de ,france 7,bn,f_/,gallica7 ,,c\rs ,,de ,,philosophie ,,positive4 ,,v]at1 ,,imprimeur1 ,,rue ,,du ,,cadran1 ,n #af4 ,,note ,,du ,,transcripteur3 ,ce premi] volume conti5t un gr& nombre de =mules algbriques4 ,les correcteurs d'preuve ont t5t de reproduire ces =mules tant bi5 que mal1 cep5dant comme le =mat 4txt ne se prte pas trs bi5 cet ex]cice4 ,ces corrections p\rront s'avr] incomprh5sibles p\r la plup>t des lecteurs1 et possiblem5t incorrectes p\r les autres4 ,p\r une v]sion plus complte1 et plus prcise le lecteur aura gr& avantage consult] la v]sion ,,html de ce docum5t4 ,,c\rs ,,de ,,philosophie ,,positive1 ,p> ,m4 ,augu/e ,comte1 ,,anci5 ,l,,ve ,,de ,l',,cole ,,polyte*nique4 ,,tome ,,premi]1 ,,cont5ant ,,les ,,pr,,lim9aires ,g,n,,raux ,,et ,,la ,,philosophie ,,ma?,,matique4 ,,p>is4 ,,r\5 ,,fr,,res1 ,,libraires-,,diteurs1 ,,rue ,,de ,l',,cole ,,de ,m,,dec9e1 ,n #ac4 ,,bruxelles1 ,,au ,d,p,t ,,de ,,la ,,librairie ,m,,dicale ,,fran,,aise4 #ahcj4 ,,mes ,,illu/res ,,amis ,m4 le ,b>on ,f\ri]1 ,secrtaire p]ptuel de l',acadmie ,royale des ,sci5ces1 ,m4 le ,pr(esseur ,g4 ,m4 ,d4 de ,bla9ville1 ,membre de l',acadmie ,royale des ,sci5ces1 ,en tmoignage de ma respectueuse affection1 ,augu/e ,comte1 ,anci5 lve de l'cole ,polyte*nique4 ,,av]tissem5t ,,de ,l',,auteur4 ,ce c\rs1 rsultat gnral de t\s mes travaux depuis ma sortie de l'cole ,polyte*nique en #ahaf1 fut ouv]t p\r la premire fois en avril #ahbf4 ,aprs un petit nombre de sances1 une maladie grave m'emp*a1 cette poque1 de p\rsuivre une entreprise enc\rage1 ds sa naissance1 p> les suffrages de plusieurs savans du premi] ordre1 p>mi lesquels je p\vais cit] ds-lors ,,mm4 ,alex&re de ,humboldt1 de ,bla9ville et ,po9sot1 membres de l',acadmie des ,sci5ces1 qui v\lur5t bi5 suivre avec un intrt s\t5u l'exposition de mes ides4 ,j'ai refait ce c\rs en enti] l'hiv] d]ni]1 p>tir du #d janvi] #ahbi1 devant un auditoire dont avai5t bi5 v\lu faire p>tie ,m4 ,f\ri]1 secrtaire p]ptuel de l',acadmie des ,sci5ces1 ,,mm4 de ,bla9ville1 ,po9sot1 ,navi]1 membres de la mme acadmie1 ,,mm4 les pr(esseurs ,br\ssais1 ,esquirol1 ,b9et1 etc41 auxquels je dois ici tmoign] publiquem5t ma reconnaissance p\r la manire dont ils ont accueilli cette n\velle t5tative philosophique4 ,aprs m'tre assur p> de tels suffrages que ce c\rs p\vait utilem5t recevoir une plus gr&e publicit1 j'ai cru devoir1 cette int5tion1 l'expos] cet hiv] l',a?ne ,royal de ,p>is1 o il vi5t d'tre ouv]t le #i dcembre4 ,le plan e/ demeur compltem5t le mme4 ,seulem5t les conv5ances de cet tablissem5t m'oblig5t re/re9dre un peu les dveloppem5s de mon c\rs4 ,ils se retr\v5t t\t enti]s dans la publication que je fais auj\rd'hui de mes leons1 telles qu'elles ont eu lieu l'anne d]nire4 ,p\r complt] cette notice hi/orique1 il e/ conv5able de faire obs]v]1 relativem5t quelques-unes des ides fondam5tales exposes dans ce c\rs1 que je les avais prs5tes antrieurem5t dans la premire p>tie d'un ouvrage intitul ,sy/me de politique positive1 imprime c5t exemplaires en mai #ahbb1 et rimprime ensuite en avril #ahbd1 un nombre d'exemplaires plus considrable4 ,cette premire p>tie n'a po9t encore t =mellem5t publie1 mais seulem5t communique1 p> la voie de l'impression1 un gr& nombre de savans et de philosophes europens4 ,elle ne s]a mise df9itivem5t en circulation qu'avec la seconde p>tie que j'espre p\voir faire p>atre la f9 de l'anne #ahcj4 ,j'ai cru ncessaire de con/at] ici la publicit effective de ce premi] travail1 p>ce que quelques ides (frant une c]ta9e analogie avec une p>tie des mi5nes1 se tr\v5t exposes1 sans aucune m5tion de mes re*]*es1 dans div]s ouvrages publis po/rieurem5t1 surt\t en ce qui conc]ne la rnovation des ?ories sociales4 ,quoique des esprits diffr5s ai5t pu1 sans aucune communication1 comme le montre s\v5t l'hi/oire de l'esprit huma91 arriv] sp>m5t des conceptions analogues en s'occupant d'une mme classe de travaux1 je devais nanmo9s insi/] sur l'antriorit relle d'un ouvrage peu connu du public1 af9 qu'on ne suppose pas que j'ai puis le g]me de c]ta9es ides dans des crits qui sont1 au contraire1 plus rc5s4 ,plusieurs p]sonnes m'ayant dj dem& quelques claircissem5s relativem5t au titre de ce c\rs1 je crois utile d'indiqu] ici1 ce sujet1 une explication sommaire4 ,l'expression philosophie positive tant con/amm5t employe1 dans t\te l't5due de ce c\rs1 suivant une acception rig\reusem5t inv>iable1 il m'a p>u sup]flu de la df9ir autrem5t que p> l'usage uni=me que j'en ai t\j\rs fait4 ,la premire leon1 en p>ticuli]1 peut tre reg>de t\t entire comme le dveloppem5t de la df9ition exacte de ce que j'appelle la philosophie positive4 ,je regrette nanmo9s d'avoir t oblig d'adopt]1 dfaut de t\t autre1 un t]me comme celui de philosophie1 qui a t si abusivem5t employ dans une multitude d'acceptions div]ses4 ,mais l'adjectif positive p> lequel j'en modifie le s5s me p>at suffire p\r faire disp>atre1 mme au premi] abord1 t\te quivoque ess5tielle1 *ez ceux1 du mo9s1 qui en connaiss5t bi5 la valeur4 ,je me born]ai donc1 dans cet av]tissem5t1 dcl>] que j'emploie le mot philosophie dans l'acception que lui donnai5t les anci5s1 et p>ticulirem5t ,ari/ote1 comme dsignant le sy/me gnral des conceptions huma9es2 et1 en aj\tant le mot positive1 j'annonce que je considre cette manire spciale de philosoph] qui consi/e envisag] les ?ories1 dans quelque ordre d'ides que ce soit1 comme ayant p\r objet la coord9ation des faits obs]vs1 ce qui con/itue le troisime et d]ni] tat de la philosophie gnrale1 primitivem5t ?ologique et ensuite mtaphysique1 a9si que je l'explique ds la premire leon4 ,il y a1 sans d\te1 beauc\p d'analogie entre ma philosophie positive et ce que les savans anglais ent5d5t1 depuis ,newton surt\t1 p> philosophie naturelle4 ,mais je n'ai pas d *oisir cette d]nire dnom9ation1 non plus que celle de philosophie des sci5ces qui s]ait peut-tre encore plus prcise1 p>ce que l'une et l'autre ne s'ent5d5t pas encore de t\s les ordres de phnomnes1 t&is que la philosophie positive1 dans laquelle je compr5ds l'tude des phnomnes sociaux aussi bi5 que de t\s les autres1 dsigne une manire uni=me de raisonn] applicable t\s les sujets sur lesquels l'esprit huma9 peut s'ex]c]4 ,en outre1 l'expression philosophie naturelle e/ usite1 en ,anglet]re1 p\r dsign] l'ensemble des div]ses sci5ces d'obs]vation1 considres jusque dans leurs spcialits les plus dtailles2 au lieu que p> philosophie positive1 comp> sci5ces positives1 j'ent5ds seulem5t l'tude propre des gnralits des diffr5tes sci5ces1 conues comme s\mises une m?ode unique1 et comme =mant les diffr5tes p>ties d'un plan gnral de re*]*es4 ,le t]me que j'ai t conduit con/ruire e/ donc1 la fois1 plus t5du et plus re/re9t que les dnom9ations1 d'ailleurs analogues1 quant au c>actre fondam5tal des ides1 qu'on p\rrait1 de prime-abord1 reg>d] comme quival5tes4 ,p>is1 le #ah dcembre #ahbi4 ,,c\rs ,,de ,,philosophie ,,positive4 ,,premi,,re ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,exposition du b de ce c\rs1 ou considrations gnrales sur la nature et l'importance de la philosophie positive4 ,l'objet de cette premire leon e/ d'expos] nettem5t le b du c\rs1 c'e/--dire de dt]m9] exactem5t l'esprit dans lequel s]ont considres les div]ses bran*es fondam5tales de la philosophie naturelle1 indiques p> le programme sommaire que je v\s ai prs5t4 ,sans d\te1 la nature de ce c\rs ne saurait tre compltem5t apprcie1 de manire p\voir s'en =m] une op9ion df9itive1 que lorsque les div]ses p>ties en auront t successivem5t dveloppes4 ,tel e/ l'inconvni5t ord9aire des df9itions relatives des sy/mes d'ides trs-t5dus1 qu& elles en prcd5t l'exposition4 ,mais les gnralits peuv5t tre conues s\s deux aspects1 ou comme ap]u d'une doctr9e tablir1 ou comme rsum d'une doctr9e tablie4 ,si c'e/ seulem5t s\s ce d]ni] po9t de vue qu'elles acquir5t t\te leur valeur1 elles n'en ont pas mo9s dj1 s\s le premi]1 une extrme importance1 en c>actrisant ds l'orig9e le sujet considr]4 ,la circonscription gnrale du *amp de nos re*]*es1 trace avec t\te la svrit possible1 e/1 p\r notre esprit1 un prlim9aire p>ticulirem5t indisp5sable dans une tude aussi va/e et jusqu'ici aussi peu dt]m9e que celle dont n\s allons n\s occup]4 ,c'e/ af9 d'obir cette ncessit logique que je crois devoir v\s indiqu]1 ds ce mom5t1 la srie des considrations fondam5tales qui ont donn naissance ce n\veau c\rs1 et qui s]ont d'ailleurs spcialem5t dveloppes1 dans la suite1 avec t\te l'ext5sion que rclame la haute importance de *acune d'elles4 ,p\r expliqu] conv5ablem5t la vritable nature et le c>actre propre de la philosophie positive1 il e/ indisp5sable de jet] d'abord un c\p-d'oeil gnral sur la m>*e progressive de l'esprit huma91 envisage dans son ensemble3 c> une conception quelconque ne peut tre bi5 connue que p> son hi/oire4 ,en tudiant a9si le dveloppem5t total de l'intellig5ce huma9e dans ses div]ses sphres d'activit1 depuis son premi] essor le plus simple jusqu' nos j\rs1 je crois avoir dc\v]t une gr&e loi fondam5tale1 laquelle il e/ assujti p> une ncessit inv>iable1 et qui me semble p\voir tre solidem5t tablie1 soit sur les preuves rationnelles f\rnies p> la connaissance de notre organisation1 soit sur les vrifications hi/oriques rsultant d'un exam5 att5tif du pass4 ,cette loi consi/e en ce que *acune de nos conceptions pr9cipales1 *aque bran*e de nos connaissances1 passe successivem5t p> trois tats ?oriques diffr5s3 l'tat ?ologique1 ou fictif2 l'tat mtaphysique1 ou ab/rait2 l'tat sci5tifique1 ou positif4 ,en d'autres t]mes1 l'esprit huma91 p> sa nature1 emploie successivem5t dans *acune de ses re*]*es trois m?odes de philosoph]1 dont le c>actre e/ ess5tiellem5t diffr5t et mme radicalem5t oppos3 d'abord la m?ode ?ologique1 ensuite la m?ode mtaphysique1 et enf9 la m?ode positive4 ,de l1 trois sortes de philosophies1 ou de sy/mes gnraux de conceptions sur l'ensemble des phnomnes1 qui s'exclu5t mutuellem5t3 la premire e/ le po9t de d"p ncessaire de l'intellig5ce huma9e2 la troisime1 son tat fixe et df9itif3 la seconde e/ uniquem5t de/9e s]vir de transition4 ,dans l'tat ?ologique1 l'esprit huma9 dirigeant ess5tiellem5t ses re*]*es v]s la nature intime des tres1 les causes premires et f9ales de t\s les effets qui le frapp5t1 en un mot1 v]s les connaissances absolues1 se reprs5te les phnomnes comme produits p> l'action directe et cont9ue d'ag5s surnaturels plus ou mo9s nombreux1 dont l'int]v5tion arbitraire explique t\tes les anomalies app>5tes de l'univ]s4 ,dans l'tat mtaphysique1 qui n'e/ au fond qu'une simple modification gnrale du premi]1 les ag5s surnaturels sont remplacs p> des =ces ab/raites1 vritables entits 7ab/ractions p]sonnifies7 inhr5tes aux div]s tres du monde1 et conues comme capables d'eng5dr] p> elles-mmes t\s les phnomnes obs]vs1 dont l'explication consi/e alors assign] p\r *acun l'entit correspondante4 ,enf91 dans l'tat positif1 l'esprit huma9 reconnaissant l'impossibilit d'obt5ir des notions absolues1 r5once *]*] l'orig9e et la de/9ation de l'univ]s1 et connatre les causes intimes des phnomnes1 p\r s'atta*] uniquem5t dc\vrir1 p> l'usage bi5 comb9 du raisonnem5t et de l'obs]vation1 leurs lois effectives1 c'e/--dire leurs relations inv>iables de succession et de similitude4 ,l'explication des faits1 rduite alors ses t]mes rels1 n'e/ plus dsormais que la liaison tablie entre les div]s phnomnes p>ticuli]s et quelques faits gnraux1 dont les progrs de la sci5ce t5d5t de plus en plus dim9u] le nombre4 ,le sy/me ?ologique e/ p>v5u la plus haute p]fection dont il soit susceptible1 qu& il a sub/itu l'action provid5tielle d'un tre unique au jeu v>i des nombreuses div9its indp5dantes qui avai5t t imag9es primitivem5t4 ,de mme1 le d]ni] t]me du sy/me mtaphysique consi/e concevoir1 au lieu des diffr5tes entits p>ticulires1 une seule gr&e entit gnrale1 la nature1 envisage comme la s\rce unique de t\s les phnomnes4 ,p>eillem5t1 la p]fection du sy/me positif1 v]s laquelle il t5d sans cesse1 quoiqu'il soit trs-probable qu'il ne doive jamais l'atte9dre1 s]ait de p\voir se reprs5t] t\s les div]s phnomnes obs]vables comme des cas p>ticuli]s d'un seul fait gnral1 tel que celui de la gravitation1 p> exemple4 ,ce n'e/ pas ici le lieu de dmontr] spcialem5t cette loi fondam5tale du dveloppem5t de l'esprit huma91 et d'en dduire les consqu5ces les plus importantes4 ,n\s en trait]ons directem5t1 avec t\te l'ext5sion conv5able1 dans la p>tie de ce c\rs relative l'tude des phnomnes sociaux#a4 ,je ne la considre ma9t5ant que p\r dt]m9] avec prcision le vritable c>actre de la philosophie positive1 p> opposition aux deux autres philosophies qui ont successivem5t dom91 jusqu' ces d]ni]s sicles1 t\t notre sy/me intellectuel4 ,quant prs5t1 af9 de ne pas laiss] entirem5t sans dmon/ration une loi de cette importance1 dont les applications se prs5t]ont frquemm5t dans t\te l't5due de ce c\rs1 je dois me born] une indication rapide des motifs gnraux les plus s5sibles qui peuv5t en con/at] l'exactitude4 ,note #a3 ,les p]sonnes qui dsir]ai5t immdiatem5t ce sujet des claircissem5s plus t5dus1 p\rront consult] utilem5t trois articles de ,considrations philosophiques sur les sci5ces et les savans que j'ai publis1 en novembre #ahbe1 dans un recueil intitul le ,producteur 7nos #g1 #h et #aj71 et surt\t la premire p>tie de mon ,sy/me de politique positive1 adresse1 en avril #ahbd1 l',acadmie des ,sci5ces1 et o j'ai consign1 p\r la premire fois1 la dc\v]te de cette loi4 ,en premi] lieu1 il suffit1 ce me semble1 d'nonc] une telle loi1 p\r que la ju/esse en soit immdiatem5t vrifie p> t\s ceux qui ont quelque connaissance appr(ondie de l'hi/oire gnrale des sci5ces4 ,il n'en e/ pas une seule1 en effet1 p>v5ue auj\rd'hui l'tat positif1 que *acun ne puisse aism5t se reprs5t]1 dans le pass1 ess5tiellem5t compose d'ab/ractions mtaphysiques1 et1 en remontant encore davantage1 t\t--fait dom9e p> les conceptions ?ologiques4 ,n\s aurons mme malheureusem5t plus d'une occasion =melle de reconnatre1 dans les div]ses p>ties de ce c\rs1 que les sci5ces les plus p]fectionnes cons]v5t encore auj\rd'hui quelques traces trs-s5sibles de ces deux tats primitifs4 ,cette rvolution gnrale de l'esprit huma9 peut d'ailleurs tre aism5t con/ate auj\rd'hui1 d'une manire trs-s5sible1 quoique indirecte1 en considrant le dveloppem5t de l'intellig5ce individuelle4 ,le po9t de d"p tant ncessairem5t le mme dans l'ducation de l'individu que dans celle de l'espce1 les div]ses phases pr9cipales de la premire doiv5t reprs5t] les poques fondam5tales de la seconde4 ,or1 *acun de n\s1 en contemplant sa propre hi/oire1 ne se s\vi5t-il pas qu'il a t successivem5t1 quant ses notions les plus importantes1 ?ologi5 dans son enfance1 mtaphysici5 dans sa jeunesse1 et physici5 dans sa virilit8 ,cette vrification e/ facile auj\rd'hui p\r t\s les hommes au niveau de leur sicle4 ,mais1 outre l'obs]vation directe1 gnrale ou individuelle1 qui pr\ve l'exactitude de cette loi1 je dois surt\t1 dans cette indication sommaire1 m5tionn] les considrations ?oriques qui en font s5tir la ncessit4 ,la plus importante de ces considrations1 puise dans la nature mme du sujet1 consi/e dans le beso91 t\te poque1 d'une ?orie quelconque p\r li] les faits1 comb9 avec l'impossibilit vid5te1 p\r l'esprit huma9 son orig9e1 de se =m] des ?ories d'aprs les obs]vations4 ,t\s les bons esprits rpt5t1 depuis ,bacon1 qu'il n'y a de connaissances relles que celles qui repos5t sur des faits obs]vs4 ,cette maxime fondam5tale e/ videmm5t inconte/able1 si on l'applique1 comme il convi5t1 l'tat viril de notre intellig5ce4 ,mais en se reportant la =mation de nos connaissances1 il n'en e/ pas mo9s c]ta9 que l'esprit huma91 dans son tat primitif1 ne p\vait ni ne devait p5s] a9si4 ,c>1 si d'un ct1 t\te ?orie positive doit ncessairem5t tre fonde sur les obs]vations1 il e/ galem5t s5sible1 d'un autre ct1 que1 p\r se livr] l'obs]vation1 notre esprit a beso9 d'une ?orie quelconque4 ,si en contemplant les phnomnes1 n\s ne les ratta*ions po9t immdiatem5t quelques pr9cipes1 non-seulem5t il n\s s]ait impossible de comb9] ces obs]vations isoles1 et p> consqu5t1 d'en tir] aucun fruit1 mais n\s s]ions mme entirem5t incapables de les ret5ir2 et1 le plus s\v5t1 les faits re/]ai5t inap]u s\s nos yeux4 ,a9si1 press entre la ncessit d'obs]v] p\r se =m] des ?ories relles1 et la ncessit non mo9s imprieuse de se crer des ?ories quelconques p\r se livr] des obs]vations suivies1 l'esprit huma91 sa naissance1 se tr\v]ait enf]m dans un c]cle vicieux dont il n'aurait jamais eu aucun moy5 de sortir1 s'il ne se ft heureusem5t ouv]t une issue naturelle p> le dveloppem5t spontan des conceptions ?ologiques1 qui ont prs5t un po9t de ralliem5t ses ef=ts1 et f\rni un alim5t son activit4 ,tel e/1 indp5damm5t des hautes considrations sociales qui s'y ratta*5t et que je ne dois pas mme indiqu] en ce mom5t1 le motif fondam5tal qui dmontre la ncessit logique du c>actre purem5t ?ologique de la philosophie primitive4 ,cette ncessit devi5t encore plus s5sible en ayant g>d la p>faite conv5ance de la philosophie ?ologique avec la nature propre des re*]*es sur lesquelles l'esprit huma9 dans son enfance conc5tre si m9emm5t t\te son activit4 ,il e/ bi5 rem>quable1 en effet1 que les que/ions les plus radicalem5t inaccessibles nos moy5s1 la nature intime des tres1 l'orig9e et la f9 de t\s les phnomnes1 soi5t prcism5t celles que notre intellig5ce se propose p>-dessus t\t dans cet tat primitif1 t\s les problmes vraim5t solubles tant presque envisags comme indignes de mditations srieuses4 ,on en conoit aism5t la raison2 c> c'e/ l'expri5ce seule qui a pu n\s f\rnir la mesure de nos =ces2 et1 si l'homme n'avait d'abord comm5c p> en avoir une op9ion exagre1 elles n'euss5t jamais pu acqurir t\t le dveloppem5t dont elles sont susceptibles4 ,a9si l'exige notre organisation4 ,mais1 quoi qu'il en soit1 reprs5tons-n\s1 autant que possible1 cette disposition si univ]selle et si prononce1 et dem&ons-n\s quel accueil aurait reu une telle poque1 en la supposant =me1 la philosophie positive1 dont la plus haute ambition e/ de dc\vrir les lois des phnomnes1 et dont le premi] c>actre propre e/ prcism5t de reg>d] comme ncessairem5t int]dits la raison huma9e t\s ces sublimes my/res1 que la philosophie ?ologique explique1 au contraire1 avec une si admirable facilit jusque dans leurs mo9dres dtails4 ,il en e/ de mme en considrant s\s le po9t de vue pratique la nature des re*]*es qui occup5t primitivem5t l'esprit huma94 ,s\s ce rapport1 elles (fr5t l'homme l'attrait si n]gique d'un empire illimit ex]c] sur le monde extrieur1 envisag comme entirem5t de/9 notre usage1 et comme prs5tant dans t\s ses phnomnes des relations intimes et cont9ues avec notre exi/5ce4 ,or1 ces esprances *imriques1 ces ides exagres de l'importance de l'homme dans l'univ]s1 que fait natre la philosophie ?ologique1 et que dtruit sans ret\r la premire influ5ce de la philosophie positive1 sont1 l'orig9e1 un /imulant indisp5sable1 sans lequel on ne p\rrait c]ta9em5t concevoir que l'esprit huma9 se ft dt]m9 primitivem5t de pnibles travaux4 ,n\s sommes auj\rd'hui tellem5t loigns de ces dispositions premires1 du mo9s quant la plup>t des phnomnes1 que n\s avons pe9e n\s reprs5t] exactem5t la puissance et la ncessit de considrations semblables4 ,la raison huma9e e/ ma9t5ant assez mre p\r que n\s entrepr5ions de laborieuses re*]*es sci5tifiques1 sans avoir en vue aucun b trang] capable d'agir =tem5t sur l'imag9ation1 comme celui que se proposai5t les a/rologues ou les al*imi/es4 ,notre activit intellectuelle e/ suffisamm5t excite p> le pur espoir de dc\vrir les lois des phnomnes1 p> le simple dsir de confirm] ou d'infirm] une ?orie4 ,mais il ne p\vait en tre a9si dans l'enfance de l'esprit huma94 ,sans les attrayantes *imres de l'a/rologie1 sans les n]giques dceptions de l'al*imie1 p> exemple1 o aurions-n\s puis la con/ance et l'ardeur ncessaires p\r recueillir les longues suites d'obs]vations et d'expri5ces qui ont1 plus t>d1 s]vi de fondem5t aux premires ?ories positives de l'une et l'autre classe de phnomnes8 ,cette condition de notre dveloppem5t intellectuel a t vivem5t s5tie depuis long-temps p> ,kpl]1 p\r l'a/ronomie1 et ju/em5t apprcie de nos j\rs p> ,b]?ollet1 p\r la *imie4 ,on voit donc1 p> cet ensemble de considrations1 que1 si la philosophie positive e/ le vritable tat df9itif de l'intellig5ce huma9e1 celui v]s lequel elle a t\j\rs t5du de plus en plus1 elle n'en a pas mo9s d ncessairem5t employ] d'abord1 et p5dant une longue suite de sicles1 soit comme m?ode1 soit comme doctr9e provisoires1 la philosophie ?ologique2 philosophie dont le c>actre e/ d'tre spontane1 et1 p> cela mme1 la seule possible l'orig9e1 la seule aussi qui pt (frir notre esprit naissant un intrt suffisant4 ,il e/ ma9t5ant trs-facile de s5tir que1 p\r pass] de cette philosophie provisoire la philosophie df9itive1 l'esprit huma9 a d naturellem5t adopt]1 comme philosophie transitoire1 les m?odes et les doctr9es mtaphysiques4 ,cette d]nire considration e/ indisp5sable p\r complt] l'ap]u gnral de la gr&e loi que j'ai indique4 ,on conoit sans pe9e1 en effet1 que notre ent5dem5t1 contra9t ne m>*] que p> degrs presque ins5sibles1 ne p\vait pass] brusquem5t1 et sans int]mdiaires1 de la philosophie ?ologique la philosophie positive4 ,la ?ologie et la physique sont si pr(ondm5t incompatibles1 leurs conceptions ont un c>actre si radicalem5t oppos1 qu'avant de r5onc] aux unes p\r employ] exclusivem5t les autres1 l'intellig5ce huma9e a d se s]vir de conceptions int]mdiaires1 d'un c>actre bt>d1 propres1 p> cela mme1 opr] graduellem5t la transition4 ,telle e/ la de/9ation naturelle des conceptions mtaphysiques3 elles n'ont pas d'autre utilit relle4 ,en sub/ituant1 dans l'tude des phnomnes1 l'action surnaturelle directrice une entit correspondante et insp>able1 quoique celle-ci ne ft d'abord conue que comme une manation de la premire1 l'homme s'e/ habitu peu peu ne considr] que les faits eux-mmes1 les notions de ces ag5s mtaphysiques ayant t graduellem5t subtilises au po9t de n'tre plus1 aux yeux de t\t esprit droit1 que les noms ab/raits des phnomnes4 ,il e/ impossible d'imag9] p> quel autre procd notre ent5dem5t aurait pu pass] des considrations fran*em5t surnaturelles aux considrations purem5t naturelles1 du rgime ?ologique au rgime positif4 ,aprs avoir a9si tabli1 autant que je puis le faire sans entr] dans une discussion spciale qui s]ait dplace en ce mom5t1 la loi gnrale du dveloppem5t de l'esprit huma91 tel que je le conois1 il n\s s]a ma9t5ant ais de dt]m9] avec prcision la nature propre de la philosophie positive2 ce qui e/ l'objet ess5tiel de ce disc\rs4 ,n\s voyons1 p> ce qui prcde1 que le c>actre fondam5tal de la philosophie positive e/ de reg>d] t\s les phnomnes comme assujtis des lois naturelles inv>iables1 dont la dc\v]te prcise et la rduction au mo9dre nombre possible sont le b de t\s nos ef=ts1 en considrant comme absolum5t inaccessible et vide de s5s p\r n\s la re*]*e de ce qu'on appelle les causes1 soit premires1 soit f9ales4 ,il e/ inutile d'insi/] beauc\p sur un pr9cipe dev5u ma9t5ant aussi famili] t\s ceux qui ont fait une tude un peu appr(ondie des sci5ces d'obs]vation4 ,*acun sait1 en effet1 que1 dans nos explications positives1 mme les plus p>faites1 n\s n'avons nullem5t la prt5tion d'expos] les causes gnratrices des phnomnes1 puisque n\s ne f]ions jamais alors que recul] la difficult1 mais seulem5t d'analys] avec exactitude les circon/ances de leur production1 et de les ratta*] les unes aux autres p> des relations normales de succession et de similitude4 ,a9si1 p\r en cit] l'exemple le plus admirable1 n\s disons que les phnomnes gnraux de l'univ]s sont expliqus1 autant qu'ils puiss5t l'tre1 p> la loi de la gravitation newtoni5ne1 p>ce que1 d'un ct1 cette belle ?orie n\s montre t\te l'imm5se v>it des faits a/ronomiques1 comme n'tant qu'un seul et mme fait envisag s\s div]s po9ts de vue2 la t5dance con/ante de t\tes les molcules les unes v]s les autres en raison directe de leurs masses1 et en raison inv]se des c>rs de leurs di/ances2 t&is que1 d'un autre ct1 ce fait gnral n\s e/ prs5t comme une simple ext5sion d'un phnomne qui n\s e/ m9emm5t famili]1 et que1 p> cela seul1 n\s reg>dons comme p>faitem5t connu1 la pesanteur des corps la surface de la t]re4 ,quant dt]m9] ce que sont en elles-mmes cette attraction et cette pesanteur1 quelles en sont les causes1 ce sont des que/ions que n\s reg>dons t\s comme insolubles1 qui ne sont plus du doma9e de la philosophie positive1 et que n\s ab&onnons avec raison l'imag9ation des ?ologi5s1 ou aux subtilits des mtaphysici5s4 ,la preuve manife/e de l'impossibilit d'obt5ir de telles solutions1 c'e/ que1 t\tes les fois qu'on a *]* dire ce sujet quelque *ose de vraim5t rationnel1 les plus gr&s esprits n'ont pu que df9ir ces deux pr9cipes l'un p> l'autre1 en disant1 p\r l'attraction1 qu'elle n'e/ autre *ose qu'une pesanteur univ]selle1 et ensuite1 p\r la pesanteur1 qu'elle consi/e simplem5t dans l'attraction t]re/re4 ,de telles explications1 qui font s\rire qu& on prt5d connatre la nature intime des *oses et le mode de gnration des phnomnes1 sont cep5dant t\t ce que n\s p\vons obt5ir de plus satisfaisant1 en n\s montrant comme id5tiques deux ordres de phnomnes1 qui ont t si long-temps reg>ds comme n'ayant aucun rapport entre eux4 ,aucun esprit ju/e ne *]*e auj\rd'hui all] plus lo94 ,il s]ait ais de multipli] ces exemples1 qui se prs5t]ont en f\le dans t\te la dure de ce c\rs1 puisque tel e/ ma9t5ant l'esprit qui dirige exclusivem5t les gr&es comb9aisons intellectuelles4 ,p\r en cit] en ce mom5t un seul p>mi les travaux contempora9s1 je *oisirai la belle srie de re*]*es de ,m4 ,f\ri] sur la ?orie de la *aleur4 ,elle n\s (fre la vrification trs-s5sible des rem>ques gnrales prcd5tes4 ,en effet1 dans ce travail1 dont le c>actre philosophique e/ si m9emm5t positif1 les lois les plus importantes et les plus prcises des phnomnes !rmologiques se tr\v5t dvoiles1 sans que l'auteur se soit enquis une seule fois de la nature intime de la *aleur1 sans qu'il ait m5tionn1 autrem5t que p\r en indiqu] le vide1 la controv]se si agite entre les p>tisans de la matire calorifique et ceux qui font consi/] la *aleur dans les vibrations d'un !r univ]sel4 ,et nanmo9s les plus hautes que/ions1 dont plusieurs n'avai5t mme jamais t poses1 sont traites dans cet ouvrage1 preuve palpable que l'esprit huma91 sans se jet] dans des problmes inabordables1 et en se re/reignant dans les re*]*es d'un ordre entirem5t positif1 peut y tr\v] un alim5t 9puisable son activit la plus pr(onde4 ,aprs avoir c>actris1 aussi exactem5t qu'il m'e/ p]mis de le faire dans cet ap]u gnral1 l'esprit de la philosophie positive1 que ce c\rs t\t enti] e/ de/9 dvelopp]1 je dois ma9t5ant exam9] quelle poque de sa =mation elle e/ p>v5ue auj\rd'hui1 et ce qui re/e faire p\r a*ev] de la con/itu]4 cet effet1 il faut d'abord considr] que les diffr5tes bran*es de nos connaissances n'ont pas d p>c\rir d'une vitesse gale les trois gr&es phases de leur dveloppem5t indiques ci-dessus1 ni1 p> consqu5t1 arriv] simultanm5t l'tat positif4 ,il exi/e1 s\s ce rapport1 un ordre inv>iable et ncessaire1 que nos div]s g5res de conceptions ont suivi et d suivre dans leur progression1 et dont la considration exacte e/ le complm5t indisp5sable de la loi fondam5tale nonce prcdemm5t4 ,cet ordre s]a le sujet spcial de la pro*a9e leon4 ,qu'il n\s suffise1 quant prs5t1 de savoir qu'il e/ con=me la nature div]se des phnomnes1 et qu'il e/ dt]m9 p> leur degr de gnralit1 de simplicit et d'indp5dance rciproque1 trois considrations qui1 bi5 que di/9ctes1 conc\r5t au mme b4 ,a9si1 les phnomnes a/ronomiques d'abord1 comme tant les plus gnraux1 les plus simples1 et les plus indp5dans de t\s les autres1 et successivem5t1 p> les mmes raisons1 les phnomnes de la physique t]re/re proprem5t dite1 ceux de la *imie1 et enf9 les phnomnes physiologiques1 ont t ram5s des ?ories positives4 ,il e/ impossible d'assign] l'orig9e prcise de cette rvolution2 c> on en peut dire avec exactitude1 comme de t\s les autres gr&s vnem5s huma9s1 qu'elle s'e/ accomplie con/amm5t et de plus en plus1 p>ticulirem5t depuis les travaux d',ari/ote et de l'cole d',alex&rie1 et ensuite depuis l'introduction des sci5ces naturelles dans l',europe occid5tale p> les ,arabes4 ,cep5dant1 vu qu'il convi5t de fix] une poque p\r emp*] la divagation des ides1 j'indiqu]ai celle du gr& m\vem5t imprim l'esprit huma91 il y a deux sicles1 p> l'action comb9e des prceptes de ,bacon1 des conceptions de ,desc>tes1 et des dc\v]tes de ,galile1 comme le mom5t o l'esprit de la philosophie positive a comm5c se prononc] dans le monde1 en opposition vid5te avec l'esprit ?ologique et mtaphysique4 ,c'e/ alors1 en effet1 que les conceptions positives se sont dgages nettem5t de l'alliage sup]/itieux et scola/ique qui dguisait plus ou mo9s le vritable c>actre de t\s les travaux antrieurs4 ,depuis cette mmorable poque1 le m\vem5t d'asc5sion de la philosophie positive1 et le m\vem5t de dcad5ce de la philosophie ?ologique et mtaphysique1 ont t extrmem5t m>qus4 ,ils se sont enf9 tellem5t prononcs1 qu'il e/ dev5u impossible auj\rd'hui1 t\s les obs]vateurs ayant consci5ce de leur sicle1 de mconnatre la de/9ation f9ale de l'intellig5ce huma9e p\r les tudes positives1 a9si que son loignem5t dsormais irrvocable p\r ces va9es doctr9es et p\r ces m?odes provisoires qui ne p\vai5t conv5ir qu' son premi] essor4 ,a9si1 cette rvolution fondam5tale s'accomplira ncessairem5t dans t\te son t5due4 ,si donc il lui re/e encore quelque gr&e conqute faire1 quelque bran*e pr9cipale du doma9e intellectuel envahir1 on peut tre c]ta9 que la trans=mation s'y opr]a1 comme elle s'e/ effectue dans t\tes les autres4 ,c>1 il s]ait videmm5t contradictoire de suppos] que l'esprit huma91 si dispos l'unit de m?ode1 cons]vt indf9im5t1 p\r une seule classe de phnomnes1 sa manire primitive de philosoph]1 lorsqu'une fois il e/ arriv adopt] p\r t\t le re/e une n\velle m>*e philosophique1 d'un c>actre absolum5t oppos4 ,t\t se rduit donc une simple "q de fait3 la philosophie positive1 qui1 dans les deux d]ni]s sicles1 a pris graduellem5t une si gr&e ext5sion1 embrasse-t-elle auj\rd'hui t\s les ordres de phnomnes8 ,il e/ vid5t que cela n'e/ po9t1 et que1 p> consqu5t1 il re/e encore une gr&e opration sci5tifique excut] p\r donn] la philosophie positive ce c>actre d'univ]salit1 indisp5sable sa con/itution df9itive4 ,en effet1 dans les quatre catgories pr9cipales de phnomnes naturels numres t\t l'heure1 les phnomnes a/ronomiques1 physiques1 *imiques et physiologiques1 on rem>que une lacune ess5tielle relative aux phnomnes sociaux1 qui1 bi5 que compris implicitem5t p>mi les phnomnes physiologiques1 mrit5t1 soit p> leur importance1 soit p> les difficults propres leur tude1 de =m] une catgorie di/9cte4 ,ce d]ni] ordre de conceptions1 qui se rapporte aux phnomnes les plus p>ticuli]s1 les plus compliqus1 et les plus dp5dans de t\s les autres1 a d ncessairem5t1 p> cela seul1 se p]fectionn] plus l5tem5t que t\s les prcd5s1 mme sans avoir g>d aux ob/acles plus spciaux que n\s considr]ons plus t>d4 ,quoi qu'il en soit1 il e/ vid5t qu'il n'e/ po9t encore entr dans le doma9e de la philosophie positive4 ,les m?odes ?ologiques et mtaphysiques qui1 relativem5t t\s les autres g5res de phnomnes1 ne sont plus ma9t5ant employes p> p]sonne1 soit comme moy5 d'inve/igation1 soit mme seulem5t comme moy5 d'argum5tation1 sont encore1 au contraire1 exclusivem5t usites1 s\s l'un et l'autre rapport1 p\r t\t ce qui conc]ne les phnomnes sociaux1 quoique leur insuffisance cet g>d soit dj ple9em5t s5tie p> t\s les bons esprits1 lasss de ces va9es conte/ations int]m9ables entre le droit div9 et la s\v]a9et du peuple4 ,voil donc la gr&e1 mais videmm5t la seule lacune qu'il s'agit de combl] p\r a*ev] de con/itu] la philosophie positive4 ,ma9t5ant que l'esprit huma9 a fond la physique cle/e1 la physique t]re/re1 soit mcanique1 soit *imique2 la physique organique1 soit vgtale1 soit animale1 il lui re/e t]m9] le sy/me des sci5ces d'obs]vation en fondant la physique sociale4 ,tel e/ auj\rd'hui1 s\s plusieurs rapports capitaux1 le plus gr& et le plus pressant beso9 de notre intellig5ce3 tel e/1 j'ose le dire1 le premi] b de ce c\rs1 son b spcial4 ,les conceptions que je t5t]ai de prs5t] relativem5t l'tude des phnomnes sociaux1 et dont j'espre que ce disc\rs laisse dj entrevoir le g]me1 ne saurai5t avoir p\r objet de donn] immdiatem5t la physique sociale le mme degr de p]fection qu'aux bran*es antrieures de la philosophie naturelle1 ce qui s]ait videmm5t *imrique1 puisque celles-ci (fr5t dj entre elles cet g>d une extrme 9galit1 d'ailleurs 9vitable4 ,mais elles s]ont de/9es imprim] cette d]nire classe de nos connaissances1 ce c>actre positif dj pris p> t\tes les autres4 ,si cette condition e/ une fois rellem5t remplie1 le sy/me philosophique des mod]nes s]a enf9 fond dans son ensemble2 c> aucun phnomne obs]vable ne saurait videmm5t manqu] de r5tr] dans quelqu'une des c9q gr&es catgories ds lors tablies des phnomnes a/ronomiques1 physiques1 *imiques1 physiologiques et sociaux4 ,t\tes nos conceptions fondam5tales tant dev5ues homognes1 la philosophie s]a df9itivem5t con/itue l'tat positif2 sans jamais p\voir *ang] de c>actre1 il ne lui re/]a qu' se dvelopp] indf9im5t p> les acquisitions t\j\rs croissantes qui rsult]ont 9vitablem5t de n\velles obs]vations ou de mditations plus pr(ondes4 ,ayant acquis p> l le c>actre d'univ]salit qui lui manque encore1 la philosophie positive devi5dra capable de se sub/itu] entirem5t1 avec t\te sa supriorit naturelle1 la philosophie ?ologique et la philosophie mtaphysique1 dont cette univ]salit e/ auj\rd'hui la seule proprit relle1 et qui1 prives d'un tel motif de prfr5ce1 n'auront plus p\r nos successeurs qu'une exi/5ce hi/orique4 ,le b spcial de ce c\rs tant a9si expos1 il e/ ais de compr5dre son second b1 son b gnral1 ce qui en fait un c\rs de philosophie positive1 et non pas seulem5t un c\rs de physique sociale4 ,en effet1 la fondation de la physique sociale compltant enf9 le sy/me des sci5ces naturelles1 il devi5t possible et mme ncessaire de rsum] les div]ses connaissances acquises1 p>v5ues alors un tat fixe et homogne1 p\r les coordonn] en les prs5tant comme autant de bran*es d'un tronc unique1 au lieu de cont9u] les concevoir seulem5t comme autant de corps isols4 ,c'e/ cette f9 qu'avant de procd] l'tude des phnomnes sociaux je considr]ai successivem5t1 dans l'ordre encyclopdique annonc plus haut1 les diffr5tes sci5ces positives dj =mes4 ,il e/ sup]flu1 je p5se1 d'av]tir qu'il ne saurait tre "q ici d'une suite de c\rs spciaux sur *acune des bran*es pr9cipales de la philosophie naturelle4 ,sans p>l] de la dure matrielle d'une entreprise semblable1 il e/ clair qu'une p>eille prt5tion s]ait ins\t5able de ma "p1 et je crois p\voir aj\t] de la "p de qui que ce soit1 dans l'tat actuel de l'ducation huma9e4 ,bi5 au contraire1 un c\rs de la nature de celui-ci exige1 p\r tre conv5ablem5t ent5du1 une srie pralable d'tudes spciales sur les div]ses sci5ces qui y s]ont envisages4 ,sans cette condition1 il e/ bi5 difficile de s5tir et impossible de jug] les rflexions philosophiques dont ces sci5ces s]ont les sujets4 ,en un mot1 c'e/ un ,c\rs de philosophie positive1 et non de sci5ces positives1 que je me propose de faire4 ,il s'agit uniquem5t ici de considr] *aque sci5ce fondam5tale dans ses relations avec le sy/me positif t\t enti]1 et quant l'esprit qui la c>actrise1 c'e/--dire1 s\s le d\ble rapport de ses m?odes ess5tielles et de ses rsultats pr9cipaux4 ,le plus s\v5t mme je devrai me born] m5tionn] ces d]ni]s d'aprs les connaissances spciales p\r t*] d'apprci] leur importance4 ,af9 de rsum] les ides relativem5t au d\ble b de ce c\rs1 je dois faire obs]v] que les deux objets1 l'un spcial1 l'autre gnral1 que je me propose1 quoique di/9cts en eux-mmes1 sont ncessairem5t insp>ables4 ,c>1 d'un ct1 il s]ait impossible de concevoir un c\rs de philosophie positive sans la fondation de la physique sociale1 puisqu'il manqu]ait alors d'un lm5t ess5tiel1 et que1 p> cela seul1 les conceptions ne saurai5t avoir ce c>actre de gnralit qui doit en tre le pr9cipal attribut1 et qui di/+ue notre tude actuelle de la srie des tudes spciales4 ,d'un autre ct1 comm5t procd] avec sret l'tude positive des phnomnes sociaux1 si l'esprit n'e/ d'abord prp> p> la considration appr(ondie des m?odes positives dj juges p\r les phnomnes mo9s compliqus1 et muni1 en outre1 de la connaissance des lois pr9cipales des phnomnes antrieurs1 qui t\tes influ5t1 d'une manire plus ou mo9s directe1 sur les faits sociaux8 ,bi5 que t\tes les sci5ces fondam5tales n'inspir5t pas aux esprits vulgaires un gal intrt1 il n'en e/ aucune qui doive tre nglige dans une tude comme celle que n\s entrepr5ons4 ,quant leur importance p\r le bonheur de l'espce huma9e1 t\tes sont c]ta9em5t quival5tes1 lorsqu'on les envisage d'une manire appr(ondie4 ,celles1 d'ailleurs1 dont les rsultats prs5t5t1 au premi] abord1 un mo9dre intrt pratique1 se recomm&5t m9emm5t1 soit p> la plus gr&e p]fection de leurs m?odes1 soit comme tant le fondem5t indisp5sable de t\tes les autres4 ,c'e/ une considration sur laquelle j'aurai spcialem5t occasion de rev5ir dans la pro*a9e leon4 ,p\r prv5ir1 autant que possible1 t\tes les fausses int]prtations qu'il e/ lgitime de cra9dre sur la nature d'un c\rs aussi n\veau que celui-ci1 je dois aj\t] sommairem5t aux explications prcd5tes quelques considrations directem5t relatives cette univ]salit de connaissances spciales1 que des juges irrfl*is p\rrai5t reg>d] comme la t5dance de ce c\rs1 et qui e/ envisage si ju/e raison comme t\t--fait contraire au vritable esprit de la philosophie positive4 ,ces considrations auront1 d'ailleurs1 l'avantage plus important de prs5t] cet esprit s\s un n\veau po9t de vue1 propre a*ev] d'en claircir la notion gnrale4 ,dans l'tat primitif de nos connaissances il n'exi/e aucune division rgulire p>mi nos travaux intellectuels2 t\tes les sci5ces sont cultives simultanm5t p> les mmes esprits4 ,ce mode d'organisation des tudes huma9es1 d'abord 9vitable et mme indisp5sable1 comme n\s aurons lieu de le con/at] plus t>d1 *ange peu peu1 mesure que les div]s ordres de conceptions se dvelopp5t4 ,p> une loi dont la ncessit e/ vid5te1 *aque bran*e du sy/me sci5tifique se sp>e ins5siblem5t du tronc1 lorsqu'elle a pris assez d'accroissem5t p\r comport] une culture isole1 c'e/--dire qu& elle e/ p>v5ue ce po9t de p\voir occup] elle seule l'activit p]man5te de quelques intellig5ces4 ,c'e/ cette rp>tition des div]ses sortes de re*]*es entre diffr5s ordres de savans1 que n\s devons videmm5t le dveloppem5t si rem>quable qu'a pris enf9 de nos j\rs *aque classe di/9cte des connaissances huma9es1 et qui r5d manife/e l'impossibilit1 *ez les mod]nes1 de cette univ]salit de re*]*es spciales1 si facile et si commune dans les temps antiques4 ,en un mot1 la division du travail intellectuel1 p]fectionne de plus en plus1 e/ un des attributs c>actri/iques les plus importans de la philosophie positive4 ,mais1 t\t en reconnaissant les prodigieux rsultats de cette division1 t\t en voyant dsormais en elle la vritable base fondam5tale de l'organisation gnrale du monde savant1 il e/ impossible1 d'un autre ct1 de n'tre pas frapp des inconvni5s capitaux qu'elle eng5dre1 dans son tat actuel1 p> l'excessive p>ticul>it des ides qui occup5t exclusivem5t *aque intellig5ce individuelle4 ,ce f*eux effet e/ sans d\te 9vitable jusqu' un c]ta9 po9t1 comme inhr5t au pr9cipe mme de la division2 c'e/--dire que1 p> aucune mesure quelconque1 n\s ne p>vi5drons jamais gal] s\s ce rapport les anci5s1 *ez lesquels une telle supriorit ne t5ait surt\t qu'au peu de dveloppem5t de leurs connaissances4 ,n\s p\vons nanmo9s1 ce me semble1 p> des moy5s conv5ables1 vit] les plus p]nicieux effets de la spcialit exagre1 sans nuire l'influ5ce vivifiante de la sp>ation des re*]*es4 ,il e/ urg5t de s'en occup] srieusem5t2 c> ces inconvni5s1 qui1 p> leur nature1 t5d5t s'accrotre sans cesse1 comm5c5t dev5ir trs-s5sibles4 ,de l'aveu de t\s1 les divisions1 tablies p\r la plus gr&e p]fection de nos travaux1 entre les div]ses bran*es de la philosophie naturelle1 sont f9alem5t artificielles4 ,n'oublions pas que1 nonob/ant cet aveu1 il e/ dj bi5 petit dans le monde savant le nombre des intellig5ces embrassant dans leurs conceptions l'ensemble mme d'une sci5ce unique1 qui n'e/ cep5dant son t\r qu'une p>tie d'un gr& t\t4 ,la plup>t se born5t dj entirem5t la considration isole d'une section plus ou mo9s t5due d'une sci5ce dt]m9e1 sans s'occup] beauc\p de la relation de ces travaux p>ticuli]s avec le sy/me gnral des connaissances positives4 ,htons-n\s de remdi] au mal1 avant qu'il soit dev5u plus grave4 ,craignons que l'esprit huma9 ne f9isse p> se p]dre dans les travaux de dtail4 ,ne n\s dissimulons pas que c'e/ l ess5tiellem5t le ct faible p> lequel les p>tisans de la philosophie ?ologique et de la philosophie mtaphysique peuv5t encore attaqu] avec quelque espoir de succs la philosophie positive4 ,le vritable moy5 d'arrt] l'influ5ce dltre dont l'av5ir intellectuel semble m5ac1 p> suite d'une trop gr&e spcialisation des re*]*es individuelles1 ne saurait tre1 videmm5t1 de rev5ir cette antique confusion des travaux1 qui t5drait faire rtrograd] l'esprit huma91 et qui e/1 d'ailleurs1 auj\rd'hui heureusem5t dev5ue impossible4 ,il consi/e1 au contraire1 dans le p]fectionnem5t de la division du travail elle-mme4 ,il suffit1 en effet1 de faire de l'tude des gnralits sci5tifiques une gr&e spcialit de plus4 ,qu'une classe n\velle de savans1 prp>s p> une ducation conv5able1 sans se livr] la culture spciale d'aucune bran*e p>ticulire de la philosophie naturelle1 s'occupe uniquem5t1 en considrant les div]ses sci5ces positives dans leur tat actuel1 dt]m9] exactem5t l'esprit de *acune d'elles1 dc\vrir leurs relations et leur en*anem5t1 rsum]1 s'il e/ possible1 t\s leurs pr9cipes propres en un mo9dre nombre de pr9cipes communs1 en se con=mant sans cesse aux maximes fondam5tales de la m?ode positive4 ,qu'en mme temps1 les autres savans1 avant de se livr] leurs spcialits respectives1 soi5t r5dus aptes dsormais1 p> une ducation portant sur l'ensemble des connaissances positives1 pr(it] immdiatem5t des lumires rp&ues p> ces savans v\s l'tude des gnralits1 et rciproquem5t rectifi] leurs rsultats1 tat de *oses dont les savans actuels se rappro*5t visiblem5t de j\r en j\r4 ,ces deux gr&es conditions une fois remplies1 et il e/ vid5t qu'elles peuv5t l'tre1 la division du travail dans les sci5ces s]a p\sse1 sans aucun dang]1 aussi lo9 que le dveloppem5t des div]s ordres de connaissances l'exig]a4 ,une classe di/9cte1 incessamm5t contrle p> t\tes les autres1 ayant p\r fonction propre et p]man5te de li] *aque n\velle dc\v]te p>ticulire au sy/me gnral1 on n'aura plus cra9dre qu'une trop gr&e att5tion donne aux dtails emp*e jamais d'ap]cevoir l'ensemble4 ,en un mot1 l'organisation mod]ne du monde savant s]a ds lors compltem5t fonde1 et n'aura qu' se dvelopp] indf9im5t1 en cons]vant t\j\rs le mme c>actre4 ,=m] a9si de l'tude des gnralits sci5tifiques une section di/9cte du gr& travail intellectuel1 c'e/ simplem5t t5dre l'application du mme pr9cipe de division qui a successivem5t sp> les div]ses spcialits2 c>1 tant que les diffr5tes sci5ces positives ont t peu dveloppes1 leurs relations mutuelles ne p\vai5t avoir assez d'importance p\r donn] lieu1 au mo9s d'une manire p]man5te1 une classe p>ticulire de travaux1 et en mme temps la ncessit de cette n\velle tude tait bi5 mo9s urg5te4 ,mais auj\rd'hui *acune des sci5ces a pris sp>m5t assez d'ext5sion p\r que l'exam5 de leurs rapports mutuels puisse donn] lieu des travaux suivis1 en mme temps que ce n\vel ordre d'tudes devi5t indisp5sable p\r prv5ir la disp]sion des conceptions huma9es4 ,telle e/ la manire dont je conois la de/9ation de la philosophie positive dans le sy/me gnral des sci5ces positives proprem5t dites4 ,tel e/1 du mo9s1 le b de ce c\rs4 ,ma9t5ant que j'ai essay de dt]m9]1 aussi exactem5t qu'il m'a t possible de le faire1 dans ce premi] ap]u1 l'esprit gnral d'un c\rs de philosophie positive1 je crois devoir1 p\r imprim] ce tableau t\t son c>actre1 signal] rapidem5t les pr9cipaux avantages gnraux que peut avoir un tel travail1 si les conditions ess5tielles en sont conv5ablem5t remplies1 relativem5t aux progrs de l'esprit huma94 ,je rduirai ce d]ni] ordre de considrations l'indication de quatre proprits fondam5tales4 ,premirem5t l'tude de la philosophie positive1 en considrant les rsultats de l'activit de nos facults intellectuelles1 n\s f\rnit le seul vrai moy5 rationnel de mettre en vid5ce les lois logiques de l'esprit huma91 qui ont t re*]*es jusqu'ici p> des voies si peu propres les dvoil]4 ,p\r expliqu] conv5ablem5t ma p5se cet g>d1 je dois d'abord rappel] une conception philosophique de la plus haute importance1 expose p> ,m4 de ,bla9ville dans la belle introduction de ses ,pr9cipes gnraux d'anatomie comp>e4 ,elle consi/e en ce que t\t tre actif1 et spcialem5t t\t tre vivant1 peut tre tudi1 dans t\s ses phnomnes s\s deux rapports fondam5taux1 s\s le rapport /atique et s\s le rapport dynamique1 c'e/--dire comme apte agir et comme agissant effectivem5t4 ,il e/ clair1 en effet1 que t\tes les considrations qu'on p\rra prs5t] r5tr]ont ncessairem5t dans l'un ou l'autre mode4 ,appliquons cette lum9euse maxime fondam5tale l'tude des fonctions intellectuelles4 ,si l'on envisage ces fonctions s\s le po9t de vue /atique1 leur tude ne peut consi/] que dans la dt]m9ation des conditions organiques dont elles dp5d5t2 elle =me a9si une p>tie ess5tielle de l'anatomie et de la physiologie4 ,en les considrant s\s le po9t de vue dynamique1 t\t se rduit tudi] la m>*e effective de l'esprit huma9 en ex]cice1 p> l'exam5 des procds rellem5t employs p\r obt5ir les div]ses connaissances exactes qu'il a dj acquises1 ce qui con/itue ess5tiellem5t l'objet gnral de la philosophie positive1 a9si que je l'ai df9ie dans ce disc\rs4 ,en un mot1 reg>dant t\tes les ?ories sci5tifiques comme autant de gr&s faits logiques1 c'e/ uniquem5t p> l'obs]vation appr(ondie de ces faits qu'on peut s'lev] la connaissance des lois logiques4 ,telles sont videmm5t les deux seules voies gnrales1 complm5taires l'une de l'autre1 p> lesquelles on puisse arriv] quelques notions rationnelles vritables sur les phnomnes intellectuels4 ,on voit que1 s\s aucun rapport1 il n'y a place p\r cette psy*ologie illusoire1 d]nire trans=mation de la ?ologie1 qu'on t5te si va9em5t de ranim] auj\rd'hui1 et qui1 sans s'inquit] ni de l'tude physiologique de nos organes intellectuels1 ni de l'obs]vation des procds rationnels qui dirig5t effectivem5t nos div]ses re*]*es sci5tifiques1 prt5d arriv] la dc\v]te des lois fondam5tales de l'esprit huma91 en le contemplant en lui-mme1 c'e/--dire en faisant compltem5t ab/raction et des causes et des effets4 ,la prpondrance de la philosophie positive e/ successivem5t dev5ue telle depuis ,bacon2 elle a pris auj\rd'hui1 indirectem5t1 un si gr& asc5dant sur les esprits mme qui sont demeurs les plus trang]s son imm5se dveloppem5t1 que les mtaphysici5s livrs l'tude de notre intellig5ce n'ont pu espr] de ral5tir la dcad5ce de leur prt5due sci5ce qu'en se ravisant p\r prs5t] leurs doctr9es comme tant aussi fondes sur l'obs]vation des faits4 cette f91 ils ont imag91 dans ces d]ni]s temps1 de di/+u]1 p> une subtilit =t s+ulire1 deux sortes d'obs]vations d'gale importance1 l'une extrieure1 l'autre intrieure1 et dont la d]nire e/ uniquem5t de/9e l'tude des phnomnes intellectuels4 ,ce n'e/ po9t ici le lieu d'entr] dans la discussion spciale de ce sophisme fondam5tal4 ,je dois me born] indiqu] la considration pr9cipale qui pr\ve clairem5t que cette prt5due contemplation directe de l'esprit p> lui-mme e/ une pure illusion4 ,on croyait1 il y a encore peu de temps1 avoir expliqu la vision1 en disant que l'action lum9euse des corps dt]m9e sur la rt9e des tableaux reprs5tatifs des =mes et des c\leurs extrieures4 cela les physiologi/es ont object avec raison que1 si c'tait comme images qu'agissai5t les impressions lum9euses1 il faudrait un autre oeil p\r les reg>d]4 ,n'en e/-il pas encore plus =tem5t de mme dans le cas prs5t8 ,il e/ s5sible1 en effet1 que1 p> une ncessit inv9cible1 l'esprit huma9 peut obs]v] directem5t t\s les phnomnes1 except les si5s propres4 ,c>1 p> qui s]ait faite l'obs]vation8 ,on conoit1 relativem5t aux phnomnes moraux1 que l'homme puisse s'obs]v] lui-mme s\s le rapport des passions qui l'anim5t1 p> cette raison anatomique1 que les organes qui en sont le sige sont di/9cts de ceux de/9s aux fonctions obs]vatrices4 ,encore mme que *acun ait eu occasion de faire sur lui de telles rem>ques1 elles ne saurai5t videmm5t avoir jamais une gr&e importance sci5tifique1 et le meilleur moy5 de connatre les passions s]a-t-il t\j\rs de les obs]v] en dehors2 c> t\t tat de passion trs-prononc1 c'e/--dire prcism5t celui qu'il s]ait le plus ess5tiel d'exam9]1 e/ ncessairem5t incompatible avec l'tat d'obs]vation4 ,mais1 quant obs]v] de la mme manire les phnomnes intellectuels p5dant qu'ils s'excut5t1 il y a impossibilit manife/e4 ,l'individu p5sant ne saurait se p>tag] en deux1 dont l'un raisonn]ait1 t&is que l'autre reg>d]ait raisonn]4 ,l'organe obs]v et l'organe obs]vateur tant1 dans ce cas1 id5tiques1 comm5t l'obs]vation p\rrait-elle avoir lieu8 ,cette prt5due m?ode psy*ologique e/ donc radicalem5t nulle dans son pr9cipe4 ,aussi1 considrons quels procds pr(ondm5t contradictoires elle conduit immdiatem5t6 ,d'un ct1 on v\s recomm&e de v\s isol]1 autant que possible1 de t\te s5sation extrieure1 il faut surt\t v\s int]dire t\t travail intellectuel2 c>1 si v\s tiez seulem5t occups faire le calcul le plus simple1 que devi5drait l'obs]vation intrieure8 ,d'un autre ct1 aprs avoir1 enf91 =ce de prcautions1 atte9t cet tat p>fait de sommeil intellectuel1 v\s devrez v\s occup] contempl] les oprations qui s'excut]ont dans votre esprit1 lorsqu'il ne s'y pass]a plus ri56 ,nos desc5dans v]ront sans d\te de telles prt5tions transportes un j\r sur la scne4 ,les rsultats d'une aussi trange manire de procd] sont p>faitem5t con=mes au pr9cipe4 ,depuis deux mille ans que les mtaphysici5s cultiv5t a9si la psy*ologie1 ils n'ont pu encore conv5ir d'une seule proposition intelligible et solidem5t arrte4 ,ils sont1 mme auj\rd'hui1 p>tags en une multitude d'coles qui disput5t sans cesse sur les premi]s lm5s de leurs doctr9es4 ,l'obs]vation intrieure eng5dre presque autant d'op9ions div]g5tes qu'il y a d'individus croyant s'y livr]4 ,les vritables savans1 les hommes v\s aux tudes positives1 en sont encore dem&] va9em5t ces psy*ologues de cit] une seule dc\v]te relle1 gr&e ou petite1 qui soit due cette m?ode si vante4 ,ce n'e/ pas dire p\r cela que t\s leurs travaux ai5t t absolum5t sans aucun rsultat relativem5t aux progrs gnraux de nos connaissances1 indp5damm5t du s]vice m95t qu'ils ont r5du en s\t5ant l'activit de notre intellig5ce1 l'poque o elle ne p\vait pas avoir d'alim5t plus sub/antiel4 ,mais on peut affirm] que t\t ce qui1 dans leurs crits1 ne consi/e pas1 suivant la judicieuse expression d'un illu/re philosophe positif 7,m4 ,cuvi]71 en mtaphores prises p\r des raisonnem5s1 et prs5te quelque notion vritable1 au lieu de prov5ir de leur prt5due m?ode1 a t obt5u p> des obs]vations effectives sur la m>*e de l'esprit huma91 auxquelles a d donn] naissance1 de temps autre1 le dveloppem5t des sci5ces4 ,encore mme1 ces notions si clair-semes1 proclames avec tant d'emphase1 et qui ne sont dues qu' l'infidlit des psy*ologues leur prt5due m?ode1 se tr\v5t-elles le plus s\v5t ou =t exagres1 ou trs-incompltes1 et bi5 infrieures aux rem>ques dj faites sans o/5tation p> les savans sur les procds qu'ils emploi5t4 ,il s]ait ais d'en cit] des exemples frappans1 si je ne craignais d'accord] ici trop d'ext5sion une telle discussion3 voyez1 entre autres1 ce qui e/ arriv p\r la ?orie des signes4 ,les considrations que je vi5s d'indiqu]1 relativem5t la sci5ce logique1 sont encore plus manife/es1 qu& on les transporte l'art logique4 ,en effet1 lorsqu'il s'agit1 non-seulem5t de savoir ce que c'e/ que la m?ode positive1 mais d'en avoir une connaissance assez nette et assez pr(onde p\r en p\voir faire un usage effectif1 c'e/ en action qu'il faut la considr]2 ce sont les div]ses gr&es applications dj vrifies que l'esprit huma9 en a faites qu'il convi5t d'tudi]4 ,en un mot1 ce n'e/ videmm5t que p> l'exam5 philosophique des sci5ces qu'il e/ possible d'y p>v5ir4 ,la m?ode n'e/ pas susceptible d'tre tudie sp>m5t des re*]*es o elle e/ employe2 ou1 du mo9s1 ce n'e/ l qu'une tude morte1 incapable de fcond] l'esprit qui s'y livre4 ,t\t ce qu'on en peut dire de rel1 qu& on l'envisage ab/raitem5t1 se rduit des gnralits tellem5t vagues1 qu'elles ne saurai5t avoir aucune influ5ce sur le rgime intellectuel4 ,lorsqu'on a bi5 tabli1 en ?se logique1 que t\tes nos connaissances doiv5t tre fondes sur l'obs]vation1 que n\s devons procd] tantt des faits aux pr9cipes1 et tantt des pr9cipes aux faits1 et quelques autres aphorismes semblables1 on connat beauc\p mo9s nettem5t la m?ode que celui qui a tudi1 d'une manire un peu appr(ondie1 une seule sci5ce positive1 mme sans int5tion philosophique4 ,c'e/ p\r avoir mconnu ce fait ess5tiel1 que nos psy*ologues sont conduits pr5dre leurs rv]ies p\r de la sci5ce1 croyant compr5dre la m?ode positive p\r avoir lu les prceptes de ,bacon ou le disc\rs de ,desc>tes4 ,j'ignore si1 plus t>d1 il devi5dra possible de faire priori un vritable c\rs de m?ode t\t--fait indp5dant de l'tude philosophique des sci5ces2 mais je suis bi5 conva9cu que cela e/ inexcutable auj\rd'hui1 les gr&s procds logiques ne p\vant encore tre expliqus avec la prcision suffisante sp>m5t de leurs applications4 ,j'ose aj\t]1 en outre1 que lors mme qu'une telle entreprise p\rrait tre ralise dans la suite1 ce qui1 en effet1 se laisse concevoir1 ce ne s]ait jamais nanmo9s que p> l'tude des applications rgulires des procds sci5tifiques qu'on p\rrait p>v5ir se =m] un bon sy/me d'habitudes intellectuelles2 ce qui e/ p\rtant le b ess5tiel de l'tude de la m?ode4 ,je n'ai pas beso9 d'insi/] davantage en ce mom5t sur un sujet qui revi5dra frquemm5t dans t\te la dure de ce c\rs1 et l'g>d duquel je prs5t]ai spcialem5t de n\velles considrations dans la pro*a9e leon4 ,tel doit tre le premi] gr& rsultat direct de la philosophie positive1 la manife/ation p> expri5ce des lois que suiv5t dans leur accomplissem5t nos fonctions intellectuelles1 et1 p> suite1 la connaissance prcise des rgles gnrales conv5ables p\r procd] srem5t la re*]*e de la vrit4 ,une seconde consqu5ce1 non mo9s importante1 et d'un intrt bi5 plus pressant1 qu'e/ ncessairem5t de/9 produire auj\rd'hui l'tablissem5t de la philosophie positive df9ie dans ce disc\rs1 c'e/ de prsid] la refonte gnrale de notre sy/me d'ducation4 ,en effet1 dj les bons esprits reconnaiss5t unanimem5t la ncessit de remplac] notre ducation europenne1 encore ess5tiellem5t ?ologique1 mtaphysique et littraire1 p> une ducation positive1 con=me l'esprit de notre poque1 et adapte aux beso9s de la civilisation mod]ne4 ,les t5tatives v>ies qui se sont multiplies de plus en plus depuis un sicle1 p>ticulirem5t dans ces d]ni]s temps1 p\r rp&re et p\r augm5t] sans cesse l'in/ruction positive1 et auxquelles les div]s g\v]nem5s europens se sont t\j\rs associs avec empressem5t qu& ils n'en ont pas pris l'initiative1 tmoign5t assez que1 de t\tes p>ts1 se dveloppe le s5tim5t spontan de cette ncessit4 ,mais1 t\t en secondant autant que possible ces utiles entreprises1 on ne doit pas se dissimul] que1 dans l'tat prs5t de nos ides1 elles ne sont nullem5t susceptibles d'atte9dre leur b pr9cipal1 la rgnration fondam5tale de l'ducation gnrale4 ,c>1 la spcialit exclusive1 l'isolem5t trop prononc qui c>actris5t encore notre manire de concevoir et de cultiv] les sci5ces1 influ5t ncessairem5t un haut degr sur la manire de les expos] dans l'enseignem5t4 ,qu'un bon esprit veuille auj\rd'hui tudi] les pr9cipales bran*es de la philosophie naturelle1 af9 de se =m] un sy/me gnral d'ides positives1 il s]a oblig d'tudi] sp>m5t *acune d'elles d'aprs le mme mode et dans le mme dtail que s'il v\lait dev5ir spcialem5t ou a/ronome1 ou *imi/e1 etc42 ce qui r5d une telle ducation presque impossible et ncessairem5t =t imp>faite1 mme p\r les plus hautes intellig5ces places dans les circon/ances les plus favorables4 ,une telle manire de procd] s]ait donc t\t--fait *imrique1 relativem5t l'ducation gnrale4 ,et nanmo9s celle-ci exige absolum5t un ensemble de conceptions positives sur t\tes les gr&es classes de phnomnes naturels4 ,c'e/ un tel ensemble qui doit dev5ir dsormais1 sur une *elle plus ou mo9s t5due1 mme dans les masses populaires1 la base p]man5te de t\tes les comb9aisons huma9es2 qui doit1 en un mot1 con/itu] l'esprit gnral de nos desc5dans4 ,p\r que la philosophie naturelle puisse a*ev] la rgnration1 dj si prp>e1 de notre sy/me intellectuel1 il e/ donc indisp5sable que les diffr5tes sci5ces dont elle se compose1 prs5tes t\tes les intellig5ces comme les div]ses bran*es d'un tronc unique1 soi5t rduites d'abord ce qui con/itue leur esprit1 c'e/--dire1 leurs m?odes pr9cipales et leurs rsultats les plus importans4 ,ce n'e/ qu'a9si que l'enseignem5t des sci5ces peut dev5ir p>mi n\s la base d'une n\velle ducation gnrale vraim5t rationnelle4 ,qu'ensuite cette in/ruction fondam5tale s'aj\t5t les div]ses tudes sci5tifiques spciales1 correspondantes aux div]ses ducations spciales qui doiv5t succd] l'ducation gnrale1 cela ne peut videmm5t tre mis en d\te4 ,mais la considration ess5tielle que j'ai v\lu indiqu] ici consi/e en ce que t\tes ces spcialits1 mme pniblem5t accumules1 s]ai5t ncessairem5t insuffisantes p\r r5\vel] rellem5t le sy/me de notre ducation1 si elles ne reposai5t sur la base pralable de cet enseignem5t gnral1 rsultat direct de la philosophie positive df9ie dans ce disc\rs4 ,non-seulem5t l'tude spciale des gnralits sci5tifiques e/ de/9e rorganis] l'ducation1 mais elle doit aussi contribu] aux progrs p>ticuli]s des div]ses sci5ces positives2 ce qui con/itue la troisime proprit fondam5tale que je me suis propos de signal]4 ,en effet1 les divisions que n\s tablissons entre nos sci5ces1 sans tre arbitraires1 comme quelques-uns le croi5t1 sont ess5tiellem5t artificielles4 ,en ralit1 le sujet de t\tes nos re*]*es e/ un2 n\s ne le p>tageons que dans la vue de sp>] les difficults p\r les mieux rs\dre4 ,il en rsulte plus d'une fois que1 contrairem5t nos rp>titions classiques1 des que/ions importantes exig]ai5t une c]ta9e comb9aison de plusieurs po9ts de vue spciaux1 qui ne peut gure avoir lieu dans la con/itution actuelle du monde savant2 ce qui expose laiss] ces problmes sans solution beauc\p plus long-temps qu'il ne s]ait ncessaire4 ,un tel inconvni5t doit se prs5t] surt\t p\r les doctr9es les plus ess5tielles de *aque sci5ce positive en p>ticuli]4 ,on en peut cit] aism5t des exemples trs-m>quans1 que je signal]ai soigneusem5t1 mesure que le dveloppem5t naturel de ce c\rs n\s les prs5t]a4 ,j'en p\rrais cit]1 dans le pass1 un exemple m9emm5t mmorable1 en considrant l'admirable conception de ,desc>tes relative la gomtrie analytique4 ,cette dc\v]te fondam5tale1 qui a *ang la face de la sci5ce ma?matique1 et dans laquelle on doit voir le vritable g]me de t\s les gr&s progrs ultrieurs1 qu'e/-elle autre *ose que le rsultat d'un rappro*em5t tabli entre deux sci5ces1 conues jusqu'alors d'une manire isole8 ,mais l'obs]vation s]a plus dcisive en la faisant port] sur des que/ions encore p5dantes4 ,je me born]ai ici *oisir dans la *imie1 la doctr9e si importante des proportions df9ies4 ,c]ta9em5t1 la mmorable discussion leve de nos j\rs1 relativem5t au pr9cipe fondam5tal de cette ?orie1 ne saurait encore1 quelles que soi5t les app>5ces1 tre reg>de comme irrvocablem5t t]m9e4 ,c>1 ce n'e/ pas l1 ce me semble1 une simple "q de *imie4 ,je crois p\voir avanc] que1 p\r obt5ir cet g>d une dcision vraim5t df9itive1 c'e/--dire1 p\r dt]m9] si n\s devons reg>d] comme une loi de la nature que les molcules se comb95t ncessairem5t en nombres fixes1 il s]a indisp5sable de runir le po9t de vue *imique avec le po9t de vue physiologique4 ,ce qui l'indique1 c'e/ que1 de l'aveu mme des illu/res *imi/es qui ont le plus puissamm5t contribu la =mation de cette doctr9e1 on peut dire t\t au plus qu'elle se vrifie con/amm5t dans la composition des corps inorganiques2 mais elle se tr\ve au mo9s aussi con/amm5t en dfaut dans les composs organiques1 auxquels il semble jusqu' prs5t t\t--fait impossible de l't5dre4 ,or1 avant d'rig] cette ?orie en un pr9cipe rellem5t fondam5tal1 ne faudra-t-il pas d'abord s'tre r5du compte de cette imm5se exception8 ,ne ti5drait-elle pas ce mme c>actre gnral1 propre t\s les corps organiss1 qui fait que1 dans aucun de leurs phnomnes1 il n'y a lieu concevoir des nombres inv>iables8 ,quoi qu'il en soit1 un ordre t\t n\veau de considrations1 app>t5ant galem5t la *imie et la physiologie1 e/ videmm5t ncessaire p\r dcid] f9alem5t1 d'une manire quelconque1 cette gr&e "q de philosophie naturelle4 ,je crois conv5able d'indiqu] encore ici un second exemple de mme nature1 mais qui1 se rapportant un sujet de re*]*es bi5 plus p>ticuli]1 e/ encore plus concluant p\r montr] l'importance spciale de la philosophie positive dans la solution des que/ions qui exig5t la comb9aison de plusieurs sci5ces4 ,je le pr5ds aussi dans la *imie4 ,il s'agit de la "q encore indcise1 qui consi/e dt]m9] si l'azote doit tre reg>d1 dans l'tat prs5t de nos connaissances1 comme un corps simple ou comme un corps compos4 ,v\s savez p> quelles considrations purem5t *imiques l'illu/re ,b]zlius e/ p>v5u balanc] l'op9ion de presque t\s les *imi/es actuels1 relativem5t la simplicit de ce gaz4 ,mais ce que je ne dois pas nglig] de faire p>ticulirem5t rem>qu]1 c'e/ l'influ5ce ex]ce ce sujet sur l'esprit de ,m4 ,b]zlius1 comme il en fait lui-mme le prcieux aveu1 p> cette obs]vation physiologique1 que les animaux qui se n\rriss5t de matires non azotes r5f]m5t dans la composition de leurs tissus t\t autant d'azote que les animaux c>nivores4 ,il e/ clair1 en effet1 d'aprs cela1 que p\r dcid] rellem5t si l'azote e/ ou non un corps simple1 il faudra ncessairem5t faire int]v5ir la physiologie1 et comb9] avec les considrations *imiques proprem5t dites1 une srie de re*]*es neuves sur la relation entre la composition des corps vivans et leur mode d'alim5tation4 ,il s]ait ma9t5ant sup]flu de multipli] davantage les exemples de ces problmes de nature multiple1 qui ne saurai5t tre rsolus que p> l'intime comb9aison de plusieurs sci5ces cultives auj\rd'hui d'une manire t\t--fait indp5dantes4 ,ceux que je vi5s de cit] suffis5t p\r faire s5tir1 en gnral1 l'importance de la fonction que doit remplir dans le p]fectionnem5t de *aque sci5ce naturelle en p>ticuli] la philosophie positive1 immdiatem5t de/9e organis] d'une manire p]man5te de telles comb9aisons1 qui ne p\rrai5t se =m] conv5ablem5t sans elle4 ,enf91 une quatrime et d]nire proprit fondam5tale que je dois faire rem>qu] ds ce mom5t dans ce que j'ai appel la philosophie positive1 et qui doit sans d\te lui mrit] plus que t\te autre l'att5tion gnrale1 puisqu'elle e/ auj\rd'hui la plus importante p\r la pratique1 c'e/ qu'elle peut tre considre comme la seule base solide de la rorganisation sociale qui doit t]m9] l'tat de crise dans lequel se tr\v5t depuis si long-temps les nations les plus civilises4 ,la d]nire p>tie de ce c\rs s]a spcialem5t consacre tablir cette proposition1 en la dveloppant dans t\te son t5due4 ,mais l'esquisse gnrale du gr& tableau que j'ai entrepris d'indiqu] dans ce disc\rs manqu]ait d'un de ses lm5s les plus c>actri/iques1 si je ngligeais de signal] ici une considration aussi ess5tielle4 ,quelques rflexions bi5 simples suffiront p\r ju/ifi] ce qu'une telle qualification p>at d'abord prs5t] de trop ambitieux4 ,ce n'e/ pas aux lecteurs de cet ouvrage que je croirai jamais devoir pr\v] que les ides g\v]n5t et b\lev]s5t le monde1 ou1 en d'autres t]mes1 que t\t le mcanisme social repose f9alem5t sur des op9ions4 ,ils sav5t surt\t que la gr&e crise politique et morale des socits actuelles ti5t1 en d]nire analyse1 l'an>*ie intellectuelle4 ,notre mal le plus grave consi/e1 en effet1 dans cette pr(onde div]g5ce qui exi/e ma9t5ant entre t\s les esprits relativem5t t\tes les maximes fondam5tales dont la fixit e/ la premire condition d'un vritable ordre social4 ,tant que les intellig5ces individuelles n'auront pas adhr p> un ass5tim5t unanime un c]ta9 nombre d'ides gnrales capables de =m] une doctr9e sociale commune1 on ne peut se dissimul] que l'tat des nations re/]a1 de t\te ncessit1 ess5tiellem5t rvolutionnaire1 malgr t\s les palliatifs politiques qui p\rront tre adopts1 et ne comport]a rellem5t que des in/itutions provisoires4 ,il e/ galem5t c]ta9 que si cette runion des esprits dans une mme communion de pr9cipes peut une fois tre obt5ue1 les in/itutions conv5ables en dc\l]ont ncessairem5t1 sans donn] lieu aucune sec\sse grave1 le plus gr& dsordre tant dj dissip p> ce seul fait4 ,c'e/ donc l que doit se port] pr9cipalem5t l'att5tion de t\s ceux qui s5t5t l'importance d'un tat de *oses vraim5t normal4 ,ma9t5ant1 du po9t de vue lev o n\s ont placs graduellem5t les div]ses considrations indiques dans ce disc\rs1 il e/ ais la fois et de c>actris] nettem5t dans son intime pr(ondeur l'tat prs5t des socits1 et d'en dduire p> quelle voie on peut le *ang] ess5tiellem5t4 ,en me ratta*ant la loi fondam5tale nonce au comm5cem5t de ce disc\rs1 je crois p\voir rsum] exactem5t t\tes les obs]vations relatives la situation actuelle de la socit1 en disant simplem5t que le dsordre actuel des intellig5ces ti5t1 en d]nire analyse1 l'emploi simultan des trois philosophies radicalem5t incompatibles3 la philosophie ?ologique1 la philosophie mtaphysique et la philosophie positive4 ,il e/ clair1 en effet1 que si l'une quelconque de ces trois philosophies obt5ait en ralit une prpondrance univ]selle et complte1 il y aurait un ordre social dt]m91 t&is que le mal consi/e surt\t dans l'abs5ce de t\te vritable organisation4 ,c'e/ la coexi/5ce de ces trois philosophies opposes qui emp*e absolum5t de s'ent5dre sur aucun po9t ess5tiel4 ,or1 si cette manire de voir e/ exacte1 il ne s'agit plus que de savoir laquelle des trois philosophies peut et doit prvaloir p> la nature des *oses2 t\t homme s5s devra ensuite1 quelles qu'ai5t pu tre1 avant l'analyse de la "q1 ses op9ions p>ticulires1 s'ef=c] de conc\rir son triomphe4 ,la re*]*e tant une fois rduite ces t]mes simples1 elle ne p>at pas devoir re/] long-temps inc]ta9e2 c> il e/ vid5t1 p> t\tes sortes de raisons dont j'ai indiqu dans ce disc\rs quelques-unes des pr9cipales1 que la philosophie positive e/ seule de/9e prvaloir selon le c\rs ord9aire des *oses4 ,seule elle a t1 depuis une longue suite de sicles1 con/amm5t en progrs1 t&is que ses antagoni/es ont t con/amm5t en dcad5ce4 ,que ce soit tort ou raison1 peu importe2 le fait gnral e/ inconte/able1 et il suffit4 ,on peut le dplor]1 mais non le dtruire1 ni p> consqu5t le nglig]1 s\s pe9e de ne se livr] qu' des spculations illusoires4 ,cette rvolution gnrale de l'esprit huma9 e/ auj\rd'hui presque entirem5t accomplie3 il ne re/e plus1 comme je l'ai expliqu1 qu' complt] la philosophie positive en y compr5ant l'tude des phnomnes sociaux1 et ensuite la rsum] en un seul corps de doctr9e homogne4 ,qu& ce d\ble travail s]a suffisamm5t avanc1 le triomphe df9itif de la philosophie positive aura lieu spontanm5t1 et rtablira l'ordre dans la socit4 ,la prfr5ce si prononce que presque t\s les esprits1 depuis les plus levs jusqu'aux plus vulgaires1 accord5t auj\rd'hui aux connaissances positives sur les conceptions vagues et my/iques1 prsage assez l'accueil que recevra cette philosophie1 lorsqu'elle aura acquis la seule qualit qui lui manque encore1 un c>actre de gnralit conv5able4 ,en rsum1 la philosophie ?ologique et la philosophie mtaphysique se disput5t auj\rd'hui la t*e1 trop suprieure aux =ces de l'une et de l'autre1 de rorganis] la socit3 c'e/ entre elles seules que subsi/e encore la lutte1 s\s ce rapport4 ,la philosophie positive n'e/ int]v5ue jusqu'ici dans la conte/ation que p\r les critiqu] t\tes deux1 et elle s'en e/ assez bi5 acquitte p\r les discrdit] entirem5t4 ,mettons-la enf9 en tat de pr5dre un rle actif1 sans n\s inquit] plus long-temps de dbats dev5us inutiles4 ,compltant la va/e opration intellectuelle comm5ce p> ,bacon1 p> ,desc>tes et p> ,galile1 con/ruisons directem5t le sy/me d'ides gnrales que cette philosophie e/ dsormais de/9e faire indf9im5t prvaloir dans l'espce huma9e1 et la crise rvolutionnaire qui t\rm5te les peuples civiliss s]a ess5tiellem5t t]m9e4 ,tels sont les quatre po9ts de vue pr9cipaux s\s lesquels j'ai cru devoir indiqu] ds ce mom5t l'influ5ce salutaire de la philosophie positive1 p\r s]vir de complm5t ess5tiel la df9ition gnrale que j'ai essay d'en expos]4 ,avant de t]m9]1 je dsire appel] un in/ant l'att5tion sur une d]nire rflexion qui me semble conv5able p\r vit]1 autant que possible1 qu'on se =me d'avance une op9ion errone de la nature de ce c\rs4 ,en assignant p\r b la philosophie positive de rsum] en un seul corps de doctr9e homogne l'ensemble des connaissances acquises1 relativem5t aux diffr5s ordres de phnomnes naturels1 il tait lo9 de ma p5se de v\loir procd] l'tude gnrale de ces phnomnes en les considrant t\s comme des effets div]s d'un pr9cipe unique1 comme assujtis une seule et mme loi4 ,quoique je doive trait] spcialem5t cette "q dans la pro*a9e leon1 je crois devoir1 ds prs5t1 en faire la dcl>ation1 af9 de prv5ir les repro*es trs-mal fonds que p\rrai5t m'adress] ceux qui1 sur un faux ap]u1 class]ai5t ce c\rs p>mi ces t5tatives d'explication univ]selle qu'on voit clore j\rnellem5t de la "p d'esprits entirem5t trang]s aux m?odes et aux connaissances sci5tifiques4 ,il ne s'agit ici de ri5 de semblable2 et le dveloppem5t de ce c\rs en f\rnira la preuve manife/e t\s ceux *ez lesquels les claircissem5s cont5us dans ce disc\rs aurai5t pu laiss] quelques d\tes cet g>d4 ,dans ma pr(onde conviction p]sonnelle1 je considre ces entreprises d'explication univ]selle de t\s les phnomnes p> une loi unique comme m9emm5t *imriques1 mme qu& elles sont t5tes p> les intellig5ces les plus compt5tes4 ,je crois que les moy5s de l'esprit huma9 sont trop faibles1 et l'univ]s trop compliqu p\r qu'une telle p]fection sci5tifique soit jamais notre porte1 et je p5se1 d'ailleurs1 qu'on se =me gnralem5t une ide trs-exagre des avantages qui en rsult]ai5t ncessairem5t1 si elle tait possible4 ,dans t\s les cas1 il me semble vid5t que1 vu l'tat prs5t de nos connaissances1 n\s en sommes encore beauc\p trop lo9 p\r que de telles t5tatives puiss5t tre raisonnables avant un laps de temps considrable4 ,c>1 si on p\vait espr] d'y p>v5ir1 ce ne p\rrait tre1 suivant moi1 qu'en ratta*ant t\s les phnomnes naturels la loi positive la plus gnrale que n\s connaissions1 la loi de la gravitation1 qui lie dj t\s les phnomnes a/ronomiques une p>tie de ceux de la physique t]re/re4 ,laplace a expos effectivem5t une conception p> laquelle on p\rrait ne voir dans les phnomnes *imiques que de simples effets molculaires de l'attraction newtoni5ne1 modifie p> la figure et la position mutuelle des atomes4 ,mais1 outre l'indt]m9ation dans laquelle re/]ait probablem5t t\j\rs cette conception1 p> l'abs5ce des donnes ess5tielles relatives la con/itution intime des corps1 il e/ presque c]ta9 que la difficult de l'appliqu] s]ait telle1 qu'on s]ait oblig de ma9t5ir1 comme artificielle1 la division auj\rd'hui tablie comme naturelle entre l'a/ronomie et la *imie4 ,aussi ,laplace n'a-t-il prs5t cette ide que comme un simple jeu philosophique1 incapable d'ex]c] rellem5t aucune influ5ce utile sur les progrs de la sci5ce *imique4 ,il y a plus1 d'ailleurs2 c>1 mme en supposant va9cue cette insurmontable difficult1 on n'aurait pas encore atte9t l'unit sci5tifique1 puisqu'il faudrait ensuite t5t] de ratta*] la mme loi l'ensemble des phnomnes physiologiques2 ce qui1 c]tes1 ne s]ait pas la p>tie la mo9s difficile de l'entreprise4 ,et1 nanmo9s1 l'hypo?se que n\s v5ons de p>c\rir s]ait1 t\t bi5 considr1 la plus favorable cette unit si dsire4 ,je n'ai pas beso9 de plus gr&s dtails p\r a*ev] de conva9cre que le b de ce c\rs n'e/ nullem5t de prs5t] t\s les phnomnes naturels comme tant au fond id5tiques1 sauf la v>it des circon/ances4 ,la philosophie positive s]ait sans d\te plus p>faite s'il p\vait en tre a9si4 ,mais cette condition n'e/ nullem5t ncessaire sa =mation sy/matique1 non plus qu' la ralisation des gr&es et heureuses consqu5ces que n\s l'avons vue de/9e produire4 ,il n'y a d'unit indisp5sable p\r cela que l'unit de m?ode1 laquelle peut et doit videmm5t exi/]1 et se tr\ve dj tablie en majeure p>tie4 ,quant la doctr9e1 il n'e/ pas ncessaire qu'elle soit une2 il suffit qu'elle soit homogne4 ,c'e/ donc s\s le d\ble po9t de vue de l'unit des m?odes et de l'homognx des doctr9es que n\s considr]ons1 dans ce c\rs1 les diffr5tes classes de ?ories positives4 ,t\t en t5dant dim9u]1 le plus possible1 le nombre des lois gnrales ncessaires l'explication positive des phnomnes naturels1 ce qui e/1 en effet1 le b philosophique de la sci5ce1 n\s reg>d]ons comme tmraire d'aspir] jamais1 mme p\r l'av5ir le plus loign1 les rduire rig\reusem5t une seule4 ,j'ai t5t1 dans ce disc\rs1 de dt]m9]1 aussi exactem5t qu'il a t en mon p\voir1 le b1 l'esprit et l'influ5ce de la philosophie positive4 ,j'ai donc m>qu le t]me v]s lequel ont t\j\rs t5du et t5dront sans cesse t\s mes travaux1 soit dans ce c\rs1 soit de t\te autre manire4 ,p]sonne n'e/ plus pr(ondm5t conva9cu que moi de l'insuffisance de mes =ces intellectuelles1 fuss5t-elles mme trs-suprieures leur valeur relle1 p\r rpondre une t*e aussi va/e et aussi leve4 ,mais ce qui ne peut tre fait ni p> un seul esprit1 ni en une seule vie1 un seul peut le propos] nettem5t4 ,telle e/ t\te mon ambition4 ,ayant expos le vritable b de ce c\rs1 c'e/--dire fix le po9t de vue s\s lequel je considr]ai les div]ses bran*es pr9cipales de la philosophie naturelle1 je complt]ai1 dans la leon pro*a9e1 ces prolgomnes gnraux1 en passant l'exposition du plan1 c'e/--dire la dt]m9ation de l'ordre encyclopdique qu'il convi5t d'tablir entre les div]ses classes des phnomnes naturels1 et p> consqu5t entre les sci5ces positives correspondantes4 ,,deuxi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,exposition du plan de ce c\rs1 ou considrations gnrales sur la hir>*ie des sci5ces positives4 ,aprs avoir c>actris aussi exactem5t que possible1 dans la leon prcd5te1 les considrations prs5t] dans ce c\rs sur t\tes les bran*es pr9cipales de la philosophie naturelle1 il faut dt]m9] ma9t5ant le plan que n\s devons suivre1 c'e/--dire1 la classification rationnelle la plus conv5able tablir entre les diffr5tes sci5ces positives fondam5tales1 p\r les tudi] successivem5t s\s le po9t de vue que n\s avons fix4 ,cette seconde discussion gnrale e/ indisp5sable p\r a*ev] de faire connatre ds l'orig9e le vritable esprit de ce c\rs4 ,on conoit aism5t d'abord qu'il ne s'agit pas ici de faire la critique1 malheureusem5t trop facile1 des nombreuses classifications qui ont t proposes successivem5t depuis deux sicles1 p\r le sy/me gnral des connaissances huma9es1 envisag dans t\te son t5due4 ,on e/ auj\rd'hui bi5 conva9cu que t\tes les *elles encyclopdiques con/ruites1 comme celles de ,bacon et de d',alemb]t1 d'aprs une di/9ction quelconque des div]ses facults de l'esprit huma91 sont p> cela seul radicalem5t vicieuses1 mme qu& cette di/9ction n'e/ pas1 comme il arrive s\v5t1 plus subtile que relle2 c>1 dans *acune de ses sphres d'activit1 notre ent5dem5t emploie simultanm5t t\tes ses facults pr9cipales4 ,quant t\tes les autres classifications proposes1 il suffira d'obs]v] que les diffr5tes discussions leves ce sujet ont eu p\r rsultat df9itif de montr] dans *acune des vices fondam5taux1 tellem5t qu'aucune n'a pu obt5ir un ass5tim5t unanime1 et qu'il exi/e cet g>d presqu'autant d'op9ions que d'individus4 ,ces div]ses t5tatives ont mme t1 en gnral1 si mal conues1 qu'il en e/ rsult involontairem5t dans la plup>t des bons esprits une prv5tion dfavorable contre t\te entreprise de ce g5re4 ,sans n\s arrt] davantage sur un fait si bi5 con/at1 il e/ plus ess5tiel d'en re*]*] la cause4 ,or1 on peut aism5t s'expliqu] la pr(onde imp]fection de ces t5tatives encyclopdiques1 si s\v5t r5\veles jusqu'ici4 ,je n'ai pas beso9 de faire obs]v] que1 depuis le discrdit gnral dans lequel sont tombs les travaux de cette nature p> suite du peu de solidit des premi]s projets1 ces classifications ne sont conues le plus s\v5t que p> des esprits presque entirem5t trang]s la connaissance des objets class]4 ,sans avoir g>d cette considration p]sonnelle1 il en e/ une beauc\p plus importante1 puise dans la nature mme du sujet1 et qui montre clairem5t p\rquoi il n'a pas t possible jusqu'ici de s'lev] une conception encyclopdique vritablem5t satisfaisante4 ,elle consi/e dans le dfaut d'homognx qui a t\j\rs exi/ jusqu' ces d]ni]s temps entre les diffr5tes p>ties du sy/me intellectuel1 les unes tant successivem5t dev5ues positives1 t&is que les autres re/ai5t ?ologiques ou mtaphysiques4 ,dans un tat de *oses aussi incohr5t1 il tait videmm5t impossible d'tablir aucune classification rationnelle4 ,comm5t p>v5ir dispos]1 dans un sy/me unique1 des conceptions aussi pr(ondm5t contradictoires8 c'e/ une difficult contre laquelle sont v5us *\] ncessairem5t t\s les classificateurs1 sans qu'aucun l'ait ap]ue di/9ctem5t4 ,il tait bi5 s5sible nanmo9s1 p\r quiconque et bi5 connu la vritable situation de l'esprit huma91 qu'une telle entreprise tait prmature1 et qu'elle ne p\rrait tre t5te avec succs que lorsque t\tes nos conceptions pr9cipales s]ai5t dev5ues positives4 ,cette condition fondam5tale p\vant ma9t5ant tre reg>de comme remplie1 d'aprs les explications donnes dans la leon prcd5te1 il e/ ds lors possible de procd] une disposition vraim5t rationnelle et durable d'un sy/me dont t\tes les p>ties sont enf9 dev5ues homognes4 ,d'un autre ct1 la ?orie gnrale des classifications1 tablie dans ces d]ni]s temps p> les travaux philosophiques des botani/es et des zoologi/es1 p]met d'espr] un succs rel dans un semblable travail1 en n\s (frant un guide c]ta9 p> le vritable pr9cipe fondam5tal de l'art de class]1 qui n'avait jamais t conu di/9ctem5t jusqu'alors4 ,ce pr9cipe e/ une consqu5ce ncessaire de la seule application directe de la m?ode positive la "q mme des classifications1 qui1 comme t\te autre1 doit tre traite p> obs]vation1 au lieu d'tre rsolue p> des considrations priori4 ,il consi/e en ce que la classification doit ressortir de l'tude mme des objets class]1 et tre dt]m9e p> les aff9its relles et l'en*anem5t naturel qu'ils prs5t5t1 de telle sorte que cette classification soit elle-mme l'expression du fait le plus gnral1 manife/ p> la comp>aison appr(ondie des objets qu'elle embrasse4 ,appliquant cette rgle fondam5tale au cas actuel1 c'e/ donc d'aprs la dp5dance mutuelle qui a lieu effectivem5t entre les div]ses sci5ces positives1 que n\s devons procd] leur classification2 et cette dp5dance1 p\r tre relle1 ne peut rsult] que de celle des phnomnes correspondans4 ,mais avant d'excut]1 dans un tel esprit d'obs]vation1 cette importante opration encyclopdique1 il e/ indisp5sable1 p\r ne pas n\s g>] dans un travail trop t5du1 de circonscrire avec plus de prcision que n\s ne l'avons fait jusqu'ici1 le sujet propre de la classification propose4 ,t\s les travaux huma9s sont1 ou de spculation1 ou d'action4 ,a9si1 la division la plus gnrale de nos connaissances relles consi/e les di/+u] en ?oriques et pratiques4 ,si n\s considrons d'abord cette premire division1 il e/ vid5t que c'e/ seulem5t des connaissances ?oriques qu'il doit tre "q dans un c\rs de la nature de celui-ci2 c>1 il ne s'agit po9t d'obs]v] le sy/me enti] des notions huma9es1 mais uniquem5t celui des conceptions fondam5tales sur les div]s ordres de phnomnes1 qui f\rniss5t une base solide t\tes nos autres comb9aisons quelconques1 et qui ne sont1 leur t\r1 fondes sur aucun sy/me intellectuel antcd5t4 ,or1 dans un tel travail1 c'e/ la spculation qu'il faut considr]1 et non l'application1 si ce n'e/ en tant que celle-ci peut claircir la premire4 ,c'e/ l probablem5t ce qu'ent5dait ,bacon1 quoique =t imp>faitem5t1 p> cette philosophie premire qu'il indique comme devant tre extraite de l'ensemble des sci5ces1 et qui a t si div]sem5t et t\j\rs si trangem5t conue p> les mtaphysici5s qui ont entrepris de comm5t] sa p5se4 ,sans d\te1 qu& on envisage l'ensemble complet des travaux de t\t g5re de l'espce huma9e1 on doit concevoir l'tude de la nature comme de/9e f\rnir la vritable base rationnelle de l'action de l'homme sur la nature1 puisque la connaissance des lois des phnomnes1 dont le rsultat con/ant e/ de n\s les faire prvoir1 peut seule videmm5t n\s conduire1 dans la vie active1 les modifi] notre avantage les uns p> les autres4 ,nos moy5s naturels et directs p\r agir sur les corps qui n\s ent\r5t sont extrmem5t faibles1 et t\t--fait disproportionns nos beso9s4 ,t\tes les fois que n\s p>v5ons ex]c] une gr&e action1 c'e/ seulem5t p>ce que la connaissance des lois naturelles n\s p]met d'introduire p>mi les circon/ances dt]m9es s\s l'influ5ce desquelles s'accompliss5t les div]s phnomnes1 quelques lm5s modificateurs1 qui1 quelque faibles qu'ils soi5t en eux-mmes1 suffis5t1 dans c]ta9s cas1 p\r faire t\rn] notre satisfaction les rsultats df9itifs de l'ensemble des causes extrieures4 ,en rsum1 sci5ce1 d'o prvoyance2 prvoyance1 d'o action3 telle e/ la =mule trs-simple qui exprime1 d'une manire exacte1 la relation gnrale de la sci5ce et de l'art1 en pr5ant ces deux expressions dans leur acception totale4 ,mais1 malgr l'importance capitale de cette relation1 qui ne doit jamais tre mconnue1 ce s]ait se =m] des sci5ces une ide bi5 imp>faite que de les concevoir seulem5t comme les bases des arts1 et c'e/ quoi malheureusem5t on n'e/ que trop encl9 de nos j\rs4 ,quels que soi5t les imm5ses s]vices r5dus l'indu/rie p> les ?ories sci5tifiques1 quoique1 suivant l'n]gique expression de ,bacon1 la puissance soit ncessairem5t proportionne la connaissance1 n\s ne devons pas oubli] que les sci5ces ont1 avant t\t1 une de/9ation plus directe et plus leve1 celle de satisfaire au beso9 fondam5tal qu'pr\ve notre intellig5ce de connatre les lois des phnomnes4 ,p\r s5tir combi5 ce beso9 e/ pr(ond et imprieux1 il suffit de p5s] un in/ant aux effets physiologiques de l'tonnem5t1 et de considr] que la s5sation la plus t]rible que n\s puissions pr\v] e/ celle qui se produit t\tes les fois qu'un phnomne n\s semble s'accomplir contradictoirem5t aux lois naturelles qui n\s sont familires4 ,ce beso9 de dispos] les faits dans un ordre que n\s puissions concevoir avec facilit 7ce qui e/ l'objet propre de t\tes les ?ories sci5tifiques7 e/ tellem5t inhr5t notre organisation1 que1 si n\s ne p>v5ions pas le satisfaire p> des conceptions positives1 n\s ret\rn]ions 9vitablem5t aux explications ?ologiques et mtaphysiques auxquelles il a primitivem5t donn naissance1 comme je l'ai expos dans la d]nire leon4 ,j'ai cru devoir signal] expressm5t ds ce mom5t une considration qui se reproduira frquemm5t dans t\te la suite de ce c\rs1 af9 d'indiqu] la ncessit de se prmunir contre la trop gr&e influ5ce des habitudes actuelles qui t5d5t emp*] qu'on se =me des ides ju/es et nobles de l'importance et de la de/9ation des sci5ces4 ,si la puissance prpondrante de notre organisation ne corrigeait1 mme involontairem5t1 dans l'esprit des savans1 ce qu'il y a s\s ce rapport d'incomplet et d'troit dans la t5dance gnrale de notre poque1 l'intellig5ce huma9e1 rduite ne s'occup] que de re*]*es susceptibles d'une utilit pratique immdiate1 se tr\v]ait p> cela seul1 comme l'a trs-ju/em5t rem>qu ,condorcet1 t\t--fait arrte dans ses progrs1 mme l'g>d de ces applications auxquelles on aurait imprudemm5t sacrifi les travaux purem5t spculatifs2 c>1 les applications les plus importantes driv5t con/amm5t de ?ories =mes dans une simple int5tion sci5tifique1 et qui s\v5t ont t cultives p5dant plusieurs sicles sans produire aucun rsultat pratique4 ,on en peut cit] un exemple bi5 rem>quable dans les belles spculations des gomtres grecs sur les sections coniques1 qui1 aprs une longue suite de gnrations1 ont s]vi1 en dt]m9ant la rnovation de l'a/ronomie1 conduire f9alem5t l'art de la navigation au degr de p]fectionnem5t qu'il a atte9t dans ces d]ni]s temps1 et auquel il ne s]ait jamais p>v5u sans les travaux si purem5t ?oriques d',ar*imde et d',apollonius2 tellem5t que ,condorcet a pu dire avec raison cet g>d3 le matelot1 qu'une exacte obs]vation de la longitude prs]ve du naufrage1 doit la vie une ?orie conue1 deux mille ans aup>avant1 p> des hommes de gnie qui avai5t en vue de simples spculations gomtriques4 ,il e/ donc vid5t qu'aprs avoir conu1 d'une manire gnrale1 l'tude de la nature comme s]vant de base rationnelle l'action sur la nature1 l'esprit huma9 doit procd] aux re*]*es ?oriques1 en faisant compltem5t ab/raction de t\te considration pratique2 c>1 nos moy5s p\r dc\vrir la vrit sont tellem5t faibles1 que si n\s ne les conc5trions pas exclusivem5t v]s ce b1 et si1 en *]*ant la vrit1 n\s n\s imposions en mme temps la condition trangre d'y tr\v] une utilit pratique immdiate1 il n\s s]ait presque t\j\rs impossible d'y p>v5ir4 ,quoi qu'il en soit1 il e/ c]ta9 que l'ensemble de nos connaissances sur la nature1 et celui des procds que n\s en dduisons p\r la modifi] notre avantage1 =m5t deux sy/mes ess5tiellem5t di/9cts p> eux-mmes1 qu'il e/ conv5able de concevoir et de cultiv] sp>m5t4 ,en outre1 le premi] sy/me tant la base du second1 c'e/ videmm5t celui qu'il convi5t de considr] d'abord dans une tude m?odique1 mme qu& on se propos]ait d'embrass] la totalit des connaissances huma9es1 tant d'application que de spculation4 ,ce sy/me ?orique me p>at devoir con/itu] exclusivem5t auj\rd'hui le sujet d'un c\rs vraim5t rationnel de philosophie positive3 c'e/ a9si du mo9s que je le conois4 ,sans d\te1 il s]ait possible d'imag9] un c\rs plus t5du1 portant la fois sur les gnralits ?oriques et sur les gnralits pratiques4 ,mais je ne p5se pas qu'une telle entreprise1 mme indp5damm5t de son t5due1 puisse tre conv5ablem5t t5te dans l'tat prs5t de l'esprit huma94 ,elle me semble1 en effet1 exig] pralablem5t un travail trs-important et d'une nature t\te p>ticulire1 qui n'a pas encore t fait1 celui de =m]1 d'aprs les ?ories sci5tifiques proprem5t dites1 les conceptions spciales de/9es s]vir de bases directes aux procds gnraux de la pratique4 ,au degr de dveloppem5t dj atte9t p> notre intellig5ce1 ce n'e/ pas immdiatem5t que les sci5ces s'appliqu5t aux arts1 du mo9s dans les cas les plus p>faits2 il exi/e entre ces deux ordres d'ides un ordre moy51 qui1 encore mal dt]m9 dans son c>actre philosophique1 e/ dj plus s5sible qu& on considre la classe sociale qui s'en occupe spcialem5t4 ,entre les savans proprem5t dits et les directeurs effectifs des travaux productifs il comm5ce se =m] de nos j\rs une classe int]mdiaire1 celle des +nieurs1 dont la de/9ation spciale e/ d'organis] les relations de la ?orie et de la pratique4 ,sans avoir aucunem5t en vue le progrs des connaissances sci5tifiques1 elle les considre dans leur tat prs5t p\r en dduire les applications indu/rielles dont elles sont susceptibles4 ,telle e/1 du mo9s1 la t5dance naturelle des *oses1 quoiqu'il y ait encore cet g>d beauc\p de confusion4 ,le corps de doctr9e propre cette classe n\velle1 et qui doit con/itu] les vritables ?ories directes des diffr5s arts1 p\rrait1 sans d\te1 donn] lieu des considrations philosophiques d'un gr& intrt et d'une importance relle4 ,mais1 un travail qui les embrass]ait conjo9tem5t avec celles fondes sur les sci5ces proprem5t dites1 s]ait auj\rd'hui t\t--fait prmatur2 c>1 ces doctr9es int]mdiaires entre la ?orie pure et la pratique directe ne sont po9t encore =mes3 il n'en exi/e jusqu'ici que quelques lm5s imp>faits relatifs aux sci5ces et aux arts les plus avancs1 et qui p]mett5t seulem5t de concevoir la nature et la possibilit de semblables travaux p\r l'ensemble des oprations huma9es4 ,c'e/ a9si1 p\r en cit] ici l'exemple le plus important1 qu'on doit envisag] la belle conception de ,monge1 relativem5t la gomtrie descriptive1 qui n'e/ rellem5t autre *ose qu'une ?orie gnrale des arts de con/ruction4 ,j'aurai so9 d'indiqu] successivem5t le petit nombre d'ides analogues dj =mes et de faire apprci] leur importance1 mesure que le dveloppem5t naturel de ce c\rs n\s les prs5t]a4 ,mais il e/ clair que des conceptions jusqu' prs5t aussi incompltes ne doiv5t po9t entr]1 comme p>tie ess5tielle1 dans un c\rs de philosophie positive qui ne doit compr5dre1 autant que possible1 que des doctr9es ayant un c>actre fixe et nettem5t dt]m94 ,on concevra d'autant mieux la difficult de con/ruire ces doctr9es int]mdiaires que je vi5s d'indiqu]1 si l'on considre que *aque art dp5d non-seulem5t d'une c]ta9e sci5ce correspondante1 mais la fois de plusieurs1 tellem5t que les arts les plus importans emprunt5t des sec\rs directs presque t\tes les div]ses sci5ces pr9cipales4 ,c'e/ a9si que la vritable ?orie de l'agriculture1 p\r me born] au cas le plus ess5tiel1 exige une intime comb9aison de connaissances physiologiques1 *imiques1 physiques et mme a/ronomiques et ma?matiques3 il en e/ de mme des beaux-arts4 ,on ap]oit aism5t1 d'aprs cette considration1 p\rquoi ces ?ories n'ont pu encore tre =mes1 puisqu'elles suppos5t le dveloppem5t pralable de t\tes les diffr5tes sci5ces fondam5tales4 ,il en rsulte galem5t un n\veau motif de ne pas compr5dre un tel ordre d'ides dans un c\rs de philosophie positive1 puisque1 lo9 de p\voir contribu] la =mation sy/matique de cette philosophie1 les ?ories gnrales propres aux diffr5s arts pr9cipaux doiv5t1 au contraire1 comme n\s le voyons1 tre vraisemblablem5t plus t>d une des consqu5ces les plus utiles de sa con/ruction4 ,en rsum1 n\s ne devons donc considr] dans ce c\rs que les ?ories sci5tifiques et nullem5t leurs applications4 ,mais avant de procd] la classification m?odique de ses diffr5tes p>ties1 il me re/e expos]1 relativem5t aux sci5ces proprem5t dites1 une di/9ction importante1 qui a*v]a de circonscrire nettem5t le sujet propre de l'tude que n\s entrepr5ons4 ,il faut di/+u]1 p> rapport t\s les ordres de phnomnes1 deux g5res de sci5ces naturelles3 les unes ab/raites1 gnrales1 ont p\r objet la dc\v]te des lois qui rgiss5t les div]ses classes de phnomnes1 en considrant t\s les cas qu'on peut concevoir2 les autres concrtes1 p>ticulires1 descriptives1 et qu'on dsigne quelquefois s\s le nom de sci5ces naturelles proprem5t dites1 consi/5t dans l'application de ces lois l'hi/oire effective des diffr5s tres exi/ans4 ,les premires sont donc fondam5tales1 c'e/ sur elles seulem5t que port]ont nos tudes dans ce c\rs2 les autres1 quelle que soit leur importance propre1 ne sont rellem5t que secondaires1 et ne doiv5t po9t1 p> consqu5t1 faire p>tie d'un travail que son extrme t5due naturelle n\s oblige rduire au mo9dre dveloppem5t possible4 ,la di/9ction prcd5te ne peut prs5t] aucune obscurit aux esprits qui ont quelque connaissance spciale des diffr5tes sci5ces positives1 puisqu'elle e/ peu prs l'quival5t de celle qu'on nonce ord9airem5t dans presque t\s les traits sci5tifiques en comp>ant la physique dogmatique l'hi/oire naturelle proprem5t dite4 ,quelques exemples suffiront d'ailleurs p\r r5dre s5sible cette division1 dont l'importance n'e/ pas encore conv5ablem5t apprcie4 ,on p\rra d'abord l'ap]cevoir trs-nettem5t en comp>ant1 d'une "p1 la physiologie gnrale1 et1 d'une autre "p1 la zoologie et la botanique proprem5t dites4 ,ce sont videmm5t1 en effet1 deux travaux d'un c>actre =t di/9ct1 que d'tudi]1 en gnral1 les lois de la vie1 ou de dt]m9] le mode d'exi/5ce de *aque corps vivant1 en p>ticuli]4 ,cette seconde tude1 en outre1 e/ ncessairem5t fonde sur la premire4 ,il en e/ de mme de la *imie1 p> rapport la m9ralogie2 la premire e/ videmm5t la base rationnelle de la seconde4 ,dans la *imie1 on considre t\tes les comb9aisons possibles des molcules1 et dans t\tes les circon/ances imag9ables2 dans la m9ralogie1 on considre seulem5t celles de ces comb9aisons qui se tr\v5t ralises dans la con/itution effective du globe t]re/re1 et s\s l'influ5ce des seules circon/ances qui lui sont propres4 ,ce qui montre clairem5t la diffr5ce du po9t de vue *imique et du po9t de vue m9ralogique1 quoique les deux sci5ces port5t sur les mmes objets1 c'e/ que la plup>t des faits envisags dans la premire n'ont qu'une exi/5ce artificielle1 de telle manire qu'un corps1 comme le *lore ou le potassium1 p\rra avoir une extrme importance en *imie p> l't5due et l'n]gie de ses aff9its1 t&is qu'il n'en aura presque aucune en m9ralogie2 et rciproquem5t1 un compos1 tel que le granit ou le qu>tz1 sur lequel porte la majeure p>tie des considrations m9ralogiques1 n'(frira1 s\s le rapport *imique1 qu'un intrt trs-mdiocre4 ,ce qui r5d1 en gnral1 plus s5sible encore la ncessit logique de cette di/9ction fondam5tale entre les deux gr&es sections de la philosophie naturelle1 c'e/ que non-seulem5t *aque section de la physique concrte suppose la culture pralable de la section correspondante de la physique ab/raite1 mais qu'elle exige mme la connaissance des lois gnrales relatives t\s les ordres de phnomnes4 ,a9si1 p> exemple1 non seulem5t l'tude spciale de la t]re1 considre s\s t\s les po9ts de vue qu'elle peut prs5t] effectivem5t1 exige la connaissance pralable de la physique et de la *imie1 mais elle ne peut tre faite conv5ablem5t1 sans y introduire1 d'une "p1 les connaissances a/ronomiques1 et mme1 d'une autre "p1 les connaissances physiologiques2 en sorte qu'elle ti5t au sy/me enti] des sci5ces fondam5tales4 ,il en e/ de mme de *acune des sci5ces naturelles proprem5t dites4 ,c'e/ prcism5t p\r ce motif que la physique concrte a fait jusqu' prs5t si peu de progrs rels1 c> elle n'a pu comm5c] tre tudie d'une manire vraim5t rationnelle qu'aprs la physique ab/raite1 et lorsque t\tes les div]ses bran*es pr9cipales de celle-ci ont pris leur c>actre df9itif1 ce qui n'a eu lieu que de nos j\rs4 ,jusqu'alors on n'a pu recueillir ce sujet que des matriaux plus ou mo9s incohr5s1 qui sont mme encore =t incomplets4 ,les faits connus ne p\rront tre coordonns de manire =m] de vritables ?ories spciales des diffr5s tres de l'univ]s1 que lorsque la di/9ction fondam5tale rappele ci-dessus1 s]a plus pr(ondm5t s5tie et plus rgulirem5t organise1 et que1 p> suite1 les savans p>ticulirem5t livrs l'tude des sci5ces naturelles proprem5t dites1 auront reconnu la ncessit de fond] leurs re*]*es sur une connaissance appr(ondie de t\tes les sci5ces fondam5tales1 condition qui e/ encore auj\rd'hui =t lo9 d'tre conv5ablem5t remplie4 ,l'exam5 de cette condition confirme nettem5t p\rquoi n\s devons1 dans ce c\rs de philosophie positive1 rduire nos considrations l'tude des sci5ces gnrales1 sans embrass] en mme temps les sci5ces descriptives ou p>ticulires4 ,on voit natre ici1 en effet1 une n\velle proprit ess5tielle de cette tude propre des gnralits de la physique ab/raite2 c'e/ de f\rnir la base rationnelle d'une physique concrte vraim5t sy/matique4 ,a9si1 dans l'tat prs5t de l'esprit huma91 il y aurait une sorte de contradiction v\loir runir1 dans un seul et mme c\rs1 les deux ordres de sci5ces4 ,on peut dire1 de plus1 que qu& mme la physique concrte aurait dj atte9t le degr de p]fectionnem5t de la physique ab/raite1 et que1 p> suite1 il s]ait possible1 dans un c\rs de philosophie positive1 d'embrass] la fois l'une et l'autre1 il n'en faudrait pas mo9s videmm5t comm5c] p> la section ab/raite1 qui re/]a la base inv>iable de l'autre4 ,il e/ clair1 d'ailleurs1 que la seule tude des gnralits des sci5ces fondam5tales1 e/ assez va/e p> elle-mme1 p\r qu'il importe d'en c>t]1 autant que possible1 t\tes les considrations qui ne sont pas indisp5sables2 or1 celles relatives aux sci5ces secondaires s]ont t\j\rs1 quoi qu'il arrive1 d'un g5re di/9ct4 ,la philosophie des sci5ces fondam5tales1 prs5tant un sy/me de conceptions positives sur t\s nos ordres de connaissances relles1 suffit1 p> cela mme1 p\r con/itu] cette philosophie premire que *]*ait ,bacon1 et qui tant de/9e s]vir dsormais de base p]man5te t\tes les spculations huma9es1 doit tre soigneusem5t rduite la plus simple expression possible4 ,je n'ai pas beso9 d'insi/] davantage en ce mom5t sur une telle discussion1 que j'aurai naturellem5t plusieurs occasions de reproduire dans les div]ses p>ties de ce c\rs4 ,l'explication prcd5te e/ assez dveloppe p\r motiv] la manire dont j'ai circonscrit le sujet gnral de nos considrations4 ,a9si1 en rsultat de t\t ce qui vi5t d'tre expos dans cette leon1 n\s voyons3 #a que la sci5ce huma9e se composant1 dans son ensemble1 de connaissances spculatives et de connaissances d'application1 c'e/ seulem5t des premires que n\s devons n\s occup] ici2 #b que les connaissances ?oriques ou les sci5ces proprem5t dites1 se divisant en sci5ces gnrales et sci5ces p>ticulires1 n\s devons ne considr] ici que le premi] ordre1 et n\s born] la physique ab/raite1 quelque intrt que puisse n\s prs5t] la physique concrte4 ,le sujet propre de ce c\rs tant p> l exactem5t circonscrit1 il e/ facile ma9t5ant de procd] une classification rationnelle vraim5t satisfaisante des sci5ces fondam5tales1 ce qui con/itue la "q encyclopdique1 objet spcial de cette leon4 ,il faut1 avant t\t1 comm5c] p> reconnatre que1 quelque naturelle que puisse tre une telle classification1 elle r5f]m]a t\j\rs ncessairem5t quelque *ose1 s9on d'arbitraire1 du mo9s d'artificiel1 de manire prs5t] une imp]fection vritable4 ,en effet1 le b pr9cipal que l'on doit avoir en vue dans t\t travail encyclopdique1 c'e/ de dispos] les sci5ces dans l'ordre de leur en*anem5t naturel1 en suivant leur dp5dance mutuelle2 de telle sorte qu'on puisse les expos] successivem5t1 sans jamais tre entran dans le mo9dre c]cle vicieux4 ,or1 c'e/ une condition qu'il me p>at impossible d'accomplir d'une manire t\t--fait rig\reuse4 ,qu'il me soit p]mis de donn] ici quelque dveloppem5t cette rflexion1 que je crois importante p\r c>actris] la vritable difficult de la re*]*e qui n\s occupe actuellem5t4 ,cette considration1 d'ailleurs1 me donn]a lieu d'tablir1 relativem5t l'exposition de nos connaissances1 un pr9cipe gnral dont j'aurai plus t>d prs5t] de frqu5tes applications4 ,t\te sci5ce peut tre expose suivant deux m>*es ess5tiellem5t di/9ctes1 dont t\t autre mode d'exposition ne saurait tre qu'une comb9aison1 la m>*e hi/orique1 et la m>*e dogmatique4 ,p> le premi] procd1 on expose successivem5t les connaissances dans le mme ordre effectif suivant lequel l'esprit huma9 les a rellem5t obt5us1 et en adoptant1 autant que possible1 les mmes voies4 ,p> le second1 on prs5te le sy/me des ides tel qu'il p\rrait tre conu auj\rd'hui p> un seul esprit1 qui1 plac au po9t de vue conv5able1 et p\rvu des connaissances suffisantes1 s'occup]ait refaire la sci5ce dans son ensemble4 ,le premi] mode e/ videmm5t celui p> lequel comm5ce1 de t\te ncessit1 l'tude de *aque sci5ce naissante2 c>1 il prs5te cette proprit1 de n'exig]1 p\r l'exposition des connaissances1 aucun n\veau travail di/9ct de celui de leur =mation1 t\te la didactique se rduisant alors tudi] successivem5t1 dans l'ordre *ronologique1 les div]s ouvrages orig9aux qui ont contribu aux progrs de la sci5ce4 ,le mode dogmatique1 supposant au contraire1 que t\s ces travaux p>ticuli]s ont t refondus en un sy/me gnral1 p\r tre prs5ts suivant un ordre logique plus naturel1 n'e/ applicable qu' une sci5ce dj p>v5ue un assez haut degr de dveloppem5t4 ,mais1 mesure que la sci5ce fait des progrs1 l'ordre hi/orique d'exposition devi5t de plus en plus impraticable1 p> la trop longue suite d'int]mdiaires qu'il oblig]ait l'esprit p>c\rir2 t&is que l'ordre dogmatique devi5t de plus en plus possible1 en mme temps que ncessaire1 p>ce que de n\velles conceptions p]mett5t de prs5t] les dc\v]tes antrieures s\s un po9t de vue plus direct4 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 que l'ducation d'un gomtre de l'antiquit consi/ait simplem5t dans l'tude successive du trs-petit nombre de traits orig9aux produits jusqu'alors sur les div]ses p>ties de la gomtrie1 ce qui se rduisait ess5tiellem5t aux crits d',ar*imde et d',apollonius2 t&is que1 au contraire1 un gomtre mod]ne a communm5t t]m9 son ducation1 sans avoir lu un seul ouvrage orig9al1 except relativem5t aux dc\v]tes les plus rc5tes1 qu'on ne peut connatre que p> ce moy54 ,la t5dance con/ante de l'esprit huma91 quant l'exposition des connaissances1 e/ donc de sub/itu] de plus en plus l'ordre hi/orique l'ordre dogmatique1 qui peut seul conv5ir l'tat p]fectionn de notre intellig5ce4 ,le problme gnral de l'ducation intellectuelle consi/e faire p>v5ir1 en peu d'annes1 un seul ent5dem5t1 le plus s\v5t mdiocre1 au mme po9t de dveloppem5t qui a t atte9t1 dans une longue suite de sicles1 p> un gr& nombre de gnies suprieurs appliquant successivem5t1 p5dant leur vie entire1 t\tes leurs =ces l'tude d'un mme sujet4 ,il e/ clair1 d'aprs cela1 que1 quoiqu'il soit inf9im5t plus facile et plus c\rt d'appr5dre que d'inv5t]1 il s]ait c]ta9em5t impossible d'atte9dre le b propos1 si l'on v\lait assujtir *aque esprit individuel pass] successivem5t p> les mmes int]mdiaires qu'a d suivre ncessairem5t le gnie collectif de l'espce huma9e4 ,de l1 l'indisp5sable beso9 de l'ordre dogmatique1 qui e/ surt\t si s5sible auj\rd'hui p\r les sci5ces les plus avances1 dont le mode ord9aire d'exposition ne prs5te plus presqu'aucune trace de la filiation effective de leurs dtails4 ,il faut1 nanmo9s1 aj\t]1 p\r prv5ir t\te exagration1 que t\t mode rel d'exposition e/1 9vitablem5t1 une c]ta9e comb9aison de l'ordre dogmatique avec l'ordre hi/orique1 dans laquelle seulem5t le premi] doit dom9] con/amm5t et de plus en plus4 ,l'ordre dogmatique ne peut1 en effet1 tre suivi d'une manire t\t--fait rig\reuse2 c>1 p> cela mme qu'il exige une n\velle laboration des connaissances acquises1 il n'e/ po9t applicable1 *aque poque de la sci5ce1 aux p>ties rcemm5t =mes1 dont l'tude ne comporte qu'un ordre ess5tiellem5t hi/orique1 lequel ne prs5te pas1 d'ailleurs1 dans ce cas1 les inconvni5s pr9cipaux qui le font rejet] en gnral4 ,la seule imp]fection fondam5tale qu'on p\rrait repro*] au mode dogmatique1 c'e/ de laiss] ignor] la manire dont se sont =mes les div]ses connaissances huma9es1 ce qui1 quoique di/9ct de l'acquisition mme de ces connaissances1 e/1 en soi1 du plus haut intrt p\r t\t esprit philosophique4 ,cette considration aurait1 mes yeux1 beauc\p de poids1 si elle tait rellem5t un motif en faveur de l'ordre hi/orique4 ,mais il e/ ais de voir qu'il n'y a qu'une relation app>5te entre tudi] une sci5ce en suivant le mode dit hi/orique1 et connatre vritablem5t l'hi/oire effective de cette sci5ce4 ,en effet1 non seulem5t les div]ses p>ties de *aque sci5ce1 qu'on e/ conduit sp>] dans l'ordre dogmatique1 se sont1 en ralit1 dveloppes simultanm5t et s\s l'influ5ce les unes des autres1 ce qui t5drait faire prfr] l'ordre hi/orique3 mais en considrant1 dans son ensemble1 le dveloppem5t effectif de l'esprit huma91 on voit de plus que les diffr5tes sci5ces ont t1 dans le fait1 p]fectionnes en mme temps et mutuellem5t2 on voit mme que les progrs des sci5ces et ceux des arts ont dp5du les uns des autres1 p> d'innombrables influ5ces rciproques1 et enf9 que t\s ont t troitem5t lis au dveloppem5t gnral de la socit huma9e4 ,ce va/e en*anem5t e/ tellem5t rel que s\v5t1 p\r concevoir la gnration effective d'une ?orie sci5tifique1 l'esprit e/ conduit considr] le p]fectionnem5t de quelque art qui n'a avec elle aucune liaison rationnelle1 ou mme quelque progrs p>ticuli] dans l'organisation sociale1 sans lequel cette dc\v]te n'et pu avoir lieu4 ,n\s en v]rons dans la suite de nombreux exemples4 ,il rsulte donc de l que l'on ne peut connatre la vritable hi/oire de *aque sci5ce1 c'e/--dire1 la =mation relle des dc\v]tes dont elle se compose1 qu'en tudiant1 d'une manire gnrale et directe1 l'hi/oire de l'humanit4 ,c'e/ p\rquoi t\s les docum5s recueillis jusqu'ici sur l'hi/oire des ma?matiques1 de l'a/ronomie1 de la mdec9e1 etc41 quelque prcieux qu'ils soi5t1 ne peuv5t tre reg>ds que comme des matriaux4 ,le prt5du ordre hi/orique d'exposition1 mme qu& il p\rrait tre suivi rig\reusem5t p\r les dtails de *aque sci5ce en p>ticuli]1 s]ait dj purem5t hypo?tique et ab/rait s\s le rapport le plus important1 en ce qu'il considr]ait le dveloppem5t de cette sci5ce comme isol4 ,bi5 lo9 de mettre en vid5ce la vritable hi/oire de la sci5ce1 il t5drait en faire concevoir une op9ion trs-fausse4 ,a9si1 n\s sommes c]ta9em5t conva9cus que la connaissance de l'hi/oire des sci5ces e/ de la plus haute importance4 ,je p5se mme qu'on ne connat pas compltem5t une sci5ce tant qu'on n'en sait pas l'hi/oire4 ,mais cette tude doit tre conue comme entirem5t sp>e de l'tude propre et dogmatique de la sci5ce1 sans laquelle mme cette hi/oire ne s]ait pas intelligible4 ,n\s considr]ons donc avec beauc\p de so9 l'hi/oire relle des sci5ces fondam5tales qui vont tre le sujet de nos mditations2 mais ce s]a seulem5t dans la d]nire p>tie de ce c\rs1 celle relative l'tude des phnomnes sociaux1 en traitant du dveloppem5t gnral de l'humanit1 dont l'hi/oire des sci5ces con/itue la p>tie la plus importante1 quoique jusqu'ici la plus nglige4 ,dans l'tude de *aque sci5ce1 les considrations hi/oriques incid5tes qui p\rront se prs5t]1 auront un c>actre nettem5t di/9ct1 de manire ne pas altr] la nature propre de notre travail pr9cipal4 ,la discussion prcd5te1 qui doit d'ailleurs1 comme on le voit1 tre spcialem5t dveloppe plus t>d1 t5d prcis] davantage1 en le prs5tant s\s un n\veau po9t de vue1 le vritable esprit de ce c\rs4 ,mais1 surt\t1 il en rsulte1 relativem5t la "q actuelle1 la dt]m9ation exacte des conditions qu'on doit s'impos] et qu'on peut ju/em5t espr] de remplir dans la con/ruction d'une *elle encyclopdique des div]ses sci5ces fondam5tales4 ,on voit1 en effet1 que1 quelque p>faite qu'on pt la suppos]1 cette classification ne saurait jamais tre rig\reusem5t con=me l'en*anem5t hi/orique des sci5ces4 ,quoi qu'on fasse1 on ne peut vit] entirem5t de prs5t] comme antrieure telle sci5ce qui aura cep5dant beso91 s\s quelques rapports p>ticuli]s plus ou mo9s importans1 d'emprunt] des notions une autre sci5ce classe dans un rang po/rieur4 ,il faut t*] seulem5t qu'un tel inconvni5t n'ait lieu relativem5t aux conceptions c>actri/iques de *aque sci5ce1 c> alors la classification s]ait t\t--fait vicieuse4 ,a9si1 p> exemple1 il me semble inconte/able que1 dans le sy/me gnral des sci5ces1 l'a/ronomie doit tre place avant la physique proprem5t dite1 et nanmo9s plusieurs bran*es de celle-ci1 surt\t l'optique1 sont indisp5sables l'exposition complte de la premire4 ,de tels dfauts secondaires1 qui sont /rictem5t 9vitables1 ne saurai5t prvaloir contre une classification1 qui remplirait d'ailleurs conv5ablem5t les conditions pr9cipales4 ,ils ti5n5t ce qu'il y a ncessairem5t d'artificiel dans notre division du travail intellectuel4 ,nanmo9s1 quoique1 d'aprs les explications prcd5tes1 n\s ne devions pas pr5dre l'ordre hi/orique p\r base de notre classification1 je ne dois pas nglig] d'indiqu] d'avance1 comme une proprit ess5tielle de l'*elle encyclopdique que je vais propos]1 sa con=mit gnrale avec l'ensemble de l'hi/oire sci5tifique2 en ce s5s1 que1 malgr la simultanx relle et cont9ue du dveloppem5t des diffr5tes sci5ces1 celles qui s]ont classes comme antrieures s]ont1 en effet1 plus anci5nes et con/amm5t plus avances que celles prs5tes comme po/rieures4 ,c'e/ ce qui doit avoir lieu 9vitablem5t si1 en ralit1 n\s pr5ons1 comme cela doit tre1 p\r pr9cipe de classification1 l'en*anem5t logique naturel des div]ses sci5ces1 le po9t de d"p de l'espce ayant d ncessairem5t tre le mme que celui de l'individu4 ,p\r a*ev] de dt]m9] avec t\te la prcision possible la difficult exacte de la "q encyclopdique que n\s avons rs\dre1 je crois utile d'introduire une considration ma?matique =t simple qui rsum]a rig\reusem5t l'ensemble des raisonnem5s exposs jusqu'ici dans cette leon4 ,voici en quoi elle consi/e4 ,n\s n\s proposons de class] les sci5ces fondam5tales4 ,or1 n\s v]rons bi5tt que1 t\t bi5 considr1 il n'e/ pas possible d'en di/+u] mo9s de six2 la plup>t des savans en admettrai5t mme vraisemblablem5t un plus gr& nombre4 ,cela pos1 on sait que six objets comport5t #gbj dispositions diffr5tes4 ,les sci5ces fondam5tales p\rrai5t donc donn] lieu #gbj classifications di/9ctes1 p>mi lesquelles il s'agit de *oisir la classification ncessairem5t unique1 qui satisfait le mieux aux pr9cipales conditions du problme4 ,on voit que1 malgr le gr& nombre d'*elles encyclopdiques successivem5t proposes jusqu' prs5t1 la discussion n'a port encore que sur une bi5 faible p>tie des dispositions possibles2 et nanmo9s1 je crois p\voir dire sans exagration qu'en exam9ant *acune de ces #gbj classifications1 il n'en s]ait peut-tre pas une seule en faveur de laquelle on ne pt faire valoir quelques motifs plausibles2 c>1 en obs]vant les div]ses dispositions qui ont t effectivem5t proposes1 on rem>que entre elles les plus extrmes diffr5ces2 les sci5ces qui sont places p> les uns la tte du sy/me encyclopdique1 tant r5voyes p> d'autres l'extrmit oppose1 et rciproquem5t4 ,c'e/ donc dans ce *oix d'un seul ordre vraim5t rationnel1 p>mi le nombre trs-considrable des sy/mes possibles1 que consi/e la difficult prcise de la "q que n\s avons pose4 ,abordant ma9t5ant d'une manire directe cette gr&e "q1 rappelons-n\s d'abord1 que p\r obt5ir une classification naturelle et positive des sci5ces fondam5tales1 c'e/ dans la comp>aison des div]s ordres de phnomnes dont elles ont p\r objet de dc\vrir les lois que n\s devons en *]*] le pr9cipe4 ,ce que n\s v\lons dt]m9]1 c'e/ la dp5dance relle des div]ses tudes sci5tifiques4 ,or1 cette dp5dance ne peut rsult] que de celle des phnomnes correspondans4 ,en considrant s\s ce po9t de vue t\s les phnomnes obs]vables1 n\s allons voir qu'il e/ possible de les class] en un petit nombre de catgories naturelles1 disposes d'une telle manire1 que l'tude rationnelle de *aque catgorie soit fonde sur la connaissance des lois pr9cipales de la catgorie prcd5te1 et devi5ne le fondem5t de l'tude de la suivante4 ,cet ordre e/ dt]m9 p> le degr de simplicit1 ou1 ce qui revi5t au mme1 p> le degr de gnralit des phnomnes1 d'o rsulte leur dp5dance successive1 et1 en consqu5ce1 la facilit plus ou mo9s gr&e de leur tude4 ,il e/ clair1 en effet1 priori1 que les phnomnes les plus simples1 ceux qui se compliqu5t le mo9s des autres1 sont ncessairem5t aussi les plus gnraux2 c>1 ce qui s'obs]ve dans le plus gr& nombre de cas e/1 p> cela mme1 dgag le plus possible des circon/ances propres *aque cas sp>4 ,c'e/ donc p> l'tude des phnomnes les plus gnraux ou les plus simples qu'il faut comm5c]1 en procdant ensuite successivem5t jusqu'aux phnomnes les plus p>ticuli]s ou les plus compliqus1 si l'on veut concevoir la philosophie naturelle d'une manire vraim5t m?odique2 c>1 cet ordre de gnralit ou de simplicit dt]m9ant ncessairem5t l'en*anem5t rationnel des div]ses sci5ces fondam5tales p> la dp5dance successive de leurs phnomnes1 fixe a9si leur degr de facilit4 ,en mme temps1 p> une considration auxiliaire que je crois important de not] ici1 et qui conv]ge exactem5t avec t\tes les prcd5tes1 les phnomnes les plus gnraux ou les plus simples se tr\vant ncessairem5t les plus trang]s l'homme1 doiv5t1 p> cela mme1 tre tudis dans une disposition d'esprit plus calme1 plus rationnelle1 ce qui con/itue un n\veau motif p\r que les sci5ces correspondantes se dvelopp5t plus rapidem5t4 ,ayant a9si indiqu la rgle fondam5tale qui doit prsid] la classification des sci5ces1 je puis pass] immdiatem5t la con/ruction de l'*elle encyclopdique d'aprs laquelle le plan de ce c\rs doit tre dt]m91 et que *acun p\rra aism5t apprci] l'aide des considrations prcd5tes4 ,une premire contemplation de l'ensemble des phnomnes naturels n\s porte les divis] d'abord1 con=mm5t au pr9cipe que n\s v5ons d'tablir1 en deux gr&es classes pr9cipales1 la premire compr5ant t\s les phnomnes des corps bruts1 la seconde t\s ceux des corps organiss4 ,ces d]ni]s sont videmm5t1 en effet1 plus compliqus et plus p>ticuli]s que les autres2 ils dp5d5t des prcd5s1 qui1 au contraire1 n'en dp5d5t nullem5t4 ,de l la ncessit de n'tudi] les phnomnes physiologiques qu'aprs ceux des corps inorganiques4 ,de quelque manire qu'on explique les diffr5ces de ces deux sortes d'tres1 il e/ c]ta9 qu'on obs]ve dans les corps vivans t\s les phnomnes1 soit mcaniques1 soit *imiques1 qui ont lieu dans les corps bruts1 plus un ordre t\t spcial de phnomnes1 les phnomnes vitaux proprem5t dits1 ceux qui ti5n5t l'organisation4 ,il ne s'agit pas ici d'exam9] si les deux classes de corps sont ou ne sont pas de la mme nature1 "q insoluble qu'on agite encore beauc\p trop de nos j\rs1 p> un re/e d'influ5ce des habitudes ?ologiques et mtaphysiques2 une telle "q n'e/ pas du doma9e de la philosophie positive1 qui fait =mellem5t pr(ession d'ignor] absolum5t la nature intime d'un corps quelconque4 ,mais il n'e/ nullem5t indisp5sable de considr] les corps bruts et les corps vivans comme tant d'une nature ess5tiellem5t diffr5te p\r reconnatre la ncessit de la sp>ation de leurs tudes4 ,sans d\te1 les ides ne sont pas encore suffisamm5t fixes sur la manire gnrale de concevoir les phnomnes des corps vivans4 ,mais1 quelque p>ti qu'on puisse pr5dre cet g>d p> suite des progrs ultrieurs de la philosophie naturelle1 la classification que n\s tablissons n'en saurait tre aucunem5t affecte4 ,en effet1 reg>dt-on comme dmontr1 ce que p]met pe9e d'entrevoir l'tat prs5t de la physiologie1 que les phnomnes physiologiques sont t\j\rs de simples phnomnes mcaniques1 lectriques et *imiques1 modifis p> la /ructure et la composition propres aux corps organiss1 notre division fondam5tale n'en subsi/]ait pas mo9s4 ,c> il re/e t\j\rs vrai1 mme dans cette hypo?se1 que les phnomnes gnraux doiv5t tre tudis avant de procd] l'exam5 des modifications spciales qu'ils pr\v5t dans c]ta9s tres de l'univ]s1 p> suite d'une disposition p>ticulire des molcules4 ,a9si1 la division1 qui e/ auj\rd'hui fonde dans la plup>t des esprits clairs sur la div]sit des lois1 e/ de nature se ma9t5ir indf9im5t cause de la subord9ation des phnomnes et p> suite des tudes1 quelque rappro*em5t qu'on puisse jamais tablir solidem5t entre les deux classes de corps4 ,ce n'e/ pas ici le lieu de dvelopp]1 dans ses div]ses p>ties ess5tielles1 la comp>aison gnrale entre les corps bruts et les corps vivans1 qui s]a le sujet spcial d'un exam5 appr(ondi dans la section physiologique de ce c\rs4 ,il suffit1 quant prs5t1 d'avoir reconnu1 en pr9cipe1 la ncessit logique de sp>] la sci5ce relative aux premi]s de celle relative aux seconds1 et de ne procd] l'tude de la physique organique qu'aprs avoir tabli les lois gnrales de la physique inorganique4 ,passons ma9t5ant la dt]m9ation de la s\s-division pr9cipale dont e/ susceptible1 d'aprs la mme rgle1 *acune de ces deux gr&es moitis de la philosophie naturelle4 ,p\r la physique inorganique1 n\s voyons d'abord1 en n\s con=mant t\j\rs l'ordre de gnralit et de dp5dance des phnomnes1 qu'elle doit tre p>tage en deux sections di/9ctes1 suivant qu'elle considre les phnomnes gnraux de l'univ]s1 ou1 en p>ticuli]1 ceux que prs5t5t les corps t]re/res4 ,d'o la physique cle/e1 ou l'a/ronomie1 soit gomtrique1 soit mcanique2 et la physique t]re/re4 ,la ncessit de cette division e/ exactem5t semblable celle de la prcd5te4 ,les phnomnes a/ronomiques tant les plus gnraux1 les plus simples1 les plus ab/raits de t\s1 c'e/ videmm5t p> leur tude que doit comm5c] la philosophie naturelle1 puisque les lois auxquelles ils sont assujtis influ5t sur celles de t\s les autres phnomnes1 dont elles-mmes sont1 au contraire1 ess5tiellem5t indp5dantes4 ,dans t\s les phnomnes de la physique t]re/re1 on obs]ve d'abord les effets gnraux de la gravitation univ]selle1 plus quelques autres effets qui leur sont propres1 et qui modifi5t les premi]s4 ,il s'ensuit que1 lorsqu'on analyse le phnomne t]re/re le plus simple1 non-seulem5t en pr5ant un phnomne *imique1 mais en *oisissant mme un phnomne purem5t mcanique1 on le tr\ve con/amm5t plus compos que le phnomne cle/e le plus compliqu4 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 que le simple m\vem5t d'un corps pesant1 mme qu& il ne s'agit que d'un solide1 prs5te rellem5t1 lorsqu'on veut t5ir compte de t\tes les circon/ances dt]m9antes1 un sujet de re*]*es plus compliqu que la "q a/ronomique la plus difficile4 ,une telle considration montre clairem5t combi5 il e/ indisp5sable de sp>] nettem5t la physique cle/e et la physique t]re/re1 et de ne procd] l'tude de la seconde qu'aprs celle de la premire1 qui en e/ la base rationnelle4 ,la physique t]re/re1 son t\r1 se s\s-divise1 d'aprs le mme pr9cipe1 en deux portions trs-di/9ctes1 selon qu'elle envisage les corps s\s le po9t de vue mcanique1 ou s\s le po9t de vue *imique4 ,d'o la physique proprem5t dite1 et la *imie4 ,celle-ci1 p\r tre conue d'une manire vraim5t m?odique1 suppose videmm5t la connaissance pralable de l'autre4 ,c>1 t\s les phnomnes *imiques sont ncessairem5t plus compliqus que les phnomnes physiques2 ils en dp5d5t sans influ] sur eux4 ,*acun sait1 en effet1 que t\te action *imique e/ s\mise d'abord l'influ5ce de la pesanteur1 de la *aleur1 de l'lectricit1 etc41 et prs5te1 en outre1 quelque *ose de propre qui modifie l'action des ag5s prcd5s4 ,cette considration1 qui montre videmm5t la *imie comme ne p\vant m>*] qu'aprs la physique1 la prs5te en mme temps comme une sci5ce di/9cte4 ,c>1 quelque op9ion qu'on adopte relativem5t aux aff9its *imiques1 et qu& mme on ne v]rait en elles1 a9si qu'on peut le concevoir1 que des modifications de la gravitation gnrale produites p> la figure et p> la disposition mutuelle des atmes1 il demeur]ait inconte/able que la ncessit d'avoir cont9uellem5t g>d ces conditions spciales ne p]mettrait po9t de trait] la *imie comme un simple app5dice de la physique4 ,on s]ait donc oblig1 dans t\s les cas1 ne ft-ce que p\r la facilit de l'tude1 de ma9t5ir la division et l'en*anem5t que l'on reg>de auj\rd'hui comme t5ant l'htrognx des phnomnes4 ,telle e/ donc la di/ribution rationnelle des pr9cipales bran*es de la sci5ce gnrale des corps bruts4 ,une division analogue s'tablit1 de la mme manire1 dans la sci5ce gnrale des corps organiss4 ,t\s les tres vivans prs5t5t deux ordres de phnomnes ess5tiellem5t di/9cts1 ceux relatifs l'individu1 et ceux qui conc]n5t l'espce1 surt\t qu& elle e/ sociable4 ,c'e/ pr9cipalem5t p> rapport l'homme1 que cette di/9ction e/ fondam5tale4 ,le d]ni] ordre de phnomnes e/ videmm5t plus compliqu et plus p>ticuli] que le premi]2 il en dp5d sans influ] sur lui4 ,de l1 deux gr&es sections dans la physique organique1 la physiologie proprem5t dite1 et la physique sociale1 qui e/ fonde sur la premire4 ,dans t\s les phnomnes sociaux1 on obs]ve d'abord l'influ5ce des lois physiologiques de l'individu1 et1 en outre1 quelque *ose de p>ticuli] qui en modifie les effets1 et qui ti5t l'action des individus les uns sur les autres1 s+ulirem5t complique1 dans l'espce huma9e1 p> l'action de *aque gnration sur celle qui la suit4 ,il e/ donc vid5t que1 p\r tudi] conv5ablem5t les phnomnes sociaux1 il faut d'abord p>tir d'une connaissance appr(ondie des lois relatives la vie individuelle4 ,d'un autre ct1 cette subord9ation ncessaire entre les deux tudes ne prescrit nullem5t1 comme quelques physiologi/es du premi] ordre ont t ports le croire1 de voir dans la physique sociale un simple app5dice de la physiologie4 ,quoique les phnomnes soi5t c]ta9em5t homognes1 ils ne sont po9t id5tiques1 et la sp>ation des deux sci5ces e/ d'une importance vraim5t fondam5tale4 ,c>1 il s]ait impossible de trait] l'tude collective de l'espce comme une pure dduction de l'tude de l'individu1 puisque les conditions sociales1 qui modifi5t l'action des lois physiologiques1 sont prcism5t alors la considration la plus ess5tielle4 ,a9si1 la physique sociale doit tre fonde sur un corps d'obs]vations directes qui lui soit propre1 t\t en ayant g>d1 comme il convi5t1 son intime relation ncessaire avec la physiologie proprem5t dite4 ,on p\rrait aism5t tablir une symtrie p>faite entre la division de la physique organique et celle ci-dessus expose p\r la physique inorganique1 en rappelant la di/9ction vulgaire de la physiologie proprem5t dite en vgtale et animale4 ,il s]ait facile1 en effet1 de ratta*] cette s\s-division au pr9cipe de classification que n\s avons con/amm5t suivi1 puisque les phnomnes de la vie animale se prs5t5t1 en gnral du mo9s1 comme plus compliqus et plus spciaux que ceux de la vie vgtale4 ,mais la re*]*e de cette symtrie prcise aurait quelque *ose de puril1 si elle entranait mconnatre ou exagr] les analogies relles ou les diffr5ces effectives des phnomnes4 ,or1 il e/ c]ta9 que la di/9ction entre la physiologie vgtale et la physiologie animale1 qui a une gr&e importance dans ce que j'ai appel la physique concrte1 n'en a presque aucune dans la physique ab/raite1 la seule dont il s'agisse ici4 ,la connaissance des lois gnrales de la vie1 qui doit tre1 nos yeux1 le vritable objet de la physiologie1 exige la considration simultane de t\te la srie organique sans di/9ction de vgtaux et d'animaux1 di/9ction qui1 d'ailleurs1 s'efface de j\r en j\r1 mesure que les phnomnes sont tudis d'une manire plus appr(ondie4 ,n\s p]si/]ons donc ne considr] qu'une seule division dans la physique organique1 quoique n\s ayons cru devoir en tablir deux successives dans la physique inorganique4 ,en rsultat de cette discussion1 la philosophie positive se tr\ve donc naturellem5t p>tage en c9q sci5ces fondam5tales1 dont la succession e/ dt]m9e p> une subord9ation ncessaire et inv>iable1 fonde1 indp5damm5t de t\te op9ion hypo?tique1 sur la simple comp>aison appr(ondie des phnomnes correspondans3 ce sont l'a/ronomie1 la physique1 la *imie1 la physiologie1 et enf9 la physique sociale4 ,la premire considre les phnomnes les plus gnraux1 les plus simples1 les plus ab/raits et les plus loigns de l'humanit2 ils influ5t sur t\s les autres1 sans tre influ5cs p> eux4 ,les phnomnes considrs p> la d]nire sont1 au contraire1 les plus p>ticuli]s1 les plus compliqus1 les plus concrets et les plus directem5t intressans p\r l'homme2 ils dp5d5t1 plus ou mo9s1 de t\s les prcd5s1 sans ex]c] sur eux aucune influ5ce4 ,entre ces deux extrmes1 les degrs de spcialit1 de complication et de p]sonnalit des phnomnes vont graduellem5t en augm5tant1 a9si que leur dp5dance successive4 ,telle e/ l'intime relation gnrale que la vritable obs]vation philosophique1 conv5ablem5t employe1 et non de va9es di/9ctions arbitraires1 n\s conduit tablir entre les div]ses sci5ces fondam5tales4 ,tel doit donc tre le plan de ce c\rs4 ,je n'ai pu ici qu'esquiss] l'exposition des considrations pr9cipales sur lesquelles repose cette classification4 ,p\r la concevoir compltem5t1 il faudrait ma9t5ant1 aprs l'avoir envisage d'un po9t de vue gnral1 l'exam9] relativem5t *aque sci5ce fondam5tale en p>ticuli]4 ,c'e/ ce que n\s f]ons soigneusem5t en comm5ant l'tude spciale de *aque p>tie de ce c\rs4 ,la con/ruction de cette *elle encyclopdique1 reprise a9si successivem5t en p>tant de *acune des c9q gr&es sci5ces1 lui f]a acqurir plus d'exactitude1 et surt\t mettra ple9em5t en vid5ce sa solidit4 ,ces avantages s]ont d'autant plus s5sibles que n\s v]rons alors la di/ribution intrieure de *aque sci5ce s'tablir naturellem5t d'aprs le mme pr9cipe1 ce qui prs5t]a t\t le sy/me des connaissances huma9es dcompos1 jusque dans ses dtails secondaires1 d'aprs une considration unique con/amm5t suivie1 celle du degr d'ab/raction plus ou mo9s gr& des conceptions correspondantes4 ,mais des travaux de ce g5re1 outre qu'ils n\s entran]ai5t ma9t5ant beauc\p trop lo91 s]ai5t c]ta9em5t dplacs dans cette leon1 o notre esprit doit se ma9t5ir au po9t de vue le plus gnral de la philosophie positive4 ,nanmo9s1 p\r faire apprci] aussi compltem5t que possible1 ds ce mom5t1 l'importance de cette hir>*ie fondam5tale1 dont je f]ai1 dans t\te la suite de ce c\rs1 des applications cont9uelles1 je dois signal] rapidem5t ici ses proprits gnrales les plus ess5tielles4 ,il faut d'abord rem>qu]1 comme une vrification trs-dcisive de l'exactitude de cette classification1 sa con=mit ess5tielle avec la coord9ation1 en quelque sorte spontane1 qui se tr\ve en effet implicitem5t admise p> les savans livrs l'tude des div]ses bran*es de la philosophie naturelle4 ,c'e/ une condition ord9airem5t =t nglige p> les con/ructeurs d'*elles encyclopdiques1 que de prs5t] comme di/9ctes les sci5ces que la m>*e effective de l'esprit huma9 a conduit1 sans desse9 prmdit1 cultiv] sp>m5t1 et d'tablir entr'elles une subord9ation con=me aux relations positives que manife/e leur dveloppem5t j\rnali]4 ,un tel accord e/ nanmo9s videmm5t le plus sr indice d'une bonne classification2 c>1 les divisions qui se sont introduites spontanm5t dans le sy/me sci5tifique n'ont pu tre dt]m9es que p> le s5tim5t long-temps pr\v des vritables beso9s de l'esprit huma91 sans qu'on ait pu tre g> p> des gnralits vicieuses4 ,mais1 quoique la classification ci-dessus propose remplisse entirem5t cette condition1 ce qu'il s]ait sup]flu de pr\v]1 il n'en faudrait pas conclure que les habitudes gnralem5t tablies auj\rd'hui p> expri5ce *ez les savans1 r5drai5t inutile le travail encyclopdique que n\s v5ons d'excut]4 ,elles ont seulem5t r5du possible une telle opration1 qui prs5te la diffr5ce fondam5tale d'une conception rationnelle une classification purem5t empirique4 ,il s'en faut d'ailleurs que cette classification soit ord9airem5t conue et surt\t suivie avec t\te la prcision ncessaire1 et que son importance soit conv5ablem5t apprcie2 il suffirait1 p\r s'en conva9cre1 de considr] les graves infractions qui sont commises t\s les j\rs contre cette loi encyclopdique1 au gr& prjudice de l'esprit huma94 ,un second c>actre trs-ess5tiel de notre classification1 c'e/ d'tre ncessairem5t con=me l'ordre effectif du dveloppem5t de la philosophie naturelle4 ,c'e/ ce que vrifie t\t ce qu'on sait de l'hi/oire des sci5ces1 p>ticulirem5t dans les deux d]ni]s sicles1 o n\s p\vons suivre leur m>*e avec plus d'exactitude4 ,on conoit1 en effet1 que l'tude rationnelle de *aque sci5ce fondam5tale exigeant la culture pralable de t\tes celles qui la prcd5t dans notre hir>*ie encyclopdique1 n'a pu faire de progrs rels et pr5dre son vritable c>actre1 qu'aprs un gr& dveloppem5t des sci5ces antrieures relatives des phnomnes plus gnraux1 plus ab/raits1 mo9s compliqus1 et indp5dans des autres4 ,c'e/ donc dans cet ordre que la progression1 quoique simultane1 a d avoir lieu4 ,cette considration me semble d'une telle importance1 que je ne crois pas possible de compr5dre rellem5t1 sans y avoir g>d1 l'hi/oire de l'esprit huma94 ,la loi gnrale qui dom9e t\te cette hi/oire1 et que j'ai expose dans la leon prcd5te1 ne peut tre conv5ablem5t ent5due1 si on ne la comb9e po9t dans l'application avec la =mule encyclopdique que n\s v5ons d'tablir4 ,c>1 c'e/ suivant l'ordre nonc p> cette =mule que les diffr5tes ?ories huma9es ont atte9t successivem5t1 d'abord l'tat ?ologique1 ensuite l'tat mtaphysique1 et enf9 l'tat positif4 ,si l'on ne ti5t pas compte dans l'usage de la loi de cette progression ncessaire1 on r5contr]a s\v5t des difficults qui p>atront insurmontables1 c> il e/ clair que l'tat ?ologique ou mtaphysique de c]ta9es ?ories fondam5tales a d temporairem5t concid] et a quelquefois concid en effet avec l'tat positif de celles qui leur sont antrieures dans notre sy/me encyclopdique1 ce qui t5d jet] sur la vrification de la loi gnrale une obscurit qu'on ne peut dissip] que p> la classification prcd5te4 ,en troisime lieu1 cette classification prs5te la proprit trs-rem>quable de m>qu] exactem5t la p]fection relative des diffr5tes sci5ces1 laquelle consi/e ess5tiellem5t dans le degr de prcision des connaissances1 et dans leur coord9ation plus ou mo9s intime4 ,il e/ ais de s5tir en effet que plus des phnomnes sont gnraux1 simples et ab/raits1 mo9s ils dp5d5t des autres1 et plus les connaissances qui s'y rapport5t peuv5t tre prcises1 en mme temps que leur coord9ation peut tre plus complte4 ,a9si1 les phnomnes organiques ne comport5t qu'une tude la fois mo9s exacte et mo9s sy/matique que les phnomnes des corps bruts4 ,de mme1 dans la physique inorganique1 les phnomnes cle/es1 vu leur plus gr&e gnralit et leur indp5dance de t\s les autres1 ont donn lieu une sci5ce bi5 plus prcise et beauc\p plus lie que celle des phnomnes t]re/res4 ,cette obs]vation1 qui e/ si frappante dans l'tude effective des sci5ces1 et qui a s\v5t donn lieu des esprances *imriques ou d'inju/es comp>aisons1 se tr\ve donc compltem5t explique p> l'ordre encyclopdique que j'ai tabli4 ,j'aurai naturellem5t occasion de lui donn] t\te son ext5sion dans la leon pro*a9e1 en montrant que la possibilit d'appliqu] l'tude des div]s phnomnes l'analyse ma?matique1 ce qui e/ le moy5 de procur] cette tude le plus haut degr possible de prcision et de coord9ation1 se tr\ve exactem5t dt]m9e p> le rang qu'occup5t ces phnomnes dans mon *elle encyclopdique4 ,je ne dois po9t pass] une autre considration1 sans mettre le lecteur en g>de ce sujet contre une erreur =t grave1 et qui1 bi5 que trs-grossire1 e/ encore extrmem5t commune4 ,elle consi/e confondre le degr de prcision que comport5t nos diffr5tes connaissances avec leur degr de c]titude1 d'o e/ rsult le prjug trs-dang]eux que1 le premi] tant videmm5t =t 9gal1 il en doit tre a9si du second4 ,aussi p>le-t-on s\v5t encore1 quoique mo9s que jadis1 de l'9gale c]titude des div]ses sci5ces1 ce qui t5d directem5t dc\rag] la culture des sci5ces les plus difficiles4 ,il e/ clair1 nanmo9s1 que la prcision et la c]titude sont deux qualits en elles-mmes =t diffr5tes4 ,une proposition t\t--fait absurde peut tre extrmem5t prcise1 comme si l'on disait1 p> exemple1 que la somme des angles d'un triangle e/ gale trois angles droits2 et une proposition trs-c]ta9e peut ne comport] qu'une prcision =t mdiocre1 comme lorsqu'on affirme1 p> exemple1 que t\t homme m\rra4 ,si1 d'aprs l'explication prcd5te1 les div]ses sci5ces doiv5t ncessairem5t prs5t] une prcision trs-9gale1 il n'en e/ nullem5t a9si de leur c]titude4 ,*acune peut (frir des rsultats aussi c]ta9s que ceux de t\te autre1 p\rvu qu'elle sa*e r5f]m] ses conclusions dans le degr de prcision que comport5t les phnomnes correspondans1 condition qui peut n'tre pas t\j\rs trs-facile remplir4 ,dans une sci5ce quelconque1 t\t ce qui e/ simplem5t conjectural n'e/ que plus ou mo9s probable1 et ce n'e/ pas l ce qui compose son doma9e ess5tiel2 t\t ce qui e/ positif1 c'e/--dire1 fond sur des faits bi5 con/ats1 e/ c]ta93 il n'y a pas de di/9ction cet g>d4 ,enf91 la proprit la plus intressante de notre =mule encyclopdique1 cause de l'importance et de la multiplicit des applications immdiates qu'on en peut faire1 c'e/ de dt]m9] directem5t le vritable plan gnral d'une ducation sci5tifique entirem5t rationnelle4 ,c'e/ ce qui rsulte sur le *amp de la seule composition de la =mule4 ,il e/ s5sible1 en effet1 qu'avant d'entrepr5dre l'tude m?odique de quelqu'une des sci5ces fondam5tales1 il faut ncessairem5t s'tre prp> p> l'exam5 de celles relatives aux phnomnes antrieurs dans notre *elle encyclopdique1 puisque ceux-ci influ5t t\j\rs d'une manire prpondrante sur ceux dont on se propose de connatre les lois4 ,cette considration e/ tellem5t frappante1 que1 malgr son extrme importance pratique1 je n'ai pas beso9 d'insi/] davantage en ce mom5t sur un pr9cipe qui1 plus t>d1 se reproduira d'ailleurs 9vitablem5t1 p> rapport *aque sci5ce fondam5tale4 ,je me born]ai seulem5t faire obs]v] que1 s'il e/ m9emm5t applicable l'ducation gnrale1 il l'e/ aussi p>ticulirem5t l'ducation spciale des savans4 ,a9si1 les physici5s qui n'ont pas d'abord tudi l'a/ronomie1 au mo9s s\s un po9t de vue gnral2 les *imi/es qui1 avant de s'occup] de leur sci5ce propre1 n'ont pas tudi pralablem5t l'a/ronomie et ensuite la physique2 les physiologi/es qui ne se sont pas prp>s leurs travaux spciaux p> une tude prlim9aire de l'a/ronomie1 de la physique et de la *imie1 ont manqu l'une des conditions fondam5tales de leur dveloppem5t intellectuel4 ,il en e/ encore plus videmm5t de mme p\r les esprits qui veul5t se livr] l'tude positive des phnomnes sociaux1 sans avoir d'abord acquis une connaissance gnrale de l'a/ronomie1 de la physique1 de la *imie et de la physiologie4 ,comme de telles conditions sont bi5 r>em5t remplies de nos j\rs1 et qu'aucune in/itution rgulire n'e/ organise p\r les accomplir1 n\s p\vons dire qu'il n'exi/e pas encore p\r les savans1 d'ducation vraim5t rationnelle4 ,cette considration e/1 mes yeux1 d'une si gr&e importance1 que je ne cra9s pas d'attribu] en p>tie ce vice de nos ducations actuelles1 l'tat d'imp]fection extrme o n\s voyons encore les sci5ces les plus difficiles1 tat vritablem5t infrieur ce que prescrit en effet la nature plus complique des phnomnes correspondans4 ,relativem5t l'ducation gnrale1 cette condition e/ encore bi5 plus ncessaire4 ,je la crois tellem5t indisp5sable1 que je reg>de l'enseignem5t sci5tifique comme incapable de ralis] les rsultats gnraux les plus ess5tiels qu'il e/ de/9 produire dans la socit p\r la rnovation du sy/me intellectuel1 si les div]ses bran*es pr9cipales de la philosophie naturelle ne sont pas tudies dans l'ordre conv5able4 ,n'oublions pas que1 dans presque t\tes les intellig5ces1 mme les plus leves1 les ides re/5t ord9airem5t en*anes suivant l'ordre de leur acquisition premire2 et que1 p> consqu5t1 c'e/ un mal le plus s\v5t irrmdiable que de n'avoir pas comm5c p> le comm5cem5t4 ,*aque sicle ne compte qu'un bi5 petit nombre de p5seurs capables1 l'poque de leur virilit1 comme ,bacon1 ,desc>tes et ,lebnitz1 de faire vritablem5t table rase1 p\r recon/ruire de fond en comble le sy/me enti] de leurs ides acquises4 ,l'importance de notre loi encyclopdique p\r s]vir de base l'ducation sci5tifique1 ne peut tre conv5ablem5t apprcie qu'en la considrant aussi p> rapport la m?ode1 au lieu de l'envisag] seulem5t1 comme n\s v5ons de le faire1 relativem5t la doctr9e4 ,s\s ce n\veau po9t de vue1 une excution conv5able du plan gnral d'tudes que n\s avons dt]m9 doit avoir p\r rsultat ncessaire de n\s procur] une connaissance p>faite de la m?ode positive1 qui ne p\rrait tre obt5ue d'aucune autre manire4 ,en effet1 les phnomnes naturels ayant t classs de telle sorte1 que ceux qui sont rellem5t homognes re/5t t\j\rs compris dans une mme tude1 t&is que ceux qui ont t affects des tudes diffr5tes sont effectivem5t htrognes1 il doit ncessairem5t en rsult] que la m?ode positive gnrale s]a con/amm5t modifie d'une manire uni=me dans l't5due d'une mme sci5ce fondam5tale1 et qu'elle pr\v]a sans cesse des modifications diffr5tes et de plus en plus composes1 en passant d'une sci5ce une autre4 ,n\s aurons donc a9si la c]titude de la considr] dans t\tes les v>its relles dont elle e/ susceptible1 ce qui n'aurait pu avoir lieu1 si n\s avions adopt une =mule encyclopdique qui ne remplt pas les conditions ess5tielles poses ci-dessus4 ,cette n\velle considration e/ d'une importance vraim5t fondam5tale2 c>1 si n\s avons vu en gnral1 dans la d]nire leon1 qu'il e/ impossible de connatre la m?ode positive1 qu& on veut l'tudi] sp>m5t de son emploi1 n\s devons aj\t] auj\rd'hui qu'on ne peut s'en =m] une ide nette et exacte qu'en tudiant successivem5t1 et dans l'ordre conv5able1 son application t\tes les div]ses classes pr9cipales des phnomnes naturels4 ,une seule sci5ce ne suffirait po9t p\r atte9dre ce b1 mme en la *oisissant le plus judicieusem5t possible4 ,c>1 quoique la m?ode soit ess5tiellem5t id5tique dans t\tes1 *aque sci5ce dveloppe spcialem5t tel ou tel de ses procds c>actri/iques1 dont l'influ5ce1 trop peu prononce dans les autres sci5ces1 demeur]ait inap]ue4 ,a9si1 p> exemple1 dans c]ta9es bran*es de la philosophie1 c'e/ l'obs]vation proprem5t dite2 dans d'autres c'e/ l'expri5ce1 et telle ou telle nature d'expri5ces1 qui con/itue le pr9cipal moy5 d'exploration4 ,de mme1 tel prcepte gnral1 qui fait p>tie intgrante de la m?ode1 a t f\rni primitivem5t p> une c]ta9e sci5ce2 et1 bi5 qu'il ait pu tre ensuite transport dans d'autres1 c'e/ sa s\rce qu'il faut l'tudi] p\r le bi5 connatre2 comme1 p> exemple1 la ?orie des classifications4 ,en se bornant l'tude d'une sci5ce unique1 il faudrait sans d\te *oisir la plus p>faite1 p\r avoir un s5tim5t plus pr(ond de la m?ode positive4 ,or1 la plus p>faite tant en mme temps la plus simple1 on n'aurait a9si qu'une connaissance bi5 incomplte de la m?ode1 puisque on n'appr5drait pas quelles modifications ess5tielles elle doit subir p\r s'adapt] des phnomnes plus compliqus4 ,*aque sci5ce fondam5tale a donc1 s\s ce rapport1 des avantages qui lui sont propres2 ce qui pr\ve clairem5t la ncessit de les considr] t\tes1 s\s pe9e de ne se =m] que des conceptions trop troites et des habitudes insuffisantes4 ,cette considration devant se reproduire frquemm5t dans la suite1 il e/ inutile de la dvelopp] davantage en ce mom5t4 ,je dois nanmo9s ici1 t\j\rs s\s le rapport de la m?ode1 insi/] spcialem5t sur le beso91 p\r la bi5 connatre1 non-seulem5t d'tudi] philosophiquem5t t\tes les div]ses sci5ces fondam5tales1 mais de les tudi] suivant l'ordre encyclopdique tabli dans cette leon4 ,que peut produire de rationnel1 mo9s d'une extrme supriorit naturelle1 un esprit qui s'occupe de prime abord de l'tude des phnomnes les plus compliqus1 sans avoir pralablem5t appris connatre1 p> l'exam5 des phnomnes les plus simples1 ce que c'e/ qu'une loi1 ce que c'e/ qu'obs]v]1 ce que c'e/ qu'une conception positive1 ce que c'e/ mme qu'un raisonnem5t suivi8 ,telle e/ p\rtant encore auj\rd'hui la m>*e ord9aire de nos jeunes physiologi/es1 qui abord5t immdiatem5t l'tude des corps vivans1 sans avoir le plus s\v5t t prp>s autrem5t que p> une ducation prlim9aire rduite l'tude d'une ou deux langues mortes1 et n'ayant1 t\t au plus1 qu'une connaissance trs-sup]ficielle de la physique et de la *imie1 connaissance presque nulle s\s le rapport de la m?ode1 puisqu'elle n'a pas t obt5ue communm5t d'une manire rationnelle1 et en p>tant du vritable po9t de d"p de la philosophie naturelle4 ,on conoit combi5 il importe de r=m] un plan d'tudes aussi vicieux4 ,de mme1 relativem5t aux phnomnes sociaux1 qui sont encore plus compliqus1 ne s]ait-ce po9t avoir fait un gr& pas v]s le ret\r des socits mod]nes un tat vraim5t normal1 que d'avoir reconnu la ncessit logique de ne procd] l'tude de ces phnomnes1 qu'aprs avoir dress successivem5t l'organe intellectuel p> l'exam5 philosophique appr(ondi de t\s les phnomnes antrieurs8 ,on peut mme dire avec prcision que c'e/ l t\te la difficult pr9cipale4 ,c>1 il e/ peu de bons esprits qui ne soi5t conva9cus auj\rd'hui qu'il faut tudi] les phnomnes sociaux d'aprs la m?ode positive4 ,seulem5t1 ceux qui s'occup5t de cette tude1 ne sa*ant pas et ne p\vant pas savoir exactem5t en quoi consi/e cette m?ode1 faute de l'avoir exam9e dans ses applications antrieures1 cette maxime e/ jusqu' prs5t demeure /rile p\r la rnovation des ?ories sociales1 qui ne sont pas encore sorties de l'tat ?ologique ou de l'tat mtaphysique1 malgr les ef=ts des prt5dus r=mateurs positifs4 ,cette considration s]a1 plus t>d1 spcialem5t dveloppe2 je dois ici me born] l'indiqu]1 uniquem5t p\r faire ap]cevoir t\te la porte de la conception encyclopdique que j'ai propose dans cette leon4 ,tels sont donc les quatre po9ts de vue pr9cipaux1 s\s lesquels j'ai d m'atta*] faire ressortir l'importance gnrale de la classification rationnelle et positive1 tablie ci-dessus p\r les sci5ces fondam5tales4 ,af9 de complt] l'exposition gnrale du plan de ce c\rs1 il me re/e ma9t5ant considr] une lacune imm5se et capitale1 que j'ai laisse desse9 dans ma =mule encyclopdique1 et que le lecteur a sans d\te dj rem>que4 ,en effet1 n\s n'avons po9t m>qu dans notre sy/me sci5tifique le rang de la sci5ce ma?matique4 ,le motif de cette omission volontaire e/ dans l'importance mme de cette sci5ce1 si va/e et si fondam5tale4 ,c>1 la leon pro*a9e s]a entirem5t consacre la dt]m9ation exacte de son vritable c>actre gnral1 et p> suite la fixation prcise de son rang encyclopdique4 ,mais p\r ne pas laiss] incomplet1 s\s un rapport aussi capital1 le gr& tableau que j'ai t* d'esquiss] dans cette leon1 je dois indiqu] ici sommairem5t1 p> anticipation1 les rsultats gnraux de l'exam5 que n\s entrepr5drons dans la leon suivante4 ,dans l'tat actuel du dveloppem5t de nos connaissances positives1 il convi5t1 je crois1 de reg>d] la sci5ce ma?matique1 mo9s comme une p>tie con/ituante de la philosophie naturelle proprem5t dite1 que comme tant1 depuis ,desc>tes et ,newton1 la vraie base fondam5tale de t\te cette philosophie1 quoique1 p>l] exactem5t1 elle soit la fois l'une et l'autre4 ,auj\rd'hui1 en effet1 la sci5ce ma?matique e/ bi5 mo9s importante p> les connaissances1 trs-relles et trs-prcieuses nanmo9s1 qui la compos5t directem5t1 que comme con/ituant l'in/rum5t le plus puissant que l'esprit huma9 puisse employ] dans la re*]*e des lois des phnomnes naturels4 ,p\r prs5t] cet g>d une conception p>faitem5t nette et rig\reusem5t exacte1 n\s v]rons qu'il faut divis] la sci5ce ma?matique en deux gr&es sci5ces1 dont le c>actre e/ ess5tiellem5t di/9ct3 la ma?matique ab/raite1 ou le calcul1 en pr5ant ce mot dans sa plus gr&e ext5sion1 et la ma?matique concrte1 qui se compose1 d'une "p de la gomtrie gnrale1 d'une autre "p de la mcanique rationnelle4 ,la p>tie concrte e/ ncessairem5t fonde sur la p>tie ab/raite1 et devi5t son t\r la base directe de t\te la philosophie naturelle1 en considrant1 autant que possible1 t\s les phnomnes de l'univ]s comme gomtriques ou comme mcaniques4 ,la p>tie ab/raite e/ la seule qui soit purem5t in/rum5tale1 n'tant autre *ose qu'une imm5se ext5sion admirable de la logique naturelle un c]ta9 ordre de dductions4 ,la gomtrie et la mcanique doiv5t1 au contraire1 tre envisages comme de vritables sci5ces naturelles1 fondes a9si que t\tes les autres1 sur l'obs]vation1 quoique1 p> l'extrme simplicit de leurs phnomnes1 elles comport5t un degr inf9im5t plus p>fait de sy/matisation1 qui a pu quelquefois faire mconnatre le c>actre exprim5tal de leurs premi]s pr9cipes4 ,mais ces deux sci5ces physiques ont cela de p>ticuli]1 que1 dans l'tat prs5t de l'esprit huma91 elles sont dj et s]ont t\j\rs davantage employes comme m?ode1 beauc\p plus que comme doctr9e directe4 ,il e/1 du re/e1 vid5t qu'en plaant a9si la sci5ce ma?matique la tte de la philosophie positive1 n\s ne faisons qu't5dre davantage l'application de ce mme pr9cipe de classification1 fond sur la dp5dance successive des sci5ces en rsultat du degr d'ab/raction de leurs phnomnes respectifs1 qui n\s a f\rni la srie encyclopdique1 tablie dans cette leon4 ,n\s ne faisons ma9t5ant que re/itu] cette srie son vritable premi] t]me1 dont l'importance propre exigeait un exam5 spcial plus dvelopp4 ,on voit1 en effet1 que les phnomnes gomtriques et mcaniques sont1 de t\s1 les plus gnraux1 les plus simples1 les plus ab/raits1 les plus irrductibles1 et les plus indp5dans de t\s les autres1 dont ils sont1 au contraire1 la base4 ,on conoit p>eillem5t que leur tude e/ un prlim9aire indisp5sable celle de t\s les autres ordres de phnomnes4 ,c'e/ donc la sci5ce ma?matique qui doit con/itu] le vritable po9t de d"p de t\te ducation sci5tifique rationnelle1 soit gnrale1 soit spciale1 ce qui explique l'usage univ]sel qui s'e/ tabli depuis long-temps ce sujet1 d'une manire empirique1 quoiqu'il n'ait eu primitivem5t d'autre cause que la plus gr&e anci5net relative de la sci5ce ma?matique4 ,je dois me born] en ce mom5t une indication trs-rapide de ces div]ses considrations1 qui vont tre l'objet spcial de la leon suivante4 ,n\s avons donc exactem5t dt]m9 dans cette leon1 non d'aprs de va9es spculations arbitraires1 mais en le reg>dant comme le sujet d'un vritable problme philosophique1 le plan rationnel qui doit n\s guid] con/amm5t dans l'tude de la philosophie positive4 ,en rsultat df9itif1 la ma?matique1 l'a/ronomie1 la physique1 la *imie1 la physiologie1 et la physique sociale2 telle e/ la =mule encyclopdique qui1 p>mi le trs-gr& nombre de classifications que comport5t les six sci5ces fondam5tales1 e/ seule logiquem5t con=me la hir>*ie naturelle et inv>iable des phnomnes4 ,je n'ai pas beso9 de rappel] l'importance de ce rsultat1 que le lecteur doit se r5dre m9emm5t famili]1 p\r en faire dans t\te l't5due de ce c\rs une application cont9uelle4 ,la consqu5ce f9ale de cette leon1 exprime s\s la =me la plus simple1 consi/e donc dans l'explication et la ju/ification du gr& tableau synoptique plac au comm5cem5t de cet ouvrage1 et dans la con/ruction duquel je me suis ef=c de suivre1 aussi rig\reusem5t que possible1 p\r la di/ribution intrieure de *aque sci5ce fondam5tale1 le mme pr9cipe de classification qui vi5t de n\s f\rnir la srie gnrale des sci5ces4 ,,troisi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations philosophiques sur l'ensemble de la sci5ce ma?matique4 ,en comm5ant entr] directem5t en matire p> l'tude philosophique de la premire des six sci5ces fondam5tales tablies dans la leon prcd5te1 n\s avons lieu de con/at] immdiatem5t l'importance de la philosophie positive p\r p]fectionn] le c>actre gnral de *aque sci5ce en p>ticuli]4 ,quoique la sci5ce ma?matique soit la plus anci5ne et la plus p>faite de t\tes1 l'ide gnrale qu'on doit s'en =m] n'e/ po9t encore nettem5t dt]m9e4 ,la df9ition de la sci5ce1 ses pr9cipales divisions1 sont demeures jusqu'ici vagues et inc]ta9es4 ,le nom multiple p> lequel on la dsigne habituellem5t suffirait mme seul p\r indiqu] le dfaut d'unit de son c>actre philosophique1 tel qu'il e/ conu communm5t4 la vrit1 c'e/ seulem5t au comm5cem5t du sicle d]ni] que les div]ses conceptions fondam5tales qui con/itu5t cette gr&e sci5ce ont pris *acune assez de dveloppem5t p\r que le vritable esprit de l'ensemble pt se manife/] clairem5t4 ,depuis cette poque1 l'att5tion des gomtres t trop ju/em5t et trop exclusivem5t absorbe p> le p]fectionnem5t spcial des diffr5tes bran*es1 et p> l'application capitale qu'ils en ont faite aux lois les plus importantes de l'univ]s1 p\r p\voir se dirig] conv5ablem5t sur le sy/me gnral de la sci5ce4 ,mais auj\rd'hui le progrs des spcialits n'e/ plus tellem5t rapide1 qu'il int]dise la contemplation de l'ensemble4 ,la ma?matique#b e/ ma9t5ant assez dveloppe1 soit en elle-mme1 soit quant ses applications les plus ess5tielles1 p\r tre p>v5ue cet tat de consi/ance1 dans lequel on doit s'ef=c] de coordonn] en un sy/me unique les div]ses p>ties de la sci5ce1 af9 de prp>] de n\veaux progrs4 ,on peut mme obs]v] que les d]ni]s p]fectionnem5s capitaux pr\vs p> la sci5ce ma?matique ont directem5t prp> cette importante opration philosophique1 en imprimant ses pr9cipales p>ties un c>actre d'unit qui n'exi/ait pas aup>avant2 tel e/ m9emm5t et hors de t\te comp>aison l'esprit des travaux de l'immortel auteur de la ,?orie des ,fonctions et de la ,mcanique analytique4 ,note #b3 ,j'emploi]ai s\v5t cette expression au s+uli]1 comme l'a propos ,condorcet1 af9 d'indiqu] avec plus d'n]gie l'esprit d'unit dans lequel je conois la sci5ce4 ,p\r se =m] une ju/e ide de l'objet de la sci5ce ma?matique considre dans son ensemble1 on peut d'abord p>tir de la df9ition vague et insignifiante qu'on en donne ord9airem5t1 dfaut de t\te autre1 en disant qu'elle e/ la sci5ce des gr&eurs1 ou1 ce qui e/ plus positif1 la sci5ce qui a p\r b la mesure des gr&eurs4 ,cet ap]u scola/ique a1 sans d\te1 s+ulirem5t beso9 d'acqurir plus de prcision et plus de pr(ondeur4 ,mais l'ide e/ ju/e au fond2 elle e/ mme suffisamm5t t5due1 lorsqu'on la conoit conv5ablem5t4 ,il importe d'ailleurs1 en p>eille matire1 qu& on le peut sans inconvni5t1 de s'appuy] sur des notions gnralem5t admises4 ,voyons donc comm5t1 en p>tant de cette grossire bau*e1 on peut s'lev] une vritable df9ition de la ma?matique1 une df9ition qui soit digne de correspondre l'importance1 l't5due et la difficult de la sci5ce4 ,la "q de mesur] une gr&eur ne prs5te p> elle-mme l'esprit d'autre ide que celle de la simple comp>aison immdiate de cette gr&eur avec une autre gr&eur semblable suppose connue1 qu'on pr5d p\r unit entre t\tes celles de la mme espce4 ,a9si1 qu& on se borne df9ir les ma?matiques comme ayant p\r objet la mesure des gr&eurs1 on en donne une ide =t imp>faite1 c> il e/ mme impossible de voir p> l comm5t il y a lieu1 s\s ce rapport1 une sci5ce quelconque1 et surt\t une sci5ce aussi va/e et aussi pr(onde qu'e/ rpute l'tre avec raison la sci5ce ma?matique4 ,au lieu d'un imm5se en*anem5t de travaux rationnels trs-prolongs1 qui (fr5t notre activit intellectuelle un alim5t 9puisable1 la sci5ce p>atrait seulem5t consi/]1 d'aprs un tel nonc1 dans une simple suite de procds mcaniques1 p\r obt5ir directem5t1 l'aide d'oprations analogues la sup]position des lignes1 les rapports des quantits mesur] celles p> lesquelles on veut les mesur]4 ,nanmo9s1 cette df9ition n'a po9t rellem5t d'autre dfaut que de n'tre pas suffisamm5t appr(ondie4 ,elle n'induit po9t en erreur sur le vritable b f9al des ma?matiques2 seulem5t elle prs5te comme direct un objet qui1 presque t\j\rs1 e/1 au contraire1 =t indirect1 et p> l1 elle ne fait nullem5t concevoir la nature de la sci5ce4 ,p\r y p>v5ir1 il faut d'abord considr] un fait gnral1 trs-facile con/at]4 ,c'e/ que la mesure directe d'une gr&eur1 p> la sup]position ou p> quelque procd semblable1 e/ le plus s\v5t p\r n\s une opration t\t--fait impossible3 en sorte que si n\s n'avions pas d'autre moy5 p\r dt]m9] les gr&eurs que les comp>aisons immdiates1 n\s s]ions obligs de r5onc] la connaissance de la plup>t de celles qui n\s intress5t4 ,on compr5dra t\te l'exactitude de cette obs]vation gnrale1 en se bornant considr] spcialem5t le cas p>ticuli] qui prs5te videmm5t le plus de facilit1 celui de la mesure d'une ligne droite p> une autre ligne droite4 ,cette comp>aison1 qui1 de t\tes celles que n\s p\vons imag9]1 e/ sans contr$it la plus simple1 ne peut nanmo9s presque jamais tre effectue immdiatem5t4 ,en rfl*issant l'ensemble des conditions ncessaires p\r qu'une ligne droite soit susceptible d'une mesure directe1 on voit que le plus s\v5t elles ne peuv5t po9t tre remplies la fois1 relativem5t aux lignes que n\s dsirons connatre4 ,la premire et la plus grossire de ces conditions1 celle de p\voir p>c\rir la ligne d'un b\t l'autre1 p\r port] successivem5t l'unit dans t\te son t5due1 exclut videmm5t dj la trs-majeure p>tie des di/ances qui n\s intress5t le plus2 d'abord t\tes les di/ances entre les diffr5s corps cle/es1 ou de la t]re quelqu'autre corps cle/e1 et ensuite mme la plup>t des di/ances t]re/res1 qui sont si frquemm5t inaccessibles4 ,qu& cette premire condition se tr\ve accomplie1 il faut encore que la longueur ne soit ni trop gr&e ni trop petite1 ce qui r5drait la mesure directe galem5t impossible2 il faut qu'elle soit conv5ablem5t situe1 etc4 ,la plus lgre circon/ance1 qui ab/raitem5t ne p>atrait devoir introduire aucune n\velle difficult1 suffira s\v5t1 dans la ralit1 p\r n\s int]dire t\te mesure directe4 ,a9si1 p> exemple1 telle ligne que n\s p\rrions mesur] exactem5t avec la plus gr&e facilit1 si elle tait horizontale1 il suffira de la concevoir r$resse v]ticalem5t1 p\r que la mesure en devi5ne impossible4 ,en un mot1 la mesure immdiate d'une ligne droite1 prs5te une telle complication de difficults1 surt\t qu& on veut y apport] quelque exactitude1 que presque jamais n\s ne r5controns d'autres lignes susceptibles d'tre mesures directem5t avec prcision1 du mo9s p>mi celles d'une c]ta9e gr&eur1 que des lignes purem5t artificielles1 cres expressm5t p> n\s p\r comport] une dt]m9ation directe1 et auxquelles n\s p>v5ons ratta*] t\tes les autres4 ,ce que je vi5s d'tablir relativem5t aux lignes se conoit1 bi5 plus =te raison1 des surfaces1 des volumes1 des vitesses1 des temps1 des =ces1 etc41 et1 en gnral1 de t\tes les autres gr&eurs susceptibles d'apprciation exacte1 et qui1 p> leur nature1 prs5t5t ncessairem5t beauc\p plus d'ob/acles encore une mesure immdiate4 ,il e/ donc inutile de s'y arrt]1 et n\s devons reg>d] comme suffisamm5t con/ate l'impossibilit de dt]m9]1 en les mesurant directem5t1 la plup>t des gr&eurs que n\s dsirons connatre4 ,c'e/ ce fait gnral qui ncessite la =mation de la sci5ce ma?matique1 comme n\s allons le voir4 ,c>1 r5onant1 dans presque t\s les cas1 la mesure immdiate des gr&eurs1 l'esprit huma9 a d *]*] les dt]m9] indirectem5t1 et c'e/ a9si qu'il a t conduit la cration des ma?matiques4 ,la m?ode gnrale qu'on emploie con/amm5t1 la seule videmm5t qu'on puisse concevoir1 p\r connatre des gr&eurs qui ne comport5t po9t une mesure directe1 consi/e les ratta*] d'autres qui soi5t susceptibles d'tre dt]m9es immdiatem5t1 et d'aprs lesquelles on p>vi5t dc\vrir les premires1 au moy5 des relations qui exi/5t entre les unes et les autres4 ,tel e/ l'objet prcis de la sci5ce ma?matique envisage dans son ensemble4 ,p\r s'en faire une ide suffisamm5t t5due1 il faut considr] que cette dt]m9ation indirecte des gr&eurs peut-tre indirecte des degrs =t diffr5s4 ,dans un gr& nombre de cas1 qui s\v5t sont les plus importans1 les gr&eurs1 la dt]m9ation desquelles on ramne la re*]*e des gr&eurs pr9cipales qu'on veut connatre1 ne peuv5t po9t elles-mmes tre mesures immdiatem5t1 et doiv5t p> consqu5t1 leur t\r1 dev5ir le sujet d'une "q semblable1 et a9si de suite2 en sorte que1 dans beauc\p d'occasions1 l'esprit huma9 e/ oblig d'tablir une longue suite d'int]mdiaires entre le sy/me des gr&eurs inconnues qui sont l'objet df9itif de ses re*]*es1 et le sy/me des gr&eurs susceptibles de mesure directe1 d'aprs lesquelles on dt]m9e f9alem5t les premires1 et qui ne p>aiss5t d'abord avoir avec celles-ci aucune liaison4 ,quelques exemples vont suffire p\r claircir ce que les gnralits prcd5tes p\rrai5t prs5t] de trop ab/rait4 ,considrons1 en premi] lieu1 un phnomne naturel trs-simple qui puisse nanmo9s donn] lieu une "q ma?matique relle et susceptible d'applications effectives1 le phnomne de la *ute v]ticale des corps pesans4 ,en obs]vant ce phnomne1 l'esprit le plus trang] aux conceptions ma?matiques reconnat sur-le-*amp que les deux quantits qu'il prs5te1 savoir3 la hauteur d'o un corps e/ tomb1 et le temps de sa *ute1 sont ncessairem5t lies l'une l'autre1 puisqu'elles v>i5t ensemble1 et re/5t fixes simultanm5t2 ou1 suivant le langage des gomtres1 qu'elles sont fonction l'une de l'autre4 ,le phnomne1 considr s\s ce po9t de vue1 donne donc lieu une "q ma?matique1 qui consi/e suppler la mesure directe de l'une de ces deux gr&eurs lorsqu'elle s]a impossible1 p> la mesure de l'autre4 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 qu'on p\rra dt]m9] indirectem5t la pr(ondeur d'un prcipice1 en se bornant mesur] le temps qu'un corps emploi]ait tomb] jusqu'au fond2 et1 en procdant conv5ablem5t1 cette pr(ondeur inaccessible s]a connue avec t\t autant de prcision que si c'tait une ligne horizontale place dans les circon/ances les plus favorables une mesure facile et exacte4 ,dans d'autres occasions1 c'e/ la hauteur d'o le corps e/ tomb qui s]a facile connatre1 t&is que le temps de la *ute ne p\rrait po9t tre obs]v directem5t2 alors le mme phnomne donn]a lieu la "q inv]se1 dt]m9] le temps d'aprs la hauteur2 comme1 p> exemple1 si l'on v\lait connatre quelle s]ait la dure de la *ute v]ticale d'un corps tombant de la lune sur la t]re4 ,dans l'exemple prcd5t1 la "q ma?matique e/ =t simple1 du mo9s qu& on n'a pas g>d la v>iation d'int5sit de la pesanteur1 ni la rsi/ance du fluide que le corps trav]se dans sa *ute4 ,mais1 p\r agr&ir la "q1 il suffira de considr] le mme phnomne dans sa plus gr&e gnralit1 en supposant la *ute oblique1 et t5ant compte de t\tes les circon/ances pr9cipales4 ,alors1 au lieu d'(frir simplem5t deux quantits v>iables lies entr'elles p> une relation facile suivre1 le phnomne en prs5t]a un plus gr& nombre1 l'espace p>c\ru1 soit dans le s5s v]tical1 soit dans le s5s horizontal1 le temps employ le p>c\rir1 la vitesse du corps *aque po9t de sa c\rse1 et mme l'int5sit et la direction de son impulsion primitive1 qui p\rront aussi tre envisages comme v>iables1 et enf91 dans c]ta9s cas1 p\r t5ir compte de t\t1 la rsi/ance du milieu et l'n]gie de la gravit4 ,t\tes ces div]ses quantits s]ont lies entr'elles1 de telle sorte que *acune son t\r p\rra tre dt]m9e indirectem5t d'aprs les autres1 ce qui prs5t]a autant de re*]*es ma?matiques di/9ctes qu'il y aura de gr&eurs coexi/antes dans le phnomne considr4 ,ce *angem5t trs-simple dans les conditions physiques d'un problme p\rra faire1 comme il arrive en effet p\r l'exemple cit1 qu'une re*]*e ma?matique1 primitivem5t =t lm5taire1 se place t\t--c\p au rang des que/ions les plus difficiles1 dont la solution complte et rig\reuse surpasse jusqu' prs5t t\tes les plus gr&es =ces de l'esprit huma94 ,pr5ons un second exemple dans les phnomnes gomtriques4 ,qu'il s'agisse de dt]m9] une di/ance qui n'e/ pas susceptible de mesure directe2 on la concevra gnralem5t comme faisant p>tie d'une figure1 ou d'un sy/me quelconque de lignes1 *oisi de telle manire que t\s ses autres lm5s puiss5t tre obs]vs immdiatem5t2 p> exemple1 dans le cas le plus simple et auquel t\s les autres peuv5t se rduire f9alem5t1 on considr]a la di/ance propose comme app>t5ant un triangle1 dans lequel on p\rrait dt]m9] directem5t1 soit un autre ct et deux angles1 soit deux cts et un seul angle4 ,ds-lors1 la connaissance de la di/ance *]*e1 au lieu d'tre obt5ue immdiatem5t1 s]a le rsultat d'un travail ma?matique qui consi/]a la dduire des lm5s obs]vs1 d'aprs la relation qui la lie avec eux4 ,ce travail p\rra dev5ir successivem5t de plus en plus compliqu1 si les lm5s supposs connus ne p\vai5t1 leur t\r1 comme il arrive le plus s\v5t1 tre dt]m9s que d'une manire indirecte1 l'aide de n\veaux sy/mes auxiliaires1 dont le nombre1 dans les gr&es oprations de ce g5re1 f9it p> dev5ir quelquefois trs-considrable4 ,la di/ance une fois dt]m9e1 cette seule connaissance suffira frquemm5t p\r faire obt5ir de n\velles quantits1 qui (friront le sujet de n\velles que/ions ma?matiques4 ,a9si1 qu& on sait quelle di/ance e/ situ un objet1 la simple obs]vation1 t\j\rs possible1 de son diamtre app>5t1 doit videmm5t p]mettre de dt]m9] indirectem5t1 quelqu'inaccessible qu'il puisse tre1 ses dim5sions relles1 et1 p> une suite de re*]*es analogues1 sa surface1 son volume1 son poids mme1 et une f\le d'autres proprits1 dont la connaissance semblait devoir n\s tre ncessairem5t int]dite4 ,c'e/ p> de tels travaux1 que l'homme a pu p>v5ir connatre1 non-seulem5t les di/ances des a/res la t]re1 et p> suite1 entr'eux1 mais leur gr&eur effective1 leur vritable figure1 jusqu'aux 9galits de leur surface1 et1 ce qui semble se drob] bi5 plus encore nos moy5s d'inve/igation1 leurs masses respectives1 leurs d5sits moy5nes1 les circon/ances pr9cipales de la *ute des corps pesans la surface de *acun d'eux1 etc4 ,p> la puissance des ?ories ma?matiques1 t\s ces div]s rsultats1 et bi5 d'autres encore relatifs aux diffr5tes classes de phnomnes naturels1 n'ont exig df9itivem5t d'autres mesures immdiates que celles d'un trs-petit nombre de lignes droites1 conv5ablem5t *oisies1 et d'un plus gr& nombre d'angles4 ,on peut mme dire1 en t\te rigueur1 p\r indiqu] d'un seul trait la porte gnrale de la sci5ce1 que si l'on ne craignait pas avec raison de multipli] sans ncessit les oprations ma?matiques1 et si1 p> consqu5t1 on ne devait pas les rs]v] seulem5t p\r la dt]m9ation des quantits qui ne p\rrai5t nullem5t tre mesures directem5t1 ou d'une manire assez exacte1 la connaissance de t\tes les gr&eurs susceptibles d'e/imation prcise que les div]s ordres de phnomnes peuv5t n\s (frir1 s]ait f9alem5t rductible la mesure immdiate d'une ligne droite unique et d'un nombre d'angles conv5able4 ,n\s sommes donc p>v5u ma9t5ant df9ir avec exactitude la sci5ce ma?matique1 en lui assignant p\r b1 la mesure indirecte des gr&eurs1 et disant qu'on s'y propose con/amm5t de dt]m9] les gr&eurs les unes p> les autres1 d'aprs les relations prcises qui exi/5t entre elles4 ,cet nonc1 au lieu de donn] seulem5t l'ide d'un art1 comme le font jusqu'ici t\tes les df9itions ord9aires1 c>actrise immdiatem5t une vritable sci5ce1 et la montre sur-le-*amp compose d'un imm5se en*anem5t d'oprations intellectuelles1 qui p\rront videmm5t dev5ir trs compliques1 raison de la suite d'int]mdiaires qu'il faudra tablir entre les quantits inconnues et celles qui comport5t une mesure directe1 du nombre des v>iables co-exi/antes dans la "q propose1 et de la nature des relations que f\rniront entre t\tes ces div]ses gr&eurs les phnomnes considrs4 ,d'aprs une telle df9ition1 l'esprit ma?matique consi/e reg>d] t\j\rs comme lies entre elles t\tes les quantits que peut prs5t] un phnomne quelconque1 dans la vue de les dduire les unes des autres4 ,or1 il n'y a pas videmm5t de phnomne qui ne puisse donn] lieu des considrations de ce g5re2 d'o rsulte l't5due naturellem5t indf9ie et mme la rig\reuse univ]salit logique de la sci5ce ma?matique3 n\s *]*]ons plus lo9 circonscrire aussi exactem5t que possible son ext5sion effective4 ,les explications prcd5tes tabliss5t clairem5t la ju/ification du nom employ p\r dsign] la sci5ce que n\s considrons4 ,cette dnom9ation1 qui a pris auj\rd'hui une acception si dt]m9e1 signifie simplem5t p> elle-mme la sci5ce en gnral4 ,une telle dsignation1 rig\reusem5t exacte p\r les ,grecs1 qui n'avai5t pas d'autre sci5ce relle1 n'a pu tre cons]ve p> les mod]nes que p\r indiqu] les ma?matiques comme la sci5ce p> excell5ce4 ,et1 en effet1 la df9ition laquelle n\s v5ons d'tre conduits1 si on en c>te la circon/ance de la prcision des dt]m9ations1 n'e/ autre *ose que la df9ition de t\te vritable sci5ce quelconque1 c> *acune n'a-t-elle pas ncessairem5t p\r b de dt]m9] des phnomnes les uns p> les autres1 d'aprs les relations qui exi/5t entre eux8 ,t\te sci5ce consi/e dans la coord9ation des faits 2 si les div]ses obs]vations tai5t entirem5t isoles1 il n'y aurait pas de sci5ce4 ,on peut mme dire gnralem5t que la sci5ce e/ ess5tiellem5t de/9e disp5s]1 autant que le comport5t les div]s phnomnes1 de t\te obs]vation directe1 en p]mettant de dduire du plus petit nombre possible de donnes immdiates1 le plus gr& nombre possible de rsultats4 ,n'e/-ce po9t l1 en effet1 l'usage rel1 soit dans la spculation1 soit dans l'action1 des lois que n\s p>v5ons dc\vrir entre les phnomnes naturels8 ,la sci5ce ma?matique ne fait1 d'aprs cela1 que p\ss] au plus haut degr possible1 tant s\s le rapport de la quantit que s\s celui de la qualit1 sur les sujets vritablem5t de son ressort1 le mme g5re de re*]*es que p\rsuit1 des degrs plus ou mo9s infrieurs1 *aque sci5ce relle1 dans sa sphre respective4 ,c'e/ donc p> l'tude des ma?matiques1 et seulem5t p> elle1 que l'on peut se faire une ide ju/e et appr(ondie de ce que c'e/ qu'une sci5ce4 ,c'e/ l uniquem5t qu'on doit *]*] connatre avec prcision la m?ode gnrale que l'esprit huma9 emploie con/amm5t dans t\tes ses re*]*es positives1 p>ce que nulle "p ailleurs les que/ions ne sont rsolues d'une manire aussi complte1 et les dductions prolonges aussi lo9 avec une svrit rig\reuse4 ,c'e/ l galem5t que notre ent5dem5t a donn les plus gr&es preuves de sa =ce1 p>ce que les ides qu'il y considre sont du plus haut degr d'ab/raction possible dans l'ordre positif4 ,t\te ducation sci5tifique qui ne comm5ce po9t p> une telle tude1 p*e donc ncessairem5t p> sa base4 ,n\s avons jusqu'ici envisag la sci5ce ma?matique seulem5t dans son ensemble total1 sans avoir aucun g>d ses divisions4 ,n\s devons ma9t5ant1 p\r complt] cette vue gnrale et n\s =m] une ju/e ide du c>actre philosophique de la sci5ce1 considr] sa division fondam5tale4 ,les divisions secondaires s]ont exam9es dans les leons suivantes4 ,cette division pr9cipale ne saurait tre vraim5t rationnelle1 et driv] de la nature mme du sujet1 qu'autant qu'elle se prs5t]a spontanm5t1 en faisant l'analyse exacte d'une "q ma?matique complte4 ,a9si1 aprs avoir dt]m9 ci-dessus quel e/ l'objet gnral des travaux ma?matiques1 c>actrisons ma9t5ant avec prcision les div]s ordres pr9cipaux de re*]*es dont ils se compos5t con/amm5t4 ,la solution complte de t\te "q ma?matique se dcompose ncessairem5t en deux p>ties1 d'une nature ess5tiellem5t di/9cte1 et dont la relation e/ inv>iablem5t dt]m9e4 ,en effet1 n\s avons vu que t\te re*]*e ma?matique a p\r objet de dt]m9] des gr&eurs inconnues1 d'aprs les relations qui exi/5t entre elles et des gr&eurs connues4 ,or1 il faut videmm5t d'abord1 cette f91 p>v5ir connatre avec prcision les relations exi/antes entre les quantits que l'on considre4 ,ce premi] ordre de re*]*es con/itue ce que j'appelle la p>tie concrte de la solution4 ,qu& elle e/ t]m9e1 la "q *ange de nature2 elle se rduit une pure "q de nombres1 consi/ant simplem5t dsormais dt]m9] des nombres inconnus1 lorsqu'on sait quelles relations prcises les li5t des nombres connus4 ,c'e/ dans ce second ordre de re*]*es que consi/e ce que je nomme la p>tie ab/raite de la solution4 ,de l rsulte la division fondam5tale de la sci5ce ma?matique gnrale en deux gr&es sci5ces1 la ma?matique ab/raite et la ma?matique concrte4 ,cette analyse peut tre obs]ve dans t\te "q ma?matique complte1 quelque simple ou quelque complique qu'elle soit4 ,il suffira1 p\r la faire bi5 compr5dre1 d'en indiqu] un seul exemple4 ,repr5ant le phnomne dj cit de la *ute v]ticale d'un corps pesant1 et considrant le cas le plus simple1 on voit que p\r p>v5ir dt]m9] l'une p> l'autre la hauteur d'o le corps e/ tomb et la dure de sa *ute1 il faut comm5c] p> dc\vrir la relation exacte de ces deux quantits1 ou1 suivant le langage des gomtres1 l'quation qui exi/e entre elles4 ,avant que cette premire re*]*e soit t]m9e1 t\te t5tative p\r dt]m9] numriquem5t la valeur de l'une de ces deux gr&eurs p> celle de l'autre s]ait videmm5t prmature1 c> elle n'aurait aucune base4 ,il ne suffit pas de savoir vaguem5t qu'elles dp5d5t l'une de l'autre1 ce que t\t le monde ap]oit sur-le-*amp1 mais il faut dt]m9] en quoi consi/e cette dp5dance2 ce qui peut tre =t difficile1 et con/itue en effet1 dans le cas actuel1 la p>tie incomp>ablem5t suprieure du problme4 ,le vritable esprit sci5tifique e/ si mod]ne et encore tellem5t r>e1 que p]sonne peut-tre avant ,galile n'avait seulem5t rem>qu l'accroissem5t de vitesse qu'pr\ve un corps dans sa *ute1 ce qui exclut l'hypo?se1 v]s laquelle notre intellig5ce1 t\j\rs porte involontairem5t suppos] dans *aque phnomne les fonctions les plus simples1 sans aucun autre motif que sa plus gr&e facilit les concevoir1 s]ait naturellem5t entrane1 la hauteur proportionnelle au temps4 ,en un mot1 ce premi] travail ab\tit la dc\v]te de la loi de ,galile4 ,qu& cette p>tie concrte e/ t]m9e1 la re*]*e devi5t d'une t\t autre nature4 ,sa*ant que les espaces p>c\rus p> le corps dans *aque seconde successive de sa *ute croiss5t comme la suite des nombres impairs1 c'e/ alors une "q purem5t numrique et ab/raite que d'en dduire ou la hauteur d'aprs le temps1 ou le temps p> la hauteur1 ce qui consi/]a tr\v] que1 d'aprs la loi tablie1 la premire de ces deux quantits e/ un multiple connu de la seconde puissance de l'autre1 d'o l'on devra f9alem5t conclure la valeur de l'une qu& celle de l'autre s]a donne4 ,dans cet exemple1 la "q concrte e/ plus difficile que la "q ab/raite4 ,ce s]ait l'inv]se1 si l'on considrait le mme phnomne dans sa plus gr&e gnralit1 tel que je l'ai envisag plus haut p\r un autre motif4 ,suivant les cas1 ce s]a tantt la premire1 tantt la seconde de ces deux p>ties qui con/itu]a la pr9cipale difficult de la "q totale2 la loi ma?matique du phnomne p\vant tre trs-simple1 mais difficile obt5ir1 et1 dans d'autres occasions1 facile dc\vrir1 mais =t complique3 en sorte que les deux gr&es sections de la sci5ce ma?matique1 qu& on les comp>e en masse1 doiv5t tre reg>des comme exactem5t quival5tes en t5due et en difficult1 aussi bi5 qu'en importance1 a9si que n\s le con/at]ons plus t>d en considrant *acune d'elles sp>m5t4 ,ces deux p>ties1 ess5tiellem5t di/9ctes1 d'aprs l'explication prcd5te1 p> l'objet que l'esprit s'y propose1 ne le sont pas mo9s p> la nature des re*]*es dont elles se compos5t4 ,la premire doit port] le nom de concrte1 c> elle dp5d videmm5t du g5re des phnomnes considrs1 et doit v>i] ncessairem5t lorsqu'on envisag]a de n\veaux phnomnes2 t&is que la seconde e/ compltem5t indp5dante de la nature des objets exam9s1 et porte seulem5t sur les relations numriques qu'ils prs5t5t1 ce qui doit la faire appel] ab/raite4 ,les mmes relations peuv5t exi/] dans un gr& nombre de phnomnes diffr5s1 qui1 malgr leur extrme div]sit1 s]ont envisags p> le gomtre comme (frant une "q analytique1 susceptible1 en l'tudiant isolm5t1 d'tre rsolue une fois p\r t\tes4 ,a9si1 p> exemple1 la mme loi qui rgne entre l'espace et le temps1 qu& on exam9e la *ute v]ticale d'un corps dans le vide1 se retr\ve p\r d'autres phnomnes qui n'(fr5t aucune analogie avec le premi] ni entre eux3 c> elle exprime aussi la relation entre l'aire d'un corps sphrique et la longueur de son diamtre2 elle dt]m9e galem5t le dcroissem5t de l'int5sit de la lumire ou de la *aleur raison de la di/ance des objets clairs ou *auffs1 etc4 ,la p>tie ab/raite1 commune ces div]ses que/ions ma?matiques1 ayant t traite l'occasion d'une seule d'entre elles1 se tr\v]a l'tre1 p> cela mme1 p\r t\tes les autres2 t&is que la p>tie concrte devra ncessairem5t tre reprise p\r *acune sp>m5t1 sans que la solution de quelques-unes puisse f\rnir1 s\s ce rapport1 aucun sec\rs direct p\r celle des suivantes4 ,il e/ impossible d'tablir de vritables m?odes gnrales qui1 p> une m>*e dt]m9e et inv>iable1 assur5t1 dans t\s les cas1 la dc\v]te des relations exi/antes entre les quantits1 relativem5t des phnomnes quelconques3 ce sujet ne comporte ncessairem5t que des m?odes spciales p\r telle ou telle classe de phnomnes gomtriques1 ou mcaniques1 ou !rmologiques1 etc4 ,on peut1 au contraire1 de quelque s\rce que provi5n5t les quantits considres1 tablir des m?odes uni=mes p\r les dduire les unes des autres1 en supposant connues leurs relations exactes4 ,la p>tie ab/raite des ma?matiques e/ donc1 de sa nature1 gnrale2 la p>tie concrte1 spciale4 ,en prs5tant cette comp>aison s\s un n\veau po9t de vue1 on peut dire que la ma?matique concrte a un c>actre philosophique ess5tiellem5t exprim5tal1 physique1 phnomnal2 t&is que celui de la ma?matique ab/raite e/ purem5t logique1 rationnel4 ,ce n'e/ pas ici le lieu de discut] exactem5t les procds qu'emploie l'esprit huma9 p\r dc\vrir les lois ma?matiques des phnomnes4 ,mais1 soit que l'obs]vation prcise suggre elle-mme la loi1 soit1 comme il arrive plus s\v5t1 qu'elle ne fasse que confirm] la loi con/ruite p> le raisonnem5t d'aprs les faits les plus communs2 t\j\rs e/-il c]ta9 que cette loi n'e/ envisage comme relle qu'autant qu'elle se montre d'accord avec les rsultats de l'expri5ce directe4 ,a9si1 la p>tie concrte de t\te "q ma?matique e/ ncessairem5t fonde sur la considration du monde extrieur1 et ne saurait jamais1 quelle qu'y puisse tre la "p du raisonnem5t1 se rs\dre p> une simple suite de comb9aisons intellectuelles4 ,la p>tie ab/raite1 au contraire1 qu& elle a t d'abord bi5 exactem5t sp>e1 ne peut consi/] que dans une srie de dductions rationnelles plus ou mo9s prolonge4 ,c>1 si l'on a une fois tr\v les quations d'un phnomne1 la dt]m9ation des unes p> les autres des quantits qu'on y considre1 quelques difficults d'ailleurs qu'elle puisse s\v5t (frir1 e/ uniquem5t du ressort du raisonnem5t4 ,c'e/ l'intellig5ce qu'il app>ti5t de dduire1 de ces quations1 des rsultats qui y sont videmm5t compris1 quoique d'une manire peut-tre =t implicite1 sans qu'il y ait lieu consult] de n\veau le monde extrieur1 dont la considration1 dev5ue ds lors trangre1 doit mme tre soigneusem5t c>te p\r rduire le travail sa vritable difficult propre4 ,on voit1 p> cette comp>aison gnrale1 dont je dois me born] ici indiqu] les traits pr9cipaux1 combi5 e/ naturelle et pr(onde la division fondam5tale tablie ci-dessus dans la sci5ce ma?matique4 ,p\r t]m9] l'exposition gnrale de cette division1 il ne n\s re/e plus qu' circonscrire1 aussi exactem5t que n\s puissions le faire dans ce premi] ap]u1 *acune des deux gr&es sections de la sci5ce ma?matique4 ,la ma?matique concrte ayant p\r objet de dc\vrir les quations des phnomnes1 sembl]ait1 priori1 devoir se compos] d'autant de sci5ces di/9ctes qu'il y a de catgories rellem5t diffr5tes p\r n\s p>mi les phnomnes naturels4 ,mais il s'en faut de beauc\p qu'on soit encore p>v5u dc\vrir des lois ma?matiques dans t\s les ordres de phnomnes2 n\s v]rons mme t\t--l'heure que1 s\s ce rapport1 la majeure p>tie se drob]a trs-vraisemblablem5t t\j\rs nos ef=ts4 ,en ralit1 dans l'tat prs5t de l'esprit huma91 il n'y a directem5t que deux gr&es catgories gnrales de phnomnes dont on connaisse con/amm5t les quations2 ce sont d'abord les phnomnes gomtriques1 et ensuite les phnomnes mcaniques4 ,a9si1 la p>tie concrte des ma?matiques se compose donc de la gomtrie et de la mcanique rationnelle4 ,cela suffit1 il e/ vrai1 p\r lui donn] un c>actre complet d'univ]salit logique1 qu& on considre l'ensemble des phnomnes du po9t de vue le plus lev de la philosophie naturelle4 ,en effet1 si t\tes les p>ties de l'univ]s tai5t conues comme immobiles1 il n'y aurait videmm5t obs]v] que des phnomnes gomtriques1 puisque t\t se rduirait des relations de =me1 de gr&eur1 et de situation2 ayant ensuite g>d aux m\vem5s qui s'y excut5t1 il y a lieu considr] de plus des phnomnes mcaniques4 ,en appliquant ici1 aprs l'avoir suffisamm5t gnralise1 une conception philosophique1 due ,m4 de ,bla9ville1 et dj cite p\r un autre usage dans la #are leon 7page #cb71 on peut donc tablir que1 vu s\s le rapport /atique1 l'univ]s ne prs5te que des phnomnes gomtriques2 et1 s\s le rapport dynamique1 que des phnomnes mcaniques4 ,a9si la gomtrie et la mcanique con/itu5t1 p> elles-mmes1 les deux sci5ces naturelles fondam5tales1 en ce s5s1 que t\s les effets naturels peuv5t tre conu comme de simples rsultats ncessaires1 ou des lois de l't5due1 ou des lois du m\vem5t4 ,mais1 quoique cette conception soit t\j\rs logiquem5t possible1 la difficult e/ de la spcialis] avec la prcision ncessaire1 et de la suivre exactem5t dans *acun des cas gnraux que n\s (fre l'tude de la nature1 c'e/--dire1 de rduire effectivem5t *aque "q pr9cipale de philosophie naturelle1 p\r tel ordre de phnomnes dt]m91 la "q de gomtrie ou de mcanique1 laquelle on p\rrait rationnellem5t la suppos] ram5e4 ,cette trans=mation1 qui exige pralablem5t de gr&s progrs dans l'tude de *aque classe de phnomnes1 n'a t rellem5t excute jusqu'ici que p\r les phnomnes a/ronomiques1 et p\r une p>tie de ceux que considre la physique t]re/re proprem5t dite4 ,c'e/ a9si que l'a/ronomie1 l'ac\/ique1 l'optique1 etc41 sont dev5ues f9alem5t des applications de la sci5ce ma?matique de c]ta9s ordres d'obs]vations#c4 ,mais1 ces applications n'tant po9t1 p> leur nature1 rig\reusem5t circonscrites1 ce s]ait assign] la sci5ce un doma9e indf9i et entirem5t vague1 que de les confondre avec elle1 comme on le fait dans la division ord9aire1 si vicieuse tant d'autres g>ds1 des ma?matiques en pures et appliques4 ,n\s p]si/]ons donc reg>d] la ma?matique concrte comme uniquem5t compose de la gomtrie et de la mcanique4 ,note #c3 ,je dois faire ici1 p> anticipation1 une m5tion sommaire de la !rmologie1 laquelle je consacr]ai plus t>d une leon spciale4 ,la ?orie ma?matique des phnomnes de la *aleur a pris1 p> les mmorables travaux de son illu/re fondateur1 un tel c>actre1 qu'on peut auj\rd'hui la concevoir1 aprs la gomtrie et la mcanique1 comme une vritable troisime section di/9cte de la ma?matique concrte1 puisque ,m4 ,f\ri] a tabli1 d'une manire entirem5t directe1 les quations !rmologiques1 au lieu de se reprs5t] hypo?tiquem5t les que/ions comme des applications de la mcanique1 a9si qu'on a t5t de le faire p\r les phnomnes lectriques1 p> exemple4 ,cette gr&e dc\v]te1 qui1 comme t\tes celles qui se rapport5t la m?ode1 n'e/ pas encore conv5ablem5t apprcie1 mrite s+ulirem5t notre att5tion2 c>1 outre son importance immdiate p\r l'tude vraim5t rationnelle et positive d'un ordre de phnomnes aussi univ]sel et aussi fondam5tal1 elle t5d a relev] nos esprances philosophiques1 quant l'ext5sion future des applications lgitimes de l'analyse ma?matique1 a9si que je l'expliqu]ai dans le second volume de ce c\rs1 en exam9ant le c>actre gnral de cette n\velle srie de travaux4 ,je n'aurais pas hsit ds prs5t trait] la !rmologie1 a9si conue1 comme une troisime bran*e pr9cipale de la ma?matique concrte1 si je n'avais cra9t de dim9u] l'utilit de cet ouvrage en m'c>tant trop des habitudes ord9aires4 ,quant la ma?matique ab/raite1 dont j'exam9]ai la division gnrale dans la leon suivante1 sa nature e/ nettem5t et exactem5t dt]m9e4 ,elle se compose de ce qu'on appelle le calcul1 en pr5ant ce mot dans sa plus gr&e ext5sion1 qui embrasse depuis les oprations numriques les plus simples jusqu'aux plus sublimes comb9aisons de l'analyse transc5dante4 ,le calcul a p\r objet propre de rs\dre t\tes les que/ions de nombres4 ,son po9t de d"p e/1 con/amm5t et ncessairem5t1 la connaissance de relations prcises1 c'e/--dire d'quations1 entre les div]ses gr&eurs que l'on considre simultanm5t1 ce qui e/1 au contraire1 le t]me de la ma?matique concrte4 ,quelque compliques ou quelque indirectes que puiss5t tre d'ailleurs ces relations1 le b f9al de la sci5ce du calcul e/ d'en dduire t\j\rs les valeurs des quantits inconnues p> celles des quantits connues4 ,cette sci5ce1 bi5 que plus p]fectionne qu'aucune autre1 e/1 sans d\te1 rellem5t peu avance encore1 en sorte que ce b e/ r>em5t atte9t d'une manire compltem5t satisfaisante4 ,mais tel n'en e/ pas mo9s son vrai c>actre4 ,p\r concevoir nettem5t la vritable nature d'une sci5ce1 il faut t\j\rs la suppos] p>faite4 ,af9 de rsum] le plus philosophiquem5t possible les considrations ci-dessus exposes sur la division fondam5tale des ma?matiques1 il importe de rem>qu] qu'elle n'e/ qu'une application du pr9cipe gnral de classification qui n\s a p]mis d'tablir1 dans la leon prcd5te1 la hir>*ie rationnelle des diffr5tes sci5ces positives4 ,si l'on comp>e1 en effet1 d'une "p le calcul1 et d'une autre "p la gomtrie et la mcanique1 on vrifie1 relativem5t aux ides considres dans *acune de ces deux sections pr9cipales de la ma?matique1 t\s les c>actres ess5tiels de notre m?ode encyclopdique4 ,les ides analytiques sont videmm5t la fois plus ab/raites1 plus gnrales et plus simples que les ides gomtriques ou mcaniques4 ,bi5 que les conceptions pr9cipales de l'analyse ma?matique1 envisages hi/oriquem5t1 se soi5t =mes s\s l'influ5ce des considrations de gomtrie ou de mcanique1 au p]fectionnem5t desquelles les progrs du calcul sont troitem5t lis1 l'analyse n'en e/ pas mo9s1 s\s le po9t de vue logique1 ess5tiellem5t indp5dante de la gomtrie et de la mcanique1 t&is que celles-ci sont1 au contraire1 ncessairem5t fondes sur la premire4 ,l'analyse ma?matique e/ donc1 d'aprs les pr9cipes que n\s avons con/amm5t suivis jusqu'ici1 la vritable base rationnelle du sy/me enti] de nos connaissances positives4 ,elle con/itue la premire et la plus p>faite de t\tes les sci5ces fondam5tales4 ,les ides dont elle s'occupe1 sont les plus univ]selles1 les plus ab/raites et les plus simples que n\s puissions rellem5t concevoir4 ,on ne saurait t5t] d'all] plus lo91 s\s ces trois rapports quival5s1 sans tomb] 9vitablem5t dans les rv]ies mtaphysiques4 ,c>1 quel sub/ractum effectif p\rrait-il re/] dans l'esprit p\r s]vir de sujet positif au raisonnem5t1 si on v\lait supprim] encore quelque circon/ance dans les notions des quantits indt]m9es1 con/antes ou v>iables1 telles que les gomtres les emploi5t auj\rd'hui1 af9 de s'lev] un prt5du degr suprieur d'ab/raction1 comme le croi5t les ontologi/es8 ,cette nature propre de l'analyse ma?matique p]met de s'expliqu] aism5t p\rquoi1 lorsqu'elle e/ conv5ablem5t employe1 elle n\s (fre un si puissant moy51 non-seulem5t p\r donn] plus de prcision nos connaissances relles1 ce qui e/ vid5t de soi-mme1 mais surt\t p\r tablir une coord9ation inf9im5t plus p>faite dans l'tude des phnomnes qui comport5t cette application4 ,c>1 les conceptions ayant t gnralises et simplifies le plus possible1 tel po9t qu'une seule "q analytique1 rsolue ab/raitem5t1 r5f]me la solution implicite d'une f\le de que/ions physiques div]ses1 il doit ncessairem5t en rsult] p\r l'esprit huma9 une plus gr&e facilit ap]cevoir des relations entre des phnomnes qui semblai5t d'abord entirem5t isols les uns des autres1 et desquels on e/ a9si p>v5u tir]1 p\r le considr] "p1 t\t ce qu'ils ont de commun4 ,c'e/ a9si qu'en exam9ant la m>*e de notre intellig5ce dans la solution des que/ions importantes de gomtrie et de mcanique1 n\s voyons surgir naturellem5t1 p> l'int]mdiaire de l'analyse1 les rappro*em5s les plus frqu5s et les plus inatt5dus entre des problmes qui n'(frai5t primitivem5t aucune liaison app>5te1 et que n\s f9issons s\v5t p> envisag] comme id5tiques4 ,p\rrions-n\s1 p> exemple1 sans le sec\rs de l'analyse1 ap]cevoir la mo9dre analogie entre la dt]m9ation de la direction d'une c\rbe *acun de ses po9ts1 et celle de la vitesse acquise p> un corps *aque in/ant de son m\vem5t v>i1 que/ions qui1 quelque div]ses qu'elles soi5t1 n'en font qu'une1 aux yeux du gomtre8 ,la haute p]fection relative de l'analyse ma?matique1 comp>e t\tes les autres bran*es de nos connaissances positives1 se conoit avec la mme facilit1 qu& on a bi5 saisi son vrai c>actre gnral4 ,cette p]fection ne ti5t pas1 comme l'ont cru les mtaphysici5s1 et surt\t ,condillac1 d'aprs un exam5 sup]ficiel1 la nature des signes m9emm5t concis et gnraux qu'on emploie comme in/rum5s de raisonnem5t4 ,dans cette importante occasion spciale1 comme dans t\tes les autres1 l'influ5ce des signes a t considrablem5t exagre1 bi5 qu'elle soit sans d\te1 trs relle1 a9si que l'avai5t reconnu1 avant ,condillac1 et d'une manire bi5 plus exacte1 la plup>t des gomtres4 ,en ralit1 t\tes les gr&es conceptions analytiques ont t =mes sans que les signes algbriques fuss5t d'aucun sec\rs ess5tiel1 autrem5t que p\r les exploit] aprs que l'esprit les avait obt5ues4 ,la p]fection suprieure de la sci5ce du calcul ti5t pr9cipalem5t l'extrme simplicit des ides qu'elle considre1 p> quelques signes qu'elles soi5t exprimes3 en sorte qu'il n'y a pas le mo9dre espoir1 l'aide d'aucun artifice quelconque du langage sci5tifique1 mme en le supposant possible1 de p]fectionn]1 au mme degr1 des ?ories qui1 portant sur des notions plus complexes1 sont ncessairem5t condamnes1 p> leur nature1 une infriorit logique plus ou mo9s gr&e suivant la classe correspondante de phnomnes4 ,l'exam5 que n\s avons t5t de faire1 dans cette leon1 du c>actre philosophique de la sci5ce ma?matique1 re/]ait incomplet1 si1 aprs l'avoir envisage dans son objet et dans sa composition1 n\s n'indiquions pas quelques considrations gnrales directem5t relatives l't5due relle de son doma9e4 cet effet1 il e/ indisp5sable de reconnatre avant t\t1 p\r se faire une ju/e ide de la vritable nature des ma?matiques1 que1 s\s le po9t de vue purem5t logique1 cette sci5ce e/1 p> elle-mme1 ncessairem5t et rig\reusem5t univ]selle4 ,c> il n'y a pas de "q quelconque qui ne puisse f9alem5t tre conue comme consi/ant dt]m9] des quantits les unes p> les autres d'aprs c]ta9es relations1 et1 p> consqu5t1 comme rductible1 en d]nire analyse1 une simple "q de nombres4 ,on le compr5dra si l'on rem>que effectivem5t que1 dans t\tes nos re*]*es1 quelque ordre de phnomnes qu'elles se rapport5t1 n\s avons df9itivem5t en vue d'arriv] des nombres1 des doses4 ,quoique n\s n'y p>v5ions le plus s\v5t que d'une manire =t grossire et d'aprs des m?odes trs inc]ta9es1 il n'en e/ pas mo9s vid5t que tel e/ le t]me rel de t\s nos problmes quelconques4 ,a9si1 p\r pr5dre un exemple dans la classe de phnomne la mo9s accessible l'esprit ma?matique1 les phnomnes des corps vivans1 considrs mme1 p\r plus de complication1 dans le cas pa?ologique1 n'e/-il pas manife/e que t\tes les que/ions de ?rapeutique peuv5t tre envisages comme consi/ant dt]m9] les quantits de t\s les div]s modificateurs de l'organisme qui doiv5t agir sur lui p\r le ram5] l'tat normal1 en admettant1 suivant l'usage des gomtres1 les valeurs nulles1 ngatives1 ou mme contradictoires1 p\r quelques-unes de ces quantits dans c]ta9s cas8 ,sans d\te1 une telle manire de se reprs5t] la "q ne peut tre en effet rellem5t suivie1 comme n\s allons le voir1 p\r les phnomnes les plus complexes1 p>ce qu'elle n\s prs5te dans l'application des difficults insurmontables2 mais qu& il s'agit de concevoir ab/raitem5t t\te la porte intellectuelle d'une sci5ce1 il importe de lui suppos] l'ext5sion totale dont elle e/ logiquem5t susceptible4 ,on object]ait va9em5t contre une telle conception la division gnrale des ides huma9es selon les deux catgories de ,kant1 de la quantit1 et de la qualit1 dont la premire seule con/itu]ait le doma9e exclusif de la sci5ce ma?matique4 ,le dveloppem5t mme de cette sci5ce a montr positivem5t depuis long-temps le peu de ralit de cette sup]ficielle di/9ction mtaphysique4 ,c> la conception fondam5tale de ,desc>tes sur la relation du concret l'ab/rait en ma?matiques1 a pr\v que t\tes les ides de qualit tai5t rductibles des ides de quantit4 ,cette conception1 tablie d'abord1 p> son immortel auteur1 p\r les phnomnes gomtriques seulem5t1 a t ensuite effectivem5t t5due p> ses successeurs aux phnomnes mcaniques2 et elle vi5t de l'tre de nos j\rs aux phnomnes !rmologiques4 ,en rsultat de cette gnralisation graduelle1 il n'y a pas ma9t5ant de gomtres qui ne la considr5t1 dans un s5s purem5t ?orique1 comme p\vant s'appliqu] t\tes nos ides relles quelconques1 en sorte que t\t phnomne soit logiquem5t susceptible d'tre reprs5t p> une quation1 aussi bi5 qu'une c\rbe ou un m\vem5t1 sauf la difficult de la tr\v]1 et celle de la rs\dre1 qui peuv5t tre et sont s\v5t suprieures aux plus gr&es =ces de l'esprit huma94 ,mais si1 p\r se =m] une ide conv5able de la sci5ce ma?matique1 il importe de la concevoir comme tant ncessairem5t d\e p> sa nature d'une rig\reuse univ]salit logique1 il n'e/ pas mo9s indisp5sable de considr] ma9t5ant les gr&es limitations relles qui1 vu la faiblesse de notre intellig5ce1 rtrciss5t s+ulirem5t son doma9e effectif1 mesure que les phnomnes se compliqu5t en se spcialisant4 ,t\te "q peut sans d\te1 a9si que n\s v5ons de le voir1 tre conue comme rductible une pure "q de nombres4 ,mais la difficult de la trait] rellem5t s\s ce po9t de vue1 c'e/--dire d'effectu] une telle trans=mation1 e/ d'autant plus gr&e1 dans les div]ses p>ties ess5tielles de la philosophie naturelle1 que l'on considre des phnomnes plus compliqus1 en sorte que sauf p\r les phnomnes les plus simples et les plus gnraux1 elle devi5t bi5tt insurmontable4 ,on le s5tira aism5t1 si l'on considre que1 p\r faire r5tr] une "q dans le doma9e de l'analyse ma?matique1 il faut d'abord tre p>v5u dc\vrir des relations prcises entre les quantits coexi/antes dans le phnomne tudi1 l'tablissem5t de ces quations des phnomnes tant le po9t de d"p ncessaire de t\s les travaux analytiques4 ,or1 cela doit tre videmm5t d'autant plus difficile1 qu'il s'agit de phnomnes plus p>ticuli]s1 et p> suite plus compliqus4 ,en exam9ant s\s ce po9t de vue les div]ses catgories fondam5tales des phnomnes naturels tablis dans la leon prcd5te1 on tr\v]a que1 t\t bi5 considr1 c'e/ seulem5t au plus p\r les trois premires1 compr5ant t\te la physique inorganique1 qu'on peut lgitimem5t espr] d'atte9dre un j\r ce haut degr de p]fection sci5tifique1 autant du mo9s qu'une telle limite peut tre pose avec prcision4 ,comme je dois plus t>d trait] spcialem5t cette discussion p> rapport *aque sci5ce fondam5tale1 il suffira de l'indiqu] ici de la manire la plus gnrale4 ,la premire condition p\r que des phnomnes comport5t des lois ma?matiques susceptibles d'tre dc\v]tes1 c'e/ videmm5t que les div]ses quantits qu'ils prs5t5t puiss5t donn] lieu des nombres fixes4 ,or1 en comp>ant1 cet g>d1 les deux gr&es sections pr9cipales de la philosophie naturelle1 on voit que la physique organique t\t entire1 et probablem5t aussi les p>ties les plus compliques de la physique inorganique1 sont ncessairem5t inaccessibles1 p> leur nature1 notre analyse ma?matique1 en v]tu de l'extrme v>iabilit numrique des phnomnes correspondans4 ,t\te ide prcise de nombres fixes e/ vritablem5t dplace dans les phnomnes des corps vivans1 qu& on veut l'employ] autrem5t que comme moy5 de s\lag] l'att5tion1 et qu'on atta*e quelque importance aux relations exactes des valeurs assignes4 ,s\s ce rapport1 les rflexions de ,bi*at1 sur l'abus de l'esprit ma?matique en physiologie1 sont p>faitem5t ju/es2 on sait quelles ab]rations a conduit cette manire vicieuse de considr] les corps vivans4 ,les diffr5tes proprits des corps bruts1 surt\t les plus gnrales1 se prs5t5t dans *acun d'eux avec des degrs presque inv>iables1 ou du mo9s elles n'pr\v5t que des v>iations simples1 sp>es p> de longs int]valles d'uni=mit1 et qu'il e/ possible1 en consqu5ce1 d'assujtir des lois prcises et rgulires4 ,a9si1 les qualits physiques d'un corps inorganique1 pr9cipalem5t qu& il e/ solide1 sa =me1 sa consi/ance1 sa pesanteur spcifique1 son la/icit1 etc41 prs5t5t1 p\r un temps considrable1 une fixit numrique rem>quable1 qui p]met de les considr] rellem5t et utilem5t s\s un po9t de vue ma?matique4 ,on sait qu'il n'en e/ dj plus a9si beauc\p prs p\r les phnomnes *imiques que prs5t5t les mmes corps1 et qui1 plus compliqus1 dp5dant d'un bi5 plus gr& nombre de circon/ances1 prs5t5t des v>iations plus t5dues1 plus frqu5tes1 et p> suite plus irrgulires4 ,aussi1 d'aprs quelques considrations dj indiques dans la premire leon 7page #de7 et qui s]ont spcialem5t dveloppes dans le troisime volume de ce c\rs1 on ne peut pas seulem5t assur] auj\rd'hui1 d'une manire gnrale1 qu'il y ait lieu concevoir des nombres fixes en *imie1 mme s\s le rapport le plus simple1 quant aux proportions relatives des corps dans leurs comb9aisons1 ce qui montre clairem5t combi5 un tel ordre de phnomnes e/ encore lo9 de comport] de vritables lois ma?matiques4 ,admettons-en nanmo9s1 p\r ce cas1 la possibilit et mme la probabilit futures1 af9 de ne pas r5dre trop m9utieuse la discussion de la limite gnrale qu'il s'agit d'tablir ici p> rapport l'ext5sion1 effectivem5t possible1 du doma9e rel de l'analyse ma?matique4 ,il n'y aura plus le mo9dre d\te aussitt que n\s pass]ons aux phnomnes que prs5t5t les corps1 considrs dans cet tat d'agitation inte/9e cont9uelle de leurs molcules1 qui con/itue ess5tiellem5t ce que n\s nommons la vie1 envisage de la manire la plus gnrale1 dans l'ensemble des tres qui n\s la manife/5t4 ,en effet1 un c>actre m9emm5t propre aux phnomnes physiologiques1 et que leur tude plus exacte r5d ma9t5ant plus s5sible de j\r en j\r1 c'e/ l'extrme in/abilit numrique qu'ils prs5t5t1 s\s quelque aspect qu'on les exam9e1 et que n\s v]rons plus t>d1 qu& l'ordre naturel des matires n\s y conduira1 tre une consqu5ce ncessaire de la df9ition mme des corps vivans4 ,quant prs5t1 il suffit de not] cette obs]vation inconte/able1 vrifie p> t\s les faits1 que *aque proprit quelconque d'un corps organis1 soit gomtrique1 soit mcanique1 soit *imique1 soit vitale1 e/ assujtie1 dans sa quantit1 d'imm5ses v>iations numriques t\t--fait irrgulires1 qui se succd5t aux int]valles les plus rappro*s s\s l'influ5ce d'une f\le de circon/ances1 tant extrieures qu'intrieures1 v>iables elles-mmes2 en sorte que t\te ide de nombres fixes1 et1 p> suite1 de lois ma?matiques que n\s puissions espr] d'obt5ir1 implique rellem5t contradiction avec la nature spciale de cette classe de phnomnes4 ,a9si1 qu& on veut valu] avec prcision1 mme uniquem5t les qualits les plus simples d'un tre vivant1 p> exemple sa d5sit moy5ne1 ou celle de l'une de ses pr9cipales p>ties con/ituantes1 sa temprature1 la vitesse de sa circulation intrieure1 la proportion des lm5s immdiats qui compos5t ses solides ou ses fluides1 la quantit d'oxigne qu'il consomme en un temps donn1 la masse de ses absorptions ou de ses exhalations cont9uelles1 etc41 et1 plus =te raison1 l'n]gie de ses =ces musculaires1 l'int5sit de ses impressions1 etc41 il ne faut pas seulem5t1 ce qui e/ vid5t1 faire1 p\r *acun de ces rsultats1 autant d'obs]vations qu'il y a d'espces ou de races et de v>its dans *aque espce2 on doit encore mesur] le *angem5t trs-considrable qu'pr\ve cette quantit en passant d'un individu un autre1 et1 quant au mme individu1 suivant son ge1 son tat de sant ou de maladie1 sa disposition intrieure1 les circon/ances de t\t g5re incessamm5t mobiles s\s l'influ5ce desquelles il se tr\ve plac1 telles que la con/itution atmosphrique1 etc4 ,que peuv5t donc signifi] ces prt5dues valuations numriques si soigneusem5t enregi/res p\r les div]s phnomnes physiologiques ou mme pa?ologiques1 et dduites1 dans le cas le plus favorable1 d'une seule mesure relle1 lorsqu'il en faudrait une multitude8 ,elles ne peuv5t qu'induire en erreur sur la vraie m>*e des phnomnes1 et ne doiv5t tre appliques rationnellem5t que comme un moy51 p\r a9si dire mnmonique1 de fix] les ides4 ,dans t\s les cas1 il y a videmm5t impossibilit totale d'obt5ir jamais de vritables lois ma?matiques4 ,il en e/ encore plus =tem5t de mme p\r les phnomnes sociaux1 qui (fr5t une complication encore suprieure1 et1 p> suite1 une v>iabilit plus gr&e1 comme n\s l'tablirons spcialem5t dans le quatrime volume de ce c\rs4 ,ce n'e/ pas nanmo9s qu'on doive cess]1 d'aprs cela1 de concevoir1 en ?se philosophique gnrale1 les phnomnes de t\s les ordres comme ncessairem5t s\mis p> eux-mmes des lois ma?matiques1 que n\s sommes seulem5t condamns ignor] t\j\rs dans la plup>t des cas1 cause de la trop gr&e complication des phnomnes4 ,il n'y a en effet aucune raison de p5s] que1 s\s ce rapport1 les phnomnes les plus complexes des corps vivans soi5t ess5tiellem5t d'une autre nature spciale que les phnomnes les plus simples des corps bruts4 ,c>1 s'il tait possible d'isol] rig\reusem5t *acune des causes simples qui conc\r5t produire un mme phnomne physiologique1 t\t porte croire qu'elle se montr]ait d\e1 dans des circon/ances dt]m9es1 d'un g5re d'influ5ce et d'une quantit d'action aussi exactem5t fixes que n\s le voyons dans la gravitation univ]selle1 vritable type des lois fondam5tales de la nature4 ,ce qui eng5dre la v>iabilit irrgulire des effets1 c'e/ le gr& nombre d'ag5s div]s dt]m9ant la fois un mme phnomne1 et d'o il rsulte que1 dans les phnomnes trs-compliqus1 il n'y a peut-tre pas deux cas rig\reusem5t semblables4 ,n\s n'avons pas beso91 p\r tr\v] une telle difficult1 d'all] jusqu'aux phnomnes des corps vivans4 ,elle se prs5te dj dans ceux des corps bruts1 qu& n\s considrons les cas les plus complexes2 p> exemple1 en tudiant les phnomnes mtorologiques4 ,on ne peut d\t] que *acun des nombreux ag5s qui conc\r5t la production de ces phnomnes ne soit s\mis sp>m5t des lois ma?matiques1 quoique n\s ignorions encore la plup>t d'entr'elles2 mais leur multiplicit r5d les effets obs]vs aussi irrgulirem5t v>iables que si *aque cause n'tait assujtie aucune condition prcise4 ,la considration prcd5te conduit ap]cevoir un second motif di/9ct en v]tu duquel il n\s e/ ncessairem5t int]dit1 vu la faiblesse de notre intellig5ce1 de faire r5tr] l'tude des phnomnes les plus compliqus dans le doma9e des applications de l'analyse ma?matique4 ,en effet1 indp5damm5t de ce que1 dans les phnomnes les plus spciaux1 les rsultats effectifs sont tellem5t v>iables que n\s ne p\vons pas mme y saisir des valeurs fixes1 il suit de la complication des cas1 que1 qu& mme n\s p\rrions connatre un j\r la loi ma?matique laquelle e/ s\mis *aque ag5t pris "p1 la comb9aison d'un aussi gr& nombre de conditions r5drait le problme ma?matique correspondant tellem5t suprieur nos faibles moy5s1 que la "q re/]ait le plus s\v5t insoluble4 ,ce n'e/ donc pas a9si qu'on peut faire une tude relle et fconde de la majeure p>tie des phnomnes naturels4 ,p\r apprci] aussi exactem5t que possible cette difficult1 considrons quel po9t se compliqu5t les que/ions ma?matiques1 mme relativem5t aux phnomnes les plus simples des corps bruts1 qu& on veut rappro*] suffisamm5t l'tat ab/rait de l'tat concret1 en ayant g>d t\tes les conditions pr9cipales qui peuv5t ex]c] sur l'effet produit1 une influ5ce vritable4 ,on sait1 p> exemple1 que le phnomne trs-simple de l'c\lem5t d'un fluide1 en v]tu de sa seule pesanteur1 p> un orifice donn1 n'a pas jusqu' prs5t de solution ma?matique complte1 qu& on veut t5ir compte de t\tes les circon/ances ess5tielles4 ,il en e/ encore a9si1 mme p\r le m\vem5t encore plus simple d'un projectile solide dans un milieu rsi/ant4 ,p\rquoi l'analyse ma?matique a-t-elle pu s'adapt]1 avec un succs si admirable1 l'tude appr(ondie des phnomnes cle/es8 ,p>ce qu'ils sont1 malgr les app>5ces vulgaires1 beauc\p plus simples que t\s les autres4 ,le problme le plus compliqu qu'ils prs5t5t1 celui de la modification que produit1 dans le m\vem5t de deux corps t5dant l'un v]s l'autre en v]tu de leur gravitation1 l'influ5ce d'un troisime corps agissant sur t\s deux de la mme manire1 e/ bi5 mo9s compos que le problme t]re/re le plus simple4 ,et1 nanmo9s1 il (fre dj une telle difficult1 que n\s n'en possdons encore que des solutions approximatives4 ,il e/ mme ais de voir1 en exam9ant ce sujet plus pr(ondm5t1 que la haute p]fection laquelle a pu s'lev] l'a/ronomie solaire p> l'emploi de la sci5ce ma?matique e/ encore ess5tiellem5t due ce que n\s avons pr(it avec adresse de t\tes les facilits p>ticulires1 et1 p\r a9si dire1 accid5telles1 qu'(frait p\r la solution des problmes la con/itution spciale1 trs-favorable s\s ce rapport1 de notre sy/me plantaire4 ,en effet1 les plantes dont il se compose sont assez peu nombreuses1 mais surt\t elles sont1 en gnral1 de masses =t 9gales et bi5 mo9dres que celle du soleil1 et de plus =t loignes les unes des autres2 elles ont des =mes presque sphriques2 leurs orbites sont presque circulaires1 et prs5t5t de faibles incl9aisons mutuelles1 etc4 ,il rsulte de cet ensemble de circon/ances que les p]turbations sont le plus s\v5t peu considrables1 et que p\r les calcul] il suffit ord9airem5t de t5ir compte1 concurremm5t avec l'action du soleil sur *aque plante en p>ticuli]1 de l'influ5ce d'une seule autre plante1 susceptible1 p> sa grosseur et sa proximit1 de dt]m9] des drangem5s s5sibles4 ,mais si1 au lieu d'un tel tat de *oses1 notre sy/me solaire et t compos d'un plus gr& nombre de plantes conc5tres dans un mo9dre espace1 et peu prs gales en masse2 si leurs orbites avai5t (f]t des incl9aisons =t diffr5tes1 et des exc5tricits considrables2 si ces corps euss5t t d'une =me plus complique1 p> exemple1 des ellipsodes trs-exc5triques1 etc42 il e/ c]ta9 qu'en supposant la mme loi relle de gravitation1 n\s ne s]ions pas encore p>v5us s\mettre l'tude des phnomnes cle/es notre analyse ma?matique1 et probablem5t n\s n'eussions pas mme pu dml] jusqu' prs5t la loi pr9cipale4 ,ces conditions hypo?tiques se tr\v]ai5t prcism5t ralises au plus haut degr dans les phnomnes *imiques1 si on v\lait les calcul] d'aprs la ?orie de la gravitation gnrale4 ,en pesant conv5ablem5t les div]ses considrations qui prcd5t1 on s]a conva9cu1 je crois1 qu'en rduisant aux div]ses p>ties de la physique inorganique l'ext5sion future des gr&es applications rellem5t possibles de l'analyse ma?matique1 j'ai bi5 plutt exagr que rtrci l't5due de son doma9e effectif4 ,autant il importait de r5dre s5sible la rig\reuse univ]salit logique de la sci5ce ma?matique1 autant je devais signal] les conditions qui limit5t p\r n\s son ext5sion relle1 af9 de ne pas contribu] c>t] l'esprit huma9 de la vritable direction sci5tifique dans l'tude des phnomnes les plus compliqus1 p> la re*]*e *imrique d'une p]fection impossible4 ,a9si1 t\t en s'ef=ant d'agr&ir autant qu'on le p\rra le doma9e rel des ma?matiques1 on doit reconnatre que les sci5ces les plus difficiles sont de/9es1 p> leur nature1 re/] indf9im5t dans cet tat prlim9aire qui prp>e p\r les autres l'poque o elles devi5n5t accessibles aux ?ories ma?matiques4 ,n\s devons1 p\r les phnomnes les plus compliqus1 n\s cont5t] d'analys] avec exactitude les circon/ances de leur production1 de les ratta*] les uns aux autres d'une manire gnrale1 de connatre le g5re d'influ5ce qu'ex]ce *aque ag5t pr9cipal1 etc42 mais sans les tudi] s\s le po9t de vue de la quantit1 et p> consqu5t sans espoir d'introduire1 dans les sci5ces correspondantes1 ce haut degr de p]fection que procure1 quant aux phnomnes les plus simples1 un usage conv5able de la ma?matique1 soit s\s le rapport de la prcision de nos connaissances1 soit1 ce qui e/ peut-tre encore plus rem>quable1 s\s le rapport de leur coord9ation4 ,c'e/ p> les ma?matiques que la philosophie positive a comm5c se =m]3 c'e/ d'elles que n\s vi5t la m?ode4 ,il tait donc naturellem5t 9vitable que1 lorsque la mme manire de procd] a d s't5dre *acune des autres sci5ces fondam5tales1 on s'ef=t d'y introduire l'esprit ma?matique un plus haut degr que ne le comportai5t les phnomnes correspondans2 ce qui a donn lieu ensuite des travaux d'puration plus ou mo9s t5dus1 comme ceux de ,b]?ollet sur la *imie1 p\r se dgag] de cette influ5ce exagre4 ,mais *aque sci5ce1 en se dveloppant1 a fait subir la m?ode positive gnrale des modifications dt]m9es p> les phnomnes qui lui sont propres1 d'o rsulte son gnie spcial2 c'e/ seulem5t alors qu'elle a pris son vritable c>actre df9itif1 qui ne doit jamais tre confondu avec celui d'aucune autre sci5ce fondam5tale4 ,ayant expos1 dans cette leon1 le b ess5tiel et la composition pr9cipale de la sci5ce ma?matique1 a9si que ses relations gnrales avec l'ensemble de la philosophie naturelle1 son c>actre philosophique se tr\ve dt]m91 autant qu'il puisse l'tre p> un tel ap]u4 ,n\s devons pass] ma9t5ant l'exam5 spcial de *acune des trois gr&es sci5ces dont elle e/ compose1 le calcul1 la gomtrie et la mcanique4 ,,quatri,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,vue gnrale de l',analyse ma?matique4 ,dans le dveloppem5t hi/orique de la sci5ce ma?matique depuis ,desc>tes1 les progrs de la p>tie ab/raite ont presque t\j\rs t dt]m9s p> ceux de la p>tie concrte4 ,mais il n'en e/ pas mo9s ncessaire1 p\r concevoir la sci5ce d'une manire vraim5t rationnelle1 de considr] le calcul dans t\tes ses bran*es pr9cipales avant de procd] l'tude philosophique de la gomtrie et de la mcanique4 ,les ?ories analytiques1 plus simples et plus gnrales que celles de la ma?matique concrte1 en sont1 p> elles-mmes1 ess5tiellem5t indp5dantes2 t&is que celles-ci ont1 au contraire1 de leur nature1 un beso9 cont9uel des premires1 sans le sec\rs desquelles elles ne p\rrai5t faire presque aucun progrs4 ,quoique les pr9cipales conceptions de l'analyse cons]v5t encore auj\rd'hui quelques traces trs-s5sibles de leur orig9e gomtrique ou mcanique1 elles sont ma9t5ant nanmo9s ess5tiellem5t dgages de ce c>actre primitif1 qui ne se manife/e plus gure que p\r quelques po9ts secondaires2 en sorte que1 depuis les travaux de ,lagrange surt\t1 il e/ possible1 dans une exposition dogmatique1 de les prs5t] d'une manire purem5t ab/raite1 en un sy/me unique et cont9u4 ,c'e/ ce que je vais entrepr5dre dans cette leon et dans les c9q suivantes1 en me bornant1 comme il convi5t la nature de ce c\rs1 aux considrations les plus gnrales sur *aque bran*e pr9cipale de la sci5ce du calcul4 ,le b df9itif de nos re*]*es dans la ma?matique concrte tant la dc\v]te des quations1 qui exprim5t les lois ma?matiques des phnomnes considrs1 et ces quations con/ituant le vritable po9t de d"p du calcul1 dont l'objet e/ d'en dduire la dt]m9ation des quantits les unes p> les autres1 je crois indisp5sable1 avant d'all] plus lo91 d'appr(ondir1 plus qu'on n'a c\tume de le faire1 cette ide fondam5tale d'quation1 sujet cont9uel1 soit comme t]me1 soit comme orig9e1 de t\s les travaux ma?matiques4 ,outre l'avantage de mieux circonscrire le vritable *amp de l'analyse1 il en rsult]a ncessairem5t cette importante consqu5ce1 de trac] d'une manire plus exacte la ligne relle de dm>cation entre la p>tie concrte et la p>tie ab/raite des ma?matiques1 ce qui complt]a l'exposition gnrale de la division fondam5tale tablie dans la leon prcd5te4 ,on se =me ord9airem5t une ide beauc\p trop vague de ce que c'e/ qu'une quation1 lorsqu'on donne ce nom t\te espce de relation d'galit entre deux fonctions quelconques des gr&eurs que l'on considre4 ,c>1 si t\te quation e/ videmm5t une relation d'galit1 il s'en faut de beauc\p que1 rciproquem5t1 t\te relation d'galit soit une vritable quation1 du g5re de celles auxquelles1 p> leur nature1 les m?odes analytiques sont applicables4 ,ce dfaut de prcision dans la considration logique d'une notion aussi fondam5tale en ma?matiques1 entrane le grave inconvni5t de r5dre peu prs inexplicable1 en ?se gnrale1 la difficult imm5se et capitale que n\s pr\vons tablir la relation du concret l'ab/rait1 et qu'on fait communm5t ressortir avec tant de raison p\r *aque gr&e "q ma?matique prise "p4 ,si le s5s du mot quation tait vraim5t aussi t5du qu'on le suppose habituellem5t en le df9issant1 on ne voit po9t1 en effet1 de quelle gr&e difficult p\rrait tre rellem5t1 en gnral1 l'tablissem5t des quations d'un problme quelconque4 ,c> t\t p>atrait consi/] a9si en une simple "q de =me1 qui ne devrait pas mme exig] jamais de gr&s ef=ts intellectuels1 att5du que n\s ne p\vons gure concevoir de relation prcise qui ne soit pas immdiatem5t une c]ta9e relation d'galit1 ou qui n'y puisse tre promptem5t ram5e p> quelques trans=mations trs-faciles4 ,a9si1 en admettant1 en gnral1 dans la df9ition des quations1 t\te espce de fonctions1 on ne r5d nullem5t raison de l'extrme difficult qu'on pr\ve le plus s\v5t mettre un problme en quation1 et qui e/ si frquemm5t comp>able aux ef=ts qu'exige l'laboration analytique de l'quation une fois obt5ue4 ,en un mot1 l'ide ab/raite et gnrale qu'on donne de l'quation ne correspond aucunem5t au s5s rel que les gomtres atta*5t cette expression dans le dveloppem5t effectif de la sci5ce4 ,il y a l un vice logique1 un dfaut de corlation1 qu'il importe beauc\p de rectifi]4 ,p\r y p>v5ir1 je di/+ue d'abord deux sortes de fonctions3 les fonctions ab/raites1 analytiques1 et les fonctions concrtes4 ,les premires peuv5t seules entr] dans les vritables quations1 en sorte qu'on p\rra dsormais df9ir1 d'une manire exacte et suffisamm5t appr(ondie1 t\te quation3 une relation d'galit entre deux fonctions ab/raites des gr&eurs considres4 ,af9 de n'avoir plus rev5ir sur cette df9ition fondam5tale1 je dois aj\t] ici1 comme un complm5t indisp5sable sans lequel l'ide ne s]ait po9t assez gnrale1 que ces fonctions ab/raites peuv5t se rapport] non-seulem5t aux gr&eurs que le problme prs5te en effet de lui-mme1 mais aussi t\tes les autres gr&eurs auxiliaires qui s'y ratta*5t1 et qu'on p\rra s\v5t introduire1 simplem5t p> artifice ma?matique1 dans la seule vue de facilit] la dc\v]te des quations des phnomnes4 ,je ne fais ici1 dans cette explication1 qu'emprunt] sommairem5t1 p> anticipation1 le rsultat d'une discussion gnrale de la plus haute importance1 qui se tr\v]a la f9 de cette leon4 ,rev5ons ma9t5ant la di/9ction ess5tielle des fonctions en ab/raites et concrtes4 ,cette di/9ction peut tre tablie p> deux voies ess5tiellem5t diffr5tes1 complm5taires l'une de l'autre2 priori1 et po/]iori3 c'e/--dire1 en c>actrisant d'une manire gnrale la nature propre de *aque espce de fonctions1 et ensuite en faisant1 ce qui e/ possible1 l'numration effective de t\tes les fonctions ab/raites auj\rd'hui connues1 du mo9s quant aux lm5s dont elles se compos5t4 ,a priori1 les fonctions que j'appelle ab/raites sont celles qui exprim5t entre des gr&eurs un mode de dp5dance qu'on peut concevoir uniquem5t entre nombres1 sans qu'il soit beso9 d'indiqu] aucun phnomne quelconque o il se tr\ve ralis4 ,je nomme1 au contraire1 fonctions concrtes celles p\r lesquelles le mode de dp5dance exprim ne peut tre df9i ni conu qu'en assignant un cas physique dt]m91 gomtrique1 mcanique1 ou de t\t autre nature1 dans lequel il ait effectivem5t lieu4 ,la plup>t des fonctions1 leur orig9e1 celles mmes qui sont auj\rd'hui le plus purem5t ab/raites1 ont comm5c p> tre concrtes2 en sorte qu'il e/ ais de faire compr5dre la di/9ction prcd5te1 en se bornant cit] les div]s po9ts de vue successifs s\s lesquels1 mesure que la sci5ce s'e/ =me1 les gomtres ont considr les fonctions analytiques les plus simples4 ,j'indiqu]ai p\r exemple les puissances1 dev5ues en gnral fonctions ab/raites1 depuis seulem5t les travaux de ,vite et de ,desc>tes4 ,ces fonctions x#b1 x#c1 qui1 dans notre analyse actuelle1 sont si bi5 conues comme simplem5t ab/raites1 n'tai5t1 p\r les gomtres de l'antiquit1 que des fonctions entirem5t concrtes1 exprimant la relation de la sup]ficie d'un c>r ou du volume d'un cube la longueur de leur ct4 ,elles avai5t si exclusivem5t leurs yeux un tel c>actre1 que c'e/ seulem5t d'aprs leur df9ition gomtrique qu'ils avai5t dc\v]t les proprits algbriques lm5taires de ces fonctions1 relativem5t la dcomposition de la v>iable en deux p>ties1 proprits qui n'tai5t1 cette poque1 que de vrais ?ormes de gomtrie1 auxquels on n'a atta* que beauc\p plus t>d un s5s numrique4 ,j'aurai encore occasion de cit] t\t l'heure1 p\r un autre motif1 un n\vel exemple trs-propre faire bi5 s5tir la di/9ction fondam5tale que je vi5s d'expos]2 c'e/ celui des fonctions circulaires1 soit directes1 soit inv]ses1 qui sont encore auj\rd'hui tantt concrtes1 tantt ab/raites1 selon le po9t de vue s\s lequel on les envisage4 ,considrant ma9t5ant1 po/]iori1 cette division des fonctions1 aprs avoir tabli le c>actre gnral qui r5d une fonction ab/raite ou concrte1 la "q de savoir si telle fonction dt]m9e e/ vritablem5t ab/raite1 et p>-l susceptible d'entr] dans de vraies quations analytiques1 va dev5ir une simple "q de fait1 puisque n\s allons numr] t\tes les fonctions de cette espce4 ,au premi] abord1 cette numration semble impossible1 les fonctions analytiques di/9ctes tant videmm5t en nombre inf9i4 ,mais1 en les p>tageant en simples et composes1 la difficult disp>at4 ,c>1 si le nombre des div]ses fonctions considres dans l'analyse ma?matique e/ rellem5t inf9i1 elles sont1 au contraire1 mme auj\rd'hui1 composes d'un =t petit nombre de fonctions lm5taires1 qu'on peut aism5t assign]1 et qui suffis5t videmm5t p\r dcid] du c>actre ab/rait ou concret de telle fonction dt]m9e1 qui s]a de l'une ou de l'autre nature1 selon qu'elle se compos]a exclusivem5t de ces fonctions ab/raites simples1 ou qu'elle en compr5dra d'autres4 ,voici le tableau de ces lm5s fondam5taux de t\tes nos comb9aisons analytiques1 dans l'tat prs5t de la sci5ce4 ,on ne doit1 videmm5t1 considr]1 cet effet1 que les fonctions d'une seule v>iable2 celles relatives plusieurs v>iables indp5dantes tant con/amm5t1 p> leur nature1 plus ou mo9s composes4 ,soit x la v>iable indp5dante1 y la v>iable corelative qui en dp5d4 ,les diffr5s modes simples de dp5dance ab/raite que n\s p\vons ma9t5ant concevoir entre y et x1 sont exprims p> les dix =mules lm5taires suivantes1 dans lesquelles *aque fonction e/ acc\ple avec son inv]se1 c'e/--dire1 avec celle qui aurait lieu1 d'aprs la fonction directe1 si on y rapportait x y1 au lieu de rapport] y x3 #a;er c\ple _/left_/beg9arrayll#a_/rm o_/2yax_/ldots_/ _/mboxfonctionsomme1_/_/ #b_/rm o_/2ya-x_/ldots_/ _/mboxfonction _/emdiff_/'er5ce1_/endarray_/"r4 #bme c\ple _/left_/beg9arrayll#a_/rm o_/2yax_/ldots_/ _/mboxfonctionproduit1_/_/ #b_/rm o_/2y_/fracax_/ldots_/ _/mboxfonctionquoti5t1_/endarray_/"r4 #cme c\ple _/left_/beg9arrayll#a_/rm o_/2yxa_/ldots_/ _/mboxfonctionpuissance1_/_/ #b_/rm o_/2y_/sqrtax_/ldots_/ _/mboxfonctionrac9e1_/endarray_/"r4 #dme c\ple _/left_/beg9arrayll#a_/rm o_/2yax_/ldots_/ _/mboxfonctionexpon5tielle1_/_/ #b_/rm o_/2lax_/ldots_/ _/mboxfonctionlog>i?mique1_/endarray_/"r 4 #eme c\ple#d _/left_/beg9arrayll#a_/rm o_/2y_/mboxs9x_/ldots_/ _/mbox_/rm fonctioncirculaire_/2directe1_/_/ #b_/rm o_/2y_/mboxarc7s9x7_/ldots_/ _/mboxfonctioncirculaire_/2inv]se4_/enda rray_/"r4 ,note #d3 ,dans la vue d'augm5t] autant que possible les ress\rces et l't5due si insuffisantes de l'analyse ma?matique1 les gomtres compt5t ce d]ni] c\ple de fonctions p>mi les lm5s analytiques4 ,quoique cette inscription soit /rictem5t lgitime1 il importe de rem>qu] que les fonctions circulaires ne sont pas exactem5t dans le mme cas que les autres fonctions ab/raites lm5taires4 ,il y a entr'elles cette diffr5ce =t ess5tielle1 que les fonctions des quatre premi]s c\ples sont vraim5t la fois simples et ab/raites1 t&is que les fonctions circulaires1 qui peuv5t manife/] successivem5t l'un et l'autre c>actre suivant le po9t de vue s\s lequel on les envisage et la manire dont elles sont employes1 ne prs5t5t jamais simultanm5t ces deux proprits4 ,la fonction s9 x e/ introduite dans l'analyse comme une n\velle fonction simple1 qu& on la conoit seulem5t comme indiquant la relation gomtrique dont elle drive2 mais alors elle n'e/ videmm5t qu'une fonction concrte4 ,dans d'autres circon/ances1 elle remplit analytiquem5t les conditions d'une vritable fonction ab/raite1 lorsqu'on ne considre s9 x que comme l'expression abrge de la =mule _/fracex_/sqrt-#a-;e-x_/sqrt-#ab_/sqrt-# a ou de la srie quival5te2 mais s\s ce d]ni] po9t de vue1 ce n'e/ plus rellem5t une n\velle fonction analytique1 puisqu'elle ne se prs5te que comme un compos des prcd5tes4 ,nanmo9s1 les fonctions circulaires ont quelques qualits spciales qui p]mett5t de les ma9t5ir au tableau des lm5s rationnels de l'analyse ma?matique4 #a ,elles sont susceptibles d'valuation1 quoique cons]vant leur c>actre concret2 ce qui autorise les introduire dans les quations1 tant qu'elles ne port5t que sur des donnes1 sans qu'il soit ncessaire d'avoir g>d leur expression algbrique4 #b ,on sait effectu] sur les diffr5tes fonctions circulaires1 comp>es entr'elles seulem5t1 une c]ta9e suite de trans=mations1 qui n'exig5t pas davantage la connaissance de leur df9ition analytique4 ,il en rsulte videmm5t la facult d'introduire ces fonctions dans les quations1 mme p> rapport aux inconnues1 p\rvu qu'il n'y entre pas concurremm5t des fonctions non-trigonomtriques des mmes v>iables4 ,c'e/ donc uniquem5t dans les cas o les fonctions circulaires1 relativem5t aux inconnues1 sont comb9es dans les quations avec des fonctions ab/raites d'une autre espce1 qu'il e/ indisp5sable d'avoir g>d leur int]prtation algbrique p\r p\voir rs\dre les quations1 et ds lors elles cess5t1 en effet1 d'tre traites comme de n\velles fonctions simples4 ,mais alors mme1 p\rvu qu'on ti5ne compte de cette int]prtation1 leur admission n'emp*e po9t les relations d'avoir le c>actre de vritables quations analytiques1 ce qui e/ ici le b ess5tiel de notre numration des fonctions ab/raites lm5taires4 ,il e/ rem>qu]1 d'aprs les considrations indiques dans cette note1 que plusieurs autres fonctions concrtes peuv5t tre utilem5t introduites au nombre des lm5s analytiques1 si les conditions pr9cipales poses ci-dessus p\r les fonctions circulaires ont t pralablem5t bi5 remplies4 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 que les travaux de ,m4 ,leg5dre1 et rcemm5t ceux de ,m4 ,jacobi1 sur les fonctions elliptiques1 ont vraim5t agr&i le *amp de l'analyse2 il en e/ de mme p\r quelques intgrales df9ies obt5ues p> ,m4 ,f\ri]1 dans la ?orie de la *aleur4 ,tels sont les lm5s trs-peu nombreux qui compos5t directem5t t\tes les fonctions ab/raites auj\rd'hui connues4 ,quelque peu multiplis qu'ils soi5t1 ils suffis5t videmm5t p\r donn] lieu un nombre t\t--fait inf9i de comb9aisons analytiques4 ,aucune considration rationnelle ne circonscrit rig\reusem5t priori le tableau prcd5t1 qui n'e/ que l'expression effective de l'tat actuel de la sci5ce4 ,nos lm5s analytiques sont auj\rd'hui plus nombreux qu'ils ne l'tai5t p\r ,desc>tes1 et mme p\r ,newton et ,lebnitz2 il y a t\t au plus un sicle que les deux d]ni]s c\ples ont t introduits dans l'analyse p> les travaux de ,jean ,b]n\illi et d',eul]4 ,sans d\te on en admettra de n\veaux dans la suite2 mais1 comme je l'indiqu]ai la f9 de cette leon1 n\s ne p\vons pas espr] qu'ils soi5t jamais =t multiplis1 leur augm5tation relle donnant lieu de trs-gr&es difficults4 ,n\s p\vons donc ma9t5ant n\s =m] une ide positive1 et nanmo9s suffisamm5t t5due1 de ce que les gomtres ent5d5t p> une vritable quation4 ,cette explication e/ m9emm5t propre n\s faire compr5dre combi5 il doit tre difficile d'tablir rellem5t les quations des phnomnes1 puisqu'on n'y e/ effectivem5t p>v5u que lorsqu'on a pu concevoir les lois ma?matiques de ces phnomnes l'aide de fonctions entirem5t composes des seuls lm5s analytiques que je vi5s d'numr]4 ,il e/ clair1 en effet1 que c'e/ uniquem5t alors que le problme devi5t vraim5t ab/rait1 et se rduit une pure "q de nombres1 ces fonctions tant les seules relations simples que n\s sa*ions concevoir entre les nombres1 considrs en eux-mmes4 ,jusqu' cette poque de la solution1 quelles que soi5t les app>5ces1 la "q e/ encore ess5tiellem5t concrte1 et ne r5tre pas dans le doma9e du calcul4 ,or1 la difficult fondam5tale de ce passage du concret l'ab/rait consi/e surt\t1 en gnral1 dans l'insuffisance de ce trs-petit nombre d'lm5s analytiques que n\s possdons1 et d'aprs lesquels nanmo9s1 malgr le peu de v>it relle qu'ils n\s (fr5t1 il faut p>v5ir se reprs5t] t\tes les relations prcises que peuv5t n\s manife/] t\s les diffr5s phnomnes naturels4 ,vu l'inf9ie div]sit qui doit ncessairem5t exi/] cet g>d dans le monde extrieur1 on compr5d sans pe9e combi5 nos conceptions doiv5t se tr\v] frquemm5t au-dess\s de la vritable difficult2 surt\t si l'on aj\te que1 ces lm5s de notre analyse n\s ayant t f\rnis primitivem5t p> la considration ma?matique des phnomnes les plus simples1 puisqu'ils ont t\s1 directem5t ou indirectem5t1 une orig9e gomtrique1 n\s n'avons priori aucune g>antie rationnelle de leur aptitude ncessaire reprs5t] les lois ma?matiques de t\te autre classe de phnomnes4 ,j'expos]ai t\t l'heure l'artifice gnral1 si pr(ondm5t +nieux1 p> lequel l'esprit huma9 e/ p>v5u dim9u] s+ulirem5t cette difficult fondam5tale que prs5te la relation du concret l'ab/rait en ma?matiques1 sans cep5dant qu'il ait t ncessaire de multipli] le nombre de ces lm5s analytiques4 ,les explications prcd5tes dt]m95t avec prcision le vritable objet et le *amp rel de la ma?matique ab/raite2 je dois pass] ma9t5ant l'exam5 de ses divisions pr9cipales1 c> n\s avons t\j\rs jusqu'ici considr le calcul dans son ensemble total4 ,la premire considration directe prs5t] sur la composition de la sci5ce du calcul1 consi/e la divis] d'abord en deux bran*es pr9cipales1 auxquelles1 faute de dnom9ations plus conv5ables1 je donn]ai les noms de calcul algbrique ou algbre1 et de calcul ari?mtique ou ari?mtique1 mais en av]tissant de pr5dre ces deux expressions dans leur acception logique la plus t5due1 au lieu du s5s beauc\p trop re/re9t qu'on leur atta*e ord9airem5t4 ,la solution complte de t\te "q de calcul1 depuis la plus lm5taire jusqu' la plus transc5dante1 se compose ncessairem5t de deux p>ties successives dont la nature e/ ess5tiellem5t di/9cte4 ,dans la premire1 on a p\r objet de trans=m] les quations proposes1 de faon mettre en vid5ce le mode de =mation des quantits inconnues p> les quantits connues2 c'e/ ce qui con/itue la "q algbrique4 ,dans la seconde1 on a en vue d'valu] les =mules a9si obt5ues1 c'e/--dire1 de dt]m9] immdiatem5t la valeur des nombres *]*s1 reprs5ts dj p> c]ta9es fonctions explicites des nombres donns2 telle e/ la "q ari?mtique#e4 ,on voit que1 dans t\te solution vraim5t rationnelle1 elle suit ncessairem5t la "q algbrique1 dont elle =me le complm5t indisp5sable1 puisqu'il faut videmm5t connatre la gnration des nombres *]*s avant de dt]m9] leurs valeurs effectives p\r *aque cas p>ticuli]4 ,a9si1 le t]me de la p>tie algbrique devi5t le po9t de d"p de la p>tie ari?mtique4 ,note #e3 ,supposons1 p> exemple1 qu'une "q f\rnisse entre une gr&eur inconnue x et deux gr&eurs connues a et b l'quation3 _/x#c #c;ax #b;b_/ comme il arriv]ait p\r la trisection d'un angle4 ,on voit1 de suite1 que la dp5dance entre x d'une "p1 et a1 b de l'autre1 e/ compltem5t dt]m9e2 mais1 tant que l'quation cons]ve sa =me primitive1 on n'ap]oit nullem5t de quelle manire l'inconnue drive des donnes4 ,c'e/ cep5dant ce qu'il faut dc\vrir avant de p5s] l'valu]4 ,tel e/ l'objet de la p>tie algbrique de la solution4 ,lorsque1 p> une suite de trans=mations qui ont successivem5t r5du cette drivation de plus en plus s5sible1 on e/ arriv prs5t] l'quation propose s\s la =me _/x _/sqrt#c;b_/sqrtb#b;a#c _/sqrt7#c7;b-_/sqrtb#b;a#c_/ le rle de l'algbre e/ t]m92 et1 qu& mme on ne saurait po9t effectu] les oprations ari?mtiques indiques p> cette =mule1 on en n'aurait pas mo9s obt5u une connaissance trs-relle et s\v5t =t importante4 ,le rle de l'ari?mtique consi/]a ma9t5ant1 en p>tant de cette =mule1 faire tr\v] le nombre x qu& les valeurs des nombres a et b auront t fixes4 ,le calcul algbrique et le calcul ari?mtique diffr5t donc ess5tiellem5t p> le b qu'on s'y propose4 ,ils ne diffr5t pas mo9s p> le po9t de vue s\s lequel on y considre les quantits1 envisages1 dans le premi]1 quant leurs relations1 et1 dans le second1 quant leurs valeurs4 ,le vritable esprit du calcul1 en gnral1 exige que cette di/9ction soit ma9t5ue avec la plus svre exactitude1 et que la ligne de dm>cation entre les deux poques de la solution soit r5due aussi nettem5t tran*e que le p]met la "q propose4 ,l'obs]vation att5tive de ce prcepte1 trop mconnu1 peut tre d'un utile sec\rs dans *aque "q p>ticulire1 en dirigeant les ef=ts de notre esprit1 un in/ant quelconque de la solution1 v]s la vritable difficult correspondante4 la vrit1 l'imp]fection de la sci5ce du calcul oblige s\v5t1 comme je l'expliqu]ai dans la leon suivante1 ml] trs-frquemm5t les considrations algbriques et les considrations ari?mtiques p\r la solution d'une mme "q4 ,mais1 quoiqu'il soit impossible alors de p>tag] l'ensemble du travail en deux p>ties nettem5t tran*es1 l'une purem5t algbrique1 et l'autre purem5t ari?mtique1 on p\rra t\j\rs vit]1 l'aide des indications prcd5tes1 de confondre les deux ordres de considrations1 quelque intime que puisse tre jamais leur mlange4 ,en *]*ant rsum] le plus succ9ctem5t possible la di/9ction que je vi5s d'tablir1 on voit que l'algbre peut se df9ir1 en gnral1 comme ayant p\r objet la rsolution des quations1 ce qui1 quoique p>aissant d'abord trop re/re9t1 e/ nanmo9s suffisamm5t t5du1 p\rvu qu'on pr5ne ces expressions dans t\te leur acception logique1 qui signifie trans=m] des fonctions implicites en fonctions explicites quival5tes3 de mme1 l'ari?mtique peut tre df9ie comme de/9e l'valuation des fonctions4 ,a9si1 en contractant les expressions au plus haut degr1 je crois p\voir donn] nettem5t une ju/e ide de cette division1 en disant1 comme je le f]ai dsormais p\r vit] les priphrases explicatives1 que l'algbre e/ le calcul des fonctions1 et l'ari?mtique le calcul des valeurs4 ,il e/ ais de compr5dre p>-l combi5 les df9itions ord9aires sont insuffisantes et mme vicieuses4 ,le plus s\v5t1 l'importance exagre accorde aux signes a conduit di/+u] ces deux bran*es fondam5tales de la sci5ce du calcul p> la manire de dsign] dans *acune les sujets du raisonnem5t1 ce qui e/ videmm5t absurde en pr9cipe et faux en fait4 ,mme la clbre df9ition donne p> ,newton1 lorsqu'il a c>actris l'algbre comme l'ari?mtique univ]selle1 donne c]ta9em5t une trs-fausse ide de la nature de l'algbre et de celle de l'ari?mtique#f4 ,note #f3 ,j'ai cru devoir signal] spcialem5t cette df9ition2 p>ce qu'elle s]t de base l'op9ion que beauc\p de bons esprits1 trang]s la sci5ce ma?matique1 se =m5t de la p>tie ab/raite de cette sci5ce1 sans considr] qu' l'poque o cet ap]u a t =m1 l'analyse ma?matique n'tait po9t assez dveloppe p\r que le c>actre gnral propre *acune de ses p>ties pr9cipales pt tre conv5ablem5t saisi1 ce qui explique p\rquoi ,newton a pu propos] alors une df9ition qu'il rejett]ait c]ta9em5t auj\rd'hui4 ,aprs avoir tabli la division fondam5tale du calcul en deux bran*es pr9cipales1 je dois comp>]1 en gnral1 l't5due1 l'importance et la difficult de ces deux sortes de calcul1 af9 de n'avoir plus considr] que le calcul des fonctions1 qui doit tre le sujet ess5tiel de notre tude4 ,le calcul des valeurs1 ou l'ari?mtique1 p>at1 au premi] abord1 devoir prs5t] un *amp aussi va/e que celui de l'algbre1 puisqu'il semble devoir donn] lieu autant de que/ions di/9ctes qu'on peut concevoir de =mules algbriques diffr5tes valu]4 ,mais une rflexion =t simple suffit p\r montr] que le doma9e du calcul des valeurs e/1 p> sa nature1 inf9im5t mo9s t5du que celui du calcul des fonctions4 ,c>1 en di/+uant les fonctions en simples et composes1 il e/ vid5t que lorsqu'on sait valu] les fonctions simples1 la considration des fonctions composes ne prs5te plus1 s\s ce rapport1 aucune difficult4 ,s\s le po9t de vue algbrique1 une fonction compose j\e un rle trs-diffr5t de celui des fonctions lm5taires qui la con/itu5t1 et c'e/ de l prcism5t que naiss5t t\tes les pr9cipales difficults analytiques4 ,mais il en e/ t\t autrem5t p\r le calcul ari?mtique4 ,a9si1 le nombre des oprations ari?mtiques1 vraim5t di/9ctes1 e/ seulem5t m>qu p> celui des fonctions ab/raites lm5taires1 dont j'ai prs5t ci-dessus le tableau trs-peu t5du4 ,l'valuation de ces dix fonctions donne ncessairem5t celle de t\tes les fonctions1 en nombre inf9i1 que l'on considre dans l'ensemble de l'analyse ma?matique1 telle1 du mo9s1 qu'elle exi/e auj\rd'hui4 quelques =mules que puisse conduire l'laboration des quations1 il n'y aurait lieu de n\velles oprations ari?mtiques que si l'on en v5ait crer de vritables n\veaux lm5s analytiques1 dont le nombre s]a t\j\rs1 quoi qu'il arrive1 extrmem5t petit4 ,le *amp de l'ari?mtique e/ donc1 p> sa nature1 inf9im5t re/re9t1 t&is que celui de l'algbre e/ rig\reusem5t indf9i4 ,il importe cep5dant de rem>qu] que le doma9e du calcul des valeurs e/1 en ralit1 beauc\p plus t5du qu'on ne se le reprs5te communm5t4 ,c> plusieurs que/ions1 vritablem5t ari?mtiques1 puisqu'elles consi/5t dans des valuations1 ne sont po9t ord9airem5t classes comme telles1 p>ce qu'on a l'habitude de ne les trait] que comme incid5tes1 au milieu d'un ensemble de re*]*es analytiques plus ou mo9s leves3 la trop haute op9ion qu'on se =me communm5t de l'influ5ce des signes e/ encore la cause pr9cipale de cette confusion d'ides4 ,a9si1 non-seulem5t la con/ruction d'une table de log>i?mes1 mais aussi le calcul des tables trigonomtriques1 sont de vritables oprations ari?mtiques d'un g5re suprieur4 ,on peut cit] encore comme tant dans le mme cas1 quoique dans un ordre trs-di/9ct et plus lev1 t\s les procds p> lesquels on dt]m9e directem5t la valeur d'une fonction quelconque p\r *aque sy/me p>ticuli] de valeurs attribues aux quantits dont elle dp5d1 lorsqu'on ne peut po9t p>v5ir connatre gnralem5t la =me explicite de cette fonction4 ,s\s ce po9t de vue1 la rsolution numrique des quations qu'on ne sait pas rs\dre algbriquem5t1 et de mme le calcul des intgrales df9ies dont on ignore les intgrales gnrales1 font rellem5t p>tie1 malgr les app>5ces1 du doma9e de l'ari?mtique1 dans lequel il faut ncessairem5t compr5dre t\t ce qui a p\r objet l'valuation des fonctions4 ,les considrations relatives ce b1 sont en effet1 con/amm5t homognes1 de quelques valuations qu'il s'agisse1 et t\j\rs bi5 di/9ctes des considrations vraim5t algbriques4 ,p\r a*ev] de se =m] une ju/e ide de l't5due relle du calcul des valeurs1 on doit y compr5dre aussi cette p>tie de la sci5ce gnrale du calcul qui porte auj\rd'hui spcialem5t le nom de ?orie des nombres1 et qui e/ encore si peu avance4 ,cette bran*e1 =t t5due p> sa nature1 mais dont l'importance dans le sy/me gnral de la sci5ce n'e/ pas trs-gr&e1 a p\r objet de dc\vrir les proprits inhr5tes aux diffr5s nombres en v]tu de leurs valeurs et indp5damm5t de t\te numration p>ticulire4 ,elle con/itue donc une sorte d'ari?mtique transc5dante2 c'e/ elle que convi5drait effectivem5t la df9ition propose p> ,newton p\r l'algbre4 ,le doma9e total de l'ari?mtique e/ donc1 en ralit1 beauc\p plus t5du qu'on ne le conoit ord9airem5t4 ,mais1 nanmo9s1 quelque dveloppem5t lgitime qu'on puisse lui accord]1 il demeure c]ta9 que1 dans l'ensemble de la ma?matique ab/raite1 le calcul des valeurs ne s]a jamais qu'un po9t1 p\r a9si dire1 en comp>aison du calcul des fonctions1 dans lequel la sci5ce consi/e ess5tiellem5t4 ,cette apprciation va dev5ir encore plus s5sible p> quelques considrations qui me re/5t indiqu] sur la vritable nature des que/ions ari?mtiques en gnral1 qu& on les exam9e d'une manire appr(ondie4 ,en *]*ant dt]m9] avec exactitude en quoi consi/5t proprem5t les valuations1 on reconnat aism5t qu'elles ne sont pas autre *ose que de vritables trans=mations des fonctions valu]1 trans=mations qui1 malgr leur b spcial1 n'en sont pas mo9s ess5tiellem5t de la mme nature que t\tes celles enseignes p> l'analyse4 ,s\s ce po9t de vue1 le calcul des valeurs p\rrait tre conu simplem5t comme un app5dice et une application p>ticulire du calcul des fonctions1 de telle sorte que l'ari?mtique disp>atrait1 p\r a9si dire1 dans l'ensemble de la ma?matique ab/raite1 comme section di/9cte4 ,p\r bi5 compr5dre cette considration1 il faut obs]v] que1 lorsque l'on propose d'valu] un nombre inconnu dont le mode de =mation e/ donn1 il e/1 p> le seul nonc mme de la "q ari?mtique1 dj df9i et exprim s\s une c]ta9e =me2 et qu'en l'valuant1 on ne fait que mettre son expression s\s une autre =me dt]m9e1 laquelle on e/ habitu rapport] la notion exacte de *aque nombre p>ticuli]1 en le faisant r5tr] dans le sy/me rguli] de la numration4 ,l'valuation consi/e si bi5 dans une simple trans=mation1 que lorsque l'expression primitive du nombre se tr\ve elle-mme con=me la numration rgulire1 il n'y a plus1 proprem5t p>l]1 d'valuation1 ou plutt on rpond la "q p> la "q mme4 ,qu'on dem&e1 p> exemple1 d'aj\t] les deux nombres tr5te et sept1 on rpondra en se bornant rpt] l'nonc mme de la "q1 et on croira nanmo9s avoir valu la somme1 ce qui signifie que1 dans ce cas1 la premire expression de la fonction n'a pas beso9 d'tre trans=me2 t&is qu'il n'en s]ait po9t a9si p\r aj\t] v+t-trois et quatorze1 c> alors la somme ne s]ait pas immdiatem5t exprime d'une manire con=me au rang qu'elle occupe dans l'*elle fixe et gnrale de la numration4 ,en prcisant1 autant que possible1 la considration prcd5te1 on peut dire qu'valu] un nombre n'e/ autre *ose que mettre son expression primitive s\s la =me _/a b_/beta c_/beta#b d_/beta#c e_/beta#d _/ldots p_/betam_/ _/beta tant ord9airem5t gal #aj2 et les coeffici5s a1 b1 c1 d1 etc4 tant assujtis ces conditions d'tre nombres enti]s mo9dres que _/beta1 p\vant dev5ir nuls1 mais jamais ngatifs4 ,a9si1 t\te "q ari?mtique e/ susceptible d'tre pose comme consi/ant mettre s\s une telle =me une fonction ab/raite quelconque de div]ses quantits que l'on suppose avoir dj elles-mmes une =me semblable4 ,on p\rrait donc ne voir dans les diffr5tes oprations de l'ari?mtique que de simples cas p>ticuli]s de c]ta9es trans=mations algbriques1 sauf les difficults spciales t5ant aux conditions relatives l'tat des coeffici5s4 ,il rsulte clairem5t1 de ce qui prcde1 que la ma?matique ab/raite se compose ess5tiellem5t du calcul des fonctions1 qui en tait videmm5t dj la p>tie la plus importante1 la plus t5due1 et la plus difficile4 ,tel s]a donc dsormais le sujet exclusif de nos considrations analytiques4 ,a9si1 sans m'arrt] davantage au calcul des valeurs1 je vais pass] immdiatem5t l'exam5 de la division fondam5tale du calcul des fonctions4 ,n\s avons dt]m91 au comm5cem5t de cette leon1 en quoi consi/e proprem5t la vritable difficult qu'on pr\ve mettre en quation les que/ions ma?matiques4 ,c'e/ ess5tiellem5t cause de l'insuffisance du trs-petit nombre d'lm5s analytiques que n\s possdons1 que la relation du concret l'ab/rait e/ ord9airem5t si difficile tablir4 ,essayons ma9t5ant d'apprci] philosophiquem5t le procd gnral p> lequel l'esprit huma9 e/ p>v5u1 dans un si gr& nombre de cas importans1 surmont] cet ob/acle fondam5tal4 ,en considrant directem5t l'ensemble de cette "q capitale1 on e/ naturellem5t conduit concevoir d'abord un premi] moy5 p\r facilit] l'tablissem5t des quations des phnomnes4 ,puisque le pr9cipal ob/acle ce sujet vi5t du trop petit nombre de nos lm5s analytiques1 t\t sembl]ait se rduire en crer de n\veaux4 ,mais ce p>ti1 quelque naturel qu'il p>aisse1 e/ vritablem5t illusoire1 qu& on l'exam9e d'une manire appr(ondie4 ,quoiqu'il puisse c]ta9em5t tre utile1 il e/ ais de se conva9cre de son insuffisance ncessaire4 ,en effet1 la cration d'une vritable n\velle fonction ab/raite lm5taire prs5te1 p> elle-mme1 les plus gr&es difficults4 ,il y a mme1 dans une telle ide1 quelque *ose qui semble contradictoire4 ,c> un n\vel lm5t analytique ne remplirait pas videmm5t les conditions ess5tielles qui lui sont propres1 si on ne p\vait immdiatem5t l'valu]3 or1 d'un autre ct1 comm5t valu] une n\velle fonction qui s]ait vraim5t simple1 c'e/--dire1 qui ne r5tr]ait pas dans une comb9aison de celles dj connues8 ,cela p>at presque impossible4 ,l'introduction1 dans l'analyse1 d'une autre fonction ab/raite lm5taire1 ou plutt d'un autre c\ple de fonctions 7c> *acune s]ait t\j\rs accompagne de son inv]se71 suppose donc ncessairem5t la cration simultane d'une n\velle opration ari?mtique1 ce qui e/ c]ta9em5t =t difficile4 ,si n\s *]*ons n\s faire une ide des moy5s que l'esprit huma9 p\rrait employ] p\r inv5t] de n\veaux lm5s analytiques1 p> l'exam5 des procds l'aide desquels il a effectivem5t conu ceux que n\s possdons1 l'obs]vation n\s laisse cet g>d dans une entire inc]titude1 c> les artifices dont il s'e/ dj s]vi p\r cela sont videmm5t puiss4 ,af9 de n\s en conva9cre1 considrons le d]ni] c\ple de fonctions simples qui ait t introduit dans l'analyse1 et la =mation duquel n\s avons p\r a9si dire assi/1 savoir le quatrime c\ple1 c>1 comme je l'ai expliqu1 le c9quime c\ple ne con/itue pas1 proprem5t p>l]1 de vritables n\veaux lm5s analytiques4 ,la fonction ax1 et1 p> suite1 son inv]se1 ont t =mes en concevant s\s un n\veau po9t de vue une fonction dj connue depuis long-temps1 les puissances1 lorsque la notion en a t suffisamm5t gnralise4 ,il a suffi de considr] une puissance relativem5t la v>iation de l'exposant1 au lieu de p5s] la v>iation de la base1 p\r qu'il en rsultt une fonction simple vraim5t n\velle1 la v>iation suivant alors une m>*e t\te diffr5te4 ,mais cet artifice1 aussi simple qu'+nieux1 ne peut plus ri5 f\rnir4 ,c>1 en ret\rnant1 de la mme manire1 t\s nos lm5s analytiques actuels1 on n'ab\tit qu' les faire r5tr] les uns dans les autres4 ,n\s ne concevons donc nullem5t de quelle manire on p\rrait procd] la cration de n\velles fonctions ab/raites lm5taires1 remplissant conv5ablem5t t\tes les conditions ncessaires4 ,ce n'e/ pas dire1 nanmo9s1 que n\s ayons atte9t auj\rd'hui la limite effective pose cet g>d p> les bornes de notre intellig5ce4 ,il e/ mme c]ta9 que les d]ni]s p]fectionnem5s spciaux de l'analyse ma?matique ont contribu t5dre nos ress\rces s\s ce rapport1 en introduisant dans le doma9e du calcul c]ta9es intgrales df9ies1 qui1 quelques g>ds1 ti5n5t lieu de n\velles fonctions simples1 quoiqu'elles soi5t lo9 de remplir t\tes les conditions conv5ables1 ce qui m'a emp* de les inscrire au tableau des vrais lm5s analytiques4 ,mais1 t\t bi5 considr1 je crois qu'il demeure inconte/able que le nombre de ces lm5s ne peut s'accrotre qu'avec une extrme l5teur4 ,a9si1 ce ne peut tre dans un tel procd que l'esprit huma9 ait puis ses ress\rces les plus puissantes p\r facilit] autant que possible l'tablissem5t des quations4 ,ce premi] moy5 tant c>t1 il n'en re/e videmm5t qu'un seul2 c'e/1 vu l'impossibilit de tr\v] directem5t les quations entre les quantits que l'on considre1 d'en *]*] de correspondantes entre d'autres quantits auxiliaires1 lies aux premires suivant une c]ta9e loi dt]m9e1 et de la relation desquelles on remonte ensuite celle des gr&eurs primitives4 ,telle e/1 en effet1 la conception1 m9emm5t fconde1 que l'esprit huma9 e/ p>v5u fond]1 et qui con/itue son plus admirable in/rum5t p\r l'exploration ma?matique des phnomnes naturels1 l'analyse dite transc5dante4 ,en ?se philosophique gnrale1 les quantits auxiliaires que l'on introduit1 au lieu des gr&eurs primitives ou concurremm5t avec elles1 p\r facilit] l'tablissem5t des quations1 p\rrai5t driv] suivant une loi quelconque des lm5s immdiats de la "q4 ,a9si1 cette conception a beauc\p plus de porte que ne lui en ont suppos communm5t1 mme les plus pr(onds gomtres4 ,il importe extrmem5t de se la reprs5t] dans t\te son t5due logique2 c> c'e/ peut-tre en tablissant un mode gnral de drivation autre que celui auquel on s'e/ con/amm5t born jusqu'ici1 bi5 qu'il ne soit pas1 videmm5t1 le seul possible1 qu'on p>vi5dra un j\r p]fectionn] ess5tiellem5t l'ensemble de l'analyse ma?matique1 et p> suite fond]1 p\r l'inve/igation des lois de la nature1 des moy5s encore plus puissans que nos procds actuels1 susceptibles1 sans d\te1 d'puisem5t4 ,mais1 p\r n'avoir g>d qu' la con/itution prs5te de la sci5ce1 les seules quantits auxiliaires introduites habituellem5t la place des quantits primitives dans l'analyse transc5dante1 sont ce qu'on appelle les lm5s inf9im5t petits1 les diffr5tielles de div]s ordres de ces quantits1 si l'on conoit cette analyse la manire de ,lebnitz2 ou les fluxions1 les limites des rapports des accroissem5s simultans des quantits primitives comp>es les unes aux autres1 ou1 plus brivem5t1 les premires et d]nires raisons de ces accroissem5s1 en adoptant la conception de ,newton2 ou bi51 enf91 les drives proprem5t dites de ces quantits1 c'e/--dire1 les coeffici5s des diffr5s t]mes de leurs accroissem5s respectifs1 d'aprs la conception de ,lagrange4 ,ces trois manires pr9cipales d'envisag] notre analyse transc5dante actuelle1 et t\tes les autres mo9s di/9ctem5t tran*es que l'on a proposes successivem5t1 sont1 p> leur nature1 ncessairem5t id5tiques1 soit dans le calcul1 soit dans l'application1 a9si que je l'expliqu]ai d'une manire gnrale dans la sixime leon4 ,quant leur valeur relative1 n\s v]rons alors que la conception de ,lebnitz a jusqu'ici1 dans l'usage1 une supriorit inconte/able1 mais que son c>actre logique e/ m9emm5t vicieux2 t&is que la conception de ,lagrange1 admirable p> sa simplicit1 p> sa p]fection logique1 p> l'unit philosophique qu'elle a tablie dans l'ensemble de l'analyse ma?matique1 jusqu'alors p>tage en deux mondes presque indp5dans1 prs5te encore1 dans les applications1 de graves inconvni5s1 en ral5tissant la m>*e de l'intellig5ce3 la conception de ,newton ti5t peu prs le milieu s\s ces div]s rapports1 tant mo9s rapide1 mais plus rationnelle que celle de ,lebnitz1 mo9s philosophique1 mais plus applicable que celle de ,lagrange4 ,ce n'e/ pas ici le lieu d'expliqu] avec exactitude comm5t la considration de ce g5re de quantits auxiliaires introduites dans les quations la place des gr&eurs primitives facilite rellem5t l'expression analytique des lois des phnomnes4 ,la sixime leon s]a spcialem5t consacre cet important sujet1 envisag s\s les diffr5s po9ts de vue gnraux auxquels a donn lieu l'analyse transc5dante4 ,je me borne en ce mom5t considr] cette conception de la manire la plus gnrale1 af9 d'en dduire la division fondam5tale du calcul des fonctions en deux calculs ess5tiellem5t di/9cts1 dont l'en*anem5t1 p\r la solution complte d'une mme "q ma?matique1 e/ inv>iablem5t dt]m94 ,s\s ce rapport1 et dans l'ordre rationnel des ides1 l'analyse transc5dante se prs5te comme tant ncessairem5t la premire1 puisqu'elle a p\r b gnral de facilit] l'tablissem5t des quations1 ce qui doit videmm5t prcd] la rsolution proprem5t dite de ces quations1 qui e/ l'objet de l'analyse ord9aire4 ,mais1 quoiqu'il importe m9emm5t de concevoir a9si le vritable en*anem5t de ces deux analyses1 il n'en e/ pas mo9s conv5able1 con=mm5t l'usage con/ant1 de n'tudi] l'analyse transc5dante qu'aprs l'analyse ord9aire2 c>1 si1 au fond1 elle en e/ p> elle-mme logiquem5t indp5dante1 ou que1 du mo9s1 il soit possible auj\rd'hui de l'en dgag] ess5tiellem5t1 il e/ clair que son emploi dans la solution des que/ions ayant t\j\rs plus ou mo9s beso9 d'tre complt p> celui de l'analyse ord9aire1 on s]ait contra9t de laiss] les que/ions en susp5s1 si celle-ci n'avait t tudie pralablem5t4 ,en rsultat de ce qui prcde1 le calcul des fonctions1 ou l'algbre1 en pr5ant ce mot dans sa plus gr&e ext5sion1 se compose de deux bran*es fondam5tales di/9ctes1 dont l'une a p\r objet immdiat la rsolution des quations1 lorsque celles-ci sont immdiatem5t tablies entre les gr&eurs mmes que l'on considre2 et dont l'autre1 p>tant d'quations1 beauc\p plus aises =m] en gnral1 entre des quantits indirectem5t lies celles du problme1 a p\r de/9ation propre et con/ante d'en dduire1 p> des procds analytiques inv>iables1 les quations correspondantes entre les gr&eurs directes que l'on considre1 ce qui fait r5tr] la "q dans le doma9e du calcul prcd5t4 ,le premi] calcul porte1 le plus s\v5t1 le nom d'analyse ord9aire1 ou d'algbre proprem5t dite2 le second con/itue ce qu'on appelle l'analyse transc5dante1 qui a t dsigne p> les div]ses dnom9ations de calcul inf9itsimal1 calcul des fluxions et des flu5tes1 calcul des van\issans1 etc41 selon le po9t de vue s\s lequel on l'a conue4 ,p\r c>t] t\te considration trangre1 je propos]ai de la nomm] calcul des fonctions indirectes1 en donnant l'analyse ord9aire le titre de calcul des fonctions directes4 ,ces expressions1 que je =me ess5tiellem5t en gnralisant et en prcisant les ides de ,lagrange1 sont de/9es indiqu] simplem5t avec exactitude le vritable c>actre gnral propre *acune des deux analyses4 ,ayant tabli la division fondam5tale de l'analyse ma?matique1 je dois ma9t5ant considr] sp>m5t l'ensemble de *acune de ses deux p>ties1 en comm5ant p> le calcul des fonctions directes1 et rs]vant ensuite des dveloppem5s plus t5dus aux div]ses bran*es du calcul des fonctions indirectes4 ,,c9qui,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations gnrales sur le calcul des fonctions directes4 ,d'aprs l'explication gnrale qui t]m9e la leon prcd5te1 le calcul des fonctions directes1 ou l'algbre proprem5t dite1 suffit entirem5t la solution des que/ions ma?matiques1 qu& elles sont assez simples p\r qu'on puisse =m] immdiatem5t les quations entre les gr&eurs mmes que l'on considre1 sans qu'il soit ncessaire d'introduire leur place ou conjo9tem5t avec elles aucun sy/me de quantits auxiliaires drives des premires4 la vrit1 dans le plus gr& nombre des cas importans1 son emploi a beso9 d'tre prcd et prp> p> celui du calcul des fonctions indirectes1 de/9 facilit] l'tablissem5t des quations4 ,mais quoique le rle de l'algbre ne soit alors que secondaire1 elle n'en a pas mo9s t\j\rs une "p ncessaire dans la solution complte de la "q1 en sorte que le calcul des fonctions directes doit cont9u] tre1 p> sa nature1 la base fondam5tale de t\te l'analyse ma?matique4 ,n\s devons donc1 avant d'all] plus lo91 considr]1 d'une manire gnrale1 la composition rationnelle de ce calcul1 et le degr de dveloppem5t auquel il e/ p>v5u auj\rd'hui4 ,l'objet df9itif de ce calcul tant la rsolution proprem5t dite des quations1 c'e/--dire1 la dc\v]te du mode de =mation des quantits inconnues p> les quantits connues d'aprs les quations qui exi/5t entre elles2 il prs5te naturellem5t autant de p>ties diffr5tes que l'on peut concevoir de classes d'quations vraim5t di/9ctes2 et p> consqu5t1 son t5due propre e/ rig\reusem5t indf9ie1 le nombre des fonctions analytiques susceptibles d'entr] dans les quations1 tant p> lui-mme t\t--fait illimit1 bi5 qu'elles ne soi5t composes que d'un trs-petit nombre d'lm5s primitifs4 ,la classification rationnelle des quations1 doit tre videmm5t dt]m9e p> la nature des lm5s analytiques dont se compos5t leurs membres2 t\te autre classification s]ait ess5tiellem5t arbitraire4 ,s\s ce rapport1 les analy/es divis5t d'abord les quations une ou plusieurs v>iables en deux classes pr9cipales1 selon qu'elles ne conti5n5t que des fonctions des trois premi]s c\ples 7voy4 le tableau1 #d;e4 leon1 page #agc71 ou qu'elles r5f]m5t aussi des fonctions1 soit expon5tielles1 soit circulaires4 ,les dnom9ations de fonctions algbriques et fonctions transc5dantes1 donnes communm5t ces deux gr\pes pr9cipaux d'lm5s analytiques1 sont1 sans d\te1 =t peu conv5ables4 ,mais la division univ]sellem5t tablie entre les quations correspondantes1 n'en e/ pas mo9s trs-relle1 en ce s5s que la rsolution des quations cont5ant les fonctions dites transc5dantes1 prs5te ncessairem5t plus de difficults que celles des quations dites algbriques4 ,aussi l'tude des premires e/-elle jusqu'ici excessivem5t imp>faite1 tel po9t que s\v5t la rsolution des plus simples d'entre elles1 n\s e/ encore inconnue#g2 c'e/ sur l'laboration des secondes que port5t presqu'exclusivem5t nos m?odes analytiques4 ,note #g3 ,quelque simple que puisse p>atre1 p> exemple1 l'quation _/ax bx cx1_/ on ne sait po9t encore la rs\dre2 ce qui peut donn] une ide de l'extrme imp]fection de cette p>tie de l'algbre4 ,ne considrant ma9t5ant que ces quations algbriques1 il faut obs]v] d'abord que1 quoiqu'elles puiss5t s\v5t cont5ir des fonctions irrationnelles des inconnues aussi bi5 que des fonctions rationnelles2 on peut t\j\rs1 p> des trans=mations plus ou mo9s faciles1 faire r5tr] le premi] cas dans le second2 en sorte que c'e/ de ce d]ni] que les analy/es ont d s'occup] uniquem5t1 p\r rs\dre t\tes les quations algbriques4 ,dans l'enfance de l'algbre1 ces quations avai5t t classes d'aprs le nombre de leurs t]mes4 ,mais cette classification tait videmm5t vicieuse2 comme sp>ant des cas rellem5t semblables1 et en runissant d'autres qui n'avai5t ri5 de commun qu'un c>actre sans aucune importance vritable#h4 ,elle n'a t ma9t5ue que p\r les quations deux t]mes1 susceptibles1 en effet1 d'une rsolution commune qui leur e/ propre4 ,note #h3 ,on a commis plus t>d la mme erreur mom5tane dans les premi]s temps du calcul inf9itsimal1 p\r l'intgration des quations diffr5tielles4 ,la classification des quations1 d'aprs ce qu'on appelle leurs degrs1 univ]sellem5t admise depuis long-temps p> les analy/es1 e/1 au contraire1 m9emm5t naturelle1 et mrite d'tre signale ici4 ,c>1 en ne comp>ant1 dans *aque degr1 que les quations qui se correspond5t1 quant leur complication relative1 on peut dire que cette di/9ction dt]m9e rig\reusem5t la difficult plus ou mo9s gr&e de leur rsolution4 ,cette gradation e/ s5sible effectivem5t1 p\r t\tes les quations que l'on sait rs\dre4 ,mais on peut s'en r5dre compte d'une manire gnrale1 indp5damm5t du fait de la rsolution4 ,il suffit1 p\r cela1 de considr] que l'quation la plus gnrale de *aque degr compr5d ncessairem5t t\tes celles des div]s degrs infrieurs1 en sorte qu'il en doit tre a9si de la =mule qui dt]m9e l'inconnue4 ,en consqu5ce1 quelque faible qu'on pt suppos] priori la difficult propre au degr que l'on considre1 comme elle se complique 9vitablem5t1 dans l'excution1 de celles que prs5t5t t\s les degrs prcd5s1 la rsolution (fre donc rellem5t plus d'ob/acles mesure que le degr de l'quation s'lve4 ,cet accroissem5t de difficult e/ tel1 que jusqu'ici la rsolution des quations algbriques ne n\s e/ connue que dans les quatre premi]s degrs seulem5t4 cet g>d1 l'algbre n'a pas fait de progrs considrables depuis les travaux de ,desc>tes1 et des analy/es itali5s du seizime sicle1 quoique1 dans les deux d]ni]s sicles1 il n'ait peut-tre pas exi/ un seul gomtre qui ne se soit occup de p\ss] plus avant la rsolution des quations4 ,l'quation gnrale du c9quime degr elle-mme1 a jusqu'ici rsi/ t\tes les t5tatives4 ,la complication t\j\rs croissante que doiv5t ncessairem5t prs5t] les =mules p\r rs\dre les quations mesure que le degr augm5te1 l'extrme emb>ras qu'occasione dj l'usage de la =mule du quatrime degr1 et qui le r5d presqu'inapplicable1 ont dt]m9 les analy/es r5onc]1 p> un accord tacite1 p\rsuivre de semblables re*]*es1 quoiqu'ils soi5t lo9 de reg>d] comme impossible d'obt5ir jamais la rsolution des quations du c9quime degr1 et de plusieurs autres degrs suprieurs4 ,la seule "q de ce g5re1 qui (frirait vraim5t une gr&e importance1 du mo9s s\s le rapport logique1 ce s]ait la rsolution gnrale des quations algbriques d'un degr quelconque4 ,or1 plus on mdite sur ce sujet1 plus on e/ conduit p5s]1 avec ,lagrange1 qu'il surpasse rellem5t la porte effective de notre intellig5ce4 ,il faut d'ailleurs obs]v] que la =mule qui exprim]ait la rac9e d'une quation du degr m devrait ncessairem5t r5f]m] des radicaux de l'ordre m 7ou des fonctions d'une multiplicit quival5te71 cause des m dt]m9ations quelle doit comport]4 ,puisque n\s avons vu1 de plus1 qu'elle doit aussi embrass]1 comme cas p>ticuli]1 celle qui correspond t\t autre degr infrieur1 il s'ensuit qu'elle conti5drait1 en outre1 9vitablem5t1 des radicaux de l'ordre m-#a1 d'autres de l'ordre m-#b1 etc41 de telle manire que1 s'il tait possible de la dc\vrir1 elle (frirait presque t\j\rs une trop gr&e complication p\r p\voir tre utilem5t employe1 mo9s qu'on ne p>vnt la simplifi]1 en lui cons]vant cep5dant t\te la gnralit conv5able1 p> l'introduction d'un n\veau g5re d'lm5s analytiques1 dont n\s n'avons encore aucune ide4 ,il y a donc lieu de croire que1 sans avoir dj atte9t s\s ce rapport les bornes imposes p> la faible porte de notre intellig5ce1 n\s ne t>d]ions pas les r5contr] en prolongeant avec une activit =te et s\t5ue cette srie de re*]*es4 ,il importe d'ailleurs d'obs]v] que1 mme en supposant obt5ue la rsolution des quations algbriques d'un degr quelconque1 on n'aurait encore trait qu'une trs-petite p>tie de l'algbre proprem5t dite1 c'e/--dire1 du calcul des fonctions directes1 embrassant la rsolution de t\tes les quations que peuv5t =m] les fonctions analytiques auj\rd'hui connues4 ,enf91 p\r a*ev] d'claircir la considration philosophique de ce sujet1 il faut reconnatre que1 p> une loi irrcusable de la nature huma9e1 nos moy5s p\r concevoir de n\velles que/ions tant beauc\p plus puissans que nos ress\rces p\r les rs\dre1 ou1 en d'autres t]mes1 l'esprit huma9 tant bi5 plus apte imag9] qu' raisonn]1 n\s re/]ons ncessairem5t t\j\rs au-dess\s de la difficult1 quelque degr de dveloppem5t que p>vi5n5t jamais nos travaux intellectuels4 ,a9si1 qu& mme on dc\vrirait un j\r la rsolution complte de t\tes les quations analytiques actuellem5t connues1 ce qui1 l'exam51 doit tre jug t\t--fait *imrique1 il n'e/ pas d\teux qu'avant d'atte9dre ce b1 et probablem5t mme comme moy5 subsidiaire1 on aurait dj surmont la difficult bi5 mo9dre1 quoique trs-gr&e cep5dant1 de concevoir de n\veaux lm5s analytiques1 dont l'introduction donn]ait lieu des classes d'quations que n\s ignorons compltem5t auj\rd'hui2 en sorte qu'une p>eille imp]fection relative de la sci5ce algbrique se reproduirait encore1 malgr l'accroissem5t rel1 trs-important d'ailleurs1 de la masse absolue de nos connaissances4 ,dans l'tat prs5t de l'algbre1 la rsolution complte des quations des quatre premi]s degrs1 des quations b9omes quelconques1 de c]ta9es quations spciales des degrs suprieurs1 et d'un trs-petit nombre d'quations expon5tielles1 log>i?miques1 ou circulaires1 con/itu5t donc les m?odes fondam5tales que prs5te le calcul des fonctions directes p\r la solution des problmes ma?matiques4 ,mais1 avec des lm5s aussi borns1 les gomtres n'en sont pas mo9s p>v5us trait]1 d'une manire vraim5t admirable1 un trs-gr& nombre de que/ions importantes1 comme n\s le reconnatrons successivem5t dans la suite de ce volume4 ,les p]fectionnem5s gnraux introduits depuis un sicle dans le sy/me total de l'analyse ma?matique ont eu p\r c>actre pr9cipal d'utilis] un degr imm5se ce peu de connaissances acquises sur le calcul des fonctions directes1 au lieu de t5dre les augm5t]4 ,ce rsultat a t obt5u un tel po9t1 que le plus s\v5t ce calcul n'a de rle effectif dans la solution complte des div]ses que/ions que p> ses p>ties les plus simples1 celles qui se rapport5t aux quations des deux premi]s degrs1 une seule ou plusieurs v>iables4 ,l'extrme imp]fection de l'algbre1 relativem5t la rsolution des quations1 a dt]m9 les analy/es s'occup] d'une n\velle classe de que/ions1 dont il importe de m>qu] ici le vritable c>actre4 ,qu& ils ont cru devoir r5onc] p\rsuivre plus long-temps la rsolution des quations algbriques des degrs suprieurs au quatrime1 ils se sont occups de suppler1 autant que possible1 cette imm5se lacune1 p> ce qu'ils ont nomm la rsolution numrique des quations4 ,ne p\vant obt5ir1 dans la plup>t des cas1 la =mule qui exprime quelle fonction explicite l'inconnue e/ des donnes1 on a *]*1 dfaut de cette rsolution1 la seule rellem5t algbrique1 dt]m9]1 du mo9s1 indp5damm5t de cette =mule1 la valeur de *aque inconnue p\r tel ou tel sy/me dsign de valeurs p>ticulires attribues aux donnes4 ,p> les travaux successifs des analy/es1 cette opration incomplte et bt>de1 qui prs5te un mlange intime des que/ions vraim5t algbriques avec des que/ions purem5t ari?mtiques1 a pu1 du mo9s1 tre entirem5t effectue dans t\s les cas1 p\r des quations d'un degr et mme d'une =me quelconques4 ,s\s ce rapport1 les m?odes qu'on possde auj\rd'hui sont suffisamm5t gnrales1 quoique les calculs auxquels elles conduis5t soi5t s\v5t presque inexcutables1 cause de leur complication4 ,il ne re/e donc plus1 cet g>d1 qu' simplifi] assez les procds p\r qu'ils devi5n5t rgulirem5t applicables1 ce qu'on peut espr] d'obt5ir dans la suite4 ,d'aprs cet tat du calcul des fonctions directes1 on s'ef=ce ensuite1 dans l'application de ce calcul1 de dispos]1 autant que possible1 les que/ions proposes de faon n'exig] f9alem5t que cette rsolution numrique des quations4 ,quelque prcieuse que soit videmm5t une telle ress\rce1 dfaut de la vritable solution1 il e/ ess5tiel de ne pas mconnatre le vrai c>actre de ces procds1 que les analy/es reg>d5t avec raison comme une algbre =t imp>faite4 ,en effet1 il s'en faut de beauc\p que n\s puissions t\j\rs rduire nos que/ions ma?matiques ne dp5dre1 en d]nire analyse1 que de la rsolution numrique des quations4 ,cela ne se peut que p\r les que/ions t\t--fait isoles1 ou vraim5t f9ales1 c'e/--dire1 p\r le plus petit nombre4 ,la plup>t des que/ions ne sont1 en effet1 que prp>atoires1 et de/9es s]vir de prlim9aire indisp5sable la solution d'autres que/ions4 ,or1 p\r un tel b1 il e/ vid5t que ce n'e/ pas la valeur effective de l'inconnue qu'il importe de dc\vrir1 mais la =mule qui montre comm5t elle drive des autres quantits considres4 ,c'e/ ce qui arrive1 p> exemple1 dans un cas trs-t5du1 t\tes les fois qu'une "q dt]m9e r5f]me simultanm5t plusieurs inconnues4 ,il s'agit alors1 comme on sait1 d'en faire1 avant t\t1 la sp>ation4 ,en employant conv5ablem5t1 cet effet1 le procd simple et gnral heureusem5t imag9 p> les analy/es1 et qui consi/e rapport] l'une des inconnues t\tes les autres1 la difficult disp>atrait con/amm5t1 si l'on savait t\j\rs rs\dre algbriquem5t les quations considres1 sans que la rsolution numrique puisse tre alors d'aucune utilit4 ,c'e/ uniquem5t faute de connatre la rsolution algbrique des quations une seule inconnue1 qu'on e/ oblig de trait] l'lim9ation comme une "q di/9cte1 qui =me une des plus gr&es difficults spciales de l'algbre ord9aire4 ,quelque pnibles que soi5t les m?odes l'aide desquelles on surmonte cette difficult1 elles ne sont pas mme applicables d'une manire entirem5t gnrale1 l'lim9ation d'une inconnue entre deux quations de =me quelconque4 ,dans les que/ions les plus simples1 et lorsqu'on n'a vritablem5t rs\dre qu'une seule quation une seule inconnue1 cette rsolution numrique n'en e/ pas mo9s un procd trs-imp>fait1 mme qu& elle e/ /rictem5t suffisante4 ,elle prs5te1 en effet1 ce grave inconvni5t d'oblig] refaire t\te la suite des oprations p\r le plus lg] *angem5t qui peut surv5ir dans une seule des quantits considres1 quoique leur relation re/e t\j\rs la mme1 sans que les calculs faits p\r un cas puiss5t disp5s] en aucune manire de ceux qui conc]n5t un autre cas trs-peu diffr5t1 faute d'avoir pu ab/raire et trait] di/9ctem5t cette p>tie purem5t algbrique de la "q qui e/ commune t\s les cas rsultant de la simple v>iation des nombres donns4 ,d'aprs les considrations prcd5tes1 le calcul des fonctions directes1 envisag dans son tat actuel1 se divise donc naturellem5t en deux p>ties =t di/9ctes1 suivant qu'on traite de la rsolution algbrique des quations ou de leur rsolution numrique4 ,la premire p>tie1 la seule vraim5t satisfaisante1 e/ malheureusem5t =t peu t5due1 et re/]a vraisemblablem5t t\j\rs trs-borne2 la seconde1 le plus s\v5t insuffisante1 a du mo9s l'avantage d'une gnralit beauc\p plus gr&e4 ,la ncessit de di/+u] nettem5t ces deux p>ties e/ vid5te1 cause du b ess5tiellem5t diffr5t qu'on se propose dans *acune1 et p> suite1 du po9t de vue propre s\s lequel on y considre les quantits4 ,de plus1 si on les envisage relativem5t aux div]ses m?odes dont *acune e/ compose1 on tr\ve dans leur di/ribution rationnelle une m>*e t\te diffr5te4 ,en effet1 la premire p>tie doit se divis] d'aprs la nature des quations que l'on sait rs\dre1 et indp5damm5t de t\te considration relative aux valeurs des inconnues4 ,dans la seconde p>tie1 au contraire1 ce n'e/ pas suivant les degrs des quations que les procds se di/+u5t naturellem5t1 puisqu'ils sont applicables des quations d'un degr quelconque2 c'e/ selon l'espce numrique des valeurs des inconnues4 ,c>1 p\r calcul] directem5t ces nombre sans les dduire des =mules qui en f]ai5t connatre les expressions1 le moy5 ne saurait videmm5t tre le mme1 qu& les nombres ne sont susceptibles d'tre valus que p> une suite d'approximations t\j\rs incomplte1 que lorsqu'on peut les obt5ir exactem5t4 ,cette di/9ction si importante1 dans la rsolution numrique des quations1 des rac9es incomm5surables1 et des rac9es comm5surables1 qui exig5t des pr9cipes t\t--fait diffr5s p\r leur dt]m9ation1 e/ entirem5t insignifiante dans l rsolution algbrique1 o la nature rationnelle ou irrationnelle des nombres obt5us e/ un simple accid5t du calcul1 qui ne peut ex]c] aucune influ5ce sur les procds employs4 ,c'e/1 en un mot1 une simple considration ari?mtique4 ,on en peut dire autant1 quoique un mo9dre degr1 de la di/9ction des rac9es comm5surables elles-mmes en entires et fractionnaires4 ,enf91 il en e/ aussi de mme1 plus =te raison1 p\r la classification la plus gnrale des rac9es1 en relles et imag9aires4 ,t\tes ces div]ses considrations1 qui sont prpondrantes quant la rsolution numrique des quations1 et qui n'ont aucune importance dans la rsolution algbrique1 r5d5t de plus en plus s5sible la nature ess5tiellem5t di/9cte de ces deux p>ties pr9cipales de l'algbre proprem5t dite4 ,ces deux p>ties1 qui con/itu5t l'objet immdiat du calcul des fonctions directes1 sont dom9es p> une troisime purem5t spculative1 laquelle l'une et l'autre emprunt5t leurs ress\rces les plus puissantes1 et qui a t trs-exactem5t dsigne p> le nom gnral de ?orie des quations1 quoique cep5dant elle ne porte encore que sur les quations dites algbriques4 ,la rsolution numrique des quations1 cause de sa gnralit1 exige spcialem5t cette base rationnelle4 ,cette d]nire bran*e si importante de l'algbre se divise naturellem5t en deux ordres de que/ions1 d'abord celles qui se rapport5t la composition des quations1 et ensuite celles qui conc]n5t leur trans=mation2 ces d]nires ayant p\r objet de modifi] les rac9es d'une quation sans les connatre1 suivant une loi quelconque donne1 p\rvu que cette loi soit uni=me relativem5t t\tes ces rac9es#i4 ,note #i3 ,je crois devoir1 au sujet de la ?orie des quations1 signal] ici une lacune de quelque importance4 ,le pr9cipe fondam5tal sur lequel elle repose1 et qui e/ si frquemm5t appliqu dans t\te l'analyse ma?matique1 la dcomposition des fonctions algbriques1 rationnelles1 et entires1 d'un degr quelconque1 en facteurs du premi] degr1 n'e/ jamais employ que p\r les fonctions d'une seule v>iable1 sans que p]sonne ait exam9 si on doit l't5dre aux fonctions de plusieurs v>iables1 ce que nanmo9s on ne devrait pas laiss] inc]ta94 ,quant aux fonctions de deux ou de trois v>iables1 les considrations gomtriques dcid5t clairem5t1 quoique d'une manire indirecte1 que leur dcomposition en facteurs e/ ord9airem5t impossible2 c> il en rsult]ait que *aque classe correspondante d'quations ne p\rrait reprs5t] une ligne ou une surface sui g5]is1 et que son lieu gomtrique r5tr]ait t\j\rs dans le sy/me de ceux app>t5ant des quations de degr infrieur1 de telle sorte que1 de pro*e en pro*e1 t\te quation ne produirait jamais que des lignes droites ou des plans4 ,mais1 prcism5t cause de cette int]prtation concrte1 ce ?orme1 quoique purem5t ngatif1 me semble avoir une si gr&e importance p\r la gomtrie analytique1 que je m'tonne qu'on n'ait pas *]* tablir directem5t une diffr5ce aussi c>actri/ique entre les fonctions une seule v>iable et celles plusieurs v>iables4 ,je vais rapport] ici sommairem5t la dmon/ration ab/raite et gnrale que j'en ai tr\ve1 quoiqu'elle ft plus conv5ablem5t place dans un trait spcial4 #a ,si f7x1y7 p\vait se dcompos] en facteurs du premi] degr1 on les obti5drait en rsolvant l'quation f7x1y7#j4 ,or1 d'aprs les considrations indiques dans le texte1 cette quation1 rsolue p> rapport x1 f\rnirait des =mules qui conti5drai5t ncessairem5t div]s radicaux1 dans lesquels entr]ait y4 ,les fonctions de y1 r5f]mes s\s *aque radical1 ne saurai5t videmm5t tre en gnral des puissances p>faites4 ,or1 il faudrait qu'elles le dev9ss5t p\r que les facteurs lm5taires correspondans de f7x1y71 et qui sont dj du premi] degr en x1 fuss5t aussi du premi] degr1 ou mme simplem5t rationnels1 relativem5t y4 ,cela ne p\rra donc avoir lieu que dans c]ta9s cas p>ticuli]s1 lorsque les coeffici5s rempliront les conditions plus ou mo9s nombreuses1 mais con/amm5t dt]m9es1 qu'exige la disp>ition des radicaux4 ,le mme raisonnem5t s'appliqu]ait videmm5t1 bi5 plus =te raison1 aux fonctions de trois1 quatre1 etc4 v>iables4 #b ,une autre dmon/ration1 de nature trs-diffr5te1 se tire de la mesure du degr de gnralit des fonctions plusieurs v>iables1 lequel s'e/ime p> le nombre de con/antes arbitraires entrant dans leur expression la plus complte et la plus simple4 ,je me born]ai l'indiqu] p\r les fonctions de deux v>iables2 il s]ait ais de l't5dre celles qui en conti5n5t davantage4 ,on sait que le nombre de con/antes arbitraires cont5ues dans la =mule gnrale d'une fonction du degr m deux v>iables1 e/ _/fracm7m#c7b4 ,or1 si une telle fonction p\vait seulem5t se dcompos] en deux facteurs1 l'un du degr n1 et l'autre du degr m-n1 le produit r5f]m]ait un nombre de con/antes arbitraires gal _/_/fracn7n#c7b _/frac7m-n77m-n#c7b4_/ ,ce nombre tant1 comme il e/ ais de le voir1 infrieur au prcd5t de n7m-n71 il en rsulte qu'un tel produit1 ayant mo9s de gnralit que la fonction primitive1 ne peut la reprs5t] con/amm5t4 ,on voit mme qu'une telle comp>aison exig]ait n7m-n7 relations spciales entre les coeffici5s de cette fonction1 qu'on tr\v]ait aism5t en dveloppant l'id5tit4 ,ce n\veau g5re de dmon/ration1 fond sur une considration ord9airem5t nglige1 p\rrait probablem5t tre employ avec avantage dans plusieurs autres circon/ances4 ,p\r complt] cette rapide numration gnrale des div]ses p>ties ess5tielles du calcul des fonctions directes1 je dois enf9 m5tionn] expressm5t une des ?ories les plus fcondes et les plus importantes de l'algbre proprem5t dite1 celle relative la trans=mation des fonctions en sries l'aide de ce qu'on appelle la m?ode des coeffici5s indt]m9s4 ,cette m?ode1 si m9emm5t analytique1 et qui doit tre reg>de comme une des dc\v]tes les plus rem>quables de ,desc>tes1 a sans d\te p]du de son importance depuis l'inv5tion et le dveloppem5t du calcul inf9itsimal1 dont elle p\vait t5ir lieu si heureusem5t s\s quelques rapports p>ticuli]s4 ,mais l'ext5sion croissante de l'analyse transc5dante1 quoique ayant r5du cette m?ode bi5 mo9s ncessaire1 en a1 d'un autre ct1 multipli les applications et agr&i les ress\rces2 en sorte que p> l'utile comb9aison qui s'e/ f9alem5t opre entre les deux ?ories1 l'usage de la m?ode des coeffici5s indt]m9s e/ dev5u auj\rd'hui beauc\p plus t5du qu'il ne l'tait mme avant la =mation du calcul des fonctions indirectes4 ,aprs avoir esquiss le tableau gnral de l'algbre proprem5t dite1 il me re/e ma9t5ant prs5t] quelques considrations sur div]s po9ts pr9cipaux du calcul des fonctions directes1 dont les notions peuv5t tre utilem5t claircies p> un exam5 philosophique4 ,les difficults relatives plusieurs symboles s+uli]s auxquels conduis5t les calculs algbriques et notamm5t aux expressions dites imag9aires1 ont t1 ce me semble1 beauc\p exagres p> suite des considrations purem5t m?aphysiques qu'on s'e/ ef=c d'y introduire1 au lieu d'envisag] ces rsultats anormaux s\s leur vrai po9t de vue1 comme de simples faits analytiques4 ,en les concevant a9si1 il e/ ais de reconnatre1 en ?se gnrale1 que l'esprit de l'analyse ma?matique consi/ant considr] les gr&eurs s\s le seul po9t de vue de leurs relations1 et indp5damm5t de t\te ide de valeur dt]m9e1 il en rsulte ncessairem5t p\r les analy/es l'obligation con/ante d'admettre indiffremm5t t\tes les sortes d'expressions quelconques que p\rront eng5dr] les comb9aisons algbriques4 ,s'ils v\lai5t s'en int]dire une seule1 raison de sa s+ul>it app>5te1 comme elle e/ t\j\rs susceptible de se prs5t] d'aprs c]ta9es suppositions p>ticulires sur les valeurs des quantits considres1 ils s]ai5t contra9ts d'altr] la gnralit de leurs conceptions1 et en introduisant a9si1 dans *aque raisonnem5t1 une suite de di/9ctions vraim5t trangres1 ils f]ai5t p]dre l'analyse ma?matique1 son pr9cipal avantage c>actri/ique1 la simplicit et l'uni=mit des ides qu'elle comb9e4 ,l'emb>ras que l'intellig5ce pr\ve ord9airem5t au sujet de ces expressions s+ulires1 me p>at prov5ir ess5tiellem5t de la confusion vicieuse qu'elle fait son insu entre l'ide de fonction et l'ide de valeur1 ou1 ce qui revi5t au mme1 entre le po9t de vue algbrique1 et le po9t de vue ari?mtique4 ,si la nature de cet ouvrage me p]mettait de prs5t] cet g>d les dveloppem5s suffisans1 il me s]ait1 je crois1 facile1 p> un usage conv5able des considrations indiques dans cette leon et dans les deux prcd5tes1 de dissip] les nuages dont une fausse manire de voir ent\re habituellem5t ces div]ses notions4 ,le rsultat de cet exam5 dmontr]ait expressm5t que l'analyse ma?matique e/1 p> sa nature1 beauc\p plus claire1 s\s les diffr5s rapports dont je vi5s de p>l]1 que ne le croi5t communm5t les gomtres eux-mmes1 g>s p> les objections vicieuses des mtaphysici5s4 ,relativem5t aux quantits ngatives1 qui1 p> suite du mme esprit mtaphysique1 ont donn lieu tant de discussions dplaces1 aussi dp\rvues de t\t fondem5t rationnel que dnues de t\te vritable utilit sci5tifique1 il faut di/+u]1 en considrant t\j\rs le simple fait analytique1 entre leur signification ab/raite et leur int]prtation concrte1 qu'on a presque t\j\rs confondues jusqu' prs5t4 ,s\s le premi] rapport1 la ?orie des quantits ngatives peut tre tablie d'une manire complte p> une seule vue algbrique4 ,quant la ncessit d'admettre ce g5re de rsultats concurremm5t avec t\t autre1 elle drive de la considration gnrale que je vi5s de prs5t]3 et quant leur emploi comme artifice analytique p\r r5dre les =mules plus t5dues1 ce mcanisme de calcul ne peut rellem5t donn] lieu aucune difficult srieuse4 ,a9si1 on peut envisag] la ?orie ab/raite des quantits ngatives comme ne laissant ri5 d'ess5tiel dsir]3 elle ne prs5te vraim5t d'ob/acles que ceux qu'on y introduit mal propos p> des considrations sophi/iques4 ,mais1 il n'en e/ nullem5t de mme p\r leur ?orie concrte4 ,s\s ce po9t de vue1 elle consi/e ess5tiellem5t dans cette admirable proprit des signes et - de reprs5t] analytiquem5t les oppositions de s5s dont sont susceptibles c]ta9es gr&eurs4 ,ce ?orme gnral sur les relations du concret l'ab/rait en ma?matique1 e/ une des plus belles dc\v]tes que n\s devions au gnie de ,desc>tes1 qui l'a obt5ue comme un simple rsultat de l'obs]vation philosophique conv5ablem5t dirige4 ,un gr& nombre de gomtres ont t5t depuis d'en tablir directem5t la dmon/ration gnrale4 ,mais jusqu'ici leurs ef=ts ont t illusoires1 soit qu'ils ai5t essay de tran*] la difficult p> de va9es considrations mtaphysiques1 ou p> des comp>aisons trs-has>des1 soit qu'ils ai5t pris de simples vrifications dans quelque cas p>ticuli] plus ou mo9s born p\r de vritables dmon/rations4 ,ces div]ses t5tatives vicieuses1 et le mlange htrogne du po9t de vue ab/rait avec le po9t de vue concret1 ont mme introduit communm5t cet g>d une telle confusion1 qu'il devi5t ncessaire d'nonc] ici di/9ctem5t le fait gnral1 soit qu'on veuille se cont5t] d'en faire usage1 soit qu'on se propose de l'expliqu]4 ,il consi/e1 indp5damm5t de t\te explication1 en ce que3 si dans une quation quelconque exprimant la relation de c]ta9es quantits susceptibles d'opposition de s5s1 une ou plusieurs de ces quantits vi5n5t tre comptes dans un s5s contraire celui qu'elles affectai5t qu& l'quation a t primitivem5t tablie2 il ne s]a pas ncessaire de =m] directem5t une n\velle quation p\r ce second tat du phnomne2 il suffira de *ang]1 dans la premire quation1 le signe de *acune des quantits qui auront *ang de s5s1 et l'quation a9si modifie concid]a t\j\rs rig\reusem5t avec celle qu'on aurait tr\ve en recomm5ant *]*] p\r ce n\veau cas la loi analytique du phnomne4 ,c'e/ dans cette concid5ce con/ante et ncessaire que consi/e le ?orme gnral4 ,or1 jusqu'ici on n'e/ po9t p>v5u rellem5t s'en r5dre compte directem5t2 on ne s'en e/ assur que p> un gr& nombre de vrifications gomtriques et mcaniques1 qui sont1 il e/ vrai1 assez multiplies et surt\t assez v>ies p\r qu'il ne puisse re/] dans aucun esprit ju/e le mo9dre d\te sur l'exactitude et la gnralit de cette proprit ess5tielle1 mais qui1 s\s le rapport philosophique1 ne disp5s5t nullem5t de *]*] une explication aussi importante4 ,l'extrme t5due du ?orme doit faire compr5dre la fois et la difficult capitale de cette re*]*e si s\v5t reprise infructueusem5t1 et la haute utilit dont s]ait sans d\te1 p\r le p]fectionnem5t de la sci5ce ma?matique1 la conception gnrale de cette gr&e vrit1 l'esprit ne p\vant videmm5t s'y lev] qu'en se plaant un po9t de vue d'o il dc\vrirait 9vitablem5t de n\velles ides1 p> la considration directe et appr(ondie de la relation du concret l'ab/rait4 ,quoi qu'il en soit1 l'imp]fection que prs5te encore la sci5ce s\s ce rapport1 n'a po9t emp* les gomtres de faire l'usage le plus t5du et le plus important de cette proprit dans t\tes les p>ties de la ma?matique concrte1 o l'on en pr\ve un beso9 presque cont9uel4 ,on peut mme retir] une c]ta9e utilit logique de la simple considration nette de ce fait gnral1 tel que je l'ai dcrit ci-dessus2 il en rsulte1 p> exemple1 indp5damm5t de t\te dmon/ration1 que la proprit dont n\s p>lons ne doit jamais tre applique aux gr&eurs qui affect5t des directions cont9uellem5t v>iables1 sans donn] lieu une simple opposition de s5s3 dans ce cas1 le signe dont se tr\ve ncessairem5t affect t\t rsultat de calcul n'e/ susceptible d'aucune int]prtation concrte1 et c'e/ tort qu'on s'ef=ce quelquefois d'en tablir2 cette circon/ance a lieu1 entre autres occasions1 p\r les rayons vecteurs en gomtrie1 et p\r les =ces div]g5tes en mcanique4 ,un second ?orme gnral sur la relation du concret l'ab/rait en ma?matique1 que je crois devoir considr] expressm5t ici1 e/ celui qu'on dsigne ord9airem5t s\s le nom de pr9cipe de l'homognx4 ,il e/ sans d\te bi5 mo9s important dans ses applications que le prcd5t4 ,mais il mrite p>ticulirem5t notre att5tion1 comme ayant1 p> sa nature1 une t5due encore plus gr&e1 puisqu'il s'applique indi/9ctem5t t\s les phnomnes1 et cause de l'utilit relle qu'on en retire s\v5t p\r la vrification de leurs lois analytiques4 ,je puis d'ailleurs en expos] une dmon/ration directe et gnrale1 qui me semble =t simple4 ,elle e/ fonde sur cette seule obs]vation1 vid5te p> elle-mme3 l'exactitude de t\te relation entre des gr&eurs concrtes quelconques e/ indp5dante de la valeur des units auxquelles on les rapporte p\r les exprim] en nombres4 ,p> exemple1 la relation qui exi/e entre les trois cts d'un triangle rectangle1 a lieu soit qu'on les value en mtres1 ou en lieues1 ou en p\ces1 etc4 ,il suit de cette considration gnrale1 que t\te quation qui exprime la loi analytique d'un phnomne quelconque1 doit j\ir de cette proprit de n'tre nullem5t altre1 qu& on fait subir simultanm5t t\tes les quantits qui s'y tr\v5t1 le *angem5t correspondant celui qu'pr\v]ai5t leurs units respectives4 ,or1 ce *angem5t consi/e videmm5t en ce que t\tes les quantits de *aque espce devi5drai5t la fois m fois plus petites1 si l'unit qui leur correspond devi5t m fois plus gr&e1 ou rciproquem5t4 ,a9si1 t\te quation qui reprs5te une relation concrte quelconque1 doit (frir ce c>actre de demeur] la mme1 qu& on y r5d m fois plus gr&es t\tes les quantits qu'elle conti5t1 et qui exprim5t les gr&eurs entre lesquelles exi/e la relation1 en exceptant t\tefois les nombres qui dsign5t simplem5t les rapports mutuels de ces div]ses gr&eurs1 lesquels re/5t inv>iables dans le *angem5t des units4 ,c'e/ dans cette proprit que consi/e la loi de l'homognx1 suivant son acception la plus t5due1 c'e/--dire1 de quelques fonctions analytiques que les quations soi5t composes4 ,mais1 le plus s\v5t1 on ne considre que les cas o ces fonctions sont de celles qu'on appelle p>ticulirem5t algbriques1 et auxquelles la notion de degr e/ applicable4 ,dans ce cas1 on peut prcis] davantage la proposition gnrale1 en dt]m9ant le c>actre analytique que doit prs5t] ncessairem5t l'quation p\r que cette proprit soit vrifie4 ,il e/ ais de voir alors1 en effet1 que1 p> la modification ci-dessus expose1 t\s les t]mes du premi] degr1 quelle que soit leur =me1 rationnelle ou irrationnelle1 entire ou fractionnaire1 devi5dront m fois plus gr&s2 t\s ceux du second degr1 m#b fois2 ceux du troisime1 m#c fois1 etc4 ,a9si1 les t]mes du mme degr1 quelque div]se que puisse tre leur composition1 v>iant de la mme manire1 et les t]mes de degrs diffr5s v>iant dans une proportion 9gale1 quelque similitude que puisse (frir leur composition1 il faudra ncessairem5t1 p\r que l'quation ne soit pas tr\ble1 que t\s les t]mes qu'elle conti5t soi5t d'un mme degr4 ,c'e/ en cela que consi/e proprem5t le ?orme ord9aire de l'homognx2 et c'e/ de cette circon/ance que la loi gnrale tir son nom1 qui cep5dant cesse d'tre exactem5t conv5able p\r t\te autre espce de fonctions4 ,af9 de trait] ce sujet dans t\te son t5due1 il importe d'obs]v] une condition ess5tielle1 laquelle on devra avoir g>d en appliquant cette proprit1 lorsque le phnomne exprim p> l'quation prs5t]a des gr&eurs de natures div]ses4 ,en effet1 il p\rra arriv] que les units respectives soi5t compltem5t indp5dantes les unes des autres1 et alors le ?orme de l'homognx aura lieu1 soit p> rapport t\tes les classes correspondantes de quantits1 soit qu'on ne veuille considr] qu'une seule ou plusieurs d'entre elles4 ,mais1 il arriv]a1 dans d'autres occasions1 que les div]ses units auront entre elles des relations obliges1 dt]m9es p> la nature de la "q4 ,alors1 il faudra avoir g>d cette subord9ation des units dans la vrification de l'homognx1 qui n'exi/]a plus en un s5s purem5t algbrique1 et dont le mode prcis v>i]a suivant le g5re des phnomnes4 ,a9si1 p> exemple1 p\r fix] les ides1 qu& on considr]a dans l'expression analytique des phnomnes gomtriques1 la fois des lignes1 des aires1 et des volumes1 il faudra obs]v] que les trois units correspondantes1 sont ncessairem5t lies entre elles1 de telle sorte que1 suivant la subord9ation gnralem5t tablie cet g>d1 lorsque la premire devi5t m fois plus gr&e1 la seconde le devi5t m#b fois1 et la troisime m#c fois4 ,c'e/ avec une telle modification que l'homognx exi/]a dans les quations1 o l'on devra alors1 si elles sont algbriques1 e/im] le degr de *aque t]me1 en d\blant les exposans des facteurs qui correspond5t des aires1 et triplant ceux des facteurs relatifs des volumes#aj4 ,telles sont les pr9cipales considrations gnrales1 trs-insuffisantes sans d\te1 mais auxquelles je suis contra9t de me rduire p> les limites naturelles de ce c\rs1 relativem5t au calcul des fonctions directes4 ,n\s devons pass] ma9t5ant l'exam5 philosophique du calcul des fonctions indirectes1 dont l'importance et l't5due bi5 suprieures rclam5t un plus gr& dveloppem5t4 ,note #aj3 ,j'ai t conduit1 il y a d\ze ans1 p> mon enseignem5t j\rnali] de la sci5ce ma?matique1 con/ruire cette ?orie gnrale de l'homognx4 ,j'ai tr\v depuis que ,m4 ,f\ri]1 dans son gr& ouvrage sur la *aleur1 publi en #ahbb1 avait suivi1 de son ct1 une m>*e ess5tiellem5t semblable4 ,malgr cette heureuse concid5ce1 qu'a d naturellem5t dt]m9] la considration directe d'un sujet aussi simple1 je n'ai pas cru devoir ici r5voy] sa dmon/ration2 celle que je vi5s d'expos] ayant p\r pr9cipal objet d'embrass] l'ensemble de la "q1 sans g>d aucune application spciale4 ,,sixi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,exposition comp>ative des div]s po9ts de vue gnraux s\s lesquels on peut envisag] le calcul des fonctions indirectes4 ,n\s avons dt]m91 dans la quatrime leon1 le c>actre philosophique propre l'analyse transc5dante1 de quelque manire qu'on puisse la concevoir1 en considrant seulem5t la nature gnrale de sa de/9ation effective dans l'ensemble de la sci5ce ma?matique4 ,cette analyse a t1 comme on sait1 prs5te p> les gomtres s\s plusieurs po9ts de vue rellem5t di/9cts1 quoique ncessairem5t quival5s1 et conduisant t\j\rs des rsultats id5tiques4 ,on peut les rduire trois pr9cipaux1 ceux de ,lebnitz1 de ,newton et de ,lagrange1 dont t\s les autres ne sont que des modifications secondaires4 ,dans l'tat prs5t de la sci5ce1 *acune de ces trois conceptions gnrales (fre des avantages ess5tiels qui lui app>ti5n5t exclusivem5t1 sans qu'on soit encore p>v5u con/ruire une m?ode unique runissant t\tes ces div]ses qualits c>actri/iques4 ,en mditant sur l'ensemble de cette gr&e "q1 on e/ conva9cu1 je crois1 que c'e/ dans la conception de ,lagrange1 que s'opr]a un j\r cette comb9aison4 ,qu& cet important travail philosophique1 qui exige une pr(onde laboration de t\tes les ides ma?matiques fondam5tales1 s]a conv5ablem5t excut2 on p\rra se born] alors1 p\r connatre l'analyse transc5dante1 la seule tude de cette conception df9itive2 les autres ne prs5tant plus ess5tiellem5t qu'un intrt hi/orique4 ,mais jusqu' cette poque1 la sci5ce devra tre considre1 s\s ce rapport1 comme tant dans un vritable tat provisoire1 qui exige absolum5t1 mme p\r l'exposition dogmatique de cette analyse1 la considration simultane des div]s modes gnraux propres au calcul des fonctions indirectes4 ,quelque peu satisfaisante que puisse p>atre1 s\s le rapport logique1 cette multiplicit de conceptions d'un sujet t\j\rs id5tique1 il e/ c]ta9 que1 sans cette indisp5sable condition1 on ne p\rrait se =m] auj\rd'hui qu'une notion trs-insuffisante de cette analyse1 soit en elle-mme1 soit surt\t relativem5t ses applications1 quelque ft le mode unique que l'on aurait cru devoir *oisir4 ,ce dfaut de sy/matisation dans la p>tie la plus importante de l'analyse ma?matique1 ne p>atra nullem5t trange1 si l'on considre1 d'une "p1 son extrme t5due1 sa difficult suprieure1 et d'une autre "p1 sa =mation presque rc5te4 ,la gnration des gomtres e/ pe9e r5\vele depuis la production primitive de la conception de/9e sans d\te coordonn] la sci5ce1 de manire lui imprim] un c>actre fixe et uni=me2 a9si1 les habitudes intellectuelles n'ont pu encore1 s\s ce rapport1 tre suffisamm5t =mes4 ,s'il s'agissait ici de trac] l'hi/oire raisonne de la =mation successive de l'analyse transc5dante1 il faudrait pralablem5t di/+u] avec so9 du calcul des fonctions indirectes proprem5t dit1 l'ide mre de la m?ode inf9itsimale1 laquelle peut tre conue p> elle-mme1 indp5damm5t de t\t calcul4 ,n\s v]rions1 ds-lors1 que le premi] g]me de cette ide1 se tr\ve dj dans le procd con/ant1 employ p> les gomtres grecs1 s\s le nom de m?ode d'exhau/ion1 p\r pass] de ce qui e/ relatif aux lignes droites ce qui conc]ne les lignes c\rbes1 et qui consi/ait ess5tiellem5t sub/itu] la c\rbe la considration auxiliaire d'un polygone inscrit ou circonscrit1 d'aprs lequel on s'levait la c\rbe elle-mme1 en pr5ant conv5ablem5t les limites des relations primitives4 ,quelqu'inconte/able que soit cette filiation des ides1 on lui donn]ait une importance =t exagre1 en voyant dans cette m?ode d'exhau/ion1 l'quival5t rel de nos m?odes mod]nes1 comme l'ont fait plusieurs gomtres4 ,c>1 les anci5s n'avai5t aucun moy5 rationnel et gnral p\r la dt]m9ation de ces limites1 qui con/ituait ord9airem5t la plus gr&e difficult de la "q2 en sorte que leurs solutions n'tai5t po9t s\mises des rgles ab/raites et inv>iables1 dont l'application uni=me dt conduire avec c]titude la connaissance *]*e1 ce qui e/ le pr9cipal c>actre de notre analyse transc5dante4 ,en un mot1 il re/ait gnralis] la conception employe p> les anci5s1 et surt\t1 en la considrant d'une manire purem5t ab/raite1 la rduire en calcul1 ce qui leur tait impossible4 ,la premire ide qui ait t produite dans cette n\velle direction1 remonte vritablem5t notre gr& gomtre ,f]mat1 que ,lagrange a ju/em5t prs5t comme ayant bau* la =mation directe de l'analyse transc5dante1 p> sa m?ode p\r la dt]m9ation des maxima et m9ima1 et p\r la re*]*e des tang5tes1 qui consi/ait ess5tiellem5t1 en effet1 introduire la considration auxiliaire des accroissem5s corlatifs des v>iables proposes1 accroissem5s supprims ensuite comme nuls1 aprs que les quations avai5t subi c]ta9es trans=mations conv5ables4 ,mais1 quoique ,f]mat et le premi] conu cette analyse d'une manire vraim5t ab/raite1 elle tait encore lo9 d'tre rgulirem5t =me en un calcul gnral et di/9ct1 ayant sa notation propre1 et surt\t dgag de la considration sup]flue des t]mes1 qui f9issai5t p> n'tre plus compts dans l'analyse de ,f]mat1 aprs avoir nanmo9s s+ulirem5t compliqu p> leur prs5ce t\tes les oprations4 ,c'e/ ce qu'a si heureusem5t excut ,lebnitz un demi-sicle plus t>d1 aprs quelques modifications int]mdiaires apportes p> ,wallis1 et surt\t p> ,b>r[1 aux ides de ,f]mat2 et p> l il a t le vritable crateur de l'analyse transc5dante1 telle que n\s l'employons auj\rd'hui4 ,cette dc\v]te capitale tait tellem5t mre1 comme t\tes les gr&es conceptions de l'esprit huma9 au mom5t de leur manife/ation1 que ,newton1 de son ct1 tait p>v5u en mme temps1 ou un peu aup>avant1 une m?ode exactem5t quival5te1 en considrant cette analyse s\s un po9t de vue trs-diffr5t1 et qui1 bi5 que plus rationnel en lui-mme1 e/ rellem5t mo9s conv5able p\r donn] la m?ode fondam5tale commune t\te l't5due et la facilit que lui ont imprimes les ides de ,lebnitz4 ,enf91 ,lagrange1 c>tant les considrations htrognes qui avai5t guid ,lebnitz et ,newton1 e/ p>v5u plus t>d rduire l'analyse transc5dante1 dans sa plus gr&e p]fection1 un sy/me purem5t algbrique1 auquel il ne manque encore que plus d'aptitude aux applications4 ,aprs ce c\p-d'oeil sommaire sur l'hi/oire gnrale de l'analyse transc5dante1 procdons l'exposition dogmatique des trois conceptions pr9cipales1 af9 d'apprci] exactem5t leurs proprits c>actri/iques1 et de con/at] l'id5tit ncessaire des m?odes qui en driv5t4 ,comm5ons p> celle de ,lebnitz4 ,elle consi/e1 comme on sait1 introduire dans le calcul1 p\r facilit] l'tablissem5t des quations1 les lm5s inf9im5t petits dont on considre comme composes les quantits entre lesquelles on *]*e des relations4 ,ces lm5s ou diffr5tielles auront entre eux des relations con/amm5t et ncessairem5t plus simples et plus faciles dc\vrir que celles des quantits primitives1 et d'aprs lesquelles on p\rrait ensuite1 p> un calcul spcial ayant p\r de/9ation propre l'lim9ation de ces inf9itsimales auxiliaires1 remont] aux quations *]*es1 qu'il et t le plus s\v5t impossible d'obt5ir directem5t4 ,cette analyse indirecte p\rra l'tre des degrs div]s2 c>1 si on tr\ve quelquefois trop de difficult =m] immdiatem5t l'quation entre les diffr5tielles mmes des gr&eurs que l'on considre1 il faudra1 p> un emploi r$\bl du mme artifice gnral1 trait]1 leur t\r1 ces diffr5tielles comme de n\velles quantits primitives1 et *]*] la relation entre leurs lm5s inf9im5t petits1 qui1 p> rapport aux objets df9itifs de la "q1 s]ont les diffr5tielles secondes2 et a9si de suite1 la mme trans=mation p\vant tre rpte un nombre quelconque de fois1 la condition t\j\rs d'lim9] f9alem5t le nombre de plus en plus gr& des quantits inf9itsimales introduites comme auxiliaires4 ,un esprit encore trang] ces considrations n'ap]oit pas sur-le-*amp comm5t l'emploi de ces quantits auxiliaires peut facilit] la dc\v]te des lois analytiques des phnomnes2 c> les accroissem5s inf9im5t petits des gr&eurs proposes tant de mme espce qu'elles1 leurs relations ne p>aiss5t pas devoir s'obt5ir plus aism5t1 la valeur plus ou mo9s petite d'une quantit ne p\vant1 en effet1 ex]c] aucune influ5ce sur une re*]*e ncessairem5t indp5dante1 p> sa nature1 de t\te ide de valeur4 ,mais il e/ ais1 nanmo9s1 de s'expliqu] trs-nettem5t1 et d'une manire t\t--fait gnrale1 quel po9t1 p> un tel artifice1 la "q doit se tr\v] simplifie4 ,il faut1 p\r cela1 comm5c] p> di/+u] les diffr5s ordres d'inf9im5t petits1 dont on peut se faire une ide =t prcise1 en considrant que ce sont ou les puissances successives d'un mme inf9im5t petit primitif1 ou des quantits qu'on peut prs5t] comme ayant avec ces puissances des rapports f9is1 en sorte que1 p> exemple1 les diffr5tielles seconde1 troisime1 etc41 d'une mme v>iable1 sont classes comme inf9im5t petits du second ordre1 du troisime1 etc41 p>ce qu'il e/ ais de montr] en elles des multiples f9is des puissances seconde1 troisime1 etc41 d'une c]ta9e diffr5tielle premire4 ,ces notions prlim9aires tant poses1 l'esprit de l'analyse inf9itsimale consi/e nglig] con/amm5t les quantits inf9im5t petites l'g>d des quantits f9ies1 et1 gnralem5t1 les inf9im5t petits d'un ordre quelconque vis--vis t\s ceux d'un ordre infrieur4 ,on conoit immdiatem5t combi5 une telle facult doit facilit] la =mation des quations entre les diffr5tielles des quantits1 puisque1 au lieu de ces diffr5tielles1 on p\rra sub/itu] tels autres lm5s qu'on v\dra1 et qui s]ai5t plus simples considr]1 en se con=mant cette seule condition1 que les n\veaux lm5s ne diffr5t des prcd5s que de quantits inf9im5t petites p> rapport eux4 ,c'e/ a9si qu'il s]a possible1 en gomtrie1 de trait] les lignes c\rbes comme composes d'une inf9it d'lm5s rectilignes1 les surfaces c\rbes comme =mes d'lm5s plans2 et1 en mcanique1 les m\vem5s v>is comme une suite inf9ie de m\vem5s uni=mes1 se succdant des int]valles de temps inf9im5t petits4 ,vu l'importance de cette conception admirable1 je crois devoir ici1 p> l'indication sommaire de quelques exemples pr9cipaux1 a*ev] d'claircir son c>actre fondam5tal4 ,qu'il s'agisse de dt]m9]1 en *aque po9t d'une c\rbe plane dont l'quation e/ donne1 la direction de sa tang5te1 "q dont la solution gnrale a t l'objet primitif qu'avai5t en vue les inv5teurs de l'analyse transc5dante4 ,on considr]a la tang5te comme une scante qui jo9drait deux po9ts inf9im5t vois9s2 et alors1 en nommant dy et dx les diffr5ces inf9im5t petites des coordonnes de ces deux po9ts1 les premi]s lm5s de la gomtrie f\rniront immdiatem5t l'quation t_/fracdydx1 p\r la tang5te trigonomtrique de l'angle que fait avec l'axe des x la tang5te *]*e1 ce qui1 dans un sy/me de coordonnes rectilignes1 e/ la manire la plus simple d'en fix] la position4 ,cette quation1 commune t\tes les c\rbes1 tant pose1 la "q e/ rduite un simple problme analytique1 qui consi/]a lim9] les inf9itsimales dx et dy1 introduites comme auxiliaires1 en dt]m9ant1 dans *aque cas p>ticuli]1 d'aprs l'quation de la c\rbe propose1 le rapport de dy dx1 ce qui se f]a con/amm5t p> des procds uni=mes et trs-simples4 ,en second lieu1 qu'on veuille connatre la longueur de l'arc d'une c\rbe quelconque1 considr comme une fonction des coordonnes de ses extrmits4 ,il s]ait impossible d'tablir immdiatem5t l'quation entre cet arc s et ces coordonnes1 t&is qu'il e/ ais de tr\v] la relation correspondante entre les diffr5tielles de ces div]ses gr&eurs4 ,les plus simples ?ormes de la gomtrie lm5taire donn]ont1 en effet1 sur-le-*amp1 en considrant l'arc inf9im5t petit ds comme une ligne droite1 les quations _/ds#b dy#b dx#b1 _/mboxouds#b dx#b dy#b dz#b1 _/ suivant que la c\rbe s]a plane ou d\ble c\rbure4 ,dans l'un et l'autre cas1 la "q e/ ma9t5ant t\t entire du doma9e de l'analyse1 qui f]a remont]1 d'aprs cette relation1 celle qui exi/e entre les quantits f9ies elles-mmes que l'on considre1 p> l'lim9ation des diffr5tielles1 qui e/ l'objet propre du calcul des fonctions indirectes4 ,il en s]ait de mme p\r la quadrature des aires curvilignes4 ,si la c\rbe e/ plane et rapporte des coordonnes rectilignes1 on concevra l'aire ,a comprise entre elle1 l'axe des x1 et deux coordonnes extrmes1 comme augm5tant d'une quantit inf9im5t petite d,a1 en rsultat d'un accroissem5t analogue de l'abcisse4 ,alors la relation entre ces deux diffr5tielles p\rra s'obt5ir immdiatem5t avec la plus gr&e facilit1 en sub/ituant l'lm5t curviligne de l'aire propose le rectangle =m p> l'ordonne extrme et l'lm5t de l'abcisse1 dont il ne diffre videmm5t que d'une quantit inf9im5t petite du second ordre1 ce qui f\rnira aussitt1 quelle que soit la c\rbe1 l'quation diffr5tielle trs-simple _/d,a ydx1_/ d'o le calcul des fonctions indirectes1 qu& la c\rbe s]a df9ie1 appr5dra dduire l'quation f9ie1 objet immdiat du problme4 ,p>eillem5t1 en dynamique1 qu& on v\dra connatre l'expression de la vitesse acquise *aque in/ant p> un corps anim d'un m\vem5t v>i suivant une loi quelconque1 on considr]a le m\vem5t comme uni=me p5dant la dure d'un lm5t inf9im5t petit du temps t1 et on =m]a a9si immdiatem5t l'quation diffr5tielle devdt1 v dsignant la vitesse acquise qu& le corps a p>c\ru l'espace e1 et de l il s]a facile de conclure1 p> de simples procds analytiques inv>iables1 la =mule qui donn]ait la vitesse dans *aque m\vem5t p>ticuli]1 d'aprs la relation correspondante entre le temps et l'espace2 ou1 rciproquem5t1 quelle s]ait cette relation si le mode de v>iation de la vitesse tait suppos connu1 soit p> rapport l'espace1 soit p> rapport au temps4 ,enf91 p\r indiqu] une autre nature de que/ions1 c'e/ p> une m>*e semblable que1 dans l'tude des phnomnes !rmologiques1 comme l'a si heureusem5t conue ,m4 ,f\ri]1 on peut =m] trs-simplem5t1 a9si que n\s le v]rons plus t>d1 l'quation diffr5tielle gnrale qui exprime la rp>tition v>iable de la *aleur dans un corps quelconque quelques influ5ces qu'on le suppose s\mis1 d'aprs la seule relation1 =t aise obt5ir1 qui reprs5te la di/ribution uni=me de la *aleur dans un p>alllipipde rectangle1 en considrant gomtriquem5t t\t autre corps comme dcompos en lm5s inf9im5t petits d'une telle =me1 et !rmologiquem5t le flux de *aleur comme con/ant p5dant un temps inf9im5t petit4 ,ds-lors1 t\tes les que/ions que peut prs5t] la !rmologie ab/raite se tr\v]ont rduites1 comme p\r la gomtrie et la mcanique1 de pures difficults d'analyse1 qui consi/]ont t\j\rs dans l'lim9ation des diffr5tielles introduites comme auxiliaires p\r facilit] l'tablissem5t des quations4 ,des exemples de nature aussi div]se sont plus que suffisans p\r faire nettem5t compr5dre en gnral l'imm5se porte de la conception fondam5tale de l'analyse transc5dante1 telle que ,lebnitz l'a =me1 et qui con/itue sans aucun d\te la plus haute p5se laquelle l'esprit huma9 se soit jamais lev jusqu' prs5t4 ,on voit que cette conception tait indisp5sable p\r a*ev] de fond] la sci5ce ma?matique1 en p]mettant d'tablir d'une manire l>ge et fconde1 la relation du concret l'ab/rait4 ,s\s ce rapport1 elle doit tre envisage comme le complm5t ncessaire de la gr&e ide-mre de ,desc>tes1 sur la reprs5tation analytique gnrale des phnomnes naturels1 ide qui n'a comm5c tre dignem5t apprcie et conv5ablem5t exploite que depuis la =mation de l'analyse inf9itsimale1 sans laquelle elle ne p\vait encore produire1 mme en gomtrie1 de rsultats trs-importans#aa4 ,note #aa3 ,il e/ bi5 rem>quable1 en effet1 que des hommes tels que ,pascal1 ai5t fait aussi peu d'att5tion la conception fondam5tale de ,desc>tes1 sans press5tir nullem5t la rvolution gnrale qu'elle tait ncessairem5t de/9e produire dans le sy/me enti] de la sci5ce ma?matique4 ,cela e/ v5u de ce que1 sans le sec\rs de l'analyse transc5dante1 cette admirable m?ode ne p\vait rellem5t encore conduire des rsultats ess5tiels1 qui ne puss5t tre obt5us presqu'aussi bi5 p> la m?ode gomtrique des anci5s4 ,les esprits mmes les plus m95s ont t\j\rs bi5 mo9s apprci jusqu'ici les m?odes gnrales p> leur simple c>actre philosophique1 que p> les connaissances effectives qu'elles p\vai5t procur] immdiatem5t4 ,quoique j'aie cru devoir1 dans les considrations prcd5tes1 insi/] p>ticulirem5t sur l'admirable facilit que prs5te p> sa nature l'analyse transc5dante p\r la re*]*e des lois ma?matiques de t\s les phnomnes1 je ne dois pas nglig] de faire ressortir une seconde proprit fondam5tale1 peut-tre aussi importante que la premire1 et qui ne lui e/ pas mo9s inhr5te3 je veux p>l] de l'extrme gnralit des =mules diffr5tielles1 qui exprim5t en une seule quation *aque phnomne dt]m91 quelque v>is que puiss5t tre les sujets dans lesquels on le considre4 ,a9si1 s\s le po9t de vue de l'analyse inf9itsimale1 on voit1 dans les exemples qui prcd5t1 une seule quation diffr5tielle donn] les tang5tes t\tes les c\rbes1 une autre leurs rectifications1 une troisime leurs quadratures2 et de mme1 une =mule inv>iable exprim] la loi ma?matique de t\t m\vem5t v>i2 enf9 une quation unique reprs5t] con/amm5t la rp>tition de la *aleur dans un corps et p\r un cas quelconques4 ,cette gnralit si m9emm5t rem>quable1 et qui e/ p\r les gomtres la base des considrations les plus leves1 e/ une heureuse consqu5ce ncessaire et presqu'immdiate de l'esprit mme de l'analyse transc5dante1 surt\t dans la conception de ,lebnitz4 ,elle rsulte de ce que1 en sub/ituant aux lm5s inf9im5t petits des gr&eurs considres1 d'autres inf9itsimales plus simples1 qui seules entr5t dans les quations diffr5tielles1 ces inf9itsimales se tr\v5t1 p> leur nature1 tre con/amm5t les mmes p\r *aque classe totale de que/ions1 quels que soi5t les objets div]s du phnomne tudi4 ,a9si1 p> exemple1 t\te c\rbe1 quelle qu'elle soit1 tant t\j\rs dcompose en lm5s rectilignes1 on conoit priori que la relation entre ces lm5s uni=mes doit ncessairem5t tre la mme p\r un mme phnomne gomtrique quelconque1 quoique l'quation f9ie correspondante cette loi diffr5tielle doive v>i] d'une c\rbe une autre4 ,il en e/ videmm5t de mme dans t\t autre cas quelconque4 ,l'analyse inf9itsimale n'a donc pas seulem5t f\rni un procd gnral p\r =m] indirectem5t des quations qu'il et t impossible de dc\vrir d'une manire directe2 elle a p]mis en outre de considr]1 p\r l'tude ma?matique des phnomnes naturels1 un ordre n\veau de lois plus gnrales et nanmo9s (frant une signification claire et prcise t\t esprit habitu leur int]prtation4 ,ces lois sont con/amm5t les mmes p\r *aque phnomne1 dans quelques objets qu'on l'tudie1 et ne *ang5t qu'en passant d'un phnomne un autre2 d'o l'on a pu d'ailleurs1 en comp>ant ces v>iations1 s'lev] quelquefois1 p> une vue encore plus gnrale1 des rappro*em5s positifs entre div]ses classes de phnomnes t\t--fait div]s1 d'aprs les analogies prs5tes p> les expressions diffr5tielles de leurs lois ma?matiques4 ,dans l'tude philosophique de la ma?matique concrte1 je m'atta*]ai faire exactem5t apprci] cette seconde proprit c>actri/ique de l'analyse transc5dante1 non mo9s admirable que la premire1 et en v]tu de laquelle le sy/me enti] d'une sci5ce imm5se1 comme la gomtrie ou la mcanique1 a pu se tr\v] cond5s en un petit nombre de =mules analytiques1 d'o l'esprit huma9 peut dduire1 p> des rgles c]ta9es et inv>iables1 la solution de t\s les problmes p>ticuli]s4 ,p\r t]m9] l'exposition gnrale de la conception de ,lebnitz1 il me re/e ma9t5ant considr] en elle-mme la dmon/ration du procd logique auquel elle conduit1 ce qui con/itue malheureusem5t la p>tie la plus imp>faite de cette belle m?ode4 ,dans les premi]s temps de l'analyse inf9itsimale1 les gomtres les plus clbres1 tels que les deux illu/res frres ,jean et ,jacques ,b]n\illi atta*r5t1 avec raison1 bi5 plus d'importance t5dre1 en la dveloppant1 l'immortelle dc\v]te de ,lebnitz1 et en multipli] les applications1 qu' tablir rig\reusem5t les bases logiques sur lesquelles reposai5t les procds de ce n\veau calcul#ab4 ,ils se cont5tr5t p5dant long-temps de rpondre p> la solution inespre des problmes les plus difficiles l'opposition prononce de la plup>t des gomtres du second ordre contre les pr9cipes de la n\velle analyse1 p]suads sans d\te1 contrairem5t aux habitudes ord9aires1 que1 dans la sci5ce ma?matique bi5 plus que dans aucune autre1 on peut accueillir avec h>diesse les n\veaux moy5s1 mme qu& leur rationnalit e/ imp>faite1 p\rvu qu'ils soi5t fconds1 puisque1 les vrifications tant bi5 plus faciles et plus multiplies1 l'erreur ne saurait demeur] long-temps inap]ue4 ,nanmo9s1 aprs le premi] lan1 il tait impossible d'en re/] l2 et il fallait rev5ir ncessairem5t sur les fondem5s mmes de l'analyse lebnitzi5ne p\r con/at] gnralem5t l'exactitude rig\reuse des procds employs1 malgr les infractions app>5tes qu'on s'y p]mettait aux rgles ord9aires du raisonnem5t4 ,lebnitz1 press de rpondre1 avait lui-mme prs5t une explication t\t--fait errone1 en disant qu'il traitait les inf9im5t petits comme des incomp>ables1 et qu'il les ngligeait vis--vis des quantits f9ies comme des gra9s de sable p> rapport la m]1 considration qui et compltem5t dnatur son analyse1 en la rduisant n'tre plus qu'un simple calcul d'approximation1 qui1 s\s ce rapport1 s]ait radicalem5t vicieux1 puisqu'il s]ait impossible de prvoir1 en ?se gnrale1 quel po9t les oprations successives peuv5t grossir ces erreurs premires1 dont l'accroissem5t p\rrait mme videmm5t dev5ir a9si quelconque4 ,lebnitz n'avait donc entrevu que d'une manire extrmem5t confuse les vritables fondem5s rationnels de l'analyse qu'il avait cre4 ,ses premi]s successeurs se bornr5t d'abord en vrifi] l'exactitude p> la con=mit de ses rsultats1 dans c]ta9s usages p>ticuli]s1 avec ceux que f\rnissait l'algbre ord9aire ou la gomtrie des anci5s1 en reproduisant1 autant qu'ils le p\vai5t1 d'aprs les anci5nes m?odes1 les solutions de quelques problmes1 une fois qu'elles avai5t t obt5ues p> la m?ode n\velle1 seule capable primitivem5t de les faire dc\vrir4 ,qu& cette gr&e "q a t considre d'une manire plus gnrale1 les gomtres1 au lieu d'abord] directem5t la difficult1 ont prfr l'lud] en quelque sorte1 comme l'ont fait ,eul] et d',alemb]t1 p> exemple1 en dmontrant ab/raitem5t la con=mit ncessaire et con/ante de la conception de ,lebnitz1 envisage dans t\s ses usages quelconques1 avec d'autres conceptions fondam5tales de l'analyse transc5dante1 celle de ,newton surt\t1 dont l'exactitude tait l'abri de t\te objection4 ,une telle vrification gnrale e/ sans d\te /rictem5t suffisante p\r dissip] t\te inc]titude sur l'emploi lgitime de l'analyse lebnitzi5ne4 ,mais la m?ode inf9itsimale e/ tellem5t importante1 elle prs5te encore1 dans presque t\tes les applications1 une telle supriorit effective sur les autres conceptions gnrales successivem5t proposes1 qu'il y aurait vritablem5t imp]fection dans le c>actre philosophique de la sci5ce ne p\voir la ju/ifi] en elle-mme1 et la fond] logiquem5t sur des considrations d'un autre ordre1 qu'on cess]ait ensuite d'employ] efficacem5t4 ,il tait donc d'une importance relle d'tablir directem5t et d'une manire gnrale la rationnalit ncessaire de la m?ode inf9itsimale4 ,aprs div]ses t5tatives plus ou mo9s imp>faites p\r y p>v5ir1 les travaux philosophiques de ,lagrange ayant =tem5t report1 v]s la f9 du sicle d]ni]1 l'att5tion des gomtres sur la ?orie gnrale de l'analyse inf9itsimale1 un gomtre trs-recomm&able1 ,c>not1 prs5ta enf9 la vritable explication logique directe de la m?ode de ,lebnitz1 en la montrant comme fonde sur le pr9cipe de la comp5sation ncessaire des erreurs1 ce qui e/ vraisemblablem5t1 en effet1 la manife/ation prcise et lum9euse de ce que ,lebnitz avait vaguem5t et confusm5t ap]u1 en concevant les bases rationnelles de son analyse4 ,c>not a r5du a9si la sci5ce un s]vice ess5tiel#ac1 et dont l'importance me semble n'tre pas encore suffisamm5t apprcie1 quoique1 comme n\s le v]rons la f9 de cette leon1 t\t cet *afaudage logique de la m?ode inf9itsimale proprem5t dite ne soit susceptible trs-vraisemblablem5t que d'une exi/5ce provisoire1 en tant que radicalem5t vicieux p> sa nature4 ,je n'en crois pas mo9s1 cep5dant1 devoir considr] ici1 af9 de complt] cette importante exposition1 le raisonnem5t gnral propos p> ,c>not1 p\r lgitim] directem5t l'analyse de ,lebnitz4 ,voici en quoi il consi/e ess5tiellem5t4 ,note #ab3 ,on ne peut contempl]1 sans un pr(ond intrt1 le naf en?\siasme de l'illu/re ,huygh5s1 au sujet de cette admirable cration1 quoique son ge avanc ne lui p]mt po9t d'en faire lui-mme aucun usage important1 et qu'il se ft dj lev sans ce puissant sec\rs des dc\v]tes capitales4 ,je vois avec surprise et avec admiration1 crivait-il1 en #afib1 au m>quis de ,l',hpital1 l't5due et la fcondit de cet art2 de quelque ct que je t\rne la vue1 j'en ap]ois de n\veaux usages2 enf91 j'y conois un progrs et une spculation inf9is4 ,note #ac3 ,voyez l'ouvrage rem>quable qu'il a publi s\s le titre de ,rflexions sur la ,mtaphysique du calcul inf9itsimal1 et dans lequel on tr\ve d'ailleurs une exposition claire et utile1 quoique trop peu appr(ondie1 de t\s les div]s po9ts de vue s\s lesquels a t conu le sy/me gnral du calcul des fonctions indirectes4 ,lorsqu'on tablit l'quation diffr5tielle d'un phnomne1 on sub/itue aux lm5s immdiats des div]ses quantits considres1 d'autres inf9itsimales plus simples qui en diffr5t inf9im5t peu p> rapport eux1 et cette sub/itution con/itue le pr9cipal artifice de la m?ode de ,lebnitz1 qui1 sans cela1 n'(frirait aucune facilit relle p\r la =mation des quations4 ,c>not reg>de une telle hypo?se comme produisant vritablem5t une erreur dans l'quation a9si obt5ue1 et que1 p\r cette raison1 il appelle imp>faite2 seulem5t1 il e/ clair que cette erreur ne peut tre qu'inf9im5t petite4 ,or1 d'un autre ct1 t\s les procds analytiques1 soit de diffr5tiation1 soit d'intgration1 qu'on applique ces quations diffr5tielles p\r s'lev] aux quations f9ies en lim9ant t\tes les inf9itsimales introduites comme auxiliaires1 produis5t aussi con/amm5t1 p> leur nature1 a9si qu'il e/ ais de le voir1 d'autres erreurs analogues1 en sorte qu'il a pu s'opr] une exacte comp5sation1 et que les quations df9itives peuv5t1 suivant l'expression de ,c>not1 tre dev5ues p>faites4 ,c>not considre comme un symptme c]ta9 et inv>iable de l'tablissem5t effectif de cette comp5sation ncessaire1 l'lim9ation complte des div]ses quantits inf9im5t petites1 qui e/ con/amm5t1 en effet1 le b df9itif de t\tes les oprations de l'analyse transc5dante4 ,c>1 si on n'a jamais commis d'autres infractions aux rgles gnrales du raisonnem5t que celles a9si exiges p> la nature mme de la m?ode inf9itsimale1 les erreurs inf9im5t petites produites de cette manire n'ayant jamais pu eng5dr] que des erreurs inf9im5t petites dans t\tes les quations1 les relations sont ncessairem5t d'une exactitude rig\reuse aussitt qu'elles n'ont plus lieu qu'entre des quantits f9ies1 puisqu'il ne saurait videmm5t exi/] alors que des erreurs f9ies1 t&is qu'il n'a pu en surv5ir aucune de ce g5re4 ,t\t ce raisonnem5t gnral e/ fond sur la notion des quantits inf9itsimales1 conues comme indf9im5t dcroissantes1 lorsque celles dont elles driv5t sont envisages comme fixes4 ,a9si1 p\r claircir cette exposition ab/raite p> un seul exemple1 repr5ons la "q des tang5tes1 qui e/ la plus facile analys] compltem5t4 ,on reg>d]a l'quation t_/fracdydx obt5ue ci-dessus comme affecte d'une erreur inf9im5t petite1 puisqu'elle ne s]ait t\t--fait rig\reuse que p\r la scante4 ,ma9t5ant1 on a*v]a la solution en *]*ant1 d'aprs l'quation de *aque c\rbe1 le rapport entre les diffr5tielles des coordonnes4 ,si cette quation e/1 je suppose1 yax#b1 on aura videmm5t _/dy #b;axdx dx#b4_/ ,dans cette =mule1 on devra nglig] le t]me dx#b comme inf9im5t petit du second ordre4 ,ds lors la comb9aison des deux quations imp>faites _/t_/fracdydx1_/2dy #b;axdx1_/ suffisant p\r lim9] entirem5t les inf9itsimales1 le rsultat f9i t #b;ax s]a ncessairem5t rig\reux p> l'effet de la comp5sation exacte des deux erreurs commises puisqu'il ne p\rrait1 p> sa nature1 tre affect d'une erreur inf9im5t petite1 la seule nanmo9s qu'il pt y avoir1 d'aprs l'esprit des procds qui ont t suivis4 ,il s]ait ais de reproduire uni=mm5t le mme raisonnem5t p> rapport t\tes les autres applications gnrales de l'analyse de ,lebnitz4 ,cette +nieuse ?orie e/ sans d\te plus subtile que solide1 qu& on *]*e l'appr(ondir4 ,mais elle n'a cep5dant en ralit d'autre vice logique radical que celui de la m?ode inf9itsimale elle-mme1 dont elle e/1 ce me semble1 le dveloppem5t naturel et l'explication gnrale1 en sorte qu'elle doit tre adopte aussi long-temps qu'on jug]a conv5able d'employ] directem5t cette m?ode4 ,je passe ma9t5ant l'exposition gnrale des deux autres conceptions fondam5tales de l'analyse transc5dante1 en me bornant p\r *acune l'ide pr9cipale1 le c>actre philosophique de cette analyse ayant t1 du re/e1 suffisamm5t dt]m9 ci-dessus1 d'aprs la conception de ,lebnitz1 laquelle j'ai d spcialem5t m'atta*]1 p>ce qu'elle p]met de le saisir plus aism5t dans son ensemble1 et de le dcrire avec plus de rapidit4 ,newton a prs5t successivem5t1 s\s plusieurs =mes diffr5tes1 sa manire propre de concevoir l'analyse transc5dante4 ,celle qui e/ auj\rd'hui le plus communm5t adopte1 du mo9s p>mi les gomtres du cont95t1 a t dsigne p> ,newton1 tantt s\s le nom de m?ode des premires et d]nires raisons1 tantt s\s celui de m?ode des limites1 qu'on emploie plus frquemm5t4 ,s\s ce po9t de vue1 l'esprit gnral de l'analyse transc5dante consi/e introduire comme auxiliaires1 la place des quantits primitives ou concurremm5t avec elles1 p\r facilit] l'tablissem5t des quations1 les limites des rapports des accroissem5s simultans de ces quantits1 ou1 en d'autres t]mes1 les d]nires raisons de ces accroissem5s1 limites ou d]nires raisons qu'on peut aism5t montr] comme ayant une valeur dt]m9e et f9ie4 ,un calcul spcial1 qui e/ l'quival5t du calcul inf9itsimal1 e/ ensuite de/9 s'lev] de ces quations entre ces limites aux quations correspondantes entre les quantits primitives elles-mmes4 ,la facult que prs5te une telle analyse p\r exprim] plus aism5t les lois ma?matiques des phnomnes ti5t1 en gnral1 ce que le calcul portant1 non sur les accroissem5s mmes des quantits proposes1 mais sur les limites des rapports de ces accroissem5s1 on p\rra t\j\rs sub/itu] *aque accroissem5t t\te autre gr&eur plus simple considr]1 p\rvu que leur d]nire raison soit la raison d'galit1 ou1 en d'autres t]mes1 que la limite de leur rapport soit l'unit4 ,il e/ clair1 en effet1 que le calcul des limites ne saurait tre nullem5t affect de cette sub/itution4 ,en p>tant de ce pr9cipe1 on retr\ve peu prs l'quival5t des facilits (f]tes p> l'analyse de ,lebnitz1 qui sont seulem5t conues alors s\s un autre po9t de vue4 ,a9si1 les c\rbes s]ont envisages comme les limites d'une suite de polygones rectilignes1 les m\vem5s v>is comme les limites d'un ensemble de m\vem5s uni=mes de plus en plus rappro*s1 etc4 ,qu'on veuille1 p> exemple1 dt]m9] la direction de la tang5te une c\rbe2 on la reg>d]a comme la limite v]s laquelle t5drait une scante1 qui t\rn]ait aut\r du po9t donn1 de manire que son second po9t d'int]section se rappro*t indf9im5t du premi]4 ,en nommant _/,delta y et _/,delta x les diffr5ces des coordonnes des deux po9ts1 on aurait1 *aque in/ant1 p\r la tang5te trigonomtrique de l'angle que fait la scante avec l'axe des abcisses1 t_/frac_/,delta y_/,delta x2 d'o1 en pr5ant les limites1 on dduira1 relativem5t la tang5te elle-mme1 cette =mule gnrale d'analyse transc5dante _/t ,l_/frac_/,delta y_/,delta x2#ad_/ d'aprs laquelle le calcul des fonctions indirectes enseign]a1 dans *aque cas p>ticuli]1 qu& l'quation de la c\rbe s]a donne1 dduire la relation entre t et x1 en lim9ant les quantits auxiliaires introduites4 ,si1 p\r a*ev] la solution1 on suppose que y ax#b soit l'quation de la c\rbe propose1 on aura videmm5t1 _/_/,delta y #b;ax_/,delta x 7_/,delta x7#b2_/ d'o l'on conclura _/_/frac_/,delta y_/,delta x #b;ax _/,delta x4_/ ,or1 il e/ clair que la limite v]s laquelle t5d le second membre1 mesure que _/,delta x dim9ue1 e/ #b;ax4 ,on tr\v]a donc p> cette m?ode1 t#b;ax1 comme n\s l'avions obt5u ci-dessus p\r le mme cas1 d'aprs l'analyse de ,lebnitz4 ,note #ad3 ,j'emploie la c>actri/ique ,l p\r dsign] la limite4 ,p>eillem5t1 qu& on *]*e la rectification d'une c\rbe1 il faut sub/itu] l'accroissem5t de l'arc s1 la corde de cet accroissem5t1 qui e/ videmm5t avec lui dans une relation telle1 que la limite de leur rapport e/ l'unit1 et alors on tr\ve1 en suivant d'ailleurs la mme m>*e qu'avec la m?ode de ,lebnitz1 cette quation gnrale des rectifications _/_/left7,l_/frac_/,delta s_/,delta x_/"r7#b #a _/left7,l_/frac_/,delta y_/,delta x_/"r7#b_/ ou _/_/left7,l_/frac_/,delta s_/,delta x_/"r7#b #a _/left7,l_/frac_/,delta y_/,delta x_/"r7#b _/left7,l_/frac_/,delta z_/,delta x_/"r7#b1_/ selon que la c\rbe e/ plane ou d\ble c\rbure4 ,il faudra ma9t5ant1 p\r *aque c\rbe p>ticulire1 pass] de cette quation celle entre l'arc et l'abcisse1 ce qui dp5d du calcul transc5dant proprem5t dit4 ,on repr5drait avec la mme facilit1 d'aprs la m?ode des limites1 t\tes les autres que/ions gnrales1 dont la solution a t indique ci-dessus1 suivant la m?ode inf9itsimale4 ,telle e/1 ess5tiellem5t1 la conception que ,newton s'tait =me1 p\r l'analyse transc5dante1 ou1 plus exactem5t1 celle que ,maclaur9 et d',alemb]t ont prs5te comme la base la plus rationnelle de cette analyse1 en *]*ant fix] et coordonn] les ides de ,newton ce sujet4 ,je dois1 nanmo9s1 avant de procd] l'exposition de la conception de ,lagrange1 signal] ici une autre =me di/9cte s\s laquelle ,newton a prs5t cette mme m?ode1 et qui mrite de fix] p>ticulirem5t notre att5tion1 tant p> son +nieuse cl>t dans quelques cas1 que comme ayant f\rni la notation la mieux approprie cette manire d'envisag] l'analyse transc5dante1 et enf91 comme tant encore auj\rd'hui la =me spciale du calcul des fonctions indirectes communm5t adopte p> les gomtres anglais4 ,je veux p>l] du calcul des fluxions et des flu5tes1 fond sur la notion gnrale des vitesses4 ,p\r en faire concevoir l'ide-mre avec plus de facilit1 considrons t\te c\rbe comme eng5dre p> un po9t anim d'un m\vem5t v>i suivant une loi quelconque4 ,les div]ses quantits que la c\rbe peut (frir1 l'abcisse1 l'ordonne1 l'arc1 l'aire1 etc41 s]ont envisages comme simultanm5t produites p> degrs successifs p5dant ce m\vem5t4 ,la vitesse avec laquelle *acune aura t dcrite s]a dite la fluxion de cette quantit1 qui1 en s5s inv]se1 en s]ait nomme la flu5te4 ,ds lors1 l'analyse transc5dante consi/]a1 dans cette conception1 =m] immdiatem5t les quations entre les fluxions des quantits proposes p\r en dduire ensuite1 p> un calcul spcial1 les quations entre les flu5tes elles-mmes4 ,ce que je vi5s d'nonc] relativem5t aux c\rbes peut d'ailleurs videmm5t se transport] des gr&eurs quelconques1 envisages1 l'aide d'une image conv5able1 comme produites p> le m\vem5t les unes des autres4 ,il e/ ais de compr5dre l'id5tit gnrale et ncessaire de cette m?ode avec celle des limites1 complique de l'ide trangre du m\vem5t4 ,en effet1 repr5ant le cas de la c\rbe1 si l'on suppose1 comme on peut videmm5t t\j\rs le faire1 que le m\vem5t du po9t dcrivant e/ uni=me suivant une c]ta9e direction1 p> exemple1 dans le s5s de l'abcisse1 alors la fluxion de l'abcisse s]a con/ante1 comme l'lm5t du temps4 ,p\r t\tes les autres quantits eng5dres1 le m\vem5t ne p\rrait tre conu comme uni=me que p5dant un temps inf9im5t petit4 ,cela pos1 la vitesse tant gnralem5t1 d'aprs sa notion mcanique1 le rapport de *aque espace au temps employ le p>c\rir1 et ce temps tant ici proportionnel l'accroissem5t de l'abcisse1 il s'ensuit que la fluxion de l'ordonne1 de l'arc1 de l'aire1 etc41 ne sont vritablem5t autre *ose1 en faisant disp>atre la considration int]mdiaire du temps1 que les d]nires raisons des accroissem5s de ces div]ses quantits comp>s celui de l'abcisse4 ,cette m?ode des fluxions et des flu5tes n'e/ donc en ralit qu'une manire de se reprs5t]1 d'aprs une comp>aison mcanique1 la m?ode des premires et d]nires raisons1 qui seule e/ rductible en calcul4 ,elle comporte donc ncessairem5t les mmes avantages gnraux dans les div]ses applications pr9cipales de l'analyse transc5dante1 sans que n\s ayons beso9 de le con/at] spcialem5t4 ,je considre enf9 la conception de ,lagrange4 ,elle consi/e1 dans son admirable simplicit1 se reprs5t] l'analyse transc5dante comme un gr& artifice algbrique1 d'aprs lequel1 p\r facilit] l'tablissem5t des quations1 on introduit1 au lieu de fonctions primitives ou avec elles1 leurs fonctions drives1 c'e/--dire1 suivant la df9ition de ,lagrange1 le coffici5t du premi] t]me de l'accroissem5t de *aque fonction1 ordonn selon les puissances asc5dantes de l'accroissem5t de sa v>iable4 ,le calcul des fonctions indirectes proprem5t dit1 e/ t\j\rs de/91 a9si que dans les conceptions de ,lebnitz et de ,newton1 lim9] ces drives employes comme auxiliaires1 p\r dduire de leurs relations les quations correspondantes entre les gr&eurs primitives4 ,l'analyse transc5dante n'e/ alors autre *ose qu'une simple ext5sion trs-considrable de l'analyse ord9aire4 ,c'tait dj depuis long-temps un procd famili] aux gomtres1 que d'introduire1 dans les considrations analytiques1 au lieu des gr&eurs mmes qu'ils avai5t tudi]1 leurs div]ses puissances1 ou leurs log>i?mes1 ou leurs s9us1 etc41 af9 de simplifi] les quations1 et mme de les obt5ir plus aism5t4 ,la drivation successive e/ un artifice gnral de la mme nature1 qui prs5te seulem5t beauc\p plus d't5due1 et procure1 en consqu5ce1 p\r ce b commun1 des ress\rces bi5 plus importantes4 ,mais1 quoiqu'on conoive sans d\te priori que la considration auxiliaire de ces drives1 peut facilit] l'tablissem5t des quations1 il n'e/ pas ais d'expliqu] p\rquoi cela doit tre ncessairem5t d'aprs le mode de drivation adopt plutt que suivant t\te autre trans=mation4 ,tel e/ le ct faible de la gr&e p5se de ,lagrange4 ,on n'e/ po9t1 en effet1 rellem5t p>v5u jusqu'ici saisir en gnral d'une manire ab/raite1 et sans r5tr] dans les autres conceptions de l'analyse transc5dante1 les avantages prcis que doit con/amm5t prs5t]1 p> sa nature1 cette analyse a9si conue1 p\r la re*]*e des lois ma?matiques des phnomnes4 ,il e/ seulem5t possible de les con/at]1 en considrant sp>m5t *aque "q pr9cipale1 et cette vrification devi5t mme pnible1 qu& on *oisit une "q complique4 ,p\r indiqu] sommairem5t comm5t cette manire de concevoir l'analyse transc5dante peut s'adapt] effectivem5t la solution des problmes ma?matiques1 je me born]ai repr5dre s\s ce po9t de vue le problme le plus simple de t\s ceux ci-dessus exam9s1 celui des tang5tes4 ,au lieu de concevoir la tang5te comme le prolongem5t de l'lm5t inf9im5t petit de la c\rbe1 suivant la notion de ,lebnitz2 ou comme la limite des scantes1 suivant les ides de ,newton2 ,lagrange la considre d'aprs ce simple c>actre gomtrique1 analogue aux df9itions des anci5s1 d'tre une droite telle qu'entre elle et la c\rbe il ne peut pass]1 p> le po9t de contact1 aucune autre droite4 ,ds lors1 p\r en dt]m9] la direction1 il faut *]*] l'expression gnrale de sa di/ance la c\rbe1 dans un s5s quelconque1 dans celui de l'ordonne1 p> exemple1 en un second po9t di/9ct du premi]1 et dispos] de la con/ante arbitraire relative l'incl9aison de la droite1 qui entr]a ncessairem5t dans cette expression1 de manire dim9u] cet c>tem5t le plus possible4 ,or1 cette di/ance tant videmm5t gale la diffr5ce des deux ordonnes de la c\rbe et de la droite qui correspond5t une mme n\velle abcisse xh1 s]a reprs5te p> la =mule _/7f'7x7-t7h qh#b rh#c _/mbox_/rm etc41_/ o t dsigne1 comme ci-dessus1 la tang5te trigonomtrique inconnue de l'angle que fait avec l'axe des 7x71 la droite *]*e1 et f'7x71 la fonction drive de l'ordonne f7x74 ,cela pos1 il e/ ais de voir qu'en disposant de t de faon annul] le premi] t]me de la =mule prcd5te1 on aura r5du l'int]valle des deux lignes le plus petit possible1 tellem5t que t\te autre droite p\r laquelle t n'aurait po9t la valeur a9si dt]m9e1 s'c>t]ait ncessairem5t davantage de la c\rbe propose4 ,on a donc1 p\r la direction de la tang5te *]*e1 l'expression gnrale tf'7x72 rsultat exactem5t quival5t ceux que f\rniss5t la m?ode inf9itsimale1 et la m?ode des limites4 ,il re/]a ma9t5ant1 dans *aque c\rbe p>ticulire1 tr\v] f'7x71 ce qui e/ une pure "q d'analyse1 t\t--fait id5tique avec celles que prescriv5t alors les autres m?odes4 ,aprs avoir suffisamm5t considr dans leur ensemble les pr9cipales conceptions gnrales successivem5t produites jusqu'ici p\r l'analyse transc5dante1 je ne dois pas m'arrt] l'exam5 de quelques autres ?ories proposes1 telles que le calcul des van\issans d',eul]1 qui ne sont rellem5t que des modifications plus ou mo9s importantes1 et d'ailleurs inusites1 des m?odes prcd5tes4 ,il me re/e ma9t5ant1 af9 de complt] cet ensemble de considrations1 tablir la comp>aison et l'apprciation de ces trois m?odes fondam5tales4 ,je dois pralablem5t con/at] d'une manire gnrale1 leur con=mit p>faite et ncessaire4 ,il e/ d'abord vid5t1 p> ce qui prcde1 qu' considr] ces trois m?odes quant leur de/9ation effective1 indp5damm5t des ides prlim9aires1 elles consi/5t t\tes en un mme artifice logique gnral1 que j'ai c>actris dans la quatrime leon1 savoir3 l'introduction d'un c]ta9 sy/me des gr&eurs auxiliaires1 uni=mm5t corrlatives celles qui sont l'objet propre de la "q1 et qu'on leur sub/itue expressm5t p\r facilit] l'expression analytique des lois ma?matiques des phnomnes1 quoiqu'elles doiv5t f9alem5t tre lim9es1 l'aide d'un calcul spcial4 ,c'e/ ce qui m'a dt]m9 df9ir rgulirem5t l'analyse transc5dante le calcul des fonctions indirectes1 af9 de m>qu] son vrai c>actre philosophique1 en c>tant t\te discussion sur la manire la plus conv5able de la concevoir et de l'appliqu]4 ,l'effet gnral de cette analyse1 quelle que soit la m?ode employe1 e/ donc de faire r5tr] beauc\p plus promptem5t *aque "q ma?matique dans le doma9e du calcul1 et de dim9u] a9si considrablem5t la difficult capitale que prs5te ord9airem5t le passage du concret l'ab/rait4 ,quoiqu'on fasse1 on ne peut espr] que le calcul s'emp>e jamais de *aque "q de philosophie naturelle1 gomtrique1 ou mcanique1 ou !rmologique1 etc41 immdiatem5t sa naissance1 ce qui s]ait videmm5t contradictoire4 ,il y aura con/amm5t dans t\t problme1 un c]ta9 travail prlim9aire effectu] sans que le calcul puisse tre d'aucun sec\rs1 et qui ne saurait tre1 p> sa nature1 assujti des rgles ab/raites et inv>iables2 c'e/ celui qui a p\r objet propre l'tablissem5t des quations1 qui sont le po9t de d"p indisp5sable de t\tes les re*]*es analytiques4 ,mais cette laboration pralable a t s+ulirem5t simplifie p> la cration de l'analyse transc5dante1 qui a a9si ht l'poque o la solution comporte l'application uni=me et prcise de procds gnraux et ab/raits2 en rduisant1 dans *aque cas1 ce travail spcial la re*]*e des quations entre les gr&eurs auxiliaires1 d'o le calcul conduit ensuite aux quations directem5t relatives aux gr&eurs proposes1 qu'il fallait1 avant cette admirable conception1 tablir immdiatem5t4 ,que ces quations indirectes soi5t des quations diffr5tielles1 suivant la p5se de ,lebnitz2 ou des quations aux limites1 con=mm5t aux ides de ,newton2 ou enf9 des quations drives1 d'aprs la ?orie de ,lagrange2 le procd gnral e/ videmm5t t\j\rs le mme4 ,mais la concid5ce de ces trois m?odes pr9cipales ne se borne pas l'effet commun qu'elles produis5t2 elle exi/e1 en outre1 dans la manire mme de l'obt5ir4 ,en effet1 non-seulem5t t\tes trois considr5t1 la place des gr&eurs primitives1 c]ta9es gr&eurs auxiliaires2 de plus1 les quantits a9si introduites subsidiairem5t1 sont exactem5t id5tiques dans les trois m?odes1 qui ne diffr5t1 p> consqu5t1 que p> la manire de les envisag]4 ,c'e/ ce qu'on peut aism5t con/at]1 en pr5ant p\r t]me gnral de comp>aison une quelconque des trois conceptions1 celle de ,lagrange surt\t1 la plus propre s]vir de type1 comme tant la plus dgage de considrations trangres4 ,n'e/-il pas vid5t1 p> la seule df9ition des fonctions drives1 qu'elles ne sont autre *ose que ce que ,lebnitz appelle les coffici5s diffr5tiels1 ou les rapports de la diffr5tielle de *aque fonction celle de la v>iable correspondante1 puisque1 en dt]m9ant la premire diffr5tielle1 on devra1 p> la nature mme de la m?ode inf9itsimale1 se born] pr5dre le seul t]me de l'accroissem5t de la fonction qui conti5t la premire puissance de l'accroissem5t inf9im5t petit de la v>iable8 ,de mme1 la fonction drive n'e/ elle pas aussi p> sa nature1 la limite ncessaire v]s laquelle t5d le rapport entre l'accroissem5t de la fonction primitive et celui de sa v>iable1 mesure que ce d]ni] dim9ue indf9im5t1 puisqu'elle exprime videmm5t ce que devi5t ce rapport1 en supposant nul l'accroissem5t de la v>iable4 ,ce qu'on dsigne p> _/fracdydx dans la m?ode de ,lebnitz1 ce qu'on devrait not] ,l _/frac_/,delta y_/,delta x dans celle de ,newton1 et ce que ,lagrange a indiqu p> f'7x71 e/ t\j\rs une mme fonction1 envisage s\s trois po9ts de vue diffr5s2 les considrations de ,lebnitz et de ,newton1 consi/ant proprem5t faire connatre deux proprits gnrales ncessaires de la fonction drive4 ,l'analyse transc5dante1 exam9e ab/raitem5t1 et dans son pr9cipe1 e/ donc t\j\rs la mme1 quelle que soit la conception qu'on adopte3 les procds du calcul des fonctions indirectes sont ncessairem5t id5tiques dans ces div]ses m?odes1 qui1 p>eillem5t1 doiv5t1 p\r une application quelconque1 conduire con/amm5t des rsultats rig\reusem5t con=mes4 ,si ma9t5ant n\s *]*ons apprci] la valeur relative de ces trois conceptions quival5tes1 n\s tr\v]ons dans *acune des avantages et des inconvni5s qui lui sont propres1 et qui emp*5t encore les gomtres de s'en t5ir /rictem5t une seule d'entr'elles1 considre comme df9itive4 ,la conception de ,lebnitz prs5te1 inconte/ablem5t1 dans l'ensemble des applications1 une supriorit trs-prononce1 en conduisant d'une manire beauc\p plus rapide1 et avec bi5 mo9s d'ef=ts intellectuels1 la =mation des quations entre les gr&eurs auxiliaires4 ,c'e/ son usage que n\s devons la haute p]fection qu'ont enf9 acquise t\tes les ?ories gnrales de la gomtrie et de la mcanique4 ,quelles que soi5t les div]ses op9ions spculatives des gomtres sur la m?ode inf9itsimale1 envisage ab/raitem5t1 t\s s'accord5t tacitem5t l'employ] de prfr5ce1 aussitt qu'ils ont trait] une "q n\velle1 af9 de ne po9t compliqu] la difficult ncessaire p> cet ob/acle purem5t artificiel1 prov5ant d'une ob/9ation dplace v\loir suivre une m>*e mo9s expditive4 ,lagrange lui-mme1 aprs avoir recon/ruit sur de n\velles bases l'analyse transc5dante1 a r5du1 avec cette haute fran*ise qui conv5ait si bi5 son gnie1 un hommage clatant et dcisif aux proprits c>actri/iques de la conception de ,lebnitz1 en la suivant exclusivem5t dans le sy/me enti] de la mcanique analytique4 ,un tel fait n\s disp5se1 ce sujet1 de t\te autre rflexion4 ,mais qu& on considre en elle-mme1 et s\s le rapport logique1 la conception de ,lebnitz1 on ne peut s'emp*] de reconnatre avec ,lagrange qu'elle e/ radicalem5t vicieuse1 en ce que1 suivant ses propres expressions1 la notion des inf9im5t petits1 e/ une ide fausse1 qu'il e/ impossible1 en effet1 de se reprs5t] nettem5t1 quoiqu'on se fasse quelquefois illusion cet g>d4 ,l'analyse transc5dante1 a9si conue1 prs5te1 mes yeux1 cette gr&e imp]fection philosophique1 de se tr\v] encore ess5tiellem5t fonde sur ces pr9cipes mtaphysiques1 dont l'esprit huma9 a eu tant de pe9e dgag] t\tes ses ?ories positives4 ,s\s ce rapport1 on peut dire que la m?ode inf9itsimale porte vraim5t l'empre9te c>actri/ique de l'poque de sa fondation1 et du gnie propre de son fondateur4 ,on peut bi51 il e/ vrai1 p> l'+nieuse ide de la comp5sation des erreurs1 s'expliqu] d'une manire gnrale1 comme n\s l'avons fait ci-dessus1 l'exactitude ncessaire des procds gnraux qui compos5t la m?ode inf9itsimale4 ,mais cela seul n'e/-il pas un inconvni5t radical1 que d'tre oblig de di/+u]1 en ma?matique1 deux classes de raisonnem5s1 ceux qui sont p>faitem5t rig\reux1 et ceux dans lesquels on commet desse9 des erreurs qui devront se comp5s] plus t>d8 ,une conception qui conduit des consqu5ces aussi tranges1 e/1 sans d\te1 rationnellem5t1 bi5 peu satisfaisante4 ,ce s]ait videmm5t lud] la difficult sans la rs\dre1 que de dire1 comme on l'a fait quelquefois1 qu'il e/ possible1 p> rapport *aque "q1 de faire r5tr] la m?ode inf9itsimale proprem5t dite dans celle des limites1 dont le c>actre logique e/ irrpro*able4 ,d'ailleurs1 une telle trans=mation enlve presqu'entirem5t la conception de ,lebnitz les avantages ess5tiels qui la recomm&5t si m9emm5t1 quant la facilit et la rapidit des oprations intellectuelles4 ,enf9 n'et-on mme aucun g>d aux importantes considrations qui prcd5t1 la m?ode inf9itsimale n'en prs5t]ait pas mo9s videmm5t1 p> sa nature1 ce dfaut capital de rompre l'unit de la ma?matique ab/raite1 en crant un calcul transc5dant fond sur des pr9cipes si diffr5s de ceux qui s]v5t de base l'analyse ord9aire4 ,ce p>tage de l'analyse en deux mondes presque indp5dans1 t5d emp*] la =mation de conceptions analytiques vritablem5t gnrales4 ,p\r en bi5 apprci] les consqu5ces1 il faudrait se report]1 p> la p5se1 l'tat dans lequel se tr\vait la sci5ce1 avant que ,lagrange et tabli entre ces deux gr&es sections une h>monie gnrale et df9itive4 ,passant la conception de ,newton1 il e/ vid5t que1 p> sa nature1 elle se tr\ve l'abri des objections logiques fondam5tales que provoque la m?ode de ,lebnitz4 ,la notion des limites e/1 en effet1 rem>quable p> sa nettet et p> sa ju/esse4 ,dans l'analyse transc5dante prs5te de cette manire1 les quations sont envisages comme exactes ds l'orig9e1 et les rgles gnrales du raisonnem5t sont aussi con/amm5t obs]ves que dans l'analyse ord9aire4 ,mais1 d'un autre ct1 elle e/ bi5 lo9 d'(frir1 p\r la solution des problmes1 d'aussi puissantes ress\rces que la m?ode inf9itsimale4 ,cette obligation qu'elle impose de ne considr] jamais les accroissem5s des gr&eurs sp>m5t et en eux-mmes1 ni seulem5t dans leurs rapports1 mais uniquem5t dans les limites de ces rapports ral5tit considrablem5t la m>*e de l'intellig5ce p\r la =mation des quations auxiliaires4 ,on peut mme dire qu'elle gne beauc\p les trans=mations purem5t analytiques4 ,aussi le calcul transc5dant1 considr sp>m5t de ses applications1 e/-il lo9 d'(frir dans cette m?ode l't5due et la gnralit que lui a imprimes la conception de ,lebnitz4 ,c'e/ trs-pniblem5t1 p> exemple1 qu'on p>vi5t t5dre la ?orie de ,newton aux fonctions de plusieurs v>iables indp5dantes4 ,quoi qu'il en soit1 c'e/ surt\t p> rapport aux applications1 que l'infriorit relative de cette ?orie se tr\ve m>que4 ,je ne dois pas nglig] ce sujet de faire obs]v] que plusieurs gomtres du cont95t1 en adoptant1 comme plus rationnelle1 la m?ode de ,newton1 p\r s]vir de base l'analyse transc5dante1 ont dguis en p>tie cette infriorit1 p> une grave inconsqu5ce1 qui consi/e appliqu] cette m?ode la notation imag9e p> ,lebnitz p\r la m?ode inf9itsimale1 et qui n'e/ rellem5t propre qu' elle4 ,en dsignant p> _/fracdydx ce que1 rationnellem5t1 il faudrait1 dans la ?orie des limites1 not] ,l_/frac_/,delta y_/,delta x1 et en t5dant t\tes les autres notions analytiques ce dplacem5t de signes1 on se propose sans d\te de comb9] les avantages spciaux des deux m?odes2 mais on ne p>vi5t1 en ralit1 qu' tablir entr'elles une confusion vicieuse1 dont l'habitude t5d emp*] de se =m] des ides nettes et exactes de l'une ou de l'autre4 ,il s]ait sans d\te trange1 considr] cet usage en lui-mme1 que1 p> le seul moy5 des signes1 on pt effectu] une vritable comb9aison entre deux ?ories gnrales aussi di/9ctes4 ,enf9 la m?ode des limites1 prs5te aussi1 quoiqu' un mo9dre degr1 l'inconvni5t majeur que j'ai signal ci-dessus1 dans la m?ode inf9itsimale1 d'tablir une sp>ation totale entre l'analyse ord9aire et l'analyse transc5dante4 ,c> l'ide des limites1 quoique nette et rig\reuse1 n'en e/ pas mo9s1 p> elle-mme1 comme ,lagrange l'a rem>qu1 une ide trangre1 dont les ?ories analytiques ne devrai5t pas se tr\v] dp5dantes4 ,cette unit p>faite de l'analyse1 ce c>actre purem5t ab/rait de ses notions fondam5tales1 se tr\v5t au plus haut degr dans la conception de ,lagrange1 et ne se tr\v5t que l4 ,elle e/1 p\r cette raison1 la plus rationnelle et la plus philosophique de t\tes4 c>tant avec so9 t\te considration htrogne1 ,lagrange a rduit l'analyse transc5dante son vritable c>actre propre1 celui d'(frir une classe trs-t5due de trans=mations analytiques1 l'aide desquelles on facilite s+ulirem5t l'expression des conditions des div]s problmes4 ,en mme temps1 cette analyse s'e/ ncessairem5t prs5te p> l comme une simple ext5sion de l'analyse ord9aire2 elle n'a plus t qu'une algbre suprieure4 ,t\tes les div]ses p>ties1 jusqu'alors si incohr5tes1 de la ma?matique ab/raite1 ont pu tre conues1 ds ce mom5t1 comme =mant un sy/me unique4 ,malheureusem5t1 une conception d\e1 indp5damm5t de la notation si simple et si lucide qui lui correspond1 de proprits aussi fondam5tales1 et qui e/1 sans d\te1 de/9e dev5ir la ?orie df9itive de l'analyse transc5dante1 cause de sa haute supriorit philosophique sur t\tes les autres m?odes proposes1 prs5te dans son tat actuel1 trop de difficults1 quant aux applications1 lorsqu'on la comp>e la conception de ,newton1 et surt\t celle de ,lebnitz1 p\r p\voir tre encore exclusivem5t adopte4 ,lagrange lui-mme1 n'e/ p>v5u que trs-pniblem5t retr\v]1 d'aprs sa m?ode1 les rsultats pr9cipaux dj obt5us p> la m?ode inf9itsimale p\r la solution des que/ions gnrales de gomtrie et de mcanique2 on peut jug] p> l combi5 on tr\v]ait d'ob/acles trait]1 de la mme manire1 des que/ions vraim5t n\velles et de quelque importance4 ,il e/ vrai que ,lagrange1 en plusieurs occasions1 a montr que les difficults1 mme artificielles1 dt]m95t1 dans les hommes de gnie1 des ef=ts suprieurs1 susceptibles de conduire des rsultats plus t5dus4 ,c'e/ a9si qu'en t5tant d'adapt] sa m?ode l'tude de la c\rbure des lignes1 qui p>aissait si peu p\voir en comport] l'application1 il s'e/ lev cette belle ?orie des contacts1 qui a tant p]fectionn cette p>tie importante de la gomtrie4 ,mais1 malgr ces heureuses exceptions1 la conception de ,lagrange n'en e/ pas mo9s jusqu'ici demeure1 dans son ensemble1 ess5tiellem5t impropre aux applications4 ,le rsultat f9al de la comp>aison gnrale que je vi5s d'esquiss]1 et qui exig]ait de plus amples dveloppem5s1 e/ donc1 comme je l'avais avanc en comm5ant cette leon1 que1 p\r connatre rellem5t l'analyse transc5dante1 il faut non-seulem5t la considr]1 dans son pr9cipe1 d'aprs les trois conceptions fondam5tales di/9ctes1 produites p> ,lebnitz1 p> ,newton1 et p> ,lagrange1 mais1 en outre1 s'habitu] suivre presqu'indiffremm5t d'aprs ces trois m?odes pr9cipales1 et surt\t d'aprs les deux extrmes1 la solution de t\tes les que/ions importantes1 soit du calcul des fonctions indirectes en lui-mme1 soit de ses applications4 ,c'e/ une m>*e que je ne saurais trop =tem5t recomm&] t\s ceux qui dsir5t jug] philosophiquem5t cette admirable cration de l'esprit huma91 comme ceux qui veul5t ess5tiellem5t appr5dre se s]vir avec succs et avec facilit de ce puissant in/rum5t4 ,dans t\tes les autres p>ties de la sci5ce ma?matique1 la considration de div]ses m?odes p\r une seule classe de que/ions peut tre utile1 mme indp5damm5t de l'intrt hi/orique qu'elle prs5te2 mais elle n'e/ po9t indisp5sable3 ici1 au contraire1 elle e/ /rictem5t ncessaire4 ,ayant dt]m9 avec prcision1 dans cette leon1 le c>actre philosophique du calcul des fonctions indirectes1 d'aprs les pr9cipales conceptions fondam5tales dont il e/ susceptible1 il me re/e ma9t5ant considr]1 dans la leon suivante1 la division rationnelle et la composition gnrale de ce calcul4 ,,septi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,tableau gnral du calcul des fonctions indirectes4 ,p> suite des considrations exposes dans la leon prcd5te1 on conoit que le calcul des fonctions indirectes se divise ncessairem5t en deux p>ties1 ou1 p\r mieux dire1 se dcompose en deux calculs t\t--fait di/9cts1 quoique1 p> leur nature1 intimem5t lis2 suivant qu'on se propose de tr\v] les relations entre les gr&eurs auxiliaires1 dont l'introduction con/itue l'esprit gnral de ce calcul1 d'aprs les relations entre les gr&eurs primitives correspondantes2 ou qu'on *]*e1 en s5s inv]se1 dc\vrir ces quations directes d'aprs les quations indirectes tablies immdiatem5t4 ,tel e/1 en effet1 le d\ble objet qu'on a cont9uellem5t en vue dans l'analyse transc5dante4 ,ces deux calculs ont reu diffr5s noms1 selon le po9t de vue s\s lequel a t envisag l'ensemble de cette analyse4 ,la m?ode inf9itsimale proprem5t dite tant jusqu'ici la plus usite1 p> les raisons que j'ai discutes1 presque t\s les gomtres du cont95t emploi5t habituellem5t1 p\r dsign] ces deux calculs1 les dnom9ations de calcul diffr5tiel et de calcul intgral1 tablies p> ,lebnitz1 et qui sont1 en effet1 des consqu5ces trs-rationnelles de sa conception4 ,newton1 d'aprs sa m?ode1 a nomm le premi]1 le calcul des fluxions1 et le second le calcul des flu5tes1 expressions communm5t adoptes en ,anglet]re4 ,enf91 en suivant la ?orie m9emm5t philosophique fonde p> ,lagrange1 on appell]ait l'un1 le calcul des fonctions drives et l'autre le calcul des fonctions primitives4 ,je cont9u]ai me s]vir des t]mes de ,lebnitz1 comme plus propres1 dans notre langue1 la =mation des expressions secondaires1 quoique je doive1 d'aprs les explications cont5ues dans la leon prcd5te1 employ] concurremm5t t\tes les div]ses conceptions1 en me rappro*ant1 autant que possible1 de celle de ,lagrange4 ,le calcul diffr5tiel e/ videmm5t la base rationnelle du calcul intgral4 ,c> n\s ne savons et ne p\vons savoir intgr] immdiatem5t que les expressions diffr5tielles produites p> la diffr5tiation des div]ses fonctions simples qui con/itu5t les lm5s gnraux de notre analyse4 ,l'art de l'intgration consi/e ensuite ess5tiellem5t ram5]1 autant que possible1 t\s les autres cas ne dp5dre f9alem5t que de ce petit nombre d'intgrations fondam5tales4 ,en considrant l'ensemble de l'analyse transc5dante1 tel que je l'ai c>actris dans la leon prcd5te1 on ne voit pas d'abord quelle peut tre l'utilit propre du calcul diffr5tiel1 indp5damm5t de cette relation ncessaire avec le calcul intgral1 qui semble devoir tre1 p> lui-mme1 le seul directem5t indisp5sable4 ,en effet1 l'lim9ation des inf9itsimales ou des drives1 introduites comme auxiliaires p\r facilit] l'tablissem5t des quations1 con/ituant1 d'aprs ce que n\s avons vu1 l'objet df9itif et inv>iable du calcul des fonctions indirectes2 il e/ naturel de p5s] que le calcul qui enseigne dduire des quations entre ces gr&eurs auxiliaires1 celles qui ont lieu entre les gr&eurs primitives elles-mmes1 doit /rictem5t suffire aux beso9s gnraux de l'analyse transc5dante1 sans qu'on ap]oive1 au premi] c\p-d'oeil1 quelle "p spciale et con/ante peut avoir1 dans une telle analyse1 la solution de la "q inv]se4 ,ce s]ait abusivem5t que1 suivant l'usage ord9aire1 p\r expliqu] l'influ5ce directe et ncessaire propre au calcul diffr5tiel1 on lui assign]ait la de/9ation de =m] les quations diffr5tielles1 d'o le calcul intgral fait p>v5ir ensuite aux quations f9ies4 ,c> la =mation primitive des quations diffr5tielles n'e/1 et ne peut tre1 proprem5t p>l]1 l'objet d'aucun calcul1 puisqu'elle con/itue1 au contraire1 p> sa nature1 le po9t de d"p indisp5sable de t\t calcul quelconque4 ,comm5t1 en p>ticuli]1 le calcul diffr5tiel qui1 p> lui-mme1 se rduit enseign] les moy5s de diffr5ti] les div]ses quations1 p\rrait-il tre un procd gnral p\r en tablir8 ,ce qui1 dans t\te application de l'analyse transc5dante1 facilite en effet la =mation des quations1 c'e/ la m?ode inf9itsimale1 et non le calcul inf9itsimal1 qui en e/ p>faitem5t di/9ct1 quoiqu'en tant le complm5t indisp5sable4 ,une telle considration donn]ait donc une fausse ide de la de/9ation spciale qui c>actrise le calcul diffr5tiel dans le sy/me gnral de l'analyse transc5dante4 ,mais ce s]ait1 nanmo9s1 concevoir bi5 imp>faitem5t la vritable importance propre de cette premire bran*e du calcul des fonctions indirectes1 que d'y voir seulem5t un simple travail prlim9aire1 n'ayant d'autre objet gnral et ess5tiel que de prp>] au calcul intgral des fondem5s indisp5sables4 ,comme les ides sont ord9airem5t confuses cet g>d1 je crois devoir expliqu] sommairem5t ici cette importante relation1 telle que je la conois1 et montr] que1 dans *aque application quelconque de l'analyse transc5dante1 une premire "p directe et ncessaire e/ con/amm5t assigne au calcul diffr5tiel4 ,en =mant les quations diffr5tielles d'un phnomne quelconque1 il e/ bi5 r>e qu'on se borne introduire diffr5tiellem5t les seules gr&eurs dont on *]*e les relations4 ,s'impos] cette condition1 ce s]ait dim9u] inutilem5t les ress\rces que prs5te l'analyse transc5dante p\r l'expression des lois ma?matiques des phnomnes4 ,le plus s\v5t on fait entr] aussi p> leurs diffr5tielles1 dans ces quations premires1 d'autres gr&eurs1 dont la relation e/ dj connue ou suppose l'tre1 et sans la considration desquelles il s]ait frquemm5t impossible d'tablir les quations4 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 que dans le problme gnral de la rectification des c\rbes1 l'quation diffr5tielle1 _/ds#b dy#b dx#b1 _/mbox_/rm ouds#b dx#b dy#b dz#b1 _/ n'e/ pas seulem5t tablie entre la fonction *]*e s et la v>iable indp5dante x laquelle on veut la rapport]2 mais on a introduit en mme temps1 comme int]mdiaires indisp5sables1 les diffr5tielles d'une ou deux autres fonctions y et z1 qui sont au nombre des donnes du problme2 il n'et pas t possible de =m] immdiatem5t l'quation entre ds et dx1 qui s]ait d'ailleurs p>ticulire *aque c\rbe considre4 ,il en e/ de mme p\r la plup>t des que/ions4 ,or1 dans ces cas1 il e/ vid5t que l'quation diffr5tielle n'e/ pas immdiatem5t propre l'intgration4 ,il faut1 aup>avant1 que les diffr5tielles des fonctions supposes connues1 qui ont t employes comme int]mdiaires1 soi5t entirem5t lim9es1 af9 que les quations se tr\v5t tablies entre les diffr5tielles des seules fonctions *]*es et celles des v>iables rellem5t indp5dantes1 aprs quoi la "q ne dp5d plus effectivem5t que du calcul intgral4 ,or1 cette lim9ation prp>atoire de c]ta9es diffr5tielles1 af9 de rduire les inf9itsimales au plus petit nombre possible1 e/ simplem5t du ressort du calcul diffr5tiel4 ,c> elle doit se faire1 videmm5t1 en dt]m9ant1 d'aprs les quations entre les fonctions supposes connues prises p\r int]mdiaires1 les relations de leurs diffr5tielles1 ce qui n'e/ qu'une "q de diffr5tiation4 ,a9si1 p> exemple1 dans le cas des rectifications1 il faudra d'abord calcul] dy ou dy et dz1 en diffr5tiant l'quation ou les quations de *aque c\rbe propose2 et1 d'aprs ces expressions1 la =mule diffr5tielle gnrale nonce ci-dessus ne conti5dra plus que ds et dx2 p>v5ue ce po9t1 l'lim9ation des inf9itsimales ne peut plus tre a*eve que p> le calcul intgral4 ,tel e/ donc l'(fice gnral ncessairem5t propre au calcul diffr5tiel dans la solution totale des que/ions qui exig5t l'emploi de l'analyse transc5dante3 prp>]1 autant que possible1 l'lim9ation des inf9itsimales1 c'e/--dire rduire1 dans *aque cas1 les quations diffr5tielles primitives ne plus cont5ir que les diffr5tielles des v>iables rellem5t indp5dantes et celles des fonctions *]*es1 en faisant disp>atre1 p> la diffr5tiation1 les diffr5tielles de t\tes les autres fonctions connues qui ont pu tre prises p\r int]mdiaires lors de la =mation des quations diffr5tielles du problme4 ,p\r c]ta9es que/ions1 qui1 quoiqu'en petit nombre1 n'en ont pas mo9s1 a9si que n\s le v]rons plus t>d1 une trs-gr&e importance1 les gr&eurs *]*es se tr\v5t mme entr] directem5t1 et non p> leurs diffr5tielles1 dans les quations diffr5tielles primitives1 qui ne conti5n5t alors diffr5tiellem5t que les div]ses fonctions connues1 employes comme int]mdiaires d'aprs l'explication prcd5te4 ,ces cas sont1 de t\s1 les plus favorables1 c>1 il e/ vid5t que le calcul diffr5tiel suffit alors entirem5t l'lim9ation complte des inf9itsimales1 sans que la "q puisse donn] lieu aucune intgration4 ,c'e/ ce qui arrive1 p> exemple1 dans le problme des tang5tes1 en gomtrie2 dans celui des vitesses1 en mcanique1 etc4 ,enf91 plusieurs autres que/ions1 dont le nombre e/ aussi =t petit1 mais dont l'importance n'e/ pas mo9s gr&e1 prs5t5t un second cas d'exception1 qui e/1 p> sa nature1 exactem5t l'inv]se du prcd5t4 ,ce sont celles o les quations diffr5tielles se tr\v5t tre immdiatem5t propres l'intgration1 p>ce qu'elles ne conti5n5t1 ds leur premire =mation1 que les inf9itsimales relatives aux fonctions *]*es ou aux v>iables rellem5t indp5dantes1 sans qu'on ait t oblig d'introduire diffr5tiellem5t d'autres fonctions comme int]mdiaires4 ,si1 dans ces n\veaux cas1 on a effectivem5t employ ces d]nires fonctions1 comme1 p> hypo?se1 elles entr]ont directem5t et non p> leurs diffr5tielles1 l'algbre ord9aire suffira p\r les lim9]1 et rduire la "q ne plus dp5dre que du calcul intgral4 ,le calcul diffr5tiel n'aura donc alors aucune "p spciale la solution complte du problme1 qui s]a t\t entire du ressort du calcul intgral4 ,la "q gnrale des quadratures en (fre un exemple important1 c> l'quation diffr5tielle tant alors1 d,aydx1 devi5dra immdiatem5t propre l'intgration aussitt qu'on aura lim91 d'aprs l'quation de la c\rbe propose1 la fonction int]mdiaire y1 qui n'y entre po9t diffr5tiellem5t3 la mme circon/ance a lieu p\r le problme des cubatures1 et p\r quelques autres aussi ess5tiels4 ,en rsultat gnral des considrations prcd5tes1 il faut donc p>tag] en trois classes les que/ions ma?matiques qui exig5t l'emploi de l'analyse transc5dante3 la premire classe compr5d les problmes susceptibles d'tre entirem5t rsolus au moy5 du seul calcul diffr5tiel1 sans aucun beso9 du calcul intgral2 la seconde1 ceux qui sont1 au contraire1 entirem5t du ressort du calcul intgral1 sans que le calcul diffr5tiel ait aucune "p leur solution2 enf91 dans la troisime et la plus t5due1 qui con/itue le cas normal1 les deux autres n'tant que d'exception1 les deux calculs ont successivem5t une "p di/9cte et ncessaire la solution complte du problme1 le calcul diffr5tiel faisant subir aux quations diffr5tielles primitives1 une prp>ation indisp5sable l'application du calcul intgral4 ,telles sont exactem5t les relations gnrales de ces deux calculs1 dont on se =me communm5t des ides trop peu prcises4 ,jetons ma9t5ant un c\p-d'oeil gnral sur la composition rationelle de *acun d'eux1 en comm5ant1 comme il convi5t videmm5t1 p> le calcul diffr5tiel4 ,dans l'exposition de l'analyse transc5dante1 on a l'habitude de ml] la p>tie purem5t analytique1 qui se rduit au trait ab/rait de la diffr5tiation et de l'intgration1 l'tude de ses div]ses applications pr9cipales1 surt\t de celles qui conc]n5t la gomtrie4 ,cette confusion d'ides1 qui e/ une suite du mode effectif suivant lequel la sci5ce s'e/ dveloppe1 prs5te1 s\s le rapport dogmatique1 de graves inconvni5s en ce qu'elle emp*e de concevoir conv5ablem5t1 soit l'analyse1 soit la gomtrie4 ,devant considr] ici la coord9ation la plus rationnelle possible1 je ne compr5drai1 dans le tableau suivant1 que le calcul des fonctions indirectes proprem5t dit1 rs]vant1 p\r la portion de ce volume relative l'tude philosophique de la ma?matique concrte1 l'exam5 gnral de ses gr&es applications gomtriques et mcaniques#ae4 ,note #ae3 ,j'ai tabli depuis long-temps1 dans mon enseignem5t ord9aire de l'analyse transc5dante1 l'ordre que je vais expos]4 ,un n\veau pr(esseur d'analyse transc5dante l'cole ,polyte*nique1 avec lequel je me flicite de m'tre r5contr1 ,m4 ,ma?ieu a adopt1 dans son c\rs de cette anne1 une m>*e ess5tiellem5t semblable4 ,la division fondam5tale du calcul diffr5tiel pur1 ou du trait gnral de la diffr5tiation1 consi/e di/+u] deux cas1 suivant que les fonctions analytiques qu'il s'agit de diffr5ti] sont explicites ou implicites2 d'o deux p>ties ord9airem5t dsignes p> les noms de diffr5tiation des =mules et diffr5tiation des quations4 ,il e/ ais de concevoir priori l'importance de cette classification4 ,en effet1 une telle di/9ction s]ait illusoire si l'analyse ord9aire tait p>faite1 c'e/--dire1 si l'on savait rs\dre algbriquem5t t\tes les quations2 c> alors il s]ait possible de r5dre explicite t\te fonction implicite2 et1 en ne la diffr5tiant que dans cet tat1 la seconde p>tie du calcul diffr5tiel r5tr]ait immdiatem5t dans la premire1 sans donn] lieu aucune n\velle difficult4 ,mais la rsolution algbrique des quations tant1 comme n\s l'avons vu1 encore presque dans l'enfance1 et ignore jusqu' prs5t p\r le plus gr& nombre des cas1 on compr5d qu'il en doit tre t\t autrem5t2 puisqu'il s'agit ds lors1 proprem5t p>l]1 de diffr5ti] une fonction sans la connatre1 bi5 qu'elle soit dt]m9e4 ,la diffr5tiation des fonctions implicites con/itue donc1 p> sa nature1 une "q vraim5t di/9cte de celle que prs5t5t les fonctions explicites1 et ncessairem5t plus complique4 ,a9si c'e/ videmm5t p> la diffr5tiation des =mules qu'il faut comm5c]1 et on p>vi5t ensuite ram5] gnralem5t ce premi] cas la diffr5tiation des quations1 p> c]ta9es considrations analytiques inv>iables1 que je ne dois pas m5tionn] ici4 ,ces deux cas gnraux de la diffr5tiation sont encore di/9cts s\s un autre rapport galem5t ncessaire1 et trop important p\r que je nglige de le signal]4 ,la relation obt5ue entre les diffr5tielles e/ con/amm5t plus indirecte1 p> rapport celle des quantits f9ies1 dans la diffr5tiation des fonctions implicites que dans celle des fonctions explicites4 ,on sait1 en effet1 d'aprs les considrations prs5tes p> ,lagrange sur la =mation gnrale des quations diffr5tielles1 que1 d'une "p1 la mme quation primitive peut donn] lieu un plus ou mo9s gr& nombre d'quations drives de =mes trs-div]ses1 quoique1 au fond1 quival5tes1 suivant celles des con/antes arbitraires que l'on lim9e1 ce qui n'a pas lieu dans la diffr5tiation des =mules explicites2 et que1 d'une autre "p1 le sy/me inf9i d'quations primitives diffr5tes qui correspond5t une mme quation drive1 prs5te une v>it analytique bi5 plus pr(onde que celle des div]ses fonctions susceptibles d'une mme diffr5tielle explicite1 et qui ne se di/+u5t les unes des autres que p> un t]me con/ant4 ,les fonctions implicites doiv5t donc tre envisages comme tant rellem5t encore plus modifies p> la diffr5tiation que les fonctions explicites4 ,n\s retr\v]ons t\t l'heure cette considration relativem5t au calcul intgral1 o elle acqui]t une importance prpondrante4 ,*acune des deux p>ties fondam5tales du calcul diffr5tiel se subdivise elle-mme en deux ?ories trs-di/9ctes1 suivant qu'il s'agit de diffr5ti] des fonctions une seule v>iable1 ou des fonctions plusieurs v>iables indp5dantes4 ,ce second cas e/1 p> sa nature1 t\t--fait di/9ct du premi]1 et prs5te videmm5t plus de complication1 mme en ne considrant que les fonctions explicites1 et plus =te raison p\r les fonctions implicites4 ,du re/e1 l'un se dduit gnralem5t de l'autre1 l'aide d'un pr9cipe inv>iable =t simple1 qui consi/e reg>d] la diffr5tielle totale d'une fonction en v]tu des accroissem5s simultans des div]ses v>iables indp5dantes qu'elles conti5t1 comme la somme des diffr5tielles p>tielles que produirait l'accroissem5t sp> de *aque v>iable successivem5t1 si t\tes les autres tai5t con/antes4 ,il faut1 d'ailleurs1 soigneusem5t rem>qu] ce sujet une notion n\velle qu'introduit1 dans le sy/me de l'analyse transc5dante1 la di/9ction des fonctions une seule v>iable et plusieurs3 c'e/ la considration de ces div]ses fonctions drives spciales1 relatives *aque v>iable isolm5t1 et dont le nombre crot de plus en plus mesure que l'ordre de la drivation s'lve1 et aussi qu& les v>iables sont plus multiplies4 ,il en rsulte que les relations diffr5tielles propres aux fonctions de plusieurs v>iables1 sont1 p> leur nature1 et bi5 plus indirectes1 et surt\t beauc\p plus indt]m9es que celles relatives aux fonctions d'une seule v>iable4 ,cela e/ pr9cipalem5t s5sible p\r les fonctions implicites o1 au lieu des simples con/antes arbitraires que l'lim9ation fait disp>atre qu& on =me les quations diffr5tielles propres aux fonctions d'une seule v>iable1 ce sont des fonctions arbitraires des v>iables proposes qui se tr\v5t lim9es1 d'o doiv5t rsult]1 lors des intgrations1 des difficults spciales4 ,enf91 p\r complt] ce tableau sommaire des div]ses p>ties ess5tielles du calcul diffr5tiel proprem5t dit1 je dois aj\t] que1 dans la diffr5tiation des fonctions implicites1 soit une seule v>iable1 soit plusieurs1 il faut encore di/+u] le cas o il s'agit de diffr5ti] la fois div]ses fonctions de ce g5re1 mles dans c]ta9es quations primitives1 de celui o t\tes ces fonctions sont sp>es4 ,les fonctions sont videmm5t1 en effet1 encore plus implicites dans le premi] cas que dans le second1 si l'on considre que la mme imp]fection de l'analyse ord9aire1 qui emp*e de conv]tir t\te fonction implicite en une fonction explicite quival5te1 ne p]met pas davantage de sp>] les fonctions qui entr5t simultanm5t dans un sy/me quelconque d'quations4 ,il s'agit alors de diffr5ti]1 non-seulem5t sans savoir rs\dre les quations primitives1 mais mme sans p\voir effectu] entr'elles les lim9ations conv5ables1 ce qui con/itue une n\velle difficult4 ,tels sont donc l'en*anem5t naturel et la di/ribution rationnelle des div]ses ?ories pr9cipales dont se compose le trait gnral de la diffr5tiation4 ,on voit que1 la diffr5tiation des fonctions implicites se dduisant de celle des fonctions explicites p> un seul pr9cipe con/ant1 et la diffr5tiation des fonctions plusieurs v>iables se ram5ant1 p> un autre pr9cipe fixe1 celle des fonctions une seule v>iable1 t\t le calcul diffr5tiel se tr\ve repos]1 en d]nire analyse1 sur la diffr5tiation des fonctions explicites une seule v>iable1 la seule qui s'excute jamais directem5t4 ,or1 il e/ ais de concevoir que cette premire ?orie1 base ncessaire du sy/me enti]1 consi/e simplem5t dans la diffr5tiation des dix fonctions simples1 qui sont les lm5s uni=mes de t\tes nos comb9aisons analytiques1 et dont j'ai prs5t le tableau 7#d;e leon1 page #agc74 ,c> la diffr5tiation des fonctions composes se dduit videmm5t1 d'une manire immdiate et ncessaire1 de celle des fonctions simples qui les con/itu5t4 ,c'e/ donc la connaissance de ces dix diffr5tielles fondam5tales1 et celle des deux pr9cipes gnraux1 ci-dessus m5tionns1 qui y ramn5t t\s les autres cas possibles1 que se rduit1 proprem5t p>l]1 t\t le trait de la diffr5tiation4 ,on voit1 p> la comb9aison de ces div]ses considrations1 combi5 e/ la fois simple et p>fait le sy/me enti] du calcul diffr5tiel proprem5t dit4 ,il con/itue c]ta9em5t1 s\s le rapport logique1 le spectacle le plus intressant que l'analyse ma?matique puisse prs5t] notre intellig5ce4 ,le tableau gnral que je vi5s d'esquiss] sommairem5t (frirait1 nanmo9s1 une lacune ess5tielle1 si je n'indiquais ici di/9ctem5t une d]nire ?orie1 qui =me1 p> sa nature1 le complm5t indisp5sable du trait de la diffr5tiation4 ,c'e/ celle qui a p\r objet la trans=mation con/ante des fonctions drives1 en rsultat des *angem5s dt]m9s de v>iables indp5dantes1 d'o rsulte la possibilit de rapport] de n\velles v>iables t\tes les =mules diffr5tielles gnrales tablies primitivem5t p\r d'autres4 ,cette "q e/ ma9t5ant rsolue de la manire la plus complte et la plus simple1 comme t\tes celles dont se compose le calcul diffr5tiel4 ,on conoit aism5t l'importance gnrale qu'elle doit avoir dans les applications quelconques de l'analyse transc5dante1 dont elle peut tre considre comme augm5tant les ress\rces fondam5tales1 en p]mettant de *oisir1 p\r =m] d'abord plus aism5t les quations diffr5tielles1 le sy/me de v>iables indp5dantes qui p>atra le plus avantageux1 bi5 qu'il ne doive pas tre ma9t5u plus t>d4 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 que la plup>t des que/ions pr9cipales de la gomtrie se rsolv5t beauc\p plus aism5t en rapportant les lignes et les surfaces des coordonnes rectilignes1 et qu'on peut nanmo9s tre conduit les appliqu] des =mes exprimes analytiquem5t1 l'aide de coordonnes polaires1 ou de t\te autre manire4 ,on p\rra comm5c] alors la solution diffr5tielle du problme en employant t\j\rs le sy/me rectiligne1 mais seulem5t comme un int]mdiaire1 d'aprs lequel1 p> la ?orie gnrale que n\s avons en vue ici1 on pass]a au sy/me df9itif1 qu'il et t quelquefois impossible de considr] directem5t4 ,dans la classification rationnelle que je vi5s d'expos] p\r l'ensemble du calcul diffr5tiel1 on s]ait naturellem5t t5t de signal] une omission grave1 puisque je n'ai pas s\s-divis *acune des quatre p>ties ess5tielles d'aprs une autre considration gnrale1 qui semble d'abord =t importante en elle-mme1 celle de l'ordre plus ou mo9s lev de la diffr5tiation4 ,mais il e/ ais de compr5dre que cette di/9ction n'a aucune influ5ce relle dans le calcul diffr5tiel1 en ce qu'elle n'y donne lieu aucune difficult n\velle4 ,en effet1 si le calcul diffr5tiel n'tait pas rig\reusem5t complet1 c'e/--dire1 si on ne savait po9t diffr5ti] indi/9ctem5t t\te fonction quelconque1 la diffr5tiation au second ordre1 ou un ordre suprieur1 de *aque fonction dt]m9e1 p\rrait eng5dr] des difficults spciales4 ,mais la p>faite univ]salit du calcul diffr5tiel donne videmm5t l'assurance de p\voir diffr5ti] un ordre quelconque t\tes les fonctions analytiques connues1 la "q se rduisant sans cesse une diffr5tiation au premi] ordre1 successivem5t r$\ble4 ,a9si1 la considration des div]s ordres de diffr5tielles peut bi5 donn] naissance de n\velles rem>ques plus ou mo9s importantes1 surt\t en ce qui conc]ne la =mation des quations diffr5tielles1 et les drives p>tielles successives des fonctions plusieurs v>iables4 ,mais elle ne saurait1 videmm5t1 con/itu] aucun n\veau problme gnral dans le trait de la diffr5tiation4 ,n\s v]rons t\t l'heure que cette di/9ction1 qui n'a1 p\r a9si dire1 aucune importance dans le calcul diffr5tiel1 en acqui]t1 au contraire1 une trs-gr&e dans le calcul intgral1 en v]tu de l'extrme imp]fection de ce d]ni] calcul4 ,enf91 quoique j'aie cru1 en ?se gnrale1 ne devoir nullem5t envisag] en ce mom5t les div]ses applications pr9cipales du calcul diffr5tiel1 il convi5t nanmo9s de faire une exception p\r celles qui consi/5t dans la solution de que/ions purem5t analytiques1 qui doiv5t1 en effet1 tre rationnellem5t places la suite du trait de la diffr5tiation proprem5t dite1 cause de l'homognx vid5te des considrations4 ,ces que/ions peuv5t se rduire trois ess5tielles3 #a le dveloppem5t en sries des fonctions une seule ou plusieurs v>iables1 ou1 plus gnralem5t1 la trans=mation des fonctions1 qui con/itue la plus belle et la plus importante application du calcul diffr5tiel l'analyse gnrale1 et qui compr5d1 outre la srie fondam5tale dc\v]te p> ,taylor1 les sries si rem>quables tr\ves p> ,maclaur91 p> ,jean ,b]n\illi1 p> ,lagrange1 etc42 #b la ?orie gnrale des valeurs maxima et m9ima p\r les fonctions quelconques une seule ou plusieurs v>iables1 un des plus intressans problmes que puisse prs5t] l'analyse1 quelque lm5taire qu'il soit dev5u auj\rd'hui1 et la solution complte duquel le calcul diffr5tiel s'applique trs-naturellem5t2 #c enf91 la dt]m9ation gnrale de la vraie valeur des fonctions qui se prs5t5t s\s une app>5ce indt]m9e p\r c]ta9es hypo?ses faites sur les valeurs des v>iables correspondantes1 ce qui e/ le problme le mo9s t5du et le mo9s important des trois1 quoiqu'il mrite d'tre n ici4 ,la premire "q e/1 sans contr$it1 la pr9cipale s\s t\s les rapports3 elle e/ aussi la plus susceptible d'acqurir dans la suite une ext5sion n\velle1 surt\t en concevant1 d'une manire plus l>ge qu'on ne l'a fait jusqu'ici1 l'emploi du calcul diffr5tiel p\r la trans=mation des fonctions1 au sujet de laquelle ,lagrange a laiss quelques indications prcieuses1 qui n'ont encore t ni gnralises ni suivies4 ,je regrette beauc\p d'tre oblig1 p> les limites ncessaires de cet ouvrage1 de me born] des considrations sommaires aussi insuffisantes sur t\s les div]s sujets que je vi5s de pass] en revue1 et qui comport]ai5t1 p> leur nature1 des dveloppem5s beauc\p plus t5dus1 en cont9uant t\j\rs nanmo9s re/] dans les gnralits qui sont le sujet propre de ce c\rs4 ,je passe ma9t5ant l'exposition galem5t rapide du tableau sy/matique du calcul intgral proprem5t dit1 c'e/--dire du trait ab/rait de l'intgration4 ,la division fondam5tale du calcul intgral e/ fonde sur le mme pr9cipe que celle ci-dessus expose p\r le calcul diffr5tiel1 en di/+uant l'intgration des =mules diffr5tielles explicites1 et l'intgration des diffr5tielles implicites1 ou des quations diffr5tielles4 ,la sp>ation de ces deux cas e/ mme bi5 plus pr(onde relativem5t l'intgration1 que s\s le simple rapport de la diffr5tiation4 ,dans le calcul diffr5tiel1 en effet1 cette di/9ction ne repose1 comme n\s l'avons vu1 que sur l'extrme imp]fection de l'analyse ord9aire4 ,mais1 au contraire1 il e/ ais de voir que1 qu& mme t\tes les quations s]ai5t rsolues algbriquem5t1 les quations diffr5tielles n'en con/itu]ai5t pas mo9s un cas d'intgration t\t--fait di/9ct de celui que prs5t5t les =mules diffr5tielles explicites4 ,c>1 en se bornant1 p> exemple1 au premi] ordre et une fonction unique y d'une seule v>iable x1 p\r plus de simplicit1 si l'on suppose rsolue1 p> rapport _/fracdydx1 une quation diffr5tielle quelconque entre x1 y1 et _/fracdydx1 l'expression de la fonction drive se tr\vant alors cont5ir gnralem5t la fonction primitive elle-mme qui e/ l'objet de la re*]*e1 la "q d'intgration n'aurait nullem5t *ang de nature1 et la solution n'aurait fait rellem5t d'autre progrs que d'avoir am5 l'quation diffr5tielle1 propose ne plus tre que du premi] degr relativem5t la fonction drive1 ce qui e/1 en soi1 de peu d'importance4 ,la diffr5tielle n'en s]ait donc pas mo9s dt]m9e d'une manire peu prs aussi implicite qu'aup>avant1 s\s le rapport de l'intgration1 qui cont9u]ait prs5t] ess5tiellem5t la mme difficult c>actri/ique4 ,la rsolution algbrique des quations ne p\rrait faire r5tr] le cas que n\s considrons dans la simple intgration des diffr5tielles explicites1 que dans les occasions trs-p>ticulires o l'quation diffr5tielle propose ne conti5drait po9t la fonction primitive elle-mme1 ce qui p]mettrait1 p> consqu5t1 en la rsolvant1 de tr\v] _/fracdydx en fonction de x seulem5t1 et de rduire a9si la "q aux quadratures4 ,la considration que je vi5s d'indiqu] p\r les quations diffr5tielles les plus simples aurait videmm5t encore plus d'importance p\r celles des ordres suprieurs ou qui conti5drai5t simultanm5t div]ses fonctions de plusieurs v>iables indp5dantes4 ,a9si1 l'intgration des diffr5tielles qui ne sont dt]m9es qu'implicitem5t con/itue p> sa nature1 et1 sans aucun g>d l'tat de l'algbre1 un cas entirem5t di/9ct de celui relatif aux diffr5tielles explicitem5t exprimes en fonction des v>iables indp5dantes4 ,l'intgration des quations diffr5tielles e/ donc ncessairem5t plus complique que celle des diffr5tielles explicites1 p> l'laboration desquelles le calcul intgral a pris naissance1 et dont ensuite on s'e/ ef=c de faire1 autant que possible1 dp5dre les autres4 ,t\s les div]s procds analytiques proposs jusqu'ici p\r intgr] les quations diffr5tielles1 soit la sp>ation des v>iables1 soit la m?ode des multiplicateurs1 etc1 ont en effet p\r b de ram5] ces intgrations celles des =mules diffr5tielles1 la seule qui1 p> sa nature1 puisse tre entreprise directem5t4 ,malheureusem5t1 quelqu'imp>faite que soit jusqu'ici cette base ncessaire de t\t le calcul intgral1 l'art d'y rduire l'intgration des quations diffr5tielles e/ encore bi5 mo9s avanc4 ,*acune de ces deux bran*es fondam5tales du calcul intgral se s\s-divise ensuite en deux autres1 comme dans le calcul diffr5tiel1 et p> des motifs exactem5t analogues 7que je me disp5s]ai1 p> consqu5t1 de reproduire71 suivant que l'on considre des fonctions une seule v>iable ou des fonctions plusieurs v>iables indp5dantes4 ,je f]ai seulem5t obs]v] que cette di/9ction e/1 comme la prcd5te1 encore plus importante p\r l'intgration que p\r la diffr5tiation4 ,cela e/ surt\t rem>quable1 relativem5t aux quations diffr5tielles4 ,en effet1 celles qui se rapport5t plusieurs v>iables indp5dantes peuv5t videmm5t prs5t] cette difficult c>actri/ique1 et d'un ordre bi5 plus lev1 que la fonction *]*e soit df9ie diffr5tiellem5t p> une simple relation entre ses div]ses drives spciales relatives aux diffr5tes v>iables prises sp>m5t4 ,de l rsulte la bran*e la plus difficile1 et aussi la plus t5due du calcul intgral1 ce qu'on nomme ord9airem5t le calcul intgral aux diffr5ces p>tielles1 cr p> d',alemb]t1 et dans lequel1 suivant la ju/e apprciation de ,lagrange1 les gomtres aurai5t d voir rellem5t un calcul n\veau1 dont le c>actre philosophique n'e/ pas assez exactem5t jug4 ,une diffr5ce trs-saillante entre ce cas et celui des quations une seule v>iable indp5dante consi/e1 comme je l'ai obs]v ci-dessus1 dans les fonctions arbitraires qui remplac5t les simples con/antes arbitraires p\r donn] aux intgrales correspondantes t\te la gnralit conv5able4 pe9e ai-je beso9 de dire que cette bran*e suprieure de l'analyse transc5dante e/ encore entirem5t dans l'enfance1 puisque1 seulem5t dans le cas le plus simple1 celui d'une quation du premi] ordre entre les drives p>tielles d'une seule fonction deux v>iables indp5dantes1 on ne sait po9t mme jusqu'ici compltem5t ram5] l'intgration celle des quations diffr5tielles ord9aires4 ,l'intgration relative aux fonctions de plusieurs v>iables e/ beauc\p plus avance1 dans le cas1 inf9im5t plus simple1 la vrit1 o il ne s'agit que des =mules diffr5tielles explicites4 ,on sait alors en effet1 qu& ces =mules rempliss5t les conditions conv5ables d'intgrabilit1 rduire con/amm5t leur intgration aux quadratures4 ,une n\velle di/9ction gnrale1 applicable1 comme s\s-division1 l'intgration des diffr5tielles explicites ou implicites1 une seule v>iable ou plusieurs1 se tire de l'ordre plus ou mo9s lev des diffr5tiations1 qui ne donne lieu aucune "q spciale dans le calcul diffr5tiel1 a9si que n\s l'avons rem>qu4 ,relativem5t aux diffr5tielles explicites1 soit une v>iable1 soit plusieurs1 la ncessit de di/+u] leurs div]s ordres ne ti5t qu' l'extrme imp]fection du calcul intgral4 ,en effet1 si l'on savait con/amm5t intgr] t\te =mule diffr5tielle du premi] ordre1 l'intgration d'une =mule du second ordre ou de t\t autre ne con/itu]ait po9t1 videmm5t1 une "q n\velle1 puisqu'en l'intgrant d'abord au premi] ordre1 on p>vi5drait l'expression diffr5tielle de l'ordre immdiatem5t prcd5t1 d'o1 p> une suite conv5able d'intgrations analogues1 on s]ait c]ta9 de remont] f9alem5t la fonction primitive1 objet propre d'un tel travail4 ,mais le peu de connaissances que n\s possdons sur les intgrations premires fait qu'il n'en e/ po9t a9si1 et que l'ordre plus ou mo9s lev des diffr5tielles eng5dre des difficults n\velles4 ,c>1 ayant des =mules diffr5tielles d'un ordre quelconque suprieur au premi]1 il peut arriv] qu'on sa*e les intgr] une premire fois ou plusieurs fois de suite1 et que1 nanmo9s1 on ne puisse remont] a9si aux fonctions primitives1 si ces travaux prlim9aires ont produit1 p\r les diffr5tielles d'un ordre infrieur1 des expressions dont les intgrales ne sont pas connues4 ,cette circon/ance doit se prs5t] d'autant plus frquemm5t1 le nombre des intgrales connues tant encore =t petit1 que ces intgrales successives sont gnralem5t1 comme on sait1 des fonctions trs-diffr5tes des drives qui les ont eng5dres4 ,p> rapport aux diffr5tielles implicites1 la di/9ction des ordres e/ encore plus importante2 c>1 outre le motif prcd5t1 dont l'influ5ce e/ videmm5t ici analogue1 et mme un plus haut degr1 il e/ ais de s5tir que l'ordre suprieur des quations diffr5tielles donne lieu ncessairem5t des que/ions d'une nature n\velle4 ,en effet1 st-on mme intgr] indi/9ctem5t t\te quation du premi] ordre relative une fonction unique1 cela ne suffirait po9t p\r faire obt5ir l'intgrale df9itive d'une quation d'un ordre quelconque1 t\te quation diffr5tielle n'tant pas rductible celle d'un ordre immdiatem5t infrieur4 ,si l'on a p> exemple1 p\r dt]m9] une fonction y de la v>iable x1 une relation quelconque entre x1 y1 _/fracdydx1 et _/fracd#bydx#b1 on n'en p\rra po9t dduire immdiatem5t1 en effectuant une premire intgration1 la relation diffr5tielle correspondante entre x1 y1 et _/fracdydx1 d'o1 p> une seconde intgration on remont]ait l'quation primitive4 ,cela n'aurait lieu ncessairem5t1 du mo9s sans introduire de n\velles fonctions auxiliaires1 que si l'quation du second ordre propose ne cont5ait po9t la fonction *]*e y1 conc\rremm5t avec ses drives4 ,en ?se gnrale1 les quations diffr5tielles devront donc rellem5t tre envisages comme prs5tant des cas d'autant plus implicites que leur ordre e/ plus lev1 et qui ne p\rront r5tr] les uns dans les autres que p> des m?odes spciales1 dont la re*]*e con/itue1 p> consqu5t1 une n\velle classe de que/ions1 l'g>d desquelles on ne sait jusqu'ici presque ri51 mme p\r les fonctions d'une seule v>iable#af4 ,note #af3 ,le seul cas important de ce g5re qui ait t compltem5t trait jusqu'ici1 e/ l'intgration gnrale des quations l9aires d'un ordre quelconque1 coeffici5s con/ans4 ,encore se tr\ve-t-elle dp5dre f9alem5t de la rsolution algbrique des quations d'un degr gal l'ordre de la diffr5tiation4 ,au re/e1 qu& ou exam9e1 d'une manire trs-appr(ondie1 cette di/9ction des div]s ordres d'quations diffr5tielles1 on tr\ve qu'elle p\rrait r5tr] con/amm5t dans une d]nire di/9ction gnrale1 relative aux quations diffr5tielles1 que j'ai encore signal]4 ,en effet1 les quations diffr5tielles une seule ou plusieurs v>iables indp5dantes peuv5t ne cont5ir simplem5t qu'une seule fonction1 ou bi51 dans un cas videmm5t plus compliqu et plus implicite1 qui correspond la diffr5tiation des fonctions implicites simultanes1 on peut avoir dt]m9] en mme temps plusieurs fonctions d'aprs des quations diffr5tielles o elles se tr\v5t mles1 concurremm5t avec leurs div]ses drives4 ,il e/ clair qu'un tel tat de la "q prs5te ncessairem5t une n\velle difficult spciale1 celle d'tablir la sp>ation des diffr5tes fonctions *]*es1 en =mant p\r *acune1 d'aprs les quations diffr5tielles proposes1 une quation diffr5tielle isole1 qui ne conti5ne plus les autres fonctions ni leurs drives4 ,ce travail prlim9aire1 qui e/ l'analogue de l'lim9ation en algbre1 e/ videmm5t indisp5sable avant de t5t] aucune intgration directe1 puisqu'on ne peut entrepr5dre gnralem5t1 mo9s d'artifices spciaux trs-r>em5t applicables1 de dt]m9] immdiatem5t la fois plusieurs fonctions di/9ctes4 ,or1 il e/ ais d'tablir la concid5ce exacte et ncessaire de cette n\velle di/9ction avec la prcd5te1 relative l'ordre des quations diffr5tielles4 ,on sait1 en effet1 que la m?ode gnrale p\r isol] les fonctions dans les quations diffr5tielles simultanes1 consi/e ess5tiellem5t =m] des quations diffr5tielles1 sp>m5t relatives *aque fonction1 et dont l'ordre e/ gal la somme de t\s ceux des div]ses quations proposes4 ,cette trans=mation peut s'effectu] con/amm5t4 ,d'un autre ct1 t\te quation diffr5tielle d'un ordre quelconque relative une seule fonction p\rrait videmm5t se ram5] t\j\rs au premi] ordre1 en introduisant un nombre conv5able d'quations diffr5tielles auxiliaires1 cont5ant simultanm5t les div]ses drives antrieures considres comme n\velles fonctions dt]m9]4 ,ce procd a mme t quelquefois employ avec succs1 quoique1 en gnral1 il ne soit pas normal4 ,ce sont donc deux g5res de conditions ncessairem5t quival5s1 dans la ?orie gnrale des quations diffr5tielles1 que la simultanx d'un plus ou mo9s gr& nombre de fonctions1 et l'ordre de diffr5tiation plus ou mo9s lev d'une fonction unique4 ,en augm5tant l'ordre des quations diffr5tielles1 on peut isol] t\tes les fonctions2 et1 en multipliant artificiellem5t le nombre des fonctions1 on peut ram5] t\tes les quations au premi] ordre4 ,il n'y a1 p> consqu5t1 dans l'un et l'autre cas1 qu'une mme difficult1 envisage s\s deux po9ts de vue diffr5s4 ,mais1 de quelque manire qu'on la conoive1 cette n\velle difficult commune n'en e/ pas mo9s relle1 et n'en con/itue pas mo9s1 p> sa nature1 une sp>ation tran*e entre l'intgration des quations du premi] ordre et celle des quations d'un ordre suprieur4 ,je prfre indiqu] la di/9ction s\s cette d]nire =me1 comme plus simple1 plus gnrale et plus rationnelle4 ,d'aprs les div]ses considrations indiques ci-dessus sur l'en*anem5t rationnel des diffr5tes p>ties pr9cipales du calcul intgral1 on voit que l'intgration des =mules diffr5tielles explicites du premi] ordre une seule v>iable e/ la base ncessaire de t\tes les autres intgrations1 qu'on ne p>vi5t jamais effectu] qu'autant qu'on peut les faire r5tr] dans ce cas lm5taire1 le seul videmm5t qui1 p> sa nature1 soit susceptible d'tre trait directem5t4 ,cette intgration simple et fondam5tale e/ s\v5t dsigne p> l'expression commode de quadratures1 att5du que t\te intgrale de ce g5re ,sf7x7dx1 peut1 en effet1 tre envisage comme reprs5tant l'aire d'une c\rbe dont l'quation en coordonnes rectilignes s]ait yf7x74 ,une telle classe de que/ions correspond1 dans le calcul diffr5tiel1 au cas lm5taire de la diffr5tiation des fonctions explicites une seule v>iable4 ,mais la "q intgrale e/1 p> sa nature1 bi5 autrem5t complique1 et surt\t beauc\p plus t5due que la "q diffr5tielle4 ,celle-ci se rduit ncessairem5t1 en effet1 comme n\s l'avons vu1 la diffr5tiation des dix fonctions simples1 lm5s de t\tes celles que l'analyse considre4 ,au contraire1 l'intgration des fonctions composes ne se dduit po9t ncessairem5t de celle des fonctions simples1 dont *aque n\velle comb9aison doit prs5t]1 s\s le rapport du calcul intgral1 des difficults spciales4 ,de l1 l't5due naturellem5t indf9ie1 et la complication si v>ie de la "q des quadratures1 sur laquelle1 malgr t\s les ef=ts des analy/es1 on possde encore si peu de connaissances compltes4 ,en dcomposant cette "q1 comme il e/ naturel de le faire1 suivant les div]ses =mes que peut affect] la fonction drive1 on di/+ue d'abord le cas des fonctions algbriques1 et ensuite celui des fonctions transc5dantes4 ,l'intgration vraim5t analytique de ce d]ni] ordre d'expressions e/ jusqu'ici =t peu avance1 soit p\r les fonctions expon5tielles1 soit p\r les fonctions log>i?miques1 soit p\r les fonctions circulaires4 ,on n'a trait encore qu'un trs-petit nombre de cas de ces trois div]s g5res1 en les *oisissant p>mi les plus simples1 qui conduis5t mme ord9airem5t des calculs extrmem5t pnibles4 ,ce que n\s devons surt\t rem>qu] ce sujet s\s le rapport philosophique1 c'e/ que les div]s procds de quadrature ne ti5n5t aucune vue gnrale sur l'intgration1 et consi/5t en de simples artifices de calcul =t incohr5s entre eux1 et dont le nombre e/ trs-multipli1 cause de l't5due trs-borne de *acun d'eux4 ,je dois cep5dant signal] ici un de ces artifices qui1 sans tre rellem5t une m?ode d'intgration1 e/ nanmo9s rem>quable p> sa gnralit3 c'e/ le procd inv5t p> ,jean ,b]n\illi1 et connu s\s le nom de l'intgration p> p>ties1 d'aprs lequel t\te intgrale peut tre ram5e une autre1 qui se tr\ve quelquefois tre plus facile obt5ir4 ,cette +nieuse relation mrite d'tre ne s\s un autre rapport1 comme ayant (f]t la premire ide de cette trans=mation les unes dans les autres des intgrales encore inconnues1 qui a reu dans ces d]ni]s temps une plus gr&e ext5sion1 et dont ,m4 ,f\ri] surt\t a fait un usage si n\veau et si important p\r les que/ions analytiques eng5dres p> la ?orie de la *aleur4 ,quant l'intgration des fonctions algbriques1 elle e/ plus avance4 ,cep5dant1 on ne sait encore presque ri5 relativem5t aux fonctions irrationnelles1 dont les intgrales n'ont t obt5ues que dans des cas extrmem5t borns1 et surt\t en les r5dant rationnelles4 ,l'intgration des fonctions rationnelles e/ jusqu'ici la seule ?orie de calcul intgral qui ait pu tre traite d'une manire vraim5t complte3 s\s le rapport logique1 elle en con/itue donc la p>tie la plus satisfaisante1 mais peut-tre aussi la mo9s importante4 ,il e/ mme ess5tiel de rem>qu]1 p\r avoir une ju/e ide de l'extrme imp]fection du calcul intgral1 que ce cas si peu t5du n'e/ entirem5t rsolu que p\r ce qui conc]ne proprem5t l'intgration1 envisage d'une manire ab/raite2 c>1 dans l'excution1 la ?orie se tr\ve le plus s\v5t1 indp5damm5t de la complication des calculs1 t\t--fait arrte p> l'imp]fection de l'analyse ord9aire1 att5du qu'elle fait dp5dre f9alem5t l'intgration de la rsolution algbrique des quations1 ce qui en limite s+ulirem5t l'usage4 ,p\r saisir1 d'une manire gnrale1 l'esprit des div]s procds d'aprs lesquels on procde aux quadratures1 n\s devons reconnatre d'ailleurs que1 p> leur nature1 ils ne peuv5t tre fonds primitivem5t que sur la diffr5tiation des dix fonctions simples1 dont les rsultats1 considrs s\s le po9t de vue inv]se1 tabliss5t autant de ?ormes immdiats de calcul intgral1 les seuls qui puiss5t tre connus directem5t1 t\t l'art de l'intgration consi/ant ensuite1 comme je l'ai exprim en comm5ant cette leon1 faire r5tr]1 autant que possible1 t\tes les autres quadratures dans ce petit nombre de quadratures lm5taires1 ce qui malheureusem5t n\s e/ encore le plus s\v5t inconnu4 ,dans cette numration raisonne des div]ses p>ties ess5tielles de calcul intgral suivant leurs relations logiques1 j'ai nglig desse91 p\r ne pas int]rompre l'en*anem5t1 de considr] di/9ctem5t une ?orie =t importante1 qui =me implicitem5t une portion de la ?orie gnrale de l'intgration des quations diffr5tielles1 mais que je dois ici signal] sp>m5t1 comme tant1 p\r a9si dire1 en dehors du calcul intgral1 et (frant nanmo9s le plus gr& intrt1 soit p> sa p]fection rationnelle1 soit p> l't5due de ses applications4 ,je veux p>l] de ce qu'on appelle les solutions s+ulires des quations diffr5tielles1 dites quelquefois1 mais tort1 solutions p>ticulires1 qui ont t le sujet de travaux trs-rem>quables de la "p d',eul] et de ,laplace1 et dont ,lagrange surt\t a prs5t une si belle et si simple ?orie gnrale4 ,on sait que ,clairaut1 qui le premi]1 eut occasion d'en rem>qu] l'exi/5ce1 y vit un p>adoxe de calcul intgral1 puisque ces solutions ont p\r c>actre propre de satisfaire aux quations diffr5tielles sans tre nanmo9s comprises dans les intgrales gnrales correspondantes4 ,lagrange a1 depuis1 expliqu ce p>adoxe de la manire la plus +nieuse et la plus satisfaisante1 en montrant comm5t de telles solutions driv5t t\j\rs de l'intgrale gnrale p> la v>iation des con/antes arbitraires4 ,il a aussi1 le premi]1 conv5ablem5t apprci l'importance de cette ?orie1 et c'e/ avec raison qu'il lui a consacr1 dans ses leons sur le calcul des fonctions1 un si gr& dveloppem5t4 ,s\s le po9t de vue rationnel1 cette ?orie mrite en effet t\te notre att5tion1 p> le c>actre de p>faite gnralit qu'elle comporte1 puisque ,lagrange a expos des procds inv>iables et =t simples p\r tr\v] la solution s+ulire de t\te quation diffr5tielle quelconque qui en e/ susceptible2 et1 ce qui n'e/ pas mo9s rem>quable1 ces procds n'exig5t aucune intgration1 consi/ant seulem5t dans des diffr5tiations1 et p> l mme t\j\rs applicables4 ,la diffr5tiation e/ a9si dev5ue1 p> un heureux artifice1 un moy5 de suppler dans c]ta9es circon/ances l'imp]fection du calcul intgral4 ,en effet1 c]ta9s problmes exig5t surt\t1 p> leur nature1 la connaissance de ces solutions s+ulires4 ,telles sont1 p> exemple1 en gomtrie1 t\tes les que/ions o il s'agit de dt]m9] une c\rbe d'aprs une proprit quelconque de sa tang5te ou de son c]cle osculateur4 ,dans t\s les cas de ce g5re1 aprs avoir exprim cette proprit p> une quation diffr5tielle1 ce s]a1 s\s le rapport analytique1 l'quation s+ulire qui con/itu]a l'objet le plus important de la re*]*e1 puisqu'elle seule reprs5t]a la c\rbe dem&e1 l'intgrale gnrale1 qui devi5t ds lors inutile connatre1 ne devant dsign] autre *ose que le sy/me des tang5tes ou des c]cles osculateurs de cette c\rbe4 ,on conoit aism5t1 d'aprs cela1 t\te l'importance de cette ?orie1 qui me semble n'tre pas encore suffisamm5t apprcie p> la plup>t des gomtres4 ,enf91 p\r a*ev] de signal] le va/e ensemble de re*]*es analytiques dont se compose le calcul intgral proprem5t dit1 il me re/e m5tionn] une ?orie =t importante dans t\tes les applications de l'analyse transc5dante1 que j'ai d laiss] en dehors du sy/me comme n'tant pas rellem5t de/9e une vritable intgration1 et se proposant au contraire de remplac] la connaissance des intgrales vraim5t analytiques1 qui sont le plus s\v5t ignores4 ,on voit qu'il s'agit de la dt]m9ation des intgrales df9ies4 ,l'expression1 t\j\rs possible1 des intgrales en sries indf9ies1 peut d'abord tre envisage comme un heureux moy5 gnral de comp5s] s\v5t l'extrme imp]fection du calcul intgral4 ,mais l'emploi de telles sries1 cause de leur complication et de la difficult de dc\vrir la loi de leurs t]mes1 e/ ord9airem5t d'une mdiocre utilit s\s le rapport algbrique1 bi5 qu'on en ait dduit quelquefois des relations =t ess5tielles4 ,c'e/ surt\t s\s le rapport ari?mtique que ce procd acqui]t une gr&e importance1 comme moy5 de calcul] ce qu'on appelle les intgrales df9ies1 c'e/--dire1 les valeurs des fonctions *]*es p\r c]ta9es valeurs dt]m9es des v>iables correspondantes4 ,une re*]*e de cette nature correspond exactem5t1 dans l'analyse transc5dante1 la rsolution numrique des quations dans l'analyse ord9aire4 ,ne p\vant obt5ir le plus s\v5t la vritable intgrale1 celle qu'on nomme p> opposition1 l'intgrale gnrale ou indf9ie1 c'e/--dire1 la fonction qui1 diffr5tie1 a produit la =mule diffr5tielle propose1 les analy/es ont d s'atta*] dt]m9]1 du mo9s1 sans connatre une telle fonction1 les valeur numriques p>ticulires qu'elle pr5drait en assignant aux v>iables des valeurs dsignes4 ,c'e/ videmm5t rs\dre la "q ari?mtique1 sans avoir pralablem5t rsolu la "q algbrique correspondante1 qui1 le plus s\v5t1 e/ prcism5t la plus importante4 ,une telle analyse e/ donc p> sa nature1 aussi imp>faite que n\s avons vu l'tre la rsolution numrique des quations4 ,elle prs5te1 comme celle-ci1 une confusion vicieuse du po9t de vue ari?mtique avec le po9t de vue algbrique2 d'o rsult5t1 soit s\s le rapport purem5t logique1 soit relativem5t aux applications1 des inconvni5s analogues4 ,je puis donc me disp5s] de reproduire ici les considrations indiques dans la c9quime leon au sujet de l'algbre4 ,on conoit nanmo9s que1 dans l'impossibilit o n\s sommes presque t\j\rs de connatre les vritables intgrales1 il e/ de la plus haute importance d'avoir pu obt5ir au mo9s cette solution incomplte et ncessairem5t insuffisante4 ,or1 c'e/ quoi on e/ heureusem5t p>v5u auj\rd'hui p\r t\s les cas1 l'valuation des intgrales df9ies ayant t ram5e des m?odes entirem5t gnrales1 qui ne laiss5t dsir]1 dans un gr& nombre d'occasions1 qu'une mo9dre complication des calculs1 b v]s lequel se dirig5t auj\rd'hui t\tes les trans=mations spciales des analy/es4 ,reg>dant ma9t5ant comme p>faite cette sorte d'ari?mtique transc5dante1 la difficult1 dans les applications1 se rduit ess5tiellem5t ne faire dp5dre f9alem5t la re*]*e propose que d'une simple dt]m9ation d'intgrales df9ies1 ce qui1 videmm5t1 ne saurait tre t\j\rs possible1 quelque habilet analytique qu'on puisse employ] effectu] une trans=mation aussi =ce4 ,p> l'ensemble des considrations indiques dans cette leon1 on voit que1 si le calcul diffr5tiel con/itue1 de sa nature1 un sy/me limit et p>fait auquel il ne re/e plus aj\t] ri5 d'ess5tiel1 le calcul intgral proprem5t dit1 ou le simple trait de l'intgration1 prs5te ncessairem5t un *amp 9puisable l'activit de l'esprit huma91 indp5damm5t des applications indf9ies dont l'analyse transc5dante e/ videmm5t susceptible4 ,les motifs gnraux p> lesquels j'ai t* de faire s5tir1 dans la c9quime leon1 l'impossibilit de dc\vrir jamais la rsolution algbrique des quations d'un degr et d'une =me quelconques1 ont sans aucun d\te1 inf9im5t plus de =ce encore relativem5t la re*]*e d'un procd unique d'intgration1 inv>iablem5t applicable t\s les cas4 ,c'e/1 dit ,lagrange1 un de ces problmes dont on ne saurait espr] de solution gnrale4 ,plus on mdit]a sur ce sujet1 plus on s]a conva9cu1 je ne cra9s pas de l'affirm]1 qu'une telle re*]*e e/ totalem5t *imrique1 comme tant beauc\p trop suprieure la faible porte de notre intellig5ce1 bi5 que les travaux des gomtres doiv5t c]ta9em5t augm5t] dans la suite l'ensemble de nos connaissances acquises sur l'intgration1 et crer aussi des procds d'une plus gr&e gnralit4 ,l'analyse transc5dante e/ encore trop prs de sa naissance1 il y a surt\t trop peu de temps qu'elle e/ conue d'une manire vraim5t rationelle1 p\r que n\s puissions n\s faire une ju/e ide de ce qu'elle p\rra dev5ir un j\r4 ,mais1 quelles que doiv5t tre nos lgitimes esprances1 n'oublions pas de considr] avant t\t les limites imposes p> notre con/itution intellectuelle1 et qui1 p\r n'tre pas susceptibles d'une dt]m9ation prcise1 n'en ont pas mo9s une ralit inconte/able4 ,au lieu de t5dre imprim] au calcul des fonctions indirectes1 tel que n\s le concevons auj\rd'hui1 une p]fection *imrique1 je suis port p5s] que lorsque les gomtres auront puis les applications les plus importantes de notre analyse transc5dante actuelle1 ils se creront plutt de n\velles ress\rces1 en *angeant le mode de drivation des quantits auxiliaires introduites p\r facilit] l'tablissem5t des quations1 et dont la =mation p\rrait suivre une inf9it d'autres lois que la relation trs-simple qui a t *oisie1 d'aprs une conception que j'ai dj indique dans la quatrime leon4 ,les moy5s de cette nature me p>aiss5t susceptibles1 en eux-mmes1 d'une plus gr&e fcondit que ceux qui consi/]ai5t seulem5t p\ss] plus lo9 notre calcul actuel des fonctions indirectes4 ,c'e/ une p5se que je s\mets aux gomtres dont les mditations se sont t\rnes v]s la philosophie gnrale de l'analyse4 ,du re/e1 quoique j'aie d1 dans l'exposition sommaire qui tait l'objet propre de cette leon1 r5dre s5sible l'tat d'extrme imp]fection o se tr\ve encore le calcul intgral1 on aurait une fausse ide des ress\rces gnrales de l'analyse transc5dante1 si on accordait cette considration une trop gr&e importance4 ,il en e/ ici1 en effet1 comme dans l'analyse ord9aire1 o l'on e/ p>v5u utilis]1 un degr imm5se1 un trs-petit nombre de connaissances fondam5tales sur la rsolution des quations4 ,quelque peu avancs qu'ils soi5t rellem5t jusqu'ici dans la sci5ce des intgrations1 les gomtres n'en ont pas mo9s tir1 de notions ab/raites aussi peu multiplies1 la solution d'une multitude de que/ions de premire importance en gomtrie1 en mcanique1 en !rmologie1 etc4 ,l'explication philosophique de ce d\ble fait gnral rsulte de l'importance et de la porte ncessairem5t prpondrantes des connaissances ab/raites1 dont la mo9dre se tr\ve naturellem5t correspondre une f\le de re*]*es concrtes1 l'homme n'ayant d'autre ress\rce p\r l'ext5sion successive de ses moy5s intellectuels1 que dans la considration d'ides de plus en plus ab/raites et nanmo9s positives4 ,p\r a*ev] de faire connatre1 dans t\te son t5due1 le c>actre philosophique de l'analyse transc5dante1 il me re/e considr] une d]nire conception p> laquelle l'immortel ,lagrange1 que n\s retr\vons sur t\tes les gr&es voies de la sci5ce ma?matique1 a r5du cette analyse encore plus propre facilit] l'tablissem5t des quations dans les problmes les plus difficiles1 en considrant une classe d'quations encore plus indirectes que les quations diffr5tielles proprem5t dites4 ,c'e/ le calcul ou plutt la m?ode des v>iations1 dont l'apprciation gnrale s]a l'objet de la leon suivante4 ,,huiti,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations gnrales sur le calcul des v>iations4 ,af9 de saisir avec plus de facilit le c>actre philosophique de la m?ode des v>iations1 il convi5t d'abord de considr] sommairem5t la nature spciale des problmes dont la rsolution gnrale a ncessit la =mation de cette analyse hyp]-transc5dante4 ,ce calcul e/ encore trop prs de son orig9e1 les applications en ont t jusqu'ici trop peu v>ies1 p\r qu'on pt en concevoir une ide gnrale suffisamm5t claire1 si je me bornais une exposition purem5t ab/raite de sa ?orie fondam5tale1 bi5 qu'une telle exposition doive tre ensuite1 sans aucun d\te1 l'objet pr9cipal et df9itif de cette leon4 ,les que/ions ma?matiques qui ont donn naissance au calcul des v>iations consi/5t1 en gnral1 dans la re*]*e des maxima et des m9ima de c]ta9es =mules intgrales indt]m9es1 qui exprim5t la loi analytique de tel ou tel phnomne gomtrique ou mcanique1 considr indp5damm5t d'aucun sujet p>ticuli]4 ,les gomtres ont dsign p5dant long-temps t\tes les que/ions de ce g5re p> le nom commun de problmes des isoprimtres1 qui ne convi5t cep5dant qu'au plus petit nombre d'entre elles4 ,dans la ?orie ord9aire des maxima et m9ima1 on se propose de dc\vrir1 relativem5t une fonction donne d'une seule ou de plusieurs v>iables1 quelles valeurs p>ticulires il faut assign] ces v>iables p\r que la valeur correspondante de la fonction propose soit un maximum ou un m9imum1 p> rapport celles qui prcd5t et qui suiv5t immdiatem5t1 c'e/--dire qu'on *]*e1 proprem5t p>l]1 quel in/ant la fonction cesse de crotre p\r comm5c] dcrotre1 ou rciproquem5t4 ,le calcul diffr5tiel suffit ple9em5t1 comme on sait1 la rsolution gnrale de cette classe de que/ions1 en montrant que les valeurs des div]ses v>iables qui convi5n5t1 soit au maximum1 soit au m9imum1 doiv5t t\j\rs r5dre nulles les diffr5tes drives du premi] ordre de la fonction donne1 prises sp>m5t p> rapport *aque v>iable indp5dante2 et en indiquant de plus un c>actre propre di/+u] le maximum du m9imum1 qui consi/e1 dans le cas d'une fonction d'une seule v>iable1 p> exemple1 en ce que la fonction drive du second ordre doit pr5dre une valeur ngative p\r le maximum1 et positive p\r le m9imum4 ,telles sont1 du mo9s1 les conditions fondam5tales qui se rapport5t au plus gr& nombre des cas2 les modifications qu'elles doiv5t subir p\r que la ?orie soit compltem5t applicable c]ta9es que/ions1 sont d'ailleurs galem5t assujetties des rgles ab/raites aussi inv>iables1 quoique plus compliques4 ,la con/ruction de cette ?orie gnrale ayant fait disp>atre ncessairem5t le pr9cipal intrt que les que/ions de ce g5re p\vai5t inspir] aux gomtres1 ils se sont levs presque aussitt la considration d'un n\vel ordre de problmes1 la fois beauc\p plus importans et d'une difficult bi5 suprieure1 ceux des isoprimtres4 ,ce ne sont plus alors les valeurs des v>iables propres au maximum ou au m9imum d'une fonction donne1 qu'il s'agit de dt]m9]4 ,c'e/ la =me de la fonction elle-mme qu'on se propose de dc\vrir1 d'aprs la condition du maximum ou du m9imum d'une c]ta9e intgrale df9ie1 seulem5t indique1 qui dp5d de cette fonction4 ,la plus anci5ne "q de cette nature e/ celle du solide de mo9dre rsi/ance1 traite p> ,newton1 dans le second livre des ,pr9cipes1 o il dt]m9e quelle doit tre la c\rbe mridi5ne d'un solide de rvolution1 p\r que la rsi/ance pr\ve p> ce corps dans le s5s de son axe1 en trav]sant avec une vitesse quelconque un fluide immobile1 soit la plus petite possible4 ,mais la m>*e suivie p> ,newton n'avait po9t un c>actre assez simple1 assez gnral et surt\t assez analytique1 p> la nature de sa m?ode spciale d'analyse transc5dante1 p\r qu'une telle solution pt suffire entran] les gomtres v]s ce n\vel ordre de problmes4 ,l'impulsion vraim5t dcisive cet g>d ne p\vait gure p>tir que de l'un des gomtres occups sur le cont95t labor] et appliqu] la m?ode inf9itsimale proprem5t dite4 ,c'e/ ce que fit1 en #afie1 ,jean ,b]n\illi1 en proposant le problme clbre de la bra*y/o*rone1 qui suggra depuis une si longue suite de que/ions analogues4 ,il consi/e dt]m9] la c\rbe qu'un corps pesant doit suivre p\r desc5dre d'un po9t un autre dans le temps le plus c\rt4 ,en se bornant la simple *ute dans le vide1 seul cas qu'on ait d'abord considr1 on tr\ve assez facilem5t que la c\rbe *]*e doit tre une cyclode r5v]se1 base horizontale1 ayant son orig9e au po9t le plus lev4 ,mais la "q peut tre s+ulirem5t complique1 soit en ayant g>d la rsi/ance du milieu1 soit en t5ant compte du *angem5t d'int5sit de la pesanteur4 ,quoique cette n\velle classe de problmes ait t primitivem5t f\rnie p> la mcanique1 c'e/ nanmo9s dans la gomtrie qu'on a puis plus t>d les sujets des pr9cipales re*]*es4 ,a9si1 on s'e/ propos de dc\vrir1 p>mi t\tes les c\rbes de mme cont\r traces entre deux po9ts donns1 quelle e/ celle dont l'aire e/ un maximum ou un m9imum1 d'o e/ v5u proprem5t le nom de problme des iprimtres2 ou bi5 on a dem& que le maximum et le m9imum euss5t lieu p\r la surface eng5dre p> la rvolution de la c\rbe *]*e aut\r d'un axe1 ou p\r le volume correspondant2 dans d'autres cas1 c'tait la hauteur v]ticale du c5tre de gravit de la c\rbe inconnue1 ou de la surface et du volume qu'elle p\vait eng5dr]1 qui devait dev5ir un maximum ou un m9imum1 etc4 ,enf91 ces problmes ont t successivem5t v>is et compliqus1 p\r a9si dire l'inf9i1 p> les ,b]n\illi1 p> ,taylor1 et surt\t p> ,eul]1 avant que ,lagrange en et assujetti la solution une m?ode ab/raite et entirem5t gnrale1 dont la dc\v]te a fait cess] l'empressem5t des gomtres p\r un tel ordre de re*]*es4 ,il ne s'agit po9t ici de trac]1 mme sommairem5t1 l'hi/oire de cette p>tie suprieure des ma?matiques1 quelque intressante qu'elle ft4 ,je n'ai fait l'numration de c]ta9es que/ions pr9cipales *oisies p>mi les plus simples1 qu'af9 de r5dre s5sible la de/9ation gnrale qu'avait ess5tiellem5t1 son orig9e1 la m?ode des v>iations4 ,on voit que1 considrs s\s le po9t de vue analytique1 t\s ces problmes consi/5t1 p> leur nature1 dt]m9] quelle =me doit avoir une c]ta9e fonction inconnue d'une ou de plusieurs v>iables1 p\r que telle ou telle intgrale dp5dante de cette fonction se tr\ve avoir1 entre des limites assignes1 une valeur qui soit un maximum ou un m9imum1 relativem5t t\tes celles qu'elle pr5drait si la fonction *]*e avait une autre =me quelconque4 ,a9si1 p> exemple1 dans le problme de la bra*y/o*rone1 on sait que si yf7z71 x_/v>phi7z7 sont les quations rectilignes de la c\rbe *]*e1 en supposant les axes des x et des y horizontaux1 et l'axe z des v]tical1 le temps de la *ute d'un corps pesant le long de cette c\rbe1 depuis le po9t dont l'ordonne e/ z#a jusqu' celui dont l'ordonne e/ z#b e/ gnralem5t exprim p> l'intgrale df9ie#ag4 _/_/intz#az#b _/sqrt_/frac#a7;f'7z77#b7_/v>phi'7z77#bb ;gzdz_/4 ,note #ag3 ,j'emploie la notation simple et lum9euse propose p> ,m4 ,f\ri]1 p\r dsign] les intgrales df9ies1 en m5tionnant di/9ctem5t leurs limites4 ,il faut donc tr\v] quelles doiv5t tre les deux fonctions inconnues f et _/v>phi p\r que cette intgrale soit un m9imum4 ,de mme1 dem&] quelle e/1 p>mi t\tes les c\rbes planes isoprimtres1 celle qui r5f]me la plus gr&e aire1 c'e/ propos] de tr\v]1 p>mi t\tes les fonctions f7x7 qui peuv5t donn] l'intgrale _/_/int dx_/sqrt#a7;f'7x77#b_/ une c]ta9e valeur con/ante1 celle qui r5d un maximum l'intgrale _/int f7x7dx1 prise entre les mmes limites4 ,il en e/ videmm5t t\j\rs a9si dans t\tes les autres que/ions de ce g5re4 ,dans les solutions que les gomtres donnai5t de ces problmes avant ,lagrange1 on se proposait ess5tiellem5t de les ram5] la ?orie ord9aire des maxima et m9ima4 ,mais les moy5s employs p\r effectu] cette trans=mation consi/ai5t en de simples artifices p>ticuli]s1 propres *aque cas1 et dont la dc\v]te ne comportait po9t de rgles inv>iables et c]ta9es1 en sorte que t\te "q vraim5t n\velle reproduisait con/amm5t des difficults analogues1 sans que les solutions dj obt5ues puss5t tre rellem5t d'aucun sec\rs ess5tiel1 autrem5t que p> les habitudes qu'elles avai5t fait contract] l'intellig5ce4 ,en un mot1 cette bran*e des ma?matiques prs5tait alors l'imp]fection ncessaire qui exi/e con/amm5t tant qu'on n'e/ po9t p>v5u saisir di/9ctem5t1 p\r la trait] d'une manire ab/raite et ds-lors gnrale1 la p>tie commune t\tes les que/ions d'une mme classe4 ,en *]*ant rduire t\s les div]s problmes des isoprimtres dp5dre d'une analyse commune1 organise ab/raitem5t en un calcul di/9ct1 ,lagrange a t conduit concevoir une n\velle nature de diffr5tiations1 auxquelles il a appliqu la c>actri/ique _/delta1 en rs]vant la c>actri/ique d p\r les simples diffr5tielles ord9aires4 ,ces diffr5tielles d'une espce n\velle1 qu'il a dsignes s\s le nom de v>iations1 consi/5t dans les accroissem5s inf9im5t petits que reoiv5t les intgrales1 non en v]tu d'accroissem5s analogues de la "p des v>iables correspondantes1 comme p\r l'analyse transc5dante ord9aire1 mais en supposant que la =me de la fonction place s\s le signe d'intgration vi5ne *ang] inf9im5t peu4 ,cette di/9ction se conoit1 p> exemple1 avec facilit1 relativem5t aux c\rbes1 o l'on voit l'ordonne ou t\te autre v>iable de la c\rbe1 comport] deux sortes de diffr5tielles videmm5t trs-diffr5tes1 suivant que l'on passe d'un po9t un autre inf9im5t vois9 sur la mme c\rbe1 ou bi5 au po9t correspondant de la c\rbe inf9im5t vois9e produite p> une c]ta9e modification dt]m9e de la premire#ah4 ,il e/ clair1 du re/e1 que1 p> leur nature1 les v>iations relatives de div]ses gr&eurs lies entre elles p> des lois quelconques1 se calcul5t1 la c>actri/ique prs1 exactem5t de la mme manire que les diffr5tielles4 ,enf91 on dduit galem5t de la notion gnrale des v>iations les pr9cipes fondam5taux de l'algori?me propre cette m?ode et qui consi/5t simplem5t dans la facult vid5te de p\voir transpos] volont les c>actri/iques spcialem5t affectes aux v>iations avant ou aprs celles qui correspond5t aux diffr5tielles ord9aires4 ,note #ah3 ,lebnitz avait dj considr la comp>aison d'une c\rbe une autre inf9im5t vois9e2 c'e/ ce qu'il appelait diffr5tiatio de curv 9 curvam4 ,mais cette comp>aison n'avait aucune analogie avec la conception de ,lagrange1 les c\rbes de ,lebnitz tant r5f]mes dans une mme quation gnrale1 d'o elles se dduis5t p> le simple *angem5t d'une con/ante arbitraire4 ,cette conception ab/raite une fois =me1 ,lagrange a pu rduire aism5t1 de la manire la plus gnrale1 t\s les problmes des isoprimtres la simple ?orie ord9aire des maxima et des m9ima4 ,p\r se faire une ide nette de cette gr&e et heureuse trans=mation1 il faut pralablem5t considr] une di/9ction ess5tielle laquelle donn5t lieu les div]ses que/ions des isoprimtres4 ,on doit1 en effet1 p>tag] ces re*]*es en deux classes gnrales1 selon que les maxima et m9ima dem&s sont absolus ou relatifs1 p\r employ] les expressions abrges des gomtres4 ,le premi] cas e/ celui o les intgrales df9ies indt]m9es dont on *]*e le maximum ou le m9imum1 ne sont assujetties1 p> la nature du problme1 aucune condition2 comme il arrive1 p> exemple1 dans le problme de la bra*y/o*rone1 o il s'agit de *oisir entre t\tes les c\rbes imag9ables4 ,le second cas a lieu1 qu&1 au contraire1 les intgrales v>iables ne peuv5t *ang] que suivant c]ta9es conditions1 consi/ant ord9airem5t en ce que d'autres intgrales df9ies1 dp5dant galem5t des fonctions *]*es1 cons]v5t con/amm5t une mme valeur donne2 comme1 p> exemple1 dans t\tes les que/ions gomtriques conc]nant les figures isoprimtres proprem5t dites1 et o1 p> la nature du problme1 l'intgrale relative la longueur de la c\rbe ou l'aire de la surface1 doit re/] con/ante p5dant le *angem5t de celle qui e/ l'objet de la re*]*e propose4 ,le calcul des v>iations donne immdiatem5t la solution gnrale des que/ions de la premire espce4 ,c>1 il suit videmm5t de la ?orie ord9aire des maxima et m9ima1 que la relation *]*e doit r5dre nulle la v>iation de l'intgrale propose p> rapport *aque v>iable indp5dante1 ce qui donne la condition commune au maximum et au m9imum2 et1 comme c>actre propre di/+u] l'un de l'autre1 que la v>iation du second ordre de la mme intgrale doit tre ngative p\r le maximum et positive p\r le m9imum4 ,a9si1 p> exemple1 dans le problme de la bra*y/o*rone1 on aura1 p\r dt]m9] la nature de la c\rbe *]*e1 l'quation de condition1 _/_/delta_/intz#az#b _/sqrt_/frac#a7;f'7z77#b7_/v>phi'7z77#bb ;gzdz#j_/ qui1 se dcomposant en deux1 p> rapport aux deux fonctions inconnues f et _/v>phi qui sont indp5dantes l'une de l'autre1 exprim]a compltem5t la df9ition analytique de la c\rbe dem&e4 ,la seule difficult propre cette n\velle analyse consi/e dans l'lim9ation de la c>actri/ique _/delta1 p\r laquelle le calcul des v>iations f\rnit des rgles inv>iables et compltes1 fondes1 en gnral1 sur le procd de l'intgration p> p>ties1 dont ,lagrange a su tir] a9si un p>ti imm5se4 ,le b con/ant de cette premire laboration analytique1 dans l'exposition de laquelle je ne dois nullem5t entr] ici1 e/ de faire p>v5ir aux quations diffr5tielles proprem5t dites1 ce qui se peut t\j\rs1 et p>-l la "q r5tre dans le doma9e de l'analyse transc5dante ord9aire1 qui a*ve la solution1 du mo9s en la ram5ant l'algbre pure1 si on sait effectu] l'intgration4 ,la de/9ation gnrale1 propre la m?ode des v>iations1 e/ d'opr] cette trans=mation1 p\r laquelle ,lagrange a tabli des rgles simples1 inv>iables1 et d'un succs t\j\rs assur4 ,je ne dois pas nglig]1 dans cette rapide indication gnrale1 de faire rem>qu]1 comme un des plus gr&s avantages spciaux de la m?ode des v>iations comp>e aux solutions isoles qu'on avait aup>avant des problmes des isoprimtres1 l'importante considration de ce que ,lagrange appelle les quations aux limites1 entirem5t ngliges avant lui1 et sans lesquelles nanmo9s la plup>t des solutions p>ticulires re/ai5t ncessairem5t incompltes4 ,qu& les limites des intgrales proposes doiv5t tre fixes1 leurs v>iations tant nulles1 il n'y a pas lieu d'en t5ir compte4 ,mais il n'en e/ plus a9si qu& ces limites1 au lieu d'tre rig\reusem5t inv>iables1 sont assujetties seulem5t c]ta9es conditions2 comme1 p> exemple1 si les deux po9ts entre lesquels doit tre trace la c\rbe *]*e ne sont pas fixes1 et doiv5t seulem5t re/] sur des lignes ou des surfaces donnes4 ,alors1 il faut avoir g>d aux v>iations de leurs coordonnes1 et tablir entr'elles les relations correspondantes aux quations de ces lignes ou de ces surfaces4 ,cette considration ess5tielle n'e/ que le d]ni] complm5t d'une considration plus gnrale et plus importante relative aux v>iations des div]ses v>iables indp5dantes4 ,si ces v>iables sont rellem5t indp5dantes les unes des autres1 comme lorsqu'on comp>e t\tes les c\rbes imag9ables susceptibles d'tre traces entre deux po9ts1 il en s]a de mme de leurs v>iations1 et p> suite les t]mes relatifs *acune de ces v>iations devront tre sp>m5t nuls dans l'quation gnrale qui exprime le maximum ou le m9imum4 ,mais si1 au contraire1 on suppose les v>iables assujetties de c]ta9es conditions quelconques1 il faudra t5ir compte de la relation qui en rsulte entre leurs v>iations1 de telle sorte que le nombre des quations dans lesquelles se dcompose alors cette quation gnrale soit t\j\rs gal celui seulem5t des v>iables qui re/5t vraim5t indp5dantes4 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 qu'au lieu de *]*] le plus c\rt *em9 p\r all] d'un po9t un autre1 en *oisissant p>mi t\s les *em9s possibles1 on peut se propos] de tr\v] seulem5t quel e/ le plus c\rt entre t\s ceux qu'on peut suivre sur une surface quelconque donne1 "q dont la solution gnrale con/itue c]ta9em5t une des plus belles applications de la m?ode des v>iations4 ,les problmes o l'on considre de telles conditions modificatrices se rappro*5t beauc\p1 p> leur nature1 de la seconde classe gnrale d'applications de la m?ode des v>iations1 c>actrise ci-dessus comme consi/ant dans la re*]*e des maxima et m9ima relatifs4 ,il y a nanmo9s1 entre les deux cas1 cette diffr5ce ess5tielle1 que1 dans ce d]ni]1 la modification e/ exprime p> une intgrale qui dp5d de la fonction *]*e1 t&is que1 dans l'autre1 elle se tr\ve dsigne p> une quation f9ie qui e/ immdiatem5t donne4 ,on conoit p> l1 que la re*]*e des maxima et m9ima relatifs e/ t\j\rs et ncessairem5t plus complique que celle des maxima et m9ima absolus4 ,heureusem5t1 un ?orme gnral =t important1 tr\v avant l'inv5tion du calcul des v>iations1 et qui e/ une des plus belles dc\v]tes dues au gnie du gr& ,eul]1 donne un moy5 uni=me et trs-simple de faire r5tr] ces deux classes de que/ions l'une dans l'autre4 ,il consi/e1 en ce que si l'on aj\te l'intgrale qui doit tre un maximum ou un m9imum un multiple con/ant et indt]m9 de celle qui doit re/] con/ante p> la nature du problme1 il suffira de *]*]1 suivant le procd gnral de ,lagrange1 ci-dessus indiqu1 le maximum ou le m9imum absolu de cette expression totale4 ,on peut aism5t concevoir1 en effet1 que la p>tie de la v>iation complte qui provi5drait de la d]nire intgrale doit aussi bi5 tre nulle1 cause de la con/ance de celle-ci1 que la portion due la premire intgrale1 qui s'anantit en v]tu de l'tat maximum ou m9imum4 ,ces deux conditions di/9ctes1 s'accord5t videmm5t p\r produire1 s\s ce rapport1 des effets exactem5t semblables4 ,telle e/1 p> ap]u1 la manire gnrale dont la m?ode des v>iations s'applique t\tes les div]ses que/ions qui compos5t ce qu'on appelait la ?orie des isoprimtres4 ,on aura sans d\te rem>qu dans cette exposition sommaire1 quel degr s'e/ tr\ve utilise p> cette n\velle analyse la seconde proprit fondam5tale de l'analyse transc5dante1 apprcie dans la sixime leon1 savoir3 la gnralit des expressions inf9itsimales p\r reprs5t] un mme phnomne gomtrique ou mcanique1 en quelque corps qu'il soit considr4 ,c'e/1 en effet1 sur cette gnralit que sont fondes1 p> leur nature1 t\tes les solutions dues la m?ode des v>iations4 ,si une =mule unique ne p\vait po9t exprim] la longueur ou l'aire de t\te c\rbe quelconque1 si on n'avait po9t une autre =mule fixe p\r dsign] le temps de la *ute d'un corps pesant1 suivant quelque ligne qu'il desc5de1 etc41 comm5t et-il t possible de rs\dre des que/ions qui exig5t 9vitablem5t1 p> leur nature1 la considration simultane de t\s les cas que peuv5t dt]m9] dans *aque phnomne les div]s sujets qui le manife/5t8 ,quelle que soit l'extrme importance de la ?orie des isoprimtres1 et quoique la m?ode des v>iations n'ait eu primitivem5t d'autre objet que la rsolution rationnelle et gnrale de cet ordre de problmes1 on n'aurait cep5dant qu'une ide incomplte de cette belle analyse1 si on bornait l sa de/9ation4 ,en effet1 la conception ab/raite de deux natures di/9ctes de diffr5tiations1 e/ videmm5t applicable non-seulem5t aux cas p\r lesquels elle a t cre1 mais aussi t\s ceux qui prs5t5t1 p> quelque cause que ce soit1 deux manires diffr5tes de faire v>i] les mmes gr&eurs4 ,c'e/ a9si que ,lagrange lui-mme a fait1 dans sa mcanique analytique1 une imm5se application capitale de son calcul des v>iations1 en l'employant di/+u] les deux sortes de *angem5s que prs5t5t si naturellem5t les que/ions de mcanique rationnelle p\r les div]s po9ts que l'on considre1 suivant que l'on comp>e les positions successives qu'occupe1 en v]tu du m\vem5t1 un mme po9t de *aque corps dans deux in/ans conscutifs1 ou que l'on passe d'un po9t du corps un autre dans le mme in/ant4 ,l'une de ces comp>aisons produit les diffr5tielles ord9aires2 l'autre donne lieu aux v>iations1 qui ne sont1 l comme p>t\t1 que des diffr5tielles prises s\s un n\veau po9t de vue4 ,c'e/ dans une telle acception gnrale qu'il faut concevoir le calcul des v>iations1 p\r apprci] conv5ablem5t l'importance de cet admirable in/rum5t logique1 le plus puissant que l'esprit huma9 ait con/ruit jusqu'ici4 ,la m?ode des v>iations n'tant qu'une imm5se ext5sion de l'analyse transc5dante gnrale1 je n'ai pas beso9 de con/at] spcialem5t qu'elle e/ susceptible d'tre envisage s\s les div]s po9ts de vue fondam5taux que comporte le calcul des fonctions indirectes1 considr dans son ensemble4 ,lagrange a inv5t le calcul des v>iations d'aprs la conception inf9itsimale proprem5t dite1 et mme bi5 avant d'avoir entrepris la recon/ruction gnrale de l'analyse transc5dante4 ,qu& il eut excut cette importante r=mation1 il montra aism5t comm5t elle p\vait aussi s'appliqu] au calcul des v>iations1 qu'il exposa avec t\t le dveloppem5t conv5able1 suivant sa ?orie des fonctions drives4 ,mais1 plus l'emploi de la m?ode des v>iations e/ difficile p\r l'intellig5ce cause du degr d'ab/raction suprieur des ides considres1 plus il importe de mnag] dans son application les =ces de notre esprit1 en adoptant la conception analytique la plus directe et la plus rapide1 c'e/--dire1 celle de ,lebnitz4 ,aussi ,lagrange lui-mme l'a-t-il con/amm5t prfre dans l'important usage qu'il a fait du calcul des v>iations p\r la mcanique analytique4 ,il n'exi/e pas1 en effet1 la mo9dre hsitation cet g>d p>mi les gomtres4 ,af9 d'claircir aussi compltem5t que possible le c>actre philosophique du calcul des v>iations1 je crois devoir t]m9] en indiquant sommairem5t ici une considration qui me semble importante1 et p> laquelle je puis le rappro*] de l'analyse transc5dante ord9aire un plus haut degr que ,lagrange ne me p>at l'avoir fait#ai4 ,note #ai3 ,je me propose de dvelopp] plus t>d cette considration n\velle1 dans un travail spcial sur le calcul des v>iations1 qui a p\r objet de prs5t] l'ensemble de cette analyse hyp]-transc5dante s\s un n\veau po9t de vue1 que je crois propre en t5dre la porte gnrale4 ,n\s avons rem>qu1 d'aprs ,lagrange1 dans la leon prcd5te1 la =mation du calcul aux diffr5ces p>tielles1 cr p> d',alemb]t1 comme ayant introduit1 dans l'analyse transc5dante1 une n\velle ide lm5taire1 la notion de deux sortes d'accroissem5s di/9cts et indp5dans les uns des autres que peut recevoir une fonction de deux v>iables1 en v]tu du *angem5t de *aque v>iable sp>m5t4 ,c'e/ a9si que l'ordonne v]ticale d'une surface1 ou t\te autre gr&eur qui s'y rapporte1 v>ie de deux manires t\t--fait di/9ctes et qui peuv5t suivre les lois les plus div]ses1 en faisant crotre tantt l'une tantt l'autre des deux coordonnes horizontales4 ,or1 une telle considration me semble trs-rappro*e1 p> sa nature1 de celle qui s]t de base gnrale la m?ode des v>iations4 ,celle-ci1 en effet1 n'a rellem5t fait autre *ose que transport] aux v>iables indp5dantes elles-mmes la manire de voir dj adopte p\r les fonctions de ces v>iables1 ce qui en a s+ulirem5t agr&i l'usage4 ,je crois1 d'aprs cela1 que1 s\s le seul rapport des conceptions fondam5tales1 on peut envisag] le calcul cr p> d',alemb]t1 comme ayant tabli une transition naturelle et ncessaire entre le calcul inf9itsimal ord9aire et le calcul des v>iations1 dont une telle filiation me p>at devoir claircir et simplifi] la notion gnrale4 ,d'aprs les div]ses considrations indiques dans cette leon1 la m?ode des v>iations se prs5te comme le plus haut degr de p]fection connu jusqu'ici de l'analyse des fonctions indirectes4 ,dans son tat primitif1 cette d]nire analyse s'e/ prs5te comme un puissant moy5 gnral de facilit] l'tude ma?matique des phnomnes naturels1 en introduisant1 p\r l'expression de leurs lois1 la considration de gr&eurs auxiliaires *oisies de telle manire1 que leurs relations soi5t ncessairem5t plus simples et plus aises obt5ir que celles des gr&eurs directes4 ,mais la =mation de ces quations diffr5tielles n'tait po9t conue comme p\vant comport] aucunes rgles gnrales et ab/raites4 ,or1 l'analyse des v>iations1 considre s\s le po9t de vue le plus philosophique1 peut tre envisage comme ess5tiellem5t de/9e1 p> sa nature1 faire r5tr]1 autant que possible1 dans le doma9e du calcul1 l'tablissem5t mme des quations diffr5tielles1 c> tel e/1 p\r un gr& nombre de que/ions importantes et difficiles1 l'effet gnral des quations v>ies qui1 encore plus indirectes que les simples quations diffr5tielles p> rapport aux objets propres de la re*]*e1 sont aussi bi5 plus aises =m]1 et desquelles on peut ensuite1 p> des procds analytiques inv>iables et complets1 de/9s lim9] le n\vel ordre d'inf9itsimales auxiliaires introduit1 dduire ces quations diffr5tielles ord9aires1 qu'il et t s\v5t impossible d'tablir immdiatem5t4 ,la m?ode des v>iations con/itue donc la p>tie la plus sublime de ce va/e sy/me de l'analyse ma?matique qui1 p>tant des plus simples lm5s de l'algbre1 organise1 p> une succession d'ides non-int]rompue1 des moy5s gnraux de plus en plus puissans p\r l'tude appr(ondie de la philosophie naturelle1 et qui1 dans son ensemble1 prs5te1 sans aucune comp>aison1 le monum5t le plus imposant et le mo9s quivoque de la porte de l'esprit huma94 ,mais1 il faut reconnatre aussi que les conceptions habituellem5t considres dans la m?ode des v>iations tant1 p> leur nature1 plus indirectes1 plus gnrales1 et surt\t beauc\p plus ab/raites que t\tes les autres1 l'emploi d'une telle m?ode exige ncessairem5t1 et d'une manire s\t5ue1 le plus haut degr connu de cont5tion intellectuelle1 p\r ne jamais p]dre de vue l'objet prcis de la re*]*e en suivant des raisonnem5s qui (fr5t l'esprit des po9ts d'appui aussi peu dt]m9s1 et dans lesquels les signes ne sont presque jamais d'aucun sec\rs4 ,on doit1 sans d\te1 attribu] en gr&e p>tie cette difficult ncessaire le peu d'usage rel que les gomtres1 except ,lagrange1 ont fait jusqu'ici d'une conception aussi admirable4 ,,neuvi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations gnrales sur le calcul aux diffr5ces f9ies4 ,les div]ses considrations fondam5tales indiques dans les c9q leons prcd5tes con/itu5t rellem5t t\tes les bases ess5tielles d'une exposition complte de l'analyse ma?matique1 envisage s\s le po9t de vue philosophique4 ,nanmo9s1 p\r ne nglig] aucune conception gnrale vraim5t importante relative cette analyse1 je crois devoir1 avant de pass] l'tude philosophique de la ma?matique concrte1 expliqu] trs-sommairem5t le vritable c>actre propre un g5re de calcul =t t5du1 et qui1 bi5 que r5trant au fond dans l'analyse ord9aire1 e/ cep5dant encore reg>d comme tant d'une nature ess5tiellem5t di/9cte4 ,il s'agit de ce qu'on appelle le calcul aux diffr5ces f9ies1 qui s]a le sujet spcial de cette leon4 ,ce calcul1 cr p> ,taylor1 dans son clbre ouvrage intitul m?odes incrum5torum1 consi/e ess5tiellem5t1 comme on sait1 dans la considration des accroissem5s f9is que reoiv5t les fonctions p> suite d'accroissem5s analogues de la "p des v>iables correspondantes4 ,ces accroissem5s ou diffr5ces1 auxquels on applique la c>actri/ique _/,delta1 p\r les di/+u] des diff]5tielles ou accroissem5s inf9im5t petits1 peuv5t tre1 leur t\r1 envisags comme de n\velles fonctions1 et dev5ir le sujet d'une seconde considration semblable1 et a9si de suite1 d'o rsulte la notion des diffr5ces des div]s ordres successifs1 analogues1 au mo9s en app>5ce1 aux ordres conscutifs des diffr5tielles4 ,un tel calcul prs5te1 videmm5t1 comme le calcul des fonctions indirectes1 deux classes gnrales de que/ions3 #a dt]m9] les diffr5ces successives de t\tes les div]ses fonctions analytiques une ou plusieurs v>iables1 en rsultat d'un mode d'accroissem5t df9i des v>iables indp5dantes1 que l'on suppose1 en gnral1 augm5t] en progression ari?mtique2 #b rciproquem5t1 en p>tant de ces diffr5ces1 ou1 plus gnralem5t1 d'quations quelconques tablies entre elles1 remont] aux fonctions primitives elles-mmes1 ou leurs relations correspondantes4 ,d'o la dcomposition de ce calcul total en deux calculs di/9cts1 auxquels on donne ord9airem5t les noms de calcul direct aux diffr5ces f9ies1 et de calcul inv]se aux diffr5ces f9ies1 ce d]ni] tant aussi appel quelquefois calcul intgral aux diffr5ces f9ies4 ,*acun de ces deux calculs s]ait d'ailleurs videmm5t susceptible d'une di/ribution rationnelle semblable celle expose dans la septime leon p\r le calcul diffr5tiel et le calcul intgral1 ce qui me disp5se d'en faire une m5tion di/9cte4 ,il n'e/ pas d\teux que1 p> une telle conception1 ,taylor a cru fond] un calcul d'une nature entirem5t n\velle1 absolum5t di/9ct de l'analyse ord9aire1 et plus gnral que le calcul de ,lebnitz1 quoique consi/ant dans une considration analogue4 ,c'e/ aussi de cette manire que presque t\s les gomtres ont jug l'analyse de ,taylor4 ,mais ,lagrange1 avec sa pr(ondeur habituelle1 a clairem5t ap]u que ces proprits app>t5ai5t bi5 plus aux =mes et aux notations employes p> ,taylor qu'au fond mme de sa ?orie4 ,en effet1 ce qui fait le c>actre propre de l'analyse de ,lebnitz1 et la con/itue en un calcul vraim5t di/9ct et suprieur1 c'e/ que les fonctions drives sont1 en gnral1 d'une t\te autre nature que les fonctions primitives1 en sorte qu'elles peuv5t donn] lieu des relations plus simples et d'une =mation plus facile1 d'o rsult5t les admirables proprits fondam5tales de l'analyse transc5dante1 expliques dans les leons prcd5tes4 ,mais il n'en e/ nullem5t a9si p\r les diffr5ces considres p> ,taylor4 ,c> ces diffr5ces sont1 p> leur nature1 des fonctions ess5tiellem5t semblables celles qui les ont eng5dres1 ce qui les r5d impropres facilit] l'tablissem5t des quations1 et ne leur p]met pas davantage de conduire des relations plus gnrales4 ,t\te quation aux diffr5ces f9ies e/ vraim5t1 au fond1 une quation directem5t relative aux gr&eurs mmes dont on comp>e les tats successifs4 ,l'*afaudage de n\veaux signes1 qui fait illusion sur le vritable c>actre de ces quations1 ne le dguise cep5dant que d'une manire =t imp>faite1 puisqu'on p\rrait t\j\rs le mettre aism5t en vid5ce en remplaant con/amm5t les diffr5ces p> les comb9aisons quival5tes des gr&eurs primitives1 dont elles ne sont rellem5t autre *ose que les dsignations abrges4 ,aussi1 le calcul de ,taylor n'a-t-il jamais (f]t et ne peut-il (frir1 dans aucune "q de gomtrie ou de mcanique1 ce puissant sec\rs gnral que n\s avons vu rsult] ncessairem5t de l'analyse de ,lebnitz4 ,lagrange a1 d'ailleurs1 trs-nettem5t tabli que la prt5due analogie obs]ve entre le calcul aux diffr5ces et le calcul inf9itsimal tait radicalem5t vicieuse1 en ce s5s que les =mules propres au premi] calcul ne peuv5t nullem5t f\rnir1 comme cas p>ticuli]s1 celles qui convi5n5t au second1 dont la nature e/ ess5tiellem5t di/9cte4 ,d'aprs l'ensemble de considrations que je vi5s d'indiqu]1 je crois que le calcul aux diffr5ces f9ies e/ ord9airem5t class tort dans l'analyse transc5dante proprem5t dite1 c'e/--dire dans le calcul des fonctions indirectes4 ,je le conois1 au contraire1 en adoptant ple9em5t les importantes rflexions de ,lagrange1 qui ne sont pas encore suffisamm5t apprcies1 comme tant seulem5t une bran*e trs-t5due et =t importante de l'analyse ord9aire1 c'e/--dire1 de ce que j'ai nomm le calcul des fonctions directes4 ,tel e/1 en effet1 ce me semble1 son vrai c>actre philosophique1 que les quations qu'il considre sont t\j\rs1 malgr la notation1 de simples quations directes4 ,en prcisant1 autant que possible1 l'explication prcd5te1 on doit envisag] le calcul de ,taylor comme ayant con/amm5t p\r vritable objet la ?orie gnrale des suites1 dont1 avant cet illu/re gomtre1 on n'avait encore considr que les cas les plus simples4 ,j'aurais d1 rig\reusem5t1 m5tionn] cette importante ?orie en traitant1 dans la c9quime leon1 de l'algbre proprem5t dite1 dont elle e/ une bran*e si t5due4 ,mais1 af9 d'vit] t\t d\ble emploi1 j'ai prfr ne la signal] qu'en considrant le calcul aux diffr5ces f9ies1 qui1 rduit sa plus simple expression gnrale1 n'e/ autre *ose1 dans t\te son t5due1 qu'une tude rationnelle complte des que/ions relatives aux suites4 ,t\te suite1 ou succession de nombres dduits les uns des autres d'aprs une loi con/ante quelconque1 donne lieu ncessairem5t ces deux que/ions fondam5tales3 #a la loi de la suite tant suppose connue1 tr\v] l'expression de son t]me gnral1 de manire p\voir calcul] immdiatem5t un t]me d'un rang quelconque1 sans tre oblig de =m] successivem5t t\s les prcd5s2 #b dans les mmes circon/ances1 dt]m9] la somme d'un nombre quelconque de t]mes de la suite en fonction de leurs rangs1 en sorte qu'on puisse la connatre sans tre =c d'aj\t] cont9uellem5t ces t]mes les uns aux autres4 ,ces deux que/ions fondam5tales tant supposes rsolues1 on peut en outre se propos] rciproquem5t de tr\v] la loi d'une srie d'aprs la =me de son t]me gnral1 ou l'expression de la somme4 ,*acun de ses div]s problmes comporte d'autant plus d't5due et de difficult1 que l'on peut concevoir un plus gr& nombre de lois diffr5tes p\r les sries1 suivant le nombre de t]mes prcd5s dont *aque t]me dp5d immdiatem5t1 et suivant la fonction qui exprime cette dp5dance4 ,on peut mme considr] des sries plusieurs indices v>iables1 comme l'a fait ,laplace dans la ?orie analytique des probabilits1 p> l'analyse laquelle il a donn le nom de ?orie des fonctions gnratrices1 bi5 qu'elle ne soit rellem5t qu'une bran*e n\velle et suprieure du calcul aux diffr5ces f9ies1 ou de la ?orie gnrale des suites4 ,les div]s ap]u gnraux que je vi5s d'indiqu] ne donn5t mme qu'une ide imp>faite de l't5due et de la v>it vraim5t inf9ie des que/ions auxquelles les gomtres se sont levs d'aprs cette seule considration des sries1 si simple en app>5ce1 et si borne son orig9e4 ,elle prs5te ncessairem5t autant de cas div]s que la rsolution algbrique des quations envisage dans t\te son t5due2 et elle e/1 p> sa nature1 beauc\p plus complique1 tellem5t mme qu'elle en dp5d t\j\rs1 p\r conduire une solution complte4 ,c'e/ assez faire press5tir quelle doit tre encore son extrme imp]fection1 malgr les travaux successifs de plusieurs gomtres du premi] ordre4 ,n\s ne possdons1 en effet1 jusqu'ici que la solution totale et rationnelle des plus simples que/ions de cette nature4 ,il e/ ma9t5ant ais de concevoir l'id5tit ncessaire et p>faite que j'ai annonce ci-dessus1 d'aprs les indications de ,lagrange1 entre le calcul aux diffr5ces f9ies1 et la ?orie des suites prise dans son ensemble4 ,en effet1 t\te diffr5tiation la manire de ,taylor revi5t videmm5t tr\v] la loi de =mation d'une suite un ou plusieurs indices v>iables1 d'aprs l'expression de son t]me gnral2 de mme1 t\te intgration analogue peut tre reg>de comme ayant p\r objet la sommation d'une suite1 dont le t]me gnral s]ait exprim p> la diffr5ce propose4 ,s\s ce rapport1 les div]s problmes de calcul aux diffr5ces1 direct ou inv]se1 rsolus p> ,taylor et p> ses successeurs1 ont rellem5t une trs-gr&e valeur1 comme traitant des que/ions importantes relativem5t aux suites4 ,mais il e/ =t d\teux que la =me et la notation introduites p> ,taylor apport5t rellem5t aucune facilit ess5tielle dans la solution des que/ions de ce g5re4 ,il s]ait peut-tre plus avantageux p\r la plup>t des cas1 et c]ta9em5t plus rationnel1 de remplac] les diffr5ces p> les t]mes mmes dont elles dsign5t c]ta9es comb9aisons4 ,le calcul de ,taylor ne reposant pas sur une p5se fondam5tale vraim5t di/9cte1 et n'ayant de propre que son sy/me de signes1 il ne saurait y avoir rellem5t1 dans la supposition mme la plus favorable1 aucun avantage important le concevoir comme dta* de l'analyse ord9aire1 dont il n'e/1 vrai dire1 qu'une bran*e imm5se4 ,cette considration des diffr5ces1 le plus s\v5t inutile qu& elle ne complique pas1 me semble cons]v] encore le c>actre d'une poque o les ides analytiques n'tant pas assez familires aux gomtres1 ils devai5t naturellem5t prfr] les =mes spciales propres aux simples comp>aisons numriques4 ,quoi qu'il en soit1 je ne dois pas t]m9] cette apprciation gnrale du calcul aux diffr5ces f9ies1 sans signal] une n\velle notion laquelle il a donn naissance1 et qui a pris ensuite une gr&e importance4 ,c'e/ la considration de ces fonctions priodiques ou discont9ues1 cons]vant t\j\rs la mme valeur p\r une suite inf9ie de valeurs assujties une c]ta9e loi dans les v>iables correspondantes1 et qui doiv5t tre ncessairem5t aj\tes aux intgrales des quations aux diffr5ces f9ies p\r les r5dre suffisamm5t gnrales1 comme on aj\te de simples con/antes arbitraires t\tes les quadratures af9 d'en complt] la gnralit4 ,cette ide1 primitivem5t introduite p> ,eul]1 e/ dev5ue1 dans ces d]ni]s temps1 le sujet de travaux =t t5dus de la "p de ,m4 ,f\ri]1 qui l'a transporte dans le sy/me gnral de l'analyse1 et qui en a fait un usage tellem5t neuf et si ess5tiel p\r la ?orie ma?matique de la *aleur que cette conception1 dans son tat actuel1 lui app>ti5t vraim5t d'une manire exclusive4 ,af9 de signal] compltem5t le c>actre philosophique du calcul aux diffr5ces f9ies1 je ne dois pas nglig] de m5tionn] ici rapidem5t les pr9cipales applications gnrales qu'on en a faites jusqu' prs5t4 ,il faudrait plac] au premi] rang1 comme la plus t5due et la plus importante1 la solution des que/ions relatives aux suites1 si1 d'aprs les explications donnes ci-dessus1 la ?orie gnrale des suites ne devait pas tre considre comme con/ituant1 p> sa nature1 le fond mme du calcul de ,taylor4 ,cette gr&e classe de problmes tant donc c>te1 la plus ess5tielle des vritables applications de l'analyse de ,taylor1 e/ sans d\te1 jusqu'ici1 la m?ode gnrale des int]polations1 si frquemm5t et si utilem5t employe dans la re*]*e des lois empiriques des phnomnes naturels4 ,la "q consi/e1 comme on sait1 int]cal]1 entre c]ta9s nombres donns1 d'autres nombres int]mdiaires assujtis la mme loi que l'on suppose exi/] entre les premi]s4 ,on peut ple9em5t vrifi]1 dans cette application pr9cipale du calcul de ,taylor1 combi51 a9si que je l'ai expliqu plus haut1 la considration des diffr5ces e/ vraim5t trangre et s\v5t gnante1 relativem5t aux que/ions qui dp5d5t de cette analyse4 ,en effet1 ,lagrange a remplac les =mules d'int]polation dduites de l'algori?me ord9aire du calcul aux diffr5ces f9ies p> des =mules gnrales beauc\p plus simples1 qui sont auj\rd'hui presque t\j\rs prfres1 et qui ont t tr\ves directem5t1 sans faire j\] aucun rle la notion sup]flue des diffr5ces1 qui ne faisai5t que compliqu] la "q4 ,une d]nire classe importante d'applications du calcul aux diffr5ces f9ies1 qui mrite d'tre di/+ue de la prcd5te1 consi/e dans l'usage m9emm5t utile qu'on en fait1 en gomtrie1 p\r dt]m9] p> approximation la longueur et l'aire de quelque c\rbe que ce soit1 et1 de mme1 la quadrature et la cubature d'un corps ayant une =me quelconque4 ,ce procd1 qui peut d'ailleurs tre conu ab/raitem5t comme dp5dant de la mme re*]*e analytique que la "q des int]polations1 prs5te s\v5t un supplm5t prcieux aux m?odes gomtriques entirem5t rationnelles1 qui conduis5t frquemm5t des intgrations qu'on ne sait po9t encore effectu]1 ou des calculs d'une excution trs-complique4 ,telles sont les div]ses considrations pr9cipales que j'ai cru devoir indiqu] relativem5t au calcul des diffr5ces f9ies4 ,cet exam5 complte l'tude philosophique que je m'tais propos d'esquiss] p\r la ma?matique ab/raite4 ,n\s devons ma9t5ant procd] un travail semblable sur la ma?matique concrte1 o n\s n\s atta*]ons surt\t concevoir comm5t1 en supposant p>faite la sci5ce gnrale du calcul1 on a pu1 p> des procds inv>iables1 rduire de pures que/ions d'analyse t\s les problmes que peuv5t prs5t] la gomtrie et la mcanique1 et imprim] a9si ces deux bases fondam5tales de la philosophie naturelle1 un degr de prcision et surt\t d'unit1 en un mot1 un c>actre de haute p]fection1 qu'une telle m>*e p\vait seule leur communiqu]4 ,,dixi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,vue gnrale de la gomtrie4 ,d'aprs l'explication gnrale prs5te dans la troisime leon relativem5t au c>actre philosophique de la ma?matique concrte1 comp> celui de la ma?matique ab/raite1 je n'ai pas beso9 d'tablir ici1 d'une manire spciale1 que la gomtrie doit tre considre comme une vritable sci5ce naturelle1 seulem5t bi5 plus simple et p> suite beauc\p plus p>faite qu'aucune autre4 ,cette p]fection ncessaire de la gomtrie1 obt5ue ess5tiellem5t p> l'application1 qu'elle comporte si m9emm5t1 de l'analyse ma?matique1 fait ord9airem5t illusion sur la nature relle de cette sci5ce fondam5tale1 que la plup>t des esprits conoiv5t auj\rd'hui comme une sci5ce purem5t rationnelle1 t\t--fait indp5dante de l'obs]vation4 ,il e/ nanmo9s vid5t1 p\r quiconque exam9e avec att5tion le c>actre des raisonnem5s gomtriques1 mme dans l'tat actuel de la gomtrie ab/raite1 que1 si les faits qu'on y considre sont beauc\p plus lis entr'eux que ceux relatifs t\te autre sci5ce1 il exi/e t\j\rs cep5dant1 p> rapport *aque corps tudi p> les gomtres1 un c]ta9 nombre de phnomnes primitifs1 qui1 n'tant tablis p> aucun raisonnem5t1 ne peuv5t tre fonds que sur l'obs]vation1 et con/itu5t la base ncessaire de t\tes les dductions4 ,l'erreur commune cet g>d doit tre reg>de comme un re/e d'influ5ce de l'esprit mtaphysique1 qui a si long-temps dom91 mme dans les tudes gomtriques4 ,indp5damm5t de sa gravit logique1 cette fausse manire de voir prs5te cont9uellem5t1 dans les applications de la gomtrie rationnelle1 les plus gr&s inconvni5s1 en ce qu'elle emp*e de concevoir nettem5t le passage du concret l'ab/rait4 ,la supriorit sci5tifique de la gomtrie ti5t1 en gnral1 ce que les phnomnes qu'elle considre sont1 ncessairem5t1 les plus univ]sels et les plus simples de t\s4 ,non-seulem5t t\s les corps de la nature peuv5t videmm5t donn] lieu des re*]*es gomtriques1 aussi bi5 qu' des re*]*es mcaniques1 mais1 de plus1 les phnomnes gomtriques subsi/]ai5t encore1 qu& mme t\tes les p>ties de l'univ]s s]ai5t supposes immobiles4 ,la gomtrie e/ donc1 p> sa nature1 plus gnrale que la mcanique4 ,en mme temps1 ses phnomnes sont plus simples2 c> ils sont videmm5t indp5dans des phnomnes mcaniques1 t&is que ceux-ci se compliqu5t t\j\rs ncessairem5t des premi]s4 ,il en e/ de mme1 en comp>ant la gomtrie la !rmologie ab/raite1 qu'on peut concevoir auj\rd'hui1 depuis les travaux de ,m4 ,f\ri]1 a9si que je l'ai indiqu dans la troisime leon1 comme une n\velle bran*e gnrale de la ma?matique concrte4 ,en effet1 les phnomnes !rmologiques1 considrs mme indp5damm5t des effets dynamiques qui les accompagn5t presque con/amm5t1 surt\t dans les corps fluides1 dp5d5t ncessairem5t des phnomnes gomtriques1 puisque la =me des corps influe s+ulirem5t sur la rp>tition de la *aleur4 ,c'e/ p\r ces div]ses raisons que n\s avons d class] prcdemm5t la gomtrie comme la premire p>tie de la ma?matique concrte1 celle dont l'tude1 outre son importance propre1 s]t de base indisp5sable t\tes les autres4 ,avant de considr] directem5t l'tude philosophique des div]s ordres de re*]*es qui con/itu5t la gomtrie actuelle1 il faut se faire une ide nette et exacte de la de/9ation gnrale de cette sci5ce1 envisage dans son ensemble4 ,tel e/ l'objet de cette leon4 ,on df9it communm5t la gomtrie d'une manire trs-vague et t\t--fait vicieuse1 en se bornant la prs5t] comme la sci5ce de l't5due4 ,il convi5drait d'abord d'amlior] cette df9ition1 en disant1 avec plus de prcision1 que la gomtrie a p\r objet la mesure de l't5due4 ,mais une telle explication s]ait1 p> elle-mme1 =t insuffisante1 bi5 que1 au fond1 elle soit exacte4 ,un ap]u aussi imp>fait ne peut nullem5t faire connatre le vritable c>actre gnral de la sci5ce gomtrique4 ,p\r y p>v5ir1 je crois devoir claircir pralablem5t deux notions fondam5tales1 qui1 trs-simples en elles-mmes1 ont t s+ulirem5t obscurcies p> l'emploi des considrations mtaphysiques4 ,la premire e/ celle de l'espace1 qui a donn lieu tant de raisonnem5s sophi/iques1 des discussions si creuses et si puriles de la "p des mtaphysici5s4 ,rduite son acception positive1 cette conception consi/e simplem5t en ce que1 au lieu de considr] l't5due dans les corps eux-mmes1 n\s l'envisageons dans un milieu indf9i1 que n\s reg>dons comme cont5ant t\s les corps de l'univ]s4 ,cette notion n\s e/ naturellem5t suggre p> l'obs]vation1 qu& n\s p5sons l'empre9te que laiss]ait un corps dans un fluide o il aurait t plac4 ,il e/ clair1 en effet1 que1 s\s le rapport gomtrique1 une telle empre9te peut tre sub/itue au corps lui-mme1 sans que les raisonnem5s en soi5t altrs4 ,quant la nature physique de cet espace indf9i1 n\s devons spontanm5t n\s le reprs5t]1 p\r plus de facilit1 comme analogue au milieu effectif dans lequel n\s vivons1 tellem5t que si ce milieu tait liquide1 au lieu d'tre gazeux1 notre espace gomtrique s]ait sans d\te conu aussi comme liquide4 ,cette circon/ance n'e/ d'ailleurs videmm5t que trs-secondaire1 l'objet ess5tiel d'une telle conception tant seulem5t de n\s faire envisag] l't5due sp>m5t des corps qui n\s la manife/5t4 ,on compr5d aism5t priori l'importance de cette image fondam5tale1 puisqu'elle n\s p]met d'tudi] les phnomnes gomtriques en eux-mmes1 ab/raction faite de t\s les autres phnomnes qui les accompagn5t con/amm5t dans les corps rels1 sans cep5dant ex]c] sur eux aucune influ5ce4 ,l'tablissem5t rguli] de cette ab/raction gnrale doit tre reg>d comme le premi] pas qui ait t fait dans l'tude rationnelle de la gomtrie1 qui et t impossible s'il avait fallu cont9u] considr] avec la =me et la gr&eur des corps l'ensemble de t\tes leurs autres proprits physiques4 ,l'usage d'une semblable hypo?se1 qui e/ peut-tre la plus anci5ne conception philosophique cre p> l'esprit huma91 n\s e/ ma9t5ant dev5u si famili]1 que n\s avons pe9e mesur] exactem5t son importance1 en apprciant les consqu5ces qui rsult]ai5t de sa suppression4 ,les spculations gomtriques ayant pu a9si dev5ir ab/raites1 elles ont acquis non-seulem5t plus de simplicit1 mais encore plus de gnralit4 ,tant que l't5due e/ considre dans les corps eux-mmes1 on ne peut pr5dre p\r sujet des re*]*es que les =mes effectivem5t ralises dans la nature1 ce qui re/re9drait s+ulirem5t le *amp de la gomtrie4 ,au contraire1 en concevant l't5due dans l'espace1 l'esprit huma9 peut envisag] t\tes les =mes quelconques imag9ables1 ce qui e/ indisp5sable p\r donn] la gomtrie un c>actre entirem5t rationnel4 ,la seconde conception gomtrique prlim9aire que n\s devons exam9] e/ celle des diffr5tes sortes d't5due1 dsignes p> les mots de volume#bj1 surface1 ligne1 et mme po9t1 et dont l'explication ord9aire e/ si peu satisfaisante4 ,note #bj3 ,m4 ,lacroix a critiqu avec raison l'expression de solide1 communm5t employe p> les gomtres p\r dsign] un volume4 ,il e/ c]ta91 en effet1 que lorsque n\s v\lons considr] sp>m5t une c]ta9e portion de l'espace indf9i1 conu comme gazeux1 n\s en solidifions p> la p5se l'ence9te extrieure1 en sorte qu'une ligne et une surface sont habituellem5t1 p\r notre esprit1 t\t aussi solides qu'un volume4 ,on peut mme rem>qu] que1 le plus s\v5t1 af9 que les corps se pntr5t mutuellem5t avec plus de facilit1 n\s sommes obligs de n\s reprs5t] comme creux l'intrieur des volumes1 ce qui r5d encore plus s5sible l'improprit du mot solide4 ,quoiqu'il soit videmm5t impossible de concevoir aucune t5due absolum5t prive de l'une quelconque des trois dim5sions fondam5tales1 il n'e/ pas mo9s inconte/able que1 dans une f\le d'occasions1 mme d'une utilit immdiate1 les que/ions gomtriques ne dp5d5t que de deux dim5sions1 considres sp>m5t de la troisime1 ou d'une seule dim5sion1 considre sp>m5t des deux autres4 ,d'un autre ct1 indp5damm5t de ce motif direct1 l'tude de l't5due une seule dim5sion et ensuite deux se prs5te clairem5t comme un prlim9aire indisp5sable p\r facilit] l'tude des corps complets ou trois dim5sions1 dont la ?orie immdiate s]ait trop complique4 ,tels sont les deux motifs gnraux qui oblig5t les gomtres considr] isolm5t l't5due s\s le rapport d'une ou de deux dim5sions1 aussi bi5 que relativem5t t\tes les trois ensemble4 ,c'e/ af9 de p\voir p5s]1 d'une manire p]man5te1 l't5due dans deux s5s ou dans un seul1 que l'esprit huma9 se =me les notions gnrales de surface1 et de ligne4 ,les expressions hyp]boliques habituellem5t employes p> les gomtres p\r les df9ir1 t5d5t en faire concevoir une fausse ide4 ,mais1 exam9es en elles-mmes1 elles n'ont d'autre de/9ation que de n\s p]mettre de raisonn] avec facilit sur ces deux g5res d't5due1 en faisant compltem5t ab/raction de ce qui ne doit pas tre pris en considration4 ,or1 il suffit1 p\r cela1 de concevoir la dim5sion que l'on veut lim9] comme dev5ue graduellem5t de plus en plus petite1 les deux autres re/ant les mmes1 jusqu' ce qu'elle soit p>v5ue un tel degr de tnuit qu'elle ne puisse plus fix] l'att5tion4 ,c'e/ a9si qu'on acqui]t naturellem5t l'ide relle d'une surface1 et1 p> une seconde opration analogue1 l'ide d'une ligne1 en r5\velant p\r la l>geur ce qu'on a d'abord fait p\r l'paisseur4 ,enf91 si l'on rpte encore le mme travail1 on p>vi5t l'ide d'un po9t1 ou d'une t5due considre uniquem5t p> rapport son lieu1 ab/raction faite de t\te gr&eur1 et de/9e1 p> consqu5t1 prcis] les positions4 ,les surfaces ont d'ailleurs videmm5t la proprit gnrale de circonscrire exactem5t les volumes2 et1 de mme les lignes1 leur t\r1 circonscriv5t les surfaces1 et sont limites p> les po9ts4 ,mais cette considration1 laquelle on a donn s\v5t trop d'importance1 n'e/ que secondaire4 ,les surfaces et les lignes sont donc rellem5t t\j\rs conues avec trois dim5sions2 il s]ait1 en effet1 impossible de se reprs5t] une surface autrem5t que comme une plaque extrmem5t m9ce1 et une ligne autrem5t que comme un fil inf9im5t dli4 ,il e/ mme vid5t que le degr de tnuit attribu p> *aque individu aux dim5sions dont il veut faire ab/raction1 n'e/ pas con/amm5t id5tique1 c> il doit dp5dre du degr de f9esse de ses obs]vations gomtriques habituelles4 ,ce dfaut d'uni=mit n'a d'ailleurs aucun inconvni5t rel1 puisqu'il suffit1 p\r que les ides de surface et de ligne rempliss5t la condition ess5tielle de leur de/9ation1 que *acun se reprs5te les dim5sions nglig] comme plus petites que t\tes celles dont ses expri5ces j\rnalires lui donn5t occasion d'apprci] la gr&eur4 ,on doit sans d\te regrett] qu'il soit encore ncessaire auj\rd'hui d'indiqu] expressm5t une explication aussi simple que la prcd5te1 dans un ouvrage tel que celui-ci4 ,mais j'ai cru devoir signal] rapidem5t ces considrations cause du nuage ontologique dont une fausse manire de voir enveloppe ord9airem5t ces notions premires4 ,on voit p> l combi5 sont dp\rvues de t\te espce de s5s les discussions fanta/iques des mtaphysici5s sur les fondem5s de la gomtrie4 ,on doit aussi rem>qu] que ces ides primordiales sont habituellem5t prs5tes p> les gomtres d'une manire peu philosophique1 puisqu'ils expos5t1 p> exemple1 les notions des diffr5tes sortes d't5due dans un ordre absolum5t inv]se de leur en*anem5t naturel1 ce qui eng5dre s\v5t1 p\r l'enseignem5t lm5taire1 les plus graves inconvni5s4 ,ces prlim9aires tant poss1 n\s p\vons procd] directem5t la df9ition gnrale de la gomtrie1 en concevant t\j\rs cette sci5ce comme ayant p\r b f9al la mesure de l't5due4 ,il e/ tellem5t ncessaire d'entr] cet g>d dans une explication appr(ondie1 fonde sur la di/9ction des trois espces d't5due1 que la notion de mesure n'e/ pas exactem5t la mme p> rapport aux surfaces et aux volumes que relativem5t aux lignes1 en sorte que1 sans cet exam51 on se =m]ait une fausse ide de la nature des que/ions gomtriques4 ,si l'on pr5d le mot mesure dans son acception ma?matique directe et gnrale1 qui signifie simplem5t l'valuation des rapports qu'ont entr'elles des gr&eurs homognes quelconques1 on doit considr]1 en gomtrie1 que la mesure des surfaces et des volumes1 p> opposition celle des lignes1 n'e/ jamais conue1 mme dans les cas les plus simples et les plus favorables1 comme s'effectuant immdiatem5t4 ,on reg>de comme directe la comp>aison de deux lignes2 celle de deux surfaces ou de deux volumes e/1 au contraire1 con/amm5t indirecte4 ,en effet1 on conoit que deux lignes puiss5t tre sup]poses2 mais la sup]position de deux surfaces1 ou1 plus =te raison1 celle de deux volumes1 e/ videmm5t impossible tablir dans le plus gr& nombre des cas2 et1 lors mme qu'elle devi5t rig\reusem5t praticable1 une telle comp>aison n'e/ jamais ni commode1 ni susceptible d'exactitude4 ,il e/ donc bi5 ncessaire d'expliqu] en quoi consi/e proprem5t la mesure vraim5t gomtrique d'une surface ou d'un volume4 ,il faut considr]1 p\r cela1 que1 quelle que puisse tre la =me d'un corps1 il exi/e t\j\rs un c]ta9 nombre de lignes1 plus ou mo9s faciles assign]1 dont la longueur suffit p\r df9ir exactem5t la gr&eur de sa surface ou de son volume4 ,la gomtrie1 reg>dant ces lignes comme seules susceptibles d'tre mesures immdiatem5t1 se propose de dduire1 de leur simple dt]m9ation1 le rapport de la surface ou du volume *]*s1 l'unit de surface ou l'unit de volume4 ,a9si l'objet gnral de la gomtrie1 relativem5t aux surfaces et aux volumes1 e/ proprem5t de ram5] t\tes les comp>aisons de surfaces ou de volumes1 de simples comp>aisons de lignes4 ,outre la facilit imm5se que prs5te videmm5t une telle trans=mation p\r la mesure des volumes et des surfaces1 il en rsulte1 en la considrant d'une manire plus t5due et plus sci5tifique1 la possibilit gnrale de rduire des que/ions de lignes1 t\tes les que/ions relatives aux volumes et aux surfaces1 envisags quant leur gr&eur4 ,tel e/ s\v5t l'usage le plus important des expressions gomtriques qui dt]m95t les surfaces et les volumes en fonction des lignes correspondantes4 ,ce n'e/ pas que les comp>aisons immdiates entre surfaces ou entre volumes ne soi5t jamais employes4 ,mais de telles mesures ne sont pas reg>des comme gomtriques1 et on n'y voit qu'un supplm5t quelquefois ncessaire1 quoique trop r>em5t applicable1 l'insuffisance ou la difficult des procds vraim5t rationnels4 ,c'e/ a9si que s\v5t on dt]m9e le volume d'un corps1 et1 dans c]ta9s cas1 sa surface1 d'aprs son poids4 ,de mme1 en d'autres occasions1 qu& on peut sub/itu] au volume propos un volume liquide quival5t1 on tablit immdiatem5t la comp>aison de deux volumes1 en pr(itant de la proprit que prs5t5t les masses liquides1 de p\voir pr5dre aism5t t\tes les =mes qu'on veut leur donn]4 ,mais t\s les moy5s de cette nature sont purem5t mcaniques1 et la gomtrie rationnelle les rejette ncessairem5t4 ,p\r r5dre plus s5sible la diffr5ce de ces dt]m9ations avec les vritables mesures gomtriques1 je cit]ai un seul exemple trs-rem>quable1 la manire dont ,galile valua le rapport de l'aire de la cyclode ord9aire celle du c]cle gnrateur4 ,la gomtrie de son temps tant encore trop infrieure la solution rationnelle d'un tel problme1 ,galile imag9a de *]*] ce rapport p> une expri5ce directe4 ,ayant pes le plus exactem5t possible deux lames de mme matire et d'gale paisseur1 dont l'une avait la =me d'un c]cle et l'autre celle de la cyclode eng5dre1 il tr\va le poids de celle-ci con/amm5t triple de celui de la premire1 d'o il conclut que l'aire de la cylode e/ triple de celle du c]cle gnrateur1 rsultat con=me la vritable solution obt5ue plus t>d p> ,pascal et ,wallis4 ,un tel succs1 sur lequel d'ailleurs ,galile n'avait pas pris le *ange1 ti5t videmm5t l'extrme simplicit relle du rapport *]*2 et on conoit l'insuffisance ncessaire de semblables expdi5s1 mme lorsqu'ils s]ai5t effectivem5t praticables4 ,on voit clairem5t1 d'aprs ce qui prcde1 en quoi consi/5t proprem5t la p>tie de la gomtrie relative aux volumes et celle relative aux surfaces4 ,mais on ne conoit pas aussi nettem5t le c>actre de la gomtrie des lignes1 puisque n\s avons sembl1 p\r simplifi] l'exposition1 considr] la mesure des lignes comme se fesant immdiatem5t4 ,il faut donc1 p> rapport elles1 un complm5t d'explication4 cet effet1 il suffit de di/+u]1 entre la ligne droite et les lignes c\rbes2 la mesure de la premire tant seule reg>de comme directe1 et celle des autres comme con/amm5t indirecte4 ,bi5 que la sup]position soit quelquefois rig\reusem5t praticable p\r les lignes c\rbes1 il e/ vid5t nanmo9s que la gomtrie vraim5t rationnelle doit la rejet] ncessairem5t1 comme ne comportant1 lors mme qu'elle e/ possible1 aucune exactitude4 ,la gomtrie des lignes a donc p\r objet gnral de ram5] con/amm5t la mesure des lignes c\rbes celle des lignes droites2 et p> suite1 s\s un po9t de vue plus t5du1 de rduire de simples que/ions de lignes droites t\tes les que/ions relatives la gr&eur des c\rbes quelconques4 ,p\r compr5dre la possibilit d'une telle trans=mation1 il faut rem>qu] que1 dans t\te c\rbe quelconque1 il exi/e con/amm5t c]ta9es droites dont la longueur doit suffire p\r dt]m9] celle de la c\rbe4 ,a9si1 dans un c]cle1 il e/ vid5t que de la longueur du rayon on doit p\voir conclure celle de la circonfr5ce2 de mme1 la longueur d'une ellipse dp5d de celle de ses deux axes2 la longueur d'une cyclode1 du diamtre du c]cle gnrateur1 etc42 et si1 au lieu de considr] la totalit de *aque c\rbe1 on dem&e plus gnralem5t la longueur d'un arc quelconque1 il suffira d'aj\t]1 aux div]s p>amtres rectilignes qui dt]m95t l'ensemble de la c\rbe1 la corde de l'arc propos1 ou les coordonnes de ses extrmits4 ,dc\vrir la relation qui exi/e entre la longueur d'une ligne c\rbe et celle de semblables lignes droites1 tel e/ le problme gnral qu'on a ess5tiellem5t en vue dans la p>tie de la gomtrie relative l'tude des lignes4 ,en comb9ant cette considration avec celles prcdemm5t exposes sur les volumes et sur les surfaces1 on peut se =m] une ide trs-nette de la sci5ce gomtrique1 conue dans son ensemble1 en lui assignant p\r de/9ation gnrale de rduire f9alem5t les comp>aisons de t\tes les espces d't5due1 volumes1 surfaces1 ou lignes1 de simples comp>aisons de lignes droites1 les seules reg>des comme p\vant tre effectues immdiatem5t1 et qui1 en effet1 ne saurai5t videmm5t tre ram5es d'autres plus faciles4 ,en mme temps qu'une telle conception manife/e clairem5t le vritable c>actre de la gomtrie1 elle me semble propre faire ap]cevoir1 d'un c\p-d'oeil unique1 son utilit et sa p]fection4 ,af9 de complt] rig\reusem5t cette explication fondam5tale1 il me re/e indiqu] comm5t il peut y avoir1 en gomtrie1 une section spciale relative la ligne droite1 ce qui p>at d'abord incompatible avec le pr9cipe que la mesure de cette classe de lignes doit tre t\j\rs reg>de comme immdiate4 ,elle l'e/1 en effet1 p> rapport celle des lignes c\rbes1 et de t\s les autres objets que la gomtrie considre4 ,mais il e/ vid5t que l'e/imation d'une ligne droite ne peut tre envisage comme directe qu'autant qu'on peut immdiatem5t port] sur elle l'unit l9aire4 ,or1 c'e/ ce qui prs5te le plus s\v5t des difficults insurmontables1 comme j'ai eu occasion de l'expos] spcialem5t p\r un autre motif dans la troisime leon4 ,on doit alors faire dp5dre la mesure de la droite propose d'autres mesures analogues1 susceptibles d'tre immdiatem5t effectues4 ,il y a donc ncessairem5t une premire tude gomtrique di/9cte1 exclusivem5t consacre la ligne droite2 elle a p\r objet de dt]m9] les lignes droites1 les unes p> les autres1 d'aprs les relations propres aux figures quelconques rsultant de leur assemblage4 ,cette p>tie prlim9aire de la gomtrie1 qui semble p\r a9si dire imp]ceptible qu& on envisage l'ensemble de la sci5ce1 e/ nanmo9s susceptible d'un trs-gr& dveloppem5t1 lorsqu'on veut la trait] dans t\te son t5due4 ,elle e/ videmm5t d'autant plus importante1 que1 t\tes les mesures gomtriques devant se ram5]1 autant que possible1 celle des lignes droites1 l'impossibilit de dt]m9] ces d]nires suffirait p\r r5dre incomplte la solution de *aque "q quelconque4 ,telles sont donc1 suivant leur en*anem5t naturel1 les div]ses p>ties fondam5tales de la gomtrie rationnelle4 ,on voit que1 p\r suivre dans son tude gnrale un ordre vraim5t dogmatique1 il faut considr] d'abord la gomtrie des lignes1 en comm5ant p> la ligne droite1 et pass] ensuite la gomtrie des surfaces1 p\r trait] enf9 celle des volumes4 ,il y a lieu de s'tonn]1 sans d\te1 qu'une classification m?odique qui drive aussi simplem5t de la nature mme de la sci5ce n'ait pas t con/amm5t suivie4 ,aprs avoir dt]m9 avec prcision l'objet gnral et df9itif des re*]*es gomtriques1 il faut ma9t5ant considr] la sci5ce s\s le rapport du *amp embrass p> *acune de ses trois sections fondam5tales4 ,a9si envisage1 la gomtrie e/ videmm5t susceptible1 p> sa nature1 d'une ext5sion rig\reusem5t indf9ie2 c> la mesure des lignes1 des surfaces ou des volumes1 prs5te ncessairem5t autant de que/ions di/9ctes que l'on peut concevoir de =mes diffr5tes1 assujetties des df9itions exactes1 et le nombre en e/ videmm5t inf9i4 ,les gomtres se sont borns d'abord considr] les =mes les plus simples que la nature leur f\rnissait immdiatem5t1 ou qui se dduisai5t de ces lm5s primitifs p> les comb9aisons les mo9s compliques4 ,mais ils ont s5ti1 depuis ,desc>tes1 que1 p\r con/itu] la sci5ce de la manire la plus philosophique1 il fallait ncessairem5t la faire port]1 en gnral1 sur t\tes les =mes imag9ables4 ,ils ont a9si acquis la c]titude raisonne que cette gomtrie ab/raite compr5drait 9vitablem5t1 comme cas p>ticuli]s1 t\tes les div]ses =mes relles que le monde extrieur p\rrait prs5t]1 de faon n'tre jamais pris au dp\rvu4 ,si1 au contraire1 on s'tait t\j\rs rduit la seule considration de ces =mes naturelles1 sans s'y tre prp> p> une tude gnrale et p> l'exam5 spcial de c]ta9es =mes hypo?tiques plus simples1 il e/ clair que les difficults aurai5t t le plus s\v5t insurmontables au mom5t de l'application effective4 ,c'e/ donc un pr9cipe fondam5tal1 dans la gomtrie vraim5t rationnelle1 que la ncessit de considr]1 autant que possible1 t\tes les =mes qu'on peut concevoir rig\reusem5t4 ,l'exam5 le mo9s appr(ondi suffit p\r faire compr5dre que ces =mes prs5t5t une v>it t\t--fait inf9ie4 ,relativem5t aux lignes c\rbes1 en les reg>dant comme eng5dres p> le m\vem5t d'un po9t assujetti une c]ta9e loi1 il e/ clair qu'on aura1 en gnral1 autant de c\rbes diffr5tes que l'on suppos]a de lois diffr5tes p\r ce m\vem5t1 qui peut videmm5t s'opr] suivant une inf9it de conditions di/9ctes1 quoiqu'il puisse arriv] accid5tellem5t quelquefois que de n\velles gnrations produis5t des c\rbes dj obt5ues4 ,a9si1 p\r me born] aux seules c\rbes planes1 si un po9t se meut de manire re/] con/amm5t la mme di/ance d'un po9t fixe1 il eng5dr]a un c]cle2 si c'e/ la somme ou la diffr5ce de ses di/ances deux po9ts fixes qui demeure con/ante1 la c\rbe dcrite s]a une ellipse ou une hyp]bole2 si c'e/ leur produit1 on aura une c\rbe t\te diffr5te2 si le po9t s'c>te t\j\rs galem5t d'un po9t fixe et d'une droite fixe1 il dcrira une p>abole2 s'il t\rne sur un c]cle en mme temps que ce c]cle r\le sur une ligne droite1 on aura une cyclode2 s'il s'avance le long d'une droite1 t&is que cette droite1 fixe p> une de ses extrmits1 t\rne d'une manire quelconque1 il en rsult]a ce qu'on appelle1 en gnral1 des spirales qui1 elles seules1 prs5t5t videmm5t autant de c\rbes p>faitem5t di/9ctes1 qu'on peut suppos] de relations diffr5tes entre ces deux m\vem5s de translation et de rotation1 etc41 etc4 ,*acune de ces div]ses c\rbes peut ensuite en f\rnir de n\velles1 p> les diffr5tes con/ructions gnrales que les gomtres ont imag9es1 et qui donn5t naissance aux dveloppes1 aux picyclodes1 aux cau/iques1 etc41 etc4 ,enf9 il exi/e videmm5t une v>it encore plus gr&e p>mi les c\rbes d\ble c\rbure4 ,relativem5t aux surfaces1 les =mes en sont ncessairem5t bi5 plus div]ses encore1 en les reg>dant comme eng5dres p> le m\vem5t des lignes4 ,en effet1 la =me peut alors v>i]1 non seulem5t en considrant1 comme dans les c\rbes1 les diffr5tes lois en nombre inf9i auxquelles peut tre assujetti le m\vem5t de la ligne gnratrice1 mais aussi en supposant que cette ligne elle-mme vi5ne *ang] de nature1 ce qui n'a pas d'analogue dans les c\rbes1 les po9ts qui les dcriv5t ne p\vant avoir aucune figure di/9cte4 ,deux classes de conditions trs-div]ses peuv5t donc faire v>i] les =mes des surfaces1 t&is qu'il n'en exi/e qu'une seule p\r les lignes4 ,il e/ inutile de cit] spcialem5t une srie d'exemples propres vrifi] cette multiplicit d\blem5t inf9ie qu'on rem>que p>mi les surfaces4 ,il suffirait1 p\r s'en faire une ide1 de considr] l'extrme v>it que prs5te le seul gr\pe des surfaces dites rgles1 c'e/--dire eng5dres p> une ligne droite1 et qui compr5d t\te la famille des surfaces cyl9driques1 celle des surfaces coniques1 la classe plus gnrale des surfaces dveloppantes quelconques1 etc4 ,p> rapport aux volumes1 il n'y a lieu aucune considration spciale1 puisqu'ils ne se di/+u5t entr'eux que p> les surfaces qui les t]m95t4 ,af9 de complt] cet ap]u gomtrique1 il faut aj\t] que les surfaces elles-mmes f\rniss5t un n\veau moy5 gnral de concevoir des c\rbes n\velles1 puisque t\te c\rbe peut tre envisage comme produite p> l'int]section de deux surfaces4 ,c'e/ a9si1 en effet1 qu'ont t obt5ues les premires lignes qu'on puisse reg>d] comme vraim5t inv5tes p> les gomtres1 puisque la nature donnait immdiatem5t la ligne droite et le c]cle4 ,on sait que l'ellipse1 la p>abole et l'hyp]bole1 les seules c\rbes compltem5t tudies p> les anci5s1 avai5t t seulem5t conues1 dans l'orig9e1 comme rsultant de l'int]section d'un cne base circulaire p> un plan div]sem5t situ4 ,il e/ vid5t que p> l'emploi comb9 de ces diffr5s moy5s gnraux p\r la =mation des lignes et des surfaces1 on p\rrait produire une suite rig\reusem5t inf9ie de =mes di/9ctes1 en p>tant seulem5t d'un trs-petit nombre de figures directem5t f\rnies p> l'obs]vation4 ,du re/e1 t\s les div]s moy5s immdiats p\r l'inv5tion des =mes1 n'ont presque plus aucune importance1 depuis que la gomtrie rationnelle a pris1 entre les ma9s de ,desc>tes1 son c>actre df9itif4 ,en effet1 comme n\s le v]rons spcialem5t dans la d\zime leon1 l'inv5tion des =mes se rduit auj\rd'hui l'inv5tion des quations1 en sorte que ri5 n'e/ plus ais que de concevoir de n\velles lignes et de n\velles surfaces1 en *angeant volont les fonctions introduites dans les quations4 ,ce simple procd ab/rait e/1 s\s ce rapport1 inf9im5t plus fcond que les ress\rces gomtriques directes1 dveloppes p> l'imag9ation la plus puissante1 qui s'appliqu]ait uniquem5t cet ordre de conceptions4 ,il explique d'ailleurs1 de la manire la plus gnrale et la plus s5sible1 la v>it ncessairem5t inf9ie des =mes gomtriques1 qui correspond a9si la div]sit des fonctions analytiques4 ,enf91 il montre non mo9s clairem5t que les diffr5tes =mes de surfaces doiv5t tre encore plus multiplies que celles des lignes1 puisque les lignes sont reprs5tes analytiquem5t p> des quations deux v>iables1 t&is que les surfaces donn5t lieu des quations trois v>iables1 qui prs5t5t ncessairem5t une plus gr&e div]sit4 ,les considrations prcdemm5t indiques suffis5t p\r montr] nettem5t l'ext5sion rig\reusem5t inf9ie que comporte1 p> sa nature1 *acune des trois sections gnrales de la gomtrie1 relativem5t aux lignes1 aux surfaces et aux volumes1 en rsultat de la v>it inf9ie des corps mesur]4 ,p\r a*ev] de n\s faire une ide exacte et suffisamm5t t5due de la nature des re*]*es gomtriques1 il e/ ma9t5ant indisp5sable de rev5ir sur la df9ition gnrale donne ci-dessus1 af9 de la prs5t] s\s un n\veau po9t de vue1 sans lequel l'ensemble de la sci5ce ne s]ait que =t imp>faitem5t conu4 ,en assignant p\r b la gomtrie la mesure de t\tes les sortes de lignes1 de surfaces et de volumes1 c'e/--dire1 comme je l'ai expliqu1 la rduction de t\tes les comp>aisons gomtriques de simples comp>aisons de lignes droites1 n\s avons videmm5t l'avantage d'indiqu] une de/9ation gnrale trs-prcise et trs-facile saisir4 ,mais1 si c>tant t\te df9ition1 on exam9e la composition effective de la sci5ce gomtrique1 on s]a d'abord port reg>d] la df9ition prcd5te comme beauc\p trop troite1 c> il n'e/ pas d\teux que la majeure p>tie des re*]*es qui con/itu5t notre gomtrie actuelle ne p>aiss5t nullem5t avoir p\r objet la mesure de l't5due4 ,c'e/ probablem5t une telle considration qui ma9ti5t encore1 p\r la gomtrie1 l'usage de ces df9itions vagues1 qui ne compr5n5t t\t que p>ce qu'elles ne c>actris5t ri54 ,je crois nanmo9s1 malgr cette objection fondam5tale1 p\voir p]si/] indiqu] la mesure de l't5due comme le b gnral et uni=me de la sci5ce gomtrique1 et en y compr5ant cep5dant t\t ce qui entre dans sa composition relle4 ,en effet1 si1 au lieu de se born] considr] isolm5t les div]ses re*]*es gomtriques1 on s'atta*e saisir les que/ions pr9cipales1 p> rapport auxquelles t\tes les autres1 quelque importantes qu'elles soi5t1 ne doiv5t tre reg>des que comme secondaires1 on f9ira p> reconnatre que la mesure des lignes1 des surfaces et des volumes1 e/ le b inv>iable1 quelquefois direct1 et le plus s\v5t indirect1 de t\s les travaux gomtriques4 ,cette proposition gnrale tant fondam5tale1 puisqu'elle peut seule donn] notre df9ition t\te sa valeur1 il e/ indisp5sable d'entr] ce sujet dans quelques dveloppem5s4 ,en exam9ant avec att5tion les re*]*es gomtriques qui ne p>aiss5t po9t se rapport] la mesure de l't5due1 on tr\ve qu'elles consi/5t ess5tiellem5t dans l'tude des div]ses proprits de *aque ligne ou de *aque surface1 c'e/--dire1 en t]mes prcis1 dans la connaissance des diffr5s modes de gnration1 ou du mo9s de df9ition1 propres *aque =me que l'on considre4 ,or1 on peut aism5t tablir1 de la manire la plus gnrale1 la relation ncessaire d'une telle tude avec la "q de mesure1 p\r laquelle la connaissance la plus complte possible des proprits de *aque =me e/ un prlim9aire indisp5sable4 ,c'e/ ce que conc\r5t pr\v] deux considrations galem5t fondam5tales1 quoique de nature t\t--fait di/9cte4 ,la premire1 purem5t sci5tifique1 consi/e rem>qu] que si l'on ne connaissait1 p\r *aque ligne ou p\r *aque surface1 d'autre proprit c>actri/ique que celle d'aprs laquelle les gomtres l'ont primitivem5t conue1 il s]ait le plus s\v5t impossible de p>v5ir la solution des que/ions relatives sa mesure4 ,en effet1 il e/ facile de s5tir que les diffr5tes df9itions dont *aque =me e/ susceptible ne sont pas t\tes galem5t propres une telle de/9ation1 et qu'elles prs5t5t mme1 s\s ce rapport1 les oppositions les plus compltes4 ,or1 d'un autre ct1 la df9ition primitive de *aque =me n'ayant pu videmm5t tre *oisie d'aprs cette condition1 il e/ clair qu'on ne doit pas s'att5dre1 en gnral1 la tr\v] la plus conv5able2 d'o rsulte la ncessit d'en dc\vrir d'autres1 c'e/ dire d'tudi]1 autant que possible1 les proprits de la =me propose4 ,qu'on suppose1 p> exemple1 que le c]cle soit df9i1 la c\rbe qui1 s\s le mme cont\r1 r5f]me la plus gr&e aire1 ce qui e/ c]ta9em5t une proprit t\t--fait c>actri/ique1 on pr\v]ait videmm5t des difficults insurmontables p\r dduire d'un tel po9t de d"p la solution des que/ions fondam5tales relatives la rectification ou la quadrature de cette c\rbe4 ,il e/ clair1 priori1 que la proprit d'avoir t\s ses po9ts gale di/ance d'un po9t fixe1 doit ncessairem5t s'adapt] bi5 mieux des re*]*es de cette nature1 sans qu'elle soit prcism5t la plus conv5able4 ,de mme1 ,ar*imde et-il jamais pu dc\vrir la quadrature de la p>abole1 s'il n'avait connu de cette c\rbe d'autre proprit que d'tre la section d'un cne base circulaire1 p> un plan p>allle sa gnratrice8 ,les travaux purem5t spculatifs des gomtres prcd5s1 p\r trans=m] cette premire df9ition1 ont videmm5t t des prlim9aires indisp5sables la solution directe d'une telle "q4 ,il en e/ de mme1 plus =te raison1 relativem5t aux surfaces4 ,il suffirait1 p\r s'en faire une ju/e ide1 de comp>]1 p> exemple1 quant la "q de la cubature ou de la quadrature1 la df9ition ord9aire de la sphre avec celle1 non mo9s c>actri/ique sans d\te1 qui consi/]ait reg>d] un corps sphrique comme celui qui1 s\s la mme aire1 conti5t le plus gr& volume4 ,je n'ai pas beso9 d'indiqu] un plus gr& nombre d'exemples p\r faire compr5dre1 en gnral1 la ncessit de connatre1 autant que possible1 t\tes les proprits de *aque ligne ou de *aque surface1 af9 de facilit] la re*]*e des rectifications1 des quadratures1 et des cubatures1 qui con/itue l'objet f9al de la gomtrie4 ,on peut mme dire que la pr9cipale difficult des que/ions de ce g5re consi/e employ]1 dans *aque cas1 la proprit qui s'adapte le mieux la nature du problme propos4 ,a9si en cont9uant indiqu]1 p\r plus de prcision1 la mesure de l't5due1 comme la de/9ation gnrale de la gomtrie1 cette premire considration1 qui t\*e directem5t au fond du sujet1 dmontre clairem5t la ncessit d'y compr5dre l'tude1 aussi appr(ondie que possible1 des div]ses gnrations ou df9itions propres une mme =me4 ,un second motif1 d'une importance au mo9s gale1 consi/e en ce qu'une telle tude e/ indisp5sable p\r organis]1 d'une manire rationnelle1 la relation de l'ab/rait au concret en gomtrie4 ,la sci5ce gomtrique devant considr]1 a9si que je l'ai indiqu ci-dessus1 t\tes les =mes imag9ables qui comport5t une df9ition exacte1 il en rsulte ncessairem5t1 comme n\s l'avons rem>qu1 que les que/ions relatives aux =mes quelconques prs5tes p> la nature1 sont t\j\rs implicitem5t comprises dans cette gomtrie ab/raite1 suppose p>v5ue sa p]fection4 ,mais qu& il faut pass] effectivem5t la gomtrie concrte1 on r5contre con/amm5t une difficult fondam5tale1 celle de savoir auxquels des diffr5s types ab/raits on doit rapport]1 avec une approximation suffisante1 les lignes ou les surfaces relles qu'il s'agit d'tudi]4 ,or1 c'e/ p\r tablir une telle relation qu'il e/ p>ticulirem5t indisp5sable de connatre le plus gr& nombre possible de proprits de *aque =me considre en gomtrie4 ,en effet1 si l'on se bornait t\j\rs la seule df9ition primitive d'une ligne ou d'une surface1 en supposant mme qu'on pt alors la mesur] 7ce qui1 d'aprs le premi] g5re de considrations1 s]ait le plus s\v5t impossible71 ces connaissances re/]ai5t presque ncessairem5t /riles dans l'application1 puisqu'on ne saurait po9t ord9airem5t reconnatre cette =me dans la nature1 qu& elle s'y prs5t]ait4 ,il faudrait p\r cela que le c>actre unique1 d'aprs lequel les gomtres l'aurai5t conue1 ft prcism5t celui dont les circon/ances extrieures comport]ai5t la vrification1 concid5ce purem5t =tuite1 sur laquelle videmm5t on ne doit pas compt]1 bi5 qu'elle puisse avoir lieu quelquefois4 ,ce n'e/ donc qu'en multipliant autant que possible les proprits c>actri/iques de *aque =me ab/raites1 que n\s p\vons tre assurs d'avance de la reconnatre l'tat concret1 et d'utilis] a9si t\s nos travaux rationnels1 en vrifiant1 dans *aque cas1 la df9ition qui e/ susceptible d'tre con/ate directem5t4 ,cette df9ition e/ presque t\j\rs unique dans des circon/ances donnes1 et v>ie1 au contraire1 p\r une mme =me1 avec des circon/ances diffr5tes3 d\ble motif de dt]m9ation4 ,la gomtrie cle/e n\s f\rnit1 cet g>d1 l'exemple le plus mmorable1 bi5 propre mettre en vid5ce la ncessit gnrale d'une telle tude4 ,on sait1 en effet1 que l'ellipse a t reconnue p> ,kpl] comme tant la c\rbe que dcriv5t les plantes aut\r du soleil et les satellites aut\r de leurs plantes4 ,or1 cette dc\v]te fondam5tale1 qui a r5\vel l'a/ronomie1 et-elle jamais t possible1 si l'on s'tait t\j\rs born concevoir l'ellipse comme la section oblique d'un cne circulaire p> un plan8 ,aucune telle df9ition ne p\vait videmm5t comport] une semblable vrification4 ,la proprit la plus usuelle de l'ellipse1 que la somme des di/ances de t\s ses po9ts deux po9ts fixes soit con/ante1 e/ bi5 plus susceptible sans d\te1 p> sa nature1 de faire reconnatre la c\rbe dans ce cas2 mais elle n'e/ po9t encore directem5t conv5able4 ,le seul c>actre qui puisse tre alors vrifi immdiatem5t1 e/ celui qu'on tire de la relation qui exi/e dans l'ellipse entre la longueur des di/ances focales et leur direction1 l'unique relation qui admette une int]prtation a/ronomique1 comme exprimant la loi qui lie la di/ance de la plante au soleil au temps c\l depuis l'orig9e de sa rvolution4 ,il a donc fallu que les travaux purem5t spculatifs des gomtres grecs sur les proprits des sections coniques euss5t pralablem5t prs5t leur gnration s\s une multitude de po9ts de vue diffr5s1 p\r que ,kpl] ait pu pass] a9si de l'ab/rait au concret1 en *oisissant p>mi t\s ces div]s c>actres celui qui p\vait le plus facilem5t tre con/at p\r les orbites plantaires4 ,je puis cit] encore un exemple du mme ordre1 relativem5t aux surfaces1 en considrant l'importante "q de la figure de la t]re4 ,si on n'avait jamais connu d'autre proprit de la sphre que son c>actre primitif d'avoir t\s ses po9ts galem5t di/ans d'un po9t intrieur1 comm5t aurait-on pu jamais dc\vrir que la surface de la t]re tait sphrique8 ,il a t ncessaire p\r cela de dduire pralablem5t de cette df9ition de la sphre quelques proprits susceptibles d'tre vrifies p> des obs]vations effectues uniquem5t la surface1 comme1 p> exemple1 le rapport con/ant qui exi/e p\r la sphre entre la longueur du *em9 p>c\ru le long d'un mridi5 quelconque en s'avanant v]s un ple1 et la hauteur angulaire de ce ple sur l'horizon en *aque po9t4 ,il en a t videmm5t de mme1 et avec une bi5 plus longue suite de spculations prlim9aires1 p\r con/at] plus t>d que la t]re n'tait po9t rig\reusem5t sphrique1 mais que sa =me e/ celle d'un ellipsode de rvolution4 ,aprs de tels exemples1 il s]ait sans d\te inutile d'en rapport] d'autres1 que *acun peut d'ailleurs aism5t multipli]4 ,on y vrifi]a t\j\rs que1 sans une connaissance trs-t5due des div]ses proprits de *aque =me1 la relation de l'ab/rait au concret en gomtrie s]ait purem5t accid5telle1 et que1 p> consqu5t1 la sci5ce manqu]ait de l'un de ses fondem5s les plus ess5tiels4 ,tels sont donc les deux motifs gnraux qui dmontr5t ple9em5t la ncessit d'introduire en gomtrie une f\le de re*]*es qui n'ont pas p\r objet direct la mesure de l't5due1 en cont9uant cep5dant concevoir une telle mesure comme la de/9ation f9ale de t\te la sci5ce gomtrique4 ,a9si1 n\s p\vons cons]v] les avantages philosophiques que prs5t5t la nettet et la prcision de cette df9ition1 et y compr5dre nanmo9s1 d'une manire trs-rationnelle1 quoiqu'indirecte1 t\tes les re*]*es gomtriques connues1 en considrant celles qui ne p>aiss5t po9t se rapport] la mesure de l't5due1 comme de/9es soit prp>] la solution des que/ions f9ales1 soit p]mettre l'application des solutions obt5ues4 ,aprs avoir reconnu1 en ?se gnrale1 les relations intimes et ncessaires de l'tude des proprits des lignes et des surfaces avec les re*]*es qui con/itu5t l'objet df9itif de la gomtrie1 il e/ d'ailleurs vid5t que1 dans la suite de leurs travaux1 les gomtres ne doiv5t nullem5t s'a/re9dre ne jamais p]dre de vue un tel en*anem5t4 ,sa*ant1 une fois p\r t\tes1 combi5 il importe de v>i] le plus possible les manires de concevoir *aque =me1 ils doiv5t p\rsuivre cette tude sans considr] immdiatem5t de quelle utilit peut tre telle ou telle proprit spciale p\r les rectifications1 les quadratures ou les cubatures4 ,ils entrav]ai5t inutilem5t leurs re*]*es1 en atta*ant une importance purile l'tablissem5t cont9u de cette coord9ation4 ,l'esprit huma9 doit procd]1 cet g>d1 comme il le fait en t\te occasion semblable1 qu&1 aprs avoir conu1 en gnral1 la de/9ation d'une c]ta9e tude1 il s'atta*e exclusivem5t la p\ss] le plus lo9 possible1 en faisant compltem5t ab/raction de cette relation1 dont la considration p]ptuelle compliqu]ait t\s ses travaux4 ,l'explication gnrale que je vi5s d'expos] e/ d'autant plus indisp5sable1 que1 p> la nature mme du sujet1 cette tude des div]ses proprits de *aque ligne et de *aque surface compose ncessairem5t la trs-majeure p>tie de l'ensemble des re*]*es gomtriques4 ,en effet1 les que/ions immdiatem5t relatives aux rectifications1 aux quadratures et aux cubatures1 sont videmm5t1 p> elles-mmes1 en nombre =t limit p\r *aque =me considre4 ,au contraire1 l'tude des proprits d'une mme =me prs5te l'activit de l'esprit huma9 un *amp naturellem5t indf9i1 o l'on peut t\j\rs espr] de faire de n\velles dc\v]tes4 ,a9si1 p> exemple1 quoique les gomtres se soi5t occups depuis v+t sicles1 avec plus ou mo9s d'activit sans d\te1 mais sans aucune int]ruption relle1 de l'tude des sections coniques1 ils sont lo9 de reg>d] ce sujet si simple comme puis2 et il e/ c]ta9 en effet qu'en cont9uant s'y livr]1 on ne manqu]ait pas de tr\v] encore des proprits inconnues de ces div]ses c\rbes4 ,si les travaux de ce g5re se sont considrablem5t ral5tis depuis environ un sicle1 ce n'e/ pas qu'ils soi5t t]m9s2 cela ti5t seulem5t1 comme je l'expliqu]ai t\t--l'heure1 ce que la rvolution philosophique opre en gomtrie p> ,desc>tes a d s+ulirem5t dim9u] l'importance de semblables re*]*es4 ,il rsulte des considrations prcd5tes que non-seulem5t le *amp de la gomtrie e/ ncessairem5t inf9i cause de la v>it des =mes considr]1 mais aussi en v]tu de la div]sit des po9ts de vue s\s lesquels une mme =me peut tre envisage4 ,cette d]nire conception e/ mme celle qui donne l'ide la plus l>ge et la plus complte de l'ensemble des re*]*es gomtriques4 ,on voit que les tudes de ce g5re consi/5t ess5tiellem5t1 p\r *aque ligne ou p\r *aque surface1 ratta*] t\s les phnomnes gomtriques qu'elle peut prs5t] un seul phnomne fondam5tal1 reg>d comme df9ition primitive4 ,aprs avoir expos1 d'une manire gnrale et p\rtant prcise1 l'objet f9al de la gomtrie1 et montr comm5t la sci5ce1 a9si df9ie1 compr5d une classe de re*]*es trs-t5due qui ne p>aissai5t po9t d'abord s'y rapport] ncessairem5t1 il me re/e considr]1 dans son ensemble1 la m?ode suivre p\r la =mation de cette sci5ce4 ,cette d]nire explication e/ indisp5sable p\r complt] ce premi] ap]u du c>actre philosophique de la gomtrie4 ,je me born]ai en ce mom5t indiqu] cet g>d la considration la plus gnrale1 cette importante notion fondam5tale devant tre dveloppe et prcise dans les leons suivantes4 ,l'ensemble des que/ions gomtriques peut tre trait suivant deux m?odes tellem5t diffr5tes1 qu'il en rsulte1 p\r a9si dire1 deux sortes de gomtries1 dont le c>actre philosophique ne me semble pas avoir t encore conv5ablem5t saisi4 ,les expressions de gomtrie syn?tique et gomtrie analytique1 habituellem5t employes p\r les dsign]1 en donn5t une trs-fausse ide4 ,je prfr]ais de beauc\p les dnom9ations purem5t hi/oriques de gomtrie des anci5s et gomtrie des mod]nes1 qui ont1 du mo9s1 l'avantage de ne pas faire mconnatre leur vrai c>actre4 ,mais je propose d'employ] dsormais les expressions rgulires de gomtrie spciale et gomtrie gnrale1 qui me p>aiss5t propres c>actris] avec prcision la vritable nature des deux m?odes4 ,ce n'e/ po9t1 en effet1 dans l'emploi du calcul1 comme on le p5se communm5t1 que consi/e prcism5t la diffr5ce fondam5tale entre la manire dont n\s concevons la gomtrie depuis ,desc>tes1 et la manire dont les gomtres de l'antiquit traitai5t les que/ions gomtriques4 ,il e/ c]ta91 d'une "p1 que l'usage du calcul ne leur tait po9t entirem5t inconnu1 puisqu'ils faisai5t1 dans leur gomtrie1 des applications cont9uelles et =t t5dues de la ?orie des proportions1 qui tait p\r eux1 comme moy5 de dduction1 une sorte d'quival5t rel1 quoique trs-imp>fait et surt\t extrmem5t born1 de notre algbre actuelle4 ,on peut mme employ] le calcul d'une manire beauc\p plus complte qu'ils ne l'ont fait p\r obt5ir c]ta9es solutions gomtriques1 qui n'en auront pas mo9s le c>actre ess5tiel de la gomtrie anci5ne2 c'e/ ce qui arrive trs-frquemm5t1 p> rapport ces problmes de gomtrie deux ou trois dim5sions1 qu'on dsigne vulgairem5t s\s le nom de dt]m9s4 ,d'un autre ct1 quelque capitale que soit l'influ5ce du calcul dans notre gomtrie mod]ne1 plusieurs solutions1 obt5ues sans algbre1 peuv5t manife/] quelquefois le c>actre propre qui la di/+ue de la gomtrie anci5ne1 quoique1 en ?se gnrale1 l'analyse soit indisp5sable2 j'en cit]ai1 comme exemple1 la m?ode de ,rob]val p\r les tang5tes1 dont la nature e/ ess5tiellem5t mod]ne1 et qui cep5dant conduit1 en c]ta9s cas1 des solutions compltes1 sans aucun sec\rs du calcul4 ,ce n'e/ donc po9t p> l'in/rum5t de dduction employ qu'on doit pr9cipalem5t di/+u] les deux m>*es que l'esprit huma9 peut suivre en gomtrie4 ,la diffr5ce fondam5tale1 jusqu'ici imp>faitem5t saisie1 me p>at consi/] rellem5t dans la nature mme des que/ions considres4 ,en effet1 la gomtrie1 envisage dans son ensemble1 et suppose p>v5ue son entire p]fection1 doit1 comme n\s l'avons vu1 d'une "p1 embrass] t\tes les =mes imag9ables1 et d'une autre "p1 dc\vrir t\tes les proprits de *aque =me4 ,elle e/ susceptible1 d'aprs cette d\ble considration1 d'tre traite suivant deux plans ess5tiellem5t di/9ctifs3 soit en gr\pant ensemble t\tes les que/ions1 quelque div]ses qu'elles soi5t1 qui conc]n5t une mme =me1 et isolant celles relatives des corps diffr5s1 quelque analogie qui puisse exi/] entre elles2 soit1 au contraire1 en runissant s\s un mme po9t de vue t\tes les re*]*es semblables1 quelques =mes div]ses qu'elles se rapport5t d'ailleurs1 et sp>ant les que/ions relatives aux proprits rellem5t diffr5tes d'un mme corps4 ,en un mot1 l'ensemble de la gomtrie peut tre ess5tiellem5t ordonn ou p> rapport aux corps tudis1 ou p> rapport aux phnomnes considr]4 ,le premi] plan1 qui e/ le plus naturel1 a t celui des anci5s2 le second1 inf9im5t plus rationnel1 e/ celui des mod]nes depuis ,desc>tes4 ,tel e/1 en effet1 le c>actre pr9cipal de la gomtrie anci5ne1 qu'on tudiait1 une une1 les div]ses lignes et les div]ses surfaces1 ne passant l'exam5 d'une n\velle =me que lorsqu'on croyait avoir puis t\t ce que p\vai5t (frir d'intressant les =mes connues jusqu'alors4 ,dans cette manire de procd]1 qu& on entrepr5ait l'tude d'une c\rbe n\velle1 l'ensemble des travaux excuts sur les prcd5tes ne p\vait prs5t] directem5t aucune ress\rce ess5tielle1 autrem5t que p> l'ex]cice gomtrique auquel il avait dress l'intellig5ce4 ,quelle que pt tre la similitude relle des que/ions proposes sur deux =mes diffr5tes1 les connaissances compltes acquises p\r l'une ne p\vai5t nullem5t disp5s] de repr5dre p\r l'autre l'ensemble de la re*]*e4 ,aussi la m>*e de l'esprit n'tait-elle jamais assure2 en sorte qu'on ne p\vait tre c]ta9 d'avance d'obt5ir une solution quelconque1 quelqu'analogue que ft le problme propos des que/ions dj rsolues4 ,a9si1 p> exemple1 la dt]m9ation des tang5tes aux trois sections coniques ne f\rnissait aucun sec\rs rationnel p\r m5] la tang5te quelqu'autre c\rbe n\velle1 comme le con*ode1 la cissode1 etc4 ,en un mot1 la gomtrie des anci5s tait1 suivant l'expression propose ci-dessus1 ess5tiellem5t spciale4 ,dans le sy/me des mod]nes1 la gomtrie e/1 au contraire1 m9emm5t gnrale1 c'e/--dire1 relative des =mes quelconques4 ,il e/ ais de compr5dre d'abord que t\tes les que/ions gomtriques de quelqu'intrt peuv5t tre proposes p> rapport t\tes les =mes imag9ables4 ,c'e/ ce qu'on voit directem5t p\r les problmes fondam5taux1 qui con/itu5t1 d'aprs les explications donnes dans cette leon1 l'objet df9itif de la gomtrie1 c'e/--dire1 les rectifications1 les quadratures1 et les cubatures4 ,mais cette rem>que n'e/ pas mo9s inconte/able1 mme p\r les re*]*es relatives aux div]ses proprits des lignes et des surfaces1 et dont les plus ess5tielles1 telles que la "q des tang5tes ou des plans tang5s1 la ?orie des c\rbures1 etc41 sont videmm5t communes t\tes les =mes quelconques4 ,les re*]*es trs-peu nombreuses qui sont vraim5t p>ticulires telle ou telle =me n'ont qu'une importance extrmem5t secondaire4 ,cela pos1 la gomtrie mod]ne consi/e ess5tiellem5t ab/raire1 p\r la trait] "p1 d'une manire entirem5t gnrale1 t\te "q relative un mme phnomne gomtrique1 dans quelques corps qu'il puisse tre considr4 ,l'application des ?ories univ]selles a9si con/ruites la dt]m9ation spciale du phnomne dont il s'agit dans *aque corps p>ticuli]1 n'e/ plus reg>de que comme un travail subalt]ne1 excut] suivant des rgles inv>iables et dont le succs e/ c]ta9 d'avance4 ,ce travail e/1 en un mot1 du mme ordre que l'valuation numrique d'une =mule analytique dt]m9e4 ,il ne peut y avoir s\s ce rapport d'autre mrite que celui de prs5t]1 dans *aque cas1 la solution ncessairem5t f\rnie p> la m?ode gnrale1 avec t\te la simplicit et l'lgance que peut comport] la ligne ou la surface considre4 ,mais on n'atta*e d'importance relle qu' la conception et la solution complte d'une n\velle "q propre une =me quelconque4 ,les travaux de ce g5re sont seuls reg>ds comme faisant faire la sci5ce de vritables pas4 ,l'att5tion des gomtres1 a9si disp5se de l'exam5 des p>ticul>its des div]ses =mes1 et dirige t\t entire v]s les que/ions gnrales1 a pu s'lev] p> l la considration de n\velles notions gomtriques1 qui1 appliques aux c\rbes tudies p> les anci5s1 en ont fait dc\vrir des proprits importantes qu'ils n'avai5t pas mme s\ponnes4 ,telle e/ la gomtrie depuis la rvolution radicale opre p> ,desc>tes dans le sy/me gnral de la sci5ce4 ,la simple indication du c>actre fondam5tal propre *acune des deux gomtries1 suffit sans d\te p\r mettre en vid5ce l'imm5se supriorit ncessaire de la gomtrie mod]ne4 ,on peut mme dire qu'avant la gr&e conception de ,desc>tes1 la gomtrie rationnelle n'tait pas vraim5t con/itue sur des bases df9itives1 soit s\s le rapport ab/rait1 soit s\s le rapport concret4 ,en effet1 p\r la sci5ce considre spculativem5t1 il e/ clair qu'en cont9uant indf9im5t1 comme l'ont fait les mod]nes avant ,desc>tes et mme un peu aprs1 suivre la m>*e des anci5s1 en aj\tant quelques n\velles c\rbes au petit nombre de celles qu'ils avai5t tudies1 les progrs1 quelque rapides qu'ils euss5t p tre1 n'aurai5t t1 aprs une longue suite de sicles1 que =t peu considrables p> rapport au sy/me gnral de la gomtrie1 vu l'inf9ie v>it des =mes qui s]ai5t t\j\rs re/es tudi]4 ,au contraire1 *aque "q rsolue suivant la m>*e des mod]nes1 le nombre des problmes gomtriques rs\dre se tr\ve1 une fois p\r t\tes1 dim9u d'autant1 p> rapport t\s les corps possibles4 ,s\s un second po9t de vue1 du dfaut complet de m?odes gnrales il rsultait que les gomtres anci5s1 dans t\tes leurs re*]*es1 tai5t entirem5t ab&onns leurs propres =ces1 sans avoir jamais la c]titude d'obt5ir tt ou t>d une solution quelconque4 ,si cette imp]fection de la sci5ce tait m9emm5t propre mettre dans t\t son j\r leur admirable sagacit1 elle devait r5dre leurs progrs extrmem5t l5ts3 on peut s'en faire une ide p> le temps considrable qu'ils ont employ l'tude des sections coniques4 ,la gomtrie mod]ne1 assurant d'une manire inv>iable la m>*e de notre esprit1 p]met1 au contraire1 d'utilis] au plus haut degr possible les =ces de l'intellig5ce1 que les anci5s devai5t consum] frquemm5t sur des que/ions bi5 peu importantes4 ,une diffr5ce non mo9s capitale se manife/e entre les deux sy/mes1 qu& on vi5t considr] la gomtrie s\s le rapport concret4 ,en effet1 n\s avons rem>qu plus haut que la relation de l'ab/rait au concret en gomtrie ne peut tre solidem5t fonde sur des bases rationnelles qu'autant qu'on fait directem5t port] les re*]*es sur t\tes les =mes imag9ables4 ,en n'tudiant les lignes et les surfaces qu'une une1 quel que soit le nombre1 t\j\rs ncessairem5t =t petit1 de celles qu'on aura considres1 l'application de ?ories semblables aux =mes rellem5t exi/antes dans la nature n'aura jamais qu'un c>actre ess5tiellem5t accid5tel1 puisque ri5 n'assure que ces =mes p\rront effectivem5t r5tr] dans les types ab/raits envisags p> les gomtres4 ,il y a c]ta9em5t1 p> exemple1 quelque *ose de =tuit dans l'heureuse relation qui s'e/ tablie entre les spculations des gomtres grecs sur les sections coniques et la dt]m9ation des vritables orbites plantaires4 ,en cont9uant sur le mme plan les travaux gomtriques1 on n'avait po9t1 en gnral1 le droit d'espr] de semblables concid5ces2 et il et t possible1 dans ces tudes spciales1 que les re*]*es des gomtres se fuss5t diriges sur des =mes ab/raites indf9im5t inapplicables1 t&is qu'ils en aurai5t nglig d'autres1 susceptibles peut-tre d'une application importante et pro*a9e4 ,il e/ clair1 du mo9s1 que ri5 ne g>antissait positivem5t l'applicabilit ncessaire des spculations gomtriques4 ,il en e/ t\t autrem5t dans la gomtrie mod]ne4 ,p> cela seul qu'on y procde p> que/ions gnrales1 relatives des =mes quelconques1 on a d'avance la c]titude vid5te que les =mes ralises dans le monde extrieur se saurai5t jamais *app] *aque ?orie1 si le phnomne gomtrique qu'elle envisage vi5t s'y prs5t]4 ,p> ces div]ses considrations1 on voit que le sy/me de gomtrie des anci5s porte ess5tiellem5t le c>actre de l'enfance de la sci5ce1 qui n'a comm5c dev5ir compltem5t rationnelle que p> suite de la rvolution philosophique opre p> ,desc>tes4 ,mais il e/ vid5t1 d'un autre ct1 que la gomtrie n'a pu tre conue d'abord que de cette manire spciale4 ,la gomtrie gnrale n'et po9t t possible1 et la ncessit n'et pu mme en tre s5tie1 si une longue suite de travaux spciaux sur les =mes les plus simples n'avait po9t pralablem5t f\rni des bases la conception de ,desc>tes1 et r5du s5sible l'impossibilit de p]si/] indf9im5t dans la philosophie gomtrique primitive4 ,en prcisant autant que possible cette d]nire considration1 il faut mme en conclure que1 quoique la gomtrie que j'ai appel gnrale doive tre auj\rd'hui reg>de comme la seule vritable gomtrie dogmatique1 celle laquelle n\s n\s born]ons ess5tiellem5t1 l'autre n'ayant plus1 pr9cipalem5t1 qu'un intrt hi/orique1 nanmo9s il n'e/ pas possible de faire disp>atre entirem5t la gomtrie spciale dans une exposition rationnelle de la sci5ce4 ,on peut sans d\te se disp5s]1 comme on l'a fait depuis environ un sicle1 d'emprunt] directem5t la gomtrie anci5ne t\s les rsultats qu'elle a f\rnis4 ,les re*]*es les plus t5dues et les plus difficiles dont elle tait compose1 ne sont plus mme habituellem5t prs5tes auj\rd'hui que d'aprs la m?ode mod]ne4 ,mais1 p> la nature mme du sujet1 il e/ ncessairem5t impossible de se pass] absolum5t de la m?ode anci5ne1 qui1 quoi qu'on fasse1 s]vira t\j\rs dogmatiquem5t de base prlim9aire la sci5ce1 comme elle l'a fait hi/oriquem5t4 ,le motif en e/ facile compr5dre4 ,en effet1 la gomtrie gnrale tant ess5tiellem5t fonde1 comme n\s l'tablirons bi5tt1 sur l'emploi du calcul1 sur la trans=mation des considrations gomtriques en considrations analytiques1 une telle manire de procd] ne saurait s'emp>] du sujet immdiatem5t son orig9e4 ,n\s savons que l'application de l'analyse ma?matique1 p> sa nature1 ne peut jamais comm5c] aucune sci5ce quelconque1 puisqu'elle ne saurait avoir lieu que lorsque la sci5ce a dj t assez cultive p\r tablir1 relativem5t aux phnomnes considrs1 quelques quations qui puiss5t s]vir de po9t de d"p aux travaux analytiques4 ,ces quations fondam5tales une fois dc\v]tes1 l'analyse p]mettra d'en dduire une multitude de consqu5ces1 qu'il et t mme impossible de s\ponn] d'abord2 elle p]fectionn]a la sci5ce un degr imm5se1 soit s\s le rapport de la gnralit des conceptions1 soit quant la coord9ation complte tablie entre elles4 ,mais1 p\r con/itu] les bases mmes d'une sci5ce naturelle quelconque1 jamais1 videmm5t1 la simple analyse ma?matique ne saurait y suffire1 pas mme p\r les dmontr] de n\veau lorsqu'elles ont t dj fondes4 ,ri5 ne peut disp5s]1 cet g>d1 de l'tude directe du sujet1 p\sse jusqu'au po9t de la dc\v]te de relations prcises4 ,t5t] de faire r5tr] la sci5ce1 ds son orig9e1 dans le doma9e du calcul1 ce s]ait v\loir impos] des ?ories portant sur des phnomnes effectifs1 le c>actre de simples procds logiques1 et les priv] a9si de t\t ce qui con/itue leur corrlation ncessaire avec le monde rel4 ,en un mot1 une telle opration philosophique1 si p> elle-mme elle n'tait pas ncessairem5t contradictoire1 ne saurait ab\tir videmm5t qu' replong] la sci5ce dans le doma9e de la mtaphysique1 dont l'esprit huma9 a eu tant de pe9e se dgag] compltem5t4 ,a9si1 la gomtrie des anci5s aura t\j\rs1 p> sa nature1 une premire "p ncessaire et plus ou mo9s t5due dans le sy/me total des connaissances gomtriques4 ,elle con/itue une introduction rig\reusem5t indisp5sable la gomtrie gnrale4 ,mais c'e/ cela que n\s devons la rduire dans une exposition compltem5t dogmatique4 ,je considr]ai donc directem5t1 dans la leon suivante1 cette gomtrie spciale ou prlim9aire1 re/re9te exactem5t ses limites ncessaires1 p\r ne plus m'occup] ensuite que de l'exam5 philosophique de la gomtrie gnrale ou df9itive1 la seule vraim5t rationnelle1 et qui auj\rd'hui compose ess5tiellem5t la sci5ce4 ,,onzi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations gnrales sur la gomtrie spciale ou prlim9aire4 ,la m?ode gomtrique des anci5s devant avoir ncessairem5t1 d'aprs les motifs indiqus la f9 de la leon prcd5te1 une "p prlim9aire dans le sy/me dogmatique de la gomtrie1 p\r f\rnir la gomtrie gnrale des fondem5s indisp5sables1 il convi5t ma9t5ant de fix] d'abord en quoi consi/e /rictem5t cette fonction pralable de la gomtrie spciale1 a9si rduite au mo9dre dveloppem5t possible4 ,en la considrant s\s ce po9t de vue1 il e/ ais de reconnatre qu'on p\rrait la re/re9dre la seule tude de la ligne droite p\r ce qui conc]ne la gomtrie des lignes1 la quadrature des aires planes rectilignes1 et enf9 la cubature des corps t]m9s p> des faces planes4 ,les propositions lm5taires relatives ces trois que/ions fondam5tales con/itu5t1 en effet1 le po9t de d"p ncessaire de t\tes les re*]*es gomtriques2 elles seules ne peuv5t tre obt5ues que p> une tude directe du sujet2 t&is qu'au contraire la ?orie complte de t\tes les autres =mes quelconques1 mme celle du c]cle et des surfaces et volumes qui s'y rapport5t1 peut auj\rd'hui r5tr] entirem5t dans le doma9e de la gomtrie gnrale ou analytique1 ces lm5s primitifs f\rnissant dj des quations1 qui suffis5t p\r p]mettre l'application du calcul aux que/ions gomtriques1 qui n'et pas t possible sans cette condition pralable4 ,il rsulte de cette considration que1 dans l'usage ord9aire1 on donne la gomtrie lm5taire plus d't5due qu'il ne s]ait rig\reusem5t ncessaire1 puisque1 outre la ligne droite1 les polygones et les polydres1 on y compr5d aussi le c]cle et les corps ronds1 dont l'tude p\rrait cep5dant tre aussi purem5t analytique que celle1 p> exemple1 des sections coniques4 ,une vnration irrfl*ie p\r l'antiquit contribue1 sans d\te1 ma9t5ir ce dfaut de m?ode4 ,mais comme ce respect n'a po9t emp* de faire r5tr] dans le doma9e de la gomtrie mod]ne la ?orie des sections coniques1 il faut bi5 que1 relativem5t aux =mes circulaires1 l'habitude contraire1 encore univ]selle1 soit fonde sur d'autres motifs4 ,la raison la plus s5sible qu'on en puisse donn]1 c'e/ le grave inconvni5t qu'il y aurait1 p\r l'enseignem5t ord9aire1 aj\rn] une poque assez loigne de l'ducation ma?matique la solution de plusieurs que/ions ess5tielles1 susceptibles d'une application immdiate et cont9uelle une f\le d'usages importans4 ,p\r procd]1 en effet1 de la manire la plus rationnelle1 ce ne s]ait qu' l'aide du calcul intgral qu'on p\rrait obt5ir les intressans rsultats1 relatifs la mesure de la longueur ou de l'aire du c]cle1 ou la quadrature de la sphre1 etc41 tablis p> les anci5s d'aprs des considrations extrmem5t simples4 ,cet inconvni5t s]ait peu important1 l'g>d des esprits de/9s tudi] l'ensemble de la sci5ce ma?matique1 et l'avantage de procd] avec une rationnalit p>faite aurait1 comp>ativem5t1 une bi5 plus gr&e valeur4 ,mais1 le cas contraire tant encore le plus frqu5t1 on a d s'atta*] cons]v] dans la gomtrie lm5taire proprem5t dite des ?ories aussi ess5tielles4 ,en admettant l'influ5ce d'une telle considration1 et ne re/reignant plus cette gomtrie prlim9aire ce qui e/ /rictem5t indisp5sable1 on peut mme concevoir l'utilit1 p\r c]ta9s cas p>ticuli]s1 d'y introduire plusieurs tudes importantes qui en ont t gnralem5t exclues1 comme celles des sections coniques1 de la cyclode1 etc41 af9 de r5f]m]1 dans un enseignem5t born1 le plus gr& nombre possible de connaissances usuelles1 quoique1 mme s\s le simple rapport du temps1 il ft prfrable de suivre la m>*e la plus rationnelle4 ,je ne dois po9t1 ce sujet1 t5ir compte ici des avantages que peut prs5t] cette ext5sion habituelle de la m?ode gomtrique des anci5s au-del de la de/9ation ncessaire qui lui e/ propre1 p> la connaissance plus pr(onde qu'on acqui]t a9si de cette m?ode1 et p> la comp>aison in/ructive qui en rsulte avec la m?ode mod]ne4 ,ce sont l des qualits qui1 dans l'tude d'une sci5ce quelconque1 app>ti5n5t la m>*e que n\s avons nomme hi/orique1 et auxquelles il faut savoir r5onc] fran*em5t1 qu& on a bi5 reconnu la ncessit de suivre la m>*e vraim5t dogmatique4 ,aprs avoir conu t\tes les p>ties d'une sci5ce de la manire la plus rationnelle1 n\s savons combi5 il importe1 p\r complt] cette ducation1 d'tudi] l'hi/oire de la sci5ce1 et p> consqu5t1 de comp>] exactem5t les div]ses m?odes que l'esprit huma9 a successivem5t employes2 mais ces deux sries d'tudes doiv5t tre1 en gnral1 comme n\s l'avons vu1 soigneusem5t sp>es4 ,cep5dant1 dans le cas dont il s'agit ici1 la m?ode gomtrique des mod]nes e/ peut-tre encore trop rc5te p\r qu'il ne convi5ne pas1 af9 de la mieux c>actris] p> la comp>aison1 de trait] d'abord1 suivant la m?ode des anci5s1 c]ta9es que/ions qui1 p> leur nature1 doiv5t r5tr] rationnellem5t dans la gomtrie mod]ne4 ,quoi qu'il en soit1 c>tant ma9t5ant ces div]ses considrations accessoires1 n\s voyons que cette introduction la gomtrie1 qui ne peut tre traite que suivant la m?ode des anci5s1 e/ /rictem5t rductible l'tude de la ligne droite1 des aires polygonales et des polydres4 ,il e/ mme vraisemblable qu'on f9ira p> la re/re9dre habituellem5t ces limites ncessaires1 qu& les gr&es notions analytiques s]ont dev5ues plus familires1 et qu'une tude de l'ensemble des ma?matiques s]a univ]sellem5t reg>de comme la base philosophique de l'ducation gnrale4 ,si cette portion prlim9aire de la gomtrie1 qui ne saurait tre fonde sur l'application du calcul1 se rduit1 p> sa nature1 une suite de re*]*es fondam5tales trs-peu t5dues1 il e/ c]ta91 d'un autre ct1 qu'on ne peut la re/re9dre davantage1 quoique1 p> un vritable abus de l'esprit analytique1 on ait quelquefois essay1 dans ces d]ni]s temps1 de prs5t] s\s un po9t de vue purem5t algbrique l'tablissem5t des ?ormes pr9cipaux de la gomtrie lm5taire4 ,c'e/ a9si qu'on a prt5du dmontr] p> de simples considrations ab/raites d'analyse ma?matique la relation con/ante qui exi/e entre les trois angles d'un triangle rectiligne1 la proposition fondam5tale de la ?orie des triangles semblables1 la mesure des rectangles1 celle des p>alllipipdes1 etc41 en un mot1 prcism5t les seules propositions gomtriques qui ne puiss5t tre obt5ues que p> une tude directe du sujet1 sans que le calcul soit susceptible d'y avoir aucune "p4 ,je ne signal]ais po9t ici de telles ab]rations1 si elles n'avai5t pas t dt]m9es p> l'int5tion vid5te de p]fectionn]1 au plus haut degr possible1 le c>actre philosophique de la sci5ce gomtrique1 en la faisant r5tr] immdiatem5t1 ds sa naissance1 dans le doma9e des applications de l'analyse ma?matique4 ,mais l'erreur capitale commise cet g>d p> quelques gomtres doit tre soigneusem5t rem>que1 p>ce qu'elle rsulte de l'exagration irrfl*ie de cette t5dance auj\rd'hui trs-naturelle et m9emm5t philosophique1 qui porte t5dre de plus en plus l'influ5ce de l'analyse dans les tudes ma?matiques4 ,la contemplation des rsultats prodigieux auxquels l'esprit huma9 e/ p>v5u en suivant une telle direction1 a d involontairem5t entran] croire que mme les fondem5s de la ma?matique concrte p\rrai5t tre tablis sur de simples considrations analytiques4 ,ce n'e/ po9t1 en effet1 p\r la gomtrie seulem5t que n\s devons not] de semblables ab]rations2 n\s aurons bi5tt en con/at] de p>faitem5t analogues relativem5t la mcanique1 l'occasion des prt5dues dmon/rations analytiques du p>alllogramme des =ces4 ,cette confusion logique a mme auj\rd'hui bi5 plus de gravit en mcanique1 o elle contribue effectivem5t rp&re encore un nuage mtaphysique sur le c>actre gnral de la sci5ce2 t&is que1 du mo9s en gomtrie1 ces considrations ab/raites ont t jusqu'ici laisses en dehors1 sans s'incorpor] l'exposition normale de la sci5ce4 ,d'aprs les pr9cipes prs5ts dans cet ouvrage1 sur la philosophie ma?matique1 il n'e/ pas ncessaire d'insi/] beauc\p p\r faire s5tir le vice d'une telle manire de procd]4 ,n\s avons dj reconnu1 en effet1 que le calcul n'tant et ne p\vant tre qu'un moy5 de dduction1 c'e/ s'en =m] une ide radicalem5t fausse que de v\loir l'employ] tablir les fondem5s lm5taires d'une sci5ce quelconque2 c>1 sur quoi repos]ai5t1 dans une telle opration1 les argum5tations analytiques8 ,un travail de cette nature1 bi5 lo9 de p]fectionn] vritablem5t le c>actre philosophique d'une sci5ce1 con/itu]ait un ret\r v]s l'tat mtaphysique1 en prs5tant des connaissances relles comme de simples ab/ractions logiques4 ,qu& on exam9e en elles-mmes ces prt5dues dmon/rations analytiques des propositions fondam5tales de la gomtrie lm5taire1 on vrifie aism5t leur insignifiance ncessaire4 ,elles sont t\tes fondes sur une manire vicieuse de concevoir le pr9cipe de l'homognx1 dont j'ai expos1 dans la c9quime leon1 la vritable notion gnrale4 ,ces dmon/rations suppos5t que ce pr9cipe ne p]met po9t d'admettre la coexi/5ce dans une mme quation de nombres obt5us p> des comp>aisons concrtes diffr5tes1 ce qui e/ videmm5t faux et visiblem5t contraire la m>*e con/ante des gomtres4 ,aussi1 il e/ facile de reconnatre qu'en employant la loi de l'homognx dans cette acception arbitraire et illgitime1 on p\rrait p>v5ir dmontr] avec t\t autant de rigueur app>5te des propositions dont l'absurdit e/ manife/e au premi] c\p-d'oeil4 ,en exam9ant avec att5tion1 p> exemple1 le procd l'aide duquel on a t5t de pr\v] analytiquem5t que la somme des trois angles d'un triangle rectiligne quelconque e/ con/amm5t gale deux angles droits1 on voit qu'il e/ fond sur cette notion prlim9aire1 que si deux triangles ont deux de leurs angles respectivem5t gaux1 le troisime angle s]a aussi1 de "p et d'autre1 ncessairem5t gal4 ,ce premi] po9t tant accord1 la relation propose s'en dduit immdiatem5t1 d'une manire trs-exacte et =t simple4 ,or1 la considration analytique1 d'aprs laquelle on a v\lu tablir cette proposition pralable1 e/ d'une telle nature que1 si elle p\vait tre ju/e1 on en dduirait rig\reusem5t1 en la reproduisant en s5s inv]se1 cette absurdit palpable1 que deux cots d'un triangle suffis5t1 sans aucun angle1 l'entire dt]m9ation du troisime ct4 ,on peut faire des rem>ques analogues sur t\tes les dmon/rations de ce g5re1 dont le sophisme s]a a9si vrifi d'une manire p>faitem5t s5sible4 ,plus n\s devons ici considr] la gomtrie comme tant auj\rd'hui ess5tiellem5t analytique1 plus il tait ncessaire de prmunir les esprits contre cette exagration abusive de l'analyse ma?matique1 suivant laquelle on prt5drait se disp5s] de t\te obs]vation gomtrique proprem5t dite1 en tablissant sur de pures ab/ractions algbriques les fondem5s mmes de cette sci5ce naturelle4 ,j'ai d atta*] d'autant plus d'importance c>actris] des ab]rations a9si lies au dveloppem5t normal de l'esprit huma91 qu'elles ont t p\r a9si dire consacres dans ces d]ni]s temps p> l'ass5tim5t =mel d'un gomtre =t di/+u1 dont l'autorit ex]ce sur l'enseignem5t lm5taire de la gomtrie une trs-gr&e influ5ce4 ,je crois devoir rem>qu] cette occasion que1 s\s plus d'un autre rapport1 on a1 ce me semble1 trop p]du de vue le c>actre de sci5ce naturelle ncessairem5t inhr5t la gomtrie4 ,il e/ ais de le reconnatre1 en considrant les va9s ef=ts t5ts si long-temps p> les gomtres p\r dmontr] rig\reusem5t1 non l'aide du calcul1 mais d'aprs c]ta9es con/ructions1 plusieurs propositions fondam5tales de la gomtrie lm5taire4 ,quoi qu'on puisse faire1 on ne saurait videmm5t vit] de rec\rir quelquefois en gomtrie la simple obs]vation immdiate1 comme moy5 d'tablir div]s rsultats4 ,si1 dans cette sci5ce1 les phnomnes que l'on considre sont1 en v]tu de leur extrme simplicit1 beauc\p plus lis entr'eux que ceux relatifs t\te autre sci5ce physique1 il doit nanmo9s s'en tr\v] ncessairem5t quelques-uns qui ne peuv5t tre dduits1 et qui s]v5t au contraire de po9t de d"p4 ,qu'il convi5ne1 en ?se gnrale1 p\r la plus gr&e p]fection rationnelle de la sci5ce1 de les rduire au plus petit nombre possible1 cela e/ sans d\te inconte/able2 mais il s]ait absurde de prt5dre les faire disp>atre compltem5t4 ,j'av\e d'ailleurs que je tr\ve mo9s d'inconvni5s rels t5dre un peu au del de ce qui s]ait /rictem5t ncessaire le nombre de ces notions gomtriques a9si tablies p> l'obs]vation immdiate1 p\rvu qu'elles soi5t d'une simplicit suffisante1 qu' en faire le sujet de dmon/rations compliques et indirectes1 mme qu& ces dmon/rations peuv5t tre logiquem5t irrpro*ables4 ,aprs avoir c>actris aussi exactem5t que possible la vritable de/9ation dogmatique de la gomtrie des anci5s rduite son mo9dre dveloppem5t indisp5sable1 il convi5t de considr] sommairem5t dans son ensemble *acune des p>ties pr9cipales dont elle doit se compos]4 ,je crois p\voir me born] ici envisag] la premire et la plus t5due de ces p>ties1 celle qui a p\r objet l'tude de la ligne droite2 les deux autres sections1 savoir3 la quadrature des polygones et la cubature des polydres1 ne p\vant donn] lieu1 vu leur nature trop re/re9te1 aucune considration philosophique de quelque importance1 di/9cte de celles indiques dans la leon prcd5te relativem5t la mesure des aires et des volumes en gnral4 ,la "q df9itive que l'on a con/amm5t en vue dans l'tude de la ligne droite1 consi/e proprem5t dt]m9] les uns p> les autres les div]s lm5s d'une figure rectiligne quelconque1 ce qui p]met de connatre t\j\rs indirectem5t une ligne droite dans quelques circon/ances qu'elle puisse tre place4 ,ce problme fondam5tal e/ susceptible de deux solutions gnrales1 dont la nature e/ t\t--fait di/9cte1 l'une graphique1 l'autre algbrique4 ,la premire1 quoique =t imp>faite1 e/ celle qu'on doit considr] d'abord1 p>ce qu'elle drive spontanm5t de l'tude directe du sujet2 la seconde1 bi5 plus p>faite s\s les rapports les plus importans1 ne peut tre tudie qu'en d]ni] lieu1 p>ce qu'elle e/ fonde sur la connaissance pralable de l'autre4 ,la solution graphique consi/e rapport] volont la figure propose1 soit avec les mmes dim5sions1 soit surt\t avec des dim5sions v>ies dans une proportion quelconque4 ,le premi] mode ne peut gure tre m5tionn que p\r mmoire1 comme tant le plus simple1 et celui que l'esprit doit envisag] d'abord1 c> il e/1 videmm5t1 d'ailleurs presque entirem5t inapplicable p> sa nature4 ,le second e/1 au contraire1 susceptible de l'application la plus t5due et la plus utile4 ,n\s en faisons encore auj\rd'hui un usage important et cont9uel1 non-seulem5t p\r reprs5t] exactem5t les =mes des corps et leurs positions mutuelles1 mais mme p\r la dt]m9ation effective des gr&eurs gomtriques1 qu& n\s n'avons pas beso9 d'une gr&e prcision4 ,les anci5s1 vu l'imp]fection de leurs connaissances gomtriques1 employai5t ce procd d'une manire beauc\p plus t5due1 puisqu'il a t long-temps le seul qu'ils puss5t appliqu]1 mme dans les dt]m9ations prcises les plus importantes4 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 qu',ari/>que de ,samos e/imait la di/ance relative du soleil et de la lune la t]re1 en pr5ant des mesures sur un triangle con/ruit le plus exactem5t possible de faon tre semblable au triangle rectangle =m p> les trois a/res1 l'in/ant o la lune se tr\ve en quadrature1 et o1 en consqu5ce1 il suffirait1 p\r df9ir le triangle1 d'obs]v] l'angle la t]re4 ,ar*imde lui-mme1 quoiqu'ayant1 le premi]1 introduit en gomtrie les dt]m9ations calcules1 a plusieurs fois employ de semblables moy5s4 ,la =mation de la trigonomtrie n'y a pas fait mme r5onc] entirem5t1 quoiqu'elle en ait beauc\p dim9u l'usage2 les ,grecs et les ,arabes ont cont9u s'en s]vir p\r une f\le de re*]*es1 o n\s reg>dons auj\rd'hui l'emploi du calcul comme indisp5sable4 ,cette exacte reproduction d'une figure quelconque suivant une *elle diffr5te1 ne peut prs5t] aucune gr&e difficult ?orique lorsque t\tes les p>ties de la figure propose sont comprises dans un mme plan4 ,mais1 si l'on suppose1 comme il arrive le plus s\v5t1 qu'elles soi5t situes dans des plans diffr5s1 on voit natre alors un n\vel ordre de considrations gomtriques4 ,la figure artificielle1 qui e/ con/amm5t plane1 ne p\vant plus1 en ce cas1 tre une image p>faitem5t fidle de la figure relle1 il faut d'abord fix] avec prcision le mode de reprs5tation1 ce qui donne lieu aux div]s sy/mes de projection4 ,cela pos1 il re/e dt]m9] suivant quelles lois les phnomnes gomtriques se correspond5t dans les deux figures4 ,cette considration eng5dre une n\velle srie de re*]*es gomtriques1 dont l'objet df9itif e/ proprem5t de dc\vrir comm5t on p\rra remplac] les con/ructions en relief p> des con/ructions planes4 ,les anci5s ont eu rs\dre plusieurs que/ions lm5taires de ce g5re1 p\r les div]s cas o n\s employons auj\rd'hui la trigonomtrie sphrique2 et pr9cipalem5t p\r les diffr5s problmes relatifs la sphre cle/e4 ,telle tait la de/9ation de leurs analemnes1 et des autres figures planes qui ont suppl p5dant si long-temps l'usage du calcul4 ,on voit p> l que les anci5s connaissai5t rellem5t les lm5s de ce que n\s nommons ma9t5ant la gomtrie descriptive1 quoiqu'ils ne les euss5t po9t conu d'une manire di/9cte et gnrale4 ,je crois conv5able de signal] ici rapidem5t1 cette occasion1 le vritable c>actre philosophique de cette gomtrie descriptive1 bi5 que1 comme tant une sci5ce ess5tiellem5t d'application1 elle ne doive pas tre comprise dans le doma9e propre de cet ouvrage1 tel que je l'ai circonscrit en comm5ant4 ,t\tes les que/ions quelconques de gomtrie trois dim5sions1 donn5t lieu ncessairem5t1 qu& on considre leur solution graphique1 une difficult gnrale qui leur e/ propre1 celle de sub/itu] aux div]ses con/ructions en relief ncessaires p\r les rs\dre1 et qui sont presque t\j\rs d'une excution impossible1 de simples con/ructions planes quival5tes1 susceptibles de dt]m9] f9alem5t les mmes rsultats4 ,sans cette indisp5sable conv]sion1 *aque solution de ce g5re s]ait videmm5t incomplte et rellem5t inapplicable dans la pratique1 quoique1 p\r la ?orie1 les con/ructions dans l'espace soi5t ord9airem5t prfrables comme plus directes4 ,c'e/ af9 de f\rnir les moy5s gnraux d'effectu] con/amm5t une telle trans=mation que la gomtrie descriptive a t cre1 et con/itue en un corps de doctr9e di/9ct et homogne p> une vue de gnie de notre illu/re ,monge4 ,il a pralablem5t conu un mode uni=me de reprs5t] les corps p> des figures traces sur un seul plan1 l'aide des projections sur deux plans diffr5s1 ord9airem5t p]p5diculaires entre eux1 et dont l'un e/ suppos t\rn] aut\r de leur int]section commune p\r v5ir se confondre avec le prolongem5t de l'autre2 il a suffi1 dans ce sy/me1 ou dans t\t autre quival5t1 de reg>d] les po9ts et les lignes1 comme dt]m9s p> leurs projections1 et les surfaces p> les projections de leurs gnratrices4 ,cela pos1 ,monge1 analysant avec une pr(onde sagacit les div]s travaux p>tiels de ce g5re excuts avant lui d'aprs une f\le de procds incohr5s1 et considrant mme1 d'une manire gnrale et directe1 en quoi devai5t consi/] con/amm5t les que/ions quelconques de cette nature1 a reconnu qu'elles tai5t t\j\rs rductibles un trs-petit nombre de problmes ab/raits inv>iables1 susceptibles d'tre rsolus sp>m5t une fois p\r t\tes p> des oprations uni=mes1 et qui se rapport5t ess5tiellem5t les uns aux contacts et les autres aux int]sections des surfaces4 ,ayant =m des m?odes simples et entirem5t gnrales p\r la solution graphique de ces deux ordres de problmes1 t\tes les que/ions gomtriques auxquelles peuv5t donn] lieu les div]s arts quelconques de con/ruction1 la c\pe des pi]res1 la *>p5te1 la p]spective1 la gnonomonique1 la =tification1 etc41 ont pu tre traites dsormais comme de simples cas p>ticuli]s d'une ?orie unique1 dont l'application inv>iable conduira t\j\rs ncessairem5t une solution exacte1 susceptible d'tre facilite dans la pratique en pr(itant des circon/ances propres *aque cas4 ,cette importante cration mrite s+ulirem5t de fix] l'att5tion de t\s les philosophes qui considr5t l'ensemble des oprations de l'espce huma9e1 comme tant un premi] pas1 et jusqu'ici le seul rellem5t complet1 v]s cette rnovation gnrale des travaux huma9s1 qui doit imprim] t\s nos arts un c>actre de prcision et de rationnalit1 si ncessaire leurs progrs futurs4 ,une telle rvolution devait1 en effet1 comm5c] 9vitablem5t p> cette classe de travaux indu/riels qui se rapporte ess5tiellem5t la sci5ce la plus simple1 la plus p>faite1 et la plus anci5ne4 ,elle ne peut manqu] de s't5dre successivem5t dans la suite1 quoique avec mo9s de facilit1 t\tes les autres oprations pratiques4 ,n\s aurons mme bi5tt occasion de rem>qu] que ,monge1 qui a conu plus pr(ondm5t que p]sonne la vritable philosophie des arts1 avait essay d'bau*] p\r l'indu/rie mcanique une doctr9e correspondante celle qu'il avait si heureusem5t =me p\r l'indu/rie gomtrique1 mais sans obt5ir p\r ce cas1 dont la difficult e/ bi5 suprieure1 aucun autre succs que celui d'indiqu] assez nettem5t la direction que doiv5t pr5dre les re*]*es de cette nature4 ,quelqu'ess5tielle que soit rellem5t la conception de la gomtrie descriptive1 il importe beauc\p de ne pas se mpr5dre sur la vritable de/9ation qui lui e/ si expressm5t propre1 comme l'ont fait1 surt\t dans les premi]s temps de cette dc\v]te1 ceux qui y ont vu un moy5 d'agr&ir le doma9e gnral et ab/rait de la gomtrie rationnelle4 ,l'vnem5t n'a nullem5t rpondu depuis ces esprances mal conues4 ,et1 en effet1 n'e/-il pas vid5t que la gomtrie descriptive n'a de valeur spciale que comme sci5ce d'application1 comme con/ituant la vritable ?orie propre des arts gomtriques8 ,considre s\s le rapport ab/rait1 elle ne saurait introduire aucun ordre vraim5t di/9ct de spculations gomtriques4 ,il ne faut po9t p]dre de vue que1 p\r qu'une "q gomtrique tombe dans le doma9e propre de la gomtrie descriptive1 elle doit ncessairem5t avoir t\j\rs t rsolue pralablem5t p> la gomtrie spculative1 dont ensuite1 comme n\s l'avons vu1 les solutions ont con/amm5t beso9 d'tre prp>es p\r la pratique de manire suppler aux con/ructions en relief p> des con/ructions planes1 sub/itution qui con/itue rellem5t la seule fonction c>actri/ique de la gomtrie descriptive4 ,il convi5t nanmo9s de rem>qu] ici que1 s\s le rapport de l'ducation intellectuelle1 l'tude de la gomtrie descriptive prs5te une importante proprit philosophique1 t\t--fait indp5dante de sa haute utilit indu/rielle4 ,c'e/ l'avantage qu'elle (fre si m9emm5t1 en habituant considr] dans l'espace des sy/mes gomtriques quelquefois trs-composs1 et suivre exactem5t leur correspondance cont9uelle avec les figures effectivem5t traces1 d'ex]c] a9si au plus haut degr de la manire la plus sre et la plus prcise1 cette importante facult de l'esprit huma9 qu'on appelle l'imag9ation proprem5t dite1 et qui consi/e1 dans son acception lm5taire et positive1 se reprs5t] nettem5t1 avec facilit1 un va/e ensemble v>iable d'objets fictifs1 comme s'ils tai5t s\s nos yeux4 ,enf91 p\r a*ev] d'indiqu] la nature gnrale de la gomtrie descriptive en dt]m9ant son c>actre logique1 n\s devons obs]v] que si1 p> le g5re de ses solutions1 elle app>ti5t la gomtrie des anci5s1 d'un autre ct elle se rappro*e de la gomtrie des mod]nes p> l'espce des que/ions qui la compos5t4 ,ces que/ions sont1 en effet1 m9emm5t rem>quables p> cette gnralit que n\s avons vue1 dans la d]nire leon1 con/itu] le vrai c>actre fondam5tal de la gomtrie mod]ne2 les m?odes y sont t\j\rs conues comme applicables des =mes quelconques1 les p>ticul>its propres *aque =me n'y p\vant avoir qu'une influ5ce purem5t secondaire4 ,les solutions y sont donc graphiques comme la plup>t de celles des anci5s1 et gnrales comme celles des mod]nes4 ,aprs cette importante digression1 dont le lecteur aura sans d\te reconnu la ncessit1 p\rsuivons l'exam5 philosophique de la gomtrie spciale1 considre t\j\rs comme rduite son mo9dre dveloppem5t possible1 p\r s]vir d'introduction indisp5sable la gomtrie gnrale4 ,ayant suffisamm5t envisag la solution graphique du problme fondam5tal relatif la ligne droite1 c'e/--dire1 de la dt]m9ation les uns p> les autres des div]s lm5s d'une figure rectiligne quelconque1 n\s devons ma9t5ant en exam9] d'une manire gnrale la solution algbrique4 ,cette seconde solution1 dont il e/ inutile ici d'apprci] expressm5t la supriorit vid5te1 app>ti5t ncessairem5t1 p> la nature mme de la "q1 au sy/me de la gomtrie anci5ne1 quoique le procd logique employ l'en fasse ord9airem5t sp>] mal propos4 ,n\s avons lieu de vrifi] a9si1 s\s un rapport trs-important1 ce qui a t tabli en gnral dans la leon prcd5te1 que ce n'e/ po9t p> l'emploi du calcul qu'on doit di/+u] ess5tiellem5t la gomtrie mod]ne de celle des anci5s4 ,les anci5s sont1 en effet1 les vrais inv5teurs de la trigonomtrie actuelle1 tant sphrique que rectiligne1 qui seulem5t tait beauc\p mo9s p>faite entre leurs ma9s1 vu l'extrme infriorit de leurs connaissances algbriques4 ,c'e/ donc rellem5t dans cette leon1 et non1 comme on p\rrait le croire d'abord1 dans celles que n\s consacr]ons ensuite l'exam5 philosophique de la gomtrie gnrale1 qu'il convi5t d'apprci] le c>actre de cette importante ?orie prlim9aire1 habituellem5t comprise tort dans ce qu'on appelle la gomtrie analytique1 et qui n'e/ effectivem5t qu'un complm5t de la gomtrie lm5taire proprem5t dite4 ,t\tes les figures rectilignes p\vant tre dcomposes en triangles1 il suffit videmm5t de savoir dt]m9] les uns p> les autres les div]s lm5s d'un triangle1 ce qui rduit la polygonomtrie la simple trigonomtrie4 ,p\r qu'une telle "q puisse tre rsolue algbriquem5t1 la difficult consi/e ess5tiellem5t =m] entre les angles et les cts d'un triangle trois quations di/9ctes1 qui1 une fois obt5ues1 rduiront videmm5t t\s les problmes trigonomtriques de pures re*]*es de calcul4 ,en considrant de la manire la plus gnrale l'tablissem5t de ces quations1 on voit natre immdiatem5t une di/9ction fondam5tale relativem5t au mode d'introduction des angles dans le calcul1 suivant qu'on les y f]a entr] directem5t p> eux-mmes ou p> les arcs circulaires qui leur sont proportionnels1 ou que1 au contraire1 on leur sub/itu]a c]ta9es droites1 comme1 p> exemple1 les cordes de ces arcs qui leur sont inhr5tes1 et que1 p> cette raison1 on appelle ord9airem5t leurs lignes trigonomtriques4 ,de ces deux sy/mes de trigonomtrie1 le second a d tre1 l'orig9e1 le seul adopt1 comme tant le seul praticable1 puisque l'tat de la gomtrie p]mettait alors de tr\v] assez aism5t des relations exactes entre les cts des triangles et les lignes trigonomtriques des angles1 t&is qu'il et t absolum5t impossible1 cette poque1 d'tablir des quations entre les cts et les angles eux-mmes4 ,la solution p\vant auj\rd'hui tre obt5ue indiffremm5t dans l'un et dans l'autre sy/me1 ce motif de prfr5ce ne subsi/e plus4 ,mais les gomtres n'en ont pas mo9s d p]si/] suivre p> *oix le sy/me primitivem5t admis p> ncessit2 c>1 la mme raison qui a p]mis a9si d'obt5ir les quations trigonomtriques avec beauc\p plus de facilit1 doit galem5t1 comme il e/ encore plus ais de le concevoir priori1 r5dre ces quations bi5 plus simples1 puisqu'elles exi/5t alors seulem5t entre des lignes droites1 au lieu d'tre tablies entre des lignes droites et des arcs de c]cle4 ,une telle considration a d'autant plus d'importance qu'il s'agit l de =mules m9emm5t lm5taires1 de/9es tre cont9uellem5t employes dans t\tes les p>ties de la sci5ce ma?matique aussi bi5 que dans t\tes ses div]ses applications4 ,on peut object]1 il e/ vrai1 que1 lorsqu'un angle e/ donn1 c'e/ t\j\rs en effet p> lui-mme et non p> sa ligne trigonomtrique2 et que1 lorsqu'il e/ inconnu1 c'e/ sa valeur angulaire qu'il s'agit proprem5t de dt]m9]1 et non celle d'aucune de ses lignes trigonomtriques4 ,il semble1 d'aprs cela1 que de telles lignes ne sont entre les cts et les angles qu'un int]mdiaire inutile1 qui doit tre f9alem5t lim91 et dont l'introduction ne p>at po9t susceptible de simplifi] la re*]*e qu'on se propose4 ,il importe1 en effet1 d'expliqu] avec plus de gnralit et de prcision qu'on ne le fait d'ord9aire l'imm5se utilit relle de cette manire de procd]4 ,elle consi/e en ce que l'introduction de ces gr&eurs auxiliaires p>tage la "q totale de la trigonomtrie en deux autres ess5tiellem5t di/9ctes1 dont l'une a p\r objet de pass] des angles leurs lignes trigonomtriques ou rciproquem5t1 et dont l'autre se propose de dt]m9] les cts des triangles p> les lignes trigonomtriques de leurs angles ou rciproquem5t4 ,or1 la premire de ces deux que/ions fondam5tales e/ videmm5t susceptible1 p> sa nature1 d'tre entirem5t traite et rduite en tables numriques une fois p\r t\tes1 en considrant t\s les angles possibles1 puisqu'elle ne dp5d que de ces angles1 et nullem5t des triangles p>ticuli]s o ils peuv5t entr] dans *aque cas2 t&is que la solution de la seconde "q doit ncessairem5t tre r5\vele1 du mo9s s\s le rapport ari?mtique1 *aque n\veau triangle qu'il faut rs\dre4 ,c'e/ p\rquoi la premire portion du travail total1 qui s]ait prcism5t la plus pnible1 n'e/ plus compte ord9airem5t1 tant t\j\rs faite d'avance2 t&is que si une telle dcomposition n'avait po9t t in/itue1 on se s]ait tr\v videmm5t dans l'obligation de recomm5c] dans *aque cas p>ticuli] le calcul t\t enti]4 ,telle e/ la proprit ess5tielle du sy/me trigonomtrique adopt1 qui1 en effet1 ne prs5t]ait rellem5t aucun avantage effectif si1 p\r *aque angle considr]1 il fallait calcul] cont9uellem5t sa ligne trigonomtrique ou rciproquem5t3 l'int]mdiaire s]ait alors plus gnant que commode4 ,af9 de compr5dre nettem5t la vraie nature de cette conception1 il s]a utile de la comp>] une conception encore plus importante1 de/9e produire un effet analogue1 soit s\s le rapport algbrique1 soit surt\t s\s le rapport ari?mtique1 l'admirable ?orie des log>i?mes4 ,en exam9ant d'une manire philosophique l'influ5ce de cette ?orie1 on voit1 en effet1 que son rsultat gnral e/ d'avoir dcompos t\tes les oprations ari?mtiques imag9ables en deux p>ties di/9ctes1 dont la premire1 qui e/ la plus complique1 e/ susceptible d'tre excute l'avance une fois p\r t\tes1 comme ne dp5dant que des nombres considr] et nullem5t des div]ses comb9aisons quelconques dans lesquelles ils peuv5t entr]1 et qui consi/e se reprs5t] t\s les nombres comme des puissances assignables d'un nombre con/ant2 la seconde p>tie du calcul1 qui doit ncessairem5t tre recomm5ce p\r *aque =mule n\velle valu]1 tant ds lors rduite excut] sur ces exposans des oprations corrlatives inf9im5t plus simples4 ,je me borne indiqu] ce rappro*em5t1 que *acun peut aism5t dvelopp]4 ,n\s devons de plus obs]v] comme une proprit1 secondaire auj\rd'hui1 mais capitale l'orig9e1 du sy/me trigonomtrique adopt1 la circon/ance trs-rem>quable que la dt]m9ation des angles p> leurs lignes trigonomtriques ou rciproquem5t1 e/ susceptible d'une solution ari?mtique1 la seule qui soit directem5t indisp5sable p\r la de/9ation propre de la trigonomtrie1 sans avoir pralablem5t rsolu la "q algbrique correspondante4 ,c'e/ sans d\te une telle p>ticul>it que les anci5s ont d de p\voir connatre la trigonomtrie4 ,la re*]*e a9si conue a t d'autant plus facile que1 les anci5s ayant pris naturellem5t la corde p\r ligne trigonomtrique1 les tables se tr\vai5t avoir t d'avance con/ruites en p>tie p\r un t\t autre motif1 en v]tu du travail d',ar*imde sur la rectification du c]cle1 d'o rsultait la dt]m9ation effective d'une c]ta9e suite de cordes1 en sorte que1 lorsque plus t>d ,hipp>que eut inv5t la trigonomtrie1 il put se born] complt] cette opration p> des int]calations conv5ables1 ce qui m>que nettem5t la filiation des ides cet g>d4 ,af9 d'esquiss] entirem5t cet ap]u philosophique de la trigonomtrie1 il convi5t d'obs]v] ma9t5ant que l'ext5sion du mme motif qui conduit remplac] les angles ou les arcs de c]cle p> des ligues droites dans la vue de simplifi] les quations1 doit aussi port] employ] concurremm5t plusieurs lignes trigonomtriques1 au lieu de se born] une seule1 comme le faisai5t les anci5s1 p\r p]fectionn] ce sy/me en *oisissant celle qui s]a algbriquem5t la plus conv5able en telle ou telle occasion4 ,s\s ce rapport1 il e/ clair que le nombre de ces lignes n'e/ p> lui-mme nullem5t limit2 p\rvu qu'elles soi5t dt]m9es d'aprs l'arc1 et que rciproquem5t elles le dt]m95t1 suivant quelque loi qu'elles en driv5t d'ailleurs1 elles sont aptes lui tre sub/itues dans les quations4 ,en se bornant aux con/ructions les plus simples1 les ,arabes et les mod]nes ensuite ont successivem5t port quatre ou c9q le nombre des lignes trigonomtriques directes1 qui p\rrait tre t5du bi5 davantage4 ,mais1 au lieu de rec\rir des =mations gomtriques qui f9irai5t p> dev5ir trs-compliques1 on conoit avec une extrme facilit autant de n\velles lignes trigonomtriques que peuv5t l'exig] les trans=mations analytiques1 au moy5 d'un artifice rem>quable1 qui n'e/ pas ord9airem5t saisi d'une manire assez gnrale4 ,il consi/e1 sans multipli] immdiatem5t les lignes trigonomtriques propres *aque arc considr1 en introduire de n\velles en reg>dant cet arc comme dt]m9 indirectem5t p> t\tes les lignes relatives un arc qui soit une fonction trs-simple du premi]4 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 que s\v5t1 p\r calcul] un angle avec plus de facilit1 on dt]m9]a1 au lieu de son s9us1 le s9us de sa moiti ou de son d\ble1 etc4 ,une telle cration de lignes trigonomtriques indirectes e/ videmm5t bi5 plus fconde que t\s les procds gomtriques immdiats p\r en obt5ir de n\velles4 ,on peut dire1 d'aprs cela1 que le nombre des lignes trigonomtriques effectivem5t employes auj\rd'hui p> les gomtres e/ rellem5t indf9i1 puisque1 *aque in/ant p\r a9si dire1 les trans=mations analytiques peuv5t conduire l'augm5t] p> le procd que je vi5s d'indiqu]4 ,seulem5t1 on n'a donn jusqu'ici de noms spciaux qu' celles de ces lignes indirectes qui se rapport5t au complm5t de l'arc primitif1 les autres ne rev5ant pas assez frquemm5t p\r ncessit] de semblables dnom9ations1 ce qui a fait communm5t mconnatre la vritable t5due du sy/me trigonomtrique4 ,cette multiplicit des lignes trigonomtriques fait natre videmm5t1 dans la trigonomtrie1 une troisime "q fondam5tale1 l'tude des relations qui exi/5t entre ces div]ses lignes2 puisque1 sans une telle connaissance1 on ne p\rrait po9t utilis]1 p\r les beso9s analytiques1 cette v>it de gr&eurs auxiliaires1 qui n'a p\rtant pas d'autre de/9ation4 ,il e/ clair1 en outre1 d'aprs la considration indique t\t l'heure1 que cette p>tie ess5tielle de la trigonomtrie1 quoique simplem5t prp>atoire1 e/1 p> sa nature1 susceptible d'une ext5sion indf9ie qu& on l'envisage dans son entire gnralit1 t&is que les deux autres sont ncessairem5t circonscrites dans un cadre rig\reusem5t df9i4 ,je n'ai pas beso9 d'aj\t] expressm5t que ces trois p>ties pr9cipales de la trigonomtrie doiv5t tre tudies dans un ordre prcism5t inv]se de celui suivant lequel n\s les avons vues driv] ncessairem5t de la nature gnrale du sujet2 c> la troisime e/ visiblem5t indp5dante des deux autres1 et la seconde de celle qui s'e/ prs5te la premire1 la rsolution des triangles proprem5t dite1 qui doit1 p\r cette raison1 tre traite en d]ni] lieu1 ce qui r5dait d'autant plus importante la considration de la filiation naturelle4 ,il tait inutile d'envisag] ici di/9ctem5t la trigonomtrie sphrique1 qui ne peut donn] lieu aucune considration philosophique spciale1 puisque1 quelque ess5tielle qu'elle soit p> l'importance et la multiplicit de ses usages1 on ne peut plus la trait] auj\rd'hui1 dans son ensemble1 que comme une simple application de la trigonomtrie rectiligne1 qui f\rnit immdiatem5t ses quations fondam5tales1 en sub/ituant au triangle sphrique l'angle tridre correspondant4 ,j'ai cru devoir indiqu] cette exposition sommaire de la philosophie trigonomtrique1 qui p\rrait d'ailleurs donn] lieu beauc\p d'autres considrations intressantes1 af9 de r5dre s5sibles1 p> un exemple important1 cet en*anem5t rig\reux et cette ramification successive que prs5t5t les que/ions les plus simples en app>5ce de la gomtrie lm5taire4 ,avant a9si suffisamm5t considr p\r le b de cet ouvrage le c>actre propre de la gomtrie spciale1 rduite sa seule de/9ation dogmatique1 de f\rnir la gomtrie gnrale une base prlim9aire indisp5sable1 n\s devons dsormais port] t\te notre att5tion sur la vritable sci5ce gomtrique1 envisage dans son ensemble de la manire la plus rationnelle4 ,il faut d'abord1 cet effet1 soigneusem5t exam9] la gr&e ide-mre de ,desc>tes1 sur laquelle elle e/ entirem5t fonde1 ce qui f]a l'objet de la leon suivante4 ,,d\zi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,conception fondam5tale de la gomtrie gnrale ou analytique4 ,la gomtrie gnrale tant entirem5t fonde sur la trans=mation des considrations gomtriques en considrations analytiques quival5tes1 n\s devons d'abord exam9] directem5t et d'une manire appr(ondie la belle conception d'aprs laquelle ,desc>tes a tabli uni=mm5t la possibilit con/ante d'une telle corlation4 ,outre son extrme importance propre1 comme moy5 de p]fectionn] m9emm5t la sci5ce gomtrique1 ou plutt de la con/itu] dans son ensemble sur des bases rationnelles1 l'tude philosophique de cette admirable conception doit avoir nos yeux un intrt d'autant plus lev1 qu'elle c>actrise avec une p>faite vid5ce la m?ode gnrale employ] p\r organis] les relations de l'ab/rait au concret en ma?matique1 p> la reprs5tation analytique des phnomnes naturels4 ,il n'y a po9t1 dans la philosophie ma?matique1 de p5se qui mrite davantage de fix] t\te notre att5tion4 ,af9 de p>v5ir exprim] p> de simples relations analytiques t\s les div]s phnomnes gomtriques que l'on peut imag9]1 il faut videmm5t tablir d'abord un mode gnral p\r reprs5t] analytiquem5t les sujets mmes dans lesquels ces phnomnes rsid5t1 c'e/--dire les lignes ou les surfaces considr]4 ,le sujet tant a9si habituellem5t envisag s\s un po9t de vue purem5t analytique1 on compr5d que ds-lors il a t possible de concevoir de la mme manire les accid5s quelconques dont il e/ susceptible4 ,p\r organis] la reprs5tation des =mes gomtriques p> des quations analytiques1 on doit surmont] pralablem5t une difficult fondam5tale1 celle de rduire des ides simplem5t numriques les lm5s gnraux des div]ses notions gomtriques2 en un mot1 de sub/itu]1 en gomtrie1 de pures considrations de quantit t\tes les considrations de qualit4 cet effet1 obs]vons d'abord que t\tes les ides gomtriques se rapport5t ncessairem5t ces trois catgories univ]selles3 la gr&eur1 la =me et la position des t5dues considr]4 ,quant la premire1 il n'y a videmm5t aucune difficult2 elle r5tre immdiatem5t dans les ides de nombres4 ,p\r la seconde1 il faut rem>qu] qu'elle e/ t\j\rs rductible p> sa nature la troisime4 ,c> la =me d'un corps rsulte videmm5t de la position mutuelle des diffr5s po9ts dont il e/ compos1 en sorte que l'ide de position compr5d ncessairem5t celle de =me1 et que t\te circon/ance de =me peut tre traduite p> une circon/ance de position4 ,c'e/ a9si1 en effet1 que l'esprit huma9 a procd p\r p>v5ir la reprs5tation analytique des =mes gomtriques1 la conception n'tant directem5t relative qu'aux positions4 ,t\te la difficult lm5taire se rduit donc proprem5t ram5] les ides quelconques de situation des ides de gr&eur4 ,telle e/ la de/9ation immdiate de la conception prlim9aire sur laquelle ,desc>tes a tabli le sy/me gnral de la gomtrie analytique4 ,son travail philosophique a simplem5t consi/1 s\s ce rapport1 dans l'entire gnralisation d'un procd lm5taire qu'on peut reg>d] comme naturel l'esprit huma91 puisqu'il se =me p\r a9si dire spontanm5t *ez t\tes les intellig5ces1 mme les plus vulgaires4 ,en effet1 qu& il s'agit d'indiqu] la situation d'un objet sans le montr] immdiatem5t1 le moy5 que n\s adoptons t\j\rs1 et le seul videmm5t qui puisse tre employ1 consi/e rapport] cet objet d'autres qui soi5t connus1 en assignant la gr&eur des lm5s gomtriques quelconques1 p> lesquels on le conoit li ceux-ci#ba4 ,ces lm5s con/itu5t ce que ,desc>tes1 et d'aprs lui t\s les gomtres1 ont appel les coordonnes de *aque po9t considr1 qui sont ncessairem5t au nombre de deux si l'on sait d'avance dans quel plan le po9t e/ situ1 et au nombre de trois1 s'il peut se tr\v] indiffremm5t dans une rgion quelconque de l'espace4 ,autant de con/ructions diffr5tes on peut imag9] p\r dt]m9] la position d'un po9t1 soit sur un plan1 soit dans l'espace1 autant on conoit de sy/mes de coordonnes di/9cts1 qui sont susceptibles1 p> consqu5t1 d'tre multiplis l'inf9i4 ,mais quelque soit le sy/me adopt1 on aura t\j\rs ram5 les ides de situation de simples ides de gr&eur1 en sorte que l'on se reprs5t]a le dplacem5t d'un po9t comme produit p> de pures v>iations numriques dans les valeurs de ses coordonnes4 ,p\r ne considr] d'abord que le cas le mo9s compliqu1 celui de la gomtrie plane1 c'e/ a9si qu'on dt]m9e le plus s\v5t la position d'un po9t sur un plan1 p> ses di/ances plus ou mo9s gr&es deux droites fixes supposes connues1 qu'on nomme axes1 et qu'on suppose ord9airem5t p]p5diculaires entre elles4 ,ce sy/me e/ le plus adopt1 cause de sa simplicit2 mais les gomtres en emploi5t quelquefois encore une inf9it d'autres4 ,a9si1 la position d'un po9t sur un plan peut tre dt]m9e p> ses di/ances deux po9ts fixes2 ou p> sa di/ance un seul po9t fixe1 et la direction de cette di/ance1 e/ime p> l'angle plus ou mo9s gr& qu'elle fait avec une droite fixe1 ce qui con/itue le sy/me des coordonnes dites polaires1 le plus usit aprs celui dont n\s avons p>l d'abord2 ou p> les angles que =m5t les droites allant du po9t v>iable deux po9ts fixes avec la droite qui jo9t ces d]ni]s2 ou p> les di/ances de ce po9t une droite fixe et un po9t fixe1 etc4 ,en un mot1 il n'y a pas de figure gomtrique quelconque d'o l'on ne puisse dduire un c]ta9 sy/me de coordonnes1 plus ou mo9s susceptible d'tre employ4 ,note #ba3 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 que n\s dt]m9ons habituellem5t la position des lieux sur la t]re p> leurs di/ances plus ou mo9s gr&es l'quateur et un premi] mridi54 ,une obs]vation gnrale qu'il importe de faire cet g>d1 c'e/ que t\t sy/me de coordonnes revi5t dt]m9] un po9t1 dans la gomtrie plane1 p> l'int]section de deux lignes1 dont *acune e/ assujtie c]ta9es conditions fixes de dt]m9ation2 une seule de ces conditions re/ant v>iable1 et tantt l'une1 tantt une autre1 selon le sy/me considr4 ,on ne saurait1 en effet1 concevoir d'autre moy5 de con/ruire un po9t que de le m>qu] p> la r5contre de deux lignes quelconques4 ,a9si1 dans le sy/me le plus frqu5t1 celui des coordonnes rectilignes proprem5t dites1 le po9t e/ dt]m9 p> l'int]section de deux droites1 dont *acune re/e con/amm5t p>allle un axe fixe1 en s'en loignant plus ou mo9s2 dans le sy/me polaire1 c'e/ la r5contre d'un c]cle de rayon v>iable et dont le c5tre e/ fixe1 avec une droite mobile assujtie t\rn] aut\r de ce c5tre1 qui m>que la position du po9t2 en *oisissant d'autres sy/mes1 le po9t p\rrait tre dsign p> l'int]section de deux c]cles1 ou de deux autres lignes quelconques1 etc4 ,en un mot1 assign] la valeur d'une des coordonnes d'un po9t dans quelque sy/me que ce puisse tre1 c'e/ t\j\rs ncessairem5t dt]m9] une c]ta9e ligne sur laquelle ce po9t doit tre situ4 ,les gomtres de l'antiquit avai5t dj fait cette rem>que ess5tielle1 qui s]vait de base leur m?ode des lieux gomtriques1 dont ils faisai5t un si heureux usage p\r dirig] leurs re*]*es dans la rsolution des problmes de gomtrie dt]m9s1 en apprciant isolm5t l'influ5ce de *acune des deux conditions p> lesquelles tait df9i *aque po9t con/ituant l'objet1 direct ou indirect1 de la "q propose3 c'e/ prcism5t cette m?ode dont la sy/matisation gnrale a t p\r ,desc>tes le motif immdiat des travaux qui l'ont conduit fond] la gomtrie analytique4 ,aprs avoir nettem5t tabli cette conception prlim9aire1 en v]tu de laquelle les ides de position1 et1 p> suite implicitem5t1 t\tes les notions gomtriques lm5taires1 sont rductibles de simples considrations numriques1 il e/ ais de concevoir directem5t1 dans son entire gnralit1 la gr&e ide-mre de ,desc>tes1 relative la reprs5tation analytique des =mes gomtriques1 ce qui con/itue l'objet propre de cette leon4 ,je cont9u]ai ne considr] d'abord1 p\r plus de facilit1 que la gomtrie deux dim5sions1 la seule que ,desc>tes ait traite1 devant ensuite exam9] sp>m5t s\s le mme po9t de vue ce qui e/ propre la ?orie des surfaces ou des c\rbes d\ble c\rbure4 ,d'aprs la manire d'exprim] analytiquem5t la position d'un po9t sur un plan1 on peut aism5t tablir que1 p> quelque proprit qu'une ligne quelconque puisse tre df9ie1 cette df9ition e/ t\j\rs susceptible d'tre remplace p> une quation correspondante entre les deux coordonnes v>iables du po9t qui dcrit cette ligne1 quation qui s]a ds lors la reprs5tation analytique de la ligne propose1 dont t\t phnomne devra se traduire p> une c]ta9e modification algbrique de son quation4 ,si l'on suppose1 en effet1 qu'un po9t se meuve sur un plan sans que son c\rs soit dt]m9 en aucune manire1 on devra videmm5t reg>d] ses deux coordonnes1 dans quelque sy/me que ce soit1 comme deux v>iables entirem5t indp5dantes l'une de l'autre4 ,mais1 si au contraire ce po9t e/ assujti dcrire une c]ta9e ligne quelconque1 il faudra ncessairem5t concevoir que ses coordonnes cons]v5t entre elles1 dans t\tes les positions qu'il peut pr5dre1 une c]ta9e relation p]man5te et prcise1 susceptible1 p> consqu5t1 d'tre exprime p> une quation conv5able1 qui devi5dra la df9ition analytique trs-nette et trs-rig\reuse de la ligne considre1 puisqu'elle exprim]a une proprit algbrique exclusivem5t relative aux coordonnes de t\s les po9ts de cette ligne4 ,il e/ clair1 en effet1 que lorsqu'un po9t n'e/ s\mis aucune condition1 sa situation n'e/ dt]m9e qu'autant qu'on donne la fois ses deux coordonnes1 di/9ctem5t l'une de l'autre2 t&is que qu& le po9t doit se tr\v] sur une ligne df9ie1 une seule coordonne suffit p\r fix] entirem5t sa position4 ,la seconde coordonne e/ donc alors une fonction dt]m9e de la premire1 ou1 en d'autres t]mes1 il doit exi/] entre elles une c]ta9e quation1 d'une nature correspondante celle de la ligne sur laquelle le po9t e/ assujti re/]4 ,en un mot1 *acune des coordonnes d'un po9t l'obligeant tre situ sur une c]ta9e ligne1 on conoit rciproquem5t que la condition1 de la "p d'un po9t1 de devoir app>t5ir une ligne df9ie d'une manire quelconque1 quivaut assign] la valeur de l'une des deux coordonnes1 qui se tr\ve1 dans ce cas1 tre entirem5t dp5dante de l'autre4 ,la relation analytique qui exprime cette dp5dance peut tre plus ou mo9s difficile dc\vrir2 mais on doit videmm5t en concevoir t\j\rs l'exi/5ce1 mme dans les cas o nos moy5s actuels s]ai5t insuffisans p\r la faire connatre4 ,c'e/ p> cette simple considration que1 indp5damm5t des vrifications p>ticulires sur lesquelles e/ ord9airem5t tablie cette conception fondam5tale l'occasion de telle ou telle df9ition de ligne1 on peut dmontr]1 d'une manire entirem5t gnrale1 la ncessit de la reprs5tation analytique des lignes p> les quations4 ,en repr5ant en s5s inv]se les mmes rflexions1 on mettrait aussi facilem5t en vid5ce la ncessit gomtrique de la reprs5tation de t\te quation deux v>iables1 dans un sy/me dt]m9 de coordonnes1 p> une c]ta9e ligne1 dont une telle relation s]ait1 dfaut d'aucune autre proprit connue1 une df9ition trs-c>actri/ique1 et qui aura p\r de/9ation sci5tifique de fix] immdiatem5t l'att5tion sur la m>*e gnrale des solutions de l'quation1 qui se tr\v]a a9si ne de la manire la plus s5sible et la plus simple4 ,cette pe9ture des quations e/ un des avantages fondam5taux les plus importans de la gomtrie analytique1 qui a p> l ragi au plus haut degr sur le p]fectionnem5t gnral de l'analyse elle-mme1 non seulem5t en assignant aux re*]*es purem5t ab/raites un b nettem5t dt]m9 et une c>rire 9puisable1 mais1 s\s un rapport encore plus direct1 en f\rnissant un n\veau moy5 philosophique de mditation analytique1 qui ne p\rrait tre remplac p> aucun autre4 ,en effet1 la discussion purem5t algbrique d'une quation en fait sans d\te connatre les solutions de la manire la plus prcise1 mais en les considrant seulem5t une une1 de telle sorte que1 p> cette voie1 leur m>*e gnrale ne saurait tre conue qu'en rsultat df9itif d'une longue et pnible suite de comp>aisons numriques1 aprs laquelle l'activit intellectuelle doit ord9airem5t se tr\v] m\sse4 ,au contraire1 le lieu gomtrique de l'quation tant uniquem5t de/9 reprs5t] di/9ctem5t et avec une nettet p>faite le rsum de cet ensemble de comp>aisons1 p]met de le considr] directem5t en fesant compltem5t ab/raction des dtails qui l'ont f\rni1 et p> l peut indiqu] notre esprit des vues analytiques gnrales1 auxquelles n\s s]ions difficilem5t p>v5us de t\te autre manire1 faute d'un moy5 de c>actris] clairem5t leur objet4 ,il e/ vid5t1 p> exemple1 que la simple inspection de la c\rbe log>i?mique ou de la c\rbe y _/s9 x fait connatre d'une manire bi5 plus di/9cte le mode gnral de v>iations des log>i?mes p> rapport aux nombres ou des s9us p> rapport aux arcs1 que ne p\rrait le p]mettre l'tude la plus att5tive d'une table de log>i?mes ou d'une table trigonomtrique4 ,on sait que ce procd e/ dev5u auj\rd'hui entirem5t lm5taire1 et qu'on l'emploie t\tes les fois qu'il s'agit de saisir nettem5t le c>actre gnral de la loi qui rgne dans une suite d'obs]vations prcises d'un g5re quelconque4 ,rev5ant la reprs5tation des lignes p> les quations1 qui e/ notre objet pr9cipal1 n\s voyons que cette reprs5tation e/1 p> sa nature1 tellem5t fidle1 que la ligne ne saurait pr\v] aucune modification1 quelque lgre qu'elle soit1 sans dt]m9] dans l'quation un *angem5t correspondant4 ,cette complte exactitude donne mme lieu s\v5t des difficults spciales1 en ce que1 dans notre sy/me de gomtrie analytique1 les simples dplacem5s des lignes se fesant aussi bi5 ress5tir dans les quations que les v>iations relles de gr&eur ou de =me1 on p\rrait tre expos confondre analytiquem5t les uns avec les autres1 si les gomtres n'avai5t pas dc\v]t une m?ode +nieuse expressm5t de/9e les di/+u] con/amm5t4 ,cette m?ode e/ fonde sur ce que1 bi5 qu'il soit impossible de *ang] analytiquem5t volont la position d'une ligne p> rapport aux axes des coordonnes1 on peut *ang] d'une manire quelconque la situation des axes eux-mmes1 ce qui e/ videmm5t quival5t2 ds lors1 l'aide des =mules gnrales trs-simples p> lesquelles on opre cette trans=mation d'axes1 il devi5t ais de reconnatre si deux quations diffr5tes ne sont que l'expression analytique d'une mme ligne div]sem5t situe1 ou se rapport5t des lieux gomtriques vraim5t di/9cts1 puisque1 dans le premi] cas1 l'une d'elles doit r5tr] dans l'autre en *angeant conv5ablem5t les axes ou les autres con/antes du sy/me de coordonnes considr4 ,du re/e1 il faut rem>qu] ce sujet que les inconvni5s gnraux de cette nature p>aiss5t1 en gomtrie analytique1 devoir tre /rictem5t 9vitables2 puisque les ides de position tant1 comme n\s l'avons vu1 les seules ides gomtriques immdiatem5t rductibles des considrations numriques1 et les notions de =me ne p\vant y tre ram5es qu'en voyant en elles des rapports de situation1 il e/ impossible que l'analyse ne confonde po9t d'abord les phnomnes de =me avec de simples phnomnes de position1 les seuls que les quations exprim5t directem5t4 ,p\r complt] l'explication philosophique de la conception fondam5tale qui s]t de base la gomtrie analytique1 je crois devoir indiqu] ici une n\velle considration gnrale1 qui me semble p>ticulirem5t propre mettre dans t\t son j\r cette reprs5tation ncessaire des lignes p> des quations deux v>iables4 ,elle consi/e en ce que non-seulem5t1 a9si que n\s l'avons tabli1 t\te ligne df9ie doit ncessairem5t donn] lieu une c]ta9e quation entre les deux coordonnes de l'un quelconque de ses po9ts2 mais1 de plus1 t\te df9ition de ligne peut tre envisage comme tant dj elle-mme une quation de cette ligne dans un sy/me de coordonnes conv5able4 ,il e/ ais d'tablir ce pr9cipe1 en faisant d'abord une di/9ction logique prlim9aire relativem5t aux div]ses sortes de df9ition4 ,la condition rig\reusem5t indisp5sable de t\te df9ition1 c'e/ de di/+u] l'objet df9i d'avec t\t autre1 en assignant une proprit qui lui app>ti5ne exclusivem5t4 ,mais ce b peut tre atte9t1 en gnral1 de deux manires trs-diffr5tes3 ou p> une df9ition simplem5t c>actri/ique1 c'e/--dire1 indiquant une proprit qui1 quoique vraim5t exclusive1 ne fait pas connatre la gnration de l'objet2 ou p> une df9ition rellem5t explicative1 c'e/--dire1 c>actrisant l'objet p> une proprit qui exprime un de ses modes de gnration4 ,p> exemple1 en considrant le c]cle comme la ligne qui1 s\s le mme cont\r1 r5f]me la plus gr&e aire1 on a videmm5t une df9ition du premi] g5re2 t&is qu'en *oisissant la proprit d'avoir t\s ses po9ts gale di/ance d'un po9t fixe1 ou t\te autre semblable1 on a une df9ition du second g5re4 ,il e/1 du re/e1 vid5t1 en ?se gnrale1 que qu& mme un objet quelconque ne s]ait d'abord connu que p> une df9ition c>actri/ique1 on ne devrait pas mo9s l'envisag] comme susceptible de df9itions explicatives1 que f]ait ncessairem5t dc\vrir l'tude ultrieure de cet objet4 ,cela pos1 il e/ clair que ce n'e/ po9t aux df9itions simplem5t c>actri/iques que peut s'appliqu] l'obs]vation gnrale annonce ci-dessus1 qui reprs5te t\te df9ition de ligne comme tant ncessairem5t une quation de cette ligne dans un c]ta9 sy/me de coordonnes4 ,on ne peut l'ent5dre que des df9itions vraim5t explicatives4 ,mais1 en ne considrant que celle-ci1 le pr9cipe e/ ais con/at]4 ,en effet1 il e/ videmm5t impossible de df9ir la gnration d'une ligne1 sans spcifi] une c]ta9e relation entre les deux m\vem5s simples1 de translation ou de rotation1 dans lesquels se dcompos]a *aque in/ant le m\vem5t du po9t qui la dcrit4 ,or1 en se =mant la notion la plus gnrale de ce que c'e/ qu'un sy/me de coordonnes1 et admettant t\s les sy/mes possibles1 il e/ clair qu'une telle relation ne s]a autre *ose que l'quation de la ligne propose1 dans un sy/me de coordonnes d'une nature correspondante celle du mode de gnration considr4 ,a9si1 p> exemple1 la df9ition vulgaire du c]cle peut videmm5t tre envisage comme tant immdiatem5t l'quation polaire de cette c\rbe1 en pr5ant p\r ple le c5tre du c]cle2 de mme1 la df9ition lm5taire de l'ellipse ou de l'hyp]bole1 comme tant la c\rbe eng5dre p> un po9t qui se meut de telle manire que la somme ou la diffr5ce de ses di/ances deux po9ts fixes demeure con/ante1 donne sur-le-*amp1 p\r l'une ou l'autre c\rbe1 l'quation yxc1 en pr5ant p\r sy/me de coordonnes celui dans lequel on dt]m9]ait la position d'un po9t p> ses di/ances deux po9ts fixes1 et *oisissant p\r ces ples les deux foy]s donns2 p>eillem5t encore1 la df9ition ord9aire de la cyclode quelconque f\rnirait directem5t1 p\r cette c\rbe1 l'quation ymx1 en adoptant comme coordonnes de *aque po9t l'arc plus ou mo9s gr& qu'il m>que sur un c]cle de rayon inv>iable p>tir du po9t de contact de ce c]cle avec une droite fixe1 et la di/ance rectiligne de ce po9t de contact une c]ta9e orig9e prise sur cette droite4 ,on peut faire des vrifications analogues et aussi faciles relativem5t aux df9itions habituelles des spirales1 des picyclodes1 etc4 ,on tr\v]a con/amm5t qu'il exi/e un c]ta9 sy/me de coordonnes1 dans lequel on obti5t immdiatem5t une quation trs-simple de la ligne propose1 en se bornant crire algbriquem5t la condition impose p> le mode de gnration que l'on considre4 ,outre son importance directe1 comme moy5 de r5dre p>faitem5t s5sible la reprs5tation ncessaire de t\te ligne p> une quation1 la considration prcd5te me p>at p\voir (frir une vritable utilit sci5tifique1 en c>actrisant avec exactitude la pr9cipale difficult gnrale qu'on r5contre dans l'tablissem5t effectif de ces quations1 et1 p> consqu5t1 en f\rnissant une indication intressante relativem5t la m>*e suivre dans les re*]*es de ce g5re1 qui1 p> leur nature1 ne saurai5t comport] des rgles compltes et inv>iables4 ,en effet1 si une df9ition quelconque de ligne1 du mo9s p>mi celles qui indiqu5t un mode de gnration1 f\rnit directem5t l'quation de cette ligne dans un c]ta9 sy/me de coordonnes1 ou p\r mieux dire con/itue p> elle-mme cette quation1 il s'ensuit que la difficult qu'on pr\ve s\v5t dc\vrir l'quation d'une c\rbe1 d'aprs telle ou telle de ses proprits c>actri/iques1 difficult qui quelquefois e/ trs-gr&e1 ne doit prov5ir ess5tiellem5t que de la condition qu'on s'impose ord9airem5t d'exprim] analytiquem5t cette c\rbe l'aide d'un sy/me de coordonnes dsign1 au lieu d'admettre indiffremm5t t\s les sy/mes possibles4 ,ces div]s sy/mes ne peuv5t pas tre reg>ds1 en gomtrie analytique1 comme tant t\s galem5t conv5ables2 p\r diffr5s motifs1 dont les plus importans vont tre discuts ci-dess\s1 les gomtres croi5t devoir presque t\j\rs rapport]1 autant que possible1 les c\rbes des coordonnes rectilignes proprem5t dites4 ,or1 on conoit1 d'aprs ce qui prcde1 que s\v5t ces coordonnes uniques ne s]ont pas celles relativem5t auxquelles l'quation de la c\rbe se tr\v]ait immdiatem5t tablie p> la df9ition propose4 ,la pr9cipale difficult que prs5te la =mation de l'quation d'une ligne consi/e donc rellem5t1 en gnral1 dans une c]ta9e trans=mation de coordonnes4 ,sans d\te1 cette considration n'assujtit po9t l'tablissem5t de ces quations une vritable m?ode gnrale complte1 dont le succs soit t\j\rs assur ncessairem5t1 ce qui1 p> la nature mme du sujet1 e/ videmm5t *imrique2 mais une telle vue peut n\s clair] utilem5t cet g>d sur la m>*e qu'il convi5t d'adopt] p\r p>v5ir au b propos4 ,a9si1 aprs avoir d'abord =m l'quation prp>atoire qui drive spontanm5t de la df9ition que l'on considre1 il faudra1 p\r obt5ir l'quation relative au sy/me de coordonnes qui doit tre admis df9itivem5t1 *]*] exprim] en fonction de ces d]nires coordonnes celles qui correspond5t naturellem5t au mode de gnration dont il s'agit4 ,c'e/ sur ce d]ni] travail qu'il e/ videmm5t impossible de donn] des prceptes inv>iables et prcis4 ,on peut dire seulem5t qu'on aura d'autant plus de ress\rces cet g>d1 qu'on saura davantage de vritable gomtrie analytique1 c'e/--dire1 qu'on connatra l'expression algbrique d'un plus gr& nombre de phnomnes gomtriques diffr5s4 ,p\r complt] l'exposition philosophique de la conception qui s]t de base la gomtrie analytique1 il me re/e indiqu] les considrations relatives au *oix du sy/me de coordonnes qui e/1 en gnral1 le plus conv5able1 ce qui f\rnira l'explication rationnelle de la prfr5ce unanimem5t accorde au sy/me rectiligne ord9aire1 prfr5ce qui a t plutt jusqu'ici l'effet d'un s5tim5t empirique de la supriorit de ce sy/me1 que le rsultat exact d'une analyse directe et appr(ondie4 ,af9 de dcid] nettem5t entre t\s les div]s sy/mes de coordonnes1 il e/ indisp5sable de di/+u] avec so9 les deux po9ts de vue gnraux1 inv]ses l'un de l'autre1 propres la gomtrie analytique1 savoir3 la relation de l'algbre la gomtrie1 fonde sur la reprs5tation des lignes p> les quations2 et rciproquem5t la relation de la gomtrie l'algbre fonde sur la pe9ture des quations p> les lignes4 ,il e/ vid5t que1 dans t\te re*]*e quelconque de gomtrie gnrale1 ces deux po9ts de vue fondam5taux se tr\v5t ncessairem5t comb9s sans cesse1 puisqu'il s'agit t\j\rs de pass] alt]nativem5t1 et des int]valles p\r a9si dire ins5sible1 des considrations gomtriques aux considrations analytiques1 et des considrations analytiques aux considrations gomtriques4 ,mais la ncessit de les sp>] ici mom5tanm5t n'en e/ pas mo9s relle2 c> la rponse la "q de m?ode que n\s exam9ons e/1 en effet1 comme n\s allons le voir1 =t lo9 de p\voir tre la mme s\s l'un et s\s l'autre de ces deux rapports1 en sorte que sans cette di/9ction on ne saurait s'en =m] aucune ide nette4 ,s\s le premi] po9t de vue1 rig\reusem5t isol1 le seul motif qui puisse faire prfr] un sy/me de coordonnes un autre1 ne peut tre que la plus gr&e simplicit de l'quation de *aque ligne1 et la facilit plus gr&e d'y p>v5ir4 ,or1 il e/ ais de voir qu'il n'exi/e et ne doit exi/] aucun sy/me de coordonnes mritant cet g>d une prfr5ce con/ante sur t\s les autres4 ,en effet1 n\s avons rem>qu ci-dessus que1 p\r *aque df9ition gomtrique propose1 on peut concevoir un sy/me de coordonnes dans lequel l'quation de la ligne s'obti5t immdiatem5t et se tr\ve ncessairem5t tre en mme temps =t simple3 de plus1 ce sy/me v>ie 9vitablem5t avec la nature de la proprit c>actri/ique que l'on considre4 ,a9si1 le sy/me rectiligne ne saurait tre1 en ce s5s1 con/amm5t le plus avantageux1 quoiqu'il soit s\v5t trs-favorable2 il n'en e/ probablem5t pas un seul qui1 dans c]ta9s cas p>ticuli]s1 ne doive cet g>d lui tre prfr1 aussi bi5 qu' t\t autre sy/me4 ,il n'en e/1 au contraire1 nullem5t de mme s\s le second po9t de vue4 ,on peut1 en effet1 facilem5t tablir1 en ?se gnrale1 que le sy/me rectiligne ord9aire doit s'adapt] ncessairem5t mieux que t\t autre la pe9ture des quations p> les lieux gomtriques correspondans1 c'e/--dire que cette pe9ture y e/ con/amm5t plus simple et plus fidle4 ,considrons1 p\r cela1 que1 t\t sy/me de coordonnes consi/ant dt]m9] un po9t p> l'int]section de deux lignes1 le sy/me propre f\rnir les lieux gomtriques les plus conv5ables doit tre celui dans lequel ces deux lignes sont les plus simples possibles1 ce qui re/re9t d'abord le *oix ne p\voir port] que sur des sy/mes rectilignes4 la vrit1 il y a videmm5t une inf9it de sy/mes qui mrit5t ce nom1 c'e/--dire qui n'emploi5t que des lignes droites p\r dt]m9] les po9ts1 outre le sy/me ord9aire qui assigne p\r coordonnes les di/ances deux droites fixes2 tel s]ait1 p> exemple1 celui dans lequel les coordonnes de *aque po9t se tr\v]ai5t tre les deux angles que font les droites qui ab\tiss5t de ce po9t deux po9ts fixes avec la droite de jonction de ces d]ni]s2 en sorte que cette premire considration n'e/ pas rig\reusem5t suffisante p\r expliqu] la prfr5ce accorde unanimem5t au sy/me ord9aire4 ,mais1 en exam9ant d'une manire plus appr(ondie la nature de t\t sy/me de coordonnes1 n\s avons reconnu1 en outre1 que *acune des deux lignes dont la r5contre dt]m9e le po9t considr1 doit ncessairem5t (frir *aque in/ant1 p>mi ses div]ses conditions quelconques de dt]m9ation1 une seule condition v>iable1 qui donne lieu l'ordonne correspondante1 et t\tes les autres fixes1 qui con/itu5t les axes du sy/me1 en pr5ant ce t]me dans son acception ma?matique la plus t5due3 la v>iation e/ indisp5sable p\r que t\tes les positions puiss5t tre considres1 et la fixit ne l'e/ pas mo9s p\r qu'il exi/e des moy5s de comp>aison4 ,a9si1 dans t\s les sy/mes rectilignes1 *acune des deux droites s]a assujtie une condition fixe1 et l'ordonne rsult]a de la condition v>iable4 ,s\s ce rapport1 il e/ vid5t1 en ?se gnrale1 que le sy/me le plus favorable la con/ruction des lieux gomtriques1 s]a ncessairem5t celui d'aprs lequel la condition v>iable de *aque droite s]a la plus simple possible1 sauf compliqu] p\r cela1 s'il le faut1 la condition fixe4 ,or1 de t\tes les manires possibles de dt]m9] deux droites mobiles1 la plus aise suivre gomtriquem5t e/ c]ta9em5t celle dans laquelle1 la direction de *aque droite re/ant inv>iable1 elle ne fait que se rappro*] ou s'loign] plus ou mo9s d'un axe con/ant4 ,il s]ait1 p> exemple1 videmm5t plus difficile de se figur] nettem5t le dplacem5t d'un po9t produit p> l'int]section de deux droites1 qui t\rn]ai5t *acune aut\r d'un po9t fixe en fesant avec un c]ta9 axe un angle plus ou mo9s gr&1 comme dans le sy/me de coordonnes prcdemm5t indiqu4 ,telle e/ la vritable explication gnrale de la proprit fondam5tale que prs5te1 p> sa nature1 le sy/me rectiligne ord9aire1 d'tre plus apte qu'aucun autre la reprs5tation gomtrique des quations1 comme tant celui dans lequel il e/ le plus ais de concevoir le dplacem5t d'un po9t en rsultat du *angem5t de valeur de ses coordonnes4 ,p\r s5tir nettem5t t\te la =ce de cette considration1 il suffirait1 p> exemple1 de comp>] soigneusem5t ce sy/me avec le sy/me polaire1 dans lequel cette image gomtrique si simple et si aise suivre1 de deux droites se m\vant *acune p>alllem5t l'axe correspondant1 se tr\ve remplace p> le tableau compliqu d'une srie inf9ie de c]cles conc5triques c\ps p> une droite assujtie t\rn] aut\r d'un po9t fixe4 ,il e/ d'ailleurs facile de concevoir priori quelle doit tre1 p\r la gomtrie analytique1 l'extrme importance d'une proprit aussi pr(ondm5t lm5taire1 qui1 p> cette raison1 doit se reproduire *aque in/ant et pr5dre une valeur progressivem5t croissante dans t\s les travaux quelconques de cette nature#bb4 ,note #bb3 ,devant me born] ici la comp>aison la plus gnrale1 je n'ai po9t considr plusieurs autres inconvni5s lm5taires de mo9dre importance1 mais cep5dant =t graves1 que prs5te le sy/me des coordonnes polaires1 comme de ne po9t admettre d'int]prtation gomtrique p\r le signe du rayon recteur1 et mme d'assign] quelquefois un po9t unique p\r div]ses solutions di/9ctes1 d'o il rsulte que la pe9ture des quations y e/ ncessairem5t imp>faite4 ,quels que soi5t ces inconvni5s1 comme plusieurs sy/mes autres que le sy/me rectiligne ord9aire p\rrai5t aussi en tre exempts1 il ne fallait po9t en t5ir compte p\r tablir la supriorit gnrale de ce d]ni]4 ,en prcisant davantage la considration qui dmontre la supriorit du sy/me de coordonnes ord9aire sur t\t autre quant la pe9ture des quations1 on peut mme se r5dre compte de l'utilit que prs5te s\s ce rapport l'usage habituel de pr5dre autant que possible les deux axes p]p5diculaires entre eux plutt qu'avec aucune autre incl9aison4 ,s\s le rapport de la reprs5tation des lignes p> les quations1 cette circon/ance secondaire n'e/ pas plus univ]sellem5t conv5able que n\s n'avons vu l'tre la nature mme du sy/me2 puisque1 suivant les occasions1 t\te autre incl9aison des axes peut mrit] cet g>d la prfr5ce4 ,mais1 s\s le po9t de vue inv]se1 il e/ ais de voir que des axes rectangulaires p]mett5t con/amm5t de pe9dre les quations d'une manire plus simple et mme plus fidle4 ,c>1 avec des axes obliques1 l'espace se tr\vant p>tag p> eux en rgions dont l'id5tit n'e/ plus p>faite1 il en rsulte que1 si le lieu gomtrique de l'quation s't5d la fois dans t\tes ces rgions1 il y prs5t]a1 raison de la seule 9galit des angles1 des diffr5ces de figure qui1 ne correspondant aucune div]sit analytique1 altr]ont ncessairem5t l'exactitude rig\reuse du tableau1 en se mlant aux rsultats propres des comp>aisons algbriques4 ,p> exemple1 une quation comme xm ym c1 qui1 p> sa symtrie p>faite1 devrait donn] videmm5t une c\rbe compose de quatre qu>ts id5tiques1 s]a reprs5te1 au contraire1 en pr5ant des axes non-rectangulaires1 p> un lieu gomtrique dont les quatre p>ties s]ont 9gales4 ,on voit que le seul moy5 d'vit] t\te disconv5ance de ce g5re e/ de suppos] droit l'angle des deux axes4 ,la discussion prcd5te tablit clairem5t que1 si1 s\s l'un des deux po9ts de vue fondam5taux cont9uellem5t comb9s en gomtrie analytique1 le sy/me des coordonnes rectilignes proprem5t dit n'a aucune supriorit con/ante sur t\t autre2 comme il n'e/ pas non plus cet g>d con/amm5t infrieur1 sa plus gr&e aptitude ncessaire et absolue la pe9ture des quations doit lui faire gnralem5t accord] la prfr5ce1 quoiqu'il puisse videmm5t arriv]1 dans quelques cas p>ticuli]s1 que le beso9 de simplifi] les quations et de les obt5ir plus aism5t dt]m9e les gomtres adopt] un sy/me mo9s p>fait4 ,c'e/1 en effet1 d'aprs le sy/me rectiligne1 que sont ord9airem5t con/ruites les ?ories les plus ess5tielles de gomtrie gnrale1 de/9es exprim] analytiquem5t les phnomnes gomtriques les plus importans4 ,qu& on juge ncessaire d'en *oisir un autre1 c'e/ presque t\j\rs le sy/me polaire auquel on s'arrte1 ce sy/me tant d'une nature assez oppose celle du sy/me rectiligne p\r que les quations trop compliques relativem5t celui-ci devi5n5t1 en gnral1 suffisamm5t simples p> rapport l'autre4 ,les coordonnes polaires ont d'ailleurs s\v5t l'avantage de comport] une signification concrte plus directe et plus naturelle1 comme il arrive en mcanique p\r les que/ions gomtriques auxquelles donne lieu la ?orie des m\vem5s de rotation1 et dans presque t\s les cas de gomtrie cle/e4 ,af9 de simplifi] l'exposition1 n\s n'avons jusqu'ici considr la conception fondam5tale de la gomtrie analytique que relativem5t aux seules c\rbes planes1 dont l'tude gnrale avait t l'objet unique de la gr&e rnovation philosophique opre p> ,desc>tes4 ,il s'agit ma9t5ant1 p\r complt] cette importante explication1 de montr] sommairem5t de quelle manire cette p5se lm5taire a t t5due1 environ un sicle aprs1 p> notre illu/re ,clairaut1 l'tude gnrale des surfaces et des c\rbes d\ble c\rbure4 ,les considrations indiques ci-dessus me p]mettront de me born] ce sujet l'exam5 rapide de ce qui e/ /rictem5t propre ce n\veau cas4 ,l'entire dt]m9ation analytique d'un po9t dans l'espace exige videmm5t qu'on assigne les valeurs de trois coordonnes2 p> exemple1 d'aprs le sy/me le plus frquemm5t adopt et qui correspond au sy/me rectiligne de la gomtrie plane1 des di/ances de ce po9t trois plans fixes1 ord9airem5t p]p5diculaires entre eux1 ce qui prs5te le po9t comme l'int]section de trois plans dont la direction e/ inv>iable4 ,on p\rrait galem5t employ] les di/ances du po9t mobile trois po9ts fixes1 ce qui le dt]m9]ait p> la r5contre de trois sphres c5tre con/ant4 ,de mme1 la position d'un po9t s]ait df9ie en donnant sa di/ance plus ou mo9s gr&e un po9t fixe1 et la direction de cette di/ance1 au moy5 des deux angles que fait cette droite avec deux axes inv>iables2 c'e/ le sy/me polaire propre la gomtrie trois dim5sions2 le po9t e/ alors con/ruit p> l'int]section d'une sphre c5tre con/ant avec deux cnes droits base circulaire dont les axes et le sommet commun ne *ang5t pas4 ,en un mot1 il y a videmm5t1 dans ce cas1 au mo9s la mme v>it inf9ie entre les div]s sy/mes possibles de coordonnes que n\s avons dj obs]ve p\r la gomtrie deux dim5sions4 ,en gnral1 il faut concevoir un po9t comme t\j\rs dt]m9 p> l'int]section de trois surfaces quelconques1 a9si qu'il l'tait aup>avant p> celle de deux lignes2 *acune de ces trois surfaces a p>eillem5t t\tes ses conditions de dt]m9ation con/antes1 except une1 qui donne lieu la coordonne correspondante1 dont l'influ5ce gomtrique propre e/ a9si d'a/re9dre le po9t tre situ sur cette surface4 ,cela pos1 il e/ clair que si les trois coordonnes d'un po9t sont entirem5t indp5dantes entre elles1 ce po9t p\rra pr5dre successivem5t dans l'espace t\tes les positions possibles4 ,mais1 si le po9t e/ assujti re/] sur une c]ta9e surface1 df9ie d'une manire quelconque1 alors deux coordonnes suffis5t videmm5t p\r dt]m9] *aque in/ant sa situation1 puisque la surface propose ti5dra lieu de la condition impose p> la troisime coordonne4 ,on doit donc concevoir ncessairem5t dans ce cas1 s\s le po9t de vue analytique1 cette d]nire coordonne comme une fonction dt]m9e des deux autres1 celles-ci demeurant entre elles compltem5t indp5dantes4 ,a9si1 il y aura entre les trois coordonnes v>iables une c]ta9e quation p]man5te1 et qui s]a unique af9 de correspondre au degr prcis d'indt]m9ation de la position du po9t4 ,cette quation1 plus ou mo9s facile dc\vrir1 mais t\j\rs possible1 s]a la df9ition analytique de la surface propose1 puisqu'elle devra se vrifi] p\r t\s les po9ts de cette surface1 et seulem5t p\r eux4 ,si la surface vi5t pr\v] un *angem5t quelconque1 mme un simple dplacem5t1 l'quation devra subir une modification correspondante plus ou mo9s pr(onde4 ,en un mot1 t\s les phnomnes gomtriques quelconques relatifs aux surfaces s]ont susceptibles d'tre traduits p> c]ta9es conditions analytiques quival5tes propres aux quations trois v>iables1 et c'e/ dans l'tablissem5t et l'int]prtation de cette h>monie gnrale et ncessaire que consi/]a ess5tiellem5t la sci5ce de la gomtrie analytique trois dim5sions4 ,considrant ensuite cette conception fondam5tale s\s le po9t de vue inv]se1 on voit de la mme manire que t\te quation trois v>iables peut tre1 en gnral1 reprs5te gomtriquem5t p> une surface dt]m9e1 primitivem5t df9ie d'aprs la proprit trs-c>actri/ique1 que les coordonnes de t\s ses po9ts cons]v5t t\j\rs entre elles la relation nonce dans cette quation4 ,ce lieu gomtrique *ang]a videmm5t1 p\r la mme quation1 suivant le sy/me de coordonnes qui s]vira la con/ruction de ce tableau4 ,en adoptant1 p> exemple1 le sy/me rectiligne1 il e/ clair que dans l'quation entre les trois v>iables x1 y1 z1 *aque valeur p>ticulire attribue z1 donn]a une quation entre x et y1 dont le lieu gomtrique s]a une c]ta9e ligne situe dans un plan p>allle au plan des x1 y1 et une di/ance de ce d]ni] gale la valeur de z1 de telle sorte que le lieu gomtrique total se prs5t]a comme compos d'une suite inf9ie de lignes sup]poses dans une srie de plans p>allles1 sauf les int]ruptions qui p\rront exi/]1 et =m]a1 p> consqu5t1 une vritable surface4 ,il en s]ait de mme en considrant t\t autre sy/me de coordonnes1 quoique la con/ruction gomtrique de l'quation devnt plus difficile suivre4 ,telle e/ la conception lm5taire1 complm5t de l'ide-mre de ,desc>tes1 sur laquelle e/ fonde la gomtrie gnrale relativem5t aux surfaces4 ,il s]ait inutile de repr5dre directem5t ici les autres considrations indiques ci-dessus p> rapport aux lignes1 et que *acun peut aism5t t5dre aux surfaces1 soit p\r montr] que t\te df9ition d'une surface p> un mode quelconque de gnration e/ rellem5t une quation directe de cette surface dans un c]ta9 sy/me de coordonnes1 soit p\r dt]m9] entre t\s les div]s sy/mes de coordonnes possibles quel e/ gnralem5t le plus conv5able4 ,j'aj\t]ai seulem5t1 s\s ce d]ni] rapport1 que la supriorit ncessaire du sy/me rectiligne ord9aire1 quant la pe9ture des quations1 e/ videmm5t encore plus prononce dans la gomtrie analytique trois dim5sions que dans celle deux1 cause de la complication gomtrique incomp>ablem5t plus gr&e qui rsult]ait alors du *oix de t\t autre sy/me1 a9si qu'on peut le vrifi] de la manire la plus s5sible en considrant1 p> opposition1 le sy/me polaire en p>ticuli]1 qui e/1 p\r les surfaces comme p\r les c\rbes1 et en v]tu des mmes motifs1 le plus usit aprs le sy/me rectiligne proprem5t dit4 ,af9 de complt] l'exposition gnrale de la conception fondam5tale relative l'tude analytique des surfaces1 n\s aurons encore exam9] philosophiquem5t1 dans la quatorzime leon1 un d]ni] p]fectionnem5t de la plus haute importance1 que ,monge a rcemm5t introduit dans les lm5s mmes de cette ?orie1 p\r la classification des surfaces en familles naturelles1 tablies d'aprs le mode de gnration1 et exprimes algbriquem5t p> des quations diffr5tielles communes1 ou p> des quations f9ies cont5ant des fonctions arbitraires4 ,considrons ma9t5ant le d]ni] po9t de vue lm5taire de la gomtrie analytique trois dim5sions1 celui qui se rapporte la reprs5tation algbrique des c\rbes1 envisages dans l'espace de la manire la plus gnrale4 ,en cont9uant suivre le pr9cipe con/amm5t employ ci-dessus1 celui du degr d'indt]m9ation du lieu gomtrique1 correspondant au degr d'indp5dance des v>iables1 il e/ vid5t1 en ?se gnrale1 que1 lorsque un po9t doit tre situ sur une c]ta9e c\rbe quelconque1 une seule coordonne suffit p\r a*ev] de dt]m9] entirem5t sa position1 p> l'int]section de cette c\rbe avec la surface qui rsulte de cette coordonne4 ,a9si1 dans ce cas1 les deux autres coordonnes du po9t doiv5t tre conues comme des fonctions ncessairem5t dt]m9es et di/9ctes de la premire4 ,p> consqu5t1 t\te ligne1 considre dans l'espace1 e/ donc reprs5te analytiquem5t1 non plus p> une seule quation1 mais p> le sy/me de deux quations entre les trois coordonnes de l'un quelconque de ses po9ts4 ,il e/ clair1 en effet1 d'un autre ct1 que *acune de ces quations1 envisage sp>m5t1 exprimant une c]ta9e surface1 leur ensemble prs5te la ligne propose comme l'int]section de deux surfaces dt]m9es4 ,telle e/ la manire la plus gnrale de concevoir la reprs5tation algbrique d'une ligne dans la gomtrie analytique trois dim5sions4 ,cette conception e/ ord9airem5t envisage d'une manire trop troite1 lorsqu'on se borne considr] une ligne comme dt]m9e p> le sy/me de ses deux projections sur deux des plans coordonns1 sy/me c>actris analytiquem5t p> cette p>ticul>it que *acune des deux quations de la ligne ne conti5t alors que deux des trois coordonnes1 au lieu de r5f]m] simultanm5t les trois v>iables4 ,cette considration1 qui consi/e reg>d] la ligne comme l'int]section de deux surfaces cyl9driques p>allles deux des trois axes des coordonnes1 outre l'inconvni5t d'tre borne au sy/me rectiligne ord9aire1 a le dfaut1 lorsqu'on croit devoir s'y rduire /rictem5t1 d'introduire des difficults inutiles dans la reprs5tation analytique des lignes1 puisque la comb9aison de ces deux cyl9dres ne saurait tre videmm5t t\j\rs la plus conv5able p\r =m] les quations d'une ligne4 ,a9si1 envisageant cette notion fondam5tale dans son entire gnralit1 il faudra1 dans *aque cas1 p>mi l'inf9it de c\ples de surfaces dont l'int]section p\rrait produire la c\rbe propose1 *oisir celui qui se prt]a le mieux l'tablissem5t des quations1 comme se composant des surfaces les plus connues4 ,p> exemple1 s'agit-il d'exprim] analytiquem5t un c]cle dans l'espace1 il s]a videmm5t prfrable de le considr] comme l'int]section d'une sphre et d'un plan1 plutt que suivant t\te autre comb9aison de surfaces qui p\rrait galem5t le produire4 la vrit1 cette manire de concevoir la reprs5tation des lignes p> des quations dans la gomtrie analytique trois dim5sions1 eng5dre1 p> sa nature1 un inconvni5t ncessaire1 celui d'une c]ta9e confusion analytique1 consi/ant en ce que la mme ligne peut se tr\v] a9si exprime1 avec un mme sy/me de coordonnes1 p> une inf9it de c\ples d'quations diffr5s1 vu l'inf9it de c\ples de surfaces qui peuv5t la =m]1 ce qui peut prs5t] quelques difficults p\r reconnatre cette ligne trav]s t\s les dguisem5s algbriques dont elle e/ susceptible4 ,mais il exi/e un procd gnral =t simple p\r faire disp>atre cet inconvni5t1 se priv] des facilits qui rsult5t de cette v>it de con/ructions gomtriques4 ,il suffit1 en effet1 quel que soit le sy/me analytique tabli primitivem5t p\r une c]ta9e ligne1 de p\voir en dduire le sy/me correspondant un c\ple unique de surfaces uni=mm5t eng5dres1 p> exemple1 celui des deux surfaces cyl9driques qui projett5t la ligne propose sur deux des plans coordonns1 surfaces qui videmm5t s]ont t\j\rs id5tiques de quelque manire que la ligne ait t obt5ue1 et ne v>i]ont que lorsque cette ligne elle-mme *ang]a4 ,or1 en *oisissant ce sy/me fixe1 qui e/ effectivem5t le plus simple1 on p\rra gnralem5t dduire des quations primitives celles qui leur correspond5t dans cette con/ruction spciale1 en les trans=mant1 p> deux lim9ations successives1 en deux quations ne cont5ant *acune que deux des coordonnes v>iables1 et qui convi5dront p> cela seul aux deux surfaces de projection4 ,telle e/ rellem5t la pr9cipale de/9ation de cette sorte de comb9aison gomtrique1 qui n\s (fre a9si un moy5 inv>iable et c]ta9 de reconnatre l'id5tit des lignes malgr la div]sit quelquefois trs-gr&e de leurs quations4 ,aprs avoir considr dans son ensemble la conception fondam5tale de la gomtrie analytique s\s les pr9cipaux aspects lm5taires qu'elle peut prs5t]1 il convi5t1 p\r complt]1 s\s le rapport philosophique1 une telle esquisse1 de signal] ici les imp]fections gnrales que prs5te encore cette conception1 soit relativem5t la gomtrie1 soit relativem5t l'analyse4 ,relativem5t la gomtrie1 il faut rem>qu] que les quations ne sont propres jusqu'ici qu' reprs5t] des lieux gomtriques enti]s1 et nullem5t des portions dt]m9es de ces lieux gomtriques4 ,il s]ait cep5dant ncessaire1 dans plusieurs circon/ances1 de p\voir exprim] analytiquem5t une p>tie de ligne ou de surface1 et mme une ligne ou surface discont9ue compose d'une suite de sections app>t5ant des figures gomtriques di/9ctes1 p> exemple le cont\r d'un polygone ou la surface d'un polydre4 ,la !rmologie surt\t donne lieu frquemm5t de semblables considrations1 auxquelles notre gomtrie analytique actuelle se tr\ve ncessairem5t inapplicable4 ,nanmo9s il importe d'obs]v] que1 dans ces d]ni]s temps1 les travaux de ,m4 ,f\ri] sur les fonctions discont9ues ont comm5c remplir cette gr&e lacune1 et ont p> l directem5t introduit un n\veau p]fectionnem5t ess5tiel dans la conception fondam5tale de ,desc>tes4 ,mais cette manire de reprs5t] des =mes htrognes ou p>tielles1 tant fonde sur l'emploi de sries trigonomtriques procdant selon les s9us d'une suite inf9ie d'arcs multiples1 ou sur l'usage de c]ta9es intgrales df9ies quival5tes ces sries et dont l'intgrale gnrale e/ ignore1 prs5te encore trop de complication p\r p\voir tre immdiatem5t introduite dans le sy/me propre de la gomtrie analytique4 ,relativem5t l'analyse1 il faut comm5c] p> reconnatre que l'impossibilit o n\s sommes de concevoir gomtriquem5t p\r des quations cont5ant quatre1 c9q v>iables ou un plus gr& nombre1 une reprs5tation analogue celles que comport5t t\tes les quations deux ou trois v>iables1 ne doit pas tre envisage comme une imp]fection de notre sy/me de gomtrie analytique1 c> elle ti5t videmm5t la nature mme du sujet4 ,l'analyse tant ncessairem5t plus gnrale que la gomtrie1 puisqu'elle e/ relative t\s les phnomnes possibles1 il s]ait peu philosophique de v\loir con/amm5t tr\v] p>mi les seuls phnomnes gomtriques une reprs5tation concrte de t\tes les lois que l'analyse peut exprim]4 ,mais il exi/e une autre imp]fection de mo9dre importance qu'on doit rellem5t envisag] comme prov5ant de la manire mme dont n\s concevons la gomtrie analytique4 ,elle consi/e en ce que notre reprs5tation actuelle des quations deux ou trois v>iables p> des lignes ou des surfaces e/ videmm5t t\j\rs plus ou mo9s incomplte1 puisque1 dans la con/ruction du lieu gomtrique1 n\s n'avons g>d qu'aux solutions relles des quations1 sans t5ir aucun compte des solutions imag9aires4 ,la m>*e gnrale de ces d]nires s]ait cep5dant1 p> sa nature1 t\t aussi susceptible que celle des autres d'une pe9ture gomtrique4 ,il rsulte de cette omission que le tableau graphique de l'quation e/ con/amm5t imp>fait1 et quelquefois mme au po9t qu'il n'y a plus de reprs5tation gomtrique1 lorsque l'quation n'admet que des solutions imag9aires4 ,cep5dant1 mme dans ce d]ni] cas1 il y aurait videmm5t lieu de di/+u] s\s le rapport gomtrique des quations aussi diffr5tes en elles-mmes que celles-ci1 p> exemple1 _/x#by#baj1_/2x#fy#daj1_/2y#b;ex#j4_/ ,on sait de plus que cette imp]fection pr9cipale entrane s\v5t1 dans la gomtrie analytique deux ou trois dim5sions1 une f\le d'inconvni5s secondaires1 t5ant ce que plusieurs modifications analytiques se tr\v5t ne correspondre aucun phnomne gomtrique4 ,un de nos plus gr&s gomtres actuels1 ,m4 ,po9sot1 a prs5t une considration trs-+nieuse et =t simple1 laquelle on n'a pas fait communm5t assez d'att5tion1 et qui p]met1 lorsque les quations sont peu compliques1 de concevoir la reprs5tation graphique des solutions imag9aires1 en se bornant pe9dre leurs rapports qu& ils sont rels#bc4 ,mais cette considration1 qu'il s]ait ais de gnralis] ab/raitem5t1 e/ jusqu'ici trop peu susceptible d'tre effectivem5t employe1 cause de l'tat extrme d'imp]fection o se tr\ve encore la rsolution algbrique des quations1 et d'o il rsulte ou que la =me des rac9es imag9aires e/ le plus s\v5t ignore1 ou qu'elle prs5te une trop gr&e complication2 en sorte que de n\veaux travaux sont indisp5sables cet g>d1 avant qu'on puisse reg>d] comme comble cette lacune ess5tielle de notre gomtrie analytique4 ,note #bc3 ,m4 ,po9sot a montr1 p> exemple1 dans son excell5t mmoire sur l'analyse des sections angulaires1 que l'quation x#by#b;a#bj1 ord9airem5t c>te comme n'ayant pas de lieu gomtrique1 peut tre reprs5te1 de la manire la plus simple et la plus nette1 p> une hyp]bole quilatre1 qui remplit son g>d le mme (fice que le c]cle p\r l'quation x#by#b-;a#bj4 ,l'exposition philosophique essaye dans cette leon de la conception fondam5tale de la gomtrie analytique1 n\s montre clairem5t que cette sci5ce consi/e ess5tiellem5t dt]m9] quelle e/1 en gnral1 l'expression analytique de tel ou tel phnomne gomtrique propre aux lignes ou aux surfaces1 et rciproquem5t dc\vrir l'int]prtation gomtrique de telle ou telle considration analytique4 ,n\s avons ma9t5ant exam9]1 en n\s bornant aux que/ions gnrales les plus importantes1 comm5t les gomtres sont p>v5us tablir effectivem5t cette belle h>monie1 et imprim] a9si la sci5ce gomtrique1 envisage dans son ensemble total1 le c>actre p>fait de rationalit et de simplicit qu'elle prs5te auj\rd'hui si m9emm5t4 ,tel s]a l'objet ess5tiel des deux leons suivantes1 l'une1 consacre l'tude gnrale des lignes1 et l'autre1 l'tude gnrale des surfaces4 ,,treizi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,de la gomtrie gnrale deux dim5sions4 ,d'aprs la m>*e habituellem5t adopte jusqu' ce j\r p\r l'exposition de la sci5ce gomtrique1 la de/9ation vraim5t ess5tielle de la gomtrie analytique n'e/ encore s5tie que d'une manire =t imp>faite1 qui ne correspond nullem5t l'op9ion que s'en =m5t les vritables gomtres1 depuis que l'ext5sion des conceptions analytiques la mcanique rationnelle a p]mis de s'lev] quelques ides gnrales sur la philosophie ma?matique4 ,la rvolution fondam5tale opre p> la gr&e p5se de ,desc>tes n'e/ po9t encore dignem5t apprcie dans notre ducation ma?matique1 mme la plus haute4 la manire dont elle e/ ord9airem5t prs5te et surt\t employe1 cette admirable m?ode ne sembl]ait d'abord avoir d'autre b rel que de simplifi] l'tude des sections coniques1 ou de quelques autres c\rbes1 considres t\j\rs une une suivant l'esprit de la gomtrie anci5ne1 ce qui s]ait sans d\te de =t peu d'importance4 ,on n'a po9t encore conv5ablem5t s5ti que le vritable c>actre di/9ctif de notre gomtrie mod]ne1 ce qui con/itue son inconte/able supriorit1 consi/e tudi]1 d'une manire entirem5t gnrale1 les div]ses que/ions relatives des lignes ou des surfaces quelconques1 en trans=mant les considrations et les re*]*es gomtriques en considrations et en re*]*es analytiques4 ,il e/ rem>quable que dans les tablissem5s1 mme les plus ju/em5t clbres1 consacrs la haute in/ruction ma?matique1 on n'ait po9t in/itu de c\rs vraim5t dogmatique de gomtrie gnrale1 conu d'une manire la fois di/9cte et complte#bd4 ,cep5dant une telle tude e/ la plus propre manife/] clairem5t le vrai c>actre philosophique de la sci5ce ma?matique1 en dmontrant avec une nettet p>faite l'organisation gnrale de la relation de l'ab/rait au concret dans la ?orie ma?matique d'un ordre quelconque de phnomnes naturels4 ,note #bd3 ,la pr(onde mdiocrit qu'on obs]ve gnralem5t cet g>d1 surt\t dans l'enseignem5t de la p>tie lm5taire des ma?matiques1 quoique deux sicles se soi5t c\ls dj depuis la publication de la gomtrie de ,desc>tes1 montre combi5 notre ducation ma?matique ord9aire e/ encore lo9 de correspondre au vritable tat de la sci5ce2 ce qui ti5t sans d\te1 en gr&e p>tie1 on ne doit pas se le dissimul]1 l'extrme infriorit de la plup>t des p]sonnes auxquelles on confie un enseignem5t aussi important1 sur la haute direction duquel les vritables *efs de la sci5ce ne sont d'ailleurs admis ex]c] aucune influ5ce rgulire et p]man5te4 ,ces considrations indiqu5t assez quelle peut tre1 outre son extrme importance philosophique1 l'utilit spciale et directe de l'exposition laquelle n\s conduit ma9t5ant le plan de cet ouvrage4 ,il s'agit donc1 en p>tant de la conception fondam5tale explique dans la leon prcd5te1 relativem5t la reprs5tation analytique des =mes gomtriques1 d'exam9] comm5t les gomtres sont p>v5us rduire t\tes les que/ions de gomtrie gnrale de pures que/ions d'analyse1 en dt]m9ant les lois analytiques de t\s les phnomnes gomtriques1 c'e/--dire les modifications algbriques qui leur correspond5t dans les quations des lignes et des surfaces4 ,je ne m'occup]ai d'abord que des c\rbes1 et mme des c\rbes planes1 rs]vant p\r la leon suivante l'tude gnrale des surfaces et des c\rbes d\ble c\rbure4 ,l'esprit de cet ouvrage prescrit d'ailleurs de se born] l'exam5 philosophique des que/ions gnrales les plus importantes1 et surt\t d'c>t] t\te application des =mes p>ticulires4 ,le b ess5tiel que n\s devons avoir en vue ici1 e/ seulem5t de con/at] avec prcision comm5t la conception fondam5tale de ,desc>tes a tabli le sy/me gnral de la sci5ce gomtrique sur des bases rationnelles et df9itives4 ,t\te autre tude r5tr]ait dans un trait spcial de gomtrie2 mais1 quant celle-ci1 elle e/ indisp5sable p\r l'objet que n\s n\s proposons4 ,on peut sans d\te concevoir priori1 comme je l'ai indiqu dans la leon prcd5te1 que1 une fois le sujet des re*]*es gomtriques reprs5t analytiquem5t1 t\s les accid5s ou phnomnes quelconques dont il e/ susceptible doiv5t comport] ncessairem5t une int]prtation semblable4 ,mais il e/ clair qu'une telle considration ne disp5se nullem5t1 mme s\s le simple rapport philosophique1 d'tudi] l'organisation effective de cette h>monie gnrale entre la gomtrie et l'analyse1 dont on ne se =m]ait sans cela qu'une ide vague et confuse1 entirem5t insuffisante4 ,la premire et la plus simple "q qu'on puisse se propos] relativem5t une c\rbe quelconque1 c'e/ de connatre1 d'aprs son quation#be1 le nombre de po9ts ncessaire sa dt]m9ation4 ,outre l'importance propre d'une telle notion1 qui n'e/ pas tablie jusqu'ici d'une manire assez rationnelle1 je crois devoir expos] avec quelque dveloppem5t la solution gnrale de ce problme lm5taire1 p>ce qu'elle me semble m9emm5t apte1 s\s le rapport de la m?ode1 vu l'extrme simplicit des considrations analytiques correspondantes1 faire saisir le vritable esprit de la gomtrie analytique1 c'e/--dire la corrlation ncessaire et cont9ue entre le po9t de vue concret et le po9t de vue ab/rait4 ,note #be3 ,je considr]ai t\j\rs1 p\r fix] les ides1 mo9s d'av]tissem5t =mel1 le sy/me de coordonnes rectilignes ord9aire1 soit dans cette leon1 soit dans la suivante4 ,p\r rs\dre compltem5t cette "q1 il faut di/+u] deux cas1 suivant que la c\rbe propose e/ df9ie analytiquem5t p> son quation la plus gnrale1 c'e/--dire conv5ant t\tes les positions de la c\rbe relativem5t aux axes1 ou p> une quation p>ticulire et plus simple1 qui n'a lieu que dans une c]ta9e situation de la c\rbe l'g>d des axes4 ,dans le premi] cas1 il e/ vid5t que la condition1 de la "p de la c\rbe1 de devoir pass] p> un po9t donn1 quivaut analytiquem5t ce que les con/antes arbitraires que r5f]me son quation gnrale cons]v5t entre elles la relation m>que p> la sub/itution des coordonnes p>ticulires de ce po9t dans cette quation4 ,*aque po9t donn imposant a9si ces con/antes une c]ta9e condition algbrique1 p\r que la c\rbe soit entirem5t dt]m9e il faudra donc assign] un nombre de po9ts gal au nombre des con/antes arbitraires cont5ues dans son quation4 ,telle e/ la rgle gnrale4 ,il convi5t cep5dant d'obs]v] qu'elle p\rrait induire en erreur1 et indiqu] un nombre de po9ts trop considrable1 si1 dans l'quation propose1 le nombre des t]mes di/9cts r5f]mant les con/antes arbitraires tait mo9dre que celui de ces con/antes1 auquel cas il faudrait videmm5t jug] du nombre de po9ts ncessaire l'entire dt]m9ation de la c\rbe1 seulem5t p> celui de ces t]mes1 ce qui signifi]ait gomtriquem5t que les con/antes considres p\rrai5t alors pr\v] c]ta9s *angem5s sans qu'il en rsultt aucun p\r la c\rbe4 ,tel s]ait1 p> exemple1 le cas du c]cle1 si on le df9issait comme la c\rbe dcrite p> le sommet d'un angle de gr&eur inv>iable qui se meut de manire ce que *acun de ses cts passe t\j\rs p> un c]ta9 po9t fixe4 ,il faut donc1 p\r plus de gnralit1 compt] sp>m5t le nombre des con/antes entrant dans l'quation de la c\rbe propose et le nombre des t]mes qui les conti5n5t1 et dt]m9] combi5 de po9ts exige l'entire spcification de la c\rbe p> le plus petit de ces deux nombres1 mo9s qu'ils ne soi5t gaux4 ,qu& une c\rbe n'e/ primitivem5t df9ie que p> une quation du g5re de celles que n\s avons nommes plus haut p>ticulires1 on peut1 l'aide d'une trans=mation inv>iable et =t simple1 faire r5tr] ce cas dans le prcd5t1 en gnralisant conv5ablem5t l'quation propose4 ,il suffit1 p\r cela1 de rapport] la c\rbe1 d'aprs les =mules connues1 un n\veau sy/me d'axes1 dont la situation p> rapport aux premi]s soit reg>de comme indt]m9e4 ,si cette trans=mation ne *ange pas ess5tiellem5t la composition analytique de l'quation primitive1 ce s]a la preuve que celle-ci tait dj suffisamm5t gnrale2 dans le cas contraire1 elle le s]a dev5ue1 et ds lors la "q se rs\dra facilem5t p> l'application de la rgle prcdemm5t tablie4 ,on peut mme obs]v]1 p\r simplifi] encore davantage cette solution1 que cette gnralisation de l'quation introduira t\j\rs1 quelle que soit l'quation primitive1 trois n\velles con/antes arbitraires1 savoir les deux coordonnes de la n\velle orig9e et l'incl9aison des n\veaux axes sur les anci5s2 en sorte que1 sans effectu] le calcul1 on p\rra connatre le nombre des con/antes arbitraires qui entr]ai5t dans l'quation la plus gnrale1 et p> suite en dduire directem5t le nombre de po9ts ncessaire la dt]m9ation de la c\rbe propose1 t\tes les fois du mo9s qu'on p\rra tre c]ta9 d'avance1 ce qui a lieu trs-frquemm5t1 que le nombre des t]mes qui conti5drai5t ces con/antes ne s]ait pas mo9dre que celui des con/antes elles-mmes4 ,af9 de montr] quel degr de facilit peut p>v5ir la solution gnrale de cette "q1 il importe de rem>qu] que1 l'opration analytique prescrite p\r la rs\dre se rduisant une simple numration1 cette numration peut tre faite avant mme que l'quation de la c\rbe soit obt5ue1 et d'aprs sa seule df9ition gomtrique4 ,il suffit1 en effet1 d'analys] cette df9ition s\s ce po9t de vue1 en e/imant combi5 de po9ts donns1 ou de droites donnes soit en longueur1 soit en direction1 ou de c]cles donns1 etc41 elle exige p\r l'entire dt]m9ation de la c\rbe propose4 ,cela pos1 on saura aussi d'avance combi5 il devra entr] de con/antes arbitraires dans l'quation la plus gnrale de cette c\rbe1 en considrant que *aque po9t fixe donn p> la df9ition en introduira deux1 *aque droite donne galem5t deux1 *aque longueur donne une1 *aque c]cle entirem5t donn trois1 etc4 ,on p\rra donc jug] immdiatem5t p> l du nombre de po9ts qu'exige la dt]m9ation de la c\rbe1 avec autant d'exactitude que si l'on avait s\s les yeux son quation gnrale2 cela prs nanmo9s de la re/riction indique ci-dessus p\r le cas o le nombre des t]mes r5f]mant les con/antes arbitraires s]ait infrieur celui des con/antes2 re/riction qu'on p\rra s\v5t reconnatre comme inapplicable1 si l'analyse de la df9ition propose a montr clairem5t que les donnes qu'elle prescrit ne p\rrai5t nullem5t v>i]1 soit isolm5t1 soit ensemble1 sans qu'il en rsultt p\r la c\rbe un *angem5t quelconque4 ,mais1 lorsque cette re/riction devra tre rellem5t applique1 cette considration ne f\rnira d'abord qu'une limite suprieure du nombre *]*1 qui ne p\rra tre alors entirem5t connu qu'en consultant effectivem5t l'quation gnrale4 ,j'ai suppos jusqu'ici que les po9ts p> lesquels on veut dt]m9] le c\rs d'une ligne fuss5t absolum5t quelconques2 mais1 p\r complt] la m?ode1 il faut exam9] le cas o l'on introduirait p>mi eux des po9ts s+uli]s1 c'e/--dire di/9cts de t\s les autres p> une proprit c>actri/ique quelconque1 comme ce que l'on nomme les foy]s dans les sections coniques1 les sommets1 les c5tres1 les po9ts d'inflexion ou de rebr\ssem5t1 etc4 ,ces po9ts ayant t\s p\r c>actre d'tre uniques1 ou du mo9s dt]m9s1 dans une mme c\rbe1 leurs deux coordonnes sont donc *acune une fonction dt]m9e1 connue ou inconnue1 des con/antes qui spcifi5t exactem5t la c\rbe propose4 ,a9si1 donn] un seul de ces po9ts1 c'e/ impos] ces con/antes arbitraires deux conditions algbriques1 ce qui1 p> consqu5t1 quivaut analytiquem5t donn] deux po9ts ord9aires4 ,la rgle gnrale et =t simple se rduit donc1 cet g>d1 compt] t\j\rs p\r deux *aque po9t s+uli]1 p> quelque proprit qu'il puisse tre df9i3 cela prs1 on r5tr]a dans la loi tablie ci-dessus4 ,t\te application spciale de la ?orie gnrale que je vi5s d'indiqu] s]ait ici dplace4 ,je crois cep5dant utile de rem>qu]1 au sujet de cette application1 que le nombre de po9ts ncessaires l'entire dt]m9ation de *aque c\rbe1 quoique con/ituant une circon/ance =t importante1 n'e/ po9t aussi intimem5t li qu'on le croirait d'abord1 soit la nature analytique de l'quation1 soit la =me gomtrique de la ligne4 ,a9si1 p> exemple1 on tr\ve1 d'aprs la m?ode prcd5te1 que la p>abole ord9aire1 et mme les p>aboles de t\s les degrs1 la log>i?mique1 la cyclode1 la spirale d',ar*imde1 etc41 exig5t galem5t quatre po9ts p\r leur dt]m9ation1 quoiqu'on n'ait pu dc\vrir jusqu'ici aucune autre proprit commune entre des c\rbes aussi diffr5tes s\s le rapport analytique que s\s le rapport gomtrique4 ,il e/ nanmo9s vraisemblable que cette analogie ne doit pas tre entirem5t isole4 ,je *oisirai1 comme second exemple intressant1 p>mi les que/ions lm5taires relatives l'tude gnrale des lignes1 la dt]m9ation des c5tres dans une c\rbe plane quelconque4 ,le c>actre gomtrique du c5tre d'une figure tant1 en gnral1 d'tre le milieu de t\tes les cordes qui y pass5t1 il en rsulte videmm5t que1 si l'on y place l'orig9e du sy/me des coordonnes rectilignes1 les po9ts de la figure auront1 deux deux1 p> rapport une telle orig9e1 des coordonnes gales et de signe contraire4 ,on peut donc reconnatre immdiatem5t1 d'aprs l'quation d'une c\rbe quelconque1 si elle a p\r c5tre l'orig9e actuelle des coordonnes1 puisqu'il suffit d'exam9] si cette quation n'e/ po9t altre1 en y *angeant la fois les signes des deux coordonnes v>iables1 ce qui exige1 dans le cas o il n'y entre que des fonctions algbriques1 rationnelles et entires1 que les t]mes soi5t t\s de degr pair ou t\s de degr impair1 suivant le degr de l'quation4 ,cela pos1 qu& un tel *angem5t tr\ble l'quation1 il faut dplac] l'orig9e d'une manire indt]m9e1 et *]*] dispos] des deux con/antes arbitraires que cette trans=mation introduit dans l'quation p\r les coordonnes de la n\velle orig9e1 de faon ce que l'quation puisse j\ir1 relativem5t aux n\veaux axes1 de la proprit prcd5te4 ,si1 p> des valeurs relles conv5ables des coordonnes de la n\velle orig9e1 on peut faire disp>atre t\s les t]mes qui emp*ai5t l'quation de prs5t] ce c>actre analytique1 la c\rbe aura un c5tre dont ces valeurs f]ont connatre la position3 dans le cas contraire1 il s]a con/at que la c\rbe n'a po9t de c5tre4 ,p>mi les que/ions de gomtrie gnrale deux dim5sions dont la solution complte ne dp5d que de l'analyse ord9aire1 je crois devoir encore indiqu] ici celle qui se rapporte la dt]m9ation des conditions de la similitude entre des c\rbes quelconques d'un mme g5re1 c'e/--dire susceptibles d'une mme df9ition ou quation1 qui ne les di/+ue les unes des autres que p> les div]ses valeurs de c]ta9es con/antes arbitraires relatives la gr&eur de *acune d'elles4 ,cette "q1 importante en elle-mme1 a d'autant plus d'intrt s\s le rapport de la m?ode1 que le phnomne gomtrique qu'il s'agit alors de c>actris] analytiquem5t1 e/ videmm5t purem5t relatif la =me1 et nullem5t un phnomne de situation1 ce qui1 comme n\s l'avons rem>qu dans la leon prcd5te1 donne t\j\rs lieu des difficults spciales p> rapport notre sy/me de gomtrie analytique1 o les ides de position sont seules directem5t considres4 ,l'emploi de l'analyse diffr5tielle f\rnirait immdiatem5t la solution de ce problme gnral1 en t5dant aux c\rbes1 comme il convi5t1 la df9ition lm5taire de la similitude p\r les figures rectilignes4 ,il suffirait1 en effet1 #a de calcul]1 d'aprs l'quation de *acune des deux c\rbes1 l'angle de cont+5ce en un po9t quelconque1 et d'exprim] que cet angle a la mme valeur dans les deux c\rbes p\r des po9ts correspondans2 #b d'aprs l'expression diffr5tielle gnrale de la longueur d'un lm5t inf9im5t petit de *aque c\rbe1 d'exprim] que les lm5s homologues des deux c\rbes sont entre eux dans un rapport con/ant4 ,les conditions analytiques de la similitude se tr\v]ai5t a9si dp5dre des deux premires fonctions drives de l'ordonne rapporte l'abcisse4 ,mais le problme peut tre rsolu d'une manire beauc\p plus simple1 et nanmo9s t\t aussi gnrale1 quoique mo9s directe1 p> le simple usage de l'analyse ord9aire4 ,p\r cela1 il faut d'abord rem>qu] une proprit lm5taire que peuv5t t\j\rs prs5t] deux figures semblables de =me quelconque1 qu& elles sont places dans une situation p>allle1 c'e/--dire1 de telle faon que t\s les lm5s de *acune soi5t respectivem5t p>allles aux lm5s homologues de l'autre1 ce que la similitude p]met videmm5t de faire con/amm5t4 ,dans cette situation1 il e/ ais de voir que1 si on jo9t deux deux p> des droites les po9ts homologues des deux figures1 t\tes ces lignes de jonction conc\rront ncessairem5t en un po9t unique1 p>tir duquel leurs longueurs1 comptes jusqu' l'une et l'autre des deux figures semblables1 auront entre elles un rapport con/ant1 gal celui des deux figures4 ,il rsulte immdiatem5t de cette proprit1 considre s\s le po9t de vue analytique1 que1 si l'orig9e des coordonnes rectilignes e/ suppose place au po9t p>ticuli] dont n\s v5ons de p>l]1 les po9ts homologues des deux c\rbes semblables auront des coordonnes con/amm5t proportionnelles1 en sorte que l'quation de la premire c\rbe devra r5tr] dans celle de la seconde1 en y *angeant x en mx1 et y en my1 m tant une con/ante arbitraire gale au rapport l9aire des deux figures4 ,avec des coordonnes polaires z et _/v>phi1 dont le ple s]ait plac au mme po9t1 les deux quations devi5drai5t id5tiques en *angeant seulem5t z en mz dans l'une d'elles1 sans *ang] _/v>phi4 ,la vrification d'un tel c>actre algbrique suffira donc videmm5t p\r con/at] la similitude4 ,mais1 de sa non-vrification1 il e/ clair qu'on ne devra po9t conclure immdiatem5t la dissimilitude des deux c\rbes comp>es1 puisque l'orig9e ou le ple p\rrai5t n'tre pas placs au po9t unique p\r lequel cette relation a lieu1 ou mme que les deux c\rbes p\rrai5t n'tre pas poses actuellem5t dans la situation p>allle4 ,il e/ nanmo9s facile de gnralis] et de complt] la m?ode s\s l'un et l'autre de ces deux rapports1 quoiqu'il semble d'abord impossible analytiquem5t de modifi] la situation relative de deux c\rbes4 ,il suffira p\r cela de *ang]1 l'aide des =mules connues1 la fois l'orig9e et la direction des axes si les coordonnes sont rectilignes1 ou le ple et la direction de l'axe si elles sont polaires1 mais en effectuant cette trans=mation seulem5t dans l'une des deux quations4 ,on *]*]a alors dispos] des trois con/antes arbitraires introduites p> l1 p\r que cette quation a9si modifie prs5te1 relativem5t l'autre1 la proprit analytique indique4 ,si cette relation peut avoir lieu d'aprs c]ta9es valeurs relles des con/antes arbitraires1 les deux c\rbes s]ont semblables2 s9on1 leur dissimilitude s]a con/ate4 ,quoiqu'il ne convi5ne po9t de considr] ici aucune application spciale de la ?orie prcd5te1 je crois cep5dant utile d'indiqu] ce sujet une rem>que gnrale4 ,elle consi/e en ce que1 t\tes les fois que l'quation d'une c\rbe1 simplifie le plus possible p> la disposition des axes1 ne r5f]m]a qu'une seule con/ante arbitraire1 t\tes les c\rbes de ce g5re s]ont ncessairem5t semblables entre elles4 ,on peut augm5t] l'utilit de cette obs]vation1 en ce que1 sans considr] mme l'quation de la c\rbe1 il suffira d'exam9]1 dans ce cas1 si sa df9ition gomtrique primitive ne fait dp5dre que d'une seule donne l'entire dt]m9ation de sa gr&eur#bf4 ,qu&1 au contraire1 l'quation la plus simple de la c\rbe propose conti5dra deux con/antes arbitraires ou davantage1 ou1 ce qui e/ exactem5t quival5t1 lorsque la df9ition f]a dp5dre sa gr&eur de plusieurs donnes di/9ctes1 les c\rbes de ce g5re ne p\rront tre semblables qu' l'aide de c]ta9es relations entre ces con/antes ou ces donnes1 qui consi/]ont ord9airem5t dans leur proportionnalit4 ,c'e/ a9si que t\tes les p>aboles d'un mme degr1 d'ailleurs quelconque1 sont semblables entre elles1 aussi bi5 que t\tes les log>i?miques1 t\tes les cyclodes ord9aires1 t\s les c]cles1 etc42 t&is que deux ellipses ou deux hyp]boles1 p> exemple1 ne sont semblables qu'autant que leurs axes sont proportionnels4 ,note #bf3 ,cette proprit1 qui e/ une consqu5ce vid5te de la ?orie indique ci-dessus1 p\rrait d'ailleurs tre tablie directem5t p> une considration =t simple4 ,il suffirait de rem>qu] que1 dans ce cas1 les div]ses c\rbes de ce g5re p\rrai5t concid] en les con/ruisant sur une *elle diffr5te1 d'o rsulte clairem5t leur similitude ncessaire4 ,je me borne ce petit nombre de que/ions gnrales relatives aux lignes1 p>mi celles dont la solution complte dp5d seulem5t de l'analyse ord9aire4 ,on n'y doit pas compr5dre la dt]m9ation de ce qu'on appelle les foy]s1 la re*]*e des diamtres1 etc41 et plusieurs autres problmes de ce g5re1 qui1 bi5 que susceptibles d'tre proposs et rsolus p\r des c\rbes quelconques1 n'ont de vritable intrt qu' l'g>d des sections coniques4 ,relativem5t aux diamtres1 p> exemple1 c'e/--dire aux lieux gomtriques des milieux d'un sy/me quelconque de cordes p>allles1 il e/ ais de =m] une m?ode gnrale p\r dduire de l'quation d'une c\rbe l'quation commune de t\s ses diamtres4 ,mais une telle considration ne peut facilit] l'tude d'une c\rbe qu'autant que les diamtres se tr\v5t tre des lignes plus simples et plus connues que la c\rbe primitive2 et mme cette re*]*e n'a vraim5t une gr&e utilit que lorsque t\s les diamtres sont des lignes droites4 ,or1 c'e/ ce qui n'a lieu que dans les c\rbes du second degr4 ,p\r t\tes les autres1 les diamtres sont1 en gnral1 des c\rbes aussi peu connues et s\v5t mme d'une tude plus difficile que la c\rbe propose4 ,c'e/ p\rquoi je ne dois po9t ici considr] une telle "q1 ni aucune autre semblable1 quoique1 dans les traits spciaux de gomtrie analytique1 il convnt d'ailleurs de les prs5t] d'abord1 autant que possible1 s\s un po9t de vue entirem5t gnral4 ,je passe donc immdiatem5t l'exam5 des ?ories de gomtrie gnrale deux dim5sions qui ne peuv5t tre compltem5t tablies qu' l'aide de l'analyse transc5dante4 ,la premire et la plus simple d'entre elles consi/e dans la dt]m9ation des tang5tes aux c\rbes planes4 ,ayant eu occasion1 dans la sixime leon1 d'indiqu] la solution gnrale de cet important problme1 d'aprs *acun des div]s po9ts de vue fondam5taux propres l'analyse transc5dante1 il e/ inutile d'y rev5ir ici4 ,je f]ai seulem5t obs]v] ce sujet que la "q fondam5tale a9si considre suppose connu le po9t de contact de la droite avec la c\rbe1 t&is que la tang5te peut tre dt]m9e p> plusieurs autres conditions1 qu'il faut alors faire r5tr] dans la prcd5te1 en dt]m9ant pralablem5t les coordonnes du po9t de contact1 ce qui e/ ord9airem5t trs-facile4 ,a9si1 p> exemple1 si la tang5te e/ assujtie pass] p> un po9t donn extrieur la c\rbe1 les coordonnes de ce po9t devant satisfaire la =mule gnrale de l'quation de la tang5te cette c\rbe1 =mule qui conti5t les coordonnes inconnues du po9t de contact1 ce d]ni] po9t s]a dt]m9 p> une telle relation comb9e avec l'quation de la c\rbe propose4 ,de mme1 si la tang5te *]*e doit tre p>allle une droite donne1 il faudra gal] le coffici5t gnral qui m>que sa direction en fonction des coordonnes du po9t de contact celui qui dt]m9e celle de la droite donne1 et la comb9aison de cette condition avec l'quation de la c\rbe f]a encore connatre ces coordonnes4 ,af9 de considr] s\s un po9t de vue plus t5du les problmes relatifs aux tang5tes1 il peut tre utile d'exprim] di/9ctem5t la relation qui doit exi/] entre les deux con/antes arbitraires cont5ues dans l'quation gnrale d'une ligne droite et les div]ses con/antes propres une c\rbe quelconque donne1 p\r que la droite soit tang5te la c\rbe4 cet effet1 il suffit d'obs]v] que les deux con/antes p> lesquelles se tr\ve fixe *aque in/ant la position de la tang5te tant des fonctions connues des coordonnes du po9t de contact1 l'lim9ation de ces deux coordonnes entre ces deux =mules et l'quation de la c\rbe propose f\rnira une relation indp5dante du po9t de contact et cont5ant seulem5t les con/antes des deux lignes1 qui s]a le c>actre analytique *]* du phnomne d'un contact indt]m94 ,on se s]virait1 p> exemple1 de telles expressions p\r dt]m9] une tang5te commune deux c\rbes donnes1 en calculant les deux con/antes propres cette droite d'aprs les deux relations qu'entran]ait a9si son contact avec l'une et l'autre c\rbe4 ,la "q fondam5tale des tang5tes e/ le po9t de d"p de plusieurs autres re*]*es gnrales plus ou mo9s importantes relativem5t aux c\rbes1 qu'il e/ ais d'en faire dp5dre4 ,la plus directe et la plus simple de ces que/ions secondaires consi/e dans la dt]m9ation des asymptotes1 ou du mo9s des asymptotes rectilignes1 les seules1 en gnral1 qu'il soit intressant de connatre1 p>ce qu'elles seules contribu5t rellem5t facilit] l'tude d'une c\rbe4 ,on sait que l'asymptote e/ une droite qui s'appro*e indf9im5t et d'aussi prs qu'on veut d'une c\rbe1 sans cep5dant p\voir jamais l'atte9dre rig\reusem5t4 ,elle peut donc tre envisage comme une tang5te dont le po9t de contact s'loigne l'inf9i4 ,a9si1 p\r la dt]m9]1 il suffit de suppos] inf9ies les coordonnes du po9t de contact dans les deux =mules gnrales qui exprim5t1 d'aprs l'quation de la c\rbe1 en fonction de ces coordonnes1 les deux con/antes p> lesquelles e/ fixe la position de la tang5te4 ,si ces deux con/antes pr5n5t alors des valeurs relles et compatibles entre elles1 la c\rbe donne aura des asymptotes dont un tel calcul f]a connatre le nombre et la situation2 si ces valeurs sont imag9aires ou incompatibles1 ce s]a la preuve que la c\rbe propose n'a po9t d'asymptotes1 du mo9s rectilignes4 ,on voit que cette dt]m9ation e/ exactem5t analogue celle d'une tang5te m5e p> un po9t de la c\rbe dont les coordonnes s]ai5t f9ies4 ,il arriv]a seulem5t1 dans un assez gr& nombre de cas1 que les deux valeurs *]*es se prs5t]ont s\s une =me indt]m9e1 ce qui e/ un inconvni5t gnral des =mules algbriques1 quoiqu'il doive sans d\te avoir lieu plus frquemm5t en attribuant aux v>iables des valeurs inf9ies4 ,mais on sait qu'il exi/e une m?ode analytique gnrale p\r e/im] la vraie valeur de t\te expression semblable2 il suffira donc alors d'y rec\rir4 ,on peut ratta*] aussi1 quoique d'une manire beauc\p mo9s directe1 la ?orie des tang5tes1 la ?orie t\t entire des div]s po9ts s+uli]s1 dont la dt]m9ation contribue m9emm5t la connaissance de t\te c\rbe qui en prs5te1 comme les po9ts d'inflexion1 les po9ts multiples1 les po9ts de rebr\ssem5t1 etc4 ,relativem5t aux po9ts d'inflexion1 p> exemple1 c'e/--dire ceux o une c\rbe de concave devi5t convexe1 ou de convexe concave1 il faut d'abord exam9] le c>actre analytique immdiatem5t propre la concavit ou la convexit1 ce qui dp5d de la manire dont v>ie la direction de la tang5te4 ,qu& la c\rbe e/ concave v]s l'axe des abcisses1 elle fait avec lui un angle de plus en plus petit mesure qu'elle s'en loigne2 au contraire1 lorsqu'elle e/ convexe1 l'angle qu'elle fait avec l'axe devi5t de plus en plus gr& en s'en c>tant davantage4 ,on peut donc directem5t reconnatre1 d'aprs l'quation d'une c\rbe1 le s5s de sa c\rbure *aque in/ant3 il suffit d'exam9] si le coffici5t qui m>que l'incl9aison de la tang5te1 c'e/--dire la fonction drive de l'ordonne1 pr5d des valeurs croissantes ou des valeurs dcroissantes mesure que l'ordonne augm5te2 dans le premi] cas1 la c\rbe t\rne sa convexit v]s l'axe des abcisses2 dans le second1 sa concavit4 ,cela pos1 s'il y a inflexion en quelque po9t1 c'e/--dire si la c\rbure *ange de s5s1 il e/ clair qu'en ce po9t l'incl9aison de la tang5te s]a dev5ue un maximum ou un m9imum1 suivant qu'il s'agira du passage de la convexit la concavit1 ou du passage inv]se4 ,on tr\v]a donc en quels po9ts ce phnomne peut avoir lieu1 l'aide de la ?orie ord9aire des maxima et m9ima1 dont l'application cette re*]*e appr5dra videmm5t que1 p\r l'abcisse du po9t d'inflexion1 la seconde fonction drive de l'ordonne propose doit tre nulle1 ce qui suffira p\r dt]m9] l'exi/5ce et la position de ce po9t4 ,cette re*]*e peut a9si tre ratta*e la ?orie des tang5tes1 quoiqu'elle soit ord9airem5t prs5te d'aprs la ?orie du c]cle osculateur4 ,il en s]ait de mme1 avec plus ou mo9s de difficult1 relativem5t t\s les autres po9ts s+uli]s4 ,un second problme fondam5tal que prs5te l'tude gnrale des c\rbes1 et dont la solution complte exige un emploi plus t5du de l'analyse transc5dante1 e/ l'importante "q de la mesure de la c\rbure des c\rbes au moy5 du c]cle osculateur en *aque po9t1 dont la dc\v]te suffirait seule p\r immortalis] le nom du gr& ,huygh5s4 ,le c]cle tant la seule c\rbe qui prs5te en t\s ses po9ts une c\rbure uni=me1 d'autant plus gr&e d'ailleurs que le rayon e/ plus petit1 qu& les gomtres se sont propos de s\mettre une e/imation prcise la c\rbure de t\te autre c\rbe quelconque1 ils ont d naturellem5t la comp>] en *aque po9t au c]cle qui p\vait avoir avec elle le plus intime contact possible1 et qu'ils ont nomm1 p\r cette raison1 c]cle osculateur1 af9 de le di/+u] des c]cles simplem5t tang5s1 qui sont en nombre inf9i au mme po9t de c\rbe1 t&is que le c]cle osculateur e/ videmm5t unique4 ,en considrant cette "q s\s un autre aspect1 on conoit que la c\rbure d'une c\rbe en *aque po9t p\rrait aussi tre e/ime p> l'angle plus ou mo9s gr& de deux lm5s conscutifs1 qu'on appelle angle de cont+5ce4 ,mais1 il e/ ais de reconnatre que ces deux mesures sont ncessairem5t quival5tes1 puisque le c5tre du c]cle osculateur s]a d'autant plus loign que cet angle de cont+5ce s]a plus obtus3 on voit mme1 s\s le po9t de vue analytique1 que l'expression du rayon de ce c]cle f\rnit immdiatem5t la valeur de cet angle4 ,d'aprs cette con=mit vid5te des deux po9ts de vue1 les gomtres ont d prfr] habituellem5t la considration du c]cle osculateur1 comme plus t5due et se prtant mieux la dduction des autres ?ories gomtriques qui se ratta*5t cette conception fondam5tale4 ,cela pos1 la manire la plus simple et la plus directe de dt]m9] le c]cle osculateur consi/e l'envisag]1 d'aprs la m?ode inf9itsimale proprem5t dite1 comme passant p> trois po9ts inf9im5t vois9s de la c\rbe propose1 ou1 en d'autres t]mes1 comme ayant avec elle deux lm5s conscutifs communs1 ce qui le di/+ue nettem5t de t\s les c]cles simplem5t tang5s1 avec lesquels la c\rbe n'a qu'un seul lm5t commun4 ,il rsulte de cette notion1 en ayant g>d la con/ruction ncessaire p\r dcrire un c]cle passant p> trois po9ts donns1 que le c5tre du c]cle osculateur1 ou ce qu'on appelle le c5tre de c\rbure de la c\rbe en *aque po9t1 peut tre reg>d comme le po9t d'int]section de deux normales inf9im5t vois9es1 en sorte que la "q se rduit tr\v] ce d]ni] po9t4 ,or1 cette re*]*e e/ facile1 en =mant1 d'aprs l'quation gnrale de la tang5te une c\rbe quelconque1 celle de la normale qui lui e/ p]p5diculaire1 et faisant ensuite v>i] d'une quantit inf9im5t petite1 dans cette d]nire quation1 les coordonnes du po9t de contact1 af9 de pass] la normale inf9im5t vois9e3 la dt]m9ation de la solution commune ces deux quations1 qui sont du premi] degr p> rapport aux deux coordonnes du po9t d'int]section1 suffit p\r faire tr\v] les deux =mules gnrales qui exprim5t les coordonnes du c5tre de c\rbure d'une c\rbe en un po9t quelconque4 ,ces =mules une fois obt5ues1 la re*]*e du rayon de c\rbure n'(fre plus aucune difficult1 puisqu'elle se rduit calcul] la di/ance de ce c5tre de c\rbure au po9t correspondant de la c\rbe4 ,en appelant _/alpha1 _/beta1 les coordonnes rectilignes du c5tre de c\rbure d'une c\rbe quelconque en un po9t dont les coordonnes sont x1 y1 et nommant r le rayon de c\rbe1 on tr\ve p> cette m?ode les =mules connues4 _/_/alpha x-_/frac_/fracdydx_/left7#a_/;fracdy#b;d x#b_/"r7_/fracd#bydx#b1 2_/beta y_/frac_/left7#a_/;fracdy#b;dx#b_/"r7_/f racd#bydx#b1_/ _/r_/frac_/left7#a_/;fracdy#b;dx#b_/"r7_ /frac#cb_/;fracd#by dx#b_/ ,on conoit de quelle importance e/ la dt]m9ation du rayon de c\rbure1 et combi5 la discussion de la manire gnrale dont il v>ie aux diffr5s po9ts d'une c\rbe1 doit contribu] la connaissance appr(ondie de cette c\rbe4 ,cet lm5t a surt\t ceci de trs-rem>quable1 entre t\s les autres sujets ord9aires de re*]*es dans la gomtrie analytique1 qu'il se rapporte directem5t1 p> sa nature1 la =me mme de la c\rbe1 sans dp5dre aucunem5t de sa position4 ,on voit que1 s\s le rapport analytique1 il exige la considration simultane des deux premires fonctions drives de l'ordonne4 ,la ?orie des c5tres de c\rbure conduit naturellem5t l'importante notion des dveloppes1 qui sont ma9t5ant df9ies comme tant les lieux gomtriques de t\s les c5tres de c\rbure de *aque c\rbe en ses diffr5s po9ts1 quoique1 au contraire1 dans la conception primitive de cette bran*e de la gomtrie1 ,huygh5s et dduit l'ide du c]cle osculateur de celle de la dveloppe1 directem5t envisage comme eng5drant p> son dveloppem5t la c\rbe primitive1 ou la dveloppante4 ,il e/ ais de reconnatre que ces deux manires de voir r5tr5t l'une dans l'autre4 ,cette dveloppe prs5te videmm5t1 p> quelque mode qu'on l'obti5ne1 deux proprits gnrales et ncessaires relativem5t la c\rbe quelconque1 dont elle drive3 la premire1 d'avoir p\r tang5tes les normales celle-ci2 et la seconde1 que la longueur de ses arcs soit gale celle des rayons de c\rbure correspondans de la dveloppante4 ,quant au moy5 d'obt5ir l'quation de la dveloppe d'une c\rbe donne1 il e/ clair qu'entre les deux =mules cites ci-dessus p\r exprim] les coordonnes du c5tre de c\rbure1 il suffit d'lim9]1 dans *aque cas1 les coordonnes x1 y1 du po9t correspondant de la c\rbe propose1 l'aide de l'quation de cette c\rbe3 l'quation en _/alpha1 _/beta qui rsult]a de l'lim9ation1 s]a celle de la dveloppe dem&e4 ,on p\rrait galem5t entrepr5dre de rs\dre la "q inv]se1 c'e/--dire de tr\v] la dveloppante d'aprs la dveloppe4 ,mais il faut rem>qu] qu'une lim9ation analogue la prcd5te ne f\rnirait alors1 p\r la c\rbe *]*e1 qu'une quation cont5ant1 outre x et y1 les deux fonctions drives dy_/dx1 d#by_/dx#b2 en sorte qu'aprs cette analyse prp>atoire1 la solution complte du problme exig]ait encore l'intgration de cette quation diffr5tielle du second ordre ce qui1 vu l'extrme imp]fection du calcul intgral1 s]ait le plus s\v5t impossible1 si1 p> la nature propre d'une telle re*]*e1 la c\rbe dem&e ne devait po9t1 comme j'ai eu occasion de l'indiqu] dans la septime leon1 tre reprs5te p> la solution s+ulire1 que la simple diffr5tiation peut t\j\rs faire obt5ir1 l'intgrale gnrale ne dsignant ici que le sy/me des c]cles osculateurs1 dont la connaissance n'e/ po9t l'objet de la "q propose4 ,il en s]ait de mme t\tes les fois qu'on aurait dt]m9] une c\rbe d'aprs une proprit quelconque de son rayon de c\rbure4 ,cet ordre de que/ions e/ exactem5t analogue aux problmes plus simples qui con/itu5t ce que1 dans l'orig9e de l'analyse transc5dante1 on appelait la ,m?ode inv]se des tang5tes1 o l'on se proposait de dt]m9] une c\rbe p> une proprit donne de sa tang5te en un po9t quelconque4 ,p> des considrations gomtriques plus ou mo9s compliques1 analogues celle qui f\rnit les dveloppes1 les gomtres ont dduit d'une mme c\rbe primitive quelconque div]ses autres c\rbes secondaires1 dont les quations peuv5t tre obt5ues d'aprs des procds semblables4 ,les plus rem>quables d'entre elles sont les cau/iques p> rflexion ou p> rfraction1 dont la premire ide e/ due ,ts*irnas1 quoique ,jacques ,b]n\illi en ait seul tabli la vritable ?orie gnrale4 ,ce sont1 comme on sait1 des c\rbes =mes p> l'int]section cont9uelle des rayons de lumire inf9im5t vois9s qu'on suppos]ait rfl*is ou rfracts p> la c\rbe primitive4 ,en p>tant de la loi gomtrique de la rflexion ou de la rfraction de la lumire1 consi/ant en ce que l'angle de rflexion e/ gal l'angle d'incid5ce1 ou en ce que le s9us de l'angle de rfraction e/ un multiple con/ant et connu du s9us de l'angle d'incid5ce1 il e/ vid5t que la re*]*e de ces cau/iques se rduit une pure "q de gomtrie1 p>faitem5t semblable celle des dveloppes1 conues comme =mes p> l'int]section cont9uelle des normales inf9im5t vois9es4 ,le problme se rs\dra donc analytiquem5t en suivant une m>*e analogue1 au sujet de laquelle t\te autre indication s]ait ici sup]flue4 ,le calcul s]a seulem5t plus laborieux1 surt\t si les rayons incid5s ne sont pas supposs p>allles entre eux ou mans d'un mme po9t4 ,les dveloppes1 les cau/iques1 et t\tes les autres lignes dduites d'une mme c\rbe pr9cipale l'aide de con/ructions analogues1 sont =mes p> les int]sections cont9uelles de droites inf9im5t vois9es s\mises une c]ta9e loi4 ,mais on peut aussi1 en gnralisant le plus possible cette considration gomtrique1 concevoir des c\rbes produites p> l'int]section cont9uelle de c]ta9es c\rbes inf9im5t vois9es1 assujties une mme loi quelconque4 ,cette loi consi/e ord9airem5t en ce que t\tes ces c\rbes sont reprs5tes p> une quation commune1 d'ailleurs quelconque1 d'o elles driv5t successivem5t en donnant div]ses valeurs une c]ta9e con/ante arbitraire4 ,on peut alors se propos] de tr\v] le lieu gomtrique des po9ts d'int]section de ces c\rbes conscutives1 qui correspond5t des valeurs inf9im5t rappro*es de cette con/ante arbitraire conue comme v>iant d'une manire cont9ue4 ,lebnitz a imag9 le premi] les re*]*es de cette nature1 qui ont ensuite t =t t5dues p> ,clairaut et surt\t p> ,lagrange4 ,p\r trait] le cas le plus simple1 celui que je vi5s de c>actris] exactem5t1 il suffit videmm5t de diffr5ti] l'quation gnrale propose p> rapport la con/ante arbitraire que l'on considre1 et d'lim9] ensuite cette con/ante entre cette quation diffr5tielle et l'quation primitive2 on obti5dra a9si1 entre les deux coordonnes v>iables1 une quation indp5dante de cette con/ante1 qui s]a celle de la c\rbe *]*e1 dont la =me diffr]a s\v5t beauc\p de celle des c\rbes gnratrices4 ,lagrange a tabli1 au sujet de cette relation gomtrique1 un important ?orme gnral1 en montrant que1 s\s le po9t de vue analytique1 la c\rbe a9si obt5ue et les c\rbes gnratrices ont ncessairem5t une mme quation diffr5tielle1 dont l'intgrale complte reprs5te le sy/me des c\rbes gnratrices1 t&is que sa solution s+ulire correspond la c\rbe des int]sections4 ,j'ai considr jusqu'ici la ?orie de la c\rbure des c\rbes suivant l'esprit de la m?ode inf9itsimale proprem5t dite1 qui s'adapte en effet bi5 plus simplem5t qu'aucune autre t\te re*]*e de ce g5re4 ,la conception de ,lagrange1 relativem5t l'analyse transc5dante1 prs5tait surt\t1 p> sa nature1 de gr&es difficults spciales p\r la solution directe d'une telle "q1 comme je l'ai dj rem>qu dans la sixime leon4 ,mais ces difficults ont si heureusem5t excit le gnie de ,lagrange1 qu'elles l'ont conduit la =mation de la ?orie gnrale des contacts1 dont l'anci5ne ?orie du c]cle osculateur se tr\ve n'tre plus qu'un cas p>ticuli] =t simple4 ,il importe au b de cet ouvrage de considr] ma9t5ant cette belle conception1 qui e/ peut-tre1 s\s le rapport philosophique1 l'objet le plus pr(ondm5t intressant que puisse (frir jusqu'ici la gomtrie analytique4 ,comp>ons une c\rbe quelconque donne yf7x7 une autre c\rbe v>iable z_/v>phi7x71 et *]*ons n\s =m] une ide prcise des div]s degrs d'intimit qui p\rront exi/] entre ces deux c\rbes1 en un po9t commun1 suivant les relations qu'on suppos]a entre la fonction _/v>phi et la fonction f4 ,il suffira p\r cela de considr] la di/ance v]ticale des deux c\rbes en un autre po9t de plus en plus rappro* du premi]1 af9 de la r5dre successivem5t la mo9dre possible1 eu g>d la corrlation des deux fonctions4 ,si h dsigne l'accroissem5t qu'pr\ve l'abcisse en passant ce n\veau po9t1 cette di/ance1 qui e/ gale la diffr5ce des deux ordonnes correspondantes1 p\rra tre dveloppe1 d'aprs la =mule de ,taylor1 suivant les puissances asc5dantes de h1 et aura p\r expression la srie1 _/,d_/left7f'7x7-_/v>phi7x7_/"r7h _/left7f''7x7-_/v>phi''7x7_/"r7_/frach#b a4b_/ _/ _/left7f'''7x7-_/v>phi'''7x7_/"r7_/frach #ca4b4c _/mbox_/rm etc4_/ ,en concevant1 ce qui e/ videmm5t t\j\rs possible1 h tellem5t petit1 que le premi] t]me de cette srie soit suprieur la somme de t\s les autres1 il e/ clair que la c\rbe z aura avec la c\rbe y un rappro*em5t d'autant plus intime1 que la nature de la fonction v>iable _/v>phi p]mettra de supprim] un plus gr& nombre de t]mes dans ce dveloppem5t1 p>tir du premi]4 ,le degr d'intimit des deux c\rbes s]a donc exactem5t apprci1 s\s le po9t de vue analytique1 p> le nombre plus ou mo9s gr& de fonctions drives successives de leurs ordonnes qui auront la mme valeur au po9t que l'on considre4 ,de l1 l'importante conception gnrale des div]s ordres de contacts plus ou mo9s p>faits1 dont la notion du c]cle osculateur comp> aux c]cles simplem5t tang5s n'avait prs5t jusqu'alors qu'un seul exemple p>ticuli]4 ,a9si1 aprs la simple int]section1 le premi] degr de rappro*em5t entre deux c\rbes a lieu qu& les premires drives de leurs ordonnes sont gales2 c'e/ le contact du premi] ordre1 ou ce qu'on appelle ord9airem5t le simple contact1 p>ce qu'il a t long-temps le seul connu4 ,le contact du second ordre exige de plus que les secondes drives des fonctions f et _/v>phi soi5t gales3 en y joignant encore l'galit de leurs troisimes drives1 on con/itue un contact du troisime ordre1 et a9si de suite l'inf9i4 ,au del du premi] ordre1 les contacts port5t s\v5t le nom d'osculations du premi] ordre1 du second ordre1 etc4 ,les contacts du premi] et du second ordre peuv5t tre c>actriss gomtriquem5t p> une obs]vation =t simple1 en ce qu'il en rsulte videmm5t que les deux c\rbes comp>es ont au po9t commun1 dans un cas1 la mme tang5te1 et1 dans l'autre1 le mme c]cle de c\rbure1 puisque la tang5te *aque c\rbe dp5d de la premire drive de son ordonne1 et le c]cle de c\rbure1 des deux premires drives successives4 ,mais cette considration ne convi5drait plus au-del du second ordre p\r dt]m9] l'ide gomtrique du contact4 ,lagrange s'e/ born1 s\s ce rapport1 assign] le c>actre gnral qui rsulte immdiatem5t de l'analyse ci-dessus indique1 et qui consi/e en ce que lorsque la c\rbe z e/ dt]m9e de manire avoir avec la c\rbe y un contact de l'ordre n1 produit analytiquem5t p> l'galit de t\tes les fonctions drives jusqu' celle de l'ordre n1 aucune autre c\rbe z1 de mme nature que la prcd5te1 mais qui ne satisf]ait qu' un mo9dre nombre de conditions analytiques1 et qui1 p> consqu5t1 n'aurait avec la c\rbe y qu'un contact mo9s intime1 ne p\rrait pass] entre les deux c\rbes1 puisque l'int]valle de celles-ci a reu la plus petite valeur dont il tait susceptible d'aprs une telle relation des deux quations4 ,lorsqu'on a p>ticul>is la nature de la c\rbe z a9si comp>e une c\rbe quelconque donne y1 l'ordre du contact le plus intime qu'elle peut avoir avec celle-ci dp5d videmm5t du nombre plus ou mo9s gr& de con/antes arbitraires que r5f]me son quation la plus gnrale1 un contact de l'ordre n exigeant n#a conditions analytiques1 qui ne saurai5t tre remplies qu'avec un p>eil nombre de con/antes disponibles4 ,p> consqu5t1 une ligne droite1 dont l'quation la plus gnrale conti5t seulem5t deux con/antes arbitraires1 ne peut avoir avec une c\rbe quelconque qu'un contact du premi] ordre3 d'o dc\le la ?orie ord9aire des tang5tes4 ,l'quation du c]cle r5f]mant1 en gnral1 trois con/antes arbitraires1 le c]cle peut avoir avec une c\rbe quelconque un contact du second ordre1 et de l rsulte1 comme cas p>ticuli]1 l'anci5ne ?orie du c]cle osculateur4 ,en considrant une p>abole1 comme il y a quatre con/antes arbitraires dans son quation la plus complte et la plus simple1 elle e/ susceptible1 comp>e t\te autre c\rbe1 d'une intimit plus pr(onde1 qui peut all] jusqu'au contact du troisime ordre3 de mme1 une ellipse comport]ait un contact du quatrime ordre1 etc4 ,la considration prcd5te e/ propre suggr] une int]prtation gomtrique de cette ?orie gnrale des contacts1 qui me semble de/9e complt] le travail de ,lagrange1 en assignant1 p\r df9ir directem5t les div]s ordres de contacts1 un c>actre concret plus simple et plus clair que celui indiqu p> ,lagrange4 ,en effet1 ce nombre plus ou mo9s gr& de con/antes arbitraires cont5ues dans une quation a p\r signification gomtrique1 comme n\s l'avons tabli en comm5ant cette leon1 le nombre des po9ts ncessaires l'entire dt]m9ation de la c\rbe correspondante1 lequel se tr\ve a9si m>qu] le degr d'intimit dont cette c\rbe e/ susceptible relativem5t t\te autre4 ,or1 d'un autre ct1 la loi analytique qui exprime ce contact p> l'galit d'un p>eil nombre de drives successives des deux ordonnes1 indique videmm5t que les deux c\rbes ont alors autant de po9ts inf9im5t vois9s communs2 puisque1 d'aprs la nature des diffr5tielles1 il e/ clair que la diffr5tielle de l'ordre n dp5d de la comp>aison de n#a ordonnes conscutives4 ,on peut donc se faire directem5t une ide nette des div]s ordres de contacts1 en disant qu'ils consi/5t dans la communaut d'un nombre plus ou mo9s gr& de po9ts inf9im5t vois9s entre les deux c\rbes4 ,en t]mes plus rig\reux1 on df9irait1 p> exemple1 l'ellipse osculatrice au troisime ordre1 en la reg>dant comme la limite v]s laquelle t5drai5t les ellipses passant p> c9q po9ts de la c\rbe propose1 mesure que quatre de ces po9ts supposs mobiles se rappro*]ai5t indf9im5t du c9quime suppos fixe4 ,cette ?orie gnrale des contacts e/ videmm5t propre1 p> sa nature1 f\rnir une connaissance de plus en plus pr(onde de la c\rbure d'une c\rbe quelconque1 en lui comp>ant successivem5t div]ses c\rbes connues1 susceptibles d'un contact de plus en plus intime2 ce qui p]mettrait de r5dre aussi exacte qu'on v\drait la mesure de la c\rbure1 en *angeant conv5ablem5t le t]me de comp>aison4 ,a9si1 il e/ clair1 d'aprs les considrations prcd5tes1 que l'assimilation de t\t arc de c\rbe inf9im5t petit un arc de p>abole1 en f]ait connatre la c\rbure avec plus de prcision que p> l'emploi du c]cle osculateur2 et la comp>aison avec l'ellipse procur]ait encore plus d'exactitude1 etc42 en sorte qu'en de/9ant *aque type primitif appr(ondir l'tude du type suivant1 on p\rrait p]fectionn] l'inf9i la ?orie des c\rbes4 ,mais la ncessit d'avoir une connaissance nette et familire de la c\rbe a9si adopte comme unit de c\rbure1 dt]m9e les gomtres r5onc] cette haute p]fection spculative1 p\r se cont5t]1 en ralit1 de comp>] t\tes les c\rbes au c]cle seulem5t1 en v]tu de l'uni=mit de c\rbure1 proprit c>actri/ique du c]cle4 ,aucune autre c\rbe1 en effet1 ne peut tre reg>de1 s\s ce rapport1 comme assez simple et assez connue p\r p\voir tre utilem5t employe1 quoique l'on n'ignore plus que le c]cle n'e/ pas l'unit de c\rbure la plus conv5able ab/raitem5t4 ,lagrange s'e/ donc born df9itivem5t dduire de sa conception gnrale la ?orie du c]cle osculateur1 a9si prs5te s\s un po9t de vue purem5t analytique4 ,il e/ mme rem>quable que de cette seule considration il ait pu conclure avec facilit les deux proprits fondam5tales ci-dessus indiques p\r les dveloppes1 que la simple analyse p>aissait d'abord si peu propre tablir4 ,j'ai cru devoir considr] la ?orie des contacts des c\rbes dans sa plus gr&e ext5sion spculative1 af9 d'en faire saisir conv5ablem5t le vritable c>actre4 ,quoiqu'on doive la rduire f9alem5t la seule dt]m9ation effective du c]cle osculateur1 il y a sans d\te1 s\s le rapport philosophique1 une pr(onde diffr5ce entre concevoir cette d]nire considration1 p\r a9si dire1 comme le d]ni] t]me des ef=ts de l'esprit huma9 dans l'tude des c\rbes1 a9si qu'on le faisait avant ,lagrange1 et n'y voir1 au contraire1 qu'un simple cas p>ticuli] d'une ?orie gnrale trs-t5due1 l'exam5 duquel on doit habituellem5t se born]1 en sa*ant nanmo9s que d'autres comp>aisons p\rrai5t p]fectionn] davantage la doctr9e gomtrique4 ,aprs avoir envisag les pr9cipales que/ions de gomtrie gnrale relatives aux proprits des c\rbes1 il me re/e signal] celles qui se rapport5t aux rectifications et aux quadratures1 dans lesquelles consi/e proprem5t1 suivant l'explication donne dans la dixime leon1 le b df9itif de la sci5ce gomtrique4 ,mais ayant eu occasion prcdemm5t 7voyez la #fme leon7 d'tablir les =mules gnrales qui exprim5t1 l'aide de c]ta9es intgrales1 la longueur et l'aire d'une c\rbe plane quelconque dont l'quation rectiligne e/ donne1 et devant d'ailleurs m'int]dire ici t\te application aucune c\rbe p>ticulire1 cette p>tie importante du sujet se tr\ve suffisamm5t traite4 ,je me born]ai seulem5t indiqu] les =mules propres dt]m9] l'aire et le volume des corps produits p> la rvolution des c\rbes planes aut\r de leurs axes4 ,supposons1 comme on peut videmm5t t\j\rs le faire1 que l'axe de rotation soit pris p\r axe des abcisses2 et1 suivant l'esprit de la m?ode inf9itsimale proprem5t dite1 la seule bi5 conv5able jusqu'ici aux re*]*es de cette nature1 concevons que l'abcisse augm5te d'une quantit inf9im5t petite3 cet accroissem5t dt]m9]a dans l'arc et dans l'aire de la c\rbe des augm5tations diffr5tielles analogues qui1 p> la rvolution aut\r de l'axe1 eng5dr]ont les lm5s de la surface et du volume *]*s4 ,il e/ ais de voir que1 en ngligeant seulem5t un inf9im5t petit du second ordre t\t au plus1 on p\rra reg>d] ces lm5s comme gaux la surface et au volume du tronc de cne ou du cyl9dre correspondant1 ayant p\r hauteur la diffr5tielle de l'abcisse1 et p\r rayon de sa base l'ordonne du po9t considr4 ,d'aprs cela1 en appelant ,s et ,v la surface et le volume dem&s1 les plus simples propositions de la gomtrie lm5taire f\rniront immdiatem5t les quations diffr5tielles gnrales _/d,s#b_/pi ydx1_/2d,v_/pi y#b;dx4_/ ,a9si1 lorsque la relation entre y et x s]a donne dans *aque cas p>ticuli]1 les valeurs de ,s et de ,v s]ont exprimes p> les deux intgrales _/,s#b_/pi _/int yds1_/2,v_/pi_/int y#b;dx2_/ prises entre les limites conv5ables4 ,telles sont les =mules inv>iables d'aprs lesquelles1 depuis ,lebnitz1 les gomtres ont rsolu un gr& nombre de que/ions de ce g5re1 qu& les progrs du calcul intgral l'ont p]mis4 ,on p\rrait aussi compr5dre au nombre des re*]*es de gomtrie gnrale deux dim5sions1 l'importante dt]m9ation des c5tres de gravit des arcs ou des aires app>t5ant des c\rbes quelconques1 quoique cette considration ait son orig9e dans la mcanique rationnelle4 ,c>1 en df9issant le c5tre de gravit comme tant le c5tre des moy5nes di/ances1 c'e/--dire un po9t dont la di/ance un plan ou un axe quelconque e/ la moy5ne ari?mtique entre les di/ances de t\s les po9ts du corps ce plan ou cet axe1 il e/ clair que cette "q devi5t purem5t gomtrique1 et peut tre traite sans aucun rec\rs la mcanique4 ,mais1 malgr une telle considration1 dont n\s reconnatrons plus t>d l'importance p\r gnralis] suffisamm5t et avec facilit la notion du c5tre de gravit1 il e/ c]ta91 d'un autre ct1 que la de/9ation ess5tielle de cette re*]*e doit cont9u] la faire class] plus conv5ablem5t p>mi les que/ions de mcanique2 quoique1 p> sa nature propre1 et aussi p> le c>actre analytique de la m?ode correspondante1 elle app>ti5ne rellem5t la gomtrie1 ce qui m'a engag l'indiqu] ici p> anticipation4 ,telles sont les pr9cipales que/ions fondam5tales dont se compose le sy/me actuel de notre gomtrie gnrale deux dim5sions4 ,on voit que1 s\s le rapport analytique1 elles peuv5t tre nettem5t di/+ues en trois classes3 la premire1 compr5ant les re*]*es gomtriques qui dp5d5t seulem5t de l'analyse ord9aire2 la seconde1 celles dont la solution exige l'emploi du calcul diffr5tiel2 la troisime1 enf91 celles qui ne peuv5t tre rsolues qu' l'aide du calcul intgral4 ,il n\s re/e ma9t5ant considr] s\s le mme aspect1 dans la leon suivante1 l'ensemble de la gomtrie gnrale trois dim5sions4 ,,quatorzi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,de la gomtrie gnrale trois dim5sions4 ,l'tude des surfaces se compose d'une suite de que/ions gnrales exactem5t analogues celles indiques dans la leon prcd5te p> rapport aux lignes4 ,il e/ inutile de considr] ici di/9ctem5t celles qui ne dp5d5t que de l'analyse ord9aire1 c> elles se rsolv5t p> des m?odes ess5tiellem5t semblables2 soit qu'il s'agisse de connatre le nombre des po9ts ncessaires l'entire dt]m9ation d'une surface1 soit qu'on s'occupe de la re*]*e des c5tres1 soit qu'on dem&e les conditions prcises de la similitude entre deux surfaces du mme g5re1 etc4 ,il n'y a d'autre diffr5ce analytique que d'envisag] des quations trois v>iables au lieu d'quations deux v>iables4 ,je passe donc immdiatem5t aux que/ions qui exig5t l'emploi de l'analyse transc5dante1 en insi/ant seulem5t sur les considrations n\velles qu'elles prs5t5t relativem5t aux surfaces4 ,la premire ?orie gnrale e/ celle des plans tang5s4 ,en se s]vant de la m?ode inf9itsimale proprem5t dite1 on peut aism5t tr\v] l'quation du plan qui t\*e une surface quelconque en un po9t donn1 et qui e/ alors df9i comme concidant avec la surface dans une t5due inf9im5t petite t\t aut\r du po9t de contact4 ,il suffit1 en effet1 de considr] que1 af9 de remplir une telle condition1 l'accroissem5t inf9im5t petit reu p> l'ordonne v]ticale en rsultat des accroissem5s inf9im5t petits des deux coordonnes horizontales1 doit tre le mme p\r le plan que p\r la surface1 et cela indp5damm5t d'aucune relation dt]m9e entre ces deux d]ni]s accroissem5s1 sans quoi la concid5ce n'aurait pas lieu en t\t s5s4 ,d'aprs cette ide1 l'analyse donne immdiatem5t l'quation gnrale3 _/z-z' _/fracdz'dx'7x-x'7 _/fracdz'dy'7y-y'7_/ p\r celle du plan tang5t1 x'1 y'1 z'1 dsignant les coordonnes du po9t de contact4 ,la dt]m9ation de ce plan1 dans *aque cas p>ticuli]1 se tr\ve a9si rduite une simple diffr5tiation de l'quation de la surface propose4 ,on peut aussi obt5ir cette quation gnrale du plan tang5t1 en faisant dp5dre sa re*]*e de la seule ?orie des tang5tes aux c\rbes planes4 ,il faut1 p\r cela1 considr] ce plan1 a9si qu'on le fait habituellem5t en gomtrie descriptive1 comme dt]m9 p> les tang5tes deux sections planes quelconques de la surface passant au po9t donn4 ,en *oisissant les plans de ces sections p>allles deux des plans coordonns1 on p>vi5t sur-le-*amp l'quation prcd5te4 ,cette manire de concevoir le plan tang5t donne lieu d'tablir facilem5t un important ?orme de gomtrie gnrale1 que ,monge a dmontr le premi]1 et qui consi/e en ce que les tang5tes t\tes les c\rbes qu'on peut trac] en un mme po9t sur une surface quelconque sont t\j\rs comprises dans un mme plan4 ,enf91 il e/ encore possible de p>v5ir l'quation gnrale du plan tang5t en le considrant comme p]p5diculaire la normale correspondante1 et df9issant celle-ci p> sa proprit gomtrique directe d'tre le *em9 maximum ou m9imum p\r all] d'un po9t extrieur la surface4 ,la m?ode ord9aire des maxima et m9ima suffit p\r =m]1 d'aprs cette notion1 les deux quations de la normale1 en appliquant cette m?ode l'expression de la di/ance entre deux po9ts1 l'un situ sur la surface1 l'autre extrieur1 dont le premi] conu comme v>iable1 e/ ensuite suppos fixe qu& les conditions analytiques ont t exprimes1 t&is que le second1 primitivem5t con/ant1 e/ alors envisag comme mobile1 et dcrit la droite *]*e4 ,les quations de la normale une fois obt5ues1 on en dduit aism5t celle du plan tang5t4 ,cette +nieuse manire de l'tablir e/ galem5t due ,monge4 ,la "q fondam5tale que n\s v5ons d'exam9] devi5t1 comme dans le cas des c\rbes1 la base d'un gr& nombre de re*]*es relatives la dt]m9ation du plan tang5t1 lorsqu'on remplace le po9t de contact donn p> d'autres conditions quival5tes4 ,le plan tang5t ne peut po9t videmm5t tre dt]m9 p> un seul po9t donn extrieur1 comme l'e/ la tang5te3 il faut l'assujtir cont5ir une droite donne2 cela prs1 l'analogie e/ p>faite1 et les deux que/ions se rsolv5t de la mme manire4 ,il en e/ de mme si le plan tang5t doit tre p>allle un plan donn1 ce qui fixe la valeur des deux con/antes qui assign5t sa direction1 et p> suite dt]m9e les coordonnes du po9t de contact1 dont ces con/antes sont1 p\r *aque surface dsigne1 des fonctions connues4 ,enf9 on peut aussi tr\v] comme dans les c\rbes1 la relation analytique qui exprime gnralem5t le simple phnomne du contact entre un plan et une surface1 sans spcifi] le lieu de ce contact2 d'o rsulte p>eillem5t la solution de plusieurs que/ions relatives aux plans tang5s1 entr'autres celle qui consi/e dt]m9] un plan qui t\*e la fois trois surfaces quelconques donnes1 re*]*e analogue celle de la tang5te commune deux c\rbes4 ,la ?orie gnrale des contacts plus ou mo9s intimes qui peuv5t exi/] entre deux surfaces quelconques p> suite des relations plus ou mo9s nombreuses de leurs quations1 se =me d'aprs une m?ode exactem5t semblable celle indique dans la leon prcd5te relativem5t aux c\rbes1 en exprimant1 l'aide de la srie de ,taylor p\r les fonctions de deux v>iables1 la di/ance v]ticale des deux surfaces en un second po9t vois9 de leur po9t d'int]section1 et dont les coordonnes horizontales aurai5t reu deux accroissem5s h et k entirem5t indp5dans l'un de l'autre4 ,la considration de cette di/ance1 dveloppe selon les puissances croissantes de h et k1 et dans l'expression de laquelle on suprim]a successivem5t les t]mes du premi] degr en h et k1 ensuite ceux du second1 etc41 dt]m9]a les conditions analytiques des contacts de diffr5s ordres que peuv5t avoir les deux surfaces suivant le plus ou mo9s gr& nombre de con/antes arbitraires cont5ues dans l'quation gnrale de celle qu'on reg>de comme v>iable4 ,mais1 malgr la con=mit de m?ode1 cette ?orie prs5t]a avec celle des c\rbes une diffr5ce fondam5tale relativem5t au nombre de ces conditions1 p> suite de la ncessit o l'on se tr\ve dans ce cas de considr] deux accroissem5s indp5dant au lieu d'un seul4 ,il en rsulte1 en effet1 que1 af9 que *aque contact ait lieu dans t\s les s5s possibles aut\r du po9t commun1 on doit annul] sp>m5t t\s les diffr5s t]mes du mme degr correspondant1 et1 dont le nombre augm5t]a d'autant plus que ce degr ou l'ordre du contact s]a plus lev4 ,a9si1 aprs la condition de l'galit des deux ordonnes v]ticales z ncessaire p\r la simple int]section1 on tr\v]a que le contact du premi] ordre exige1 en outre1 deux relations di/9ctes1 consi/ant dans l'galit respective des deux fonctions drives p>tielles du premi] ordre propres *aque ordonne v]ticale4 ,en passant au contact du second ordre1 il faudra aj\t] encore trois n\velles conditions1 cause des trois t]mes di/9cts du second degr en h et k dans l'expression de la di/ance1 et dont la suppression complte exig]a l'galit respective des trois fonctions drives p>tielles du second ordre relatives au z de *aque surface4 ,on tr\v]a de la mme manire que le contact du troisime ordre donne lieu en outre quatre autres relations1 et a9si de suite1 le nombre des drives p>tielles de *aque ordre re/ant con/amm5t gal au nombre de t]mes en h et k du degr correspondant4 ,il e/ ais d'en conclure1 en gnral1 que le nombre total des conditions di/9ctes ncessaires au contact de l'ordre n1 a p\r valeur 7n#a77n#b7_/b1 t&is que dans les c\rbes1 il tait simplem5t gal n#a4 ,p> suite de cette seule diffr5ce ess5tielle1 la ?orie des surfaces e/ lo9 d'(frir cet g>d la mme facilit et de comport] la mme p]fection que celle des c\rbes4 ,qu& on se borne au contact du premi] ordre1 il y a p>it complte1 puisque ce contact n'exige que trois conditions1 auxquelles on peut t\j\rs satisfaire l'aide des trois con/antes arbitraires que r5f]me l'quation gnrale d'un plan2 de l rsulte1 comme cas p>ticuli]1 la ?orie des plans tang5s1 exactem5t analogue celle des tang5tes aux c\rbes1 et prs5tant la mme utilit p\r tudi] la =me d'une surface quelconque4 ,mais il n'en e/ plus a9si lorsqu'on considre le contact du second ordre1 af9 de mesur] la c\rbure des surfaces4 ,il s]ait naturel alors de comp>] t\tes les surfaces la sphre1 la seule qui prs5te une c\rbure uni=me1 comme on comp>e t\tes les c\rbes au c]cle4 ,or1 le contact du second ordre entre deux surfaces exigeant six conditions1 t&is que l'quation la plus gnrale d'une sphre conti5t seulem5t quatre con/antes arbitraires1 il n'e/ pas possible de tr\v]1 en *aque po9t d'une surface quelconque1 une sphre qui soit compltem5t osculatrice en t\s s5s1 au lieu que n\s avons vu un arc de c\rbe inf9im5t petit p\voir t\j\rs tre assimil un c]ta9 arc de c]cle4 ,d'aprs cette impossibilit de mesur] la c\rbure d'une surface en *aque po9t l'aide d'une seule sphre1 les gomtres ont dt]m9 les coordonnes du c5tre et le rayon d'une sphre qui1 au lieu d'tre osculatrice en t\t s5s indi/9ctem5t1 le s]ait seulem5t dans une c]ta9e direction p>ticulire1 correspondante un rapport donn entre les deux accroissem5s h et k4 ,il suffit alors1 en effet1 p\r tablir ce contact du second ordre relatif1 d'aj\t]1 aux trois conditions ord9aires du contact du premi] ordre1 la condition unique qui rsulte de la suppression totale des t]mes du second degr en h et k envisags collectivem5t1 sans qu'il soit ncessaire de les annul] *acun sp>m5t2 le nombre des relations se tr\ve p> l seulem5t gal celui des con/antes disponibles r5f]mes dans l'quation gnrale de la sphre1 qui e/ a9si dt]m9e4 ,ce procd se rduit proprem5t tudi] la c\rbure d'une surface en *aque po9t p> celle des diffr5tes c\rbes que trac]ait sur cette surface une suite de plans m5s p> la normale correspondante4 ,d'aprs la =mule gnrale qui exprime le rayon de c\rbure de *acune de ces sections normales en fonction de sa direction1 ,eul]1 auquel e/ ess5tiellem5t due t\te cette ?orie1 a dc\v]t plusieurs ?ormes importans relatifs une surface quelconque4 ,il a d'abord aism5t tabli que1 p>mi t\tes les sections normales d'une surface en un mme po9t1 on en p\vait di/+u] deux pr9cipales1 dont la c\rbure1 comp>e celle de t\tes les autres1 tait un m9imum p\r la premire1 et un maximum p\r la seconde1 et dont les plans prs5t5t cette circon/ance rem>quable d'tre con/amm5t p]p5diculaires entre eux4 ,il a fait voir ensuite que1 quelle que pt tre la surface propose1 et sans qu'il ft mme ncessaire de la df9ir1 la c\rbure de ces deux sections pr9cipales suffisait seule p\r dt]m9] compltem5t celle d'une autre section normale quelconque1 l'aide d'une =mule inv>iable et trs-simple1 d'aprs l'incl9aison du plan de cette section sur celui de la section de plus gr&e ou de plus petite c\rbure4 ,en considrant cette =mule comme l'quation polaire d'une c]ta9e c\rbe plane1 il en a dduit une +nieuse con/ruction1 m9emm5t rem>quable p> sa gnralit et p> sa simplicit4 ,elle consi/e en ce que1 si l'on con/ruit une ellipse telle que les di/ances d'un de ses foy]s aux deux extrmits du gr& axe soi5t gales aux deux rayons de c\rbure maximum et m9imum1 le rayon de c\rbure de t\te autre section normale s]a gal celui des rayons vecteurs de l'ellipse qui f]a avec l'axe un angle d\ble de l'incl9aison du plan de cette section sur celui d'une des sections pr9cipales4 ,cette ellipse se *ange en une hyp]bole con/ruite de la mme manire1 qu& les deux sections pr9cipales ne t\rn5t pas leur concavit dans le mme s5s3 enf9 elle devi5t une p>abole1 lorsque la surface e/ du g5re de celles qui peuv5t tre eng5dres p> une ligne droite1 ou qu'elle prs5te une inflexion au po9t que l'on considre4 ,de cette belle proprit fondam5tale1 on a conclu plus t>d un gr& nombre de ?ormes secondaires plus ou mo9s intressans1 que ce n'e/ pas ici le lieu d'indiqu]4 ,je dois seulem5t signal] le ?orme ess5tiel p> lequel ,meuni] a complt le travail d',eul]1 en ratta*ant la c\rbure de t\tes les c\rbes quelconques qui peuv5t tre traces sur une surface en un mme po9t1 celle des sections normales1 les seules qu',eul] et considres4 ,ce ?orme consi/e en ce que le c5tre de c\rbure de t\te section oblique peut tre envisag comme la projection sur le plan de cette section1 du c5tre de c\rbure correspondant la section normale qui pass]ait p> la mme tang5te3 d'o ,meuni] a dduit une con/ruction =t simple1 d'aprs laquelle1 p> l'emploi d'un c]cle analogue l'ellipse d',eul]1 on dt]m9e la c\rbure des sections obliques1 connaissant celle des sections normales2 en sorte que1 p> la comb9aison des deux ?ormes1 la seule c\rbure des deux sections normales pr9cipales suffit p\r obt5ir celle de t\tes les autres c\rbes qu'on peut trac] sur une surface d'une manire quelconque en *aque po9t considr4 ,la ?orie prcd5te p]met d'tudi] compltem5t1 po9t p> po9t1 la c\rbure d'une surface quelconque4 ,af9 de li] plus aism5t entre elles les considrations relatives aux div]s po9ts d'une mme surface1 les gomtres ont *]* dt]m9] ce qu'ils appell5t les lignes de c\rbure d'une surface1 c'e/--dire1 celles qui j\iss5t de la proprit que les normales conscutives la surface peuv5t y tre reg>des comme comprises dans un mme plan4 ,en *aque po9t d'une surface quelconque1 il exi/e deux de ces lignes1 qui se tr\v5t tre con/amm5t p]p5diculaires entre elles1 et dont les directions concid5t leur orig9e avec celles des deux sections normales pr9cipales considres ci-dessus1 ce qui peut disp5s] d'envisag] di/9ctem5t ces d]nires4 ,la dt]m9ation de ces lignes de c\rbure s'effectue trs-simplem5t sur les surfaces les plus usuelles1 telles que les surfaces cyl9driques1 coniques1 et de rvolution4 ,cette n\velle considration fondam5tale e/ d'ailleurs dev5ue le po9t de d"p de plusieurs autres re*]*es gnrales mo9s importantes1 comme celle des surfaces de c\rbure1 qui sont les lieux gomtriques des c5tres de c\rbure des div]ses sections pr9cipales2 celle des surfaces dveloppables =mes p> les normales la surface m5es aux diffr5s po9ts de *aque ligne de c\rbure1 etc4 ,p\r t]m9] l'exam5 de la ?orie de la c\rbure1 il me re/e indiqu] sommairem5t ce qui se rapporte aux c\rbes d\ble c\rbure1 c'e/--dire1 celles qui ne peuv5t tre cont5ues dans un plan4 ,quant la dt]m9ation de leurs tang5tes1 elle n'(fre videmm5t aucune difficult4 ,si la c\rbe e/ donne analytiquem5t p> les quations de ses projections sur deux des plans coordonnes1 les quations de sa tang5te s]ont simplem5t celles des tang5tes ces deux projections1 ce qui fait r5tr] la "q dans le cas des c\rbes planes4 ,si1 s\s un po9t de vue plus gnral1 la df9ition analytique de la c\rbe consi/e1 a9si que l'indique la d\zime leon1 dans le sy/me des quations des deux surfaces quelconques dont elle s]ait l'int]section1 on reg>d]a la tang5te comme tant l'int]section des plans tang5s ces deux surfaces1 et le problme s]a ram5 celui du plan tang5t1 rsolu ci-dessus4 ,la c\rbure des c\rbes de cette nature donne lieu l'tablissem5t d'une notion n\velle =t importante4 ,en effet1 dans une c\rbe plane1 la c\rbure se tr\ve tre suffisamm5t apprcie en mesurant l'inflexion plus ou mo9s gr&e des lm5s conscutifs les uns sur les autres1 qui e/ e/ime indirectem5t p> le rayon du c]cle osculateur4 ,mais il n'en e/ nullem5t a9si dans une c\rbe qui n'e/ po9t plane4 ,les lm5s conscutifs n'tant plus alors cont5us dans un mme plan1 on ne peut avoir une ide exacte de la c\rbure qu'en considrant di/9ctem5t les angles qu'ils =m5t entre eux et aussi les incl9aisons mutuelles des plans qui les compr5n5t4 ,il faut donc1 avant t\t1 comm5c] p> fix] ce qu'on doit ent5dre *aque in/ant p> le plan de la c\rbe1 c'e/--dire1 celui que dt]m95t trois po9ts inf9im5t vois9s1 et qu'on appelle1 p\r cette raison1 le plan osculateur1 qui *ange cont9uellem5t d'un po9t un autre4 ,la position de ce plan une fois obt5ue1 la mesure de la c\rbure ord9aire1 l'aide du c]cle osculateur1 ne prs5te plus videmm5t aucune difficult n\velle4 ,quant la seconde c\rbure1 elle e/ e/ime p> l'angle plus ou mo9s gr& que =m5t entre eux deux plans osculateurs conscutifs1 et dont il e/ ais de tr\v] gnralem5t l'expression analytique4 ,p\r tablir plus d'analogie entre la ?orie de cette c\rbure et celle de la premire1 on p\rrait galem5t la reg>d] comme mesure indirectem5t d'aprs le rayon de la sphre osculatrice qui pass]ait p> quatre po9ts inf9im5t vois9s de la c\rbe propose1 et dont l'quation se =m]ait de la mme manire que celle du plan osculateur4 ,on l'apprcie ord9airem5t p> la c\rbure maximum que prs5te1 au po9t considr1 la surface dveloppable qui e/ le lieu gomtrique de t\tes les tang5tes la c\rbe propose4 ,n\s devons pass] ma9t5ant l'indication des que/ions de gomtrie gnrale trois dim5sions qui dp5d5t du calcul intgral2 elles compr5n5t la quadrature des surfaces c\rbes1 et la cubature des volumes correspondans4 ,relativem5t la quadrature des surfaces c\rbes1 il faut1 p\r tablir l'quation diffr5tielle gnrale1 concevoir la surface p>tage en lm5s plans inf9im5s petits dans t\s les s5s1 p> quatre plans p]p5diculaires deux deux aux axes des coordonnes x et y4 ,*acun de ces lm5s1 situ dans le plan tang5t correspondant1 aurait videmm5t p\r projection horizontale1 le rectangle =m p> les diffr5tielles des deux coordonnes horizontales1 et dont l'aire s]ait dxdy4 ,cette aire donn]a celle de l'lm5t lui-mme1 d'aprs un ?orme lm5taire =t simple1 en la divisant p> le cos9us de l'angle que fait le plan tang5t avec le plan des x1 y4 ,on tr\v]a a9si que l'expression de cet lm5t e/ gnralem5t3 _/d#b,s dxdy_/sqrt_/fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b;dy# ba_/ ,c'e/ donc p> la d\ble intgration de cette =mule diffr5tielle deux v>iables qu'on connatra1 dans *aque cas p>ticuli]1 l'aire de la surface propose1 autant que p\rra le p]mettre l'imp]fection actuelle du calcul intgral4 ,les limites de *aque intgrale successive s]ont dt]m9es p> la nature des surfaces dont l'int]section avec celle que l'on considre devra circonscrire l't5due mesur]1 en sorte que1 dans l'application de cette m?ode gnrale1 il faudra apport] un so9 p>ticuli] la manire de fix] les con/antes arbitraires ou les fonctions arbitraires introduites p> l'intgration4 ,relativem5t la cubature des volumes t]m9s p> les surfaces c\rbes1 le sy/me de plans l'aide duquel n\s v5ons de diffr5ti] l'aire1 peut aussi s]vir immdiatem5t dcompos] le volume en lm5s polydres4 ,il e/ clair1 en effet1 que l'espace inf9im5t petit du second ordre compris entre ces quatre plans1 doit tre envisag1 suivant l'esprit de la m?ode inf9itsimale1 comme gal au p>alllipipde rectangle ayant p\r hauteur l'ordonne v]ticale z du po9t que l'on considre et p\r base le rectangle dxdy1 puisque leur diffr5ce e/ videmm5t un inf9im5t petit du troisime ordre1 mo9dre que dzdydz4 ,d'aprs cela1 un des plus simples ?ormes de la gomtrie lm5taire f\rnira directem5t1 p\r l'expression diffr5tielle du volume *]*1 l'quation gnrale _/d#b,v zdxdy2_/ d'o l'on dduira1 p> une d\ble intgration1 dans *aque cas p>ticuli]1 la valeur effective de ce volume1 en ayant le mme g>d que prcdemm5t la dt]m9ation des limites de *aque intgrale1 con=mm5t la nature des surfaces qui devront circonscrire latralem5t le volume propos4 ,sans entr] ici dans aucun dtail relatif la solution df9itive de l'une ou de l'autre de ces deux que/ions fondam5tales1 il peut tre utile de rem>qu]1 d'aprs les quations diffr5tielles prcd5tes1 une analogie gnrale et s+ulire qui exi/e ncessairem5t entre elles1 et qui p]mettrait de trans=m] t\te re*]*e relative la quadrature en une re*]*e correspondante relative la cubature4 ,on voit1 en effet1 que les deux quations diffr5tielles ne diffr5t que p> le *angem5t de z en _/sqrtdz#b_/;dx#b;dz#b_/;dy#ba en passant de la seconde la premire4 ,a9si l'aire d'une surface c\rbe quelconque peut tre reg>de comme numriquem5t gale au volume d'un corps t]m9 p> une surface dont l'ordonne v]ticale aurait *aque in/ant p\r valeur la scante de l'angle que fait avec le plan horizontal le plan tang5t correspondant la surface primitive1 les limites tant d'ailleurs supposes respectivem5t les mmes4 ,p\r t]m9] l'exam5 philosophique de la gomtrie gnrale trois dim5sions1 il me re/e considr] sommairem5t la belle conception fondam5tale tablie p> ,monge relativem5t la classification analytique des surfaces en familles naturelles1 qui doit tre reg>de comme le p]fectionnem5t le plus important qu'ait reu la sci5ce gomtrique depuis ,desc>tes et ,lebnitz4 ,qu& on se propose d'tudi]1 s\s un po9t de vue gnral1 les proprits spciales des div]ses surfaces1 la premire difficult qui se prs5te consi/e dans l'abs5ce d'une bonne classification1 dt]m9e p> les c>actres gomtriques les plus ess5tiels1 et d'ailleurs suffisamm5t simple4 ,ds la fondation de la gomtrie analytique1 les gomtres ont t involontairem5t conduits class] les surfaces1 comme les c\rbes1 p> la =me et le degr de leurs quations1 seule considration qui s'(frt d'elle-mme l'esprit p\r s]vir de base une di/9ction dont l'importance n'avait d'abord t nullem5t s5tie4 ,mais il e/ ais de voir que ce pr9cipe de classification1 conv5ablem5t applicable aux quations du premi] et du second degr1 ne remplit aucune des conditions pr9cipales auxquels doit satisfaire un tel travail4 ,en effet1 on sait que ,newton1 en discutant l'quation gnrale du troisime degr deux v>iables1 p\r se born] la simple numration des div]ses c\rbes planes qu'elle peut reprs5t]1 a reconnu que1 bi5 qu'elles fuss5t t\tes ncessairem5t indf9ies en t\t s5s1 on devait en di/+u] #gd espces p>ticulires1 aussi diffr5tes les unes des autres que le sont entre elles les trois c\rbes du second degr4 ,quoique p]sonne n'ait analys s\s le mme po9t de vue l'quation gnrale du quatrime degr deux v>iables1 il n'e/ pas d\teux qu'elle ne dt faire natre un nombre beauc\p plus considrable encore de c\rbes di/9ctes2 et ce nombre devrait videmm5t augm5t] avec une prodigieuse rapidit d'aprs le degr de l'quation4 ,si ma9t5ant l'on passe aux quations trois v>iables1 qui1 vu leur plus gr&e complication1 prs5t5t ncessairem5t bi5 plus de v>it1 il e/ inconte/able que le nombre des surfaces vraim5t di/9ctes qu'elles peuv5t exprim] doit tre encore plus multipli1 et crotre beauc\p plus rapidem5t d'aprs le degr4 ,cette multiplicit devi5t telle1 qu'on s'e/ t\j\rs born analys] a9si les quations des deux premi]s degrs1 aucun gomtre n'ayant t5t p\r les surfaces du troisime degr ce qu'a excut ,newton p\r les c\rbes correspondantes4 ,il suit donc de cette considration vid5te que1 qu& mme l'imp]fection de l'algbre ne s'oppos]ait pas l'emploi indf9i d'un procd semblable1 la classification gnrale des surfaces p> le degr et la =me de leurs quations s]ait entirem5t impraticable4 ,mais ce motif n'e/ pas le seul qui doive faire rejet] une telle classification2 il n'e/ po9t mme le plus important4 ,en effet1 cette manire de dispos] les surfaces1 outre l'impossibilit de la suivre1 se tr\ve directem5t contraire la pr9cipale de/9ation de t\te bonne classification quelconque1 consi/ant rappro*] le plus les uns des autres les objets qui (fr5t les relations les plus importantes1 et loign] ceux dont les analogies ont peu de valeur4 ,l'id5tit du degr de leurs quations e/1 p\r les surfaces1 un c>actre d'une valeur gomtrique trs-mdiocre1 qui n'indique pas mme exactem5t le nombre des po9ts ncessaires l'entire dt]m9ation de *acune4 ,la proprit commune la plus importante considr] entre des surfaces consi/e videmm5t dans leur mode de gnration2 t\tes celles qui sont eng5dres de la mme manire devant (frir ncessairem5t une gr&e analogie gomtrique1 t&is qu'elles ne saurai5t avoir que de trs-faibles ressemblances si elles sont eng5dres d'aprs des modes ess5tiellem5t diffr5s4 ,a9si1 p> exemple1 t\tes les surfaces cyl9driques1 quelle que soit la =me de leur base1 con/itu5t une mme famille naturelle1 dont les div]ses espces prs5t5t un gr& nombre de proprits communes de premire importance3 il en e/ de mme p\r t\tes les surfaces coniques1 et aussi p\r t\tes les surfaces de rvolution1 etc4 ,or1 cet ordre naturel se tr\ve compltem5t dtruit p> la classification fonde sur le degr des quations4 ,c> des surfaces assujties un mme mode de gnration1 les surfaces cyl9driques1 p> exemple1 peuv5t f\rnir des quations de t\s les degrs imag9ables1 raison de la seule diffr5ce secondaire de leurs bases2 t&is1 que d'un autre ct1 des quations d'un mme degr quelconque exprim5t s\v5t des surfaces de nature gomtrique oppose1 les unes cyl9driques1 les autres coniques1 ou de rvolution1 etc4 ,une telle classification analytique e/ donc radicalem5t vicieuse1 comme sp>ant ce qui doit tre runi1 et rappro*ant ce qui doit tre di/+u4 ,cep5dant1 la gomtrie gnrale tant entirem5t fonde sur l'emploi des considrations et des m?odes analytiques1 il e/ indisp5sable que la classification puisse pr5dre aussi un c>actre analytique4 ,tel tait donc l'tat prcis de la difficult fondam5tale1 si heureusem5t va9cue p> ,monge3 les familles naturelles entre les surfaces tant clairem5t tablies s\s le po9t de vue gomtrique d'aprs le mode de gnration1 il fallait dc\vrir un g5re de relations analytiques de/9 prs5t] con/amm5t une int]prtation ab/raite de ce c>actre concret4 ,cette dc\v]te capitale tait rig\reusem5t indisp5sable p\r a*ev] de con/itu] la ?orie gnrale des surfaces4 ,la considration1 que ,monge a employe p\r y p>v5ir1 consi/e dans cette obs]vation gnrale1 aussi simple que directe3 les surfaces assujties un mme mode de gnration sont ncessairem5t c>actrises p> une c]ta9e proprit commune de leur plan tang5t en un po9t quelconque2 en sorte qu'en exprimant analytiquem5t cette proprit d'aprs l'quation gnrale du plan tang5t une surface quelconque1 on =m]a une quation diffr5tielle reprs5tant la fois t\tes les surfaces de cette famille4 ,a9si1 p> exemple1 t\te surface cyl9drique prs5te ce c>actre exclusif3 que le plan tang5t en un po9t quelconque de la surface e/ con/amm5t p>allle la droite fixe qui indique la direction des gnratrices4 ,d'aprs cela1 il e/ ais de voir que les quations de cette droite tant supposes tre _/xaz1_/2ybz1_/ l'quation gnrale du plan tang5t tablie ci-dessus donn]a1 p\r l'quation diffr5tielle commune t\tes les surfaces cyl9driques1 _/a_/fracdzdx b_/fracdzdy #a4_/ ,de mme1 relativem5t aux surfaces coniques1 elles sont t\tes c>actrises s\s ce po9t de vue p> la proprit ncessaire que leur plan tang5t en un po9t quelconque passe con/amm5t p> le sommet du cne4 ,si donc _/alpha1 _/beta1 _/gamma1 dsign5t les coordonnes de ce sommet1 on tr\v]a immdiatem5t _/7x-_/alpha7_/fracdzdx 7y-_/beta7_/fracdzdy z-_/gamma1_/ p\r l'quation diffr5tielle reprs5tant la famille entire des surfaces coniques4 ,dans les surfaces de rvolution1 le plan tang5t en un po9t quelconque e/ t\j\rs p]p5diculaire au plan mridi51 c'e/--dire celui qui passe p> ce po9t et p> l'axe de la surface4 ,af9 d'exprim] analytiquem5t cette proprit d'une manire plus simple1 supposons que l'axe de rvolution soit pris p\r celui des z3 l'quation diffr5tielle commune t\te cette famille de surfaces1 s]a _/y_/fracdzdx-x_/fracdzdy #j4_/ ,il s]ait sup]flu de cit] ici un plus gr& nombre d'exemples p\r tablir clairem5t1 en gnral1 que1 quel que soit le mode de gnration1 t\tes les surfaces d'une mme famille naturelle sont susceptibles d'tre reprs5tes analytiquem5t p> une mme quation aux diffr5ces p>tielles cont5ant des con/antes arbitraires1 d'aprs une proprit commune de leur plan tang5t4 ,af9 de complt] cette correspondance fondam5tale et ncessaire entre le po9t de vue gomtrique et le po9t de vue analytique1 ,monge a considr en outre les quations f9ies qui sont les intgrales de ces quations diffr5tielles1 et qu'on peut d'ailleurs presque t\j\rs facilem5t obt5ir aussi p> des re*]*es directes4 ,*acune de ces quations f9ies doit1 comme on le sait p> la ?orie gnrale de l'intgration1 cont5ir une fonction arbitraire1 si l'quation diffr5tielle e/ seulem5t du premi] ordre2 ce qui n'emp*e pas que de telles quations1 quoique beauc\p plus gnrales que celles dont on s'occupe ord9airem5t1 ne prs5t5t un s5s nettem5t dt]m91 soit s\s le rapport gomtrique1 soit s\s le simple rapport analytique4 ,cette fonction arbitraire correspond ce qu'il y a d'indt]m9 dans la gnration des surfaces proposes1 la base1 p> exemple1 si les surfaces sont cyl9driques ou coniques1 la c\rbe mridi5ne1 si elles sont de rvolution1 etc4#bg4 ,dans c]ta9s cas mme1 l'quation f9ie d'une famille de surfaces conti5t la fois deux fonctions arbitraires1 affectes des comb9aisons di/9ctes des coordonnes v>iables2 c'e/ ce qui a lieu lorsque l'quation diffr5tielle correspondante doit tre du second ordre2 s\s le po9t de vue gomtrique1 cette indt]m9ation plus gr&e indique une famille plus gnrale1 et nanmo9s c>actrise4 ,telle e/1 p> exemple1 la famille des surfaces dveloppables1 qui compr5d1 comme subdivisions1 t\tes les surfaces cyl9driques1 t\tes les surfaces coniques1 et une inf9it d'autres familles analogues1 et qui peut cep5dant tre nettem5t df9ie1 dans sa plus gr&e gnralit1 comme tant l'enveloppe de l'espace p>c\ru p> un plan qui se meut en re/ant t\j\rs tang5t deux surfaces fixes quelconques1 ou comme le lieu gomtrique de t\tes les tang5tes une mme c\rbe quelconque d\ble c\rbure4 ,ce gr\pe naturel de surfaces a1 p\r quation diffr5tielle inv>iable1 cette quation trs-simple1 dc\v]te p> ,eul]1 entre les trois drives p>tielles du second ordre1 _/_/left7_/fracd#bzdxdy_/"r7#b _/fracd#bzdx#b_/;fracd#bzdy#b_/4 ,note #bg3 ,on tr\ve1 p> exemple1 soit d'aprs les considrations directes de gomtrie analytique1 soit en rsultat des m?odes d'intgration1 que les surfaces cyl9driques et les surfaces coniques ont p\r quations f9ies _/x-az _/v>phi7y-bz71_/2 _/fracx-_/alphaz-_/gamma _/v>phi_/left7_/fracy-_/betaz-_/gamma_/" r7_/ _/v>phi1 dsignant une fonction entirem5t arbitraire4 ,l'quation f9ie conti5t donc ncessairem5t deux fonctions arbitraires di/9ctes1 qui correspond5t gomtriquem5t aux deux surfaces indt]m9es sur lesquelles doit gliss] le plan gnrateur1 ou aux deux quations quelconques de la c\rbe directrice4 ,quoiqu'il soit utile de considr] les quations f9ies des familles naturelles de surfaces1 on conoit nanmo9s que l'indt]m9ation des fonctions arbitraires qu'elles r5f]m5t 9vitablem5t1 doit les r5dre peu propres des travaux analytiques s\t5us1 p\r lesquels il e/ bi5 prfrable d'employ] les quations diffr5tielles1 o il n'entre que de simples con/antes arbitraires1 malgr leur nature indirecte4 ,c'e/ p> l que l'tude gnrale et rgulire des proprits des div]ses surfaces e/ rellem5t dev5ue possible1 le po9t de vue commun ayant pu a9si tre saisi et sp> p> l'analyse4 ,on conoit qu'une telle conception ait p]mis de dc\vrir des rsultats d'un degr de gnralit et d'intrt inf9im5t suprieurs ceux qu'on p\vait obt5ir aup>avant4 ,p\r ne cit] qu'un seul exemple trs-simple1 qui e/ =t lo9 d'tre le plus rem>quable1 c'e/ p> une semblable m?ode de gomtrie analytique qu'on a pu reconnatre cette s+ulire proprit de t\te quation homogne trois v>iables1 de reprs5t] ncessairem5t une surface conique dont le sommet e/ situ l'orig9e des coordonnes2 de mme1 p>mi les re*]*es plus difficiles1 il a t possible de dt]m9]1 l'aide du calcul des v>iations1 le plus c\rt *em9 d'un po9t un autre sur une surface dveloppable quelconque1 sans qu'il ft ncessaire de la p>ticul>is]1 etc4 ,j'ai cru devoir ici accord] quelque dveloppem5t l'exposition philosophique de cette belle conception de ,monge1 qui con/itue1 sans contr$it1 son premi] titre la gloire1 et dont la haute importance ne me semble po9t avoir encore t dignem5t s5tie1 except p> ,lagrange1 si ju/e apprciateur de t\s ses mules4 ,je regrette mme d'tre rduit1 p> les limites naturelles de cet ouvrage1 une indication aussi imp>faite1 o je n'ai pu seulem5t signal] l'heureuse raction ncessaire de cette n\velle gomtrie sur le p]fectionnem5t de l'analyse1 quant la ?orie gnrale des quations diffr5tielles plusieurs v>iables4 ,en mditant sur cette classification philosophique des surfaces1 ess5tiellem5t analogue aux m?odes naturelles que les physiologi/es ont t5t d'tablir en zoologie et en botanique1 on e/ conduit se dem&] si les c\rbes elles-mmes ne comport5t pas une opration semblable4 ,vu la v>it inf9im5t mo9dre qui exi/e entre elles1 un tel travail e/ la fois mo9s important et plus difficile1 les c>actres qui p\rrai5t s]vir de base n'tant po9t alors beauc\p prs aussi tran*s4 ,il a donc t naturel que l'esprit huma9 s'occupt d'abord de class] les surfaces4 ,mais on doit sans d\te espr] que cet ordre de considrations s't5dra plus t>d jusqu'aux c\rbes4 ,on peut mme ap]cevoir dj entre elles quelques familles vraim5t naturelles1 comme celle des p>aboles quelconques1 et celle des hyp]boles quelconques1 etc4 ,nanmo9s1 il n'a t encore produit aucune conception gnrale directem5t propre dt]m9] une telle classification4 ,ayant a9si expos aussi nettem5t qu'il m'a t possible1 dans cette leon et dans l'ensemble des quatre prcd5tes1 le vritable c>actre philosophique de la section la plus gnrale et la plus simple de la ma?matique concrte1 je dois ma9t5ant entrepr5dre le mme travail relativem5t la sci5ce imm5se et plus complique de la mcanique rationnelle4 ,ce s]a l'objet des quatre leons suivantes4 ,,qu9zi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations philosophiques sur les pr9cipes fondam5taux de la mcanique rationnelle4 ,les phnomnes mcaniques sont1 p> leur nature1 comme n\s l'avons dj rem>qu1 la fois plus p>ticuli]s1 plus compliqus et plus concrets que les phnomnes gomtriques4 ,aussi1 con=mm5t l'ordre encyclopdique tabli dans cet ouvrage1 plaons-n\s la mcanique rationnelle aprs la gomtrie dans cette exposition philosophique de la ma?matique concrte1 comme tant ncessairem5t d'une tude plus difficile1 et p> suite mo9s p]fectionne4 ,les que/ions gomtriques sont t\j\rs compltem5t indp5dantes de t\te considration mcanique1 t&is que les que/ions mcaniques se compliqu5t con/amm5t des considrations gomtriques1 la =me des corps devant influ] 9vitablem5t sur les phnomnes du m\vem5t ou de l'quilibre4 ,cette complication e/ s\v5t telle1 que le plus simple *angem5t dans la =me d'un corps suffit seul p\r augm5t] extrmem5t les difficults du problme de mcanique dont il e/ le sujet1 comme on peut s'en faire une ide en considrant1 p> exemple1 l'importante dt]m9ation de la gravitation mutuelle de deux corps en rsultat de celle de t\tes leurs molcules1 "q qui n'e/ encore compltem5t rsolue qu'en supposant ces corps une =me sphrique1 et o1 p> consqu5t1 le pr9cipal ob/acle vi5t videmm5t des circon/ances gomtriques4 ,puisque n\s avons reconnu dans les leons prcd5tes que le c>actre philosophique de la sci5ce gomtrique tait encore altr un c]ta9 degr p> un re/e d'influ5ce trs-s5sible de l'esprit mtaphysique1 on doit s'att5dre naturellem5t1 vu cette plus gr&e complication ncessaire de la mcanique rationnelle1 l'en tr\v] bi5 plus pr(ondm5t affecte4 ,c'e/ ce qui n'e/1 en effet1 que trop facile con/at]4 ,le c>actre de sci5ce naturelle1 encore plus videmm5t inhr5t la mcanique qu' la gomtrie1 e/ auj\rd'hui compltem5t dguis dans presque t\s les esprits1 p> l'emploi des considrations ontologiques4 ,on rem>que1 dans t\tes les notions fondam5tales de cette sci5ce1 une confusion pr(onde et cont9uelle entre le po9t de vue ab/rait et le po9t de vue concret1 qui emp*e de di/+u] nettem5t ce qui e/ rellem5t physique de ce qui e/ purem5t logique1 et de sp>] avec exactitude les conceptions artificielles uniquem5t de/9es facilit] l'tablissem5t des lois gnrales de l'quilibre ou du m\vem5t1 des faits naturels f\rnis p> l'obs]vation effective du monde extrieur1 qui con/itu5t les bases relles de la sci5ce4 ,on peut mme reconnatre que l'imm5se p]fectionnem5t de la mcanique rationnelle depuis un sicle1 soit s\s le rapport de l'ext5sion de ses ?ories1 soit quant leur coord9ation1 a fait en quelque sorte rtrograd] s\s ce rapport la conception philosophique de la sci5ce1 qui e/ communm5t expose auj\rd'hui d'une manire beauc\p mo9s nette que ,newton ne l'avait prs5te4 ,ce dveloppem5t ayant t1 en effet1 ess5tiellem5t obt5u p> l'usage de plus en plus exclusif de l'analyse ma?matique1 l'importance prpondrante de cet admirable in/rum5t a fait graduellem5t contract] l'habitude de ne voir dans la mcanique rationnelle que de simples que/ions d'analyse2 et1 p> une ext5sion abusive1 quoique trs-naturelle1 d'une telle manire de procd]1 on a t5t d'tablir1 a priori1 d'aprs des considrations purem5t analytiques1 jusqu'aux pr9cipes fondam5taux de la sci5ce1 que ,newton s'tait sagem5t born prs5t] comme des rsultats de la seule obs]vation4 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 que ,daniel ,b]n\illi1 d',alemb]t1 et1 de nos j\rs1 ,laplace1 ont essay de pr\v] la rgle lm5taire de la composition des =ces p> des dmon/rations uniquem5t analytiques1 dont ,lagrange seul a bi5 ap]u l'insuffisance radicale et ncessaire4 ,tel e/1 ma9t5ant encore1 l'esprit qui dom9e plus ou mo9s *ez t\s les gomtres4 ,il e/ nanmo9s vid5t en ?se gnrale1 comme n\s l'avons plusieurs fois rem>qu1 que l'analyse ma?matique1 quelle que soit son extrme importance1 dont j'ai t* de donn] une ju/e ide1 ne saurait tre1 p> sa nature1 qu'un puissant moy5 de dduction1 qui1 lorsqu'il e/ applicable1 p]met de p]fectionn] une sci5ce au degr le plus m95t1 aprs que les fondem5s en ont t poss1 mais qui ne peut jamais suffire tablir ces bases elles-mmes4 ,s'il tait possible de con/itu] entirem5t la sci5ce de la mcanique d'aprs de simples conceptions analytiques1 on ne p\rrait se reprs5t] comm5t une telle sci5ce devi5drait jamais vraim5t applicable l'tude effective de la nature4 ,ce qui tablit la ralit de la mcanique rationnelle1 c'e/ prcism5t1 au contraire1 d'tre fonde sur quelques faits gnraux1 immdiatem5t f\rnis p> l'obs]vation1 et que t\t philosophe vraim5t positif doit envisag]1 ce me semble1 comme n'tant susceptibles d'aucune explication quelconque4 ,il e/ donc c]ta9 qu'on a abus en mcanique de l'esprit analytique1 beauc\p plus encore qu'en gomtrie4 ,l'objet spcial de cette leon e/ d'indiqu] comm5t1 dans l'tat actuel de la sci5ce1 on peut tablir nettem5t son vritable c>actre philosophique1 et la dgag] df9itivem5t de t\te influ5ce mtaphysique1 en di/+uant con/amm5t le po9t de vue ab/rait du po9t de vue concret1 et en effectuant une sp>ation exacte entre la p>tie simplem5t exprim5tale de la sci5ce1 et la p>tie purem5t rationnelle4 ,d'aprs le b de cet ouvrage1 un tel travail doit ncessairem5t prcd] les considrations gnrales sur la composition effective de cette sci5ce1 qui s]ont successivem5t exposes dans les trois leons suivantes4 ,comm5ons p> indiqu] avec prcision l'objet gnral de la sci5ce4 ,on a l'habitude de rem>qu] d'abord1 et avec beauc\p de raison1 que la mcanique ne considre po9t1 non-seulem5t les causes premires des m\vem5s1 qui sont en dehors de t\te philosophie positive1 mais mme les circon/ances de leur production1 lesquelles1 quoique con/ituant rellem5t un sujet intressant de re*]*es positives dans les div]ses p>ties de la physique1 ne sont nullem5t du ressort de la mcanique1 qui se borne envisag] le m\vem5t en lui-mme1 sans s'enqurir de quelle manire il a t dt]m94 ,a9si les =ces ne sont autre *ose1 en mcanique1 que les m\vem5s produits ou t5dant se produire2 et deux =ces qui imprim5t un mme corps la mme vitesse dans la mme direction sont reg>des comme id5tiques1 quelque div]se que puisse tre leur orig9e1 soit que le m\vem5t provi5ne des contractions musculaires d'un animal1 ou de la pesanteur v]s un c5tre attractif1 ou du *oc d'un corps quelconque1 ou de la dilatation d'un fluide la/ique1 etc4 ,mais1 quoique cette manire de voir soit heureusem5t dev5ue auj\rd'hui t\t--fait familire1 il re/e encore aux gomtres opr]1 s9on dans la conception mme1 du mo9s dans le langage habituel1 une r=me ess5tielle p\r c>t] entirem5t l'anci5ne notion mtaphysique des =ces1 et indiqu] plus nettem5t qu'on ne le fait encore le vritable po9t de vue de la mcanique#bh4 ,note #bh3 ,il importe de rem>qu] aussi que le nom mme de la sci5ce e/ extrmem5t vicieux1 en ce qu'il rappelle seulem5t une de ses applications les plus secondaires1 ce qui devi5t habituellem5t une s\rce de confusion1 qui oblige aj\t] frquemm5t l'adjectif rationnelle1 dont la rptition1 quoiqu'indisp5sable1 e/ fa/idieuse4 ,les philosophes allem&s1 p\r vit] cet inconvni5t1 ont cr la dnom9ation beauc\p plus philosophique de phoronomie1 employe dans le trait d',h]mann1 et dont l'adoption gnrale s]ait trs-dsirable4 ,cela pos1 on peut c>actris] d'une manire trs-prcise le problme gnral de la mcanique rationnelle4 ,il consi/e dt]m9] l'effet que produiront sur un corps donn diffr5tes =ces quelconques agissant simultanm5t1 lorsqu'on connat le m\vem5t simple qui rsult]ait de l'action isole de *acune d'elles2 ou1 en pr5ant la "q en s5s inv]se1 dt]m9] les m\vem5s simples dont la comb9aison donn]ait lieu un m\vem5t compos connu4 ,cet nonc montre exactem5t quelles sont ncessairem5t les donnes et les inconnues de t\te "q mcanique4 ,on voit que l'tude de l'action d'une =ce unique n'e/ jamais1 proprem5t p>l]1 du doma9e de la mcanique rationnelle1 o elle e/ t\j\rs suppose connue1 c> le second problme gnral n'e/ susceptible d'tre rsolu que comme tant l'inv]se du premi]4 ,t\te la mcanique porte donc ess5tiellem5t sur la comb9aison des =ces1 soit que de leur conc\rs il rsulte un m\vem5t dont il faut tudi] les div]ses circon/ances1 soit que p> leur neutralisation mutuelle le corps se tr\ve dans un tat d'quilibre dont il s'agit de fix] les conditions c>actri/iques4 ,les deux problmes gnraux1 l'un direct1 l'autre inv]se1 dans la solution desquels consi/e la sci5ce de la mcanique1 ont1 s\s le rapport des applications1 une importance gale2 c>1 tantt les m\vem5s simples peuv5t tre immdiatem5t tudis p> l'obs]vation1 t&is que la connaissance du m\vem5t qui rsult]a de leur comb9aison ne saurait tre obt5ue que p> la ?orie2 et tantt1 au contraire1 le m\vem5t compos peut seul tre effectivem5t obs]v1 t&is que les m\vem5s simples1 dont on le reg>d]a comme le produit1 ne sont susceptibles d'tre dt]m9s que rationnellem5t4 ,a9si1 p> exemple1 dans le cas de la *ute oblique des corps pesans la surface de la t]re1 on connat les deux m\vem5s simples que pr5drait le corps p> l'action isole de *acune des =ces dont il e/ anim1 savoir1 la direction et la vitesse du m\vem5t uni=me que produirait la seule impulsion1 et la loi d'acclration du m\vem5t v]tical v>i1 qui rsult]ait de la seule pesanteur2 ds-lors1 on se propose de dc\vrir les div]ses circon/ances du m\vem5t compos produit p> l'action comb9e de ces deux =ces1 c'e/--dire de dt]m9] la trajectoire que dcrira le mobile1 sa direction et sa vitesse acquise *aque in/ant1 le temps qu'il emploi]a p>v5ir une c]ta9e position1 etc42 on p\rra1 p\r plus de gnralit1 jo9dre aux deux =ces donnes la rsi/ance du milieu ambiant1 p\rvu que la loi en soit galem5t connue4 ,la mcanique cle/e prs5te un exemple capital de la "q inv]se1 dans la dt]m9ation des =ces qui produis5t le m\vem5t des plantes aut\r du soleil1 ou des satellites aut\r des plantes4 ,on ne peut alors connatre immdiatem5t que le m\vem5t compos1 et c'e/ d'aprs les circon/ances c>actri/iques de ce m\vem5t1 telles que les lois de ,kpl] les ont rsumes1 qu'il faut remont] aux =ces lm5taires dont les a/res doiv5t tre conu anims p\r correspondre aux m\vem5s effectifs2 ces =ces une fois connues1 les gomtres peuv5t utilem5t repr5dre la "q s\s le po9t de vue oppos1 qu'il et t impossible de suivre primitivem5t4 ,la vritable de/9ation gnrale de la mcanique rationnelle tant a9si nettem5t conue1 considrons ma9t5ant les pr9cipes fondam5taux sur lesquels elle repose1 et d'abord exam9ons un artifice philosophique de la plus haute importance relativem5t la manire dont les corps doiv5t tre envisags en mcanique4 ,cette conception mrite d'autant plus notre att5tion qu'elle e/ encore habituellem5t ent\re d'un pais nuage mtaphysique1 qui en fait mconnatre la vraie nature4 ,il s]ait entirem5t impossible d'tablir aucune proposition gnrale sur les lois ab/raites de l'quilibre ou du m\vem5t1 si on ne comm5ait p> reg>d] les corps comme absolum5t in]tes1 c'e/--dire comme t\t--fait incapables de modifi] spontanm5t l'action des =ces qui leur sont appliques4 ,mais la manire dont cette conception fondam5tale e/ ord9airem5t prs5te me semble radicalem5t vicieuse4 ,d'abord cette notion ab/raite1 qui n'e/ qu'un simple artifice logique imag9 p> l'esprit huma9 p\r facilit] la =mation de la mcanique rationnelle1 ou plutt p\r la r5dre possible1 e/ s\v5t confondue avec ce qu'on appelle =t improprem5t la loi d'in]tie1 qui doit tre reg>de1 a9si que n\s le v]rons plus bas1 comme un rsultat gnral de l'obs]vation4 ,en second lieu1 le c>actre de cette ide e/ d'ord9aire tellem5t indcis1 qu'on ne sait po9t exactem5t si cet tat passif des corps e/ purem5t hypo?tique1 ou s'il reprs5te la ralit des phnomnes naturels4 ,enf91 il rsulte frquemm5t de cette indt]m9ation1 que l'esprit e/ involontairem5t port reg>d] les lois gnrales de la mcanique rationnelle comme tant p> elles-mmes exclusivem5t applicables ce que n\s appelons les corps bruts1 t&is qu'elles se vrifi5t ncessairem5t1 au contraire1 t\t aussi bi5 dans les corps organiss1 quoique leur application prcise y r5contre de bi5 plus gr&es difficults4 ,il importe beauc\p de rectifi] s\s ces div]s rapports les notions habituelles4 ,n\s devons nettem5t reconnatre avant t\t que cet tat passif des corps e/ une pure ab/raction1 directem5t contraire leur vritable con/itution4 ,dans la manire de philosoph] primitivem5t employe p> l'esprit huma91 on concevait1 en effet1 la matire comme tant rellem5t p> sa nature ess5tiellem5t in]te ou passive1 t\te activit lui v5ant ncessairem5t du dehors1 s\s l'influ5ce de c]ta9s tres surnaturels ou de c]ta9es entits mtaphysiques4 ,mais depuis que la philosophie positive a comm5c prvaloir1 et que l'esprit huma9 s'e/ born tudi] le vritable tat des *oses1 sans s'enqurir des causes premires et gnratrices1 il e/ dev5u vid5t p\r t\t obs]vateur que les div]s corps naturels n\s manife/5t t\s une activit spontane plus ou mo9s t5due4 ,il n'y a s\s ce rapport1 entre les corps bruts et ceux que n\s nommons p> excell5ce anims1 que de simples diffr5ces de degrs4 ,d'abord1 les progrs de la philosophie naturelle ont ple9em5t dmontr1 comme n\s le con/at]ons spcialem5t plus t>d1 qu'il n'exi/e po9t de matire vivante proprem5t dite sui g5]is1 puisqu'on retr\ve dans les corps anims des lm5s exactem5t id5tiques ceux que prs5t5t les corps inanims4 ,de plus1 il e/ ais de reconnatre dans ces d]ni]s une activit spontane exactem5t analogue celle des corps vivans1 mais seulem5t mo9s v>ie4 ,n'y et-il dans t\tes les molcules matrielles d'autre proprit que la pesanteur1 cela suffirait p\r int]dire t\t physici5 de les reg>d] comme ess5tiellem5t passives4 ,ce s]ait va9em5t qu'on v\drait prs5t] les corps s\s un po9t de vue entirem5t in]te dans l'acte de la pesanteur1 en disant qu'ils ne font alors qu'obir l'attraction du globe t]re/re4 ,cette considration ft-elle exacte1 on n'aurait fait videmm5t que dplac] la difficult1 en transportant la masse totale de la t]re l'activit refuse aux molcules isoles4 ,mais1 de plus1 on voit clairem5t que1 dans sa *ute v]s le c5tre de notre globe1 un corps pesant e/ t\t aussi actif que la t]re elle-mme1 puisqu'il e/ pr\v que *aque molcule de ce corps attire une p>tie quival5te de la t]re t\t autant qu'elle en e/ attire1 quoique cette d]nire attraction produise seule un effet s5sible1 raison de l'imm5se 9galit des deux masses4 ,enf91 dans une f\le d'autres phnomnes galem5t univ]sels1 !rmologiques1 lectriques1 ou *imiques1 la matire n\s prs5te videmm5t une activit spontane trs-v>ie1 dont n\s ne saurions plus la concevoir entirem5t prive4 ,les corps vivans ne n\s (fr5t rellem5t cet g>d d'autre c>actre p>ticuli] que de manife/]1 outre t\s ces div]s g5res d'activit1 quelques-uns qui leur sont propres1 et que les physiologi/es t5d5t d'ailleurs de plus en plus envisag] comme une simple modification des prcd5s4 ,quoi qu'il en soit1 il e/ inconte/able que l'tat purem5t passif1 dans lequel les corps sont considrs en mcanique rationnelle1 prs5te1 s\s le po9t de vue physique1 une vritable absurdit4 ,exam9ons ma9t5ant comm5t il e/ possible qu'une telle supposition soit employe sans aucun inconvni5t dans l'tablissem5t des lois ab/raites de l'quilibre et du m\vem5t1 qui n'en s]ont pas mo9s susceptibles ensuite d'tre conv5ablem5t appliques aux corps rels4 ,il suffit1 p\r cela1 d'avoir g>d l'importante rem>que prlim9aire rappele ci-dessus1 que les m\vem5s sont simplem5t considrs en eux-mmes dans la mcanique rationnelle1 sans aucun g>d au mode quelconque de leur production4 ,de l rsulte videmm5t1 p\r me con=m] au langage adopt1 la facult de remplac] volont t\te =ce p> une autre d'une nature quelconque1 p\rvu qu'elle soit capable d'imprim] au corps exactem5t le mme m\vem5t4 ,d'aprs cette considration vid5te1 on conoit qu'il e/ possible de faire ab/raction des div]ses =ces qui sont rellem5t inhr5tes aux corps1 et de reg>d] ceux-ci comme seulem5t sollicits p> des =ces extrieures1 puisqu'on p\rra sub/itu] ces =ces intrieures des =ces extrieures mcaniquem5t quival5tes4 ,a9si1 p> exemple1 quoique t\t corps soit ncessairem5t pesant1 et que n\s ne puissions mme concevoir rellem5t un corps qui ne le s]ait pas1 les gomtres considr5t1 dans la mcanique ab/raite1 les corps comme tant d'abord entirem5t dp\ills de cette proprit1 qui e/ implicitem5t comprise au nombre des =ces extrieures1 si l'on a envisag1 comme il convi5t1 un sy/me de =ces t\t--fait quelconque4 ,que le corps1 dans sa *ute1 soit m p> une attraction int]ne1 ou qu'il obisse une simple impulsion extrieure1 cela e/ indiffr5t p\r la mcanique rationnelle1 si le m\vem5t effectif se tr\ve tre exactem5t id5tique1 et l'on p\rra p> consqu5t adopt] de prfr5ce la d]nire conception4 ,il en e/ ncessairem5t a9si relativem5t t\te autre proprit naturelle1 qu'il s]a t\j\rs possible de remplac] p> la supposition d'une action ext]ne1 con/ruite de manire produire le mme m\vem5t1 ce qui p]mettra de se reprs5t] le corps comme purem5t passif2 seulem5t1 mesure que l'obs]vation ou l'expri5ce f]ont connatre avec plus de prcision les lois de ces =ces intrieures1 il faudra t\j\rs modifi] en consqu5ce le sy/me des =ces extrieures qu'on leur sub/itue hypo?tiquem5t1 ce qui conduira s\v5t une trs-gr&e complication4 ,a9si1 p> exemple1 l'obs]vation ayant appris que le m\vem5t v]tical d'un corps en v]tu de sa pesanteur n'e/ po9t uni=me1 mais cont9uellem5t acclr1 on ne p\rra po9t l'assimil] celui qu'imprim]ait au corps une impulsion unique dont l'action ne se r5\vell]ait plus1 puisqu'il en rsult]ait videmm5t une vitesse con/ante3 on s]a donc oblig de concevoir le corps comme ayant reu successivem5t1 des int]valles de temps inf9im5t petits1 une srie inf9ie de *ocs inf9im5t petits1 tels que1 la vitesse produite p> *acun s'aj\tant d'une manire cont9ue celle qui rsulte de l'ensemble des prcd5s1 le m\vem5t effectif soit indf9im5t v>i2 et si l'expri5ce pr\ve que l'acclration du m\vem5t e/ uni=me1 on suppos]a t\s ces *ocs successifs con/amm5t gaux entre eux3 dans t\t autre cas1 il faudra leur suppos]1 soit p\r la direction1 soit p\r l'int5sit1 une relation exactem5t con=me la loi relle de la v>iation du m\vem5t2 mais1 ces conditions1 il e/ clair que la sub/itution s]a t\j\rs possible4 ,il s]ait inutile d'insi/] beauc\p p\r faire s5tir l'indisp5sable ncessit de suppos] les corps dans cet tat compltem5t passif1 o l'on n'a plus considr] que les =ces extrieures qui leur sont appliques1 af9 d'tablir les lois ab/raites de l'quilibre et du m\vem5t4 ,on conoit que s'il fallait d'abord t5ir compte de la modification quelconque que le corps peut imprim]1 en v]tu de ses =ces naturelles1 l'action de *acune de ces puissances extrieures1 on ne p\rrait tablir1 en mcanique rationnelle1 la mo9dre proposition gnrale1 d'autant plus que cette modification e/ lo91 dans la plup>t des cas1 d'tre exactem5t connue4 ,ce n'e/ donc qu'en comm5ant p> en faire totalem5t ab/raction1 p\r ne p5s] qu' la raction des =ces les unes sur les autres1 qu'il devi5t possible de fond] une mcanique ab/raite1 de laquelle on pass]a ensuite la mcanique concrte1 en re/ituant aux corps leurs proprits actives naturelles1 primitivem5t c>tes4 ,cette re/itution con/itue1 en effet1 la pr9cipale difficult qu'on pr\ve p\r opr] la transition de l'ab/rait au concret en mcanique1 difficult qui limite s+ulirem5t dans la ralit les applications importantes de cette sci5ce1 dont le doma9e ?orique e/1 en lui-mme1 ncessairem5t indf9i4 ,af9 de donn] une ide de la porte de cet ob/acle fondam5tal1 on peut dire que1 dans l'tat actuel de la sci5ce ma?matique1 il n'y a vraim5t qu'une seule proprit naturelle et gnrale des corps dont n\s sa*ions t5ir compte d'une manire conv5able1 c'e/ la pesanteur1 soit t]re/re1 soit univ]selle2 et encore faut-il suppos]1 dans ce d]ni] cas1 que la =me des corps e/ suffisamm5t simple4 ,mais si cette proprit se complique de quelques autres circon/ances physiques1 comme la rsi/ance des milieux1 les frottem5s1 etc41 si mme les corps sont seulem5t supposs l'tat fluide1 ce n'e/ encore que =t imp>faitem5t qu'on e/ p>v5u jusqu'ici en apprci] l'influ5ce dans les phnomnes mcaniques4 ,a plus =te raison n\s e/-il impossible de pr5dre en considration les proprits lectriques ou *imiques1 et1 bi5 mo9s encore1 les proprits physiologiques4 ,aussi les gr&es applications de la mcanique rationnelle sont-elles rellem5t bornes jusqu'ici aux seuls phnomnes cle/es1 et mme ceux de notre sy/me solaire1 o il suffit d'avoir uniquem5t g>d une gravitation gnrale1 dont la loi e/ simple et bi5 dt]m9e1 et qui prs5te nanmo9s des difficults qu'on ne sait po9t encore surmont] compltem5t1 lorsqu'on veut t5ir un compte exact de t\tes les actions secondaires susceptibles d'effets apprciables4 ,on conoit p> l quel degr les que/ions doiv5t se compliqu] qu& on passe la mcanique t]re/re1 dont la plup>t des phnomnes1 mme les plus simples1 ne comport]ont probablem5t jamais1 vu la faiblesse de nos moy5s rels1 une tude purem5t rationnelle et p\rtant exacte d'aprs les lois gnrales de la mcanique ab/raite1 quoique la connaissance de ces lois1 d'ailleurs videmm5t indisp5sable1 puisse s\v5t conduire des indications importantes4 ,aprs avoir expliqu la vritable nature de la conception fondam5tale relative l'tat dans lequel les corps doiv5t tre supposs en mcanique rationnelle1 il n\s re/e considr] les faits gnraux ou les lois physiques du m\vem5t qui peuv5t f\rnir une base relle aux ?ories dont la sci5ce se compose4 ,cette importante exposition e/ d'autant plus indisp5sable1 que1 comme je l'ai indiqu ci-dessus1 depuis qu'on s'e/ c>t de la r\te suivie p> ,newton1 on a compltem5t mconnu le vrai c>actre de ces lois1 dont la notion ord9aire e/ encore ess5tiellem5t mtaphysique4 ,les lois fondam5tales du m\vem5t me sembl5t p\voir tre rduites trois1 qui doiv5t tre envisages comme de simples rsultats de l'obs]vation1 dont il e/ absurde de v\loir tablir priori la ralit1 bi5 qu'on l'ait t5t frquemm5t4 ,la premire loi e/ celle qu'on dsigne =t mal propos s\s le nom de loi d'in]tie4 ,elle a t dc\v]te p> ,kpl]4 ,elle consi/e proprem5t en ce que t\t m\vem5t e/ naturellem5t rectiligne et uni=me1 c'e/--dire que t\t corps s\mis l'action d'une =ce unique quelconque1 qui agit sur lui in/antanm5t1 se meut con/amm5t en ligne droite et avec une vitesse inv>iable4 ,l'influ5ce de l'esprit mtaphysique se manife/e p>ticulirem5t dans la manire dont cette loi e/ communm5t prs5te4 ,au lieu de se born] la reg>d] comme un fait obs]v1 on a prt5du la dmontr] ab/raitem5t1 p> une application du pr9cipe de la raison suffisante1 qui n'a pas la mo9dre solidit4 ,en effet1 p\r expliqu]1 p> exemple1 la ncessit du m\vem5t rectiligne1 on dit que le corps devait suivre la ligne droite1 p>ce qu'il n'y a pas de raison p\r qu'il s'c>te d'un ct plutt que d'un autre de sa direction primitive4 ,il e/ ais de con/at] l'invalidit radicale et mme l'insignifiance complte d'une telle argum5tation4 ,d'abord1 comm5t p\rrions-n\s tre assurs qu'il n'y a pas de raison p\r que le corps se dvie8 que p\vons-n\s savoir cet g>d1 autrem5t que p> l'expri5ce8 ,les considrations priori fondes sur la nature des *oses ne n\s sont-elles pas compltem5t et ncessairem5t int]dites en philosophie positive8 ,d'ailleurs un tel pr9cipe1 mme qu& on l'admettrait1 ne comporte p> lui-mme qu'une application vague et arbitraire4 ,c>1 l'orig9e du m\vem5t1 c'e/--dire l'in/ant mme o l'argum5t devrait tre employ1 il e/ clair que la trajectoire du corps n'a po9t encore de c>actre gomtrique dt]m91 et que c'e/ seulem5t aprs que le corps a p>c\ru un c]ta9 espace qu'on peut con/at] quelle ligne il dcrit4 ,il e/ vid5t1 p> la gomtrie1 que le m\vem5t initial1 au lieu d'tre reg>d comme rectiligne1 p\rrait tre indiffremm5t suppos circulaire1 p>abolique1 ou suivant t\te autre ligne tang5te la trajectoire effective1 en sorte que la mme argum5tation rpte p\r *acune de ces lignes1 ce qui s]ait t\t aussi lgitime1 conduirait une conclusion absolum5t indt]m9e4 ,p\r peu qu'on rfl*isse sur un tel raisonnem5t1 on ne t>d]a pas reconnatre que1 comme t\tes les prt5dues explications mtaphysiques1 il se rduit rellem5t rpt] en t]mes ab/raits le fait lui-mme1 et dire que les corps ont une t5dance naturelle se m\voir en ligne droite1 ce qui tait prcism5t la proposition tablir4 ,l'insignifiance de ces considrations vagues et arbitraires f9ira p> dev5ir palpable si l'on rem>que que1 p> suite de semblables argum5s1 les philosophes de l'antiquit1 et p>ticulirem5t ,ari/ote1 avai5t1 au contraire1 reg>d le m\vem5t circulaire comme naturel aux a/res1 en ce qu'il e/ le plus p>fait de t\s1 conception qui n'e/ galem5t que l'nonciation ab/raite d'un phnomne mal analys4 ,je me suis born indiqu] la critique des raisonnem5s ord9aires relativem5t la premire p>tie de la loi d'in]tie4 ,on peut faire des rem>ques p>faitem5t analogues au sujet de la seconde p>tie1 qui conc]ne l'inv>iabilit de la vitesse1 et qu'on prt5d aussi p\voir dmontr] ab/raitem5t1 en se bornant dire qu'il n'y a pas de raison p\r que le corps se meuve jamais plus l5tem5t ou plus rapidem5t qu' l'orig9e du m\vem5t4 ,ce n'e/ donc po9t sur de telles considrations qu'on peut solidem5t tablir une loi aussi importante1 qui e/ un des fondem5s ncessaires de t\te la mcanique rationnelle4 ,elle ne saurait avoir de ralit qu'autant qu'on la conoit comme base sur l'obs]vation4 ,mais1 s\s ce po9t de vue1 l'exactitude en e/ vid5te d'aprs les faits les plus communs4 ,n\s avons cont9uellem5t occasion de reconnatre qu'un corps anim d'une =ce unique se meut con/amm5t en ligne droite2 et1 s'il se dvie1 n\s p\vons aism5t con/at] que cette modification ti5t l'action simultane de quelque autre =ce1 active ou passive3 enf9 les m\vem5s curvilignes eux-mmes n\s montr5t clairem5t1 p> les phnomnes v>is dus ce qu'on appelle la =ce c5trifuge1 que les corps cons]v5t con/amm5t leur t5dance naturelle se m\voir en ligne droite4 ,il n'y a p\r a9si dire aucun phnomne dans la nature qui ne puisse n\s f\rnir une vrification s5sible de cette loi1 sur laquelle e/ en p>tie fonde t\te l'conomie de l'univ]s4 ,il en e/ de mme relativem5t l'uni=mit du m\vem5t4 ,t\s les faits n\s pr\v5t que1 si le m\vem5t primitivem5t imprim se ral5tit t\j\rs graduellem5t et f9it p> s'te9dre entirem5t1 cela provi5t des rsi/ances que les corps r5contr5t sans cesse1 et sans lesquelles l'expri5ce n\s porte p5s] que la vitesse demeur]ait indf9im5t con/ante1 puisque n\s voyons augm5t] s5siblem5t la dure de ce m\vem5t mesure que n\s dim9uons l'int5sit de ces ob/acles4 ,on sait que le simple m\vem5t d'un p5dule c>t de la v]ticale1 qui1 dans les circon/ances ord9aires1 se ma9ti5t pe9e p5dant quelques m9utes1 a pu se prolong] jusqu' plus de tr5te heures1 en dim9uant autant que possible le frottem5t au po9t de la susp5sion1 et faisant oscill] le corps dans un vide trs-appro*1 lors des expri5ces de ,borda l',obs]vatoire de ,p>is p\r dt]m9] la longueur du p5dule secondes p> rapport au mtre4 ,les gomtres cit5t aussi avec beauc\p de raison1 comme une preuve manife/e de la t5dance naturelle des corps cons]v] indf9im5t leur vitesse acquise1 l'inv>iabilit rig\reuse qu'on rem>que si clairem5t dans les m\vem5s cle/es1 qui1 s'excutant dans un milieu d'une r>et extrme1 se tr\v5t dans les circon/ances les plus favorables une p>faite obs]vation de la loi d'in]tie1 et qui1 en effet1 depuis v+t sicles qu'on les tudie avec quelque exactitude1 ne n\s prs5t5t po9t encore la mo9dre altration c]ta9e1 quant la dure des rotations1 ou celle des rvolutions1 quoique la suite des temps et le p]fectionnem5t de nos moy5s d'apprciation doiv5t probablem5t n\s dvoil] un j\r quelques v>iations encore inconnues4 ,n\s devons donc reg>d] comme une gr&e loi de la nature cette t5dance spontane de t\s les corps se m\voir en ligne droite et avec une vitesse con/ante4 ,vu la confusion extrme des ides communes relativem5t ce premi] pr9cipe fondam5tal1 il peut tre utile de rem>qu] expressm5t ici que cette loi naturelle e/ t\t aussi applicable aux corps vivans qu'aux corps in]tes p\r lesquels on la croit s\v5t exclusivem5t tablie4 ,quelle que soit l'orig9e de l'impulsion qu'il a reue1 un corps vivant t5d p]si/]1 comme un corps in]te1 dans la direction de son m\vem5t1 et cons]v] sa vitesse acquise3 seulem5t il peut se dvelopp] en lui des =ces susceptibles de modifi] ou de supprim] ce m\vem5t1 t&is que1 p\r les autres corps1 ces modifications sont exclusivem5t dues des ag5s extrieurs4 ,mais1 dans ce cas mme1 n\s p\vons acqurir une preuve directe et p]sonnelle de l'univ]salit de la loi d'in]tie1 en considrant l'ef=t trs-s5sible que n\s sommes obligs de faire p\r *ang] la direction ou la vitesse de notre m\vem5t effectif1 tel po9t1 que lorsque ce m\vem5t e/ trs-rapide1 il n\s e/ impossible de le modifi] ou de le susp5dre l'in/ant prcis o n\s le dsir]ions4 ,la seconde loi fondam5tale du m\vem5t e/ due ,newton4 ,elle consi/e dans le pr9cipe de l'galit con/ante et ncessaire entre l'action et la raction2 c'e/--dire1 que t\tes les fois qu'un corps e/ m p> un autre d'une manire quelconque1 il ex]ce sur lui1 en s5s inv]se1 une raction telle1 que le second p]d1 en raison des masses1 une quantit de m\vem5t exactem5t gale celle que le premi] a reue4 ,on a essay quelquefois d'tablir aussi priori1 ce ?orme gnral de philosophie naturelle1 qui n'en e/ pas plus susceptible que le prcd5t4 ,mais il a t beauc\p mo9s le sujet de considrations sophi/iques1 et presque t\s les gomtres s'accord5t ma9t5ant le reg>d] d'aprs ,newton comme un simple rsultat de l'obs]vation1 ce qui me disp5se ici de t\te discussion analogue celle de la loi d'in]tie4 ,cette galit dans l'action rciproque des corps se manife/e dans t\s les phnomnes naturels1 soit que les corps agiss5t les uns sur les autres p> impulsion1 soit qu'ils agiss5t p> attraction2 il s]ait sup]flu d'en cit] ici des exemples4 ,n\s avons mme tellem5t occasion de con/at] cette mutualit dans nos obs]vations les plus communes1 que n\s ne saurions plus concevoir un corps agissant sur un autre1 sans que celui-ci ragisse sur lui4 ,je crois devoir seulem5t indiqu]1 ds ce mom5t1 au sujet de cette seconde loi du m\vem5t1 une rem>que qui me semble importante1 et qui d'ailleurs s]a conv5ablem5t dveloppe dans la dix-septime leon4 ,elle consi/e en ce que le clbre pr9cipe de d',alemb]t1 d'aprs lequel on p>vi5t trans=m] si heureusem5t t\tes les que/ions de dynamique en simples que/ions de /atique1 n'e/ vraim5t autre *ose que la gnralisation complte de la loi de ,newton1 t5due un sy/me quelconque de =ces4 ,ce pr9cipe en effet concide videmm5t avec celui de l'galit entre l'action et la raction1 lorsqu'on ne considre que deux =ces4 ,une telle corrlation p]met de concevoir dsormais la proposition gnrale de d',alemb]t comme ayant une base exprim5tale1 t&is qu'elle n'e/ communm5t tablie jusqu'ici que sur des considrations ab/raites peu satisfaisantes4 ,la troisime loi fondam5tale du m\vem5t me p>at consi/] dans ce que je propose d'appel] le pr9cipe de l'indp5dance ou de la coexi/5ce des m\vem5s1 qui conduit immdiatem5t ce qu'on appelle vulgairem5t la composition des =ces4 ,galile e/1 proprem5t p>l]1 le vritable inv5teur de cette loi1 quoiqu'il ne l'ait po9t conue prcism5t s\s la =me que je crois devoir prfr] ici4 ,considre s\s le po9t de vue le plus simple1 elle se rduit ce fait gnral1 que t\t m\vem5t exactem5t commun t\s les corps d'un sy/me quelconque n'altre po9t les m\vem5s p>ticuli]s de ces diffr5s corps les uns l'g>d des autres1 m\vem5s qui cont9u5t s'excut] comme si l'ensemble du sy/me tait immobile4 ,p\r nonc] cet important pr9cipe avec une prcision rig\reuse1 qui n'exige plus aucune re/riction1 il faut concevoir que t\s les po9ts du sy/me dcriv5t la fois des droites p>allles et gales1 et considr] que ce m\vem5t gnral1 avec quelque vitesse et dans quelque direction qu'il puisse avoir lieu1 n'affect]a nullem5t les m\vem5s relatifs4 ,ce s]ait va9em5t qu'on t5t]ait d'tablir p> aucune ide priori cette gr&e loi fondam5tale1 qui n'en e/ pas plus susceptible que les deux prcd5tes4 ,on p\rrait1 t\t au plus1 concevoir que si les corps du sy/me sont entre eux l'tat de repos1 ce dplacem5t commun1 qui ne *ange videmm5t ni leurs di/ances ni leurs situations respectives1 ne saurait altr] cette immobilit relative3 encore mme1 l'ignorance absolue o n\s sommes ncessairem5t de la nature intime des corps et des phnomnes1 ne n\s p]met po9t d'affirm] rationnellem5t1 avec une scurit p>faite1 que l'introduction de cette circon/ance n\velle ne modifi]a pas d'une manire inconnue les conditions primitives du sy/me4 ,mais l'insuffisance d'une telle argum5tation devi5t surt\t s5sible qu& on essaie de l'appliqu] au cas le plus t5du et le plus important1 celui o les diffr5s corps du sy/me sont en m\vem5t les uns l'g>d des autres4 ,en s'atta*ant faire ab/raction1 aussi compltem5t que possible1 des obs]vations si connues et si v>ies qui n\s font reconnatre alors l'exactitude physique de ce pr9cipe1 il s]a facile de con/at] qu'aucune considration rationnelle ne n\s donne le droit de conclure a priori que le m\vem5t gnral ne f]a natre aucun *angem5t dans les m\vem5s p>ticuli]s4 ,cela e/ tellem5t vrai1 que lorsque ,galile a expos p\r la premire fois cette gr&e loi de la nature1 il s'e/ lev de t\tes p>ts une f\le d'objections a priori t5dant pr\v] l'impossibilit rationnelle d'une telle proposition1 qui n'a t unanimem5t admise1 que lorsqu'on a ab&onn le po9t de vue logique p\r se plac] au po9t de vue physique4 ,c'e/ donc seulem5t comme un simple rsultat gnral de l'obs]vation et de l'expri5ce que cette loi peut tre en effet solidem5t tablie4 ,mais1 a9si considre1 il e/ vid5t qu'aucune proposition de philosophie naturelle n'e/ fonde sur des obs]vations aussi simples1 aussi div]ses1 aussi multiplies1 aussi faciles vrifi]4 ,il ne s'opre po9t dans le monde rel un seul phnomne dynamique qui n'en puisse (frir une preuve s5sible2 et t\te l'conomie de l'univ]s s]ait videmm5t b\lev]se de fond en comble1 si on supposait que cette loi n'exi/t plus4 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 que dans le m\vem5t gnral d'un vaisseau1 quelque rapide qu'il puisse tre et suivant quelque direction qu'il ait lieu1 les m\vem5s relatifs cont9u5t s'excut]1 sauf les altrations prov5ant du r\lis et du tangage1 exactem5t comme si le vaisseau tait immobile1 en se composant avec le m\vem5t total p\r un obs]vateur qui n'y p>ticip]ait pas4 ,de mme1 n\s voyons cont9uellem5t le dplacem5t gnral d'un foy] *imique1 ou d'un corps vivant1 n'affect] en aucune manire les m\vem5s int]nes qui s'y excut5t4 ,c'e/ a9si surt\t1 p\r cit] l'exemple le plus important1 que le m\vem5t du globe t]re/re ne tr\ble nullem5t les phnomnes mcaniques qui s'opr5t sa surface ou dans son intrieur4 ,on sait que l'ignorance de cette troisime loi du m\vem5t a t prcism5t le pr9cipal ob/acle sci5tifique qui s'e/ oppos p5dant si long-temps l'tablissem5t de la ?orie de ,cop]nic1 contre laquelle une telle considration prs5tait alors1 en effet1 des objections insurmontables1 dont les cop]nici5s n'avai5t essay de se dgag] que p> de va9es subtilits mtaphysiques avant la dc\v]te de ,galile4 ,mais1 depuis que le m\vem5t de la t]re a t univ]sellem5t reconnu1 les gomtres l'ont prs5t1 avec raison1 comme (frant lui-mme une confirmation ess5tielle de la ralit de cette loi4 ,laplace a propos ce sujet une considration indirecte =t +nieuse1 que je crois utile d'indiqu] ici1 p>ce qu'elle n\s montre le pr9cipe de l'indp5dance des m\vem5s s\s la vrification d'une expri5ce cont9uelle et trs-s5sible4 ,elle consi/e rem>qu] que1 si le m\vem5t gnral de la t]re p\vait altr] en aucune manire les m\vem5s p>ticuli]s qui s'excut5t sa surface1 cette altration ne saurait videmm5t tre la mme p\r t\s ces m\vem5s quelle que ft leur direction1 et qu'ils en s]ai5t ncessairem5t div]sem5t affects suivant l'angle plus ou mo9s gr& que f]ait cette direction avec celle du m\vem5t du globe4 ,a9si1 p> exemple1 le m\vem5t oscillatoire d'un p5dule devrait alors n\s prs5t] des diffr5ces trs-considrables selon l'azimu? du plan v]tical dans lequel il s'excute1 et qui lui donne une direction tantt con=me1 tantt contraire1 et =t 9galem5t contraire1 celle du m\vem5t de la t]re2 t&is que l'expri5ce ne n\s manife/e jamais1 cet g>d1 la mo9dre v>iation1 mme en mesurant le phnomne avec l'extrme prcision que comporte1 s\s ce rapport1 l'tat actuel de nos moy5s d'obs]vation4 ,af9 de prv5ir t\te int]prtation inexacte et t\te application vicieuse de la troisime loi du m\vem5t1 il importe de rem>qu] que1 p> sa nature1 elle n'e/ relative qu'aux m\vem5s de translation1 et qu'on ne doit jamais l't5dre aucun m\vem5t de rotation4 ,les m\vem5s de translation sont videmm5t1 en effet1 les seuls qui puiss5t tre rig\reusem5t communs1 p\r le degr aussi bi5 que p\r la direction1 t\tes les div]ses p>ties d'un sy/me quelconque4 ,cette exacte p>it ne saurait jamais avoir lieu qu& il s'agit d'un m\vem5t de rotation1 qui prs5te t\j\rs ncessairem5t des 9galits entre les div]ses p>ties du sy/me1 suivant qu'elles sont plus ou mo9s loignes du c5tre de la rotation4 ,c'e/ p\rquoi t\t m\vem5t de ce g5re t5d con/amm5t altr] l'tat du sy/me1 et l'altre en effet si les conditions de liaison entre les div]ses p>ties ne con/itu5t pas une rsi/ance suffisante4 ,a9si1 p> exemple1 dans le cas d'un vaisseau1 ce n'e/ pas le m\vem5t gnral de progression qui peut tr\bl] les m\vem5s p>ticuli]s2 le drangem5t n'e/ d qu'aux effets secondaires du r\lis et du tangage1 qui sont des m\vem5s de rotation4 ,qu'une montre soit simplem5t transporte dans une direction quelconque avec autant de rapidit qu'on v\dra1 mais sans t\rn] nullem5t1 elle n'en s]a jamais affecte2 t&is qu'un mdiocre m\vem5t de rotation suffira seul p\r drang] promptem5t sa m>*e4 ,la diffr5ce entre ces deux effets devi5drait surt\t s5sible1 en rptant l'expri5ce sur un corps vivant4 ,enf91 c'e/ p> suite d'une telle di/9ction1 que n\s ne saurions avoir aucun moy5 de con/at]1 p> des phnomnes purem5t t]re/res1 la ralit du m\vem5t de translation de la t]re1 qui n'a pu tre dc\v]t que p> des obs]vations cle/es2 t&is que1 relativem5t son m\vem5t de rotation1 il dt]m9e ncessairem5t la surface de la t]re1 vu l'9galit de =ce c5trifuge entre les diffr5s po9ts du globe1 des phnomnes trs-s5sibles1 quoique peu considrables1 dont l'analyse p\rrait suffire p\r dmontr]1 indp5damm5t de t\te considration a/ronomique1 l'exi/5ce de cette rotation4 ,le pr9cipe de l'indp5dance ou de la coexi/5ce des m\vem5s tant une fois tabli1 il e/ facile de concevoir qu'il conduit immdiatem5t la rgle lm5taire ord9airem5t usite p\r ce qu'on appelle la composition des =ces1 qui n'e/ vraim5t autre *ose qu'une n\velle manire de considr] et d'nonc] la troisime loi du m\vem5t4 ,en effet1 la proposition du p>alllogramme des =ces1 envisage s\s le po9t de vue le plus positif1 consi/e proprem5t en ce que1 lorsqu'un corps e/ anim la fois de deux m\vem5s uni=mes dans des directions quelconques1 il dcrit1 en v]tu de leur comb9aison1 la diagonale du p>alllogramme dont il et dans le mme temps dcrit sp>m5t les cts en v]tu de *aque m\vem5t isol4 ,or n'e/-ce pas l videmm5t une simple application directe du pr9cipe de l'indp5dance des m\vem5s1 d'aprs lequel le m\vem5t p>ticuli] du corps le long d'une c]ta9e droite n'e/ nullem5t tr\bl p> le m\vem5t gnral qui entrane p>alllem5t elle-mme la totalit de cette droite le long d'une autre droite quelconque8 ,cette considration conduit sur-le-*amp la con/ruction gomtrique nonce p> la rgle du p>alllogramme des =ces4 ,c'e/ a9si que ce ?orme fondam5tal de la mcanique rationnelle me p>at tre prs5t directem5t comme une loi naturelle1 ou du mo9s comme une application immdiate d'une des plus gr&es lois de la nature4 ,telle e/1 mon gr1 la seule manire vraim5t philosophique d'tablir solidem5t cette importante proposition1 p\r c>t] df9itivem5t t\s les nuages mtaphysiques dont elle e/ encore environne et la mettre compltem5t l'abri de t\te objection relle4 ,t\tes les prt5dues dmon/rations analytiques qu'on a successivem5t essay d'en donn] d'aprs des considrations purem5t ab/raites1 outre qu'elles repos5t ord9airem5t sur une int]prtation vicieuse et sur une fausse application du pr9cipe analytique de l'homognx1 suppos5t d'ailleurs que la proposition e/ vid5te p> elle-mme dans c]ta9s cas p>ticuli]s1 qu& les deux =ces1 p> exemple1 agiss5t suivant une mme droite1 vid5ce qui ne peut rsult] alors que de l'obs]vation effective de la loi naturelle de l'indp5dance des m\vem5s1 dont l'indisp5sabilit se tr\ve a9si irrcusablem5t manife/e4 ,il s]ait trange1 en effet1 p\r quiconque envisage directem5t la "q s\s un po9t de vue philosophique1 que1 p> de simples comb9aisons logiques1 l'esprit huma9 pt a9si dc\vrir une loi relle de la nature1 sans consult] aucunem5t le monde extrieur4 ,cette notion tant de la plus haute importance quant la manire de concevoir la mcanique rationnelle1 et s'c>tant beauc\p de la m>*e habituellem5t adopte auj\rd'hui1 je crois devoir la prs5t] encore s\s un d]ni] po9t de vue qui a*v]a de l'claircir1 en montrant que1 malgr t\s les ef=ts des gomtres p\r lud] cet g>d l'emploi des considrations exprim5tales1 la loi physique de l'indp5dance des m\vem5s re/e implicitem5t1 mme de leur aveu unanime1 une des bases ess5tielles de la mcanique1 quoique prs5te s\s une =me diffr5te et une autre poque de l'exposition4 ,il suffit1 p\r cela1 de reconnatre que cette loi1 au lieu d'tre expose directem5t dans l'tude des prolgomnes de la sci5ce1 se retr\ve plus t>d admise p> t\s les gomtres1 comme tablissant le pr9cipe de la proportionnalit des vitesses aux =ces1 base ncessaire de la dynamique ord9aire4 ,af9 de saisir conv5ablem5t le vrai c>actre de cette "q1 il faut rem>qu] que les rapports des =ces peuv5t tre dt]m9s de deux manires diffr5tes1 soit p> le procd /atique1 soit p> le procd dynamique4 ,en effet1 n\s ne jugeons pas t\j\rs du rapport de deux =ces d'aprs l'int5sit plus ou mo9s gr&e des m\vem5s qu'elles peuv5t imprim] un mme corps4 ,n\s l'apprcions frquemm5t aussi d'aprs de simples considrations d'quilibre mutuel1 en reg>dant comme gales les =ces qui1 appliques en s5s contraire1 suivant une mme droite1 se dtruis5t rciproquem5t1 et ensuite comme d\ble1 triple1 etc4 d'une autre1 la =ce qui f]ait quilibre deux1 trois1 etc41 =ces gales celle-ci1 et t\tes directem5t opposes la seconde4 ,ce n\veau moy5 de mesure e/1 en ralit1 t\t aussi usit que le prcd5t4 ,cela pos1 la "q consi/e ess5tiellem5t savoir si les deux moy5s sont t\j\rs et ncessairem5t quival5s1 c'e/--dire si1 les rapports des =ces tant d'abord seulem5t df9is p> la considration /atique1 il s'ensuivra1 s\s le po9t de vue dynamique1 qu'elles imprim]ont une mme masse des vitesses qui leur soi5t exactem5t proportionnelles4 ,cette corrlation n'e/ nullem5t vid5te p> elle-mme2 t\t au plus peut-on concevoir priori que les plus gr&es =ces doiv5t ncessairem5t donn] les plus gr&es vitesses4 ,mais l'obs]vation seule peut dcid] si c'e/ la premire puissance de la =ce ou t\te autre fonction croissante que la vitesse e/ proportionnelle4 ,c'e/ p\r dt]m9] quelle e/1 cet g>d1 la vritable loi de la nature1 que1 de l'aveu de t\s les gomtres et p>ticulirem5t de ,laplace1 il faut considr] le fait gnral de l'indp5dance ou de la coexi/5ce des m\vem5s4 ,il e/ facile de voir1 d'aprs le raisonnem5t de ,laplace1 que la ?orie de la proportionnalit des vitesses aux =ces e/ une consqu5ce ncessaire et immdiate de ce fait gnral1 appliqu deux =ces qui agiss5t dans la mme direction4 ,c>1 si un corps1 en v]tu d'une c]ta9e =ce1 a p>c\ru un espace dt]m9 suivant une c]ta9e droite1 et qu'on vi5ne aj\t]1 selon la mme direction1 une seconde =ce gale la premire2 d'aprs la loi de l'indp5dance des m\vem5s1 cette n\velle =ce ne f]a que dplac] la totalit de la droite d'application d'une gale quantit dans le mme temps1 sans altr] le m\vem5t du corps le long de cette droite1 en sorte que p> la composition des deux m\vem5s1 ce corps aura effectivem5t p>c\ru un espace d\ble de celui qui correspondait la =ce primitive4 ,telle e/ la seule manire dont on puisse rellem5t con/at] la proportionnalit gnrale des vitesses aux =ces1 que je dois a9si me disp5s] de reg>d] comme une quatrime loi fondam5tale du m\vem5t1 puisqu'elle r5tre dans la troisime4 ,il e/ donc vid5t que1 qu& on a cru p\voir se disp5s] en mcanique du fait gnral de l'indp5dance des m\vem5s p\r tablir la loi fondam5tale de la composition des =ces1 la ncessit de reg>d] cette proposition de philosophie naturelle comme une des bases indisp5sables de la sci5ce s'e/ reproduite 9vitablem5t p\r dmontr] la loi non mo9s importante des =ces proportionnelles aux vitesses1 ce qui met cette ncessit hors de t\te conte/ation4 ,a9si quel a t le rsultat rel de t\s les ef=ts intellectuels qui ont t t5ts p\r vit] d'introduire directem5t1 dans les prolgomnes de la mcanique1 cette obs]vation fondam5tale8 seulem5t de p>atre s'en disp5s] en /atique1 et de ne la pr5dre videmm5t en considration qu'aussitt qu'on passe la dynamique4 ,t\t se rduit donc effectivem5t une simple transposition4 ,il e/ clair qu'un rsultat aussi peu important n'e/ nullem5t proportionn la complication des procds indirects qui ont t employs p\r y p>v5ir1 qu& mme ces procds s]ai5t logiquem5t irrpro*ables1 et n\s avons expressm5t reconnu le contraire4 ,il e/ donc1 s\s t\s les rapports1 beauc\p plus satisfaisant de se con=m] fran*em5t et directem5t la ncessit philosophique de la sci5ce1 et1 puisqu'elle ne saurait se pass] d'une base exprim5tale1 de reconnatre nettem5t cette base ds l'orig9e4 ,aucune autre m>*e ne peut r5dre compltem5t positive une sci5ce qui1 sans de tels fondem5s1 cons]v]ait encore un c]ta9 c>actre mtaphysique4 ,telles sont donc les trois lois physiques du m\vem5t qui f\rniss5t la mcanique rationnelle une base exprim5tale suffisante1 sur laquelle l'esprit huma91 p> de simples oprations logiques1 et sans consult] davantage le monde extrieur1 peut solidem5t tablir l'difice sy/matique de la sci5ce4 ,quoique ces trois lois me sembl5t p\voir suffire1 je ne vois priori aucune raison de n'en po9t augm5t] le nombre1 si on p>v5ait effectivem5t con/at] qu'elles ne sont pas /rictem5t compltes4 ,cette augm5tation me p>atrait un =t lg] inconvni5t p\r la p]fection rationnelle de la sci5ce1 puisque ces lois ne saurai5t jamais videmm5t tre trs-multiplies2 je reg>d]ais comme prfrable1 en ?se gnrale1 d'en tablir une ou deux de plus1 si1 p\r l'vit]1 il fallait rec\rir des considrations trop dt\rnes1 qui fuss5t de nature altr] le c>actre positif de la sci5ce4 ,mais l'ensemble des trois lois ci-dessus exposes remplit conv5ablem5t1 mes yeux1 t\tes les conditions ess5tielles rellem5t imposes p> la nature des ?ories de la mcanique rationnelle4 ,en effet1 la premire1 celle de ,kpl]1 dt]m9e compltem5t l'effet produit p> une =ce unique agissant in/antanm5t3 la seconde1 celle de ,newton1 tablit la rgle fondam5tale p\r la communication du m\vem5t p> l'action des corps les uns sur les autres2 enf9 la troisime1 celle de ,galile1 conduit immdiatem5t au ?orme gnral relatif la composition des m\vem5s4 ,on conoit1 d'aprs cela1 que t\te la mcanique des m\vem5s uni=mes ou des =ces in/antanes peut tre entirem5t traite comme une consqu5ce directe de la comb9aison de ces trois lois1 qui1 tant de leur nature extrmem5t prcises1 sont videmm5t susceptibles d'tre aussitt exprimes p> des quations analytiques faciles obt5ir4 ,quant la p>tie la plus t5due et la plus importante de la mcanique1 celle qui en con/itue ess5tiellem5t la difficult1 c'e/--dire la mcanique des m\vem5s v>is ou des =ces cont9ues1 on peut concevoir1 d'une manire gnrale1 la possibilit de la ram5] la mcanique lm5taire dont n\s v5ons d'indiqu] le c>actre1 p> l'application de la m?ode inf9itsimale1 qui p]mettra de sub/itu]1 p\r *aque in/ant inf9im5t petit1 un m\vem5t uni=me au m\vem5t v>i1 d'o rsult]ont immdiatem5t les quations diffr5tielles relatives cette d]nire espce de m\vem5s4 ,il s]a sans d\te =t important d'tablir directem5t et avec prcision1 dans les leons suivantes1 la manire gnrale d'employ] une telle m?ode p\r rs\dre les deux problmes ess5tiels de la mcanique rationnelle1 et de considr] soigneusem5t les pr9cipaux rsultats que les gomtres ont a9si obt5us relativem5t aux lois ab/raites de l'quilibre et du m\vem5t4 ,mais il e/1 ds ce mom5t1 vid5t que la sci5ce se tr\ve rellem5t fonde p> l'ensemble des trois lois physiques tablies ci-dessus1 et que t\t le travail devi5t dsormais purem5t rationnel1 devant consi/] seulem5t dans l'usage faire de ces lois p\r la solution des diffr5tes que/ions gnrales4 ,en un mot1 la sp>ation entre la p>tie ncessairem5t physique et la p>tie simplem5t logique de la sci5ce me semble p\voir tre a9si nettem5t effectue d'une manire exacte et df9itive4 ,p\r t]m9] cet ap]u gnral du c>actre philosophique de la mcanique rationnelle1 il ne n\s re/e plus ma9t5ant qu' considr] sommairem5t les divisions pr9cipales de cette sci5ce1 les divisions secondaires devant tre envisages dans les leons suivantes4 ,la premire et la plus importante division naturelle de la mcanique consi/e di/+u] deux ordres de que/ions1 suivant qu'on se propose la re*]*e des conditions de l'quilibre1 ou l'tude des lois du m\vem5t1 d'o la /atique1 et la dynamique4 ,il suffit d'indiqu] une telle division1 p\r en faire compr5dre directem5t la ncessit gnrale4 ,outre la diffr5ce effective qui exi/e videmm5t entre ces deux classes fondam5tales de problmes1 il e/ ais de concevoir priori que les que/ions de /atique doiv5t tre1 en gnral1 p> leur nature1 bi5 plus faciles trait] que les que/ions de dynamique4 ,cela rsulte ess5tiellem5t de ce que1 dans les premires1 on fait1 comme on l'a dit avec raison1 ab/raction du temps2 c'e/--dire que1 le phnomne tudi] tant ncessairem5t in/antan1 on n'a pas beso9 d'avoir g>d aux v>iations que les =ces du sy/me peuv5t pr\v] dans les div]s in/ans successifs4 ,cette considration qu'il faut1 au contraire1 introduire dans t\te "q de dynamique1 y con/itue un lm5t fondam5tal de plus1 qui en fait la pr9cipale difficult4 ,il suit1 en ?se gnrale1 de cette diffr5ce radicale1 que la /atique t\t entire1 qu& on la traite comme un cas p>ticuli] de la dynamique1 correspond seulem5t la p>tie de beauc\p la plus simple de la dynamique1 celle qui conc]ne la ?orie des m\vem5s uni=mes1 comme n\s l'tablirons spcialem5t dans la leon suivante4 ,l'importance de cette division e/ bi5 clairem5t vrifie p> l'hi/oire gnrale du dveloppem5t effectif de l'esprit huma94 ,n\s voyons1 en effet1 que les anci5s avai5t acquis quelques connaissances fondam5tales trs-ess5tielles relativem5t l'quilibre1 soit des solides1 soit des fluides1 comme on le voit surt\t p> les belles re*]*es d',ar*imde1 quoiqu'ils fuss5t encore =t loigns de possd] une /atique rationnelle vraim5t complte4 ,au contraire1 ils ignorai5t entirem5t la dynamique1 mme la plus lm5taire2 la premire cration de cette sci5ce t\te mod]ne e/ due ,galile4 ,aprs cette division fondam5tale1 la di/9ction la plus importante tablir en mcanique consi/e sp>]1 soit dans la /atique1 soit dans la dynamique1 l'tude des solides et celle des fluides4 ,quelque ess5tielle que soit cette division1 je ne la place qu'en seconde ligne1 et subordonne la prcd5te1 suivant la m?ode tablie p> ,lagrange1 c> c'e/1 ce me semble1 s'exagr] son influ5ce que de la con/itu] division pr9cipale1 comme on le fait encore dans les traits ord9aires de mcanique4 ,les pr9cipes ess5tiels de /atique ou de dynamique sont1 en effet1 ncessairem5t les mmes p\r les fluides que p\r les solides2 seulem5t les fluides exig5t d'aj\t] aux conditions c>actri/iques du sy/me une considration de plus1 celle relative la v>iabilit de =me1 qui df9it gnralem5t leur con/itution mcanique propre4 ,mais1 t\t en plaant cette di/9ction au rang conv5able1 il e/ facile de concevoir priori son extrme importance1 et de s5tir1 en gnral1 combi5 elle doit augm5t] la difficult fondam5tale des que/ions1 soit dans la /atique1 soit surt\t dans la dynamique4 ,c> cette p>faite indp5dance rciproque des molcules1 qui c>actrise les fluides1 oblige de considr] sp>m5t *aque molcule1 et1 p> consqu5t1 d'envisag] t\j\rs1 mme dans le cas le plus simple1 un sy/me compos d'une inf9it de =ces di/9ctes4 ,il en rsulte1 p\r la /atique1 l'introduction d'un n\vel ordre de re*]*es1 relativem5t la figure du sy/me dans l'tat d'quilibre1 "q trs-difficile p> sa nature1 et dont la solution gnrale e/ encore peu avance1 mme p\r le seul cas de la pesanteur univ]selle4 ,mais la difficult e/ encore plus s5sible dans la dynamique4 ,en effet1 l'obligation o l'on se tr\ve alors /rictem5t de considr] "p le m\vem5t propre de *aque molcule1 p\r faire une tude vraim5t complte du phnomne1 introduit dans la "q1 envisage s\s le po9t de vue analytique1 une complication jusqu' prs5t inextricable en gnral1 et qu'on n'e/ encore p>v5u surmont]1 mme dans le cas trs-simple d'un fluide uniquem5t m p> sa pesanteur t]re/re1 qu' l'aide d'hypo?ses =t prcaires1 comme celle de ,daniel ,b]n\illi sur le p>alllisme des tran*es1 qui altr5t d'une manire notable la ralit des phnomnes4 ,on conoit donc1 en ?se gnrale1 la plus gr&e difficult ncessaire de l'hydro/atique1 et surt\t de l'hydrodynamique1 p> rapport la /atique et la dynamique proprem5t dites1 qui sont en effet bi5 plus avances4 ,il faut aj\t] ce qui prcde1 p\r se faire une ju/e ide gnrale de cette diffr5ce fondam5tale1 que la df9ition c>actri/ique p> laquelle les gomtres di/+u5t les solides et les fluides en mcanique rationnelle1 n'e/ vritablem5t1 l'g>d des uns comme l'g>d des autres1 qu'une reprs5tation exagre1 et1 p> consqu5t1 /rictem5t infidle de la ralit4 ,en effet1 quant aux fluides pr9cipalem5t1 il e/ clair que leurs molcules ne sont po9t rellem5t dans cet tat rig\reux d'indp5dance mutuelle o n\s sommes obligs de les suppos] en mcanique1 en les assujtissant seulem5t cons]v] entre elles un volume con/ant s'il s'agit d'un liquide1 ou1 s'il s'agit d'un gaz1 un volume v>iable suivant une fonction donne de la pression1 p> exemple1 en raison inv]se de cette pression1 d'aprs la loi de ,m>iotte4 ,un gr& nombre de phnomnes naturels sont1 au contraire1 ess5tiellem5t dus l'adhr5ce mutuelle des molcules d'un fluide1 liaison qui e/ seulem5t beauc\p mo9dre que dans les solides4 ,cette adhsion1 dont on fait ab/raction p\r les fluides ma?matiques1 et qu'il semble1 en effet1 presqu'impossible de pr5dre conv5ablem5t en considration1 dt]m9e1 comme on sait1 des diffr5ces trs-s5sibles entre les phnomnes effectifs et ceux qui rsult5t de la ?orie1 soit p\r la /atique1 soit surt\t1 p\r la dynamique1 p> exemple relativem5t l'c\lem5t d'un liquide pesant p> un orifice dt]m91 o l'obs]vation s'c>te notablem5t de la ?orie quant la dp5se de liquide en un temps donn4 ,quoique la df9ition ma?matique des solides se tr\ve reprs5t] beauc\p plus exactem5t leur tat rel1 on a cep5dant plusieurs occasions de reconnatre la ncessit de t5ir compte en c]ta9s cas de la possibilit de sp>ation mutuelle qui exi/e t\j\rs entre les molcules d'un solide1 si les =ces qui leur sont appliques1 acquir5t une int5sit suffisante1 et dont on fait compltem5t ab/raction en mcanique rationnelle4 ,c'e/ ce qu'on peut aism5t con/at] surt\t dans la ?orie de la rupture des solides1 qui1 pe9e bau*e p> ,galile1 p> ,huygh5s1 et p> ,lebnitz1 se tr\ve auj\rd'hui dans un tat =t imp>fait et mme trs-prcaire1 malgr les travaux de plusieurs autres gomtres1 et qui nanmo9s s]ait importante p\r clair] plusieurs que/ions de mcanique t]re/re1 pr9cipalem5t de mcanique indu/rielle4 ,on doit p\rtant rem>qu]1 ce sujet1 que cette imp]fection e/ la fois beauc\p mo9s s5sible et bi5 mo9s importante que celle ci-dessus ne1 relativem5t la mcanique des fluides4 ,c> elle se tr\ve ne p\voir nullem5t influ] sur les que/ions de mcanique cle/e1 qui con/itu5t rellem5t1 comme n\s avons eu plusieurs occasions de le reconnatre1 la pr9cipale application1 et probablem5t la seule qui puisse tre jamais vraim5t complte1 de la mcanique rationnelle4 ,enf9 n\s devons encore signal]1 en ?se gnrale1 dans la mcanique actuelle1 une lacune1 secondaire il e/ vrai1 mais qui n'e/ pas sans importance1 relativem5t la ?orie d'une classe de corps qui sont dans un tat int]mdiaire entre la solidit et la fluidit rig\reuses1 et qu'on p\rrait appel] semi-fluides1 ou semi-solides3 tels sont p> exemple1 d'une "p1 les sables1 et1 d'une autre "p1 les fluides l'tat glat9eux4 ,il a t prs5t quelques considrations rationnelles au sujet de ces corps1 s\s le nom fluides imp>faits1 surt\t relativem5t leurs surfaces d'quilibre4 ,mais leur ?orie propre n'a jamais t rellem5t tablie d'une manire gnrale et directe4 ,tels sont les pr9cipaux ap]u gnraux que j'ai cru devoir indiqu] sommairem5t p\r faire apprci] le c>actre philosophique qui di/+ue la mcanique rationnelle1 envisage dans son ensemble4 ,il s'agit ma9t5ant1 en considrant s\s le mme po9t de vue philosophique la composition effective de la sci5ce1 d'apprci] comm5t1 p> les importans travaux successifs des plus gr&s gomtres1 cette seconde section gnrale si t5due1 si ess5tielle1 et si difficile de la ma?matique concrte1 a pu tre leve cet m95t degr de p]fection ?orique qu'elle a atte9t de nos j\rs dans l'admirable trait de ,lagrange1 et qui n\s prs5te t\tes les que/ions ab/raites qu'elle e/ susceptible d'(frir1 ram5es1 d'aprs un pr9cipe unique1 ne plus dp5dre que de re*]*es purem5t analytiques1 comme n\s l'avons dj reconnu p\r les problmes gomtriques4 ,ce s]a l'objet des trois leons suivantes2 la premire consacre la /atique1 la seconde la dynamique1 et la troisime1 l'exam5 des ?ormes gnraux de la mcanique rationnelle4 ,,seizi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,vue gnrale de la /atique4 ,l'ensemble de la mcanique rationnelle peut tre trait d'aprs deux m?odes gnrales ess5tiellem5t di/9ctes et 9galem5t p>faites1 suivant que la /atique e/ conue d'une manire directe1 ou qu'elle e/ considre comme un cas p>ticuli] de la dynamique4 ,p> la premire m?ode1 on s'occupe immdiatem5t de dc\vrir un pr9cipe d'quilibre suffisamm5t gnral1 qu'on applique ensuite la dt]m9ation des conditions d'quilibre de t\s les sy/mes de =ces possibles4 ,p> la seconde1 au contraire1 on *]*e d'abord quel s]ait le m\vem5t rsultant de l'action simultane des div]ses =ces quelconques proposes1 et on en dduit les relations qui doiv5t exi/] entre ces =ces p\r que ce m\vem5t soit nul4 ,la /atique tant ncessairem5t d'une nature plus simple que la dynamique1 la premire m?ode a pu seule tre employe l'orig9e de la mcanique rationnelle4 ,c'e/1 en effet1 la seule qui ft connue des anci5s1 entirem5t trang]s t\te ide de dynamique1 mme la plus lm5taire4 ,ar*imde1 vrai fondateur de la /atique1 et auquel sont dues t\tes les notions ess5tielles que l'antiquit possdait cet g>d1 comm5ce tablir la condition d'quilibre de deux poids susp5dus aux deux extrmits d'un levi] droit1 c'e/--dire la ncessit que ces poids soi5t en raison inv]se de leurs di/ances au po9t d'appui du levi]2 et il s'ef=ce ensuite de ram5] autant que possible ce pr9cipe unique la re*]*e des relations d'quilibre propres d'autres sy/mes de =ces4 ,p>eillem5t1 quant la /atique des fluides1 il pose d'abord son clbre pr9cipe1 consi/ant en ce que t\t corps plong dans un fluide p]d une p>tie de son poids gale au poids du fluide dplac2 et ensuite il en dduit1 dans un gr& nombre de cas1 la ?orie de la /abilit des corps flottans4 ,mais le pr9cipe du levi] n'avait po9t p> lui-mme une assez gr&e gnralit p\r qu'il ft possible de l'appliqu] rellem5t la dt]m9ation des conditions d'quilibre de t\s les sy/mes de =ces4 ,p> quelques +nieux artifices qu'on ait successivem5t essay d'en t5dre l'usage1 on n'a pu effectivem5t y ram5] que les sy/mes composs de =ces p>allles4 ,quant aux =ces dont les directions conc\r5t1 on a d'abord essay de suivre une m>*e analogue1 en imag9ant de n\veaux pr9cipes directs d'quilibre spcialem5t propres ce cas plus gnral1 et p>mi lesquels il faut surt\t rem>qu] l'heureuse ide de ,/v91 relative l'quilibre du sy/me de deux poids poss sur deux plans incl9s adosss4 ,cette n\velle ide-mre et peut-tre suffi /rictem5t p\r combl] la lacune que laissait dans la /atique le pr9cipe d',ar*imde1 puisque ,/v9 tait p>v5u en dduire les rapports d'quilibre entre trois =ces appliques en un mme po9t1 dans le cas du mo9s o deux de ces =ces sont angles droits2 et il avait mme rem>qu que les trois =ces sont alors entre elles comme les trois cts d'un triangle dont les angles s]ai5t gaux ceux =ms p> ces trois =ces4 ,mais1 la dynamique ayant t fonde dans le mme temps p> ,galile1 les gomtres cessr5t de suivre l'anci5ne m>*e /atique directe1 prfrant procd] la re*]*e des conditions d'quilibre d'aprs les lois ds lors connues de la composition des =ces4 ,c'e/ p> cette d]nire m?ode que ,v>ignon dc\vrit la vritable ?orie gnrale de l'quilibre d'un sy/me de =ces appliques en un mme po9t1 et que plus t>d d',alemb]t tablit enf91 p\r la premire fois1 les quations d'quilibre d'un sy/me quelconque de =ces appliques aux diffr5s po9ts d'un corps solide de =me inv>iable4 ,cette m?ode e/ encore auj\rd'hui la plus univ]sellem5t employe4 ,au premi] abord1 elle semble peu rationnelle1 puisque1 la dynamique tant plus complique que la /atique1 il ne p>at nullem5t conv5able de faire dp5dre celle-ci de l'autre4 ,il s]ait1 en effet1 plus philosophique de ram5] au contraire1 s'il e/ possible1 la dynamique la /atique1 comme on y e/ p>v5u depuis4 ,mais on doit nanmo9s reconnatre que1 p\r trait] compltem5t la /atique comme un cas p>ticuli] de la dynamique1 il suffit d'avoir =m seulem5t la p>tie la plus lm5taire de celle-ci1 la ?orie des m\vem5s uni=mes1 sans avoir aucun beso9 de la ?orie des m\vem5s v>is4 ,il importe d'expliqu] avec prcision cette di/9ction fondam5tale4 ,a cet effet1 obs]vons d'abord qu'il exi/e1 en gnral1 deux sortes de =ces3 #a les =ces que j'appelle in/antanes1 comme les impulsions1 qui n'agiss5t sur un corps qu' l'orig9e du m\vem5t1 en l'ab&onnant lui-mme aussitt qu'il e/ en m>*e2 #b les =ces qu'on appelle assez improprem5t acclratrices1 et que je prfre nomm] cont9ues1 comme les attractions1 qui agiss5t sans cesse sur le mobile p5dant t\te la dure du m\vem5t4 ,cette di/9ction quivaut videmm5t celle des m\vem5s uni=mes et des m\vem5s v>is2 c> il e/ clair1 en v]tu de la premire des trois lois fondam5tales du m\vem5t exposes dans la leon prcd5te1 que t\te =ce in/antane doit ncessairem5t produire un m\vem5t uni=me1 t&is que t\te =ce cont9ue doit1 au contraire1 p> sa nature1 imprim] au mobile un m\vem5t indf9im5t v>i4 ,cela pos1 on conoit =t aism5t1 priori1 comme je l'ai dj indiqu plusieurs fois1 que la p>tie de la dynamique relative aux =ces in/antanes ou aux m\vem5s uni=mes doit tre1 sans aucune comp>aison1 inf9im5t plus simple que celle qui conc]ne les =ces cont9ues ou les m\vem5s v>is1 et dans laquelle consi/e ess5tiellem5t t\te la difficult de la dynamique4 ,la premire p>tie prs5te une telle facilit1 qu'elle peut tre traite dans son ensemble comme une consqu5ce immdiate des trois lois fondam5tales du m\vem5t1 a9si que je l'ai expressm5t rem>qu la f9 de la leon prcd5te4 ,or il e/ ma9t5ant ais de concevoir1 en ?se gnrale1 que c'e/ seulem5t de cette premire p>tie de la dynamique qu'on a beso9 p\r con/itu] la /atique comme un cas p>ticuli] de la dynamique4 ,en effet1 le phnomne d'quilibre1 dont il s'agit alors de dc\vrir les lois1 e/ videmm5t1 p> sa nature1 un phnomne in/antan1 qui doit tre tudi sans aucun g>d au temps4 ,la considration du temps ne s'introduit que dans les re*]*es relatives ce qu'on appelle la /abilit de l'quilibre2 mais ces re*]*es ne font plus1 proprem5t p>l]1 p>tie de la /atique1 et r5tr5t ess5tiellem5t dans la dynamique4 ,en un mot1 suivant l'aphorisme ord9aire dj cit1 on fait t\j\rs1 en /atique1 ab/raction du temps4 ,il en rsulte qu'on y peut reg>d] comme in/antanes t\tes les =ces que l'on considre1 sans que les ?ories cess5t p\r cela d'avoir t\te la gnralit ncessaire4 ,c>1 *aque poque de son action1 une =ce cont9ue peut t\j\rs videmm5t tre remplace p> une =ce in/antane mcaniquem5t quival5te1 c'e/--dire susceptible d'imprim] au mobile une vitesse gale celle que lui donne effectivem5t en cet in/ant la =ce propose4 ,a la vrit1 il faudra1 dans le mom5t inf9im5t petit suivant1 sub/itu] cette =ce in/antane une n\velle =ce de mme nature1 p\r reprs5t] le *angem5t effectif de la vitesse1 de telle sorte que1 en dynamique1 o l'on doit considr] l'tat du mobile dans les div]s in/ans successifs1 on retr\v]a ncessairem5t p> la v>iation de ces =ces in/antanes la difficult fondam5tale inhr5te la nature des =ces cont9ues1 et qui n'aura fait que *ang] de =me4 ,mais1 en /atique1 o il ne s'agit d'envisag] les =ces que dans un in/ant unique1 on n'aura po9t t5ir compte de ces v>iations1 et les lois gnrales de l'quilibre1 a9si tablies en considrant t\tes les =ces comme in/antanes1 n'en s]ont pas mo9s applicables des =ces cont9ues1 p\rvu qu'on ait so91 dans cette application1 de sub/itu] *aque =ce cont9ue la =ce in/antane qui lui correspond en ce mom5t4 ,on conoit donc nettem5t p> l comm5t la /atique ab/raite peut tre traite avec facilit comme une simple application de la p>tie la plus lm5taire de la dynamique1 celle qui se rapporte aux m\vem5s uni=mes4 ,la manire la plus conv5able d'effectu] cette application consi/e rem>qu] que1 lorsque des =ces quelconques sont en quilibre1 *acune d'entre elles1 considre isolm5t1 peut tre reg>de comme dtruisant l'effet de l'ensemble de t\tes les autres4 ,a9si la re*]*e des conditions de l'quilibre se rduit1 en gnral1 exprim] que l'une quelconque des =ces du sy/me1 e/ gale et directem5t oppose la rsultante de t\tes les autres4 ,la difficult ne consi/e donc1 dans cette m?ode1 qu' dt]m9] cette rsultante1 c'e/--dire compos] entre elles les =ces proposes4 ,cette composition s'effectue immdiatem5t p\r le cas de deux =ces d'aprs la troisime loi fondam5tale du m\vem5t1 et l'on en dduit ensuite la composition d'un nombre quelconque de =ces4 ,la "q lm5taire prs5te1 comme on sait1 deux cas ess5tiellem5t di/9cts1 suivant que les deux =ces compos] agiss5t dans des directions conv]g5tes ou dans des directions p>allles4 ,*acun de ces deux cas peut tre trait comme drivant de l'autre1 d'o rsulte p>mi les gomtres une c]ta9e div]g5ce dans la manire d'tablir les lois lm5taires de la composition des =ces1 suivant le cas que l'on *oisit p\r po9t de d"p4 ,mais1 sans conte/] la possibilit rig\reuse de procd] autrem5t1 il me semble plus rationnel1 plus philosophique et plus /rictem5t con=me l'esprit de cette manire de trait] la /atique1 de comm5c] p> la composition des =ces qui conc\r5t1 d'o l'on dduit naturellem5t celle des =ces p>allles comme cas p>ticuli]1 t&is que la dduction inv]se ne peut se faire qu' l'aide de considrations indirectes1 qui1 quelque +nieuses qu'elles puiss5t tre1 prs5t5t ncessairem5t quelque *ose de =c4 ,aprs avoir tabli les lois lm5taires de la composition des =ces1 les gomtres1 avant de les appliqu] la re*]*e des conditions de l'quilibre1 leur font pr\v] ord9airem5t une importante trans=mation1 qui1 sans tre compltem5t indisp5sable1 prs5te nanmo9s1 s\s le rapport analytique1 la plus haute utilit1 p> l'extrme simplification qu'elle introduit dans l'expression algbrique des conditions d'quilibre4 ,cette trans=mation consi/e dans ce qu'on appelle la ?orie des mom5s1 dont la proprit ess5tielle e/ de rduire analytiquem5t t\tes les lois de la composition des =ces de simples additions et s\/ractions4 ,la dnom9ation de mom5s1 entirem5t dt\rne auj\rd'hui de sa signification premire1 ne dsigne plus ma9t5ant que la considration ab/raite du produit d'une =ce p> une di/ance4 ,il faut di/+u]1 comme on sait1 deux sortes de mom5s1 les mom5s p> rapport un po9t1 qui indiqu5t le produit d'une =ce p> la p]p5diculaire abaisse de ce po9t sur sa direction1 et les mom5s p> rapport un plan1 qui dsign5t le produit de la =ce p> la di/ance de son po9t d'application ce plan4 ,les premi]s ne dp5d5t videmm5t que de la direction de la =ce1 et nullem5t de son po9t d'application2 ils sont spcialem5t appropris p> leur nature la ?orie des =ces non p>allles3 les seconds au contraire1 ne dp5d5t que du po9t d'application de la =ce1 et nullem5t de sa direction2 ils sont donc ess5tiellem5t de/9s la ?orie des =ces p>allles4 ,n\s aurons occasion d'indiqu] plus bas p> quelle heureuse ide fondam5tale ,m4 ,po9sot e/ p>v5u attribu] gnralem5t1 et de la manire la plus naturelle1 une signification concrte directe l'un et l'autre g5re de mom5s1 qui n'avai5t rellem5t avant lui qu'une valeur ab/raite4 ,la notion des mom5s une fois tablie1 leur ?orie lm5taire consi/e ess5tiellem5t dans ces deux proprits gnrales trs-rem>quables1 qu'on dduit aism5t de la composition des =ces3 #a si l'on considre un sy/me de =ces t\tes situes dans un mme plan1 et disposes d'ailleurs d'une manire quelconque1 le mom5t de leur rsultante1 p> rapport un po9t quelconque de ce plan1 e/ gal la somme algbrique des mom5s de t\tes les composantes p> rapport ce mme po9t1 en attribuant ces div]s mom5s le signe conv5able1 d'aprs le s5s suivant lequel *aque =ce t5drait faire t\rn] son bras de levi] aut\r de l'orig9e des mom5s suppose fixe2 #b en considrant un sy/me de =ces p>allles disposes d'une manire quelconque dans l'espace1 le mom5t de leur rsultante p> rapport un plan quelconque e/ gal la somme algbrique des mom5s de t\tes les composantes p> rapport ce mme plan1 le signe de *aque mom5t tant alors naturellem5t dt]m91 con=mm5t aux rgles ord9aires1 d'aprs le signe propre *acun des facteurs dont il se compose4 ,le premi] de ces deux ?ormes fondam5taux a t dc\v]t p> un gomtre auquel la mcanique rationnelle doit beauc\p1 et dont la mmoire a t dignem5t releve p> ,lagrange d'un inju/e oubli1 ,v>ignon4 ,la manire dont ,v>ignon tablit ce ?orme dans le cas de deux composantes1 d'o rsulte immdiatem5t le cas gnral1 e/ mme spcialem5t rem>quable4 ,en effet1 reg>dant le mom5t de *aque =ce p> rapport un po9t comme videmm5t proportionnel l'aire du triangle qui aurait ce po9t p\r sommet et p\r base la droite qui reprs5te la =ce1 ,v>ignon1 d'aprs la loi du p>alllogramme des =ces1 prs5te d'abord le ?orme des mom5s s\s une =me gomtrique trs-simple1 en dmontrant que si1 dans le plan d'un p>alllogramme1 on pr5d un po9t quelconque1 et que l'on considre les trois triangles ayant ce po9t p\r sommet commun1 et p\r bases les deux cts contigus du p>alllogramme et la diagonale correspondante1 le triangle con/ruit sur la diagonale s]a con/amm5t quival5t la somme o la diffr5ce des triangles con/ruits sur les deux cts2 ce qui e/ en soi1 comme l'obs]ve avec raison ,lagrange1 un beau ?orme de gomtrie1 indp5damm5t de son utilit en mcanique4 ,a l'aide de cette ?orie des mom5s1 on p>vi5t exprim] aism5t les relations analytiques qui doiv5t exi/] entre les =ces dans l'tat d'quilibre1 en considrant d'abord1 p\r plus de facilit1 les deux cas p>ticuli]s d'un sy/me de =ces t\tes situes d'une manire quelconque dans un mme plan1 et d'un sy/me quelconque de =ces p>allles4 ,*acun de ces deux sy/mes exige1 en gnral1 trois quations d'quilibre1 qui consi/5t3 #a p\r le premi]1 en ce que la somme algbrique des produits de *aque =ce1 soit p> le cos9us1 soit p> le s9us de l'angle qu'elle fait avec une droite fixe prise arbitrairem5t dans le plan soit sp>m5t nulle1 a9si que la somme algbrique des mom5s de t\tes les =ces p> rapport un po9t quelconque de ce plan2 #b p\r le second1 en ce que la somme algbrique de t\tes les =ces proposes soit nulle1 a9si que la somme algbrique de leurs mom5s pris sp>m5t p> rapport deux plans diffr5s p>allles la direction commune de ces =ces4 ,aprs avoir trait ces deux cas prlim9aires1 il e/ facile d'en dduire celui d'un sy/me de =ces t\t--fait quelconque4 ,il suffit1 p\r cela1 de concevoir *aque =ce du sy/me dcompose en deux1 l'une situe dans un plan fixe quelconque1 l'autre p]p5diculaire ce plan4 ,le sy/me propos se tr\v]a ds lors remplac p> l'ensemble de deux sy/mes secondaires plus simples1 l'un compos de =ces diriges t\tes dans un mme plan1 l'autre de =ces t\tes p]p5diculaires ce plan et consquemm5t p>allles entre elles4 ,comme ces deux sy/mes p>tiels ne saurai5t videmm5t se faire quilibre l'un l'autre1 il faudra donc1 p\r que l'quilibre puisse avoir lieu dans le sy/me gnral primitif1 qu'il exi/e dans *acun d'eux en p>ticuli]1 ce qui ramne la "q aux deux que/ions prlim9aires dj traites4 ,telle e/ du mo9s la manire la plus simple de concevoir1 en traitant la /atique p> la m?ode dynamique1 la re*]*e gnrale des conditions analytiques de l'quilibre p\r un sy/me quelconque de =ces2 quoiqu'il ft d'ailleurs possible videmm5t1 en compliquant la solution1 de rs\dre directem5t le problme dans son entire gnralit1 de faon y faire r5tr] au contraire1 comme une simple application1 les deux cas prlim9aires4 ,quelque m>*e qu'on juge propos d'adopt]1 on tr\ve p\r l'quilibre d'un sy/me quelconque de =ces1 les six quations suivantes3 _/,s,pcos_/alpha #j1_/2,s,pcos_/beta #j1_/2,s,pcos_/gamma #j1_/ _/,,sp7ycos_/alpha-xcos_/beta7 #j1_/2,,sp7zcos_/alpha-xcos_/gamma7 #j1_/ _/,,sp7ycos_/gamma-zcos_/beta7 #j2_/ en dsignant p> ,p l'int5sit de l'une quelconque des =ces du sy/me1 p> _/alpha1 _/beta1 _/gamma1 les angles que =me sa direction avec trois axes fixes rectangulaires *oisis arbitrairem5t1 et p> x1 y1 z1 les coordonnes de son po9t d'application relativem5t ces trois axes4 ,j'emploie ici la c>actri/ique ,s p\r dsign] la somme des produits semblables1 propres t\tes les =ces du sy/me ,p1 ,p'1 ,p''1 etc4 ,telle e/1 en sub/ance1 la manire de procd] la dt]m9ation des conditions gnrales de l'quilibre1 en concevant la /atique comme un cas p>ticuli] de la dynamique lm5taire4 ,mais1 quelque simple que soit en effet cette m?ode1 il s]ait videmm5t plus rationnel et plus satisfaisant de rev5ir1 s'il e/ possible1 la m?ode des anci5s1 en dgageant la /atique de t\te considration dynamique1 p\r procd] directem5t la re*]*e des lois de l'quilibre envisag en lui-mme1 l'aide d'un pr9cipe d'quilibre suffisamm5t gnral1 tabli immdiatem5t4 ,c'e/ effectivem5t ce que les gomtres ont t5t1 qu& une fois les quations gnrales de l'quilibre ont t dc\v]tes p> la m?ode dynamique4 ,mais ils ont surt\t t dt]m9s tablir une m?ode /atique directe1 p> un motif philosophique d'un ordre plus lev et en mme temps plus pressant que le beso9 de prs5t] la /atique s\s un po9t de vue logique plus p>fait4 ,c'e/ ma9t5ant ce qu'il n\s importe m9emm5t d'expliqu]1 puisque telle e/ la m>*e qui a conduit ,lagrange imprim] l'ensemble de la mcanique rationnelle cette haute p]fection philosophique qui la c>actrise dsormais4 ,ce motif fondam5tal rsulte de la ncessit o l'ont se tr\ve p\r trait]1 en gnral1 les que/ions les plus difficiles et les plus importantes de la dynamique1 de les faire r5tr] dans de simples que/ions de /atique4 ,n\s exam9]ons spcialem5t1 dans la leon suivante1 le clbre pr9cipe gnral de dynamique dc\v]t p> d',alemb]t1 et l'aide duquel t\te re*]*e relative au m\vem5t d'un corps ou d'un sy/me quelconque1 peut tre conv]tie immdiatem5t en un problme d'quilibre4 ,ce pr9cipe1 qui1 s\s le po9t de vue philosophique1 n'e/ vraim5t1 comme je l'ai dj indiqu dans la leon prcd5te1 que la plus gr&e gnralisation possible de la seconde loi fondam5tale du m\vem5t1 sont depuis prs d'un sicle de base p]man5te la solution de t\s les gr&s problmes de dynamique1 et doit videmm5t dsormais recevoir de plus en plus une telle de/9ation1 vu l'admirable simplification qu'il apporte dans les re*]*es les plus difficiles4 ,or il e/ clair qu'une semblable manire de procd] oblige ncessairem5t trait] son t\r la /atique p> une m?ode directe1 sans la dduire de la dynamique1 qui a9si e/1 au contraire1 entirem5t fonde sur elle4 ,ce n'e/ pas qu'il y ait1 proprem5t p>l]1 aucun vritable c]cle vicieux p]si/] encore dans la m>*e ord9aire expose ci-dessus1 puisque la p>tie lm5taire de la dynamique1 sur laquelle seule on a fait repos] la /atique1 se tr\ve1 en ralit1 tre compltem5t di/9cte de celle qu'on ne peut trait] qu'en la rduisant la /atique4 ,mais il n'en e/ pas mo9s vid5t que l'ensemble de la mcanique rationnelle ne prs5te alors1 en procdant a9si1 qu'un c>actre philosophique peu satisfaisant1 cause de l'alt]native frqu5te entre le po9t de vue /atique et le po9t de vue dynamique4 ,en un mot1 la sci5ce1 mal coordonne1 se tr\ve1 p> l1 manqu] ess5tiellem5t d'unit4 ,l'adoption df9itive et l'usage univ]sel du pr9cipe de d',alemb]t r5dai5t donc indisp5sable aux progrs futurs de l'esprit huma9 une refonte radicale du sy/me enti] de la mcanique rationnelle1 o1 la /atique tant traite directem5t d'aprs une loi primitive d'quilibre suffisamm5t gnrale1 et la dynamique rappele la /atique1 l'ensemble de la sci5ce pt acqurir un c>actre d'unit dsormais irrvocable4 ,telle e/ la rvolution m9emm5t philosophique excute p> ,lagrange dans son admirable trait de mcanique analytique1 dont la conception fondam5tale s]vira t\j\rs de base t\s les travaux ultrieurs des gomtres sur les lois de l'quilibre et du m\vem5t1 comme n\s avons vu la gr&e ide mre de ,desc>tes devoir dirig] indf9im5t t\tes les spculations gomtriques4 ,en exam9ant les re*]*es des gomtres antrieurs sur les proprits de l'quilibre1 p\r y puis] un pr9cipe direct de /atique qui pt (frir t\te la gnralit ncessaire1 ,lagrange s'e/ arrt *oisir le pr9cipe des vitesses virtuelles1 dev5u dsormais si clbre p> l'usage imm5se et capital qu'il en a fait4 ,ce pr9cipe1 dc\v]t primitivem5t p> ,galile dans le cas de deux =ces1 comme une proprit gnrale que manife/ait l'quilibre de t\tes les ma*9es1 avait t1 plus t>d1 t5du p> ,jean ,b]n\illi un nombre quelconque de =ces1 con/ituant un sy/me quelconque2 et ,v>ignon avait ensuite rem>qu expressm5t l'emploi univ]sel qu'il tait possible d'en faire en /atique4 ,la comb9aison de ce pr9cipe avec celui de d',alemb]t a conduit ,lagrange concevoir et trait] la mcanique rationnelle t\t entire comme dduite d'un seul ?orme fondam5tal1 et lui donn] a9si le plus haut degr du p]fection qu'une sci5ce puisse acqurir s\s le rapport philosophique1 une rig\reuse unit4 ,p\r concevoir nettem5t avec plus de facilit le pr9cipe gnral des vitesses virtuelles1 il e/ encore utile de le considr] d'abord dans le simple cas de deux =ces1 comme l'avait fait ,galile4 ,il consi/e alors en ce que1 deux =ces se faisant quilibre l'aide d'une ma*9e quelconque1 elles sont entre elles en raison inv]se des espaces que p>c\rai5t dans le s5s de leurs directions leurs po9ts d'application1 si on supposait que le sy/me vnt pr5dre un m\vem5t inf9im5t petit3 ces espaces port5t le nom de vitesses virtuelles1 af9 de les di/+u] des vitesses relles qui aurai5t effectivem5t lieu si l'quilibre n'exi/ait pas4 ,dans cet tat primitif1 ce pr9cipe1 qu'on peut trs-aism5t vrifi] relativem5t t\tes les ma*9es connues1 prs5te dj une gr&e utilit pratique1 vu l'extrme facilit avec laquelle il p]met d'obt5ir effectivem5t la condition ma?matique d'quilibre d'une ma*9e quelconque1 dont la con/itution s]ait mme entirem5t inconnue4 ,en appelant mom5t virtuel ou simplem5t mom5t1 suivant l'acception primitive de ce t]me p>mi les gomtres1 le produit de *aque =ce p> sa vitesse virtuelle1 produit qui1 en effet1 mesure alors l'ef=t de la =ce p\r m\voir la ma*9e1 on peut simplifi] beauc\p l'nonce du pr9cipe en se bornant dire que1 dans ce cas1 les mom5s des deux =ces doiv5t tre gaux et de signe contraire p\r qu'il y ait quilibre2 le signe positif ou ngatif de *aque mom5t e/ dt]m9 d'aprs celui de la vitesse virtuelle1 qu'on e/im]a1 con=mm5t l'esprit ord9aire de la ?orie ma?matique des signes1 positive ou ngative selon que1 p> le m\vem5t fictif que l'on imag9e1 la projection du po9t d'application se tr\v]ait tomb] sur la direction mme de la =ce ou sur son prolongem5t4 ,cette expression abrge du pr9cipe des vitesses virtuelles e/ surt\t utile p\r nonc] ce pr9cipe d'une manire gnrale1 relativem5t un sy/me de =ces t\t--fait quelconque4 ,il consi/e alors en ce que la somme algbrique des mom5s virtuels de t\tes les =ces1 e/ims suivant la rgle prcd5te1 doit tre nulle p\r qu'il y ait quilibre2 et cette condition doit avoir lieu di/9ctem5t p> rapport t\s les m\vem5s lm5taires que le sy/me p\rrait pr5dre en v]tu des =ces dont il e/ anim4 ,en appelant ,p1 ,p'1 ,p''1 etc41 les =ces proposes1 et1 suivant la notation ord9aire de ,lagrange1 _/delta_/rho1 _/delta_/rho'1 _/delta_/rho''1 etc41 les vitesses virtuelles correspondantes1 ce pr9cipe se tr\ve immdiatem5t exprim p> l'quation _/,p_/delta_/rho ,p'_/delta_/rho' ,p''_/delta_/rho'' _/mbox_/rm etc4 #j1_/ ou1 plus brivem5t1 _/_/int ,p_/delta_/rho #j1_/ dans laquelle1 p> les travaux de ,lagrange1 la mcanique rationnelle t\t entire peut tre reg>de comme implicitem5t r5f]me4 ,quant la /atique1 la difficult fondam5tale de dvelopp] conv5ablem5t cette quation gnrale se rduira ess5tiellem5t1 lorsque t\tes les =ces dont il faut t5ir compte s]ont bi5 connues1 une difficult purem5t analytique1 qui consi/]a rapport]1 dans *aque cas1 d'aprs les conditions de liaison c>actri/iques du sy/me considr1 t\tes les v>iations inf9im5t petites _/delta p1 _/delta p'1 etc41 au plus petit nombre possible de v>iations rellem5t indp5dantes1 af9 d'annul] sp>m5t les div]s gr\pes de t]mes relatifs *acune de ces d]nires v>iations1 ce qui f\rnit1 p\r l'quilibre1 autant d'quations di/9ctes qu'il p\rrait exi/] de m\vem5s lm5taires vraim5t diffr5s p> la nature du sy/me propos4 ,en supposant que les =ces soi5t entirem5t quelconques1 et qu'elles soi5t appliques aux div]s po9ts d'un corps solide1 qui ne soit d'ailleurs assujetti aucune condition p>ticulire1 on p>vi5t aussi immdiatem5t et de la manire la plus simple aux six quations gnrales de l'quilibre rapportes ci-dessus d'aprs la m?ode dynamique4 ,si le solide1 au lieu d'tre compltem5t libre1 doit tre plus ou mo9s gn1 il suffit d'introduire au nombre des =ces du sy/me les rsi/ances qui en rsult5t aprs les avoir conv5ablem5t df9ies1 ce qui ne f]a qu'aj\t] quelques n\veaux t]mes l'quation fondam5tale4 ,il en e/ de mme qu& la =me du solide n'e/ po9t suppose rig\reusem5t inv>iable1 et qu'on vi5t1 p> exemple1 considr] son la/icit4 ,de semblables modifications n'ont d'autre effet1 s\s le po9t de vue logique1 que de compliqu] plus ou mo9s l'quation des vitesses virtuelles1 qui ne cesse po9t p\r cela de cons]v] ncessairem5t son entire gnralit1 quoique ces conditions secondaires puiss5t quelquefois r5dre presqu'inextricables les difficults purem5t analytiques que prs5te la solution effective de la "q propose4 ,tant que le ?orme des vitesses virtuelles n'avait t conu que comme une proprit gnrale de l'quilibre1 on avait pu se born] le vrifi] p> sa con=mit con/ante avec les lois ord9aires de l'quilibre dj obt5ues autrem5t1 et dont il prs5tait a9si un rsum trs-utile p> sa simplicit et son uni=mit4 ,mais1 p\r faire de ce ?orme fondam5tal la base effective de t\te la mcanique rationnelle1 en un mot1 p\r la conv]tir en un vritable pr9cipe1 il tait indisp5sable de l'tablir directem5t sans le dduire d'aucun autre1 ou du mo9s en ne supposant que des propositions prlim9aires susceptibles p> leur extrme simplicit d'tre prs5tes comme immdiates4 ,c'e/ ce qu'a si heureusem5t excut ,lagrange p> son +nieuse dmon/ration fonde sur le pr9cipe des m\ffles et dans laquelle il p>vi5t pr\v] gnralem5t le ?orme des vitesses virtuelles avec une extrme facilit1 en imag9ant un poids unique1 qui1 l'aide de m\ffles conv5ablem5t con/ruites1 se tr\ve remplac] simultanm5t t\tes les =ces du sy/me4 ,on a successivem5t propos depuis quelques autres dmon/rations directes et gnrales du pr9cipe des vitesses virtuelles1 mais qui1 beauc\p plus compliques que celle de ,lagrange1 ne lui sont1 en ralit1 nullem5t suprieures quant la rigueur logique4 ,p\r n\s1 s\s le po9t de vue philosophique1 n\s devons reg>d] ce ?orme gnral comme une consqu5ce ncessaire des lois fondam5tales du m\vem5t1 d'o elle peut tre dduite de div]ses manires1 et qui devi5t ensuite le po9t de d"p effectif de la mcanique rationnelle t\t entire4 ,l'emploi d'un tel pr9cipe ram5ant l'ensemble de la sci5ce une p>faite unit1 il devi5t videmm5t =t peu intressant dsormais de connatre d'autres pr9cipes plus gnraux encore1 en supposant qu'on puisse en obt5ir4 ,on peut donc reg>d] comme ess5tiellem5t oiseuses p> leur nature les t5tatives qui p\rrai5t tre projetes p\r sub/itu] quelque n\veau pr9cipe celui des vitesses virtuelles4 ,un tel travail ne saurait plus p]fectionn] nullem5t le c>actre philosophique fondam5tal de la mcanique rationnelle1 qui1 dans le trait de ,lagrange1 e/ aussi =tem5t coordonne qu'elle puisse jamais l'tre4 ,on n'y p\rrait rellem5t avoir en vue d'autre utilit effective que de simplifi] considrablem5t les re*]*es analytiques auxquelles la sci5ce e/ ma9t5ant rduite1 ce qui doit p>atre presque impossible qu& on envisage avec quelle admirable facilit le pr9cipe des vitesses virtuelles a t adapt p> ,lagrange l'application uni=me de l'analyse ma?matique4 ,telle e/ donc la manire incomp>ablem5t la plus p>faite de concevoir et de trait] la /atique1 et p> suite l'ensemble de la mcanique rationnelle4 ,dans un ouvrage tel que celui-ci surt\t1 n\s ne p\vions hsit] un seul mom5t accord] cette m?ode une prfr5ce clatante sur t\t autre1 puisque son pr9cipal avantage c>actri/ique e/ de p]fectionn] au plus haut degr la philosophie de cette sci5ce4 ,cette considration doit avoir nos yeux bi5 plus d'importance que n\s ne p\vons en attribu] en s5s inv]se aux difficults propres qu'elle prs5te encore frquemm5t dans les applications1 et qui consi/5t ess5tiellem5t dans l'extrme cont5tion intellectuelle qu'elle exige s\v5t1 ce qui peut tre reg>d comme tant jusqu' un c]ta9 po9t inhr5t t\te m?ode trs-gnrale o les que/ions quelconques sont con/amm5t ram5es un pr9cipe unique4 ,nanmo9s ces difficults sont assez gr&es jusqu'ici p\r qu'on ne puisse po9t encore reg>d] la m?ode de ,lagrange comme vraim5t lm5taire1 de manire p\voir disp5s] entirem5t d'en considr] aucune autre dans un enseignem5t dogmatique4 ,c'e/ ce qui m'a dt]m9 c>actris] d'abord avec quelques dveloppem5s la m?ode dynamique proprem5t dite1 la seule encore gnralem5t usite4 ,mais ces considrations ne peuv5t tre videmm5t que provisoires2 les pr9cipaux emb>ras qu'occasione l'emploi de la conception de ,lagrange n'ayant rellem5t d'autre cause ess5tielle que sa n\veaut4 ,une telle m?ode n'e/ po9t indf9im5t de/9e sans d\te l'usage exclusif d'un trs-petit nombre de gomtres1 qui en ont seuls encore une connaissance assez familire p\r utilis] conv5ablem5t les admirables proprits qui la c>actris5t3 elle doit c]ta9em5t dev5ir plus t>d aussi populaire dans le monde ma?matique que la gr&e conception gomtrique de ,desc>tes1 et ce progrs gnral s]ait vraisemblablem5t dj presqu'effectu si les notions fondam5tales de l'analyse transc5dante tai5t plus univ]sellem5t rp&ues4 ,je ne croirais pas avoir conv5ablem5t c>actris t\tes les notions philosophiques ess5tielles relatives la /atique rationnelle1 si je ne faisais ma9t5ant une m5tion di/9cte d'une n\velle conception =t importante1 introduite dans la sci5ce p> ,m4 ,po9sot1 et que je reg>de comme le plus gr& p]fectionnem5t qu'ait pr\v1 s\s le po9t de vue philosophique1 le sy/me gnral de la mcanique1 depuis la rgnration opre p> ,lagrange1 quoiqu'elle ne soit pas exactem5t dans la mme direction4 ,il s'agit1 comme on voit1 de l'+nieuse et lum9euse ?orie des c\ples1 que ,m4 ,po9sot a si heureusem5t cre p\r p]fectionn] directem5t dans ses conceptions fondam5tales la mcanique rationnelle1 et dont la porte ne me p>at po9t avoir t encore suffisamm5t apprcie p> la plup>t des gomtres4 ,on sait que ces c\ples1 ou sy/mes de =ces p>allles gales et contraires1 avai5t pe9e t rem>qus avant ,m4 ,po9sot comme une sorte de p>adoxe en /atique1 et qu'il s'e/ emp> de cette notion isole p\r en faire immdiatem5t le sujet d'une ?orie =t t5due et entirem5t orig9ale relative la trans=mation1 la composition et l'usage de ces gr\pes s+uli]s1 qu'il a montrs d\s de proprits si rem>quables p> leur gnralit et leur simplicit4 ,ces proprits fondam5tales consi/5t ess5tiellem5t3 #a s\s le rapport de la direction1 en ce que l'effet d'un c\ple dp5d seulem5t de la direction de son plan ou de son axe1 et nullem5t de la position de ce plan1 ni de celle du c\ple dans le plan2 #b quant l'int5sit1 en ce que l'effet d'un c\ple ne dp5d proprem5t ni de la valeur de *acune des =ces gales qui le compos5t1 ni du bras de levi] sur lequel elles agiss5t1 mais uniquem5t du produit de cette =ce p> cette di/ance1 auquel ,m4 ,po9sot a donn avec raison le nom de mom5t du c\ple4 ,en adoptant la m?ode dynamique proprem5t dite p\r procd] la re*]*e des conditions gnrales de l'quilibre1 ,m4 ,po9sot l'a prs5te s\s un po9t de vue compltem5t neuf l'aide de sa conception des c\ples1 qui l'a considrablem5t simplifie et claircie4 ,p\r c>actris] ici sommairem5t cette v>it de la m?ode dynamique1 il suffira de concevoir que1 en aj\tant en un po9t quelconque du sy/me deux =ces gales *acune de celles que l'on considre et qui agiss5t1 en s5s contraire l'une de l'autre1 suivant une droite p>allle sa direction1 on p\rra a9si1 sans jamais altr] videmm5t l'tat du sy/me propos1 le reg>d] comme remplac3 #a p> un sy/me de =ces gales aux =ces primitives transportes t\tes p>alllem5t leurs directions au po9t unique que l'on aura *oisi1 et qui1 en consqu5ce1 s]ont gnralem5t rductibles en une seule2 #b p> un sy/me de c\ples ayant p\r mesure de leur int5sit les mom5s des =ces proposes relativem5t ce mme po9t1 et dont les plans1 passant t\s en ce mme po9t1 les r5dront aussi rductibles gnralem5t un c\ple unique4 ,on voit1 d'aprs cela1 avec quelle facilit on p\rra procd] a9si la dt]m9ation des relations d'quilibre1 puisqu'il suffira de tr\v]1 p> les lois connues de la composition des =ces conv]g5tes1 cette rsultante unique1 af9 d'exprim] qu'elle e/ nulle2 et ensuite1 p> les lois que ,m4 ,po9sot a tablies p\r la composition des c\ples1 obt5ir galem5t ce c\ple rsultant1 et l'annul] aussi sp>m5t2 c> il e/ clair que1 la =ce et le c\ple ne p\vant se dtruire mutuellem5t1 l'quilibre ne saurait exi/] qu'en les supposant individuellem5t nuls4 ,il faut1 sans d\te1 reconnatre que cette n\velle manire de procd] n'e/ po9t indisp5sable p\r appliqu] la m?ode dynamique la dt]m9ation des conditions gnrales de l'quilibre4 ,mais1 outre l'extrme simplification qu'elle introduit dans une telle re*]*e1 n\s devons surt\t apprci]1 quant aux progrs gnraux de la sci5ce1 la cl>t inatt5due qu'elle y apporte1 c'e/--dire l'aspect m9emm5t lucide s\s lequel elle prs5te une p>tie ess5tielle de ces conditions d'quilibre1 t\tes celles qui sont relatives aux mom5s des =ces proposes1 et qui con/itu5t la plus importante moiti des quations /atiques4 ,ces mom5s1 qui n'indiquai5t jusqu'alors qu'une considration purem5t ab/raite1 artificiellem5t introduite dans la /atique p\r facilit] l'expression algbrique des lois de l'quilibre1 ont pris dsormais une signification concrte p>faitem5t di/9cte1 et sont entrs aussi naturellem5t que les =ces elles-mmes dans les spculations /atiques1 comme tant la mesure directe des c\ples auxquels ces =ces donn5t immdiatem5t naissance4 ,on conoit aism5t priori quelle facilit cette int]prtation gnrale et lm5taire doit ncessairem5t procur] p\r la comb9aison de t\tes les ides relatives la ?orie des mom5s1 comme on en voit dj d'ailleurs la preuve effective dans l'ext5sion et le p]fectionnem5t de cette importante ?orie1 p> les travaux de ,m4 ,po9sot lui-mme4 ,quelles que soi5t1 en ralit1 les qualits fondam5tales de la conception de ,m4 ,po9sot p> rapport la /atique1 on doit nanmo9s reconnatre1 ce me semble1 que c'e/ surt\t au p]fectionnem5t de la dynamique qu'elle se tr\ve1 p> sa nature1 ess5tiellem5t de/9e2 et je crois p\voir assur]1 cet g>d1 que cette conception n'a po9t encore ex]c jusqu'ici son influ5ce la plus capitale4 ,il faut la reg>d]1 en effet1 comme directem5t propre p]fectionn] s\s un rapport trs-important les lm5s mmes de la dynamique gnrale1 en r5dant la notion des m\vem5s de rotation aussi naturelle1 aussi familire1 et presqu'aussi simple que celle des m\vem5s de translation4 ,c> le c\ple peut tre envisag comme l'lm5t naturel du m\vem5t de rotation1 aussi bi5 que la =ce l'e/ du m\vem5t de translation4 ,ce n'e/ pas ici le lieu d'indiqu] plus di/9ctem5t cette considration1 qui s]a conv5ablem5t reproduite dans les leons suivantes4 ,n\s devons seulem5t concevoir1 en ?se gnrale1 qu'un usage bi5 ent5du de la ?orie des c\ples tablit la possibilit de r5dre l'tude des m\vem5s de rotation1 qui con/itue jusqu'ici la p>tie la plus complique et la plus obscure de la dynamique1 aussi lm5taire et aussi nette que l'tude des m\vem5s de translation4 ,n\s aurons occasion de con/at] effectivem5t plus t>d quel degr de simplicit et de cl>t ,m4 ,po9sot e/ p>v5u rduire a9si div]ses propositions ess5tielles1 relatives aux m\vem5s de rotation1 et qui n'tai5t tablies avant lui que de la manire la plus pnible et la plus indirecte1 pr9cipalem5t en ce qui conc]ne les proprits des aires1 dont il a mme s5siblem5t augm5t l't5due et rgul>is l'application s\s div]s rapports importans1 surt\t1 en d]ni] lieu1 quant la dt]m9ation de ce qu'on appelle le plan inv>iable4 ,p\r complt] ces considrations philosophiques sur l'ensemble de la /atique1 je crois devoir aj\t] ici l'indication sommaire d'une d]nire notion gnrale1 qu'il me p>at utile d'introduire dans la ?orie de l'quilibre1 de quelque manire qu'on ait d'ailleurs jug conv5able de l'tablir4 ,qu& on veut se faire une ju/e ide de la nature des div]ses quations qui exprim5t les conditions de l'quilibre d'un sy/me quelconque de =ces1 il e/1 ce me semble1 insuffisant de se born] con/at] que l'ensemble de ces quations e/ indisp5sable p\r l'quilibre1 et l'tablit 9vitablem5t4 ,il faut1 de plus1 p\voir assign] nettem5t la signification /atique di/9ctem5t propre *acune de ces quations envisage isolm5t1 c'e/--dire dt]m9] avec prcision en quoi *acune contribue sp>m5t la production de l'quilibre1 analyse laquelle on ne s'atta*e po9t ord9airem5t1 quoiqu'elle soit1 sans d\te1 importante4 ,p> quelque m?ode qu'on procde l'tablissem5t des quations /atiques1 il e/ clair priori que l'quilibre ne peut rsult] que de la de/ruction de t\s les m\vem5s lm5taires que le corps p\rrait pr5dre en v]tu des =ces dont il e/ anim1 si ces =ces n'avai5t po9t entr'elles les relations ncessaires p\r se contrebalanc] exactem5t4 ,a9si *aque quation prise "p doit ncessairem5t anantir un de ces m\vem5s1 en sorte que l'ensemble de ces quations produise l'quilibre1 p> l'impossibilit o se tr\ve ds-lors1 le corps de se m\voir d'aucune manire4 ,exam9ons ma9t5ant sommairem5t le pr9cipe gnral d'aprs lequel une telle analyse me semble p\voir s'opr] dans un cas quelconque4 ,en considrant le m\vem5t s\s le po9t de vue le plus positif1 comme le simple transport d'un corps d'un lieu dans un autre1 indp5damm5t du mode quelconque suivant lequel il peut tre produit1 il e/ vid5t que t\t m\vem5t doit tre envisag1 dans le cas le plus gnral1 comme ncessairem5t compos la fois de translation et de rotation4 ,ce n'e/ pas1 sans d\te1 qu'il ne puisse rellem5t exi/] de translation sans rotation1 ou de rotation sans translation2 mais on doit reg>d] l'un et l'autre cas comme tant d'exception1 le cas normal consi/ant en effet dans la coexi/5ce de ces deux sortes de m\vem5s1 qui s'accompagn5t con/amm5t mo9s de conditions p>ticulires trs-prcises1 et p> suite =t r>es1 relativem5t aux circon/ances du phnomne4 ,cela e/ tellem5t vrai1 que la seule vrification de l'un de ces m\vem5s e/ habituellem5t reg>de avec raison p> les gomtres1 qui connaiss5t t\te la porte de cette obs]vation lm5taire1 comme un puissant motif1 non d'affirm]1 mais de prsum] trs-vraisemblablem5t l'exi/5ce de l'autre4 ,a9si1 p> exemple1 la seule connaissance du m\vem5t de rotation du soleil sur son axe1 p>faitem5t con/at depuis ,galile1 s]ait priori p\r un gomtre une preuve presque c]ta9e d'un m\vem5t de translation de cet a/re accompagn de t\tes ses plantes1 qu& mme les a/ronomes n'aurai5t po9t comm5c dj reconnatre effectivem5t1 p> des obs]vations directes1 la ralit de ce transport1 dans un s5s encore peu dt]m94 ,p>eillem5t1 c'e/ d'aprs une semblable considration qu'on admet communm5t1 avec raison1 outre le motif d'analogie1 l'exi/5ce d'un m\vem5t de rotation dans les plantes mme l'g>d desquelles on n'a po9t encore pu le con/at] directem5t1 p> cela seul qu'elles ont un m\vem5t de translation bi5 connu aut\r du soleil4 ,il rsulte de cette premire analyse que les quations qui exprim5t les conditions d'quilibre d'un corps1 sollicit p> des =ces quelconques1 doiv5t avoir p\r objet1 les unes de dtruire t\t m\vem5t de translation1 les autres d'anantir t\t m\vem5t de rotation4 ,voyons ma9t5ant1 d'aprs le mme po9t de vue1 af9 de complt] cet ap]u gnral1 quel doit tre a priori le nombre des quations de *aque espce4 ,quant la translation1 il suffit de considr] que1 p\r emp*] un corps de m>*] dans un s5s quelconque1 il faut videmm5t l'en emp*] selon trois axes pr9cipaux situs dans des plans diffr5s1 et qu'on suppose d'ord9aire p]p5diculaires entr'eux4 ,en effet1 quelle progression s]ait possible1 p> exemple1 dans un corps qui ne p\rrait avanc] ni de l'e/ l'oue/ ou de l'oue/ l'e/1 ni du nord au sud ou du sud au nord1 ni enf9 du haut en bas ou du bas en haut8 ,t\te progression dans un autre s5s quelconque1 p\vant videmm5t se concevoir comme compose de progressions p>tielles correspondantes dans ces trois s5s pr9cipaux1 s]ait ds lors dev5ue ncessairem5t impossible4 ,d'un autre ct1 il e/ clair qu'on ne doit pas considr] mo9s de trois m\vem5s lm5taires indp5dans1 c> le corps p\rrait se m\voir dans le s5s d'un des axes1 sans avoir aucune translation dans le s5s d'aucun des deux autres4 ,on conoit a9si que1 en gnral1 trois quations de condition s]ont ncessaires et suffisantes p\r tablir1 dans un sy/me quelconque1 l'quilibre de translation2 et *acune d'elles s]a spcialem5t de/9e dtruire un des trois m\vem5s de translation lm5taires que le corps p\rrait pr5dre4 ,on peut prs5t] une considration exactem5t analogue relativem5t la rotation3 il n'y a de n\velle difficult que celle d'ap]cevoir di/9ctem5t une image mcanique plus complique4 ,la rotation d'un corps dans un plan ou aut\r d'un axe quelconque1 p\vant t\j\rs se concevoir dcompose en trois rotations lm5taires dans les trois plans coordonns ou aut\r des trois axes1 il e/ clair que1 p\r emp*] t\te rotation dans un corps1 il faut aussi l'emp*] de t\rn] sp>m5t p> rapport *acun de ces trois plans ou de ces trois axes4 ,trois quations sont donc1 p>eillem5t1 ncessaires et suffisantes p\r tablir l'quilibre de rotation2 et l'on ap]oit1 avec la mme facilit que dans le cas prcd5t1 la de/9ation mcanique propre *acune d'elles4 ,en appliquant l'analyse prcd5te l'ensemble des six quations gnrales rapportes au comm5cem5t de cette leon1 p\r l'quilibre d'un corps solide anim de =ces quelconques1 il e/ ais de reconnatre que les trois premires sont relatives l'quilibre de translation1 et les trois autres l'quilibre de rotation4 ,dans le premi] gr\pe1 la premire quation emp*e la translation suivant l'axe des x1 la seconde suivant l'axe des y1 et la troisime suivant l'axe des z4 ,dans le second gr\pe1 la premire quation emp*e le corps de t\rn] suivant le plan des x1 y1 la seconde suivant le plan des x1 z1 et la troisime suivant le plan des y1 z4 ,on conoit nettem5t p> l comm5t la coexi/5ce de t\tes ces quations tablit ncessairem5t l'quilibre4 ,cette dcomposition s]ait encore utile p\r rduire1 dans *aque cas1 les quations d'quilibre au nombre /rictem5t ncessaire1 qu& on vi5t p>ticul>is] plus ou mo9s le sy/me de =ces considr1 au lieu de le suppos] entirem5t quelconque4 ,sans entr] ici dans aucun dtail spcial ce sujet1 il suffira de dire1 con=mm5t au po9t de vue prcd5t1 que1 la p>ticul>isation du sy/me propos re/reignant plus ou mo9s les m\vem5s possibles1 soit quant la translation1 soit quant la rotation1 aprs avoir d'abord exactem5t dt]m9 dans *aque cas1 ce qui s]a t\j\rs facile1 en quoi consi/e cette re/riction1 il faudra supprim]1 comme sup]flues1 les quations d'quilibre relatives aux translations ou aux rotations qui ne peuv5t avoir lieu1 et cons]v] seulem5t celles qui se rapport5t aux m\vem5s re/s possibles4 ,c'e/ a9si que1 suivant la limitation plus ou mo9s gr&e du sy/me de =ces p>ticuli] que l'on considre1 il peut1 au lieu de six quations ncessaires en gnral p\r l'quilibre1 n'en plus subsi/] que trois1 ou deux1 ou mme une seule1 qu'il s]a p> l facile d'obt5ir dans *aque cas4 ,on doit faire des rem>ques p>faitem5t analogues quant aux re/rictions de m\vem5s qui rsult]ai5t1 non de la con/itution spciale du sy/me des =ces1 mais des gnes plus ou mo9s troites auxquelles le corps p\rrait tre assujetti dans c]ta9s cas1 et qui produirai5t des effets semblables4 ,il suffirait galem5t alors de voir nettem5t quels m\vem5s sont r5dus impossibles p> la nature des conditions imposes1 et de supprim] les quations d'quilibre qui s'y rapport5t1 en cons]vant celles relatives aux m\vem5s re/s libres4 ,c'e/ a9si1 p> exemple1 que1 dans le cas d'un sy/me quelconque de =ces1 on tr\v]ait que les trois d]nires quations suffis5t p\r l'quilibre1 si le corps e/ ret5u p> un po9t fixe aut\r duquel il peut t\rn] librem5t en t\t s5s1 t\t m\vem5t de translation tant alors dev5u impossible2 de mme on v]rait les quations d'quilibre tre au nombre de deux1 ou mme se rduire une seule1 s'il y avait la fois deux po9ts fixes1 suivant que le corps p\rrait ou non gliss] le long de l'axe qui les jo9t2 et enf9 on arriv]ait reconnatre que l'quilibre exi/e ncessairem5t sans aucune condition1 quelles que soi5t les =ces du sy/me1 si le corps solide prs5te trois po9ts fixes non en ligne droite4 ,enf9 on p\rrait encore employ] le mme ordre de considrations lorsque les po9ts1 au lieu d'tre rig\reusem5t fixes1 s]ai5t seulem5t a/re9ts demeur] sur des c\rbes ou des surfaces donnes4 ,l'esprit de l'analyse que je vi5s d'esquiss] e/1 comme on le voit1 entirem5t indp5dant de la m?ode quelconque d'aprs laquelle auront t obt5ues les quations de l'quilibre4 ,mais les div]ses m?odes gnrales sont lo9 cep5dant de se prt] avec la mme facilit l'application de cette rgle4 ,celle qui s'y adapte le mieux1 c'e/ inconte/ablem5t la m?ode /atique proprem5t dite1 fonde1 comme n\s l'avons vu1 sur le pr9cipe des vitesses virtuelles4 ,on doit mettre1 en effet1 au nombre des proprits c>actri/iques de ce pr9cipe1 la nettet p>faite avec laquelle il analyse naturellem5t le phnomne de l'quilibre1 en considrant di/9ctem5t *acun des m\vem5s lm5taires que p]mett5t les =ces du sy/me1 et f\rnissant aussitt une quation d'quilibre spcialem5t relative ce m\vem5t4 ,la m?ode dynamique ne prs5te po9t cet avantage important4 ,il faut reconnatre t\tefois que1 dans la manire dont ,m4 ,po9sot l'a conue1 elle se tr\ve cet g>d considrablem5t amliore1 puisque la seule di/9ction des conditions d'quilibre relatives aux =ces et de celles qui conc]n5t les c\ples1 di/9ction qui s'tablit alors ncessairem5t1 ralise p> elle-mme la dt]m9ation sp>e entre l'quilibre de translation et l'quilibre de rotation4 ,mais la m?ode dynamique ord9aire1 exclusivem5t usite en /atique avant la r=me de ,m4 ,po9sot1 et que j'ai c>actrise dans son ensemble au comm5cem5t de cette leon1 ne remplit nullem5t cette condition ess5tielle1 sans laquelle nanmo9s il me p>at impossible de concevoir nettem5t l'expression analytique des lois gnrales de l'quilibre4 ,aprs avoir considr les div]ses manires pr9cipales de p>v5ir aux lois exactes de l'quilibre ab/rait p\r un sy/me quelconque des =ces1 en supposant les corps dans cet tat compltem5t passif que n\s avions d'abord reconnu1 quoique purem5t hypo?tique1 tre /rictem5t indisp5sable l'tablissem5t des pr9cipes fondam5taux de la mcanique rationnelle2 n\s devons ma9t5ant exam9] comm5t les gomtres ont pu t5ir compte des proprits gnrales naturelles aux corps rels1 et auxquelles il faut ncessairem5t avoir g>d dans t\te application effective de la mcanique ab/raite4 ,la seule que l'on sa*e jusqu'ici pr5dre en considration d'une manire vraim5t complte1 c'e/ la pesanteur t]re/re4 ,voyons comm5t on a pu l'introduire1 en effet1 dans les quations /atiques4 ,cet important exam5 con/itue1 sans d\te1 dans l'ordre /rictem5t logique de nos tudes philosophiques1 une anticipation vicieuse sur la p>tie de ce c\rs relative la physique proprem5t dite1 o n\s envisag]ons spcialem5t la sci5ce de la pesanteur4 ,mais la ?orie des c5tres de gravit1 laquelle se rduit ess5tiellem5t cette tude /atique de la pesanteur t]re/re1 j\e un rle trop t5du et trop important dans t\tes les p>ties de la mcanique rationnelle1 p\r que n\s puissions n\s disp5s] de l'indiqu] ici1 l'exemple de t\s les gomtres1 quoique ce ne soit pas /rictem5t rguli]4 ,du re/e1 je dois faire obs]v] ce sujet qu'on vit]ait presqu'entirem5t t\t ce qu'il y a vraim5t d'irrationnel dans cette disposition sci5tifique1 sans se priv] nanmo9s des avantages capitaux que prs5te la rsolution pralable d'une telle "q1 si on contractait l'habitude de class] la ?orie des c5tres de gravit p>mi les re*]*es de pure gomtrie1 comme je l'ai propos la f9 de la treizime leon4 ,p\r t5ir compte de la pesanteur t]re/re1 dans les que/ions /atiques1 il suffit1 comme on sait1 de se reprs5t]1 s\s ce rapport1 *aque corps homogne comme un sy/me de =ces p>allles et gales1 appliques t\tes les molcules du corps1 et dont il faut dt]m9] compltem5t la rsultante1 qu'on introduira ds lors sans aucune difficult p>mi les =ces extrieures primitives4 ,en ralit1 ce p>alllisme et cette galit des pesanteurs molculaires ne sont effectivem5t que des approximations1 puisque1 de fait1 t\tes ces =ces conc\rrai5t au c5tre de la t]re si cette plante tait rig\reusem5t sphrique1 et que leur int5sit absolue1 indp5damm5t des 9galits qui ti5n5t la =ce c5trifuge produite p> le m\vem5t de rotation de la t]re1 v>ie en raison inv]se des c>rs des di/ances des molcules correspondantes au c5tre de notre globe4 ,mais1 qu& il ne s'agit que des masses t]re/res notre disposition1 auxquelles sont ord9airem5t de/9es ces applications de la /atique1 les dim5sions n'en sont jamais assez gr&es p\r que le dfaut de p>alllisme et d'galit entre les pesanteurs des div]ses molcules de *aque masse1 doive tre rellem5t pris en considration4 ,on suppose donc alors1 avec raison1 t\tes ces =ces rig\reusem5t p>allles et gales1 ce qui simplifie extrmem5t la "q de leur composition4 ,en effet1 leur rsultante e/1 ds ce mom5t1 gale leur somme1 et agit suivant une droite p>allle leur direction commune1 en sorte que son int5sit et sa direction sont immdiatem5t connues4 ,t\te la difficult se rduit donc tr\v] son po9t d'application1 c'e/--dire ce qu'on appelle le c5tre de gravit du corps4 ,d'aprs les proprits gnrales du po9t d'application de la rsultante dans un sy/me quelconque de =ces p>allles1 la di/ance de ce po9t un plan quelconque e/ gale la somme des mom5s de t\tes les =ces du sy/me p> rapport ce mme plan1 divise p> la somme de ces =ces elles-mmes4 ,en appliquant cette =mule au c5tre de gravit1 et ayant g>d la simplification que produit alors l'galit de t\tes les =ces proposes1 on tr\ve que la di/ance du c5tre de gravit un plan quelconque e/ gale la somme des di/ances de t\s les po9ts du corps considr1 divise p> le nombre de ces po9ts2 c'e/--dire1 que cette di/ance e/1 ce qu'on appelle proprem5t la moy5ne ari?mtique entre les di/ances de t\s les po9ts proposs4 ,cette considration fondam5tale rduit videmm5t la notion du c5tre de gravit tre purem5t gomtrique1 puisqu'en le *]*ant a9si comme c5tre des moy5nes di/ances1 suivant la dnom9ation trs-rationnelle des anci5s gomtres1 la "q ne cons]ve plus aucune trace de son orig9e mcanique1 et consi/e seulem5t dans ce problme de gomtrie gnrale3 tant donn un sy/me quelconque de po9ts disposs entr'eux d'une manire dt]m9e1 tr\v] un po9t dont la di/ance un plan quelconque soit moy5ne entre les di/ances de t\s les po9ts donns ce mme plan4 ,il y aurait1 comme je l'ai dj indiqu1 des avantages importans concevoir habituellem5t a9si la notion gnrale du c5tre de gravit1 en faisant compltem5t ab/raction de t\te considration de pesanteur1 c> cette ide simple et purem5t gomtrique e/ prcism5t celle qu'on doit s'en =m] dans la plup>t des ?ories pr9cipales de la mcanique rationnelle1 surt\t qu& on envisage les gr&es proprits dynamiques du c5tre des moy5nes di/ances1 o l'ide htrogne et surabondante de la gravit introduit ord9airem5t une complication et une obscurit vicieuses4 ,cette manire de concevoir la "q conduit naturellem5t1 il e/ vrai1 l'exclure de la mcanique p\r la faire r5tr] dans la gomtrie1 comme je l'ai propos4 ,si je ne l'ai pas a9si classe effectivem5t1 c'e/ uniquem5t af9 de ne m'c>t] que le mo9s possible des habitudes univ]sellem5t reues1 quoique je fusse trs-conva9cu qu'une telle transposition s]ait la seule disposition vraim5t rationnelle4 ,quoi qu'il en soit de cette discussion d'ordre1 ce qui importe ess5tiellem5t c'e/ de ne po9t se mpr5dre sur la vritable nature de la "q1 quelqu'poque et s\s quelque dnom9ation qu'on juge conv5able de la trait]4 ,la seule df9ition gomtrique du c5tre de gravit donn]ait immdiatem5t le moy5 de le dt]m9]1 si le sy/me des po9ts que l'on considre n'tait compos que d'un nombre f9i de po9ts isols1 c> il en rsult]ait directem5t alors des =mules trs-simples et qui n'aurai5t nullem5t beso9 d'tre trans=mes p\r exprim] les coordonnes du po9t *]*1 relativem5t trois axes rectangulaires fixes arbitrairem5t4 ,mais ces =mules fondam5tales ne peuv5t plus tre employes sans trans=mation1 aussitt qu'il s'agit d'un sy/me compos d'une inf9it de po9ts =mant un vritable corps cont9u1 ce qui e/ le cas ord9aire4 ,c> le numrateur et le dnom9ateur de *aque =mule dev5ant ds lors simultanm5t inf9is1 ces =mules n'(fr5t plus aucune signification di/9cte1 et ne saurai5t tre appliques qu'aprs avoir t conv5ablem5t trans=mes4 ,c'e/ dans cette trans=mation gnrale que consi/e1 s\s le rapport analytique1 t\te la difficult fondam5tale de la "q du c5tre de gravit envisage s\s le po9t de vue le plus t5du4 ,or il e/ clair que le calcul intgral donne immdiatem5t les moy5s de la surmont]1 puisque ces deux sommes inf9ies qui con/itu5t les deux t]mes de *aque =mule1 sont videmm5t p> elles-mmes de vritables intgrales1 dont celle qui exprime le dnom9ateur commun des trois =mules se rapporte aux lm5s gomtriques inf9im5t petits de la masse considre1 et celle qui reprs5te le numrateur propre *aque =mule se rapporte aux produits de ces lm5s p> leurs coordonnes correspondantes4 ,il suit de l1 p\r ne considr] ici que le cas le plus gnral1 qu'en dcomposant le corps seulem5t en lm5s inf9im5t petits dans deux s5s p> deux sries de plans inf9im5t rappro*s p>allles les uns au plan des x1 z1 les autres au plan des y1 z1 on tr\v]a aussitt les =mules fondam5tales1 _/x#a _/frac_/i9t xzdxdy_/i9t zdxdy1_/2y#a _/frac_/i9t yzdxdy_/i9t zdxdy1_/2z#a _/frac#ab_/;frac_/i9t z#b;dxdy_/i9t zdydx_/ qui f]ont connatre les trois coordonnes du c5tre de gravit du volume d'un corps homogne de =me quelconque1 limit p> une surface dont l'quation en x1 y1 et z1 e/ suppose donne4 ,on obti5dra de la mme manire1 p\r le c5tre de gravit de la surface seule de ce corps1 les =mules _/x#a _/frac_/i9t xdxdy_/sqrt#a_/;fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b ;dy#b_/;i9t dxdy_/sqrt#a_/;fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b; dy#b_/ _/y#a _/frac_/i9t ydxdy_/sqrt#a_/;fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b ;dy#b_/;i9t dxdy_/sqrt#a_/;fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b; dy#b_/ _/z#a _/frac_/i9t zdxdy_/sqrt#a_/;fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b ;dy#b_/;i9t dxdy_/sqrt#a_/;fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b; dy#b_/ ,la dt]m9ation des c5tres de gravit s]a donc rduite a9si1 dans *aque cas p>ticuli]1 des re*]*es purem5t analytiques1 t\t--fait analogues celles qu'exig5t1 comme n\s l'avons vu1 les quadratures et les cubatures4 ,seulem5t1 ces intgrations tant1 en gnral1 plus compliques1 l'tat d'extrme imp]fection dans lequel se tr\ve jusqu'ici le calcul intgral p]mettra bi5 plus r>em5t encore de p>v5ir une solution df9itive4 ,mais ces =mules gnrales n'en ont pas mo9s1 p> elles-mmes1 une importance capitale1 p\r introduire la considration du c5tre de gravit dans les ?ories gnrales de la mcanique analytique1 a9si que n\s aurons spcialem5t occasion de le reconnatre bi5tt4 ,il faut d'ailleurs considr]1 quant la "q mme1 que ces =mules pr\v5t de trs-gr&es simplifications1 qu& on vi5t suppos] que la surface qui t]m9e le corps propos e/ une surface de rvolution1 ce qui heureusem5t a lieu dans la plup>t des applications vraim5t importantes4 ,telle e/ donc ess5tiellem5t la manire de t5ir compte de la pesanteur t]re/re dans les applications de la /atique ab/raite4 ,quant la pesanteur univ]selle1 on peut dire que jusqu'ici elle n'a t prise en considration d'une manire vraim5t complte1 que relativem5t aux corps sphriques4 ,ce n'e/ pas que1 lorsque la loi de la gravitation e/ suppose connue1 et surt\t en la concevant inv]sem5t proportionnelle au c>r de la di/ance1 comme dans la vritable pesanteur univ]selle1 on ne puisse aism5t con/ruire1 l'aide d'intgrales conv5ables1 des =mules qui exprim5t l'attraction d'un corps de figure et de con/itution quelconques sur un po9t donn1 et mme sur un autre corps4 ,mais ces expressions symboliques gnrales sont demeures jusqu'ici le plus s\v5t inapplicables1 faute de p\voir effectu] les intgrations qu'elles indiqu5t1 mme qu& on suppose1 p\r simplifi] la "q1 que *aque corps e/ homogne4 ,ce n'e/ encore que p> une approximation =t imp>faite qu'on a pu p>v5ir la dt]m9ation df9itive dans le cas trs-simple de l'attraction de deux ellipsodes1 et les approximations n'ont pu tre conduites jusqu'au degr de prcision conv5able1 qu'en supposant ces elipsodes trs-peu diffr5s de la sphre1 ce qui a lieu heureusem5t p\r t\tes nos plantes4 ,il faut d'ailleurs considr] que1 dans la ralit1 ces =mules suppos5t la connaissance pralable de la loi de la d5sit l'intrieur de *aque corps propos1 ce que n\s ignorons jusqu'ici compltem5t4 ,dans l'tat prs5t de cette importante et difficile ?orie1 on peut dire que les ?ormes primitifs de ,newton sur l'attraction des corps sphriques con/itu5t effectivem5t encore la p>tie la plus utile de cet ordre de notions4 ,ces proprits si rem>quables1 et que ,newton a si simplem5t tablies1 consi/5t1 comme on sait1 en ce que #a l'attraction d'une sphre dont t\tes les molcules attir5t en raison inv]se du c>r de la di/ance1 e/ la mme1 sur un po9t extrieur quelconque1 que si la masse entire de cette sphre tait t\te cond5se son c5tre2 #b qu& un po9t e/ plac dans l'intrieur d'une sphre dont les molcules agiss5t sur lui suivant cette mme loi1 il n'pr\ve absolum5t aucune attraction de la "p de t\te la portion du globe qui se tr\ve une plus gr&e di/ance que lui du c5tre1 du mo9s1 en supposant1 si le globe n'e/ pas homogne1 que *acune de ses c\*es sphriques conc5triques prs5te en t\s ses po9ts la mme d5sit4 ,la pesanteur e/ la seule =ce naturelle dont n\s sa*ions rellem5t t5ir compte en /atique rationnelle3 encore voit-on combi5 cette tude e/ encore peu avance p> rapport la gravit univ]selle4 ,quant aux circon/ances extrieures gnrales1 dont on a d galem5t faire d'abord compltem5t ab/raction p\r tablir les lois rationnelles de la mcanique1 comme le frottem5t1 la rsi/ance des milieux1 etc41 on peut dire que n\s ne connaissons encore nullem5t la manire de les introduire dans les relations fondam5tales donnes p> la mcanique analytique1 c> on n'y e/ p>v5u jusqu'ici qu' l'aide d'hypo?ses =t prcaires1 et mme videmm5t inexactes1 qui ne peuv5t tre rellem5t considres1 dans le plus gr& nombre des cas1 que comme propres f\rnir des ex]cices de calcul4 ,du re/e1 n\s devrons naturellem5t rev5ir sur ce sujet dans la p>tie de ce c\rs relative la physique proprem5t dite4 ,p\r complt] l'exam5 philosophique de l'ensemble de la /atique1 il n\s re/e enf9 considr] sommairem5t la manire gnrale d'tablir la ?orie de l'quilibre1 lorsque le corps auquel les =ces sont appliques e/ suppos se tr\v] l'tat fluide1 soit liquide1 soit gazeux4 ,l'hydro/atique peut tre compltem5t traite d'aprs deux m?odes gnrales p>faitem5t di/9ctes1 suivant qu'on *]*e directem5t les lois de l'quilibre des fluides d'aprs des considrations /atiques exclusivem5t propres cette classe de corps1 ou qu'on se borne les dduire simplem5t des pr9cipes fondam5taux qui ont dj f\rni les quations /atiques des corps solides1 en ayant seulem5t g>d1 comme il convi5t1 aux n\velles conditions c>actri/iques qui rsult5t de la fluidit4 ,la premire m?ode a d naturellem5t comm5c] p> tre la seule employe1 comme tant primitivem5t la plus facile1 s9on la plus rationnelle4 ,tel a t effectivem5t le c>actre des travaux des gomtres du dix-septime et du dix-huitime sicle sur cette importante section de la mcanique gnrale4 ,div]s pr9cipes /atiques p>ticuli]s aux fluides1 et plus ou mo9s satisfaisans1 ont t successivem5t proposs1 pr9cipalem5t l'occasion de la clbre "q dans laquelle les gomtres se proposai5t de dt]m9] priori la vritable figure de la t]re1 suppose orig9airem5t t\te fluide1 "q capitale qui1 envisage dans son ensemble1 se ratta*e en effet1 directem5t ou indirectem5t1 t\tes les ?ories ess5tielles de l'hydro/atique4 ,on sait que ,huygh5s avait d'abord essay de la rs\dre1 en pr5ant p\r pr9cipe d'quilibre la p]p5dicul>it videmm5t ncessaire de la pesanteur la surface libre du fluide4 ,newton de son ct avait1 la mme poque1 *oisi p\r considration fondam5tale la ncessit non mo9s vid5te de l'galit de poids entre les deux colonnes fluides allant du c5tre1 l'une au ple1 l'autre un po9t quelconque de l'quateur4 ,b\gu]1 en discutant plus t>d cette importante "q1 montra clairem5t que ces deux manires de procd] tai5t galem5t vicieuses1 en ce que le pr9cipe d',huygh5s et celui de ,newton1 bi5 que t\s deux inconte/ables1 ne s'accordai5t po9t1 dans un gr& nombre de cas1 donn] la mme =me la masse fluide en quilibre1 ce qui mettait ple9em5t en vid5ce leur insuffisance commune4 ,mais ,b\gu] se trompa gravem5t son t\r1 en croyant que la runion de ces deux pr9cipes1 lorsqu'ils s'accordai5t indiqu] une mme figure1 tait entirem5t suffisante p\r l'quilibre4 ,clairaut1 dans son immortel trait de la figure de la t]re1 dc\vrit1 le premi]1 les vritables lois gnrales de l'quilibre d'une masse fluide1 en p>lant de la considration vid5te de l'quilibre isol d'un canal quelconque inf9im5t petit2 et1 d'aprs ce crit]ium infaillible1 il montra qu'il p\vait exi/] une inf9it de cas dans lesquels la comb9aison exige p> ,b\gu] se tr\vait obs]ve sans que cep5dant l'quilibre et lieu4 ,depuis que l'ouvrage de ,clairaut eut fond dans son ensemble l'hydro/atique rationnelle1 plusieurs gr&s gomtres1 cont9uant adopt] la mme manire gnrale de procd]1 s'occupr5t d'tablir la ?orie ma?matique de l'quilibre des fluides sur des considrations plus naturelles et plus di/9ctes que celle employe p> son illu/re inv5teur4 ,on doit pr9cipalem5t di/+u]1 cet g>d1 les travaux de ,maclaur9 et surt\t ceux d',eul]1 qui ont donn cette ?orie fondam5tale la =me simple et rgulire qu'elle a ma9t5ant dans t\s les traits ord9aires1 en la fondant sur le pr9cipe de l'galit de pression en t\t s5s1 qu'on peut reg>d] comme une loi gnrale indique p> l'obs]vation relativem5t la con/itution /atique des fluides4 ,ce pr9cipe e/ inconte/ablem5t1 en effet1 le plus conv5able qu'on puisse employ] dans une telle re*]*e1 lorsqu'on veut trait] directem5t p> quelque considration propre aux fluides la ?orie de leur quilibre1 dont il f\rnit immdiatem5t les quations gnrales avec une extrme facilit4 ,il suffit alors1 p\r les obt5ir le plus simplem5t possible1 aprs avoir conu la masse fluide p>tage en molcules cubiques p> trois sries de plans inf9im5t rappro*s1 p>allles aux trois plans coordonns1 d'exprim] que *aque molcule e/ galem5t presse suivant les trois axes p]p5diculaires ses faces p> l'ensemble des =ces du sy/me1 la pression de la molcule en *aque s5s tant gale la diffr5ce des pressions ex]ces sur les deux faces opposes correspondantes4 ,on tr\ve a9si que la loi ma?matique de l'quilibre d'un fluide quelconque1 p> quelques =ces qu'il soit sollicit1 e/ exprime p> les trois quations3 _/_/fracd,pdx p,x1_/2_/fracd,pdy p,y1_/2_/fracd,pdz p,z1_/ o ,p exprime la pression supporte p> la molcule dont les coordonnes sont x1 y1 z1 et la d5sit ou pesanteur spcifique p1 et ,x1 ,y1 ,z1 dsign5t les composantes totales des =ces dont le fluide e/ anim suivant les trois axes coordonns4 ,comme on peut videmm5t dduire1 de l'ensemble de ces trois quations1 la =mule _/,p _/int p7,xdx ,ydy ,zdz7_/ p\r la dt]m9ation de la pression en *aque po9t1 qu& les =ces s]ont connues a9si que la loi de la d5sit1 il e/ possible de donn] une autre =me analytique la loi gnrale de l'quilibre des fluides1 en se bornant dire que la fonction diffr5tielle1 place ici s\s le signe ,s1 doit satisfaire aux conditions connues d'intgrabilit relativem5t aux trois v>iables indp5dantes x1 y1 z1 ce qui e/ prcism5t l'expression trs-simple tr\ve primitivem5t p> ,clairaut quant la ?orie ma?matique de l'hydro/atique4 ,l'tude de l'quilibre des fluides donne con/amm5t lieu une n\velle "q gnrale =t importante qui leur e/ propre1 celle qui consi/e dt]m9]1 dans le cas d'quilibre1 la figure de la surface qui limite la masse fluide4 ,la solution ab/raite de cette "q e/ implicitem5t comprise dans la =mule fondam5tale prcd5te1 puisqu'il suffit videmm5t de suppos] que la pression e/ nulle ou du mo9s con/ante1 p\r c>actris] les po9ts de la surface1 ce qui donne indi/9ctem5t _/,xdx ,ydy ,zdz #j_/ quant l'quation diffr5tielle gnrale de cette surface4 ,t\te la difficult concrte se rduit donc ess5tiellem5t1 en *aque cas1 connatre la loi relle relative la v>iation de la d5sit dans l'intrieur de la masse fluide propose1 mo9s qu'elle ne soit homogne1 dt]m9ation qui prs5te des ob/acles t\t--fait insurmontables dans les applications les plus importantes4 ,si l'on en fait ab/raction1 la "q ne prs5te ds lors qu'une re*]*e analytique plus ou mo9s complique1 consi/ant dans l'intgration1 le plus s\v5t encore inconnue1 de l'quation prcd5te4 ,on doit rem>qu] d'ailleurs que cette quation e/1 p> sa nature1 assez gnrale p\r qu'on puisse l'appliqu] mme l'quilibre d'une masse fluide qui s]ait anime d'un m\vem5t de rotation dt]m91 comme l'exige surt\t la gr&e "q de la figure des plantes4 ,il suffit alors en effet de compr5dre1 p>mi les =ces du sy/me propos1 les =ces c5trifuges qui rsult5t de ce m\vem5t de rotation4 ,telle e/1 p> ap]u1 la manire gnrale d'tablir la ?orie ma?matique de l'quilibre des fluides1 en la fondant directem5t sur des pr9cipes /atiques p>ticuli]s ce g5re de corps4 ,on conoit1 comme je l'ai dj indiqu1 que cette m?ode ait d d'abord tre seule employe2 c>1 l'poque des premires re*]*es1 les diffr5ces c>actri/iques entre les solides et les fluides devai5t ncessairem5t p>atre trop considrables p\r qu'aucun gomtre pt alors se propos] d'appliqu] ceux-ci les pr9cipes gnraux uniquem5t de/9s aux autres1 en ayant seulem5t g>d1 dans cette dduction1 quelques n\velles conditions spciales4 ,mais1 qu& les lois fondam5tales de l'hydro/atique ont enf9 t obt5ues1 et que l'esprit huma91 cessant d'tre proccup de la difficult de leur tablissem5t1 a pu mesur] avec ju/esse la div]sit relle qui exi/e entre la ?orie des fluides et celle des solides1 il tait impossible qu'il ne *]*t po9t les ram5] t\tes deux aux mmes pr9cipes ess5tiels1 et qu'il ne reconnt pas1 en ?se gnrale1 l'applicabilit ncessaire des rgles fondam5tales de la /atique l'quilibre des fluides1 p\rvu qu'on tnt compte conv5ablem5t de la v>iabilit de =me qui les c>actrise4 ,en un mot1 la sci5ce ne p\vait re/] s\s ce rapport dans son tat primitif1 o l'on accordait une importance videmm5t exagre aux conditions propres aux fluides4 ,mais1 p\r subordonn] l'hydro/atique la /atique proprem5t dite1 et augm5t] a9si p> une plus gr&e unit la p]fection rationnelle de la sci5ce1 il tait indisp5sable que la ?orie ab/raite de l'quilibre ft pralablem5t traite d'aprs un pr9cipe /atique suffisamm5t gnral1 qui seul p\vait tre directem5t appliqu aux fluides aussi bi5 qu'aux solides1 c> on ne p\vait po9t rec\rir1 cet effet1 aux quations d'quilibre proprem5t dites1 dans la =mation desquelles on avait t\j\rs eu1 ncessairem5t1 plus ou mo9s g>d l'inv>iabilit du sy/me4 ,cette condition 9vitable a t remplie1 lorsque ,lagrange a conu la manire de fond] la /atique1 et p> suite t\te la mcanique rationnelle1 sur le seul pr9cipe des vitesses virtuelles4 ,ce pr9cipe e/ videmm5t1 en effet1 p> sa nature1 t\t aussi directem5t applicable aux fluides qu'aux solides1 et c'e/ l une de ses proprits les plus prcieuses4 ,ds lors l'hydro/atique1 philosophiquem5t classe son rang naturel1 n'a plus t1 dans le trait de ,lagrange1 qu'une division secondaire de la /atique4 ,quoique cette manire de la concevoir n'ait pas encore pu dev5ir suffisamm5t familire1 et que la m?ode hydro/atique directe soit re/e jusqu'ici la seule usuelle1 il n'e/ pas d\teux que la m?ode de ,lagrange f9ira p> tre habituellem5t et exclusivem5t adopte1 comme tant celle qui imprime la sci5ce son vritable c>actre df9itif1 en la faisant driv] t\t entire d'un pr9cipe unique4 ,p\r se reprs5t] nettem5t1 en gnral1 comm5t le pr9cipe des vitesses virtuelles peut conduire aux quations fondam5tales de l'quilibre des fluides1 il suffit de considr] que t\t ce qu'une telle application exige de p>ticuli] consi/e seulem5t compr5dre p>mi les =ces quelconques du sy/me une =ce n\velle1 la pression ex]ce sur *aque molcule1 qui introduira un t]me de plus dans l'quation gnrale1 ou1 plus exactem5t1 qui donn]a lieu trois n\veaux mom5s virtuels1 si l'on di/+ue1 comme il convi5t1 les v>iations sp>m5t relatives *acun des trois axes coordonns4 ,en procdant a9si1 on p>vi5dra immdiatem5t aux trois quations gnrales de l'quilibre des fluides1 qui ont t rapportes ci-dessus d'aprs la m?ode hydro/atique proprem5t dite4 ,si le fluide considr e/ liquide1 il faudra concevoir le sy/me assujti cette condition c>actri/ique de p\voir *ang] de =me1 sans cep5dant jamais *ang] de volume4 ,cette condition d'incompressibilit s'introduira d'autant plus naturellem5t dans l'quation gnrale des vitesses virtuelles1 qu'elle peut s'exprim] immdiatem5t1 comme l'a fait ,lagrange1 p> une =mule analytique analogue celle des t]mes de cette quation1 en exprimant que la v>iation du volume e/ nulle1 ce qui mme a p]mis ,lagrange de se reprs5t] ab/raitem5t cette incompressibilit comme l'effet d'une c]ta9e =ce n\velle1 dont il suffit d'aj\t] le mom5t virtuel ceux des =ces du sy/me4 ,si l'on veut tablir1 au contraire1 la ?orie de l'quilibre p\r les fluides gazeux1 il faudra remplac] la condition de l'incompressibilit p> celle qui assujtit le volume du fluide v>i] suivant une fonction dt]m9e de la pression1 p> exemple en raison inv]se de cette pression1 con=mm5t la loi physique sur laquelle ,m>iotte a fond t\te la mcanique des gaz4 ,cette n\velle circon/ance donn]a lieu une quation analogue celle des liquides1 quoique plus complique4 ,seulem5t cette d]nire section de la ?orie gnrale de l'quilibre1 outre les gr&es difficults analytiques qui lui sont propres1 se ress5tira ncessairem5t1 dans les applications1 de l'inc]titude o l'on e/ encore sur la vritable loi des gaz relativem5t la fonction de la pression qui exprime rellem5t la d5sit1 c> la loi de ,m>iotte1 si prcieuse p> son extrme simplicit1 ne peut malheureusem5t tre reg>de que comme une approximation1 qui1 suffisamm5t exacte p\r des circon/ances moy5nes1 ne saurait tre t5due rig\reusem5t un cas quelconque4 ,tel e/ le c>actre fondam5tal de la m?ode inconte/ablem5t la plus rationnelle qu'on puisse employ] p\r =m] la ?orie ab/raite de l'quilibre des fluides1 et que n\s devons reg>d]1 surt\t dans cet ouvrage1 comme con/ituant dsormais la conception df9itive de l'hydro/atique4 ,cette conception p>atra d'autant plus philosophique que1 dans la /atique a9si traite1 on tr\ve une suite de cas en quelque sorte int]mdiaires entre les solides et les fluides1 lorsqu'on considre les que/ions relatives aux corps solides susceptibles de *ang] de =me jusqu' un c]ta9 degr d'aprs des lois dt]m9es1 c'e/--dire qu& on ti5t compte de la flexibilit et de l'la/icit1 ce qui tablit1 s\s le rapport analytique1 une filiation naturelle qui fait pass]1 p> une succession de re*]*es presqu'ins5sible1 des sy/mes dont la =me e/ rig\reusem5t inv>iable ceux o elle e/ au contraire m9emm5t v>iable4 ,aprs avoir exam9 sommairem5t comm5t la /atique rationnelle1 envisage dans son ensemble1 a pu tre leve enf9 ce haut degr de p]fection spculative o t\tes les que/ions qu'elle e/ susceptible de prs5t]1 con/amm5t traites d'aprs un pr9cipe unique directem5t tabli1 sont uni=mm5t rduites de simples problmes d'analyse ma?matique1 n\s devons ma9t5ant entrepr5dre la mme tude relativem5t la d]nire bran*e de la mcanique gnrale1 ncessairem5t plus t5due1 plus complique1 et p> suite plus difficile1 celle qui a p\r objet la ?orie du m\vem5t4 ,ce s]a le sujet de la leon suivante4 ,,dix-,,septi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,vue gnrale de la dynamique4 ,l'objet ess5tiel de la dynamique consi/e1 comme n\s l'avons vu1 dans l'tude des m\vem5s v>is produits p> les =ces cont9ues1 la ?orie des m\vem5s uni=mes dus aux =ces in/antanes n'tant entirem5t qu'une simple consqu5ce immdiate des trois lois fondam5tales du m\vem5t4 ,dans cette dynamique des m\vem5s v>is ou des =ces cont9ues on di/+ue ord9airem5t et avec raison deux cas gnraux1 suivant qu'on considre le m\vem5t d'un po9t ou celui d'un corps4 ,s\s le po9t de vue le plus positif1 cette di/9ction revi5t concevoir que1 dans c]ta9s cas1 t\tes les p>ties du corps pr5n5t exactem5t le mme m\vem5t1 en sorte qu'il suffit alors en effet de dt]m9] le m\vem5t d'une seule molcule1 *acune se m\vant comme si elle tait isole1 sans aucun g>d aux conditions de liaison du sy/me2 t&is que1 dans le cas le plus gnral1 *aque portion du corps ou *aque corps du sy/me pr5ant un m\vem5t di/9ct1 il faut exam9] ces div]s effets et connatre l'influ5ce qu'ex]c5t sur eux les relations qui c>actris5t le sy/me considr4 ,la seconde ?orie tant videmm5t plus complique que la premire1 c'e/ p> celle-ci qu'il convi5t ncessairem5t de comm5c] l'tude spciale de la dynamique1 mme qu& on les dduit t\tes deux de pr9cipes uni=mes4 ,tel e/ aussi l'ordre que n\s adopt]ons ici dans l'indication de nos considrations philosophiques4 ,relativem5t au m\vem5t d'un po9t1 n\s savons dj que la "q gnrale consi/e dt]m9] exactem5t t\tes les circon/ances du m\vem5t curviligne compos1 rsultant de l'action simultane de div]ses =ces cont9ues quelconques1 en supposant entirem5t connu le m\vem5t rectiligne que pr5drait le mobile s\s l'influ5ce exclusive de *aque =ce envisage isolm5t4 ,n\s avons galem5t con/at que ce problme tait susceptible1 comme t\t autre1 d'tre considr en s5s inv]se1 lorsqu'on se proposait1 au contraire1 de dc\vrir p> quelles =ces le corps e/ sollicit1 d'aprs les circon/ances c>actri/iques directem5t connues du m\vem5t compos4 ,mais1 avant d'entr] dans l'exam5 philosophique de ces deux que/ions gnrales1 n\s devons d'abord arrt] notre att5tion sur une ?orie prlim9aire =t importante1 celle du m\vem5t v>i envisag en lui-mme1 c'e/--dire con=mm5t l'expression ord9aire1 la ?orie du m\vem5t rectiligne produit p> une seule =ce cont9ue1 agissant indf9im5t selon la mme direction4 ,cette ?orie lm5taire e/ indisp5sable p\r tablir les notions fondam5tales qui se reproduis5t sans cesse dans t\tes les p>ties de la dynamique4 ,voici en quoi elle consi/e ess5tiellem5t1 d'aprs notre manire de concevoir la mcanique rationnelle4 ,n\s avons prcdemm5t rem>qu que1 dans la "q dynamique directe1 il fallait ncessairem5t suppos] connu l'effet de *aque =ce unique1 la vritable inconnue du problme gnral tant l'effet dt]m9 p> le conc\rs de t\tes les =ces4 ,cette obs]vation e/ inconte/able4 ,mais1 d'aprs cela1 quel peut tre l'objet de cette p>tie prlim9aire de la dynamique qu'on de/9e l'tude du m\vem5t rsultant de l'action d'une seule =ce cont9ue8 ,la contradiction app>5te ne ti5t qu'aux expressions peu exactes qu'on emploie ord9airem5t1 et d'aprs lesquelles une telle "q sembl]ait aussi di/9cte et aussi directe que les vritables que/ions dynamiques1 t&is qu'elle n'e/ rellem5t qu'un prlim9aire4 ,p\r en concevoir nettem5t le vrai c>actre1 il faut obs]v] que le m\vem5t v>i produit p> une seule =ce cont9ue peut tre df9i de plusieurs manires1 qui dp5d5t les unes des autres1 et qui1 p> consqu5t1 ne saurai5t jamais tre donnes simultanm5t1 quoique *acune puisse tre sp>m5t la plus conv5able1 d'o rsulte la ncessit de savoir pass]1 en gnral1 de l'une quelconque d'entre elles t\tes les autres3 c'e/ dans ces trans=mations que consi/e proprem5t la ?orie gnrale prlim9aire du m\vem5t v>i1 dsigne =t inexactem5t s\s le nom d'tude de l'action d'une =ce unique4 ,ces div]ses df9itions quival5tes d'un mme m\vem5t v>i rsult5t de la considration simultane des trois fonctions fondam5tales di/9ctes1 quoique co-relatives1 qu'on y peut envisag]1 l'espace1 la vitesse et la =ce1 conu comme dp5dant du temps c\l4 ,la loi du m\vem5t peut tre immdiatem5t donne p> la relation entre l'espace p>c\ru et le temps c\l1 et alors il importe d'en dduire la vitesse acquise p> le mobile *aque in/ant1 c'e/--dire celle du m\vem5t uni=me qui aurait lieu si1 la =ce cont9ue cessant t\t c\p d'agir1 le corps ne se m\vait plus qu'en v]tu de l'impulsion naturelle rsultant1 d'aprs la loi d'in]tie1 du m\vem5t dj effectu3 il e/ galem5t intressant de dt]m9] aussi quelle e/1 *aque in/ant1 l'int5sit de la =ce cont9ue1 comp>e celle d'une =ce acclratrice con/ante bi5 connue1 telle1 p> exemple1 que la gravit t]re/re1 la seule =ce de ce g5re qui n\s soit assez familire p\r s]vir habituellem5t de type conv5able4 ,dans d'autres occasions1 au contraire1 le m\vem5t p\rra tre naturellem5t df9i p> la loi qui rgle la v>iation de la vitesse en raison du temps1 et d'o il faudra conclure celle relative l'espace1 a9si que celle qui conc]ne la =ce4 ,il en s]ait de mme si la df9ition primitive du m\vem5t consi/ait dans la loi de la =ce cont9ue1 qui p\rrait n'tre pas t\j\rs immdiatem5t donne en fonction du temps1 mais quelquefois p> rapport l'espace1 comme p> exemple lorsqu'il s'agit de la gravitation univ]selle1 ou d'autres fois relativem5t la vitesse1 a9si qu'on le voit p\r la rsi/ance des milieux4 ,enf91 si l'on considre cet ordre de que/ions s\s le po9t de vue le plus t5du1 il faut concevoir1 en gnral1 que la df9ition d'un m\vem5t v>i peut tre donne p> une quation quelconque1 p\vant cont5ir la fois ces quatre v>iables dont une seule e/ indp5dante1 le temps1 l'espace1 la vitesse1 et la =ce2 le problme consi/]a dduire de cette quation la dt]m9ation di/9cte des trois lois c>actri/iques relatives l'espace1 la vitesse et la =ce1 en fonction du temps1 et1 p> suite1 en corlation mutuelle4 ,ce problme gnral se rduit con/amm5t une re*]*e purem5t analytique1 l'aide des deux =mules dynamiques fondam5tales qui exprim5t1 en fonction du temps1 la vitesse et la =ce1 qu& on suppose connue la loi relative l'espace4 ,la m?ode inf9itsimale conduit ces deux =mules avec la plus gr&e facilit4 ,il suffit en effet1 p\r les obt5ir1 de considr]1 suivant l'esprit de cette m?ode1 le m\vem5t comme uni=me p5dant la dure d'un mme int]valle de temps inf9im5t petit1 et comme uni=mm5t acclr p5dant deux int]valles conscutifs4 ,ds lors1 la vitesse1 suppose mom5tanm5t con/ante1 d'aprs la premire considration1 s]a naturellem5t exprime p> la diffr5tielle de l'espace divise p> celle du temps2 et1 de mme1 la =ce cont9ue1 d'aprs la seconde considration1 s]a videmm5t mesure p> le rapport entre l'accroissem5t inf9im5t petit de la vitesse1 et le temps employ produire cet accroissem5t4 ,a9si1 en appelant t le temps c\l1 e l'espace p>c\ru1 v la vitesse acquise et _/v>phi l'int5sit de la =ce cont9ue *aque in/ant1 la corrlation gnrale et ncessaire de ces quatre v>iables simultanes s]a exprime analytiquem5t p> les deux =mules fondam5tales1 _/v _/fracdedt1_/2 _/v>phi _/fracdvdt _/fracd#b;edt#b4_/ ,d'aprs ces =mules1 t\tes les que/ions relatives cette ?orie prlim9aire du m\vem5t v>i se rduiront immdiatem5t de simples re*]*es analytiques1 qui consi/]ont ou dans des diffr5tiations1 ou1 le plus s\v5t1 dans des intgrations4 ,en considrant le cas le plus gnral1 o la df9ition primitive du m\vem5t propos s]ait donne seulem5t p> une quation entre les quatre v>iables1 le problme analytique consi/]a dans l'intgration d'une quation diffr5tielle du second ordre1 relative la fonction e1 et qui p\rra tre frquemm5t inexcutable1 vu l'extrme imp]fection actuelle du calcul intgral4 ,la conception fondam5tale de ,lagrange1 relativem5t l'analyse transc5dante1 l'ayant ncessairem5t oblig se priv] des facilits qu'(fre l'emploi de la m?ode inf9itsimale p\r l'tablissem5t des deux =mules dynamiques prcd5tes1 il a t conduit prs5t] cette ?orie s\s un n\veau po9t de vue1 dont on n'a pas communm5t1 ce me semble1 assez apprci l'importance1 et qui me p>at s+ulirem5t propre claircir la vritable nature de ces notions lm5taires4 ,lagrange a montr dans sa ?orie des fonctions analytiques que cette considration dynamique consi/ait rellem5t concevoir un m\vem5t v>i quelconque comme compos *aque in/ant d'un c]ta9 m\vem5t uni=me et d'un autre m\vem5t uni=mm5t v>i1 en l'assimilant au m\vem5t v]tical d'un corps pesant lanc avec une impulsion initiale4 ,mais1 p\r donn] cette lum9euse conception t\te sa valeur philosophique1 je crois devoir la prs5t] s\s un po9t de vue plus t5du que ne l'a fait ,lagrange1 comme donnant lieu une ?orie complte de l'assimilation des m\vem5s1 exactem5t semblable la ?orie gnrale des contacts des c\rbes et des surfaces1 expose dans les treizime et quatorzime leons4 cet effet1 supposons deux m\vem5s rectilignes quelconques1 df9is p> les quations ef7t71 ,e,f7t72 que les deux mobiles soi5t p>v5us au b\t du temps t une mme situation2 et considrons leur di/ance mutuelle aprs un c]ta9 temps th4 ,cette di/ance1 qui s]a gale la diffr5ce des valeurs correspondantes des deux fonctions f et ,f aura videmm5t p\r expression1 d'aprs la =mule de ,taylor1 la srie _/7f'7t7-,f'7t77h 7f''7t7-,f''7t77_/frach#ba4b4 _/ _/7f'''7t7-,f'''7t77_/frach#ca4b4c4 _/mbox_/rm etc4_/ l'aide de cette srie1 on p\rra1 p> des considrations entirem5t analogues celles employes dans la ?orie des c\rbes1 se faire une ide nette de l'assimilation plus ou mo9s p>faite des deux m\vem5s1 suivant les relations analytiques plus ou mo9s t5dues des deux fonctions primitives f et ,f4 ,si leurs drives du premi] ordre ont une mme valeur1 il exi/]a entre les deux m\vem5s ce qu'on p\rrait appel] une assimilation du premi] ordre1 semblable au contact du premi] ordre dans les c\rbes1 et qu'on p\rra c>actris]1 s\s le rapport concret1 en disant alors que le m\vem5t des deux corps s]a le mme p5dant un in/ant inf9im5t petit4 ,si1 en outre1 les deux drives du second ordre pr5n5t encore la mme valeur1 l'assimilation des m\vem5s devi5dra plus intime1 et s'lv]a au second ordre2 elle consi/]a physiquem5t alors en ce que les deux mobiles auront le mme m\vem5t p5dant deux in/ans inf9im5t petits conscutifs4 ,p>eillem5t1 en aj\tant ces deux premires relations l'galit des troisimes drives1 on tablira1 entre les m\vem5s considrs1 une assimilation du troisime ordre1 qui les f]a concid] p5dant trois in/ans conscutifs1 et a9si de suite indf9im5t4 ,le degr de similitude des deux m\vem5s1 dt]m9 analytiquem5t p> le nombre de fonctions drives successives qui auront respectivem5t la mme valeur1 aura t\j\rs p\r int]prtation concrte la concid5ce des deux mobiles p5dant un nombre gal d'in/ans conscutifs2 comme n\s avons vu l'ordre du contact des c\rbes mesur gomtriquem5t p> la communaut d'un nombre correspondant d'lm5s successifs4 ,si la loi c>actri/ique de l'un des m\vem5s proposs conti5t1 dans son expression analytique1 quelques con/antes arbitraires1 on p\rra l'assimil] un autre m\vem5t quelconque jusqu' un ordre m>qu p> le nombre de ces con/antes1 qui s]ont alors dt]m9es d'aprs les quations de/9es tablir1 suivant la ?orie prcd5te1 ce degr d'intimit entre les deux m\vem5s4 ,cette conception fondam5tale conduit ap]cevoir la possibilit1 du mo9s s\s le po9t de vue ab/rait1 d'acqurir une connaissance de plus en plus appr(ondie d'un m\vem5t v>i quelconque1 en le comp>ant successivem5t une suite de m\vem5s connus1 dont la loi analytique dp5de d'un nombre de plus en plus gr& de con/antes arbitraires1 et qui p\rront1 p> consqu5t1 avoir avec lui une concid5ce de plus en plus prolonge4 ,mais1 de mme que n\s avons vu la ?orie gnrale des contacts des lignes1 applique la mesure de la c\rbure les unes p> les autres1 devoir se rduire effectivem5t la comp>aison d'une c\rbe quelconque d'abord avec une ligne droite et ensuite avec un c]cle1 ces deux lignes tant les seules qu'on puisse reg>d] comme assez connues p\r s]vir utilem5t de type l'g>d des autres1 p>eillem5t la ?orie dynamique relative la mesure des m\vem5s les uns p> les autres doit tre rellem5t limite la comp>aison effective de t\t m\vem5t v>i1 d'abord avec un m\vem5t uni=me o l'espace e/ proportionnel au temps1 et ensuite avec un m\vem5t uni=mm5t v>i o l'espace crot en raison du c>r du temps2 ou bi51 af9 de t\t embrass] en une seule considration1 avec un m\vem5t compos d'un m\vem5t uni=me1 et d'un autre uni=mm5t v>i1 tel que celui d'un corps pesant anim d'une impulsion initiale4 ,ces deux m\vem5s lm5taires sont1 en effet1 comme le rem>que ,lagrange1 les seuls dont n\s ayons rellem5t une notion assez familire p\r que n\s puissions les appliqu] avec succs la mesure de t\s les autres4 ,en tablissant cette assimilation1 on tr\ve1 d'aprs la ?orie prcd5te1 que t\t m\vem5t v>i peut tre *aque in/ant comp> celui d'un corps pesant qui aurait reu une vitesse initiale gale la premire drive de l'espace p>c\ru envisag comme une fonction du temps c\l1 et qui s]ait anim d'une gravit mesure p> la seconde drive de cette mme fonction1 ce qui n\s fait r5tr] dans les deux =mules fondam5tales obt5ues ci-dessus p> la m?ode inf9itsimale4 ,le m\vem5t propos concid]a p5dant un in/ant inf9im5t petit avec le m\vem5t uni=me exprim dans la premire p>tie de cette comp>aison1 et p5dant deux in/ans conscutifs avec le m\vem5t uni=mm5t acclr qui correspond la seconde p>tie4 ,on se =m]a donc a9si une ide nette du m\vem5t du mobile *aque mom5t1 et de la manire dont il v>ie d'un mom5t l'autre1 ce qui e/ /rictem5t suffisant4 ,quoique la conception de ,lagrange1 telle que je l'ai gnralise1 conduise f9alem5t aux mmes rsultats que la ?orie ord9aire1 il e/ ais de s5tir cep5dant sa supriorit rationnelle1 puisque ces deux ?ormes fondam5taux1 dans lesquels on avait vu jusqu'alors le t]me absolu des ef=ts de l'esprit huma91 relativem5t l'tude des m\vem5s v>is1 peuv5t tre envisags ma9t5ant comme une simple application p>ticulire d'une m?ode trs-gnrale1 qui n\s p]met ab/raitem5t d'entrevoir une mesure beauc\p plus p>faite de t\t m\vem5t v>i1 quoique de puissans motifs de conv5ance n\s oblig5t considr] seulem5t la mesure primitivem5t adopte4 ,on conoit1 d'aprs ce qui prcde1 que si la nature n\s (frait un exemple simple et famili] d'un m\vem5t rectiligne dans lequel l'espace crotrait proportionnellem5t au cube du temps1 en aj\tant nos notions dynamiques ord9aires la considration habituelle de ce m\vem5t1 n\s obti5drions une connaissance plus appr(ondie de la nature d'un m\vem5t v>i quelconque1 qui p\rrait alors avoir avec le triple m\vem5t a9si compos une assimilation du troisime ordre1 ce qui n\s p]mettrait d'envisag] directem5t1 p> une seule vue de l'esprit1 l'tat du mobile p5dant trois in/ans conscutifs1 t&is que n\s sommes ma9t5ant =cs de n\s arrt] deux in/ans4 ,s\s le rapport analytique1 au lieu de n\s born] aux deux premires fonctions drives de l'espace relativem5t au temps1 cette m?ode revi5drait considr] simultanm5t la troisime drive1 qui aurait ds lors aussi une signification dynamique1 dont elle e/ actuellem5t dp\rvue4 ,dans cette supposition1 de mme que n\s concevons habituellem5t la =ce acclratrice p\r n\s reprs5t] les *angem5s de la vitesse1 n\s aurions p>eillem5t une considration dynamique propre n\s figur] les v>iations de la =ce cont9ue4 ,notre tude gnrale des m\vem5s v>is devi5drait encore plus p>faite si1 t5dant cette hypo?se1 il exi/ait en outre un m\vem5t connu dans lequel l'espace ft proportionnel la quatrime puissance du temps1 et a9si de suite4 ,mais en ralit1 p>mi les m\vem5s simples o l'espace p>c\ru se tr\ve crotre proportionnellem5t une puissance entire et positive du temps c\l1 l'obs]vation ne n\s faisant connatre que le m\vem5t uni=me produit p> une impulsion unique et le m\vem5t uni=mm5t acclr qui rsulte de la pesanteur t]re/re suivant la dc\v]te de ,galile1 n\s sommes contra9ts de n\s arrt] aux deux premi]s degrs de la ?orie prcd5te p\r la mesure gnrale des m\vem5s v>is quelconques4 ,telle e/ la vritable explication philosophique de la m?ode univ]sellem5t adopte1 e/ime sa valeur relle4 ,j'ai cru devoir insi/] sur cette explication1 p>ce que cette conception fondam5tale me semble n'tre pas encore apprcie d'une manire conv5able1 quoiqu'elle soit la base de la dynamique t\t entire4 ,aprs l'exam5 gnral de cette importante ?orie prlim9aire1 je passe ma9t5ant considr] sommairem5t le c>actre philosophique de la vritable dynamique rationnelle directe1 c'e/--dire de l'tude du m\vem5t curviligne produit p> l'action simultane de div]ses =ces cont9ues quelconques1 en cont9uant suppos] d'abord que le mobile soit reg>d comme un po9t1 ou1 ce qui revi5t au mme1 que t\tes les molcules du corps pr5ant exactem5t le mme m\vem5t1 *acune se meuve isolm5t sans tre affecte p> sa liaison avec les autres4 ,on doit di/+u]1 en gnral1 dans le m\vem5t curviligne d'une molcule s\mise l'action de =ces quelconques1 deux cas trs-diffr5s1 suivant qu'elle e/ d'ailleurs entirem5t libre1 de manire devoir dcrire la trajectoire qui rsult]a naturellem5t de la comb9aison des =ces proposes1 ou que1 au contraire1 elle e/ a/re9te se m\voir sur une seule c\rbe ou sur une surface donne4 ,la ?orie fondam5tale du m\vem5t curviligne peut tre tablie dans son ensemble suivant deux modes =t di/9cts1 en pr5ant p\r base l'un ou l'autre de ces deux cas1 c> *acun d'eux peut tre trait directem5t et se tr\ve en mme temps susceptible de se ratta*] l'autre1 les deux considrations tant presqu'galem5t naturelles selon le po9t de vue o l'esprit se place4 ,en p>lant du premi] cas1 il suffira1 p\r en dduire le second1 de reg>d] la rsi/ance1 tant active que passive1 de la c\rbe ou de la surface sur laquelle le corps e/ assujetti re/]1 comme une n\velle =ce jo9dre celles du sy/me propos1 a9si que n\s avons vu qu'on a c\tume de le faire en /atique4 ,si1 au contraire1 on prfre d'tablir d'abord la ?orie du second cas1 on y ramn]a ensuite le premi]1 en considrant le mobile comme =c dcrire la c\rbe qu'il doit effectivem5t p>c\rir1 ce qui suffira entirem5t p\r =m] les quations fondam5tales1 malgr que cette c\rbe soit alors primitivem5t inconnue4 ,quoique cette d]nire m?ode ne soit po9t ord9airem5t employe1 il convi5t1 je crois1 de les c>actris] ici t\tes deux1 p\r donn] le plus compltem5t possible une ju/e ide de la ?orie gnrale du m\vem5t curviligne1 c> *acune d'elles a1 ce me semble1 des avantages importans qui lui sont propres4 ,considrons d'abord la premire4 ,exam9ant1 en premi] lieu1 le m\vem5t curviligne d'une molcule entirem5t libre s\mise l'action de =ces cont9ues quelconques1 on peut =m] de deux manires di/9ctes les quations fondam5tales de ce m\vem5t1 en les dduisant p> deux modes diffr5s de la ?orie du m\vem5t rectiligne4 ,le premi] mode1 qui a d'abord t le plus employ p> les gomtres1 quoique1 s\s le rapport analytique1 il ne soit pas le plus simple1 consi/e dcompos] *aque in/ant la rsultante totale des =ces cont9ues qui agiss5t sur le mobile en deux =ces1 l'une dirige selon la tang5te la trajectoire qu'il dcrit1 l'autre suivant la normale4 ,considrons alors p5dant un in/ant inf9im5t petit1 le m\vem5t comme rectiligne et ayant lieu dans la direction de la tang5te1 d'aprs la premire loi fondam5tale du m\vem5t4 ,la progression du corps en ce s5s ne s]a videmm5t due qu' la premire de ces deux composantes1 laquelle1 p> consqu5t1 on p\rra appliqu] la =mule lm5taire rapporte ci-dessus p> le m\vem5t rectiligne4 ,cette composante1 qui e/ d'ailleurs gale la =ce acclratrice totale multiplie p> le cos9us de son incl9aison sur la tang5te1 s]a donc exprime p> la seconde fonction drive de l'arc de la c\rbe relativem5t au temps4 ,en dveloppant cette quation p> les =mules gomtriques connues1 et introduisant dans le calcul les composantes de la =ce acclratrice totale p>alllem5t aux trois axes coordonns rectangulaires1 on p>vi5t f9alem5t aux trois quations fondam5tales ord9aires du m\vem5t curviligne ,le second mode1 plus simple et plus rguli]1 d ,eul]1 et depuis gnralem5t adopt1 consi/e obt5ir immdiatem5t ces quations en dcomposant directem5t le m\vem5t du corps *aque in/ant1 a9si que la =ce cont9ue totale dont il e/ anim1 en trois autres dans le s5s des trois axes coordonns4 ,d'aprs la troisime loi fondam5tale du m\vem5t1 le m\vem5t selon *aque axe tant indp5dant des m\vem5s suivant les deux autres n'e/ d qu' la composante totale des =ces acclratrices p>alllem5t cet axe1 en sorte que le m\vem5t curviligne se tr\ve a9si cont9uellem5t remplac p> le sy/me de trois m\vem5s rectilignes1 *acun desquels on peut aussitt appliqu] la ?orie dynamique prlim9aire indique ci-dessus4 ,en nommant ,x1 ,y1 ,z1 les composantes totales1 p>alllem5t aux trois axes des x1 des y1 et des z1 des =ces cont9ues qui agiss5t *aque in/ant dt sur la molcule dont les coordonnes sont x1 y1 z1 on obti5t a9si immdiatem5t les quations _/_/fracd#bxdt#b ,x1_/2_/fracd#bydt#b ,y1_/2_/fracd#bzdt#b ,z1_/ auxquelles on ne p>vi5t que p> un assez long calcul en suivant le premi] mode4 ,telles sont les quations diffr5tielles fondam5tales du m\vem5t curviligne1 d'aprs lesquelles les que/ions quelconques de dynamique relatives un corps dont t\tes les molcules pr5n5t exactem5t le mme m\vem5t se rduis5t immdiatem5t des problmes purem5t analytiques1 lorsque les donnes ont t conv5ablem5t exprimes4 ,en considrant d'abord la "q gnrale directe1 qui e/ la plus importante1 on se propose1 connaissant la loi des =ces cont9ues dont le corps e/ anim1 de dt]m9] t\tes les circon/ances de son m\vem5t effectif4 ,p\r cela1 de quelque manire que cette loi soit donne1 ou en fonction du temps1 ou en fonction des coordonnes1 ou en fonction de la vitesse1 il suffira en gnral d'intgr] ces trois quations du second ordre1 ce qui donn]a lieu des difficults analytiques plus ou mo9s leves1 que l'imp]fection du calcul intgral p\rra r5dre frquemm5t insurmontables4 ,les six con/antes arbitraires successivem5t introduites p> cette intgration se dt]m9]ont d'ailleurs en ayant g>d aux circon/ances de l'tat initial du mobile1 dont les quations diffr5tielles n'ont pu cons]v] aucune trace4 ,on obti5dra a9si les trois coordonnes du corps en fonction du temps1 de manire p\voir assign] exactem5t sa position *aque in/ant2 et on tr\v]a ensuite les deux quations c>actri/iques de la c\rbe qu'il dcrit1 en lim9ant le temps entre ces trois expressions4 ,quant la vitesse acquise p> le mobile une poque quelconque1 on p\rra ds lors la dt]m9] aussi d'aprs les valeurs de ses trois composantes1 dans le s5s des axes1 _/fracdxdt1 _/fracdydt1 _/fracdzdt4 ,il e/ d'ailleurs utile de rem>qu]1 cet g>d1 que cette vitesse v s]a s\v5t susceptible d'tre immdiatem5t calcule p> une comb9aison =t simple des trois quations diffr5tielles fondam5tales1 qui donne videmm5t la =mule gnrale _/v#b #b_/;int 7,xdx ,ydy ,zdz71_/ l'aide de laquelle une seule intgration suffira p\r la dt]m9ation directe de la vitesse1 lorsque l'expression place s\s le signe _/int satisf]a aux conditions connues d'intgrabilit relativem5t aux trois v>iables x1 y1 z1 envisages comme indp5dantes4 ,cette proprit n'a pas lieu1 sans d\te1 relativem5t t\tes les =ces cont9ues possibles1 ni mme p> rapport t\tes celles que n\s prs5t5t en effet les phnomnes naturels1 puisque1 p> exemple1 elle ne saurait se vrifi] p\r les =ces qui reprs5t5t la rsi/ance des milieux1 ou les frottem5s1 ou1 en gnral1 quant t\tes celles dont la loi primitive dp5d du temps ou de la vitesse elle-mme4 ,la rem>que prcd5te n'en e/ pas mo9s reg>de avec raison p> les gomtres comme ayant une extrme importance p\r simplifi] les re*]*es analytiques auxquelles se rduis5t les problmes de dynamique1 c> la condition nonce se vrifie con/amm5t1 a9si qu'il e/ ais de le pr\v]1 dans un cas p>ticuli] =t t5du1 qui compr5d t\tes les gr&es applications de la dynamique rationnelle la mcanique cle/e1 c'e/--dire celui o t\tes les =ces cont9ues dont le corps e/ anim sont des t5dances v]s des c5tres fixes1 agissant suivant une fonction quelconque de la di/ance du corps *aque c5tre1 mais indp5damm5t de la direction4 ,si1 pr5ant ma9t5ant en s5s inv]se la ?orie gnrale du m\vem5t curviligne d'une molcule libre1 on se propose de dt]m9]1 au contraire1 d'aprs les circon/ances c>actri/iques du m\vem5t effectif1 la loi des =ces acclratrices qui ont pu le produire1 la "q s]a ncessairem5t beauc\p plus simple s\s le rapport analytique1 puisqu'elle ne consi/]a ess5tiellem5t qu'en des diffr5tiations4 ,c> il s]a t\j\rs possible alors1 p> des re*]*es prlim9aires plus ou mo9s compliques1 qui ne p\rront port] que sur des considrations purem5t gomtriques1 de dduire1 de la df9ition primitive du m\vem5t propos1 les valeurs des trois coordonnes du mobile *aque in/ant en fonction du temps c\l2 et ds lors1 en diffr5tiant deux fois ces trois expressions1 on obti5dra les composantes des =ces cont9ues suivant les trois axes1 d'o l'on p\rra conclure immdiatem5t la loi de la =ce acclratrice totale1 de quelque nature qu'elle soit4 ,c'e/ a9si que n\s v]rons1 dans la seconde section de ce c\rs1 les trois lois gomtriques fondam5tales tr\ves p> ,kpl] p\r les m\vem5s des corps cle/es qui compos5t notre sy/me solaire1 n\s conduire ncessairem5t la loi de gravitation univ]selle1 qui devi5t ensuite la base de t\te la mcanique gnrale de l'univ]s4 ,aprs avoir tabli la ?orie du m\vem5t curviligne d'une molcule libre1 il e/ ais d'y faire r5tr] le cas o cette molcule e/ assujtie1 au contraire1 re/] sur une c\rbe donne4 ,il suffit1 comme je l'ai indiqu1 de compr5dre alors1 p>mi les =ces cont9ues auxquelles la molcule e/ primitivem5t s\mise1 la rsi/ance totale ex]ce p> la c\rbe propose1 ce qui p]mettra videmm5t de considr] le mobile comme entirem5t libre4 ,t\te la difficult propre ce second cas se rduit donc ess5tiellem5t analys] avec exactitude cette rsi/ance4 ,or il faut1 cet effet1 di/+u] d'abord1 dans la rsi/ance de la c\rbe1 deux p>ties trs-diffr5tes qu'on p\rrait appel]1 p\r les c>actris] nettem5t1 l'une /atique1 l'autre dynamique4 ,la rsi/ance /atique e/ celle qui aurait lieu lors mme que le corps s]ait immobile2 elle provi5t de la pression ex]ce sur la c\rbe propose p> les =ces acclratrices dont il e/ anim2 a9si on l'obti5dra en dt]m9ant la composante de la =ce cont9ue totale suivant la normale la c\rbe donne au po9t que l'on considre4 ,la rsi/ance dynamique a une orig9e t\te diffr5te2 elle n'e/ eng5dre que p> le m\vem5t1 et rsulte de la t5dance p]ptuelle du corps ab&onn] la c\rbe qu'il e/ =c de dcrire1 p\r cont9u] suivre1 en v]tu de la premire loi fondam5tale du m\vem5t1 la direction de la tang5te4 ,cette seconde rsi/ance1 qui se manife/e dans le passage du corps d'un lm5t de la c\rbe l'lm5t suivant1 e/ videmm5t dirige *aque in/ant selon la normale la c\rbe situe dans le plan osculateur1 et p\rra1 p> consqu5t1 n'avoir pas la mme direction que la rsi/ance /atique1 si le plan osculateur ne conti5t pas la droite suivant laquelle agit la =ce acclratrice totale4 ,c'e/ cette rsi/ance dynamique qu'on donne1 en gnral1 le nom de =ce c5trifuge1 t5ant ce que les seules =ces acclratrices considres d'abord p> les gomtres tai5t des =ces c5triptes1 ou des t5dances v]s des c5tres fixes4 ,quant son int5sit1 en concevant cette =ce c5trifuge comme une n\velle =ce acclratrice1 elle s]a mesure p> la composante normale que produit1 dans *aque in/ant inf9im5t petit1 la vitesse du mobile1 lorsqu'il passe d'un lm5t de la c\rbe un autre4 ,on tr\ve aism5t a9si1 aprs avoir lim9 les inf9itsimales auxiliaires introduites d'abord naturellem5t p> cette considration1 que la =ce c5trifuge e/ cont9uellem5t gale au c>r de la vitesse effective du mobile divis p> le rayon de c\rbure correspondant de la c\rbe propose4 ,du re/e1 cette expression fondam5tale1 aussi bi5 que la direction mme de la =ce c5trifuge1 p\rrai5t tre entirem5t obt5ues p> le calcul1 en introduisant pralablem5t cette =ce1 d'une manire compltem5t indt]m9e1 dans les trois quations diffr5tielles gnrales du m\vem5t curviligne rapportes ci-dessus4 ,quoi qu'il en soit1 aprs avoir dt]m9 la rsi/ance dynamique1 on la compos]a conv5ablem5t avec la rsi/ance /atique1 et1 en faisant entr] la rsi/ance totale p>mi les =ces proposes1 le problme s]a immdiatem5t ram5 au cas prcd5t4 ,la "q la plus rem>quable de ce g5re consi/e dans l'tude du m\vem5t oscillatoire d'un corps pesant sur une c\rbe quelconque 7et p>ticulirem5t sur un c]cle ou sur une cyclode71 dont l'exam5 philosophique doit naturellem5t tre r5voy la p>tie de ce c\rs qui conc]ne la physique proprem5t dite4 ,il s]ait sup]flu de considr] di/9ctem5t ici le cas o le mobile1 au lieu de devoir dcrire une c\rbe donne1 s]ait seulem5t assujti re/] sur une c]ta9e surface4 ,c'e/ ess5tiellem5t p> les mmes considrations qu'on ramne ce n\veau cas1 d'ailleurs peu important dans les applications1 celui d'un corps libre4 ,il n'y a d'autre diffr5ce relle qu'en ce qu'alors la trajectoire du mobile n'e/ pas d'abord entirem5t dt]m9e1 et qu'on e/ oblig1 p\r la connatre1 de jo9dre l'quation de la surface propose une autre quation f\rnie p> l'tude dynamique du problme4 ,considrons ma9t5ant1 p> ap]u1 le second mode gnral di/+u prcdemm5t p\r con/ruire la ?orie fondam5tale du m\vem5t curviligne d'une molcule isole1 en p>tant1 au contraire1 du cas o la molcule e/ pralablem5t assujtie dcrire une c\rbe donne4 ,t\te la difficult relle consi/e alors tablir directem5t le ?orme fondam5tal relatif la mesure de la =me c5trifuge4 ,or c'e/ ce qu'on peut faire aism5t1 en considrant d'abord le m\vem5t uni=me du corps dans un c]cle1 en v]tu d'une impulsion initiale1 et sans aucune =ce acclratrice1 a9si que l'a suppos ,huygh5s1 auquel e/ due la base de cette ?orie4 ,la =ce c5trifuge e/ ds lors videmm5t proportionnelle au s9us-v]se de l'arc de c]cle dcrit dans un in/ant inf9im5t petit1 conv5ablem5t comp> au temps correspondant1 d'o il e/ facile de conclure1 comme l'a fait ,huygh5s1 qu'elle a p\r expression le c>r de la vitesse con/ante avec laquelle le mobile dcrit le c]cle divis p> le rayon de ce c]cle4 ,ce rsultat une fois obt5u1 en le comb9ant avec une autre notion fondam5tale due ,huygh5s1 on en dduit immdiatem5t la valeur de la =ce c5trifuge dans une c\rbe quelconque4 ,il suffit1 p\r cela1 de concevoir que la dt]m9ation de cette =ce exigeant seulem5t la considration simultane de deux lm5s conscutifs de la c\rbe propose1 le m\vem5t peut tre cont9uellem5t envisag comme ayant lieu dans le c]cle osculateur correspondant1 puisque ce c]cle prs5te relativem5t la c\rbe deux lm5s successifs communs4 ,on peut donc directem5t transport] une c\rbe quelconque l'expression de la =ce c5trifuge tr\ve primitivem5t p\r le cas du c]cle1 et tablir1 comme dans la premire m?ode1 mais bi5 plus simplem5t1 qu'elle e/ gnralem5t gale au c>r de la vitesse divis p> le rayon du c]cle osculateur4 ,cette manire de procd] prs5te l'avantage de donn] une ide plus nette de la =ce c5trifuge4 ,le cas du m\vem5t dans une c\rbe dt]m9e tant a9si trait pralablem5t avec t\te la gnralit conv5able1 il e/ ais d'y ram5] celui d'un corps entirem5t libre1 dcrivant la trajectoire qui doit naturellem5t rsult] de l'action simultane de c]ta9es =ces acclratrices quelconques4 ,il suffit1 en effet1 suivant l'indication prcdemm5t exprime1 de concevoir le corps comme assujti re/] sur la c\rbe qu'il dcrira rellem5t1 ce qui revi5t videmm5t au mme1 puisqu'il importe peu1 en dynamique1 le corps ne p\vant po9t vritablem5t p>c\rir t\te autre c\rbe1 qu'il y soit contra9t p> la nature des =ces dont il e/ anim1 ou p> des conditions de liaison spciales4 ,ds lors ce m\vem5t donn]a naissance une vritable =ce c5trifuge1 exprime p> la =mule gnrale tr\ve ci-dessus4 ,ma9t5ant il e/ clair que1 si la =ce cont9ue totale dont le mobile e/ anim a t d'abord conue comme dcompose *aque in/ant en deux autres1 l'une dirige suivant la tang5te la trajectoire1 et l'autre selon la normale situe dans le plan osculateur1 cette d]nire doit ncessairem5t tre gale et directem5t oppose la =ce c5trifuge4 ,or1 cette composante normale ayant p\r expression la =ce cont9ue totale multiplie p> le cos9us de l'angle que sa direction =me avec la normale1 en galant cette valeur celle de la =ce c5trifuge1 on =m]a une quation fondam5tale d'o l'on p\rra dduire les quations gnrales du m\vem5t curviligne prcdemm5t obt5ues p> une autre m?ode4 ,on n'aura1 p\r cela1 d'autre trans=mation faire que d'introduire dans cette quation1 au lieu de la =ce cont9ue totale et de sa direction1 ses composantes selon les trois axes coordonns1 et de remplac]1 dans la =mule qui exprime la =ce c5trifuge1 la vitesse et le rayon de c\rbure p> leurs valeurs gnrales en fonction des coordonnes4 ,l'quation a9si obt5ue se dcompos]a naturellem5t en trois1 si l'on considre que1 devant avoir lieu p\r quelque sy/me que ce soit de =ces acclratrices et p\r une trajectoire quelconque1 elle doit se vrifi] sp>m5t p> rapport *acune des trois coordonnes1 envisages mom5tanm5t comme trois v>iables entirem5t indp5dantes4 ,ces trois quations se tr\v]ont tre exactem5t id5tiques celles rapportes ci-dessus4 ,quoique cette manire de les obt5ir soit bi5 mo9s directe1 et qu'elle exige un plus gr& app>eil analytique1 j'ai cep5dant cru ncessaire de l'indiqu] di/9ctem5t1 p>ce qu'elle me semble propre clair]1 s\s un rapport =t important1 la ?orie ord9aire du m\vem5t curviligne1 en r5dant s5sible l'exi/5ce de la =ce c5trifuge1 mme dans le cas d'un corps libre1 notion sur laquelle la m?ode habituellem5t adopte auj\rd'hui laisse communm5t beauc\p d'inc]titude et d'obscurit4 ,ayant suffisamm5t tudi1 dans ce qui prcde1 le c>actre gnral de la p>tie de la dynamique relative au m\vem5t d'un po9t1 ou1 ce qui revi5t au mme1 d'un corps dont t\tes les molcules se meuv5t id5tiquem5t1 n\s devons ma9t5ant exam9]1 s\s un semblable po9t de vue1 la p>tie de la dynamique la plus difficile et la plus t5due1 celle qui se rapporte au cas plus rel du m\vem5t d'un sy/me de corps lis entre eux d'une manire quelconque1 et dont les m\vem5s propres sont altrs p> les conditions dp5dantes de leur liaison4 ,je considr]ai soigneusem5t1 dans la leon suivante1 les rsultats gnraux obt5us jusqu'ici p> les gomtres1 relativem5t cet ordre de re*]*es4 ,je dois donc me born] /rictem5t ici c>actris] la m?ode gnrale d'aprs laquelle on e/ p>v5u conv]tir t\s les problmes de cette nature en de pures que/ions d'analyse4 ,dans cette d]nire p>tie de la dynamique1 il faut pralablem5t tablir une n\velle notion lm5taire1 relativem5t la mesure des =ces4 ,en effet1 les =ces considres jusqu'ici tant t\j\rs appliques une molcule unique1 ou du mo9s agissant t\tes sur un mme corps1 leur int5sit se tr\vait tre suffisamm5t mesure1 en ayant seulem5t g>d la vitesse plus ou mo9s gr&e qu'elles p\vai5t imprim] au mobile *aque in/ant4 ,mais1 qu& on vi5t envisag] simultanm5t les m\vem5s de plusieurs corps diffr5s1 cette manire de mesur] les =ces devi5t videmm5t insuffisante1 puisqu'on ne saurait se disp5s] de t5ir compte de la masse de *aque mobile1 aussi bi5 que de sa vitesse4 ,p\r la pr5dre conv5ablem5t en considration1 les gomtres ont tabli cette notion fondam5tale1 que les =ces susceptibles d'imprim] div]ses masses une mme vitesse sont exactem5t entre elles comme ces masses2 ou1 en d'autres t]mes1 que les =ces sont proportionnelles aux masses1 aussi bi5 que n\s les avons reconnues1 dans la qu9zime leon1 d'aprs la troisime loi physique du m\vem5t1 tre proportionnelles aux vitesses4 ,t\s les phnomnes relatifs la communication du m\vem5t p> le *oc1 ou de t\te autre manire1 ont con/amm5t confirm la supposition de cette n\velle proportionnalit4 ,il en rsulte videmm5t que lorsqu'il faut comp>]1 dans le cas le plus gnral1 des =ces qui imprim5t des masses 9gales des vitesses diffr5tes1 *acune d'elles doit tre mesure d'aprs le produit de la masse sur laquelle elle agit p> la vitesse correspondante4 ,ce produit1 auquel les gomtres ont donn communm5t le nom de quantit de m\vem5t1 dt]m9e exactem5t1 en effet1 la =ce d'impulsion d'un corps dans le *oc1 la p]cussion proprem5t dite1 a9si que la pression qu'un corps peut ex]c] contre t\t ob/acle fixe son m\vem5t4 ,telle e/ la n\velle notion lm5taire relative la mesure gnrale des =ces1 dont il s]ait peut-tre conv5able de faire une quatrime et d]nire loi fondam5tale du m\vem5t1 en tant du mo9s que cette notion n'e/ po9t rellem5t susceptible1 comme quelques gomtres l'ont p5s1 d'tre logiquem5t dduite des notions prcd5tes1 et ne saurait tre solidem5t tablie que sur des considrations physiques qui lui soi5t propres4 ,cette notion prlim9aire tant tablie1 exam9ons ma9t5ant la conception gnrale d'aprs laquelle peut tre traite la dynamique d'un sy/me quelconque de corps s\mis l'action de =ces quelconques4 ,la difficult c>actri/ique de cet ordre de que/ions consi/e ess5tiellem5t dans la manire de t5ir compte de la liaison des diffr5s corps du sy/me1 en v]tu de laquelle leurs ractions mutuelles altr]ont ncessairem5t les m\vem5s propres que *aque corps pr5drait1 s'il tait seul1 p> l'influ5ce des =ces qui le sollicit5t1 sans qu'on sa*e nullem5t priori en quoi peut consi/] cette altration4 ,a9si1 p\r *oisir un exemple trs-simple1 et nanmo9s important1 dans le clbre problme du m\vem5t d'un p5dule compos1 qui a t primitivem5t le pr9cipal sujet des re*]*es des gomtres sur cette p>tie suprieure de la dynamique1 il e/ vid5t que1 p> suite de la liaison tablie entre les corps ou les molcules les plus rappro*s du po9t de susp5sion1 et les corps ou les molcules qui en sont les plus loigns1 il s'ex]c]a une raction telle que ni les uns ni les autres n'oscill]ont comme s'ils tai5t libres1 le m\vem5t des premi]s tant ret>d1 et celui des d]ni]s tant acclr en v]tu de la ncessit o ils se tr\v5t d'oscill] simultanm5t1 sans qu'aucun pr9cipe dynamique dj tabli puisse faire connatre la loi qui dt]m9e ces ractions4 ,il en e/ de mme dans t\s les autres cas relatifs au m\vem5t d'un sy/me de corps4 ,on pr\ve donc videmm5t ici le beso9 de n\velles conceptions dynamiques4 ,les gomtres1 obissant ce sujet1 l'habitude impose presque con/amm5t p> la faiblesse de l'esprit huma91 ont d'abord trait cette n\velle srie de re*]*es1 en crant p\r a9si dire un n\veau pr9cipe p>ticuli] relativem5t *aque "q ess5tielle4 ,telles ont t l'orig9e et la de/9ation des div]ses proprits gnrales du m\vem5t que n\s exam9]ons dans la leon suivante1 et qui1 primitivem5t envisages comme autant de pr9cipes indp5dans les uns des autres1 ne sont plus auj\rd'hui1 aux yeux des gomtres1 que des ?ormes rem>quables f\rnis simultanm5t p> les quations dynamiques fondam5tales4 ,on peut suivre1 dans la ,mcanique analytique1 l'hi/oire gnrale de cette srie de travaux1 que ,lagrange a prs5te d'une manire si pr(ondm5t intressante p\r l'tude de la m>*e progressive de l'esprit huma94 ,cette manire de procd] a t cont9uellem5t adopte jusqu' d',alemb]t1 qui a mis f9 t\tes ces re*]*es isoles1 en s'levant une conception gnrale sur la manire de t5ir compte de la raction dynamique des corps d'un sy/me en v]tu de leurs liaisons1 et en tablissant p> suite les quations fondam5tales du m\vem5t d'un sy/me quelconque4 ,cette conception1 qui a t\j\rs s]vi depuis1 et qui s]vira indf9im5t de base t\tes les re*]*es relatives la dynamique des corps1 consi/e ess5tiellem5t faire r5tr] les que/ions de m\vem5t dans de simples que/ions d'quilibre1 l'aide de ce clbre pr9cipe gnral auquel l'accord unanime des gomtres a donn1 avec tant de raison1 le nom de pr9cipe de d',alemb]t4 ,considrons donc ma9t5ant ce pr9cipe d'une manire directe4 ,lorsque1 p> les ractions que div]s corps ex]c5t les uns sur les autres en v]tu de leur liaison1 *acun d'eux pr5d un m\vem5t diffr5t de celui que les =ces dont il e/ anim lui euss5t imprim s'il et t libre1 on peut videmm5t reg>d] le m\vem5t naturel comme dcompos en deux1 dont l'un e/ celui qui aura effectivem5t lieu1 et dont l'autre1 p> consqu5t1 a t dtruit4 ,le pr9cipe de d',alemb]t consi/e proprem5t en ce que t\s les m\vem5s de ce d]ni] g5re1 ou1 en d'autres t]mes1 les quantits de m\vem5s p]dues ou gagnes p> les diffr5s corps du sy/me dans leur raction1 se font ncessairem5t quilibre1 en ayant g>d aux conditions de liaison qui c>actris5t le sy/me propos4 ,cette lum9euse conception gnrale a t d'abord entrevue p> ,jacques ,b]n\illi dans un cas p>ticuli]2 c> telle e/ videmm5t la considration qu'il emploie p\r rs\dre le problme du p5dule compos1 lorsqu'il reg>de la quantit de m\vem5t p]due p> le corps le plus rappro* du po9t de susp5sion1 et la quantit de m\vem5t gagne p> celui qui en e/ le plus loign1 comme devant ncessairem5t satisfaire la loi d'quilibre du levi]1 relativem5t au po9t de susp5sion1 ce qui le conduit =m] immdiatem5t une quation susceptible de dt]m9] le c5tre d'oscillation du sy/me de poids le plus simple4 ,mais cette ide n'tait1 p\r ,jacques ,b]n\illi1 qu'un artifice isol qui n'te ri5 au mrite de la gr&e conception de d',alemb]t1 dont la proprit ess5tielle consi/e dans son entire gnralit ncessaire4 ,en considrant le pr9cipe de d',alemb]t s\s le po9t de vue le plus philosophique1 on peut1 ce me semble1 en reconnatre le vritable g]me primitif dans la seconde loi fondam5tale du m\vem5t 7voyez la qu9zime leon71 tablie p> ,newton s\s le nom d'galit de la raction l'action4 ,le pr9cipe de d',alemb]t concide exactem5t1 en effet1 avec cette loi de ,newton1 qu& on envisage seulem5t un sy/me de deux corps1 agissant l'un sur l'autre suivant la ligne qui les jo9t4 ,ce pr9cipe peut donc tre envisag comme la plus gr&e gnralisation possible de la loi de la raction gale et contraire l'action2 et cette manire n\velle de le concevoir me p>at propre faire ressortir sa vritable nature1 en lui donnant a9si un c>actre physique1 au lieu du c>actre purem5t logique qui lui avait t imprim p> d',alemb]t4 ,en consqu5ce n\s ne v]rons dsormais dans ce gr& pr9cipe que notre seconde loi du m\vem5t t5due un nombre quelconque de corps1 disposs entr'eux d'une manire quelconque4 ,d'aprs ce pr9cipe gnral1 on conoit que t\te "q de dynamique p\rra tre immdiatem5t conv]tie en une simple "q de /atique1 puisqu'il suffira de =m]1 dans *aque cas1 les quations d'quilibre entre les m\vem5s dtruits2 ce qui donne la c]titude ncessaire de p\voir mettre en quation un problme quelconque de dynamique1 et de le faire a9si dp5dre uniquem5t de re*]*es analytiques4 ,mais la =me s\s laquelle le pr9cipe de d',alemb]t a t primitivem5t conu n'e/ po9t la plus conv5able p\r effectu] avec facilit cette trans=mation fondam5tale1 vu la gr&e difficult qu'on pr\ve s\v5t disc]n] quels doiv5t tre les m\vem5s dtruits1 comme on peut ple9em5t s'en conva9cre p> l'exam5 att5tif du ,trait de dynamique de d',alemb]t1 dont les solutions sont ord9airem5t si compliques4 ,h]mann1 et surt\t ,eul] ont *]* faire disp>atre la considration emb>rassante des quantits de m\vem5t p]dues ou gagnes1 en remplaant les m\vem5s dtruits p> les m\vem5s primitifs composs avec les m\vem5s effectifs pris en s5s contraire1 ce qui revi5t videmm5t au mme1 puisque1 qu& une =ce a t dcompose en deux1 on peut rciproquem5t sub/itu] l'une des composantes la comb9aison de la rsultante avec l'autre composante prise en s5s contraire4 ,ds lors le pr9cipe de d',alemb]t1 envisag s\s ce n\veau po9t de vue1 consi/e simplem5t1 en ce que les m\vem5s effectifs con=mes la liaison des corps du sy/me devront ncessairem5t1 tant pris en s5s inv]se1 faire t\j\rs quilibre aux m\vem5s primitifs qui rsult]ai5t de la seule action des =ces proposes sur *aque corps suppos libre2 ce qui peut d'ailleurs tre tabli directem5t1 c> il e/ vid5t que le sy/me s]ait en quilibre si on imprimait *aque corps une quantit de m\vem5t gale et contraire celle qu'il pr5dra effectivem5t4 ,cette n\velle =me donne p> ,eul] au pr9cipe de d',alemb]t e/ la plus conv5able p\r en faire usage1 comme ne pr5ant en considration que les m\vem5s primitifs et les m\vem5s effectifs1 qui sont les vritables lm5s du problme dynamique1 dont les uns con/itu5t les donnes et les autres les inconnues4 ,tel e/1 en effet1 le po9t de vue df9itif s\s lequel le pr9cipe de d',alemb]t a t habituellem5t conu depuis4 ,les que/ions relatives au m\vem5t tant a9si gnralem5t rduites1 de la manire la plus simple possible1 de pures que/ions d'quilibre1 la m?ode la plus philosophique p\r trait] la dynamique rationnelle consi/e comb9] le pr9cipe de d',alemb]t avec le pr9cipe des vitesses virtuelles1 qui f\rnit directem5t1 comme n\s l'avons vu dans la leon prcd5te1 t\tes les quations ncessaires l'quilibre d'un sy/me quelconque4 ,telle e/ la comb9aison conue p> ,lagrange1 et si admirablem5t dveloppe dans sa ,mcanique analytique1 qui a lev la sci5ce gnrale de la mcanique ab/raite au plus haut degr de p]fection que l'esprit huma9 puisse ambitionn] s\s le rapport logique1 c'e/--dire une rig\reuse unit1 t\tes les que/ions qui peuv5t s'y rapport] tant dsormais uni=mm5t ratta*es un pr9cipe unique1 d'aprs lequel la solution df9itive d'un problme quelconque ne prs5te plus ncessairem5t que des difficults analytiques4 ,p\r tablir le plus simplem5t possible la =mule gnrale de la dynamique1 concevons que t\tes les =ces acclratrices du sy/me quelconque propos ai5t t dcomposes p>alllem5t aux trois axes des coordonnes1 et soi5t ,x1 ,y1 ,z1 les gr\pes de =ces correspondant aux axes des x1 y1 z2 en dsignant p> m la masse du sy/me1 il devra y avoir quilibre1 d'aprs le pr9cipe de d',alemb]t1 entre les quantits primitives de m\vem5t m,x1 m,y1 m,z1 et les quantits de m\vem5t effectives prises en s5s contraire1 qui s]ont videmm5t exprimes p> -md#bx_/ov]dt#b1 -md#by_/ov]dt#b1 -md#bz_/ov]dt#b1 suivant les trois axes4 ,a9si1 appliquant cet ensemble de =ces le pr9cipe gnral des vitesses virtuelles1 en ayant so9 de di/+u] les v>iations relatives aux diffr5s axes1 on obti5dra l'quation _/_/int m_/left7,x-_/fracd#bxdt#b_/"r7_/delta x _/int m_/left7,y-_/fracd#bydt#b_/"r7_/delta y _/ _/_/int m_/left7,z-_/fracd#bzdt#b_/"r7_/delta z #j1_/ qui peut tre reg>de comme compr5ant implicitem5t t\tes les quations ncessaires p\r l'entire dt]m9ation des div]ses circon/ances relatives au m\vem5t d'un sy/me quelconque de corps sollicits p> des =ces quelconques4 ,les quations explicites se dduiront conv5ablem5t1 dans *aque cas1 de celle =mule gnrale1 en rduisant t\tes les v>iations au plus petit nombre possible1 d'aprs les conditions de liaison qui c>actris]ont le sy/me propos1 ce qui f\rnira autant d'quations di/9ctes qu'il re/]a de v>iations rellem5t indp5dantes4 ,af9 de faire ressortir1 s\s le po9t de vue philosophique1 t\te la fcondit de cette =mule1 et de montr] qu'elle compr5d rig\reusem5t l'ensemble total de la dynamique1 il convi5t de rem>qu] qu'on en p\rrait mme tir]1 comme un simple cas p>ticuli]1 la ?orie du m\vem5t curviligne d'une molcule unique2 que n\s avons spcialem5t considre dans la premire p>tie de cette leon4 ,en effet il e/ vid5t que1 si t\tes les =ces cont9ues proposes agiss5t sur une seule molcule1 la masse m disp>at de l'quation gnrale prcd5te1 qui1 en di/+uant sp>m5t le m\vem5t virtuel relatif *aque axe1 f\rnit immdiatem5t les trois quations fondam5tales tablies ci-dessus p\r le m\vem5t d'un po9t4 ,mais1 bi5 qu'on doive considr] cette filiation1 sans laquelle on ne concevrait pas t\te l't5due relle de la =mule gnrale de la dynamique1 la ?orie du m\vem5t d'une seule molcule n'exige po9t vritablem5t l'emploi du pr9cipe de d',alemb]t1 qui e/ ess5tiellem5t de/9 l'tude dynamique des sy/mes de corps4 ,cette premire ?orie e/ trop simple p> elle-mme1 et rsulte trop immdiatem5t des lois fondam5tales du m\vem5t1 p\r que je n'aie pas cru devoir1 con=mm5t l'usage ord9aire1 la prs5t] d'abord isolm5t1 af9 de r5dre plus nettes les importantes notions gnrales auxquelles elle donne naissance1 quoique n\s devions f9ir p> la faire r5tr]1 en vue d'une coord9ation plus p>faite1 dans la =mule inv>iable qui r5f]me ncessairem5t t\tes les ?ories dynamiques possibles4 ,ce s]ait sortir des limites naturelles de ce c\rs que d'indiqu] ici aucune application spciale de cette =mule gnrale la solution effective d'un problme dynamique quelconque1 la m?ode devant tre le seul objet ess5tiel de nos considrations philosophiques1 sauf l'indication des rsultats pr9cipaux qu'elle a produits1 et dont n\s n\s occup]ons dans la leon suivante4 ,je crois cep5dant devoir rappel] ce sujet1 comme une conception vraim5t relative la m?ode bi5 plus qu' la sci5ce1 la di/9ction ncessaire1 signale dans la leon prcd5te1 entre les m\vem5s de translation et les m\vem5s de rotation4 ,p\r tudi] conv5ablem5t le m\vem5t d'un sy/me quelconque1 il faut1 en effet1 l'envisag] comme compos d'une translation commune t\tes ses p>ties1 et d'une rotation propre *acun de ses po9ts aut\r d'un c]ta9 axe con/ant ou v>iable4 ,p> des motifs de simplification analytique dont n\s aurons occasion1 dans la leon suivante1 d'indiqu] l'orig9e1 les gomtres considr5t t\j\rs de prfr5ce le m\vem5t de rotation d'un sy/me quelconque relativem5t son c5tre de gravit1 ou1 p\r mieux dire1 son c5tre des moy5nes di/ances1 qui prs5te1 s\s ce rapport1 des proprits gnrales trs-rem>quables1 dont la dc\v]te e/ due ,eul]4 ,ds lors l'analyse complte du m\vem5t d'un sy/me anim de =ces quelconques consi/e ess5tiellem5t3 #a dt]m9] *aque in/ant la vitesse du c5tre de gravit et la direction dans laquelle il se meut1 ce qui suffit p\r faire connatre1 comme n\s le con/at]ons1 t\t ce qui conc]ne la translation du sy/me2 #b dt]m9] galem5t *aque in/ant la direction de l'axe in/antan de rotation passant p> le c5tre de gravit1 et la vitesse de rotation de *aque p>tie du sy/me aut\r de cet axe4 ,il e/ clair1 en effet1 que t\tes les circon/ances secondaires du m\vem5t p\rront ncessairem5t tre dduites1 dans *aque cas1 de ces deux dt]m9ations pr9cipales4 ,la =mule gnrale de la dynamique1 tablie ci-dessus1 e/ videmm5t1 p> sa nature1 t\t aussi directem5t applicable au m\vem5t des fluides qu' celui des solides1 p\rvu qu'on pr5ne conv5ablem5t en considration les conditions qui c>actris5t l'tat fluide1 soit liquide1 soit gazeux1 ce que n\s avons eu occasion d'indiqu] dans la leon prcd5te au sujet de l'quilibre4 ,aussi d',alemb]t1 aprs avoir dc\v]t le pr9cipe fondam5tal qui lui a p]mis1 vu les progrs de la /atique1 de trait] dans son ensemble la dynamique d'un sy/me quelconque1 en a-t-il fait immdiatem5t application l'tablissem5t des quations gnrales du m\vem5t des fluides1 entirem5t inconnues jusqu'alors4 ,ces quations s'obti5n5t surt\t avec une gr&e facilit d'aprs le pr9cipe des vitesses virtuelles1 tel qu'il e/ exprim p> la =mule gnrale prcd5te4 ,cette p>tie de la dynamique ne laisse donc rellem5t ri5 dsir] s\s le rapport concret1 et ne prs5te plus que des difficults purem5t analytiques1 relatives l'intgration des quations aux diffr5ces p>tielles auxquelles on p>vi5t4 ,mais il faut reconnatre que cette intgration gnrale (frant jusqu'ici des ob/acles insurmontables1 les connaissances effectives qu'on peut dduire de cette ?orie sont encore extrmem5t imp>faites1 mme dans les cas les plus simples2 ce qui n\s sembl]a sans d\te 9vitable1 en considrant la gr&e complication que n\s avons dj reconnue cet g>d dans les que/ions de pure /atique1 dont la nature e/ cep5dant bi5 mo9s complexe4 ,le seul problme de l'c\lem5t d'un liquide pesant p> un orifice donn1 quelque facile qu'il doive p>atre1 n'a pu encore tre rsolu d'une manire vraim5t satisfaisante4 ,af9 de simplifi] suffisamm5t les re*]*es analytiques dont il dp5d1 les gomtres ont t obligs d'adopt] la clbre hypo?se propose p> ,daniel ,b]n\illi s\s le nom de p>alllisme des tran*es1 qui p]met de ne considr] le m\vem5t que p> tran*es1 au lieu de devoir l'envisag] molcule molcule4 ,mais cette hypo?se1 qui consi/e reg>d] *aque section horizontale du liquide comme se m\vant en totalit et pr5ant la place de la suivante1 e/ videmm5t en contradiction =melle avec la ralit dans presque t\s les cas1 except dans un petit nombre de circon/ances *oisies p\r a9si dire expressm5t1 cause des m\vem5s latraux dont une telle hypo?se fait compltem5t ab/raction1 et dont l'exi/5ce s5sible impose ncessairem5t la loi d'tudi] isolm5t le m\vem5t de *aque molcule4 ,la sci5ce gnrale de l'hydrodynamique ne peut donc rellem5t tre encore envisage que comme tant sa naissance1 mme relativem5t aux liquides1 et plus =te raison l'g>d des gaz4 ,mais il importe m9emm5t de reconnatre1 d'un autre ct1 que t\s les gr&s travaux qui re/5t faire s\s ce rapport consi/5t ess5tiellem5t dans les progrs de la seule analyse ma?matique1 les quations fondam5tales du m\vem5t des fluides tant irrvocablem5t tablies4 ,aprs avoir considr s\s ses div]s aspects pr9cipaux le c>actre gnral de la m?ode en mcanique rationnelle1 et indiqu comm5t t\tes les que/ions qu'elle petit (frir se rduis5t des re*]*es purem5t analytiques1 il n\s re/e ma9t5ant1 p\r complt] l'exam5 philosophique de cette sci5ce fondam5tale1 envisag]1 dans la leon suivante1 les rsultats pr9cipaux obt5us p> l'esprit huma9 en procdant a9si1 c'e/--dire les proprits gnrales les plus rem>quables de l'quilibre et du m\vem5t4 ,,dix-,,huiti,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations sur les ?ormes gnraux de mcanique rationnelle4 ,le b et l'esprit de cet ouvrage1 aussi bi5 que son t5due naturelle1 n\s int]dis5t ncessairem5t ici t\t dveloppem5t spcial relatif l'application des quations fondam5tales de l'quilibre et du m\vem5t1 la solution effective d'aucun problme mcanique p>ticuli]4 ,nanmo9s1 on ne se =m]ait qu'une ide incomplte du c>actre philosophique de la mcanique rationnelle envisage dans son ensemble1 si1 aprs avoir conv5ablem5t tudi la m?ode1 on ne considrait enf9 les gr&s rsultats ?oriques de la sci5ce1 c'e/--dire les pr9cipales proprits gnrales de l'quilibre et du m\vem5t dc\v]tes jusqu'ici p> les gomtres1 et qui n\s re/5t ma9t5ant exam9]4 ,ces div]ses proprits ont t conues dans l'orig9e comme autant de vritables pr9cipes1 dont *acun tait de/9 primitivem5t procur] la solution d'un c]ta9 ordre de n\veaux problmes mcaniques1 suprieurs aux m?odes connues jusqu'alors4 ,mais1 depuis que l'ensemble de la mcanique rationnelle a pris son c>actre sy/matique df9itif1 *acun de ces anci5s pr9cipes a t ram5 n'tre plus qu'un simple ?orme plus ou mo9s gnral1 rsultat ncessaire des ?ories fondam5tales de la /atique et de la dynamique ab/raites3 c'e/ seulem5t s\s ce po9t de vue philosophique que n\s devons les envisag] ici4 ,comm5ons p> ceux qui se rapport5t la /atique4 ,le ?orme le plus rem>quable qui ait t dduit jusqu' prs5t des quations gnrales de l'quilibre e/ la clbre proprit1 primitivem5t dc\v]te p> ,torricelli1 relativem5t l'quilibre des corps pesans4 ,elle consi/e proprem5t en ce que1 qu& un sy/me quelconque de corps pesans e/ dans sa situation d'quilibre1 son c5tre de gravit e/ ncessairem5t plac au po9t le plus bas ou le plus haut possible1 comp>ativem5t t\tes les positions qu'il p\rrait pr5dre d'aprs t\te autre situation du sy/me4 ,torricelli d'abord prs5t cette proprit comme immdiatem5t vrifie p> les conditions d'quilibre connues de t\s les sy/mes de poids considrs jusqu'alors4 ,mais les considrations gnrales d'aprs lesquelles il a t5t ensuite de la dmontr] directem5t sont rellem5t peu satisfaisantes1 et (fr5t un exemple s5sible de la ncessit de se dfi]1 dans les sci5ces ma?matiques1 de t\te ide dont le c>actre n'e/ po9t p>faitem5t prcis1 quelque plausible qu'elle puisse d'ailleurs p>atre4 ,en effet le raisonnem5t de ,torricelli consi/e ess5tiellem5t rem>qu] que la t5dance naturelle du poids tant de desc5dre1 il y aura ncessairem5t quilibre si le c5tre de gravit se tr\ve plac le plus bas possible4 ,l'insuffisance de cette considration e/ vid5te1 puisqu'elle n'explique po9t p\rquoi il y a galem5t quilibre qu& le c5tre de gravit e/ plac le plus haut possible1 et qu'elle t5drait mme dmontr] que ce second cas d'quilibre ne peut exi/]1 t&is que1 s\s le po9t de vue ?orique1 il e/ aussi rel que le premi]1 quoique1 p> le dfaut de /abilit1 on ait r>em5t occasion de l'obs]v] dans la pratique4 ,a9si1 p\r *oisir un exemple trs-simple1 la loi d'quilibre d'un p5dule exige que le c5tre de gravit du poids soit plac sur la v]ticale m5e p> le po9t de susp5sion1 ce qui (fre une vrification palpable du ?orme de ,torricelli2 mais1 qu& on fait ab/raction de la /abilit1 il e/ vid5t que ce c5tre de gravit peut d'ailleurs tre indiffremm5t au-dessus ou au-dess\s du po9t de susp5sion1 l'quilibre ayant galem5t lieu dans les deux cas4 ,la vritable dmon/ration gnrale du ?orme de ,torricelli consi/e le dduire du pr9cipe fondam5tal des vitesses virtuelles1 qui le f\rnit immdiatem5t avec la plus gr&e facilit4 ,il suffit1 en effet1 p\r cela1 d'appliqu] directem5t ce pr9cipe l'quilibre d'un sy/me quelconque de corps pesans1 l'g>d duquel il donne aussitt l'quation _/_/int ,pdz #j1_/ o ,p dsigne un quelconque des poids1 et z la hauteur v]ticale de son c5tre de gravit4 ,or1 d'aprs la df9ition gnrale du c5tre de gravit de t\t sy/me de poids1 on a videmm5t en nommant ,p4 le poids total du sy/me1 et z1 l'ordonne v]ticale de son c5tre de gravit1 la relation _/_/int ,pdz ,p#a;dz#a4_/ ,a9si l'quation des vitesses virtuelles devi5t1 dans ce cas1 dz#a #j2 ce qui1 con=mm5t la ?orie analytique gnrale des maxima et m9ima1 dmontre immdiatem5t que la hauteur v]ticale du c5tre de gravit du sy/me e/ alors un maximum ou un m9imum1 comme l'indique le ?orme de ,torricelli4 ,cette importante proprit1 indp5damm5t du gr& intrt qu'elle prs5te s\s le po9t de vue physique1 peut mme tre avantageusem5t employe p\r facilit] la solution gnrale de plusieurs problmes ess5tiels de /atique rationnelle1 relativem5t aux corps pesans4 ,a9si1 p> exemple1 elle suffit l'entire rsolution de la clbre "q de la *anette1 c'e/--dire de la figure que pr5d une *ane pesante susp5due deux po9ts fixes1 et ensuite librem5t ab&onne la seule influ5ce de la gravit1 en la supposant p>faitem5t flexible1 et de plus inext5sible4 ,en effet1 le ?orme de ,torricelli indiquant alors que le c5tre de gravit doit tre plac le plus bas possible1 le problme app>ti5t immdiatem5t la ?orie gnrale des isoprimtres1 indique dans la huitime leon1 puisqu'il se rduit dt]m9]1 p>mi t\tes les c\rbes de mme cont\r traces entre les deux po9ts fixes donns1 quelle e/ celle qui j\it de cette proprit c>actri/ique1 que la hauteur v]ticale de son c5tre de gravit totale soit un m9imum1 condition qui suffit p\r dt]m9] compltem5t1 l'aide du calcul des v>iations1 l'quation diffr5tielle1 et ensuite l'quation f9ie de la c\rbe *]*e4 ,il en e/ de mme dans quelques autres que/ions intressantes relatives l'quilibre des poids4 ,le ?orme de ,torricelli a pr\v plus t>d une importante gnralisation p> les travaux de ,maup]tuis1 qui1 s\s le nom de loi du repos1 a dc\v]t une proprit trs-t5due de l'quilibre1 dont celle ci-dessus considre n'e/ plus qu'un simple cas p>ticuli]4 ,c'e/ seulem5t la pesanteur t]re/re1 ou la gravit proprem5t dite1 que s'applique la loi tr\ve p> ,torricelli4 ,celle de ,maup]tuis s't5d1 au contraire1 t\tes les =ces attractives qui peuv5t faire t5dre les corps d'un sy/me quelconque v]s des c5tres fixes1 ou les uns v]s les autres1 suivant une fonction quelconque de la di/ance1 indp5dante de la direction1 ce qui compr5d t\tes les gr&es =ces naturelles4 ,on sait que1 dans ce cas1 l'expression ,p_/delta p,p'_/delta p' etc41 qui =me le premi] membre de l'quation gnrale des vitesses virtuelles1 se tr\ve ncessairem5t tre t\j\rs une diffr5tielle exacte4 ,p> consqu5t1 le pr9cipe des vitesses virtuelles consi/e alors proprem5t en ce que la v>iation de son intgrale e/ nulle1 ce qui indique videmm5t1 d'aprs la ?orie fondam5tale des maxima et m9ima1 que cette intgrale _/int ,p_/delta p e/ con/amm5t1 dans le cas d'quilibre1 un maximum ou un m9imum4 ,c'e/ en cela que consi/e la loi de ,maup]tuis1 considre s\s le po9t de vue le plus gnral1 et dduite a9si directem5t avec une extrme simplicit du pr9cipe fondam5tal des vitesses virtuelles1 qui doit ncessairem5t r5f]m] implicitem5t t\tes les proprits auxquelles peut donn] lieu la ?orie de l'quilibre4 ,le ?orme de ,maup]tuis a t prs5t p> ,lagrange s\s un aspect plus concret et plus rem>quable1 en le ratta*ant la notion des =ces vives1 dont n\s n\s occup]ons plus bas4 ,lagrange1 considrant que l'intgrale _/int ,p_/delta p envisage p> ,maup]tuis e/ ncessairem5t t\j\rs1 d'aprs la ?orie analytique gnrale du m\vem5t1 le complm5t de la somme des =ces vives du sy/me une c]ta9e con/ante1 en a conclu que cette somme de =ces vives e/ un m9imum lorsque l'intgrale prcd5te e/ un maximum1 et rciproquem5t4 ,d'aprs cela1 le ?orme de ,maup]tuis peut tre envisag plus simplem5t comme consi/ant en ce que la situation d'quilibre d'un sy/me quelconque e/ con/amm5t celle dans laquelle la somme des =ces vives se tr\ve tre un maximum ou un m9imum4 ,il e/ vid5t que1 dans le cas p>ticuli] de la pesanteur t]re/re1 cette loi concide exactem5t avec celle de ,torricelli1 la =ce vive tant alors gale1 comme on sait1 au produit du poids p> la hauteur v]ticale du c5tre de gravit1 laquelle doit donc dev5ir ncessairem5t un maximum ou un m9imum1 s'il y a quilibre4 ,une autre proprit gnrale trs-rem>quable de l'quilibre1 qui peut tre reg>de comme le complm5t indisp5sable du ?orme de ,torricelli et de ,maup]tuis1 consi/e dans la di/9ction fondam5tale des cas de /abilit ou d'in/abilit de l'quilibre4 ,on sait que l'quilibre peut tre /able ou in/able1 c'e/--dire que le corps1 inf9im5t peu c>t de sa situation d'quilibre1 peut t5dre y rev5ir1 et y ret\rne en effet aprs un c]ta9 nombre d'oscillations bi5tt ananties p> la rsi/ance du milieu1 les frottem5s1 etc41 ou bi5 qu'il t5d1 au contraire1 s'en loign] de plus en plus1 p\r ne s'arrt] que dans une n\velle position d'quilibre /able4 ,ce que n\s appelons physiquem5t l'tat de repos d'un corps n'e/ rellem5t autre *ose que l'quilibre /able1 c> le repos ab/rait1 tel que les gomtres le conoiv5t1 lorsqu'ils suppos5t un corps qui ne s]ait sollicit p> aucune =ce1 ne saurait videmm5t exi/] dans la nature1 o il ne peut y avoir que des quilibres plus ou mo9s durables4 ,l'quilibre in/able1 au contraire1 con/itue effectivem5t ce que le vulgaire appelle proprem5t quilibre1 qui dsigne t\j\rs un tat plus ou mo9s passag] et artificiel4 ,la proprit gnrale que n\s considrons ma9t5ant1 et dont la dmon/ration complte e/ due ,lagrange1 consi/e en ce que1 dans un sy/me quelconque1 l'quilibre e/ /able ou in/able1 suivant que l'intgrale envisage p> ,maup]tuis1 et qui a t indique1 ci-dessus1 se tr\ve tre un m9imum ou un maximum2 ou1 ce qui revi5t au mme1 comme n\s l'avons dit1 suivant que la somme des =ces vives e/ un maximum ou un m9imum4 ,ce beau ?orme de mcanique1 appliqu au cas le plus simple et le plus rem>quable1 celui de l'quilibre des corps pesans considr p> ,torricelli1 appr5d alors que le sy/me e/ dans un tat d'quilibre /able1 qu& le c5tre de gravit e/ plac le plus bas possible1 et dans un tat d'quilibre in/able qu&1 au contraire1 le c5tre de gravit e/ plac le plus haut possible1 ce qu'il e/ ais de vrifi] directem5t p\r les sy/mes les mo9s compliqus4 ,a9si1 p> exemple1 l'quilibre d'un p5dule e/ videmm5t /able1 qu& le c5tre de gravit du poids se tr\ve tre situ au dessus du po9t de susp5sion1 et in/able qu& il e/ au dess\s4 ,de mme1 un ellipsode de rvolution1 pos sur un plan horizontal1 e/ en quilibre /able qu& il repose sur le sommet de son petit axe1 et en quilibre in/able qu& c'e/ sur le sommet de son gr& axe4 ,la seule obs]vation aurait suffi sans d\te p\r di/+u] les deux tats dans des cas aussi simples4 ,mais la ?orie la plus pr(onde a t ncessaire p\r dvoil] aux gomtres que cette di/9ction fondam5tale tait galem5t applicable aux sy/mes les plus composs1 en montrant que lorsque l'intgrale relative la somme des mom5s virtuels e/ un m9imum1 le sy/me ne peut faire aut\r de sa situation d'quilibre que des oscillations trs-petites et dont l't5due e/ dt]m9e1 t&is que1 si cette intgrale e/1 au contraire1 un maximum1 ces oscillations peuv5t acqurir et acquir5t en effet une t5due f9ie et quelconque4 ,il e/ d'ailleurs inutile d'av]tir que1 p> leur nature1 ces proprits1 a9si que les prcd5tes1 ont lieu dans les fluides t\t aussi bi5 que dans les solides1 ce qui e/ galem5t le c>actre de t\tes les proprits mcaniques gnrales l'exam5 desquelles n\s avons de/9 cette leon4 ,considrons ma9t5ant les ?ormes gnraux de mcanique relatifs au m\vem5t4 ,depuis que ces proprits ont cess d'tre envisages comme autant de pr9cipes1 et qu'on n'y a vu que des simples rsultats ncessaires des ?ories dynamiques fondam5tales1 la manire la plus directe et la plus conv5able de les tablir consi/e les prs5t]1 a9si que l'a fait ,lagrange1 comme des consqu5ces immdiates de l'quation gnrale de la dynamique1 dduite de la comb9aison du pr9cipe d',alemb]t avec le pr9cipe des vitesses virtuelles1 telle que n\s l'avons expose dans la leon prcd5te4 ,on doit mettre au nombre des avantages les plus s5sibles de cette m?ode1 comme ,lagrange l'a ju/em5t rem>qu1 cette facilit qu'elle (fre p\r la dmon/ration de ces gr&s ?ormes de dynamique dans leur plus gr&e gnralit1 dmon/ration laquelle on ne p\vait autrem5t p>v5ir que p> des considrations indirectes et =t compliques4 ,nanmo9s la nature de ce c\rs n\s int]dit d'indiqu] spcialem5t ici *acune de ces dmon/rations1 et n\s devons n\s born] considr] seulem5t les div]s rsultats4 ,le premi] ?orme gnral de dynamique e/ celui que ,newton a dc\v]t relativem5t au m\vem5t du c5tre de gravit d'un sy/me quelconque1 et qui e/ habituellem5t connu s\s le nom de pr9cipe de la cons]vation du m\vem5t du c5tre de gravit4 ,newton a reconnu le premi] et dmontr p> des considrations extrmem5t simples1 au comm5cem5t de son gr& trait des pr9cipes ma?matiques de la philosophie naturelle1 que l'action mutuelle des corps d'un sy/me les uns sur les autres1 soit p> attraction1 soit p> impulsion1 en un mot d'une manire quelconque1 en ayant conv5ablem5t g>d l'galit con/ante et ncessaire entre la raction et l'action1 ne peut nullem5t altr] l'tat du c5tre de gravit1 en sorte que1 s'il n'y a pas d'autres =ces acclratrices que ces actions rciproques1 et si les =ces extrieures du sy/me se rduis5t seulem5t des =ces in/antanes1 le c5tre de gravit re/]a t\j\rs immobile ou se m\v]a uni=mm5t en ligne droite4 ,d',alemb]t a1 depuis1 gnralis cette proprit1 et pr\v que1 quelqu'altration que puisse introduire l'action mutuelle des corps du sy/me dans le m\vem5t de *acun d'eux1 le c5tre de gravit n'en e/ jamais affect1 et que son m\vem5t a con/amm5t lieu comme si t\tes les =ces du sy/me y tai5t directem5t appliques p>alllem5t leur direction1 quelles que soi5t les =ces extrieures de ce sy/me1 et en supposant seulem5t qu'il ne prs5te aucun po9t fixe4 ,c'e/ ce qu'il e/ ais de dmontr]1 en dveloppant1 dans la =mule gnrale de la dynamique1 les quations relatives au m\vem5t de translation1 qui1 p> la proprit analytique fondam5tale du c5tre de gravit1 se tr\v5t concid] avec celles qu'aurait f\rni le m\vem5t isol de ce c5tre si la masse totale du sy/me y et t suppose cond5se1 et qu'on l'et conue anime de t\tes les =ces extrieures du sy/me4 ,le pr9cipal avantage de ce beau ?orme e/ de p\voir a9si1 en ce qui conc]ne le m\vem5t du c5tre de gravit1 faire r5tr] le cas d'un corps ou d'un sy/me quelconque dans celui d'une molcule unique4 ,comme le m\vem5t de translation d'un sy/me doit tre e/im p> le m\vem5t de son c5tre de gravit1 on p>vi5t donc de cette manire rduire la seconde p>tie de la dynamique la premire p\r t\t ce qui se rapporte aux m\vem5s de translation1 d'o rsulte1 a9si qu'il e/ ais de le s5tir1 une importante simplification dans la solution de t\t problme dynamique p>ticuli]1 puisqu'on peut alors nglig]1 dans cette p>tie de la re*]*e1 les effets de l'action mutuelle de t\s les corps proposs1 dont la dt]m9ation con/itue ord9airem5t la pr9cipale difficult de *aque "q4 ,on ne se fait pas communm5t une assez ju/e ide de l'entire gnralit ?orique des gr&s rsultats de la mcanique rationnelle1 qui sont ncessairem5t applicables1 p> eux-mmes1 t\s les ordres de phnomnes naturels1 puisque n\s avons reconnu que les lois fondam5tales sur lesquelles repose t\t l'difice sy/matique de la sci5ce ne s\ffr5t d'exception dans aucune classe quelconque de phnomnes1 et con/itu5t les faits les plus gnraux de l'univ]s rel1 quoiqu'on p>aisse ord9airem5t1 dans ce g5re de conceptions1 avoir seulem5t en vue le monde inorganique4 ,aussi e/-il propos1 ce me semble1 de faire rem>qu] =mellem5t ici1 au sujet de cette premire proprit gnrale du m\vem5t1 que le ?orme a galem5t lieu dans les corps vivans comme dans les corps inanims4 ,quelle que puisse tre1 en effet1 la nature des phnomnes qui c>actris5t les corps vivans1 ils ne saurai5t consi/] t\t au plus qu'en c]ta9es actions p>ticulires des molcules les unes sur les autres1 qui ne s'obs]v]ai5t po9t dans les corps bruts1 sans qu'on doive d\t] d'ailleurs que la raction y soit t\j\rs1 aussi bi5 qu'en t\t autre cas1 gale au contraire l'action4 ,a9si1 p> la nature mme du ?orme que n\s v5ons de considr]1 il doit ncessairem5t se vrifi] aussi bi5 p\r les corps vivans que p\r les corps bruts1 puisque le m\vem5t du c5tre de gravit e/ indp5dant de ces actions intrieures mutuelles4 ,il en rsulte1 p> exemple1 qu'un corps vivant1 quel que soit le jeu int]ne de ses organes1 ne saurait de lui-mme dplac] son c5tre de gravit1 quoiqu'il puisse faire excut] quelques-uns de ses po9ts c]ta9s m\vem5s p>tiels aut\r de ce c5tre4 ,ne vrifie-t-on pas clairem5t1 en effet1 que la locomotion totale d'un corps vivant s]ait entirem5t impossible sans le sec\rs extrieur que lui f\rnit la rsi/ance et le frottem5t du sol sur lequel il se meut1 ou du fluide qui le conti5t8 ,on peut faire des rem>ques exactem5t analogues1 relativem5t t\tes les autres proprits dynamiques gnrales qui n\s re/5t considr]1 et p\r *acune desquelles je me disp5s]ai1 p> consqu5t1 d'indiqu] spcialem5t son applicabilit ncessaire aux corps vivans aussi bi5 qu'aux corps in]tes4 ,le second ?orme gnral de dynamique consi/e dans le clbre et important pr9cipe des aires1 dont la premire ide e/ due ,kpl]1 qui dc\vrit et dmontra =t simplem5t cette proprit p\r le cas du m\vem5t d'une molcule unique1 ou en d'autres t]mes1 d'un corps dont t\s les po9ts se meuv5t id5tiquem5t4 ,kpl] tablit1 p> les considrations les plus lm5taires1 que si la =ce acclratrice totale dont une molcule e/ anime t5d con/amm5t v]s un po9t fixe1 le rayon vecteur du mobile dcrit aut\r de ce po9t des aires gales en temps gaux1 de telle sorte que l'aire dcrite au b\t d'un temps quelconque crot proportionnellem5t ce temps4 ,il fit voir en outre que1 rciproquem5t1 si une semblable relation a t vrifie dans le m\vem5t d'un corps p> rapport un c]ta9 po9t1 c'e/ une preuve suffisante de l'action sur ce corps d'une =ce dirige sans cesse v]s ce po9t4 ,cette belle proprit se dduit d'ailleurs trs-aism5t des quations gnrales du m\vem5t curviligne d'une molcule1 exposes dans la leon prcd5te1 en plaant l'orig9e des coordonnes au c5tre des =ces1 et considrant l'expression de l'aire dcrite sur l'un quelconque des plans coordonns p> la projection correspondante du rayon vecteur du mobile4 ,cette dc\v]te de ,kpl] e/ d'autant plus rem>quable qu'elle a eu lieu avant que la dynamique et t rellem5t cre p> ,galile4 ,n\s aurons occasion de rem>qu]1 dans la p>tie a/ronomique de ce c\rs1 que ,kpl] ayant reconnu que les rayons vecteurs des plantes dcriv5t aut\r du soleil des aires proportionnelles aux temps1 ce qui con/itue la premire de ses trois gr&es lois a/ronomiques1 en conclut a9si que les plantes sont cont9uellem5t animes d'une t5dance v]s le soleil1 dont il tait rs]v ,newton de dc\vrir la loi4 ,mais1 quelle que soit l'importance de ce premi] ?orme des aires1 qui e/ a9si une des bases ess5tielles de la mcanique cle/e1 on ne doit plus y voir auj\rd'hui que le cas p>ticuli] le plus simple du gr& ?orme gnral des aires1 dc\v]t presque simultanm5t et s\s des =mes diffr5tes p> d',arcy1 p> ,daniel ,b]n\illi et p> ,eul]1 v]s le milieu du sicle d]ni]4 ,la dc\v]te de ,kpl] n'tait relative qu'au m\vem5t d'un po9t3 celle de d',arcy se rapporte au m\vem5t de t\t sy/me quelconque de corps agissant les uns sur les autres d'une manire quelconque1 ce qui con/itue un cas1 non-seulem5t plus compliqu1 mais mme ess5tiellem5t diffr5t1 cause de ces actions mutuelles4 ,le ?orme consi/e alors en ce que1 p> suite de ces influ5ces rciproques1 l'aire que dcrira sp>m5t le rayon vecteur de *aque molcule du sy/me *aque in/ant aut\r d'un po9t quelconque p\rra bi5 tre altre1 mais que la somme algbrique des aires a9si dcrites p> les projections sur un plan quelconque des rayons vecteurs de t\tes les molcules1 en donnant *acune de ces aires le signe conv5able d'aprs la rgle ord9aire1 ne s\ffrira aucun *angem5t1 en sorte que1 s'il n'y pas d'autres =ces acclratrices dans le sy/me que ces actions mutuelles1 cette somme des aires dcrites demeur]a inv>iable en un temps donn1 et crotra p> consqu5t proportionnellem5t au temps4 ,qu& le sy/me ne prs5te aucun po9t fixe1 cette proprit rem>quable a lieu relativem5t un po9t quelconque de l'espace2 t&is qu'elle se vrifie seulem5t en pr5ant le po9t fixe p\r c5tre des aires1 si le sy/me en (fre un4 ,enf91 lorsque les corps du sy/me sont anims de =ces acclratrices extrieures1 si ces =ces t5d5t con/amm5t v]s un mme po9t1 le ?orme des aires subsi/e encore1 mais uniquem5t l'g>d de ce po9t4 ,cette d]nire p>tie de la proposition gnrale f\rnit videmm5t comme cas p>ticuli]1 le ?orme de ,kpl]1 en supposant que le sy/me se rduise une seule molcule4 ,dans l'application de ce ?orme1 on remplace ord9airem5t la somme des aires correspondantes t\tes les molcules du sy/me p> la somme quival5te des produits de la masse de *aque corps p> l'aire qui s'y rapporte1 ce qui disp5se de p>tag] le sy/me en molcules de mme masse4 ,telle e/ la =me s\s laquelle le ?orme gnral des aires a t dc\v]t p> d',arcy2 c'e/ celle qu'on emploie habituellem5t4 ,comme l'aire dcrite p> le rayon vecteur de *aque corps dans un in/ant inf9im5t petit1 e/ videmm5t proportionnelle au produit de la vitesse de ce corps p> sa di/ance au po9t fixe que l'on considre1 on peut sub/itu] la somme des aires la somme des mom5s p> rapport ce po9t de t\tes les =ces du sy/me projetes sur un mme plan quelconque4 ,s\s ce po9t de vue1 le ?orme des aires prs5te1 suivant la rem>que de ,laplace1 une proprit gnrale du m\vem5t analogue une de celles de l'quilibre1 puisqu'il consi/e alors en ce que cette somme des mom5s1 nulle dans le cas de l'quilibre1 e/ con/ante dans le cas du m\vem5t4 ,c'e/ a9si que ce ?orme a t tr\v p> ,eul] et p> ,daniel ,b]n\illi4 ,quelle que soit l'int]prtation concrte qu'on juge conv5able de lui donn]1 il e/ une simple consqu5ce analytique directe de la =mule gnrale de la dynamique4 ,il suffit1 p\r l'en dduire1 de dvelopp] cette =mule en =mant les quations qui se rapport5t au m\vem5t de rotation1 et dans lesquelles on ap]cevra immdiatem5t l'expression analytique du ?orme des aires ou des mom5s1 en ayant g>d aux conditions ci-dessus indiques4 ,s\s le rapport analytique1 on peut dire que l'utilit de ce ?orme consi/e ess5tiellem5t f\rnir dans t\s les cas trois intgrales premires des quations gnrales du m\vem5t qui sont p> elles-mmes du second ordre1 ce qui t5d facilit] s+ulirem5t la solution df9itive de *aque problme dynamique p>ticuli]4 ,le ?orme des aires suffit p\r dt]m9]1 dans le m\vem5t gnral d'un sy/me quelconque1 t\t ce qui se rapporte aux m\vem5s de rotation1 comme le ?orme du c5tre de gravit dt]m9e t\t ce qui e/ relatif aux m\vem5s de translation4 ,a9si1 p> la seule comb9aison de ces deux proprits gnrales1 on p\rrait procd] l'tude complte du m\vem5t d'un sy/me quelconque de corps1 soit quant la translation1 soit quant la rotation4 ,je ne dois pas nglig] de signal] sommairem5t ici1 au sujet du ?orme des aires1 la cl>t inespre et la simplicit admirable que ,m4 ,po9sot y a introduites en y appliquant sa conception fondam5tale relative aux m\vem5s de rotation1 que n\s avons considre s\s le po9t de vue /atique dans la seizime leon4 ,en sub/ituant aux aires1 ou aux mom5s considrs jusqu'alors p> les gomtres1 les c\ples qu'eng5dr5t les =ces proposes1 ,m4 ,po9sot a fait pr\v] cette ?orie un p]fectionnem5t philosophique trs-important1 qui ne me p>at pas encore avoir t suffisamm5t s5ti4 ,il a donn a9si une valeur concrte1 un s5s dynamique propre et direct1 ce qui n'tait aup>avant qu'un simple nonc gomtrique d'une p>tie des quations fondam5tales du m\vem5t4 ,une aussi heureuse trans=mation gnrale e/ de/9e1 sans d\te1 accrotre ncessairem5t les ress\rces de l'esprit huma9 p\r l'laboration des ides dynamiques1 en t\t ce qui conc]ne la ?orie des m\vem5s de rotation4 ,on peut voir dans le beau mmoire de ,m4 ,po9sot sur les proprits des mom5s et des aires1 qui se tr\ve annex sa ,/atique1 avec quelle facilit il e/ p>v5u1 d'aprs cette lum9euse conception1 non-seulem5t r5dre lm5taire une ?orie jusqu'alors fonde sur la plus haute analyse1 mais dc\vrir cet g>d de n\velles proprits gnrales trs-rem>quables1 que n\s ne devons po9t considr] ici1 et qu'il et t difficile d'obt5ir p> les m?odes antrieures4 ,le ?orme des aires a t1 p\r l'illu/re ,laplace1 l'orig9e de la dc\v]te d'une autre proprit dynamique trs-rem>quable1 celle de ce qu'il a nomm le plan inv>iable1 dont la considration e/ surt\t si importante dans la mcanique cle/e4 ,la somme des aires projetes p> t\s les corps du sy/me sur un plan quelconque tant con/ante en un temps donn1 ,laplace a *]* la direction du plan l'g>d duquel cette somme se tr\vait tre la plus gr&e possible4 ,or1 d'aprs la manire dont ce plan de la plus gr&e aire ou du plus gr& mom5t e/ dt]m91 ,laplace a dmontr que sa direction e/ ncessairem5t indp5dante de la raction mutuelle des diffr5tes p>ties du sy/me1 en sorte que1 p> sa nature1 ce plan doit re/] cont9uellem5t inv>iable1 quelles que puiss5t jamais tre les altrations introduites dans la situation de ces corps p> leurs influ5ces rciproques1 p\rvu qu'il ne survi5ne aucune n\velle =ce extrieure4 ,on conoit aism5t de quelle importance doit tre1 comme n\s l'expliqu]ons spcialem5t dans la seconde p>tie de ce c\rs1 la dt]m9ation d'un tel plan relativem5t notre sy/me solaire1 puisque1 en y rapportant t\s nos m\vem5s cle/es1 il n\s procure l'inapprciable avantage d'avoir un t]me de comp>aison ncessairem5t fixe1 trav]s t\s les drangem5s que l'action mutuelle de nos plantes p\rra faire subir dans la suite des temps leurs di/ances1 leurs rvolutions et mme aux plans de leurs orbites1 ce qui e/ une premire condition videmm5t indisp5sable p\r que n\s puissions exactem5t connatre en quoi consi/5t ces altrations4 ,malheureusem5t n\s aurons occasion de rem>qu] que l'inc]titude o n\s sommes jusqu'ici relativem5t la valeur exacte de plusieurs donnes ess5tielles1 ne n\s p]met pas encore de dt]m9] avec t\te la prcision suffisante la situation de ce plan4 ,mais cette difficult d'application n'affecte en aucune manire le c>actre de ce beau ?orme1 considr s\s le po9t de vue de la mcanique rationnelle1 le seul que n\s devions adopt] ici4 ,la ?orie du plan inv>iable a t notablem5t p]fectionne dans ces d]ni]s temps p> ,m4 ,po9sot1 qui a d naturellem5t y transport] sa conception propre relativem5t la ?orie gnrale des aires ou des mom5s4 ,il a d'abord considrablem5t simplifi la notion fondam5tale de ce plan1 de faon la r5dre aussi lm5taire qu'il e/ possible1 en montrant qu'un tel plan n'e/ rellem5t autre *ose que le plan du c\ple gnral rsultant de t\s les c\ples eng5drs p> les diffr5tes =ces du sy/me1 ce qui le df9it immdiatem5t p> une proprit dynamique trs-s5sible1 au lieu de la seule proprit gomtrique du maximum des aires4 ,qu& une conception quelconque a t vraim5t simplifie dans sa nature1 l'laboration en tant p> cela mme facilite1 elle ne saurait manqu] de pr5dre plus d'ext5sion et de conduire des rsultats n\veaux3 telle e/1 en effet1 la m>*e ord9aire de l'esprit huma9 dans les sci5ces1 que les ?ories les plus fcondes en dc\v]tes n'ont t le plus s\v5t1 leur orig9e1 qu'un moy5 de r5dre plus simple la solution de que/ions dj traites4 ,le travail que n\s considrons ici en a (f]t une n\velle preuve4 ,c> la ?orie de ,m4 ,po9sot a p]mis d'introduire un plus haut degr de prcision dans la dt]m9ation du plan inv>iable propre notre sy/me solaire1 en signalant et rectifiant une importante lacune que ,laplace y avait laisse4 ,ce gr& gomtre1 en calculant la situation du plan du maximum des aires1 avait cru ne devoir pr5dre en considration que les aires pr9cipales1 produites p> la circulation des plantes aut\r du soleil1 sans t5ir aucun compte de celles dues aux m\vem5s des satellites aut\r des plantes1 ou la rotation de t\s ces a/res et du soleil lui-mme4 ,m4 ,po9sot vi5t de pr\v] la ncessit d'avoir g>d ces div]s lm5s1 sans quoi le plan a9si dt]m9 ne p\rrait po9t tre reg>d comme rig\reusem5t inv>iable2 et en *]*ant la direction du vritable plan inv>iable aussi exactem5t que le comporte l'imp]fection actuelle de la plup>t des donnes1 il a fait voir que ce plan diffre s5siblem5t de celui tr\v p> ,laplace2 ce qu'il e/ facile de concevoir p> la seule considration de l'aire imm5se que doit introduire dans le calcul la masse norme du soleil1 quoique sa rotation soit trs-l5te4 ,p\r complt] l'indication des proprits dynamiques les plus importantes relatives au m\vem5t de rotation1 il convi5t ma9t5ant de signal] ici les beaux ?ormes dc\v]ts p> ,eul] sur ce qu'il a nomm les mom5s d'in]tie et les axes pr9cipaux1 qu'on doit mettre au nombre des rsultats gnraux les plus importans de la mcanique rationnelle4 ,eul] a donn le nom de mom5t d'in]tie d'un corps l'intgrale qui exprime la somme des produits de la masse de *aque molcule p> le c>r de sa di/ance l'axe aut\r duquel le corps t\rne1 intgrale dont la considration doit videmm5t tre trs-ess5tielle1 puisqu'elle peut tre naturellem5t reg>de comme la mesure exacte de l'n]gie de rotation du corps4 ,qu& la masse propose e/ homogne1 ce mom5t d'in]tie se dt]m9e comme les autres intgrales analogues relatives la =me d'un corps2 lorsque1 au contraire1 cette masse e/ htrogne1 il faut de plus connatre la loi de la d5sit dans les div]ses c\*es qui la compos5t1 et1 cela prs1 l'intgration n'e/ alors seulem5t que plus complique4 ,cette notion tant tablie1 ,eul]1 comp>ant1 en gnral1 les mom5s d'in]tie d'un mme corps quelconque p> rapport t\s les axes de rotation imag9ables passant en un po9t donn1 dt]m9a les axes relativem5t auxquels le mom5t d'in]tie doit tre un maximum ou un m9imum1 en considrant surt\t ceux qui se c\p5t au c5tre de gravit1 et qui se di/+u5t en ce qu'ils produis5t ncessairem5t des mom5s mo9dres que si1 avec la mme direction1 ils tai5t placs p>t\t ailleurs4 ,il dc\vrit a9si qu'il exi/e con/amm5t1 en un po9t quelconque d'un corps1 et p>ticulirem5t au c5tre de gravit1 trois axes rectangulaires1 tels que le mom5t d'in]tie du corps e/ un maximum l'g>d de l'un d'entre eux1 et un m9imum l'g>d d'un autre4 ,ces axes sont d'ailleurs c>actriss p> une autre proprit commune qui leur s]t habituellem5t auj\rd'hui de df9ition analytique1 et qui con/itue1 en effet1 p\r l'analyse1 le pr9cipal avantage que l'on tr\ve rapport] le m\vem5t du corps ces trois axes4 ,cette proprit consi/e en ce que1 lorsque ces trois axes sont pris p\r ceux des coordonnes x1 y1 z1 les intgrales _/int xzdm1 _/int xydm1 _/int yzdm 7m exprimant la masse du corps71 sont nulles relativem5t au corps t\t enti]1 ce qui simplifie notablem5t les quations gnrales du m\vem5t de rotation4 ,mais le pr9cipal ?orme dynamique dc\v]t p> ,eul] l'g>d de ces axes1 et d'aprs lequel il les a ju/em5t appels axes pr9cipaux de rotation1 consi/e dans la /abilit des rotations qui leur correspond5t2 c'e/--dire1 que si le corps a comm5c t\rn] aut\r d'un de ces axes1 cette rotation p]si/]a indf9im5t de la mme manire1 ce qui n'aurait pas lieu p\r t\t autre axe quelconque1 la rotation in/antane s'excutant en gnral aut\r d'un axe cont9uellem5t v>iable4 ,ce sy/me des axes pr9cipaux e/ gnralem5t unique dans *aque corps3 cep5dant1 si t\s les mom5s d'in]tie tai5t con/amm5t gaux entre eux1 la direction de ces axes devi5drait totalem5t indt]m9e1 p\rvu qu'on les *oist t\j\rs p]p5diculaires entre eux1 ce qui a lieu1 p> exemple1 dans une sphre homogne1 o l'on peut reg>d] comme des axes p]man5s de rotation t\s les sy/mes d'axes rectangulaires passant p> le c5tre4 ,il y aurait encore un c]ta9 degr d'indt]m9ation si le corps tait un solide de rvolution1 l'axe gomtrique tant alors un des axes dynamiques pr9cipaux2 mais les deux autres p\vant videmm5t tre pris volont dans un plan p]p5diculaire au premi]4 ,la dt]m9ation des axes pr9cipaux prs5te s\v5t de gr&es difficults en considrant des corps de figure et de con/itution quelconques2 mais elle s'effectue avec une extrme facilit dans les cas peu compliqus1 que la mcanique cle/e n\s prs5te heureusem5t comme les plus communs4 ,p> exemple dans un ellipsode homogne1 ou mme seulem5t compos de c\*es semblables et conc5triques d'9gale d5sit1 mais dont *acune e/ homogne1 les trois diamtres conjugus rectangulaires sont eux-mmes les axes dynamiques pr9cipaux3 le mom5t d'in]tie du corps e/ un maximum relativem5t du plus petit de ces diamtres1 et un m9imum l'g>d du plus gr&4 ,qu& les axes pr9cipaux d'un corps ou d'un sy/me sont dt]m9s a9si que les mom5s d'in]tie correspondans1 si le sy/me ne t\rne pas aut\r de l'un de ces axes1 ,eul] a tabli des =mules gnrales trs-simples1 qui font connatre con/amm5t les angles que doit faire avec eux la droite aut\r de laquelle s'excute spontanm5t la rotation in/antane1 et la valeur du mom5t d'in]tie qui s'y rapporte1 ce qui suffit p\r l'analyse complte du m\vem5t de rotation4 ,tels sont les ?ormes gnraux de dynamique qui se rapport5t directem5t l'entire dt]m9ation du m\vem5t d'un corps ou d'un sy/me quelconque1 soit quant la translation1 soit quant la rotation4 ,mais outre ces proprits fondam5tales1 les gomtres en ont encore dc\v]t plusieurs autres trs-gnrales1 qui1 sans tre aussi /rictem5t indisp5sables1 mrit5t s+ulirem5t d'tre signals dans un exam5 philosophique de la mcanique rationnelle1 cause de leur extrme importance p\r la simplification des re*]*es spciales4 ,la premire et la plus rem>quable d'entre elles1 celle qui prs5te les plus prcieux avantages p\r les applications1 consi/e dans le clbre ?orme de la cons]vation des =ces vives4 ,la dc\v]te primitive en e/ due ,huygh5s1 qui fonda sur cette considration sa solution du problme du c5tre d'oscillation4 ,la notion en fut ensuite gnralise p> ,jean ,b]n\illi1 c> ,huygh5s ne l'avait tabli que relativem5t au m\vem5t des corps pesans4 ,mais ,jean ,b]n\illi1 accordant une importance exagre et vicieuse la fameuse di/9ction introduite p> ,lebnitz1 entre les =ces mortes et les =ces vives1 t5ta va9em5t d'rig] ce ?orme en une loi primitive de la nature1 t&is qu'il ne saurait tre qu'une consqu5ce plus ou mo9s gnrale des ?ories dynamiques fondam5tales4 ,les travaux les plus importans dont cette proprit du m\vem5t ait t le sujet sont c]ta9em5t ceux de l'illu/re ,daniel ,b]n\illi1 qui donna au ?orme des =ces vives sa plus gr&e ext5sion1 a9si que la =me sy/matique s\s laquelle n\s le concevons auj\rd'hui1 et qui en fit surt\t un si heureux usage p\r l'tude du m\vem5t des fluides4 ,on sait que1 depuis ,lebnitz1 les gomtres appell5t =ce vive d'un corps le produit de sa masse p> le c>r de sa vitesse1 en faisant d'ailleurs compltem5t ab/raction des considrations trop vagues qui avai5t conduit ,lebnitz =m] une telle expression4 ,le ?orme gnral que n\s envisageons ici consi/e en ce que quelques altrations qui puiss5t surv5ir dans le m\vem5t de *acun des corps d'un sy/me quelconque en v]tu de leur action rciproque1 la somme des =ces vives de t\s ces corps re/e con/amm5t la mme en un temps donn4 ,c'e/ ce qu'on dmontre auj\rd'hui avec la plus gr&e facilit d'aprs les quations fondam5tales du m\vem5t d'un sy/me quelconque1 et surt\t1 comme l'a fait ,lagrange1 en p>tant de la =mule gnrale de la dynamique expose dans la leon prcd5te4 ,s\s le po9t de vue analytique1 l'extrme utilit de ce beau ?orme consi/e ess5tiellem5t en ce qu'il f\rnit t\j\rs d'avance une premire quation f9ie entre les masses et les vitesses des diffr5s corps du sy/me4 ,cette relation1 qui peut tre envisage comme une des intgrales df9itives des quations diffr5tielles du m\vem5t1 suffit l'entire solution du problme1 t\tes les fois qu'il e/ rductible la dt]m9ation du m\vem5t d'un seul des corps que l'on considre1 dt]m9ation qui s'effectue alors avec une gr&e facilit4 ,mais p\r se faire une ju/e ide de cette importante proprit1 il e/ indisp5sable de rem>qu] qu'elle e/ assujtie une limitation considrable1 qui ne p]met po9t1 s\s le rapport de la gnralit1 de la plac] sur la mme ligne que les ?ormes prcdemm5t exam9s4 ,cette limitation1 dc\v]te la f9 du d]ni] sicle p> ,c>not1 consi/e en ce que la somme des =ces vives subit con/amm5t une dim9ution dans le *oc des corps qui ne sont pas p>faitem5t la/iques1 et gnralem5t t\tes les fois que le sy/me pr\ve un *angem5t brusque quelconque4 ,c>not a dmontr qu'alors il y a une p]te de =ces vives gale la somme des =ces vives dues aux vitesses p]dues p> ce *angem5t4 ,a9si le ?orme de la cons]vation des =ces vives n'a lieu qu'autant que le m\vem5t du sy/me v>ie seulem5t p> degrs ins5sibles1 ou qu'il ne survi5t de *oc qu'entre des corps d\s d'une la/icit p>faite4 ,cette importante considration complte la notion gnrale qu'on doit se =m] d'une proprit aussi rem>quable4 ,de t\s les gr&s ?ormes de mcanique rationnelle1 celui que n\s v5ons d'envisag] e/ sans contr$it le plus important p\r les applications la mcanique indu/rielle2 c'e/--dire en ce qui conc]ne la ?orie du m\vem5t des ma*9es1 en tant qu'elle e/ susceptible d'tre tablie d'une manire exacte et prcise4 ,le ?orme des =ces vives a comm5c f\rnir jusqu'ici1 s\s ce po9t de vue1 des indications gnrales trs-prcieuses1 qui ont t surt\t prs5tes avec une nettet et une concision p>faites dans le travail de ,c>not1 auquel on n'a aj\t depuis ri5 de vraim5t ess5tiel4 ,ce ?orme prs5te directem5t1 en effet1 la considration dynamique d'une ma*9e quelconque s\s son vritable aspect1 en montrant que1 dans t\te transmission et modification du m\vem5t effectue p> une ma*9e1 il y a simplem5t *ange de =ce vive entre la masse du moteur et celle du corps m\voir4 ,cet *ange s]ait complet1 c'e/--dire t\te la =ce vive du moteur s]ait utilise en vitant les *angem5s brusques1 si les frottem5s1 la rsi/ance des milieux1 etc41 n'en absorbai5t ncessairem5t une portion plus ou mo9s considrable suivant que la ma*9e e/ plus ou mo9s complique4 ,cette notion met dans t\t son j\r l'absurdit de ce qu'on a appel le m\vem5t p]ptuel1 en indiquant mme d'une manire gnrale quel in/ant la ma*9e ab&onne sa seule impulsion primitive doit s'arrt] spontanm5t2 mais cette absurdit e/ d'ailleurs de sa nature tellem5t s5sible1 qu',huygh5s avait1 au contraire1 fond en p>tie sa dmon/ration du ?orme des =ces vives sur l'vid5ce manife/e d'une telle impossibilit4 ,quoi qu'il en soit1 ce ?orme donne une ide nette de la vritable p]fection dynamique d'une ma*9e1 en la rduisant utilis] la plus gr&e fraction possible de la =ce vive du moteur1 ce qui ne peut avoir lieu gnralem5t qu'en s'ef=ant de simplifi] le mcanisme autant que le comporte la nature du moteur4 ,on conoit en effet que si l'on mesure1 comme il semble naturel de le faire1 l'effet dynamique utile d'un moteur en un temps donn p> le produit du poids qu'il peut lev] et de la hauteur laquelle il le transporte1 cet effet quivaut immdiatem5t1 d'aprs les lois du m\vem5t v]tical des corps pesans1 une =ce vive1 et non une quantit de m\vem5t4 ,s\s ce po9t de vue1 la fameuse discussion s\leve p> ,lebnitz au sujet des =ces vives1 et laquelle prir5t "p t\s les gr&s gomtres de cette poque1 ne doit po9t tre reg>de comme aussi dp\rvue de ralit que d',alemb]t a p>u le croire4 ,on s'tait sans d\te mpris en p5sant que la mcanique rationnelle tait intresse dans cette conte/ation1 qui ne saurait en effet1 selon la rem>que de d',alemb]t1 ex]c] sur elle la mo9dre influ5ce relle4 ,le po9t de vue ?orique et le po9t de vue pratique n'avai5t pas t assez soigneusem5t sp>s p> les gomtres qui suivir5t cette discussion4 ,mais1 s\s le seul po9t de vue de la mcanique indu/rielle1 elle n'en avait pas mo9s une vritable importance4 ,elle p\rrait mme tre utilem5t reprise auj\rd'hui1 c> les objections qui ont t faites contre la mesure vulgaire de la valeur dynamique des moteurs mrit5t d'tre prises en srieuse considration1 vu qu'il semble en effet peu rationnel de pr5dre p\r unit un m\vem5t qui n'e/ po9t uni=me4 ,mais1 quelque dcision qu'on f9isse p> adopt] sur cette conte/ation non-t]m9e1 l'application du ?orme des =ces vives n'en cons]v]a pas mo9s t\te son importance p\r montr] s\s son vrai j\r la de/9ation relle des ma*9es1 en pr\vant que ncessairem5t elles font p]dre en vitesse ou en temps ce qu'elles font gagn] en =ce ou rciproquem5t1 de telle sorte que leur utilit consi/e ess5tiellem5t *ang] les uns dans les autres les div]s facteurs de l'effet produire1 sans p\voir jamais l'augm5t] p> elles-mmes dans sa totalit1 et en lui faisant con/amm5t subir au contraire une 9vitable dim9ution1 ord9airem5t trs-notable4 ,il e/ d\teux1 du re/e1 que l'application de ce ?orme puisse aucune poque tre p\sse beauc\p plus lo9 que les indications gnrales de ce g5re1 c> le vritable calcul priori de l'effet prcis d'une ma*9e quelconque donne prs5te1 comme problme de dynamique1 une trop gr&e complication1 et exige la connaissance exacte d'un trop gr& nombre de relations encore compltem5t inconnues1 p\r p\voir tre efficacem5t t5t dans la plup>t des cas#bi4 ,note #bi3 ,la vritable ?orie propre de la mcanique indu/rielle1 qui n'e/ nullem5t1 a9si qu'on le croit s\v5t1 une simple drivation de la phoronomie ou mcanique rationnelle1 et qui se rapporte un ordre d'ides compltem5t di/9ct1 n'a po9t encore t conue4 ,il en e/1 cet g>d1 comme de t\te autre sci5ce d'application dont l'esprit huma9 ne possde jusqu'ici que quelques lm5s insuffisans1 selon la rem>que indique dans notre seconde leon4 ,la mcanique indu/rielle1 ab/raction faite de la =mation des moteurs1 qui dp5d de l'ensemble de nos connaissances sur la nature1 se compose de deux classes de re*]*es trs-diffr5tes1 les unes dynamiques1 les autres gomtriques4 ,les premires ont p\r objet la dt]m9ation des app>eils les plus conv5ables1 af9 d'utilis] autant que possible les =ces motrices donnes2 c'e/--dire d'obt5ir entre la =ce vive du corps m\voir et celle du moteur le rapport le plus rappro* de l'unit1 en ayant g>d aux modifications exiges dans la vitesse p> la de/9ation connue de la ma*9e4 ,quant aux autres1 on s'y propose de *ang] volont1 l'aide d'un mcanisme conv5able1 les lignes dcrites p> les po9ts d'application des =ces4 ,en un mot1 le m\vem5t e/ modifi1 dans les unes1 quant son int5sit2 dans les autres1 quant sa direction4 ,les premires se rapport5t une doctr9e entirem5t neuve1 au sujet de laquelle il n'a encore t produit aucune conception directe et vraim5t rationnelle4 ,il en e/ peu prs de mme p\r les autres1 qui dp5d5t de cette gomtrie de situation entrevue p> ,lebnitz1 mais qui n'a fait jusqu'ici presqu'aucun progrs4 ,je ne connais1 cet g>d1 d'autre travail rel qu'une +nieuse considration lm5taire prs5te p> ,monge1 et qui1 quoique simplem5t empirique1 mrite d'tre ne ici1 ne fut-ce que p\r indiqu] la vritable nature de cet ordre d'ides4 ,monge e/ p>ti de cette obs]vation1 trs-plausible en effet1 que1 dans la ralit1 les m\vem5s excuts p> les ma*9es sont ou rectilignes ou circulaires1 *acun p\vant tre d'ailleurs ou cont9u ou alt]natif4 ,il a1 ds lors1 envisag t\te ma*9e comme de/9e1 s\s le rapport gomtrique1 trans=m] ces div]s m\vem5s lm5taires les uns dans les autres4 ,cela pos1 en puisant t\tes les comb9aisons div]ses qu'une telle trans=mation peut (frir1 il en a vu rsult] ncessairem5t dix sries d'app>eils dans lesquelles peuv5t tre ranges t\tes les ma*9es connues1 a9si que celles qu'on imag9]a plus t>d4 ,les tableaux rsultant de cette classification peuv5t donc tre envisags comme prs5tant au mcanici5 les moy5s empiriques de rs\dre1 dans *aque cas1 le problme de la trans=mation du m\vem5t1 en *oisissant1 p>mi t\s les app>eils propres remplir la condition propose1 celui qui prs5te d'ailleurs le plus d'avantages4 ,le m\vem5t d'un sy/me quelconque prs5te une autre proprit gnrale trs-rem>quable1 quoique mo9s importante1 soit s\s le rapport analytique1 soit surt\t s\s le rapport physique1 que celle qui vi5t d'tre exam9e3 c'e/ la proprit exprime p> le clbre ?orme gnral de dynamique auquel ,maup]tuis a donn la dnom9ation si vicieuse de pr9cipe de la mo9dre action4 ,la filiation des ides au sujet de cette dc\v]te remonte une poque trs loigne1 c> les gomtres de l'antiquit avai5t dj fait quelques rem>ques qu'on peut concevoir auj\rd'hui comme quival5tes la vrification de ce ?orme dans le cas p>ticuli] le plus simple4 ,ptolme1 en effet1 obs]ve expressm5t1 quant la loi de la rflexion de la lumire1 que p> la nature de cette loi1 la lumire en se rfl*issant se tr\ve suivre le plus c\rt *em9 possible p\r p>v5ir d'un po9t un autre4 ,lorsque ,desc>tes et ,snellius eur5t dc\v]t la loi relle de la rfraction1 ,f]mat re*]*a si on ne p\rrait po9t y arriv] priori d'aprs quelque considration analogue la rem>que de ,ptolme4 ,le m9imum ne p\vant alors avoir lieu relativem5t la longueur du *em9 p>c\ru1 puisque la r\te rectiligne et t possible dans ce cas1 ,f]mat prsuma qu'il exi/]ait l'g>d du temps4 ,il se proposa donc1 en reg>dant la r\te de la lumire comme compose de deux droites diffr5tes1 sp>es1 s\s un angle inconnu1 la surface du corps rfr+5t1 quelle devait tre cette direction relative p\r que le temps employ p> la lumire dans son trajet ft le mo9dre possible1 et il eut le bonheur de tr\v] d'aprs cette seule considration une loi de la rfraction exactem5t con=me celle directem5t dduite des obs]vations p> ,snellius et p> ,desc>tes4 ,cette belle solution e/ d'ailleurs m9emm5t rem>quable dans l'hi/oire gnrale des progrs de l'analyse ma?matique1 comme ayant (f]t ,f]mat la premire application importante de sa clbre m?ode de maximis et m9imis1 qui conti5t le vritable g]me primitif du calcul diffr5tiel4 ,la comp>aison de la rem>que de ,ptolme avec le travail de ,f]mat envisag s\s le po9t de vue dynamique1 dev9t p\r ,maup]tuis la base de la dc\v]te du ?orme que n\s considrons4 ,quoiqu'g>1 bi5 plus que conduit1 p> de vagues considrations mtaphysiques sur la prt5due conomie des =ces dans la nature1 il f9it p> arriv] ce rsultat important1 que la trajectoire d'un corps s\mis l'action de =ces quelconques devait ncessairem5t tre telle1 que l'intgrale du produit de la vitesse du mobile p> l'lm5t de la c\rbe dcrite ft t\j\rs un m9imum1 relativem5t sa valeur dans t\te autre c\rbe4 ,mais ,lagrange e/ avec ju/ice gnralem5t reg>d p> les gomtres actuels comme le vritable fondateur de ce ?orme1 non-seulem5t p\r l'avoir gnralis autant que possible1 mais surt\t p\r en avoir dc\v]t la vritable dmon/ration en le ratta*ant aux ?ories dynamiques fondam5tales1 et en le dgageant des notions confuses et arbitraires que ,maup]tuis avait employes4 ,il ne subsi/e ma9t5ant d'autre trace du travail de ,maup]tuis que le nom qu'il a impos ce ?orme1 et dont l'improprit e/ univ]sellem5t reconnue1 quoique1 p\r plus de brivet1 on ait cont9u s'en s]vir4 ,le ?orme1 tel qu'il a t tabli p> ,lagrange relativem5t un sy/me quelconque de corps1 consi/e en ce que1 quelles que soi5t leurs attractions rciproques1 ou leurs t5dances v]s des c5tres fixes1 les trajectoires dcrites p> ces corps sont t\j\rs telles que la somme des produits de la masse de *acun d'eux1 et de l'intgrale relative sa vitesse multiplie p> l'lm5t de la c\rbe correspondante1 e/ ncessairem5t un maximum ou un m9imum1 cette somme tant t5due la totalit du sy/me4 ,il importe d'ailleurs de rem>qu] que la dmon/ration de ce ?orme gnral tant fonde sur le ?orme des =ces vives1 il e/ 9vitablem5t assujti aux mmes limitations que celui-ci4 ,outre la belle proprit du m\vem5t cont5ue dans cette proposition rem>quable1 on conoit que1 s\s le rapport analytique1 elle peut tre envisage comme un n\veau moy5 de =m] les quations diffr5tielles qui doiv5t conduire la dt]m9ation de *aque m\vem5t spcial4 ,il suffit1 en effet1 con=mm5t la m?ode gnrale des maxima et m9ima f\rnie p> le calcul des v>iations1 d'exprim] que la somme prcdemm5t indique e/ un maximum ou un m9imum 7soit absolu1 soit relatif suivant les cas71 en r5dant sa v>iation nulle4 ,lagrange a expressm5t montr comm5t1 d'aprs cette seule considration1 on peut1 en gnral1 retr\v] la =mule fondam5tale de la dynamique4 ,mais1 quelqu'utile que puisse tre en c]ta9s cas une telle manire de procd]1 il ne faut po9t s'exagr] son importance2 c> on ne doit pas p]dre de vue qu'elle ne f\rnit p> elle-mme aucune intgrale f9ie des quations du m\vem5t2 elle se borne seulem5t tablir ces quations d'une autre manire1 qui peut quelquefois tre plus conv5able4 ,s\s ce rapport1 le ?orme de la mo9dre action e/ c]ta9em5t mo9s prcieux que celui des =ces vives4 ,quoi qu'il en soit1 il convi5t de rem>qu] ici avec ,lagrange que l'ensemble de ces deux ?ormes peut tre reg>d1 en ?se gnrale1 comme suffisant p\r l'entire dt]m9ation du m\vem5t d'un corps4 ,le ?orme de la mo9dre action a aussi t prs5t p> ,lagrange s\s une autre =me gnrale1 spcialem5t de/9e r5dre plus s5sible son int]prtation concrte4 ,en effet1 l'lm5t de la trajectoire p\vant videmm5t tre remplac dans l'nonc de ce ?orme p> le produit quival5t de la vitesse et de l'lm5t du temps1 le ?orme consi/e alors en ce que *aque corps du sy/me dcrit con/amm5t une c\rbe telle que la somme des =ces vives consommes en un temps donn p\r p>v5ir d'une position une autre e/ ncessairem5t un maximum ou un m9imum4 ,l'hi/oire philosophique des travaux relatifs au ?orme de la mo9dre action e/ p>ticulirem5t propre mettre dans t\t son j\r l'insuffisance complte et le vice radical des considrations mtaphysiques employes comme moy5s de dc\v]tes sci5tifiques4 ,on ne peut ni] sans d\te que le pr9cipe ?ologique et mtaphysique des causes f9ales n'ait eu ici quelque utilit1 en contribuant dans l'orig9e veill] l'att5tion des gomtres sur cette importante proprit dynamique1 et mme en leur f\rnissant cet g>d quelques indications vagues4 ,l'esprit de ce c\rs1 tel que n\s l'avons dj expressm5t signal1 et tel qu'il se dvelopp]a de plus en plus p> la suite1 n\s prescrit1 en effet1 de reg>d]1 en ?se gnrale1 les hypo?ses ?ologiques et mtaphysiques comme ayant t utiles et mme ncessaires aux progrs rels de l'intellig5ce huma9e1 en s\t5ant son activit aussi long-temps qu'a dur l'abs5ce de conceptions positives d'une gnralit suffisante4 ,mais1 alors mme1 les nombreux inconvni5s fondam5taux inhr5s une telle manire de procd] vrifi5t clairem5t qu'elle ne peut tre envisage que comme provisoire4 ,l'exemple actuel en (fre une preuve s5sible4 ,c>1 sans l'introduction des considrations exactes et relles fondes sur les lois gnrales de la mcanique1 on disput]ait encore1 a9si que le rem>que ,lagrange avec tant de raison1 sur ce qu'il faut ent5dre p> la mo9dre action de la nature1 la prt5due conomie des =ces consi/ant tantt dans l'espace1 tantt dans le temps1 et le plus s\v5t n'tant en effet ni l'une ni l'autre4 ,il e/ d'ailleurs vid5t que cette proprit n'a po9t ce c>actre absolu qu'on avait d'abord v\lu lui impos]1 puisqu'elle pr\ve dans un gr& nombre de cas des re/rictions dt]m9es4 ,mais ce qui r5d surt\t manife/e le vice radical des considrations primitives1 c'e/ que1 d'aprs l'analyse exacte de la "q traite p> ,lagrange1 on voit que l'intgrale ci-dessus df9ie n'e/ nullem5t assujettie tre ncessairem5t un m9imum1 et qu'elle peut1 au contraire1 tre t\t aussi bi5 un maximum1 comme il arrive effectivem5t en c]ta9s cas1 le vritable ?orme gnral consi/ant seulem5t en ce que la v>iation de cette intgrale e/ nulle3 que devi5t alors l'conomie des =ces1 de quelque manire qu'on prt5de c>actris] l'action8 ,l'insuffisance et mme l'erreur de l'argum5tation de ,maup]tuis sont ds lors ple9em5t vid5tes4 ,dans cette occasion1 comme dans t\tes celles o il a pu jusqu'ici y avoir conc\rs1 la comp>aison a expressm5t con/at la supriorit imm5se et ncessaire de la philosophie positive sur la philosophie ?ologique et mtaphysique1 non-seulem5t quant la ju/esse et la prcision des rsultats effectifs1 mais mme quant l't5due des conceptions et l'lvation relle du po9t de vue intellectuel4 ,p\r complt] cette numration raisonne des proprits gnrales du m\vem5t1 je crois devoir enf9 signal] ici une d]nire proposition =t rem>quable1 qu'on ne place po9t ord9airem5t dans la mme catgorie que les prcd5tes1 et qui mrite cep5dant1 un aussi haut degr1 de fix] notre att5tion1 soit p> sa beaut intr9sque1 soit surt\t p> l'importance et l't5due de ses applications aux problmes dynamiques les plus difficiles4 ,il s'agit du clbre ?orme gnral dc\v]t p> ,daniel ,b]n\illi1 sur la coexi/5ce des petites oscillations4 ,voici en quoi il consi/e4 ,n\s avons vu1 en comm5ant cette leon1 qu'il exi/e1 p\r t\t sy/me de =ces1 une situation d'quilibre /able1 celle dans laquelle la somme des =ces vives e/ un des maximum1 suivant la loi de ,maup]tuis gnralise p> ,lagrange4 ,qu& le sy/me e/ inf9im5t peu c>t de cette situation p> une cause quelconque1 il t5d y rev5ir1 en faisant aut\r d'elle une suite d'oscillations inf9im5t petites1 graduellem5t dim9ues et bi5tt dtruites p> la rsi/ance du milieu et les frottem5s1 et qu'on peut assimil] celles d'un p5dule d'une longueur conv5able s\mis l'influ5ce d'une gravit dt]m9e4 ,mais plusieurs causes diffr5tes peuv5t faire simultanm5t oscill] le sy/me de div]ses manires aut\r de la position de /abilit4 ,cela pos1 le ?orme de ,daniel ,b]n\illi consi/e en ce que t\tes les espces d'oscillations inf9im5t petites produites p> ces div]s drangem5s simultans1 quelle que soit leur nature1 ne font simplem5t que se sup]pos]1 en coexi/ant sans se nuire1 *acune d'elles ayant lieu comme si elle tait seule4 ,on conoit aism5t l'extrme importance de cette belle proposition p\r facilit] l'tude d'un tel g5re de m\vem5s1 puisqu'il suffit d'aprs cela d'analys] isolm5t *aque sorte d'oscillations produite p> *aque p]turbation sp>e4 ,cette dcomposition e/ surt\t de la plus gr&e utilit dans les re*]*es relatives au m\vem5t des fluides1 o un tel ordre de considrations se prs5te presque con/amm5t4 ,mais la proprit dc\v]te p> ,daniel ,b]n\illi n'e/ pas mo9s intressante s\s le rapport physique que s\s le po9t de vue logique4 ,en effet1 envisage comme une loi de la nature1 elle explique directem5t1 de la manire la plus satisfaisante1 une f\le de faits div]s1 que l'obs]vation avait depuis long-temps con/ats1 et qu'on *]*ait va9em5t concevoir jusqu'alors4 ,telle e/1 p> exemple1 la coexi/5ce des ondes produites la surface d'un liquide1 lorsqu'elle se tr\ve agite la fois en plusieurs po9ts diffr5s p> div]ses causes quelconques4 ,telle e/1 surt\t1 dans l'ac\/ique1 la simultanx des sons di/9cts produits p> div]s branlem5s de l'air4 ,cette coexi/5ce qui a lieu sans confusion entre les diffr5tes ondes sonores1 avait videmm5t t s\v5t obs]ve1 puisqu'elle e/ une des bases ess5tielles du mcanisme de notre audition2 mais elle p>aissait inexplicable2 on n'y voit plus ma9t5ant qu'une consqu5ce immdiate du beau ?orme de ,daniel ,b]n\illi4 ,en considrant ce ?orme s\s le po9t de vue le plus philosophique1 on ne le tr\ve peut-tre pas mo9s rem>quable p> la manire dont il rsulte des quations gnrales du m\vem5t1 que p> son importance analytique ou physique4 ,en effet cette coexi/5ce des div]s ordres d'oscillations inf9im5t petites d'un sy/me quelconque1 aut\r de sa situation de /abilit1 a lieu p>ce que l'quation diffr5tielle qui exprime la loi de l'un quelconque de ces m\vem5s se tr\ve tre l9aire1 et consquemm5t de la classe de celles dont l'intgrale gnrale e/ ncessairem5t la simple somme d'un c]ta9 nombre d'intgrales p>ticulires4 ,a9si1 s\s le rapport analytique1 la sup]position des div]s m\vem5s oscillatoires a p\r cause l'espce de sup]position qui s'tablit alors entre les diffr5tes intgrales correspondantes4 ,cette importante corrlation e/ c]ta9em5t1 comme l'obs]ve avec raison ,laplace1 un des plus beaux exemples de cette h>monie ncessaire entre l'ab/rait et le concret1 dont la philosophie ma?matique n\s a (f]t tant de vrifications admirables4 ,telles sont les pr9cipales considrations philosophiques relatives aux diffr5s ?ormes gnraux dc\v]ts jusqu'ici dans la mcanique rationnelle1 et qui t\s driv5t1 comme de simples dductions analytiques plus ou mo9s loignes1 des lois fondam5tales du m\vem5t sur lesquelles repose le sy/me enti] de la sci5ce phoronomique4 ,l'exam5 sommaire de ces ?ormes1 dont l'ensemble con/itue un des monum5s les plus imposans de l'activit de l'intellig5ce huma9e conv5ablem5t dirige1 tait indisp5sable p\r a*ev] de dt]m9] le c>actre philosophique de la sci5ce de l'quilibre et du m\vem5t1 dj suffisamm5t trac dans les leons prcd5tes1 l'g>d de la m?ode4 ,n\s p\vons donc ma9t5ant n\s =m] nettem5t une ide gnrale de la nature propre de cette seconde bran*e de la ma?matique concrte1 ce qui devait tre le seul objet ess5tiel de notre travail ce sujet4 ,je me suis ef=c1 dans ce volume1 de faire s5tir1 autant qu'il a t en mon p\voir1 en quoi consi/e rellem5t la philosophie ma?matique1 soit quant ses conceptions ab/raites1 soit quant ses div]s ordres de considrations concrtes1 soit enf9 quant la corrlation intime et p]man5te qui exi/e ncessairem5t entre les unes et les autres4 ,je regrette vivem5t que les limites dans lesquelles j'ai d me r5f]m]1 vu la de/9ation de cet ouvrage1 ne m'ai5t po9t p]mis de faire pass]1 autant que je l'aurais dsir1 dans l'esprit du lecteur mon s5tim5t pr(ond de la nature de cette imm5se et admirable sci5ce1 qui1 base ncessaire de la philosophie positive t\t entire1 con/itue d'ailleurs videmm5t1 en elle-mme1 le tmoignage le plus irrcusable de la porte du gnie huma94 ,mais j'espre que les p5seurs qui n'ont pas le malheur d'tre entirem5t trang]s cette sci5ce fondam5tale p\rront1 d'aprs les rflexions que j'ai indiques1 p>v5ir en concevoir nettem5t le vritable c>actre philosophique4 ,p\r prs5t] un ap]u vraim5t complet de la philosophie ma?matique dans son tat actuel1 j'ai indiqu d'avance 7voyez la #c;e ,leon7 qu'il me re/e encore considr] une troisime bran*e de la ma?matique concrte1 celle qui consi/e dans l'application de l'analyse l'tude des phnomnes !rmologiques1 d]nire gr&e conqute de l'esprit huma91 due l'illu/re ami dont je dplore la p]te rc5te1 l'immortel ,f\ri]1 qui vi5t de laiss] dans le monde savant une si pr(onde lacune1 long-temps de/9e tre de j\r en j\r plus =tem5t s5tie4 ,mais1 af9 de ne m'c>t] que le mo9s possible des habitudes encore univ]sellem5t adoptes1 j'ai annonc que je croyais devoir aj\rn] cet important exam5 jusqu' ce que l'ordre naturel des considrations exposes dans cet ouvrage n\s ait conduits la p>tie de la physique qui traite de la !rmologie4 ,quoiqu'une telle transposition ne soit po9t vritablem5t rationnelle1 il n'en saurait rsult] cep5dant qu'un inconvni5t secondaire1 l'apprciation philosophique que je prs5t]ai ayant d'ailleurs exactem5t le mme c>actre que si elle et t place son vritable rang logique4 ,considrant donc ma9t5ant la philosophie ma?matique comme compltem5t c>actrise1 n\s devons procd] l'exam5 de son application plus ou mo9s p>faite l'tude des div]s ordres de phnomnes naturels suivant leur degr de simplicit1 application qui1 p> elle-mme1 e/ d'ailleurs videmm5t propre jet] un n\veau j\r sur les vrais pr9cipes de cette philosophie1 et sans laquelle1 en effet1 ils ne saurai5t tre conv5ablem5t apprcis4 ,tel s]a l'objet du volume suivant1 en n\s con=mant l'ordre encyclopdique rig\reusem5t dt]m9 dans la seconde leon1 d'aprs la nature spciale de *acune des classes pr9cipales de phnomnes que n\s avons tablies1 et1 p> consqu5t1 en comm5ant p> les phnomnes a/ronomiques l'tude appr(ondie desquels la sci5ce ma?matique e/ m9emm5t de/9e4 ,,f9 ,,du ,,tome ,,premi]4 ,,table ,,des ,,mati,,res ,,cont5ues ,,dans ,,le ,,tome ,,premi]4 ,ddicace v ,av]tissem5t de l'auteur4 ,tableau synoptique de l'ensemble du c\rs de philosophie positive4 #are ,,le,,on4--,exposition du b de ce c\rs1 ou considrations gnrales sur la nature et l'importance de la philosophie positive4 #b;e ,,le,,on4--,exposition du plan de ce c\rs1 ou considrations gnrales sur la hir>*ie des sci5ces positives4 #c;e ,,le,,on4--,considrations philosophiques sur l'ensemble de la sci5ce ma?matique4 #d;e ,,le,,on4--,vue gnrale de l'analyse ma?matique4 #e;e ,,le,,on4--,considrations gnrales sur le calcul des fonctions directes4 #f;e ,,le,,on4--,exposition comp>ative des div]s po9ts de vue gnraux s\s lesquels on peut envisag] le calcul des fonctions indirectes4 #g;e ,,le,,on4--,tableau gnral du calcul des fonctions indirectes4 #h;e ,,le,,on4--,considrations gnrales sur le calcul des v>iations4 #i;e ,,le,,on4--,considrations gnrales sur le calcul aux diffr5ces f9ies4 #aj;e ,,le,,on4--,vue gnrale de la gomtrie4 #aa;e ,,le,,on4--,considrations gnrales sur la gomtrie spciale ou prlim9aire4 #ab;e ,,le,,on4--,conception fondam5tale de la gomtrie gnrale ou analytique4 #ac;e ,,le,,on4--,de la gomtrie gnrale deux dim5sions4 #ad;e ,,le,,on4--,de la gomtrie gnrale trois dim5sions4 #ae;e ,,le,,on4--,considrations philosophiques sur les pr9cipes fondam5taux de la mcanique rationnelle4 #af;e ,,le,,on4--,vue gnrale de la /atique4 #ag;e ,,le,,on4--,vue gnrale de la dynamique4 #ah;e ,,le,,on4--,considrations sur les ?ormes gnraux de mcanique rationnelle4 ,,errata ,,du ,,tome ,,premi]4 ,,note ,,du ,,transcripteur3 ,ces erreurs ont t corriges dans le prs5t docum5t4 ,la li/e en e/ reproduite ici seulem5t p\r f9 de rfr5ce4 ,page #adg1 ligne #be1 au lieu de ides1 lisez conceptions4 #bja #a fait1 lisez sait4 #bcf #ab ,m4 ,f\rni]1 lisez ,m4 ,f\ri]4 #bdh #bf supprimez ou mo9s4 #cea #ag aprs influe1 aj\tez s+ulirem5t4 #dbj #aa au lieu de signes1 lisez lignes4 #dfi #a jusqu'ici1 lisez jusqu' ce j\r4 #ejd #bj int5sit1 lisez intimit4 #ejh #ah1 aprs volume du1 aj\tez tronc de cne ou du4 #eji #c1 au lieu de ,s#b_/pi_/int ydx1 lisez ,s#b_/pi_/int yds4 #ecj #bj div]s individus1 lisez div]ses espces4 #ecd d]nire ligne de la note1 avant dsignant1 aj\tez4 #eef #f au lieu de relations1 lisez actions4 #fbd #d oprations1 lisez quations4