,v]glei*5de ,betra*tung5 b] neu]e geometris*e ,=s*ung5 ,felix ,kle9 #ahgb ,erlang5 ,v]lag von ,&reas ,dei*]t ,unt] d5 ,lei/ung5 d] letzt5 fnfzig ,jahre auf dem ,gebiete d] ,geometrie nimmt die ,ausbildung d] projectivis*5#a ,geometrie die er/e ,/elle e94 ,w5n es anfngli* s*i51 als sollt5 die sog5annt5 metris*5 ,beziehung5 ihr] ,beh&lung ni*t zugngli* se91 da sie beim ,projicir5 ni*t ungend]t bleib51 s hat man 9 neu]] ,zeit gel]nt1 au* sie vom projectivis*5 ,/&puncte aufzufass51 s dass nun die projectivis*e ,me?ode die gesammte ,geometrie umspannt4 ,die metris*5 ,eig5s*aft5 ers*e95 9 ihr nur ni*t mehr als ,eig5s*aft5 d] rumli*5 ,d+e an si*1 sond]n als ,beziehung5 d]selb5 zu e9em ,fundam5tal-,gebilde1 dem un5dli* f]n5 ,kugelkreise4 ,v]glei*t man mit d] s allmhli* gewonn55 ,auffassungsweise d] rumli*5 ,d+e die ,vor/ellung5 d] gewhnli*5 7elem5t>57 ,geometrie1 s ent/eht die ,frage na* e9em allgeme95 ,pr9cipe1 na* wel*em die beid5 ,me?od5 si* ausbild5 konnt54 ,diese ,frage ers*e9t um s wi*tig] als si* neb5 die elem5t>e und die projectivis*e ,geometrie1 ob au* m9d] entwickelt1 e9e ,reihe &]] ,me?od5 /ellt1 d55 man dasselbe ,re*t selb/ndig] ,exi/5z zuge/eh5 muss4 ,dah9 gehr5 die ,geometrie d] reciprok5 ,radi51 die ,geometrie d] rational5 ,um=mung5 etc41 wie sie 9 d] ,folge no* erwhnt und d>ge/ellt w]d5 soll54 ,w5n wir es im ,na*/eh5d5 unt]nehm51 e9 sol*es ,pr9cip aufzu/ell51 s entwickeln wir wohl ke95 eig5tli* neu5 ,g$ank51 sond]n umgrnz5 nur kl> und deutli*1 0 mehr od] m9d] be/immt von ,man*em g$a*t word5 i/4 ,ab] es s*i5 um s b]e*tigt]1 d]>tige zusamm5fass5de ,betra*tung5 zu publicir51 als die ,geometrie1 die do* ihrem ,/(fe na* e9heitli* i/1 bei d] ras*5 ,entwicklung1 die sie 9 d] letzt5 ,zeit g5omm5 hat1 nur zu sehr 9 e9e ,reihe von be9ahe getr5nt5 ,discipl95 z]fall5 i/#b1 die si* ziemli* unabhngig von e9&] weit] bild54 ,es lag dabei ab] au* no* die besond]e ,absi*t vor1 ,me?od5 und ,gesi*tspuncte d>zuleg51 wel*e von ,lie und mir 9 neu]5 ,arbeit5 entwickelt wurd54 ,es hab5 uns]e beid]seitig5 ,arbeit51 auf wie v]s*i$5>tige ,geg5/nde sie si* au* bezog51 b]e9/imm5d auf die hi] d>gelegte allgeme9e ,auffassungsweise h+$rngt1 s dass es e9e ,art von ,no?w5digkeit w>1 au* e9mal diese zu errt]n und von ihr aus die betr4 ,arbeit5 na* ,inhalt und ,t5d5z zu *>act]isir54 ,w> bi%] nur von geometris*5 ,=s*ung5 die ,r$e1 s soll5 d>unt] mit v]/&5 se9 die ,unt]su*ung5 b] beliebig ausg$ehnte ,mannigfaltigkeit51 die si*1 unt] ,ab/reifung des fr die re9 ma!ma?is*e ,betra*tung unwes5tli*5 rumli*5 ,bildes#c1 aus d] ,geometrie entwickelt hab5#d4 ,es gibt bei d] ,unt]su*ung von ,mannigfaltigkeit5 eb5 sol*e v]s*i$5e ,typ51 wie 9 d] ,geometrie1 und es gilt1 wie bei d] ,geometrie1 das ,geme9same und das ,unt]s*eid5de unabhngig von e9&] unt]nomm5] ,=s*ung5 h]vorzuheb54 ,ab/ract g5omm5 w> es im ,folg5d5 nur n?ig1 s*le*?9 von mehrfa* ausg$ehnt5 ,mannigfaltigkeit5 zu r$52 ab] dur* ,anknpfung an die gelufig]5 rumli*5 ,vor/ellung5 wird die ,ause9&]setzung e9fa*] und v]/ndli*]4 ,indem wir von d] ,betra*tung d] geometris*5 ,d+e ausgeh5 und an ihn5 als e9em ,beispiele die allgeme95 ,g$ank5 entwickeln1 v]folg5 wir d5 ,gang1 d5 die ,wiss5s*aft 9 ihr] ,ausbildung g5omm5 hat1 und d5 bei d] ,d>/ellung zu ,grunde zu leg5 gewhnli* das ,vorteilhafte/e i/4 - ,e9e vorlufige ,exposition des im ,folg5d5 bespro*55 ,inhaltes i/ hi] wohl ni*t mgli*1 da si* d]selbe kaum 9 e9e knapp]e ,=m#e fg5 w2 die ,ueb]s*rift5 d] ,p>agraph5 w]d5 d5 allgeme95 ,=ts*ritt des ,g$ank5s angeb54 ,i* habe zum ,s*lusse e9e ,reihe von ,not5 zugefgt1 9 wel*5 i* entw$]1 wo es im ,int]esse d] allgeme95 ,ause9&]setzung des ,textes ntzli* s*i51 besond]e ,punkte weit] entwickelt habe1 od] 9 d55 i* bemht w>1 d5 ab/ract ma!matis*5 ,/&punkt1 d] fr die ,betra*tung5 des ,textes mageb5d i/1 geg5 v]w&te abzugrnz54 4#a4 ,grupp5 von rumli*5 ,trans=mation54 ,hauptgruppe4 ,auf/ellung e9es allgeme95 ,problems4 ---------------------------------------- ---------------------------------------- ------------------ ,d] wes5tli*/e ,begriff1 d] bei d5 folg5d5 ,ause9&]setzung5 no?w5dig i/1 i/ d] e9] ,gruppe von rumli*5 ,a5d]ung54 ,beliebig viele ,trans=mation5 des ,raumes#f ergeb5 zusamm5gesetzt imm] wi$] e9e ,trans=mation4 ,hat nun e9e gegeb5e ,reihe von ,trans=mation5 die ,eig5s*aft1 dass j$e ,a5d]ung1 die aus d5 ihr angehrig5 dur* ,zusamm5setzung h]vorgeht1 ihr selb/ wi$] angehrt1 s soll die ,reihe e9e ,trans=mationsgruppe#g g5annt w]d54 ,e9 ,beispiel fr e9e ,trans=mationsgruppe bildet die ,gesamm!it d] ,bewegung5 7j$e ,bewegung als e9e auf d5 ganz5 ,raum ausgefhrte ,op]ation betra*tet74 ,e9e 9 ihr en?alt5e ,gruppe bild5 etwa die ,rotation5 um e95 ,punct#h4 ,e9e ,gruppe1 wel*e umgekehrt die ,gruppe d] ,bewegung5 umfas/1 wird dur* die ,gesamm!it d] ,coll9eation5 vorge/ellt4 ,die ,gesamm!it d] duali/is*5 ,um=mung5 bildet dageg5 ke9e ,gruppe -- d5n zwei duali/is*e ,um=mung5 ergeb5 zusamm5 wi$] e9e ,coll9eation --1 wohl ab] wird wi$] e9e ,gruppe erzeugt1 w5n man die ,gesamm!it d] duali/is*5 mit d] ,gesamm!it d] coll9e>5 zusamm5fgt#i4 ,es gibt nun rumli*e ,trans=mation51 wel*e die geometris*5 ,eig5s*aft5 rumli*] ,gebilde b]haupt ungend]t lass54 ,geometris*e ,eig5s*aft5 s9d nmli* ihrem ,begriffe na* unabhngig von d] ,lage1 die das zu unt]su*5de ,gebilde im ,raume e9nimmt1 von se9] absolut5 ,grsse1 endli* au* von dem ,s9ne#aj1 9 wel*em se9e ,!ile geordnet s9d4 ,die ,eig5s*aft5 e9es rumli*5 ,gebildes bleib5 also ungend]t dur* alle ,bewegung5 des ,raumes1 dur* se9e ,aehnli*keit/rans=mation51 dur* d5 ,process d] ,spiegelung1 s[ie dur* alle ,trans=mation51 die si* aus dies5 zusamm5setz54 ,d5 ,inbegriff all] dies] ,trans=mation5 bezei*n5 wir als die ,hauptgruppe#aa rumli*] ,a5d]ung52 geometris*e ,eig5s*aft5 w]d5 dur* die ,trans=mation5 d] ,hauptgruppe ni*t gend]t4 ,au* umgekehrt kann man sag53 ,geometris*e ,eig5s*aft5 s9d dur* ihre ,unv]nd]li*keit geg5b] d5 ,trans=mation5 d] ,hauptgruppe *>act]isirt4 ,betra*tet man nmli* d5 ,raum e95 ,aug5blick als unbewegli* etc41 als e9e />re ,mannigfaltigkeit1 s hat j$e ,figur e9 individuelles ,int]esse2 von d5 ,eig5s*aft51 die sie als ,individuum hat1 s9d es nur die eig5tli* geometris*51 wel*e bei d5 ,a5d]ung5 d] ,hauptgruppe erhalt5 bleib54 ,dies] hi] etwas unbe/immt =mulirte ,g$anke wird im weit]5 ,v]laufe d] ,ause9&]setzung deutli*] ers*e954 ,/reif5 wir jetzt das ma!matis* unwes5tli*e s9nli*e ,bild ab1 und erblick5 im ,raume nur e9e mehrfa* ausg$ehnte ,mannigfaltigkeit1 also1 indem wir an d] gewohnt5 ,vor/ellung des ,punctes als ,raumelem5t fe/halt51 e9e dreifa* ausg$ehnte4 ,na* ,analogie mit d5 rumli*5 ,trans=mation5 r$5 wir von ,trans=mation5 d] ,mannigfaltigkeit2 au* sie bild5 ,grupp54 ,nur i/ ni*t mehr1 wie im ,raume1 e9e ,gruppe vor d5 brig5 dur* ihre ,b$eutung ausgezei*net2 j$e ,gruppe i/ mit j$] &]5 glei*b]e*tigt4 ,als ,v]allgeme9]ung d] ,geometrie ent/eht s das folg5de umfass5de ,problem3 ,es i/ e9e ,mannigfaltigkeit und 9 d]selb5 e9e ,trans=mationsgruppe gegeb52 man soll die d] ,mannigfaltigkeit angehrig5 ,gebilde h9si*tli* sol*] ,eig5s*aft5 unt]su*51 die dur* die ,trans=mation5 d] ,gruppe ni*t gend]t w]d54 ,9 ,anlehnung an die mod]ne ,ausdrucksweise1 die man freili* nur auf e9e be/immte ,gruppe1 die ,gruppe all] l9e>5 ,um=mung51 zu bezieh5 pflegt1 mag man au* s sag53 ,es i/ e9e ,mannigfaltigkeit und 9 d]selb5 e9e ,trans=mationsgruppe gegeb54 ,man entwickele die auf die ,gruppe bezgli*e ,inv>iant5!orie4 ,dies i/ das allgeme9e ,problem1 wel*es die gewhnli*e ,geometrie ni*t nur1 sond]n nam5tli* au* die hi] zu n5n5d5 neu]5 geometris*5 ,me?od5 und die v]s*i$55 ,beh&lungsweis5 beliebig ausg$ehnt] ,mannigfaltigkeit5 unt] si* begreift4 ,0 besond]s betont se9 mag1 i/ die ,willkrli*keit1 die h9si*tli* d] ,wahl d] zu adjungir5d5 ,trans=mationsgruppe be/eht1 und die d>aus fliess5de und 9 diesem ,s9ne zu v]/eh5de glei*e ,b]e*tigung all] si* unt] die allgeme9e ,=d]ung subsumir5d5 ,betra*tungsweis54 4#b4 ,trans=mationsgrupp51 von d55 die e9e die &]e umfas/1 w]d5 na* e9&] adjungirt4 ,die v]s*i$55 ,typ5 geometris*] ,=s*ung und ihr geg5seitiges ,v]hltniss4 ---------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------- ,da die geometris*5 ,eig5s*aft5 rumli*] ,d+e dur* alle ,trans=mation5 d] ,hauptgruppe ungend]t bleib51 s i/ es an und fr si* absurd1 na* sol*5 ,eig5s*aft5 d]selb5 zu frag51 bei d55 dies nur geg5b] e9em ,!ile dies] ,trans=mation5 d] ,fall i/4 ,diese ,frage/ellung wird indess b]e*tigt1 ob au* nur =mal1 w5n wir die rumli*5 ,gebilde 9 ihr] ,beziehung zu fe/ g$a*t5 ,elem5t5 unt]su*54 ,betra*t5 wir z4 ,b41 wie 9 d] sphris*5 ,trigonometrie1 die rumli*5 ,d+e unt] ,auszei*nung e9es ,punctes4 ,dann i/ zun*/ die ,=d]ung3 die unt] ,adjunction d] ,hauptgruppe inv>iant5 ,eig5s*aft5 ni*t mehr d] rumli*5 ,d+e an si*1 sond]n des von ihn5 mit dem gegeb55 ,puncte gebildet5 ,sy/ems zu entwickeln4 ,ab] dies] ,=d]ung knn5 wir die &]e ,=m er!il53 ,man unt]su*e die rumli*5 ,gebilde an si* h9si*tli* sol*] ,eig5s*aft51 wel*e ungend]t bleib5 dur* diej5ig5 ,trans=mation5 d] ,hauptgruppe1 wel*e no* /attf9d5 knn51 w5n wir d5 ,punct fe/ halt54 ,mit &]5 ,wort53 ,es i/ dasselbe1 ob wir die rumli*5 ,gebilde im ,s9ne d] ,hauptgruppe unt]su*5 und ihn5 d5 gegeb55 ,punct h9zufg51 od] ob wir1 ohne ihn5 irg5d e9 ,gegeb5es h9zuzufg51 die ,hauptgruppe dur* die 9 ihr en?alt5e ,gruppe ersetz51 d]5 ,trans=mation5 d5 bez4 ,punct ungend]t lass54 ,es i/ dies e9 9 d] ,folge hufig angew&tes ,pr9cip1 das wir des%alb glei* hi] allgeme9 =mulir5 woll52 etwa 9 d] folg5d5 ,weise3 ,es sei e9e ,mannigfaltigkeit und zu ihr] ,beh&lung e9e auf sie bezgli*e ,trans=mationsgruppe gegeb54 ,es w]de das ,problem vorgelegt1 die 9 d] ,mannigfaltigkeit en?alt55 ,gebilde h9si*tli* e9es gegeb55 ,gebildes zu unt]su*54 ,s kann man entw$] dem ,sy/eme d] ,gebilde das gegeb5e h9zufg51 und es fragt si* dann na* d5 ,eig5s*aft5 des erweit]t5 ,sy/ems im ,s9ne d] gegeb55 ,gruppe -- od]1 man lasse das ,sy/em un]weit]t1 bes*rnke ab] die ,trans=mation51 die man bei d] ,beh&lung zu ,grunde legt1 auf diej5ig5 9 d] gegeb55 ,gruppe en?alt551 wel*e das gegeb5e ,gebilde ungend]t lass5 7und die no?w5dig wi$] e9e ,gruppe bild574 -- ,im ,geg5satze zu d] zu ,anfang des ,p>agraph5 aufgeworf55 ,frage bes*ftige uns nun die umgekehrte1 die von ,vornh]e9 v]/ndli* i/4 ,wir frag5 na* d5j5ig5 ,eig5s*aft5 rumli*] ,d+e1 wel*e bei e9] ,trans=mationsgruppe erhalt5 bleib51 die die ,hauptgruppe als e95 ,!il umfas/4 ,j$e ,eig5s*aft1 die wir bei e9] sol*5 ,unt]su*ung f9d51 i/ e9e geometris*e ,eig5s*aft des ,d+s an si*1 ab] das ,umgekehrte gilt ni*t4 ,bei d] ,umkehr tritt vielmehr das eb5 vorgetrag5e ,pr9cip 9 ,kraft1 wobei die ,hauptgruppe nun die kle9]e ,gruppe i/4 ,wir erhalt5 s3 ,ersetzt man die ,hauptgruppe dur* e9e umfass5d]e ,gruppe1 s bleibt nur e9 ,!il d] geometris*5 ,eig5s*aft5 erhalt54 ,die brig5 ers*e95 ni*t mehr als ,eig5s*aft5 d] rumli*5 ,d+e an si*1 sond]n als ,eig5s*aft5 des ,sy/ems1 wel*es h]vorgeht1 w5n man d5selb5 e9 ausgezei*netes ,gebilde h9zufgt4 ,dieses ausgezei*nete ,gebilde i/ 7s[eit es b]haupt e9 be/immtes#ab i/7 dadur* def9irt1 dass es1 fe/ g$a*t1 dem ,raume unt] d5 ,trans=mation5 d] gegeb55 ,gruppe nur no* die ,trans=mation5 d] ,hauptgruppe ge/attet4 ,9 diesem ,satze b]uht die ,eig5>t d] hi] zu bespre*5d5 neu]5 geometris*5 ,ri*tung5 und ihr ,v]hltniss zur elem5t>5 ,me?ode4 ,sie s9d dadur* eb5 zu *>act]isir51 dass sie an ,/elle d] ,hauptgruppe e9e erweit]te ,gruppe rumli*] ,um=mung5 d] ,betra*tung zu ,grunde leg54 ,ihr geg5seitiges ,v]hltniss i/1 s(]n si* ihre ,grupp5 e9s*liess51 dur* e95 entspre*5d5 ,satz be/immt4 ,dasselbe gilt von d5 v]s*i$55 hi] zu betra*t5d5 ,beh&lungsweis5 mehrfa* ausg$ehnt] ,mannigfaltigkeit54 ,es soll dies nun an d5 e9zeln5 ,me?od5 gezeigt w]d51 wobei d5n die ,stze1 die 9 diesem und dem vorig5 ,p>agraph5 allgeme9 h+e/ellt wurd51 ihre ,erlut]ung an concret5 ,geg5/nd5 f9d54 4#c4 ,die projectivis*e ,geometrie4 ---------------------------------- ,j$e rumli*e ,um=mung1 die ni*t g]ade d] ,hauptgruppe angehrt1 kann dazu b5utzt w]d51 um ,eig5s*aft5 bekannt] ,gebilde auf neue ,gebilde zu b]trag54 ,s v]w]!n wir die ,geometrie d] ,eb5e fr die ,geometrie d] ,fl*51 die si* auf die ,eb5e abbild5 lass52 s s*loss man s*on lange vor dem ,ent/eh5 e9] eig5tli*5 projectivis*5 ,geometrie von d5 ,eig5s*aft5 e9] gegeb55 ,figur auf ,eig5s*aft5 &]]1 die dur* ,projection aus ihr h]vorg+54 ,ab] die projectivis*e ,geometrie erwu*s er/1 als man si* gewhnte1 die ursprngli*e ,figur mit all5 aus ihr projectivis* ableitb>5 als wes5tli* id5tis* zu era*t5 und die ,eig5s*aft51 wel*e si* beim ,projicir5 b]trag51 s auszuspre*51 dass ihre ,unabhngigkeit von d] mit dem ,projicir5 v]knpft5 ,a5d]ung 9 ,evid5z tritt4 ,hi]mit w> d5n d] ,beh&lung im ,s9ne von 4#a die ,gruppe all] projectivis*5 ,um=mung5 zu ,grunde gelegt und dadur* eb5 d] ,geg5satz zwis*5 projectivis*] und gewhnli*] ,geometrie ges*aff54 ,e9 hnli*] ,entwicklungsgang1 wie d] hi] ges*ild]te1 kann bei j$] ,art von rumli*] ,trans=mation als mgli* g$a*t w]d52 wir w]d5 no* ft] d>auf zurckkomm54 ,er hat si* inn]halb d] projectivis*5 ,geometrie selb/ no* na* zwei ,seit5 vollzog54 ,die e9e ,weit]bildung d] ,auffassung ges*ah dur* ,aufnahme d] duali/is*5 ,um=mung5 9 die ,gruppe d] zu ,grunde gelegt5 ,a5d]ung54 ,fr d5 heutig5 ,/&punct s9d zwei e9&] duali/is* entgeg5/eh5de ,figur5 ni*t mehr als zwei unt]s*i$5e sond]n als wes5tli* dieselb5 ,figur5 anzuseh54 ,e9 &]] ,s*ritt be/& 9 d] ,erweit]ung d] zu ,grunde gelegt5 ,gruppe coll9e>] und duali/is*] ,um=mung5 dur* ,aufnahme d] bez4 imag9r5 ,trans=mation54 ,dies] ,s*ritt b$+t1 dass man vorh] d5 ,kreis d] eig5tli*5 ,raumelem5te dur* ,h9zunahme d] imag9r5 erweit]t habe -- ganz dem entspre*5d1 wie die ,aufnahme d] duali/is*5 ,um=mung5 9 die zu ,grunde gelegte ,gruppe die glei*zeitige ,e9fhrung von ,punct und ,eb5e als ,raumelem5t na* si* zieht4 ,es i/ hi] ni*t d] ,ort1 auf die ,zweckmssigkeit d] ,e9fhrung imag9r] ,elem5te zu v]weis51 dur* wel*e alle9 d] g5aue ,ans*luss d] ,raumlehre an das e9mal gewhlte ,gebiet algebrais*] ,op]ation5 errei*t wird4 ,dageg5 muss betont w]d51 dass d] ,grund fr die ,e9fhrung eb5 9 d] ,betra*tung algebrais*] ,op]ation51 ni*t ab] 9 d] ,gruppe d] projectivis*5 und duali/is*5 ,um=mung5 liegt4 ,s gut wir uns bei d5 letzt]5 auf reelle ,trans=mation5 bes*rnk5 knn51 da s*on die reell5 ,coll9eation5 und duali/is*5 ,trans=mation5 e9e ,gruppe bild52 -- s gut knn5 wir imag9re ,raumelem5te e9fhr51 au* w5n wir ni*t auf projektivis*em ,/&puncte /eh51 und soll5 es1 s(]n wir pr9cipiell algebrais*e ,gebilde unt]su*54 ,wie man vom projectivis*em ,/&puncte aus die metris*5 ,eig5s*aft5 aufzufass5 hat1 be/immt si* na* dem allgeme95 ,satze des vorangeh5d5 ,p>agraph54 ,die metris*5 ,eig5s*aft5 s9d als projectivis*e ,beziehung5 zu e9em ,fundam5talgebilde1 dem un5dli* f]n5 ,kugelkreise#ac1 zu betra*t51 e9em ,gebilde1 das die ,eig5s*aft hat1 nur dur* diej5ig5 ,trans=mation5 d] projectivis*5 ,gruppe1 die eb5 au* ,trans=mation5 d] ,hauptgruppe s9d1 9 si* b]zugeh54 ,d] s s*le*?9 ausgespro*5e ,satz b$>f no* e9] wes5tli*5 ,ergnzung1 die d] ,bes*rnkung d] gewhnli*5 ,ans*auungsweise auf reelle ,raumelem5te 7und reelle ,trans=mation57 entspri*t4 ,man muss dem ,kugelkreise1 um diesem ,/&puncte g]e*t zu w]d51 no* das ,sy/em d] rell5 ,raumelem5te 7,puncte7 ausdrckli* h9zufg52 ,eig5s*aft5 im ,s9ne d] elem5t>5 ,geometrie s9d projectivis* entw$] ,eig5s*aft5 d] ,d+e an si* od] ,beziehung5 zu diesem ,sy/eme d] reell5 ,elem5te1 od] zum ,kugelkreise od] endli* zu beid54 ,es mag hi] no* d] ,art g$a*t w]d51 wie v4 ,/audt 9 se9] ,geometrie d] ,lage#b die projectivis*e ,geometrie aufbaut -- d4 h4 diej5ige projectivis*e ,geometrie1 wel*e si* auf ,zugrundelegung d] ,gruppe all] reell] projectivis*-duali/is*] ,um=mung bes*rnkt#ad4 ,es i/ bekannt1 wie er dabei aus dem gewhnli*5 ,ans*auungsmat]ial nur sol*e ,mom5te h]ausgreift1 die au* bei projectivis*5 ,um=mung5 erhalt5 bleib54 ,wollte man weit]h9 zur ,betra*tung au* metris*] ,eig5s*aft5 b]geh51 s htte man die letzt]5 g]adezu als ,beziehung5 zum ,kugelkreise e9zufhr54 ,d] s v]voll/ndigte ,g$ank5gang i/ fr die hi] vorlieg5d5 ,betra*tung5 ins(]n von gross] ,b$eutung1 als e9 entspre*5d] ,aufbau d] ,geometrie im ,s9ne j$] e9zeln5 d] no* anzufhr5d5 ,me?od5 mgli* i/4 4#d4 ,ueb]tragung dur* ,abbildung4 ---------------------------------- ,ehe wir 9 d] ,bespre*ung d] geometris*5 ,me?od51 die si* neb5 die elem5t>e und die projectivis*e ,geometrie /ell51 weit] geh51 mg5 allgeme9 e9ige ,betra*tung5 entwickelt w]d51 die im ,folg5d5 imm] wi$] vorkomm5 und zu d55 die bi%] b]hrt5 ,d+e b]eits h9rei*5d viele ,beispiele lief]n4 ,auf diese ,errt]ung5 bezieht si* d] geg5wrtige und d] n*/folg5de ,p>agraph4 ,gesetzt1 man habe e9e ,mannigfaltigkeit ,a unt] ,zugrundelegung e9] ,gruppe ,b unt]su*t4 ,fhrt man sodann ,a dur* irg5dwel*e ,trans=mation 9 e9e &]e ,mannigfaltigkeit ,a' b]1 s wird aus d] ,gruppe ,b von ,a5d]ung51 die ,a 9 si* trans=mirt51 nunmehr e9e ,gruppe ,b'1 d]5 ,trans=mation5 si* auf ,a' bezieh54 ,dann i/ es e9 selb/v]/ndli*es ,pr9cip1 dass die ,beh&lungsweise von ,a unt] ,zugrundelegung von ,b die ,beh&lungsweise von ,a' unt] ,zugrundelegung von ,b' ergibt1 d4 h4 j$e ,eig5s*aft1 wel*e e9 9 ,a en?alt5es ,gebilde mit ,bezug auf die ,gruppe ,b hat1 ergibt e9e ,eig5s*aft des entspre*5d5 ,gebildes 9 ,a' mit ,bezug auf die ,gruppe ,b'4 ,lass5 wir z4 ,b4 ,a e9e g]ade ,l9ie1 ,b die dreifa* un5dli* viel5 l9e>5 ,trans=mation5 b$eut51 wel*e dieselbe 9 si* b]fhr54 ,die ,beh&lungsweise von ,a i/ dann eb5 diej5ige1 wel*e die neu]e ,algebra als ,!orie d] b9r5 ,=m5 bezei*net4 ,nun kann man die g]ade ,l9ie auf e95 ,kegels*nitt ,a' d] ,eb5e dur* ,protection von e9em ,puncte des letzt]5 aus bezieh54 ,aus d5 l9e>5 ,trans=mation5 ,b d] ,g]ad5 9 si* selb/ w]d5 dann die l9e>5 ,trans=mation5 ,b' des ,kegels*nittes 9 si* selb/1 wie man lei*t zeigt1 d4 h4 diej5ig5 ,a5d]ung5 des ,kegels*nittes1 wel*e mit d5 l9e>5 ,trans=mation5 d] ,eb5e1 die d5 ,kegels*nitt 9 si* b]fhr51 v]knpft s9d4 ,es i/ nun ab] na* dem ,pr9cip des zweit5 ,p>agraph5#ae dasselbe3 na* d] ,geometrie auf e9em ,kegels*nitte zu frag51 w5n man si* d5 ,kegels*nitt als fe/ d5kt und nur auf diej5ig5 l9e>5 ,trans=mation5 d] ,eb5e a*tet1 wel*e ihn 9 si* b]fhr52 od] die ,geometrie auf dem ,kegels*nitte zu /udir51 indem man b]haupt die l9e>5 ,trans=mation5 d] ,eb5e betra*tet und si* d5 ,kegels*nitt mit nd]n ls/4 ,die ,eig5s*aft51 wel*e wir an d5 ,punctsy/em5 auf dem ,kegels*nitte auffas/51 s9d mi?9 im gewhnli*5 ,s9ne projectivis*e4 ,die ,v]knpfung d] letzt5 ,ueb]legung mit dem eb5 abgeleitet5 ,resultate gibt also3 ,b9re ,=m5!orie und projectivis*e ,geometrie d] ,punctsy/eme auf e9em ,kegels*nitte i/ dasselbe1 d4 h4 j$em b9r5 ,satze entspri*t e9 ,satz b] d]>tige ,punctsy/eme und umgekehrt#af4 ,e9 &]es ,beispiel1 wel*es geeignet i/1 diese ,art von ,betra*tung5 zu v]ans*auli*51 i/ das folg5de3 ,w5n man e9e ,fl*e zweit5 ,grades mit e9] ,eb5e dur* /]eographis*e ,projection 9 ,v]b9dung setzt1 s tritt auf d] ,fl*e e9 ,fundam5talpunct auf3 d] ,projectionspunct1 9 d] ,eb5e s9d es zwei3 die ,bild] d] dur* d5 ,projectionspunct geh5d5 ,erzeug5d54 ,man zeigt nun ohne ,weit]es3 ,die l9e>5 ,trans=mation5 d] ,eb5e1 wel*e die beid5 ,fundam5talpuncte d]selb5 ungend]t lass51 geh5 dur* die ,abbildung 9 l9e>e ,trans=mation5 d] ,fl*e zweit5 ,grades 9 si* selb/ b]1 ab] nur 9 diej5ig51 wel*e d5 ,projectionspunct ungend]t lass54 ,unt] l9e>5 ,trans=mation5 d] ,fl*e 9 si* selb/ s9d dabei diej5ig5 ,a5d]ung5 v]/&51 wel*e die ,fl*e erfhrt1 w5n man l9e>e ,raumtrans=mation5 ausfhrt1 wel*e die ,fl*e mit si* selb/ zur ,deckung br+54 ,hi]na* wird also die projectivis*e ,unt]su*ung e9] ,eb5e unt] ,zugrundelegung zwei] ,puncte und die projectivis*e ,unt]su*ung e9] ,fl*e zweit5 ,grades unt] ,zugrundelegung e9es ,punctes id5tis*4 ,die er/]e i/ nun -- s(]n man imag9re ,elem5te mit 9 ,betra*t zieht -- ni*ts ,&]es1 als die ,unt]su*ung d] ,eb5e im ,s9ne d] elem5t>5 ,geometrie4 ,d5n die ,hauptgruppe d] eb55 ,trans=mation5 be/eht eb5 9 d5 l9e>5 ,um=mung51 wel*e e9 ,punctepa> 7die un5dli* f]n5 ,kreispuncte7 ungend]t lass54 ,wir erhalt5 also s*liessli*3 ,die elem5t>e ,geometrie d] ,eb5e und die projectivis*e ,unt]su*ung e9] ,fl*e zweit5 ,grades unt] ,h9zunahme e9es ihr] ,puncte s9d dasselbe4 ,diese ,beispiele liess5 si* beliebig v]vielfa*5#ag2 die beid5 hi] entwickelt5 s9d gewhlt word51 da wir 9 d] ,folge no* ,geleg5heit hab5 w]d51 auf dieselb5 zurckzukomm54 4#e4 ,von d] ,willkrli*keit 9 d] ,wahl des ,raumelem5ts4 ,das ,hesses*e ,ueb]tragungspr9cip4 ,die ,l9i5geometrie4 ---------------------------------------- ---------------------------------------- ----------------------------------- ,als ,elem5t d] g]ad5 ,l9ie1 d] ,eb5e1 des ,raumes1 b]haupt e9] zu unt]su*5d5 ,mannigfaltigkeit kann /att des ,punctes j$es 9 d] ,mannigfaltigkeit en?alt5e ,gebilde3 die ,punctgruppe1 ev4 die ,curve1 die ,fl*e u4 s4 w4 v]w&t w]d5#ah4 ,indem b] die ,zahl willkrli*] ,p>amet]1 von d55 man diese ,gebilde abhngig setz5 w1 von ,vornh]e9 g> ,ni*ts fe/ /eht1 ers*e95 ,l9ie1 ,eb5e1 ,raum etc4 je na* d] ,wahl des ,elem5tes mit beliebig viel5 ,dim5sion5 behaftet4 ,ab] s lange wir d] geometris*5 ,unt]su*ung dieselbe ,gruppe von ,a5d]ung5 zu ,grunde leg51 bleibt d] ,inhalt d] ,geometrie unv]nd]t1 das heit1 j$] ,satz1 d] bei e9] ,annahme des ,raumelem5ts si* ergab1 i/ au* e9 ,satz bei beliebig] &]] ,annahme1 nur die ,anordnung und ,v]knpfung d] ,stze i/ gend]t4 ,das ,wes5tli*e i/ also die ,trans=mationsgruppe2 die ,zahl d] ,dim5sion51 die wir e9] ,mannigfaltigkeit beileg5 woll51 ers*e9t als etwas ,secundres4 ,die ,v]knpfung dies] ,bem]kung mit dem ,pr9cip des vorig5 ,p>agraph5 ergibt e9e ,reihe s*n] ,anw5dung51 von d55 hi] e9ige entwickelt w]d5 mg51 da diese ,beispiele mehr als alle lange ,ause9&]setzung geeignet s*e951 d5 ,s9n d] allgeme95 ,betra*tung d>zuleg54 ,die projectivis*e ,geometrie auf d] ,g]ad5 7die ,!orie d] b9r5 ,=m57 i/ na* dem vorig5 ,p>agraph5 mit d] projectivis*5 ,geometrie auf dem ,kegels*nitte glei*b$eut5d4 ,auf letzt]em mg5 wir jetzt /att des ,punctes das ,punctepa> als ,elem5t betra*t5 ,die ,gesamm!it d] ,punctepa>e des ,kegels*nitts ls/ si* ab] auf die ,gesamm!it d] ,g]ad5 d] ,eb5e bezieh51 indem man j$e ,g]ade dem ,punctepa>e zuordnet1 9 wel*em sie d5 ,kegels*nitt trifft4 ,bei dies] ,abbildung geh5 die l9e>5 ,trans=mation5 des ,kegels*nitts 9 si* selb/ 9 die l9e>5 ,trans=mation5 d] 7aus ,g]ad5 be/eh5d g$a*t57 ,eb5e b]1 wel*e d5 ,kegels*nitt ungend]t lass54 ,ob wir ab] die aus d5 letzt]5 be/eh5de ,gruppe betra*t51 od] die ,gesamm!it d] l9e>5 ,trans=mation5 d] ,eb5e zu ,grunde leg5 und d5 zu unt]su*5d5 ,gebild5 d] ,eb5e d5 ,kegels*nitt allemal h9zufg51 i/ na* 4#b glei*b$eut5d4 ,indem wir alle diese ,ueb]legung5 zusamm5 nehm51 hab5 wir3 ,die ,!orie d] b9r5 ,=m5 und die projectivis*e ,geometrie d] ,eb5e unt] ,zugrundelegung e9es ,kegels*nittes s9d glei*b$eut5d4 ,da endli* projectivis*e ,geometrie d] ,eb5e unt] ,zugrundelegung e9es ,kegels*nittes eb5 weg5 d] ,glei*heit d] ,gruppe mit d] projectivis*5 ,mageometrie co9cidirt1 die man 9 d] ,eb5e auf e95 ,kegels*nitt grnd5 kann#ai1 s mg5 wir au* s sag53 ,die ,!orie d] b9r5 ,=m5 und die allgeme9e projectivis*e ,mageometrie 9 d] ,eb5e s9d dasselbe4 ,/att des ,kegels*nitts 9 d] ,eb5e knn5 wir 9 d] vor/eh5d5 ,betra*tung die ,curve dritt] ,ordnung im ,raume setz5 etc41 do* mag dies unausgefhrt bleib54 ,d] hi] d>gelegte ,zusamm5hang zwis*5 d] ,geometrie d] ,eb5e1 weit]h9 des ,raumes od] e9] beliebig ausg$ehnt5 ,mannigfaltigkeit deckt si* im ,wes5tli*5 mit dem von ,hesse vorges*lag55 ,ueb]tragungspr9cipe #g4 ,e9 ,beispiel ganz hnli*] ,art ergibt die projectivis*e ,geometrie des ,raumes1 od]1 &]s ausg$rckt1 die ,!orie d] quat]nr5 ,=m54 ,fas/ man die g]ade ,l9ie als ,raumelem5t und er!ilt ihr1 wie 9 d] ,l9i5geometrie ges*ieht1 se*s homog5e ,coord9at51 zwis*5 d55 e9e ,b$+ungsglei*ung vom zweit5 ,grade ,/att f9det1 s ers*e95 die l9e>5 und duali/is*5 ,trans=mation5 des ,raumes als diej5ig5 l9e>5 ,trans=mation5 d] unabhngig g$a*t5 se*s ,v]nd]li*51 wel*e die ,b$+ungsglei*ung 9 si* b]fhr54 ,dur* e9e ,v]knpfung hnli*] ,ueb]legung51 wie sie soeb5 entwickelt wurd51 erhlt man hi]aus d5 ,satz3 ,die ,!orie d] quat]nr5 ,=m5 deckt si* mit d] projectivis*5 ,mabe/immung 9 e9] dur* #f homog5e ,v]nd]li*e erzeugt5 ,mannigfaltigkeit4 ,weg5 d] nh]5 ,ausfhrung dies] ,auffassung v]weise i* auf e95 demn*/ 9 d5 ,ma?4 ,annal5 7,bd4 ,,vi7 ers*e95d5 ,aufsatz3 ,ueb] die sog5annte ,ni*t-,euklidis*e ,geometrie#h1 s[ie auf e9e ,note am ,s*lusse dies] ,mit!ilung#bj4 ,i* knpfe an die vor/eh5d5 ,ause9&]setzung5 no* zwei ,bem]kung51 von d55 die er/e zw> s*on implicite 9 dem ,bi%]ig5 en?alt5 i/1 ab] ausgefhrt w]d5 soll1 weil d] ,geg5/&1 auf d5 sie si* bezieht1 zu lei*t ,missv]/ndniss5 ausgesetzt i/4 ,w5n wir beliebige ,gebilde als ,raumelem5te e9fhr51 s erhlt d] ,raum beliebig viele ,dim5sion54 ,w5n wir dann ab] an d] uns gelufig5 7elem5t>5 od] projectivis*57 ,ans*auungsweise fe/halt51 s i/ die ,gruppe1 wel*e wir fr die mehrfa* ausg$ehnte ,mannigfaltigkeit zu ,grunde zu leg5 hab51 von ,vorne h]e9 gegeb52 es i/ eb5 die ,hauptgruppe bez4 die ,gruppe d] projectivis*5 ,um=mung54 ,wollt5 wir e9e &]e ,gruppe zu ,grunde leg51 s ms/5 wir von d] gewhnli*5 bez4 d] projectivis*5 ,ans*auung abgeh54 ,s ri*tig es also i/1 dass bei ges*ickt] ,wahl d] ,raumelem5te d] ,raum ,mannigfaltigkeit5 von beliebig viel5 ,ausdehnung5 reprs5tirt1 s wi*tig i/ es1 h9zuzufg51 dass bei dies] ,reprs5tation entw$] von ,vorneh]e9 e9e be/immte ,gruppe d] ,beh&lung d] ,mannigfaltigkeit zu ,grunde zu leg5 i/1 od] dass wir1 woll5 wir b] die ,gruppe v]fg51 uns]e geometris*e ,auffassung entspre*5d auszubild5 hab54 -- ,es knnte1 ohne diese ,bem]kung1 z4 ,b4 e9e ,reprs5tation d] ,l9i5geometrie 9 d] folg5d5 ,weise gesu*t w]d54 ,die ,g]ade erhlt 9 d] ,l9i5geometrie se*s ,coord9at52 eb5 s viele ,coeffici5t5 besitzt d] ,kegels*nitt 9 d] ,eb5e4 ,das ,bild d] ,l9i5geometrie wrde also die ,geometrie 9 e9em ,kegels*nittsy/eme se91 das aus d] ,gesamm!it d] ,kegels*nitte dur* e9e quadratis*e ,glei*ung zwis*5 d5 ,coeffici5t5 ausgesond]t wird4 ,das i/ ri*tig1 s[ie wir als ,gruppe d] eb55 ,geometrie die ,gesamm!it d] ,trans=mation5 zu ,grunde leg51 die dur* l9e>e ,um=mung5 d] ,kegels*nitts-,coeffici5t5 reprs5tirt w]d51 wel*e die quadratis*e ,b$+ungsglei*ung 9 si* b]fhr54 ,halt5 wir ab] an d] elem5t>5 bez4 d] projectivis*5 ,auffassung d] eb55 ,geometrie fe/1 s hab5 wir eb5 ke9 ,bild4 ,die zweite ,bem]kung bezieht si* auf folg5de ,begriffsbildung4 ,sei im ,raume irg5d e9e ,gruppe1 etwa die ,hauptgruppe gegeb54 ,s whle man e9 e9zelnes rumli*es ,gebilde1 etwa e95 ,punct1 od] e9e ,g]ade1 od] au* e9 ,ellipsoid etc4 aus und w5de auf dasselbe alle ,trans=mation5 d] ,hauptgruppe an4 ,man erhlt dann e9e mehrfa* un5dli*e ,mannigfaltigkeit mit e9] ,anzahl von ,dim5sion51 die im ,allgeme95 glei* d] ,zahl d] 9 d] ,gruppe en?alt55 willkrli*5 ,p>amet] i/1 die 9 besond]5 ,fll5 h]abs9kt1 w5n nmli* das ursprngli* gewhlte ,gebilde die ,eig5s*aft besitzt1 dur* un5dli* viele ,trans=mation5 d] ,gruppe 9 si* b]gefhrt zu w]d54 ,j$e s erzeugte ,mannigfaltigkeit heie mit ,bezug auf die erzeug5de ,gruppe e9 ,krp]#ba4 ,woll5 wir nun d5 ,raum im ,s9ne d] ,gruppe unt]su*5 und dabei be/immte ,gebilde als ,raumelem5te auszei*n51 und woll5 wir ni*t1 dass ,glei*b]e*tigtes unglei*>tig d>ge/ellt w]de1 s mss5 wir die ,raumelem5te ersi*tli* s whl51 dass ihre ,mannigfaltigkeit entw$] selb/ e95 ,krp] bildet od] 9 ,krp] z]legt w]d5 kann4 ,von dies] evid5t5 ,bem]kung soll spt] 74#i7 e9e ,anw5dung gema*t w]d54 ,d] ,krp]-,begriff selb/ wird im ,s*lussp>agraph5 9 ,v]b9dung mit v]w&t5 ,begriff5 no* e9mal zur ,spra*e komm54 4#f4 ,die ,geometrie d] reciprok5 ,radi54 ,die ,int]pretation von xiy4 ---------------------------------------- ------------------------------ ,wir kehr5 mit diesem ,p>agraph5 zur ,bespre*ung d] v]s*i$55 ,ri*tung5 d] geometris*5 ,=s*ung zurck1 wie sie 9 4#b4c begonn5 wurde4 ,als e9 ,seit5/ck zu d5 ,betra*tungsweis5 d] projectivis*5 ,geometrie kann man 9 vielfa*] ,h9si*t e9e ,classe geometris*] ,ueb]legung5 betra*t51 bei d55 von d] ,um=mung dur* reciproke ,radi5 =tlauf5d] ,gebrau* gema*t wird4 ,es gehr5 hi]h] die ,unt]su*ung5 b] die sog4 ,cyclid5 und anallagmatis*e ,fl*51 b] die allgeme9e ,!orie d] ,or?ogonalsy/eme1 f]n] ,unt]su*ung5 b] das ,pot5tial etc4 ,w5n man die 9 d5selb5 en?alt55 ,betra*tung5 no* ni*t glei* d5 projectivis*5 zu e9] besond]5 ,geometrie zusamm5gefas/ hat1 die dann als ,gruppe die ,gesamm!it d]j5ig5 ,um=mung5 zu ,grunde zu leg5 htte1 wel*e dur* ,v]b9dung d] ,hauptgruppe mit d] ,trans=mation dur* reciproke ,radi5 ent/eh51 s i/ das wohl dem zufllig5 ,um/&e zuzus*reib51 dass die g5annt5 ,!ori5 sei!r ni*t im ,zusamm5hange d>ge/ellt word5 s9d2 d5 e9zeln5 ,autor51 die 9 dies] ,ri*tung arbeitet51 wird e9e sol*e me?odis*e ,auffassung ni*t f]n geleg5 hab54 ,die ,p>allele zwis*5 dies] ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 und d] projectivis*5 ergibt si*1 s[ie e9mal die ,frage na* e9em ,v]glei*e vorh&5 i/1 von selb/1 und es mag dah] nur ganz im ,allgeme95 auf die folg5d5 ,puncte aufm]ksam gema*t w]d53 ,9 d] projectivis*5 ,geometrie s9d ,punct1 ,g]ade1 ,eb5e die ,elem5t>-,begriffe4 ,kreis und ,kugel s9d nur specielle ,flle von ,kegels*nitt und ,fl*e zweit5 ,grades4 ,das un5dli* ,f]ne d] elem5t>5 ,geometrie ers*e9t als ,eb5e2 das ,fundam5talgebilde1 auf wel*es si* die elem5t>e ,geometrie bezieht1 i/ e9 un5dli* f]n]1 imag9r] ,kegels*nitt4 ,9 d] ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 s9d ,punct1 ,kreis und ,kugel die ,elem5t>begriffe4 ,g]ade und ,eb5e s9d specielle ,flle d] letzt]51 dadur* *>akt]isirt1 dass sie e951 im ,s9ne d] ,me?ode brig5s ni*t weit] ausgezei*net5 ,punct1 d5 un5dli* f]n5 ,punct en?alt54 ,die elem5t>e ,geometrie erw*/1 s wie man dies5 ,punct fe/ d5kt4 ,die ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 i/ e9] ,e9kleidung fhig1 wel*e sie neb5 die ,!orie d] b9r5 ,=m5 und die ,l9i5geometrie /ellt1 falls man die letzt]5 9 d] ,weise beh&elt1 wie das im vorig5 ,p>agraph5 ang$eutet wurde4 ,wir mg5 zu diesem ,zwecke die ,betra*tung zun*/ auf eb5e ,geometrie und also auf ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 9 d] ,eb5e#bb bes*rnk54 ,es wurde b]eits des ,zusamm5hangs g$a*t1 d] zwis*5 d] elem5t>5 ,geometrie d] ,eb5e und d] projectivis*5 ,geometrie d] mit e9em ausgezei*net5 ,puncte v]seh55 ,fl*e zweit5 ,grades be/eht 74#d74 ,sieht man von dem ausgezei*net5 ,puncte ab und betra*tet also die projectivis*e ,geometrie auf d] ,fl*e an si*1 s hat man e9 ,bild d] ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 9 d] ,eb5e4 ,d5n man b]zeugt si* lei*t#bc1 dass d] ,trans=mationsgruppe d] reciprok5 ,radi5 9 d] ,eb5e v]mge d] ,abbildung d] ,fl*e zweit5 ,grades die ,gesamm!it d] l9e>5 ,trans=mation5 d] letzt]5 9 si* selb/ entspri*t4 ,man hat also3 ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 9 d] ,eb5e und projectivis*e ,geometrie auf e9] ,fl*e zweit5 ,grades i/ dasselbe1 und ganz entspre*5d3 ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 im ,raume i/ mit d] projectivis*5 ,beh&lung e9] ,mannigfaltigkeit glei*b$eut5d1 die dur* e9e quadratis*e ,glei*ung zwis*5 fnf homog55 ,v]nd]li*5 d>ge/ellt wird4 ,die ,raumgeometrie i/ also dur* die ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 9 ganz dieselbe ,v]b9dung mit e9] ,mannigfaltigkeit von vi] ,dim5sion5 gesetzt1 wie v]mge d] ,l9i5geometrie mit e9] ,mannigfaltigkeit von fnf ,ausdehnung54 ,die ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 9 d] ,eb5e ge/attet1 s(]n man nur auf reelle ,trans=mation5 a*t5 w1 no* na* e9] &]5 ,seite e9e int]essante ,d>/ellung1 resp4 ,v]w5dung4 ,breitet man nmli* e9e complexe ,v>iable xiy 9 gewhnli*] ,weise 9 d] ,eb5e aus1 s entspri*t ihr5 l9e>5 ,trans=mation5 die ,gruppe d] reciprok5 ,radi51 mit d] erwhnt5 ,bes*rnkung auf das ,reelle4 ,die ,unt]su*ung d] ,function5 e9] complex5 ,v]nd]li*51 die beliebig5 l9e>5 ,trans=mation5 unt]worf5 g$a*t i/1 i/ ab] ni*ts ,&]es1 als 0 bei e9] etwas abgend]t5 ,d>/ellungsweise ,!orie d] b9r5 ,=m5 g5annt wird4 ,also3 ,die ,!orie d] b9r5 ,=m5 f9det ihre ,d>/ellung dur* die ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 9 d] reell5 ,eb5e1 s zw>1 dass au* die complex5 ,w]! d] ,v>iabeln reprs5tirt w]d54 ,von d] ,eb5e mg5 wir1 um 9 d5 gewohnt]5 ,vor/ellungskreis d] projectivis*5 ,um=mung5 zu gelang51 zur ,fl*e zweit5 ,grades auf/eig54 ,da wir nur reelle ,elem5te d] ,eb5e betra*tet51 i/ es ni*t mehr glei*gltig1 wie man die ,fl*e whlt2 sie i/ ersi*tli* ni*t g]adl9ig zu nehm54 ,insbesond]e knn5 wir uns dieselbe -- wie man das zur ,int]pretation e9] complex5 ,v]nd]li*5 au* son/ ?ut -- als ,kugelfl*e d5k5 und erhalt5 s d5 ,satz3 ,die ,!orie d] b9r5 ,=m5 complex] ,v>iabl5 f9det ihre ,reprs5tation 9 d] projectivis*5 ,geometrie d] reell5 ,kugelfl*e4 ,i* habe mir ni*t v]sag5 mg51 9 e9] ,note#bd no* ause9&]zusetz51 wie s*n dieses ,bild die ,!orie d] b9r5 cubis*5 und biquadratis*5 ,=m5 erlut]t4 4#g4 ,erweit]ung5 des ,vorangeh5d54 ,lies ,kugelgeometrie4 ---------------------------------------- ------------------ ,an die ,!orie d] b9r5 ,=m51 die ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 und die ,l9i5geometrie1 wel*e im ,vor/eh5d5 coord9irt und nur dur* die ,zahl d] ,v]nd]li*5 unt]s*i$5 s*e951 lass5 si* gewisse ,erweit]ung5 knpf51 die nun ause9&]gesetzt w]d5 mg54 ,dieselb5 soll5 e9mal dazu beitrag51 d5 ,g$ank51 dass die ,gruppe1 wel*e die ,beh&lungsweise gegeb5] ,gebiete be/immt1 beliebig erweit]t w]d5 kann1 an neu5 ,beispiel5 zu erlut]n2 dann ab] i/ nam5tli* die ,absi*t gewes51 ,betra*tung51 wel*e ,lie 9 e9] neu]5 ,abh&lung ni$]gelegt hat#be1 9 ihr] ,beziehung zu d5 hi] vorgetrag55 ,ueb]legung5 d>zuleg54 ,d] ,weg1 auf wel*em wir zu ,lies ,kugelgeometrie gelang51 wei*t ins(]n von dem von ,lie e+es*lag55 ab1 als ,lie an l9i5geometris*e ,vor/ellung5 anknpft1 whr5d wir1 um uns mehr d] gewhnli*5 geometris*5 ,ans*auung anzus*liess5 und im ,zusamm5hange mit dem ,vorh]geh5d5 zu bleib51 bei d5 bez4 ,ause9&]setzung5 e9e g]+]e ,zahl von ,v]nd]li*5 voraussetz54 ,die ,betra*tung5 s9d1 wie b]eits ,lie selb/ h]vorgehob5 hat 7,gtt+] ,na*ri*t5 #ahga4 ,n4 #g1 #bb #aa7 von d] ,zahl d] ,v>iabeln unabhngig4 ,sie gehr5 dem gross5 ,kreise von ,unt]su*ung5 an1 wel*e si* mit d] projectivis*5 ,unt]su*ung quadratis*] ,glei*ung5 zwis*5 beliebig viel5 ,v]nd]li*5 bes*ftig51 ,unt]su*ung51 die wir b]eits ft] b]hrt hab5 und die uns no* wi$]holt begegn5 w]d5 7v]gl4 4#aj u4 a47 ,i* knpfe an d5 ,zusamm5hang an1 d] zwis*5 d] reell5 ,eb5e und d] ,kugelfl*e dur* /]eographis*e ,projection h]ge/ellt wird4 ,wir setzt5 b]eits 9 4#e die ,geometrie d] ,eb5e mit d] ,geometrie auf e9em ,kegels*nitte 9 ,v]b9dung1 indem wir d] ,g]ad5 d] ,eb5e das ,punctepa> zuordnet51 9 wel*em sie d5 ,kegels*nitt trifft4 ,entspre*5d knn5 wir e95 ,zusamm5hang zwis*5 d] ,raumgeometrie und d] ,geometrie auf d] ,kugel auf/ell51 indem wir j$] ,eb5e des ,raumes d5 ,kreis zuordn51 9 wel*em sie die ,kugel s*neidet4 ,ueb]trag5 wir dann dur* /]eographis*e ,projection die ,geometrie auf d] ,kugel von d]selb5 auf die ,eb5e1 wobei j$] ,kreis 9 e95 ,kreis b]geht1 s entspre*5 e9&] also3 - die ,raumgeometrie1 wel*e als ,elem5t die ,eb5e1 als ,gruppe diej5ig5 l9e>5 ,trans=mation5 b5utzt1 wel*e e9e ,kugel 9 si* b]fhr52 - die eb5e ,geometrie1 d]5 ,elem5t d] ,kreis1 d]5 ,gruppe die ,gruppe d] reciprok5 ,radi5 i/4 ,die er/]e ,geometrie woll5 wir nun na* zwei ,seit5 v]allgeme9]n1 indem wir /att ihr] ,gruppe e9e umfass5d]e setz54 ,die resultir5de ,erweit]ung b]trgt si* dann dur* die ,abbildung ohne ,weit]es auf eb5e ,geometrie4 ,/att d] l9e>5 ,trans=mation5 des aus ,eb55 be/eh5d5 ,raumes1 wel*e die ,kugel 9 si* b]fhr51 liegt es nahe1 entw$] die ,gesamm!it d] l9e>5 ,trans=mation5 des ,raumes1 od] die ,gesamm!it d] ,eb55-,trans=mation5 des ,raumes zu whl51 wel*e die ,kugel ungend]t lass51 indem wir das e9e ,mal von d] ,kugel1 das &]e ,mal von dem l9e>5 ,"* d] anzuw5d5d5 ,trans=mation5 abseh54 ,die er/e ,v]allgeme9]ung i/ ohne ,weit]es v]/ndli* und wir mg5 sie also zu]/ betra*t5 und 9 ihr] ,b$eutung fr eb5e ,geometrie v]folg52 auf die zweite komm5 wir h]na* zurck1 wobei es si* d5n zun*/ d>um h&elt1 die allgeme9/e betreff5de ,trans=mation zu be/imm54 ,die l9e>5 ,trans=mation5 des ,raumes hab5 die ,eig5s*aft geme91 ,eb55bs*el und ,eb55bndel wi$] 9 sol*e b]zufhr54 ,ab] auf die ,kugel b]trag5 ergibt das ,eb55bs*el e9 ,kreisbs*el1 d4 h4 e9e e9fa* un5dli*e ,reihe von ,kreis5 mit geme9sam5 ,s*nittpunkt52 das ,eb55bndel ergibt e9 ,kreisbndel1 d4 h4 e9e zweifa* un5dli*e ,s*a> von ,kreis51 die auf e9em fe/5 ,kreise s5kre*t /eh5 7dem ,kreise1 dess5 ,eb5e die ,pol>eb5e des d5 ,eb55 des geg4 ,bndels geme9sam5 ,punctes i/74 ,d5 l9e>5 ,trans=mation5 des ,raumes entspre*5 also auf d] ,kugel und weit]h9 9 d] ,eb5e ,krei/rans=mation5 von d] *>act]i/is*5 ,eig5s*aft1 ,kreisbs*el und ,kreisbndel 9 eb5sol*e b]zufhr5#bf4 ,die eb5e ,geometrie wel*e die ,gruppe d] s gewonn55 ,trans=mation5 b5utzt1 i/ das ,bild d] gewhnli*5 projectivis*5 ,raumgeometrie4 ,als ,elem5t d] ,eb5e wird man 9 dies] ,geometrie ni*t d5 ,punct b5utz5 knn51 da die ,puncte fr die gewhlte ,trans=mationsgruppe ke95 ,krp] bild5 74#e71 sond]n man wird die ,kreise als ,elem5te whl54 ,bei d] zweit5 ,erweit]ung1 die wir nannt51 gilt es zun*/ die ,frage na* d] ,art d] bez4 ,trans=mationsgruppe erl$ig54 ,es h&elt si* d>um1 ,eb55-,trans=mation5 zu f9d51 die aus j$em ,eb55bndel1 dess5 ,s*eitel auf d] ,kugel liegt1 wi$] e9 sol*es ,bndel ma*54 ,wir mg5 d] krz]5 ,ausdrucksweise weg5 zun*/ die ,frage duali/is* umkehr5 und b]dies e95 ,s*ritt 9 d] ,zahl d] ,dim5sion5 h9ab geh52 wir woll5 also na* ,puncttrans=mation5 d] ,eb5e frag51 wel*e aus j$] ,tang5te e9es gegeb55 ,kegels*nittes wi$]um e9e ,tang5te erzeug54 ,zu dem ,zwecke betra*t5 wir die ,eb5e mit ihrem ,kegels*nitte als ,bild e9] ,fl*e zweit5 ,grades1 die man von e9em ni*t auf ihr bef9dli*5 ,raumpuncte aus s auf die ,eb5e projicirt hat1 dass d] bez4 ,kegels*nitt die ,ueb]gangscurve vor/ellt4 ,d5 ,tang5t5 des ,kegels*nitts entspre*5 die ,erzeug5d5 d] ,fl*e1 und die ,frage i/ auf die &]e zurckgefhrt na* d] ,gesamm!it d] ,puncttrans=mation5 d] ,fl*e 9 si* selb/1 bei d55 die ,erzeug5d5 ,erzeug5de bleib54 ,sol*] ,trans=mation5 gibt es nun zw> beliebig un5dli* viele3 d5n man brau*t nur d5 ,punct d] ,fl*e als ,dur*s*nitt d] ,erzeug5d5 zwei]lei ,art zu betra*t5 und j$es d] ,g]ad5-,sy/eme beliebig 9 si* zu trans=mir54 ,ab] unt] d5 ,trans=mation5 s9d insbesond]e die l9e>54 ,nur auf diese woll5 wir a*t54 ,htt5 wir nmli* ni*t mit e9] ,fl*e1 sond]n mit e9] mehrfa* ausg$ehnt5 ,mannigfaltigkeit zu ?un1 die dur* e9e quadratis*e ,glei*ung reprs5tirt wird1 s blieb5 nur die l9e>5 ,trans=mation51 die &]5 km5 9 ,wegfall#bg4 ,diese l9e>5 ,trans=mation5 d] ,fl*e 9 si* selb/ ergeb51 dur* 7ni*t /]eographis*e7 ,projection auf die ,eb5e b]trag51 zweideutige ,puncttrans=mation51 v]mge d]5 aus j$] ,tang5te des ,kegels*nittes1 d] die ,ueb]gangscurve bildet1 all]d+s wi$] e9e ,tang5te wird1 aus j$] &]5 ,g]ad5 ab] im ,allgeme95 e9 ,kegels*nitt1 d] die ,ueb]gangscurve doppelt b]hrt4 ,es ls/ si* diese ,trans=mationsgruppe pass5d *>act]isir51 w5n man auf d5 ,kegels*nitt1 d] die ,ueb]gangscurve bildet1 e9e projectivis*e ,mabe/immung grndet4 ,die ,trans=mation5 hab5 dann die ,eig5s*aft1 ,puncte1 wel*e im ,s9ne d] ,mabe/immung von e9&] e9e ,entf]nung glei* ,null hab51 s[ie ,puncte1 wel*e von e9em &]5 ,puncte e9e con/ante ,entf]nung hab51 wi$] 9 sol*e ,puncte zu v]w&eln4 ,alle diese ,betra*tung5 lass5 si* auf beliebig viele ,v>iabeln b]trag51 insbesond]e also fr die ursprngli*e ,frage/ellung1 die si* auf die ,kugel und die ,eb5e als ,elem5t bezog1 v]w]!n4 ,man kann dem ,resultate dabei e9e besond]s ans*auli*e ,=m geb51 weil d] ,w9kel1 d5 zwei ,eb55 im ,s9ne d] auf e9e ,kugel gegrndet5 projectivis*5 ,mabe/immung mit e9&] bild51 mit dem ,w9kel glei* i/1 d5 ihre ,dur*s*nittskreise mit d] ,kugel im gewhnli*5 ,s9ne mit e9&] bild54 ,wir erhalt5 also auf d] ,kugel und weit]h9 auf d] ,eb5e e9e ,gruppe von ,krei/rans=mation51 wel*e die ,eig5s*aft hab51 ,kreise1 die e9&] b]hr5 7e95 ,w9kel glei* ,null e9s*liess571 s[ie ,kreise1 die e95 &]5 ,kreis unt] glei*em ,w9kel s*neid51 9 eb5 sol*e ,kreise b]zufhr54 ,9 d] ,gruppe dies] ,trans=mation5 s9d auf d] ,kugel die bez4 l9e>51 9 d] ,eb5e die ,trans=mation5 d] ,gruppe d] reciprok5 ,radi5 en?alt54 ,die auf diese ,gruppe zu grnd5de ,kreisgeometrie i/ nun das ,analogon zu d] ,kugelgeometrie1 wie sie ,lie fr d5 ,raum entworf5 hat1 und wie sie bei ,unt]su*ung5 b] ,krmmung d] ,fl*5 von ausgezei*net] ,b$eutung s*e9t4 ,sie s*lies/ die ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 9 demselb5 ,s9ne 9 si*1 wie letzt]e wi$] die elem5t>e ,geometrie4 -- ,die nunmehr gewonn55 ,kreis-7,kugel-7,trans=mation5 hab5 insbesond]e die ,eig5s*aft1 si* b]hr5de ,kreise 7,kugeln7 9 eb5 sol*e b]zufhr54 ,betra*tet man alle ,curv5 7,fl*57 als ,umhllungsgebilde von ,kreis5 7,kugeln71 s w]d5 9 ,folge dess5 ,curv5 7,fl*571 die si* b]hr51 imm] 9 wi$] sol*e b]geh54 ,die fragli*5 ,trans=mation5 gehr5 also 9 die ,classe d] spt] allgeme9 zu betra*t5d5 ,b]hrung/rans=mation51 d4 h4 sol*] ,um=mung51 bei d55 ,b]hrung von ,punctgebild5 e9e inv>iante ,beziehung i/4 ,die im vorlieg5d5 ,p>agraph5 zu]/ erwhnt5 ,krei/rans=mation51 d55 man analoge ,kugeltrans=mation5 an die ,seite /ell5 kann1 s9d ke9e ,b]hrung/rans=mation54 -- ,wurd5 vor/eh5d die zwei]lei ,erweit]ung5 nur an die ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 angeknpft1 s gelt5 dieselb5 9 entspre*5d] ,weise fr ,l9i5geometrie1 b]haupt fr die projectivis*e ,unt]su*ung e9] dur* e9e quadratis*e ,glei*ung ausges*i$55 ,mannigfaltigkeit1 wie b]eits ang$eutet wurde1 hi] ab] ni*t weit] ausgefhrt w]d5 soll4 4#h4 ,aufzhlung weit]] ,me?od51 d55 e9e ,gruppe von ,puncttrans=mation5 zu ,grunde liegt4 ---------------------------------------- ---------------------------------------- --------------- ,elem5t>e ,geometrie1 ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 und au* projectivis*e ,geometrie1 s(]n man von d5 mit ,we*sel des ,raumelem5ts v]knpft5 duali/is*5 ,um=mung5 absieht1 subsumir5 si* als e9zelne ,gli$] unt] die grosse ,m5ge von d5kb>5 ,betra*tungsweis51 wel*e b]haupt ,grupp5 von ,puncttrans=mation5 zu ,grunde leg54 ,wir mg5 hi] nur die folg5d5 drei ,me?od51 die hi]9 mit d5 g5annt5 b]e9/imm51 h]vorheb54 ,s9d diese ,me?od5 au* lange ni*t 9 dem ,mae1 wie die projectivis*e ,geometrie1 zu selb/ndig5 ,discipl95 entwickelt1 s tret5 sie do* deutli* erk5nb> 9 d5 neu]5 ,unt]su*ung5 auf4 #a4 ,die ,gruppe d] rational5 ,um=mung54 ,bei rational5 ,um=mung5 muss wohl unt]s*i$5 w]d51 ob dieselb5 fr alle ,puncte des ,gebietes1 9 wel*em man op]irt1 also des ,raumes od] d] ,eb5e etc41 rational s9d1 od] nur fr die ,puncte e9] 9 dem ,gebiete en?alt55 ,mannigfaltigkeit1 e9] ,fl*e1 e9] ,curve4 ,nur die er/]5 s9d zu v]w5d51 w5n es gilt1 im bi%]ig5 ,s9ne e9e ,geometrie des ,raumes1 d] ,eb5e zu entw]f52 die letzt]5 gew9n5 von dem hi] gegeb55 ,/&puncte aus er/ ,b$eutung1 w5n ,geometrie auf e9] gegeb55 ,fl*e1 ,curve /udirt w]d5 soll4 ,dieselbe ,unt]s*eidung gilt bei d] soglei* anzufhr5d5 ,analysis situs4 ,die sei!rig5 ,unt]su*ung51 hi] wie dort1 hab5 si* ab] wes5tli* mit ,trans=mation5 d] zweit5 ,art bes*ftigt4 ,ins(]n dabei ni*t die ,frage na* d] ,geometrie auf d] ,fl*e1 d] ,curve w>1 es si* vielmehr d>um h&elte1 ,crit]i5 zu f9d51 damit zwei ,fl*51 ,curv5 9 e9&] trans=mirt w]d5 knn51 tret5 diese ,unt]su*ung5 aus dem ,kreise d] hi] zu betra*t5d5 h]aus4 ,d] hi] aufge/ellte allgeme9e ,s*ematismus umspannt eb5 ni*t die ,gesamm!it ma!matis*] ,=s*ung b]haupt1 sond]n er br+t nur gewisse ,ri*tung5 unt] e95 geme9sam5 ,gesi*tspunct4 ,fr e9e ,geometrie d] rational5 ,um=mung51 wie sie si* unt] ,zugrundelegung d] ,trans=mation5 d] er/5 ,art ergeb5 muss1 s9d bis jetzt er/ die ,anfnge vorh&54 ,im ,gebiete er/] ,/ufe1 auf d] g]ad5 ,l9ie1 s9d die rational5 ,um=mung5 mit d5 l9e>5 id5tis* und lief]n also ni*ts ,neues4 ,9 d] ,eb5e k5nt man freili* die ,gesamm!it d] rational5 ,um=mung5 7d] ,cremonas*5 ,trans=mation571 man weiss1 dass sie si* dur* ,zusamm5setzung quadratis*] erzeug5 lass54 ,man k5nt au* inv>iante ,*>act]e d] eb55 ,curv53 ihr ,ges*le*t1 die ,exi/5z d] ,moduln2 ab] eig5tli* zu e9] ,geometrie d] ,eb5e 9 dem hi] geme9t5 ,s9ne entwickelt s9d diese ,betra*tung5 no* ni*t4 ,im ,raume i/ die ganze ,!orie no* er/ im ,ent/eh5 begriff54 ,von d5 rational5 ,um=mung5 k5nt man bis jetzt nur w5ige und b5utzt dieselb51 um bekannte ,fl*5 mit unbekannt5 dur* ,abbildung 9 ,v]b9dung zu setz54 -- #b4 ,die ,analysis situs4 ,9 d] sog4 ,analysis situs su*t man das ,bleib5de geg5b] sol*5 ,um=mung51 die aus un5dli* kle95 ,v]z]rung5 dur* ,zusamm5setzung ent/eh54 ,au* hi] muss man1 wie b]eits gesagt1 unt]s*eid51 ob das ganze ,gebiet1 also etwa d] ,raum1 als ,object d] ,trans=mation5 g$a*t w]d5 soll1 od] nur e9e aus ihm ausgesond]te ,mannigfaltigkeit1 e9e ,fl*e4 ,die ,trans=mation5 d] er/5 ,art s9d es1 die man e9] ,raumgeometrie wrde zu ,grunde leg5 knn54 ,ihre ,gruppe wre wes5tli* &]s con/ituirt1 als die bi%] betra*tet5 es w>54 ,indem sie alle ,trans=mation5 umfas/1 die si* aus reell g$a*t5 un5dli* kle95 ,puncttrans=mation5 zusamm5setz51 trgt sie die pr9cipielle ,bes*rnkung auf reelle ,raumelem5te 9 si*1 und bewegt si* auf dem ,gebiete d] willkrli*5 ,function4 ,man kann diese ,trans=mationsgruppe ni*t unges*ickt erweit]n1 indem man sie no* mit d5 reell5 ,coll9eation51 die au* das un5dli* ,f]ne modificir51 v]b9det4 -- #c4 ,die ,gruppe all] ,puncttrans=mation54 ,w5n geg5b] dies] ,gruppe ke9e ,fl*e mehr individuelle ,eig5s*aft5 besitzt1 da j$e 9 j$e &]e dur* ,trans=mation5 d] ,gruppe b]gefhrt w]d5 kann1 s s9d es h"h ,gebilde1 bei d]5 ,unt]su*ung die ,gruppe mit ,vor!il ,anw5dung f9det4 ,bei d] ,auffassung d] ,geometrie1 wie sie hi] zu ,grunde gelegt i/1 kann es glei*gltig se91 w5n diese ,gebilde sei!r ni*t s[ohl als geometris*e sond]n nur als analytis*e betra*tet wurd51 die geleg5tli* geometris*e ,anw5dung f&51 und w5n man bei ihr] ,unt]su*ung ,processe anw&te 7wie eb5 beliebige ,puncttrans=mation571 die man er/ 9 neu]] ,zeit bewus/ als geometris*e ,um=mung5 aufzufass5 begonn5 hat4 ,unt] diese analytis*5 ,gebilde gehr5 vor all5 die homog55 ,diff]5tialausdrcke1 sodann au* die p>tiell5 ,diff]5tialglei*ung54 ,bei d] allgeme95 ,discussion d] letzt]5 s*e9t ab]1 wie 9 dem folg5d5 ,p>agraph5 ausgefhrt wird1 die umfass5d]e ,gruppe all] ,b]hrung/rans=mation5 no* vorteilhaft]4 ,d] ,hauptsatz1 d] 9 d] ,geometrie1 wel*e die ,gruppe all] ,puncttrans=mation5 zu ,grunde legt1 9 ,geltung i/1 i/ d]1 dass e9e ,puncttrans=mation fr e9e un5dli* kle9e ,p>tie des ,raumes imm] d5 ,w]? e9] l9e>5 ,trans=mation hat4 ,die ,entwickelung5 d] projectivis*5 ,geometrie hab5 also nun ihr5 ,w]? fr das ,un5dli*kle9e1 und hi]9 liegt1 mag son/ die ,wahl d] ,gruppe bei ,beh&lung von ,mannigfaltigkeit5 willkrli* se9 -- hi]9 liegt e9 auszei*n5d] ,"* fr die projectivis*e ,ans*auungsweise4 ,na*dem nun s*on lange von dem ,v]hltnisse d] ,betra*tungsweis51 die e9&] e9s*liess5de ,grupp5 zu ,grunde leg51 ni*t mehr die ,r$e w>1 mag hi] no* e9mal e9 ,beispiel fr die allgeme9e ,!orie des 4#b gegeb5 w]d54 ,wir mg5 uns die ,frage vorleg51 wie d5n vom ,/&puncte all] ,puncttrans=mation5 projectivis*e ,eig5s*aft5 aufzufass5 s9d1 wobei von d5 duali/is*5 ,um=mung51 die eig5tli* mit zur ,gruppe d] projectivis*5 ,geometrie gehr51 abgeseh5 w]d5 mag4 ,die ,frage deckt si* dann mit d] &]n3 dur* wel*e ,b$+ung aus d] ,gesamm!it d] ,puncttrans=mation5 die ,gruppe d] l9e>5 ausges*i$5 wird4 ,das ,*>act]i/is*e d] letzt]5 i/1 dass sie j$] ,eb5e e9e ,eb5e zuordn53 sie s9d diej5ig5 ,puncttrans=mation51 v]mge d]5 die ,mannigfaltigkeit d] ,eb55 7od]1 0 auf dasselbe h9aus kommt1 d] g]ad5 ,l9i57 erhalt5 bleibt4 ,die projectivis*e ,geometrie i/ aus d] ,geometrie all] ,puncttrans=mation5 eb5so dur* ,adjunction d] ,mannigfaltigkeit d] ,eb55 zu gew9n51 wie die elem5t>e ,geometrie aus d] projectivis*5 dur* ,adjunction des un5dli* f]n5 ,kugelkreises4 ,insbesond]e hab5 wir z4 ,b4 vom ,/&puncte all] ,puncttrans=mation5 die ,bezei*nung e9] ,fl*e als e9] algebrais*5 von e9] gewiss5 ,ordnung als e9e inv>iante ,beziehung zur ,mannigfaltigkeit d] ,eb55 aufzufass54 ,es wird dies re*t deutli*1 w5n man1 mit ,grassmann1 die ,erzeugung d] algebrais*5 ,gebilde an ihre l9eale ,con/ruction knpft4 4#i4 ,von d] ,gruppe all] ,b]hrung/rans=mation54 ---------------------------------------- ------------- ,b]hrung/rans=mation5 s9d zw> 9 e9zeln5 ,fll5 s*on lange betra*tet2 au* hat ,jacobi bei analytis*5 ,unt]su*ung5 b]eits von d5 allgeme9/5 ,b]hrung/rans=mation5 ,gebrau* gema*t2 ab] 9 die leb5dige geometris*e ,ans*auung wurd5 sie er/ dur* neu]e ,arbeit5 von ,lie e+efhrt#bh4 ,es i/ dah] wohl ni*t b]flssig1 hi] ausdrckli* ause9&]zusetz51 0 e9e ,b]hrung/rans=mation i/1 wobei wir uns1 wie imm]1 auf d5 ,punctraum mit se95 drei ,dim5sion5 bes*rnk54 ,unt] e9] ,b]hrung/rans=mation hat man1 analytis* zu r$51 j$e ,sub/itution zu v]/eh51 wel*e die ,v>iabel-,w]! x1 y1 z und ihre p>tiell5 ,diff]5tialquoti5t5 dz_/dx p1 dz_/dy q dur* neue x'1 y'1 z'1 p'1 q' ausdrckt4 ,dabei geh51 wie ersi*tli*1 si* b]hr5de ,fl*5 im ,allgeme95 wi$] 9 si* b]hr5de ,fl*5 b]1 0 d5 ,nam5 ,b]hrung/rans=mation begrndet4 ,die ,b]hrung/rans=mation5 z]fall51 w5n man vom ,puncte als ,raumelem5t ausgeht1 9 drei ,class53 sol*e1 die d5 dreifa* un5dli* viel5 ,punct5 wi$] ,puncte zuordn5 -- das s9d die eb5 betra*tet5 ,puncttrans=mation5 --1 sol*e1 die sie 9 ,curv51 endli* sol*e1 die sie 9 ,fl*5 b]fhr54 ,diese ,e9!ilung hat man ins(]n ni*t als e9e wes5tli*e zu betra*t51 als bei ,b5utzung &]] dreifa* un5dli* viel] ,raumelem5te1 etwa d] ,eb551 all]d+s wi$] e9e ,!ilung 9 drei ,grupp5 e9tritt1 die ab] mit d] ,!ilung1 die unt] ,zugrundelegung d] ,puncte /att f&1 ni*t co9cidirt4 ,w5d5 wir auf e95 ,punct alle ,b]hrung/rans=mation5 an1 s geht er 9 die ,gesamm!it all] ,puncte1 ,curv5 und ,fl*5 b]4 ,9 ihr] ,gesamm!it er/ bild5 also ,puncte1 ,curv5 und ,fl*5 e95 ,krp] uns]] ,gruppe4 ,man mag d>aus die allgeme9e ,regel abnehm51 dass die =male ,beh&lung e9es ,problems im ,s9ne all] ,b]hrung/rans=mation5 7also etwa die soglei* vorzutrag5de ,!orie d] p>tiell5 ,diff]5tialglei*ung57 e9e unvollkomm5e w]d5 muss1 s[ie man mit ,punct- 7od] ,eb55-7 ,coord9at5 op]irt1 da die zu ,grunde gelegt5 ,raumelem5te eb5 ke95 ,krp] bild54 ,alle 9 dem g54 ,krp] en?alt5e ,individu5 als ,raumelem5te e9zufhr51 geht ab]1 w man 9 ,v]b9dung mit d5 gewhnli*5 ,me?od5 bleib51 ni*t an1 da d]5 ,zahl un5dli*fa* un5dli* i/4 ,hi]9 liegt die ,notw5digkeit1 bei dies5 ,betra*tung5 ni*t d5 ,punct1 ni*t die ,curve od] die ,fl*e1 sond]n das ,fl*5elem5t1 d4 h4 das ,w]?sy/em x1 y1 z1 p1 q als ,raumelem5t e9zufhr54 ,bei j$] ,b]hrung/rans=mation wird aus j$em ,fl*5elem5te e9 neues2 die fnffa* un5dli* viel5 ,fl*5elem5te bild5 also e95 ,krp]4 ,bei diesem ,/&puncte muss man ,punct1 ,curve1 ,fl*e glei*mssig als ,aggregate von ,fl*5elem5t5 auffass51 und zw> von zweifa* un5dli* viel54 ,d5n die ,fl*e wird von #b ,elem5t5 b$eckt1 die ,curve von eb5so viel5 b]hrt1 dur* d5 ,punct geh5 #b h9dur*4 ,ab] diese zweifa* un5dli*5 ,aggregate von ,elem5t5 hab5 no* e9e *>act]i/is*e ,eig5s*aft geme94 ,man bezei*ne als v]e9igte ,lage zwei] consecutiv5 ,fl*5elem5te x1 y1 z1 p1 q und xdx1 ydy1 zdz1 pdp1 qdq die ,beziehung1 wel*e dur* dz - pdx - qdy #j d>ge/ellt wird4 ,s s9d ,punct1 ,curve1 ,fl*e b]e9/imm5d zweifa* un5dli*e ,mannigfaltigkeit5 von ,elem5t51 d]5 j$es mit d5 e9fa* un5dli* viel5 ihm b5a*b>t5 v]e9igt liegt4 ,dadur* s9d ,punct1 ,curve1 ,fl*e geme9sam *>act]isirt1 und s mss5 sie au*1 w5n man die ,gruppe d] ,b]hrung/rans=mation5 zu ,grunde leg5 w1 analytis* reprs5tirt w]d54 ,die v]e9igte ,lage consecutiv] ,elem5te i/ e9e bei beliebig] ,b]hrung/rans=mation inv>iante ,beziehung4 ,ab] au* umgekehrt knn5 die ,b]hrung/rans=mation5 def9irt w]d5 als diej5ig5 ,sub/itution5 d] fnf ,v]nd]li*5 x1 y1 z1 p1 q1 v]mge d]5 die ,relation dz-pdx-qdy#j 9 si* selb/ b]gefhrt wird4 ,d] ,raum i/ also bei dies5 ,unt]su*ung5 als e9e ,mannigfaltigkeit von fnf ,dim5sion5 anzuseh5 und diese ,mannigfaltigkeit hat man zu beh&eln1 indem man als ,gruppe die ,gesamm!it all] ,trans=mation5 d] ,v>iabeln zu ,grunde legt1 wel*e e9e be/immte ,relation zwis*5 d5 ,diff]5tial5 ungend]t lass54 ,geg5/& d] ,unt]su*ung w]d5 9 er/] ,l9ie diej5ig5 ,mannigfaltigkeit51 wel*e dur* e9e od] mehr]e ,glei*ung5 zwis*5 d5 ,v>iabe9 d>ge/ellt w]d51 d4 h4 die p>tiell5 ,diff]5tialglei*ung5 er/] ,ordnung und ihre ,sy/eme4 ,e9e ,hauptfrage wird1 wie si* aus d5 ,mannigfaltigkeit5 von ,elem5t51 die gegeb55 ,glei*ung5 g5g51 e9fa*1 zweifa* un5dli*e ,reih5 von ,elem5t5 auss*eid5 lass51 d]5 j$es mit e9em b5a*b>t5 v]e9igt liegt4 ,auf e9e sol*e ,frage luft z4 ,b4 die ,aufgabe d] ,lsung e9] p>tiell5 ,diff]5tialglei*ung er/] ,ordnung h9aus4 ,man soll -- s kann man sie =mulir5 -- aus d5 vi]fa* un5dli* viel5 ,elem5t51 die d] ,glei*ung g5g51 alle zweifa* un5dli*5 ,mannigfaltigkeit5 d] bewus/5 ,art auss*eid54 ,insbesond]e die ,aufgabe d] voll/ndig5 ,lsung nimmt jetzt die prcise ,=m an3 man soll die vi]fa* un5dli* viel5 ,elem5te1 die d] ,glei*ung g5g51 auf e9e ,weise 9 zweifa* un5dli* viele d]>tige ,mannigfaltigkeit5 z]leg54 ,e9 ,v]folg dies] ,betra*tung b] p>tielle ,diff]5tialglei*ung5 kann hi] ni*t 9 d] ,absi*t lieg52 i* v]weise 9 ,bezug hi]auf auf die citirt5 ,lies*5 ,arbeit54 ,es sei nur no* h]vorgehob51 dass fr d5 ,/&punct d] ,b]hrung/rans=mation5 e9e p>tielle ,diff]5tialglei*ung er/] ,ordnung ke9e ,inv>iante hat1 dass j$e 9 j$e &]e b]gefhrt w]d5 kann1 dass also nam5tli* die l9e>5 ,glei*ung5 ni*t weit] ausgezei*net s9d4 ,unt]s*eidung5 tret5 er/ e91 w5n man zu dem ,/&puncte d] ,puncttrans=mation5 zurckgeht4 ,die ,grupp5 d] ,b]hrung/rans=mation51 d] ,puncttrans=mation51 endli* d] projectivis*5 ,um=mung5 lass5 si* 9 e9] e9heitli*5 ,weise *>act]isir51 die i* hi] ni*t unt]drck5 mag#bi4 ,b]hrung/rans=mation5 wurd5 b]eits def9irt als diej5ig5 ,um=mung51 bei d55 die v]e9igte ,lage consecutiv] ,fl*5elem5te erhalt5 bleibt4 ,die ,puncttrans=mation5 hab5 dageg5 die *>act]i/is*e ,eig5s*aft1 v]e9igt geleg5e consecutive ,l9i5elem5te 9 eb5 sol*e zu v]w&eln3 die l9e>5 und duali/is*5 ,trans=mation5 endli* bewahr5 die v]e9igte ,lage consecutiv] ,connex-,elem5te4 ,unt] e9em ,connex-,elem5te v]/ehe i* die ,v]e9igung e9es ,fl*5elem5tes mit e9em 9 ihm en?alt55 ,l9i5elem5te2 consecutive ,connexelem5te heien v]e9igt geleg51 w5n ni*t nur d] ,punct sond]n au* das ,l9i5elem5t des e95 9 dem ,fl*5elem5te des &]5 en?alt5 i/4 ,die 7brig5s vorlufige7 ,bezei*nung3 ,connexelem5t bezieht si* auf die von ,clebs* neu]d+s#cj 9 die ,geometrie e+efhrt5 ,gebilde1 wel*e dur* e9e ,glei*ung d>ge/ellt w]d51 die glei*zeitig e9e ,reihe ,punct-1 e9e ,reihe ,eb55- und e9e ,reihe ,l9i5coord9at5 en?alt51 und d]5 ,analoga 9 d] ,eb5e ,clebs* als ,connexe bezei*net4 4#aj4 ,ueb] beliebig ausg$ehnte ,mannigfaltigkeit54 ---------------------------------------- ------------ ,es wurde b]eits wi$]holt h]vorgehob51 wie bei d] ,anknpfung d] bi%]ig5 ,ause9&]setzung5 an die rumli*e ,vor/ellung nur d] ,wuns* mageb5d w>1 die ab/ract5 ,begriffe dur* ,anlehnung an ans*auli*e ,beispiele lei*t] entwickeln zu knn54 ,an und fr si* s9d die ,betra*tung5 von dem s9nli*5 ,bilde unabhngig und gehr5 dem allgeme95 ,gebiete ma!matis*] ,=s*ung an1 das man als die ,lehre von d5 ausg$ehnt5 ,mannigfaltigkeit51 od] 7na* ,grassmann7 kurz als ,ausdehnungslehre bezei*net4 ,wie man die ,ueb]tragung des ,vorh]geh5d5 vom ,raume auf d5 bloss5 ,mannigfaltigkeitsbegriff zu bew]k/ellig5 hat1 i/ ersi*tli*4 ,es sei dabei nur no* e9mal bem]kt1 dass wir bei d] ab/ract5 ,unt]su*ung1 d] ,geometrie geg5b]1 d5 ,vor!il hab51 die ,gruppe von ,trans=mation51 wel*e wir zu ,grunde leg5 woll51 ganz willkrli* whl5 zu knn51 whr5d 9 d] ,geometrie e9e kle9/e ,gruppe1 die ,hauptgruppe1 von ,vornh]e9 gegeb5 w>4 ,wir mg5 hi] nur die folg5d5 drei ,beh&lungsweis51 und au* diese ganz kurz b]hr54 #a4 ,die projectivis*e ,beh&lungsweise od] die mod]ne ,algebra 7,inv>iant5!orie74 ,ihre ,gruppe be/eht 9 d] ,gesamm!it d] l9e>5 und duali/is*5 ,trans=mation5 d] zur ,d>/ellung des ,e9zeln5 9 d] ,mannigfaltigkeit v]w5det5 ,v]nd]li*52 sie i/ die ,v]allgeme9]ung d] projectivis*5 ,geometrie4 ,es wurde b]eits h]vorgehob5 wie diese ,beh&lungsweise bei d] ,discussion des un5dli* ,kle95 9 e9] um e9e ,dim5sion mehr ausg$ehnt5 ,mannigfaltigkeit zur ,v]w5dung kommt4 ,sie s*lies/ die beid5 no* zu n5n5d5 ,beh&lungsweis5 9 dem ,s9ne e91 als ihre ,gruppe die bei j55 zu ,grunde zu leg5de ,gruppe umfas/4 #b4 ,die ,mannigfaltigkeit von con/antem ,krmmungsmae4 ,die ,vor/ellung e9] sol*5 erwu*s bei ,riemann aus d] allgeme9]5 e9] ,mannigfaltigkeit1 9 d] e9 ,diff]5tialausdruck d] ,v]nd]li*5 gegeb5 i/4 ,die ,gruppe be/eht bei ihm aus d] ,gesamm!it d] ,trans=mation5 d] ,v>iabeln1 wel*e d5 gegeb55 ,ausdruck ungend]t lass54 ,von e9] &]n ,seite kommt man zur ,vor/ellung e9] ,mannigfaltigkeit von con/ant] ,krmmung1 w5n man im projectivis*5 ,s9ne auf e9e zwis*5 d5 ,v]nd]li*5 gegeb5e quadratis*e ,glei*ung e9e ,mabe/immung grndet4 ,bei dies] ,weise tritt geg5b] d] ,riemanns*5 die ,erweit]ung e91 dass die ,v>iabeln als complex g$a*t w]d52 man mag h9t]h] die ,v]nd]li*keit auf das reelle ,gebiet bes*rnk54 ,hi]h] gehr5 die grosse ,reihe von ,unt]su*ung51 die wir 9 4 #e1 #f1 #g b]hrt hab54 #c4 ,die eb5e ,mannigfaltigkeit4 ,als eb5e ,mannigfaltigkeit bezei*net ,riemann die ,mannigfaltigkeit von con/antem v]s*w9d5d5 ,krmmungsmae4 ,ihre ,!orie i/ die unmittelb>e ,v]allgeme9]ung d] elem5t>5 ,geometrie4 ,ihre ,gruppe kann1 -- wie die ,hauptgruppe d] ,geometrie -- aus d] ,gruppe d] projectivis*5 dadur* ausges*i$5 w]d51 dass man e9 ,gebilde fe/ hlt1 wel*es dur* zwei ,glei*ung51 e9e l9e>e und e9e quadratis*e1 d>ge/ellt wird4 ,dabei hat man zwis*5 ,reellem und ,imag9rem zu unt]s*eid51 w5n man si* d] ,=m1 unt] d] die ,!orie gewhnli* d>ge/ellt wird1 ans*liess5 w4 ,hi]h] zu re*n5 s9d vor ,allem die elem5t>e ,geometrie selb/1 dann z4 ,b4 die 9 neu]] ,zeit entwickelt5 ,v]allgeme9]ung5 d] gewhnli*5 ,krmmung/heorie u4 s4 w4 ,s*lussbem]kung54 ------------------- ,zum ,s*lusse mg5 no* zwei ,bem]kung5 ihre ,/elle f9d51 die mit dem bi%] ,vorgetrag55 9 eng] ,beziehung /eh52 die e9e betrifft d5 ,=malismus1 dur* wel*e man die begriffli*5 ,entwicklung5 d5 ,vorangeh5d5 reprs5tir5 w1 die &]e soll e9ige ,probleme k5nzei*n51 d]5 ,inangriffnahme na* d5 hi] gegeb55 ,ause9&]setzung5 als wi*tig und lohn5d ers*e9t4 ,man hat d] analytis*5 ,geometrie hufig d5 ,vorwurf gema*t1 dur* ,e9fhrung des ,coord9at5sy/ems willkrli*e ,elem5te zu bevorzug51 und dies] ,vorwurf trifft glei*mssig j$e ,beh&lungsweise ausg$ehnt] ,mannigfaltigkeit51 wel*e das ,e9zelne dur* die ,w]! von ,v]nd]li*5 *>act]isirt4 ,w> dies] ,vorwurf bei d] mangelhaft5 ,art1 mit d] man nam5tli* frh] die ,coord9at5me?ode h&habte1 nur zu (t g]e*tf]tigt1 s v]s*w9det er bei e9] rationell5 ,beh&lung d] ,me?ode4 ,die analytis*5 ,ausdrcke1 wel*e bei d] ,unt]su*ung e9] ,mannigfaltigkeit im ,s9ne e9] ,gruppe ent/eh5 knn51 mss51 ihr] ,b$eutung na*1 von dem ,coord9at5sy/eme1 ins(]n es zufllig gewhlt i/1 unabhngig se91 und es gilt nun1 diese ,unabhngigkeit au* =mal 9 ,evid5z zu setz54 ,dass dies mgli* i/ und wie es zu ges*eh5 hat1 zeigt die mod]ne ,algebra1 9 d] d] =male ,inv>iant5begriff1 um d5 es si* hi] h&elt1 am deutli*/5 ausgeprgt i/4 ,sie besitzt e9 allgeme9es und ers*pf5des ,bildungsgesetz fr inv>iante ,ausdrcke und op]irt pr9cipiell nur mit sol*54 ,die glei*e ,=d]ung soll man an die =male ,beh&lung /ell51 au* w5n &]e ,grupp51 als die projectivis*e1 zu ,grunde gelegt s9d4 ,d5n d] ,=malismus soll si* do* mit d] ,begriffsbildung deck51 mag man nun d5 ,=malismus nur als prcis5 und dur*si*tig5 ,ausdruck d] ,begriffsbildung v]w]!n1 od] w man ihn b5utz51 um an se9] ,h& 9 no* un]=s*te ,gebiete e9zudr+54 -- ,die ,problem/ellung1 d]5 wir no* erwhn5 wollt51 erw*/ dur* e95 ,v]glei* d] vorgetrag55 ,ans*auung5 mit d] sog4 ,galoiss*5 ,!orie d] ,glei*ung54 ,9 d] ,galoiss*5 ,!orie1 wie hi]1 conc5trirt si* das ,int]esse auf ,grupp5 von ,a5d]ung54 ,die ,objecte1 auf wel*e si* die ,a5d]ung5 bezieh51 s9d all]d+s v]s*i$52 man hat es dort mit e9] endli*5 ,zahl discret] ,elem5te1 hi] mit d] un5dli*5 ,zahl von ,elem5t5 e9] /etig5 ,mannigfaltigkeit zu ?un4 ,ab] d] ,v]glei* ls/ si* bei d] ,id5titt des ,grupp5begriffes do* weit] v]folg5#ca1 und es mag dies hi] um s lieb] ang$eutet w]d51 als dadur* die ,/ellung *>act]isirt wird1 die man gewiss5 von ,lie und mir begonn55 ,unt]su*ung5#cb im ,s9ne d] hi] entwickelt5 ,ans*auung5 zuzuweis5 hat4 ,9 d] ,galoiss*5 ,!orie1 wie sie z4 ,b4 9 ,s]rets ,trait d',algbre suprieure#ai od] 9 ,c4 ,jordans ,trait des sub/itutions#bj d>ge/ellt wird1 i/ d] eig5tli*e ,unt]su*ungsgeg5/& die ,grupp5- od] ,sub/itution/heorie selb/1 die ,glei*ung/heorie flies/ aus ihr als e9e ,anw5dung4 ,entspre*5d v]lang5 wir e9e ,trans=mation/heorie1 e9e ,lehre von d5 ,grupp51 wel*e von ,trans=mation5 gegeb5] ,bes*aff5heit erzeugt w]d5 knn54 ,die ,begriffe d] ,v]taus*b>keit1 d] ,aehnli*keit u4 s4 w4 komm51 wie 9 d] ,sub/itution/heorie1 zur ,v]w5dung4 ,als e9e ,anw5dung d] ,trans=mation/heorie ers*e9t die aus d] ,zugrundelegung d] ,trans=mationsgrupp5 fliess5de ,beh&lung d] ,mannigfaltigkeit4 ,9 d] ,glei*ung/heorie s9d es zun*/ die symmetris*5 ,function5 d] ,coeffici5t51 die das ,int]esse auf si* zieh51 sodann ab] diej5ig5 ,ausdrcke1 wel*e1 w5n ni*t bei all51 s dur* e9e grss]e ,reihe von ,v]taus*ung5 d] ,wurzeln ungend]t bleib54 ,bei d] ,beh&lung e9] ,mannigfaltigkeit unt] ,zugrundelegung e9] ,gruppe frag5 wir entspre*5d zun*/ na* d5 ,krp]n 74#e71 na* d5 ,gebild51 die dur* alle ,trans=mation5 d] ,gruppe ungend]t bleib54 ,ab] es gibt ,gebilde1 wel*e ni*t alle ab] e9ige ,trans=mation5 d] ,gruppe zulass51 und diese s9d dann im ,s9ne d] auf die ,gruppe gegrndet5 ,beh&lung besond]s int]essant1 sie hab5 ausgezei*nete ,eig5s*aft54 ,es kommt das also d>auf h9aus1 im ,s9ne d] gewhnli*5 ,geometrie symmetris*e1 regulre ,krp]1 ,rotations- und ,s*raub5fl*5 auszuzei*n54 ,/ellt man si* auf d5 ,/&punct d] projectivis*5 ,geometrie und v]langt insbesond]e1 dass die ,trans=mation51 dur* wel*e die ,gebilde 9 si* b]geh51 v]taus*b> se9 soll51 s kommt man auf die von ,lie und mir 9 dem citirt5 ,aufsatze#ah betra*tet5 ,gebilde und auf das 9 4#f4 desselb5 ge/ellte allgeme9e ,problem4 ,die dort 9 4 #a1 #c gegeb5e ,be/immung all] ,grupp5 un5dli* viel] v]taus*b>] l9e>] ,trans=mation5 9 d] ,eb5e gehrt als e9 ,!il 9 die soeb5 g5annte allgeme9e ,trans=mation/heorie#cc4 ,not54 ,i4 ,ueb] d5 ,geg5satz d] syn!tis*5 und analytis*5 ,ri*tung 9 d] neu]5 ,geometrie4 ---------------------------------------- ---------------------------------------- ------------ ,d5 ,unt]s*i$ zwis*5 neu]] ,syn!se und neu]] analytis*] ,geometrie hat man zur ,zeit ni*t mehr als e95 wes5tli*5 zu betra*t51 da d] g$ankli*e ,inhalt s[ohl als die ,s*lussweise si* auf beid5 ,seit5 allmhli* ganz hnli* ge/altet hab54 ,dah] whl5 wir im ,texte zur geme9sam5 ,bezei*nung beid] das ,wort projectivis*e ,geometrie4 ,w5n die syn!tis*e ,me?ode mehr mit rumli*] ,ans*auung arbeitet und ihr5 er/51 e9fa*5 ,entwickelung5 dadur* e95 ungeme95 ,reiz er!ilt1 s i/ das ,gebiet rumli*] ,ans*auung d] analytis*5 ,me?ode ni*t v]s*loss51 und man kann die ,=meln d] analytis*5 ,geometrie als e95 prcis5 und dur*si*tig5 ,ausdruck d] geometris*5 ,beziehung5 auffass54 ,man hat auf d] &]5 ,seite d5 ,vor!il ni*t zu unt]s*tz51 d5 e9 gut angelegt] ,=malismus d] ,weit]=s*ung dadur* lei/et1 dass er gewiss]maen dem ,g$ank5 vorauseilt4 ,es i/ zw> imm] an d] ,=d]ung fe/zuhalt51 dass man e95 ma!matis*5 ,geg5/& no* ni*t als erl$igt betra*t5 soll1 s lange er ni*t begriffli* evid5t geword5 i/1 und es i/ das ,vordr+5 an d] ,h& des ,=malismus eb5 nur e9 er/] ab] s*on sehr wi*tig] ,s*ritt4 ,,ii4 ,tr5nung d] heutig5 ,geometrie 9 ,discipl954 ---------------------------------------- ----------- ,w5n man z4 ,b4 bea*tet1 wie d] ma!matis*e ,physik] si* dur*gngig d] ,vor!ile ents*lgt1 die ihm e9e nur e9ig]maen ausgebildete projectivis*e ,ans*auung 9 viel5 ,fll5 gewhr5 kann1 wie auf d] &]5 ,seite d] ,projectivik] die rei*e ,fundgrube ma!matis*] ,wahrheit5 unb]hrt ls/1 wel*e die ,!orie d] ,krmmung d] ,fl*5 aufg$eckt hat1 s muss man d5 geg5wrtig5 ,zu/& des geometris*5 ,wiss5s als re*t unvollkomm5 und als h(f5tli* vorb]geh5d betra*t54 ,,iii4 ,ueb] d5 ,w]? rumli*] ,ans*auung4 ---------------------------------------- --- ,w5n wir im ,texte die rumli*e ,ans*auung als etwas ,beilufiges bezei*n51 s i/ dies mit ,bezug auf d5 re9 ma!matis*5 ,inhalt d] zu =mulir5d5 ,betra*tung5 geme9t4 ,die ,ans*auung hat fr ihn nur d5 ,w]? d] ,v]ans*auli*ung1 d] all]d+s 9 pdagogis*] ,beziehung sehr ho* anzus*lag5 i/4 ,e9 geometris*es ,modell z4 ,b4 i/ auf diesem ,/&puncte sehr lehrrei* und int]essant4 ,ganz &]s /ellt si* ab]1 die ,frage na* dem ,w]! d] rumli*5 ,ans*auung b]haupt4 ,i* /elle d5selb5 als etwas selb/ndiges h94 ,es gibt e9e eig5tli*e ,geometrie1 die ni*t1 wie die im ,texte bespro*55 ,unt]su*ung51 nur e9e v]ans*auli*te ,=m ab/ract]] ,unt]su*ung5 se9 w4 ,9 ihr gilt es1 die rumli*5 ,figur5 na* ihr] voll5 ge/altli*5 ,wirkli*keit aufzufass5 und 70 die ma!matis*e ,seite i/7 die fr sie gelt5d5 ,beziehung5 als evid5te ,folg5 d] ,grundstze rumli*] ,ans*auung zu v]/eh54 ,e9 ,modell -- mag es nun ausgefhrt und anges*aut od] nur lebhaft vorge/ellt se9 -- i/ fr diese ,geometrie ni*t e9 ,mittel zum ,zwecke sond]n die ,sa*e selb/4 ,w5n wir s1 neb5 und unabhngig von d] re95 ,ma!matik1 ,geometrie als etwas ,selb/ndiges h9/ell51 s i/ das an und fr si* gewiss ni*ts ,neues4 ,es i/ ab] wns*5sw]?1 dies5 ,gesi*tspunct ausdrckli* e9mal wi$] h]vorzuheb51 da die neu]e ,=s*ung ihn fa/ ganz b]geht4 ,hi]mit hngt zusamm51 dass umgekehrt die neu]e ,=s*ung selt5 dazu v]w5det wurde1 w5n es galt1 ge/altli*e ,v]hltnisse rumli*] ,erzeugnisse zu beh]rs*51 und do* s*e9t sie g]ade 9 dies] ,ri*tung sehr fru*tb>4 ,,iv4 ,ueb] ,mannigfaltigkeit5 von beliebig viel5 ,dim5sion54 ---------------------------------------- --------------------- ,dass d] ,raum1 als ,ort fr ,puncte aufgefas/1 nur drei ,dim5sion5 hat1 brau*t vom ma!matis*5 ,/&puncte aus ni*t discutirt zu w]d52 eb5so w5ig kann man ab] vom ma!matis*5 ,/&puncte aus ,jem&5 h9d]n1 zu behaupt51 d] ,raum habe eig5tli* vi]1 od] unbegrnzt viele ,dim5sion51 wir sei5 ab] nur im ,/&e1 drei wahrzunehm54 ,die ,!orie d] mehrfa* ausg$ehnt5 ,mannigfaltigkeit51 wie sie je lng] je mehr 9 d5 ,vord]grund neu]] ma!matis*] ,=s*ung tritt1 i/1 ihrem ,wes5 na*1 von e9] sol*5 ,behauptung vollkomm5 unabhngig4 ,es hat si* 9 ihr ab] e9e ,r$eweise e+ebrg]t1 die all]d+s dies] ,vor/ellung entfloss5 i/4 ,man spri*t1 /att von d5 ,individu5 e9] ,mannigfaltigkeit1 von d5 ,punct5 e9es hh]5 ,raumes etc4 ,an und fr si* hat diese ,r$eweise man*es ,gute1 ins(]n sie dur* ,er9n]n an die geometris*5 ,ans*auung5 das ,v]/ndniss erlei*t]t4 ,sie hat ab] die na*!ilige ,folge gehabt1 dass 9 ausg$ehnt5 ,kreis5 die ,unt]su*ung5 b] ,mannigfaltigkeit5 mit beliebig viel5 ,dim5sion5 als solid>is* era*tet w]d5 mit d] erwhnt5 ,vor/ellung von d] ,bes*aff5heit des ,raumes4 ,ni*ts i/ grundlos] als diese ,auffassung4 ,die betr4 ma!matis*5 ,unt]su*ung5 wrd5 all]d+s s(ort geometris*e ,v]w5dung f9d51 w5n die ,vor/ellung ri*tig wre1 -- ab] ihr ,w]? und ihre ,absi*t ruht1 gnzli* unabhngig von dies] ,vor/ellung1 9 ihrem eig55 ma!matis*5 ,inhalte4 ,etwas ganz &]s i/ es1 w5n ,plck] gelehrt hat1 d5 wirkli*5 ,raum als e9e ,mannigfaltigkeit von beliebig viel5 ,dim5sion5 aufzufass51 indem man als ,elem5t des ,raumes e9 von beliebig viel5 ,p>amet]n abhng5des ,gebilde 7,curve1 ,fl*e etc47 e9fhrt 7v]gl4 4#e des ,textes74 ,die ,vor/ellungsweise1 wel*e das ,elem5t d] beliebig ausg$ehnt5 ,mannigfaltigkeit als e9 ,analogon zum ,puncte des ,raumes betra*tet1 i/ wohl zu]/ von ,grassmann 9 se9] ,ausdehnungslehre 7#ahdd1 #ag7 entwickelt word54 ,bei ihm i/ d] ,g$anke vllig frei von d] erwhnt5 ,vor/ellung von d] ,natur des ,raumes2 letzt]e geht auf geleg5tli*e ,bem]kung5 von ,gauss zurck und wurde dur* ,riemanns ,unt]su*ung5 b] mehrfa* ausg$ehnte ,mannigfaltigkeit51 9 wel*e sie mit e+eflo*t5 i/1 9 weit]5 ,kreis5 bekannt4 ,beide ,auffassungsweis5 -- die ,grassmanns*e wie die ,plck]s*e -- hab5 ihre eig5tmli*5 ,vorzge2 man v]w5det sie beide1 zwis*5 ihn5 abwe*selnd1 mit ,vor!il4 ,v4 ,ueb] die sog5annte ,ni*t-,euklidis*e ,geometrie4 ---------------------------------------- ------------ ,die im ,texte geme9te projectivis*e ,mageometrie co9cidirt1 wie neu]e ,unt]su*ung5 gelehrt hab51 dem ,wes5 na* mit d] ,mageometrie1 wel*e unt] ,ni*t-,annahme des ,p>allel5-,axioms entworf5 w]d5 kann und die zur ,zeit unt] dem ,nam5 d] ,ni*t-,euklidis*5 ,geometrie vielfa* bespro*5 und disputirt wird4 ,w5n wir im ,texte dies5 ,nam5 b]haupt ni*t b]hrt hab51 s ges*ah es aus e9em ,grunde1 d] mit d5 9 d] vor/eh5d5 ,note gegeb55 ,ause9&]setzung5 v]w&t i/4 ,man v]knpft mit dem ,nam5 ,ni*t-,euklidis*e ,geometrie e9e ,m5ge unma!matis*] ,vor/ellung51 die auf d] e95 ,seite mit eb5 s viel ,eif] gepflegt als auf d] &]5 p]horrescirt w]d51 mit d55 ab] uns]e re9 ma!matis*5 ,betra*tung5 g> ,ni*ts zu s*aff5 hab54 ,d] ,wuns*1 9 dies] ,ri*tung etwas zur ,klrung d] ,begriffe beizutrag51 mag die folg5d5 ,ause9&]setzung5 motivir54 ,die geme9t5 ,unt]su*ung5 b] ,p>allel5!orie hab5 mit ihr5 ,weit]bildung5 ma!matis* na* zwei ,seit5 e95 be/immt5 ,w]?4 ,sie zeig5 e9mal -- und dieses ihr ,ges*ft kann man als e9 e9maliges1 abges*loss5es betra*t5 --1 dass das ,p>allel5axiom ke9e ma!matis*e ,folge d] gewhnli* vorange/ellt5 ,axiome i/1 sond]n dass e9 wes5tli* neues ,ans*auungselem5t1 wel*es 9 d5 vorh]geh5d5 ,unt]su*ung5 ni*t b]hrt wurde1 9 ihm zum ,ausdruck gelangt4 ,aehnli*e ,unt]su*ung5 knnte man und sollte man mit ,bezug auf j$es ,axiom ni*t nur d] ,geometrie dur*fhr52 man wrde dadur* an ,e9si*t 9 die geg5seitige ,/ellung d] ,axiome gew9n54 ,dann ab] hab5 uns diese ,unt]su*ung5 mit e9em w]?voll5 ma!matis*5 ,begriffe bes*5kt3 dem ,begriffe e9] ,mannigfaltigkeit von con/ant] ,krmmung4 ,er hngt1 wie b]eits bem]kt und wie 9 4#aj des ,textes no* weit] ausgefhrt i/1 mit d] unabhngig von all] ,p>allel5!orie erwa*s55 projectivis*5 ,mabe/immung auf das ,innig/e zusamm54 ,w5n das ,/udium dies] ,mabe/immung an und fr si* hohes ma!matis*es ,int]esse bietet und zahlrei*e ,anw5dung5 ge/attet1 s kommt h9zu1 dass sie die 9 d] ,geometrie gegeb5e ,mabe/immung als speciell5 ,fall 7,grnz-fall7 umfas/ und uns lehrt1 dieselbe von e9em erhht5 ,/&puncte aufzufass54 ,vllig unabhngig von d5 entwickelt5 ,gesi*tspunkt5 /eht die ,frage1 wel*e ,grnde das ,p>allel5-,axiom /tz51 ob wir dasselbe als absolut gegeb5 -- wie die ,e95 woll5 -- od] als dur* ,erfahrung nur approximativ erwies5 -- wie die ,&]5 sag5 -- betra*t5 woll54 ,sollt5 ,grnde se91 das letzt]e anzunehm51 s geb5 uns die fragl4 ma!matis*5 ,unt]su*ung5 an die ,h&1 wie man dann e9e exact]e ,geometrie zu con/ruir5 habe4 ,ab] die ,frage/ellung i/ (f5b> e9e philosophis*e1 wel*e die allgeme9/5 ,grundlag5 uns]] ,erk5ntniss betrifft4 ,d5 ,ma!matik] als sol*5 int]essirt die ,frage/ellung ni*t1 und er wns*t1 dass se9e ,unt]su*ung5 ni*t als abhngig betra*tet w]d5 von d] ,antwort1 die man von d] e95 od] d] &]5 ,seite auf die ,frage geb5 mag4 ,,vi4 ,l9i5geometrie als ,unt]su*ung e9] ,mannigfaltigkeit von con/antem ,krmmungsmae4 ---------------------------------------- ---------------------------------------- --------- ,w5n wir ,l9i5geometrie mit d] projectivis*5 ,mabe/immung 9 e9] fnffa* ausg$ehnt5 ,mannigfaltigkeit 9 ,v]b9dung setz51 mss5 wir bea*t51 dass wir 9 d5 g]ad5 ,l9i5 nur die 7im ,s9ne d] ,mabe/immung7 un5dli* f]n5 ,elem5te d] ,mannigfaltigkeit vor uns hab54 ,es wird dah] n?ig1 zu b]leg51 wel*5 ,w]? e9e projectivis*e ,mabe/immung fr ihre un5dli* f]n5 ,elem5te hat1 und das mag hi] etwas ause9&]gesetzt w]d51 um ,s*wi]igkeit51 die si* son/ d] ,auffassung d] ,l9i5geometrie als e9] ,mageometrie entgeg5 /ell51 zu entf]n54 ,wir knpf5 diese ,ause9&]setzung5 an das ans*auli*e ,beispiel1 wel*es die auf e9e ,fl*e zweit5 ,grades gegrndete projectivis*e ,mabe/immung ergibt4 ,zwei beliebig ang5omm5e ,puncte des ,raumes hab5 9 ,bezug auf die ,fl*e e9e absolute ,inv>iante3 ihr ,doppelv]hltniss zu d5 beid5 ,dur*s*nittspunct5 ihr] ,v]b9dungsg]ad5 mit d] ,fl*e4 ,rck5 ab] die beid5 ,puncte auf die ,fl*e1 s wird dies ,doppelv]hltniss unabhngig von d] ,lage d] ,puncte glei* ,null1 auss] 9 dem ,falle1 dass die beid5 ,puncte auf e9e 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con/ant] ,krmmung und man hat also d5 ,satz3 ,auf d] ,fl*e erhlt man e9e sol*e ,mabe/immung1 s[ie man e95 auss]halb d] ,fl*e geleg55 ,punct fe/hlt4 ,entspre*5d f9det man#cf3 ,e9e ,mabe/immung von v]s*w9d5d] ,krmmung erhlt man auf d] ,fl*e1 w5n man fr d5 fe/5 ,punct e95 ,punct d] ,fl*e selb/ whlt4 ,fr alle diese ,mabe/immung5 auf d] ,fl*e s9d die ,erzeug5d5 d] ,fl*e ,l9i5 von v]s*w9d5d] ,lnge4 ,d] ,ausdruck fr das ,bog5elem5t auf d] ,fl*e i/ also fr die v]s*i$55 ,be/immung5 nur um e95 ,factor v]s*i$54 ,e9 absolutes ,bog5elem5t auf d] ,fl*e gibt es ni*t4 ,wohl ab] kann man von dem ,w9kel spre*51 d5 ,=ts*reitungsri*tung5 auf d] ,fl*e mit e9&] bild54 -- ,alle diese ,stze und ,betra*tung5 knn5 nun ohne ,weit]es fr ,l9i5geometrie b5utzt w]d54 ,fr d5 ,l9i5raum selb/ exi/irt zun*/ ke9e eig5tli*e ,mabe/immung4 ,e9e sol*e erw*/ er/1 w5n wir e95 l9e>5 ,complex fe/ halt51 und zw> erhlt sie con/ante od] v]s*w9d5de ,krmmung1 je na*dem d] ,complex e9 allgeme9] od] e9 speciell] 7e9e ,g]ade7 i/4 ,an die ,auszei*nung e9es ,complexes i/ nam5tli* au* die ,geltung e9es absolut5 ,bog5elem5ts geknpft4 ,unabhngig davon s9d die ,=ts*reitungsri*tung5 zu b5a*b>t5 ,g]ad51 wel*e die gegeb5e s*neid51 von d] ,lnge ,null1 und au* kann man von e9em ,w9kel r$51 d5 zwei beliebige ,=ts*reitungsri*tung5 mit e9&] bild5#cg4 ,,vii4 ,zur ,int]pretation d] b9r5 ,=m54 ---------------------------------------- --- ,es mag hi] d] b]si*tli*5 ,ge/alt g$a*t w]d51 wel*e1 unt] ,zugrundelegung d] ,int]pretation von xiy auf d] ,kugelfl*e1 dem ,=m5sy/eme d] cubis*5 und d] biquadratis*5 b9r5 ,=m er!ilt w]d5 kann4 ,e9e cubis*e b9re ,=m f hat e9e cubis*e ,cov>iante ,q1 e9e quadratis*e 1 und e9e ,inv>iante ,r#ch4 ,aus f und ,q setzt si* e9e ganze ,reihe von ,cov>iant5 se*/5 ,grades ,q#b ,rf#b zusamm51 unt] d55 au* #c en?alt5 i/4 ,man kann zeig5#ci1 dass j$e ,cov>iante d] cubis*5 ,=m 9 sol*e ,grupp5 von se*s ,punct5 z]fall5 muss4 ,ins(]n complexe ,w]! annehm5 kann1 gibt es zweifa* un5dli* viele d]selb54 ,das ganze s umgr5zte ,=m5sy/em kann auf d] ,kugel nun folg5d]maen reprs5tirt w]d54 ,dur* geeignete l9e>e ,trans=mation d] ,kugel 9 si* selb/ br+e man die drei ,puncte1 wel*e f reprs5tir51 9 drei quidi/ante ,puncte e9es grs/5 ,kreises4 ,d]selbe mag als ,aequator bezei*net se92 auf ihm hab5 die drei ,puncte f die geographis*e ,lnge #j1 #abj1 #bdj4 ,s wird ,q dur* die ,puncte des ,aequators mit d] ,lnge #fj1 #ahj1 #cjj1 dur* die beid5 ,pole vorge/ellt4 ,j$e ,=m ,q#b ,rf#b i/ dur* #f ,puncte reprs5tirt1 d]5 geographis*e ,breite und ,lnge1 unt] und beliebige ,zahl5 v]/&51 9 dem folg5d5 ,s*ema en?alt5 i/3 71 71 71 #abj71 71 #bdj7 1 7-1 -71 7-1 #abj-71 7-1 #bdj-7 ,v]folgt man diese ,punctsy/eme auf d] ,kugel1 s i/ es int]essant1 zu seh51 wie f und ,q doppelt1 dreifa* zhl5d aus d5selb5 ent/eht4 ,e9e biquadratis*e ,=m f hat e9e eb5sol*e ,cov>iante ,h1 e9e ,cov>iante se*/5 ,grades ,t1 zwei ,inv>iant5 i und j4 ,besond]s zu bem]k5 i/ die ,s*a> biquadratis*] ,=m5 i,h jf1 die alle zu dem nmli*5 ,t gehr51 und unt] d55 die drei quadratis*5 ,factor51 9 wel*e man ,t z]leg5 kann1 doppelt zhl5d en?alt5 s9d4 -- ,man lege jetzt dur* d5 ,mittelpunct d] ,kugel drei zu e9&] re*tw9klige ,ax5 ,,ox1 ,,oy1 ,,oz4 ,ihre #f ,dur*/osspuncte mit d] ,kugel bild5 die ,=m ,t4 ,die #d ,puncte e9es ,quadrupels i,h jf s9d1 unt] x1 y1 z ,coord9at5 e9es beliebig5 ,kugelpunctes v]/&51 dur* das ,s*ema x1 y1 z1 x1 -y1 -z1 -x1 y1 -z1 -x1 -y1 z vorge/ellt4 ,die vi] ,puncte bild5 j$esmal die ,eck5 e9es symmetris*5 ,tetra$]s1 dess5 geg5b]/eh5de ,seit5 von d5 ,ax5 des ,coord9at5sy/ems halbirt w]d51 wodur* die ,rolle1 wel*e ,t 9 d] ,!orie d] biquadratis*5 ,glei*ung5 als ,resolv5te von i,h jf spielt1 gek5nzei*net i/4 ,erlang5 im ,octob] #ahgb4 99 99 99 99 99 #a ,c4 ,jordan1 8,mmoire sur les gr\pes de m\vem5ts40 ,93 ,annali di ,matematica pura et applicata #ahif1 #b1 #afg-bae http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jbd aifaj4 #b ,k4 ,g4 ,c4 v4 ,/audt1 ,geometrie ,d] ,lage1 ,fr4 ,korn1 ,nrnb]g1 #ahdg4 #c ,k4 ,g4 ,c4 v4 ,/audt1 ,beitrge ,zur ,geometrie ,d] ,lage4 ,er/es ,heft1 ,fr4 ,korn1 ,nrnb]g1 #ahef4 #d ,k4 ,g4 ,c4 v4 ,/audt1 ,beitrge ,zur ,geometrie ,d] ,lage4 ,zweites ,heft1 ,fr4 ,korn1 ,nrnb]g1 #aheg4 #e ,k4 ,g4 ,c4 v4 ,/audt1 ,beitrge ,zur ,geometrie ,d] ,lage4 ,drittes ,heft1 ,fr4 ,korn1 ,nrnb]g1 #ahfj4 #f ,f4 ,kle91 8,ueb] ,l9i5geometrie und metris*e ,geometrie0 ,93 ,ma!matis*e ,annal5 #ahgb1 #e1 #beg-bgg http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad ddhda4 #g ,o4 ,hesse1 8,e9 ,ueb]tragungspr9zip0 ,93 ,crelle's ,j\rnal fr die re9e und angew&te ,ma!matik #ahff1 #ff1 #ae-bb http3_/_/gdz4sub4uni-goett+54de_/ru_/dms _/load_/img_/8,,ppn,,ppn#bdciaifhijjff;, ,dmdiddmdlog#f4 #h ,f4 ,kle91 8,ueb] die sog5annte ,ni*t-,euklidis*e ,geometrie4 ,zweit] ,aufsatz40 ,93 ,ma!matis*e ,annal5 #ahgc1 #f1 #aab-ade http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad dcahi4 #i ,p4 ,lejeune-,diri*let1 ,vorlesung5 b] ,zahl5!orie1 ,vieweg1 ,brauns*weig1 #ahfc4 #aj ,s4 ,lie1 8,ueb] ,complexe1 insbesond]e ,l9i5- und ,kugel-,complexe1 mit ,anw5dung auf die ,!orie p>tiell] ,diff]5tial-,glei*ung540 ,93 ,ma!matis*e ,annal5 #ahgb1 #e1 #ade-bjh http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad dfcca4 #aa ,s4 ,lie1 8,ueb] diej5ige ,!orie e9es ,raumes mit beleibig viel5 ,dim5sion51 die d] ,krmmungs-,!orie des gewhnli*5 ,raumes entspri*t40 ,93 ,na*ri*t5 von d] ,knigl4 ,gesells*aft d] ,wiss5s*aft5 und d] ,georg-,augu/s-,univ]sitt zu ,gtt+5 #ahga1 #g1 #aia-bji http3_/_/resolv]4sub4uni-goett+54de_/pur l8,,ppn#bebdegjgbahga4 #ab ,h4 ,grassmann1 ,die ,ausdehnungslehre1 ,ensl91 ,b]l91 #ahfb4 #ac ,s4 ,lie1 8,zur ,!orie p>tiell] ,diff]5tialglei*ung5 er/] ,ordnung2 insbesond]e b] e9e ,classification d]selb540 ,93 ,na*ri*t5 von d] ,knigl4 ,gesells*aft d] ,wiss5s*aft5 und d] ,georg-,augu/s-,univ]sitt zu ,gtt+5 #ahgb1 #h1 #dgc-dij http3_/_/www4digizeits*rift54de_/dms_/im g_/8,,ppn,,ppn#bebdegjgbahgb4 #ad ,a4 ,clebs*1 8,ueb] e9e ,fundam5talaufgabe d] ,inv>iant5!orie40 ,93 ,ma!matis*e ,annal5 #ahgb1 #e1 #dbg-dcd http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad dbhjc4 #ae ,a4 ,clebs*1 8,ueb] e9 neues ,grundgebilde d] analysis*5 ,geometrie40 ,93 ,na*ri*t5 von d] ,knigl4 ,gesells*aft d] ,wiss5s*aft5 und d] ,georg-,augu/s-,univ]sitt zu ,gtt+5 #ahgb1 #bb1 #dbi-ddh http3_/_/resolv]4sub4uni-goett+54de_/pur l8,,ppn#bebdegjgbahgb4 #af ,a4 ,clebs*1 8,ueb] e9 neues ,grundgebilde d] analysis*5 ,geometrie d] ,eb5e40 ,93 ,ma!matis*e ,annal5 #ahgb1 #f1 #bjc-bae http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad dcaib4 #ag ,h4 ,grassmann1 ,die ,l9eale ,ausdehnungslehre _/ ,e9 ,neu] ,zweig ,d] ,ma!matik _/ ,d>ge/ellt ,und ,dur* ,anw5dung5 ,auf ,die brig5 ,zweige ,d] ,ma!matik1 ,wie ,au* ,auf ,die ,/atik1 ,me*anik1 ,die ,lehre ,vom ,magnetismus ,und ,die ,kry/allonomie ,erlut]t1 ,o4 ,wig&1 ,leipzig1 #ahdd4 #ah ,f4 und ,l4 ,s4 ,kle91 8,ueb] diej5ig5 eb55 ,curv51 wel*e dur* e9 ges*loss5es ,sy/em von e9fa* un5dli* viel5 v]taus*b>5 l9e>5 ,trans=mation5 9 si* b]geh540 ,93 ,ma!matis*e ,annal5 #ahga1 #c1 #ej-hd http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad dcbig4 #ai ,j4 ,a4 ,s]ret1 ,c\rs ,d'algbre ,suprieure1 ,gau?i]-vill>d1 ,p>is1 #ahff4 #bj ,c4 ,jordan1 ,trait ,des ,sub/itutions ,et ,des quations ,algbriques1 ,gau?i]-vill>d1 ,p>is1 #ahgj4 #ba ,a4 ,clebs*1 ,!orie ,d] ,b9r5 ,algebrais*5 ,=m51 ,teubn]1 ,leipzig1 #ahgb4 #bb ,f4 ,kle91 8,ueb] e9e geometris*e ,reprs5tation d] ,resolv5t5 algebrais*] ,glei*ung540 ,93 ,ma!matis*e ,annal5 #ahga1 #d1 #cdf-ceh http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad dbfjj4 #a3 ,v]gl4 ,note ,i4 des ,anhangs4 #b3 ,v]gl4 ,note ,,ii #c3 ,v]gl4 ,note ,,iii #d3 ,v]gl4 ,note ,,iv #e3 ,diese knappe ,=m i/ e9 ,mangel d] im ,folg5d5 gegeb55 ,d>/ellung1 d] das ,v]/ndniss1 wie i* fr*te1 wes5tli* ers*w]5 wird4 ,ab] dem htte wohl nur dur* e9e sehr viel weit]e ,ause9&]setzung abgeholf5 w]d5 knn51 9 d] die ,e9zel-,!ori51 die hi] nur b]hrt w]d51 ausfhrli* entwickelt word5 wr54 #f3 ,wir d5k5 von d5 ,trans=mation5 imm] die ,gesamm!it d] rumli*5 ,gebilde glei*zeitig betr(f5 und r$5 des%alb s*le*?9 von ,trans=mation5 des ,raumes4 ,die ,trans=mation5 knn51 wie z4 ,b4 die duali/is*51 /att d] ,puncte &]e ,elem5te e9fhr52 es wird dies im ,texte ni*t unt]s*i$54 #g3 ,begriffsbildung wie ,bezei*nung s9d h]b]g5omm5 von d] ,sub/itution/heorie1 9 d] nur an ,/elle d] ,trans=mation5 e9es cont9uirli*5 ,gebietes die ,v]taus*ung5 e9] endli*5 ,zahl discret] ,grss5 auftret54 #h3 ,camille ,jordan hat alle ,grupp5 aufge/ellt1 die b]haupt 9 d] ,gruppe d] ,bewegung5 en?alt5 s9d3 ,sur les gr\pes de m\vem5ts4 ,annali di ,matematica4 t4 ,,ii#a #i3 ,die ,trans=mation5 e9] ,gruppe brau*5 brig5s dur*aus ni*t1 wie das bei d5 im ,texte zu n5n5d5 ,grupp5 all]d+s imm] d] ,fall se9 wird1 9 /etig] ,aufe9&]folge vorh&5 zu se94 ,e9e ,gruppe bildet z4 ,b4 au* die endli*e ,reihe von ,bewegung51 die e95 regelmssig5 ,krp] mit si* selb/ zur ,deckung br+51 od] die un5dli*e1 ab] discrete ,reihe1 wel*e e9e ,s9usl9ie si* selb] sup]ponir54 #aj3 ,unt] dem ,s9ne v]/ehe i* hi] die ,eig5s*aft d] ,anordnung1 wel*e d5 ,unt]s*i$ von d] symmetris*5 ,figur 7dem ,spiegelbilde7 begrndet4 ,ihrem ,s9ne na* unt]s*i$5 s9d also z4 ,b4 e9e re*ts- und e9e l9ksgewund5e ,s*raub5l9ie4 #aa3 ,dass diese ,trans=mation5 e9e ,gruppe bild51 i/ begriffli* no?w5dig4 #ab3 ,man erzeugt e9 sol*es ,gebilde beispielsweise1 indem man auf e9 beliebiges ,anfangselem5t1 das dur* ke9e ,trans=mation d] gegeb55 ,gruppe 9 si* selb/ b]zufhr5 i/1 die ,trans=mation5 d] ,hauptgruppe anw5det4 #ac3 ,diese ,ans*auungsweise i/ als e9e d] s*n/5 ,lei/ung5 von ,*asles zu betra*t52 dur* sie er/ gew9nt die ,e9!ilung 9 ,eig5s*aft5 d] ,lage und ,eig5s*aft5 des ,maes1 wie man sie g]n an die ,spitze d] projectivis*5 ,geometrie /ellt1 e95 prcis5 ,inhalt4 #ad3 ,d5 erweit]t5 ,kreis1 d] au* imag9re ,um=mung5 umspannt1 hat v4 ,/audt er/ 9 d5 ,beitrg5 zur ,geometrie d] ,lage#c-e zu ,grunde gelegt4 #ae3 ,w5n man w1 i/ hi] das ,pr9cip unt] etwas erweit]t] ,=m angew5det4 #af3 ,/att des ,kegels*nittes 9 d] ,eb5e kann man mit glei*em ,erfolge e9e ,raumcurve dritt] ,ordnung e9fhr51 b]haupt bei n ,dim5sion5 etwas ,entspre*5des auf/ell5 #ag3 ,bez4 &]] ,beispiele1 s[ie nam5tli* d] ,erweit]ung5 auf mehr ,dim5sion51 d]5 die angefhrt5 fhig s9d1 v]weise i* auf bez4 ,ause9&]setzung5 9 e9em ,aufsatze von mir#f s[ie auf die soglei* no* zu n5n5d5 ,lies*5 ,arbeit54 #ah3 ,v]gl4 ,note ,,iii4 #ai3 ,v]gl4 ,note ,v #bj3 ,v]gl4 ,note ,,vi4 #ba3 ,i* whle d5 ,nam5 na* dem ,vorgange von ,d$ek9d1 d] 9 d] ,zahl5!orie e9 ,zahl5gebiet als ,krp] bezei*net1 w5n es aus gegeb55 ,elem5t5 dur* gegeb5e ,op]ation5 ent/&5 i/ 7,zweite ,auflage von ,diri*lets ,vorlesung5 #i47 #bb3 ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 auf d] ,g]ad5 i/ mit d] projectivis*5 ,unt]su*ung d] ,g]ad5 glei*b$eut5d1 da die bez4 ,um=mung5 die nmli*5 s9d4 ,man kann dah] au* 9 d] ,geometrie d] reciprok5 ,radi5 von e9em ,doppelv]hltnisse von vi] ,punct5 e9] ,g]ad5 und weit]h9 e9es ,kreises r$54 #bc3 ,v]glei*e die b]eits g5annte ,arbeit3 ,ueb] ,l9i5geometrie und metris*e ,geometrie4 ,ma?4 ,annal5 ,bd4 ,v #f4 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7,bd4 #ag73 ,ueb] e9e ,fundam5talaufgabe d] ,inv>iant5!orie#ad1 s[ie nam5tli* ,gtt4 ,na*ri*t5 #ahgb4 ,nr4 #bb3 ,ueb] e9 neues ,grundgebilde d] analytis*5 ,geometrie d] ,eb5e#ae1af4 #ca3 ,i* er9n]e hi] d>an1 dass ,grassmann b]eits 9 d] ,e9leitung zur er/5 ,auflage se9] ,ausdehnungslehre 7#ahdd1 #ag7 die ,comb9atorik und die ,ausdehnungslehre p>allelisirt4 #cb3 ,v]glei*e d5 geme9sam5 ,aufsatz3 ,ueb] diej5ig5 eb55 ,curv51 wel*e dur* e9 ges*loss5es ,sy/em von e9fa* un5dli* viel5 v]taus*b>5 l9e>5 ,trans=mation5 9 si* b]geh51 ,ma?4 ,annal5 ,bd4 ,,iv4 #ah4 #cc3 ,i* muss mir v]sag51 im ,texte auf die ,fru*tb>keit h9zuweis51 wel*e die ,betra*tung un5dli* kle9] ,trans=mation5 9 d] ,!orie d] ,diff]5tialglei*ung5 hat4 ,9 4#g4 d] citirt5 ,arbeit hab5 ,lie und i* gezeigt3 ,gewhnli*e ,diff]5tialglei*ung51 wel*e glei*e un5dli* kle9e ,trans=mation5 zugeb51 biet5 glei*e ,integrationss*wi]igkeit54 ,wie die ,betra*tung5 fr p>tielle ,diff]5tialglei*ung5 zu v]w]!n sei51 hat ,lie an v]s*i$55 ,ort51 s bes4 9 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