,vergleichende ,betrachtungen ber neuere geometrische ,forschungen ,felix ,klein #ahgb ,erlangen ,verlag von ,andreas ,deichert ,unter den ,leistungen der letzten fnfzig ,jahre auf dem ,gebiete der ,geometrie nimmt die ,ausbildung der projectivischen#a ,geometrie die erste ,stelle ein4 ,wenn es anfnglich schien1 als sollten die sogenannten metrischen ,beziehungen ihrer ,behandlung nicht zugnglich sein1 da sie beim ,projiciren nicht ungendert bleiben1 so hat man in neuerer ,zeit gelernt1 auch sie vom projectivischen ,standpuncte aufzufassen1 so dass nun die projectivische ,methode die gesammte ,geometrie umspannt4 ,die metrischen ,eigenschaften erscheinen in ihr nur nicht mehr als ,eigenschaften der rumlichen ,dinge an sich1 sondern als ,beziehungen derselben zu einem ,fundamental-,gebilde1 dem unendlich fernen ,kugelkreise4 ,vergleicht man mit der so allmhlich gewonnenen ,auffassungsweise der rumlichen ,dinge die ,vorstellungen der gewhnlichen 7elementaren7 ,geometrie1 so entsteht die ,frage nach einem allgemeinen ,principe1 nach welchem die beiden ,methoden sich ausbilden konnten4 ,diese ,frage erscheint um so wichtiger als sich neben die elementare und die projectivische ,geometrie1 ob auch minder entwickelt1 eine ,reihe anderer ,methoden stellt1 denen man dasselbe ,recht selbstndiger ,existenz zugestehen muss4 ,dahin gehren die ,geometrie der reciproken ,radien1 die ,geometrie der rationalen ,umformungen etc41 wie sie in der ,folge noch erwhnt und dargestellt werden sollen4 ,wenn wir es im ,nachstehenden unternehmen1 ein solches ,princip aufzustellen1 so entwickeln wir wohl keinen eigentlich neuen ,gedanken1 sondern umgrnzen nur klar und deutlich1 was mehr oder minder bestimmt von ,manchem gedacht worden ist4 ,aber es schien um so berechtigter1 derartige zusammenfassende ,betrachtungen zu publiciren1 als die ,geometrie1 die doch ihrem ,stoffe nach einheitlich ist1 bei der raschen ,entwicklung1 die sie in der letzten ,zeit genommen hat1 nur zu sehr in eine ,reihe von beinahe getrennten ,disciplinen zerfallen ist#b1 die sich ziemlich unabhngig von einander weiter bilden4 ,es lag dabei aber auch noch die besondere ,absicht vor1 ,methoden und ,gesichtspuncte darzulegen1 welche von ,lie und mir in neueren ,arbeiten entwickelt wurden4 ,es haben unsere beiderseitigen ,arbeiten1 auf wie verschiedenartige ,gegenstnde sie sich auch bezogen1 bereinstimmend auf die hier dargelegte allgemeine ,auffassungsweise hingedrngt1 so dass es eine ,art von ,nothwendigkeit war1 auch einmal diese zu errtern und von ihr aus die betr4 ,arbeiten nach ,inhalt und ,tendenz zu characterisiren4 ,war bisher nur von geometrischen ,forschungen die ,rede1 so sollen darunter mit verstanden sein die ,untersuchungen ber beliebig ausgedehnte ,mannigfaltigkeiten1 die sich1 unter ,abstreifung des fr die rein mathemathische ,betrachtung unwesentlichen rumlichen ,bildes#c1 aus der ,geometrie entwickelt haben#d4 ,es gibt bei der ,untersuchung von ,mannigfaltigkeiten eben solche verschiedene ,typen1 wie in der ,geometrie1 und es gilt1 wie bei der ,geometrie1 das ,gemeinsame und das ,unterscheidende unabhngig von einander unternommener ,forschungen hervorzuheben4 ,abstract genommen war es im ,folgenden nur nthig1 schlechthin von mehrfach ausgedehnten ,mannigfaltigkeiten zu reden2 aber durch ,anknpfung an die gelufigeren rumlichen ,vorstellungen wird die ,auseinandersetzung einfacher und verstndlicher4 ,indem wir von der ,betrachtung der geometrischen ,dinge ausgehen und an ihnen als einem ,beispiele die allgemeinen ,gedanken entwickeln1 verfolgen wir den ,gang1 den die ,wissenschaft in ihrer ,ausbildung genommen hat1 und den bei der ,darstellung zu ,grunde zu legen gewhnlich das ,vorteilhafteste ist4 - ,eine vorlufige ,exposition des im ,folgenden besprochenen ,inhaltes ist hier wohl nicht mglich1 da sich derselbe kaum in eine knappere ,form#e fgen will2 die ,ueberschriften der ,paragraphen werden den allgemeinen ,fortschritt des ,gedankens angeben4 ,ich habe zum ,schlusse eine ,reihe von ,noten zugefgt1 in welchen ich entweder1 wo es im ,interesse der allgemeinen ,auseinandersetzung des ,textes ntzlich schien1 besondere ,punkte weiter entwickelt habe1 oder in denen ich bemht war1 den abstract mathematischen ,standpunkt1 der fr die ,betrachtungen des ,textes magebend ist1 gegen verwandte abzugrnzen4 4#a4 ,gruppen von rumlichen ,transformationen4 ,hauptgruppe4 ,aufstellung eines allgemeinen ,problems4 ---------------------------------------- ---------------------------------------- ------------------ ,der wesentlichste ,begriff1 der bei den folgenden ,auseinandersetzungen nothwendig ist1 ist der einer ,gruppe von rumlichen ,aenderungen4 ,beliebig viele ,transformationen des ,raumes#f ergeben zusammengesetzt immer wieder eine ,transformation4 ,hat nun eine gegebene ,reihe von ,transformationen die ,eigenschaft1 dass jede ,aenderung1 die aus den ihr angehrigen durch ,zusammensetzung hervorgeht1 ihr selbst wieder angehrt1 so soll die ,reihe eine ,transformationsgruppe#g genannt werden4 ,ein ,beispiel fr eine ,transformationsgruppe bildet die ,gesammtheit der ,bewegungen 7jede ,bewegung als eine auf den ganzen ,raum ausgefhrte ,operation betrachtet74 ,eine in ihr enthaltene ,gruppe bilden etwa die ,rotationen um einen ,punct#h4 ,eine ,gruppe1 welche umgekehrt die ,gruppe der ,bewegungen umfasst1 wird durch die ,gesammtheit der ,collineationen vorgestellt4 ,die ,gesammtheit der dualistischen ,umformungen bildet dagegen keine ,gruppe -- denn zwei dualistische ,umformungen ergeben zusammen wieder eine ,collineation --1 wohl aber wird wieder eine ,gruppe erzeugt1 wenn man die ,gesammtheit der dualistischen mit der ,gesammtheit der collinearen zusammenfgt#i4 ,es gibt nun rumliche ,transformationen1 welche die geometrischen ,eigenschaften rumlicher ,gebilde berhaupt ungendert lassen4 ,geometrische ,eigenschaften sind nmlich ihrem ,begriffe nach unabhngig von der ,lage1 die das zu untersuchende ,gebilde im ,raume einnimmt1 von seiner absoluten ,grsse1 endlich auch von dem ,sinne#aj1 in welchem seine ,theile geordnet sind4 ,die ,eigenschaften eines rumlichen ,gebildes bleiben also ungendert durch alle ,bewegungen des ,raumes1 durch seine ,aehnlichkeitstransformationen1 durch den ,process der ,spiegelung1 sowie durch alle ,transformationen1 die sich aus diesen zusammensetzen4 ,den ,inbegriff aller dieser ,transformationen bezeichnen wir als die ,hauptgruppe#aa rumlicher ,aenderungen2 geometrische ,eigenschaften werden durch die ,transformationen der ,hauptgruppe nicht gendert4 ,auch umgekehrt kann man sagen3 ,geometrische ,eigenschaften sind durch ihre ,unvernderlichkeit gegenber den ,transformationen der ,hauptgruppe characterisirt4 ,betrachtet man nmlich den ,raum einen ,augenblick als unbeweglich etc41 als eine starre ,mannigfaltigkeit1 so hat jede ,figur ein individuelles ,interesse2 von den ,eigenschaften1 die sie als ,individuum hat1 sind es nur die eigentlich geometrischen1 welche bei den ,aenderungen der ,hauptgruppe erhalten bleiben4 ,dieser hier etwas unbestimmt formulirte ,gedanke wird im weiteren ,verlaufe der ,auseinandersetzung deutlicher erscheinen4 ,streifen wir jetzt das mathematisch unwesentliche sinnliche ,bild ab1 und erblicken im ,raume nur eine mehrfach ausgedehnte ,mannigfaltigkeit1 also1 indem wir an der gewohnten ,vorstellung des ,punctes als ,raumelement festhalten1 eine dreifach ausgedehnte4 ,nach ,analogie mit den rumlichen ,transformationen reden wir von ,transformationen der ,mannigfaltigkeit2 auch sie bilden ,gruppen4 ,nur ist nicht mehr1 wie im ,raume1 eine ,gruppe vor den brigen durch ihre ,bedeutung ausgezeichnet2 jede ,gruppe ist mit jeder anderen gleichberechtigt4 ,als ,verallgemeinerung der ,geometrie entsteht so das folgende umfassende ,problem3 ,es ist eine ,mannigfaltigkeit und in derselben eine ,transformationsgruppe gegeben2 man soll die der ,mannigfaltigkeit angehrigen ,gebilde hinsichtlich solcher ,eigenschaften untersuchen1 die durch die ,transformationen der ,gruppe nicht gendert werden4 ,in ,anlehnung an die moderne ,ausdrucksweise1 die man freilich nur auf eine bestimmte ,gruppe1 die ,gruppe aller linearen ,umformungen1 zu beziehen pflegt1 mag man auch so sagen3 ,es ist eine ,mannigfaltigkeit und in derselben eine ,transformationsgruppe gegeben4 ,man entwickele die auf die ,gruppe bezgliche ,invariantentheorie4 ,dies ist das allgemeine ,problem1 welches die gewhnliche ,geometrie nicht nur1 sondern namentlich auch die hier zu nennenden neueren geometrischen ,methoden und die verschiedenen ,behandlungsweisen beliebig ausgedehnter ,mannigfaltigkeiten unter sich begreift4 ,was besonders betont sein mag1 ist die ,willkrlichkeit1 die hinsichtlich der ,wahl der zu adjungirenden ,transformationsgruppe besteht1 und die daraus fliessende und in diesem ,sinne zu verstehende gleiche ,berechtigung aller sich unter die allgemeine ,forderung subsumirenden ,betrachtungsweisen4 4#b4 ,transformationsgruppen1 von denen die eine die andere umfasst1 werden nach einander adjungirt4 ,die verschiedenen ,typen geometrischer ,forschung und ihr gegenseitiges ,verhltniss4 ---------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------- ,da die geometrischen ,eigenschaften rumlicher ,dinge durch alle ,transformationen der ,hauptgruppe ungendert bleiben1 so ist es an und fr sich absurd1 nach solchen ,eigenschaften derselben zu fragen1 bei denen dies nur gegenber einem ,theile dieser ,transformationen der ,fall ist4 ,diese ,fragestellung wird indess berechtigt1 ob auch nur formal1 wenn wir die rumlichen ,gebilde in ihrer ,beziehung zu fest gedachten ,elementen untersuchen4 ,betrachten wir z4 ,b41 wie in der sphrischen ,trigonometrie1 die rumlichen ,dinge unter ,auszeichnung eines ,punctes4 ,dann ist zunchst die ,forderung3 die unter ,adjunction der ,hauptgruppe invarianten ,eigenschaften nicht mehr der rumlichen ,dinge an sich1 sondern des von ihnen mit dem gegebenen ,puncte gebildeten ,systems zu entwickeln4 ,aber dieser ,forderung knnen wir die andere ,form ertheilen3 ,man untersuche die rumlichen ,gebilde an sich hinsichtlich solcher ,eigenschaften1 welche ungendert bleiben durch diejenigen ,transformationen der ,hauptgruppe1 welche noch stattfinden knnen1 wenn wir den ,punct fest halten4 ,mit anderen ,worten3 ,es ist dasselbe1 ob wir die rumlichen ,gebilde im ,sinne der ,hauptgruppe untersuchen und ihnen den gegebenen ,punct hinzufgen1 oder ob wir1 ohne ihnen irgend ein ,gegebenes hinzuzufgen1 die ,hauptgruppe durch die in ihr enthaltene ,gruppe ersetzen1 deren ,transformationen den bez4 ,punct ungendert lassen4 ,es ist dies ein in der ,folge hufig angewandtes ,princip1 das wir desshalb gleich hier allgemein formuliren wollen2 etwa in der folgenden ,weise3 ,es sei eine ,mannigfaltigkeit und zu ihrer ,behandlung eine auf sie bezgliche ,transformationsgruppe gegeben4 ,es werde das ,problem vorgelegt1 die in der ,mannigfaltigkeit enthaltenen ,gebilde hinsichtlich eines gegebenen ,gebildes zu untersuchen4 ,so kann man entweder dem ,systeme der ,gebilde das gegebene hinzufgen1 und es fragt sich dann nach den ,eigenschaften des erweiterten ,systems im ,sinne der gegebenen ,gruppe -- oder1 man lasse das ,system unerweitert1 beschrnke aber die ,transformationen1 die man bei der ,behandlung zu ,grunde legt1 auf diejenigen in der gegebenen ,gruppe enthaltenen1 welche das gegebene ,gebilde ungendert lassen 7und die nothwendig wieder eine ,gruppe bilden74 -- ,im ,gegensatze zu der zu ,anfang des ,paragraphen aufgeworfenen ,frage beschftige uns nun die umgekehrte1 die von ,vornherein verstndlich ist4 ,wir fragen nach denjenigen ,eigenschaften rumlicher ,dinge1 welche bei einer ,transformationsgruppe erhalten bleiben1 die die ,hauptgruppe als einen ,theil umfasst4 ,jede ,eigenschaft1 die wir bei einer solchen ,untersuchung finden1 ist eine geometrische ,eigenschaft des ,dings an sich1 aber das ,umgekehrte gilt nicht4 ,bei der ,umkehr tritt vielmehr das eben vorgetragene ,princip in ,kraft1 wobei die ,hauptgruppe nun die kleinere ,gruppe ist4 ,wir erhalten so3 ,ersetzt man die ,hauptgruppe durch eine umfassendere ,gruppe1 so bleibt nur ein ,theil der geometrischen ,eigenschaften erhalten4 ,die brigen erscheinen nicht mehr als ,eigenschaften der rumlichen ,dinge an sich1 sondern als ,eigenschaften des ,systems1 welches hervorgeht1 wenn man denselben ein ausgezeichnetes ,gebilde hinzufgt4 ,dieses ausgezeichnete ,gebilde ist 7soweit es berhaupt ein bestimmtes#ab ist7 dadurch definirt1 dass es1 fest gedacht1 dem ,raume unter den ,transformationen der gegebenen ,gruppe nur noch die ,transformationen der ,hauptgruppe gestattet4 ,in diesem ,satze beruht die ,eigenart der hier zu besprechenden neueren geometrischen ,richtungen und ihr ,verhltniss zur elementaren ,methode4 ,sie sind dadurch eben zu characterisiren1 dass sie an ,stelle der ,hauptgruppe eine erweiterte ,gruppe rumlicher ,umformungen der ,betrachtung zu ,grunde legen4 ,ihr gegenseitiges ,verhltniss ist1 sofern sich ihre ,gruppen einschliessen1 durch einen entsprechenden ,satz bestimmt4 ,dasselbe gilt von den verschiedenen hier zu betrachtenden ,behandlungsweisen mehrfach ausgedehnter ,mannigfaltigkeiten4 ,es soll dies nun an den einzelnen ,methoden gezeigt werden1 wobei denn die ,stze1 die in diesem und dem vorigen ,paragraphen allgemein hingestellt wurden1 ihre ,erluterung an concreten ,gegenstnden finden4 4#c4 ,die projectivische ,geometrie4 ---------------------------------- ,jede rumliche ,umformung1 die nicht gerade der ,hauptgruppe angehrt1 kann dazu benutzt werden1 um ,eigenschaften bekannter ,gebilde auf neue ,gebilde zu bertragen4 ,so verwerthen wir die ,geometrie der ,ebene fr die ,geometrie der ,flchen1 die sich auf die ,ebene abbilden lassen2 so schloss man schon lange vor dem ,entstehen einer eigentlichen projectivischen ,geometrie von den ,eigenschaften einer gegebenen ,figur auf ,eigenschaften anderer1 die durch ,projection aus ihr hervorgingen4 ,aber die projectivische ,geometrie erwuchs erst1 als man sich gewhnte1 die ursprngliche ,figur mit allen aus ihr projectivisch ableitbaren als wesentlich identisch zu erachten und die ,eigenschaften1 welche sich beim ,projiciren bertragen1 so auszusprechen1 dass ihre ,unabhngigkeit von der mit dem ,projiciren verknpften ,aenderung in ,evidenz tritt4 ,hiermit war denn der ,behandlung im ,sinne von 4#a die ,gruppe aller projectivischen ,umformungen zu ,grunde gelegt und dadurch eben der ,gegensatz zwischen projectivischer und gewhnlicher ,geometrie geschaffen4 ,ein hnlicher ,entwicklungsgang1 wie der hier geschilderte1 kann bei jeder ,art von rumlicher ,transformation als mglich gedacht werden2 wir werden noch fter darauf zurckkommen4 ,er hat sich innerhalb der projectivischen ,geometrie selbst noch nach zwei ,seiten vollzogen4 ,die eine ,weiterbildung der ,auffassung geschah durch ,aufnahme der dualistischen ,umformungen in die ,gruppe der zu ,grunde gelegten ,aenderungen4 ,fr den heutigen ,standpunct sind zwei einander dualistisch entgegenstehende ,figuren nicht mehr als zwei unterschiedene sondern als wesentlich dieselben ,figuren anzusehen4 ,ein anderer ,schritt bestand in der ,erweiterung der zu ,grunde gelegten ,gruppe collinearer und dualistischer ,umformungen durch ,aufnahme der bez4 imaginren ,transformationen4 ,dieser ,schritt bedingt1 dass man vorher den ,kreis der eigentlichen ,raumelemente durch ,hinzunahme der imaginren erweitert habe -- ganz dem entsprechend1 wie die ,aufnahme der dualistischen ,umformungen in die zu ,grunde gelegte ,gruppe die gleichzeitige ,einfhrung von ,punct und ,ebene als ,raumelement nach sich zieht4 ,es ist hier nicht der ,ort1 auf die ,zweckmssigkeit der ,einfhrung imaginrer ,elemente zu verweisen1 durch welche allein der genaue ,anschluss der ,raumlehre an das einmal gewhlte ,gebiet algebraischer ,operationen erreicht wird4 ,dagegen muss betont werden1 dass der ,grund fr die ,einfhrung eben in der ,betrachtung algebraischer ,operationen1 nicht aber in der ,gruppe der projectivischen und dualistischen ,umformungen liegt4 ,so gut wir uns bei den letzteren auf reelle ,transformationen beschrnken knnen1 da schon die reellen ,collineationen und dualistischen ,transformationen eine ,gruppe bilden2 -- so gut knnen wir imaginre ,raumelemente einfhren1 auch wenn wir nicht auf projektivischem ,standpuncte stehen1 und sollen es1 sofern wir principiell algebraische ,gebilde untersuchen4 ,wie man vom projectivischem ,standpuncte aus die metrischen ,eigenschaften aufzufassen hat1 bestimmt sich nach dem allgemeinen ,satze des vorangehenden ,paragraphen4 ,die metrischen ,eigenschaften sind als projectivische ,beziehungen zu einem ,fundamentalgebilde1 dem unendlich fernen ,kugelkreise#ac1 zu betrachten1 einem ,gebilde1 das die ,eigenschaft hat1 nur durch diejenigen ,transformationen der projectivischen ,gruppe1 die eben auch ,transformationen der ,hauptgruppe sind1 in sich berzugehen4 ,der so schlechthin ausgesprochene ,satz bedarf noch einer wesentlichen ,ergnzung1 die der ,beschrnkung der gewhnlichen ,anschauungsweise auf reelle ,raumelemente 7und reelle ,transformationen7 entspricht4 ,man muss dem ,kugelkreise1 um diesem ,standpuncte gerecht zu werden1 noch das ,system der rellen ,raumelemente 7,puncte7 ausdrcklich hinzufgen2 ,eigenschaften im ,sinne der elementaren ,geometrie sind projectivisch entweder ,eigenschaften der ,dinge an sich oder ,beziehungen zu diesem ,systeme der reellen ,elemente1 oder zum ,kugelkreise oder endlich zu beiden4 ,es mag hier noch der ,art gedacht werden1 wie v4 ,staudt in seiner ,geometrie der ,lage#b die projectivische ,geometrie aufbaut -- d4 h4 diejenige projectivische ,geometrie1 welche sich auf ,zugrundelegung der ,gruppe aller reeller projectivisch-dualistischer ,umformung beschrnkt#ad4 ,es ist bekannt1 wie er dabei aus dem gewhnlichen ,anschauungsmaterial nur solche ,momente herausgreift1 die auch bei projectivischen ,umformungen erhalten bleiben4 ,wollte man weiterhin zur ,betrachtung auch metrischer ,eigenschaften bergehen1 so htte man die letzteren geradezu als ,beziehungen zum ,kugelkreise einzufhren4 ,der so vervollstndigte ,gedankengang ist fr die hier vorliegenden ,betrachtungen insofern von grosser ,bedeutung1 als ein entsprechender ,aufbau der ,geometrie im ,sinne jeder einzelnen der noch anzufhrenden ,methoden mglich ist4 4#d4 ,uebertragung durch ,abbildung4 ---------------------------------- ,ehe wir in der ,besprechung der geometrischen ,methoden1 die sich neben die elementare und die projectivische ,geometrie stellen1 weiter gehen1 mgen allgemein einige ,betrachtungen entwickelt werden1 die im ,folgenden immer wieder vorkommen und zu denen die bisher berhrten ,dinge bereits hinreichend viele ,beispiele liefern4 ,auf diese ,errterungen bezieht sich der gegenwrtige und der nchstfolgende ,paragraph4 ,gesetzt1 man habe eine ,mannigfaltigkeit ,a unter ,zugrundelegung einer ,gruppe ,b untersucht4 ,fhrt man sodann ,a durch irgendwelche ,transformation in eine andere ,mannigfaltigkeit ,a' ber1 so wird aus der ,gruppe ,b von ,aenderungen1 die ,a in sich transformirten1 nunmehr eine ,gruppe ,b'1 deren ,transformationen sich auf ,a' beziehen4 ,dann ist es ein selbstverstndliches ,princip1 dass die ,behandlungsweise von ,a unter ,zugrundelegung von ,b die ,behandlungsweise von ,a' unter ,zugrundelegung von ,b' ergibt1 d4 h4 jede ,eigenschaft1 welche ein in ,a enthaltenes ,gebilde mit ,bezug auf die ,gruppe ,b hat1 ergibt eine ,eigenschaft des entsprechenden ,gebildes in ,a' mit ,bezug auf die ,gruppe ,b'4 ,lassen wir z4 ,b4 ,a eine gerade ,linie1 ,b die dreifach unendlich vielen linearen ,transformationen bedeuten1 welche dieselbe in sich berfhren4 ,die ,behandlungsweise von ,a ist dann eben diejenige1 welche die neuere ,algebra als ,theorie der binren ,formen bezeichnet4 ,nun kann man die gerade ,linie auf einen ,kegelschnitt ,a' der ,ebene durch ,protection von einem ,puncte des letzteren aus beziehen4 ,aus den linearen ,transformationen ,b der ,geraden in sich selbst werden dann die linearen ,transformationen ,b' des ,kegelschnittes in sich selbst1 wie man leicht zeigt1 d4 h4 diejenigen ,aenderungen des ,kegelschnittes1 welche mit den linearen ,transformationen der ,ebene1 die den ,kegelschnitt in sich berfhren1 verknpft sind4 ,es ist nun aber nach dem ,princip des zweiten ,paragraphen#ae dasselbe3 nach der ,geometrie auf einem ,kegelschnitte zu fragen1 wenn man sich den ,kegelschnitt als fest denkt und nur auf diejenigen linearen ,transformationen der ,ebene achtet1 welche ihn in sich berfhren2 oder die ,geometrie auf dem ,kegelschnitte zu studiren1 indem man berhaupt die linearen ,transformationen der ,ebene betrachtet und sich den ,kegelschnitt mit ndern lsst4 ,die ,eigenschaften1 welche wir an den ,punctsystemen auf dem ,kegelschnitte auffassten1 sind mithin im gewhnlichen ,sinne projectivische4 ,die ,verknpfung der letzten ,ueberlegung mit dem eben abgeleiteten ,resultate gibt also3 ,binre ,formentheorie und projectivische ,geometrie der ,punctsysteme auf einem ,kegelschnitte ist dasselbe1 d4 h4 jedem binren ,satze entspricht ein ,satz ber derartige ,punctsysteme und umgekehrt#af4 ,ein anderes ,beispiel1 welches geeignet ist1 diese ,art von ,betrachtungen zu veranschaulichen1 ist das folgende3 ,wenn man eine ,flche zweiten ,grades mit einer ,ebene durch stereographische ,projection in ,verbindung setzt1 so tritt auf der ,flche ein ,fundamentalpunct auf3 der ,projectionspunct1 in der ,ebene sind es zwei3 die ,bilder der durch den ,projectionspunct gehenden ,erzeugenden4 ,man zeigt nun ohne ,weiteres3 ,die linearen ,transformationen der ,ebene1 welche die beiden ,fundamentalpuncte derselben ungendert lassen1 gehen durch die ,abbildung in lineare ,transformationen der ,flche zweiten ,grades in sich selbst ber1 aber nur in diejenigen1 welche den ,projectionspunct ungendert lassen4 ,unter linearen ,transformationen der ,flche in sich selbst sind dabei diejenigen ,aenderungen verstanden1 welche die ,flche erfhrt1 wenn man lineare ,raumtransformationen ausfhrt1 welche die ,flche mit sich selbst zur ,deckung bringen4 ,hiernach wird also die projectivische ,untersuchung einer ,ebene unter ,zugrundelegung zweier ,puncte und die projectivische ,untersuchung einer ,flche zweiten ,grades unter ,zugrundelegung eines ,punctes identisch4 ,die erstere ist nun -- sofern man imaginre ,elemente mit in ,betracht zieht -- nichts ,anderes1 als die ,untersuchung der ,ebene im ,sinne der elementaren ,geometrie4 ,denn die ,hauptgruppe der ebenen ,transformationen besteht eben in den linearen ,umformungen1 welche ein ,punctepaar 7die unendlich fernen ,kreispuncte7 ungendert lassen4 ,wir erhalten also schliesslich3 ,die elementare ,geometrie der ,ebene und die projectivische ,untersuchung einer ,flche zweiten ,grades unter ,hinzunahme eines ihrer ,puncte sind dasselbe4 ,diese ,beispiele liessen sich beliebig vervielfachen#ag2 die beiden hier entwickelten sind gewhlt worden1 da wir in der ,folge noch ,gelegenheit haben werden1 auf dieselben zurckzukommen4 4#e4 ,von der ,willkrlichkeit in der ,wahl des ,raumelements4 ,das ,hessesche ,uebertragungsprincip4 ,die ,liniengeometrie4 ---------------------------------------- ---------------------------------------- ----------------------------------- ,als ,element der geraden ,linie1 der ,ebene1 des ,raumes1 berhaupt einer zu untersuchenden ,mannigfaltigkeit kann statt des ,punctes jedes in der ,mannigfaltigkeit enthaltene ,gebilde3 die ,punctgruppe1 ev4 die ,curve1 die ,flche u4 s4 w4 verwandt werden#ah4 ,indem ber die ,zahl willkrlicher ,parameter1 von denen man diese ,gebilde abhngig setzen will1 von ,vornherein gar ,nichts fest steht1 erscheinen ,linie1 ,ebene1 ,raum etc4 je nach der ,wahl des ,elementes mit beliebig vielen ,dimensionen behaftet4 ,aber so lange wir der geometrischen ,untersuchung dieselbe ,gruppe von ,aenderungen zu ,grunde legen1 bleibt der ,inhalt der ,geometrie unverndert1 das heit1 jeder ,satz1 der bei einer ,annahme des ,raumelements sich ergab1 ist auch ein ,satz bei beliebiger anderer ,annahme1 nur die ,anordnung und ,verknpfung der ,stze ist gendert4 ,das ,wesentliche ist also die ,transformationsgruppe2 die ,zahl der ,dimensionen1 die wir einer ,mannigfaltigkeit beilegen wollen1 erscheint als etwas ,secundres4 ,die ,verknpfung dieser ,bemerkung mit dem ,princip des vorigen ,paragraphen ergibt eine ,reihe schner ,anwendungen1 von denen hier einige entwickelt werden mgen1 da diese ,beispiele mehr als alle lange ,auseinandersetzung geeignet scheinen1 den ,sinn der allgemeinen ,betrachtung darzulegen4 ,die projectivische ,geometrie auf der ,geraden 7die ,theorie der binren ,formen7 ist nach dem vorigen ,paragraphen mit der projectivischen ,geometrie auf dem ,kegelschnitte gleichbedeutend4 ,auf letzterem mgen wir jetzt statt des ,punctes das ,punctepaar als ,element betrachten ,die ,gesammtheit der ,punctepaare des ,kegelschnitts lsst sich aber auf die ,gesammtheit der ,geraden der ,ebene beziehen1 indem man jede ,gerade dem ,punctepaare zuordnet1 in welchem sie den ,kegelschnitt trifft4 ,bei dieser ,abbildung gehen die linearen ,transformationen des ,kegelschnitts in sich selbst in die linearen ,transformationen der 7aus ,geraden bestehend gedachten7 ,ebene ber1 welche den ,kegelschnitt ungendert lassen4 ,ob wir aber die aus den letzteren bestehende ,gruppe betrachten1 oder die ,gesammtheit der linearen ,transformationen der ,ebene zu ,grunde legen und den zu untersuchenden ,gebilden der ,ebene den ,kegelschnitt allemal hinzufgen1 ist nach 4#b gleichbedeutend4 ,indem wir alle diese ,ueberlegungen zusammen nehmen1 haben wir3 ,die ,theorie der binren ,formen und die projectivische ,geometrie der ,ebene unter ,zugrundelegung eines ,kegelschnittes sind gleichbedeutend4 ,da endlich projectivische ,geometrie der ,ebene unter ,zugrundelegung eines ,kegelschnittes eben wegen der ,gleichheit der ,gruppe mit der projectivischen ,mageometrie coincidirt1 die man in der ,ebene auf einen ,kegelschnitt grnden kann#ai1 so mgen wir auch so sagen3 ,die ,theorie der binren ,formen und die allgemeine projectivische ,mageometrie in der ,ebene sind dasselbe4 ,statt des ,kegelschnitts in der ,ebene knnen wir in der vorstehenden ,betrachtung die ,curve dritter ,ordnung im ,raume setzen etc41 doch mag dies unausgefhrt bleiben4 ,der hier dargelegte ,zusammenhang zwischen der ,geometrie der ,ebene1 weiterhin des ,raumes oder einer beliebig ausgedehnten ,mannigfaltigkeit deckt sich im ,wesentlichen mit dem von ,hesse vorgeschlagenen ,uebertragungsprincipe #g4 ,ein ,beispiel ganz hnlicher ,art ergibt die projectivische ,geometrie des ,raumes1 oder1 anders ausgedrckt1 die ,theorie der quaternren ,formen4 ,fasst man die gerade ,linie als ,raumelement und ertheilt ihr1 wie in der ,liniengeometrie geschieht1 sechs homogene ,coordinaten1 zwischen denen eine ,bedingungsgleichung vom zweiten ,grade ,statt findet1 so erscheinen die linearen und dualistischen ,transformationen des ,raumes als diejenigen linearen ,transformationen der unabhngig gedachten sechs ,vernderlichen1 welche die ,bedingungsgleichung in sich berfhren4 ,durch eine ,verknpfung hnlicher ,ueberlegungen1 wie sie soeben entwickelt wurden1 erhlt man hieraus den ,satz3 ,die ,theorie der quaternren ,formen deckt sich mit der projectivischen ,mabestimmung in einer durch #f homogene ,vernderliche erzeugten ,mannigfaltigkeit4 ,wegen der nheren ,ausfhrung dieser ,auffassung verweise ich auf einen demnchst in den ,math4 ,annalen 7,bd4 ,,vi7 erscheinenden ,aufsatz3 ,ueber die sogenannte ,nicht-,euklidische ,geometrie#h1 sowie auf eine ,note am ,schlusse dieser ,mittheilung#bj4 ,ich knpfe an die vorstehenden ,auseinandersetzungen noch zwei ,bemerkungen1 von denen die erste zwar schon implicite in dem ,bisherigen enthalten ist1 aber ausgefhrt werden soll1 weil der ,gegenstand1 auf den sie sich bezieht1 zu leicht ,missverstndnissen ausgesetzt ist4 ,wenn wir beliebige ,gebilde als ,raumelemente einfhren1 so erhlt der ,raum beliebig viele ,dimensionen4 ,wenn wir dann aber an der uns gelufigen 7elementaren oder projectivischen7 ,anschauungsweise festhalten1 so ist die ,gruppe1 welche wir fr die mehrfach ausgedehnte ,mannigfaltigkeit zu ,grunde zu legen haben1 von ,vorne herein gegeben2 es ist eben die ,hauptgruppe bez4 die ,gruppe der projectivischen ,umformungen4 ,wollten wir eine andere ,gruppe zu ,grunde legen1 so mssten wir von der gewhnlichen bez4 der projectivischen ,anschauung abgehen4 ,so richtig es also ist1 dass bei geschickter ,wahl der ,raumelemente der ,raum ,mannigfaltigkeiten von beliebig vielen ,ausdehnungen reprsentirt1 so wichtig ist es1 hinzuzufgen1 dass bei dieser ,reprsentation entweder von ,vorneherein eine bestimmte ,gruppe der ,behandlung der ,mannigfaltigkeit zu ,grunde zu legen ist1 oder dass wir1 wollen wir ber die ,gruppe verfgen1 unsere geometrische ,auffassung entsprechend auszubilden haben4 -- ,es knnte1 ohne diese ,bemerkung1 z4 ,b4 eine ,reprsentation der ,liniengeometrie in der folgenden ,weise gesucht werden4 ,die ,gerade erhlt in der ,liniengeometrie sechs ,coordinaten2 eben so viele ,coefficienten besitzt der ,kegelschnitt in der ,ebene4 ,das ,bild der ,liniengeometrie wrde also die ,geometrie in einem ,kegelschnittsysteme sein1 das aus der ,gesammtheit der ,kegelschnitte durch eine quadratische ,gleichung zwischen den ,coefficienten ausgesondert wird4 ,das ist richtig1 sowie wir als ,gruppe der ebenen ,geometrie die ,gesammtheit der ,transformationen zu ,grunde legen1 die durch lineare ,umformungen der ,kegelschnitts-,coefficienten reprsentirt werden1 welche die quadratische ,bedingungsgleichung in sich berfhren4 ,halten wir aber an der elementaren bez4 der projectivischen ,auffassung der ebenen ,geometrie fest1 so haben wir eben kein ,bild4 ,die zweite ,bemerkung bezieht sich auf folgende ,begriffsbildung4 ,sei im ,raume irgend eine ,gruppe1 etwa die ,hauptgruppe gegeben4 ,so whle man ein einzelnes rumliches ,gebilde1 etwa einen ,punct1 oder eine ,gerade1 oder auch ein ,ellipsoid etc4 aus und wende auf dasselbe alle ,transformationen der ,hauptgruppe an4 ,man erhlt dann eine mehrfach unendliche ,mannigfaltigkeit mit einer ,anzahl von ,dimensionen1 die im ,allgemeinen gleich der ,zahl der in der ,gruppe enthaltenen willkrlichen ,parameter ist1 die in besonderen ,fllen herabsinkt1 wenn nmlich das ursprnglich gewhlte ,gebilde die ,eigenschaft besitzt1 durch unendlich viele ,transformationen der ,gruppe in sich bergefhrt zu werden4 ,jede so erzeugte ,mannigfaltigkeit heie mit ,bezug auf die erzeugende ,gruppe ein ,krper#ba4 ,wollen wir nun den ,raum im ,sinne der ,gruppe untersuchen und dabei bestimmte ,gebilde als ,raumelemente auszeichnen1 und wollen wir nicht1 dass ,gleichberechtigtes ungleichartig dargestellt werde1 so mssen wir die ,raumelemente ersichtlich so whlen1 dass ihre ,mannigfaltigkeit entweder selbst einen ,krper bildet oder in ,krper zerlegt werden kann4 ,von dieser evidenten ,bemerkung soll spter 74#i7 eine ,anwendung gemacht werden4 ,der ,krper-,begriff selbst wird im ,schlussparagraphen in ,verbindung mit verwandten ,begriffen noch einmal zur ,sprache kommen4 4#f4 ,die ,geometrie der reciproken ,radien4 ,die ,interpretation von xiy4 ---------------------------------------- ------------------------------ ,wir kehren mit diesem ,paragraphen zur ,besprechung der verschiedenen ,richtungen der geometrischen ,forschung zurck1 wie sie in 4#b4c begonnen wurde4 ,als ein ,seitenstck zu den ,betrachtungsweisen der projectivischen ,geometrie kann man in vielfacher ,hinsicht eine ,classe geometrischer ,ueberlegungen betrachten1 bei denen von der ,umformung durch reciproke ,radien fortlaufender ,gebrauch gemacht wird4 ,es gehren hierher die ,untersuchungen ber die sog4 ,cycliden und anallagmatische ,flchen1 ber die allgemeine ,theorie der ,orthogonalsysteme1 ferner ,untersuchungen ber das ,potential etc4 ,wenn man die in denselben enthaltenen ,betrachtungen noch nicht gleich den projectivischen zu einer besonderen ,geometrie zusammengefasst hat1 die dann als ,gruppe die ,gesammtheit derjenigen ,umformungen zu ,grunde zu legen htte1 welche durch ,verbindung der ,hauptgruppe mit der ,transformation durch reciproke ,radien entstehen1 so ist das wohl dem zuflligen ,umstande zuzuschreiben1 dass die genannten ,theorien seither nicht im ,zusammenhange dargestellt worden sind2 den einzelnen ,autoren1 die in dieser ,richtung arbeiteten1 wird eine solche methodische ,auffassung nicht fern gelegen haben4 ,die ,parallele zwischen dieser ,geometrie der reciproken ,radien und der projectivischen ergibt sich1 sowie einmal die ,frage nach einem ,vergleiche vorhanden ist1 von selbst1 und es mag daher nur ganz im ,allgemeinen auf die folgenden ,puncte aufmerksam gemacht werden3 ,in der projectivischen ,geometrie sind ,punct1 ,gerade1 ,ebene die ,elementar-,begriffe4 ,kreis und ,kugel sind nur specielle ,flle von ,kegelschnitt und ,flche zweiten ,grades4 ,das unendlich ,ferne der elementaren ,geometrie erscheint als ,ebene2 das ,fundamentalgebilde1 auf welches sich die elementare ,geometrie bezieht1 ist ein unendlich ferner1 imaginrer ,kegelschnitt4 ,in der ,geometrie der reciproken ,radien sind ,punct1 ,kreis und ,kugel die ,elementarbegriffe4 ,gerade und ,ebene sind specielle ,flle der letzteren1 dadurch charakterisirt1 dass sie einen1 im ,sinne der ,methode brigens nicht weiter ausgezeichneten ,punct1 den unendlich fernen ,punct enthalten4 ,die elementare ,geometrie erwchst1 so wie man diesen ,punct fest denkt4 ,die ,geometrie der reciproken ,radien ist einer ,einkleidung fhig1 welche sie neben die ,theorie der binren ,formen und die ,liniengeometrie stellt1 falls man die letzteren in der ,weise behandelt1 wie das im vorigen ,paragraphen angedeutet wurde4 ,wir mgen zu diesem ,zwecke die ,betrachtung zunchst auf ebene ,geometrie und also auf ,geometrie der reciproken ,radien in der ,ebene#bb beschrnken4 ,es wurde bereits des ,zusammenhangs gedacht1 der zwischen der elementaren ,geometrie der ,ebene und der projectivischen ,geometrie der mit einem ausgezeichneten ,puncte versehenen ,flche zweiten ,grades besteht 74#d74 ,sieht man von dem ausgezeichneten ,puncte ab und betrachtet also die projectivische ,geometrie auf der ,flche an sich1 so hat man ein ,bild der ,geometrie der reciproken ,radien in der ,ebene4 ,denn man berzeugt sich leicht#bc1 dass der ,transformationsgruppe der reciproken ,radien in der ,ebene vermge der ,abbildung der ,flche zweiten ,grades die ,gesammtheit der linearen ,transformationen der letzteren in sich selbst entspricht4 ,man hat also3 ,geometrie der reciproken ,radien in der ,ebene und projectivische ,geometrie auf einer ,flche zweiten ,grades ist dasselbe1 und ganz entsprechend3 ,geometrie der reciproken ,radien im ,raume ist mit der projectivischen ,behandlung einer ,mannigfaltigkeit gleichbedeutend1 die durch eine quadratische ,gleichung zwischen fnf homogenen ,vernderlichen dargestellt wird4 ,die ,raumgeometrie ist also durch die ,geometrie der reciproken ,radien in ganz dieselbe ,verbindung mit einer ,mannigfaltigkeit von vier ,dimensionen gesetzt1 wie vermge der ,liniengeometrie mit einer ,mannigfaltigkeit von fnf ,ausdehnungen4 ,die ,geometrie der reciproken ,radien in der ,ebene gestattet1 sofern man nur auf reelle ,transformationen achten will1 noch nach einer anderen ,seite eine interessante ,darstellung1 resp4 ,verwendung4 ,breitet man nmlich eine complexe ,variable xiy in gewhnlicher ,weise in der ,ebene aus1 so entspricht ihren linearen ,transformationen die ,gruppe der reciproken ,radien1 mit der erwhnten ,beschrnkung auf das ,reelle4 ,die ,untersuchung der ,functionen einer complexen ,vernderlichen1 die beliebigen linearen ,transformationen unterworfen gedacht ist1 ist aber nichts ,anderes1 als was bei einer etwas abgenderten ,darstellungsweise ,theorie der binren ,formen genannt wird4 ,also3 ,die ,theorie der binren ,formen findet ihre ,darstellung durch die ,geometrie der reciproken ,radien in der reellen ,ebene1 so zwar1 dass auch die complexen ,werthe der ,variabeln reprsentirt werden4 ,von der ,ebene mgen wir1 um in den gewohnteren ,vorstellungskreis der projectivischen ,umformungen zu gelangen1 zur ,flche zweiten ,grades aufsteigen4 ,da wir nur reelle ,elemente der ,ebene betrachteten1 ist es nicht mehr gleichgltig1 wie man die ,flche whlt2 sie ist ersichtlich nicht geradlinig zu nehmen4 ,insbesondere knnen wir uns dieselbe -- wie man das zur ,interpretation einer complexen ,vernderlichen auch sonst thut -- als ,kugelflche denken und erhalten so den ,satz3 ,die ,theorie der binren ,formen complexer ,variablen findet ihre ,reprsentation in der projectivischen ,geometrie der reellen ,kugelflche4 ,ich habe mir nicht versagen mgen1 in einer ,note#bd noch auseinanderzusetzen1 wie schn dieses ,bild die ,theorie der binren cubischen und biquadratischen ,formen erlutert4 4#g4 ,erweiterungen des ,vorangehenden4 ,lies ,kugelgeometrie4 ---------------------------------------- ------------------ ,an die ,theorie der binren ,formen1 die ,geometrie der reciproken ,radien und die ,liniengeometrie1 welche im ,vorstehenden coordinirt und nur durch die ,zahl der ,vernderlichen unterschieden scheinen1 lassen sich gewisse ,erweiterungen knpfen1 die nun auseinandergesetzt werden mgen4 ,dieselben sollen einmal dazu beitragen1 den ,gedanken1 dass die ,gruppe1 welche die ,behandlungsweise gegebener ,gebiete bestimmt1 beliebig erweitert werden kann1 an neuen ,beispielen zu erlutern2 dann aber ist namentlich die ,absicht gewesen1 ,betrachtungen1 welche ,lie in einer neueren ,abhandlung niedergelegt hat#be1 in ihrer ,beziehung zu den hier vorgetragenen ,ueberlegungen darzulegen4 ,der ,weg1 auf welchem wir zu ,lies ,kugelgeometrie gelangen1 weicht insofern von dem von ,lie eingeschlagenen ab1 als ,lie an liniengeometrische ,vorstellungen anknpft1 whrend wir1 um uns mehr der gewhnlichen geometrischen ,anschauung anzuschliessen und im ,zusammenhange mit dem ,vorhergehenden zu bleiben1 bei den bez4 ,auseinandersetzungen eine geringere ,zahl von ,vernderlichen voraussetzen4 ,die ,betrachtungen sind1 wie bereits ,lie selbst hervorgehoben hat 7,gttinger ,nachrichten #ahga4 ,n4 #g1 #bb #aa7 von der ,zahl der ,variabeln unabhngig4 ,sie gehren dem grossen ,kreise von ,untersuchungen an1 welche sich mit der projectivischen ,untersuchung quadratischer ,gleichungen zwischen beliebig vielen ,vernderlichen beschftigen1 ,untersuchungen1 die wir bereits fter berhrt haben und die uns noch wiederholt begegnen werden 7vergl4 4#aj u4 a47 ,ich knpfe an den ,zusammenhang an1 der zwischen der reellen ,ebene und der ,kugelflche durch stereographische ,projection hergestellt wird4 ,wir setzten bereits in 4#e die ,geometrie der ,ebene mit der ,geometrie auf einem ,kegelschnitte in ,verbindung1 indem wir der ,geraden der ,ebene das ,punctepaar zuordneten1 in welchem sie den ,kegelschnitt trifft4 ,entsprechend knnen wir einen ,zusammenhang zwischen der ,raumgeometrie und der ,geometrie auf der ,kugel aufstellen1 indem wir jeder ,ebene des ,raumes den ,kreis zuordnen1 in welchem sie die ,kugel schneidet4 ,uebertragen wir dann durch stereographische ,projection die ,geometrie auf der ,kugel von derselben auf die ,ebene1 wobei jeder ,kreis in einen ,kreis bergeht1 so entsprechen einander also3 - die ,raumgeometrie1 welche als ,element die ,ebene1 als ,gruppe diejenigen linearen ,transformationen benutzt1 welche eine ,kugel in sich berfhren2 - die ebene ,geometrie1 deren ,element der ,kreis1 deren ,gruppe die ,gruppe der reciproken ,radien ist4 ,die erstere ,geometrie wollen wir nun nach zwei ,seiten verallgemeinern1 indem wir statt ihrer ,gruppe eine umfassendere setzen4 ,die resultirende ,erweiterung bertrgt sich dann durch die ,abbildung ohne ,weiteres auf ebene ,geometrie4 ,statt der linearen ,transformationen des aus ,ebenen bestehenden ,raumes1 welche die ,kugel in sich berfhren1 liegt es nahe1 entweder die ,gesammtheit der linearen ,transformationen des ,raumes1 oder die ,gesammtheit der ,ebenen-,transformationen des ,raumes zu whlen1 welche die ,kugel ungendert lassen1 indem wir das eine ,mal von der ,kugel1 das andere ,mal von dem linearen ,character der anzuwendenden ,transformationen absehen4 ,die erste ,verallgemeinerung ist ohne ,weiteres verstndlich und wir mgen sie also zuerst betrachten und in ihrer ,bedeutung fr ebene ,geometrie verfolgen2 auf die zweite kommen wir hernach zurck1 wobei es sich denn zunchst darum handelt1 die allgemeinste betreffende ,transformation zu bestimmen4 ,die linearen ,transformationen des ,raumes haben die ,eigenschaft gemein1 ,ebenenbschel und ,ebenenbndel wieder in solche berzufhren4 ,aber auf die ,kugel bertragen ergibt das ,ebenenbschel ein ,kreisbschel1 d4 h4 eine einfach unendliche ,reihe von ,kreisen mit gemeinsamen ,schnittpunkten2 das ,ebenenbndel ergibt ein ,kreisbndel1 d4 h4 eine zweifach unendliche ,schaar von ,kreisen1 die auf einem festen ,kreise senkrecht stehen 7dem ,kreise1 dessen ,ebene die ,polarebene des den ,ebenen des geg4 ,bndels gemeinsamen ,punctes ist74 ,den linearen ,transformationen des ,raumes entsprechen also auf der ,kugel und weiterhin in der ,ebene ,kreistransformationen von der characteristischen ,eigenschaft1 ,kreisbschel und ,kreisbndel in ebensolche berzufhren#bf4 ,die ebene ,geometrie welche die ,gruppe der so gewonnenen ,transformationen benutzt1 ist das ,bild der gewhnlichen projectivischen ,raumgeometrie4 ,als ,element der ,ebene wird man in dieser ,geometrie nicht den ,punct benutzen knnen1 da die ,puncte fr die gewhlte ,transformationsgruppe keinen ,krper bilden 74#e71 sondern man wird die ,kreise als ,elemente whlen4 ,bei der zweiten ,erweiterung1 die wir nannten1 gilt es zunchst die ,frage nach der ,art der bez4 ,transformationsgruppe erledigen4 ,es handelt sich darum1 ,ebenen-,transformationen zu finden1 die aus jedem ,ebenenbndel1 dessen ,scheitel auf der ,kugel liegt1 wieder ein solches ,bndel machen4 ,wir mgen der krzeren ,ausdrucksweise wegen zunchst die ,frage dualistisch umkehren und berdies einen ,schritt in der ,zahl der ,dimensionen hinab gehen2 wir wollen also nach ,puncttransformationen der ,ebene fragen1 welche aus jeder ,tangente eines gegebenen ,kegelschnittes wiederum eine ,tangente erzeugen4 ,zu dem ,zwecke betrachten wir die ,ebene mit ihrem ,kegelschnitte als ,bild einer ,flche zweiten ,grades1 die man von einem nicht auf ihr befindlichen ,raumpuncte aus so auf die ,ebene projicirt hat1 dass der bez4 ,kegelschnitt die ,uebergangscurve vorstellt4 ,den ,tangenten des ,kegelschnitts entsprechen die ,erzeugenden der ,flche1 und die ,frage ist auf die andere zurckgefhrt nach der ,gesammtheit der ,puncttransformationen der ,flche in sich selbst1 bei denen die ,erzeugenden ,erzeugende bleiben4 ,solcher ,transformationen gibt es nun zwar beliebig unendlich viele3 denn man braucht nur den ,punct der ,flche als ,durchschnitt der ,erzeugenden zweierlei ,art zu betrachten und jedes der ,geraden-,systeme beliebig in sich zu transformiren4 ,aber unter den ,transformationen sind insbesondere die linearen4 ,nur auf diese wollen wir achten4 ,htten wir nmlich nicht mit einer ,flche1 sondern mit einer mehrfach ausgedehnten ,mannigfaltigkeit zu thun1 die durch eine quadratische ,gleichung reprsentirt wird1 so blieben nur die linearen ,transformationen1 die anderen kmen in ,wegfall#bg4 ,diese linearen ,transformationen der ,flche in sich selbst ergeben1 durch 7nicht stereographische7 ,projection auf die ,ebene bertragen1 zweideutige ,puncttransformationen1 vermge deren aus jeder ,tangente des ,kegelschnittes1 der die ,uebergangscurve bildet1 allerdings wieder eine ,tangente wird1 aus jeder anderen ,geraden aber im ,allgemeinen ein ,kegelschnitt1 der die ,uebergangscurve doppelt berhrt4 ,es lsst sich diese ,transformationsgruppe passend characterisiren1 wenn man auf den ,kegelschnitt1 der die ,uebergangscurve bildet1 eine projectivische ,mabestimmung grndet4 ,die ,transformationen haben dann die ,eigenschaft1 ,puncte1 welche im ,sinne der ,mabestimmung von einander eine ,entfernung gleich ,null haben1 sowie ,puncte1 welche von einem anderen ,puncte eine constante ,entfernung haben1 wieder in solche ,puncte zu verwandeln4 ,alle diese ,betrachtungen lassen sich auf beliebig viele ,variabeln bertragen1 insbesondere also fr die ursprngliche ,fragestellung1 die sich auf die ,kugel und die ,ebene als ,element bezog1 verwerthen4 ,man kann dem ,resultate dabei eine besonders anschauliche ,form geben1 weil der ,winkel1 den zwei ,ebenen im ,sinne der auf eine ,kugel gegrndeten projectivischen ,mabestimmung mit einander bilden1 mit dem ,winkel gleich ist1 den ihre ,durchschnittskreise mit der ,kugel im gewhnlichen ,sinne mit einander bilden4 ,wir erhalten also auf der ,kugel und weiterhin auf der ,ebene eine ,gruppe von ,kreistransformationen1 welche die ,eigenschaft haben1 ,kreise1 die einander berhren 7einen ,winkel gleich ,null einschliessen71 sowie ,kreise1 die einen anderen ,kreis unter gleichem ,winkel schneiden1 in eben solche ,kreise berzufhren4 ,in der ,gruppe dieser ,transformationen sind auf der ,kugel die bez4 linearen1 in der ,ebene die ,transformationen der ,gruppe der reciproken ,radien enthalten4 ,die auf diese ,gruppe zu grndende ,kreisgeometrie ist nun das ,analogon zu der ,kugelgeometrie1 wie sie ,lie fr den ,raum entworfen hat1 und wie sie bei ,untersuchungen ber ,krmmung der ,flchen von ausgezeichneter ,bedeutung scheint4 ,sie schliesst die ,geometrie der reciproken ,radien in demselben ,sinne in sich1 wie letztere wieder die elementare ,geometrie4 -- ,die nunmehr gewonnenen ,kreis-7,kugel-7,transformationen haben insbesondere die ,eigenschaft1 sich berhrende ,kreise 7,kugeln7 in eben solche berzufhren4 ,betrachtet man alle ,curven 7,flchen7 als ,umhllungsgebilde von ,kreisen 7,kugeln71 so werden in ,folge dessen ,curven 7,flchen71 die sich berhren1 immer in wieder solche bergehen4 ,die fraglichen ,transformationen gehren also in die ,classe der spter allgemein zu betrachtenden ,berhrungstransformationen1 d4 h4 solcher ,umformungen1 bei denen ,berhrung von ,punctgebilden eine invariante ,beziehung ist4 ,die im vorliegenden ,paragraphen zuerst erwhnten ,kreistransformationen1 denen man analoge ,kugeltransformationen an die ,seite stellen kann1 sind keine ,berhrungstransformationen4 -- ,wurden vorstehend die zweierlei ,erweiterungen nur an die ,geometrie der reciproken ,radien angeknpft1 so gelten dieselben in entsprechender ,weise fr ,liniengeometrie1 berhaupt fr die projectivische ,untersuchung einer durch eine quadratische ,gleichung ausgeschiedenen ,mannigfaltigkeit1 wie bereits angedeutet wurde1 hier aber nicht weiter ausgefhrt werden soll4 4#h4 ,aufzhlung weiterer ,methoden1 denen eine ,gruppe von ,puncttransformationen zu ,grunde liegt4 ---------------------------------------- ---------------------------------------- --------------- ,elementare ,geometrie1 ,geometrie der reciproken ,radien und auch projectivische ,geometrie1 sofern man von den mit ,wechsel des ,raumelements verknpften dualistischen ,umformungen absieht1 subsumiren sich als einzelne ,glieder unter die grosse ,menge von denkbaren ,betrachtungsweisen1 welche berhaupt ,gruppen von ,puncttransformationen zu ,grunde legen4 ,wir mgen hier nur die folgenden drei ,methoden1 die hierin mit den genannten bereinstimmen1 hervorheben4 ,sind diese ,methoden auch lange nicht in dem ,mae1 wie die projectivische ,geometrie1 zu selbstndigen ,disciplinen entwickelt1 so treten sie doch deutlich erkennbar in den neueren ,untersuchungen auf4 #a4 ,die ,gruppe der rationalen ,umformungen4 ,bei rationalen ,umformungen muss wohl unterschieden werden1 ob dieselben fr alle ,puncte des ,gebietes1 in welchem man operirt1 also des ,raumes oder der ,ebene etc41 rational sind1 oder nur fr die ,puncte einer in dem ,gebiete enthaltenen ,mannigfaltigkeit1 einer ,flche1 einer ,curve4 ,nur die ersteren sind zu verwenden1 wenn es gilt1 im bisherigen ,sinne eine ,geometrie des ,raumes1 der ,ebene zu entwerfen2 die letzteren gewinnen von dem hier gegebenen ,standpuncte aus erst ,bedeutung1 wenn ,geometrie auf einer gegebenen ,flche1 ,curve studirt werden soll4 ,dieselbe ,unterscheidung gilt bei der sogleich anzufhrenden ,analysis situs4 ,die seitherigen ,untersuchungen1 hier wie dort1 haben sich aber wesentlich mit ,transformationen der zweiten ,art beschftigt4 ,insofern dabei nicht die ,frage nach der ,geometrie auf der ,flche1 der ,curve war1 es sich vielmehr darum handelte1 ,criterien zu finden1 damit zwei ,flchen1 ,curven in einander transformirt werden knnen1 treten diese ,untersuchungen aus dem ,kreise der hier zu betrachtenden heraus4 ,der hier aufgestellte allgemeine ,schematismus umspannt eben nicht die ,gesammtheit mathematischer ,forschung berhaupt1 sondern er bringt nur gewisse ,richtungen unter einen gemeinsamen ,gesichtspunct4 ,fr eine ,geometrie der rationalen ,umformungen1 wie sie sich unter ,zugrundelegung der ,transformationen der ersten ,art ergeben muss1 sind bis jetzt erst die ,anfnge vorhanden4 ,im ,gebiete erster ,stufe1 auf der geraden ,linie1 sind die rationalen ,umformungen mit den linearen identisch und liefern also nichts ,neues4 ,in der ,ebene kennt man freilich die ,gesammtheit der rationalen ,umformungen 7der ,cremonaschen ,transformationen71 man weiss1 dass sie sich durch ,zusammensetzung quadratischer erzeugen lassen4 ,man kennt auch invariante ,charactere der ebenen ,curven3 ihr ,geschlecht1 die ,existenz der ,moduln2 aber eigentlich zu einer ,geometrie der ,ebene in dem hier gemeinten ,sinne entwickelt sind diese ,betrachtungen noch nicht4 ,im ,raume ist die ganze ,theorie noch erst im ,entstehen begriffen4 ,von den rationalen ,umformungen kennt man bis jetzt nur wenige und benutzt dieselben1 um bekannte ,flchen mit unbekannten durch ,abbildung in ,verbindung zu setzen4 -- #b4 ,die ,analysis situs4 ,in der sog4 ,analysis situs sucht man das ,bleibende gegenber solchen ,umformungen1 die aus unendlich kleinen ,verzerrungen durch ,zusammensetzung entstehen4 ,auch hier muss man1 wie bereits gesagt1 unterscheiden1 ob das ganze ,gebiet1 also etwa der ,raum1 als ,object der ,transformationen gedacht werden soll1 oder nur eine aus ihm ausgesonderte ,mannigfaltigkeit1 eine ,flche4 ,die ,transformationen der ersten ,art sind es1 die man einer ,raumgeometrie wrde zu ,grunde legen knnen4 ,ihre ,gruppe wre wesentlich anders constituirt1 als die bisher betrachteten es waren4 ,indem sie alle ,transformationen umfasst1 die sich aus reell gedachten unendlich kleinen ,puncttransformationen zusammensetzen1 trgt sie die principielle ,beschrnkung auf reelle ,raumelemente in sich1 und bewegt sich auf dem ,gebiete der willkrlichen ,function4 ,man kann diese ,transformationsgruppe nicht ungeschickt erweitern1 indem man sie noch mit den reellen ,collineationen1 die auch das unendlich ,ferne modificiren1 verbindet4 -- #c4 ,die ,gruppe aller ,puncttransformationen4 ,wenn gegenber dieser ,gruppe keine ,flche mehr individuelle ,eigenschaften besitzt1 da jede in jede andere durch ,transformationen der ,gruppe bergefhrt werden kann1 so sind es hhere ,gebilde1 bei deren ,untersuchung die ,gruppe mit ,vortheil ,anwendung findet4 ,bei der ,auffassung der ,geometrie1 wie sie hier zu ,grunde gelegt ist1 kann es gleichgltig sein1 wenn diese ,gebilde seither nicht sowohl als geometrische sondern nur als analytische betrachtet wurden1 die gelegentlich geometrische ,anwendung fanden1 und wenn man bei ihrer ,untersuchung ,processe anwandte 7wie eben beliebige ,puncttransformationen71 die man erst in neuerer ,zeit bewusst als geometrische ,umformungen aufzufassen begonnen hat4 ,unter diese analytischen ,gebilde gehren vor allen die homogenen ,differentialausdrcke1 sodann auch die partiellen ,differentialgleichungen4 ,bei der allgemeinen ,discussion der letzteren scheint aber1 wie in dem folgenden ,paragraphen ausgefhrt wird1 die umfassendere ,gruppe aller ,berhrungstransformationen noch vorteilhafter4 ,der ,hauptsatz1 der in der ,geometrie1 welche die ,gruppe aller ,puncttransformationen zu ,grunde legt1 in ,geltung ist1 ist der1 dass eine ,puncttransformation fr eine unendlich kleine ,partie des ,raumes immer den ,werth einer linearen ,transformation hat4 ,die ,entwickelungen der projectivischen ,geometrie haben also nun ihren ,werth fr das ,unendlichkleine1 und hierin liegt1 mag sonst die ,wahl der ,gruppe bei ,behandlung von ,mannigfaltigkeiten willkrlich sein -- hierin liegt ein auszeichnender ,character fr die projectivische ,anschauungsweise4 ,nachdem nun schon lange von dem ,verhltnisse der ,betrachtungsweisen1 die einander einschliessende ,gruppen zu ,grunde legen1 nicht mehr die ,rede war1 mag hier noch einmal ein ,beispiel fr die allgemeine ,theorie des 4#b gegeben werden4 ,wir mgen uns die ,frage vorlegen1 wie denn vom ,standpuncte aller ,puncttransformationen projectivische ,eigenschaften aufzufassen sind1 wobei von den dualistischen ,umformungen1 die eigentlich mit zur ,gruppe der projectivischen ,geometrie gehren1 abgesehen werden mag4 ,die ,frage deckt sich dann mit der andern3 durch welche ,bedingung aus der ,gesammtheit der ,puncttransformationen die ,gruppe der linearen ausgeschieden wird4 ,das ,characteristische der letzteren ist1 dass sie jeder ,ebene eine ,ebene zuordnen3 sie sind diejenigen ,puncttransformationen1 vermge deren die ,mannigfaltigkeit der ,ebenen 7oder1 was auf dasselbe hinaus kommt1 der geraden ,linien7 erhalten bleibt4 ,die projectivische ,geometrie ist aus der ,geometrie aller ,puncttransformationen ebenso durch ,adjunction der ,mannigfaltigkeit der ,ebenen zu gewinnen1 wie die elementare ,geometrie aus der projectivischen durch ,adjunction des unendlich fernen ,kugelkreises4 ,insbesondere haben wir z4 ,b4 vom ,standpuncte aller ,puncttransformationen die ,bezeichnung einer ,flche als einer algebraischen von einer gewissen ,ordnung als eine invariante ,beziehung zur ,mannigfaltigkeit der ,ebenen aufzufassen4 ,es wird dies recht deutlich1 wenn man1 mit ,grassmann1 die ,erzeugung der algebraischen ,gebilde an ihre lineale ,construction knpft4 4#i4 ,von der ,gruppe aller ,berhrungstransformationen4 ---------------------------------------- ------------- ,berhrungstransformationen sind zwar in einzelnen ,fllen schon lange betrachtet2 auch hat ,jacobi bei analytischen ,untersuchungen bereits von den allgemeinsten ,berhrungstransformationen ,gebrauch gemacht2 aber in die lebendige geometrische ,anschauung wurden sie erst durch neuere ,arbeiten von ,lie eingefhrt#bh4 ,es ist daher wohl nicht berflssig1 hier ausdrcklich auseinanderzusetzen1 was eine ,berhrungstransformation ist1 wobei wir uns1 wie immer1 auf den ,punctraum mit seinen drei ,dimensionen beschrnken4 ,unter einer ,berhrungstransformation hat man1 analytisch zu reden1 jede ,substitution zu verstehen1 welche die ,variabel-,werthe x1 y1 z und ihre partiellen ,differentialquotienten dz_/dx p1 dz_/dy q durch neue x'1 y'1 z'1 p'1 q' ausdrckt4 ,dabei gehen1 wie ersichtlich1 sich berhrende ,flchen im ,allgemeinen wieder in sich berhrende ,flchen ber1 was den ,namen ,berhrungstransformation begrndet4 ,die ,berhrungstransformationen zerfallen1 wenn man vom ,puncte als ,raumelement ausgeht1 in drei ,classen3 solche1 die den dreifach unendlich vielen ,puncten wieder ,puncte zuordnen -- das sind die eben betrachteten ,puncttransformationen --1 solche1 die sie in ,curven1 endlich solche1 die sie in ,flchen berfhren4 ,diese ,eintheilung hat man insofern nicht als eine wesentliche zu betrachten1 als bei ,benutzung anderer dreifach unendlich vieler ,raumelemente1 etwa der ,ebenen1 allerdings wieder eine ,theilung in drei ,gruppen eintritt1 die aber mit der ,theilung1 die unter ,zugrundelegung der ,puncte statt fand1 nicht coincidirt4 ,wenden wir auf einen ,punct alle ,berhrungstransformationen an1 so geht er in die ,gesammtheit aller ,puncte1 ,curven und ,flchen ber4 ,in ihrer ,gesammtheit erst bilden also ,puncte1 ,curven und ,flchen einen ,krper unserer ,gruppe4 ,man mag daraus die allgemeine ,regel abnehmen1 dass die formale ,behandlung eines ,problems im ,sinne aller ,berhrungstransformationen 7also etwa die sogleich vorzutragende ,theorie der partiellen ,differentialgleichungen7 eine unvollkommene werden muss1 sowie man mit ,punct- 7oder ,ebenen-7 ,coordinaten operirt1 da die zu ,grunde gelegten ,raumelemente eben keinen ,krper bilden4 ,alle in dem gen4 ,krper enthaltene ,individuen als ,raumelemente einzufhren1 geht aber1 will man in ,verbindung mit den gewhnlichen ,methoden bleiben1 nicht an1 da deren ,zahl unendlichfach unendlich ist4 ,hierin liegt die ,notwendigkeit1 bei diesen ,betrachtungen nicht den ,punct1 nicht die ,curve oder die ,flche1 sondern das ,flchenelement1 d4 h4 das ,werthsystem x1 y1 z1 p1 q als ,raumelement einzufhren4 ,bei jeder ,berhrungstransformation wird aus jedem ,flchenelemente ein neues2 die fnffach unendlich vielen ,flchenelemente bilden also einen ,krper4 ,bei diesem ,standpuncte muss man ,punct1 ,curve1 ,flche gleichmssig als ,aggregate von ,flchenelementen auffassen1 und zwar von zweifach unendlich vielen4 ,denn die ,flche wird von #b ,elementen bedeckt1 die ,curve von ebenso vielen berhrt1 durch den ,punct gehen #b hindurch4 ,aber diese zweifach unendlichen ,aggregate von ,elementen haben noch eine characteristische ,eigenschaft gemein4 ,man bezeichne als vereinigte ,lage zweier consecutiven ,flchenelemente x1 y1 z1 p1 q und xdx1 ydy1 zdz1 pdp1 qdq die ,beziehung1 welche durch dz - pdx - qdy #j dargestellt wird4 ,so sind ,punct1 ,curve1 ,flche bereinstimmend zweifach unendliche ,mannigfaltigkeiten von ,elementen1 deren jedes mit den einfach unendlich vielen ihm benachbarten vereinigt liegt4 ,dadurch sind ,punct1 ,curve1 ,flche gemeinsam characterisirt1 und so mssen sie auch1 wenn man die ,gruppe der ,berhrungstransformationen zu ,grunde legen will1 analytisch reprsentirt werden4 ,die vereinigte ,lage consecutiver ,elemente ist eine bei beliebiger ,berhrungstransformation invariante ,beziehung4 ,aber auch umgekehrt knnen die ,berhrungstransformationen definirt werden als diejenigen ,substitutionen der fnf ,vernderlichen x1 y1 z1 p1 q1 vermge deren die ,relation dz-pdx-qdy#j in sich selbst bergefhrt wird4 ,der ,raum ist also bei diesen ,untersuchungen als eine ,mannigfaltigkeit von fnf ,dimensionen anzusehen und diese ,mannigfaltigkeit hat man zu behandeln1 indem man als ,gruppe die ,gesammtheit aller ,transformationen der ,variabeln zu ,grunde legt1 welche eine bestimmte ,relation zwischen den ,differentialen ungendert lassen4 ,gegenstand der ,untersuchung werden in erster ,linie diejenigen ,mannigfaltigkeiten1 welche durch eine oder mehrere ,gleichungen zwischen den ,variabein dargestellt werden1 d4 h4 die partiellen ,differentialgleichungen erster ,ordnung und ihre ,systeme4 ,eine ,hauptfrage wird1 wie sich aus den ,mannigfaltigkeiten von ,elementen1 die gegebenen ,gleichungen gengen1 einfach1 zweifach unendliche ,reihen von ,elementen ausscheiden lassen1 deren jedes mit einem benachbarten vereinigt liegt4 ,auf eine solche ,frage luft z4 ,b4 die ,aufgabe der ,lsung einer partiellen ,differentialgleichung erster ,ordnung hinaus4 ,man soll -- so kann man sie formuliren -- aus den vierfach unendlich vielen ,elementen1 die der ,gleichung gengen1 alle zweifach unendlichen ,mannigfaltigkeiten der bewussten ,art ausscheiden4 ,insbesondere die ,aufgabe der vollstndigen ,lsung nimmt jetzt die prcise ,form an3 man soll die vierfach unendlich vielen ,elemente1 die der ,gleichung gengen1 auf eine ,weise in zweifach unendlich viele derartige ,mannigfaltigkeiten zerlegen4 ,ein ,verfolg dieser ,betrachtung ber partielle ,differentialgleichungen kann hier nicht in der ,absicht liegen2 ich verweise in ,bezug hierauf auf die citirten ,lieschen ,arbeiten4 ,es sei nur noch hervorgehoben1 dass fr den ,standpunct der ,berhrungstransformationen eine partielle ,differentialgleichung erster ,ordnung keine ,invariante hat1 dass jede in jede andere bergefhrt werden kann1 dass also namentlich die linearen ,gleichungen nicht weiter ausgezeichnet sind4 ,unterscheidungen treten erst ein1 wenn man zu dem ,standpuncte der ,puncttransformationen zurckgeht4 ,die ,gruppen der ,berhrungstransformationen1 der ,puncttransformationen1 endlich der projectivischen ,umformungen lassen sich in einer einheitlichen ,weise characterisiren1 die ich hier nicht unterdrcken mag#bi4 ,berhrungstransformationen wurden bereits definirt als diejenigen ,umformungen1 bei denen die vereinigte ,lage consecutiver ,flchenelemente erhalten bleibt4 ,die ,puncttransformationen haben dagegen die characteristische ,eigenschaft1 vereinigt gelegene consecutive ,linienelemente in eben solche zu verwandeln3 die linearen und dualistischen ,transformationen endlich bewahren die vereinigte ,lage consecutiver ,connex-,elemente4 ,unter einem ,connex-,elemente verstehe ich die ,vereinigung eines ,flchenelementes mit einem in ihm enthaltenen ,linienelemente2 consecutive ,connexelemente heien vereinigt gelegen1 wenn nicht nur der ,punct sondern auch das ,linienelement des einen in dem ,flchenelemente des anderen enthalten ist4 ,die 7brigens vorlufige7 ,bezeichnung3 ,connexelement bezieht sich auf die von ,clebsch neuerdings#cj in die ,geometrie eingefhrten ,gebilde1 welche durch eine ,gleichung dargestellt werden1 die gleichzeitig eine ,reihe ,punct-1 eine ,reihe ,ebenen- und eine ,reihe ,liniencoordinaten enthalten1 und deren ,analoga in der ,ebene ,clebsch als ,connexe bezeichnet4 4#aj4 ,ueber beliebig ausgedehnte ,mannigfaltigkeiten4 ---------------------------------------- ------------ ,es wurde bereits wiederholt hervorgehoben1 wie bei der ,anknpfung der bisherigen ,auseinandersetzungen an die rumliche ,vorstellung nur der ,wunsch magebend war1 die abstracten ,begriffe durch ,anlehnung an anschauliche ,beispiele leichter entwickeln zu knnen4 ,an und fr sich sind die ,betrachtungen von dem sinnlichen ,bilde unabhngig und gehren dem allgemeinen ,gebiete mathematischer ,forschung an1 das man als die ,lehre von den ausgedehnten ,mannigfaltigkeiten1 oder 7nach ,grassmann7 kurz als ,ausdehnungslehre bezeichnet4 ,wie man die ,uebertragung des ,vorhergehenden vom ,raume auf den blossen ,mannigfaltigkeitsbegriff zu bewerkstelligen hat1 ist ersichtlich4 ,es sei dabei nur noch einmal bemerkt1 dass wir bei der abstracten ,untersuchung1 der ,geometrie gegenber1 den ,vortheil haben1 die ,gruppe von ,transformationen1 welche wir zu ,grunde legen wollen1 ganz willkrlich whlen zu knnen1 whrend in der ,geometrie eine kleinste ,gruppe1 die ,hauptgruppe1 von ,vornherein gegeben war4 ,wir mgen hier nur die folgenden drei ,behandlungsweisen1 und auch diese ganz kurz berhren4 #a4 ,die projectivische ,behandlungsweise oder die moderne ,algebra 7,invariantentheorie74 ,ihre ,gruppe besteht in der ,gesammtheit der linearen und dualistischen ,transformationen der zur ,darstellung des ,einzelnen in der ,mannigfaltigkeit verwendeten ,vernderlichen2 sie ist die ,verallgemeinerung der projectivischen ,geometrie4 ,es wurde bereits hervorgehoben wie diese ,behandlungsweise bei der ,discussion des unendlich ,kleinen in einer um eine ,dimension mehr ausgedehnten ,mannigfaltigkeit zur ,verwendung kommt4 ,sie schliesst die beiden noch zu nennenden ,behandlungsweisen in dem ,sinne ein1 als ihre ,gruppe die bei jenen zu ,grunde zu legende ,gruppe umfasst4 #b4 ,die ,mannigfaltigkeit von constantem ,krmmungsmae4 ,die ,vorstellung einer solchen erwuchs bei ,riemann aus der allgemeineren einer ,mannigfaltigkeit1 in der ein ,differentialausdruck der ,vernderlichen gegeben ist4 ,die ,gruppe besteht bei ihm aus der ,gesammtheit der ,transformationen der ,variabeln1 welche den gegebenen ,ausdruck ungendert lassen4 ,von einer andern ,seite kommt man zur ,vorstellung einer ,mannigfaltigkeit von constanter ,krmmung1 wenn man im projectivischen ,sinne auf eine zwischen den ,vernderlichen gegebene quadratische ,gleichung eine ,mabestimmung grndet4 ,bei dieser ,weise tritt gegenber der ,riemannschen die ,erweiterung ein1 dass die ,variabeln als complex gedacht werden2 man mag hinterher die ,vernderlichkeit auf das reelle ,gebiet beschrnken4 ,hierher gehren die grosse ,reihe von ,untersuchungen1 die wir in 4 #e1 #f1 #g berhrt haben4 #c4 ,die ebene ,mannigfaltigkeit4 ,als ebene ,mannigfaltigkeit bezeichnet ,riemann die ,mannigfaltigkeit von constantem verschwindenden ,krmmungsmae4 ,ihre ,theorie ist die unmittelbare ,verallgemeinerung der elementaren ,geometrie4 ,ihre ,gruppe kann1 -- wie die ,hauptgruppe der ,geometrie -- aus der ,gruppe der projectivischen dadurch ausgeschieden werden1 dass man ein ,gebilde fest hlt1 welches durch zwei ,gleichungen1 eine lineare und eine quadratische1 dargestellt wird4 ,dabei hat man zwischen ,reellem und ,imaginrem zu unterscheiden1 wenn man sich der ,form1 unter der die ,theorie gewhnlich dargestellt wird1 anschliessen will4 ,hierher zu rechnen sind vor ,allem die elementare ,geometrie selbst1 dann z4 ,b4 die in neuerer ,zeit entwickelten ,verallgemeinerungen der gewhnlichen ,krmmungstheorie u4 s4 w4 ,schlussbemerkungen4 ------------------- ,zum ,schlusse mgen noch zwei ,bemerkungen ihre ,stelle finden1 die mit dem bisher ,vorgetragenen in enger ,beziehung stehen2 die eine betrifft den ,formalismus1 durch welche man die begrifflichen ,entwicklungen den ,vorangehenden reprsentiren will1 die andere soll einige ,probleme kennzeichnen1 deren ,inangriffnahme nach den hier gegebenen ,auseinandersetzungen als wichtig und lohnend erscheint4 ,man hat der analytischen ,geometrie hufig den ,vorwurf gemacht1 durch ,einfhrung des ,coordinatensystems willkrliche ,elemente zu bevorzugen1 und dieser ,vorwurf trifft gleichmssig jede ,behandlungsweise ausgedehnter ,mannigfaltigkeiten1 welche das ,einzelne durch die ,werthe von ,vernderlichen characterisirt4 ,war dieser ,vorwurf bei der mangelhaften ,art1 mit der man namentlich frher die ,coordinatenmethode handhabte1 nur zu oft gerechtfertigt1 so verschwindet er bei einer rationellen ,behandlung der ,methode4 ,die analytischen ,ausdrcke1 welche bei der ,untersuchung einer ,mannigfaltigkeit im ,sinne einer ,gruppe entstehen knnen1 mssen1 ihrer ,bedeutung nach1 von dem ,coordinatensysteme1 insofern es zufllig gewhlt ist1 unabhngig sein1 und es gilt nun1 diese ,unabhngigkeit auch formal in ,evidenz zu setzen4 ,dass dies mglich ist und wie es zu geschehen hat1 zeigt die moderne ,algebra1 in der der formale ,invariantenbegriff1 um den es sich hier handelt1 am deutlichsten ausgeprgt ist4 ,sie besitzt ein allgemeines und erschpfendes ,bildungsgesetz fr invariante ,ausdrcke und operirt principiell nur mit solchen4 ,die gleiche ,forderung soll man an die formale ,behandlung stellen1 auch wenn andere ,gruppen1 als die projectivische1 zu ,grunde gelegt sind4 ,denn der ,formalismus soll sich doch mit der ,begriffsbildung decken1 mag man nun den ,formalismus nur als prcisen und durchsichtigen ,ausdruck der ,begriffsbildung verwerthen1 oder will man ihn benutzen1 um an seiner ,hand in noch unerforschte ,gebiete einzudringen4 -- ,die ,problemstellung1 deren wir noch erwhnen wollten1 erwchst durch einen ,vergleich der vorgetragenen ,anschauungen mit der sog4 ,galoisschen ,theorie der ,gleichungen4 ,in der ,galoisschen ,theorie1 wie hier1 concentrirt sich das ,interesse auf ,gruppen von ,aenderungen4 ,die ,objecte1 auf welche sich die ,aenderungen beziehen1 sind allerdings verschieden2 man hat es dort mit einer endlichen ,zahl discreter ,elemente1 hier mit der unendlichen ,zahl von ,elementen einer stetigen ,mannigfaltigkeit zu thun4 ,aber der ,vergleich lsst sich bei der ,identitt des ,gruppenbegriffes doch weiter verfolgen#ca1 und es mag dies hier um so lieber angedeutet werden1 als dadurch die ,stellung characterisirt wird1 die man gewissen von ,lie und mir begonnenen ,untersuchungen#cb im ,sinne der hier entwickelten ,anschauungen zuzuweisen hat4 ,in der ,galoisschen ,theorie1 wie sie z4 ,b4 in ,serrets ,trait d',algbre suprieure#ai oder in ,c4 ,jordans ,trait des substitutions#bj dargestellt wird1 ist der eigentliche ,untersuchungsgegenstand die ,gruppen- oder ,substitutionstheorie selbst1 die ,gleichungstheorie fliesst aus ihr als eine ,anwendung4 ,entsprechend verlangen wir eine ,transformationstheorie1 eine ,lehre von den ,gruppen1 welche von ,transformationen gegebener ,beschaffenheit erzeugt werden knnen4 ,die ,begriffe der ,vertauschbarkeit1 der ,aehnlichkeit u4 s4 w4 kommen1 wie in der ,substitutionstheorie1 zur ,verwendung4 ,als eine ,anwendung der ,transformationstheorie erscheint die aus der ,zugrundelegung der ,transformationsgruppen fliessende ,behandlung der ,mannigfaltigkeit4 ,in der ,gleichungstheorie sind es zunchst die symmetrischen ,functionen der ,coefficienten1 die das ,interesse auf sich ziehen1 sodann aber diejenigen ,ausdrcke1 welche1 wenn nicht bei allen1 so durch eine grssere ,reihe von ,vertauschungen der ,wurzeln ungendert bleiben4 ,bei der ,behandlung einer ,mannigfaltigkeit unter ,zugrundelegung einer ,gruppe fragen wir entsprechend zunchst nach den ,krpern 74#e71 nach den ,gebilden1 die durch alle ,transformationen der ,gruppe ungendert bleiben4 ,aber es gibt ,gebilde1 welche nicht alle aber einige ,transformationen der ,gruppe zulassen1 und diese sind dann im ,sinne der auf die ,gruppe gegrndeten ,behandlung besonders interessant1 sie haben ausgezeichnete ,eigenschaften4 ,es kommt das also darauf hinaus1 im ,sinne der gewhnlichen ,geometrie symmetrische1 regulre ,krper1 ,rotations- und ,schraubenflchen auszuzeichnen4 ,stellt man sich auf den ,standpunct der projectivischen ,geometrie und verlangt insbesondere1 dass die ,transformationen1 durch welche die ,gebilde in sich bergehen1 vertauschbar sein sollen1 so kommt man auf die von ,lie und mir in dem citirten ,aufsatze#ah betrachteten ,gebilde und auf das in 4#f4 desselben gestellte allgemeine ,problem4 ,die dort in 4 #a1 #c gegebene ,bestimmung aller ,gruppen unendlich vieler vertauschbarer linearer ,transformationen in der ,ebene gehrt als ein ,theil in die soeben genannte allgemeine ,transformationstheorie#cc4 ,noten4 ,i4 ,ueber den ,gegensatz der synthetischen und analytischen ,richtung in der neueren ,geometrie4 ---------------------------------------- ---------------------------------------- ------------ ,den ,unterschied zwischen neuerer ,synthese und neuerer analytischer ,geometrie hat man zur ,zeit nicht mehr als einen wesentlichen zu betrachten1 da der gedankliche ,inhalt sowohl als die ,schlussweise sich auf beiden ,seiten allmhlich ganz hnlich gestaltet haben4 ,daher whlen wir im ,texte zur gemeinsamen ,bezeichnung beider das ,wort projectivische ,geometrie4 ,wenn die synthetische ,methode mehr mit rumlicher ,anschauung arbeitet und ihren ersten1 einfachen ,entwickelungen dadurch einen ungemeinen ,reiz ertheilt1 so ist das ,gebiet rumlicher ,anschauung der analytischen ,methode nicht verschlossen1 und man kann die ,formeln der analytischen ,geometrie als einen prcisen und durchsichtigen ,ausdruck der geometrischen ,beziehungen auffassen4 ,man hat auf der anderen ,seite den ,vortheil nicht zu unterschtzen1 den ein gut angelegter ,formalismus der ,weiterforschung dadurch leistet1 dass er gewissermaen dem ,gedanken vorauseilt4 ,es ist zwar immer an der ,forderung festzuhalten1 dass man einen mathematischen ,gegenstand noch nicht als erledigt betrachten soll1 so lange er nicht begrifflich evident geworden ist1 und es ist das ,vordringen an der ,hand des ,formalismus eben nur ein erster aber schon sehr wichtiger ,schritt4 ,,ii4 ,trennung der heutigen ,geometrie in ,disciplinen4 ---------------------------------------- ----------- ,wenn man z4 ,b4 beachtet1 wie der mathematische ,physiker sich durchgngig der ,vortheile entschlgt1 die ihm eine nur einigermaen ausgebildete projectivische ,anschauung in vielen ,fllen gewhren kann1 wie auf der anderen ,seite der ,projectiviker die reiche ,fundgrube mathematischer ,wahrheiten unberhrt lsst1 welche die ,theorie der ,krmmung der ,flchen aufgedeckt hat1 so muss man den gegenwrtigen ,zustand des geometrischen ,wissens als recht unvollkommen und als hoffentlich vorbergehend betrachten4 ,,iii4 ,ueber den ,werth rumlicher ,anschauung4 ---------------------------------------- --- ,wenn wir im ,texte die rumliche ,anschauung als etwas ,beilufiges bezeichnen1 so ist dies mit ,bezug auf den rein mathematischen ,inhalt der zu formulirenden ,betrachtungen gemeint4 ,die ,anschauung hat fr ihn nur den ,werth der ,veranschaulichung1 der allerdings in pdagogischer ,beziehung sehr hoch anzuschlagen ist4 ,ein geometrisches ,modell z4 ,b4 ist auf diesem ,standpuncte sehr lehrreich und interessant4 ,ganz anders stellt sich aber1 die ,frage nach dem ,werthe der rumlichen ,anschauung berhaupt4 ,ich stelle denselben als etwas selbstndiges hin4 ,es gibt eine eigentliche ,geometrie1 die nicht1 wie die im ,texte besprochenen ,untersuchungen1 nur eine veranschaulichte ,form abstracterer ,untersuchungen sein will4 ,in ihr gilt es1 die rumlichen ,figuren nach ihrer vollen gestaltlichen ,wirklichkeit aufzufassen und 7was die mathematische ,seite ist7 die fr sie geltenden ,beziehungen als evidente ,folgen der ,grundstze rumlicher ,anschauung zu verstehen4 ,ein ,modell -- mag es nun ausgefhrt und angeschaut oder nur lebhaft vorgestellt sein -- ist fr diese ,geometrie nicht ein ,mittel zum ,zwecke sondern die ,sache selbst4 ,wenn wir so1 neben und unabhngig von der reinen ,mathematik1 ,geometrie als etwas ,selbstndiges hinstellen1 so ist das an und fr sich gewiss nichts ,neues4 ,es ist aber wnschenswerth1 diesen ,gesichtspunct ausdrcklich einmal wieder hervorzuheben1 da die neuere ,forschung ihn fast ganz bergeht4 ,hiermit hngt zusammen1 dass umgekehrt die neuere ,forschung selten dazu verwendet wurde1 wenn es galt1 gestaltliche ,verhltnisse rumlicher ,erzeugnisse zu beherrschen1 und doch scheint sie gerade in dieser ,richtung sehr fruchtbar4 ,,iv4 ,ueber ,mannigfaltigkeiten von beliebig vielen ,dimensionen4 ---------------------------------------- --------------------- ,dass der ,raum1 als ,ort fr ,puncte aufgefasst1 nur drei ,dimensionen hat1 braucht vom mathematischen ,standpuncte aus nicht discutirt zu werden2 ebenso wenig kann man aber vom mathematischen ,standpuncte aus ,jemanden hindern1 zu behaupten1 der ,raum habe eigentlich vier1 oder unbegrnzt viele ,dimensionen1 wir seien aber nur im ,stande1 drei wahrzunehmen4 ,die ,theorie der mehrfach ausgedehnten ,mannigfaltigkeiten1 wie sie je lnger je mehr in den ,vordergrund neuerer mathematischer ,forschung tritt1 ist1 ihrem ,wesen nach1 von einer solchen ,behauptung vollkommen unabhngig4 ,es hat sich in ihr aber eine ,redeweise eingebrgert1 die allerdings dieser ,vorstellung entflossen ist4 ,man spricht1 statt von den ,individuen einer ,mannigfaltigkeit1 von den ,puncten eines hheren ,raumes etc4 ,an und fr sich hat diese ,redeweise manches ,gute1 insofern sie durch ,erinnern an die geometrischen ,anschauungen das ,verstndniss erleichtert4 ,sie hat aber die nachtheilige ,folge gehabt1 dass in ausgedehnten ,kreisen die ,untersuchungen ber ,mannigfaltigkeiten mit beliebig vielen ,dimensionen als solidarisch erachtet werden mit der erwhnten ,vorstellung von der ,beschaffenheit des ,raumes4 ,nichts ist grundloser als diese ,auffassung4 ,die betr4 mathematischen ,untersuchungen wrden allerdings sofort geometrische ,verwendung finden1 wenn die ,vorstellung richtig wre1 -- aber ihr ,werth und ihre ,absicht ruht1 gnzlich unabhngig von dieser ,vorstellung1 in ihrem eigenen mathematischen ,inhalte4 ,etwas ganz anders ist es1 wenn ,plcker gelehrt hat1 den wirklichen ,raum als eine ,mannigfaltigkeit von beliebig vielen ,dimensionen aufzufassen1 indem man als ,element des ,raumes ein von beliebig vielen ,parametern abhngendes ,gebilde 7,curve1 ,flche etc47 einfhrt 7vergl4 4#e des ,textes74 ,die ,vorstellungsweise1 welche das ,element der beliebig ausgedehnten ,mannigfaltigkeit als ein ,analogon zum ,puncte des ,raumes betrachtet1 ist wohl zuerst von ,grassmann in seiner ,ausdehnungslehre 7#ahdd1 #ag7 entwickelt worden4 ,bei ihm ist der ,gedanke vllig frei von der erwhnten ,vorstellung von der ,natur des ,raumes2 letztere geht auf gelegentliche ,bemerkungen von ,gauss zurck und wurde durch ,riemanns ,untersuchungen ber mehrfach ausgedehnte ,mannigfaltigkeiten1 in welche sie mit eingeflochten ist1 in weiteren ,kreisen bekannt4 ,beide ,auffassungsweisen -- die ,grassmannsche wie die ,plckersche -- haben ihre eigentmlichen ,vorzge2 man verwendet sie beide1 zwischen ihnen abwechselnd1 mit ,vortheil4 ,v4 ,ueber die sogenannte ,nicht-,euklidische ,geometrie4 ---------------------------------------- ------------ ,die im ,texte gemeinte projectivische ,mageometrie coincidirt1 wie neuere ,untersuchungen gelehrt haben1 dem ,wesen nach mit der ,mageometrie1 welche unter ,nicht-,annahme des ,parallelen-,axioms entworfen werden kann und die zur ,zeit unter dem ,namen der ,nicht-,euklidischen ,geometrie vielfach besprochen und disputirt wird4 ,wenn wir im ,texte diesen ,namen berhaupt nicht berhrt haben1 so geschah es aus einem ,grunde1 der mit den in der vorstehenden ,note gegebenen ,auseinandersetzungen verwandt ist4 ,man verknpft mit dem ,namen ,nicht-,euklidische ,geometrie eine ,menge unmathematischer ,vorstellungen1 die auf der einen ,seite mit eben so viel ,eifer gepflegt als auf der anderen perhorrescirt werden1 mit denen aber unsere rein mathematischen ,betrachtungen gar ,nichts zu schaffen haben4 ,der ,wunsch1 in dieser ,richtung etwas zur ,klrung der ,begriffe beizutragen1 mag die folgenden ,auseinandersetzungen motiviren4 ,die gemeinten ,untersuchungen ber ,parallelentheorie haben mit ihren ,weiterbildungen mathematisch nach zwei ,seiten einen bestimmten ,werth4 ,sie zeigen einmal -- und dieses ihr ,geschft kann man als ein einmaliges1 abgeschlossenes betrachten --1 dass das ,parallelenaxiom keine mathematische ,folge der gewhnlich vorangestellten ,axiome ist1 sondern dass ein wesentlich neues ,anschauungselement1 welches in den vorhergehenden ,untersuchungen nicht berhrt wurde1 in ihm zum ,ausdruck gelangt4 ,aehnliche ,untersuchungen knnte man und sollte man mit ,bezug auf jedes ,axiom nicht nur der ,geometrie durchfhren2 man wrde dadurch an ,einsicht in die gegenseitige ,stellung der ,axiome gewinnen4 ,dann aber haben uns diese ,untersuchungen mit einem werthvollen mathematischen ,begriffe beschenkt3 dem ,begriffe einer ,mannigfaltigkeit von constanter ,krmmung4 ,er hngt1 wie bereits bemerkt und wie in 4#aj des ,textes noch weiter ausgefhrt ist1 mit der unabhngig von aller ,parallelentheorie erwachsenen projectivischen ,mabestimmung auf das ,innigste zusammen4 ,wenn das ,studium dieser ,mabestimmung an und fr sich hohes mathematisches ,interesse bietet und zahlreiche ,anwendungen gestattet1 so kommt hinzu1 dass sie die in der ,geometrie gegebene ,mabestimmung als speciellen ,fall 7,grnz-fall7 umfasst und uns lehrt1 dieselbe von einem erhhten ,standpuncte aufzufassen4 ,vllig unabhngig von den entwickelten ,gesichtspunkten steht die ,frage1 welche ,grnde das ,parallelen-,axiom sttzen1 ob wir dasselbe als absolut gegeben -- wie die ,einen wollen -- oder als durch ,erfahrung nur approximativ erwiesen -- wie die ,anderen sagen -- betrachten wollen4 ,sollten ,grnde sein1 das letztere anzunehmen1 so geben uns die fragl4 mathematischen ,untersuchungen an die ,hand1 wie man dann eine exactere ,geometrie zu construiren habe4 ,aber die ,fragestellung ist offenbar eine philosophische1 welche die allgemeinsten ,grundlagen unserer ,erkenntniss betrifft4 ,den ,mathematiker als solchen interessirt die ,fragestellung nicht1 und er wnscht1 dass seine ,untersuchungen nicht als abhngig betrachtet werden von der ,antwort1 die man von der einen oder der anderen ,seite auf die ,frage geben mag4 ,,vi4 ,liniengeometrie als ,untersuchung einer ,mannigfaltigkeit von constantem ,krmmungsmae4 ---------------------------------------- ---------------------------------------- --------- ,wenn wir ,liniengeometrie mit der projectivischen ,mabestimmung in einer fnffach ausgedehnten ,mannigfaltigkeit in ,verbindung setzen1 mssen wir beachten1 dass wir in den geraden ,linien nur die 7im ,sinne der ,mabestimmung7 unendlich fernen ,elemente der ,mannigfaltigkeit vor uns haben4 ,es wird daher nthig1 zu berlegen1 welchen ,werth eine projectivische ,mabestimmung fr ihre unendlich fernen ,elemente hat1 und das mag hier etwas auseinandergesetzt werden1 um ,schwierigkeiten1 die sich sonst der ,auffassung der ,liniengeometrie als einer ,mageometrie entgegen stellen1 zu entfernen4 ,wir knpfen diese ,auseinandersetzungen an das anschauliche ,beispiel1 welches die auf eine ,flche zweiten ,grades gegrndete projectivische ,mabestimmung ergibt4 ,zwei beliebig angenommene ,puncte des ,raumes haben in ,bezug auf die ,flche eine absolute ,invariante3 ihr ,doppelverhltniss zu den beiden ,durchschnittspuncten ihrer ,verbindungsgeraden mit der ,flche4 ,rcken aber die beiden ,puncte auf die ,flche1 so wird dies ,doppelverhltniss unabhngig von der ,lage der ,puncte gleich ,null1 ausser in dem ,falle1 dass die beiden ,puncte auf eine ,erzeugende zu liegen kommen1 wo es unbestimmt wird4 ,dies ist die einzige ,particularisation1 die in ihrer ,beziehung eintreten kann1 wenn sie nicht zusammenfallen1 und wir haben also den ,satz3 ,die projectivische ,mabestimmung1 welche man im ,raume auf eine ,flche zweiten ,grades grnden kann1 ergibt fr die ,geometrie auf der ,flche noch keine ,mabestimmung4 ,hiermit hngt zusammen1 dass man durch lineare ,transformationen der ,flche in sich selbst drei beliebige ,puncte derselben mit drei anderen zusammenfallen lassen kann#cd4 ,will man auf der ,flche selbst eine ,mabestimmung haben1 so muss man die ,gruppe der ,transformationen beschrnken1 und dies erreicht man1 indem man einen beliebigen ,raumpunct 7oder seine ,polarebene7 festhlt4 ,der ,raumpunct sei zunchst nicht auf der ,flche gelegen4 ,so projicire man die ,flche von dem ,puncte auf eine ,ebene1 wobei ein ,kegelschnitt als ,uebergangscurve auftritt4 ,auf diesen ,kegelschnitt grnde man in der ,ebene eine projectivische ,mabestimmung1 die man dann rckwrts auf die ,flche bertrgt#ce4 ,dies ist eine eigentliche ,mabestimmung von constanter ,krmmung und man hat also den ,satz3 ,auf der ,flche erhlt man eine solche ,mabestimmung1 sowie man einen ausserhalb der ,flche gelegenen ,punct festhlt4 ,entsprechend findet man#cf3 ,eine ,mabestimmung von verschwindender ,krmmung erhlt man auf der ,flche1 wenn man fr den festen ,punct einen ,punct der ,flche selbst whlt4 ,fr alle diese ,mabestimmungen auf der ,flche sind die ,erzeugenden der ,flche ,linien von verschwindender ,lnge4 ,der ,ausdruck fr das ,bogenelement auf der ,flche ist also fr die verschiedenen ,bestimmungen nur um einen ,factor verschieden4 ,ein absolutes ,bogenelement auf der ,flche gibt es nicht4 ,wohl aber kann man von dem ,winkel sprechen1 den ,fortschreitungsrichtungen auf der ,flche mit einander bilden4 -- ,alle diese ,stze und ,betrachtungen knnen nun ohne ,weiteres fr ,liniengeometrie benutzt werden4 ,fr den ,linienraum selbst existirt zunchst keine eigentliche ,mabestimmung4 ,eine solche erwchst erst1 wenn wir einen linearen ,complex fest halten1 und zwar erhlt sie constante oder verschwindende ,krmmung1 je nachdem der ,complex ein allgemeiner oder ein specieller 7eine ,gerade7 ist4 ,an die ,auszeichnung eines ,complexes ist namentlich auch die ,geltung eines absoluten ,bogenelements geknpft4 ,unabhngig davon sind die ,fortschreitungsrichtungen zu benachbarten ,geraden1 welche die gegebene schneiden1 von der ,lnge ,null1 und auch kann man von einem ,winkel reden1 den zwei beliebige ,fortschreitungsrichtungen mit einander bilden#cg4 ,,vii4 ,zur ,interpretation der binren ,formen4 ---------------------------------------- --- ,es mag hier der bersichtlichen ,gestalt gedacht werden1 welche1 unter ,zugrundelegung der ,interpretation von xiy auf der ,kugelflche1 dem ,formensysteme der cubischen und der biquadratischen binren ,form ertheilt werden kann4 ,eine cubische binre ,form f hat eine cubische ,covariante ,q1 eine quadratische 1 und eine ,invariante ,r#ch4 ,aus f und ,q setzt sich eine ganze ,reihe von ,covarianten sechsten ,grades ,q#b ,rf#b zusammen1 unter denen auch #c enthalten ist4 ,man kann zeigen#ci1 dass jede ,covariante der cubischen ,form in solche ,gruppen von sechs ,puncten zerfallen muss4 ,insofern complexe ,werthe annehmen kann1 gibt es zweifach unendlich viele derselben4 ,das ganze so umgrenzte ,formensystem kann auf der ,kugel nun folgendermaen reprsentirt werden4 ,durch geeignete lineare ,transformation der ,kugel in sich selbst bringe man die drei ,puncte1 welche f reprsentiren1 in drei quidistante ,puncte eines grssten ,kreises4 ,derselbe mag als ,aequator bezeichnet sein2 auf ihm haben die drei ,puncte f die geographische ,lnge #j1 #abj1 #bdj4 ,so wird ,q durch die ,puncte des ,aequators mit der ,lnge #fj1 #ahj1 #cjj1 durch die beiden ,pole vorgestellt4 ,jede ,form ,q#b ,rf#b ist durch #f ,puncte reprsentirt1 deren geographische ,breite und ,lnge1 unter und beliebige ,zahlen verstanden1 in dem folgenden ,schema enthalten ist3 71 71 71 #abj71 71 #bdj7 1 7-1 -71 7-1 #abj-71 7-1 #bdj-7 ,verfolgt man diese ,punctsysteme auf der ,kugel1 so ist es interessant1 zu sehen1 wie f und ,q doppelt1 dreifach zhlend aus denselben entsteht4 ,eine biquadratische ,form f hat eine ebensolche ,covariante ,h1 eine ,covariante sechsten ,grades ,t1 zwei ,invarianten i und j4 ,besonders zu bemerken ist die ,schaar biquadratischer ,formen i,h jf1 die alle zu dem nmlichen ,t gehren1 und unter denen die drei quadratischen ,factoren1 in welche man ,t zerlegen kann1 doppelt zhlend enthalten sind4 -- ,man lege jetzt durch den ,mittelpunct der ,kugel drei zu einander rechtwinklige ,axen ,,ox1 ,,oy1 ,,oz4 ,ihre #f ,durchstosspuncte mit der ,kugel bilden die ,form ,t4 ,die #d ,puncte eines ,quadrupels i,h jf sind1 unter x1 y1 z ,coordinaten eines beliebigen ,kugelpunctes verstanden1 durch das ,schema x1 y1 z1 x1 -y1 -z1 -x1 y1 -z1 -x1 -y1 z vorgestellt4 ,die vier ,puncte bilden jedesmal die ,ecken eines symmetrischen ,tetraeders1 dessen gegenberstehende ,seiten von den ,axen des ,coordinatensystems halbirt werden1 wodurch die ,rolle1 welche ,t in der ,theorie der biquadratischen ,gleichungen als ,resolvente von i,h jf spielt1 gekennzeichnet ist4 ,erlangen im ,october #ahgb4 99 99 99 99 99 #a ,c4 ,jordan1 8,mmoire sur les groupes de mouvements40 ,in3 ,annali di ,matematica pura et applicata #ahif1 #b1 #afg-bae http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jbd aifaj4 #b ,k4 ,g4 ,c4 v4 ,staudt1 ,geometrie ,der ,lage1 ,fr4 ,korn1 ,nrnberg1 #ahdg4 #c ,k4 ,g4 ,c4 v4 ,staudt1 ,beitrge ,zur ,geometrie ,der ,lage4 ,erstes ,heft1 ,fr4 ,korn1 ,nrnberg1 #ahef4 #d ,k4 ,g4 ,c4 v4 ,staudt1 ,beitrge ,zur ,geometrie ,der ,lage4 ,zweites ,heft1 ,fr4 ,korn1 ,nrnberg1 #aheg4 #e ,k4 ,g4 ,c4 v4 ,staudt1 ,beitrge ,zur ,geometrie ,der ,lage4 ,drittes ,heft1 ,fr4 ,korn1 ,nrnberg1 #ahfj4 #f ,f4 ,klein1 8,ueber ,liniengeometrie und metrische ,geometrie0 ,in3 ,mathematische ,annalen #ahgb1 #e1 #beg-bgg http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad ddhda4 #g ,o4 ,hesse1 8,ein ,uebertragungsprinzip0 ,in3 ,crelle's ,journal fr die reine und angewandte ,mathematik #ahff1 #ff1 #ae-bb http3_/_/gdz4sub4uni-goettingen4de_/ru_/ dms_/load_/img_/8,,ppn,,ppn#bdciaifhijjf f;,,dmdiddmdlog#f4 #h ,f4 ,klein1 8,ueber die sogenannte ,nicht-,euklidische ,geometrie4 ,zweiter ,aufsatz40 ,in3 ,mathematische ,annalen #ahgc1 #f1 #aab-ade http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad dcahi4 #i ,p4 ,lejeune-,dirichlet1 ,vorlesungen ber ,zahlentheorie1 ,vieweg1 ,braunschweig1 #ahfc4 #aj ,s4 ,lie1 8,ueber ,complexe1 insbesondere ,linien- und ,kugel-,complexe1 mit ,anwendung auf die ,theorie partieller ,differential-,gleichungen40 ,in3 ,mathematische ,annalen #ahgb1 #e1 #ade-bjh http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad dfcca4 #aa ,s4 ,lie1 8,ueber diejenige ,theorie eines ,raumes mit beleibig vielen ,dimensionen1 die der ,krmmungs-,theorie des gewhnlichen ,raumes entspricht40 ,in3 ,nachrichten von der ,knigl4 ,gesellschaft der ,wissenschaften und der ,georg-,augusts-,universitt zu ,gttingen #ahga1 #g1 #aia-bji http3_/_/resolver4sub4uni-goettingen4de_ /purl8,,ppn#bebdegjgbahga4 #ab ,h4 ,grassmann1 ,die ,ausdehnungslehre1 ,enslin1 ,berlin1 #ahfb4 #ac ,s4 ,lie1 8,zur ,theorie partieller ,differentialgleichungen erster ,ordnung2 insbesondere ber eine ,classification derselben40 ,in3 ,nachrichten von der ,knigl4 ,gesellschaft der ,wissenschaften und der ,georg-,augusts-,universitt zu ,gttingen #ahgb1 #h1 #dgc-dij http3_/_/www4digizeitschriften4de_/dms_/ img_/8,,ppn,,ppn#bebdegjgbahgb4 #ad ,a4 ,clebsch1 8,ueber eine ,fundamentalaufgabe der ,invariantentheorie40 ,in3 ,mathematische ,annalen #ahgb1 #e1 #dbg-dcd http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad dbhjc4 #ae ,a4 ,clebsch1 8,ueber ein neues ,grundgebilde der analysischen ,geometrie40 ,in3 ,nachrichten von der ,knigl4 ,gesellschaft der ,wissenschaften und der ,georg-,augusts-,universitt zu ,gttingen #ahgb1 #bb1 #dbi-ddh http3_/_/resolver4sub4uni-goettingen4de_ /purl8,,ppn#bebdegjgbahgb4 #af ,a4 ,clebsch1 8,ueber ein neues ,grundgebilde der analysischen ,geometrie der ,ebene40 ,in3 ,mathematische ,annalen #ahgb1 #f1 #bjc-bae http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad dcaib4 #ag ,h4 ,grassmann1 ,die ,lineale ,ausdehnungslehre _/ ,ein ,neuer ,zweig ,der ,mathematik _/ ,dargestellt ,und ,durch ,anwendungen ,auf ,die brigen ,zweige ,der ,mathematik1 ,wie ,auch ,auf ,die ,statik1 ,mechanik1 ,die ,lehre ,vom ,magnetismus ,und ,die ,krystallonomie ,erlutert1 ,o4 ,wigand1 ,leipzig1 #ahdd4 #ah ,f4 und ,l4 ,s4 ,klein1 8,ueber diejenigen ebenen ,curven1 welche durch ein geschlossenes ,system von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen ,transformationen in sich bergehen40 ,in3 ,mathematische ,annalen #ahga1 #c1 #ej-hd http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad dcbig4 #ai ,j4 ,a4 ,serret1 ,cours ,d'algbre ,suprieure1 ,gauthier-villard1 ,paris1 #ahff4 #bj ,c4 ,jordan1 ,trait ,des ,substitutions ,et ,des quations ,algbriques1 ,gauthier-villard1 ,paris1 #ahgj4 #ba ,a4 ,clebsch1 ,theorie ,der ,binren ,algebraischen ,formen1 ,teubner1 ,leipzig1 #ahgb4 #bb ,f4 ,klein1 8,ueber eine geometrische ,reprsentation der ,resolventen algebraischer ,gleichungen40 ,in3 ,mathematische ,annalen #ahga1 #d1 #cdf-ceh http3_/_/dx4doi4org_/#aj4ajjg_/;,,bf#jad dbfjj4 #a3 ,vergl4 ,note ,i4 des ,anhangs4 #b3 ,vergl4 ,note ,,ii #c3 ,vergl4 ,note ,,iii #d3 ,vergl4 ,note ,,iv #e3 ,diese knappe ,form ist ein ,mangel der im ,folgenden gegebenen ,darstellung1 der das ,verstndniss1 wie ich frchte1 wesentlich erschweren wird4 ,aber dem htte wohl nur durch eine sehr viel weitere ,auseinandersetzung abgeholfen werden knnen1 in der die ,einzel-,theorien1 die hier nur berhrt werden1 ausfhrlich entwickelt worden wren4 #f3 ,wir denken von den ,transformationen immer die ,gesammtheit der rumlichen ,gebilde gleichzeitig betroffen und reden desshalb schlechthin von ,transformationen des ,raumes4 ,die ,transformationen knnen1 wie z4 ,b4 die dualistischen1 statt der ,puncte andere ,elemente einfhren2 es wird dies im ,texte nicht unterschieden4 #g3 ,begriffsbildung wie ,bezeichnung sind herbergenommen von der ,substitutionstheorie1 in der nur an ,stelle der ,transformationen eines continuirlichen ,gebietes die ,vertauschungen einer endlichen ,zahl discreter ,grssen auftreten4 #h3 ,camille ,jordan hat alle ,gruppen aufgestellt1 die berhaupt in der ,gruppe der ,bewegungen enthalten sind3 ,sur les groupes de mouvements4 ,annali di ,matematica4 t4 ,,ii#a #i3 ,die ,transformationen einer ,gruppe brauchen brigens durchaus nicht1 wie das bei den im ,texte zu nennenden ,gruppen allerdings immer der ,fall sein wird1 in stetiger ,aufeinanderfolge vorhanden zu sein4 ,eine ,gruppe bildet z4 ,b4 auch die endliche ,reihe von ,bewegungen1 die einen regelmssigen ,krper mit sich selbst zur ,deckung bringen1 oder die unendliche1 aber discrete ,reihe1 welche eine ,sinuslinie sich selber superponiren4 #aj3 ,unter dem ,sinne verstehe ich hier die ,eigenschaft der ,anordnung1 welche den ,unterschied von der symmetrischen ,figur 7dem ,spiegelbilde7 begrndet4 ,ihrem ,sinne nach unterschieden sind also z4 ,b4 eine rechts- und eine linksgewundene ,schraubenlinie4 #aa3 ,dass diese ,transformationen eine ,gruppe bilden1 ist begrifflich nothwendig4 #ab3 ,man erzeugt ein solches ,gebilde beispielsweise1 indem man auf ein beliebiges ,anfangselement1 das durch keine ,transformation der gegebenen ,gruppe in sich selbst berzufhren ist1 die ,transformationen der ,hauptgruppe anwendet4 #ac3 ,diese ,anschauungsweise ist als eine der schnsten ,leistungen von ,chasles zu betrachten2 durch sie erst gewinnt die ,eintheilung in ,eigenschaften der ,lage und ,eigenschaften des ,maes1 wie man sie gern an die ,spitze der projectivischen ,geometrie stellt1 einen prcisen ,inhalt4 #ad3 ,den erweiterten ,kreis1 der auch imaginre ,umformungen umspannt1 hat v4 ,staudt erst in den ,beitrgen zur ,geometrie der ,lage#c-e zu ,grunde gelegt4 #ae3 ,wenn man will1 ist hier das ,princip unter etwas erweiterter ,form angewendet4 #af3 ,statt des ,kegelschnittes in der ,ebene kann man mit gleichem ,erfolge eine ,raumcurve dritter ,ordnung einfhren1 berhaupt bei n ,dimensionen etwas ,entsprechendes aufstellen #ag3 ,bez4 anderer ,beispiele1 sowie namentlich der ,erweiterungen auf mehr ,dimensionen1 deren die angefhrten fhig sind1 verweise ich auf bez4 ,auseinandersetzungen in einem ,aufsatze von mir#f sowie auf die sogleich noch zu nennenden ,lieschen ,arbeiten4 #ah3 ,vergl4 ,note ,,iii4 #ai3 ,vergl4 ,note ,v #bj3 ,vergl4 ,note ,,vi4 #ba3 ,ich whle den ,namen nach dem ,vorgange von ,dedekind1 der in der ,zahlentheorie ein ,zahlengebiet als ,krper bezeichnet1 wenn es aus gegebenen ,elementen durch gegebene ,operationen entstanden ist 7,zweite ,auflage von ,dirichlets ,vorlesungen #i47 #bb3 ,geometrie der reciproken ,radien auf der ,geraden ist mit der projectivischen ,untersuchung der ,geraden gleichbedeutend1 da die bez4 ,umformungen die nmlichen sind4 ,man kann daher auch in der ,geometrie der reciproken ,radien von einem ,doppelverhltnisse von vier ,puncten einer ,geraden und weiterhin eines ,kreises reden4 #bc3 ,vergleiche die bereits genannte ,arbeit3 ,ueber ,liniengeometrie und metrische ,geometrie4 ,math4 ,annalen ,bd4 ,v #f4 #bd3 ,vergl4 ,note ,,vii4 #be3 ,partielle ,differentialgleichungen und ,complexe4 ,math4 ,annalen ,v4#aj #bf3 ,diese ,transformationen werden gelegentlich in ,grassmanns ,ausdehnungslehre betrachtet 7in der ,auflage von #ahfb1 #ab p4 #bgh74 #bg3 ,projicirt man die ,mannigfaltigkeit stereographisch1 so erhlt man den bekannten ,satz3 ,in mehrfach ausgedehnten ,gebieten 7schon im ,raume7 gibt es ausser den ,transformationen1 die sich in der ,gruppe der reciproken ,radien befinden1 keine conformen ,puncttransformationen4 ,in der ,ebene gibt es dagegen beliebig viele andere4 ,vergl4 auch die citirten ,arbeiten von ,lie 7#aj1aa74 #bh3 ,vergl4 bes4 die bereits citirte ,arbeit#aj3 ,ueber partielle ,differentialgleichungen und ,complexe4 ,math4 ,ann4 ,v4 ,die im ,texte gegebenen ,ausfhrungen betr4 partielle ,differentialgleichungen habe ich wesentlich mndlichen ,mittheilungen von ,lie entnommen2 vergl4 dessen ,note#ac3 ,zur ,theorie partieller ,differentialgleichungen4 ,gttinger ,nachrichten4 ,oct4 #ahgb4 #bi3 ,ich verdanke diese ,definitionen einer ,bemerkung von ,lie4 #cj3 ,gtt4 ,abhandlungen4 #ahgb4 7,bd4 #ag73 ,ueber eine ,fundamentalaufgabe der ,invariantentheorie#ad1 sowie namentlich ,gtt4 ,nachrichten #ahgb4 ,nr4 #bb3 ,ueber ein neues ,grundgebilde der analytischen ,geometrie der ,ebene#ae1af4 #ca3 ,ich erinnere hier daran1 dass ,grassmann bereits in der ,einleitung zur ersten ,auflage seiner ,ausdehnungslehre 7#ahdd1 #ag7 die ,combinatorik und die ,ausdehnungslehre parallelisirt4 #cb3 ,vergleiche den gemeinsamen ,aufsatz3 ,ueber diejenigen ebenen ,curven1 welche durch ein geschlossenes ,system von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen ,transformationen in sich bergehen1 ,math4 ,annalen ,bd4 ,,iv4 #ah4 #cc3 ,ich muss mir versagen1 im ,texte auf die ,fruchtbarkeit hinzuweisen1 welche die ,betrachtung unendlich kleiner ,transformationen in der ,theorie der ,differentialgleichungen hat4 ,in 4#g4 der citirten ,arbeit haben ,lie und ich gezeigt3 ,gewhnliche ,differentialgleichungen1 welche gleiche unendlich kleine ,transformationen zugeben1 bieten gleiche ,integrationsschwierigkeiten4 ,wie die ,betrachtungen fr partielle ,differentialgleichungen zu verwerthen seien1 hat ,lie an verschiedenen ,orten1 so bes4 in dem frher genannten ,aufsatze 7,math4 ,ann4 ,v41 #aj7 an verschiedenen ,beispielen auseinandergesetzt 7vergl4 namentlich auch ,mittheilungen der ,academie zu ,christiania4 ,mai #ahgb47 #cd3 ,diese ,verhltnisse ndern sich bei der gew4 ,mageometrie2 zwei unendlich ferne ,puncte haben fr sie freilich eine absolute ,invariante4 ,der ,widerspruch1 den man in der ,abzhlung der linearen ,transformationen der unendlich fernen ,flche in sich selbst hiermit finden knnte1 erledigt sich dadurch1 dass die unter ihnen befindlichen ,translationen und ,aehnlichkeitstransformationen das ,unendlich-,ferne berhaupt nicht ndern4 #ce3 ,vergl4 4#g des ,textes4 #cf3 ,vergl4 4#d des ,textes4 #cg3 ,vergl4 den ,aufsatz3 ,ueber ,liniengeometrie und metrische ,geometrie4 ,math4 ,ann4 ,bd4 ,v4 p4 #bga4f #ch3 ,vergl4 hiezu die betr4 ,abschnitte von ,clebsch3 ,theorie der binren ,formen#ba #ci3 ,durch ,betrachtung der linearen ,transformationen von f in sich selbst1 vergl4 ,math4 ,ann1 ,,iv4 p4 #ceb #bb ,anmerkungen zur ,transkription ----------------------------- ,wir verwendeten ,,abbyy ,mac fr die ,,ocr4 ,pandoc konvertierte nach plain text und ,,html4 ,die ,rechtschreibung wurde belassen 7,ausnahmen3 ,ma_/,mass1 ,genitiv-,apostroph71 kleinere ,fehler ausgebessert4 ,die ,einzelnachweise wurden nachrecherchiert und1 wo vorhanden1 mit ,,url versehen und als bibtex-,datenbank verarbeitet4 ,der markdown-,quelltext1 die bibtex-,datenbank und alle anderen ,hilfsdateien einschlielich der ursprnglichen ,seitenbilder befinden sich auf github4com_/rwst_/book-klein-erlangen4 ,dort knnen ,fehler gemeldet und gepatcht werden4 ,r4,s4