,hinweise zur ,transkription ,im ,original gesperrter ,text wird so dargestellt4 ,im ,original kursiver ,text wird so dargestellt4 ,im ,original fetter ,text wird so dargestellt4 ,weitere ,hinweise zur ,transkription befinden sich am ,ende des ,buches4 ,,lehrbuch ,,der ,,perspective4 ,,mit #aah ,,in ,,den ,,text ,,gedruckten ,,zeichnungen ,,von ,g4 ,,conz1 ,,maler1 ,,professor ,,am ,k4 ,,catharinenstift ,,in ,,stuttgart4 ,illustration ,,stuttgart4 ,,verlag ,,von ,,konrad ,,wittwer4 #ahhh4 ,alle ,rechte vorbehalten4 ,druck von ,carl ,hammer in ,stuttgart4 ,vorwort4 ,wer das ,schaffen unserer ,knstler kennt1 der weiss1 dass auch der ,talentvollste nicht ohne gewissenhaftes und grndliches ,studium zum ,ziele gelangt1 und dass sie ,mhe und ,arbeit nicht zu scheuen pflegen4 ,woher kommt es nun1 dass die ,mehrzahl der ,maler so wenig von der ,perspective versteht1 welche doch zweifellos eine so wichtige ,grundlage ihrer ,studien bildet8 ,die ,meisten unterschzen den ,wert derselben nicht1 nehmen auch wohl dieses oder jenes ,lehrbuch zur ,hand1 aber gewhnlich nur1 um es bald wieder zur ,seite zu legen1 ohne ihren ,zweck erreicht zu haben1 und wenn man nach dem ,grunde fragt1 so heisst es1 das mge alles ganz gut fr ,architekten sein1 eigne sich aber nicht fr ,maler4 ,allerdings ist die ,art und ,weise1 in welcher der ,architekt die perspectivischen ,geseze anwendet1 wesentlich verschieden von der des ,malers und es mag wohl sein1 dass die meisten perspectivischen ,lehrbcher dem ,standpunkt des ,lezteren weniger als dem des ,ersteren ,rechnung tragen4 ,der ,architekt stellt sich die ,aufgabe1 das perspectivische ,bild eines ,gegenstands mathematisch genau zu berechnen auf ,grund bestimmter ,angaben ber die wirkliche 7geometrische7 ,richtung1 ,grsse und ,winkelstellung smtlicher ,linien1 wie sie ihm in seinem ,grundriss und ,aufriss vorliegen4 ,fr den ,maler dagegen ist das perspectivische ,bild1 welches in der ,natur oder in seiner ,fantasie vor ihm steht1 das zuerst ,gegebene4 ,in den meisten ,fllen ist er darauf angewiesen1 zunchst die perspectivische ,richtung und ,grsse einzelner fr die beabsichtigte ,wirkung seines ,bildes wesentlicher ,linien1 so gut die bung seines ,auges gestattet1 festzustellen und dann erst die perspectivische ,berechnung anzuwenden1 um das brige mit jenen in richtige bereinstimmung zu bringen4 ,fr diese ,berechnung fehlen ihm aber1 da er selten in der ,lage ist1 ,messungen an seinem ,gegenstand vorzunehmen1 die genauen und bestimmten ,angaben1 welche dem ,architekten zu ,gebote stehen1 und welche die ,auffassung auch eines gebten ,auges nicht vollstndig ersezen kann4 ,er muss daher in der ,regel auf eine vollstndige perspectivische ,genauigkeit aller ,teile seines ,bildes verzichten und er bezweckt eine solche auch nicht4 ,man kann sagen1 dass er in dieser ,beziehung seiner ,aufgabe gengt1 wenn er perspectivische ,fehler vermeidet1 welche fr das ,auge eines kundigen ,beschauers ohne ,anwendung einer ,berechnung wahrnehmbar und deshalb fr die ,wirkung des ,ganzen strend wren4 ,hieraus ergeben sich einerseits gewisse ,schwierigkeiten1 welche ein fr die ,zwecke des ,malers geeignetes ,lehrbuch der ,perspective zu bercksichtigen hat1 anderseits bietet sich die ,mglichkeit1 in mancher ,beziehung den ,stoff zu vereinfachen und leichter verstndlich zu machen4 ,der ,umgang mit ,kunstgenossen1 sowie eine langjhrige ,lehrthtigkeit haben dem ,verfasser das ,bedrfnis eines in dem erwhnten ,sinne geschriebenen ,lehrbuchs so oft nahe gelegt und ihm zugleich so vielfache ,gelegenheit gegeben1 die ,mittel und ,wege1 welche sich hiebei darbieten1 zu erproben1 dass er vielleicht hoffen darf1 mit dieser ,schrift ,vielen einen ,dienst zu erweisen4 ,neben den ,bedrfnissen des ,malers sind zugleich diejenigen des ,schulunterrichts ins ,auge gefasst4 ,mit ,rcksicht auf diesen sind auch die einfachen geometrischen ,begriffe1 welche in ,betracht kommen1 besprochen und ist die ,anordnung des ,stoffes eine solche1 dass die fr das ,freihandzeichnen wichtigsten und unentbehrlichsten ,lehrsze1 welche zugleich die verstndlichsten sind1 leicht von den schwierigeren ,teilen getrennt vorgenommen werden knnen4#a #a3 ,anm4 ,das ,notwendigste und zugleich ,einfachste sind ausser einigen ,grundbegriffen 7 #a--ae7 die allgemeinen ,regeln ber die ,richtung der verkrzten parallelen und wagrechten ,linien 7 #bj--bi1 #cg72 nchst diesen die #cj--cf1 #da--fd1 #ga--gc1 #hf--ib1 #ii--aja1 #aje4 ,der ,grad von perspectivischer ,genauigkeit1 welcher mit ,hilfe dieser ,abschnitte zu erzielen ist1 mag in vielen ,fllen gengen4 ,auch fr den ,knstler haben ohne ,zweifel die weniger schwierigen ,berechnungen1 welche sich im ,notfall mittels einiger aus freier ,hand gezeichneter ,hilfslinien ausfhren lassen1 den meisten ,wert und ,manchen wre vielleicht eine noch krzere und einfachere ,fassung des ,ganzen erwnscht und gengend gewesen4 ,aber abgesehen davon1 dass ein grsserer ,massstab des ,bildes zuweilen genauere und ausfhrlichere ,constructionen erfordert1 haben dieselben auch den ,wert1 das ,verstndnis zu ben und zu schrfen1 wie berhaupt der wichtigste ,nuzen solcher ,studien darin besteht1 dass das ,auge richtiger sehen und auch ohne ,anwendung einer ,berechnung die ,formen der ,natur rascher und sicherer auffassen lernt4 ,stuttgart1 im ,mrz #ahhh4 ,der ,verfasser4 ,inhalt4 ,seite ,vorwort ,,iii--,,vi ,i4 ,geometrische ,begriffe4 #a4 ,senkrechte1 wagrechte1 schrge und parallele ,linien #a #b4 ,winkel2 rechte1 stumpfe und spize #a--c #c4 ,dreiecke2 gleichseitige1 gleichschenklige1 rechtwinklige #c--d #d4 ,vierecke2 ,quadrat1 ,rechteck1 ,raute1 ,trapez #d--e #e4 ,der ,kreis4 ,hilfsmittel zum perspectivischen ,zeichnen #e--f ,,ii4 ,grundbegriffe der ,perspective4 #f--aa4 ,unterschied der geometrischen und perspectivischen ,form #g--ad #ab--ac4 ,der ,standpunkt2 ,sehkreis1 ,augpunkt1 ,horizont #ae--ai #ad--bj4 ,die ,distanz #ai--bc #ba--bd4 ,das ,grundgesez der perspectivischen ,formerscheinung4 ,verkrzte und unverkrzte ,stellung der ,flchen und ,linien #bd--bg ,,iii4 ,perspectivische ,richtung verkrzter ,linien4 #be--bg4 ,verkrzte ,parallellinien #bh--ca #bh--ca4 ,verkrzte wagrechte ,linien #ca--cg #cb--cf4 ,rechtwinklige wagrechte ,linien #cg--de #cg4 ,verkrzte wagrechte ,linien1 deren ,richtung nicht genau zu berechnen ist #de #ch--dj4 ,wagrechte ,parallellinien1 deren ,fluchtpunkt unzugnglich ist #df--ea #da--dd4 ,verkrzte schrge ,linien #ea--eg #de--dh4 ,berechnung der ,richtung schrger ,linien ohne ,hilfe ihrer ,fluchtpunkte #eg--fb #di--fa4 ,verschiedene ,beispiele3 ,treppen1 ,dcher1 ,dachfenster1 ,turmhelme #fb--hj ,,iv4 ,die perspectivischen ,grssenverhltnisse4 #fb4 ,unterscheidung der verschiedenen ,aufgaben #ha #fc--gj4 ,parallellinien von gleicher ,lnge in verschiedener ,tiefe #hb--ij #ga--gc4 ,teilung einer verkrzten ,linie nach bestimmten ,verhltnissen #ij--id #gd--gi4 ,perspectivisches ,grssenverhltnis nicht paralleler ,linien #ie--aje #hj4 ,das ,quadrat in gerader ,stellung #aje--ajf #ha--he4 ,das ,quadrat in schrger ,stellung #ajf--aaa #hf--hg4 ,vergrsserung oder ,verkleinerung eines ,quadrats oder ,rechtecks #aaa--aae ,v4 ,verkrzte ,kreise1 ,achtecke und ,sechsecke2 ,gewlbeformen4 #hh--ij4 ,der ,kreis in verkrzter ,stellung #aaf--aai #ia4 ,parallele und concentrische ,kreise #aai--abj #ib4 ,teilung eines verkrzten ,kreises #abj--aba #ic--ie4 ,verkrzte ,achtecke #abb--abg #if--ih4 ,verkrzte ,sechsecke #abg--acj #ii--ajj4 ,weitere ,beispiele3 ,rad1 ,wasserrad1 ,walze1 ,cylinder #acj--acc #aja--ajh4 ,tonnengewlbe1 ,kreuzgewlbe1 ,spizbogen1 ,kuppel #acc--add ,druckfehler4 ,s4 #ag ,zeile #ac und #ad von oben ist zu lesen3 je tiefer wir stehen1 desto schmaler1 je hher wir stehen1 desto breiter erscheint uns dieselbe4 ,s4 #bf ,z4 #ad v4 o ist zu lesen3 b c ferner als a d4 ,s4 #ej #af ,b statt g4 ,s4 #eg #a v4 u4 ,f statt ,e4 ,s4 #fb #c v4 o4 n a statt m d4 ,i4 ,geometrische ,begriffe4 ,gerade ,linien4 #a4 ,eine gerade ,linie ist senkrecht1 wenn sie die durch das ,lot oder ,senkblei angegebene ,richtung hat1 wagrecht1 wenn ihre beiden ,endpunkte 7und somit alle ,punkte derselben7 in gleicher ,hhe liegen1 schrg1 wenn sie nach irgend einer ,richtung hin steigt oder fllt4 ,dies gilt sowohl von den wirklichen ,linien im ,raume1 als von den ,linien einer ,zeichnung1 wenn wir uns leztere senkrecht stehend denken4 ,linien1 welche dieselbe ,richtung haben1 so dass der ,abstand zwischen ihnen1 soweit man sie verlngern mag1 berall gleich gross ist1 heissen ,parallellinien1 vgl4 ,a ,b und ,c ,d1 ,e ,f und ,g ,h ,fig4 #a4 ,zieht man zwischen #b parallelen ,linien ,verbindungslinien1 welche unter sich gleichfalls parallel sind1 so sind leztere gleich lang1 vgl4 die ,linien a1 b1 c1 d1 e1 f ,fig4 #a4 ,illustration3 ,fig4 #a4 ,winkel4 #b4 ,linien1 welche nicht parallel sind1 stehen in einem ,winkel zu einander4 ,treffen sie in einem ,punkte zusammen1 wie in ,fig4 #b b c und c d in c oder a b und b c in b1 so heisst dieser ,punkt die ,spize des ,winkels2 die beiden den ,winkel bildenden ,linien heissen seine ,schenkel4 ,wenn man von der ,grsse eines ,winkels spricht1 so ist damit der ,grad gemeint1 in welchem beide ,schenkel desselben gegen einander geneigt sind2 der ,winkel bei c ist z4 ,b4 kleiner1 als der ,winkel bei b2 die ,lnge der ,schenkel kommt hiebei nicht in ,betracht4 ,illustration3 ,fig4 #b4 ,eine senkrechte und eine wagrechte ,linie1 oder #b schrge ,linien1 welche in demselben ,grade gegen einander geneigt sind1 wie eine senkrechte und eine wagrechte1 bilden einen rechten ,winkel1 vgl4 ,fig4 #b ,a ,b und ,a ,c1 e f und c d4 ,werden die ,schenkel eines rechten ,winkels ber die ,spize hinaus verlngert1 so entstehen #d rechte ,winkel 7z4 ,b4 bei ,a74 ,zwei ,linien1 welche weniger gegen einander geneigt sind1 als die ,schenkel eines rechten ,winkels1 bilden einen stumpfen solche1 die strker gegen einander geneigt sind1 einen spizen ,winkel4 ,ein stumpfer ,winkel 7a b und c b1 ,fig4 #b7 ist also grsser1 ein spizer ,winkel 7b c und c d7 ist kleiner1 als ein rechter4 ,dreiecke4 ,illustration3 ,fig4 #c4 #c4 ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e ,fig4 #c sind verschiedene ,arten von ,dreiecken3 ,a1 ein gleichseitiges ,dreieck1 hat #c gleich lange ,seiten1 welche in den ,ecken #c gleich grosse spize ,winkel bilden2 ,b1 ,c und ,e sind gleichschenklige ,dreiecke1 in welchen #b ,seiten gleich lang sind1 whrend die dritte entweder lnger oder krzer ist1 als jene beiden2 leztere heisst die ,grundlinie4 ,d und ,e sind rechtwinklige ,dreiecke1 d4 h4 einer der #c ,winkel ist ein rechter2 ,e ist also ein gleichschenkliges rechtwinkliges ,dreieck3 der ,winkel bei a ist ein rechter1 a b und a c sind gleich lang2 die ,winkel bei b und c sind halbe rechte ,winkel2 durch eine ,linie von a nach d1 der ,mitte von b c1 entstehen #b rechtwinklige gleichschenklige ,dreiecke3 a d c und a d b4 ,vierecke4 #d4 ,fig4 #d ist ein ,quadrat1 d4 h4 ein ,viereck mit #d gleich langen ,seiten1 welche in den ,ecken #d rechte ,winkel bilden2 in einem ,rechteck oder ,oblongum 7,fig4 #e7 stossen die ,seiten gleichfalls in rechten ,winkeln zusammen1 aber das eine ,seitenpaar ist lnger1 als das andere4 ,fig4 #f ist eine ,raute oder ein ,rhombus3 die #d ,seiten sind gleich lang und die gegenberliegenden sind parallel1 wie im ,quadrat1 aber sie bilden in den ,ecken nicht rechte1 sondern #b spize und #b stumpfe ,winkel4 ,illustration3 ,fig4 #d4 ,illustration3 ,fig4 #e4 ,illustration3 ,fig4 #f4 ,vierecke1 in welchen die gegenberliegenden ,seiten parallel sind1 also ,quadrat1 ,rechteck und ,raute1 heissen ,parallelogramme4 ,die ,linien a c und b d in ,fig4 #d1 #e und #f1 welche die gegenberliegenden ,ecken eines ,parallelogrammes verbinden1 heissen ,diagonalen4 ,die beiden ,diagonalen eines ,parallelogramms sind gleich lang1 und schneiden sich im ,mittelpunkt desselben4 ,zieht man durch den ,punkt e1 in welchem sie sich schneiden1 ,linien1 welche mit den ,seiten parallel sind1 so werden leztere halbiert4 ,im ,quadrat werden die rechten ,winkel der ,ecken durch die ,diagonalen halbiert4 ,diese stehen zu einander in einem rechten1 zu den ,seiten des ,quadrats in einem halben rechten ,winkel4 e a b1 e b c1 e c d und e d a ,fig4 #d sind #d rechtwinklige1 gleichschenklige ,dreiecke1 welche durch die ,linien e f1 e g1 e h und e i wieder in je #b solche ,dreiecke geteilt werden4 ,illustration3 ,fig4 #g4 ,ein ,viereck1 in welchem #b ,seiten parallel1 die beiden andern nicht parallel sind1 heisst ,trapez 7,fig4 #g47 ,der ,kreis2 ,hilfsmittel zum perspectivischen ,zeichnen4 #e4 ,der ,kreis 7,fig4 #h7 ist eine gebogene ,linie1 welche berall gleich weit von einem ,punkte1 ihrem ,mittelpunkt1 entfernt ist4 ,durchmesser des ,kreises heisst eine gerade ,linie1 welche von einem beliebigen ,punkte der ,kreislinie durch den ,mittelpunkt hindurch nach dem entgegengesezten ,punkt derselben gezogen wird1 wie a b2 eine gerade ,linie vom ,mittelpunkt nach einem beliebigen ,punkt der ,kreislinie1 z4 ,b4 c a1 c b1 c d1 c e1 welche somit die ,hlfte eines ,durchmessers bildet1 heisst ,halbmesser oder ,radius4 ,alle ,radien eines ,kreises sind gleich lang4 ,concentrische ,kreise sind ,kreise1 welche denselben ,mittelpunkt haben4 ,illustration3 ,fig4 #h4 ,illustration3 ,fig4 #i4 ,illustration3 ,fig4 #aj4 ,als ,hilfsmittel sind zum perspectivischen ,zeichnen erforderlich3 ein grsseres ,reissbrett1 ein ,zirkel1 ein rechter ,winkel 7,fig4 #i7 und eine ,reissschiene 7,fig4 #aj72 durch leztere erhlt man1 indem der kurze ,teil an den ,rand des ,reissbretts angelegt wird1 auf bequeme ,weise die senkrechten und wagrechten ,linien4 ,,ii4 ,grundbegriffe der ,perspective4 ,unterschied der geometrischen und perspectivischen ,form4 #f4 ,einen ,gegenstand perspectivisch zeichnen heisst ihn so zeichnen1 wie er dem ,auge erscheint1 wenn wir ihn von einem bestimmten ,standpunkte aus betrachten4 ,dieses scheinbare oder perspectivische ,bild der ,dinge ist vielfach verschieden von der ,form1 welche sie in ,wirklichkeit haben1 d4 h4 ihrer geometrischen ,form2 whrend leztere unverndert bleibt1 ndert sich die perspectivische ,form eines ,gegenstands mit jeder ,vernderung unseres ,standpunkts oder mit jeder ,vernderung in der ,stellung des betreffenden ,gegenstandes4 ,die geometrische ,form eines ,wrfels 7cubus7 ist z4 ,b4 die eines ,krpers1 welcher von #f gleich grossen quadratischen1 rechtwinklig aneinanderstossenden ,flchen begrenzt wird4 ,die ,umrisslinien dieser ,flchen sind geometrisch gleich lang1 ihre geometrische ,richtung ist1 wenn wir den ,wrfel auf eine wagrechte ,flche stellen1 teils senkrecht1 teils wagrecht1 sie stehen geometrisch teils parallel1 teils rechtwinklig zu einander4 ,stellen wir aber mehrere in ,wirklichkeit gleich grosse ,wrfel in verschiedener ,stellung und ,entfernung vor uns1 oder betrachten wir denselben ,wrfel von verschiedenen ,standpunkten aus1 so erhalten wir sehr verschiedene ,bilder1 wie ,fig4 #aa zeigt3 whrend einige ,linien1 wie a b1 b c1 c d in ,a1 ihre geometrische ,richtung und ,lnge behalten1 erscheint ein ,teil der geometrisch wagrechten ,linien schrg1 wie c e in ,a1 a b1 a g1 c d1 c e1 d f und e f in ,b1 zuweilen auch senkrecht1 wie d f in ,a2 geometrisch parallele ,linien erscheinen nicht mehr parallel1 wie c e und d f in ,a1 von den geometrisch gleich grossen ,linien und ,flchen erscheint bald die eine1 bald die andere grsser oder kleiner u4 s4 w4 ,und whrend in ,wirklichkeit die ,gegenstnde und ihre einzelnen ,teile und ,linien nicht nur neben und ber einander1 sondern auch in den verschiedensten ,entfernungen vor und hinter einander liegen1 sehen wir sie perspectivisch so1 als ob sie in einer senkrechten ,flche smtlich neben und ber einander lgen1 weshalb wir denn auch auf der ,flche des ,papiers1 der ,leinwand u4 s4 w4 das naturgetreue ,bild eines ,gegenstandes wiedergeben knnen4 ,die deutlichste ,anschauung hievon gibt das fotografische ,abbild oder das ,spiegelbild4 ,wenn wir einen ,gegenstand1 ohne unser ,auge von der ,stelle zu bewegen1 so wie wir ihn in einem ,spiegel oder durch eine ,fensterscheibe sehen1 auf der ,flche des ,glases nachzeichnen1 so erhalten wir sein genaues perspectivisches ,bild4 ,illustration3 ,fig4 #aa4 #g4 ,es ist die ,erfahrung und bung des ,auges1 welche bewirkt1 dass wir die perspectivische ,form1 in der wir die ,dinge sehen1 nicht mit ihrer wirklichen oder geometrischen ,form verwechseln1 sondern uns auch da1 wo die erstere von der lezteren abweicht1 eine allerdings nicht immer genaue ,vorstellung von der wirklichen ,form des betreffenden ,gegenstands machen knnen2 dass wir z4 ,b4 bei ,betrachtung von mehreren1 wie ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e1 ,f1 ,g ,fig4 #aa sich darstellenden ,wrfeln uns ihrer verschiedenen ,entfernung von unserem ,standpunkt1 der geometrisch wagrechten und parallelen ,richtung der ,linien c e1 d f u4 s4 w4 in ,a1 der geometrisch gleichen ,lnge smtlicher ,umrisslinien der ,wrfel bewusst sind4 ,ja1 diese auf der ,erfahrung unseres ,auges beruhende ,kenntnis der geometrischen ,form bildet ein nicht unwesentliches ,hindernis fr die richtige ,auffassung des perspectivischen ,bildes4#b ,unbewusst halten wir in dem hufigen und mannigfachen ,wechsel der perspectivischen ,erscheinung die ,vorstellung der geometrischen ,form fest und der ungebte ,zeichner ist deshalb stets geneigt1 auch wo das seinem ,auge sich darbietende ,bild eines ,gegenstands von dessen wirklicher ,form erheblich abweicht1 die leztere an ,stelle des ersteren zu sezen1 oder wenigstens mehr als richtig ist1 der geometrischen ,form nahe zu bleiben4 ,er wird z4 ,b4 ,flchen oder ,linien1 welche von dem angenommenen ,standpunkt aus im ,verhltnis zu andern kleiner erscheinen1 als sie in ,wirklichkeit sind1 fast immer zu gross1 in ,fig4 #ab z4 ,b4 a b statt i g 7das linke ,bild als das richtige angenommen71 geometrisch rechtwinklige ,linien1 welche perspectivisch einen stumpfen oder spizen ,winkel bilden1 meist so zeichnen1 dass sie wenigstens annhernd rechtwinklig zu einander stehen1 vgl4 c1 d1 e1 f statt m1 n1 o1 p2 erscheint eine geometrisch wagrechte ,linie perspectivisch schrg1 so wird er sie zu wenig von der wagrechten ,richtung abweichen lassen1 vgl4 a b u4 s4 w4 #b3 ,mit dem ,ausdruck ,bild wird sowohl der perspectivisch gesehene ,gegenstand selbst1 als die perspectivische ,darstellung desselben bezeichnet4 ,illustration3 ,fig4 #ab4 #h4 ,jede ,berechnung einer perspectivischen ,form muss zunchst ausgehen von der geometrischen ,form des betreffenden ,gegenstands3 um zu berechnen1 welche ,richtung und welche ,lnge eine bestimmte ,linie unseres ,bildes haben soll1 mssen wir die wirkliche ,richtung und ,lnge der betreffenden ,linie kennen und nur soweit1 als wir diese genau anzugeben vermgen1 ist ein genaues ,resultat unserer ,berechnung mglich4 ,aber1 wie bereits angedeutet1 ist unsere ,beurteilung der geometrischen ,form nicht eine unbedingt sichere und genaue1 wenn wir 7siehe ,vorwort7 voraussezen1 dass wir ohne ,hilfe von ,messungen am ,gegenstand die wirkliche ,form desselben nur auf ,grund unserer ,anschauung und ,erfahrung uns klar zu machen haben4 ,auch ein gebtes ,auge vermag die geometrische ,form der ,dinge nur dann mit vollkommener ,bestimmtheit und ,genauigkeit zu erkennen1 wenn dieselbe eine regelmssige1 durch die ,natur des ,gegenstands notwendig bedingte und dem ,auge aus ,erfahrung bekannte1 nicht aber1 wenn sie unregelmssig1 zufllig und willkrlich ist4 ,unsere ,berechnung wird sich daher nur auf ,formen der ersteren ,art erstrecken4 ,teils aus diesem ,grunde1 teils weil wir bei ,ausfhrung einer perspectivischen ,berechnung auf das ,lineal angewiesen sind1 haben wir es zunchst nur mit geraden ,linien zu thun4 ,doch ist damit die ,anwendung der perspectivischen ,regeln auf ,formen1 welche nicht geradlinige ,umrisse haben1 nicht ausgeschlossen1 indem wir mittels gerader ,linien die ,lage einzelner wichtiger ,punkte ihres perspectivischen ,bildes berechnen knnen1 von welchen aus das brige sich leicht aus freier ,hand ergnzen lsst1 wie dies z4 ,b4 bei der ,darstellung eines von der ,seite gesehenen ,kreises geschieht1 vgl4 ,fig4 #ic und #id4 #i4 ,welche ,linienrichtungen und ,grssenverhltnisse sind nun als regelmssig und notwendig1 welche als willkrlich anzusehen8 ,bei aufmerksamer ,betrachtung von ,gegenstnden der verschiedensten ,art werden wir finden1 dass es meist durch die ,natur des betreffenden ,gegenstandes bedingt und1 auch wenn das perspectivische ,bild von der geometrischen ,form abweicht1 deutlich wahrnehmbar ist1 ob eine ,linie geometrisch senkrecht1 wagrecht1 oder schrg ist1 welche ,linien geometrisch parallel1 welche rechtwinklig zu einander stehen4 ,dasselbe gilt von den symmetrischen ,grssenverhltnissen4 7,da die ,entfernung zweier ,punkte von einander nach der ,lnge einer zwischen ihnen gezogenen geraden ,linie bemessen wird1 so bezieht sich das ,gesagte auch auf die perspectivischen ,entfernungen74 ,wo dagegen ,linien in einem spizen oder stumpfen ,winkel zu einander stehen1 ist die geometrische ,gre dieses ,winkels meist zufllig und willkrlich4 7,eine ,ausnahme bilden die ,winkel1 in welchen die ,linien mancher geometrischen ,figuren zu einander stehen1 z4 ,b4 die ,diagonalen eines ,quadrats zu dessen ,seiten1 die ,seiten eines gleichseitigen ,dreiecks1 eines ,sechsecks1 ,achtecks u4 s4 w4 zu einander74 ,alle ,grssenverhltnisse1 mit ,ausnahme der symmetrischen1 sind mehr oder weniger willkrlich4 #aj4 ,nehmen wir z4 ,b4 an1 dass das ,haus ,fig4 #ac und das ,zimmer ,fig4 #ad so1 wie sie hier gezeichnet sind1 in ,wirklichkeit vor uns stehen und dass die geometrische ,richtung und ,lnge der verschiedenen ,linien angegeben werden soll4 ,illustration3 ,fig4 #ac4 ,leicht erkennbar sind berall die senkrechten ,linien1 da ihre ,richtung stets unverndert dieselbe ist4 ,beispiele geometrisch wagrechter ,linien sind in beiden ,figuren die mit a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1 h bezeichneten ,linien1 geometrisch schrg sind in ,fig4 #ac i1 h1 k1 m1 n1 o4 ,geometrisch parallel sind in ,fig4 #ac die ,wagrechten a a und b1 sodann die mit c und die mit e1 ferner die mit f bezeichneten ,linien und die schrgen ,linien i i1 sowie o o4 ,in ,fig4 #ad sind geometrisch parallel die mit e1 sodann die mit f bezeichneten ,linien2 ebenso a und b1 c und d1 g und h4 ,geometrisch rechtwinklig stehen zu einander in beiden ,figuren die ,linien a und b zu c und d1 ferner die ,linien e zu f4 ,illustration3 ,fig4 #ad4 ,in ,fig4 #ac haben die #e ,fenster des ersten ,stockwerks in ,wirklichkeit gleiche ,hhe1 und ,breite1 die ,entfernungen der ,fenster von einander und von den ,ecken sind je auf einer ,seite geometrisch gleich gross1 die ,giebellinien i und k sind geometrisch gleich lang1 ebenso in ,fig4 #ad die #d ,tischbeine1 die #b senkrechten ,linien der ,thre 7zwischen g und h7 u4 s4 w4 ,die rasche und sichere ,auffassung solcher geometrischen ,linienrichtungen und ,grssenverhltnisse erfordert immerhin einige bung4 ,dass die geometrisch schrge ,linie m ,fig4 #ac 7oder die geometrisch wagrechte a b ,fig4 #bi7 mit einer ,senkrechten verwechselt werde1 ist kaum zu befrchten2 leichter geschieht es1 dass der ,anfnger die geometrisch parallele oder rechtwinklige ,stellung von ,linien bersieht1 welche nicht in ,einer ,flche liegen oder wegen ihrer geringen ,lnge wenig in's ,auge fallen 7z4 ,b4 dass die ,linie b1 ,fig4 #ac geometrisch parallel ist mit a a74 ,bei einiger ,aufmerksamkeit gewhnt sich jedoch das ,auge bald an eine richtige ,unterscheidung der angefhrten ,linienrichtungen und ,grssenverhltnisse4 ,aber weder unser ,auge noch unsere ,erfahrung sagen uns genau1 wie gross in ,wirklichkeit der ,winkel ist1 in welchem die ,linien i und k ,fig4 #ac zu der darunter liegenden ,wagrechten c1 oder in ,fig4 #ad die ,linien a und b1 c und d oder g und h zu e e stehen1 wie breit in ,wirklichkeit die linke ,seite des ,hauses ,fig4 #ac im ,verhltnis zur rechten1 das ,fenster ,fig4 #ad im ,verhltnis zur vorderen1 dieser zum anstossenden ,tischrand ist2 denn alle diese ,winkelstellungen und ,grssenverhltnisse ergeben sich nicht aus der ,natur des ,gegenstandes2 sie sind zuflliger ,art4 #aa4 ,da die zuflligen und willkrlichen ,linienrichtungen1 ,winkelstellungen und ,grssenverhltnisse1 deren ,darstellung wir dem ,auge und der bung des ,zeichners berlassen1 berall hufig vorkommen1 in der landschaftlichen ,natur sogar weit vorherrschen ber das ,regelmssige und ,notwendige der ,form1 so knnte es scheinen1 als ob die ,anwendung und der ,nuzen perspectivischer ,geseze und ,studien sehr beschrnkt sei4 ,aber es ist klar1 dass die ,genauigkeit der ,zeichnung eine um so grssere sein muss1 die ,kenntnis und ,anwendung bestimmter ,regeln daher um so notwendiger ist1 je bekannter und regelmssiger die darzustellenden ,formen sind1 whrend unregelmssige und willkrliche ,formen der ,darstellung eine grssere ,freiheit gestatten4 ,hievon abgesehen beruht der ,wert perspectivischer ,studien nicht allein darin1 dass sie uns in ,stand sezen1 das perspectivische ,bild eines ,gegenstands mathematisch zu berechnen1 sondern wir lernen durch dieselben berhaupt die ,eindrcke des ,auges mit richtigerem und klarerem ,verstndnis aufzufassen und infolge dessen auch da1 wo keine genauere ,berechnung stattfindet1 richtiger wiederzugeben4 ,der ,standpunkt2 ,sehkreis1 ,augpunkt1 ,horizont4 #ab4 ,nchst der geometrischen ,richtung und ,lnge der ,linien ist es ihre ,stellung zu unserem ,auge1 oder1 was dasselbe ist1 unseres ,auges zu ihnen1 d4 h4 unser ,standpunkt1 wovon das perspectivische ,bild abhngt4 ,gewhnlich versteht man unter ,standpunkt die ,stelle1 auf welcher wir stehen oder sizen2 im ,sinne der genauen perspectivischen ,berechnung jedoch verstehen wir darunter den ,punkt1 wo unser ,auge sich befindet4 ,der ,unterschied zwischen rechtem und linkem ,auge kommt dabei nicht in ,betracht wegen der als notwendig vorausgesetzten ,entfernung unseres ,standpunkts von dem zu zeichnenden ,gegenstand4 ,illustration3 ,fig4 #ae4 ,da wir nach allen ,richtungen gleich viel bersehen1 so bildet der ,umfang dessen1 was wir mit ,einem ,blick erfassen knnen1 einen -- selbstverstndlich nicht bestimmt abgegrenzten -- ,kreis1 unsern ,sehkreis1 vgl4 ,fig4 #ae4 ,der ,mittelpunkt desselben1 ,p1 ist der ,punkt1 welcher dem ,auge gerade gegenber liegt und heisst der ,augpunkt4 ,durch den ,augpunkt denke man sich eine wagrechte den ,sehkreis in der ,mitte durchschneidende und nach beiden ,seiten ber denselben hinaus beliebig sich fortsezende ,linie 7,h ,h7 gezogen2 dies ist der perspectivische ,horizont4 ,die perspectivische ,berechnung geht von der ,voraussezung aus1 dass der ,blick des ,zeichners bei aufrechter ,haltung des ,kopfes geradeaus gerichtet sei1 so dass beide ,augen in einer wagrechten ,linie liegen1 welche wir unsere ,augenlinie nennen4 ,mit dieser ,linie parallel-laufend und in gleicher ,hhe mit ihr haben wir uns den ,horizont zu denken4 ,eine von unserem ,auge nach dem ,augpunkt gezogene ,linie wrde demnach rechtwinklig zu unserer ,augenlinie und zum ,horizont stehen wie ,d ,p zu ,h ,h in ,fig4 #ae4 ,man denke sich die ,zeichnung senkrecht stehend und ,d ,p als wagrechte rechtwinklig zu ,h ,h stehende ,linie1 vgl4 ,fig4 #af4 ,illustration3 ,fig4 #af4 ,im gewhnlichen ,sprachgebrauch bedeutet ,horizont die ,linie1 welche die sichtbaren ,gegenstnde gegen den ,himmel abgrenzt1 es sei dies eine ,berglinie1 oder der obere ,umriss von ,gebuden u4 s4 w4 ,dieser sogenannte scheinbare ,horizont ist zugleich unser perspectivischer1 wenn wir eine wagrechte1 soweit das ,auge reicht vor uns ausgedehnte ,flche berblicken4 ,eine solche ,flche erscheint gegen den ,himmel begrenzt durch eine wagrechte in gleicher ,hhe mit unserem ,auge liegende ,linie1 wie uns am deutlichsten die ,meeresflche zeigt3 je tiefer wir stehen1 desto schmaler1 je hher wir stehen1 desto breiter erscheint uns dieselbe1 mit unserem ,standpunkt scheint auch die ,grenzlinie des ,meeres hher oder tiefer zu rcken1#c vgl4 ,fig4 #ag und #ah4 #c3 ,man knnte aus der ,kugelgestalt der ,erde schliessen1 dass die ,grenzlinie der ,meeresflche oder einer grossen ,ebene nicht eine gerade ,linie sei und nicht genau in der ,hhe des ,auges liege4 ,aber im ,verhltnis zur ,grsse des ,erdballs ist der ,teil1 welchen wir mit ,einem ,blick bersehen knnen1 so klein1 dass er wie eine wagrechte ,flche1 seine ,grenzlinie vollstndig wagrecht erscheint und angenommen werden kann1 dass leztere in gleicher ,hhe mit dem ,auge liege4 ,illustration3 ,fig4 #ag und #ah4 #ac4 ,indem wir ,augpunkt und ,horizont auf unserer ,zeichnung angeben 7was in smtlichen ,figuren durch die ,buchstaben ,p und ,h ,h geschehen ist71 bezeichnen wir damit die ,hhe und die ,richtung1 aus welcher wir den betreffenden ,gegenstand sehen und zeichnen4 ,in ,fig4 #ae haben wir uns demnach den ,zeichner in der ,fortsezung der ,linie e f stehend oder sizend zu denken1 so dass sein ,auge dem ,punkte ,p gerade gegenber und in gleicher ,hhe mit diesem und mit der ,linie ,h ,h sich befnde1 vgl4 ,fig4 #af4 ,um beim ,zeichnen nach der ,natur ,augpunkt und ,horizont an der richtigen ,stelle anzugeben1 muss man zuvor1 so gut dies ohne ,berechnung mglich1 eine ,skizze der ,hauptlinien des ,bildes nach ihren ungefhren ,verhltnissen entworfen haben4 ,hlt man hierauf einen ,bleistift1 den ,rand des ,zeichenblattes oder dgl4 wagrecht in gleicher ,hhe mit dem ,auge vor sich1 so ist es nicht schwer1 die ,hhe zu ersehen1 in welcher der ,gegenstand von der ,horizontlinie durchschnitten wird und auf derselben die dem ,auge gerade gegenberliegende ,stelle zu bestimmen4 ,gewhnlich wird brigens nicht der ganze ,umfang des ,sehkreises als ,bild verwendet4 ,wir pflegen vielmehr der ,zeichnung die ,form eines ,rechtecks zu geben1 welches in der ,regel so abgegrenzt wird1 dass ,horizont und ,augpunkt nicht in der ,mitte1 aber auch nicht zu nahe am ,rande desselben liegen1 vgl4 ,fig4 #ag und #ah4 ,die ,distanz4 #ad4 ,unter der ,entfernung unseres ,standpunkts oder der ,distanz ist zu verstehen unsere ,entfernung von den uns zunchst liegenden ,teilen des zu zeichnenden ,gegenstands4 ,hufig liegt der nchste ,vordergrund in der wagrechten ,fortsezung der ,flche1 auf welcher wir unsern ,standpunkt genommen haben und bildet so den untern ,rand der ,zeichnung1 wie in ,fig4 #ac--ae4 ,ziehen wir in solchem ,fall eine ,linie von unserem ,fuss nach dem gerade gegenber liegenden ,punkt der ,vordergrundlinie1 dem sog4 ,fusspunkt1 so bezeichnet die ,lnge dieser ,linie 7,f f ,fig4 #af7 die genaue ,grsse unserer ,distanz4 ,denken wir uns1 dass anstossend an den ,teil unseres ,gegenstands1 welcher unserem ,auge am nchsten liegt1 z4 ,b4 in ,fig4 #ae und #af auf der ,linie a b1 eine grosse unser ganzes ,bild umfassende ,glastafel stehe und dass ,augpunkt1 ,horizont und ,fusspunkt in der senkrechten ,flche dieser ,tafel 7der sogenannten ,bildflche7 liegen1 so wre eine ,linie vom ,auge nach dem ,augpunkt eben so lang1 als eine ,linie von unserem ,fusse nach dem ,fusspunkt 7vgl4 ,d ,p und ,f f ,fig4 #af7 und knnte ebenso als ,mass der ,distanz gebraucht werden4 ,in diesem ,sinne ist es zu verstehen1 wenn gesagt wird1 die ,distanz bedeute die ,entfernung unseres ,auges vom ,augpunkt1 und so oft von dieser die ,rede ist1 muss man sich das zu zeichnende ,bild in der angefhrten ,weise als eine senkrechte ,flche vorstellen1 wie wir es im ,spiegelbilde sehen4 #ae4 ,die ,entfernung des ,standpunkts muss wenigstens so gross sein1 dass der ,zeichner gerade aus in der ,richtung des ,augpunkts blickend und ohne das ,auge nach der ,seite1 nach oben oder unten zu wenden1 alles1 was er in sein ,bild aufnehmen will1 deutlich bersehen kann4 ,denn da bei jeder ,vernderung des ,standpunkts das perspectivische ,bild des ,gegenstands ein anderes wird1 so ist die erste ,bedingung einer perspectivisch richtigen ,zeichnung1 dass das ,ganze von ein und demselben ,standpunkt aus1 d4 h4 aus derselben ,hhe1 ,richtung und ,entfernung gezeichnet1 die einmal angenommene ,lage von ,horizont und ,augpunkt1 sowie die ,grsse der ,distanz unverndert beibehalten werde4 ,sobald wir aber die ,richtung unseres ,blickes verndern1 so ndert sich die ,lage unseres ,augpunkts und somit unser ,standpunkt4 ,die ,grsse der ,distanz muss demgemss in einem gewissen ,verhltnis zum ,umfang des zu zeichnenden ,gegenstandes stehen3 je grsser derselbe sein soll1 desto grsser muss auch die ,distanz sein4 #af4 ,man nimmt an1 dass das ,auge eine ihm senkrecht gegenberstehende kreisrunde oder quadratische ,flche vollstndig in der angefhrten ,weise bersehen kann1 wenn seine ,entfernung vom ,mittelpunkt dieser ,flche wenigstens so gross ist1 als ein ,durchmesser oder eine ,diagonale derselben4 ,dabei ist vorausgesezt1 dass sich das ,auge dem ,mittelpunkt der ,flche gegenber befinde4 ,wenn wir uns z4 ,b4 das ,quadrat a b c d ,fig4 #ae als eine senkrecht vor uns stehende ,glastafel denken1 deren ,mittelpunkt unser ,augpunkt und deren ,diagonale 7a c oder b d7 #d-a_/b ,meter lang wre1 so msste unser ,auge von dem ,mittelpunkt dieser ,tafel wenigstens #d-a_/b ,meter entfernt sein1 um ohne ,vernderung des ,standpunkts den ganzen ,umfang derselben bersehen zu knnen4 ,oder wenn in ,fig4 #af ,p ,augpunkt des in ,f stehenden ,beschauers und a b c d eine quadratische ,glastafel ist1 so mssen die ,linien ,d ,p und ,f f wenigstens so lang sein wie a c und b d1 damit das ,auge von ,d aus die ganze ,tafel und alles1 was durch dieselbe sichtbar ist1 bersehen kann4 ,befindet sich das ,auge nicht dem ,mittelpunkt der ,bildflche gegenber1 so ist die ,diagonale derselben noch kein hinreichendes ,mass der ,distanz4 ,wenn wir z4 ,b4 dem ,bilde a b c d ,fig4 #ae so gegenberstehen1 dass m unser ,augpunkt ist1 so muss1 um den von dem ,viereck a b c d umschlossenen ,raum bersehen zu knnen1 die ,distanz wenigstens doppelt so gross sein1 als eine ,linie von m nach b oder nach c1 d4 h4 eben so gross als fr ein ,rechteck g b c k erforderlich wre1 dessen ,mittelpunkt m ist oder fr einen von m aus durch c und b beschriebenen ,kreis4 ,dagegen kann die ,distanz nach ,belieben grsser angenommen werden4 #ag4 ,natrlich ist das ,gesagte nicht so aufzufassen1 als ob innerhalb eines bestimmten ,umkreises alle ,gegenstnde gleich deutlich1 jenseits desselben undeutlich oder gar nicht mehr sichtbar wren1 vielmehr nimmt die ,deutlichkeit derselben allmlig ab1 je weiter sie sich vom ,augpunkt entfernen4 ,es ist aber fr die perspectivische ,berechnung notwendig1 eine ,grenzlinie festzusezen1 innerhalb deren eine hinreichende ,deutlichkeit des ,bildes anzunehmen ist4 ,dieses ,mass der kleinsten ,distanz ist in den perspectivischen ,lehrbchern verschieden angegeben1 wie auch der ,umfang dessen1 was mit ,einem ,blick zu bersehen ist1 nicht fr jedes ,auge gleich gross ist4 ,jedoch kann ohne ,gefahr fr eine perspectivisch richtige ,wirkung nicht wohl ein niedrigeres ,mass angenommen werden1 als oben geschehen ist4 ,ist es dem ,zeichner durch die ,raumverhltnisse unmglich gemacht1 seinen ,standpunkt in hinreichender ,entfernung zu nehmen1 so muss mittels perspectivischer ,berechnung das ,ganze so gezeichnet werden1 wie es sich1 in richtiger ,entfernung gesehen1 dem ,auge darstellen wrde4#d #d3 ,ein geschickter ,zeichner mag sich allerdings zuweilen ,abweichungen von dieser wie von andern ,regeln gestatten1 aber um zu wissen1 wo und wie er dies thun kann1 ohne dass die ,wirkung seiner ,zeichnung eine falsche oder zum mindesten unschne wird1 muss er vor allem die ,regel kennen1 welche hiedurch nichts an ihrer ,giltigkeit verliert4 #ah4 ,die ,grsse der fr eine ,zeichnung angenommenen ,distanz wird ausgedrckt durch die ,distanzpunkte4 ,ein ,distanzpunkt ist ein senkrecht ber oder unter dem ,augpunkt oder seitwrts von diesem in der ,horizontlinie angegebener ,punkt1 dessen ,entfernung vom ,augpunkt 7im ,verhltnis der ,zeichnung7 der ,entfernung unseres ,auges vom ,augpunkt oder unseres ,fusses vom ,fusspunkt entspricht4 ,ist z4 ,b4 in ,fig4 #ae die ,linie a b #c ,meter lang und ist die vom ,zeichner fr das ,bild a b c d angenommene ,distanz eine solche1 dass sein ,fuss von f1 sein ,auge von dem 7senkrecht ber f gedachten7 ,augpunkt ,p #d-a_/b ,meter entfernt sich befindet1 so sind ,d und ,dg ,distanzpunkte1 indem eine ,linie von einem dieser #b ,punkte bis ,p #a-a_/b mal so gross ist1 als a b4 ,zur ,unterscheidung werden wir die seitwrts vom ,augpunkt liegenden ,distanzpunkte ,diagonalpunkte nennen 7,dg und ,dp74 ,von den beiden andern ist stets der unterhalb des ,augpunkts liegende verwendet und als ,distanzpunkt 7,d7 bezeichnet4 ,aus #af folgt1 dass ein ,distanzpunkt oder ,diagonalpunkt nie innerhalb der ,zeichnung liegen kann1 da seine ,entfernung vom ,augpunkt wenigstens so gross sein muss1 als eine ,diagonale derselben1 wenn der ,augpunkt in der ,mitte des ,bildes liegt1 oder1 wenn dies nicht der ,fall ist1 doppelt so gross als eine ,linie vom ,augpunkt nach dem von ihm entferntesten ,punkte der ,zeichnung4 #ai4 ,ein genaues ,abmessen der ,distanz ist natrlich in den meisten ,fllen nicht ausfhrbar und ist auch behufs ,angabe der ,distanzpunkte nicht notwendig4 ,die ,hauptsache ist1 dass eine zu kleine ,distanz vermieden wird4 ,um sich beim ,zeichnen nach der ,natur zu versichern1 dass die angenommene ,entfernung des ,standpunkts eine fr den beabsichtigten ,umfang des ,bildes hinreichende sei1 kann man sich eines aus starker ,pappe gefertigten ,rahmens bedienen1 dessen innerer ,rand ein ,rechteck von #dh 3 #cf ,centimeter bildet4 ,die ,diagonale eines ,rechtecks von dieser ,grsse entspricht ungefhr der durchschnittlichen ,lnge des ,arms2 die ,distanz ist also hinreichend gross1 wenn der ,rahmen1 auf ,armeslnge vor das ,auge gehalten1 whrend der ,blick auf den ,augpunkt gerichtet ist1 den ganzen ,gegenstand1 welcher gezeichnet werden soll1 umschliesst1 vgl4 ,fig4 #af4 ,hiebei wird man sich leicht berzeugen1 dass der ,umfang des innerhalb des ,rahmens sichtbaren ,bildes kleiner oder grsser wird1 je nachdem man1 denselben vor sich haltend1 dem ,gegenstande nher tritt oder sich von demselben entfernt4 #bj4 ,wenn von der ,entfernung einzelner ,teile des ,bildes von unserem ,standpunkt die ,rede ist1 so kommt dabei nicht in ,betracht1 ob dieselben mehr in der ,mitte oder nach dem ,rande desselben liegen1 da dies bei richtiger ,grsse der ,distanz keinen fr die perspectivische ,berechnung wesentlichen ,unterschied macht1 sondern es ist damit nur die ,entfernung in der ,richtung vom ,vordergrund nach dem ,hintergrund zu gemeint4 ,um die ,entfernung eines ,punktes oder einer ,linie vom ,auge in diesem ,sinne zu bezeichnen1 gebraucht man hufig den ,ausdruck ,tiefe4 ,man kann z4 ,b4 sagen3 a und b ,fig4 #ae liegen in gleicher ,tiefe1 a und e in verschiedener ,tiefe4 ,das ,grundgesez der perspectivischen ,formerscheinung4 ,unverkrzte und verkrzte ,stellung der ,flchen und ,linien4 #ba4 ,das wichtigste und am meisten in die ,augen fallende ,gesez der ,perspective ist1 dass alle ,gegenstnde kleiner zu werden scheinen1 je weiter sie sich von unserem ,standpunkt entfernen4 ,alle perspectivischen ,formvernderungen lassen sich auf dieses ,gesez zurckfhren1 dessen ,begrndung wir im ,bau unseres ,auges und der hiedurch bedingten ,art1 wie sich in demselben die ,gegenstnde spiegeln1 zu suchen haben4 ,illustration3 ,fig4 #ai4 ,aus jenem ,gesez folgt zunchst1 dass nur eine ,flche1 welche ganz gerade vor uns steht1 d4 h4 senkrecht und parallel mit unserer ,augenlinie1 wie die ,flche ,a ,fig4 #ai1 dem ,auge genau so erscheinen kann1 wie sie in ,wirklichkeit ist1 mit andern ,worten so1 dass die perspectivische ,richtung und das perspectivische ,grssenverhltnis ihrer ,umrisse und aller in ihr liegenden ,linien mit deren geometrischer ,richtung und ,lnge bereinstimmt4 ,denn in diesem ,fall befinden sich smtliche ,teile der ,flche in gleicher ,entfernung vom ,auge 7in gleicher ,tiefe74 ,sobald wir die ,tafel ,a1 whrend unser ,standpunkt derselbe bleibt1 nach irgend einer ,seite wenden1 so liegen einzelne ,teile derselben in ungleicher ,tiefe2 die ferneren ,teile erscheinen infolge dessen verhltnismssig kleiner1 als die nheren und die perspectivische ,form der ganzen ,tafel wird hiedurch eine von ihrer geometrischen ,form verschiedene4 ,in ,b ist z4 ,b4 die ,linie b c ferner als a d1 jene erscheint daher krzer als diese1 folglich knnen die geometrisch parallelen ,linien a b und d c nicht mehr parallel und sie knnen nicht mehr beide rechtwinklig zu a d und b c erscheinen4 ,wird die ,tafel ,b in mehrere gleich grosse senkrechte ,streifen geteilt1 so erscheinen diese nach der ,linie b c hin allmlig kleiner zu werden1 die ganze ,flche erscheint daher schmaler als bei der ,stellung ,a1 vgl4 ,fig4 #aa4 #bb4 ,wenn eine ,flche oder ,linie eine solche ,stellung zum ,auge hat 7unser ,standpunkt zu ihr ein solcher ist71 dass smtliche ,teile derselben in gleicher ,tiefe liegen1 wie in ,fig4 #ai ,a und die an ,a befindlichen ,linien1 so nennt man dies die unverkrzte ,stellung2 eine ,flche oder ,linie ist dagegen verkrzt1 wenn einzelne ,teile derselben dem ,auge nher1 andere ferner liegen4 ,unverkrzt sind also in ,fig4 #ai die ,flchen ,a und ,g1 smtliche senkrechte ,linien1 die wagrechten ,linien a b und c d in ,a und ,d1 a e in ,g1 die schrgen ,linien a c und b d in ,a1 a d und b c in ,e4 ,alle brigen ,flchen und ,linien sind verkrzt4 7,man bemerke1 dass zwar die schrge ,flche ,e verkrzt ist1 da b c ferner liegt als a d1 die schrgen ,linien a d und b c aber in ,e unverkrzt sind1 indem ihre beiden ,endpunkte in gleicher ,tiefe liegen74 ,die senkrechten ,linien haben immer unverkrzte ,stellung1 da ihre beiden ,endpunkte immer in gleicher ,tiefe liegen4 ,eine senkrechte ,flche dagegen kann sowohl verkrzt sein wie ,b1 als unverkrzt wie ,a4 ,die unverkrzten wagrechten ,linien eines ,bildes sind parallel mit unserer ,augenlinie und mit dem ,horizont1 folglich auch parallel unter sich4 ,wagrechte und schrge ,flchen sind stets verkrzt4 #bc4 ,fr ,anfnger ist es zweckmssig1 einen ,bleistift1 ein ,lineal oder dergl4 in der fr die ,zeichnung angenommenen ,richtung der ,augenlinie und des ,horizonts vor sich zu legen1 um mit dieser ,normallinie die verschiedenen wagrechten ,linien des ,gegenstands vergleichen und leichter unterscheiden zu knnen1 ob sie unverkrzt oder verkrzt sind4 ,sollte man in ,betreff einer schrgen ,linie im ,zweifel sein1 ob sie unverkrzt oder verkrzt ist1 so denke man sich dieselbe mit einer senkrechten und einer wagrechten ,linie zu einem ,dreieck verbunden1 wie in ,g die schrge ,linie a d mit a e und e d oder in ,f die ,linie b c mit b e und e c4 ,man nennt dies das ,massdreieck einer schrgen ,linie4 ,ist die wagrechte ,linie dieses ,dreiecks unverkrzt1 wie a e in ,g1 so ist es auch die schrge2 ist erstere verkrzt1 wie b e in ,f1 so ist auch die schrge ,linie verkrzt4 #bd4 ,unverkrzte ,linien1 welche in gleicher ,tiefe 7in ,einer unverkrzten senkrechten ,flche7 liegen1 wie smtliche ,linien der ,flche ,a ,fig4 #ai1 behalten ihre geometrische ,richtung und ihr geometrisches ,grssenverhltnis2 sie erscheinen und werden gezeichnet wie sie in ,wirklichkeit sind2 unverkrzte ,linien in ungleicher ,tiefe1 wie a d und b c in ,b1 b c und a d in ,e1 behalten ihre geometrische ,richtung1 nicht aber ihr geometrisches ,grssenverhltnis 7indem die ferneren kleiner erscheinen72 die perspectivische ,lnge der verkrzten ,linien ist immer1 ihre perspectivische ,richtung in den meisten ,fllen verschieden von ihrer geometrischen ,richtung und ,lnge4 ,wo die geometrische ,richtung oder ,lnge einer ,linie unverndert bleibt1 muss dieselbe entweder nach dem ,augenmass oder mit ,hilfe von ,lineal und ,zirkel bestimmt werden4 ,wir bedrfen fr solche ,flle keiner perspectivischen ,regel und ,berechnung4 ,,iii4 ,perspectivische ,richtung verkrzter ,linien4 ,verkrzte ,parallellinien4 #be4 ,wenn #b parallele ,linien durch eine ,anzahl von ,linien verbunden werden1 welche unter sich gleichfalls parallel sind1 so sind nach #a1 ,fig4 #a diese ,verbindungslinien gleich lang4 ,haben wir nun parallele ,linien in verkrzter ,stellung vor uns1 wie die ,eisenbahnschienen in ,fig4 #bj1 so befinden sich die ,verbindungslinien1 hier die ,schwellen1 in verschiedener ,entfernung vom ,auge1 sie scheinen daher nach der ,ferne hin immer kleiner zu werden1 d4 h4 der ,abstand zwischen den beiden verkrzten ,parallellinien scheint sich zu verkleinern1 sie scheinen nher zusammenzurcken je weiter sie sich von unserem ,auge entfernen und wenn sie sich auf sehr weite ,entfernung fortsezen1 so mssen sie schliesslich in ,einem ,punkte1 wie hier in dem ,punkte ,p1 zusammentreffen1 in welchem sie aufhren sichtbar zu sein4 ,illustration3 ,fig4 #bj4 ,man nennt diesen ,punkt den ,fluchtpunkt oder ,verschwindungspunkt der betreffenden ,linien4 #bf4 ,in demselben ,punkte1 in welchem #b verkrzte ,parallellinien zusammentreffen1 mssen auch alle weiteren mit ihnen parallelen ,linien1 wie in ,fig4 #bj die ,linien a ,p1 b ,p1 c ,p1 sich treffen1 da der ,zwischenraum zwischen allen in demselben ,verhltnis nach der ,ferne hin kleiner wird4 ,wenn a b1 b c und c d gleich lang1 a e und d f je halb so lang sind als a b1 so mssen g h1 h i und i k1 m g und k n in demselben ,verhltnis zu einander stehen1 sie werden also zugleich aufhren1 sichtbar zu sein4 ,wenn wir solche ,linien auch nicht mit dem ,auge verfolgen knnen bis zu dem ,punkte1 in welchem sie zusammentreffen wrden1 sondern sie nur in krzerer ,ausdehnung vor uns haben1 wie die geometrisch parallelen ,linien a a und b b in ,fig4 #ba1 so mssen sie stets so gezeichnet sein1 dass der ,zwischenraum zwischen ihnen nach der ,ferne hin kleiner wird1 so dass sie1 von ihrem ferner liegenden ,ende aus fortgesezt1 irgendwo in ,einem ,punkte zusammentreffen wrden1 d4 h4 verkrzte ,parallellinien mssen die ,richtung nach einem gemeinschaftlichen ,fluchtpunkt haben4 ,illustration3 ,fig4 #ba4 ,man vergleiche ausser ,fig4 #bj und #ba die wagrechten ,parallellinien a a1 c c1 f f in ,fig4 #ac und #ad1 smtliche wagrechte ,linien in ,fig4 #bb1 die schrgen ,parallellinien n n in ,fig4 #ba1 a c und e d1 a g und e h in ,fig4 #cf1 a1 b1 c und d ,fig4 #cg und andere4 ,illustration3 ,fig4 #bb4 #bg4 ,sobald wir also #b verkrzte ,parallellinien dieser ,regel entsprechend gezeichnet haben1 so ist damit auch die perspectivische ,richtung aller weiteren mit ihnen parallelen ,linien gegeben3 man verlngert die zuerst gezeichneten bis zu dem ,punkte1 in welchem sie zusammentreffen und zieht nach diesem die brigen4 ,wie zu verfahren ist1 wenn ein ,fluchtpunkt ausserhalb der ,zeichnung liegt1 wie die ,fluchtpunkte der ,linien a a1 b b1 n n in ,fig4 #ba1 wird spter gezeigt werden4 ,hufig kann jedoch die genaue ,berechnung in solchen ,fllen dadurch ersezt werden1 dass man einen ,papierstreifen an das ,zeichenblatt anlegt1 um die betreffenden ,linien bis zu ihrem ,fluchtpunkt verlngern zu knnen1 oder dass man wie in ,fig4 #ba und #bb sie wenigstens so weit als der ,raum gestattet1 fortsezt1 da sich1 je lnger sie sind1 desto deutlicher beurteilen lsst1 ob sie die erforderliche ,richtung nach ,einem ,punkte hin haben4 ,verkrzte wagrechte ,linien4 #bh4 ,wenn wir am ,ende eines ,zimmers stehend ,decke und ,fussboden desselben betrachten1 so scheint die erstere nach dem jenseitigen ,ende des ,zimmers hin zu fallen1 der ,boden scheint nach dorthin anzusteigen2 ebenso scheinen alle wagrechten ,flchen1 welche hher liegen als unser ,auge1 nach der ,ferne hin zu fallen1 tiefer liegende scheinen zu steigen4 ,halten wir aber eine ,flche1 z4 ,b4 ein dnnes ,brett1 ein ,stck ,pappe oder dergl4 wagrecht in gleicher ,hhe mit unserem ,auge vor uns1 so sehen wir weder die untere noch die obere ,seite dieser ,flche1 wir sehen sie nur als eine wagrechte ,linie1 welche1 da der ,horizont gleichfalls eine in der ,hhe des ,auges liegende wagrechte ,linie ist1 mit diesem zusammenfllt1 vgl4 ,fig4 #bb4 ,alle wagrechten ,flchen scheinen sich also nach dem ,horizont hin zu neigen4 ,denn alle wagrechten ,flchen sind parallel und sind verkrzt4 ,daher scheint der ,zwischenraum zwischen #b wagrechten ,flchen1 z4 ,b4 zwischen ,decke und ,fussboden1 nach der ,ferne hin immer kleiner zu werden1 sie scheinen einander nher zu rcken1 ebenso wie verkrzte parallele ,linien4 ,wie diese nach ,einem ,punkte1 so scheinen alle wagrechten ,flchen nach ,einer ,linie hinzustreben und diese ,linie kann nach dem ,gesagten nur der ,horizont sein3 der ,horizont ist die gemeinschaftliche ,fluchtlinie oder ,verschwindungslinie aller wagrechten ,flchen4 #bi4 ,mit den wagrechten ,flchen scheinen auch die in ihnen liegenden verkrzten ,linien#e zu steigen oder zu fallen2 jede wagrechte ,linie kann als ,teil einer wagrechten ,flche gedacht werden2 folglich mssen verkrzte wagrechte ,linien1 wenn sie tiefer liegen als unser ,auge1 d4 h4 unterhalb des ,horizonts1 von ihrem nheren nach ihrem entfernteren ,endpunkte zu steigen2 wenn sie hher liegen als unser ,auge1 d4 h4 ber dem ,horizont1 so mssen sie nach der ,ferne hin fallen2 wagrechte ,linien aber1 welche mit dem ,auge in gleicher ,hhe liegen1 bleiben wagrecht1 auch wenn sie verkrzt sind4 ,mit andern ,worten3 die ,fluchtpunkte aller verkrzten wagrechten ,linien liegen im ,horizont2 jede muss so gezeichnet sein1 dass sie1 von ihrem entfernteren ,ende aus verlngert1 in irgend einem ,punkte den ,horizont trifft und dieser ,punkt ist zugleich der ,fluchtpunkt aller mit ihr parallelen ,linien2 vgl4 ,fig4 #bj1 #ba1 #bb4 #e3 ,in einer senkrechten ,flche knnen sowohl senkrechte als wagrechte und schrge ,linien liegen1 in einer schrgen ,flche nur schrge und wagrechte1 in einer wagrechten ,flche nur wagrechte ,linien1 vgl4 die ,flchen ,a1 ,d und ,c1 ,fig4 #ai4 ,haben wir also wagrechte ,parallellinien in verkrzter ,stellung zu zeichnen1 so ist1 sobald die perspectivische ,richtung fr eine derselben bestimmt ist1 auch die ,richtung der brigen gegeben3 man verlngert die erstere bis zum ,horizont und nach dem ,punkte1 in welchem sie ihn trifft1 werden die andern gezogen4 #cj4 ,die ,lage dieser ,fluchtpunkte kann nun1 wie schon die bisherigen ,beispiele zeigen1 eine sehr verschiedene sein4 ,es entsteht also die ,frage1 an welcher ,stelle des ,horizonts in diesem oder jenem ,falle der ,fluchtpunkt einer wagrechten ,linie liegen muss1 d4 h4 in welchem ,grade die verschiedenen wagrechten ,linien nach dem ,horizont hin fallen oder steigen mssen4 ,die allgemeine ,regel in dieser ,beziehung ist1 dass der ,fluchtpunkt einer verkrzten wagrechten ,linie da liegt1 wo eine parallel mit ihr vom ,auge nach dem ,horizont gezogene ,linie diesen treffen wrde4 ,denn verkrzte ,parallellinien haben denselben ,fluchtpunkt4 ,z4 ,b43 a1 b1 c1 d1 e ,fig4 #bc sind verkrzte wagrechte ,linien1 welche zu der unverkrzten ,wagrechten ,a ,b verschiedene ,winkel bilden4 ,der ,horizont ist parallel mit den unverkrzten wagrechten ,linien unseres ,gegenstandes 7 #bb71 der ,winkel also1 in welchem eine verkrzte wagrechte ,linie in ,wirklichkeit zu einer unverkrzten ,wagrechten steht1 ist derselbe1 in welchem sie auch zum ,horizont steht4 ,die geometrische ,stellung der ,linien a1 b1 c1 d1 e zu ,a ,b ,fig4 #bc ist in ,fig4 #bd angegeben4 ,dies ist auch ihre ,winkelstellung zum ,horizont4 ,denken wir uns nun1 dass die #e ,stbe in ,wirklichkeit so wie sie hier gezeichnet sind vor uns liegen und dass parallel mit denselben #e ,linien von unserem ,auge nach dem ,horizont gezogen seien1 so mssten die ,punkte1 in welchen die von unserem ,auge ausgehenden ,linien den ,horizont treffen1 die ,fluchtpunkte der #e ,stbe sein4 ,wenn man sich hievon eine deutliche ,vorstellung macht1 etwa indem man einen langen ,stab parallel mit einer verkrzten ,linie des zu zeichnenden ,gegenstands vor's ,auge hlt1 so wird man die ,lage ihres ,fluchtpunkts annhernd bestimmen knnen2 man wird z4 ,b4 verstehen1 dass der ,fluchtpunkt von e sehr weit nach rechts1 der ,fluchtpunkt von d nher nach dem ,augpunkt hin liegen muss u4 s4 w4 ,illustration3 ,fig4 #bc4 ,illustration3 ,fig4 #bd4 #ca4 ,die ,stellung einer ,linie zum ,horizont ist jedoch immer eine willkrliche1 da die ,richtung des lezteren von der zuflligen ,wahl unseres ,standpunkts abhngt4 ,wenn wir die ,lage des ,fluchtpunkts einer wagrechten ,linie genauer berechnen1 so geschieht dies nicht1 damit ihre ,stellung zum ,horizont1 sondern damit ihre ,stellung zu andern ,linien des ,bildes eine richtige ,wirkung mache4 ,nur wo es sich um eine bestimmte und notwendige ,winkelstellung wagrechter ,linien zu einander handelt1 bedrfen wir einer genaueren ,regel in ,betreff der ,lage ihrer ,fluchtpunkte und knnen wir eine solche anwenden4 ,nehmen wir z4 ,b4 in ,fig4 #bc als ,fluchtpunkt der ,linie d den ,punkt y statt x an1 so scheint der ,winkel1 in welchem d zu e steht1 grsser1 ihr ,winkel zu c kleiner zu sein1 als wenn x ,fluchtpunkt ist4 ,aber die ,winkelstellung dieser ,linien zu einander und zu den brigen ,linien des ,gegenstands ist ebenso willkrlich und zufllig1 wie ihre ,stellung zum ,horizont4 ,mit blossem ,auge wrde der ,beschauer auch nicht mit ,bestimmtheit zu erkennen vermgen1 dass ihre geometrische ,stellung zu ,a ,b und zum ,horizont oder ihre ,stellung zu einander genau die in ,fig4 #bd angegebene ist4 ,also knnen wir auch die perspectivische ,stellung dieser ,linien zum ,horizont und zu einander nicht genau berechnen und ist es fr die perspectivische ,richtigkeit der ,zeichnung ohne ,belang1 ob beispielsweise y oder x als ,fluchtpunkt der ,linie d angenommen wird4 ,ebenso ist in ,fig4 #ad die ,winkelstellung der verkrzten wagrechten ,linien g und h1 sowie der ,linien a1 b1 c1 d zu den brigen ,linien des ,bildes eine willkrliche4 ,notwendig ist nur1 dass g und h1 a und b1 c und d als parallele ,linien erscheinen und dass die ,linien a1 b1 c1 d ein ,rechteck darstellen4 ,wir berlassen es deshalb dem ,auge des ,zeichners1 zuerst die ,richtung fr eine der ,linien g oder h und fr eine ,seite des genannten ,rechtecks zu bestimmen1 natrlich mit ,rcksicht darauf1 dass die ,fluchtpunkte dieser ,linien im ,horizont liegen mssen1 da sie geometrisch wagrecht sind4 ,aber angenommen1 dass g und a die zuerst gezeichneten ,linien seien1 so ist damit nicht nur die perspectivische ,richtung der mit jenen parallelen ,linien h und b1 sondern auch der rechtwinklig zu a stehenden ,linien c und d gegeben4 ,fr die ,lage des ,fluchtpunkts der #b lezteren sind ebenso wie fr die ,richtung der verkrzten ,parallellinien bestimmte ,regeln massgebend4 ,unsere nchste ,aufgabe soll demgemss die ,beantwortung der ,frage sein1 welche ,stellung in unserer ,zeichnung wagrechte ,linien zu einander haben mssen1 welche in ,wirklichkeit rechtwinklig zu einander stehen1 wie a und d oder e und f in ,fig4 #ad1 mit andern ,worten1 nach welcher ,regel der ,fluchtpunkt einer verkrzten wagrechten ,linie zu bestimmen ist1 welche zu einer gegebenen ,wagrechten geometrisch rechtwinklig steht4 ,rechtwinklige wagrechte ,linien4 #cb4 ,man unterscheidet die gerade ,ansicht eines rechten ,winkels1 ,rechtecks oder ,quadrats1 d4 i4 wenn nur eine der beiden ,linien1 welche einen rechten ,winkel bilden1 verkrzt1 die andere aber unverkrzt ist1 wie ,a ,b und ,b ,c oder ,a ,d und ,d ,c in ,fig4 #be und die schrge ,ansicht1 d4 i4 wenn beide ,schenkel des ,winkels verkrzt sind1 wie a b und b c oder a d und d c4 ,der ,ausdruck schrg bezieht sich also in diesem ,zusammenhang auf die ,stellung wagrechter ,linien zum ,auge oder zum ,horizont4 ,illustration3 ,fig4 #be4 ,in #ab ,fig4 #ae und #af wurde gezeigt1 dass eine vom ,auge nach dem ,augpunkt gezogene ,linie einen rechten ,winkel zum ,horizont bilden wrde1 d4 h4 mit andern ,worten3 wenn wir uns eine ,linie von unserem ,auge nach dem ,horizont gezogen denken1 so dass sie rechtwinklig zu diesem steht1 so trifft sie den ,augpunkt1 der ,augpunkt ist ihr ,fluchtpunkt4 ,steht nun eine verkrzte wagrechte ,linie geometrisch rechtwinklig zu einer unverkrzten ,wagrechten1 wie in ,fig4 #be ,a ,d oder ,b ,c zu ,c ,d1 so steht sie auch zum ,horizont in einem rechten ,winkel1 sie ist also parallel mit einer von unserem ,auge nach dem ,augpunkt gehenden ,linie und muss mit dieser denselben ,fluchtpunkt haben4 ,also ist der ,augpunkt der ,fluchtpunkt aller verkrzten wagrechten ,linien1 welche zu einer unverkrzten ,wagrechten 7zum ,horizont7 geometrisch rechtwinklig stehen oder welche1 wie man hufig sagt1 sich in gerader ,linie von uns entfernen4 ,vgl4 in ,fig4 #ad die ,linien f1 f1 in ,fig4 #bj a ,p1 b ,p1 c ,p u4 s4 w4 #cc4 ,sind beide ,linien1 welche den rechten ,winkel bilden1 verkrzt1 wie in dem ,rechteck a b c d ,fig4 #be1 so ist die ,frage1 wie gross die ,entfernung der beiden ,fluchtpunkte von einander1 d4 h4 das ,stck des ,horizonts1 welches zwischen beiden liegt1 sein muss4 ,denn je nachdem der ,winkel1 in welchem #b verkrzte ,linien zu einander stehen1 grsser oder kleiner ist1 wird auch die ,entfernung ihrer beiden ,fluchtpunkte eine grssere oder kleinere sein und umgekehrt1 wie aus #ca ,fig4 #bc zu ersehen ist4 ,illustration3 ,fig4 #bf4 ,ausser der geometrischen ,grsse des betreffenden ,winkels ist jedoch auch die ,grsse der ,distanz von ,einfluss auf den ,abstand der ,fluchtpunkte seiner beiden ,schenkel4 ,eine vom ,auge nach dem ,horizont gezogene ,linie1 welche zu diesem rechtwinklig steht1 trifft immer den ,augpunkt und so kann auch die verkrzte ,seite eines rechten ,winkels in gerader ,ansicht nur im ,augpunkt ihren ,fluchtpunkt haben1 gleichviel1 ob unsere ,distanz grsser oder kleiner ist4 ,steht aber eine verkrzte ,wagrechte in einem beliebigen andern ,winkel zum ,horizont oder zu einer unverkrzten ,wagrechten1 so liegt der ,punkt1 in welchem eine parallel mit ihr d4 h4 in demselben ,winkel vom ,auge nach dem ,horizont gezogene ,linie diesen treffen wrde1 nher am ,augpunkt oder entfernter von ihm1 je nachdem die ,entfernung des ,auges vom ,augpunkt grsser oder kleiner ist4 ,dieselbe ,linie1 welche in ,fig4 #bf von a aus gezogen die ,linie m n in z trifft1 trifft sie von b aus in p1 von c aus in n u4 s4 w4 ,und wenn wir #b verkrzte wagrechte ,linien vor uns haben1 welche in ,wirklichkeit rechtwinklig 7oder in einem beliebigen ,winkel7 zu einander stehen1 so werden die #b ,punkte1 in welchen #b parallel mit ihnen vom ,auge ausgehende ,linien den ,horizont treffen1 desto nher beisammen liegen1 je kleiner die ,distanz ist und desto weiter von einander entfernt sein1 je grsser dieselbe ist1 wie ,fig4 #bf deutlich zeigt3 o p ist grsser als y z1 m n grsser als o p4 ,illustration3 ,fig4 #bg4 ,demnach kann der ,abstand der beiden ,fluchtpunkte eines rechten ,winkels in schrger ,ansicht ein sehr verschiedener sein4 ,so zeigt ,fig4 #bg zwei verschiedene ,ansichten eines ,rechtecks1 welche es in derselben ,stellung1 aus derselben ,hhe und ,richtung1 aber aus verschiedener ,entfernung gezeichnet darstellen4 ,mit zunehmender ,distanz erscheint nicht nur das ,ganze kleiner1 sondern auch die ,form der rechten ,winkel wird eine verschiedene3 da mit der ,distanz die ,entfernung der beiden ,fluchtpunkte von einander zunimmt1 so erscheinen die ,seitenwinkel bei b und d in ,b spizer1 der ,winkel bei a und c erscheint stumpfer als in ,a4 ,natrlich ist die ,wirkung dieselbe1 wenn wir1 statt die ,entfernung unseres ,standpunkts zu verndern1 den betreffenden ,gegenstand nher oder ferner rcken1 vgl4 ,fig4 #bi4 ,es muss daher die genaue ,grsse der fr eine ,zeichnung angenommenen ,distanz mittels eines ,distanzpunkts angegeben und dieser zu ,hilfe genommen werden1 wenn der ,abstand jener #b ,fluchtpunkte von einander genau berechnet werden soll4 ,wie lezteres geschehen kann1 ist in #ha--he gezeigt4 ,da jedoch die ,grsse der vom ,zeichner angenommenen ,distanz mit blossem ,auge aus den ,linien einer ,zeichnung nicht zu ersehen ist1 so kann gewhnlich diese genauere ,berechnung entbehrt und durch ,beobachtung der nachfolgenden ,regel ersezt werden4 #cd4 berall1 wo die ,grsse der ,distanz von wesentlichem ,einfluss ist auf die perspectivische ,form1 kommt es hauptschlich darauf an1 die falsche ,wirkung zu vermeiden1 welche aus einer zu klein angenommenen ,distanz entsteht4 ,bei ,darstellung eines rechten ,winkels in schrger ,ansicht entsteht diese falsche ,wirkung1 wenn die ,entfernung der beiden ,fluchtpunkte von einander zu klein ist4 ,illustration3 ,fig4 #bh4 ,betrachten wir in ,fig4 #bh ,d als unser ,auge1 ,p als ,augpunkt1 so bezeichnet die ,linie ,d ,p die ,grsse der ,distanz4 ,ziehen wir nun 7mit ,hilfe des ,winkels ,fig4 #i7 von ,d aus in verschiedener ,richtung je #b rechtwinklig zu einander stehende ,linien nach der durch ,p gehenden ,wagrechten d4 h4 nach dem ,horizont1 z4 ,b4 ,d c und ,d d1 ,d a und ,d b1 ,d ,dg und ,d ,dp1 so ergibt sich1 dass die #b ,punkte1 in welchen die verschiedenen ,linienpaare den ,horizont treffen1 dann den geringsten ,abstand von einander haben1 wenn sich die beiden ,linien in der ,stellung zum ,horizont befinden1 welche ,d ,dg und ,d ,dp zeigen4 ,diese stehen zum ,horizont1 wie die ,diagonalen eines ,quadrats zu dessen ,seiten1 wie m n und m o zu o n1 d4 h4 beide stehen in einem halben rechten ,winkel zum ,horizont4 ,dg und ,dp sind ,diagonalpunkte3 ihre ,entfernung vom ,augpunkt ist gleich der ,distanz und ihre ,entfernung von einander doppelt so gross als die ,distanz1 ,dg--,dp ist gleich #b mal ,dp4 ,bei jeder andern ,stellung der beiden ,linien zum ,horizont ist der ,abstand jener beiden ,punkte ein grsserer und er wird immer grsser1 je ungleicher die ,stellung der beiden ,linien zum ,horizont ist3 c d ist grsser als ,dp--,dg1 a b grsser als c d u4 s4 w4 #ce4 ,hieraus folgt1 dass die #b ,fluchtpunkte eines rechten ,winkels in schrger ,ansicht wenigstens so weit von einander entfernt sein mssen1 dass der zwischen ihnen liegende ,teil des ,horizonts doppelt so gross ist1 als die ,distanz4 ,diese muss nach #ah wenigstens doppelt so gross sein1 als eine ,diagonale des ,bildes1 oder als eine ,linie vom ,augpunkt nach dem von ihm entferntesten ,punkte1 also muss1 wenn beide ,schenkel eines aus #b wagrechten ,linien bestehenden rechten ,winkels verkrzt sind1 die ,entfernung ihrer ,fluchtpunkte von einander wenigstens #d mal so gross sein1 als eine ,linie vom ,augpunkt nach dem von ihm entferntesten ,punkte der ,zeichnung4 ,z4 ,b4 in ,fig4 #ca mssen1 wenn ,a ,b und ,a ,c geometrisch rechtwinklige ,linien sind1 ,p ,augpunkt und f die von ,p entfernteste ,ecke des ,bildes ist1 die ,fluchtpunkte der beiden genannten ,linien einen ,abstand von einander haben1 der wenigstens #d mal ,p f ist4 ,kommen in demselben ,bilde verschiedene rechte ,winkel in schrger ,stellung vor1 so mssen sie selbstverstndlich in bereinstimmender ,weise behandelt1 d4 h4 es muss berall dieselbe ,distanz zu ,grunde gelegt werden4 ,die falsche ,wirkung1 welche entsteht1 wenn gegen jene ,regel gefehlt wird1 zeigt ,fig4 #bi4 ,die ,entfernung der beiden ,fluchtpunkte von einander ist #d mal ,p f2 daher wirken alle rechten ,winkel1 welche innerhalb der ,kreislinie f f liegen1 perspectivisch richtig1 aber die ,winkel bei m1 n und o knnen nicht mehr als rechte ,winkel gelten4 ,illustration3 ,fig4 #bi4 ,andererseits zeigt ,fig4 #be1 dass dem ,zeichner innerhalb der angegebenen ,grenze einige ,freiheit gestattet ist3 a b e f wird auch dem gebtesten ,auge ebenso als richtiges ,bild eines ,rechtecks erscheinen1 wie a b c d4 #cf4 ,allerdings ist nicht sofort ersichtlich1 wie gross die ,entfernung der beiden ,fluchtpunkte ist oder sein muss1 da niemals beide innerhalb der ,zeichnung1 hufig dagegen weit ausserhalb derselben liegen4 ,will man sich nicht mit der ,aushilfe begngen1 welche #bg in ,betreff entfernter ,fluchtpunkte angegeben wurde1 so ist in ,fig4 #cj eine genauere ,berechnung gezeigt4 ,a ,b und ,a ,c seien #b verkrzte wagrechte ,linien4 ,eine von ,a zum ,horizont gezogene ,senkrechte ,a ,p ist in #d gleiche ,teile geteilt und vom oberen ,teilungspunkt a sind #b ,linien a b und a c geometrisch parallel mit ,a ,b und ,a ,c gezogen1 indem an beliebigen ,punkten der lezteren ,linien z4 ,b4 in ,d und ,e #b ,senkrechte errichtet und ,d d und ,e e ,a a gemacht wurden4 c b kann nun als ein ,viertel des ,abstandes betrachtet werden1 welchen die ,fluchtpunkte der ,linien ,a ,b und ,a ,c von einander haben und es lsst sich hienach bemessen1 ob derselbe hinreichend gross ist4 ,wre z4 ,b4 f der von ,p entfernteste ,punkt der ,zeichnung1 so drften die beiden ,linien ,a ,b und ,b ,c nicht strker als hier der ,fall ist gegen einander geneigt sein1 der ,abstand ihrer ,fluchtpunkte drfte nicht kleiner sein als #d mal c b2 denn c b ist ,p f4 ,illustration3 ,fig4 #cj4 ,oder3 wenn ,a ,b als erste ,linie gezeichnet ist1 so muss1 nachdem a b parallel mit ,a ,b gezogen und b c ,p f gemacht ist1 die zweite von ,a ausgehende ,linie entweder parallel mit a c oder nach einem ferner liegenden ,fluchtpunkt gerichtet sein1 d4 h4 eine flachere ,richtung haben1 als ,a ,c4 ,wrden bei einer ,vierteilung der erstgenannten ,senkrechten nicht beide den ,punkten b und c entsprechenden ,punkte innerhalb der ,zeichnung fallen1 so halbiere man das dem ,horizont zunchst liegende ,viertel und ziehe von hier aus die beiden ,linien nach dem ,horizont1 also i g und i k statt a b und a c4 ,die ,punkte1 wo sie den ,horizont treffen1 hier g und k1 mssen in diesem ,fall einen ,abstand haben1 der wenigstens halb so gross ist1 als eine ,linie vom ,augpunkt nach dem von ihm entferntesten ,punkte4 ,verkrzte wagrechte ,linien1 deren ,richtung nicht genau zu berechnen ist4 #cg4 ,wo die perspectivische ,richtung einer verkrzten wagrechten ,linie ohne genauere ,berechnung gefunden werden muss1 bietet die ,vergleichung mit einer unverkrzten ,wagrechten das beste ,mittel1 um den ,grad1 in welchem jene nach dem ,horizont hin fallen oder steigen muss1 richtig zu beurteilen4 ,man halte zu diesem ,zweck den ,rand des ,zeichenblattes1 ein ,lineal oder dergl4 in der ,richtung einer unverkrzten ,wagrechten so zwischen ,auge und ,gegenstand1 dass ein ,endpunkt der verkrzten ,linie1 welche man zeichnen will1 davon durchschnitten wird1 wie in ,fig4 #cd der ,punkt a von der ,linie e f4 brigens ist auch die perspectivische ,lnge einer verkrzten ,linie von wesentlichem ,einfluss auf die richtige oder unrichtige ,wirkung ihrer perspectivischen ,richtung4 ,je weniger die ,stellung einer verkrzten ,wagrechten zum ,horizont von der ,richtung des lezteren abweicht1 desto weniger verndert sich ihr ,grssenverhltnis zu andern ,linien2 je mehr sie der rechtwinkligen ,stellung zum ,horizont1 ihr ,fluchtpunkt dem ,augpunkt sich nhert1 desto krzer scheint sie zu werden1 vgl4 ,fig4 #bc4 ,es kommt nun hufig vor1 dass die perspectivische ,richtung verkrzter ,linien1 wenn sie ganz der ,regel entsprechend angegeben ist1 dennoch eine falsche ,wirkung macht1 weil ihr perspectivisches ,grssenverhltnis verfehlt ist und zwar geschieht dies gewhnlich in der ,weise1 dass sie zu lang gezeichnet wird 7vgl4 #g74 ,wagrechte ,parallellinien1 deren ,fluchtpunkt unzugnglich ist4 ,illustration3 ,fig4 #ca4 #ch4 ,in ,fig4 #ca--cc ist gezeigt1 wie die ,richtung verkrzter wagrechter ,parallellinien1 deren ,fluchtpunkt nicht erreichbar ist1 genau berechnet werden kann4 ,es seien in ,fig4 #ca gegeben die ,wagrechten ,a ,b und ,a ,c sowie die ,senkrechten ,a ,d und ,c ,e und sollen von ,d und ,e ,linien parallel mit ,a ,b1 von ,d und ,b #b weitere parallel mit ,a ,c gezeichnet werden4 ,man bilde ber ,a ,b mit der ,horizontlinie und einer in ,b errichteten ,senkrechten das ,rechteck ,a ,b b ,p und errichte in i1 dem ,schnittpunkt seiner ,diagonalen1 eine ,senkrechte1 ziehe hierauf eine ,linie von ,d nach b und von ,p durch den ,punkt k1 in welchem ,d b jene ,senkrechte schneidet1 eine ,linie nach der verlngerten ,b b1 so ist ,d ,g perspectivisch parallel mit ,a ,b4 ,ebenso ist auf der andern ,seite durch die ,diagonalen des ,rechtecks ,a ,c c ,p dessen perspectivischer ,mittelpunkt gefunden und eine in diesem errichtete ,senkrechte benzt1 um die ,lage des ,punktes d und hiemit die ,richtung der mit ,a ,c parallelen ,linie ,d d zu bestimmen4 ,um von ,e eine mit ,a ,b parallele ,linie zu zeichnen1 kann leztere bis zu der durch ,e gehenden ,senkrechten also bis s verlngert und die perspectivische ,mittellinie des ,rechtecks s ,a ,p c wie oben benzt werden1 um den ,punkt t zu erhalten4 ,oder kann seitwrts ein ,rechteck s o ,h c gebildet1 mittels seiner senkrechten ,halbierungslinie oben der ,punkt e gefunden und hierauf e ,e nach rechts verlngert werden4 ,wie auf gleiche ,weise die mit ,a ,c parallele ,richtung der von ,b ausgehenden ,linie ,b g und damit ,b r mittels der ,halbierungslinie eines ,rechtecks b a f h gefunden wird1 ist aus den ,linien der ,figur zu ersehen4 ,statt der ,linie ,a ,c knnte auch eine andere mit ihr parallele ,linie z4 ,b4 d ,d verlngert und durch die ,diagonalen y h und z b die ,mittellinie von b h z y gefunden werden4 ,um schliesslich den ,punkt ,f zu erhalten1 kann von ,c eine mit ,a ,b parallele ,linie gezeichnet und in dem ,punkte r1 in welchem sie die verlngerte ,b g trifft1 eine ,senkrechte errichtet werden1 welche die parallel mit ,a ,b von ,e ausgehende ,linie in ,f schneidet4 ,ist so das schrg liegende ,rechteck ,e ,d ,g ,f gegeben1 so lsst sich die schrge ,mittellinie desselben 7welche sich durch ,verbindung des perspectivischen ,halbierungspunktes von ,d ,g mit dem ,schnittpunkt der ,diagonalen ,d ,f und ,e ,g ergibt7 verwenden1 um von einem beliebigen ,punkte der ,linien ,d ,e oder ,g ,f eine mit ,d ,g parallele ,linie zu ziehen1 z4 ,b4 m n4 #ci4 ,in ,fig4 #cb sollen1 nachdem ,a ,b und ,a ,c als ,seiten eines ,rechtecks gegeben sind1 die beiden andern ,seiten gezeichnet werden4 ,da der ,raum nicht gestattet1 die genannten ,linien wie in ,fig4 #ca bis zu den #b von ,c und ,b abwrts gezogenen ,senkrechten zu verlangen1 so sind ,a a1 ,b b und ,c c halbiert und durch die ,halbierungspunkte die ,linien g f e und h f k gezogen1 welche perspectivisch parallel sind mit ,a ,b und ,a ,c4 ,entsprechend #ch ist nun eine ,senkrechte durch i1 den ,schnittpunkt der ,diagonalen a e und c f gezogen1 welche von der ,linie f ,c in m geschnitten wird4 ,eine ,linie von e durch m ergibt auf der ,senkrechten ,a a den ,punkt p und die mit ,a ,b parallele ,richtung ,c p4 ,in gleicher ,weise ist die mit ,a ,c parallele ,richtung ,b o durch die senkrechte ,mittellinie des ,rechtecks a b k f gefunden2 statt dessen knnte auch1 wie die ,figur zeigt1 ein seitwrts gebildetes ,rechteck zu demselben ,zweck verwendet werden4 ,illustration3 ,fig4 #cb4 ,bequemer wre jedoch in diesem ,fall das in ,fig4 #cc angewendete ,verfahren1 wo gleichfalls ,a ,b und ,a ,c die gegebenen ,seiten eines zu bildenden ,rechtecks sein sollen4 ,illustration3 ,fig4 #cc4 ,wenn in einem von #f ,quadraten oder ,rechtecken umschlossenen ,raume zwischen #b entgegengesezten ,ecken ,diagonallinien gezogen werden1 wie in ,fig4 #dj die ,linien a b und ,b c1 so schneiden sich dieselben in der ,mitte jenes ,raums3 p ,fig4 #dj ist die ,mitte von ,a ,b b ,c c a ,g h4 ,eine durch p gezogene ,senkrechte trifft also die ,rechtecke a ,g h c und ,a ,b b ,c in dem ,durchschnittspunkt ihrer ,diagonalen4 ,ziehen wir nun in ,fig4 #cc von ,a1 ,b und ,c bis zum ,horizont die ,senkrechten ,a a1 ,b b und ,c c1 so entsprechen die ,linien ,b c und ,c b1 welche sich in e schneiden1 den ,diagonalen ,b c und a b ,fig4 #dj und eine von e abwrts gezogene ,senkrechte ergibt o als perspectivische ,mitte der ,diagonale ,c ,b4 ,die ,diagonalen ,a b und a ,b schneiden sich in k1 ,a c und a ,c in i2 g und m sind also die perspectivischen ,halbierungspunkte von ,a ,b und ,a ,c2 z ist ,fluchtpunkt der ,diagonale ,a o und folglich auch der von g nach der ,mitte von ,b ,d gehenden ,linie1 da beide geometrisch parallel sind4 g z und die verlngerte m o schneiden sich in n1 ,a z und die verlngerte ,b n in ,d1 womit die ,form des ,rechtecks gegeben ist4 ,die verlngerten ,mittellinien m n und g o knnen sodann benzt werden1 um entsprechend ,fig4 #ca und #cb weitere mit ,a ,b und ,a ,c parallele ,linien zu ziehen4 ,soll z4 ,b4 von d nach links eine mit ,a ,c parallele ,linie gezeichnet werden1 so schneidet man die verlngerte m n durch ,d d in p und zieht von ,b durch p eine ,linie nach f2 d f ist somit parallel mit ,a ,c und ,b ,d4 #dj4 ,muss eine grssere ,anzahl von ,parallellinien1 deren ,fluchtpunkt unzugnglich ist1 gezeichnet werden1 so wrde es zu umstndlich sein1 jede einzelne genau zu berechnen4 ,man kann sich in diesem ,fall begngen1 einige in passenden ,zwischenrumen zu konstruieren1 um mit ,hilfe derselben ohne weitere ,berechnung die brigen zu zeichnen4 ,so knnen in ,fig4 #ba1 wenn die ,richtung c d gegeben ist1 mittels der senkrechten ,halbierungslinie von c d e f die von g1 h und i ausgehenden ,parallellinien genau berechnet und sodann die zwischen ihnen liegenden ohne weitere ,berechnung gezeichnet werden4 ,oder knnen von #b beliebigen ,punkten der zuerst gezeichneten ,wagrechten #b ,senkrechte bis zum ,horizont gezogen und beide in eine gleiche ,zahl von gleich grossen ,teilen geteilt werden wie in ,fig4 #cj ,a ,p1 ,b ,g und ,c ,f in je #d ,teile geteilt sind4 ,durch die ,verbindung der entsprechenden ,teilungspunkte erhlt man perspectivische ,parallellinien1 zwischen welchen dann weitere gezogen werden knnen1 vgl4 ,fig4 #ge die ,teilung von ,a ,d und ,b ,c in je #i ,teile4 ,je nach ,bedrfnis kann sodann dieselbe ,einteilung nach oben oder unten in der ,verlngerung jener ,senkrechten fortgesezt werden4 ,ein weiteres ,verfahren1 die ,richtung verkrzter ,parallellinien ohne ,hilfe ihres ,fluchtpunkts zu bestimmen1 ist in #gj angegeben4 ,verkrzte schrge ,linien4 #da4 ,in ,fig4 #cf ist a c eine nach der ,ferne hin steigende1 a g eine dorthin fallende ,linie4 7,wenn im ,folgenden von fallenden oder steigenden ,linien die ,rede ist1 so sind immer ,linien gemeint1 welche in ,wirklichkeit oder geometrisch nach der ,ferne hin fallen oder steigen74 ,bilden wir das ,massdreieck dieser ,linien 7vgl4 #bc7 mittels der ,wagrechten a b und der #b ,senkrechten b c und b g1 so ist klar1 dass eine steigende ,linie wie a c1 soweit man sie verlngern mag1 niemals einen ,punkt treffen kann1 der unterhalb der wagrechten ,linie ihres ,massdreiecks oder deren ,verlngerung liegt und ebenso wenig eine fallende ,linie wie a g einen ,punkt1 der ber jener ,wagrechten liegt4 ,also liegt der ,fluchtpunkt einer verkrzten schrgen ,linie oberhalb des ,horizonts1 wenn sie nach der ,ferne hin steigt1 unterhalb des ,horizonts1 wenn sie nach der ,ferne hin fllt2 vgl4 die steigenden und fallenden ,linien in ,fig4 #cg4 #db4 ,es kann vorkommen1 dass gemss dieser ,regel eine steigende ,linie so gezeichnet werden muss1 dass ihr fernerer ,endpunkt tiefer liegt als der nhere1 vgl4 a c ,fig4 #cd4 ,hufiger ist der umgekehrte ,fall1 dass ,linien1 welche in ,wirklichkeit nach der ,ferne hin fallen1 perspectivisch nach dorthin steigen1 wie a b und c d ,fig4 #ce4 ,illustration3 ,fig4 #cd4 ,in solchen ,fllen ist es ntig1 durch ,hervorheben von geometrisch wagrechten ,linien der nchsten ,umgebung1 welche zu den betreffenden schrgen ,linien einen sichtbaren ,gegensaz bilden1 die ,wirkung der lezteren zu unterstzen1 damit sie mit hinreichender ,deutlichkeit das ausdrcken1 was sie sein sollen4 ,in ,fig4 #cd sind es z4 ,b4 die ,balken der rechten ,seite1 in ,fig4 #ce die wagrechten ,fugenlinien der anstossenden ,mauer1 welche es dem ,beschauer deutlich machen1 dass a c dort eine in ,wirklichkeit von a nach c steigende1 a b in ,fig4 #ce eine nach b fallende ,linie ist4 ,illustration3 ,fig4 #ce4 #dc4 ,in ,fig4 #cf sind a b und e f wagrechte ,parallellinien1 ebenso a e1 b f und c d2 a c und e d sind schrge ,parallellinien4 ,wenn zwischen parallelen ,linien ,verbindungslinien liegen1 welche unter sich gleichfalls parallel sind1 so sind leztere gleich lang 7 #a1 ,fig4 #a72 also sind a e1 b f und c d gleich lang1 d4 h4 die ,entfernung der schrgen ,parallellinien a c und e d und diejenige der wagrechten a b und e f von einander ist gleich gross4 ,da der ,abstand dieser ,parallellinien von einander nach der ,ferne hin in gleichem ,masse kleiner zu werden scheint1 d4 h4 in gleicher ,tiefe immer wieder derselbe ist -- m n ist o p u4 s4 w4 -- so mssen beide in gleicher ,tiefe zusammentreffen1 d4 h4 ihre ,fluchtpunkte mssen in ,einer senkrechten ,linie liegen1 wie ,fig4 #cf deutlich zeigt4 ,illustration3 ,fig4 #cf4 ,dasselbe gilt selbstverstndlich fr die fallenden ,linien a g und e h4 ,mit andern ,worten3 der ,fluchtpunkt einer verkrzten schrgen ,linie liegt senkrecht ber oder unter dem ,fluchtpunkt der wagrechten ,linie ihres ,massdreiecks4 ,so liegt in ,fig4 #cg der ,fluchtpunkt der ,linien a1 b1 c und d senkrecht ber n1 der ,fluchtpunkt der ,linien g und i senkrecht unter n1 die ,fluchtpunkte von e1 f und k liegen in einer ,senkrechten1 welche durch den ,fluchtpunkt der ,wagrechten o und p geht4 ,ist demnach a c ,fig4 #cf als ,richtung einer schrgen ,linie1 a b als ,richtung der wagrechten ,linie ihres ,massdreiecks angenommen1 so ist auch die perspectivische ,richtung aller mit a c parallelen ,linien gegeben1 indem a b bis zum ,horizont1 a c bis zu der senkrechten durch den ,fluchtpunkt von a b gehenden ,linie verlngert und so der die ,richtung der parallelen ,linien bestimmende ,fluchtpunkt gefunden wird4 #dd4 ,befinden sich in einer verkrzten senkrechten ,flche steigende und fallende ,linien1 welche in ,wirklichkeit denselben ,neigungswinkel haben1 so liegen ihre ,fluchtpunkte in gleicher ,entfernung vom ,horizont4 ,solche ,linien sind z4 ,b4 a c und a g ,fig4 #cf2 a und g1 d und i1 f und k ,fig4 #cg4 ,in ,fig4 #cf ist a c g in ,wirklichkeit ein gleichschenkliges ,dreieck1 also muss eine von seiner ,spize a nach der ,grundlinie c g gezogene ,wagrechte die leztere in ihrem ,halbierungspunkt b treffen2 werden a c und a g verlngert und an beliebiger ,stelle durch eine ,senkrechte s m verbunden1 so wird leztere durch die verlngerte a b gleichfalls halbiert1 also muss auch z1 der ,fluchtpunkt von a b1 in der ,mitte liegen zwischen x und y1 den ,fluchtpunkten von a g und a c4 ,illustration3 ,fig4 #cg4 ,in ,fig4 #cg ist h h parallel mit i i 7da beide denselben ,fluchtpunkt haben7 und die ,senkrechte y z wird von der ,wagrechten m n in der ,mitte durchschnitten4 ,ebenso muss n in der ,mitte liegen zwischen den ,fluchtpunkten der ,linien h1 i1 g und c1 d1 a2 die ,fluchtpunkte von e1 f und k mssen gleich weit entfernt sein vom ,fluchtpunkt der ,wagrechten o und p4 ,berechnung der ,richtung schrger ,linien ohne ,hilfe ihrer ,fluchtpunkte4 #de4 ,man bedient sich jedoch1 um die ,richtung verkrzter schrger ,linien zu berechnen1 selten ihrer ,fluchtpunkte1 da dieselben in den meisten ,fllen ausserhalb der ,zeichenflche liegen4 ,den nchstliegenden ,ersaz bietet die senkrechte und wagrechte ,linie ihres ,massdreiecks4 ,ist ,richtung und ,lnge der wagrechten sowie die ,hhe der senkrechten ,linie eines solchen ,dreiecks gegeben oder leicht zu berechnen1 so ist damit auch die ,richtung 7und ,lnge7 der betreffenden schrgen ,linien gefunden4 ,nehmen wir z4 ,b4 an1 dass in ,fig4 #ch die ,linie ,a ,c gegeben sei und darber ein ,giebel von beliebiger ,hhe1 dessen #b ,seiten mit ,a ,c in ,wirklichkeit ein gleichschenkliges ,dreieck bilden1 gezeichnet werden soll1 so kann k als perspectivische ,mitte von ,a ,c durch die ,diagonalen eines ,rechtecks ,a ,c ,e ,d oder ,a ,c g f gefunden und in k eine ,senkrechte errichtet werden1 in welcher die ,spize des ,giebeldreiecks liegen muss4 -- ,ist das ,dreieck ,a ,b k gegeben1 so dass der ,punkt ,c bestimmt werden muss1 so bildet man mit ,a k und einer beliebigen ,parallellinie1 z4 ,b4 i ,d1 ein ,rechteck ,a k i ,d und zieht eine ,linie von ,d durch die ,mitte von i k nach der verlngerten ,a k1 wodurch ,c k ,a k gemacht ist4 ,illustration3 ,fig4 #ch4 ,soll1 nachdem ,d ,f und ,d ,e gegeben sind1 von ,e abwrts eine ,linie gezeichnet werden1 welche denselben ,neigungswinkel hat1 wie ,d ,f1 so wird leztere verlngert bis e1 wo sie die senkrechte ,mittellinie trifft und von e durch ,e die ,linie ,e ,g gezogen4 -- ,oder kann von ,f eine mit ,d ,e parallele ,linie nach links und die senkrechte ,mittellinie von ,e ,d f g gezogen1 die von y nach ,h ,h gehende ,senkrechte halbiert und hierauf durch eine ,linie von r durch diesen ,halbierungspunkt der ,punkt ,g bestimmt werden4 #df4 ,in ,fig4 #ci ist angenommen1 dass die perspectivische ,richtung und ,lnge der ,linien ,a ,b und ,a ,c1 die ,hhe ,a a und die ,breite a c bestimmt seien1 womit auch die ,richtung der schrgen ,linie ,a c gegeben ist1 in welcher die inneren ,ecken der ,stufen liegen mssen2 die usseren ,ecken liegen in einer mit ,a c parallel von a ausgehenden ,linie1 deren ,richtung gefunden wird1 indem man c d b c macht4 ,eine ,linie von d nach dem ,fluchtpunkt von ,a ,c ergibt e1 eine ,senkrechte von hier den ,punkt f4 ,bildet man hierauf das ,rechteck ,a ,c h g1 so kann mittels seiner ,diagonalen m n als senkrechte ,mittellinie gefunden werden2 ,c m n ist demnach ,a m n und die ,ecken der ferneren ,stufen knnen durch die von a und k nach dem ,fluchtpunkt von ,a ,c gezogenen ,linien und die entsprechenden ,senkrechten gefunden werden4 7brigens kann dieselbe ,aufgabe auch ohne ,hilfe der zweiten schrgen ,linie gelst werden3 man macht a k und k g ,a a1 zieht von diesen ,punkten aus die mit ,a ,c parallelen ,linien und erhlt die ,punkte d und f durch die in c und e errichteten ,senkrechten47 ,die brigen ,linien der ,figur sind teils senkrecht1 teils sind sie parallel mit ,a ,c oder mit ,a ,b4 ,illustration3 ,fig4 #ci4 #dg4 ,ein ,beispiel1 wie die ,richtung verkrzter schrger ,parallellinien ohne ,hilfe ihres ,fluchtpunkts berechnet werden kann1 ist auch in ,fig4 #ca enthalten1 wo1 um den ,punkt ,f zu finden1 ,b r und ,c r gezogen und in r eine ,senkrechte errichtet wurde1 welche auf der von ,e ausgehenden ,wagrechten den ,punkt ,f und hiemit die mit ,d ,e parallele ,richtung der ,linie ,g ,f ergibt4 ,auf dieselbe ,weise kann in ,fig4 #dj1 wenn das ,dreieck ,a ,b ,d und die ,wagrechte ,a ,c gegeben sind1 die ,richtung der mit ,a ,d parallelen ,linie ,c ,e berechnet werden1 indem man von ,c eine mit ,a ,b1 von d und ,d zwei mit ,a ,c parallele ,linien zieht und in e eine ,senkrechte errichtet4 ,ebenso kann ,f n gefunden werden durch die ,linien ,f m und m n4 ,illustration3 ,fig4 #dj4 ,in ,fig4 #ch kann von p aus eine ,linie parallel mit ,a ,b gezeichnet werden mittels der ,linien k x1 p x und einer in x errichteten ,senkrechten4 ,oder kann man in ,a und p #b ,senkrechte errichten1 ,b b parallel mit ,a ,c1 b o parallel mit ,a p ziehen und hierauf durch eine weitere mit ,a ,c parallele ,linie von o aus den ,punkt n bestimmen4 ,soll von ,d aus abwrts eine mit ,a ,b parallele ,linie gezeichnet werden1 so kann durch die ,verlngerung von ,a ,b1 ,a ,c und ,d ,e ein ,dreieck ,a c d gebildet und d h c d gemacht werden1 wodurch ,d h parallel mit ,b ,a ist4 ,oder kann1 nachdem das ,dreieck ,a ,b b gezeichnet ist1 ,d a ,a b gemacht und von a eine mit ,a ,c und b ,b parallele ,linie bis zu der ,senkrechten ,b k gezogen werden1 wodurch e ,d parallel mit ,a ,b ist und von ,d aus verlngert werden kann4 ,es knnte ferner1 wenn ,f z geometrisch y z ist1 durch den ,halbierungspunkt von ,d z eine ,linie von i nach der verlngerten y z gezogen werden4 #dh4 ,in ,fig4 #da sei ,a ,g a und ,a o gegeben4 ,um die ,richtung der parallel mit ,a a von ,b1 i und o ausgehenden ,linien zu berechnen1 ist durch den ,halbierungspunkt der ,senkrechten n a eine mit ,a ,g parallele ,linie nach f und von hier aus f g als wagrechte ,mittellinie des ,daches gezogen1 welche nun hnlich wie die ,mittellinien in ,fig4 #ca benzt werden kann1 um zwischen ,a ,b und a p beliebige mit ,a a parallele ,linien z4 ,b4 ,b b1 i k und o p zu zeichnen3 man zieht a ,b und ,a r b1 b i und ,b s k u4 s4 w4 ,die ,richtung der ,linie ,c c ist auf die in #de ,fig4 #ch angegebene ,weise berechnet3 d h ist n a gemacht und von h eine ,linie durch ,c nach der verlngerten m z gezogen4 ,der ,punkt ,f ergibt sich durch eine parallel mit ,a ,g von ,e nach der ,verlngerung von b ,b gezogenen ,linie2 eine ,senkrechte von ,f abwrts schneidet die von c nach rechts gehende ,wagrechte in e1 womit ,e e gegeben ist4 ,illustration3 ,fig4 #da4 ,sind auf solche ,weise einige ,parallellinien gezeichnet1 so kann die perspectivische ,richtung weiterer zwischen ihnen liegender ,linien auch ohne genaue ,berechnung jeder einzelnen ohne ,schwierigkeit bestimmt werden4 ,verschiedene ,beispiele4 ,treppen1 ,dcher1 ,dachfenster1 ,turmhelme4 #di4 ,die ,anwendung des vorangegangenen ist in ,fig4 #db--fj an weiteren ,beispielen gezeigt4 ,der ,gleichartigkeit des ,gegenstands wegen befinden sich unter denselben auch solche1 bei denen die im folgenden ,abschnitt besprochene ,form des verkrzten ,quadrats als gegeben betrachtet werden muss4 ,fr die ,construction der ,treppe ,fig4 #db nehmen wir die ,hhe und ,breite der untersten ,stufe1 also die perspectivische ,lnge der ,linien ,b b und b c1 sowie die ,linie ,a ,b als gegeben an4 ,da leztere eine unverkrzte ,wagrechte ist1 so muss der ,augpunkt ,fluchtpunkt der ,linie b c sein4 ,wird nun b m ,b b gemacht1 in c eine ,senkrechte errichtet und von m eine ,linie nach ,p gezogen1 so ist c n die perspectivische ,hhe der zweiten ,stufe und es ist durch b n die ,richtung der schrgen ,linie gegeben1 in welcher die vorderen ,ecken der folgenden ,stufen liegen mssen4 ,hierauf wird auf der verlngerten ,b m die ,hhe ,b b mit dem ,zirkel so oft wiederholt1 als ntig ist1 um die gewnschte ,zahl von ,stufen zu erhalten und werden von den ,teilungspunkten ,linien nach ,p gezogen4 ,die ,punkte1 in welchen leztere die ,linie b d schneiden1 sind die vorderen ,ecken der ,stufen1 die hinteren dem ,punkte c entsprechenden ,ecken ergeben sich durch die von o1 p u4 s4 w4 abwrts gezogenen ,senkrechten4 ,auf der andern ,seite schneiden sich a ,p und die von c nach links gezogene ,wagrechte in y1 eine ,wagrechte von n nach links und eine in y errichtete ,senkrechte schneiden sich in z u4 s4 w4 ,illustration3 ,fig4 #db4 ,um von ,f aus die mit a ,d und b d parallele ,linie des ,gelnders zu zeichnen1 ist durch die ,diagonalen eines ,rechtecks g h d ,d dessen wagrechte ,mittellinie bestimmt1 welche von der ,linie ,f d in i geschnitten wird1 worauf die von h durch i nach ,d d gezogene ,diagonale den ,punkt f und hiemit ,f f als ,parallele von h d ergibt4 #ej4 ,fig4 #dc zeigt #b hufige ,formen von ,dachfenstern4 m y und n z sind parallel mit ,a ,d zu zeichnen1 y z1 o p1 m n parallel mit ,a ,c2 die ,hhe m o sowie die ,lnge m y sind beliebig1 vorausgesezt1 dass o y und p z als nach y und z hin steigende ,linien gezeichnet sind4 ,illustration3 ,fig4 #dc4 ,bei der zweiten ,form ist d f parallel mit ,a ,d2 die ,hhe des ,giebels kann beispielsweise in i oder in c angenommen werden2 e f1 i k1 c b sind parallel mit ,a ,b2 die ,punkte b oder k liegen sodann da1 wo die von c oder i parallel mit ,a ,b gezogenen ,wagrechten sich mit einer schrgen ,linie schneiden1 welche von a1 der ,mitte von d h1 parallel mit ,a ,d aufsteigt4 ,durch den ,punkt b1 in welchem die leztgenannte ,linie und die ,firstlinie des ,hauptdaches sich schneiden1 ist c b als grsste ,hhe gegeben1 welche fr die obere ,wagrechte des ,dachfensters angenommen werden darf1 d4 h4 eine von seiner ,giebelspize parallel mit ,a ,b gezogene ,wagrechte darf die von a parallel mit ,a ,d ausgehende ,linie nicht jenseits des ,punktes b1 nicht oberhalb der ,firstlinie ,d b treffen1 es wre denn1 dass eine entsprechende ,fortsezung auf der andern ,dachseite angenommen wrde4 #ea4 ,in ,fig4 #dd seien a b und b c als zwei ,seiten eines quadratischen ,turmes gegeben und soll darber ein ,dach gezeichnet werden1 dessen ,spize ber der ,mitte des ganzen ,turmes1 d4 h4 seiner quadratischen ,grundflche liegt4 ,zieht man die mit a b und b c parallelen ,linien d c und a d1 so muss die ,spize in einer ,senkrechten liegen1 welche in dem ,schnittpunkte der ,diagonalen a c und b d errichtet wird2 die ,hhe der ,spize ist beliebig4 ,bequemer wird in den meisten ,fllen die ,mitte des ,ganzen auf die #ci angegebene ,weise gefunden3 man zieht an beliebiger ,stelle die mit a b und b c parallelen ,linien e f und f g 7oder benzt statt derselben die ,horizontlinie71 um mittels der ,diagonalen c e und a g den gewnschten ,punkt zu erhalten1 in welchem jene ,senkrechte zu errichten ist4 ,illustration3 ,fig4 #dd4 ,hufig kann man sich auch damit begngen1 die #b usseren ,senkrechten z4 ,b4 in ,fig4 #dd e a und g c1 nach oben zu verlngern und die ,spize in die ,mitte zwischen beide zu verlegen4 ,das ,resultat stimmt zwar nicht immer vollstndig mit dem der genauen ,berechnung berein1 doch ist die ,abweichung eine so geringe1 dass die richtige ,wirkung nicht dadurch beeintrchtigt wird2 vgl4 ,fig4 #de4 #eb4 ,in ,fig4 #de sind zuerst von a1 b und c aus #c ,linien nach einem tiefer liegenden ,punkte o der senkrechten ,mittellinie gezogen1 hierauf an beliebiger ,stelle die mit a b und b c parallelen ,linien k m und m n und von den ,punkten k1 m und n #c ,linien nach der hher liegenden ,spize p4 ,illustration3 ,fig4 #de4 ,die ,construction von ,fig4 #df ist hienach leicht zu verstehen4 ,in ,fig4 #dg sind von a1 b und c aus zuerst #c ,linien nach dem hher in der ,mittellinie liegenden ,punkt p1 hierauf die mit a b und b c parallelen d e und e f1 und nach dem tiefer liegenden ,punkt o die ,linien d o1 e o und f o gezogen4 ,illustration3 ,fig4 #df4 ,illustration3 ,fig4 #dg4 #ec4 ,bei der in ,fig4 #dh und #di dargestellten ,dachform liegen die ,punkte ,e und ,f senkrecht ber den ,punkten m und n1 welche ihrerseits in der ,mittellinie a b des ,rechtecks ,a ,b ,c ,d liegen4 m a ist in ,wirklichkeit n b2 denken wir uns die senkrecht ber ,a ,b und ,c ,d stehenden ,giebelwnde ,a ,b d und ,d ,c f hinzugezeichnet1 so wre auch ,e d ,f f4 ,gewhnlich haben die beiden schrgen ,dreiecke 7,a ,b ,e und ,d ,c ,f7 denselben ,neigungswinkel wie die anstossenden ,breitseiten des ,daches4 ,in diesem ,fall mssen die senkrecht unter ,e und ,f liegenden ,punkte m und n ,mittelpunkte zweier ,quadrate sein1 deren ,seiten ,a ,b sind1 so dass m a ,a a wre4 ,doch ist die ,form auch dann eine richtige1 wenn angenommen wird1 dass der ,neigungswinkel jener ,flchen 7,a ,b ,e und ,a ,e ,f ,d7 ein verschiedener sei4 ,die ,hauptsache ist1 dass ,e und ,f von d und f oder m und n von a und b gleich weit entfernt sind1 mit andern ,worten1 dass die beiden ,dreiecke ,a ,b ,e und ,c ,d ,f die gleiche ,neigung haben4 ,zu diesem ,zweck bestimme man in ,fig4 #dh1 angenommen1 dass ,a ,b ,e und ,a ,d gegeben seien1 die perspectivische ,mitte der ,firstlinie in h 7mittels ,a ,c und ,b ,d oder ,b z und ,d y7 bilde das ,rechteck ,e h e c und ziehe c ,f durch die ,mitte von h e1 so ist ,f h perspectivisch ,e h4 ,oder man verbinde 7,fig4 #di7 den ,halbierungspunkt r der ,linie ,a ,d mit h1 der wie oben gefundenen ,mitte der ,firstlinie1 ziehe die ,diagonale ,e ,d und durch den ,punkt1 in welchem ,e ,d und r h sich schneiden1 eine ,linie von ,a nach ,f4 ,illustration3 ,fig4 #dh4 ,illustration3 ,fig4 #di4 ,oder auch man bestimme1 nachdem ,a ,b ,e und ,a ,d 7,fig4 #di7 gegeben sind1 die perspectivische ,mitte von ,a ,b und ,c ,d1 also die ,punkte a und b1 ziehe von a durch ,e eine ,linie nach der senkrechten ,mittellinie des ,ganzen 7errichtet im ,schnittpunkte der ,diagonalen ,b z und ,d y7 und von o eine ,linie nach b1 welche die ,firstlinie in ,f schneidet4 #ed4 ,um das ,dach ,fig4 #ej zu construieren1 wird zuerst die einfache ,dachform ,c ,a a g h und an beliebiger ,stelle die ,wagrechte e f parallel mit ,a a1 sowie e c parallel mit ,a ,c gezeichnet4 ,die perspectivische ,mitte von ,a ,c ist m1 eine ,linie von hier durch den ,schnittpunkt i ergibt den ,punkt n als ,mitte der ,firstlinie4 ,die ,lage des einen der beiden ,punkte ,d oder d wird beliebig angenommen1 die des zweiten durch die ,diagonalen ,d c und e d1 wie in ,fig4 #di1 #ec1 gefunden4 ,illustration3 ,fig4 #ej4 ,hufig wird es auch gengen1 bei ,darstellung von ,dachformen wie ,fig4 #dh--ej zuerst die gewhnliche ,dachform mit senkrechten ,giebelwnden oder die perspectivische ,mitte der ,firstlinie anzugeben und nach dem ,ermessen des ,auges den ferneren der beiden geometrisch gleich grossen ,teile kleiner zu zeichnen1 als den nheren1 also z4 ,b4 in ,fig4 #ej dafr zu sorgen1 dass n d kleiner sei als ,d n1 d h kleiner als g ,d4 #ee4 ,wenn in einem ,dach von der ,fig4 #dh--ej dargestellten ,form ,dachfenster wie in ,fig4 #dc gezeichnet werden sollen1 so muss die schrge ,mittellinie der betreffenden ,seite gesucht werden4 ,in ,fig4 #ea z4 ,b4 muss die ,linie e d perspectivisch parallel sein mit c ,d2 wre das ,dachfenster nicht in der ,mitte von ,a ,b ,d1 so msste eine mit c ,d parallele ,linie entsprechend der ,linie a b in ,fig4 #dc gezeichnet und sodann wie dort weiter verfahren werden4 ,illustration3 ,fig4 #ea4 ,auf der anstossenden ,seite ,a ,c ,e ,d mssen a b1 f g u4 s4 w4 parallel sein mit der ,mittellinie m n4 ,in ,fig4 #ec wre f c am unteren1 c z am oberen ,teil massgebend fr die schrgen ,linien eines ,dachfensters4 #ef4 ,fig4 #eb1 ein ,staffelgiebel1 ist so construiert1 dass zuerst die einfache ,dachform a b c g e und die parallel mit a c von f und d ausgehenden ,linien gezeichnet wurden 7d g kleiner als f c74 ,um die ,hhe der einzelnen ,absze zu bestimmen1 ist in k eine ber a hinausreichende ,senkrechte k z errichtet und in die erforderliche ,anzahl von gleichen ,teilen geteilt4 ,durch die ,teilungspunkte sind die ,linien m n1 o p u4 s4 w4 und nach dem ,fluchtpunkt der andern ,seite m i1 o h u4 s4 w4 gezogen4 ,das ,weitere ist aus den ,constructionslinien der ,fig4 #eb leicht zu ersehen4 ,illustration3 ,fig4 #eb4 #eg4 ,die ,form eines ,mansardendaches ,fig4 #ec ist stets eine solche1 dass die #d ,seiten des unteren und ihrerseits diejenigen des oberen ,teiles denselben ,neigungswinkel haben4 ,es muss daher1 wenn ,a ,b und ,a ,c gegeben sind1 von ,a ,c ein ,teil ,a f abgeschnitten werden1 welcher perspectivisch ,a ,b ist1 so dass die senkrechte ,linie1 in welcher die ,punkte k und d liegen mssen1 ber der ,mitte eines ,quadrats 7,a ,b p f7 oder ber dem ,schnittpunkt der ,diagonalen ,b m und f n errichtet werden kann4 ,nachdem nun ,a a1 a b1 ,b b1 a d und b d gezeichnet sind 7vergl4 #eb1 ,fig4 #dg71 so werden die von a1 d und k parallel mit ,a ,c ausgehenden ,linien gezogen2 i ergibt sich auf die #ec1 ,fig4 #dh gezeigte ,weise 7nachdem z als ,mitte der ,firstlinie bestimmt ist71 e durch eine von i abwrts gezogene ,senkrechte1 g durch eine ,linie von i nach ,c4 ,illustration3 ,fig4 #ec4 #eh4 ,der ,turmhelm ,fig4 #ed und #ee ist eine an ,bauten des romanischen ,stils hufige ,form3 die #d ,seiten des quadratischen ,turms schliessen oben mit #d ,giebeln ab1 von deren ,spizen #d ,linien nach der ,turmspize gehen und so mit den ,giebellinien #d rautenfrmige ,flchen bilden4 ,zunchst mssen die ,giebelspizen in gleicher ,hhe liegen2 angenommen1 dass in ,fig4 #ed a b d und a c gegeben seien1 so knnen die senkrechten ,ecklinien von a und b nach oben verlngert werden1 bis sie eine parallel mit a b durch d gezogene ,wagrechte treffen2 eine ,wagrechte von g aus parallel mit a c und eine ,senkrechte ber der perspectivischen ,mitte von a c ergeben sodann den ,punkt f1 eine gleichfalls mit a c parallele ,linie von h und eine mit a b parallele ,linie von f aus den ,punkt e 7vergl4 ,fig4 #ef74 ,illustration3 ,fig4 #ed4 ,illustration3 ,fig4 #ee4 ,in ,fig4 #ee ist die ,stellung des ,turmes eine solche1 dass nur eine der oberen #d ,flchen und keine der ,umrisslinien des dritten ,giebelfeldes zu sehen ist4 ,die ,hhe des zweiten ,giebels ist hier dadurch gefunden1 dass1 nachdem a c f und die ,linie a b gezeichnet waren1 von f eine mit a b parallele ,wagrechte bis zur senkrechten ,mittellinie des ganzen ,turmes1 d4 h4 bis o und von hier eine mit a c parallele ,linie bis zu der in der ,mitte von a b errichteten ,senkrechten gezogen wurde1 wodurch d als ,spize des rechtseitigen ,giebels gegeben ist4 ,illustration3 ,fig4 #ef4 ,so knnte auch in ,fig4 #ed statt der oben angewendeten ,construction von d eine mit a c parallele ,wagrechte nach der senkrechten ,mittellinie1 durch den so gewonnenen ,punkt o eine mit a b parallele ,linie und hierauf b e perspectivisch parallel mit a f gezogen werden 7vergl4 ,fig4 #ef74 ,ferner muss1 damit a i eine gerade ,linie1 a d i f eine ,flche sei1 a d und a f d i und f i sein2 a d f und i d f sind in ,wirklichkeit #b einander gleiche ,dreiecke1 o i muss daher k o sein4 ,oder kann zu demselben ,zweck die senkrechte ,mittellinie eines ,giebelfeldes z4 ,b4 m f benzt werden3 f p wird m f gemacht und eine mit a b parallele ,linie von p nach der senkrechten ,mittellinie des ganzen ,turmes gezogen4 #ei4 ,soll ein viereckiges ,trmchen an beliebiger ,stelle auf ein ,giebeldach gesezt werden1 wie in ,fig4 #eg1 so geht die ,construction am besten von der mit a b parallelen ,linie c d aus1 deren ,lnge nach ,gutdnken bestimmt wird4 ,man errichtet ber c und d #b ,senkrechte1 bildet mit denselben ein ,rechteck m n o p und zieht aus n durch den ,halbierungspunkt von m o eine ,linie1 welche in f die verlngerte o p trifft und damit die ,breite der ganzen ,seite angibt4 ,fr die perspectivische ,breite der anstossenden ,seite p g e c sind1 wenn sie genau berechnet werden soll1 die im folgenden ,abschnitt enthaltenen ,regeln ber die ,construction des ,quadrats massgebend4 ,illustration3 ,fig4 #eg4 ,in ,fig4 #eh ist ein hnliches ,trmchen auf die ,mitte eines ,giebeldaches gesezt4 ,ist wie hier die ,grundflche ein ,quadrat1 d4 h4 a b b c1 so ist wie bei ,fig4 #df zu verfahren1 nachdem von i1 der ,mitte der ,firstlinie1 die ,linien i a1 i b und i c gezogen sind4 ,ist a b lnger als b c oder umgekehrt1 so schneide man von der ,mitte der ,firstlinie aus #b perspectivisch gleich grosse ,teile i d und i e entsprechend der gewnschten ,grsse des oberen ,trmchens ab1 ziehe von d und e #b schrge ,linien parallel mit den ,seitenlinien des ,dachs abwrts und verfahre wie bei ,fig4 #eg4 ,illustration3 ,fig4 #eh4 ,in ,fig4 #ei ist zuerst der ,turmaufsaz ber a b g h wie oben mittels der ,linien d a1 d b und d c construiert 7vergl4 ,fig4 #ee1 #ef und #eg71 die ,punkte f und e ergeben sich sodann durch die senkrechten ,mittellinien der beiden ,seiten des ,turmaufsazes4 ,illustration3 ,fig4 #ei4 #fj4 ,fig4 #fj ist zuerst geradlinig wie ,fig4 #dg construiert1 wodurch die fr die perspectivische ,schweifung der ,ecklinien wichtigen ,punkte n1 m und k gewonnen werden4 ,illustration3 ,fig4 #fj4 ,in ,fig4 #fa ist zuerst a b c d gezeichnet1 sodann 7vergl4 ,fig4 #de7 die ,lage der ,punkte k m n bestimmt1 von welchen die geschweiften ,linien ausgehen1 ferner die ,lage der #c ,punkte1 an welchen sie ihre strkste ,ausladung haben4 ,diese ,punkte liegen ebenso wie k m n in #b mit a b und b c parallelen ,linien und ergeben sich1 je nachdem die ,ausladung eine strkere oder schwchere ist1 durch ,verlngerung der senkrechten ,ecklinien1 wie x y z oder dadurch1 dass von andern in gleicher ,hhe liegenden ,punkten der ,linien a d1 b d1 c d1 oder ihrer ,verlngerung1 z4 ,b4 von e1 f und g1 #c ,senkrechte und zwischen diesen in entsprechender ,hhe #b mit a b und b c parallele ,wagrechte wie o h und o i gezogen werden4 ,illustration3 ,fig4 #fa4 #fa4 ,in ,fig4 #fb ist schliesslich gezeigt1 wie auf ,grund der bisher angewandten ,constructionslinien vorspringende ,dcher zu zeichnen sind4 ,illustration3 ,fig4 #fb4 ,nachdem ,a als vordere ,ecke des ,daches angenommen wurde1 sind die mit a b1 b c1 a c und a t#f parallelen ,linien ,a ,b1 ,b ,c1 ,a ,c und ,a ,d gezeichnet4 ,c d und e f sind parallel mit ,a ,d1 m n und o p mit ,a ,c4 z y ist geometrisch ,b b1 aber entfernter1 muss also entsprechend kleiner sein als ,b b4 ,selbstverstndlich wird die ,mitte der ,giebelseiten bezeichnet durch die von b und h abwrts gezogenen ,senkrechten und drfen hiezu nicht die ,punkte ,b und g benzt werden4 #f3 ,statt des bei k und ,d stehenden ,buchstaben b ist ein t zu sezen4 ,,iv4 ,die perspectivischen ,grssenverhltnisse4 ,unterscheidung der verschiedenen ,aufgaben4 #fb4 ,wir sind in #bb ausgegangen von dem wichtigsten ,gesez in ,betreff der perspectivischen ,grssenverhltnisse1 wonach jeder ,gegenstand im ,verhltnis seiner ,entfernung vom ,auge kleiner zu werden scheint4 ,ferner wissen wir aus #h1 dass wir es nur mit der perspectivischen ,grsse solcher ,linien zu thun haben1 deren geometrisches ,grssenverhltnis zu andern ,linien ein symmetrisches1 regelmssiges und notwendiges ist4 ,es lassen sich in dieser ,beziehung #c ,flle unterscheiden3 #a7 ,parallellinien1 welche in ,wirklichkeit gleich lang sind1 aber verschiedene ,entfernung vom ,auge haben 7in verschiedener ,tiefe sich befinden71 wie z4 ,b4 in ,fig4 #fb die senkrechten ,umrisslinien der #c grsseren ,fenster4 #b7 ,verkrzte ,linien1 auf welchen sich gleich grosse ,masse wiederholen1 oder welche nach bestimmten symmetrischen ,verhltnissen geteilt sind1 wie die ,linie i k ,fig4 #fb1 wenn die ,fenster in ,wirklichkeit gleiche ,breite und gleiche ,abstnde haben4 #c7 ,verkrzte ,linien1 welche zu einer nicht parallelen ,linie in einem bestimmten ,grssenverhltnisse stehen1 wie die ,seiten eines verkrzten ,quadrats oder die ,teile der ,linie i s ,fig4 #fb1 wenn die ,fenster und ,zwischenrume in ,wirklichkeit auf beiden ,seiten gleiche ,breite haben4 ,parallellinien von gleicher ,lnge in verschiedener ,tiefe4 #fc4 ,die ,berechnung der perspectivischen ,lnge paralleler ,linien1 welche geometrisch gleich gross sind1 aber in ungleicher ,tiefe liegen1 geschieht nach dem #a angefhrten ,geseze1 dass parallele ,linien1 welche zwischen #b gleichfalls parallelen ,linien liegen1 gleich lang sind4 ,mehrfache ,beispiele sind schon in den vorangegangenen ,figuren enthalten1 z4 ,b4 in ,fig4 #bj sind i k und c d1 g h und a b perspectivisch gleich lang 7stellen ,linien dar1 welche geometrisch gleich lang sind71 weil sie als unverkrzte ,wagrechte unter sich parallel sind und die ,linien a ,p und b ,p1 c ,p und d ,p1 zwischen welchen sie liegen1 gleichfalls perspectivisch parallel sind1 vergl4 die gleich langen ,linien a i1 b g1 k e und f h1 oder a e und c d in ,fig4 #cf1 hnliche ,linien in ,fig4 #dj und #da und andere4 ,soll in ,fig4 #fb die ,linie r x massgebend sein fr die ,hhe der brigen ,fenster1 so werden durch r und x #b ,linien parallel mit den wagrechten ,linien dieser ,seite bis zu der senkrechten ,ecklinie gezogen und von lezterer aus auf der andern ,seite parallel mit a c fortgesezt1 wodurch smtliche zwischen diesen ,parallelen liegende senkrechte perspectivisch gleich lang sind4 #fd4 ,in ,fig4 #fc sei die ,aufgabe gestellt1 die ,hhe der ,figur a b auf die in derselben wagrechten ,flche liegenden ,punkte c1 e und g zu bertragen oder auf den leztgenannten ,punkten ,figuren von gleicher ,hhe mit a b zu zeichnen4 ,ziehen wir von a durch c eine ,linie nach dem ,horizont1 und nach dem ,punkte x1 wo sie denselben trifft1 eine zweite von b aus1 so sind alle senkrechten ,linien1 welche zwischen den #b ,parallellinien a x und b x liegen1 perspectivisch gleich hoch4 ,eine ,linie von a durch e oder von g durch a nach dem ,horizont wrde diesen in #b weit ausserhalb der ,zeichenflche liegenden ,punkten treffen4 ,man benzt daher #b von a und b nach einem beliebigen ,punkt des ,horizonts gezogene ,linien1 z4 ,b4 a x und b x1 zieht von e eine unverkrzte ,wagrechte nach i und errichtet dort die ,senkrechte i k1 welche somit in gleicher ,tiefe mit e steht und mittels einer unverkrzten ,wagrechten von k aus auf die gewnschte ,stelle bertragen werden kann4 ,da eine von g aus nach der verlngerten x a gezogene ,wagrechte die leztere nicht mehr innerhalb der ,zeichenflche erreichen wrde1 so ist ein ,punkt y wie oben benzt1 von g eine ,wagrechte nach der verlngerten y a1 d4 h4 nach m gezogen1 m n a b gemacht und ist somit auch g h a b4 ,illustration3 ,fig4 #fc4 ,liegt der ,horizont in gleicher ,hhe mit dem oberen ,ende einer senkrechten ,linie1 z4 ,b4 in der ,scheitelhhe einer menschlichen ,figur1 so ist die ,hhe aller gleich grossen senkrechten ,linien oder anderer ,figuren1 welche in derselben wagrechten ,flche stehen1 durch die ,horizontlinie gegeben1 vgl4 ,fig4 #fd4 ,illustration3 ,fig4 #fd4 #fe4 ,in ,fig4 #fe sei ,a ,b gegeben und sollen #b weitere ,figuren in f und g1 d4 h4 in #b ,punkten gezeichnet werden1 welche in gleicher ,hhe und gleicher ,tiefe mit den ,punkten a und e liegen4 ,zu diesem ,zweck sind die durch a und e gehenden ,senkrechten verlngert bis zu der wagrechten ,flche1 auf welcher ,a ,b steht1 also bis o und p1 und ist auf die oben beschriebene ,weise o c ,a ,b gemacht4 ,die ,hhe o c kann nun mit dem ,zirkel nach a d und von hier mittels einer ,wagrechten nach f k bertragen werden4 e p ist o c e b1 somit ist auch g h ,a ,b4 ,illustration3 ,fig4 #fe4 #ff4 ,in ,fig4 #ff ist angenommen1 dass ,a ,b als ,hhe einer in ,a stehenden ,figur gegeben sei und der ,punkt ,c1 in welchem eine zweite ,figur stehen soll1 um #c ,stufen tiefer liege1 als die obere ,flche4 ,man errichte eine ,senkrechte in g1 mache i g #c mal g e1 d4 h4 a g1 und i p a b1 d4 h4 ,a ,b1 ziehe i ,p und p ,p1 eine ,wagrechte von ,c nach m und errichte eine ,senkrechte in m bis p ,p1 so ist m n und folglich auch ,c ,d ,a ,b4 ,illustration3 ,fig4 #ff4 ,wre die ,hhe ,a ,b auf eine der beiden andern ,stufen oder auf irgend einen ,punkt der ,flche1 in welcher g liegt1 zu bertragen1 so wrde man bei b d1 d f und f h g e1 e c und c a machen1 so dass g h1 e f und c d je a b ,a ,b wren und knnte hierauf jede dieser ,senkrechten auf einen beliebigen ,punkt der ,flche1 in welcher ihr unteres ,ende liegen soll1 wie oben bertragen werden4 #fg4 ,in ,fig4 #fg ist die mit a b gleiche ,hhe einer in c stehenden ,figur berechnet1 indem von c abwrts eine mit d f und g h parallele schrge ,linie bis i1 d4 h4 bis zu der wagrechten ,ebene1 in welcher a liegt1 gezogen1 die ,hhe a b nach i k und hierauf mittels der weiteren schrgen ,parallellinien k e nach c bertragen wurde4 ,in einem derartigen ,falle ist vorauszusezen1 dass der ,fluchtpunkt oder das ,massdreieck einer in der betreffenden schrgen ,flche liegenden schrgen ,linie1 wie hier g m h1 bekannt sei4 ,ein hnliches ,beispiel zeigt ,fig4 #ce3 ,die ,hhe g i ist zuerst mittels g n und i n nach f bertragen1 wo die wagrechte ,flche beginnt1 in welcher eine zweite ,figur stehen soll4 ,die ,hhe der lezteren ergibt sich sodann durch f ,p und e ,p4 ,illustration3 ,fig4 #fg4 ,die perspectivische ,grsse von ,figuren oder irgend welchen ,linien1 welche auf unregelmssigem ,terrain in verschiedener ,tiefe sich wiederholen1 kann nicht genau berechnet werden4 #fh4 ,wie auf dieselbe oder hnliche ,weise wagrechte ,parallellinien von gleicher ,lnge in verschiedener ,tiefe zu zeichnen sind1 ist in ,fig4 #fh--gj gezeigt4 ,es sei die ,aufgabe gestellt1 #b ,rechtecke von gleicher ,grsse und in gleicher ,stellung wie ,a ,b ,c ,d1 ,fig4 #fh1 zu zeichnen1 so1 dass die linke vordere ,ecke des einen in ,e1 die des andern in e liegt4 ,zieht man von ,e eine unverkrzte ,wagrechte nach r1 so ist r s ,a ,b und kann mit dem ,zirkel von ,e nach ,f bertragen werden4 ,die ,richtung der verkrzten ,seiten ist durch ,p gegeben1 ihre ,lnge durch eine ,linie von ,e nach z1 dem ,fluchtpunkt der ,diagonale ,a ,c und folglich auch der mit ,a ,c parallelen ,e ,g4 ,ebenso kann e f a b gemacht und die ,lnge f g durch die ,diagonale e g bestimmt werden4 ,illustration3 ,fig4 #fh4 ,wren die ,fluchtpunkte beider ,diagonalen des gegebenen ,rechtecks ,a ,b ,c ,d unzugnglich1 so knnten ,a ,b1 ,e ,f und e f halbiert werden1 um y als ,fluchtpunkt von o ,c wie oben z behufs ,berechnung der ,lnge ,f ,g und f g zu benzen4 e h knnte auch ,f ,g gemacht werden mittels einer von ,f durch e nach dem ,horizont und einer zweiten von ,g nach y gezogenen ,linie4 ,sollte auf diesem ,wege die ,lnge ,e ,h ,b ,c bestimmt werden1 so msste1 da eine ,linie von ,b durch ,e den ,horizont ausserhalb der ,zeichnung trifft1 eine nher bei ,e liegende ,linie1 z4 ,b4 m n ,b ,c gezeichnet werden1 um m ,e y und n ,h y ziehen zu knnen4 #fi4 ,in ,fig4 #fi ist von a aus ein ,rechteck ,e ,f ,g ,h gezeichnet1 indem von ,e eine ,linie durch a nach dem ,horizont gezogen und hierauf die ,lage von b1 c und d durch die ,linien ,f ,p1 ,g ,p1 ,h ,p und die nach den betreffenden ,fluchtpunkten gezogenen a b1 b c1 a d bestimmt wurde4 ,wre statt a der ,punkt ,a als vordere ,ecke des zweiten ,rechtecks gegeben1 welcher in gleicher ,tiefe mit ,e liegt1 so knnte man von ,e1 ,f1 ,g und ,h unverkrzte ,wagrechte nach links ziehen1 in welchen auch die ,punkte ,b1 ,c und ,d liegen mssen und hierauf die ,lage der lezteren ohne ,hilfe ihrer ,fluchtpunkte dadurch nher bestimmen1 dass man nach einem beliebigen ,punkt des ,horizonts1 z4 ,b4 nach ,p1 ,linien von ,e1 ,f1 ,g1 ,h und ,a zieht1 und hierauf f g i k1 f ,c i ,g1 f e i h macht u4 s4 w4 ,ebenso ist m n x y1 n o y a u4 s4 w4 ,illustration3 ,fig4 #fi4 ,wre ,a ,b ,c ,d und der ,punkt a gegeben1 somit der ,fluchtpunkt einer von ,a durch a gezogenen ,linie unzugnglich1 so knnte auf die zulezt angegebene ,weise das erstere ,rechteck leicht soweit als ntig zur ,seite gerckt werden1 wie oben die ,linie ,b ,c1 ,fig4 #fh nach m n4 #gj4 ,aus dem ,vorangegangenen ergibt sich ein weiteres in vielen ,fllen bequemes ,mittel1 die ,richtung verkrzter ,parallellinien1 deren ,fluchtpunkt unzugnglich ist1 zu berechnen4 ,wenn in ,fig4 #gj ,e die vordere ,ecke eines ,rechtecks ,a ,b ,c ,d sein soll und wie oben eine ,wagrechte durch ,a sowie die ,linien ,a ,e z1 ,b z1 ,c z und ,d z gezogen sind1 so bilde man mit einer aus einem beliebigen ,punkt des ,horizonts z4 ,b4 aus y durch ,b gezogenen ,linie ein ,dreieck a c ,b und ziehe c z4 b d ist nun a c1 eine ,linie von d nach y macht b ,f a ,b1 somit sind die ,dreiecke a c ,b und b d ,f oder ,a a ,b und ,e b ,f einander gleich und ist ,e ,f perspectivisch gleich gross und parallel mit ,a ,b4 ,die ,lage der ,ecke ,g ist durch ,c z und die ,diagonale ,e y gegeben1 knnte aber gleichfalls dadurch berechnet werden1 dass auf die angegebene ,weise ,f h g ,b f e gemacht und eine unverkrzte ,wagrechte von h nach ,g gezogen wrde4 ,um ,k zu erhalten1 ist schliesslich ,d m gezogen1 durch m z ,g n ,c m gemacht1 und durch eine ,wagrechte von n nach ,d z der ,punkt ,k bestimmt4 ,illustration3 ,fig4 #gj4 ,da sowohl ,richtung als ,lnge einer schrgen ,linie durch die senkrechte und wagrechte ,linie ihres ,massdreiecks gegeben ist1 so gilt das ,gesagte auch fr verkrzte gleich grosse schrge ,parallellinien in verschiedener ,tiefe4 ,teilung einer verkrzten ,linie nach bestimmten ,verhltnissen4 #ga4 ,die einfachste und hufigste ,art einer solchen ,teilung ist die ,halbierung mittels der ,diagonalen eines ,rechtecks1 dessen eine ,seite die zu halbierende ,linie bildet4 ,die vorangehenden ,figuren1 z4 ,b4 #ch--da1 bieten hievon mehrfache ,beispiele4 ,ebenso von der ,verdopplung einer ,linie3 in ,fig4 #dh z4 ,b4 ist1 nachdem ,e h gegeben1 die zweite ,hlfte h ,f ,e h gemacht mittels eines ,rechtecks ,e h e c und einer ,linie aus c durch die ,mitte von e h nach ,f4 ,illustration3 ,fig4 #ga4 ,soll in ,fig4 #ga die ,lnge e f auf der ,fortsezung dieser ,linie wiederholt werden1 so bilde man mit e f ein beliebiges ,rechteck e f b a1 ziehe von a eine ,linie durch die ,mitte von b f nach g1 von b durch die ,mitte von c g nach h u4 s4 w4 ,auf dieselbe ,weise ist in ,fig4 #gb die ,lnge a b nach c u4 s4 w4 bertragen4 ,in ,fig4 #ga ergibt sich f n als ,hlfte von e f1 wenn m 7vom ,schnittpunkt der ,diagonalen a f und e b aus7 als ,hlfte von a b bestimmt und von da eine ,linie durch d gezogen wird4 ,illustration3 ,fig4 #gb4 ,in der ,mitte des ,rechtecks a b c d ,fig4 #gc kann ein ,fenster gezeichnet werden1 indem die senkrechte ,mittellinie e f gezogen1 m n o p als nhere ,hlfte angenommen und n z durch die ,mitte von m p gezogen wird1 vgl4 die beigefgte geometrische ,figur4 ,illustration3 ,fig4 #gc4 ,soll auf der ,linie ,b ,p ,fig4 #fh von b aus ein ,stck ,b ,c abgeschnitten werden1 so bilde man ein ,rechteck ,c b a ,d1 ziehe ,d b und ,c a und durch i eine ,linie von ,a nach c4 #gb4 ,die ,teilung einer verkrzten ,linie in eine grssere ,anzahl von ,teilen1 welche in einem bestimmten geometrischen ,verhltnis zu einander stehen1 geschieht gewhnlich zufolge dem ,geseze1 dass in einem ,dreieck ,linien1 welche parallel mit einer ,seite zwischen den beiden andern gezogen werden1 auf lezteren ,teile von gleichem ,verhltnis ergeben4 ,illustration3 ,fig4 #gd4 ,in ,fig4 #gd ist z4 ,b4 die ,linie a b so geteilt1 dass a d und e f gleich gross und je die ,hlfte von d e und f b sind4 ,zieht man nun von f1 e und d ,linien parallel mit b c nach a c1 so erhlt man auf lezterer ,linie ,teile von demselben ,verhltnis4 ,ist die ,aufgabe gestellt1 die ,linie ,d ,c ,fig4 #ge so zu teilen1 dass die ,fenster je halb so gross als die ,zwischenrume sein sollen1 so wird durch ,d eine unverkrzte ,wagrechte gezogen1 mit dem ,zirkel1 nachdem ,d a als erster ,teil beliebig angenommen ist1 a b #b mal ,d a1 b c ,d a u4 s4 w4 gemacht und eine ,linie von f1 dem ,endpunkt des letzten ,teilabschnitts1 durch ,c nach dem ,horizont gezogen1 worauf die ,linien a p1 b p1 c p u4 s4 w4 auf ,d ,c die gewnschten ,verhltnisse ergeben4 ,illustration3 ,fig4 #ge4 ,statt auf ,d f knnten die ,teile auch auf einer hher gelegenen ,linie1 z4 ,b4 von m aus in der ,weise angetragen werden1 dass eine ,linie von m durch ,d nach dem ,horizont1 eine zweite von p durch ,c nach n gezogen und m n mit dem ,zirkel nach den gewnschten ,verhltnissen geteilt wrde4 ,auch in ,fig4 #gb knnte auf diese ,weise die perspectivische ,weite der ,zwischenrume berechnet werden1 wie auf der ,linie a d angedeutet ist4 ,dasselbe ,verfahren ist in ,fig4 #db angewandt1 um die verkrzte schrge ,linie b d in eine ,anzahl gleicher ,teile zu teilen und so die perspectivische ,hhe der ,stufen zu bemessen1 mit dem ,unterschied1 dass die senkrechte ,linie b e hier die ,stelle der unverkrzten ,wagrechten in ,fig4 #ge vertritt4 #gc4 ,ein anderes ,verfahren ist das folgende3 ,wenn in ,fig4 #gc das ,rechteck a b c d gegeben ist und die ,breite eines in der ,mitte davon zu zeichnenden ,fensters #a_/e der ,linie a d betragen soll1 so wird a b in #e gleiche ,teile geteilt und die ,diagonale a c oder b d gezogen4 ,zieht man nun von g und h ,linien parallel mit a d und b c1 so erhlt man da1 wo dieselben die ,diagonalen schneiden1 die ,punkte1 welche die ,breite des ,fensters bestimmen1 vergl4 die geometrische ,figur4 ,auch die perspectivische ,breite der ,fenster und der ,zwischenrume in ,fig4 #ge knnte dadurch bestimmt werden1 dass ,a ,d mit dem ,zirkel in #i gleiche ,teile geteilt wrde 7vorausgesezt1 dass das oben angegebene ,verhltnis massgebend sein soll74 ,die ,punkte1 in welchen die von #a1 #c1 #d1 #f und #g aus gezogenen ,parallelen die ,diagonale ,d ,b schneiden1 ergeben1 wie die ,figur zeigt1 dasselbe ,verhltnis wie die obige ,berechnung4 ,perspectivisches ,grssenverhltnis nicht paralleler ,linien4 #gd4 ,wenn wir uns von unserem ,auge eine ,linie nach dem ,augpunkt und #b andere nach den beiden ,diagonalpunkten 7 #ah7 gezogen denken1 so entstehen #b gleichschenklige rechtwinklige ,dreiecke4 ,denn eine ,linie vom ,auge nach dem ,augpunkt steht zum ,horizont in einem rechten ,winkel und die ,entfernung der ,diagonalpunkte vom ,augpunkt ist gleich der ,entfernung des ,auges vom ,augpunkt4 ,wenn in ,fig4 #gf ,d unser ,auge1 ,p der ,augpunkt ist1 so sind ,dp und ,dg ,diagonalpunkte4 ,illustration3 ,fig4 #gf4 ,die beiden ,linien vom ,auge nach den ,diagonalpunkten -- ,d ,dp und ,d ,dg -- stehen zum ,horizont in einem halben rechten ,winkel1 wie die ,diagonalen eines ,quadrats zu dessen ,seiten1 vergl4 a b c d4 ,steht eine ,linie unseres ,gegenstands in einem halben rechten ,winkel zu einer unverkrzten ,wagrechten1 so steht sie auch zum ,horizont in einem halben rechten ,winkel1 sie ist also parallel mit einer ,linie von unserem ,auge nach einem der beiden ,diagonalpunkte und dieser muss ihr ,fluchtpunkt sein4 ,die ,diagonalpunkte sind also die ,fluchtpunkte aller wagrechten ,linien1 welche zu einer unverkrzten ,wagrechten in einem halben rechten ,winkel stehen4 ,umgekehrt1 jede ,linie des ,bildes1 deren ,fluchtpunkt ein ,diagonalpunkt ist1 stellt eine ,linie dar1 welche zum ,horizont und zu den unverkrzten ,wagrechten derselben ,zeichnung in einem halben rechten ,winkel steht4 ,ist also in ,fig4 #gg die ,distanz #b mal ,a ,p ,p ,dg1 so ist ,dg ein ,diagonalpunkt und stellt ,a ,c eine ,linie dar1 welche in einem halben rechten ,winkel zu ,a ,b steht2 die ,linie ,b ,c1 welche ihren ,fluchtpunkt im ,augpunkt hat1 ist demnach eine rechtwinklig zu ,a ,b stehende ,linie und ,a ,b ,c ist die perspectivische ,form eines gleichschenkligen rechtwinkligen ,dreiecks a b c ,fig4 #gf4 ,b ,c ,fig4 #gg ist ,a ,b1 wie in ,fig4 #gf b c a b ist4 ,illustration3 ,fig4 #gg4 #ge4 ,demgemss kann die ,lnge einer unverkrzten ,wagrechten auf eine rechtwinklig zu ihr stehende1 d4 h4 nach dem ,augpunkt gehende ,wagrechte bertragen werden1 indem entweder von einem ,endpunkt der gegebenen unverkrzten ,wagrechten eine ,linie nach einem der beiden ,diagonalpunkte gezogen wird1 welche die nach dem ,augpunkt gehende ,linie schneidet3 ,b ,c ,fig4 #gg wird ,a ,b gemacht durch eine ,linie von ,a nach ,dg1 welche die ,linie ,b ,p in ,c schneidet2 oder indem man eine ,linie von einem ,diagonalpunkte durch einen ,endpunkt der gegebenen unverkrzten nach der verkrzten ,wagrechten zieht3 so wird ,e ,a ,c ,e mittels einer ,linie von ,dg durch ,c nach ,a4 ,a ,b ,c ,e ist somit die perspectivische ,form eines wagrecht liegenden ,quadrats4 ,ebenso kann die ,lnge einer nach dem ,augpunkt gehenden ,linie auf eine anstossende unverkrzte ,wagrechte bertragen werden3 durch ,dg ,c ,a wird ,a ,b ,b ,c1 durch ,a ,c ,dg wird ,c ,e ,a ,e gemacht4 #gf4 ,ist in ,fig4 #gg die ,distanz #b mal ,p ,a1 so ist ,d_/#b die ,hlfte1 ,d_/#c ein ,drittel1 ,d_/#d ein ,viertel der ,distanz4 ,ebenso ist ,b a die ,hlfte1 ,b b oder ,b e ein ,drittel und ,b c ein ,viertel von ,a ,b4 ,ziehen wir1 statt von ,a nach ,dg1 eine ,linie von a nach ,d_/#b oder von b nach ,d_/#c oder von c nach ,d_/#d1 so wird von der aus ,b nach ,p gehenden ,linie dieselbe ,lnge ,b ,c abgeschnitten2 gehen wir von der verkrzten ,linie ,b ,c aus1 so erhalten wir durch eine aus ,d_/#b1 ,d_/#c oder ,d_/#d durch ,c gezogene ,linie auf der durch ,b gehenden ,wagrechten die ,hlfte1 ein ,drittel oder ein ,viertel von ,b ,c4 ,da ein ,diagonalpunkt stets ausserhalb der ,zeichnung liegt1 so bedarf man eines ,ersazmittels1 welches durch jene ,teilpunkte gegeben ist3 soll ,b ,c ,a ,b gemacht werden1 so zieht man eine ,linie von a nach ,d_/#b1 von b nach ,d_/#c oder von c nach ,d_/#d1 soll ,a ,b ,b ,c gemacht werden1 so erhlt man durch eine ,linie von ,d_/#b nach a1 ,d_/#c nach b u4 s4 w4 zunchst die ,hlfte1 ein ,drittel oder ,viertel von ,a ,b und kann hienach mit dem ,zirkel die ganze ,lnge ,a ,b leicht ergnzt werden4 ,statt der ,linie b ,d_/#c knnte auch eine ,linie von e nach dem rechts vom ,augpunkt liegenden ,drittel der ,distanz gezogen werden1 sowie man statt der rechtsseitigen ,punkte ,d_/#b und ,d_/#d die entsprechenden ,teilpunkte links vom ,augpunkt benzen und mittels derselben rechts von ,b die ,hlfte oder ein ,viertel von ,a ,b abschneiden knnte4 #gg4 ,hienach ist es leicht1 auch einer nach einem ,distanzpunkt gehenden ,linie jedes beliebige ,grssenverhltnis zu einer anstossenden unverkrzten ,wagrechten zu geben oder umgekehrt4 ,wird z4 ,b4 in ,fig4 #gg die ,senkrechte ,b ,f ,a ,b gemacht1 so ist das ,dreieck ,a ,b ,f ,a ,b ,c 7da auch ,b ,c ,a ,b ist72 ,a ,c ist ,a ,f ,a g2 ,a f ist ,a d ,a n1 ,a h ,a i4 ,es kann also ein beliebiger ,teil der ,linie ,a z mit dem ,zirkel auf ,a ,f oder ihre ,verlngerung und von hier mittels einer ,senkrechten und einer nach dem ,augpunkt gehenden ,linie auf die ,linie ,a ,dg bertragen werden4 ,soll die ,lnge der nach einem ,distanzpunkt gehenden ,linie ,a ,c auf die durch ,a gezogene ,wagrechte bertragen werden1 so zieht man eine ,linie von ,p durch ,c nach ,b1 eine ,senkrechte ,b ,f ,a ,b und macht mit dem ,zirkel ,a g ,a ,f ,a ,c4 ,das unverkrzte ,dreieck kann natrlich ebensowohl oberhalb als unterhalb der ,linie ,a ,b gebildet werden4 ,um z4 ,b4 ,a o auf ,a ,b zu bertragen1 kann ,p o g gezogen1 die ,senkrechte g p ,a g errichtet und ,a z ,a p gemacht werden4 ,illustration3 ,fig4 #gh4 ,oder sei in ,fig4 #gh ,a ,b die zuerst gegebene ,linie1 ,d_/#b die ,hlfte1 ,d_/#c ein ,drittel der ,distanz4 ,b e ist die ,hlfte1 ,b d ein ,drittel von ,a ,b2 somit wird ,b ,c ,a ,b mittels einer ,linie von ,d_/#b durch e1 oder von ,d_/#c durch d4 ,b f ist ,a ,b1 also ist ,a ,b f ,a ,b ,c2 ,a f ist ,a ,c2 ,a h ist ,a ,b1 also erhlt man auf ,a ,c den ,teil ,a i ,a ,b1 indem man eine ,senkrechte von h nach ,a ,b1 und durch den ,punkt1 in welchem sie ,a ,b trifft1 eine ,linie von ,p aus zieht4 #gh4 ,mit ,hilfe desselben ,verfahrens kann nun das perspectivische ,grssenverhltnis jeder verkrzten wagrechten ,linie zu einer andern bemessen werden4 ,nehmen wir an1 dass in ,fig4 #gi ,d_/#b als ,hlfte der ,distanz1 die perspectivische ,richtung der 7nicht nach einem ,diagonalpunkt gehenden7 ,linien ,a ,b und ,a ,c1 sowie die perspectivische ,lnge ,a ,b gegeben und die ,aufgabe gestellt sei1 leztere auf ,a ,c zu bertragen1 so wird durch ,a eine unverkrzte ,wagrechte und nach dieser aus dem ,augpunkt eine ,linie durch ,b gezogen4 ,b b steht somit rechtwinklig zu ,a b2 da ,d_/#b die ,hlfte der ,distanz ist1 so ist b f die ,hlfte von ,b b2 b c ist #b mal b f1 also ,b b1 folglich ist ,a c ,a ,b4 ,hierauf ist durch einen beliebigen ,punkt o der zweiten ,linie gleichfalls eine ,linie aus ,p und aus ,d_/#b gezogen und hiedurch gefunden1 dass o n m n 7 #b mal n p7 ist2 ,a d wird nun ,a c gemacht und schliesslich eine ,senkrechte von d nach a und eine ,linie von hier nach ,p gezogen1 wodurch sich die ,lnge ,a ,c ,a ,b ergibt4 ,illustration3 ,fig4 #gi4 ,wre ,a ,f statt ,a ,b als ,mass gegeben1 so dass eine von ,d_/#b durch ,f gezogene ,linie die durch ,a gehende ,wagrechte nicht mehr innerhalb der ,zeichenflche treffen wrde1 so knnen #b ,senkrechte ,a g und ,f h bis zum ,horizont und die ,diagonalen ,f g und ,a h gezogen und kann von ihrem ,schnittpunkt aus durch eine ,senkrechte der perspectivische ,halbierungspunkt von ,a ,f gefunden werden1 um auf dem angegebenen ,wege zunchst die ,hlfte von ,a ,f auf die ,linie ,a a zu bringen4 ,ist angenommen1 dass die beiden verkrzten ,linien einen rechten ,winkel darstellen1 so wird auf krzerem ,wege ,a ,c ,a ,b gemacht1 indem mit dem ,winkel 7,fig4 #i7 ,a d ,a c rechtwinklig zu ,a c gezeichnet und hierauf d a und a ,p gezogen wird4 ,illustration3 ,fig4 #hj4 ,in ,fig4 #hj sind die ,wagrechten ,a ,b und ,a ,c1 deren ,richtung von ,a aus gegeben ist1 der in gleicher ,flche liegenden ,e ,f gemacht4 ,zu diesem ,zweck ist zunchst ,a ,g ,e ,f gemacht mittels einer ,linie von ,f durch ,a nach z und einer zweiten von z nach ,e und ist hierauf von ,p eine ,linie nach einem beliebigen ,punkte b der ,linie ,a ,b gezogen4 ,d_/#b sei die ,hlfte der ,distanz2 also ist a c #b mal a n1 a b #b mal a m1 das wagrechte ,dreieck ,a a c ist somit dem senkrechten ,a a e1 ,a a b ist ,a a g 7a e #b mal a n1 a g #b mal a m74 ,nachdem nun ,a f und ,a h ,a ,g gemacht sind1 werden die ,senkrechten f m und h i gezogen und ergeben die von ,p nach m und durch i nach ,b gezogenen ,linien die ,lnge ,a ,c und ,a ,b ,a ,g ,e ,f4 ,illustration3 ,fig4 #ha4 ,fig4 #ha zeigt die ,anwendung des ,vorangegangenen auf eine geffnete ,thre4 ,es ist angenommen1 dass die ,lnge ,a ,b und die ,richtung ,a ,d gegeben1 die ,richtung ,d ,e beliebig und die ,breite der ,thre ,a ,c sein soll4 ,in beliebiger ,richtung ist aus ,p nach der durch ,a gehenden ,wagrechten die ,linie a b gezogen1 welche1 wenn ,d_/#c ein ,drittel der ,distanz darstellt1 #c mal b c1 also b d ist2 ,a e ist ,a ,c1 somit ist auch ,a ,d ,a ,c4 ,nun ist eine ,wagrechte durch ,d gezogen und in gleicher ,weise zuerst an beliebiger ,stelle ein ,dreieck ,d m i ,d g i construiert 7i m #c mal i h71 um sodann ,d n ,d ,f1 ,d ,e ,d n zu machen2 ,d ,f ist ,a ,c1 somit ist ,e ,d ebenfalls ,a ,c4 #gi4 ,kann die ,lnge einer verkrzten auf eine unverkrzte ,wagrechte bertragen werden und umgekehrt1 so ist damit auch das ,mittel gegeben1 eine bestimmte ,grsse von einer ,senkrechten oder einer unverkrzten schrgen ,linie auf eine verkrzte ,wagrechte zu bertragen und umgekehrt1 vgl4 ,fig4 #ha1 wo die ,linien ,a ,d und ,e ,d der ,senkrechten ,a ,c gemacht wurden1 oder ,fig4 #gh1 wo ,a ,c der unverkrzten schrgen ,linie ,a f und der ,senkrechten ,a g ist4 ,illustration3 ,fig4 #hb4 ,die ,berechnung der perspectivischen ,lnge einer verkrzten schrgen ,linie ist in ,fig4 #hb und #hc gezeigt4 ,in beiden ,beispielen ist die ,richtung der ,linien c e und b c1 sowie die ,lnge b c als gegeben angenommen und soll c e b c gemacht werden4 ,es ist zunchst die ,lnge b c auf die durch b gehende ,wagrechte zu bertragen4 ,in ,fig4 #hb geht b c nach dem ,augpunkt1 folglich ist b g die ,hlfte von b c4 ,die von c ausgehende schrge ,linie ist bis zu einer in b errichteten ,senkrechten verlngert1 b i ist #b mal b g1 d4 h4 b c1 somit ist das ,dreieck b i h b h c2 i m ist b i b c2 zieht man eine unverkrzte ,wagrechte von m nach n und von n eine mit b c parallele ,linie nach ,p1 so ist c e i m b c4 ,eine ,senkrechte von e nach o1 eine ,wagrechte von o nach k und eine ,senkrechte von k nach f ergeben f d als die mit c e parallele ,seite4 ,illustration3 ,fig4 #hc4 ,in ,fig4 #hc ist zuerst eine ,linie von ,p durch c nach o gezogen2 c o ist #b mal o g x z1 x y ist o b2 folglich ist das ,dreieck b o c x y z und b c ist y z b i1 das ,dreieck b i h ist b h c u4 s4 w4 ,ist statt c e die ,richtung der ,linie c k gegeben und soll auf leztere die ,lnge c b bertragen werden1 so kann c p c b gemacht 7vgl4 ,fig4 #fh7 und links von p s ein unverkrztes ,dreieck c p s gebildet werden2 oder kann1 wenn der ,raum dies nicht gestattet1 s h parallel mit b p gezogen1 der ,punkt n wie oben bestimmt und von hier aus mittels n k die schrge ,linie c k b c gemacht werden4 ,eine andere ,lsung der ,aufgabe wre die ,construction eines ,halbkreises ber b p1 indem alle von diesem nach c gezogenen ,linien b c sein wrden4 ,das ,quadrat in gerader ,stellung4 #hj4 ,die perspectivische ,form eines wagrecht liegenden ,quadrats in gerader ,stellung ist gegeben durch den ,augpunkt1 welcher die ,richtung der beiden verkrzten ,seiten bestimmt 7 #cb7 und durch die ,diagonalpunkte1 welche ,fluchtpunkte der beiden ,diagonalen sind und hiemit das perspectivische ,grssenverhltnis der ,seiten zu einander angeben 7 #gd72 die ,ausfhrung ist aus #gd--ge und aus ,fig4 #gg--gh ersichtlich4 ,auch in diesem ,fall kommt es hauptschlich darauf an1 dass die ,entfernung des betreffenden ,diagonalpunkts vom ,auge1 welche gleichbedeutend ist mit der ,distanz1 nicht zu klein angenommen werde 7 #cd74 ,die ,folge wre1 dass die verkrzten ,seiten zu lang erscheinen wrden im ,verhltnis zu den unverkrzten4 ,e ,f ,b ,d ,fig4 #hd kann ebensowohl ein ,quadrat darstellen1 als ,e ,f ,g ,h2 der ,unterschied ist nur1 dass die leztere ,form einen nheren ,standpunkt voraussezt als die erstere4 ,sobald wir aber die ,linie ,g ,h nher nach dem ,horizont hin rcken1 z4 ,b4 nach m n1 so erscheinen die beiden verkrzten ,seiten lnger als die unverkrzten4 ,denn ,p ,d_/#b ist ,p ,f und #b mal ,p ,f ist in diesem ,fall die kleinste ,distanz1 welche angenommen werden kann4 ,illustration3 ,fig4 #hd4 ,es ist daher im allgemeinen darauf zu achten1 dass bei der besprochenen ,stellung des ,quadrats der ,punkt1 in welchem eine ,linie von der ,mitte der unverkrzten ,vorderseite durch eine gegenberliegende ,ecke nach dem ,horizont 7,a ,g oder ,a ,h1 ,fig4 #hd7 diesen trifft1 wenigstens ebenso weit vom ,augpunkt entfernt sein muss1 als dieser von der entferntesten ,ecke des ,bildes4 ,das ,quadrat in schrger ,stellung4 #ha4 ,ist die ,stellung des ,quadrats eine solche1 dass die eine ,diagonale eine unverkrzte ,wagrechte ist1 so steht die andere rechtwinklig zum ,horizont1 hat also ihren ,fluchtpunkt im ,augpunkt und die ,seiten haben dieselbe ,stellung1 welche im vorhergehenden ,fall die ,diagonalen hatten1 ihre ,fluchtpunkte sind die beiden ,diagonalpunkte1 s4 ,fig4 #gg4 ,ist ,a ,d in ,fig4 #hd als erste ,seite eines solchen ,quadrats gezeichnet1 also angenommen1 dass der ,fluchtpunkt von ,a ,d ein ,diagonalpunkt sei1 so ergibt sich ,b dadurch1 dass eine unverkrzte ,wagrechte von ,d nach rechts1 eine ,linie von ,a nach ,p gezogen und hierauf k ,b ,d k gemacht wird1 der ,punkt ,c durch ,p ,d ,e1 ,a ,e und eine ,linie aus ,e durch die ,mitte von ,d k nach ,a ,p4 ,oder man bildet das einschliessende ,quadrat in gerader ,stellung und bestimmt in diesem die ,halbierungspunkte der ,seiten4 #hb4 ,wie die geometrisch gezeichneten ,quadrate a b c d und e f g h1 ,fig4 #hd zeigen1 entstehen1 wenn durch ,verbindung der ,halbierungspunkte a b c d ein kleineres ,quadrat innerhalb des grsseren gebildet wird1 zwischen beiden #d gleichschenklige rechtwinklige ,dreiecke von gleicher ,grsse3 a f b1 b g c u4 s4 w4 ,wird eine ,quadratseite in zwei ungleiche ,teile geteilt und dieselbe ,teilung auf den #c andern ,seiten wiederholt1 wie in ,fig4 #he 7a f b g c h d e und folglich a e d h u4 s4 w471 so bilden die ,verbindungslinien der #d ,teilungspunkte1 hier a1 b1 c und d1 gleichfalls ein ,quadrat und entstehen wieder #d rechtwinklige ,dreiecke von gleicher ,form und ,grsse 7a f b1 b g c u4 s4 w47 mit dem ,unterschiede1 dass dieselben nicht gleichschenklig sind4 ,zieht man aus a und c #b ,linien parallel mit f g1 aus d und b zwei weitere parallel mit e f je nach der gegenberliegenden ,seite des usseren ,quadrats1 so ist e m a f1 m f ist a e und dieselben ,verhltnisse ergeben sich auf allen #d ,seiten4 ,illustration3 ,fig4 #he4 ,ist nun ein verkrztes ,quadrat in gerader ,stellung z4 ,b4 ,e ,f ,g ,h ,fig4 #he1 gegeben und in demselben ein ,punkt ,a als vordere ,ecke eines inneren ,quadrats1 dessen ,ecken die ,seiten des usseren berhren sollen1 so wird man ,f ,m ,a ,e machen1 ,m ,p und ,a ,p sowie eine ,diagonale des usseren ,quadrats und durch die ,schnittpunkte y und z oder i und k zwei ,wagrechte ziehen1 wodurch sich die ,lage der ,punkte ,b1 ,d und ,c ergibt4 #hc4 ,ist ,a ,b als ,seite eines ,quadrats und zweimal ,p ,f als ,distanz angenommen1 so zieht man eine ,wagrechte durch ,a und eine ,linie aus ,p durch ,b nach ,f4 ,eine ,linie aus ,d_/#c durch ,b ergibt ,f p als ein ,drittel von ,b ,f1 ,f ,m ist #c mal ,f p1 also ist ,f ,m ,b ,f4 ,wird nun ,a ,e ,f ,m gemacht1 so kann ,e ,p gezogen und das ussere ,quadrat ,e ,f ,g ,h entweder durch ,verlngerung der ,diagonale des ,quadrats ,m ,f ,b z oder durch eine ,linie aus ,d_/#c1 nach s1 d4 h4 dem ,drittel von ,f ,e gebildet werden1 worauf man wie oben verfhrt4 ,oder kann man1 nachdem ,p ,f gezogen1 ,f ,m ,b ,f und ,a ,e ,f ,m gemacht ist1 ,e ,p und eine ,linie von ,d_/#c nach m1 d4 h4 einem ,drittel von ,a ,f ziehen1 wodurch das ,quadrat ,a ,f n y entsteht4 ,die verlngerte n y ergibt den ,punkt ,d1 die verlngerte ,diagonale ,f y den ,punkt ,h1 von wo aus eine ,wagrechte die ,linie ,m ,p in ,c schneidet4 ,die ,quadrate ,a ,f n y oder ,e ,m k ,d1 durch welche der ,punkt ,d gegeben ist1 lassen sich auch ohne die zweite von ,d_/#c nach s gezogene ,linie durch ,verlngerung der ,diagonale ,f z und die von ,a und ,m nach ,p gezogenen ,linien bilden4 #hd4 ,die ,anwendung des hier beschriebenen ,verfahrens kann berhaupt eine mannigfaltige sein4 ,wre statt ,a ,b die ,linie ,a ,d als erste ,seite gegeben1 so wrde man mittels einer von ,d_/#c durch ,d gezogenen ,linie auf der nach links verlngerten ,a ,e ein ,drittel von ,a ,d erhalten oder zieht man eine ,linie aus ,d_/#c durch y1 wo sich ,a ,p und die von ,d nach rechts gehende ,wagrechte schneiden1 nach o1 um ,a o oder ,e o als ein ,drittel von ,e ,d zu bestimmen und somit ,e ,m ,e ,d zu erhalten4 ,hierauf wird ,a ,f ,e ,m gemacht und mit der verlngerten ,diagonale des ,quadrats ,e ,m k ,d1 welche von ,f ,p in ,g geschnitten wird1 das grssere ,quadrat gebildet4 ,illustration3 ,fig4 #hf4 ,fig4 #hf zeigt dasselbe ,verfahren mit etwas vernderter ,stellung des inneren ,quadrats4 ,die ,distanz ist #d mal ,p ,a angenommen1 also ist ,b r ein ,viertel von ,b ,f2 ,b m ist #d mal ,b r1 also ,b ,f1 folglich ist das verkrzte ,dreieck ,e ,b ,f dem unverkrzten ,e ,b f4 ,a ,h ist #d mal ,a a ,a m und ,a h1 folglich ist ,a ,h ,e ,a h ,e und man sieht deutlich1 wie auch die brigen ,linien der zwei wagrechten ,quadrate nach ,grsse und ,winkelstellung durch die ,linien der senkrecht sich anschliessenden ,quadrate ,a ,b c d und ,e f g h geometrisch wiedergegeben sind4 #he4 ,hiemit ist zugleich die genaue ,berechnung der perspectivischen ,form eines rechten ,winkels in schrger ,stellung gegeben1 auf welche in #cc verwiesen wurde4 ,die ,ausfhrung kann1 wenn nur die #b ,linien des rechten ,winkels verlangt sind1 in wesentlich vereinfachter ,weise stattfinden4 ,wenn z4 ,b4 in ,fig4 #hf von ,e aus eine zu ,e ,f rechtwinklige ,linie gezeichnet werden soll1 so gengt hiezu eine ,linie von ,d_/#d durch ,f1 wonach ,e ,a #d mal ,b r1 d4 h4 ,b ,f zu machen ist1 eine zweite ,linie von ,a nach ,p und eine dritte von ,d_/#d1 nach a1 indem ,a a ein ,viertel von ,e ,b und somit ,a ,h ,e ,b ist4 ,ist ,e ,h gegeben und soll eine rechtwinklig dazu stehende ,linie gezeichnet werden1 so bilde man das ,rechteck ,h ,a ,e y1 mache ,e ,b ,a ,h 7 #d mal ,a a71 ziehe ,b ,p und eine ,linie von ,d_/#d nach r4 ,da ,b r ein ,viertel von ,a ,e ist1 so ist hiemit ,f ,b ,a ,e4 ,welcher ,weg im einzelnen ,fall der bequemste1 ob der ,teildistanzpunkt links oder rechts vom ,augpunkt fr die ,ausfhrung geeignet ist1 wird man bei einiger bung leicht erkennen4 ,bei der ,construction senkrecht stehender verkrzter ,quadrate handelt es sich nur um die bertragung eines gegebenen ,masses von einer senkrechten auf eine verkrzte wagrechte ,linie oder umgekehrt1 worber in #gd--gh das ,ntige angegeben ist2 ebenso ist aus #gh zu ersehen1 wie ein verkrztes schrges ,quadrat zu zeichnen wre2 doch kommt die leztere ,aufgabe seltener vor4 ,vergrsserung oder ,verkleinerung eines ,quadrats oder ,rechtecks4 #hf4 ,wenn man in ,fig4 #hg1 nachdem g h i k gegeben ist1 von b aus die mit g h und h i parallelen b f und b e zieht1 oder wenn man #d ,punkte der ,diagonalen g i und h k durch ,linien verbindet1 welche mit den ,seiten parallel sind1 so entsteht bei ,a wiederum ein ,quadrat f b e k oder a b c d1 bei ,b ein ,rechteck f b e k oder a b c d1 dessen ,seitenpaare dasselbe ,verhltnis von #b 3 #c haben1 wie g h und h i4 ,wie auf die gleiche ,weise aus einem kleineren ein grsseres ,quadrat oder ,rechteck durch ,verlngerung der ,diagonale gemacht werden kann1 ist hienach leicht zu verstehen4 ,illustration3 ,fig4 #hg4 ,aber whrend in ,a die ,linien des inneren ,quadrats a b c d berall gleich weit von g h i k entfernt sind1 ist dies bei den ,rechtecken a b c d und g h i k in ,b nicht der ,fall3 der ,zwischenraum zwischen den krzeren ,seiten ist grsser1 als zwischen den lngeren4 ,soll auf einem ,wege1 der auch bei verkrzter ,stellung des ,rechtecks anwendbar wre1 innerhalb g h i k ein 7paralleles7 ,rechteck gezeichnet werden1 so dass die ,seiten beider berall gleiche ,entfernung von einander haben1 so muss auf einer lngeren ,seite z4 ,b4 auf g h ein ,teil der ,lnge der krzeren ,seite abgeschnitten1 also z4 ,b4 g n g k gemacht und so ein ,quadrat g n m k gebildet werden1 um dessen ,diagonalen zu dem genannten ,zwecke zu benzen4 ,soll f g die ,breite des ,zwischenraums sein1 so wird von f eine mit g h parallele ,linie gezogen1 welche die ,diagonale g m in o schneidet und hiemit den ,punkt p ergibt4 ,zieht man nun von m durch den ,schnittpunkt der ,diagonalen g i und h k eine ,linie nach s1 so ist g s n h1 s h g n h i2 s i ist somit die ,diagonale eines ,quadrats g n m k1 und knnen die ,punkte y und z durch die mit k i und i h parallelen ,linien bestimmt werden4 #hg4 ,die ,construction der verkrzten ,quadrate und ,rechtecke in ,fig4 #hh und #hi ist hiemit gegeben4 ,in ,fig4 #hi dient dieselbe dazu1 die #d ,tischbeine an die richtige ,stelle zu sezen4 ,fig4 #ij stellt in grsserem ,massstab die ,verjngung der ,tischbeine nach unten dar4 ,illustration3 ,fig4 #hh4 ,illustration3 ,fig4 #hi4 ,illustration3 ,fig4 #ij4 ,fig4 #ia zeigt einen ,stuhl ohne ,lehne4 ,der ,siz bildet ein ,quadrat1 die ,punkte a b c d1 von welchen die ,stuhlbeine ausgehen1 ergeben sich daher durch die ,diagonalen wie in ,fig4 #hg ,a und ,fig4 #hh4 ,da sie nach auswrts stehen1 so ist senkrecht unter a b c d das ,quadrat e f g h gebildet und mittels seiner ,diagonalen vergrssert4 ,illustration3 ,fig4 #ia4 ,sthle mit ,lehnen sind gewhnlich so geformt1 dass der ,siz hinten schmler ist als vorn4 ,man kann deshalb1 wenn beispielsweise a b ,fig4 #ib die ,vorderseite des ,sizes sein soll1 zunchst ein ,quadrat a b c d bilden1 um sodann die ,lage der geometrisch gleichweit von c und d entfernten ,punkte e und f entweder auf frher beschriebene ,weise oder nach dem ,augenmass 7e c kleiner als d f7 zu bestimmen4 ,fr die ,punkte1 von welchen die ,fsse ausgehen1 sind nun die ,diagonalen a e und b f massgebend4 ,illustration3 ,fig4 #ib4 ,v4 ,verkrzte ,kreise1 ,achtecke und ,sechsecke4 ,gewlbeformen4 ,der ,kreis in verkrzter ,stellung4 #hh4 ,die ,berechnung der perspectivischen ,form eines verkrzten ,kreises kann nur darin bestehen1 dass gewisse ,punkte desselben gewonnen werden1 mit deren ,hilfe es leichter ist1 die ,kreislinie aus freier ,hand zu zeichnen4 ,die zu diesem ,zweck geeignetsten ,punkte sind die ,halbierungspunkte der ,seiten eines den ,kreis einschliessenden ,quadrats und ferner die ,punkte der ,diagonalen in lezterem1 welche von der ,kreislinie durchschnitten werden1 vgl4 die geometrische ,zeichnung von ,quadrat und ,kreis in ,fig4 #ic4 ,gewhnlich kann man sich eines ,quadrats in gerader ,ansicht bedienen4 ,die ,halbierungspunkte der ,seiten1 a1 b1 c und d ,fig4 #ic1 erhlt man mittels einer unverkrzten ,wagrechten und einer nach dem ,augpunkt gehenden ,linie1 welche durch den ,schnittpunkt der ,diagonalen gezogen werden4 ,ein gebter ,zeichner wird sich fr gewhnlich mit diesen #d ,hilfspunkten begngen knnen4 ,illustration3 ,fig4 #ic4 ,um die ,punkte der ,diagonalen1 welche der ,kreis durchschneiden muss1 m1 n1 o und p ,fig4 #ic1 zu erhalten1 wird ber oder unter einer der unverkrzten ,seiten oder der unverkrzten ,mittellinie1 also mit ,a ,b1 ,c ,d oder b d1 ein senkrecht stehendes ,rechteck halb so hoch als breit1 z4 ,b4 ,a ,b ,f ,e oder ,c ,d ,g ,h gebildet und in diesem ein ,halbkreis beschrieben4 ,in ,fig4 #ic werden diese ,halbkreise von den ,diagonalen a ,e und a ,f oder c ,g und c ,h in g und h1 y und x durchschnitten4 ,zieht man nun die ,senkrechten g i und h k oder y z und x s und #b ,linien von ,p nach i und k oder durch s und z1 so ergeben sich auf den ,diagonalen des verkrzten ,quadrats die gesuchten ,punkte m1 n1 o und p4 ,es gengt auch nur eine der ,linien nach dem ,augpunkt zu ziehen1 z4 ,b4 i ,p1 um durch #b unverkrzte ,wagrechte von m und p aus die ,punkte n und o zu erhalten4 #hi4 ,ein anderes ,verfahren beruht darauf1 dass die ,entfernung der ,punkte i und k ,fig4 #ic von a1 der ,mitte der ,linie ,a ,b1 ebenso gross ist1 als die ,diagonale eines ,quadrats1 dessen ,seiten je ein ,viertel von ,a ,b sind4 ,a f ist ein ,viertel von ,a ,b4 ,wird also ,a e ,a f gemacht1 so kann die ,lnge e f von a aus nach i und k bertragen und so die ,lage dieser beiden ,punkte und der ,punkte m1 n1 o1 p bestimmt werden4 #ij4 ,in ,fig4 #id ist gezeigt1 wie mittels derselben ,hilfspunkte ein ,kreis innerhalb eines ,quadrats in schrger ,ansicht gezeichnet werden kann4 ,nachdem in ,a ,b ,c ,d die ,diagonalen und ,halbierungslinien gezeichnet sind1 ist eine ,linie aus ,p durch ,b nach der durch ,a gehenden ,wagrechten gezogen und ,a b ebenso geteilt1 wie ,a ,b in ,fig4 #ic4 ,statt abwrts von ,a aus ist hier seitwrts das ,dreieck b g f gebildet1 in welchem b g und g f je ein ,viertel von ,a b sind2 a i und a k werden b f gemacht und dieselben ,verhltnisse mittels i ,p und k ,p auf die ,linie ,a ,b bertragen4 ,illustration3 ,fig4 #id4 ,aus #gb ,fig4 #gb und #ge erhellt1 dass man statt ,p auch einen beliebigen andern ,punkt des ,horizonts benzen knnte1 um von demselben eine ,linie durch ,b nach der ,linie ,a g zu ziehen und sodann wie oben weiter zu verfahren4 ,statt durch ,a knnte man auch durch ,c eine ,wagrechte und von ,d eine ,linie nach ,p ziehen1 um auf dieselbe ,weise wie oben die ,punkte e und c1 m und n zu bestimmen4 ,aus ,fig4 #id ist zugleich die ,anwendung der beiden in #hh und #hi angegebenen ,berechnungsweisen auf einen senkrecht stehenden ,kreis zu ersehen4 ,es ist klar1 dass hiebei die zwei senkrechten ,seiten des ,quadrats an ,stelle der unverkrzten wagrechten treten und dass die ,linien ,a ,e1 ,b ,f1 i g1 h k der ,fig4 #ic jezt als ,wagrechte gezeichnet werden mssen4 ,das brige ergibt sich deutlich genug aus den ,linien der ,fig4 #id4 ,parallele und concentrische ,kreise4 #ia4 ,fig4 #ie zeigt #b in gleicher ,hhe stehende parallele ,kreise4 ,der eine ist von dem ,quadrat a b c d1 der andere von e f g h umschlossen4 ,die ,schnittpunkte der ,diagonalen a c und b d1 e g und f h ergeben die beiden ,mittelpunkte y und z2 die ,punkte o1 p1 i1 k sind auf die oben angegebene ,weise bestimmt1 die entsprechenden #d ,punkte auf e g und f h durch ,linien1 welche parallel mit a e und b f von k1 o1 p1 i nach links gezogen sind4 ,illustration3 ,fig4 #ie4 #ib4 ,in ,fig4 #if soll1 nachdem der ,kreis ,a ,b ,c ,d gegeben ist1 durch a ein ,kreis mit dem gemeinschaftlichen ,mittelpunkt i1 sodann durch ,f ein mit ,a ,b ,c paralleler ,halbkreis gezeichnet werden4 ,zunchst wird ,c c ,a a gemacht1 sodann das ,quadrat des inneren ,kreises gebildet1 indem man durch a und c ,linien nach dem ,augpunkt zieht und die ,punkte m und n1 o und p1 in welchen hiedurch die ,diagonalen des grsseren ,kreises geschnitten werden1 durch #b ,wagrechte verbindet4 ,die ,halbierungspunkte der ,seiten dieses kleineren ,quadrats sind a b c d4 ,die ,punkte der ,diagonalen1 durch welche der innere ,kreis geht1 knnen auf die #hh--hi angegebene ,weise bestimmt werden1 doch sind sie1 wenn der ,massstab der ,zeichnung kein sehr grosser ist1 entbehrlich1 nachdem die ,linie des usseren ,kreises gezeichnet ist4 ,illustration3 ,fig4 #if4 ,um den unteren ,halbkreis zu zeichnen1 wird die durch ,f gehende ,e ,g mittels h ,e und k ,g h k gemacht und das ,quadrat ,e ,g g e gebildet1 womit fr den unteren ,kreis ausser ,f die ,punkte s1 r und f gegeben sind4 ,die ,punkte der ,diagonalen ,e g und ,g e1 welche er durchschneiden muss1 ergeben sich durch die von m1 n1 o1 p abwrts gezogenen ,senkrechten4 ,teilung eines verkrzten ,kreises4 #ib4 ,in ,fig4 #if ist zugleich gezeigt1 wie diese ,kreise in eine beliebige ,zahl von gleich grossen ,teilen geteilt werden knnen3 mit dem ,halbmesser ,f ,g ist von ,f oder von ,h aus ein ,halbkreis gebildet1 der mit dem ,zirkel auf die gewnschte ,weise1 hier in #h ,teile1 geteilt wird4 ,hierauf sind von den ,teilungspunkten senkrechte ,linien bis ,e ,g und von da ,linien parallel mit ,e e und ,g g1 d4 h4 nach ,p bis zur ,linie des unteren ,halbkreises gezogen4 ,das ,weitere ist aus der ,figur ersichtlich1 vgl4 die ,teilung eines verkrzten ,kreises in #h oder #f ,teile1 ,fig4 #ajj--ajd4 ,verkrzte ,achtecke4 #ic4 ,wie ,fig4 #ig zeigt1 entsteht ein ,achteck1 wenn dieselben #h ,punkte1 welche zur ,darstellung des ,kreises dienten1 durch gerade ,linien verbunden werden1 nmlich die ,halbierungspunkte der ,seiten eines ,quadrats und die ,punkte seiner ,diagonalen1 welche von einem in demselben beschriebenen ,kreis durchschnitten werden4 ,die perspectivische ,form eines verkrzten ,achtecks1 welches die in ,fig4 #ig angenommene ,stellung zu den ,seiten eines gegebenen ,quadrats hat1 bedarf also keiner weiteren ,erklrung4 ,illustration3 ,fig4 #ig4 ,etwas ,anderes ist es1 wenn ein ,quadrat oder eine ,seite eines ,quadrats gegeben ist1 in welchem ein ,achteck wie a b c d e f g h in ,a ,b ,c ,d ,fig4 #ih gezeichnet werden soll1 d4 h4 so1 dass smtliche #h ,ecken in den #d ,seiten des ,quadrats liegen4 ,die geometrische ,construction wrde darin bestehen1 dass die #d von i1 dem ,mittelpunkte des gegebenen ,quadrats1 nach den ,halbierungspunkten der ,seiten gehenden ,linien ber diese hinaus um soviel verlngert wrden1 dass jede die ,lnge einer halben ,diagonale des ,quadrats htte1 also i m1 i n1 i o und i p je i ,a wren4 ,durch ,verbindung der ,punkte m1 n1 o und p entsteht ein zweites dem ersten gleiches ,quadrat und die ,verbindungslinien der ,punkte b und c1 d und e1 f und g1 h und a ergeben das ,achteck4 ,illustration3 ,fig4 #ih4 ,ist nun das verkrzte ,quadrat ,a ,b ,c ,d ,fig4 #ii gegeben1 so kann eine der unverkrzten ,seiten z4 ,b4 ,c ,d benzt werden1 um mit einer ,hlfte derselben ein gleichschenkliges ,dreieck ,c ,e ,f zu bilden4 ,wird hierauf ,e k ,e ,f gemacht1 so ist das ussere ,quadrat ,h ,g ,k ,l leicht zu bilden3 eine ,linie von ,p durch k schneidet die verlngerten ,diagonalen ,a ,c und ,d ,b in ,h und ,g und #b unverkrzte ,wagrechte von hier aus ergeben die ,punkte ,l und ,k4 ,hiermit sind auch die ,punkte m1 n1 o und p und die ,seiten des ,achtecks gegeben4 ,illustration3 ,fig4 #ii4 ,oder knnte auch die ,lnge ,e ,f von ,c nach f und von ,d nach e getragen werden -- denn aus ,fig4 #ih ist ersichtlich1 dass ,c f oder ,d e ,c i sind -- um hierauf die weiteren ,constructionslinien teils parallel mit den ,diagonalen1 teils parallel mit den ,seiten des ,quadrats ,a ,b ,c ,d zu ziehen4 ,wre statt des ,quadrats ,a ,b ,c ,d a b als ,seite eines zu zeichnenden ,achtecks gegeben1 so wrde man mit der ,hlfte derselben ein gleichschenkliges rechtwinkliges ,dreieck b z y bilden1 b ,b und a ,a y b machen und hierauf das ,quadrat ,a ,b ,c ,d construieren1 um wie oben zu verfahren2 vgl4 die geometrische ,zeichnung ,fig4 #ih4g #g3 ,fig4 #ii ist insofern ungenau1 als b ,b und a ,a etwas kleiner sind als y b4 ,der ,fehler wurde zu spt bemerkt und ist so geringfgig1 dass es gengen drfte1 hiedurch darauf aufmerksam zu machen4 #id4 ,fig4 #ajj zeigt die ,construction eines ,achtecks1 wenn ein solches anschliessend an die ,seiten eines ,quadrats in schrger ,ansicht gezeichnet werden soll4 ,illustration3 ,fig4 #ajj4 ,angenommen1 es sei das ,quadrat ,a ,b ,c ,d gegeben1 so ziehe man eine unverkrzte ,wagrechte durch ,a und eine ,linie von ,p durch ,b nach ,e4 ,die perspectivischen ,verhltnisse1 in welche ,a ,b zu teilen ist1 knnen nun auf ,a ,e geometrisch angegeben und durch ,linien1 welche mit ,e ,b parallel sind1 auf ,a ,b bertragen werden 7vgl4 ,fig4 #gb und #ge74 ,man bildet entsprechend ,fig4 #ih mit der ,hlfte von ,a ,e ein gleichschenkliges ,dreieck p ,e y1 macht ,a o und ,e s je p y und zieht von s und o zwei mit ,e ,b parallele ,linien nach a und b4 ,zieht man nun von a und von b aus zwei ,linien nach r1 dem ,fluchtpunkte der ,diagonale ,a ,c1 zwei weitere parallel mit ,a ,d und ,b ,c1 so erhlt man die ,punkte c1 d1 e und f1 durch eine ,linie von r durch f den ,punkt g und ist schliesslich noch die mit ,b ,d und e d parallele ,seite a h zu zeichnen4 ,der ,augpunkt ist brigens nur zufllig benzt2 es knnte statt desselben ein beliebiger ,punkt des ,horizonts gewhlt werden4 ,nehmen wir an1 dass a b ,fig4 #ajj als ,seite eines zu zeichnenden ,achtecks gegeben sei1 so wre das ,verfahren ein hnliches wie oben3 von ,p 7oder einem andern ,punkte des ,horizonts7 wird eine ,linie nach der durch a gehenden ,wagrechten gezogen1 a n in m halbiert1 ein gleichschenkliges rechtwinkliges ,dreieck a m t gebildet und n x sowie a z je m t gemacht4 ,die von ,p nach x und durch z gezogenen ,linien ergeben die ,punkte ,a und ,b1 es kann nun mit ,a ,b das ,quadrat ,a ,b ,c ,d gebildet werden u4 s4 w4 #ie4 ,es kann auch der ,fall eintreten1 dass ein verkrzter ,kreis gegeben ist und innerhalb desselben von einem bestimmten ,punkte aus ein ,achteck gezeichnet werden soll4 ,illustration3 ,fig4 #aja4 ,es sei z4 ,b4 die ,aufgabe gestellt1 in dem verkrzten ,kreise ,a ,b ,c ,d ,fig4 #aja von dem ,punkte a aus ein ,achteck zu zeichnen4 o ,d ist ,d ,f gemacht1 mit der ,zirkelweite ,d ,f von o aus ein ,halbkreis e ,d f beschrieben und eine ,linie von ,p durch a nach c gezogen2 o x wird rechtwinklig zu o b1 durch die ,mitte von b x der ,halbmesser o z und rechtwinklig zu diesem o y gezogen 7vgl4 ,fig4 #ig71 worauf die ,punkte x y z mittels senkrechter ,linien nach ,e ,f gebracht und von hier durch die aus m1 n und dem ,punkte zwischen z und g nach ,p gezogenen ,linien auf den ,kreis bertragen werden4 ,die #d jenseitigen ,punkte sind durch den ,mittelpunkt des ,kreises1 beziehungsweise den ,schnittpunkt der ,diagonalen des ,quadrats1 gegeben4 ,verkrzte ,sechsecke4 #if4 ,die geometrische ,construction eines ,sechsecks besteht darin1 dass ein ,kreis in #f ,teile geteilt wird1 von welchen jeder die ,grsse eines ,halbmessers jenes ,kreises hat3 man gibt -- ,fig4 #ajb -- dem ,zirkel die ,weite eines ,halbmessers z4 ,b4 ,o ,b1 schneidet von ,b aus den ,kreis in ,c1 von ,c aus in ,d u4 s4 w4 und verbindet diese ,punkte durch gerade ,linien4 ,zieht man von den #f ,ecken ,linien nach dem ,mittelpunkt ,o1 so entstehen #f gleichseitige ,dreiecke2 schliesst man das ,sechseck in ein ,rechteck1 wie ,h ,k ,m ,n ein1 so sind die beiden lngeren ,seiten je #b ,seiten des ,sechsecks3 ,h ,k ist gleich #b mal ,a ,b1 ,h ,g ,a ,b2 ,h ,a1 ,a ,g1 ,g ,b und ,b ,k sind gleich gross4 ,die krzeren ,seiten sind je #b mal ,g ,o2 ,h ,f und ,f ,n sind je ,g ,o4 ,illustration3 ,fig4 #ajb4 ,ist nun a b als ,seite eines verkrzten ,sechsecks1 ,p als ,augpunkt und ,d_/#c als ,drittel der ,distanz gegeben1 so wird b k und a h je der ,hlfte von a b gemacht1 ein gleichseitiges ,dreieck a i b gebildet 7indem von a und b aus #b ,kreise mit der ,zirkelweite a b beschrieben werden1 welche sich in i schneiden7 und k c g i gemacht durch eine ,linie aus ,d_/#c1 nach y 7k y ein ,drittel von g i74 ,hiemit sind das ,rechteck h k m n und die weiteren ,punkte d1 e und f gegeben4 #ig4 ,in ,fig4 #ajc ist angenommen1 dass h n als krzere ,seite des von unten gesehenen ,rechtecks1 ,p als ,augpunkt und ,d_/#b als halbe ,distanz gegeben sei1 in f also eine ,ecke des ,sechsecks liege4 ,beschreibt man von n und von f aus zwei ,kreisbgen mit der ,zirkelweite n f1 so schneiden sich dieselben in s und es entsteht1 indem durch s eine rechtwinklig zu f s stehende ,linie bis zu den in f und n errichteten ,senkrechten gezogen wird1 ein gleichseitiges ,dreieck1 dessen ,mittellinie s f f n oder f h ist1 dessen ,seiten also 7vgl4 #if1 ,fig4 #ajb7 auf die durch f gehende ,wagrechte bertragen1 die ,lnge einer ,seite des zu zeichnenden ,sechsecks darstellen4 h p ist f z2 die von h nach ,p gehende ,seite des zu bildenden ,rechtecks muss also #b mal h p sein 7wie ,h ,k ,fig4 #ajb #b mal ,a ,b ist71 was durch eine ,linie von ,d_/#b nach p erreicht wird4 ,ist so das ,verhltnis der ,seiten in dem ,rechteck h k m n das gleiche1 wie in ,h ,k ,m ,n ,fig4 #ajb1 so bleibt nur noch brig1 dasselbe mittels ,diagonalen wie dort in #d gleiche ,teile zu teilen1 um die weiteren ,ecken zu erhalten4 ,illustration3 ,fig4 #ajc4 #ih4 ,in ,fig4 #ajd soll von dem ,punkte d des ,kreises ,a ,b ,c ,d aus ein ,sechseck gezeichnet werden4 ,das ,quadrat des ,kreises ist ,e ,f ,g ,h4 ,wie in ,fig4 #aja ist ,e e und ,f f der ,hlfte von ,e ,f gemacht und von o aus ein ,halbkreis beschrieben1 auf welchem x dem ,punkte d des verkrzten ,kreises entspricht 7mittels ,p d m und m x74 ,von x aus schneidet der ,zirkel mit der ,weite eines ,halbmessers ,d o oder x o den ,halbkreis in b1 von hier aus in y1 und diese beiden ,punkte werden auf die mehrfach beschriebene ,weise nach a und c bertragen2 ,linien aus d1 a und c durch den ,mittelpunkt des ,quadrats gezogen1 ergeben die #c jenseitigen ,ecken4 ,illustration3 ,fig4 #ajd4 ,weitere ,beispiele4 ,rad1 ,wasserrad1 ,walze1 ,cylinder4 #ii4 ,fig4 #aje zeigt die ,anwendung von #ia ,fig4 #ie auf #b durch eine ,achse verbundene ,rder4 ,der ,deutlichkeit wegen sind hier sowie in der folgenden ,figur nur die wichtigsten ,constructionslinien angegeben1 mit deren ,hilfe das brige ohne ,schwierigkeit1 so genau als der malerische ,zweck erfordert1 ergnzt werden kann4 ,illustration3 ,fig4 #aje4 ,in ,fig4 #ajf sind zunchst die #d ,kreise entsprechend ,fig4 #ie und #if gezeichnet4 ,hierauf ist der durch a b c gehende ,halbkreis in #e gleiche ,teile geteilt und diese ,teilung auf die andere ,hlfte bertragen 7vgl4 ,fig4 #aja und #ajd71 indem nach dem ,halbkreis c d a ,linien von jenen ,teilpunkten aus durch den ,mittelpunkt gezogen wurden4 ,diese ,linien ergeben zugleich die ,stellung der einzelnen ,schaufeln2 die wagrechten ,linien der lezteren sind parallel mit e f1 g h und o n2 die ,verbindungslinien der ,punkte i und k1 y und z u4 s4 w4 gehen durch den ,mittelpunkt n4 ,illustration3 ,fig4 #ajf4 #ajj4 ,in ,fig4 #ajg ist der ,kreis a b c d als vorderer ,durchschnitt einer wagrecht liegenden ,walze angenommen4 ,da derselbe unverkrzt ist und die durch i gehende ,achse der ,walze geometrisch rechtwinklig zu d b steht1 so sind von d und b #b ,linien nach dem ,augpunkt gezogen und dieselben an beliebiger ,stelle durch die ,wagrechte h f verbunden4 ,ein ,kreis aus o1 der ,mitte von h f1 durch h und f beschrieben1 ergibt e f g h als den ferner liegenden ,durchschnitt1 worauf vom ,augpunkt aus #b die beiden ,kreise berhrende ,linien 7,tangenten7 parallel mit i o als ,aussenlinien der ,walze gezogen werden4 ,illustration3 ,fig4 #ajg4 ,um den ,cylinder ,fig4 #ajh zu construieren1 sind den beiden vorderen ,kreisen entsprechend auf die oben gezeigte ,weise die beiden ferneren zu zeichnen4 ,illustration3 ,fig4 #ajh4 ,dieselben ,formen mit verkrzter ,ansicht des ,kreises zu zeichnen1 bietet hienach keine ,schwierigkeit4 ,man achte dabei auf die bereits erwhnte geometrisch rechtwinklige ,stellung der ,achse und der ,seitenlinien zur ,kreisflche1 beziehungsweise zu einem ,durchmesser derselben4 ,tonnengewlbe1 ,kreuzgewlbe1 ,spizbogen1 ,kuppel4 #aja4 ,fig4 #aji stellt ein sogenanntes ,tonnengewlbe dar4 ,dasselbe hat die ,form eines halben ,cylinders1 welcher in ,fig4 #aji auf den nach dem ,augpunkt gehenden ,linien a e und b f ruht4 ,die ,construction besteht einfach darin1 dass ber a b und e f je ein ,halbkreis von den ,mittelpunkten c und d aus beschrieben wird4 ,die ,fugenlinien des ,gewlbes gehen teils parallel mit a e und b f1 teils sind sie ,teile von ,halbkreisen1 welche mit den beiden ersteren parallel sind1 deren ,mittelpunkte somit in der ,linie c d liegen4 ,so ist der ,mittelpunkt des ,halbkreises m n p da1 wo die ,wagrechte m p von c d durchschnitten wird1 in o4 ,die ,fugenlinien g h1 i k u4 s4 w4 haben die ,richtung nach c1 dem ,mittelpunkt der beiden durch k h und i g gehenden ,halbkreise4 ,illustration3 ,fig4 #aji4 #ajb4 ,fig4 #aaj zeigt die ,hauptlinien eines von aussen und oben gesehenen rundbogigen ,kreuzgewlbes4 ,a ,b ,c ,d ist ein ,quadrat2 ber jeder ,seite desselben erhebt sich ein ,halbkreis1 die gegenberliegenden ,ecken des ,quadrats1 ,a und ,c1 ,b und ,d1 sind nach oben verbunden durch #b elliptische ,linien1 die sogenannten ,diagonalrippen oder -gurten1 welche sich ber den ,diagonalen ,a ,c und ,b ,d hinziehen4 ,der ,scheitelpunkt n des ,gewlbes1 in welchem die beiden ,ellipsen sich durchschneiden1 liegt senkrecht ber der ,kreuzung der ,diagonalen ,a ,c und ,b ,d1 er ist zugleich ,schnittpunkt der ,diagonalen ,e z und ,f t4 ,es entstehen so #d ,gewlbefelder oder ,kappen1 welche je von einem ,halbkreis und #b ,hlften jener ,ellipsen begrenzt werden1 z4 ,b4 von ,a m ,b1 ,a n und ,b n1 vgl4 die innere ,ansicht ,fig4 #aaa--aac4 ,illustration3 ,fig4 #aaj4 ,bei der perspectivischen ,construction einer solchen ,gewlbeform handelt es sich1 nachdem ber jeder ,seite des zu ,grunde gelegten ,quadrats ein ,halbkreis gezeichnet ist1 hauptschlich um die ,bestimmung einiger weiteren ,hilfspunkte ausser dem durch ,e z und ,f t gegebenen ,punkte n behufs ,darstellung der beiden elliptischen ,linien4 ,die ,halbkreise ,a m ,b und ,a h ,d werden von #b ,linien1 welche man aus ,e nach der ,mitte von ,a ,b und von ,a ,d zieht1 in a und in b geschnitten4 ,diese beiden ,punkte liegen in gleicher ,hhe2 zieht man aus a eine ,linie parallel mit ,a ,d1 also nach dem ,augpunkt1 und aus b eine ,parallele mit ,a ,b1 d4 h4 eine unverkrzte ,wagrechte1 so mssen diese beiden ,linien in dem ,punkte c der von ,a ausgehenden ,ellipse ,a n ,c zusammentreffen1 welcher mit a und b in gleicher ,hhe liegt und kann somit dieser ,punkt benuzt werden1 um ,a c n zu zeichnen4 ,dem ,punkte a entspricht auf der rechten ,seite e1 eine ,linie von hier nach dem ,augpunkt und eine ,wagrechte aus c schneiden sich in d4 ,die entsprechenden jenseitigen ,punkte der beiden ,ellipsen ergeben sich durch die aus a und e nach dem ,augpunkt gehenden ,linien und eine ,wagrechte von g nach f oder umgekehrt4 #ajc4 ,fig4 #aaa zeigt dieselben ,linien von unten und von innen gesehen1 mit dem ,unterschied1 dass die #b ,seitenkappen geschlossen bis ,a ,d und ,b ,d herabgehen 7wie auch in ,fig4 #aac74 ,der ,fluchtpunkt dieser und der mit ihnen parallelen ,linien ist wiederum der ,augpunkt2 ,a ,b1 ,c ,d und die beiden ,halbkreise sind unverkrzt4 ,um die beiden ,diagonalgurten zu zeichnen1 ist hier ein anderer ,weg eingeschlagen4 ,in ,fig4 #aaj liegen die ,punkte y und x in gleicher ,hhe mit a1 b und f4 ,zieht man von y eine mit ,a ,c und ,e z parallele ,linie nach x1 von ,e und z #b ,linien nach p1 so erhlt man da1 wo die ,linie y x von ,e p und z p geschnitten wird1 gleichfalls die ,punkte c und s1 welche nun mittels unverkrzter ,wagrechter nach d und r bertragen werden knnen4 ,illustration3 ,fig4 #aaa4 ,in ,fig4 #aaa entspricht das senkrecht stehende von unten gesehene ,rechteck ,e ,a ,c z dem ,rechteck ,e ,a ,c z in ,fig4 #aaj2 auch die brigen einander entsprechenden ,punkte beider ,figuren sind durch dieselben ,buchstaben bezeichnet4 ,der ,halbkreis ,a m ,b wird von der ,diagonale ,e ,g in a geschnitten4 ,zieht man von a eine ,wagrechte nach y und von y eine mit ,e z parallele ,linie nach x1 so erhlt man durch ,e p und z p die ,punkte c und s u4 s4 w4 #ajd4 ,in ,fig4 #aab ist von einem beliebigen ,punkte a des ,halbkreises ,a m ,b eine ,senkrechte nach o und von hier eine ,linie parallel mit ,e y d4 h4 nach dem ,augpunkt gezogen1 welche die ,diagonalen des ,quadrats ,e ,f z y in i und k schneidet4 ,zieht man nun von i und k #b ,senkrechte nach der aus a nach dem ,augpunkt gehenden ,linie1 so erhlt man die ,punkte c und r1 vgl4 dieselben ,punkte in ,fig4 #aaj4 ,illustration3 ,fig4 #aab4 ,durch eine ,wagrechte aus a nach e1 eine ,linie von e nach dem ,augpunkt und #b ,wagrechte aus c und r ergeben sich sodann d und s4 ,illustration3 ,fig4 #aac4 ,wenn die seitlichen ,kappen1 wie in ,fig4 #aac1 geschlossen bis auf die wagrechte ,linie herabgehen1 auf welcher das ,gewlbe ruht1 so ist das leztgenannte ,verfahren bequemer als das in #ajb beschriebene4 ,die ,anwendung desselben auf ,fig4 #aac ist aus den ,constructionslinien zu ersehen4 ,a m ,b ist hier nicht ein ,halbkreis1 sondern ein flacher ,bogen1 ein sogenannter ,korbbogen4 ,der obere ,teil desselben ist aus dem senkrecht unter ,g liegenden ,punkte g beschrieben1 die ,fortsezung bis ,a und ,b kann leicht aus freier ,hand ergnzt werden4 #aje4 ,ein ,spizbogen wird gebildet durch #b sich durchschneidende ,bgen1 wie ,a1 ,b1 ,c ,fig4 #aad zeigen4 ,in ,a sind die beiden ,bgen von a und von b aus mit der ,zirkelweite a b beschrieben1 in ,b von den ,punkten m und n aus mit der ,weite m c1 in ,c von o und i aus mit der ,weite i e 7m d n c1 o e i f74 ,die den ,spizbogen umgebenden ,fugenlinien haben die ,richtung nach dem ,mittelpunkte des betreffenden ,bogens3 in ,a nach a und b1 in ,b nach m und n1 in ,c nach i und o4 ,illustration3 ,fig4 #aad4 ,sind mehrere in einer ,flucht liegende ,spizbgen in verkrzter ,stellung zu zeichnen1 so bilde man das ,rechteck eines ,spizbogens z4 ,b4 a b c d ,fig4 #aae und ziehe in demselben die senkrechte ,mittellinie4 ,man kann nun eine der ,bogenlinien z4 ,b4 a ,b 7leichter als b ,b7 aus freier ,hand zeichnen und den ,punkt o1 in welchem sie von der ,diagonale ,a d geschnitten wird1 mittels e f1 ,a c1 g ,c u4 s4 w4 nach n1 m u4 s4 w4 bertragen1 was fr gewhnlich gengen wird4 ,ist grssere ,genauigkeit erforderlich1 so kann mit ,hilfe eines ,distanzpunktes anschliessend an a d ein unverkrztes ,rechteck a d z y gebildet und a h als geometrische ,form der anstossenden unverkrzten ,bogenlinie gezeichnet werden1 worauf der ,punkt i nach e und von hier nach o1 n1 m u4 s4 w4 bertragen wird4 ,illustration3 ,fig4 #aae4 #ajf4 ,als ,beispiel eines spizbogigen ,kreuzgewlbes ist in ,fig4 #aaf der ,deutlichkeit wegen die einfachste ,form eines solchen gewhlt2 es wird jedoch nicht schwierig sein1 das dabei angewandte ,verfahren auf andere ,formen1 welche sehr mannigfaltiger ,art sein knnen1 anzuwenden4 ,die ,mittelpunkte der ,bogen ,a m und ,b m1 ,d o und ,c o sind in a und b1 e und f4 ,a a ist ein ,viertel von ,a ,b1 ,a ,b ,c ,d ist ein ,quadrat4 ,a i ist ,a ,b2 eine ,linie von ,b nach i stellt also die geometrische ,lnge der ,diagonale ,a ,c dar4 ,es ist nun ein ,rechteck ,g ,h h g gebildet1 in welchem ,g ,h ,b i ,a ,c und ,g g ,a ,e ist2 ,g ,h h g ist somit die geometrische ,form des verkrzten ,rechtecks ,a ,e z ,c2 der von g nach h fhrende ,bogen ist der von ,a nach ,c fhrenden ,diagonalrippe4 ,da ,g g die ,hlfte von ,g ,h ist1 so ergibt sich1 dass jene ,diagonalrippe ein ,halbkreis ist4 ,wird nun ,e y ,g k gemacht1 so kann die ,lage der ,punkte c1 s1 d und r wie bei ,fig4 #aaa bestimmt werden4 ,illustration3 ,fig4 #aaf4 #ajg4 ,fig4 #aag zeigt eine von oben gesehene1 in #h ,felder geteilte ,halbkugel4 ,der ihren usseren ,umriss bildende ,halbkreis ist mit dem ,zirkel vom ,mittelpunkt der ,linie ,a a aus beschrieben4 ,indem die ,linien ,a i und a i zugleich als ,teilungslinien angenommen wurden1 ergeben sich die weiteren ,teilpunkte der durch ,a und a gehenden ,kreislinie1 nmlich ,b1 ,c1 ,d1 b1 c und d1 durch die ,halbierungslinie und ,diagonale des jenen ,kreis umschliessenden ,quadrats1 und es stellt sich der von ,c durch i nach c fhrende ,halbkreis als ,eine senkrechte ,linie dar4 ,um die verkrzten ,halbkreise ,b m o b und ,d n p d zu zeichnen1 ist das ,quadrat ,e ,f ,g ,h 7,e ,b der ,hlfte von ,b ,d7 senkrecht ber ,b ,d b d gebildet1 in welchem die auf bekannte ,weise bestimmten ,punkte m1 n1 o1 p als ,hilfspunkte fr jene ,halbkreise dienen4 ,illustration3 ,fig4 #aag4 #ajh4 ,in ,fig4 #aah sei der durch ,a ,b ,c ,d gehende ,kreis und in diesem der ,punkt ,b gegeben1 um von hier aus eine achtseitige eifrmige ,kuppel und darber eine gleichfalls achtseitige ,laterne zu zeichnen4 ,illustration3 ,fig4 #aah4 ,die ,teilung des ,kreises in #h ,teile ist in #ie ,fig4 #aja gezeigt4 ,die ,ausfhrung in ,fig4 #aah ist nur insofern verschieden1 als hier die ,constructionslinien an die fernere ,linie des den ,kreis einschliessenden ,quadrats nach unten angefgt sind4 ,sodann ist entsprechend dem ,umfang1 welchen die ,laterne haben soll1 ein kleinerer ,kreis von demselben ,mittelpunkt y aus gezeichnet1 welcher durch den von ,a1 ,b1 ,c1 ,d nach y gehenden ,halbmessern in den ,punkten a b c d geschnitten wird4 ,die in a b c d errichteten ,senkrechten bilden die ,ecklinien der #c sichtbaren ,seiten der ,laterne1 welche oben und unten durch ,parallelen der ,linien ,a ,b1 ,b ,c und ,c ,d begrenzt sind4 ,die ,linien ,a n1 ,b e1 ,c o und ,d m treffen in ihrer ,verlngerung zusammen in einem ,punkte der senkrechten ,mittellinie1 hier in z1 und es ist zu beachten1 dass dieser ,punkt bei einer derartigen ,kuppelform hher liegen muss1 als der ,mittelpunkt des ,kreises1 welcher durch n1 e1 o1 m geht1 hier also hher1 als x4 ,weitere ,anmerkungen zur ,transkription ,offensichtliche ,satzfehler und fehlende ,auszeichnungen wurden stillschweigend korrigiert4 ,die ,abbildungen wurden soweit wie mglich zu den entsprechenden ,paragraphen verschoben4 ,die ,korrekturliste von ,s4 ,,viii wurde eingearbeitet1 diese ,korrekturen sind hier einzeln aufgefhrt4 ,der doppelte ,paragraph #ib wurde beibehalten4 ,korrekturen3 ,seite ,v3 ,bedrfniss - ,bedrfnis haben dem ,verfasser das ,bedrfnis ,seite ,,viii3 paralleller - paralleler1 ,grenverhltniss - ,grssenverhltnis ,perspectivisches ,grssenverhltnis nicht paralleler ,linien ,s4 #d3 ,sachlicher ,fehler 7nicht korrigiert73 ,die beiden ,diagonalen eines ,parallelogramms sind gleich lang1 ,s4 #ag3 desto schmaler1 je hher wir stehen ergnzt je tiefer wir stehen1 desto schmaler1 je hher wir stehen1 desto breiter erscheint uns dieselbe1 ,s4 #bf3 a d und b c vertauscht da b c ferner liegt als a d1 ,s4 #ej3 g - ,b und zieht von ,b durch p eine ,linie ,s4 #eg3 ,e - ,f ,oder kann von ,f eine mit ,d ,e parallele ,s4 #fb3 m d - n a d h ist n a gemacht ,s4 #gb3 b - ,b ,mitte eines ,quadrats 7,a ,b p f7 ,s4 #ii3 die - der so ist b f die ,hlfte von ,b b2 ,s4 #abb3 ,atwas - ,etwas ,etwas ,anderes ist es1 ,s4 #acc3 ,coustruction - ,construction ,die ,construction besteht einfach darin1 ,s4 #ace3 y - t dem durch ,e z und ,f t gegebenen ,punkte n ,s4 #acf3 ruht nach vorn verschoben auf welcher das ,gewlbe ruht1