,anmerkungen zur ,transkription ,im ,original gesperrter ,text ist so ausgezeichnet4 ,im ,original fett gesetzter ,text ist so ausgezeichnet4 ,die ,bezeichnung ab bedeutet die b-te ,potenz von a4 ,der ,text enthlt akzentuierte griechische ,buchstaben und mathematische ,sonderzeichen1 die nicht in jedem ,zeichensatz erhalten sind4 ,weitere ,anmerkungen finden sich am ,ende des ,buches4 ,die ,grundlagen der ,arithmetik4 ,eine logisch mathematische ,untersuchung ber den ,begriff der ,zahl von ,dr4 ,g4 ,frege1 a4 o4 ,professor an der ,universitt ,jena4 ,,breslau4 ,verlag von ,wilhelm ,koebner4 #ahhd4 ,inhalt4 ,seite #a4 ,in der ,mathematik ist in neuerer ,zeit ein auf der ,strenge der ,beweise und scharfe ,fassung der ,begriffe gerichtetes ,bestreben erkennbar4 #a #b4 ,die ,prfung muss sich schliesslich auch auf den ,begriff der ,anzahl erstrecken4 ,zweck des ,beweises4 #b #c4 ,philosophische ,beweggrnde fr solche ,untersuchung3 die ,streitfragen1 ob die ,gesetze der ,zahlen analytische oder synthetische ,wahrheiten1 apriori oder aposteriori sind4 ,sinn dieser ,ausdrucke4 #c #d4 ,die ,aufgabe dieses ,buches4 #d ,i4 ,meinungen einiger ,schriftsteller ber die ,natur der arithmetischen ,stze4 ,sind die ,zahlformeln beweisbar8 #e4 ,kant verneint dies1 was ,hankel mit ,recht paradox nennt4 #e #f4 ,leibnizens ,beweis von #b #b #d hat eine ,lcke4 ,grassmanns ,definition von a b ist fehlerhaft4 #g #g4 ,mills ,meinung1 dass die ,definitionen der einzelnen ,zahlen beobachtete ,thatsachen behaupten1 aus denen die ,rechnungen folgen1 ist unbegrndet4 #i #h4 ,zur ,rechtmssigkeit dieser ,definitionen ist die ,beobachtung jener ,thatsachen nicht erforderlich4 #aa ,sind die ,gesetze der ,arithmetik inductive ,wahrheiten8 #i4 ,mills ,naturgesetz4 ,indem ,mill arithmetische ,wahrheiten ,naturgesetze nennt1 verwechselt er sie mit ihren ,anwendungen4 #ab #aj4 ,grnde dagegen1 dass die ,additionsgesetze inductive ,wahrheiten sind3 ,ungleichartigkeit der ,zahlen2 wir haben nicht schon durch die ,definition eine ,menge gemeinsamer ,eigenschaften der ,zahlen2 die ,induction ist wahrscheinlich umgekehrt auf die ,arithmetik zu grnden4 #ad #aa4 ,leibnizens ,eingeboren4 #ag ,sind die ,gesetze der ,arithmetik synthetisch-apriori oder analytisch8 #ab4 ,kant4 ,baumann4 ,lipschitz4 ,hankel4 ,die innere ,anschauung als ,erkenntnissgrund4 #ag #ac4 ,unterschied von ,arithmetik und ,geometrie #ai #ad4 ,vergleichung der ,wahrheiten in ,bezug auf das von ihnen beherrschte ,gebiet #bj #ae4 ,ansichten von ,leibniz und ,st4 ,jevons #ba #af4 ,dagegen ,mills ,herabsetzung des kunstfertigen ,handhabens der ,sprache4 ,die ,zeichen sind nicht darum leer1 weil sie nichts ,wahrnehmbares bedeuten #bb #ag4 ,unzulnglichkeit der ,induction4 ,vermuthung1 dass die ,zahlgesetze analytische ,urtheile sind2 worin dann ihr ,nutzen besteht4 ,werthschtzung der analytischen ,urtheile4 #bc ,,ii4 ,meinungen einiger ,schriftsteller ber den ,begriff der ,anzahl4 #ah4 ,notwendigkeit den allgemeinen ,begriff der ,anzahl zu untersuchen4 #bd #ai4 ,die ,definition darf nicht geometrisch sein4 #be #bj4 ,ist die ,zahl definirbar8 ,hankel4 ,leibniz4 #bf ,ist die ,anzahl eine ,eigenschaft der ussern ,dinge8 #ba4 ,meinungen von ,m4 ,cantor und ,e4 ,schrder #bg #bb4 ,dagegen ,baumann3 die ussern ,dinge stellen keine strengen ,einheiten dar4 ,die ,anzahl hngt scheinbar von unserer ,auffassung ab #bh #bc4 ,mills ,meinung1 dass die ,zahl eine ,eigenschaft des ,aggregats von ,dingen sei1 ist unhaltbar #bi #bd4 ,umfassende ,anwendbarkeit der ,zahl4 ,mill4 ,locke4 ,leibnizens unkrperliche metaphysische ,figur4 ,wenn die ,zahl etwas ,sinnliches wre1 knnte sie nicht ,unsinnlichem beigelegt werden #cj #be4 ,mills physikalischer ,unterschied zwischen #b und #c4 ,nach ,berkeley ist die ,zahl nicht realiter in den ,dingen1 sondern durch den ,geist geschaffen #cb ,ist die ,zahl etwas ,subjectives8 #bf4 ,lipschitzs ,beschreibung der ,zahlbildung passt nicht recht und kann eine ,begriffsbestimmung nicht ersetzen4 ,die ,zahl ist kein ,gegenstand der ,psychologie1 sondern etwas ,objectives #cc #bg4 ,die ,zahl ist nicht1 wie ,schloemilch will1 ,vorstellung der ,stelle eines ,objects in einer ,reihe #cf ,die ,anzahl als ,menge4 #bh4 ,thomaes ,namengebung #ch ,,iii4 ,meinungen ber ,einheit und ,eins4 ,drckt das ,zahlwort ,ein eine ,eigenschaft von ,gegenstnden aus8 #bi4 ,vieldeutigkeit der ,ausdrcke und ,einheit4 ,e4 ,schrders ,erklrung der ,einheit als zu zhlenden ,gegenstandes ist scheinbar zwecklos4 ,das ,adjectiv ,ein enthlt keine nhere ,bestimmung1 kann nicht als ,praedicat dienen #ci #cj4 ,nach den ,definitionsversuchen von ,leibniz und ,baumann scheint der ,begriff der ,einheit gnzlich zu verschwimmen #da #ca4 ,baumanns ,merkmale der ,ungetheiltheit und ,abgegrenztheit4 ,die ,idee der ,einheit wird uns nicht von jedem ,objecte zugefhrt 7,locke7 #da #cb4 ,doch deutet die ,sprache einen ,zusammenhang mit der ,ungetheiltheit und ,abgegrenztheit an1 wobei jedoch der ,sinn verschoben wird #db #cc4 ,die ,untheilbarkeit 7,g4 ,kpp7 ist als ,merkmal der ,einheit nicht haltbar #dc ,sind die ,einheiten einander gleich8 #cd4 ,die ,gleichheit als ,grund fr den ,namen ,einheit4 ,e4 ,schrder4 ,hobbes4 ,hume4 ,thomae4 ,durch ,abstraction von den ,verschiedenheiten der ,dinge erhlt man nicht den ,begriff der ,anzahl1 und die ,dinge werden dadurch nicht einander gleich #dd #ce4 ,die ,verschiedenheit ist sogar nothwendig1 wenn von ,mehrheit die ,rede sein soll4 ,descartes4 ,e4 ,schrder4 ,st4 ,jevons #df #cf4 ,die ,ansicht von der ,verschiedenheit der ,einheiten stsst auch auf ,schwierigkeiten4 ,verschiedene ,einsen bei ,st4 ,jevons #df #cg4 ,lockes1 ,leibnizens1 ,hesses ,erklrungen der ,zahl aus der ,einheit oder ,eins #dh #ch4 ,eins ist ,eigenname1 ,einheit ,begriffswort4 ,zahl kann nicht als ,einheiten definirt werden4 ,unterschied von und und #dh #ci4 ,die ,schwierigkeit1 ,gleichheit und ,unterscheidbarkeit der ,einheiten zu vershnen1 wird durch die ,vieldeutigkeit von ,einheit verdeckt #ej ,versuche1 die ,schwierigkeit zu berwinden4 #dj4 ,raum und ,zeit als ,mittel des ,unterscheidens4 ,hobbes4 ,thomae4 ,dagegen3 ,leibniz1 ,baumann1 ,st4 ,jevons #ea #da4 ,der ,zweck wird nicht erreicht #ec #db4 ,die ,stelle in einer ,reihe als ,mittel des ,unterscheidens4 ,hankels ,setzen #ed #dc4 ,schrders ,abbildung der ,gegenstnde durch das ,zeichen #a #ed #dd4 ,jevons ,abstrahiren vom ,charakter der ,unterschiede mit ,festhaltung ihres ,vorhandenseins4 ,die #j und die #a sind ,zahlen wie die andern4 ,die ,schwierigkeit bleibt bestehen #ee ,lsung der ,schwierigkeit4 #de4 ,rckblick #eh #df4 ,die ,zahlangabe enthlt eine ,aussage von einem ,begriffe4 ,einwand1 dass bei unverndertem ,begriffe die ,zahl sich ndere #ei #dg4 ,die ,thatschlichkeit der ,zahlangabe erklrt sich aus der ,objectivitt des ,begriffes #fj #dh4 ,auflsung einiger ,schwierigkeiten #fa #di4 ,besttigung bei ,spinoza #fb #ej4 ,e4 ,schrders ,ausfhrung #fb #ea4 ,berichtigung derselben #fc #eb4 ,besttigung in einem deutschen ,sprachgebrauche #fd #ec4 ,unterschied zwischen ,merkmalen und ,eigenschaften eines ,begriffes4 ,existenz und ,zahl #fd #ed4 ,einheit kann man das ,subject einer ,zahlangabe nennen4 ,untheilbarkeit und ,abgegrenztheit der ,einheit4 ,gleichheit und ,unterscheidbarkeit #fe ,,iv4 ,der ,begriff der ,anzahl4 ,jede einzelne ,zahl ist ein selbstndiger ,gegenstand4 #ee4 ,versuch1 die leibnizischen ,definitionen der einzelnen ,zahlen zu ergnzen #fg #ef4 ,die versuchten ,definitionen sind unbrauchbar1 weil sie eine ,aussage erklren1 von der die ,zahl nur ein ,theil ist #fg #eg4 ,die ,zahlangabe ist als eine ,gleichung zwischen ,zahlen anzusehen #fh #eh4 ,einwand der ,unvorstellbarkeit der ,zahl als eines selbstndigen ,gegenstandes4 ,die ,zahl ist berhaupt unvorstellbar #fi #ei4 ,ein ,gegenstand ist nicht deshalb von der ,untersuchung auszuschliessen1 weil er unvorstellbar ist #gj #fj4 ,selbst concrete ,dinge sind nicht immer vorstellbar4 ,man muss die ,wrter im ,satze betrachten1 wenn man nach ihrer ,bedeutung fragt #ga #fa4 ,einwand der ,unrumlichkeit der ,zahlen4 ,nicht jeder objective ,gegenstand ist rumlich #gb ,um den ,begriff der ,anzahl zu gewinnen1 muss man den ,sinn einer ,zahlengleichung feststellen4 #fb4 ,wir bedrfen eines ,kennzeichens fr die ,zahlengleichheit #gc #fc4 ,die ,mglichkeit der eindeutigen ,zuordnung als solches4 ,logisches ,bedenken1 dass die ,gleichheit fr diesen ,fall besonders erklrt wird #gc #fd4 ,beispiele fr ein hnliches ,verfahren3 die ,richtung1 die ,stellung einer ,ebene1 die ,gestalt eines ,dreiecks #gd #fe4 ,versuch einer ,definition4 ,ein zweites ,bedenken3 ob den ,gesetzen der ,gleichheit gengt wird #gf #ff4 ,drittes ,bedenken3 das ,kennzeichen der ,gleichheit ist unzureichend #gg #fg4 ,die ,ergnzung kann nicht dadurch geschehen1 dass man zum ,merkmal eines ,begriffes die ,weise nimmt1 wie ein ,gegenstand eingefhrt ist #gh #fh4 ,die ,anzahl als ,umfang eines ,begriffes #gi #fi4 ,erluterung #hj ,ergnzung und ,bewhrung unserer ,definition4 #gj4 ,der ,beziehungsbegriff #ha #ga4 ,die ,zuordnung durch eine ,beziehung #hc #gb4 ,die beiderseits eindeutige ,beziehung4 ,begriff der ,anzahl #hd #gc4 ,die ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt1 ist gleich der ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,g zukommt1 wenn es eine ,beziehung giebt1 welche die unter ,f fallenden ,gegenstnde1 den unter ,g fallenden beiderseits eindeutig zuordnet #hc #gd4 ,null ist die ,anzahl1 welche dem ,begriffe sich selbst ungleich zukommt #hf #ge4 ,null ist die ,anzahl1 welche einem ,begriffe zukommt1 unter den nichts fllt4 ,kein ,gegenstand fllt unter einen ,begriff1 wenn ,null die diesem zukommende ,anzahl ist #hh #gf4 ,erklrung des ,ausdrucks n folgt in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf m4 #hi #gg4 #a ist die ,anzahl1 welche dem ,begriffe gleich #j zukommt #ij #gh4 ,stze1 die mittels unserer ,definitionen zu beweisen sind #ia #gi4 ,definition des ,folgens in einer ,reihe #ib #hj4 ,bemerkungen hierzu4 ,objectivitt des ,folgens #ib #ha4 ,erklrung des ,ausdrucks x gehrt der mit y endenden -,reihe an #id #hb4 ,andeutung des ,beweises1 dass es kein letztes ,glied der natrlichen ,zahlenreihe giebt #id #hc4 ,definition der endlichen ,anzahl4 ,keine endliche ,anzahl folgt in der natrlichen ,zahlenreihe auf sich selber #ie ,unendliche ,anzahlen4 #hd4 ,die ,anzahl1 welche dem ,begriffe endliche ,anzahl zukommt1 ist eine unendliche #if #he4 ,die cantorschen unendlichen ,anzahlen2 ,mchtigkeit4 ,abweichung in der ,benennung #ig #hf4 ,cantors ,folgen in der ,succession und mein ,folgen in der ,reihe #ih ,v4 ,schluss4 #hg4 ,die ,natur der arithmetischen ,gesetze #ii #hh4 ,kants ,unterschtzung der analytischen ,urtheile #ii #hi4 ,kants ,satz3 ,ohne ,sinnlichkeit wrde uns kein ,gegenstand gegeben werden4 ,kants ,verdienst um die ,mathematik #aja #ij4 ,zum vollen ,nachweis der analytischen ,natur der arithmetischen ,gesetze fehlt eine lckenlose ,schlusskette #ajb #ia4 ,abhilfe dieses ,mangels ist durch meine ,begriffsschrift mglich #ajc ,andere ,zahlen4 #ib4 ,sinn der ,frage nach der ,mglichkeit der ,zahlen nach ,hankel #ajd #ic4 ,die ,zahlen sind weder rumlich ausser uns noch subjectiv #aje #id4 ,die ,widerspruchslosigkeit eines ,begriffes verbrgt nicht1 dass etwas unter ihn falle1 und bedarf selbst des ,beweises #aje #ie4 ,man darf nicht ohne ,weiteres 7c - b7 als ein ,zeichen ansehn1 das die ,subtractionsaufgabe lst #ajf #if4 ,auch der ,mathematiker kann nicht willkhrlich etwas schaffen #ajg #ig4 ,begriffe sind von ,gegenstnden zu unterscheiden #ajh #ih4 ,hankels ,erklrung der ,addition #ajh #ii4 ,mangelhaftigkeit der formalen ,theorie #aji #ajj4 ,versuch1 complexe ,zahlen dadurch nachzuweisen1 dass die ,bedeutung der ,multiplication in besonderer ,weise erweitert wird #aaj #aja4 ,die ,mglichkeit eines solchen ,nachweises ist fr die ,kraft eines ,beweises nicht gleichgiltig #aaa #ajb4 ,die blosse ,forderung1 es solle eine ,operation ausfhrbar sein1 ist nicht ihre ,erfllung #aaa #ajc4 ,kossaks ,erklrung der complexen ,zahlen ist nur eine ,anweisung zur ,definition und vermeidet nicht die ,einmischung von ,fremdartigem4 ,die geometrische ,darstellung #aab #ajd4 ,es kommt darauf an1 den ,sinn eines ,wiedererkennungsurtheils fr die neuen ,zahlen festzusetzen #aad #aje4 ,der ,reiz der ,arithmetik liegt in ihrem ,vernunftcharakter #aae #ajf-aji4 ,rckblick #aae-aai ,einleitung4 ,auf die ,frage1 was die ,zahl ,eins sei1 oder was das ,zeichen #a bedeute1 wird man meistens die ,antwort erhalten3 nun1 ein ,ding4 ,und wenn man dann darauf aufmerksam macht1 dass der ,satz die ,zahl ,eins ist ein ,ding keine ,definition ist1 weil auf der einen ,seite der bestimmte ,artikel1 auf der andern der unbestimmte steht1 dass er nur besagt1 die ,zahl ,eins gehre zu den ,dingen1 aber nicht1 welches ,ding sie sei1 so wird man vielleicht aufgefordert1 sich irgendein ,ding zu whlen1 das man ,eins nennen wolle4 ,wenn aber ,jeder das ,recht htte1 unter diesem ,namen zu verstehen1 was er will1 so wrde derselbe ,satz von der ,eins fr ,verschiedene ,verschiedenes bedeuten2 es gbe keinen gemeinsamen ,inhalt solcher ,stze4 ,einige lehnen vielleicht die ,frage mit dem ,hinweise darauf ab1 dass auch die ,bedeutung des ,buchstaben a in der ,arithmetik nicht angegeben werden knne2 und wenn man sage3 a bedeutet eine ,zahl1 so knne hierin derselbe ,fehler gefunden werden wie in der ,definition3 ,eins ist ein ,ding4 ,nun ist die ,ablehnung der ,frage in ,bezug auf a ganz gerechtfertigt3 es bedeutet keine bestimmte1 angebbare ,zahl1 sondern dient dazu1 die ,allgemeinheit von ,stzen auszudrcken4 ,wenn man fr a in a a - a a eine beliebige aber berall dieselbe ,zahl setzt1 so erhlt man immer eine wahre ,gleichung4 ,in diesem ,sinne wird der ,buchstabe a gebraucht4 ,aber bei der ,eins liegt die ,sache doch wesentlich anders4 ,knnen wir in der ,gleichung #a #a #b fr #a beidemal denselben ,gegenstand1 etwa den ,mond setzen8 ,vielmehr scheint es1 dass wir fr die erste #a etwas ,anderes wie fr die zweite setzen mssen4 ,woran liegt es1 dass hier grade das geschehen muss1 was in jenem ,falle ein ,fehler wre8 ,die ,arithmetik kommt mit dem ,buchstaben a allein nicht aus1 sondern muss noch andere b1 c u4 s4 w4 gebrauchen1 um ,beziehungen zwischen verschiedenen ,zahlen allgemein auszudrcken4 ,so sollte man denken1 knnte auch das ,zeichen #a nicht gengen1 wenn es in hnlicher ,weise dazu diente1 den ,stzen eine ,allgemeinheit zu verleihen4 ,aber erscheint nicht die ,zahl ,eins als bestimmter ,gegenstand mit angebbaren ,eigenschaften1 z4 ,b4 mit sich selbst multiplicirt unverndert zu bleiben8 ,in diesem ,sinne kann man von a keine ,eigenschaften angeben2 denn was von a ausgesagt wird1 ist eine gemeinsame ,eigenschaft der ,zahlen1 whrend #a #a weder vom ,monde etwas aussagt1 noch von der ,sonne1 noch von der ,sahara1 noch vom ,pic von ,teneriffa2 denn was knnte der ,sinn einer solchen ,aussage sein8 ,auf solche ,fragen werden wohl auch die meisten ,mathematiker keine gengende ,antwort bereit haben4 ,ist es nun nicht fr die ,wissenschaft beschmend1 so im ,unklaren ber ihren nchstliegenden und scheinbar so einfachen ,gegenstand zu sein8 ,um so weniger wird man sagen knnen1 was ,zahl sei4 ,wenn ein ,begriff1 der einer grossen ,wissenschaft zu ,grunde liegt1 ,schwierigkeiten darbietet1 so ist es doch wohl eine unabweisbare ,aufgabe1 ihn genauer zu untersuchen und diese ,schwierigkeiten zu berwinden1 besonders da es schwer gelingen mchte1 ber die negativen1 gebrochenen1 complexen ,zahlen zu voller ,klarheit zu kommen1 solange noch die ,einsicht in die ,grundlage des ganzen ,baues der ,arithmetik mangelhaft ist4 ,viele werden das freilich nicht der ,mhe werth achten4 ,dieser ,begriff ist ja1 wie sie meinen1 in den ,elementarbchern hinreichend behandelt und damit fr das ganze ,leben abgethan4 ,wer glaubt denn ber eine so einfache ,sache noch etwas lernen zu knnen6 ,fr so frei von jeder ,schwierigkeit hlt man den ,begriff der positiven ganzen ,zahl1 dass er fr ,kinder wissenschaftlich erschpfend behandelt werden knne1 und dass ,jeder ohne weiteres ,nachdenken und ohne ,bekanntschaft mit dem1 was ,andere gedacht haben1 genau von ihm ,bescheid wisse4 ,so fehlt denn vielfach jene erste ,vorbedingung des ,lernens3 das ,wissen das ,nichtwissens4 ,die ,folge ist1 dass man sich noch immer mit einer rohen ,auffassung begngt1 obwohl schon ,herbart#a eine richtigere gelehrt hat4 ,es ist betrbend und entmuthigend1 dass in dieser ,weise eine ,erkenntniss immer wieder verloren zu gehen droht1 die schon errungen war1 dass so manche ,arbeit vergeblich zu werden scheint1 weil man im eingebildeten ,reichthume nicht nthig zu haben glaubt1 sich ihre ,frchte anzueignen4 ,auch diese ,arbeit1 sehe ich wohl1 ist solcher ,gefahr ausgesetzt4 ,jene ,roheit der ,auffassung tritt mir entgegen1 wenn das ,rechnen aggregatives1 mechanisches ,denken genannt wird#b4 ,ich bezweifle1 dass es ein solches ,denken berhaupt giebt4 ,aggregatives ,vorstellen knnte man schon eher gelten lassen2 aber es ist fr das ,rechnen ohne ,bedeutung4 ,das ,denken ist im ,wesentlichen berall dasselbe3 es kommen nicht je nach dem ,gegenstande verschiedene ,arten von ,denkgesetzen in ,betracht4 ,die ,unterschiede bestehen nur in der grsseren oder geringeren ,rauheit und ,unabhngigkeit von psychologischen ,einflssen und von ussern ,hilfen des ,denkens wie ,sprache1 ,zahlzeichen und dgl41 dann etwa noch in der ,feinheit des ,baues der ,begriffe2 aber grade in dieser ,rcksicht mchte die ,mathematik von keiner ,wissenschaft1 selbst der ,philosophie nicht1 bertroffen werden4 ,man wird aus dieser ,schrift ersehen knnen1 dass auch ein scheinbar eigenthmlich mathematischer ,schluss wie der von n auf n #a auf den allgemeinen logischen ,gesetzen beruht1 dass es besondrer ,gesetze des aggregativen ,denkens nicht bedarf4 ,man kann freilich die ,zahlzeichen mechanisch gebrauchen1 wie man papageimssig sprechen kann2 aber ,denken mchte das doch kaum zu nennen sein4 ,es ist nur mglich1 nachdem durch wirkliches ,denken die mathematische ,zeichensprache so ausgebildet ist1 dass sie1 wie man sagt1 fr einen denkt4 ,dies beweist nicht1 dass die ,zahlen in einer besonders mechanischen ,weise1 etwa wie ,sandhaufen aus ,quarzkrnern gebildet sind4 ,es liegt1 denke ich1 im ,interesse der ,mathematiker einer solchen ,ansicht entgegenzutreten1 welche einen hauptschlichen ,gegenstand ihrer ,wissenschaft und damit diese selbst herabzusetzen geeignet ist4 ,aber auch bei ,mathematikern findet man ganz hnliche ,aussprche4 ,im ,gegentheil wird man dem ,zahlbegriffe einen feineren ,bau zuerkennen mssen als den meisten ,begriffen andrer ,wissenschaften1 obwohl er noch einer der einfachsten arithmetischen ist4 ,um nun jenen ,wahn zu widerlegen1 dass in ,bezug auf die positiven ganzen ,zahlen eigentlich gar keine ,schwierigkeiten obwalten1 sondern allgemeine ,uebereinstimmung herrsche1 schien es mir gut1 einige ,meinungen von ,philosophen und ,mathematikern ber die hier in ,betracht kommenden ,fragen zu besprechen4 ,man wird sehn1 wie wenig von ,einklang zu finden ist1 sodass geradezu entgegengesetzte ,aussprche vorkommen4 ,die ,einen sagen z4 ,b43 die ,einheiten sind einander gleich1 die ,andern halten sie fr verschieden1 und beide haben ,grnde fr ihre ,behauptung1 die sich nicht kurzer ,hand abweisen lassen4 ,hierdurch suche ich das ,bedrfniss nach einer genaueren ,untersuchung zu wecken4 ,zugleich will ich durch die vorausgeschickte ,beleuchtung der von ,andern ausgesprochenen ,ansichten meiner eignen ,auffassung den ,boden ebnen1 damit man sich vorweg berzeuge1 dass jene andern ,wege nicht zum ,ziele fhren1 und dass meine ,meinung nicht eine von vielen gleichberechtigten ist2 und so hoffe ich die ,frage wenigstens in der ,hauptsache endgiltig zu entscheiden4 ,freilich sind meine ,ausfhrungen hierdurch wohl philosophischer geworden1 als vielen ,mathematikern angemessen scheinen mag2 aber eine grndliche ,untersuchung des ,zahlbegriffes wird immer etwas philosophisch ausfallen mssen4 ,diese ,aufgabe ist der ,mathematik und ,philosophie gemeinsam4 ,wenn das ,zusammenarbeiten dieser ,wissenschaften trotz mancher ,anlufe von beiden ,seiten nicht ein so gedeihliches ist1 wie es zu wnschen und wohl auch mglich wre1 so liegt das1 wie mir scheint1 an dem ,ueberwiegen psychologischer ,betrachtungsweisen in der ,philosophie1 die selbst in die ,logik eindringen4 ,mit dieser ,richtung hat die ,mathematik gar keine ,berhrungspunkte1 und daraus erklrt sich leicht die ,abneigung vieler ,mathematiker gegen philosophische ,betrachtungen4 ,wenn z4 ,b4 ,stricker#c die ,vorstellungen der ,zahlen motorisch1 von ,muskelgefhlen abhngig nennt1 so kann der ,mathematiker seine ,zahlen darin nicht wiedererkennen und weiss mit einem solchen ,satze nichts anzufangen4 ,eine ,arithmetik1 die auf ,muskelgefhle gegrndet wre1 wrde gewiss recht gefhlvoll1 aber auch ebenso verschwommen ausfallen wie diese ,grundlage4 ,nein1 mit ,gefhlen hat die ,arithmetik gar nichts zu schaffen4 ,ebensowenig mit innern ,bildern1 die aus ,spuren frherer ,sinneseindrcke zusammengeflossen sind4 ,das ,schwankende und ,unbestimmte1 welches alle diese ,gestaltungen haben1 steht im starken ,gegensatze zu der ,bestimmtheit und ,festigkeit der mathematischen ,begriffe und ,gegenstnde4 ,es mag ja von ,nutzen sein1 die ,vorstellungen und deren ,wechsel zu betrachten1 die beim mathematischen ,denken vorkommen2 aber die ,psychologie bilde sich nicht ein1 zur ,begrndung der ,arithmetik irgendetwas beitragen zu knnen4 ,dem ,mathematiker als solchem sind diese innern ,bilder1 ihre ,entstehung und ,vernderung gleichgiltig4 ,stricker sagt selbst1 dass er sich beim ,worte ,hundert weiter nichts vorstellt als das ,zeichen #ajj4 ,andere mgen sich den ,buchstaben ,c oder sonst etwas vorstellen2 geht daraus nicht hervor1 dass diese innern ,bilder in unserm ,falle fr das ,wesen der ,sache vollkommen gleichgiltig und zufllig sind1 ebenso zufllig wie eine schwarze ,tafel und ein ,stck ,kreide1 dass sie berhaupt nicht ,vorstellungen der ,zahl ,hundert zu heissen verdienen8 ,man sehe doch nicht das ,wesen der ,sache in solchen ,vorstellungen6 ,man nehme nicht die ,beschreibung1 wie eine ,vorstellung entsteht1 fr eine ,definition und nicht die ,angabe der seelischen und leiblichen ,bedingungen dafr1 dass uns ein ,satz zum ,bewusstsein kommt1 fr einen ,beweis und verwechsele das ,gedachtwerden eines ,satzes nicht mit seiner ,wahrheit6 ,man muss1 wie es scheint1 daran erinnern1 dass ein ,satz ebensowenig aufhrt1 wahr zu sein1 wenn ich nicht mehr an ihn denke1 wie die ,sonne vernichtet wird1 wenn ich die ,augen schliesse4 ,sonst kommen wir noch dahin1 dass man beim ,beweise des pythagorischen ,lehrsatzes es nthig findet1 des ,phosphorgehaltes unseres ,gehirnes zu gedenken1 und dass ein ,astronom sich scheut1 seine ,schlsse auf lngst vergangene ,zeiten zu erstrecken1 damit man ihm nicht einwende3 du rechnest da #b #b #d2 aber die ,zahlvorstellung hat ja eine ,entwickelung1 eine ,geschichte6 ,man kann zweifeln1 ob sie damals schon so weit war4 ,woher weisst du1 dass in jener ,vergangenheit dieser ,satz schon bestand8 ,knnten die damals lebenden ,wesen nicht den ,satz #b #b #e gehabt haben1 aus dem sich erst durch natrliche ,zchtung im ,kampf ums ,dasein der ,satz #b #b #d entwickelt hat1 der seinerseits vielleicht dazu bestimmt ist1 auf demselben ,wege sich zu #b #b #c fortzubilden8 ,est modus in rebus1 sunt certi denique fines6 ,die geschichtliche ,betrachtungsweise1 die das ,werden der ,dinge zu belauschen und aus dem ,werden ihr ,wesen zu erkennen sucht1 hat gewiss eine grosse ,berechtigung2 aber sie hat auch ihre ,grenzen4 ,wenn in dem bestndigen ,flusse aller ,dinge nichts ,festes1 ,ewiges beharrte1 wrde die ,erkennbarkeit der ,welt aufhren und ,alles in ,verwirrung strzen4 ,man denkt sich1 wie es scheint1 dass die ,begriffe in der einzelnen ,seele so entstehen1 wie die ,bltter an den ,bumen und meint ihr ,wesen dadurch erkennen zu knnen1 dass man ihrer ,entstehung nachforscht und sie aus der ,natur der menschlichen ,seele psychologisch zu erklren sucht4 ,aber diese ,auffassung zieht ,alles ins ,subjective und hebt1 bis ans ,ende verfolgt1 die ,wahrheit auf4 ,was man ,geschichte der ,begriffe nennt1 ist wohl entweder eine ,geschichte unserer ,erkenntniss der ,begriffe oder der ,bedeutungen der ,wrter4 ,durch grosse geistige ,arbeit1 die ,jahrhunderte hindurch andauern kann1 gelingt es oft erst1 einen ,begriff in seiner ,reinheit zu erkennen1 ihn aus den fremden ,umhllungen herauszuschlen1 die ihn dem geistigen ,auge verbargen4 ,was soll man nun dazu sagen1 wenn jemand1 statt diese ,arbeit1 wo sie noch nicht vollendet scheint1 fortzusetzen1 sie fr nichts achtet1 in die ,kinderstube geht oder sich in ltesten erdenkbaren ,entwickelungsstufen der ,menschheit zurckversetzt1 um dort wie ,j4 ,st4 ,mill etwa eine ,pfefferkuchen- oder ,kieselsteinarithmetik zu entdecken6 ,es fehlt nur noch1 dem ,wohlgeschmacke des ,kuchens eine besondere ,bedeutung fr den ,zahlbegriff zuzuschreiben4 ,dies ist doch das grade ,gegentheil eines vernnftigen ,verfahrens und jedenfalls so unmathematisch wie mglich4 ,kein ,wunder1 dass die ,mathematiker nichts davon wissen wollen6 ,statt eine besondere ,reinheit der ,begriffe da zu finden1 wo man ihrer ,quelle nahe zu sein glaubt1 sieht man ,alles verschwommen und ungesondert wie durch einen ,nebel4 ,es ist so1 als ob jemand1 um ,amerika kennen zu lernen1 sich in die ,lage des ,columbus zurckversetzen wollte1 als er den ersten zweifelhaften ,schimmer seines vermeintlichen ,indiens erblickte4 ,freilich beweist ein solcher ,vergleich nichts2 aber er verdeutlicht hoffentlich meine ,meinung4 ,es kann ja sein1 dass die ,geschichte der ,entdeckungen in vielen ,fllen als ,vorbereitung fr weitere ,forschungen ntzlich ist2 aber sie darf nicht an deren ,stelle treten wollen4 ,dem ,mathematiker gegenber1 wre eine ,bekmpfung solcher ,auffassungen wohl kaum nthig gewesen2 aber da ich auch fr die ,philosophen die behandelten ,streitfragen mglichst zum ,austrage bringen wollte1 war ich genthigt1 mich auf die ,psychologie ein wenig einzulassen1 wenn auch nur1 um ihren ,einbruch in die ,mathematik zurckzuweisen4 ,uebrigens kommen auch in mathematischen ,lehrbchern psychologische ,wendungen vor4 ,wenn man eine ,verpflichtung fhlt1 eine ,definition zu geben1 ohne es zu knnen1 so will man wenigstens die ,weise beschreiben1 wie man zu dem betreffenden ,gegenstande oder ,begriffe kommt4 ,man erkennt diesen ,fall leicht daran1 dass im weitern ,verlaufe nie mehr auf eine solche ,erklrung zurckgegriffen wird4 ,fr ,lehrzwecke ist eine ,hinfhrung auf die ,sache auch ganz am ,platze2 nur sollte man sie von einer ,definition immer deutlich unterscheiden4 ,dass auch ,mathematiker ,beweisgrnde mit innern oder ussern ,bedingungen der ,fhrung eines ,beweises verwechseln knnen1 dafr liefert ,e4 ,schrder#d ein ergtzliches ,beispiel1 indem er unter der ,ueberschrift3 ,einziges ,axiom ,folgendes darbietet3 ,das gedachte ,princip knnte wohl das ,axiom der ,inhrenz der ,zeichen genannt werden4 ,es giebt uns die ,gewissheit1 dass bei allen unsern ,entwicklungen und ,schlussfolgerungen die ,zeichen in unserer ,erinnerung -- noch fester aber am ,papiere -- haften u4 s4 w4 ,so sehr sich nun die ,mathematik jede ,beihilfe vonseiten der ,psychologie verbitten muss1 so wenig kann sie ihren engen ,zusammenhang mit der ,logik verleugnen4 ,ja1 ich stimme der ,ansicht derjenigen bei1 die eine scharfe ,trennung fr unthunlich halten4 ,soviel wird man zugeben1 dass jede ,untersuchung ber die ,bndigkeit einer ,beweisfhrung oder die ,berechtigung einer ,definition logisch sein muss4 ,solche ,fragen sind aber gar nicht von der ,mathematik abzuweisen1 da nur durch ihre ,beantwortung die nthige ,sicherheit erreichbar ist4 ,auch in dieser ,richtung gehe ich freilich etwas ber das ,uebliche hinaus4 ,die meisten ,mathematiker sind bei ,untersuchungen hnlicher ,art zufrieden1 dem unmittelbaren ,bedrfnisse gengt zu haben4 ,wenn sich eine ,definition willig zu den ,beweisen hergiebt1 wenn man nirgends auf ,widersprche stsst1 wenn sich ,zusammenhnge zwischen scheinbar entlegnen ,sachen erkennen lassen und wenn sich dadurch eine hhere ,ordnung und ,gesetzmssigkeit ergiebt1 so pflegt man die ,definition fr gengend gesichert zu halten und fragt wenig nach ihrer logischen ,rechtfertigung4 ,dies ,verfahren hat jedenfalls das ,gute1 dass man nicht leicht das ,ziel gnzlich verfehlt4 ,auch ich meine1 dass die ,definitionen sich durch ihre ,fruchtbarkeit bewhren mssen1 durch die ,mglichkeit1 ,beweise mit ihnen zu fhren4 ,aber es ist wohl zu beachten1 dass die ,strenge der ,beweisfhrung ein ,schein bleibt1 mag auch die ,schlusskette lckenlos sein1 wenn die ,definitionen nur nachtrglich dadurch gerechtfertigt werden1 dass man auf keinen ,widerspruch gestossen ist4 ,so hat man im ,grunde immer nur eine erfahrungsmssige ,sicherheit erlangt und muss eigentlich darauf gefasst sein1 zuletzt doch noch einen ,widerspruch anzutreffen1 der das ganze ,gebude zum ,einsturze bringt4 ,darum glaubte ich etwas weiter auf die allgemeinen logischen ,grundlagen zurckgehn zu mssen1 als vielleicht von den meisten ,mathematikern fr nthig gehalten wird4 ,als ,grundstze habe ich in dieser ,untersuchung folgende festgehalten3 es ist das ,psychologische von dem ,logischen1 das ,subjective von dem ,objectiven scharf zu trennen2 nach der ,bedeutung der ,wrter muss im ,satzzusammenhange1 nicht in ihrer ,vereinzelung gefragt werden2 der ,unterschied zwischen ,begriff und ,gegenstand ist im ,auge zu behalten4 ,um das ,erste zu befolgen1 habe ich das ,wort ,vorstellung immer im psychologischen ,sinne gebraucht und die ,vorstellungen von den ,begriffen und ,gegenstnden unterschieden4 ,wenn man den zweiten ,grundsatz unbeachtet lsst1 ist man fast genthigt1 als ,bedeutung der ,wrter innere ,bilder oder ,thaten der einzelnen ,seele zu nehmen und damit auch gegen den ersten zu verstossen4 ,was den dritten ,punkt betrifft1 so ist es nur ,schein1 wenn man meint1 einen ,begriff zum ,gegenstande machen zu knnen1 ohne ihn zu verndern4 ,von hieraus ergiebt sich die ,unhaltbarkeit einer verbreiteten formalen ,theorie der ,brche1 negativen ,zahlen u4 s4 w4 ,wie ich die ,verbesserung denke1 kann ich in dieser ,schrift nur andeuten4 ,es wird in allen diesen ,fllen wie bei den positiven ganzen ,zahlen darauf ankommen1 den ,sinn einer ,gleichung festzustellen4 ,meine ,ergebnisse werden1 denke ich1 wenigstens in der ,hauptsache die ,zustimmung der ,mathematiker finden1 welche sich die ,mhe nehmen1 meine ,grnde in ,betracht zu ziehn4 ,sie scheinen mir in der ,luft zu liegen und einzeln sind sie vielleicht schon alle wenigstens annhernd ausgesprochen worden2 aber in diesem ,zusammenhange mit einander mchten sie doch neu sein4 ,ich habe mich manchmal gewundert1 dass ,darstellungen1 die in ,einem ,punkte meiner ,auffassung so nahe kommen1 in andern so stark abweichen4 ,die ,aufnahme bei den ,philosophen wird je nach dem ,standpunkte verschieden sein1 am schlechtesten wohl bei jenen ,empirikern1 die als ursprngliche ,schlussweise nur die ,induction anerkennen wollen und auch diese nicht einmal als ,schlussweise1 sondern als ,gewhnung4 ,vielleicht unterzieht ,einer oder der ,andere bei dieser ,gelegenheit die ,grundlagen seiner ,erkenntnisstheorie einer erneueten ,prfung4 ,denen1 welche etwa meine ,definitionen fr unnatrlich erklren mchten1 gebe ich zu bedenken1 dass die ,frage hier nicht ist1 ob natrlich1 sondern ob den ,kern der ,sache treffend und logisch einwurfsfrei4 ,ich gebe mich der ,hoffnung hin1 dass bei vorurtheilsloser ,prfung auch die ,philosophen einiges ,brauchbare in dieser ,schrift finden werden4 #a4 ,nachdem die ,mathematik sich eine ,zeit lang von der euklidischen ,strenge entfernt hatte1 kehrt sie jetzt zu ihr zurck und strebt gar ber sie hinaus4 ,in der ,arithmetik war schon infolge des indischen ,ursprungs vieler ihrer ,verfahrungsweisen und ,begriffe eine laxere ,denkweise hergebracht als in der von den ,griechen vornehmlich ausgebildeten ,geometrie4 ,sie wurde durch die ,erfindung der hhern ,analysis nur gefrdert2 denn einerseits stellten sich einer strengen ,behandlung dieser ,lehren erhebliche1 fast unbesiegliche ,schwierigkeiten entgegen1 deren ,ueberwindung andrerseits die darauf verwendeten ,anstrengungen wenig lohnen zu wollen schien4 ,doch hat die weitere ,entwickelung immer deutlicher gelehrt1 dass in der ,mathematik eine blos moralische ,ueberzeugung1 gesttzt auf viele erfolgreiche ,anwendungen1 nicht gengt4 ,fr ,vieles wird jetzt ein ,beweis gefordert1 was frher fr selbstverstndlich galt4 ,die ,grenzen der ,giltigkeit sind erst dadurch in manchen ,fllen festgestellt worden4 ,die ,begriffe der ,function1 der ,stetigkeit1 der ,grenze1 des ,unendlichen haben sich einer schrferen ,bestimmung bedrftig gezeigt4 ,das ,negative und die ,irrationalzahl1 welche lngst in die ,wissenschaft aufgenommen waren1 haben sich einer genaueren ,prfung ihrer ,berechtigung unterwerfen mssen4 ,so zeigt sich berall das ,bestreben1 streng zu beweisen1 die ,giltigkeitsgrenzen genau zu ziehen und1 um dies zu knnen1 die ,begriffe scharf zu fassen4 #b4 ,dieser ,weg muss im weitern ,verfolge auf den ,begriff der ,anzahl und auf die von positiven ganzen ,zahlen geltenden einfachsten ,stze fhren1 welche die ,grundlage der ganzen ,arithmetik bilden4 ,freilich sind ,zahlformeln wie #e #g #ab und ,gesetze wie das der ,associativitt bei der ,addition durch die unzhligen ,anwendungen1 die tagtglich von ihnen gemacht werden1 so vielfach besttigt1 dass es fast lcherlich erscheinen kann1 sie durch das ,verlangen nach einem ,beweise in ,zweifel ziehen zu wollen4 ,aber es liegt im ,wesen der ,mathematik begrndet1 dass sie berall1 wo ein ,beweis mglich ist1 ihn der ,bewhrung durch ,induction vorzieht4 ,euklid beweist ,vieles1 was ihm jeder ohnehin zugestehen wrde4 ,indem man sich selbst an der euklidischen ,strenge nicht gengen liess1 ist man auf die ,untersuchungen gefhrt worden1 welche sich an das ,parallelenaxiom geknpft haben4 ,so ist jene auf grsste ,strenge gerichtete ,bewegung schon vielfach ber das zunchst gefhlte ,bedrfniss hinausgegangen und dieses ist an ,ausdehnung und ,strke immer gewachsen4 ,der ,beweis hat eben nicht nur den ,zweck1 die ,wahrheit eines ,satzes ber jeden ,zweifel zu erheben1 sondern auch den1 eine ,einsicht in die ,abhngigkeit der ,wahrheiten von einander zu gewhren4 ,nachdem man sich von der ,unerschtterlichkeit eines ,felsblockes durch vergebliche ,versuche1 ihn zu bewegen1 berzeugt hat1 kann man ferner fragen1 was ihn denn so sicher untersttze4 ,je weiter man diese ,untersuchungen fortsetzt1 auf desto weniger ,urwahrheiten fhrt man ,alles zurck2 und diese ,vereinfachung ist an sich schon ein erstrebenswerthes ,ziel4 ,vielleicht besttigt sich auch die ,hoffnung1 dass man allgemeine ,weisen der ,begriffsbildung oder der ,begrndung gewinnen knne1 die auch in verwickelteren ,fllen verwendbar sind1 indem man zum ,bewusstsein bringt1 was die ,menschen in den einfachsten ,fllen instinctiv gethan haben1 und das ,allgemeingiltige daraus abscheidet4 #c4 ,mich haben auch philosophische ,beweggrnde zu solchen ,untersuchungen bestimmt4 ,die ,fragen nach der apriorischen oder aposteriorischen1 der synthetischen oder analytischen ,natur der arithmetischen ,wahrheiten harren hier ihrer ,beantwortung4 ,denn1 wenn auch diese ,begriffe selbst der ,philosophie angehren1 so glaube ich doch1 dass die ,entscheidung nicht ohne ,beihilfe der ,mathematik erfolgen kann4 ,freilich hangt dies von dem ,sinne ab1 den man jenen ,fragen beilegt4 ,es ist kein seltener ,fall1 dass man zuerst den ,inhalt eines ,satzes gewinnt und dann auf einem andern beschwerlicheren ,wege den strengen ,beweis fhrt1 durch den man oft auch die ,bedingungen der ,giltigkeit genauer kennen lernt4 ,so hat man allgemein die ,frage1 wie wir zu dem ,inhalte eines ,urtheils kommen1 von der zu trennen1 woher wir die ,berechtigung fr unsere ,behauptung nehmen4 ,jene ,unterscheidungen von apriori und aposteriori1 synthetisch und analytisch betreffen nun nach meiner#e ,auffassung nicht den ,inhalt des ,urtheils1 sondern die ,berechtigung zur ,urtheilsfllung4 ,da1 wo diese fehlt1 fllt auch die ,mglichkeit jener ,eintheilung weg4 ,ein ,irrthum apriori ist dann ein ebensolches ,unding wie etwa ein blauer ,begriff4 ,wenn man einen ,satz in meinem ,sinne aposteriori oder analytisch nennt1 so urtheilt man nicht ber die psychologischen1 physiologischen und physikalischen ,verhltnisse1 die es mglich gemacht haben1 den ,inhalt des ,satzes im ,bewusstsein zu bilden1 auch nicht darber1 wie ein ,anderer vielleicht irrthmlicherweise dazu gekommen ist1 ihn fr wahr zu halten1 sondern darber1 worauf im tiefsten ,grunde die ,berechtigung des ,frwahrhaltens beruht4 ,dadurch wird die ,frage dem ,gebiete der ,psychologie entrckt und dem der ,mathematik zugewiesen1 wenn es sich um eine mathematische ,wahrheit handelt4 ,es kommt nun darauf an1 den ,beweis zu finden und ihn bis auf die ,urwahrheiten zurckzuverfolgen4 ,stsst man auf diesem ,wege nur auf die allgemeinen logischen ,gesetze und auf ,definitionen1 so hat man eine analytische ,wahrheit1 wobei vorausgesetzt wird1 dass auch die ,stze mit in ,betracht gezogen werden1 auf denen etwa die ,zulssigkeit einer ,definition beruht4 ,wenn es aber nicht mglich ist1 den ,beweis zu fhren1 ohne ,wahrheiten zu benutzen1 welche nicht allgemein logischer ,natur sind1 sondern sich auf ein besonderes ,wissensgebiet beziehen1 so ist der ,satz ein synthetischer4 ,damit eine ,wahrheit aposteriori sei1 wird verlangt1 dass ihr ,beweis nicht ohne ,berufung auf ,thatsachen auskomme2 d4 h4 auf unbeweisbare ,wahrheiten ohne ,allgemeinheit1 die ,aussagen von bestimmten ,gegenstnden enthalten4 ,ist es dagegen mglich1 den ,beweis ganz aus allgemeinen ,gesetzen zu fhren1 die selber eines ,beweises weder fhig noch bedrftig sind1 so ist die ,wahrheit apriori4#f #d4 ,von diesen philosophischen ,fragen ausgehend kommen wir zu derselben ,forderung1 welche unabhngig davon auf dem ,gebiete der ,mathematik selbst erwachsen ist3 die ,grundstze der ,arithmetik1 wenn irgend mglich1 mit grsster ,strenge zu beweisen2 denn nur wenn aufs sorgfltigste jede ,lcke in der ,schlusskette vermieden wird1 kann man mit ,sicherheit sagen1 auf welche ,urwahrheiten sich der ,beweis sttzt2 und nur wenn man diese kennt1 wird man jene ,fragen beantworten knnen4 ,wenn man nun dieser ,forderung nachzukommen versucht1 so gelangt man sehr bald zu ,stzen1 deren ,beweis solange unmglich ist1 als es nicht gelingt1 darin vorkommende ,begriffe in einfachere aufzulsen oder auf ,allgemeineres zurckzufhren4 ,hier ist es nun vor allen die ,anzahl1 welche definirt oder als undefinirbar anerkannt werden muss4 ,das soll die ,aufgabe dieses ,buches sein4#g ,von ihrer ,lsung wird die ,entscheidung ber die ,natur der arithmetischen ,gesetze abhangen4 ,bevor ich diese ,fragen selbst angreife1 will ich ,einiges vorausschicken1 was ,fingerzeige fr ihre ,beantwortung geben kann4 ,wenn sich nmlich von andern ,gesichtspunkten aus ,grnde dafr ergeben1 dass die ,grundstze der ,arithmetik analytisch sind1 so sprechen diese auch fr deren ,beweisbarkeit und fr die ,definirbarkeit des ,begriffes der ,anzahl4 ,die entgegengesetzte ,wirkung werden die ,grnde fr die ,aposterioritt dieser ,wahrheiten haben4 ,deshalb mgen diese ,streitpunkte zunchst einer vorlufigen ,beleuchtung unterworfen werden4 ,i4 ,meinungen einiger ,schriftsteller ber die ,natur der arithmetischen ,stze4 ,sind die ,zahlformeln beweisbar8 #e4 ,man muss die ,zahlformeln1 die wie #b #c #e von bestimmten ,zahlen handeln1 von den allgemeinen ,gesetzen unterscheiden1 die von allen ganzen ,zahlen gelten4 ,jene werden von einigen ,philosophen#h fr unbeweisbar und unmittelbar klar wie ,axiome gehalten4 ,kant#i erklrt sie fr unbeweisbar und synthetisch1 scheut sich aber1 sie ,axiome zu nennen1 weil sie nicht allgemein sind1 und weil ihre ,zahl unendlich ist4 ,hankel#aj nennt mit ,recht diese ,annahme von unendlich vielen unbeweisbaren ,urwahrheiten unangemessen und paradox4 ,sie widerstreitet in der ,that dem ,bedrfnisse der ,vernunft nach ,uebersichtlichkeit der ersten ,grundlagen4 ,und ist es denn unmittelbar einleuchtend1 dass #aceffd #cghfc #agcebg ist8 ,nein6 und eben dies fhrt ,kant fr die synthetische ,natur dieser ,stze an4 ,es spricht aber vielmehr gegen ihre ,unbeweisbarkeit2 denn wie sollen sie anders eingesehen werden als durch einen ,beweis1 da sie unmittelbar nicht einleuchten8 ,kant will die ,anschauung von ,fingern oder ,punkten zu ,hilfe nehmen1 wodurch er in ,gefahr gerth1 diese ,stze gegen seine ,meinung als empirische erscheinen zu lassen2 denn die ,anschauung von #cghfc ,fingern ist doch jedenfalls keine reine4 ,der ,ausdruck ,anschauung scheint auch nicht recht zu passen1 da schon #aj ,finger durch ihre ,stellungen zu einander die verschiedensten ,anschauungen hervorrufen knnen4 ,haben wir denn berhaupt eine ,anschauung von #aceffd ,fingern oder ,punkten8 ,htten wir sie und htten wir eine von #cghfc ,fingern und eine von #agcebg ,fingern1 so msste die ,richtigkeit unserer ,gleichung sofort einleuchten1 wenigstens fr ,finger1 wenn sie unbeweisbar wre2 aber dies ist nicht der ,fall4 ,kant hat offenbar nur kleine ,zahlen im ,sinne gehabt4 ,dann wrden die ,formeln fr grosse ,zahlen beweisbar sein1 die fr kleine durch die ,anschauung unmittelbar einleuchten4 ,aber es ist misslich1 einen grundstzlichen ,unterschied zwischen kleinen und grossen ,zahlen zu machen1 besonders da eine scharfe ,grenze nicht zu ziehen sein mchte4 ,wenn die ,zahlformeln etwa von #aj an beweisbar wren1 so wrde man mit ,recht fragen3 warum nicht von #e an1 von #b an1 von #a an8 #f4 ,andere ,philosophen und ,mathematiker haben denn auch die ,beweisbarkeit der ,zahlformeln behauptet4 ,leibniz#aa sagt3 ,es ist keine unmittelbare ,wahrheit1 dass #b und #b #d sind2 vorausgesetzt1 dass #d bezeichnet #c und #a4 ,man kann sie beweisen und zwar so3 ,definitionen3 #a7 #b ist #a und #a1 #b7 #c ist #b und #a1 #c7 #d ist #c und #a4 ,axiom3 ,wenn man ,gleiches an die ,stelle setzt1 bleibt die ,gleichung bestehen4 ,beweis3 #b #b #b #a #a #c #a #d4 ,def4 #a4 ,def4 #b4 ,def4 #c4 ,also3 nach dem ,axiom3 #b #b #d4 ,dieser ,beweis scheint zunchst ganz aus ,definitionen und dem angefhrten ,axiome aufgebaut zu sein4 ,auch dieses knnte in eine ,definition verwandelt werden1 wie es ,leibniz an einem andern ,orte#ab selbst gethan hat4 ,es scheint1 dass man von #a1 #b1 #c1 #d weiter nichts zu wissen braucht1 als was in den ,definitionen enthalten ist4 ,bei genauerer ,betrachtung entdeckt man jedoch eine ,lcke1 die durch das ,weglassen der ,klammern verdeckt ist4 ,genauer msste nmlich geschrieben werden3 #b #b #b 7#a #a7 7#b #a7 #a #c #a #d4 ,hier fehlt der ,satz #b 7#a #a7 7#b #a7 #a1 der ein besonderer ,fall von a 7b c7 7a b7 c ist4 ,setzt man dies ,gesetz voraus1 so sieht man leicht1 dass jede ,formel des ,einsundeins so bewiesen werden kann4 ,es ist dann jede ,zahl aus der vorhergehenden zu definiren4 ,in der ,that sehe ich nicht1 wie uns etwa die ,zahl #dcgihf angemessener gegeben werden knnte als in der leibnizischen ,weise4 ,wir bekommen sie so1 auch ohne eine ,vorstellung von ihr zu haben1 doch in unsere ,gewalt4 ,die unendliche ,menge der ,zahlen wird durch solche ,definitionen auf die ,eins und die ,vermehrung um eins zurckgefhrt1 und jede der unendlich vielen ,zahlformeln kann aus einigen allgemeinen ,stzen bewiesen werden4 ,dies ist auch die ,meinung von ,h4 ,grassmann und ,h4 ,hankel4 ,jener will das ,gesetz a 7b #a7 7a b7 #a durch eine ,definition gewinnen1 indem er sagt#ac3 ,wenn a und b beliebige ,glieder der ,grundreihe sind1 so versteht man unter der ,summe a b dasjenige ,glied der ,grundreihe1 fr welches die ,formel a 7b e7 a b e gilt4 ,hierbei soll e die positive ,einheit bedeuten4 ,gegen diese ,erklrung lsst sich zweierlei einwenden4 ,zunchst wird die ,summe durch sich selbst erklrt4 ,wenn man noch nicht weiss1 was a b bedeuten soll1 versteht man auch den ,ausdruck a 7b e7 nicht4 ,aber dieser ,einwand lsst sich vielleicht dadurch beseitigen1 dass man freilich im ,widerspruch mit dem ,wortlaute sagt1 nicht die ,summe1 sondern die ,addition solle erklrt werden4 ,dann wrde immer noch eingewendet werden knnen1 dass a b ein leeres ,zeichen wre1 wenn es kein ,glied der ,grundreihe oder deren mehre von der verlangten ,art gbe4 ,dass dies nicht statthabe1 setzt ,grassmann einfach voraus1 ohne es zu beweisen1 sodass die ,strenge nur scheinbar ist4 #g4 ,man sollte denken1 dass die ,zahlformeln synthetisch oder analytisch1 aposteriori oder apriori sind1 je nachdem die allgemeinen ,gesetze es sind1 auf die sich ihr ,beweis sttzt4 ,dem steht jedoch die ,meinung ,john ,stuart ,mill's entgegen4 ,zwar scheint er zunchst wie ,leibniz die ,wissenschaft auf ,definitionen grnden zu wollen1#ad da er die einzelnen ,zahlen wie dieser erklrt2 aber sein ,vorurtheil1 dass alles ,wissen empirisch sei1 verdirbt sofort den richtigen ,gedanken wieder4 ,er belehrt uns nmlich1#ae dass jene ,definitionen keine im logischen ,sinne seien1 dass sie nicht nur die ,bedeutung eines ,ausdruckes festsetzen1 sondern damit auch eine beobachtete ,thatsache behaupten4 ,was in aller ,welt mag die beobachtete oder1 wie ,mill auch sagt1 physikalische ,thatsache sein1 die in der ,definition der ,zahl #ggghfd behauptet wird8 ,von dem ganzen ,reichthume an physikalischen ,thatsachen1 der sich hier vor uns aufthut1 nennt uns ,mill nur eine einzige1 die in der ,definition der ,zahl #c behauptet werden soll4 ,sie besteht nach ihm darin1 dass es ,zusammenfgungen von ,gegenstnden giebt1 welche1 whrend sie diesen ,eindruck auf die ,sinne machen1 in zwei ,theile getrennt werden knnen1 wie folgt3 4 ,wie gut doch1 dass nicht ,alles in der ,welt niet- und nagelfest ist2 dann knnten wir diese ,trennung nicht vornehmen1 und #b #a wre nicht #c6 ,wie schade1 dass ,mill nicht auch die physikalischen ,thatsachen abgebildet hat1 welche den ,zahlen #j und #a zu ,grunde liegen6 ,mill fhrt fort3 ,nachdem dieser ,satz zugegeben ist1 nennen wir alle dergleichen ,theile #c4 ,man erkennt hieraus1 dass es eigentlich unrichtig ist1 wenn die ,uhr drei schlgt1 von drei ,schlgen zu sprechen1 oder sss1 sauer1 bitter drei ,geschmacksempfindungen zu nennen2 ebensowenig ist der ,ausdruck drei ,auflsungsweisen einer ,gleichung zu billigen2 denn man hat niemals davon den sinnlichen ,eindruck wie von 4 ,nun sagt ,mill3 ,die ,rechnungen folgen nicht aus der ,definition selbst1 sondern aus der beobachteten ,thatsache4 ,aber wo htte sich ,leibniz in dem oben mitgetheilten ,beweise des ,satzes #b #b #d auf die erwhnte ,thatsache berufen sollen8 ,mill unterlsst es die ,lcke nachzuweisen1 obwohl er einen dem leibnizischen ganz entsprechenden ,beweis des ,satzes #e #b #g giebt4#af ,die wirklich vorhandene ,lcke1 die in dem ,weglassen der ,klammern liegt1 bersieht er wie ,leibniz4 ,wenn wirklich die ,definition jeder einzelnen ,zahl eine besondere physikalische ,thatsache behauptete1 so wrde man einen ,mann1 der mit neunziffrigen ,zahlen rechnet1 nicht genug wegen seines physikalischen ,wissens bewundern knnen4 ,vielleicht geht indessen ,mill's ,meinung nicht dahin1 dass alle diese ,thatsachen einzeln beobachtet werden mssten1 sondern es genge1 durch ,induction ein allgemeines ,gesetz abgeleitet zu haben1 in dem sie smmtlich eingeschlossen seien4 ,aber man versuche1 dies ,gesetz auszusprechen1 und man wird finden1 dass es unmglich ist4 ,es reicht nicht hin1 zu sagen3 es giebt grosse ,sammlungen von ,dingen1 die zerlegt werden knnen2 denn damit ist nicht gesagt1 dass es so grosse ,sammlungen und von der ,art giebt1 wie zur ,definition etwa der ,zahl #ajjjjjj erfordert werden1 und die ,weise der ,theilung ist auch nicht genauer angegeben4 ,die millsche ,auffassung fhrt nothwendig zu der ,forderung1 dass fr jede ,zahl eine ,thatsache besonders beobachtet werde1 weil in einem allgemeinen ,gesetze grade das ,eigenthmliche der ,zahl #ajjjjjj1 das zu deren ,definition nothwendig gehrt1 verloren gehen wrde4 ,man drfte nach ,mill in der ,that nicht setzen #ajjjjjj #iiiiii #a1 wenn man nicht grade diese eigenthmliche ,weise der ,zerlegung einer ,sammlung von ,dingen beobachtet htte1 die von der irgendeiner andern ,zahl zukommenden verschieden ist4 #h4 ,mill scheint zu meinen1 dass die ,definitionen #b #a #a1 #c #b #a1 #d #c #a u4 s4 w4 nicht gemacht werden drften1 ehe nicht die von ihm erwhnten ,thatsachen beobachtet wren4 ,in der ,that darf man die #c nicht als 7#b #a7 definiren1 wenn man mit 7#b #a7 gar keinen ,sinn verbindet4 ,es fragt sich aber1 ob es dazu nthig ist1 jene ,sammlung und ihre ,trennung zu beobachten4 ,rthselhaft wre dann die ,zahl #j2 denn bis jetzt hat wohl niemand #j ,kieselsteine gesehen oder getastet4 ,mill wrde gewiss die #j fr etwas ,sinnloses1 fr eine blosse ,redewendung erklren2 die ,rechnungen mit #j wrden ein blosses ,spiel mit leeren ,zeichen sein1 und es wre nur wunderbar1 wie etwas ,vernnftiges dabei herauskommen knnte4 ,wenn aber diese ,rechnungen eine ernste ,bedeutung haben1 so kann auch das ,zeichen #j selber nicht ganz sinnlos sein4 ,und es zeigt sich die ,mglichkeit1 dass #b #a in hnlicher ,weise wie die #j1 einen ,sinn auch dann noch haben knnte1 wenn die von ,mill erwhnte ,thatsache nicht beobachtet wre4 ,wer will in der ,that behaupten1 dass die in der ,definition einer #ahziffrigen ,zahl nach ,mill enthaltene ,thatsache je beobachtet sei1 und wer will leugnen1 dass ein solches ,zahlzeichen trotzdem einen ,sinn habe8 ,vielleicht meint man1 es wrden die physikalischen ,thatsachen nur fr die kleineren ,zahlen etwa bis #aj gebraucht1 indem die brigen aus diesen zusammengesetzt werden knnten4 ,aber1 wenn man #aa aus #aj und #a blos durch ,definition bilden kann1 ohne die entsprechende ,sammlung gesehen zu haben1 so ist kein ,grund1 weshalb man nicht auch die #b aus #a und #a so zusammensetzen kann4 ,wenn die ,rechnungen mit der ,zahl #aa nicht aus einer fr diese bezeichnenden ,thatsache folgen1 wie kommt es1 dass die ,rechnungen mit der #b sich auf die ,beobachtung einer gewissen ,sammlung und deren eigentmlicher ,trennung sttzen mssen8 ,man fragt vielleicht1 wie die ,arithmetik bestehen knne1 wenn wir durch die ,sinne gar keine oder nur drei ,dinge unterscheiden knnten4 ,fr unsere ,kenntniss der arithmetischen ,stze und deren ,anwendungen wrde ein solcher ,zustand gewiss etwas ,missliches haben1 aber auch fr ihre ,wahrheit8 ,wenn man einen ,satz empirisch nennt1 weil wir ,beobachtungen gemacht haben mssen1 um uns seines ,inhalts bewusst zu werden1 so gebraucht man das ,wort empirisch nicht in dem ,sinne1 dass es dem apriori entgegengesetzt ist4 ,man spricht dann eine psychologische ,behauptung aus1 die nur den ,inhalt des ,satzes betrifft2 ob dieser wahr sei1 kommt dabei nicht in ,betracht4 ,in dem ,sinne sind auch alle ,geschichten ,mnchhausens empirisch2 denn gewiss muss man mancherlei beobachtet haben1 um sie erfinden zu knnen4 ,sind die ,gesetze der ,arithmetik inductive ,wahrheiten8 #i4 ,die bisherigen ,erwgungen machen es wahrscheinlich1 dass die ,zahlformeln allein aus den ,definitionen der einzelnen ,zahlen mittels einiger allgemeinen ,gesetze ableitbar sind1 dass diese ,definitionen beobachtete ,thatsachen weder behaupten noch zu ihrer ,rechtmssigkeit voraussetzen4 ,es kommt also darauf an1 die ,natur jener ,gesetze zu erkennen4 ,mill#ag will zu seinem vorhin erwhnten ,beweise der ,formel #e #b #g den ,satz was aus ,theilen zusammengesetzt ist1 ist aus ,theilen von diesen ,theilen zusammengesetzt benutzen4 ,dies hlt er fr einen charakteristischern ,ausdruck des sonst in der ,form die ,summen von ,gleichem sind gleich bekannten ,satzes4 ,er nennt ihn inductive ,wahrheit und ,naturgesetz von der hchsten ,ordnung4 ,fr die ,ungenauigkeit seiner ,darstellung ist es bezeichnend1 dass er diesen ,satz gar nicht an der ,stelle des ,beweises heranzieht1 wo er nach seiner ,meinung unentbehrlich ist2 doch scheint es1 dass seine inductive ,wahrheit ,leibnizens ,axiom vertreten soll3 wenn man ,gleiches an die ,stelle setzt1 bleibt die ,gleichung bestehen4 ,aber um arithmetische ,wahrheiten ,naturgesetze nennen zu knnen1 legt ,mill einen ,sinn hinein1 den sie nicht haben4 ,er meint z4 ,b4#ah die ,gleichung #a #a knne falsch sein1 weil ein ,pfundstck nicht immer genau das ,gewicht eines andern habe4 ,aber das will der ,satz #a #a auch gar nicht behaupten4 ,mill versteht das ,zeichen so1 dass dadurch die ,beziehung der ,theile eines physikalischen ,krpers oder eines ,haufens zu dem ,ganzen ausgedrckt werde2 aber das ist nicht der ,sinn dieses ,zeichens4 #e #b #g bedeutet nicht1 dass wenn man zu #e ,raumtheilen ,flssigkeit #b ,raumtheile ,flssigkeit giesst1 man #g ,raumtheile ,flssigkeit erhalte1 sondern dies ist eine ,anwendung jenes ,satzes1 die nur statthaft ist1 wenn nicht infolge etwa einer chemischen ,einwirkung eine ,volumnderung eintritt4 ,mill verwechselt immer ,anwendungen1 die man von einem arithmetischen ,satze machen kann1 welche oft physikalisch sind und beobachtete ,thatsachen zur ,voraussetzung haben1 mit dem rein mathematischen ,satze selber4 ,das ,pluszeichen kann zwar in manchen ,anwendungen einer ,haufenbildung zu entsprechen scheinen2 aber dies ist nicht seine ,bedeutung2 denn bei andern ,anwendungen kann von ,haufen1 ,aggregaten1 dem ,verhltnisse eines physikalischen ,krpers zu seinen ,theilen keine ,rede sein1 z4 ,b4 wenn man die ,rechnung auf ,ereignisse bezieht4 ,zwar kann man auch hier von ,theilen sprechen2 dann gebraucht man das ,wort aber nicht im physikalischen oder geometrischen1 sondern im logischen ,sinne1 wie wenn man die ,ermordungen von ,staatsoberhuptern einen ,theil der ,morde berhaupt nennt4 ,hier hat man die logische ,unterordnung4 ,und so entspricht auch die ,addition im ,allgemeinen nicht einem physikalischen ,verhltnisse4 ,folglich knnen auch die allgemeinen ,additionsgesetze nicht ,naturgesetze sein4 #aj4 ,aber sie knnten vielleicht dennoch inductive ,wahrheiten sein4 ,wie wre das zu denken8 ,von welchen ,thatsachen soll man ausgehen1 um sich zum ,allgemeinen zu erheben8 ,dies knnen wohl nur die ,zahlformeln sein4 ,damit verlren wir freilich den ,vortheil wieder1 den wir durch die ,definitionen der einzelnen ,zahlen gewonnen haben1 und wir mssten uns nach einer andern ,begrndungsweise der ,zahlformeln umsehen4 ,wenn wir uns nun auch ber dies nicht ganz leichte ,bedenken hinwegsetzen1 so finden wir doch den ,boden fr die ,induction ungnstig2 denn hier fehlt jene ,gleichfrmigkeit1 welche sonst diesem ,verfahren eine grosse ,zuverlssigkeit geben kann4 ,schon ,leibniz#ai lsst dem ,philalthe auf seine ,behauptung3 ,die verschiedenen ,modi der ,zahl sind keiner andern ,verschiedenheit fhig1 als des mehr oder weniger2 daher sind es einfache ,modi wie die des ,raumes antworten3 ,das kann man von der ,zeit und der geraden ,linie sagen1 aber keinesfalls von den ,figuren und noch weniger von den ,zahlen1 die nicht blos an ,grsse verschieden1 sondern auch unhnlich sind4 ,eine gerade ,zahl kann in zwei gleiche ,theile getheilt werden und nicht eine ungerade2 #c und #f sind triangulre ,zahlen1 #d und #i sind ,quadrate1 #h ist ein ,cubus u4 s4 f42 und dies findet bei den ,zahlen noch mehr statt als bei den ,figuren2 denn zwei ungleiche ,figuren knnen einander vollkommen hnlich sein1 aber niemals zwei ,zahlen4 ,wir haben uns zwar daran gewhnt1 die ,zahlen in vielen ,beziehungen als gleichartig zu betrachten2 das kommt aber nur daher1 weil wir eine ,menge allgemeiner ,stze kennen1 die von allen ,zahlen gelten4 ,hier mssen wir uns jedoch auf den ,standpunkt stellen1 wo noch keiner von diesen anerkannt ist4 ,in der ,that mchte es schwer sein1 ein ,beispiel fr einen ,inductionsschluss zu finden1 das unserem ,falle entsprche4 ,sonst kommt uns oft der ,satz zu statten1 dass jeder ,ort im ,raume und jeder ,zeitpunkt an und fr sich so gut wie jeder andere ist4 ,ein ,erfolg muss an einem andern ,orte und zu einer andern ,zeit ebensogut eintreten1 wenn nur die ,bedingungen dieselben sind4 ,das fllt hier hinweg1 weil die ,zahlen raum- und zeitlos sind4 ,die ,stellen in der ,zahlenreihe sind nicht gleichwerthig wie die ,orte des ,raumes4 ,die ,zahlen verhalten sich auch ganz anders als die ,individuen etwa einer ,thierart1 da sie eine durch die ,natur der ,sache bestimmte ,rangordnung haben1 da jede auf eigne ,weise gebildet ist und ihre ,eigenart hat1 die besonders bei der #j1 der #a und der #b hervortritt4 ,wenn man sonst einen ,satz in ,bezug auf eine ,gattung durch ,induction begrndet1 hat man gewhnlich schon eine ganze ,reihe gemeinsamer ,eigenschaften allein schon durch die ,definition des ,gattungsbegriffes4 ,hier hlt es schwer1 nur eine einzige zu finden1 die nicht selbst erst nachzuweisen wre4 ,am leichtesten mchte sich unser ,fall noch mit folgendem vergleichen lassen4 ,man habe in einem ,bohrloche eine mit der ,tiefe regelmssig zunehmende ,temperatur bemerkt2 man habe bisher sehr verschiedene ,gesteinsschichten angetroffen4 ,es ist dann offenbar aus den ,beobachtungen1 die man an diesem ,bohrloche gemacht hat1 allein nichts ber die ,beschaffenheit der tiefern ,schichten zu schliessen1 und ob die ,regelmssigkeit der ,temperaturvertheilung sich weiter bewhren wrde1 muss dahingestellt bleiben4 ,unter den ,begriff was bei fortgesetztem ,bohren angetroffen wird fllt zwar das bisher ,beobachtete wie das ,tieferliegende2 aber das kann hier wenig ntzen4 ,ebenso wenig wird es uns bei den ,zahlen ntzen1 dass sie smmtlich unter den ,begriff was man durch fortgesetzte ,vermehrung um eins erhlt fallen4 ,man kann eine ,verschiedenheit der beiden ,flle darin finden1 dass die ,schichten nur angetroffen werden1 die ,zahlen aber durch die fortgesetzte ,vermehrung um eins geradezu geschaffen und ihrem ganzen ,wesen nach bestimmt werden4 ,dies kann nur heissen1 dass man aus der ,weise1 wie eine ,zahl1 z4 ,b4 #h1 durch ,vermehrung um #a entstanden ist1 alle ihre ,eigenschaften ableiten kann4 ,damit giebt man im ,grunde zu1 dass die ,eigenschaften der ,zahlen aus ihren ,definitionen folgen1 und es erffnet sich die ,mglichkeit1 die allgemeinen ,gesetze der ,zahlen aus der allen gemeinsamen ,entstehungsweise zu beweisen1 whrend die besondern ,eigenschaften der einzelnen aus der besondern ,weise zu folgern wren1 wie sie durch fortgesetzte ,vermehrung um eins gebildet sind4 ,so kann man auch1 was bei den ,erdschichten1 schon durch die ,tiefe allein bestimmt ist1 in der sie getroffen werden1 also ihre ,lagenverhltnisse1 eben daraus schliessen1 ohne dass man die ,induction nthig htte2 was aber nicht dadurch bestimmt ist1 kann auch die ,induction nicht lehren4 ,vermuthlich kann das ,verfahren der ,induction selbst nur mittels allgemeiner ,stze der ,arithmetik gerechtfertigt werden1 wenn man darunter nicht eine blosse ,gewhnung versteht4 ,diese hat nmlich durchaus keine wahrheitverbrgende ,kraft4 ,whrend das wissenschaftliche ,verfahren nach objectiven ,maasstben bald in einer einzigen ,besttigung eine hohe ,wahrscheinlichkeit begrndet findet1 bald tausendfaches ,eintreffen fast fr werthlos erachtet1 wird die ,gewhnung durch ,zahl und ,strke der ,eindrcke und subjective ,verhltnisse bestimmt1 die keinerlei ,recht haben1 auf das ,urtheil ,einfluss zu ben4 ,die ,induction muss sich auf die ,lehre von der ,wahrscheinlichkeit sttzen1 weil sie einen ,satz nie mehr als wahrscheinlich machen kann4 ,wie diese ,lehre aber ohne ,voraussetzung arithmetischer ,gesetze entwickelt werden knne1 ist nicht abzusehen4 #aa4 ,leibniz#bj meint dagegen1 dass die nothwendigen ,wahrheiten1 wie man solche in der ,arithmetik findet1 ,principien haben mssen1 deren ,beweis nicht von den ,beispielen und also nicht von dem ,zeugnisse der ,sinne abhangt1 wiewohl ohne die ,sinne sich niemand htte einfallen lassen1 daran zu denken4 ,die ganze ,arithmetik ist uns eingeboren und in uns auf virtuelle ,weise4 ,wie er den ,ausdruck eingeboren meint1 verdeutlicht eine andere ,stelle#ba3 ,es ist nicht wahr1 dass alles1 was man lernt1 nicht eingeboren sei2 -- die ,wahrheiten der ,zahlen sind in uns1 und nichtsdestoweniger lernt man sie1 sei es1 indem man sie aus ihrer ,quelle zieht1 wenn man sie auf beweisende ,art lernt 7was eben zeigt1 dass sie eingeboren sind71 sei es 4444 ,sind die ,gesetze der ,arithmetik synthetisch apriori oder analytisch8 #ab4 ,wenn man den ,gegensatz von analytisch und synthetisch hinzunimmt1 ergeben sich vier ,combinationen1 von denen jedoch eine1 nmlich analytisch aposteriori ausfllt4 ,wenn man sich mit ,mill fr aposteriori entschieden hat1 bleibt also keine ,wahl1 sodass fr uns nur noch die ,mglichkeiten synthetisch apriori und analytisch zu erwgen bleiben4 ,fr die erstere entscheidet sich ,kant4 ,in diesem ,falle bleibt wohl nichts brig1 als eine reine ,anschauung als letzten ,erkenntnissgrund anzurufen1 obwohl hier schwer zu sagen ist1 ob es eine rumliche oder zeitliche ist1 oder welche es sonst sein mag4 ,baumann#bb stimmt ,kant1 wenngleich mit etwas anderer ,begrndung1 bei4 ,auch nach ,lipschitz#bc fliessen die ,stze1 welche die ,unabhngigkeit der ,anzahl von der ,art des ,zhlens und die ,vertauschbarkeit und ,gruppirbarkeit der ,summanden behaupten1 aus der inneren ,anschauung4 ,hankel#bd grndet die ,lehre von den reellen ,zahlen auf drei ,grundstze1 denen er den ,charakter der notiones communes zuschreibt3 ,sie werden durch ,explication vollkommen evident1 gelten fr alle ,grssengebiete nach der reinen ,anschauung der ,grsse und knnen1 ohne ihren ,charakter einzubssen1 in ,definitionen verwandelt werden1 indem man sagt3 ,unter der ,addition von ,grssen versteht man eine ,operation1 welche diesen ,stzen gengt4 ,in der letzten ,behauptung liegt eine ,unklarheit4 ,vielleicht kann man die ,definition machen2 aber sie kann keinen ,ersatz fr jene ,grundstze bilden2 denn bei der ,anwendung wrde es sich immer darum handeln3 sind die ,anzahlen ,grssen1 und ist das1 was man ,addition der ,anzahlen zu nennen pflegt1 ,addition im ,sinne dieser ,definition8 ,und zur ,beantwortung msste man jene ,stze von den ,anzahlen schon kennen4 ,ferner erregt der ,ausdruck reine ,anschauung der ,grsse ,anstoss4 ,wenn man erwgt1 was alles ,grsse genannt wird3 ,anzahlen1 ,lngen1 ,flcheninhalte1 ,volumina1 ,winkel1 ,krmmungen1 ,massen1 ,geschwindigkeiten1 ,krfte1 ,lichtstrken1 galvanische ,stromstrken u4 s4 f41 so ist wohl zu verstehen1 wie man dies einem ,grssenbegriffe unterordnen kann2 aber der ,ausdruck ,anschauung der ,grsse und gar reine ,anschauung der ,grsse kann nicht als zutreffend anerkannt werden4 ,ich kann nicht einmal eine ,anschauung von #ajjjjj zugeben1 noch viel weniger von ,zahl im ,allgemeinen oder gar von ,grsse im ,allgemeinen4 ,man beruft sich zu leicht auf innere ,anschauung1 wenn man keinen andern ,grund anzugeben vermag4 ,aber man sollte dabei den ,sinn des ,wortes ,anschauung doch nicht ganz aus dem ,auge verlieren4 ,kant definirt in der ,logik 7ed4 ,hartenstein1 ,,viii1 ,s4 #hh73 ,die ,anschauung ist eine einzelne ,vorstellung 7repraesentatio singularis71 der ,begriff eine allgemeine 7repraesentatio per notas communes7 oder reflectirte ,vorstellung 7repraesentatio discursiva74 ,hier kommt die ,beziehung zur ,sinnlichkeit gar nicht zum ,ausdrucke1 die doch in der transcendentalen ,aesthetik hinzugedacht wird1 und ohne welche die ,anschauung nicht als ,erkenntnissprincip fr die synthetischen ,urtheile apriori dienen kann4 ,in der ,kr4 d4 r4 ,v4 7ed4 ,hartenstein ,,iii1 ,s4 #ee7 heisst es3 ,vermittelst der ,sinnlichkeit also werden uns ,gegenstnde gegeben und sie allein liefert uns ,anschauungen4 ,der ,sinn unseres ,wortes in der ,logik ist demnach ein weiterer als in der trancendentalen ,aesthetik4 ,im logischen ,sinne knnte man vielleicht #ajjjjj eine ,anschauung nennen2 denn ein allgemeiner ,begriff ist es nicht4 ,aber in diesem ,sinne genommen1 kann die ,anschauung nicht zur ,begrndung der arithmetischen ,gesetze dienen4 #ac4 ,ueberhaupt wird es gut sein1 die ,verwandtschaft mit der ,geometrie nicht zu berschtzen4 ,ich habe schon eine leibnizische ,stelle dagegen angefhrt4 ,ein geometrischer ,punkt fr sich betrachtet1 ist von irgendeinem andern gar nicht zu unterscheiden2 dasselbe gilt von ,geraden und ,ebenen4 ,erst wenn mehre ,punkte1 ,gerade1 ,ebenen in einer ,anschauung gleichzeitig aufgefasst werden1 unterscheidet man sie4 ,wenn in der ,geometrie allgemeine ,stze aus der ,anschauung gewonnen werden1 so ist das daraus erklrlich1 dass die angeschauten ,punkte1 ,geraden1 ,ebenen eigentlich gar keine besondern sind und daher als ,vertreter ihrer ganzen ,gattung gelten knnen4 ,anders liegt die ,sache bei den ,zahlen3 jede hat ihre ,eigenthmlichkeit4 ,inwiefern eine bestimmte ,zahl alle andern vertreten kann1 und wo ihre ,besonderheit sich geltend macht1 ist ohne ,weiteres nicht zu sagen4 #ad4 ,auch die ,vergleichung der ,wahrheiten in ,bezug auf das von ihnen beherrschte ,gebiet spricht gegen die empirische und synthetische ,natur der arithmetischen ,gesetze4 ,die ,erfahrungsstze gelten fr die physische oder psychologische ,wirklichkeit1 die geometrischen ,wahrheiten beherrschen das ,gebiet des rumlich ,anschaulichen1 mag es nun ,wirklichkeit oder ,erzeugniss der ,einbildungskraft sein4 ,die tollsten ,fieberphantasien1 die khnsten ,erfindungen der ,sage und der ,dichter1 welche ,thiere reden1 ,gestirne stille stehen lassen1 aus ,steinen ,menschen und aus ,menschen ,bume machen1 und lehren1 wie man sich am eignen ,schopfe aus dem ,sumpfe zieht1 sie sind doch1 sofern sie anschaulich bleiben1 an die ,axiome der ,geometrie gebunden4 ,von diesen kann nur das begriffliche ,denken in gewisser ,weise loskommen1 wenn es etwa einen ,raum von vier ,dimensionen oder von positivem ,krmmungsmaasse annimmt4 ,solche ,betrachtungen sind durchaus nicht unntz2 aber sie verlassen ganz den ,boden der ,anschauung4 ,wenn man diese auch dabei zu ,hilfe nimmt1 so ist es doch immer die ,anschauung des euklidischen ,raumes1 des einzigen1 von dessen ,gebilden wir eine haben4 ,sie wird dann nur nicht so1 wie sie ist1 sondern symbolisch fr etwas anderes genommen2 man nennt z4 ,b4 gerade oder eben1 was man doch als ,krummes anschaut4 ,fr das begriffliche ,denken kann man immerhin von diesem oder jenem geometrischen ,axiome das ,gegentheil annehmen1 ohne dass man in ,widersprche mit sich selbst verwickelt wird1 wenn man ,schlussfolgerungen aus solchen der ,anschauung widerstreitenden ,annahmen zieht4 ,diese ,mglichkeit zeigt1 dass die geometrischen ,axiome von einander und von den logischen ,urgesetzen unabhngig1 also synthetisch sind4 ,kann man dasselbe von den ,grundstzen der ,zahlenwissenschaft sagen8 ,strzt nicht alles in ,verwirrung1 wenn man einen von diesen leugnen wollte8 ,wre dann noch ,denken mglich8 ,liegt nicht der ,grund der ,arithmetik tiefer als der alles ,erfahrungswissens1 tiefer selbst als der der ,geometrie8 ,die arithmetischen ,wahrheiten beherrschen das ,gebiet des ,zhlbaren4 ,dies ist das umfassendste2 denn nicht nur das ,wirkliche1 nicht nur das ,anschauliche gehrt ihm an1 sondern alles ,denkbare4 ,sollten also nicht die ,gesetze der ,zahlen mit denen des ,denkens in der innigsten ,verbindung stehen8 #ae4 ,dass ,leibnizens ,aussprche sich nur zu ,gunsten der analytischen ,natur der ,zahlgesetze deuten lassen1 ist vorauszusehen1 da fr ihn das ,apriori mit dem ,analytischen zusammenfllt4 ,so sagt er#be1 dass die ,algebra ihre ,vortheile einer viel hhern ,kunst1 nmlich der wahren ,logik entlehne4 ,an einer andern ,stelle#bf vergleicht er die nothwendigen und zuflligen ,wahrheiten mit den commensurabeln und incommensurabeln ,grssen und meint1 dass bei nothwendigen ,wahrheiten ein ,beweis oder eine ,zurckfhrung auf ,identitten mglich sei4 ,doch diese ,aeusserungen verlieren dadurch an ,gewicht1 dass ,leibniz dazu neigt1 alle ,wahrheiten als beweisbar anzusehen#bg3 444 dass jede ,wahrheit ihren apriorischen1 aus dem ,begriff der ,termini gezogenen ,beweis hat1 wiewohl es nicht immer in unserer ,macht steht1 zu dieser ,analyse zu kommen4 ,der ,vergleich mit der ,commensurabilitt und ,incommensurabilitt richtet freilich doch wieder eine fr uns wenigstens unberschreitbare ,schranke zwischen zuflligen und nothwendigen ,wahrheiten auf4 ,sehr entschieden im ,sinne der analytischen ,natur der ,zahlgesetze spricht sich ,w4 ,stanley ,jevons aus#bh3 ,zahl ist nur logische ,unterscheidung und ,algebra eine hoch entwickelte ,logik4 #af4 ,aber auch diese ,ansicht hat ihre ,schwierigkeiten4 ,soll dieser hochragende1 weitverzweigte und immer noch wachsende ,baum der ,zahlenwissenschaft in blossen ,identitten wurzeln8 ,und wie kommen die leeren ,formen der ,logik dazu1 aus sich heraus solchen ,inhalt zu gewinnen8 ,mill meint3 ,die ,lehre1 dass wir durch kunstfertiges ,handhaben der ,sprache ,thatsachen entdecken1 die verborgene ,naturprocesse enthllen knnen1 ist dem gesunden ,menschenverstande so entgegen1 dass es schon einen ,fortschritt in der ,philosophie verlangt1 um sie zu glauben4 ,gewiss dann1 wenn man sich bei dem kunstfertigen ,handhaben nichts denkt4 ,mill wendet sich hier gegen einen ,formalismus1 der kaum von irgendwem vertreten wird4 ,jeder1 der ,worte oder mathematische ,zeichen gebraucht1 macht den ,anspruch1 dass sie etwas bedeuten1 und niemand wird erwarten1 dass aus leeren ,zeichen etwas ,sinnvolles hervorgehe4 ,aber es ist mglich1 dass ein ,mathematiker lngere ,rechnungen vollfhrt1 ohne unter seinen ,zeichen etwas sinnlich ,wahrnehmbares1 ,anschauliches zu verstehen4 ,darum sind diese ,zeichen noch nicht sinnlos2 man unterscheidet dennoch ihren ,inhalt von ihnen selbst1 wenn dieser auch vielleicht nur mittels der ,zeichen fassbar wird4 ,man ist sich bewusst1 dass andere ,zeichen fr ,dasselbe htten festgesetzt werden knnen4 ,es gengt zu wissen1 wie der in den ,zeichen versinnlichte ,inhalt logisch zu behandeln ist1 und wenn man ,anwendungen auf die ,physik machen will1 wie der ,uebergang zu den ,erscheinungen geschehen muss4 ,aber in einer solchen ,anwendung ist nicht der eigentliche ,sinn der ,stze zu sehen4 ,dabei geht immer ein grosser ,theil der ,allgemeinheit verloren1 und es kommt etwas ,besonderes hinein1 das bei andern ,anwendungen durch ,anderes ersetzt wird4 #ag4 ,man kann trotz aller ,herabsetzung der ,deduction doch nicht leugnen1 dass die durch ,induction begrndeten ,gesetze nicht gengen4 ,aus ihnen mssen neue ,stze abgeleitet werden1 die in keinem einzelnen von jenen enthalten sind4 ,dass sie in allen zusammen schon in gewisser ,weise stecken1 entbindet nicht von der ,arbeit1 sie daraus zu entwickeln und fr sich herauszustellen4 ,damit erffnet sich folgende ,mglichkeit4 ,statt eine ,schlussreihe unmittelbar an eine ,thatsache anzuknpfen1 kann man1 diese dahingestellt sein lassend1 ihren ,inhalt als ,bedingung mitfhren4 ,indem man so alle ,thatsachen in einer ,gedankenreihe durch ,bedingungen ersetzt1 wird man das ,ergebniss in der ,form erhalten1 dass von einer ,reihe von ,bedingungen ein ,erfolg abhngig gemacht ist4 ,diese ,wahrheit wre durch ,denken allein1 oder1 um mit ,mill zu reden1 durch kunstfertiges ,handhaben der ,sprache begrndet4 ,es ist nicht unmglich1 dass die ,zahlgesetze von dieser ,art sind4 ,sie wren dann analytische ,urtheile1 obwohl sie nicht durch ,denken allein gefunden zu sein brauchten2 denn nicht die ,weise des ,findens kommt hier in ,betracht1 sondern die ,art der ,beweisgrnde2 oder1 wie ,leibniz sagt#bi1 es handelt sich hier nicht um die ,geschichte unserer ,entdeckungen1 die verschieden ist in verschiedenen ,menschen1 sondern um die ,verknpfung und die natrliche ,ordnung der ,wahrheiten1 die immer dieselbe ist4 ,die ,beobachtung htte dann zuletzt zu entscheiden1 ob die in dem so begrndeten ,gesetze enthaltenen ,bedingungen erfllt sind4 ,so wrde man schliesslich eben dahin gelangen1 wohin man durch unmittelbare ,anknpfung der ,schlussreihe an die beobachteten ,thatsachen gekommen wre4 ,aber die hier angedeutete ,art des ,vorgehens ist in vielen ,fllen vorzuziehen1 weil sie auf einen allgemeinen ,satz fhrt1 der nicht nur auf die grade vorliegenden ,thatsachen anwendbar zu sein braucht4 ,die ,wahrheiten der ,arithmetik wrden sich dann zu denen der ,logik hnlich verhalten wie die ,lehrstze zu den ,axiomen der ,geometrie4 ,jede wrde in sich eine ganze ,schlussreihe fr den knftigen ,gebrauch verdichtet enthalten1 und ihr ,nutzen wrde darin bestehen1 dass man die ,schlsse nicht mehr einzeln zu machen braucht1 sondern gleich das ,ergebniss der ganzen ,reihe aussprechen kann#cj4 ,angesichts der gewaltigen ,entwickelung der arithmetischen ,lehren und ihrer vielfachen ,anwendungen wird sich dann freilich die weit verbreitete ,geringschtzung der analytischen ,urtheile und das ,mrchen von der ,unfruchtbarkeit der reinen ,logik nicht halten lassen4 ,wenn man diese nicht hier zuerst geusserte ,ansicht im ,einzelnen so streng durchfhren knnte1 dass nicht der geringste ,zweifel zurckbliebe1 so wrde das1 wie mir scheint1 kein ganz unwichtiges ,ergebniss sein4 ,,ii4 ,meinungen einiger ,schriftsteller ber den ,begriff der ,anzahl4 #ah4 ,indem wir uns nun den ursprnglichen ,gegenstnden der ,arithmetik zuwenden1 unterscheiden wir die einzelnen ,zahlen #c1 #d u4 s4 f4 von dem allgemeinen ,begriffe der ,anzahl4 ,nun haben wir uns schon dafr entschieden1 dass die einzelnen ,zahlen am besten in der ,weise von ,leibniz1 ,mill1 ,h4 ,grassmann und ,andern aus der ,eins und der ,vermehrung um eins abgeleitet werden1 dass aber diese ,erklrungen unvollstndig bleiben1 solange die ,eins und die ,vermehrung um eins unerklrt sind4 ,wir haben gesehen1 dass man allgemeiner ,stze bedarf1 um aus diesen ,definitionen die ,zahlformeln abzuleiten4 ,solche ,gesetze knnen eben wegen ihrer ,allgemeinheit nicht aus den ,definitionen der einzelnen ,zahlen folgen1 sondern nur aus dem allgemeinen ,begriffe der ,anzahl4 ,wir unterwerfen diesen jetzt einer genaueren ,betrachtung4 ,dabei werden voraussichtlich auch die ,eins und die ,vermehrung um eins errtert werden mssen und somit auch die ,definitionen der einzelnen ,zahlen eine ,ergnzung zu erwarten haben4 #ai4 ,hier mchte ich mich nun gleich gegen den ,versuch wenden1 die ,zahl geometrisch als ,verhltnisszahl von ,lngen oder ,flchen zu fassen4 ,man glaubte offenbar die vielfachen ,anwendungen der ,arithmetik auf ,geometrie dadurch zu erleichtern1 dass man gleich die ,anfnge in die engste ,beziehung setzte4 ,newton#ca will unter ,zahl nicht so sehr eine ,menge von ,einheiten als das abstracte ,verhltniss einer jeden ,grsse zu einer andern derselben ,art verstehen1 die als ,einheit genommen wird4 ,man kann zugeben1 dass hiermit die ,zahl im weitern ,sinne1 wozu auch die ,brche und ,irrationalzahlen gehren1 zutreffend beschrieben sei2 doch werden hierbei die ,begriffe der ,grsse und des ,grssenverhltnisses vorausgesetzt4 ,danach scheint es1 dass die ,erklrung der ,zahl im engern ,sinne1 der ,anzahl1 nicht berflssig werde2 denn ,euklid braucht den ,begriff des ,gleichvielfachen um die ,gleichheit von zwei ,lngenverhltnissen zu definiren2 und das ,gleichvielfache kommt wieder auf eine ,zahlengleichheit hinaus4 ,aber es mag sein1 dass die ,gleichheit von ,lngenverhltnissen unabhngig vom ,zahlbegriffe definirbar ist4 ,man bliebe dann jedoch im ,ungewissen darber1 in welcher ,beziehung die so geometrisch definirte ,zahl zu der ,zahl des gemeinen ,lebens stnde4 ,dies wre dann ganz von der ,wissenschaft getrennt4 ,und doch kann man wohl von der ,arithmetik verlangen1 dass sie die ,anknpfungspunkte fr jede ,anwendung der ,zahl bieten muss1 wenn auch die ,anwendung selbst nicht ihre ,sache ist4 ,auch das gewhnliche ,rechnen muss die ,begrndung seines ,verfahrens in der ,wissenschaft finden4 ,und dann erhebt sich die ,frage1 ob die ,arithmetik selbst mit einem geometrischen ,begriffe der ,zahl auskomme1 wenn man an die ,anzahl der ,wurzeln einer ,gleichung1 der ,zahlen1 die prim zu einer ,zahl und kleiner als sie sind1 und hnliche ,vorkommnisse denkt4 ,dagegen kann die ,zahl1 welche die ,antwort auf die ,frage wieviel8 giebt1 auch bestimmen1 wieviel ,einheiten in einer ,lnge enthalten sind4 ,die ,rechnung mit negativen1 gebrochenen1 ,irrationalzahlen kann auf die mit den natrlichen ,zahlen zurckgefhrt werden4 ,newton wollte aber vielleicht unter ,grssen1 als deren ,verhltniss die ,zahl definirt wird1 nicht nur geometrische1 sondern auch ,mengen verstehen4 ,dann wird jedoch die ,erklrung fr unsern ,zweck unbrauchbar1 weil von den ,ausdrcken ,zahl1 durch die eine ,menge bestimmt wird und ,verhltniss einer ,menge zur ,mengeneinheit der letztere keine bessere ,auskunft als der erstere giebt4 #bj4 ,die erste ,frage wird nun sein1 ob ,zahl definirbar ist4 ,hankel#cb spricht sich dagegen aus3 ,was es heisst1 ein ,object #amal1 #bmal1 #cmal 444 denken oder setzen1 kann bei der principiellen ,einfachheit des ,begriffes der ,setzung nicht definirt werden4 ,hier kommt es jedoch weniger auf das ,setzen als auf das #amal1 #bmal1 #cmal an4 ,wenn dies definirt werden knnte1 so wrde die ,undefinirbarkeit des ,setzens uns wenig beunruhigen4 ,leibniz ist geneigt1 die ,zahl wenigstens annhernd als adaequate ,idee anzusehen1 d4 h4 als eine solche1 die so deutlich ist1 dass alles1 was in ihr vorkommt1 wieder deutlich ist4 ,wenn man im ,ganzen mehr dazu neigt1 die ,anzahl fr undefinirbar zu halten1 so liegt das wohl mehr an dem ,misslingen darauf gerichteter ,versuche als an dem ,bestehen der ,sache selbst entnommener ,gegengrnde4 ,ist die ,anzahl eine ,eigenschaft der usseren ,dinge8 #ba4 ,versuchen wir wenigstens der ,anzahl ihre ,stelle unter unsern ,begriffen anzuweisen6 ,in der ,sprache erscheinen ,zahlen meistens in adjectivischer ,form und in attributiver ,verbindung hnlich wie die ,wrter hart1 schwer1 roth1 welche ,eigenschaften der usseren ,dinge bedeuten4 ,es liegt die ,frage nahe1 ob man die einzelnen ,zahlen auch so auffassen msse1 und ob demgemss der ,begriff der ,anzahl etwa mit dem der ,farbe zusammengestellt werden knne4 ,dies scheint die ,meinung von ,m4 ,cantor#cc zu sein1 wenn er die ,mathematik eine ,erfahrungswissenschaft nennt1 insofern sie von der ,betrachtung von ,objecten der ,aussenwelt ihren ,anfang nehme4 ,nur durch ,abstraction von ,gegenstnden entstehe die ,zahl4 ,e4 ,schrder#cd lsst die ,zahl der ,wirklichkeit nachgebildet1 aus ihr entnommen werden1 indem die ,einheiten durch ,einer abgebildet wrden4 ,dies nennt er ,abstrahiren der ,zahl4 ,bei dieser ,abbildung wrden die ,einheiten nur in ,hinsicht ihrer ,hufigkeit dargestellt1 indem von allen andern ,bestimmungen der ,dinge als ,farbe1 ,gestalt abgesehen werde4 ,hier ist ,hufigkeit nur ein anderer ,ausdruck fr ,anzahl4 ,schrder stellt also ,hufigkeit oder ,anzahl in eine ,linie mit ,farbe und ,gestalt und betrachtet sie als eine ,eigenschaft der ,dinge4 #bb4 ,baumann#ce verwirft den ,gedanken1 dass die ,zahlen von den ussern ,dingen abgezogene ,begriffe seien3 ,weil nmlich die ussern ,dinge uns keine strengen ,einheiten darstellen2 sie stellen uns abgegrnzte ,gruppen oder sinnliche ,punkte dar1 aber wir haben die ,freiheit1 diese selber wieder als ,vieles zu betrachten4 ,in der ,that1 whrend ich nicht im ,stande bin1 durch blosse ,auffassungsweise die ,farbe eines ,dinges oder seine ,hrte im ,geringsten zu verndern1 kann ich die ,ilias als ,ein ,gedicht1 als #bd ,gesnge oder als eine grosse ,anzahl von ,versen auffassen4 ,spricht man nicht in einem ganz andern ,sinne von #ajjj ,blttern als von grnen ,blttern des ,baumes8 ,die grne ,farbe legen wir jedem ,blatte bei1 nicht so die ,zahl #ajjj4 ,wir knnen alle ,bltter des ,baumes unter dem ,namen seines ,laubes zusammenfassen4 ,auch dieses ist grn1 aber nicht #ajjj4 ,wem kommt nun eigentlich die ,eigenschaft #ajjj zu8 ,fast scheint es weder dem einzelnen ,blatte noch der ,gesammtheit2 vielleicht gar nicht eigentlich den ,dingen der ,aussenwelt8 ,wenn ich jemandem einen ,stein gebe mit den ,worten3 bestimme das ,gewicht hiervon1 so habe ich ihm damit den ganzen ,gegenstand seiner ,untersuchung gegeben4 ,wenn ich ihm aber einen ,pack ,spielkarten in die ,hand gebe mit den ,worten3 bestimme die ,anzahl hiervon1 so weiss er nicht1 ob ich die ,zahl der ,karten oder der vollstndigen ,spiele oder etwa der ,wertheinheiten beim ,skatspiele erfahren will4 ,damit1 dass ich ihm den ,pack in die ,hand gebe1 habe ich ihm den ,gegenstand seiner ,untersuchung noch nicht vollstndig gegeben2 ich muss ein ,wort3 ,karte1 ,spiel1 ,wertheinheit hinzufgen4 ,man kann auch nicht sagen1 dass die verschiedenen ,zahlen hier so wie die verschiedenen ,farben neben einander bestehen4 ,auf die einzelne farbige ,flche kann ich hindeuten1 ohne ein ,wort zu sagen1 nicht so auf die einzelne ,zahl4 ,wenn ich einen ,gegenstand mit demselben ,rechte grn und roth nennen kann1 so ist das ein ,zeichen1 dass dieser ,gegenstand nicht der eigentliche ,trger des ,grnen ist4 ,diesen habe ich erst in einer ,flche1 die nur grn ist4 ,so ist auch ein ,gegenstand1 dem ich mit demselben ,rechte verschiedene ,zahlen zuschreiben kann1 nicht der eigentliche ,trger einer ,zahl4 ,ein wesentlicher ,unterschied zwischen ,farbe und ,anzahl besteht demnach darin1 dass die blaue ,farbe einer ,flche unabhngig von unserer ,willkhr zukommt4 ,sie ist ein ,vermgen1 gewisse ,lichtstrahlen zurckzuwerfen1 andere mehr oder weniger zu verschlucken1 und daran kann unsere ,auffassung nicht das ,geringste ndern4 ,dagegen kann ich nicht sagen1 dass dem ,pack ,spielkarten die ,anzahl #a oder #ajj oder irgend eine andere an sich zukomme1 sondern hchstens in ,bezug auf unsere willkhrliche ,auffassungsweise1 und dann auch nicht so1 dass wir ihm die ,anzahl einfach als ,praedicat beilegen knnten4 ,was wir ein vollstndiges ,spiel nennen wollen1 ist offenbar eine willkhrliche ,festsetzung und der ,pack ,spielkarten weiss nichts davon4 ,indem wir ihn aber in dieser ,hinsicht betrachten1 entdecken wir vielleicht1 dass wir ihn zwei vollstndige ,spiele nennen knnen4 ,jemand1 der nicht wsste1 was man ein vollstndiges ,spiel nennt1 wrde wahrscheinlich irgend eine andere ,anzahl eher an ihm herausfinden1 als grade die ,zwei4 #bc4 ,die ,frage1 wem die ,zahl als ,eigenschaft zukomme1 beantwortet ,mill#cf so3 ,der ,name einer ,zahl bezeichnet eine ,eigenschaft1 die dem ,aggregat von ,dingen angehrt1 welche wir mit dem ,namen benennen2 und diese ,eigenschaft ist die charakteristische ,weise1 in welcher das ,aggregat zusammengesetzt ist oder in ,theile zerlegt werden kann4 ,hier ist zunchst der bestimmte ,artikel in dem ,ausdrucke die charakteristische ,weise ein ,fehler2 denn es giebt sehr verschiedene ,weisen1 wie man ein ,aggregat zerlegen kann1 und man kann nicht sagen1 dass ,eine allein charakteristisch wre4 ,ein ,bndel ,stroh kann z4 ,b4 so zerlegt werden1 dass man alle ,halme durchschneidet1 oder so1 dass man es in einzelne ,halme auflst1 oder so dass man zwei ,bndel daraus macht4 ,ist denn ein ,haufe von hundert ,sandkrnern ebenso zusammengesetzt wie ein ,bndel von #ajj ,strohhalmen8 und doch hat man dieselbe ,zahl4 ,das ,zahlwort ,ein in dem ,ausdruck ,ein ,strohhalm drckt doch nicht aus1 wie dieser ,halm aus ,zellen oder aus ,molekeln zusammengesetzt ist4 ,noch mehr ,schwierigkeit macht die ,zahl #j4 ,mssen denn die ,strohhalme berhaupt ein ,bndel bilden1 um gezhlt werden zu knnen8 ,muss man die ,blinden im ,deutschen ,reiche durchaus in einer ,versammlung vereinigen1 damit der ,ausdruck ,zahl der ,blinden im ,deutschen ,reiche einen ,sinn habe8 ,sind tausend ,weizenkrner1 nachdem sie ausgeset sind1 nicht mehr tausend ,weizenkrner8 ,giebt es eigentlich ,aggregate von ,beweisen eines ,lehrsatzes oder von ,ereignissen8 und doch kann man auch diese zhlen4 ,dabei ist es gleichgiltig1 ob die ,ereignisse gleichzeitig oder durch ,jahrtausende getrennt sind4 #bd4 ,damit kommen wir auf einen andern ,grund1 die ,zahl nicht mit ,farbe und ,festigkeit zusammenzustellen3 die bei weitem grssere ,anwendbarkeit4 ,mill#cg meint1 die ,wahrheit1 dass1 was aus ,theilen zusammengesetzt ist1 aus ,theilen dieser ,theile zusammengesetzt ist1 sei von allen ,naturerscheinungen giltig1 weil alle gezhlt werden knnten4 ,aber kann nicht noch weit mehr gezhlt werden8 ,locke#ch sagt3 ,die ,zahl findet ,anwendung auf ,menschen1 ,engel1 ,handlungen1 ,gedanken1 jedes ,ding1 das existirt oder vorgestellt werden kann4 ,leibniz#ci verwirft die ,meinung der ,scholastiker1 dass die ,zahl auf unkrperliche ,dinge unanwendbar sei1 und nennt die ,zahl gewissermaassen eine unkrperliche ,figur1 entstanden aus der ,vereinigung irgendwelcher ,dinge1 z4 ,b4 ,gottes1 eines ,engels1 eines ,menschen1 der ,bewegung1 welche zusammen vier sind4 ,daher1 meint er1 ist die ,zahl etwas ganz ,allgemeines und zur ,metaphysik gehrig4 ,an einer andern ,stelle#dj sagt er3 ,gewogen kann nicht werden1 was nicht ,kraft und ,vermgen hat2 was keine ,theile hat1 hat demgemss kein ,maass2 aber es giebt nichts1 was nicht die ,zahl zulsst4 ,so ist die ,zahl gleichsam die metaphysische ,figur4 ,es wre in der ,that wunderbar1 wenn eine1 von ussern ,dingen abstrahirte ,eigenschaft1 auf ,ereignisse1 auf ,vorstellungen1 auf ,begriffe ohne ,aenderung des ,sinnes bertragen werden knnte4 ,es wre grade so1 als ob man von einem schmelzbaren ,ereignisse1 einer blauen ,vorstellung1 einem salzigen ,begriffe1 einem zhen ,urtheile reden wollte4 ,es ist ungereimt1 dass an ,unsinnlichem vorkomme1 was seiner ,natur nach sinnlich ist4 ,wenn wir eine blaue ,flche sehen1 so haben wir einen eigenthmlichen ,eindruck1 der dem ,worte blau entspricht2 und diesen erkennen wir wieder1 wenn wir eine andere blaue ,flche erblicken4 ,wollten wir annehmen1 dass in derselben ,weise beim ,anblick eines ,dreiecks etwas ,sinnliches dem ,worte drei entsprche1 so mssten wir dies auch in drei ,begriffen wiederfinden2 etwas ,unsinnliches wrde etwas ,sinnliches an sich haben4 ,man kann wohl zugeben1 dass dem ,worte dreieckig eine ,art sinnlicher ,eindrcke entspreche1 aber man muss dabei dies ,wort als ,ganzes nehmen4 ,die ,drei darin sehen wir nicht unmittelbar2 sondern wir sehen etwas1 woran eine geistige ,thtigkeit anknpfen kann1 welche zu einem ,urtheile fhrt1 in dem die ,zahl #c vorkommt4 ,womit nehmen wir denn etwa die ,anzahl der ,schlussfiguren wahr1 die ,aristoteles aufstellt8 etwa mit den ,augen8 wir sehen hchstens gewisse ,zeichen fr diese ,schlussfiguren1 nicht sie selbst4 ,wie sollen wir ihre ,anzahl sehen knnen1 wenn sie selbst unsichtbar bleiben8 ,aber1 meint man vielleicht1 es gengt1 die ,zeichen zu sehen2 deren ,zahl ist gleich der ,zahl der ,schlussfiguren4 ,woher weiss man denn das8 ,dazu muss man doch schon auf andere ,weise die letztere bestimmt haben4 ,oder ist der ,satz die ,anzahl der ,schlussfiguren ist vier nur ein anderer ,ausdruck fr die ,anzahl der ,zeichen der ,schlussfiguren ist vier8 ,nein6 von den ,zeichen soll nichts ausgesagt werden2 von den ,zeichen will niemand etwas wissen1 wenn nicht deren ,eigenschaft zugleich eine des ,bezeichneten ausdrckt4 ,da ohne logischen ,fehler dasselbe verschiedene ,zeichen haben kann1 braucht nicht einmal die ,zahl der ,zeichen mit der des ,bezeichneten bereinzustimmen4 #be4 ,whrend fr ,mill die ,zahl etwas ,physikalisches ist1 besteht sie fr ,locke und ,leibniz nur in der ,idee4 ,in der ,that sind1 wie ,mill#da sagt1 zwei ,aepfel von drei ,aepfeln1 zwei ,pferde von einem ,pferd physikalisch verschieden1 ein davon verschiedenes sichtliches und fhlbares ,phnomen#db4 ,aber ist daraus zu schliessen1 dass die ,zweiheit1 ,dreiheit1 etwas ,physikalisches ist8 ,ein ,paar ,stiefel kann dieselbe sichtbare und fhlbare ,erscheinung sein1 wie zwei ,stiefel4 ,hier haben wir einen ,zahlenunterschied1 dem kein physikalischer entspricht2 denn zwei und ,ein ,paar sind keineswegs dasselbe1 wie ,mill sonderbarer ,weise zu glauben scheint4 ,wie ist es endlich mglich1 dass sich zwei ,begriffe von drei ,begriffen physikalisch unterscheiden8 ,so sagt ,berkeley#dc3 ,es ist zu bemerken1 dass die ,zahl nichts ,fixes und ,festgestelltes ist1 was realiter in den ,dingen selber existirte4 ,sie ist gnzlich ,geschpf des ,geistes1 wenn er entweder eine ,idee an sich oder eine ,combination von ,ideen betrachtet1 der er einen ,namen geben will und sie so fr eine ,einheit gelten lsst4 ,jenachdem der ,geist seine ,ideen variirend combinirt1 variirt die ,einheit1 und wie die ,einheit so variirt auch die ,zahl1 welche nur eine ,sammlung von ,einheiten ist4 ,ein ,fenster #a2 ein ,haus1 in dem viele ,fenster sind1 #a2 viele ,huser machen ,eine ,stadt aus4 ,ist die ,zahl etwas ,subjectives8 #bf4 ,in diesem ,gedankengange kommt man leicht dazu1 die ,zahl fr etwas ,subjectives anzusehen4 ,es scheint die ,weise1 wie die ,zahl in uns entsteht1 ber ihr ,wesen ,aufschluss geben zu knnen4 ,auf eine psychologische ,untersuchung also wrde es dann ankommen4 ,in diesem ,sinne sagt wohl ,lipschitz#dd3 ,wer ber gewisse ,dinge einen ,ueberblick gewinnen will1 der wird mit einem bestimmten ,dinge beginnen und immer ein neues ,ding den frheren hinzufgen4 ,dies scheint viel besser darauf zu passen1 wie wir etwa die ,anschauung eines ,sternbildes erhalten1 als auf die ,zahlbildung4 ,die ,absicht1 einen ,ueberblick zu gewinnen1 ist unwesentlich2 denn man wird kaum sagen knnen1 dass eine ,herde bersichtlicher wird1 wenn man erfhrt1 aus wieviel ,huptern sie besteht4 ,eine solche ,beschreibung der innern ,vorgnge1 die der ,fllung eines ,zahlurtheils vorhergehen1 kann nie1 auch wenn sie zutreffender ist1 eine eigentliche ,begriffsbestimmung ersetzen4 ,sie wird nie zum ,beweise eines arithmetischen ,satzes herangezogen werden knnen2 wir erfahren durch sie keine ,eigenschaft der ,zahlen4 ,denn die ,zahl ist so wenig ein ,gegenstand der ,psychologie oder ein ,ergebniss psychischer ,vorgnge1 wie es etwa die ,nordsee ist4 ,der ,objectivitt der ,nordsee thut es keinen ,eintrag1 dass es von unserer ,willkhr abhngt1 welchen ,theil der allgemeinen ,wasserbedeckung der ,erde wir abgrenzen und mit dem ,namen ,nordsee belegen wollen4 ,das ist kein ,grund1 dies ,meer auf psychologischem ,wege erforschen zu wollen4 ,so ist auch die ,zahl etwas ,objectives4 ,wenn man sagt die ,nordsee ist #aj1jjj ,quadratmeilen gross1 so deutet man weder durch ,nordsee noch durch #aj1jjj auf einen ,zustand oder ,vorgang in seinem ,innern hin1 sondern man behauptet etwas ganz ,objectives1 was von unsern ,vorstellungen und dgl4 unabhngig ist4 ,wenn wir etwa ein ander ,mal die ,grenzen der ,nordsee etwas anders ziehen oder unter #aj1jjj etwas ,anderes verstehen wollten1 so wrde nicht derselbe ,inhalt falsch1 der vorher richtig war2 sondern an die ,stelle eines wahren ,inhalts wre vielleicht ein falscher geschoben1 wodurch die ,wahrheit jenes ersteren in keiner ,weise aufgehoben wrde4 ,der ,botaniker will etwas ebenso ,thatschliches sagen1 wenn er die ,anzahl der ,blumenbltter einer ,blume1 wie wenn er ihre ,farbe angiebt4 ,das eine hngt so wenig wie das andere von unserer ,willkhr ab4 ,eine gewisse ,aehnlichkeit der ,anzahl und der ,farbe ist also da2 aber diese besteht nicht darin1 dass beide an usseren ,dingen sinnlich wahrnehmbar1 sondern darin1 dass beide objectiv sind4 ,ich unterscheide das ,objective von dem ,handgreiflichen1 ,rumlichen1 ,wirklichen4 ,die ,erdaxe1 der ,massenmittelpunkt des ,sonnensystems sind objectiv1 aber ich mchte sie nicht wirklich nennen1 wie die ,erde selbst4 ,man nennt den ,aequator oft eine gedachte ,linie2 aber es wre falsch1 ihn eine erdachte ,linie zu nennen2 er ist nicht durch ,denken entstanden1 das ,ergebniss eines seelischen ,vorgangs1 sondern nur durch ,denken erkannt1 ergriffen4 ,wre das ,erkanntwerden ein ,entstehen1 so knnten wir nichts ,positives von ihm aussagen in ,bezug auf eine ,zeit1 die diesem vorgeblichen ,entstehen vorherginge4 ,der ,raum gehrt nach ,kant der ,erscheinung an4 ,es wre mglich1 dass er andern ,vernunftwesen sich ganz anders als uns darstellte4 ,ja1 wir knnen nicht einmal wissen1 ob er dem einen ,menschen so wie dem andern erscheint2 denn wir knnen die ,raumanschauung des einen nicht neben die des andern legen1 um sie zu vergleichen4 ,aber dennoch ist darin etwas ,objectives enthalten2 ,alle erkennen dieselben geometrischen ,axiome1 wenn auch nur durch die ,that1 an und mssen es1 um sich in der ,welt zurechtzufinden4 ,objectiv ist darin das ,gesetzmssige1 ,begriffliche1 ,beurtheilbare1 was sich in ,worten ausdrcken lsst4 ,das rein ,anschauliche ist nicht mittheilbar4 ,nehmen wir zur ,verdeutlichung zwei ,vernunftwesen an1 denen nur die projectivischen ,eigenschaften und ,beziehungen anschaulich sind3 das ,liegen von drei ,punkten in einer ,gerade1 von vier ,punkten in einer ,ebene u4 s4 w42 es mge dem einen das als ,ebene erscheinen1 was das andere als ,punkt anschaut und umgekehrt4 ,was dem einen die ,verbindungslinie von ,punkten ist1 mge dem andern die ,schnittkante von ,ebenen sein u4 s4 w4 immer dualistisch entsprechend4 ,dann knnten sie sich sehr wohl mit einander verstndigen und wrden die ,verschiedenheit ihres ,anschauens nie gewahr werden1 weil in der projectivischen ,geometrie jedem ,lehrsatze ein anderer dualistisch gegenbersteht2 denn das ,abweichen in einer sthetischen ,werthschtzung wrde kein sicheres ,zeichen sein4 ,in ,bezug auf alle geometrische ,lehrstze wren sie vllig im ,einklange2 sie wrden sich nur die ,wrter in ihre ,anschauung verschieden bersetzen4 ,mit dem ,worte ,punkt verbnde etwa das eine diese1 das andere jene ,anschauung4 ,so kann man immerhin sagen1 dass ihnen dies ,wort etwas ,objectives bedeute2 nur darf man unter dieser ,bedeutung nicht das ,besondere ihrer ,anschauung verstehn4 ,und in diesem ,sinne ist auch die ,erdaxe objectiv4 ,man denkt gewhnlich bei weiss an eine gewisse ,empfindung1 die natrlich ganz subjectiv ist2 aber schon im gewhnlichen ,sprachgebrauche1 scheint mir1 tritt ein objectiver ,sinn vielfach hervor4 ,wenn man den ,schnee weiss nennt1 so will man eine objective ,beschaffenheit ausdrcken1 die man beim gewhnlichen ,tageslicht an einer gewissen ,empfindung erkennt4 ,wird er farbig beleuchtet1 so bringt man das bei der ,beurtheilung in ,anschlag4 ,man sagt vielleicht3 er erscheint jetzt roth1 aber er ist weiss4 ,auch der ,farbenblinde kann von roth und grn reden1 obwohl er diese ,farben in der ,empfindung nicht unterscheidet4 ,er erkennt den ,unterschied daran1 dass ,andere ihn machen1 oder vielleicht durch einen physikalischen ,versuch4 ,so bezeichnet das ,farbenwort oft nicht unsere subjective ,empfindung1 von der wir nicht wissen knnen1 dass sie mit der eines ,andern bereinstimmt -- denn offenbar verbrgt das die gleiche ,benennung keineswegs -- sondern eine objective ,beschaffenheit4 ,so verstehe ich unter ,objectivitt eine ,unabhngigkeit von unserm ,empfinden1 ,anschauen und ,vorstellen1 von dem ,entwerfen innerer ,bilder aus den ,erinnerungen frherer ,empfindungen1 aber nicht eine ,unabhngigkeit von der ,vernunft2 denn die ,frage beantworten1 was die ,dinge unabhngig von der ,vernunft sind1 hiesse urtheilen1 ohne zu urtheilen1 den ,pelz waschen1 ohne ihn nass zu machen4 #bg4 ,deswegen kann ich auch ,schloemilch#de nicht zustimmen1 der die ,zahl ,vorstellung der ,stelle eines ,objects in einer ,reihe nennt#df4 ,wre die ,zahl eine ,vorstellung1 so wre die ,arithmetik ,psychologie4 ,das ist sie so wenig1 wie etwa die ,astronomie es ist4 ,wie sich diese nicht mit den ,vorstellungen der ,planeten1 sondern mit den ,planeten selbst beschftigt1 so ist auch der ,gegenstand der ,arithmetik keine ,vorstellung4 ,wre die ,zwei eine ,vorstellung1 so wre es zunchst nur die meine4 ,die ,vorstellung eines ,andern ist schon als solche eine andere4 ,wir htten dann vielleicht viele ,millionen ,zweien4 ,man msste sagen3 meine ,zwei1 deine ,zwei1 eine ,zwei1 alle ,zweien4 ,wenn man latente oder unbewusste ,vorstellungen annimmt1 so htte man auch unbewusste ,zweien1 die dann spter wieder bewusste wrden4 ,mit den heranwachsenden ,menschen entstnden immer neue ,zweien1 und wer weiss1 ob sie sich nicht in ,jahrtausenden so vernderten1 dass #b #b #e wrde4 ,trotzdem wre es zweifelhaft1 ob es1 wie man gewhnlich meint1 unendlich viele ,zahlen gbe4 ,vielleicht wre #ajaj nur ein leeres ,zeichen1 und es gbe gar keine ,vorstellung1 in irgendeinem ,wesen1 die so benannt werden knnte4 ,wir sehen1 zu welchen ,wunderlichkeiten es fhrt1 wenn man den ,gedanken etwas weiter ausspinnt1 dass die ,zahl eine ,vorstellung sei4 ,und wir kommen zu dem ,schlusse1 dass die ,zahl weder rumlich und physikalisch ist1 wie ,mills ,haufen von ,kieselsteinen und ,pfeffernssen1 noch auch subjectiv wie die ,vorstellungen1 sondern unsinnlich und objectiv4 ,der ,grund der ,objectivitt kann ja nicht in dem ,sinneseindrucke liegen1 der als ,affection unserer ,seele ganz subjectiv ist1 sondern1 soweit ich sehe1 nur in der ,vernunft4 ,es wre wunderbar1 wenn die allerexacteste ,wissenschaft sich auf die noch zu unsicher tastende ,psychologie sttzen sollte4 ,die ,anzahl als ,menge4 #bh4 ,einige ,schriftsteller erklren die ,anzahl als eine ,menge1 ,vielheit oder ,mehrheit4 ,ein ,uebelstand besteht hierbei darin1 dass die ,zahlen #j und #a von dem ,begriffe ausgeschlossen werden4 ,jene ,ausdrcke sind recht unbestimmt3 bald nhern sie sich mehr der ,bedeutung von ,haufe1 ,gruppe1 ,aggregat -- wobei an ein rumliches ,zusammensein gedacht wird -- bald werden sie fast gleichbedeutend mit ,anzahl gebraucht1 nur unbestimmter4 ,eine ,auseinanderlegung des ,begriffes der ,anzahl kann darum in einer solchen ,erklrung nicht gefunden werden4 ,thomae#dg verlangt zur ,bildung der ,zahl1 dass verschiedenen ,objectenmengen verschiedene ,namen gegeben werden4 ,damit ist offenbar eine schrfere ,bestimmung jener ,objectenmengen gemeint1 fr welche die ,namengebung nur das ussere ,zeichen ist4 ,welcher ,art nun diese ,bestimmung sei1 das ist die ,frage4 ,es wrde offenbar die ,idee der ,zahl nicht entstehen1 wenn man fr #c ,sterne1 #c ,finger1 #g ,sterne ,namen einfhren wollte1 in denen keine gemeinsamen ,bestandtheile erkennbar wren4 ,es kommt nicht darauf an1 dass berhaupt ,namen gegeben werden1 sondern dass fr sich bezeichnet werde1 was ,zahl daran ist4 ,dazu ist nthig1 dass es in seiner ,besonderheit erkannt sei4 ,noch ist folgende ,verschiedenheit zu beachten4 ,einige nennen die ,zahl eine ,menge von ,dingen oder ,gegenstnden2 ,andere wie schon ,euklid#dh1 erklren sie als eine ,menge von ,einheiten4 ,dieser ,ausdruck bedarf einer besondern ,errterung4 ,,iii4 ,meinungen ber ,einheit und ,eins4 ,drckt das ,zahlwort ,ein eine ,eigenschaft von ,gegenstnden aus8 #bi4 ,in den ,definitionen1 die ,euklid am ,anfange des #g4 ,buches der ,elemente giebt1 scheint er mit dem ,worte bald einen zu zhlenden ,gegenstand1 bald eine ,eigenschaft eines solchen1 bald die ,zahl ,eins zu bezeichnen4 ,ueberall kommt man mit der ,uebersetzung ,einheit durch1 aber nur1 weil dies ,wort selbst in diesen verschiedenen ,bedeutungen schillert4 ,schrder#di sagt3 ,jedes der zu zhlenden ,dinge wird ,einheit genannt4 ,es fragt sich1 weshalb man die ,dinge erst unter den ,begriff der ,einheit bringt und nicht einfach erklrt3 ,zahl ist eine ,menge von ,dingen1 womit wir wieder auf das ,vorige zurckgeworfen wren4 ,man knnte zunchst in der ,benennung der ,dinge als ,einheiten eine nhere ,bestimmung finden wollen1 indem man der sprachlichen ,form folgend ,ein als ,eigenschaftswort ansieht und ,eine ,stadt so auffasst wie weiser ,mann4 ,dann wrde eine ,einheit ein ,gegenstand sein1 dem die ,eigenschaft ,ein zukme und wrde sich zu ,ein hnlich verhalten wie ein ,weiser zu dem ,adjectiv weise4 ,zu den ,grnden1 die oben dagegen geltend gemacht sind1 dass die ,zahl eine ,eigenschaft von ,dingen sei1 treten hier noch einige besondere hinzu4 ,auffallend wre zunchst1 dass jedes ,ding diese ,eigenschaft htte4 ,es wre unverstndlich1 weshalb man berhaupt noch einem ,dinge ausdrcklich die ,eigenschaft beilegt4 ,nur durch die ,mglichkeit1 dass etwas nicht weise sei1 gewinnt die ,behauptung1 ,solon sei weise1 einen ,sinn4 ,der ,inhalt eines ,begriffes nimmt ab1 wenn sein ,umfang zunimmt2 wird dieser allumfassend1 so muss der ,inhalt ganz verloren gehen4 ,es ist nicht leicht zu denken1 wie die ,sprache dazu kme1 ein ,eigenschaftswort zu schaffen1 das gar nicht dazu dienen knnte1 einen ,gegenstand nher zu bestimmen4 ,wenn ,ein ,mensch hnlich wie weiser ,mensch aufzufassen wre1 so sollte man denken1 dass ,ein auch als ,praedicat gebraucht werden knnte1 sodass man wie ,solon war weise auch sagen knnte ,solon war ,ein oder ,solon war ,einer4 ,wenn nun der letzte ,ausdruck auch vorkommen kann1 so ist er doch fr sich allein nicht verstndlich4 ,er kann z4 ,b4 heissen3 ,solon war ein ,weiser1 wenn ,weiser aus dem ,zusammenhange zu ergnzen ist4 ,aber allein scheint ,ein nicht ,praedicat sein zu knnen#ej4 ,noch deutlicher zeigt sich dies beim ,plural4 ,whrend man ,solon war weise und ,thales war weise zusammenziehen kann in ,solon und ,thales waren weise1 kann man nicht sagen ,solon und ,thales waren ,ein4 ,hiervon wre die ,unmglichkeit nicht einzusehen1 wenn ,ein sowie weise eine ,eigenschaft sowohl des ,solon als auch des ,thales wre4 #cj4 ,damit hangt es zusammen1 dass man keine ,definition der ,eigenschaft ,ein hat geben knnen4 ,wenn ,leibniz#ea sagt3 ,eines ist1 was wir durch ,eine ,that des ,verstandes zusammenfassen1 so erklrt er ,ein durch sich selbst4 ,und knnen wir nicht auch ,vieles durch ,eine ,that des ,verstandes zusammenfassen8 ,dies wird von ,leibniz an derselben ,stelle zugestanden4 ,aehnlich sagt ,baumann#eb3 ,eines ist1 was wir als ,eines auffassen und weiter3 ,was wir als ,punkt setzen oder nicht mehr als getheilt setzen wollen1 das sehen wir als ,eines an2 aber jedes ,eins der ussern ,anschauung1 der reinen wie der empirischen1 knnen wir auch als ,vieles ansehen4 ,jede ,vorstellung ist ,eine1 wenn abgegrnzt gegen eine andere ,vorstellung2 aber in sich kann sie wieder in ,vieles unterschieden werden4 ,so verwischt sich jede sachliche ,begrenzung des ,begriffes und alles hangt von unserer ,auffassung ab4 ,wir fragen wieder3 welchen ,sinn kann es haben1 irgendeinem ,gegenstande die ,eigenschaft ,ein beizulegen1 wenn je nach der ,auffassung jeder ,einer sein und auch nicht sein kann8 ,wie kann auf einem so verschwommenen ,begriffe eine ,wissenschaft beruhen1 die grade in der grssten ,bestimmtheit und ,genauigkeit ihren ,ruhm sucht8 #ca4 ,obwohl nun ,baumann#ec den ,begriff der ,eins auf innerer ,anschauung beruhen lsst1 so nennt er doch in der eben angefhrten ,stelle als ,merkmale die ,ungetheiltheit und die ,abgegrnztheit4 ,wenn diese zutrfen1 so wre zu erwarten1 dass auch ,thiere eine gewisse ,vorstellung von ,einheit haben knnten4 ,ob wohl ein ,hund beim ,anblick des ,mondes eine wenn auch noch so unbestimmte ,vorstellung von dem hat1 was wir mit dem ,worte ,ein bezeichnen8 ,schwerlich6 ,und doch unterscheidet er gewiss einzelne ,gegenstnde3 ein andrer ,hund1 sein ,herr1 ein ,stein1 mit dem er spielt1 erscheinen ihm gewiss ebenso abgegrenzt1 fr sich bestehend1 ungetheilt wie uns4 ,zwar wird er einen ,unterschied merken1 ob er sich gegen viele ,hunde zu vertheidigen hat oder nur gegen ,einen1 aber dies ist der von ,mill physikalisch genannte ,unterschied4 ,es kme darauf besonders an1 ob er von dem ,gemeinsamen1 welches wir durch das ,wort ,ein ausdrcken1 ein wenn auch noch so dunkles ,bewusstsein hat z4 ,b4 in den ,fllen1 wo er von ,einem grssern ,hunde gebissen wird1 und wo er ,eine ,katze verfolgt4 ,das ist mir unwahrscheinlich4 ,ich folgere daraus1 dass die ,idee der ,einheit nicht1 wie ,locke#ed meint1 dem ,verstande durch jenes ,object draussen und jede ,idee innen zugefhrt1 sondern von uns durch die hhern ,geisteskrfte erkannt wird1 die uns vom ,thiere unterscheiden4 ,dann knnen solche ,eigenschaften der ,dinge wie ,ungetheiltheit und ,abgegrenztheit1 die von den ,thieren ebenso gut wie von uns bemerkt werden1 nicht das ,wesentliche an unserm ,begriffe sein4 #cb4 ,doch kann man einen gewissen ,zusammenhang vermuthen4 ,darauf deutet die ,sprache hin1 indem sie von ,ein einig ableitet4 ,etwas ist desto mehr geeignet1 als besonderer ,gegenstand aufgefasst zu werden1 je mehr die ,unterschiede in ihm gegenber den ,unterschieden von der ,umgebung zurcktreten1 je mehr der innere ,zusammenhang den mit der ,umgebung berwiegt4 ,so bedeutet einig eine ,eigenschaft1 die dazu veranlasst1 etwas in der ,auffassung von der ,umgebung abzusondern und fr sich zu betrachten4 ,wenn das franzsische uni eben1 glatt heisst1 so ist dies so zu erklren4 ,auch das ,wort ,einheit wird in hnlicher ,weise gebraucht1 wenn von politischer ,einheit eines ,landes1 ,einheit eines ,kunstwerks gesprochen wird#ee4 ,aber in diesem ,sinne gehrt ,einheit weniger zu ,ein als zu einig oder einheitlich4 ,denn1 wenn man sagt1 die ,erde habe ,einen ,mond1 so will man diesen damit nicht fr einen abgegrenzten1 fr sich bestehenden1 ungetheilten ,mond erklren2 sondern man sagt dies im ,gegensatze zu dem1 was bei der ,venus1 dem ,mars oder dem ,jupiter vorkommt4 ,in ,bezug auf ,abgegrenztheit und ,ungetheiltheit knnten sich die ,monde des ,jupiter wohl mit unserm messen und sind in dem ,sinne ebenso einheitlich4 #cc4 ,die ,ungetheiltheit wird von einigen ,schriftstellern bis zur ,untheilbarkeit gesteigert4 ,g4 ,kpp#ef nennt jedes unzerlegbar und fr sich bestehend gedachte sinnlich oder nicht sinnlich wahrnehmbare ,ding ein ,einzelnes und die zu zhlenden ,einzelnen ,einse1 wo offenbar ,eins in dem ,sinne von ,einheit gebraucht wird4 ,indem ,baumann seine ,meinung1 die ussern ,dinge stellten keine strengen ,einheiten dar1 damit begrndet1 dass wir die ,freiheit htten1 sie als ,vieles zu betrachten1 giebt auch er die ,unzerlegbarkeit fr ein ,merkmal der strengen ,einheit aus4 ,dadurch dass man den innern ,zusammenhang bis zum ,unbedingten steigert1 will man offenbar ein ,merkmal der ,einheit gewinnen1 das von der willkhrlichen ,auffassung unabhngig ist4 ,dieser ,versuch scheitert daran1 dass dann fast nichts brig bliebe1 was ,einheit genannt und gezhlt werden drfte4 ,deshalb wird auch sofort der ,rckzug damit angetreten1 dass man nicht die ,unzerlegbarkeit selbst1 sondern das als unzerlegbar ,gedachtwerden als ,merkmal aufstellt4 ,damit ist man denn bei der schwankenden ,auffassung wieder angekommen4 ,und wird denn dadurch etwas gewonnen1 dass man sich die ,sachen anders denkt als sie sind8 ,im ,gegentheil6 aus einer falschen ,annahme knnen falsche ,folgerungen fliessen4 ,wenn man aber aus der ,unzerlegbarkeit nichts schliessen will1 was ntzt sie dann8 wenn man von der ,strenge des ,begriffes ohne ,schaden etwas ablassen kann1 ja es sogar muss1 wozu dann diese ,strenge8 ,aber vielleicht soll man an die ,zerlegbarkeit nur nicht denken4 ,als ob durch ,mangel an ,denken etwas erreicht werden knnte6 ,es giebt aber ,flle1 wo man gar nicht vermeiden kann1 an die ,zerlegbarkeit zu denken1 wo sogar ein ,schluss auf der ,zusammensetzung der ,einheit beruht1 z4 ,b4 bei der ,aufgabe3 ,ein ,tag hat #bd ,stunden1 wieviel ,stunden haben #c ,tage8 ,sind die ,einheiten einander gleich8 #cd4 ,so misslingt denn jeder ,versuch1 die ,eigenschaft ,ein zu erklren1 und wir mssen wohl darauf verzichten1 in der ,bezeichnung der ,dinge als ,einheiten eine nhere ,bestimmung zu sehen4 ,wir kommen wieder auf unsere ,frage zurck3 weshalb nennt man die ,dinge ,einheiten1 wenn ,einheit nur ein andrer ,name fr ,ding ist1 wenn alle ,dinge ,einheiten sind oder als solche aufgefasst werden knnen8 ,e4 ,schrder#eg giebt als ,grund die den ,objecten der ,zhlung zugeschriebene ,gleichheit an4 ,zunchst ist nicht zu sehen1 warum die ,wrter ,ding und ,gegenstand dies nicht ebenso gut andeuten knnten4 ,dann fragt es sich3 weshalb wird den ,gegenstnden der ,zhlung ,gleichheit zugeschrieben8 ,wird sie ihnen nur zugeschrieben1 oder sind sie wirklich gleich8 ,jedenfalls sind nie zwei ,gegenstnde durchaus gleich4 ,andrerseits kann man wohl fast immer eine ,hinsicht ausfindig machen1 in der zwei ,gegenstnde bereinstimmen4 ,so sind wir wieder bei der willkhrlichen ,auffassung angelangt1 wenn wir nicht gegen die ,wahrheit den ,dingen eine weitergehende ,gleichheit zuschreiben wollen1 als ihnen zukommt4 ,in der ,that nennen viele ,schriftsteller die ,einheiten ohne ,einschrnkung gleich4 ,hobbes#eh sagt3 ,die ,zahl1 absolut gesagt1 setzt in der ,mathematik unter sich gleiche ,einheiten voraus1 aus denen sie hergestellt wird4 ,hume#ei hlt die zusammensetzenden ,theile der ,quantitt und ,zahl fr ganz gleichartig4 ,thomae#fj nennt ein ,individuum der ,menge ,einheit und sagt3 ,die ,einheiten sind einander gleich4 ,ebenso gut oder vielmehr richtiger knnte man sagen3 die ,individuen der ,menge sind von einander verschieden4 ,was hat nun diese vorgebliche ,gleichheit fr die ,zahl zu bedeuten8 ,die ,eigenschaften1 durch die sich die ,dinge unterscheiden1 sind fr ihre ,anzahl etwas ,gleichgiltiges und ,fremdes4 ,darum will man sie fern halten4 ,aber das gelingt in dieser ,weise nicht4 ,wenn man1 wie ,thomae verlangt1 von den ,eigenthmlichkeiten der ,individuen einer ,objectenmenge abstrahirt oder bei der ,betrachtung getrennter ,dinge von den ,merkmalen absieht1 durch welche sich die ,dinge unterscheiden1 so bleibt nicht1 wie ,lipschitz meint1 der ,begriff der ,anzahl der betrachteten ,dinge zurck1 sondern man erhlt einen allgemeinen ,begriff1 unter den jene ,dinge fallen4 ,diese selbst verlieren dadurch nichts von ihren ,besonderheiten4 ,wenn ich z4 ,b4 bei der ,betrachtung einer weissen und einer schwarzen ,katze von den ,eigenschaften absehe1 durch die sie sich unterscheiden1 so erhalte ich etwa den ,begriff ,katze4 ,wenn ich nun auch beide unter diesen ,begriff bringe und sie etwa ,einheiten nenne1 so bleibt die weisse doch immer weiss und die schwarze schwarz4 ,auch dadurch1 dass ich an die ,farben nicht denke oder mir vornehme1 keine ,schlsse aus deren ,verschiedenheit zu ziehen1 werden die ,katzen nicht farblos und bleiben ebenso verschieden1 wie sie waren4 ,der ,begriff ,katze1 der durch die ,abstraction gewonnen ist1 enthlt zwar die ,besonderheiten nicht mehr1 ist aber eben dadurch nur ,einer4 #ce4 ,durch blos begriffliche ,verfahrungsweisen gelingt es nicht1 verschiedene ,dinge gleich zu machen2 gelnge es aber1 so htte man nicht mehr ,dinge1 sondern nur ,ein ,ding2 denn1 wie ,descartes#fa sagt1 die ,zahl -- besser3 die ,mehrzahl -- in den ,dingen entspringt aus deren ,unterscheidung4 ,e4 ,schrder#fb behauptet mit ,recht3 ,die ,anforderung ,dinge zu zhlen kann vernnftiger ,weise nur gestellt werden1 wo solche ,gegenstnde vorliegen1 welche deutlich von einander unterscheidbar z4 ,b4 rumlich und zeitlich getrennt und gegen einander abgegrenzt erscheinen4 ,in der ,that erschwert zuweilen die zu grosse ,aehnlichkeit z4 ,b4 der ,stbe eines ,gitters die ,zhlung4 ,mit besonderer ,schrfe drckt sich ,w4 ,stanley ,jevons#fc in diesem ,sinne aus3 ,zahl ist nur ein andrer ,name fr ,verschiedenheit4 ,genaue ,identitt ist ,einheit1 und mit ,verschiedenheit entsteht ,mehrheit4 ,und weiter 7,s4 #aeg73 ,es ist oft gesagt1 dass ,einheiten ,einheiten sind1 insofern sie einander vollkommen gleichen2 aber1 obwohl sie in einigen ,rcksichten vollkommen gleich sein mgen1 mssen sie mindestens in ,einem ,punkte verschieden sein2 sonst wre der ,begriff der ,mehrheit auf sie unanwendbar4 ,wenn drei ,mnzen so gleich wren1 dass sie denselben ,raum zu derselben ,zeit einnhmen1 so wren sie nicht drei ,mnzen1 sondern ,eine ,mnze4 #cf4 ,aber es zeigt sich bald1 dass die ,ansicht von der ,verschiedenheit der ,einheiten auf neue ,schwierigkeiten stsst4 ,jevons erklrt3 ,eine ,einheit 7unit7 ist irgendein ,gegenstand des ,denkens1 der von irgendeinem andern ,gegenstande unterschieden werden kann1 der als ,einheit in derselben ,aufgabe behandelt wird4 ,hier ist ,einheit durch sich selbst erklrt und der ,zusatz der von irgendeinem andern ,gegenstande unterschieden werden kann enthlt keine nhere ,bestimmung1 weil er selbstverstndlich ist4 ,wir nennen den ,gegenstand eben nur darum einen andern1 weil wir ihn vom ersten unterscheiden knnen4 ,jevons#fd sagt ferner3 ,wenn ich das ,symbol #e schreibe1 meine ich eigentlich #a #a #a #a #a und es ist vollkommen klar1 dass jede dieser ,einheiten von jeder andern verschieden ist4 ,wenn erforderlich1 kann ich sie so bezeichnen3 #a #a #a #a #a4 ,gewiss ist es erforderlich1 sie verschieden zu bezeichnen1 wenn sie verschieden sind2 sonst wrde ja die grsste ,verwirrung entstehen4 ,wenn schon die verschiedene ,stelle1 an der die ,eins erschiene1 eine ,verschiedenheit bedeuten sollte1 so msste das als ausnahmslose ,regel hingestellt werden1 weil man sonst nie wsste1 ob #a #a #b bedeuten solle oder #a4 ,dann msste man die ,gleichung #a #a verwerfen und wre in der ,verlegenheit1 nie dasselbe ,ding zum zweiten ,male bezeichnen zu knnen4 ,das geht offenbar nicht an4 ,wenn man aber verschiedenen ,dingen verschiedene ,zeichen geben will1 so ist nicht einzusehen1 weshalb man in diesen noch einen gemeinsamen ,bestandtheil festhlt und nicht lieber statt #a #a #a #a #a schreibt a b c d e4 ,die ,gleichheit ist doch nun einmal verloren gegangen1 und die ,andeutung einer gewissen ,aehnlichkeit ntzt nichts4 ,so zerrinnt uns die ,eins unter den ,hnden2 wir behalten die ,gegenstnde mit allen ihren ,besonderheiten4 ,diese ,zeichen #a1 #a1 #a sind ein sprechender ,ausdruck fr die ,verlegenheit3 wir haben die ,gleichheit nthig2 deshalb die #a2 wir haben die ,verschiedenheit nthig2 deshalb die ,indices1 die nur leider die ,gleichheit wieder aufheben4 #cg4 ,bei andern ,schriftstellern stossen wir auf dieselbe ,schwierigkeit4 ,locke#fe sagt3 ,durch ,wiederholung der ,idee einer ,einheit und ,hinzufgung derselben zu einer andern ,einheit machen wir demnach eine collective ,idee1 die durch das ,wort zwei bezeichnet wird4 ,und wer das thun und so weitergehen kann1 immer noch ,eins hinzufgend zu der letzten collectiven ,idee1 die er von einer ,zahl hatte1 und ihr einen ,namen geben kann1 der kann zhlen4 ,leibniz#ff definirt ,zahl als #a und #a und #a oder als ,einheiten4 ,hesse#fg sagt3 ,wenn man sich eine ,vorstellung machen kann von der ,einheit1 die in der ,algebra mit dem ,zeichen #a ausgedrckt wird1 444 so kann man sich auch eine zweite gleichberechtigte ,einheit denken und weitere derselben ,art4 ,die ,vereinigung der zweiten mit der ersten zu einem ,ganzen giebt die ,zahl #b4 ,hier ist auf die ,beziehung zu achten1 in der die ,bedeutungen der ,wrter ,einheit und ,eins zu einander stehen4 ,leibniz versteht unter ,einheit einen ,begriff1 unter den die ,eins und die ,eins und die ,eins fallen1 wie er denn auch sagt3 ,das ,abstracte von ,eins ist die ,einheit4 ,locke und ,hesse scheinen ,einheit und ,eins gleichbedeutend zu gebrauchen4 ,im ,grunde thut dies wohl auch ,leibniz2 denn indem er die einzelnen ,gegenstnde1 die unter den ,begriff der ,einheit fallen1 smmtlich ,eins nennt1 bezeichnet er mit diesem ,worte nicht den einzelnen ,gegenstand1 sondern den ,begriff1 unter den sie fallen4 #ch4 ,um nicht ,verwirrung einreissen zu lassen1 wird es jedoch gut sein1 einen ,unterschied zwischen ,einheit und ,eins streng aufrecht zu erhalten4 ,man sagt die ,zahl ,eins und deutet mit dem bestimmten ,artikel einen bestimmten1 einzelnen ,gegenstand der wissenschaftlichen ,forschung an4 ,es giebt nicht verschiedene ,zahlen ,eins1 sondern nur ,eine4 ,wir haben in #a einen ,eigennamen1 der als solcher eines ,plurals ebenso unfhig ist wie ,friedrich der ,grosse oder das chemische ,element ,gold4 ,es ist nicht ,zufall und nicht eine ungenaue ,bezeichnungsweise1 dass man #a ohne unterscheidende ,striche schreibt4 ,die ,gleichung #c - #b #a wrde ,st4 ,jevons etwa so wiedergeben3 7#a #a #a7 - 7#a #a7 #a ,was wrde aber das ,ergebniss von 7#a #a #a7 - 7#a #a7 sein8 ,jedenfalls nicht #a4 ,daraus geht hervor1 dass es nach seiner ,auffassung nicht nur verschiedene ,einsen1 sondern auch verschiedene ,zweien u4 s4 w4 geben wrde2 denn #a #a knnte nicht durch #a #a vertreten werden4 ,man sieht hieraus recht deutlich1 dass die ,zahl nicht eine ,anhufung von ,dingen ist4 ,die ,arithmetik wrde aufgehoben werden1 wollte man statt der ,eins1 die immer dieselbe ist1 verschiedene ,dinge einfhren1 wenn auch in noch so hnlichen ,zeichen2 gleich drften sie ja ohne ,fehler nicht sein4 ,man kann doch nicht annehmen1 dass das tiefste ,bedrfniss der ,arithmetik eine fehlerhafte ,schreibung sei4 ,darum ist es unmglich #a als ,zeichen fr verschiedene ,gegenstnde anzusehen1 wie ,island1 ,aldebaran1 ,solon u4 dgl4 ,am greifbarsten wird der ,unsinn1 wenn man an den ,fall denkt1 dass eine ,gleichung drei ,wurzeln hat1 nmlich #b und #e und #d4 ,schreibt man nun nach ,jevons fr #c3 #a #a #a1 so wrde #a hier #b1 #a #e und #a #d bedeuten1 wenn man unter #a1 #a1 #a ,einheiten und folglich nach ,jevons die hier vorliegenden ,gegenstnde des ,denkens versteht4 ,wre es dann nicht verstndlicher fr #a #a #a zu schreiben #b #e #d8 ,ein ,plural ist nur von ,begriffswrtern mglich4 ,wenn man also von ,einheiten spricht1 so kann man dies ,wort nicht gleichbedeutend mit dem ,eigennamen ,eins gebrauchen1 sondern als ,begriffswort4 ,wenn ,einheit zu zhlender ,gegenstand bedeutet1 so kann man nicht ,zahl als ,einheiten definiren4 ,wenn man unter ,einheit einen ,begriff versteht1 der die ,eins und nur diese unter sich fasst1 so hat ein ,plural keinen ,sinn1 und es ist wieder unmglich1 mit ,leibniz ,zahl als ,einheiten oder als #a und #a und #a zu definiren4 ,wenn man das und so gebraucht wie in ,bunsen und ,kirchhof1 so ist #a und #a und #a nicht #c1 sondern #a1 sowie ,gold und ,gold und ,gold nie etwas anderes als ,gold ist4 ,das ,pluszeichen in #a #a #a #c muss also anders als das und aufgefasst werden1 das eine ,sammlung1 eine collective ,idee bezeichnen hilft4 #ci4 ,wir stehen demnach vor folgender ,schwierigkeit3 ,wenn wir die ,zahl durch ,zusammenfassung von verschiedenen ,gegenstnden entstehen lassen wollen1 so erhalten wir eine ,anhufung1 in der die ,gegenstnde mit eben den ,eigenschaften enthalten sind1 durch die sie sich unterscheiden1 und das ist nicht die ,zahl4 ,wenn wir die ,zahl andrerseits durch ,zusammenfassung von ,gleichem bilden wollen1 so fliesst dies immerfort in eins zusammen1 und wir kommen nie zu einer ,mehrheit4 ,wenn wir mit #a jeden der zu zhlenden ,gegenstnde bezeichnen1 so ist das ein ,fehler1 weil ,verschiedenes dasselbe ,zeichen erhlt4 ,versehen wir die #a mit unterscheidenden ,strichen1 so wird sie fr die ,arithmetik unbrauchbar4 ,das ,wort ,einheit ist vortrefflich geeignet1 diese ,schwierigkeit zu verhllen2 und das ist der -- wenn auch unbewusste -- ,grund1 warum man es den ,wrtern ,gegenstand und ,ding vorzieht4 ,man nennt zunchst die zu zhlenden ,dinge ,einheiten1 wobei die ,verschiedenheit ihr ,recht erhlt2 dann geht die ,zusammenfassung1 ,sammlung1 ,vereinigung1 ,hinzufgung1 oder wie man es sonst nennen will1 in den ,begriff der arithmetischen ,addition ber und das ,begriffswort ,einheit verwandelt sich unvermerkt in den ,eigennamen ,eins4 ,damit hat man dann die ,gleichheit4 ,wenn ich an den ,buchstaben u ein n und daran ein d fge1 so sieht jeder leicht ein1 dass das nicht die ,zahl #c ist4 ,wenn ich aber u1 n und d unter den ,begriff ,einheit bringe und nun fr u und n und d sage eine ,einheit und eine ,einheit und noch eine ,einheit oder #a und #a und #a1 so glaubt man leicht damit die #c zu haben4 ,die ,schwierigkeit wird durch das ,wort ,einheit so gut versteckt1 dass gewiss nur wenige ,menschen eine ,ahnung von ihr haben4 ,hier knnte ,mill mit ,recht tadelnd von einem kunstfertigen ,handhaben der ,sprache reden2 denn hier ist es nicht die ussere ,erscheinung eines ,denkvorganges1 sondern es spiegelt einen solchen nur vor4 ,hier hat man in der ,that den ,eindruck1 als ob den von ,gedanken leeren ,worten eine gewisse geheimnissvolle ,kraft beigelegt werde1 wenn ,verschiedenes blos dadurch1 dass man es ,einheit nennt1 gleich werden soll4 ,versuche1 die ,schwierigkeit zu berwinden4 #dj4 ,wir betrachten nun einige ,ausfhrungen1 die sich als ,versuche zur ,ueberwindung dieser ,schwierigkeit darstellen1 wenn sie auch wohl nicht immer mit klarem ,bewusstsein in dieser ,absicht gemacht sind4 ,man kann zunchst eine ,eigenschaft des ,raumes und der ,zeit zu ,hilfe rufen4 ,ein ,raumpunkt ist nmlich von einem andern1 eine ,gerade oder ,ebene von einer andern1 congruente ,krper1 ,flchen- oder ,linienstcke von einander1 fr sich allein betrachtet1 gar nicht zu unterscheiden1 sondern nur in ihrem ,zusammensein als ,bestandteile einer ,gesammtanschauung4 ,so scheint sich hier ,gleichheit mit ,unterscheidbarkeit zu vereinen4 ,aehnliches gilt von der ,zeit4 ,daher meint wohl ,hobbes1#fh dass die ,gleichheit der ,einheiten anders als durch ,theilung des ,continuums entstehe1 knne kaum gedacht werden4 ,thomae#fi sagt3 ,stellt man eine ,menge von ,individuen oder ,einheiten im ,raume vor und zhlt man sie successive1 wozu ,zeit erforderlich ist1 so bleibt bei aller ,abstraction als unterscheidendes ,merkmal der ,einheiten noch ihre verschiedene ,stellung im ,raume und ihre verschiedene ,aufeinanderfolge in der ,zeit brig4 ,zunchst erhebt sich das ,bedenken gegen eine solche ,auffassungsweise1 dass dann das ,zhlbare auf das ,rumliche und ,zeitliche beschrnkt wre4 ,schon ,leibniz#gj weist die ,meinung der ,scholastiker zurck1 die ,zahl entstehe aus der blossen ,theilung des ,continuums und knne nicht auf unkrperliche ,dinge angewandt werden4 ,baumann#ga betont die ,unabhngigkeit von ,zahl und ,zeit4 ,der ,begriff der ,einheit sei auch ohne die ,zeit denkbar4 ,st4 ,jevons#gb sagt3 ,drei ,mnzen sind drei ,mnzen1 ob wir sie nun nach einander zhlen oder sie alle zugleich betrachten4 ,in vielen ,fllen ist weder ,zeit noch ,raum der ,grund des ,unterschiedes1 sondern allein ,qualitt4 ,wir knnen ,gewicht1 ,trgheit und ,hrte des ,goldes als drei ,eigenschaften auffassen1 obgleich keine von diesen vor noch nach der andern ist weder im ,raum noch in der ,zeit4 ,jedes ,mittel der ,unterscheidung kann eine ,quelle der ,vielheit sein4 ,ich fge hinzu3 wenn die gezhlten ,gegenstnde nicht wirklich auf einander folgen1 sondern nur nach einander gezhlt werden1 so kann die ,zeit nicht der ,grund der ,unterscheidung sein4 ,denn1 um sie nach einander zhlen zu knnen1 mssen wir schon unterscheidende ,kennzeichen haben4 ,die ,zeit ist nur ein psychologisches ,erforderniss zum ,zhlen1 hat aber mit dem ,begriffe der ,zahl nichts zu thun4 ,wenn man unrumliche und unzeitliche ,gegenstnde durch ,raum- oder ,zeitpunkte vertreten lsst1 so kann dies vielleicht fr die ,ausfhrung der ,zhlung vortheilhaft sein2 grundstzlich wird aber dabei die ,anwendbarkeit des ,zahlbegriffes auf ,unrumliches und ,unzeitliches vorausgesetzt4 #da4 ,wird denn aber der ,zweck der ,vereinigung von ,unterscheidbarkeit und ,gleichheit wirklich erreicht1 wenn wir von allen unterscheidenden ,kennzeichen ausser den rumlichen und zeitlichen absehen8 ,nein6 ,wir sind der ,lsung nicht um ,einen ,schritt nher gekommen4 ,die grssere oder geringere ,aehnlichkeit der ,gegenstnde thut nichts zur ,sache1 wenn sie doch zuletzt aus einander gehalten werden mssen4 ,ich darf die einzelnen ,punkte1 ,linien u4 s4 f4 hier ebenso wenig alle mit #a bezeichnen1 als ich sie bei geometrischen ,betrachtungen smmtlich ,a nennen darf2 denn hier wie dort ist es nthig1 sie zu unterscheiden4 ,nur fr sich1 ohne ,rcksicht auf ihre rumlichen ,beziehungen sind die ,raumpunkte einander gleich4 ,soll ich sie aber zusammenfassen1 so muss ich sie in ihrem rumlichen ,zusammensein betrachten1 sonst schmelzen sie unrettbar in ,einem zusammen4 ,punkte stellen in ihrer ,gesammtheit vielleicht irgendeine sternbildartige ,figur vor oder sind irgendwie auf einer ,geraden angeordnet1 gleiche ,strecken bilden vielleicht mit den ,endpunkten zusammenstossend eine einzige ,strecke oder liegen getrennt von einander4 ,die so entstehenden ,gebilde knnen fr dieselbe ,zahl ganz verschieden sein4 ,so wrden wir auch hier verschiedene ,fnfen1 ,sechsen u4 s4 w4 haben4 ,die ,zeitpunkte sind durch kurze oder lange1 gleiche oder ungleiche ,zwischenzeiten getrennt4 ,alles dies sind ,verhltnisse1 die mit der ,zahl an sich gar nichts zu thun haben4 ,ueberall mischt sich etwas ,besonderes ein1 worber die ,zahl in ihrer ,allgemeinheit weit erhaben ist4 ,sogar ein einzelner ,moment hat etwas ,eigenthmliches1 wodurch er sich etwa von einem ,raumpunkte unterscheidet1 und wovon nichts in dem ,zahlbegriffe vorkommt4 #db4 ,auch der ,ausweg1 rumliche und zeitliche ,anordnung durch einen allgemeinern ,reihenbegriff zu ersetzen1 fhrt nicht zum ,ziele2 denn die ,stelle in der ,reihe kann nicht der ,grund des ,unterscheidens der ,gegenstnde sein1 weil diese schon irgendworan unterschieden sein mssen1 um in eine ,reihe geordnet werden zu knnen4 ,eine solche ,anordnung setzt immer ,beziehungen zwischen den ,gegenstnden voraus1 seien es nun rumliche oder zeitliche oder logische oder ,tonintervalle oder welche sonst1 durch die man sich von einem zum andern leiten lsst1 und die mit deren ,unterscheidung nothwendig verbunden sind4 ,wenn ,hankel#gc ein ,object #a mal1 #b mal1 #c mal denken oder setzen lsst1 so scheint auch dies ein ,versuch zu sein1 die ,unterscheidbarkeit mit der ,gleichheit des zu ,zhlenden zu vereinen4 ,aber man sieht auch sofort1 dass es kein gelungener ist2 denn diese ,vorstellungen oder ,anschauungen desselben ,gegenstandes mssen1 um nicht in ,eine zusammenzufliessen1 irgendwie verschieden sein4 ,ich meine auch1 dass man berechtigt ist1 von #de ,millionen ,deutschen zu sprechen1 ohne vorher #de ,millionen mal einen ,normal-,deutschen gedacht oder gesetzt zu haben2 das mchte etwas umstndlich sein4 #dc4 ,wahrscheinlich um die ,schwierigkeiten zu vermeiden1 die sich ergeben1 wenn man mit ,st4 ,jevons jedes ,zeichen #a einen der gezhlten ,gegenstnde bedeuten lsst1 will ,e4 ,schrder dadurch einen ,gegenstand nur abbilden4 ,die ,folge ist1 dass er nur das ,zahlzeichen1 nicht die ,zahl erklrt4 ,er sagt nmlich#gd3 ,um nun ein ,zeichen zu erhalten1 welches fhig ist auszudrcken1 wieviele jener ,einheiten#ge vorhanden sind1 richtet man die ,aufmerksamkeit der ,reihe nach einmal auf eine jede derselben und bildet sie mit einem ,strich3 #a 7eine ,eins1 ein ,einer7 ab2 diese ,einer setzt man in eine ,zeile neben einander1 verbindet sie jedoch unter sich durch das ,zeichen 7plus71 da sonst zum ,beispiel #aaa nach der gewhnlichen ,zahlenbezeichnung als einhundert und elf gelesen wrde4 ,man erhlt auf diese ,weise ein ,zeichen wie3 #a #a #a #a #a1 dessen ,zusammensetzung man dadurch beschreiben kann1 dass man sagt3 ,eine natrliche ,zahl ist eine ,summe von ,einern4 ,hieraus sieht man1 dass fr ,schrder die ,zahl ein ,zeichen ist4 ,was durch dies ,zeichen ausgedrckt wird1 das1 was ich bisher ,zahl genannt habe1 setzt er mit den ,worten wieviele jener ,einheiten vorhanden sind als bekannt voraus4 ,auch unter dem ,worte ,eins versteht er das ,zeichen #a1 nicht dessen ,bedeutung4 ,das ,zeichen dient ihm zunchst nur als usserliches ,verbindungsmittel ohne eignen ,inhalt2 erst spter wird die ,addition erklrt4 ,er htte wohl krzer so sagen knnen3 man schreibt ebensoviele ,zeichen #a neben einander1 als man zu zhlende ,gegenstnde hat1 und verbindet sie durch das ,zeichen 4 ,die ,null wrde dadurch auszudrcken sein1 dass man nichts hinschreibt4 #dd4 ,um nicht die unterscheidenden ,kennzeichen der ,dinge in die ,zahl mitaufzunehmen1 sagt ,st4 ,jevons#gf3 ,es wird jetzt wenig schwierig sein1 eine klare ,vorstellung von der ,zahlen-,abstraction zu bilden4 ,sie besteht im ,abstrahiren von dem ,charakter der ,verschiedenheit1 aus der ,vielheit entspringt1 indem man lediglich ihr ,vorhandensein beibehlt4 ,wenn ich von drei ,mnnern spreche1 so brauche ich nicht gleich die ,kennzeichen einzeln anzugeben1 an denen man jeden von ihnen von jedem unterscheiden kann4 ,diese ,kennzeichen mssen vorhanden sein1 wenn sie wirklich drei ,mnner und nicht ein und derselbe sind1 und indem ich von ihnen als von vielen rede1 behaupte ich damit zugleich das ,vorhandensein der erforderlichen ,unterschiede4 ,unbenannte ,zahl ist also die leere ,form der ,verschiedenheit4 ,wie ist das zu verstehn8 ,man kann entweder von den unterscheidenden ,eigenschaften der ,dinge abstrahiren1 bevor man sie zu einem ,ganzen vereinigt2 oder man kann erst ein ,ganzes bilden und dann von der ,art der ,unterschiede abstrahiren4 ,auf dem ersten ,wege wrden wir gar nicht zur ,unterscheidung der ,dinge kommen und also auch das ,vorhandensein der ,unterschiede nicht festhalten knnen2 den zweiten ,weg scheint ,jevons zu meinen4 ,aber ich glaube nicht1 dass wir so die ,zahl #ajjjj gewinnen wrden1 weil wir nicht im ,stande sind1 so viele ,unterschiede gleichzeitig aufzufassen und ihr ,vorhandensein festzuhalten2 denn1 wenn es nach einander geschhe1 so wrde die ,zahl nie fertig werden4 ,wir zhlen zwar in der ,zeit2 aber dadurch gewinnen wir nicht die ,zahl1 sondern bestimmen sie nur4 ,uebrigens ist die ,angabe der ,weise des ,abstrahirens keine ,definition4 ,was soll man sich unter der leeren ,form der ,verschiedenheit denken8 etwa einen ,satz wie a ist verschieden von b1 wobei a und b unbestimmt bleiben8 ,wre dieser ,satz etwa die ,zahl #b8 ,ist der ,satz die ,erde hat zwei ,pole gleichbedeutend mit der ,nordpol ist vom ,sdpol verschieden8 ,offenbar nicht4 ,der zweite ,satz knnte ohne den ersten und dieser ohne jenen bestehen4 ,fr die ,zahl #ajjj wrden wir dann #ajjj #iii ---------- #a #b solche ,stze haben1 die eine ,verschiedenheit ausdrcken4 ,was ,jevons sagt1 passt insbesondere gar nicht auf die #j und die #a4 ,wovon soll man eigentlich abstrahiren1 um z4 ,b4 vom ,monde auf die ,zahl #a zu kommen8 ,durch ,abstrahiren erhlt man wohl die ,begriffe3 ,begleiter der ,erde1 ,begleiter eines ,planeten1 ,himmelskrper ohne eignes ,licht1 ,himmelskrper1 ,krper1 ,gegenstand2 aber die #a ist in dieser ,reihe nicht anzutreffen2 denn sie ist kein ,begriff1 unter den der ,mond fallen knnte4 ,bei der #j hat man gar nicht einmal einen ,gegenstand1 von dem bei der ,abstraction auszugehen wre4 ,man wende nicht ein1 dass #j und #a nicht ,zahlen in demselben ,sinne seien wie #b und #c6 ,die ,zahl antwortet auf die ,frage wieviel8 und wenn man z4 ,b4 fragt3 wieviel ,monde hat dieser ,planet8 so kann man sich ebenso gut auf die ,antwort #j oder #a wie #b oder #c gefasst machen1 ohne dass der ,sinn der ,frage ein andrer wird4 ,zwar hat die ,zahl #j etwas ,besonderes und ebenso die #a1 aber das gilt im ,grunde von jeder ganzen ,zahl2 nur fllt es bei den grsseren immer weniger in die ,augen4 ,es ist durchaus willkhrlich1 hier einen ,artunterschied zu machen4 ,was nicht auf #j oder #a passt1 kann fr den ,begriff der ,zahl nicht wesentlich sein4 ,endlich wird durch die ,annahme dieser ,entstehungsweise der ,zahl die ,schwierigkeit gar nicht gehoben1 auf die wir bei der ,betrachtung der ,bezeichnung #a #a #a #a #a fr #e gestossen sind4 ,diese ,schreibung steht gut im ,einklnge mit dem1 was ,jevons ber die zahlenbildende ,abstraction sagt2 die obern ,striche deuten nmlich an1 dass eine ,verschiedenheit da ist1 ohne jedoch ihre ,art anzugeben4 ,aber das blosse ,bestehen der ,verschiedenheit gengt schon1 wie wir gesehen haben1 um bei der ,jevons'schen ,auffassung verschiedene ,einsen1 ,zweien1 ,dreien hervorzubringen1 was mit dem ,bestande der ,arithmetik durchaus unvertrglich ist4 ,lsung der ,schwierigkeit4 #de4 ,ueberblicken wir nun das bisher von uns ,festgestellte und die noch unbeantwortet gebliebenen ,fragen6 ,die ,zahl ist nicht in der ,weise wie ,farbe1 ,gewicht1 ,hrte von den ,dingen abstrahirt1 ist nicht in dem ,sinne wie diese ,eigenschaft der ,dinge4 ,es blieb noch die ,frage1 von wem durch eine ,zahlangabe etwas ausgesagt werde4 ,die ,zahl ist nichts ,physikalisches1 aber auch nichts ,subjectives1 keine ,vorstellung4 ,die ,zahl entsteht nicht durch ,hinzufgung von ,ding zu ,ding4 ,auch die ,namengebung nach jeder ,hinzufgung ndert darin nichts4 ,die ,ausdrcke ,vielheit1 ,menge1 ,mehrheit sind wegen ihrer ,unbestimmtheit ungeeignet1 zur ,erklrung der ,zahl zu dienen4 ,in ,bezug auf ,eins und ,einheit blieb die ,frage1 wie die ,willkhr der ,auffassung zu beschrnken sei1 die jeden ,unterschied zwischen ,einem und ,vielen zu verwischen schien4 ,die ,abgegrenztheit1 die ,ungetheiltheit1 die ,unzerlegbarkeit sind keine brauchbaren ,merkmale fr das1 was wir durch das ,wort ,ein ausdrcken4 ,wenn man die zu zhlenden ,dinge ,einheiten nennt1 so ist die unbedingte ,behauptung1 dass die ,einheiten gleich seien1 falsch4 ,dass sie in gewisser ,hinsicht gleich sind1 ist zwar richtig aber werthlos4 ,die ,verschiedenheit der zu zhlenden ,dinge ist sogar nothwendig1 wenn die ,zahl grsser als #a werden soll4 ,so schien es1 dass wir den ,einheiten zwei widersprechende ,eigenschaften beilegen mssten3 die ,gleichheit und die ,unterscheidbarkeit4 ,es ist ein ,unterschied zwischen ,eins und ,einheit zu machen4 ,das ,wort ,eins ist als ,eigenname eines ,gegenstandes der mathematischen ,forschung eines ,plurals unfhig4 ,es ist also sinnlos1 ,zahlen durch ,zusammenfassen von ,einsen entstehen zu lassen4 ,das ,pluszeichen in #a #a #b kann nicht eine solche ,zusammenfassung bedeuten4 #df4 ,um ,licht in die ,sache zu bringen1 wird es gut sein1 die ,zahl im ,zusammenhange eines ,urtheils zu betrachten1 wo ihre ursprngliche ,anwendungsweise hervortritt4 ,wenn ich in ,ansehung derselben ussern ,erscheinung mit derselben ,wahrheit sagen kann3 dies ist eine ,baumgruppe und dies sind fnf ,bume oder hier sind vier ,compagnien und hier sind #ejj ,mann1 so ndert sich dabei weder das ,einzelne noch das ,ganze1 das ,aggregat1 sondern meine ,benennung4 ,das ist aber nur das ,zeichen der ,ersetzung eines ,begriffes durch einen andern4 ,damit wird uns als ,antwort auf die erste ,frage des vorigen ,paragraphen nahe gelegt1 dass die ,zahlangabe eine ,aussage von einem ,begriffe enthalte4 ,am deutlichsten ist dies vielleicht bei der ,zahl #j4 ,wenn ich sage3 die ,venus hat #j ,monde1 so ist gar kein ,mond oder ,aggregat von ,monden da1 von dem etwas ausgesagt werden knnte2 aber dem ,begriffe ,venusmond wird dadurch eine ,eigenschaft beigelegt1 nmlich die1 nichts unter sich zu befassen4 ,wenn ich sage3 der ,wagen des ,kaisers wird von vier ,pferden gezogen1 so lege ich die ,zahl vier dem ,begriffe ,pferd1 das den ,wagen des ,kaisers zieht1 bei4 ,man mag einwenden1 dass ein ,begriff wie z4 ,b4 ,angehriger des deutschen ,reiches1 obwohl seine ,merkmale unverndert bleiben1 eine von ,jahr zu ,jahr wechselnde ,eigenschaft haben wrde1 wenn die ,zahlangabe eine solche von ihm aussagte4 ,man kann dagegen geltend machen1 dass auch ,gegenstnde ihre ,eigenschaften ndern1 was nicht verhindere1 sie als dieselben anzuerkennen4 ,hier lsst sich aber der ,grund noch genauer angeben4 ,der ,begriff ,angehriger des deutschen ,reiches enthlt nmlich die ,zeit als vernderlichen ,bestandtheil1 oder1 um mich mathematisch auszudrcken1 ist eine ,function der ,zeit4 ,fr a ist ein ,angehriger des deutschen ,reiches kann man sagen3 a gehrt dem deutschen ,reiche an und dies bezieht sich auf den gerade gegenwrtigen ,zeitpunkt4 ,so ist also in dem ,begriffe selbst schon etwas ,fliessendes4 ,dagegen kommt dem ,begriffe ,angehriger des deutschen ,reiches zu ,jahresanfang #ahhc berliner ,zeit in alle ,ewigkeit dieselbe ,zahl zu4 #dg4 ,dass eine ,zahlangabe etwas ,thatschliches von unserer ,auffassung ,unabhngiges ausdrckt1 kann nur den ,wunder nehmen1 welcher den ,begriff fr etwas ,subjectives gleich der ,vorstellung hlt4 ,aber diese ,ansicht ist falsch4 ,wenn wir z4 ,b4 den ,begriff des ,krpers dem des ,schweren oder den des ,wallfisches dem des ,sugethiers unterordnen1 so behaupten wir damit etwas ,objectives4 ,wenn nun die ,begriffe subjectiv wren1 so wre auch die ,unterordnung des einen unter den andern als ,beziehung zwischen ihnen etwas ,subjectives wie eine ,beziehung zwischen ,vorstellungen4 ,freilich auf den ersten ,blick scheint der ,satz alle ,wallfische sind ,sugethiere von ,thieren1 nicht von ,begriffen zu handeln2 aber1 wenn man fragt1 von welchem ,thiere denn die ,rede sei1 so kann man kein einziges aufweisen4 ,gesetzt1 es liege ein ,wallfisch vor1 so behauptet doch von diesem unser ,satz nichts4 ,man knnte aus ihm nicht schliessen1 das vorliegende ,thier sei ein ,sugethier1 ohne den ,satz hinzuzunehmen1 dass es ein ,wallfisch ist1 wovon unser ,satz nichts enthlt4 ,ueberhaupt ist es unmglich1 von einem ,gegenstande zu sprechen1 ohne ihn irgendwie zu bezeichnen oder zu benennen4 ,das ,wort ,wallfisch benennt aber kein ,einzelwesen4 ,wenn man erwidert1 allerdings sei nicht von einem einzelnen1 bestimmten ,gegenstande die ,rede1 wohl aber von einem unbestimmten1 so meine ich1 dass unbestimmter ,gegenstand nur ein andrer ,ausdruck fr ,begriff ist1 und zwar ein schlechter1 widerspruchsvoller4 ,mag immerhin unser ,satz nur durch ,beobachtung an einzelnen ,thieren gerechtfertigt werden knnen1 dies beweist nichts fr seinen ,inhalt4 ,fr die ,frage1 wovon er handelt1 ist es gleichgiltig1 ob er wahr ist oder nicht1 oder aus welchen ,grnden wir ihn fr wahr halten4 ,wenn nun der ,begriff etwas ,objectives ist1 so kann auch eine ,aussage von ihm etwas ,thatschliches enthalten4 #dh4 ,der ,schein1 der vorhin bei einigen ,beispielen entstand1 dass demselben verschiedene ,zahlen zukmen1 erklrt sich daraus1 dass dabei ,gegenstnde als ,trger der ,zahl angenommen wurden4 ,sobald wir den wahren ,trger1 den ,begriff1 in seine ,rechte einsetzen1 zeigen sich die ,zahlen so ausschliessend wie in ihrem ,bereiche die ,farben4 ,wir sehen nun auch1 wie man dazu kommt1 die ,zahl durch ,abstraction von den ,dingen gewinnen zu wollen4 ,was man dadurch erhlt1 ist der ,begriff1 an dem man dann die ,zahl entdeckt4 ,so geht die ,abstraction in der ,that oft der ,bildung eines ,zahlurtheils vorher4 ,die ,verwechselung ist dieselbe1 wie wenn man sagen wollte3 der ,begriff der ,feuergefhrlichkeit wird erhalten1 indem man ein ,wohnhaus aus ,fachwerk mit einem ,brettergiebel und ,strohdach baut1 dessen ,schornsteine undicht sind4 ,die sammelnde ,kraft des ,begriffes bertrifft weit die vereinigende der synthetischen ,apperception4 ,durch diese wre es nicht mglich1 die ,angehrigen des deutschen ,reiches zu einem ,ganzen zu verbinden2 wohl aber kann man sie unter dem ,begriff ,angehriger des deutschen ,reiches bringen und zhlen4 ,nun wird auch die grosse ,anwendbarkeit der ,zahl erklrlich4 ,es ist in der ,that rthselhaft1 wie dasselbe von ussern und zugleich von innern ,erscheinungen1 von ,rumlichem und ,zeitlichem und von ,raum- und ,zeitlosem ausgesagt werden knne4 ,dies findet nun in der ,zahlangabe auch gar nicht statt4 ,nur den ,begriffen1 unter die das ,aeussere und ,innere1 das ,rumliche und ,zeitliche1 das ,raum- und ,zeitlose gebracht ist1 werden ,zahlen beigelegt4 #di4 ,wir finden fr unsere ,ansicht eine ,besttigung bei ,spinoza1 der sagt#gg3 ,ich antworte1 dass ein ,ding blos rcksichtlich seiner ,existenz1 nicht aber seiner ,essenz eines oder einzig genannt wird2 denn wir stellen die ,dinge unter ,zahlen nur vor1 nachdem sie auf ein gemeinsames ,maass gebracht sind4 ,wer z4 ,b4 ein ,sesterz und einen ,imperial in der ,hand hlt1 wird an die ,zweizahl nicht denken1 wenn er nicht dieses ,sesterz und diesen ,imperial mit einem und dem nmlichen ,namen1 nmlich ,geldstck oder ,mnze belegen kann3 dann kann er bejahen1 dass er zwei ,geldstcke oder ,mnzen habe2 weil er nicht nur das ,sesterz1 sondern auch den ,imperial mit den ,namen ,mnze bezeichnet4 ,wenn er fortfhrt3 ,hieraus ist klar1 dass ein ,ding eins oder einzig genannt wird1 nur nachdem ein anderes ,ding ist vorgestellt worden1 das 7wie gesagt7 mit ihm bereinkommt1 und wenn er meint1 dass man nicht im eigentlichen ,sinne ,gott einen oder einzig nennen knne1 weil wir von seiner ,essenz keinen abstracten ,begriff bilden knnten1 so irrt er in der ,meinung1 der ,begriff knne nur unmittelbar durch ,abstraction von mehren ,gegenstnden gewonnen werden4 ,vielmehr kann man auch von den ,merkmalen aus zu dem ,begriffe gelangen2 und dann ist es mglich1 das kein ,ding unter ihn fllt4 ,wenn dies nicht vorkme1 wrde man nie die ,existenz verneinen knnen1 und damit verlre auch die ,bejahung der ,existenz ihren ,inhalt4 #ej4 ,e4 ,schrder#gh hebt hervor1 dass1 wenn von ,hufigkeit eines ,dinges solle gesprochen werden knnen1 der ,name dieses ,dinges stets ein ,gattungsname1 ein allgemeines ,begriffswort 7notio communis7 sein msse3 ,sobald man nmlich einen ,gegenstand vollstndig -- mit allen seinen ,eigenschaften und ,beziehungen -- in's ,auge fasst1 so wird derselbe einzig in der ,welt dastehen und seines gleichen nicht weiter haben4 ,der ,name des ,gegenstandes wird alsdann den ,charakter eines ,eigennamens 7nomen proprium7 tragen und kann der ,gegenstand nicht als ein wiederholt vorkommender gedacht werden4 ,dieses gilt aber nicht allein von concreten ,gegenstnden1 es gilt berhaupt von jedem ,dinge1 mag dessen ,vorstellung auch durch ,abstractionen zu ,stande kommen1 wofern nur diese ,vorstellung solche ,elemente in sich schliesst1 welche gengen1 das betreffende ,ding zu einem vllig bestimmten zu machen4 444 ,das letztere 7,object der ,zhlung zu werden7 wird bei einem ,dinge erst insofern mglich1 als man von einigen ihm eigenthmlichen ,merkmalen und ,beziehungen1 durch die es sich von allen andern ,dingen unterscheidet1 dabei absieht oder abstrahirt1 wodurch dann erst der ,name des ,dinges zu einem auf mehre ,dinge anwendbaren ,begriffe wird4 #ea4 ,das ,wahre in dieser ,ausfhrung ist in so schiefe und irrefhrende ,ausdrcke gekleidet1 dass eine ,entwirrung und ,sichtung geboten ist4 ,zunchst ist es unpassend1 ein allgemeines ,begriffswort ,namen eines ,dinges zu nennen4 ,dadurch entsteht der ,schein1 als ob die ,zahl ,eigenschaft eines ,dinges wre4 ,ein allgemeines ,begriffswort bezeichnet eben einen ,begriff4 ,nur mit dem bestimmten ,artikel oder einem ,demonstrativpronomen gilt es als ,eigenname eines ,dinges1 hrt aber damit auf1 als ,begriffswort zu gelten4 ,der ,name eines ,dinges ist ein ,eigenname4 ,ein ,gegenstand kommt nicht wiederholt vor1 sondern mehre ,gegenstnde fallen unter einen ,begriff4 ,dass ein ,begriff nicht nur durch ,abstraction von den ,dingen erhalten wird1 die unter ihn fallen1 ist schon ,spinoza gegenber bemerkt4 ,hier fge ich hinzu1 dass ein ,begriff dadurch nicht aufhrt1 ,begriff zu sein1 dass nur ein einziges ,ding unter ihn fllt1 welches demnach vllig durch ihn bestimmt ist4 ,einem solchen ,begriffe 7z4 ,b4 ,begleiter der ,erde7 kommt eben die ,zahl #a zu1 die in demselben ,sinne ,zahl ist wie #b und #c4 ,bei einem ,begriffe fragt es sich immer1 ob etwas und was etwa unter ihn falle4 ,bei einem ,eigennamen sind solche ,fragen sinnlos4 ,man darf sich nicht dadurch tuschen lassen1 dass die ,sprache einen ,eigennamen1 z4 ,b4 ,mond1 als ,begriffswort verwendet und umgekehrt2 der ,unterschied bleibt trotzdem bestehen4 ,sobald ein ,wort mit dem unbestimmten ,artikel oder im ,plural ohne ,artikel gebraucht wird1 ist es ,begriffswort4 #eb4 ,eine weitere ,besttigung fr die ,ansicht1 dass die ,zahl ,begriffen beigelegt wird1 kann in dem deutschen ,sprachgebrauche gefunden werden1 dass man zehn ,mann1 vier ,mark1 drei ,fass sagt4 ,der ,singular mag hier andeuten1 dass der ,begriff gemeint ist1 nicht das ,ding4 ,der ,vorzug dieser ,ausdrucksweise tritt besonders bei der ,zahl #j hervor4 ,sonst freilich legt die ,sprache den ,gegenstnden1 nicht dem ,begriffe ,zahl bei3 man sagt ,zahl der ,ballen1 wie man ,gewicht der ,ballen sagt4 ,so spricht man scheinbar von ,gegenstnden1 whrend man in ,wahrheit von einem ,begriffe etwas aussagen will4 ,dieser ,sprachgebrauch ist verwirrend4 ,der ,ausdruck vier edle ,rosse erweckt den ,schein1 als ob vier den ,begriff edles ,ross ebenso wie edel den ,begriff ,ross nher bestimme4 ,jedoch ist nur edel ein solches ,merkmal2 durch das ,wort vier sagen wir etwas von einem ,begriffe aus4 #ec4 ,unter ,eigenschaften1 die von einem ,begriffe ausgesagt werden1 verstehe ich natrlich nicht die ,merkmale1 die den ,begriff zusammensetzen4 ,diese sind ,eigenschaften der ,dinge1 die unter den ,begriff fallen1 nicht des ,begriffes4 ,so ist rechtwinklig nicht eine ,eigenschaft des ,begriffes rechtwinkliges ,dreieck2 aber der ,satz1 dass es kein rechtwinkliges1 geradliniges1 gleichseitiges ,dreieck gebe1 spricht eine ,eigenschaft des ,begriffes rechtwinkliges1 geradliniges1 gleichseitiges ,dreieck aus2 diesem wird die ,nullzahl beigelegt4 ,in dieser ,beziehung hat die ,existenz ,aehnlichkeit mit der ,zahl4 ,es ist ja ,bejahung der ,existenz nichts ,anderes als ,verneinung der ,nullzahl4 ,weil ,existenz ,eigenschaft des ,begriffes ist1 erreicht der ontologische ,beweis von der ,existenz ,gottes sein ,ziel nicht4 ,ebensowenig wie die ,existenz ist aber die ,einzigkeit ,merkmal des ,begriffes ,gott4 ,die ,einzigkeit kann nicht zur ,definition dieses ,begriffes gebraucht werden1 wie man auch die ,festigkeit1 ,gerumigkeit1 ,wohnlichkeit eines ,hauses nicht mit ,steinen1 ,mrtel und ,balken zusammen bei seinem ,baue verwenden kann4 ,man darf jedoch daraus1 dass etwas ,eigenschaft eines ,begriffes ist1 nicht allgemein schliessen1 dass es aus dem ,begriffe1 d4 h4 aus dessen ,merkmalen nicht gefolgert werden knne4 ,unter ,umstnden ist dies mglich1 wie man aus der ,art der ,bausteine zuweilen einen ,schluss auf die ,dauerhaftigkeit eines ,gebudes machen kann4 ,daher wre es zuviel behauptet1 dass niemals aus den ,merkmalen eines ,begriffes auf die ,einzigkeit oder ,existenz geschlossen werden knne2 nur kann dies nie so unmittelbar geschehen1 wie man das ,merkmal eines ,begriffes einem unter ihn fallenden ,gegenstande als ,eigenschaft beilegt4 ,es wre auch falsch zu leugnen1 dass ,existenz und ,einzigkeit jemals ,merkmale von ,begriffen sein knnten4 ,sie sind nur nicht ,merkmale der ,begriffe1 denen man sie der ,sprache folgend zuschreiben mchte4 ,wenn man z4 ,b4 alle ,begriffe1 unter welche nur ,ein ,gegenstand fllt1 unter einen ,begriff sammelt1 so ist die ,einzigkeit ,merkmal dieses ,begriffes4 ,unter ihn wrde z4 ,b4 der ,begriff ,erdmond1 aber nicht der sogenannte ,himmelskrper fallen4 ,so kann man einen ,begriff unter einen hhern1 so zu sagen einen ,begriff zweiter ,ordnung fallen lassen4 ,dies ,verhltniss ist aber nicht mit dem der ,unterordnung zu verwechseln4 #ed4 ,jetzt wird es mglich sein1 die ,einheit befriedigend zu erklren4 ,e4 ,schrder sagt auf ,s4 #g seines genannten ,lehrbuches3 ,jener ,gattungsname oder ,begriff wird die ,benennung der auf die angegebene ,weise gebildeten ,zahl genannt und macht das ,wesen ihrer ,einheit aus4 ,in der ,that1 wre es nicht am passendsten1 einen ,begriff ,einheit zu nennen in ,bezug auf die ,anzahl1 welche ihm zukommt8 ,wir knnen dann den ,aussagen ber die ,einheit1 dass sie von der ,umgebung abgesondert und untheilbar sei1 einen ,sinn abgewinnen4 ,denn der ,begriff1 dem die ,zahl beigelegt wird1 grenzt im ,allgemeinen das unter ihn ,fallende in bestimmter ,weise ab4 ,der ,begriff ,buchstabe des ,wortes ,zahl grenzt das ,z gegen das a1 dieses gegen das h u4 s4 w4 ab4 ,der ,begriff ,silbe des ,wortes ,zahl hebt das ,wort als ein ,ganzes und in dem ,sinne ,untheilbares heraus1 dass die ,theile nicht mehr unter den ,begriff ,silbe des ,wortes ,zahl fallen4 ,nicht alle ,begriffe sind so beschaffen4 ,wir knnen z4 ,b4 das unter den ,begriff des ,rothen ,fallende in mannigfacher ,weise zertheilen1 ohne dass die ,theile aufhren1 unter ihn zu fallen4 ,einem solchen ,begriffe kommt keine endliche ,zahl zu4 ,der ,satz von der ,abgegrenztheit und ,untheilbarkeit der ,einheit lsst sich demnach so aussprechen3 ,einheit in ,bezug auf eine endliche ,anzahl kann nur ein solcher ,begriff sein1 der das unter ihn ,fallende bestimmt abgrenzt und keine beliebige ,zertheilung gestattet4 ,man sieht aber1 dass ,untheilbarkeit hier eine besondere ,bedeutung hat4 ,nun beantworten wir leicht die ,frage1 wie die ,gleichheit mit der ,unterscheidbarkeit der ,einheiten zu vershnen sei4 ,das ,wort ,einheit ist hier in doppeltem ,sinne gebraucht4 ,gleich sind die ,einheiten in der oben erklrten ,bedeutung dieses ,worts4 ,in dem ,satze3 ,jupiter hat vier ,monde ist die ,einheit ,jupitersmond4 ,unter diesen ,begriff fllt sowohl ,i als auch ,,ii1 als auch ,,iii1 als auch ,,iv4 ,daher kann man sagen3 die ,einheit1 auf die ,i bezogen wird1 ist gleich der ,einheit1 auf die ,,ii bezogen wird u4 s4 f4 ,da haben wir die ,gleichheit4 ,wenn man aber die ,unterscheidbarkeit der ,einheiten behauptet1 so versteht man darunter die der gezhlten ,dinge4 ,,iv4 ,der ,begriff der ,anzahl4 ,jede einzelne ,zahl ist ein selbstndiger ,gegenstand4 #ee4 ,nachdem wir erkannt haben1 dass die ,zahlangabe eine ,aussage von einem ,begriffe enthlt1 knnen wir versuchen1 die leibnizischen ,definitionen der einzelnen ,zahlen durch die der #j und der #a zu ergnzen4 ,es liegt nahe zu erklren3 einem ,begriffe kommt die ,zahl #j zu1 wenn kein ,gegenstand unter ihn fllt4 ,aber hier scheint an die ,stelle der #j das gleichbedeutende kein getreten zu sein2 deshalb ist folgender ,wortlaut vorzuziehen3 einem ,begriffe kommt die ,zahl #j zu1 wenn allgemein1 was auch a sei1 der ,satz gilt1 dass a nicht unter diesen ,begriff falle4 ,in hnlicher ,weise knnte man sagen3 einem ,begriffe ,f kommt die ,zahl #a zu1 wenn nicht allgemein1 was auch a sei1 der ,satz gilt1 dass a nicht unter ,f falle1 und wenn aus den ,stzen a fllt unter ,f und b fllt unter ,f allgemein folgt1 dass a und b dasselbe sind4 ,es bleibt noch brig1 den ,uebergang von einer ,zahl zur nchstfolgenden allgemein zu erklren4 ,wir versuchen folgenden ,wortlaut3 dem ,begriffe ,f kommt die ,zahl 7n #a7 zu1 wenn es einen ,gegenstand a giebt1 der unter ,f fllt und so beschaffen ist1 dass dem ,begriffe unter ,f fallend1 aber nicht a die ,zahl n zukommt4 #ef4 ,diese ,erklrungen bieten sich nach unsern bisherigen ,ergebnissen so ungezwungen dar1 dass es einer ,darlegung bedarf1 warum sie uns nicht gengen knnen4 ,am ehesten wird die letzte ,definition ,bedenken erregen2 denn genau genommen ist uns der ,sinn des ,ausdruckes dem ,begriffe ,g kommt die ,zahl n zu ebenso unbekannt wie der des ,ausdruckes dem ,begriffe ,f kommt die ,zahl 7n #a7 zu4 ,zwar knnen wir mittels dieser und der vorletzten ,erklrung sagen1 was es bedeute dem ,begriffe ,f kommt die ,zahl #a #a zu1 und dann1 indem wir dies benutzen1 den ,sinn des ,ausdruckes dem ,begriffe ,f kommt die ,zahl #a #a #a zu angeben u4 s4 w42 aber wir knnen -- um ein krasses ,beispiel zu geben -- durch unsere ,definitionen nie entscheiden1 ob einem ,begriffe die ,zahl ,julius ,caesar zukomme1 ob dieser bekannte ,eroberer ,galliens eine ,zahl ist oder nicht4 ,wir knnen ferner mit ,hilfe unserer ,erklrungsversuche nicht beweisen1 dass a b sein muss1 wenn dem ,begriffe ,f die ,zahl a zukommt1 und wenn demselben die ,zahl b zukommt4 ,der ,ausdruck die ,zahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt wre also nicht zu rechtfertigen und dadurch wrde es berhaupt unmglich1 eine ,zahlengleichheit zu beweisen1 weil wir gar nicht eine bestimmte ,zahl fassen knnten4 ,es ist nur ,schein1 dass wir die #j1 die #a erklrt haben2 in ,wahrheit haben wir nur den ,sinn der ,redensarten die ,zahl #j kommt zu1 die ,zahl #a kommt zu festgestellt2 aber es nicht erlaubt1 hierin die #j1 die #a als selbstndige1 wiedererkennbare ,gegenstnde zu unterscheiden4 #eg4 ,es ist hier der ,ort1 unsern ,ausdruck1 dass die ,zahlangabe eine ,aussage von einem ,begriffe enthalte1 etwas genauer ins ,auge zu fassen4 ,in dem ,satze dem ,begriffe ,f kommt die ,zahl #j zu ist #j nur ein ,theil des ,praedicates1 wenn wir als sachliches ,subject den ,begriff ,f betrachten4 ,deshalb habe ich es vermieden1 eine ,zahl wie #j1 #a1 #b ,eigenschaft eines ,begriffes zu nennen4 ,die einzelne ,zahl erscheint eben dadurch1 dass sie nur einen ,theil der ,aussage bildet1 als selbstndiger ,gegenstand4 ,ich habe schon oben darauf aufmerksam gemacht1 dass man die #a sagt und durch den bestimmten ,artikel #a als ,gegenstand hinstellt4 ,diese ,selbstndigkeit zeigt sich berall in der ,arithmetik1 z4 ,b4 in der ,gleichung #a #a #b4 ,da es uns hier darauf ankommt1 den ,zahlbegriff so zu fassen1 wie er fr die ,wissenschaft brauchbar ist1 so darf es uns nicht stren1 dass im ,sprachgebrauche des ,lebens die ,zahl auch attributiv erscheint4 ,dies lsst sich immer vermeiden4 ,z4 ,b4 kann man den ,satz ,jupiter hat vier ,monde umsetzen in die ,zahl der ,jupitersmonde ist vier4 ,hier darf das ist nicht als blosse ,copula betrachtet werden1 wie in dem ,satze der ,himmel ist blau4 ,das zeigt sich darin1 dass man sagen kann3 die ,zahl der ,jupitersmonde ist die vier oder ist die ,zahl #d4 ,hier hat ist den ,sinn von ist gleich1 ist dasselbe wie4 ,wir haben also eine ,gleichung1 die behauptet1 dass der ,ausdruck die ,zahl der ,jupitersmonde denselben ,gegenstand bezeichne wie das ,wort vier4 ,und die ,form der ,gleichung ist die herrschende in der ,arithmetik4 ,gegen diese ,auffassung streitet nicht1 dass in dem ,worte vier nichts von ,jupiter oder von ,mond enthalten ist4 ,auch in dem ,namen ,columbus liegt nichts von ,entdecken oder von ,amerika und dennoch wird derselbe ,mann ,columbus und der ,entdecker ,amerikas genannt4 #eh4 ,man knnte einwenden1 dass wir uns von dem ,gegenstande1 den wir ,vier oder die ,anzahl der ,jupitersmonde nennen1 als von etwas ,selbstndigem durchaus keine ,vorstellung#gi machen knnen4 ,aber die ,selbstndigkeit1 die wir der ,zahl gegeben haben1 ist nicht ,schuld daran4 ,zwar glaubt man leicht1 dass in der ,vorstellung von vier ,augen eines ,wrfels etwas vorkomme1 was dem ,worte vier entsprche2 aber das ist ,tuschung4 ,man denke an eine grne ,wiese und versuche1 ob sich die ,vorstellung ndert1 wenn man den unbestimmten ,artikel durch das ,zahlwort ,ein ersetzt4 ,es kommt nichts hinzu1 whrend doch dem ,worte grn etwas in der ,vorstellung entspricht4 ,wenn man sich das gedruckte ,wort ,gold vorstellt1 wird man zunchst an keine ,zahl dabei denken4 ,fragt man sich nun1 aus wieviel ,buchstaben es bestehe1 so ergiebt sich die ,zahl #d2 aber die ,vorstellung wird dadurch nicht etwa bestimmter1 sondern kann ganz unverndert bleiben4 ,der hinzutretende ,begriff ,buchstabe des ,wortes ,gold ist eben das1 woran wir die ,zahl entdecken4 ,bei den vier ,augen eines ,wrfels ist die ,sache etwas versteckter1 weil der ,begriff sich uns durch die ,aehnlichkeit der ,augen so unmittelbar aufdrngt1 dass wir sein ,dazwischentreten kaum bemerken4 ,die ,zahl kann weder als selbstndiger ,gegenstand noch als ,eigenschaft an einem ussern ,dinge vorgestellt werden1 weil sie weder etwas ,sinnliches noch ,eigenschaft eines ussern ,dinges ist4 ,am deutlichsten ist die ,sache wohl bei der ,zahl #j4 ,man wird vergebens versuchen1 sich #j sichtbare ,sterne vorzustellen4 ,zwar kann man sich den ,himmel ganz mit ,wolken berzogen denken2 aber hierin ist nichts1 was dem ,worte ,stern oder der #j entsprche4 ,man stellt sich nur eine ,sachlage vor1 die zu dem ,urtheile veranlassen kann3 es ist jetzt kein ,stern zu sehen4 #ei4 ,jedes ,wort erweckt vielleicht irgendeine ,vorstellung in uns1 sogar ein solches wie nur2 aber sie braucht nicht dem ,inhalte des ,wortes zu entsprechen2 sie kann in andern ,menschen eine ganz andere sein4 ,man wird sich dann wohl eine ,sachlage vorstellen1 die zu einem ,satze auffordert1 in welchem das ,wort vorkommt2 oder es ruft etwa das gesprochene ,wort das geschriebene ins ,gedchtniss zurck4 ,dies findet nicht nur bei ,partikeln statt4 ,es unterliegt wohl keinem ,zweifel1 dass wir keine ,vorstellung unserer ,entfernung von der ,sonne haben4 ,denn1 wenn wir auch die ,regel kennen1 wie oft wir einen ,maasstab vervielfltigen mssen1 so misslingt doch jeder ,versuch1 nach dieser ,regel uns ein ,bild zu entwerfen1 das auch nur einigermaassen dem ,gewollten nahe kommt4 ,das ist aber kein ,grund1 die ,richtigkeit der ,rechnung zu bezweifeln1 durch welche die ,entfernung gefunden ist1 und hindert uns in keiner ,weise1 weitere ,schlsse auf das ,bestehen dieser ,entfernung zu grnden4 #fj4 ,selbst ein so concretes ,ding wie die ,erde knnen wir uns nicht so vorstellen1 wie wir erkannt haben1 dass es ist2 sondern wir begngen uns mit einer ,kugel von mssiger ,grsse1 die uns als ,zeichen fr die ,erde gilt2 aber wir wissen1 dass diese sehr davon verschieden ist4 ,obwohl nun unsere ,vorstellung das ,gewollte oft gar nicht trifft1 so urtheilen wir doch mit grosser ,sicherheit ber einen ,gegenstand wie die ,erde auch da1 wo die ,grsse in ,betracht kommt4 ,wir werden durch das ,denken gar oft ber das ,vorstellbare hinausgefhrt1 ohne damit die ,unterlage fr unsere ,schlsse zu verlieren4 ,wenn auch1 wie es scheint1 uns ,menschen ,denken ohne ,vorstellungen unmglich ist1 so kann doch deren ,zusammenhang mit dem ,gedachten ganz usserlich1 willkhrlich und conventionell sein4 ,es ist also die ,unvorstellbarkeit des ,inhaltes eines ,wortes kein ,grund1 ihm jede ,bedeutung abzusprechen oder es vom ,gebrauche auszuschliessen4 ,der ,schein des ,gegentheils entsteht wohl dadurch1 dass wir die ,wrter vereinzelt betrachten und nach ihrer ,bedeutung fragen1 fr welche wir dann eine ,vorstellung nehmen4 ,so scheint ein ,wort keinen ,inhalt zu haben1 fr welches uns ein entsprechendes inneres ,bild fehlt4 ,man muss aber immer einen vollstndigen ,satz ins ,auge fassen4 ,nur in ihm haben die ,wrter eigentlich eine ,bedeutung4 ,die innern ,bilder1 die uns dabei etwa vorschweben1 brauchen nicht den logischen ,bestandtheilen des ,urtheils zu entsprechen4 ,es gengt1 wenn der ,satz als ,ganzes einen ,sinn hat2 dadurch erhalten auch seine ,theile ihren ,inhalt4 ,diese ,bemerkung scheint mir geeignet1 auf manche schwierige ,begriffe wie den des ,unendlichkleinen#hj ein ,licht zu werfen1 und ihre ,tragweite beschrnkt sich wohl nicht auf die ,mathematik4 ,die ,selbstndigkeit1 die ich fr die ,zahl in ,anspruch nehme1 soll nicht bedeuten1 dass ein ,zahlwort ausser dem ,zusammenhange eines ,satzes etwas bezeichne1 sondern ich will damit nur dessen ,gebrauch als ,praedicat oder ,attribut ausschliessen1 wodurch seine ,bedeutung etwas verndert wird4 #fa4 ,aber1 wendet man vielleicht ein1 mag auch die ,erde eigentlich unvorstellbar sein1 so ist sie doch ein usseres ,ding1 das einen bestimmten ,ort hat2 aber wo ist die ,zahl #d8 sie ist weder ausser uns noch in uns4 ,das ist in rumlichem ,sinne verstanden richtig4 ,eine ,ortsbestimmung der ,zahl #d hat keinen ,sinn2 aber daraus folgt nur1 dass sie kein rumlicher ,gegenstand ist1 nicht1 dass sie berhaupt keiner ist4 ,nicht jeder ,gegenstand ist irgendwo4 ,auch unsere ,vorstellungen#ha sind in diesem ,sinne nicht in uns 7subcutan74 ,da sind ,ganglienzellen1 ,blutkrperchen und dergl41 aber keine ,vorstellungen4 ,rumliche ,praedicate sind auf sie nicht anwendbar3 die eine ist weder rechts noch links von der andern2 ,vorstellungen haben keine in ,millimetern angebbaren ,entfernungen von einander4 ,wenn wir sie dennoch in uns nennen1 so wollen wir sie damit als subjectiv bezeichnen4 ,aber wenn auch das ,subjective keinen ,ort hat1 wie ist es mglich1 dass die objective ,zahl #d nirgendwo sei8 ,nun ich behaupte1 dass darin gar kein ,widerspruch liegt4 ,sie ist in der ,that genau dieselbe fr jeden1 der sich mit ihr beschftigt2 aber dies hat mit ,rumlichkeit nichts zu schaffen4 ,nicht jeder objective ,gegenstand hat einen ,ort4 ,um den ,begriff der ,anzahl zu gewinnen1 muss man den ,sinn einer ,zahlengleichung feststellen4 #fb4 ,wie soll uns denn eine ,zahl gegeben sein1 wenn wir keine ,vorstellung oder ,anschauung von ihr haben knnen8 ,nur im ,zusammenhange eines ,satzes bedeuten die ,wrter etwas4 ,es wird also darauf ankommen1 den ,sinn eines ,satzes zu erklren1 in dem ein ,zahlwort vorkommt4 ,das giebt zunchst noch viel der ,willkhr anheim4 ,aber wir haben schon festgestellt1 dass unter den ,zahlwrtern selbstndige ,gegenstnde zu verstehen sind4 ,damit ist uns eine ,gattung von ,stzen gegeben1 die einen ,sinn haben mssen1 der ,stze1 welche ein ,wiedererkennen ausdrcken4 ,wenn uns das ,zeichen a einen ,gegenstand bezeichnen soll1 so mssen wir ein ,kennzeichen haben1 welches berall entscheidet1 ob b dasselbe sei wie a1 wenn es auch nicht immer in unserer ,macht steht1 dies ,kennzeichen anzuwenden4 ,in unserm ,falle mssen wir den ,sinn des ,satzes die ,zahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt1 ist dieselbe1 welche dem ,begriffe ,g zukommt erklren2 d4 h4 wir mssen den ,inhalt dieses ,satzes in anderer ,weise wiedergeben1 ohne den ,ausdruck die ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt zu gebrauchen4 ,damit geben wir ein allgemeines ,kennzeichen fr die ,gleichheit von ,zahlen an4 ,nachdem wir so ein ,mittel erlangt haben1 eine bestimmte ,zahl zu fassen und als dieselbe wiederzuerkennen1 knnen wir ihr ein ,zahlwort zum ,eigennamen geben4 #fc4 ,ein solches ,mittel nennt schon ,hume#hb3 ,wenn zwei ,zahlen so combinirt werden1 dass die eine immer eine ,einheit hat1 die jeder ,einheit der andern entspricht1 so geben wir sie als gleich an4 ,es scheint in neuerer ,zeit die ,meinung unter den ,mathematikern#hc vielfach ,anklang gefunden zu haben1 dass die ,gleichheit der ,zahlen mittels der eindeutigen ,zuordnung definirt werden msse4 ,aber es erheben sich zunchst logische ,bedenken und ,schwierigkeiten1 an denen wir nicht ohne ,prfung vorbeigehen drfen4 ,das ,verhltniss der ,gleichheit kommt nicht nur bei ,zahlen vor4 ,daraus scheint zu folgen1 dass es nicht fr diesen ,fall besonders erklrt werden darf4 ,man sollte denken1 dass der ,begriff der ,gleichheit schon vorher feststnde1 und dass dann aus ihm und dem ,begriffe der ,anzahl sich ergeben msste1 wann ,anzahlen einander gleich wren1 ohne dass es dazu noch einer besondern ,definition bedrfte4 ,hiergegen ist zu bemerken1 dass fr uns der ,begriff der ,anzahl noch nicht feststeht1 sondern erst mittels unserer ,erklrung bestimmt werden soll4 ,unsere ,absicht ist1 den ,inhalt eines ,urtheils zu bilden1 der sich so als eine ,gleichung auffassen lsst1 dass jede ,seite dieser ,gleichung eine ,zahl ist4 ,wir wollen also nicht die ,gleichheit eigens fr diesen ,fall erklren1 sondern mittels des schon bekannten ,begriffes der ,gleichheit1 das gewinnen1 was als gleich zu betrachten ist4 ,das scheint freilich eine sehr ungewhnliche ,art der ,definition zu sein1 welche wohl von den ,logikern noch nicht gengend beachtet ist2 dass sie aber nicht unerhrt ist1 mgen einige ,beispiele zeigen4 #fd4 ,das ,urtheil3 die ,gerade a ist parallel der ,gerade b1 in ,zeichen3 a b1 kann als ,gleichung aufgefasst werden4 ,wenn wir dies thun1 erhalten wir den ,begriff der ,richtung und sagen3 die ,richtung der ,gerade a ist gleich der ,richtung der ,gerade b4 ,wir ersetzen also das ,zeichen durch das allgemeinere 1 indem wir den besondern ,inhalt des ersteren an a und b vertheilen4 ,wir zerspalten den ,inhalt in anderer als der ursprnglichen ,weise und gewinnen dadurch einen neuen ,begriff4 ,oft fasst man freilich die ,sache umgekehrt auf1 und manche ,lehrer definiren3 parallele ,geraden sind solche von gleicher ,richtung4 ,der ,satz3 wenn zwei ,geraden einer dritten parallel sind1 so sind sie einander parallel lsst sich dann mit ,berufung auf den hnlich lautenden ,gleichheitssatz sehr bequem beweisen4 ,nur schade1 dass der wahre ,sachverhalt damit auf den ,kopf gestellt wird6 ,denn alles ,geometrische muss doch wohl ursprnglich anschaulich sein4 ,nun frage ich1 ob jemand eine ,anschauung von der ,richtung einer ,gerade hat4 ,von der ,gerade wohl6 aber unterscheidet man in der ,anschauung von dieser ,gerade noch ihre ,richtung8 ,schwerlich6 ,dieser ,begriff wird erst durch eine an die ,anschauung anknpfende geistige ,thtigkeit gefunden4 ,dagegen hat man eine ,vorstellung von parallelen ,geraden4 ,jener ,beweis kommt nur durch eine ,erschleichung zu ,stande1 indem man durch den ,gebrauch des ,wortes ,richtung das zu ,beweisende voraussetzt2 denn wre der ,satz3 wenn zwei ,geraden einer dritten parallel sind1 so sind sie einander parallel unrichtig1 so knnte man a b nicht in eine ,gleichung verwandeln4 ,so kann man aus dem ,parallelismus von ,ebenen einen ,begriff erhalten1 der dem der ,richtung bei ,geraden entspricht4 ,ich habe dafr den ,namen ,stellung gelesen4 ,aus der geometrischen ,aehnlichkeit geht der ,begriff der ,gestalt hervor1 so dass man z4 ,b4 statt die beiden ,dreiecke sind hnlich sagt3 die beiden ,dreiecke haben gleiche ,gestalt oder die ,gestalt des einen ,dreiecks ist gleich der ,gestalt des andern4 ,so kann man auch aus der collinearen ,verwandtschaft geometrischer ,gebilde einen ,begriff gewinnen1 fr den ein ,name wohl noch fehlt4 #fe4 ,um nun z4 ,b4 vom ,parallelismus#hd auf den ,begriff der ,richtung zu kommen1 versuchen wir folgende ,definition3 der ,satz die ,gerade a ist parallel der ,gerade b sei gleichbedeutend mit die ,richtung der ,gerade a ist gleich der ,richtung der ,gerade b4 ,diese ,erklrung weicht insofern von dem ,gewohnten ab1 als sie scheinbar die schon bekannte ,beziehung der ,gleichheit bestimmt1 whrend sie in ,wahrheit den ,ausdruck die ,richtung der ,gerade a einfhren soll1 der nur nebenschlich vorkommt4 ,daraus entspringt ein zweites ,bedenken1 ob wir nicht durch eine solche ,festsetzung in ,widersprche mit den bekannten ,gesetzen der ,gleichheit verwickelt werden knnten4 ,welches sind diese8 ,sie werden als analytische ,wahrheiten aus dem ,begriffe selbst entwickelt werden knnen4 ,nun definirt ,leibniz#he3 ,eadem sunt1 quorum unum potest substitui alteri salva veritate4 ,diese ,erklrung eigne ich mir fr die ,gleichheit an4 ,ob man wie ,leibniz dasselbe sagt oder gleich1 ist unerheblich4 ,dasselbe scheint zwar eine vollkommene ,uebereinstimmung1 gleich nur eine in dieser oder jener ,hinsicht auszudrcken2 man kann aber eine solche ,redeweise annehmen1 dass dieser ,unterschied wegfllt1 indem man z4 ,b4 statt die ,strecken sind in der ,lnge gleich sagt die ,lnge der ,strecken ist gleich oder dieselbe1 statt die ,flchen sind in der ,farbe gleich die ,farbe der ,flchen ist gleich4 ,und so haben wir das ,wort oben in den ,beispielen gebraucht4 ,in der allgemeinen ,ersetzbarkeit sind nun in der ,that alle ,gesetze der ,gleichheit enthalten4 ,um unsern ,definitionsversuch der ,richtung einer ,gerade zu rechtfertigen1 mssten wir also zeigen1 dass man die ,richtung von a berall durch die ,richtung von b ersetzen knne1 wenn die ,gerade a der ,gerade b parallel ist4 ,dies wird dadurch vereinfacht1 dass man zunchst von der ,richtung einer ,gerade keine andere ,aussage kennt als die ,uebereinstimmung mit der ,richtung einer andern ,gerade4 ,wir brauchten also nur die ,ersetzbarkeit in einer solchen ,gleichheit nachzuweisen oder in ,inhalten1 welche solche ,gleichheiten als ,bestandtheile#hf enthalten wrden4 ,alle andern ,aussagen von ,richtungen mssten erst erklrt werden und fr diese ,definitionen knnen wir die ,regel aufstellen1 dass die ,ersetzbarkeit der ,richtung einer ,gerade durch die einer ihr parallelen gewahrt bleiben muss4 #ff4 ,aber noch ein drittes ,bedenken erhebt sich gegen unsern ,definitionsversuch4 ,in dem ,satze die ,richtung von a ist gleich der ,richtung von b erscheint die ,richtung von a als ,gegenstand#hg und wir haben in unserer ,definition ein ,mittel1 diesen ,gegenstand wiederzuerkennen1 wenn er etwa in einer andern ,verkleidung etwa als ,richtung von b auftreten sollte4 ,aber dies ,mittel reicht nicht fr alle ,flle aus4 ,man kann z4 ,b4 danach nicht entscheiden1 ob ,england dasselbe sei wie die ,richtung der ,erdaxe4 ,man verzeihe dies unsinnig scheinende ,beispiel6 ,natrlich wird niemand ,england mit der ,richtung der ,erdaxe verwechseln2 aber dies ist nicht das ,verdienst unserer ,erklrung4 ,diese sagt nichts darber1 ob der ,satz die ,richtung von a ist gleich q zu bejahen oder zu verneinen ist1 wenn nicht q selbst in der ,form die ,richtung von b gegeben ist4 ,es fehlt uns der ,begriff der ,richtung2 denn htten wir diesen1 so knnten wir festsetzen2 wenn q keine ,richtung ist1 so ist unser ,satz zu verneinen2 wenn q eine ,richtung ist1 so entscheidet die frhere ,erklrung4 ,es liegt nun nahe zu erklren3 q ist eine ,richtung1 wenn es eine ,gerade b giebt1 deren ,richtung q ist4 ,aber nun ist klar1 dass wir uns im ,kreise gedreht haben4 ,um diese ,erklrung anwenden zu knnen1 mssen wir schon in jedem ,falle wissen1 ob der ,satz q ist gleich der ,richtung von b zu bejahen oder zu verneinen wre4 #fg4 ,wenn man sagen wollte3 q ist eine ,richtung1 wenn es durch die oben ausgesprochene ,definition eingefhrt ist1 so wrde man die ,weise1 wie der ,gegenstand q eingefhrt ist1 als dessen ,eigenschaft behandeln1 was sie nicht ist4 ,die ,definition eines ,gegenstandes sagt als solche eigentlich nichts von ihm aus1 sondern setzt die ,bedeutung eines ,zeichens fest4 ,nachdem das geschehen ist1 verwandelt sie sich in ein ,urtheil1 das von dem ,gegenstande handelt1 aber fhrt ihn nun auch nicht mehr ein und steht mit andern ,aussagen von ihm in gleicher ,linie4 ,man wrde1 wenn man diesen ,ausweg whlte1 voraussetzen1 dass ein ,gegenstand nur auf eine einzige ,weise gegeben werden knnte2 denn sonst wrde daraus1 dass q nicht durch unsere ,definition eingefhrt ist1 nicht folgen1 dass es nicht so eingefhrt werden knnte4 ,alle ,gleichungen wrden darauf hinauskommen1 dass das als dasselbe anerkannt wrde1 was uns auf dieselbe ,weise gegeben ist4 ,aber dies ist so selbstverstndlich und so unfruchtbar1 dass es nicht verlohnte1 es auszusprechen4 ,man knnte in der ,that keinen ,schluss daraus ziehen1 der von jeder der ,voraussetzungen verschieden wre4 ,die vielseitige und bedeutsame ,verwendbarkeit der ,gleichungen beruht vielmehr darauf1 dass man etwas wiedererkennen kann1 obwohl es auf verschiedene ,weise gegeben ist4 #fh4 ,da wir so keinen scharf begrenzten ,begriff der ,richtung und aus denselben ,grnden keinen solchen der ,anzahl gewinnen knnen1 versuchen wir einen andern ,weg4 ,wenn die ,gerade a der ,gerade b parallel ist1 so ist der ,umfang des ,begriffes ,gerade parallel der ,gerade a gleich dem ,umfange des ,begriffes ,gerade parallel der ,gerade b2 und umgekehrt3 wenn die ,umfnge der genannten ,begriffe gleich sind1 so ist a parallel b4 ,versuchen wir also zu erklren3 die ,richtung der ,gerade a ist der ,umfang des ,begriffes parallel der ,gerade a2 die ,gestalt des ,dreiecks d ist der ,umfang des ,begriffes hnlich dem ,dreiecke d6 ,wenn wir dies auf unsern ,fall anwenden wollen1 so haben wir an die ,stelle der ,geraden oder der ,dreiecke ,begriffe zu setzen und an die ,stelle des ,parallelismus oder der ,aehnlichkeit die ,mglichkeit die unter den einen den unter den andern ,begriff fallenden ,gegenstnden beiderseits eindeutig zuzuordnen4 ,ich will der ,krze wegen den ,begriff ,f dem ,begriffe ,g gleichzahlig nennen1 wenn diese ,mglichkeit vorliegt1 muss aber bitten1 dies ,wort als eine willkhrlich gewhlte ,bezeichnungsweise zu betrachten1 deren ,bedeutung nicht der sprachlichen ,zusammensetzung1 sondern dieser ,festsetzung zu entnehmen ist4 ,ich definire demnach3 die ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt1 ist der ,umfang#hh des ,begriffes gleichzahlig dem ,begriffe ,f #fi4 ,dass diese ,erklrung zutreffe1 wird zunchst vielleicht wenig einleuchten4 ,denkt man sich unter dem ,umfange eines ,begriffes nicht etwas ,anderes8 ,was man sich darunter denkt1 erhellt aus den ursprnglichen ,aussagen1 die von ,begriffsumfngen gemacht werden knnen4 ,es sind folgende3 #a4 die ,gleichheit1 #b4 dass der eine umfassender als der andere sei4 ,nun ist der ,satz3 der ,umfang des ,begriffes gleichzahlig dem ,begriffe ,f ist gleich dem ,umfange des ,begriffes gleichzahlig dem ,begriffe ,g immer dann und nur dann wahr1 wenn auch der ,satz dem ,begriffe ,f kommt dieselbe ,zahl wie dem ,begriffe ,g zu wahr ist4 ,hier ist also voller ,einklang4 ,man sagt zwar nicht1 dass eine ,zahl umfassender als eine andere sei in dem ,sinne1 wie der ,umfang eines ,begriffes umfassender als der eines andern ist2 aber der ,fall1 dass der ,umfang des ,begriffes gleichzahlig dem ,begriffe ,f umfassender sei als der ,umfang des ,begriffes gleichzahlig dem ,begriffe ,g kann auch gar nicht vorkommen2 sondern1 wenn alle ,begriffe1 die dem ,g gleichzahlig sind1 auch dem ,f gleichzahlig sind1 so sind auch umgekehrt alle ,begriffe1 die dem ,f gleichzahlig sind1 dem ,g gleichzahlig4 ,dies umfassender darf natrlich nicht mit dem grsser verwechselt werden1 dass bei ,zahlen vorkommt4 ,freilich ist noch der ,fall denkbar1 dass der ,umfang des ,begriffes gleichzahlig dem ,begriffe ,f umfassender oder weniger umfassend wre als ein anderer ,begriffsumfang1 der dann nach unserer ,erklrung keine ,anzahl sein knnte2 und es ist nicht blich1 eine ,anzahl umfassender oder weniger umfassend als den ,umfang eines ,begriffes zu nennen2 aber es steht auch nichts im ,wege1 eine solche ,redeweise anzunehmen1 falls solches einmal vorkommen sollte4 ,ergnzung und ,bewhrung unserer ,definition4 #gj4 ,definitionen bewhren sich durch ihre ,fruchtbarkeit4 ,solche1 die ebensogut wegbleiben knnten1 ohne eine ,lcke in der ,beweisfhrung zu ffnen1 sind als vllig werthlos zu verwerfen4 ,versuchen wir also1 ob sich bekannte ,eigenschaften der ,zahlen aus unserer ,erklrung der ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt1 ableiten lassen6 ,wir werden uns hier mit den einfachsten begngen4 ,dazu ist es nthig1 die ,gleichzahligkeit noch etwas genauer zu fassen4 ,wir erklrten sie mittels der beiderseits eindeutigen ,zuordnung1 und wie ich diesen ,ausdruck verstehen will1 ist jetzt darzulegen1 weil man leicht etwas ,anschauliches darin vermuthen knnte4 ,betrachten wir folgendes ,beispiel6 ,wenn ein ,kellner sicher sein will1 dass er ebensoviele ,messer als ,teller auf den ,tisch legt1 braucht er weder diese noch jene zu zhlen1 wenn er nur rechts neben jeden ,teller ein ,messer legt1 sodass jedes ,messer auf dem ,tische sich rechts neben einem ,teller befindet4 ,die ,teller und ,messer sind so beiderseits eindeutig einander zugeordnet und zwar durch das gleiche ,lagenverhltniss4 ,wenn wir in dem ,satze liegt rechts neben ,a fr und ,a andere und andere ,gegenstnde eingesetzt denken1 so macht der hierbei unverndert bleibende ,theil des ,inhalts das ,wesen der ,beziehung aus4 ,verallgemeinern wir dies6 ,indem wir von einem beurtheilbaren ,inhalte1 der von einem ,gegenstande a und von einem ,gegenstande b handelt1 a und b absondern1 so behalten wir einen ,beziehungsbegriff brig1 der demnach in doppelter ,weise ergnzungsbedrftig ist4 ,wenn wir in dem ,satze3 die ,erde hat mehr ,masse als der ,mond die ,erde absondern1 so erhalten wir den ,begriff mehr ,masse als der ,mond habend4 ,wenn wir dagegen den ,gegenstand der ,mond absondern1 gewinnen wir den ,begriff weniger ,masse als die ,erde habend4 ,sondern wir beide zugleich ab1 so bleibt ein ,beziehungsbegriff zurck1 der fr sich allein ebensowenig wie ein einfacher ,begriff einen ,sinn hat3 er verlangt immer eine ,ergnzung zu einem beurtheilbaren ,inhalte4 ,aber diese kann in verschiedener ,weise geschehen3 statt ,erde und ,mond kann ich z4 ,b4 ,sonne und ,erde setzen1 und hierdurch wird eben die ,absonderung bewirkt4 ,die einzelnen ,paare zugeordneter ,gegenstnde verhalten sich in hnlicher ,weise -- man knnte sagen als ,subjecte -- zu dem ,beziehungsbegriffe1 wie der einzelne ,gegenstand zu dem ,begriffe1 unter den er fllt4 ,das ,subject ist hier ein zusammengesetztes4 ,zuweilen1 wenn die ,beziehung eine umkehrbare ist1 kommt dies auch sprachlich zum ,ausdrucke wie in dem ,satze ,peleus und ,thetis waren die ,eltern des ,achilleus#hi4 ,dagegen wre es z4 ,b4 nicht gut mglich1 den ,inhalt des ,satzes die ,erde ist grsser als der ,mond so wiederzugeben1 dass die ,erde und der ,mond als zusammengesetztes ,subject erschiene1 weil das und immer eine gewisse ,gleichstellung andeutet4 ,aber dies thut nichts zur ,sache4 ,der ,beziehungsbegriff gehrt also wie der einfache der reinen ,logik an4 ,es kommt hier nicht der besondere ,inhalt der ,beziehung in ,betracht1 sondern allein die logische ,form4 ,und was von dieser ausgesagt werden kann1 dessen ,wahrheit ist analytisch und wird a priori erkannt4 ,dies gilt von den ,beziehungsbegriffen wie von den andern4 ,wie a fllt unter den ,begriff ,f die allgemeine ,form eines beurtheilbaren ,inhalts ist1 der von einem ,gegenstande a handelt1 so kann man a steht in der ,beziehung zu b als allgemeine ,form fr einen beurtheilbaren ,inhalt annehmen1 der von dem ,gegenstande a und von dem ,gegenstande b handelt4 #ga4 ,wenn nun jeder ,gegenstand1 der unter den ,begriff ,f fllt1 in der ,beziehung zu einem unter den ,begriff ,g fallenden ,gegenstande steht1 und wenn zu jedem ,gegenstande1 der unter ,g fllt1 ein unter ,f fallender ,gegenstand in der ,beziehung steht1 so sind die unter ,f und ,g fallenden ,gegenstnde durch die ,beziehung einander zugeordnet4 ,es kann noch gefragt werden1 was der ,ausdruck jeder ,gegenstand1 der unter ,f fllt1 steht in der ,beziehung zu einem unter ,g fallenden ,gegenstande bedeute1 wenn gar kein ,gegenstand unter ,f fllt4 ,ich verstehe darunter3 die beiden ,stze a fllt unter ,f und a steht zu keinem unter ,g fallenden ,gegenstande in der ,beziehung knnen nicht mit einander bestehen1 was auch a bezeichne1 sodass entweder der erste oder der zweite oder beide falsch sind4 ,hieraus geht hervor1 dass jeder ,gegenstand1 der unter ,f fllt1 in der ,beziehung zu einem unter ,g fallenden ,gegenstande steht1 wenn es keinen unter ,f fallenden ,gegenstand giebt1 weil dann der erste ,satz a fllt unter ,f immer zu verneinen ist1 was auch a sein mag4 ,ebenso bedeutet zu jedem ,gegenstande1 der unter ,g fllt1 steht ein unter ,f fallender in der ,beziehung 1 dass die beiden ,stze a fllt unter ,g und kein unter ,f fallender ,gegenstand steht zu a in der ,beziehung nicht mit einander bestehen knnen1 was auch a sein mge4 #gb4 ,wir haben nun gesehen1 wann die unter die ,begriffe ,f und ,g fallenden ,gegenstnde einander durch die ,beziehung zugeordnet sind4 ,hier soll nun diese ,zuordnung eine beiderseits eindeutige sein4 ,darunter verstehe ich1 dass folgende beiden ,stze gelten3 #a4 wenn d in der ,beziehung zu a steht1 und wenn d in der ,beziehung zu e steht1 so ist allgemein1 was auch d1 a und e sein mgen1 a dasselbe wie e2 #b4 wenn d in der ,beziehung zu a steht1 und wenn b in der ,beziehung zu a steht1 so ist allgemein1 was auch d1 b und a sein mgen1 d dasselbe wie b4 ,hiermit haben wir die beiderseits eindeutige ,zuordnung auf rein logische ,verhltnisse zurckgefhrt und knnen nun so definiren3 der ,ausdruck der ,begriff ,f ist gleichzahlig dem ,begriffe ,g sei gleichbedeutend mit dem ,ausdrucke es giebt eine ,beziehung 1 welche die unter den ,begriff ,f fallenden ,gegenstnde den unter ,g fallenden ,gegenstnden beiderseits eindeutig zuordnet4 ,ich wiederhole3 die ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt1 ist der ,umfang des ,begriffes gleichzahlig dem ,begriffe ,f und fge hinzu3 der ,ausdruck n ist eine ,anzahl sei gleichbedeutend mit dem ,ausdrucke es giebt einen ,begriff der ,art1 dass n die ,anzahl ist1 welche ihm zukommt4 ,so ist der ,begriff der ,anzahl erklrt1 scheinbar freilich durch sich selbst1 aber dennoch ohne ,fehler1 weil die ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt schon erklrt ist4 #gc4 ,wir wollen nun zunchst zeigen1 dass die ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt1 gleich der ,anzahl ist1 welche dem ,begriffe ,g zukommt1 wenn der ,begriff ,f dem ,begriffe ,g gleichzahlig ist4 ,dies klingt freilich wie eine ,tautologie1 ist es aber nicht1 da die ,bedeutung des ,wortes gleichzahlig nicht aus der ,zusammensetzung1 sondern aus der eben gegebenen ,erklrung hervorgeht4 ,nach unserer ,definition ist zu zeigen1 dass der ,umfang des ,begriffes gleichzahlig dem ,begriffe ,f derselbe ist wie der ,umfang des ,begriffes gleichzahlig dem ,begriffe ,g1 wenn der ,begriff ,f gleichzahlig dem ,begriffe ,g ist4 ,mit andern ,worten3 es muss bewiesen werden1 dass unter dieser ,voraussetzung die ,stze allgemein gelten3 wenn der ,begriff ,h gleichzahlig dem ,begriffe ,f ist1 so ist er auch gleichzahlig dem ,begriffe ,g2 und wenn der ,begriff ,h dem ,begriffe ,g gleichzahlig ist1 so ist er auch gleichzahlig dem ,begriffe ,f4 ,der erste ,satz kommt darauf hinaus1 dass es eine ,beziehung giebt1 welche die unter den ,begriff ,h fallenden ,gegenstnde den unter den ,begriff ,g fallenden beiderseits eindeutig zuordnet1 wenn es eine ,beziehung giebt1 welche die unter den ,begriff ,f fallenden ,gegenstnde den unter den ,begriff ,g fallenden beiderseits eindeutig zuordnet1 und wenn es eine ,beziehung giebt1 welche die unter den ,begriff ,h fallenden ,gegenstnde den unter den ,begriff ,f fallenden beiderseits eindeutig zuordnet4 ,folgende ,anordnung der ,buchstaben wird dies bersichtlicher machen3 ,h ,f ,g4 ,eine solche ,beziehung kann in der ,that angegeben werden3 sie liegt in dem ,inhalte es giebt einen ,gegenstand1 zu dem c in der ,beziehung steht1 und der zu b in der ,beziehung steht1 wenn wir davon c und b absondern 7als ,beziehungspunkte betrachten74 ,man kann zeigen1 dass diese ,beziehung eine beiderseits eindeutige ist1 und dass sie die unter den ,begriff ,h fallenden ,gegenstnde den unter den ,begriff ,g fallenden zuordnet4 ,in hnlicher ,weise kann auch der andere ,satz bewiesen werden#ij4 ,diese ,andeutungen werden hoffentlich gengend erkennen lassen1 dass wir hierbei keinen ,beweisgrund der ,anschauung zu entnehmen brauchen1 und dass sich mit unsern ,definitionen etwas machen lsst4 #gd4 ,wir knnen nun zu den ,erklrungen der einzelnen ,zahlen bergehn4 ,weil unter den ,begriff sich selbst ungleich nichts fllt1 erklre ich3 #j ist die ,anzahl1 welche dem ,begriffe sich selbst ungleich zukommt4 ,vielleicht nimmt man daran ,anstoss1 dass ich hier von einem ,begriffe spreche4 ,man wendet vielleicht ein1 dass ein ,widerspruch darin enthalten sei1 und erinnert an die alten ,bekannten das hlzerne ,eisen und den viereckigen ,kreis4 ,nun ich meine1 dass die gar nicht so schlimm sind1 wie sie gemacht werden4 ,zwar ntzlich werden sie grad nicht sein2 aber schaden knnen sie auch nichts1 wenn man nur nicht voraussetzt1 dass etwas unter sie falle2 und das thut man durch den blossen ,gebrauch der ,begriffe noch nicht4 ,dass ein ,begriff einen ,widerspruch enthalte1 ist nicht immer so offensichtlich1 dass es keiner ,untersuchung bedrfte2 dazu muss man ihn erst haben und logisch ebenso wie jeden andern behandeln4 ,alles was von ,seiten der ,logik und fr die ,strenge der ,beweisfhrung von einem ,begriffe verlangt werden kann1 ist seine scharfe ,begrenzung1 dass fr jeden ,gegenstand bestimmt sei1 ob er unter ihn falle oder nicht4 ,dieser ,anforderung gengen nun die einen ,widerspruch enthaltenden ,begriffe wie sich selbst ungleich durchaus2 denn man weiss von jedem ,gegenstande1 dass er nicht unter einen solchen fllt#ia4 ,ich brauche das ,wort ,begriff in der ,weise1 dass a fllt unter den ,begriff ,f die allgemeine ,form eines beurtheilbaren ,inhalts ist1 der von einem ,gegenstande a handelt und der beurtheilbar bleibt1 was man auch fr a setze4 ,und in diesem ,sinne ist a fllt unter den ,begriff sich selbst ungleich gleichbedeutend mit a ist sich selbst ungleich oder a ist nicht gleich a4 ,ich htte zur ,definition der #j jeden andern ,begriff nehmen knnen1 unter den nichts fllt4 ,es kam mir aber darauf an1 einen solchen zu whlen1 von dem dies rein logisch bewiesen werden kann2 und dazu bietet sich am bequemsten sich selbst ungleich dar1 wobei ich fr gleich die vorhin angefhrte ,erklrung ,leibnizens gelten lasse1 die rein logisch ist4 #ge4 ,es muss sich nun mittels der frheren ,festsetzungen beweisen lassen1 dass jeder ,begriff1 unter den nichts fllt1 gleichzahlig mit jedem ,begriffe ist1 unter den nichts fllt1 und nur mit einem solchen1 woraus folgt1 dass #j die ,anzahl ist1 welche einem solchen ,begriffe zukommt1 und dass kein ,gegenstand unter einen ,begriff fllt1 wenn die ,zahl1 welche diesem zukommt1 die #j ist4 ,nehmen wir an1 weder unter den ,begriff ,f noch unter den ,begriff ,g falle ein ,gegenstand1 so haben wir1 um die ,gleichzahligkeit zu beweisen1 eine ,beziehung nthig1 von der die ,stze gelten3 jeder ,gegenstand1 der unter ,f fllt1 steht in der ,beziehung zu einem ,gegenstande1 der unter ,g fllt2 zu jedem ,gegenstande1 der unter ,g fllt1 steht ein unter ,f fallender in der ,beziehung 4 ,nach dem1 was frher ber die ,bedeutung dieser ,ausdrcke gesagt ist1 erfllt bei unsern ,voraussetzungen jede ,beziehung diese ,bedingungen1 also auch die ,gleichheit1 die obendrein beiderseits eindeutig ist2 denn es gelten die beiden oben dafr verlangten ,stze4 ,wenn dagegen unter ,g ein ,gegenstand fllt z4 ,b4 a1 whrend unter ,f keiner fllt1 so bestehen die beiden ,stze a fllt unter ,g und kein unter ,f fallender ,gegenstand steht zu a in der ,beziehung mit einander fr jede ,beziehung 2 denn der erste ist nach der ersten ,voraussetzung richtig und der zweite nach der zweiten4 ,wenn es nmlich keinen unter ,f fallenden ,gegenstand giebt1 so giebt es auch keinen solchen1 der in irgendeiner ,beziehung zu a stnde4 ,es giebt also keine ,beziehung1 welche nach unserer ,erklrung die unter ,f den unter ,g fallenden ,gegenstnden zuordnete1 und demnach sind die ,begriffe ,f und ,g ungleichzahlig4 #gf4 ,ich will nun die ,beziehung erklren1 in der je zwei benachbarte ,glieder der natrlichen ,zahlenreihe zu einander stehen4 ,der ,satz3 es giebt einen ,begriff ,f und einen unter ihn fallenden ,gegenstand x der ,art1 dass die ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt1 n ist1 und dass die ,anzahl1 welche dem ,begriffe unter ,f fallend aber nicht gleich x zukommt1 m ist sei gleichbedeutend mit n folgt in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf m4 ,ich vermeide den ,ausdruck n ist die auf m nchstfolgende ,anzahl1 weil zur ,rechtfertigung des bestimmten ,artikels erst zwei ,stze bewiesen werden mssten#ib4 ,aus demselben ,grunde sage ich hier noch nicht n m #a2 denn auch durch das ,gleichheitszeichen wird 7m #a7 als ,gegenstand bezeichnet4 #gg4 ,um nun auf die ,zahl #a zu kommen1 mssen wir zunchst zeigen1 dass es etwas giebt1 was in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf #j folgt4 ,betrachten wir den ,begriff -- oder1 wenn man lieber will1 das ,prdicat -- gleich #j6 ,unter diesen fllt die #j4 ,unter den ,begriff gleich #j aber nicht gleich #j fllt dagegen kein ,gegenstand1 sodass #j die ,anzahl ist1 welche diesem ,begriffe zukommt4 ,wir haben demnach einen ,begriff gleich #j und einen unter ihn fallenden ,gegenstand #j1 von denen gilt3 die ,anzahl1 welche dem ,begriffe gleich ,o zukommt1 ist gleich der ,anzahl1 welche dem ,begriffe gleich #j zukommt2 die ,anzahl1 welche dem ,begriffe gleich #j aber nicht gleich #j zukommt1 ist die #j4 ,also folgt nach unserer ,erklrung die ,anzahl1 welche dem ,begriffe gleich #j zukommt1 in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf #j4 ,wenn wir nun definiren3 #a ist die ,anzahl1 welche dem ,begriffe gleich #j zukommt1 so knnen wir den letzten ,satz so ausdrcken3 #a folgt in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf #j4 ,es ist vielleicht nicht berflssig zu bemerken1 dass die ,definition der #a zu ihrer objectiven ,rechtmssigkeit keine beobachtete ,thatsache#ic voraussetzt2 denn man verwechselt leicht damit1 dass gewisse subjective ,bedingungen erfllt sein mssen1 um uns die ,definition mglich zu machen1 und dass uns ,sinneswahrnehmungen dazu veranlassen#id4 ,dies kann immerhin zutreffen1 ohne dass die abgeleiteten ,stze aufhren1 a priori zu sein4 ,zu solchen ,bedingungen gehrt z4 ,b4 auch1 dass ,blut in hinreichender ,flle und richtiger ,beschaffenheit das ,gehirn durchstrme -- wenigstens soviel wir wissen2 -- aber die ,wahrheit unseres letzten ,satzes ist davon unabhngig2 sie bleibt bestehen1 auch wenn dies nicht mehr stattfindet2 und selbst1 wenn alle ,vernunftwesen einmal gleichzeitig in einen ,winterschlaf verfallen sollten1 so wrde sie nicht etwa so lange aufgehoben sein1 sondern ganz ungestrt bleiben4 ,die ,wahrheit eines ,satzes ist eben nicht sein ,gedachtwerden4 #gh4 ,ich lasse hier einige ,stze folgen1 die mittels unserer ,definitionen zu beweisen sind4 ,der ,leser wird leicht aber sehen1 wie dies geschehen kann4 #a4 ,wenn a in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf #j folgt1 so ist a #a4 #b4 ,wenn #a die ,anzahl ist1 welche einem ,begriffe zukommt1 so giebt es einen ,gegenstand1 der unter den ,begriff fllt4 #c4 ,wenn #a die ,anzahl ist1 welche einem ,begriffe ,f zukommt2 wenn der ,gegenstand x unter den ,begriff ,f fllt1 und wenn y unter den ,begriff ,f fllt1 so ist x y2 d4 h4 x ist dasselbe wie y4 #d4 ,wenn unter einen ,begriff ,f ein ,gegenstand fllt1 und wenn allgemein daraus1 dass x unter den ,begriff ,f fllt1 und dass y unter den ,begriff ,f fllt1 geschlossen werden kann1 dass x y ist1 so ist #a die ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt4 #e4 ,die ,beziehung von m zu n1 die durch den ,satz3 n folgt in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf m gesetzt wird1 ist eine beiderseits eindeutige4 ,hiermit ist noch nicht gesagt1 dass es zu jeder ,anzahl eine andere gebe1 welche auf sie oder auf welche sie in der ,zahlenreihe unmittelbar folge4 #f4 ,jede ,anzahl ausser der #j folgt in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf eine ,anzahl4 #gi4 ,um nun beweisen zu knnen1 dass auf jede ,anzahl 7n7 in der natrlichen ,zahlenreihe eine ,anzahl unmittelbar folge1 muss man einen ,begriff aufweisen1 dem diese letzte ,anzahl zukommt4 ,wir whlen als diesen der mit n endenden natrlichen ,zahlenreihe angehrend1 der zunchst erklrt werden muss4 ,ich wiederhole zunchst mit etwas andern ,worten die ,definition1 welche ich in meiner ,begriffsschrift vom ,folgen in einer ,reihe gegeben habe4 ,der ,satz wenn jeder ,gegenstand1 zu dem x in der ,beziehung steht1 unter den ,begriff ,f fllt1 und wenn daraus1 dass d unter den ,begriff ,f fllt1 allgemein1 was auch d sei1 folgt1 dass jeder ,gegenstand1 zu dem d in der ,beziehung steht1 unter den ,begriff ,f falle1 so fllt y unter den ,begriff ,f1 was auch ,f fr ein ,begriff sein mge sei gleichbedeutend mit y folgt in der -,reihe auf x und mit x geht in der -,reihe dem y vorher4 #hj4 ,einige ,bemerkungen hierzu werden nicht berflssig sein4 ,da die ,beziehung unbestimmt gelassen ist1 so ist die ,reihe nicht nothwendig in der ,form einer rumlichen und zeitlichen ,anordnung zu denken1 obwohl diese ,flle nicht ausgeschlossen sind4 ,man knnte vielleicht eine andere ,erklrung fr natrlicher halten z4 ,b43 wenn man von x ausgehend seine ,aufmerksamkeit immer von einem ,gegenstande zu einem andern lenkt1 zu welchem er in der ,beziehung steht1 und wenn man auf diese ,weise schliesslich y erreichen kann1 so sagt man y folge in der -,reihe auf x4 ,dies ist eine ,weise die ,sache zu untersuchen1 keine ,definition4 ,ob wir bei der ,wanderung unserer ,aufmerksamkeit y erreichen1 kann von mancherlei subjectiven ,nebenumstnden abhangen z4 ,b4 von der uns zu ,gebote stehenden ,zeit1 oder von unserer ,kenntniss der ,dinge4 ,ob y auf x in der -,reihe folgt1 hat im ,allgemeinen gar nichts mit unserer ,aufmerksamkeit und den ,bedingungen ihrer ,fortbewegung zu thun1 sondern ist etwas ,sachliches1 ebenso wie ein grnes ,blatt gewisse ,lichtstrahlen reflectirt1 mgen sie nun in mein ,auge fallen und ,empfindung hervorrufen oder nicht1 ebenso wie ein ,salzkorn in ,wasser lslich ist1 mag ich es ins ,wasser werfen und den ,vorgang beobachten oder nicht1 und wie es selbst dann noch lslich ist1 wenn ich gar nicht die ,mglichkeit habe1 einen ,versuch damit anzustellen4 ,durch meine ,erklrung ist die ,sache aus dem ,bereiche subjectiver ,mglichkeiten in das der objectiven ,bestimmtheit erhoben4 ,in der ,that3 dass aus gewissen ,stzen ein anderer folgt1 ist etwas ,objectives1 von den ,gesetzen der ,bewegung unserer ,aufmerksamkeit ,unabhngiges1 und es ist dafr einerlei1 ob wir den ,schluss wirklich machen oder nicht4 ,hier haben wir ein ,merkmal1 das die ,frage berall entscheidet1 wo sie gestellt werden kann1 mgen wir auch im einzelnen ,falle durch ussere ,schwierigkeiten verhindert sein1 zu beurtheilen1 ob es zutrifft4 ,das ist fr die ,sache selbst gleichgiltig4 ,wir brauchen nicht immer alle ,zwischenglieder vom ,anfangsgliede bis zu einem ,gegenstande zu durchlaufen1 um gewiss zu sein1 dass er auf jenes folgt4 ,wenn z4 ,b4 gegeben ist1 dass in der -,reihe b auf a und c auf b folgt1 so knnen wir nach unserer ,erklrung schliessen1 dass c auf a folgt1 ohne die ,zwischenglieder auch nur zu kennen4 ,durch diese ,definition des ,folgens in einer ,reihe wird es allein mglich1 die ,schlussweise von n auf 7n #a71 welche scheinbar der ,mathematik eigenthmlich ist1 auf die allgemeinen logischen ,gesetze zurckzufhren4 #ha4 ,wenn wir nun als ,beziehung diejenige haben1 in welche m zu n gesetzt wird durch den ,satz n folgt in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf m1 so sagen wir statt -,reihe natrliche ,zahlenreihe4 ,ich definire weiter3 der ,satz y folgt in der -,reihe auf x oder y ist dasselbe wie x sei gleichbedeutend mit y gehrt der mit x anfangenden -,reihe an und mit x gehrt der mit y endenden -,reihe an4 ,demnach gehrt a der mit n endenden natrlichen ,zahlenreihe an1 wenn n entweder in der natrlichen ,zahlenreihe auf a folgt oder gleich a ist#ie4 #hb4 ,es ist nun zu zeigen1 dass -- unter einer noch anzugebenden ,bedingung -- die ,anzahl1 welche dem ,begriffe der mit n endenden natrlichen ,zahlenreihe angehrend zukommt1 auf n in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar folgt4 ,und damit ist dann bewiesen1 dass es eine ,anzahl giebt1 welche auf n in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar folgt1 dass es kein letztes ,glied dieser ,reihe giebt4 ,offenbar kann dieser ,satz auf empirischen ,wege oder durch ,induction nicht begrndet werden4 ,es wrde hier zu weit fhren1 den ,beweis selbst zu geben4 ,nur sein ,gang mag kurz angedeutet werden4 ,es ist zu beweisen #a4 wenn a in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf d folgt1 und wenn von d gilt3 die ,anzahl1 welche dem ,begriffe der mit d endenden natrlichen ,zahlenreihe angehrend zukommt1 folgt in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf d1 so gilt auch von a3 die ,anzahl1 welche dem ,begriffe der mit a endenden natrlichen ,zahlenreihe angehrend zukommt1 folgt in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf a4 ,es ist zweitens zu beweisen1 dass von der #j das gilt1 was in den eben ausgesprochenen ,stzen von d und von a ausgesagt ist1 und dann zu folgern1 dass es auch von n gilt1 wenn n der mit #j anfangenden natrlichen ,zahlenreihe angehrt4 ,diese ,schlussweise ist eine ,anwendung der ,definition1 die ich von dem ,ausdrucke y folgt in der natrlichen ,zahlenreihe auf x gegeben habe1 indem man als ,begriff ,f jene gemeinsame ,aussage von d und von a1 von #j und von n zu nehmen hat4 #hc4 ,um den ,satz 7#a7 des vorigen zu beweisen1 mssen wir zeigen1 dass a die ,anzahl ist1 welche dem ,begriffe der mit a endenden natrlichen ,zahlenreihe angehrend1 aber nicht gleich a zukommt4 ,und dazu ist wieder zu beweisen1 dass dieser ,begriff gleichen ,umfanges mit dem ,begriffe der mit d endenden natrlichen ,zahlenreihe angehrend ist4 ,hierfr bedarf man des ,satzes1 dass kein ,gegenstand1 welcher der mit #j anfangenden natrlichen ,zahlenreihe angehrt1 auf sich selbst in der natrlichen ,zahlenreihe folgen kann4 ,dies muss ebenfalls mittels unserer ,definition des ,folgens in einer ,reihe1 wie oben angedeutet ist1 bewiesen werden#if4 ,wir werden hierdurch genthigt1 dem ,satze1 dass die ,anzahl1 welche dem ,begriffe der mit n endenden natrlichen ,zahlenreihe angehrend zukommt1 in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf n folgt1 die ,bedingung hinzuzufgen1 dass n der mit #j anfangenden natrlichen ,zahlenreihe angehre4 ,hierfr ist eine krzere ,ausdrucksweise gebruchlich1 die ich nun erklre3 der ,satz n gehrt der mit #j anfangenden natrlichen ,zahlenreihe an sei gleichbedeutend mit n ist eine endliche ,anzahl4 ,dann knnen wir den letzten ,satz so ausdrcken3 keine endliche ,anzahl folgt in der natrlichen ,zahlenreihe auf sich selber4 ,unendliche ,anzahlen4 #hd4 ,den endlichen gegenber stehen die unendlichen ,anzahlen4 ,die ,anzahl1 welche dem ,begriffe endliche ,anzahl zukommt1 ist eine unendliche4 ,bezeichnen wir sie etwa durch 6 ,wre sie eine endliche1 so knnte sie nicht auf sich selber in der natrlichen ,zahlenreihe folgen4 ,man kann aber zeigen1 dass das thut4 ,in der so erklrten unendlichen ,anzahl liegt nichts irgendwie ,geheimnissvolles oder ,wunderbares4 ,die ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt1 ist heisst nun nichts mehr und nichts weniger als3 es giebt eine ,beziehung1 welche die unter den ,begriff ,f fallenden ,gegenstnde den endlichen ,anzahlen beiderseits eindeutig zuordnet4 ,dies ist nach unseren ,erklrungen ein ganz klarer und unzweideutiger ,sinn2 und das gengt1 um den ,gebrauch des ,zeichens zu rechtfertigen und ihm eine ,bedeutung zu sichern4 ,dass wir uns keine ,vorstellung von einer unendlichen ,anzahl bilden knnen1 ist ganz unerheblich und wrde endliche ,anzahlen ebenso treffen4 ,unsere ,anzahl hat auf diese ,weise etwas ebenso ,bestimmtes wie irgendeine endliche3 sie ist zweifellos als dieselbe wiederzuerkennen und von einer andern zu unterscheiden4 #he4 ,vor ,kurzem hat ,g4 ,cantor in einer bemerkenswerthen ,schrift#ig unendliche ,anzahlen eingefhrt4 ,ich stimme ihm durchaus in der ,wrdigung der ,ansicht bei1 welche berhaupt nur die endlichen ,anzahlen als wirklich gelten lassen will4 ,sinnlich wahrnehmbar und rumlich sind weder diese noch die ,brche1 noch die negativen1 irrationalen und complexen ,zahlen2 und wenn man wirklich nennt1 was auf die ,sinne wirkt1 oder was wenigstens ,wirkungen hat1 die ,sinneswahrnehmungen zur nhern oder entferntern ,folge haben knnen1 so ist freilich keine dieser ,zahlen wirklich4 ,aber wir brauchen auch solche ,wahrnehmungen gar nicht als ,beweisgrnde fr unsere ,lehrstze4 ,einen ,namen oder ein ,zeichen1 das logisch einwurfsfrei eingefhrt ist1 knnen wir in unsern ,untersuchungen ohne ,scheu gebrauchen1 und so ist unsere ,anzahl so gerechtfertigt wie die ,zwei oder die ,drei4 ,indem ich hierin1 wie ich glaube1 mit ,cantor bereinstimme1 weiche ich doch in der ,benennung etwas von ihm ab4 ,meine ,anzahl nennt er ,mchtigkeit1 whrend sein ,begriff#ih der ,anzahl auf die ,anordnung ,bezug nimmt4 ,fr endliche ,anzahlen ergiebt sich freilich doch eine ,unabhngigkeit von der ,reihenfolge1 dagegen nicht fr unendlichgrosse4 ,nun enthlt der ,sprachgebrauch des ,wortes ,anzahl und der ,frage wieviele8 keine ,hinweisung auf eine bestimmte ,anordnung4 ,cantors ,anzahl antwortet vielmehr auf die ,frage3 das wievielste ,glied in der ,succession ist das ,endglied8 ,darum scheint mir meine ,benennung besser mit dem ,sprachgebrauche bereinzustimmen4 ,wenn man die ,bedeutung eines ,wortes erweitert1 so wird man darauf zu achten haben1 dass mglichst viele allgemeine ,stze ihre ,geltung behalten und zumal so grundlegende1 wie fr die ,anzahl die ,unabhngigkeit von der ,reihenfolge ist4 ,wir haben gar keine ,erweiterung nthig gehabt1 weil unser ,begriff der ,anzahl sofort auch unendliche ,zahlen umfasst4 #hf4 ,um seine unendlichen ,anzahlen zu gewinnen1 fhrt ,cantor den ,beziehungsbegriff des ,folgens in einer ,succession ein1 der von meinem ,folgen in einer ,reihe abweicht4 ,nach ihm wrde z4 ,b4 eine ,succession entstehen1 wenn man die endlichen positiven ganzen ,zahlen so anordnete1 dass die unpaaren in ihrer natrlichen ,reihenfolge fr sich und ebenso die paaren unter sich auf einander folgten1 ferner festgesetzt wre1 dass jede paare auf jede unpaare folgen solle4 ,in dieser ,succession wrde z4 ,b4 #j auf #ac folgen4 ,es wurde aber keine ,zahl unmittelbar der #j vorhergehen4 ,dies ist nun ein ,fall1 der in dem von mir definirten ,folgen in der ,reihe nicht vorkommen kann4 ,man kann streng beweisen1 ohne ein ,axiom der ,anschauung zu benutzen1 dass wenn y auf x in der -,reihe folgt1 es einen ,gegenstand giebt1 der in dieser ,reihe dem y unmittelbar vorhergeht4 ,mir scheinen nun genaue ,definitionen des ,folgens in der ,succession und der cantorschen ,anzahl noch zu fehlen4 ,so beruft sich ,cantor auf die etwas geheimnissvolle innere ,anschauung1 wo ein ,beweis aus ,definitionen anzustreben und wohl auch mglich wre4 ,denn ich glaube vorauszusehen1 wie sich jene ,begriffe bestimmen liessen4 ,jedenfalls will ich durch diese ,bemerkungen1 deren ,berechtigung und ,fruchtbarkeit durchaus nicht angreifen4 ,im ,gegentheil begrsse ich in diesen ,untersuchungen eine ,erweiterung der ,wissenschaft besonders deshalb1 weil durch sie ein rein arithmetischer ,weg zu hhern unendlichgrossen ,anzahlen 7,mchtigkeiten7 gebahnt ist4 ,v4 ,schluss4 #hg4 ,ich hoffe in dieser ,schrift wahrscheinlich gemacht zu haben1 dass die arithmetischen ,gesetze analytische ,urtheile und folglich a priori sind4 ,demnach wrde die ,arithmetik nur eine weiter ausgebildete ,logik1 jeder arithmetische ,satz ein logisches ,gesetz1 jedoch ein abgeleitetes sein4 ,die ,anwendungen der ,arithmetik zur ,naturerklrung wren logische ,bearbeitungen von beobachteten ,thatsachen#ii2 ,rechnen wre ,schlussfolgern4 ,die ,zahlgesetze werden nicht1 wie ,baumann#ajj meint1 eine praktische ,bewhrung nthig haben1 um in der ,aussenwelt anwendbar zu sein2 denn in der ,aussenwelt1 der ,gesammtheit des ,rumlichen1 giebt es keine ,begriffe1 keine ,eigenschaften der ,begriffe1 keine ,zahlen4 ,also sind die ,zahlgesetze nicht eigentlich auf die ussern ,dinge anwendbar3 sie sind nicht ,naturgesetze4 ,wohl aber sind sie anwendbar auf ,urtheile1 die von ,dingen der ,aussenwelt gelten3 sie sind ,gesetze der ,naturgesetze4 ,sie behaupten nicht einen ,zusammenhang zwischen ,naturerscheinungen1 sondern einen solchen zwischen ,urtheilen2 und zu diesen gehren auch die ,naturgesetze4 #hh4 ,kant#aja hat den ,werth der analytischen ,urtheile offenbar -- wohl in ,folge einer zu engen ,begriffsbestimmung -- unterschtzt1 obgleich ihm der hier benutzte weitere ,begriff vorgeschwebt zu haben scheint#ajb4 ,wenn man seine ,definition zu ,grunde legt1 ist die ,eintheilung in analytische und synthetische ,urtheile nicht erschpfend4 ,er denkt an den ,fall des allgemein bejahenden ,urtheils4 ,dann kann man von einem ,subjectsbegriffe reden und fragen1 ob der ,prdicatsbegriff in ihm -- zufolge der ,definition -- enthalten sei4 ,wie aber1 wenn das ,subject ein einzelner ,gegenstand ist8 wie1 wenn es sich um ein ,existentialurtheil handelt8 ,dann kann in diesem ,sinne gar nicht von einem ,subjectsbegriffe die ,rede sein4 ,kant scheint den ,begriff durch beigeordnete ,merkmale bestimmt zu denken2 das ist aber eine der am wenigsten fruchtbaren ,begriffsbildungen4 ,wenn man die oben gegebenen ,definitionen berblickt1 so wird man kaum eine von der ,art finden4 ,dasselbe gilt auch von den wirklich fruchtbaren ,definitionen in der ,mathematik z4 ,b4 der ,stetigkeit einer ,function4 ,wir haben da nicht eine ,reihe beigeordneter ,merkmale1 sondern eine innigere1 ich mchte sagen organischere ,verbindung der ,bestimmungen4 ,man kann sich den ,unterschied durch ein geometrisches ,bild anschaulich machen4 ,wenn man die ,begriffe 7oder ihre ,umfnge7 durch ,bezirke einer ,ebene darstellt1 so entspricht dem durch beigeordnete ,merkmale definirten ,begriffe der ,bezirk1 welcher allen ,bezirken der ,merkmale gemeinsam ist2 er wird durch ,theile von deren ,begrenzungen umschlossen4 ,bei einer solchen ,definition handelt es sich also -- im ,bilde zu sprechen -- darum1 die schon gegebenen ,linien in neuer ,weise zur ,abgrenzung eines ,bezirks zu verwenden#ajc4 ,aber dabei kommt nichts wesentlich ,neues zum ,vorschein4 ,die fruchtbareren ,begriffsbestimmungen ziehen ,grenzlinien1 die noch gar nicht gegeben waren4 ,was sich aus ihnen schliessen lasse1 ist nicht von vornherein zu bersehen2 man holt dabei nicht einfach aus dem ,kasten wieder heraus1 was man hineingelegt hatte4 ,diese ,folgerungen erweitern unsere ,kenntnisse1 und man sollte sie daher ,kant zufolge fr synthetisch halten2 dennoch knnen sie rein logisch bewiesen werden und sind also analytisch4 ,sie sind in der ,that in den ,definitionen enthalten1 aber wie die ,pflanze im ,samen1 nicht wie der ,balken im ,hause4 ,oft braucht man mehre ,definitionen zum ,beweise eines ,satzes1 der folglich in keiner einzelnen enthalten ist und doch aus allen zusammen rein logisch folgt4 #hi4 ,ich muss auch der ,allgemeinheit der ,behauptung ,kants#ajd widersprechen3 ohne ,sinnlichkeit wrde uns kein ,gegenstand gegeben werden4 ,die ,null1 die ,eins sind ,gegenstnde1 die uns nicht sinnlich gegeben werden knnen4 ,auch ,diejenigen1 welche die kleineren ,zahlen fr anschaulich halten1 werden doch einrumen mssen1 dass ihnen keine der ,zahlen1 die grsser als #ajjj 7#ajjjajjj7 sind1 anschaulich gegeben werden knnen1 und dass wir dennoch ,mancherlei von ihnen wissen4 ,vielleicht hat ,kant das ,wort ,gegenstand in etwas anderm ,sinne gebraucht2 aber dann fallen die ,null1 die ,eins1 unser ganz aus seiner ,betrachtung heraus2 denn ,begriffe sind sie auch nicht1 und auch von ,begriffen verlangt ,kant#ajd1 dass man ihnen den ,gegenstand in der ,anschauung beifge4 ,um nicht den ,vorwurf einer kleinlichen ,tadelsucht gegenber einem ,geiste auf mich zu laden1 zu dem wir nur mit dankbarer ,bewunderung aufblicken knnen1 glaube ich auch die ,uebereinstimmung hervorheben zu mssen1 welche weit berwiegt4 ,um nur das hier zunchst ,liegende zu berhren1 sehe ich ein grosses ,verdienst ,kants darin1 dass er die ,unterscheidung von synthetischen und analytischen ,urtheilen gemacht hat4 ,indem er die geometrischen ,wahrheiten synthetisch und a priori nannte1 hat er ihr wahres ,wesen enthllt4 ,und dies ist noch jetzt werth wiederholt zu werden1 weil es noch oft verkannt wird4 ,wenn ,kant sich hinsichtlich der ,arithmetik geirrt hat1 so thut das1 glaube ich1 seinem ,verdienste keinen wesentlichen ,eintrag4 ,ihm kam es darauf an1 dass es synthetische ,urtheile a priori giebt2 ob sie nur in der ,geometrie oder auch in der ,arithmetik vorkommen1 ist von geringerer ,bedeutung4 #ij4 ,ich erhebe nicht den ,anspruch1 die analytische ,natur der arithmetischen ,stze mehr als wahrscheinlich gemacht zu haben1 weil man immer noch zweifeln kann1 ob ihr ,beweis ganz aus rein logischen ,gesetzen gefhrt werden knne1 ob sich nicht irgendwo ein ,beweisgrund andrer ,art unvermerkt einmische4 ,dies ,bedenken wird auch durch die ,andeutungen nicht vollstndig entkrftet1 die ich fr den ,beweis einiger ,stze gegeben habe2 es kann nur durch eine lckenlose ,schlusskette gehoben werden1 sodass kein ,schritt geschieht1 der nicht einer von wenigen als rein logisch anerkannten ,schlussweisen gemss ist4 ,so ist bis jetzt kaum ein ,beweis gefhrt worden1 weil der ,mathematiker zufrieden ist1 wenn jeder ,uebergang zu einem neuen ,urtheile als richtig einleuchtet1 ohne nach der ,natur dieses ,einleuchtens zu fragen1 ob es logisch oder anschaulich sei4 ,ein solcher ,fortschritt ist oft sehr zusammengesetzt und mehren einfachen ,schlssen gleichwerthig1 neben welchen noch aus der ,anschauung etwas einfliessen kann4 ,man geht sprungweise vor1 und daraus entsteht die scheinbar berreiche ,mannichfaltigkeit der ,schlussweisen in der ,mathematik2 denn je grsser die ,sprnge sind1 desto vielfachere ,combinationen aus einfachen ,schlssen und ,anschauungsaxiomen knnen sie vertreten4 ,dennoch leuchtet uns ein solcher ,uebergang oft unmittelbar ein1 ohne dass uns die ,zwischenstufen zum ,bewusstsein kommen1 und da er sich nicht als eine der anerkannten logischen ,schlussweisen darstellt1 sind wir sogleich bereit1 dies ,einleuchten fr ein anschauliches und die erschlossene ,wahrheit fr eine synthetische zu halten1 auch dann1 wenn der ,geltungsbereich offenbar ber das ,anschauliche hinausreicht4 ,auf diesem ,wege ist es nicht mglich1 das auf ,anschauung beruhende ,synthetische von dem ,analytischen rein zu scheiden4 ,es gelingt so auch nicht1 die ,axiome der ,anschauung mit ,sicherheit vollstndig zusammenzustellen1 sodass jeder mathematische ,beweis allein aus diesen ,axiomen nach den logischen ,gesetzen gefhrt werden kann4 #ia4 ,die ,forderung ist also unabweisbar1 alle ,sprnge in der ,schlussfolgerung zu vermeiden4 ,dass ihr so schwer zu gengen ist1 liegt an der ,langwierigkeit eines schrittweisen ,vorgehens4 ,jeder nur etwas verwickeltere ,beweis droht eine ungeheuerliche ,lnge anzunehmen4 ,dazu kommt1 dass die bergrosse ,mannichfaltigkeit der in der ,sprache ausgeprgten logischen ,formen es erschwert1 einen ,kreis von ,schlussweisen abzugrenzen1 der fr alle ,flle gengt und leicht zu bersehen ist4 ,um diese ,uebelstnde zu vermindern1 habe ich meine ,begriffsschrift erdacht4 ,sie soll grssere ,krze und ,uebersichtlichkeit des ,ausdrucks erzielen und sich in wenigen festen ,formen nach ,art einer ,rechnung bewegen1 sodass kein ,uebergang gestattet wird1 der nicht den ein fr alle ,mal aufgestellten ,regeln gemss ist#aje4 ,es kann sich dann kein ,beweisgrund unbemerkt einschleichen4 ,ich habe so1 ohne der ,anschauung ein ,axiom zu entlehnen1 einen ,satz bewiesen#ajf1 den man beim ersten ,blick fr einen synthetischen halten mchte1 welchen ich hier so aussprechen will3 ,wenn die ,beziehung jedes ,gliedes einer ,reihe zum nchstfolgenden eindeutig ist1 und wenn m und y in dieser ,reihe auf x folgen1 so geht y dem m in dieser ,reihe vorher oder fllt mit ihm zusammen oder folgt auf m4 ,aus diesem ,beweise kann man ersehen1 dass ,stze1 welche unsere ,kenntnisse erweitern1 analytische ,urtheile enthalten knnen#ajg4 ,andere ,zahlen4 #ib4 ,wir haben unsere ,betrachtung bisher auf die ,anzahlen beschrnkt4 ,werfen wir nun noch einen ,blick auf die andern ,zahlengattungen und versuchen wir fr dies weitere ,feld nutzbar zu machen1 was wir auf dem engern erkannt haben6 ,um den ,sinn der ,frage nach der ,mglichkeit einer gewissen ,zahl klar zu machen1 sagt ,hankel#ajh3 ,ein ,ding1 eine ,substanz1 die selbstndig ausserhalb des denkenden ,subjects und der sie veranlassenden ,objecte existirte1 ein selbstndiges ,princip1 wie etwa bei den ,pythagorern1 ist die ,zahl heute nicht mehr4 ,die ,frage von der ,existenz kann daher nur auf das denkende ,subject oder die gedachten ,objecte1 deren ,beziehungen die ,zahlen darstellen1 bezogen werden4 ,als unmglich gilt dem ,mathematiker streng genommen nur das1 was logisch unmglich ist1 d4 h4 sich selbst widerspricht4 ,dass in diesem ,sinne unmgliche ,zahlen nicht zugelassen werden knnen1 bedarf keines ,beweises4 ,sind aber die betreffenden ,zahlen logisch mglich1 ihr ,begriff klar und bestimmt definirt und also ohne ,widerspruch1 so kann jene ,frage nur darauf hinauskommen1 ob es im ,gebiete des ,realen oder des in der ,anschauung ,wirklichen1 des ,actuellen ein ,substrat derselben1 ob es ,objecte gebe1 an welchen die ,zahlen1 also die intellectuellen ,beziehungen der bestimmten ,art zur ,erscheinung kommen4 #ic4 ,bei dem ersten ,satze kann man zweifeln1 ob nach ,hankel die ,zahlen in dem denkenden ,subjecte oder in den sie veranlassenden ,objecten oder in beiden existiren4 ,im rumlichen ,sinne sind sie jedenfalls weder innerhalb noch ausserhalb weder des ,subjects noch eines ,objects4 ,wohl aber sind sie in dem ,sinne ausserhalb des ,subjects1 dass sie nicht subjectiv sind4 ,whrend jeder nur seinen ,schmerz1 seine ,lust1 seinen ,hunger fhlen1 seine ,ton- und ,farbenempfindungen haben kann1 knnen die ,zahlen gemeinsame ,gegenstnde fr ,viele sein1 und zwar sind sie fr ,alle genau dieselben1 nicht nur mehr oder minder hnliche innere ,zustnde von ,verschiedenen4 ,wenn ,hankel die ,frage von der ,existenz auf das denkende ,subject beziehen will1 so scheint er sie damit zu einer psychologischen zu machen1 was sie in keiner ,weise ist4 ,die ,mathematik beschftigt sich nicht mit der ,natur unserer ,seele1 und wie irgendwelche psychologische ,fragen beantwortet werden1 muss fr sie vllig gleichgiltig sein4 #id4 ,auch dass dem ,mathematiker nur1 was sich selbst widerspricht1 als unmglich gelte1 muss beanstandet werden4 ,ein ,begriff ist zulssig1 auch wenn seine ,merkmale einen ,widerspruch enthalten2 man darf nur nicht voraussetzen1 dass etwas unter ihn falle4 ,aber daraus1 dass der ,begriff keinen ,widerspruch enthlt1 kann noch nicht geschlossen werden1 dass etwas unter ihn falle4 ,wie soll man brigens beweisen1 dass ein ,begriff keinen ,widerspruch enthalte8 ,auf der ,hand liegt das keineswegs immer2 daraus1 dass man keinen ,widerspruch sieht1 folgt nicht1 dass keiner da ist1 und die ,bestimmtheit der ,definition leistet keine ,gewhr dafr4 ,hankel beweist#aji1 dass ein hheres begrenztes complexes ,zahlensystem als das gemeine1 das allen ,gesetzen der ,addition und ,multiplication unterworfen wre1 einen ,widerspruch enthlt4 ,das muss eben bewiesen werden2 man sieht es nicht sogleich4 ,bevor dies geschehen1 knnte immerhin jemand unter ,benutzung eines solchen ,zahlensystems zu wunderbaren ,ergebnissen gelangen1 deren ,begrndung nicht schlechter wre1 als die1 welche ,hankel#aaj von den ,determinantenstzen mittels der alternirenden ,zahlen giebt2 denn wer brgt dafr1 dass nicht auch in deren ,begriffe ein versteckter ,widerspruch enthalten ist8 ,und selbst1 wenn man einen solchen allgemein fr beliebig viele alternirende ,einheiten ausschliessen knnte1 wrde immer noch nicht folgen1 dass es solche ,einheiten gebe4 ,und grade dies brauchen wir4 ,nehmen wir als ,beispiel den #ah4 ,satz des #a4 ,buches von ,euklids ,elementen3 ,in jedem ,dreiecke liegt der grssern ,seite der grssere ,winkel gegenber4 ,um das zu beweisen1 trgt ,euklid auf der grssern ,seite ,,ac ein ,stck ,,ad gleich der kleinern ,seite ,,ab ab und beruft sich dabei auf eine frhere ,construction4 ,der ,beweis wrde in sich zusammenfallen1 wenn es einen solchen ,punkt nicht gbe1 und es gengt nicht1 dass man in dem ,begriffe ,punkt auf ,,ac1 dessen ,entfernung von ,a gleich ,b ist keinen ,widerspruch entdeckt4 ,es wird nun ,b mit ,d verbunden4 ,auch dass es eine solche ,gerade giebt1 ist ein ,satz1 auf den sich der ,beweis sttzt4 #ie4 ,streng kann die ,widerspruchslosigkeit eines ,begriffes wohl nur durch den ,nachweis dargelegt werden1 dass etwas unter ihn falle4 ,das ,umgekehrte wrde ein ,fehler sein4 ,in diesen verfllt ,hankel1 wenn er in ,bezug auf die ,gleichung x b c sagt#aaa3 ,es liegt auf der ,hand1 dass es1 wenn b c ist1 keine ,zahl x in der ,reihe #a1 #b1 #c1 444 giebt1 welche die betreffende ,aufgabe lst3 die ,subtraction ist dann unmglich4 ,nichts hindert uns jedoch1 dass wir in diesem ,falle die ,differenz 7c - b7 als ein ,zeichen ansehen1 welches die ,aufgabe lst1 und mit welchem genau so zu operiren ist1 als wenn es eine numerische ,zahl aus der ,reihe #a1 #b1 #c1 444 wre4 ,uns hindert allerdings etwas 7#b - #c71 ohne ,weiteres als ,zeichen anzusehen1 welches die ,aufgabe lst2 denn ein leeres ,zeichen lst eben die ,aufgabe nicht2 ohne einen ,inhalt ist es nur ,tinte oder ,druckerschwrze auf ,papier1 hat als solche physikalische ,eigenschaften1 aber nicht die1 um #c vermehrt #b zu geben4 ,es wre eigentlich gar kein ,zeichen1 und sein ,gebrauch als solches wre ein logischer ,fehler4 ,auch in dem ,falle1 wo c b1 ist nicht das ,zeichen 7c - b7 die ,lsung der ,aufgabe1 sondern dessen ,inhalt4 #if4 ,ebensogut knnte man sagen3 unter den bisher bekannten ,zahlen giebt es keine1 welche die beiden ,gleichungen x #a #b und x #b #a zugleich befriedigt2 aber nichts hindert uns ein ,zeichen einzufhren1 das die ,aufgabe lst4 ,man wird sagen3 die ,aufgabe enthlt ja einen ,widerspruch4 ,freilich1 wenn man als ,lsung eine reelle oder gemeine complexe ,zahl verlangt2 aber erweitern wir doch unser ,zahlsystem1 schaffen wir doch ,zahlen1 die den ,anforderungen gengen6 ,warten wir ab1 ob uns jemand einen ,widerspruch nachweist6 ,wer kann wissen1 was bei diesen neuen ,zahlen mglich ist8 ,die ,eindeutigkeit der ,subtraction werden wir dann freilich nicht aufrecht erhalten knnen2 aber wir mssen ja auch die ,eindeutigkeit des ,wurzelziehens aufgeben1 wenn wir die negativen ,zahlen einfhren wollen2 durch die complexen ,zahlen wird das ,logarithmiren vieldeutig4 ,schaffen wir auch ,zahlen1 welche divergirende ,reihen zu summiren gestatten6 ,nein6 auch der ,mathematiker kann nicht beliebig etwas schaffen1 so wenig wie der ,geograph2 auch er kann nur entdecken1 was da ist1 und es benennen4 ,an diesem ,irrthum krankt die formale ,theorie der ,brche1 der negativen1 der complexen ,zahlen#aab4 ,man stellt die ,forderung1 dass die bekannten ,rechnungsregeln fr die neu einzufhrenden ,zahlen mglichst erhalten bleiben1 und leitet daraus allgemeine ,eigenschaften und ,beziehungen ab4 ,stsst man nirgends auf einen ,widerspruch1 so hlt man die ,einfhrung der neuen ,zahlen fr gerechtfertigt1 als ob ein ,widerspruch nicht dennoch irgendwo versteckt sein knnte1 und als ob ,widerspruchslosigkeit schon ,existenz wre4 #ig4 ,dass dieser ,fehler so leicht begangen wird1 liegt wohl an einer mangelhaften ,unterscheidung der ,begriffe von den ,gegenstnden4 ,nichts hindert uns1 den ,begriff ,quadratwurzel aus -#a zu gebrauchen2 aber wir sind nicht ohne ,weiteres berechtigt1 den bestimmten ,artikel davor zu setzen und den ,ausdruck die ,quadratwurzel aus -#a als einen sinnvollen anzusehen4 ,wir knnen unter der ,voraussetzung1 dass i -#a sei1 die ,formel beweisen1 durch welche der ,sinus eines ,vielfachen des ,winkels durch ,sinus und ,cosinus von selbst ausgedrckt wird2 aber wir drfen nicht vergessen1 dass der ,satz dann die ,bedingung i -#a mit sich fhrt1 welche wir nicht ohne ,weiteres weglassen drfen4 ,gbe es gar nichts1 dessen ,quadrat -#a wre1 so brauchte die ,gleichung kraft unseres ,beweises nicht richtig zu sein#aac1 weil die ,bedingung i -#a niemals erfllt wre1 von der ihre ,geltung abhngig erscheint4 ,es wre so1 als ob wir in einem geometrischen ,beweise eine ,hilfslinie benutzt htten1 die gar nicht gezogen werden kann4 #ih4 ,hankel#aad fhrt zwei ,arten von ,operationen ein1 die er lytische und thetische nennt1 und die er durch gewisse ,eigenschaften bestimmt1 welche diese ,operationen haben sollen4 ,dagegen ist nichts zu sagen1 so lange man nur nicht voraussetzt1 dass es solche ,operationen und ,gegenstnde giebt1 welche deren ,ergebnisse sein knnen#aae4 ,spter#aaf bezeichnet er eine thetische1 vollkommen eindeutige1 associative ,operation durch 7a b7 und die entsprechende ebenfalls vollkommen eindeutige lytische durch 7a - b74 ,eine solche ,operation8 welche8 eine beliebige8 dann ist dies keine ,definition von 7a b72 und wenn es nun keine giebt8 ,wenn das ,wort ,addition noch keine ,bedeutung htte1 wre es logisch zulssig zu sagen3 eine solche ,operation wollen wir eine ,addition nennen2 aber man darf nicht sagen3 eine solche ,operation soll die ,addition heissen und durch 7a b7 bezeichnet werden1 bevor es feststeht1 dass es eine und nur eine einzige giebt4 ,man darf nicht auf der einen ,seite einer ,definitionsgleichung den unbestimmten und auf der andern den bestimmten ,artikel gebrauchen4 ,dann sagt ,hankel ohne ,weiteres3 der ,modul der ,operation1 ohne bewiesen zu haben1 dass es einen und nur einen giebt4 #ii4 ,kurz diese rein formale ,theorie ist unzureichend4 ,das ,werthvolle an ihr ist nur dies4 ,man beweist1 dass wenn ,operationen gewisse ,eigenschaften wie die ,associativitt und die ,commutativitt haben1 gewisse ,stze von ihnen gelten4 ,man zeigt nun1 dass die ,addition und ,multiplication1 welche man schon kennt1 diese ,eigenschaften haben1 und kann nun sofort jene ,stze von ihnen aussprechen1 ohne den ,beweis in jedem einzelnen ,falle weitlufig zu wiederholen4 ,erst durch diese ,anwendung auf anderweitig gegebene ,operationen1 gelangt man zu den bekannten ,stzen der ,arithmetik4 ,keineswegs darf man aber glauben die ,addition und die ,multiplication auf diesem ,wege einfhren zu knnen4 ,man giebt nur eine ,anleitung fr die ,definitionen1 nicht diese selbst4 ,man sagt3 der ,name ,addition soll nur einer thetischen1 vollkommen eindeutigen1 associativen ,operation gegeben werden1 womit diejenige1 welche nun so heissen soll1 noch gar nicht angegeben ist4 ,danach stnde nichts im ,wege1 die ,multiplication ,addition zu nennen und durch 7a b7 zu bezeichnen1 und niemand knnte mit ,bestimmtheit sagen1 ob #b #c #e oder #f wre4 #ajj4 ,wenn wir diese rein formale ,betrachtungsweise aufgeben1 so kann sich aus dem ,umstande1 dass gleichzeitig mit der ,einfhrung von neuen ,zahlen die ,bedeutung der ,wrter ,summe und ,product erweitert wird1 ein ,weg darzubieten scheinen4 ,man nimmt einen ,gegenstand1 etwa den ,mond1 und erklrt3 der ,mond mit sich selbst multiplicirt sei -#a4 ,dann haben wir in dem ,monde eine ,quadratwurzel aus -#a4 ,diese ,erklrung scheint gestattet1 weil aus der bisherigen ,bedeutung der ,multiplication der ,sinn eines ,solchen ,products noch gar nicht hervorgeht und also bei der ,erweiterung dieser ,bedeutung beliebig festgesetzt werden kann4 ,aber wir brauchen auch die ,producte einer reellen ,zahl mit der ,quadratwurzel aus -#a4 ,whlen wir deshalb lieber den ,zeitraum einer ,secunde zu einer ,quadratwurzel aus -#a und bezeichnen ihn durch i6 ,dann werden wir unter #c i den ,zeitraum von #c ,secunden verstehen u4 s4 w4#aag ,welchen ,gegenstand werden wir dann etwa durch #b #c;i bezeichnen8 ,welche ,bedeutung wrde dem ,pluszeichen in diesem ,falle zu geben sein8 ,nun das muss allgemein festgesetzt werden1 was freilich nicht leicht sein wird4 ,doch nehmen wir einmal an1 dass wir allen ,zeichen von der ,form a bi einen ,sinn gesichert htten1 und zwar einen solchen1 dass die bekannten ,additionsstze gelten6 ,dann mssten wir ferner festsetzen1 dass allgemein 7a bi7 7c di7 ac - bd i 7ad bc7 sein solle1 wodurch wir die ,multiplication weiter bestimmen wrden4 #aja4 ,nun knnten wir die ,formel fr cos 7n7 beweisen1 wenn wir wssten1 dass aus der ,gleichheit complexer ,zahlen die ,gleichheit der reellen ,theile folgt4 ,das msste aus dem ,sinne von a bi hervorgehn1 den wir hier als vorhanden angenommen haben4 ,der ,beweis wrde nur fr den ,sinn der complexen ,zahlen1 ihrer ,summen und ,producte gelten1 den wir festgesetzt haben4 ,da nun fr ganzes reelles n und reelles i gar nicht mehr in der ,gleichung vorkommt1 so ist man versucht zu schliessen3 also ist es ganz gleichgiltig1 ob i eine ,secunde1 ein ,millimeter oder was sonst bedeutet1 wenn nur unsere ,additions- und ,multiplicationsstze gelten2 auf die allein kommt es an2 um das ,uebrige brauchen wir uns nicht zu kmmern4 ,vielleicht kann man die ,bedeutung von a bi1 von ,summe und ,product in verschiedener ,weise so festsetzen1 dass jene ,stze bestehen bleiben2 aber es ist nicht gleichgiltig1 ob man berhaupt einen solchen ,sinn fr diese ,ausdrcke finden kann4 #ajb4 ,man thut oft so1 als ob die blosse ,forderung schon ihre ,erfllung wre4 ,man fordert1 dass die ,subtraction#aah1 die ,division1 die ,radicirung immer ausfhrbar seien1 und glaubt damit genug gethan zu haben4 ,warum fordert man nicht auch1 dass durch beliebige drei ,punkte eine ,gerade gezogen werde8 ,warum fordert man nicht1 dass fr ein dreidimensionales complexes ,zahlensystem smmtliche ,additions- und ,multiplicationsstze gelten wie fr ein reelles8 ,weil diese ,forderung einen ,widerspruch enthlt4 ,ei so beweise man denn erst1 dass jene andern ,forderungen keinen ,widerspruch enthalten6 ,ehe man das gethan hat1 ist alle vielerstrebte ,strenge nichts als eitel ,schein und ,dunst4 ,in einem geometrischen ,lehrsatze kommt die zum ,beweise etwa gezogene ,hilfslinie nicht vor4 ,vielleicht sind mehre mglich z4 ,b41 wenn man einen ,punkt willkhrlich whlen kann4 ,aber wie entbehrlich auch jede einzelne sein mag1 so hngt doch die ,beweiskraft daran1 dass man eine ,linie von der verlangten ,beschaffenheit ziehen knne4 ,die blosse ,forderung gengt nicht4 ,so ist es auch in unserm ,falle fr die ,beweiskraft nicht gleichgiltig1 ob a bi einen ,sinn hat oder blosse ,druckerschwrze ist4 ,es reicht dazu nicht hin1 zu verlangen1 es solle einen ,sinn haben1 oder zu sagen1 der ,sinn sei die ,summe von a und bi1 wenn man nicht vorher erklrt hat1 was ,summe in diesem ,falle bedeutet1 und wenn man den ,gebrauch des bestimmten ,artikels nicht gerechtfertigt hat4 #ajc4 ,gegen die von uns versuchte ,festsetzung des ,sinnes von i lsst sich freilich ,manches einwenden4 ,wir bringen dadurch etwas ganz ,fremdartiges1 die ,zeit1 in die ,arithmetik4 ,die ,secunde steht in gar keiner innern ,beziehung zu den reellen ,zahlen4 ,die ,stze1 welche mittels der complexen ,zahlen bewiesen werden1 wrden ,urtheile a posteriori oder doch synthetische sein1 wenn es keine andere ,art des ,beweises gbe1 oder wenn man fr i keinen andern ,sinn finden knnte4 ,zunchst muss jedenfalls der ,versuch gemacht werden1 alle ,stze der ,arithmetik als analytische nachzuweisen4 ,wenn ,kossak#aai in ,bezug auf die complexe ,zahl sagt3 ,sie ist die zusammengesetzte ,vorstellung von verschiedenartigen ,gruppen unter einander gleicher ,elemente#abj1 so scheint er damit die ,einmischung von ,fremdartigem vermieden zu haben2 aber er scheint es auch nur infolge der ,unbestimmtheit des ,ausdrucks4 ,man erhlt gar keine ,antwort darauf1 was #a i eigentlich bedeute3 die ,vorstellung eines ,apfels und einer ,birne oder die von ,zahnweh und ,podagra8 ,beide zugleich kann es doch nicht bedeuten1 weil dann #a i nicht immer gleich #a i wre4 ,man wird sagen3 das kommt auf die besondere ,festsetzung an4 ,nun1 dann haben wir auch in ,kossak's ,satze noch gar keine ,definition der complexen ,zahl1 sondern nur eine allgemeine ,anleitung dazu4 ,wir brauchen aber mehr2 wir mssen bestimmt wissen1 was i bedeutet1 und wenn wir nun jener ,anleitung folgend sagen wollten3 die ,vorstellung einer ,birne1 so wrden wir wieder etwas ,fremdartiges in die ,arithmetik einfhren4 ,das1 was man die geometrische ,darstellung complexer ,zahlen zu nennen pflegt1 hat wenigstens den ,vorzug vor den bisher betrachteten ,versuchen1 dass dabei #a und i nicht ganz ohne ,zusammenhang und ungleichartig erscheinen sondern dass die ,strecke1 welche man als ,darstellung von i betrachtet1 in einer gesetzmssigen ,beziehung zu der ,strecke steht1 durch welche #a dargestellt wird4 ,uebrigens ist es genau genommen nicht richtig1 dass hierbei #a eine gewisse ,strecke1 i eine zu ihr senkrechte von gleicher ,lnge bedeute1 sondern #a bedeutet berall dasselbe4 ,eine complexe ,zahl giebt hier an1 wie die ,strecke1 welche als ihre ,darstellung gilt1 aus einer gegebenen ,strecke 7,einheitsstrecke7 durch ,vervielfltigung1 ,theilung und ,drehung#aba hervorgeht4 ,aber auch hiernach erscheint jeder ,lehrsatz1 dessen ,beweis sich auf die ,existenz einer complexen ,zahl sttzen muss1 von der geometrischen ,anschauung abhngig und also synthetisch4 #ajd4 ,wodurch sollen uns denn nun die ,brche1 die ,irrationalzahlen und die complexen ,zahlen gegeben werden8 ,wenn wir die ,anschauung zu ,hilfe nehmen1 so fhren wir etwas ,fremdartiges in die ,arithmetik ein2 wenn wir aber nur den ,begriff einer solchen ,zahl durch ,merkmale bestimmen1 wenn wir nur verlangen1 dass die ,zahl gewisse ,eigenschaften habe1 so brgt nichts dafr1 dass auch etwas unter den ,begriff falle und unsern ,anforderungen entspreche1 und doch mssen sich grade hierauf ,beweise sttzen4 ,nun1 wie ist es denn bei der ,anzahl8 ,drfen wir wirklich von #ajjj 7#ajjjajjj7 nicht reden1 bevor uns nicht soviele ,gegenstnde in der ,anschauung gegeben sind8 ,ist es so lange ein leeres ,zeichen8 ,nein6 es hat einen ganz bestimmten ,sinn1 obwohl es psychologisch schon in ,anbetracht der ,krze unseres ,lebens unmglich ist1 uns soviele ,gegenstnde vor das ,bewusstsein zu fhren#abb2 aber trotzdem ist #ajjj 7#ajjjajjj7 ein ,gegenstand1 dessen ,eigenschaften wir erkennen knnen1 obgleich er nicht anschaulich ist4 ,man berzeugt sich davon1 indem man bei der ,einfhrung des ,zeichens an fr die ,potenz zeigt1 dass immer eine und nur eine positive ganze ,zahl dadurch ausgedrckt wird1 wenn a und n positive ganze ,zahlen sind4 ,wie dies geschehen kann1 wrde hier zu weit fhren1 im ,einzelnen darzulegen4 ,die ,weise1 wie wir im #gd die ,null1 in #gg die ,eins1 in #hd die unendliche ,anzahl erklrt haben1 und die ,andeutung des ,beweises1 dass auf jede endliche ,anzahl in der natrlichen ,zahlenreihe eine ,anzahl unmittelbar folgt 7 #hb u4 #hc71 werden den ,weg im ,allgemeinen erkennen lassen4 ,es wird zuletzt auch bei der ,definition der ,brche1 complexen ,zahlen u4 s4 w4 ,alles darauf ankommen1 einen beurtheilbaren ,inhalt aufzusuchen1 der in eine ,gleichung verwandelt werden kann1 deren ,seiten dann eben die neuen ,zahlen sind4 ,mit andern ,worten3 wir mssen den ,sinn eines ,wiedererkennungsurtheils fr solche ,zahlen festsetzen4 ,dabei sind die ,bedenken zu beachten1 die wir 7 #fc-fh7 in ,betreff einer solchen ,umwandlung errtert haben4 ,wenn wir ebenso wie dort verfahren1 so werden uns die neuen ,zahlen als ,umfnge von ,begriffen gegeben4 #aje4 ,aus dieser ,auffassung der ,zahlen#abc erklrt sich1 wie mir scheint1 leicht der ,reiz1 den die ,beschftigung mit der ,arithmetik und ,analysis ausbt4 ,man knnte wohl mit ,abnderung eines bekannten ,satzes sagen3 der eigentliche ,gegenstand der ,vernunft ist die ,vernunft4 ,wir beschftigen uns in der ,arithmetik mit ,gegenstnden1 die uns nicht als etwas ,fremdes von aussen durch ,vermittelung der ,sinne bekannt werden1 sondern die unmittelbar der ,vernunft gegeben sind1 welche sie als ihr ,eigenstes vllig durchschauen kann#abd4 ,und doch1 oder vielmehr grade daher sind diese ,gegenstnde nicht subjective ,hirngespinnste4 ,es giebt nichts ,objectiveres als die arithmetischen ,gesetze4 #ajf4 ,werfen wir noch einen kurzen ,rckblick auf den ,gang unserer ,untersuchung6 ,nachdem wir festgestellt hatten1 dass die ,zahl weder ein ,haufe von ,dingen noch eine ,eigenschaft eines solchen1 dass sie aber auch nicht subjectives ,erzeugniss seelischer ,vorgnge ist2 sondern dass die ,zahlangabe von einem ,begriffe etwas ,objectives aussage1 versuchten wir zunchst die einzelnen ,zahlen #j1 #a u4 s4 w4 und das ,fortschreiten in der ,zahlenreihe zu definiren4 ,der erste ,versuch misslang1 weil wir nur jene ,aussage von ,begriffen1 nicht aber die #j1 die #a abgesondert definirt hatten1 welche nur ,theile von ihr sind4 ,dies hatte zur ,folge1 dass wir die ,gleichheit von ,zahlen nicht beweisen konnten4 ,es zeigte sich1 dass die ,zahl1 mit der sich die ,arithmetik beschftigt1 nicht als ein unselbstndiges ,attribut1 sondern substantivisch gefasst werden muss#abe4 ,die ,zahl erschien so als wiedererkennbarer ,gegenstand1 wenn auch nicht als physikalischer oder auch nur rumlicher noch als einer1 von dem wir uns durch die ,einbildungskraft ein ,bild entwerfen knnen4 ,wir stellten nun den ,grundsatz auf1 dass die ,bedeutung eines ,wortes nicht vereinzelt1 sondern im ,zusammenhange eines ,satzes zu erklren sei1 durch dessen ,befolgung allein1 wie ich glaube1 die physikalische ,auffassung der ,zahl vermieden werden kann1 ohne in die psychologische zu verfallen4 ,es giebt nun eine ,art von ,stzen1 die fr jeden ,gegenstand einen ,sinn haben mssen1 das sind die ,wiedererkennungstze1 bei den ,zahlen ,gleichungen genannt4 ,auch die ,zahlangabe1 sahen wir1 ist als eine ,gleichung aufzufassen4 ,es kam also darauf an1 den ,sinn einer ,zahlengleichung festzustellen1 ihn auszudrcken1 ohne von den ,zahlwrtern oder dem ,worte ,zahl ,gebrauch zu machen4 ,die ,mglichkeit die unter einen ,begriff ,f fallenden ,gegenstnde1 den unter einen ,begriff ,g fallenden beiderseits eindeutig zuzuordnen1 erkannten wir als ,inhalt eines ,wiedererkennungsurtheils von ,zahlen4 ,unsere ,definition musste also jene ,mglichkeit als gleichbedeutend mit einer ,zahlengleichung hinstellen4 ,wir erinnerten an hnliche ,flle3 die ,definition der ,richtung aus dem ,parallelismus1 der ,gestalt aus der ,aehnlichkeit u4 s4 w4 #ajg4 ,es erhob sich nun die ,frage3 wann ist man berechtigt1 einen ,inhalt als den eines ,wiedererkennungsurtheils aufzufassen8 ,es muss dazu die ,bedingung erfllt sein1 dass in jedem ,urtheile unbeschadet seiner ,wahrheit die linke ,seite der versuchsweise angenommenen ,gleichung durch die rechte ersetzt werden knne4 ,nun ist uns1 ohne dass weitere ,definitionen hinzukommen1 zunchst von der linken oder rechten ,seite einer solchen ,gleichung keine ,aussage weiter bekannt als eben die der ,gleichheit4 ,es brauchte also die ,ersetzbarkeit nur in einer ,gleichung nachgewiesen zu werden4 ,aber es blieb noch ein ,bedenken bestehen4 ,ein ,wiedererkennungssatz muss nmlich immer einen ,sinn haben4 ,wenn wir nun die ,mglichkeit1 die unter den ,begriff ,f fallenden ,gegenstnde den unter den ,begriff ,g fallenden beiderseits eindeutig zuzuordnen1 als eine ,gleichung auffassen1 indem wir dafr sagen3 die ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt1 ist gleich der ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,g zukommt1 und hiermit den ,ausdruck die ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt einfhren1 so haben wir fr die ,gleichung nur dann einen ,sinn1 wenn beide ,seiten die eben genannte ,form haben4 ,wir knnten nach einer solchen ,definition nicht beurtheilen1 ob eine ,gleichung wahr oder falsch ist1 wenn nur die eine ,seite diese ,form hat4 ,das veranlasste uns zu der ,definition3 ,die ,anzahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt1 ist der ,umfang des ,begriffes ,begriff gleichzahlig dem ,begriffe ,f1 indem wir einen ,begriff ,f gleichzahlig einem ,begriffe ,g nannten1 wenn jene ,mglichkeit der beiderseits eindeutigen ,zuordnung besteht4 ,hierbei setzten wir den ,sinn des ,ausdruckes ,umfang des ,begriffes als bekannt voraus4 ,diese ,weise1 die ,schwierigkeit zu berwinden1 wird wohl nicht berall ,beifall finden1 und ,manche werden vorziehn1 jenes ,bedenken in andrer ,weise zu beseitigen4 ,ich lege auch auf die ,heranziehung des ,umfangs eines ,begriffes kein entscheidendes ,gewicht4 #ajh4 ,es blieb nun noch brig die beiderseits eindeutige ,zuordnung zu erklren2 wir fhrten sie auf rein logische ,verhltnisse zurck4 ,nachdem wir nun den ,beweis des ,satzes angedeutet hatten3 die ,zahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt1 ist gleich der1 welche dem ,begriffe ,g zukommt1 wenn der ,begriff ,f dem ,begriffe ,g gleichzahlig ist1 definirten wir die #j1 den ,ausdruck n folgt in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf m und die ,zahl #a und zeigten1 dass #a in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar auf #j folgt4 ,wir fhrten einige ,stze an1 die sich an dieser ,stelle leicht beweisen lassen1 und gingen dann etwas nher auf folgenden ein1 der die ,unendlichkeit der ,zahlenreihe erkennen lsst3 ,auf jede ,zahl folgt in der natrlichen ,zahlenreihe eine ,zahl4 ,wir wurden hierdurch auf den ,begriff der mit n endenden natrlichen ,zahlenreihe angehrend gefhrt1 von dem wir zeigen wollten1 dass die ihm zukommende ,anzahl auf n in der natrlichen ,zahlenreihe unmittelbar folge4 ,wir definirten ihn zunchst mittels des ,folgens eines ,gegenstandes y auf einen ,gegenstand x in einer allgemeinen -,reihe4 ,auch der ,sinn dieses ,ausdruckes wurde auf rein logische ,verhltnisse zurckgefhrt4 ,und dadurch gelang es1 die ,schlussweise von n auf 7n #a71 welche gewhnlich fr eine eigenthmlich mathematische gehalten wird1 als auf den allgemeinen logischen ,schlussweisen beruhend nachzuweisen4 ,wir brauchten nun zum ,beweise der ,unendlichkeit der ,zahlenreihe den ,satz1 dass keine endliche ,zahl in der natrlichen ,zahlenreihe auf sich selber folgt4 ,wir kamen so zu den ,begriffen der endlichen und der unendlichen ,zahl4 ,wir zeigten1 dass der letztere im ,grunde nicht weniger logisch gerechtfertigt als der erstere ist4 ,zum ,vergleiche wurden ,cantors unendliche ,anzahlen und dessen ,folgen in der ,succession herangezogen1 wobei auf die ,verschiedenheit im ,ausdrucke hingewiesen wurde4 #aji4 ,aus allem ,vorangehenden ergab sich nun mit grosser ,wahrscheinlichkeit die analytische und apriorische ,natur der arithmetischen ,wahrheiten2 und wir gelangten zu einer ,verbesserung der ,ansicht ,kants4 ,wir sahen ferner1 was noch fehlt1 um jene ,wahrscheinlichkeit zur ,gewissheit zu erheben1 und gaben den ,weg an1 der dahin fhren muss4 ,endlich benutzten wir unsere ,ergebnisse zur ,kritik einer formalen ,theorie der negativen1 gebrochenen1 irrationalen und complexen ,zahlen1 durch welche deren ,unzulnglichkeit offenbar wurde4 ,ihren ,fehler erkannten wir darin1 dass sie die ,widerspruchslosigkeit eines ,begriffes als bewiesen annahm1 wenn sich kein ,widerspruch gezeigt hatte1 und dass die ,widerspruchslosigkeit eines ,begriffes schon als hinreichende ,gewhr fr seine ,erflltheit galt4 ,diese ,theorie bildet sich ein1 sie brauche nur ,forderungen zu stellen2 deren ,erfllung verstehe sich dann von selbst4 ,sie gebrdet sich wie ein ,gott1 der durch sein blosses ,wort schaffen kann1 wessen er bedarf4 ,es musste auch gergt werden1 wenn eine ,anweisung zur ,definition fr diese selbst ausgegeben wurde1 eine ,anweisung1 deren ,befolgung ,fremdartiges in die ,arithmetik einfhren wrde1 obwohl sie selbst im ,ausdrucke sich davon frei zu halten vermag1 aber nur weil sie blosse ,anweisung bleibt4 ,so gerth jene formale ,theorie in ,gefahr1 auf das ,aposteriorische oder doch ,synthetische zurckzufallen1 wie sehr sie sich auch den ,anschein giebt1 in der ,hhe der ,abstractionen zu schweben4 ,unsere frhere ,betrachtung der positiven ganzen ,zahlen zeigte uns nun die ,mglichkeit1 die ,einmischung von ussern ,dingen und geometrischen ,anschauungen zu vermeiden1 ohne doch in den ,fehler jener formalen ,theorie zu verfallen4 ,es kommt wie dort darauf an1 den ,inhalt eines ,wiedererkennungsurtheils festzusetzen4 ,denken wir dies berall geschehen1 so erscheinen die negativen1 gebrochenen1 irrationalen und complexen ,zahlen nicht geheimnissvoller als die positiven ganzen ,zahlen1 diese nicht reeller1 wirklicher1 greifbarer als jene4 ,illustration ,funoten3 #a ,smmtliche ,werke1 herausgegeb4 von ,hartenstein1 ,bd4 ,x1 #a ,thl4 ,umriss pdagogischer ,vorlesungen #beb1 ,anm4 #b3 ,zwei heisst nicht zwei ,dinge1 sondern ,verdoppelung u4 s4 w4 #b ,k4 ,fischer1 ,system der ,logik und ,metaphysik oder ,wissenschaftslehre1 #b4 ,aufl4 #id4 #c ,studien ber ,association der ,vorstellungen4 ,wien #ahhc4 #d ,lehrbuch der ,arithmetik und ,algebra4 #e ,ich will damit natrlich nicht einen neuen ,sinn hineinlegen1 sondern nur das treffen1 was frhere ,schriftsteller1 insbesondere ,kant gemeint haben4 #f ,wenn man berhaupt allgemeine ,wahrheiten anerkennt1 so muss man auch zugeben1 dass es solche ,urgesetze giebt1 weil aus lauter einzelnen ,thatsachen nichts folgt1 es sei denn auf ,grund eines ,gesetzes4 ,selbst die ,induction beruht auf dem allgemeinen ,satze1 dass dies ,verfahren die ,wahrheit oder doch eine ,wahrscheinlichkeit fr ein ,gesetz begrnden knne4 ,fr den1 der dies leugnet1 ist die ,induction nichts weiter als eine psychologische ,erscheinung1 eine ,weise1 wie ,menschen zu dem ,glauben an die ,wahrheit eines ,satzes kommen1 ohne dass dieser ,glaube dadurch irgendwie gerechtfertigt wre4 #g ,es wird also im ,folgenden1 wenn nichts weiter bemerkt wird1 von keinen andern ,zahlen als den positiven ganzen die ,rede sein1 welche auf die ,frage wie viele8 antworten4 #h ,hobbes1 ,locke1 ,newton4 ,vergl4 ,baumann1 die ,lehren von ,zeit1 ,raum und ,mathematik4 ,s4 #bda u4 #bdb1 ,s4 #cfe ff41 ,s4 #dge4 #i ,kritik der reinen ,vernunft1 herausgeg4 v4 ,hartenstein4 ,,iii4 ,s4 #aeg4 #aj ,vorlesungen ber die complexen ,zahlen und ihre ,functionen4 ,s4 #ee4 #aa ,b3 ,nouveaux ,essais1 ,,iv4 #aj4 ,erdm4 ,s4 #cfc4 #ab ,c3 ,non inelegans specimen demonstrandi in abstractis4 ,erdm4 ,s4 #id4 #ac ,lehrbuch der ,mathematik fr hhere ,lehranstalten4 ,i4 ,theil3 ,arithmetik1 ,stettin #ahfj1 ,s4 #d4 #ad ,a ,system der deductiven und inductiven ,logik1 bersetzt von ,j4 ,schiel4 ,,iii4 ,buch1 ,,xxiv4 ,cap41 #e4 #ae ,a4 a4 ,o4 ,,ii4 ,buch1 ,,vi4 ,cap41 #b4 #af ,a4 a4 ,o4 ,,iii4 ,buch1 ,,xxiv4 ,cap41 #e4 #ag ,a4 a4 ,o4 ,,iii4 ,buch1 ,,xxiv4 ,cap41 #e4 #ah ,a4 a4 ,o4 ,,ii4 ,buch1 ,,vi4 ,cap41 #c4 #ai ,baumann1 a4 a4 ,o4 ,,ii41 ,s4 #ci2 ,erdm4 ,s4 #bdc4 #bj ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii41 ,s4 #ac u4 #ad2 ,erdm4 ,s4 #aie1 ,s4 #bjh u4 #bji4 #ba ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii41 ,s4 #ch2 ,erdm4 ,s4 #bab4 #bb ,a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii41 ,s4 #ffi4 #bc ,lehrbuch der ,analysis1 ,bd4 ,i41 ,s4 #a4 #bd ,theorie der complexen ,zahlensysteme1 ,s4 #ed u4 #ee4 #be ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii41 ,s4 #ef2 ,erdm4 ,s4 #dbd4 #bf ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii41 ,s4 #eg2 ,erdm4 ,s4 #hc4 #bg ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii41 ,s4 #eg2 ,pertz1 ,,ii41 ,s4 #ee4 #bh ,the principles of science4 ,london #ahgi4 ,s4 #aef4 #bi ,nouveaux ,essais1 ,,iv1 #i2 ,erdm4 ,s4 #cfj4 #cj ,es ist auffallend1 dass auch ,mill a4 a4 ,o4 ,,ii4 ,buch1 ,,vi4 ,cap4 #d diese ,ansicht auszusprechen scheint4 ,sein gesunder ,sinn durchbricht eben von ,zeit zu ,zeit sein ,vorurtheil fr das ,empirische4 ,aber dieses bringt immer wieder ,alles in ,verwirrung1 indem es ihn die physikalischen ,anwendungen der ,arithmetik mit dieser selbst verwechseln lsst4 ,er scheint nicht zu wissen1 dass ein hypothetisches ,urtheil auch dann wahr sein kann1 wenn die ,bedingung nicht wahr ist4 #ca ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,i1 ,s4 #dge4 #cb ,theorie der complexen ,zahlensysteme1 ,s4 #a4 #cc ,grundzge einer ,elementarmathematik1 ,s4 #b1 #d4 ,aehnlich ,lipschitz1 ,lehrbuch der ,analysis1 ,bonn #ahgg1 ,s4 #a4 #cd ,lehrbuch der ,arithmetik und ,algebra1 ,leipz4 #ahgc1 ,s4 #f1 #aj u4 #aa4 #ce ,a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii1 ,s4 #ffi4 #cf ,a4 a4 ,o4 ,,iii4 ,buch1 ,,xxiv4 ,cap41 #e4 #cg ,a4 a4 ,o4 ,,iii4 ,buch1 ,,xxiv4 ,cap4 #e4 #ch ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,i1 ,s4 #dji4 #ci ,ebenda1 ,bd4 ,,ii1 ,s4 #ef4 #dj ,ebenda1 ,bd4 ,,ii1 ,s4 #b4 #da ,a4 a4 ,o4 ,,iii4 ,buch1 ,,xxiv4 ,cap4 #e4 #db ,genau genommen msste hinzugefgt werden3 sobald sie berhaupt ein ,phnomen sind4 ,wenn aber ,jemand ein ,pferd in ,deutschland und eines in ,amerika 7und sonst keins7 hat1 so besitzt er zwei ,pferde4 ,diese bilden jedoch kein ,phnomen1 sondern nur jedes ,pferd fr sich knnte so genannt werden4 #dc ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii4 ,s4 #dbh4 #dd ,lehrbuch der ,analysis1 ,s4 #a4 ,ich nehme an1 dass ,lipschitz einen innern ,vorgang im ,sinne hat4 #de ,handbuch der algebraischen ,analysis1 ,s4 #a4 #df ,man kann dagegen auch einwenden1 dass dann immer dieselbe ,vorstellung einer ,stelle erscheinen msste1 wenn dieselbe ,zahl auftritt1 was offenbar falsch ist4 ,das ,folgende wrde nicht zutreffen1 wenn er unter ,vorstellung eine objective ,idee verstehen wollte2 aber welcher ,unterschied wre dann zwischen der ,vorstellung der ,stelle und der ,stelle selbst8 ,die ,vorstellung im subjectiven ,sinne ist das1 worauf sich die psychologischen ,associationsgesetze beziehen2 sie ist von sinnlicher1 bildhafter ,beschaffenheit4 ,die ,vorstellung im objectiven ,sinne gehrt der ,logik an und ist wesentlich unsinnlich1 obwohl das ,wort1 welches eine objective ,vorstellung bedeutet1 oft auch eine subjective mit sich fhrt1 die jedoch nicht seine ,bedeutung ist4 ,die subjective ,vorstellung ist oft nachweisbar verschieden in verschiedenen ,menschen1 die objective fr alle dieselbe4 ,die objectiven ,vorstellungen kann man eintheilen in ,gegenstnde und ,begriffe4 ,ich werde1 um ,verwirrung zu vermeiden1 ,vorstellung nur im subjectiven ,sinne gebrauchen4 ,dadurch1 dass ,kant mit diesem ,worte beide ,bedeutungen verband1 hat er seiner ,lehre eine sehr subjective1 idealistische ,frbung gegeben und das ,treffen seiner wahren ,meinung erschwert4 ,die hier gemachte ,unterscheidung ist so berechtigt wie die zwischen ,psychologie und ,logik4 ,mchte man diese immer recht streng auseinanderhalten6 #dg ,elementare ,theorie der analytischen ,functionen1 ,s4 #a4 #dh #g4 ,buch der ,elemente im ,anfange3 1 ' 4 4 #di ,a4 a4 ,o4 ,s4 #e4 #ej ,es kommen ,wendungen vor1 die dem zu widersprechen scheinen2 aber bei genauerer ,betrachtung wird man finden1 dass ein ,begriffswort zu ergnzen ist1 oder dass ,ein nicht als ,zahlwort gebraucht wird1 dass nicht die ,einzigkeit1 sondern die ,einheitlichkeit behauptet werden soll4 #ea ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii4 ,s4 #b2 ,erdm4 ,s4 #h4 #eb ,a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii4 ,s4 #ffi4 #ec ,a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii4 ,s4 #ffi4 #ed ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,i4 ,s4 #dji4 #ee ,ueber die ,geschichte des ,wortes ,einheit vergl4 ,eucken1 ,geschichte der philosophischen ,terminologie4 ,s4 #abb-c1 ,s4 #acf1 ,s4 #bbj4 #ef ,schularithmetik4 ,eisenach #ahfg4 ,s4 #e u4 #f4 #eg ,a4 a4 ,o4 ,s4 #e4 #eh ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,i4 ,s4 #bdb4 #ei ,ebenda ,bd4 ,,ii4 ,s4 #efh4 #fj ,a4 a4 ,o4 ,s4 #a4 #fa ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,i4 ,s4 #ajc4 #fb ,a4 a4 ,o4 ,s4 #c4 #fc ,the principles of ,science1 #c d4 ,ed4 ,s4 #aef4 #fd ,a4 a4 ,o4 ,s4 #afb4 #fe ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,i4 ,s4 #dji-daa4 #ff ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii4 ,s4 #c4 #fg ,vier ,species4 ,s4 #b4 #fh ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,i4 ,s4 #bdb4 #fi ,elementare ,theorie der analyt4 ,functionen1 ,s4 #a4 #gj ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii4 ,s4 #b4 #ga ,a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii4 ,s4 #ffh4 #gb ,the ,principles of ,science1 ,s4 #aeg4 #gc ,theorie der complexen ,zahlensysteme1 ,s4 #a4 #gd ,lehrbuch der ,arithmetik und ,algebra1 ,s4 #e ff4 #ge zu zhlenden ,gegenstnde4 #gf ,a4 a4 ,o4 ,s4 #aeh4 #gg ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,i1 ,s4 #afi4 #gh ,a4 a4 ,o4 ,s4 #f4 #gi ,vorstellung in dem ,sinne von etwas ,bildartigem genommen4 #hj ,es kommt darauf an1 den ,sinn einer ,gleichung wie df7x7 g7x7 dx zu definiren1 nicht aber darauf1 eine von zwei verschiedenen ,punkten begrenzte ,strecke aufzuweisen1 deren ,lnge dx wre4 #ha ,dies ,wort rein psychologisch1 nicht psychophysisch verstanden4 #hb ,baumann a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii4 ,s4 #efe4 #hc ,vergl4 ,e4 ,schrder a4 a4 ,o4 ,s4 #g und #h4 ,e4 ,kossak1 die ,elemente der ,arithmetik1 ,programm des ,friedrichs-,werder'schen ,gymnasiums4 ,berlin1 #ahgb4 ,s4 #af4 ,g4 ,cantor1 ,grundlagen einer allgemeinen ,mannichfaltigkeitslehre4 ,leipzig1 #ahhc4 #hd ,um mich bequemer ausdrcken zu knnen und leichter verstanden zu werden1 spreche ich hier vom ,parallelismus4 ,das ,wesentliche dieser ,errterungen wird leicht auf den ,fall der ,zahlengleichheit bertragen werden knnen4 #he ,non inelegans specimen demonstrandi in abstractis4 ,erdm4 ,s4 #id4 #hf ,in einem hypothetischen ,urtheile knnte z4 ,b4 eine ,gleichheit von ,richtungen als ,bedingung oder ,folge vorkommen4 #hg ,der bestimmte ,artikel deutet dies an4 ,begriff ist fr mich ein mgliches ,praedicat eines singulren beurtheilbaren ,inhalts1 ,gegenstand ein mgliches ,subject eines solchen4 ,wenn wir in dem ,satze die ,richtung der ,fernrohraxe ist gleich der ,richtung der ,erdaxe die ,richtung der ,fernrohraxe als ,subject ansehen1 so ist das ,praedicat gleich der ,richtung der ,erdaxe4 ,dies ist ein ,begriff4 ,aber die ,richtung der ,erdaxe ist nur ein ,theil des ,praedicates2 sie ist ein ,gegenstand1 da sie auch zum ,subjecte gemacht werden kann4 #hh ,ich glaube1 dass fr ,umfang des ,begriffes einfach ,begriff gesagt werden knnte4 ,aber man wrde zweierlei einwenden3 #a4 dies stehe im ,widerspruche mit meiner frheren ,behauptung1 dass die einzelne ,zahl ein ,gegenstand sei1 was durch den bestimmten ,artikel in ,ausdrcken wie die ,zwei und durch die ,unmglichkeit angedeutet werde1 von ,einsen1 ,zweien u4 s4 w4 im ,plural zu sprechen1 sowie dadurch1 dass die ,zahl nur einen ,theil des ,praedicats der ,zahlangabe ausmache2 #b4 dass ,begriffe von gleichem ,umfange sein knnen1 ohne zusammenzufallen4 ,ich bin nun zwar der ,meinung1 dass beide ,einwnde gehoben werden knnen2 aber das mchte hier zu weit fhren4 ,ich setze voraus1 dass man wisse1 was der ,umfang eines ,begriffes sei4 #hi ,hiermit ist der ,fall nicht zu verwechseln1 wo das und nur scheinbar die ,subjecte1 in ,wahrheit aber zwei ,stze verbindet4 #ij ,desgleichen die ,umkehrung3 ,wenn die ,zahl1 welche dem ,begriffe ,f zukommt1 dieselbe ist wie die1 welche dem ,begriffe ,g zukommt1 so ist der ,begriff ,f dem ,begriffe ,g gleichzahlig4 #ia ,ganz davon verschieden ist die ,definition eines ,gegenstandes aus einem ,begriffe1 unter den er fllt4 ,der ,ausdruck der grsste chte ,bruch hat z4 ,b4 keinen ,inhalt1 weil der bestimmte ,artikel den ,anspruch erhebt1 auf einen bestimmten ,gegenstand hinzuweisen4 ,dagegen ist der ,begriff ,bruch1 der kleiner als #a und so beschaffen ist1 dass kein ,bruch1 der kleiner als #a ist1 ihn an ,grsse bertrifft ganz unbedenklich1 und um beweisen zu knnen1 dass es keinen solchen ,bruch gebe1 braucht man sogar diesen ,begriff1 obgleich er einen ,widerspruch enthlt4 ,wenn man aber durch diesen ,begriff einen ,gegenstand bestimmen wollte1 der unter ihn fllt1 wre es allerdings nthig1 zweierlei vorher zu zeigen3 #a4 dass unter diesen ,begriff ein ,gegenstand falle2 #b4 dass nur ein einziger ,gegenstand unter ihn falle4 ,da nun schon der erste dieser ,stze falsch ist1 so ist der ,ausdruck der grsste chte ,bruch sinnlos4 #ib ,siehe ,anm4 auf ,s4 #hg u4 #hh4 #ic ,satz ohne ,allgemeinheit4 #id ,vergl4 ,b4 ,erdmann1 die ,axiome der ,geometrie ,s4 #afd4 #ie ,wenn n keine ,anzahl ist1 so gehrt nur n selbst der mit n endenden natrlichen ,zahlenreihe an4 ,man stosse sich nicht an dem ,ausdrucke6 #if ,e4 ,schrder scheint a4 a4 ,o4 ,s4 #fc diesen ,satz als ,folge einer auch anders denkbaren ,bezeichnungsweise anzusehen4 ,es macht sich auch hier der ,uebelstand bemerkbar1 der seine ganze ,darstellung dieser ,sache beeintrchtigt1 dass man nicht recht weiss1 ob die ,zahl ein ,zeichen ist1 und was dann dessen ,bedeutung1 oder ob sie eben diese ,bedeutung ist4 ,daraus1 dass man verschiedene ,zeichen festsetzt1 sodass nie dasselbe wiederkehrt1 folgt noch nicht1 dass diese ,zeichen auch ,verschiedenes bedeuten4 #ig ,grundlagen einer allgemeinen ,mannichfaltigkeitslehre4 ,leipzig1 #ahhc4 #ih ,dieser ,ausdruck kann der frher hervorgehobenen ,objectivitt des ,begriffes zu widersprechen scheinen2 aber subjectiv ist hier nur die ,benennung4 #ii ,das ,beobachten schliesst selbst schon eine logische ,thtigkeit ein4 #ajj ,a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii4 ,s4 #fgj4 #aja ,a4 a4 ,o4 ,,iii4 ,s4 #ci u4 ff4 #ajb ,s4 #dc sagt er1 dass ein synthetischer ,satz nur dann nach dem ,satze des ,widerspruchs eingesehen werden kann1 wenn ein andrer synthetischer ,satz vorausgesetzt wird4 #ajc ,ebenso1 wenn die ,merkmale durch oder verbunden sind4 #ajd ,a4 a4 ,o4 ,,iii1 ,s4 #hb4 #aje ,sie soll jedoch nicht nur die logische ,form wie die boolesche ,bezeichnungsweise1 sondern auch einen ,inhalt auszudrcken im ,stande sein4 #ajf ,begriffsschrift1 ,halle a_/,s4 #ahgj1 ,s4 #hf1 ,formel #acc4 #ajg ,diesen ,beweis wird man immer noch viel zu weitlufig finden1 ein ,nachtheil1 der vielleicht die fast unbedingte ,sicherheit vor einem ,fehler oder einer ,lcke mehr als aufzuwiegen scheint4 ,mein ,zweck war damals ,alles auf die mglichst geringe ,zahl von mglichst einfachen logischen ,gesetzen zurckzufhren4 ,infolge dessen wendete ich nur eine einzige ,schlussweise an4 ,ich wies aber schon damals im ,vorworte ,s4 ,,vii darauf hin1 dass fr die weitere ,anwendung es sich empfehlen wrde1 mehr ,schlussweisen zuzulassen4 ,dies kann geschehen ohne der ,bndigkeit der ,schlusskette zu schaden1 und so lsst sich eine bedeutende ,abkrzung erreichen4 #ajh ,a4 a4 ,o4 ,s4 #f u4 #g4 #aji ,a4 a4 ,o4 ,s4 #ajf u4 #ajg4 #aaj ,a4 a4 ,o4 #ce4 #aaa ,a4 a4 ,o4 ,s4 #e4 ,aehnlich ,e4 ,kossak1 a4 a4 ,o4 ,s4 #ag unten4 #aab ,aehnlich steht es bei ,cantors unendlichen ,anzahlen4 #aac ,auf einem andern ,wege mchte sie immerhin streng bewiesen werden knnen4 #aad ,a4 a4 ,o4 ,s4 #ah4 #aae ,das thut ,hankel eigentlich schon durch den ,gebrauch der ,gleichung 7c1 b7 a4 #aaf ,a4 a4 ,o4 ,s4 #bi4 #aag ,mit demselben ,rechte knnten wir auch ein gewisses ,electricittsquantum1 einen gewissen ,flcheninhalt u4 s4 w4 zu ,quadratwurzeln aus -#a whlen1 mssten diese verschiedenen ,wurzeln dann auch selbstverstndlich verschieden bezeichnen4 ,dass man so beliebig viele ,quadratwurzeln aus -#a scheinbar schaffen kann1 wird weniger verwunderlich1 wenn man bedenkt1 dass die ,bedeutung der ,quadratwurzel nicht schon vor diesen ,festsetzungen unvernderlich feststand1 sondern durch sie erst mitbestimmt wird4 #aah ,vergl4 ,kossak a4 a4 ,o4 ,s4 #ag4 #aai ,a4 a4 ,o4 ,s4 #ag4 #abj ,man vergleiche ber den ,ausdruck ,vorstellung #bg1 ber ,gruppe das in ,bezug auf ,aggregat #bc u4 #be ,gesagte1 ber die ,gleichheit der ,elemente #cd-ci4 #aba ,der ,einfachheit wegen sehe ich hier vom ,incommensurabeln ab4 #abb ,ein leichter ,ueberschlag zeigt1 dass dazu ,millionen ,jahre lange nicht hinreichen wrden4 #abc ,man knnte sie auch formal nennen4 ,doch ist sie ganz verschieden von der oben unter diesem ,namen beurtheilten4 #abd ,ich will hiermit gar nicht leugnen1 dass wir ohne sinnliche ,eindrcke dumm wie ein ,brett wren und weder von ,zahlen noch von sonst etwas wssten2 aber dieser psychologische ,satz geht uns hier gar nichts an4 ,wegen der bestndigen ,gefahr der ,vermischung zweier grundverschiedener ,fragen hebe ich dies nochmals hervor4 #abe ,der ,unterschied entspricht dem zwischen blau und die ,farbe des ,himmels4 ,,th4 ,,schatzky ,,buchdr41 ,,breslau1 ,,wallstr4 #ad;b4 ,weitere ,anmerkungen zur ,transkription ,offensichtlich fehlerhafte ,zeichensetzung wurde stillschweigend korrigiert4 ,die ,schreibweise der ,ellipsen wurde vereinheitlicht4 ,der grer-als-,operator wurde auf die heutige ,schreibweise gendert4 ,das ,zeichen fr parallele ,strecken wurde von _/_/ zu gendert4 ,korrekturen3 ,inhalt #aj iductive inductive ,additionsgesetze inductive ,wahrheiten ,s4 ,,ii3 ,buchstaben ergnzt so ist es doch wohl eine unabweisbare ,aufgabe1 ,s4 #d3 mathemathische mathematische um eine mathematische ,wahrheit handelt ,s4 #bc3 ,endeckungen ,entdeckungen hier nicht um die ,geschichte unserer ,entdeckungen1 ,s4 #bd3 ,ausicht ,ansicht ,wenn man diese nicht hier zuerst geusserte ,ansicht ,s4 #fb3 allmeines allgemeines ein allgemeines ,begriffswort 7notio communis7 sein msse ,funote #aj3 ihren ihre ,vorlesungen ber die complexen ,zahlen und ihre ,functionen4 ,funote #eb3 ,bl4 ,bd4 ,a4 a4 ,o4 ,bd4 ,,ii4 ,s4 #ffi4