,h9weise zur ,transkription ,im ,orig9al gesp]rt] ,text wird s d>ge/ellt4 ,im ,orig9al kursiv] ,text wird s d>ge/ellt4 ,im ,orig9al fett] ,text wird s d>ge/ellt4 ,weit]e ,h9weise zur ,transkription bef9d5 si* am ,ende des ,bu*es4 ,,lehrbu* ,,d] ,,p]spective4 ,,mit #aah ,,9 ,,d5 ,,text ,,g$ruckt5 ,,zei*nung5 ,,von ,g4 ,,conz1 ,,mal]1 ,,pr(essor ,,am ,k4 ,,ca?>95/ift ,,9 ,,/uttg>t4 ,illu/ration ,,/uttg>t4 ,,v]lag ,,von ,,konrad ,,wittw]4 #ahhh4 ,alle ,re*te vorbehalt54 ,druck von ,c>l ,hamm] 9 ,/uttg>t4 ,vorwort4 ,w] das ,s*aff5 uns]] ,kn/l] k5nt1 d] weiss1 dass au* d] ,tal5tvoll/e ni*t ohne gewiss5haftes und grndli*es ,/udium zum ,ziele gelangt1 und dass sie ,mhe und ,arbeit ni*t zu s*eu5 pfleg54 ,woh] kommt es nun1 dass die ,mehrzahl d] ,mal] s w5ig von d] ,p]spective v]/eht1 wel*e do* zweifellos e9e s wi*tige ,grundlage ihr] ,/udi5 bildet8 ,die ,mei/5 unt]s*z5 d5 ,w]t d]selb5 ni*t1 nehm5 au* wohl dieses od] j5es ,lehrbu* zur ,h&1 ab] gewhnli* nur1 um es bald wi$] zur ,seite zu leg51 ohne ihr5 ,zweck errei*t zu hab51 und w5n man na* dem ,grunde fragt1 s heis/ es1 das mge alles ganz gut fr ,ar*itekt5 se91 eigne si* ab] ni*t fr ,mal]4 ,all]d+s i/ die ,art und ,weise1 9 wel*] d] ,ar*itekt die p]spectivis*5 ,geseze anw5det1 wes5tli* v]s*i$5 von d] des ,mal]s und es mag wohl se91 dass die mei/5 p]spectivis*5 ,lehrb*] dem ,/&punkt des ,lezt]5 w5ig] als dem des ,er/]5 ,re*nung trag54 ,d] ,ar*itekt /ellt si* die ,aufgabe1 das p]spectivis*e ,bild e9es ,geg5/&s ma!matis* g5au zu b]e*n5 auf ,grund be/immt] ,angab5 b] die wirkli*e 7geometris*e7 ,ri*tung1 ,grsse und ,w9kel/ellung smtli*] ,l9i51 wie sie ihm 9 se9em ,grundriss und ,aufriss vorlieg54 ,fr d5 ,mal] dageg5 i/ das p]spectivis*e ,bild1 wel*es 9 d] ,natur od] 9 se9] ,fantasie vor ihm /eht1 das zu]/ ,gegeb5e4 ,9 d5 mei/5 ,fll5 i/ er d>auf angewies51 zun*/ die p]spectivis*e ,ri*tung und ,grsse e9zeln] fr die beabsi*tigte ,wirkung se9es ,bildes wes5tli*] ,l9i51 s gut die bung se9es ,auges ge/attet1 fe/zu/ell5 und dann er/ die p]spectivis*e ,b]e*nung anzuw5d51 um das brige mit j55 9 ri*tige b]e9/immung zu br+54 ,fr diese ,b]e*nung fehl5 ihm ab]1 da er selt5 9 d] ,lage i/1 ,messung5 an se9em ,geg5/& vorzunehm51 die g5au5 und be/immt5 ,angab51 wel*e dem ,ar*itekt5 zu ,gebote /eh51 und wel*e die ,auffassung au* e9es gebt5 ,auges ni*t voll/ndig ersez5 kann4 ,er muss dah] 9 d] ,regel auf e9e voll/ndige p]spectivis*e ,g5auigkeit all] ,teile se9es ,bildes v]zi*t5 und er bezweckt e9e sol*e au* ni*t4 ,man kann sag51 dass er 9 dies] ,beziehung se9] ,aufgabe g5gt1 w5n er p]spectivis*e ,fehl] v]meidet1 wel*e fr das ,auge e9es kundig5 ,bes*au]s ohne ,anw5dung e9] ,b]e*nung wahrnehmb> und de%alb fr die ,wirkung des ,ganz5 /r5d wr54 ,hi]aus ergeb5 si* e9]seits gewisse ,s*wi]igkeit51 wel*e e9 fr die ,zwecke des ,mal]s geeignetes ,lehrbu* d] ,p]spective zu b]cksi*tig5 hat1 &]seits bietet si* die ,mgli*keit1 9 man*] ,beziehung d5 ,/(f zu v]e9fa*5 und lei*t] v]/ndli* zu ma*54 ,d] ,umgang mit ,kun/g5oss51 s[ie e9e langjhrige ,lehr?tigkeit hab5 dem ,v]fass] das ,b$rfnis e9es 9 dem erwhnt5 ,s9ne ges*rieb55 ,lehrbu*s s (t nahe gelegt und ihm zuglei* s vielfa*e ,geleg5heit gegeb51 die ,mittel und ,wege1 wel*e si* hiebei d>biet51 zu erprob51 dass er viellei*t h(f5 d>f1 mit dies] ,s*rift ,viel5 e95 ,di5/ zu erweis54 ,neb5 d5 ,b$rfniss5 des ,mal]s s9d zuglei* diej5ig5 des ,s*ulunt]ri*ts ins ,auge gefas/4 ,mit ,rcksi*t auf dies5 s9d au* die e9fa*5 geometris*5 ,begriffe1 wel*e 9 ,betra*t komm51 bespro*5 und i/ die ,anordnung des ,/(fes e9e sol*e1 dass die fr das ,freih&zei*n5 wi*tig/5 und un5tbehrli*/5 ,lehrsze1 wel*e zuglei* die v]/ndli*/5 s9d1 lei*t von d5 s*wi]ig]5 ,teil5 getr5nt vorg5omm5 w]d5 knn54#a #a3 ,anm4 ,das ,notw5dig/e und zuglei* ,e9fa*/e s9d auss] e9ig5 ,grundbegriff5 7 #a--ae7 die allgeme95 ,regeln b] die ,ri*tung d] v]krzt5 p>allel5 und wagre*t5 ,l9i5 7 #bj--bi1 #cg72 n*/ dies5 die #cj--cf1 #da--fd1 #ga--gc1 #hf--ib1 #ii--aja1 #aje4 ,d] ,grad von p]spectivis*] ,g5auigkeit1 wel*] mit ,hilfe dies] ,abs*nitte zu erziel5 i/1 mag 9 viel5 ,fll5 g5g54 ,au* fr d5 ,kn/l] hab5 ohne ,zweifel die w5ig] s*wi]ig5 ,b]e*nung51 wel*e si* im ,notfall mittels e9ig] aus frei] ,h& gezei*net] ,hilfsl9i5 ausfhr5 lass51 d5 mei/5 ,w]t und ,man*5 wre viellei*t e9e no* krz]e und e9fa*]e ,fassung des ,ganz5 erwns*t und g5g5d gewes54 ,ab] abgeseh5 davon1 dass e9 grss]] ,mass/ab des ,bildes zuweil5 g5au]e und ausfhrli*]e ,con/ruction5 er=d]t1 hab5 dieselb5 au* d5 ,w]t1 das ,v]/ndnis zu b5 und zu s*rf51 wie b]haupt d] wi*tig/e ,nuz5 sol*] ,/udi5 d>9 be/eht1 dass das ,auge ri*tig] seh5 und au* ohne ,anw5dung e9] ,b]e*nung die ,=m5 d] ,natur ras*] und si*]] auffass5 l]nt4 ,/uttg>t1 im ,mrz #ahhh4 ,d] ,v]fass]4 ,inhalt4 ,seite ,vorwort ,,iii--,,vi ,i4 ,geometris*e ,begriffe4 #a4 ,s5kre*te1 wagre*te1 s*rge und p>allele ,l9i5 #a #b4 ,w9kel2 re*te1 /umpfe und spize #a--c #c4 ,dreiecke2 glei*seitige1 glei*s*5klige1 re*tw9klige #c--d #d4 ,vi]ecke2 ,quadrat1 ,re*teck1 ,raute1 ,trapez #d--e #e4 ,d] ,kreis4 ,hilfsmittel zum p]spectivis*5 ,zei*n5 #e--f ,,ii4 ,grundbegriffe d] ,p]spective4 #f--aa4 ,unt]s*i$ d] geometris*5 und p]spectivis*5 ,=m #g--ad #ab--ac4 ,d] ,/&punkt2 ,sehkreis1 ,augpunkt1 ,horizont #ae--ai #ad--bj4 ,die ,di/anz #ai--bc #ba--bd4 ,das ,grundgesez d] p]spectivis*5 ,=m]s*e9ung4 ,v]krzte und unv]krzte ,/ellung d] ,fl*5 und ,l9i5 #bd--bg ,,iii4 ,p]spectivis*e ,ri*tung v]krzt] ,l9i54 #be--bg4 ,v]krzte ,p>allell9i5 #bh--ca #bh--ca4 ,v]krzte wagre*te ,l9i5 #ca--cg #cb--cf4 ,re*tw9klige wagre*te ,l9i5 #cg--de #cg4 ,v]krzte wagre*te ,l9i51 d]5 ,ri*tung ni*t g5au zu b]e*n5 i/ #de #ch--dj4 ,wagre*te ,p>allell9i51 d]5 ,flu*tpunkt unzugngli* i/ #df--ea #da--dd4 ,v]krzte s*rge ,l9i5 #ea--eg #de--dh4 ,b]e*nung d] ,ri*tung s*rg] ,l9i5 ohne ,hilfe ihr] ,flu*tpunkte #eg--fb #di--fa4 ,v]s*i$5e ,beispiele3 ,trepp51 ,d*]1 ,da*f5/]1 ,turmhelme #fb--hj ,,iv4 ,die p]spectivis*5 ,grss5v]hltnisse4 #fb4 ,unt]s*eidung d] v]s*i$55 ,aufgab5 #ha #fc--gj4 ,p>allell9i5 von glei*] ,lnge 9 v]s*i$5] ,tiefe #hb--ij #ga--gc4 ,teilung e9] v]krzt5 ,l9ie na* be/immt5 ,v]hltniss5 #ij--id #gd--gi4 ,p]spectivis*es ,grss5v]hltnis ni*t p>allel] ,l9i5 #ie--aje #hj4 ,das ,quadrat 9 g]ad] ,/ellung #aje--ajf #ha--he4 ,das ,quadrat 9 s*rg] ,/ellung #ajf--aaa #hf--hg4 ,v]grss]ung od] ,v]kle9]ung e9es ,quadrats od] ,re*tecks #aaa--aae ,v4 ,v]krzte ,kreise1 ,a*tecke und ,se*secke2 ,gewlbe=m54 #hh--ij4 ,d] ,kreis 9 v]krzt] ,/ellung #aaf--aai #ia4 ,p>allele und conc5tris*e ,kreise #aai--abj #ib4 ,teilung e9es v]krzt5 ,kreises #abj--aba #ic--ie4 ,v]krzte ,a*tecke #abb--abg #if--ih4 ,v]krzte ,se*secke #abg--acj #ii--ajj4 ,weit]e ,beispiele3 ,rad1 ,wass]rad1 ,walze1 ,cyl9d] #acj--acc #aja--ajh4 ,tonn5gewlbe1 ,kreuzgewlbe1 ,spizbog51 ,kuppel #acc--add ,druckfehl]4 ,s4 #ag ,zeile #ac und #ad von ob5 i/ zu les53 je tief] wir /eh51 de/o s*mal]1 je hh] wir /eh51 de/o breit] ers*e9t uns dieselbe4 ,s4 #bf ,z4 #ad v4 o i/ zu les53 b c f]n] als a d4 ,s4 #ej #af ,b /att g4 ,s4 #eg #a v4 u4 ,f /att ,e4 ,s4 #fb #c v4 o4 n a /att m d4 ,i4 ,geometris*e ,begriffe4 ,g]ade ,l9i54 #a4 ,e9e g]ade ,l9ie i/ s5kre*t1 w5n sie die dur* das ,lot od] ,s5kblei angegeb5e ,ri*tung hat1 wagre*t1 w5n ihre beid5 ,endpunkte 7und somit alle ,punkte d]selb57 9 glei*] ,hhe lieg51 s*rg1 w5n sie na* irg5d e9] ,ri*tung h9 /eigt od] fllt4 ,dies gilt s[ohl von d5 wirkli*5 ,l9i5 im ,raume1 als von d5 ,l9i5 e9] ,zei*nung1 w5n wir uns lezt]e s5kre*t /eh5d d5k54 ,l9i51 wel*e dieselbe ,ri*tung hab51 s dass d] ,ab/& zwis*5 ihn51 s[eit man sie v]lng]n mag1 b]all glei* gross i/1 heiss5 ,p>allell9i51 vgl4 ,a ,b und ,c ,d1 ,e ,f und ,g ,h ,fig4 #a4 ,zieht man zwis*5 #b p>allel5 ,l9i5 ,v]b9dungsl9i51 wel*e unt] si* glei*falls p>allel s9d1 s s9d lezt]e glei* lang1 vgl4 die ,l9i5 a1 b1 c1 d1 e1 f ,fig4 #a4 ,illu/ration3 ,fig4 #a4 ,w9kel4 #b4 ,l9i51 wel*e ni*t p>allel s9d1 /eh5 9 e9em ,w9kel zu e9&]4 ,treff5 sie 9 e9em ,punkte zusamm51 wie 9 ,fig4 #b b c und c d 9 c od] a b und b c 9 b1 s heis/ dies] ,punkt die ,spize des ,w9kels2 die beid5 d5 ,w9kel bild5d5 ,l9i5 heiss5 se9e ,s*5kel4 ,w5n man von d] ,grsse e9es ,w9kels spri*t1 s i/ damit d] ,grad geme9t1 9 wel*em beide ,s*5kel desselb5 geg5 e9&] g5eigt s9d2 d] ,w9kel bei c i/ z4 ,b4 kle9]1 als d] ,w9kel bei b2 die ,lnge d] ,s*5kel kommt hiebei ni*t 9 ,betra*t4 ,illu/ration3 ,fig4 #b4 ,e9e s5kre*te und e9e wagre*te ,l9ie1 od] #b s*rge ,l9i51 wel*e 9 demselb5 ,grade geg5 e9&] g5eigt s9d1 wie e9e s5kre*te und e9e wagre*te1 bild5 e95 re*t5 ,w9kel1 vgl4 ,fig4 #b ,a ,b und ,a ,c1 e f und c d4 ,w]d5 die ,s*5kel e9es re*t5 ,w9kels b] die ,spize h9aus v]lng]t1 s ent/eh5 #d re*te ,w9kel 7z4 ,b4 bei ,a74 ,zwei ,l9i51 wel*e w5ig] geg5 e9&] g5eigt s9d1 als die ,s*5kel e9es re*t5 ,w9kels1 bild5 e95 /umpf5 sol*e1 die /rk] geg5 e9&] g5eigt s9d1 e95 spiz5 ,w9kel4 ,e9 /umpf] ,w9kel 7a b und c b1 ,fig4 #b7 i/ also grss]1 e9 spiz] ,w9kel 7b c und c d7 i/ kle9]1 als e9 re*t]4 ,dreiecke4 ,illu/ration3 ,fig4 #c4 #c4 ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e ,fig4 #c s9d v]s*i$5e ,art5 von ,dreieck53 ,a1 e9 glei*seitiges ,dreieck1 hat #c glei* lange ,seit51 wel*e 9 d5 ,eck5 #c glei* grosse spize ,w9kel bild52 ,b1 ,c und ,e s9d glei*s*5klige ,dreiecke1 9 wel*5 #b ,seit5 glei* lang s9d1 whr5d die dritte entw$] lng] od] krz] i/1 als j5e beid52 lezt]e heis/ die ,grundl9ie4 ,d und ,e s9d re*tw9klige ,dreiecke1 d4 h4 e9] d] #c ,w9kel i/ e9 re*t]2 ,e i/ also e9 glei*s*5kliges re*tw9kliges ,dreieck3 d] ,w9kel bei a i/ e9 re*t]1 a b und a c s9d glei* lang2 die ,w9kel bei b und c s9d halbe re*te ,w9kel2 dur* e9e ,l9ie von a na* d1 d] ,mitte von b c1 ent/eh5 #b re*tw9klige glei*s*5klige ,dreiecke3 a d c und a d b4 ,vi]ecke4 #d4 ,fig4 #d i/ e9 ,quadrat1 d4 h4 e9 ,vi]eck mit #d glei* lang5 ,seit51 wel*e 9 d5 ,eck5 #d re*te ,w9kel bild52 9 e9em ,re*teck od] ,oblongum 7,fig4 #e7 /oss5 die ,seit5 glei*falls 9 re*t5 ,w9keln zusamm51 ab] das e9e ,seit5pa> i/ lng]1 als das &]e4 ,fig4 #f i/ e9e ,raute od] e9 ,rhombus3 die #d ,seit5 s9d glei* lang und die geg5b]lieg5d5 s9d p>allel1 wie im ,quadrat1 ab] sie bild5 9 d5 ,eck5 ni*t re*te1 sond]n #b spize und #b /umpfe ,w9kel4 ,illu/ration3 ,fig4 #d4 ,illu/ration3 ,fig4 #e4 ,illu/ration3 ,fig4 #f4 ,vi]ecke1 9 wel*5 die geg5b]lieg5d5 ,seit5 p>allel s9d1 also ,quadrat1 ,re*teck und ,raute1 heiss5 ,p>allelogramme4 ,die ,l9i5 a c und b d 9 ,fig4 #d1 #e und #f1 wel*e die geg5b]lieg5d5 ,eck5 e9es ,p>allelogrammes v]b9d51 heiss5 ,diagonal54 ,die beid5 ,diagonal5 e9es ,p>allelogramms s9d glei* lang1 und s*neid5 si* im ,mittelpunkt desselb54 ,zieht man dur* d5 ,punkt e1 9 wel*em sie si* s*neid51 ,l9i51 wel*e mit d5 ,seit5 p>allel s9d1 s w]d5 lezt]e halbi]t4 ,im ,quadrat w]d5 die re*t5 ,w9kel d] ,eck5 dur* die ,diagonal5 halbi]t4 ,diese /eh5 zu e9&] 9 e9em re*t51 zu d5 ,seit5 des ,quadrats 9 e9em halb5 re*t5 ,w9kel4 e a b1 e b c1 e c d und e d a ,fig4 #d s9d #d re*tw9klige1 glei*s*5klige ,dreiecke1 wel*e dur* die ,l9i5 e f1 e g1 e h und e i wi$] 9 je #b sol*e ,dreiecke geteilt w]d54 ,illu/ration3 ,fig4 #g4 ,e9 ,vi]eck1 9 wel*em #b ,seit5 p>allel1 die beid5 &]n ni*t p>allel s9d1 heis/ ,trapez 7,fig4 #g47 ,d] ,kreis2 ,hilfsmittel zum p]spectivis*5 ,zei*n54 #e4 ,d] ,kreis 7,fig4 #h7 i/ e9e gebog5e ,l9ie1 wel*e b]all glei* weit von e9em ,punkte1 ihrem ,mittelpunkt1 entf]nt i/4 ,dur*mess] des ,kreises heis/ e9e g]ade ,l9ie1 wel*e von e9em beliebig5 ,punkte d] ,kreisl9ie dur* d5 ,mittelpunkt h9dur* na* dem entgeg5gesezt5 ,punkt d]selb5 gezog5 wird1 wie a b2 e9e g]ade ,l9ie vom ,mittelpunkt na* e9em beliebig5 ,punkt d] ,kreisl9ie1 z4 ,b4 c a1 c b1 c d1 c e1 wel*e somit die ,hlfte e9es ,dur*mess]s bildet1 heis/ ,halbmess] od] ,radius4 ,alle ,radi5 e9es ,kreises s9d glei* lang4 ,conc5tris*e ,kreise s9d ,kreise1 wel*e d5selb5 ,mittelpunkt hab54 ,illu/ration3 ,fig4 #h4 ,illu/ration3 ,fig4 #i4 ,illu/ration3 ,fig4 #aj4 ,als ,hilfsmittel s9d zum p]spectivis*5 ,zei*n5 er=d]li*3 e9 grss]es ,reissbrett1 e9 ,zirkel1 e9 re*t] ,w9kel 7,fig4 #i7 und e9e ,reisss*i5e 7,fig4 #aj72 dur* lezt]e erhlt man1 indem d] kurze ,teil an d5 ,r& des ,reissbretts angelegt wird1 auf bequeme ,weise die s5kre*t5 und wagre*t5 ,l9i54 ,,ii4 ,grundbegriffe d] ,p]spective4 ,unt]s*i$ d] geometris*5 und p]spectivis*5 ,=m4 #f4 ,e95 ,geg5/& p]spectivis* zei*n5 heis/ ihn s zei*n51 wie er dem ,auge ers*e9t1 w5n wir ihn von e9em be/immt5 ,/&punkte aus betra*t54 ,dieses s*e9b>e od] p]spectivis*e ,bild d] ,d+e i/ vielfa* v]s*i$5 von d] ,=m1 wel*e sie 9 ,wirkli*keit hab51 d4 h4 ihr] geometris*5 ,=m2 whr5d lezt]e unv]nd]t bleibt1 nd]t si* die p]spectivis*e ,=m e9es ,geg5/&s mit j$] ,v]nd]ung uns]es ,/&punkts od] mit j$] ,v]nd]ung 9 d] ,/ellung des betreff5d5 ,geg5/&es4 ,die geometris*e ,=m e9es ,wrfels 7cubus7 i/ z4 ,b4 die e9es ,krp]s1 wel*] von #f glei* gross5 quadratis*51 re*tw9klig ane9&]/oss5d5 ,fl*5 begr5zt wird4 ,die ,umrissl9i5 dies] ,fl*5 s9d geometris* glei* lang1 ihre geometris*e ,ri*tung i/1 w5n wir d5 ,wrfel auf e9e wagre*te ,fl*e /ell51 teils s5kre*t1 teils wagre*t1 sie /eh5 geometris* teils p>allel1 teils re*tw9klig zu e9&]4 ,/ell5 wir ab] mehr]e 9 ,wirkli*keit glei* grosse ,wrfel 9 v]s*i$5] ,/ellung und ,entf]nung vor uns1 od] betra*t5 wir d5selb5 ,wrfel von v]s*i$55 ,/&punkt5 aus1 s erhalt5 wir sehr v]s*i$5e ,bild]1 wie ,fig4 #aa zeigt3 whr5d e9ige ,l9i51 wie a b1 b c1 c d 9 ,a1 ihre geometris*e ,ri*tung und ,lnge behalt51 ers*e9t e9 ,teil d] geometris* wagre*t5 ,l9i5 s*rg1 wie c e 9 ,a1 a b1 a g1 c d1 c e1 d f und e f 9 ,b1 zuweil5 au* s5kre*t1 wie d f 9 ,a2 geometris* p>allele ,l9i5 ers*e95 ni*t mehr p>allel1 wie c e und d f 9 ,a1 von d5 geometris* glei* gross5 ,l9i5 und ,fl*5 ers*e9t bald die e9e1 bald die &]e grss] od] kle9] u4 s4 w4 ,und whr5d 9 ,wirkli*keit die ,geg5/nde und ihre e9zeln5 ,teile und ,l9i5 ni*t nur neb5 und b] e9&]1 sond]n au* 9 d5 v]s*i$5/5 ,entf]nung5 vor und h9t] e9&] lieg51 seh5 wir sie p]spectivis* s1 als ob sie 9 e9] s5kre*t5 ,fl*e smtli* neb5 und b] e9&] lg51 we%alb wir d5n au* auf d] ,fl*e des ,papi]s1 d] ,le9w& u4 s4 w4 das naturgetreue ,bild e9es ,geg5/&es wi$]geb5 knn54 ,die deutli*/e ,ans*auung hievon gibt das fotografis*e ,abbild od] das ,spiegelbild4 ,w5n wir e95 ,geg5/&1 ohne uns] ,auge von d] ,/elle zu beweg51 s wie wir ihn 9 e9em ,spiegel od] dur* e9e ,f5/]s*eibe seh51 auf d] ,fl*e des ,glases na*zei*n51 s erhalt5 wir se9 g5aues p]spectivis*es ,bild4 ,illu/ration3 ,fig4 #aa4 #g4 ,es i/ die ,erfahrung und bung des ,auges1 wel*e bewirkt1 dass wir die p]spectivis*e ,=m1 9 d] wir die ,d+e seh51 ni*t mit ihr] wirkli*5 od] geometris*5 ,=m v]we*seln1 sond]n uns au* da1 wo die er/]e von d] lezt]5 abwei*t1 e9e all]d+s ni*t imm] g5aue ,vor/ellung von d] wirkli*5 ,=m des betreff5d5 ,geg5/&s ma*5 knn52 dass wir z4 ,b4 bei ,betra*tung von mehr]51 wie ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e1 ,f1 ,g ,fig4 #aa si* d>/ell5d5 ,wrfeln uns ihr] v]s*i$55 ,entf]nung von uns]em ,/&punkt1 d] geometris* wagre*t5 und p>allel5 ,ri*tung d] ,l9i5 c e1 d f u4 s4 w4 9 ,a1 d] geometris* glei*5 ,lnge smtli*] ,umrissl9i5 d] ,wrfel bewus/ s9d4 ,ja1 diese auf d] ,erfahrung uns]es ,auges b]uh5de ,k5ntnis d] geometris*5 ,=m bildet e9 ni*t unwes5tli*es ,h9d]nis fr die ri*tige ,auffassung des p]spectivis*5 ,bildes4#b ,unbewus/ halt5 wir 9 dem hufig5 und mannigfa*5 ,we*sel d] p]spectivis*5 ,ers*e9ung die ,vor/ellung d] geometris*5 ,=m fe/ und d] ungebte ,zei*n] i/ de%alb /ets g5eigt1 au* wo das se9em ,auge si* d>biet5de ,bild e9es ,geg5/&s von dess5 wirkli*] ,=m erhebli* abwei*t1 die lezt]e an ,/elle des er/]5 zu sez51 od] w5ig/5s mehr als ri*tig i/1 d] geometris*5 ,=m nahe zu bleib54 ,er wird z4 ,b4 ,fl*5 od] ,l9i51 wel*e von dem ang5omm55 ,/&punkt aus im ,v]hltnis zu &]n kle9] ers*e951 als sie 9 ,wirkli*keit s9d1 fa/ imm] zu gross1 9 ,fig4 #ab z4 ,b4 a b /att i g 7das l9ke ,bild als das ri*tige ang5omm571 geometris* re*tw9klige ,l9i51 wel*e p]spectivis* e95 /umpf5 od] spiz5 ,w9kel bild51 mei/ s zei*n51 dass sie w5ig/5s annh]nd re*tw9klig zu e9&] /eh51 vgl4 c1 d1 e1 f /att m1 n1 o1 p2 ers*e9t e9e geometris* wagre*te ,l9ie p]spectivis* s*rg1 s wird er sie zu w5ig von d] wagre*t5 ,ri*tung abwei*5 lass51 vgl4 a b u4 s4 w4 #b3 ,mit dem ,ausdruck ,bild wird s[ohl d] p]spectivis* geseh5e ,geg5/& selb/1 als die p]spectivis*e ,d>/ellung desselb5 bezei*net4 ,illu/ration3 ,fig4 #ab4 #h4 ,j$e ,b]e*nung e9] p]spectivis*5 ,=m muss zun*/ ausgeh5 von d] geometris*5 ,=m des betreff5d5 ,geg5/&s3 um zu b]e*n51 wel*e ,ri*tung und wel*e ,lnge e9e be/immte ,l9ie uns]es ,bildes hab5 soll1 mss5 wir die wirkli*e ,ri*tung und ,lnge d] betreff5d5 ,l9ie k5n5 und nur s[eit1 als wir diese g5au anzugeb5 v]mg51 i/ e9 g5aues ,resultat uns]] ,b]e*nung mgli*4 ,ab]1 wie b]eits ang$eutet1 i/ uns]e ,beurteilung d] geometris*5 ,=m ni*t e9e unb$+t si*]e und g5aue1 w5n wir 7siehe ,vorwort7 voraussez51 dass wir ohne ,hilfe von ,messung5 am ,geg5/& die wirkli*e ,=m desselb5 nur auf ,grund uns]] ,ans*auung und ,erfahrung uns kl> zu ma*5 hab54 ,au* e9 gebtes ,auge v]mag die geometris*e ,=m d] ,d+e nur dann mit vollkomm5] ,be/imm!it und ,g5auigkeit zu erk5n51 w5n dieselbe e9e regelmssige1 dur* die ,natur des ,geg5/&s notw5dig b$+te und dem ,auge aus ,erfahrung bekannte1 ni*t ab]1 w5n sie unregelmssig1 zufllig und willkrli* i/4 ,uns]e ,b]e*nung wird si* dah] nur auf ,=m5 d] er/]5 ,art er/reck54 ,teils aus diesem ,grunde1 teils weil wir bei ,ausfhrung e9] p]spectivis*5 ,b]e*nung auf das ,l9eal angewies5 s9d1 hab5 wir es zun*/ nur mit g]ad5 ,l9i5 zu ?un4 ,do* i/ damit die ,anw5dung d] p]spectivis*5 ,regeln auf ,=m51 wel*e ni*t g]adl9ige ,umrisse hab51 ni*t ausges*loss51 indem wir mittels g]ad] ,l9i5 die ,lage e9zeln] wi*tig] ,punkte ihres p]spectivis*5 ,bildes b]e*n5 knn51 von wel*5 aus das brige si* lei*t aus frei] ,h& ergnz5 ls/1 wie dies z4 ,b4 bei d] ,d>/ellung e9es von d] ,seite geseh55 ,kreises ges*ieht1 vgl4 ,fig4 #ic und #id4 #i4 ,wel*e ,l9i5ri*tung5 und ,grss5v]hltnisse s9d nun als regelmssig und notw5dig1 wel*e als willkrli* anzuseh58 ,bei aufm]ksam] ,betra*tung von ,geg5/nd5 d] v]s*i$5/5 ,art w]d5 wir f9d51 dass es mei/ dur* die ,natur des betreff5d5 ,geg5/&es b$+t und1 au* w5n das p]spectivis*e ,bild von d] geometris*5 ,=m abwei*t1 deutli* wahrnehmb> i/1 ob e9e ,l9ie geometris* s5kre*t1 wagre*t1 od] s*rg i/1 wel*e ,l9i5 geometris* p>allel1 wel*e re*tw9klig zu e9&] /eh54 ,dasselbe gilt von d5 symmetris*5 ,grss5v]hltniss54 7,da die ,entf]nung zwei] ,punkte von e9&] na* d] ,lnge e9] zwis*5 ihn5 gezog55 g]ad5 ,l9ie bemess5 wird1 s bezieht si* das ,gesagte au* auf die p]spectivis*5 ,entf]nung574 ,wo dageg5 ,l9i5 9 e9em spiz5 od] /umpf5 ,w9kel zu e9&] /eh51 i/ die geometris*e ,gre dieses ,w9kels mei/ zufllig und willkrli*4 7,e9e ,ausnahme bild5 die ,w9kel1 9 wel*5 die ,l9i5 man*] geometris*5 ,figur5 zu e9&] /eh51 z4 ,b4 die ,diagonal5 e9es ,quadrats zu dess5 ,seit51 die ,seit5 e9es glei*seitig5 ,dreiecks1 e9es ,se*secks1 ,a*tecks u4 s4 w4 zu e9&]74 ,alle ,grss5v]hltnisse1 mit ,ausnahme d] symmetris*51 s9d mehr od] w5ig] willkrli*4 #aj4 ,nehm5 wir z4 ,b4 an1 dass das ,haus ,fig4 #ac und das ,zimm] ,fig4 #ad s1 wie sie hi] gezei*net s9d1 9 ,wirkli*keit vor uns /eh5 und dass die geometris*e ,ri*tung und ,lnge d] v]s*i$55 ,l9i5 angegeb5 w]d5 soll4 ,illu/ration3 ,fig4 #ac4 ,lei*t erk5nb> s9d b]all die s5kre*t5 ,l9i51 da ihre ,ri*tung /ets unv]nd]t dieselbe i/4 ,beispiele geometris* wagre*t] ,l9i5 s9d 9 beid5 ,figur5 die mit a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1 h bezei*net5 ,l9i51 geometris* s*rg s9d 9 ,fig4 #ac i1 h1 k1 m1 n1 o4 ,geometris* p>allel s9d 9 ,fig4 #ac die ,wagre*t5 a a und b1 sodann die mit c und die mit e1 f]n] die mit f bezei*net5 ,l9i5 und die s*rg5 ,l9i5 i i1 s[ie o o4 ,9 ,fig4 #ad s9d geometris* p>allel die mit e1 sodann die mit f bezei*net5 ,l9i52 eb5so a und b1 c und d1 g und h4 ,geometris* re*tw9klig /eh5 zu e9&] 9 beid5 ,figur5 die ,l9i5 a und b zu c und d1 f]n] die ,l9i5 e zu f4 ,illu/ration3 ,fig4 #ad4 ,9 ,fig4 #ac hab5 die #e ,f5/] des er/5 ,/ockw]ks 9 ,wirkli*keit glei*e ,hhe1 und ,breite1 die ,entf]nung5 d] ,f5/] von e9&] und von d5 ,eck5 s9d je auf e9] ,seite geometris* glei* gross1 die ,giebell9i5 i und k s9d geometris* glei* lang1 eb5so 9 ,fig4 #ad die #d ,tis*be9e1 die #b s5kre*t5 ,l9i5 d] ,?re 7zwis*5 g und h7 u4 s4 w4 ,die ras*e und si*]e ,auffassung sol*] geometris*5 ,l9i5ri*tung5 und ,grss5v]hltnisse er=d]t imm]h9 e9ige bung4 ,dass die geometris* s*rge ,l9ie m ,fig4 #ac 7od] die geometris* wagre*te a b ,fig4 #bi7 mit e9] ,s5kre*t5 v]we*selt w]de1 i/ kaum zu befr*t52 lei*t] ges*ieht es1 dass d] ,anfng] die geometris* p>allele od] re*tw9klige ,/ellung von ,l9i5 b]sieht1 wel*e ni*t 9 ,e9] ,fl*e lieg5 od] weg5 ihr] g]+5 ,lnge w5ig 9's ,auge fall5 7z4 ,b4 dass die ,l9ie b1 ,fig4 #ac geometris* p>allel i/ mit a a74 ,bei e9ig] ,aufm]ksamkeit gewhnt si* j$o* das ,auge bald an e9e ri*tige ,unt]s*eidung d] angefhrt5 ,l9i5ri*tung5 und ,grss5v]hltnisse4 ,ab] w$] uns] ,auge no* uns]e ,erfahrung sag5 uns g5au1 wie gross 9 ,wirkli*keit d] ,w9kel i/1 9 wel*em die ,l9i5 i und k ,fig4 #ac zu d] d>unt] lieg5d5 ,wagre*t5 c1 od] 9 ,fig4 #ad die ,l9i5 a und b1 c und d od] g und h zu e e /eh51 wie breit 9 ,wirkli*keit die l9ke ,seite des ,hauses ,fig4 #ac im ,v]hltnis zur re*t51 das ,f5/] ,fig4 #ad im ,v]hltnis zur vord]51 dies] zum an/oss5d5 ,tis*r& i/2 d5n alle diese ,w9kel/ellung5 und ,grss5v]hltnisse ergeb5 si* ni*t aus d] ,natur des ,geg5/&es2 sie s9d zufllig] ,art4 #aa4 ,da die zufllig5 und willkrli*5 ,l9i5ri*tung51 ,w9kel/ellung5 und ,grss5v]hltnisse1 d]5 ,d>/ellung wir dem ,auge und d] bung des ,zei*n]s b]lass51 b]all hufig vorkomm51 9 d] l&s*aftli*5 ,natur sog> weit vorh]rs*5 b] das ,regelmssige und ,notw5dige d] ,=m1 s knnte es s*e951 als ob die ,anw5dung und d] ,nuz5 p]spectivis*] ,geseze und ,/udi5 sehr bes*rnkt sei4 ,ab] es i/ kl>1 dass die ,g5auigkeit d] ,zei*nung e9e um s grss]e se9 muss1 die ,k5ntnis und ,anw5dung be/immt] ,regeln dah] um s notw5dig] i/1 je bekannt] und regelmssig] die d>zu/ell5d5 ,=m5 s9d1 whr5d unregelmssige und willkrli*e ,=m5 d] ,d>/ellung e9e grss]e ,freiheit ge/att54 ,hievon abgeseh5 b]uht d] ,w]t p]spectivis*] ,/udi5 ni*t alle9 d>91 dass sie uns 9 ,/& sez51 das p]spectivis*e ,bild e9es ,geg5/&s ma!matis* zu b]e*n51 sond]n wir l]n5 dur* dieselb5 b]haupt die ,e9drcke des ,auges mit ri*tig]em und kl>]em ,v]/ndnis aufzufass5 und infolge dess5 au* da1 wo ke9e g5au]e ,b]e*nung /attf9det1 ri*tig] wi$]zugeb54 ,d] ,/&punkt2 ,sehkreis1 ,augpunkt1 ,horizont4 #ab4 ,n*/ d] geometris*5 ,ri*tung und ,lnge d] ,l9i5 i/ es ihre ,/ellung zu uns]em ,auge1 od]1 0 dasselbe i/1 uns]es ,auges zu ihn51 d4 h4 uns] ,/&punkt1 wovon das p]spectivis*e ,bild abhngt4 ,gewhnli* v]/eht man unt] ,/&punkt die ,/elle1 auf wel*] wir /eh5 od] siz52 im ,s9ne d] g5au5 p]spectivis*5 ,b]e*nung j$o* v]/eh5 wir d>unt] d5 ,punkt1 wo uns] ,auge si* bef9det4 ,d] ,unt]s*i$ zwis*5 re*tem und l9kem ,auge kommt dabei ni*t 9 ,betra*t weg5 d] als notw5dig vorausgesetzt5 ,entf]nung uns]es ,/&punkts von dem zu zei*n5d5 ,geg5/&4 ,illu/ration3 ,fig4 #ae4 ,da wir na* all5 ,ri*tung5 glei* viel b]seh51 s bildet d] ,umfang dess51 0 wir mit ,e9em ,blick erfass5 knn51 e95 -- selb/v]/ndli* ni*t be/immt abgegr5zt5 -- ,kreis1 uns]n ,sehkreis1 vgl4 ,fig4 #ae4 ,d] ,mittelpunkt desselb51 ,p1 i/ d] ,punkt1 wel*] dem ,auge g]ade geg5b] liegt und heis/ d] ,augpunkt4 ,dur* d5 ,augpunkt d5ke man si* e9e wagre*te d5 ,sehkreis 9 d] ,mitte dur*s*neid5de und na* beid5 ,seit5 b] d5selb5 h9aus beliebig si* =tsez5de ,l9ie 7,h ,h7 gezog52 dies i/ d] p]spectivis*e ,horizont4 ,die p]spectivis*e ,b]e*nung geht von d] ,voraussezung aus1 dass d] ,blick des ,zei*n]s bei aufre*t] ,haltung des ,kopfes g]adeaus g]i*tet sei1 s dass beide ,aug5 9 e9] wagre*t5 ,l9ie lieg51 wel*e wir uns]e ,aug5l9ie n5n54 ,mit dies] ,l9ie p>allel-lauf5d und 9 glei*] ,hhe mit ihr hab5 wir uns d5 ,horizont zu d5k54 ,e9e von uns]em ,auge na* dem ,augpunkt gezog5e ,l9ie wrde demna* re*tw9klig zu uns]] ,aug5l9ie und zum ,horizont /eh5 wie ,d ,p zu ,h ,h 9 ,fig4 #ae4 ,man d5ke si* die ,zei*nung s5kre*t /eh5d und ,d ,p als wagre*te re*tw9klig zu ,h ,h /eh5de ,l9ie1 vgl4 ,fig4 #af4 ,illu/ration3 ,fig4 #af4 ,im gewhnli*5 ,spra*gebrau* b$eutet ,horizont die ,l9ie1 wel*e die si*tb>5 ,geg5/nde geg5 d5 ,himmel abgr5zt1 es sei dies e9e ,b]gl9ie1 od] d] ob]e ,umriss von ,gebud5 u4 s4 w4 ,dies] sog5annte s*e9b>e ,horizont i/ zuglei* uns] p]spectivis*]1 w5n wir e9e wagre*te1 s[eit das ,auge rei*t vor uns ausg$ehnte ,fl*e b]blick54 ,e9e sol*e ,fl*e ers*e9t geg5 d5 ,himmel begr5zt dur* e9e wagre*te 9 glei*] ,hhe mit uns]em ,auge lieg5de ,l9ie1 wie uns am deutli*/5 die ,me]esfl*e zeigt3 je tief] wir /eh51 de/o s*mal]1 je hh] wir /eh51 de/o breit] ers*e9t uns dieselbe1 mit uns]em ,/&punkt s*e9t au* die ,gr5zl9ie des ,me]es hh] od] tief] zu rck51#c vgl4 ,fig4 #ag und #ah4 #c3 ,man knnte aus d] ,kugelge/alt d] ,erde s*liess51 dass die ,gr5zl9ie d] ,me]esfl*e od] e9] gross5 ,eb5e ni*t e9e g]ade ,l9ie sei und ni*t g5au 9 d] ,hhe des ,auges liege4 ,ab] im ,v]hltnis zur ,grsse des ,erdballs i/ d] ,teil1 wel*5 wir mit ,e9em ,blick b]seh5 knn51 s kle91 dass er wie e9e wagre*te ,fl*e1 se9e ,gr5zl9ie voll/ndig wagre*t ers*e9t und ang5omm5 w]d5 kann1 dass lezt]e 9 glei*] ,hhe mit dem ,auge liege4 ,illu/ration3 ,fig4 #ag und #ah4 #ac4 ,indem wir ,augpunkt und ,horizont auf uns]] ,zei*nung angeb5 70 9 smtli*5 ,figur5 dur* die ,bu*/ab5 ,p und ,h ,h ges*eh5 i/71 bezei*n5 wir damit die ,hhe und die ,ri*tung1 aus wel*] wir d5 betreff5d5 ,geg5/& seh5 und zei*n54 ,9 ,fig4 #ae hab5 wir uns demna* d5 ,zei*n] 9 d] ,=tsezung d] ,l9ie e f /eh5d od] siz5d zu d5k51 s dass se9 ,auge dem ,punkte ,p g]ade geg5b] und 9 glei*] ,hhe mit diesem und mit d] ,l9ie ,h ,h si* befnde1 vgl4 ,fig4 #af4 ,um beim ,zei*n5 na* d] ,natur ,augpunkt und ,horizont an d] ri*tig5 ,/elle anzugeb51 muss man zuvor1 s gut dies ohne ,b]e*nung mgli*1 e9e ,skizze d] ,hauptl9i5 des ,bildes na* ihr5 ungefhr5 ,v]hltniss5 entworf5 hab54 ,hlt man hi]auf e95 ,blei/ift1 d5 ,r& des ,zei*5blattes od] dgl4 wagre*t 9 glei*] ,hhe mit dem ,auge vor si*1 s i/ es ni*t s*w]1 die ,hhe zu erseh51 9 wel*] d] ,geg5/& von d] ,horizontl9ie dur*s*nitt5 wird und auf d]selb5 die dem ,auge g]ade geg5b]lieg5de ,/elle zu be/imm54 ,gewhnli* wird brig5s ni*t d] ganze ,umfang des ,sehkreises als ,bild v]w5det4 ,wir pfleg5 vielmehr d] ,zei*nung die ,=m e9es ,re*tecks zu geb51 wel*es 9 d] ,regel s abgegr5zt wird1 dass ,horizont und ,augpunkt ni*t 9 d] ,mitte1 ab] au* ni*t zu nahe am ,r&e desselb5 lieg51 vgl4 ,fig4 #ag und #ah4 ,die ,di/anz4 #ad4 ,unt] d] ,entf]nung uns]es ,/&punkts od] d] ,di/anz i/ zu v]/eh5 uns]e ,entf]nung von d5 uns zun*/ lieg5d5 ,teil5 des zu zei*n5d5 ,geg5/&s4 ,hufig liegt d] n*/e ,vord]grund 9 d] wagre*t5 ,=tsezung d] ,fl*e1 auf wel*] wir uns]n ,/&punkt g5omm5 hab5 und bildet s d5 unt]n ,r& d] ,zei*nung1 wie 9 ,fig4 #ac--ae4 ,zieh5 wir 9 sol*em ,fall e9e ,l9ie von uns]em ,fuss na* dem g]ade geg5b] lieg5d5 ,punkt d] ,vord]grundl9ie1 dem sog4 ,fusspunkt1 s bezei*net die ,lnge dies] ,l9ie 7,f f ,fig4 #af7 die g5aue ,grsse uns]] ,di/anz4 ,d5k5 wir uns1 dass an/oss5d an d5 ,teil uns]es ,geg5/&s1 wel*] uns]em ,auge am n*/5 liegt1 z4 ,b4 9 ,fig4 #ae und #af auf d] ,l9ie a b1 e9e grosse uns] ganzes ,bild umfass5de ,gla/afel /ehe und dass ,augpunkt1 ,horizont und ,fusspunkt 9 d] s5kre*t5 ,fl*e dies] ,tafel 7d] sog5annt5 ,bildfl*e7 lieg51 s wre e9e ,l9ie vom ,auge na* dem ,augpunkt eb5 s lang1 als e9e ,l9ie von uns]em ,fusse na* dem ,fusspunkt 7vgl4 ,d ,p und ,f f ,fig4 #af7 und knnte eb5so als ,mass d] ,di/anz gebrau*t w]d54 ,9 diesem ,s9ne i/ es zu v]/eh51 w5n gesagt wird1 die ,di/anz b$eute die ,entf]nung uns]es ,auges vom ,augpunkt1 und s (t von dies] die ,r$e i/1 muss man si* das zu zei*n5de ,bild 9 d] angefhrt5 ,weise als e9e s5kre*te ,fl*e vor/ell51 wie wir es im ,spiegelbilde seh54 #ae4 ,die ,entf]nung des ,/&punkts muss w5ig/5s s gross se91 dass d] ,zei*n] g]ade aus 9 d] ,ri*tung des ,augpunkts blick5d und ohne das ,auge na* d] ,seite1 na* ob5 od] unt5 zu w5d51 alles1 0 er 9 se9 ,bild aufnehm5 w1 deutli* b]seh5 kann4 ,d5n da bei j$] ,v]nd]ung des ,/&punkts das p]spectivis*e ,bild des ,geg5/&s e9 &]es wird1 s i/ die er/e ,b$+ung e9] p]spectivis* ri*tig5 ,zei*nung1 dass das ,ganze von e9 und demselb5 ,/&punkt aus1 d4 h4 aus d]selb5 ,hhe1 ,ri*tung und ,entf]nung gezei*net1 die e9mal ang5omm5e ,lage von ,horizont und ,augpunkt1 s[ie die ,grsse d] ,di/anz unv]nd]t beibehalt5 w]de4 ,sobald wir ab] die ,ri*tung uns]es ,blickes v]nd]n1 s nd]t si* die ,lage uns]es ,augpunkts und somit uns] ,/&punkt4 ,die ,grsse d] ,di/anz muss demgemss 9 e9em gewiss5 ,v]hltnis zum ,umfang des zu zei*n5d5 ,geg5/&es /eh53 je grss] d]selbe se9 soll1 de/o grss] muss au* die ,di/anz se94 #af4 ,man nimmt an1 dass das ,auge e9e ihm s5kre*t geg5b]/eh5de kreisrunde od] quadratis*e ,fl*e voll/ndig 9 d] angefhrt5 ,weise b]seh5 kann1 w5n se9e ,entf]nung vom ,mittelpunkt dies] ,fl*e w5ig/5s s gross i/1 als e9 ,dur*mess] od] e9e ,diagonale d]selb54 ,dabei i/ vorausgesezt1 dass si* das ,auge dem ,mittelpunkt d] ,fl*e geg5b] bef9de4 ,w5n wir uns z4 ,b4 das ,quadrat a b c d ,fig4 #ae als e9e s5kre*t vor uns /eh5de ,gla/afel d5k51 d]5 ,mittelpunkt uns] ,augpunkt und d]5 ,diagonale 7a c od] b d7 #d-a_/b ,met] lang wre1 s ms/e uns] ,auge von dem ,mittelpunkt dies] ,tafel w5ig/5s #d-a_/b ,met] entf]nt se91 um ohne ,v]nd]ung des ,/&punkts d5 ganz5 ,umfang d]selb5 b]seh5 zu knn54 ,od] w5n 9 ,fig4 #af ,p ,augpunkt des 9 ,f /eh5d5 ,bes*au]s und a b c d e9e quadratis*e ,gla/afel i/1 s mss5 die ,l9i5 ,d ,p und ,f f w5ig/5s s lang se9 wie a c und b d1 damit das ,auge von ,d aus die ganze ,tafel und alles1 0 dur* dieselbe si*tb> i/1 b]seh5 kann4 ,bef9det si* das ,auge ni*t dem ,mittelpunkt d] ,bildfl*e geg5b]1 s i/ die ,diagonale d]selb5 no* ke9 h9rei*5des ,mass d] ,di/anz4 ,w5n wir z4 ,b4 dem ,bilde a b c d ,fig4 #ae s geg5b]/eh51 dass m uns] ,augpunkt i/1 s muss1 um d5 von dem ,vi]eck a b c d ums*loss55 ,raum b]seh5 zu knn51 die ,di/anz w5ig/5s doppelt s gross se91 als e9e ,l9ie von m na* b od] na* c1 d4 h4 eb5 s gross als fr e9 ,re*teck g b c k er=d]li* wre1 dess5 ,mittelpunkt m i/ od] fr e95 von m aus dur* c und b bes*rieb55 ,kreis4 ,dageg5 kann die ,di/anz na* ,belieb5 grss] ang5omm5 w]d54 #ag4 ,natrli* i/ das ,gesagte ni*t s aufzufass51 als ob inn]halb e9es be/immt5 ,umkreises alle ,geg5/nde glei* deutli*1 j5seits desselb5 undeutli* od] g> ni*t mehr si*tb> wr51 vielmehr nimmt die ,deutli*keit d]selb5 allmlig ab1 je weit] sie si* vom ,augpunkt entf]n54 ,es i/ ab] fr die p]spectivis*e ,b]e*nung notw5dig1 e9e ,gr5zl9ie fe/zusez51 inn]halb d]5 e9e h9rei*5de ,deutli*keit des ,bildes anzunehm5 i/4 ,dieses ,mass d] kle9/5 ,di/anz i/ 9 d5 p]spectivis*5 ,lehrb*]n v]s*i$5 angegeb51 wie au* d] ,umfang dess51 0 mit ,e9em ,blick zu b]seh5 i/1 ni*t fr j$es ,auge glei* gross i/4 ,j$o* kann ohne ,gefahr fr e9e p]spectivis* ri*tige ,wirkung ni*t wohl e9 ni$rig]es ,mass ang5omm5 w]d51 als ob5 ges*eh5 i/4 ,i/ es dem ,zei*n] dur* die ,raumv]hltnisse unmgli* gema*t1 se95 ,/&punkt 9 h9rei*5d] ,entf]nung zu nehm51 s muss mittels p]spectivis*] ,b]e*nung das ,ganze s gezei*net w]d51 wie es si*1 9 ri*tig] ,entf]nung geseh51 dem ,auge d>/ell5 wrde4#d #d3 ,e9 ges*ickt] ,zei*n] mag si* all]d+s zuweil5 ,abwei*ung5 von dies] wie von &]n ,regeln ge/att51 ab] um zu wiss51 wo und wie er dies ?un kann1 ohne dass die ,wirkung se9] ,zei*nung e9e fals*e od] zum m9de/5 uns*ne wird1 muss er vor allem die ,regel k5n51 wel*e hi$ur* ni*ts an ihr] ,giltigkeit v]li]t4 #ah4 ,die ,grsse d] fr e9e ,zei*nung ang5omm55 ,di/anz wird ausg$rckt dur* die ,di/anzpunkte4 ,e9 ,di/anzpunkt i/ e9 s5kre*t b] od] unt] dem ,augpunkt od] seitwrts von diesem 9 d] ,horizontl9ie angegeb5] ,punkt1 dess5 ,entf]nung vom ,augpunkt 7im ,v]hltnis d] ,zei*nung7 d] ,entf]nung uns]es ,auges vom ,augpunkt od] uns]es ,fusses vom ,fusspunkt entspri*t4 ,i/ z4 ,b4 9 ,fig4 #ae die ,l9ie a b #c ,met] lang und i/ die vom ,zei*n] fr das ,bild a b c d ang5omm5e ,di/anz e9e sol*e1 dass se9 ,fuss von f1 se9 ,auge von dem 7s5kre*t b] f g$a*t57 ,augpunkt ,p #d-a_/b ,met] entf]nt si* bef9det1 s s9d ,d und ,dg ,di/anzpunkte1 indem e9e ,l9ie von e9em dies] #b ,punkte bis ,p #a-a_/b mal s gross i/1 als a b4 ,zur ,unt]s*eidung w]d5 wir die seitwrts vom ,augpunkt lieg5d5 ,di/anzpunkte ,diagonalpunkte n5n5 7,dg und ,dp74 ,von d5 beid5 &]n i/ /ets d] unt]halb des ,augpunkts lieg5de v]w5det und als ,di/anzpunkt 7,d7 bezei*net4 ,aus #af folgt1 dass e9 ,di/anzpunkt od] ,diagonalpunkt nie inn]halb d] ,zei*nung lieg5 kann1 da se9e ,entf]nung vom ,augpunkt w5ig/5s s gross se9 muss1 als e9e ,diagonale d]selb51 w5n d] ,augpunkt 9 d] ,mitte des ,bildes liegt1 od]1 w5n dies ni*t d] ,fall i/1 doppelt s gross als e9e ,l9ie vom ,augpunkt na* dem von ihm entf]nte/5 ,punkte d] ,zei*nung4 #ai4 ,e9 g5aues ,abmess5 d] ,di/anz i/ natrli* 9 d5 mei/5 ,fll5 ni*t ausfhrb> und i/ au* behufs ,angabe d] ,di/anzpunkte ni*t notw5dig4 ,die ,hauptsa*e i/1 dass e9e zu kle9e ,di/anz v]mi$5 wird4 ,um si* beim ,zei*n5 na* d] ,natur zu v]si*]n1 dass die ang5omm5e ,entf]nung des ,/&punkts e9e fr d5 beabsi*tigt5 ,umfang des ,bildes h9rei*5de sei1 kann man si* e9es aus />k] ,pappe gef]tigt5 ,rahm5s b$i551 dess5 inn]] ,r& e9 ,re*teck von #dh 3 #cf ,c5timet] bildet4 ,die ,diagonale e9es ,re*tecks von dies] ,grsse entspri*t ungefhr d] dur*s*nittli*5 ,lnge des ,arms2 die ,di/anz i/ also h9rei*5d gross1 w5n d] ,rahm51 auf ,armeslnge vor das ,auge gehalt51 whr5d d] ,blick auf d5 ,augpunkt g]i*tet i/1 d5 ganz5 ,geg5/&1 wel*] gezei*net w]d5 soll1 ums*lies/1 vgl4 ,fig4 #af4 ,hiebei wird man si* lei*t b]zeug51 dass d] ,umfang des inn]halb des ,rahm5s si*tb>5 ,bildes kle9] od] grss] wird1 je na*dem man1 d5selb5 vor si* halt5d1 dem ,geg5/&e nh] tritt od] si* von demselb5 entf]nt4 #bj4 ,w5n von d] ,entf]nung e9zeln] ,teile des ,bildes von uns]em ,/&punkt die ,r$e i/1 s kommt dabei ni*t 9 ,betra*t1 ob dieselb5 mehr 9 d] ,mitte od] na* dem ,r&e desselb5 lieg51 da dies bei ri*tig] ,grsse d] ,di/anz ke95 fr die p]spectivis*e ,b]e*nung wes5tli*5 ,unt]s*i$ ma*t1 sond]n es i/ damit nur die ,entf]nung 9 d] ,ri*tung vom ,vord]grund na* dem ,h9t]grund zu geme9t4 ,um die ,entf]nung e9es ,punktes od] e9] ,l9ie vom ,auge 9 diesem ,s9ne zu bezei*n51 gebrau*t man hufig d5 ,ausdruck ,tiefe4 ,man kann z4 ,b4 sag53 a und b ,fig4 #ae lieg5 9 glei*] ,tiefe1 a und e 9 v]s*i$5] ,tiefe4 ,das ,grundgesez d] p]spectivis*5 ,=m]s*e9ung4 ,unv]krzte und v]krzte ,/ellung d] ,fl*5 und ,l9i54 #ba4 ,das wi*tig/e und am mei/5 9 die ,aug5 fall5de ,gesez d] ,p]spective i/1 dass alle ,geg5/nde kle9] zu w]d5 s*e951 je weit] sie si* von uns]em ,/&punkt entf]n54 ,alle p]spectivis*5 ,=mv]nd]ung5 lass5 si* auf dieses ,gesez zurckfhr51 dess5 ,begrndung wir im ,bau uns]es ,auges und d] hi$ur* b$+t5 ,art1 wie si* 9 demselb5 die ,geg5/nde spiegeln1 zu su*5 hab54 ,illu/ration3 ,fig4 #ai4 ,aus j5em ,gesez folgt zun*/1 dass nur e9e ,fl*e1 wel*e ganz g]ade vor uns /eht1 d4 h4 s5kre*t und p>allel mit uns]] ,aug5l9ie1 wie die ,fl*e ,a ,fig4 #ai1 dem ,auge g5au s ers*e95 kann1 wie sie 9 ,wirkli*keit i/1 mit &]n ,wort5 s1 dass die p]spectivis*e ,ri*tung und das p]spectivis*e ,grss5v]hltnis ihr] ,umrisse und all] 9 ihr lieg5d5 ,l9i5 mit d]5 geometris*] ,ri*tung und ,lnge b]e9/immt4 ,d5n 9 diesem ,fall bef9d5 si* smtli*e ,teile d] ,fl*e 9 glei*] ,entf]nung vom ,auge 79 glei*] ,tiefe74 ,sobald wir die ,tafel ,a1 whr5d uns] ,/&punkt d]selbe bleibt1 na* irg5d e9] ,seite w5d51 s lieg5 e9zelne ,teile d]selb5 9 unglei*] ,tiefe2 die f]n]5 ,teile ers*e95 infolge dess5 v]hltnismssig kle9]1 als die nh]5 und die p]spectivis*e ,=m d] ganz5 ,tafel wird hi$ur* e9e von ihr] geometris*5 ,=m v]s*i$5e4 ,9 ,b i/ z4 ,b4 die ,l9ie b c f]n] als a d1 j5e ers*e9t dah] krz] als diese1 folgli* knn5 die geometris* p>allel5 ,l9i5 a b und d c ni*t mehr p>allel und sie knn5 ni*t mehr beide re*tw9klig zu a d und b c ers*e954 ,wird die ,tafel ,b 9 mehr]e glei* grosse s5kre*te ,/reif5 geteilt1 s ers*e95 diese na* d] ,l9ie b c h9 allmlig kle9] zu w]d51 die ganze ,fl*e ers*e9t dah] s*mal] als bei d] ,/ellung ,a1 vgl4 ,fig4 #aa4 #bb4 ,w5n e9e ,fl*e od] ,l9ie e9e sol*e ,/ellung zum ,auge hat 7uns] ,/&punkt zu ihr e9 sol*] i/71 dass smtli*e ,teile d]selb5 9 glei*] ,tiefe lieg51 wie 9 ,fig4 #ai ,a und die an ,a bef9dli*5 ,l9i51 s n5nt man dies die unv]krzte ,/ellung2 e9e ,fl*e od] ,l9ie i/ dageg5 v]krzt1 w5n e9zelne ,teile d]selb5 dem ,auge nh]1 &]e f]n] lieg54 ,unv]krzt s9d also 9 ,fig4 #ai die ,fl*5 ,a und ,g1 smtli*e s5kre*te ,l9i51 die wagre*t5 ,l9i5 a b und c d 9 ,a und ,d1 a e 9 ,g1 die s*rg5 ,l9i5 a c und b d 9 ,a1 a d und b c 9 ,e4 ,alle brig5 ,fl*5 und ,l9i5 s9d v]krzt4 7,man bem]ke1 dass zw> die s*rge ,fl*e ,e v]krzt i/1 da b c f]n] liegt als a d1 die s*rg5 ,l9i5 a d und b c ab] 9 ,e unv]krzt s9d1 indem ihre beid5 ,endpunkte 9 glei*] ,tiefe lieg574 ,die s5kre*t5 ,l9i5 hab5 imm] unv]krzte ,/ellung1 da ihre beid5 ,endpunkte imm] 9 glei*] ,tiefe lieg54 ,e9e s5kre*te ,fl*e dageg5 kann s[ohl v]krzt se9 wie ,b1 als unv]krzt wie ,a4 ,die unv]krzt5 wagre*t5 ,l9i5 e9es ,bildes s9d p>allel mit uns]] ,aug5l9ie und mit dem ,horizont1 folgli* au* p>allel unt] si*4 ,wagre*te und s*rge ,fl*5 s9d /ets v]krzt4 #bc4 ,fr ,anfng] i/ es zweckmssig1 e95 ,blei/ift1 e9 ,l9eal od] d]gl4 9 d] fr die ,zei*nung ang5omm55 ,ri*tung d] ,aug5l9ie und des ,horizonts vor si* zu leg51 um mit dies] ,normall9ie die v]s*i$55 wagre*t5 ,l9i5 des ,geg5/&s v]glei*5 und lei*t] unt]s*eid5 zu knn51 ob sie unv]krzt od] v]krzt s9d4 ,sollte man 9 ,betreff e9] s*rg5 ,l9ie im ,zweifel se91 ob sie unv]krzt od] v]krzt i/1 s d5ke man si* dieselbe mit e9] s5kre*t5 und e9] wagre*t5 ,l9ie zu e9em ,dreieck v]bund51 wie 9 ,g die s*rge ,l9ie a d mit a e und e d od] 9 ,f die ,l9ie b c mit b e und e c4 ,man n5nt dies das ,massdreieck e9] s*rg5 ,l9ie4 ,i/ die wagre*te ,l9ie dieses ,dreiecks unv]krzt1 wie a e 9 ,g1 s i/ es au* die s*rge2 i/ er/]e v]krzt1 wie b e 9 ,f1 s i/ au* die s*rge ,l9ie v]krzt4 #bd4 ,unv]krzte ,l9i51 wel*e 9 glei*] ,tiefe 79 ,e9] unv]krzt5 s5kre*t5 ,fl*e7 lieg51 wie smtli*e ,l9i5 d] ,fl*e ,a ,fig4 #ai1 behalt5 ihre geometris*e ,ri*tung und ihr geometris*es ,grss5v]hltnis2 sie ers*e95 und w]d5 gezei*net wie sie 9 ,wirkli*keit s9d2 unv]krzte ,l9i5 9 unglei*] ,tiefe1 wie a d und b c 9 ,b1 b c und a d 9 ,e1 behalt5 ihre geometris*e ,ri*tung1 ni*t ab] ihr geometris*es ,grss5v]hltnis 7indem die f]n]5 kle9] ers*e9572 die p]spectivis*e ,lnge d] v]krzt5 ,l9i5 i/ imm]1 ihre p]spectivis*e ,ri*tung 9 d5 mei/5 ,fll5 v]s*i$5 von ihr] geometris*5 ,ri*tung und ,lnge4 ,wo die geometris*e ,ri*tung od] ,lnge e9] ,l9ie unv]nd]t bleibt1 muss dieselbe entw$] na* dem ,aug5mass od] mit ,hilfe von ,l9eal und ,zirkel be/immt w]d54 ,wir b$rf5 fr sol*e ,flle ke9] p]spectivis*5 ,regel und ,b]e*nung4 ,,iii4 ,p]spectivis*e ,ri*tung v]krzt] ,l9i54 ,v]krzte ,p>allell9i54 #be4 ,w5n #b p>allele ,l9i5 dur* e9e ,anzahl von ,l9i5 v]bund5 w]d51 wel*e unt] si* glei*falls p>allel s9d1 s s9d na* #a1 ,fig4 #a diese ,v]b9dungsl9i5 glei* lang4 ,hab5 wir nun p>allele ,l9i5 9 v]krzt] ,/ellung vor uns1 wie die ,eis5bahns*i55 9 ,fig4 #bj1 s bef9d5 si* die ,v]b9dungsl9i51 hi] die ,s*well51 9 v]s*i$5] ,entf]nung vom ,auge1 sie s*e95 dah] na* d] ,f]ne h9 imm] kle9] zu w]d51 d4 h4 d] ,ab/& zwis*5 d5 beid5 v]krzt5 ,p>allell9i5 s*e9t si* zu v]kle9]n1 sie s*e95 nh] zusamm5zurck5 je weit] sie si* von uns]em ,auge entf]n5 und w5n sie si* auf sehr weite ,entf]nung =tsez51 s mss5 sie s*liessli* 9 ,e9em ,punkte1 wie hi] 9 dem ,punkte ,p1 zusamm5treff51 9 wel*em sie aufhr5 si*tb> zu se94 ,illu/ration3 ,fig4 #bj4 ,man n5nt dies5 ,punkt d5 ,flu*tpunkt od] ,v]s*w9dungspunkt d] betreff5d5 ,l9i54 #bf4 ,9 demselb5 ,punkte1 9 wel*em #b v]krzte ,p>allell9i5 zusamm5treff51 mss5 au* alle weit]5 mit ihn5 p>allel5 ,l9i51 wie 9 ,fig4 #bj die ,l9i5 a ,p1 b ,p1 c ,p1 si* treff51 da d] ,zwis*5raum zwis*5 all5 9 demselb5 ,v]hltnis na* d] ,f]ne h9 kle9] wird4 ,w5n a b1 b c und c d glei* lang1 a e und d f je halb s lang s9d als a b1 s mss5 g h1 h i und i k1 m g und k n 9 demselb5 ,v]hltnis zu e9&] /eh51 sie w]d5 also zuglei* aufhr51 si*tb> zu se94 ,w5n wir sol*e ,l9i5 au* ni*t mit dem ,auge v]folg5 knn5 bis zu dem ,punkte1 9 wel*em sie zusamm5treff5 wrd51 sond]n sie nur 9 krz]] ,ausdehnung vor uns hab51 wie die geometris* p>allel5 ,l9i5 a a und b b 9 ,fig4 #ba1 s mss5 sie /ets s gezei*net se91 dass d] ,zwis*5raum zwis*5 ihn5 na* d] ,f]ne h9 kle9] wird1 s dass sie1 von ihrem f]n] lieg5d5 ,ende aus =tgesezt1 irg5dwo 9 ,e9em ,punkte zusamm5treff5 wrd51 d4 h4 v]krzte ,p>allell9i5 mss5 die ,ri*tung na* e9em geme9s*aftli*5 ,flu*tpunkt hab54 ,illu/ration3 ,fig4 #ba4 ,man v]glei*e auss] ,fig4 #bj und #ba die wagre*t5 ,p>allell9i5 a a1 c c1 f f 9 ,fig4 #ac und #ad1 smtli*e wagre*te ,l9i5 9 ,fig4 #bb1 die s*rg5 ,p>allell9i5 n n 9 ,fig4 #ba1 a c und e d1 a g und e h 9 ,fig4 #cf1 a1 b1 c und d ,fig4 #cg und &]e4 ,illu/ration3 ,fig4 #bb4 #bg4 ,sobald wir also #b v]krzte ,p>allell9i5 dies] ,regel entspre*5d gezei*net hab51 s i/ damit au* die p]spectivis*e ,ri*tung all] weit]5 mit ihn5 p>allel5 ,l9i5 gegeb53 man v]lng]t die zu]/ gezei*net5 bis zu dem ,punkte1 9 wel*em sie zusamm5treff5 und zieht na* diesem die brig54 ,wie zu v]fahr5 i/1 w5n e9 ,flu*tpunkt auss]halb d] ,zei*nung liegt1 wie die ,flu*tpunkte d] ,l9i5 a a1 b b1 n n 9 ,fig4 #ba1 wird spt] gezeigt w]d54 ,hufig kann j$o* die g5aue ,b]e*nung 9 sol*5 ,fll5 dadur* ersezt w]d51 dass man e95 ,papi]/reif5 an das ,zei*5blatt anlegt1 um die betreff5d5 ,l9i5 bis zu ihrem ,flu*tpunkt v]lng]n zu knn51 od] dass man wie 9 ,fig4 #ba und #bb sie w5ig/5s s weit als d] ,raum ge/attet1 =tsezt1 da si*1 je lng] sie s9d1 de/o deutli*] beurteil5 ls/1 ob sie die er=d]li*e ,ri*tung na* ,e9em ,punkte h9 hab54 ,v]krzte wagre*te ,l9i54 #bh4 ,w5n wir am ,ende e9es ,zimm]s /eh5d ,decke und ,fussbod5 desselb5 betra*t51 s s*e9t die er/]e na* dem j5seitig5 ,ende des ,zimm]s h9 zu fall51 d] ,bod5 s*e9t na* dor?9 anzu/eig52 eb5so s*e95 alle wagre*t5 ,fl*51 wel*e hh] lieg5 als uns] ,auge1 na* d] ,f]ne h9 zu fall51 tief] lieg5de s*e95 zu /eig54 ,halt5 wir ab] e9e ,fl*e1 z4 ,b4 e9 dnnes ,brett1 e9 ,/ck ,pappe od] d]gl4 wagre*t 9 glei*] ,hhe mit uns]em ,auge vor uns1 s seh5 wir w$] die unt]e no* die ob]e ,seite dies] ,fl*e1 wir seh5 sie nur als e9e wagre*te ,l9ie1 wel*e1 da d] ,horizont glei*falls e9e 9 d] ,hhe des ,auges lieg5de wagre*te ,l9ie i/1 mit diesem zusamm5fllt1 vgl4 ,fig4 #bb4 ,alle wagre*t5 ,fl*5 s*e95 si* also na* dem ,horizont h9 zu neig54 ,d5n alle wagre*t5 ,fl*5 s9d p>allel und s9d v]krzt4 ,dah] s*e9t d] ,zwis*5raum zwis*5 #b wagre*t5 ,fl*51 z4 ,b4 zwis*5 ,decke und ,fussbod51 na* d] ,f]ne h9 imm] kle9] zu w]d51 sie s*e95 e9&] nh] zu rck51 eb5so wie v]krzte p>allele ,l9i54 ,wie diese na* ,e9em ,punkte1 s s*e95 alle wagre*t5 ,fl*5 na* ,e9] ,l9ie h9zu/reb5 und diese ,l9ie kann na* dem ,gesagt5 nur d] ,horizont se93 d] ,horizont i/ die geme9s*aftli*e ,flu*tl9ie od] ,v]s*w9dungsl9ie all] wagre*t5 ,fl*54 #bi4 ,mit d5 wagre*t5 ,fl*5 s*e95 au* die 9 ihn5 lieg5d5 v]krzt5 ,l9i5#e zu /eig5 od] zu fall52 j$e wagre*te ,l9ie kann als ,teil e9] wagre*t5 ,fl*e g$a*t w]d52 folgli* mss5 v]krzte wagre*te ,l9i51 w5n sie tief] lieg5 als uns] ,auge1 d4 h4 unt]halb des ,horizonts1 von ihrem nh]5 na* ihrem entf]nt]5 ,endpunkte zu /eig52 w5n sie hh] lieg5 als uns] ,auge1 d4 h4 b] dem ,horizont1 s mss5 sie na* d] ,f]ne h9 fall52 wagre*te ,l9i5 ab]1 wel*e mit dem ,auge 9 glei*] ,hhe lieg51 bleib5 wagre*t1 au* w5n sie v]krzt s9d4 ,mit &]n ,wort53 die ,flu*tpunkte all] v]krzt5 wagre*t5 ,l9i5 lieg5 im ,horizont2 j$e muss s gezei*net se91 dass sie1 von ihrem entf]nt]5 ,ende aus v]lng]t1 9 irg5d e9em ,punkte d5 ,horizont trifft und dies] ,punkt i/ zuglei* d] ,flu*tpunkt all] mit ihr p>allel5 ,l9i52 vgl4 ,fig4 #bj1 #ba1 #bb4 #e3 ,9 e9] s5kre*t5 ,fl*e knn5 s[ohl s5kre*te als wagre*te und s*rge ,l9i5 lieg51 9 e9] s*rg5 ,fl*e nur s*rge und wagre*te1 9 e9] wagre*t5 ,fl*e nur wagre*te ,l9i51 vgl4 die ,fl*5 ,a1 ,d und ,c1 ,fig4 #ai4 ,hab5 wir also wagre*te ,p>allell9i5 9 v]krzt] ,/ellung zu zei*n51 s i/1 sobald die p]spectivis*e ,ri*tung fr e9e d]selb5 be/immt i/1 au* die ,ri*tung d] brig5 gegeb53 man v]lng]t die er/]e bis zum ,horizont und na* dem ,punkte1 9 wel*em sie ihn trifft1 w]d5 die &]n gezog54 #cj4 ,die ,lage dies] ,flu*tpunkte kann nun1 wie s*on die bi%]ig5 ,beispiele zeig51 e9e sehr v]s*i$5e se94 ,es ent/eht also die ,frage1 an wel*] ,/elle des ,horizonts 9 diesem od] j5em ,falle d] ,flu*tpunkt e9] wagre*t5 ,l9ie lieg5 muss1 d4 h4 9 wel*em ,grade die v]s*i$55 wagre*t5 ,l9i5 na* dem ,horizont h9 fall5 od] /eig5 mss54 ,die allgeme9e ,regel 9 dies] ,beziehung i/1 dass d] ,flu*tpunkt e9] v]krzt5 wagre*t5 ,l9ie da liegt1 wo e9e p>allel mit ihr vom ,auge na* dem ,horizont gezog5e ,l9ie dies5 treff5 wrde4 ,d5n v]krzte ,p>allell9i5 hab5 d5selb5 ,flu*tpunkt4 ,z4 ,b43 a1 b1 c1 d1 e ,fig4 #bc s9d v]krzte wagre*te ,l9i51 wel*e zu d] unv]krzt5 ,wagre*t5 ,a ,b v]s*i$5e ,w9kel bild54 ,d] ,horizont i/ p>allel mit d5 unv]krzt5 wagre*t5 ,l9i5 uns]es ,geg5/&es 7 #bb71 d] ,w9kel also1 9 wel*em e9e v]krzte wagre*te ,l9ie 9 ,wirkli*keit zu e9] unv]krzt5 ,wagre*t5 /eht1 i/ d]selbe1 9 wel*em sie au* zum ,horizont /eht4 ,die geometris*e ,/ellung d] ,l9i5 a1 b1 c1 d1 e zu ,a ,b ,fig4 #bc i/ 9 ,fig4 #bd angegeb54 ,dies i/ au* ihre ,w9kel/ellung zum ,horizont4 ,d5k5 wir uns nun1 dass die #e ,/be 9 ,wirkli*keit s wie sie hi] gezei*net s9d vor uns lieg5 und dass p>allel mit d5selb5 #e ,l9i5 von uns]em ,auge na* dem ,horizont gezog5 sei51 s ms/5 die ,punkte1 9 wel*5 die von uns]em ,auge ausgeh5d5 ,l9i5 d5 ,horizont treff51 die ,flu*tpunkte d] #e ,/be se94 ,w5n man si* hievon e9e deutli*e ,vor/ellung ma*t1 etwa indem man e95 lang5 ,/ab p>allel mit e9] v]krzt5 ,l9ie des zu zei*n5d5 ,geg5/&s vor's ,auge hlt1 s wird man die ,lage ihres ,flu*tpunkts annh]nd be/imm5 knn52 man wird z4 ,b4 v]/eh51 dass d] ,flu*tpunkt von e sehr weit na* re*ts1 d] ,flu*tpunkt von d nh] na* dem ,augpunkt h9 lieg5 muss u4 s4 w4 ,illu/ration3 ,fig4 #bc4 ,illu/ration3 ,fig4 #bd4 #ca4 ,die ,/ellung e9] ,l9ie zum ,horizont i/ j$o* imm] e9e willkrli*e1 da die ,ri*tung des lezt]5 von d] zufllig5 ,wahl uns]es ,/&punkts abhngt4 ,w5n wir die ,lage des ,flu*tpunkts e9] wagre*t5 ,l9ie g5au] b]e*n51 s ges*ieht dies ni*t1 damit ihre ,/ellung zum ,horizont1 sond]n damit ihre ,/ellung zu &]n ,l9i5 des ,bildes e9e ri*tige ,wirkung ma*e4 ,nur wo es si* um e9e be/immte und notw5dige ,w9kel/ellung wagre*t] ,l9i5 zu e9&] h&elt1 b$rf5 wir e9] g5au]5 ,regel 9 ,betreff d] ,lage ihr] ,flu*tpunkte und knn5 wir e9e sol*e anw5d54 ,nehm5 wir z4 ,b4 9 ,fig4 #bc als ,flu*tpunkt d] ,l9ie d d5 ,punkt y /att x an1 s s*e9t d] ,w9kel1 9 wel*em d zu e /eht1 grss]1 ihr ,w9kel zu c kle9] zu se91 als w5n x ,flu*tpunkt i/4 ,ab] die ,w9kel/ellung dies] ,l9i5 zu e9&] und zu d5 brig5 ,l9i5 des ,geg5/&s i/ eb5so willkrli* und zufllig1 wie ihre ,/ellung zum ,horizont4 ,mit blossem ,auge wrde d] ,bes*au] au* ni*t mit ,be/imm!it zu erk5n5 v]mg51 dass ihre geometris*e ,/ellung zu ,a ,b und zum ,horizont od] ihre ,/ellung zu e9&] g5au die 9 ,fig4 #bd angegeb5e i/4 ,also knn5 wir au* die p]spectivis*e ,/ellung dies] ,l9i5 zum ,horizont und zu e9&] ni*t g5au b]e*n5 und i/ es fr die p]spectivis*e ,ri*tigkeit d] ,zei*nung ohne ,belang1 ob beispielsweise y od] x als ,flu*tpunkt d] ,l9ie d ang5omm5 wird4 ,eb5so i/ 9 ,fig4 #ad die ,w9kel/ellung d] v]krzt5 wagre*t5 ,l9i5 g und h1 s[ie d] ,l9i5 a1 b1 c1 d zu d5 brig5 ,l9i5 des ,bildes e9e willkrli*e4 ,notw5dig i/ nur1 dass g und h1 a und b1 c und d als p>allele ,l9i5 ers*e95 und dass die ,l9i5 a1 b1 c1 d e9 ,re*teck d>/ell54 ,wir b]lass5 es de%alb dem ,auge des ,zei*n]s1 zu]/ die ,ri*tung fr e9e d] ,l9i5 g od] h und fr e9e ,seite des g5annt5 ,re*tecks zu be/imm51 natrli* mit ,rcksi*t d>auf1 dass die ,flu*tpunkte dies] ,l9i5 im ,horizont lieg5 mss51 da sie geometris* wagre*t s9d4 ,ab] ang5omm51 dass g und a die zu]/ gezei*net5 ,l9i5 sei51 s i/ damit ni*t nur die p]spectivis*e ,ri*tung d] mit j55 p>allel5 ,l9i5 h und b1 sond]n au* d] re*tw9klig zu a /eh5d5 ,l9i5 c und d gegeb54 ,fr die ,lage des ,flu*tpunkts d] #b lezt]5 s9d eb5so wie fr die ,ri*tung d] v]krzt5 ,p>allell9i5 be/immte ,regeln massgeb5d4 ,uns]e n*/e ,aufgabe soll demgemss die ,beantwortung d] ,frage se91 wel*e ,/ellung 9 uns]] ,zei*nung wagre*te ,l9i5 zu e9&] hab5 mss51 wel*e 9 ,wirkli*keit re*tw9klig zu e9&] /eh51 wie a und d od] e und f 9 ,fig4 #ad1 mit &]n ,wort51 na* wel*] ,regel d] ,flu*tpunkt e9] v]krzt5 wagre*t5 ,l9ie zu be/imm5 i/1 wel*e zu e9] gegeb55 ,wagre*t5 geometris* re*tw9klig /eht4 ,re*tw9klige wagre*te ,l9i54 #cb4 ,man unt]s*eidet die g]ade ,ansi*t e9es re*t5 ,w9kels1 ,re*tecks od] ,quadrats1 d4 i4 w5n nur e9e d] beid5 ,l9i51 wel*e e95 re*t5 ,w9kel bild51 v]krzt1 die &]e ab] unv]krzt i/1 wie ,a ,b und ,b ,c od] ,a ,d und ,d ,c 9 ,fig4 #be und die s*rge ,ansi*t1 d4 i4 w5n beide ,s*5kel des ,w9kels v]krzt s9d1 wie a b und b c od] a d und d c4 ,d] ,ausdruck s*rg bezieht si* also 9 diesem ,zusamm5hang auf die ,/ellung wagre*t] ,l9i5 zum ,auge od] zum ,horizont4 ,illu/ration3 ,fig4 #be4 ,9 #ab ,fig4 #ae und #af wurde gezeigt1 dass e9e vom ,auge na* dem ,augpunkt gezog5e ,l9ie e95 re*t5 ,w9kel zum ,horizont bild5 wrde1 d4 h4 mit &]n ,wort53 w5n wir uns e9e ,l9ie von uns]em ,auge na* dem ,horizont gezog5 d5k51 s dass sie re*tw9klig zu diesem /eht1 s trifft sie d5 ,augpunkt1 d] ,augpunkt i/ ihr ,flu*tpunkt4 ,/eht nun e9e v]krzte wagre*te ,l9ie geometris* re*tw9klig zu e9] unv]krzt5 ,wagre*t51 wie 9 ,fig4 #be ,a ,d od] ,b ,c zu ,c ,d1 s /eht sie au* zum ,horizont 9 e9em re*t5 ,w9kel1 sie i/ also p>allel mit e9] von uns]em ,auge na* dem ,augpunkt geh5d5 ,l9ie und muss mit dies] d5selb5 ,flu*tpunkt hab54 ,also i/ d] ,augpunkt d] ,flu*tpunkt all] v]krzt5 wagre*t5 ,l9i51 wel*e zu e9] unv]krzt5 ,wagre*t5 7zum ,horizont7 geometris* re*tw9klig /eh5 od] wel*e1 wie man hufig sagt1 si* 9 g]ad] ,l9ie von uns entf]n54 ,vgl4 9 ,fig4 #ad die ,l9i5 f1 f1 9 ,fig4 #bj a ,p1 b ,p1 c ,p u4 s4 w4 #cc4 ,s9d beide ,l9i51 wel*e d5 re*t5 ,w9kel bild51 v]krzt1 wie 9 dem ,re*teck a b c d ,fig4 #be1 s i/ die ,frage1 wie gross die ,entf]nung d] beid5 ,flu*tpunkte von e9&]1 d4 h4 das ,/ck des ,horizonts1 wel*es zwis*5 beid5 liegt1 se9 muss4 ,d5n je na*dem d] ,w9kel1 9 wel*em #b v]krzte ,l9i5 zu e9&] /eh51 grss] od] kle9] i/1 wird au* die ,entf]nung ihr] beid5 ,flu*tpunkte e9e grss]e od] kle9]e se9 und umgekehrt1 wie aus #ca ,fig4 #bc zu erseh5 i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #bf4 ,auss] d] geometris*5 ,grsse des betreff5d5 ,w9kels i/ j$o* au* die ,grsse d] ,di/anz von ,e9fluss auf d5 ,ab/& d] ,flu*tpunkte se9] beid5 ,s*5kel4 ,e9e vom ,auge na* dem ,horizont gezog5e ,l9ie1 wel*e zu diesem re*tw9klig /eht1 trifft imm] d5 ,augpunkt und s kann au* die v]krzte ,seite e9es re*t5 ,w9kels 9 g]ad] ,ansi*t nur im ,augpunkt ihr5 ,flu*tpunkt hab51 glei*viel1 ob uns]e ,di/anz grss] od] kle9] i/4 ,/eht ab] e9e v]krzte ,wagre*te 9 e9em beliebig5 &]n ,w9kel zum ,horizont od] zu e9] unv]krzt5 ,wagre*t51 s liegt d] ,punkt1 9 wel*em e9e p>allel mit ihr d4 h4 9 demselb5 ,w9kel vom ,auge na* dem ,horizont gezog5e ,l9ie dies5 treff5 wrde1 nh] am ,augpunkt od] entf]nt] von ihm1 je na*dem die ,entf]nung des ,auges vom ,augpunkt grss] od] kle9] i/4 ,dieselbe ,l9ie1 wel*e 9 ,fig4 #bf von a aus gezog5 die ,l9ie m n 9 z trifft1 trifft sie von b aus 9 p1 von c aus 9 n u4 s4 w4 ,und w5n wir #b v]krzte wagre*te ,l9i5 vor uns hab51 wel*e 9 ,wirkli*keit re*tw9klig 7od] 9 e9em beliebig5 ,w9kel7 zu e9&] /eh51 s w]d5 die #b ,punkte1 9 wel*5 #b p>allel mit ihn5 vom ,auge ausgeh5de ,l9i5 d5 ,horizont treff51 de/o nh] beisamm5 lieg51 je kle9] die ,di/anz i/ und de/o weit] von e9&] entf]nt se91 je grss] dieselbe i/1 wie ,fig4 #bf deutli* zeigt3 o p i/ grss] als y z1 m n grss] als o p4 ,illu/ration3 ,fig4 #bg4 ,demna* kann d] ,ab/& d] beid5 ,flu*tpunkte e9es re*t5 ,w9kels 9 s*rg] ,ansi*t e9 sehr v]s*i$5] se94 ,s zeigt ,fig4 #bg zwei v]s*i$5e ,ansi*t5 e9es ,re*tecks1 wel*e es 9 d]selb5 ,/ellung1 aus d]selb5 ,hhe und ,ri*tung1 ab] aus v]s*i$5] ,entf]nung gezei*net d>/ell54 ,mit zunehm5d] ,di/anz ers*e9t ni*t nur das ,ganze kle9]1 sond]n au* die ,=m d] re*t5 ,w9kel wird e9e v]s*i$5e3 da mit d] ,di/anz die ,entf]nung d] beid5 ,flu*tpunkte von e9&] zunimmt1 s ers*e95 die ,seit5w9kel bei b und d 9 ,b spiz]1 d] ,w9kel bei a und c ers*e9t /umpf] als 9 ,a4 ,natrli* i/ die ,wirkung dieselbe1 w5n wir1 /att die ,entf]nung uns]es ,/&punkts zu v]nd]n1 d5 betreff5d5 ,geg5/& nh] od] f]n] rck51 vgl4 ,fig4 #bi4 ,es muss dah] die g5aue ,grsse d] fr e9e ,zei*nung ang5omm55 ,di/anz mittels e9es ,di/anzpunkts angegeb5 und dies] zu ,hilfe g5omm5 w]d51 w5n d] ,ab/& j5] #b ,flu*tpunkte von e9&] g5au b]e*net w]d5 soll4 ,wie lezt]es ges*eh5 kann1 i/ 9 #ha--he gezeigt4 ,da j$o* die ,grsse d] vom ,zei*n] ang5omm55 ,di/anz mit blossem ,auge aus d5 ,l9i5 e9] ,zei*nung ni*t zu erseh5 i/1 s kann gewhnli* diese g5au]e ,b]e*nung entbehrt und dur* ,beoba*tung d] na*folg5d5 ,regel ersezt w]d54 #cd4 b]all1 wo die ,grsse d] ,di/anz von wes5tli*em ,e9fluss i/ auf die p]spectivis*e ,=m1 kommt es haupts*li* d>auf an1 die fals*e ,wirkung zu v]meid51 wel*e aus e9] zu kle9 ang5omm55 ,di/anz ent/eht4 ,bei ,d>/ellung e9es re*t5 ,w9kels 9 s*rg] ,ansi*t ent/eht diese fals*e ,wirkung1 w5n die ,entf]nung d] beid5 ,flu*tpunkte von e9&] zu kle9 i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #bh4 ,betra*t5 wir 9 ,fig4 #bh ,d als uns] ,auge1 ,p als ,augpunkt1 s bezei*net die ,l9ie ,d ,p die ,grsse d] ,di/anz4 ,zieh5 wir nun 7mit ,hilfe des ,w9kels ,fig4 #i7 von ,d aus 9 v]s*i$5] ,ri*tung je #b re*tw9klig zu e9&] /eh5de ,l9i5 na* d] dur* ,p geh5d5 ,wagre*t5 d4 h4 na* dem ,horizont1 z4 ,b4 ,d c und ,d d1 ,d a und ,d b1 ,d ,dg und ,d ,dp1 s ergibt si*1 dass die #b ,punkte1 9 wel*5 die v]s*i$55 ,l9i5pa>e d5 ,horizont treff51 dann d5 g]+/5 ,ab/& von e9&] hab51 w5n si* die beid5 ,l9i5 9 d] ,/ellung zum ,horizont bef9d51 wel*e ,d ,dg und ,d ,dp zeig54 ,diese /eh5 zum ,horizont1 wie die ,diagonal5 e9es ,quadrats zu dess5 ,seit51 wie m n und m o zu o n1 d4 h4 beide /eh5 9 e9em halb5 re*t5 ,w9kel zum ,horizont4 ,dg und ,dp s9d ,diagonalpunkte3 ihre ,entf]nung vom ,augpunkt i/ glei* d] ,di/anz und ihre ,entf]nung von e9&] doppelt s gross als die ,di/anz1 ,dg--,dp i/ glei* #b mal ,dp4 ,bei j$] &]n ,/ellung d] beid5 ,l9i5 zum ,horizont i/ d] ,ab/& j5] beid5 ,punkte e9 grss]] und er wird imm] grss]1 je unglei*] die ,/ellung d] beid5 ,l9i5 zum ,horizont i/3 c d i/ grss] als ,dp--,dg1 a b grss] als c d u4 s4 w4 #ce4 ,hi]aus folgt1 dass die #b ,flu*tpunkte e9es re*t5 ,w9kels 9 s*rg] ,ansi*t w5ig/5s s weit von e9&] entf]nt se9 mss51 dass d] zwis*5 ihn5 lieg5de ,teil des ,horizonts doppelt s gross i/1 als die ,di/anz4 ,diese muss na* #ah w5ig/5s doppelt s gross se91 als e9e ,diagonale des ,bildes1 od] als e9e ,l9ie vom ,augpunkt na* dem von ihm entf]nte/5 ,punkte1 also muss1 w5n beide ,s*5kel e9es aus #b wagre*t5 ,l9i5 be/eh5d5 re*t5 ,w9kels v]krzt s9d1 die ,entf]nung ihr] ,flu*tpunkte von e9&] w5ig/5s #d mal s gross se91 als e9e ,l9ie vom ,augpunkt na* dem von ihm entf]nte/5 ,punkte d] ,zei*nung4 ,z4 ,b4 9 ,fig4 #ca mss51 w5n ,a ,b und ,a ,c geometris* re*tw9klige ,l9i5 s9d1 ,p ,augpunkt und f die von ,p entf]nte/e ,ecke des ,bildes i/1 die ,flu*tpunkte d] beid5 g5annt5 ,l9i5 e95 ,ab/& von e9&] hab51 d] w5ig/5s #d mal ,p f i/4 ,komm5 9 demselb5 ,bilde v]s*i$5e re*te ,w9kel 9 s*rg] ,/ellung vor1 s mss5 sie selb/v]/ndli* 9 b]e9/imm5d] ,weise beh&elt1 d4 h4 es muss b]all dieselbe ,di/anz zu ,grunde gelegt w]d54 ,die fals*e ,wirkung1 wel*e ent/eht1 w5n geg5 j5e ,regel gefehlt wird1 zeigt ,fig4 #bi4 ,die ,entf]nung d] beid5 ,flu*tpunkte von e9&] i/ #d mal ,p f2 dah] wirk5 alle re*t5 ,w9kel1 wel*e inn]halb d] ,kreisl9ie f f lieg51 p]spectivis* ri*tig1 ab] die ,w9kel bei m1 n und o knn5 ni*t mehr als re*te ,w9kel gelt54 ,illu/ration3 ,fig4 #bi4 ,&]]seits zeigt ,fig4 #be1 dass dem ,zei*n] inn]halb d] angegeb55 ,gr5ze e9ige ,freiheit ge/attet i/3 a b e f wird au* dem gebte/5 ,auge eb5so als ri*tiges ,bild e9es ,re*tecks ers*e951 wie a b c d4 #cf4 ,all]d+s i/ ni*t s(ort ersi*tli*1 wie gross die ,entf]nung d] beid5 ,flu*tpunkte i/ od] se9 muss1 da niemals beide inn]halb d] ,zei*nung1 hufig dageg5 weit auss]halb d]selb5 lieg54 ,w man si* ni*t mit d] ,au%ilfe begng51 wel*e #bg 9 ,betreff entf]nt] ,flu*tpunkte angegeb5 wurde1 s i/ 9 ,fig4 #cj e9e g5au]e ,b]e*nung gezeigt4 ,a ,b und ,a ,c sei5 #b v]krzte wagre*te ,l9i54 ,e9e von ,a zum ,horizont gezog5e ,s5kre*te ,a ,p i/ 9 #d glei*e ,teile geteilt und vom ob]5 ,teilungspunkt a s9d #b ,l9i5 a b und a c geometris* p>allel mit ,a ,b und ,a ,c gezog51 indem an beliebig5 ,punkt5 d] lezt]5 ,l9i5 z4 ,b4 9 ,d und ,e #b ,s5kre*te erri*tet und ,d d und ,e e ,a a gema*t wurd54 c b kann nun als e9 ,vi]tel des ,ab/&es betra*tet w]d51 wel*5 die ,flu*tpunkte d] ,l9i5 ,a ,b und ,a ,c von e9&] hab5 und es ls/ si* hi5a* bemess51 ob d]selbe h9rei*5d gross i/4 ,wre z4 ,b4 f d] von ,p entf]nte/e ,punkt d] ,zei*nung1 s drft5 die beid5 ,l9i5 ,a ,b und ,b ,c ni*t /rk] als hi] d] ,fall i/ geg5 e9&] g5eigt se91 d] ,ab/& ihr] ,flu*tpunkte drfte ni*t kle9] se9 als #d mal c b2 d5n c b i/ ,p f4 ,illu/ration3 ,fig4 #cj4 ,od]3 w5n ,a ,b als er/e ,l9ie gezei*net i/1 s muss1 na*dem a b p>allel mit ,a ,b gezog5 und b c ,p f gema*t i/1 die zweite von ,a ausgeh5de ,l9ie entw$] p>allel mit a c od] na* e9em f]n] lieg5d5 ,flu*tpunkt g]i*tet se91 d4 h4 e9e fla*]e ,ri*tung hab51 als ,a ,c4 ,wrd5 bei e9] ,vi]teilung d] er/g5annt5 ,s5kre*t5 ni*t beide d5 ,punkt5 b und c entspre*5d5 ,punkte inn]halb d] ,zei*nung fall51 s halbi]e man das dem ,horizont zun*/ lieg5de ,vi]tel und ziehe von hi] aus die beid5 ,l9i5 na* dem ,horizont1 also i g und i k /att a b und a c4 ,die ,punkte1 wo sie d5 ,horizont treff51 hi] g und k1 mss5 9 diesem ,fall e95 ,ab/& hab51 d] w5ig/5s halb s gross i/1 als e9e ,l9ie vom ,augpunkt na* dem von ihm entf]nte/5 ,punkte4 ,v]krzte wagre*te ,l9i51 d]5 ,ri*tung ni*t g5au zu b]e*n5 i/4 #cg4 ,wo die p]spectivis*e ,ri*tung e9] v]krzt5 wagre*t5 ,l9ie ohne g5au]e ,b]e*nung gefund5 w]d5 muss1 bietet die ,v]glei*ung mit e9] unv]krzt5 ,wagre*t5 das be/e ,mittel1 um d5 ,grad1 9 wel*em j5e na* dem ,horizont h9 fall5 od] /eig5 muss1 ri*tig zu beurteil54 ,man halte zu diesem ,zweck d5 ,r& des ,zei*5blattes1 e9 ,l9eal od] d]gl4 9 d] ,ri*tung e9] unv]krzt5 ,wagre*t5 s zwis*5 ,auge und ,geg5/&1 dass e9 ,endpunkt d] v]krzt5 ,l9ie1 wel*e man zei*n5 w1 davon dur*s*nitt5 wird1 wie 9 ,fig4 #cd d] ,punkt a von d] ,l9ie e f4 brig5s i/ au* die p]spectivis*e ,lnge e9] v]krzt5 ,l9ie von wes5tli*em ,e9fluss auf die ri*tige od] unri*tige ,wirkung ihr] p]spectivis*5 ,ri*tung4 ,je w5ig] die ,/ellung e9] v]krzt5 ,wagre*t5 zum ,horizont von d] ,ri*tung des lezt]5 abwei*t1 de/o w5ig] v]nd]t si* ihr ,grss5v]hltnis zu &]n ,l9i52 je mehr sie d] re*tw9klig5 ,/ellung zum ,horizont1 ihr ,flu*tpunkt dem ,augpunkt si* nh]t1 de/o krz] s*e9t sie zu w]d51 vgl4 ,fig4 #bc4 ,es kommt nun hufig vor1 dass die p]spectivis*e ,ri*tung v]krzt] ,l9i51 w5n sie ganz d] ,regel entspre*5d angegeb5 i/1 d5no* e9e fals*e ,wirkung ma*t1 weil ihr p]spectivis*es ,grss5v]hltnis v]fehlt i/ und zw> ges*ieht dies gewhnli* 9 d] ,weise1 dass sie zu lang gezei*net wird 7vgl4 #g74 ,wagre*te ,p>allell9i51 d]5 ,flu*tpunkt unzugngli* i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #ca4 #ch4 ,9 ,fig4 #ca--cc i/ gezeigt1 wie die ,ri*tung v]krzt] wagre*t] ,p>allell9i51 d]5 ,flu*tpunkt ni*t errei*b> i/1 g5au b]e*net w]d5 kann4 ,es sei5 9 ,fig4 #ca gegeb5 die ,wagre*t5 ,a ,b und ,a ,c s[ie die ,s5kre*t5 ,a ,d und ,c ,e und soll5 von ,d und ,e ,l9i5 p>allel mit ,a ,b1 von ,d und ,b #b weit]e p>allel mit ,a ,c gezei*net w]d54 ,man bilde b] ,a ,b mit d] ,horizontl9ie und e9] 9 ,b erri*tet5 ,s5kre*t5 das ,re*teck ,a ,b b ,p und erri*te 9 i1 dem ,s*nittpunkt se9] ,diagonal51 e9e ,s5kre*te1 ziehe hi]auf e9e ,l9ie von ,d na* b und von ,p dur* d5 ,punkt k1 9 wel*em ,d b j5e ,s5kre*te s*neidet1 e9e ,l9ie na* d] v]lng]t5 ,b b1 s i/ ,d ,g p]spectivis* p>allel mit ,a ,b4 ,eb5so i/ auf d] &]n ,seite dur* die ,diagonal5 des ,re*tecks ,a ,c c ,p dess5 p]spectivis*] ,mittelpunkt gefund5 und e9e 9 diesem erri*tete ,s5kre*te b5zt1 um die ,lage des ,punktes d und hiemit die ,ri*tung d] mit ,a ,c p>allel5 ,l9ie ,d d zu be/imm54 ,um von ,e e9e mit ,a ,b p>allele ,l9ie zu zei*n51 kann lezt]e bis zu d] dur* ,e geh5d5 ,s5kre*t5 also bis s v]lng]t und die p]spectivis*e ,mittell9ie des ,re*tecks s ,a ,p c wie ob5 b5zt w]d51 um d5 ,punkt t zu erhalt54 ,od] kann seitwrts e9 ,re*teck s o ,h c gebildet1 mittels se9] s5kre*t5 ,halbi]ungsl9ie ob5 d] ,punkt e gefund5 und hi]auf e ,e na* re*ts v]lng]t w]d54 ,wie auf glei*e ,weise die mit ,a ,c p>allele ,ri*tung d] von ,b ausgeh5d5 ,l9ie ,b g und damit ,b r mittels d] ,halbi]ungsl9ie e9es ,re*tecks b a f h gefund5 wird1 i/ aus d5 ,l9i5 d] ,figur zu erseh54 ,/att d] ,l9ie ,a ,c knnte au* e9e &]e mit ihr p>allele ,l9ie z4 ,b4 d ,d v]lng]t und dur* die ,diagonal5 y h und z b die ,mittell9ie von b h z y gefund5 w]d54 ,um s*liessli* d5 ,punkt ,f zu erhalt51 kann von ,c e9e mit ,a ,b p>allele ,l9ie gezei*net und 9 dem ,punkte r1 9 wel*em sie die v]lng]te ,b g trifft1 e9e ,s5kre*te erri*tet w]d51 wel*e die p>allel mit ,a ,b von ,e ausgeh5de ,l9ie 9 ,f s*neidet4 ,i/ s das s*rg lieg5de ,re*teck ,e ,d ,g ,f gegeb51 s ls/ si* die s*rge ,mittell9ie desselb5 7wel*e si* dur* ,v]b9dung des p]spectivis*5 ,halbi]ungspunktes von ,d ,g mit dem ,s*nittpunkt d] ,diagonal5 ,d ,f und ,e ,g ergibt7 v]w5d51 um von e9em beliebig5 ,punkte d] ,l9i5 ,d ,e od] ,g ,f e9e mit ,d ,g p>allele ,l9ie zu zieh51 z4 ,b4 m n4 #ci4 ,9 ,fig4 #cb soll51 na*dem ,a ,b und ,a ,c als ,seit5 e9es ,re*tecks gegeb5 s9d1 die beid5 &]n ,seit5 gezei*net w]d54 ,da d] ,raum ni*t ge/attet1 die g5annt5 ,l9i5 wie 9 ,fig4 #ca bis zu d5 #b von ,c und ,b abwrts gezog55 ,s5kre*t5 zu v]lang51 s s9d ,a a1 ,b b und ,c c halbi]t und dur* die ,halbi]ungspunkte die ,l9i5 g f e und h f k gezog51 wel*e p]spectivis* p>allel s9d mit ,a ,b und ,a ,c4 ,entspre*5d #ch i/ nun e9e ,s5kre*te dur* i1 d5 ,s*nittpunkt d] ,diagonal5 a e und c f gezog51 wel*e von d] ,l9ie f ,c 9 m ges*nitt5 wird4 ,e9e ,l9ie von e dur* m ergibt auf d] ,s5kre*t5 ,a a d5 ,punkt p und die mit ,a ,b p>allele ,ri*tung ,c p4 ,9 glei*] ,weise i/ die mit ,a ,c p>allele ,ri*tung ,b o dur* die s5kre*te ,mittell9ie des ,re*tecks a b k f gefund52 /att dess5 knnte au*1 wie die ,figur zeigt1 e9 seitwrts gebildetes ,re*teck zu demselb5 ,zweck v]w5det w]d54 ,illu/ration3 ,fig4 #cb4 ,bequem] wre j$o* 9 diesem ,fall das 9 ,fig4 #cc angew5dete ,v]fahr51 wo glei*falls ,a ,b und ,a ,c die gegeb55 ,seit5 e9es zu bild5d5 ,re*tecks se9 soll54 ,illu/ration3 ,fig4 #cc4 ,w5n 9 e9em von #f ,quadrat5 od] ,re*teck5 ums*loss55 ,raume zwis*5 #b entgeg5gesezt5 ,eck5 ,diagonall9i5 gezog5 w]d51 wie 9 ,fig4 #dj die ,l9i5 a b und ,b c1 s s*neid5 si* dieselb5 9 d] ,mitte j5es ,raums3 p ,fig4 #dj i/ die ,mitte von ,a ,b b ,c c a ,g h4 ,e9e dur* p gezog5e ,s5kre*te trifft also die ,re*tecke a ,g h c und ,a ,b b ,c 9 dem ,dur*s*nittspunkt ihr] ,diagonal54 ,zieh5 wir nun 9 ,fig4 #cc von ,a1 ,b und ,c bis zum ,horizont die ,s5kre*t5 ,a a1 ,b b und ,c c1 s entspre*5 die ,l9i5 ,b c und ,c b1 wel*e si* 9 e s*neid51 d5 ,diagonal5 ,b c und a b ,fig4 #dj und e9e von e abwrts gezog5e ,s5kre*te ergibt o als p]spectivis*e ,mitte d] ,diagonale ,c ,b4 ,die ,diagonal5 ,a b und a ,b s*neid5 si* 9 k1 ,a c und a ,c 9 i2 g und m s9d also die p]spectivis*5 ,halbi]ungspunkte von ,a ,b und ,a ,c2 z i/ ,flu*tpunkt d] ,diagonale ,a o und folgli* au* d] von g na* d] ,mitte von ,b ,d geh5d5 ,l9ie1 da beide geometris* p>allel s9d4 g z und die v]lng]te m o s*neid5 si* 9 n1 ,a z und die v]lng]te ,b n 9 ,d1 womit die ,=m des ,re*tecks gegeb5 i/4 ,die v]lng]t5 ,mittell9i5 m n und g o knn5 sodann b5zt w]d51 um entspre*5d ,fig4 #ca und #cb weit]e mit ,a ,b und ,a ,c p>allele ,l9i5 zu zieh54 ,soll z4 ,b4 von d na* l9ks e9e mit ,a ,c p>allele ,l9ie gezei*net w]d51 s s*neidet man die v]lng]te m n dur* ,d d 9 p und zieht von ,b dur* p e9e ,l9ie na* f2 d f i/ somit p>allel mit ,a ,c und ,b ,d4 #dj4 ,muss e9e grss]e ,anzahl von ,p>allell9i51 d]5 ,flu*tpunkt unzugngli* i/1 gezei*net w]d51 s wrde es zu um/ndli* se91 j$e e9zelne g5au zu b]e*n54 ,man kann si* 9 diesem ,fall begng51 e9ige 9 pass5d5 ,zwis*5rum5 zu kon/rui]51 um mit ,hilfe d]selb5 ohne weit]e ,b]e*nung die brig5 zu zei*n54 ,s knn5 9 ,fig4 #ba1 w5n die ,ri*tung c d gegeb5 i/1 mittels d] s5kre*t5 ,halbi]ungsl9ie von c d e f die von g1 h und i ausgeh5d5 ,p>allell9i5 g5au b]e*net und sodann die zwis*5 ihn5 lieg5d5 ohne weit]e ,b]e*nung gezei*net w]d54 ,od] knn5 von #b beliebig5 ,punkt5 d] zu]/ gezei*net5 ,wagre*t5 #b ,s5kre*te bis zum ,horizont gezog5 und beide 9 e9e glei*e ,zahl von glei* gross5 ,teil5 geteilt w]d5 wie 9 ,fig4 #cj ,a ,p1 ,b ,g und ,c ,f 9 je #d ,teile geteilt s9d4 ,dur* die ,v]b9dung d] entspre*5d5 ,teilungspunkte erhlt man p]spectivis*e ,p>allell9i51 zwis*5 wel*5 dann weit]e gezog5 w]d5 knn51 vgl4 ,fig4 #ge die ,teilung von ,a ,d und ,b ,c 9 je #i ,teile4 ,je na* ,b$rfnis kann sodann dieselbe ,e9teilung na* ob5 od] unt5 9 d] ,v]lng]ung j5] ,s5kre*t5 =tgesezt w]d54 ,e9 weit]es ,v]fahr51 die ,ri*tung v]krzt] ,p>allell9i5 ohne ,hilfe ihres ,flu*tpunkts zu be/imm51 i/ 9 #gj angegeb54 ,v]krzte s*rge ,l9i54 #da4 ,9 ,fig4 #cf i/ a c e9e na* d] ,f]ne h9 /eig5de1 a g e9e dor?9 fall5de ,l9ie4 7,w5n im ,folg5d5 von fall5d5 od] /eig5d5 ,l9i5 die ,r$e i/1 s s9d imm] ,l9i5 geme9t1 wel*e 9 ,wirkli*keit od] geometris* na* d] ,f]ne h9 fall5 od] /eig574 ,bild5 wir das ,massdreieck dies] ,l9i5 7vgl4 #bc7 mittels d] ,wagre*t5 a b und d] #b ,s5kre*t5 b c und b g1 s i/ kl>1 dass e9e /eig5de ,l9ie wie a c1 s[eit man sie v]lng]n mag1 niemals e95 ,punkt treff5 kann1 d] unt]halb d] wagre*t5 ,l9ie ihres ,massdreiecks od] d]5 ,v]lng]ung liegt und eb5so w5ig e9e fall5de ,l9ie wie a g e95 ,punkt1 d] b] j5] ,wagre*t5 liegt4 ,also liegt d] ,flu*tpunkt e9] v]krzt5 s*rg5 ,l9ie ob]halb des ,horizonts1 w5n sie na* d] ,f]ne h9 /eigt1 unt]halb des ,horizonts1 w5n sie na* d] ,f]ne h9 fllt2 vgl4 die /eig5d5 und fall5d5 ,l9i5 9 ,fig4 #cg4 #db4 ,es kann vorkomm51 dass gemss dies] ,regel e9e /eig5de ,l9ie s gezei*net w]d5 muss1 dass ihr f]n]] ,endpunkt tief] liegt als d] n"h1 vgl4 a c ,fig4 #cd4 ,hufig] i/ d] umgekehrte ,fall1 dass ,l9i51 wel*e 9 ,wirkli*keit na* d] ,f]ne h9 fall51 p]spectivis* na* dor?9 /eig51 wie a b und c d ,fig4 #ce4 ,illu/ration3 ,fig4 #cd4 ,9 sol*5 ,fll5 i/ es ntig1 dur* ,h]vorheb5 von geometris* wagre*t5 ,l9i5 d] n*/5 ,umgebung1 wel*e zu d5 betreff5d5 s*rg5 ,l9i5 e95 si*tb>5 ,geg5saz bild51 die ,wirkung d] lezt]5 zu unt]/z51 damit sie mit h9rei*5d] ,deutli*keit das ausdrck51 0 sie se9 soll54 ,9 ,fig4 #cd s9d es z4 ,b4 die ,balk5 d] re*t5 ,seite1 9 ,fig4 #ce die wagre*t5 ,fug5l9i5 d] an/oss5d5 ,mau]1 wel*e es dem ,bes*au] deutli* ma*51 dass a c dort e9e 9 ,wirkli*keit von a na* c /eig5de1 a b 9 ,fig4 #ce e9e na* b fall5de ,l9ie i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #ce4 #dc4 ,9 ,fig4 #cf s9d a b und e f wagre*te ,p>allell9i51 eb5so a e1 b f und c d2 a c und e d s9d s*rge ,p>allell9i54 ,w5n zwis*5 p>allel5 ,l9i5 ,v]b9dungsl9i5 lieg51 wel*e unt] si* glei*falls p>allel s9d1 s s9d lezt]e glei* lang 7 #a1 ,fig4 #a72 also s9d a e1 b f und c d glei* lang1 d4 h4 die ,entf]nung d] s*rg5 ,p>allell9i5 a c und e d und diej5ige d] wagre*t5 a b und e f von e9&] i/ glei* gross4 ,da d] ,ab/& dies] ,p>allell9i5 von e9&] na* d] ,f]ne h9 9 glei*em ,masse kle9] zu w]d5 s*e9t1 d4 h4 9 glei*] ,tiefe imm] wi$] d]selbe i/ -- m n i/ o p u4 s4 w4 -- s mss5 beide 9 glei*] ,tiefe zusamm5treff51 d4 h4 ihre ,flu*tpunkte mss5 9 ,e9] s5kre*t5 ,l9ie lieg51 wie ,fig4 #cf deutli* zeigt4 ,illu/ration3 ,fig4 #cf4 ,dasselbe gilt selb/v]/ndli* fr die fall5d5 ,l9i5 a g und e h4 ,mit &]n ,wort53 d] ,flu*tpunkt e9] v]krzt5 s*rg5 ,l9ie liegt s5kre*t b] od] unt] dem ,flu*tpunkt d] wagre*t5 ,l9ie ihres ,massdreiecks4 ,s liegt 9 ,fig4 #cg d] ,flu*tpunkt d] ,l9i5 a1 b1 c und d s5kre*t b] n1 d] ,flu*tpunkt d] ,l9i5 g und i s5kre*t unt] n1 die ,flu*tpunkte von e1 f und k lieg5 9 e9] ,s5kre*t51 wel*e dur* d5 ,flu*tpunkt d] ,wagre*t5 o und p geht4 ,i/ demna* a c ,fig4 #cf als ,ri*tung e9] s*rg5 ,l9ie1 a b als ,ri*tung d] wagre*t5 ,l9ie ihres ,massdreiecks ang5omm51 s i/ au* die p]spectivis*e ,ri*tung all] mit a c p>allel5 ,l9i5 gegeb51 indem a b bis zum ,horizont1 a c bis zu d] s5kre*t5 dur* d5 ,flu*tpunkt von a b geh5d5 ,l9ie v]lng]t und s d] die ,ri*tung d] p>allel5 ,l9i5 be/imm5de ,flu*tpunkt gefund5 wird4 #dd4 ,bef9d5 si* 9 e9] v]krzt5 s5kre*t5 ,fl*e /eig5de und fall5de ,l9i51 wel*e 9 ,wirkli*keit d5selb5 ,neigungsw9kel hab51 s lieg5 ihre ,flu*tpunkte 9 glei*] ,entf]nung vom ,horizont4 ,sol*e ,l9i5 s9d z4 ,b4 a c und a g ,fig4 #cf2 a und g1 d und i1 f und k ,fig4 #cg4 ,9 ,fig4 #cf i/ a c g 9 ,wirkli*keit e9 glei*s*5kliges ,dreieck1 also muss e9e von se9] ,spize a na* d] ,grundl9ie c g gezog5e ,wagre*te die lezt]e 9 ihrem ,halbi]ungspunkt b treff52 w]d5 a c und a g v]lng]t und an beliebig] ,/elle dur* e9e ,s5kre*te s m v]bund51 s wird lezt]e dur* die v]lng]te a b glei*falls halbi]t1 also muss au* z1 d] ,flu*tpunkt von a b1 9 d] ,mitte lieg5 zwis*5 x und y1 d5 ,flu*tpunkt5 von a g und a c4 ,illu/ration3 ,fig4 #cg4 ,9 ,fig4 #cg i/ h h p>allel mit i i 7da beide d5selb5 ,flu*tpunkt hab57 und die ,s5kre*te y z wird von d] ,wagre*t5 m n 9 d] ,mitte dur*s*nitt54 ,eb5so muss n 9 d] ,mitte lieg5 zwis*5 d5 ,flu*tpunkt5 d] ,l9i5 h1 i1 g und c1 d1 a2 die ,flu*tpunkte von e1 f und k mss5 glei* weit entf]nt se9 vom ,flu*tpunkt d] ,wagre*t5 o und p4 ,b]e*nung d] ,ri*tung s*rg] ,l9i5 ohne ,hilfe ihr] ,flu*tpunkte4 #de4 ,man b$i5t si* j$o*1 um die ,ri*tung v]krzt] s*rg] ,l9i5 zu b]e*n51 selt5 ihr] ,flu*tpunkte1 da dieselb5 9 d5 mei/5 ,fll5 auss]halb d] ,zei*5fl*e lieg54 ,d5 n*/lieg5d5 ,ersaz bietet die s5kre*te und wagre*te ,l9ie ihres ,massdreiecks4 ,i/ ,ri*tung und ,lnge d] wagre*t5 s[ie die ,hhe d] s5kre*t5 ,l9ie e9es sol*5 ,dreiecks gegeb5 od] lei*t zu b]e*n51 s i/ damit au* die ,ri*tung 7und ,lnge7 d] betreff5d5 s*rg5 ,l9i5 gefund54 ,nehm5 wir z4 ,b4 an1 dass 9 ,fig4 #ch die ,l9ie ,a ,c gegeb5 sei und d>b] e9 ,giebel von beliebig] ,hhe1 dess5 #b ,seit5 mit ,a ,c 9 ,wirkli*keit e9 glei*s*5kliges ,dreieck bild51 gezei*net w]d5 soll1 s kann k als p]spectivis*e ,mitte von ,a ,c dur* die ,diagonal5 e9es ,re*tecks ,a ,c ,e ,d od] ,a ,c g f gefund5 und 9 k e9e ,s5kre*te erri*tet w]d51 9 wel*] die ,spize des ,giebeldreiecks lieg5 muss4 -- ,i/ das ,dreieck ,a ,b k gegeb51 s dass d] ,punkt ,c be/immt w]d5 muss1 s bildet man mit ,a k und e9] beliebig5 ,p>allell9ie1 z4 ,b4 i ,d1 e9 ,re*teck ,a k i ,d und zieht e9e ,l9ie von ,d dur* die ,mitte von i k na* d] v]lng]t5 ,a k1 wodur* ,c k ,a k gema*t i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #ch4 ,soll1 na*dem ,d ,f und ,d ,e gegeb5 s9d1 von ,e abwrts e9e ,l9ie gezei*net w]d51 wel*e d5selb5 ,neigungsw9kel hat1 wie ,d ,f1 s wird lezt]e v]lng]t bis e1 wo sie die s5kre*te ,mittell9ie trifft und von e dur* ,e die ,l9ie ,e ,g gezog54 -- ,od] kann von ,f e9e mit ,d ,e p>allele ,l9ie na* l9ks und die s5kre*te ,mittell9ie von ,e ,d f g gezog51 die von y na* ,h ,h geh5de ,s5kre*te halbi]t und hi]auf dur* e9e ,l9ie von r dur* dies5 ,halbi]ungspunkt d] ,punkt ,g be/immt w]d54 #df4 ,9 ,fig4 #ci i/ ang5omm51 dass die p]spectivis*e ,ri*tung und ,lnge d] ,l9i5 ,a ,b und ,a ,c1 die ,hhe ,a a und die ,breite a c be/immt sei51 womit au* die ,ri*tung d] s*rg5 ,l9ie ,a c gegeb5 i/1 9 wel*] die inn]5 ,eck5 d] ,/uf5 lieg5 mss52 die uss]5 ,eck5 lieg5 9 e9] mit ,a c p>allel von a ausgeh5d5 ,l9ie1 d]5 ,ri*tung gefund5 wird1 indem man c d b c ma*t4 ,e9e ,l9ie von d na* dem ,flu*tpunkt von ,a ,c ergibt e1 e9e ,s5kre*te von hi] d5 ,punkt f4 ,bildet man hi]auf das ,re*teck ,a ,c h g1 s kann mittels se9] ,diagonal5 m n als s5kre*te ,mittell9ie gefund5 w]d52 ,c m n i/ demna* ,a m n und die ,eck5 d] f]n]5 ,/uf5 knn5 dur* die von a und k na* dem ,flu*tpunkt von ,a ,c gezog55 ,l9i5 und die entspre*5d5 ,s5kre*t5 gefund5 w]d54 7brig5s kann dieselbe ,aufgabe au* ohne ,hilfe d] zweit5 s*rg5 ,l9ie gel/ w]d53 man ma*t a k und k g ,a a1 zieht von dies5 ,punkt5 aus die mit ,a ,c p>allel5 ,l9i5 und erhlt die ,punkte d und f dur* die 9 c und e erri*tet5 ,s5kre*t547 ,die brig5 ,l9i5 d] ,figur s9d teils s5kre*t1 teils s9d sie p>allel mit ,a ,c od] mit ,a ,b4 ,illu/ration3 ,fig4 #ci4 #dg4 ,e9 ,beispiel1 wie die ,ri*tung v]krzt] s*rg] ,p>allell9i5 ohne ,hilfe ihres ,flu*tpunkts b]e*net w]d5 kann1 i/ au* 9 ,fig4 #ca en?alt51 wo1 um d5 ,punkt ,f zu f9d51 ,b r und ,c r gezog5 und 9 r e9e ,s5kre*te erri*tet wurde1 wel*e auf d] von ,e ausgeh5d5 ,wagre*t5 d5 ,punkt ,f und hiemit die mit ,d ,e p>allele ,ri*tung d] ,l9ie ,g ,f ergibt4 ,auf dieselbe ,weise kann 9 ,fig4 #dj1 w5n das ,dreieck ,a ,b ,d und die ,wagre*te ,a ,c gegeb5 s9d1 die ,ri*tung d] mit ,a ,d p>allel5 ,l9ie ,c ,e b]e*net w]d51 indem man von ,c e9e mit ,a ,b1 von d und ,d zwei mit ,a ,c p>allele ,l9i5 zieht und 9 e e9e ,s5kre*te erri*tet4 ,eb5so kann ,f n gefund5 w]d5 dur* die ,l9i5 ,f m und m n4 ,illu/ration3 ,fig4 #dj4 ,9 ,fig4 #ch kann von p aus e9e ,l9ie p>allel mit ,a ,b gezei*net w]d5 mittels d] ,l9i5 k x1 p x und e9] 9 x erri*tet5 ,s5kre*t54 ,od] kann man 9 ,a und p #b ,s5kre*te erri*t51 ,b b p>allel mit ,a ,c1 b o p>allel mit ,a p zieh5 und hi]auf dur* e9e weit]e mit ,a ,c p>allele ,l9ie von o aus d5 ,punkt n be/imm54 ,soll von ,d aus abwrts e9e mit ,a ,b p>allele ,l9ie gezei*net w]d51 s kann dur* die ,v]lng]ung von ,a ,b1 ,a ,c und ,d ,e e9 ,dreieck ,a c d gebildet und d h c d gema*t w]d51 wodur* ,d h p>allel mit ,b ,a i/4 ,od] kann1 na*dem das ,dreieck ,a ,b b gezei*net i/1 ,d a ,a b gema*t und von a e9e mit ,a ,c und b ,b p>allele ,l9ie bis zu d] ,s5kre*t5 ,b k gezog5 w]d51 wodur* e ,d p>allel mit ,a ,b i/ und von ,d aus v]lng]t w]d5 kann4 ,es knnte f]n]1 w5n ,f z geometris* y z i/1 dur* d5 ,halbi]ungspunkt von ,d z e9e ,l9ie von i na* d] v]lng]t5 y z gezog5 w]d54 #dh4 ,9 ,fig4 #da sei ,a ,g a und ,a o gegeb54 ,um die ,ri*tung d] p>allel mit ,a a von ,b1 i und o ausgeh5d5 ,l9i5 zu b]e*n51 i/ dur* d5 ,halbi]ungspunkt d] ,s5kre*t5 n a e9e mit ,a ,g p>allele ,l9ie na* f und von hi] aus f g als wagre*te ,mittell9ie des ,da*es gezog51 wel*e nun hnli* wie die ,mittell9i5 9 ,fig4 #ca b5zt w]d5 kann1 um zwis*5 ,a ,b und a p beliebige mit ,a a p>allele ,l9i5 z4 ,b4 ,b b1 i k und o p zu zei*n53 man zieht a ,b und ,a r b1 b i und ,b s k u4 s4 w4 ,die ,ri*tung d] ,l9ie ,c c i/ auf die 9 #de ,fig4 #ch angegeb5e ,weise b]e*net3 d h i/ n a gema*t und von h e9e ,l9ie dur* ,c na* d] v]lng]t5 m z gezog54 ,d] ,punkt ,f ergibt si* dur* e9e p>allel mit ,a ,g von ,e na* d] ,v]lng]ung von b ,b gezog55 ,l9ie2 e9e ,s5kre*te von ,f abwrts s*neidet die von c na* re*ts geh5de ,wagre*te 9 e1 womit ,e e gegeb5 i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #da4 ,s9d auf sol*e ,weise e9ige ,p>allell9i5 gezei*net1 s kann die p]spectivis*e ,ri*tung weit]] zwis*5 ihn5 lieg5d] ,l9i5 au* ohne g5aue ,b]e*nung j$] e9zeln5 ohne ,s*wi]igkeit be/immt w]d54 ,v]s*i$5e ,beispiele4 ,trepp51 ,d*]1 ,da*f5/]1 ,turmhelme4 #di4 ,die ,anw5dung des vorangegang55 i/ 9 ,fig4 #db--fj an weit]5 ,beispiel5 gezeigt4 ,d] ,glei*>tigkeit des ,geg5/&s weg5 bef9d5 si* unt] d5selb5 au* sol*e1 bei d55 die im folg5d5 ,abs*nitt bespro*5e ,=m des v]krzt5 ,quadrats als gegeb5 betra*tet w]d5 muss4 ,fr die ,con/ruction d] ,treppe ,fig4 #db nehm5 wir die ,hhe und ,breite d] unt]/5 ,/ufe1 also die p]spectivis*e ,lnge d] ,l9i5 ,b b und b c1 s[ie die ,l9ie ,a ,b als gegeb5 an4 ,da lezt]e e9e unv]krzte ,wagre*te i/1 s muss d] ,augpunkt ,flu*tpunkt d] ,l9ie b c se94 ,wird nun b m ,b b gema*t1 9 c e9e ,s5kre*te erri*tet und von m e9e ,l9ie na* ,p gezog51 s i/ c n die p]spectivis*e ,hhe d] zweit5 ,/ufe und es i/ dur* b n die ,ri*tung d] s*rg5 ,l9ie gegeb51 9 wel*] die vord]5 ,eck5 d] folg5d5 ,/uf5 lieg5 mss54 ,hi]auf wird auf d] v]lng]t5 ,b m die ,hhe ,b b mit dem ,zirkel s (t wi$]holt1 als ntig i/1 um die gewns*te ,zahl von ,/uf5 zu erhalt5 und w]d5 von d5 ,teilungspunkt5 ,l9i5 na* ,p gezog54 ,die ,punkte1 9 wel*5 lezt]e die ,l9ie b d s*neid51 s9d die vord]5 ,eck5 d] ,/uf51 die h9t]5 dem ,punkte c entspre*5d5 ,eck5 ergeb5 si* dur* die von o1 p u4 s4 w4 abwrts gezog55 ,s5kre*t54 ,auf d] &]n ,seite s*neid5 si* a ,p und die von c na* l9ks gezog5e ,wagre*te 9 y1 e9e ,wagre*te von n na* l9ks und e9e 9 y erri*tete ,s5kre*te s*neid5 si* 9 z u4 s4 w4 ,illu/ration3 ,fig4 #db4 ,um von ,f aus die mit a ,d und b d p>allele ,l9ie des ,gelnd]s zu zei*n51 i/ dur* die ,diagonal5 e9es ,re*tecks g h d ,d dess5 wagre*te ,mittell9ie be/immt1 wel*e von d] ,l9ie ,f d 9 i ges*nitt5 wird1 worauf die von h dur* i na* ,d d gezog5e ,diagonale d5 ,punkt f und hiemit ,f f als ,p>allele von h d ergibt4 #ej4 ,fig4 #dc zeigt #b hufige ,=m5 von ,da*f5/]n4 m y und n z s9d p>allel mit ,a ,d zu zei*n51 y z1 o p1 m n p>allel mit ,a ,c2 die ,hhe m o s[ie die ,lnge m y s9d beliebig1 vorausgesezt1 dass o y und p z als na* y und z h9 /eig5de ,l9i5 gezei*net s9d4 ,illu/ration3 ,fig4 #dc4 ,bei d] zweit5 ,=m i/ d f p>allel mit ,a ,d2 die ,hhe des ,giebels kann beispielsweise 9 i od] 9 c ang5omm5 w]d52 e f1 i k1 c b s9d p>allel mit ,a ,b2 die ,punkte b od] k lieg5 sodann da1 wo die von c od] i p>allel mit ,a ,b gezog55 ,wagre*t5 si* mit e9] s*rg5 ,l9ie s*neid51 wel*e von a1 d] ,mitte von d h1 p>allel mit ,a ,d auf/eigt4 ,dur* d5 ,punkt b1 9 wel*em die leztg5annte ,l9ie und die ,fir/l9ie des ,hauptda*es si* s*neid51 i/ c b als grs/e ,hhe gegeb51 wel*e fr die ob]e ,wagre*te des ,da*f5/]s ang5omm5 w]d5 d>f1 d4 h4 e9e von se9] ,giebelspize p>allel mit ,a ,b gezog5e ,wagre*te d>f die von a p>allel mit ,a ,d ausgeh5de ,l9ie ni*t j5seits des ,punktes b1 ni*t ob]halb d] ,fir/l9ie ,d b treff51 es wre d5n1 dass e9e entspre*5de ,=tsezung auf d] &]n ,da*seite ang5omm5 wrde4 #ea4 ,9 ,fig4 #dd sei5 a b und b c als zwei ,seit5 e9es quadratis*5 ,turmes gegeb5 und soll d>b] e9 ,da* gezei*net w]d51 dess5 ,spize b] d] ,mitte des ganz5 ,turmes1 d4 h4 se9] quadratis*5 ,grundfl*e liegt4 ,zieht man die mit a b und b c p>allel5 ,l9i5 d c und a d1 s muss die ,spize 9 e9] ,s5kre*t5 lieg51 wel*e 9 dem ,s*nittpunkte d] ,diagonal5 a c und b d erri*tet wird2 die ,hhe d] ,spize i/ beliebig4 ,bequem] wird 9 d5 mei/5 ,fll5 die ,mitte des ,ganz5 auf die #ci angegeb5e ,weise gefund53 man zieht an beliebig] ,/elle die mit a b und b c p>allel5 ,l9i5 e f und f g 7od] b5zt /att d]selb5 die ,horizontl9ie71 um mittels d] ,diagonal5 c e und a g d5 gewns*t5 ,punkt zu erhalt51 9 wel*em j5e ,s5kre*te zu erri*t5 i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #dd4 ,hufig kann man si* au* damit begng51 die #b uss]5 ,s5kre*t5 z4 ,b4 9 ,fig4 #dd e a und g c1 na* ob5 zu v]lng]n und die ,spize 9 die ,mitte zwis*5 beide zu v]leg54 ,das ,resultat /immt zw> ni*t imm] voll/ndig mit dem d] g5au5 ,b]e*nung b]e91 do* i/ die ,abwei*ung e9e s g]+e1 dass die ri*tige ,wirkung ni*t dadur* bee9tr*tigt wird2 vgl4 ,fig4 #de4 #eb4 ,9 ,fig4 #de s9d zu]/ von a1 b und c aus #c ,l9i5 na* e9em tief] lieg5d5 ,punkte o d] s5kre*t5 ,mittell9ie gezog51 hi]auf an beliebig] ,/elle die mit a b und b c p>allel5 ,l9i5 k m und m n und von d5 ,punkt5 k1 m und n #c ,l9i5 na* d] hh] lieg5d5 ,spize p4 ,illu/ration3 ,fig4 #de4 ,die ,con/ruction von ,fig4 #df i/ hi5a* lei*t zu v]/eh54 ,9 ,fig4 #dg s9d von a1 b und c aus zu]/ #c ,l9i5 na* dem hh] 9 d] ,mittell9ie lieg5d5 ,punkt p1 hi]auf die mit a b und b c p>allel5 d e und e f1 und na* dem tief] lieg5d5 ,punkt o die ,l9i5 d o1 e o und f o gezog54 ,illu/ration3 ,fig4 #df4 ,illu/ration3 ,fig4 #dg4 #ec4 ,bei d] 9 ,fig4 #dh und #di d>ge/ellt5 ,da*=m lieg5 die ,punkte ,e und ,f s5kre*t b] d5 ,punkt5 m und n1 wel*e ihr]seits 9 d] ,mittell9ie a b des ,re*tecks ,a ,b ,c ,d lieg54 m a i/ 9 ,wirkli*keit n b2 d5k5 wir uns die s5kre*t b] ,a ,b und ,c ,d /eh5d5 ,giebelwnde ,a ,b d und ,d ,c f h9zugezei*net1 s wre au* ,e d ,f f4 ,gewhnli* hab5 die beid5 s*rg5 ,dreiecke 7,a ,b ,e und ,d ,c ,f7 d5selb5 ,neigungsw9kel wie die an/oss5d5 ,breitseit5 des ,da*es4 ,9 diesem ,fall mss5 die s5kre*t unt] ,e und ,f lieg5d5 ,punkte m und n ,mittelpunkte zwei] ,quadrate se91 d]5 ,seit5 ,a ,b s9d1 s dass m a ,a a wre4 ,do* i/ die ,=m au* dann e9e ri*tige1 w5n ang5omm5 wird1 dass d] ,neigungsw9kel j5] ,fl*5 7,a ,b ,e und ,a ,e ,f ,d7 e9 v]s*i$5] sei4 ,die ,hauptsa*e i/1 dass ,e und ,f von d und f od] m und n von a und b glei* weit entf]nt s9d1 mit &]n ,wort51 dass die beid5 ,dreiecke ,a ,b ,e und ,c ,d ,f die glei*e ,neigung hab54 ,zu diesem ,zweck be/imme man 9 ,fig4 #dh1 ang5omm51 dass ,a ,b ,e und ,a ,d gegeb5 sei51 die p]spectivis*e ,mitte d] ,fir/l9ie 9 h 7mittels ,a ,c und ,b ,d od] ,b z und ,d y7 bilde das ,re*teck ,e h e c und ziehe c ,f dur* die ,mitte von h e1 s i/ ,f h p]spectivis* ,e h4 ,od] man v]b9de 7,fig4 #di7 d5 ,halbi]ungspunkt r d] ,l9ie ,a ,d mit h1 d] wie ob5 gefund55 ,mitte d] ,fir/l9ie1 ziehe die ,diagonale ,e ,d und dur* d5 ,punkt1 9 wel*em ,e ,d und r h si* s*neid51 e9e ,l9ie von ,a na* ,f4 ,illu/ration3 ,fig4 #dh4 ,illu/ration3 ,fig4 #di4 ,od] au* man be/imme1 na*dem ,a ,b ,e und ,a ,d 7,fig4 #di7 gegeb5 s9d1 die p]spectivis*e ,mitte von ,a ,b und ,c ,d1 also die ,punkte a und b1 ziehe von a dur* ,e e9e ,l9ie na* d] s5kre*t5 ,mittell9ie des ,ganz5 7erri*tet im ,s*nittpunkte d] ,diagonal5 ,b z und ,d y7 und von o e9e ,l9ie na* b1 wel*e die ,fir/l9ie 9 ,f s*neidet4 #ed4 ,um das ,da* ,fig4 #ej zu con/rui]51 wird zu]/ die e9fa*e ,da*=m ,c ,a a g h und an beliebig] ,/elle die ,wagre*te e f p>allel mit ,a a1 s[ie e c p>allel mit ,a ,c gezei*net4 ,die p]spectivis*e ,mitte von ,a ,c i/ m1 e9e ,l9ie von hi] dur* d5 ,s*nittpunkt i ergibt d5 ,punkt n als ,mitte d] ,fir/l9ie4 ,die ,lage des e95 d] beid5 ,punkte ,d od] d wird beliebig ang5omm51 die des zweit5 dur* die ,diagonal5 ,d c und e d1 wie 9 ,fig4 #di1 #ec1 gefund54 ,illu/ration3 ,fig4 #ej4 ,hufig wird es au* g5g51 bei ,d>/ellung von ,da*=m5 wie ,fig4 #dh--ej zu]/ die gewhnli*e ,da*=m mit s5kre*t5 ,giebelwnd5 od] die p]spectivis*e ,mitte d] ,fir/l9ie anzugeb5 und na* dem ,ermess5 des ,auges d5 f]n]5 d] beid5 geometris* glei* gross5 ,teile kle9] zu zei*n51 als d5 nh]51 also z4 ,b4 9 ,fig4 #ej dafr zu sorg51 dass n d kle9] sei als ,d n1 d h kle9] als g ,d4 #ee4 ,w5n 9 e9em ,da* von d] ,fig4 #dh--ej d>ge/ellt5 ,=m ,da*f5/] wie 9 ,fig4 #dc gezei*net w]d5 soll51 s muss die s*rge ,mittell9ie d] betreff5d5 ,seite gesu*t w]d54 ,9 ,fig4 #ea z4 ,b4 muss die ,l9ie e d p]spectivis* p>allel se9 mit c ,d2 wre das ,da*f5/] ni*t 9 d] ,mitte von ,a ,b ,d1 s ms/e e9e mit c ,d p>allele ,l9ie entspre*5d d] ,l9ie a b 9 ,fig4 #dc gezei*net und sodann wie dort weit] v]fahr5 w]d54 ,illu/ration3 ,fig4 #ea4 ,auf d] an/oss5d5 ,seite ,a ,c ,e ,d mss5 a b1 f g u4 s4 w4 p>allel se9 mit d] ,mittell9ie m n4 ,9 ,fig4 #ec wre f c am unt]51 c z am ob]5 ,teil massgeb5d fr die s*rg5 ,l9i5 e9es ,da*f5/]s4 #ef4 ,fig4 #eb1 e9 ,/affelgiebel1 i/ s con/rui]t1 dass zu]/ die e9fa*e ,da*=m a b c g e und die p>allel mit a c von f und d ausgeh5d5 ,l9i5 gezei*net wurd5 7d g kle9] als f c74 ,um die ,hhe d] e9zeln5 ,absze zu be/imm51 i/ 9 k e9e b] a h9ausrei*5de ,s5kre*te k z erri*tet und 9 die er=d]li*e ,anzahl von glei*5 ,teil5 geteilt4 ,dur* die ,teilungspunkte s9d die ,l9i5 m n1 o p u4 s4 w4 und na* dem ,flu*tpunkt d] &]n ,seite m i1 o h u4 s4 w4 gezog54 ,das ,weit]e i/ aus d5 ,con/ructionsl9i5 d] ,fig4 #eb lei*t zu erseh54 ,illu/ration3 ,fig4 #eb4 #eg4 ,die ,=m e9es ,mans>d5da*es ,fig4 #ec i/ /ets e9e sol*e1 dass die #d ,seit5 des unt]5 und ihr]seits diej5ig5 des ob]5 ,teiles d5selb5 ,neigungsw9kel hab54 ,es muss dah]1 w5n ,a ,b und ,a ,c gegeb5 s9d1 von ,a ,c e9 ,teil ,a f abges*nitt5 w]d51 wel*] p]spectivis* ,a ,b i/1 s dass die s5kre*te ,l9ie1 9 wel*] die ,punkte k und d lieg5 mss51 b] d] ,mitte e9es ,quadrats 7,a ,b p f7 od] b] dem ,s*nittpunkt d] ,diagonal5 ,b m und f n erri*tet w]d5 kann4 ,na*dem nun ,a a1 a b1 ,b b1 a d und b d gezei*net s9d 7v]gl4 #eb1 ,fig4 #dg71 s w]d5 die von a1 d und k p>allel mit ,a ,c ausgeh5d5 ,l9i5 gezog52 i ergibt si* auf die #ec1 ,fig4 #dh gezeigte ,weise 7na*dem z als ,mitte d] ,fir/l9ie be/immt i/71 e dur* e9e von i abwrts gezog5e ,s5kre*te1 g dur* e9e ,l9ie von i na* ,c4 ,illu/ration3 ,fig4 #ec4 #eh4 ,d] ,turmhelm ,fig4 #ed und #ee i/ e9e an ,baut5 des romanis*5 ,/ils hufige ,=m3 die #d ,seit5 des quadratis*5 ,turms s*liess5 ob5 mit #d ,giebeln ab1 von d]5 ,spiz5 #d ,l9i5 na* d] ,turmspize geh5 und s mit d5 ,giebell9i5 #d raut5frmige ,fl*5 bild54 ,zun*/ mss5 die ,giebelspiz5 9 glei*] ,hhe lieg52 ang5omm51 dass 9 ,fig4 #ed a b d und a c gegeb5 sei51 s knn5 die s5kre*t5 ,eckl9i5 von a und b na* ob5 v]lng]t w]d51 bis sie e9e p>allel mit a b dur* d gezog5e ,wagre*te treff52 e9e ,wagre*te von g aus p>allel mit a c und e9e ,s5kre*te b] d] p]spectivis*5 ,mitte von a c ergeb5 sodann d5 ,punkt f1 e9e glei*falls mit a c p>allele ,l9ie von h und e9e mit a b p>allele ,l9ie von f aus d5 ,punkt e 7v]gl4 ,fig4 #ef74 ,illu/ration3 ,fig4 #ed4 ,illu/ration3 ,fig4 #ee4 ,9 ,fig4 #ee i/ die ,/ellung des ,turmes e9e sol*e1 dass nur e9e d] ob]5 #d ,fl*5 und ke9e d] ,umrissl9i5 des dritt5 ,giebelfeldes zu seh5 i/4 ,die ,hhe des zweit5 ,giebels i/ hi] dadur* gefund51 dass1 na*dem a c f und die ,l9ie a b gezei*net w>51 von f e9e mit a b p>allele ,wagre*te bis zur s5kre*t5 ,mittell9ie des ganz5 ,turmes1 d4 h4 bis o und von hi] e9e mit a c p>allele ,l9ie bis zu d] 9 d] ,mitte von a b erri*tet5 ,s5kre*t5 gezog5 wurde1 wodur* d als ,spize des re*tseitig5 ,giebels gegeb5 i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #ef4 ,s knnte au* 9 ,fig4 #ed /att d] ob5 angew5det5 ,con/ruction von d e9e mit a c p>allele ,wagre*te na* d] s5kre*t5 ,mittell9ie1 dur* d5 s gewonn55 ,punkt o e9e mit a b p>allele ,l9ie und hi]auf b e p]spectivis* p>allel mit a f gezog5 w]d5 7v]gl4 ,fig4 #ef74 ,f]n] muss1 damit a i e9e g]ade ,l9ie1 a d i f e9e ,fl*e sei1 a d und a f d i und f i se92 a d f und i d f s9d 9 ,wirkli*keit #b e9&] glei*e ,dreiecke1 o i muss dah] k o se94 ,od] kann zu demselb5 ,zweck die s5kre*te ,mittell9ie e9es ,giebelfeldes z4 ,b4 m f b5zt w]d53 f p wird m f gema*t und e9e mit a b p>allele ,l9ie von p na* d] s5kre*t5 ,mittell9ie des ganz5 ,turmes gezog54 #ei4 ,soll e9 vi]eckiges ,trm*5 an beliebig] ,/elle auf e9 ,giebelda* gesezt w]d51 wie 9 ,fig4 #eg1 s geht die ,con/ruction am be/5 von d] mit a b p>allel5 ,l9ie c d aus1 d]5 ,lnge na* ,gutdnk5 be/immt wird4 ,man erri*tet b] c und d #b ,s5kre*te1 bildet mit d5selb5 e9 ,re*teck m n o p und zieht aus n dur* d5 ,halbi]ungspunkt von m o e9e ,l9ie1 wel*e 9 f die v]lng]te o p trifft und damit die ,breite d] ganz5 ,seite angibt4 ,fr die p]spectivis*e ,breite d] an/oss5d5 ,seite p g e c s9d1 w5n sie g5au b]e*net w]d5 soll1 die im folg5d5 ,abs*nitt en?alt55 ,regeln b] die ,con/ruction des ,quadrats massgeb5d4 ,illu/ration3 ,fig4 #eg4 ,9 ,fig4 #eh i/ e9 hnli*es ,trm*5 auf die ,mitte e9es ,giebelda*es gesezt4 ,i/ wie hi] die ,grundfl*e e9 ,quadrat1 d4 h4 a b b c1 s i/ wie bei ,fig4 #df zu v]fahr51 na*dem von i1 d] ,mitte d] ,fir/l9ie1 die ,l9i5 i a1 i b und i c gezog5 s9d4 ,i/ a b lng] als b c od] umgekehrt1 s s*neide man von d] ,mitte d] ,fir/l9ie aus #b p]spectivis* glei* grosse ,teile i d und i e entspre*5d d] gewns*t5 ,grsse des ob]5 ,trm*5s ab1 ziehe von d und e #b s*rge ,l9i5 p>allel mit d5 ,seit5l9i5 des ,da*s abwrts und v]fahre wie bei ,fig4 #eg4 ,illu/ration3 ,fig4 #eh4 ,9 ,fig4 #ei i/ zu]/ d] ,turmaufsaz b] a b g h wie ob5 mittels d] ,l9i5 d a1 d b und d c con/rui]t 7v]gl4 ,fig4 #ee1 #ef und #eg71 die ,punkte f und e ergeb5 si* sodann dur* die s5kre*t5 ,mittell9i5 d] beid5 ,seit5 des ,turmaufsazes4 ,illu/ration3 ,fig4 #ei4 #fj4 ,fig4 #fj i/ zu]/ g]adl9ig wie ,fig4 #dg con/rui]t1 wodur* die fr die p]spectivis*e ,s*weifung d] ,eckl9i5 wi*tig5 ,punkte n1 m und k gewonn5 w]d54 ,illu/ration3 ,fig4 #fj4 ,9 ,fig4 #fa i/ zu]/ a b c d gezei*net1 sodann 7v]gl4 ,fig4 #de7 die ,lage d] ,punkte k m n be/immt1 von wel*5 die ges*weift5 ,l9i5 ausgeh51 f]n] die ,lage d] #c ,punkte1 an wel*5 sie ihre /rk/e ,ausladung hab54 ,diese ,punkte lieg5 eb5so wie k m n 9 #b mit a b und b c p>allel5 ,l9i5 und ergeb5 si*1 je na*dem die ,ausladung e9e /rk]e od] s*w*]e i/1 dur* ,v]lng]ung d] s5kre*t5 ,eckl9i51 wie x y z od] dadur*1 dass von &]n 9 glei*] ,hhe lieg5d5 ,punkt5 d] ,l9i5 a d1 b d1 c d1 od] ihr] ,v]lng]ung1 z4 ,b4 von e1 f und g1 #c ,s5kre*te und zwis*5 dies5 9 entspre*5d] ,hhe #b mit a b und b c p>allele ,wagre*te wie o h und o i gezog5 w]d54 ,illu/ration3 ,fig4 #fa4 #fa4 ,9 ,fig4 #fb i/ s*liessli* gezeigt1 wie auf ,grund d] bi%] angew&t5 ,con/ructionsl9i5 vorspr+5de ,d*] zu zei*n5 s9d4 ,illu/ration3 ,fig4 #fb4 ,na*dem ,a als vord]e ,ecke des ,da*es ang5omm5 wurde1 s9d die mit a b1 b c1 a c und a t#f p>allel5 ,l9i5 ,a ,b1 ,b ,c1 ,a ,c und ,a ,d gezei*net4 ,c d und e f s9d p>allel mit ,a ,d1 m n und o p mit ,a ,c4 z y i/ geometris* ,b b1 ab] entf]nt]1 muss also entspre*5d kle9] se9 als ,b b4 ,selb/v]/ndli* wird die ,mitte d] ,giebelseit5 bezei*net dur* die von b und h abwrts gezog55 ,s5kre*t5 und drf5 hiezu ni*t die ,punkte ,b und g b5zt w]d54 #f3 ,/att des bei k und ,d /eh5d5 ,bu*/ab5 b i/ e9 t zu sez54 ,,iv4 ,die p]spectivis*5 ,grss5v]hltnisse4 ,unt]s*eidung d] v]s*i$55 ,aufgab54 #fb4 ,wir s9d 9 #bb ausgegang5 von dem wi*tig/5 ,gesez 9 ,betreff d] p]spectivis*5 ,grss5v]hltnisse1 wona* j$] ,geg5/& im ,v]hltnis se9] ,entf]nung vom ,auge kle9] zu w]d5 s*e9t4 ,f]n] wiss5 wir aus #h1 dass wir es nur mit d] p]spectivis*5 ,grsse sol*] ,l9i5 zu ?un hab51 d]5 geometris*es ,grss5v]hltnis zu &]n ,l9i5 e9 symmetris*es1 regelmssiges und notw5diges i/4 ,es lass5 si* 9 dies] ,beziehung #c ,flle unt]s*eid53 #a7 ,p>allell9i51 wel*e 9 ,wirkli*keit glei* lang s9d1 ab] v]s*i$5e ,entf]nung vom ,auge hab5 79 v]s*i$5] ,tiefe si* bef9d571 wie z4 ,b4 9 ,fig4 #fb die s5kre*t5 ,umrissl9i5 d] #c grss]5 ,f5/]4 #b7 ,v]krzte ,l9i51 auf wel*5 si* glei* grosse ,masse wi$]hol51 od] wel*e na* be/immt5 symmetris*5 ,v]hltniss5 geteilt s9d1 wie die ,l9ie i k ,fig4 #fb1 w5n die ,f5/] 9 ,wirkli*keit glei*e ,breite und glei*e ,ab/nde hab54 #c7 ,v]krzte ,l9i51 wel*e zu e9] ni*t p>allel5 ,l9ie 9 e9em be/immt5 ,grss5v]hltnisse /eh51 wie die ,seit5 e9es v]krzt5 ,quadrats od] die ,teile d] ,l9ie i s ,fig4 #fb1 w5n die ,f5/] und ,zwis*5rume 9 ,wirkli*keit auf beid5 ,seit5 glei*e ,breite hab54 ,p>allell9i5 von glei*] ,lnge 9 v]s*i$5] ,tiefe4 #fc4 ,die ,b]e*nung d] p]spectivis*5 ,lnge p>allel] ,l9i51 wel*e geometris* glei* gross s9d1 ab] 9 unglei*] ,tiefe lieg51 ges*ieht na* dem #a angefhrt5 ,geseze1 dass p>allele ,l9i51 wel*e zwis*5 #b glei*falls p>allel5 ,l9i5 lieg51 glei* lang s9d4 ,mehrfa*e ,beispiele s9d s*on 9 d5 vorangegang55 ,figur5 en?alt51 z4 ,b4 9 ,fig4 #bj s9d i k und c d1 g h und a b p]spectivis* glei* lang 7/ell5 ,l9i5 d>1 wel*e geometris* glei* lang s9d71 weil sie als unv]krzte ,wagre*te unt] si* p>allel s9d und die ,l9i5 a ,p und b ,p1 c ,p und d ,p1 zwis*5 wel*5 sie lieg51 glei*falls p]spectivis* p>allel s9d1 v]gl4 die glei* lang5 ,l9i5 a i1 b g1 k e und f h1 od] a e und c d 9 ,fig4 #cf1 hnli*e ,l9i5 9 ,fig4 #dj und #da und &]e4 ,soll 9 ,fig4 #fb die ,l9ie r x massgeb5d se9 fr die ,hhe d] brig5 ,f5/]1 s w]d5 dur* r und x #b ,l9i5 p>allel mit d5 wagre*t5 ,l9i5 dies] ,seite bis zu d] s5kre*t5 ,eckl9ie gezog5 und von lezt]] aus auf d] &]n ,seite p>allel mit a c =tgesezt1 wodur* smtli*e zwis*5 dies5 ,p>allel5 lieg5de s5kre*te p]spectivis* glei* lang s9d4 #fd4 ,9 ,fig4 #fc sei die ,aufgabe ge/ellt1 die ,hhe d] ,figur a b auf die 9 d]selb5 wagre*t5 ,fl*e lieg5d5 ,punkte c1 e und g zu b]trag5 od] auf d5 leztg5annt5 ,punkt5 ,figur5 von glei*] ,hhe mit a b zu zei*n54 ,zieh5 wir von a dur* c e9e ,l9ie na* dem ,horizont1 und na* dem ,punkte x1 wo sie d5selb5 trifft1 e9e zweite von b aus1 s s9d alle s5kre*t5 ,l9i51 wel*e zwis*5 d5 #b ,p>allell9i5 a x und b x lieg51 p]spectivis* glei* ho*4 ,e9e ,l9ie von a dur* e od] von g dur* a na* dem ,horizont wrde dies5 9 #b weit auss]halb d] ,zei*5fl*e lieg5d5 ,punkt5 treff54 ,man b5zt dah] #b von a und b na* e9em beliebig5 ,punkt des ,horizonts gezog5e ,l9i51 z4 ,b4 a x und b x1 zieht von e e9e unv]krzte ,wagre*te na* i und erri*tet dort die ,s5kre*te i k1 wel*e somit 9 glei*] ,tiefe mit e /eht und mittels e9] unv]krzt5 ,wagre*t5 von k aus auf die gewns*te ,/elle b]trag5 w]d5 kann4 ,da e9e von g aus na* d] v]lng]t5 x a gezog5e ,wagre*te die lezt]e ni*t mehr inn]halb d] ,zei*5fl*e errei*5 wrde1 s i/ e9 ,punkt y wie ob5 b5zt1 von g e9e ,wagre*te na* d] v]lng]t5 y a1 d4 h4 na* m gezog51 m n a b gema*t und i/ somit au* g h a b4 ,illu/ration3 ,fig4 #fc4 ,liegt d] ,horizont 9 glei*] ,hhe mit dem ob]5 ,ende e9] s5kre*t5 ,l9ie1 z4 ,b4 9 d] ,s*eitelhhe e9] m5s*li*5 ,figur1 s i/ die ,hhe all] glei* gross5 s5kre*t5 ,l9i5 od] &]] ,figur51 wel*e 9 d]selb5 wagre*t5 ,fl*e /eh51 dur* die ,horizontl9ie gegeb51 vgl4 ,fig4 #fd4 ,illu/ration3 ,fig4 #fd4 #fe4 ,9 ,fig4 #fe sei ,a ,b gegeb5 und soll5 #b weit]e ,figur5 9 f und g1 d4 h4 9 #b ,punkt5 gezei*net w]d51 wel*e 9 glei*] ,hhe und glei*] ,tiefe mit d5 ,punkt5 a und e lieg54 ,zu diesem ,zweck s9d die dur* a und e geh5d5 ,s5kre*t5 v]lng]t bis zu d] wagre*t5 ,fl*e1 auf wel*] ,a ,b /eht1 also bis o und p1 und i/ auf die ob5 bes*rieb5e ,weise o c ,a ,b gema*t4 ,die ,hhe o c kann nun mit dem ,zirkel na* a d und von hi] mittels e9] ,wagre*t5 na* f k b]trag5 w]d54 e p i/ o c e b1 somit i/ au* g h ,a ,b4 ,illu/ration3 ,fig4 #fe4 #ff4 ,9 ,fig4 #ff i/ ang5omm51 dass ,a ,b als ,hhe e9] 9 ,a /eh5d5 ,figur gegeb5 sei und d] ,punkt ,c1 9 wel*em e9e zweite ,figur /eh5 soll1 um #c ,/uf5 tief] liege1 als die ob]e ,fl*e4 ,man erri*te e9e ,s5kre*te 9 g1 ma*e i g #c mal g e1 d4 h4 a g1 und i p a b1 d4 h4 ,a ,b1 ziehe i ,p und p ,p1 e9e ,wagre*te von ,c na* m und erri*te e9e ,s5kre*te 9 m bis p ,p1 s i/ m n und folgli* au* ,c ,d ,a ,b4 ,illu/ration3 ,fig4 #ff4 ,wre die ,hhe ,a ,b auf e9e d] beid5 &]n ,/uf5 od] auf irg5d e95 ,punkt d] ,fl*e1 9 wel*] g liegt1 zu b]trag51 s wrde man bei b d1 d f und f h g e1 e c und c a ma*51 s dass g h1 e f und c d je a b ,a ,b wr5 und knnte hi]auf j$e dies] ,s5kre*t5 auf e95 beliebig5 ,punkt d] ,fl*e1 9 wel*] ihr unt]es ,ende lieg5 soll1 wie ob5 b]trag5 w]d54 #fg4 ,9 ,fig4 #fg i/ die mit a b glei*e ,hhe e9] 9 c /eh5d5 ,figur b]e*net1 indem von c abwrts e9e mit d f und g h p>allele s*rge ,l9ie bis i1 d4 h4 bis zu d] wagre*t5 ,eb5e1 9 wel*] a liegt1 gezog51 die ,hhe a b na* i k und hi]auf mittels d] weit]5 s*rg5 ,p>allell9i5 k e na* c b]trag5 wurde4 ,9 e9em d]>tig5 ,falle i/ vorauszusez51 dass d] ,flu*tpunkt od] das ,massdreieck e9] 9 d] betreff5d5 s*rg5 ,fl*e lieg5d5 s*rg5 ,l9ie1 wie hi] g m h1 bekannt sei4 ,e9 hnli*es ,beispiel zeigt ,fig4 #ce3 ,die ,hhe g i i/ zu]/ mittels g n und i n na* f b]trag51 wo die wagre*te ,fl*e beg9nt1 9 wel*] e9e zweite ,figur /eh5 soll4 ,die ,hhe d] lezt]5 ergibt si* sodann dur* f ,p und e ,p4 ,illu/ration3 ,fig4 #fg4 ,die p]spectivis*e ,grsse von ,figur5 od] irg5d wel*5 ,l9i51 wel*e auf unregelmssigem ,t]ra9 9 v]s*i$5] ,tiefe si* wi$]hol51 kann ni*t g5au b]e*net w]d54 #fh4 ,wie auf dieselbe od] hnli*e ,weise wagre*te ,p>allell9i5 von glei*] ,lnge 9 v]s*i$5] ,tiefe zu zei*n5 s9d1 i/ 9 ,fig4 #fh--gj gezeigt4 ,es sei die ,aufgabe ge/ellt1 #b ,re*tecke von glei*] ,grsse und 9 glei*] ,/ellung wie ,a ,b ,c ,d1 ,fig4 #fh1 zu zei*n51 s1 dass die l9ke vord]e ,ecke des e95 9 ,e1 die des &]n 9 e liegt4 ,zieht man von ,e e9e unv]krzte ,wagre*te na* r1 s i/ r s ,a ,b und kann mit dem ,zirkel von ,e na* ,f b]trag5 w]d54 ,die ,ri*tung d] v]krzt5 ,seit5 i/ dur* ,p gegeb51 ihre ,lnge dur* e9e ,l9ie von ,e na* z1 dem ,flu*tpunkt d] ,diagonale ,a ,c und folgli* au* d] mit ,a ,c p>allel5 ,e ,g4 ,eb5so kann e f a b gema*t und die ,lnge f g dur* die ,diagonale e g be/immt w]d54 ,illu/ration3 ,fig4 #fh4 ,wr5 die ,flu*tpunkte beid] ,diagonal5 des gegeb55 ,re*tecks ,a ,b ,c ,d unzugngli*1 s knnt5 ,a ,b1 ,e ,f und e f halbi]t w]d51 um y als ,flu*tpunkt von o ,c wie ob5 z behufs ,b]e*nung d] ,lnge ,f ,g und f g zu b5z54 e h knnte au* ,f ,g gema*t w]d5 mittels e9] von ,f dur* e na* dem ,horizont und e9] zweit5 von ,g na* y gezog55 ,l9ie4 ,sollte auf diesem ,wege die ,lnge ,e ,h ,b ,c be/immt w]d51 s ms/e1 da e9e ,l9ie von ,b dur* ,e d5 ,horizont auss]halb d] ,zei*nung trifft1 e9e nh] bei ,e lieg5de ,l9ie1 z4 ,b4 m n ,b ,c gezei*net w]d51 um m ,e y und n ,h y zieh5 zu knn54 #fi4 ,9 ,fig4 #fi i/ von a aus e9 ,re*teck ,e ,f ,g ,h gezei*net1 indem von ,e e9e ,l9ie dur* a na* dem ,horizont gezog5 und hi]auf die ,lage von b1 c und d dur* die ,l9i5 ,f ,p1 ,g ,p1 ,h ,p und die na* d5 betreff5d5 ,flu*tpunkt5 gezog55 a b1 b c1 a d be/immt wurde4 ,wre /att a d] ,punkt ,a als vord]e ,ecke des zweit5 ,re*tecks gegeb51 wel*] 9 glei*] ,tiefe mit ,e liegt1 s knnte man von ,e1 ,f1 ,g und ,h unv]krzte ,wagre*te na* l9ks zieh51 9 wel*5 au* die ,punkte ,b1 ,c und ,d lieg5 mss5 und hi]auf die ,lage d] lezt]5 ohne ,hilfe ihr] ,flu*tpunkte dadur* nh] be/imm51 dass man na* e9em beliebig5 ,punkt des ,horizonts1 z4 ,b4 na* ,p1 ,l9i5 von ,e1 ,f1 ,g1 ,h und ,a zieht1 und hi]auf f g i k1 f ,c i ,g1 f e i h ma*t u4 s4 w4 ,eb5so i/ m n x y1 n o y a u4 s4 w4 ,illu/ration3 ,fig4 #fi4 ,wre ,a ,b ,c ,d und d] ,punkt a gegeb51 somit d] ,flu*tpunkt e9] von ,a dur* a gezog55 ,l9ie unzugngli*1 s knnte auf die zulezt angegeb5e ,weise das er/]e ,re*teck lei*t s[eit als ntig zur ,seite g]ckt w]d51 wie ob5 die ,l9ie ,b ,c1 ,fig4 #fh na* m n4 #gj4 ,aus dem ,vorangegang55 ergibt si* e9 weit]es 9 viel5 ,fll5 bequemes ,mittel1 die ,ri*tung v]krzt] ,p>allell9i51 d]5 ,flu*tpunkt unzugngli* i/1 zu b]e*n54 ,w5n 9 ,fig4 #gj ,e die vord]e ,ecke e9es ,re*tecks ,a ,b ,c ,d se9 soll und wie ob5 e9e ,wagre*te dur* ,a s[ie die ,l9i5 ,a ,e z1 ,b z1 ,c z und ,d z gezog5 s9d1 s bilde man mit e9] aus e9em beliebig5 ,punkt des ,horizonts z4 ,b4 aus y dur* ,b gezog55 ,l9ie e9 ,dreieck a c ,b und ziehe c z4 b d i/ nun a c1 e9e ,l9ie von d na* y ma*t b ,f a ,b1 somit s9d die ,dreiecke a c ,b und b d ,f od] ,a a ,b und ,e b ,f e9&] glei* und i/ ,e ,f p]spectivis* glei* gross und p>allel mit ,a ,b4 ,die ,lage d] ,ecke ,g i/ dur* ,c z und die ,diagonale ,e y gegeb51 knnte ab] glei*falls dadur* b]e*net w]d51 dass auf die angegeb5e ,weise ,f h g ,b f e gema*t und e9e unv]krzte ,wagre*te von h na* ,g gezog5 wrde4 ,um ,k zu erhalt51 i/ s*liessli* ,d m gezog51 dur* m z ,g n ,c m gema*t1 und dur* e9e ,wagre*te von n na* ,d z d] ,punkt ,k be/immt4 ,illu/ration3 ,fig4 #gj4 ,da s[ohl ,ri*tung als ,lnge e9] s*rg5 ,l9ie dur* die s5kre*te und wagre*te ,l9ie ihres ,massdreiecks gegeb5 i/1 s gilt das ,gesagte au* fr v]krzte glei* grosse s*rge ,p>allell9i5 9 v]s*i$5] ,tiefe4 ,teilung e9] v]krzt5 ,l9ie na* be/immt5 ,v]hltniss54 #ga4 ,die e9fa*/e und hufig/e ,art e9] sol*5 ,teilung i/ die ,halbi]ung mittels d] ,diagonal5 e9es ,re*tecks1 dess5 e9e ,seite die zu halbi]5de ,l9ie bildet4 ,die vorangeh5d5 ,figur51 z4 ,b4 #ch--da1 biet5 hievon mehrfa*e ,beispiele4 ,eb5so von d] ,v]dopplung e9] ,l9ie3 9 ,fig4 #dh z4 ,b4 i/1 na*dem ,e h gegeb51 die zweite ,hlfte h ,f ,e h gema*t mittels e9es ,re*tecks ,e h e c und e9] ,l9ie aus c dur* die ,mitte von e h na* ,f4 ,illu/ration3 ,fig4 #ga4 ,soll 9 ,fig4 #ga die ,lnge e f auf d] ,=tsezung dies] ,l9ie wi$]holt w]d51 s bilde man mit e f e9 beliebiges ,re*teck e f b a1 ziehe von a e9e ,l9ie dur* die ,mitte von b f na* g1 von b dur* die ,mitte von c g na* h u4 s4 w4 ,auf dieselbe ,weise i/ 9 ,fig4 #gb die ,lnge a b na* c u4 s4 w4 b]trag54 ,9 ,fig4 #ga ergibt si* f n als ,hlfte von e f1 w5n m 7vom ,s*nittpunkt d] ,diagonal5 a f und e b aus7 als ,hlfte von a b be/immt und von da e9e ,l9ie dur* d gezog5 wird4 ,illu/ration3 ,fig4 #gb4 ,9 d] ,mitte des ,re*tecks a b c d ,fig4 #gc kann e9 ,f5/] gezei*net w]d51 indem die s5kre*te ,mittell9ie e f gezog51 m n o p als n"h ,hlfte ang5omm5 und n z dur* die ,mitte von m p gezog5 wird1 vgl4 die beigefgte geometris*e ,figur4 ,illu/ration3 ,fig4 #gc4 ,soll auf d] ,l9ie ,b ,p ,fig4 #fh von b aus e9 ,/ck ,b ,c abges*nitt5 w]d51 s bilde man e9 ,re*teck ,c b a ,d1 ziehe ,d b und ,c a und dur* i e9e ,l9ie von ,a na* c4 #gb4 ,die ,teilung e9] v]krzt5 ,l9ie 9 e9e grss]e ,anzahl von ,teil51 wel*e 9 e9em be/immt5 geometris*5 ,v]hltnis zu e9&] /eh51 ges*ieht gewhnli* zufolge dem ,geseze1 dass 9 e9em ,dreieck ,l9i51 wel*e p>allel mit e9] ,seite zwis*5 d5 beid5 &]n gezog5 w]d51 auf lezt]5 ,teile von glei*em ,v]hltnis ergeb54 ,illu/ration3 ,fig4 #gd4 ,9 ,fig4 #gd i/ z4 ,b4 die ,l9ie a b s geteilt1 dass a d und e f glei* gross und je die ,hlfte von d e und f b s9d4 ,zieht man nun von f1 e und d ,l9i5 p>allel mit b c na* a c1 s erhlt man auf lezt]] ,l9ie ,teile von demselb5 ,v]hltnis4 ,i/ die ,aufgabe ge/ellt1 die ,l9ie ,d ,c ,fig4 #ge s zu teil51 dass die ,f5/] je halb s gross als die ,zwis*5rume se9 soll51 s wird dur* ,d e9e unv]krzte ,wagre*te gezog51 mit dem ,zirkel1 na*dem ,d a als er/] ,teil beliebig ang5omm5 i/1 a b #b mal ,d a1 b c ,d a u4 s4 w4 gema*t und e9e ,l9ie von f1 dem ,endpunkt des letzt5 ,teilabs*nitts1 dur* ,c na* dem ,horizont gezog51 worauf die ,l9i5 a p1 b p1 c p u4 s4 w4 auf ,d ,c die gewns*t5 ,v]hltnisse ergeb54 ,illu/ration3 ,fig4 #ge4 ,/att auf ,d f knnt5 die ,teile au* auf e9] hh] geleg55 ,l9ie1 z4 ,b4 von m aus 9 d] ,weise angetrag5 w]d51 dass e9e ,l9ie von m dur* ,d na* dem ,horizont1 e9e zweite von p dur* ,c na* n gezog5 und m n mit dem ,zirkel na* d5 gewns*t5 ,v]hltniss5 geteilt wrde4 ,au* 9 ,fig4 #gb knnte auf diese ,weise die p]spectivis*e ,weite d] ,zwis*5rume b]e*net w]d51 wie auf d] ,l9ie a d ang$eutet i/4 ,dasselbe ,v]fahr5 i/ 9 ,fig4 #db angew&t1 um die v]krzte s*rge ,l9ie b d 9 e9e ,anzahl glei*] ,teile zu teil5 und s die p]spectivis*e ,hhe d] ,/uf5 zu bemess51 mit dem ,unt]s*i$1 dass die s5kre*te ,l9ie b e hi] die ,/elle d] unv]krzt5 ,wagre*t5 9 ,fig4 #ge v]tritt4 #gc4 ,e9 &]es ,v]fahr5 i/ das folg5de3 ,w5n 9 ,fig4 #gc das ,re*teck a b c d gegeb5 i/ und die ,breite e9es 9 d] ,mitte davon zu zei*n5d5 ,f5/]s #a_/e d] ,l9ie a d betrag5 soll1 s wird a b 9 #e glei*e ,teile geteilt und die ,diagonale a c od] b d gezog54 ,zieht man nun von g und h ,l9i5 p>allel mit a d und b c1 s erhlt man da1 wo dieselb5 die ,diagonal5 s*neid51 die ,punkte1 wel*e die ,breite des ,f5/]s be/imm51 v]gl4 die geometris*e ,figur4 ,au* die p]spectivis*e ,breite d] ,f5/] und d] ,zwis*5rume 9 ,fig4 #ge knnte dadur* be/immt w]d51 dass ,a ,d mit dem ,zirkel 9 #i glei*e ,teile geteilt wrde 7vorausgesezt1 dass das ob5 angegeb5e ,v]hltnis massgeb5d se9 soll74 ,die ,punkte1 9 wel*5 die von #a1 #c1 #d1 #f und #g aus gezog55 ,p>allel5 die ,diagonale ,d ,b s*neid51 ergeb51 wie die ,figur zeigt1 dasselbe ,v]hltnis wie die obige ,b]e*nung4 ,p]spectivis*es ,grss5v]hltnis ni*t p>allel] ,l9i54 #gd4 ,w5n wir uns von uns]em ,auge e9e ,l9ie na* dem ,augpunkt und #b &]e na* d5 beid5 ,diagonalpunkt5 7 #ah7 gezog5 d5k51 s ent/eh5 #b glei*s*5klige re*tw9klige ,dreiecke4 ,d5n e9e ,l9ie vom ,auge na* dem ,augpunkt /eht zum ,horizont 9 e9em re*t5 ,w9kel und die ,entf]nung d] ,diagonalpunkte vom ,augpunkt i/ glei* d] ,entf]nung des ,auges vom ,augpunkt4 ,w5n 9 ,fig4 #gf ,d uns] ,auge1 ,p d] ,augpunkt i/1 s s9d ,dp und ,dg ,diagonalpunkte4 ,illu/ration3 ,fig4 #gf4 ,die beid5 ,l9i5 vom ,auge na* d5 ,diagonalpunkt5 -- ,d ,dp und ,d ,dg -- /eh5 zum ,horizont 9 e9em halb5 re*t5 ,w9kel1 wie die ,diagonal5 e9es ,quadrats zu dess5 ,seit51 v]gl4 a b c d4 ,/eht e9e ,l9ie uns]es ,geg5/&s 9 e9em halb5 re*t5 ,w9kel zu e9] unv]krzt5 ,wagre*t51 s /eht sie au* zum ,horizont 9 e9em halb5 re*t5 ,w9kel1 sie i/ also p>allel mit e9] ,l9ie von uns]em ,auge na* e9em d] beid5 ,diagonalpunkte und dies] muss ihr ,flu*tpunkt se94 ,die ,diagonalpunkte s9d also die ,flu*tpunkte all] wagre*t5 ,l9i51 wel*e zu e9] unv]krzt5 ,wagre*t5 9 e9em halb5 re*t5 ,w9kel /eh54 ,umgekehrt1 j$e ,l9ie des ,bildes1 d]5 ,flu*tpunkt e9 ,diagonalpunkt i/1 /ellt e9e ,l9ie d>1 wel*e zum ,horizont und zu d5 unv]krzt5 ,wagre*t5 d]selb5 ,zei*nung 9 e9em halb5 re*t5 ,w9kel /eht4 ,i/ also 9 ,fig4 #gg die ,di/anz #b mal ,a ,p ,p ,dg1 s i/ ,dg e9 ,diagonalpunkt und /ellt ,a ,c e9e ,l9ie d>1 wel*e 9 e9em halb5 re*t5 ,w9kel zu ,a ,b /eht2 die ,l9ie ,b ,c1 wel*e ihr5 ,flu*tpunkt im ,augpunkt hat1 i/ demna* e9e re*tw9klig zu ,a ,b /eh5de ,l9ie und ,a ,b ,c i/ die p]spectivis*e ,=m e9es glei*s*5klig5 re*tw9klig5 ,dreiecks a b c ,fig4 #gf4 ,b ,c ,fig4 #gg i/ ,a ,b1 wie 9 ,fig4 #gf b c a b i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #gg4 #ge4 ,demgemss kann die ,lnge e9] unv]krzt5 ,wagre*t5 auf e9e re*tw9klig zu ihr /eh5de1 d4 h4 na* dem ,augpunkt geh5de ,wagre*te b]trag5 w]d51 indem entw$] von e9em ,endpunkt d] gegeb55 unv]krzt5 ,wagre*t5 e9e ,l9ie na* e9em d] beid5 ,diagonalpunkte gezog5 wird1 wel*e die na* dem ,augpunkt geh5de ,l9ie s*neidet3 ,b ,c ,fig4 #gg wird ,a ,b gema*t dur* e9e ,l9ie von ,a na* ,dg1 wel*e die ,l9ie ,b ,p 9 ,c s*neidet2 od] indem man e9e ,l9ie von e9em ,diagonalpunkte dur* e95 ,endpunkt d] gegeb55 unv]krzt5 na* d] v]krzt5 ,wagre*t5 zieht3 s wird ,e ,a ,c ,e mittels e9] ,l9ie von ,dg dur* ,c na* ,a4 ,a ,b ,c ,e i/ somit die p]spectivis*e ,=m e9es wagre*t lieg5d5 ,quadrats4 ,eb5so kann die ,lnge e9] na* dem ,augpunkt geh5d5 ,l9ie auf e9e an/oss5de unv]krzte ,wagre*te b]trag5 w]d53 dur* ,dg ,c ,a wird ,a ,b ,b ,c1 dur* ,a ,c ,dg wird ,c ,e ,a ,e gema*t4 #gf4 ,i/ 9 ,fig4 #gg die ,di/anz #b mal ,p ,a1 s i/ ,d_/#b die ,hlfte1 ,d_/#c e9 ,drittel1 ,d_/#d e9 ,vi]tel d] ,di/anz4 ,eb5so i/ ,b a die ,hlfte1 ,b b od] ,b e e9 ,drittel und ,b c e9 ,vi]tel von ,a ,b4 ,zieh5 wir1 /att von ,a na* ,dg1 e9e ,l9ie von a na* ,d_/#b od] von b na* ,d_/#c od] von c na* ,d_/#d1 s wird von d] aus ,b na* ,p geh5d5 ,l9ie dieselbe ,lnge ,b ,c abges*nitt52 geh5 wir von d] v]krzt5 ,l9ie ,b ,c aus1 s erhalt5 wir dur* e9e aus ,d_/#b1 ,d_/#c od] ,d_/#d dur* ,c gezog5e ,l9ie auf d] dur* ,b geh5d5 ,wagre*t5 die ,hlfte1 e9 ,drittel od] e9 ,vi]tel von ,b ,c4 ,da e9 ,diagonalpunkt /ets auss]halb d] ,zei*nung liegt1 s b$>f man e9es ,ersazmittels1 wel*es dur* j5e ,teilpunkte gegeb5 i/3 soll ,b ,c ,a ,b gema*t w]d51 s zieht man e9e ,l9ie von a na* ,d_/#b1 von b na* ,d_/#c od] von c na* ,d_/#d1 soll ,a ,b ,b ,c gema*t w]d51 s erhlt man dur* e9e ,l9ie von ,d_/#b na* a1 ,d_/#c na* b u4 s4 w4 zun*/ die ,hlfte1 e9 ,drittel od] ,vi]tel von ,a ,b und kann hi5a* mit dem ,zirkel die ganze ,lnge ,a ,b lei*t ergnzt w]d54 ,/att d] ,l9ie b ,d_/#c knnte au* e9e ,l9ie von e na* dem re*ts vom ,augpunkt lieg5d5 ,drittel d] ,di/anz gezog5 w]d51 s[ie man /att d] re*tsseitig5 ,punkte ,d_/#b und ,d_/#d die entspre*5d5 ,teilpunkte l9ks vom ,augpunkt b5z5 und mittels d]selb5 re*ts von ,b die ,hlfte od] e9 ,vi]tel von ,a ,b abs*neid5 knnte4 #gg4 ,hi5a* i/ es lei*t1 au* e9] na* e9em ,di/anzpunkt geh5d5 ,l9ie j$es beliebige ,grss5v]hltnis zu e9] an/oss5d5 unv]krzt5 ,wagre*t5 zu geb5 od] umgekehrt4 ,wird z4 ,b4 9 ,fig4 #gg die ,s5kre*te ,b ,f ,a ,b gema*t1 s i/ das ,dreieck ,a ,b ,f ,a ,b ,c 7da au* ,b ,c ,a ,b i/72 ,a ,c i/ ,a ,f ,a g2 ,a f i/ ,a d ,a n1 ,a h ,a i4 ,es kann also e9 beliebig] ,teil d] ,l9ie ,a z mit dem ,zirkel auf ,a ,f od] ihre ,v]lng]ung und von hi] mittels e9] ,s5kre*t5 und e9] na* dem ,augpunkt geh5d5 ,l9ie auf die ,l9ie ,a ,dg b]trag5 w]d54 ,soll die ,lnge d] na* e9em ,di/anzpunkt geh5d5 ,l9ie ,a ,c auf die dur* ,a gezog5e ,wagre*te b]trag5 w]d51 s zieht man e9e ,l9ie von ,p dur* ,c na* ,b1 e9e ,s5kre*te ,b ,f ,a ,b und ma*t mit dem ,zirkel ,a g ,a ,f ,a ,c4 ,das unv]krzte ,dreieck kann natrli* eb5s[ohl ob]halb als unt]halb d] ,l9ie ,a ,b gebildet w]d54 ,um z4 ,b4 ,a o auf ,a ,b zu b]trag51 kann ,p o g gezog51 die ,s5kre*te g p ,a g erri*tet und ,a z ,a p gema*t w]d54 ,illu/ration3 ,fig4 #gh4 ,od] sei 9 ,fig4 #gh ,a ,b die zu]/ gegeb5e ,l9ie1 ,d_/#b die ,hlfte1 ,d_/#c e9 ,drittel d] ,di/anz4 ,b e i/ die ,hlfte1 ,b d e9 ,drittel von ,a ,b2 somit wird ,b ,c ,a ,b mittels e9] ,l9ie von ,d_/#b dur* e1 od] von ,d_/#c dur* d4 ,b f i/ ,a ,b1 also i/ ,a ,b f ,a ,b ,c2 ,a f i/ ,a ,c2 ,a h i/ ,a ,b1 also erhlt man auf ,a ,c d5 ,teil ,a i ,a ,b1 indem man e9e ,s5kre*te von h na* ,a ,b1 und dur* d5 ,punkt1 9 wel*em sie ,a ,b trifft1 e9e ,l9ie von ,p aus zieht4 #gh4 ,mit ,hilfe desselb5 ,v]fahr5s kann nun das p]spectivis*e ,grss5v]hltnis j$] v]krzt5 wagre*t5 ,l9ie zu e9] &]n bemess5 w]d54 ,nehm5 wir an1 dass 9 ,fig4 #gi ,d_/#b als ,hlfte d] ,di/anz1 die p]spectivis*e ,ri*tung d] 7ni*t na* e9em ,diagonalpunkt geh5d57 ,l9i5 ,a ,b und ,a ,c1 s[ie die p]spectivis*e ,lnge ,a ,b gegeb5 und die ,aufgabe ge/ellt sei1 lezt]e auf ,a ,c zu b]trag51 s wird dur* ,a e9e unv]krzte ,wagre*te und na* dies] aus dem ,augpunkt e9e ,l9ie dur* ,b gezog54 ,b b /eht somit re*tw9klig zu ,a b2 da ,d_/#b die ,hlfte d] ,di/anz i/1 s i/ b f die ,hlfte von ,b b2 b c i/ #b mal b f1 also ,b b1 folgli* i/ ,a c ,a ,b4 ,hi]auf i/ dur* e95 beliebig5 ,punkt o d] zweit5 ,l9ie glei*falls e9e ,l9ie aus ,p und aus ,d_/#b gezog5 und hi$ur* gefund51 dass o n m n 7 #b mal n p7 i/2 ,a d wird nun ,a c gema*t und s*liessli* e9e ,s5kre*te von d na* a und e9e ,l9ie von hi] na* ,p gezog51 wodur* si* die ,lnge ,a ,c ,a ,b ergibt4 ,illu/ration3 ,fig4 #gi4 ,wre ,a ,f /att ,a ,b als ,mass gegeb51 s dass e9e von ,d_/#b dur* ,f gezog5e ,l9ie die dur* ,a geh5de ,wagre*te ni*t mehr inn]halb d] ,zei*5fl*e treff5 wrde1 s knn5 #b ,s5kre*te ,a g und ,f h bis zum ,horizont und die ,diagonal5 ,f g und ,a h gezog5 und kann von ihrem ,s*nittpunkt aus dur* e9e ,s5kre*te d] p]spectivis*e ,halbi]ungspunkt von ,a ,f gefund5 w]d51 um auf dem angegeb55 ,wege zun*/ die ,hlfte von ,a ,f auf die ,l9ie ,a a zu br+54 ,i/ ang5omm51 dass die beid5 v]krzt5 ,l9i5 e95 re*t5 ,w9kel d>/ell51 s wird auf krz]em ,wege ,a ,c ,a ,b gema*t1 indem mit dem ,w9kel 7,fig4 #i7 ,a d ,a c re*tw9klig zu ,a c gezei*net und hi]auf d a und a ,p gezog5 wird4 ,illu/ration3 ,fig4 #hj4 ,9 ,fig4 #hj s9d die ,wagre*t5 ,a ,b und ,a ,c1 d]5 ,ri*tung von ,a aus gegeb5 i/1 d] 9 glei*] ,fl*e lieg5d5 ,e ,f gema*t4 ,zu diesem ,zweck i/ zun*/ ,a ,g ,e ,f gema*t mittels e9] ,l9ie von ,f dur* ,a na* z und e9] zweit5 von z na* ,e und i/ hi]auf von ,p e9e ,l9ie na* e9em beliebig5 ,punkte b d] ,l9ie ,a ,b gezog54 ,d_/#b sei die ,hlfte d] ,di/anz2 also i/ a c #b mal a n1 a b #b mal a m1 das wagre*te ,dreieck ,a a c i/ somit dem s5kre*t5 ,a a e1 ,a a b i/ ,a a g 7a e #b mal a n1 a g #b mal a m74 ,na*dem nun ,a f und ,a h ,a ,g gema*t s9d1 w]d5 die ,s5kre*t5 f m und h i gezog5 und ergeb5 die von ,p na* m und dur* i na* ,b gezog55 ,l9i5 die ,lnge ,a ,c und ,a ,b ,a ,g ,e ,f4 ,illu/ration3 ,fig4 #ha4 ,fig4 #ha zeigt die ,anw5dung des ,vorangegang55 auf e9e geffnete ,?re4 ,es i/ ang5omm51 dass die ,lnge ,a ,b und die ,ri*tung ,a ,d gegeb51 die ,ri*tung ,d ,e beliebig und die ,breite d] ,?re ,a ,c se9 soll4 ,9 beliebig] ,ri*tung i/ aus ,p na* d] dur* ,a geh5d5 ,wagre*t5 die ,l9ie a b gezog51 wel*e1 w5n ,d_/#c e9 ,drittel d] ,di/anz d>/ellt1 #c mal b c1 also b d i/2 ,a e i/ ,a ,c1 somit i/ au* ,a ,d ,a ,c4 ,nun i/ e9e ,wagre*te dur* ,d gezog5 und 9 glei*] ,weise zu]/ an beliebig] ,/elle e9 ,dreieck ,d m i ,d g i con/rui]t 7i m #c mal i h71 um sodann ,d n ,d ,f1 ,d ,e ,d n zu ma*52 ,d ,f i/ ,a ,c1 somit i/ ,e ,d eb5falls ,a ,c4 #gi4 ,kann die ,lnge e9] v]krzt5 auf e9e unv]krzte ,wagre*te b]trag5 w]d5 und umgekehrt1 s i/ damit au* das ,mittel gegeb51 e9e be/immte ,grsse von e9] ,s5kre*t5 od] e9] unv]krzt5 s*rg5 ,l9ie auf e9e v]krzte ,wagre*te zu b]trag5 und umgekehrt1 vgl4 ,fig4 #ha1 wo die ,l9i5 ,a ,d und ,e ,d d] ,s5kre*t5 ,a ,c gema*t wurd51 od] ,fig4 #gh1 wo ,a ,c d] unv]krzt5 s*rg5 ,l9ie ,a f und d] ,s5kre*t5 ,a g i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #hb4 ,die ,b]e*nung d] p]spectivis*5 ,lnge e9] v]krzt5 s*rg5 ,l9ie i/ 9 ,fig4 #hb und #hc gezeigt4 ,9 beid5 ,beispiel5 i/ die ,ri*tung d] ,l9i5 c e und b c1 s[ie die ,lnge b c als gegeb5 ang5omm5 und soll c e b c gema*t w]d54 ,es i/ zun*/ die ,lnge b c auf die dur* b geh5de ,wagre*te zu b]trag54 ,9 ,fig4 #hb geht b c na* dem ,augpunkt1 folgli* i/ b g die ,hlfte von b c4 ,die von c ausgeh5de s*rge ,l9ie i/ bis zu e9] 9 b erri*tet5 ,s5kre*t5 v]lng]t1 b i i/ #b mal b g1 d4 h4 b c1 somit i/ das ,dreieck b i h b h c2 i m i/ b i b c2 zieht man e9e unv]krzte ,wagre*te von m na* n und von n e9e mit b c p>allele ,l9ie na* ,p1 s i/ c e i m b c4 ,e9e ,s5kre*te von e na* o1 e9e ,wagre*te von o na* k und e9e ,s5kre*te von k na* f ergeb5 f d als die mit c e p>allele ,seite4 ,illu/ration3 ,fig4 #hc4 ,9 ,fig4 #hc i/ zu]/ e9e ,l9ie von ,p dur* c na* o gezog52 c o i/ #b mal o g x z1 x y i/ o b2 folgli* i/ das ,dreieck b o c x y z und b c i/ y z b i1 das ,dreieck b i h i/ b h c u4 s4 w4 ,i/ /att c e die ,ri*tung d] ,l9ie c k gegeb5 und soll auf lezt]e die ,lnge c b b]trag5 w]d51 s kann c p c b gema*t 7vgl4 ,fig4 #fh7 und l9ks von p s e9 unv]krztes ,dreieck c p s gebildet w]d52 od] kann1 w5n d] ,raum dies ni*t ge/attet1 s h p>allel mit b p gezog51 d] ,punkt n wie ob5 be/immt und von hi] aus mittels n k die s*rge ,l9ie c k b c gema*t w]d54 ,e9e &]e ,lsung d] ,aufgabe wre die ,con/ruction e9es ,halbkreises b] b p1 indem alle von diesem na* c gezog55 ,l9i5 b c se9 wrd54 ,das ,quadrat 9 g]ad] ,/ellung4 #hj4 ,die p]spectivis*e ,=m e9es wagre*t lieg5d5 ,quadrats 9 g]ad] ,/ellung i/ gegeb5 dur* d5 ,augpunkt1 wel*] die ,ri*tung d] beid5 v]krzt5 ,seit5 be/immt 7 #cb7 und dur* die ,diagonalpunkte1 wel*e ,flu*tpunkte d] beid5 ,diagonal5 s9d und hiemit das p]spectivis*e ,grss5v]hltnis d] ,seit5 zu e9&] angeb5 7 #gd72 die ,ausfhrung i/ aus #gd--ge und aus ,fig4 #gg--gh ersi*tli*4 ,au* 9 diesem ,fall kommt es haupts*li* d>auf an1 dass die ,entf]nung des betreff5d5 ,diagonalpunkts vom ,auge1 wel*e glei*b$eut5d i/ mit d] ,di/anz1 ni*t zu kle9 ang5omm5 w]de 7 #cd74 ,die ,folge wre1 dass die v]krzt5 ,seit5 zu lang ers*e95 wrd5 im ,v]hltnis zu d5 unv]krzt54 ,e ,f ,b ,d ,fig4 #hd kann eb5s[ohl e9 ,quadrat d>/ell51 als ,e ,f ,g ,h2 d] ,unt]s*i$ i/ nur1 dass die lezt]e ,=m e95 nh]5 ,/&punkt voraussezt als die er/]e4 ,sobald wir ab] die ,l9ie ,g ,h nh] na* dem ,horizont h9 rck51 z4 ,b4 na* m n1 s ers*e95 die beid5 v]krzt5 ,seit5 lng] als die unv]krzt54 ,d5n ,p ,d_/#b i/ ,p ,f und #b mal ,p ,f i/ 9 diesem ,fall die kle9/e ,di/anz1 wel*e ang5omm5 w]d5 kann4 ,illu/ration3 ,fig4 #hd4 ,es i/ dah] im allgeme95 d>auf zu a*t51 dass bei d] bespro*55 ,/ellung des ,quadrats d] ,punkt1 9 wel*em e9e ,l9ie von d] ,mitte d] unv]krzt5 ,vord]seite dur* e9e geg5b]lieg5de ,ecke na* dem ,horizont 7,a ,g od] ,a ,h1 ,fig4 #hd7 dies5 trifft1 w5ig/5s eb5so weit vom ,augpunkt entf]nt se9 muss1 als dies] von d] entf]nte/5 ,ecke des ,bildes4 ,das ,quadrat 9 s*rg] ,/ellung4 #ha4 ,i/ die ,/ellung des ,quadrats e9e sol*e1 dass die e9e ,diagonale e9e unv]krzte ,wagre*te i/1 s /eht die &]e re*tw9klig zum ,horizont1 hat also ihr5 ,flu*tpunkt im ,augpunkt und die ,seit5 hab5 dieselbe ,/ellung1 wel*e im vorh]geh5d5 ,fall die ,diagonal5 hatt51 ihre ,flu*tpunkte s9d die beid5 ,diagonalpunkte1 s4 ,fig4 #gg4 ,i/ ,a ,d 9 ,fig4 #hd als er/e ,seite e9es sol*5 ,quadrats gezei*net1 also ang5omm51 dass d] ,flu*tpunkt von ,a ,d e9 ,diagonalpunkt sei1 s ergibt si* ,b dadur*1 dass e9e unv]krzte ,wagre*te von ,d na* re*ts1 e9e ,l9ie von ,a na* ,p gezog5 und hi]auf k ,b ,d k gema*t wird1 d] ,punkt ,c dur* ,p ,d ,e1 ,a ,e und e9e ,l9ie aus ,e dur* die ,mitte von ,d k na* ,a ,p4 ,od] man bildet das e9s*liess5de ,quadrat 9 g]ad] ,/ellung und be/immt 9 diesem die ,halbi]ungspunkte d] ,seit54 #hb4 ,wie die geometris* gezei*net5 ,quadrate a b c d und e f g h1 ,fig4 #hd zeig51 ent/eh51 w5n dur* ,v]b9dung d] ,halbi]ungspunkte a b c d e9 kle9]es ,quadrat inn]halb des grss]5 gebildet wird1 zwis*5 beid5 #d glei*s*5klige re*tw9klige ,dreiecke von glei*] ,grsse3 a f b1 b g c u4 s4 w4 ,wird e9e ,quadratseite 9 zwei unglei*e ,teile geteilt und dieselbe ,teilung auf d5 #c &]n ,seit5 wi$]holt1 wie 9 ,fig4 #he 7a f b g c h d e und folgli* a e d h u4 s4 w471 s bild5 die ,v]b9dungsl9i5 d] #d ,teilungspunkte1 hi] a1 b1 c und d1 glei*falls e9 ,quadrat und ent/eh5 wi$] #d re*tw9klige ,dreiecke von glei*] ,=m und ,grsse 7a f b1 b g c u4 s4 w47 mit dem ,unt]s*i$e1 dass dieselb5 ni*t glei*s*5klig s9d4 ,zieht man aus a und c #b ,l9i5 p>allel mit f g1 aus d und b zwei weit]e p>allel mit e f je na* d] geg5b]lieg5d5 ,seite des uss]5 ,quadrats1 s i/ e m a f1 m f i/ a e und dieselb5 ,v]hltnisse ergeb5 si* auf all5 #d ,seit54 ,illu/ration3 ,fig4 #he4 ,i/ nun e9 v]krztes ,quadrat 9 g]ad] ,/ellung z4 ,b4 ,e ,f ,g ,h ,fig4 #he1 gegeb5 und 9 demselb5 e9 ,punkt ,a als vord]e ,ecke e9es inn]5 ,quadrats1 dess5 ,eck5 die ,seit5 des uss]5 b]hr5 soll51 s wird man ,f ,m ,a ,e ma*51 ,m ,p und ,a ,p s[ie e9e ,diagonale des uss]5 ,quadrats und dur* die ,s*nittpunkte y und z od] i und k zwei ,wagre*te zieh51 wodur* si* die ,lage d] ,punkte ,b1 ,d und ,c ergibt4 #hc4 ,i/ ,a ,b als ,seite e9es ,quadrats und zweimal ,p ,f als ,di/anz ang5omm51 s zieht man e9e ,wagre*te dur* ,a und e9e ,l9ie aus ,p dur* ,b na* ,f4 ,e9e ,l9ie aus ,d_/#c dur* ,b ergibt ,f p als e9 ,drittel von ,b ,f1 ,f ,m i/ #c mal ,f p1 also i/ ,f ,m ,b ,f4 ,wird nun ,a ,e ,f ,m gema*t1 s kann ,e ,p gezog5 und das uss]e ,quadrat ,e ,f ,g ,h entw$] dur* ,v]lng]ung d] ,diagonale des ,quadrats ,m ,f ,b z od] dur* e9e ,l9ie aus ,d_/#c1 na* s1 d4 h4 dem ,drittel von ,f ,e gebildet w]d51 worauf man wie ob5 v]fhrt4 ,od] kann man1 na*dem ,p ,f gezog51 ,f ,m ,b ,f und ,a ,e ,f ,m gema*t i/1 ,e ,p und e9e ,l9ie von ,d_/#c na* m1 d4 h4 e9em ,drittel von ,a ,f zieh51 wodur* das ,quadrat ,a ,f n y ent/eht4 ,die v]lng]te n y ergibt d5 ,punkt ,d1 die v]lng]te ,diagonale ,f y d5 ,punkt ,h1 von wo aus e9e ,wagre*te die ,l9ie ,m ,p 9 ,c s*neidet4 ,die ,quadrate ,a ,f n y od] ,e ,m k ,d1 dur* wel*e d] ,punkt ,d gegeb5 i/1 lass5 si* au* ohne die zweite von ,d_/#c na* s gezog5e ,l9ie dur* ,v]lng]ung d] ,diagonale ,f z und die von ,a und ,m na* ,p gezog55 ,l9i5 bild54 #hd4 ,die ,anw5dung des hi] bes*rieb55 ,v]fahr5s kann b]haupt e9e mannigfaltige se94 ,wre /att ,a ,b die ,l9ie ,a ,d als er/e ,seite gegeb51 s wrde man mittels e9] von ,d_/#c dur* ,d gezog55 ,l9ie auf d] na* l9ks v]lng]t5 ,a ,e e9 ,drittel von ,a ,d erhalt5 od] zieht man e9e ,l9ie aus ,d_/#c dur* y1 wo si* ,a ,p und die von ,d na* re*ts geh5de ,wagre*te s*neid51 na* o1 um ,a o od] ,e o als e9 ,drittel von ,e ,d zu be/imm5 und somit ,e ,m ,e ,d zu erhalt54 ,hi]auf wird ,a ,f ,e ,m gema*t und mit d] v]lng]t5 ,diagonale des ,quadrats ,e ,m k ,d1 wel*e von ,f ,p 9 ,g ges*nitt5 wird1 das grss]e ,quadrat gebildet4 ,illu/ration3 ,fig4 #hf4 ,fig4 #hf zeigt dasselbe ,v]fahr5 mit etwas v]nd]t] ,/ellung des inn]5 ,quadrats4 ,die ,di/anz i/ #d mal ,p ,a ang5omm51 also i/ ,b r e9 ,vi]tel von ,b ,f2 ,b m i/ #d mal ,b r1 also ,b ,f1 folgli* i/ das v]krzte ,dreieck ,e ,b ,f dem unv]krzt5 ,e ,b f4 ,a ,h i/ #d mal ,a a ,a m und ,a h1 folgli* i/ ,a ,h ,e ,a h ,e und man sieht deutli*1 wie au* die brig5 ,l9i5 d] zwei wagre*t5 ,quadrate na* ,grsse und ,w9kel/ellung dur* die ,l9i5 d] s5kre*t si* ans*liess5d5 ,quadrate ,a ,b c d und ,e f g h geometris* wi$]gegeb5 s9d4 #he4 ,hiemit i/ zuglei* die g5aue ,b]e*nung d] p]spectivis*5 ,=m e9es re*t5 ,w9kels 9 s*rg] ,/ellung gegeb51 auf wel*e 9 #cc v]wies5 wurde4 ,die ,ausfhrung kann1 w5n nur die #b ,l9i5 des re*t5 ,w9kels v]langt s9d1 9 wes5tli* v]e9fa*t] ,weise /attf9d54 ,w5n z4 ,b4 9 ,fig4 #hf von ,e aus e9e zu ,e ,f re*tw9klige ,l9ie gezei*net w]d5 soll1 s g5gt hiezu e9e ,l9ie von ,d_/#d dur* ,f1 wona* ,e ,a #d mal ,b r1 d4 h4 ,b ,f zu ma*5 i/1 e9e zweite ,l9ie von ,a na* ,p und e9e dritte von ,d_/#d1 na* a1 indem ,a a e9 ,vi]tel von ,e ,b und somit ,a ,h ,e ,b i/4 ,i/ ,e ,h gegeb5 und soll e9e re*tw9klig dazu /eh5de ,l9ie gezei*net w]d51 s bilde man das ,re*teck ,h ,a ,e y1 ma*e ,e ,b ,a ,h 7 #d mal ,a a71 ziehe ,b ,p und e9e ,l9ie von ,d_/#d na* r4 ,da ,b r e9 ,vi]tel von ,a ,e i/1 s i/ hiemit ,f ,b ,a ,e4 ,wel*] ,weg im e9zeln5 ,fall d] bequem/e1 ob d] ,teildi/anzpunkt l9ks od] re*ts vom ,augpunkt fr die ,ausfhrung geeignet i/1 wird man bei e9ig] bung lei*t erk5n54 ,bei d] ,con/ruction s5kre*t /eh5d] v]krzt] ,quadrate h&elt es si* nur um die b]tragung e9es gegeb55 ,masses von e9] s5kre*t5 auf e9e v]krzte wagre*te ,l9ie od] umgekehrt1 worb] 9 #gd--gh das ,ntige angegeb5 i/2 eb5so i/ aus #gh zu erseh51 wie e9 v]krztes s*rges ,quadrat zu zei*n5 wre2 do* kommt die lezt]e ,aufgabe selt5] vor4 ,v]grss]ung od] ,v]kle9]ung e9es ,quadrats od] ,re*tecks4 #hf4 ,w5n man 9 ,fig4 #hg1 na*dem g h i k gegeb5 i/1 von b aus die mit g h und h i p>allel5 b f und b e zieht1 od] w5n man #d ,punkte d] ,diagonal5 g i und h k dur* ,l9i5 v]b9det1 wel*e mit d5 ,seit5 p>allel s9d1 s ent/eht bei ,a wi$]um e9 ,quadrat f b e k od] a b c d1 bei ,b e9 ,re*teck f b e k od] a b c d1 dess5 ,seit5pa>e dasselbe ,v]hltnis von #b 3 #c hab51 wie g h und h i4 ,wie auf die glei*e ,weise aus e9em kle9]5 e9 grss]es ,quadrat od] ,re*teck dur* ,v]lng]ung d] ,diagonale gema*t w]d5 kann1 i/ hi5a* lei*t zu v]/eh54 ,illu/ration3 ,fig4 #hg4 ,ab] whr5d 9 ,a die ,l9i5 des inn]5 ,quadrats a b c d b]all glei* weit von g h i k entf]nt s9d1 i/ dies bei d5 ,re*teck5 a b c d und g h i k 9 ,b ni*t d] ,fall3 d] ,zwis*5raum zwis*5 d5 krz]5 ,seit5 i/ grss]1 als zwis*5 d5 lng]54 ,soll auf e9em ,wege1 d] au* bei v]krzt] ,/ellung des ,re*tecks anw5db> wre1 inn]halb g h i k e9 7p>alleles7 ,re*teck gezei*net w]d51 s dass die ,seit5 beid] b]all glei*e ,entf]nung von e9&] hab51 s muss auf e9] lng]5 ,seite z4 ,b4 auf g h e9 ,teil d] ,lnge d] krz]5 ,seite abges*nitt51 also z4 ,b4 g n g k gema*t und s e9 ,quadrat g n m k gebildet w]d51 um dess5 ,diagonal5 zu dem g5annt5 ,zwecke zu b5z54 ,soll f g die ,breite des ,zwis*5raums se91 s wird von f e9e mit g h p>allele ,l9ie gezog51 wel*e die ,diagonale g m 9 o s*neidet und hiemit d5 ,punkt p ergibt4 ,zieht man nun von m dur* d5 ,s*nittpunkt d] ,diagonal5 g i und h k e9e ,l9ie na* s1 s i/ g s n h1 s h g n h i2 s i i/ somit die ,diagonale e9es ,quadrats g n m k1 und knn5 die ,punkte y und z dur* die mit k i und i h p>allel5 ,l9i5 be/immt w]d54 #hg4 ,die ,con/ruction d] v]krzt5 ,quadrate und ,re*tecke 9 ,fig4 #hh und #hi i/ hiemit gegeb54 ,9 ,fig4 #hi di5t dieselbe dazu1 die #d ,tis*be9e an die ri*tige ,/elle zu sez54 ,fig4 #ij /ellt 9 grss]em ,mass/ab die ,v]jngung d] ,tis*be9e na* unt5 d>4 ,illu/ration3 ,fig4 #hh4 ,illu/ration3 ,fig4 #hi4 ,illu/ration3 ,fig4 #ij4 ,fig4 #ia zeigt e95 ,/uhl ohne ,lehne4 ,d] ,siz bildet e9 ,quadrat1 die ,punkte a b c d1 von wel*5 die ,/uhlbe9e ausgeh51 ergeb5 si* dah] dur* die ,diagonal5 wie 9 ,fig4 #hg ,a und ,fig4 #hh4 ,da sie na* auswrts /eh51 s i/ s5kre*t unt] a b c d das ,quadrat e f g h gebildet und mittels se9] ,diagonal5 v]grss]t4 ,illu/ration3 ,fig4 #ia4 ,/hle mit ,lehn5 s9d gewhnli* s ge=mt1 dass d] ,siz h9t5 s*ml] i/ als vorn4 ,man kann de%alb1 w5n beispielsweise a b ,fig4 #ib die ,vord]seite des ,sizes se9 soll1 zun*/ e9 ,quadrat a b c d bild51 um sodann die ,lage d] geometris* glei*weit von c und d entf]nt5 ,punkte e und f entw$] auf frh] bes*rieb5e ,weise od] na* dem ,aug5mass 7e c kle9] als d f7 zu be/imm54 ,fr die ,punkte1 von wel*5 die ,fsse ausgeh51 s9d nun die ,diagonal5 a e und b f massgeb5d4 ,illu/ration3 ,fig4 #ib4 ,v4 ,v]krzte ,kreise1 ,a*tecke und ,se*secke4 ,gewlbe=m54 ,d] ,kreis 9 v]krzt] ,/ellung4 #hh4 ,die ,b]e*nung d] p]spectivis*5 ,=m e9es v]krzt5 ,kreises kann nur d>9 be/eh51 dass gewisse ,punkte desselb5 gewonn5 w]d51 mit d]5 ,hilfe es lei*t] i/1 die ,kreisl9ie aus frei] ,h& zu zei*n54 ,die zu diesem ,zweck geeignet/5 ,punkte s9d die ,halbi]ungspunkte d] ,seit5 e9es d5 ,kreis e9s*liess5d5 ,quadrats und f]n] die ,punkte d] ,diagonal5 9 lezt]em1 wel*e von d] ,kreisl9ie dur*s*nitt5 w]d51 vgl4 die geometris*e ,zei*nung von ,quadrat und ,kreis 9 ,fig4 #ic4 ,gewhnli* kann man si* e9es ,quadrats 9 g]ad] ,ansi*t b$i554 ,die ,halbi]ungspunkte d] ,seit51 a1 b1 c und d ,fig4 #ic1 erhlt man mittels e9] unv]krzt5 ,wagre*t5 und e9] na* dem ,augpunkt geh5d5 ,l9ie1 wel*e dur* d5 ,s*nittpunkt d] ,diagonal5 gezog5 w]d54 ,e9 gebt] ,zei*n] wird si* fr gewhnli* mit dies5 #d ,hilfspunkt5 begng5 knn54 ,illu/ration3 ,fig4 #ic4 ,um die ,punkte d] ,diagonal51 wel*e d] ,kreis dur*s*neid5 muss1 m1 n1 o und p ,fig4 #ic1 zu erhalt51 wird b] od] unt] e9] d] unv]krzt5 ,seit5 od] d] unv]krzt5 ,mittell9ie1 also mit ,a ,b1 ,c ,d od] b d1 e9 s5kre*t /eh5des ,re*teck halb s ho* als breit1 z4 ,b4 ,a ,b ,f ,e od] ,c ,d ,g ,h gebildet und 9 diesem e9 ,halbkreis bes*rieb54 ,9 ,fig4 #ic w]d5 diese ,halbkreise von d5 ,diagonal5 a ,e und a ,f od] c ,g und c ,h 9 g und h1 y und x dur*s*nitt54 ,zieht man nun die ,s5kre*t5 g i und h k od] y z und x s und #b ,l9i5 von ,p na* i und k od] dur* s und z1 s ergeb5 si* auf d5 ,diagonal5 des v]krzt5 ,quadrats die gesu*t5 ,punkte m1 n1 o und p4 ,es g5gt au* nur e9e d] ,l9i5 na* dem ,augpunkt zu zieh51 z4 ,b4 i ,p1 um dur* #b unv]krzte ,wagre*te von m und p aus die ,punkte n und o zu erhalt54 #hi4 ,e9 &]es ,v]fahr5 b]uht d>auf1 dass die ,entf]nung d] ,punkte i und k ,fig4 #ic von a1 d] ,mitte d] ,l9ie ,a ,b1 eb5so gross i/1 als die ,diagonale e9es ,quadrats1 dess5 ,seit5 je e9 ,vi]tel von ,a ,b s9d4 ,a f i/ e9 ,vi]tel von ,a ,b4 ,wird also ,a e ,a f gema*t1 s kann die ,lnge e f von a aus na* i und k b]trag5 und s die ,lage dies] beid5 ,punkte und d] ,punkte m1 n1 o1 p be/immt w]d54 #ij4 ,9 ,fig4 #id i/ gezeigt1 wie mittels d]selb5 ,hilfspunkte e9 ,kreis inn]halb e9es ,quadrats 9 s*rg] ,ansi*t gezei*net w]d5 kann4 ,na*dem 9 ,a ,b ,c ,d die ,diagonal5 und ,halbi]ungsl9i5 gezei*net s9d1 i/ e9e ,l9ie aus ,p dur* ,b na* d] dur* ,a geh5d5 ,wagre*t5 gezog5 und ,a b eb5so geteilt1 wie ,a ,b 9 ,fig4 #ic4 ,/att abwrts von ,a aus i/ hi] seitwrts das ,dreieck b g f gebildet1 9 wel*em b g und g f je e9 ,vi]tel von ,a b s9d2 a i und a k w]d5 b f gema*t und dieselb5 ,v]hltnisse mittels i ,p und k ,p auf die ,l9ie ,a ,b b]trag54 ,illu/ration3 ,fig4 #id4 ,aus #gb ,fig4 #gb und #ge erhellt1 dass man /att ,p au* e95 beliebig5 &]n ,punkt des ,horizonts b5z5 knnte1 um von demselb5 e9e ,l9ie dur* ,b na* d] ,l9ie ,a g zu zieh5 und sodann wie ob5 weit] zu v]fahr54 ,/att dur* ,a knnte man au* dur* ,c e9e ,wagre*te und von ,d e9e ,l9ie na* ,p zieh51 um auf dieselbe ,weise wie ob5 die ,punkte e und c1 m und n zu be/imm54 ,aus ,fig4 #id i/ zuglei* die ,anw5dung d] beid5 9 #hh und #hi angegeb55 ,b]e*nungsweis5 auf e95 s5kre*t /eh5d5 ,kreis zu erseh54 ,es i/ kl>1 dass hiebei die zwei s5kre*t5 ,seit5 des ,quadrats an ,/elle d] unv]krzt5 wagre*t5 tret5 und dass die ,l9i5 ,a ,e1 ,b ,f1 i g1 h k d] ,fig4 #ic jezt als ,wagre*te gezei*net w]d5 mss54 ,das brige ergibt si* deutli* g5ug aus d5 ,l9i5 d] ,fig4 #id4 ,p>allele und conc5tris*e ,kreise4 #ia4 ,fig4 #ie zeigt #b 9 glei*] ,hhe /eh5de p>allele ,kreise4 ,d] e9e i/ von dem ,quadrat a b c d1 d] &]e von e f g h ums*loss54 ,die ,s*nittpunkte d] ,diagonal5 a c und b d1 e g und f h ergeb5 die beid5 ,mittelpunkte y und z2 die ,punkte o1 p1 i1 k s9d auf die ob5 angegeb5e ,weise be/immt1 die entspre*5d5 #d ,punkte auf e g und f h dur* ,l9i51 wel*e p>allel mit a e und b f von k1 o1 p1 i na* l9ks gezog5 s9d4 ,illu/ration3 ,fig4 #ie4 #ib4 ,9 ,fig4 #if soll1 na*dem d] ,kreis ,a ,b ,c ,d gegeb5 i/1 dur* a e9 ,kreis mit dem geme9s*aftli*5 ,mittelpunkt i1 sodann dur* ,f e9 mit ,a ,b ,c p>allel] ,halbkreis gezei*net w]d54 ,zun*/ wird ,c c ,a a gema*t1 sodann das ,quadrat des inn]5 ,kreises gebildet1 indem man dur* a und c ,l9i5 na* dem ,augpunkt zieht und die ,punkte m und n1 o und p1 9 wel*5 hi$ur* die ,diagonal5 des grss]5 ,kreises ges*nitt5 w]d51 dur* #b ,wagre*te v]b9det4 ,die ,halbi]ungspunkte d] ,seit5 dieses kle9]5 ,quadrats s9d a b c d4 ,die ,punkte d] ,diagonal51 dur* wel*e d] inn]e ,kreis geht1 knn5 auf die #hh--hi angegeb5e ,weise be/immt w]d51 do* s9d sie1 w5n d] ,mass/ab d] ,zei*nung ke9 sehr gross] i/1 entbehrli*1 na*dem die ,l9ie des uss]5 ,kreises gezei*net i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #if4 ,um d5 unt]5 ,halbkreis zu zei*n51 wird die dur* ,f geh5de ,e ,g mittels h ,e und k ,g h k gema*t und das ,quadrat ,e ,g g e gebildet1 womit fr d5 unt]5 ,kreis auss] ,f die ,punkte s1 r und f gegeb5 s9d4 ,die ,punkte d] ,diagonal5 ,e g und ,g e1 wel*e er dur*s*neid5 muss1 ergeb5 si* dur* die von m1 n1 o1 p abwrts gezog55 ,s5kre*t54 ,teilung e9es v]krzt5 ,kreises4 #ib4 ,9 ,fig4 #if i/ zuglei* gezeigt1 wie diese ,kreise 9 e9e beliebige ,zahl von glei* gross5 ,teil5 geteilt w]d5 knn53 mit dem ,halbmess] ,f ,g i/ von ,f od] von ,h aus e9 ,halbkreis gebildet1 d] mit dem ,zirkel auf die gewns*te ,weise1 hi] 9 #h ,teile1 geteilt wird4 ,hi]auf s9d von d5 ,teilungspunkt5 s5kre*te ,l9i5 bis ,e ,g und von da ,l9i5 p>allel mit ,e e und ,g g1 d4 h4 na* ,p bis zur ,l9ie des unt]5 ,halbkreises gezog54 ,das ,weit]e i/ aus d] ,figur ersi*tli*1 vgl4 die ,teilung e9es v]krzt5 ,kreises 9 #h od] #f ,teile1 ,fig4 #ajj--ajd4 ,v]krzte ,a*tecke4 #ic4 ,wie ,fig4 #ig zeigt1 ent/eht e9 ,a*teck1 w5n dieselb5 #h ,punkte1 wel*e zur ,d>/ellung des ,kreises di5t51 dur* g]ade ,l9i5 v]bund5 w]d51 nmli* die ,halbi]ungspunkte d] ,seit5 e9es ,quadrats und die ,punkte se9] ,diagonal51 wel*e von e9em 9 demselb5 bes*rieb55 ,kreis dur*s*nitt5 w]d54 ,die p]spectivis*e ,=m e9es v]krzt5 ,a*tecks1 wel*es die 9 ,fig4 #ig ang5omm5e ,/ellung zu d5 ,seit5 e9es gegeb55 ,quadrats hat1 b$>f also ke9] weit]5 ,erklrung4 ,illu/ration3 ,fig4 #ig4 ,etwas ,&]es i/ es1 w5n e9 ,quadrat od] e9e ,seite e9es ,quadrats gegeb5 i/1 9 wel*em e9 ,a*teck wie a b c d e f g h 9 ,a ,b ,c ,d ,fig4 #ih gezei*net w]d5 soll1 d4 h4 s1 dass smtli*e #h ,eck5 9 d5 #d ,seit5 des ,quadrats lieg54 ,die geometris*e ,con/ruction wrde d>9 be/eh51 dass die #d von i1 dem ,mittelpunkte des gegeb55 ,quadrats1 na* d5 ,halbi]ungspunkt5 d] ,seit5 geh5d5 ,l9i5 b] diese h9aus um soviel v]lng]t wrd51 dass j$e die ,lnge e9] halb5 ,diagonale des ,quadrats htte1 also i m1 i n1 i o und i p je i ,a wr54 ,dur* ,v]b9dung d] ,punkte m1 n1 o und p ent/eht e9 zweites dem er/5 glei*es ,quadrat und die ,v]b9dungsl9i5 d] ,punkte b und c1 d und e1 f und g1 h und a ergeb5 das ,a*teck4 ,illu/ration3 ,fig4 #ih4 ,i/ nun das v]krzte ,quadrat ,a ,b ,c ,d ,fig4 #ii gegeb51 s kann e9e d] unv]krzt5 ,seit5 z4 ,b4 ,c ,d b5zt w]d51 um mit e9] ,hlfte d]selb5 e9 glei*s*5kliges ,dreieck ,c ,e ,f zu bild54 ,wird hi]auf ,e k ,e ,f gema*t1 s i/ das uss]e ,quadrat ,h ,g ,k ,l lei*t zu bild53 e9e ,l9ie von ,p dur* k s*neidet die v]lng]t5 ,diagonal5 ,a ,c und ,d ,b 9 ,h und ,g und #b unv]krzte ,wagre*te von hi] aus ergeb5 die ,punkte ,l und ,k4 ,hi]mit s9d au* die ,punkte m1 n1 o und p und die ,seit5 des ,a*tecks gegeb54 ,illu/ration3 ,fig4 #ii4 ,od] knnte au* die ,lnge ,e ,f von ,c na* f und von ,d na* e getrag5 w]d5 -- d5n aus ,fig4 #ih i/ ersi*tli*1 dass ,c f od] ,d e ,c i s9d -- um hi]auf die weit]5 ,con/ructionsl9i5 teils p>allel mit d5 ,diagonal51 teils p>allel mit d5 ,seit5 des ,quadrats ,a ,b ,c ,d zu zieh54 ,wre /att des ,quadrats ,a ,b ,c ,d a b als ,seite e9es zu zei*n5d5 ,a*tecks gegeb51 s wrde man mit d] ,hlfte d]selb5 e9 glei*s*5kliges re*tw9kliges ,dreieck b z y bild51 b ,b und a ,a y b ma*5 und hi]auf das ,quadrat ,a ,b ,c ,d con/rui]51 um wie ob5 zu v]fahr52 vgl4 die geometris*e ,zei*nung ,fig4 #ih4g #g3 ,fig4 #ii i/ ins(]n ung5au1 als b ,b und a ,a etwas kle9] s9d als y b4 ,d] ,fehl] wurde zu spt bem]kt und i/ s g]+fgig1 dass es g5g5 drfte1 hi$ur* d>auf aufm]ksam zu ma*54 #id4 ,fig4 #ajj zeigt die ,con/ruction e9es ,a*tecks1 w5n e9 sol*es ans*liess5d an die ,seit5 e9es ,quadrats 9 s*rg] ,ansi*t gezei*net w]d5 soll4 ,illu/ration3 ,fig4 #ajj4 ,ang5omm51 es sei das ,quadrat ,a ,b ,c ,d gegeb51 s ziehe man e9e unv]krzte ,wagre*te dur* ,a und e9e ,l9ie von ,p dur* ,b na* ,e4 ,die p]spectivis*5 ,v]hltnisse1 9 wel*e ,a ,b zu teil5 i/1 knn5 nun auf ,a ,e geometris* angegeb5 und dur* ,l9i51 wel*e mit ,e ,b p>allel s9d1 auf ,a ,b b]trag5 w]d5 7vgl4 ,fig4 #gb und #ge74 ,man bildet entspre*5d ,fig4 #ih mit d] ,hlfte von ,a ,e e9 glei*s*5kliges ,dreieck p ,e y1 ma*t ,a o und ,e s je p y und zieht von s und o zwei mit ,e ,b p>allele ,l9i5 na* a und b4 ,zieht man nun von a und von b aus zwei ,l9i5 na* r1 dem ,flu*tpunkte d] ,diagonale ,a ,c1 zwei weit]e p>allel mit ,a ,d und ,b ,c1 s erhlt man die ,punkte c1 d1 e und f1 dur* e9e ,l9ie von r dur* f d5 ,punkt g und i/ s*liessli* no* die mit ,b ,d und e d p>allele ,seite a h zu zei*n54 ,d] ,augpunkt i/ brig5s nur zufllig b5zt2 es knnte /att desselb5 e9 beliebig] ,punkt des ,horizonts gewhlt w]d54 ,nehm5 wir an1 dass a b ,fig4 #ajj als ,seite e9es zu zei*n5d5 ,a*tecks gegeb5 sei1 s wre das ,v]fahr5 e9 hnli*es wie ob53 von ,p 7od] e9em &]n ,punkte des ,horizonts7 wird e9e ,l9ie na* d] dur* a geh5d5 ,wagre*t5 gezog51 a n 9 m halbi]t1 e9 glei*s*5kliges re*tw9kliges ,dreieck a m t gebildet und n x s[ie a z je m t gema*t4 ,die von ,p na* x und dur* z gezog55 ,l9i5 ergeb5 die ,punkte ,a und ,b1 es kann nun mit ,a ,b das ,quadrat ,a ,b ,c ,d gebildet w]d5 u4 s4 w4 #ie4 ,es kann au* d] ,fall e9tret51 dass e9 v]krzt] ,kreis gegeb5 i/ und inn]halb desselb5 von e9em be/immt5 ,punkte aus e9 ,a*teck gezei*net w]d5 soll4 ,illu/ration3 ,fig4 #aja4 ,es sei z4 ,b4 die ,aufgabe ge/ellt1 9 dem v]krzt5 ,kreise ,a ,b ,c ,d ,fig4 #aja von dem ,punkte a aus e9 ,a*teck zu zei*n54 o ,d i/ ,d ,f gema*t1 mit d] ,zirkelweite ,d ,f von o aus e9 ,halbkreis e ,d f bes*rieb5 und e9e ,l9ie von ,p dur* a na* c gezog52 o x wird re*tw9klig zu o b1 dur* die ,mitte von b x d] ,halbmess] o z und re*tw9klig zu diesem o y gezog5 7vgl4 ,fig4 #ig71 worauf die ,punkte x y z mittels s5kre*t] ,l9i5 na* ,e ,f gebra*t und von hi] dur* die aus m1 n und dem ,punkte zwis*5 z und g na* ,p gezog55 ,l9i5 auf d5 ,kreis b]trag5 w]d54 ,die #d j5seitig5 ,punkte s9d dur* d5 ,mittelpunkt des ,kreises1 beziehungsweise d5 ,s*nittpunkt d] ,diagonal5 des ,quadrats1 gegeb54 ,v]krzte ,se*secke4 #if4 ,die geometris*e ,con/ruction e9es ,se*secks be/eht d>91 dass e9 ,kreis 9 #f ,teile geteilt wird1 von wel*5 j$] die ,grsse e9es ,halbmess]s j5es ,kreises hat3 man gibt -- ,fig4 #ajb -- dem ,zirkel die ,weite e9es ,halbmess]s z4 ,b4 ,o ,b1 s*neidet von ,b aus d5 ,kreis 9 ,c1 von ,c aus 9 ,d u4 s4 w4 und v]b9det diese ,punkte dur* g]ade ,l9i54 ,zieht man von d5 #f ,eck5 ,l9i5 na* dem ,mittelpunkt ,o1 s ent/eh5 #f glei*seitige ,dreiecke2 s*lies/ man das ,se*seck 9 e9 ,re*teck1 wie ,h ,k ,m ,n e91 s s9d die beid5 lng]5 ,seit5 je #b ,seit5 des ,se*secks3 ,h ,k i/ glei* #b mal ,a ,b1 ,h ,g ,a ,b2 ,h ,a1 ,a ,g1 ,g ,b und ,b ,k s9d glei* gross4 ,die krz]5 ,seit5 s9d je #b mal ,g ,o2 ,h ,f und ,f ,n s9d je ,g ,o4 ,illu/ration3 ,fig4 #ajb4 ,i/ nun a b als ,seite e9es v]krzt5 ,se*secks1 ,p als ,augpunkt und ,d_/#c als ,drittel d] ,di/anz gegeb51 s wird b k und a h je d] ,hlfte von a b gema*t1 e9 glei*seitiges ,dreieck a i b gebildet 7indem von a und b aus #b ,kreise mit d] ,zirkelweite a b bes*rieb5 w]d51 wel*e si* 9 i s*neid57 und k c g i gema*t dur* e9e ,l9ie aus ,d_/#c1 na* y 7k y e9 ,drittel von g i74 ,hiemit s9d das ,re*teck h k m n und die weit]5 ,punkte d1 e und f gegeb54 #ig4 ,9 ,fig4 #ajc i/ ang5omm51 dass h n als krz]e ,seite des von unt5 geseh55 ,re*tecks1 ,p als ,augpunkt und ,d_/#b als halbe ,di/anz gegeb5 sei1 9 f also e9e ,ecke des ,se*secks liege4 ,bes*reibt man von n und von f aus zwei ,kreisbg5 mit d] ,zirkelweite n f1 s s*neid5 si* dieselb5 9 s und es ent/eht1 indem dur* s e9e re*tw9klig zu f s /eh5de ,l9ie bis zu d5 9 f und n erri*tet5 ,s5kre*t5 gezog5 wird1 e9 glei*seitiges ,dreieck1 dess5 ,mittell9ie s f f n od] f h i/1 dess5 ,seit5 also 7vgl4 #if1 ,fig4 #ajb7 auf die dur* f geh5de ,wagre*te b]trag51 die ,lnge e9] ,seite des zu zei*n5d5 ,se*secks d>/ell54 h p i/ f z2 die von h na* ,p geh5de ,seite des zu bild5d5 ,re*tecks muss also #b mal h p se9 7wie ,h ,k ,fig4 #ajb #b mal ,a ,b i/71 0 dur* e9e ,l9ie von ,d_/#b na* p errei*t wird4 ,i/ s das ,v]hltnis d] ,seit5 9 dem ,re*teck h k m n das glei*e1 wie 9 ,h ,k ,m ,n ,fig4 #ajb1 s bleibt nur no* brig1 dasselbe mittels ,diagonal5 wie dort 9 #d glei*e ,teile zu teil51 um die weit]5 ,eck5 zu erhalt54 ,illu/ration3 ,fig4 #ajc4 #ih4 ,9 ,fig4 #ajd soll von dem ,punkte d des ,kreises ,a ,b ,c ,d aus e9 ,se*seck gezei*net w]d54 ,das ,quadrat des ,kreises i/ ,e ,f ,g ,h4 ,wie 9 ,fig4 #aja i/ ,e e und ,f f d] ,hlfte von ,e ,f gema*t und von o aus e9 ,halbkreis bes*rieb51 auf wel*em x dem ,punkte d des v]krzt5 ,kreises entspri*t 7mittels ,p d m und m x74 ,von x aus s*neidet d] ,zirkel mit d] ,weite e9es ,halbmess]s ,d o od] x o d5 ,halbkreis 9 b1 von hi] aus 9 y1 und diese beid5 ,punkte w]d5 auf die mehrfa* bes*rieb5e ,weise na* a und c b]trag52 ,l9i5 aus d1 a und c dur* d5 ,mittelpunkt des ,quadrats gezog51 ergeb5 die #c j5seitig5 ,eck54 ,illu/ration3 ,fig4 #ajd4 ,weit]e ,beispiele4 ,rad1 ,wass]rad1 ,walze1 ,cyl9d]4 #ii4 ,fig4 #aje zeigt die ,anw5dung von #ia ,fig4 #ie auf #b dur* e9e ,a*se v]bund5e ,rd]4 ,d] ,deutli*keit weg5 s9d hi] s[ie 9 d] folg5d5 ,figur nur die wi*tig/5 ,con/ructionsl9i5 angegeb51 mit d]5 ,hilfe das brige ohne ,s*wi]igkeit1 s g5au als d] mal]is*e ,zweck er=d]t1 ergnzt w]d5 kann4 ,illu/ration3 ,fig4 #aje4 ,9 ,fig4 #ajf s9d zun*/ die #d ,kreise entspre*5d ,fig4 #ie und #if gezei*net4 ,hi]auf i/ d] dur* a b c geh5de ,halbkreis 9 #e glei*e ,teile geteilt und diese ,teilung auf die &]e ,hlfte b]trag5 7vgl4 ,fig4 #aja und #ajd71 indem na* dem ,halbkreis c d a ,l9i5 von j55 ,teilpunkt5 aus dur* d5 ,mittelpunkt gezog5 wurd54 ,diese ,l9i5 ergeb5 zuglei* die ,/ellung d] e9zeln5 ,s*aufeln2 die wagre*t5 ,l9i5 d] lezt]5 s9d p>allel mit e f1 g h und o n2 die ,v]b9dungsl9i5 d] ,punkte i und k1 y und z u4 s4 w4 geh5 dur* d5 ,mittelpunkt n4 ,illu/ration3 ,fig4 #ajf4 #ajj4 ,9 ,fig4 #ajg i/ d] ,kreis a b c d als vord]] ,dur*s*nitt e9] wagre*t lieg5d5 ,walze ang5omm54 ,da d]selbe unv]krzt i/ und die dur* i geh5de ,a*se d] ,walze geometris* re*tw9klig zu d b /eht1 s s9d von d und b #b ,l9i5 na* dem ,augpunkt gezog5 und dieselb5 an beliebig] ,/elle dur* die ,wagre*te h f v]bund54 ,e9 ,kreis aus o1 d] ,mitte von h f1 dur* h und f bes*rieb51 ergibt e f g h als d5 f]n] lieg5d5 ,dur*s*nitt1 worauf vom ,augpunkt aus #b die beid5 ,kreise b]hr5de ,l9i5 7,tang5t57 p>allel mit i o als ,auss5l9i5 d] ,walze gezog5 w]d54 ,illu/ration3 ,fig4 #ajg4 ,um d5 ,cyl9d] ,fig4 #ajh zu con/rui]51 s9d d5 beid5 vord]5 ,kreis5 entspre*5d auf die ob5 gezeigte ,weise die beid5 f]n]5 zu zei*n54 ,illu/ration3 ,fig4 #ajh4 ,dieselb5 ,=m5 mit v]krzt] ,ansi*t des ,kreises zu zei*n51 bietet hi5a* ke9e ,s*wi]igkeit4 ,man a*te dabei auf die b]eits erwhnte geometris* re*tw9klige ,/ellung d] ,a*se und d] ,seit5l9i5 zur ,kreisfl*e1 beziehungsweise zu e9em ,dur*mess] d]selb54 ,tonn5gewlbe1 ,kreuzgewlbe1 ,spizbog51 ,kuppel4 #aja4 ,fig4 #aji /ellt e9 sog5anntes ,tonn5gewlbe d>4 ,dasselbe hat die ,=m e9es halb5 ,cyl9d]s1 wel*] 9 ,fig4 #aji auf d5 na* dem ,augpunkt geh5d5 ,l9i5 a e und b f ruht4 ,die ,con/ruction be/eht e9fa* d>91 dass b] a b und e f je e9 ,halbkreis von d5 ,mittelpunkt5 c und d aus bes*rieb5 wird4 ,die ,fug5l9i5 des ,gewlbes geh5 teils p>allel mit a e und b f1 teils s9d sie ,teile von ,halbkreis51 wel*e mit d5 beid5 er/]5 p>allel s9d1 d]5 ,mittelpunkte somit 9 d] ,l9ie c d lieg54 ,s i/ d] ,mittelpunkt des ,halbkreises m n p da1 wo die ,wagre*te m p von c d dur*s*nitt5 wird1 9 o4 ,die ,fug5l9i5 g h1 i k u4 s4 w4 hab5 die ,ri*tung na* c1 dem ,mittelpunkt d] beid5 dur* k h und i g geh5d5 ,halbkreise4 ,illu/ration3 ,fig4 #aji4 #ajb4 ,fig4 #aaj zeigt die ,hauptl9i5 e9es von auss5 und ob5 geseh55 rundbogig5 ,kreuzgewlbes4 ,a ,b ,c ,d i/ e9 ,quadrat2 b] j$] ,seite desselb5 erhebt si* e9 ,halbkreis1 die geg5b]lieg5d5 ,eck5 des ,quadrats1 ,a und ,c1 ,b und ,d1 s9d na* ob5 v]bund5 dur* #b elliptis*e ,l9i51 die sog5annt5 ,diagonalripp5 od] -gurt51 wel*e si* b] d5 ,diagonal5 ,a ,c und ,b ,d h9zieh54 ,d] ,s*eitelpunkt n des ,gewlbes1 9 wel*em die beid5 ,ellips5 si* dur*s*neid51 liegt s5kre*t b] d] ,kreuzung d] ,diagonal5 ,a ,c und ,b ,d1 er i/ zuglei* ,s*nittpunkt d] ,diagonal5 ,e z und ,f t4 ,es ent/eh5 s #d ,gewlbefeld] od] ,kapp51 wel*e je von e9em ,halbkreis und #b ,hlft5 j5] ,ellips5 begr5zt w]d51 z4 ,b4 von ,a m ,b1 ,a n und ,b n1 vgl4 die inn]e ,ansi*t ,fig4 #aaa--aac4 ,illu/ration3 ,fig4 #aaj4 ,bei d] p]spectivis*5 ,con/ruction e9] sol*5 ,gewlbe=m h&elt es si*1 na*dem b] j$] ,seite des zu ,grunde gelegt5 ,quadrats e9 ,halbkreis gezei*net i/1 haupts*li* um die ,be/immung e9ig] weit]5 ,hilfspunkte auss] dem dur* ,e z und ,f t gegeb55 ,punkte n behufs ,d>/ellung d] beid5 elliptis*5 ,l9i54 ,die ,halbkreise ,a m ,b und ,a h ,d w]d5 von #b ,l9i51 wel*e man aus ,e na* d] ,mitte von ,a ,b und von ,a ,d zieht1 9 a und 9 b ges*nitt54 ,diese beid5 ,punkte lieg5 9 glei*] ,hhe2 zieht man aus a e9e ,l9ie p>allel mit ,a ,d1 also na* dem ,augpunkt1 und aus b e9e ,p>allele mit ,a ,b1 d4 h4 e9e unv]krzte ,wagre*te1 s mss5 diese beid5 ,l9i5 9 dem ,punkte c d] von ,a ausgeh5d5 ,ellipse ,a n ,c zusamm5treff51 wel*] mit a und b 9 glei*] ,hhe liegt und kann somit dies] ,punkt b5uzt w]d51 um ,a c n zu zei*n54 ,dem ,punkte a entspri*t auf d] re*t5 ,seite e1 e9e ,l9ie von hi] na* dem ,augpunkt und e9e ,wagre*te aus c s*neid5 si* 9 d4 ,die entspre*5d5 j5seitig5 ,punkte d] beid5 ,ellips5 ergeb5 si* dur* die aus a und e na* dem ,augpunkt geh5d5 ,l9i5 und e9e ,wagre*te von g na* f od] umgekehrt4 #ajc4 ,fig4 #aaa zeigt dieselb5 ,l9i5 von unt5 und von inn5 geseh51 mit dem ,unt]s*i$1 dass die #b ,seit5kapp5 ges*loss5 bis ,a ,d und ,b ,d h]abgeh5 7wie au* 9 ,fig4 #aac74 ,d] ,flu*tpunkt dies] und d] mit ihn5 p>allel5 ,l9i5 i/ wi$]um d] ,augpunkt2 ,a ,b1 ,c ,d und die beid5 ,halbkreise s9d unv]krzt4 ,um die beid5 ,diagonalgurt5 zu zei*n51 i/ hi] e9 &]] ,weg e+es*lag54 ,9 ,fig4 #aaj lieg5 die ,punkte y und x 9 glei*] ,hhe mit a1 b und f4 ,zieht man von y e9e mit ,a ,c und ,e z p>allele ,l9ie na* x1 von ,e und z #b ,l9i5 na* p1 s erhlt man da1 wo die ,l9ie y x von ,e p und z p ges*nitt5 wird1 glei*falls die ,punkte c und s1 wel*e nun mittels unv]krzt] ,wagre*t] na* d und r b]trag5 w]d5 knn54 ,illu/ration3 ,fig4 #aaa4 ,9 ,fig4 #aaa entspri*t das s5kre*t /eh5de von unt5 geseh5e ,re*teck ,e ,a ,c z dem ,re*teck ,e ,a ,c z 9 ,fig4 #aaj2 au* die brig5 e9&] entspre*5d5 ,punkte beid] ,figur5 s9d dur* dieselb5 ,bu*/ab5 bezei*net4 ,d] ,halbkreis ,a m ,b wird von d] ,diagonale ,e ,g 9 a ges*nitt54 ,zieht man von a e9e ,wagre*te na* y und von y e9e mit ,e z p>allele ,l9ie na* x1 s erhlt man dur* ,e p und z p die ,punkte c und s u4 s4 w4 #ajd4 ,9 ,fig4 #aab i/ von e9em beliebig5 ,punkte a des ,halbkreises ,a m ,b e9e ,s5kre*te na* o und von hi] e9e ,l9ie p>allel mit ,e y d4 h4 na* dem ,augpunkt gezog51 wel*e die ,diagonal5 des ,quadrats ,e ,f z y 9 i und k s*neidet4 ,zieht man nun von i und k #b ,s5kre*te na* d] aus a na* dem ,augpunkt geh5d5 ,l9ie1 s erhlt man die ,punkte c und r1 vgl4 dieselb5 ,punkte 9 ,fig4 #aaj4 ,illu/ration3 ,fig4 #aab4 ,dur* e9e ,wagre*te aus a na* e1 e9e ,l9ie von e na* dem ,augpunkt und #b ,wagre*te aus c und r ergeb5 si* sodann d und s4 ,illu/ration3 ,fig4 #aac4 ,w5n die seitli*5 ,kapp51 wie 9 ,fig4 #aac1 ges*loss5 bis auf die wagre*te ,l9ie h]abgeh51 auf wel*] das ,gewlbe ruht1 s i/ das leztg5annte ,v]fahr5 bequem] als das 9 #ajb bes*rieb5e4 ,die ,anw5dung desselb5 auf ,fig4 #aac i/ aus d5 ,con/ructionsl9i5 zu erseh54 ,a m ,b i/ hi] ni*t e9 ,halbkreis1 sond]n e9 fla*] ,bog51 e9 sog5annt] ,korbbog54 ,d] ob]e ,teil desselb5 i/ aus dem s5kre*t unt] ,g lieg5d5 ,punkte g bes*rieb51 die ,=tsezung bis ,a und ,b kann lei*t aus frei] ,h& ergnzt w]d54 #aje4 ,e9 ,spizbog5 wird gebildet dur* #b si* dur*s*neid5de ,bg51 wie ,a1 ,b1 ,c ,fig4 #aad zeig54 ,9 ,a s9d die beid5 ,bg5 von a und von b aus mit d] ,zirkelweite a b bes*rieb51 9 ,b von d5 ,punkt5 m und n aus mit d] ,weite m c1 9 ,c von o und i aus mit d] ,weite i e 7m d n c1 o e i f74 ,die d5 ,spizbog5 umgeb5d5 ,fug5l9i5 hab5 die ,ri*tung na* dem ,mittelpunkte des betreff5d5 ,bog5s3 9 ,a na* a und b1 9 ,b na* m und n1 9 ,c na* i und o4 ,illu/ration3 ,fig4 #aad4 ,s9d mehr]e 9 e9] ,flu*t lieg5de ,spizbg5 9 v]krzt] ,/ellung zu zei*n51 s bilde man das ,re*teck e9es ,spizbog5s z4 ,b4 a b c d ,fig4 #aae und ziehe 9 demselb5 die s5kre*te ,mittell9ie4 ,man kann nun e9e d] ,bog5l9i5 z4 ,b4 a ,b 7lei*t] als b ,b7 aus frei] ,h& zei*n5 und d5 ,punkt o1 9 wel*em sie von d] ,diagonale ,a d ges*nitt5 wird1 mittels e f1 ,a c1 g ,c u4 s4 w4 na* n1 m u4 s4 w4 b]trag51 0 fr gewhnli* g5g5 wird4 ,i/ grss]e ,g5auigkeit er=d]li*1 s kann mit ,hilfe e9es ,di/anzpunktes ans*liess5d an a d e9 unv]krztes ,re*teck a d z y gebildet und a h als geometris*e ,=m d] an/oss5d5 unv]krzt5 ,bog5l9ie gezei*net w]d51 worauf d] ,punkt i na* e und von hi] na* o1 n1 m u4 s4 w4 b]trag5 wird4 ,illu/ration3 ,fig4 #aae4 #ajf4 ,als ,beispiel e9es spizbogig5 ,kreuzgewlbes i/ 9 ,fig4 #aaf d] ,deutli*keit weg5 die e9fa*/e ,=m e9es sol*5 gewhlt2 es wird j$o* ni*t s*wi]ig se91 das dabei angew&te ,v]fahr5 auf &]e ,=m51 wel*e sehr mannigfaltig] ,art se9 knn51 anzuw5d54 ,die ,mittelpunkte d] ,bog5 ,a m und ,b m1 ,d o und ,c o s9d 9 a und b1 e und f4 ,a a i/ e9 ,vi]tel von ,a ,b1 ,a ,b ,c ,d i/ e9 ,quadrat4 ,a i i/ ,a ,b2 e9e ,l9ie von ,b na* i /ellt also die geometris*e ,lnge d] ,diagonale ,a ,c d>4 ,es i/ nun e9 ,re*teck ,g ,h h g gebildet1 9 wel*em ,g ,h ,b i ,a ,c und ,g g ,a ,e i/2 ,g ,h h g i/ somit die geometris*e ,=m des v]krzt5 ,re*tecks ,a ,e z ,c2 d] von g na* h fhr5de ,bog5 i/ d] von ,a na* ,c fhr5d5 ,diagonalrippe4 ,da ,g g die ,hlfte von ,g ,h i/1 s ergibt si*1 dass j5e ,diagonalrippe e9 ,halbkreis i/4 ,wird nun ,e y ,g k gema*t1 s kann die ,lage d] ,punkte c1 s1 d und r wie bei ,fig4 #aaa be/immt w]d54 ,illu/ration3 ,fig4 #aaf4 #ajg4 ,fig4 #aag zeigt e9e von ob5 geseh5e1 9 #h ,feld] geteilte ,halbkugel4 ,d] ihr5 uss]5 ,umriss bild5de ,halbkreis i/ mit dem ,zirkel vom ,mittelpunkt d] ,l9ie ,a a aus bes*rieb54 ,indem die ,l9i5 ,a i und a i zuglei* als ,teilungsl9i5 ang5omm5 wurd51 ergeb5 si* die weit]5 ,teilpunkte d] dur* ,a und a geh5d5 ,kreisl9ie1 nmli* ,b1 ,c1 ,d1 b1 c und d1 dur* die ,halbi]ungsl9ie und ,diagonale des j55 ,kreis ums*liess5d5 ,quadrats1 und es /ellt si* d] von ,c dur* i na* c fhr5de ,halbkreis als ,e9e s5kre*te ,l9ie d>4 ,um die v]krzt5 ,halbkreise ,b m o b und ,d n p d zu zei*n51 i/ das ,quadrat ,e ,f ,g ,h 7,e ,b d] ,hlfte von ,b ,d7 s5kre*t b] ,b ,d b d gebildet1 9 wel*em die auf bekannte ,weise be/immt5 ,punkte m1 n1 o1 p als ,hilfspunkte fr j5e ,halbkreise di554 ,illu/ration3 ,fig4 #aag4 #ajh4 ,9 ,fig4 #aah sei d] dur* ,a ,b ,c ,d geh5de ,kreis und 9 diesem d] ,punkt ,b gegeb51 um von hi] aus e9e a*tseitige eifrmige ,kuppel und d>b] e9e glei*falls a*tseitige ,lat]ne zu zei*n54 ,illu/ration3 ,fig4 #aah4 ,die ,teilung des ,kreises 9 #h ,teile i/ 9 #ie ,fig4 #aja gezeigt4 ,die ,ausfhrung 9 ,fig4 #aah i/ nur ins(]n v]s*i$51 als hi] die ,con/ructionsl9i5 an die f]n]e ,l9ie des d5 ,kreis e9s*liess5d5 ,quadrats na* unt5 angefgt s9d4 ,sodann i/ entspre*5d dem ,umfang1 wel*5 die ,lat]ne hab5 soll1 e9 kle9]] ,kreis von demselb5 ,mittelpunkt y aus gezei*net1 wel*] dur* d5 von ,a1 ,b1 ,c1 ,d na* y geh5d5 ,halbmess]n 9 d5 ,punkt5 a b c d ges*nitt5 wird4 ,die 9 a b c d erri*tet5 ,s5kre*t5 bild5 die ,eckl9i5 d] #c si*tb>5 ,seit5 d] ,lat]ne1 wel*e ob5 und unt5 dur* ,p>allel5 d] ,l9i5 ,a ,b1 ,b ,c und ,c ,d begr5zt s9d4 ,die ,l9i5 ,a n1 ,b e1 ,c o und ,d m treff5 9 ihr] ,v]lng]ung zusamm5 9 e9em ,punkte d] s5kre*t5 ,mittell9ie1 hi] 9 z1 und es i/ zu bea*t51 dass dies] ,punkt bei e9] d]>tig5 ,kuppel=m hh] lieg5 muss1 als d] ,mittelpunkt des ,kreises1 wel*] dur* n1 e1 o1 m geht1 hi] also hh]1 als x4 ,weit]e ,anm]kung5 zur ,transkription ,(f5si*tli*e ,satzfehl] und fehl5de ,auszei*nung5 wurd5 /ills*weig5d korrigi]t4 ,die ,abbildung5 wurd5 s[eit wie mgli* zu d5 entspre*5d5 ,p>agraph5 v]s*ob54 ,die ,korrekturli/e von ,s4 ,,viii wurde e+e>beitet1 diese ,korrektur5 s9d hi] e9zeln aufgefhrt4 ,d] doppelte ,p>agraph #ib wurde beibehalt54 ,korrektur53 ,seite ,v3 ,b$rfniss - ,b$rfnis hab5 dem ,v]fass] das ,b$rfnis ,seite ,,viii3 p>allell] - p>allel]1 ,grenv]hltniss - ,grss5v]hltnis ,p]spectivis*es ,grss5v]hltnis ni*t p>allel] ,l9i5 ,s4 #d3 ,sa*li*] ,fehl] 7ni*t korrigi]t73 ,die beid5 ,diagonal5 e9es ,p>allelogramms s9d glei* lang1 ,s4 #ag3 de/o s*mal]1 je hh] wir /eh5 ergnzt je tief] wir /eh51 de/o s*mal]1 je hh] wir /eh51 de/o breit] ers*e9t uns dieselbe1 ,s4 #bf3 a d und b c v]taus*t da b c f]n] liegt als a d1 ,s4 #ej3 g - ,b und zieht von ,b dur* p e9e ,l9ie ,s4 #eg3 ,e - ,f ,od] kann von ,f e9e mit ,d ,e p>allele ,s4 #fb3 m d - n a d h i/ n a gema*t ,s4 #gb3 b - ,b ,mitte e9es ,quadrats 7,a ,b p f7 ,s4 #ii3 die - d] s i/ b f die ,hlfte von ,b b2 ,s4 #abb3 ,atwas - ,etwas ,etwas ,&]es i/ es1 ,s4 #acc3 ,c\/ruction - ,con/ruction ,die ,con/ruction be/eht e9fa* d>91 ,s4 #ace3 y - t dem dur* ,e z und ,f t gegeb55 ,punkte n ,s4 #acf3 ruht na* vorn v]s*ob5 auf wel*] das ,gewlbe ruht1