,library3 ,historical ,mathematics ,monographs collection47 ,transcriber's note3 ,a few typographical errors have been corrected3 they are listed at the end of the text4 99 99 99 99 99 ,,die ,,hauptsaechlichsten ,,theorien ,,der ,,geometrie ,,in ,,ihrer ,,frueheren ,,und ,,heutigen ,,entwickelung4 ,,historische ,,monographie ,,von ,,dr4 ,,gino ,,loria1 ,,professor ,,der ,,hoeheren ,,geometrie ,,an ,,der ,,universitaet ,,zu ,,genua4 ------ ,,unter ,,benutzung ,,zahlreicher ,,zusaetze ,,und ,,verbesserungen ,,seitens ,,des ,,verfassers ,,ins ,,deutsche ,,uebertragen ,,von ,,fritz ,,schuette4 ,,mit ,,einem ,,vorworte ,,von ,,professor ,r4 ,,sturm4 ,,leipzig1 ,,verlag ,,von ,b4 ,g4 ,,teubner4 #ahhh4 99 99 99 99 99 ,druck von ,b4 ,g4 ,teubner in ,dresden4 99 99 99 99 99 ,seiner teueren ,mutter als schwaches ,unterpfand inniger ,liebe widmet diese ,arbeit der ,verfasser4 ,,iii 99 99 99 99 99 ,vorwort4 ------ ,diese deutsche ,uebersetzung der im vergangenen ,jahre in den ,memorie della ,reale ,accademia delle ,scienze di ,torino 7,ser4 ,,ii1 ,bd4 #ch7 erschienenen ,monographie des ,herrn ,gino ,loria3 ,il passato e il presente delle principali teorie geometriche1 welche mein ,schueler ,herr ,fritz ,schuette angefertigt hat1 begleite ich gern mit einem empfehlenden ,vorworte1 nachdem ich sie mit der ,originalschrift und den handschriftlichen ,zusaetzen und ,verbesserungen des ,herrn ,verfassers in ,bezug auf ihre ,richtigkeit verglichen habe4 ,eine ,geschichte der ,geometrie unserer ,zeit1 in der jedes ,jahrzehnt uns mehr vorwaerts bringt1 als es frueher in einem ,jahrhundert geschah1 welche uns zu ungeahnten allgemeinen ,anschauungen gefuehrt hat1 zu besitzen1 ist der ,wunsch aller ,geometer2 aber wir wissen auch alle1 wie unvergleichlich schwerer die ,aufgabe1 eine solche zu schreiben1 heute ist als vor fuenfzig ,jahren1 wo der ,apercu historique von ,chasles erschien4 ,herr ,loria will seine ,chronik1 wie er seine ,schrift in der ,einleitung nennt1 nur als eine ,vorarbeit angesehen haben1 welche zur ,inangriffnahme des grossen ,werkes der ,abfassung einer ,geschichte der modernen ,geometrie anspornen und diesem ,werke dienen soll4 ,der ,umfang1 den er zunaechst seiner ,arbeit gegeben hat1 bringt es1 wie er selbst mehrfach bemerkt1 freilich mit sich1 dass die ,darstellung bisweilen auf eine blosse ,aufzaehlung von ,namen und ,schriften hinauslaeuft4 ,aber auch in diesem engeren ,rahmen ist es1 meine ich1 dem ,,iv ,verfasser gelungen1 dem ,leser1 als welchen ich mir in erster ,linie einen ,studierenden vorstelle1 der schon etwas ueber die ,anfaenge hinaus ist1 eine anschauliche ,uebersicht der hauptsaechlichsten ,untersuchungsrichtungen der ,geometrie unserer ,zeit vorzufuehren2 fuer alle ,geometer aber werden die reichhaltigen ,litteraturnachweise von grossem ,werte sein4 ,etwaige ,luecken in denselben wird jeder1 der unsere fast unuebersehbare und den wenigsten vollstaendig zugaengliche mathematische ,litteratur kennt1 dem ,verfasser nicht anrechnen1 und jede ,mitteilung einer wesentlichen ,verbesserung oder ,ergaenzung wird er gewiss gern entgegennehmen1 um seine ,schrift noch wertvoller zu machen1 falls ihr eine neue ,auflage beschieden wuerde4 ,die ,veraenderungen1 welche diese ,uebersetzung im ,vergleich mit dem italienischen ,originale aufweist1 bestehen1 ausser stark vermehrten ,litteraturnachweisen1 in einer viel eingehenderen ,besprechung der ,differentialgeometrie im ,abschnitte ,,iii und der ,umarbeitung der auf die ,gestalt der ,kurven und der ,oberflaechen und die abzaehlende ,geometrie bezueglichen ,teile der ,abschnitte ,,ii und ,,iii zu einem besonderen ,abschnitte4 ,muenster i4 ,w41 ,ende ,mai #ahhh4 ,r4 ,,sturm4 ,v 99 99 99 99 99 ,inhaltsverzeichnis4 ------ ,seite ,einleitung #a ,i4 ,die ,geometrie vor der ,mitte des #ai4 ,jahrhunderts #c ,,ii4 ,theorie der ebenen ,kurven #ba ,,iii4 ,theorie der ,oberflaechen #ca ,,iv4 ,untersuchungen ueber die ,gestalt der ,kurven und ,oberflaechen4 ,abzaehlende ,geometrie #fj ,v4 ,theorie der ,kurven doppelter ,kruemmung #ga ,,vi4 ,abbildungen1 ,korrespondenzen1 ,transformationen #hj ,,vii4 ,geometrie der ,geraden #ih ,,viii4 ,nicht-,euklidische ,geometrie #ajf ,,ix4 ,geometrie von n ,dimensionen #aae ,schluss #abd ,abkuerzungen fuer die haeufig erwaehnten ,zeitschriften #acj ,verzeichnis der verstorbenen ,geometer1 deren ,lebenszeit angegeben ist #acb #a 99 99 99 99 99 ,einleitung4 ------ ,apres six mille annees d'observations l'esprit humain n'est pas epuise2 il cherche et il trouve encore afin qu'il connaisse qu'il peut trouver a l'infini et que la seule paresse peut donner des bornes a ses connaissances et a ses inventions4 -- ,bossuet4 ,die ,fortschritte der exakten ,wissenschaft im allgemeinen und der ,mathematik im besonderen#a sind in diesen letzten ,zeiten so betraechtlich gewesen1 fortwaehrend folgen weitere nach1 so schnell und unaufhaltsam1 dass sich lebhaft das ,beduerfnis fuehlen macht1 einen ,rueckblick auf den schon gemachten ,weg zu werfen1 welcher den ,anfaengern ein leichteres ,eindringen in die ,geheimnisse derselben und den schon ,vorgeschrittenen ein sichereres ,urteil gestattet1 welches die ,probleme sind1 deren ,loesung am dringendsten ist4 ,der ,wunsch1 diesem ,beduerfnisse zu entsprechen1 soweit es die ,geometrie anlangt1 d4 h4 soweit es den hoeheren ,teil #b unserer positiven ,kenntnis betrifft -- da1 wie ,pascal sagte1 tout ce qui passe la geometrie nous surpasse -- ist es1 der mich veranlasst1 vorliegende ,abhandlung zu schreiben4 ,moege dieser unvollkommene ,abriss die ,veranlassung sein zu einer ,schrift1 die der ,erhabenheit ihres ,zieles wuerdig ist2 moege diese duerftige ,chronik der ,vorlaeufer sein einer ,geschichte der ,geometrie in unserem ,jahrhundert4 #c 99 99 99 99 99 ,i4 ,die ,geometrie vor der ,mitte des #ai4 ,jahrhunderts4 ------ ,alle ,entwickelungsstufen der ,zivilisation sind so eng miteinander verknuepft1 dass man vergebens versuchen wuerde1 irgend einen ,zweig der ,geschichte von einer bestimmten ,epoche ab zu studieren1 ohne einen ,blick auf die vorhergehenden ,zeiten und ,ereignisse zu werfen4#b ,wenn das im allgemeinen wahr ist1 so wird es doppelt der ,fall sein bei einer ,wissenschaft1 die so konservativ ist1 wie die ,mathematik1 welche das ,werk der vorhergehenden ,periode nicht zerstoert1 um an dessen ,stelle neue ,bauten zu errichten4#c ,daher ist es unerlaesslich1 dass ich1 bevor ich an das eigentliche ,thema dieser ,abhandlung herantrete1 d4 h4 bevor ich ueber die moderne ,geometrie spreche1 kurz angebe1 auf welche ,weise die ,geometrie zu dem ,standpunkte gelangt ist1 von welchem ab ich vorhabe1 ihre ,entwickelung eingehender zu verfolgen4 ,den ersten ,ursprung der geometrischen ,untersuchungen festzustellen1 ist ein fast unausfuehrbares ,unternehmen4 ,die taeglichen ,erfahrungen jedes denkenden ,menschen fuehren auf eine so natuerliche ,weise zur ,vorstellung der einfacheren geometrischen ,formen und zur ,erforschung ihrer gegenseitigen ,beziehungen1 dass man vergebens versuchen wuerde1 den ,namen desjenigen zu nennen1 der zuerst ,geometrie betrieben hat1 und anzugeben1 zu welcher ,zeit sie entstanden ist4 ,daher sind die ,kenntnisse1 welche man ueber die ersten ,spuren dieser ,disziplin hat1 sehr unbestimmt2 wer sich #d vornimmt1 sie festzustellen1 den umhuellt1 wenn nicht voellige ,finsternis1 so doch nur ein wenig ,daemmerlicht1 welches ihm nur gestattet1 die ,umrisse bedeutenderer ,bruchstuecke1 welche sich den ,unbilden der ,zeit entzogen haben1 zu erkennen4 ,so kann ein solcher feststellen1 dass die aeltesten geometrischen ,studien von den ,aegyptern gemacht sind1 und kann die ,erzaehlung ,herodots wiederholen1 nach welcher diesem ,volke ein sehr wirksamer ,antrieb1 sich mit ,geometrie zu befassen1 durch die periodischen ,ueberschwemmungen des ,nils gegeben wurde1 welche1 indem sie die ,grenzen zwischen den kleinen ,besitzungen1 in die ,aegypten unter seine ,einwohner verteilt war1 verwischten1 sie noetigten1 dieselben jedes ,jahr wieder herzustellen4#d ,die ,haltbarkeit dieser ,hypothese1 um die ,thatsache zu erklaeren1 dass in ,aegypten die ,wissenschaft1 von der wir handeln1 eifrig betrieben sei1 wird durch die praktische ,natur der ,gegenstaende bewiesen1 welche dort eingehender behandelt wurden3 specielle ,konstruktionen1 ,messungen von ,laengen1 ,flaecheninhalten1 ,volumen u4 s4 f4#e ,indem die ,kenntnisse der ,aegypter nach ,griechenland uebergingen1 erhielten sie durch ,thales 7#fdj-edj7f und die ,anhaenger der ionischen ,schule1 welche er gruendete1 eine wissenschaftlichere ,gestalt4 ,thales ist in der ,that der erste1 der sich damit beschaeftigt hat1 die von den ,aegyptern entdeckten ,saetze und einige andere streng zu beweisen4 ,jedoch erhob sich die ,geometrie unter seinen ,haenden noch nicht zur wahren ,wissenschaft2 diese ,wuerde erlangte sie erst #e durch die ,untersuchungen des ,pythagoras 7nach einigen #efi-dgj1 #ehj-ejj nach anderen7 und seiner ,schueler4 ,ungluecklicher ,weise aber bestand eine der ,regeln1 welche die ,pythagoraeer strenge beobachten mussten1 darin1 dass sie die ,lehren1 welche der ,meister vortrug1 geheim halten mussten2 daher kam es1 dass der geometrische ,teil derselben allen1 die nicht dieser ,schule angehoerten1 unbekannt blieb4 ,aber nachdem das ,haupt gestorben war1 da suchten seine ,anhaenger1 als sie bei den inneren ,kaempfen1 welche die ,republiken ,grossgriechenlands zerrissen1 besiegt worden waren1 ,zuflucht in ,athen und offenbarten dort1 von der ,not getrieben1 die ,geheimnisse1 welche sie bis dahin so strenge verwahrt hatten4 ,und der wohlthaetige ,einfluss einer groesseren ,verbreitung dessen1 was die ,pythagoraeer von der ,mathematik wussten1 ist durch die wichtigen ,forschungen offenbar geworden1 welche in der ,folgezeit die griechischen ,gelehrten in der ,periode1 welche zwischen ,pythagoras und ,plato 7#dbi-cdh7 liegt1 gemacht haben4 ,sie koennen in drei ,kategorien geteilt werden1 benannt nach den beruehmten ,problemen3 der ,dreiteilung des ,winkels1 der ,verdoppelung des ,wuerfels1 der ,quadratur des ,kreises1 und fuehrten zur ,vervollkommnung des mehr elementaren ,teiles der ebenen ,geometrie4 ,plato verdanken wir den ersten ,anstoss zum methodischen ,studium der ,stereometrie1 und das ist nicht das ,einzige1 wofuer der goettliche ,philosoph auf den ,dank der ,geometer ,anspruch erheben koennte2 denn ihm ist auch die analytische ,methode zuzuschreiben1 deren ,macht allen bekannt ist1 und seiner ,schule 7,akademie7 die ,lehre von den ,kegelschnitten und1 was nicht weniger wichtig ist1 die von den geometrischen ,oertern4 ,aus diesen gedraengten ,angaben#g wird man leicht entnehmen koennen1 dass die ,bemuehungen der angefuehrten ,geometer zu einer ,fuelle von ,eigenschaften der ,figuren und zu ,methoden1 sie zu erklaeren1 gefuehrt und die ,elemente fuer eine methodische ,behandlung der ,geometrie vorbereitet hatten4 #f ,daher dauerte es nicht lange1 dass vollstaendige ,zusammenstellungen dessen1 was entdeckt war1 erschienen4 ,von vielen kennen wir nur die ,existenz2 nur eine einzige ist uns vollstaendig erhalten worden1 die ,elemente des ,euklides1 und das glaenzende ,licht1 welches von ihnen ausgeht1 fuehrt uns zu der ,vermutung1 dass alle die anderen ,zusammenstellungen durch die ,vergleichung mit ihnen verdunkelt sind4 ,mit diesem ,buche1 welches nach zweitausend ,jahren noch als einzig angesehen wird1 von dem man fuer die ,entwickelung der ,jugend diejenigen ,resultate erhoffen kann1 mit ,ruecksicht auf die bei allen zivilisierten ,nationen der ,unterricht in der ,geometrie eine solch bedeutende ,stellung in der ,erziehung der ,jugend inne hat1#h nimmt die wahre ,wissenschaft der ,geometrie ihren ,anfang4 ,es ist das granitene ,piedestal1 auf welchem der grossartige ,bau der griechischen ,mathematik sich erhebt1 auf dessen ,gipfel sich die anderen ,werke ,euklids und die unsterblichen ,arbeiten von ,archimedes 7#bhg-bab71 ,eratosthenes 7#bgf-aid7 und ,apollonius 7ca4 #bjj v4 ,ch47 befinden4#i ,diese beruehmten ,gelehrten bezeichnen den ,hoehepunkt der griechischen ,wissenschaft2 nach ihnen beginnt die ,periode des ,verfalles1 ja sogar1 trotz einiger wichtiger ,untersuchungen eines ,hipparch 7#afa-abf7 und eines ,ptolomaeus 7#abe bis ungefaehr #bjj71 trotz der ,arbeit eines genialen ,kommentators1 wie ,pappus war 7derselbe lebte gegen ,ende des #g dritten ,jahrhunderts unserer ,zeitrechnung71 kommen wir nach und nach zu einer ,periode voelliger ,unthaetigkeit auf dem ,gebiete der ,geometrie4 ,die ,roemer1 die ,eroberer und ,gesetzgeber der ,welt1 scheinen jedes ,untersuchungsgeistes zu entbehren1 und wenn die ,geometrie in der ,epoche1 in welcher sie herrschten1 nicht ganz verfiel1 so geschah das dank ihren ,agrimensoren1 welche jedoch bei ihren ,operationen nur eine ,genauigkeit zu erreichen suchten1 die fuer die ,beduerfnisse des taeglichen ,lebens ausreicht4#aj #h ,auch das ,mittelalter kann keine ,veranlassung geben zu einer laengeren ,eroerterung4 ,die dichte ,finsternis1 welche in dieser ,zeit die ganze ,menschheit bedeckte1 gestattete nicht das ,auftreten eines ,gelehrten1 dem man irgend einen bemerkenswerten ,fortschritt in der ,geometrie verdankt4 ,man kann nur erwaehnen1 dass die vielfachen in dieser ,zeit errichteten heiligen ,bauwerke1 die nach dem ,ausspruche eines grossen ,dichters so zahlreich und kuehn waren1 weil sie die einzigen der menschlichen ,intelligenz damals erlaubten ,aeusserungen darstellen1 ,kunde davon geben1 dass derjenige ,teil unserer ,wissenschaft1 der jedem ,baumeister unentbehrlich ist1 auch in dieser ,zeit im allgemeinen bekannt war4 ,diese fuer unsere ,wissenschaft so traurige ,zeit kann man als beendet ansehen mit ,leonardo ,fibonacci 7etwa #aahj-abej72 erst als von diesem ausgezeichneten ,gelehrten die ,algebra nach ,europa uebergefuehrt worden war1 und seine hervorragenden ,arbeiten ihren ,einfluss ausuebten1 da hatte diese ,periode der wissenschaftlichen ,unthaetigkeit ein ,ende1 und es beginnt eine neue ,zeit1 deren wir ,italiener uns mit ,stolz erinnern muessen1 da in ihr unser ,vaterland das ,scepter der ,mathematik inne hatte4 ,jedoch gravitierte diese ,periode1 wenn sie auch von grosser ,bedeutung fuer die analytischen ,untersuchungen ist1 nicht in merklicher ,weise nach den geometrischen4 ,cardano 7#aeja-aegf71 ,scipio ,ferro 78-#aebe71 ,tartaglia 7#aejj-aeei71 ,ludovico ,ferrari 7#aebb-aefe7 und andere weniger bedeutende1 die dieser ,periode angehoeren1 haben den ,ruhm1 in unserem ,lande die ,entwickelung eines der wichtigeren ,teile der ,analysis1 naemlich der ,theorie der ,gleichungen1 bewirkt zu haben1 sowie auch die ,vervollkommnung einiger der schwierigsten ,teile derselben gefoerdert zu haben1 dank den oeffentlichen wissenschaftlichen ,herausforderungen1 welche eine charakteristische ,eigentuemlichkeit dieser ,zeit waren4 ,hingegen ueberlieferten #i sie die ,geometrie ihren ,nachkommen fast in demselben ,zustande1 in welchem sie dieselbe von den ,griechen und den ,arabern erhalten hatten4#aa ,nach dem ,tode dieser tapferen ,kaempen ging der ,primat in der ,mathematik ueber die ,alpen und wurde von ,frankreich infolge der ,verdienste eines ,vieta 7#aedj-afjc7 und eines ,fermat 7#aeij-affc7 uebernommen4 ,durch sie bereicherte sich die ,geometrie mit ,loesungen1 die man vorher vergebens gesucht hatte4 ,auch wurden einige ,werke des ,apollonius1 deren ,verlust man beklagt hatte1 wieder hergestellt4 ,nicht viel spaeter vermehrten ,pascal 7#afbc-affb7 und ,desargues 7#aeic-affb7 das ,erbteil der ,geometrie mit originellen ,gesichtspunkten1 mit neuen ,methoden und neuen ,saetzen#ab4 ,aber die von ihnen ausgesprochenen ,ideen blieben #aj viele ,jahre hindurch unfruchtbar1 weil sie von dem analytischen ,geiste1 dessen ueberwiegender ,einfluss sich schon geltend gemacht hatte1 unterdrueckt wurden4 ,gleichwohl war im #ag4 ,jahrhundert das ,vorwiegen der ,analysis noch nicht ein solches1 dass es die ,geometer die ,probleme1 deren ,loesung man seit langer ,zeit und so lebhaft gewuenscht hatte1 vergessen liess4 ,zwischen den ,bestrebungen dieser ,zeit und den ,wuenschen der ,gelehrten erhob sich in der ,folge ein ,wettkampf eigener ,art1 und aus dem ,zusammenstosse verschiedenartiger ,ansichten und ,bestrebungen entsprang ein ,funke1 der faehig war1 eine ,flamme zu erregen1 welche die kommenden ,generationen erleuchten sollte2#ac es entstand die analytische ,geometrie 7#afcg74 ,wenn man auch schon in einigen ,methoden der griechischen ,geometer1 in einigen praktischen ,regeln der ,maler1 der aegyptischen ,astronomen und der roemischen ,agrimensoren ,spuren von dem finden kann1 was wir heute rechtwinkliges ,cartesisches ,koordinatensystem nennen2 wenn auch schon die ,araber und die italienischen ,algebraiker aus der ,renaissancezeit geometrische ,betrachtungen auf die ,loesung der ,gleichungen angewandt hatten1#ad wenn auch schon ,vieta die ,abscissen gebraucht hatte1 um vermittelst ,zahlen die ,punkte einer ,geraden zu bestimmen1 wenn schliesslich ,nicolaus ,oresme 7ca4 #acbj-achb7 und ,fermat mehr oder weniger bewusst sich der ,koordinaten bedient haben2 so scheint doch ganz unbestreitbar ,descartes 7#aeif-afej7 der erste zu sein1 welcher in ihrer ganzen ,ausdehnung die volle ,einsicht von der ,moeglichkeit1 mit den algebraischen ,rechnungszeichen die nach irgend einem ,gesetze aufgebauten ,formen des ,raumes darzustellen1 gehabt und der den ganzen ,vorteil1 den die ,analysis und die ,geometrie aus ihrer #aa unerwarteten ,vereinigung ziehen koennen1 erkannt hat4 ,mit ,recht wird daher ,cartesius' ,namen immer mit der ,entdeckung der analytischen ,geometrie verbunden bleiben4#ae ,die ,leichtigkeit1 mit welcher dieses neue ,werkzeug ,fragen zu loesen gestattete1 welche die ,alten fuer unangreifbar hielten1 liess die ,zeitgenossen und unmittelbaren ,nachfolger ,descartes' die von ,euklides1 ,archimedes und ,apollonius eroeffneten ,wege ganz vergessen1 so dass wir eine ,zeitlang niemanden finden1 der1 um zu irgend einer wichtigen ,wahrheit zu gelangen1 sie eingeschlagen haette4 ,die kurz nach ,descartes gleichzeitig von ,leibniz 7#afdf-agaf7 und ,newton 7#afdb-agbg7 neu erfundenen ,rechnungsarten betonten gerade diese ,richtung1 da sie bewirkten1 dass man sich um diejenigen ,probleme nicht bekuemmerte1 deren ,loesung nicht geeignet war1 die ,allmacht der ,methoden1 welche die ,welt diesen unsterblichen ,geistern verdankt1 hervortreten zu lassen1 derartig1 dass man sagen kann1 dass mit ,ausnahme der ,philosophiae naturalis principia mathematica 7#afhf7 von ,newton und einiger ,seiten von ,huygens 7#afbi-afie71af von ,la ,hire 7#afdj-agah71ag von ,halley 7#afef-agdb71ah ,maclaurin 7#afih-agdf71ai ,simpson 7#afhg-agfh71bj von ,stewart #ab 7#agag-aghe7ba keine mathematische ,produktion jener ,zeit dem angehoert1 was wir heute synthetische ,geometrie zu nennen pflegen4#bb ,das hindert aber nicht1 dass man diese ,periode ohne ,bedenken zu den erfreulichsten fuer die ,geometrie rechnen muss4 ,in der ,that ist der groessere ,teil der ,probleme1 welche von den ,erfindern der ,infinitesimalrechnung und ihren unmittelbaren ,schuelern aufgestellt oder geloest worden1 unter die wichtigsten der ganzen ,geometrie zu rechnen1 da sie die interessantesten und verstecktesten geometrischen und mechanischen ,eigenschaften der ,kurven und ,oberflaechen beruehren4 ,wir sehen daher1 dass nicht allein die ,zahl der ,kurven1 welche einer naeheren ,betrachtung wert sind1 sich ausserordentlich vermehrt1#bc sondern auch -- was viel wichtiger ist --1 dass die ,betrachtung von ,singularitaeten einer ,kurve und anderer neuer mit dieser verbundener ,elemente eingefuebrt wird1 und dass infolge dessen ,untersuchungsgebiete sich eroeffnen1 deren ,existenz man vorher gar nicht geahnt hatte4 ,die ,leichtigkeit1 welche die ,cartesische ,methode in der ,aufloesung einer so grossen ,anzahl von planimetrischen ,aufgaben mit sich brachte1 trieb natuerlich die ,geometer an1 #ac eine aehnliche fuer das ,studium der ,raumkurven und der ,oberflaechen zu schaffen4 ,daher entstand eine ,verallgemeinerung dieser ,methode1 welche ,descartes schon angedeutet hatte1 und die ,schooten 7#af44-affa7bd in weiterer ,ausfuehrung veroeffentlichte4 ,diese ,andeutungen liessen bei ,parent 7#afff-agaf7 den ,gedanken entstehen1 eine ,oberflaeche durch eine ,gleichung zwischen den drei ,koordinaten eines ihrer ,punkte darzustellen1#be und bereiteten deshalb die analytische ,geometrie dreier ,koordinaten vor1 welche im ,jahre #agca einen wesentlichen ,teil der ,mathematik zu bilden begann infolge einer klassischen ,abhandlung von ,clairaut 7#agae-agfe71bf in welcher er im ,alter von nur #af ,jahren mit einer seltenen ,eleganz viele von den auf die ,kurven doppelter ,kruemmung bezueglichen ,problemen loeste1 welche ihre entsprechenden in der ,ebene finden4 ,bald nach ,clairaut schuf ,euler 7#agjg-aghc7 die analytische ,theorie der ,kruemmung der ,oberflaechen 7#agfj7bg und wandte die analytische ,methode an1 um eine ,klassifikation der ,oberflaechen zweiten ,grades zu erhalten1 gegruendet auf analoge ,kriterien1 wie diejenigen1 welche den ,alten dazu gedient hatten1 die ,kurven zweiter ,ordnung in ,ellipsen1 ,parabeln und ,hyperbeln zu unterscheiden4 ,endlich gehoert der zweiten ,haelfte des vergangenen ,jahrhunderts das riesige ,werk von ,monge 7#agdf-ahah7 an4 ,dieser verschaffte der analytischen ,geometrie zweier ,koordinaten das ,aussehen1 welches sie heute besitzt1 indem er den methodischen ,gebrauch der ,gleichung einer ,geraden einfuehrte4 ,er stellte den wichtigen ,begriff von ,flaechenfamilien auf und1 indem er einige derselben behandelte 7,regelflaechen1 abwickelbare1 ,roehrenflaechen1 ,surfaces moulures71 entdeckte er einen versteckten innigen ,zusammenhang zwischen der ,theorie der ,oberflaechen und der ,integration der partiellen ,differentialgleichungen1 #ad was ,licht in diese1 wie in jene ,lehre brachte und den ,geometern neue ,gesichtspunkte enthuellte4#bh ,die geistige ,bewegung1 welche mit der ,renaissancezeit begonnen und ,italien an ihrer ,spitze hatte1 pflanzte sich1 wie wir schon gesehen haben1 zuerst unter ,frankreichs ,leitung fort1 dann unter der von ,england und ,deutschland4 ,aber gegen ,ende des #ah4 ,jahrhunderts1 als ,euler aufgehoert hatte zu rechnen und zu leben1#bi stellte sich ,frankreich wieder an die ,spitze der mathematischen ,welt4 ,nicht allein mit ,clairaut1 d',alembert 7#agaf-aghc71 ,lagrange 7#agcf-ahac71 ,laplace 7#agdi-ahbg71 ,legendre 7#ageb-ahcc71 ,poisson 7#agha-ahdj7 und anderen gab es den ,anstoss zum ,studium der reinen und angewandten ,analysis1 sondern es kehrten auch mit ,monge1 ,carnot 7#agec-ahbc7 und ,poncelet 7#aghh-ahfg7 die ,gelehrten zum ,studium der geometrischen ,formen zurueck1 in der ,weise1 wie es die ,alten verstanden4 ,monge schuf1 indem er zu einem wissenschaftlichen ,ganzen die wenigen ,regeln vereinigte1 welche die ,baumeister und ,maler sich geschaffen hatten1 um die ,beduerfnisse der ,kunst zu befriedigen1 und gluecklich die ,luecken ausfuellte1 die sich zwischen ihnen noch bemerkbar machten1 einen neuen ,zweig der ,geometrie1 die darstellende ,geometrie4 ,mit seinem klassischen ,buche1 welches er dieser ,disziplin widmete1#cj und noch viel mehr mit seinen unvergleichlichen ,vorlesungen1 die er an der polytechnischen ,schule hielt1 brachte er das ,studium der ,geometrie1 welches sich auf die direkte ,anschauung der ,figur stuetzt1 zu ,ehren#ca und1 indem #ae er die ,vorstellung der geometrischen ,figuren von drei ,dimensionen erleichterte1 machte er jene systematische ,anwendung von stereometrischen ,betrachtungen auf das ,studium der ebenen ,figuren moeglich1 welche ,pappus schon erkannt hatte4#cb ,der ,geometrie descriptive von ,monge darf man die ,geometrie de position von ,carnot#cc an die ,seite stellen1 weil diese1 indem sie mit jener das ,ziel gemeinsam hat1 der ,geometrie diejenige ,allgemeinheit zu verschaffen1 welche man ausschliesslich der ,analysis zugetraut hatte1 nicht weniger als jene dazu beitrug1 den ,aufschwung der reinen ,geometrie vorzubereiten1 welchen man von dem ,erscheinen des ,traite des proprietes projectives des figures 7#ahbb7cd datieren kann4 ,um zu ueberzeugen1 wie bemerkenswert dieses ,datum sei1 wird es genuegen1 zu erwaehnen1 dass gerade in dem #af grossen ,werke von ,poncelet die ,macht der ,zentralprojektion als einer ,methode der ,demonstration und des ,prinzips der ,kontinuitaet als eines ,untersuchungsmittels zum ersten ,male gezeigt ist2#ce dass das tiefere ,studium der ,homologie zweier ebener oder raeumlicher ,systeme in demselben zum ,begriffe der ,korrespondenz zwischen zwei ,mannigfaltigkeiten zweier oder dreier ,dimensionen fuehrte2 dass die ,kenntnisse der ,alten ueber die ,polaritaet in ,bezug auf einen ,kegelschnitt und die von der ,mongeschen ,schule gewonnenen ueber die ,polaritaet in ,bezug auf eine ,flaeche zweiter ,ordnung1 die dort zum ersten ,male sich vereinigt finden1 das ,gesetz der ,dualitaet vorbereiteten1 welches1 von ,snellius 7#aeha-afbf7cf und ,viete#cg in der sphaerischen ,geometrie erkannt1 bestimmt war1 in seiner ganzen ,allgemeinheit vier ,jahre spaeter von ,gergonne 7#agga-ahei7ch ausgesprochen zu werden2 dass sich schliesslich dort jene eleganten ,untersuchungen ueber die ,vielecke1 die einem ,kegelschnitt ein- und einem anderen umbeschrieben sind1 finden1 die ,jacobi 7#ahjd-ahea71 ,richelot 7#ahjh-ahge7 und anderen ,gelegenheit geben sollten1 davon eine der elegantesten ,anwendungen der ,theorie der elliptischen ,funktionen zu machen1 welche man kennt4#ci ,die ,abhandlungen1 welche ,poncelet der ,theorie der harmonischen ,mittel1 der reciproken ,polaren und der #ag ,transversalen widmete1 sowie andere weniger bedeutende von ,gelehrten1 welche zur ,mongeschen ,schule gehoerten1 fuehren uns zum ,jahre #ahcg1 in welchem ,chasles' 7#agif-ahhj7 ,apercu historique sur l'origine et le developpement des methodes en geometrie#dj veroeffentlicht wurde4 ,in diesem unuebertrefflichen ,werke brachte der ,autor1 nachdem er in bewunderungswerter ,form alles1 was das ,erbteil der reinen ,geometrie in seiner ,zeit bildete1 zusammengestellt hatte1 die ,rechte zur ,geltung1 die sie auf die ,beachtung der ,gelehrten hatte und welche von den blinden ,anbetern der ,analysis ihr versagt worden waren1 und zeigte durch wichtige und originelle ,untersuchungen1 mit welchem ,rechte er sich zum ,beschuetzer der ,sache der ,geometrie gemacht hatte4#da ,jedoch in dem ,zeitraume1 welcher zwischen dem ,erscheinen des ,ponceletschen ,werkes und desjenigen von ,chasles liegt1 hatte sich ,deutschland aus dem ,schlafe geruettelt1 in welchen die einschlaefernden ,arbeiten der ,schule #ah der ,kombinatoriker es versetzt hatten4 ,dieses ,wiedererwachen bedeutete einen neuen ,uebergang des ,szepters der ,mathematik von ,frankreich nach ,deutschland4#db ,in der ,that sehen wir durch die ,arbeiten von ,gelehrten wie ,moebius 7#agij-ahfh71dc ,steiner 7#agif-ahfc71dd #ai ,pluecker 7#ahja-ahfh7de und von ,staudt 7#agih-ahfg7df die analytische ,geometrie sich mit ,methoden bereichern1 von denen wir nicht wissen1 ob wir mehr ihre ,eleganz oder ihre ,macht bewundern sollen1 so der ,barycentrische ,calcul und die abgekuerzte ,bezeichnung2 wir sehen die synthetische ,geometrie ,hilfsmittel erwerben fuer das ,studium1 der ,kurven und ,oberflaechen1 die bis dahin fuer dieselbe unerreichbar #bj waren1 sowie fuer die ,gruendung einer reinen ,geometrie der ,lage1 die ganz und gar unabhaengig ist von dem ,begriffe des ,masses4 ,dank dem von ,crelle 7#aghj-ahee7 in dieser ,zeit gegruendeten ,journal 7#ahbf71 das bald zu verdientem ,rufe gelangte1 vorzueglich durch die ,abhandlungen ,abels 7#ahjb-ahbi71 ,jacobis und ,steiners verbreiteten sich die eben angefuehrten ,resultate schnell4 ,und so sehen wir hinter diesen ,groessen eine zahlreiche und glaenzende ,anzahl von ,schuelern1 welche1 indem sie ,aehren lasen auf den ,feldern1 die von ihren ,meistern bebaut waren1 die ,fruchtbarkeit des ,samens zeigten1 den jene ausgestreut hatten4 ,hiermit will ich den ,abriss der geistigen ,bewegung1 welche die neuesten geometrischen ,untersuchungen vorbereitet hat1 geschlossen haben und ich muss mich nun im einzelnen mit denselben befassen4 ,um mir nun die vorgenommene ,aufgabe der ,darlegung derselben zu erleichtern1 werde ich meine ,darstellung in verschiedene ,teile teilen4 ,zuerst will ich mich mit der ,theorie der ebenen ,kurven und der ,oberflaechen beschaeftigen1 dann1 nach einer kurzen ,abschweifung zu den ,untersuchungen ueber die ,gestalt der ,kurven und ,oberflaechen und ueber die abzaehlende ,geometrie1 werde ich mich mit den ,studien ueber die ,raumkurven befassen1 um davon zur ,darlegung des ,ursprunges und der ,entwickelung der ,lehre von den geometrischen ,transformationen ueberzugehen2 darauf wende ich mich zur ,geometrie der ,geraden1 um dann mit der ,nicht-euklidischen ,geometrie und der ,theorie der ,mannigfaltigkeiten von beliebig vielen ,dimensionen zu schliessen4#dg #ba 99 99 99 99 99 ,,ii4 ,theorie der ebenen ,kurven4 ------ ,die allgemeine ,theorie der ebenen ,kurven entstand zugleich mit der cartesischen ,geometrie4 ,es ist leicht die ,gruende fuer die ,thatsache anzugeben1 dass das ,erscheinen einer so wichtigen ,theorie sich bis zu diesem ,zeitpunkte verzoegert hatte4 ,in der ,that sind ja die ,definition der ,ordnung einer ,kurve1 die daraus folgende ,einteilung der ,kurven in algebraische und transcendente1 der exakte ,begriff einer in ihrer ,ordnung allgemeinen ,kurve ihrer ,natur nach wesentlich analytische ,begriffe4 ,sie synthetisch zu bestimmen1 ist ein sehr schweres ,problem1 welches heutzutage erst den wiederholten ,anstrengungen der ,geometer zu weichen sich anschickt2 dagegen1 wenn man ein ,koordinatensystem anwendet1 eine wie leichte ,sache ist es dann1 diese fundamentalen ,begriffe festzustellen1 sie unter einander zu verbinden und aus ihnen interessante ,folgerungen zu ziehen6 ,die ,wahrheit dieser ,behauptung finden wir durch die ,thatsache bestaetigt1 dass kurz nach ,descartes wichtige ,eigenschaften1 die allen algebraischen ,kurven gemeinsam sind1 entdeckt wurden4 ,solche sind z4 ,b4 diejenigen1 welche ,newton in den drei beruehmten ,theoremen1 die in seiner ,enumeratio linearum tertii ordinis 7#agjf7 enthalten sind1 bekannt gemacht hat2 ferner diejenigen1 welche ,newtons ,schueler ,cotes 7#afhb-agaf7 und ,maclaurin als eine ,verallgemeinerung der von ,newton entdeckten ,eigenschaften gaben2#dh #bb schliesslich die von ,waring 7#agcd-agih7di gefundenen4 ,ueberdies wurden noch von ,maclaurin#ej und ,braikenridge 7etwa #agjj1 nach #agei7ea einige interessante organische ,erzeugungsweisen von ,kurven hinzugefuegt1 die aehnlich denjenigen waren1 welche ,newton fuer die ,kegelschnitte gegeben hat4#eb ,endlich wurden von ,de ,gua 7#agab-aghf7ec ,methoden fuer die ,bestimmung der ,singularitaeten der durch ,gleichungen definierten ebenen ,kurven angegeben4 ,es ist ueberfluessig zu sagen1 dass die ersten methodischen ,bearbeitungen der ,theorie der ebenen ,kurven unter dem ,einfluesse der analytischen ,geometrie stehen2 wir verdanken solche ,euler#ed und ,cramer 7#agjd-ageb7ee4 ,diese studierten dieselben von ,grund auf 7kurz nacheinander1 der eine #agdh1 der andere #agej71 indem sie sich vorzugsweise mit den ,singularitaeten befassten1 besonders mit den ,fragen1 welche man heute mit ,hilfe der ,geometrie des unendlich ,kleinen loest4 ,in dem ,werke von ,cramer1 das in vielen ,beziehungen zu bewundern ist1 finden wir auch schon die ersten ,untersuchungen ueber die ,schnitte von ,kurven und unter diesen auch den ,hinweis auf das1 was man spaeter das ,cramersche ,paradoxon genannt hat2 das ist jener scheinbare ,widerspruch zwischen der ,zahl der ,punkte1 die zur ,bestimmung einer ,kurve von gegebener ,ordnung noetig #bc sind1 und der ,zahl der ,schnitte zweier ,kurven derselben ,ordnung1#ef ein ,widerspruch1 welcher viele ,jahre spaeter 7#ahah7 von ,lame 7#agie-ahgj7 durch das beruehmte ,prinzip aufgehoben wurde1 welches seinen ,namen traegt und das man als den ,grundstein jenes gewaltigen ,bauwerkes ansehen muss1 welches aus einer ,fuelle von ,lehrsaetzen von ,gergonne1#eg ,pluecker1#eh ,jacobi1#ei ,cayley#fj errichtet ist1 und auf dessen ,gipfel die geometrische ,interpretation des beruehmten ,abelschen ,theorems#fa steht4 ,nach den ,arbeiten ,eulers1 ,cramers und dem ,examen des differentes methodes employees pour resoudre les problemes de geometrie1 in welchem ,lame mit grossem ,erfolge das vorhin angefuehrte ,prinzip auseinandergesetzt und angewandt hatte1 muessen wir uns zu ,pluecker wenden1 um zu ,arbeiten zu kommen1 welche einen bemerkenswerten ,fortschritt in der ,theorie1 die uns beschaeftigt1 bewirken4 ,in dem im ,jahre #ahce von diesem ausgezeichneten ,geometer veroeffentlichten ,system der analytischen ,geometrie ist von der ,methode der abgekuerzten ,bezeichnung ,gebrauch gemacht und dieselbe fuer die ,vervollstaendigung der ,klassifikation der kubischen ebenen ,kurven benutzt worden1 welche so viele bedeutende ,gelehrte unternommen hatten4 ,in der vier ,jahre spaeter gedruckten #bd ,theorie der algebraischen ,kurven#fb findet sich dann noch ausser einer ,aufzaehlung der ebenen ,kurven vierter ,ordnung1#fc welche ,bragelogne 7#afhh-agdd7fd und ,euler#fe nur versucht hatten1 die ,aufstellung und ,loesung einer ,frage von sehr grosser ,wichtigkeit1 derjenigen naemlich1 die ,beziehungen zwischen den ,zahlen der gewoehnlichen ,singularitaeten einer ebenen ,kurve zu finden4 ,schon ,poncelet hatte 7#ahah7 den ,zusammenhang zwischen der ,ordnung und der ,klasse einer allgemeinen ,kurve ihrer ,ordnung gefunden und spaeter den ,einfluss eines ,doppelpunktes bestimmt2 indem er nun auf diese ,resultate das ,prinzip der ,dualitaet anwandte1 stiess er auf jenen anderen scheinbaren ,widerspruch1 welchen wir heute das ,ponceletsche ,paradoxon nennen1 ohne dass es ihm gelang1 dafuer eine vollstaendige ,erklaerung zu finden4 ,das geschah durch ,pluecker vermittelst der beruehmten nach ihm benannten ,formeln1 welche gestatten1 drei ,charakteristiken einer ,kurve zu finden 7,ordnung1 ,klasse1 ,zahl der ,doppelpunkte1 der ,doppeltangenten1 ,zahl der ,wendetangenten und der ,rueckkehrpunkte71 wenn man die uebrigen kennt4 ,auf die ,frage1 welche in einem gewissen ,sinne reciprok zu der durch die ,plueckerschen ,formeln geloesten ist1 ob jeder ,loesung derselben eine wirkliche ,kurve entspreche1 musste man negativ antworten1 da neuere ,untersuchungen #be dargethan haben1 dass fuer gewisse ,kurven 7die rationalen ,kurven7 die ,zahl der ,rueckkehrpunkte eine gewisse ,grenze nicht uebersteigen kann4#ff ,auf der anderen ,frage1 die ,plueckerschen ,formeln auf eine ,kurve auszudehnen1 welche mit ,singularitaeten hoeherer ,ordnung ausgestattet ist1 beruhen die ,untersuchungen von ,cayley und anderen1#fg welche zu dem ,schluesse gefuehrt haben1 dass jede ,singularitaet einer ,kurve als aequivalent einer gewissen ,anzahl von ,doppelpunkten1 ,spitzen1 ,wendetangenten und ,doppeltangenten betrachtet werden kann4 ,ich fuege noch hinzu1 dass man durch ,jacobi1#fh ,hesse 7#ahaa-ahgd71fi ,salmon1#gj ,cayley#ga und deren zahlreiche ,kommentatoren#gb heute im ,besitze eleganter ,methoden ist1 um analytisch die ,wendepunkte einer durch eine ,gleichung gegebenen ,kurve1 sowie die ,beruehrungspunkte ihrer ,doppeltangenten anzugeben4 ,dank dem einen der ueberaus wertvollen ,lehrbuecher1#gc mit welchen ,salmon so gewaltig zur ,verbreitung der neuesten algebraischen und geometrischen ,methoden beigetragen hat1 ist es heutzutage leicht1 sich ueber diese und viele andere ,fragen1 welche sich auf die analytische ,theorie der ebenen ,kurven beziehen1 eine genaue ,kenntnis zu verschaffen4 #bf ,man braucht aber nicht zu glauben1 dass bei diesem ,studium der fortwaehrende ,gebrauch der ,analysis unumgaenglich sei2 vielmehr erhob sich bald neben der ,darlegung der ,theorie der ebenen ,kurven durch ,euler1 ,cramer1 ,pluecker1 ,salmon eine ebenso vollstaendige1 aber mehr geometrische ,theorie4 ,in einer beruehmten ,mitteilung1 die im ,jahre #ahdh der ,berliner ,akademie gemacht wurde1 zeigte ,steiner1 indem er die ,theorie der ,polaren eines ,punktes in ,bezug auf eine ,kurve wieder aufnahm1 welche ,bobillier 7#agig-ahcb7 schon vordem#gd als eine ,erweiterung der ,diametralkurven ,newtons und ,cramers aufgestellt1 und mit welcher auch ,grassmann 7#ahji-ahgg7 sich beschaeftigt hatte1#ge dass dieselbe als ,grundlage fuer ein vom ,gebrauche der ,koordinaten unabhaengiges ,studium der ebenen ,kurven dienen kann1 und fuehrte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen ,kurve covarianten ,kurven ein1 die heute seinen1 ,hesses und ,cayleys ,namen tragen4 ,diese kurzen ,andeutungen1 verbunden mit den ,untersuchungen von ,steiner selbst1 von ,chasles#gf und ,jonquieres#gg ueber die ,entstehung der algebraischen ,kurven vermittelst projektiver ,bueschel von ,kurven niederer ,ordnung1 dienten als ,grundlage fuer die ,introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane1#gh in #bg welcher ,cremona in einer einheitlichen ,methode zugleich mit vielen neuen ,resultaten alles auseinandersetzt1 was wichtigeres von den analytischen ,geometern1 die ihm vorhergingen1 erhalten worden war4 ,bei dem ausserordentlichen ,interesse der ,sache scheint es mir auch1 dass man in die ,reihe der schon zitierten ,arbeiten auch die ,serie von ,abhandlungen zu stellen hat1 in welchen ,clebsch 7#ahcc-ahgb7 zuerst die ,algebra der linearen ,transformationen auf die ,geometrie angewandt hat1 dann1 nachdem er die ,wichtigkeit des ,begriffes des ,geschlechtes einer ,kurve ins ,licht gestellt1 die ,anwendung der ,theorie der elliptischen#gi und ,abelschen ,funktionen auf die ,wissenschaft von der ,ausdehnung darlegte und sie fuer das ,studium der rationalen und elliptischen ,kurven benuetzte4#hj ,es ist wahr1 dass ,brill und ,noether in einer ,abhandlung1#ha deren ,bedeutung von ,tag zu ,tag waechst1 gezeigt haben1 dass die ,theorie der algebraischen ,funktionen in vielen ,faellen die der eben angefuehrten ,transcendenten ersetzen kann1 aber das vermindert nicht1 sondern vergroessert vielmehr das ,verdienst1 welches man den ,methoden von ,clebsch zuerkennen muss1 da die von hervorragenden ,geistern gemachten ,anstrengungen1 den ,gebrauch eines #bh ,hilfsmittels vermeiden zu koennen1 der ueberzeugendste ,beweis der ,macht desselben sind4 ,die bis jetzt besprochenen ,arbeiten behandeln allgemeine ,eigenschaften der ebenen algebraischen ,kurven4#hb ,aber an sie reiht sich eine grosse ,menge von schoenen ,spezialabhandlungen1 welche eine bestimmte ,kategorie von ,kurven behandeln2 auf diese wollen wir einen kurzen ,blick werfen4 ,unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von ,maclaurin1#hc von ,sylvester1#hd ,cayley1#he ,salmon1#hf ,durege1#hg ,cremona1#hh von ,sturm1#hi von ,kuepper1#ij ,grassmann1#ia ,milinowski#ib und von anderen ueber die ,kurven dritter ,ordnung1#ic die ,kapitel des ,barycentrischen ,calculs1 dann verschiedene ,arbeiten von ,em4 ,weyr1#id von ,clebsch und #bi vielen anderen#ie ueber die rationalen ,kurven2 die wichtigen ,untersuchungen ,steiners und ,chasles' ueber die ,kurven1 die mit einem ,centrum versehen sind1#if und die von ,steiner ueber die dreispitzige ,hypocykloide2#ig ferner die ,arbeiten1 welche dem ,beweise oder der ,verallgemeinerung der dort ausgesprochenen ,eigenschaften gewidmet sind1#ih die interessanten ,untersuchungen von ,bertini#ii ueber rationale ,kurven1 fuer welche man willkuerlich die vielfachen ,punkte bestimmen kann1 die wichtigen ,studien von ,brill ueber die ,kurven vom ,geschlechte zwei1#ajj dann die eleganten ,abhandlungen von ,klein und ,lie#aja ueber die ,kurven1 welche eine infinitesimale ,transformation in sich selbst zulassen1 endlich die von ,fouret ueber die ,kurven1 welche die eigenen reciproken ,polaren in bezug auf unendlich viele ,kegelschnitte sind1#ajb und die von ,smith 7#ahbf-ahhc7 ueber die ,singularitaeten der ,modularkurven4#ajc #cj ,neben diesen verdient dann noch eine hervorragende ,stelle die ,abhandlung von ,steiner ueber die einer ebenen kubischen ,kurve#ajd oder einer ,kurve vierter ,ordnung mit zwei ,doppelpunkten eingeschriebenen ,vielecke1 auf welche die juengsten ,arbeiten von ,kuepper#aje und ,schoute#ajf von neuem die ,aufmerksamkeit der ,gelehrten gelenkt haben4 ,die ,knappheit des ,raumes noetigt mich1 fluechtig hinwegzugehen ueber die ,untersuchungen von ,cayley ,on polyzomal ,curves otherwise the ,curves ,wurzelu ,wurzelv 444 #j2ajg von ,grassmann1 ,clebsch1#ajh ,schroeter#aji und ,durege1#aaj betreffend die ,erzeugung ebener ,kurven dritter ,ordnung1 ueber die von ,lueroth1#aaa von ,casey1#aab ,darboux1#aac ,siebeck1#aad von ,crone1#aae ,zeuthen#aaf und noch anderen ueber einige spezielle ebene ,kurven vierter ,ordnung1 ueber die von ,battaglini1 die sich auf die syzygetischen ,kurven dritter ,ordnung beziehen1#aag und andere1 welche auch eine besondere ,erwaehnung verdienen wuerden4 #ca ,was ich aber nicht mit ,stillschweigen uebergehen kann1 das sind die ,arbeiten von ,hesse ueber die ,wendepunkte einer ,kurve dritter ,ordnung und ueber die ,gleichung1 welche zu deren ,bestimmung dient2#aah dann die von demselben ,hesse1#aai ,steiner1#abj ,aronhold#aba 7#ahai-ahhd7 ueber die ,doppeltangenten einer ,kurve vierter ,ordnung1 welche eine hervorragende ,stelle verdienen1 da sie viele bemerkenswerte ,eigenschaften derselben ins ,licht gestellt haben2 dieselben wurden darauf von ,geiser#abb durch stereometrische ,betrachtungen dargethan1 von ,clebsch#abc dagegen und ,roch#abd vermittelst der ,theorie der ,abelschen ,funktionen untersucht4 99 99 99 99 99 ,,iii4 ,theorie der ,oberflaechen4 ------ ,das ,streben nach ,verallgemeinerung1 welches die geometrischen ,untersuchungen leitete1 seitdem sich der ,einfluss der ,analysis auf dieselbe mehr oder weniger offen geltend gemacht1 trieb alsbald die ,gelehrten dazu1 sich mit den ,erscheinungen des ,raumes zu beschaeftigen1 welche ,analogien mit den schon in der ,ebene betrachteten darbieten4 ,daher sehen wir denn auch die ,forschungen ueber die ,oberflaechen #cb bald denen ueber die ebenen ,kurven folgen4 ,die ,theorie dieser ,gebilde ist jedoch neueren ,ursprungs4 ,den griechischen ,geometern waren in der ,that nur einige wenige besondere ,oberflaechen bekannt 7die ,kugel1 die ,cylinder und ,kegel1 ,konoide und ,sphaeroide1 die plektoidischen ,oberflaechen und wenige andere74 ,erst ,wren 7#affi71 ,parent und ,euler begannen sich mit den ,oberflaechen zweiten ,grades zu beschaeftigen1 und wir muessen zur ,schule von ,monge gehen1 um die ,eigenschaften von groesserer ,wichtigkeit dieser hoechst bemerkenswerten ,oberflaechen anzutreffen4#abe ,zu diesen ersten ,eigenschaften wurden in unserem ,jahrhundert durch das zahlreiche ,heer von ,geometern1 welche die ,flaechen zweiter ,ordnung einer besonderen ,betrachtung unterwarfen1 viele andere hinzugefuegt1 und dank den ,arbeiten so ausgezeichneter ,gelehrter1 wie ,jacobi1#abf #cc ,mac,cullagh 7#ahji-ahdg71abg ,chasles1#abh ,hesse1#abi ,seydewitz 7#ahjg-aheb71acj ,schroeter#aca konnte die ,theorie der ,oberflaechen zweiter ,ordnung in den mehr elementaren #cd ,unterricht eingefuehrt werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem ,wege behandelt werden4#acb ,aber nach der ,lehre von den ,oberflaechen zweiten ,grades entstand und entwickelte sich alsbald die der ,oberflaechen hoeherer ,ordnung4 ,chasles#acc und ,gergonne1#acd als die ersten1 entdeckten an diesen ,gebilden wunderbare ,eigenschaften4 ,poncelet bestimmte die ,klasse einer in ihrer ,ordnung allgemeinen algebraischen ,oberflaeche#ace und eroeffnete so die ,untersuchungen1 welche zu den ,beziehungen fuehren sollten1 mit welchen ,salmon#acf und ,cayley#acg die ,loesung der analogen ,aufgabe zu derjenigen versuchten1 welche ,pluecker durch seine beruehmten ,formeln geloest hatte4 ,jacobi#ach und spaeter ,reye#aci beschaeftigten sich mit den ,kurven und ,gruppen von ,punkten1 die durch den ,schnitt von algebraischen ,oberflaechen entstehen4 ,chasles1#adj ,cremona1#ada ,reye1#aci ,escherich1#adb ,schur1#adc mit ihrer #ce ,entstehung vermittelst projektiver oder reciproker ,systeme von ,oberflaechen niederer ,ordnung1 ,grassmann 7#ahji-ahgg7add mit anderen ,erzeugungsweisen2 ,salmon1#ade ,clebsch1#adf ,sturm1#adg ,schubert#adh und andere behandelten eine wichtige ,klasse von ,aufgaben1 welche sich auf ,gerade beziehen1 die mit einer gegebenen ,oberflaeche ,beruehrungen von vorher bestimmter ,ordnung haben2 schliesslich entdeckte ,schur vor kurzem eine lineare ,konstruktion#adi fuer ,flaechen beliebiger ,ordnung4 ,eine interessante ,erweiterung der ,polarentheorie der ,oberflaechen beliebiger ,ordnung verdanken wir ,reye4#aej ,trotz dieser und anderer ,arbeiten1 die ich der ,kuerze halber stillschweigend uebergehen muss1 trotz der schoenen ,darlegungen1 welche ,salmon#aea und ,cremona#aeb ueber sie gemacht haben1 kann man doch nicht sagen1 dass die ,theorie der ,oberflaechen weit vorgeschritten sei4 ,die ,fragen1 die noch zu loesen bleiben1 sind zahlreich und von fundamentaler ,wichtigkeit1 und die ,mittel1 die zur ,ueberwindung der ,schwierigkeiten1 welche deren ,loesung bietet1 zur ,verfuegung stehen1 sind noch nicht genuegend vervollkommnet4 ,vielleicht ist das der ,grund dafuer1 dass so viele ,gelehrte sich zum ,studium besonderer ,flaechen wandten1 indem sie hofften1 nicht nur auf diesem ,felde eine reichlichere ,ernte von ,wahrheiten zu machen1 sondern auch zu ,untersuchungsmethoden zu gelangen1 die der ,verallgemeinerung faehig sind4 -- ,und #cf dass ihre ,erwartungen teilweise nicht getaeuscht worden sind1 das beweisen die zahlreichen ,resultate1 die man schon ueber die ,oberflaechen dritten ,grades1 sowie ueber einige von der vierten ,ordnung erhalten hat1 ueber welche es mir noch obliegt1 ,bericht zu erstatten4 ,es ist allgemein bekannt1 dass die beiden hervorragendsten ,eigenschaften einer ,flaeche dritter ,ordnung die sind1 #bg ,gerade zu enthalten1 und ein ,pentaeder zu besitzen1 welches zu ,ecken die ,doppelpunkte und zu ,kanten die ,geraden der ,hesseschen ,flaeche jener ,oberflaeche hat4 ,england und ,deutschland koennen sich um die ,ehre1 sie entdeckt zu haben1 streiten4 ,wenn auch schon im ,jahre #ahdi ,cayley und ,salmon#aec die ,geraden einer kubischen ,flaeche bestimmt haben1 und im ,jahre #ahea ,sylvester#aed das ,pentaeder entdeckte1 so ist doch nicht minder wahr1 dass ,steiner unabhaengig von ihnen die ,existenz jener und dieses in seiner beruehmten ,mitteilung1 welche er der ,berliner ,akademie im ,jahre #ahec machte1 behauptet hat4#aee ,aber waehrend die ,studien der englischen ,geometer fast gaenzlich der ,fortsetzung entbehren1#aef steht die ,arbeit von ,steiner an der ,spitze einer langen ,reihe von ,schriften1 durch welche die ,theorie der ,oberflaechen dritter ,ordnung schnell einen ungehofften ,grad der ,vollendung erhielt4 ,indem ich die ,abhandlungen von ,schroeter1#aeg ,august#aeh u4 s4 w41 in welchen einige der von ,steiner ausgesprochenen ,saetze bewiesen werden1 nur kurz erwaehne1 will ich mich darauf beschraenken1 die ,aufmerksamkeit der ,leser auf die mit ,recht beruehmten ,schriften zu lenken1 die von #cg ,cremona#aei und von ,sturm#afj ueber diese ,oberflaechen verfasst und im ,jahre #ahff von der ,berliner ,akademie mit dem ,steiner-,preise gekroent sind1 ,arbeiten1 auf welche jeder zurueckkommen muss1 welcher sich mit diesen wichtigen geometrischen ,gebilden vertraut machen will4 ,ich kann mich nicht aufhalten bei den verschiedenen ,erzeugungsweisen einer ,flaeche dritter ,ordnung1 die ,grassmann1#afa ,august1#afb ,affolter#afc und ,piquet#afd den von ,steiner angegebenen hinzugefuegt haben1 bei der ,konstruktion dieser ,flaechen1 welche ,le ,paige#afe gegeben hat1 bei den vielen ,saetzen1 die sich auf die ,verteilung der ,geraden1 der dreifach beruehrenden ,ebenen und die ,kurven einer kubischen ,flaeche beziehen und welche vor kurzem von ,cremona1#aff ,affolter1#afg von ,sturm#afh und ,bertini#afi entdeckt wurden1 endlich bei den von ,cremona1#agj ,caporali1#aga ,reye#agb und ,beltrami#agc studierten ,eigenschaften gewisser ,hexaeder1 welche mit einer ,flaeche dritter ,ordnung verknuepft sind1 sowie bei den von ,zeuthen#agd betrachteten zwoelf #ch vollstaendigen1 in sie einbeschriebenen ,pentaedern4 ,ich will noch anfuehren1 dass eine ,einteilung dieser ,oberflaechen1 die auf die ,betrachtung der #bg auf ihr gelegenen ,geraden sich stuetzt1 von ,schlaefli gemacht ist#age und eine neuere von ,rodenberg1#agf die sich auf das ,pentaeder gruendet1 dass ferner ein genaues und eingehendes ,studium der ,regelflaechen dritten ,grades 7von denen eine von ,cayley entdeckt wurde7 den ,gegenstand wertvoller ,arbeiten ,cremonas1#agg ,em4 ,weyrs#agh und ,benno ,kleins#agi bildet1 dass schliesslich die sogenannte ,diagonalflaeche einen wichtigen ,teil in einer ,untersuchung von ,clebsch ueber die ,gleichungen fuenftes ,grades bildet#ahj und dass andere besondere ,faelle von ,cayley#aha und ,eckardt#ahb in einigen wertvollen ,abhandlungen betrachtet wurden4 ,wenn ich dann noch gesagt habe1 dass die ,untersuchungen von ,salmon1#ahc ,clebsch1#ahd ,gordan#ahe und de ,paolis#ahf die #ci geometrische ,bedeutung fuer das ,verschwinden der fundamentalen invarianten ,formen der quaternaeren kubischen ,form festgestellt haben1 welche gleich ,null gesetzt in homogenen ,koordinaten eine ,flaeche dritter ,ordnung darstellt1 dass schliesslich ,jordan#ahg von ,grund auf die ,natur der ,gleichung studiert hat1 welche zur ,bestimmung der ,geraden einer kubischen ,flaeche dient1 dann glaube ich dem ,leser genug ,momente an die ,hand gegeben zu haben1 um daraus den 7von mir eben angedeuteten7 ,schluss zu ziehen1 dass die ,theorie dieser geometrischen ,gebilde1 von welchem ,punkte man sie auch betrachten mag1 heute einen beachtenswerten ,grad der ,vollendung erreicht hat4 ,solches kann man jedoch nicht von der ,theorie der ,oberflaechen vierten ,grades behaupten1 vielmehr sind von ihnen nur wenige ,klassen genauer studiert2 ueber jede derselben werde ich kurz sprechen4 ,an die erste ,stelle will ich die ,developpabele vierter ,klasse setzen1 die zweien ,flaechen zweiten ,grades umbeschrieben ist1 und die geradlinigen ,flaechen vierten ,grades2 jene wurde von ,poncelet#ahh und ,chasles#ahi untersucht1 diese von demselben ,chasles1#aij von ,cayley#aia und vollstaendiger von ,cremona4#aib ,dann lasse ich die ,oberflaechen vierter ,ordnung folgen1 auf welchen ,scharen von ,kegelschnitten existieren und welche alle mit ausserordentlichem ,scharfsinne von ,kummer#aic bestimmt wurden4 ,unter diesen sind zwei besonderer ,erwaehnung wert1 da sie das ,objekt zahlreicher ,untersuchungen gewesen sind3 die ,oberflaeche vierter ,ordnung mit einem ,doppelkegelschnitt und die roemische ,flaeche von ,steiner4 ,von der ersteren entdeckte ,kummer im ,jahre #ahfd die bemerkenswerte ,eigenschaft1 dass die ihr doppelt #dj umgeschriebene ,developpabele aus fuenf ,kegeln zweiter ,ordnung besteht4 ,gleichzeitig fand ,moutard#aid dieselbe ,eigenschaft fuer den ,fall1 dass die ,doppelkurve der ,oberflaeche der unendlich entfernte imaginaere ,kugelkreis ist1#aie und er bemerkte weiter gleichzeitig mit ,darboux1#aif dass in diesem ,falle die ,oberflaeche zu einem dreifachen ,systeme von orthogonalen ,oberflaechen1 gebildet von ,flaechen derselben ,art1 gehoeren kann4 ,von jener ,zeit ab wurden die ,oberflaechen vierter ,ordnung1 welche als ,doppelkurve den unendlich entfernten imaginaeren ,kugelkreis haben1 wiederholt von ,darboux1#aig von ,laguerre 7#ahcd-ahhf7aih und von ,casey#aii studiert2 hingegen diejenigen1 welche als ,doppelkurve einen beliebigen ,kegelschnitt besitzen1 von ,cremona1#bjj ,geiser1#bja ,sturm1#bjb ,zeuthen1#bjc von ,clebsch1#bjd ,korndoerfer1#bje ,berzolari#bjf und ,domsch#bjg -- welcher auf sie die hyperelliptischen ,funktionen anwandte -- und diejenigen1 welche einen ,kuspidalkegelschnitt haben1 von ,toetoessy4#bjh ,was die ,klassifikation dieser ,oberflaechen betrifft1 so moege #da es mir gestattet sein1 meinen ,namen anzufuehren#bji neben dem meines teuern ,freundes ,segre4#baj ,die roemische ,flaeche von ,steiner hat wiederholt die ,aufmerksamkeit der ,geometer auf sich gezogen und zwar vorzueglich zweier ,eigenschaften wegen2 die eine derselben1 naemlich von jeder ,tangentialebene in zwei ,kegelschnitten getroffen zu werden1 wurde besonders von den ,synthetikern betrachtet1 die andere1 dass die homogenen ,koordinaten ihrer ,punkte sich als ganz allgemeine ternaere quadratische ,formen darstellen lassen1#baa wurde mehr von den analytischen ,geometern verwertet4 ,wer ,lust hat1 alle ,eigenschaften1 die sie besitzt1 kennen zu lernen1#bab wird dieselben in den synthetischen ,abhandlungen von ,cremona1#bac ,schroeter#bad und ,sturm1#bae auf den ,seiten1 welche ,reye ihr in seiner #db ,geometrie der ,lage 7#b4 ,bd47 gewidmet hat1 und in den analytischen ,abhandlungen von ,cayley1#baf ,beltrami1#bag ,clebsch1#bah ,eckardt1#bai ,laguerre#bbj und ,gerbaldi#bba finden4 ,kummer verdanken wir auch die ,kenntnis einer anderen wichtigen ,klasse von ,flaechen vierter ,ordnung2 dieselbe besteht aus ,oberflaechen1 die nicht singulaere ,linien enthalten1 sondern nur singulaere ,punkte4#bbb ,wir werden in kurzem 7s4 ,,vii7 sehen1 welche ,untersuchungen ,kummer zu diesen ,oberflaechen gefuehrt haben2 fuer jetzt genuege es1 hervorzuheben1 dass die interessanteste unter ihnen 7welche man heute die ,kummersche ,oberflaeche nennt7 #af singulaere ,doppelpunkte und #af singulaere ,tangentialebenen hat und dass ,specialfaelle derselben die ,wellenflaeche von ,fresnel#bbc und das von ,cayley #ahdf untersuchte ,tetraedroid#bbd sind4 ,eine solche ,oberflaeche ist zu sich selbst dual4#bbe ,ihre #dc asymptotischen ,kurven wurden von ,klein und ,lie bestimmt#bbf und ,reye#bbg zeigte1 dass jede die ,grundkurve eine ,bueschels von ,oberflaechen vierter ,ordnung ist2 zwischen ihnen und den ,thetafunktionen existiert eine innige ,beziehung1 welche ,cayley und ,borchardt 7#ahag-ahhj7bbh entdeckt haben und die ,h4 ,weber#bbi zusammen mit anderen entwickelt hat2#bcj die algebraischen ,fragen1 welche sich an die ,bestimmung ihrer ,singularitaeten knuepfen1 wurden von ,jordan#bca geloest2 endlich kann man dieselbe1 wie ,rohn#bcb es gethan hat1 vermittelst der ,theorie der hyperelliptischen ,funktionen#bcc behandeln4 ,indem ich die ,oberflaechen vierter ,ordnung1 welche als ,doppelkurve einen in zwei getrennte oder zusammenfallende ,gerade degenerierten ,kegelschnitt haben und andere1 mit denen ,cayley#bcd sich beschaeftigt hat1 uebergehe1 will ich noch die ,monoide erwaehnen1#bce die von ,rohn studiert sind1#bcf und #dd diejenigen ,flaechen1 welche1 ohne geradlinig zu sein1 eine gewisse ,anzahl von ,geraden enthalten4 ,dieselben sind der ,ort der ,punkte1 in welchen vier entsprechende ,ebenen von vier kollinearen ,raeumen sich schneiden2 ,chasles hat ihre ,ordnung bestimmt und ,schur eine ,menge eleganter ,eigenschaften derselben gefunden4#bcg ,ich will diesen ,abschnitt meiner ,musterung beschliessen1 indem ich noch einige ,oberflaechen von hoeherer als der vierten ,ordnung anfuehre1 welche die ,gelehrten schon beschaeftigten4 ,zuerst verdienen die geradlinigen ,oberflaechen erwaehnt zu werden1 welche im allgemeinen von ,chasles1#bch ,salmon1#bci ,cayley1#bdj von ,pluecker1#bda ,la ,gournerie 7#ahad-ahhc71bdb ,voss#bdc und im besonderen von ,chasles1#bdd ,cremona1#bdd ,schwarz1#bde ,la ,gournerie#bdf 7,regelflaechen1 die in bezug auf ein ,tetraeder symmetrisch sind71 von #de ,clebsch1#bdg ,armenante#bdh 7rationale und elliptische ,regelflaechen71 von ,em4 ,weyr#bdi 7,regelflaechen1 erzeugt durch die ,verbindungslinien entsprechender ,punkte zweier gerader ,punktreihen in der ,korrespondenz m1 n71 von ,ed4 ,weyr#bej 7,oberflaechen1 erzeugt durch die ,bewegung eines variabelen ,kegelschnittes71 von ,eckardt#bea und ,chizzoni#beb 7,regelflaechen1 erzeugt durch die ,verbindungslinien entsprechender ,punkte zweier ebener projektiv bezogener ,kurven74 ,dann folgen solche1 die1 wenn sie auch nicht ,regelflaechen sind1 doch ,gerade enthalten und die von ,sturm#bec und ,affolter#bed untersucht sind1 ferner die algebraischen ,minimalflaechen1 bei welchen ,geiser#bee und ,lie#bef bemerkenswerte ,eigentuemlichkeiten fanden4 ,dann will ich noch einige ,flaechen nennen1 die aus einer ,oberflaeche zweiten ,grades abgeleitet sind 7,ort der ,kruemmungscentren2 ,fusspunktflaechen1 ,aspidalflaechen etc471 sowie die ,oerter der ,spitzen der ,kegel zweiten ,grades1 die m ,gerade beruehren und durch 7#f-m7 ,punkte gehen1 welche ,flaechen eingehend von ,chasles1#beg ,lueroth1#beh ,hierholzer#bei und von ,cayley#bfj studiert wurden1 da sie zur ,aufloesung gewisser ,probleme aus der ,theorie der ,charakteristiken der einfach unendlichen ,systeme von ,kegeln zweiter ,ordnung dienten2 schliesslich diejenigen1 welche unendlich viele lineare #df ,transformationen zulassen1 die kontinuierlich aufeinander folgen2#bfa diejenigen1 welche die eigenen reziproken ,polaren in bezug auf unendlich viele ,flaechen zweiten ,grades sind1#bfb diejenigen1 welche durch reciproke ,cremonasche ,systeme erzeugt werden1#bfc und diejenigen1 welche dieselben ,symmetrie-,ebenen wie ein regulaeres ,polyeder besitzen4#bfd ,die ,untersuchungen ueber die ,oberflaechen1 mit denen wir uns bis jetzt beschaeftigt haben1 behandeln ,eigenschaften1 welche vermittelst einer wohl bekannten ,betrachtungsweise auf das ,gebiet der projektiven ,geometrie zurueckgefuehrt sind oder sich darauf zurueckfuehren lassen4 ,es giebt aber noch viele andere ,untersuchungen1 welche ,eigenschaften von ganz anderer ,art behandeln1 die groesstenteils auf keine ,weise sich als projektiv betrachten lassen1 da die ,gruppe der ,transformationen1 die zu ihnen gehoert1 nicht die der projektiven ,geometrie ist4#bfe ,diese bilden zusammen mit den ,studien1 die sich auf die ,infinitesimaleigenschaften der ,raumkurven beziehen 7ueber welche wir einiges im folgenden ,paragraphen sagen werden71 einen sehr wichtigen ,zweig der ,geometrie fuer sich sowohl1 als auch wegen der ,anwendungen1 welche man von ihnen in der ,geodaesie und der mathematischen ,physik machen kann2 man kennt ihn unter dem ,namen der ,differentialgeometrie4 ,ueber die wesentlichen ,punkte derselben wollen wir nun einiges sagen4 ,und da man den ,ursprung dieses ,teiles der ,geometrie von dem ,erscheinen der ,application de l',analyse a la ,geometrie#bff #dg von ,monge datieren kann1 und das spaetere ,werk1 welches von groesserem ,einfluesse war1 das von ,gauss 7#aggg-ahee7 ist1 welches den ,titel traegt3 ,disquisitiones generales circa superficies curvas1#bfg so nehmen wir in unserer kurzen ,darlegung die von ,monge und ,gauss angenommene ,einteilung des ,stoffes als ,anhalt1 indem wir zuerst besprechen1 was diese selbst in ,hinsicht auf die von ihnen behandelten ,gegenstaende geleistet haben1 und dann vorfuehren1 was ihre ,nachfolger hinzugefuegt haben4 ,der erste ,paragraph des ,mongeschen ,werkes bietet kein besonderes ,interesse1 da er nur die ,bestimmung der ,beruehrungsebenen und ,normalen einer ,oberflaeche zum ,zwecke hat2 er kann also als ,einleitung betrachtet werden4 ,die vier folgenden ,paragraphen behandeln cylindrische ,oberflaechen1 ,kegel- und ,rotationsflaechen und solche1 welche 7um einen modernen ,ausdruck zu gebrauchen7 in einer linearen ,kongruenz mit einer unendlich fernen ,leitgeraden enthalten sind4 ,hoechst bemerkenswert ist der folgende ,paragraph1 indem ,monge dort bei der ,besprechung der ,enveloppen den wichtigen ,begriff der ,charakteristik und der ,rueckkehrkurve 7arete de rebroussement7 einer ,enveloppe eingefuehrt hat2 an diesen ,paragraphen schliessen sich die drei folgenden enge an2 sie behandeln ,roehrenflaechen mit ebener ,leitlinie 7s4 #g71 ,flaechen1 die als ,linien groesster ,neigung gegen eine gegebene ,ebene ,gerade von konstanter ,neigung haben 7s4 #h71 und schliesslich ,enveloppen einer ,oberflaeche1 die sich unter der ,bedingung bewegt1 dass ein mit ihr unveraenderlich verbundener ,punkt eine gegebene ,kurve durchlaeuft 7s4 #i74bfh -- ,von da ab beginnt die ,theorie der partiellen #dh ,differentialgleichungen die wichtige ,rolle zu spielen1 die ,monge ihr in der analytischen ,geometrie zugewiesen hat2 von diesem ,punkte an zeigt es sich1 dass es in vielen ,faellen fuer die ,bestimmung der ,natur einer ,oberflaeche nuetzlicher und bequemer ist1 eine ,differentialgleichung fuer sie zu haben1 als eine solche in endlichen ,ausdruecken4 ,beispiele hierfuer bieten die ,flaechen1 die in einem speziellen linearen ,komplexe enthalten sind mit einer unendlich fernen oder endlichen ,axe 7von ,monge im s4 #aj und s4 #aa behandelt71 fernere ,beispiele die abwickelbaren ,flaechen 7s4 #ab71 andere die im s4 #i beschriebenen1 andere schliesslich die ,oerter beweglicher ,kurven1 von welchen ein ,punkt eine feste ,kurve durchlaeuft 7s4 #ad74bfi -- ,die ,theorie der ,kruemmung einer ,oberflaeche in einem ,punkte1#bgj sowie das ,studium der ,verteilung der ,normalen derselben ,flaeche#bga fuehren zu einer neuen ,art von ,flaechen1 die der ,betrachtung wert sind2 jene und diese finden sich im s4 #ae1 der sicherlich einer der wichtigsten des ,mongeschen ,werkes ist4 ,der ,spezialfall des ,ellipsoides ist im s4 #af behandelt1 derselbe enthaelt die ,bestimmung der ,kruemmungslinien dieser ,flaeche4#bgb -- ,gross an ,zahl und von grosser ,wichtigkeit sind die ,fragen1 zu denen die ,theorie der ,kruemmung ,anlass giebt4 ,man kann z4 ,b4 die ,oberflaechen untersuchen1 bei denen der eine ,kruemmungsradius fuer jeden ,punkt denselben ,wert hat2 ,monge fand 7s4 #ah71 dass dieselben von einer ,flaeche von konstanter ,form eingehuellt werden1 die sich in der #di vorhin 7in den ss4 #i und #ac7 angegebenen ,weise bewegt4 ,man kann dagegen auch voraussetzen1 dass in jedem ,punkte die beiden ,kruemmungsradien gleich und von gleichem ,sinne seien3 die ,oberflaeche ist dann eine ,kugel4 ,wenn dagegen die beiden ,kruemmungsradien in jedem ,punkte gleich1 aber von entgegengesetztem ,sinne sind1 so ist die ,flaeche eine ,minimalflaeche4#bgc ,oder es sei in jedem ,punkte einer der ,kruemmungsradien gleich gross 7s4 #ba74bgd ,an die ,theorie der ,kruemmung schliessen sich dann die ,studien ueber die ,roehrenflaechen mit beliebiger ,leitkurve 7ss4 #bb und #bf7 und ueber diejenigen ,flaechen1 bei welchen alle ,normalen eine gegebene ,kugel 7s4 #bc71 einen gegebenen ,kegel 7s4 #bd7 oder eine gegebene ,developpabele 7s4 #be7 beruehren4 -- ,fuer einige dieser ,flaechenfamilien hat ,monge die ,konstruktion angegeben1 fuer alle die ,gleichungen1 sei es die ,differentialgleichungen oder die endlichen1 und1 da er sich das ,problem gestellt und geloest hat1 von jenen zu diesen zu gelangen1 so verdient denn sein grosses ,werk1 dass es auch von denen1 welche sich mit der ,analysis des ,unendlichen beschaeftigen1 eingehend studiert werde4 ,kurz nach dem ,erscheinen des ,werkes von ,monge wurde die ,differentialgeometrie durch eine hoechst wichtige ,arbeit bereichert1 die ,developpements de ,geometrie von ,ch4 ,dupin 7#ahac74 ,in derselben wird unter anderem der ,begriff der konjugierten ,tangenten eines ,punktes einer ,oberflaeche und der der ,indikatrix eingefuehrt2 dort sind die asymptotischen ,linien 7,haupttangentenkurven7#bge untersucht1 und #ej der beruehmte ,satz bewiesen1 der unter dem ,namen des ,dupinschen ,theorems allgemein bekannt ist4 ,als ,fortsetzung des ,mongeschen ,werkes kann man die zahlreichen ,untersuchungen ueber ,flaechen mit ebenen oder sphaerischen ,kruemmungslinien ansehen1 die man ,dupin1#bgf ,alfred ,serret 7#ahai-ahhe71bgg ,o4 ,bonnet1#bgh ,dini1#bgi ,enneper 7#ahcj-ahhe71bhj ,darboux1#bha ,picart1#bhb ,lecornu1#bhc ,dobriner1#bhd ,voretsch#bhe und anderen verdankt4 ,von derselben ,art1 aber von groesserer ,allgemeinheit sind die wichtigen ,untersuchungen von ,weingarten ueber solche ,oberflaechen1 bei denen in jedem ,punkte der eine ,kruemmungsradius eine ,funktion des anderen ist1#bhf welche ,untersuchungen ,dini 7a4 ,o471 ,beltrami#bhg und ,lie#bhh zur ,bestimmung der windschiefen ,oberflaechen mit derselben ,eigenschaft gefuehrt haben4 ,dasselbe kann man von den ,untersuchungen sagen1 welche man ebenfalls ,weingarten verdankt#bhi und die sich auf ,oberflaechen beziehen1 deren ,normalen eine andere vorgelegte ,oberflaeche beruehren4 -- ,dem s4 #bj des ,mongeschen ,werkes koennen wir die #ea zahlreichen ,abhandlungen anschliessen1 welche die ,minimalflaechen behandeln4 ,wir fuehren zunaechst die von ,steiner#bij und ,weierstrass#bia an1 die sich mit der allgemeinen ,theorie befassen1 dann die von ,scherk#bib und ,bonnet1#bic welche einige ,spezialfaelle derselben bearbeitet haben2 ,serret#bid beschaeftigte sich dann mit solchen1 die durch zwei ,gerade hindurch gehen1 ,riemann#bie und ,weierstrass#bif mit solchen1 die einen gegebenen ,umriss haben1 ,geiser#big mit algebraischen1 ,noevius#bih mit solchen periodischen1 welche unendlich viele ,geraden und unendlich viele ebene geodaetische ,linien besitzen2 ,catalan#bii mit solchen1 die als geodaetische ,linie eine ,parabel haben1 ,henneberg#cjj mit denen1 welche eine semikubische ,parabel als geodaetische ,linie haben2 ,bonnet#cja untersuchte solche1 auf welchen sich eine ,schar von ebenen ,kruemmungslinien befindet2 ,bour#cjb diejenigen1 welche auf eine ,rotationsflaeche sich abwickeln lassen2 ,schwarz solche1 die durch ein windschiefes ,vierseit bestimmt sind#cjc oder die von ,kegeln eingehuellt sind1#cjd und solche1 die ohne algebraisch zu sein1 doch algebraische ,kurven enthalten2#cje #eb ,enneper#cjf untersuchte diejenigen1 welche unendlich viele ,kreise enthalten1 u4 s4 w4 ,andere ,fragen wurden von ,mathet#cjg behandelt1 von ,beltrami1#cjh von ,lie1#cji ,kiepert1#caj ,henneberg1#caa ,ribaucour1#cab ,bianchi#cac und ,pincherle4#cad ,schliesslich ist die ,theorie der ,minimalflaechen einer bemerkenswerten ,erweiterung faehig1 die von ,lipschitz#cae entdeckt wurde4 ,wir gehen jetzt dazu ueber1 kurz auseinander zu setzen1 welches die hervorragenderen ,stellen des zweiten ,werkes sind1 dem wir1 wie schon gesagt1 die wichtigsten ,lehren der ,differentialgeometrie verdanken1 der ,disquisitiones generales circa superficies curvas von ,gauss4 ,schon zu ,ende des ersten ,paragraphen derselben finden wir einen hoechst wichtigen ,begriff1 naemlich den der sphaerischen ,abbildung einer ,oberflaeche1 dessen ,fruchtbarkeit vielfache ,anwendungen1 die von ihm gemacht sind1 dargethan haben4 ,kurz darauf 7s4 ,,iv7 treffen wir die zwei unabhaengigen ,veraenderlichen1 vermittelst derer man die ,koordinaten der ,punkte einer ,oberflaeche ausdrueckt1 d4 h4 die krummlinigen ,koordinaten auf einer ,oberflaeche4 7,vgl4 auch die ss4 ,,xvii und ,,xix74 ,dann enthaelt s4 ,,vi die ,erweiterung der ,betrachtung1 die man gewoehnlich zur ,grundlage der ,theorie der ,kruemmung der ebenen und unebenen ,kurven nimmt1 auf den ,raum1 aus welcher ,erweiterung der ,begriff des ,kruemmungsmasses einer ,oberflaeche in einem #ec gewoehnlichen ,punkte hervorgegangen ist4#caf ,bekanntlich ist dasselbe gleich dem ,produkte aus den beiden ,hauptkruemmungsradien der ,flaeche in jenem ,punkte#cag 7s4 ,,viii74 ,das ,kruemmungsmass einer ,oberflaeche kann man sowohl durch die gewoehnlichen kartesischen ,koordinaten 7ss4 ,,vii und ,,ix7 als auch durch die krummlinigen ,koordinaten der ,oberflaeche ausdruecken 7ss4 ,x und ,,xi74#cah ,bei der ,untersuchung dieses letzteren ,ausdruckes bieten sich die ,coefficienten ,e1 ,f1 ,g des ,ausdruckes des ,kurvenelementes dar1 deren ,bedeutung in der ,theorie der ,oberflaechen1 die auf eine andere abwickelbar sind#cai 7s4 ,,xii71 ,gauss zuerst hervorgehoben hat4 ,dabei stellte er eine neue ,betrachtungsweise der ,oberflaechen auf 7s4 ,,xiii71 indem er dieselben als unendlich duenne1 biegsame und unausdehnbare ,koerper ansah4 ,die folgenden ,paragraphen der ,abhandlung von ,gauss behandeln die geodaetischen ,linien und haben die ,bestimmung ihrer ,differentialgleichungen zum ,zwecke 7s4 ,,xiv und ,,xviii71 dann die ,uebertragung der ,polarkoordinaten1 des ,kreises 7s4 ,,xv71 der ,parallelkurven 7ss4 ,,xvi71 auf die ,geometrie auf einer ,oberflaeche1 sowie die ,berechnung der totalen ,kruemmung eines geodaetischen ,dreiecks 7s4 ,,xx74 ,die ss4 ,,xxi und ,,xxii beziehen sich auf die ,transformation des ,ausdruckes fuer das ,kurvenelement1 die uebrigen behandeln andere ,fragen aus der ,geodaesie und duerften daher unsere ,aufmerksamkeit nicht auf sich ziehen4 #ed ,schon aus diesen fluechtigen ,andeutungen ersieht man1 wie reich an fundamentalen ,begriffen die ,abhandlung von ,gauss ist4 ,die ,entwickelungen1 die sie gehabt1 und die vielen ,arbeiten1 welche sie hervorgerufen1 und von denen wir noch kurz zu sprechen haben1 werden ihre ,bedeutung noch klarer machen4 ,unter diesen ,arbeiten muss man den schoenen ,ricerche di analisi applicata alla geometria1 die ,beltrami im zweiten und dritten ,bande des ,giornale di ,matematiche veroeffentlicht hat1 eine hervorragende ,stelle einraeumen1 dann den ,abhandlungen von demselben ,verfasser ,dalle variabili complesse su una superficie qualunque1#cbj ,teoria generale dei parametri differenziali#cba und ,zur ,theorie des ,kruemmungsmasses4#cbb ,bemerkenswert sind ferner die ,studien von ,bonnet#cbc und von ,darboux#cbd ueber die sphaerische ,abbildung der ,oberflaechen1 die sich an die ersten in den ,disquisitiones enthaltenen ,untersuchungen anknuepfen4 ,der ,begriff der ,kruemmung fuehrte zum ,studium der ,oberflaechen mit konstanter 7positiver oder negativer7 ,kruemmung1 dem so viele ausgezeichnete ,geometer ihre ,kraefte gewidmet haben4 ,unter diesen fuehren wir die zwei ,arbeiten von ,beltrami an3 ,risoluzione del problema4 ,riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee rette#cbe und ,saggio di una interpretazione della ,geometria non-euclidea1#cbf dann die ,schriften von ,dini1#cbg ,lie1#cbh #ee ,bianchi1#cbi ,baeklund1#ccj ,darboux#cca und ,dobriner4#ccb ,von derselben ,art1 aber allgemeiner1 sind die ,studien von ,christoffel#ccc ueber die ,bestimmung der ,gestalt einer ,oberflaeche mit ,hilfe von auf ihr selbst genommenen ,massen und von ,lipschitz#ccd ueber die ,oberflaechen1 welche bestimmte auf die ,kruemmung bezuegliche ,eigenschaften haben1 oder bei welchen der ,ausdruck des ,kurvenelements von vornherein festgesetzt ist4 ,an den ,abschnitt der ,gaussischen ,abhandlung1 welcher die geodaetischen ,linien behandelt1 knuepfen sich einige ,arbeiten von ,joachimsthal 7#ahah-ahfa71cce ,schering1#ccf ,beltrami1#ccg die von ,lie#cch gemachte ,einteilung der ,oberflaechen auf ,grund der ,transformationsgruppen ihrer geodaetischen ,linien und die ,untersuchungen ueber geodaetische ,kurven von demselben ,verfasser4#cci ,mit demjenigen ,abschnitte1 welcher sich auf die ,abwickelbarkeit der ,oberflaechen bezieht1 steht eine wichtige ,arbeit von ,minding in enger ,beziehung1#cdj in der zum ersten ,male die ,frage aufgestellt ist1 ob die ,gleichheit der ,kruemmung in entsprechenden ,punkten eine hinreichende ,bedingung fuer die ,abwickelbarkeit zweier ,oberflaechen sei3 er gelangte fuer den allgemeinen ,fall zu einem negativen ,resultate1 zu einem #ef positiven dagegen fuer den ,fall konstanter ,kruemmung4 ,dasselbe gilt von den ,arbeiten von ,bour#cda 7#ahcb-ahff71 ,codazzi#cdb und ,bonnet1#cdc welche fuer preiswuerdige ,antworten auf die im ,jahre #ahfa von der ,pariser ,akademie der ,wissenschaften gestellte ,frage erkannt worden sind4 ,derselbe ,gegenstand oder verwandte ,gegenstaende wurden dann in den ,abhandlungen von ,christoffel1#cdd von ,mangoldt1#cde ,weingarten1#cdf ,brill1#cdg ,minding1#cdh ,jellet1#cdi ,dini1#cej ,enneper1#cea ,razzaboni1#ceb ,lecornu1#cec ,beltrami#ced und vielen anderen behandelt4 ,die schoene von ,gauss gegruendete ,theorie der krummlinigen ,koordinaten einer ,oberflaeche liess den ,wunsch entstehen1 eine analoge ,theorie fuer den ,raum zu haben4 ,schon im ,jahre #ahcg stellte ,lame sie fuer einen ,spezialfall auf1 naemlich fuer den der elliptischen ,koordinaten1#cee spaeter wies er auf die orthogonalen krummlinigen ,koordinaten #eg hin#cef und konstruierte dann die ,theorie derselben1#ceg ohne ihre ,anwendung#ceh und ,entwickelung#cei zu vernachlaessigen4 ,die beruehmten ,lecons sur la theorie des coordonnees curvilignes et leurs diverses applications 7,paris1 #ahei7 von ,lame fassen zusammen und vervollstaendigen die glaenzenden ,resultate1 die von ,lame in diesem ,zweige der ,geometrie erhalten waren4 ,in der ,folge haben sich viele andere mit demselben beschaeftigt4 ,vor allen fuehre ich ,aoust an1 der ihm viele und wichtige ,arbeiten widmete1#cfj dann ,brioschi1#cfa ,codazzi1#cfb ,chelini 7#ahjb-ahgh71cfc ,darboux1#cfd ,combescure1#cfe ,levy1#cff ,royer#cfg und noch andere4 ,hierzu sehe man noch die ,schriften1 welche dreifache ,systeme orthogonaler ,oberflaechen behandeln und von denen ich nur diejenigen von ,bouquet1#cfh ,a4 ,serret1#cfi ,bonnet1#cgj ,catalan1#cga ,moutard1#cgb ,darboux1#cgc ,cayley1#cgd ,ribaucour1#cge #eh ,weingarten1#cgf ,schlaefli1#cgg ,hoppe1#cgh ,bianchi#cgi und ,molins#chj nennen will4 ,von den ,arbeiten1 welche spezielle ,oberflaechen behandeln1 die nicht zu bis jetzt besprochenen ,kategorien gehoeren1 fuehren wir die von ,lie#cha an1 welche sich auf ,oberflaechen beziehen1 die infinitesimale lineare ,transformationen in sich selbst zulassen2 dann die von ,enneper1#chb die sich auf ,oberflaechen mit speziellen ,meridiankurven beziehen1 ferner die von ,cayley#chc und ,weingarten#chd und die von ,willgrod#che ueber ,oberflaechen1 welche durch ihre ,kruemmungslinien in unendlich kleine ,quadrate geteilt werden2 schliesslich die von ,bianchi#chf ueber ,schraubenflaechen4 ,ein bemerkenswerter ,fortschritt in der analytischen ,infinitesimalgeometrie der ,oberflaechen wurde durch die ,bemuehungen de ,salverts geschaffen1 der in einigen eleganten ,arbeiten1#chg wahrscheinlich hervorgerufen durch die schoenen ,vorlesungen ueber die analytische ,geometrie des ,raumes von ,hesse1 zeigte1 wie man durch ,benutzung der ,gleichung einer ,oberflaeche in ihrer allgemeineren ,form1 f7x1 y1 z7 #j1 ein bei weitem bequemeres ,system von ,formeln fuer die ,loesung gewisser ,probleme aufstellen konnte1 als wenn die ,gleichung z phi7x1 y7 zu ,grunde gelegt wird4 #ei ,ueber ,differentialgeometrie existieren noch einige gute ,darlegungen4 ,eine verdankt man ,hoppe2 sie traegt den ,titel3 ,elemente der ,flaechentheorie2 eine andere wurde von ,brisse unternommen2#chh die neuesten sind die von ,bianchi in seinen sehr schoenen ,lezioni di geometria differenziale 7,pisa1 #ahhf7 und die1 welche ,darboux in seinen ,lecons sur la theorie generale des surfaces begonnen hat1 von denen wir schon den ersten ,teil besitzen 7,paris1 #ahhg74 ,wir wollen diesen ,abschnitt beschliessen1 indem wir noch bemerken1 dass die ,zuhilfenahme der ,analysis fuer das ,studium der ,infinitesimalgeometrie nicht notwendig ist2 vielmehr haben ,bertrand#chi und ,bonnet#cij zuerst gezeigt1 welchen ,nutzen man bei diesen ,studien auch aus synthetischen ,betrachtungen ziehen kann4 ,ausserdem enthalten der erste ,band des ,traite de calcul differential et integral von ,bertrand und der ,traite de geometrie descriptive von de la ,gournerie#cia und eine grosse ,zahl von ueberaus schoenen ,abhandlungen von ,mannheim#cib bemerkenswerte geometrische ,untersuchungen1 welche dem ,zweige der ,wissenschaft des ,raumes1 mit dem wir uns eben beschaeftigt haben1 angehoeren4 #fj 99 99 99 99 99 ,,iv4 ,untersuchungen ueber die ,gestalt der ,kurven und ,oberflaechen4 ,abzaehlende ,geometrie4 ------ ,bei der ,besprechung der bedeutenderen ,fortschritte1 welche die ,theorie der ,kurven und die der ,oberflaechen gemacht1 haben wir zwei wichtige ,kategorien der ,untersuchung uebergangen1 weil wir dieselben besser in einem besonderen ,abschnitte unserer ,arbeit zusammenfassen koennen4 ,die erstere umfasst eine ,reihe von ,studien besonderer ,natur und hat zum ,zwecke die ,bestimmung der ,gestalt1 welche die ,kurven und ,oberflaechen von gegebener ,ordnung annehmen koennen1 und ich halte es fuer angemessen1 bei diesen eine ,zeit lang zu verweilen4 ,die ,bestimmung der ,gestalt der ,kurven zweiter ,ordnung reicht schon in das ,altertum4 ,fuer dieselbe bedurfte es auch nicht eines hervorragenden ,geistes1 wenn man bedenkt1 dass die ,alten jene ,kurven als ,schnitte eines ,kreiskegels betrachteten4 ,dagegen ist die ,bestimmung der ,gestalt1 welche die ,kurven dritter ,ordnung annehmen koennen1 nicht ohne ,schwierigkeit4 ,newton ueberwand diese1 indem er lehrte1 dass alle ,kurven dritter ,ordnung durch ,projektion von fuenfen derselben1 welche er divergierende ,parabeln nannte1 erhalten werden koennen4#cic ,zu dieser ersten ,einteilung der ,formen #fa der ,kurven dritter ,ordnung fuegte ,chasles#cid eine weitere hinzu1 die1 obwohl sie auf einem ganz anderen ,gedanken beruhte1 mit der von ,newton eine nicht zu verkennende ,analogie bietet4 ,nach ihr kann man die ,formen der ,kurven dritter ,ordnung saemtlich auffinden durch ,projektion von fuenfen derselben1 die symmetrisch in bezug auf ein ,zentrum sind4 ,eine dritte ,methode der ,einteilung endlich stuetzt sich auf das konstante ,doppelverhaeltnis der vier ,tangenten1 die man an die allgemeine ,kurve dritter ,ordnung von einem ihrer ,punkte aus ziehen kann2 diese wurde von ,durege entwickelt4#cie #fb ,bei weitem groessere ,schwierigkeit bietet das ,studium der ,gestalt der ebenen ,kurven vierter ,ordnung1 die schon angefuehrten ,arbeiten von ,bragelogne1 ,euler und ,pluecker bilden hierzu einen wichtigen ,beitrag4 ,es scheint aber nicht1 dass man diese -- dasselbe gilt auch von den schon genannten auf die kubische ,kurve bezueglichen -- als die ,grundlage zu einer allgemeinen ,theorie der ,gestalt der ebenen ,kurven ansehen darf2 vielmehr muss man dieselben als die ersten ,vorlaeufer jener ,lehren betrachten1 die man heute als eine feste ,grundlage dieser ,theorie ansieht4 ,solche ,lehren gehoeren in das ,gebiet der synthetischen ,geometrie1 zum ,teil aber waren sie das ,resultat der ,anwendung der ,abelschen ,funktionen auf die ,wissenschaft der ,ausdehnung4 ,von den ersteren wurden einige von ,staudt in seiner ,geometrie der ,lage#cif auseinandergesetzt und beziehen sich auf die ,gestalten der ebenen ,polygone und der ,polyeder1 die paaren und die unpaaren ,zuege der ,kurven1 die ,rueckkehrelemente der ,figuren2 andere wurden von ,tait#cig angegeben und von ,j4 ,meyer entwickelt1#cih andere schliesslich von ,hart angedeutet#cii und mit vielem ,gluecke von ,e4 ,koetter verallgemeinert4#djj ,die zweiten sind fast alle aus der ,schule von ,klein hervorgegangen4 ,da ich auf die vielen ,einzelheiten dieses ,gegenstandes nicht eingehen kann1 so moege es hier genuegen1 unter den schon erhaltenen ,resultaten einige besondere ,saetze ueber die ,kurve vierter ,ordnung anzufuehren1 die man ,zeuthen#dja und ,crone#djb verdankt2 dann #fc eine sehr wichtige ,relation zwischen den ,zahlen der reellen und imaginaeren ,singularitaeten einer ebenen ,kurve1 zu welcher ,klein gefuehrt wurde1#djc als er die von ,pluecker#djd und ,zeuthen vorgeschlagenen ,klassifikationen der ,kurven vierter ,ordnung studierte2 ferner einen sehr schoenen ,lehrsatz1#dje von ,harnack 7#ahea-ahhh7 entdeckt1 welcher dadurch1 dass er eine unerwartete ,beziehung zwischen der ,form einer ,kurve und ihrem ,geschlechte enthuellte1 die ,wichtigkeit des letzteren von neuem bestaetigte4 ,wenn so die ,theorie der ,gestaltlichkeit der ebenen ,kurven noch weit entfernt vom ,zustand der ,reife ist1 so kann man von den analogen ,untersuchungen ueber die ,oberflaechen sagen1 dass sie sich noch in ihrer ,kindheit befinden4 ,allgemeine ,untersuchungen auf diesem ,felde existieren meines ,wissens nicht1 ausser denjenigen1 die von ,moebius in seiner ,theorie der elementaren ,verwandtschaften niedergelegt sind1#djf und welche1 so scharfsinnig und interessant sie auch sind1 einen geschickten ,nachfolger erwarten lassen1 welcher die ganze ,fuelle derselben zu ,tage foerdert4 ,dasselbe gilt fuer gewisse originelle ,gesichtspunkte1 die in den vielen ,arbeiten von ,klein zerstreut sind4 ,fuer den ,fortschritt der ,geometrie wuerde es von hoechstem ,interesse sein1 beide weiter entwickelt zu sehen2 ungluecklicherweise wird aber diese ,theorie wenig betrieben1 in den letzten ,jahren ist vielleicht ,rohn#djg der einzige1 der hierin einige ,fortschritte gemacht hat1 die wert sind1 verzeichnet zu werden4 #fd ,wenn auch die allgemeine ,theorie ein bis jetzt noch unbefriedigtes ,beduerfnis ist1 so fehlt es doch nicht an ,spezialuntersuchungen4 ,die ,bestimmung der ,gestalt der ,oberflaechen zweiten ,grades uebergehe ich als zu einfach und fuehre die der ,oberflaechen dritter ,ordnung an1 die mit ,erfolg von ,klein1#djh ,schlaefli1#dji ,zeuthen#daj gemacht ist1 und neuerdings von ,bauer durch die ,untersuchung der ,gestalt der parabolischen ,kurve vervollstaendigt wurde2#daa ferner die der ,dupinschen ,cykliden1 die wir ,maxwell#dab verdanken2 dann die der ,oberflaechen vierter ,ordnung mit ,doppelkegelschnitt1 die ebenfalls von ,zeuthen#dac herruehrt2 die der ,oberflaechen vierter ,ordnung mit ,cuspidalkegelschnitt1 die von ,crone#dad ausgefuehrt ist2 endlich die der ,kummerschen ,flaechen und der ,kegelflaechen viertes ,grades1 welche der ,gegenstand wichtiger ,untersuchungen von ,rohn#dae gewesen sind4 ,die reichhaltige ,sammlung von ,modellen von ,ludwig ,brill1 die sich jedes ,jahr um neue und interessante ,serien vermehrt1 zeigt das ,interesse1 welches das gelehrte ,deutschland fuer vorliegende ,untersuchungen hat4#daf ,was die ,gestalt der ,kurven doppelter ,kruemmung angeht1 so existieren darueber bis jetzt noch keine allgemeinen ,untersuchungen von ,bedeutung2 man kann sagen1 dass sich dieselben auf die ,beobachtungen beschraenken1 die ,chr4 ,wiener#dag #fe und ,bjoerling#dah gemacht haben1 indem sie die ,modelle der gewoehnlichen ,singularitaeten einer ,raumkurve konstruierten4 ,eine zahllose ,reihe wichtiger ,untersuchungen hat die ,bestimmung der ,anzahl der geometrischen ,gebilde zum ,ziele1 welche ,bedingungen genuegen1 die hinreichen1 eine endliche ,zahl derselben festzulegen4 ,der ,bezoutsche ,lehrsatz1 welcher die ,zahl der ,loesungen eines bestimmten ,systems von algebraischen ,gleichungen angiebt1 ist fast immer nicht verwendbar fuer die ,loesung solcher ,fragen1 da1 waehrend dieser ,satz auf allgemeine ,gleichungen ihres ,grades sich stuetzt1 die ,gleichungen1 welche man bei dem ,versuche1 diese ,probleme analytisch zu loesen1 erhaelt1 von spezieller ,form sind4 ,wahrscheinlich ist das der ,grund dafuer1 dass diese ,probleme groesstenteils bis in verhaeltnismaessig neuerer ,zeit ungeloest geblieben sind4#dai ,auf ,chasles faellt der ,ruhm1 in seiner ,methode der ,charakteristiken ein feines und maechtiges ,hilfsmittel gefunden zu haben 7#ahfd71 mit dem er eine grosse ,zahl von ,problemen der angedeuteten ,art fuer den ,fall1 dass die betrachteten ,gebilde ,kegelschnitte in einer ,ebene sind1 loesen konnte und einen ,weg bahnte1 um auch in dem ,falle1 wo die #ff ,gebilde beliebige sind1 zur ,loesung derselben zu gelangen4#dbj ,der ,hauptgedanke desselben war die fortwaehrende ,betrachtung der ausgearteten ,kurven und der systematische ,gebrauch der ,charakteristiken eines einfach-unendlichen ,systemes von ,kegelschnitten1 d4 h4 der ,zahlen1 die angeben1 wie viele ,kegelschnitte des ,systemes durch einen gegebenen ,punkt gehen1 wie viele eine gegebene ,gerade beruehren4 ,dadurch1 dass man diese ,begriffe weiter ausdehnte1 konnte man ,hilfsmittel erhalten1 die auf andere ,figuren anwendbar sind4 ,chasles selbst entdeckte alsbald die ,anwendung seiner ,untersuchungen auf die ,kegelschnitte im ,raume#dba und auf die ,flaechen zweiter ,ordnung4#dbb ,zeuthen und ,maillard gaben neue ,beispiele der ,erweiterung1 der eine in der wichtigen ,abhandlung1 die wir schon ,gelegenheit hatten zu zitieren1 ,almindelige ,egenskaber ved ,systemer af plane ,kurver1#dbc der andere in seiner ,dissertation ,recherches des caracteristiques des systemes elementaires de courbes #fg planes du troisieme ordre2#dbd andere findet der ,leser in den ,schriften von ,sturm ueber die kubischen ,raumkurven#dbe und denen von ,schubert ueber die ebenen ,kurven dritter ,ordnung und dritter und vierter ,klasse1 im ,raume betrachtet4#dbf ,ferner sind die von ,chasles gemachten ,betrachtungen enge mit denjenigen verbunden1 welche in den wichtigen ,abhandlungen von ,cayley1 ,on the curves which satisfy given conditions#dbg enthalten sind1 sowie in einigen ,arbeiten von ,jonquieres ueber ,systeme von ,kurven und ,flaechen4#dbh ,endlich gehoeren hierher noch die ,untersuchungen von ,hirst#dbi und ,sturm#dcj ueber ,systeme von ,projektivitaeten und ,korrelationen1 sowie die von ,zeuthen#dca ueber die ,plueckerschen ,charakteristiken der ,enveloppen4 ,wir wollen noch bemerken1 dass zwischen den ,systemen ebener ,kurven und den ,differentialgleichungen erster ,ordnung mit zwei ,variabelen eine sehr innige ,beziehung besteht1 die sich zu erkennen giebt1 indem die ,integrale einer dieser ,gleichungen ein ,system von ,kurven darstellen4 ,die gegebene ,differentialgleichung laesst jedem ,punkte eine bestimmte ,anzahl von ihm ausgehender ,richtungen entsprechen und einer ,geraden eine bestimmte ,anzahl auf ihr liegender ,punkte4 ,auf diese ,beziehungen wurde ,clebsch durch seine ,untersuchungen ueber die ,konnexe#dcb 7vgl4 s4 ,,vi7 und unabhaengig von ,fouret#dcc #fh gefuehrt4 ,in aehnlicher ,weise kann man eine ,beziehung zwischen den ,differentialgleichungen erster ,ordnung mit drei ,variabelen und einem ,systeme von ,oberflaechen aufstellen1 wie dies ebenfalls ,fouret#dcd bemerkt hat4 ,dieser ,zusammenhang ist von grosser ,wichtigkeit1 weil er gestattet1 ,saetze auf transcendente ,kurven oder ,oberflaechen auszudehnen1 von denen man glaubte1 dass sie nur fuer algebraische ,kurven oder ,oberflaechen gueltig seien2 so konnte ,fouret den ,satz ueber die ,zahl der ,kurven eines ,systemes1 welche eine gegebene algebraische ,kurve beruehren1 auf ,systeme von transcendenten ,kurven ausdehnen1#dce konnte ferner die ,ordnung des ,ortes der ,beruehrungspunkte eines einfach unendlichen ,systemes von ,oberflaechen mit den ,oberflaechen eines doppelt unendlichen ,systemes bestimmen1#dcf ebenso die ,ordnung des ,ortes der ,beruehrungspunkte der ,oberflaechen eines doppelt unendlichen ,systemes mit einer gegebenen algebraischen ,oberflaeche#dcg u4 s4 w4#dch ,trotz dieser und anderer ,arbeiten1 die ich der ,kuerze wegen uebergehe1 war die ganze ,tragweite der ,chaslesschen ,betrachtungen noch nicht offenbar geworden2 das geschah durch den letzten1 von dem ich zu sprechen habe1 durch ,hermann ,schubert in seinem ,kalkuel der abzaehlenden ,geometrie4#dci ,dieses ,buch1 das noch viel zu wenig #fi geschaetzt wird1 kann man mit ,recht als dasjenige betrachten1 welches zuerst von ,grund auf das ,problem behandelte1 zu bestimmen1 wie viele geometrische ,gebilde von gegebener ,definition einer hinreichenden ,zahl von ,bedingungen genuegen1 d4 h4 das ,problem der abzaehlenden ,geometrie4 ,dort sind die ,korrespondenzprinzipien unter ihrem wahren ,gesichtspunkte auseinandergesetzt1#ddj dort ist klar eroertert1 was man unter dem ,charakteristikenproblem einer bestimmten ,figur zu verstehen hat1 und sind ,methoden von ausserordentlicher ,macht fuer dessen ,loesung gezeigt4 ,die ,schubertschen ,methoden sind dazu bestimmt1 eines ,tages das uebliche ,hilfsmittel fuer den ,mathematiker zu werden1 wie es augenblicklich die ,cartesische ,geometrie ist1 und niemand wird mich der ,uebertreibung beschuldigen1 der bedenkt1 dass dieselben in einer ,unzahl von ,faellen zur ,loesung des allgemeinen ,problemes der ,elimination dienen1 d4 h4 die ,zahl der ,loesungen eines ,systemes von algebraischen ,gleichungen zu bestimmen4 ,daher muessen alle1 ,analytiker und ,geometer1 dem ,werke von ,schubert1 durch welches er die abzaehlende ,geometrie zu einer besonderen ,disziplin erhoben hat1 reiches ,lob zollen1 oder besser1 anstatt es blos zu bewundern1 sich #gj vornehmen1 die fruchtbaren ,methoden desselben zu vervollkommnen und sie von ,maengeln frei zu machen1 d4 h4 sie von dem ,tadel1 der ihnen von einigen gemacht worden ist1 dass sie nicht ganz strenge seien1 zu befreien und sie selbst oder wenigstens die ,anwendungen1 deren sie faehig sind1 zu vermehren4 ,die auf die ,theorie der ,charakteristiken bezueglichen ,andeutungen#dda wuerden eine unverzeihliche ,luecke darbieten1 wenn sie nicht einen ,hinblick auf eine wichtige ,frage boeten1 die zwischen einigen ,geometern ventiliert wurde1 und die man heute als schon geloest betrachten darf4 ,geleitet naemlich durch einen ,induktionsschluss1 behauptete ,chasles1 dass die ,zahl derjenigen ,kegelschnitte eines einfach unendlichen ,systemes1 welche einer neuen einfachen ,bedingung genuegen1 ausgedrueckt wird durch eine homogene lineare ,funktion der ,charakteristiken des ,systemes1 deren ,koeffizienten einzig und allein von dieser ,bedingung abhaengen4 ,darboux1#ddb ,clebsch1#ddc ,lindemann1#ddd ,hurwitz und ,schubert1#dde sowie noch andere glaubten diesen ,satz beweisen zu koennen4 ,aber dass die von ihnen angefuehrten ,gruende nicht beweiskraeftig waren1 wurde in einer ,reihe von ,arbeiten gezeigt1 in welchen ,halphen#ddf die ,hinfaelligkeit der ,vermutung ,chasles' klar legte und zeigte1 wie man den vorher angefuehrten ,satz modifizieren muesse4 ,in der ,theorie der ,charakteristiken der ,systeme von ,flaechen zweiten ,grades hat man einen analogen ,satz1 den ebenfalls ,halphen#ddg entdeckt hat4 ,jedoch glaube man nicht1 dass diese ,saetze #ga von ,halphen die ,resultate zerstoeren1 welche man erhalten1 indem man den ,chaslesschen ,weg einschlug2 vielmehr sind dieselben gluecklicherweise meistenteils unabhaengig von dem fraglichen ,theorem1 und fuer die anderen ,faelle ist es leicht zu zeigen1 welche ,korrektionen man machen muss4#ddh 99 99 99 99 99 ,v4 ,theorie der ,kurven doppelter ,kruemmung4 ------ ,die ,theorie der ebenen ,kurven kann man in zwei verschiedenen ,richtungen verallgemeinern4 ,indem man die ,thatsache ins ,auge fasst1 dass eine solche ,kurve durch eine ,gleichung zwischen den ,koordinaten eines ,punktes einer ,ebene dargestellt wird1 so ergiebt sich als ,analogon im ,raume die ,theorie der ,oberflaechen1 indem diese als durch eine ,gleichung zwischen den ,koordinaten eines ,punktes im ,raume darstellbar betrachtet werden1 auf welche ,betrachtung wir im ,vorhergehenden eingegangen sind4 ,wenn man hingegen eine ebene ,kurve als eine ,reihe von einfach unendlich vielen ,punkten ansieht1 so kann man die ,theorie ausdehnen1 indem man die ,beschraenkung aufhebt1 dass diese in einer ,ebene gelegen seien3 dann entsteht die ,theorie der unebenen ,kurven4 ,das ,studium der ,infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht genug mit ,hilfe von ,methoden machen1 die nicht sehr verschieden sind von denjenigen1 die fuer die #gb ebenen ,kurven angewandt werden4 ,deshalb wurde dasselbe1 wie ich schon sagte1 vor mehr als einem ,jahrhundert von ,clairaut unternommen und wurde hernach von ,lancret 7#aggd-ahjg71ddi ,monge1#dej ,tinseau1#dea de ,saint-,venant 7#agig-ahhf71deb von ,frenet1#dec ,alfred ,serret#ded und ,paul ,serret1 von ,liouville 7#ahji-ahhb71dee ,bertrand1#def von ,puiseux 7#ahbj-ahhc71deg von ,lie#deh und vielen anderen fortgesetzt4#dei ,aber abgesehen von dieser ,betrachtungsrichtung bietet das ,studium der uebrigen allgemeinen ,eigenschaften der unebenen ,kurven sehr grosse ,schwierigkeiten4 ,man vermutete eine ,zeit lang1 dass jede ,kurve im ,raume als der vollstaendige ,schnitt zweier ,oberflaechen angesehen werden und daher durch ein ,system von zwei ,gleichungen zwischen den ,koordinaten eines ,punktes im ,raume dargestellt werden koennte2#dfj aber bald erkannte man die ,existenz von ,kurven1 die nicht der vollstaendige ,schnitt von ,oberflaechen sind1 und die ,notwendigkeit1 dieselben nicht vermittelst zweier1 #gc sondern dreier ,gleichungen darzustellen1 die ebenso vielen durch dieselbe hindurchgehenden ,oberflaechen entsprechen4 ,man setzte voraus1 dass die ,kenntnis der ,ordnung zur ,einteilung der unebenen ,kurven hinreichen wuerde1 aber sobald man an die vierte ,ordnung gekommen war1 erkannte man1 dass dieselbe nicht genuege4#dfa ,man haette nun glauben sollen1 dass die ,ordnung und die ,zahl der scheinbaren ,doppelpunkte fuer den besagten ,zweck hinreichen wuerden1 aber als man an die neunte ,ordnung herantrat1 sah man1 dass man sich geirrt habe4#dfb ,auch eine dritte ,zahl1 die niedrigste ,ordnung der ,kegel1 die durch die von einem ,punkte herkommenden ,sehnen 7,doppelsekanten7 der ,kurve gehen1 konnte nur bei den ,kurven von niederer1 als der fuenfzehnten ,ordnung dazu verhelfen4 ,so kam man denn zu dem ,schlusse1 dass es unmoeglich sei1 eine gegebene ,kurve vermittelst einer bestimmten ,menge von vornherein angebbarer ,zahlen zu charakterisieren4 ,ich habe diese ,thatsachen anfuehren wollen1 um zu zeigen1 dass die allgemeine ,theorie der unebenen ,kurven keine ,aehnlichkeit mit irgend einem anderen ,teile der ,geometrie zeigt und1 indem ich auf die erschreckliche ,dunkelheit1 die sie darbietet1 hinwies1 dem ,leser das ,mittel geben wollen1 den ,grund zu finden1 warum die ,kenntnisse1 die wir ueber diese ,gebilde haben1 so wenig zahlreich und erst neueren ,ursprunges sind4 ,die ersten allgemeinen ,resultate ueber die ,kurven doppelter ,kruemmung verdanken wir ,cayley1 welcher ihnen zwei wichtige ,abhandlungen gewidmet hat4 ,in einer derselben stellte er die ,formeln 7analog denen von ,pluecker7 auf1 welche die ,zahl der ,singularitaeten einer ,raumkurve #gd untereinander verbinden4#dfc ,in der anderen fuehrte er fuer das ,studium der ,raumkurven von der ,ordnung n diejenigen bemerkenswerten ,flaechen ein1 welche er ,monoide nannte4#dfd ,nach diesen ,arbeiten muessen wir1 um einen wirklich bemerkenswerten ,fortschritt in der ,theorie1 welche uns beschaeftigt1 zu finden1 uns zu ,halphen und ,noether wenden1 deren ,abhandlungen#dfe1 im ,jahre #ahhb von der ,akademie zu ,berlin mit dem ,preise gekroent1 die ,grundlage fuer eine allgemeine ,theorie der ,raumkurven sind2 denn sie behandeln die ,probleme3 alle voneinander verschiedenen ,kurven von gegebener ,ordnung zu bestimmen1 anzugeben1 welche ,kurven es auf einer gegebenen ,oberflaeche giebt und noch viele andere von nicht geringer ,bedeutung4 ,diese beiden ,arbeiten verschlingen sich so enge und durchdringen sich so innig1 dass es sehr schwer wird1 zu entscheiden1 welcher ,anteil jedem der beiden ,autoren in den vielen gemeinsamen #ge ,resultaten zufaellt1 die sie enthalten4 ,wenn einerseits ,noether die ,theoreme1 welche ,ende des ,jahres #ahgj von ,halphen in den ,comptes rendus und an anderen ,stellen#dff ausgesprochen sind1 ausbeuten konnte1 so konnte dieser sich der ,saetze bedienen1 welche in der sehr bedeutenden ,abhandlung von ,brill und ,noether1 ,ueber die algebraischen ,funktionen und ihre ,anwendung in der ,geometrie#dfg enthalten sind1 und in derjenigen1 in welcher ,noether streng den ,fundamentalsatz der ,theorie der algebraischen ,funktionen dargethan hatte1 welcher in der ,auseinandersetzung von ,halphen unumgaenglich notwendig war4#dfh ,und man glaube nicht1 dass die von den beiden ,geometern bei ihrem ,thema eingeschlagenen ,wege im wesentlichen verschieden gewesen seien1 vielmehr benutzten sie beide 7wie ,cayley geraten hatte7 ,monoide1 und wenn der eine vorzugsweise ,formeln und ,saetze aus der ,theorie der ,abelschen ,integrale gebraucht1 so wendet der andere solche ,lehrsaetze ueber die algebraischen ,funktionen an1 welche zu denselben ,eigenschaften fuehren4 ,jedenfalls steht es ausser ,zweifel1 dass diese beiden hervorragenden ,produktionen unseres ,zeitalters bestimmt sind1 die ,grundlage fuer die zukuenftigen geometrischen ,untersuchungen zu bilden1 und wenn bis jetzt sich ihr ,einfluss noch nicht so allgemein geltend gemacht hat1 so ist dieses vorzugsweise den grossen ,schwierigkeiten zuzuschreiben1 die ihr ,gegenstand noch immer darbietet1 und vielleicht auch den ,luecken1 die in den ,methoden vorhanden sind1 die man zu ,hilfe nehmen koennte1 um jene zu ueberwinden4#dfi #gf ,aber vor der ,begruendung der allgemeinen ,theorie wurden viele einzelne ,kurven einem genaueren ,studium unterworfen2 da ich aber wuensche1 mehr als getreuer1 denn als glaenzender ,geschichtsschreiber angesehen zu werden1 so muss ich hier eine ,aufzaehlung der ,arbeiten unternehmen1 in welchen die hervorragenderen unter diesen ,untersuchungen enthalten sind4 ,degli altri fia laudabile il tacerci1 ,che il tempo saria corto a tanto suono4#dgj ,unter ihnen verdienen den ersten ,platz diejenigen1 welche die kubischen ,raumkurven behandeln4 ,ueber diese haben ,moebius#dga und ,chasles#dgb verschiedene sehr schoene ,eigenschaften aufgefunden2 dieselben vermehrten sich mit solcher ,schnelligkeit1 dass ,staudt#dgc binnen kurzem die vollstaendige ,analogie1 die zwischen ihnen und den ,kegelschnitten besteht1 feststellen konnte2 diese ,analogie hat sich von ,tag zu ,tag mehr vervollkommnet1 dank den ,studien von ,seydewitz1#dgd ,joachimsthal#dge ,cremona1#dgf #gg ,schroeter1#dgg ,reye1#dgh ,emil ,weyr1#dgi ,sturm1#dhj ,hurwitz1#dha welche nicht allein die ,aufstellung einer vollstaendigen synthetischen ,behandlung dieser ,kurven gestatten1 sondern auch das ,terrain fuer die so elegante analytische ,auseinandersetzung ebneten1 die mein innigst geliebter ,lehrer ,e4 d',ovidio#dhb und ,pitarelli#dhc gemacht haben4 ,dann will ich die ,theorie der unebenen1 auf einem einschaligen ,hyperboloide gezeichneten ,kurven anfuehren1 fuer welche ,chasles#dhd das ,fundament gelegt hat1 und die von unserem ,cremona#dhe so sehr bereichert ist4 ,ferner will #gh ich der vielen ,eigenschaften erwaehnen1 welche ,poncelet1#dhf ,chasles1#dhg ,cremona1#dhh ,reye1#dhi ,paul ,serret1#dij ,laguerre1#dia ,milinowski#dib und viele andere ueber die ,raumkurven vierter ,ordnung erster ,art gefunden haben1 und die schoenen ,anwendungen1 die sie fuer die ,theorie der zweifach periodischen ,funktionen geliefert haben1 -- ,harnack1#dic ,lange1#did ,westphal1#die ,leaute#dif u4 s4 w4 ,auch kann ich die schoenen ,arbeiten von ,cremona1#dig von ,armenante1#dih ,bertini#dii und ,em4 ,weyr#ejj ueber die ,raumkurven vierter ,ordnung zweiter ,art nicht stillschweigend uebergehen1 ferner nicht die von ,klein und ,lie ueber die durch unendlich viele lineare ,transformationen in sich selbst transformierten #gi ,kurven1#eja noch auch die von ,fiedler#ejb angestellte ,bestimmung der ,kurven von nicht hoeherer als neunter ,ordnung1 die zu ihren eigenen ,tangenten-,developpabelen dual sind4 ,und wie koennte ich es unterlassen1 einen ,blick auf die grosse ,zahl von ,kurven zu werfen1 welche ,cremona und ,sturm#ejc studiert haben1 indem sie sich mit der ,geometrie auf einer ,oberflaeche dritter ,ordnung beschaeftigten1 dann auf die wichtigen ,probleme1 die von ,clebsch und seinen ,schuelern ueber die rationalen1#ejd elliptischen und hyperelliptischen#eje ,kurven geloest sind1 und die eleganten ,eigenschaften1 welche ,bertini#ejf an den rationalen ,kurven fuenfter ,ordnung auffand1 sowie ,w4 ,stahl#ejg bei denjenigen1 deren ,punkte auf einer ,oberflaeche zweiten ,grades liegen1 waehrend die ,oskulationsebenen eine solche zweiter ,klasse beruehren8 ,indem der unerfahrene ,leser so bedeutende und so verschiedene ,untersuchungen aufzaehlen hoert1 wird er sich von einem gewissen ,kleinmute bedraengt fuehlen und sich fragen1 wie es in kurzer ,zeit moeglich sei1 dieselben1 wenn auch nicht alle1 so doch groesstenteils sich anzueignen8 ,man beruhige sich4 ,die ,uebersicht ist fuer den ,studierenden viel weniger schwierig1 als es nach meiner ,besprechung scheinen koennte4 ,die von den ,geometern der ersten ,haelfte unseres ,jahrhunderts aufgestellten ,prinzipien sind so fruchtbar1 dass1 wenn jemand sich dieselben gruendlich zu eigen gemacht hat1 er nicht allein selbst viele weitere ,untersuchungen ableiten1 sondern auch noch darnach streben kann1 die ,wissenschaft selbst weiter zu foerdern4 ,und dieses -- was sicherlich ein #hj nicht zu unterschaetzender ,vorzug der heutigen ,wissenschaft vor der unserer ,vaeter ist -- wurde in ,kuerze von einem ihrer ,gruender mit den fortan klassischen ,worten ausgesprochen3 ,peut donc qui voudra dans l'etat actuel de la science generaliser et creer en geometrie2 le genie n'est plus indispensable pour ajouter une pierre a l'edifice1#ejh goldene ,worte1 welche jeder1 der ,mathematik betreiben will1 sich einpraegen muss2 indem sie ihn auf einen wahrscheinlichen ,sieg hoffen lassen1 werden sie ihn anspornen1 sich mutig den geistigen ,kaempfen entgegenzustellen1 die ihn erwarten4 99 99 99 99 99 ,,vi4 ,abbildungen1 ,korrespondenzen1 ,transformationen4 ------ ,bei dieser fluechtigen ,musterung der neuesten geometrischen ,entdeckungen gelangen wir nun zur ,lehre von den ,abbildungen1 ,korrespondenzen und ,transformationen4 -- ,es ist bekannt1 dass zwischen zwei ebenen ,punktfeldern eine ,korrespondenz 7,verwandtschaft7 besteht1 wenn jedem ,punkte des einen eine ,gruppe von ,punkten des anderen zugeordnet ist2 diese heissen dann die entsprechenden zu jenem4 ,wenn im speziellen ,falle jeder ,punkt des einen ,feldes einen einzigen entsprechenden in dem anderen hat1 so heisst die ,korrespondenz eindeutig4 ,die einfacheren ,faelle der eindeutigen ,korrespondenz sind die ,homologie -- von ,poncelet studiert 7#ahbb7 -- und die ,kollineation 7,homographie71 von ,moebius 7#ahbg71 ,magnus 7#ahcc7 und ,chasles 7#ahcg7 studiert4 ,in diesen ,faellen entspricht nicht nur jedem ,punkte ein ,punkt1 sondern #ha auch jeder ,geraden eine ,gerade4 -- ,ein ,beispiel einer komplizierteren ,korrespondenz wurde von ,steiner 7#ahcb7 durch folgende ,konstruktion erhalten3#eji ,gegeben sind zwei getrennte ,ebenen und zwei windschiefe ,geraden2 durch jeden ,punkt der einen von jenen ziehe man die ,gerade1 welche die beiden gegebenen ,geraden schneidet1 und bestimme den ,schnittpunkt mit der anderen ,ebene4 ,indem man diesen ,schnittpunkt dem in der ersten ,ebene gewaehlten ,punkte zuordnet1 erhaelt man eine eindeutige ,beziehung von der ,art1 dass jeder ,geraden in der einen ,ebene ein ,kegelschnitt in der anderen entspricht4 ,laesst man nun die beiden ,ebenen zusammenfallen1 so erhaelt man eine ,korrespondenz1 welche im wesentlichen nicht von der durch ,poncelet#eaj zwischen in bezug auf ein ,kegelschnittbueschel konjugierten ,punkten gefundenen verschieden ist1 und welche auf analytischem ,wege von ,pluecker#eaa untersucht wurde1 sodann von ,magnus 7#agij-ahfa7eab und von unserem ,schiaparelli1#eac synthetisch aber von ,seydewitz#ead und spaeter von ,reye4#eae -- ,auf ein drittes ,beispiel fuehrte die ,loesung einiger ,probleme aus der mathematischen ,physik2 man gelangt dazu auf folgende ,weise3 ,gegeben sei in einer ,ebene ein fester ,punkt1 man associiert zwei mit ihm in gerader ,linie gelegene ,punkte1 deren ,abstaende von ihm umgekehrt proportional sind4 ,man erhaelt dann eine eindeutige ,korrespondenz1 welche jede ,gerade in einen ,kreis1 und jeden ,kreis wieder in einen ,kreis verwandelt4 ,diese wurde von ,sir ,william ,thomson#eaf #hb als ,prinzip der elektrischen ,bilder studiert und ist unter dem ,namen ,transformation durch reciproke ,radien oder ,inversion allgemein bekannt4#eag ,alle diese ,transformationen sind linear oder quadratisch1 da sie eine ,gerade in eine ,kurve erster oder zweiter ,ordnung verwandeln4 ,jedoch machte ,magnus schon die ,bemerkung1 dass1 wenn man eine quadratische ,transformation wiederholt1 man im allgemeinen eine solche hoeherer ,ordnung erhaelt4#eah ,diese wichtige ,bemerkung blieb aber bis zu dem ,zeitpunkte unfruchtbar 7#ahfc71 in welchem ,cremona von den wenigen bisher eroerterten ,faellen zur allgemeinen ,theorie der geometrischen ,transformationen der ebenen ,figuren ueberging4#eai #hc ,um dem ,leser die ,bedeutung der ,schriften1 welche ,cremona dieser ,theorie#ebj gewidmet hat1 zu zeigen1 wuerde ich auseinanderzusetzen haben1 auf welche ,weise dieser grosse ,geometer das ,studium der eindeutigen ,transformationen auf das eines homaloidischen ,netzes von ,kurven zurueckgefuehrt hat1 und die ,bestimmung eines solchen ,netzes auf die ,loesung eines unbestimmten ,systemes von linearen ,gleichungen2 aber da die ,anlage meiner ,abhandlung mir das nicht gestattet1 so muss ich mich darauf beschraenken1 ihn davon durch den alten ,beweis des consensus omnium zu ueberzeugen4 ,dann fuehre ich noch die ,namen von ,geometern an wie ,cayley1#eba ,clebsch1#ebb ,noether1#ebc ,rosanes1#ebd ,s4 ,roberts1#ebe die sich bemueht haben1 die 7bei der ersten ,behandlung des ,stoffes unvermeidlichen7 ,luecken1 die sich in den ,cremonaschen ,abhandlungen#ebf fanden1 auszufuellen2 ferner die ,arbeiten von ,ruffini1#ebg ,jonquieres1#ebh ,kantor1#ebi ,guccia1#ecj ,autonne1#eca welche mit dieser ,lehre #hd eng zusammenhaengende ,fragen behandeln1 endlich die von ,hirst1#ecb ,t4 ,cotterill#ecc 7#ahjh-ahha71 von ,sturm1#ecd ,schoute#ece und sehr vielen anderen1 welche sich das bescheidenere ,ziel gesetzt haben1 die ,verbreitung derselben durch geeignete ,beispiele und elegante ,formeln zu erleichtern4#ecf ,unter den ,arbeiten1 welche sich an die von ,cremona anschliessen1 verdienen eine hervorragende ,stelle diejenigen von ,bertini1#ecg welche er den ebenen involutorischen ,transformationen gewidmet hat1 welche ,arbeiten noch groessere ,einfachheit und ,eleganz erhielten durch den ,begriff der ,klasse und andere ,begriffe1 die von ,caporali#ech 7#ahee-ahhf7 eingefuehrt wurden1 jenem ausgezeichneten ,geometer1 dessen fruehen ,verlust ganz ,italien betrauert4#eci #he ,von ganz verschiedenem ,charakter sind hingegen die eleganten ,untersuchungen von ,laguerre ueber solche ,transformationen1 welche er ,transformationen durch reciproke ,richtungen nannte2 da es nicht moeglich ist1 den ,grundgedanken in wenigen ,worten zusammenzufassen und die vielfachen ,anwendungen1 welche der ,erfinder davon gemacht hat1 anzudeuten1 verweisen wir den ,leser auf die ,originalarbeiten des hervorragenden franzoesischen ,geometers4#edj ,von der ,theorie1 die wir jetzt besprechen1 bildet auch die ,lehre von den isogonalen ,transformationen einen ,teil1 welcher sich auf die geometrische ,darstellung der komplexen ,zahlen stuetzt und deren ,nuetzlichkeit 7welche vielleicht groesser #hf ist fuer die mathematische ,physik als fuer die reine ,geometrie7 ,moebius1#eda ,siebeck1#edb ,durege1#edc ,beltrami1#edd ,vonder-,muehll1#ede ,f4 ,lucas1#edf ,wedekind#edg und neuerdings ,holzmueller#edh dargethan haben4#edi #hg ,den ,begriff der eindeutigen ,korrespondenz zwischen zwei ,ebenen kann man auf verschiedene ,weise verallgemeinern2 die ,weisen1 die sich so ziemlich von selbst darbieten1 sind folgende3 ,vor allem1 ohne die ,ebene zu verlassen1 kann man eine ,korrespondenz aufstellen zwischen jedem ,punkte derselben und einer ,kurve eines doppelt unendlichen ,systemes in derselben oder auch einer anderen ,ebene2#eej diese ,art der ,korrespondenz ist eine ,erweiterung der ,korrelation 7,reciprocitaet7 zwischen zwei ,feldern2 angegeben von ,pluecker1 wurde dieselbe von ,clebsch#eea entwickelt und veranlasste die ,theorie der ,konnexe4#eeb #hh ,wenn man dann zum ,raume uebergeht1 kann man eine ,korrespondenz zwischen den ,punkten zweier ,oberflaechen aufstellen 7insbesondere zwischen den ,punkten einer krummen ,oberflaeche und denen einer ,ebene7 oder zwischen den ,punkten zweier ,raeume4 ,die ,darstellung einer ,oberflaeche auf einer ,ebene kann man bis ins ,altertum zurueckverfolgen1 da schon ,hipparch und ,ptolomaeus 7und wahrscheinlich andere vor ihnen7 sich die ,aufgabe der ,herstellung geographischer ,karten gestellt und ,loesungen derselben mitgeteilt haben1 die auf derjenigen ,projektion beruhen1 welche man heute die stereographische nennt4 -- ,die ,projektion von ,mercator 7#aeab-aeid71 die ,untersuchungen von ,lambert 7#agbh-aggg7 und ,lagrange1 die beruehmte ,antwort von ,gauss auf eine von der daenischen ,akademie gestellte ,frage#eec zeigen1 wie die taeglichen ,beduerfnisse der ,geographie und ,navigationskunde unaufhoerlich die ,gelehrten angetrieben haben1 sich mit dem ,probleme der eindeutigen ,darstellung der ,oberflaeche unseres ,planeten auf einer ,ebene zu beschaeftigen4#eed -- ,die erste ,abbildung einer ,oberflaeche auf einer anderen jedoch1 die nur in der ,absicht gemacht wurde1 um eine derselben leichter studieren zu koennen1 verdanken wir ,gauss1 der #ahbg in seinen beruehmten ,disquisitions generales circa superficies curvas es als sehr vorteilhaft erkannte1 die ,punkte #hi einer beliebigen ,oberflaeche den ,punkten einer ,kugelflaeche entsprechen zu lassen1 indem man zwei solche ,punkte zuordnet1 deren ,normalen einander parallel sind4#eee ,eine besondere ,eigentuemlichkeit dieser ,korrespondenz ist die1 dass1 um ,eindeutigkeit zu erhalten1 es fast immer noetig ist1 nur den ,teil der ,oberflaeche abzubilden1 den man gerade ins ,auge fasst2 wir wollten diese ,eigenschaft nicht stillschweigend uebergehen1 da deren ,anfuehrung uns ,gelegenheit giebt1 den ,unterschied hervorzuheben1 der zwischen der sphaerischen ,abbildung und den ,abbildungen besteht1 welche von ,pluecker1#eef ,chasles#eeg und ,cayley#eeh fuer das ,studium der ,geometrie auf einer ,flaeche zweiten ,grades1 denen1 die von ,clebsch#eei und ,cremona#efj fuer das ,studium der ,geometrie auf einer kubischen ,flaeche1 und von denen endlich1 die von spaeteren ,geometern fuer die ,untersuchung anderer ,flaechen vorgeschlagen sind4 ,die erste ,arbeit1 welche ex professo die ,theorie der ,abbildungen dieser ,art behandelt1 verdankt man ,clebsch4#efa ,die zahlreichen ,beispiele1 durch welche der ,verfasser in dieser ,arbeit1 sowie in einigen aelteren und spaeteren#efb die allgemeine ,theorie illustrierte1 haben zur ,aufstellung der ,geometrie auf einer grossen ,zahl von ,flaechen mit vielen ,einzelheiten gefuehrt4 ,ferner haben die fast gleichzeitigen ,abhandlungen #ij von ,cremona#efc und ,noether1#efd sowie die ihnen folgenden von ,armenante1#efe ,klein1#eff ,korndoerfer1#efg ,caporali#efh und von noch anderen#efi im ,verlaufe weniger ,jahre diese ,zahl ausserordentlich vermehrt4#egj ,man kann sich eine ziemlich genaue ,vorstellung von dem ,reichtum dieses ,zweiges der ,geometrie machen1 wenn man die schoene ,abhandlung von ,caporali ueber die dreifach unendlichen linearen ,systeme ebener ,kurven liest1#ega in welcher er einerseits die ,theorie der ,abbildung einer ,oberflaeche auf eine ,ebene auf das ,studium solcher ,systeme anwandte1 andererseits in derselben wertvolle ,hilfsmittel der ,untersuchung fand4 ,bei dem ,studium der ,abbildung einer ,oberflaeche bietet sich von selbst eine wichtige ,frage dar1 naemlich die1 ob sie alle eindeutig auf eine ,ebene abbildbar sind1 oder allgemeiner3 ob zwei ,oberflaechen sich als ,punkt fuer ,punkt #ia einander entsprechend darstellen lassen4 ,und da man leicht erkannte1 dass die ,antwort auf diese ,frage eine negative sei1 so wurde man natuerlich auf die andere ,frage gefuehrt3 ,welche ,oberflaechen lassen sich eindeutig auf einer ,ebene abbilden8 ,oder allgemeiner3 ,welche ,oberflaechen kann man eindeutig auf einer gegebenen abbilden8 -- ,die analoge ,frage fuer zwei 7ebene oder unebene7 ,kurven wurde von ,clebsch vermittelst der ,betrachtung des ,geschlechtes und der ,moduln geloest4 ,diese ,analogie veranlasste nun ,clebsch1 die ,loesung des vorhin angegebenen ,problems in einer ,ausdehnung des ,begriffes des ,geschlechtes auf die ,oberflaechen#egb zu suchen4 ,dieser ,versuch wurde jedoch nach meinem ,dafuerhalten nicht von gutem ,erfolge gekroent1 und auch heute muss man trotz der nach ,clebsch angestellten ,versuche ausgezeichneter ,mathematiker wie ,cayley1#egc ,noether1#egd ,zeuthen#ege die ,frage als noch ungeloest betrachten2 um das zu beweisen1 genuegt es zu sagen1 dass1 wenn es auch bekannt ist1 dass alle ,oberflaechen zweiter und dritter ,ordnung 7die nicht ,kegelflaechen sind7 eindeutig auf einer ,ebene abbildbar sind1 doch noch nicht alle ,oberflaechen vierter ,ordnung bestimmt sind1 welche dieselbe ,eigenschaft haben4#egf #ib ,die allgemeineren ,resultate1 die man auf diesem ,gebiete kennt1 waren1 wenn ich nicht irre1 von ,noether#egg erhalten2 dieser gelangte durch eine ueberaus elegante analytische ,betrachtung bei jeder ,oberflaeche1 welche eine einfach unendliche ,schar rationaler ,kurven enthaelt1 zu einer ,abbildung derselben auf einem ,kegel4 ,die ,schwierigkeit aber1 auf welche man bei der eindeutigen ,abbildung gewisser ,oberflaechen auf eine ,ebene stiess1 liessen bei ,clebsch den ,gedanken entstehen1 zwischen einer ,oberflaeche und einer ,ebene eine vielfache ,korrespondenz aufzustellen1 oder auch 7wie er an die ,riemannschen ,flaechen denkend sagte7 eine ,flaeche auf eine vielfache ,ebene abzubilden und dann diese auf eine einfache ,ebene zu beziehen4#egh ,diese ,idee1 deren ,keime sich vielleicht bis zu der von ,chasles#egi vorgeschlagenen ,verallgemeinerung der stereographischen ,projektion zurueckverfolgen lassen1 konnte nicht mehr vollstaendig von ihrem ,urheber entwickelt werden2 jedoch blieben die von ihm gegebenen ,andeutungen nicht unfruchtbar1 vielmehr entstand aus ihnen die ,theorie der doppelten ebenen ,transformationen1 welche de ,paolis aufgestellt und durch vielfache ,anwendungen erlaeutert hat4#ehj ,die zweite ,verallgemeinerung der ,cremonaschen ,transformationen veranlasste die ,theorie der rationalen ,transformationen im ,raeume4 ,zwei ,beispiele einer solchen ,korrespondenz boten sich in der ,homographie zweier ,raeume 7und deren ,spezialfaellen7 dar und -- wie ,magnus1#eha ,hesse#ehb und ,cremona#ehc bemerkt haben -- in der ,transformation1 die man erhaelt durch drei zu demselben ,raeume korrelative 7reciproke7 ,raeume1 indem man jedem ,punkte jenes ,raumes #ic den ,schnitt der ,ebenen zuordnet1 die ihm in diesen entsprechen4 ,die allgemeine ,theorie entstand jedoch erst um das ,jahr #ahgj durch die ,bemuehungen ,cayleys1#ehd ,noethers#ehe und ,cremonas1#ehf obwohl schon ,magnus#ehg ,ende #ahcg dieselbe angestrebt und ihre ,wichtigkeit eingesehen hatte4 ,von den bemerkenswerten ,arbeiten1 in welchen diese ,gelehrten unsere ,theorie im allgemeinen begruendeten1 ist ohne ,zweifel die wichtigste jene1 die wir der ,feder unseres beruehmten ,landsmannes verdanken4 ,geleitet durch die ,analogie1 welche diese ,disziplin mit der der eindeutigen ,korrespondenz zwischen zwei ,ebenen darbietet1 zeigte er1 wie jene sich auf das ,studium der dreifach unendlichen homaloidischen ,systeme von ,oberflaechen zurueckfuehren laesst4 ,darauf setzte er auf eine sehr schoene ,weise auseinander1 wie man unendlich viele solcher ,systeme erhalten koenne1 wenn man die ebene ,abbildung einer ,oberflaeche kennt1 und zeigte zuletzt durch treffende ,beispiele1 wie man die ,theorie der rationalen ,transformationen auf die ,abbildung vieler ,flaechen auf andere zurueckfuehrt1 insbesondere auf die ebene ,abbildung einiger von ihnen4 ,diese ,anwendung1 vereint mit der obenerwaehnten ,methode1 zeigt klar1 wie man aus der ebenen ,abbildung einer ,oberflaeche nicht nur die ,abbildungen von unendlich vielen anderen erhalten kann1 sondern auch unzaehlig viele rationale ,transformationen des ,raumes4 ,ungeachtet der ,schriften1 durch welche ,england1 ,deutschland und ,italien so maechtig zur ,gruendung und ,erweiterung dieser ,theorie beigetragen haben1 kann man doch nicht sagen1 dass dieselbe den ,grad der ,vollendung erreicht habe1 #id den andere erlangt haben4 ,das kommt vielleicht daher1 dass die schwierigsten ,fragen1 welche sich in derselben darbieten1 innig mit der ,bestimmung der ,singularitaeten der ,oberflaechen zusammenhaengen1 und ueber diese -- wir muessen es leider gestehen -- sind unsere ,kenntnisse noch sehr beschraenkt4 ,darin hat man vielleicht die ,erklaerung der ,thatsache zu suchen1 dass die ,geometer1 die auf jene oben erwaehnten folgten1 sich mehr mit der ,erlaeuterung der ,methoden ihrer ,meister1 als mit der ,vervollkommnung derselben und der ,ausfuellung ihrer ,luecken beschaeftigt haben4#ehh ,und dennoch -- wenn auch das ,studium der ,figur selbst ohne ,zweifel dem der transformierten vorzuziehen ist -- giebt es bei dem heutigen ,standpunkte der ,wissenschaft sehr wenige ,theorien1 die so sehr es verdienen1 dass man sie in allen ihren ,einzelheiten vervollkommne1 als gerade diese4 ,in der ,that1 um die ,worte eines grossen ,mannes zu gebrauchen1 wenn man ueber das ,verfahren der ,algebra nachdenkt und den ,grund #ie der gewaltigen ,vorteile aufsucht1 die sie der ,geometrie bietet1 sieht man da nicht1 dass sie dieselben der ,leichtigkeit verdankt1 mit welcher man anfaenglich eingefuehrte ,ausdruecke ,transformationen unterziehen kann1 ,transformationen1 deren ,geheimnis und deren ,mechanismus die wahre ,wissenschaft bilden und die das staendige ,ziel der ,analysten sind8 ,ist es darum nicht natuerlich1 zu versuchen1 in die reine ,geometrie analoge ,transformationen einzufuehren1 welche direkt auf die vorgelegten ,figuren und ihre ,eigenschaften hinsteuern8#ehi ,auf das allgemeine ,studium der ,transformationen folgt das solcher ,transformationen1 bei denen man einen gewissen ,zweck im ,auge hat1#eij z4 ,b4 die ,verwandlung der ,figuren in sich selbst oder ihre ,zurueckfuehrung zur urspruenglichen ,figur1 wenn die ,transformationen mehrmals hintereinander angewandt werden4 ,es existieren in der ,that auch schon einige gute ,arbeiten1 in welchen die ,kollineationen und ,korrelationen behandelt sind1 welche eine ,flaeche zweiter ,ordnung1 einen linearen ,komplex#eia oder eine kubische ,raumkurve#eib in sich selbst transformieren1 sowie ueber die cyklischen ,projektivitaeten4#eic #if ,wir wollen diesen ,abschnitt unserer ,arbeit beschliessen1 indem wir noch einige ,worte ueber die vielfachen ,transformationen zwischen zwei ,gebilden zweiter und dritter ,stufe sagen1 auf welche ich nur im ,voruebergehen hinweisen konnte1 indem ich einige ,abhandlungen von ,paolis anfuehrte4 ,der erste1 der sich mit ihnen beschaeftigte1 war ,chr4 ,wiener1#eid welcher sie untersuchte1 indem er eine eindeutige ,korrespondenz in der ,ebene herstellte zwischen den ,geraden einer ,ebene und den ,kurven eines linearen ,systemes2 dann ist einem ,punkte1 betrachtet als ,schnitt zweier ,geraden1 die ,gruppe der ,grundpunkte des ,bueschels zugeordnet1 der durch die entsprechenden ,kurven konstituiert wird4 ,diese ,art und ,weise1 vielfache ,transformationen zu erzeugen1 wurde von ,tognoli#eie auf den ,raum ausgedehnt2 derselbe liess jedem ,punkte1 betrachtet als ,schnitt dreier ,ebenen1 die ,grundpunkte desjenigen ,netzes entsprechen1 das durch die drei den drei ,ebenen entsprechenden ,oberflaechen eines dreifach unendlichen linearen ,systemes bestimmt wird4 ,solche ,untersuchungen haben sich bis jetzt jedoch noch nicht als sehr fruchtbar gezeigt4 ,ziemlich wichtig dagegen sind die schon genannten ,untersuchungen von ,paolis ueber die doppelten ,transformationen4 ,das zeigen die ,arbeiten1 in denen ,visalli#eif und ,jung#eig die vielfachen ,transformationen untersucht haben und welche die ,fortsetzungen jener sind4 ,mit einigen speziellen vielfachen ,transformationen des ,raumes haben sich ,reye#eih und ,segre#eii beschaeftigt und von ihnen elegante ,anwendungen gemacht4 ,aschieri#fjj uebertrug eine spezielle ebene zweifache ,transformation1 welche ,paolis bearbeitet hatte1 auf den ,raum und dehnte auch die #ig ,anwendungen1 die jener davon gemacht hatte1 auf die ,nicht-,euklidische ,geometrie aus4 ,allgemeine ,untersuchungen auf diesem ,gebiete haben wir jedoch keine ausser den wenigen1 die in einer kurzen ,arbeit von ,reye#fja aufgezeichnet sind1 und den sehr wichtigen ueber die doppelten ,transformationen des ,raumes von ,paolis4#fjb ,wir zweifeln nicht1 dass diese und jene als ,grundlage einer allgemeinen ,theorie der zweifachen ,transformationen1 die wir noch erwarten1 dienen koennen2 und wir erwarten dieselbe mit ,ungeduld1 da wir sicher sind1 dass dieselbe der ,geometrie nicht geringere ,dienste leisten wird1 als die sehr bekannten1 die ihr durch die birationalen ,transformationen geleistet sind1 und jene1 die1 wie ,paolis bemerkt1 die doppelten leisten koennen4 ,neben die vielfachen ,korrespondenzen zwischen zwei ,raeumen von ,punkten 7oder ,ebenen7 kann man die zwischen einem ,punktraume und einem ,ebenenraume stellen4 ,untersucht wurden dieselben fuer den ,fall1 dass durch jeden ,punkt die entsprechenden ,ebenen gehen und in jeder ,ebene die entsprechenden ,punkte liegen4 ,zusammen betrachtet bilden die zwei ,raeume ein hoeheres ,nullsystem oder ,punktebenensystem4 ,die ,theorie dieser ,systeme ist in diesen letzten ,jahren besonders durch die ,arbeiten von ,ameseder1#fjc von ,sturm#fjd und ,voss#fje hervorgetreten1 waehrend ,reye#fjf das ,verdienst zukommt1 den ,begriff des gemeinen ,nullsystemes#fjg zuerst1 doch in einer anderen ,weise -- die entsprechenden ,elemente sind nicht ,punkte und ,ebenen1 sondern ,flaechen zweiter ,ordnung und zweiter ,klasse -- erweitert zu haben4 #ih 99 99 99 99 99 ,,vii4 ,geometrie der ,geraden4 ------ ,die griechische ,geometrie betrachtet den ,punkt als das erzeugende ,element aller ,figuren2 die analytische ,geometrie des ,cartesius machte die ,bestimmung des ,punktes zur ,grundlage aller ihrer ,rechnungen4 ,das ,prinzip der ,dualitaet fuehrte nun die ,gelehrten zu dem ,schluesse1 dass die ,gerade in der ,ebene und die ,ebene im ,raume mit gleichem ,rechte und gleichem ,erfolge1 wie der ,punkt1 die ,rolle spielen koenne1 die bis jetzt dieser in der ,geometrie inne gehabt1 und fuehrte in der ,folge dazu1 die ,gerade und die ,ebene als ,elemente der ,ebene und des ,raumes anzunehmen und ein neues ,system der 7synthetischen und analytischen7 ,geometrie aufzustellen4 ,das ,verdienst dieses bemerkenswerten ,fortschrittes gebuehrt groesstenteils ,pluecker4#fjh ,aber ganz auf ,pluecker faellt der ,ruhm1 ein drittes die raeumlichen ,gebilde erzeugendes ,element -- die ,gerade -- eingefuehrt und auf eine solche ,betrachtung eine neue ,geometrie des ,raumes begruendet zu haben4 ,dieser beruehmte ,gelehrte kehrte1 nachdem er fast zwanzig ,jahre hindurch die ,geometrie verlassen hatte1 um seine bedeutenden ,geisteskraefte der ,physik zu widmen1 zu der ,wissenschaft zurueck1 die ihm urspruenglich seinen ,ruhm gesichert hatte1 um sie #ii mit einer neuen und wichtigen ,disziplin zu beschenken1 mit der ,geometrie der ,geraden4 ,die ersten ,mitteilungen ueber diesen ,gegenstand1 die im ,jahre #ahfe der ,koeniglichen ,gesellschaft zu ,london#fji von dem grossen deutschen ,geometer gemacht wurden1 enthalten die ,saetze ueber einige allgemeine ,eigenschaften der ,komplexe1 ,kongruenzen und ,regelflaechen und einige spezielle ,eigenschaften der linearen ,komplexe und ,kongruenzen2#faj die ,beweise derselben sind nur angedeutet und sollen1 nach ,angabe des ,autors1 vermittelst der ,koordinaten einer ,geraden im ,raume gefuehrt werden1 die er als einen eigenen ,gedanken eingefuehrt hatte1 die man spaeter aber als ,spezialfall dessen erkannte1 was schon ,cayley#faa aufgestellt hatte1 um vermittelst einer einzigen ,gleichung eine beliebige ,kurve im ,raume darstellen zu koennen4 ,diese ,mitteilungen veranlassten ploetzlich eine ,reihe wichtiger ,arbeiten1 in denen ,battaglini nicht nur1 was ,pluecker behauptet hatte1 sondern auch viele ,lehrsaetze bewies1 die sich auf die ,komplexe zweiten und hoeheren ,grades beziehen4#fab -- ,indessen hatte ,pluecker schon die von ihm #ajj skizzierten ,gedanken ausgefuehrt und in dem ,werke vereinigt1 welches den ,titel traegt3 ,neue ,geometrie des ,raumes1 gegruendet auf die ,betrachtung der geraden ,linie als ,raumelement4#fac ,von diesem ,buche zu sagen1 dass es in allen seinen ,teilen gleich wichtig und interessant sei1 wuerde eine der ,wahrheit nicht entsprechende ,behauptung sein4 ,pluecker schaetzte nicht die ,eleganz der ,rechnung1 an die wir durch ,lagrange1 ,jacobi1 ,hesse1 ,clebsch gewoehnt sind2 er teilte sicherlich nicht mit ,lame#fad die ,ansicht1 dass die ,bezeichnung fuer die ,analysis das sei1 was die ,stellung und ,wahl der ,worte fuer den ,stil ist2 bei ihm brauchte die ,rechnung nur der einen ,bedingung zu genuegen1 naemlich schnell zur ,loesung der ins ,auge gefassten ,probleme zu fuehren4 ,dieser ,mangel1 der allen ,arbeiten von ,pluecker gemeinsam ist1 macht sich lebhafter in dem letzten ,werke bemerklich1 welches einen ,wettstreit eingehen sollte mit ,mustern der ,eleganz1 wie den ,vorlesungen ueber analytische ,geometrie des ,raumes von ,hesse und den ,vorlesungen ueber ,dynamik von ,jacobi1 die kurz vorher 7#ahfa und #ahff7 herausgekommen waren4 ,ausser diesem nicht geringen ,mangel ist ein anderer noch bedeutenderer dadurch entstanden1 dass ,pluecker lange ,zeit hindurch es vernachlaessigt hatte1 den ,fortschritten der ,geometrie nachzugehen4 ,infolge dieser einseitigen ,ausbildung finden wir in seinem ,buche eine ,menge von ,untersuchungen1 die uns nicht mehr interessieren1 da sie unter andere allgemeinere1 schon gemachte fallen1 eine grosse ,anzahl von ,spezialfaellen1 von deren ,wichtigkeit wir uns nicht ueberzeugen koennen1 eine ,menge von komplizierten ,formeln1 deren ,nutzen wir nicht einsehen4 ,trotz dieser ,fehler -- die ich anfuehren muss1 um die geringe ,anzahl der ,leser1 die sie heute findet1 zu begruenden -- kann man nicht verkennen1 dass die letzte ,arbeit von ,pluecker reich an originellen ,blicken ist1 und es wuerde die ,lektuere derselben jedem zu raten sein1 der das ,studium dieses ,teiles der ,geometrie unternehmen will1 wenn nicht die ,nachfolger #aja ,plueckers seine ,untersuchungen in besserer ,form auseinandergesetzt und mit anderen ,methoden ausgefuehrt1 und jene ,gedanken1 die er nur hingeworfen hat1 groesstenteils entwickelt haetten4 ,pluecker hatte nicht die ,zeit1 die ,theorie der ,komplexe zweiten ,grades zu vollenden1 da der ,tod ihn traf1 als er gerade im ,begriffe stand1 den zweiten ,teil seines ,buches zu veroeffentlichen2 aber die ,untersuchungen1 die er unvollendet zurueckliess1 wurden von seinem ,schueler ,f4 ,klein#fae zu ,ende gefuehrt4 ,ihm verdanken wir nicht nur den allgemeinen ,begriff der ,koordinaten einer ,geraden und eine ,anzahl sehr schoener ,lehrsaetze ueber die ,komplexe zweiten ,grades1 sondern auch verschiedene allgemeine und ausserordentlich fruchtbare ,ideen ueber die ,geometrie der ,geraden4 ,in der ,that ist es ,klein1 der1 einen ,gedanken seines ,lehrers praezisierend1 die ,bemerkung machte1 dass man die ,geometrie der ,geraden ansehen koenne als das ,studium einer quadratischen ,mannigfaltigkeit von vier ,dimensionen1 enthalten in einem linearen ,raume von fuenf ,dimensionen1 und zeigte1 dass jeder ,komplex durch eine einzige ,gleichung zwischen den ,koordinaten einer ,geraden darstellbar ist4 ,dass diese ,bemerkung und dieser ,lehrsatz von der groessten ,bedeutung fuer den ,fortschritt der ,geometrie der ,geraden seien1 wurde in glaenzender ,weise durch die schoenen ,untersuchungen meines lieben ,freundes ,segre#faf gezeigt1 die mit denen von ,klein innig zusammenhaengen4 ,gleichzeitig mit ,klein beschaeftigten sich ,pasch1#fag ,zeuthen1#fah ,drach1#fai spaeter auch ,paolis#fbj wiederholt #ajb mit der ,geometrie der ,geraden1 indem sie verschiedene ,fragen derselben vermittelst homogener ,koordinaten behandelten4 ,clebsch#fba wandte auf diese ,theorie die ,methode der abgekuerzten ,bezeichnung an2 im ,jahre #ahgc vervollstaendigte ,weiler#fbb die ,einteilung der ,komplexe zweiten ,grades nach den ,begriffen1 die ,klein in seiner ,dissertation angegeben hatte4 ,voss#fbc studierte in einer ,reihe sehr wichtiger ,abhandlungen die ,singularitaeten der ,systeme von ,geraden2 ,halphen bestimmte die ,zahl der ,geraden des ,raumes1 welche vorher aufgestellten ,bedingungen genuegen2#fbd ,noether1#fbe ,klein#fbf und ,caporali#fbg beschaeftigten sich mit der ,abbildung der ,komplexe ersten und zweiten ,grades auf den gewoehnlichen ,raum1 ,aschieri mit der einiger spezieller ,komplexe2#fbh ,lie stellte den innigen ,zusammenhang1 der zwischen der ,geometrie der ,kugel und der ,geometrie der ,geraden besteht1 ins ,licht2#fbi ,reye endlich studierte die ,formen der allgemeinen quadratischen ,komplexe4#fcj ,nur mit ,hilfe der synthetischen ,geometrie wurde unsere ,theorie von ,chasles studiert#fca -- schon #ahci --1 von ,reye1#fcb #ajc von ,silldorf1#fcc ,schur1#fcd ,bertini1#fce von d',ovidio#fcf und von ,w4 ,stahl2#fcg ,buchheim#fch bediente sich der ,quaternionen1 um die hauptsaechlichsten ,eigenschaften der linearen ,kongruenzen zu beweisen1 waehrend viele ,fragen aus der ,infinitesimalgeometrie1 die sich auf ,systeme von ,geraden beziehen1 gluecklich in einigen ,abhandlungen von ,mannheim1#fci ,lie1#fdj ,klein1#fda ,picard#fdb und ,koenigs#fdc geloest wurden4 ,schliesslich wurden einige spezielle ,komplexe studiert von ,aschieri1#fdd ,painvin1#fde von ,reye1#fdf ,lie1#fdg ,weiler1#fdh ,roccella1#fdi von ,hirst1#fej ,voss1#fea ,genty1#feb ,montesano1#fec von ,segre und von mir4#fed ,neben der reichhaltigen ,schar von ,schriften1 die wir dem von ,pluecker gegebenen ,anstosse verdanken1 muessen wir noch eine andere ebenso glaenzende erwaehnen1 die aber #ajd von ganz anderer ,art ist4 ,sie umfasst die ,arbeiten von ,dupin1#fee ,malus#fef 7#agge-ahaa7 und ,ch4 ,sturm#feg 7#ahjc-ahee71 ,bertrand1#feh ,transon#fei ueber die ,normalen von ,oberflaechen und ueber die mathematische ,theorie des ,lichtes1 dann die von ,hamilton 7#ahje-ahfe7 ueber ,systeme von ,strahlen4#ffj ,diese ,arbeiten finden ihre ,kroenung in zwei beruehmten ,abhandlungen1 die von ,kummer in den ,jahren #aheg und #ahff veroeffentlicht sind4 ,in der ersteren1 die im ,journal fuer ,mathematik#ffa abgedruckt ist1 hat sich ,kummer die ,aufgabe gestellt1 durch eine einheitliche und einfachere ,methode die ,resultate von ,hamilton darzulegen und sie in den ,punkten1 wo sie mangelhaft erschienen1 zu vervollstaendigen4#ffb ,in der zweiten1#ffc die noch wichtiger ist1 stellte er sich1 nach einigen schoenen allgemeinen ,untersuchungen ueber die ,zahl der ,singularitaeten eines ,systemes von ,strahlen und seiner ,brennflaeche1 und loeste die ,frage1 alle algebraischen ,systeme von ,strahlen erster und zweiter ,ordnung zu bestimmen1 d4 h4 solche1 bei denen durch jeden ,punkt des ,raumes einer oder zwei ,strahlen des ,systemes hindurchgehen4 ,ich moechte wuenschen1 dass mir hinreichender ,raum zu ,gebote staende1 um den ,leser in den ,stand zu setzen1 die ausgezeichneten ,verdienste dieser klassischen ,arbeit hoch #aje zu schaetzen1 um ihn an der tiefen ,bewunderung teilnehmen zu lassen1 die ich fuer sie empfinde2 ich moechte ihn sehen lassen1 mit welch ausserordentlicher ,gewandtheit der ,verfasser zur ,bestimmung aller ,strahlensysteme erster und zweiter ,ordnung zu gelangen weiss1 zu den ,gleichungen1 die sie und ihre ,brennflaechen darstellen 7welches jene ,oberflaechen vierter ,ordnung mit ,doppelpunkten sind1 die ich ,gelegenheit hatte1 im ,abschnitt ,,iii zu erwaehnen71 zu den ,singularitaeten der ,systeme1 den ,konfigurationen1 die sie bilden1 zum ,zusammenhange zwischen ihnen und den ,singularitaeten der ,brennflaeche u4 s4 w4 ,aber da die ,bemessenheit des ,raumes es mir verbietet1 so muss ich mich darauf beschraenken1 den ,wunsch auszusprechen1 dass dieser mein kurzer ,ueberblick es bewirken koenne1 dass bei jedwedem das ,verlangen entsteht1 die ,untersuchungen ,kummers selbst kennen zu lernen und den ,weg zu verfolgen1 den er mit solchem ,gluecke eingeschlagen hat2 ich spreche diesen ,wunsch aus1 da mich die ,beobachtung schmerzlich bewegt1 dass in den zwanzig ,jahren1 die schon seit dem ,erscheinen der ,kummerschen ,arbeit verflossen sind1 es noch nicht gelungen ist1 eine solche ,theorie1 die sich so fruchtbar an schoenen ,resultaten gezeigt hat1 in einer bemerkenswerten ,weise zu foerdern4#ffd #ajf 99 99 99 99 99 ,,viii4 ,nicht-,euklidische ,geometrie4 ------ ,die letzte ,kategorie von ,arbeiten1 mit denen ich mich zu beschaeftigen habe1 umfasst eine ,reihe von ,untersuchungen1 die zu lebhaften ,diskussionen ,veranlassung gegeben haben und -- wunderbar zu sagen -- eine ,zeit lang die ,mathematiker in zwei ,feldlager geteilt haben1 das eine gewappnet gegen das andere2#ffe heutzutage bilden sie denjenigen ,teil der ,wissenschaft des ,raumes1 den man ,nicht-,euklidische ,geometrie und ,theorie der beliebig #ajg ausgedehnten ,mannigfaltigkeiten oder ,geometrie von n ,dimensionen#fff nennt4 ,jeder weiss1 dass unter allen ,saetzen1 die in den ,elementen des ,euklid enthalten sind1 es einen giebt1#ffg der nur schlecht dazu passt1 wie es der griechische ,geometer gethan hat1 unter die ,axiome oder die ,postulate gestellt zu werden4#ffh ,derselbe ist von grosser ,wichtigkeit im ,euklidischen ,system1 da auf ihn1 wie man sagen kann1 die ganze ,theorie der ,parallelen gegruendet ist4 ,weil es nun nicht auf ,grund unmittelbarer ,anschauung gerechtfertigt ist1 ihn unter diejenigen ,saetze zu zaehlen1 fuer welche es vergeblich ist1 einen ,beweis zu fordern1 so kam man auf die ,frage1 ob er in der ,that unbeweisbar sei1 und ob man nicht1 wenn das der ,fall sein sollte1 ihn unterdruecken und durch einen anderen ersetzen koenne1 dessen ,wahrheit offenbarer sei8 ,diese ,fragen sind ein natuerlicher ,ausfluss unseres ,zeitalters1 von welchem eine der hervorragendsten ,eigentuemlichkeiten 7wie ,humboldt bemerkt7 die unparteiliche ,kritik alles dessen ist1 was uns die ,vergangenheit hinterlassen hat2 sie muessen als der erste ,ursprung der ,nicht-,euklidischen ,geometrie angesehen werden4 ,die ersten wichtigen ,studien auf diesem ,gebiete wurden gegen ,ende des vergangenen ,jahrhunderts von ,legendre#ffi #ajh gemacht4 ,dieselben stellten den ,zusammenhang klar1 der zwischen dem ,postulate des ,euklid und dem ,satze besteht1 der sich auf die ,winkelsumme eines ,dreiecks bezieht1 und fuehrten ,legendre dazu1 nicht nur jenes ,postulat durch ein anderes viel wichtigeres zu ersetzen1 sondern auch eine ,geometrie zu entwerfen1 die von eben demselben ,postulate unabhaengig ist4#fgj ,nahe zur selben ,zeit wie ,legendre1 befasste sich ,gauss mit dieser ,frage4 ,gleichwohl hat er niemals irgend eine ,arbeit auf diesem ,gebiete veroeffentlicht2 seine ,korrespondenz mit ,schumacher#fga und mit ,wolfgang ,bolyai 7#agge-ahef7fgb und einige bibliographische ,artikel von ihm#fgc #aji bezeugen nicht nur das ,interesse1 das er dafuer besass1 sondern bekunden auch die reiche ,ernte von ,wahrheiten1 die er auf diesem1 wie auf den anderen von ihm bebauten ,feldern eingebracht hat4 ,und als die ,schriften von ,lobatschewsky 7#agic-ahef7fgd und ,johann ,bolyai 7#ahjb-ahfj7fge ueber diesen ,gegenstand erschienen1 da sanktionierte der ,fuerst der deutschen ,mathematiker mit seiner ,autoritaet die ,ergebnisse1 welche dieselben erhalten hatten4 ,man kann diese ,ergebnisse zusammenfassen1 indem man sagt1 dass dieselben die ,grundlage einer neuen ,geometrie sind1 die vollstaendig unabhaengig ist von dem ,postulate des ,euklid 7die ,nicht-,euklidische ,geometrie1 oder imaginaere oder auch ,pangeometrie71 die in gewissen ,punkten mit der gewoehnlichen ,geometrie uebereinstimmt1 jedoch in vielen anderen sich von ihr unterscheidet1 -- eine ,geometrie1 die eine ,zeit lang einige als absurd verbannt haben wollten1 da sie den von einer nur oberflaechlichen ,sinneswahrnehmung bezeugten ,erscheinungen widerspricht1 die aber heute allgemein angenommen ist1 da ihr logischer ,wert ausser ,zweifel gestellt ist4#fgf #aaj ,zu diesem ,siege der ,logik ueber den uebertriebenen ,empirismus haben in sehr wirkungsvoller ,weise einige ,schriften von grosser ,bedeutung beigetragen1 die ,riemann 7#ahbg-ahff71 von ,helmholtz und ,beltrami in den ,jahren #ahfg und #ahfh veroeffentlichten4 ,die ,riemannsche ,schrift3 ,ueber die ,hypothesen1 welche der ,geometrie zu ,grunde liegen#fgg -- zwoelf ,jahre vor ihrer ,veroeffentlichung geschrieben -- war und ist noch durch die ,allgemeinheit der ,begriffe und die ,knappheit der ,form selbst fuer diejenigen1 welche in der ,mathematik schon vorgeschritten sind1 von schwierigem ,verstaendnisse4 ,jedoch ein grosser ,teil der ,ideen1 welche dieselbe enthaelt1 verbreiteten sich sehr bald1 da sie1 durch ein glueckliches ,zusammentreffen1 auch von ,helmholtz ausgesprochen wurden1 und dieser sie nicht nur den ,mathematikern in rein wissenschaftlicher ,form darlegte1#fgh sondern auch in populaeren ,vortraegen und ,artikeln in verschiedenen ,zeitschriften auch ausserhalb des engeren ,kreises der ,geometer behandelte4#fgi ,keinen geringeren ,einfluss aber als die ,schriften des beruehmten ,verfassers der ,physiologischen ,optik uebte der klassische ,saggio di interpretazione della ,geometria non-euclidea#fhj von ,beltrami aus4 ,gerade die ,schaerfe und analytische ,eleganz1 welche diese ,schrift auszeichnen1 lenkte die ,aufmerksamkeit der ,geometer auf dieselbe2 das glaenzende und ueberraschende ,resultat1 dass die ,saetze der ,nicht-,euklidischen ,geometrie ihre ,verwirklichung auf den ,oberflaechen mit konstanter negativer ,kruemmung fanden1 machte einen tiefen ,eindruck auch auf diejenigen1 welche jeder nicht durch das #aaa ,experiment bewiesenen ,behauptung allen ,wert absprachen1 und sicherte den ,triumph der neuen ,anschauungen2 endlich -- die dort verteidigten gesunden ,prinzipien einer wissenschaftlichen ,philosophie und die glaenzende ,form1 in welcher die ,abhandlung geschrieben ist1 liessen und lassen noch bei allen eine lebhafte ,bewunderung fuer unseren beruehmten ,landsmann entstehen1 durch dessen ,bemuehung wiederum einmal die ,wahrheit den ,sieg davontrug4 ,dass die ,arbeiten dieser drei grossen ,gelehrten einen wohlthaetigen ,einfluss auf die ganze ,geometrie ausgeuebt haben1 hat sich zur ,evidenz durch die ,aenderung gezeigt1 welche sich in bezug auf die ,art und ,weise vollzogen hat wie man heutzutage die ihr zu ,grunde liegenden ,saetze betrachtet4#fha ,wenn frueher die ,geometer den ,philosophen die ,sorge ueberliessen1 zu entscheiden1 ob die ,wahrheiten1 mit denen sie sich beschaeftigten1 notwendige oder zufaellige seien1 und dahin neigten1 dieselben als notwendige zuzulassen1 so streben sie jetzt1 nachdem die empirische ,grundlage der ,geometrie erkannt ist1 fortwaehrend darnach1 genau festzusetzen1 welche ,thatsachen man der ,sinneswahrnehmung entnehmen muss1 um eine ,wissenschaft der ,ausdehnung zu gruenden4#fhb ,wer die schoenen ,vorlesungen ueber neuere #aab ,geometrie 7,leipzig1 #ahhb7 von ,pasch liest1 die neueren ,lehrbuecher prueft und diese und jene mit den aelteren ,buechern vergleicht1 wird wesentliche ,unterschiede finden4 ,in den aelteren ,werken giebt der ,lehrer die ,voraussetzungen1 die er nicht beweist1 als notwendige1 ewige und unanfechtbare ,wahrheiten1 in den neueren fuehrt er sozusagen den ,schueler dazu1 die noetigen ,erfahrungen auszufuehren1 um die ,praemissen der spaeteren ,deduktionen festzustellen4 ,in den aelteren ,arbeiten stellt der ,verfasser die ,euklidische ,geometrie als die einzig denkbare hin1 in den neueren als #aac eine der unendlich vielen1 die man aufstellen koennte4 ,und diese ,unterschiede bezeichnen einen thatsaechlichen ,fortschritt1 da sie zeigen1 dass die ,gelehrten sich von einem alteingewurzelten und schaedlichen ,vorurteile frei gemacht haben2 und fuer den ,fortschritt der ,wissenschaft hat die ,erkenntnis eines ,irrtums eine nicht geringere ,wichtigkeit1 als die ,entdeckung einer ,wahrheit4 ,kurz nach der ,veroeffentlichung der ,arbeit von ,beltrami erschien eine von ,f4 ,klein1#fhc die auch von grosser ,wichtigkeit ist2 aber um die ,stellung zu kennzeichnen1 welche dieselbe in der ,geschichte der ,nicht-,euklidischen ,geometrie einnimmt1 muss ich mich einige ,jahrzehnte rueckwaerts wenden4 ,es ist bekannt1 dass infolge des ,traite des proprietes projectives des figures eine ,unterscheidung aufgestellt wurde zwischen den ,eigenschaften der ,figuren1 die erhalten bleiben1 wenn diese projiziert werden1 und solchen1 die nicht erhalten werden2 es ist ferner bekannt1 dass unter den ersteren alle ,lagen-,eigenschaften1 aber nur einzelne metrische ,eigenschaften begriffen sind4 ,nun stellten die ,geometer sich die ,frage1 ob es nicht moeglich sei1 die metrischen ,eigenschaften der ,figuren so auszusprechen1 dass sie bei der ,projektion saemtlich erhalten werden4 ,fuer einige ,arten der ,projektion haben ,chasles und ,poncelet die ,frage geloest1 indem sie den ,begriff der unendlich fernen ,kreispunkte der ,ebene und des unendlich entfernten imaginaeren ,kreises einfuehrten2 fuer andere wurde die ,loesung von ,laguerre#fhd gegeben1 dem es gelang1 den ,begriff des ,winkels projektiv zu machen2 aber derjenige1 welcher die ,loesung in ihrer ganzen ,allgemeinheit gab1 war ,cayley#fhe 7#ahei71 der in dem sechsten von seinen beruehmten ,memoirs upon ,quantics zeigte1 dass jede metrische ,eigenschaft einer ebenen ,figur als in einer #aad projektiven ,beziehung zwischen dieser und einem festen ,kegelschnitte enthalten betrachtet werden koenne4 ,nun besteht der ,hauptzweck der angefuehrten ,abhandlung von ,klein eben darin1 die innige ,beziehung zwischen den ,schluessen ,cayleys und denen1 zu welchen ,bolyai und ,lobatschewsky gelangt waren1 herzustellen2 auf welche lichtvolle ,weise dieses ,ziel erreicht ist1 das beweist der grosse ,ruhm1 zu dem diese ,schrift alsbald gelangte4#fhf ,an diese ,schriften schliessen sich viele andere2 an die von ,riemann und ,beltrami einige interessante ,arbeiten von de ,tilly1#fhg ,genocchi1#fhh von ,escherich#fhi und ,bianchi2#fij an die von ,klein verschiedene ,abhandlungen von ,battaglini1#fia d',ovidio1#fib de ,paolis#fic und ,aschieri1#fid ,cayley1#fie ,lindemann1#fif ,schering1#fig von ,story1#fih #aae ,h4 ,stahl#fii und ,voss1#gjj von ,h4 ,cox#gja und ,a4 ,buchheim4#gjb ,die mathematische ,litteratur der allerneuesten ,zeit jedoch ist nicht sehr reich an ,forschungen auf diesem ,gebiete2#gjc es hat den ,anschein1 als wenn jenes ,zeitalter1 welches man das heroische nennen koennte1 und durch welches jede ,disziplin einmal hindurchgeht1 schon von der ,nicht-,euklidischen ,geometrie durchlaufen sei4 ,sollten vielleicht die unermuedlichen ,arbeiter der beiden ,jahrzehnte #ahfj-ahhj die ,minen in jeder ,richtung so gruendlich durchwuehlt haben1 dass sie keine goldfuehrende ,ader mehr bergen8 99 99 99 99 99 ,,ix4 ,geometrie von n ,dimensionen4 ------ ,die ,theorie der beliebig ausgedehnten ,mannigfaltigkeiten oder die ,geometrie von n ,dimensionen verdankt ihren ,ursprung der ,unterstuetzung1 welche die ,algebra von der ,geometrie erhielt1 seitdem ,cartesius jene auf diese anzuwenden gelehrt hat4 ,in der ,that ist diese ,unterstuetzung eine begrenzte1 da nur die analytischen ,thatsachen1 welche mit der ,theorie der ,funktionen einer1 zweier oder dreier ,variabelen verknuepft sind 7oder mit der ,theorie der binaeren1 ternaeren oder quaternaeren ,formen71 einer den ,sinnen zugaenglichen #aaf ,darstellung faehig sind4 ,aber der ,geist der ,verallgemeinerung1 der1 wie ich schon sagte1 einer der maechtigsten ,antriebe zu den modernen geometrischen ,untersuchungen war und noch fortwaehrend ist1 bewog die ,geometer1 die ,fesseln zu brechen1 welche die ,natur ihrem ,vorstellungsvermoegen angelegt zu haben schien1 und von beliebig ausgedehnten ,raeumen zu sprechen4#gjd ,und sie sprachen davon1 ehe sie sich noch mit der mehr philosophischen1 als mathematischen ,frage beschaeftigt hatten1 ob in der ,that solche ,raeume existieren2 und sie thaten dies mit ,recht1 da sie nur so1 ohne ein vielleicht unloesbares ,problem in ,angriff zu nehmen1 ihr ,ziel erreichen konnten2 durch eine kuehne ,einbildungskraft verschafften sie sich die 7sinnlich wahrnehmbaren oder uebersinnlichen7 ,darstellungen vieler analytischer ,resultate4#gje ,um zu zeigen1 dass man wirklich in der angegebenen ,weise zu einer solchen ,theorie gekommen ist1 begnuege ich mich damit1 die ,thatsache anzufuehren1 dass dieselbe von ,analysten wie ,cauchy#gjf 7#aghi-aheg7 und ,riemann#gjg aufgestellt wurde2 dass sie sich noch bei vielen anderen minder bedeutenden mehr oder weniger versteckt findet in der ,absicht1 fuer die ,theoreme der ,analysis ausdrucksvollere ,fassungen zu erhalten2 ferner dass ,lagrange schon ,ende des vergangenen ,jahrhunderts die ,bemerkung machte1 dass man die ,mechanik als eine ,geometrie von vier ,dimensionen #aag ansehen koenne1 in welcher die ,zeit als vierte ,koordinate fungiert4#gjh ,dieser ,begriff des beliebig ausgedehnten ,raumes ist jedoch seinem ,ursprunge und seiner ,bestimmung nach wesentlich analytisch4 ,pluecker1 dem das ,schicksal einen so wichtigen ,anteil an der ,foerderung der modernen ,geometrie zugeteilt hat1 war es vorbehalten1 diesem ,begriffe ein geometrisches ,gewand zu geben1 indem er beobachtete1 dass man unserem ,raume eine beliebige ,anzahl ,dimensionen zuerteilen kann vermittelst einer passenden ,wahl des geometrischen ,gebildes1 welches man als erzeugendes ,element des ,raumes auffasst2 so wird er drei ,dimensionen haben1 wenn man den ,punkt oder die ,ebene waehlt1 vier1 wenn man die ,gerade oder die ,kugel nimmt1 neun1 wenn man die ,flaeche zweiten ,grades nimmt1 u4 s4 w4#gji #aah ,dieser ,gedanke ist weniger abstrakt als der vorhergehende1 und leichter zu begreifen2 dessen ungeachtet verbreitete er sich viel langsamer1 als der erstere1 wahrscheinlich deswegen1 weil sein ,urheber nicht ,worte genug machte1 um seine ,wichtigkeit zu zeigen4 ,der andere hingegen wurde besonders infolge der beruehmten ,abhandlung von ,riemann1 ,ueber die ,hypothesen1 welche der ,geometrie zu ,grunde liegen1 in vielen ,richtungen weiter entwickelt1 und die mathematische ,litteratur ueber diesen ,gegenstand ist von einer schon betraechtlichen ,reichhaltigkeit und waechst noch von ,tag zu ,tag4 ,zur ,rechtfertigung dieser ,behauptung erinnere ich an die schon genannten ,abhandlungen von ,helmholtz1 fuehre die von ,beltrami1#gaj ,schlaefli1#gaa ,newcomb1#gab ,stringham1#gac das neue ,buch von ,killing#gad an und die darauf folgenden ,untersuchungen von ,schur1#gae die enge mit der ,riemannschen ,abhandlung zusammenhaengen2 die ,untersuchung von ,betti#gaf ueber den ,zusammenhang eines ,raumes von n ,dimensionen2 die von ,clifford1#gag ,beltrami1#gah ,jordan1#gai von ,lipschitz1#gbj ,monro1#gba ,scheeffer 7#ahei-ahhe71gbb ,heath#gbc und ,killing#gbd ueber die ,kinematik und ,mechanik eines #aai solchen ,raumes2#gbe ferner die von ,jordan#gbf und ,brunel#gbg ueber die verschiedenen ,beruehrungs- und ,schmiegungsraeume1 welche eine ,kurve in einem ,raume von n ,dimensionen zulaesst1#gbh die von ,craig#gbi ueber die metrischen ,eigenschaften der ,oberflaechen in einem solchen ,raume1 die von ,kronecker1#gcj von ,beez1#gca ,lipschitz1#gcb ,christoffel1#gcc von ,brill1#gcd ,suworoff#gce und ,voss#gcf ueber die ,kruemmung eines beliebig ausgedehnten ,raumes2 die von ,kronecker und ,tonelli#gcg ueber das ,potential2 die von ,lie1#gch ,klein1#gci ,jordan#gbf und ,lipschitz#gdj ueber die ,erweiterung des ,dupinschen und des ,eulerschen ,lehrsatzes2 sodann die konforme ,abbildung einer ,oberflaeche des vierdimensionalen ,raumes auf den gewoehnlichen ,raum1 die von ,craig#gda studiert wurde1 endlich die von ,lipschitz gegebene ,verallgemeinerung des beruehmten ,problemes der drei ,koerper4#gdb ,zum ,schlusse wollen #abj wir die ,aufmerksamkeit des ,lesers lenken auf die ,erweiterungen gewisser ,begriffe1 einiger ,saetze und ,formeln der elementaren ,geometrie1 die vorzueglich von ,rudel1#gdc ,hoppe1#gdd ,schlegel#gde und ,mehmke#gdf gemacht sind2 dazu gehoeren auch die ,untersuchungen von ,stringham1#gdg ,hoppe1#gdh ,schlegel1#gdi ,scheffler1#gej ,rudel1#gea ,o4 ,biermann1#geb ,puchta#gec und anderen ueber die regulaeren ,koerper des vierdimensionalen ,raumes1 die soweit gediehen1 dass sie ,schlegel gestatteten1 ,modelle der ,projektionen dieser ,koerper auf unseren ,raum herzustellen4#ged ,ausser dieser ,richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von den ,bearbeitern der ,mannigfaltigkeiten von n ,dimensionen verfolgt1 welche projektiv ist1 waehrend die erstere wesentlich metrisch ist4--,eine kurze ,andeutung1 #aba die von ,cayley im ,jahre #ahdf gegeben wurde#gee ueber eine ,methode1 um die ,konfigurationen von ,punkten1 ,geraden und ,ebenen zu untersuchen1 kann man als die erste ansehen1 welche auf diese neue ,richtung hinwies4 ,aber es scheint1 wie ,bailly#gef bemerkt hat1 dass die ,ideen1 wie wir1 ein ,kindesalter und eine erste ,zeit der ,schwaeche haben2 sie sind nicht von ,geburt an produktiv1 sondern erhalten erst mit dem ,alter und mit der ,zeit ihre ,fruchtbarkeit4 ,daher sehen wir denn mehr als #cj ,jahre verfliessen1 ehe der geniale ,gedanke des grossen englischen ,geometers1 in der richtigen ,weise entwickelt1 die synthetische ,geometrie der ,raeume von n ,dimensionen1 welche wir heute besitzen1 hervorrief4 ,als ,einleitung zu derselben muss man die wichtige ,arbeit von ,clifford ansehen3 ,on the classification of loci1#geg in welcher das allgemeine ,studium der ,kurven in beliebigen linearen ,raeumen in ,angriff genommen ist2 jeden ,augenblick kommen in demselben ,operationen vor1 die wirkliche ,erweiterungen derer sind1 die man in der gewoehnlichen projektiven ,geometrie zu machen pflegt4 ,jedoch kann man sagen1 dass dieser neue ,zweig der ,geometrie mit der ,abhandlung beginnt1 die ,veronese der ,behandlung der projektiven ,eigenschaften der ,raeume von n ,dimensionen durch die ,prinzipien des ,schneidens und ,projizierens gewidmet hat4#geh ,in derselben laesst der beruehmte ,verfasser1 ,riemann folgend1 einen ,raum von n ,dimensionen entstehen1 indem er von demselben einen solchen1 der eine ,dimension weniger hat1 von einem ausserhalb gelegenen ,punkte projiziert1 und #abb indem er sich dieser ,erzeugungsweise bedient1 gelangt er zur ,erweiterung des groesseren ,teiles der ,theorien der gewoehnlichen ,geometrie der ,lage4#gei ,die ,fruchtbarkeit der in dieser grundlegenden ,abhandlung eroerterten ,prinzipien wurde durch viele interessante ,arbeiten1 welche die ,fortsetzung derselben bilden1 ins ,licht gestellt2 dieselben bereichern noch von ,tag zu ,tag ein ,lehrgebiet1 in welchem ,italien eine hervorragende ,stelle einnimmt4 ,unter ihnen will ich -- abgesehen von denen1 die ,veronese selbst publiziert hat1#gfj -- die ,untersuchungen von ,segre anfuehren ueber die ,theorie der quadratischen ,gebilde in einem ,raume von n ,dimensionen und ihre ,anwendung auf die ,geometrie der ,geraden1#gfa ueber die kollinearen und reciproken ,korrespondenzen1#gfb ueber die ,bueschel von ,kegeln zweiten ,grades1#gfc ueber die ,regelflaechen1#gfd ueber die ,oberflaechen vierter #abc ,ordnung mit ,doppelkegelschnitt#gfe und ueber die ,theorie der ,systeme von ,kegelschnitten1#gff dann die von ,bertini#gfg und ,aschieri1#gfh die verwandte ,gegenstaende behandeln2 die ,schriften von del ,pezzo ueber die ,oberflaechen in einem n-dimensionalen ,raume4#gfi ,noch viele andere muesste ich nennen1 aber ,io non posso ritrar di tutti appieno2 ,perocche si mi caccia il lungo tema1 ,che molte volte al fatto il dir vien meno4#ggj ,jedoch ,arbeiten1 welche zu verschweigen mich keine ,betrachtung verleiten koennte1 sind die -- viel frueher als die von ,veronese erschienenen -- von ,noether ueber die eindeutigen ,korrespondenzen zwischen zwei n-dimensionalen ,raeumen 7#ahfi1 #ahgd71gga jene ebenfalls aelteren von ,halphen 7#ahge7 ueber die ,schnitte der ,mannigfaltigkeiten1 die in einem beliebigen linearen ,raume enthalten sind1#ggb von d',ovidio #abd ueber die ,metrik eines solchen ,raumes 7#ahgf71ggc endlich die neuerlichen von ,schubert ueber die abzaehlende ,geometrie eines ,raumes von solcher ,beschaffenheit4#ggd 99 99 99 99 99 ,schluss4 ------ ,hiermit scheint es mir angemessen1 die vorgenommene ,musterung zu beschliessen4 ,freilich sind viele wirklich interessante ,untersuchungen derselben entgangen1 da sie unter keiner der ,kategorien1 in welche ich die von mir besprochenen ,arbeiten eingeteilt habe1 ,platz finden konnten4 ,so konnte ich nicht ueber die ,theorie der projektiven ,koordinaten berichten1 die von ,chasles#gge erhalten wurden1 als er die gewoehnlichen ,cartesischen ,koordinaten einer kollinearen ,verwandlung unterzog1 die dann direkt von ,staudt#ggf aufgestellt wurde und vollstaendiger von ,fiedler2#ggg #abe dann habe ich nicht ueber die ,methode der symbolischen ,bezeichnung berichtet1 da diese mehr ,mittel als ,zweck fuer den ,geometer ist2 die ,theorie der ,beruehrungstransformationen 7,lie7 und der ,differential-,invarianten 7,halphen7 habe ich stillschweigend uebergangen1 da sie auf der ,grenze zwischen der ,geometrie und der ,theorie der ,differentialgleichungen stehen2 ueber die sogenannte ,analysis situs habe ich mich einer ,besprechung enthalten1 da eben diese ,lehre von ,riemann geschaffen und von seinen ,schuelern betrieben wurde1 um ,probleme der ,funktionentheorie zu loesen4 ,dann haben sich meiner ,darlegung die schoenen ,auseinandersetzungen von ,battaglini und ,ball entzogen ueber die ,kraefte und ,bewegungen1#ggh von ,chasles1 ,aronhold1 ,mannheim und ,burmester ueber die kinematische ,geometrie und von ,reye ueber die ,traegheitsmomente1 da sie bisher#ggi mehr zur ,mechanik als zur ,geometrie gehoerig angesehen wurden4 ,gleiches gilt von den interessanten ,experimenten ,plateaus 7#ahja-ahhc7 in bezug auf die ,minimalflaechen1 deren ,besitz die ,physiker fuer sich beanspruchen1 von den schoenen ,untersuchungen ueber die ,polyeder 7,moebius1 ,bravais1 ,jordan1 ,hess71 welche den ,uebergang von der ,geometrie zur ,mineralogie bilden1 und den neuesten ,arbeiten ueber die geometrische ,wahrscheinlichkeit 7,crofton1 ,czuber1 ,cesaro71 welche ich geneigt waere unter die ,anwendungen der ,geometrie zu rechnen4 ,dann habe ich nicht ueber die ,methode der ,aequipollenzen gesprochen 7,bellavitis7 und die ,theorie der ,quaternionen 7,hamilton71 da beide sich bis jetzt noch #abf nicht von so grosser ,fruchtbarkeit erwiesen haben1 um als notwendiges ,hilfsmittel des ,geometers angesehen zu werden4 ,ungern musste ich hinweggehen ueber die ,theorie der ,kugelsysteme1 die mit grossem ,erfolge von ,lie und ,reye bearbeitet ist4 ,ich habe keinen ,blick auf die ,theorie der ,konfigurationen werfen koennen 7,reye1 ,kantor1 ,jung1 ,martinetti71 da dieselbe gerade noch im ,stadium ihrer ,bildung begriffen ist1 und auf die mehr den ,elementen angehoerige ,erweiterung der ,lehre vom ,dreiecke1 zu welcher ,arbeiten von ,brocard#ghj die ,anregung gegeben haben4 ,kurz erwaehnen will ich noch zwei ,reihen von ,untersuchungen ueber ,maximal- und ,minimalfiguren1 von denen die einen 7,painvin1 ,p4 ,serret1 ,lebesgue1 ,borchardt1 ,kronecker7 das ,problem von ,lagrange1 das ,tetraeder groessten ,inhalts zu finden1 von dem die ,inhalte der ,seitenflaechen gegeben sind1 und ,erweiterungen1 bez4 ,umgestaltungen desselben behandeln1#gha die anderen 7,lindeloef1 ,berner1 ,edler1 ,sturm1 ,schwarz1 ,lange1 ,certo7 sich an die beruehmten ,aufsaetze von ,steiner#ghb anschliessen4#ghc ,keinesfalls aber darf mit ,stillschweigen uebergangen werden1 dass es unserem ,jahrzehnte vergoennt gewesen ist1 die alte ,frage der ,quadratur des ,kreises zur endgiltigen ,erledigung zu bringen4 ,nachdem im vergangenen ,jahrhundert ,lambert#ghd die ,zahl pi als irrational nachgewiesen1 verblieb immer noch der ,nachweis1 dass pi auch nicht ,wurzel #abg einer algebraischen ,gleichung mit rationalen ,koeffizienten sei2 denn erst damit ist dargethan1 dass die ,quadratur des ,kreises nicht vermittelst einer endlichen ,anzahl von ,konstruktionen1 welche mit ,hilfe des ,lineals und des ,zirkels ausfuehrbar sind1 vollzogen werden koenne4 ,dieser ,beweis wurde1 unter ,benutzung ,hermitescher ,vorarbeiten ueber die ,exponentialfunktion1 #ahhb von ,lindemann#ghe erbracht4 ,trotz der aufgezaehlten und unzaehliger anderer ,unvollkommenheiten des ,bildes1 das ich ueber den heutigen ,zustand der ,geometrie zu entwerfen versucht habe1 wird dennoch der ,leser1 wenn er einen ,blick auf dasselbe wirft1 von tiefer ,verwunderung betroffen sein1 nicht allein ueber die gewaltige ,entwickelung der ,mathematik in diesen letzten fuenfzig ,jahren1 sondern auch ueber die neue1 schoenere1 verlockendere ,gestalt1 welche sie mehr und mehr annimmt4 ,die geometrischen ,figuren1 die eine ,zeit lang als fest1 unbeweglich1 leblos erschienen1 bekamen eine unerwartete ,lebendigkeit durch die ,theorie der geometrischen ,transformationen1 vermoege derer sie sich bewegen1 sich in einander verwandeln1 gegenseitige ,beziehungen enthuellen und unter sich bisher unbekannte ,verwandtschaften herstellen4 ,ferner glaubte man eine ,zeit lang1 dass wir als dreidimensionale ,wesen1 die in einem ,raume leben1 in welchem wir nur drei ,dimensionen wahrnehmen koennen1 dazu verurteilt waeren1 ewig nur die ,mannigfaltigkeiten von nicht mehr als drei ,dimensionen zu studieren4 ,jetzt aber ist es uns erlaubt und fast unsere ,pflicht1 von dieser ,idee als einem gefaehrlichen ,vorurteile uns frei zu machen1 und die ,fuelle von ,arbeiten1 die wir vor uns bewundern1 belehren alle diejenigen1 welche ihre ,augen nicht von der neuen ,sonne wegwenden wollen1 ueber die ,wichtigkeit dieses ,fortschrittes4 ,endlich ist1 kann man sagen1 der ,kampf zwischen der ,geometrie und der ,analysis1 der sich gegen ,ende des #abh vergangenen ,jahrhunderts erhoben und zu ,anfang dieses fortgesetzt hat1 nunmehr beendigt2 weder die eine1 noch die andere hat den ,sieg davon getragen1 aber jede hat auch den ,unglaeubigsten gezeigt1 dass sie bei jeglichem ,ringen als ,siegerin hervorgehen koenne4 ,der ,mecanique analytique1 in welcher ,lagrange mit ,freuden konstatierte1 dass er es soweit gebracht habe1 jegliche ,figur zu vermeiden1 hat ein ,lehrbuch der ,mechanik einen glaenzenden ,bescheid gegeben1 welches das ,motto traegt3 ,geometrica geometrice2 dem hundertjaehrigen ,dienste1 welchen die ,algebra der ,geometrie bot1 koennen sich heute die zahllosen und unvergleichlichen ,vorteile entgegenstellen1 welche jene von dieser zog2 schliesslich wird man doch an ,stelle der analytischen oder pseudosynthetischen ,theorie der ,kurven und ,oberflaechen in ,kurzem die rein synthetische ,theorie setzen koennen1 die man gegenwaertig aus dem von ,staudt#ghf gelieferten ,materiale errichtet4 ,und zu dieser ,periode des ,friedens oder vielmehr des edlen ,wetteifers der ,analysis und ,geometrie muessen sich alle ,glueck sagen1 da jeder ,fortschritt der einen einen entsprechenden in der anderen nach sich zieht oder dazu #abi auffordert4 ,das entspricht dem heutigen ,standpunkte der gesamten ,wissenschaft1 denn nun funktionieren1 wie ,spencer sagt1 die verschiedenen ,disziplinen als ,hilfskuenste1 die einen fuer die anderen4 ,diese ,stellung der modernen ,mathematik jedoch legt jedem1 der sie mit ,erfolg betreiben will1 eine schwere ,verpflichtung auf1 naemlich die1 nicht die eine der beiden ,disziplinen1 welche sie zusammen bilden1 um die andere zu vernachlaessigen und sich in der ,handhabung der ,wissenschaft der ,zahlen ebensowohl1 als in derjenigen der ,ausdehnung auszubilden4#ghg ,um heiteren ,mutes diese vermehrten ,anstrengungen auf uns zu nehmen1 dazu hilft uns die ,betrachtung1 dass die ,analysis und ,synthesis im ,grunde genommen gleichsam immer vereinigt in unseren ,arbeiten sind und zusammen das vollstaendigste ,werkzeug des menschlichen ,geistes bilden4 ,denn unser ,geist macht keine ,fortschritte1 als nur mit der ,hilfe von ,zeichen oder ,bildern1 und wenn er zum ersten ,male in schwierige ,fragen einzudringen sucht1 so hat er nicht einen ,ueberfluss an diesen beiden ,mitteln und jener besonderen ,kraft1 die er oft genug nur aus ihrem ,zusammenwirken schoepft4#ghh ,indem wir uns also der ,beschraenktheit unserer ,kraefte bewusst sind1 werden wir nur ein kleines ,feld waehlen1 auf dem wir unsere ,thaetigkeit ueben1 aber nicht vergessen1 dass #acj wir1 um alle ,fruechte1 die es zu bieten faehig ist1 einzuernten1 das ,recht und sozusagen die ,pflicht haben1 alle die ,hilfsmittel pruefend anzuwenden1 welche der menschliche ,geist waehrend so vieler ,jahrhunderte unausgesetzter ,thaetigkeit angehaeuft hat1 und die jedem zu ,gebote stehen1 der die ,klugheit hat1 sie zu ,rate zu ziehen1 und das ,geschick1 sie anzuwenden4 99 99 99 99 99 ,abkuerzungen fuer die haeufig erwaehnten ,zeitschriften4 ------ ,acta math43 ,acta mathematica4 ,amer4 ,journ43 ,american ,journal of ,mathematics pure and applied4 ,ann4 ,ec4 norm43 ,annales scientifiques de l',ecole normale superieure4 ,annali di ,matem43 ,annali di ,matematica pura ed applicata4 ,berliner ,abh43 ,mathematisch-physikalische ,abhandlungen der ,akademie der ,wissenschaften zu ,berlin4 ,berliner ,ber43 ,monatsberichte1 bez4 seit #ahhb ,sitzungsberichte oder auch3 ,mathematisch-naturwissenschaftliche ,mitteilungen derselben ,akademie4 ,bologna ,mem43 ,memorie dell' ,accademia di ,scienze dell' ,istituto ,bologna ,rend43 ,rendiconti di ,bologna4 ,bull4 sciences math43 ,bulletin des sciences mathematiques 7bis #ahhd3 et astronomiques74 ,bull4 ,soc4 math43 ,bulletin de la ,societe mathematique de ,france4 ,cambridge ,journ43 ,cambridge and ,dublin mathematical ,journal4 ,cambridge ,proc43 ,proceedings of the ,philosophical ,society of ,cambridge ,trans43 ,transactions ,cambridge4 ,comptes rendus3 ,comptes rendus hebdomadaires des seances de l',academie des sciences 7de ,paris74 ,gergonnes ,ann43 ,annales de ,mathematiques4 ,giorn4 di ,matem43 ,giornale di ,matematiche4 ,goettinger ,abh43 ,abhandlungen der ,gesellschaft der ,wissenschaften ,goettinger ,nachr43 ,nachrichten von zu ,goettingen4 ,grunerts ,arch43 ,archiv der ,mathematik und ,physik4 ,journ4 ,ec4 polyt43 ,journal de l',ecole polytechnique4 ,journ4 fuer ,math43 ,journal fuer die reine und angewandte ,mathematik4 ,irish ,proc43 ,proceedings of the ,irish ,academy4 ,irish ,trans43 ,transactions #aca ,leipziger ,ber43 ,berichte ueber die ,verhandlungen der ,gesellschaft der ,wissenschaften zu ,leipzig4 ,lincei ,atti3 ,atti ,lincei ,mem43 ,memorie dell' ,accademia dei ,lincei4 ,lincei ,rend43 ,rendiconti ,lincei ,trans43 ,transunti ,liouvilles ,journ43 ,journal de ,mathematiques pures et appliquees4 ,lombardo ,rend43 ,rendiconti dell' ,istituto ,lombardo di scienze e lettere4 ,math4 ,ann43 ,mathematische ,annalen4 ,mem4 pres43 ,memoires presentes par divers savants a l',academie des sciences 7de ,paris74 ,muenchener ,abh43 ,abhandlungen der ,akademie der ,wissenschaften ,muenchener ,ber43 ,sitzungsberichte zu ,muenchen4 ,napoli ,rend43 ,rendiconti dell' ,accademia delle scienze fisiche e matematiche di ,napoli4 ,nouv4 ,ann43 ,nouvelles ,annales de ,mathematiques4 ,phil4 ,mag43 ,london1 ,edinburgh and ,dublin philosophical ,magazine4 ,phil4 ,trans43 ,philosophical ,transactions of the ,royal ,society of ,proc4 ,roy4 ,soc43 ,proceedings ,london4 ,prager ,abh43 ,abhandlungen der boehmischen ,gesellschaft der ,prager ,ber43 ,sitzungsberichte ,wissenschaften4 ,proc4 math4 ,soc43 ,proceedings of the ,london mathematical ,society4 ,quart4 ,journ43 ,quarterly ,journal of pure and applied ,mathematics4 ,torino ,atti3 ,atti dell' ,accademia delle scienze di ,torino4 ,torino ,mem43 ,memorie ,wiener ,ber43 ,sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen ,klasse der ,akademie der ,wissenschaften zu ,wien4 ,zweite ,abteilung4 ,zeitschr4 f4 ,math43 ,zeitschrift fuer ,mathematik und ,physik4 ------ ,die arabische ,ziffer bezieht sich auf den ,band 7,teil1 ,jahrgang71 beim ,journ4 ,ec4 polyt4 auf das ,heft1 die roemische auf die ,serie 7,reihe74 #acb 99 99 99 99 99 ,verzeichnis der verstorbenen ,geometer1 deren ,lebenszeit angegeben ist4 ------ ,die ,zahl ist die der ,seite1 auf welcher sie steht4 ,abel #bj -- d',alembert #ad -- ,apollonius #f -- ,archimedes #f -- ,aronhold #ca4 ,baltzer #ec -- ,bellavitis #fj -- ,benedetti #i -- ,bobillier #bf -- ,bolyai1 ,j4 #aji -- ,bolyai1 ,w4 #ajh -- ,borchardt #dc -- ,bour #ef -- ,bragelogne #bd -- ,braikenridge #bb4 ,caporali #hd -- ,cardano #h -- ,carnot #ad -- ,cauchy #aaf -- ,chasles #ag -- ,chelini #eg -- ,clairaut #ac -- ,clebsch #bg -- ,clifford #bf -- ,cotterill #hd -- ,cotes #ba -- ,cramer #bb -- ,crelle #bj4 ,desargues #i -- ,descartes #aj -- ,dirichlet #aai -- ,dupin #ae4 ,enneper #ej -- ,eratosthenes #f -- ,euler #ac4 ,ferrari #h -- ,fermat #i -- ,ferro #h -- ,fibonacci #h4 ,gauss #dg -- ,gergonne #af -- ,la ,gournerie #dd -- ,grassmann #bf -- ,de ,gua #bb4 ,hachette #ae -- ,halley #aa -- ,hamilton #ajd -- ,harnack #fc -- ,hesse #be -- ,hipparch #f -- ,la ,hire #aa -- ,houeel #aji -- ,huygens #aa4 ,jacobi #af -- ,joachimsthal #ee4 ,lacroix #ae -- ,lagrange #ad -- ,laguerre #dj -- ,lamarle #abe -- ,lambert #hh -- ,lame #bc -- ,lancret #gb -- ,laplace #ad -- ,legendre #ad -- ,leibniz #aa -- ,liouville #gb -- ,lobatschewsky #aji4 ,mac ,cullagh #cc -- ,maclaurin #aa -- ,magnus #ha -- ,mascheroni #i -- ,mercator #hh -- ,moebius #ah -- ,monge #ac4 ,newton #aa4 ,oresme #af4 ,pappus #f -- ,parent #ac -- ,pascal #i -- ,plateau #abe -- ,plato #e -- ,pluecker #ai -- ,poisson #ad -- ,poncelet #ad -- ,ptolomaeus #f -- ,puiseux #gb -- ,pythagoras #e4 ,richelot #af -- ,riemann #aaj4 ,saint-,venant #gb -- ,scheeffer #aah -- ,schooten #ac -- ,serret1 ,a4 #ej -- ,seydewitz #cc -- ,simpson #aa -- ,smith #bi -- ,snellius #af -- ,spottiswoode #abd -- ,staudt #ai -- ,steiner #ah -- ,stewart #aa --,sturm1 ,ch4 #ajd4 ,tartaglia #h -- ,thales #d -- ,transon #ha4 ,vieta #i4 ,waring #bb -- ,wren #cb4 99 99 99 99 99 ,berichtigung4 ,s4 #ig ,z4 #g v4 o4 lies viel- statt zwei-4 99 99 99 99 99 ,noten4 ------ #a ,it is difficult to give an idea of the vast extent of modern mathematics4 ,this word extent is not the right one3 ,i mean extent crowded with beautiful detail -- not an extent of mere uniformity such as an objectless plain1 but of a tract of beautiful country seen at first in the distance1 but which will bear to be rambled through and studied in every detail of hillside and valley1 stream1 rock1 wood and flower4 7,rede von ,cayley i4 ,j4 #ahhc vor der ,british ,association for the ,advancement of ,science gehalten47 ,bei dieser ,gelegenheit fuehren wir noch folgendes ,urteil von ,e4 ,dubois-,reymond ueber den ,charakter der modernen ,wissenschaft an3 ,nie war die ,wissenschaft entfernt so reich an den erhabensten ,verallgemeinerungen1 nie stellte sie in ihren ,zielen1 ihren ,ergebnissen eine groessere ,einheit dar4 ,nie schritt sie rascher1 zweckbewusster1 mit gewaltigeren ,methoden voran1 und nie fand zwischen ihren verschiedenen ,zweigen lebhaftere ,wechselwirkung statt4 7,ueber die wissenschaftlichen ,zustaende der ,gegenwart1 ,reden1 ,bd4 ,,ii1 ,s4 #deb47 #b ,histoire des sciences mathematiques en ,italie par ,g4 ,libri1 #ahch4 ,bd4 ,i1 ,s4 #c4 #c ,hankel1 ,die ,entwickelung der ,mathematik in den letzten ,jahrhunderten 7,tuebingen4 ,,ii4 ,aufl4 #ahhe74 ,s4 #g4 #d ,diese ,thatsache koennte man als ein neues ,moment ansehen1 wie sich -- nach einem beruehmten ,ausspruche ,humboldts -- der ,einfluss1 den die tellurischen ,erscheinungen auf die ,richtung unserer wissenschaftlichen ,untersuchungen ausueben1 geltend macht4 #e ,vgl4 ,emil ,weyr1 ,ueber die ,geometrie der alten ,aegypter 7,wien1 #ahha74 #f ,fuer die ,mathematiker1 welche vor #abjj gelebt haben1 sind die hier niedergeschriebenen ,jahreszahlen aus den ,vorlesungen ueber die ,geschichte der ,mathematik von ,m4 ,cantor 7,i4 ,bd4 ,leipzig1 #ahhj7 entnommen4 ,die erste ,zahl in der ,klammer bezieht sich auf das ,geburtsjahr1 die zweite auf das ,todesjahr4 #g ,in ,bezug auf groessere ,einzelheiten sehe man ,bretschneider1 ,die ,geometrie und die ,geometer vor ,euklides 7,leipzig1 #ahgj74 #h ,betti und ,brioschi1 ,vorrede zu ,gli elementi di ,euclide 7,florenz1 #ahfg74 ,eine gegenteilige ,ansicht hat ,lacroix in seinem wohlbekannten ,buche ,essais sur l'enseignement en general et sur celui des mathematiques en particulier 7#d4 ,aufl4 #ahhc4 ,s4 #bif7 ausgesprochen4 #i ,um zu zeigen1 wie glaenzend und bewunderungswuerdig die noch immer verkannte griechische ,mathematik gewesen sein muss1 genuege es1 die ,thatsache anzufuehren1 dass die ,theorie der ,kegelschnitte1 ein hauptsaechlicher ,gegenstand des ,studiums der alten ,geometer1 von ihnen zu solcher ,vollendung gebracht wurde1 dass man im wesentlichen nur weniges hinzuzufuegen haette1 um sie auf den ,stand zu bringen1 auf dem sie sich heute befindet4 ,die ,bewunderung fuer jene wird noch jeden ,tag groesser durch die historischen ,forschungen gelehrter ,mathematiker z4 ,b4 ,zeuthen 7s4 das ,werk ,die ,lehre von den ,kegelschnitten im ,altertume1 deutsch von ,fischer-,benzon4 ,kopenhagen1 #ahhf71 ,p4 ,tannery 7s4 ,bull4 des sciences math4 und ,mem4 de la ,societe de ,bordeaux7 und andere1 welche das ,vorurteil zu beseitigen suchen1 dass die ,griechen keine ,untersuchungsmethoden gehabt haetten1 die vergleichbar sind mit denen1 auf welche unsere ,zeit so stolz ist1 und die als ,ersatz dafuer die ,ansicht aufzustellen streben1 dass es ihnen nur an den noetigen ,formeln zur ,darstellung der ,methoden selbst gefehlt habe4 #aj ,ich kann nicht umhin1 die beredten ,worte1 welche der beruehmte ,geschichtsschreiber der ,mathematik in ,italien bei dieser ,gelegenheit geschrieben hat1 anzufuehren3 444444 mais bientot le ,romain arrive1 il saisit la science personnifiee dans ,archimede1 et l'etouffe4 ,partout ou il domine la science disparait3 l',etrurie1 l',espagne1 ,carthage en font foi4 ,si plus tard ,rome n'ayant plus d'ennemis a combattre se laisse envahir par les sciences de la ,grece1 ce sont des livres seulement qu'elle recevra2 elle les lira et les traduira sans y ajouter une seule decouverte4 ,guerriers1 poetes1 historiens1 elle les a1 oui2 mais quelle observation astronomique1 quel theoreme de geometrie devons-nous aux ,romains8 7,libri a4 ,o4 ,s4 #ahf47 ,um zu zeigen1 in welchem ,ansehen unsere ,vorfahren die ,mathematik hielten1 genuege es mitzuteilen 7vgl4 ,hankel1 ,zur ,geschichte der ,mathematik im ,altertum und ,mittelalter1 ,leipzig1 #ahgd4 ,s4 #ajc71 dass sie dieselbe oft mit ,astrologie und den verwandten ,kuensten zusammenwarfen4 ,es darf uns daher nicht ,wunder nehmen1 wenn wir in dem ,codex ,justinians unter den gesammelten ,bestimmungen unter dem ,titel ,de maleficis et mathematicis et ceteris similibus folgendes finden3 ,ars autem mathematica damnabilis interdicta est omnino4 ,wenn man in demselben ,codex etwas weiter die ,wendung findet3 ,artem geometriae discere atque exercere publice interest1 so muss man sich hueten1 sie als eine ,uebersetzung des ,ausspruches ,napoleons ,i4 anzusehen3 ,l'avancement1 le perfectionnement des ,mathematiques sont lies a la prosperite de l',etat1 denn es ist fast sicher1 dass der roemische ,gesetzgeber den praktischen ,teil der ,geometrie meinte4 #aa ,unter den ,fragen der ,geometrie1 welche die italienischen ,gelehrten des #af4 ,jahrhunderts sich gegenseitig stellten1 finden sich solche von einiger ,wichtigkeit1 da sie die ,geometria del compasso 7,geometrie des ,kreises7 entstehen liessen1 welcher gerade in dieser ,zeit ,benedetti 78-#aeij7 eine ,schrift widmete1 und die in neuerer ,zeit von ,mascheroni 7#agej-ahjh7 und ,steiner gepflegt wurde4 #ab ,pascal entdeckte an der ,cykloide eine ,fuelle bemerkenswerter ,eigenschaften1 wies auf die ,perspektivitaet als eine fuer das ,studium der ,kegelschnitte sehr guenstige ,methode hin1 bewies den beruehmten ,lehrsatz von dem ,hexagramma mysticum1 wie er es nannte1 u4 s4 w4 ,desargues fuehrte die gemeinsame ,betrachtung der drei ,kegelschnitte ein1 den wichtigen ,begriff des unendlich fernen ,punktes einer ,geraden1 den ,begriff der ,involution von sechs ,punkten1 loeste mehrere wichtige ,fragen1 die sich auf die ,kegelschnitte beziehen1 u4 s4 w4 ,in den ,werken von ,desargues 7vgl4 die von ,poudra #ahfd besorgte ,ausgabe7 findet sich auch eine ,methode vorgeschlagen1 um einige projektive ,eigenschaften der ,kurven zu untersuchen1 welche darauf beruht1 dass man dieselbe durch ,systeme von ,geraden ersetzt4 ,descartes und ,poncelet betrachteten die ,schluesse1 die auf einer solchen ,substitution beruhen1 als der ,strenge entbehrend 7vgl4 ,traite des proprietes projectives1 ,bd4 ,,ii1 ,s4 #abh74 ,jedoch wurde das von ,desargues vorgeschlagene ,verfahren in der neueren ,zeit wiederholentlich von demselben ,poncelet 7a4a4,o4 ,bd4 ,i1 ,s4 #cgd71 von ,jonquieres 7in verschiedenen ,abhandlungen in den ,annali di ,matem41 ,journ4 f4 ,math4 und in den ,math4 ,ann471 von ,cremona 7s4 die ,introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane7 gebraucht1 und gehoert heute zu den wertvollen ,untersuchungsmethoden1 die wir dem ,prinzip der ,erhaltung der ,anzahl verdanken4 #ac ,vgl4 ,e4 ,dubois-,reymond1 ,kulturgeschichte und ,naturwissenschaft1 in den ,gesammelten ,reden1 ,bd4 ,i #ahhf1 ,s4 #bjg-bjh4 #ad ,favaro1 ,notizie storico-critiche sulla costruzione delle equazioni4 ,memorie di ,modena1 #ah1 #ahgi4 ,matthiessen1 ,grundzuege der antiken und modernen ,algebra der litteralen ,gleichungen 7,leipzig1 #ahgh71 #g4 ,abschnitt4 #ae ,ueber den ,ursprung der analytischen ,geometrie sehe man ,guenther1 ,die ,anfaenge und die ,entwickelungsstadien des ,coordinatenprincipes 7,abhandlungen der naturforsch4 ,gesellsch4 zu ,nuernberg1 #f7 und ueber ,cartesius die ,rede von ,jacobi1 ins ,franzoesische uebersetzt und veroeffentlicht in ,liouvilles ,journ4 #ab unter dem ,titel3 ,de la vie de ,descartes et de sa methode pour bien conduire la raison et chercher la verite dans les sciences4 #af ,siehe z4 ,b4 den ,traite de la lumiere 7,leyden1 #afia74 #ag ,sectiones conicae in novem libros distributae 7,paris1 #afhe71 ,memoires sur les ,epicycloides 7,anciennes ,memoires de l',academie des sciences1 #i71 ,traite des roulettes etc4 7ebendas41 #agjd74 #ah ,man sehe die von ihm bewirkte ,herausgabe von griechischen ,werken nach1 sowie seine ,versuche1 verloren gegangene ,buecher 7wie das achte ,buch von ,apollonius' ,kegelschnitten7 wieder herzustellen4 #ai ,vergl4 sein ,buch ,a complete ,system of ,fluxions 7,edinburgh1 #agdb74 #bj ,treatise on conic ,sections 7#agce74 #ba ,general theorems of considerable use in the higher parts of mathematics 7,edinburgh1 #agdf72 ,propositiones geometricae more veterum demonstratae 7,edinburgh1 #agfc74 #bb ,hinsichtlich der von ,simpson und ,stewart gemachten ,versuche1 die griechische ,geometrie wieder aufleben zu machen1 sehe man ,buckle1 ,geschichte der ,civilisation in ,england 7deutsch von ,a4 ,ruge71 ,bd4 ,i1 ,kap4 #e4 #bc ,die von den ,griechen hauptsaechlich untersuchten ,kurven sind3 der ,kreis1 die ,ellipse1 die ,hyperbel1 die ,parabel1 die ,archimedische ,spirale1 die ,diokles'sche ,cykloide1 die ,konchoide des ,nikomedes1 die ,quadratrix des ,hippias und ,dinostratus1 die ,schraubenlinien1 die ,spirallinien und einige andere4 ,zu diesen fuegten die neuen ,rechnungsarten hinzu3 das ,folium und die ,ovale von ,descartes1 die ,tschirnhausensche ,quadratrix1 die ,cykloide1 die ,hypo- und ,epicykloiden1 die logarithmische ,spirale1 die ,kettenlinie1 die ,sinuscurve1 die ,logarithmuscurve und unzaehlige andere4 #bd ,siehe das fuenfte ,buch seiner ,exercitationes geometriae4 #be ,parent1 ,essai et ,recherches de ,mathematiques et de ,physique 7,,ii4 ,aufl4 #agac71 ,bd4 #b4 #bf ,traite de ,courbes a double courbure4 #d #bg ,recherches sur la courbure des surfaces 7,berliner ,abh474 #bh ,abhandlungen der ,akademie von ,turin 7#aggj-aggc7 und von ,paris 7#aghd72 ,feuilles d'analyse appliquee a la geometrie 7,paris1 #agie71 oder ,applications de l',analyse a la ,geometrie 7,paris1 #ahja74 #bi ,ausspruch von d',alembert4 #cj ,lecons de geometrie descriptive 7,paris1 #agid74 #ca ,in ,bezug auf ,monge sehe man ,dupin1 ,essai historique sur les services et les travaux scientifiques de ,gaspard ,monge 7,paris1 #ahai72 ,arago1 ,notices biographiques4 ,ueber die ,geschichte des ,ursprunges und der ,entwickelung der darstellenden ,geometrie sehe man den ersten ,abschnitt des #a4 ,bandes des ,werkes von ,chr4 ,wiener1 ,lehrbuch der darstellenden ,geometrie 7,leipzig1 #ahhd1 #ahhg71 in welchem der ,studierende eine ,menge interessanter ,einzelheiten finden wird1 sei es ueber die ,studien1 welche diese ,disziplin vorbereiteten1 sei es ueber die ,untersuchungen1 welche die ,nachfolger von ,monge gemacht haben4 ,monge hatte als ,mitarbeiter bei seinem reformierenden ,werke einige seiner ,kollegen unter anderen ,lacroix 7#agfe-ahdc7 und ,hachette 7#agfi-ahcd71 sowie viele von seinen ,schuelern an der polytechnischen ,schule4 ,der ,kuerze halber beschraenke ich mich darauf1 den anzufuehren1 der ueber die anderen wie ein ,adler fliegt1 ,charles ,dupin 7#aghd-ahgc71 vorzueglich wegen seiner klassischen ,developpements de geometrie 7#ahac71 die noch von allen gelesen werden muessen1 welche auch nur eine maessige ,kenntnis des heutigen ,zustandes der ,geometrie erlangen wollen4 #cb ,monge's ,einfluss laesst sich noch in den neuesten ,arbeiten bemerken2 zum ,beweise genuege es1 die ,idee anzufuehren1 die ,schranken1 durch welche die ,alten die ,planimetrie von der ,stereometrie getrennt hatten1 niederzureissen1 und den gluecklichen ,versuch1 den neuerdings 7#ahhd7 ,de ,paolis in seinen goldenen ,elementi di ,geometria 7,turin7 gemacht hat1 dieselbe auszufuehren4 #cc ,la ,geometrie de position de ,carnot n'aurait pas1 sous le rapport de la metaphysique de la ,science1 le haut merite que je lui ai attribue1 qu'elle n'en serait pas moins l'origine et la base des progres que la ,geometrie1 cultivee a la maniere des anciens1 a fait depuis trente ans en ,france et en ,allemagne 7,arago1 ,biographie de ,carnot74 #cd ,zweite ,auflage1 #ahfe1 #ahff4 #ce ,den ,ursprung dieses ,prinzipes betreffend1 sehe man die ,note von ,c4 ,taylor1 ,on the history of geometrical continuity 7,cambridge ,proc41 #ahhj und #ahha74 #cf ,doctrina triangulorum canonicae u4 s4 w4 7,leyden1 #afbg74 #cg ,variorum de rebus mathematicis responsorum liber ,,viii4 7,opera ,vietae1 #afdf74 #ch ,gergonnes ,ann4 #ag4 #ci ,jacobi1 ,journ4 fuer ,math4 #c2 ,richelot1 das4 #e1 #ch2 ,rosanes und ,pasch1 ebendas4 #fd2 ,leaute1 ,comptes rendus1 #gi2 ,fergola1 ,padeletti und ,trudi1 ,napoli ,rend4 #ba2 ,simon1 ,journ4 fuer ,math4 #ha2 ,gundelfinger1 das4 #hc2 ,halphen1 ,liouvilles ,journ4 ,,iii1 #e2 ,bull4 de la ,soc4 philom4 ,,vii1 #c4 ,man sehe auch die interessante ,abhandlung von ,hurwitz3 ,ueber unendlich-vieldeutige geometrische ,aufgaben1 insbesondere ueber die ,schliessungsprobleme 7,math4 ,ann4 #ae7 und die ,note von ,forsith1 ,on in- and circumscribed polyhedra 7,proc4 ,math4 ,soc4 #ahhc74 #dj ,in deutscher ,uebersetzung von ,sohncke3 ,geschichte der ,geometrie1 hauptsaechlich in ,bezug auf die neueren ,methoden 7,halle1 #ahci71 jedoch ohne das ,memoire sur deux principes generaux de la science 7vgl4 die folgende ,note74 ,das franzoesische ,original erschien #ahge in #b4 ,auflage4 #da ,unter den ,arbeiten1 welche das ,werk von ,chasles bilden1 verdient eine besondere ,erwaehnung die ,abhandlung 7fuer welche urspruenglich der ,apercu historique als ,einleitung dienen sollte7 ,sur deux principes generaux de la ,science1 welche die allgemeine ,theorie der ,homographie 7,kollineation7 und der ,reciprocitaet enthaelt1 sowie die ,untersuchung der beiden ,faelle1 in welchen diese involutorisch ist1 und die ,anwendung dieser ,transformationen auf das ,studium der ,flaechen zweiten ,grades und der geometrischen ,oberflaechen ueberhaupt1 sowie auf die ,verallgemeinerung des cartesischen ,koordinatensystems4 ,auch muessen noch die ,noten erwaehnt werden1 da sie eingehende historische ,studien und geometrische ,untersuchungen von grosser ,bedeutung enthalten4 ,unter den letzteren will ich diejenigen anfuehren1 in denen die ,theorie des ,doppel- oder anharmonischen ,verhaeltnisses und der ,involution1 die anharmonischen ,eigenschaften der ,kegelschnitte1 die ,fokaleigenschaften der ,flaechen zweiten ,grades1 viele ,lehrsaetze ueber die kubischen ,raumkurven1 glueckliche ,versuche1 die ,saetze von ,pascal und ,brianchon auf die ,flaechen zweiten ,grades auszudehnen1 eine ,verallgemeinerung der stereographischen ,projektion u4 s4 w4 auseinandergesetzt sind4 #db ,dieser ,uebergang ging nicht friedlich von statten1 war vielmehr mit einer ,reihe lebhafter ,diskussionen verbunden1 in welchen ,poncelet1 ,chasles und ,bobillier zu ,gegnern hatten ,pluecker1 ,steiner und ,magnus und deren ,hauptschauplatz das ,bulletin von ,ferussac war4 -- ,hier wuerde es am ,orte sein1 den ,anteil zu bestimmen1 der jedem dieser ,gelehrten in den ,wissensgebieten zukommt1 an denen sie zusammen arbeiteten2 aber dafuer wuerde die ,feder eines competenteren und gelehrteren ,mannes1 als ich bin1 noetig sein4 ,im ,uebrigen sind nach meinem ,dafuerhalten gewisse ,produktionen der menschlichen ,intelligenz eine natuerliche ,frucht ihrer ,zeit2 daher darf es nicht wunder nehmen1 wenn sie gleichzeitig aus verschiedenen ,koepfen hervorgegangen scheinen1 und darum braucht man auch keine ,erklaerung dieser ,thatsache in der mala fides dieses oder jenes zu suchen4 ,dass solches wirklich bei der ,erfindung der ,differentialrechnung eingetreten ist1 steht heute ausser allem ,zweifel4 ,dass dies ebenso bei der modernen ,geometrie eingetreten ist1 kann die ,thatsache beweisen1 dass dieselbe hervorgegangen ist aus einem allseitig gefuehlten ,beduerfnisse 7man vergleiche dazu den ,ausspruch ,dupins ,developpements de geometrie1 der als ,motto auf dem ,traite des proprietes projectives des figures steht1 mit der ,vorrede der ,systematischen ,entwickelung und mit dem ,apercu historique an verschiedenen ,stellen7 nach allgemeinen ,methoden1 die als ,ariadnefaden dienen sollten zur ,fuehrung in dem ,labyrinthe von ,hilfssaetzen1 ,lehrsaetzen1 ,porismen und ,problemen1 die von den ,vorfahren ueberliefert sind4 #dc ,die hauptsaechlichste ,arbeit von ,moebius auf dem ,gebiete der reinen ,geometrie ist die mit dem ,titel3 ,der barycentrische ,calcul 7,leipzig1 #ahbg72 dort sind die bisherigen ,kenntnisse ueber den ,schwerpunkt 7,barycentrum7 eines ,systemes von ,punkten einer neuen und wichtigen ,rechnungsart zu ,grunde gelegt2 diese fuehrt zu einem neuen ,koordinatensystem1 dessen ,anwendung auf das ,studium der ,raumkurven und ebenen ,kurven und der ,oberflaechen der ,verfasser darlegt4 ,in demselben werden ferner methodisch und in grosser ,ausfuehrlichkeit wichtige geometrische ,transformationen1 die heute noch fortwaehrend ,anwendung finden1 betrachtet4 ,viele spaetere ,abhandlungen von ,moebius sind als ,anhaenge zum barycentrischen ,calcul zu betrachten4 7,siehe die beiden ersten ,baende der ,gesammelten ,werke von ,moebius1 herausgegeben auf ,veranlassung der ,saechsischen ,gesellschaft der ,wissenschaften1 ,leipzig1 #ahhe-ahhg47 #dd ,ich meine das ,werk3 ,systematische ,entwickelung der ,abhaengigkeit geometrischer ,gestalten von einander 7,berlin1 #ahcb71 in dem der ,organismus aufgedeckt ist1 durch welchen die verschiedenartigsten ,erscheinungen in der ,raumwelt miteinander verbunden sind4 -- ,die spaeteren ,schriften von ,steiner und diejenigen anderer1 welche sich auf das angefuehrte ,werk stuetzen1 zeigen1 welches ,recht der ,verfasser desselben dazu hatte1 den ,inhalt durch die schon angefuehrten ,worte zu charakterisieren4 ,steiners ,gesammelte ,werke sind auf ,veranlassung der ,akademie der ,wissenschaften zu ,berlin herausgegeben 7,berlin1 #ahha1 #ahhb74 #de ,des ,naeheren will ich hier nur die drei ,buecher anfuehren3 ,analytisch-geometrische ,entwickelungen 7,essen1 #ahbh-ahca71 ,system der analytischen ,geometrie 7,berlin1 #ahce71 ,theorie der algebraischen ,kurven 7,bonn1 #ahci71 sowie die mit ihnen zusammenhaengenden ,abhandlungen1 die in ,gergonnes ,ann4 und im ,journ4 fuer ,math4 veroeffentlicht sind4 #df ,das ,werk1 in welchem ,staudt sein ,system der ,geometrie dargelegt hat1 wurde im ,jahre #ahdg zu ,nuernberg veroeffentlicht unter dem ,titel3 ,geometrie der ,lage4 ,die ungemeine ,knappheit des ,stiles ist vielleicht die ,ursache der grossen ,schwierigkeit1 auf welche die ,verbreitung desselben stiess2 heute erst sind1 dank den von ,reye 7in erster ,auflage #ahff-ahfh erschienenen und7 unter demselben ,titel veroeffentlichten ,vorlesungen die in demselben enthaltenen ,ideen allen bekannt1 die sich mit ,geometrie beschaeftigen4 ,in ,italien wird jetzt zuerst von allen ,laendern eine ,uebersetzung desselben angefertigt4 ,nicht weniger wichtig sind die ,beitraege zur ,geometrie der ,lage 7in #c ,heften71 welche ,staudt seiner ,geometrie der ,lage #ahff-ahfj folgen liess4 ,wir beschraenken uns darauf1 hervorzuheben1 dass dort die einzige strenge1 allgemeine und vollstaendige ,theorie der imaginaeren ,elemente in der projektiven ,geometrie auseinandergesetzt ist2 diese ,theorie wurde in verschiedener ,weise von mehreren ,geometern1 ,lueroth 7,math4 ,ann4 #h1 #aa71 ,august 7,progr4 der ,friedrichs-,realschule in ,berlin1 #ahgb7 und ,stolz 7,math4 ,ann4 #d7 erlaeutert2 ueber die eng mit ihr zusammenhaengende ,rechnung mit den ,wuerfen sehe man ausser den erwaehnten ,abhandlungen von ,lueroth noch zwei ,arbeiten von ,sturm 7,math4 ,ann4 #i7 und ,schroeder 7ebendas4 #aj74 #dg ,ohne ,zweifel ist diese ,einteilung etwas willkuerlich2 vielleicht wird mancher1 indem er bedenkt1 dass gewisse ,theorien mit demselben ,rechte zu mehr als einem von den folgenden ,abschnitten gehoeren koennen1 dieselbe unpassend finden4 ,gleichwohl schmeichle ich mir1 dass die meisten nach reiflicher ,pruefung des besprochenen ,gegenstandes finden werden1 dass die von mir gewaehlte ,einteilung nicht ohne bemerkenswerte ,vorteile ist4 #dh ,cotes1 ,harmonia mensurarum 7#agbb72 ,maclaurin1 ,de linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus4 7,ins ,franzoesische uebersetzt von de ,jonquieres und seinen ,melanges de ,geometrie pure ,paris1 #ahef angehaengt47 #di ,miscellanea analytica etc4 7#agfb72 ,proprietates geometricarum curvarum 7#aggb72 ,phil4 ,trans4 #agfc-agia4 #ej ,geometria organica 7#agbj74 #ea ,phil4 ,trans4 #agce2 ,exercitationes ,geometriae de descriptione linearum curvarum 7#agcc74 #eb ,uebrigens hat1 wie ,c4 ,taylor 7,cambridge ,proc4 #c7 bemerkte1 ,newton selbst seine organische ,erzeugungsweise der ,kegelschnitte in der ,enumeratio linearum tertii ordinis auf ,kurven hoeherer ,ordnung ausgedehnt4 #ec ,usage de l'analyse de ,descartes 7#agdj74 #ed ,introductio in analysin infinitorum4 #b4 ,bd4 #ee ,introduction a l'analyse des lignes courbes algebriques4 #ef ,kurz vor der ,veroeffentlichung des ,cramerschen ,werkes fand ,euler 7man sehe die ,berliner ,abh4 #agdh71 dass von den neun ,grundpunkten eines ,bueschels ebener ,kurven dritter ,ordnung einer durch die acht uebrigen bestimmt ist4 #eg ,gergonnes ,ann4 #ag1 #ai4 #eh ,journ4 fuer ,math4 #af2 ,theorie der algebraischen ,curven 7wo ,s4 #ab-ac sich eine kurze ,geschichte dieser ,saetze findet74 #ei ,journ4 fuer ,math4 #ae4 #fj ,cambridge ,journ4 #c2 vgl4 ,bacharach1 ,math4 ,ann4 #bf4 #fa ,riemann1 ,journ4 fuer ,math4 #ed2 ,clebsch1 das4 #eh2 ,roch1 ebendas4 #fd2 ,clebsch und ,gordan1 ,theorie der ,abelschen ,funktionen 7,leipzig1 #ahff72 ,brill und ,noether1 ,ueber die algebraischen ,funktionen u4 s4 w4 7,math4 ,ann4 #g72 ,cremona1 ,bologna ,mem4 #ahgj2 ,casorati1 ,cremona und ,brioschi1 ,lombardo ,rend4 ,,ii1 #b4 #fb ,in diesem ,werke ist mit ersichtlicher ,bevorzugung von dem ,prinzipe der ,abzaehlung der ,konstanten ,kenntnis gegeben und ,gebrauch gemacht2 wir wollen dasselbe erwaehnen1 da sich darauf eine ,untersuchungsmethode stuetzt1 deren ganze ,bedeutung aufzuheben nicht gelingen wird1 obwohl sich ,beispiele von ,irrtuemern anfuehren lassen1 zu denen es fuehren kann1 wenn es ohne die notwendige ,vorsicht angewandt wird4 ,mit der ,theorie der ebenen ,kurven befassen sich auch die beiden folgenden ,buecher1 deren ,existenz ich aus einer ,anfuehrung ,plueckers kenne 7,theorie der algebraischen ,curven1 ,s4 #bjf72 ,a4 ,peters1 ,neue ,curvenlehre #ahce2 ,c4 ,c4 ,f4 ,krause1 ,novae theoriae linearum curvarum originariae et vere scientificae specimina quinque prima4 ,edidit ,schroeder1 #ahce4 #fc ,s4 auch eine ,abhandlung ,plueckers1 ,liouvilles ,journ4 #a4 #fd ,mem4 pres4 #agcj-ca-cb4 #fe ,s4 die in ,note #ed citierte ,introductio4 #ff ,hierzu siehe ,clebsch1 ,vorlesungen ueber ,geometrie1 ,s4 #ceb2 ,malet1 ,hermathema1 #ahhj2 ,pellet1 ,nouv4 ,ann4 ,,ii41 #bj1 #ahha4 #fg ,cayley1 ,quart4 ,journ4 #g und ,journ4 fuer ,math4 #fd2 ,la ,gournerie1 ,liouvilles ,journ4 ,,ii1 #ad2 ,noether1 ,math4 ,ann4 #i2 ,zeuthen1 das4 #aj2 ,halphen1 ,comptes rendus #gh1 ,liouvilles ,journ4 ,,ii1 #b1 ,mem4 pres4 #bf2 ,j4 ,s4 ,smith1 ,proc4 math4 ,soc4 #f2 ,brill1 ,math4 ,ann4 #af2 ,raffy1 das4 #bc4 -- ,an diese ,frage knuepft sich die ,untersuchung der ,zahl der ,schnitte zweier ,kurven1 welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen ,punkte absorbiert werden4 ,hierzu sehe der ,leser die interessante ,abhandlung von ,zeuthen1 ,acta math4 #a4 #fh ,journ4 fuer ,math4 #dj2 vgl4 ,clebsch 7das4 #fc74 #fi ,journ4 fuer ,math4 #cf1 #dj1 #da4 #gj ,phil4 ,mag4 ,oktoberheft #aheh4 #ga ,phil4 ,trans4 #ahei4 #gb z4 ,b4 ,dersch1 ,math4 ,ann4 #g4 #gc ,a ,treatise on higher plane curves 7#aheb72 ins ,deutsche uebertragen durch ,fiedler 7,leipzig1 #ahgc7 #gd ,gergonnes ,ann4 #ai4 #ge ,journ4 fuer ,math4 #bd4 -- ,die ,theorie der ,polaren in bezug auf ,kurven und ,oberflaechen wurde in der letzten ,zeit auf eine bemerkenswerte ,weise von ,clifford 7#ahde-ahgi7 7,proc4 math4 ,soc4 #ahfh oder ,mathematical ,papers of ,clifford1 #ahhb1 ,s4 #aae7 und von ,reye 7,journ4 fuer ,math4 #gb1 #gh7 verallgemeinert4 ,de ,paolis widmete ihr eine interessante ,schrift1 welche in den ,lincei ,mem4 #ahhe-ahhf veroeffentlicht ist4 #gf ,comptes rendus1 #ahec4 #gg ,essai sur la generation des courbes geometriques1 #aheh 7,mem4 pres4 #af74 ,vgl4 ,haertenberger1 ,journ4 fuer ,math4 #eh2 ,olivier das4 #gj1 #ga2 ,schoute1 ,nieuw ,archief voor ,wiskunde1 #d1 und die allerneuesten ,untersuchungen von ,jonquieres ueber die ,maximalzahl der vielfachen ,punkte1 die man bei einer ebenen ,kurve beliebig annehmen kann 7,comptes rendus #aje74 #gh ,veroeffentlicht im ,jahre #ahfb in den ,bologna ,mem4 ,moege es mir gestattet sein1 hier den ,wunsch auszusprechen1 dass der beruehmte ,cremona1 dessen ,interesse fuer die ,verbreitung der geometrischen ,studien bekannt ist1 seine beruehmten ,schriften ueber die ,theorie der ,kurven und ,oberflaechen durch neue ,ausgaben allen zugaenglich machen wolle4 -- ,diese ,schriften sind in deutscher ,uebersetzung von ,curtze unter dem ,titel3 ,einleitung in eine geometrische ,theorie der ebenen ,kurven 7,greifswald1 #ahfe71 bez4 ,grundzuege einer allgemeinen ,theorie der ,oberflaechen in synthetischer ,behandlung 7,berlin1 #ahgj7 erschienen4 #gi ,als ,vorbereitung fuer solche ,untersuchungen sind die von ,aronhold 7,berliner ,ber4 #ahfa7 anzusehen1 dann die von ,brioschi 7,comptes rendus1 #ahfc1 #fd7 ueber die ,darstellung der ,koordinaten der ,punkte von gewissen ,kurven als elliptische ,funktionen eines ,parameters4 #hj ,journ4 fuer ,math4 #eh1 #fd4 ,die von ,clebsch erhaltenen ,resultate haben sich infolge des schoenen ,werkes von ,lindemann1 welches den ,titel traegt3 ,vorlesungen ueber ,geometrie von ,a4 ,clebsch 7,i4 ,bd4 ,leipzig1 #ahgf7 und von dem das ,erscheinen des zweiten ,bandes allgemein gewuenscht wird1 schnell verbreitet4 #ha ,ueber die algebraischen ,funktionen und ihre ,anwendung in der ,geometrie4 ,math4 ,ann4 #g4 #hb ,zu den im ,texte angefuehrten ,schriften muessen noch die von ,brill hinzugezogen werden 7,math4 ,ann4 #ac71 ferner die von ,geiser 7,annali di ,matem4 ,,ii1 #i7 und die von ,del ,pezzo 7,napoli ,rend4 #bb7 ueber den ,zusammenhang1 der zwischen den ,singularitaeten einer ,kurve und denen ihrer ,hesseschen ,kurve besteht2 ferner die von ,laguerre 7,comptes rendus #dj7 und ,holst 7,math4 ,ann4 #aa und ,archiv for ,mathematik og ,naturvidenskab #g71 ueber die metrischen ,eigenschaften der ,kurven4 #hc ,de linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus4 #hd ,vgl4 ,salmon-,fiedler1 ,hoehere ebene ,kurven1 #e4 ,kap4 #he ,phil4 ,trans4 #aheg2 ,liouvilles ,journ4 #i1 #aj4 #hf ,journ4 fuer ,math4 #db4 #hg ,zeitschr4 f4 ,math4 #ag2 ,prager ,ber4 #ahga4 -- ,man sehe auch das ,buch ,die ebenen ,kurven dritter ,ordnung 7,leipzig1 #ahga7 und die ,abhandlung von ,gent 7,zeitschr4 f4 ,math4 #ag74 #hh ,giorn4 di ,matem4 #b4 #hi ,journ4 fuer ,math4 #ij4 #ij ,prager ,abh4 ,,vi1 #e4 #ia ,goettinger ,nachr4 #ahga und #ahgb4 #ib ,journ4 fuer ,math4 #gh4 #ic ,hierzu ,harnack1 ,math4 ,ann4 #i4 ,caporali1 ,lincei ,atti1 ,,iii1 #a2 ,folie und ,le ,paige1 ,memoires de l',academie de ,belgique1 #dc4 ,halphen1 ,math4 ,ann4 #ae2 ,bull4 ,soc4 math4 #i4 #id ,siehe ,giorn4 di ,matem41 ,lombardo ,rend41 ,math4 ,ann41 ,wiener ,ber4 und ,prager ,ber4 #ie ,fuer die ,clebschschen ,arbeiten sehe man die in ,note #hj angefuehrten ,baende des ,journ4 fuer ,math4 nach4 ,ueber die ebenen rationalen ,kurven dritter ,ordnung sehe man die ,arbeiten von ,durege 7,math4 ,ann4 #a71 ,igel 7das4 #f71 ,rosenow 7,dissertation1 ,breslau1 #ahgc71 ,schubert 7,math4 ,ann4 #ab71 ,dingeldey 7das4 #bg1 #bh72 ueber die ,kurven vierter ,ordnung die von ,brill 7,math4 ,ann4 #ab7 und ,nagel 7das4 #ai72 ueber die fuenfter ,ordnung von ,rohn 7das4 #be71 und ueber die rationalen ,kurven beliebiger ,ordnung die ,schriften von ,haase 7,math4 ,ann4 #b71 von ,lueroth 7das4 #i71 ,pasch 7das4 #ah71 ,brill 7das4 #bj71 von ,weltzien 7das4 #bf7 und ,garbieri 7,giorn4 di ,matem4 #af74 #if ,journ4 fuer ,math4 #dg2 ,comptes rendus1 #ahga4 #ig ,journ4 fuer ,math4 #ec4 #ih ,guessfeldt1 ,math4 ,ann4 #b2 ,laguerre1 ,bull4 ,soc4 math4 #g2 ,cremona und ,clebsch1 ,journ4 f4 ,math4 #fd2 ,kiepert1 ,zeitschr4 f4 ,math4 #ag2 ,frahm ebendas4 #ah2 ,milinowski das4 #ai2 ,intrigila1 ,giorn4 di ,matem4 #bc2 ,kantor1 ,wiener ,ber4 #ahgh und ,bull4 ,sciences math4 ,,ii1 #c4 #ii ,giorn4 di ,matem4 #ae4 #ajj ,journ4 fuer ,math4 #fe4 #aja ,math4 ,ann4 #d4 #ajb ,bull4 de la ,societe philomathique1 ,,vii1 ,i4 #ajc ,wenn p das ,quadrat des ,moduls einer elliptischen ,funktion1 q das ,quadrat des vermittelst einer primaeren ,transformation ungerader ,ordnung transformierten ,moduls und schliesslich ,f7p1 q1 #a7 #j die entsprechende ,modulargleichung ist1 so ist die ,gleichung einer ,modularkurve ,f7alpha1 beta1 gamma7 #j4 ,siehe ,proc4 math4 ,soc4 #i4 #ajd ,journ4 f4 ,math4 #fe2 vgl4 ,ed4 ,weyr das4 #gc2 ,hurwitz1 ,math4 ,ann4 #ai4 #aje ,math4 ,ann4 #bd4 #ajf ,journ4 fuer ,math4 #ie1 #ii2 siehe auch die ,abhandlung von ,august1 ,grunerts ,arch4 #ei4 #ajg ,transactions of the ,royal ,society of ,edinburgh #be4 #ajh ,math4 ,ann4 #e4 #aji ,math4 ,ann4 #e1 #f4 ,man sehe auch hierzu die ,abhandlung von ,harnack in der ,zeitschr4 f4 ,math4 #bb4 ,die hauptsaechlichsten von ,durege und ,schroeter auf synthetischem ,wege gefundenen ,lehrsaetze sind analytisch von ,walter in seiner ,dissertation ,ueber den ,zusammenhang der ,kurven dritter ,ordnung mit den ,kegelschnittscharen 7,giessen1 #ahgh7 bewiesen4 ,den genannten ,schriften ,schroeters ueber die ,kurven dritter ,ordnung koennen wir nun noch sein neuerdings erschienenes rein geometrisches ,lehrbuch3 ,die ,theorie der ebenen ,kurven dritter ,ordnung 7,leipzig1 #ahhh7 hinzufuegen4 #aaj ,math4 ,ann4 #e4 #aaa ,math4 ,ann4 #a1 #ac2 vgl4 ,clebsch1 ,journ4 fuer ,math4 #ei4 #aab ,irish ,trans4 #ahfi4 #aac ,siehe dessen ,werk1 ,sur une classe remarquable de courbes et surfaces algebriques 7,paris1 #ahgc74 #aad ,journ4 fuer ,math4 #eg1 #ei1 #ff4 #aae ,tidsskrift for ,mathematik1 ,,iv1 #c4 #aaf ,forhandlinger af ,videnskabs ,selskab af ,kjobenhavn #ahgi4 #aag ,erschienen in den ,collectanea mathematica in memoriam ,d4 ,chelini 7,mailand1 #ahha74 #aah ,journ4 fuer ,math4 #bh1 #cd1 #ch4 #aai ,journ4 fuer ,math4 #di1 #ee2 vgl4 auch ,cayley 7das4 #eh74 #abj ,journ4 fuer ,math4 #di4 #aba ,berliner ,ber4 #ahfd1 sowie ,nouv4 ,ann4 ,,ii1 #aa4 #abb ,math4 ,ann4 #a2 ,journ4 fuer ,math4 #gb4 #abc ,vgl4 ,note #hj4 #abd ,journ4 fuer ,math4 #ff4 -- ,ueber die ,doppeltangenten einer ,kurve vierter ,ordnung sehe man auch folgende ,arbeiten3 ,riemann1 ,zur ,theorie der ,abelschen ,funktionen fuer den ,fall p#c4 ,gesammelte ,werke 7,leipzig1 #ahgf71 ,s4 #def-dii2 ,noether1 ,math4 ,ann4 #ae2 ,cayley1 ,journ4 fuer ,math4 #id2 ,frobenius 7das4 #ii72 ,freyberg1 ,math4 ,ann4 #ag2 ,h4 ,weber 7ebendas4 #bc74 #abe ,um sich von dem bedeutenden ,anteil1 welchen die ,mongesche ,schule an der ,schoepfung der ,theorie der ,flaechen zweiten ,grades hatte1 zu ueberzeugen1 genuegt es1 sich folgendes zu vergegenwaertigen3 ,ihr verdanken wir die doppelte ,erzeugungsweise des einmanteligen ,hyperboloides und des hyperbolischen ,paraboloides durch die ,bewegung einer ,geraden 7,monge1 ,journ4 ,ec4 polyt4 #a7 und die ,erzeugung aller ,flaechen zweiten ,grades1 mit ,ausnahme des hyperbolischen ,paraboloides1 durch ,bewegung eines ,kreises 7,hachette1 ,elements de ,geometrie a trois dimensions74 ,monge und ,hachette verdankt man den ,beweis der ,existenz der drei ,hauptebenen einer ,oberflaeche zweiter ,ordnung2 ,monge 7,correspondance sur l',ecole polytechnique7 die ,entdeckung des ,ortes der ,scheitel der dreirechtwinkligen ,trieder1 deren ,kanten eine ,flaeche zweiter ,ordnung beruehren1 und ,bobillier 7,gergonnes ,ann4 #ah7 die des ,ortes der ,scheitel der dreirechtwinkligen ,trieder1 deren ,seitenflaechen eine ,flaeche zweiter ,ordnung beruehren2 ,monge bestimmte die ,kruemmungslinien des ,ellipsoides 7,journ4 ,ec4 polyt4 #b72 ,livet 7das4 #ac7 und ,binet 7ebendas4 #af7 dehnten die bekannten ,lehrsaetze des ,apollonius auf den ,raum aus1 waehrend ,chasles 7,correspondance sur l',ec4 polyt47 andere analoge ,saetze gab2 ,dupin 7,journ4 ,ec4 polyt4 #ad7 machte einige interessante ,methoden zur ,erzeugung solcher ,oberflaechen bekannt4 ,brianchon 7das4 #ac7 zeigte1 dass die reciproke ,polare einer ,flaeche zweiten ,grades ebenfalls eine ,flaeche zweiten ,grades sei1 u4 s4 w4 #abf ,journ4 fuer ,math4 #ab4 #abg ,irish ,proc4 #b4 #abh ,apercu historique1 ,note #be1 #bh1 #ca1 #cb2 ,comptes rendus1 #ahee2 ,liouvilles ,journ4 #ahfj u4 s4 w4 #abi ,journ4 fuer ,math4 #ah1 #bj1 #bd1 #bf1 #fj1 #gc1 #he1 #ij4 #acj ,grunerts ,arch4 #i4 #aca ,journ4 fuer ,math4 #fb4 ,ueber die ,oberflaechen zweiter ,ordnung sehe man auch die ,abhandlungen von ,townsend 7,cambridge ,journ4 #c71 von ,darboux 7,bull4 ,soc4 ,math4 #b71 von ,meray und ,cremona 7,annali di matem4 ,i1 #c7 u4 s4 w4 und die ,geometrie de direction 7,paris1 #ahfi7 von ,p4 ,serret4 ,eine der wichtigsten ,fragen1 welche sich in der ,theorie der ,flaechen zweiten ,grades darbietet1 ist die ,konstruktion derselben1 wenn neun ihrer ,punkte gegeben sind4 ,dieselbe wurde von ,seydewitz 7,grunerts ,arch4 #i71 ,chasles 7,comptes rendus1 #ahee71 ,steiner 7,gesammelte ,werke1 ,,ii4 ,bd41 ,nachlass71 ,schroeter 7,journ4 fuer ,math4 #fb71 ,sturm 7,math4 ,ann4 #a7 und ,dino 7,napoli ,rend4 #ahgi7 geloest4 -- ,daran knuepft sich die ,untersuchung des achten ,punktes1 der allen ,flaechen zweiter ,ordnung gemeinsam ist1 die durch sieben gegebene ,punkte gehen4 ,dieser wurde der ,gegenstand wichtiger ,untersuchungen von ,hesse 7,journ4 fuer ,math4 #bj1 #bf1 #gc1 #ge1 #ii71 ,picquet 7das4 #gc1 #ii71 ,caspary1 ,schroeter1 ,sturm1 ,zeuthen 7das4 #ii7 und ,reye 7das4 #ajj74 ,ein anderes interessantes ,problem ist die ,untersuchung der ,flaechen zweiten ,grades1 in bezug auf welche zwei gegebene ,flaechen zweiten ,grades reziproke ,polaren voneinander sind2 dasselbe wurde analytisch von ,battaglini behandelt 7,lincei ,atti1 #ahge71 von d',ovidio 7,giorn4 di ,matem4 #aj7 und synthetisch von ,thieme 7,zeitschr4 f4 ,math4 #bb74 ,ueber einige ,flaechen zweiten ,grades1 welche besondere metrische ,eigenschaften besitzen 7orthogonale1 gleichseitige ,hyperboloide71 haben geschrieben3 ,steiner 7,journ4 fuer ,math4 #b und ,systematische ,entwickelung71 ,chasles 7,liouvilles ,journ4 #a #ahcf71 ,schroeter 7,journ4 fuer ,math4 #he71 ,schoenfliess 7,zeitschr4 fuer ,math4 #bc1 #bd und ,journ4 fuer ,math4 #ii71 ,vogt 7,journ4 fuer ,math4 #hf7 und ,ruth 7,wiener ,ber4 #hj74 ,zu den neuesten ,studien ueber die ,flaechen zweites ,grades gehoeren die von ,zeuthen 7,math4 ,ann4 #ai1 #bf7 ueber die ,theorie der projektiven ,figuren auf einer solchen ,flaeche2 daran schliessen sich auch einige schoene ,untersuchungen1 welche ,voss gemacht hat 7,math4 ,ann4 #be1 #bf71 um gewisse ,resultate von ,poncelet und ,bruno 7,torino ,atti #ag7 weiter auszudehnen4 ,auch sind die ,anwendungen der hyperelliptischen ,funktionen auf sie bemerkenswert1 welche ,staude 7,math4 ,ann4 #bj1 #ba1 #be1 #bg7 gemacht hat4 #acb ,davon geben ,zeugnis die ,partien1 welche in ihren wertvollen ,lehrbuechern diesen ,oberflaechen gewidmet haben3 ,hesse 7,vorlesungen ueber die analytische ,geometrie des ,raumes71 ,salmon 7,analytische ,geometrie des ,raumes71 ,cremona 7,preliminari di una teoria geometrica delle superficie71 ,reye 7,die ,geometrie der ,lage7 und ,schroeter 7,theorie der ,oberflaechen zweiter ,ordnung und der ,raumkurven dritter ,ordnung74 #acc ,memoire de geometrie sur deux principes generaux de la science 7,anhang zum ,apercu historique74 #acd ,gergonnes ,ann4 #ag4 #ace ,memoire sur la theorie generale des polaires reciproques4 7,journ4 fuer ,math4 #d74 #acf ,cambridge ,journ4 #b1 #d2 ,irish ,trans4 #bc4 #acg ,cambridge ,journ4 #g1 #h2 ,phil4 ,trans4 #ahfi1 #ga u4 #gb4 ,man sehe auch die von ,zeuthen in den ,math4 ,ann4 #d1 #i1 #aj1 von ,jonquieres in den ,nouv4 ,ann4 #ac und von ,halphen in den ,annali di ,matem4 ,,ii1 #i veroeffentlichten ,abhandlungen4 #ach ,journ4 fuer ,math4 #ae4 #aci ,math4 ,ann4 #a1 #b4 ,vgl4 auch eine ,abhandl4 von ,padova im ,giorn4 di ,matem4 #i1 sowie eine von ,valentiner1 ,tidsskrift for ,mathematik ,,iv1 #c4 #adj ,comptes rendus #de4 #ada ,preliminari di una teoria geometrica delle superficie4 7,bologna ,mem4 ,,ii1 #f1 #g74 #adb ,wiener ,ber4 #ahgg1 #ahhb4 #adc ,math4 ,ann4 #bg4 #add ,journ4 fuer ,math4 #di4 #ade ,cambridge ,journ4 #d2 ,quart4 ,journ4 #a2 ,phil4 ,trans4 #ahfj4 #adf ,journ4 fuer ,math4 #eh1 #fc4 #adg ,journ4 fuer ,math4 #gb4 #adh ,math4 ,ann4 #aj1 #aa1 #ab2 ,abzaehlende ,geometrie1 #e4 ,abschnitt4 ,s4 auch ,krey1 ,math4 ,ann4 #ae4 #adi ,math4 ,ann4 #bc4 #aej ,journ4 fuer ,math4 #gb1 #gh1 #gi1 #hb4 #aea ,geometry of three dimensions2 in deutscher ,uebersetzung von ,fiedler3 ,analytische ,geometrie des ,raumes in zwei ,baenden 7#c4 ,auflage1 #ahgi_/hj74 #aeb ,preliminari etc4 ,vgl4 ,note #ada4 #aec ,vgl4 die in ,note #acf und #acg angefuehrten ,arbeiten4 #aed ,cambridge ,journ4 #f4 #aee ,auch im ,journ4 fuer ,math4 #ec publiziert4 #aef ,die einzige mir bekannte ,arbeit1 welche mit den ,studien von ,cayley und ,salmon im ,zusammenhange steht1 ist eine von ,schlaefli 7,quart4 ,journ4 #b71 die besonders dadurch wichtig ist1 dass sie die erste ist1 welche den ,begriff der ,doppelsechs enthaelt4 #aeg ,journ4 fuer ,math4 #fb4 #aeh ,disquisitiones de superficiebus tertii ordinis 7,berlin1 #ahfb74 #aei ,journ4 fuer ,math4 #fh2 ferner ,grundzuege einer allgemeinen ,theorie der ,oberflaechen 7,berlin1 #ahgj71 in welchem ,buche die deutsche ,uebersetzung der in ,note #ada und #aeb zitierten ,preliminari und diejenige dieser ,preisschrift 7durch ,curtze7 vereinigt sind4 #afj ,synthetische ,untersuchungen ueber ,flaechen dritter ,ordnung4 ,leipzig1 #ahfg4 #afa ,journ4 fuer ,math4 #ea2 vgl4 eine von ,schroeter 7das4 #if7 veroeffentlichte ,abhandlung4 #afb ,vgl4 die in ,note #aeh zitierte ,arbeit4 -- ,man sehe auch ,schubert1 ,math4 ,ann4 #ag4 #afc ,grunerts ,arch4 #ef4 #afd ,bull4 soc4 math4 #d4 #afe ,acta math4 #c4 #aff ,lombardo ,rend4 ,maerz #ahga4 #afg ,grunerts ,arch4 #ef4 #afh ,math4 ,ann4 #bc4 #afi ,lombardo ,rend4 #ahhd2 ,annali di ,matem4 ,,ii1 #ab4 #agj ,math4 ,ann4 #ac2 ,lincei ,mem4 #ahgf-ahgg4 #aga ,napoli ,rend4 #ahha4 #agb ,journ4 fuer ,math4 #gh4 #agc ,lombardo ,rend4 #ahgi4 #agd ,acta math4 #e4 #age ,phil ,trans4 #ahfc2 vgl4 ,cayley 7das4 #ahfi74 #agf ,math4 ,ann4 #ad4 #agg ,lombardo ,atti1 #ahfa4 #agh ,theorie der mehrdeutigen ,elementargebilde u4 s4 w4 ,leipzig1 #ahfi2 ,geometrie der raeumlichen ,erzeugnisse ein-zweideutiger ,gebilde1 ,leipzig1 #ahgj4 #agi ,ueber die geradlinige ,flaeche dritter ,ordnung und deren ,abbildung auf eine ,ebene4 7,dissertation4 ,strassburg1 #ahgf47 #ahj ,math4 ,ann4 #d4 #aha ,phil4 ,mag4 #ahfd4 #ahb ,math4 ,ann4 #aj4 #ahc ,phil4 ,trans4 #aej4 #ahd ,journ4 fuer ,math4 #eh4 #ahe ,math4 ,ann4 #e4 #ahf ,lincei ,mem4 #ahhj-ahha4 ,man sehe auch eine ,note von ,brioschi in den ,lincei ,atti ,,ii1 #c1 in welcher bewiesen wird1 dass die #de dreifach beruehrenden ,ebenen einer ,oberflaeche dritter ,ordnung dreien ,oberflaechen zehnter ,klasse gemeinsam sind4 ,neuerdings fand ,bauer 7,abh4 der ,bayr4 ,akad4 der ,wiss4 #ad1 #ahhc7 analytisch von neuem1 was ,sturm schon #ahfg in seinen ,synthetischen ,untersuchungen ueber ,flaechen dritter ,ordnung erkannt hatte1 dass die ,schnittkurve einer ,oberflaeche dritter ,ordnung mit ihrer ,hesseschen ,flaeche fuer beide eine parobolische ,kurve ist2 ein bemerkenswertes ,resultat1 weil es das ,analogon im ,raume zu einem bekannten ,satze ueber die ebene kubische ,kurve ist4 #ahg ,liouvilles ,journ4 ,,ii1 #ad2 ,traite des substitutions et des equations algebriques 7,paris1 #ahgj74 #ahh ,traite des proprietes projectives des figures4 #ahi ,comptes rendus1 #ahfb4 #aij ,ebendas41 #ahfa4 #aia ,phil4 ,trans4 #ahfd4 #aib ,bologna ,mem4 #ahfh4 #aic ,berliner ,ber4 #ahfd2 ,journ4 fuer ,math4 #fd4 #aid ,nouv4 ,ann4 ,,ii1 #e4 #aie ,die ,dupinsche ,cyklide gehoert zu diesen4 #aif ,vgl4 ,comptes rendus #ahfd4 #aig ,die ,untersuchungen von ,darboux finden sich in dem schon angefuehrten ,buche3 ,sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algebriques 7,paris1 #ahgc7 zusammengefasst4 #aih ,s4 die ,aufzaehlung der ,arbeiten1 die zu ,ende des in der vorigen ,note zitierten ,werkes sich findet1 und die ,notice sur la vie et les travaux de ,m4 ,laguerre1 veroeffentlicht von ,poincare in den ,comptes rendus #ajd4 #aii ,phil4 ,trans4 #ahga4 #bjj ,lombardo ,rend4 #ahga4 #bja ,journ4 fuer ,math4 #gj4 #bjb ,math4 ,ann4 #d4 #bjc ,om ,flader af fjerde ,orden med ,dobbeltkeglesnit 7,kopenhagen1 #ahgi74 ,von dieser ,abhandlung habe ich eine italienische ,uebersetzung in den ,annali di ,matem4 ,,ii1 #ad veroeffentlicht4 #bjd ,journ4 fuer ,math4 #fi4 #bje ,math4 ,ann4 #a1 #b1 #c1 #d4 #bjf ,annali di ,matem4 ,,ii1 #ac4 #bjg ,leipziger ,dissertation 7,greifswald1 #ahhe74 #bjh ,math4 ,ann4 #ai4 #bji ,torino ,mem4 ,,ii1 #cf4 #baj ,math4 ,ann4 #bd4 ,betreffend die ,konstruktion einer ,oberflaeche vierter ,ordnung mit ,doppelkegelschnitt sehe man eine ,abhandlung von ,bobek 7,wiener ,ber4 #aa4 und #ah4 ,dez4 #ahhd7 und eine von ,veronese 7,atti dell' ,istituto ,veneto1 ,,vi1 #a72 hinsichtlich der ,konstruktion einer ,cyklide sehe man eine ,abhandlung von ,saltel 7,bull4 ,soc4 math4 #c74 #baa ,weierstrass1 ,berliner ,ber4 #ahfc4 #bab ,unter den ,eigenschaften der roemischen ,flaeche von ,steiner verdient eine hervorragende ,stelle die 7durch verschiedene ,methoden von ,cremona und ,clebsch nachgewiesene7 ,eigenschaft1 dass sie zu asymptotischen ,kurven 7,haupttangentenkurven7 rationale ,kurven vierter ,ordnung hat4 ,eine andere ,eigenschaft derselben wurde von ,darboux 7,bull4 sciences math4 ,,ii1 #d7 entdeckt und besteht darin1 dass sie die einzige ,flaeche ist1 ausser den ,flaechen zweiten ,grades und den ,regelflaechen dritten ,grades1 bei welcher durch jeden ,punkt unendlich viele ,kegelschnitte gehen4 ,neuerdings hat ,picard 7,journ4 fuer ,math4 #ajj7 gezeigt1 dass sie die einzige nicht geradlinige ,oberflaeche ist1 deren saemtliche ebene ,schnitte rationale ,kurven sind4 ,man sehe hierzu noch eine ,note von ,guccia in den ,rendiconti del circolo matematico di ,palermo1 #a4 -- ,lie machte 7,archiv for ,math4 og ,naturvidenskab4 #c7 die interessante ,bemerkung1 dass der ,ort der ,pole einer ,ebene in ,bezug auf die ,kegelschnitte einer ,steinerschen ,flaeche eine ebensolche ,flaeche ist4 #bac ,journ4 fuer ,math4 #fc2 ,lombardo ,rend4 #ahfg4 #bad ,journ4 fuer ,math4 #fd4 #bae ,math4 ,ann4 #c4 #baf ,journ4 fuer ,math4 #fd2 ,proc4 math4 ,soc4 #e4 #bag ,giorn4 di ,matem4 #a2 ,bologna ,mem4 #ahgi4 #bah ,journ4 fuer ,math4 #fg4 #bai ,math4 ,ann4 #e4 #bbj ,nouv4 ,ann4 ,,ii1 #aa1 #ab2 ,bull4 ,soc4 math4 #a4 #bba ,la superficie di ,steiner studiata nella sua rappresentazione analitica mediante le forme ternarie quadratiche 7,torino1 #ahha74 #bbb ,berliner ,abh4 #ahff und ,berliner ,ber4 #ahfd4 #bbc ,diese ,oberflaeche hat eine fundamentale ,bedeutung in der mathematischen ,theorie des ,lichtes4 ,es ist in der ,that bekannt1 dass die ,bestimmung der ,ebenen1 welche sie laengs ,kreisen beruehren1 ,hamilton zur ,entdeckung der konischen ,refraktion fuehrte1 einer ,erscheinung1 welche der ,aufmerksamkeit der ,physiker entgangen war4 ,sie erfreut sich vieler interessanter ,eigenschaften und war ,gegenstand wichtiger ,untersuchungen verschiedener ,gelehrten1 insbesondere ,mannheims 7,comptes rendus1 #gh1 #ha1 #he1 #hh1 #ij2 ,association franc4 pour l'avanc4 des sciences #ahgd1 #ge1 #gf1 #gh71 ,proc4 ,roy4 ,soc4 #ahhb2 ,collectanea mathematica u4 s4 w4 #bbd ,liouvilles ,journ4 #aa2 ,journ4 fuer ,math4 #hg4 ,vgl4 eine ,abhandlung von ,segre im ,giorn4 di ,matem4 #ba4 ,andere ,spezialfaelle der ,kummerschen ,flaeche wurden von ,rohn und ,segre 7,leipziger ,ber4 #ahhd7 studiert4 #bbe ,diese ,eigenschaft der ,kummerschen ,flaeche veranlasste eine ,untersuchung ueber die ,oberflaechen beliebiger ,ordnung1 welche dieselbe besitzen1 eine ,untersuchung1 die schon von ,kummer und ,cayley unternommen ist1 ,berliner ,ber4 #ahgh4 #bbf ,berliner ,ber4 #ahgj1 oder ,math4 ,ann4 #bc4 #bbg ,journ4 fuer ,math4 #ig2 vgl4 ,segre das4 #ih4 #bbh ,journ4 fuer ,math4 #hc1 #id2 oder ,borchardts ,gesammelte ,werke 7,berlin1 #ahhh1 ,s4 #cda72 vgl4 ,brioschi und ,darboux1 ,compt4 rend41 #ahha4 #bbi ,journ4 fuer ,math4 #hd4 #bcj ,s4 die in ,note #bjg zitierte ,abhandlung1 und fuer die ,geschichte der ,anwendung der hyperelliptischen ,funktionen auf die ,kummersche ,oberflaeche die ,einleitung der ,abhandlung von ,rohn1 ,math4 ,ann4 #ae4 #bca ,journ4 fuer ,math4 #gj4 #bcb ,muenchener ,dissertation1 #ahgh2 ,math4 ,ann4 #ae4 #bcc ,die anderen ,oberflaechen vierter ,ordnung mit singulaeren ,punkten wurden von ,cayley studiert 7,proc4 math4 ,soc4 #ahgj1 #ahga71 vollstaendiger von ,rohn in einer sehr schoenen ,abhandlung1 die von der ,jablonowskischen ,gesellschaft kuerzlich praemiiert ist 7vgl4 ,math4 ,ann4 #bi74 ,endlich wurden die von ,flaechen zweiten ,grades eingehuellten ,flaechen vierter ,ordnung von ,kummer untersucht1 ,berliner ,ber4 #ahgb4 #bcd ,on the quartic surfaces 77 7u1 v1 w7#b #j 7,quart4 ,journ4 #aj1 #aa72 ,on the quartic surfaces represented by the equation symmetrical determinant #j 7,quart4 ,journ4 #ad74 #bce ,bekanntlich nennt man nach ,cayley ein ,monoid eine ,oberflaeche nter ,ordnung mit einem 7n-#a7-;fachen ,punkte4 #bcf ,math4 ,ann4 #bd2 vgl4 auch die ,dissertation von ,lampe1 ,berlin1 #ahfd4 #bcg ,math4 ,ann4 #ah1 #ag4 ,ausser den im ,texte zitierten ,oberflaechen wurden noch andere spezielle ,flaechen studiert1 die ich der ,kuerze wegen uebergehen muss2 der groessere ,teil derselben wurde vermittelst der ,theorie der ,abbildungen entdeckt oder betrachtet1 siehe s4 ,,vi4 #bch ,correspondance mathematique #i2 ,liouvilles ,journ4 #b4 #bci ,cambridge ,journ4 #h und ,irish ,trans4 #bc4 #bdj ,phil4 ,trans4 #ahfc-ahfi4 ,in den angefuehrten ,arbeiten haben ,cayley und ,salmon die ,regelflaechen bearbeitet als die ,oerter der ,geraden1 die drei gegebene ,kurven treffen1 oder eine einmal und eine zweite zweimal treffen1 oder ,trisekanten einer ,kurve sind4 ,rupp hat neuerdings diese ,betrachtungen wieder aufgenommen1 um auf eine andere ,weise die ,resultate zu erhalten und zu modifizieren1 zu denen jene ,mathematiker gelangt waren 7,math4 ,ann4 #ah74 #bda ,annali di ,matem4 ,,ii1 #a4 #bdb ,traite de geometrie descriptive1 ,art4 #fbi u4 #fce4 #bdc ,math4 ,ann4 #h1 #ab1 #ac4 #bdd ,comptes rendus1 #ahfb2 vgl4 d',ovidio und ,dino1 ,giorn4 di ,matem4 #c4 #bde ,dissertation1 gedr4 zu ,berlin #ahfd1 und ,journ4 fuer ,math4 #fg4 #bdf ,recherches sur les surfaces reglees tetraedrales symetriques 7,paris1 #ahfg74 ,ich bemerke1 dass ein ,bueschel von ,oberflaechen1 die in ,bezug auf ein ,tetraeder symmetrisch sind1 mit einem projektiven ,ebenenbueschel eine bemerkenswerte ,flaeche erzeugt1 die von ,eckardt 7,zeitschr4 f4 ,math4 #bj7 bearbeitet ist und welche die allgemeine ,oberflaeche dritter ,ordnung in sich schliesst4 #bdg ,math4 ,ann4 #e4 #bdh ,annali di ,matem4 ,,ii1 #d4 #bdi ,prager ,abhandlungen ,,vi1 #e4 #bej ,memoires de ,bordeaux ,,ii1 #c4 #bea ,ueber die ,flaechen1 deren ,gleichungen aus denen ebener ,kurven durch eine bestimmte ,substitution hervorgehen4 ,math4 ,ann4 #g4 #beb ,lincei ,mem4 #ahgh-ahgi4 #bec ,math4 ,ann4 #d4 #bed ,math4 ,ann4 #bg1 #bi4 ,s4 auch eine ,abhandlung von ,eckardt 7daselbst #g74 #bee ,math4 ,ann4 #c4 #bef das4 #ad1 #ae4 ,s4 auch eine ,bemerkung von ,dino1 ,napoli ,rend4 #ai4 #beg ,comptes rendus1 #eb4 #beh ,journ4 fuer ,math4 #fh4 #bei ,math4 ,ann4 #b4 #bfj ,proc4 math4 ,soc4 #d2 ,comptes rendus1 #ahfa2 vgl4 ,hungady ,journ4 fuer ,math4 #ib4 #bfa ,klein und ,lie1 ,comptes rendus1 #gj4 #bfb ,fouret1 ,bulletin de la ,societe philomatique1 ,,vii1 #a4 #bfc ,jung1 ,lincei ,rend4 #ahhe und #ahhf4 ,s4 auch zwei ,bemerkungen ueber denselben ,gegenstand1 veroeffentlicht von ,visalli 7ebendas4 #ahhf74 #bfd ,goursat1 ,ann4 ,ec4 norm4 ,,iii1 #d2 ,lecornu1 ,acta math4 #aj4 #bfe ,cfr4 die bewunderungswerten ,vergleichenden ,betrachtungen ueber neuere geometrische ,forschungen von ,f4 ,klein 7,erlangen1 #ahgb74 #bff ,veroeffentlicht im ,jahre #agie unter dem ,titel3 ,feuilles d',analyse appliquee a la ,geometrie4 ,die letzte 7fuenfte7 ,ausgabe wurde von ,liouville im ,jahre #ahej besorgt und durch einen ,anhang sehr wertvoller ,noten bereichert4 #bfg ,der ,koeniglichen ,gesellschaft der ,wissenschaften zu ,goettingen ueberreicht am #h4 ,oktober #ahbg und abgedruckt im #f4 ,bande der ,commentationes recentiores societatis ,gottingensis4 ,diese ,disquisitiones stehen im #d4 ,bande der von der genannten ,gesellschaft herausgegebenen ,werke von ,gauss1 ferner in franzoesischer ,uebersetzung in der angefuehrten ,liouvilleschen ,ausgabe des ,werkes von ,monge4 #bfh ,wenn x e7t71 y f7t71 z g7t7 die ,ausdruecke der ,koordinaten der ,punkte dieser ,kurve in ,funktionen eines ,parameters t sind und ,f7x1 y1 z7 #j die ,gleichung der gegebenen ,oberflaeche1 so ist die fragliche ,enveloppe die der ,oberflaeche ,fx e7t71 y f7t71 z g7t7 #j4 #bfi ,ueber solche ,flaechen sehe man die neue ,arbeit von ,lie 7,archiv for ,mathematik og ,naturvidenskab #g74 #bgj ,vor ,monge hatten sich schon ,euler 7,histoire de l',academie de ,berlin1 #agff7 und ,meunier 7,memoires de l',academie des sciences de ,paris #aj1 #aggf7 mit diesem ,thema beschaeftigt4 #bga ,unter den neueren ,arbeiten ueber die ,kruemmungslinien fuehren wir nur die von ,hamilton1 ,frost und ,cayley an1 die sich als ,aufgabe gestellt haben1 zu finden1 wie dieselben um einen ,nabelpunkt herum verteilt sind 7,quart4 ,journ4 #ab74 #bgb ,vgl4 hierzu eine von ,cremona veroeffentlichte ,arbeit in den ,bologna ,mem4 ,,iii1 #a4 ,wir fuehren hier auch einige ,noten von ,darboux an 7,comptes rendus1 #hd1 #ib1 #ig71 welche die ,bestimmung der ,kruemmungslinien einiger spezieller bemerkenswerter ,flaechen zum ,zwecke haben4 #bgc ,die ,differentialgleichung der ,minimalflaechen verdanken wir ,lagrange 7,miscellanea ,taurinensia1 #agfj-agfa72 die geometrische ,interpretation derselben wurde ein wenig spaeter von ,meunier gegeben 7vgl4 ,note #bgj74 #bgd ,an die in den ss4 #ah und #ba der ,application gemachten ,untersuchungen knuepft sich eine ,abhandlung von ,o4 ,rodrigues1 die sich in der ,correspondance sur l',ecole polytechnique #c findet4 #bge ,ausser den ,kruemmungs- und asymptotischen ,linien auf einer ,flaeche sind noch diejenigen bemerkenswert1 bei denen die ,schmiegungskugel in einem beliebigen ihrer ,punkte die ,oberflaeche selbst beruehrt4 ,dieselben wurden von ,darboux 7,comptes rendus #hc7 und von ,enneper 7,goettinger ,nachrichten1 #ahga7 studiert4 #bgf ,dupin fand 7,applications de ,geometrie et de ,mechanique1 #ahbb71 dass die einzigen ,oberflaechen1 bei denen saemtliche ,kruemmungslinien ,kreise sind1 die ,kugel1 der ,rotations-,kegel und -,cylinder und die ,cyklide sind1 welch letztere er schon als die ,enveloppe einer ,kugel erkannt hatte1 die sich so bewegt1 dass sie immer drei feste ,kugeln tangiert4 #bgg ,liouvilles ,journ4 #ac4 #bgh ,journ4 ,ec4 polyt4 #ai1 #ce2 ,comptes rendus #db4 #bgi ,atti dell' ,accademia dei ,quaranta1 #ahfh-ahfi2 ,annali delle ,universita toscane1 #ahfi2 ,annali di ,matem4 ,,ii1 #a1 #d4 #bhj ,goettinger ,abh4 #ac1 #af1 #bc2 ,journ4 fuer ,math4 #id4 #bha ,comptes rendus1 #if4 #bhb das4 #df4 #bhc ,journ4 ,ec4 polyt4 #ec4 #bhd ,journ4 fuer ,math4 #id4 #bhe ,goettinger ,dissertation1 #ahhc4 #bhf ,journ4 fuer ,math4 #ei4 #bhg ,annali di ,matem4 ,i1 #h4 #bhh ,archiv for ,math4 og ,naturvidenskab1 #d2 ,bull4 ,sciences math4 ,,ii1 #d4 #bhi ,journ4 fuer ,math4 #fb4 #bij ,berliner ,ber4 #ahdj2 ,journ4 fuer ,math4 #bd4 #bia ,berliner ,ber4 #ahff4 #bib ,abhandlungen der ,jablonowskischen ,gesellschaft zu ,leipzig #d2 ,journ4 fuer ,math4 #ac4 #bic ,liouvilles ,journ4 ,,ii1 #e4 #bid das4 ,i1 #aa4 #bie ,goettinger ,abh4 #ac1 oder ,gesammelte ,werke ,s4 #bhc und #dag4 ,niewenglowski hat die ,riemannschen ,untersuchungen in elementarer ,form dargelegt in den ,ann4 ,ec4 norm4 ,,ii1 #i4 #bif ,berliner ,ber4 #ahfg4 #big ,math4 ,ann4 #a4 #bih ,akademiens ,afhandlingar1 ,helsingfors1 #ahhc4 #bii ,journ4 ,ec4 polyt4 #cg4 #cjj ,heidelberger ,dissertation1 #ahge4 #cja ,comptes rendus #da2 vgl4 ,enneper1 ,zeitschr4 f4 ,math4 #g1 #i4 #cjb ,journ4 ,ec4 polyt4 #ci4 #cjc ,bestimmung einer speziellen ,minimalflaeche 7,berlin1 #ahga74 ,vgl4 ,cayley1 ,quart4 ,journ4 #ad4 #cjd ,journ4 fuer ,math4 #hj4 #cje das4 #hg2 ,comptes rendus #if4 #cjf ,zeitschr4 f4 ,math4 #ad2 ,goettinger ,nachr4 #ahff4 #cjg ,liouvilles ,journ4 ,,ii1 #h4 #cjh ,bologna ,mem4 ,,ii1 #g4 ,die wunderschoene ,einleitung dieser ,abhandlung enthaelt die ,geschichte der ,theorie der ,minimalflaechen4 #cji ,archiv for ,math4 og ,naturv4 #c1 #d1 #f2 ,math4 ,ann4 #ad1 #ae4 #caj ,journ4 fuer ,math4 #ha1 #he4 #caa ,annali di ,matem4 ,,ii1 #i4 #cab ,etude des elassoides4 ,memoires couronnes par l',academie de ,belgique #dd4 #cac ,giorn4 di ,matem4 #bb4 #cad ,lombardo ,rend4 #ahgf2 ,giorn4 di ,matem4 #ad4 #cae ,journ4 fuer ,math4 #gh4 #caf ,das ,studium der ,kruemmung einer ,oberflaeche in einem singulaeren ,punkte wurde von ,painvin im ,journ4 fuer ,math4 #gb angestellt4 #cag ,ein analoger ,satz wurde neuerdings von ,sturm entdeckt 7,math4 ,ann4 #ba74 #cah ,einige ,vervollkommnungen und ,ergaenzungen dieses ,teiles der ,gaussischen ,abhandlung wurden von ,liouville 7,journ4 ,ec4 polyt4 #bd71 von ,baltzer 7#ahah-ahhg7 7,leipziger ,berichte #ahgb7 und durch von ,escherich 7,grunerts ,arch4 #eg7 vorgenommen4 #cai ,der ,satz von ,gauss3 ,damit eine ,oberflaeche auf eine andere abwickelbar sei1 ist notwendig1 dass die ,kruemmung in den entsprechenden ,punkten gleich sei1 wurde auf verschiedene ,arten von ,liouville 7,liouvilles ,journ4 #ab71 von ,bertrand1 ,puiseux und ,diguet 7das4 #ac7 bewiesen4 ,vgl4 auch ,minding1 ,journ4 fuer ,math4 #ai4 #cbj ,annali di ,matem4 ,,ii1 #a4 #cba ,bologna ,mem4 ,,ii1 #h4 #cbb ,math4 ,ann4 #a4 #cbc ,comptes rendus #cg4 #cbd das4 #dd1 #df1 #eg1 #fg4 #cbe ,annali di ,matem4 ,i1 #g4 -- ,das allgemeinere ,problem der ,bestimmung zweier ,oberflaechen1 so dass jedem ,punkte der einen ein ,punkt oder eine ,gruppe von ,punkten der anderen entspricht1 und dass den geodaetischen ,linien der einen geodaetische ,linien der anderen korrespondieren1 wurde spaeter von ,dini behandelt4 7,annali di ,matem4 ,,ii1 #c74 #cbf ,giorn4 di ,matem4 #f4 #cbg ,comptes rendus1 #ahfe4 #cbh ,archiv for ,math4 og ,nat4 #d1 #e4 #cbi ,giorn4 di ,matem4 #af1 #bj1 #ba4 #ccj ,lund ,arskrift #ai4 #cca ,comptes rendus #if1 #ig4 #ccb ,acta math4 #i4 #ccc ,journ4 fuer ,math4 #fd4 #ccd ,berliner ,ber4 #ahhb-ahhc4 -- ,hieran schliesst sich die ,schrift von ,lilienthal's3 ,untersuchungen zur allgemeinen ,theorie der krummen ,oberflaechen und der geradlinigen ,strahlensysteme 7,bonn1 #ahhf74 #cce ,journ4 fuer ,math4 #bf1 #cj4 -- ,joachimsthals ,vorlesungen3 ,anwendung der ,differential- und ,integralrechnung auf die allgemeine ,theorie der ,flaechen und der ,linien doppelter ,kruemmung erschienen nach seinem ,tode 7,leipzig1 #b4 ,auflage1 #ahha74 #ccf ,goettinger ,nachr4 #ahfg4 #ccg ,lombardo ,atti ,,ii1 #a4 #cch ,programm der ,universitaet von ,christiania1 #ahgi4 #cci ,math4 ,ann4 #bj4 #cdj ,journ4 fuer ,math4 #f1 #ah1 #ai4 #cda ,journ4 ,ec4 polyt4 #ci4 #cdb ,mem4 pres4 #bg 7#ahgi7 7,memoire relatif a l'application des surfaces les unes sur les autres74 #cdc ,journ4 ,ec4 polyt4 #da1 #db4 #cdd ,berliner ,abh41 #ahfi4 #cde ,journ4 fuer ,math4 #id4 #cdf ,berliner ,ber4 #ahhb4 #cdg ,muenchener ,abh4 #ad4 #cdh ,journ4 fuer ,math4 #f4 #cdi ,irish ,trans4 #bb1 ,i4 ,t4 #cej ,giorn4 di ,matem4 #b4 #cea ,goettinger ,nachr4 #ahge4 #ceb ,giorn4 di ,matem4 #ba4 #cec ,journ4 ,ec4 polyt4 #dh4 #ced ,bologna ,mem4 ,,iv1 #c4 #cee ,mem4 pres4 #e2 ,liouvilles ,journ4 #b4 -- ,unter den vielen ,anwendungen1 die man von den elliptischen ,koordinaten gemacht hat1 wollen wir nur diejenigen anfuehren1 die ,jacobi davon gemacht hat bei der ,bestimmung der geodaetischen ,linien 7,journ4 fuer ,math4 #ad2 ,comptes rendus #h2 ,liouvilles ,journ4 #f7 und bei einigen ,fragen der ,dynamik4 ,s4 ,vorlesungen ueber ,dynamik1 #ahff in erster1 #ahhd in zweiter ,ausgabe als ,supplementband zu den ,gesammelten ,werken erschienen4 #cef ,journ4 ,ec4 polyt4 #bc4 #ceg ,liouvilles ,journ4 #e4 #ceh das4 #d4 #cei das4 #h4 #cfj ,comptes rendus #dh1 #ed2 ,journ4 fuer ,math4 #eh2 ,annali di ,matem4 ,i1 #f und ,,ii1 #a1 #c1 #e4 #cfa ,annali di ,matem4 ,,ii1 #a4 #cfb das4 ,,ii1 #a1 #b1 #d1 #e4 #cfc ,bologna ,mem4 #ahfh-ahfi4 #cfd ,ann4 ,ec4 norm4 ,,ii1 #g4 #cfe ,ann4 ,ec4 norm4 ,i1 #d4 #cff ,journ4 ,ec4 polyt4 #dc4 #cfg ,annales des mines ,,vii1 #e4 #cfh ,liouvilles ,journ4 #aa4 #cfi das4 #ab4 #cgj ,comptes rendus #ed4 #cga ,memoires couronnes par l',academie de ,belgique1 #cb4 #cgb ,comptes rendus #ei4 #cgc das4 #ei1 #fj1 #fg1 #gf2 ,ann4 ,ec4 norm4 ,i1 #b2 ,,ii1 #c4 #cgd ,comptes rendus #gd1 #ge2 ,phil4 ,trans4 #afc4 ,vgl4 ,weingarten1 ,journ4 fuer ,math4 #hc4 #cge ,comptes rendus #gf4 #cgf ,journ4 fuer ,math4 #he4 #cgg das4 #gf2 vgl4 ,darboux1 ,comptes rendus #hd4 #cgh ,grunerts ,arch4 #ee1 #ef1 #eg1 #eh und #fc4 #cgi ,giorn4 di ,matem4 #ba1 #bb2 ,annali di ,matem4 ,,ii1 #ac2 ,lincei ,rend4 #ahhf4 #chj ,memoires de l',academie de ,toulouse ,,viii1 #a4 #cha ,archiv for ,math4 og ,naturv4 #g4 #chb ,goettinger ,abh4 #ai4 -- ,wenn u der ,winkel der ,normalen der ,oberflaeche in einem ,punkte mit der z-,axe1 und v der ,winkel der ,projektion derselben auf die xy-,ebene mit der x-,axe ist1 so nennt man nach ,enneper ,kurven1 deren ,gleichungen u const4 oder v const4 sind1 ,meridiankurven4 #chc ,comptes rendus #gd2 ,proc4 math4 ,soc4 #d4 #chd ,berliner ,ber4 #ahhc4 #che ,goettinger ,dissertation1 #ahhc4 #chf ,giorn4 di ,matem4 #ag4 #chg ,memoires de la societe scientifique de ,bruxelles #e1 #g1 #h4 #chh ,ann4 ,ec4 norm4 ,,ii1 #c2 ,journ4 ,ec4 polyt4 #ec4 #chi ,liouvilles ,journ4 #i1 #ab4 #cij ,journ4 ,ec4 polyt4 #cj1 #cb2 ,liouvilles ,journ4 #ad2 ,comptes rendus #ed4 #cia ,man sehe auch die ,these 7,dissertation7 von ,picart1 ,essai d'une theorie geometrique des surfaces 7,paris1 #ahfc74 #cib ,liouvilles ,journ4 ,,ii1 #ag und ,,iii1 #d2 ,bull4 ,soc4 math4 #b1 #e1 #f2 ,comptes rendus #gd1 #gh1 #gi1 #hj1 #hb1 #hc1 #hd1 #he1 #hf1 #hh2 ,proc4 math4 ,soc4 #ab2 ,the ,messenger of ,mathematics ,,ii1 #h4 #cic ,enumeratio linearum tertii ordinis 7#agjf74 ,indem wir eine ,bemerkung von ,bellavitis 7#ahjc-ahhj7 verwerten 7s4 s4 #ajg der ,schrift ,sulla classificazione delle curve di terzo ordine1 ,memorie della ,societa italiana delle scienze residente in ,modena1 ,bd4 #be1 ,,ii4 ,teil ,s4 #cd71 geben wir dieses ,resultat wieder1 indem wir sagen1 dass jede ,kurve dritter ,ordnung sich durch eine geeignete projektive ,transformation auf eine der folgenden ,formen bringen laesst3 ,kurve1 bestehend aus einem ,schlangenzuge und einem ,ovale 7parabola campaniformis cum ovali71 ,kurve mit einem ,doppelpunkte 7parabola nodata71 ,kurve1 bestehend aus einem ,schlangenzuge 7parabola pura71 ,kurve mit einem isolierten ,punkte 7parabola punctata71 ,kurve mit einer ,spitze 7parabola cuspidata74 ,unter den ,beweisen1 die fuer diesen ,satz gegeben sind1 fuehre ich den von ,moebius an1 der sich auf die ,prinzipien der analytischen ,sphaerik gruendet 7,gesammelte ,werke1 ,,ii4 ,bd4 ,s4 #hi-agf71 und den1 der aus der ,klassifikation von ,bellavitis 7s4 oben7 hervorgeht4 ,an ,moebius schliesst sich an3 ,m4 ,baur1 ,synthetische ,einteilung der ebenen ,kurven ,,iii4 ,ordnung 7,stuttgart1 #ahhh74 ,dann bemerke ich noch hierzu1 dass die ,einteilungen1 die von ,moebius und ,bellavitis 7fast gleichzeitig1 da die erste #aheb veroeffentlicht wurde und die zweite #ahea geschrieben und #ahee veroeffentlicht wurde7 vorgeschlagen sind1 gemeinsam haben1 dass sie die ,kollineation als ,grundlage der ,bildung der ,gattungen1 die ,affinitaet zur ,grundlage der ,bildung der ,arten dieser ,kurven nehmen4 ,plueckers ,einteilung befindet sich im ,system der analytischen ,geometrie4 ,j4 ,w4 ,newman hat der ,british ,association for the ,advancement of ,science 7vgl4 ,report #ahfi-ahgj7 eine ,diskussion der ,formen der ebenen kubischen ,kurven und eine daraus sich ergebende ,nomenklatur vorgelegt1 die von der gewoehnlich ueblichen abweicht4 #cid ,apercu historique1 ,note #bj4 #cie ,journ4 fuer ,math4 #ge und #gf4 ,wir koennen hinzufuegen1 dass ,reye im ,anhange der #c4 ,auflage des ersten ,teiles seiner ,geometrie der ,lage1 der vor wenigen ,monaten erschienen ist1 eine neue und elegante ,methode zur ,bestimmung der ,formen der ebenen kubischen ,kurven einfuehrt1 indem er sie als die ,jacobischen ,kurven von ,kegelschnittnetzen auffasste4 #cif ss4 #ab1 #ac1 #ad1 #ae4 #cig ,the ,messenger of ,mathematics ,,ii1 #f4 #cih ,anwendung der ,topologie auf die ,gestalten der algebraischen ,kurven1 speziell der rationalen ,kurven vierter und fuenfter ,ordnung 7,muenchener ,dissertation1 #ahgh74 #cii ,irish ,trans4 #ahge4 #djj ,beitraege zur ,theorie der ,oskulationen bei ebenen ,kurven dritter ,ordnung 7,berliner ,dissertation1 #ahhd74 #dja ,math4 ,ann4 #g1 #aj4 ,s4 uebrigens die ,abhandlung3 ,almindelige ,egenskaber ved ,systemer af plane ,kurver 7,abh4 der ,akad4 der ,wissensch4 in ,kopenhagen ,v1 #aj74 #djb ,math4 ,ann4 #ab2 ,tidsskrift for ,mathem4 ,,iv1 #a4 #djc ,math4 ,ann4 #aj4 ,vgl4 auch ,perrin1 ,bull ,soc4 math4 #f4 #djd ,theorie der algebraischen ,kurven ,s4 #bdi flgg4 -- ,im ,anschluss an ,pluecker moegen noch ,beers ,tabulae curvarum quarti ordinis symmetricarum 7,bonn1 #ahfb7 erwaehnt werden4 #dje ,eine ,kurve vom ,geschlechte p kann hoechstens aus p #a ,zuegen bestehen4 ,math4 ,ann4 #aj4 ,der ,spezialfall dieses ,satzes1 p #j1 ist seit langer ,zeit bekannt2 schon ,bellavitis hatte denselben in der vorher angefuehrten ,abhandlung besprochen2 er erklaert die ,benennung unicursal1 die von ,cayley den rationalen ,kurven gegeben war1 und die von vielen noch heute gebraucht wird4 #djf ,gesammelte ,werke #b1 ,s4 #dcc4 #djg ,math4 ,ann4 #ab1 #ac2 ,leipziger ,ber4 #ahhd4 #djh ,math4 ,ann4 #f4 #dji ,annali di ,matem4 ,,ii1 #e und #g4 #daj ,math4 ,ann4 #h4 #daa ,muenchener ,ber4 #ahhc4 #dab ,quart4 ,journ4 #i4 #dac ,siehe die schon zitierte ,abhandlung3 ,om ,flader af fjerde ,orden med ,doppeltkeglesnit4 #dad ,om ,flader af fjerde ,orden med ,tilbagegangskeglesnit 7,kopenhagen1 #ahha74 #dae ,muenchener ,dissertation1 #ahgh2 ,math4 ,ann4 #ae1 #ah1 #bh1 #bi4 #daf ,fuer den1 der sich mit der ,konstruktion spezieller ,oberflaechen befassen will1 fuehre ich die praktischen ,regeln an1 welche ,hicks 7,messenger of ,mathematics ,,ii1 #e7 fuer die ,konstruktion der ,wellenflaeche gegeben hat4 #dag ,zeitschr4 f4 ,math4 #be4 #dah ,modelle von ,raumkurven- und ,developpabelen-,singularitaeten 7,lund1 ,gleerup1 #ahha74 #dai ,unter den von ,steiner ausgesprochenen ,saetzen1 nach deren ,ursprung wir1 seine ,nachfolger1 vergebens suchen1 finden sich einige derartige 7s4 ,journ4 fuer ,math4 #cg1 #de1 #di2 ,gesammelte ,werke1 ,,ii4 ,bd4 ,s4 #chi1 #dci und #fac71 welche glauben lassen1 dass er eine ,methode besessen habe1 um einige von den im ,texte gekennzeichneten ,problemen zu loesen4 ,etliche lassen sich durch eine quadratische ,transformation beweisen1 wie ,berner in seiner ,dissertation3 ,de transformatione secundi ordinis ad figuras geometricas adhibita 7,berlin1 #ahfd7 gezeigt hat4 -- ,jonquieres 7,liouvilles ,journ4 ,,ii1 #f2 ,comptes rendus1 #ahfd1 #fe und #ff7 fand auch eine ,weise1 um zur ,loesung einiger ,probleme dieser ,art zu gelangen1 aber der von ihm eingeschlagene ,weg 7welcher der ,hauptsache nach in einer ,anwendung des ,bezoutschen ,satzes besteht7 fuehrte ihn unbedingt zu ,irrtuemern wegen uneigentlicher 7fremder7 ,loesungen1 die er nicht ausgeschieden hatte4 ,vgl4 die schoene ,abhandlung von ,study in den ,math4 ,ann4 #bg4 #dbj ,comptes rendus1 #ahfd2 vgl4 auch ,zeuthen1 ,nyt ,bidrag til ,laeren om ,systemer af ,keglesnit 7,kopenhagen1 #ahfe7 oder ,nouv4 ,ann4 ,,ii1 #e2 ,dino1 ,comptes rendus1 #ahfg4 ,die ,baende der ,comptes rendus von #ahfd ab enthalten eine ungeheuere ,anzahl von ,lehrsaetzen verschiedener ,art1 die von ,chasles aufgestellt sind und deren ,beweis sich auf die ,theorie der ,charakteristiken und auf das ,korrespondenzprinzip stuetzt4 ,unter diesen ,arbeiten ist eine der bemerkenswertesten diejenige1 in welcher der ,verfasser mit ,hilfe des ,korrespondenzprinzips die ,zahl der ,schnitte zweier ,kurven in einer ,ebene bestimmt 7,comptes rendus #ge74 ,die dort angewandte ,beweisfuehrung kann verallgemeinert werden und in vielen ,faellen dazu dienen1 die ,zahl der ,loesungen eines bestimmten ,systemes von algebraischen ,gleichungen zu finden4 7,s4 ,saltel1 ,memoires de l',academie de ,belgique #bd2 ,comptes rendus #ha2 ,fouret1 ,bull4 ,soc4 math4 #a1 #b2 ,comptes rendus #gh4 #dba ,comptes rendus #fa4 #dbb ,ebendas4 #fb4 ,s4 auch ,salmon1 ,quart4 ,journ4 #ahff2 ,schubert1 ,journ4 fuer ,math4 #ga und #gc4 -- ,eine interessante ,anwendung der ,theorie der ,systeme von ,flaechen zweiter ,ordnung auf das ,studium der quadratischen 7vorletzten7 ,polaren der ,punkte des ,raumes in bezug auf eine beliebige algebraische ,flaeche wurde von ,zeuthen gemacht 7,annali di ,matem4 ,,ii4 #d74 #dbc ,vgl4 auch ,comptes rendus #gd1 #ge4 #dbd ,paris1 #ahga4 #dbe ,journ4 fuer ,math4 #gi1 #hj4 #dbf ,goettinger ,nachr4 #ahgd1 #ge2 ,math4 ,ann4 #ac4 #dbg ,phil4 ,trans4 #aheh4 #dbh ,recherches sur les series ou systemes de courbes et de surfaces algebriques 7,paris1 #ahff72 ,comptes rendus1 #ahff2 ,journ4 fuer ,math4 #ff u4 s4 w4 ,die eleganten analytischen ,untersuchungen von ,brill und ,krey 7,math4 ,ann4 und ,acta math47 haben zum ,ziele die ,aufloesung von ,problemen aus der abzaehlenden ,geometrie1 die sich auf ,systeme von ,kurven und ,oberflaechen beziehen4 #dbi ,annali di ,matem4 ,,ii1 #f2 ,proc4 math4 ,soc4 #e1 #f1 #h4 #dcj ,math4 ,ann4 #a1 #f1 #ab1 #ae4 #dca ,compt4 rend4 #hh4 ,bemerkenswert in dieser ,abhandlung ist die ,ausdehnung des ,begriffes des ,geschlechtes einer ,kurve auf ,systeme von ,kurven4 #dcb ,math4 ,ann4 #f4 #dcc ,comptes rendus #gh und #hf2 ,bull4 ,soc4 math4 #b und #g4 #dcd ,comptes rendus #gi1 #hf4 #dce das4 #hb1 #hd4 #dcf das4 #hj4 #dcg das4 #hb4 #dch ,andere ,anwendungen dieses ,prinzipes finden sich in den von ,fouret veroeffentlichten ,arbeiten in den ,comptes rendus #hc1 #he1 im ,bull4 ,soc4 math4 #f und im ,bulletin de la ,societe philomathique ,,vi1 #aa4 -- ,wir bemerken1 dass die geometrische ,interpretation der ,gleichung 7 dz dz 7 7 dz 7 7 dz 7 ,l 7 x -- y -- - z 7 - ,m 7 -- 7 - ,n 7 -- 7 ,r #j1 7 dx dy 7 7 dx 7 7 dy 7 wenn ,l1 ,m1 ,n1 ,r lineare ,funktionen sind1 welche von ,fouret in den ,comptes rendus #hc gegeben ist1 ihn zu gewissen ,oberflaechen fuehrte1 die zuerst von ,klein und ,lie studiert worden waren 7,comptes rendus #gj74 #dci ,leipzig1 #ahgi4 ,in demselben sind die frueheren ,arbeiten von ,schubert vereinigt und befinden sich die ,grundlagen seiner spaeteren ,arbeiten4 #ddj ,das erste dieser ,prinzipien wurde von ,chasles fuer die rationalen ,gebilde erster ,stufe 7,comptes rendus #ahfd-ahff7 ausgesprochen und dann von ,cayley auf alle ,gebilde erster ,stufe ausgedehnt 7,comptes rendus #fb1 ,proc4 math4 ,soc4 #ahff71 und noch vollstaendiger im ,second memoir on the curves which satisfy given conditions 7,phil4 ,trans4 #aeh74 ,bewiesen wurde das ,cayleysche ,prinzip von ,brill 7,math4 ,ann4 #f und #g71 neuerdings wurde es in einer sehr bemerkenswerten ,weise von ,hurwitz ausgedehnt 7,math4 ,ann4 #bh74 ,saltel ergaenzte das ,chaslessche ,korrespondenzprinzip1 indem er die ,bestimmung der ,zahl der ,koinzidenzen1 die ins ,unendliche fallen1 zeigte 7,comptes rendus #hj7 und illustrierte seine ,resultate durch mehrere ,beispiele 7,comptes rendus #hj1 #ha1 #hb1 #hc1 und ,bulletin de l',academie de ,belgique ,,ii1 #ib74 ,fuer die rationalen ,gebilde zweiter und dritter ,stufe hat man auch ein ,korrespondenzprinzip1 welches von ,salmon 7,geometry of three dimensions ,,ii4 ,aufl47 und von ,zeuthen 7,comptes rendus #gh7 entdeckt ist4 ,fuer die ,gebilde hoeherer ,stufe siehe eine ,note von ,pieri in den ,lincei ,rend4 #ahhg4 #dda ,betreffend andere bibliographische ,einzelheiten ueber diesen ,zweig der ,geometrie vgl4 man den ,artikel von ,painvin1 der in dem ,bull4 ,sciences math4 #c veroeffentlicht ist1 sowie einen von mir selbst in der ,bibliotheca mathematica ,,ii1 #b 7#ahhh71 ,s4 #ci1 #fg veroeffentlichten ,artikel ,notizie storiche sulla geometria numerativa4 #ddb ,comptes rendus #fg4 #ddc ,math4 ,ann4 #f4 #ddd ,vorlesungen ueber ,geometrie von ,a4 ,clebsch 7herausgegeben von ,lindemann7 7,leipzig1 #ahgf7 ,s4 #cii4 #dde ,goettinger ,nachr4 #ahgf4 #ddf ,comptes rendus1 #ahgf2 ,journ4 ,ec4 polyt4 #de2 ,proc4 math4 ,soc4 #i1 #aj2 ,math4 ,ann4 #ae4 #ddg ,journ4 ,ec4 polyt4 #de4 #ddh ,auch von dem ,satze1 den ,cremona ausgesprochen hat 7,annali di ,matem4 ,i1 #f und ,giorn4 di ,matem4 #c7 ueber die doppelt unendlichen ,systeme von ,kegelschnitten1 als ,erweiterung des ,satzes von ,chasles1 kann man eine ,anwendung machen1 worueber man das einsehen moege1 was del ,pezzo in seiner interessanten ,abhandlung ,sui sistemi di coniche 7,napoli ,rend4 #ahhd7 auseinandergesetzt hat1 und neuere ,beobachtungen von ,study 7,math4 ,ann4 #bg74 #ddi ,mem4 pres4 #a1 #ahjf4 #dej das4 7aeltere ,serie7 #aj1 #aghe1 und die schon zitierte ,application4 #dea ,mem4 pres4 #i1 #agha4 #deb ,journ4 ,ec4 polyt4 #cj4 #dec ,liouvilles ,journ4 #ag4 #ded das4 #af4 #dee ,man sehe die ,noten zur ,application de l',analyse a la ,geometrie1 #e4 ,aufl4 und ,liouvilles ,journ4 #ag4 #def ,liouvilles ,journ4 #ae1 #af4 #deg das4 #g4 #deh ,forhandlingar i ,videnskab-,selskabet i ,christiania1 #ahhb4 #dei ,eingehenderes findet man in der ,note #fe der ,analytischen ,geometrie des ,raumes von ,g4 ,salmon1 deutsch bearbeitet von ,w4 ,fiedler1 #c4 ,aufl4 #ahhj1 ,,ii4 ,teil ,s4 #cg4 -- ,in ,bezug auf eine synthetische ,darstellung der ,differentialgeometrie der ,raumkurven sehe man ,schell1 ,allgemeine ,theorie der ,kurven doppelter ,kruemmung in rein geometrischer ,darstellung 7,leipzig1 #ahei71 und ,paul ,serret1 ,theorie nouvelle geometrique et mecanique des courbes a double courbure 7,paris1 #ahfj74 #dfj ,vgl4 ,magnus1 ,aufgaben und ,lehrsaetze aus der analytischen ,geometrie des ,raumes1 #ahcg1 ,s4 #afj4 #dfa ,die ,existenz zweier ,raumkurven vierter ,ordnung wurde zuerst durch ,salmon im ,jahre #ahej 7,cambridge ,journ4 #e7 und darauf von ,steiner 7,journ4 fuer ,math4 #ec7 bekannt gemacht4 #dfb ,auf der kubischen ,flaeche treten schon von der sechsten ,ordnung ab gegen die ,geraden der ,flaeche verschiedenartig sich verhaltende ,kurven derselben ,ordnung auf1 die in der ,zahl der scheinbaren ,doppelpunkte uebereinstimmen4 ,vgl4 ,sturm1 ,math4 ,ann4 #ba4 #dfc ,liouvilles ,journ4 #aj1 oder ,cambridge ,journ4 #e4 ,dieser ,abhandlung folgte eine1 die von ,salmon in demselben ,bande des ,cambr4 ,journ4 veroeffentlicht wurde1 und zu ihrer ,ergaenzung wiederum dient eine von ,zeuthen1 die in den ,annali di ,matem4 ,,ii1 #c abgedruckt ist4 -- ,an sie schliessen sich ferner die ,schriften1 welche ,cayley 7,phil4 ,trans4 #aec71 ,piquet 7,comptes rendus #gg und ,bull4 ,soc4 math4 #a71 und ,geiser 7,collectanea mathematica in memoriam ,d4 ,chelini1 ,mailand1 #ahha7 geschrieben haben ueber die ,geraden1 welche eine ,raumkurve eine gewisse ,anzahl ,male schneiden4 #dfd ,comptes rendus #ed und #eh4 ,mit dieser ,abhandlung vergleiche man die ,dissertation von ,ed4 ,weyr1 ,ueber algebraische ,raumkurven 7,goettingen1 #ahgc7 und andere ,schriften desselben ,verfassers 7,comptes rendus #gf1 ,wiener ,ber4 #fi74 ,den zitierten ,abhandlungen von ,cayley muesste ich noch eine dritte hinzufuegen 7,quart4 ,journ4 #c71 in welcher der ,autor sich die ,aufgabe gestellt hat1 eine ,kurve als ,komplex ihrer ,sekanten 7im ,sinne ,plueckers7 zu betrachten und sie daher mittelst einer einzigen ,gleichung zwischen den ,koordinaten einer ,geraden im ,raume darzustellen1 aber ich kann davon absehen1 da die ,fruchtbarkeit einer solchen ,betrachtung noch nicht dargethan ist4 #dfe ,halphen1 ,memoire sur la classification des courbes gauches algebriques 7,journ4 ,ec4 polyt4 #eb74 ,man sehe auch desselben ,autors ,abhandlung ,sur les singularites des courbes gauches algebriques 7,bull4 ,soc4 math4 #i74 -- ,noether1 ,zur ,grundlegung der ,theorie der algebraischen ,raumkurven 7,berliner ,abh4 #ahhc1 ,journ4 fuer ,math4 #ic74 #dff ,comptes rendus #gj2 ,bull4 ,soc4 math4 #a und #b4 #dfg ,math4 ,ann4 #g4 #dfh ,math4 ,ann4 #f4 ,ein anderer ,beweis desselben ,satzes wurde von ,halphen gegeben1 ,bull4 ,soc4 math4 #e4 #dfi ,die ,gerechtigkeit verlangt1 dass ich auch noch eine sehr schoene ,arbeit von ,valentiner anfuehre3 ,bidrag til ,rumcurvener ,theori 7,kopenhagen1 #ahha7 7vgl4 auch ,tidsskrift for ,math4 ,,iv1 #e und ,acta math4 #b71 die fast zu gleicher ,zeit mit denen von ,halphen und ,noether erschienen ist und mit diesen in den ,methoden und den ,resultaten bemerkenswerte ,beruehrungspunkte hat4 -- ,ich will in dieser ,note auch noch1 da ich es im ,texte nicht thun konnte1 einen ,satz von ,cremona anfuehren 7von ,dino in den ,napoli ,rend4 #ahgi bewiesen7 und einige von ,sturm 7,report of the ,british ,association1 #ahha2 ,math4 ,ann4 #ai71 welche bemerkenswerte allgemeine ,eigenschaften der ,raumkurven ausdruecken1 sowie an die ,untersuchungen von ,cayley1 ,piquet und ,geiser ueber eine ,raumkurve mehrmals schneidende ,geraden erinnern1 von denen in der ,note #dfc gesprochen wurde4 ,erwaehnenswert ist auch die 7von ,hossfeld in der ,zeitschr4 f4 ,math4 #bi gefundene7 ,thatsache1 dass die ,rueckkehrkurve der zweien ,oberflaechen umbeschriebenen abwickelbaren ,flaeche nicht der vollstaendige ,schnitt zweier ,oberflaechen ist4 #dgj ,von anderen wird es loeblich sein zu schweigen1 ,weil allzukurz die ,zeit fuer die ,erzaehlung4 -- ,dantes ,goettliche ,komoedie2 ,die ,hoelle1 #ae4 ,gesang1 ,vers #ajd-aje4 #dga ,der barycentrische ,calcuel 7,leipzig1 #ahbg74 #dgb ,apercu historique1 ,note #cc2 ,liouvilles ,journ4 #ai 7#ahed74 #dgc ,beitraege zur ,geometrie der ,lage1 #c4 ,heft 7,nuernberg1 #ahfj74 #dgd ,grunerts ,arch4 #aj4 #dge ,journ4 fuer ,math4 #ef4 #dgf ,journ4 fuer ,math4 #eh1 #fj1 #fc2 ,nouv4 ,ann4 ,,ii1 #a2 ,annali di ,matem4 ,i1 #a1 #b1 #e2 ,lombardo ,rend4 ,,ii1 #ab4 #dgg ,journ4 fuer ,math4 #ef2 ,theorie der ,oberflaechen zweiter ,ordnung und der ,raumkurven dritter ,ordnung 7,leipzig1 #ahhj72 ,math4 ,ann4 #be4 ,vgl4 auch eine ,note von mir in den ,napoli ,rend41 #ahhe4 #dgh ,zeitschr4 fuer ,math41 #ahfh2 ,geometrie der ,lage4 #dgi ,lombardo ,rend4 #ahga4 #dhj ,journ4 fuer ,math4 #gi1 #hj2 ,annali di ,matem4 ,,ii1 #c4 #dha ,math4 ,ann4 #bj und #cj4 #dhb ,torino ,mem4 ,,ii1 #cb und ,collectanea mathematica4 ,an diese ,abhandlungen schliesst sich eine von ,gerbaldi1 ,sui sistemi di cubiche gobbe o di sviluppabili di ,,iii4 classe stabiliti col mezzo di due cubiche punteggiate projettivamente 7,torino ,mem4 ,,ii1 #cb74 #dhc ,giorn4 di ,matem4 #ag 7#ahgi74 ,betreffend die ausgearteten ,formen der kubischen ,raumkurve sehe man eine ,note von ,schubert 7,math4 ,ann4 #ae74 ,die ,theorie der kubischen ,raumkurven fuehrt zu einer interessanten geometrischen ,darstellung der ,theorie der binaeren algebraischen ,formen1 die von ,laguerre 7,l',institut #dj71 von ,sturm 7,journ4 f4 ,math4 #hf7 und von ,appell 7,ann4 ,ec4 norm4 ,,ii1 #e7 bearbeitet wurde4 ,vgl4 auch eine ,note von ,j4 ,tannery 7,bull4 sciences math4 #aa74 ,ferner sehe man in bezug hierauf die ,note von ,w4 ,r4 ,w4 ,roberts 7,proc4 math4 ,soc4 #ac7 und das ,buch von ,franz ,meyer1 ,apolaritaet und rationale ,kurven 7,tuebingen1 #ahhc74 ,eine gute ,darlegung der ,theorie der ,raumkurven dritter ,ordnung hat auch von ,drach geliefert in der ,schrift ,einleitung in die ,theorie der kubischen ,kegelschnitte 7,leipzig1 #ahfg71 infolge deren ,beltrami interessante ,annotazioni geschrieben hat 7,lombardo ,rend4 ,,ii1 #a74 #dhd ,comptes rendus #ec 7#ahfa74 #dhe ,annali di matem4 #d4 -- ,die ,note von ,story1 ,on the number of intersections of curves traced on a scroll of any order 7,johns ,hopkins ,baltimore ,university ,circulars #b1 #ahhc7 enthaelt eine ,verallgemeinerung eines sehr wichtigen ,theoremes von ,chasles4 #dhf ,poncelet machte im ,jahre #ahbb die bemerkenswerte ,entdeckung1 dass durch jede ,raumkurve vierter ,ordnung erster ,art vier ,kegel zweiten ,grades hindurchgehen4 7,s4 ,traite des proprietes projectives ,i1 ,s4 #che1 #b4 ,aufl47 #dhg ,comptes rendus #ed1 #ee4 #dhh ,comptes rendus #ed2 ,bologna ,mem4 #ahfa2 ,lombardo rend4 ,,ii1 #a4 #dhi ,annali di ,matem4 ,,ii1 #b4 #dij ,geometrie de direction 7,paris1 #ahfi72 ,comptes rendus #hb4 #dia ,liouvilles ,journ4 ,,ii1 #ae4 #dib ,journ4 fuer ,math4 #ig4 -- ,eine bemerkenswerte spezielle ,raumkurve vierter ,ordnung erster ,art hat ,schroeter untersucht3 ,journ4 fuer ,math4 #ic4 #dic ,math4 ,ann4 #ab1 #ac4 #did ,zeitschr4 f4 ,math4 #bh4 #die ,math4 ,ann4 #ac4 ,vgl4 ,cayley 7das4 #be74 #dif ,comptes rendus #hb4 #dig ,annali di ,matem4 ,i1 #d4 #dih ,giorn4 di ,matem4 #aa1 #ab4 #dii ,lombardo rend4 #ahgb4 #ejj ,wiener ,ber4 #ahga4 ,ueber die rationalen ,kurven vierter ,ordnung sehe man auch ,study 7,leipziger ,sitzungsber4 #ahhf71 die ,habilitationsschrift von ,jolles 7,aachen1 #ahhf7 und die ,abhandlung von ,roberts 7,proc4 math4 ,soc4 #ad74 -- ,unter den rationalen ,kurven vierter ,ordnung ist eine sehr bemerkenswerte diejenige1 welche zwei stationaere ,tangenten hat4 ,die eleganten ,eigenschaften1 welche dieselbe besitzt1 wurden von ,cremona 7,lombardo ,rend4 #ahfh71 ,em4 ,weyr 7das4 #ahga7 und ,appell 7,comptes rendus #hc7 entdeckt4 #eja ,comptes rendus #gj4 #ejb ,vierteljahrsschrift der naturf4 ,ges4 in ,zuerich #bj4 #ejc ,ausser den zitierten ,synthetischen ,untersuchungen sehe man ,journ4 fuer ,math4 #hh und ,math4 ,ann4 #ba4 #ejd ,s4 ,korndoerfer und ,brill1 ,math4 ,ann4 #c2 ,saltel1 ,comptes rendus #hj2 ,genty1 ,bull4 ,soc4 math4 #i4 #eje ,siehe unter anderem die ,bemerkung von ,buchheim1 ,on the extension of certain theories relating to plane cubics to curves of any deficiency 7,proc4 math4 ,soc4 #ac74 #ejf ,collectanea mathematica4 #ejg ,journ4 fuer ,math4 #ii4 #ejh ,chasles1 ,apercu historique1 #b4 ,aufl41 ,s4 #bfi2 in der deutschen ,uebersetzung von ,sohncke1 ,s4 #bfg4 #eji ,diese ,konstruktion1 die von den ,deutschen ,steinersche ,projektion genannt wird1 wurde im ,jahre #ahfe von neuem von ,transon 7#ahjf-ahgf7 gefunden1 der ihr den ,namen projection gauche gab 7,nouv4 ,ann4 ,,ii1 #d und #e74 #eaj ,traite des proprietes projectives 7#a4 ,aufl4 #ahbb1 ,s4 #aih74 #eaa ,journ4 fuer ,math4 #e4 #eab ,journ4 fuer ,math4 #h1 und ,aufgaben und ,lehrsaetze aus der analytischen ,geometrie der ,ebene1 #ahcc4 #eac ,torino ,mem4 #ahfb4 #ead ,grunerts ,arch4 #g4 #eae ,zeitschr4 f4 ,math4 #aa4 #eaf ,liouvilles ,journ4 #aj1 #ab4 ,vorher hatten schon ,g4 ,bellavitis 7,nuovi ,saggi dell' ,accademia di ,padova #d 7#ahcf7 und ,stubbs 7,phil4 ,mag4 #bc1 #ahdc7 sich mit dieser ,korrespondenz beschaeftigt4 ,man sehe auch ,steiners ,aufsatz aus dem ,jahre #ahbf3 ,einige geometrische ,betrachtungen 7,journ4 fuer ,math4 #a2 ,gesammelte ,werke ,bd4 ,i1 ,s4 #ai7 ,nr4 #bj4 #eag ,auf den ,begriff der ,inversion ist von ,johnson 7,analyst #d7 eine neue ,einteilung der ebenen ,kurven gegruendet worden4 ,in derselben bedeutet der ,name ,kreisgrad einer ,kurve den ,grad ihrer ,gleichung 7in rechtwinkligen cartesischen ,koordinaten7 in x1 y1 r x#b y#b2 der ,kreisgrad einer ,kurve wird durch die ,inversion nicht veraendert4 ,zwei ,kurven1 welche denselben ,grad haben1 gehoeren zu derselben ,kategorie4 ,diese ,einteilung scheint jedoch nicht von grosser ,wichtigkeit zu sein4 #eah ,sammlung von ,aufgaben und ,lehrsaetzen aus der analytischen ,geometrie der ,ebene1 #ahcc4 #eai ,in den ,jahren #ahei und #ahfj studierte ,jonquieres die 7nach seinem ,namen benannte7 ,transformation nter ,ordnung1 bei welcher jeder ,geraden eine ,kurve nter ,ordnung mit einem 7n - #a7-;fachen ,punkte entspricht4 ,einige seiner ,resultate wurden im ,jahre #ahfd in den ,nouv4 ,ann4 veroeffentlicht1 aber das vollstaendige ,werk1 welches er dieser ,transformation widmete1 erschien erst #ahhe und zwar durch ,guccia 7s4 ,giorn4 di ,matem4 #bc7 herausgegeben4 ,wir bemerken auch1 dass schon #ahcd ,moebius 7,journ4 fuer ,math4 #ab2 ,gesammelte ,werke1 #a7 die eindeutige ,korrespondenz zwischen zwei ,ebenen1 bei denen die ,flaecheninhalte entsprechender ,figuren in einem konstanten ,verhaeltnisse stehen1 studiert hat4 ,die ,untersuchungen sind jedoch von ganz anderer ,art als die im ,texte betrachteten4 #ebj ,bologna ,mem4 #b1 #e 7#ahfc und #ahfe72 ,giorn4 di ,matem4 #a und #c2 vgl4 auch ,dewulfs ,bearbeitung im ,bull4 sciences math4 #e4 #eba ,proc4 math4 ,soc4 #c4 #ebb ,math4 ,ann4 #d4 #ebc ,math4 ,ann4 #c1 #e4 #ebd ,journ4 fuer ,math4 #gc4 #ebe ,proc4 math4 ,soc4 #d4 #ebf ,hier will ich einen wichtigen ,lehrsatz beruehren1 der gleichzeitig von ,clifford 7,proc4 math4 ,soc4 #c71 ,noether 7,goettinger ,nachr4 #ahgj2 ,math4 ,ann4 #c7 und ,rosanes 7,journ4 fuer ,math4 #gc7 erhalten wurde1 und fuer einen ,augenblick die ,wichtigkeit der ,cremonaschen ,transformation aufzuheben schien3 ,jede eindeutige ,transformation von hoeherer als erster ,ordnung kann man durch ,wiederholung von quadratischen ,transformationen erhalten4 ,dieser ,satz ist offenbar die ,umkehrung desjenigen von ,magnus1 der vorhin im ,texte angefuehrt wurde4 #ebg ,bologna ,mem4 #ahgg-ahgh4 #ebh ,comptes rendus1 #ahhe2 ,giorn4 di ,matem4 #bd4 #ebi ,annali di ,matem4 ,,ii1 #aj4 #ecj ,comptes rendus1 #ahhe2 ,rendic4 del ,circolo ,matematico di ,palermo #a4 #eca ,man sehe die in den ,comptes rendus1 #ahhc1 #ahhd1 #ahhe1 #ahhf und in ,liouvilles ,journ4 #ahhe1 #ahhf1 #ahhg veroeffentlichten ,abhandlungen4 #ecb ,annali di ,matem4 #g1 ferner ,giorn4 di ,matem4 #d4 #ecc ,proc4 math4 ,soc4 #b4 #ecd ,math4 ,ann4 #bf4 #ece ,bull4 sciences math4 ,,ii1 #f und #g4 #ecf ,meistenteils wurden die geometrischen ,transformationen auf das ,studium der algebraischen ,kurven angewandt2 jedoch fehlt es nicht an ,schriften1 welche sich mit der ,transformation transcendenter ,kurven in andere oder in sich selbst befassen3 z4 ,b4 ,magnus1 ,sammlung von ,aufgaben und ,lehrsaetzen aus der analytischen ,geometrie der ,ebene1 #ahcc1 ,s4 #cbj1 #dee1 #deg-dei1 #dig2 ,klein und ,lie1 ,math4 ,ann4 #d4 #ecg ,annali di ,matem4 ,,ii1 #h2 ,lombardo ,rend4 #ahhc4 ,vgl4 auch ,geiser1 ,journ4 fuer ,math4 #fg4 #ech ,napoli ,rend41 #ahgi4 #eci ,die neueste ,form1 welche die ,bertinischen ,untersuchungen infolge dessen angenommen1 machte es meinem ,freunde ,martinetti leichter1 auf dem von diesem ,gelehrten vorgezeichneten ,wege weiter zu schreiten und die ebenen involutorischen ,transformationen dritter und vierter ,klasse zu bestimmen 7,annali di ,matem4 ,,ii1 #ab1 #ac74 ,die ,theorie der ebenen ,transformationen wird sich binnen kurzem durch die wichtige ,arbeit von ,kantor bereichern1 welche von der ,akademie zu ,neapel gekroent worden ist und jetzt gedruckt wird4 ,einzelne ,resultate finden sich in den ,wiener ,ber4 #ahhj ausgesprochen1 sowie in den ,wiener ,denkschriften #df4 ,saltel verdanken wir die ,idee einer speziellen involutorischen ,transformation dritten ,grades1 die er schon #ahgb unter dem ,namen ,transformation arguesienne nach ,desargues benannt 7s4 die ,memoires de l',academie de ,belgique #ab1 ,bulletin de l',academie de ,belgique ,,ii1 #bd71 studiert hat4 ,man stellt dieselbe auf folgende ,weise her3 ,gegeben sind in einer festen ,ebene ,,pi zwei ,kegelschnitte ,,gamma#a und ,,gamma#b und ein fester ,punkt ,o2 man laesst entsprechen einem ,punkte ,p von ,,pi seinen konjugierten in der ,involution1 die auf der ,geraden ,,op bestimmt wird durch den ,kegelschnittbueschel1 den ,,gamma#a1 und ,,gamma#b konstituieren4 ,es sind fundamental der ,punkt ,o und die ,grundpunkte dieses ,bueschels4 -- ,wenn jene beiden ,kegelschnitte ,,gamma#a und ,,gamma#b zusammenfallen1 so reduziert sich diese ,transformation offenbar auf die quadratische ,inversion von ,hirst4 -- ,im ,raume hat man eine aehnliche ,transformation4 -- ,eine andere ,transformation 7transformation hyperarguesienne7 wurde von demselben ,verfasser als ,erweiterung der vorhergehenden eingefuehrt 7,bulletin de l',academie de ,belgique ,,ii1 #ab7 und wird auf folgende ,weise hergestellt3 ,gegeben in einer ,ebene ,,pi drei ,kegelschnitte ,,gamma#a1 ,,gamma#b1 ,,gamma#c und ein fester ,punkt ,o4 ,man laesst einem ,punkte ,p von ,,pi seinen homologen entsprechen in der ,projektivitaet1 die bestimmt ist auf ,,op von den drei ,paaren von ,punkten1 in welchen diese ,gerade von den drei ,kegelschnitten getroffen wird2 jedoch ist diese ,korrespondenz offenbar nicht birational4 -- ,die erste der ,saltelschen ,transformationen kann zur ,loesung von ,problemen aus der ,theorie der ,charakteristiken fuer die ,kurven hoeherer als zweiter ,ordnung dienen 7,bull4 ,soc4 ,math4 #b74 #edj ,bull4 ,soc4 math4 #h2 ,comptes rendus #id2 ,nouv4 ,ann4 ,,iii1 #a1 #b4 ,diese ,transformation kann man1 wie ,laguerre selbst bemerkte1 auf den ,raum ausdehnen 7,comptes rendus #ib71 jedoch ist die ,art der ,korrespondenz1 die man erhaelt1 keine neue2 sie ist nach einer ,bemerkung von ,stephanos 7,comptes rendus #ib7 dieselbe1 vermittelst derer ,lie die ,geometrie der ,geraden mit der der ,kugel verknuepfte 7,math4 ,ann4 #e74 #eda ,die verschiedenen ,abhandlungen von ,moebius ueber diese ,theorie finden sich vereint im ,,ii4 ,bande seiner ,gesammelten ,werke 7,leipzig1 #ahhf74 #edb ,journ4 fuer ,math4 #ee1 #eg1 #ei2 ,grunerts ,arch4 #cc4 #edc ,grunerts ,arch4 #db4 #edd ,bologna ,mem4 #ahgj4 #ede ,journ4 fuer ,math4 #fi4 #edf ,des ,naeheren siehe die ,abhandlung3 ,geometrie des polynomes 7,journ4 ,ec4 polyt4 #bh74 #edg ,beitraege zur geometrischen ,interpretation binaerer ,formen 7,erlangen1 #ahge72 vgl4 ,math4 ,ann4 #i2 ,studien im binaeren ,wertgebiete 7,karlsruhe1 #ahgf72 ,math4 ,ann4 #ag2 ,erlanger ,berichte1 #ahge4 #edh ,siehe das ,werk3 ,einfuehrung in die ,theorie der isogonalen ,verwandtschaften 7,leipzig1 #ahhc74 #edi ,zwischen drei geometrischen ,gebilden kann man eine ,korrespondenz aufstellen1 so dass einem ,paare von ,elementen1 das eine genommen in dem einen1 das andere in einem zweiten1 eindeutig ein solches im dritten ,gebilde entspricht4 ,wenn unter ,festhaltung eines ,elementes die anderen beiden projektive ,systeme beschreiben1 so nennt man die ,korrespondenz trilinear1 und diese wurde im ,falle der ,gebilde erster ,stufe von ,rosanes 7,journ4 fuer ,math4 #ahhh7 behandelt1 sodann von ,schubert 7,math4 ,ann4 #ag und ,mitteilungen der ,math4 ,ges4 in ,hamburg1 #ahha7 und in einem ,spezialfalle von ,benno ,klein 7,theorie der trilinear-symmetrischen ,elementargebilde1 ,marburg1 #ahha72 im ,falle der ,gebilde zweiter ,stufe von ,hauck 7,journ4 fuer ,math4 #ij1 #ig1 #ih71 welcher einige ,anwendungen derselben auf die darstellende ,geometrie machte1 die von bemerkenswertem praktischen ,nutzen zu sein scheinen4 ,fast gleichzeitig mit den ,arbeiten von ,schubert sind diejenigen1 in denen ,le ,paige mit ,hilfe der ,theorie der algebraischen ,formen die trilineare ,korrespondenz untersuchte und auf die ,geometrie anwandte2 man sehe die ,essais de ,geometrie superieure du troisieme ordre 7,mem4 de la ,soc4 des sciences de ,liege ,,ii1 #aj7 und die ,noten1 welche im ,bulletin de l',academie de ,belgique ,,iii1 #e und in den ,wiener ,ber4 #ahhc veroeffentlicht sind4 ,derselbe ,geometer beschaeftigte sich auch mit der quadrilinearen ,beziehung 7,torino ,atti #ag1 #ahhb7 und machte von ihr ,anwendung auf die kubischen ,flaechen und gewisse ,flaechen vierter ,ordnung 7,bulletin de l',academie de ,belgique ,,iii1 #d2 ,acta math4 #e74 ,wir unterlassen nicht1 zu erwaehnen1 dass die duploprojektive ,beziehung1 durch welche schon #ahfb ,f4 ,august die kubische ,oberflaeche erzeugte 7,disquisitiones de superficiebus tertii ordinis1 ,berliner ,dissertation71 eine trilineare ,beziehung ist4 #eej ,wenn z4 ,b4 ein ,dreieck ,,abc gegeben ist1 so sei ,p ein beliebiger ,punkt seiner ,ebene4 ,es giebt nun einen ,kegelschnitt ,k1 welcher die ,seiten des ,dreieckes in den ,punkten 7,,pa1 ,,bc71 7,,pb1 ,,ca71 7,,pc1 ,,ab7 beruehrt4 ,laesst man ,k dem ,p entsprechen1 so hat man eine ,korrespondenz von der im ,texte angegebenen ,art4 ,aehnlich erhaelt man eine duale ,korrespondenz4 ,beide wurden von ,montag in seiner ,dissertation3 ,ueber ein durch die ,saetze von ,pascal und ,brianchon vermitteltes geometrisches ,beziehungssystem 7,breslau1 #ahga7 studiert4 ,weitere analoge ,korrespondenzen kann man aus der ,beobachtung entnehmen1 dass jeder ,punkt der ,ebene ,,abc der ,mittelpunkt eines ,kegelschnittes ist1 der dem ,dreiecke ,,abc eingeschrieben ist1 eines ihm umgeschriebenen und eines solchen1 fuer welchen ,,abc ein ,polardreieck ist4 ,aehnlich3 ,gegeben ein ,tetraeder ,,abcd2 man kann jedem ,punkte ,p des ,raumes die ,flaeche zweiter ,ordnung zuordnen1 fuer welche ,p das ,zentrum ist und in bezug auf welche ,,abcd ein ,polartetraeder ist4 #eea ,math4 ,ann4 #f4 #eeb ,man sehe ausserdem die ,arbeiten von ,godt 7,goettinger ,dissertation1 #ahgc71 ,armenante 7,lincei ,atti1 #ahge71 ,battaglini 7,giorn4 di ,matem4 #ai1 #bj71 ,peano 7,torino ,atti #af7 und von ,amodeo 7,napoli ,rend4 #ahhg74 ,die den ,konnexen analogen ,figuren im ,raume wurden von ,krause behandelt 7,math4 ,ann4 #ad74 ,man sehe auch zwei ,noten von ,lazzeri1 ,sulle reciprocita birazionali nel piano e nello spazio 7,lincei ,rend4 #ahhf74 #eec ,gauss' ,werke1 #d4 ,bd4 ,eine italienische ,uebersetzung wurde von ,beltrami in den ,annali di ,matem4 #d veroeffentlicht4 #eed ,die ,methoden1 die geographischen ,karten zu konstruieren1 gehoeren in die ,anwendungen der ,geometrie und befinden sich deshalb nicht unter denjenigen1 deren ,geschichte wir hier verzeichnen wollen4 ,wir verweisen daher den1 der alle diejenigen kennen lernen will1 welche angewandt worden sind1 auf die ,schriften von ,fiorini1 ,le projezioni delle carte geografiche 7,bologna1 #ahha7 und ,zoeppritz1 ,leitfaden der ,kartenentwurfslehre 7,leipzig1 #ahhd74 ,eine ,ausnahme will ich nur machen mit den ,arbeiten von ,tissot 7,comptes rendus #di2 vgl4 auch ,dini1 ,memoria sopra alcuni punti della teoria delle superficie ,florenz1 #ahfh2 ,journ4 ,ec4 polyt4 #cg2 ,nouv4 ,ann4 ,,ii1 #ag flgg471 weil sie ein grosses ,interesse auch vom ,standpunkte der reinen ,wissenschaft haben4 #eee ,diese ,abbildung1 die man heute die sphaerische nennt1 wurde vor ,gauss von ,o4 ,rodrigues im ,jahre #ahae angegeben2 jedoch hat dieser ihre ganze ,fruchtbarkeit nicht so in das ,licht gestellt als der grosse deutsche ,geometer4 #eef ,journ4 fuer ,math4 #cd4 #eeg ,comptes rendus1 #ec4 #eeh ,phil4 ,mag4 #ahfa4 #eei ,journ4 fuer ,math4 #fh1 oder ,grundzuege einer allgemeinen ,theorie der ,oberflaechen 7,berlin1 #ahgj71 ,,iii4 ,t4 #efj ,journ4 fuer ,math4 #fe4 #efa ,math4 ,ann4 #a4 #efb ,s4 ,journ4 fuer ,math41 ,math4 ,ann4 und ,goettinger ,nachr4 und ,abh4 #efc ,math4 ,ann4 #d2 ,annali di ,matem4 ,,ii1 #a2 ,goettinger ,nachr4 #ahga und viele andere ,abhandlungen1 welche in den ,lombardo ,rend4 und den ,bologna ,mem4 stehen4 ,in der ,abhandlung in den ,annali studierte ,cremona die ,regelflaechen 7m n7ten ,grades1 welche eine m-fache und eine n-fache ,leitlinie haben1 und fand1 dass deren asymptotische ,kurven im allgemeinen algebraische ,kurven von der ,ordnung #b7m n - #a7 sind4 ,eine ,konstruktion dieser ,kurven wurde spaeter von ,halphen angegeben 7,bull4 ,soc4 math4 #e74 #efd ,math4 ,ann4 #c2 vgl4 auch das4 #ba1 dann ziehe man auch noch eine ,abhandlung von ,brill hinzu 7,math4 ,ann4 #e74 #efe ,annali di ,matem4 ,,ii1 #a4 #eff ,math4 ,ann4 #d4 #efg ,math4 ,ann4 #a4 #efh ,annali di ,matem4 ,,ii1 #g4 #efi ,z4 ,b4 sehe man ,darboux 7,bull4 ,soc4 math4 #b71 ,frahm 7,math4 ,ann4 #g71 ,lazzeri 7,annali della ,scuola nuova sup4 di ,pisa1 #f71 ,guccia 7,association francaise pour l'avancement des sciences1 ,congres de ,reims1 #ahhj74 #egj ,ein wichtiger ,begriff1 den ,clebsch bei seinen ,studien ueber die ,abbildung der ,regelflaechen aufstellte 7,math4 ,ann4 #e71 ist der des ,typus einer ,flaeche4 ,zwei ,flaechen sind von demselben ,typus1 wenn bei der ,abbildung der einen auf die andere es keine ,fundamentalpunkte giebt1 z4 ,b1 ist die roemische ,flaeche von ,steiner von demselben ,typus mit der ,ebene4 #ega ,s4 die ,collectanea mathematica in memoriam ,d4 ,chelini4 #egb ,comptes rendus1 #ahfh4 #egc ,math4 ,ann4 #c4 #egd ,annali di ,matem4 ,,ii1 #e2 ,goettinger ,nachr4 #ahga und #ahgc4 #ege ,math4 ,ann4 #d1 #i1 #aj4 #egf ,die ,flaechen vierter ,ordnung1 von denen man die ,abbildung auf eine ,ebene kennt1 sind die rationalen ,regelflaechen1 die roemische ,flaeche1 die ,oberflaechen mit einer ,doppelgeraden oder einem doppelten ,kegelschnitte1 die ,monoide und eine ,oberflaeche1 die einen uniplanaren ,doppelpunkt hat 7s4 eine ,abhandlung von ,noether in den ,goettinger ,nachr4 #ahga und eine von ,cremona in den ,collectanea mathematica74 ,wer die ,abbildung einer ,oberflaeche auf einer anderen studieren will1 darf die schoenen ,untersuchungen von ,zeuthen 7s4 die vorige ,note und ,comptes rendus1 #ahgj7 nicht uebergehen und die darauf folgenden von ,krey 7,math4 ,ann4 #ah7 und ,voss 7,math4 ,ann4 #bg72 einen nicht geringen ,nutzen kann er auch aus der von ,kantor 7,journ4 fuer ,math4 #ie7 aufgestellten ,korrespondenz ziehen1 die zwischen den ,punkten einer gewissen kubischen ,flaeche und gewissen ,tripeln von ,punkten einer ,ebene besteht4 #egg ,math4 ,ann4 #c4 #egh ,math4 ,ann4 #c4 #egi ,apercu historique1 ,note #bh4 #ehj ,lincei ,mem4 #ahgf1 #ahgg1 #ahgh4 ,vgl4 eine ,note von ,noether in den ,erlanger ,sitzungsberichten1 #ahgh4 #eha ,aufgaben und ,lehrsaetze aus der analyt4 ,geom4 d4 ,raumes1 ,s4 #djc flg4 #ehb ,journ4 fuer ,math4 #di4 #ehc ,s4 ,note #efc4 ,vgl4 auch ,sturm1 ,math4 ,ann4 #ai4 #ehd ,proc4 ,math4 ,soc4 #c4 #ehe ,math4 ,ann4 #c4 #ehf ,lombardo ,rend4 #ahga2 ,annali di ,matem4 ,,ii1 #e2 ,bologna ,mem4 #ahga-ahgb4 ,man sehe auch die neuesten ,arbeiten desselben ,geometers in den ,transactions of ,edinburgh #cb1 ,,ii4 ,th4 und in den ,irish ,trans4 #bh und ,proc4 math4 ,soc4 #ae4 #ehg ,aufgaben und ,lehrsaetze aus der analyt4 ,geom4 des ,raumes1 #ahcg1 ,s4 #dag-dah1 ,anmerkung4 #ehh ,unter diesen fuehre ich die ,abhandlung von de ,paolis an3 ,sopra un sistema omaloidico formato da superficie d'ordine n con un punto 7n - #a7-plo 7,giorn4 di ,matem4 #ac7 die spaeteren ueber einige spezielle involutorische ,transformationen des ,raumes von ,martinetti 7,lombardo ,rend4 #ahhe7 und von ,paolis 7,lincei ,trans41 #ahhe74 -- ,ich bemerke hier1 was ich im ,texte nicht thun konnte1 dass es moeglich ist1 das ,punktfeld auf einer ,geraden abzubilden und den ,punktraum auf einer ,ebene4 ,um erstere ,abbildung auszufuehren1 kann man jedem ,punkte der ,ebene ein ,punktepaar der ,geraden entsprechen lassen 7,uebertragungsprinzip von ,hesse1 ,journ4 fuer ,math4 #ff74 ,bei der zweiten kann man einem ,punkte des ,raumes den ,kreis zuordnen1 der den ,fusspunkt des von jenem auf die darstellende ,ebene gefaellten ,lotes zum ,mittelpunkt und zum ,radius die ,laenge dieses ,lotes hat1 indem man hinzufuegt1 dass dieser ,kreis in dem einen ,sinne durchlaufen wird1 wenn der ,punkt auf der einen 7bestimmten7 ,seite der ,ebene liegt1 im entgegengesetzten ,sinne1 wenn auf der anderen4 ,die ,gesetze dieser ,korrespondenz wurden von ,fiedler vereinigt1 um die ,cyklographie zu bilden 7s4 das ,werk ,cyklographie1 ,leipzig1 #ahhc1 und die dritte ,ausgabe der ,darstellenden ,geometrie7 und wurden von ihm zur ,loesung einiger ,probleme angewandt 7s4 einige ,mitteilungen fuer die naturforschende ,gesellschaft in ,zuerich und ,acta math4 #e74 ,vor ihm jedoch hatte schon ,crone verwandte ,fragen in einer ,dissertation behandelt1 die sich in der ,tidsskrift for ,mathematik #f findet4 #ehi ,chasles1 ,apercu historique1 #b4 ,ausg4 ,s4 #aif4 #eij ,magnus1 ,sammlung von ,aufgaben und ,lehrsaetzen aus der anal4 ,geom4 der ,ebene1 #ahcc1 ,s4 #ahh und #aih4 #eia ,voss1 ,math4 ,ann4 #ac2 ,segre1 ,torino ,mem4 ,,ii1 #cg2 ,sturm1 ,math4 ,ann4 #bf4 ,in diesen ,abhandlungen wird der ,leser auch die weiteren bibliographischen ,einzelheiten finden4 #eib ,sturm1 a4 a4 ,o42 ,montesano1 ,lincei ,mem4 #ahhf4 #eic ,lueroth1 ,math4 ,ann4 #aa1 #ac2 ,schroeter 7das4 #bj72 ,veronese1 ,lincei ,mem4 #ahha4 ,s4 auch einige der ,abhandlungen1 die sich in den ,gesammelten ,werken von ,moebius #b finden4 ,auch die ,arbeiten von ,rosanes fuehren wir hier an 7,journ4 fuer ,math4 #hh1 #ij1 #ie1 #ajj71 von ,sturm 7,math4 ,ann4 #a1 #f1 #aj1 #ab1 #ae1 #ai1 #bb1 #bh2 ,proc4 math4 ,soc4 #g71 und von ,pasch 7,math4 ,ann4 #bc1 #bf71 die verwandte ,gegenstaende behandeln2 dann noch die von ,stephanos 7,math4 ,ann4 #bc71 von ,h4 ,wiener 7,rein geometrische ,theorie der ,darstellung binaerer ,formen durch ,punktgruppen auf der ,geraden1 ,darmstadt1 #ahhe71 von ,segre 7,torino ,mem4 ,,ii1 #bh und ,journ4 fuer ,math4 #ajj71 von ,sannia 7,lezioni di geometria projettiva1 in ,neapel im ,drucke befindlich7 ueber die ,kollineationen und ,korrelationen4 #eid ,math4 ,ann4 #c4 #eie ,giorn4 di ,matem4 #aj4 #eif ,man sehe die beiden von ihm #ahhd zu ,messina veroeffentlichten ,abhandlungen4 #eig ,lombardo ,rend4 #ahhf2 ,lincei ,rend4 #ahhe4 #eih ,die ,geometrie der ,lage4 #eii ,giorn4 di ,matem4 #ba4 #fjj ,lombardo ,rend4 ,,ii1 #ad und #ae4 #fja ,journ4 fuer ,math4 #id4 #fjb ,lincei ,mem4 #ahhd-ahhe4 #fjc ,wiener ,ber4 #ahha2 ,journ4 fuer ,math4 #ig4 #fjd ,math4 ,ann4 #ai und #bh4 #fje ,math4 ,ann4 #bc4 #fjf ,journ4 fuer ,math4 #hb1 in dem ,aufsatze ueber reciproke ,verwandtschaft von ,f#b-,systemen und ,phi#b-;,geweben4 #fjg ,ueber das gemeine ,nullsystem vergl4 die ,note #faj des naechsten ,abschnittes #fjh ,bis in die neueren ,zeiten stand die analytische ,methode1 wie sie ,cartesius geschaffen1 sozusagen nur auf einem ,fusse4 ,pluecker kommt die ,ehre zu1 sie auf zwei gleiche ,stuetzen gestellt zu haben1 indem er ein ergaenzendes ,koordinatensystem einfuehrte4 ,diese ,entdeckung war daher unvermeidlich geworden1 nachdem einmal die ,tiefblicke ,steiners dem ,geiste der ,mathematiker zugefuehrt waren4 ,sylvester1 ,phil4 ,mag4 ,,iii1 #cg1 #ahej1 ,s4 #cfc4 ,vgl4 ,jahrbuch ueber die ,fortschritte der ,mathematik #b1 ,s4 #dec4 #fji ,s4 ,phil4 ,trans41 #ahfe1 ,s4 #gbe2 #ahff1 ,s4 #cfa4 #faj ,es ist wohl zu beachten1 dass ein linearer ,komplex ein reciprokes ,nullsystem veranlasst und dass dieses zuerst von ,giorgini 7,memorie della ,societa italiana delle scienze #bj1 #ahbg71 dann aber auch von ,moebius 7,lehrbuch der ,statik ,i2 vgl4 auch ,journ4 fuer ,math4 #aj1 #ahcc7 und von ,chasles 7,apercu historique1 #ahcg7 in ihren statischen und kinematischen ,untersuchungen und von demselben ,chasles und ,staudt bei der ,bestimmung der involutorischen reciproken ,beziehungen gefunden wurde4 #faa ,cambridge ,trans4 #aa1 ,teil #b2 ,quart4 ,journ4 #c4 #fab ,giorn4 di ,matem4 #f1 #g1 #aj1 #ah4 ,wenn auch ,battaglini seinen ,studien ueber die quadratischen ,komplexe eine ,gleichung zu ,grunde legte1 die nicht den allgemeinsten ,komplex ihres ,grades darstellt1 so gelten doch viele von den ,schluessen1 die er gemacht hat1 -- man kann sagen alle1 mit ,ausnahme derjenigen1 welche sich auf die singulaere ,flaeche und die singulaeren ,strahlen des ,komplexes beziehen -- fuer allgemeine ,komplexe1 indem sie unabhaengig sind von der ,gestalt dieser ,gleichung4 ,auch die von ihm aufgestellten ,formeln passen sich mit leichten ,aenderungen groesstenteils dem allgemeinen ,falle an4 #fac ,leipzig1 #ahfh-ahfi4 #fad ,s4 dessen ,examen des differentes methodes etc4 #fae ,math4 ,ann4 #b1 #e1 #g1 #bb1 #bc 7darin der ,wiederabdruck der #ahfh in ,bonn erschienenen ,dissertation3 ,ueber die ,transformation der allgemeinen ,gleichung des zweiten ,grades zwischen ,linienkoordinaten auf eine kanonische ,form71 #bh4 ,ausserdem enthalten viele ,arbeiten von ,klein ueber ,fragen der hoeheren ,algebra oder der hoeheren ,analysis1 die in den ,math4 ,ann4 und sonst veroeffentlicht sind1 ziemlich oft ,betrachtungen1 welche der ,geometrie der ,geraden angehoeren4 #faf ,torino ,mem4 ,,ii1 #cf4 #fag ,journ4 fuer ,math4 #ge1 #gf2 ,habilitationsschrift 7,giessen1 #ahgj74 #fah ,math4 ,ann4 #a4 #fai ,math4 ,ann4 #b4 #fbj ,lincei ,mem4 #ahhd-ahhe4 #fba ,math4 ,ann4 #b1 #e4 #fbb ,math4 ,ann4 #g4 ,man kann es nur beklagen1 dass die in verschiedener ,beziehung so ausgezeichnete ,arbeit von ,weiler eine grosse ,zahl von ,ungenauigkeiten enthaelt4 #fbc ,math4 ,ann4 #h1 #i1 #aj1 #ab1 #ac4 ,s4 auch ,schubert das4 #ab und dessen ,abzaehlende ,geometrie4 #fbd ,comptes rendus #gd1 #ge2 ,bull4 ,soc4 math4 #a4 #fbe ,goettinger ,nachr4 #ahfi4 #fbf ,goettinger ,nachr4 #ahfi4 #fbg ,lincei ,mem4 #ahgg-ahgh4 #fbh ,giorn4 di ,matem4 #h2 ,lombardo ,rend4 ,,ii1 #ab1 #ac1 #ad4 #fbi ,math4 ,ann4 #e4 ,vgl4 eine ,abhandlung von ,cremona1 gelesen vor der ,accademia dei ,lincei 7,atti ,,ii1 #c74 #fcj ,journ4 fuer ,math4 #ih4 ,vgl4 auch #ie und #ig4 #fca ,liouvilles ,journ4 #d4 #fcb ,die ,geometrie der ,lage1 #b4 ,abt4 #b4 ,aufl41 in der sich die von ,reye in dem ,journ4 fuer ,math4 veroeffentlichten synthetischen ,arbeiten ueber die ,geometrie der ,geraden vereinigt finden4 #fcc ,zeitschr4 f4 ,math4 #bj4 #fcd ,dissertation 7,berlin1 #ahgi7 oder ,math4 ,ann4 #ae4 #fce ,giorn4 di ,matem4 #ag2 ,lincei ,rend4 #ahgi4 #fcf ,torino ,atti1 #ahha4 #fcg ,journ4 fuer ,math4 #ia1 #ib1 #ic1 #id1 #ie1 #ig4 #fch ,the ,messenger of ,mathematics ,,ii1 #ac4 #fci ,liouvilles ,journ4 ,,ii1 #ag4 #fdj ,s4 ,note #fbi4 #fda ,math4 ,ann4 #e4 #fdb ,ann4 ,ec4 norm4 ,,ii1 #f2 ,grunerts ,arch4 #dj4 #fdc ,ann4 ,ec4 norm4 ,,iii1 #a4 #fdd ,s4 ,note #fbh4 #fde ,nouv4 ,ann4 ,,ii1 #b2 ,liouvilles ,journ4 ,,ii1 #ai4 #fdf ,die ,geometrie der ,lage4 #fdg ,goettinger ,nachr4 #ahgj4 #fdh ,journ4 fuer ,math4 #ie2 ,zeitschr4 f4 ,math4 #bd1 #bg4 #fdi ,sugli enti geometrici dello spazio di rette generati dalle intersezioni dei complessi correspondenti in due o pin fasci projettivi di complessi lineari 7,piazza ,armerina1 #ahhb74 #fej ,proc4 math4 ,soc4 #aj2 ,collectanea mathematica1 #ahha4 #fea ,math4 ,ann4 #ac4 #feb ,memoire de geometrie vectorielle sur les complexes du second ordre1 qui ont un centre de figure 7,liouvilles ,journ4 ,,iii1 #h74 #fec ,sui complessi di rette di secondo grado generati da due fasci projettivi di complessi lineari 7,napoli1 #ahhf71 und ,napoli ,rend4 #ahhf4 #fed ,math4 ,ann4 #bc2 ,giorn4 di ,matem4 #bc2 ,torino ,atti1 #ahhd4 #fee ,applications de ,geometrie et de ,mechanique1 #ahbb4 #fef ,journ4 ,ec4 polyt4 #ad4 #feg ,comptes rendus #bj4 #feh ,liouvilles ,journ4 #ae4 #fei ,journ4 ,ec4 polyt4 #ch4 #ffj ,irish ,trans4 #af1 #ahca4 #ffa ,bd4 #eg4 #ffb ,die ,eigenschaften der unendlich duennen ,strahlenbuendel1 mit denen ,kummer sich in dieser ,abhandlung beschaeftigt1 gaben spaeter 7#ahfb7 ,stoff zu einer schoenen ,arbeit von ,moebius 7,leipziger ,ber4 #ad2 ,werke #d71 an welche sich dann die von ,zech 7,zeitschr4 f4 ,math4 #ag7 veroeffentlichten ,untersuchungen knuepfen2 vgl4 auch eine neuerliche ,abhandlung von ,hensel 7,journ4 fuer ,math4 #ajb74 #ffc ,berliner ,abh4 #ahff4 #ffd ,von noch erschienenen ,arbeiten1 die man als eine ,fortsetzung derer von ,kummer ansehen kann oder die auf anderem ,wege zu dessen ,resultaten gefuehrt haben1 erwaehne ich3 ,reye 7,journ4 fuer ,math4 #hf und #ic71 ,hirst 7,proc4 math4 ,soc4 #af71 ,stahl 7s4 ,note #fcg71 ,caporali 7,napoli ,rend4 #ahgi71 ,loria 7,torino ,atti1 #ahhd und #ahhf7 -- oder von solchen1 die zu diesen einige neue ,formeln oder ein neues algebraisches ,strahlensystem hinzugefuegt haben3 ,kummer 7,berliner ,ber4 #ahgh71 ,masoni 7,napoli ,rend4 #bb71 ,roccella 7s4 ,note #fdi71 ,hirst 7,proc4 math4 ,soc4 #af und #ag2 ,rendiconti del ,circolo mathematico di ,palermo #a71 ,sturm 7,math4 ,ann4 #f2 ,journ4 fuer ,math4 #aja74 #ffe ,zum ,beweise1 dass die ,fragen1 auf welche sich diese ,arbeiten beziehen1 bei einigen ,gelehrten jene ,ruhe und ,unparteilichkeit des ,urteils1 die immer bei ihren ,diskussionen walten sollte1 aufgehoben haben1 will ich hier zwei ,stellen anfuehren1 die eine von einem ,schriftsteller1 der allen1 welche sich mit ,philosophie beschaeftigen1 sehr wohl bekannt ist1 die andere aus einer ,zeitschrift1 die in ,deutschland ziemlich verbreitet ist3 4444 so gewiss ist es logische ,spielerei1 ein ,system von vier oder fuenf ,dimensionen noch ,raum zu nennen4 ,gegen solche ,versuche muss man sich wahren2 sie sind ,grimassen der ,wissenschaft1 die durch voellig nutzlose ,paradoxien das gewoehnliche ,bewusstsein einschuechtern und ueber sein gutes ,recht in der ,begrenzung der ,begriffe taeuschen 7,lotze1 ,logik1 ,s4 #bag74 ,die absolute oder ,nicht-,euklidische ,geometrie1 die ,geometrie des endlichen ,raumes und die ,lehre von n ,raumdimensionen sind entweder ,karrikaturen oder ,krankheitserscheinungen der ,mathematik 7,j4 ,gilles1 ,blaetter fuer das ,bayrische ,gymnasial- und ,realschulwesen #bh1 ,s4 #dbc74 ,man sehe auch die heftigen ,aeusserungen ,duehrings1 die von ,erdmann in seiner trefflichen ,abhandlung3 ,die ,axiome der ,geometrie 7,leipzig1 #ahgg1 ,s4 #he7 wiedergegeben sind1 ferner ,kroman1 ,unsere ,naturerkenntnis1 deutsch von ,fischer-,benzon 7,kopenhagen1 #ahhc1 ,s4 #ade bis #age72 endlich die ,kap4 #ac und #ad des ,werkes von ,stallo1 ,la matiere et la physique moderne 7,paris1 #ahhd74 ,auf ,vorwuerfe von der oben erwaehnten ,art erwidern wir mit d',alembert3 ,allez en avant1 et la foi vous viendra6 #fff ,als ,litteraturnachweis fuer diesen ,teil der ,geometrie sehe man die ,artikel von ,g4 ,bruce-,halsted1 veroeffentlicht im ,amer4 ,journ4 #a und #b4 #ffg ,es ist dieser ,satz3 ,wenn bei einer ,geraden1 welche zwei andere schneidet1 die ,summe der inneren ,winkel auf derselben ,seite kleiner als zwei ,rechte ist1 so schneiden sich letztere auf derselben ,seite4 ,d',alembert nannte diesen ,satz3 l'ecueil et le scandale des elements de la geometrie4 #ffh ,eine ,zeit lang glaubte man1 dass der fragliche ,satz von ,euklid unter die ,axiome gestellt sei2 aber neuere historische ,untersuchungen 7s4 ,hankel1 ,vorlesungen ueber komplexe ,zahlen und ihre ,funktionen1 ,s4 #eb7 neigen zu der ,ansicht1 dass derselbe irrtuemlicher ,weise von den ,abschreibern zu den ,axiomen geschrieben sei1 waehrend er im ,originale unter den ,postulaten gestanden hatte4 #ffi ,vgl4 ,die ,elemente der ,mathematik von ,baltzer1 #d4 ,teil1 ,planimetrie4 #fgj ,man erzaehlt1 ,lagrange habe beobachtet1 dass die sphaerische ,geometrie von dem ,euklidischen ,postulate unabhaengig sei1 und gehofft1 aus dieser ,beobachtung eine ,art und ,weise ableiten zu koennen1 den ,ungelegenheiten der ,euklidischen ,methode zu entgehen1 indem er die ebene ,geometrie als die ,geometrie auf einer ,kugel mit unendlich grossem ,radius betrachtete4 #fga ,briefwechsel zwischen ,gauss und ,schumacher1 herausgegeben von ,peters1 #f ,baende 7,altona1 #ahfj-ahfe72 die betreffenden ,stellen dieses ,briefwechsels sind von ,houeel ins ,franzoesische uebersetzt und seiner #ahff erschienenen franzoesischen ,uebersetzung von ,lobatschewskys ,geometrischen ,untersuchungen 7vgl4 ,note #aj7 zugefuegt4 #fgb ,vgl4 die ,gedaechtnisschrift auf ,gauss von ,schering in den ,goettinger ,abh4 #bb 7#ahgg74 #fgc ,goettingische ,gelehrte ,anzeigen1 #ahaf und #ahbb2 oder ,gauss' ,werke #d 7#ahgc71 ,s4 #cfd und #cfh4 ,vgl4 auch ,sartorius von ,waltershausen1 ,gauss zum ,gedaechtnis 7,leipzig1 #ahef71 ,s4 #ha4 -- ,moege es gestattet sein1 hier die ,mitteilung anzuschliessen1 dass ,gauss das alte ,problem der ,kreisteilung1 in dem man seit zwei ,jahrtausenden nicht vorwaerts gekommen war1 durch ,untersuchungen auf einem ,gebiete wesentlich gefoerdert hat1 das ohne ,zusammenhang mit diesem ,problem schien und auf welchem man solchen ,gewinnst fuer die ,geometrie nicht erwartete 7,disquisitiones arithmeticae1 ,leipzig1 #ahja2 ,werke #a2 vgl4 ,bachmann1 ,die ,lehre von der ,kreisteilung1 ,leipzig1 #ahgb71 indem er zeigte1 dass die ,teilung in n ,teile mit ,hilfe von ,lineal und ,zirkel auch noch moeglich ist1 wenn n eine ,primzahl von der ,form #bm #a ist4 ,man sehe hierzu auch ,legendre1 ,elements de trigonometrie1 ,anhang2 ,richelot1 ,staudt1 ,schroeter1 ,journ4 fuer ,math4 #i1 #bd1 #ge2 ,affolter1 ,math4 ,ann4 #f4 #fgd ,courier von ,kasan1 #ahbi-ahcj2 ,abhandlungen der ,universitaet ,kasan1 #ahce1 #ahcf1 #ahcg1 #ahch2 ,geometrische ,untersuchungen ueber die ,theorie der ,parallellinien 7,berlin1 #ahaj72 ,journ4 fuer ,math4 #ag4 #fge ,die ,schrift von ,johann ,bolyai erschien als ,anhang des ,werkes von ,w4 ,bolyai3 ,tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae 44444 introducendi1 #b4 ,bd4 7,maros-,vasarhely #ahcc71 wurde dann ins ,franzoesische uebersetzt von ,houeel 7,memoires de ,bordeaux71 ins ,italienische von ,battaglini 7,giorn4 di ,matem4 #e74 #fgf ,es ist das ,verdienst ,houeels 78--#ahhf7 und ,battaglinis1 die ,werke von ,lobatschewsky und ,bolyai durch ,uebersetzungen und vorzuegliche ,kommentare 7s4 ,note #g und #aa und ,giorn4 di ,matem4 #e und #h7 verbreitet zu haben4 -- ,heute ist es leicht1 die ,nicht-,euklidische ,geometrie zu lernen1 da ,flye ,ste ,marie 7,etudes analytiques sur la theorie des paralleles1 ,paris1 #ahga71 ,frischauf 7,elemente der absoluten ,geometrie1 ,leipzig1 #ahgf7 und de ,tilly 7,essai sur les principes fundamentaux de la geometrie et de la mecanique1 ,bordeaux1 #ahgi7 methodische ,bearbeitungen derselben geschrieben haben4 ,in ,england wurden die neuen ,ideen ueber die ,prinzipien der ,geometrie bearbeitet und herrlich dargestellt von ,clifford2 man sehe die ,schrift ,lectures and ,essays1 sowie die von ,smith den ,mathematical ,papers by ,w4 ,k4 ,clifford 7,london1 #ahhb7 vorausgeschickte ,einleitung4 #fgg ,goettinger ,abh4 #ac 7#ahfg71 oder ,gesammelte ,werke 7,leipzig1 #ahgf71 ins ,franzoesische uebersetzt von ,houeel 7,annali di ,matem4 ,,ii1 #c71 ins ,englische von ,clifford 7,nature #h oder ,mathematical ,papers ,s4 #ee74 #fgh ,in der ,abhandlung ,ueber die ,thatsachen1 welche der ,geometrie zu ,grunde liegen 7,goettinger ,nachr4 #ahfh74 #fgi ,hierzu sehe man ,populaere wissenschaftliche ,vortraege von ,helmholtz 7,braunschweig1 #ahga-ahgf72 ,revue des cours scientifiques1 #i4 ,juli #ahgj etc4 #fhj ,giorn4 di ,matem4 #f4 ,dieser ,artikel wurde ins ,franzoesische uebersetzt von ,houeel und veroeffentlicht in den ,ann4 ,ec4 norm4 #f1 #ahfi4 #fha ,man vergleiche hierzu die ,worte1 mit denen d',alembert die ,meinung zurueckwies1 dass die ,wahrheiten der ,mechanik experimentelle seien 7,traite de ,dynamique1 ,paris1 #aheh1 ,discours preliminaire1 ,s4 ,,xii71 mit den folgenden von ,clifford 7,the ,common ,sense of the ,exact ,sciences1 ,london1 #ahhe1 ,international ,scientific ,series #ea73 ,in derselben ,weise1 wie wir1 um irgend einen ,zweig der ,physik zu schaffen1 von der ,erfahrung ausgehen und auf unsere ,experimente eine gewisse ,anzahl von ,axiomen stuetzen1 welche solchergestalt die ,grundlage desselben bilden1 so sind die ,axiome1 die wir als ,grundlage der ,geometrie nehmen1 wenn auch weniger offenbar1 in der ,that ein ,ergebnis der ,erfahrung4 ,man sehe auch das ,werk von ,houeel1 ,du role de l'experience dans les sciences exactes 7,prag1 #ahge71 oder die ,uebersetzung1 die davon in ,grunerts ,arch4 #ei veroeffentlicht wurde4 #fhb ,ich bemerke1 dass1 wer die ,ausdehnungslehre des grossen deutschen ,geometers und ,philologen ,hermann ,grassmann liest1 mit ,erstaunen sehen wird1 dass er schon #ahdd zu ,schluessen gelangt war1 die von den im ,texte angegebenen nicht sehr verschieden sind4 ,aber wer weiss nicht1 dass1 um geschaetzt zu werden1 dieses ausgezeichnete ,werk noetig hatte1 dass andere auf einem anderen ,wege zu den aeusserst originellen ,wahrheiten gelangten1 die es enthaelt8 -- ,hier scheint es mir angebracht zu sein1 eine ,erklaerung zu geben1 welche zu meiner ,rechtfertigung dient4 ,bei dieser kurzen ,geschichte der ,kaempfe1 welche die ,geometer in diesen letzten ,zeiten ausgefochten haben1 traf es sich selten und nur fluechtig1 dass ich ,arbeiten von ,grassmann zitierte1 und ich glaube nicht1 dass ich noch ,gelegenheit haben werde1 diesen ,namen auszusprechen4 ,das heisst nicht1 dass dieser ,geometer nicht der ,erwaehnung wuerdig sei1 dass seine ,entdeckungen und seine ,methoden nicht verdienten1 bekannt zu werden2 aber es liegt daran1 dass der ,formalismus1 in den er seine ,gedanken gekleidet1 sie den meisten unzugaenglich gemacht und ihnen fast jede ,moeglichkeit genommen hat1 irgend einen ,einfluss auszuueben4 ,grassmann war waehrend eines grossen ,teiles seines ,lebens ein ,einsiedler in der ,mathematik2 nur waehrend seiner letzten ,jahre befasste er sich damit1 etliche seiner ,produktionen in modernem ,gewande zu veroeffentlichen1 um deren ,verwandtschaft mit denen seiner ,zeitgenossen zu zeigen 7man sehe ,math4 ,ann4 #aj1 #ab2 ,goettinger ,nachr4 #ahgb2 ,journ4 fuer ,math4 #hd72 daher ist es natuerlich1 dass ihn zu nennen demjenigen selten widerfaehrt1 welcher sich vornimmt1 die ,errungenschaften zu beschreiben1 die man den vereinten ,anstrengungen der modernen ,geometer verdankt4 -- ,man vergleiche ,peano1 ,calcolo geometrico secondo l',ausdehnungslehre di ,h4 ,grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva 7,turin1 #ahhh74 -- ,ueber die wissenschaftlichen ,verdienste ,grassmanns sehe man einen ,artikel von ,cremona in den ,nouv4 ,ann4 ,i1 #ai1 dann den #ad4 ,bd4 der ,math4 ,ann4 und den #aa4 ,bd4 des ,bulletino di ,bibliografia e di ,storia delle ,scienze matematiche4 ,ein ,vergleich zwischen den ,methoden ,grassmanns und anderen moderneren wurde von ,schlegel in der ,zeitschr4 f4 ,math4 #bd gemacht4 #fhc ,ueber die sogenannte ,nicht-,euklidische ,geometrie 7,math4 ,ann4 #d74 #fhd ,nouv4 ,ann4 #ab4 #fhe ,phil4 ,trans4 #adi2 vgl4 ,clifford1 ,analytical ,metrics 7,quart4 ,journ4 #ahfe1 #ahff oder ,mathematical ,papers1 ,s4 #hj74 #fhf ,eine spaetere ,abhandlung von ,klein unter demselben ,titel 7,math4 ,ann4 #f7 ist zur ,ergaenzung einiger ,punkte der ersteren bestimmt4 ,an dieselbe knuepfen sich die wichtigen ,untersuchungen von ,lueroth und ,zeuthen 7,math4 ,ann4 #g71 von ,thomae 7vgl4 die #b4 ,aufl4 der ,geometrie der ,lage von ,reye71 von ,darboux 7,math4 ,ann4 #ag71 von ,schur 7das4 #ah71 de ,paolis 7,lincei ,mem4 #ahhj-ahha7 und von ,reye 7#c4 ,aufl4 der ,geometrie der ,lage7 ueber den ,fundamentalsatz der projektiven ,geometrie4 #fhg ,etudes de mecanique abstraite 7,memoires couronnees par l',academie de ,belgique #ba1 #ahgj74 #fhh ,bulletin de l',academie de ,belgique ,,ii1 #cf2 ,torino ,mem4 ,,ii1 #bi2 ,mem4 de la societa italiana delle scienze ,,iii1 #b4 #fhi ,wiener ,ber4 #ahgd4 ,man sehe auch die schoene ,abhandlung von ,beltrami3 ,sulle equazioni generali dell' elasticita1 in den ,annali di ,matem4 ,,ii1 #aj4 #fij ,sull' applicabilita delle superficie degli spazii a curvatura costante 7,lincei ,atti ,,iii1 #b74 #fia ,lincei ,rend4 #ahgc und #ahgf4 #fib ,annali di ,matem4 ,,ii1 #f1 #g2 ,giorn4 di ,matem4 #ac2 ,torino ,atti1 #ahgf2 ,lincei ,mem4 ,,iii1 #c2 ,lombardo ,rend4 #ahha4 #fic ,lincei ,mem4 #ahgg-ahgh4 #fid ,lombardo ,rend4 ,,ii1 #ad1 #ae4 #fie ,math4 ,ann4 #e4 #fif ,math4 ,ann4 #g4 #fig ,goettinger ,nachr4 #ahgc4 #fih ,amer4 ,journ4 #b1 #d1 #e4 #fii ,die ,massfunktionen in der analytischen ,geometrie4 ,programm 7,berlin1 #ahgc74 #gjj ,math4 ,ann4 #aj4 #gja ,quart4 ,journ4 #ah4 #gjb ,on the theory of screws in elliptic space4 7,proc4 math4 ,soc4 #ae und #af74 #gjc ,die interessantesten von den mir bekannten sind die von ,segre1 ,sulle geometrie metriche dei complessi lineari e delle sfere1 veroeffentlicht in den ,torino ,atti1 #ahhc4 #gjd ,das ,produkt zweier ,strecken ist eine ,flaeche1 das dreier ein ,koerper1 was ist das geometrische ,bild des ,produktes von vieren8 -- ,die analytischen ,geometer der ,cartesischen ,epoche bezeichneten dasselbe durch das ,wort sursolide 7ueberkoerperlich71 welches sich in ihren ,schriften findet2 man kann sie daher als diejenigen ansehen1 welche zuerst die im ,texte erwaehnte ,richtung eingeschlagen haben4 #gje ,s4 ,cayley1 ,a memoir on abstract ,geometry 7,phil4 ,trans4 #ahgj72 vgl4 auch ,cambridge ,journ4 #d1 #ahde4 #gjf ,comptes rendus1 #ahdg4 #gjg ,ueberdies scheint es ausser ,zweifel zu stehen1 dass ,gauss ausgedehnte und bestimmte ,ideen ueber die ,geometrie von mehreren ,dimensionen gehabt hat2 vgl4 ,sartorius von ,waltershausen1 a4 ,o4 ,s4 #ha 7s4 ,note #fgc des vor4 ,abschn474 #gjh ,theorie des fonctions analytiques 7,paris1 an ,v1 ,s4 #bbc74 #gji ,ich darf nicht verschweigen1 dass schon #ahbg ,moebius einen ,einblick hatte1 wie durch ,zulassung der ,existenz eines vierdimensionalen ,raumes ein unerklaerlicher ,unterschied zwischen der ,ebene und dem ,raume aufgehoben wird2 dieser ,unterschied besteht darin1 dass1 waehrend man zwei in ,bezug auf eine ,gerade symmetrische ebene ,figuren immer zur ,deckung bringen kann1 es nicht moeglich ist1 zwei raeumliche in ,bezug auf eine ,ebene symmetrische ,figuren zusammenfallen zu lassen4 ,spaeter bemerkte ,zoellner beilaeufig1 wie die ,existenz eines vierdimensionalen ,raumes gewisse ,bewegungen zulassen wuerde1 die wir fuer unmoeglich halten2 die folgenden ,resultate koennen als ,beispiele zu dieser ,beobachtung dienen3 ,newcomb zeigte 7,amer4 ,journ4 #a71 dass1 wenn es einen ,raum von vier ,dimensionen giebt1 es moeglich ist1 die beiden ,seiten einer geschlossenen materiellen ,flaeche umzuwechseln1 ohne dieselbe zu zerreissen4 ,klein bemerkte 7,math4 ,ann4 #i71 dass bei dieser ,voraussetzung die ,knoten nicht erhalten bleiben koennten1 und ,veronese fuehrte 7in der #ahha an der ,universitaet zu ,padua gehaltenen ,prolusione7 die ,thatsache an1 dass man dann aus einem geschlossenen ,zimmer einen ,koerper herausnehmen koenne1 ohne die ,waende desselben zu zerbrechen4 ,hoppe gab 7,grunerts ,arch4 #fd7 ,formeln an1 welche die ,beobachtungen ,kleins illustrierten4 ,diese ,formeln erforderten einige ,modifikationen1 die von ,durege angegeben wurden 7,wiener ,ber4 #ahhj72 vgl4 auch ,grunerts ,arch4 #fe und die synthetischen ,betrachtungen von ,schlegel1 ,zeitschr4 f4 ,math4 #bh4 #gaj ,annali di ,matem4 ,,ii1 #b und #e4 #gaa ,journ4 fuer ,math4 #fe2 ,annali di ,matem4 ,,ii1 #e4 #gab ,journ4 fuer ,math4 #hc4 #gac ,amer4 ,journ4 #b4 #gad ,die ,nicht-,euklidischen ,raumformen in analytischer ,behandlung1 ,leipzig1 #ahhe4 #gae ,math4 ,ann4 #bg4 #gaf ,annali di ,matem4 ,,ii1 #d4 #gag ,proc4 math4 ,soc4 #g oder ,mathematical ,papers1 ,s4 #bcf4 #gah ,bull4 sciences math4 #aa1 #ahgf4 #gai ,comptes rendus1 #gi4 #gbj ,journ4 fuer ,math4 #gj flgg41 ,quart4 ,journ4 #ab4 #gba ,proc4 math4 ,soc4 #i4 #gbb ,berliner ,dissertation1 #ahhj4 #gbc ,phil4 ,trans4 #age4 #gbd ,journ4 fuer ,math4 #ih4 #gbe ,nach ,lipschitz hatte ,lejeune-,dirichlet 7#ahje-ahei7 das allgemeine ,gravitationsgesetz im elliptischen ,raume studiert4 ,diese ,studien wurden dann von ,schering bearbeitet und in den ,goettinger ,nachr4 #ahgj und #ahgc veroeffentlicht4 #gbf ,comptes rendus #gi4 #gbg ,math4 ,ann4 #ai4 #gbh ,hoppe machte analoge ,untersuchungen fuer die ,kurven des vierdimensionalen ,raumes 7,grunerts ,arch4 #fd74 #gbi ,amer4 ,journ4 #d4 #gcj ,berliner ,ber4 #ahfi4 #gca ,math4 ,ann4 #g2 ,zeitschr4 f4 ,math4 #bj1 #ba1 #bd4 #gcb ,journ4 fuer ,math4 #gj und #gb4 #gcc ,journ4 fuer ,math4 #gj4 #gcd ,math4 ,ann4 #bd4 #gce ,bull4 sciences math4 ,i1 #d4 #gcf ,math4 ,ann4 #bf4 #gcg ,collectanea mathematica2 ,annali di matem4 ,,ii1 #aj4 #gch ,goettinger ,nachr41 #ahga4 #gci ,math4 ,ann4 #e4 #gdj ,journ4 fuer ,math4 #ha2 ,comptes rendus #hb4 #gda ,amer4 ,journ4 #d4 #gdb ,journ4 fuer ,math4 #gd oder ,quart4 ,journ4 #ab4 ,ich fuege noch hinzu1 dass ,salmon und ,cayley sich der ,raeume von mehreren ,dimensionen in ihren ,untersuchungen ueber die ,theorie der ,charakteristiken 7s4 ,,iv7 bedient haben1 dass ,mehler1 ,journ4 fuer ,math4 #hd1 eine ,anwendung von der ,betrachtung eines vierdimensionalen ,raumes fuer ,untersuchungen ueber dreifache ,systeme orthogonaler ,oberflaechen1 und dass ,lewis davon eine aehnliche ,anwendung machte bei der ,betrachtung einiger ,traegheitsmomente 7,quart4 ,journ4 #af74 ,dann fand ,wolstenholme1 dass die ,zahl der ,normalen1 die man von einem ,punkte eines d-dimensionalen ,raumes an eine ,oberflaeche von der nten ,ordnung ziehen kann1 n --- 7n-#a7;d - #a n-#b betraegt 7,educational ,times #aj74 #gdc ,von den ,elementen und ,grundgebilden der synthetischen ,geometrie 7,bamberg1 #ahhg74 #gdd ,grunerts ,arch4 #fd4 #gde ,bull4 ,soc4 math4 #aj4 #gdf ,grunerts ,arch4 #gj4 #gdg ,amer4 ,journ4 #c4 #gdh ,grunerts ,arch4 #ff1 #fg1 #fh1 #fi4 #gdi ,nova ,acta der ,leopold4-,carol4 ,akademie #dd4 #gej ,die polydimensionalen ,groessen und die vollkommenen ,primzahlen4 #gea ,von ,koerpern hoeherer ,dimensionen 7,kaiserslautern1 #ahhb74 #geb ,wiener ,ber4 #ij4 #gec ,wiener ,ber4 #hi und #ij4 #ged ,diese bilden eine der merkwuerdigsten von den durch ,l4 ,brill in ,darmstadt veroeffentlichten ,serien von ,modellen4 #gee ,journ4 fuer ,math4 #ca1 ,s4 #bac4 ,liest man die wenigen ,seiten1 welche die ,abhandlung von ,cayley bilden1 so gewinnt man die ,ueberzeugung1 dass er schon #ahdf einen klaren ,einblick von der ,nuetzlichkeit hatte1 welche der gewoehnlichen ,geometrie der ,lage die ,betrachtung des ,raumes von mehreren ,dimensionen bringen koenne4 #gef ,histoire de l'astronomie moderne #b1 ,s4 #fj4 #geg ,phil4 ,trans4 #ahgh oder ,mathematical ,papers ,s4 #cje4 #geh ,math4 ,ann4 #ai4 #gei ,unter den in der ,abhandlung von ,veronese bearbeiteten ,untersuchungen sind die ueber die ,konfigurationen besonderer ,erwaehnung wert1 ferner die ,formeln1 welche -- als eine ,erweiterung derer von ,pluecker und ,cayley -- die gewoehnlichen ,singularitaeten einer ,kurve eines n-dimensionalen ,raumes unter einander verknuepfen1 die ,erzeugung von in einem solchen ,raume enthaltenen ,oberflaechen durch projektive ,systeme und die ,anwendung derselben auf das ,studium einiger ,oberflaechen unseres ,raumes2 dann kann ich nicht stillschweigend uebergehen die ,studien ueber die in einem quadratischen ,gebilde von n ,dimensionen enthaltenen linearen ,raeume1 die ,veronese gemacht hat1 um einige ,saetze von ,cayley zu erweitern 7,quart4 ,journ4 #ab71 indem er die von ,klein 7,math4 ,ann4 #e7 verallgemeinerte stereographische ,projektion anwandte1 ferner nicht etliche wichtige ,resultate ueber die ,kurven1 von denen uebrigens einige schon ,clifford 7,phil4 ,trans41 #ahgh7 auf einem anderen ,wege erhalten hatte4 #gfj ,annali di ,matem4 ,,ii1 #aa2 ,lincei ,mem4 #ahhc-ahhd2 ,atti dell' ,istituto ,veneto ,v1 #h4 ,letztere ,abhandlung ist der darstellenden ,geometrie des ,raumes von #d ,dimensionen gewidmet und kann daher als die ,ausfuehrung eines ,gedankens angesehen werden1 den ,sylvester im ,jahre #ahfi in seiner ,rede vor der ,british ,association angedeutet hat4 #gfa ,torino ,mem4 ,,ii1 #cf4 #gfb ,lincei ,mem4 #ahhc-ahhd2 ,torino ,mem4 ,,ii1 #cg2 ,lincei ,rend4 #ahhf4 #gfc ,torino ,atti #ai4 #gfd ,torino ,atti #ai1 #bj1 #ba2 ,math4 ,ann4 #bg4 #gfe ,math4 ,ann4 #bd4 #gff ,torino ,atti #bj4 #gfg ,lombardo ,rend4 #ahhf2 ,lincei ,rend4 #ahhf4 ,man sehe auch desselben ,verfassers wichtige ,note3 ,sui sistemi lineari1 ,lombardo ,rend4 #hb4 #gfh ,lombardo ,rend4 #ahhe1 #ahhf4 #gfi ,napoli ,rend4 #ahhe1 #ahhf4 ,vgl4 auch ,rodenberg1 ,math4 ,ann4 #bf4 #ggj ,ich kann sie alle hier nicht wiederholen1 ,weil mich des ,stoffes ,fuelle so bedraengt1 ,dass hinter dem ,gescheh'nen oft das ,wort bleibt4 -- 7,dantes ,divina ,commedia1 der ,hoelle #d4 ,ges4 ,v4 #ade-adg47 #gga ,math4 ,ann4 #b1 #h4 ,man sehe auch die ,abhandlung von ,s4 ,kantor1 ,sur les transformations lineaires successives dans le meme espace a n dimensions 7,bull4 ,soc4 math4 #h74 #ggb ,bull4 ,soc4 math4 #b4 ,unter den in dieser ,arbeit erhaltenen ,resultaten heben wir folgendes hervor3 ,wenn man in einem ,raume von r - #a ,dimensionen zwei algebraische ,mannigfaltigkeiten vom ,grade mu und nu ins ,auge fasst1 bezueglich von m und n ,dimensionen1 so ist der ,schnitt derselben eine ,mannigfaltigkeit von n m - 7r-#a7 ,dimensionen und vom ,grade munu1 wofern m n r - #a1 und die beiden ,mannigfaltigkeiten nicht eine solche von m n - r #b oder mehr ,dimensionen gemeinsam haben1 um den vollstaendigen ,beweis desselben anzufuehren1 den ,noether in den ,math4 ,ann4 #aa geliefert hat4 #ggc ,lincei ,mem4 #ahgf-ahgg2 vgl4 auch ,jordan 7,bull4 ,soc4 math4 #c74 -- ,hier will ich eine ,notiz machen1 die im ,texte nicht ,platz finden konnte3 ,von vielen wurde behauptet1 dass in einem ,raume von konstanter positiver ,kruemmung zwei geodaetische ,linien1 wenn sie sich treffen1 im allgemeinen zwei ,punkte gemeinsam haben2 das ist nun nicht wahr1 und dieses wurde zuerst von ,klein beobachtet 7,jahrbuch ueber die ,fortschritte der ,mathematik #i1 ,s4 #cac71 dann von ,newcomb 7,journ4 fuer ,math4 #hc7 und von ,frankland 7,proc4 math4 ,soc4 #h74 ,ueber dasselbe ,thema sehe man eine ,abhandlung von ,killing 7,journ4 fuer ,math4 #hf und #hi74 #ggd ,math4 ,ann4 #bf2 ,acta math4 #h4 -- ,der ,abhandlung von ,veronese gehen noch die ,untersuchungen von ,spottiswoode 7#ahbe-ahhc7 voran1 ueber die ,darstellung der ,figuren der ,geometrie von n ,dimensionen vermittelst correlativer ,figuren der gewoehnlichen ,geometrie 7,comptes rendus #ha74 #gge ,memoire de ,geometrie sur deux principes generaux de la science4 #ggf ,beitraege zur ,geometrie der ,lage1 s4 #bi4 #ggg ,vierteljahrsschrift der naturforschenden ,gesellschaft zu ,zuerich #ae1 oder ,die darstellende ,geometrie4 #ggh ,vgl4 die interessante ,abhandlung von ,fiedler1 ,geometrie und ,geomechanik1 erschienen in der genannten ,vierteljahrsschrift1 und in franzoesischer ,uebersetzung in ,liouvilles ,journ4 ,,iii1 #d veroeffentlicht4 #ggi ,den ,nutzen1 welcher der ,geometrie durch die ,annahme einiger ,begriffe1 die man jetzt noch als der ,mechanik angehoerig betrachtet1 erwachsen wuerde1 bezeugen der ,expose geometrique du calcul differentiel et integral 7,paris1 #ahfa71 von ,lamarle 7#ahjf-ahge7 verfasst1 die von ,mannheim der kinematischen ,geometrie gewidmeten ,partien in seinem ,cours de geometrie descriptive 7,paris1 #ahhj7 und das schoene juengst veroeffentlichte ,buch meines ,freundes ,peano mit dem ,titel3 ,applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale 7,turin1 #ahhg74 #ghj ,man sehe die ,anhaenge der ,proc4 math4 ,soc4 seit ,bd4 #ad4 #gha ,nouv4 ,ann4 ,,ii1 #a1 #b2 ,liouvilles ,journ4 ,,ii1 #g2 ,berliner ,abh4 #ahfe1 #ahff2 ,berliner ,ber4 #ahgb oder ,borchardts ,gesammelte ,werke1 ,s4 #agi1 #bja1 #bcc4 #ghb ,insbesondere ,journ4 fuer ,math4 #bd oder ,werke1 ,bd4 ,,ii1 ,s4 #agg1 #bda4 #ghc ,s4 ,acta ,societatis scientiarum ,fennicae1 #ahff2 ,bull4 de l',academie de ,st4 ,petersbourg #ad2 ,math4 ,ann4 #b2 ,nouv4 ,ann4 ,,ii1 #aj2 ,zeitschr4 f4 ,math4 #aa2 ,goettinger ,nachr4 #ahhb oder ,bull4 sciences math4 ,,ii1 #g2 ,journ4 fuer ,math4 #if1 #ig2 ,goettinger ,nachr4 #ahhd2 ,grunerts ,arch4 ,,ii1 #b2 ,giorn4 di ,matem4 #bf4 #ghd ,memoires de l',academie de ,berlin1 #agfa2 vgl4 ,legendres ,elements de ,geometrie1 ,note ,,iv der aelteren ,auflagen4 #ghe ,berliner ,ber4 #ahhb2 ,math4 ,ann4 #bj2 vereinfacht durch ,weierstrass1 ,berliner ,ber4 #ahhe2 man vgl4 auch ,rouche1 ,nouv4 ,ann4 ,,iii1 #b4 #ghf ,die einzigen rein synthetischen ,untersuchungen ueber die ,kurven und ,oberflaechen von hoeherer als zweiter ,ordnung1 die ich kenne1 sind die von ,reye 7,geometrie der ,lage7 ueber die ebenen kubischen ,kurven1 einige von ,thieme 7,zeitschr4 f4 ,math #bd2 ,math4 ,ann4 #bj1 #bh71 von ,milinowski 7,zeitschr4 f4 ,math4 #ba1 #bc2 ,journ4 fuer ,math4 #hi1 #ig7 und von ,schur 7,zeitschr4 f4 ,math4 #bd74 ,ihnen koennte man die beiden folgenden ,arbeiten hinzufuegen1 die im ,jahre #ahfh von der ,berliner ,akademie gekroent sind3 ,h4 ,j4 ,s4 ,smith1 ,memoire sur quelques problemes cubiques et biquadratiques 7,annali di ,matem4 ,,ii1 #c72 ,kortum1 ,ueber geometrische ,aufgaben dritten und vierten ,grades 7,bonn1 #ahfi74 ,die ,geometer erwarten ungeduldig die ,veroeffentlichung einer ,schrift von ,e4 ,koetter1 die #ahhf von der ,berliner ,akademie den ,steinerschen ,preis erhielt und dazu berufen erscheint1 in das ,gebiet der reinen ,geometrie die allgemeine ,theorie der ebenen algebraischen ,kurven zu versetzen4 7,sie ist waehrend der ,anfertigung der ,uebersetzung vorliegender ,schrift in den ,berliner ,abh4 #ahhg unter dem ,titel3 ,grundzuege einer rein geometrischen ,theorie der algebraischen ebenen ,kurven erschienen47 #ghg ,die ,angemessenheit des gleichzeitigen ,gebrauches der ,geometrie und ,analysis1 auch in den ,fragen der angewandten ,mathematik1 wurde ausdruecklich von ,lame mit folgenden ,worten erklaert3 ,quand on medite sur l'histoire des mathematiques appliquees1 on est effectivement conduit a attribuer leurs principales decouvertes1 leurs progres les plus decisifs a l'association de l'analyse et de la geometrie4 ,et les travaux1 que produit l'emploi de chacun de ces instruments1 apparaissent alors comme des preparations1 des perfectionnements1 en attendant l'epoque qui sera fecondee par leur reunion4 7,lecons sur les coordonnees curvilignes1 #ahei1 ,s4 ,,xiii und ,,xiv47 #ghh ,poinsot1 ,comptes rendus #f 7#ahch7 ,s4 #hji4 99 99 99 99 99 ,corrections made to printed original4 page #ag1 l'origine et le developpement3 'el developpement' in original4 ,footnote #bfe1 geometrische43 'geometrisehe' in original4