildungen4 7,bd4 #aeh4997 ,niederlndische ,malerei im #ag4 ,jahrhundert4 ,von ,dr4 ,h4 ,jantzen4 ,mit zahlreichen ,abbildungen4 7,bd4 #cgc4997 ,deutsche ,baukunst im ,mittelalter4 ,von ,professor ,dr4 ,a4 ,matthaei4 #c4 ,auflage4 ,mit #bi ,abbildungen4 7,bd4 #h4997 ,neuere ,kunst ,deutsche ,baukunst seit dem ,mittelalter bis zum ,ausgang des #ah4 ,jahrhunderts4 ,von ,professor ,dr4 ,a4 ,matthaei4 ,mit #fb ,abbildungen und #c ,tafeln4 7,bd4 #cbf4997 ,deutsche ,baukunst im #ai4 ,jahrhundert4 ,von ,professor ,dr4 ,a4 ,matthaei4 ,mit #ce ,abbildungen4 7,bd4 #dec4997 #ai4 ,jahrh4 ,die deutsche ,malerei im #ai4 ,jahrhundert4 ,von ,professor ,dr4 ,r4 ,hamann4 #b ,bnde ,text1 #b ,bnde mit #eg ganzseitigen und #bjj halbseitigen ,abbildungen4 7,bd4 #ddh--dea1 in #b ,doppelbnden1 auch in #a ,halbpergament zu ,m4 #f4--7 ,die ,maler des ,impressionismus4 ,von ,professor ,dr4 ,b4 ,lzr4 ,mit #cb ,abbildungen und #a farbigen ,tafel4 7,bd4 #cie4997 ,orient4 ,ostasiatische ,kunst und ihr ,einflu auf ,europa4 ,von ,direktor ,professor ,dr4 ,r4 ,graul4 ,mit #di ,abbildungen4 7,bd4 #hg47 ,neuere ,musikgeschichte ,haydn1 ,mozart1 ,beethoven4 ,von ,professor ,dr4 ,c4 ,krebs4 #b4 ,auflage4 ,mit #d ,bildnissen4 7,bd4 #ib47 ,die ,bltezeit der musikalischen ,romantik in ,deutschland4 ,von ,dr4 ,e4 ,istel4 ,mit #a ,silhouette4 7,bd4 #bci47 ,das ,kunstwerk ,richard ,wagners4 ,von ,dr4 ,e4 ,istel4 ,mit #a ,bildnis ,richard ,wagners4 7,bd4 #ccj47 ,die moderne ,oper4 ,von ,dr4 ,e4 ,istel 7,bd4 #die47 ,musiktheorie ,die ,grundlagen der ,tonkunst4 ,versuch einer genetischen ,darstellung der allgemeinen ,musiklehre4 ,von ,professor ,dr4 ,h4 ,rietsch4 7,bd4 #agh47 ,musikalische ,kompositionsformen4 ,von ,s4 ,g4 ,kallenberg4 #b ,bnde4 7,bd4 #dab1 #dac1 auch in #a ,band gebunden47 ,bd4 ,i3 ,die elementaren ,tonverbindungen als ,grundlage der ,harmonielehre4 7,bd4 #dab47 ,bd4 ,,ii3 ,kontrapunktik und ,formenlehre4 7,bd4 #dac47 ,die ,instrumente des ,orchesters4 ,von ,professor ,dr4 ,fr4 ,volbach4 ,mit #fj ,abbildungen4 7,bd4 #chd47 ,das moderne ,orchester in seiner ,entwicklung4 ,von ,prof4 ,dr4 ,fr4 ,volbach4 ,mit ,partiturbeispielen u4 #c ,tafeln4 7,bd4 #cjh47 ,klavier1 ,orgel1 ,harmonium4 ,das ,wesen der ,tasteninstrumente4 ,von ,professor ,dr4 ,o4 ,bie4 7,bd4 #cbe47 ,schauspielkunst ,das ,theater4 ,schauspielhaus und ,schauspielkunst vom griechischen ,altertum bis auf die ,gegenwart4 ,von ,dr4 ,chr4 ,gaehde4 #b4 ,auflage4 ,mit #ah ,abbildungen4 7,bd4 #bcj47 ,weitere ,bnde befinden sich in ,vorbereitung4 ,aus ,natur und ,geisteswelt ,sammlung wissenschaftlich-gemeinverstndlicher ,darstellungen #eaj4 ,bndchen ,grundzge der ,perspektive nebst ,anwendungen ,von ,dr4 ,karl ,doehlemann ,o4 4 ,professor an der ,kgl4 ,technischen ,hochschule in ,mnchen ,mit #ia ,figuren und #aa ,abbildungen ,illustration ,druck und ,verlag von ,b4 ,g4 ,teubner in ,leipzig und ,berlin #aiaf ,alle ,rechte1 einschlielich des bersetzungsrechts1 vorbehalten4 ,vorwort4 ,die ,darstellung der ,grundzge der ,perspektive und ihrer ,anwendungen1 wie sie im folgenden gegeben wird1 ist hervorgegangen aus ffentlichen ,vortrgen1 die ich seit einer langen ,reihe von ,jahren in ,mnchen im ,volkshochschulverein halte und die von einem ,publikum besucht sind1 das sich aus allen ,stnden und ,berufsklassen zusammensetzt4 ,um eine schriftliche ,bearbeitung dieses ,gegenstandes weiteren ,kreisen zugnglich zu machen1 schien es mir vor allem notwendig1 das ,buch mit mglichst zahlreichen ,figuren auszustatten4 ,fast jeder greren ,aufgabe ist noch eine eigene ,figur beigegeben1 welche die ,lage des darzustellenden ,gegenstandes gegen die ,bildtafel wiedergibt und eine genaue ,vorstellung der rumlichen ,anordnung und der vorzunehmenden geometrischen berlegungen ermglichen soll4 ,bei der ,wahl der abzubildenden ,gegenstnde war die ,klarheit und bersichtlichkeit des ,bildes magebend4 ,es muten deswegen einfache ,formen gewhlt werden und diese konnten nicht immer auch in sthetischer ,hinsicht befriedigen4 ,was die ,abgrenzung des ,stoffes betrifft1 so wurde in einem einleitenden ,abschnitt die ,darstellung eines ,gegenstandes in ,grund- und ,aufri errtert4 ,ich wte nicht1 wie man das umgehen knnte4 ,denn es ist fr den ,anfnger doch unerllich1 da er sich einen ,krper1 den er in ,perspektive setzt1 vorher seiner ,gre und ,lage nach genau bestimmt4 ,in bezug auf ,strenge der ,entwicklung bin ich so weit gegangen1 als es bei einer fr weitere ,kreise bestimmten ,darstellung angngig ist3 ,das ist ntig1 um eine sichere ,grundlage zu gewinnen4 ,mit allgemeinen und verschwommenen ,redensarten ist demjenigen nicht gedient1 der zu klaren ,begriffen und ,vorstellungen in dem hier behandelten ,gebiete gelangen will4 ,was viele von der ,beschftigung mit der ,perspektive abhlt1 ist der ,umstand1 da diese ,disziplin sich ohne ,geometrie1 also ohne mathematische ,betrachtungen1 nicht behandeln lt4 ,in der ,tat werden wir im ,laufe unserer ,betrachtungen einige einfache ,stze aus der ,planimetrie und der ,stereometrie voraussetzen mssen4 ,aber darin liegen nicht die eigentlichen ,schwierigkeiten4 ,diese ,stze werden die ,leser verhltnismig leicht verstehen oder als anschauliche ,tatsachen hinnehmen4 ,die ,hauptschwierigkeit wird vielmehr die sein1 da mit all den ,figuren1 die im folgenden zu zeichnen sind1 gewisse rumliche ,vorstellungen und berlegungen zu verbinden sind4 ,es wird nur durch ,nachdenken mglich sein1 sich in diese ,dinge hineinzuleben4 ,nur auf diesem ,wege wird man den ,begriff des gesetzmigen1 mathematischen ,bildes gewinnen4 ,das aber ist fr viele ,berufsarten ntig1 namentlich in der ,gegenwart1 in der neben dem geschriebenen und gedruckten ,wort das ,bild die ,welt beherrscht4 ,inhaltsbersicht4 ,seite ,vorwort ,,iii ,einleitung3 ,zwei verschiedene ,arten von geometrischen ,bildern #a #a4 ,das perspektivische ,bild #a #b4 ,der gerade ,ri #f ,der perspektivische ,entwurf #ac #c4 ,die ,schnittmethode #ac #d4 ,der ,satz vom ,fluchtpunkt #bj #e4 ,andere ,bestimmung eines perspektivischen ,bildes #bd #f4 ,darstellung eines mglichst einfach gelegenen ,quadrates der ,grundebene4 ,anwendungen dieser ,konstruktion4 ,tiefenmastab #bg #g4 ,darstellung beliebiger1 geradliniger ,figuren der ,grundebene #cc #h4 ,darstellung einfacher ,krper1 die sich auf der ,grundebene erheben #da #i4 ,schiefe ,linien im ,raume #ei #aj4 ,der photographische ,apparat #fd #aa4 ,die ,wahl der ,distanz #fg #ab4 ,unzugngliche ,distanz und ,fluchtpunkte #ge #ac4 ,gleichzeitige ,anwendung der verschiedenen ,methoden #hf #ad4 ,die ,darstellung des ,kreises #ij #ae4 ,einfache ,schattenkonstruktionen #if #af4 ,knstlerische ,freiheiten #ii ,literaturverzeichnis #ajb ,sachregister #ajc ,einleitung4 ,zwei verschiedene ,arten von geometrischen ,bildern4 #a4 ,das perspektivische ,bild4 #a4 ,zweck einer ,abbildung4 ,nehmen wir an1 wir betrachten irgendein ,raumobjekt1 mag es nun eine ,maschine oder ein ,apparat sein1 ein ,werk der ,plastik oder der ,architektur oder auch eine ,landschaft4 ,wenn wir dann ber die gegenseitige ,lage der einzelnen ,teile des ,objektes1 ber die relativen ,grenverhltnisse und schlielich auch ber die wirklichen ,mae des ,gegenstandes zu einem gewissen ,urteil gelangt sind1 so da der ,gegenstand uns klar zum ,bewutsein gekommen ist1 so sagen wir1 da wir eine ,vorstellung von dem ,objekte haben4 ,der bloe ,anblick von einer ,stelle aus wird meistens gar nicht dazu ausreichen4 ,denn jedes ,objekt verdeckt sich1 wenn es nicht durchsichtig ist1 zum ,teil selbst3 wir werden vielmehr im allgemeinen mehrere ,ansichten brauchen4 ,bei kleineren ,gegenstnden gengen zu diesem ,zwecke etwa schon ,bewegungen des ,kopfes oder ,oberkrpers4 ,ausgedehnteren ,objekten gegenber1 wie zum ,beispiel bei einem ,gebirgsstock1 sind unter ,umstnden ganze ,wanderungen ntig1 um eine wirkliche ,anschauung derselben zu gewinnen4 ,bildliche ,darstellungen irgendwelcher ,art dienen nun in erster ,linie dem ,zwecke1 dem ,beschauer die ,mglichkeit zu bieten1 sich von den betreffenden ,objekten eine ,vorstellung zu bilden1 ohne da er sie wirklich vor ,augen hat4 ,die ,bilder ersetzen also bis zu einem gewissen ,grade die ,objekte4 ,sicher mu unser ,vorstellungsvermgen schon ziemlich ausgebildet sein1 wenn wir uns auf ,grund einer ,zeichnung ein ,objekt vorstellen knnen4 ,aber wir eignen uns diese ,fhigkeit durch fortgesetzte bung an1 fast ohne es zu merken4 ,schon dem ,kinde geben wir ein ,bilderbuch in die ,hand2 es vergleicht die ,gegenstnde in der ,natur mit denen im ,bilde und lernt dadurch allmhlich ,sehen4 ,so kommt es1 da heutzutage bei uns auch der ,ungebildete und rmste imstande ist1 sich ein ,gebude oder eine ,landschaft einigermaen vorzustellen1 wenn er davon eine ,abbildung1 etwa eine ,photographie1 zu sehen bekommt4 ,illustration3 ,abb4 #a4 ,aus alledem folgt nun1 da eine bildliche ,darstellung die ,gegenstnde so wiedergeben mu1 wie wir sie sehen1 und wir werden deswegen aus dem ,vorgang des ,sehens eine ,definition fr den ,begriff des ,bildes abzuleiten haben4 #b4 ,mechanische ,vorrichtung zur ,herstellung eines ,bildes4 ,zunchst wollen wir jetzt eine ,vorrichtung kennen lernen1 welche es uns ermglicht1 das1 was wir ein ,bild eines ,gegenstandes nennen1 mechanisch herzustellen4 ,eine durchsichtige ,glasplatte sei in einem ,holzrahmen vertikal vor uns aufgestellt4 ,hinter der ,glasplatte1 von unserem ,standpunkte aus gerechnet1 befindet sich der abzubildende ,gegenstand4 ,wir sehen denselben durch die ,glasplatte hindurch4 ,um die ,betrachtung zu vereinfachen1 wollen wir das eine ,auge schlieen1 also den ,gegenstand nur mit einem ,auge betrachten4 ,aber auch dann wrden wir noch bei jeder ,bewegung des ,krpers oder ,kopfes das ,objekt in einer anderen ,ansicht erblicken2 deswegen ist es weiter ntig1 unser ,auge im ,raume zu fixieren3 man erreicht dies1 indem man noch ein ,stativ mit einer undurchsichtigen ,platte anbringt1 in welche eine kleine ffnung1 ein ,guckloch1 geschnitten ist4 ,wir wollen nun den ,gegenstand betrachten1 indem wir das ,auge ganz nahe an dieses ,guckloch bringen2 dadurch ist dem ,auge eine feste ,stelle im ,raume angewiesen4 ,man vergleiche dazu auch die ,abbildung #a1 welche dem ,buche von ,albrecht ,drer3 ,unterweisung der ,messung mit dem ,zirkel und ,richtscheit1 ,nrnberg #aebe1 entnommen ist4 ,rechts erkennt man den von uns beschriebenen ,apparat1 als ,objekt dient der links im ,lehnstuhl sitzende ,mann4 ,wir nehmen ferner an1 da die ,glasplatte auf der dem ,auge zugewandten ,seite so prpariert sei1 da wir auf ihr zeichnen knnen1 was etwa durch ,bestreichen mit ,damarlack zu erreichen wre4 ,nun endlich gehen wir dazu ber1 die ,linien des ,krpers1 wie wir sie von dem ,guckloch aus sehen1 auf der ,glasplatte nachzuzeichnen4 ,es decken sich also fr mein ,auge die gezeichneten ,linien und die wirklichen ,konturen des ,gegenstandes4 ,nachdem die ,zeichnung fertiggestellt ist1 denken wir uns das ,objekt entfernt4 ,die ,glasplatte bestreichen wir auf der ,rckseite mit weier ,deckfarbe1 so da sie undurchsichtig wird2 im brigen bleibt sie an der gleichen ,stelle4 ,die auf der anderen ,seite befindliche ,zeichnung wird dann auf das an dem ,sehloch befindliche ,auge annhernd den gleichen ,eindruck machen wie der ,gegenstand selbst2 ich werde ihn immer noch vor mir zu sehen glauben4 ,weil also diese ,zeichnung eine ,vorstellung des ,gegenstandes in uns wachzurufen imstande ist1 nennen wir sie ein ,bild des ,gegenstandes4 ,freilich enthlt unser ,bild nur ,linien2 von den ,unterschieden der ,helligkeit1 von ,licht und ,schatten1 von der ,farbe des ,objektes haben wir ganz abgesehen4 ,aber man kann nicht alles auf einmal erreichen2 es wre eine zweite ,aufgabe1 auch diese ,eigenschaften im ,bilde wiederzugeben4 ,die erste und wichtigste ,aufgabe ist jedenfalls die ,herstellung einer ,linienzeichnung1 welche die ,umrisse und berhaupt die wichtigsten ,linien des ,gegenstandes wiedergibt4 ,ja1 sie gengt in vielen ,fllen schon ganz allein4 ,denn gerade die ,linie wirkt mit einer ganz wunderbaren ,kraft und ,strke auf unsere ,vorstellung4 #c4 ,definition des perspektivischen ,bildes4 ,wir mssen jetzt aber dazu bergehen1 fr den ,begriff des ,bildes eine mathematisch strenge ,herleitung zu geben1 indem wir aus dem ,vorgange des ,nachzeichnens auf der ,glastafel das rein ,geometrische herausschlen4 ,illustration3 ,fig4 #a4 ,statt der ,glastafel denken wir uns eine ebene ,flche1 also eine mathematische ,ebene 1 gewhlt2 sie ist gegeben durch das ,blatt ,papier1 das ,reibrett oder die ,schultafel1 auf der die ,zeichnung hergestellt wird4 ,wir nennen diese ,ebene kurz die ,bildebene oder auch die ,tafel4 ,der abzuzeichnende ,krper sei ebenfalls ein mathematischer1 nmlich ein ,wrfel abcdefgh4 ,in ,fig4 #a geben wir zunchst eine ,darstellung des ganzen ,vorganges4 ,statt der kleinen ffnung1 durch welche wir hindurchsehen1 denken wir uns einen ,punkt ,o im ,raume gegeben1 den wir in ,erinnerung an unseren ,apparat immer noch das ,auge nennen4 ,wenn wir ferner an dem ,gegenstand einzelne ,linien ins ,auge faten und sie auf der ,glastafel nachzeichneten1 so lsen wir jetzt diese ,linien in einzelne ,punkte auf und betrachten zunchst einen ,punkt des ,krpers1 z4 ,b4 die ,ecke a4 ,was heit es nun1 da wir auf der ,glasplatte die verschiedenen ,punkte des ,gegenstandes nachzeichneten8 ,offenbar befinden sich dann der betreffende ,punkt a1 die ,bleistiftspitze a'1 welche ihn auf der ,glastafel markiert1 und das ,guckloch in einer geraden ,linie4 ,denn wenn sich zwei ,punkte im ,raume fr mein ,auge decken1 so liegen sie auf einer ,geraden durch das ,auge4 ,darauf beruht ja alles ,visieren4 ,mathematisch ausgedrckt heit das aber folgendes3 wir ziehen durch den ,punkt ,o eine ,gerade nach dem ,punkte a und bringen diese zum ,schnitt mit der ,bildtafel4 ,der ,schnittpunkt ist eben a'4 ,wir nennen a' das ,bild oder den ,ri des ,punktes a4 ,die durch ,o gehenden ,geraden oder ,strahlen bezeichnen wir als ,projektionsstrahlen oder ,projizierende ,strahlen oder ,sehstrahlen1 den ganzen ,vorgang als ,zentralprojektion4 ,illustration3 ,fig4 #b4 ,denken wir uns nach allen ,punkten der ,linien des ,gegenstandes diese ,strahlen gezogen und mit der ,bildebene zum ,schnitt gebracht1 so bilden alle diese ,schnittpunkte das1 was wir ein perspektivisches ,bild des ,objektes oder auch eine ,perspektive des ,wrfels heien4 ,in ,fig4 #b ist ein solches ,bild a'b'c'd'e'f'g'h' in seiner wahren ,gestalt wiedergegeben4 ,die ,bildebene ist hier die ,ebene des ,zeichenblattes4 ,oft wird auch nicht nur der ganze geometrische ,proze1 sondern das ,bild selbst als eine ,zentralprojektion bezeichnet4 ,wie sich fr unser ,auge die ,ansicht eines ,krpers ndert und immer wieder anders erscheint1 wenn wir unseren ,standpunkt dem ,krper gegenber verndern1 so ist dieses perspektivische ,bild auf der ,bildtafel von zwei ,faktoren abhngig3 nmlich erstens davon1 wie der ,punkt ,o gegenber der ,bildtafel angenommen wird1 und zweitens davon1 welche ,lage der ,krper zur ,bildtafel einnimmt4 ,sind aber der ,punkt ,o und der ,krper fest angenommen1 so ist auch das ,bild vollstndig bestimmt4 ,man kann also sagen3 ,satz #a4 ,sind die ,bildebene 1 das ,auge ,o und der ,krper im ,raume gegeben1 so erhlt man das perspektivische ,bild des ,krpers als den ,schnitt der nach den ,punkten des ,krpers gehenden ,projektionsstrahlen mit der ,bildebene4 ,unter ,perspektive versteht man weiter auch die ,lehre1 wie man solche ,bilder unmittelbar auf der ,zeichenflche mit ,bleistift1 ,lineal und ,zirkel konstruiert1 ohne den mhsamen ,proze des ,nachzeichnens auf einer ,glastafel durchfhren zu mssen4 ,da es sich fr uns blo um die ,wiedergabe der ,linien des ,krpers handelt1 so spricht man auch von ,linearperspektive oder ,linienperspektive4 ,solche perspektivische ,bilder hat jeder schon oft gesehen2 denn jede ,photographie ist eines4 ,wir werden spter zeigen1 da der photographische ,apparat rein mechanisch derartige ,bilder herstellt4 ,den ,begriff der ,zentralprojektion gewannen wir als eine ,vereinfachung des ,vorganges des ,nachzeichnens3 er ist eine mathematische ,abstraktion aus dem ,sehproze4 ,wir werden nicht erwarten drfen1 da sich diese mathematische ,operation mit dem ,begriff des ,sehens deckt4 ,denn der physiologische ,vorgang des ,sehens ist ja tatschlich auch ein uerst verwickelter4 ,wir sehen nicht mit einem ,auge1 sondern mit beiden ,augen1 und wir halten die ,augen nicht ruhig1 sondern bewegen sie nach allen ,seiten hin und her2 wir tasten den ,krper mit den ,augen frmlich ab4 ,trotzdem leistet uns der ,vorgang der ,zentralprojektion schon in seiner rohen ,annherung wertvolle ,dienste4 ,denn die perspektivischen ,bilder sind unter allen gesetzmig definierten ,abbildungen weitaus die anschaulichsten und naturgetreuesten4 ,bevor wir aber dazu bergehen1 die ,gesetze und ,herstellungsweisen dieser ,bilder zu errtern1 mssen wir davon handeln1 wie man noch auf andere ,weise ,bilder oder ,abbildungen von rumlichen ,gegenstnden erhalten kann4 #b4 ,der gerade 7rechtwinklige7 ,ri4 #d4 ,die ,senkrechte von einem ,punkte auf eine ,ebene4 ,hngen wir einen schweren ,krper1 z4 ,b4 eine kleine ,metallkugel oder ein ,gewicht1 vermittels eines ,fadens etwa an der ,decke eines ,zimmers auf1 so nimmt der ,faden1 nachdem der ,krper zur ,ruhe gelangt ist1 unter dem ,einflu der ,anziehung der ,erde eine ganz bestimmte ,lage an1 welche nach dem ,erdmittelpunkt hin gerichtet ist4 ,wir nennen diese ,richtung lotrecht oder vertikal4 ,denken wir uns weiter unter dem ,faden ein ,gef mit einer ,flssigkeit1 z4 ,b4 ,wasser oder ,quecksilber1 so bildet deren ,oberflche eine ,ebene1 die wir als wagrecht oder horizontal bezeichnen4 ,wir sagen dann weiter1 da die ,richtung des ,fadens auf der ,oberflche der ,flssigkeit senkrecht stehe oder lotrecht zu ihr sei4 ,das an einem ,faden befestigte ,gewicht liefert ja auch den sog4 ,senkel1 und mittels dieses allbekannten ,instrumentes werden beim ,bau eines ,hauses die ,steine in horizontalen ,lagen angeordnet und die ,mauern lotrecht aufgefhrt4 ,illustration3 ,fig4 #c4 ,diese physikalische ,tatsache erleichtert dann aber das ,verstndnis fr den folgenden mathematischen ,satz #b4 ,ist eine ,ebene #a gegeben und ein ,punkt p auerhalb derselben 7,fig4 #c71 so kann man von dem ,punkte auf diese ,ebene immer eine ,senkrechte oder ein ,lot fllen4 ,diese ,senkrechte schneidet die ,ebene in einem ,punkte1 den wir p#a nennen wollen4 ,er mag der ,fupunkt der ,senkrechten heien4 ,der ,abstand des gegebenen ,punktes von der gegebenen ,ebene ist gleich der ,entfernung1 welche der gegebene ,punkt p und der ,fupunkt p#a bestimmen1 also der ,strecke pp#a4 ,die ,ebene #a kann ganz beliebig im ,raume liegen4 ,ist sie im besondern eine wagrechte ,ebene1 so fllt die senkrechte zu ihr mit der ,vertikalen zusammen4 ,illustration3 ,fig4 #d4 #e4 ,der gerade 7rechtwinklige7 ,ri4 ,den ,fupunkt p#a der von einem ,punkte p auf eine ,ebene #a gefllten ,senkrechten nennt man den geraden oder rechtwinkligen oder orthogonalen ,ri des ,punktes p auf die ,ebene #a4 ,die ,ebene #a heit wieder die ,bildtafel1 ,bildebene oder kurz ,tafel4 ,statt ,ri wird auch das ,wort ,projektion gebraucht1 das allerdings gleichzeitig den ganzen ,vorgang bezeichnet4 ,man sagt auch3 der ,punkt p ist orthogonal auf die ,ebene #a projiziert worden4 ,was wir fr einen einzelnen ,punkt durchgefhrt haben1 knnen wir jetzt auch auf einen ,krper und die an ihm auftretenden ,linien anwenden4 ,es sei z4 ,b4 ein ,wrfel abcdefgh gegeben und die ,ebene #a2 wir erlutern den ganzen ,vorgang1 wie er sich im ,raume abspielt1 durch die ,fig4 #d4 a sei eine ,ecke des ,wrfels4 ,wir denken uns durch a das ,lot zur ,ebene #a gezeichnet1 welches in a#a die ,tafel #a durchsetzt4 a#a ist der gerade ,ri des ,punktes a4 ,eine zweite ,ecke b des ,wrfels liefert ebenso den ,ri b#a4 ,dann wird man leicht einsehen1 da alle ,punkte auf der ,verbindungsstrecke ab ,risse haben1 welche auf der ,verbindungsstrecke a#a;b#a liegen1 d4 h4 a#a;b#a ist der ,ri von ab4 ,fhren wir die ,projektion fr alle ,ecken und ,kanten des ,wrfels durch1 so erhalten wir die ,figur a#a;b#a;c#a;d#a;e#a;f#a;g#a;h#a1 die den orthogonalen ,ri des ,wrfels in der ,ebene #a gibt4 ,in ,fig4 #e ist weiter ein solcher ,ri in seiner wahren ,gestalt wiedergegeben4 ,dabei wurde also die ,ebene des ,papiers als ,tafel #a gewhlt4 ,der ,wrfel selbst schwebt im ,raume ber der ,buchseite4 ,die ,figur kann auch dazu dienen1 folgenden brigens leicht zu beweisenden ,satz zu veranschaulichen3 ,satz #c4 ,die geraden ,risse paralleler ,geraden sind selbst wieder parallel4 ,beispielsweise sind ab und cd zwei im ,raume parallele ,gerade1 und ihre ,risse a#a;b#a und c#a;d#a sind ebenfalls parallel4 ,wir wollen nun noch eine ganz selbstverstndliche ,eigenschaft einer solchen ,darstellung kennen lernen4 ,illustration3 ,fig4 #e4 ,a sei eine ,gerade1 welche senkrecht auf der ,tafel #a steht 7,fig4 #f74 ,whlen wir auf ihr beliebig einen ,punkt a1 so fllt das ,lot1 das man von ihm aus auf die ,tafel fllen kann1 natrlich mit der ,geraden ,a zusammen1 und der rechtwinklige ,ri des ,punktes a wird der ,punkt a#a1 in dem die ,gerade ,a die ,bildebene durchbohrt4 ,aber auch jeder andere ,punkt b1 c 444 von ,a hat einen ,ri b#a1 c#a 4441 der stets mit a#a sich deckt4 ,mit anderen ,worten3 ,die ,gerade ,a1 welche auf der ,bildtafel senkrecht steht1 hat als ,ri einen ,punkt1 ihren ,schnittpunkt mit der ,tafel4 ,stellen wir uns ferner eine ,ebene efki vor 7,fig4 #f71 welche auf der ,bildebene senkrecht steht1 also z4 ,b4 eine lotrechte1 vertikale ,mauer1 wenn #a horizontal gedacht wird1 und ist ef die ,schnittlinie dieser ,ebene mit der ,tafel1 so fallen die geraden ,risse aller ,punkte dieser ,ebene auf die ,linie ef4 ,eine solche ,ebene hat demnach als ,ri eine ,gerade1 nmlich die ,schnittlinie der ,ebene mit der ,tafel4 ,illustration3 ,fig4 #f4 ,gerade und ,ebenen1 welche auf der ,bildebene senkrecht stehen1 verschwinden folglich gewissermaen im geraden ,ri2 aus dem ,ri kann man die ,ausdehnung solcher ,geraden und ,ebenen nicht beurteilen4 ,ist z4 ,b4 in ,fig4 #f defghikl ein ,wrfel1 der mit seiner einen ,flche defg in der ,tafel liegt1 so ist der gerade ,ri des ,wrfels eben dieses ,quadrat defg4 ,die vier ,kanten dh1 ei1 fk1 gl erscheinen als ,punkte1 und die vier ,ebenen deih1 efki1 fglk und gdhl1 welche auf der ,tafel senkrecht stehen1 gehen durch die ,projektion in die ,geraden de1 ef1 fg1 gd ber4 ,setzen wir aber auf diesen ersten ,wrfel einen zweiten ,wrfel hiklmnop1 so hat dieser zweite ,wrfel den gleichen ,ri defg1 und auch das aus den beiden ,wrfeln bestehende ,prisma defgmnop hat den ,ri defg4 ,fig4 #g gibt wieder die wahre ,gestalt der ,risse4 ,illustration3 ,fig4 #g4 ,auch solche rechtwinklige ,risse hat ein jeder schon gesehen4 ,denn jeder ,plan einer ,stadt ist ein derartiger ,ri2 die ,bildtafel ist dabei eine horizontale ,ebene4 ,wir wollen dieses ,beispiel aber auch noch dazu benutzen1 um uns darber klar zu werden1 mit welchem ,rechte man auch diese rechtwinkligen ,risse als ,bilder der betreffenden ,gegenstnde bezeichnet4 ,wir fragen uns mithin3 von wo aus betrachtet sieht eine ,stadt so aus wie ihr ,plan8 ,besteigen wir einen der ,trme der ,stadt und blicken von ihm aus1 also aus einer ,hhe von vielleicht #ajj m1 auf dieselbe herunter1 so wird nur die nchste ,umgebung des ,turmes so erscheinen wie auf dem ,plane4 ,von den weiter entfernt gelegenen ,husern dagegen sehen wir noch ,fenster1 ,tren usf4 ,steigen wir aber in einem ,ballon bis zu einer ,hhe von etwa #ajjj m ber der ,stadt auf1 so wird schon ein grerer1 unmittelbar unter dem ,ballon gelegener ,teil der ,stadt uns so erscheinen1 wie er auf dem ,plane wiedergegeben ist4 ,je hher wir uns ber die ,stadt erheben1 um so mehr sehen wir die ,stadt unter uns so wie auf dem ,plane4 ,aber erst wenn wir das ,auge auf einer ,senkrechten zur ,bildebene ber alle ,maen weit entfernt denken 7,fig4 #f71 dann wrde es die ,gegenstnde so sehen1 wie sie im rechtwinkligen ,ri dargestellt sind4 ,alle ,sehstrahlen sind jetzt parallel1 da sie alle senkrecht auf der ,bildebene stehen4 ,wir erkennen demnach3 ,satz #d4 ,der rechtwinklige ,ri eines ,gegenstandes ist das ,bild1 wie es einem ,beobachter erscheint1 der sich unendlich weit von der ,bildebene entfernt befindet und senkrecht auf sie herunterschaut4 ,weil alle zur ,bildebene senkrechten ,abmessungen im rechtwinkligen ,ri verschwinden1 so knnen wir aus einem ,plan keinen ,aufschlu gewinnen ber die ,hhe der einzelnen ,huser1 der ,mauern1 ,trme4 #f4 ,bestimmung eines ,gegenstandes durch zwei rechtwinklige ,risse4 ,ist es nun aber nicht mglich1 einen ,gegenstand vollstndig durch ,risse zu bestimmen1 so da alle ,abmessungen desselben1 ,lnge1 ,breite1 ,hhe usf41 aus den ,darstellungen entnommen werden knnen8 ,da ein ,ri in einer ,ebene nach dem ,obigen nicht gengt1 so geben wir uns noch einen zweiten ,ri in einer zweiten ,tafel4 ,wir whlen also noch eine zweite ,bildtafel #b1 die der ,einfachheit wegen auf der ersten ,bildtafel #a senkrecht stehe4 ,die in ,fig4 #h gegebene ,ansicht mge wieder dazu dienen1 sich die rumlichen berlegungen klar zu machen4 ,es ist nun natrlich ntig1 beide ,tafeln und die in ihnen liegenden ,risse zu unterscheiden4 ,die ,ecke a des ,wrfels liefert in der ersten ,tafel #a den ,ri a#a4 ,auerdem hat der ,punkt a aber auch einen ,ri in der zweiten ,tafel4 ,wir erhalten denselben nach unserer ,definition1 indem wir uns von a eine ,senkrechte zu #b konstruiert denken4 ,durchsetzt diese ,senkrechte in a#b die zweite ,tafel1 so ist dieser ,punkt der ,ri von a in der #b4 ,wir nennen a#a den ersten1 a#b den zweiten ,ri des ,punktes a4 ,wie ferner der ,wrfel abcdefgh in der #a den ,ri a#a;b#a;c#a;d#a;e#a;f#a;g#a;h#a liefert1 so lt sich nun auch der zweite ,ri a#b;b#b;c#b;d#b;e#b;f#b;g#b;h#b des ,wrfels in der #b konstruieren4 ,die beiden ,risse werden also durch die rechts unten angebrachten ,zahlen unterschieden4 ,die erste ,tafel #a knnen wir uns als eine horizontale ,ebene denken1 und wir nennen den in ihr gelegenen ersten ,ri auch den ,grundri oder die ,horizontalprojektion4 ,die zweite ,tafel #b ist dann eine ,vertikalebene1 und der in ihr gelegene zweite ,ri heit auch ,aufri oder die ,vertikalprojektion4 ,was fr den ersten ,ri errtert wurde1 gilt natrlich ganz ebenso auch fr den zweiten4 ,in ,sonderheit erscheinen wieder ,gerade1 welche zur ,aufriebene #b senkrecht stehen1 in ihr als ,punkte und ,ebenen1 welche auf #b senkrecht stehen1 bilden sich als ,gerade in der #b ab4 ,illustration3 ,fig4 #h4 ,denken wir uns jetzt die beiden ,tafeln #a und #b etwa in ,holz gefertigt und miteinander fest verbunden4 ,weiter sei ein ,wrfel im ,raume gegeben und in seiner ,lage gegen die beiden ,tafeln fixiert 7,fig4 #h74 ,wir wollen von dem ,wrfel den ,grundri und den ,aufri zeichnen4 ,nachdem dieses geschehen ist1 entfernen wir den ,wrfel4 ,dann ist durch die beiden auf den ,tafeln gezeichneten ,risse der ,wrfel immer noch bestimmt4 ,denn wir knnen von jeder seiner ,ecken die ,lage im ,raume bestimmen4 ,in der ,tat sind z4 ,b4 a#a und a#b die beiden ,risse einer ,ecke1 so errichten wir im ,punkt a#a der ,grundriebene eine ,senkrechte zur #a1 und ebenso konstruieren wir im ,punkte a#b der ,aufriebene eine ,senkrechte zu ihr4 ,dann werden sich diese beiden ,lote schneiden1 und ihr ,schnittpunkt gibt die ,ecke a4 ,in der gleichen ,weise knnen wir fr alle anderen ,ecken des ,wrfels ihre ,lage im ,raume bestimmen4 ,also ist auch der ganze ,wrfel dadurch festgelegt3 es wre mglich1 z4 ,b4 durch ,stbchen und ,glasperlen die ,ecken des ,wrfels wirklich im ,raume anzugeben4 berhaupt kann man sagen3 ,satz #e4 ,sind die beiden ,tafeln im ,raume gegeben und in ihnen die ,risse eines ,gegenstandes1 in der richtigen ,zuordnung1 so da also von jedem ,punkte die beiden ,risse unterschieden werden1 so ist dadurch der ,gegenstand und seine ,lage im ,raume bestimmt4 ,illustration3 ,fig4 #i4 #g4 ,das ,zusammenlegen der ,tafeln4 ,es wre recht unbequem1 wollte man sich stets der beiden senkrecht zueinander befestigten ,tafeln bedienen1 wenn man sich auf ,grund irgendwelcher ,risse einen ,krper vorstellen soll4 ,was wir wollen1 ist eine auf einem ,blatte befindliche ,zeichnung1 die dann bequem berall zu benutzen ist4 ,zu einer solchen gelangen wir1 wenn wir die zweite ,tafel sich mit der ersten vereinigen lassen4 ,es sei ,k die ,schnittlinie der beiden ,tafeln 7,fig4 #i71 die wir kurz die ,kante nennen4 ,wir drehen nun die #b um ,k wie um ein ,scharnier so lange1 bis #b mit #a zusammenfllt4 ,die ,figur #i veranschaulicht wieder zunchst den rumlichen ,vorgang4 ,der beliebige ,punkt a hat als ersten ,ri den ,punkt a#a1 als zweiten ,ri den ,punkt a#b' ,es fragt sich1 wohin a#b' gelangt1 wenn die ,aufriebene #b durch die ,drehung mit der ,grundriebene zur ,deckung gebracht wird4 ,die beiden ,senkrechten aa#a und aa#b' bestimmen doch eine ,ebene1 welche auf der ,kante ,k senkrecht steht4 ,der ,schnittpunkt dieser in ,fig4 #i schraffierten ,ebene mit der ,kante ,k sei a4 ,es ist also jetzt sowohl a#a;a ,k#a als auch a#b';a ,k4 ,bei der ,drehung der ,aufriebene beschreibt a#b' einen ,kreis mit dem ,mittelpunkt a und dem ,radius a#b';a1 der in der schraffierten ,ebene a#a;aa#b';a liegt4 ,ist also a#b die ,lage1 welche a#b' nach ,ausfhrung der ,drehung annimmt1 so mu auch a#b;a ,k sein2 demnach fllt a#b auf die ,verlngerung der ,linie a#a;a1 und es ist a#b;a a#b';a4 #a ist das ,zeichen fr senkrecht auf4 ,illustration3 ,fig4 #aj4 ,in ,fig4 #aj bilden wir nun das ,zeichenblatt selbst ab2 es ist gewissermaen doppelt zu nehmen1 da es sowohl die ,grund- als die ,aufriebene vorstellt4 ,die ,kante ,k ist als eine horizontale ,linie darauf gezeichnet4 ,dann mssen die beiden ,risse a#a und a#b offenbar auf einem ,lote zur ,kante ,k gelegen sein2 der ,schnittpunkt des ,lotes a#a;a#b mit ,k ist der ,punkt a4 ,es folgt also3 ,satz #f4 ,nach der ,umlegung der ,aufriebene in die ,grundriebene liegen die beiden ,risse eines ,punktes stets auf einer ,senkrechten zur ,kante oder kurz auf einem ,kantenlote4 ,geben wir uns irgend zwei ,punkte1 jedoch so1 da sie auf einer ,senkrechten zu ,k liegen1 und ist der eine durch die ,bezeichnung a#a als erster ,ri1 der andere durch die ,bezeichnung a#b als zweiter ,ri gekennzeichnet1 so bestimmen diese beiden ,risse einen ganz bestimmten ,punkt a im ,raume4 ,um uns denselben vorzustellen1 denken wir uns die eine ,hlfte des ,zeichenblattes1 in der a#b liegt1 um ,k in die ,hhe gedreht1 bis sie auf der anderen ,hlfte des ,blattes senkrecht steht4 ,dann sind die beiden ,tafeln in ihre wahre ,lage gebracht1 und wir finden den ,punkt a auf die ,weise wie es in #f4 auseinandergesetzt wurde4 ,illustration3 ,fig4 #aa4 ,einfacher ist es brigens zu beachten1 da in ,fig4 #i aa#a a#b';a a#b;a4 ,es gibt also in ,fig4 #aj die ,strecke a#b;a den ,abstand des ,punktes von der ,zeichenebene4 ,wir haben uns demnach in a#a eine ,senkrechte zur ,flche des ,papiers errichtet zu denken4 ,auf dieser ,senkrechten liegt der ,punkt in einem ,abstande von der ,zeichenflche1 der durch a#b;a gegeben ist4 ,es ist sehr ntzlich sich zu berlegen1 wie die beiden ,risse eines ,punktes gelegen sind1 wenn der betreffende ,punkt verschiedene ,lagen im ,raume annimmt4 ,in den ,figuren #i und #aj ist noch ein zweiter ,punkt b eingetragen4 ,in ,fig4 #aa sind ferner die beiden ,risse eines ,wrfels wirklich gezeichnet1 von dem die ,fig4 #h die ,lage im ,raume angab4 ,diese hier nur ihrem ,wesen nach kurz skizzierte ,methode des ,grund- und ,aufrisses wird in der darstellenden ,geometrie weiter ausgefhrt4 ,auer den perspektivischen ,bildern und den geraden ,rissen gibt es noch eine dritte ,art von ,bildern1 die sog4 ,schrgbilder oder ,parallelprojektionen4 ,bei ihnen ist die ,projektionsrichtung nicht senkrecht zur ,bildebene1 sondern beliebig gegen sie geneigt4 ,die in diesem ,buche zur ,erluterung beigegebenen ,figuren1 z4 ,b4 #a1 #d1 #f1 #h1 sind solche ,schrgbilder4 ,man vergleiche darber das ,bndchen ,projektionslehre in dieser ,sammlung4 ,nach diesen einleitenden ,betrachtungen wollen wir uns nun eingehender mit den perspektivischen ,bildern beschftigen4 ,der perspektivische ,entwurf4 #c4 ,die ,schnittmethode4 #h4 ,konstruktion eines perspektivischen ,bildes aus ,grund- und ,aufri4 ,soll von einem ,gegenstande ein perspektivisches ,bild gezeichnet werden1 so mu der ,gegenstand selbst bekannt sein und auerdem die ,lage des ,projektionszentrums 7,auges7 gegen die ,bildebene4 ,es ist zunchst am einfachsten1 sich alle diese ,stcke je durch ,grund- und ,aufri zu geben1 so da wir also folgende ,elemente erhalten3 a7 die ,bildtafel 7,zeichenebene72 b7 das ,auge ,o2 c7 den ,gegenstand4 ,wir behandeln wieder ein einfaches ,beispiel4 ,aufgabe #a4 ,ein ,wrfel ist gegeben in ,grund- und ,aufri1 ebenso das ,auge ,o2 man zeichne ein perspektivisches ,bild des ,wrfels1 wenn die ,bildebene auf der ,kante des ,tafelsystems senkrecht steht4 ,die ,bildebene gehe durch den ,punkt ,z der ,kante 7,fig4 #ab7 und enthalte die beiden ,linien ,,zx und ,,zy1 welche in der #a und in der #b je senkrecht zur ,kante ,k gezogen werden knnen4 ,gleichzeitig ist ,,zx der erste und ,,zy der zweite ,ri der ,bildebene 4 ,das ,auge ,o habe die ,risse ,o#a und ,o#b4 ,der abzubildende ,wrfel abcdefgh liegt mit der ,flche abcd auf der ,grundriebene4 ,wir haben nun den in #b4 beschriebenen ,vorgang wirklich durchzufhren1 also die einzelnen ,ecken des ,wrfels in die ,ebene zu projizieren4 ,fhren wir dies etwa fr die ,ecke e durch4#b ,wir verbinden ,o mit e1 dann ist ,o#a;e#a der erste ,ri1 ,o#b;e#b der zweite ,ri dieser ,verbindungslinie4 ,der ,schnittpunkt von ,oe mit sei e'2 der erste ,ri von e' kann nichts anderes sein als der ,schnittpunkt von ,o#a;e#a mit ,,zx4 ,diesen ,punkt bezeichnen wir also mit e#a'4 ,ebenso ist der zweite ,ri des ,punktes e' der ,schnittpunkt e#b' von ,o#b;e#b mit der ,linie ,,zy4 ,natrlich fallen alle ersten ,risse unseres ,bildes auf die ,gerade ,,zx1 alle zweiten auf ,,zy4 #b ,wir raten dem ,leser1 alle ,figuren stets nach den ,angaben des ,textes selbst herzustellen4 ,es erleichtert das ,verstndnis ungemein1 wenn man die ,figur allmhlich entstehen sieht4 ,illustration3 ,fig4 #ab4 ,nun wollen wir aber doch das ,bild selbst in seiner wahrer ,gestalt auf unserem ,zeichenblatte vor uns sehen4 ,um dieses zu erreichen1 mssen wir die ,ebene herausheben und in die ,zeichenebene legen4 ,das kann man etwa in folgender ,weise durchfhren4 ,wir verschieben die ,ebene parallel zu sich selbst1 bis sie durch den beliebigen ,punkt 7,z7 der ,kante geht4 ,sie schneidet dann die ,tafeln in den ,loten 7,z77,x7 und 7,z77,y74 ,nachdem dies geschehen1 drehen wir die ,ebene um die in der #b gelegene ,senkrechte 7,z77,y7 so lange1 bis sie mit der #b sich deckt4 ,verfolgen wir den ,punkt e' bei diesen verschiedenen ,schritten4 ,bei der ,verschiebung der ,ebene in die ,lage 7,y77,z77,x7 wird e#a' eine ,parallele zur ,kante beschreiben4 ,ziehen wir also durch e#a' eine ,parallele zur ,kante ,k1 so schneidet diese die ,linie 7,z77,x7 in 7e#a'74 ,bei der ,drehung der ,ebene beschreibt 7e#a'7 einen ,viertelskreis um 7,z7 und gelangt nach e#a994 ,dann liegt aber der ,punkt e' auf der ,senkrechten1 welche in e#a99 zur ,kante gezeichnet werden kann4 ,die ,hhe1 in welcher e' ber der #a liegt1 ist jedoch bei allen diesen ,vorgngen die gleiche geblieben1 und sie ist durch ,ze#b' gegeben4 ,tragen wir also auf der in e#a99 errichteten ,senkrechten diese ,hhe an oder1 was das gleiche ist1 ziehen wir durch e#b' eine ,parallele zur ,kante1 so schneidet diese auf der ,senkrechten in e#a99 den ,punkt e' aus4 ,bequemer ist es1 einfach 7,z7e#a99 ,ze#a' mit dem ,zirkel auf der ,kante anzutragen und auf der ,senkrechten in e#a99 dann weiter e#a99;e' ,ze#b' abzuschneiden4 ,man kann dazu auch noch ,fig4 #a vergleichen4 ,dort ist die erste ,tafel #a angegeben als eine horizontale ,ebene1 die zweite ,tafel ginge durch ,k und ,,ay4 ,vom ,punkte e' sind die ,risse e#a und e#b eingetragen4 ,ganz in entsprechender ,weise konstruiert man die ,bilder der brigen ,ecken und erhlt so das ,bild a'b'c'd'e'f'g'h' des ,wrfels4 ,um die ,bildwirkung zu erhhen1 denkt man sich den ,wrfel aus einem undurchsichtigen ,material 7,holz1 ,gips7 und zeichnet die ,kanten1 welche man nicht sehen wrde1 blo punktiert4 ,in unserer ,figur liegen dem ,auge zunchst die ,kanten bc1 cg1 gf1 fb ferner gh1 he1 ef4 ,diese mssen also ausgezogen werden4 ,die brigen ,kanten cd1 da1 ab1 dh1 he1 ea werden dem in ,o befindlichen ,auge durch den ,wrfel verdeckt2 man htte sie also streng genommen ganz wegzulassen4 ,es ist aber ntzlich1 diese ,kanten wenigstens punktiert anzudeuten1 um die mathematische ,form besser zu bersehen4 ,man nennt die ,bercksichtigung dieser ,verhltnisse die ,sichtbarkeit bzw4 ,unsichtbarkeit4 ,nun ist ein perspektivisches ,bild fr ein gewisses ,projektionszentrum konstruiert und mu von diesem aus betrachtet werden4 ,wir werden deswegen verlangen1 den ,punkt im ,raume anzugeben1 von dem aus unser ,bild b'c'g'h'e'f' zu betrachten ist4 ,zu diesem ,zwecke fllen wir von dem ,zentrum ,o aus auf die ,bildebene die ,senkrechte4 ,ihr erster ,ri ist eine ,parallele durch ,o#a zur ,kante1 ihr zweiter ,ri eine ,parallele durch ,o#b zur ,kante4 ,der ,fupunkt dieser ,senkrechten1 die auch in ,fig4 #a eingetragen ist1 heie ,a4 ,die ,risse ,a#a und ,a#b desselben sind die ,schnittpunkte der eben genannten ,parallelen mit ,,zx bzw4 ,,zy4 ,daraus finden wir die ,lage von ,a wiederum1 indem wir zunchst die ,parallele durch ,a#a und 7,z77,x7 zum ,schnitt bringen in 7,a#a71 dann durch einen ,viertelskreis 7,z7,a#a99 7,z77,a#a7 machen4 ,auf der in ,a#a99 errichteten ,senkrechten schneidet die ,parallele durch ,a#b wieder den ,punkt ,a aus4 ,jetzt wissen wir also1 da unser ,projektionszentrum auf der ,senkrechten liegt1 die in ,a zur ,zeichenebene gedacht werden kann4 ,illustration3 ,fig4 #ac4 ,weiter gibt nun aber die ,strecke ,o#a;,a#a oder auch ,o#b;,a#b die ,entfernung1 in der wir auf der genannten ,senkrechten in ,a zur ,ebene des ,blattes uns das ,auge ,o denken mssen4 ,bringen wir unser ,auge an die dadurch bestimmte ,stelle im ,raume1 so wird das ,bild des ,wrfels den besten ,eindruck machen4 ,allerdings hat man die ,figur viel grer1 vielleicht drei- oder viermal so gro zu zeichnen1 da wir bei normalen ,augen das ,zeichenblatt wenigstens #be cm von unserem ,auge entfernt halten mssen4 ,man nennt den ,punkt ,a den ,haupt- oder ,augpunkt1 und er ist wohl zu unterscheiden von dem ,projektionszentrum oder dem ,auge ,o2 die ,entfernung ,o,a des ,projektionszentrums ,o von der ,bildebene1 also die ,strecke ,o#a;,a#a oder ,o#b;,a#b heit die ,distanz4 ,illustration3 ,abb4 #b4 ,methode der mech4 ,konstruktion einer ,perspektive mittels des ,reileschen ,apparates4 #i4 ,apparat zur ,konstruktion einer ,perspektive4 ,geht man vom ,grundri des gegebenen ,gegenstandes aus1 so beruht das soeben durchgefhrte ,verfahren wesentlich darauf1 da man die ,hhe ermittelt1 in der das ,bild eines ,punktes ber der ,grundriebene lag4 ,statt der ,grundriebene kann man auch die ,ebene benutzen1 welche man durch das ,auge ,o parallel zur ,grundriebene legt4 ,diese ,ebene heie die ,horizontebene und sie schneidet die ,bildebene in einer ,geraden hh1 welche durch den ,hauptpunkt ,a geht und der ,horizont genannt wird 7,fig4 #ac74 ,es sei nun ein ,punkt a gegeben1 der von ,o aus gerechnet vor der ,bildebene liegt1 welch letztere die ,grundriebene #a in der ,geraden gg schneidet4 ,dann knnen wir das ,bild a' wieder in folgender ,weise bestimmen4 ,die von a auf #a gefllte ,senkrechte trifft #a im ,risse a#a1 die ,horizontebene dagegen im ,punkte 7a#a74 ,verbinden wir ,o#a mit a#a1 so ist dies der ,ri des ,sehstrahles ,oa4 ,o#a;a#a trifft die ,gerade 7gg7 in a#a'1 und auf der in a#a' gelegenen ,senkrechten liegt das ,bild a'4 ,schneidet diese ,senkrechte den ,horizont in 7a'71 so ist die ,linie ,o7a'7 parallel zu ,o#a;a#a'1 und zur ,berechnung der ,hhe a'7a'7 kann die ,proportion dienen3 a'7a'7_/a7a#a7 ,o7a'7_/,o7a#a74 ,das ,verhltnis auf der rechten ,seite darf zunchst durch ,o#a;a#a' 3 ,o#a;a#a ersetzt werden4 ,zieht man ferner durch a#a eine ,parallele zu gg1 welche ,o#a;,a#a in ,x trifft1 so wird dies ,verhltnis auch durch ,o#a;,a#a 3 ,o#a,x gegeben1 so da man schlielich erhlt 7#a7 a'7a'7_/a7a#a7 ,o#a;,a#a_/,o#a,x4 ,die ,strecke a7a#a7 kann aus dem ,aufri entnommen werden und ist gleich der ,hhe des ,aufrisses ber dem ,horizont4 ,ist nun 7,abbildung #b7 der ,grundri in ,fig4 ,i1 der ,aufri in ,fig4 ,,ii gegeben und ist die ,bildebene um gg in die ,grundriebene umgeklappt1 so lt sich aus der ,proportion 7#a7 in folgender ,weise die ,hhe a'7a'7 ermitteln4 ,man zieht durch den ,ri a#a eine ,parallele zu hh1 welche auf ,o#a;,a#a den ,punkt ,x liefert4 ,auf dieser ,parallelen trgt man ferner die ,hhe ab1 in der der ,aufri von a ber dem ,horizont liegt1 macht also ,,xy a#b;ah1 wo a#b;ah aus ,fig4 ,,ii zu entnehmen4 ,verbindet man diesen ,punkt ,y mit ,o#a1 so schneidet diese ,linie aus gg den ,punkt ,b#a aus1 und es gilt nun die ,proportion3 7#b7 ,b#a;,a#a_/,,xy ,o#a;,a#a_/,o#a,x4 ,vergleicht man 7#a7 und 7#b71 so mssen also auch die linken ,seiten einander gleich sein1 und da ,,xy a#b;ah a7a#a71 so ist ,b#a;,a#a a'7a'74 ,in ,b#a;,a#a ist mithin die ,hhe des ,bildes von a ber dem ,horizont ermittelt4 ,verbindet man demnach noch a#a mit ,o#a1 so liefert diese ,linie auf gg den ,punkt a#a'4 ,auf dem in a#a' errichteten ,lote liegt a' und wird erhalten1 wenn man vom ,horizont aus ,b#a;,a#a antrgt1 also 7a'7a' ,b#a;,a#a macht4 ,herr ,kunstmaler ,adolf ,reile in ,stuttgart hat in der ,zeitschrift fr gewerblichen ,unterricht1 ,jahrg4 ,,xxx1 #aiae ,nr4 #dc einen einfachen ,apparat angegeben1 der diese von ihm abgeleitete ,beziehung mechanisch zu konstruieren gestattet4 ,zwei ,reischienen ,l und ,r sind durch ein ,gelenk miteinander verkuppelt4 ,der ,gelenkmittelpunkt wird stets auf der ,geraden gg gefhrt1 indem die ,reischiene ,r an der oberen ,kante ,,ad des ,reibrettes ,,abcd hingleitet4 ,die ,reischiene ,l geht immer durch ,o#a hindurch1 was dadurch erreicht wird1 da eine ,hlse durch eine ,stecknadel in ,o#a festgehalten ist1 whrend die ,schiene ,l durch die ,hlse hindurchgleitet4 ,um die obige ,konstruktion auszufhren1 legt man zunchst eine gewhnliche ,reischiene ,r' durch a#a1 bestimmt durch ,abgreifen mit dem ,zirkel ,y und verschiebt sodann ,l so lange1 bis es durch ,y geht4 ,die ,kuppelung befindet sich nun in ,b#a1 und die ,schiene ,r bestimmt auf dem ,horizont die gesuchte ,strecke ,a,b ,a#a;,b#a4 ,legt man endlich ,l durch a#a1 so gibt die ,schiene ,r das ,lot in a#a'1 und lngs derselben kann ,a,b angetragen werden4 ,da das ,objekt bei der in ,abb4 #b gemachten ,annahme vor der ,bildebene liegt1 so wird es durch die ,perspektive vergrert4 ,es gibt ,vorrichtungen 7sog4 ,perspektographen71 welche berhaupt ,perspektiven mechanisch herstellen2 so haben ,g4 ,hauck und ,e4 ,brauer einen allerdings komplizierten und teueren ,apparat konstruiert1 bei dem ein freier ,stift die ,perspektive beschreibt1 wenn man mit zwei anderen ,stiften den ,grund- und ,aufri nachfhrt4 ,man vgl4 ,zeitschrift des ,vereins deutscher ,ingenieure1 ,bd4 #ce1 #ahia ,nr4 #bh1 ,s4 #ghb4 ,wesentlich ist1 da das in #h4 errterte ,verfahren1 das man auch als die ,schnittmethode bezeichnet1 uns zwar die ,mglichkeit gibt1 das perspektivische ,bild ,punkt fr ,punkt zu zeichnen1 da es uns aber keinen ,einblick in die ,natur dieser ,bilder gewhrt und uns keine ,eigenschaften solcher ,bilder liefert4 ,so gehen beispielsweise in ,fig4 #ab die vier ,linien b'a'1 c'd'1 g'h'1 f'e' hinreichend verlngert durch einen ,punkt1 nmlich durch ,a1 und es leuchtet ohne weiteres ein1 da dies fr die ,zeichnung mit ,vorteil verwendet werden kann4 ,deswegen gehen wir jetzt dazu ber1 denjenigen ,satz zu beweisen1 der die wichtigste ,eigenschaft aller perspektivischen ,bilder liefert4 #d4 ,der ,satz vom ,fluchtpunkt4 #aj4 ,der ,fluchtpunkt einer ,geraden4 ,wir erinnern zunchst an folgenden1 auch der ,anschauung leicht zugnglichen ,satz3 ,irgend zwei parallele ,gerade im ,raume bestimmen eine ,ebene1 und jede ,gerade1 welche diese beiden parallelen ,geraden schneidet1 liegt ebenfalls ganz in dieser ,ebene4 ,dieser grundlegenden ,behauptung der ,geometrie kann man auch folgende andere ,fassung geben3 ,ist eine ,gerade ,g gegeben und ein ,punkt ,o 7,fig4 #ad7 und verbindet man den ,punkt ,o mit beliebigen ,punkten a1 b1 444 von ,g1 so liegen alle diese ,verbindungslinien in einer ,ebene1 und dieser ,ebene gehrt auch die ,gerade ,j an1 welche durch ,o parallel zu ,g gezogen werden kann4 ,es sei nun weiter die ,bildtafel gegeben sowie das ,auge ,o2 es soll das perspektivische ,bild der ,geraden ,g gezeichnet werden4 ,dieses ,bild ,g' erhlt man1 wenn man die ,bilder der einzelnen ,punkte a1 b1 c1 444 von ,g aufsucht4 ,man hat also die ,projektionsstrahlen ,oa1 ,ob1 ,oc1 444 mit zum ,schnitt zu bringen4 ,alle diese ,punkte a'1 b'1 c' 444 liegen dann aber auf der ,geraden ,g'1 in welcher die ,ebene der ,projektionsstrahlen ,oa1 ,ob1 ,oc1 444 die ,tafel durchsetzt4 ,in der ,ebene dieser ,projektionsstrahlen liegt nun nach dem obigen ,satze auch der ,strahl ,j1 der durch ,o parallel zu ,g gezogen werden kann4 ,trifft er in f die ,tafel1 so mu also ,g' auch durch f gehen4 ,die ,gerade ,g schneidet ferner die ,tafel in einem ,punkte s2 er heit die ,spur der ,geraden1 und er mu selbstverstndlich auch auf ,g' gelegen sein4 ,illustration3 ,fig4 #ad4 ,der ,punkt f dagegen heit der ,fluchtpunkt oder die ,flucht oder auch der ,verschwindungspunkt der ,geraden ,g4 ,diese sehr treffende ,bezeichnung erklrt sich in folgender ,weise4 ,lassen wir einen ,punkt sich auf der ,geraden ,g von der ,spur s aus nach links immer weiter und weiter fortbewegen1 so da er die ,lagen a1 b1 c1 444 annimmt1 so werden sich die ,bilder a'1 b'1 c' 444 dem ,fluchtpunkt f mehr und mehr nhern4 ,ist der ,punkt auf der ,geraden ,g schon sehr weit hinausgerckt1 so wird das ,bild des ,punktes ziemlich nahe an f liegen4 ,aber allerdings gibt es keinen erreichbaren ,punkt auf ,g1 dessen ,bild wirklich nach f fiele4 ,denkt man sich die ,gerade ,g als eine materiell hergestellte1 sehr lange1 dnne ,stange aus ,draht oder ,holz und wieder als ,glastafel und visiert ein in ,o angebrachtes ,auge die ,stange ein1 so wird ihr ,ende nahezu in f erscheinen1 die ,gerade verschwindet in f4 ,das ,bild ,g' luft verlngert durch den ,fluchtpunkt1 oder es flieht nach f4 ,wir geben nochmals an1 wie der ,fluchtpunkt einer ,geraden zu konstruieren ist3 ,satz #g4 ,der ,fluchtpunkt einer ,geraden wird erhalten1 wenn man durch das ,auge eine ,parallele zu der ,geraden zieht4 ,der ,schnittpunkt dieser ,parallelen mit der ,tafel 7die ,spur dieses ,parallelstrahles7 ist der ,fluchtpunkt der ,geraden4 ,das ,bild ,g' wird man zeichnen knnen1 wenn man #b ,punkte desselben bestimmt hat4 ,als solche bieten sich ganz von selbst die ,spur s und die ,flucht f dar4 ,man kann also sagen3 ,satz #h4 ,das ,bild einer ,geraden ist die ,verbindungslinie ihrer ,spur und ihres ,fluchtpunktes4 ,um ein ,beispiel zu haben1 betrachten wir ,fig4 #ab4 ,whlen wir die ,kante ab des ,wrfels4 ,der ,fluchtpunkt dieser ,geraden ergibt sich1 wenn wir durch ,o die ,parallele zeichnen4 ,da die ,kante auf der ,tafel ,,zxy senkrecht steht1 so ist diese ,parallele die ,linie ,o,a und ,a ist der ,fluchtpunkt4 ,es geht also in dem perspektivischen ,bilde rechts oben a'b' verlngert durch ,a4 #aa4 ,der ,satz vom ,fluchtpunkt4 ,denken wir uns nun 7,fig4 #ad7 eine zweite ,gerade ,h gegeben1 welche zu ,g parallel sein soll4 ,die ,spur von ,h sei der ,punkt s'4 ,dann wei man1 da die ,linie ,j oder ,of auch parallel zu ,h1 und dies besagt doch nichts anderes1 als da f auch der ,fluchtpunkt der ,geraden ,h sein mu4 ,das perspektivische ,bild ,h' der ,geraden ,h luft folglich durch f und durch s'4 ,ebenso wre fr jede andere ,gerade1 welche zu ,g parallel ist1 f der ,fluchtpunkt4 ,die ,bilder ,g' und ,h' der parallelen ,geraden ,g und ,h laufen also im gemeinsamen ,fluchtpunkt f zusammen4 ,damit erhalten wir den die ganze ,lehre von der perspektivischen ,zeichnung beherrschenden ,satz #i4 ,sind eine ,anzahl paralleler ,geraden im ,raume gegeben1 so sind die perspektivischen ,bilder dieser ,geraden nicht parallel1 sondern sie laufen1 hinreichend verlngert1 durch einen ,punkt1 den gemeinsamen ,fluchtpunkt der parallelen ,geraden4 ,illustration3 ,fig4 #ae4 ,man beachte1 da im ,gegensatze dazu bei der orthogonalen ,projektion nach ,satz #c 7,s4 #g7 parallele ,gerade im ,raume auch stets ,bilder haben1 die wieder parallel sind4 ,die ,figur #ab liefert uns auch sofort ein ,beispiel fr die ,anwendung dieses ,fluchtpunktsatzes4 ,betrachten wir an dem dort dargestellten ,wrfel die #d ,kanten ba1 cd1 gh1 fe1 so erkennt man leicht1 da dieses #d parallele ,gerade sind4 ,a ist offenbar der gemeinsame ,fluchtpunkt derselben1 und die ,bilder b'a'1 c'd'1 g'h'1 f'e' laufen demnach verlngert durch ,a4 ,eine aufmerksame ,betrachtung der ,fig4 #ab kann uns brigens darber belehren1 da es doch parallele ,gerade gibt1 deren ,bilder auch wieder parallel sind4 ,so sind die vier ,geraden bc1 ad1 eh1 fg offenbar im ,raume parallel1 und ihre ,bilder b'c'1 a'd'1 e'h'1 f'g' sind ebenfalls parallel4 ,die gleiche ,eigenschaft zeigen die vier ,kanten ae1 bf1 cg1 dh4 ,betrachten wir nun1 um dies klar zu bersehen1 eine ,gerade ,g1 welche zur ,bildebene parallel ist 7,fig4 #ae74 ,das ,bild ,g' derselben ergibt sich wieder1 wenn wir nach allen mglichen ,punkten von ,g die ,projektionsstrahlen legen und diese mit der ,tafel zum ,schnitt bringen4 ,alle diese ,strahlen bilden aber eine ,ebene1 und diese projizierende ,ebene schneidet aus das ,bild ,g' aus4 ,wenn wir nun angenommen haben1 da die ,gerade ,g zur ,bildtafel parallel ist1 so heit das1 da sie die ,bildtafel nicht schneidet4 ,die ,gerade ,g kann also auch ,g' nicht schneiden oder mit anderen ,worten3 es ist ,g parallel ,g'4 ,ist nun ,h eine zweite zu ,g parallele ,gerade1 so folgt ganz in der gleichen ,weise1 da auch ,h parallel zu ,h' ist1 und daraus folgert man sofort1 da auch ,g' parallel ,h' ist4 ,diese beiden parallelen ,geraden ,g und ,h haben also parallele ,bilder ,g' und ,h'4 ,allgemein kann man diesen besonderen ,fall des ,fluchtpunktsatzes aussprechen als ,satz #aj4 ,parallele ,geraden1 welche berdies zur ,bildebene parallel laufen1 haben auch parallele1 perspektivische ,bilder2 die ,bilder solcher ,geraden sind zu den ,geraden selbst parallel4 ,illustration3 ,fig4 #af4 #ab4 ,das ,fluchtpunktgesetz in der ,erscheinungswelt4 ,der ,begriff der ,zentralprojektion war abgeleitet aus dem ,vorgang des ,sehens1 den wir jetzt etwas genauer untersuchen mssen4 ,das menschliche ,auge entwirft von beleuchteten ,gegenstnden1 die sich vor ihm befinden1 auf der im ,hintergrunde des ,auges befindlichen ,netzhaut kleine ,bildchen1 die dadurch entstehen1 da man die ,punkte des ,gegenstandes aus einem bestimmten1 im ,auge gelegenen ,punkte o auf die ,netzhaut projiziert4 ,in ,fig4 #af ist das allerdings in ganz unrichtigen ,grenverhltnissen wiedergegeben4 ,als ,objekte sind die beiden parallelen ,pfeile ab und cd gewhlt4 o ist das ,zentrum1 und die von o nach den ,punkten a1 b1 c1 d gehenden ,strahlen schneiden die ,netzhaut in den ,punkten a'1 b'1 c'1 d'4 ,so entstehen die ,bildchen a'b' und c'd'4 ,in zweierlei ,hinsicht unterscheidet sich freilich die hier zur ,verwertung kommende ,perspektive von der von uns betrachteten4 ,erstens tritt an ,stelle der ebenen ,bildtafel die kugelfrmig gewlbte ,netzhaut1 und zweitens befinden sich ,gegenstand und auffangende ,flche auf verschiedenen ,seiten des ,zentrums o4 ,das letztere uert sich dadurch1 da die ,bildchen auf der ,netzhaut verkehrt sich ausbilden4 ,so sind z4 ,b4 die ,pfeilspitzen a'1 c' unten gelegen4 ,mit dem ,augenspiegel kann man das direkt beobachten4 ,denkt man sich weiter durch o die ,parallele zu ab gezogen1 so schneidet diese die ,netzhaut in einem ,punkte f1 den wir als den ,fluchtpunkt aller zu ab parallelen ,linien bezeichnen mssen4 ,je lnger der ,pfeil ab ist1 desto mehr strebt das ,bildchen a'b' dem ,punkte f zu4 ,die beiden ,bilder a'b' und c'd' laufen verlngert durch f1 und diese ,tatsache drckt sich auch in unserem ,wahrnehmungsbild aus1 indem sich die beiden ,pfeile zu nhern scheinen4 ,in der ,tat kann man das auf ,schritt und ,tritt beobachten4 ,wenn eine ,strae auf eine lange ,strecke geradlinig verluft1 so scheinen die ,huser am ,ende derselben zusammenzurcken1 ebenso die ,trambahnschienen und die ,gesimslinien ihrer ,gebude4 ,eine geradlinige ,allee schliet sich scheinbar in der ,ferne1 in gleicher ,weise ein sehr langer ,korridor4 ,am groartigsten zeigt sich die ,erscheinung1 wenn die ,sonnenstrahlen durch eine ,wolkenlcke brechen4 ,sie werden dann in ihrem geradlinigen ,verlauf sichtbar1 indem sie die ,wolken oder andere ,teile der ,landschaft beleuchten4 ,die ,strahlen1 die durch die ,lcke hindurchgehen1 sind nun parallel1 da wir ,strahlen1 die von einem ,punkte der ,sonne ausgehen1 als parallel betrachten mssen4 ,fr unser ,auge aber scheinen diese ,strahlen von einem ,punkte auszugehen1 eben dem ,fluchtpunkte derselben4 ,so bringt uns unser ,auge den ,satz vom ,fluchtpunkte fast in jedem ,moment zum ,bewutsein und wir knnen nicht ber die ,strae gehen1 ohne ihn zu erleben4 ,das ganze ,weltbild1 das wir bestndig vor ,augen haben1 wird durch dieses ,gesetz wesentlich beeinflut4 #e4 ,andere ,bestimmung eines perspektivischen ,bildes4 ,illustration3 ,fig4 #ag4 #ac4 ,die festen ,elemente4 ,wir wollen nun einen anderen ,weg einschlagen1 um perspektivische ,bilder von ,krpern zu zeichnen1 indem wir den ,satz vom ,fluchtpunkt jetzt so viel als mglich heranziehen4 ,es ist dann zunchst ntig1 eine ,anzahl fester ,elemente einzufhren1 auf die wir die ,darstellung beziehen4 ,die ,bildebene oder ,tafel denken wir uns wieder als eine lotrechte ,ebene4 ,die darzustellenden ,gegenstnde werden sich nun in den meisten ,fllen auf einer horizontalen ,bodenflche befinden2 wir fhren dementsprechend eine zur ,tafel senkrechte1 wagrechte ,ebene ein1 die wir kurz die ,grundebene nennen4 ,die ,figuren #ag und #ah geben wieder eine ,ansicht aller zu benutzenden ,gebilde4 ,die ,grundebene #a wird die ,tafel in einer ,geraden gg schneiden1 welche ,grundlinie heien soll4 ,von dem im ,raume gegebenen ,auge ,o fllen wir eine ,senkrechte auf die ,tafel1 deren ,fupunkt der schon erwhnte ,haupt- oder ,aug-,punkt ,a ist4 ,da die ,linie ,o,a demnach parallel zur ,grundebene verluft1 so kann man durch ,o,a eine ,ebene legen1 welche parallel zur ,grundebene ist4 ,diese ,parallelebene schneidet aus der ,tafel eine ,linie hh aus1 welche parallel zur ,grundlinie gg sein mu und bereits als der ,horizont bezeichnet wurde4 ,die ,parallelebene selbst hie die ,horizontebene4 ,der ,abstand des ,horizonts von der ,grundlinie oder1 was das gleiche ist1 der ,abstand der ,horizontebene von der ,grundebene wird die ,augenhhe genannt4 ,endlich tragen wir noch die ,distanz ,o,a vom ,augpunkt aus nach beiden ,seiten auf dem ,horizont ab1 wodurch wir die ,punkte ,d#a und ,d#b erhalten4 ,diese heien die ,distanzpunkte4 ,da also ,,ad#a ,a,o ,,ad#b1 so sind die ,dreiecke ,d#a,o,a und ,d#b,o,a beide gleichschenklig rechtwinklig1 und es ist ,,ad#a,o ,,ad#b,o #de4 ,in der ,zeichenebene geben wir uns also 7,fig4 #ai7 zwei parallele ,linien hh und gg und auf der oberen den ,punkt ,a sowie im gleichen ,abstande rechts und links die ,punkte ,d#a und ,d#b4 ,die ,lage des ,auges im ,raume ist damit festgelegt3 es liegt auf der ,senkrechten1 die wir uns im ,punkte ,a zur ,zeichenebene errichtet denken1 und zwar in einem ,abstande von ,a1 der gleich ,,ad#a oder ,,ad#b ist4 ,durch die ,annahme dieser ,elemente ist nun bereits eine ganze ,anzahl von ,richtungen bestimmt4 ,eine auf der ,zeichenebene senkrechte ,gerade ,t liefert uns die ,ausdehnung des ,gegenstandes nach der ,tiefe zu1 wie wir ja auch von der ,tiefe eines ,kastens oder einer ,bhne sprechen und darunter die ,abmessung verstehen1 die lotrecht zur ,vorderflche erfolgt4 ,wir nennen aus diesem ,grunde jede auf der ,bildebene senkrechte ,gerade ,t eine ,tiefenlinie 7,fig4 #ah oben74 ,die durch das ,auge ,o zu einer solchen ,tiefenlinie gelegte ,parallele wird dann aber immer der ,strahl ,o,a1 und folglich ist nach ,satz #g ,a ihr ,fluchtpunkt4 ,damit haben wir aber bewiesen3 ,satz #aa4 ,der ,augpunkt ,a ist der ,fluchtpunkt fr alle ,tiefenlinien1 d4 h4 die ,bilder aller ,tiefenlinien gehen verlngert durch den ,augpunkt4 ,der ,augpunkt beherrscht deswegen die ganze ,darstellung und legt die im ,bilde fehlende dritte ,dimension fest4 ,um die ,bedeutung des ,horizontes zu erkennen1 erinnern wir zunchst an folgenden ,satz aus der ,stereometrie3 ,ist eine ,ebene #a gegeben und auerhalb derselben ein ,punkt ,o1 so gibt es durch ,o nur eine ,ebene1 welche zu #a parallel ist4 ,diese ,behauptung kann man auch durch folgende andere ersetzen3 ,zieht man in der ,ebene #a irgendwelche ,gerade und zeichnet durch ,o die ,parallelen zu derselben1 so liegen alle diese ,parallelen in einer ,ebene1 eben in der ,parallelebene durch ,o zu #a4 ,ist also ,g irgendeine ,gerade der ,grundebene 7,fig4 #ag7 und ziehen wir zu ihr durch ,o die ,parallele1 so liegt diese in der ,horizontebene1 der ,schnittpunkt f der ,parallelen mit der ,tafel mu demnach auf hh gelegen sein2 er ist aber der ,fluchtpunkt der ,geraden ,g2 mit anderen ,worten3 ,satz #ab4 ,alle in der ,grundebene gelegenen ,geraden haben ihre ,fluchtpunkte auf dem ,horizonte4 ,a ist im besonderen der ,fluchtpunkt aller zur ,grundlinie gg senkrechten ,geraden der ,grundebene1 was wir ja schon wissen4 ,zeichnen wir ferner in der ,grundebene ein ,quadrat abcd 7,fig4 #ah71 das mit einer ,seite ab in der ,grundlinie liegt4 ,dann schlieen die ,linien ac und bd1 die sog4 ,diagonalen des ,quadrates1 mit der ,grundlinie ,winkel von #de ein4 ,man vgl4 auch ,fig4 #ai1 in welcher unten das ,quadrat 7a77b77c77d7 in seiner wahren ,gestalt zu sehen ist4 ,es ist aber klar1 da die ,linie ,,od#a parallel zu bd und ,,od#b parallel zu ac2 ,d#a und ,d#b sind die ,fluchtpunkte der ,diagonalen des ,quadrates und aller zu diesen beiden ,geraden parallelen ,geraden der ,grundebene d4 h4 ,satz #ac4 ,alle ,linien der ,grundebene1 welche mit der ,grundlinie den ,winkel von #de nach der einen oder anderen ,seite einschlieen1 haben die ,distanzpunkte bzw4 zu ,fluchtpunkten4 ,illustration3 ,fig4 #ah4 ,endlich wollen wir noch eine andere ,eigenschaft des ,horizontes kennen lernen4 ,ist d ein ,punkt in der ,grundebene1 d' sein ,bild1 also der ,schnittpunkt des ,sehstrahles ,od mit 7,fig4 #ah71 so wollen wir uns vorstellen1 da der ,punkt d weiter und weiter nach links in der ,grundebene hinausrckt4 ,dann wird das ,bild d' offenbar immer hher in der ,bildtafel hinaufrcken1 da sich der ,strahl ,od mehr und mehr aufrichtet4 ,ist d sehr weit entfernt in der ,grundebene angenommen1 so wird das ,bild d' dem ,horizont hh schon sehr nahe liegen4 ,wir gewinnen daraus folgende ,deutung fr den ,horizont3 ,satz #ad4 ,punkte1 die sehr weit entfernt in der ,grundebene liegen1 haben ,bilder1 die nahezu in den ,horizont fallen4 ,ein schnes ,beispiel dafr liefert die ,darstellung des offenen ,meeres4 ,denn seine ,oberflche mssen wir uns als eine weit ausgedehnte ,ebene denken4 ,ist also in einem ,gemlde das freie ,meer berhaupt oder eine weit ausgedehnte ,wasserflche dargestellt1 so gibt die ,grenzlinie gegen den ,himmel praktisch hinreichend genau den ,horizont des ,bildes 7vgl4 ,fig4 #ej74 ,unsere berlegung gibt auch die ,erklrung dafr1 warum sich die ,meeresflche scheinbar so hoch erhebt1 da sie wie eine ,mauer sich aufzutrmen scheint4 ,in der ,tat mu das ,bild jeder sehr weit ausgedehnten horizontalen ,ebene bis fast in ,augenhhe reichen4 #f4 ,darstellung eines mglichst einfach gelegenen ,quadrates der ,grundebene4 ,anwendungen dieser ,konstruktion4 ,tiefenmastab4 #ad4 ,die ,umlegung und ,verschiebung der ,grundebene4 ,unter ,benutzung der so definierten festen ,elemente wollen wir jetzt ,krper darstellen4 ,wir beginnen aber mit dem ,einfachsten1 indem wir zunchst von ,figuren1 die in der ,grundebene gelegen sind1 die ,bilder zeichnen4 ,es ist dann aber notwendig1 da wir uns diese ,figuren auch selbst geben1 sowohl ihrer wahren ,gestalt nach als in ihrer ,lage in der ,grundebene4 ,zu diesem ,zwecke mssen wir die ,grundebene in unsere ,zeichenebene irgendwie hereinbringen4 ,eine ,mglichkeit1 dies zu erreichen1 ist folgende3 wir drehen die ,grundebene um die ,grundlinie nach aufwrts im ,sinne der beiden ,pfeile 7,fig4 #ag1 #ah7 so lange1 bis sie mit der ,tafel sich deckt4 ,dann liegt die ,grundebene allerdings in unserem ,zeichenblatt1 aber wir haben die ,unannehmlichkeit1 da die ,figuren der ,grundebene sich dort befinden1 wo das ,bild entworfen werden soll4 ,deswegen schieben wir die 7gedrehte7 ,grundebene in der ,tafel parallel zu sich selbst noch um ein beliebiges ,stck herunter1 bis die ,grundlinie die neue ,lage 7g77g7 annimmt 7,fig4 #ai72 irgendein ,punkt a der ,grundlinie beschreibt dabei die lotrechte ,linie a7a71 wenn wir mit 7a7 die ,lage des ,punktes a nach ,ausfhrung der ,verschiebung bezeichnen4 ,die ,entfernung a7a7 zwischen gg und 7g77g7 ist ganz willkrlich und richtet sich nach der ,gre der in der ,grundebene gegebenen ,figur4 ,illustration3 ,fig4 #ai4 ,nach diesen ,vorbereitungen behandeln wir folgende ,aufgabe #b4 ,in der ,grundebene ist ein ,quadrat gegeben1 von dem eine ,seite ab in der ,grundlinie liegt4 ,das ,bild des ,quadrates zu zeichnen4 ,die ,lage des gegebenen ,quadrates abcd veranschaulicht ,fig4 #ah4 ,in der wirklichen ,ausfhrung 7,fig4 #ai7 geben wir uns den ,horizont hh mit dem ,augenpunkt ,a und den beiden ,distanzpunkten1 ,d#a und ,d#b1 dazu parallel die ,grundlinie gg mit den beiden ,ecken a und b des ,quadrates4 ,um auf ,grund dieser ,stcke das ,bild des ,quadrates zu zeichnen1 ziehen wir in beliebigem ,abstand die ,parallele 7g77g7 und bestimmen vermittels der ,vertikalen durch a und b die ,lage 7a77b77c77d7 des ,quadrates nach der ,verschiebung4 ,nun sind die ,quadratseiten ad und bd ,tiefenlinien1 ihre ,bilder mssen also nach ,satz #aa durch ,a gehen2 die ,punkte a und b sind aber die ,spuren dieser ,geraden4 ,folglich erhalten wir in a,a und b,a die ,bilder der beiden ,geraden1 auf denen die ,quadratseiten ad und bc liegen1 und die ,bilder d' und c' mssen bzw4 auf a,a und b,a gelegen sein4 ,denken wir uns aber noch die ,diagonale db konstruiert1 welche in unserer ,verschiebung als 7d77b7 zu zeichnen ist1 so ist das eine ,linie1 welche einen ,winkel von #de mit der ,grundlinie bildet4 ,nach ,satz #ac ist also ,d#a der ,fluchtpunkt dieser ,geraden1 b aber ist ihre ,spur2 mithin wird das ,bild der ,geraden db die ,verbindungslinie b,d#a4 ,das ,bild d' mu demnach sowohl auf a,a als auch auf b,d#a liegen1 kann also nur der ,schnittpunkt d' dieser beiden ,linien sein4 ,ebenso finden wir das ,bild c' der ,ecke c als ,schnittpunkt von a,d#b und b,a4 ,das folgt sofort aus der ,betrachtung der anderen ,diagonale ac4 ,eine ,kontrolle fr die ,zeichnung ergibt sich daraus1 da c'd' von selbst parallel gg sein mu4 ,denn die ,quadratseite cd ist ja parallel zur ,tafel1 also nach ,satz #aj cd c'd'4#c ,da aber cd ab1 so ist auch c'd' ab4 ,man erkennt ferner1 da es fr die ,konstruktion des ,bildes abc'd' gar nicht ntig gewesen wre1 die ,verschiebung 7a77b77c77d7 zu zeichnen4 ,im brigen sei nochmals an die ,bemerkung auf ,s4 #ad unten erinnert4 #c ist das ,zeichen fr parallel4 ,aufgabe #c4 ,einen in der ,grundebene gelegenen quadratisch getfelten ,fuboden zu zeichnen4 ,die ,quadrate1 welche den ,fuboden liefern1 sind in ,fig4 #ai in der ,verschiebung gezeichnet4 ,an das ,quadrat 7a77b77c77d7 schliet sich die erste ,reihe1 welche an die ,grundlinie angrenzt1 daran schliet sich eine zweite ,reihe von ,quadraten usf4 ,die ,konstruktion ,fig4 #ai ergibt sich fast von selbst4 ,die ,tiefenlinien1 wie z4 ,b4 7e77f71 fliehen im ,bilde alle nach ,a4 ,ferner erkennt man leicht1 da in dem ,system der ,quadrate alle ,diagonalen der einen und anderen ,richtung sich zu zwei ,scharen paralleler ,geraden zusammensetzen4 ,das gilt also auch fr das ,bild1 nur mit dem ,unterschied1 da die ,bilder aller dieser parallelen ,geraden bzw4 nach ,d#a und ,d#b laufen4 ,in der ,fig4 #ai sind der ,tiefe nach #e ,reihen von ,quadraten gezeichnet1 whrend in der ,verschiebung nur #c ,reihen angegeben wurden4 ,da alle ,diagonalen der ,quadratbilder nach ,d#a oder ,d#b gehen1 und auerdem je zwei ,seiten eines ,quadrats parallel zur ,grundlinie laufen1 so bietet die ,figur zahllose ,kontrollen4 #ae4 ,anwendungen dieser ,aufgabe4 ,man wrde aber irren1 wollte man diese ,figur blo fr eine mathematische ,spielerei halten3 wir knnen vielmehr von derselben eine ganze ,anzahl praktischer ,anwendungen machen4 ,zunchst ist es mglich1 da bei der bildlichen ,wiedergabe eines ,interieurs1 z4 ,b4 eines ,zimmers1 an und fr sich ein solcher ,parkettboden zu zeichnen ist4 ,derselbe bietet dann aber auch weiter die ,mglichkeit1 ,figuren1 ,einrichtungsgegenstnde usf4 einigermaen richtig im ,raume zu verteilen1 indem man diesen ,objekten eine durch die ,schtzung der ,quadrate zu beurteilende ,bodenflche zuweist4 ,jedenfalls kann man sich vor ganz groben ,irrtmern dadurch schtzen4 ,als ,beispiel geben wir in ,abbildung #c das ,abendmahl des ,altniederlnders ,dirk ,bouts 7#adaj787--adgb7 wieder1 das sich in der ,peterskirche in ,lwen befand und von den ,deutschen im ,kriege von #aiad gerettet wurde4 ,auf gewisse ,unrichtigkeiten der ,konstruktion gehen wir hier nicht ein4 ,der primitiven ,kunst lag eine solche ,rcksicht auf richtige ,verteilung der ,objekte im ,raume berhaupt gnzlich fern4 ,sie zeichnet die ,kpfe einer ,anzahl von ,menschen einfach neben- und bereinander1 ohne sich zu fragen1 ob die zugehrigen ,krper auch wirklich den ihnen entsprechenden ,platz im ,raume haben4 ,illustration3 ,abb4 #c4 ,unter ,umstnden kann es auch bequem sein1 ein solches ,quadratnetz in die ,figur einzuzeichnen1 wenn z4 ,b4 ein ziemlich unregelmig gestalteter ,grundri1 ein ganzer ,stadtplan oder eine ,gartenanlage1 in ,perspektive gesetzt werden soll 7,fig4 #bj74 ,wir legen ber die ,figur ein derartiges ,netz und zeichnen dessen ,bild4 ,nachdem dies geschehen1 bertragen wir nach dem ,augenma ,quadrat fr ,quadrat die ,linien in das ,bild4 ,es wird die ,genauigkeit erhhen1 wenn wir einzelne charakteristische ,punkte genau zeichnen1 wobei die folgende ,aufgabe zu benutzen ist4 ,illustration3 ,fig4 #bj4 ,aufgabe #d4 ,ein ,punkt p in der ,grundebene ist gegeben2 sein ,bild zu zeichnen4 ,diese rein mathematische ,aufgabe fhren wir auf die ,aufgabe #a zurck1 indem wir uns ein ,quadrat gezeichnet denken1 von dem eine ,ecke in p liegt1 whrend eine ,seite auf die ,grundlinie fllt4 ,man kann sich in ,fig4 #ah und #ai etwa die ,ecke d als den gegebenen ,punkt denken4 ,wir wollen jetzt die ,zeichnung durchfhren1 ohne das ganze ,quadrat zu zeichnen4 ,der ,punkt p ist in ,fig4 #ba a in der ,verschiebung 7p7 gegeben1 ,wir zeichnen durch 7p7 die lotrechte ,tiefenlinie 7,t71 welche die durch p gehende ,tiefenlinie gibt2 ihre ,spur ist t1 ihr ,fluchtpunkt ,a1 so da also ihr ,bild ,t' diese beiden ,punkte verbindet2 auf ,t' mu jedenfalls das gesuchte ,bild p' gelegen sein4 ,illustration3 ,fig4 #ba a4 ,um einen zweiten ,ort fr p' zu erhalten1 ziehen wir durch 7p7 eine ,linie 7,d7 nach rechts1 welche unter #de gegen die ,grundlinie 7g77g7 geneigt ist 7,quadratdiagonale74 ,diese ,linie 7,d7 schneidet 7g77g7 in 7s71 und senkrecht ber diesem ,punkt erhalten wir in s die ,spur der ,hilfslinie ,d4 ,da ferner ,d#a ihr ,fluchtpunkt ist1 so wird ,d' den ,punkt s mit ,d#a verbinden4 ,das gesuchte ,bild p' mu also auch auf ,d' liegen1 kann folglich nur der ,schnittpunkt von ,t' und ,d' sein4 ,illustration3 ,fig4 #ba b4 ,wir htten durch 7p7 noch eine zweite ,linie nach links ziehen knnen1 welche auch einen ,winkel von #de mit 7g77g7 einschliet4 ,dann htten wir einfach den auf der rechten ,seite von ,a gelegenen ,distanzpunkt ,d#b als ,fluchtpunkt fr diese ,linie benutzen mssen und wren zu dem gleichen ,punkte p' gelangt4 ,die ,konstruktion ist ebenfalls in ,figur #ba a eingetragen4 ,wir knnen aber noch eine ,vereinfachung in dieser ,zeichnung anbringen4 ,da 7p77t7 7s77t7 st1 so ergibt sich folgende einfache ,konstruktion 7,fig4 #ba b73 ,man trgt von der ,spur t aus den ,abstand des ,punktes der ,grundlinie etwa nach rechts als ts auf der ,grundlinie an und verbindet den ,punkt s mit dem linken ,distanzpunkt4 ,dann schneidet diese ,verbindungslinie auf der ,hauptlinie ,t' den gesuchten ,punkt p' aus4 ,trgt man den ,abstand nach links auf der ,grundlinie auf1 so ist der rechte ,distanzpunkt zu benutzen4 ,die vorliegende ,aufgabe lt sich dann auch in folgender ,weise formulieren3 ,es soll auf einer im ,bilde gegebenen ,tiefenlinie ein ,punkt bestimmt werden1 der von der ,grundlinie einen durch eine ,strecke oder durch eine ,zahl gegebenen ,abstand hat4 ,aufgabe #e4 ,auf einer gegebenen ,tiefenlinie einen ,mastab zu zeichnen1 dessen ,einheit gegeben ist4 ,denken wir uns in der ,grundebene eine ,tiefenlinie gegeben und auf derselben die gleiche ,strecke beliebig oft angetragen1 wobei wir in der ,spur der ,geraden beginnen4 ,diese gleich groen ,strecken werden sich selbstverstndlich verschieden gro abbilden1 eben um so kleiner1 je weiter sie sich vom ,auge entfernen4 ,die in ,fig4 #ba b durchgefhrte ,konstruktion gibt sofort die ,lsung4 ,wir tragen 7,fig4 #bb7 die geg4 ,teilung von der ,spur t der geg4 ,tiefenlinie ,t aus nach rechts auf der ,grundlinie ab1 so da also #j4a #a4b #b4c #c4d je der geg4 ,maeinheit4 ,verbinden wir diese ,punkte dann mit dem linken ,distanzpunkt ,d#a1 so schneiden diese ,linien auf ,t' die gesuchten ,bilder #a'1 #b'1 #c' usf4 aus4 ,wir haben damit die ,konstruktion eines sog4 ,tiefenmastabes gewonnen4 ,illustration3 ,fig4 #bb4 ,das ,verfahren bleibt ganz das nmliche1 wenn nicht lauter gleiche ,strecken auf der ,tiefenlinie angetragen werden sollen1 sondern verschiedene ,strecken4 ,man trgt die ,strecken in ihrer ,reihenfolge auf der ,grundlinie an2 dann liefern sie1 aus ,d#a projiziert1 die richtigen ,bilder4 #g4 ,darstellung beliebiger1 geradliniger ,figuren der ,grundebene4 #af4 ,bild einer beliebigen ,geraden4 ,um nun eine irgendwie aus ,geraden zusammengesetzte ,figur der ,grundebene abbilden zu knnen1 mssen wir uns zuerst damit beschftigen1 wie man das ,bild einer beliebigen ,geraden zeichnen kann4 ,das fhrt uns unmittelbar zur ,aufgabe #f4 ,eine beliebige ,gerade ,a der ,grundebene ist gegeben2 ihr ,bild zu zeichnen4 ,illustration3 ,fig4 #bc4 ,die ,flucht der ,geraden ergibt sich nach ,satz #g1 indem wir durch das ,auge einen ,parallelstrahl zur ,geraden zeichnen und diesen mit der ,tafel zum ,schnitt bringen4 ,ist fa dieser ,schnittpunkt1 so ist 7,fig4 #bc7 ,ofa ,a und fa liegt natrlich auf dem ,horizont hh4 ,wir ziehen noch durch das ,auge ,o eine ,parallele ii zum ,horizont4 ,die ,gerade ,a wird mit der ,grundlinie gg einen gewissen ,winkel einschlieen4 ,leicht erkennt man dann1 da der ,parallelstrahl ,ofa mit der ,linie ii den gleichen ,winkel bildet4 ,um diese ,eigenschaft fr wirkliche ,konstruktion auszunutzen1 klappen wir die ,horizontebene durch ,o nach unten in die ,bildebene 4 ,wir drehen also diese ,ebene um die ,horizontlinie so lange nach abwrts1 bis sie mit der ,bildtafel zusammenfllt4 ,der ,pfeil in der ,figur #bc deutet diese ,drehung an4 ,die ,linie ,o,a bleibt bei dieser ,drehung immer senkrecht zum ,horizont2 sie hat also auch am ,schlusse der ,drehung noch diese ,eigenschaft4 ,zeichnen wir demnach in der ,bildebene eine lotrechte ,linie durch ,a1 so gibt diese die ,lage1 welche der ,strahl ,o,a nach ,ausfhrung der ,drehung annimmt4 ,der ,punkt ,o endlich geht nach ,beendigung der ,drehung in einen ,punkt ,d#c ber1 der auf dieser lotrechten ,linie durch ,a so liegt1 da die ,strecke ,,ad#c ,o,a der ,distanz4 ,die ,parallele ii geht ber in die ,linie ll1 welche durch ,d#c parallel zum ,horizont gezogen werden kann4 ,die ,linie ,d#c;fa bildet mit der ,linie ll wieder den ,winkel 4 ,das ,weitere verfolgen wir an ,fig4 #bd1 welche die wirkliche ,ausfhrung gibt4 ,die ,gerade ,a ist in der ,verschiebung durch 7,a7 gegeben4 ,im ,augpunkte ,a errichten wir die ,senkrechte zum ,horizont und schneiden auf ihr die ,distanz ab1 wodurch wir ,d#c erhalten4 ,es ist also ,,ad#a ,,ad#b ,,ad#c4 ,durch ,d#c ziehen wir die ,parallele ll zum ,horizont4 ,tragen wir an diese ,parallele den ,winkel an1 so schneidet dessen #b4 ,schenkel den ,fluchtpunkt fa auf dem ,horizont aus4 ,einfacher ist es aber1 die ,eigenschaft der ,figur zu benutzen1 da offenbar ,d#c;fa 7,a7 ist4 ,denn dann haben wir nur ntig1 durch ,d#c eine ,parallele zu 7,a7 zu zeichnen1 diese schneidet auf dem ,horizont den ,fluchtpunkt fa von ,a aus4 ,die ,verbindungslinie der ,spur a mit fa gibt das ,bild ,a' der ,geraden ,a4 ,illustration3 ,fig4 #bd4 ,nennen wir ,d#c die ,umlegung des ,auges nach unten oder das nach unten umgelegte ,auge1 so ergibt sich folgende einfache ,regel3 ,ist eine ,gerade in der ,verschiebung gegeben1 so bestimmt die durch das umgelegte ,auge ,d#c zu ihr gezogene ,parallele auf den ,horizont den ,fluchtpunkt der ,geraden4 ,illustration3 ,fig4 #be4 ,die ,figur #bd liefert uns brauchbare ,eigenschaften aber auch fr den ,fall1 da die ,gerade nicht in der ,verschiebung1 sondern auf andere ,weise bestimmt ist4 ,es handle sich etwa um folgende ,aufgabe #g4 ,ein ,punkt p der ,grundebene ist durch sein ,bild p' gegeben2 durch p soll in der ,grundebene eine ,gerade gezogen werden1 welche unter einem ,winkel von #fj gegen die ,grundlinie geneigt ist4 ,das ,bild dieser ,geraden zu zeichnen4 ,tragen wir 7,fig4 #be7 an die ,horizontale durch ,d#c einen ,winkel von #fj an1 so schneidet dessen zweiter ,schenkel auf dem ,horizont den ,fluchtpunkt f der gesuchten ,geraden aus4 ,verbinden wir den gegebenen ,punkt p' mit f1 so ist diese ,linie das verlangte ,bild4 ,selbstverstndlich gibt es zwei solche ,gerade1 da man den ,winkel auch von der linken ,seite der ,parallelen ll aus antragen kann4 ,zu jedem ,punkte des ,horizontes gehrt demgem eine gewisse ,richtung von ,geraden2 speziell entsprechen den ,distanzpunkten1 wie wir ja schon wissen1 die ,geraden1 welche unter #de gegen die ,grundlinie geneigt wird4 ,in der ,figur sind auf der linken ,seite noch bei einigen weiteren ,punkten des ,horizontes die ,winkel hinzugeschrieben1 zu denen sie gehren4 #ag4 ,winkel zweier ,geraden4 ,sind zwei ,gerade ,a und ,b der ,grundebene gegeben1 so zeichnen wir ihre ,fluchtpunkte fa und fb1 so da also 7,fig4 #bf7 ,ofa ,a und ,ofb ,b4 ,bezeichnen wir den ,winkel1 den ,a und ,b einschlieen1 mit 1 so erkennt man sofort1 da auch fa,ofb ist4 ,klappen wir wiederum die durch das ,auge ,o gehende ,horizontebene nach unten in die ,bildebene herunter1 wobei der ,punkt ,o nach ,d#c kommt1 so tritt der ,winkel auch hier auf1 indem fa,d#c;fb oder in ,worten ausgedrckt3 ,satz #ae4 ,irgend zwei ,gerade der ,grundebene schlieen den gleichen ,winkel ein wie die ,sehstrahlen1 die vom ,auge nach ihren ,fluchtpunkten gehen1 und auch wie die ,strahlen1 welche von der ,umlegung des ,auges nach ihren ,fluchtpunkten laufen4 ,illustration3 ,fig4 #bf4 ,dieser ,satz gehrt zu den allerwichtigsten in der ,perspektive wegen der vielen ,anwendungen1 die von ihm gemacht werden4 ,wir veranschaulichen ihn noch durch die ,fig4 #bg1 welche die wirkliche ,konstruktion gibt4 ,hier sind die beiden ,geraden ,a und ,b in der ,verschiebung 7,a7 und 7,b7 gegeben4 ,im ,hauptpunkte ,a ist eine ,senkrechte zum ,horizont angetragen und auf ihr die ,umlegung ,d#c des ,auges ermittelt1 in dem ,,ad#c ,,ad#a ,a,d#b gemacht werde4 ,dann folgt aus der unmittelbar vorhergehenden ,betrachtung1 da ,d#c;fa 7,a7 und ,d#c;fb 7,b74 ,daraus ergibt sich wiederum1 da fa,d#c;fb 4 ,die ,praktiker drcken dies so aus3 ,am ,punkte ,d#c kann jeder ,winkel in seiner wahren ,gre angetragen werden4 ,in der ,figur wurden noch die ,spuren a und b der beiden ,geraden konstruiert1 so da dann ,a' und ,b' sich je als die ,verbindungslinie von ,flucht und ,spur ergeben4 ,der ,schnittpunkt von ,a' und ,b' ist das ,bild des ,scheitels p4 ,man beachte1 da der schraffierte ,teil zwischen 7,a7 und 7,b7 sich in den schraffierten ,teil zwischen ,a' und ,b' abbildet4 ,eine zweite ,anwendung gibt ,aufgabe #h4 ,ein in der ,grundebene liegendes ,rechteck ist in der ,verschiebung 7p77q77r77s7 gegeben2 dessen ,bild zu zeichnen4 ,das ,rechteck enthlt zwei ,paare paralleler ,seiten 7,a7 und 7,a#a71 sowie 7,b7 und 7,b#a7 7,fig4 #bh74 ,wir zeichnen zunchst die ,fluchtpunkte dieser beiden ,richtungen ,zu diesem ,zwecke ziehen wir durch die ,umlegung ,d#c des ,auges die ,parallelen zu 7,a7 und 7,b72 diese schneiden die ,fluchtpunkte fa und fb auf dem ,horizonte aus4 ,es ist also ,d#c;fa 7,a7 7,a#a7 und ,d#c;fb 7,b7 7,b#a74 ,jetzt zeichnen wir die ,bilder q' und s' der beiden ,ecken q und s nach ,aufgabe #d1 indem wir je eine ,tiefenlinie und eine unter #de geneigte ,linie benutzen4 q' liefert mit fa und fb verbunden die ,bilder ,a' und ,b'1 s' mit fa und fb verbunden ,a#a' und ,b#a'4 ,die letzten ,ecken r' und p' ergeben sich als die ,schnittpunkte von ,a#a' mit ,b' und ,a' mit ,b#a'4 ,illustration3 ,fig4 #bg4 ,das ,bild p'q'r's' hat die charakteristische ,eigenschaft1 da sich die gegenberliegenden ,seiten ,a' und ,a#a' sowie ,b' und ,b#a' verlngert je in fa und fb auf dem ,horizont schneiden4 ,kontrollen bieten sich zahlreiche1 wenn man die ,tiefenlinien durch r und p zieht oder die ,spuren der ,rechtecksseiten benutzt1 wie das in der ,figur fr die ,seite rq angegeben ist4 ,illustration3 ,fig4 #bh4 #ah4 ,umlegung der ,horizontebene nach oben4 ,unter ,umstnden kann es bequem sein1 die ,horizontebene statt nach unten nach oben in die ,bildtafel hereinzuklappen 7,fig4 #bf74 ,dann fllt der ,punkt ,o auf die ,verlngerung der ,linie ,,ad#c ber ,a hinaus nach einem ,punkte ,d1 wenn wieder ,,ad der ,distanz gemacht wird4 ,in ,fig4 #bg ist auch diese ,umlegung oben gezeichnet4 ,natrlich gibt der ,winkel fa,dfb auch jetzt wieder den ,winkel der beiden gegebenen ,geraden ,a und ,b1 so da fa,dfb 1 und auch an dem ,punkte ,d drfen alle ,winkel in wahrer ,gre angetragen werden4 ,illustration3 ,fig4 #bi4 ,ein ,unterschied ist aber insofern vorhanden1 als jetzt nicht mehr 7,a7 ,dfa und nicht mehr 7,b7 ,dfb4 ,diese ,eigenschaft der parallelen ,lage ist nur erfllt bei der ,drehung nach unten4 ,das hngt damit zusammen1 da wir auch die ,grundebene im gleichen ,sinne gedreht haben4 ,wenn aber z4 ,b4 die ,verschiebung berhaupt nicht gezeichnet ist1 so kann man sehr wohl die ,horizontebene auch nach oben drehen1 zumal wenn man oben in der ,zeichnung mehr ,raum zur ,verfgung hat4 ,die folgende ,aufgabe gibt davon eine ,anwendung4 ,aufgabe #i4 ,gegeben sind eine ,gerade ,a der ,grundebene und ein ,punkt p auf ihr durch ihre ,bilder ,a' und p'4 ,man zeichne das ,bild einer ,geraden ,b der ,grundebene1 welche in p auf ,a senkrecht steht4 ,bringen wir das gegebene ,bild ,a' mit dem ,horizont zum ,schnitt 7,fig4 #bi71 so ist der ,schnittpunkt fa der ,fluchtpunkt der ,geraden ,a4 ,im ,augpunkt ,a errichten wir eine ,senkrechte zum ,horizont hh und machen diese der ,distanz1 so da also ,,ad ,,ad#a ,,ad#b4 ,d ist die ,umlegung des ,auges nach oben4 ,verbinden wir ,d mit fa und errichten in ,d zu fa,d ein ,lot1 so schneidet dieses aus dem ,horizont einen ,punkt fb aus1 der der ,fluchtpunkt aller auf der ,geraden ,a senkrechten ,geraden ist4 ,die gesuchte ,senkrechte soll aber durch p gehen1 ihr ,bild ,b' ist demnach die ,verbindungslinie von p' mit fb4 fap'fb ist also das ,bild eines horizontalen rechten ,winkels4 #ai4 ,getrennte ,lage des ,grundrisses4 ,wir haben bisher immer angenommen1 da die ,grundebene mitsamt den abzubildenden ,figuren in der ,verschiebung gegeben sei4 ,natrlich kann sie auch1 getrennt von der ,bildtafel1 gegeben und die ,lage der ,bildebene durch ihre ,spur1 d4 h4 durch die ,grundlinie1 bestimmt sein4 ,beispielsweise sei in ,fig4 #cj a ein ,rechteck #a #b #c #d gezeichnet1 auerdem sind die ,risse ,a#a und ,o#a von ,a und ,o bekannt4 ,in der zweiten ,figur #cj b ist der ,horizont hh mit ,a sowie die ,grundlinie gg gegeben4 ,verlangt wird das ,bild des ,rechteckes zu zeichnen4 ,die fr die ,lsung in ,betracht kommende geometrische ,eigenschaft liefert ein ,blick auf ,fig4 #bf4 ,der durch das ,auge ,o zur ,geraden ,a der ,grundebene gezogene ,parallelstrahl1 welcher den ,fluchtpunkt fa auf dem ,horizont ausschneidet1 hat in der ,grundebene einen ,ri1 der durch ,o#a gehen mu1 sowie durch die ,projektion fa#a des ,fluchtpunktes fa1 und weiter mu dieser ,ri parallel zu ,a sein1 also ,o#a;fa#a ,a4 ,illustration3 ,fig4 #cj a4 ,zieht man demnach umgekehrt durch ,o#a ,parallele zu den ,seiten des ,rechteckes1 so schneiden diese auf der ,grundlinie gg die ,projektionen fa#a und fb#a der ,fluchtpunkte fa und fb aus4 ,da nun die ,grundlinie mit ihren ,punkten in den beiden ,figuren vorkommt1 so haben wir nur die ,strecken ,a#a;fa#a und ,a#a;fb#a auch in ,fig4 #cj b anzutragen4 ,dann liefern die in fa#a und fb#a errichteten ,lote zu gg auf dem ,horizont die ,fluchtpunkte fa und fb4 bertrgt man noch weiter die ,spuren der ,rechtecksseiten in die ,fig4 #cj b1 so ist das ,bild #a'b'c'd' des ,rechtecks leicht fertig zu stellen4 ,illustration3 ,fig4 #cj b4 #bj4 ,horizontale ,gerade4 ,die bisherigen ,ausfhrungen gengen vollstndig1 um jede in der ,grundebene gegebene ,figur in ,perspektive zu setzen4 ,bevor wir aber dazu bergehen1 ,krper abzubilden1 wollen wir vorher noch eine sehr wesentliche ,verallgemeinerung der oben durchgefhrten ,betrachtungen besprechen4 ,ziehen wir zu irgendeiner ,geraden der ,grundebene im ,raume eine ,parallele1 so nennen wir diese neue ,gerade eine horizontale ,gerade4 ,in genauer ,fassung werden wir sagen3 ,jede ,gerade1 welche zur ,grundebene parallel luft1 soll eine horizontale ,gerade heien4 ,wollen wir nun den ,fluchtpunkt einer horizontalen ,geraden bestimmen1 so haben wir durch das ,auge eine ,parallele zu der ,geraden zu zeichnen4 ,diese ,parallele ist dann aber auch parallel zur ,grundebene1 liegt mithin in der ,horizontebene1 und der ,fluchtpunkt mu dem ,horizont hh angehren4 ,illustration3 ,fig4 #ca4 ,was die ,lage einer horizontalen ,geraden im ,raume betrifft1 so kann sie entweder oberhalb oder unterhalb der ,horizontebene liegen oder in der ,horizontebene4 ,der letztere ,fall ist sofort erledigt4 ,denn jede ,gerade der ,horizontebene bildet sich in den ,horizont ab4 ,liegt eine horizontale ,gerade oberhalb der ,horizontebene1 wie z4 ,b4 die ,gerade ,a in ,fig4 #ca1 so mu ihre ,spur a oberhalb des ,horizonts hh gelegen sein2 eine horizontale ,gerade ,b dagegen1 welche unter der ,horizontebene sich befindet1 liefert eine ,spur b unter dem ,horizont4 ,die ,bilder zweier solchen ,geraden verhalten sich nun verschieden4 ,in ,fig4 #ca ist noch speziell angenommen1 da die beiden ,geraden ,a und ,b in der gleichen ,vertikalebene liegen1 so da der ,ri ,a#a von ,a mit dem ,ri ,b#a von ,b sich deckt und die ,spuren a und b auf einer lotrechten ,linie sich befinden4 ,durchluft ein ,punkt die ,gerade ,a1 indem er von der ,spur a ausgeht1 im ,sinne des ,pfeiles1 also in der ,richtung von der ,bildtafel weg1 so bewegt sich sein ,bild auf ,a' gegen den ,fluchtpunkt fa hin4 ,die ,linie ,a' geht demnach1 in der ,richtung von a nach fa durchlaufen1 abwrts1 oder sie fllt4 ,ebenso steigt die ,linie ,b'1 wenn sie in der ,richtung gegen den ,fluchtpunkt hin durchlaufen wird4 ,damit haben wir eine sehr brauchbare ,malerregel abgeleitet1 die sich wie folgt ausdrcken lt3 ,satz #af4 ,horizontale ,gerade haben ihre ,fluchtpunkte auf dem ,horizont4 ,liegen die ,geraden selbst oberhalb der ,horizontebene1 so fallen ihre ,bilder1 wenn sie in der ,richtung nach dem ,fluchtpunkt hin durchlaufen werden2 liegen sie unterhalb dieser ,ebene1 so steigen ihre ,bilder1 wenn man sie in der ,richtung nach dem ,fluchtpunkt zu durchluft4 ,die gleiche ,eigenschaft zeigen natrlich auch die ,bilder der ,tiefenlinien1 da die letzteren ja auch nur horizontale ,gerade von besonderer ,art sind4 ,die in #af und #ag fr ,gerade der ,grundebene durchgefhrten ,betrachtungen gelten1 wir wir jetzt einsehen1 fr jede horizontale ,gerade2 speziell gilt ,satz #ae fr zwei ,gerade1 die in irgendeiner zur ,grundebene parallelen ,ebene liegen4 #h4 ,darstellung einfacher ,krper1 die sich auf der ,grundebene erheben4 #ba4 ,darstellung einer ,pfeilerreihe1 die nach der ,tiefe geht4 ,wenn wir jetzt dazu bergehen1 ,krper darzustellen1 die sich auf der ,grundebene befinden1 so tritt als neue ,dimension die auf der ,grundebene lotrechte ,richtung auf1 also die ,vertikale4 ,jede ,ebene durch eine ,vertikale heit eine ,vertikalebene4 ,setzen wir die ,begrenzungsflchen des ,krpers in ,beziehung zur ,bildtafel1 so werden vor allem die ,ebenen zu betrachten sein1 welche auf der ,bildtafel senkrecht stehen4 ,wir nennen sie ,tiefenebenen und sehen1 da jede ,ebene durch eine ,tiefenlinie eine ,tiefenebene ist4 ,enthlt eine ,tiefenebene eine ,vertikale1 so nennen wir sie eine vertikale oder auch eine lotrechte ,tiefenebene4 ,es sei nun zu behandeln ,aufgabe #aj4 ,eine ,pfeilerreihe darzustellen1 die sich in einer lotrechten ,tiefenebene befindet4 ,wir versinnlichen jeden ,pfeiler durch eine schlichte ,gerade und nehmen an1 da der erste ,pfeiler ab in der ,bildebene gelegen ist 7,fig4 #cb74 ,ferner sollen die ,pfeiler in gleichen ,abstnden aufeinanderfolgen1 also ac ce ei il ln np sein4 ,die ,punkte a1 c 444 p liegen auf einer ,tiefenlinie ,a und ebenso die oberen ,enden der ,pfeiler b1 d1 f1 k1 m1 r1 q1 auf einer zweiten ,tiefenlinie ,b4 ,die ,ebene durch ,a und ,b ist die lotrechte ,tiefenebene1 in der die ,pfeilerreihe gelegen ist4 ,illustration3 ,fig4 #cb4 ,in unserer zu zeichnenden ,figur 7,fig4 #cc7 sind also gegeben der erste in der ,bildebene liegende ,pfeiler ab sowie der ,abstand y zweier aufeinanderfolgender ,pfeiler4 ,die ,darstellung lt sich nun leicht bewerkstelligen4 ,der ,punkt a mit dem ,augpunkt ,a verbunden liefert das ,bild ,a' der ,tiefenlinie ,a4 ,auf ,a' ist nun ein ,tiefenmastab zu zeichnen mit der ,einheit y4 ,nach ,aufgabe #e fhren wir dies aus1 indem wir die gegebene ,einheit y von der ,spur a aus nach rechts auf der ,grundlinie als #j4a1 #a4b1 #b4c 444 antragen und diese ,punkte mit dem linken ,distanzpunkt ,d#a verbinden4 ,die ,schnittpunkte mit ,a' geben die ,bilder c'1 e'1 i' 444 der ,pfeilerenden4 ,illustration3 ,fig4 #cc4 ,verbinden wir weiter b mit ,a1 so ist diese ,linie das ,bild ,b' der ,tiefenlinie ,b1 und auf ,b' mssen die oberen ,endpunkte der ,pfeiler angeordnet sein4 ,die ,geraden ab1 cd 444 sind aber parallel zur ,bildebene2 nach ,satz #aj sind also ihre ,bilder auch parallel1 und berdies mu beispielsweise c'd' cd sein usf42 die ,bilder der ,pfeiler sind also lotrechte ,linien4 ,demnach haben wir lediglich durch die ,punkte c'1 e'1 i' usf4 die ,vertikalen zu zeichnen und diese durch die ,schnittpunkte mit der ,linie ,b' zu begrenzen4 ,so ergeben sich die ,bilder c'd'1 e'f' 444 ,wir knnen in unserer ,figur auch die ,darstellung eines ,staketenzaunes sehen oder einer ,bretterwand1 die aus gleichbreiten ,brettern zusammengesetzt ist4 ,wir machen von der eben durchgefhrten ,konstruktion eine ,anwendung zur ,lsung folgender wichtiger ,aufgabe #aa4 ,ein ,punkt p der ,grundebene ist durch sein ,bild p' gegeben2 man zeichne das ,bild einer ,linie pq von gegebener ,lnge1 welche in p senkrecht zur ,grundebene angetragen wird4 ,es soll also mit anderen ,worten in einem ,punkte der ,grundebene eine ,senkrechte von gegebener ,lnge errichtet werden4 ,um zur ,lsung zu gelangen1 denken wir uns 7,fig4 #cb7 durch die ,senkrechte pq eine ,tiefenebene gelegt und stellen uns eine ,reihe von ,pfeilern vor1 welche die ,hhe pq haben und sich in dieser ,ebene befinden4 ,anders ausgedrckt heit das3 wir ziehen durch p und q die ,tiefenlinien ,a und ,b1 welche in a und b die ,bildebene treffen4 ab ist der in der ,tafel liegende ,pfeiler4 ,daraus ergibt sich folgende durch ihre ,einfachheit berraschende ,konstruktion3 ,den gegebenen ,punkt p' verbinden wir mit ,a 7,fig4 #cd7 und erhalten dadurch das ,bild ,a'1 welches die ,grundlinie gg in a trifft4 ,in a tragen wir die gegebene ,hhe als ab vertikal an4 ,der ,endpunkt b liefert mit ,a verbunden das ,bild ,b' der ,tiefenlinie ,b4 ,ziehen wir endlich durch p' die ,vertikale1 so schneidet sie auf ,b' den ,punkt q' aus4 p'q' ist das ,bild der gesuchten ,senkrechten4 ,illustration3 ,fig4 #cd4 ,da man jeden beliebigen ,punkt des ,raumes sich bestimmen kann durch seinen rechtwinkligen ,ri auf die ,grundebene und durch den ,abstand von der ,grundebene1 so knnen wir damit das ,bild eines beliebigen ,raumpunktes zeichnen und sind weiter imstande1 jeden ,krper1 wenn auch umstndlich1 abzubilden1 indem wir die ,bilder seiner einzelnen ,punkte ermitteln4 ,wir werden spter ,beispiele fr die ,anwendung dieser ,konstruktion geben1 wollen aber zunchst noch einige ,folgerungen aus der ,fig4 #cd ziehen4 ,wir knnen dieselbe unmittelbar zur ,lsung folgender neuen ,aufgabe benutzen3 ,gegeben ist das ,bild p'q' einer ,strecke pq1 die im ,punkte p der ,grundebene auf dieser senkrecht sich erhebt2 man bestimme die wahre ,lnge pq dieser ,strecke4 ,wir verbinden p' mit ,a und bringen diese ,linie in a mit der ,grundlinie zum ,schnitt2 in a errichten wir eine ,vertikale und schneiden diese in b mit der ,verbindungslinie von ,a nach q'4 ,dann gibt ab die wahre ,lnge der ,strecke pq4 ,als eine weitere ,anwendung behandeln wir ,aufgabe #ab4 ,auf einer lotrechten 7vertikalen7 ,geraden einen ,mastab zu zeichnen4 ,hhenmastab4 ,illustration3 ,fig4 #ce4 ,denken wir uns auf der ,lotrechten pq von ,fig4 #cb die ,einheit des ,mastabes wiederholt angetragen und ziehen wir durch die ,teilpunkte die ,tiefenlinien1 so bertragen diese den ,mastab auf die ,gerade ab1 was in der ,figur angedeutet ist4 ,die ,bilder der ,tiefenlinien sind aber sofort zu zeichnen4 ,wir erhalten also folgende ,ausfhrung 7,fig4 #ce74 ,gegeben ist das ,bild p'q' der ,vertikalen1 auf der mit der gegebenen ,strecke y als ,einheit ein ,mastab gezeichnet werden soll1 der in der ,spur der ,vertikalen beginnt4 ,wir verbinden den ,punkt p' mit dem ,augpunkt ,a und erhalten dadurch den ,punkt a auf der ,grundlinie4 ,in a errichten wir zur ,grundlinie gg die ,senkrechte2 auf dieser tragen wir von a beginnend die ,strecke y ab1 so da also die ,strecken #j4a1 #a4b1 #b4c 444 je y4 ,verbinden wir die ,punkte #a1 #b1 #c 444 mit ,a1 so schneiden diese ,tiefenlinien auf p'q' die gesuchten ,punkte #a'1 #b'1 #c' 444 aus4 ,aus bekannten ,stzen der ,planimetrie folgt sofort1 da auch #j4a' #a'4b' #b'4c' #c'4d'4 ,illustration3 ,fig4 #cf4 ,daraus ergibt sich folgender ,satz #ag4 ,der ,hhenmastab auf einer ,vertikalen 7und berhaupt auf einer ,parallelen zur ,bildebene7 zeigt keine ,verkrzung1 sondern eine sich gleichbleibende ,verjngung4 ,gleichhohe ,fenster einer ,fassade1 die auf einer lotrechten ,linie liegen1 sind also beispielsweise gleich hoch zu zeichnen4 ,teilungen einer vertikalen ,strecke bertragen sich demnach unmittelbar auf das ,bild4 ,wenn etwa die ,strecke pq 7,fig4 #cb7 in eine gewisse ,anzahl gleicher ,teile geteilt werden soll1 so knnen wir die ,teilung unmittelbar im ,bilde p'q' 7,fig4 #ce7 vornehmen4 ,illustration3 ,fig4 #cg4 #bb4 ,darstellung einer zur ,bildebene parallelen ,pfeilerreihe4 ,noch einfacher gestaltet sich die zeichnerische ,wiedergabe einer ,pfeilerreihe oder berhaupt einer ,reihe gleichgroer1 paralleler ,gegenstnde1 wenn dieselben parallel zur ,bildebene angeordnet sind4 ,dies sei der ,gegenstand der ,aufgabe #ac4 ,eine ,pfeilerreihe darzustellen1 die sich in einer zur ,tafel parallelen ,ebene befindet4 ,ist pq der erste darzustellende ,pfeiler 7,fig4 #cf71 so zeichnen wir nach der ,aufgabe #aa sein ,bild p'q'4 ,unserer ,voraussetzung nach liegen die ,endpunkte der ,pfeiler auf zwei parallelen ,linien ,p und ,q1 die berdies zur ,tafel parallel sind4 ,es ist also wieder nach ,satz #aj auch ,p' ,p und ,q' ,q und da ,p ,q zur ,grundlinie gg1 so sind auch die ,bilder ,p' und ,q' parallel zur ,grundlinie4 ,auf diesen beiden ,horizontalen liegen folglich die ,bilder der ,endpunkte1 und sie ergeben sich leicht1 wenn man wiederum die ,tiefenlinien durch die ,punkte selbst zu ,hilfe nimmt4 ,illustration3 ,fig4 #ch4 ,die ,ausfhrung der ,konstruktion zeigt ,fig4 #cg4 ,gegeben ist das ,bild p' des ,punktes p1 die ,hhe der ,pfeiler und ihr ,abstand y4 ,wir verbinden p' mit dem ,hauptpunkt ,a2 diese ,tiefenlinie ,a' liefert auf der ,grundlinie gg den ,punkt a4 ,in a errichten wir eine ,vertikale ab gleich der gegebenen ,hhe der ,pfeiler und erhalten durch die ,linie b,a den ,punkt q' auf der ,lotrechten durch p' und damit das ,bild des ersten ,pfeilers pq4 ,auf den ,horizontalen ,p' und ,q' durch p' und q' liegen die brigen ,endpunkte4 ,tragen wir den gegebenen wahren ,abstand y zweier ,pfeiler auf der ,grundlinie als die ,strecke #j4a ab1 so gibt die ,linie von #a nach ,a das ,bild n' und die ,vertikale durch n' auf ,q' das ,bild r'4 ,analog verfhrt man fr die weiteren ,punkte #b1 #c 444 ,man erkennt1 da p'n' n'l' usf41 da also auch die ,bilder der ,pfeiler gleich weit voneinander abstehen4 ,obwohl die ,pfeiler selbst ganz verschiedene ,entfernungen vom ,auge ,o haben1 sind ihre ,bilder doch gleich gro zu zeichnen4 ,hat man berhaupt in einer zur ,bildtafel parallelen ,ebene irgendeine ,figur1 so ist ihr ,bild eine dazu hnliche ,figur d4 h4 das ,bild ist eine ,verkleinerung der gegebenen ,figur2 es ndern sich nur die ,grenverhltnisse der ,figur1 alle ,winkel aber1 und auch die gegenseitigen ,verhltnisse der ,seiten bleiben ungendert4 ,wir knnen also sagen3 ,satz #ah4 ,befinden sich ,gegenstnde von der gleichen ,gre irgendwo in einer ,parallelebene zur ,tafel oder krzer in der gleichen ,tiefe1 so sind ihre ,bilder stets gleich gro zu zeichnen4 ,illustration3 ,fig4 #ci4 ,illustration3 ,fig4 #dj4 ,als ,beispiel denken wir uns1 am ,fue eines ,turmes befinde sich eine menschliche ,figur 7,fig4 #ch7 und oben auf dem ,turme1 aber in der gleichen ,tiefe1 stehe oder liege eine zweite ebenso groe4 ,dann sind die beiden ,figuren gleich gro zu geben4 ,man kann hufig bemerken1 da die ,figur auf dem ,turme kleiner gezeichnet ist1 und als ,grund dafr wird angefhrt1 da die ,figur auf dem ,turme doch weiter vom ,auge entfernt sei als die ,figur am ,fue des ,turmes1 also auch kleiner sein msse4 ,dabei verwechselt man die ,erscheinung eines ,gegenstandes und seine bildliche ,wiedergabe4 ,die ,grenverhltnisse der uns umgebenden ,krper beurteilen wir im allgemeinen nach den ,gesichtswinkeln1 unter denen sie uns erscheinen4 ,wir betrachten nun aber doch das ,bild mit den beiden ,figuren1 und dann ist in der ,tat1 wie ,fig4 #ci noch klarer zeigt1 der ,gesichtswinkel 1 unter dem die obere ,figur erscheint1 kleiner als der ,gesichtswinkel 1 der zu der unteren ,figur gehrt4 ,hier mag noch eine andere ,beobachtung erwhnt werden1 die sich auf die ,darstellung hoher1 sich in ,wirklichkeit nicht verjngender ,objekte bezieht4 ,denken wir uns z4 ,b4 einen ,turm mit vertikalen ,kanten4 ,betrachten wir denselben mit geradgehaltenem ,kopfe1 so erscheinen die ,kanten des ,turmes parallel4 ,legen wir uns aber auf den ,rcken und blicken an dem ,turm in die ,hhe1 so zeigen seine ,kanten einen ,fluchtpunkt4 ,zwischen diesen beiden uersten ,fllen gibt es viele bergnge4 ,wenn wir nicht weit genug von dem ,turme zurcktreten knnen1 so neigen wir ebenfalls den ,kopf zurck1 um den ,turm in seiner ganzen ,hhe zu berschauen4 ,dann tritt wieder die ,fluchtpunkterscheinung auf4 ,aus diesen berlegungen heraus kann man die ,abbildung #d bis zu einem gewissen ,grade fr berechtigt erklren4 ,wir befinden uns dabei in dem ,gebiet sthetisch-psychologischer ,vorgnge1 und die ,perspektive als starre mathematische ,schablone kann zugunsten einer besseren ,wirkung modifiziert werden4 ,illustration3 ,abb4 #d4 ,illustration3 ,fig4 #da4 #bc4 ,darstellung eines rechtwinklig begrenzten ,raumes4 ,wir wollen jetzt die ,fig4 #cb erweitern1 indem wir uns auch auf der anderen ,seite des ,auges eine gleichgroe ,pfeilerreihe ebenfalls in einer lotrechten ,tiefenebene angebracht denken4 ,verbinden wir dann 7,fig4 #dj7 den letzten ,pfeiler pq der einen ,reihe mit dem letzten ,pfeiler st der anderen ,reihe durch eine ,ebene und legen weiter durch qb und tc ebenfalls eine ,ebene1 so erhalten wir ein rechteckig begrenztes ,raumstck1 den ,quader abcdpqts4 ,die ,pfeilerreihe auf der rechten ,seite ist ebenso zu zeichnen wie in ,fig4 #cc1 und es ergibt so das ,bild abcdp'q't's' 7,fig4 #da74 ,stellen wir uns weiter vor1 da wir dadurch je zwei gleich weit von der ,tafel entfernte ,pfeiler weitere ,ebenen legen1 so sind diese alle parallel und schneiden die ,grundebene in ,parallelen zur ,grundlinie4 ,den dargestellten ,raum teilen wir dadurch in eine ,anzahl gleicher ,schichten1 die ebenfalls in ,fig4 #da wiedergegeben sind4 ,endlich sind noch der ,fuboden und die ,wnde mit einem ,quadratnetz berzogen1 und zwar ist die ,figur so eingerichtet1 da in der ,breite1 also von a nach d1 #h ,quadrate1 in der ,tiefe von a nach p #e ,quadrate und in der ,hhe von a nach b ebenfalls #e ,quadrate liegen4 ,der ,horizont verluft in einer ,hhe1 die zwei ,quadratseiten entspricht4 ,es ist leicht1 diese ,quadrate einzuzeichnen 7man vgl4 ,fig4 #ai7 und so die ,fig4 #da herzustellen4 ,man kann an ein mit quadratischen ,kacheln ausgelegtes ,zimmer denken4 ,legt man aber weiter durch die smtlichen ,tiefenlinien die horizontalen und vertikalen ,ebenen1 so wird der ganze ,raum in ,wrfel geteilt1 und zwar in #e #e #h #bjj4 ,einer dieser ,wrfel ist herausgezeichnet4 ,der ,leser wird diese ,figur nicht fr eine mathematische ,spielerei halten1 sondern sofort erkennen1 da wir damit ein ,mittel gewonnen haben1 jeden ,krper im ,raume einigermaen richtig unterzubringen1 indem wir ihn in eine ,anzahl von ,wrfeln einschlieen4 ,fig4 #da leistet fr den ,raum das gleiche wie ,fig4 #ai fr die ,bodenflche4 ,illustration3 ,abb4 #e4 ,nennen wir1 wie es dem allgemeinen ,gebrauch entspricht1 die ,abmessung in der ,richtung der ,grundlinie1 also von a nach d1 die ,breite1 so gibt uns die ,fig4 #da sowohl einen ,tiefen- und ,hhen- als auch einen ,breitenmastab4 ,denn wir knnen angeben1 wie sich die angenommene ,quadratseite an jeder ,stelle des ,raumes der ,tiefe1 ,hhe und ,breite nach verkrzt4 ,an der ,stelle i' z4 ,b4 sind diese ,verkrzungen durch i'm'1 i'n' und i'l' gegeben4 ,gleichzeitig ergibt sich noch1 was brigens schon aus ,satz #ah folgt3 ,satz #ai4 ,der ,breitenmastab ist in jeder ,tiefe gleich dem ,hhenmastab4 ,endlich gibt ,fig4 #da die einfachste ,darstellung eines ,innenraumes oder eines ,interieurs4 ,um einen geschlossenen ,raum darzustellen1 mag man sich eine ,begrenzungsflche desselben entfernt denken4 ,diese ,flche ist hier dann als ,bildebene benutzt4 ,wir geben als ,beispiel in ,abb4 #e ein ,fresko von ,ghirlandajo 7#addi--adid71 das die ,geburt ,johannis des ,tufers vorstellt und sich im ,chor der ,kirche ,s4 ,maria ,novella in ,florenz befindet4 ,durch einige punktierte ,tiefenlinien sind der ,augpunkt und der ,horizont ermittelt4 ,der ,augpunkt ist aus der ,mitte des ,bildes etwas nach rechts herausgerckt1 wie in ,fig4 #da ,a nher an cd als an ab liegt4 ,whlt man den ,augpunkt genau in der ,mittellinie des ,bildes1 so gestaltet sich die ,architektur auf beiden ,seiten ganz gleichmig3 sie ist symmetrisch zur ,mittellinie4 ,die ,symmetrie bedingt eine grere ,ruhe und eine gewisse ,feierlichkeit im ,bilde1 wie ,abb4 #h zeigen mag4 #bd4 ,aufsicht1 ,untersicht1 ,seitenansicht4 ,die gleiche ,figur #da gibt uns auch ,aufschlu1 wie wir infolge der ,festlegung unseres ,standpunktes durch das ,auge ,o horizontale ,ebenen1 die unter der ,horizontebene liegen1 von oben sehen3 wir haben auf sie ,aufsicht1 so z4 ,b4 auf die ,bodenflche4 ,von horizontalen ,ebenen1 die oberhalb der ,horizontebene liegen1 sehen wir dagegen die untere ,seite2 sie befinden sich in ,untersicht1 wie z4 ,b4 die ,decke in ,figur #da4 ,die ,horizontebene selbst bildet den bergang zwischen beiden ,arten von ,ebenen3 sie erscheint als ,linie1 nmlich als der ,horizont4 ,in der gleichen ,weise sehen wir vertikale ,tiefenebenen entweder von rechts oder von links1 je nachdem sie links oder rechts von der durch das ,auge ,o gehenden vertikalen ,tiefenebene liegen4 ,diese letztere erscheint als die durch den ,augpunkt gehende ,vertikale4 ,die ,figuren #db und #dc mgen das noch weiter veranschaulichen4 ,sie stellen ein ,notenpult oder ein ,bchergestell dar1 das im ersten ,fall lotrecht steht1 im zweiten ,falle auf dem ,boden liegt4 ,illustration3 ,fig4 #db4 ,aus der ,tatsache1 da die ganze ,horizontebene sich in den ,horizont abbildet1 lt sich noch eine bemerkenswerte ,folgerung ziehen4 ,ist u' das ,bild eines ,punktes u der ,grundebene 7,fig4 #da7 und errichten wir in u' die ,senkrechte1 welche den ,horizont im ,punkte v' schneiden mge1 so knnen wir v' als ,bild desjenigen ,punktes v ansehen1 der lotrecht ber v in der ,horizontebene liegt4 ,die ,strecke uv ist also gleich der ,augenhhe4 ,zu dem gleichen ,resultat fhrt uns auch die ,betrachtung der ,figur #cd1 indem sich zu dem ,bilde p'v' als zugehrige ,strecke av#j ergibt1 was wieder die ,augenhhe ist4 ,daraus folgt demnach folgender vielfach verwendbare ,satz #bj4 ,ist das ,bild eines ,punktes der ,grundebene gegeben1 so stellt der ,abstand dieses ,bildes vom ,horizont immer das ,bild der ,augenhhe vor4 ,illustration3 ,fig4 #dc4 #be4 ,personen in verschiedenen ,tiefen eines ,bildes4 ,die ,darstellung einer menschlichen ,figur in einem ,bilde gibt uns ,veranlassung1 ber den ,mastab eines ,bildes zu sprechen und dieser hngt wieder davon ab1 wie wir uns das ,zeichnen nach der ,natur1 also z4 ,b4 die ,wiedergabe einer ,landschaft vorstellen4 ,bisher haben wir immer angenommen1 da das ,bild direkt die ,zentralprojektion des ,gegenstandes ist1 wie wir das bei der ,glastafelperspektive 7in #b7 errterten4 ,man kann sich das aber auch etwas anders denken4 ,nehmen wir z4 ,b4 an1 ein ,landschaftsmaler habe das ,motiv und einen gnstigen ,standpunkt gefunden4 ,dann mag er sich1 etwa in der ,entfernung von einigen ,metern von seinem ,standpunkte1 die ,bildtafel vertikal aufgestellt denken4 ,auf diese ,ebene wird von seinem ,auge aus die ,landschaft projiziert4 ,dieses ,bild wird aber nicht wirklich gezeichnet4 ,in sein ,skizzenbuch oder auf den vor ihm stehenden ,rahmen zeichnet der ,maler vielmehr eine ,verkleinerung oder eine ,verjngung des auf gedachten ,bildes4 ,in diesem ,falle ist also die ,zeichenflche nicht die gleiche wie die ,bildebene4 ,allerdings knnte man eine neue1 dem ,standpunkt nhere1 zu parallele ,ebene finden1 welche aus dem ,strahlenkegel des ,auges ,o gerade das ,bild ausschneiden wrde1 das auf dem ,zeichenblatt gezeichnet wurde4 ,wie kann man nun bestimmen1 in welchem ,verhltnis das ,bild in dem ,skizzenbuch gegenber dem gedachten ,bilde auf verkleinert ist8 ,zu dem ,zwecke denken wir uns einen ,menschen1 der ganz nahe hinter der ,tafel steht4 ,er wird dann auf der ,tafel in wirklicher ,gre erscheinen4 ,die ,skizze aber wird den gleichen ,menschen in kleinerem ,mastabe zeigen1 z4 ,b4 nur in #a_/aj der ,lebensgre4 ,dann sagen wir1 die ,verjngung oder ,reduktion sei #a_/aj4 ,wollen wir1 was z4 ,b4 bei ,architekturen ntig ist1 genaue ,mae haben1 so stellen wir uns vor1 da eine ,melatte mit ,metermaeinteilung in der ,bildebene liege4 ,auf dem ,skizzenblatt aber wird z4 ,b4 ein ,meter durch einen ,dezimeter wiedergegeben1 wenn die ,verjngung #a_/aj betrgt4 ,wir behandeln nun folgende ,aufgabe #ad4 ,personen in verschiedenen ,tiefen eines ,bildes darzustellen4 ,in den #c ,fllen sei die ,verjngung stets #a_/ajj1 so da also ein ,meter durch einen ,zentimeter dargestellt wird4 ,ferner nehmen wir an1 da alle im ,bilde wiedergegebenen ,personen #a1e ,meter gro seien1 also eine mittlere ,gre haben4 #a4 ,fall4 ,die ,augenhhe sei #ge cm oder m2 es soll eine ,person gezeichnet werden1 die sich in c' auf der ,grundebene befindet4 ,auf der linken ,seite gibt uns in ,figur #dd die ,strecke #j4a die ,darstellung eines ,meters2 nehmen wir drei ,viertel dieser ,gre1 so ist damit der ,horizont hh gefunden1 der bei dieser ,annahme sehr niedrig liegt4 ,eine direkt an der ,bildtafel stehende ,figur ist #a m hoch zu zeichnen1 sie ist in ab angedeutet1 und sie wird durch den ,horizont halbiert4 ,wir ziehen durch ,a nach a und b die ,tiefenlinien4 ,um die in c' befindliche ,person zu zeichnen1 verschieben wir sie parallel der ,bildebene1 also in der gleichen ,tiefe2 dabei bleibt nach ,satz #ah ihre ,gre ungendert4 ,demgem ziehen wir durch c' die ,parallele zur ,grundlinie1 welche die ,linie ,aa in p' schneidet4 ,die in p' bis zum ,schnitt mit der anderen ,tiefenlinie ,ab errichtete ,senkrechte p'q' gibt die ,gre der ,figur2 ziehen wir durch q' eine ,parallele zur ,grundlinie1 so schneidet sie die ,vertikale durch c' in d' und c'd' ist die gesuchte ,hhe der ,figur in c'4 ,illustration3 ,fig4 #dd4 ,ist im ,punkte i' der ,grundebene eine weitere ,figur zu zeichnen1 so ziehen wir c'i' und bringen diese ,linie in f zum ,schnitt mit dem ,horizont2 verbinden wir f mit d'1 so ergibt die in i' errichtete ,senkrechte den ,punkt k'1 bis zu dem die ,figur reicht4 ,denn die ,linien ci und dk sind parallele1 horizontale ,gerade1 mssen also ihren ,fluchtpunkt auf dem ,horizont haben4 ,man sieht leicht ein1 da alle ,figuren durch den ,horizont halbiert werden1 und da man allgemein sagen kann3 ,satz #ba4 ,alle auf der ,grundebene stehenden ,figuren werden durch den ,horizont im gleichen ,verhltnis geteilt4 #b4 ,fall4 ,die ,augenhhe sei #b m2 es ist eine ,figur zu zeichnen1 welche sich in c' auf einer ,mauer befindet4 ,illustration3 ,fig4 #de4 ,wir haben es unter dieser ,voraussetzung mit einem hohen ,horizont zu tun1 der in der ,mitte zwischen den ,ziffern #b und #c verluft 7,fig4 #de74 ,eine ,person direkt im ,vordergrund hat wieder eine ,hhe ab1 welche #a m ist4 ,um die ,gre der in c' befindlichen ,figur zu bestimmen1 verschaffen wir uns die durch c gehende ,parallelebene zur ,tafel1 da in dieser ganzen ,ebene die ,figur gleichgro ist4 ,wir ziehen also durch c' die ,parallele zur ,grundlinie1 gehen dann an der ,mauer senkrecht herunter und wieder parallel zur ,grundlinie weiter1 bis wir nach p' gelangen4 ,die ,vertikale in p' schneidet aus der ,linie ,c,a den ,punkt q' aus4 p'q' ist wieder die ,gre einer menschlichen ,figur in der ,tiefe p'4 ,die ,figur in c' ist aber ebensogro zu zeichnen1 also mu c'd' p'q' sein4 ,illustration3 ,fig4 #df4 ,bringen wir die ,linien ab und p'q' in t' und r' mit dem ,horizont zum ,schnitt1 so ist ab 3 at' p'q' 3 p'r' #c 3 #e4 ,es betrgt also die ,hhe jeder auf der ,grundebene stehenden ,figur der ,hhe bis zum ,horizont4 ,dies ist wiederum der vorige ,satz #ba4 ,wei man umgekehrt nicht1 wie hoch der ,horizont ist1 so kann man die ,augenhhe ungefhr bestimmen1 wenn eine menschliche ,figur ab unmittelbar im ,vordergrund gegeben ist4 ,so knnte man in unserer ,figur #de durch ,schtzung oder ,abmessung finden1 da die ,augenhhe fnfmal so gro ist als der dritte ,teil von ab4 ,da fr ab mittlere ,manneshhe #a1ej m angenommen werden darf1 so ist der dritte ,teil davon #ej cm1 und fr die ,augenhhe at' ergibt sich als ,zahlenwert #e #ej cm #b1ej m4 #c4 ,fall4 ,die ,augenhhe sei #a1ej m2 man bestimme die ,gre einer menschlichen ,figur1 die sich in c' auf einer ,mauer befindet4 ,eine unmittelbar im ,vordergrund befindliche ,person ab reicht jetzt gerade bis an den ,horizont4 7,fig4 #df47 7,wollten wir uns noch genauer ausdrcken1 so knnten wir sagen1 da der ,horizont die ,augen aller auf der ,grundebene stehenden ,personen enthalten msse47 ,in der ,figur sind einige ,melatten gezeichnet1 die senkrecht auf der ,grundebene stehen4 ,dann schneidet der ,horizont auf jeder ,latte #a1ej m ab4 ,sind die ,latten in halbe ,meter geteilt1 so geht er also immer durch das ,ende des dritten ,abschnittes4 ,um die ,figur in c' zu zeichnen1 legen wir wieder durch c die ,parallelebene zur ,tafel1 also durch c' die ,parallele zur ,grundlinie1 gehen an der ,mauer senkrecht herunter und parallel zu gg weiter1 so da wir nach p' gelangen4 ,die in p' errichtete ,senkrechte schneidet den ,horizont in q'4 ,die in c' befindliche ,figur ist also p'q' zu machen1 so da ihre ,gre c'd' p'q'4 ,sie wird an den ,fen von der ,mauerkante berschnitten4 ,wenn wir zu einer ,architektur eine ,figur als ,staffage beifgen1 so ist damit die ,gre der ,architektur festgelegt4 ,zeichnen wir die ,staffagefigur klein1 so nimmt die ,architektur dadurch groe ,formen an und umgekehrt wird sie durch eine groe ,figur verkleinert4 #bf4 ,endlich wollen wir noch einen etwas komplizierteren einzelnen ,gegenstand darstellen in ,aufgabe #ae4 ,einen in ,grund- und ,aufri gegebenen ,pfeiler darzustellen1 wenn die ,vorderflche des ,sockels in der ,bildebene liegt4 ,der ,grundri ,p#a ist in der ,verschiebung gegeben 7,fig4 #dg71 der ,aufri ,p#b befindet sich nicht senkrecht ber dem ,grundri1 sondern er wurde nach links hinausgeschoben1 um den ,platz fr die ,zeichnung frei zu lassen4 ,von dem ,sockel liegt die ,flche #a #b #f #e in der ,bildtafel4 ,wir bertragen zunchst den ganzen ,grundri in das ,bild und bauen darber den ,krper auf4 ,das ,bild #a #b #c' #d' des ,quadrates 7#a77b77c77d7 ist sofort zu zeichnen1 da #d' sowohl auf der ,tiefenlinie #a4;,a als auch auf der ,linie von #b nach dem ,distanzpunkt ,d#a liegt4 ,wir zeichnen weiter die beiden inneren ,quadrate4 ,die ,bilder #i' und #ac' ergeben sich1 wenn man durch 7#i7 und 7#ac7 die ,tiefenlinien zieht4 ,auerdem liegen #i' und #ac' auf der ,diagonale #a4c'4 ,der ,sockel kann jetzt dargestellt werden2 die ,tiefenlinien durch #e und #f schneiden auf den ,vertikalen durch #d' und #c' die ,punkte #h' und #g' aus4 ,um den ,schaft des ,pfeilers zu zeichnen1 haben wir im ,punkte #i' eine ,senkrechte von gegebener ,lnge zu errichten3 alle diese ,hhen messen wir von der ,grundebene aus4 ,nach ,aufgabe #aa verbinden wir also #i' mit ,a und erhalten auf der ,grundlinie den ,hilfspunkt #aj2 durch diesen ziehen wir eine ,vertikale und schneiden auf derselben durch die ,parallele im ,aufri die anzutragende ,hhe #aj4aa ab4 ,dann schneidet die ,linie von #aa nach ,a auf der ,vertikalen durch #i' das ,bild #ab' der oberen ,ecke aus4 ,die drei brigen ,ecken des ,quadrates ergeben sich durch ,parallele und ,tiefenlinien1 und ebenso leicht ist das auf der oberen ,flche des ,sockels befindliche ,quadrat einzutragen2 seine ,ecken liegen auf den ,diagonalen #e4g' und #f4h'4 ,illustration3 ,fig4 #dg4 ,nun ist weiter im ,punkte #ac' die ,senkrechte zu errichten4 ,die ,tiefenlinie liefert den ,hilfspunkt #ad und #ad4ae ist die auf der ,vertikalen anzutragende ,strecke4 ,so ergibt sich das ,bild #af' des vorletzten ,quadrates4 ,der ,punkt #ag endlich liefert in #ah' eine ,ecke der ,deckflche4 ,beide ,quadrate sind leicht zu vervollstndigen4 ,der ,punkt #ab' gibt mit #af' verbunden das ,bild des ,gehrungsprofiles4 ,verschafft man sich das ,bild #ai' des ,punktes #ai1 so kann man die ,kontrolle benutzen1 da die vier ,linien #af'4ab' usf4 durch #ai' gehen4 ,anmerkung4 ,statt die ,bildebene durch die vordere ,flche des ,sockels zu legen1 knnte man sie auch parallel zu derselben durch die ,achse des ,krpers legen4 ,die ,schnittfigur der ,bildebene mit dem ,pfeiler stimmt dann mit dem ,aufri ,p#b berein4 ,es lt sich aus diesem ,schnitt ebenfalls das ,bild des ,pfeilers leicht herstellen1 ohne da man ntig hat1 eine ,verschiebung zu benutzen4 ,wir empfehlen die ,ausfhrung dem ,leser4 ,aufgabe #af4 ,einen in ,grund- und ,aufri gegebenen ,pfeiler darzustellen1 der beliebig auf der ,grundebene steht1 wenn eine ,kante des ,sockels in der ,bildtafel liegt4 ,der ,grundri ,p#a sei wieder in der ,verschiebung gegeben1 ,fig4 #dh1 der ,aufri ,p#b ist links hinausgeschoben4 ,wie in ,aufgabe #i1 ,fig4 #bh1 zeichnen wir zunchst vermittels der ,umlegung ,d#c des ,auges die ,fluchtpunkte fa und fb der beiden ,richtungen 7,a7 und 7,b74 ,ferner wollen wir noch den ,fluchtpunkt der ,diagonale #a4c konstruieren1 d4 h4 wir ziehen durch ,d#c eine ,parallele zur ,verbindungslinie #a4c1 welche den ,horizont in ,dg trifft4 ,dieser ,fluchtpunkt ,dg heit auch der ,diagonalpunkt und es ist vielfach1 z4 ,b4 bei ,gehrungen1 ntzlich1 ihn einzufhren4 ,zunchst bertragen wir wieder den ganzen ,grundri in die ,perspektive4 ,die durch #a gehende ,kante des ,sockels liegt in der ,bildebene4 ,das ,bild des ,vierecks #a #b #c #d kann gezeichnet werden1 sobald von einer weiteren ,ecke das ,bild ermittelt ist4 ,wir benutzen etwa die ,spur #e der ,verbindungslinie #b4c4 ,verbinden wir #e mit fa1 so schneidet diese ,linie auf der ,linie #a4;fb das ,bild #b' aus4 ,die ,ecke #c' aber wird erhalten als ,schnittpunkt von #a4;,dg mit der ,linie #e4;fa4 ,endlich gibt die ,linie fb4#c' in ihrem ,schnitt mit fa4#a den ,punkt #d'4 ,in hnlicher ,weise kann man die ,bilder der beiden inneren ,quadrate ermitteln4 ,um jetzt den ,krper der ,hhe nach aufzubauen1 bestimmen wir auf der ,vertikalen durch #a ohne weiteres die ,ecke #f1 da die ,lnge #a4f im ,aufri ja gegeben4 ,die drei anderen ,ecken der ,deckflche des ,sockels sind auf den ,vertikalen durch #b'1 #c' und #d' ohne ,schwierigkeit zu finden4 ,die brigen ,hhenabmessungen knnen wir unter ,benutzung der ,vertikalen #a4f und des ,diagonalpunktes ,dg gewinnen1 da doch alle durch ,dg gehenden ,linien die ,bilder horizontaler ,geraden sind1 welche zur ,diagonale #a4c parallel laufen4 ,infolgedessen liefern die ,hilfspunkte #g1 #i1 #aa aus ,dg projiziert auf den betreffenden ,vertikalen die ,punkte #h'1 #aj'1 #ab'4 ,die fehlenden ,ecken ergeben sich durch ,benutzung der ,fluchtpunkte fa und fb4 ,die vier schiefen ,linien der ,gehrung gehen durch den ,punkt #ad'1 auf der ,achse des ,krpers2 zu diesem ,punkt #ad' gelangt man vom ,hilfspunkt #ac aus4 ,illustration3 ,fig4 #dh4 ,auch in diesem ,falle wre es eine gute bung1 den ,krper darzustellen unter der ,annahme1 da die ,bildebene parallel zu der eben benutzten durch die ,achse des ,pfeilers gelegt wird4 ,die ,figuren #dg und #dh geben zwei charakteristische ,formen perspektivischer ,bilder4 ,in ,fig4 #dg steht der ,krper so zur ,bildtafel1 da ein ,teil seiner ,kanten und ,flchen zur ,bildebene parallel1 der andere ,teil der ,kanten und ,flchen zur ,bildebene senkrecht verluft4 ,im ,bilde selbst treten als wichtigste ,linien die ,horizontalen und die ,tiefenlinien auf4 ,man sagt1 der ,krper befinde sich in ,frontstellung oder frontal und nennt die ,darstellung eine ,frontansicht oder 7weniger gut7 eine gerade ,ansicht4 ,im zweiten ,falle1 der ,fig4 #dh1 sind die ,kanten und ,flchen des ,krpers gegen die ,bildebene schrg gestellt2 der ,krper befindet sich in bereckstellung1 und man nennt das ,bild eine schrge ,ansicht4 ,die ,bilder der ersten ,art 7,fig4 #dg7 zeigen wegen der auftretenden ,parallelen eine gewisse ,einfrmigkeit1 whrend bei den ,bildern der zweiten ,art 7,fig4 #dh7 die zwei ,fluchtpunkte eine reichere ,bewegung der ,linien bewirken4 #i4 ,schiefe ,linien im ,raume4 #bg4 ,steigende und fallende ,gerade im ,raume4 ,bisher haben wir nur ,gerade betrachtet1 welche entweder parallel oder senkrecht zur ,grundebene waren1 also horizontale oder vertikale ,linien4 ,gelegentlich kommen aber doch auch ,gerade vor1 die ganz beliebig im ,raume verlaufen1 z4 ,b4 die ,giebellinien eines ,daches oder einer ,fensterbedachung1 die ,steigungslinien einer ,treppe oder einer ansteigenden ,strae4 ,solche ,linien wollen wir als schiefe ,gerade bezeichnen4 ,ist eine ganz beliebige ,gerade ,a gegeben1 ,fig4 #di1 so denken wir uns durch ,a die zur ,grundebene lotrechte ,ebene gelegt1 welche aus der ,grundebene den rechtwinkligen ,ri ,a#a ausschneidet4 ,sie ist in der ,figur vertikal schraffiert4 s sei die ,spur der ,geraden ,a4 ,durch s ziehen wir in dieser schraffierten ,ebene eine ,parallele ,x zu ,a#a4 ,die ,gerade ,a bildet dann mit ,x einen ,winkel 1 der sich von ,x nach aufwrts erstreckt4 ,von der ,geraden ,a sagen wir nun1 sie steige im ,raume4 ,dabei betrachten wir denjenigen ,abschnitt der ,geraden ,a1 der vom ,auge ,o ausgerechnet hinter der ,bildtafel liegt und durchlaufen ihn1 indem wir in der ,spur s beginnen4 ,illustration3 ,fig4 #di4 ,den ,fluchtpunkt fa der ,geraden ,a finden wir dadurch1 da wir durch das ,auge ,o eine ,parallele zu ,a ziehen und diese mit der ,tafel zum ,schnitt bringen2 es ist also ,ofa ,a4 ,wir legen auch durch die ,gerade ,ofa eine lotrechte ,ebene1 welche in der ,figur ebenfalls vertikal schraffiert ist4 ,aus einfachen ,stzen folgt1 da diese beiden schraffierten ,ebenen parallel sind4 ,die durch die ,gerade ,ofa gelegte ,vertikalebene mge den ,horizont in f1 die ,grundlinie in f#a schneiden1 so da die ,punkte fa1 f1 f#a auf der vertikalen ,schnittlinie dieser ,ebene mit der ,tafel gelegen sind4 ,dann tritt der ,winkel nochmals auf1 in dem auch f,ofa und man erkennt1 da der ,fluchtpunkt fa oberhalb des ,horizontes gelegen ist4 ,illustration3 ,fig4 #ej4 ,nehmen wir jetzt eine zweite ,gerade ,b dazu1 die aber in der gleichen ,vertikalebene liegen und auerdem auch durch s gehen soll4 ,dagegen mge diese zweite ,gerade einen ,winkel mit ,x bilden1 der nach abwrts geht4 ,diese ,gerade ,b fllt dann4 ,konstruieren wir ihren ,fluchtpunkt1 so mssen wir durch ,o eine ,parallele zu ,b konstruieren4 ,diese ,parallele liegt aber in der zweiten1 schraffierten ,vertikalebene1 d4 h4 fb mu auf der ,linie ff#a gelegen sein4 ,es ist wieder f,ofb und der ,fluchtpunkt fb befindet sich unterhalb des ,horizontes hh4 ,diese einfachen berlegungen geben uns den praktisch wertvollen ,satz #bb4 ,gerade1 welche im ,raume steigen1 haben einen ,fluchtpunkt oberhalb des ,horizontes2 fllt eine ,gerade im ,raume1 so liegt ihr ,fluchtpunkt unter dem ,horizont4 ,illustration3 ,fig4 #ej a4 ,man beachte1 wie die horizontalen ,geraden den bergang von den steigenden zu den fallenden ,geraden bilden und deswegen ihre ,fluchtpunkte auf dem ,horizonte haben4 ,um das gleich an einem ,beispiel zu veranschaulichen1 ist in ,fig4 #ej eine ,brcke skizziert4 ,der mittlere ,teil derselben luft horizontal entsprechend dem ,fluchtpunkt f1 der vordere ,teil der ,brcke steigt gegen den ,fluchtpunkt fa an1 der rckwrtige fllt nach dem ,fluchtpunkt fb4 ,aus der ,figur #dg entnehmen wir noch weiter folgendes3 die beiden parallelen1 schraffierten ,ebenen werden von der ,grundebene geschnitten1 also ist ,o#a;f#a ,a#a4 ,andererseits ist aber auch ,o#a;f#a ,of4 ,daraus folgt1 da ,of ,a#a oder mit anderen ,worten3 f ist der ,fluchtpunkt fr den ,ri ,a#a der ,geraden ,a4 ,damit hat sich ergeben3 ,satz #bc4 ,projiziert man den ,fluchtpunkt einer schiefen ,geraden auf den ,horizont1 so ist dieser ,punkt der ,fluchtpunkt fr die ,projektion der ,geraden in die ,grundebene4 ,das wurde in der ,figur #ej auch bercksichtigt1 indem die #c ,punkte fa1 fb1 f einer ,vertikalen liegen4 ,im besonderen kann eine ,gerade ,c in einer ,vertikalen ,tiefenebene liegen 7,fig4 #ea74 ,dann wird die ,lotebene1 welche den ,ri ,c#a liefert1 eine ,tiefenebene und der ,ri ,c#a eine ,tiefenlinie4 ,unsere ,betrachtung zeigt ohne weiteres1 da der ,fluchtpunkt fc einer solchen schiefen ,geraden ,c auf der ,vertikalen durch den ,augpunkt liegen mu4 ,die beiden parallelen ,ebenen sind in der ,fig4 #ea wieder schraffiert2 man mag sich darunter ,tren denken1 die im vorliegenden ,falle unter #ij gegen die ,wandflche geneigt sind1 whrend sie sich in ,fig4 #di weniger weit ffnen4 ,es folgt also ,satz #bd4 ,liegt eine schiefe ,gerade in einer vertikalen ,tiefenebene1 so mu ihr ,fluchtpunkt auf einer ,vertikalen durch den ,augpunkt gelegen sein4 ,fig4 #ej gibt in dem ,gebude links ein ,beispiel4 ,die ,wand des ,hauses1 in welcher sich die ,tre befindet1 ist eine ,tiefenebene4 ,die ,giebellinien laufen deswegen nach den ,fluchtpunkten ,fa und ,fb1 die auf der ,senkrechten im ,augpunkt ,a liegen4 ,auch die ,linien des ,trgiebels haben diese ,eigenschaft4 ,illustration3 ,fig4 #ea4 ,aus der ,fig4 #di ziehen wir endlich noch eine ,folgerung4 ,wenn die beiden ,geraden ,a und ,b gleich geneigt sind gegen die ,gerade ,x oder1 was das gleiche ist1 gegen die ,grundebene1 wenn also 1 so ergibt sich aus den ,dreiecken ,offa und ,offb sofort1 da dann auch ffa ffb oder ,satz #be4 ,sind schiefe ,gerade im ,raume gleich geneigt gegen die ,grundebene1 so liegen ihre ,fluchtpunkte gleich weit vom ,horizont entfernt4 ,illustration3 ,fig4 #eb4 ,in ,fig4 #ej ist also ,a,fa ,a,fb1 weil die beiden ,seiten des ,daches doch gleiche ,winkel mit der ,grundebene einschlieen1 und da auch rechts ffa ffb1 so hat die ,brcke zu beiden ,seiten der horizontalen ,strecke die gleiche ,steigung4 ,zusatz4 ,wir fgen hier eine vielbenutzte ,konstruktion an4 ,denken wir uns die wahre ,gestalt #a #b #c #d #e der ,seitenwand #a'b'c'd'e' in ,fig4 #ej a herausgezeichnet und konstruieren wir den ,schnittpunkt #f der ,diagonalen #b4d und #a4c1 so hat die ,figur die ,eigenschaften1 da die ,verbindungslinie #e4f parallel zu #a4d und #b4c ist und da sie die ,seiten #a4b und #c4d in #g und #h halbiert4 ,in der perspektivischen ,zeichnung lt sich #f' sofort angeben2 #e' liegt also auf der ,vertikalen durch #f'1 was eine ,kontrolle gibt und diese ,vertikale schneidet weiter die ,bilder #h' und #g' der ,mitten von #a4b und #c4d aus4 ,ist also z4 ,b4 die gegebene ,strecke #a'4b' zu halbieren1 so hat man nur ntig1 irgendein solches vertikales ,rechteck zu zeichnen4 ,aufgabe #ag4 ,eine ,freitreppe darzustellen1 wenn die ,wangen in ,tiefenebenen gelegen sind4 ,das ,verhltnis der ,hhe der ,stufe zur ,breite sei 4 ,das ,profil der ,treppe ist in ,fig4 #eb unten angegeben4 ,die ,strke der ,treppenwange und die ,breite der ,treppe werden beliebig angenommen4 ,die ,begrenzungslinie ,a der ,wange und die ,linien ,b und ,c1 welche die ,stufen bestimmen1 bilden drei parallele ,linien4 ,ist fc der ,fluchtpunkt fr diese ,linien1 so liegt nach ,satz #bd fc auf einer ,senkrechten durch ,a und es mu auch 7,fig4 #ea7 ,afc ,o,a sein4 ,demgem machen wir in ,fig4 #eb die in ,a errichtete ,senkrechte ,afc der halben ,distanz ,,ad#a_/b4 ,im ,punkte #j der ,grundlinie tragen wir die ,vorderflche der ,wange an und ziehen durch die beiden oberen ,ecken die ,linien nach fc4 ,auf der ,tiefenlinie von #j nach ,a hat man jetzt den ,tiefenmastab anzutragen1 der in dem ,treppenprofil gegeben ist4 ,wir tragen nach ,aufg4 #e den ,mastab auf der ,grundlinie an und projizieren ihn aus ,d#a auf die ,tiefenlinie4 ,so erhlt man die ,bilder #a'1 #b'1 #c'1 #d' usf4 ,in diesen ,punkten sind jetzt nach ,aufg4 #aa ,hhen zu errichten1 die bzw4 eine1 zwei1 drei ,stufenhhen betragen4 ,wir tragen deswegen auf der durch #j gehenden ,vertikalen einen ,mastab mit einer ,einheit gleich einer ,stufenhhe ab2 dann liefert die ,tiefenlinie #a4;,a auf der durch #a' gehenden ,senkrechten den ,punkt ,i'1 die durch #b gehende ,tiefenlinie #b4;,a schneidet auf der durch #b' gezogenen ,vertikalen den ,punkt ,,ii' aus usf4 ,eine ,kontrolle besteht darin1 da alle ,punkte ,i'1 ,,ii'1 ,,iii' 444 auf einer ,geraden ,b' liegen mssen1 die durch fc geht4 ,gleichzeitig erhlt man die auf ,c' gelegenen ,eckpunkte der unteren ,treppenkanten4 ,nun kann man ohne weiteres durch diese ,punkte die ,horizontalen zeichnen bis zur rechten ,treppenwange4 ,man beachte1 da man auf diejenigen ,treppenstufen1 die unter dem ,horizont liegen1 ,aufsicht hat1 auf die ber dem ,horizont befindlichen ,stufen dagegen ,untersicht4 ,in unserer ,figur ist1 um ,raum zu sparen1 die ,distanz etwas klein angenommen2 man whle sie grer1 wodurch das ,bild gewinnen wird4 ,illustration3 ,fig4 #ec4 ,es ist auch nicht uninteressant zu bemerken1 da ,linien1 welche im ,raume steigen oder fallen1 im ,bilde durchaus nicht zu steigen oder zu fallen brauchen4 ,das kann man an ,fig4 #ec beobachten4 ,die ,fluchtpunkte des ,giebels sind fa und fb1 aber die ,linie x'y' fllt im ,bilde1 in der ,richtung gegen den ,fluchtpunkt durchlaufen1 whrend die ,gerade xy selbst im ,raume offenbar steigt4 #aj4 ,der photographische ,apparat4 #bh4 ,die ,entstehung des photographischen ,bildes4 ,wie allgemein verbreitet die perspektivischen ,bilder sind und welche ,bedeutung ihnen fr die ,versinnlichung der uns umgebenden ,welt zukommt1 kann durch nichts strker zum ,bewutsein gebracht werden als durch die ,tatsache1 da jede ,photographie ein perspektivisches ,bild ist4 ,indem wir hinsichtlich der ,einrichtung eines photographischen ,apparates und der ,wirkung des ,objektives auf andere ,darstellungen verweisen#d1 bemerken wir nur1 da wir uns die ,entstehung des ,bildes auf der ,mattscheibe fr unsere ,zwecke hinreichend genau in folgender ,weise denken knnen4 #d ,otto ,prelinger1 ,die ,photographie 7,a,nu,g ,bd4 #dad74 #aiad4 ,moritz von ,rohr1 ,die optischen ,instrumente 7,a,nu,g ,bd4 #hh74 #aijf4 ,illustration3 ,fig4 #ed4 ,die ,begrenzungsflchen der ,linsen des ,objektives sind ,ausschnitte aus ,kugelflchen und die ,mittelpunkte aller dieser ,kugeln liegen auf einer ,geraden1 der optischen ,achse des ,linsensystems4 ,das photographische ,bild entsteht nun durch eine ,zentralprojektion1 die aus einem ,punkte ,o erfolgt 7,fig4 #ed71 der auf der ,achse des ,linsensystems liegt1 und zwar angenhert in der ,mitte zwischen den ,punkten1 in denen die ,achse die vorderste und hinterste ,linsenflche schneidet4 ,dieser ,punkt heit wohl auch der ,mittelpunkt des ,objektives4 ,illustration3 ,fig4 #ed a4 ,wie verhlt es sich aber weiter mit der ,bildebene8 ,die ,haupteigenschaft des ,linsensystems ist die1 da jede auf der optischen ,achse senkrechte ,ebene wieder in eine auf der ,achse senkrechte ,ebene abgebildet wird4 ,photographiert man also z4 ,b4 ein ,gemlde oder eine ,karte1 so ist die ,mattscheibe an die ,stelle der entsprechenden ,ebene zu bringen4 ,alle ,punkte des ,gemldes sind dann scharf eingestellt4 ,weiter kann unser ,auge die ,unschrfe erst von einem gewissen ,grade an erkennen4 ,das hat zur ,folge1 da nicht nur ,punkte der betreffenden ,ebene1 sondern eine ganze ,schicht vor und hinter ihr gelegener ,punkte ebenfalls scharf erscheinen4 ,es wird folglich ein ganzes ,stck des ,raumes brauchbar abgebildet4 ,am wichtigsten wird diese ,eigenschaft1 wenn wir auf einen weit entfernten ,gegenstand1 z4 ,b4 einen ,kirchturm1 einstellen4 ,dann hat die ,mattscheibe des ,objektives eine gewisse ,entfernung vom ,mittelpunkt des ,objektives1 die man die ,brennweite nennt4 ,es erscheint nun aber nicht nur der ,kirchturm scharf auf der ,mattscheibe1 sondern ein groer ,teil des ,raumes bis zu einer bestimmten ,entfernung vom ,objektiv liefert ein scharfes ,bild4 ,nimmt man also eine ,landschaft oder eine ,architektur auf1 so gengt diese ,einstellung fr das ganze ,objekt4 ,man sagt1 es sei auf ,unendlich eingestellt und bei manchen ,apparaten ist die ,mattscheibe berhaupt in dieser ,stellung fixiert4 ,sind beispielsweise ab und cd zwei parallele1 ziemlich entfernte vertikale ,gerade 7,fig4 #ed7 und ist auf ,unendlich eingestellt1 so ergeben sich die ,bilder von ab und cd1 indem man durch den ,mittelpunkt ,o des ,objektives die ,strahlen konstruiert und diese mit der ,mattscheibe zum ,schnitt bringt4 ,es entstehen die ,bilder a'b' und c'd'4 7,ein ,unterschied gegenber unserer perspektivischen ,abbildung besteht nur darin1 da wie beim ,vorgang des ,sehens das ,projektions-,zentrum zwischen ,gegenstand und ,bildtafel gelegen ist4 ,deswegen erscheint das ,bild auf der ,mattscheibe verkehrt3 es ist oben und unten1 rechts und links vertauscht4 ,man kann sich brigens eine ,ebene denken1 welche zwischen dem ,mittelpunkt und dem ,gegenstand parallel zur ,mattscheibe verluft und ebenso weit vom ,mittelpunkt entfernt ist als die ,mattscheibe4 ,diese ,ebene wrde aus dem ,bndel der projizierenden ,strahlen das aufrechte ,bild des ,gegenstandes ausschneiden4 ,demnach mssen ,photographien alle ,eigenschaften perspektivischer ,bilder zeigen und man mag an der ,abb4 #g 7,s4 #gj7 die ,verkrzungen1 den ,verlauf horizontaler ,geraden und den ,fluchtpunktsatz verfolgen4 ,speziell aus dem letzteren wollen wir noch eine ,folgerung ableiten4 ,illustration3 ,abb4 #f4 #bi4 ,strzende ,linien4 ,nehmen wir an1 da ab und cd zwei vertikale ,gerade 7,fig4 #ed7 und ist die ,mattscheibe ebenfalls genau vertikal gestellt1 so sind ab und cd parallel zur ,bildebene1 also mssen nach ,satz #aj ihre ,bilder a'b' und c'd' auch parallel sein 7,fig4 #ed rechts74 ,in der ,tat erscheinen in der ,abb4 #g alle vertikalen ,geraden vertikal4 ,denken wir uns aber1 da ab und cd etwa zwei in ziemlicher ,hhe z4 ,b4 an einem ,giebel befindliche ,linien seien und der ,photograph wrde1 um sie auf die ,mattscheibe zu bekommen1 den ,apparat in die ,hhe drehen1 wie es ,fig4 #ed a andeutet4 ,jetzt sind die parallelen ,geraden ab und cd nicht mehr parallel zur ,bildebene4 ,ihre ,bilder werden also auch nicht mehr parallel1 sondern sie konvergieren nach einem ,fluchtpunkt f1 der unterhalb in der erweiterten ,ebene der ,mattscheibe liegt4 ,das ,bild der ,geraden zeigt ,fig4 #ed a rechts4 ,das ,siegestor in ,mnchen wurde in dieser ,weise mit gestrztem ,apparat photographiert 7,abb4 #f74 ,natrlich liegt der ,fluchtpunkt jetzt oben1 da wir das ,bild doch umkehren ,aber auch aus ,versehen oder aus ,unachtsamkeit knnen sich namentlich beim ,gebrauch einer ,handkamera solche strzende ,linien einstellen4 ,wrde man1 um von einem hohen ,standpunkt in die ,tiefe zu photographieren1 den ,apparat nach unten neigen1 so lge der ,fluchtpunkt der ,vertikalen im ,bilde unten und die ,gebude fielen auf den ,beschauer zu4 ,man kann brigens auch bei gestrztem ,apparat vertikale ,linien wieder parallel und vertikal erhalten1 wenn man die ,mattscheibe um m so lange dreht 7,fig4 #ed a71 bis sie in der ,stellung mp wieder vertikal steht4 ,dann mu man allerdings neu einstellen4 ,aus diesem ,grunde ist bei manchen1 besseren ,apparaten die ,mglichkeit gegeben1 die ,mattscheibe zu drehen4 ,endlich wird man noch die ,frage stellen knnen3 ,aus welchem ,punkte mu denn eine ,photographie1 die doch ein perspektivisches ,bild ist1 betrachtet werden8 ,wir wollen uns auf den ,fall beschrnken1 da ein ziemlich entferntes ,objekt1 eine ,landschaft oder eine ,architektur1 mit der ,einstellung auf ,unendlich aufgenommen worden sei4 ,dann ist eine solche ,photographie offenbar aus einer ,entfernung zu betrachten1 die gleich der ,brennweite ist4 ,es tritt also in diesem ,falle als ,distanz die ,brennweite ein4 #aa4 ,die ,wahl der ,distanz4 #cj4 ,gre der ,distanz4 ,ein ,gegenstand sei in seiner ,lage gegen die ,bildebene gegeben1 ferner mge die ,tafel durch den ,bildausschnitt1 etwa durch ein ,rechteck abcd ,fig4 #ee1 begrenzt sein4 ,dann kann man noch sehr verschiedene ,bilder dieses ,gegenstandes erhalten1 indem man die ,distanz und die ,augenhhe verschieden whlt4 ,der ,augpunkt soll dabei immer in der ,mittellinie des ,bildes angenommen werden4 ,als ,gegenstand bilden wir einen rechtwinklig begrenzten ,raum ab mit einem quadratisch getfelten ,fuboden und einem ,wrfel1 der sich ber einem ,quadrate des ,fubodens erhebt4 ,wir whlen zunchst die ,distanz ,,ad#a klein1 nmlich noch kleiner als die kleinere ,seite des ,bildrechtecks1 und zeichnen die ,darstellung in ,fig4 #ee fr eine mittlere1 in ,fig4 #ef fr eine groe ,augenhhe4 ,man erkennt1 da in beiden ,fllen1 namentlich aber bei dem hohen ,horizont1 die ,bodenflche so stark steigt1 da darauf befindliche ,figuren frmlich herunterzurutschen scheinen1 und da sich unschne ,verkrzungen ergeben4 ,die ,abb4 #c 7,s4 #cj7 zeigt uns ein solches ,interieur mit sehr hohem ,horizont1 der etwa in #h_/aa der ,bildhhe verluft4 ,dagegen kann fr die ,darstellung einer ,stadt oder eines ganzen ,landes recht gut eine ,perspektive mit sehr hohem ,horizont verwendet werden4 ,ein solches ,bild nennt man dann eine ,vogelperspektive4 ,illustration3 ,fig4 #ee4 ,illustration3 ,fig4 #ef4 ,illustration3 ,fig4 #eg4 ,in den ,figuren #eg und #eh wurde die ,distanz grer angenommen1 nmlich #amal so gro als die grere ,seite des ,bildausschnittes4 ,endlich gibt ,fig4 #ei eine ,darstellung1 in der die ,distanz #cmal so gro gewhlt ist als die grere ,seite ab des ,bildes4 ,man bemerkt1 wie in diesem ,falle die ,bodenflche und die ,wnde schon sehr zusammenschrumpfen4 ,je grer man die ,distanz whlen wrde1 um so mehr wrde sich das ,bild einer ,orthogonalprojektion nhern4 ,es verwischen sich aber dann die eigentlichen1 perspektivischen ,eigenschaften des ,bildes mehr und mehr4 ,vergleicht man die fnf ,figuren1 so ergibt sich1 da man ,fig4 #ef und ,fig4 #eh wohl als die schnsten und sthetisch brauchbarsten ,bilder bezeichnen mu4 ,illustration3 ,fig4 #eh4 ,wir bringen dies weiter in ,zusammenhang mit folgender ,tatsache3 wenn wir irgendein greres ,objekt1 sei es nun ein rumlicher ,gegenstand oder ein ,bild1 als ,ganzes betrachten wollen1 so treten wir so weit von dem ,objekt zurck1 da wir dasselbe ohne ,bewegungen des ,kopfes bersehen knnen4 ,dann erst haben wir einen ,gesamteindruck4 ,je grer der ,gegenstand ist1 um so weiter entfernt whlen wir unseren ,standpunkt4 ,offenbar beherrscht unser ,auge nur einen ,kegel von ganz bestimmter ffnung und wir richten unsere ,stellung dem ,objekt gegenber so ein1 da das ,objekt ganz in diesen ,kegel hineinfllt4 ,illustration3 ,fig4 #ei4 ,auf diese ,weise erkennt man1 da die ,distanz nicht vllig willkrlich gewhlt werden darf4 ,ist sie zu gro1 so verliert das ,bild die charakteristischen1 perspektivischen ,wirkungen2 ist sie zu klein1 so ergeben sich bertriebene ,verkrzungen4 ,aus der ,praxis heraus hat sich folgende ,regel ausgebildet3 ,man whle die ,distanz #amal bis #bmal so gro als die grere ,seite des ,bildrechteckes4 ,in betreff der mit kleiner ,distanz gezeichneten ,bilder ist auch noch daran zu erinnern1 da das normale1 nicht kurzsichtige ,auge auf ,gegenstnde1 die nher als etwa #be cm am ,auge liegen1 nicht mehr akkommodieren kann1 das heit es kann solche ,objekte nicht mehr scharf sehen4 ,auch aus diesem ,grunde sind demnach allzu kleine ,distanzen zu vermeiden4 ,illustration3 ,fig4 #fj4 ,illustration3 ,abb4 #g4 #ca4 ,wirkung einer zu kleinen ,distanz1 das ,interieur4 ,es liegt weiter nahe1 da man eine fr eine kleine ,distanz angefertigte ,zeichnung aus einer ,entfernung betrachtet1 die grer ist als die ,distanz4 ,dann treten bertriebene ,tiefenwirkungen auf4 ,in der ,tat denken wir uns einen ,wrfel1 der mit der ,flche in der ,bildtafel liegt4 ,das ,auge befinde sich in der ,erweiterung der unteren ,wrfelflche4 ,fig4 #fj 7links7 stellt den ,schnitt mit einer ,ebene dar1 die durch das ,auge senkrecht zur ,bildebene geht4 ,das ,bild des ,wrfels wird dann durch a1 b1 c' angedeutet4 ,ist nun umgekehrt das ,bild a1 b1 c' gegeben1 so ist vorauszuschicken1 da natrlich durch ein ,bild der ,krper nicht bestimmt sein kann4 ,wenn wir aber z4 ,b4 noch wissen oder stillschweigend annehmen1 da es sich um einen rechtwinklig begrenzten ,krper handelt1 so knnen wir aus dem einen ,bild den ,krper rekonstruieren4 ,illustration3 ,abb4 #h4 ,es mge nun das ,bild a1 b1 c' aus einem ,punkte ,o#a betrachtet werden 7,fig4 #fj rechts71 der weiter von der ,bildebene entfernt liegt als ,o4 ,der zum ,punkte c' gehrige ,raumpunkt c liegt dann einerseits auf der ,linie ,o#a;c'1 andererseits aber wegen der rechtwinkligen ,natur des ,krpers auf der ,senkrechten in b zur ,bildebene4 ,statt des ,wrfels erhalten wir einen viel lngeren1 rechteckigen ,quader abcd4 ,es scheint also der ,krper viel tiefer zu sein1 als er wirklich ist4 ,illustration3 ,abb4 #i4 ,diese unnatrliche ,vertiefung 7,tunnelperspektive7 kann man z4 ,b4 an photographischen ,bildern beobachten1 die mit ,objektiven von kleiner ,brennweite hergestellt werden1 weil solche ,darstellungen eben meistens aus einer zu groen ,entfernung betrachtet werden4 ,so erscheint in ,abb4 #g 7,s4 #gj7 das ,gebude viel lnger als in ,wirklichkeit4 ,ein einfaches ,mittel1 von solchen ,photographien ein richtiges ,bild zu bekommen1 besteht darin1 da man sie durch ein ,vergrerungsglas betrachtet4 ,dann wird mit dem ,bilde auch die ,distanz vergrert1 und man gewinnt eher die richtige ,entfernung fr das ,auge4 ,eine ganz entsprechende ,verkrzung des ,objektes der ,tiefe nach tritt ein1 wenn man unter der gleichen ,annahme wie oben ein perspektivisches ,bild aus einer zu kleinen ,distanz betrachtet4 ,eine kleine ,distanz bevorzugt man bei der ,darstellung eines ,innenraumes1 also beim ,interieur1 weil dadurch die ,vorstellung erweckt wird1 da der ,beschauer sich noch im ,innern des betreffenden ,raumes befindet4 ,prft man beispielsweise in dem ,fresko von ,raffael 7#adhe--aebj71 die ,schule von ,athen 7,abb4 #h1 ,s4 #ga71 das die eine ,wand der camera della segnatura im ,vatikan in ,rom einnimmt1 auf ,grund einer groen ,photographie die perspektivische ,konstruktion1 so stimmt diese allerdings nicht vollstndig genau4 ,als mittlerer ,wert ergibt sich aber fr die ,distanz1 da sie etwas grer ist als die ,breite des ,bildes 7ungefhr #a der ,bildbreite74 ,man beachte aber1 welche unvergleichlich groartige ,raumwirkung der ,knstler durch den ,kuppelraum mit den beiden ,schiffen und die ,vordergrundsszene erzielt4 ,kleiner als die grere ,seite des ,bildausschnittes wird man aber die ,distanz nicht whlen4 ,illustration3 ,fig4 #fa4 ,auch bei manchen ,hollndern des #ag4 ,jahrhunderts1 z4 ,b4 bei van der ,meer van ,delft 7#afcb--afge71 finden wir ,interieurs mit kleiner ,distanz4#e ,so ist bei dem in ,abb4 #i wiedergegebenen ,bilde1 das sich im kgl4 ,schlo in ,windsor befindet und eine ,musikstunde darstellt1 die ,distanz wenig grer als die ,hhe des ,bildes 7etwa #a-a_/ag derselben74 ,man kann aber hier schon die unangenehme ,folgeerscheinung beobachten1 da bei solchen ,bildern mit kurzer ,distanz der ,boden im ,vordergrund sich nach abwrts zu neigen1 sich herunterzuklappen scheint4 #e ,man vgl4 dazu ,hans ,jantzen1 ,niederlndische ,malerei im #ag4 ,jahrhundert4 ,s4 #eb4 7,a,nu,g ,bd4 #cgc47 #aiab4 ,illustration3 ,abb4 #aj4 #cb4 ,das photographische ,bild4 ,was die ,bilder des photographischen ,apparates betrifft1 so liefern ,objektive mit groer ,brennweite ,darstellungen1 die einer groen ,distanz entsprechen1 ,objektive mit kleiner ,brennweite1 sogenannte ,weitwinkel1 geben ,bilder mit kleiner ,distanz4 ,die bertriebene ,perspektive solcher ,weitwinkel erklrt sich abgesehen von der eben erwhnten ,wahl eines falschen ,standpunkts direkt durch die ,wirkung der kleinen ,distanz4 ,in der ,tat sind ab und cd etwa zwei gleichgroe ,objekte1 ,o und ,o' die ,zentren der ,perspektive 7,fig4 #fa7 und a'b'1 c'd' ihre ,bilder in der durch eine ,gerade dargestellten ,tafel1 so bemerkt man den ,unterschied1 je nachdem die ,distanz klein ist wie in der oberen ,figur oder gro wie in der unteren4 ,in der oberen ,figur ist c'd' mehr als doppelt so gro wie a'b'1 in der unteren nicht ganz doppelt so gro4 ,dadurch da das fernere ,objekt beim ,weitwinkel so stark verkleinert wird1 erscheint das nhere gleichzeitig unverhltnismig gro4 ,die ,abb4 #aj gibt uns die ,aufnahme einer sitzenden ,person1 wobei sich der ,apparat sehr nahe an der ,person befand4 ,die an und fr sich richtige ,perspektive fhrt zu komischen ,wirkungen4 ,doch lassen sich1 wie ,abb4 #aa zeigt1 mit dem gleichen ,objektiv etwas bessere ,bilder erzielen1 wenn man nur einen greren ,abstand von dem ,objekt whlt4 ,fr ,landschaftsaufnahmen sind diese berlegungen von groer ,bedeutung4 ,ein ,weitwinkel lt ferne1 hohe ,berge zu unbedeutenden ,hgeln zusammenschrumpfen1 er treibt den ,hintergrund zurck1 wie die ,photographen sagen1 und betont den ,vordergrund4 ,ein ,objektiv mit groer ,brennweite dagegen gibt ferne ,berge gro1 es zieht den ,hintergrund nach vorn und lt den ,vordergrund weniger in die ,erscheinung treten4 ,illustration3 ,abb4 #aa4 #ab4 ,unzugngliche ,distanz- und ,fluchtpunkte4 #cc4 ,unzugnglicher ,distanzpunkt4 ,den ,augpunkt einer ,darstellung werden wir naturgem in der ,mittellinie des ,bildausschnittes annehmen1 da man bei ,betrachtung eines ,bildes doch ganz von selbst vor die ,mitte tritt4 ,dann folgt aber aus unseren ,errterungen und aus den ,figuren #ee bis #ei ohne weiteres1 da die ,distanzpunkte nicht mehr in dem ,bildausschnitt liegen1 sondern weit darber hinaus fallen4 ,verwendet man also nicht eine viel grere ,zeichenflche1 z4 ,b4 ein sehr groes ,reibrett1 so sind die ,distanzpunkte nicht mehr zu erreichen4 ,das gleiche gilt fr ,fluchtpunkte horizontaler ,geraden1 die1 wie z4 ,b4 schon die ,fig4 #dh erkennen lt1 hufig weit auf dem ,horizont hinausfallen1 wenn die ,figur nicht absichtlich darnach eingerichtet wird4 ,es fragt sich nun1 wie man die ,konstruktionen1 die sich auf solche ber die ,zeichenflche hinausfallende ,punkte beziehen1 trotzdem erledigen kann4 ,das ist die wichtigste ,aufgabe der praktischen ,perspektive4 ,illustration3 ,fig4 #fb4 ,wir wollen zunchst sehen1 wie man die ,aufgabe #e1 also die ,konstruktion eines ,tiefenmastabes1 durchfhren kann1 wenn die ,distanzpunkte nicht mehr erreichbar sind4 ,war auf einer gegebenen ,tiefenlinie ,t von ihrer ,spur t aus eine ,strecke anzutragen1 so machten wir auf der ,grundlinie ts dieser ,strecke 7,fig4 #fb7 und verbanden den ,punkt s mit einem ,distanzpunkt ,d#a2 die ,verbindungslinie schnitt aus ,t' den gesuchten ,punkt p' aus 7vgl4 die frhere ,fig4 #ba b74 ,halbieren wir nun aber die ,strecke ,,ad#a und bezeichnen die ,mitte mit ,d#a_/b4 ,verbinden wir weiter diesen ,punkt ,d#a_/b mit p'1 so mge diese ,linie die ,grundlinie im ,punkte q treffen4 ,dann gilt die ,proportion3 tq 3 qs ,a ,d#a_/b 3 ,d ,d#a_/b #a 3 #a4 ,es ist mithin auch q die ,mitte von ts und tq qs ts_/#b4 ,illustration3 ,fig4 #fc4 ,wir knnen zum ,punkte p' also auch gelangen1 wenn wir die halbe ,strecke tq auf der ,grundlinie antragen1 den ,endpunkt q mit dem ,punkte ,d#a_/b verbinden und diese ,linie mit ,t' zum ,schnitt bringen4 ,soll demnach z4 ,b4 auf der ,tiefenlinie ,t' ein ,mastab gezeichnet werden1 dessen ,einheit gegeben ist1 und kann man ,d#a_/b noch erreichen 7,fig4 #fc71 so tragen wir die halbe ,einheit auf der ,grundlinie wiederholt ab und projizieren diese ,punkte aus ,d#a_/b auf ,t'4 ,dann erhlt man den verlangten ,tiefenmastab4 ,illustration3 ,fig4 #fd a4 ,illustration3 ,fig4 #fd b4 ,rckt die ,teilung auf der ,grundlinie zu weit hinaus1 so kann man z4 ,b4 durch #b' eine ,parallele l zur ,grundlinie ziehen und die auf dieser ,parallelen ausgeschnittene kleinere ,strecke #b'c'' auf l wiederholt antragen und aus ,d#a_/b projizieren4 ,der ,punkt ,d#a_/b heit ein ,teil-,distanzpunkt4 ,selbstverstndlich knnte man die ganze ,strecke ,,ad#a auch in drei gleiche ,teile teilen und den ersten ,teilpunkt von ,a aus mit ,d#a_/c bezeichnen4 ,dann htte man statt der ganzen ,strecke blo den dritten ,teil auf der ,grundlinie anzutragen4 ,mit ,d#a_/c verbunden liefern diese ,punkte auch wieder den ,tiefenmastab usf4 #cd4 ,unzugngliche ,fluchtpunkte4 ,erstes ,verfahren4 ,die ,ermittlung des ,fluchtpunktes einer beliebigen1 horizontalen ,geraden beruhte wesentlich auf den berlegungen von 7#af71 die zu der in der ,fig4 #bd gegebenen ,konstruktion fhrten4 ,ist nun in dieser ,figur der ,fluchtpunkt fa nicht zugnglich1 so kann man diese ,schwierigkeit in folgender ,weise umgehen3 wir verkleinern die ganze ,figur1 indem wir sie sich gegen den ,punkt ,a zusammenziehen lassen4 ,der aus der ,geometrie hierbei anzuwendende ,satz ist in den ,fig4 #fd a und #fd b noch eigens veranschaulicht4 ,es ist hier zu dem ,vieleck abcde in folgender ,weise ein neues konstruiert worden4 ,ein ,punkt o wird beliebig gewhlt und mit allen ,ecken a1 b1 c 444 verbunden4 ,auf diesen ,verbindungslinien werden die ,punkte a'1 b'1 c' 444 dadurch bestimmt1 da man alle ,strecken oa1 ob1 oc 444 im gleichen ,verhltnis teilt1 also beispielsweise immer a'o ao1 b'o bo1 c'o co 444 macht4 ,das neue ,vieleck a'1 b'1 c' 444 hat dann folgende ,eigenschaften3 a7 ,entsprechende ,seiten der beiden ,vielecke sind stets parallel1 d4h4 es ist ab a'b'1 bc b'c'1 cd c'd' usf4 b7 ,alle ,verhltnisse der ,seiten sind die gleichen1 d4 h4 es ist ab 3 bc a'b' 3 b'c' usf4 ,illustration3 ,fig4 #fe4 ,wenn also z4 ,b4 die ,seite ab doppelt so gro ist wie bc1 so ist auch a'b' doppelt so gro wie b'c'4 ,die ,figuren abcde und a'b'c'd'e' nennt man hnlich und hnlich liegend und o den hnlichkeitspunkt4 ,im vorliegenden ,falle benutzen wir ,a als hnlichkeitspunkt4 ,zunchst ist in ,fig4 #fe die frhere ,konstruktion wiederholt4 ,auf der ,linie von ,a nach ,d#c whlen wir nun einen ,punkt ,d#c_/c so1 da ,a ,d#c_/c ,,ad#c und verkleinern die ganze ,figur auf ein ,drittel4 ,illustration3 ,fig4 #ff4 ,wir verbinden also a mit ,a1 teilen diese ,linie in drei gleiche ,teile und bezeichnen den ersten ,teilpunkt von ,a aus mit a_/#c1 so da ,a a_/#c ,aa4 ,ziehen wir dann durch den ,punkt ,d#c_/c eine ,parallele zu fa,d#c1 so schneidet diese auf dem ,horizont einen ,punkt fa_/#c aus1 der die ,eigenschaft hat1 da auch ,a fa_/#c ,afa und es ist weiter dann auch afa a_/#c fa_/#c4 ,hat man die verkleinerte1 punktierte ,figur gezeichnet1 so kann man ,a' finden1 wenn ein ,punkt1 etwa die ,spur a1 bekannt ist1 indem man durch a eine ,parallele zu a_/#c fa_/#c zieht4 ,dies ist in der ,figur #ff ausgefhrt4 ,vermittels des ,punktes ,d#c_/c wurde zunchst fa_/#c ermittelt1 in dem man zur ,verschiebung 7,a7 der ,geraden eine ,parallele zog2 verschafft man sich weiter die ,spur a der ,geraden und dazu den ,hilfspunkt a_/#c auf der ,verbindungslinie a,a1 so ist das ,bild ,a' parallel zur ,linie a_/#c fa_/#c1 kann also als eine ,parallele durch a zu dieser ,linie gezeichnet werden4 ,wie stark wir die ,figur verjngen wollen1 steht natrlich in unserem ,belieben2 statt auf zu verkleinern1 knnen wir auch die ,verjngung auf whlen oder blo auf 4 ,nur darf die neue ,figur nicht zu klein werden4 ,wir geben eine praktische ,anwendung in der folgenden ,aufgabe #ah4 ,eine ,zimmerecke samt dem quadratisch getfelten ,fuboden darzustellen1 wenn der ,teil-,distanzpunkt ,d#a_/d noch zugnglich ist4 ,auf der ,senkrechten1 die im ,augpunkt ,a zum ,horizont gezogen werden kann1 nehmen wir den ,punkt ,d#c_/d an 7,fig4 #fg72 auerdem soll gegeben sein die ,eckkante p'q'1 also die ,hhe des ,zimmers und die eine ,bodenkante ,a' durch p'4 ,zunchst haben wir eine ,linie ,b der ,grundebene zu zeichnen1 welche im ,punkte p auf ,a senkrecht steht1 vgl4 ,aufgabe #i4 ,da ,d#c_/d gegeben und noch zugnglich1 verjngen wir die ganze ,figur auf 4 ,dementsprechend verbinden wir den ,punkt p' mit ,a1 teilen diese ,strecke in #d gleiche ,teile und bezeichnen den ersten an ,a gelegenen ,teilpunkt mit p'_/#d4 ,durch diesen ,punkt p'_/#d ziehen wir eine ,parallele zur gegebenen ,geraden ,a'1 welche in fa_/#d den ,horizont treffen mge4 ,es ist also p'_/#d fa_/#d ,a'4 ,nun knnen wir den ,punkt fa_/#d mit ,d#c_/d verbinden und im ,punkte ,d#c_/d eine ,senkrechte zu dieser ,linie zeichnen1 welche aus dem ,horizont den ,punkt fb_/#d ausschneidet4 ,verbinden wir p'_/#d mit diesem ,teilfluchtpunkt fb_/#d1 so gibt diese ,linie die ,richtung von ,b'2 es ist also3 ,b' p'_/#d fb_/#d1 womit die zweite ,bodenkante konstruiert ist4 ,die an der ,decke laufenden ,kanten finden wir1 wenn wir zum ,punkte q' den ,hilfspunkt q'_/#d zeichnen4 ,eine ,vertikale durch p'_/#d liefert ihn sofort auf der ,verbindungslinie ,aq'4 ,dadurch sind die ,verbindungslinien q'_/#d fa_/#d und q'_/#d fb_/#d bestimmt und zu ihnen laufen die ,deckenkanten durch q' beziehungsweise parallel4 ,illustration3 ,fig4 #fg4 ,man beachte auch1 wie sich ein solcher gegen den ,beschauer vorspringender rechter ,winkel im ,bilde darstellt3 seine beiden ,schenkel laufen von den betreffenden ,fluchtpunkten weg4 ,dagegen kommen bei der ,darstellung einer ,gebudeecke1 wie in ,fig4 #ec oder #gb1 wo der rechte ,winkel von auen betrachtet wird1 die ,teile der ,schenkel zur ,verwendung1 welche die ,fluchtpunkte tragen4 ,illustration3 ,fig4 #fg a4 ,nun sei weiter die ,seite p'#a' eines ,quadrates des ,fubodens gegeben4 ,um diese ,teilung auf der ,geraden ,a' fortzusetzen1 verfahren wir wie folgt3 wir denken uns durch die ,punkte #a1 #b1 #c 444 der ,kante ,a in irgendeiner ,richtung parallele ,gerade gelegt und bringen diese in ,i1 ,,ii1 ,,iii 444 zum ,schnitt mit einer parallelen zur ,grundlinie1 wie die ,nebenfigur #fg a dies andeutet4 ,dann sind auch die ,abschnitte p,i1 ,i ,,ii1 ,,ii ,,iii usf4 gleich gro und umgekehrt werden gleich groe ,abschnitte p #a1 #a #b1 #b #c 444 auf ,a erzeugt1 wenn man durch gleich groe ,strecken p,i1 ,i ,,ii1 ,,ii ,,iii 444 die ,parallelen legt4 ,im ,bilde gehen diese ,parallelen dann in ,linien ber1 welche durch einen ,punkt des ,horizonts laufen4 ,dementsprechend ziehen wir durch p' eine ,parallele zur ,grundlinie und whlen als ,punkt des ,horizontes etwa ,a4 ,die ,verbindungslinie von #a' nach ,a schneidet auf der ,parallelen den ,punkt ,i aus und wir machen p',i ,i ,,ii ,,ii ,,iii 444 ,dann liefern die ,punkte ,,ii1 ,,iii aus ,a projiziert die ,bilder #b'1 #c' 444 #f'4 ,um die durch diese ,punkte gehenden ,fubodenlinien zu finden1 verschaffen wir uns die zugehrigen ,hilfspunkte4 ,verbinden wir z4 ,b4 #f' mit ,a1 so erhalten wir auf der ,linie p'_/#d fa_/#d den entsprechenden ,hilfspunkt #f'_/d4 ,die durch #f' gehende ,linie des ,fubodenmusters ist dann aber parallel zur ,verbindungslinie des ,punktes #f'_/d mit dem ,punkte fb_/#d4 ,die zweite ,schar von ,parallelen des ,fubodens wollen wir unter ,benutzung des ,diagonalpunktes 7vgl4 ,s4 #eg7 zeichnen4 ,halbieren wir den ,winkel bei ,d#c_/d1 so schneidet diese ,linie auf dem ,horizont den ,teil-,diagonalpunkt ,dg_/#d aus4 ,daraus erhalten wir demnach den ,diagonalpunkt ,dg selbst1 wenn wir ,,adg #d ,a ,dg_/#d machen1 also die ,strecke ,a ,dg_/#d noch dreimal von ,dg_/#d aus nach links antragen4 ,durch ,dg laufen dann aber alle ,diagonalen der einen ,art in den ,quadraten des ,fubodens1 so da dieser leicht gezeichnet werden kann4 ,gleichzeitig ergeben sich viele ,kontrollen4 #ce4 ,unzugngliche ,fluchtpunkte4 ,zweites ,verfahren4 ,wir wollen fr die ,aufgabe #i noch eine ,lsung geben1 die auch wieder auf dem ,gedanken beruht1 an ,stelle der ursprnglichen ,figur eine verkleinerte1 hnliche zu benutzen4 ,illustration3 ,fig4 #fh4 ,ist ,fa der ,fluchtpunkt der gegebenen ,geraden ,a'1 auf welcher im ,punkt p' eine ,senkrechte ,b' errichtet werden soll1 so konstruieren wir z4 ,b4 den ,punkt ,d#d 7,fig4 #fh7 und tragen im ,punkte ,d einen rechten ,winkel von ,fa,d#d aus an2 dann schnitt der zweite ,schenkel dieses rechten ,winkels den ,fluchtpunkt ,fb aus1 so da die gesuchte ,gerade ,b' den ,punkt p' mit ,fb verband4 ,fllt nun aber ,fa nicht mehr auf das ,zeichenblatt1 so fhren wir einen neuen ,horizont hh ein1 der parallel zu hh so gewhlt sei1 da sich mit ,a' ein erreichbarer ,schnittpunkt fa ergibt4 ,die ganze ,figur lassen wir sich jetzt um den ,punkt p' zusammenziehen1 so da hh in hh bergeht4 ,wir konstruieren also eine kleinere hnliche ,figur mit p' als hnlichkeitspunkt4 ,die ,punkte dieser neuen ,figur bezeichnen wir mit den entsprechenden kleinen ,buchstaben4 ,zunchst liefern ,d#a1 ,a und ,fb aus p' auf hh projiziert die ,punkte d#a1 a und fb4 ,ferner sind in hnlichen und hnlich liegenden ,figuren entsprechende ,gerade stets parallel 7,s4 #gh74 ,ziehen wir also durch a eine ,parallele zur ,linie ,,ad#d1 so schneidet diese auf der ,verbindungsgeraden p',d#d den entsprechenden ,punkt d#d aus und es ist dann fad#d ,fa,d#d und fbd#d ,fb,d#d4 ,nun ist in der groen ,figur ,,ad#a ,,ad#d1 also ist auch in der verkleinerten ,figur ad#a ad#d4 ,wir wollen jetzt annehmen1 da auch der ,punkt ,d#a nicht mehr auf das ,zeichenblatt fllt1 wohl aber der ,teil-,distanzpunkt ,d#a_/b4 ,konstruieren wir auch zu ihm den entsprechenden ,punkt d#a_/b1 so ist d#a d#a_/b a d#a_/b und weiter ad#d #b a d#a_/b4 ,daraus ergibt sich folgende ,konstruktion 7,fig4 #fi74 ,illustration3 ,fig4 #fi4 ,wir zeichnen den neuen ,horizont hh1 welcher die gegebene ,gerade ,a' in fa und die ,verbindungslinie von p' nach ,a in a trifft4 ,dann errichten wir zu a eine ,senkrechte in hh und machen diese doppelt so gro als die ,strecke a d#a_/b4 ,ist d#d der zweite ,endpunkt dieser ,senkrechten1 so ist also ad#d #b a d#a_/b4 ,an die ,verbindungslinie fad#d tragen wir einen rechten ,winkel an1 dessen zweiter ,schenkel den ,horizont hh in fb schneidet4 ,das ,bild ,b' der gesuchten ,senkrechten verbindet nun den ,punkt p' mit fb4 ,man kann diese ,figur auch benutzen1 um z4 ,b4 den ,diagonalpunkt zu ermitteln1 wenn man sich den rechten ,winkel zu einem ,quadrat ergnzt denkt4 ,wir drfen ja nur den ,winkel fad#d;fb halbieren1 so liefert uns die ,halbierungslinie auf hh den ,hilfspunkt dg und wenn wir diesen mit p' verbinden1 so schneidet diese ,linie auf dem ,horizont den ,diagonalpunkt ,dg selbst aus4 ,der ,beweis ergibt sich leicht aus der ,figur #fh1 denn es ist d#d;dg ,d#d;,dg und da ,d#d;,dg den ,winkel ,fa,d#d;,fb halbiert1 so mu die ,parallele den ,winkel fad#d;fb halbieren4 #cf4 ,unzugngliche ,fluchtpunkte4 ,drittes ,verfahren4 ,das ,wesentliche an den eben durchgefhrten ,betrachtungen bestand darin1 da wir gelernt haben1 das ,bild eines rechten ,winkels zu zeichnen auch dann1 wenn die beiden ,fluchtpunkte seiner ,schenkel unzugnglich waren4 ,ist nun das ,bild eines solchen ,winkels gegeben1 so kommt es hufig vor1 da man weitere ,linien nach den unzugnglichen ,fluchtpunkten zu ziehen hat4 ,wir behandeln dementsprechend die ,aufgabe #ai4 ,ein ,punkt ist gegeben als der nicht zugngliche ,schnittpunkt zweier ,geraden ,g' und hh 7,fig4 #ga72 man zeichne die ,linie1 welche diesen unzugnglichen ,punkt mit einem weiter gegebenen ,punkte p' verbindet4 ,illustration3 ,fig4 #gj4 ,die ,lsung gelingt leicht1 wenn wir uns an einen bekannten ,satz der ,geometrie erinnern4 ,schneidet man drei durch einen ,punkt s gehende ,gerade ,a1 ,b1 ,c mit irgend zwei parallelen ,geraden1 so werden die beiden ,parallelen in gleichem ,verhltnis geteilt1 d4 h4 es ist ,fig4 #gj ab 3 bc de 3 ef4 ,teilt man umgekehrt die zwei ,parallelen im gleichen ,verhltnis1 so da also diese ,gleichung erfllt ist1 so geht die ,verbindungslinie be durch den ,schnittpunkt s der beiden ,geraden hindurch4 ,illustration3 ,fig4 #ga4 ,man kann diese beiden ,stze auch in folgender ,weise ausdrcken3 ,teilt man die ,strecke de beispielsweise in vier gleiche ,teile und verbindet die ,teilpunkte #b1 #c1 #d mit s1 so wird auch die ,strecke ab in vier gleiche ,teile geteilt4 ,setzt man beide ,teilungen auf den ,parallelen fort1 so gehen die ,verbindungslinien gleich numerierter ,punkte immer durch s4 ,daraus ergibt sich fr die obige ,aufgabe folgende ,lsung 7,fig4 #ga74 ,wir ziehen durch den gegebenen ,punkt p' irgendeine ,linie df und zu ihr in nicht zu geringer ,entfernung eine ,parallele1 welche in a und c die zwei ,geraden trifft4 ,durch p' werde eine ,parallele zu hh gelegt1 welche die ,verbindungslinie cd in g schneidet4 ,durch diesen ,punkt g ziehen wir eine ,parallele zu ,g' und erhalten auf ac den ,punkt b4 ,dann geht die ,verbindungslinie p'b durch den unzugnglichen ,schnitt von ,g' und hh hindurch1 ist also die verlangte4 ,denn wir entnehmen unmittelbar aus der ,figur3 ab 3 bc dg 3 gc und dg 3 gc dp' 3 p'f folglich auch ab 3 bc dp' 3 p'f4 ,illustration3 ,fig4 #gb4 ,ist eine grere ,zahl von ,linien nach einem unzugnglichen ,punkte zu zeichnen1 so wre das eben beschriebene ,verfahren zu umstndlich4 ,man wird dann den zweiten oben angefhrten ,satz benutzen1 um solche ,linien zu erhalten4 ,das folgende ,beispiel mag dies erlutern4 ,aufgabe #bj4 ,gegeben ist das ,bild eines rechten ,winkels bei p' 7vordere ,ecke eines ,gebudes72 man zeichne ,parallelen zu den ,schenkeln dieses ,winkels4 ,wir verlngern die durch p' gehende ,vertikale1 die ,vorderkante des ,gebudes1 bis sie in p#j den ,horizont trifft 7,fig4 #gb71 ferner whlen wir rechts und links am ,rande die ,punkte q' und r' auf den ,schenkeln des rechten ,winkels und ziehen durch sie die ,senkrechten r'r#j und q'q#j bis zum ,horizont4 ,teilen wir die drei ,strecken p'p#j1 q'q#j1 r'r#j in eine gleiche ,anzahl von ,teilen1 z4 ,b4 jede in vier ,teile1 so gehen die ,verbindungslinien gleich numerierter ,punkte bzw4 durch die ,fluchtpunkte des rechten ,winkels4 ,setzt man die ,teilungen auf den ,geraden p'p#j1 q'q#j1 r'r#j ber den ,horizont hinaus fort1 so gehen auch die ,verbindungslinien #f4f1 #g4g usf4 wieder durch die unzugnglichen ,fluchtpunkte4 ,die ,linien #g4g mgen das ,gebude unten abschlieen4 ,man erhlt aber weiter auch ,linien durch die ,fluchtpunkte1 wenn man entsprechende ,abschnitte wiederum in gleichviel ,teile teilt1 also beispielsweise von den ,strecken #a4b je das an den ,punkten #b gelegene ,drittel nimmt4 7,siehe ,figur47 ,hat man dann durch einen vorgegebenen ,punkt eine ,linie nach einem der zugnglichen ,fluchtpunkte zu zeichnen1 so kann man das nach dem ,augenma ausfhren1 indem man das ,lineal so anlegt1 da es gleichnumerierte ,strecken im gleichen ,verhltnis teilt4 ,die genaue ,lsung dieser ,aufgabe haben wir ja in der ,aufgabe #ai gegeben4 ,auf der linken ,seite der ,figur sind noch zwei ,fensterreihen eingezeichnet4 ,das erste an der ,vorderkante p'p#j gelegene ,fenster wurde willkrlich angenommen2 die anderen ,fenster sollen ebensogro sein und voneinander ebensoweit abstehen als das erste ,fenster von der ,kante p'p#j entfernt ist4 ,wir bringen die vertikalen ,kanten der ,fenster mit der ,linie #g4g zum ,schnitt und verfahren nun ebenso wie in #cd4 7,fig4 #fg a47 ,als beliebiger ,punkt auf dem ,horizont wurde #e gewhlt4 ,dadurch erhalten wir auf der durch #g gezogenen ,parallele zum ,horizont zwei ,strecken1 die abwechselnd angetragen die ,fenster liefern4 ,auf der rechten ,seite des ,gebudes ist ebenso eine ,tr und ein ,fenster konstruiert4 ,endlich mag noch erwhnt werden1 da es auch eigene ,apparate1 sogenannte ,fluchtpunkt-,lineale1 gibt1 um ,gerade nach unzugnglichen ,punkte damit zu zeichnen4 #ac4 ,gleichzeitige ,anwendung der verschiedenen ,methoden4 #cg4 ,verbindung der ,schnittmethode mit den ,fluchtpunktmethoden4 ,wir knnen aber auch die frher behandelte ,schnittmethode 7vgl4 #h7 mit den ,konstruktionen1 die sich aus der ,benutzung der ,fluchtpunkte ergeben 7#ag1 #ah u4 f471 verbinden und erhalten dadurch das fr ,darstellung architektonischer ,objekte brauchbarste ,verfahren4 ,wir werden dasselbe am besten an einem ,beispiele kennen lernen3 ,aufgabe #ba4 ,ein ,postament ist durch ,grund- und ,aufri gegeben 7,fig4 #gc72 die neue ,bildebene1 in der eine ,perspektive dieses ,objektes entworfen werden soll1 steht auf der ,grundriebene senkrecht1 geht durch die ,achse des ,postaments und mag durch die ,linie h#a;h#a bestimmt sein4 ,auerdem sind der ,augpunkt ,a und der ,horizont hh je durch ihre ,risse gegeben4 ,man zeichne das ,bild des ,krpers1 wenn die ,distanz #ab cm betrgt4 ,wir whlen in der neuen ,darstellung die ,grundlinie gg und darber in der durch den ,aufri gegebenen ,hhe den ,horizont hh 7,fig4 #gd7 und auf ihm den ,augpunkt ,a4 ,dann zeichnen wir den ,schnitt der ,bildebene mit dem ,krper1 was unter ,benutzung der ,schnittpunkte #a1 #g1 #ac1 #ad1 #h1 #b von h#a;h#a mit dem ,grundri und unter ,heranziehung des ,aufrisses leicht geschehen kann4 ,denn die durch ,a gelegte ,vertikale ist die ,achse des ,krpers4 ,schneidet sie die ,grundlinie in n1 so machen wir nx ,a#aa4 ,in x zeichnen wir wieder die ,senkrechte und machen xy gleich der aus dem ,aufri zu entnehmenden ,hhe des ,sockels usf4 ,auf diese ,art erhlt man die ,schnittfigur der ,bildebene mit dem ,krper1 die in ,fig4 #gd durch ,schraffierung am ,rande hervorgehoben ist4 ,illustration3 ,fig4 #gc4 ,um jetzt den ,grundri des ,krpers in das ,bild zu bertragen1 verfahren wir in folgender ,weise3 ,wir fhren eine ,parallelebene zur ,grundriebene ein1 welche aus der ,bildebene die ,parallele ll zum ,horizont ausschneiden mge4 ,in diese neue ,ebene projizieren wir den ,grundri4 ,das kommt darauf hinaus1 da der ,grundri um das ,stck hl in die ,hhe geschoben wird4 ,wir zeichnen nun zunchst das ,bild dieses verschobenen ,grundrisses4 ,der ,grundri besteht aus zwei ,systemen paralleler ,geraden und wir werden die beiden ,fluchtpunkte zu ermitteln haben1 die zu diesen ,parallelen gehren4 ,wir errichten in ,fig4 #gc im ,punkte ,a#a eine ,senkrechte zu h#a;h#a und tragen auf ihr etwa ein ,viertel der ,distanz an1 machen also ,a#a ,o#a_/d #c cm4 ,ziehen wir sodann durch ,o#a_/d eine ,parallele zu #e4f1 so schneidet diese auf dem ,horizont den ,ri des ,teilfluchtpunktes ,fa_/#d aus4 ,demnach erhalten wir in ,fig4 #gd den ,fluchtpunkt ,fa1 indem wir ,a,fa #d ,a#a ,fa_/#d auf dem ,horizont antragen4 ,der ,fluchtpunkt ,fb der anderen ,richtung #f4c1 der weit ber die ,zeichenebene hinausfllt1 mge nach der in #ce errterten ,methode bestimmt werden4 ,wir ziehen durch ,fa irgendeine ,linie1 whlen auf ihr den ,punkt p' beliebig und zeichnen einen neuen ,horizont1 der in fa die ,linie von ,fa nach p' trifft4 ,nun ermitteln wir eine horizontale ,linie1 welche im ,punkte p auf der ,linie ,fap senkrecht steht4 7,aufgabe #i47 ,zunchst zeichnen wir den ,teildistanzpunkt ,d#a_/d1 indem wir aus ,fig4 #gc die ,strecke ,a#a ,o#a_/d entnehmen und ,a ,d#a_/d ,a#a ,o#a_/d antragen4 ,dann mgen die ,verbindungslinien von p' nach ,a und ,d#a_/d den neuen ,horizont in a und d#a_/d treffen4 ,wir errichten gem der frheren ,ableitung in a eine ,senkrechte zum neuen ,horizont und machen dieselbe viermal so lang als die ,strecke a d#a_/d1 so da also ad#d #d a d#a_/d4 ,verbinden wir d#d mit fa1 so schneidet eine ,senkrechte zu dieser ,linie im ,punkte d#d den ,punkt fb aus und die ,verbindungslinie von fb mit p' geht nach dem ,fluchtpunkte ,fb4 ,weitere ,linien nach ,fb knnen wir nach dem dritten in #cf angegebenen ,verfahren ermitteln4 ,zu diesem ,zwecke sind in der ,figur rechts und links zwei ,vertikale gezeichnet4 ,die ,verbindungslinie p'fb schneidet auf diesen die ,punkte #j aus2 die ,abschnitte bis zum ,horizont sind rechts und links je in zwlf gleiche ,teile geteilt2 alle ,linien nach ,fb teilen entsprechende ,abschnitte der beiden ,vertikalen im gleichen ,verhltnis4 ,es braucht wohl kaum bemerkt zu werden1 da die ,nummern auf den beiden ,vertikalen blo dem ,zwecke dienen1 ,linien nach dem ,fluchtpunkt ,fb zu liefern1 und da diese ,nummern ganz unabhngig sind von den brigen ,ziffern der ,figur4 ,die ,konstruktion des ,bildes des verschobenen ,grundrisses kann nun wie folgt erfolgen4 ,die ,punkte #a1 #g1 #ac1 #ad1 #h1 #b auf der ,linie ll ergeben sich sofort1 indem man die entsprechenden ,strecken von h#a;h#a bertrgt4 ,ist also m der ,schnittpunkt der ,achse des ,krpers mit ll1 so ist m#a ,a#aa1 m#g ,a#ag usf4 ,illustration3 ,fig4 #gd4 ,verbinden wir dann die ,punkte #a und #b mit ,fa1 so sind dies zwei ,seiten des ueren ,viereckes4 ,die auf der ,linie von #b nach ,fa gelegenen ,ecken #c und #d bestimmen wir nun etwa durch ,tiefenlinien4 ,wir zeichnen zunchst im ,grundri 7,fig4 #gc7 die ,senkrechte durch #c zu h#a;h#a1 welche in s#a die ,bildtafel trifft4 ,machen wir in ,fig4 #gd ms ,a#as#a1 so ist s die ,spur in der ,parallelebene und ,as das ,bild der ,tiefenlinie4 ,diese ,linie ,as schneidet dann auf der ,linie #b4;,fa den ,punkt #c' aus4 ,ebenso mag man die brigen ,ecken #d'1 #e'1 #f' ermitteln und es nun als ,kontrolle benutzen1 da #d'4e' und #c'4f' durch ,fb gehen mssen4 ,man kann auch die ,spuren der ,geraden1 soweit sie bequem erreichbar sind1 hinzunehmen4 ,um das ,bild des zweiten ,vierecks #i1 #aj1 #aa1 #ab zu zeichnen1 ist im ,grundri die ,spur t#a der ,linie #i4 #ab gezeichnet4 ,machen wir in ,fig4 #gd mt ,a#at#a1 so ist t die ,spur der ,linie #i4 #ab und #i'4 #ab' geht verlngert durch t4 ,endlich knnen wir auch noch die ,eigenschaft verwenden1 da die ,verbindungslinien #e'4c'1 #f'4d'1 #i'4aa'1 #aj'4ab' usf4 alle durch m gehen mssen4 ,ist auf diese ,art das ,bild des verschobenen ,grundrisses oben konstruiert1 so liefern die ,vertikalen durch die ,ecken #c'1 #d'1 #e'1 #f' usf4 je einen ersten ,ort1 auf dem die ,bilder des ,grundrisses selbst gelegen sein mssen4 ,unter ,benutzung der ,schnittfigur mit der ,bildebene ist das ,bild des ,krpers dann aber leicht fertigzustellen4 ,so liefert z4 ,b4 der ,punkt x mit ,fa verbunden die untere1 linke ,kante des ,sockels und die ,senkrechten durch #e' und #f' schneiden auf ihr die betreffenden ,ecken aus4 ,wie wir bei dieser ,aufgabe die ,grundebene nach oben verschoben 7,deckenri71 so kann man unter ,umstnden auch unterhalb der ,grundebene eine ,parallelebene whlen1 in diese den ,grundri projizieren 7sog4 ,kellergrundri7 und dessen ,bild zur ,konstruktion benutzen4 #ad4 ,die ,darstellung des ,kreises4 #ch4 ,der ,kreis in einer zur ,tafel parallelen ,ebene4 ,bis jetzt haben wir uns immer mit der ,abbildung gerader ,linien beschftigt1 wobei uns die ,eigenschaft zustatten kam1 da das ,bild einer geraden ,linie wieder eine ,gerade ist4 ,wir wollen nun auch das ,bild einer krummen ,linie zeichnen1 nmlich das des ,kreises4 ,es ist dann allerdings ntig1 da wir uns von einer ,anzahl von ,punkten1 die auf dem ,kreise angenommen werden1 die ,bilder zeichnen und diese durch einen ,linienzug verbinden4 ,wir wollen mit dem einfachsten ,falle beginnen1 der sich ergibt1 wenn das ,bild des gegebenen ,kreises wieder ein ,kreis ist4 ,illustration3 ,fig4 #ge4 ,der abzubildende ,kreis liege in einer zur ,tafel parallelen ,ebene 7,fig4 #ge74 ,die vom ,auge nach den ,punkten des ,kreises gehenden ,sehstrahlen bilden einen ,kegel1 der die ,tafel nach einer ,figur schneiden mu1 die zu dem gegebenen ,kreise hnlich ist 7,s4 #de72 diese ,schnittfigur ist also selbst wieder ein ,kreis4 ,der ,mittelpunkt des gegebenen ,kreises bildet sich wieder in den ,mittelpunkt des neuen ,kreises ab1 der ,radius des neuen ,kreises wird je nach der ,entfernung des gegebenen ,kreises verschieden verkrzt werden4 ,wir fhren die ,konstruktion durch an folgender ,aufgabe #bb4 ,ein ,punkt m ist gegeben durch sein ,bild m' und durch die ,spur a der durch ihn gehenden ,tiefenlinie ,a 7,fig4 #gf74 ,man zeichne das ,bild des ,kreises1 der um m mit gegebenem ,radius r beschrieben wird und in einer zur ,tafel parallelen ,ebene liegt4 ,illustration3 ,fig4 #gf4 ,auf dem ,bilde ,a' der ,tiefenlinie ,a ist die ,spur a von ,a und das ,bild m' des ,mittelpunktes gegeben4 ,wir denken uns 7,fig4 #ge7 den ,durchmesser np des ,kreises gezogen1 der zum ,horizont parallel luft1 und ziehen durch seine beiden ,endpunkte n und p die ,tiefenlinien ,b und ,c4 ,die ,spuren b und c dieser beiden ,tiefenlinien erhalten wir in ,fig4 #gf ohne weiteres1 wenn wir durch a eine ,parallele zum ,horizont ziehen und auf dieser ,parallelen ab und ac je gleich dem gegebenen ,radius r des ,kreises antragen4 ,verbinden wir b und c mit ,a1 so sind dies die ,bilder ,b' und ,c' der ,tiefenlinien ,b und ,c und sie schneiden auf der ,parallelen durch m' zum ,horizont die ,punkte n' und p' aus4 n'p' ist der ,durchmesser des ,bildes des ,kreises1 das also daraus gezeichnet werden kann4 ,als ,anwendung dieser ,konstruktion geben wir in ,fig4 #gg das ,bild einer ringfrmigen ,platte1 die mit ihrer vorderen ,flche in der ,bildtafel liegt1 m ist der ,mittelpunkt fr die beiden vorderen ,kreise4 ,ziehen wir durch m die ,parallele zum ,horizont und tragen auf ihr eine ,strecke mx ab1 welche gleich der gegebenen ,dicke der ,platte ist1 so liefert x mit ,d#a verbunden auf der ,linie m,a den ,punkt t'1 welcher der ,mittelpunkt fr die beiden rckwrtigen ,kreise ist2 deren ,radien ergeben sich wie in ,fig4 #gf4 ,illustration3 ,fig4 #gg4 #ci4 ,der ,kreis in einer ,horizontalebene4 ,wir gehen nun zu dem ,falle ber1 da der abzubildende ,kreis in einer horizontalen ,ebene gelegen ist1 z4 ,b4 in der ,grundebene4 ,es sei zu behandeln folgende ,aufgabe #bc4 ,ein ,kreis von gegebenem ,radius liegt in der ,grundebene so1 da er die ,grundlinie berhrt4 ,das ,bild des ,kreises zu zeichnen4 ,illustration3 ,fig4 #gh4 ,die ,fig4 #gh zeigt die ,anordnung im ,raume2 in ,fig4 #gi ist der ,kreis in der ,verschiebung gezeichnet4 ,es ist nun vorteilhaft1 sich nicht nur ,punkte des ,bildes zu verschaffen1 sondern auch ,linien1 welche das ,bild berhren1 sogenannte ,berhrungslinien oder ,tangenten4 ,zu diesem ,zwecke umschreiben wir dem ,kreise das ,quadrat 7#a77b77c77d71 dessen ,seiten den ,kreis in den ,punkten 7#e71 7#f71 7#g7 und 7#h7 berhren4 ,das ,bild dieses ,quadrates ist leicht zu zeichnen1 7#a77d7 und 7#b77c7 sind ,tiefenlinien2 ihre ,bilder laufen also nach ,a2 die ,linie 7#b77d7 aber geht im ,bilde nach dem linksseitigen ,distanzpunkte ,d#a 7vgl4 #ad74 ,ferner ist auch 7#f77h7 eine ,tiefenlinie und ihr ,bild schneidet auf der ,linie #b4d' das ,bild m' des ,punktes m aus4 ,die ,linie 7#e77g7 geht in eine ,parallele durch m' ber1 welche auf den ,linien #a4d' und #b4c' die ,punkte #e' und #g' liefert4 ,das ,bild des ,kreises wird in diesem ,falle eine ,ellipse1 welche dem ,vierecke #a #b #c' #d' einbeschrieben ist und dessen ,seiten in den ,punkten #f1 #g'1 #h'1 #e' berhrt4 ,illustration3 ,fig4 #gi4 ,ohne ,beweis sei erwhnt1 da m' nicht der ,mittelpunkt der ,ellipse ist1 da dieser vielmehr in die ,mitte der ,strecke #f4h' fllt4 ,bringt man die ,diagonalen 7#b77d7 und 7#a77c7 des ,quadrates mit dem ,kreise zum ,schnitt1 so erhlt man die ,punkte #i1 #aj1 #aa1 #ab und auch deren ,bilder #i'1 #aj'1 #aa'1 #ab' lassen sich leicht ermitteln1 da 7#i7 und 7#aj7 sowie 7#aa7 und 7#ab7 je auf einer ,tiefenlinie liegen4 ,sich noch weitere ,punkte der ,ellipse aus den ,punkten des ,kreises zu verschaffen ist gar nicht ntig4 ,es wird ntzlich sein1 wenn der ,leser sich auch das ,bild eines ,kreises zeichnet1 der auf der rechten ,seite des ,hauptpunktes gelegen ist4 ,die ,figur ist dann weiter benutzt1 um das ,bild eines ,umdrehungs-,zylinders1 also einer ,walze1 zu zeichnen4 ,ist die ,hhe des ,zylinders durch die ,strecke #f4f99 gegeben1 so schneidet die ,deckflche des ,zylinders die ,bildebene in der ,linie ll1 welche durch #f99 parallel zur ,grundlinie geht4 ,die ,konstruktion des ,bildes des ,deckkreises des ,zylinders erfolgt genau in der gleichen ,weise2 entsprechende ,punkte z4 ,b4 #c' und #c'99 liegen brigens immer auf ,vertikalen1 was viele ,kontrollen liefert4 ,endlich wird das ,bild des ,zylinders vollendet1 indem man auf beiden ,seiten die berhrenden ,vertikalen an beide ,ellipsen zeichnet4 #dj4 ,der ,kreis in einer vertikalen ,tiefenebene4 ,in ganz hnlicher ,weise wie ein horizontaler ,kreis kann auch ein ,kreis abgebildet werden1 der in einer lotrechten ,tiefenebene liegt4 ,wir behandeln diesen ,fall in der folgenden ,aufgabe #bd4 ,in einer lotrechten ,tiefenebene1 die durch ihre ,spur ,s gegeben ist1 liegt ein ,kreis von gegebenem ,radius1 der die ,grundebene und die ,bildtafel berhrt4 ,das ,bild dieses ,kreises zu zeichnen4 ,illustration3 ,fig4 #hj4 ,die ,figur #gh zeigt rckwrts den ,kreis in seiner ,lage gegen ,grundebene und ,bildtafel4 ,wir umschreiben demselben wieder das ,quadrat #a #b #c #d1 von dem die ,seite #a4b in der ,spur ,s der ,ebene1 #a4d in der ,grundebene liegt4 ,um den ,kreis auch in seiner wahren ,gestalt vor uns haben1 denken wir uns seine ,ebene wie eine ,tre nach auen um die ,spur ,s in die ,bildebene hineingedreht1 wie dies der ,pfeil in ,figur #gh andeutet4 ,in dieser ,lage ist der ,kreis1 sowie das umschriebene ,quadrat #a #b 7#c7 7#d7 in ,fig4 #hj gezeichnet4 ,das ,bild des ,kreises ergibt sich dann wie folgt4 ,die ,tiefenlinien #a4d und #b4c haben als ,bilder die ,linien von #a nach ,a und von #b nach ,a4 ,die letzte ,quadratseite #c4d kann ferner durch folgende berlegung gefunden werden4 ,ziehen wir die ,diagonale #a4c1 welche durch den ,mittelpunkt m geht1 so ist diese ,linie unter #de gegen die ,grundebene geneigt4 ,die ,parallele durch ,o zu dieser ,linie schneidet den ,fluchtpunkt derselben aus und derselbe mu nach ,satz #bd auf der ,senkrechten durch ,a liegen und von ,a um die ,distanz abstehen4 ,der ,fluchtpunkt ist also der schon frher gezeichnete ,punkt ,d#d4 ,ganz ebenso ergibt sich als ,fluchtpunkt der anderen ,diagonale #b4d der ,punkt ,d#c1 der in ,fig4 #hj eingezeichnet ist4 ,wenn wir also in ,fig4 #hj die ,linien #a4;,d#d #b4;,d#c ziehen1 so schneiden diese auf den ,bildern #b4;,a und #a4;,a die ,bilder #c' und #d' aus4 ,zur ,probe dient1 da #c'4d' lotrecht sein mu4 ,ferner ist der ,schnittpunkt von #a4;,d#d und #b4;,d#c das ,bild m'4 ,die ,vertikale durch m' liefert auf den ,linien #b4;,a und #a4;,a die ,berhrungspunkte #e' und #g'2 die ,linie #f4;,a mu von selbst durch m' gehen und gibt den ,berhrungspunkt #h'4 ,illustration3 ,fig4 #ha4 ,in dem hier vorliegenden ,falle ist das ,bild des ,kreises wieder eine ,ellipse2 m' ist nicht ihr ,mittelpunkt2 derselbe liegt vielmehr auf der ,linie #f4h' in der ,mitte zwischen #f und #h'4 ,die ,bilder der ,punkte #i1 #aj usw4 lassen sich wie im vorigen ,falle bestimmen4 ,auch die ,tangente im ,punkte #i' an die ,ellipse ist leicht zu zeichnen4 ,da nmlich die ,tangente im ,punkte #i an den ,kreis parallel zur ,linie #a47c7 verluft1 so mu das ,bild dieser ,tangente nach ,d#d fliehen1 also ist die ,linie #i'4;,d#d diese ,tangente4 ,als ,anwendung dieser ,aufgabe geben wir in ,fig4 #ha das ,bild eines ,rundbogens1 der in einer lotrechten ,tiefenebene gelegen ist2 ,s sei die ,spur dieser ,tiefenebene4 ,von dem ,rundbogen ist links oben die ,hlfte in der ,umlegung in die ,tafel gegeben4 ,zur ,konstruktion soll der ,teildistanzpunkt ,d#a_/b verwendet werden4 ,tragen wir die ,hlfte der ,strecke #a7m7 auf der ,horizontalen durch #a nach rechts ab und verbinden den ,endpunkt mit ,d#a_/b1 so erhalten wir 7,aufg4 #d7 auf der ,tiefenlinie #a4;,a das ,bild m'2 in entsprechender ,weise ergeben sich fr die weiteren ,punkte 7#c7 444 die ,bilder4 ,die ,parallele durch 7#b7 schneidet ,s in einem ,punkte1 der mit ,a verbunden die ,berhrungslinie im ,scheitel #b' des ,bogens liefert1 wobei #b' auf der ,vertikalen durch m' gelegen ist4 ,der ganze ,rundbogen ist dann in #g gleiche ,teile geteilt und es sind die ,bilder der ,fugen eingetragen4 ,diese ,fugen laufen alle durch m'4 ,schlielich sei noch erwhnt1 da das ,bild eines ,kreises nicht immer eine ,ellipse zu sein braucht1 sondern auch eine sogenannte ,hyperbel oder eine ,parabel sein kann1 worauf wir aber nicht weiter eingehen knnen4 #ae4 ,einfache ,schattenkonstruktionen4 #da4 ,schatten bei parallelem ,lichte4 ,die undurchsichtigen ,krper haben die ,eigenschaft1 da sie das auf sie fallende ,licht irgendeiner ,lichtquelle nicht durchgehen lassen1 sondern es aufhalten oder verschlucken 7absorbieren71 so da sich hinter dem ,krper ein lichtleerer ,raum1 der ,schatten1 ausbildet4 ,indem wir den ,unterschied von ,licht und ,schatten auch im ,bilde etwa durch ,schraffierung der beschatteten ,teile einigermaen wiedergeben1 erreichen wir eine grere ,naturtreue4 ,illustration3 ,fig4 #hb4 ,was die ,lichtquelle betrifft1 so wollen wir uns vorstellen1 die ,sonne ziehe sich zu einem ,punkte zusammen1 etwa auf ihren ,mittelpunkt1 und stehe auerdem fest am ,himmel4 ,die dann entstehende ,beleuchtung knnen wir durch folgende ,bestimmung ersetzen4 ,wir geben uns eine ,gerade s beliebig im ,raume 7,fig4 #hb7 und nehmen an1 da alle ,lichtstrahlen zu dieser ,geraden s parallel sind4 ,der ganze ,raum ist erfllt von diesen parallelen ,lichtstrahlen4 ,wir nennen dies eine ,beleuchtung durch parallele ,lichtstrahlen4 ,es sei jetzt eine ,stange pq gegeben1 die auf der ,grundebene senkrecht steht 7,fig4 #hb74 ,wie knnen wir den ,schatten ermitteln1 den sie in die ,grundebene wirft8 ,alle auf die ,gerade pq treffenden ,lichtstrahlen werden aufgehalten und bilden fortgesetzt eben den ,schatten der ,geraden pq4 ,wir haben demnach durch die ,punkte der ,geraden pq die parallelen zur ,geraden s zu zeichnen4 ,alle diese ,parallelen liegen aber1 wie man leicht erkennt1 in einer ,ebene und diese ,ebene schneidet aus der ,grundebene den ,schatten der ,geraden pq aus1 der also eine ,gerade ist4 ,offenbar geht dieser ,schatten durch den ,fupunkt q der ,stange4 ,das ,ende des ,schattens aber erhalten wir1 wenn wir durch den ,endpunkt p den ,lichtstrahl legen4 ,trifft dieser in p99 die ,grundebene1 so ist p99 der ,schatten des ,punktes p und qp99 wird der ,schatten der ,geraden pq4 ,im ,gegensatz zu dem ,schatten1 den die ,gerade pq unter ,umstnden auf andere ,krper wirft1 nennen wir den ,schatten qp99 auf der ,grundebene den ,grundschatten4 ,eine zweite1 ebenfalls auf der ,grundebene senkrechte ,gerade rt liefert ganz in der gleichen ,weise den ,grundschatten tr99 und man sieht ohne ,mhe ein1 da tr99 qp994 ,allgemein kann man sagen3 ,satz #bf4 ,parallele ,gerade liefern parallele ,grundschatten auf der ,grundebene4 ,illustration3 ,fig4 #hc4 ,weiter handelt es sich nun darum1 die ,bilder dieser ,schatten zu zeichnen4 ,wir beachten zu diesem ,zwecke1 da die ,lichtstrahlen parallele1 schiefe ,gerade sind1 wie wir sie im #i betrachtet haben4 ,diese parallelen ,geraden haben also einen ,fluchtpunkt1 den wir erhalten1 wenn wir durch das ,auge ,o eine ,parallele zur ,geraden s ziehen und den ,schnittpunkt ,s dieser ,parallelen mit der ,tafel ermitteln4 ,hat der in ,o befindliche ,beschauer die 7punktfrmige7 ,lichtquelle im ,rcken1 so befindet sich der ,fluchtpunkt ,s unterhalb des ,horizonts4 ,fllen wir von ,s aus in der ,bildebene eine ,senkrechte zum ,horizont und nennen ,sh ihren ,fupunkt1 so knnen wir die ,betrachtung von #bg ohne weiteres auch hier anwenden und sehen1 da ,,osh qp99 tr994 ,illustration3 ,fig4 #hd4 ,mit anderen ,worten3 ,satz #bg4 ,der ,punkt ,sh1 die ,projektion des ,fluchtpunktes ,s der parallelen ,lichtstrahlen auf den ,horizont1 ist der ,fluchtpunkt der ,grundschatten4 ,die ,bilder der ,grundschatten fliehen also alle nach ,sh 7,satz #bc74 ,damit erledigt sich nun leicht folgende ,aufgabe #be4 ,eine auf der ,grundebene senkrechte ,gerade pq ist im ,bilde gegeben2 man zeichne ihren ,grundschatten1 wenn das parallele ,licht durch den ,punkt ,s gegeben ist4 ,durch die ,annahme des ,punktes ,s 7,fig4 #hc7 ist die ,beleuchtung vollstndig gegeben1 da damit die ,richtung der ,lichtstrahlen bestimmt wird4 ,fllen wir von ,s ein ,lot zum ,horizont1 so liefert dies den ,fluchtpunkt ,sh der ,grundschatten4 ,ist p'q' das gegebene ,bild 7wir nehmen an1 es wre bereits gefunden71 so gibt die ,verbindungslinie von q' nach ,sh den ,grundschatten4 ,der durch p gehende ,lichtstrahl mu aber einerseits durch p'1 andererseits durch den ,fluchtpunkt ,s gehen2 demnach schneidet die ,verbindungslinie von ,s nach p' auf der ,linie von q' nach ,sh den ,endpunkt q99' des ,grundschattens aus4 ,es ist q'p99' das ,bild des ,grundschattens4 ,die einfache ,regel lautet also3 p99' ist der ,schnittpunkt der ,linien q',sh und p',s4 ,damit ist aber auch die ,aufgabe gelst3 den ,schatten eines beliebigen ,punktes in der ,grundebene zu zeichnen4 ,denn wir brauchen ja nur von dem ,punkte das ,lot auf die ,grundebene zu fllen und dessen ,fupunkt zu ermitteln4 ,dann knnen wir nach der obigen ,aufgabe den ,schatten dieser ,senkrechten ermitteln4 ,wir wenden das an in folgender ,aufgabe #bf4 ,den ,schatten zu zeichnen1 den ein ,obelisk in die ,grundebene wirft4 ,das ,bild des ,obelisken1 der auf der ,grundebene steht1 ist nach dem ,frheren gezeichnet 7,fig4 #hd74 ,um den ,schatten in der ,grundebene zu ermitteln1 geben wir uns den ,punkt ,s und seine ,projektion ,sh4 ,zunchst zeichnen wir von der in der ,tafel liegenden ,kante #a4b des ,sockels nach der oben abgeleiteten ,regel den ,schatten #a4b99'2 ebenso finden wir den ,schatten #d4c99' der ,kante #c4d4 ,die ,verbindungslinie #b99'4c99' ist dann der ,schatten der ,kante #b4c und sie flieht1 wie man leicht erkennt1 nach ,a4 ,nun sind die ,schatten der #d ,kanten des ,obelisken zu zeichnen4 ,die durch #e gehende ,kante verlngern wir bis zu ihrem ,schnittpunkt #f mit der ,grundebene und erhalten in #f4e99' ihren ,schatten4 ,ebenso wird #h4g99' der ,schatten der ,kante #g4h4 ,die ,schatten der beiden anderen ,kanten fallen1 wie die ,konstruktion zeigt1 zwischen diese beiden ,schatten hinein1 so da also #f4e99' und #h4g99' den ,schatten in der ,grundebene begrenzen4 ,zeichnen wir noch den ,schatten #i99' der ,spitze #i1 indem wir die ,senkrechte #i4aj benutzen1 so ist der ,schlagschatten des ,obelisken in der ,grundebene fertiggestellt1 wenn man #i99' mit #e99' und #g99' verbindet4 ,es bildet sich aber auch auf dem ,krper ein ,gegensatz von ,licht und ,schatten aus1 in dem gewisse ,teile des ,krpers in ,schatten gesetzt werden 7,eigenschatten74 ,schneidet die ,linie #f4e99' die ,kante #a4d in #aa1 so geht die ,begrenzung des ,schattens auf dem ,sockel senkrecht in die ,hhe nach #ab4 ,auf der oberen ,flche des ,sockels gibt dann die ,linie von #ac nach #ab die ,grenze des ,schattens und es kann zur ,kontrolle dienen1 da sie als ein ,grundschatten nach ,sh laufen mu4 ,ferner befinden sich die durch die ,kante #ac4e gehende ,flche des ,obelisken und die daran sich schlieende durch #e4i gehende ,deckflche im ,schatten1 was durch ,schraffierung angedeutet ist4 ,endlich mag noch bemerkt werden1 da man den ,punkt ,s auch oberhalb des ,horizonts annehmen kann4 ,dann hat der ,beschauer die ,lichtquelle vor sich und die ,schatten bilden sich im ,bilde nach vorne aus4 #af4 ,knstlerische ,freiheiten4 #db4 ,freiere ,gestaltung des ,bildes4 ,am ,schlusse unserer ,betrachtungen angelangt1 wollen wir uns noch darber klar werden1 was die ,lehre von der ,perspektive uns bietet1 so da wir uns von einer berschtzung dieser ,wissenschaft in gleicher ,weise fernhalten wie von einer ,unterschtzung4 ,die ,aufgabe der ,perspektive haben wir darin erkannt1 da sie uns ein gesetzmig definiertes ,bild eines ,gegenstandes liefern soll1 das uns soweit als mglich den ,gesichtseindruck ersetzt1 den wir von dem ,gegenstand erhalten4 ,tatschlich besteht nun aber das ,betrachten irgendeines ,krpers darin1 da wir seine einzelnen ,teile der ,reihe nach ins ,auge fassen und unseren ,blick von einer ,stelle zur anderen gleiten lassen4 ,was wir dabei zunchst beurteilen und abschtzen1 sind die ,gesichtswinkel1 welche die ,blicklinien nach den einzelnen ,punkten des ,krpers miteinander einschlieen4 ,aus allen diesen ,beobachtungen und ,eindrcken setzen wir dann das ,bild des ,krpers im ,auge zusammen4 ,da nun aber ,winkel durch ,kreisbgen gemessen werden1 so gelangen wir naturgem dazu1 um das ,auge ,o eine ,kugel mit einem beliebigen ,radius zu beschreiben und die nach den einzelnen ,punkten des ,objektes gehenden ,blicklinien mit dieser ,kugel zum ,schnitt zu bringen4 ,das heit dann aber nichts anderes1 als da wir das ,objekt aus dem ,mittelpunkt auf die ,kugelflche projizieren4 ,ein solches auf der ,innenseite einer ,kugelflche gelegenes ,bild1 das aus dem ,mittelpunkt der ,kugel betrachtet wird1 gengt allen ,ansprchen4 ,es kann fr beliebig groe ,teile des ,raumes hergestellt werden3 ein ,panorama knnte z4 ,b4 in dieser ,weise eingerichtet sein4 ,die geraden ,linien des ,raumes gehen in grte ,kreise auf der ,kugel ber4 ,in den allermeisten ,fllen aber verlangen wir aus ,bequemlichkeitsgrnden1 da die ,abbildung des ,gegenstandes auf einer ebenen ,flche erfolgt2 wir wollen das ,bild in einem ,buche1 in einer ,mappe oder an der ,wand haben und deswegen ist das auf einer ,kugel gelegene ,bild fr gewhnlich nicht zu gebrauchen4 ,dann liegt es aber nahe1 die ,kugelflche durch eine ,ebene zu ersetzen in der ,weise1 da wir eine ,ebene einfhren1 welche im ,punkte a der ,kugel auf dem ,radius oa senkrecht steht 7,fig4 #he74 ,man nennt diese ,ebene eine ,berhrungsebene oder ,tangentialebene der ,kugel4 ,statt auf die ,kugel projizieren wir nun die ,gegenstnde auf diese ,ebene und sind damit zu der ,abbildung gelangt1 wie sie die ,perspektive liefert4 ,in der ,nachbarschaft des ,punktes a schmiegt sich die ,berhrungsebene der ,kugel an und beide ,abbildungen1 die auf der ,kugel und die auf der ,ebene1 stimmen so ziemlich berein4 ,je grer aber der ,ausschnitt des ,raumes wird1 den wir abbilden1 um so strker weichen die beiden ,abbildungen voneinander ab4 ,illustration3 ,fig4 #he4 ,es ist aber wohl zu beachten1 da die ,blickrichtung bei ,betrachtung des ebenen ,bildes immer mit ,oa zusammenfallen mu4 ,drehen wir den ,kopf seitwrts1 so da wir z4 ,b4 in der ,richtung ,ob sehen1 so mssen wir uns die in b berhrende ,ebene als ,tafel eingefhrt denken4 ,man knnte nun auf den ,gedanken kommen1 die ,bilder1 wie sie den ,blickrichtungen oa1 ob1 oc 444 und den in diesen ,punkten konstruierten ,berhrungsebenen entsprechen1 einfach zu einem ,gesamtbild zu vereinigen4 ,aber auch dieser ,versuch wrde auf groe ,schwierigkeiten stoen4 ,nehmen wir etwa an1 es wre eine ,reihe gleichgroer vertikaler ,pfeiler 7,i1 ,,ii1 ,,iii 4447 wie in ,fig4 #cf1 #cg darzustellen4 ,dann wre das ,bild des mittleren ,pfeilers ,,iii am grten und nach beiden ,seiten zu wrden die ,bilder kleiner werden4 ,die ,verbindungslinien der oberen und der unteren ,endpunkte wren keine ,geraden mehr1 sondern krumme ,linien1 die obere wrde sich nach unten1 die untere nach oben krmmen4 ,wir mten also dann den ,grundsatz opfern1 da gerade ,linien sich wieder in gerade ,linien abbilden und damit wrde die ,herstellung solcher ,bilder ungemein erschwert4 ,das schliet nun aber nicht aus1 da gewisse ,einzelheiten in einem perspektivischen ,bilde1 namentlich gegen den ,rand zu1 nicht so gezeichnet werden drfen1 wie es mehr der direkten ,blickrichtung entspricht4 ,namentlich fr menschliche ,figuren ergeben sich unangenehm wirkende ,verzerrungen1 indem die ,kpfe und ,krper zu breit werden und zu allen ,zeiten haben sich die ,knstler dann einer freieren ,darstellung bedient4 ,eine ,reihe gleichgroer ,sulen1 die parallel zur ,bildebene angeordnet sind1 werden im ,bilde gleichgro wiedergegeben1 whrend die ueren breiter sein mten1 eine ,kugel1 die seitwrts im ,bilde zu sehen ist1 wird durch einen ,kreis wiedergegeben und nicht durch eine ,ellipse4 ,in ,raffaels ,schule von ,athen 7,abb4 #h1 ,seite #ga7 sind1 um ein ,beispiel zu geben1 rechts bei der ,gruppe der ,astronomen zwei ,kugeln dargestellt3 die obere wird durch eine ,ellipse1 die untere wohl durch einen ,kreis wiedergegeben4 ,diese und hnliche ,milderungen der perspektivischen ,schablone kann man ruhig dem ,geschmack des ,knstlers berlassen4 ,wenn er sich nur ber die ,hauptgesetze der ,linienfhrung im klaren ist1 wird er auch die eine oder andere ,abweichung als zweckdienlich erkennen4 ,denn die perspektivische ,zeichnung ist nicht ,selbstzweck1 sondern nur ein ,mittel zum ,zweck4 ,es wird aber auch hier das ,wort gelten3 ,und das ,gesetz nur kann uns ,freiheit geben4 ,literaturverzeichnis4 ,schlotke1 ,j41 ,lehrbuch der darstellenden ,geometrie4 ,,iii4 ,teil4 ,perspektive4 #b4 ,aufl4 ,dresden #aijb4 ,mathematisch durchgefhrter ,lehrgang1 in elementarer ,weise gut und anschaulich begrndet4 ,kleiber1 ,m41 ,angewandte ,perspektive4 #e4 ,aufl4 ,webers illustrierte ,katechismen4 ,nr4 #acg4 ,leipzig #aiab4 ,gute1 praktische und durch viele ,beispiele erluterte ,darstellung4 ,hauck1 ,g41 ,malerische ,perspektive und ,schattenkonstruktionen4 ,berlin #aiaj4 ,niemann1 ,g41 ,handbuch der ,linear-,perspektive fr bildende ,knstler4 #b4 ,aufl4 ,stuttgart #aijb4 ,meisel1 ,f41 ,lehrbuch der ,perspektive4 ,leipzig #aijh4 ,dalwigk1 v4 ,f41 ,vorlesungen ber darstellende ,geometrie4 #b4 ,bd4 ,perspektive4 ,leipzig u4 ,berlin #aiad4 ,rohn u4 ,papperitz1 ,lehrbuch der darstellenden ,geometrie4 #c ,bnde4 ,die ,perspektive enthlt der #b4 ,bd4 ,leipzig #aijf4 ,sachregister4 7,die beigefgten ,zahlen geben die betreffende ,seite des ,buches an47 ,achse1 optische eines ,objektives #fd hnliche ,figuren #de1 #gh hnlichkeitspunkt #gh ,apparat1 photographischer #fd ,aufri #aj ,aufsicht #ej ,auge #d1 #af ,augpunkt #af ,augenhhe #be ,beleuchtung durch paralleles ,licht #if ,bildebene #d ,bild1 perspektivisches #c ff4 --1 photographisches #fd1 #gd -- eines ,punktes #d ,breitenmastab #ej ,brennweite eines ,objektives #fe ,deckenri #ij ,diagonale eines ,quadrates #bf ,diagonalpunkt #eg ,distanz #af ,distanzpunkt #be ,eigenschatten #ii ,einstellung auf ,unendlich #fe ,ellipse als ,bild eines ,kreises #ic1 #ie ,fallende ,linien im ,bilde #dj -- -- im ,raum #ei1 #fj ,flucht1 ,fluchtpunkt einer ,geraden #bj ,fluchtpunkt-,lineal #hf ,freiheiten1 knstlerische #ii ,gerade ,ansicht #eh ,gerader ,ri #g ,gesichtswinkel #df ,gesamteindruck #fi ,grundebene #bd ,grundlinie #bd ,grundri #aj ,grundschatten #ig ,hauptpunkt #af ,hhenmastab #dc1 #dd1 #ej ,horizont #ah ,horizontale ,gerade #ci ,horizontebene #af1 #ah ,horizontalprojektion #aj ,hyperbel als ,bild eines ,kreises #ie ,innenraum #ej1 #gc ,interieur #ej1 #gc ,kante #aa ,kellergrundri #ij ,kreis in der ,grundebene #ib -- in einer ,horizontalebene #ib -- -- -- zur ,tafel parallelen ,ebene #ij -- -- -- ,tiefenebene #ic ,linearperspektive #e ,linienperspektive #e ,mittelpunkt eines ,objektives #fd -- einer ,ellipse #ic1 #ie ,orthogonaler ,ri #g ,optische ,achse eines ,objektives #fd ,parabel als ,bild eines ,kreises #ie ,parallelprojektion #ac ,perspektive #e ,perspektograph #ai ,perspektivisches ,bild #c ff4 ,projektion #g ,projektionsstrahlen #d ,projektionszentrum #af ,projizierende ,strahlen #d ,reduktion #eb ,ri1 gerader1 rechtwinkliger #g --1 zentraler #d ,satz vom ,fluchtpunkt #bb ,schiefe ,gerade im ,raum #ei ,schlagschatten #ii ,schnittmethode #ac ,schrgbilder #ac ,schrge ,ansicht #eh ,sehstrahlen #d ,seitenansicht #ea ,spur einer ,geraden #bj ,steigende ,linien im ,bilde #dj -- -- -- ,raum #ei1 #fj ,strzende ,linien #ff ,tafel #d ,tiefenebene #da ,tiefenlinie #be ,tiefenmastab #cc1 #ej bereckstellung #eh ,umgelegtes ,auge #cd1 #cg ,umlegung des ,auges #cd -- der ,grundebene #cg -- -- ,horizontebene #ce1 #cg ,untersicht #ea ,unzugnglicher ,distanzpunkt #ge -- ,fluchtpunkt #gg ff4 ,verjngung #eb ,verschiebung der ,grundebene #bg ,verschwindungspunkt einer ,geraden #bj ,vertikalprojektion #aj ,vogelperspektive #fh ,weitwinkel #gd ,zentralprojektion #d ,zusammenlegen der ,tafeln #aa ,geschichte der bildenden ,knste ,eine ,einfhrung von ,dr4 ,ernst ,cohn-,wiener4 ,geb4 ca4 ,m4 #d4-- ,das ,buch will kein historisch geordnetes ,nachschlagebuch sein1 sondern mglichst viel vom ,wesen der ,kunst und des ,kunstwerkes geben4 ,es sucht neben dem bloen ,wissen die ,freude am ,kunstwerk zu vermitteln1 erkennen zu lassen1 da hinter dem ,werk der ,knstler als schpferische ,persnlichkeit steht4 ,seine ,aufgabe1 der ,selbstbelehrung und als ,lehrbuch zu dienen1 sucht es nicht zu lsen1 indem es durch oberflchliche ,behandlung eines verwirrenden ,vielerei mitzureden befhigt1 sondern durch eingehende1 ,bildhaftigkeit und ,anschaulichkeit anstrebende ,besprechung der behandelten ,kunstwerke sucht es dem ,leser den inneren ,gehalt der ,kunstepochen so vor ,augen zu stellen1 da er auch die ,werke1 die das ,bchlein selbst nicht erwhnen kann1 zu verstehen vermag4 ,eine reiche ,zahl von ,abbildungen -- darunter auch farbige -- dient der ,anschaulichkeit4 ,die neueste ,zeit ist besonders eingehend behandelt worden1 weil hier das ,bedrfnis am unmittelbarsten ist4 ,elementargesetze der bildenden ,kunst ,grundlagen einer praktischen sthetik von ,prof4 ,dr4 ,hans ,cornelius4 #b4 ,auflage4 ,mit #bde ,abb4 und #ac ,tafeln4 ,geh4 ,m4 #g4--1 geb4 ,m4 #h4-- ,es gibt kein ,buch1 in dem die elementarsten ,gesetze knstlerischer ,raumgestaltung so klar und anschaulich dargelegt1 so berzeugend abgeleitet wren4 ,wir haben hier zum ersten ,male eine zusammenfassende1 an zahlreichen einfachen ,beispielen erluterte ,darstellung der wesentlichsten ,bedingungen1 von denen namentlich die plastische ,gestaltung in ,architektur1 ,plastik und ,kunstgewerbe abhngt4 7,zeitschrift fr sthetik47 ,die bildenden ,knste ,ihre ,eigenart und ihr ,zusammenhang4 ,vorlesung von ,professor ,dr4 ,karl ,doehlemann4 ,geheftet ,m4 --4#hj ,eine tiefgrndige ,besprechung der bildenden ,knste -- ,malerei1 ,plastik und ,architektur umfassend -- in durchweg anregender ,form4 ,die ,fachwelt wie die gebildeten ,stnde werden die ,schrift mit hoher ,befriedigung aufnehmen4 7,wiener ,bauindustrie-,ztg47 ,unser ,verhltnis zu den bildenden ,knsten ,von ,prof4 ,dr4 ,august ,schmarsow4 ,geh4 ,m4 #b4--1 geb4 ,m4 #b4fj ,diese ,vortrge bilden den wertvollsten ,beitrag zur ,literatur ber die ,kunsterziehungsfrage4 ,schmarsow entwickelt seine ,anschauung ber das ,verhltnis der ,knste zueinander1 um zu zeigen1 wie jede einzelne einer besonderen ,seite der menschlichen ,organisation entspreche1 wie darum auch alle ,knste eng miteinander verknpft sind1 da alle von einem ,organismus ausstrahlen4 7,deutsche ,literaturzeitung47 ,psychologie der ,kunst ,darstellung ihrer ,grundzge4 ,von ,dr4 ,r4 ,mller-,freienfels4 #b ,bde4 ,i3 ,die ,psychologie d4 ,kunstgenieens u4 d4 ,kunstschaffens4 ,,ii3 ,die ,formen d4 ,kunstwerks u4 d4 ,psychol4 d4 ,bewertung4 ,je ,m4 #d4dj1 in #a ,bd4 ,m4 #aj4-- ,was diesem ,werke ,beachtung und ,anerkennung erworben hat1 ist zum ,teil der ,umstand1 da es zu den sehr seltenen wissenschaftlichen deutschen ,bchern gehrt1 die auch einen sthetischen ,wert besitzen1 aus denen eine ,persnlichkeit spricht1 die ber eine gute ,beherrschung des gesamten psychologischen und sthetischen ,stoffes und ber eine ungewhnliche ,gabe der ,synthese verfgt4 7,zeitschrift fr sthetik47 ,die ,natur in der ,kunst ,stud4 eines ,naturforschers z4 ,geschichte d4 ,malerei4 ,von ,prof4 ,dr4 ,f4 ,rosen4 ,m4 #abj ,abb4 nach ,zeichn4 von ,e4 ,s u4 ,photographien d4 ,verf4 ,geb4 ,m4 #ab4-- 444 ,botanik und ,kunstgeschichte -- zwei ,disziplinen1 die einander fremd gegenberzustehen scheinen6 ,und doch1 wieviel neuen ,stoff ergibt dieses doppelte ,studium4 ,mit wachsendem ,interesse folgen wir dem ,fhrer und wandeln mit ihm von ,stufe zu ,stufe empor4 ,zum ,genu des anregenden ,buches tragen auch die vielen ,abbildungen bei4 7,kunstchronik47 ,verlag von ,b4 ,g4 ,teubner in ,leipzig und ,berlin ,mathematik und ,malerei4 ,von ,oberlehrer ,dr4 ,g4 ,wolff4 ,mit #be ,abb4 und #ai ,fig4 im ,text4 ,kart4 ca4 ,m4 #a4fj ,die nahen historischen ,beziehungen zwischen ,malerei und mathematischer ,perspektive werden dazu benutzt1 um aus formaler ,darstellung eines ,bildes dessen knstlerischen ,wert zu beurteilen4 ,der #a4 ,teil entwickelt im engsten ,anschlu an die ,malerei die ,grundlagen der malerischen ,perspektive4 ,der #b4 ,teil analysiert mit den so gewonnenen ,mitteln einzelne perspektivisch besonders lehrreiche ,bilder4 ,die altdeutschen ,maler in ,sddeutschland4 ,von ,helene ,nemitz4 ,mit ,bilderanhang ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,das ,bndchen sucht das ,verstndnis fr die ,eigenart und ,gre der altdeutschen ,malerei des #ae4 ,jahrhunderts und so den ,sinn fr die in ihren ,werken sich offenbarende echt deutsche ,schnheit zu wecken4 ,es zeigt1 wie das kraftvolle1 tiefinnerliche ,gefhlsleben jener ,zeit kaum irgendwo eine knstlerisch reinere ,ausprgung und ,verklrung gefunden hat als in den ,bildern der ,meister ,sddeutschlands4 ,albrecht ,drer4 ,v4 ,dr4 ,r4 ,wustmann4 ,m4 ,titelbild u4 #cb ,abb4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,eine schlichte und knappe ,erzhlung des gewaltigen menschlichen und knstlerischen ,entwicklungsganges ,drers und eine ,darstellung seiner ,kunst1 in der nacheinander ,selbst- und ,angehrigenbildnisse1 die ,zeichnungen zur ,apokalypse1 die ,darstellungen von ,mann und ,weib1 das ,marienleben1 die ,stiftungsgemlde1 die ,radierungen v4 ,rittertum1 ,trauer und ,heiligkeit sowie die wichtigsten ,werke aus der ,zeit der ,reife behandelt werden4 ,niederlndische ,malerei im #ag4 ,jahrhundert4 ,von ,dr4 ,h4 ,jantzen4 ,mit #cg ,abb4 ,geh4 ,m4 #a4--1 in ,lw4 geb4 ,m4 #a4be ,gibt eine ,einfhrung in das ,verstndnis dieser ,bltezeit der ,malerei1 indem es die zahlreichen1 dort in immer neuen ,stoffgebieten3 ,historienmalerei1 ,portrt1 ,gruppenbild1 ,sittenbild1 ,interieur1 ,landschaft1 ,seestck1 ,kirchenstck1 ,stilleben auftauchenden malerischen ,probleme sowie ihre gesetzmigen ,zusammenhnge darlegt und die einzelnen hervortretenden ,knstlerpersnlichkeiten und -gruppen kurz und treffend charakterisiert4 ,rembrandt4 ,v4 ,prof4 ,dr4 ,p4 ,schubring4 ,mit #a ,titelb4 u4 #bai ,abb4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,eine lebensvolle ,schilderung des menschlichen u4 knstl4 ,entwicklungsganges ,r's4 ,zur ,darstellung gelangen seine persnl4 ,schicksale bis #afdb1 die ,frhzeit1 die ,zeit bis zu ,saskias ,tode1 die ,nachtwache1 sein ,verhltnis zur ,bibel1 die ,radierungen1 ,urkundliches ber die ,zeit nach #afdb1 die ,periode des farbigen ,helldunkels1 die ,gemlde nach der ,nachtwache und die ,sptzeit4 ,beigefgt sind die beiden ltesten ,biographien ,rembrandts4 ,die deutsche ,malerei im #ai4 ,jahrhundert4 ,von ,prof4 ,dr4 ,r4 ,hamann4 #a ,bd4 ,text1 #a ,bd4 ,abb4 ,geh4 je ,m4 #b4--1 in ,lw4 geb4 je ,m4 #b4ej1 in ,halbperg4 geb4 ,m4 #f4-- ,h4 hat eine ausgezeichnete ,darstellung des ,entwicklungsganges der ,malerei im letzten ,jahrhundert gegeben4 ,meines ,wissens gibt es in der ganzen modernen ,kunstgeschichtschreibung keine annhernd so vortreffliche ,darstellung des ,wesens der ,malerei seit #ahfj bis zum ,einbruch des ,naturalismus1 als sie ,h4 im #f4 ,kap4 seines ,werkes gibt4 ,es ist ein ,genu1 sich der meisterhaften ,behandlung dieser ,epoche ruhig hinzugeben4 7,preu4 ,jahrb47 ,der ,impressionismus4 ,v4 ,prof4 ,b4 ,lazar4 ,mit #a farb4 ,tafel u4 #cb ,abb4 auf ,tafeln4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,betrachtet ,werden und ,wesen des ,impressionismus bis in die jngste ,zeit1 mit besonderer ,betonung der geschichtlichen ,entwicklung u4 mit ,charakterisierung aller groen impressionistischen ,maler der ,neuzeit4 ,die knstlerische ,photographie4 ,entwicklung1 ,probleme1 ,bedeutung4 ,v4 ,dr4 ,w4 ,warstat4 ,m4 ,bilderanh4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,deutsche ,kunsterziehung4 ,im ,auftrage des ,deutschen ,landesausschusses fr den ,,iii4 ,internat4 ,kongre zur ,frderung des ,zeichen- und ,kunstunterrichts verffentl4 ,mit ,schlerzeichn4 aus ,preuen1 ,bayern1 ,sachsen u4 ,hamburg auf #af ,taf4 ,ausstattung des ,buches v4 ,prof4 ,p4 ,behrens4 ,geh4 ,m4 #b4-- ,inhalt3 ,l4 ,pallat3 ,zeichenunterricht4 ,g4 ,kerschensteiner3 ,die ,entwicklg4 d4 zeichner4 ,begabung4 ,p4 ,jessen3 ,handarbeit u4 ,kunst4 ,g4 ,pauli3 ,das deutsche ,bilderbuch4 ,p4 ,hermann3 ,das ,wandbild in der ,schule4 ,c4 ,gtze3 ,junge ,krfte4 ,a4 ,lichtwark3 ,die ,entwicklung der deutschen ,kunstmuseen4 ,die ,erziehung d4 ,anschauung4 ,von ,prof4 ,h4 ,e4 ,timerding4 ,mit #afd ,fig4 ,geh4 ,m4 #d4hj1 in ,leinw4 geb4 ,m4 #e4fj ,wandtafel und ,kreide im ,elementarunterricht4 ,gedchtniszeichn4 m4 erlut4 ,text von ,lehrer ,othmer4 #be bunte ,taf4 mit ,erluterungsheft4 ,in ,mappe ,m4 #f4ej ,die ,technik des ,tafelzeichnens4 ,von ,dr4 ,ernst ,weber4 #c4 ,aufl4 #dj teils farb4 in ,kreidetechnik gezeichn4 ,taf4 nebst #a ,erluterungsheft m4 #f ,illustr4 ,in ,mappe ,m4 #f4-- ,das darstellende u4 schmckende ,zeichnen in der ,volksschule auf der ,grundlage der ,arbeitsidee4 ,eine ,lehrplanskizze von ,lehrer ,p4 ,wendler4 ,mit #i ,taf4 7#a farb47 und #d ,abbildungen4 ,geh4 ,m4 #b4-- ,technisches ,zeichnen4 ,von ,prof4 ,horstmann1 ,regierungs- u4 ,gewerbeschulrat ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,lebendiges ,papier4 ,erfindgn4 u4 ,entdeckung4 ein4 ,knaben4 ,der eig4 ,jugenderinner4 nacherz4 v4 ,dr4 ,e4 ,weber4 ,mit #bd ,taf4 ,m4 #b4ej ,bau und ,leben der bildenden ,kunst4 ,von ,dr4 ,theodor ,volbehr4 ,mit #dd ,abb4 ,geh4 ,m4 #a4--1 in ,leinw4 geb4 ,m4 #a4be ,im ,gegensatz zu den ,kompendien und ,leitfaden alten ,stils1 die1 die ,stile nach ihren ueren ,merkmalen klassifizieren1 sucht der ,verfasser von einem neuen ,standpunkte aus in das ,verstndnis des ,wesens der bildenden ,kunst hineinzufhren4 ,in durchaus allgemeinverstndlicher ,darstellung fhrt uns das ,buch in das ,verstndnis der ,knstlerpersnlichkeit als des fr die ,kunst entscheidenden ,faktors ein4 ,die ,entwicklung eigener ,ansichten verleiht dem feinsinnigen ,buche hohen ,reiz1 so da es auch der ,knstler u4 der ,kunstgelehrte nicht ohne ,anteilnahme lesen wird4 7,zeitschrift f4 d4 gewerbl4 ,unterricht47 ,die ,entwicklungsgeschichte der ,stile in der bildenden ,kunst4 ,von ,dr4 ,ernst ,cohn-,wiener ,bd4 ,i3 ,vom ,altertum bis zur ,gotik4 ,mit #eg ,abb4 ,bd4 ,,ii3 ,von der ,renaissance bis zur ,gegenwart4 ,mit #ca ,abb4 ,geh4 je ,m4 #a4--1 in ,lw4 geb4 je ,m4 #a4be 444 ,ein feinsinniges1 in hohem ,grade anregendes ,werk von ersichtlich starker ,selbstndigkeit seines geistigen ,gehaltes4 ,wir empfehlen ,cohns ,darlegungen mit ihrem klaren1 angenehmen ,flu d4 ,darstellung der nachdenklichen ,kenntnisnahme4 7,st4 ,galler ,bl47 ,zur ,architektur u4 ,plastik des frheren ,mittelalters4 ,untersuchungen v4 ,dr4 ,g4 ,weise4 ,m4 ,abb4 ,u4 d4 ,pr4 ,die hier vereinigten ,einzeluntersuchungen wollen als ,vorarbeiten zu einer umfassenden ,geschichte der ,architektur und ,plastik des frheren ,mittelalters neue ,ergebnisse fr die wichtigste ,voraussetzung zur ,erkenntnis ihres ,entwicklungsganges durch eine mglichst genaue ,datierung der erhaltenen ,werke gewinnen und so fr die karolingische und merowingische ,zeit eine ,vermehrung dieses ,materials liefern4 ,in drei ,aufstzen sind die ,ergebnisse der von dem ,verfasser in jngster ,zeit an verschiedenen karolingischen ,denkmlern durchgefhrten ,grabungen niedergelegt4 ,eine ,reihe kleinerer ,aufstze bringen den ,versuch1 das heute der ,forschung zugngliche ,material an karolingischen ,denkmlern durch ,rekonstruktion einzelner verschwundener ,bauten auf ,grund der ,quellennachrichten zu bereichern4 ,michelangelo4 ,eine ,einfhrung in das ,verstndnis seiner ,werke4 ,von ,prof4 ,ed4 ,hildebrand4 ,mit #a ,titelbild u4 #dc ,abb4 i4 ,text4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,dies ,buch drfte zu den besten populren ,werken ber ,m4 gehren4 ,in berzeugenden1 klaren ,worten behandelt der ,verfasser das bermenschliche ,werk dieses groen ,meisters1 sein ,leben und sein ,wirken4 ,bcher wie diese sind dazu geschaffen1 tieferes ,interesse an der ,kunst zu erzeugen1 zur ,veredelung d4 ,masse im besten ,sinne beizutragen4 7,der ,architekt47 ,deutsche ,baukunst4 ,von ,geh4 ,reg4-,rat ,prof4 ,dr4 ,ad4 ,matthaei4 #c ,bnde4 ,bd ,i3 ,deutsche ,baukunst im ,mittelalter4 #c4 ,aufl4 ,mit #bi ,abb4 ,bd4 ,,ii3 ,deutsche ,baukunst seit dem ,mittelalter bis zum ,ausgang des #ah4 ,jahrhunderts4 ,mit #fb ,abb4 und #c ,tafeln4 ,bd4 ,,iii3 ,deutsche ,baukunst im #ai4 ,jahrhundert und in der ,gegenwart4 ,mit #ce ,abb4 ,geh4 je ,m4 #a4--1 geb4 je ,m4 #a4be1 in #a ,bd4 geb4 ,m4 #c4ge 444 ,in bndiger1 beraus verstndlicher ,sprache entrollt der ,verfasser die ,entwicklungsgeschichte der deutschen ,baukunst4 ,das ,buch ist so recht geeignet1 das zu erfllen1 was der ,verfasser am ,schlusse des ,buches als ,zweck desselben ausspricht3 ,den ,laien ,klarheit schaffen ber die ,fragen der ,baukunst und die ,knstler auf jene ,zeit hinweisen1 in der die ,baukunst der ,ausdruck deutschen ,wesens war1 und in denen noch manche entwicklungsfhigen ,keime ruhen drften4 7,kunst und ,handwerk47 ,die ,entwicklungsphasen der neueren ,baukunst4 ,von ,dr4 ,paul ,frankl4 ,mit #ej ,abb4 im ,text u4 #bd ,abb4 auf ,tafeln4 ,geh4 ,m4 #f4--1 geb4 ,m4 #g4ej ,inhalt3 ,problem u4 ,methode4 ,die ,entwicklungsphasen der ,raumform -- der ,krperform -- der ,bildform -- der ,zweckgesinnung4 ,das ,unterscheidende und das ,gemeinsame der vier ,phasen4 ,das ,problem1 die ,architekturstile seit der ,renaissance streng zu definieren1 wird hier von neuem aufgenommen4 ,die ,methode ist die1 da die vier ,elemente der ,architektur1 ,raumform1 ,krperform1 ,bildform und ,zweckgesinnung1 fr sich untersucht werden und die ,stilmerkmale1 die fr jede der ,stilphasen1 ,renaissance1 ,barock1 ,rokoko und ,klassizismus1 als die entscheidenden gelten sollen1 auf die allgemeinste ,formulierung gebracht werden4 ,der gemeinsame ,grundzug der ganzen ,periode ist die ,beziehung zur ,antike zunchst und daraus folgend zu einem die ,kunst verwissenschaftlichenden ,begriff von ,richtigkeit1 der zuletzt sich ausweitet zu einem ,nebeneinander und ,nacheinander anerkannter ,stilrichtigkeiten im #ai4 ,jahrhundert4 ,die ,begrndung der modernen sthetik und ,kunstwissenschaft durch ,leon ,battista ,alberti4 ,eine kritische ,darstellung als ,beitrag zur ,grundlegung der ,kunstwissenschaft4 ,von ,dr4 ,w4 ,flemming4 ,unter der ,presse4 ,mu ,galilei der ,begrnder der modernen ,naturwissenschaft genannt werden1 so darf sein etwas lterer ,zeitgenosse ,l4 ,b4 ,alberti der ,vater der modernen ,kunstwissenschaft heien4 ,bedeutungsvoller noch als seine ,einzelergebnisse ist seine ,methode4 ,diese herauszuarbeiten1 ihre ,fruchtbarkeit zu erweisen und also den ,weg des ,florentiners weiterzuschreiten1 ist das ,ziel dieser ,darstellung4 ,planimetrie zum ,selbstunterricht4 ,von ,prof4 ,p4 ,crantz4 ,mit #ii ,fig4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,macht1 ohne auf wissenschaftliche ,strenge zu verzichten1 in einfacher und allgemein verstndlicher ,darstellung1 die durch historische ,bemerkungen belebt wird1 mit den ,grundlehren der ebenen ,geometrie vertraut1 wobei besonders der ,zusammenhang der einzelnen ,stze und ihr ,nutzen durch ,angabe praktischer ,anwendungen hervorgehoben wird und reichliche bungsaufgaben nebst ,lsungen beigegeben sind4 ,arithmetik und ,algebra zum ,selbstunterricht4 ,v4 ,prof4 ,p4 ,crantz4 #b ,bde4 ,i4 ,teil3 ,die ,rechnungsarten4 ,gleichungen ersten ,grades mit einer u4 mehreren ,unbekannten4 ,gleichungen zweiten ,grades4 ,mit #i ,fig4 #c4 ,aufl4 ,,ii4 ,teil3 ,gleichungen4 ,arithmetische u4 geometrische ,reihen4 ,zinseszins- u4 ,rentenrechnung4 ,komplexe ,zahlen4 ,binomischer ,lehrsatz4 ,mit #ba ,fig4 #b4 ,aufl4 ,jeder ,bd4 geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be 444 ,will in leicht falicher u4 fr das ,selbststudium geeigneter ,darstellg4 ber d4 ,anfangsgrnde der ,arithmetik u4 ,algebra unterrichten4 ,ebene ,trigonometrie z4 ,selbstunterricht4 ,von ,prof4 ,p4 ,crantz4 ,mit #ej ,fig4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,will wie die andern in der ,sammlung ,aus ,natur und ,geisteswelt erschienenen ,bndchen ber ,arithmetik und ,algebra und die ,planimetrie in leicht verstndlicher ,weise mit den ,grundlehren der ,trigonometrie bekannt machen4 ,vollstndig gelste ,aufgaben und praktische ,anwendungen sind zur ,erluterung eingefgt4 ,analytische ,geometrie zum ,selbstunterricht4 ,v4 ,prof4 ,p4 ,crantz4 ,mit #ee ,fig4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,die fr den ,selbstunterricht bestimmte leicht verstndliche ,darstellung fhrt namentlich durch ,beigabe zahlreicher ausfhrlich gelster ,aufgaben rasch zu vlliger ,beherrschung des ,stoffes4 ,einfhrung in die projektive ,geometrie4 ,von ,prof4 ,dr4 ,m4 ,zacharias4 ,mit #ah ,fig4 ,kart4 ,m4 --4#hj ,der ,leser bekommt ein klares ,bild von der ,entstehung der projektiven ,geometrie1 er kann verfolgen1 wie sie sich allmhlich zur ,geometrie der ,lage entwickelt hat4 ,mhelos lernt er eine ,reihe der wichtigsten ,lehrstze in diesem ,gebiete kennen und sieht1 welche ,aufgaben mit ,hilfe dieser ,stze gelst werden knnen4 ,gute1 in den ,text eingereihte ,figuren untersttzen im hohen ,mae das ,verstndnis der theoretischen ,ausfhrungen4 ,wir knnen die ,schrift bestens empfehlen4 7,wochenschr4 f4 d4 ffentl4 ,baudienst47 ,konstruktionen in begrenzter ,ebene4 ,von ,direktor ,p4 ,zhlke4 ,mit #fe ,fig4 ,kart4 ,m4 --4#hj ,selbst erfahrene ,fachmnner auf diesem ,gebiete werden gewi ,neues finden1 so die ,hinweise auf die ltesten1 bei den ,aufgaben in ,frage kommenden ,fachschriften und einige ,konstruktionen1 die berhaupt noch nicht verffentlicht worden sind 444 ,druck und ,ausstattung sind tadellos4 ,es kann ,interessenten wrmstens empfohlen werden4 7sterr4 ,zeitschr4 f4 ,vermessungswes47 ,schattenkonstruktionen fr den ,gebrauch an ,baugewerkschulen1 ,gewerbeschulen u4 hnl4 ,lehranstalten sowie zum ,selbstunter4 von ,baugewerkschullehrer ,j4 ,hempel4 ,mit #ea ,fig4 u4 #bj ,tafeln praktischer ,beispiele in ,lichtdruck4 ,in ,leinw4 geb4 ,m4 #e4-- ,von d4 ,voraussetzung ausgehend1 da allein ein klares ,erfassen des ,raumvorgangs den prakt4 ,zeichner zum sicheren ,konstruieren befhigen kann1 gibt der ,verfasser nach einem einleitenden ,text mit zahlr4 bungsbeispielen kurze ,erluterungen d4 angewandten ,lsungsverfahren4 -- ,den parallelprojektiven ,schattenkonstruktionen ist noch eine kleinere ,gruppe perspektivischer ,schattenkonstruktionen angefgt4 ,das ,licht u4 die ,farben4 #f ,vorles41 geh4 im ,volkshochschulverein ,mnchen4 ,von ,prof4 ,dr4 ,l4 ,graetz4 #c4 ,aufl4 ,mit #aag ,abb4 ,geh4 ,m4 #a4--1 in ,leinwand geb4 ,m4 #a4be ,fhrt1 von den einfachsten optischen ,erscheinungen ausgehend1 zur tieferen ,einsicht in die ,natur des ,lichtes u4 der ,farben1 behandelt1 ausgehend v4 der scheinbar geradlinigen ,ausbreitung1 ,zurckwerfung und ,brechung des ,lichtes1 das ,wesen der ,farben1 die ,beugungserscheinungen und die ,photographie4 ,die optischen ,instrumente4 ,von ,dr4 ,m4 von ,rohr4 #b41 verm4 u4 verb4 ,aufl4 ,mit #hh ,abb4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,wer die ,schwierigkeiten u4 den ,umfang der ,abbeschen ,theorie der optischen ,instrumente kennt1 wird der vortrefflichen allgemein verstndlichen ,darstellung seine ,anerkennung nicht versagen knnen4 ,jedem1 der sich ber den jetzigen ,stand oder irgendeine ,frage der ,optotechnik rasch belehren will1 kann das ,buch wrmstens empfohlen werden4 7,streffleurs militr4 ,zeitschrift47 ,das ,stereoskop und seine ,anwendungen4 ,von ,prof4 ,th4 ,hartwig4 ,mit #dj ,abb4 im ,text u4 #ai stereoskop4 ,taf4 ,geh4 ,m4 #a4--1 geb4 ,m4 #a4be ,behandelt die verschiedenen ,erscheinungen u4 praktischen ,anwendungen der ,stereoskopie1 insbesondere die stereoskopischen ,himmelsphotographien1 die stereoskopische ,darstellung mikroskopischer ,objekte1 das ,stereoskop als ,meinstrument und ,bedeutung und ,anwendung des ,stereokomparators1 insbesondere in bezug auf photogrammetrische ,messungen4 ,verlag von ,b4 ,g4 ,teubner in ,leipzig und ,berlin ,weitere ,anmerkungen zur ,transkription ,der ,katalog ,aus ,natur und ,geisteswelt wurde entfernt1 er steht auf ,project ,gutenberg als ,projekt #ecfad zur ,verfgung4 ,offensichtliche ,fehler wurden stillschweigend korrigiert4 ,korrekturen3 ,s4 #cf3 ,d#a ,d#b ,,ad#c ,,ad#a ,a,d#b ,s4 #ii3 o ,o um das ,auge ,o eine ,kugel