de ,france 7,bn,f_/,gallica7 ,,cours ,,de ,,philosophie ,,positive4 ,,verat1 ,,imprimeur1 ,,rue ,,du ,,cadran1 ,n #af4 ,,note ,,du ,,transcripteur3 ,ce premier volume contient un grand nombre de formules algbriques4 ,les correcteurs d'preuve ont tent de reproduire ces formules tant bien que mal1 cependant comme le format 4txt ne se prte pas trs bien cet exercice4 ,ces corrections pourront s'avrer incomprhensibles pour la plupart des lecteurs1 et possiblement incorrectes pour les autres4 ,pour une version plus complte1 et plus prcise le lecteur aura grand avantage consulter la version ,,html de ce document4 ,,cours ,,de ,,philosophie ,,positive1 ,par ,m4 ,auguste ,comte1 ,,ancien ,l,,ve ,,de ,l',,cole ,,polytechnique4 ,,tome ,,premier1 ,,contenant ,,les ,,pr,,liminaires ,g,n,,raux ,,et ,,la ,,philosophie ,,math,,matique4 ,,paris4 ,,rouen ,,fr,,res1 ,,libraires-,,diteurs1 ,,rue ,,de ,l',,cole ,,de ,m,,decine1 ,n #ac4 ,,bruxelles1 ,,au ,d,p,t ,,de ,,la ,,librairie ,m,,dicale ,,fran,,aise4 #ahcj4 ,,mes ,,illustres ,,amis ,m4 le ,baron ,fourier1 ,secrtaire perptuel de l',acadmie ,royale des ,sciences1 ,m4 le ,professeur ,g4 ,m4 ,d4 de ,blainville1 ,membre de l',acadmie ,royale des ,sciences1 ,en tmoignage de ma respectueuse affection1 ,auguste ,comte1 ,ancien lve de l'cole ,polytechnique4 ,,avertissement ,,de ,l',,auteur4 ,ce cours1 rsultat gnral de tous mes travaux depuis ma sortie de l'cole ,polytechnique en #ahaf1 fut ouvert pour la premire fois en avril #ahbf4 ,aprs un petit nombre de sances1 une maladie grave m'empcha1 cette poque1 de poursuivre une entreprise encourage1 ds sa naissance1 par les suffrages de plusieurs savans du premier ordre1 parmi lesquels je pouvais citer ds-lors ,,mm4 ,alexandre de ,humboldt1 de ,blainville et ,poinsot1 membres de l',acadmie des ,sciences1 qui voulurent bien suivre avec un intrt soutenu l'exposition de mes ides4 ,j'ai refait ce cours en entier l'hiver dernier1 partir du #d janvier #ahbi1 devant un auditoire dont avaient bien voulu faire partie ,m4 ,fourier1 secrtaire perptuel de l',acadmie des ,sciences1 ,,mm4 de ,blainville1 ,poinsot1 ,navier1 membres de la mme acadmie1 ,,mm4 les professeurs ,broussais1 ,esquirol1 ,binet1 etc41 auxquels je dois ici tmoigner publiquement ma reconnaissance pour la manire dont ils ont accueilli cette nouvelle tentative philosophique4 ,aprs m'tre assur par de tels suffrages que ce cours pouvait utilement recevoir une plus grande publicit1 j'ai cru devoir1 cette intention1 l'exposer cet hiver l',athne ,royal de ,paris1 o il vient d'tre ouvert le #i dcembre4 ,le plan est demeur compltement le mme4 ,seulement les convenances de cet tablissement m'obligent restreindre un peu les dveloppemens de mon cours4 ,ils se retrouvent tout entiers dans la publication que je fais aujourd'hui de mes leons1 telles qu'elles ont eu lieu l'anne dernire4 ,pour complter cette notice historique1 il est convenable de faire observer1 relativement quelques-unes des ides fondamentales exposes dans ce cours1 que je les avais prsentes antrieurement dans la premire partie d'un ouvrage intitul ,systme de politique positive1 imprime cent exemplaires en mai #ahbb1 et rimprime ensuite en avril #ahbd1 un nombre d'exemplaires plus considrable4 ,cette premire partie n'a point encore t formellement publie1 mais seulement communique1 par la voie de l'impression1 un grand nombre de savans et de philosophes europens4 ,elle ne sera mise dfinitivement en circulation qu'avec la seconde partie que j'espre pouvoir faire paratre la fin de l'anne #ahcj4 ,j'ai cru ncessaire de constater ici la publicit effective de ce premier travail1 parce que quelques ides offrant une certaine analogie avec une partie des miennes1 se trouvent exposes1 sans aucune mention de mes recherches1 dans divers ouvrages publis postrieurement1 surtout en ce qui concerne la rnovation des thories sociales4 ,quoique des esprits diffrens aient pu1 sans aucune communication1 comme le montre souvent l'histoire de l'esprit humain1 arriver sparment des conceptions analogues en s'occupant d'une mme classe de travaux1 je devais nanmoins insister sur l'antriorit relle d'un ouvrage peu connu du public1 afin qu'on ne suppose pas que j'ai puis le germe de certaines ides dans des crits qui sont1 au contraire1 plus rcens4 ,plusieurs personnes m'ayant dj demand quelques claircissemens relativement au titre de ce cours1 je crois utile d'indiquer ici1 ce sujet1 une explication sommaire4 ,l'expression philosophie positive tant constamment employe1 dans toute l'tendue de ce cours1 suivant une acception rigoureusement invariable1 il m'a paru superflu de la dfinir autrement que par l'usage uniforme que j'en ai toujours fait4 ,la premire leon1 en particulier1 peut tre regarde tout entire comme le dveloppement de la dfinition exacte de ce que j'appelle la philosophie positive4 ,je regrette nanmoins d'avoir t oblig d'adopter1 dfaut de tout autre1 un terme comme celui de philosophie1 qui a t si abusivement employ dans une multitude d'acceptions diverses4 ,mais l'adjectif positive par lequel j'en modifie le sens me parat suffire pour faire disparatre1 mme au premier abord1 toute quivoque essentielle1 chez ceux1 du moins1 qui en connaissent bien la valeur4 ,je me bornerai donc1 dans cet avertissement1 dclarer que j'emploie le mot philosophie dans l'acception que lui donnaient les anciens1 et particulirement ,aristote1 comme dsignant le systme gnral des conceptions humaines2 et1 en ajoutant le mot positive1 j'annonce que je considre cette manire spciale de philosopher qui consiste envisager les thories1 dans quelque ordre d'ides que ce soit1 comme ayant pour objet la coordination des faits observs1 ce qui constitue le troisime et dernier tat de la philosophie gnrale1 primitivement thologique et ensuite mtaphysique1 ainsi que je l'explique ds la premire leon4 ,il y a1 sans doute1 beaucoup d'analogie entre ma philosophie positive et ce que les savans anglais entendent1 depuis ,newton surtout1 par philosophie naturelle4 ,mais je n'ai pas d choisir cette dernire dnomination1 non plus que celle de philosophie des sciences qui serait peut-tre encore plus prcise1 parce que l'une et l'autre ne s'entendent pas encore de tous les ordres de phnomnes1 tandis que la philosophie positive1 dans laquelle je comprends l'tude des phnomnes sociaux aussi bien que de tous les autres1 dsigne une manire uniforme de raisonner applicable tous les sujets sur lesquels l'esprit humain peut s'exercer4 ,en outre1 l'expression philosophie naturelle est usite1 en ,angleterre1 pour dsigner l'ensemble des diverses sciences d'observation1 considres jusque dans leurs spcialits les plus dtailles2 au lieu que par philosophie positive1 compar sciences positives1 j'entends seulement l'tude propre des gnralits des diffrentes sciences1 conues comme soumises une mthode unique1 et comme formant les diffrentes parties d'un plan gnral de recherches4 ,le terme que j'ai t conduit construire est donc1 la fois1 plus tendu et plus restreint que les dnominations1 d'ailleurs analogues1 quant au caractre fondamental des ides1 qu'on pourrait1 de prime-abord1 regarder comme quivalentes4 ,paris1 le #ah dcembre #ahbi4 ,,cours ,,de ,,philosophie ,,positive4 ,,premi,,re ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,exposition du but de ce cours1 ou considrations gnrales sur la nature et l'importance de la philosophie positive4 ,l'objet de cette premire leon est d'exposer nettement le but du cours1 c'est--dire de dterminer exactement l'esprit dans lequel seront considres les diverses branches fondamentales de la philosophie naturelle1 indiques par le programme sommaire que je vous ai prsent4 ,sans doute1 la nature de ce cours ne saurait tre compltement apprcie1 de manire pouvoir s'en former une opinion dfinitive1 que lorsque les diverses parties en auront t successivement dveloppes4 ,tel est l'inconvnient ordinaire des dfinitions relatives des systmes d'ides trs-tendus1 quand elles en prcdent l'exposition4 ,mais les gnralits peuvent tre conues sous deux aspects1 ou comme aperu d'une doctrine tablir1 ou comme rsum d'une doctrine tablie4 ,si c'est seulement sous ce dernier point de vue qu'elles acquirent toute leur valeur1 elles n'en ont pas moins dj1 sous le premier1 une extrme importance1 en caractrisant ds l'origine le sujet considrer4 ,la circonscription gnrale du champ de nos recherches1 trace avec toute la svrit possible1 est1 pour notre esprit1 un prliminaire particulirement indispensable dans une tude aussi vaste et jusqu'ici aussi peu dtermine que celle dont nous allons nous occuper4 ,c'est afin d'obir cette ncessit logique que je crois devoir vous indiquer1 ds ce moment1 la srie des considrations fondamentales qui ont donn naissance ce nouveau cours1 et qui seront d'ailleurs spcialement dveloppes1 dans la suite1 avec toute l'extension que rclame la haute importance de chacune d'elles4 ,pour expliquer convenablement la vritable nature et le caractre propre de la philosophie positive1 il est indispensable de jeter d'abord un coup-d'oeil gnral sur la marche progressive de l'esprit humain1 envisage dans son ensemble3 car une conception quelconque ne peut tre bien connue que par son histoire4 ,en tudiant ainsi le dveloppement total de l'intelligence humaine dans ses diverses sphres d'activit1 depuis son premier essor le plus simple jusqu' nos jours1 je crois avoir dcouvert une grande loi fondamentale1 laquelle il est assujti par une ncessit invariable1 et qui me semble pouvoir tre solidement tablie1 soit sur les preuves rationnelles fournies par la connaissance de notre organisation1 soit sur les vrifications historiques rsultant d'un examen attentif du pass4 ,cette loi consiste en ce que chacune de nos conceptions principales1 chaque branche de nos connaissances1 passe successivement par trois tats thoriques diffrens3 l'tat thologique1 ou fictif2 l'tat mtaphysique1 ou abstrait2 l'tat scientifique1 ou positif4 ,en d'autres termes1 l'esprit humain1 par sa nature1 emploie successivement dans chacune de ses recherches trois mthodes de philosopher1 dont le caractre est essentiellement diffrent et mme radicalement oppos3 d'abord la mthode thologique1 ensuite la mthode mtaphysique1 et enfin la mthode positive4 ,de l1 trois sortes de philosophies1 ou de systmes gnraux de conceptions sur l'ensemble des phnomnes1 qui s'excluent mutuellement3 la premire est le point de dpart ncessaire de l'intelligence humaine2 la troisime1 son tat fixe et dfinitif3 la seconde est uniquement destine servir de transition4 ,dans l'tat thologique1 l'esprit humain dirigeant essentiellement ses recherches vers la nature intime des tres1 les causes premires et finales de tous les effets qui le frappent1 en un mot1 vers les connaissances absolues1 se reprsente les phnomnes comme produits par l'action directe et continue d'agens surnaturels plus ou moins nombreux1 dont l'intervention arbitraire explique toutes les anomalies apparentes de l'univers4 ,dans l'tat mtaphysique1 qui n'est au fond qu'une simple modification gnrale du premier1 les agens surnaturels sont remplacs par des forces abstraites1 vritables entits 7abstractions personnifies7 inhrentes aux divers tres du monde1 et conues comme capables d'engendrer par elles-mmes tous les phnomnes observs1 dont l'explication consiste alors assigner pour chacun l'entit correspondante4 ,enfin1 dans l'tat positif1 l'esprit humain reconnaissant l'impossibilit d'obtenir des notions absolues1 renonce chercher l'origine et la destination de l'univers1 et connatre les causes intimes des phnomnes1 pour s'attacher uniquement dcouvrir1 par l'usage bien combin du raisonnement et de l'observation1 leurs lois effectives1 c'est--dire leurs relations invariables de succession et de similitude4 ,l'explication des faits1 rduite alors ses termes rels1 n'est plus dsormais que la liaison tablie entre les divers phnomnes particuliers et quelques faits gnraux1 dont les progrs de la science tendent de plus en plus diminuer le nombre4 ,le systme thologique est parvenu la plus haute perfection dont il soit susceptible1 quand il a substitu l'action providentielle d'un tre unique au jeu vari des nombreuses divinits indpendantes qui avaient t imagines primitivement4 ,de mme1 le dernier terme du systme mtaphysique consiste concevoir1 au lieu des diffrentes entits particulires1 une seule grande entit gnrale1 la nature1 envisage comme la source unique de tous les phnomnes4 ,pareillement1 la perfection du systme positif1 vers laquelle il tend sans cesse1 quoiqu'il soit trs-probable qu'il ne doive jamais l'atteindre1 serait de pouvoir se reprsenter tous les divers phnomnes observables comme des cas particuliers d'un seul fait gnral1 tel que celui de la gravitation1 par exemple4 ,ce n'est pas ici le lieu de dmontrer spcialement cette loi fondamentale du dveloppement de l'esprit humain1 et d'en dduire les consquences les plus importantes4 ,nous en traiterons directement1 avec toute l'extension convenable1 dans la partie de ce cours relative l'tude des phnomnes sociaux#a4 ,je ne la considre maintenant que pour dterminer avec prcision le vritable caractre de la philosophie positive1 par opposition aux deux autres philosophies qui ont successivement domin1 jusqu' ces derniers sicles1 tout notre systme intellectuel4 ,quant prsent1 afin de ne pas laisser entirement sans dmonstration une loi de cette importance1 dont les applications se prsenteront frquemment dans toute l'tendue de ce cours1 je dois me borner une indication rapide des motifs gnraux les plus sensibles qui peuvent en constater l'exactitude4 ,note #a3 ,les personnes qui dsireraient immdiatement ce sujet des claircissemens plus tendus1 pourront consulter utilement trois articles de ,considrations philosophiques sur les sciences et les savans que j'ai publis1 en novembre #ahbe1 dans un recueil intitul le ,producteur 7nos #g1 #h et #aj71 et surtout la premire partie de mon ,systme de politique positive1 adresse1 en avril #ahbd1 l',acadmie des ,sciences1 et o j'ai consign1 pour la premire fois1 la dcouverte de cette loi4 ,en premier lieu1 il suffit1 ce me semble1 d'noncer une telle loi1 pour que la justesse en soit immdiatement vrifie par tous ceux qui ont quelque connaissance approfondie de l'histoire gnrale des sciences4 ,il n'en est pas une seule1 en effet1 parvenue aujourd'hui l'tat positif1 que chacun ne puisse aisment se reprsenter1 dans le pass1 essentiellement compose d'abstractions mtaphysiques1 et1 en remontant encore davantage1 tout--fait domine par les conceptions thologiques4 ,nous aurons mme malheureusement plus d'une occasion formelle de reconnatre1 dans les diverses parties de ce cours1 que les sciences les plus perfectionnes conservent encore aujourd'hui quelques traces trs-sensibles de ces deux tats primitifs4 ,cette rvolution gnrale de l'esprit humain peut d'ailleurs tre aisment constate aujourd'hui1 d'une manire trs-sensible1 quoique indirecte1 en considrant le dveloppement de l'intelligence individuelle4 ,le point de dpart tant ncessairement le mme dans l'ducation de l'individu que dans celle de l'espce1 les diverses phases principales de la premire doivent reprsenter les poques fondamentales de la seconde4 ,or1 chacun de nous1 en contemplant sa propre histoire1 ne se souvient-il pas qu'il a t successivement1 quant ses notions les plus importantes1 thologien dans son enfance1 mtaphysicien dans sa jeunesse1 et physicien dans sa virilit8 ,cette vrification est facile aujourd'hui pour tous les hommes au niveau de leur sicle4 ,mais1 outre l'observation directe1 gnrale ou individuelle1 qui prouve l'exactitude de cette loi1 je dois surtout1 dans cette indication sommaire1 mentionner les considrations thoriques qui en font sentir la ncessit4 ,la plus importante de ces considrations1 puise dans la nature mme du sujet1 consiste dans le besoin1 toute poque1 d'une thorie quelconque pour lier les faits1 combin avec l'impossibilit vidente1 pour l'esprit humain son origine1 de se former des thories d'aprs les observations4 ,tous les bons esprits rptent1 depuis ,bacon1 qu'il n'y a de connaissances relles que celles qui reposent sur des faits observs4 ,cette maxime fondamentale est videmment incontestable1 si on l'applique1 comme il convient1 l'tat viril de notre intelligence4 ,mais en se reportant la formation de nos connaissances1 il n'en est pas moins certain que l'esprit humain1 dans son tat primitif1 ne pouvait ni ne devait penser ainsi4 ,car1 si d'un ct1 toute thorie positive doit ncessairement tre fonde sur les observations1 il est galement sensible1 d'un autre ct1 que1 pour se livrer l'observation1 notre esprit a besoin d'une thorie quelconque4 ,si en contemplant les phnomnes1 nous ne les rattachions point immdiatement quelques principes1 non-seulement il nous serait impossible de combiner ces observations isoles1 et par consquent1 d'en tirer aucun fruit1 mais nous serions mme entirement incapables de les retenir2 et1 le plus souvent1 les faits resteraient inaperus sous nos yeux4 ,ainsi1 press entre la ncessit d'observer pour se former des thories relles1 et la ncessit non moins imprieuse de se crer des thories quelconques pour se livrer des observations suivies1 l'esprit humain1 sa naissance1 se trouverait enferm dans un cercle vicieux dont il n'aurait jamais eu aucun moyen de sortir1 s'il ne se ft heureusement ouvert une issue naturelle par le dveloppement spontan des conceptions thologiques1 qui ont prsent un point de ralliement ses efforts1 et fourni un aliment son activit4 ,tel est1 indpendamment des hautes considrations sociales qui s'y rattachent et que je ne dois pas mme indiquer en ce moment1 le motif fondamental qui dmontre la ncessit logique du caractre purement thologique de la philosophie primitive4 ,cette ncessit devient encore plus sensible en ayant gard la parfaite convenance de la philosophie thologique avec la nature propre des recherches sur lesquelles l'esprit humain dans son enfance concentre si minemment toute son activit4 ,il est bien remarquable1 en effet1 que les questions les plus radicalement inaccessibles nos moyens1 la nature intime des tres1 l'origine et la fin de tous les phnomnes1 soient prcisment celles que notre intelligence se propose par-dessus tout dans cet tat primitif1 tous les problmes vraiment solubles tant presque envisags comme indignes de mditations srieuses4 ,on en conoit aisment la raison2 car c'est l'exprience seule qui a pu nous fournir la mesure de nos forces2 et1 si l'homme n'avait d'abord commenc par en avoir une opinion exagre1 elles n'eussent jamais pu acqurir tout le dveloppement dont elles sont susceptibles4 ,ainsi l'exige notre organisation4 ,mais1 quoi qu'il en soit1 reprsentons-nous1 autant que possible1 cette disposition si universelle et si prononce1 et demandons-nous quel accueil aurait reu une telle poque1 en la supposant forme1 la philosophie positive1 dont la plus haute ambition est de dcouvrir les lois des phnomnes1 et dont le premier caractre propre est prcisment de regarder comme ncessairement interdits la raison humaine tous ces sublimes mystres1 que la philosophie thologique explique1 au contraire1 avec une si admirable facilit jusque dans leurs moindres dtails4 ,il en est de mme en considrant sous le point de vue pratique la nature des recherches qui occupent primitivement l'esprit humain4 ,sous ce rapport1 elles offrent l'homme l'attrait si nergique d'un empire illimit exercer sur le monde extrieur1 envisag comme entirement destin notre usage1 et comme prsentant dans tous ses phnomnes des relations intimes et continues avec notre existence4 ,or1 ces esprances chimriques1 ces ides exagres de l'importance de l'homme dans l'univers1 que fait natre la philosophie thologique1 et que dtruit sans retour la premire influence de la philosophie positive1 sont1 l'origine1 un stimulant indispensable1 sans lequel on ne pourrait certainement concevoir que l'esprit humain se ft dtermin primitivement de pnibles travaux4 ,nous sommes aujourd'hui tellement loigns de ces dispositions premires1 du moins quant la plupart des phnomnes1 que nous avons peine nous reprsenter exactement la puissance et la ncessit de considrations semblables4 ,la raison humaine est maintenant assez mre pour que nous entreprenions de laborieuses recherches scientifiques1 sans avoir en vue aucun but tranger capable d'agir fortement sur l'imagination1 comme celui que se proposaient les astrologues ou les alchimistes4 ,notre activit intellectuelle est suffisamment excite par le pur espoir de dcouvrir les lois des phnomnes1 par le simple dsir de confirmer ou d'infirmer une thorie4 ,mais il ne pouvait en tre ainsi dans l'enfance de l'esprit humain4 ,sans les attrayantes chimres de l'astrologie1 sans les nergiques dceptions de l'alchimie1 par exemple1 o aurions-nous puis la constance et l'ardeur ncessaires pour recueillir les longues suites d'observations et d'expriences qui ont1 plus tard1 servi de fondement aux premires thories positives de l'une et l'autre classe de phnomnes8 ,cette condition de notre dveloppement intellectuel a t vivement sentie depuis long-temps par ,kpler1 pour l'astronomie1 et justement apprcie de nos jours par ,berthollet1 pour la chimie4 ,on voit donc1 par cet ensemble de considrations1 que1 si la philosophie positive est le vritable tat dfinitif de l'intelligence humaine1 celui vers lequel elle a toujours tendu de plus en plus1 elle n'en a pas moins d ncessairement employer d'abord1 et pendant une longue suite de sicles1 soit comme mthode1 soit comme doctrine provisoires1 la philosophie thologique2 philosophie dont le caractre est d'tre spontane1 et1 par cela mme1 la seule possible l'origine1 la seule aussi qui pt offrir notre esprit naissant un intrt suffisant4 ,il est maintenant trs-facile de sentir que1 pour passer de cette philosophie provisoire la philosophie dfinitive1 l'esprit humain a d naturellement adopter1 comme philosophie transitoire1 les mthodes et les doctrines mtaphysiques4 ,cette dernire considration est indispensable pour complter l'aperu gnral de la grande loi que j'ai indique4 ,on conoit sans peine1 en effet1 que notre entendement1 contraint ne marcher que par degrs presque insensibles1 ne pouvait passer brusquement1 et sans intermdiaires1 de la philosophie thologique la philosophie positive4 ,la thologie et la physique sont si profondment incompatibles1 leurs conceptions ont un caractre si radicalement oppos1 qu'avant de renoncer aux unes pour employer exclusivement les autres1 l'intelligence humaine a d se servir de conceptions intermdiaires1 d'un caractre btard1 propres1 par cela mme1 oprer graduellement la transition4 ,telle est la destination naturelle des conceptions mtaphysiques3 elles n'ont pas d'autre utilit relle4 ,en substituant1 dans l'tude des phnomnes1 l'action surnaturelle directrice une entit correspondante et insparable1 quoique celle-ci ne ft d'abord conue que comme une manation de la premire1 l'homme s'est habitu peu peu ne considrer que les faits eux-mmes1 les notions de ces agens mtaphysiques ayant t graduellement subtilises au point de n'tre plus1 aux yeux de tout esprit droit1 que les noms abstraits des phnomnes4 ,il est impossible d'imaginer par quel autre procd notre entendement aurait pu passer des considrations franchement surnaturelles aux considrations purement naturelles1 du rgime thologique au rgime positif4 ,aprs avoir ainsi tabli1 autant que je puis le faire sans entrer dans une discussion spciale qui serait dplace en ce moment1 la loi gnrale du dveloppement de l'esprit humain1 tel que je le conois1 il nous sera maintenant ais de dterminer avec prcision la nature propre de la philosophie positive2 ce qui est l'objet essentiel de ce discours4 ,nous voyons1 par ce qui prcde1 que le caractre fondamental de la philosophie positive est de regarder tous les phnomnes comme assujtis des lois naturelles invariables1 dont la dcouverte prcise et la rduction au moindre nombre possible sont le but de tous nos efforts1 en considrant comme absolument inaccessible et vide de sens pour nous la recherche de ce qu'on appelle les causes1 soit premires1 soit finales4 ,il est inutile d'insister beaucoup sur un principe devenu maintenant aussi familier tous ceux qui ont fait une tude un peu approfondie des sciences d'observation4 ,chacun sait1 en effet1 que1 dans nos explications positives1 mme les plus parfaites1 nous n'avons nullement la prtention d'exposer les causes gnratrices des phnomnes1 puisque nous ne ferions jamais alors que reculer la difficult1 mais seulement d'analyser avec exactitude les circonstances de leur production1 et de les rattacher les unes aux autres par des relations normales de succession et de similitude4 ,ainsi1 pour en citer l'exemple le plus admirable1 nous disons que les phnomnes gnraux de l'univers sont expliqus1 autant qu'ils puissent l'tre1 par la loi de la gravitation newtonienne1 parce que1 d'un ct1 cette belle thorie nous montre toute l'immense varit des faits astronomiques1 comme n'tant qu'un seul et mme fait envisag sous divers points de vue2 la tendance constante de toutes les molcules les unes vers les autres en raison directe de leurs masses1 et en raison inverse des carrs de leurs distances2 tandis que1 d'un autre ct1 ce fait gnral nous est prsent comme une simple extension d'un phnomne qui nous est minemment familier1 et que1 par cela seul1 nous regardons comme parfaitement connu1 la pesanteur des corps la surface de la terre4 ,quant dterminer ce que sont en elles-mmes cette attraction et cette pesanteur1 quelles en sont les causes1 ce sont des questions que nous regardons tous comme insolubles1 qui ne sont plus du domaine de la philosophie positive1 et que nous abandonnons avec raison l'imagination des thologiens1 ou aux subtilits des mtaphysiciens4 ,la preuve manifeste de l'impossibilit d'obtenir de telles solutions1 c'est que1 toutes les fois qu'on a cherch dire ce sujet quelque chose de vraiment rationnel1 les plus grands esprits n'ont pu que dfinir ces deux principes l'un par l'autre1 en disant1 pour l'attraction1 qu'elle n'est autre chose qu'une pesanteur universelle1 et ensuite1 pour la pesanteur1 qu'elle consiste simplement dans l'attraction terrestre4 ,de telles explications1 qui font sourire quand on prtend connatre la nature intime des choses et le mode de gnration des phnomnes1 sont cependant tout ce que nous pouvons obtenir de plus satisfaisant1 en nous montrant comme identiques deux ordres de phnomnes1 qui ont t si long-temps regards comme n'ayant aucun rapport entre eux4 ,aucun esprit juste ne cherche aujourd'hui aller plus loin4 ,il serait ais de multiplier ces exemples1 qui se prsenteront en foule dans toute la dure de ce cours1 puisque tel est maintenant l'esprit qui dirige exclusivement les grandes combinaisons intellectuelles4 ,pour en citer en ce moment un seul parmi les travaux contemporains1 je choisirai la belle srie de recherches de ,m4 ,fourier sur la thorie de la chaleur4 ,elle nous offre la vrification trs-sensible des remarques gnrales prcdentes4 ,en effet1 dans ce travail1 dont le caractre philosophique est si minemment positif1 les lois les plus importantes et les plus prcises des phnomnes thermologiques se trouvent dvoiles1 sans que l'auteur se soit enquis une seule fois de la nature intime de la chaleur1 sans qu'il ait mentionn1 autrement que pour en indiquer le vide1 la controverse si agite entre les partisans de la matire calorifique et ceux qui font consister la chaleur dans les vibrations d'un ther universel4 ,et nanmoins les plus hautes questions1 dont plusieurs n'avaient mme jamais t poses1 sont traites dans cet ouvrage1 preuve palpable que l'esprit humain1 sans se jeter dans des problmes inabordables1 et en se restreignant dans les recherches d'un ordre entirement positif1 peut y trouver un aliment inpuisable son activit la plus profonde4 ,aprs avoir caractris1 aussi exactement qu'il m'est permis de le faire dans cet aperu gnral1 l'esprit de la philosophie positive1 que ce cours tout entier est destin dvelopper1 je dois maintenant examiner quelle poque de sa formation elle est parvenue aujourd'hui1 et ce qui reste faire pour achever de la constituer4 cet effet1 il faut d'abord considrer que les diffrentes branches de nos connaissances n'ont pas d parcourir d'une vitesse gale les trois grandes phases de leur dveloppement indiques ci-dessus1 ni1 par consquent1 arriver simultanment l'tat positif4 ,il existe1 sous ce rapport1 un ordre invariable et ncessaire1 que nos divers genres de conceptions ont suivi et d suivre dans leur progression1 et dont la considration exacte est le complment indispensable de la loi fondamentale nonce prcdemment4 ,cet ordre sera le sujet spcial de la prochaine leon4 ,qu'il nous suffise1 quant prsent1 de savoir qu'il est conforme la nature diverse des phnomnes1 et qu'il est dtermin par leur degr de gnralit1 de simplicit et d'indpendance rciproque1 trois considrations qui1 bien que distinctes1 concourent au mme but4 ,ainsi1 les phnomnes astronomiques d'abord1 comme tant les plus gnraux1 les plus simples1 et les plus indpendans de tous les autres1 et successivement1 par les mmes raisons1 les phnomnes de la physique terrestre proprement dite1 ceux de la chimie1 et enfin les phnomnes physiologiques1 ont t ramens des thories positives4 ,il est impossible d'assigner l'origine prcise de cette rvolution2 car on en peut dire avec exactitude1 comme de tous les autres grands vnemens humains1 qu'elle s'est accomplie constamment et de plus en plus1 particulirement depuis les travaux d',aristote et de l'cole d',alexandrie1 et ensuite depuis l'introduction des sciences naturelles dans l',europe occidentale par les ,arabes4 ,cependant1 vu qu'il convient de fixer une poque pour empcher la divagation des ides1 j'indiquerai celle du grand mouvement imprim l'esprit humain1 il y a deux sicles1 par l'action combine des prceptes de ,bacon1 des conceptions de ,descartes1 et des dcouvertes de ,galile1 comme le moment o l'esprit de la philosophie positive a commenc se prononcer dans le monde1 en opposition vidente avec l'esprit thologique et mtaphysique4 ,c'est alors1 en effet1 que les conceptions positives se sont dgages nettement de l'alliage superstitieux et scolastique qui dguisait plus ou moins le vritable caractre de tous les travaux antrieurs4 ,depuis cette mmorable poque1 le mouvement d'ascension de la philosophie positive1 et le mouvement de dcadence de la philosophie thologique et mtaphysique1 ont t extrmement marqus4 ,ils se sont enfin tellement prononcs1 qu'il est devenu impossible aujourd'hui1 tous les observateurs ayant conscience de leur sicle1 de mconnatre la destination finale de l'intelligence humaine pour les tudes positives1 ainsi que son loignement dsormais irrvocable pour ces vaines doctrines et pour ces mthodes provisoires qui ne pouvaient convenir qu' son premier essor4 ,ainsi1 cette rvolution fondamentale s'accomplira ncessairement dans toute son tendue4 ,si donc il lui reste encore quelque grande conqute faire1 quelque branche principale du domaine intellectuel envahir1 on peut tre certain que la transformation s'y oprera1 comme elle s'est effectue dans toutes les autres4 ,car1 il serait videmment contradictoire de supposer que l'esprit humain1 si dispos l'unit de mthode1 conservt indfiniment1 pour une seule classe de phnomnes1 sa manire primitive de philosopher1 lorsqu'une fois il est arriv adopter pour tout le reste une nouvelle marche philosophique1 d'un caractre absolument oppos4 ,tout se rduit donc une simple question de fait3 la philosophie positive1 qui1 dans les deux derniers sicles1 a pris graduellement une si grande extension1 embrasse-t-elle aujourd'hui tous les ordres de phnomnes8 ,il est vident que cela n'est point1 et que1 par consquent1 il reste encore une grande opration scientifique excuter pour donner la philosophie positive ce caractre d'universalit1 indispensable sa constitution dfinitive4 ,en effet1 dans les quatre catgories principales de phnomnes naturels numres tout l'heure1 les phnomnes astronomiques1 physiques1 chimiques et physiologiques1 on remarque une lacune essentielle relative aux phnomnes sociaux1 qui1 bien que compris implicitement parmi les phnomnes physiologiques1 mritent1 soit par leur importance1 soit par les difficults propres leur tude1 de former une catgorie distincte4 ,ce dernier ordre de conceptions1 qui se rapporte aux phnomnes les plus particuliers1 les plus compliqus1 et les plus dpendans de tous les autres1 a d ncessairement1 par cela seul1 se perfectionner plus lentement que tous les prcdens1 mme sans avoir gard aux obstacles plus spciaux que nous considrerons plus tard4 ,quoi qu'il en soit1 il est vident qu'il n'est point encore entr dans le domaine de la philosophie positive4 ,les mthodes thologiques et mtaphysiques qui1 relativement tous les autres genres de phnomnes1 ne sont plus maintenant employes par personne1 soit comme moyen d'investigation1 soit mme seulement comme moyen d'argumentation1 sont encore1 au contraire1 exclusivement usites1 sous l'un et l'autre rapport1 pour tout ce qui concerne les phnomnes sociaux1 quoique leur insuffisance cet gard soit dj pleinement sentie par tous les bons esprits1 lasss de ces vaines contestations interminables entre le droit divin et la souverainet du peuple4 ,voil donc la grande1 mais videmment la seule lacune qu'il s'agit de combler pour achever de constituer la philosophie positive4 ,maintenant que l'esprit humain a fond la physique cleste1 la physique terrestre1 soit mcanique1 soit chimique2 la physique organique1 soit vgtale1 soit animale1 il lui reste terminer le systme des sciences d'observation en fondant la physique sociale4 ,tel est aujourd'hui1 sous plusieurs rapports capitaux1 le plus grand et le plus pressant besoin de notre intelligence3 tel est1 j'ose le dire1 le premier but de ce cours1 son but spcial4 ,les conceptions que je tenterai de prsenter relativement l'tude des phnomnes sociaux1 et dont j'espre que ce discours laisse dj entrevoir le germe1 ne sauraient avoir pour objet de donner immdiatement la physique sociale le mme degr de perfection qu'aux branches antrieures de la philosophie naturelle1 ce qui serait videmment chimrique1 puisque celles-ci offrent dj entre elles cet gard une extrme ingalit1 d'ailleurs invitable4 ,mais elles seront destines imprimer cette dernire classe de nos connaissances1 ce caractre positif dj pris par toutes les autres4 ,si cette condition est une fois rellement remplie1 le systme philosophique des modernes sera enfin fond dans son ensemble2 car aucun phnomne observable ne saurait videmment manquer de rentrer dans quelqu'une des cinq grandes catgories ds lors tablies des phnomnes astronomiques1 physiques1 chimiques1 physiologiques et sociaux4 ,toutes nos conceptions fondamentales tant devenues homognes1 la philosophie sera dfinitivement constitue l'tat positif2 sans jamais pouvoir changer de caractre1 il ne lui restera qu' se dvelopper indfiniment par les acquisitions toujours croissantes qui rsulteront invitablement de nouvelles observations ou de mditations plus profondes4 ,ayant acquis par l le caractre d'universalit qui lui manque encore1 la philosophie positive deviendra capable de se substituer entirement1 avec toute sa supriorit naturelle1 la philosophie thologique et la philosophie mtaphysique1 dont cette universalit est aujourd'hui la seule proprit relle1 et qui1 prives d'un tel motif de prfrence1 n'auront plus pour nos successeurs qu'une existence historique4 ,le but spcial de ce cours tant ainsi expos1 il est ais de comprendre son second but1 son but gnral1 ce qui en fait un cours de philosophie positive1 et non pas seulement un cours de physique sociale4 ,en effet1 la fondation de la physique sociale compltant enfin le systme des sciences naturelles1 il devient possible et mme ncessaire de rsumer les diverses connaissances acquises1 parvenues alors un tat fixe et homogne1 pour les coordonner en les prsentant comme autant de branches d'un tronc unique1 au lieu de continuer les concevoir seulement comme autant de corps isols4 ,c'est cette fin qu'avant de procder l'tude des phnomnes sociaux je considrerai successivement1 dans l'ordre encyclopdique annonc plus haut1 les diffrentes sciences positives dj formes4 ,il est superflu1 je pense1 d'avertir qu'il ne saurait tre question ici d'une suite de cours spciaux sur chacune des branches principales de la philosophie naturelle4 ,sans parler de la dure matrielle d'une entreprise semblable1 il est clair qu'une pareille prtention serait insoutenable de ma part1 et je crois pouvoir ajouter de la part de qui que ce soit1 dans l'tat actuel de l'ducation humaine4 ,bien au contraire1 un cours de la nature de celui-ci exige1 pour tre convenablement entendu1 une srie pralable d'tudes spciales sur les diverses sciences qui y seront envisages4 ,sans cette condition1 il est bien difficile de sentir et impossible de juger les rflexions philosophiques dont ces sciences seront les sujets4 ,en un mot1 c'est un ,cours de philosophie positive1 et non de sciences positives1 que je me propose de faire4 ,il s'agit uniquement ici de considrer chaque science fondamentale dans ses relations avec le systme positif tout entier1 et quant l'esprit qui la caractrise1 c'est--dire1 sous le double rapport de ses mthodes essentielles et de ses rsultats principaux4 ,le plus souvent mme je devrai me borner mentionner ces derniers d'aprs les connaissances spciales pour tcher d'apprcier leur importance4 ,afin de rsumer les ides relativement au double but de ce cours1 je dois faire observer que les deux objets1 l'un spcial1 l'autre gnral1 que je me propose1 quoique distincts en eux-mmes1 sont ncessairement insparables4 ,car1 d'un ct1 il serait impossible de concevoir un cours de philosophie positive sans la fondation de la physique sociale1 puisqu'il manquerait alors d'un lment essentiel1 et que1 par cela seul1 les conceptions ne sauraient avoir ce caractre de gnralit qui doit en tre le principal attribut1 et qui distingue notre tude actuelle de la srie des tudes spciales4 ,d'un autre ct1 comment procder avec sret l'tude positive des phnomnes sociaux1 si l'esprit n'est d'abord prpar par la considration approfondie des mthodes positives dj juges pour les phnomnes moins compliqus1 et muni1 en outre1 de la connaissance des lois principales des phnomnes antrieurs1 qui toutes influent1 d'une manire plus ou moins directe1 sur les faits sociaux8 ,bien que toutes les sciences fondamentales n'inspirent pas aux esprits vulgaires un gal intrt1 il n'en est aucune qui doive tre nglige dans une tude comme celle que nous entreprenons4 ,quant leur importance pour le bonheur de l'espce humaine1 toutes sont certainement quivalentes1 lorsqu'on les envisage d'une manire approfondie4 ,celles1 d'ailleurs1 dont les rsultats prsentent1 au premier abord1 un moindre intrt pratique1 se recommandent minemment1 soit par la plus grande perfection de leurs mthodes1 soit comme tant le fondement indispensable de toutes les autres4 ,c'est une considration sur laquelle j'aurai spcialement occasion de revenir dans la prochaine leon4 ,pour prvenir1 autant que possible1 toutes les fausses interprtations qu'il est lgitime de craindre sur la nature d'un cours aussi nouveau que celui-ci1 je dois ajouter sommairement aux explications prcdentes quelques considrations directement relatives cette universalit de connaissances spciales1 que des juges irrflchis pourraient regarder comme la tendance de ce cours1 et qui est envisage si juste raison comme tout--fait contraire au vritable esprit de la philosophie positive4 ,ces considrations auront1 d'ailleurs1 l'avantage plus important de prsenter cet esprit sous un nouveau point de vue1 propre achever d'en claircir la notion gnrale4 ,dans l'tat primitif de nos connaissances il n'existe aucune division rgulire parmi nos travaux intellectuels2 toutes les sciences sont cultives simultanment par les mmes esprits4 ,ce mode d'organisation des tudes humaines1 d'abord invitable et mme indispensable1 comme nous aurons lieu de le constater plus tard1 change peu peu1 mesure que les divers ordres de conceptions se dveloppent4 ,par une loi dont la ncessit est vidente1 chaque branche du systme scientifique se spare insensiblement du tronc1 lorsqu'elle a pris assez d'accroissement pour comporter une culture isole1 c'est--dire quand elle est parvenue ce point de pouvoir occuper elle seule l'activit permanente de quelques intelligences4 ,c'est cette rpartition des diverses sortes de recherches entre diffrens ordres de savans1 que nous devons videmment le dveloppement si remarquable qu'a pris enfin de nos jours chaque classe distincte des connaissances humaines1 et qui rend manifeste l'impossibilit1 chez les modernes1 de cette universalit de recherches spciales1 si facile et si commune dans les temps antiques4 ,en un mot1 la division du travail intellectuel1 perfectionne de plus en plus1 est un des attributs caractristiques les plus importans de la philosophie positive4 ,mais1 tout en reconnaissant les prodigieux rsultats de cette division1 tout en voyant dsormais en elle la vritable base fondamentale de l'organisation gnrale du monde savant1 il est impossible1 d'un autre ct1 de n'tre pas frapp des inconvniens capitaux qu'elle engendre1 dans son tat actuel1 par l'excessive particularit des ides qui occupent exclusivement chaque intelligence individuelle4 ,ce fcheux effet est sans doute invitable jusqu' un certain point1 comme inhrent au principe mme de la division2 c'est--dire que1 par aucune mesure quelconque1 nous ne parviendrons jamais galer sous ce rapport les anciens1 chez lesquels une telle supriorit ne tenait surtout qu'au peu de dveloppement de leurs connaissances4 ,nous pouvons nanmoins1 ce me semble1 par des moyens convenables1 viter les plus pernicieux effets de la spcialit exagre1 sans nuire l'influence vivifiante de la sparation des recherches4 ,il est urgent de s'en occuper srieusement2 car ces inconvniens1 qui1 par leur nature1 tendent s'accrotre sans cesse1 commencent devenir trs-sensibles4 ,de l'aveu de tous1 les divisions1 tablies pour la plus grande perfection de nos travaux1 entre les diverses branches de la philosophie naturelle1 sont finalement artificielles4 ,n'oublions pas que1 nonobstant cet aveu1 il est dj bien petit dans le monde savant le nombre des intelligences embrassant dans leurs conceptions l'ensemble mme d'une science unique1 qui n'est cependant son tour qu'une partie d'un grand tout4 ,la plupart se bornent dj entirement la considration isole d'une section plus ou moins tendue d'une science dtermine1 sans s'occuper beaucoup de la relation de ces travaux particuliers avec le systme gnral des connaissances positives4 ,htons-nous de remdier au mal1 avant qu'il soit devenu plus grave4 ,craignons que l'esprit humain ne finisse par se perdre dans les travaux de dtail4 ,ne nous dissimulons pas que c'est l essentiellement le ct faible par lequel les partisans de la philosophie thologique et de la philosophie mtaphysique peuvent encore attaquer avec quelque espoir de succs la philosophie positive4 ,le vritable moyen d'arrter l'influence dltre dont l'avenir intellectuel semble menac1 par suite d'une trop grande spcialisation des recherches individuelles1 ne saurait tre1 videmment1 de revenir cette antique confusion des travaux1 qui tendrait faire rtrograder l'esprit humain1 et qui est1 d'ailleurs1 aujourd'hui heureusement devenue impossible4 ,il consiste1 au contraire1 dans le perfectionnement de la division du travail elle-mme4 ,il suffit1 en effet1 de faire de l'tude des gnralits scientifiques une grande spcialit de plus4 ,qu'une classe nouvelle de savans1 prpars par une ducation convenable1 sans se livrer la culture spciale d'aucune branche particulire de la philosophie naturelle1 s'occupe uniquement1 en considrant les diverses sciences positives dans leur tat actuel1 dterminer exactement l'esprit de chacune d'elles1 dcouvrir leurs relations et leur enchanement1 rsumer1 s'il est possible1 tous leurs principes propres en un moindre nombre de principes communs1 en se conformant sans cesse aux maximes fondamentales de la mthode positive4 ,qu'en mme temps1 les autres savans1 avant de se livrer leurs spcialits respectives1 soient rendus aptes dsormais1 par une ducation portant sur l'ensemble des connaissances positives1 profiter immdiatement des lumires rpandues par ces savans vous l'tude des gnralits1 et rciproquement rectifier leurs rsultats1 tat de choses dont les savans actuels se rapprochent visiblement de jour en jour4 ,ces deux grandes conditions une fois remplies1 et il est vident qu'elles peuvent l'tre1 la division du travail dans les sciences sera pousse1 sans aucun danger1 aussi loin que le dveloppement des divers ordres de connaissances l'exigera4 ,une classe distincte1 incessamment contrle par toutes les autres1 ayant pour fonction propre et permanente de lier chaque nouvelle dcouverte particulire au systme gnral1 on n'aura plus craindre qu'une trop grande attention donne aux dtails empche jamais d'apercevoir l'ensemble4 ,en un mot1 l'organisation moderne du monde savant sera ds lors compltement fonde1 et n'aura qu' se dvelopper indfiniment1 en conservant toujours le mme caractre4 ,former ainsi de l'tude des gnralits scientifiques une section distincte du grand travail intellectuel1 c'est simplement tendre l'application du mme principe de division qui a successivement spar les diverses spcialits2 car1 tant que les diffrentes sciences positives ont t peu dveloppes1 leurs relations mutuelles ne pouvaient avoir assez d'importance pour donner lieu1 au moins d'une manire permanente1 une classe particulire de travaux1 et en mme temps la ncessit de cette nouvelle tude tait bien moins urgente4 ,mais aujourd'hui chacune des sciences a pris sparment assez d'extension pour que l'examen de leurs rapports mutuels puisse donner lieu des travaux suivis1 en mme temps que ce nouvel ordre d'tudes devient indispensable pour prvenir la dispersion des conceptions humaines4 ,telle est la manire dont je conois la destination de la philosophie positive dans le systme gnral des sciences positives proprement dites4 ,tel est1 du moins1 le but de ce cours4 ,maintenant que j'ai essay de dterminer1 aussi exactement qu'il m'a t possible de le faire1 dans ce premier aperu1 l'esprit gnral d'un cours de philosophie positive1 je crois devoir1 pour imprimer ce tableau tout son caractre1 signaler rapidement les principaux avantages gnraux que peut avoir un tel travail1 si les conditions essentielles en sont convenablement remplies1 relativement aux progrs de l'esprit humain4 ,je rduirai ce dernier ordre de considrations l'indication de quatre proprits fondamentales4 ,premirement l'tude de la philosophie positive1 en considrant les rsultats de l'activit de nos facults intellectuelles1 nous fournit le seul vrai moyen rationnel de mettre en vidence les lois logiques de l'esprit humain1 qui ont t recherches jusqu'ici par des voies si peu propres les dvoiler4 ,pour expliquer convenablement ma pense cet gard1 je dois d'abord rappeler une conception philosophique de la plus haute importance1 expose par ,m4 de ,blainville dans la belle introduction de ses ,principes gnraux d'anatomie compare4 ,elle consiste en ce que tout tre actif1 et spcialement tout tre vivant1 peut tre tudi1 dans tous ses phnomnes sous deux rapports fondamentaux1 sous le rapport statique et sous le rapport dynamique1 c'est--dire comme apte agir et comme agissant effectivement4 ,il est clair1 en effet1 que toutes les considrations qu'on pourra prsenter rentreront ncessairement dans l'un ou l'autre mode4 ,appliquons cette lumineuse maxime fondamentale l'tude des fonctions intellectuelles4 ,si l'on envisage ces fonctions sous le point de vue statique1 leur tude ne peut consister que dans la dtermination des conditions organiques dont elles dpendent2 elle forme ainsi une partie essentielle de l'anatomie et de la physiologie4 ,en les considrant sous le point de vue dynamique1 tout se rduit tudier la marche effective de l'esprit humain en exercice1 par l'examen des procds rellement employs pour obtenir les diverses connaissances exactes qu'il a dj acquises1 ce qui constitue essentiellement l'objet gnral de la philosophie positive1 ainsi que je l'ai dfinie dans ce discours4 ,en un mot1 regardant toutes les thories scientifiques comme autant de grands faits logiques1 c'est uniquement par l'observation approfondie de ces faits qu'on peut s'lever la connaissance des lois logiques4 ,telles sont videmment les deux seules voies gnrales1 complmentaires l'une de l'autre1 par lesquelles on puisse arriver quelques notions rationnelles vritables sur les phnomnes intellectuels4 ,on voit que1 sous aucun rapport1 il n'y a place pour cette psychologie illusoire1 dernire transformation de la thologie1 qu'on tente si vainement de ranimer aujourd'hui1 et qui1 sans s'inquiter ni de l'tude physiologique de nos organes intellectuels1 ni de l'observation des procds rationnels qui dirigent effectivement nos diverses recherches scientifiques1 prtend arriver la dcouverte des lois fondamentales de l'esprit humain1 en le contemplant en lui-mme1 c'est--dire en faisant compltement abstraction et des causes et des effets4 ,la prpondrance de la philosophie positive est successivement devenue telle depuis ,bacon2 elle a pris aujourd'hui1 indirectement1 un si grand ascendant sur les esprits mme qui sont demeurs les plus trangers son immense dveloppement1 que les mtaphysiciens livrs l'tude de notre intelligence n'ont pu esprer de ralentir la dcadence de leur prtendue science qu'en se ravisant pour prsenter leurs doctrines comme tant aussi fondes sur l'observation des faits4 cette fin1 ils ont imagin1 dans ces derniers temps1 de distinguer1 par une subtilit fort singulire1 deux sortes d'observations d'gale importance1 l'une extrieure1 l'autre intrieure1 et dont la dernire est uniquement destine l'tude des phnomnes intellectuels4 ,ce n'est point ici le lieu d'entrer dans la discussion spciale de ce sophisme fondamental4 ,je dois me borner indiquer la considration principale qui prouve clairement que cette prtendue contemplation directe de l'esprit par lui-mme est une pure illusion4 ,on croyait1 il y a encore peu de temps1 avoir expliqu la vision1 en disant que l'action lumineuse des corps dtermine sur la rtine des tableaux reprsentatifs des formes et des couleurs extrieures4 cela les physiologistes ont object avec raison que1 si c'tait comme images qu'agissaient les impressions lumineuses1 il faudrait un autre oeil pour les regarder4 ,n'en est-il pas encore plus fortement de mme dans le cas prsent8 ,il est sensible1 en effet1 que1 par une ncessit invincible1 l'esprit humain peut observer directement tous les phnomnes1 except les siens propres4 ,car1 par qui serait faite l'observation8 ,on conoit1 relativement aux phnomnes moraux1 que l'homme puisse s'observer lui-mme sous le rapport des passions qui l'animent1 par cette raison anatomique1 que les organes qui en sont le sige sont distincts de ceux destins aux fonctions observatrices4 ,encore mme que chacun ait eu occasion de faire sur lui de telles remarques1 elles ne sauraient videmment avoir jamais une grande importance scientifique1 et le meilleur moyen de connatre les passions sera-t-il toujours de les observer en dehors2 car tout tat de passion trs-prononc1 c'est--dire prcisment celui qu'il serait le plus essentiel d'examiner1 est ncessairement incompatible avec l'tat d'observation4 ,mais1 quant observer de la mme manire les phnomnes intellectuels pendant qu'ils s'excutent1 il y a impossibilit manifeste4 ,l'individu pensant ne saurait se partager en deux1 dont l'un raisonnerait1 tandis que l'autre regarderait raisonner4 ,l'organe observ et l'organe observateur tant1 dans ce cas1 identiques1 comment l'observation pourrait-elle avoir lieu8 ,cette prtendue mthode psychologique est donc radicalement nulle dans son principe4 ,aussi1 considrons quels procds profondment contradictoires elle conduit immdiatement6 ,d'un ct1 on vous recommande de vous isoler1 autant que possible1 de toute sensation extrieure1 il faut surtout vous interdire tout travail intellectuel2 car1 si vous tiez seulement occups faire le calcul le plus simple1 que deviendrait l'observation intrieure8 ,d'un autre ct1 aprs avoir1 enfin1 force de prcautions1 atteint cet tat parfait de sommeil intellectuel1 vous devrez vous occuper contempler les oprations qui s'excuteront dans votre esprit1 lorsqu'il ne s'y passera plus rien6 ,nos descendans verront sans doute de telles prtentions transportes un jour sur la scne4 ,les rsultats d'une aussi trange manire de procder sont parfaitement conformes au principe4 ,depuis deux mille ans que les mtaphysiciens cultivent ainsi la psychologie1 ils n'ont pu encore convenir d'une seule proposition intelligible et solidement arrte4 ,ils sont1 mme aujourd'hui1 partags en une multitude d'coles qui disputent sans cesse sur les premiers lmens de leurs doctrines4 ,l'observation intrieure engendre presque autant d'opinions divergentes qu'il y a d'individus croyant s'y livrer4 ,les vritables savans1 les hommes vous aux tudes positives1 en sont encore demander vainement ces psychologues de citer une seule dcouverte relle1 grande ou petite1 qui soit due cette mthode si vante4 ,ce n'est pas dire pour cela que tous leurs travaux aient t absolument sans aucun rsultat relativement aux progrs gnraux de nos connaissances1 indpendamment du service minent qu'ils ont rendu en soutenant l'activit de notre intelligence1 l'poque o elle ne pouvait pas avoir d'aliment plus substantiel4 ,mais on peut affirmer que tout ce qui1 dans leurs crits1 ne consiste pas1 suivant la judicieuse expression d'un illustre philosophe positif 7,m4 ,cuvier71 en mtaphores prises pour des raisonnemens1 et prsente quelque notion vritable1 au lieu de provenir de leur prtendue mthode1 a t obtenu par des observations effectives sur la marche de l'esprit humain1 auxquelles a d donner naissance1 de temps autre1 le dveloppement des sciences4 ,encore mme1 ces notions si clair-semes1 proclames avec tant d'emphase1 et qui ne sont dues qu' l'infidlit des psychologues leur prtendue mthode1 se trouvent-elles le plus souvent ou fort exagres1 ou trs-incompltes1 et bien infrieures aux remarques dj faites sans ostentation par les savans sur les procds qu'ils emploient4 ,il serait ais d'en citer des exemples frappans1 si je ne craignais d'accorder ici trop d'extension une telle discussion3 voyez1 entre autres1 ce qui est arriv pour la thorie des signes4 ,les considrations que je viens d'indiquer1 relativement la science logique1 sont encore plus manifestes1 quand on les transporte l'art logique4 ,en effet1 lorsqu'il s'agit1 non-seulement de savoir ce que c'est que la mthode positive1 mais d'en avoir une connaissance assez nette et assez profonde pour en pouvoir faire un usage effectif1 c'est en action qu'il faut la considrer2 ce sont les diverses grandes applications dj vrifies que l'esprit humain en a faites qu'il convient d'tudier4 ,en un mot1 ce n'est videmment que par l'examen philosophique des sciences qu'il est possible d'y parvenir4 ,la mthode n'est pas susceptible d'tre tudie sparment des recherches o elle est employe2 ou1 du moins1 ce n'est l qu'une tude morte1 incapable de fconder l'esprit qui s'y livre4 ,tout ce qu'on en peut dire de rel1 quand on l'envisage abstraitement1 se rduit des gnralits tellement vagues1 qu'elles ne sauraient avoir aucune influence sur le rgime intellectuel4 ,lorsqu'on a bien tabli1 en thse logique1 que toutes nos connaissances doivent tre fondes sur l'observation1 que nous devons procder tantt des faits aux principes1 et tantt des principes aux faits1 et quelques autres aphorismes semblables1 on connat beaucoup moins nettement la mthode que celui qui a tudi1 d'une manire un peu approfondie1 une seule science positive1 mme sans intention philosophique4 ,c'est pour avoir mconnu ce fait essentiel1 que nos psychologues sont conduits prendre leurs rveries pour de la science1 croyant comprendre la mthode positive pour avoir lu les prceptes de ,bacon ou le discours de ,descartes4 ,j'ignore si1 plus tard1 il deviendra possible de faire priori un vritable cours de mthode tout--fait indpendant de l'tude philosophique des sciences2 mais je suis bien convaincu que cela est inexcutable aujourd'hui1 les grands procds logiques ne pouvant encore tre expliqus avec la prcision suffisante sparment de leurs applications4 ,j'ose ajouter1 en outre1 que lors mme qu'une telle entreprise pourrait tre ralise dans la suite1 ce qui1 en effet1 se laisse concevoir1 ce ne serait jamais nanmoins que par l'tude des applications rgulires des procds scientifiques qu'on pourrait parvenir se former un bon systme d'habitudes intellectuelles2 ce qui est pourtant le but essentiel de l'tude de la mthode4 ,je n'ai pas besoin d'insister davantage en ce moment sur un sujet qui reviendra frquemment dans toute la dure de ce cours1 et l'gard duquel je prsenterai spcialement de nouvelles considrations dans la prochaine leon4 ,tel doit tre le premier grand rsultat direct de la philosophie positive1 la manifestation par exprience des lois que suivent dans leur accomplissement nos fonctions intellectuelles1 et1 par suite1 la connaissance prcise des rgles gnrales convenables pour procder srement la recherche de la vrit4 ,une seconde consquence1 non moins importante1 et d'un intrt bien plus pressant1 qu'est ncessairement destin produire aujourd'hui l'tablissement de la philosophie positive dfinie dans ce discours1 c'est de prsider la refonte gnrale de notre systme d'ducation4 ,en effet1 dj les bons esprits reconnaissent unanimement la ncessit de remplacer notre ducation europenne1 encore essentiellement thologique1 mtaphysique et littraire1 par une ducation positive1 conforme l'esprit de notre poque1 et adapte aux besoins de la civilisation moderne4 ,les tentatives varies qui se sont multiplies de plus en plus depuis un sicle1 particulirement dans ces derniers temps1 pour rpandre et pour augmenter sans cesse l'instruction positive1 et auxquelles les divers gouvernemens europens se sont toujours associs avec empressement quand ils n'en ont pas pris l'initiative1 tmoignent assez que1 de toutes parts1 se dveloppe le sentiment spontan de cette ncessit4 ,mais1 tout en secondant autant que possible ces utiles entreprises1 on ne doit pas se dissimuler que1 dans l'tat prsent de nos ides1 elles ne sont nullement susceptibles d'atteindre leur but principal1 la rgnration fondamentale de l'ducation gnrale4 ,car1 la spcialit exclusive1 l'isolement trop prononc qui caractrisent encore notre manire de concevoir et de cultiver les sciences1 influent ncessairement un haut degr sur la manire de les exposer dans l'enseignement4 ,qu'un bon esprit veuille aujourd'hui tudier les principales branches de la philosophie naturelle1 afin de se former un systme gnral d'ides positives1 il sera oblig d'tudier sparment chacune d'elles d'aprs le mme mode et dans le mme dtail que s'il voulait devenir spcialement ou astronome1 ou chimiste1 etc42 ce qui rend une telle ducation presque impossible et ncessairement fort imparfaite1 mme pour les plus hautes intelligences places dans les circonstances les plus favorables4 ,une telle manire de procder serait donc tout--fait chimrique1 relativement l'ducation gnrale4 ,et nanmoins celle-ci exige absolument un ensemble de conceptions positives sur toutes les grandes classes de phnomnes naturels4 ,c'est un tel ensemble qui doit devenir dsormais1 sur une chelle plus ou moins tendue1 mme dans les masses populaires1 la base permanente de toutes les combinaisons humaines2 qui doit1 en un mot1 constituer l'esprit gnral de nos descendans4 ,pour que la philosophie naturelle puisse achever la rgnration1 dj si prpare1 de notre systme intellectuel1 il est donc indispensable que les diffrentes sciences dont elle se compose1 prsentes toutes les intelligences comme les diverses branches d'un tronc unique1 soient rduites d'abord ce qui constitue leur esprit1 c'est--dire1 leurs mthodes principales et leurs rsultats les plus importans4 ,ce n'est qu'ainsi que l'enseignement des sciences peut devenir parmi nous la base d'une nouvelle ducation gnrale vraiment rationnelle4 ,qu'ensuite cette instruction fondamentale s'ajoutent les diverses tudes scientifiques spciales1 correspondantes aux diverses ducations spciales qui doivent succder l'ducation gnrale1 cela ne peut videmment tre mis en doute4 ,mais la considration essentielle que j'ai voulu indiquer ici consiste en ce que toutes ces spcialits1 mme pniblement accumules1 seraient ncessairement insuffisantes pour renouveler rellement le systme de notre ducation1 si elles ne reposaient sur la base pralable de cet enseignement gnral1 rsultat direct de la philosophie positive dfinie dans ce discours4 ,non-seulement l'tude spciale des gnralits scientifiques est destine rorganiser l'ducation1 mais elle doit aussi contribuer aux progrs particuliers des diverses sciences positives2 ce qui constitue la troisime proprit fondamentale que je me suis propos de signaler4 ,en effet1 les divisions que nous tablissons entre nos sciences1 sans tre arbitraires1 comme quelques-uns le croient1 sont essentiellement artificielles4 ,en ralit1 le sujet de toutes nos recherches est un2 nous ne le partageons que dans la vue de sparer les difficults pour les mieux rsoudre4 ,il en rsulte plus d'une fois que1 contrairement nos rpartitions classiques1 des questions importantes exigeraient une certaine combinaison de plusieurs points de vue spciaux1 qui ne peut gure avoir lieu dans la constitution actuelle du monde savant2 ce qui expose laisser ces problmes sans solution beaucoup plus long-temps qu'il ne serait ncessaire4 ,un tel inconvnient doit se prsenter surtout pour les doctrines les plus essentielles de chaque science positive en particulier4 ,on en peut citer aisment des exemples trs-marquans1 que je signalerai soigneusement1 mesure que le dveloppement naturel de ce cours nous les prsentera4 ,j'en pourrais citer1 dans le pass1 un exemple minemment mmorable1 en considrant l'admirable conception de ,descartes relative la gomtrie analytique4 ,cette dcouverte fondamentale1 qui a chang la face de la science mathmatique1 et dans laquelle on doit voir le vritable germe de tous les grands progrs ultrieurs1 qu'est-elle autre chose que le rsultat d'un rapprochement tabli entre deux sciences1 conues jusqu'alors d'une manire isole8 ,mais l'observation sera plus dcisive en la faisant porter sur des questions encore pendantes4 ,je me bornerai ici choisir dans la chimie1 la doctrine si importante des proportions dfinies4 ,certainement1 la mmorable discussion leve de nos jours1 relativement au principe fondamental de cette thorie1 ne saurait encore1 quelles que soient les apparences1 tre regarde comme irrvocablement termine4 ,car1 ce n'est pas l1 ce me semble1 une simple question de chimie4 ,je crois pouvoir avancer que1 pour obtenir cet gard une dcision vraiment dfinitive1 c'est--dire1 pour dterminer si nous devons regarder comme une loi de la nature que les molcules se combinent ncessairement en nombres fixes1 il sera indispensable de runir le point de vue chimique avec le point de vue physiologique4 ,ce qui l'indique1 c'est que1 de l'aveu mme des illustres chimistes qui ont le plus puissamment contribu la formation de cette doctrine1 on peut dire tout au plus qu'elle se vrifie constamment dans la composition des corps inorganiques2 mais elle se trouve au moins aussi constamment en dfaut dans les composs organiques1 auxquels il semble jusqu' prsent tout--fait impossible de l'tendre4 ,or1 avant d'riger cette thorie en un principe rellement fondamental1 ne faudra-t-il pas d'abord s'tre rendu compte de cette immense exception8 ,ne tiendrait-elle pas ce mme caractre gnral1 propre tous les corps organiss1 qui fait que1 dans aucun de leurs phnomnes1 il n'y a lieu concevoir des nombres invariables8 ,quoi qu'il en soit1 un ordre tout nouveau de considrations1 appartenant galement la chimie et la physiologie1 est videmment ncessaire pour dcider finalement1 d'une manire quelconque1 cette grande question de philosophie naturelle4 ,je crois convenable d'indiquer encore ici un second exemple de mme nature1 mais qui1 se rapportant un sujet de recherches bien plus particulier1 est encore plus concluant pour montrer l'importance spciale de la philosophie positive dans la solution des questions qui exigent la combinaison de plusieurs sciences4 ,je le prends aussi dans la chimie4 ,il s'agit de la question encore indcise1 qui consiste dterminer si l'azote doit tre regard1 dans l'tat prsent de nos connaissances1 comme un corps simple ou comme un corps compos4 ,vous savez par quelles considrations purement chimiques l'illustre ,berzlius est parvenu balancer l'opinion de presque tous les chimistes actuels1 relativement la simplicit de ce gaz4 ,mais ce que je ne dois pas ngliger de faire particulirement remarquer1 c'est l'influence exerce ce sujet sur l'esprit de ,m4 ,berzlius1 comme il en fait lui-mme le prcieux aveu1 par cette observation physiologique1 que les animaux qui se nourrissent de matires non azotes renferment dans la composition de leurs tissus tout autant d'azote que les animaux carnivores4 ,il est clair1 en effet1 d'aprs cela1 que pour dcider rellement si l'azote est ou non un corps simple1 il faudra ncessairement faire intervenir la physiologie1 et combiner avec les considrations chimiques proprement dites1 une srie de recherches neuves sur la relation entre la composition des corps vivans et leur mode d'alimentation4 ,il serait maintenant superflu de multiplier davantage les exemples de ces problmes de nature multiple1 qui ne sauraient tre rsolus que par l'intime combinaison de plusieurs sciences cultives aujourd'hui d'une manire tout--fait indpendantes4 ,ceux que je viens de citer suffisent pour faire sentir1 en gnral1 l'importance de la fonction que doit remplir dans le perfectionnement de chaque science naturelle en particulier la philosophie positive1 immdiatement destine organiser d'une manire permanente de telles combinaisons1 qui ne pourraient se former convenablement sans elle4 ,enfin1 une quatrime et dernire proprit fondamentale que je dois faire remarquer ds ce moment dans ce que j'ai appel la philosophie positive1 et qui doit sans doute lui mriter plus que toute autre l'attention gnrale1 puisqu'elle est aujourd'hui la plus importante pour la pratique1 c'est qu'elle peut tre considre comme la seule base solide de la rorganisation sociale qui doit terminer l'tat de crise dans lequel se trouvent depuis si long-temps les nations les plus civilises4 ,la dernire partie de ce cours sera spcialement consacre tablir cette proposition1 en la dveloppant dans toute son tendue4 ,mais l'esquisse gnrale du grand tableau que j'ai entrepris d'indiquer dans ce discours manquerait d'un de ses lmens les plus caractristiques1 si je ngligeais de signaler ici une considration aussi essentielle4 ,quelques rflexions bien simples suffiront pour justifier ce qu'une telle qualification parat d'abord prsenter de trop ambitieux4 ,ce n'est pas aux lecteurs de cet ouvrage que je croirai jamais devoir prouver que les ides gouvernent et bouleversent le monde1 ou1 en d'autres termes1 que tout le mcanisme social repose finalement sur des opinions4 ,ils savent surtout que la grande crise politique et morale des socits actuelles tient1 en dernire analyse1 l'anarchie intellectuelle4 ,notre mal le plus grave consiste1 en effet1 dans cette profonde divergence qui existe maintenant entre tous les esprits relativement toutes les maximes fondamentales dont la fixit est la premire condition d'un vritable ordre social4 ,tant que les intelligences individuelles n'auront pas adhr par un assentiment unanime un certain nombre d'ides gnrales capables de former une doctrine sociale commune1 on ne peut se dissimuler que l'tat des nations restera1 de toute ncessit1 essentiellement rvolutionnaire1 malgr tous les palliatifs politiques qui pourront tre adopts1 et ne comportera rellement que des institutions provisoires4 ,il est galement certain que si cette runion des esprits dans une mme communion de principes peut une fois tre obtenue1 les institutions convenables en dcouleront ncessairement1 sans donner lieu aucune secousse grave1 le plus grand dsordre tant dj dissip par ce seul fait4 ,c'est donc l que doit se porter principalement l'attention de tous ceux qui sentent l'importance d'un tat de choses vraiment normal4 ,maintenant1 du point de vue lev o nous ont placs graduellement les diverses considrations indiques dans ce discours1 il est ais la fois et de caractriser nettement dans son intime profondeur l'tat prsent des socits1 et d'en dduire par quelle voie on peut le changer essentiellement4 ,en me rattachant la loi fondamentale nonce au commencement de ce discours1 je crois pouvoir rsumer exactement toutes les observations relatives la situation actuelle de la socit1 en disant simplement que le dsordre actuel des intelligences tient1 en dernire analyse1 l'emploi simultan des trois philosophies radicalement incompatibles3 la philosophie thologique1 la philosophie mtaphysique et la philosophie positive4 ,il est clair1 en effet1 que si l'une quelconque de ces trois philosophies obtenait en ralit une prpondrance universelle et complte1 il y aurait un ordre social dtermin1 tandis que le mal consiste surtout dans l'absence de toute vritable organisation4 ,c'est la coexistence de ces trois philosophies opposes qui empche absolument de s'entendre sur aucun point essentiel4 ,or1 si cette manire de voir est exacte1 il ne s'agit plus que de savoir laquelle des trois philosophies peut et doit prvaloir par la nature des choses2 tout homme sens devra ensuite1 quelles qu'aient pu tre1 avant l'analyse de la question1 ses opinions particulires1 s'efforcer de concourir son triomphe4 ,la recherche tant une fois rduite ces termes simples1 elle ne parat pas devoir rester long-temps incertaine2 car il est vident1 par toutes sortes de raisons dont j'ai indiqu dans ce discours quelques-unes des principales1 que la philosophie positive est seule destine prvaloir selon le cours ordinaire des choses4 ,seule elle a t1 depuis une longue suite de sicles1 constamment en progrs1 tandis que ses antagonistes ont t constamment en dcadence4 ,que ce soit tort ou raison1 peu importe2 le fait gnral est incontestable1 et il suffit4 ,on peut le dplorer1 mais non le dtruire1 ni par consquent le ngliger1 sous peine de ne se livrer qu' des spculations illusoires4 ,cette rvolution gnrale de l'esprit humain est aujourd'hui presque entirement accomplie3 il ne reste plus1 comme je l'ai expliqu1 qu' complter la philosophie positive en y comprenant l'tude des phnomnes sociaux1 et ensuite la rsumer en un seul corps de doctrine homogne4 ,quand ce double travail sera suffisamment avanc1 le triomphe dfinitif de la philosophie positive aura lieu spontanment1 et rtablira l'ordre dans la socit4 ,la prfrence si prononce que presque tous les esprits1 depuis les plus levs jusqu'aux plus vulgaires1 accordent aujourd'hui aux connaissances positives sur les conceptions vagues et mystiques1 prsage assez l'accueil que recevra cette philosophie1 lorsqu'elle aura acquis la seule qualit qui lui manque encore1 un caractre de gnralit convenable4 ,en rsum1 la philosophie thologique et la philosophie mtaphysique se disputent aujourd'hui la tche1 trop suprieure aux forces de l'une et de l'autre1 de rorganiser la socit3 c'est entre elles seules que subsiste encore la lutte1 sous ce rapport4 ,la philosophie positive n'est intervenue jusqu'ici dans la contestation que pour les critiquer toutes deux1 et elle s'en est assez bien acquitte pour les discrditer entirement4 ,mettons-la enfin en tat de prendre un rle actif1 sans nous inquiter plus long-temps de dbats devenus inutiles4 ,compltant la vaste opration intellectuelle commence par ,bacon1 par ,descartes et par ,galile1 construisons directement le systme d'ides gnrales que cette philosophie est dsormais destine faire indfiniment prvaloir dans l'espce humaine1 et la crise rvolutionnaire qui tourmente les peuples civiliss sera essentiellement termine4 ,tels sont les quatre points de vue principaux sous lesquels j'ai cru devoir indiquer ds ce moment l'influence salutaire de la philosophie positive1 pour servir de complment essentiel la dfinition gnrale que j'ai essay d'en exposer4 ,avant de terminer1 je dsire appeler un instant l'attention sur une dernire rflexion qui me semble convenable pour viter1 autant que possible1 qu'on se forme d'avance une opinion errone de la nature de ce cours4 ,en assignant pour but la philosophie positive de rsumer en un seul corps de doctrine homogne l'ensemble des connaissances acquises1 relativement aux diffrens ordres de phnomnes naturels1 il tait loin de ma pense de vouloir procder l'tude gnrale de ces phnomnes en les considrant tous comme des effets divers d'un principe unique1 comme assujtis une seule et mme loi4 ,quoique je doive traiter spcialement cette question dans la prochaine leon1 je crois devoir1 ds prsent1 en faire la dclaration1 afin de prvenir les reproches trs-mal fonds que pourraient m'adresser ceux qui1 sur un faux aperu1 classeraient ce cours parmi ces tentatives d'explication universelle qu'on voit clore journellement de la part d'esprits entirement trangers aux mthodes et aux connaissances scientifiques4 ,il ne s'agit ici de rien de semblable2 et le dveloppement de ce cours en fournira la preuve manifeste tous ceux chez lesquels les claircissemens contenus dans ce discours auraient pu laisser quelques doutes cet gard4 ,dans ma profonde conviction personnelle1 je considre ces entreprises d'explication universelle de tous les phnomnes par une loi unique comme minemment chimriques1 mme quand elles sont tentes par les intelligences les plus comptentes4 ,je crois que les moyens de l'esprit humain sont trop faibles1 et l'univers trop compliqu pour qu'une telle perfection scientifique soit jamais notre porte1 et je pense1 d'ailleurs1 qu'on se forme gnralement une ide trs-exagre des avantages qui en rsulteraient ncessairement1 si elle tait possible4 ,dans tous les cas1 il me semble vident que1 vu l'tat prsent de nos connaissances1 nous en sommes encore beaucoup trop loin pour que de telles tentatives puissent tre raisonnables avant un laps de temps considrable4 ,car1 si on pouvait esprer d'y parvenir1 ce ne pourrait tre1 suivant moi1 qu'en rattachant tous les phnomnes naturels la loi positive la plus gnrale que nous connaissions1 la loi de la gravitation1 qui lie dj tous les phnomnes astronomiques une partie de ceux de la physique terrestre4 ,laplace a expos effectivement une conception par laquelle on pourrait ne voir dans les phnomnes chimiques que de simples effets molculaires de l'attraction newtonienne1 modifie par la figure et la position mutuelle des atomes4 ,mais1 outre l'indtermination dans laquelle resterait probablement toujours cette conception1 par l'absence des donnes essentielles relatives la constitution intime des corps1 il est presque certain que la difficult de l'appliquer serait telle1 qu'on serait oblig de maintenir1 comme artificielle1 la division aujourd'hui tablie comme naturelle entre l'astronomie et la chimie4 ,aussi ,laplace n'a-t-il prsent cette ide que comme un simple jeu philosophique1 incapable d'exercer rellement aucune influence utile sur les progrs de la science chimique4 ,il y a plus1 d'ailleurs2 car1 mme en supposant vaincue cette insurmontable difficult1 on n'aurait pas encore atteint l'unit scientifique1 puisqu'il faudrait ensuite tenter de rattacher la mme loi l'ensemble des phnomnes physiologiques2 ce qui1 certes1 ne serait pas la partie la moins difficile de l'entreprise4 ,et1 nanmoins1 l'hypothse que nous venons de parcourir serait1 tout bien considr1 la plus favorable cette unit si dsire4 ,je n'ai pas besoin de plus grands dtails pour achever de convaincre que le but de ce cours n'est nullement de prsenter tous les phnomnes naturels comme tant au fond identiques1 sauf la varit des circonstances4 ,la philosophie positive serait sans doute plus parfaite s'il pouvait en tre ainsi4 ,mais cette condition n'est nullement ncessaire sa formation systmatique1 non plus qu' la ralisation des grandes et heureuses consquences que nous l'avons vue destine produire4 ,il n'y a d'unit indispensable pour cela que l'unit de mthode1 laquelle peut et doit videmment exister1 et se trouve dj tablie en majeure partie4 ,quant la doctrine1 il n'est pas ncessaire qu'elle soit une2 il suffit qu'elle soit homogne4 ,c'est donc sous le double point de vue de l'unit des mthodes et de l'homognit des doctrines que nous considrerons1 dans ce cours1 les diffrentes classes de thories positives4 ,tout en tendant diminuer1 le plus possible1 le nombre des lois gnrales ncessaires l'explication positive des phnomnes naturels1 ce qui est1 en effet1 le but philosophique de la science1 nous regarderons comme tmraire d'aspirer jamais1 mme pour l'avenir le plus loign1 les rduire rigoureusement une seule4 ,j'ai tent1 dans ce discours1 de dterminer1 aussi exactement qu'il a t en mon pouvoir1 le but1 l'esprit et l'influence de la philosophie positive4 ,j'ai donc marqu le terme vers lequel ont toujours tendu et tendront sans cesse tous mes travaux1 soit dans ce cours1 soit de toute autre manire4 ,personne n'est plus profondment convaincu que moi de l'insuffisance de mes forces intellectuelles1 fussent-elles mme trs-suprieures leur valeur relle1 pour rpondre une tche aussi vaste et aussi leve4 ,mais ce qui ne peut tre fait ni par un seul esprit1 ni en une seule vie1 un seul peut le proposer nettement4 ,telle est toute mon ambition4 ,ayant expos le vritable but de ce cours1 c'est--dire fix le point de vue sous lequel je considrerai les diverses branches principales de la philosophie naturelle1 je complterai1 dans la leon prochaine1 ces prolgomnes gnraux1 en passant l'exposition du plan1 c'est--dire la dtermination de l'ordre encyclopdique qu'il convient d'tablir entre les diverses classes des phnomnes naturels1 et par consquent entre les sciences positives correspondantes4 ,,deuxi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,exposition du plan de ce cours1 ou considrations gnrales sur la hirarchie des sciences positives4 ,aprs avoir caractris aussi exactement que possible1 dans la leon prcdente1 les considrations prsenter dans ce cours sur toutes les branches principales de la philosophie naturelle1 il faut dterminer maintenant le plan que nous devons suivre1 c'est--dire1 la classification rationnelle la plus convenable tablir entre les diffrentes sciences positives fondamentales1 pour les tudier successivement sous le point de vue que nous avons fix4 ,cette seconde discussion gnrale est indispensable pour achever de faire connatre ds l'origine le vritable esprit de ce cours4 ,on conoit aisment d'abord qu'il ne s'agit pas ici de faire la critique1 malheureusement trop facile1 des nombreuses classifications qui ont t proposes successivement depuis deux sicles1 pour le systme gnral des connaissances humaines1 envisag dans toute son tendue4 ,on est aujourd'hui bien convaincu que toutes les chelles encyclopdiques construites1 comme celles de ,bacon et de d',alembert1 d'aprs une distinction quelconque des diverses facults de l'esprit humain1 sont par cela seul radicalement vicieuses1 mme quand cette distinction n'est pas1 comme il arrive souvent1 plus subtile que relle2 car1 dans chacune de ses sphres d'activit1 notre entendement emploie simultanment toutes ses facults principales4 ,quant toutes les autres classifications proposes1 il suffira d'observer que les diffrentes discussions leves ce sujet ont eu pour rsultat dfinitif de montrer dans chacune des vices fondamentaux1 tellement qu'aucune n'a pu obtenir un assentiment unanime1 et qu'il existe cet gard presqu'autant d'opinions que d'individus4 ,ces diverses tentatives ont mme t1 en gnral1 si mal conues1 qu'il en est rsult involontairement dans la plupart des bons esprits une prvention dfavorable contre toute entreprise de ce genre4 ,sans nous arrter davantage sur un fait si bien constat1 il est plus essentiel d'en rechercher la cause4 ,or1 on peut aisment s'expliquer la profonde imperfection de ces tentatives encyclopdiques1 si souvent renouveles jusqu'ici4 ,je n'ai pas besoin de faire observer que1 depuis le discrdit gnral dans lequel sont tombs les travaux de cette nature par suite du peu de solidit des premiers projets1 ces classifications ne sont conues le plus souvent que par des esprits presque entirement trangers la connaissance des objets classer4 ,sans avoir gard cette considration personnelle1 il en est une beaucoup plus importante1 puise dans la nature mme du sujet1 et qui montre clairement pourquoi il n'a pas t possible jusqu'ici de s'lever une conception encyclopdique vritablement satisfaisante4 ,elle consiste dans le dfaut d'homognit qui a toujours exist jusqu' ces derniers temps entre les diffrentes parties du systme intellectuel1 les unes tant successivement devenues positives1 tandis que les autres restaient thologiques ou mtaphysiques4 ,dans un tat de choses aussi incohrent1 il tait videmment impossible d'tablir aucune classification rationnelle4 ,comment parvenir disposer1 dans un systme unique1 des conceptions aussi profondment contradictoires8 c'est une difficult contre laquelle sont venus chouer ncessairement tous les classificateurs1 sans qu'aucun l'ait aperue distinctement4 ,il tait bien sensible nanmoins1 pour quiconque et bien connu la vritable situation de l'esprit humain1 qu'une telle entreprise tait prmature1 et qu'elle ne pourrait tre tente avec succs que lorsque toutes nos conceptions principales seraient devenues positives4 ,cette condition fondamentale pouvant maintenant tre regarde comme remplie1 d'aprs les explications donnes dans la leon prcdente1 il est ds lors possible de procder une disposition vraiment rationnelle et durable d'un systme dont toutes les parties sont enfin devenues homognes4 ,d'un autre ct1 la thorie gnrale des classifications1 tablie dans ces derniers temps par les travaux philosophiques des botanistes et des zoologistes1 permet d'esprer un succs rel dans un semblable travail1 en nous offrant un guide certain par le vritable principe fondamental de l'art de classer1 qui n'avait jamais t conu distinctement jusqu'alors4 ,ce principe est une consquence ncessaire de la seule application directe de la mthode positive la question mme des classifications1 qui1 comme toute autre1 doit tre traite par observation1 au lieu d'tre rsolue par des considrations priori4 ,il consiste en ce que la classification doit ressortir de l'tude mme des objets classer1 et tre dtermine par les affinits relles et l'enchanement naturel qu'ils prsentent1 de telle sorte que cette classification soit elle-mme l'expression du fait le plus gnral1 manifest par la comparaison approfondie des objets qu'elle embrasse4 ,appliquant cette rgle fondamentale au cas actuel1 c'est donc d'aprs la dpendance mutuelle qui a lieu effectivement entre les diverses sciences positives1 que nous devons procder leur classification2 et cette dpendance1 pour tre relle1 ne peut rsulter que de celle des phnomnes correspondans4 ,mais avant d'excuter1 dans un tel esprit d'observation1 cette importante opration encyclopdique1 il est indispensable1 pour ne pas nous garer dans un travail trop tendu1 de circonscrire avec plus de prcision que nous ne l'avons fait jusqu'ici1 le sujet propre de la classification propose4 ,tous les travaux humains sont1 ou de spculation1 ou d'action4 ,ainsi1 la division la plus gnrale de nos connaissances relles consiste les distinguer en thoriques et pratiques4 ,si nous considrons d'abord cette premire division1 il est vident que c'est seulement des connaissances thoriques qu'il doit tre question dans un cours de la nature de celui-ci2 car1 il ne s'agit point d'observer le systme entier des notions humaines1 mais uniquement celui des conceptions fondamentales sur les divers ordres de phnomnes1 qui fournissent une base solide toutes nos autres combinaisons quelconques1 et qui ne sont1 leur tour1 fondes sur aucun systme intellectuel antcdent4 ,or1 dans un tel travail1 c'est la spculation qu'il faut considrer1 et non l'application1 si ce n'est en tant que celle-ci peut claircir la premire4 ,c'est l probablement ce qu'entendait ,bacon1 quoique fort imparfaitement1 par cette philosophie premire qu'il indique comme devant tre extraite de l'ensemble des sciences1 et qui a t si diversement et toujours si trangement conue par les mtaphysiciens qui ont entrepris de commenter sa pense4 ,sans doute1 quand on envisage l'ensemble complet des travaux de tout genre de l'espce humaine1 on doit concevoir l'tude de la nature comme destine fournir la vritable base rationnelle de l'action de l'homme sur la nature1 puisque la connaissance des lois des phnomnes1 dont le rsultat constant est de nous les faire prvoir1 peut seule videmment nous conduire1 dans la vie active1 les modifier notre avantage les uns par les autres4 ,nos moyens naturels et directs pour agir sur les corps qui nous entourent sont extrmement faibles1 et tout--fait disproportionns nos besoins4 ,toutes les fois que nous parvenons exercer une grande action1 c'est seulement parce que la connaissance des lois naturelles nous permet d'introduire parmi les circonstances dtermines sous l'influence desquelles s'accomplissent les divers phnomnes1 quelques lmens modificateurs1 qui1 quelque faibles qu'ils soient en eux-mmes1 suffisent1 dans certains cas1 pour faire tourner notre satisfaction les rsultats dfinitifs de l'ensemble des causes extrieures4 ,en rsum1 science1 d'o prvoyance2 prvoyance1 d'o action3 telle est la formule trs-simple qui exprime1 d'une manire exacte1 la relation gnrale de la science et de l'art1 en prenant ces deux expressions dans leur acception totale4 ,mais1 malgr l'importance capitale de cette relation1 qui ne doit jamais tre mconnue1 ce serait se former des sciences une ide bien imparfaite que de les concevoir seulement comme les bases des arts1 et c'est quoi malheureusement on n'est que trop enclin de nos jours4 ,quels que soient les immenses services rendus l'industrie par les thories scientifiques1 quoique1 suivant l'nergique expression de ,bacon1 la puissance soit ncessairement proportionne la connaissance1 nous ne devons pas oublier que les sciences ont1 avant tout1 une destination plus directe et plus leve1 celle de satisfaire au besoin fondamental qu'prouve notre intelligence de connatre les lois des phnomnes4 ,pour sentir combien ce besoin est profond et imprieux1 il suffit de penser un instant aux effets physiologiques de l'tonnement1 et de considrer que la sensation la plus terrible que nous puissions prouver est celle qui se produit toutes les fois qu'un phnomne nous semble s'accomplir contradictoirement aux lois naturelles qui nous sont familires4 ,ce besoin de disposer les faits dans un ordre que nous puissions concevoir avec facilit 7ce qui est l'objet propre de toutes les thories scientifiques7 est tellement inhrent notre organisation1 que1 si nous ne parvenions pas le satisfaire par des conceptions positives1 nous retournerions invitablement aux explications thologiques et mtaphysiques auxquelles il a primitivement donn naissance1 comme je l'ai expos dans la dernire leon4 ,j'ai cru devoir signaler expressment ds ce moment une considration qui se reproduira frquemment dans toute la suite de ce cours1 afin d'indiquer la ncessit de se prmunir contre la trop grande influence des habitudes actuelles qui tendent empcher qu'on se forme des ides justes et nobles de l'importance et de la destination des sciences4 ,si la puissance prpondrante de notre organisation ne corrigeait1 mme involontairement1 dans l'esprit des savans1 ce qu'il y a sous ce rapport d'incomplet et d'troit dans la tendance gnrale de notre poque1 l'intelligence humaine1 rduite ne s'occuper que de recherches susceptibles d'une utilit pratique immdiate1 se trouverait par cela seul1 comme l'a trs-justement remarqu ,condorcet1 tout--fait arrte dans ses progrs1 mme l'gard de ces applications auxquelles on aurait imprudemment sacrifi les travaux purement spculatifs2 car1 les applications les plus importantes drivent constamment de thories formes dans une simple intention scientifique1 et qui souvent ont t cultives pendant plusieurs sicles sans produire aucun rsultat pratique4 ,on en peut citer un exemple bien remarquable dans les belles spculations des gomtres grecs sur les sections coniques1 qui1 aprs une longue suite de gnrations1 ont servi1 en dterminant la rnovation de l'astronomie1 conduire finalement l'art de la navigation au degr de perfectionnement qu'il a atteint dans ces derniers temps1 et auquel il ne serait jamais parvenu sans les travaux si purement thoriques d',archimde et d',apollonius2 tellement que ,condorcet a pu dire avec raison cet gard3 le matelot1 qu'une exacte observation de la longitude prserve du naufrage1 doit la vie une thorie conue1 deux mille ans auparavant1 par des hommes de gnie qui avaient en vue de simples spculations gomtriques4 ,il est donc vident qu'aprs avoir conu1 d'une manire gnrale1 l'tude de la nature comme servant de base rationnelle l'action sur la nature1 l'esprit humain doit procder aux recherches thoriques1 en faisant compltement abstraction de toute considration pratique2 car1 nos moyens pour dcouvrir la vrit sont tellement faibles1 que si nous ne les concentrions pas exclusivement vers ce but1 et si1 en cherchant la vrit1 nous nous imposions en mme temps la condition trangre d'y trouver une utilit pratique immdiate1 il nous serait presque toujours impossible d'y parvenir4 ,quoi qu'il en soit1 il est certain que l'ensemble de nos connaissances sur la nature1 et celui des procds que nous en dduisons pour la modifier notre avantage1 forment deux systmes essentiellement distincts par eux-mmes1 qu'il est convenable de concevoir et de cultiver sparment4 ,en outre1 le premier systme tant la base du second1 c'est videmment celui qu'il convient de considrer d'abord dans une tude mthodique1 mme quand on se proposerait d'embrasser la totalit des connaissances humaines1 tant d'application que de spculation4 ,ce systme thorique me parat devoir constituer exclusivement aujourd'hui le sujet d'un cours vraiment rationnel de philosophie positive3 c'est ainsi du moins que je le conois4 ,sans doute1 il serait possible d'imaginer un cours plus tendu1 portant la fois sur les gnralits thoriques et sur les gnralits pratiques4 ,mais je ne pense pas qu'une telle entreprise1 mme indpendamment de son tendue1 puisse tre convenablement tente dans l'tat prsent de l'esprit humain4 ,elle me semble1 en effet1 exiger pralablement un travail trs-important et d'une nature toute particulire1 qui n'a pas encore t fait1 celui de former1 d'aprs les thories scientifiques proprement dites1 les conceptions spciales destines servir de bases directes aux procds gnraux de la pratique4 ,au degr de dveloppement dj atteint par notre intelligence1 ce n'est pas immdiatement que les sciences s'appliquent aux arts1 du moins dans les cas les plus parfaits2 il existe entre ces deux ordres d'ides un ordre moyen1 qui1 encore mal dtermin dans son caractre philosophique1 est dj plus sensible quand on considre la classe sociale qui s'en occupe spcialement4 ,entre les savans proprement dits et les directeurs effectifs des travaux productifs il commence se former de nos jours une classe intermdiaire1 celle des ingnieurs1 dont la destination spciale est d'organiser les relations de la thorie et de la pratique4 ,sans avoir aucunement en vue le progrs des connaissances scientifiques1 elle les considre dans leur tat prsent pour en dduire les applications industrielles dont elles sont susceptibles4 ,telle est1 du moins1 la tendance naturelle des choses1 quoiqu'il y ait encore cet gard beaucoup de confusion4 ,le corps de doctrine propre cette classe nouvelle1 et qui doit constituer les vritables thories directes des diffrens arts1 pourrait1 sans doute1 donner lieu des considrations philosophiques d'un grand intrt et d'une importance relle4 ,mais1 un travail qui les embrasserait conjointement avec celles fondes sur les sciences proprement dites1 serait aujourd'hui tout--fait prmatur2 car1 ces doctrines intermdiaires entre la thorie pure et la pratique directe ne sont point encore formes3 il n'en existe jusqu'ici que quelques lmens imparfaits relatifs aux sciences et aux arts les plus avancs1 et qui permettent seulement de concevoir la nature et la possibilit de semblables travaux pour l'ensemble des oprations humaines4 ,c'est ainsi1 pour en citer ici l'exemple le plus important1 qu'on doit envisager la belle conception de ,monge1 relativement la gomtrie descriptive1 qui n'est rellement autre chose qu'une thorie gnrale des arts de construction4 ,j'aurai soin d'indiquer successivement le petit nombre d'ides analogues dj formes et de faire apprcier leur importance1 mesure que le dveloppement naturel de ce cours nous les prsentera4 ,mais il est clair que des conceptions jusqu' prsent aussi incompltes ne doivent point entrer1 comme partie essentielle1 dans un cours de philosophie positive qui ne doit comprendre1 autant que possible1 que des doctrines ayant un caractre fixe et nettement dtermin4 ,on concevra d'autant mieux la difficult de construire ces doctrines intermdiaires que je viens d'indiquer1 si l'on considre que chaque art dpend non-seulement d'une certaine science correspondante1 mais la fois de plusieurs1 tellement que les arts les plus importans empruntent des secours directs presque toutes les diverses sciences principales4 ,c'est ainsi que la vritable thorie de l'agriculture1 pour me borner au cas le plus essentiel1 exige une intime combinaison de connaissances physiologiques1 chimiques1 physiques et mme astronomiques et mathmatiques3 il en est de mme des beaux-arts4 ,on aperoit aisment1 d'aprs cette considration1 pourquoi ces thories n'ont pu encore tre formes1 puisqu'elles supposent le dveloppement pralable de toutes les diffrentes sciences fondamentales4 ,il en rsulte galement un nouveau motif de ne pas comprendre un tel ordre d'ides dans un cours de philosophie positive1 puisque1 loin de pouvoir contribuer la formation systmatique de cette philosophie1 les thories gnrales propres aux diffrens arts principaux doivent1 au contraire1 comme nous le voyons1 tre vraisemblablement plus tard une des consquences les plus utiles de sa construction4 ,en rsum1 nous ne devons donc considrer dans ce cours que les thories scientifiques et nullement leurs applications4 ,mais avant de procder la classification mthodique de ses diffrentes parties1 il me reste exposer1 relativement aux sciences proprement dites1 une distinction importante1 qui achvera de circonscrire nettement le sujet propre de l'tude que nous entreprenons4 ,il faut distinguer1 par rapport tous les ordres de phnomnes1 deux genres de sciences naturelles3 les unes abstraites1 gnrales1 ont pour objet la dcouverte des lois qui rgissent les diverses classes de phnomnes1 en considrant tous les cas qu'on peut concevoir2 les autres concrtes1 particulires1 descriptives1 et qu'on dsigne quelquefois sous le nom de sciences naturelles proprement dites1 consistent dans l'application de ces lois l'histoire effective des diffrens tres existans4 ,les premires sont donc fondamentales1 c'est sur elles seulement que porteront nos tudes dans ce cours2 les autres1 quelle que soit leur importance propre1 ne sont rellement que secondaires1 et ne doivent point1 par consquent1 faire partie d'un travail que son extrme tendue naturelle nous oblige rduire au moindre dveloppement possible4 ,la distinction prcdente ne peut prsenter aucune obscurit aux esprits qui ont quelque connaissance spciale des diffrentes sciences positives1 puisqu'elle est peu prs l'quivalent de celle qu'on nonce ordinairement dans presque tous les traits scientifiques en comparant la physique dogmatique l'histoire naturelle proprement dite4 ,quelques exemples suffiront d'ailleurs pour rendre sensible cette division1 dont l'importance n'est pas encore convenablement apprcie4 ,on pourra d'abord l'apercevoir trs-nettement en comparant1 d'une part1 la physiologie gnrale1 et1 d'une autre part1 la zoologie et la botanique proprement dites4 ,ce sont videmment1 en effet1 deux travaux d'un caractre fort distinct1 que d'tudier1 en gnral1 les lois de la vie1 ou de dterminer le mode d'existence de chaque corps vivant1 en particulier4 ,cette seconde tude1 en outre1 est ncessairement fonde sur la premire4 ,il en est de mme de la chimie1 par rapport la minralogie2 la premire est videmment la base rationnelle de la seconde4 ,dans la chimie1 on considre toutes les combinaisons possibles des molcules1 et dans toutes les circonstances imaginables2 dans la minralogie1 on considre seulement celles de ces combinaisons qui se trouvent ralises dans la constitution effective du globe terrestre1 et sous l'influence des seules circonstances qui lui sont propres4 ,ce qui montre clairement la diffrence du point de vue chimique et du point de vue minralogique1 quoique les deux sciences portent sur les mmes objets1 c'est que la plupart des faits envisags dans la premire n'ont qu'une existence artificielle1 de telle manire qu'un corps1 comme le chlore ou le potassium1 pourra avoir une extrme importance en chimie par l'tendue et l'nergie de ses affinits1 tandis qu'il n'en aura presque aucune en minralogie2 et rciproquement1 un compos1 tel que le granit ou le quartz1 sur lequel porte la majeure partie des considrations minralogiques1 n'offrira1 sous le rapport chimique1 qu'un intrt trs-mdiocre4 ,ce qui rend1 en gnral1 plus sensible encore la ncessit logique de cette distinction fondamentale entre les deux grandes sections de la philosophie naturelle1 c'est que non-seulement chaque section de la physique concrte suppose la culture pralable de la section correspondante de la physique abstraite1 mais qu'elle exige mme la connaissance des lois gnrales relatives tous les ordres de phnomnes4 ,ainsi1 par exemple1 non seulement l'tude spciale de la terre1 considre sous tous les points de vue qu'elle peut prsenter effectivement1 exige la connaissance pralable de la physique et de la chimie1 mais elle ne peut tre faite convenablement1 sans y introduire1 d'une part1 les connaissances astronomiques1 et mme1 d'une autre part1 les connaissances physiologiques2 en sorte qu'elle tient au systme entier des sciences fondamentales4 ,il en est de mme de chacune des sciences naturelles proprement dites4 ,c'est prcisment pour ce motif que la physique concrte a fait jusqu' prsent si peu de progrs rels1 car elle n'a pu commencer tre tudie d'une manire vraiment rationnelle qu'aprs la physique abstraite1 et lorsque toutes les diverses branches principales de celle-ci ont pris leur caractre dfinitif1 ce qui n'a eu lieu que de nos jours4 ,jusqu'alors on n'a pu recueillir ce sujet que des matriaux plus ou moins incohrens1 qui sont mme encore fort incomplets4 ,les faits connus ne pourront tre coordonns de manire former de vritables thories spciales des diffrens tres de l'univers1 que lorsque la distinction fondamentale rappele ci-dessus1 sera plus profondment sentie et plus rgulirement organise1 et que1 par suite1 les savans particulirement livrs l'tude des sciences naturelles proprement dites1 auront reconnu la ncessit de fonder leurs recherches sur une connaissance approfondie de toutes les sciences fondamentales1 condition qui est encore aujourd'hui fort loin d'tre convenablement remplie4 ,l'examen de cette condition confirme nettement pourquoi nous devons1 dans ce cours de philosophie positive1 rduire nos considrations l'tude des sciences gnrales1 sans embrasser en mme temps les sciences descriptives ou particulires4 ,on voit natre ici1 en effet1 une nouvelle proprit essentielle de cette tude propre des gnralits de la physique abstraite2 c'est de fournir la base rationnelle d'une physique concrte vraiment systmatique4 ,ainsi1 dans l'tat prsent de l'esprit humain1 il y aurait une sorte de contradiction vouloir runir1 dans un seul et mme cours1 les deux ordres de sciences4 ,on peut dire1 de plus1 que quand mme la physique concrte aurait dj atteint le degr de perfectionnement de la physique abstraite1 et que1 par suite1 il serait possible1 dans un cours de philosophie positive1 d'embrasser la fois l'une et l'autre1 il n'en faudrait pas moins videmment commencer par la section abstraite1 qui restera la base invariable de l'autre4 ,il est clair1 d'ailleurs1 que la seule tude des gnralits des sciences fondamentales1 est assez vaste par elle-mme1 pour qu'il importe d'en carter1 autant que possible1 toutes les considrations qui ne sont pas indispensables2 or1 celles relatives aux sciences secondaires seront toujours1 quoi qu'il arrive1 d'un genre distinct4 ,la philosophie des sciences fondamentales1 prsentant un systme de conceptions positives sur tous nos ordres de connaissances relles1 suffit1 par cela mme1 pour constituer cette philosophie premire que cherchait ,bacon1 et qui tant destine servir dsormais de base permanente toutes les spculations humaines1 doit tre soigneusement rduite la plus simple expression possible4 ,je n'ai pas besoin d'insister davantage en ce moment sur une telle discussion1 que j'aurai naturellement plusieurs occasions de reproduire dans les diverses parties de ce cours4 ,l'explication prcdente est assez dveloppe pour motiver la manire dont j'ai circonscrit le sujet gnral de nos considrations4 ,ainsi1 en rsultat de tout ce qui vient d'tre expos dans cette leon1 nous voyons3 #a que la science humaine se composant1 dans son ensemble1 de connaissances spculatives et de connaissances d'application1 c'est seulement des premires que nous devons nous occuper ici2 #b que les connaissances thoriques ou les sciences proprement dites1 se divisant en sciences gnrales et sciences particulires1 nous devons ne considrer ici que le premier ordre1 et nous borner la physique abstraite1 quelque intrt que puisse nous prsenter la physique concrte4 ,le sujet propre de ce cours tant par l exactement circonscrit1 il est facile maintenant de procder une classification rationnelle vraiment satisfaisante des sciences fondamentales1 ce qui constitue la question encyclopdique1 objet spcial de cette leon4 ,il faut1 avant tout1 commencer par reconnatre que1 quelque naturelle que puisse tre une telle classification1 elle renfermera toujours ncessairement quelque chose1 sinon d'arbitraire1 du moins d'artificiel1 de manire prsenter une imperfection vritable4 ,en effet1 le but principal que l'on doit avoir en vue dans tout travail encyclopdique1 c'est de disposer les sciences dans l'ordre de leur enchanement naturel1 en suivant leur dpendance mutuelle2 de telle sorte qu'on puisse les exposer successivement1 sans jamais tre entran dans le moindre cercle vicieux4 ,or1 c'est une condition qu'il me parat impossible d'accomplir d'une manire tout--fait rigoureuse4 ,qu'il me soit permis de donner ici quelque dveloppement cette rflexion1 que je crois importante pour caractriser la vritable difficult de la recherche qui nous occupe actuellement4 ,cette considration1 d'ailleurs1 me donnera lieu d'tablir1 relativement l'exposition de nos connaissances1 un principe gnral dont j'aurai plus tard prsenter de frquentes applications4 ,toute science peut tre expose suivant deux marches essentiellement distinctes1 dont tout autre mode d'exposition ne saurait tre qu'une combinaison1 la marche historique1 et la marche dogmatique4 ,par le premier procd1 on expose successivement les connaissances dans le mme ordre effectif suivant lequel l'esprit humain les a rellement obtenus1 et en adoptant1 autant que possible1 les mmes voies4 ,par le second1 on prsente le systme des ides tel qu'il pourrait tre conu aujourd'hui par un seul esprit1 qui1 plac au point de vue convenable1 et pourvu des connaissances suffisantes1 s'occuperait refaire la science dans son ensemble4 ,le premier mode est videmment celui par lequel commence1 de toute ncessit1 l'tude de chaque science naissante2 car1 il prsente cette proprit1 de n'exiger1 pour l'exposition des connaissances1 aucun nouveau travail distinct de celui de leur formation1 toute la didactique se rduisant alors tudier successivement1 dans l'ordre chronologique1 les divers ouvrages originaux qui ont contribu aux progrs de la science4 ,le mode dogmatique1 supposant au contraire1 que tous ces travaux particuliers ont t refondus en un systme gnral1 pour tre prsents suivant un ordre logique plus naturel1 n'est applicable qu' une science dj parvenue un assez haut degr de dveloppement4 ,mais1 mesure que la science fait des progrs1 l'ordre historique d'exposition devient de plus en plus impraticable1 par la trop longue suite d'intermdiaires qu'il obligerait l'esprit parcourir2 tandis que l'ordre dogmatique devient de plus en plus possible1 en mme temps que ncessaire1 parce que de nouvelles conceptions permettent de prsenter les dcouvertes antrieures sous un point de vue plus direct4 ,c'est ainsi1 par exemple1 que l'ducation d'un gomtre de l'antiquit consistait simplement dans l'tude successive du trs-petit nombre de traits originaux produits jusqu'alors sur les diverses parties de la gomtrie1 ce qui se rduisait essentiellement aux crits d',archimde et d',apollonius2 tandis que1 au contraire1 un gomtre moderne a communment termin son ducation1 sans avoir lu un seul ouvrage original1 except relativement aux dcouvertes les plus rcentes1 qu'on ne peut connatre que par ce moyen4 ,la tendance constante de l'esprit humain1 quant l'exposition des connaissances1 est donc de substituer de plus en plus l'ordre historique l'ordre dogmatique1 qui peut seul convenir l'tat perfectionn de notre intelligence4 ,le problme gnral de l'ducation intellectuelle consiste faire parvenir1 en peu d'annes1 un seul entendement1 le plus souvent mdiocre1 au mme point de dveloppement qui a t atteint1 dans une longue suite de sicles1 par un grand nombre de gnies suprieurs appliquant successivement1 pendant leur vie entire1 toutes leurs forces l'tude d'un mme sujet4 ,il est clair1 d'aprs cela1 que1 quoiqu'il soit infiniment plus facile et plus court d'apprendre que d'inventer1 il serait certainement impossible d'atteindre le but propos1 si l'on voulait assujtir chaque esprit individuel passer successivement par les mmes intermdiaires qu'a d suivre ncessairement le gnie collectif de l'espce humaine4 ,de l1 l'indispensable besoin de l'ordre dogmatique1 qui est surtout si sensible aujourd'hui pour les sciences les plus avances1 dont le mode ordinaire d'exposition ne prsente plus presqu'aucune trace de la filiation effective de leurs dtails4 ,il faut1 nanmoins1 ajouter1 pour prvenir toute exagration1 que tout mode rel d'exposition est1 invitablement1 une certaine combinaison de l'ordre dogmatique avec l'ordre historique1 dans laquelle seulement le premier doit dominer constamment et de plus en plus4 ,l'ordre dogmatique ne peut1 en effet1 tre suivi d'une manire tout--fait rigoureuse2 car1 par cela mme qu'il exige une nouvelle laboration des connaissances acquises1 il n'est point applicable1 chaque poque de la science1 aux parties rcemment formes1 dont l'tude ne comporte qu'un ordre essentiellement historique1 lequel ne prsente pas1 d'ailleurs1 dans ce cas1 les inconvniens principaux qui le font rejeter en gnral4 ,la seule imperfection fondamentale qu'on pourrait reprocher au mode dogmatique1 c'est de laisser ignorer la manire dont se sont formes les diverses connaissances humaines1 ce qui1 quoique distinct de l'acquisition mme de ces connaissances1 est1 en soi1 du plus haut intrt pour tout esprit philosophique4 ,cette considration aurait1 mes yeux1 beaucoup de poids1 si elle tait rellement un motif en faveur de l'ordre historique4 ,mais il est ais de voir qu'il n'y a qu'une relation apparente entre tudier une science en suivant le mode dit historique1 et connatre vritablement l'histoire effective de cette science4 ,en effet1 non seulement les diverses parties de chaque science1 qu'on est conduit sparer dans l'ordre dogmatique1 se sont1 en ralit1 dveloppes simultanment et sous l'influence les unes des autres1 ce qui tendrait faire prfrer l'ordre historique3 mais en considrant1 dans son ensemble1 le dveloppement effectif de l'esprit humain1 on voit de plus que les diffrentes sciences ont t1 dans le fait1 perfectionnes en mme temps et mutuellement2 on voit mme que les progrs des sciences et ceux des arts ont dpendu les uns des autres1 par d'innombrables influences rciproques1 et enfin que tous ont t troitement lis au dveloppement gnral de la socit humaine4 ,ce vaste enchanement est tellement rel que souvent1 pour concevoir la gnration effective d'une thorie scientifique1 l'esprit est conduit considrer le perfectionnement de quelque art qui n'a avec elle aucune liaison rationnelle1 ou mme quelque progrs particulier dans l'organisation sociale1 sans lequel cette dcouverte n'et pu avoir lieu4 ,nous en verrons dans la suite de nombreux exemples4 ,il rsulte donc de l que l'on ne peut connatre la vritable histoire de chaque science1 c'est--dire1 la formation relle des dcouvertes dont elle se compose1 qu'en tudiant1 d'une manire gnrale et directe1 l'histoire de l'humanit4 ,c'est pourquoi tous les documens recueillis jusqu'ici sur l'histoire des mathmatiques1 de l'astronomie1 de la mdecine1 etc41 quelque prcieux qu'ils soient1 ne peuvent tre regards que comme des matriaux4 ,le prtendu ordre historique d'exposition1 mme quand il pourrait tre suivi rigoureusement pour les dtails de chaque science en particulier1 serait dj purement hypothtique et abstrait sous le rapport le plus important1 en ce qu'il considrerait le dveloppement de cette science comme isol4 ,bien loin de mettre en vidence la vritable histoire de la science1 il tendrait en faire concevoir une opinion trs-fausse4 ,ainsi1 nous sommes certainement convaincus que la connaissance de l'histoire des sciences est de la plus haute importance4 ,je pense mme qu'on ne connat pas compltement une science tant qu'on n'en sait pas l'histoire4 ,mais cette tude doit tre conue comme entirement spare de l'tude propre et dogmatique de la science1 sans laquelle mme cette histoire ne serait pas intelligible4 ,nous considrerons donc avec beaucoup de soin l'histoire relle des sciences fondamentales qui vont tre le sujet de nos mditations2 mais ce sera seulement dans la dernire partie de ce cours1 celle relative l'tude des phnomnes sociaux1 en traitant du dveloppement gnral de l'humanit1 dont l'histoire des sciences constitue la partie la plus importante1 quoique jusqu'ici la plus nglige4 ,dans l'tude de chaque science1 les considrations historiques incidentes qui pourront se prsenter1 auront un caractre nettement distinct1 de manire ne pas altrer la nature propre de notre travail principal4 ,la discussion prcdente1 qui doit d'ailleurs1 comme on le voit1 tre spcialement dveloppe plus tard1 tend prciser davantage1 en le prsentant sous un nouveau point de vue1 le vritable esprit de ce cours4 ,mais1 surtout1 il en rsulte1 relativement la question actuelle1 la dtermination exacte des conditions qu'on doit s'imposer et qu'on peut justement esprer de remplir dans la construction d'une chelle encyclopdique des diverses sciences fondamentales4 ,on voit1 en effet1 que1 quelque parfaite qu'on pt la supposer1 cette classification ne saurait jamais tre rigoureusement conforme l'enchanement historique des sciences4 ,quoi qu'on fasse1 on ne peut viter entirement de prsenter comme antrieure telle science qui aura cependant besoin1 sous quelques rapports particuliers plus ou moins importans1 d'emprunter des notions une autre science classe dans un rang postrieur4 ,il faut tcher seulement qu'un tel inconvnient n'ait lieu relativement aux conceptions caractristiques de chaque science1 car alors la classification serait tout--fait vicieuse4 ,ainsi1 par exemple1 il me semble incontestable que1 dans le systme gnral des sciences1 l'astronomie doit tre place avant la physique proprement dite1 et nanmoins plusieurs branches de celle-ci1 surtout l'optique1 sont indispensables l'exposition complte de la premire4 ,de tels dfauts secondaires1 qui sont strictement invitables1 ne sauraient prvaloir contre une classification1 qui remplirait d'ailleurs convenablement les conditions principales4 ,ils tiennent ce qu'il y a ncessairement d'artificiel dans notre division du travail intellectuel4 ,nanmoins1 quoique1 d'aprs les explications prcdentes1 nous ne devions pas prendre l'ordre historique pour base de notre classification1 je ne dois pas ngliger d'indiquer d'avance1 comme une proprit essentielle de l'chelle encyclopdique que je vais proposer1 sa conformit gnrale avec l'ensemble de l'histoire scientifique2 en ce sens1 que1 malgr la simultanit relle et continue du dveloppement des diffrentes sciences1 celles qui seront classes comme antrieures seront1 en effet1 plus anciennes et constamment plus avances que celles prsentes comme postrieures4 ,c'est ce qui doit avoir lieu invitablement si1 en ralit1 nous prenons1 comme cela doit tre1 pour principe de classification1 l'enchanement logique naturel des diverses sciences1 le point de dpart de l'espce ayant d ncessairement tre le mme que celui de l'individu4 ,pour achever de dterminer avec toute la prcision possible la difficult exacte de la question encyclopdique que nous avons rsoudre1 je crois utile d'introduire une considration mathmatique fort simple qui rsumera rigoureusement l'ensemble des raisonnemens exposs jusqu'ici dans cette leon4 ,voici en quoi elle consiste4 ,nous nous proposons de classer les sciences fondamentales4 ,or1 nous verrons bientt que1 tout bien considr1 il n'est pas possible d'en distinguer moins de six2 la plupart des savans en admettraient mme vraisemblablement un plus grand nombre4 ,cela pos1 on sait que six objets comportent #gbj dispositions diffrentes4 ,les sciences fondamentales pourraient donc donner lieu #gbj classifications distinctes1 parmi lesquelles il s'agit de choisir la classification ncessairement unique1 qui satisfait le mieux aux principales conditions du problme4 ,on voit que1 malgr le grand nombre d'chelles encyclopdiques successivement proposes jusqu' prsent1 la discussion n'a port encore que sur une bien faible partie des dispositions possibles2 et nanmoins1 je crois pouvoir dire sans exagration qu'en examinant chacune de ces #gbj classifications1 il n'en serait peut-tre pas une seule en faveur de laquelle on ne pt faire valoir quelques motifs plausibles2 car1 en observant les diverses dispositions qui ont t effectivement proposes1 on remarque entre elles les plus extrmes diffrences2 les sciences qui sont places par les uns la tte du systme encyclopdique1 tant renvoyes par d'autres l'extrmit oppose1 et rciproquement4 ,c'est donc dans ce choix d'un seul ordre vraiment rationnel1 parmi le nombre trs-considrable des systmes possibles1 que consiste la difficult prcise de la question que nous avons pose4 ,abordant maintenant d'une manire directe cette grande question1 rappelons-nous d'abord1 que pour obtenir une classification naturelle et positive des sciences fondamentales1 c'est dans la comparaison des divers ordres de phnomnes dont elles ont pour objet de dcouvrir les lois que nous devons en chercher le principe4 ,ce que nous voulons dterminer1 c'est la dpendance relle des diverses tudes scientifiques4 ,or1 cette dpendance ne peut rsulter que de celle des phnomnes correspondans4 ,en considrant sous ce point de vue tous les phnomnes observables1 nous allons voir qu'il est possible de les classer en un petit nombre de catgories naturelles1 disposes d'une telle manire1 que l'tude rationnelle de chaque catgorie soit fonde sur la connaissance des lois principales de la catgorie prcdente1 et devienne le fondement de l'tude de la suivante4 ,cet ordre est dtermin par le degr de simplicit1 ou1 ce qui revient au mme1 par le degr de gnralit des phnomnes1 d'o rsulte leur dpendance successive1 et1 en consquence1 la facilit plus ou moins grande de leur tude4 ,il est clair1 en effet1 priori1 que les phnomnes les plus simples1 ceux qui se compliquent le moins des autres1 sont ncessairement aussi les plus gnraux2 car1 ce qui s'observe dans le plus grand nombre de cas est1 par cela mme1 dgag le plus possible des circonstances propres chaque cas spar4 ,c'est donc par l'tude des phnomnes les plus gnraux ou les plus simples qu'il faut commencer1 en procdant ensuite successivement jusqu'aux phnomnes les plus particuliers ou les plus compliqus1 si l'on veut concevoir la philosophie naturelle d'une manire vraiment mthodique2 car1 cet ordre de gnralit ou de simplicit dterminant ncessairement l'enchanement rationnel des diverses sciences fondamentales par la dpendance successive de leurs phnomnes1 fixe ainsi leur degr de facilit4 ,en mme temps1 par une considration auxiliaire que je crois important de noter ici1 et qui converge exactement avec toutes les prcdentes1 les phnomnes les plus gnraux ou les plus simples se trouvant ncessairement les plus trangers l'homme1 doivent1 par cela mme1 tre tudis dans une disposition d'esprit plus calme1 plus rationnelle1 ce qui constitue un nouveau motif pour que les sciences correspondantes se dveloppent plus rapidement4 ,ayant ainsi indiqu la rgle fondamentale qui doit prsider la classification des sciences1 je puis passer immdiatement la construction de l'chelle encyclopdique d'aprs laquelle le plan de ce cours doit tre dtermin1 et que chacun pourra aisment apprcier l'aide des considrations prcdentes4 ,une premire contemplation de l'ensemble des phnomnes naturels nous porte les diviser d'abord1 conformment au principe que nous venons d'tablir1 en deux grandes classes principales1 la premire comprenant tous les phnomnes des corps bruts1 la seconde tous ceux des corps organiss4 ,ces derniers sont videmment1 en effet1 plus compliqus et plus particuliers que les autres2 ils dpendent des prcdens1 qui1 au contraire1 n'en dpendent nullement4 ,de l la ncessit de n'tudier les phnomnes physiologiques qu'aprs ceux des corps inorganiques4 ,de quelque manire qu'on explique les diffrences de ces deux sortes d'tres1 il est certain qu'on observe dans les corps vivans tous les phnomnes1 soit mcaniques1 soit chimiques1 qui ont lieu dans les corps bruts1 plus un ordre tout spcial de phnomnes1 les phnomnes vitaux proprement dits1 ceux qui tiennent l'organisation4 ,il ne s'agit pas ici d'examiner si les deux classes de corps sont ou ne sont pas de la mme nature1 question insoluble qu'on agite encore beaucoup trop de nos jours1 par un reste d'influence des habitudes thologiques et mtaphysiques2 une telle question n'est pas du domaine de la philosophie positive1 qui fait formellement profession d'ignorer absolument la nature intime d'un corps quelconque4 ,mais il n'est nullement indispensable de considrer les corps bruts et les corps vivans comme tant d'une nature essentiellement diffrente pour reconnatre la ncessit de la sparation de leurs tudes4 ,sans doute1 les ides ne sont pas encore suffisamment fixes sur la manire gnrale de concevoir les phnomnes des corps vivans4 ,mais1 quelque parti qu'on puisse prendre cet gard par suite des progrs ultrieurs de la philosophie naturelle1 la classification que nous tablissons n'en saurait tre aucunement affecte4 ,en effet1 regardt-on comme dmontr1 ce que permet peine d'entrevoir l'tat prsent de la physiologie1 que les phnomnes physiologiques sont toujours de simples phnomnes mcaniques1 lectriques et chimiques1 modifis par la structure et la composition propres aux corps organiss1 notre division fondamentale n'en subsisterait pas moins4 ,car il reste toujours vrai1 mme dans cette hypothse1 que les phnomnes gnraux doivent tre tudis avant de procder l'examen des modifications spciales qu'ils prouvent dans certains tres de l'univers1 par suite d'une disposition particulire des molcules4 ,ainsi1 la division1 qui est aujourd'hui fonde dans la plupart des esprits clairs sur la diversit des lois1 est de nature se maintenir indfiniment cause de la subordination des phnomnes et par suite des tudes1 quelque rapprochement qu'on puisse jamais tablir solidement entre les deux classes de corps4 ,ce n'est pas ici le lieu de dvelopper1 dans ses diverses parties essentielles1 la comparaison gnrale entre les corps bruts et les corps vivans1 qui sera le sujet spcial d'un examen approfondi dans la section physiologique de ce cours4 ,il suffit1 quant prsent1 d'avoir reconnu1 en principe1 la ncessit logique de sparer la science relative aux premiers de celle relative aux seconds1 et de ne procder l'tude de la physique organique qu'aprs avoir tabli les lois gnrales de la physique inorganique4 ,passons maintenant la dtermination de la sous-division principale dont est susceptible1 d'aprs la mme rgle1 chacune de ces deux grandes moitis de la philosophie naturelle4 ,pour la physique inorganique1 nous voyons d'abord1 en nous conformant toujours l'ordre de gnralit et de dpendance des phnomnes1 qu'elle doit tre partage en deux sections distinctes1 suivant qu'elle considre les phnomnes gnraux de l'univers1 ou1 en particulier1 ceux que prsentent les corps terrestres4 ,d'o la physique cleste1 ou l'astronomie1 soit gomtrique1 soit mcanique2 et la physique terrestre4 ,la ncessit de cette division est exactement semblable celle de la prcdente4 ,les phnomnes astronomiques tant les plus gnraux1 les plus simples1 les plus abstraits de tous1 c'est videmment par leur tude que doit commencer la philosophie naturelle1 puisque les lois auxquelles ils sont assujtis influent sur celles de tous les autres phnomnes1 dont elles-mmes sont1 au contraire1 essentiellement indpendantes4 ,dans tous les phnomnes de la physique terrestre1 on observe d'abord les effets gnraux de la gravitation universelle1 plus quelques autres effets qui leur sont propres1 et qui modifient les premiers4 ,il s'ensuit que1 lorsqu'on analyse le phnomne terrestre le plus simple1 non-seulement en prenant un phnomne chimique1 mais en choisissant mme un phnomne purement mcanique1 on le trouve constamment plus compos que le phnomne cleste le plus compliqu4 ,c'est ainsi1 par exemple1 que le simple mouvement d'un corps pesant1 mme quand il ne s'agit que d'un solide1 prsente rellement1 lorsqu'on veut tenir compte de toutes les circonstances dterminantes1 un sujet de recherches plus compliqu que la question astronomique la plus difficile4 ,une telle considration montre clairement combien il est indispensable de sparer nettement la physique cleste et la physique terrestre1 et de ne procder l'tude de la seconde qu'aprs celle de la premire1 qui en est la base rationnelle4 ,la physique terrestre1 son tour1 se sous-divise1 d'aprs le mme principe1 en deux portions trs-distinctes1 selon qu'elle envisage les corps sous le point de vue mcanique1 ou sous le point de vue chimique4 ,d'o la physique proprement dite1 et la chimie4 ,celle-ci1 pour tre conue d'une manire vraiment mthodique1 suppose videmment la connaissance pralable de l'autre4 ,car1 tous les phnomnes chimiques sont ncessairement plus compliqus que les phnomnes physiques2 ils en dpendent sans influer sur eux4 ,chacun sait1 en effet1 que toute action chimique est soumise d'abord l'influence de la pesanteur1 de la chaleur1 de l'lectricit1 etc41 et prsente1 en outre1 quelque chose de propre qui modifie l'action des agens prcdens4 ,cette considration1 qui montre videmment la chimie comme ne pouvant marcher qu'aprs la physique1 la prsente en mme temps comme une science distincte4 ,car1 quelque opinion qu'on adopte relativement aux affinits chimiques1 et quand mme on ne verrait en elles1 ainsi qu'on peut le concevoir1 que des modifications de la gravitation gnrale produites par la figure et par la disposition mutuelle des atmes1 il demeurerait incontestable que la ncessit d'avoir continuellement gard ces conditions spciales ne permettrait point de traiter la chimie comme un simple appendice de la physique4 ,on serait donc oblig1 dans tous les cas1 ne ft-ce que pour la facilit de l'tude1 de maintenir la division et l'enchanement que l'on regarde aujourd'hui comme tenant l'htrognit des phnomnes4 ,telle est donc la distribution rationnelle des principales branches de la science gnrale des corps bruts4 ,une division analogue s'tablit1 de la mme manire1 dans la science gnrale des corps organiss4 ,tous les tres vivans prsentent deux ordres de phnomnes essentiellement distincts1 ceux relatifs l'individu1 et ceux qui concernent l'espce1 surtout quand elle est sociable4 ,c'est principalement par rapport l'homme1 que cette distinction est fondamentale4 ,le dernier ordre de phnomnes est videmment plus compliqu et plus particulier que le premier2 il en dpend sans influer sur lui4 ,de l1 deux grandes sections dans la physique organique1 la physiologie proprement dite1 et la physique sociale1 qui est fonde sur la premire4 ,dans tous les phnomnes sociaux1 on observe d'abord l'influence des lois physiologiques de l'individu1 et1 en outre1 quelque chose de particulier qui en modifie les effets1 et qui tient l'action des individus les uns sur les autres1 singulirement complique1 dans l'espce humaine1 par l'action de chaque gnration sur celle qui la suit4 ,il est donc vident que1 pour tudier convenablement les phnomnes sociaux1 il faut d'abord partir d'une connaissance approfondie des lois relatives la vie individuelle4 ,d'un autre ct1 cette subordination ncessaire entre les deux tudes ne prescrit nullement1 comme quelques physiologistes du premier ordre ont t ports le croire1 de voir dans la physique sociale un simple appendice de la physiologie4 ,quoique les phnomnes soient certainement homognes1 ils ne sont point identiques1 et la sparation des deux sciences est d'une importance vraiment fondamentale4 ,car1 il serait impossible de traiter l'tude collective de l'espce comme une pure dduction de l'tude de l'individu1 puisque les conditions sociales1 qui modifient l'action des lois physiologiques1 sont prcisment alors la considration la plus essentielle4 ,ainsi1 la physique sociale doit tre fonde sur un corps d'observations directes qui lui soit propre1 tout en ayant gard1 comme il convient1 son intime relation ncessaire avec la physiologie proprement dite4 ,on pourrait aisment tablir une symtrie parfaite entre la division de la physique organique et celle ci-dessus expose pour la physique inorganique1 en rappelant la distinction vulgaire de la physiologie proprement dite en vgtale et animale4 ,il serait facile1 en effet1 de rattacher cette sous-division au principe de classification que nous avons constamment suivi1 puisque les phnomnes de la vie animale se prsentent1 en gnral du moins1 comme plus compliqus et plus spciaux que ceux de la vie vgtale4 ,mais la recherche de cette symtrie prcise aurait quelque chose de puril1 si elle entranait mconnatre ou exagrer les analogies relles ou les diffrences effectives des phnomnes4 ,or1 il est certain que la distinction entre la physiologie vgtale et la physiologie animale1 qui a une grande importance dans ce que j'ai appel la physique concrte1 n'en a presque aucune dans la physique abstraite1 la seule dont il s'agisse ici4 ,la connaissance des lois gnrales de la vie1 qui doit tre1 nos yeux1 le vritable objet de la physiologie1 exige la considration simultane de toute la srie organique sans distinction de vgtaux et d'animaux1 distinction qui1 d'ailleurs1 s'efface de jour en jour1 mesure que les phnomnes sont tudis d'une manire plus approfondie4 ,nous persisterons donc ne considrer qu'une seule division dans la physique organique1 quoique nous ayons cru devoir en tablir deux successives dans la physique inorganique4 ,en rsultat de cette discussion1 la philosophie positive se trouve donc naturellement partage en cinq sciences fondamentales1 dont la succession est dtermine par une subordination ncessaire et invariable1 fonde1 indpendamment de toute opinion hypothtique1 sur la simple comparaison approfondie des phnomnes correspondans3 ce sont l'astronomie1 la physique1 la chimie1 la physiologie1 et enfin la physique sociale4 ,la premire considre les phnomnes les plus gnraux1 les plus simples1 les plus abstraits et les plus loigns de l'humanit2 ils influent sur tous les autres1 sans tre influencs par eux4 ,les phnomnes considrs par la dernire sont1 au contraire1 les plus particuliers1 les plus compliqus1 les plus concrets et les plus directement intressans pour l'homme2 ils dpendent1 plus ou moins1 de tous les prcdens1 sans exercer sur eux aucune influence4 ,entre ces deux extrmes1 les degrs de spcialit1 de complication et de personnalit des phnomnes vont graduellement en augmentant1 ainsi que leur dpendance successive4 ,telle est l'intime relation gnrale que la vritable observation philosophique1 convenablement employe1 et non de vaines distinctions arbitraires1 nous conduit tablir entre les diverses sciences fondamentales4 ,tel doit donc tre le plan de ce cours4 ,je n'ai pu ici qu'esquisser l'exposition des considrations principales sur lesquelles repose cette classification4 ,pour la concevoir compltement1 il faudrait maintenant1 aprs l'avoir envisage d'un point de vue gnral1 l'examiner relativement chaque science fondamentale en particulier4 ,c'est ce que nous ferons soigneusement en commenant l'tude spciale de chaque partie de ce cours4 ,la construction de cette chelle encyclopdique1 reprise ainsi successivement en partant de chacune des cinq grandes sciences1 lui fera acqurir plus d'exactitude1 et surtout mettra pleinement en vidence sa solidit4 ,ces avantages seront d'autant plus sensibles que nous verrons alors la distribution intrieure de chaque science s'tablir naturellement d'aprs le mme principe1 ce qui prsentera tout le systme des connaissances humaines dcompos1 jusque dans ses dtails secondaires1 d'aprs une considration unique constamment suivie1 celle du degr d'abstraction plus ou moins grand des conceptions correspondantes4 ,mais des travaux de ce genre1 outre qu'ils nous entraneraient maintenant beaucoup trop loin1 seraient certainement dplacs dans cette leon1 o notre esprit doit se maintenir au point de vue le plus gnral de la philosophie positive4 ,nanmoins1 pour faire apprcier aussi compltement que possible1 ds ce moment1 l'importance de cette hirarchie fondamentale1 dont je ferai1 dans toute la suite de ce cours1 des applications continuelles1 je dois signaler rapidement ici ses proprits gnrales les plus essentielles4 ,il faut d'abord remarquer1 comme une vrification trs-dcisive de l'exactitude de cette classification1 sa conformit essentielle avec la coordination1 en quelque sorte spontane1 qui se trouve en effet implicitement admise par les savans livrs l'tude des diverses branches de la philosophie naturelle4 ,c'est une condition ordinairement fort nglige par les constructeurs d'chelles encyclopdiques1 que de prsenter comme distinctes les sciences que la marche effective de l'esprit humain a conduit1 sans dessein prmdit1 cultiver sparment1 et d'tablir entr'elles une subordination conforme aux relations positives que manifeste leur dveloppement journalier4 ,un tel accord est nanmoins videmment le plus sr indice d'une bonne classification2 car1 les divisions qui se sont introduites spontanment dans le systme scientifique n'ont pu tre dtermines que par le sentiment long-temps prouv des vritables besoins de l'esprit humain1 sans qu'on ait pu tre gar par des gnralits vicieuses4 ,mais1 quoique la classification ci-dessus propose remplisse entirement cette condition1 ce qu'il serait superflu de prouver1 il n'en faudrait pas conclure que les habitudes gnralement tablies aujourd'hui par exprience chez les savans1 rendraient inutile le travail encyclopdique que nous venons d'excuter4 ,elles ont seulement rendu possible une telle opration1 qui prsente la diffrence fondamentale d'une conception rationnelle une classification purement empirique4 ,il s'en faut d'ailleurs que cette classification soit ordinairement conue et surtout suivie avec toute la prcision ncessaire1 et que son importance soit convenablement apprcie2 il suffirait1 pour s'en convaincre1 de considrer les graves infractions qui sont commises tous les jours contre cette loi encyclopdique1 au grand prjudice de l'esprit humain4 ,un second caractre trs-essentiel de notre classification1 c'est d'tre ncessairement conforme l'ordre effectif du dveloppement de la philosophie naturelle4 ,c'est ce que vrifie tout ce qu'on sait de l'histoire des sciences1 particulirement dans les deux derniers sicles1 o nous pouvons suivre leur marche avec plus d'exactitude4 ,on conoit1 en effet1 que l'tude rationnelle de chaque science fondamentale exigeant la culture pralable de toutes celles qui la prcdent dans notre hirarchie encyclopdique1 n'a pu faire de progrs rels et prendre son vritable caractre1 qu'aprs un grand dveloppement des sciences antrieures relatives des phnomnes plus gnraux1 plus abstraits1 moins compliqus1 et indpendans des autres4 ,c'est donc dans cet ordre que la progression1 quoique simultane1 a d avoir lieu4 ,cette considration me semble d'une telle importance1 que je ne crois pas possible de comprendre rellement1 sans y avoir gard1 l'histoire de l'esprit humain4 ,la loi gnrale qui domine toute cette histoire1 et que j'ai expose dans la leon prcdente1 ne peut tre convenablement entendue1 si on ne la combine point dans l'application avec la formule encyclopdique que nous venons d'tablir4 ,car1 c'est suivant l'ordre nonc par cette formule que les diffrentes thories humaines ont atteint successivement1 d'abord l'tat thologique1 ensuite l'tat mtaphysique1 et enfin l'tat positif4 ,si l'on ne tient pas compte dans l'usage de la loi de cette progression ncessaire1 on rencontrera souvent des difficults qui paratront insurmontables1 car il est clair que l'tat thologique ou mtaphysique de certaines thories fondamentales a d temporairement concider et a quelquefois concid en effet avec l'tat positif de celles qui leur sont antrieures dans notre systme encyclopdique1 ce qui tend jeter sur la vrification de la loi gnrale une obscurit qu'on ne peut dissiper que par la classification prcdente4 ,en troisime lieu1 cette classification prsente la proprit trs-remarquable de marquer exactement la perfection relative des diffrentes sciences1 laquelle consiste essentiellement dans le degr de prcision des connaissances1 et dans leur coordination plus ou moins intime4 ,il est ais de sentir en effet que plus des phnomnes sont gnraux1 simples et abstraits1 moins ils dpendent des autres1 et plus les connaissances qui s'y rapportent peuvent tre prcises1 en mme temps que leur coordination peut tre plus complte4 ,ainsi1 les phnomnes organiques ne comportent qu'une tude la fois moins exacte et moins systmatique que les phnomnes des corps bruts4 ,de mme1 dans la physique inorganique1 les phnomnes clestes1 vu leur plus grande gnralit et leur indpendance de tous les autres1 ont donn lieu une science bien plus prcise et beaucoup plus lie que celle des phnomnes terrestres4 ,cette observation1 qui est si frappante dans l'tude effective des sciences1 et qui a souvent donn lieu des esprances chimriques ou d'injustes comparaisons1 se trouve donc compltement explique par l'ordre encyclopdique que j'ai tabli4 ,j'aurai naturellement occasion de lui donner toute son extension dans la leon prochaine1 en montrant que la possibilit d'appliquer l'tude des divers phnomnes l'analyse mathmatique1 ce qui est le moyen de procurer cette tude le plus haut degr possible de prcision et de coordination1 se trouve exactement dtermine par le rang qu'occupent ces phnomnes dans mon chelle encyclopdique4 ,je ne dois point passer une autre considration1 sans mettre le lecteur en garde ce sujet contre une erreur fort grave1 et qui1 bien que trs-grossire1 est encore extrmement commune4 ,elle consiste confondre le degr de prcision que comportent nos diffrentes connaissances avec leur degr de certitude1 d'o est rsult le prjug trs-dangereux que1 le premier tant videmment fort ingal1 il en doit tre ainsi du second4 ,aussi parle-t-on souvent encore1 quoique moins que jadis1 de l'ingale certitude des diverses sciences1 ce qui tend directement dcourager la culture des sciences les plus difficiles4 ,il est clair1 nanmoins1 que la prcision et la certitude sont deux qualits en elles-mmes fort diffrentes4 ,une proposition tout--fait absurde peut tre extrmement prcise1 comme si l'on disait1 par exemple1 que la somme des angles d'un triangle est gale trois angles droits2 et une proposition trs-certaine peut ne comporter qu'une prcision fort mdiocre1 comme lorsqu'on affirme1 par exemple1 que tout homme mourra4 ,si1 d'aprs l'explication prcdente1 les diverses sciences doivent ncessairement prsenter une prcision trs-ingale1 il n'en est nullement ainsi de leur certitude4 ,chacune peut offrir des rsultats aussi certains que ceux de toute autre1 pourvu qu'elle sache renfermer ses conclusions dans le degr de prcision que comportent les phnomnes correspondans1 condition qui peut n'tre pas toujours trs-facile remplir4 ,dans une science quelconque1 tout ce qui est simplement conjectural n'est que plus ou moins probable1 et ce n'est pas l ce qui compose son domaine essentiel2 tout ce qui est positif1 c'est--dire1 fond sur des faits bien constats1 est certain3 il n'y a pas de distinction cet gard4 ,enfin1 la proprit la plus intressante de notre formule encyclopdique1 cause de l'importance et de la multiplicit des applications immdiates qu'on en peut faire1 c'est de dterminer directement le vritable plan gnral d'une ducation scientifique entirement rationnelle4 ,c'est ce qui rsulte sur le champ de la seule composition de la formule4 ,il est sensible1 en effet1 qu'avant d'entreprendre l'tude mthodique de quelqu'une des sciences fondamentales1 il faut ncessairement s'tre prpar par l'examen de celles relatives aux phnomnes antrieurs dans notre chelle encyclopdique1 puisque ceux-ci influent toujours d'une manire prpondrante sur ceux dont on se propose de connatre les lois4 ,cette considration est tellement frappante1 que1 malgr son extrme importance pratique1 je n'ai pas besoin d'insister davantage en ce moment sur un principe qui1 plus tard1 se reproduira d'ailleurs invitablement1 par rapport chaque science fondamentale4 ,je me bornerai seulement faire observer que1 s'il est minemment applicable l'ducation gnrale1 il l'est aussi particulirement l'ducation spciale des savans4 ,ainsi1 les physiciens qui n'ont pas d'abord tudi l'astronomie1 au moins sous un point de vue gnral2 les chimistes qui1 avant de s'occuper de leur science propre1 n'ont pas tudi pralablement l'astronomie et ensuite la physique2 les physiologistes qui ne se sont pas prpars leurs travaux spciaux par une tude prliminaire de l'astronomie1 de la physique et de la chimie1 ont manqu l'une des conditions fondamentales de leur dveloppement intellectuel4 ,il en est encore plus videmment de mme pour les esprits qui veulent se livrer l'tude positive des phnomnes sociaux1 sans avoir d'abord acquis une connaissance gnrale de l'astronomie1 de la physique1 de la chimie et de la physiologie4 ,comme de telles conditions sont bien rarement remplies de nos jours1 et qu'aucune institution rgulire n'est organise pour les accomplir1 nous pouvons dire qu'il n'existe pas encore pour les savans1 d'ducation vraiment rationnelle4 ,cette considration est1 mes yeux1 d'une si grande importance1 que je ne crains pas d'attribuer en partie ce vice de nos ducations actuelles1 l'tat d'imperfection extrme o nous voyons encore les sciences les plus difficiles1 tat vritablement infrieur ce que prescrit en effet la nature plus complique des phnomnes correspondans4 ,relativement l'ducation gnrale1 cette condition est encore bien plus ncessaire4 ,je la crois tellement indispensable1 que je regarde l'enseignement scientifique comme incapable de raliser les rsultats gnraux les plus essentiels qu'il est destin produire dans la socit pour la rnovation du systme intellectuel1 si les diverses branches principales de la philosophie naturelle ne sont pas tudies dans l'ordre convenable4 ,n'oublions pas que1 dans presque toutes les intelligences1 mme les plus leves1 les ides restent ordinairement enchanes suivant l'ordre de leur acquisition premire2 et que1 par consquent1 c'est un mal le plus souvent irrmdiable que de n'avoir pas commenc par le commencement4 ,chaque sicle ne compte qu'un bien petit nombre de penseurs capables1 l'poque de leur virilit1 comme ,bacon1 ,descartes et ,lebnitz1 de faire vritablement table rase1 pour reconstruire de fond en comble le systme entier de leurs ides acquises4 ,l'importance de notre loi encyclopdique pour servir de base l'ducation scientifique1 ne peut tre convenablement apprcie qu'en la considrant aussi par rapport la mthode1 au lieu de l'envisager seulement1 comme nous venons de le faire1 relativement la doctrine4 ,sous ce nouveau point de vue1 une excution convenable du plan gnral d'tudes que nous avons dtermin doit avoir pour rsultat ncessaire de nous procurer une connaissance parfaite de la mthode positive1 qui ne pourrait tre obtenue d'aucune autre manire4 ,en effet1 les phnomnes naturels ayant t classs de telle sorte1 que ceux qui sont rellement homognes restent toujours compris dans une mme tude1 tandis que ceux qui ont t affects des tudes diffrentes sont effectivement htrognes1 il doit ncessairement en rsulter que la mthode positive gnrale sera constamment modifie d'une manire uniforme dans l'tendue d'une mme science fondamentale1 et qu'elle prouvera sans cesse des modifications diffrentes et de plus en plus composes1 en passant d'une science une autre4 ,nous aurons donc ainsi la certitude de la considrer dans toutes les varits relles dont elle est susceptible1 ce qui n'aurait pu avoir lieu1 si nous avions adopt une formule encyclopdique qui ne remplt pas les conditions essentielles poses ci-dessus4 ,cette nouvelle considration est d'une importance vraiment fondamentale2 car1 si nous avons vu en gnral1 dans la dernire leon1 qu'il est impossible de connatre la mthode positive1 quand on veut l'tudier sparment de son emploi1 nous devons ajouter aujourd'hui qu'on ne peut s'en former une ide nette et exacte qu'en tudiant successivement1 et dans l'ordre convenable1 son application toutes les diverses classes principales des phnomnes naturels4 ,une seule science ne suffirait point pour atteindre ce but1 mme en la choisissant le plus judicieusement possible4 ,car1 quoique la mthode soit essentiellement identique dans toutes1 chaque science dveloppe spcialement tel ou tel de ses procds caractristiques1 dont l'influence1 trop peu prononce dans les autres sciences1 demeurerait inaperue4 ,ainsi1 par exemple1 dans certaines branches de la philosophie1 c'est l'observation proprement dite2 dans d'autres c'est l'exprience1 et telle ou telle nature d'expriences1 qui constitue le principal moyen d'exploration4 ,de mme1 tel prcepte gnral1 qui fait partie intgrante de la mthode1 a t fourni primitivement par une certaine science2 et1 bien qu'il ait pu tre ensuite transport dans d'autres1 c'est sa source qu'il faut l'tudier pour le bien connatre2 comme1 par exemple1 la thorie des classifications4 ,en se bornant l'tude d'une science unique1 il faudrait sans doute choisir la plus parfaite1 pour avoir un sentiment plus profond de la mthode positive4 ,or1 la plus parfaite tant en mme temps la plus simple1 on n'aurait ainsi qu'une connaissance bien incomplte de la mthode1 puisque on n'apprendrait pas quelles modifications essentielles elle doit subir pour s'adapter des phnomnes plus compliqus4 ,chaque science fondamentale a donc1 sous ce rapport1 des avantages qui lui sont propres2 ce qui prouve clairement la ncessit de les considrer toutes1 sous peine de ne se former que des conceptions trop troites et des habitudes insuffisantes4 ,cette considration devant se reproduire frquemment dans la suite1 il est inutile de la dvelopper davantage en ce moment4 ,je dois nanmoins ici1 toujours sous le rapport de la mthode1 insister spcialement sur le besoin1 pour la bien connatre1 non-seulement d'tudier philosophiquement toutes les diverses sciences fondamentales1 mais de les tudier suivant l'ordre encyclopdique tabli dans cette leon4 ,que peut produire de rationnel1 moins d'une extrme supriorit naturelle1 un esprit qui s'occupe de prime abord de l'tude des phnomnes les plus compliqus1 sans avoir pralablement appris connatre1 par l'examen des phnomnes les plus simples1 ce que c'est qu'une loi1 ce que c'est qu'observer1 ce que c'est qu'une conception positive1 ce que c'est mme qu'un raisonnement suivi8 ,telle est pourtant encore aujourd'hui la marche ordinaire de nos jeunes physiologistes1 qui abordent immdiatement l'tude des corps vivans1 sans avoir le plus souvent t prpars autrement que par une ducation prliminaire rduite l'tude d'une ou deux langues mortes1 et n'ayant1 tout au plus1 qu'une connaissance trs-superficielle de la physique et de la chimie1 connaissance presque nulle sous le rapport de la mthode1 puisqu'elle n'a pas t obtenue communment d'une manire rationnelle1 et en partant du vritable point de dpart de la philosophie naturelle4 ,on conoit combien il importe de rformer un plan d'tudes aussi vicieux4 ,de mme1 relativement aux phnomnes sociaux1 qui sont encore plus compliqus1 ne serait-ce point avoir fait un grand pas vers le retour des socits modernes un tat vraiment normal1 que d'avoir reconnu la ncessit logique de ne procder l'tude de ces phnomnes1 qu'aprs avoir dress successivement l'organe intellectuel par l'examen philosophique approfondi de tous les phnomnes antrieurs8 ,on peut mme dire avec prcision que c'est l toute la difficult principale4 ,car1 il est peu de bons esprits qui ne soient convaincus aujourd'hui qu'il faut tudier les phnomnes sociaux d'aprs la mthode positive4 ,seulement1 ceux qui s'occupent de cette tude1 ne sachant pas et ne pouvant pas savoir exactement en quoi consiste cette mthode1 faute de l'avoir examine dans ses applications antrieures1 cette maxime est jusqu' prsent demeure strile pour la rnovation des thories sociales1 qui ne sont pas encore sorties de l'tat thologique ou de l'tat mtaphysique1 malgr les efforts des prtendus rformateurs positifs4 ,cette considration sera1 plus tard1 spcialement dveloppe2 je dois ici me borner l'indiquer1 uniquement pour faire apercevoir toute la porte de la conception encyclopdique que j'ai propose dans cette leon4 ,tels sont donc les quatre points de vue principaux1 sous lesquels j'ai d m'attacher faire ressortir l'importance gnrale de la classification rationnelle et positive1 tablie ci-dessus pour les sciences fondamentales4 ,afin de complter l'exposition gnrale du plan de ce cours1 il me reste maintenant considrer une lacune immense et capitale1 que j'ai laisse dessein dans ma formule encyclopdique1 et que le lecteur a sans doute dj remarque4 ,en effet1 nous n'avons point marqu dans notre systme scientifique le rang de la science mathmatique4 ,le motif de cette omission volontaire est dans l'importance mme de cette science1 si vaste et si fondamentale4 ,car1 la leon prochaine sera entirement consacre la dtermination exacte de son vritable caractre gnral1 et par suite la fixation prcise de son rang encyclopdique4 ,mais pour ne pas laisser incomplet1 sous un rapport aussi capital1 le grand tableau que j'ai tch d'esquisser dans cette leon1 je dois indiquer ici sommairement1 par anticipation1 les rsultats gnraux de l'examen que nous entreprendrons dans la leon suivante4 ,dans l'tat actuel du dveloppement de nos connaissances positives1 il convient1 je crois1 de regarder la science mathmatique1 moins comme une partie constituante de la philosophie naturelle proprement dite1 que comme tant1 depuis ,descartes et ,newton1 la vraie base fondamentale de toute cette philosophie1 quoique1 parler exactement1 elle soit la fois l'une et l'autre4 ,aujourd'hui1 en effet1 la science mathmatique est bien moins importante par les connaissances1 trs-relles et trs-prcieuses nanmoins1 qui la composent directement1 que comme constituant l'instrument le plus puissant que l'esprit humain puisse employer dans la recherche des lois des phnomnes naturels4 ,pour prsenter cet gard une conception parfaitement nette et rigoureusement exacte1 nous verrons qu'il faut diviser la science mathmatique en deux grandes sciences1 dont le caractre est essentiellement distinct3 la mathmatique abstraite1 ou le calcul1 en prenant ce mot dans sa plus grande extension1 et la mathmatique concrte1 qui se compose1 d'une part de la gomtrie gnrale1 d'une autre part de la mcanique rationnelle4 ,la partie concrte est ncessairement fonde sur la partie abstraite1 et devient son tour la base directe de toute la philosophie naturelle1 en considrant1 autant que possible1 tous les phnomnes de l'univers comme gomtriques ou comme mcaniques4 ,la partie abstraite est la seule qui soit purement instrumentale1 n'tant autre chose qu'une immense extension admirable de la logique naturelle un certain ordre de dductions4 ,la gomtrie et la mcanique doivent1 au contraire1 tre envisages comme de vritables sciences naturelles1 fondes ainsi que toutes les autres1 sur l'observation1 quoique1 par l'extrme simplicit de leurs phnomnes1 elles comportent un degr infiniment plus parfait de systmatisation1 qui a pu quelquefois faire mconnatre le caractre exprimental de leurs premiers principes4 ,mais ces deux sciences physiques ont cela de particulier1 que1 dans l'tat prsent de l'esprit humain1 elles sont dj et seront toujours davantage employes comme mthode1 beaucoup plus que comme doctrine directe4 ,il est1 du reste1 vident qu'en plaant ainsi la science mathmatique la tte de la philosophie positive1 nous ne faisons qu'tendre davantage l'application de ce mme principe de classification1 fond sur la dpendance successive des sciences en rsultat du degr d'abstraction de leurs phnomnes respectifs1 qui nous a fourni la srie encyclopdique1 tablie dans cette leon4 ,nous ne faisons maintenant que restituer cette srie son vritable premier terme1 dont l'importance propre exigeait un examen spcial plus dvelopp4 ,on voit1 en effet1 que les phnomnes gomtriques et mcaniques sont1 de tous1 les plus gnraux1 les plus simples1 les plus abstraits1 les plus irrductibles1 et les plus indpendans de tous les autres1 dont ils sont1 au contraire1 la base4 ,on conoit pareillement que leur tude est un prliminaire indispensable celle de tous les autres ordres de phnomnes4 ,c'est donc la science mathmatique qui doit constituer le vritable point de dpart de toute ducation scientifique rationnelle1 soit gnrale1 soit spciale1 ce qui explique l'usage universel qui s'est tabli depuis long-temps ce sujet1 d'une manire empirique1 quoiqu'il n'ait eu primitivement d'autre cause que la plus grande anciennet relative de la science mathmatique4 ,je dois me borner en ce moment une indication trs-rapide de ces diverses considrations1 qui vont tre l'objet spcial de la leon suivante4 ,nous avons donc exactement dtermin dans cette leon1 non d'aprs de vaines spculations arbitraires1 mais en le regardant comme le sujet d'un vritable problme philosophique1 le plan rationnel qui doit nous guider constamment dans l'tude de la philosophie positive4 ,en rsultat dfinitif1 la mathmatique1 l'astronomie1 la physique1 la chimie1 la physiologie1 et la physique sociale2 telle est la formule encyclopdique qui1 parmi le trs-grand nombre de classifications que comportent les six sciences fondamentales1 est seule logiquement conforme la hirarchie naturelle et invariable des phnomnes4 ,je n'ai pas besoin de rappeler l'importance de ce rsultat1 que le lecteur doit se rendre minemment familier1 pour en faire dans toute l'tendue de ce cours une application continuelle4 ,la consquence finale de cette leon1 exprime sous la forme la plus simple1 consiste donc dans l'explication et la justification du grand tableau synoptique plac au commencement de cet ouvrage1 et dans la construction duquel je me suis efforc de suivre1 aussi rigoureusement que possible1 pour la distribution intrieure de chaque science fondamentale1 le mme principe de classification qui vient de nous fournir la srie gnrale des sciences4 ,,troisi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations philosophiques sur l'ensemble de la science mathmatique4 ,en commenant entrer directement en matire par l'tude philosophique de la premire des six sciences fondamentales tablies dans la leon prcdente1 nous avons lieu de constater immdiatement l'importance de la philosophie positive pour perfectionner le caractre gnral de chaque science en particulier4 ,quoique la science mathmatique soit la plus ancienne et la plus parfaite de toutes1 l'ide gnrale qu'on doit s'en former n'est point encore nettement dtermine4 ,la dfinition de la science1 ses principales divisions1 sont demeures jusqu'ici vagues et incertaines4 ,le nom multiple par lequel on la dsigne habituellement suffirait mme seul pour indiquer le dfaut d'unit de son caractre philosophique1 tel qu'il est conu communment4 la vrit1 c'est seulement au commencement du sicle dernier que les diverses conceptions fondamentales qui constituent cette grande science ont pris chacune assez de dveloppement pour que le vritable esprit de l'ensemble pt se manifester clairement4 ,depuis cette poque1 l'attention des gomtres t trop justement et trop exclusivement absorbe par le perfectionnement spcial des diffrentes branches1 et par l'application capitale qu'ils en ont faite aux lois les plus importantes de l'univers1 pour pouvoir se diriger convenablement sur le systme gnral de la science4 ,mais aujourd'hui le progrs des spcialits n'est plus tellement rapide1 qu'il interdise la contemplation de l'ensemble4 ,la mathmatique#b est maintenant assez dveloppe1 soit en elle-mme1 soit quant ses applications les plus essentielles1 pour tre parvenue cet tat de consistance1 dans lequel on doit s'efforcer de coordonner en un systme unique les diverses parties de la science1 afin de prparer de nouveaux progrs4 ,on peut mme observer que les derniers perfectionnemens capitaux prouvs par la science mathmatique ont directement prpar cette importante opration philosophique1 en imprimant ses principales parties un caractre d'unit qui n'existait pas auparavant2 tel est minemment et hors de toute comparaison l'esprit des travaux de l'immortel auteur de la ,thorie des ,fonctions et de la ,mcanique analytique4 ,note #b3 ,j'emploierai souvent cette expression au singulier1 comme l'a propos ,condorcet1 afin d'indiquer avec plus d'nergie l'esprit d'unit dans lequel je conois la science4 ,pour se former une juste ide de l'objet de la science mathmatique considre dans son ensemble1 on peut d'abord partir de la dfinition vague et insignifiante qu'on en donne ordinairement1 dfaut de toute autre1 en disant qu'elle est la science des grandeurs1 ou1 ce qui est plus positif1 la science qui a pour but la mesure des grandeurs4 ,cet aperu scolastique a1 sans doute1 singulirement besoin d'acqurir plus de prcision et plus de profondeur4 ,mais l'ide est juste au fond2 elle est mme suffisamment tendue1 lorsqu'on la conoit convenablement4 ,il importe d'ailleurs1 en pareille matire1 quand on le peut sans inconvnient1 de s'appuyer sur des notions gnralement admises4 ,voyons donc comment1 en partant de cette grossire bauche1 on peut s'lever une vritable dfinition de la mathmatique1 une dfinition qui soit digne de correspondre l'importance1 l'tendue et la difficult de la science4 ,la question de mesurer une grandeur ne prsente par elle-mme l'esprit d'autre ide que celle de la simple comparaison immdiate de cette grandeur avec une autre grandeur semblable suppose connue1 qu'on prend pour unit entre toutes celles de la mme espce4 ,ainsi1 quand on se borne dfinir les mathmatiques comme ayant pour objet la mesure des grandeurs1 on en donne une ide fort imparfaite1 car il est mme impossible de voir par l comment il y a lieu1 sous ce rapport1 une science quelconque1 et surtout une science aussi vaste et aussi profonde qu'est rpute l'tre avec raison la science mathmatique4 ,au lieu d'un immense enchanement de travaux rationnels trs-prolongs1 qui offrent notre activit intellectuelle un aliment inpuisable1 la science paratrait seulement consister1 d'aprs un tel nonc1 dans une simple suite de procds mcaniques1 pour obtenir directement1 l'aide d'oprations analogues la superposition des lignes1 les rapports des quantits mesurer celles par lesquelles on veut les mesurer4 ,nanmoins1 cette dfinition n'a point rellement d'autre dfaut que de n'tre pas suffisamment approfondie4 ,elle n'induit point en erreur sur le vritable but final des mathmatiques2 seulement elle prsente comme direct un objet qui1 presque toujours1 est1 au contraire1 fort indirect1 et par l1 elle ne fait nullement concevoir la nature de la science4 ,pour y parvenir1 il faut d'abord considrer un fait gnral1 trs-facile constater4 ,c'est que la mesure directe d'une grandeur1 par la superposition ou par quelque procd semblable1 est le plus souvent pour nous une opration tout--fait impossible3 en sorte que si nous n'avions pas d'autre moyen pour dterminer les grandeurs que les comparaisons immdiates1 nous serions obligs de renoncer la connaissance de la plupart de celles qui nous intressent4 ,on comprendra toute l'exactitude de cette observation gnrale1 en se bornant considrer spcialement le cas particulier qui prsente videmment le plus de facilit1 celui de la mesure d'une ligne droite par une autre ligne droite4 ,cette comparaison1 qui1 de toutes celles que nous pouvons imaginer1 est sans contredit la plus simple1 ne peut nanmoins presque jamais tre effectue immdiatement4 ,en rflchissant l'ensemble des conditions ncessaires pour qu'une ligne droite soit susceptible d'une mesure directe1 on voit que le plus souvent elles ne peuvent point tre remplies la fois1 relativement aux lignes que nous dsirons connatre4 ,la premire et la plus grossire de ces conditions1 celle de pouvoir parcourir la ligne d'un bout l'autre1 pour porter successivement l'unit dans toute son tendue1 exclut videmment dj la trs-majeure partie des distances qui nous intressent le plus2 d'abord toutes les distances entre les diffrens corps clestes1 ou de la terre quelqu'autre corps cleste1 et ensuite mme la plupart des distances terrestres1 qui sont si frquemment inaccessibles4 ,quand cette premire condition se trouve accomplie1 il faut encore que la longueur ne soit ni trop grande ni trop petite1 ce qui rendrait la mesure directe galement impossible2 il faut qu'elle soit convenablement situe1 etc4 ,la plus lgre circonstance1 qui abstraitement ne paratrait devoir introduire aucune nouvelle difficult1 suffira souvent1 dans la ralit1 pour nous interdire toute mesure directe4 ,ainsi1 par exemple1 telle ligne que nous pourrions mesurer exactement avec la plus grande facilit1 si elle tait horizontale1 il suffira de la concevoir redresse verticalement1 pour que la mesure en devienne impossible4 ,en un mot1 la mesure immdiate d'une ligne droite1 prsente une telle complication de difficults1 surtout quand on veut y apporter quelque exactitude1 que presque jamais nous ne rencontrons d'autres lignes susceptibles d'tre mesures directement avec prcision1 du moins parmi celles d'une certaine grandeur1 que des lignes purement artificielles1 cres expressment par nous pour comporter une dtermination directe1 et auxquelles nous parvenons rattacher toutes les autres4 ,ce que je viens d'tablir relativement aux lignes se conoit1 bien plus forte raison1 des surfaces1 des volumes1 des vitesses1 des temps1 des forces1 etc41 et1 en gnral1 de toutes les autres grandeurs susceptibles d'apprciation exacte1 et qui1 par leur nature1 prsentent ncessairement beaucoup plus d'obstacles encore une mesure immdiate4 ,il est donc inutile de s'y arrter1 et nous devons regarder comme suffisamment constate l'impossibilit de dterminer1 en les mesurant directement1 la plupart des grandeurs que nous dsirons connatre4 ,c'est ce fait gnral qui ncessite la formation de la science mathmatique1 comme nous allons le voir4 ,car1 renonant1 dans presque tous les cas1 la mesure immdiate des grandeurs1 l'esprit humain a d chercher les dterminer indirectement1 et c'est ainsi qu'il a t conduit la cration des mathmatiques4 ,la mthode gnrale qu'on emploie constamment1 la seule videmment qu'on puisse concevoir1 pour connatre des grandeurs qui ne comportent point une mesure directe1 consiste les rattacher d'autres qui soient susceptibles d'tre dtermines immdiatement1 et d'aprs lesquelles on parvient dcouvrir les premires1 au moyen des relations qui existent entre les unes et les autres4 ,tel est l'objet prcis de la science mathmatique envisage dans son ensemble4 ,pour s'en faire une ide suffisamment tendue1 il faut considrer que cette dtermination indirecte des grandeurs peut-tre indirecte des degrs fort diffrens4 ,dans un grand nombre de cas1 qui souvent sont les plus importans1 les grandeurs1 la dtermination desquelles on ramne la recherche des grandeurs principales qu'on veut connatre1 ne peuvent point elles-mmes tre mesures immdiatement1 et doivent par consquent1 leur tour1 devenir le sujet d'une question semblable1 et ainsi de suite2 en sorte que1 dans beaucoup d'occasions1 l'esprit humain est oblig d'tablir une longue suite d'intermdiaires entre le systme des grandeurs inconnues qui sont l'objet dfinitif de ses recherches1 et le systme des grandeurs susceptibles de mesure directe1 d'aprs lesquelles on dtermine finalement les premires1 et qui ne paraissent d'abord avoir avec celles-ci aucune liaison4 ,quelques exemples vont suffire pour claircir ce que les gnralits prcdentes pourraient prsenter de trop abstrait4 ,considrons1 en premier lieu1 un phnomne naturel trs-simple qui puisse nanmoins donner lieu une question mathmatique relle et susceptible d'applications effectives1 le phnomne de la chute verticale des corps pesans4 ,en observant ce phnomne1 l'esprit le plus tranger aux conceptions mathmatiques reconnat sur-le-champ que les deux quantits qu'il prsente1 savoir3 la hauteur d'o un corps est tomb1 et le temps de sa chute1 sont ncessairement lies l'une l'autre1 puisqu'elles varient ensemble1 et restent fixes simultanment2 ou1 suivant le langage des gomtres1 qu'elles sont fonction l'une de l'autre4 ,le phnomne1 considr sous ce point de vue1 donne donc lieu une question mathmatique1 qui consiste suppler la mesure directe de l'une de ces deux grandeurs lorsqu'elle sera impossible1 par la mesure de l'autre4 ,c'est ainsi1 par exemple1 qu'on pourra dterminer indirectement la profondeur d'un prcipice1 en se bornant mesurer le temps qu'un corps emploierait tomber jusqu'au fond2 et1 en procdant convenablement1 cette profondeur inaccessible sera connue avec tout autant de prcision que si c'tait une ligne horizontale place dans les circonstances les plus favorables une mesure facile et exacte4 ,dans d'autres occasions1 c'est la hauteur d'o le corps est tomb qui sera facile connatre1 tandis que le temps de la chute ne pourrait point tre observ directement2 alors le mme phnomne donnera lieu la question inverse1 dterminer le temps d'aprs la hauteur2 comme1 par exemple1 si l'on voulait connatre quelle serait la dure de la chute verticale d'un corps tombant de la lune sur la terre4 ,dans l'exemple prcdent1 la question mathmatique est fort simple1 du moins quand on n'a pas gard la variation d'intensit de la pesanteur1 ni la rsistance du fluide que le corps traverse dans sa chute4 ,mais1 pour agrandir la question1 il suffira de considrer le mme phnomne dans sa plus grande gnralit1 en supposant la chute oblique1 et tenant compte de toutes les circonstances principales4 ,alors1 au lieu d'offrir simplement deux quantits variables lies entr'elles par une relation facile suivre1 le phnomne en prsentera un plus grand nombre1 l'espace parcouru1 soit dans le sens vertical1 soit dans le sens horizontal1 le temps employ le parcourir1 la vitesse du corps chaque point de sa course1 et mme l'intensit et la direction de son impulsion primitive1 qui pourront aussi tre envisages comme variables1 et enfin1 dans certains cas1 pour tenir compte de tout1 la rsistance du milieu et l'nergie de la gravit4 ,toutes ces diverses quantits seront lies entr'elles1 de telle sorte que chacune son tour pourra tre dtermine indirectement d'aprs les autres1 ce qui prsentera autant de recherches mathmatiques distinctes qu'il y aura de grandeurs coexistantes dans le phnomne considr4 ,ce changement trs-simple dans les conditions physiques d'un problme pourra faire1 comme il arrive en effet pour l'exemple cit1 qu'une recherche mathmatique1 primitivement fort lmentaire1 se place tout--coup au rang des questions les plus difficiles1 dont la solution complte et rigoureuse surpasse jusqu' prsent toutes les plus grandes forces de l'esprit humain4 ,prenons un second exemple dans les phnomnes gomtriques4 ,qu'il s'agisse de dterminer une distance qui n'est pas susceptible de mesure directe2 on la concevra gnralement comme faisant partie d'une figure1 ou d'un systme quelconque de lignes1 choisi de telle manire que tous ses autres lmens puissent tre observs immdiatement2 par exemple1 dans le cas le plus simple et auquel tous les autres peuvent se rduire finalement1 on considrera la distance propose comme appartenant un triangle1 dans lequel on pourrait dterminer directement1 soit un autre ct et deux angles1 soit deux cts et un seul angle4 ,ds-lors1 la connaissance de la distance cherche1 au lieu d'tre obtenue immdiatement1 sera le rsultat d'un travail mathmatique qui consistera la dduire des lmens observs1 d'aprs la relation qui la lie avec eux4 ,ce travail pourra devenir successivement de plus en plus compliqu1 si les lmens supposs connus ne pouvaient1 leur tour1 comme il arrive le plus souvent1 tre dtermins que d'une manire indirecte1 l'aide de nouveaux systmes auxiliaires1 dont le nombre1 dans les grandes oprations de ce genre1 finit par devenir quelquefois trs-considrable4 ,la distance une fois dtermine1 cette seule connaissance suffira frquemment pour faire obtenir de nouvelles quantits1 qui offriront le sujet de nouvelles questions mathmatiques4 ,ainsi1 quand on sait quelle distance est situ un objet1 la simple observation1 toujours possible1 de son diamtre apparent1 doit videmment permettre de dterminer indirectement1 quelqu'inaccessible qu'il puisse tre1 ses dimensions relles1 et1 par une suite de recherches analogues1 sa surface1 son volume1 son poids mme1 et une foule d'autres proprits1 dont la connaissance semblait devoir nous tre ncessairement interdite4 ,c'est par de tels travaux1 que l'homme a pu parvenir connatre1 non-seulement les distances des astres la terre1 et par suite1 entr'eux1 mais leur grandeur effective1 leur vritable figure1 jusqu'aux ingalits de leur surface1 et1 ce qui semble se drober bien plus encore nos moyens d'investigation1 leurs masses respectives1 leurs densits moyennes1 les circonstances principales de la chute des corps pesans la surface de chacun d'eux1 etc4 ,par la puissance des thories mathmatiques1 tous ces divers rsultats1 et bien d'autres encore relatifs aux diffrentes classes de phnomnes naturels1 n'ont exig dfinitivement d'autres mesures immdiates que celles d'un trs-petit nombre de lignes droites1 convenablement choisies1 et d'un plus grand nombre d'angles4 ,on peut mme dire1 en toute rigueur1 pour indiquer d'un seul trait la porte gnrale de la science1 que si l'on ne craignait pas avec raison de multiplier sans ncessit les oprations mathmatiques1 et si1 par consquent1 on ne devait pas les rserver seulement pour la dtermination des quantits qui ne pourraient nullement tre mesures directement1 ou d'une manire assez exacte1 la connaissance de toutes les grandeurs susceptibles d'estimation prcise que les divers ordres de phnomnes peuvent nous offrir1 serait finalement rductible la mesure immdiate d'une ligne droite unique et d'un nombre d'angles convenable4 ,nous sommes donc parvenu maintenant dfinir avec exactitude la science mathmatique1 en lui assignant pour but1 la mesure indirecte des grandeurs1 et disant qu'on s'y propose constamment de dterminer les grandeurs les unes par les autres1 d'aprs les relations prcises qui existent entre elles4 ,cet nonc1 au lieu de donner seulement l'ide d'un art1 comme le font jusqu'ici toutes les dfinitions ordinaires1 caractrise immdiatement une vritable science1 et la montre sur-le-champ compose d'un immense enchanement d'oprations intellectuelles1 qui pourront videmment devenir trs compliques1 raison de la suite d'intermdiaires qu'il faudra tablir entre les quantits inconnues et celles qui comportent une mesure directe1 du nombre des variables co-existantes dans la question propose1 et de la nature des relations que fourniront entre toutes ces diverses grandeurs les phnomnes considrs4 ,d'aprs une telle dfinition1 l'esprit mathmatique consiste regarder toujours comme lies entre elles toutes les quantits que peut prsenter un phnomne quelconque1 dans la vue de les dduire les unes des autres4 ,or1 il n'y a pas videmment de phnomne qui ne puisse donner lieu des considrations de ce genre2 d'o rsulte l'tendue naturellement indfinie et mme la rigoureuse universalit logique de la science mathmatique3 nous chercherons plus loin circonscrire aussi exactement que possible son extension effective4 ,les explications prcdentes tablissent clairement la justification du nom employ pour dsigner la science que nous considrons4 ,cette dnomination1 qui a pris aujourd'hui une acception si dtermine1 signifie simplement par elle-mme la science en gnral4 ,une telle dsignation1 rigoureusement exacte pour les ,grecs1 qui n'avaient pas d'autre science relle1 n'a pu tre conserve par les modernes que pour indiquer les mathmatiques comme la science par excellence4 ,et1 en effet1 la dfinition laquelle nous venons d'tre conduits1 si on en carte la circonstance de la prcision des dterminations1 n'est autre chose que la dfinition de toute vritable science quelconque1 car chacune n'a-t-elle pas ncessairement pour but de dterminer des phnomnes les uns par les autres1 d'aprs les relations qui existent entre eux8 ,toute science consiste dans la coordination des faits 2 si les diverses observations taient entirement isoles1 il n'y aurait pas de science4 ,on peut mme dire gnralement que la science est essentiellement destine dispenser1 autant que le comportent les divers phnomnes1 de toute observation directe1 en permettant de dduire du plus petit nombre possible de donnes immdiates1 le plus grand nombre possible de rsultats4 ,n'est-ce point l1 en effet1 l'usage rel1 soit dans la spculation1 soit dans l'action1 des lois que nous parvenons dcouvrir entre les phnomnes naturels8 ,la science mathmatique ne fait1 d'aprs cela1 que pousser au plus haut degr possible1 tant sous le rapport de la quantit que sous celui de la qualit1 sur les sujets vritablement de son ressort1 le mme genre de recherches que poursuit1 des degrs plus ou moins infrieurs1 chaque science relle1 dans sa sphre respective4 ,c'est donc par l'tude des mathmatiques1 et seulement par elle1 que l'on peut se faire une ide juste et approfondie de ce que c'est qu'une science4 ,c'est l uniquement qu'on doit chercher connatre avec prcision la mthode gnrale que l'esprit humain emploie constamment dans toutes ses recherches positives1 parce que nulle part ailleurs les questions ne sont rsolues d'une manire aussi complte1 et les dductions prolonges aussi loin avec une svrit rigoureuse4 ,c'est l galement que notre entendement a donn les plus grandes preuves de sa force1 parce que les ides qu'il y considre sont du plus haut degr d'abstraction possible dans l'ordre positif4 ,toute ducation scientifique qui ne commence point par une telle tude1 pche donc ncessairement par sa base4 ,nous avons jusqu'ici envisag la science mathmatique seulement dans son ensemble total1 sans avoir aucun gard ses divisions4 ,nous devons maintenant1 pour complter cette vue gnrale et nous former une juste ide du caractre philosophique de la science1 considrer sa division fondamentale4 ,les divisions secondaires seront examines dans les leons suivantes4 ,cette division principale ne saurait tre vraiment rationnelle1 et driver de la nature mme du sujet1 qu'autant qu'elle se prsentera spontanment1 en faisant l'analyse exacte d'une question mathmatique complte4 ,ainsi1 aprs avoir dtermin ci-dessus quel est l'objet gnral des travaux mathmatiques1 caractrisons maintenant avec prcision les divers ordres principaux de recherches dont ils se composent constamment4 ,la solution complte de toute question mathmatique se dcompose ncessairement en deux parties1 d'une nature essentiellement distincte1 et dont la relation est invariablement dtermine4 ,en effet1 nous avons vu que toute recherche mathmatique a pour objet de dterminer des grandeurs inconnues1 d'aprs les relations qui existent entre elles et des grandeurs connues4 ,or1 il faut videmment d'abord1 cette fin1 parvenir connatre avec prcision les relations existantes entre les quantits que l'on considre4 ,ce premier ordre de recherches constitue ce que j'appelle la partie concrte de la solution4 ,quand elle est termine1 la question change de nature2 elle se rduit une pure question de nombres1 consistant simplement dsormais dterminer des nombres inconnus1 lorsqu'on sait quelles relations prcises les lient des nombres connus4 ,c'est dans ce second ordre de recherches que consiste ce que je nomme la partie abstraite de la solution4 ,de l rsulte la division fondamentale de la science mathmatique gnrale en deux grandes sciences1 la mathmatique abstraite et la mathmatique concrte4 ,cette analyse peut tre observe dans toute question mathmatique complte1 quelque simple ou quelque complique qu'elle soit4 ,il suffira1 pour la faire bien comprendre1 d'en indiquer un seul exemple4 ,reprenant le phnomne dj cit de la chute verticale d'un corps pesant1 et considrant le cas le plus simple1 on voit que pour parvenir dterminer l'une par l'autre la hauteur d'o le corps est tomb et la dure de sa chute1 il faut commencer par dcouvrir la relation exacte de ces deux quantits1 ou1 suivant le langage des gomtres1 l'quation qui existe entre elles4 ,avant que cette premire recherche soit termine1 toute tentative pour dterminer numriquement la valeur de l'une de ces deux grandeurs par celle de l'autre serait videmment prmature1 car elle n'aurait aucune base4 ,il ne suffit pas de savoir vaguement qu'elles dpendent l'une de l'autre1 ce que tout le monde aperoit sur-le-champ1 mais il faut dterminer en quoi consiste cette dpendance2 ce qui peut tre fort difficile1 et constitue en effet1 dans le cas actuel1 la partie incomparablement suprieure du problme4 ,le vritable esprit scientifique est si moderne et encore tellement rare1 que personne peut-tre avant ,galile n'avait seulement remarqu l'accroissement de vitesse qu'prouve un corps dans sa chute1 ce qui exclut l'hypothse1 vers laquelle notre intelligence1 toujours porte involontairement supposer dans chaque phnomne les fonctions les plus simples1 sans aucun autre motif que sa plus grande facilit les concevoir1 serait naturellement entrane1 la hauteur proportionnelle au temps4 ,en un mot1 ce premier travail aboutit la dcouverte de la loi de ,galile4 ,quand cette partie concrte est termine1 la recherche devient d'une tout autre nature4 ,sachant que les espaces parcourus par le corps dans chaque seconde successive de sa chute croissent comme la suite des nombres impairs1 c'est alors une question purement numrique et abstraite que d'en dduire ou la hauteur d'aprs le temps1 ou le temps par la hauteur1 ce qui consistera trouver que1 d'aprs la loi tablie1 la premire de ces deux quantits est un multiple connu de la seconde puissance de l'autre1 d'o l'on devra finalement conclure la valeur de l'une quand celle de l'autre sera donne4 ,dans cet exemple1 la question concrte est plus difficile que la question abstraite4 ,ce serait l'inverse1 si l'on considrait le mme phnomne dans sa plus grande gnralit1 tel que je l'ai envisag plus haut pour un autre motif4 ,suivant les cas1 ce sera tantt la premire1 tantt la seconde de ces deux parties qui constituera la principale difficult de la question totale2 la loi mathmatique du phnomne pouvant tre trs-simple1 mais difficile obtenir1 et1 dans d'autres occasions1 facile dcouvrir1 mais fort complique3 en sorte que les deux grandes sections de la science mathmatique1 quand on les compare en masse1 doivent tre regardes comme exactement quivalentes en tendue et en difficult1 aussi bien qu'en importance1 ainsi que nous le constaterons plus tard en considrant chacune d'elles sparment4 ,ces deux parties1 essentiellement distinctes1 d'aprs l'explication prcdente1 par l'objet que l'esprit s'y propose1 ne le sont pas moins par la nature des recherches dont elles se composent4 ,la premire doit porter le nom de concrte1 car elle dpend videmment du genre des phnomnes considrs1 et doit varier ncessairement lorsqu'on envisagera de nouveaux phnomnes2 tandis que la seconde est compltement indpendante de la nature des objets examins1 et porte seulement sur les relations numriques qu'ils prsentent1 ce qui doit la faire appeler abstraite4 ,les mmes relations peuvent exister dans un grand nombre de phnomnes diffrens1 qui1 malgr leur extrme diversit1 seront envisags par le gomtre comme offrant une question analytique1 susceptible1 en l'tudiant isolment1 d'tre rsolue une fois pour toutes4 ,ainsi1 par exemple1 la mme loi qui rgne entre l'espace et le temps1 quand on examine la chute verticale d'un corps dans le vide1 se retrouve pour d'autres phnomnes qui n'offrent aucune analogie avec le premier ni entre eux3 car elle exprime aussi la relation entre l'aire d'un corps sphrique et la longueur de son diamtre2 elle dtermine galement le dcroissement de l'intensit de la lumire ou de la chaleur raison de la distance des objets clairs ou chauffs1 etc4 ,la partie abstraite1 commune ces diverses questions mathmatiques1 ayant t traite l'occasion d'une seule d'entre elles1 se trouvera l'tre1 par cela mme1 pour toutes les autres2 tandis que la partie concrte devra ncessairement tre reprise pour chacune sparment1 sans que la solution de quelques-unes puisse fournir1 sous ce rapport1 aucun secours direct pour celle des suivantes4 ,il est impossible d'tablir de vritables mthodes gnrales qui1 par une marche dtermine et invariable1 assurent1 dans tous les cas1 la dcouverte des relations existantes entre les quantits1 relativement des phnomnes quelconques3 ce sujet ne comporte ncessairement que des mthodes spciales pour telle ou telle classe de phnomnes gomtriques1 ou mcaniques1 ou thermologiques1 etc4 ,on peut1 au contraire1 de quelque source que proviennent les quantits considres1 tablir des mthodes uniformes pour les dduire les unes des autres1 en supposant connues leurs relations exactes4 ,la partie abstraite des mathmatiques est donc1 de sa nature1 gnrale2 la partie concrte1 spciale4 ,en prsentant cette comparaison sous un nouveau point de vue1 on peut dire que la mathmatique concrte a un caractre philosophique essentiellement exprimental1 physique1 phnomnal2 tandis que celui de la mathmatique abstraite est purement logique1 rationnel4 ,ce n'est pas ici le lieu de discuter exactement les procds qu'emploie l'esprit humain pour dcouvrir les lois mathmatiques des phnomnes4 ,mais1 soit que l'observation prcise suggre elle-mme la loi1 soit1 comme il arrive plus souvent1 qu'elle ne fasse que confirmer la loi construite par le raisonnement d'aprs les faits les plus communs2 toujours est-il certain que cette loi n'est envisage comme relle qu'autant qu'elle se montre d'accord avec les rsultats de l'exprience directe4 ,ainsi1 la partie concrte de toute question mathmatique est ncessairement fonde sur la considration du monde extrieur1 et ne saurait jamais1 quelle qu'y puisse tre la part du raisonnement1 se rsoudre par une simple suite de combinaisons intellectuelles4 ,la partie abstraite1 au contraire1 quand elle a t d'abord bien exactement spare1 ne peut consister que dans une srie de dductions rationnelles plus ou moins prolonge4 ,car1 si l'on a une fois trouv les quations d'un phnomne1 la dtermination des unes par les autres des quantits qu'on y considre1 quelques difficults d'ailleurs qu'elle puisse souvent offrir1 est uniquement du ressort du raisonnement4 ,c'est l'intelligence qu'il appartient de dduire1 de ces quations1 des rsultats qui y sont videmment compris1 quoique d'une manire peut-tre fort implicite1 sans qu'il y ait lieu consulter de nouveau le monde extrieur1 dont la considration1 devenue ds lors trangre1 doit mme tre soigneusement carte pour rduire le travail sa vritable difficult propre4 ,on voit1 par cette comparaison gnrale1 dont je dois me borner ici indiquer les traits principaux1 combien est naturelle et profonde la division fondamentale tablie ci-dessus dans la science mathmatique4 ,pour terminer l'exposition gnrale de cette division1 il ne nous reste plus qu' circonscrire1 aussi exactement que nous puissions le faire dans ce premier aperu1 chacune des deux grandes sections de la science mathmatique4 ,la mathmatique concrte ayant pour objet de dcouvrir les quations des phnomnes1 semblerait1 priori1 devoir se composer d'autant de sciences distinctes qu'il y a de catgories rellement diffrentes pour nous parmi les phnomnes naturels4 ,mais il s'en faut de beaucoup qu'on soit encore parvenu dcouvrir des lois mathmatiques dans tous les ordres de phnomnes2 nous verrons mme tout--l'heure que1 sous ce rapport1 la majeure partie se drobera trs-vraisemblablement toujours nos efforts4 ,en ralit1 dans l'tat prsent de l'esprit humain1 il n'y a directement que deux grandes catgories gnrales de phnomnes dont on connaisse constamment les quations2 ce sont d'abord les phnomnes gomtriques1 et ensuite les phnomnes mcaniques4 ,ainsi1 la partie concrte des mathmatiques se compose donc de la gomtrie et de la mcanique rationnelle4 ,cela suffit1 il est vrai1 pour lui donner un caractre complet d'universalit logique1 quand on considre l'ensemble des phnomnes du point de vue le plus lev de la philosophie naturelle4 ,en effet1 si toutes les parties de l'univers taient conues comme immobiles1 il n'y aurait videmment observer que des phnomnes gomtriques1 puisque tout se rduirait des relations de forme1 de grandeur1 et de situation2 ayant ensuite gard aux mouvemens qui s'y excutent1 il y a lieu considrer de plus des phnomnes mcaniques4 ,en appliquant ici1 aprs l'avoir suffisamment gnralise1 une conception philosophique1 due ,m4 de ,blainville1 et dj cite pour un autre usage dans la #are leon 7page #cb71 on peut donc tablir que1 vu sous le rapport statique1 l'univers ne prsente que des phnomnes gomtriques2 et1 sous le rapport dynamique1 que des phnomnes mcaniques4 ,ainsi la gomtrie et la mcanique constituent1 par elles-mmes1 les deux sciences naturelles fondamentales1 en ce sens1 que tous les effets naturels peuvent tre conus comme de simples rsultats ncessaires1 ou des lois de l'tendue1 ou des lois du mouvement4 ,mais1 quoique cette conception soit toujours logiquement possible1 la difficult est de la spcialiser avec la prcision ncessaire1 et de la suivre exactement dans chacun des cas gnraux que nous offre l'tude de la nature1 c'est--dire1 de rduire effectivement chaque question principale de philosophie naturelle1 pour tel ordre de phnomnes dtermin1 la question de gomtrie ou de mcanique1 laquelle on pourrait rationnellement la supposer ramene4 ,cette transformation1 qui exige pralablement de grands progrs dans l'tude de chaque classe de phnomnes1 n'a t rellement excute jusqu'ici que pour les phnomnes astronomiques1 et pour une partie de ceux que considre la physique terrestre proprement dite4 ,c'est ainsi que l'astronomie1 l'acoustique1 l'optique1 etc41 sont devenues finalement des applications de la science mathmatique de certains ordres d'observations#c4 ,mais1 ces applications n'tant point1 par leur nature1 rigoureusement circonscrites1 ce serait assigner la science un domaine indfini et entirement vague1 que de les confondre avec elle1 comme on le fait dans la division ordinaire1 si vicieuse tant d'autres gards1 des mathmatiques en pures et appliques4 ,nous persisterons donc regarder la mathmatique concrte comme uniquement compose de la gomtrie et de la mcanique4 ,note #c3 ,je dois faire ici1 par anticipation1 une mention sommaire de la thermologie1 laquelle je consacrerai plus tard une leon spciale4 ,la thorie mathmatique des phnomnes de la chaleur a pris1 par les mmorables travaux de son illustre fondateur1 un tel caractre1 qu'on peut aujourd'hui la concevoir1 aprs la gomtrie et la mcanique1 comme une vritable troisime section distincte de la mathmatique concrte1 puisque ,m4 ,fourier a tabli1 d'une manire entirement directe1 les quations thermologiques1 au lieu de se reprsenter hypothtiquement les questions comme des applications de la mcanique1 ainsi qu'on a tent de le faire pour les phnomnes lectriques1 par exemple4 ,cette grande dcouverte1 qui1 comme toutes celles qui se rapportent la mthode1 n'est pas encore convenablement apprcie1 mrite singulirement notre attention2 car1 outre son importance immdiate pour l'tude vraiment rationnelle et positive d'un ordre de phnomnes aussi universel et aussi fondamental1 elle tend a relever nos esprances philosophiques1 quant l'extension future des applications lgitimes de l'analyse mathmatique1 ainsi que je l'expliquerai dans le second volume de ce cours1 en examinant le caractre gnral de cette nouvelle srie de travaux4 ,je n'aurais pas hsit ds prsent traiter la thermologie1 ainsi conue1 comme une troisime branche principale de la mathmatique concrte1 si je n'avais craint de diminuer l'utilit de cet ouvrage en m'cartant trop des habitudes ordinaires4 ,quant la mathmatique abstraite1 dont j'examinerai la division gnrale dans la leon suivante1 sa nature est nettement et exactement dtermine4 ,elle se compose de ce qu'on appelle le calcul1 en prenant ce mot dans sa plus grande extension1 qui embrasse depuis les oprations numriques les plus simples jusqu'aux plus sublimes combinaisons de l'analyse transcendante4 ,le calcul a pour objet propre de rsoudre toutes les questions de nombres4 ,son point de dpart est1 constamment et ncessairement1 la connaissance de relations prcises1 c'est--dire d'quations1 entre les diverses grandeurs que l'on considre simultanment1 ce qui est1 au contraire1 le terme de la mathmatique concrte4 ,quelque compliques ou quelque indirectes que puissent tre d'ailleurs ces relations1 le but final de la science du calcul est d'en dduire toujours les valeurs des quantits inconnues par celles des quantits connues4 ,cette science1 bien que plus perfectionne qu'aucune autre1 est1 sans doute1 rellement peu avance encore1 en sorte que ce but est rarement atteint d'une manire compltement satisfaisante4 ,mais tel n'en est pas moins son vrai caractre4 ,pour concevoir nettement la vritable nature d'une science1 il faut toujours la supposer parfaite4 ,afin de rsumer le plus philosophiquement possible les considrations ci-dessus exposes sur la division fondamentale des mathmatiques1 il importe de remarquer qu'elle n'est qu'une application du principe gnral de classification qui nous a permis d'tablir1 dans la leon prcdente1 la hirarchie rationnelle des diffrentes sciences positives4 ,si l'on compare1 en effet1 d'une part le calcul1 et d'une autre part la gomtrie et la mcanique1 on vrifie1 relativement aux ides considres dans chacune de ces deux sections principales de la mathmatique1 tous les caractres essentiels de notre mthode encyclopdique4 ,les ides analytiques sont videmment la fois plus abstraites1 plus gnrales et plus simples que les ides gomtriques ou mcaniques4 ,bien que les conceptions principales de l'analyse mathmatique1 envisages historiquement1 se soient formes sous l'influence des considrations de gomtrie ou de mcanique1 au perfectionnement desquelles les progrs du calcul sont troitement lis1 l'analyse n'en est pas moins1 sous le point de vue logique1 essentiellement indpendante de la gomtrie et de la mcanique1 tandis que celles-ci sont1 au contraire1 ncessairement fondes sur la premire4 ,l'analyse mathmatique est donc1 d'aprs les principes que nous avons constamment suivis jusqu'ici1 la vritable base rationnelle du systme entier de nos connaissances positives4 ,elle constitue la premire et la plus parfaite de toutes les sciences fondamentales4 ,les ides dont elle s'occupe1 sont les plus universelles1 les plus abstraites et les plus simples que nous puissions rellement concevoir4 ,on ne saurait tenter d'aller plus loin1 sous ces trois rapports quivalens1 sans tomber invitablement dans les rveries mtaphysiques4 ,car1 quel substractum effectif pourrait-il rester dans l'esprit pour servir de sujet positif au raisonnement1 si on voulait supprimer encore quelque circonstance dans les notions des quantits indtermines1 constantes ou variables1 telles que les gomtres les emploient aujourd'hui1 afin de s'lever un prtendu degr suprieur d'abstraction1 comme le croient les ontologistes8 ,cette nature propre de l'analyse mathmatique permet de s'expliquer aisment pourquoi1 lorsqu'elle est convenablement employe1 elle nous offre un si puissant moyen1 non-seulement pour donner plus de prcision nos connaissances relles1 ce qui est vident de soi-mme1 mais surtout pour tablir une coordination infiniment plus parfaite dans l'tude des phnomnes qui comportent cette application4 ,car1 les conceptions ayant t gnralises et simplifies le plus possible1 tel point qu'une seule question analytique1 rsolue abstraitement1 renferme la solution implicite d'une foule de questions physiques diverses1 il doit ncessairement en rsulter pour l'esprit humain une plus grande facilit apercevoir des relations entre des phnomnes qui semblaient d'abord entirement isols les uns des autres1 et desquels on est ainsi parvenu tirer1 pour le considrer part1 tout ce qu'ils ont de commun4 ,c'est ainsi qu'en examinant la marche de notre intelligence dans la solution des questions importantes de gomtrie et de mcanique1 nous voyons surgir naturellement1 par l'intermdiaire de l'analyse1 les rapprochemens les plus frquens et les plus inattendus entre des problmes qui n'offraient primitivement aucune liaison apparente1 et que nous finissons souvent par envisager comme identiques4 ,pourrions-nous1 par exemple1 sans le secours de l'analyse1 apercevoir la moindre analogie entre la dtermination de la direction d'une courbe chacun de ses points1 et celle de la vitesse acquise par un corps chaque instant de son mouvement vari1 questions qui1 quelque diverses qu'elles soient1 n'en font qu'une1 aux yeux du gomtre8 ,la haute perfection relative de l'analyse mathmatique1 compare toutes les autres branches de nos connaissances positives1 se conoit avec la mme facilit1 quand on a bien saisi son vrai caractre gnral4 ,cette perfection ne tient pas1 comme l'ont cru les mtaphysiciens1 et surtout ,condillac1 d'aprs un examen superficiel1 la nature des signes minemment concis et gnraux qu'on emploie comme instrumens de raisonnement4 ,dans cette importante occasion spciale1 comme dans toutes les autres1 l'influence des signes a t considrablement exagre1 bien qu'elle soit sans doute1 trs relle1 ainsi que l'avaient reconnu1 avant ,condillac1 et d'une manire bien plus exacte1 la plupart des gomtres4 ,en ralit1 toutes les grandes conceptions analytiques ont t formes sans que les signes algbriques fussent d'aucun secours essentiel1 autrement que pour les exploiter aprs que l'esprit les avait obtenues4 ,la perfection suprieure de la science du calcul tient principalement l'extrme simplicit des ides qu'elle considre1 par quelques signes qu'elles soient exprimes3 en sorte qu'il n'y a pas le moindre espoir1 l'aide d'aucun artifice quelconque du langage scientifique1 mme en le supposant possible1 de perfectionner1 au mme degr1 des thories qui1 portant sur des notions plus complexes1 sont ncessairement condamnes1 par leur nature1 une infriorit logique plus ou moins grande suivant la classe correspondante de phnomnes4 ,l'examen que nous avons tent de faire1 dans cette leon1 du caractre philosophique de la science mathmatique1 resterait incomplet1 si1 aprs l'avoir envisage dans son objet et dans sa composition1 nous n'indiquions pas quelques considrations gnrales directement relatives l'tendue relle de son domaine4 cet effet1 il est indispensable de reconnatre avant tout1 pour se faire une juste ide de la vritable nature des mathmatiques1 que1 sous le point de vue purement logique1 cette science est1 par elle-mme1 ncessairement et rigoureusement universelle4 ,car il n'y a pas de question quelconque qui ne puisse finalement tre conue comme consistant dterminer des quantits les unes par les autres d'aprs certaines relations1 et1 par consquent1 comme rductible1 en dernire analyse1 une simple question de nombres4 ,on le comprendra si l'on remarque effectivement que1 dans toutes nos recherches1 quelque ordre de phnomnes qu'elles se rapportent1 nous avons dfinitivement en vue d'arriver des nombres1 des doses4 ,quoique nous n'y parvenions le plus souvent que d'une manire fort grossire et d'aprs des mthodes trs incertaines1 il n'en est pas moins vident que tel est le terme rel de tous nos problmes quelconques4 ,ainsi1 pour prendre un exemple dans la classe de phnomne la moins accessible l'esprit mathmatique1 les phnomnes des corps vivans1 considrs mme1 pour plus de complication1 dans le cas pathologique1 n'est-il pas manifeste que toutes les questions de thrapeutique peuvent tre envisages comme consistant dterminer les quantits de tous les divers modificateurs de l'organisme qui doivent agir sur lui pour le ramener l'tat normal1 en admettant1 suivant l'usage des gomtres1 les valeurs nulles1 ngatives1 ou mme contradictoires1 pour quelques-unes de ces quantits dans certains cas8 ,sans doute1 une telle manire de se reprsenter la question ne peut tre en effet rellement suivie1 comme nous allons le voir1 pour les phnomnes les plus complexes1 parce qu'elle nous prsente dans l'application des difficults insurmontables2 mais quand il s'agit de concevoir abstraitement toute la porte intellectuelle d'une science1 il importe de lui supposer l'extension totale dont elle est logiquement susceptible4 ,on objecterait vainement contre une telle conception la division gnrale des ides humaines selon les deux catgories de ,kant1 de la quantit1 et de la qualit1 dont la premire seule constituerait le domaine exclusif de la science mathmatique4 ,le dveloppement mme de cette science a montr positivement depuis long-temps le peu de ralit de cette superficielle distinction mtaphysique4 ,car la conception fondamentale de ,descartes sur la relation du concret l'abstrait en mathmatiques1 a prouv que toutes les ides de qualit taient rductibles des ides de quantit4 ,cette conception1 tablie d'abord1 par son immortel auteur1 pour les phnomnes gomtriques seulement1 a t ensuite effectivement tendue par ses successeurs aux phnomnes mcaniques2 et elle vient de l'tre de nos jours aux phnomnes thermologiques4 ,en rsultat de cette gnralisation graduelle1 il n'y a pas maintenant de gomtres qui ne la considrent1 dans un sens purement thorique1 comme pouvant s'appliquer toutes nos ides relles quelconques1 en sorte que tout phnomne soit logiquement susceptible d'tre reprsent par une quation1 aussi bien qu'une courbe ou un mouvement1 sauf la difficult de la trouver1 et celle de la rsoudre1 qui peuvent tre et sont souvent suprieures aux plus grandes forces de l'esprit humain4 ,mais si1 pour se former une ide convenable de la science mathmatique1 il importe de la concevoir comme tant ncessairement doue par sa nature d'une rigoureuse universalit logique1 il n'est pas moins indispensable de considrer maintenant les grandes limitations relles qui1 vu la faiblesse de notre intelligence1 rtrcissent singulirement son domaine effectif1 mesure que les phnomnes se compliquent en se spcialisant4 ,toute question peut sans doute1 ainsi que nous venons de le voir1 tre conue comme rductible une pure question de nombres4 ,mais la difficult de la traiter rellement sous ce point de vue1 c'est--dire d'effectuer une telle transformation1 est d'autant plus grande1 dans les diverses parties essentielles de la philosophie naturelle1 que l'on considre des phnomnes plus compliqus1 en sorte que sauf pour les phnomnes les plus simples et les plus gnraux1 elle devient bientt insurmontable4 ,on le sentira aisment1 si l'on considre que1 pour faire rentrer une question dans le domaine de l'analyse mathmatique1 il faut d'abord tre parvenu dcouvrir des relations prcises entre les quantits coexistantes dans le phnomne tudi1 l'tablissement de ces quations des phnomnes tant le point de dpart ncessaire de tous les travaux analytiques4 ,or1 cela doit tre videmment d'autant plus difficile1 qu'il s'agit de phnomnes plus particuliers1 et par suite plus compliqus4 ,en examinant sous ce point de vue les diverses catgories fondamentales des phnomnes naturels tablis dans la leon prcdente1 on trouvera que1 tout bien considr1 c'est seulement au plus pour les trois premires1 comprenant toute la physique inorganique1 qu'on peut lgitimement esprer d'atteindre un jour ce haut degr de perfection scientifique1 autant du moins qu'une telle limite peut tre pose avec prcision4 ,comme je dois plus tard traiter spcialement cette discussion par rapport chaque science fondamentale1 il suffira de l'indiquer ici de la manire la plus gnrale4 ,la premire condition pour que des phnomnes comportent des lois mathmatiques susceptibles d'tre dcouvertes1 c'est videmment que les diverses quantits qu'ils prsentent puissent donner lieu des nombres fixes4 ,or1 en comparant1 cet gard1 les deux grandes sections principales de la philosophie naturelle1 on voit que la physique organique tout entire1 et probablement aussi les parties les plus compliques de la physique inorganique1 sont ncessairement inaccessibles1 par leur nature1 notre analyse mathmatique1 en vertu de l'extrme variabilit numrique des phnomnes correspondans4 ,toute ide prcise de nombres fixes est vritablement dplace dans les phnomnes des corps vivans1 quand on veut l'employer autrement que comme moyen de soulager l'attention1 et qu'on attache quelque importance aux relations exactes des valeurs assignes4 ,sous ce rapport1 les rflexions de ,bichat1 sur l'abus de l'esprit mathmatique en physiologie1 sont parfaitement justes2 on sait quelles aberrations a conduit cette manire vicieuse de considrer les corps vivans4 ,les diffrentes proprits des corps bruts1 surtout les plus gnrales1 se prsentent dans chacun d'eux avec des degrs presque invariables1 ou du moins elles n'prouvent que des variations simples1 spares par de longs intervalles d'uniformit1 et qu'il est possible1 en consquence1 d'assujtir des lois prcises et rgulires4 ,ainsi1 les qualits physiques d'un corps inorganique1 principalement quand il est solide1 sa forme1 sa consistance1 sa pesanteur spcifique1 son lasticit1 etc41 prsentent1 pour un temps considrable1 une fixit numrique remarquable1 qui permet de les considrer rellement et utilement sous un point de vue mathmatique4 ,on sait qu'il n'en est dj plus ainsi beaucoup prs pour les phnomnes chimiques que prsentent les mmes corps1 et qui1 plus compliqus1 dpendant d'un bien plus grand nombre de circonstances1 prsentent des variations plus tendues1 plus frquentes1 et par suite plus irrgulires4 ,aussi1 d'aprs quelques considrations dj indiques dans la premire leon 7page #de7 et qui seront spcialement dveloppes dans le troisime volume de ce cours1 on ne peut pas seulement assurer aujourd'hui1 d'une manire gnrale1 qu'il y ait lieu concevoir des nombres fixes en chimie1 mme sous le rapport le plus simple1 quant aux proportions relatives des corps dans leurs combinaisons1 ce qui montre clairement combien un tel ordre de phnomnes est encore loin de comporter de vritables lois mathmatiques4 ,admettons-en nanmoins1 pour ce cas1 la possibilit et mme la probabilit futures1 afin de ne pas rendre trop minutieuse la discussion de la limite gnrale qu'il s'agit d'tablir ici par rapport l'extension1 effectivement possible1 du domaine rel de l'analyse mathmatique4 ,il n'y aura plus le moindre doute aussitt que nous passerons aux phnomnes que prsentent les corps1 considrs dans cet tat d'agitation intestine continuelle de leurs molcules1 qui constitue essentiellement ce que nous nommons la vie1 envisage de la manire la plus gnrale1 dans l'ensemble des tres qui nous la manifestent4 ,en effet1 un caractre minemment propre aux phnomnes physiologiques1 et que leur tude plus exacte rend maintenant plus sensible de jour en jour1 c'est l'extrme instabilit numrique qu'ils prsentent1 sous quelque aspect qu'on les examine1 et que nous verrons plus tard1 quand l'ordre naturel des matires nous y conduira1 tre une consquence ncessaire de la dfinition mme des corps vivans4 ,quant prsent1 il suffit de noter cette observation incontestable1 vrifie par tous les faits1 que chaque proprit quelconque d'un corps organis1 soit gomtrique1 soit mcanique1 soit chimique1 soit vitale1 est assujtie1 dans sa quantit1 d'immenses variations numriques tout--fait irrgulires1 qui se succdent aux intervalles les plus rapprochs sous l'influence d'une foule de circonstances1 tant extrieures qu'intrieures1 variables elles-mmes2 en sorte que toute ide de nombres fixes1 et1 par suite1 de lois mathmatiques que nous puissions esprer d'obtenir1 implique rellement contradiction avec la nature spciale de cette classe de phnomnes4 ,ainsi1 quand on veut valuer avec prcision1 mme uniquement les qualits les plus simples d'un tre vivant1 par exemple sa densit moyenne1 ou celle de l'une de ses principales parties constituantes1 sa temprature1 la vitesse de sa circulation intrieure1 la proportion des lmens immdiats qui composent ses solides ou ses fluides1 la quantit d'oxigne qu'il consomme en un temps donn1 la masse de ses absorptions ou de ses exhalations continuelles1 etc41 et1 plus forte raison1 l'nergie de ses forces musculaires1 l'intensit de ses impressions1 etc41 il ne faut pas seulement1 ce qui est vident1 faire1 pour chacun de ces rsultats1 autant d'observations qu'il y a d'espces ou de races et de varits dans chaque espce2 on doit encore mesurer le changement trs-considrable qu'prouve cette quantit en passant d'un individu un autre1 et1 quant au mme individu1 suivant son ge1 son tat de sant ou de maladie1 sa disposition intrieure1 les circonstances de tout genre incessamment mobiles sous l'influence desquelles il se trouve plac1 telles que la constitution atmosphrique1 etc4 ,que peuvent donc signifier ces prtendues valuations numriques si soigneusement enregistres pour les divers phnomnes physiologiques ou mme pathologiques1 et dduites1 dans le cas le plus favorable1 d'une seule mesure relle1 lorsqu'il en faudrait une multitude8 ,elles ne peuvent qu'induire en erreur sur la vraie marche des phnomnes1 et ne doivent tre appliques rationnellement que comme un moyen1 pour ainsi dire mnmonique1 de fixer les ides4 ,dans tous les cas1 il y a videmment impossibilit totale d'obtenir jamais de vritables lois mathmatiques4 ,il en est encore plus fortement de mme pour les phnomnes sociaux1 qui offrent une complication encore suprieure1 et1 par suite1 une variabilit plus grande1 comme nous l'tablirons spcialement dans le quatrime volume de ce cours4 ,ce n'est pas nanmoins qu'on doive cesser1 d'aprs cela1 de concevoir1 en thse philosophique gnrale1 les phnomnes de tous les ordres comme ncessairement soumis par eux-mmes des lois mathmatiques1 que nous sommes seulement condamns ignorer toujours dans la plupart des cas1 cause de la trop grande complication des phnomnes4 ,il n'y a en effet aucune raison de penser que1 sous ce rapport1 les phnomnes les plus complexes des corps vivans soient essentiellement d'une autre nature spciale que les phnomnes les plus simples des corps bruts4 ,car1 s'il tait possible d'isoler rigoureusement chacune des causes simples qui concourent produire un mme phnomne physiologique1 tout porte croire qu'elle se montrerait doue1 dans des circonstances dtermines1 d'un genre d'influence et d'une quantit d'action aussi exactement fixes que nous le voyons dans la gravitation universelle1 vritable type des lois fondamentales de la nature4 ,ce qui engendre la variabilit irrgulire des effets1 c'est le grand nombre d'agens divers dterminant la fois un mme phnomne1 et d'o il rsulte que1 dans les phnomnes trs-compliqus1 il n'y a peut-tre pas deux cas rigoureusement semblables4 ,nous n'avons pas besoin1 pour trouver une telle difficult1 d'aller jusqu'aux phnomnes des corps vivans4 ,elle se prsente dj dans ceux des corps bruts1 quand nous considrons les cas les plus complexes2 par exemple1 en tudiant les phnomnes mtorologiques4 ,on ne peut douter que chacun des nombreux agens qui concourent la production de ces phnomnes ne soit soumis sparment des lois mathmatiques1 quoique nous ignorions encore la plupart d'entr'elles2 mais leur multiplicit rend les effets observs aussi irrgulirement variables que si chaque cause n'tait assujtie aucune condition prcise4 ,la considration prcdente conduit apercevoir un second motif distinct en vertu duquel il nous est ncessairement interdit1 vu la faiblesse de notre intelligence1 de faire rentrer l'tude des phnomnes les plus compliqus dans le domaine des applications de l'analyse mathmatique4 ,en effet1 indpendamment de ce que1 dans les phnomnes les plus spciaux1 les rsultats effectifs sont tellement variables que nous ne pouvons pas mme y saisir des valeurs fixes1 il suit de la complication des cas1 que1 quand mme nous pourrions connatre un jour la loi mathmatique laquelle est soumis chaque agent pris part1 la combinaison d'un aussi grand nombre de conditions rendrait le problme mathmatique correspondant tellement suprieur nos faibles moyens1 que la question resterait le plus souvent insoluble4 ,ce n'est donc pas ainsi qu'on peut faire une tude relle et fconde de la majeure partie des phnomnes naturels4 ,pour apprcier aussi exactement que possible cette difficult1 considrons quel point se compliquent les questions mathmatiques1 mme relativement aux phnomnes les plus simples des corps bruts1 quand on veut rapprocher suffisamment l'tat abstrait de l'tat concret1 en ayant gard toutes les conditions principales qui peuvent exercer sur l'effet produit1 une influence vritable4 ,on sait1 par exemple1 que le phnomne trs-simple de l'coulement d'un fluide1 en vertu de sa seule pesanteur1 par un orifice donn1 n'a pas jusqu' prsent de solution mathmatique complte1 quand on veut tenir compte de toutes les circonstances essentielles4 ,il en est encore ainsi1 mme pour le mouvement encore plus simple d'un projectile solide dans un milieu rsistant4 ,pourquoi l'analyse mathmatique a-t-elle pu s'adapter1 avec un succs si admirable1 l'tude approfondie des phnomnes clestes8 ,parce qu'ils sont1 malgr les apparences vulgaires1 beaucoup plus simples que tous les autres4 ,le problme le plus compliqu qu'ils prsentent1 celui de la modification que produit1 dans le mouvement de deux corps tendant l'un vers l'autre en vertu de leur gravitation1 l'influence d'un troisime corps agissant sur tous deux de la mme manire1 est bien moins compos que le problme terrestre le plus simple4 ,et1 nanmoins1 il offre dj une telle difficult1 que nous n'en possdons encore que des solutions approximatives4 ,il est mme ais de voir1 en examinant ce sujet plus profondment1 que la haute perfection laquelle a pu s'lever l'astronomie solaire par l'emploi de la science mathmatique est encore essentiellement due ce que nous avons profit avec adresse de toutes les facilits particulires1 et1 pour ainsi dire1 accidentelles1 qu'offrait pour la solution des problmes la constitution spciale1 trs-favorable sous ce rapport1 de notre systme plantaire4 ,en effet1 les plantes dont il se compose sont assez peu nombreuses1 mais surtout elles sont1 en gnral1 de masses fort ingales et bien moindres que celle du soleil1 et de plus fort loignes les unes des autres2 elles ont des formes presque sphriques2 leurs orbites sont presque circulaires1 et prsentent de faibles inclinaisons mutuelles1 etc4 ,il rsulte de cet ensemble de circonstances que les perturbations sont le plus souvent peu considrables1 et que pour les calculer il suffit ordinairement de tenir compte1 concurremment avec l'action du soleil sur chaque plante en particulier1 de l'influence d'une seule autre plante1 susceptible1 par sa grosseur et sa proximit1 de dterminer des drangemens sensibles4 ,mais si1 au lieu d'un tel tat de choses1 notre systme solaire et t compos d'un plus grand nombre de plantes concentres dans un moindre espace1 et peu prs gales en masse2 si leurs orbites avaient offert des inclinaisons fort diffrentes1 et des excentricits considrables2 si ces corps eussent t d'une forme plus complique1 par exemple1 des ellipsodes trs-excentriques1 etc42 il est certain qu'en supposant la mme loi relle de gravitation1 nous ne serions pas encore parvenus soumettre l'tude des phnomnes clestes notre analyse mathmatique1 et probablement nous n'eussions pas mme pu dmler jusqu' prsent la loi principale4 ,ces conditions hypothtiques se trouveraient prcisment ralises au plus haut degr dans les phnomnes chimiques1 si on voulait les calculer d'aprs la thorie de la gravitation gnrale4 ,en pesant convenablement les diverses considrations qui prcdent1 on sera convaincu1 je crois1 qu'en rduisant aux diverses parties de la physique inorganique l'extension future des grandes applications rellement possibles de l'analyse mathmatique1 j'ai bien plutt exagr que rtrci l'tendue de son domaine effectif4 ,autant il importait de rendre sensible la rigoureuse universalit logique de la science mathmatique1 autant je devais signaler les conditions qui limitent pour nous son extension relle1 afin de ne pas contribuer carter l'esprit humain de la vritable direction scientifique dans l'tude des phnomnes les plus compliqus1 par la recherche chimrique d'une perfection impossible4 ,ainsi1 tout en s'efforant d'agrandir autant qu'on le pourra le domaine rel des mathmatiques1 on doit reconnatre que les sciences les plus difficiles sont destines1 par leur nature1 rester indfiniment dans cet tat prliminaire qui prpare pour les autres l'poque o elles deviennent accessibles aux thories mathmatiques4 ,nous devons1 pour les phnomnes les plus compliqus1 nous contenter d'analyser avec exactitude les circonstances de leur production1 de les rattacher les uns aux autres d'une manire gnrale1 de connatre le genre d'influence qu'exerce chaque agent principal1 etc42 mais sans les tudier sous le point de vue de la quantit1 et par consquent sans espoir d'introduire1 dans les sciences correspondantes1 ce haut degr de perfection que procure1 quant aux phnomnes les plus simples1 un usage convenable de la mathmatique1 soit sous le rapport de la prcision de nos connaissances1 soit1 ce qui est peut-tre encore plus remarquable1 sous le rapport de leur coordination4 ,c'est par les mathmatiques que la philosophie positive a commenc se former3 c'est d'elles que nous vient la mthode4 ,il tait donc naturellement invitable que1 lorsque la mme manire de procder a d s'tendre chacune des autres sciences fondamentales1 on s'effort d'y introduire l'esprit mathmatique un plus haut degr que ne le comportaient les phnomnes correspondans2 ce qui a donn lieu ensuite des travaux d'puration plus ou moins tendus1 comme ceux de ,berthollet sur la chimie1 pour se dgager de cette influence exagre4 ,mais chaque science1 en se dveloppant1 a fait subir la mthode positive gnrale des modifications dtermines par les phnomnes qui lui sont propres1 d'o rsulte son gnie spcial2 c'est seulement alors qu'elle a pris son vritable caractre dfinitif1 qui ne doit jamais tre confondu avec celui d'aucune autre science fondamentale4 ,ayant expos1 dans cette leon1 le but essentiel et la composition principale de la science mathmatique1 ainsi que ses relations gnrales avec l'ensemble de la philosophie naturelle1 son caractre philosophique se trouve dtermin1 autant qu'il puisse l'tre par un tel aperu4 ,nous devons passer maintenant l'examen spcial de chacune des trois grandes sciences dont elle est compose1 le calcul1 la gomtrie et la mcanique4 ,,quatri,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,vue gnrale de l',analyse mathmatique4 ,dans le dveloppement historique de la science mathmatique depuis ,descartes1 les progrs de la partie abstraite ont presque toujours t dtermins par ceux de la partie concrte4 ,mais il n'en est pas moins ncessaire1 pour concevoir la science d'une manire vraiment rationnelle1 de considrer le calcul dans toutes ses branches principales avant de procder l'tude philosophique de la gomtrie et de la mcanique4 ,les thories analytiques1 plus simples et plus gnrales que celles de la mathmatique concrte1 en sont1 par elles-mmes1 essentiellement indpendantes2 tandis que celles-ci ont1 au contraire1 de leur nature1 un besoin continuel des premires1 sans le secours desquelles elles ne pourraient faire presque aucun progrs4 ,quoique les principales conceptions de l'analyse conservent encore aujourd'hui quelques traces trs-sensibles de leur origine gomtrique ou mcanique1 elles sont maintenant nanmoins essentiellement dgages de ce caractre primitif1 qui ne se manifeste plus gure que pour quelques points secondaires2 en sorte que1 depuis les travaux de ,lagrange surtout1 il est possible1 dans une exposition dogmatique1 de les prsenter d'une manire purement abstraite1 en un systme unique et continu4 ,c'est ce que je vais entreprendre dans cette leon et dans les cinq suivantes1 en me bornant1 comme il convient la nature de ce cours1 aux considrations les plus gnrales sur chaque branche principale de la science du calcul4 ,le but dfinitif de nos recherches dans la mathmatique concrte tant la dcouverte des quations1 qui expriment les lois mathmatiques des phnomnes considrs1 et ces quations constituant le vritable point de dpart du calcul1 dont l'objet est d'en dduire la dtermination des quantits les unes par les autres1 je crois indispensable1 avant d'aller plus loin1 d'approfondir1 plus qu'on n'a coutume de le faire1 cette ide fondamentale d'quation1 sujet continuel1 soit comme terme1 soit comme origine1 de tous les travaux mathmatiques4 ,outre l'avantage de mieux circonscrire le vritable champ de l'analyse1 il en rsultera ncessairement cette importante consquence1 de tracer d'une manire plus exacte la ligne relle de dmarcation entre la partie concrte et la partie abstraite des mathmatiques1 ce qui compltera l'exposition gnrale de la division fondamentale tablie dans la leon prcdente4 ,on se forme ordinairement une ide beaucoup trop vague de ce que c'est qu'une quation1 lorsqu'on donne ce nom toute espce de relation d'galit entre deux fonctions quelconques des grandeurs que l'on considre4 ,car1 si toute quation est videmment une relation d'galit1 il s'en faut de beaucoup que1 rciproquement1 toute relation d'galit soit une vritable quation1 du genre de celles auxquelles1 par leur nature1 les mthodes analytiques sont applicables4 ,ce dfaut de prcision dans la considration logique d'une notion aussi fondamentale en mathmatiques1 entrane le grave inconvnient de rendre peu prs inexplicable1 en thse gnrale1 la difficult immense et capitale que nous prouvons tablir la relation du concret l'abstrait1 et qu'on fait communment ressortir avec tant de raison pour chaque grande question mathmatique prise part4 ,si le sens du mot quation tait vraiment aussi tendu qu'on le suppose habituellement en le dfinissant1 on ne voit point1 en effet1 de quelle grande difficult pourrait tre rellement1 en gnral1 l'tablissement des quations d'un problme quelconque4 ,car tout paratrait consister ainsi en une simple question de forme1 qui ne devrait pas mme exiger jamais de grands efforts intellectuels1 attendu que nous ne pouvons gure concevoir de relation prcise qui ne soit pas immdiatement une certaine relation d'galit1 ou qui n'y puisse tre promptement ramene par quelques transformations trs-faciles4 ,ainsi1 en admettant1 en gnral1 dans la dfinition des quations1 toute espce de fonctions1 on ne rend nullement raison de l'extrme difficult qu'on prouve le plus souvent mettre un problme en quation1 et qui est si frquemment comparable aux efforts qu'exige l'laboration analytique de l'quation une fois obtenue4 ,en un mot1 l'ide abstraite et gnrale qu'on donne de l'quation ne correspond aucunement au sens rel que les gomtres attachent cette expression dans le dveloppement effectif de la science4 ,il y a l un vice logique1 un dfaut de corlation1 qu'il importe beaucoup de rectifier4 ,pour y parvenir1 je distingue d'abord deux sortes de fonctions3 les fonctions abstraites1 analytiques1 et les fonctions concrtes4 ,les premires peuvent seules entrer dans les vritables quations1 en sorte qu'on pourra dsormais dfinir1 d'une manire exacte et suffisamment approfondie1 toute quation3 une relation d'galit entre deux fonctions abstraites des grandeurs considres4 ,afin de n'avoir plus revenir sur cette dfinition fondamentale1 je dois ajouter ici1 comme un complment indispensable sans lequel l'ide ne serait point assez gnrale1 que ces fonctions abstraites peuvent se rapporter non-seulement aux grandeurs que le problme prsente en effet de lui-mme1 mais aussi toutes les autres grandeurs auxiliaires qui s'y rattachent1 et qu'on pourra souvent introduire1 simplement par artifice mathmatique1 dans la seule vue de faciliter la dcouverte des quations des phnomnes4 ,je ne fais ici1 dans cette explication1 qu'emprunter sommairement1 par anticipation1 le rsultat d'une discussion gnrale de la plus haute importance1 qui se trouvera la fin de cette leon4 ,revenons maintenant la distinction essentielle des fonctions en abstraites et concrtes4 ,cette distinction peut tre tablie par deux voies essentiellement diffrentes1 complmentaires l'une de l'autre2 priori1 et posteriori3 c'est--dire1 en caractrisant d'une manire gnrale la nature propre de chaque espce de fonctions1 et ensuite en faisant1 ce qui est possible1 l'numration effective de toutes les fonctions abstraites aujourd'hui connues1 du moins quant aux lmens dont elles se composent4 ,a priori1 les fonctions que j'appelle abstraites sont celles qui expriment entre des grandeurs un mode de dpendance qu'on peut concevoir uniquement entre nombres1 sans qu'il soit besoin d'indiquer aucun phnomne quelconque o il se trouve ralis4 ,je nomme1 au contraire1 fonctions concrtes celles pour lesquelles le mode de dpendance exprim ne peut tre dfini ni conu qu'en assignant un cas physique dtermin1 gomtrique1 mcanique1 ou de tout autre nature1 dans lequel il ait effectivement lieu4 ,la plupart des fonctions1 leur origine1 celles mmes qui sont aujourd'hui le plus purement abstraites1 ont commenc par tre concrtes2 en sorte qu'il est ais de faire comprendre la distinction prcdente1 en se bornant citer les divers points de vue successifs sous lesquels1 mesure que la science s'est forme1 les gomtres ont considr les fonctions analytiques les plus simples4 ,j'indiquerai pour exemple les puissances1 devenues en gnral fonctions abstraites1 depuis seulement les travaux de ,vite et de ,descartes4 ,ces fonctions x#b1 x#c1 qui1 dans notre analyse actuelle1 sont si bien conues comme simplement abstraites1 n'taient1 pour les gomtres de l'antiquit1 que des fonctions entirement concrtes1 exprimant la relation de la superficie d'un carr ou du volume d'un cube la longueur de leur ct4 ,elles avaient si exclusivement leurs yeux un tel caractre1 que c'est seulement d'aprs leur dfinition gomtrique qu'ils avaient dcouvert les proprits algbriques lmentaires de ces fonctions1 relativement la dcomposition de la variable en deux parties1 proprits qui n'taient1 cette poque1 que de vrais thormes de gomtrie1 auxquels on n'a attach que beaucoup plus tard un sens numrique4 ,j'aurai encore occasion de citer tout l'heure1 pour un autre motif1 un nouvel exemple trs-propre faire bien sentir la distinction fondamentale que je viens d'exposer2 c'est celui des fonctions circulaires1 soit directes1 soit inverses1 qui sont encore aujourd'hui tantt concrtes1 tantt abstraites1 selon le point de vue sous lequel on les envisage4 ,considrant maintenant1 posteriori1 cette division des fonctions1 aprs avoir tabli le caractre gnral qui rend une fonction abstraite ou concrte1 la question de savoir si telle fonction dtermine est vritablement abstraite1 et par-l susceptible d'entrer dans de vraies quations analytiques1 va devenir une simple question de fait1 puisque nous allons numrer toutes les fonctions de cette espce4 ,au premier abord1 cette numration semble impossible1 les fonctions analytiques distinctes tant videmment en nombre infini4 ,mais1 en les partageant en simples et composes1 la difficult disparat4 ,car1 si le nombre des diverses fonctions considres dans l'analyse mathmatique est rellement infini1 elles sont1 au contraire1 mme aujourd'hui1 composes d'un fort petit nombre de fonctions lmentaires1 qu'on peut aisment assigner1 et qui suffisent videmment pour dcider du caractre abstrait ou concret de telle fonction dtermine1 qui sera de l'une ou de l'autre nature1 selon qu'elle se composera exclusivement de ces fonctions abstraites simples1 ou qu'elle en comprendra d'autres4 ,voici le tableau de ces lmens fondamentaux de toutes nos combinaisons analytiques1 dans l'tat prsent de la science4 ,on ne doit1 videmment1 considrer1 cet effet1 que les fonctions d'une seule variable2 celles relatives plusieurs variables indpendantes tant constamment1 par leur nature1 plus ou moins composes4 ,soit x la variable indpendante1 y la variable corelative qui en dpend4 ,les diffrens modes simples de dpendance abstraite que nous pouvons maintenant concevoir entre y et x1 sont exprims par les dix formules lmentaires suivantes1 dans lesquelles chaque fonction est accouple avec son inverse1 c'est--dire1 avec celle qui aurait lieu1 d'aprs la fonction directe1 si on y rapportait x y1 au lieu de rapporter y x3 #a;er couple _/left_/beginarrayll#a_/rm o_/2yax_/ldots_/ _/mboxfonctionsomme1_/_/ #b_/rm o_/2ya-x_/ldots_/ _/mboxfonction _/emdiff_/'erence1_/endarray_/right4 #bme couple _/left_/beginarrayll#a_/rm o_/2yax_/ldots_/ _/mboxfonctionproduit1_/_/ #b_/rm o_/2y_/fracax_/ldots_/ _/mboxfonctionquotient1_/endarray_/right 4 #cme couple _/left_/beginarrayll#a_/rm o_/2yxa_/ldots_/ _/mboxfonctionpuissance1_/_/ #b_/rm o_/2y_/sqrtax_/ldots_/ _/mboxfonctionracine1_/endarray_/right4 #dme couple _/left_/beginarrayll#a_/rm o_/2yax_/ldots_/ _/mboxfonctionexponentielle1_/_/ #b_/rm o_/2lax_/ldots_/ _/mboxfonctionlogarithmique1_/endarray_/ right4 #eme couple#d _/left_/beginarrayll#a_/rm o_/2y_/mboxsinx_/ldots_/ _/mbox_/rm fonctioncirculaire_/2directe1_/_/ #b_/rm o_/2y_/mboxarc7sinx7_/ldots_/ _/mboxfonctioncirculaire_/2inverse4_/end array_/right4 ,note #d3 ,dans la vue d'augmenter autant que possible les ressources et l'tendue si insuffisantes de l'analyse mathmatique1 les gomtres comptent ce dernier couple de fonctions parmi les lmens analytiques4 ,quoique cette inscription soit strictement lgitime1 il importe de remarquer que les fonctions circulaires ne sont pas exactement dans le mme cas que les autres fonctions abstraites lmentaires4 ,il y a entr'elles cette diffrence fort essentielle1 que les fonctions des quatre premiers couples sont vraiment la fois simples et abstraites1 tandis que les fonctions circulaires1 qui peuvent manifester successivement l'un et l'autre caractre suivant le point de vue sous lequel on les envisage et la manire dont elles sont employes1 ne prsentent jamais simultanment ces deux proprits4 ,la fonction sin x est introduite dans l'analyse comme une nouvelle fonction simple1 quand on la conoit seulement comme indiquant la relation gomtrique dont elle drive2 mais alors elle n'est videmment qu'une fonction concrte4 ,dans d'autres circonstances1 elle remplit analytiquement les conditions d'une vritable fonction abstraite1 lorsqu'on ne considre sin x que comme l'expression abrge de la formule _/fracex_/sqrt-#a-;e-x_/sqrt-#ab_/sqrt-# a ou de la srie quivalente2 mais sous ce dernier point de vue1 ce n'est plus rellement une nouvelle fonction analytique1 puisqu'elle ne se prsente que comme un compos des prcdentes4 ,nanmoins1 les fonctions circulaires ont quelques qualits spciales qui permettent de les maintenir au tableau des lmens rationnels de l'analyse mathmatique4 #a ,elles sont susceptibles d'valuation1 quoique conservant leur caractre concret2 ce qui autorise les introduire dans les quations1 tant qu'elles ne portent que sur des donnes1 sans qu'il soit ncessaire d'avoir gard leur expression algbrique4 #b ,on sait effectuer sur les diffrentes fonctions circulaires1 compares entr'elles seulement1 une certaine suite de transformations1 qui n'exigent pas davantage la connaissance de leur dfinition analytique4 ,il en rsulte videmment la facult d'introduire ces fonctions dans les quations1 mme par rapport aux inconnues1 pourvu qu'il n'y entre pas concurremment des fonctions non-trigonomtriques des mmes variables4 ,c'est donc uniquement dans les cas o les fonctions circulaires1 relativement aux inconnues1 sont combines dans les quations avec des fonctions abstraites d'une autre espce1 qu'il est indispensable d'avoir gard leur interprtation algbrique pour pouvoir rsoudre les quations1 et ds lors elles cessent1 en effet1 d'tre traites comme de nouvelles fonctions simples4 ,mais alors mme1 pourvu qu'on tienne compte de cette interprtation1 leur admission n'empche point les relations d'avoir le caractre de vritables quations analytiques1 ce qui est ici le but essentiel de notre numration des fonctions abstraites lmentaires4 ,il est remarquer1 d'aprs les considrations indiques dans cette note1 que plusieurs autres fonctions concrtes peuvent tre utilement introduites au nombre des lmens analytiques1 si les conditions principales poses ci-dessus pour les fonctions circulaires ont t pralablement bien remplies4 ,c'est ainsi1 par exemple1 que les travaux de ,m4 ,legendre1 et rcemment ceux de ,m4 ,jacobi1 sur les fonctions elliptiques1 ont vraiment agrandi le champ de l'analyse2 il en est de mme pour quelques intgrales dfinies obtenues par ,m4 ,fourier1 dans la thorie de la chaleur4 ,tels sont les lmens trs-peu nombreux qui composent directement toutes les fonctions abstraites aujourd'hui connues4 ,quelque peu multiplis qu'ils soient1 ils suffisent videmment pour donner lieu un nombre tout--fait infini de combinaisons analytiques4 ,aucune considration rationnelle ne circonscrit rigoureusement priori le tableau prcdent1 qui n'est que l'expression effective de l'tat actuel de la science4 ,nos lmens analytiques sont aujourd'hui plus nombreux qu'ils ne l'taient pour ,descartes1 et mme pour ,newton et ,lebnitz2 il y a tout au plus un sicle que les deux derniers couples ont t introduits dans l'analyse par les travaux de ,jean ,bernouilli et d',euler4 ,sans doute on en admettra de nouveaux dans la suite2 mais1 comme je l'indiquerai la fin de cette leon1 nous ne pouvons pas esprer qu'ils soient jamais fort multiplis1 leur augmentation relle donnant lieu de trs-grandes difficults4 ,nous pouvons donc maintenant nous former une ide positive1 et nanmoins suffisamment tendue1 de ce que les gomtres entendent par une vritable quation4 ,cette explication est minemment propre nous faire comprendre combien il doit tre difficile d'tablir rellement les quations des phnomnes1 puisqu'on n'y est effectivement parvenu que lorsqu'on a pu concevoir les lois mathmatiques de ces phnomnes l'aide de fonctions entirement composes des seuls lmens analytiques que je viens d'numrer4 ,il est clair1 en effet1 que c'est uniquement alors que le problme devient vraiment abstrait1 et se rduit une pure question de nombres1 ces fonctions tant les seules relations simples que nous sachions concevoir entre les nombres1 considrs en eux-mmes4 ,jusqu' cette poque de la solution1 quelles que soient les apparences1 la question est encore essentiellement concrte1 et ne rentre pas dans le domaine du calcul4 ,or1 la difficult fondamentale de ce passage du concret l'abstrait consiste surtout1 en gnral1 dans l'insuffisance de ce trs-petit nombre d'lmens analytiques que nous possdons1 et d'aprs lesquels nanmoins1 malgr le peu de varit relle qu'ils nous offrent1 il faut parvenir se reprsenter toutes les relations prcises que peuvent nous manifester tous les diffrens phnomnes naturels4 ,vu l'infinie diversit qui doit ncessairement exister cet gard dans le monde extrieur1 on comprend sans peine combien nos conceptions doivent se trouver frquemment au-dessous de la vritable difficult2 surtout si l'on ajoute que1 ces lmens de notre analyse nous ayant t fournis primitivement par la considration mathmatique des phnomnes les plus simples1 puisqu'ils ont tous1 directement ou indirectement1 une origine gomtrique1 nous n'avons priori aucune garantie rationnelle de leur aptitude ncessaire reprsenter les lois mathmatiques de toute autre classe de phnomnes4 ,j'exposerai tout l'heure l'artifice gnral1 si profondment ingnieux1 par lequel l'esprit humain est parvenu diminuer singulirement cette difficult fondamentale que prsente la relation du concret l'abstrait en mathmatiques1 sans cependant qu'il ait t ncessaire de multiplier le nombre de ces lmens analytiques4 ,les explications prcdentes dterminent avec prcision le vritable objet et le champ rel de la mathmatique abstraite2 je dois passer maintenant l'examen de ses divisions principales1 car nous avons toujours jusqu'ici considr le calcul dans son ensemble total4 ,la premire considration directe prsenter sur la composition de la science du calcul1 consiste la diviser d'abord en deux branches principales1 auxquelles1 faute de dnominations plus convenables1 je donnerai les noms de calcul algbrique ou algbre1 et de calcul arithmtique ou arithmtique1 mais en avertissant de prendre ces deux expressions dans leur acception logique la plus tendue1 au lieu du sens beaucoup trop restreint qu'on leur attache ordinairement4 ,la solution complte de toute question de calcul1 depuis la plus lmentaire jusqu' la plus transcendante1 se compose ncessairement de deux parties successives dont la nature est essentiellement distincte4 ,dans la premire1 on a pour objet de transformer les quations proposes1 de faon mettre en vidence le mode de formation des quantits inconnues par les quantits connues2 c'est ce qui constitue la question algbrique4 ,dans la seconde1 on a en vue d'valuer les formules ainsi obtenues1 c'est--dire1 de dterminer immdiatement la valeur des nombres cherchs1 reprsents dj par certaines fonctions explicites des nombres donns2 telle est la question arithmtique#e4 ,on voit que1 dans toute solution vraiment rationnelle1 elle suit ncessairement la question algbrique1 dont elle forme le complment indispensable1 puisqu'il faut videmment connatre la gnration des nombres cherchs avant de dterminer leurs valeurs effectives pour chaque cas particulier4 ,ainsi1 le terme de la partie algbrique devient le point de dpart de la partie arithmtique4 ,note #e3 ,supposons1 par exemple1 qu'une question fournisse entre une grandeur inconnue x et deux grandeurs connues a et b l'quation3 _/x#c #c;ax #b;b_/ comme il arriverait pour la trisection d'un angle4 ,on voit1 de suite1 que la dpendance entre x d'une part1 et a1 b de l'autre1 est compltement dtermine2 mais1 tant que l'quation conserve sa forme primitive1 on n'aperoit nullement de quelle manire l'inconnue drive des donnes4 ,c'est cependant ce qu'il faut dcouvrir avant de penser l'valuer4 ,tel est l'objet de la partie algbrique de la solution4 ,lorsque1 par une suite de transformations qui ont successivement rendu cette drivation de plus en plus sensible1 on est arriv prsenter l'quation propose sous la forme _/x _/sqrt#c;b_/sqrtb#b;a#c _/sqrt7#c7;b-_/sqrtb#b;a#c_/ le rle de l'algbre est termin2 et1 quand mme on ne saurait point effectuer les oprations arithmtiques indiques par cette formule1 on en n'aurait pas moins obtenu une connaissance trs-relle et souvent fort importante4 ,le rle de l'arithmtique consistera maintenant1 en partant de cette formule1 faire trouver le nombre x quand les valeurs des nombres a et b auront t fixes4 ,le calcul algbrique et le calcul arithmtique diffrent donc essentiellement par le but qu'on s'y propose4 ,ils ne diffrent pas moins par le point de vue sous lequel on y considre les quantits1 envisages1 dans le premier1 quant leurs relations1 et1 dans le second1 quant leurs valeurs4 ,le vritable esprit du calcul1 en gnral1 exige que cette distinction soit maintenue avec la plus svre exactitude1 et que la ligne de dmarcation entre les deux poques de la solution soit rendue aussi nettement tranche que le permet la question propose4 ,l'observation attentive de ce prcepte1 trop mconnu1 peut tre d'un utile secours dans chaque question particulire1 en dirigeant les efforts de notre esprit1 un instant quelconque de la solution1 vers la vritable difficult correspondante4 la vrit1 l'imperfection de la science du calcul oblige souvent1 comme je l'expliquerai dans la leon suivante1 mler trs-frquemment les considrations algbriques et les considrations arithmtiques pour la solution d'une mme question4 ,mais1 quoiqu'il soit impossible alors de partager l'ensemble du travail en deux parties nettement tranches1 l'une purement algbrique1 et l'autre purement arithmtique1 on pourra toujours viter1 l'aide des indications prcdentes1 de confondre les deux ordres de considrations1 quelque intime que puisse tre jamais leur mlange4 ,en cherchant rsumer le plus succinctement possible la distinction que je viens d'tablir1 on voit que l'algbre peut se dfinir1 en gnral1 comme ayant pour objet la rsolution des quations1 ce qui1 quoique paraissant d'abord trop restreint1 est nanmoins suffisamment tendu1 pourvu qu'on prenne ces expressions dans toute leur acception logique1 qui signifie transformer des fonctions implicites en fonctions explicites quivalentes3 de mme1 l'arithmtique peut tre dfinie comme destine l'valuation des fonctions4 ,ainsi1 en contractant les expressions au plus haut degr1 je crois pouvoir donner nettement une juste ide de cette division1 en disant1 comme je le ferai dsormais pour viter les priphrases explicatives1 que l'algbre est le calcul des fonctions1 et l'arithmtique le calcul des valeurs4 ,il est ais de comprendre par-l combien les dfinitions ordinaires sont insuffisantes et mme vicieuses4 ,le plus souvent1 l'importance exagre accorde aux signes a conduit distinguer ces deux branches fondamentales de la science du calcul par la manire de dsigner dans chacune les sujets du raisonnement1 ce qui est videmment absurde en principe et faux en fait4 ,mme la clbre dfinition donne par ,newton1 lorsqu'il a caractris l'algbre comme l'arithmtique universelle1 donne certainement une trs-fausse ide de la nature de l'algbre et de celle de l'arithmtique#f4 ,note #f3 ,j'ai cru devoir signaler spcialement cette dfinition2 parce qu'elle sert de base l'opinion que beaucoup de bons esprits1 trangers la science mathmatique1 se forment de la partie abstraite de cette science1 sans considrer qu' l'poque o cet aperu a t form1 l'analyse mathmatique n'tait point assez dveloppe pour que le caractre gnral propre chacune de ses parties principales pt tre convenablement saisi1 ce qui explique pourquoi ,newton a pu proposer alors une dfinition qu'il rejetterait certainement aujourd'hui4 ,aprs avoir tabli la division fondamentale du calcul en deux branches principales1 je dois comparer1 en gnral1 l'tendue1 l'importance et la difficult de ces deux sortes de calcul1 afin de n'avoir plus considrer que le calcul des fonctions1 qui doit tre le sujet essentiel de notre tude4 ,le calcul des valeurs1 ou l'arithmtique1 parat1 au premier abord1 devoir prsenter un champ aussi vaste que celui de l'algbre1 puisqu'il semble devoir donner lieu autant de questions distinctes qu'on peut concevoir de formules algbriques diffrentes valuer4 ,mais une rflexion fort simple suffit pour montrer que le domaine du calcul des valeurs est1 par sa nature1 infiniment moins tendu que celui du calcul des fonctions4 ,car1 en distinguant les fonctions en simples et composes1 il est vident que lorsqu'on sait valuer les fonctions simples1 la considration des fonctions composes ne prsente plus1 sous ce rapport1 aucune difficult4 ,sous le point de vue algbrique1 une fonction compose joue un rle trs-diffrent de celui des fonctions lmentaires qui la constituent1 et c'est de l prcisment que naissent toutes les principales difficults analytiques4 ,mais il en est tout autrement pour le calcul arithmtique4 ,ainsi1 le nombre des oprations arithmtiques1 vraiment distinctes1 est seulement marqu par celui des fonctions abstraites lmentaires1 dont j'ai prsent ci-dessus le tableau trs-peu tendu4 ,l'valuation de ces dix fonctions donne ncessairement celle de toutes les fonctions1 en nombre infini1 que l'on considre dans l'ensemble de l'analyse mathmatique1 telle1 du moins1 qu'elle existe aujourd'hui4 quelques formules que puisse conduire l'laboration des quations1 il n'y aurait lieu de nouvelles oprations arithmtiques que si l'on en venait crer de vritables nouveaux lmens analytiques1 dont le nombre sera toujours1 quoi qu'il arrive1 extrmement petit4 ,le champ de l'arithmtique est donc1 par sa nature1 infiniment restreint1 tandis que celui de l'algbre est rigoureusement indfini4 ,il importe cependant de remarquer que le domaine du calcul des valeurs est1 en ralit1 beaucoup plus tendu qu'on ne se le reprsente communment4 ,car plusieurs questions1 vritablement arithmtiques1 puisqu'elles consistent dans des valuations1 ne sont point ordinairement classes comme telles1 parce qu'on a l'habitude de ne les traiter que comme incidentes1 au milieu d'un ensemble de recherches analytiques plus ou moins leves3 la trop haute opinion qu'on se forme communment de l'influence des signes est encore la cause principale de cette confusion d'ides4 ,ainsi1 non-seulement la construction d'une table de logarithmes1 mais aussi le calcul des tables trigonomtriques1 sont de vritables oprations arithmtiques d'un genre suprieur4 ,on peut citer encore comme tant dans le mme cas1 quoique dans un ordre trs-distinct et plus lev1 tous les procds par lesquels on dtermine directement la valeur d'une fonction quelconque pour chaque systme particulier de valeurs attribues aux quantits dont elle dpend1 lorsqu'on ne peut point parvenir connatre gnralement la forme explicite de cette fonction4 ,sous ce point de vue1 la rsolution numrique des quations qu'on ne sait pas rsoudre algbriquement1 et de mme le calcul des intgrales dfinies dont on ignore les intgrales gnrales1 font rellement partie1 malgr les apparences1 du domaine de l'arithmtique1 dans lequel il faut ncessairement comprendre tout ce qui a pour objet l'valuation des fonctions4 ,les considrations relatives ce but1 sont en effet1 constamment homognes1 de quelques valuations qu'il s'agisse1 et toujours bien distinctes des considrations vraiment algbriques4 ,pour achever de se former une juste ide de l'tendue relle du calcul des valeurs1 on doit y comprendre aussi cette partie de la science gnrale du calcul qui porte aujourd'hui spcialement le nom de thorie des nombres1 et qui est encore si peu avance4 ,cette branche1 fort tendue par sa nature1 mais dont l'importance dans le systme gnral de la science n'est pas trs-grande1 a pour objet de dcouvrir les proprits inhrentes aux diffrens nombres en vertu de leurs valeurs et indpendamment de toute numration particulire4 ,elle constitue donc une sorte d'arithmtique transcendante2 c'est elle que conviendrait effectivement la dfinition propose par ,newton pour l'algbre4 ,le domaine total de l'arithmtique est donc1 en ralit1 beaucoup plus tendu qu'on ne le conoit ordinairement4 ,mais1 nanmoins1 quelque dveloppement lgitime qu'on puisse lui accorder1 il demeure certain que1 dans l'ensemble de la mathmatique abstraite1 le calcul des valeurs ne sera jamais qu'un point1 pour ainsi dire1 en comparaison du calcul des fonctions1 dans lequel la science consiste essentiellement4 ,cette apprciation va devenir encore plus sensible par quelques considrations qui me restent indiquer sur la vritable nature des questions arithmtiques en gnral1 quand on les examine d'une manire approfondie4 ,en cherchant dterminer avec exactitude en quoi consistent proprement les valuations1 on reconnat aisment qu'elles ne sont pas autre chose que de vritables transformations des fonctions valuer1 transformations qui1 malgr leur but spcial1 n'en sont pas moins essentiellement de la mme nature que toutes celles enseignes par l'analyse4 ,sous ce point de vue1 le calcul des valeurs pourrait tre conu simplement comme un appendice et une application particulire du calcul des fonctions1 de telle sorte que l'arithmtique disparatrait1 pour ainsi dire1 dans l'ensemble de la mathmatique abstraite1 comme section distincte4 ,pour bien comprendre cette considration1 il faut observer que1 lorsque l'on propose d'valuer un nombre inconnu dont le mode de formation est donn1 il est1 par le seul nonc mme de la question arithmtique1 dj dfini et exprim sous une certaine forme2 et qu'en l'valuant1 on ne fait que mettre son expression sous une autre forme dtermine1 laquelle on est habitu rapporter la notion exacte de chaque nombre particulier1 en le faisant rentrer dans le systme rgulier de la numration4 ,l'valuation consiste si bien dans une simple transformation1 que lorsque l'expression primitive du nombre se trouve elle-mme conforme la numration rgulire1 il n'y a plus1 proprement parler1 d'valuation1 ou plutt on rpond la question par la question mme4 ,qu'on demande1 par exemple1 d'ajouter les deux nombres trente et sept1 on rpondra en se bornant rpter l'nonc mme de la question1 et on croira nanmoins avoir valu la somme1 ce qui signifie que1 dans ce cas1 la premire expression de la fonction n'a pas besoin d'tre transforme2 tandis qu'il n'en serait point ainsi pour ajouter vingt-trois et quatorze1 car alors la somme ne serait pas immdiatement exprime d'une manire conforme au rang qu'elle occupe dans l'chelle fixe et gnrale de la numration4 ,en prcisant1 autant que possible1 la considration prcdente1 on peut dire qu'valuer un nombre n'est autre chose que mettre son expression primitive sous la forme _/a b_/beta c_/beta#b d_/beta#c e_/beta#d _/ldots p_/betam_/ _/beta tant ordinairement gal #aj2 et les coefficiens a1 b1 c1 d1 etc4 tant assujtis ces conditions d'tre nombres entiers moindres que _/beta1 pouvant devenir nuls1 mais jamais ngatifs4 ,ainsi1 toute question arithmtique est susceptible d'tre pose comme consistant mettre sous une telle forme une fonction abstraite quelconque de diverses quantits que l'on suppose avoir dj elles-mmes une forme semblable4 ,on pourrait donc ne voir dans les diffrentes oprations de l'arithmtique que de simples cas particuliers de certaines transformations algbriques1 sauf les difficults spciales tenant aux conditions relatives l'tat des coefficiens4 ,il rsulte clairement1 de ce qui prcde1 que la mathmatique abstraite se compose essentiellement du calcul des fonctions1 qui en tait videmment dj la partie la plus importante1 la plus tendue1 et la plus difficile4 ,tel sera donc dsormais le sujet exclusif de nos considrations analytiques4 ,ainsi1 sans m'arrter davantage au calcul des valeurs1 je vais passer immdiatement l'examen de la division fondamentale du calcul des fonctions4 ,nous avons dtermin1 au commencement de cette leon1 en quoi consiste proprement la vritable difficult qu'on prouve mettre en quation les questions mathmatiques4 ,c'est essentiellement cause de l'insuffisance du trs-petit nombre d'lmens analytiques que nous possdons1 que la relation du concret l'abstrait est ordinairement si difficile tablir4 ,essayons maintenant d'apprcier philosophiquement le procd gnral par lequel l'esprit humain est parvenu1 dans un si grand nombre de cas importans1 surmonter cet obstacle fondamental4 ,en considrant directement l'ensemble de cette question capitale1 on est naturellement conduit concevoir d'abord un premier moyen pour faciliter l'tablissement des quations des phnomnes4 ,puisque le principal obstacle ce sujet vient du trop petit nombre de nos lmens analytiques1 tout semblerait se rduire en crer de nouveaux4 ,mais ce parti1 quelque naturel qu'il paraisse1 est vritablement illusoire1 quand on l'examine d'une manire approfondie4 ,quoiqu'il puisse certainement tre utile1 il est ais de se convaincre de son insuffisance ncessaire4 ,en effet1 la cration d'une vritable nouvelle fonction abstraite lmentaire prsente1 par elle-mme1 les plus grandes difficults4 ,il y a mme1 dans une telle ide1 quelque chose qui semble contradictoire4 ,car un nouvel lment analytique ne remplirait pas videmment les conditions essentielles qui lui sont propres1 si on ne pouvait immdiatement l'valuer3 or1 d'un autre ct1 comment valuer une nouvelle fonction qui serait vraiment simple1 c'est--dire1 qui ne rentrerait pas dans une combinaison de celles dj connues8 ,cela parat presque impossible4 ,l'introduction1 dans l'analyse1 d'une autre fonction abstraite lmentaire1 ou plutt d'un autre couple de fonctions 7car chacune serait toujours accompagne de son inverse71 suppose donc ncessairement la cration simultane d'une nouvelle opration arithmtique1 ce qui est certainement fort difficile4 ,si nous cherchons nous faire une ide des moyens que l'esprit humain pourrait employer pour inventer de nouveaux lmens analytiques1 par l'examen des procds l'aide desquels il a effectivement conu ceux que nous possdons1 l'observation nous laisse cet gard dans une entire incertitude1 car les artifices dont il s'est dj servi pour cela sont videmment puiss4 ,afin de nous en convaincre1 considrons le dernier couple de fonctions simples qui ait t introduit dans l'analyse1 et la formation duquel nous avons pour ainsi dire assist1 savoir le quatrime couple1 car1 comme je l'ai expliqu1 le cinquime couple ne constitue pas1 proprement parler1 de vritables nouveaux lmens analytiques4 ,la fonction ax1 et1 par suite1 son inverse1 ont t formes en concevant sous un nouveau point de vue une fonction dj connue depuis long-temps1 les puissances1 lorsque la notion en a t suffisamment gnralise4 ,il a suffi de considrer une puissance relativement la variation de l'exposant1 au lieu de penser la variation de la base1 pour qu'il en rsultt une fonction simple vraiment nouvelle1 la variation suivant alors une marche toute diffrente4 ,mais cet artifice1 aussi simple qu'ingnieux1 ne peut plus rien fournir4 ,car1 en retournant1 de la mme manire1 tous nos lmens analytiques actuels1 on n'aboutit qu' les faire rentrer les uns dans les autres4 ,nous ne concevons donc nullement de quelle manire on pourrait procder la cration de nouvelles fonctions abstraites lmentaires1 remplissant convenablement toutes les conditions ncessaires4 ,ce n'est pas dire1 nanmoins1 que nous ayons atteint aujourd'hui la limite effective pose cet gard par les bornes de notre intelligence4 ,il est mme certain que les derniers perfectionnemens spciaux de l'analyse mathmatique ont contribu tendre nos ressources sous ce rapport1 en introduisant dans le domaine du calcul certaines intgrales dfinies1 qui1 quelques gards1 tiennent lieu de nouvelles fonctions simples1 quoiqu'elles soient loin de remplir toutes les conditions convenables1 ce qui m'a empch de les inscrire au tableau des vrais lmens analytiques4 ,mais1 tout bien considr1 je crois qu'il demeure incontestable que le nombre de ces lmens ne peut s'accrotre qu'avec une extrme lenteur4 ,ainsi1 ce ne peut tre dans un tel procd que l'esprit humain ait puis ses ressources les plus puissantes pour faciliter autant que possible l'tablissement des quations4 ,ce premier moyen tant cart1 il n'en reste videmment qu'un seul2 c'est1 vu l'impossibilit de trouver directement les quations entre les quantits que l'on considre1 d'en chercher de correspondantes entre d'autres quantits auxiliaires1 lies aux premires suivant une certaine loi dtermine1 et de la relation desquelles on remonte ensuite celle des grandeurs primitives4 ,telle est1 en effet1 la conception1 minemment fconde1 que l'esprit humain est parvenu fonder1 et qui constitue son plus admirable instrument pour l'exploration mathmatique des phnomnes naturels1 l'analyse dite transcendante4 ,en thse philosophique gnrale1 les quantits auxiliaires que l'on introduit1 au lieu des grandeurs primitives ou concurremment avec elles1 pour faciliter l'tablissement des quations1 pourraient driver suivant une loi quelconque des lmens immdiats de la question4 ,ainsi1 cette conception a beaucoup plus de porte que ne lui en ont suppos communment1 mme les plus profonds gomtres4 ,il importe extrmement de se la reprsenter dans toute son tendue logique2 car c'est peut-tre en tablissant un mode gnral de drivation autre que celui auquel on s'est constamment born jusqu'ici1 bien qu'il ne soit pas1 videmment1 le seul possible1 qu'on parviendra un jour perfectionner essentiellement l'ensemble de l'analyse mathmatique1 et par suite fonder1 pour l'investigation des lois de la nature1 des moyens encore plus puissans que nos procds actuels1 susceptibles1 sans doute1 d'puisement4 ,mais1 pour n'avoir gard qu' la constitution prsente de la science1 les seules quantits auxiliaires introduites habituellement la place des quantits primitives dans l'analyse transcendante1 sont ce qu'on appelle les lmens infiniment petits1 les diffrentielles de divers ordres de ces quantits1 si l'on conoit cette analyse la manire de ,lebnitz2 ou les fluxions1 les limites des rapports des accroissemens simultans des quantits primitives compares les unes aux autres1 ou1 plus brivement1 les premires et dernires raisons de ces accroissemens1 en adoptant la conception de ,newton2 ou bien1 enfin1 les drives proprement dites de ces quantits1 c'est--dire1 les coefficiens des diffrens termes de leurs accroissemens respectifs1 d'aprs la conception de ,lagrange4 ,ces trois manires principales d'envisager notre analyse transcendante actuelle1 et toutes les autres moins distinctement tranches que l'on a proposes successivement1 sont1 par leur nature1 ncessairement identiques1 soit dans le calcul1 soit dans l'application1 ainsi que je l'expliquerai d'une manire gnrale dans la sixime leon4 ,quant leur valeur relative1 nous verrons alors que la conception de ,lebnitz a jusqu'ici1 dans l'usage1 une supriorit incontestable1 mais que son caractre logique est minemment vicieux2 tandis que la conception de ,lagrange1 admirable par sa simplicit1 par sa perfection logique1 par l'unit philosophique qu'elle a tablie dans l'ensemble de l'analyse mathmatique1 jusqu'alors partage en deux mondes presque indpendans1 prsente encore1 dans les applications1 de graves inconvniens1 en ralentissant la marche de l'intelligence3 la conception de ,newton tient peu prs le milieu sous ces divers rapports1 tant moins rapide1 mais plus rationnelle que celle de ,lebnitz1 moins philosophique1 mais plus applicable que celle de ,lagrange4 ,ce n'est pas ici le lieu d'expliquer avec exactitude comment la considration de ce genre de quantits auxiliaires introduites dans les quations la place des grandeurs primitives facilite rellement l'expression analytique des lois des phnomnes4 ,la sixime leon sera spcialement consacre cet important sujet1 envisag sous les diffrens points de vue gnraux auxquels a donn lieu l'analyse transcendante4 ,je me borne en ce moment considrer cette conception de la manire la plus gnrale1 afin d'en dduire la division fondamentale du calcul des fonctions en deux calculs essentiellement distincts1 dont l'enchanement1 pour la solution complte d'une mme question mathmatique1 est invariablement dtermin4 ,sous ce rapport1 et dans l'ordre rationnel des ides1 l'analyse transcendante se prsente comme tant ncessairement la premire1 puisqu'elle a pour but gnral de faciliter l'tablissement des quations1 ce qui doit videmment prcder la rsolution proprement dite de ces quations1 qui est l'objet de l'analyse ordinaire4 ,mais1 quoiqu'il importe minemment de concevoir ainsi le vritable enchanement de ces deux analyses1 il n'en est pas moins convenable1 conformment l'usage constant1 de n'tudier l'analyse transcendante qu'aprs l'analyse ordinaire2 car1 si1 au fond1 elle en est par elle-mme logiquement indpendante1 ou que1 du moins1 il soit possible aujourd'hui de l'en dgager essentiellement1 il est clair que son emploi dans la solution des questions ayant toujours plus ou moins besoin d'tre complt par celui de l'analyse ordinaire1 on serait contraint de laisser les questions en suspens1 si celle-ci n'avait t tudie pralablement4 ,en rsultat de ce qui prcde1 le calcul des fonctions1 ou l'algbre1 en prenant ce mot dans sa plus grande extension1 se compose de deux branches fondamentales distinctes1 dont l'une a pour objet immdiat la rsolution des quations1 lorsque celles-ci sont immdiatement tablies entre les grandeurs mmes que l'on considre2 et dont l'autre1 partant d'quations1 beaucoup plus aises former en gnral1 entre des quantits indirectement lies celles du problme1 a pour destination propre et constante d'en dduire1 par des procds analytiques invariables1 les quations correspondantes entre les grandeurs directes que l'on considre1 ce qui fait rentrer la question dans le domaine du calcul prcdent4 ,le premier calcul porte1 le plus souvent1 le nom d'analyse ordinaire1 ou d'algbre proprement dite2 le second constitue ce qu'on appelle l'analyse transcendante1 qui a t dsigne par les diverses dnominations de calcul infinitsimal1 calcul des fluxions et des fluentes1 calcul des vanouissans1 etc41 selon le point de vue sous lequel on l'a conue4 ,pour carter toute considration trangre1 je proposerai de la nommer calcul des fonctions indirectes1 en donnant l'analyse ordinaire le titre de calcul des fonctions directes4 ,ces expressions1 que je forme essentiellement en gnralisant et en prcisant les ides de ,lagrange1 sont destines indiquer simplement avec exactitude le vritable caractre gnral propre chacune des deux analyses4 ,ayant tabli la division fondamentale de l'analyse mathmatique1 je dois maintenant considrer sparment l'ensemble de chacune de ses deux parties1 en commenant par le calcul des fonctions directes1 et rservant ensuite des dveloppemens plus tendus aux diverses branches du calcul des fonctions indirectes4 ,,cinqui,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations gnrales sur le calcul des fonctions directes4 ,d'aprs l'explication gnrale qui termine la leon prcdente1 le calcul des fonctions directes1 ou l'algbre proprement dite1 suffit entirement la solution des questions mathmatiques1 quand elles sont assez simples pour qu'on puisse former immdiatement les quations entre les grandeurs mmes que l'on considre1 sans qu'il soit ncessaire d'introduire leur place ou conjointement avec elles aucun systme de quantits auxiliaires drives des premires4 la vrit1 dans le plus grand nombre des cas importans1 son emploi a besoin d'tre prcd et prpar par celui du calcul des fonctions indirectes1 destin faciliter l'tablissement des quations4 ,mais quoique le rle de l'algbre ne soit alors que secondaire1 elle n'en a pas moins toujours une part ncessaire dans la solution complte de la question1 en sorte que le calcul des fonctions directes doit continuer tre1 par sa nature1 la base fondamentale de toute l'analyse mathmatique4 ,nous devons donc1 avant d'aller plus loin1 considrer1 d'une manire gnrale1 la composition rationnelle de ce calcul1 et le degr de dveloppement auquel il est parvenu aujourd'hui4 ,l'objet dfinitif de ce calcul tant la rsolution proprement dite des quations1 c'est--dire1 la dcouverte du mode de formation des quantits inconnues par les quantits connues d'aprs les quations qui existent entre elles2 il prsente naturellement autant de parties diffrentes que l'on peut concevoir de classes d'quations vraiment distinctes2 et par consquent1 son tendue propre est rigoureusement indfinie1 le nombre des fonctions analytiques susceptibles d'entrer dans les quations1 tant par lui-mme tout--fait illimit1 bien qu'elles ne soient composes que d'un trs-petit nombre d'lmens primitifs4 ,la classification rationnelle des quations1 doit tre videmment dtermine par la nature des lmens analytiques dont se composent leurs membres2 toute autre classification serait essentiellement arbitraire4 ,sous ce rapport1 les analystes divisent d'abord les quations une ou plusieurs variables en deux classes principales1 selon qu'elles ne contiennent que des fonctions des trois premiers couples 7voy4 le tableau1 #d;e4 leon1 page #agc71 ou qu'elles renferment aussi des fonctions1 soit exponentielles1 soit circulaires4 ,les dnominations de fonctions algbriques et fonctions transcendantes1 donnes communment ces deux groupes principaux d'lmens analytiques1 sont1 sans doute1 fort peu convenables4 ,mais la division universellement tablie entre les quations correspondantes1 n'en est pas moins trs-relle1 en ce sens que la rsolution des quations contenant les fonctions dites transcendantes1 prsente ncessairement plus de difficults que celles des quations dites algbriques4 ,aussi l'tude des premires est-elle jusqu'ici excessivement imparfaite1 tel point que souvent la rsolution des plus simples d'entre elles1 nous est encore inconnue#g2 c'est sur l'laboration des secondes que portent presqu'exclusivement nos mthodes analytiques4 ,note #g3 ,quelque simple que puisse paratre1 par exemple1 l'quation _/ax bx cx1_/ on ne sait point encore la rsoudre2 ce qui peut donner une ide de l'extrme imperfection de cette partie de l'algbre4 ,ne considrant maintenant que ces quations algbriques1 il faut observer d'abord que1 quoiqu'elles puissent souvent contenir des fonctions irrationnelles des inconnues aussi bien que des fonctions rationnelles2 on peut toujours1 par des transformations plus ou moins faciles1 faire rentrer le premier cas dans le second2 en sorte que c'est de ce dernier que les analystes ont d s'occuper uniquement1 pour rsoudre toutes les quations algbriques4 ,dans l'enfance de l'algbre1 ces quations avaient t classes d'aprs le nombre de leurs termes4 ,mais cette classification tait videmment vicieuse2 comme sparant des cas rellement semblables1 et en runissant d'autres qui n'avaient rien de commun qu'un caractre sans aucune importance vritable#h4 ,elle n'a t maintenue que pour les quations deux termes1 susceptibles1 en effet1 d'une rsolution commune qui leur est propre4 ,note #h3 ,on a commis plus tard la mme erreur momentane dans les premiers temps du calcul infinitsimal1 pour l'intgration des quations diffrentielles4 ,la classification des quations1 d'aprs ce qu'on appelle leurs degrs1 universellement admise depuis long-temps par les analystes1 est1 au contraire1 minemment naturelle1 et mrite d'tre signale ici4 ,car1 en ne comparant1 dans chaque degr1 que les quations qui se correspondent1 quant leur complication relative1 on peut dire que cette distinction dtermine rigoureusement la difficult plus ou moins grande de leur rsolution4 ,cette gradation est sensible effectivement1 pour toutes les quations que l'on sait rsoudre4 ,mais on peut s'en rendre compte d'une manire gnrale1 indpendamment du fait de la rsolution4 ,il suffit1 pour cela1 de considrer que l'quation la plus gnrale de chaque degr comprend ncessairement toutes celles des divers degrs infrieurs1 en sorte qu'il en doit tre ainsi de la formule qui dtermine l'inconnue4 ,en consquence1 quelque faible qu'on pt supposer priori la difficult propre au degr que l'on considre1 comme elle se complique invitablement1 dans l'excution1 de celles que prsentent tous les degrs prcdens1 la rsolution offre donc rellement plus d'obstacles mesure que le degr de l'quation s'lve4 ,cet accroissement de difficult est tel1 que jusqu'ici la rsolution des quations algbriques ne nous est connue que dans les quatre premiers degrs seulement4 cet gard1 l'algbre n'a pas fait de progrs considrables depuis les travaux de ,descartes1 et des analystes italiens du seizime sicle1 quoique1 dans les deux derniers sicles1 il n'ait peut-tre pas exist un seul gomtre qui ne se soit occup de pousser plus avant la rsolution des quations4 ,l'quation gnrale du cinquime degr elle-mme1 a jusqu'ici rsist toutes les tentatives4 ,la complication toujours croissante que doivent ncessairement prsenter les formules pour rsoudre les quations mesure que le degr augmente1 l'extrme embarras qu'occasione dj l'usage de la formule du quatrime degr1 et qui le rend presqu'inapplicable1 ont dtermin les analystes renoncer1 par un accord tacite1 poursuivre de semblables recherches1 quoiqu'ils soient loin de regarder comme impossible d'obtenir jamais la rsolution des quations du cinquime degr1 et de plusieurs autres degrs suprieurs4 ,la seule question de ce genre1 qui offrirait vraiment une grande importance1 du moins sous le rapport logique1 ce serait la rsolution gnrale des quations algbriques d'un degr quelconque4 ,or1 plus on mdite sur ce sujet1 plus on est conduit penser1 avec ,lagrange1 qu'il surpasse rellement la porte effective de notre intelligence4 ,il faut d'ailleurs observer que la formule qui exprimerait la racine d'une quation du degr m devrait ncessairement renfermer des radicaux de l'ordre m 7ou des fonctions d'une multiplicit quivalente71 cause des m dterminations quelle doit comporter4 ,puisque nous avons vu1 de plus1 qu'elle doit aussi embrasser1 comme cas particulier1 celle qui correspond tout autre degr infrieur1 il s'ensuit qu'elle contiendrait1 en outre1 invitablement1 des radicaux de l'ordre m-#a1 d'autres de l'ordre m-#b1 etc41 de telle manire que1 s'il tait possible de la dcouvrir1 elle offrirait presque toujours une trop grande complication pour pouvoir tre utilement employe1 moins qu'on ne parvnt la simplifier1 en lui conservant cependant toute la gnralit convenable1 par l'introduction d'un nouveau genre d'lmens analytiques1 dont nous n'avons encore aucune ide4 ,il y a donc lieu de croire que1 sans avoir dj atteint sous ce rapport les bornes imposes par la faible porte de notre intelligence1 nous ne tarderions pas les rencontrer en prolongeant avec une activit forte et soutenue cette srie de recherches4 ,il importe d'ailleurs d'observer que1 mme en supposant obtenue la rsolution des quations algbriques d'un degr quelconque1 on n'aurait encore trait qu'une trs-petite partie de l'algbre proprement dite1 c'est--dire1 du calcul des fonctions directes1 embrassant la rsolution de toutes les quations que peuvent former les fonctions analytiques aujourd'hui connues4 ,enfin1 pour achever d'claircir la considration philosophique de ce sujet1 il faut reconnatre que1 par une loi irrcusable de la nature humaine1 nos moyens pour concevoir de nouvelles questions tant beaucoup plus puissans que nos ressources pour les rsoudre1 ou1 en d'autres termes1 l'esprit humain tant bien plus apte imaginer qu' raisonner1 nous resterons ncessairement toujours au-dessous de la difficult1 quelque degr de dveloppement que parviennent jamais nos travaux intellectuels4 ,ainsi1 quand mme on dcouvrirait un jour la rsolution complte de toutes les quations analytiques actuellement connues1 ce qui1 l'examen1 doit tre jug tout--fait chimrique1 il n'est pas douteux qu'avant d'atteindre ce but1 et probablement mme comme moyen subsidiaire1 on aurait dj surmont la difficult bien moindre1 quoique trs-grande cependant1 de concevoir de nouveaux lmens analytiques1 dont l'introduction donnerait lieu des classes d'quations que nous ignorons compltement aujourd'hui2 en sorte qu'une pareille imperfection relative de la science algbrique se reproduirait encore1 malgr l'accroissement rel1 trs-important d'ailleurs1 de la masse absolue de nos connaissances4 ,dans l'tat prsent de l'algbre1 la rsolution complte des quations des quatre premiers degrs1 des quations binomes quelconques1 de certaines quations spciales des degrs suprieurs1 et d'un trs-petit nombre d'quations exponentielles1 logarithmiques1 ou circulaires1 constituent donc les mthodes fondamentales que prsente le calcul des fonctions directes pour la solution des problmes mathmatiques4 ,mais1 avec des lmens aussi borns1 les gomtres n'en sont pas moins parvenus traiter1 d'une manire vraiment admirable1 un trs-grand nombre de questions importantes1 comme nous le reconnatrons successivement dans la suite de ce volume4 ,les perfectionnemens gnraux introduits depuis un sicle dans le systme total de l'analyse mathmatique ont eu pour caractre principal d'utiliser un degr immense ce peu de connaissances acquises sur le calcul des fonctions directes1 au lieu de tendre les augmenter4 ,ce rsultat a t obtenu un tel point1 que le plus souvent ce calcul n'a de rle effectif dans la solution complte des diverses questions que par ses parties les plus simples1 celles qui se rapportent aux quations des deux premiers degrs1 une seule ou plusieurs variables4 ,l'extrme imperfection de l'algbre1 relativement la rsolution des quations1 a dtermin les analystes s'occuper d'une nouvelle classe de questions1 dont il importe de marquer ici le vritable caractre4 ,quand ils ont cru devoir renoncer poursuivre plus long-temps la rsolution des quations algbriques des degrs suprieurs au quatrime1 ils se sont occups de suppler1 autant que possible1 cette immense lacune1 par ce qu'ils ont nomm la rsolution numrique des quations4 ,ne pouvant obtenir1 dans la plupart des cas1 la formule qui exprime quelle fonction explicite l'inconnue est des donnes1 on a cherch1 dfaut de cette rsolution1 la seule rellement algbrique1 dterminer1 du moins1 indpendamment de cette formule1 la valeur de chaque inconnue pour tel ou tel systme dsign de valeurs particulires attribues aux donnes4 ,par les travaux successifs des analystes1 cette opration incomplte et btarde1 qui prsente un mlange intime des questions vraiment algbriques avec des questions purement arithmtiques1 a pu1 du moins1 tre entirement effectue dans tous les cas1 pour des quations d'un degr et mme d'une forme quelconques4 ,sous ce rapport1 les mthodes qu'on possde aujourd'hui sont suffisamment gnrales1 quoique les calculs auxquels elles conduisent soient souvent presque inexcutables1 cause de leur complication4 ,il ne reste donc plus1 cet gard1 qu' simplifier assez les procds pour qu'ils deviennent rgulirement applicables1 ce qu'on peut esprer d'obtenir dans la suite4 ,d'aprs cet tat du calcul des fonctions directes1 on s'efforce ensuite1 dans l'application de ce calcul1 de disposer1 autant que possible1 les questions proposes de faon n'exiger finalement que cette rsolution numrique des quations4 ,quelque prcieuse que soit videmment une telle ressource1 dfaut de la vritable solution1 il est essentiel de ne pas mconnatre le vrai caractre de ces procds1 que les analystes regardent avec raison comme une algbre fort imparfaite4 ,en effet1 il s'en faut de beaucoup que nous puissions toujours rduire nos questions mathmatiques ne dpendre1 en dernire analyse1 que de la rsolution numrique des quations4 ,cela ne se peut que pour les questions tout--fait isoles1 ou vraiment finales1 c'est--dire1 pour le plus petit nombre4 ,la plupart des questions ne sont1 en effet1 que prparatoires1 et destines servir de prliminaire indispensable la solution d'autres questions4 ,or1 pour un tel but1 il est vident que ce n'est pas la valeur effective de l'inconnue qu'il importe de dcouvrir1 mais la formule qui montre comment elle drive des autres quantits considres4 ,c'est ce qui arrive1 par exemple1 dans un cas trs-tendu1 toutes les fois qu'une question dtermine renferme simultanment plusieurs inconnues4 ,il s'agit alors1 comme on sait1 d'en faire1 avant tout1 la sparation4 ,en employant convenablement1 cet effet1 le procd simple et gnral heureusement imagin par les analystes1 et qui consiste rapporter l'une des inconnues toutes les autres1 la difficult disparatrait constamment1 si l'on savait toujours rsoudre algbriquement les quations considres1 sans que la rsolution numrique puisse tre alors d'aucune utilit4 ,c'est uniquement faute de connatre la rsolution algbrique des quations une seule inconnue1 qu'on est oblig de traiter l'limination comme une question distincte1 qui forme une des plus grandes difficults spciales de l'algbre ordinaire4 ,quelque pnibles que soient les mthodes l'aide desquelles on surmonte cette difficult1 elles ne sont pas mme applicables d'une manire entirement gnrale1 l'limination d'une inconnue entre deux quations de forme quelconque4 ,dans les questions les plus simples1 et lorsqu'on n'a vritablement rsoudre qu'une seule quation une seule inconnue1 cette rsolution numrique n'en est pas moins un procd trs-imparfait1 mme quand elle est strictement suffisante4 ,elle prsente1 en effet1 ce grave inconvnient d'obliger refaire toute la suite des oprations pour le plus lger changement qui peut survenir dans une seule des quantits considres1 quoique leur relation reste toujours la mme1 sans que les calculs faits pour un cas puissent dispenser en aucune manire de ceux qui concernent un autre cas trs-peu diffrent1 faute d'avoir pu abstraire et traiter distinctement cette partie purement algbrique de la question qui est commune tous les cas rsultant de la simple variation des nombres donns4 ,d'aprs les considrations prcdentes1 le calcul des fonctions directes1 envisag dans son tat actuel1 se divise donc naturellement en deux parties fort distinctes1 suivant qu'on traite de la rsolution algbrique des quations ou de leur rsolution numrique4 ,la premire partie1 la seule vraiment satisfaisante1 est malheureusement fort peu tendue1 et restera vraisemblablement toujours trs-borne2 la seconde1 le plus souvent insuffisante1 a du moins l'avantage d'une gnralit beaucoup plus grande4 ,la ncessit de distinguer nettement ces deux parties est vidente1 cause du but essentiellement diffrent qu'on se propose dans chacune1 et par suite1 du point de vue propre sous lequel on y considre les quantits4 ,de plus1 si on les envisage relativement aux diverses mthodes dont chacune est compose1 on trouve dans leur distribution rationnelle une marche toute diffrente4 ,en effet1 la premire partie doit se diviser d'aprs la nature des quations que l'on sait rsoudre1 et indpendamment de toute considration relative aux valeurs des inconnues4 ,dans la seconde partie1 au contraire1 ce n'est pas suivant les degrs des quations que les procds se distinguent naturellement1 puisqu'ils sont applicables des quations d'un degr quelconque2 c'est selon l'espce numrique des valeurs des inconnues4 ,car1 pour calculer directement ces nombre sans les dduire des formules qui en feraient connatre les expressions1 le moyen ne saurait videmment tre le mme1 quand les nombres ne sont susceptibles d'tre valus que par une suite d'approximations toujours incomplte1 que lorsqu'on peut les obtenir exactement4 ,cette distinction si importante1 dans la rsolution numrique des quations1 des racines incommensurables1 et des racines commensurables1 qui exigent des principes tout--fait diffrens pour leur dtermination1 est entirement insignifiante dans l rsolution algbrique1 o la nature rationnelle ou irrationnelle des nombres obtenus est un simple accident du calcul1 qui ne peut exercer aucune influence sur les procds employs4 ,c'est1 en un mot1 une simple considration arithmtique4 ,on en peut dire autant1 quoique un moindre degr1 de la distinction des racines commensurables elles-mmes en entires et fractionnaires4 ,enfin1 il en est aussi de mme1 plus forte raison1 pour la classification la plus gnrale des racines1 en relles et imaginaires4 ,toutes ces diverses considrations1 qui sont prpondrantes quant la rsolution numrique des quations1 et qui n'ont aucune importance dans la rsolution algbrique1 rendent de plus en plus sensible la nature essentiellement distincte de ces deux parties principales de l'algbre proprement dite4 ,ces deux parties1 qui constituent l'objet immdiat du calcul des fonctions directes1 sont domines par une troisime purement spculative1 laquelle l'une et l'autre empruntent leurs ressources les plus puissantes1 et qui a t trs-exactement dsigne par le nom gnral de thorie des quations1 quoique cependant elle ne porte encore que sur les quations dites algbriques4 ,la rsolution numrique des quations1 cause de sa gnralit1 exige spcialement cette base rationnelle4 ,cette dernire branche si importante de l'algbre se divise naturellement en deux ordres de questions1 d'abord celles qui se rapportent la composition des quations1 et ensuite celles qui concernent leur transformation2 ces dernires ayant pour objet de modifier les racines d'une quation sans les connatre1 suivant une loi quelconque donne1 pourvu que cette loi soit uniforme relativement toutes ces racines#i4 ,note #i3 ,je crois devoir1 au sujet de la thorie des quations1 signaler ici une lacune de quelque importance4 ,le principe fondamental sur lequel elle repose1 et qui est si frquemment appliqu dans toute l'analyse mathmatique1 la dcomposition des fonctions algbriques1 rationnelles1 et entires1 d'un degr quelconque1 en facteurs du premier degr1 n'est jamais employ que pour les fonctions d'une seule variable1 sans que personne ait examin si on doit l'tendre aux fonctions de plusieurs variables1 ce que nanmoins on ne devrait pas laisser incertain4 ,quant aux fonctions de deux ou de trois variables1 les considrations gomtriques dcident clairement1 quoique d'une manire indirecte1 que leur dcomposition en facteurs est ordinairement impossible2 car il en rsulterait que chaque classe correspondante d'quations ne pourrait reprsenter une ligne ou une surface sui generis1 et que son lieu gomtrique rentrerait toujours dans le systme de ceux appartenant des quations de degr infrieur1 de telle sorte que1 de proche en proche1 toute quation ne produirait jamais que des lignes droites ou des plans4 ,mais1 prcisment cause de cette interprtation concrte1 ce thorme1 quoique purement ngatif1 me semble avoir une si grande importance pour la gomtrie analytique1 que je m'tonne qu'on n'ait pas cherch tablir directement une diffrence aussi caractristique entre les fonctions une seule variable et celles plusieurs variables4 ,je vais rapporter ici sommairement la dmonstration abstraite et gnrale que j'en ai trouve1 quoiqu'elle ft plus convenablement place dans un trait spcial4 #a ,si f7x1y7 pouvait se dcomposer en facteurs du premier degr1 on les obtiendrait en rsolvant l'quation f7x1y7#j4 ,or1 d'aprs les considrations indiques dans le texte1 cette quation1 rsolue par rapport x1 fournirait des formules qui contiendraient ncessairement divers radicaux1 dans lesquels entrerait y4 ,les fonctions de y1 renfermes sous chaque radical1 ne sauraient videmment tre en gnral des puissances parfaites4 ,or1 il faudrait qu'elles le devinssent pour que les facteurs lmentaires correspondans de f7x1y71 et qui sont dj du premier degr en x1 fussent aussi du premier degr1 ou mme simplement rationnels1 relativement y4 ,cela ne pourra donc avoir lieu que dans certains cas particuliers1 lorsque les coefficiens rempliront les conditions plus ou moins nombreuses1 mais constamment dtermines1 qu'exige la disparition des radicaux4 ,le mme raisonnement s'appliquerait videmment1 bien plus forte raison1 aux fonctions de trois1 quatre1 etc4 variables4 #b ,une autre dmonstration1 de nature trs-diffrente1 se tire de la mesure du degr de gnralit des fonctions plusieurs variables1 lequel s'estime par le nombre de constantes arbitraires entrant dans leur expression la plus complte et la plus simple4 ,je me bornerai l'indiquer pour les fonctions de deux variables2 il serait ais de l'tendre celles qui en contiennent davantage4 ,on sait que le nombre de constantes arbitraires contenues dans la formule gnrale d'une fonction du degr m deux variables1 est _/fracm7m#c7b4 ,or1 si une telle fonction pouvait seulement se dcomposer en deux facteurs1 l'un du degr n1 et l'autre du degr m-n1 le produit renfermerait un nombre de constantes arbitraires gal _/_/fracn7n#c7b _/frac7m-n77m-n#c7b4_/ ,ce nombre tant1 comme il est ais de le voir1 infrieur au prcdent de n7m-n71 il en rsulte qu'un tel produit1 ayant moins de gnralit que la fonction primitive1 ne peut la reprsenter constamment4 ,on voit mme qu'une telle comparaison exigerait n7m-n7 relations spciales entre les coefficiens de cette fonction1 qu'on trouverait aisment en dveloppant l'identit4 ,ce nouveau genre de dmonstration1 fond sur une considration ordinairement nglige1 pourrait probablement tre employ avec avantage dans plusieurs autres circonstances4 ,pour complter cette rapide numration gnrale des diverses parties essentielles du calcul des fonctions directes1 je dois enfin mentionner expressment une des thories les plus fcondes et les plus importantes de l'algbre proprement dite1 celle relative la transformation des fonctions en sries l'aide de ce qu'on appelle la mthode des coefficiens indtermins4 ,cette mthode1 si minemment analytique1 et qui doit tre regarde comme une des dcouvertes les plus remarquables de ,descartes1 a sans doute perdu de son importance depuis l'invention et le dveloppement du calcul infinitsimal1 dont elle pouvait tenir lieu si heureusement sous quelques rapports particuliers4 ,mais l'extension croissante de l'analyse transcendante1 quoique ayant rendu cette mthode bien moins ncessaire1 en a1 d'un autre ct1 multipli les applications et agrandi les ressources2 en sorte que par l'utile combinaison qui s'est finalement opre entre les deux thories1 l'usage de la mthode des coefficiens indtermins est devenu aujourd'hui beaucoup plus tendu qu'il ne l'tait mme avant la formation du calcul des fonctions indirectes4 ,aprs avoir esquiss le tableau gnral de l'algbre proprement dite1 il me reste maintenant prsenter quelques considrations sur divers points principaux du calcul des fonctions directes1 dont les notions peuvent tre utilement claircies par un examen philosophique4 ,les difficults relatives plusieurs symboles singuliers auxquels conduisent les calculs algbriques et notamment aux expressions dites imaginaires1 ont t1 ce me semble1 beaucoup exagres par suite des considrations purement mthaphysiques qu'on s'est efforc d'y introduire1 au lieu d'envisager ces rsultats anormaux sous leur vrai point de vue1 comme de simples faits analytiques4 ,en les concevant ainsi1 il est ais de reconnatre1 en thse gnrale1 que l'esprit de l'analyse mathmatique consistant considrer les grandeurs sous le seul point de vue de leurs relations1 et indpendamment de toute ide de valeur dtermine1 il en rsulte ncessairement pour les analystes l'obligation constante d'admettre indiffremment toutes les sortes d'expressions quelconques que pourront engendrer les combinaisons algbriques4 ,s'ils voulaient s'en interdire une seule1 raison de sa singularit apparente1 comme elle est toujours susceptible de se prsenter d'aprs certaines suppositions particulires sur les valeurs des quantits considres1 ils seraient contraints d'altrer la gnralit de leurs conceptions1 et en introduisant ainsi1 dans chaque raisonnement1 une suite de distinctions vraiment trangres1 ils feraient perdre l'analyse mathmatique1 son principal avantage caractristique1 la simplicit et l'uniformit des ides qu'elle combine4 ,l'embarras que l'intelligence prouve ordinairement au sujet de ces expressions singulires1 me parat provenir essentiellement de la confusion vicieuse qu'elle fait son insu entre l'ide de fonction et l'ide de valeur1 ou1 ce qui revient au mme1 entre le point de vue algbrique1 et le point de vue arithmtique4 ,si la nature de cet ouvrage me permettait de prsenter cet gard les dveloppemens suffisans1 il me serait1 je crois1 facile1 par un usage convenable des considrations indiques dans cette leon et dans les deux prcdentes1 de dissiper les nuages dont une fausse manire de voir entoure habituellement ces diverses notions4 ,le rsultat de cet examen dmontrerait expressment que l'analyse mathmatique est1 par sa nature1 beaucoup plus claire1 sous les diffrens rapports dont je viens de parler1 que ne le croient communment les gomtres eux-mmes1 gars par les objections vicieuses des mtaphysiciens4 ,relativement aux quantits ngatives1 qui1 par suite du mme esprit mtaphysique1 ont donn lieu tant de discussions dplaces1 aussi dpourvues de tout fondement rationnel que dnues de toute vritable utilit scientifique1 il faut distinguer1 en considrant toujours le simple fait analytique1 entre leur signification abstraite et leur interprtation concrte1 qu'on a presque toujours confondues jusqu' prsent4 ,sous le premier rapport1 la thorie des quantits ngatives peut tre tablie d'une manire complte par une seule vue algbrique4 ,quant la ncessit d'admettre ce genre de rsultats concurremment avec tout autre1 elle drive de la considration gnrale que je viens de prsenter3 et quant leur emploi comme artifice analytique pour rendre les formules plus tendues1 ce mcanisme de calcul ne peut rellement donner lieu aucune difficult srieuse4 ,ainsi1 on peut envisager la thorie abstraite des quantits ngatives comme ne laissant rien d'essentiel dsirer3 elle ne prsente vraiment d'obstacles que ceux qu'on y introduit mal propos par des considrations sophistiques4 ,mais1 il n'en est nullement de mme pour leur thorie concrte4 ,sous ce point de vue1 elle consiste essentiellement dans cette admirable proprit des signes et - de reprsenter analytiquement les oppositions de sens dont sont susceptibles certaines grandeurs4 ,ce thorme gnral sur les relations du concret l'abstrait en mathmatique1 est une des plus belles dcouvertes que nous devions au gnie de ,descartes1 qui l'a obtenue comme un simple rsultat de l'observation philosophique convenablement dirige4 ,un grand nombre de gomtres ont tent depuis d'en tablir directement la dmonstration gnrale4 ,mais jusqu'ici leurs efforts ont t illusoires1 soit qu'ils aient essay de trancher la difficult par de vaines considrations mtaphysiques1 ou par des comparaisons trs-hasardes1 soit qu'ils aient pris de simples vrifications dans quelque cas particulier plus ou moins born pour de vritables dmonstrations4 ,ces diverses tentatives vicieuses1 et le mlange htrogne du point de vue abstrait avec le point de vue concret1 ont mme introduit communment cet gard une telle confusion1 qu'il devient ncessaire d'noncer ici distinctement le fait gnral1 soit qu'on veuille se contenter d'en faire usage1 soit qu'on se propose de l'expliquer4 ,il consiste1 indpendamment de toute explication1 en ce que3 si dans une quation quelconque exprimant la relation de certaines quantits susceptibles d'opposition de sens1 une ou plusieurs de ces quantits viennent tre comptes dans un sens contraire celui qu'elles affectaient quand l'quation a t primitivement tablie2 il ne sera pas ncessaire de former directement une nouvelle quation pour ce second tat du phnomne2 il suffira de changer1 dans la premire quation1 le signe de chacune des quantits qui auront chang de sens1 et l'quation ainsi modifie concidera toujours rigoureusement avec celle qu'on aurait trouve en recommenant chercher pour ce nouveau cas la loi analytique du phnomne4 ,c'est dans cette concidence constante et ncessaire que consiste le thorme gnral4 ,or1 jusqu'ici on n'est point parvenu rellement s'en rendre compte directement2 on ne s'en est assur que par un grand nombre de vrifications gomtriques et mcaniques1 qui sont1 il est vrai1 assez multiplies et surtout assez varies pour qu'il ne puisse rester dans aucun esprit juste le moindre doute sur l'exactitude et la gnralit de cette proprit essentielle1 mais qui1 sous le rapport philosophique1 ne dispensent nullement de chercher une explication aussi importante4 ,l'extrme tendue du thorme doit faire comprendre la fois et la difficult capitale de cette recherche si souvent reprise infructueusement1 et la haute utilit dont serait sans doute1 pour le perfectionnement de la science mathmatique1 la conception gnrale de cette grande vrit1 l'esprit ne pouvant videmment s'y lever qu'en se plaant un point de vue d'o il dcouvrirait invitablement de nouvelles ides1 par la considration directe et approfondie de la relation du concret l'abstrait4 ,quoi qu'il en soit1 l'imperfection que prsente encore la science sous ce rapport1 n'a point empch les gomtres de faire l'usage le plus tendu et le plus important de cette proprit dans toutes les parties de la mathmatique concrte1 o l'on en prouve un besoin presque continuel4 ,on peut mme retirer une certaine utilit logique de la simple considration nette de ce fait gnral1 tel que je l'ai dcrit ci-dessus2 il en rsulte1 par exemple1 indpendamment de toute dmonstration1 que la proprit dont nous parlons ne doit jamais tre applique aux grandeurs qui affectent des directions continuellement variables1 sans donner lieu une simple opposition de sens3 dans ce cas1 le signe dont se trouve ncessairement affect tout rsultat de calcul n'est susceptible d'aucune interprtation concrte1 et c'est tort qu'on s'efforce quelquefois d'en tablir2 cette circonstance a lieu1 entre autres occasions1 pour les rayons vecteurs en gomtrie1 et pour les forces divergentes en mcanique4 ,un second thorme gnral sur la relation du concret l'abstrait en mathmatique1 que je crois devoir considrer expressment ici1 est celui qu'on dsigne ordinairement sous le nom de principe de l'homognit4 ,il est sans doute bien moins important dans ses applications que le prcdent4 ,mais il mrite particulirement notre attention1 comme ayant1 par sa nature1 une tendue encore plus grande1 puisqu'il s'applique indistinctement tous les phnomnes1 et cause de l'utilit relle qu'on en retire souvent pour la vrification de leurs lois analytiques4 ,je puis d'ailleurs en exposer une dmonstration directe et gnrale1 qui me semble fort simple4 ,elle est fonde sur cette seule observation1 vidente par elle-mme3 l'exactitude de toute relation entre des grandeurs concrtes quelconques est indpendante de la valeur des units auxquelles on les rapporte pour les exprimer en nombres4 ,par exemple1 la relation qui existe entre les trois cts d'un triangle rectangle1 a lieu soit qu'on les value en mtres1 ou en lieues1 ou en pouces1 etc4 ,il suit de cette considration gnrale1 que toute quation qui exprime la loi analytique d'un phnomne quelconque1 doit jouir de cette proprit de n'tre nullement altre1 quand on fait subir simultanment toutes les quantits qui s'y trouvent1 le changement correspondant celui qu'prouveraient leurs units respectives4 ,or1 ce changement consiste videmment en ce que toutes les quantits de chaque espce deviendraient la fois m fois plus petites1 si l'unit qui leur correspond devient m fois plus grande1 ou rciproquement4 ,ainsi1 toute quation qui reprsente une relation concrte quelconque1 doit offrir ce caractre de demeurer la mme1 quand on y rend m fois plus grandes toutes les quantits qu'elle contient1 et qui expriment les grandeurs entre lesquelles existe la relation1 en exceptant toutefois les nombres qui dsignent simplement les rapports mutuels de ces diverses grandeurs1 lesquels restent invariables dans le changement des units4 ,c'est dans cette proprit que consiste la loi de l'homognit1 suivant son acception la plus tendue1 c'est--dire1 de quelques fonctions analytiques que les quations soient composes4 ,mais1 le plus souvent1 on ne considre que les cas o ces fonctions sont de celles qu'on appelle particulirement algbriques1 et auxquelles la notion de degr est applicable4 ,dans ce cas1 on peut prciser davantage la proposition gnrale1 en dterminant le caractre analytique que doit prsenter ncessairement l'quation pour que cette proprit soit vrifie4 ,il est ais de voir alors1 en effet1 que1 par la modification ci-dessus expose1 tous les termes du premier degr1 quelle que soit leur forme1 rationnelle ou irrationnelle1 entire ou fractionnaire1 deviendront m fois plus grands2 tous ceux du second degr1 m#b fois2 ceux du troisime1 m#c fois1 etc4 ,ainsi1 les termes du mme degr1 quelque diverse que puisse tre leur composition1 variant de la mme manire1 et les termes de degrs diffrens variant dans une proportion ingale1 quelque similitude que puisse offrir leur composition1 il faudra ncessairement1 pour que l'quation ne soit pas trouble1 que tous les termes qu'elle contient soient d'un mme degr4 ,c'est en cela que consiste proprement le thorme ordinaire de l'homognit2 et c'est de cette circonstance que la loi gnrale tir son nom1 qui cependant cesse d'tre exactement convenable pour toute autre espce de fonctions4 ,afin de traiter ce sujet dans toute son tendue1 il importe d'observer une condition essentielle1 laquelle on devra avoir gard en appliquant cette proprit1 lorsque le phnomne exprim par l'quation prsentera des grandeurs de natures diverses4 ,en effet1 il pourra arriver que les units respectives soient compltement indpendantes les unes des autres1 et alors le thorme de l'homognit aura lieu1 soit par rapport toutes les classes correspondantes de quantits1 soit qu'on ne veuille considrer qu'une seule ou plusieurs d'entre elles4 ,mais1 il arrivera1 dans d'autres occasions1 que les diverses units auront entre elles des relations obliges1 dtermines par la nature de la question4 ,alors1 il faudra avoir gard cette subordination des units dans la vrification de l'homognit1 qui n'existera plus en un sens purement algbrique1 et dont le mode prcis variera suivant le genre des phnomnes4 ,ainsi1 par exemple1 pour fixer les ides1 quand on considrera dans l'expression analytique des phnomnes gomtriques1 la fois des lignes1 des aires1 et des volumes1 il faudra observer que les trois units correspondantes1 sont ncessairement lies entre elles1 de telle sorte que1 suivant la subordination gnralement tablie cet gard1 lorsque la premire devient m fois plus grande1 la seconde le devient m#b fois1 et la troisime m#c fois4 ,c'est avec une telle modification que l'homognit existera dans les quations1 o l'on devra alors1 si elles sont algbriques1 estimer le degr de chaque terme1 en doublant les exposans des facteurs qui correspondent des aires1 et triplant ceux des facteurs relatifs des volumes#aj4 ,telles sont les principales considrations gnrales1 trs-insuffisantes sans doute1 mais auxquelles je suis contraint de me rduire par les limites naturelles de ce cours1 relativement au calcul des fonctions directes4 ,nous devons passer maintenant l'examen philosophique du calcul des fonctions indirectes1 dont l'importance et l'tendue bien suprieures rclament un plus grand dveloppement4 ,note #aj3 ,j'ai t conduit1 il y a douze ans1 par mon enseignement journalier de la science mathmatique1 construire cette thorie gnrale de l'homognit4 ,j'ai trouv depuis que ,m4 ,fourier1 dans son grand ouvrage sur la chaleur1 publi en #ahbb1 avait suivi1 de son ct1 une marche essentiellement semblable4 ,malgr cette heureuse concidence1 qu'a d naturellement dterminer la considration directe d'un sujet aussi simple1 je n'ai pas cru devoir ici renvoyer sa dmonstration2 celle que je viens d'exposer ayant pour principal objet d'embrasser l'ensemble de la question1 sans gard aucune application spciale4 ,,sixi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,exposition comparative des divers points de vue gnraux sous lesquels on peut envisager le calcul des fonctions indirectes4 ,nous avons dtermin1 dans la quatrime leon1 le caractre philosophique propre l'analyse transcendante1 de quelque manire qu'on puisse la concevoir1 en considrant seulement la nature gnrale de sa destination effective dans l'ensemble de la science mathmatique4 ,cette analyse a t1 comme on sait1 prsente par les gomtres sous plusieurs points de vue rellement distincts1 quoique ncessairement quivalens1 et conduisant toujours des rsultats identiques4 ,on peut les rduire trois principaux1 ceux de ,lebnitz1 de ,newton et de ,lagrange1 dont tous les autres ne sont que des modifications secondaires4 ,dans l'tat prsent de la science1 chacune de ces trois conceptions gnrales offre des avantages essentiels qui lui appartiennent exclusivement1 sans qu'on soit encore parvenu construire une mthode unique runissant toutes ces diverses qualits caractristiques4 ,en mditant sur l'ensemble de cette grande question1 on est convaincu1 je crois1 que c'est dans la conception de ,lagrange1 que s'oprera un jour cette combinaison4 ,quand cet important travail philosophique1 qui exige une profonde laboration de toutes les ides mathmatiques fondamentales1 sera convenablement excut2 on pourra se borner alors1 pour connatre l'analyse transcendante1 la seule tude de cette conception dfinitive2 les autres ne prsentant plus essentiellement qu'un intrt historique4 ,mais jusqu' cette poque1 la science devra tre considre1 sous ce rapport1 comme tant dans un vritable tat provisoire1 qui exige absolument1 mme pour l'exposition dogmatique de cette analyse1 la considration simultane des divers modes gnraux propres au calcul des fonctions indirectes4 ,quelque peu satisfaisante que puisse paratre1 sous le rapport logique1 cette multiplicit de conceptions d'un sujet toujours identique1 il est certain que1 sans cette indispensable condition1 on ne pourrait se former aujourd'hui qu'une notion trs-insuffisante de cette analyse1 soit en elle-mme1 soit surtout relativement ses applications1 quelque ft le mode unique que l'on aurait cru devoir choisir4 ,ce dfaut de systmatisation dans la partie la plus importante de l'analyse mathmatique1 ne paratra nullement trange1 si l'on considre1 d'une part1 son extrme tendue1 sa difficult suprieure1 et d'une autre part1 sa formation presque rcente4 ,la gnration des gomtres est peine renouvele depuis la production primitive de la conception destine sans doute coordonner la science1 de manire lui imprimer un caractre fixe et uniforme2 ainsi1 les habitudes intellectuelles n'ont pu encore1 sous ce rapport1 tre suffisamment formes4 ,s'il s'agissait ici de tracer l'histoire raisonne de la formation successive de l'analyse transcendante1 il faudrait pralablement distinguer avec soin du calcul des fonctions indirectes proprement dit1 l'ide mre de la mthode infinitsimale1 laquelle peut tre conue par elle-mme1 indpendamment de tout calcul4 ,nous verrions1 ds-lors1 que le premier germe de cette ide1 se trouve dj dans le procd constant1 employ par les gomtres grecs1 sous le nom de mthode d'exhaustion1 pour passer de ce qui est relatif aux lignes droites ce qui concerne les lignes courbes1 et qui consistait essentiellement substituer la courbe la considration auxiliaire d'un polygone inscrit ou circonscrit1 d'aprs lequel on s'levait la courbe elle-mme1 en prenant convenablement les limites des relations primitives4 ,quelqu'incontestable que soit cette filiation des ides1 on lui donnerait une importance fort exagre1 en voyant dans cette mthode d'exhaustion1 l'quivalent rel de nos mthodes modernes1 comme l'ont fait plusieurs gomtres4 ,car1 les anciens n'avaient aucun moyen rationnel et gnral pour la dtermination de ces limites1 qui constituait ordinairement la plus grande difficult de la question2 en sorte que leurs solutions n'taient point soumises des rgles abstraites et invariables1 dont l'application uniforme dt conduire avec certitude la connaissance cherche1 ce qui est le principal caractre de notre analyse transcendante4 ,en un mot1 il restait gnraliser la conception employe par les anciens1 et surtout1 en la considrant d'une manire purement abstraite1 la rduire en calcul1 ce qui leur tait impossible4 ,la premire ide qui ait t produite dans cette nouvelle direction1 remonte vritablement notre grand gomtre ,fermat1 que ,lagrange a justement prsent comme ayant bauch la formation directe de l'analyse transcendante1 par sa mthode pour la dtermination des maxima et minima1 et pour la recherche des tangentes1 qui consistait essentiellement1 en effet1 introduire la considration auxiliaire des accroissemens corlatifs des variables proposes1 accroissemens supprims ensuite comme nuls1 aprs que les quations avaient subi certaines transformations convenables4 ,mais1 quoique ,fermat et le premier conu cette analyse d'une manire vraiment abstraite1 elle tait encore loin d'tre rgulirement forme en un calcul gnral et distinct1 ayant sa notation propre1 et surtout dgag de la considration superflue des termes1 qui finissaient par n'tre plus compts dans l'analyse de ,fermat1 aprs avoir nanmoins singulirement compliqu par leur prsence toutes les oprations4 ,c'est ce qu'a si heureusement excut ,lebnitz un demi-sicle plus tard1 aprs quelques modifications intermdiaires apportes par ,wallis1 et surtout par ,barrow1 aux ides de ,fermat2 et par l il a t le vritable crateur de l'analyse transcendante1 telle que nous l'employons aujourd'hui4 ,cette dcouverte capitale tait tellement mre1 comme toutes les grandes conceptions de l'esprit humain au moment de leur manifestation1 que ,newton1 de son ct1 tait parvenu en mme temps1 ou un peu auparavant1 une mthode exactement quivalente1 en considrant cette analyse sous un point de vue trs-diffrent1 et qui1 bien que plus rationnel en lui-mme1 est rellement moins convenable pour donner la mthode fondamentale commune toute l'tendue et la facilit que lui ont imprimes les ides de ,lebnitz4 ,enfin1 ,lagrange1 cartant les considrations htrognes qui avaient guid ,lebnitz et ,newton1 est parvenu plus tard rduire l'analyse transcendante1 dans sa plus grande perfection1 un systme purement algbrique1 auquel il ne manque encore que plus d'aptitude aux applications4 ,aprs ce coup-d'oeil sommaire sur l'histoire gnrale de l'analyse transcendante1 procdons l'exposition dogmatique des trois conceptions principales1 afin d'apprcier exactement leurs proprits caractristiques1 et de constater l'identit ncessaire des mthodes qui en drivent4 ,commenons par celle de ,lebnitz4 ,elle consiste1 comme on sait1 introduire dans le calcul1 pour faciliter l'tablissement des quations1 les lmens infiniment petits dont on considre comme composes les quantits entre lesquelles on cherche des relations4 ,ces lmens ou diffrentielles auront entre eux des relations constamment et ncessairement plus simples et plus faciles dcouvrir que celles des quantits primitives1 et d'aprs lesquelles on pourrait ensuite1 par un calcul spcial ayant pour destination propre l'limination de ces infinitsimales auxiliaires1 remonter aux quations cherches1 qu'il et t le plus souvent impossible d'obtenir directement4 ,cette analyse indirecte pourra l'tre des degrs divers2 car1 si on trouve quelquefois trop de difficult former immdiatement l'quation entre les diffrentielles mmes des grandeurs que l'on considre1 il faudra1 par un emploi redoubl du mme artifice gnral1 traiter1 leur tour1 ces diffrentielles comme de nouvelles quantits primitives1 et chercher la relation entre leurs lmens infiniment petits1 qui1 par rapport aux objets dfinitifs de la question1 seront les diffrentielles secondes2 et ainsi de suite1 la mme transformation pouvant tre rpte un nombre quelconque de fois1 la condition toujours d'liminer finalement le nombre de plus en plus grand des quantits infinitsimales introduites comme auxiliaires4 ,un esprit encore tranger ces considrations n'aperoit pas sur-le-champ comment l'emploi de ces quantits auxiliaires peut faciliter la dcouverte des lois analytiques des phnomnes2 car les accroissemens infiniment petits des grandeurs proposes tant de mme espce qu'elles1 leurs relations ne paraissent pas devoir s'obtenir plus aisment1 la valeur plus ou moins petite d'une quantit ne pouvant1 en effet1 exercer aucune influence sur une recherche ncessairement indpendante1 par sa nature1 de toute ide de valeur4 ,mais il est ais1 nanmoins1 de s'expliquer trs-nettement1 et d'une manire tout--fait gnrale1 quel point1 par un tel artifice1 la question doit se trouver simplifie4 ,il faut1 pour cela1 commencer par distinguer les diffrens ordres d'infiniment petits1 dont on peut se faire une ide fort prcise1 en considrant que ce sont ou les puissances successives d'un mme infiniment petit primitif1 ou des quantits qu'on peut prsenter comme ayant avec ces puissances des rapports finis1 en sorte que1 par exemple1 les diffrentielles seconde1 troisime1 etc41 d'une mme variable1 sont classes comme infiniment petits du second ordre1 du troisime1 etc41 parce qu'il est ais de montrer en elles des multiples finis des puissances seconde1 troisime1 etc41 d'une certaine diffrentielle premire4 ,ces notions prliminaires tant poses1 l'esprit de l'analyse infinitsimale consiste ngliger constamment les quantits infiniment petites l'gard des quantits finies1 et1 gnralement1 les infiniment petits d'un ordre quelconque vis--vis tous ceux d'un ordre infrieur4 ,on conoit immdiatement combien une telle facult doit faciliter la formation des quations entre les diffrentielles des quantits1 puisque1 au lieu de ces diffrentielles1 on pourra substituer tels autres lmens qu'on voudra1 et qui seraient plus simples considrer1 en se conformant cette seule condition1 que les nouveaux lmens ne diffrent des prcdens que de quantits infiniment petites par rapport eux4 ,c'est ainsi qu'il sera possible1 en gomtrie1 de traiter les lignes courbes comme composes d'une infinit d'lmens rectilignes1 les surfaces courbes comme formes d'lmens plans2 et1 en mcanique1 les mouvemens varis comme une suite infinie de mouvemens uniformes1 se succdant des intervalles de temps infiniment petits4 ,vu l'importance de cette conception admirable1 je crois devoir ici1 par l'indication sommaire de quelques exemples principaux1 achever d'claircir son caractre fondamental4 ,qu'il s'agisse de dterminer1 en chaque point d'une courbe plane dont l'quation est donne1 la direction de sa tangente1 question dont la solution gnrale a t l'objet primitif qu'avaient en vue les inventeurs de l'analyse transcendante4 ,on considrera la tangente comme une scante qui joindrait deux points infiniment voisins2 et alors1 en nommant dy et dx les diffrences infiniment petites des coordonnes de ces deux points1 les premiers lmens de la gomtrie fourniront immdiatement l'quation t_/fracdydx1 pour la tangente trigonomtrique de l'angle que fait avec l'axe des x la tangente cherche1 ce qui1 dans un systme de coordonnes rectilignes1 est la manire la plus simple d'en fixer la position4 ,cette quation1 commune toutes les courbes1 tant pose1 la question est rduite un simple problme analytique1 qui consistera liminer les infinitsimales dx et dy1 introduites comme auxiliaires1 en dterminant1 dans chaque cas particulier1 d'aprs l'quation de la courbe propose1 le rapport de dy dx1 ce qui se fera constamment par des procds uniformes et trs-simples4 ,en second lieu1 qu'on veuille connatre la longueur de l'arc d'une courbe quelconque1 considr comme une fonction des coordonnes de ses extrmits4 ,il serait impossible d'tablir immdiatement l'quation entre cet arc s et ces coordonnes1 tandis qu'il est ais de trouver la relation correspondante entre les diffrentielles de ces diverses grandeurs4 ,les plus simples thormes de la gomtrie lmentaire donneront1 en effet1 sur-le-champ1 en considrant l'arc infiniment petit ds comme une ligne droite1 les quations _/ds#b dy#b dx#b1 _/mboxouds#b dx#b dy#b dz#b1 _/ suivant que la courbe sera plane ou double courbure4 ,dans l'un et l'autre cas1 la question est maintenant tout entire du domaine de l'analyse1 qui fera remonter1 d'aprs cette relation1 celle qui existe entre les quantits finies elles-mmes que l'on considre1 par l'limination des diffrentielles1 qui est l'objet propre du calcul des fonctions indirectes4 ,il en serait de mme pour la quadrature des aires curvilignes4 ,si la courbe est plane et rapporte des coordonnes rectilignes1 on concevra l'aire ,a comprise entre elle1 l'axe des x1 et deux coordonnes extrmes1 comme augmentant d'une quantit infiniment petite d,a1 en rsultat d'un accroissement analogue de l'abcisse4 ,alors la relation entre ces deux diffrentielles pourra s'obtenir immdiatement avec la plus grande facilit1 en substituant l'lment curviligne de l'aire propose le rectangle form par l'ordonne extrme et l'lment de l'abcisse1 dont il ne diffre videmment que d'une quantit infiniment petite du second ordre1 ce qui fournira aussitt1 quelle que soit la courbe1 l'quation diffrentielle trs-simple _/d,a ydx1_/ d'o le calcul des fonctions indirectes1 quand la courbe sera dfinie1 apprendra dduire l'quation finie1 objet immdiat du problme4 ,pareillement1 en dynamique1 quand on voudra connatre l'expression de la vitesse acquise chaque instant par un corps anim d'un mouvement vari suivant une loi quelconque1 on considrera le mouvement comme uniforme pendant la dure d'un lment infiniment petit du temps t1 et on formera ainsi immdiatement l'quation diffrentielle devdt1 v dsignant la vitesse acquise quand le corps a parcouru l'espace e1 et de l il sera facile de conclure1 par de simples procds analytiques invariables1 la formule qui donnerait la vitesse dans chaque mouvement particulier1 d'aprs la relation correspondante entre le temps et l'espace2 ou1 rciproquement1 quelle serait cette relation si le mode de variation de la vitesse tait suppos connu1 soit par rapport l'espace1 soit par rapport au temps4 ,enfin1 pour indiquer une autre nature de questions1 c'est par une marche semblable que1 dans l'tude des phnomnes thermologiques1 comme l'a si heureusement conue ,m4 ,fourier1 on peut former trs-simplement1 ainsi que nous le verrons plus tard1 l'quation diffrentielle gnrale qui exprime la rpartition variable de la chaleur dans un corps quelconque quelques influences qu'on le suppose soumis1 d'aprs la seule relation1 fort aise obtenir1 qui reprsente la distribution uniforme de la chaleur dans un paralllipipde rectangle1 en considrant gomtriquement tout autre corps comme dcompos en lmens infiniment petits d'une telle forme1 et thermologiquement le flux de chaleur comme constant pendant un temps infiniment petit4 ,ds-lors1 toutes les questions que peut prsenter la thermologie abstraite se trouveront rduites1 comme pour la gomtrie et la mcanique1 de pures difficults d'analyse1 qui consisteront toujours dans l'limination des diffrentielles introduites comme auxiliaires pour faciliter l'tablissement des quations4 ,des exemples de nature aussi diverse sont plus que suffisans pour faire nettement comprendre en gnral l'immense porte de la conception fondamentale de l'analyse transcendante1 telle que ,lebnitz l'a forme1 et qui constitue sans aucun doute la plus haute pense laquelle l'esprit humain se soit jamais lev jusqu' prsent4 ,on voit que cette conception tait indispensable pour achever de fonder la science mathmatique1 en permettant d'tablir d'une manire large et fconde1 la relation du concret l'abstrait4 ,sous ce rapport1 elle doit tre envisage comme le complment ncessaire de la grande ide-mre de ,descartes1 sur la reprsentation analytique gnrale des phnomnes naturels1 ide qui n'a commenc tre dignement apprcie et convenablement exploite que depuis la formation de l'analyse infinitsimale1 sans laquelle elle ne pouvait encore produire1 mme en gomtrie1 de rsultats trs-importans#aa4 ,note #aa3 ,il est bien remarquable1 en effet1 que des hommes tels que ,pascal1 aient fait aussi peu d'attention la conception fondamentale de ,descartes1 sans pressentir nullement la rvolution gnrale qu'elle tait ncessairement destine produire dans le systme entier de la science mathmatique4 ,cela est venu de ce que1 sans le secours de l'analyse transcendante1 cette admirable mthode ne pouvait rellement encore conduire des rsultats essentiels1 qui ne pussent tre obtenus presqu'aussi bien par la mthode gomtrique des anciens4 ,les esprits mmes les plus minens ont toujours bien moins apprci jusqu'ici les mthodes gnrales par leur simple caractre philosophique1 que par les connaissances effectives qu'elles pouvaient procurer immdiatement4 ,quoique j'aie cru devoir1 dans les considrations prcdentes1 insister particulirement sur l'admirable facilit que prsente par sa nature l'analyse transcendante pour la recherche des lois mathmatiques de tous les phnomnes1 je ne dois pas ngliger de faire ressortir une seconde proprit fondamentale1 peut-tre aussi importante que la premire1 et qui ne lui est pas moins inhrente3 je veux parler de l'extrme gnralit des formules diffrentielles1 qui expriment en une seule quation chaque phnomne dtermin1 quelque varis que puissent tre les sujets dans lesquels on le considre4 ,ainsi1 sous le point de vue de l'analyse infinitsimale1 on voit1 dans les exemples qui prcdent1 une seule quation diffrentielle donner les tangentes toutes les courbes1 une autre leurs rectifications1 une troisime leurs quadratures2 et de mme1 une formule invariable exprimer la loi mathmatique de tout mouvement vari2 enfin une quation unique reprsenter constamment la rpartition de la chaleur dans un corps et pour un cas quelconques4 ,cette gnralit si minemment remarquable1 et qui est pour les gomtres la base des considrations les plus leves1 est une heureuse consquence ncessaire et presqu'immdiate de l'esprit mme de l'analyse transcendante1 surtout dans la conception de ,lebnitz4 ,elle rsulte de ce que1 en substituant aux lmens infiniment petits des grandeurs considres1 d'autres infinitsimales plus simples1 qui seules entrent dans les quations diffrentielles1 ces infinitsimales se trouvent1 par leur nature1 tre constamment les mmes pour chaque classe totale de questions1 quels que soient les objets divers du phnomne tudi4 ,ainsi1 par exemple1 toute courbe1 quelle qu'elle soit1 tant toujours dcompose en lmens rectilignes1 on conoit priori que la relation entre ces lmens uniformes doit ncessairement tre la mme pour un mme phnomne gomtrique quelconque1 quoique l'quation finie correspondante cette loi diffrentielle doive varier d'une courbe une autre4 ,il en est videmment de mme dans tout autre cas quelconque4 ,l'analyse infinitsimale n'a donc pas seulement fourni un procd gnral pour former indirectement des quations qu'il et t impossible de dcouvrir d'une manire directe2 elle a permis en outre de considrer1 pour l'tude mathmatique des phnomnes naturels1 un ordre nouveau de lois plus gnrales et nanmoins offrant une signification claire et prcise tout esprit habitu leur interprtation4 ,ces lois sont constamment les mmes pour chaque phnomne1 dans quelques objets qu'on l'tudie1 et ne changent qu'en passant d'un phnomne un autre2 d'o l'on a pu d'ailleurs1 en comparant ces variations1 s'lever quelquefois1 par une vue encore plus gnrale1 des rapprochemens positifs entre diverses classes de phnomnes tout--fait divers1 d'aprs les analogies prsentes par les expressions diffrentielles de leurs lois mathmatiques4 ,dans l'tude philosophique de la mathmatique concrte1 je m'attacherai faire exactement apprcier cette seconde proprit caractristique de l'analyse transcendante1 non moins admirable que la premire1 et en vertu de laquelle le systme entier d'une science immense1 comme la gomtrie ou la mcanique1 a pu se trouver condens en un petit nombre de formules analytiques1 d'o l'esprit humain peut dduire1 par des rgles certaines et invariables1 la solution de tous les problmes particuliers4 ,pour terminer l'exposition gnrale de la conception de ,lebnitz1 il me reste maintenant considrer en elle-mme la dmonstration du procd logique auquel elle conduit1 ce qui constitue malheureusement la partie la plus imparfaite de cette belle mthode4 ,dans les premiers temps de l'analyse infinitsimale1 les gomtres les plus clbres1 tels que les deux illustres frres ,jean et ,jacques ,bernouilli attachrent1 avec raison1 bien plus d'importance tendre1 en la dveloppant1 l'immortelle dcouverte de ,lebnitz1 et en multiplier les applications1 qu' tablir rigoureusement les bases logiques sur lesquelles reposaient les procds de ce nouveau calcul#ab4 ,ils se contentrent pendant long-temps de rpondre par la solution inespre des problmes les plus difficiles l'opposition prononce de la plupart des gomtres du second ordre contre les principes de la nouvelle analyse1 persuads sans doute1 contrairement aux habitudes ordinaires1 que1 dans la science mathmatique bien plus que dans aucune autre1 on peut accueillir avec hardiesse les nouveaux moyens1 mme quand leur rationnalit est imparfaite1 pourvu qu'ils soient fconds1 puisque1 les vrifications tant bien plus faciles et plus multiplies1 l'erreur ne saurait demeurer long-temps inaperue4 ,nanmoins1 aprs le premier lan1 il tait impossible d'en rester l2 et il fallait revenir ncessairement sur les fondemens mmes de l'analyse lebnitzienne pour constater gnralement l'exactitude rigoureuse des procds employs1 malgr les infractions apparentes qu'on s'y permettait aux rgles ordinaires du raisonnement4 ,lebnitz1 press de rpondre1 avait lui-mme prsent une explication tout--fait errone1 en disant qu'il traitait les infiniment petits comme des incomparables1 et qu'il les ngligeait vis--vis des quantits finies comme des grains de sable par rapport la mer1 considration qui et compltement dnatur son analyse1 en la rduisant n'tre plus qu'un simple calcul d'approximation1 qui1 sous ce rapport1 serait radicalement vicieux1 puisqu'il serait impossible de prvoir1 en thse gnrale1 quel point les oprations successives peuvent grossir ces erreurs premires1 dont l'accroissement pourrait mme videmment devenir ainsi quelconque4 ,lebnitz n'avait donc entrevu que d'une manire extrmement confuse les vritables fondemens rationnels de l'analyse qu'il avait cre4 ,ses premiers successeurs se bornrent d'abord en vrifier l'exactitude par la conformit de ses rsultats1 dans certains usages particuliers1 avec ceux que fournissait l'algbre ordinaire ou la gomtrie des anciens1 en reproduisant1 autant qu'ils le pouvaient1 d'aprs les anciennes mthodes1 les solutions de quelques problmes1 une fois qu'elles avaient t obtenues par la mthode nouvelle1 seule capable primitivement de les faire dcouvrir4 ,quand cette grande question a t considre d'une manire plus gnrale1 les gomtres1 au lieu d'aborder directement la difficult1 ont prfr l'luder en quelque sorte1 comme l'ont fait ,euler et d',alembert1 par exemple1 en dmontrant abstraitement la conformit ncessaire et constante de la conception de ,lebnitz1 envisage dans tous ses usages quelconques1 avec d'autres conceptions fondamentales de l'analyse transcendante1 celle de ,newton surtout1 dont l'exactitude tait l'abri de toute objection4 ,une telle vrification gnrale est sans doute strictement suffisante pour dissiper toute incertitude sur l'emploi lgitime de l'analyse lebnitzienne4 ,mais la mthode infinitsimale est tellement importante1 elle prsente encore1 dans presque toutes les applications1 une telle supriorit effective sur les autres conceptions gnrales successivement proposes1 qu'il y aurait vritablement imperfection dans le caractre philosophique de la science ne pouvoir la justifier en elle-mme1 et la fonder logiquement sur des considrations d'un autre ordre1 qu'on cesserait ensuite d'employer efficacement4 ,il tait donc d'une importance relle d'tablir directement et d'une manire gnrale la rationnalit ncessaire de la mthode infinitsimale4 ,aprs diverses tentatives plus ou moins imparfaites pour y parvenir1 les travaux philosophiques de ,lagrange ayant fortement report1 vers la fin du sicle dernier1 l'attention des gomtres sur la thorie gnrale de l'analyse infinitsimale1 un gomtre trs-recommandable1 ,carnot1 prsenta enfin la vritable explication logique directe de la mthode de ,lebnitz1 en la montrant comme fonde sur le principe de la compensation ncessaire des erreurs1 ce qui est vraisemblablement1 en effet1 la manifestation prcise et lumineuse de ce que ,lebnitz avait vaguement et confusment aperu1 en concevant les bases rationnelles de son analyse4 ,carnot a rendu ainsi la science un service essentiel#ac1 et dont l'importance me semble n'tre pas encore suffisamment apprcie1 quoique1 comme nous le verrons la fin de cette leon1 tout cet chafaudage logique de la mthode infinitsimale proprement dite ne soit susceptible trs-vraisemblablement que d'une existence provisoire1 en tant que radicalement vicieux par sa nature4 ,je n'en crois pas moins1 cependant1 devoir considrer ici1 afin de complter cette importante exposition1 le raisonnement gnral propos par ,carnot1 pour lgitimer directement l'analyse de ,lebnitz4 ,voici en quoi il consiste essentiellement4 ,note #ab3 ,on ne peut contempler1 sans un profond intrt1 le naf enthousiasme de l'illustre ,huyghens1 au sujet de cette admirable cration1 quoique son ge avanc ne lui permt point d'en faire lui-mme aucun usage important1 et qu'il se ft dj lev sans ce puissant secours des dcouvertes capitales4 ,je vois avec surprise et avec admiration1 crivait-il1 en #afib1 au marquis de ,l',hpital1 l'tendue et la fcondit de cet art2 de quelque ct que je tourne la vue1 j'en aperois de nouveaux usages2 enfin1 j'y conois un progrs et une spculation infinis4 ,note #ac3 ,voyez l'ouvrage remarquable qu'il a publi sous le titre de ,rflexions sur la ,mtaphysique du calcul infinitsimal1 et dans lequel on trouve d'ailleurs une exposition claire et utile1 quoique trop peu approfondie1 de tous les divers points de vue sous lesquels a t conu le systme gnral du calcul des fonctions indirectes4 ,lorsqu'on tablit l'quation diffrentielle d'un phnomne1 on substitue aux lmens immdiats des diverses quantits considres1 d'autres infinitsimales plus simples qui en diffrent infiniment peu par rapport eux1 et cette substitution constitue le principal artifice de la mthode de ,lebnitz1 qui1 sans cela1 n'offrirait aucune facilit relle pour la formation des quations4 ,carnot regarde une telle hypothse comme produisant vritablement une erreur dans l'quation ainsi obtenue1 et que1 pour cette raison1 il appelle imparfaite2 seulement1 il est clair que cette erreur ne peut tre qu'infiniment petite4 ,or1 d'un autre ct1 tous les procds analytiques1 soit de diffrentiation1 soit d'intgration1 qu'on applique ces quations diffrentielles pour s'lever aux quations finies en liminant toutes les infinitsimales introduites comme auxiliaires1 produisent aussi constamment1 par leur nature1 ainsi qu'il est ais de le voir1 d'autres erreurs analogues1 en sorte qu'il a pu s'oprer une exacte compensation1 et que les quations dfinitives peuvent1 suivant l'expression de ,carnot1 tre devenues parfaites4 ,carnot considre comme un symptme certain et invariable de l'tablissement effectif de cette compensation ncessaire1 l'limination complte des diverses quantits infiniment petites1 qui est constamment1 en effet1 le but dfinitif de toutes les oprations de l'analyse transcendante4 ,car1 si on n'a jamais commis d'autres infractions aux rgles gnrales du raisonnement que celles ainsi exiges par la nature mme de la mthode infinitsimale1 les erreurs infiniment petites produites de cette manire n'ayant jamais pu engendrer que des erreurs infiniment petites dans toutes les quations1 les relations sont ncessairement d'une exactitude rigoureuse aussitt qu'elles n'ont plus lieu qu'entre des quantits finies1 puisqu'il ne saurait videmment exister alors que des erreurs finies1 tandis qu'il n'a pu en survenir aucune de ce genre4 ,tout ce raisonnement gnral est fond sur la notion des quantits infinitsimales1 conues comme indfiniment dcroissantes1 lorsque celles dont elles drivent sont envisages comme fixes4 ,ainsi1 pour claircir cette exposition abstraite par un seul exemple1 reprenons la question des tangentes1 qui est la plus facile analyser compltement4 ,on regardera l'quation t_/fracdydx obtenue ci-dessus comme affecte d'une erreur infiniment petite1 puisqu'elle ne serait tout--fait rigoureuse que pour la scante4 ,maintenant1 on achvera la solution en cherchant1 d'aprs l'quation de chaque courbe1 le rapport entre les diffrentielles des coordonnes4 ,si cette quation est1 je suppose1 yax#b1 on aura videmment _/dy #b;axdx dx#b4_/ ,dans cette formule1 on devra ngliger le terme dx#b comme infiniment petit du second ordre4 ,ds lors la combinaison des deux quations imparfaites _/t_/fracdydx1_/2dy #b;axdx1_/ suffisant pour liminer entirement les infinitsimales1 le rsultat fini t #b;ax sera ncessairement rigoureux par l'effet de la compensation exacte des deux erreurs commises puisqu'il ne pourrait1 par sa nature1 tre affect d'une erreur infiniment petite1 la seule nanmoins qu'il pt y avoir1 d'aprs l'esprit des procds qui ont t suivis4 ,il serait ais de reproduire uniformment le mme raisonnement par rapport toutes les autres applications gnrales de l'analyse de ,lebnitz4 ,cette ingnieuse thorie est sans doute plus subtile que solide1 quand on cherche l'approfondir4 ,mais elle n'a cependant en ralit d'autre vice logique radical que celui de la mthode infinitsimale elle-mme1 dont elle est1 ce me semble1 le dveloppement naturel et l'explication gnrale1 en sorte qu'elle doit tre adopte aussi long-temps qu'on jugera convenable d'employer directement cette mthode4 ,je passe maintenant l'exposition gnrale des deux autres conceptions fondamentales de l'analyse transcendante1 en me bornant pour chacune l'ide principale1 le caractre philosophique de cette analyse ayant t1 du reste1 suffisamment dtermin ci-dessus1 d'aprs la conception de ,lebnitz1 laquelle j'ai d spcialement m'attacher1 parce qu'elle permet de le saisir plus aisment dans son ensemble1 et de le dcrire avec plus de rapidit4 ,newton a prsent successivement1 sous plusieurs formes diffrentes1 sa manire propre de concevoir l'analyse transcendante4 ,celle qui est aujourd'hui le plus communment adopte1 du moins parmi les gomtres du continent1 a t dsigne par ,newton1 tantt sous le nom de mthode des premires et dernires raisons1 tantt sous celui de mthode des limites1 qu'on emploie plus frquemment4 ,sous ce point de vue1 l'esprit gnral de l'analyse transcendante consiste introduire comme auxiliaires1 la place des quantits primitives ou concurremment avec elles1 pour faciliter l'tablissement des quations1 les limites des rapports des accroissemens simultans de ces quantits1 ou1 en d'autres termes1 les dernires raisons de ces accroissemens1 limites ou dernires raisons qu'on peut aisment montrer comme ayant une valeur dtermine et finie4 ,un calcul spcial1 qui est l'quivalent du calcul infinitsimal1 est ensuite destin s'lever de ces quations entre ces limites aux quations correspondantes entre les quantits primitives elles-mmes4 ,la facult que prsente une telle analyse pour exprimer plus aisment les lois mathmatiques des phnomnes tient1 en gnral1 ce que le calcul portant1 non sur les accroissemens mmes des quantits proposes1 mais sur les limites des rapports de ces accroissemens1 on pourra toujours substituer chaque accroissement toute autre grandeur plus simple considrer1 pourvu que leur dernire raison soit la raison d'galit1 ou1 en d'autres termes1 que la limite de leur rapport soit l'unit4 ,il est clair1 en effet1 que le calcul des limites ne saurait tre nullement affect de cette substitution4 ,en partant de ce principe1 on retrouve peu prs l'quivalent des facilits offertes par l'analyse de ,lebnitz1 qui sont seulement conues alors sous un autre point de vue4 ,ainsi1 les courbes seront envisages comme les limites d'une suite de polygones rectilignes1 les mouvemens varis comme les limites d'un ensemble de mouvemens uniformes de plus en plus rapprochs1 etc4 ,qu'on veuille1 par exemple1 dterminer la direction de la tangente une courbe2 on la regardera comme la limite vers laquelle tendrait une scante1 qui tournerait autour du point donn1 de manire que son second point d'intersection se rapprocht indfiniment du premier4 ,en nommant _/,delta y et _/,delta x les diffrences des coordonnes des deux points1 on aurait1 chaque instant1 pour la tangente trigonomtrique de l'angle que fait la scante avec l'axe des abcisses1 t_/frac_/,delta y_/,delta x2 d'o1 en prenant les limites1 on dduira1 relativement la tangente elle-mme1 cette formule gnrale d'analyse transcendante _/t ,l_/frac_/,delta y_/,delta x2#ad_/ d'aprs laquelle le calcul des fonctions indirectes enseignera1 dans chaque cas particulier1 quand l'quation de la courbe sera donne1 dduire la relation entre t et x1 en liminant les quantits auxiliaires introduites4 ,si1 pour achever la solution1 on suppose que y ax#b soit l'quation de la courbe propose1 on aura videmment1 _/_/,delta y #b;ax_/,delta x 7_/,delta x7#b2_/ d'o l'on conclura _/_/frac_/,delta y_/,delta x #b;ax _/,delta x4_/ ,or1 il est clair que la limite vers laquelle tend le second membre1 mesure que _/,delta x diminue1 est #b;ax4 ,on trouvera donc par cette mthode1 t#b;ax1 comme nous l'avions obtenu ci-dessus pour le mme cas1 d'aprs l'analyse de ,lebnitz4 ,note #ad3 ,j'emploie la caractristique ,l pour dsigner la limite4 ,pareillement1 quand on cherche la rectification d'une courbe1 il faut substituer l'accroissement de l'arc s1 la corde de cet accroissement1 qui est videmment avec lui dans une relation telle1 que la limite de leur rapport est l'unit1 et alors on trouve1 en suivant d'ailleurs la mme marche qu'avec la mthode de ,lebnitz1 cette quation gnrale des rectifications _/_/left7,l_/frac_/,delta s_/,delta x_/right7#b #a _/left7,l_/frac_/,delta y_/,delta x_/right7#b_/ ou _/_/left7,l_/frac_/,delta s_/,delta x_/right7#b #a _/left7,l_/frac_/,delta y_/,delta x_/right7#b _/left7,l_/frac_/,delta z_/,delta x_/right7#b1_/ selon que la courbe est plane ou double courbure4 ,il faudra maintenant1 pour chaque courbe particulire1 passer de cette quation celle entre l'arc et l'abcisse1 ce qui dpend du calcul transcendant proprement dit4 ,on reprendrait avec la mme facilit1 d'aprs la mthode des limites1 toutes les autres questions gnrales1 dont la solution a t indique ci-dessus1 suivant la mthode infinitsimale4 ,telle est1 essentiellement1 la conception que ,newton s'tait forme1 pour l'analyse transcendante1 ou1 plus exactement1 celle que ,maclaurin et d',alembert ont prsente comme la base la plus rationnelle de cette analyse1 en cherchant fixer et coordonner les ides de ,newton ce sujet4 ,je dois1 nanmoins1 avant de procder l'exposition de la conception de ,lagrange1 signaler ici une autre forme distincte sous laquelle ,newton a prsent cette mme mthode1 et qui mrite de fixer particulirement notre attention1 tant par son ingnieuse clart dans quelques cas1 que comme ayant fourni la notation la mieux approprie cette manire d'envisager l'analyse transcendante1 et enfin1 comme tant encore aujourd'hui la forme spciale du calcul des fonctions indirectes communment adopte par les gomtres anglais4 ,je veux parler du calcul des fluxions et des fluentes1 fond sur la notion gnrale des vitesses4 ,pour en faire concevoir l'ide-mre avec plus de facilit1 considrons toute courbe comme engendre par un point anim d'un mouvement vari suivant une loi quelconque4 ,les diverses quantits que la courbe peut offrir1 l'abcisse1 l'ordonne1 l'arc1 l'aire1 etc41 seront envisages comme simultanment produites par degrs successifs pendant ce mouvement4 ,la vitesse avec laquelle chacune aura t dcrite sera dite la fluxion de cette quantit1 qui1 en sens inverse1 en serait nomme la fluente4 ,ds lors1 l'analyse transcendante consistera1 dans cette conception1 former immdiatement les quations entre les fluxions des quantits proposes pour en dduire ensuite1 par un calcul spcial1 les quations entre les fluentes elles-mmes4 ,ce que je viens d'noncer relativement aux courbes peut d'ailleurs videmment se transporter des grandeurs quelconques1 envisages1 l'aide d'une image convenable1 comme produites par le mouvement les unes des autres4 ,il est ais de comprendre l'identit gnrale et ncessaire de cette mthode avec celle des limites1 complique de l'ide trangre du mouvement4 ,en effet1 reprenant le cas de la courbe1 si l'on suppose1 comme on peut videmment toujours le faire1 que le mouvement du point dcrivant est uniforme suivant une certaine direction1 par exemple1 dans le sens de l'abcisse1 alors la fluxion de l'abcisse sera constante1 comme l'lment du temps4 ,pour toutes les autres quantits engendres1 le mouvement ne pourrait tre conu comme uniforme que pendant un temps infiniment petit4 ,cela pos1 la vitesse tant gnralement1 d'aprs sa notion mcanique1 le rapport de chaque espace au temps employ le parcourir1 et ce temps tant ici proportionnel l'accroissement de l'abcisse1 il s'ensuit que la fluxion de l'ordonne1 de l'arc1 de l'aire1 etc41 ne sont vritablement autre chose1 en faisant disparatre la considration intermdiaire du temps1 que les dernires raisons des accroissemens de ces diverses quantits compars celui de l'abcisse4 ,cette mthode des fluxions et des fluentes n'est donc en ralit qu'une manire de se reprsenter1 d'aprs une comparaison mcanique1 la mthode des premires et dernires raisons1 qui seule est rductible en calcul4 ,elle comporte donc ncessairement les mmes avantages gnraux dans les diverses applications principales de l'analyse transcendante1 sans que nous ayons besoin de le constater spcialement4 ,je considre enfin la conception de ,lagrange4 ,elle consiste1 dans son admirable simplicit1 se reprsenter l'analyse transcendante comme un grand artifice algbrique1 d'aprs lequel1 pour faciliter l'tablissement des quations1 on introduit1 au lieu de fonctions primitives ou avec elles1 leurs fonctions drives1 c'est--dire1 suivant la dfinition de ,lagrange1 le cofficient du premier terme de l'accroissement de chaque fonction1 ordonn selon les puissances ascendantes de l'accroissement de sa variable4 ,le calcul des fonctions indirectes proprement dit1 est toujours destin1 ainsi que dans les conceptions de ,lebnitz et de ,newton1 liminer ces drives employes comme auxiliaires1 pour dduire de leurs relations les quations correspondantes entre les grandeurs primitives4 ,l'analyse transcendante n'est alors autre chose qu'une simple extension trs-considrable de l'analyse ordinaire4 ,c'tait dj depuis long-temps un procd familier aux gomtres1 que d'introduire1 dans les considrations analytiques1 au lieu des grandeurs mmes qu'ils avaient tudier1 leurs diverses puissances1 ou leurs logarithmes1 ou leurs sinus1 etc41 afin de simplifier les quations1 et mme de les obtenir plus aisment4 ,la drivation successive est un artifice gnral de la mme nature1 qui prsente seulement beaucoup plus d'tendue1 et procure1 en consquence1 pour ce but commun1 des ressources bien plus importantes4 ,mais1 quoiqu'on conoive sans doute priori que la considration auxiliaire de ces drives1 peut faciliter l'tablissement des quations1 il n'est pas ais d'expliquer pourquoi cela doit tre ncessairement d'aprs le mode de drivation adopt plutt que suivant toute autre transformation4 ,tel est le ct faible de la grande pense de ,lagrange4 ,on n'est point1 en effet1 rellement parvenu jusqu'ici saisir en gnral d'une manire abstraite1 et sans rentrer dans les autres conceptions de l'analyse transcendante1 les avantages prcis que doit constamment prsenter1 par sa nature1 cette analyse ainsi conue1 pour la recherche des lois mathmatiques des phnomnes4 ,il est seulement possible de les constater1 en considrant sparment chaque question principale1 et cette vrification devient mme pnible1 quand on choisit une question complique4 ,pour indiquer sommairement comment cette manire de concevoir l'analyse transcendante peut s'adapter effectivement la solution des problmes mathmatiques1 je me bornerai reprendre sous ce point de vue le problme le plus simple de tous ceux ci-dessus examins1 celui des tangentes4 ,au lieu de concevoir la tangente comme le prolongement de l'lment infiniment petit de la courbe1 suivant la notion de ,lebnitz2 ou comme la limite des scantes1 suivant les ides de ,newton2 ,lagrange la considre d'aprs ce simple caractre gomtrique1 analogue aux dfinitions des anciens1 d'tre une droite telle qu'entre elle et la courbe il ne peut passer1 par le point de contact1 aucune autre droite4 ,ds lors1 pour en dterminer la direction1 il faut chercher l'expression gnrale de sa distance la courbe1 dans un sens quelconque1 dans celui de l'ordonne1 par exemple1 en un second point distinct du premier1 et disposer de la constante arbitraire relative l'inclinaison de la droite1 qui entrera ncessairement dans cette expression1 de manire diminuer cet cartement le plus possible4 ,or1 cette distance tant videmment gale la diffrence des deux ordonnes de la courbe et de la droite qui correspondent une mme nouvelle abcisse xh1 sera reprsente par la formule _/7f'7x7-t7h qh#b rh#c _/mbox_/rm etc41_/ o t dsigne1 comme ci-dessus1 la tangente trigonomtrique inconnue de l'angle que fait avec l'axe des 7x71 la droite cherche1 et f'7x71 la fonction drive de l'ordonne f7x74 ,cela pos1 il est ais de voir qu'en disposant de t de faon annuler le premier terme de la formule prcdente1 on aura rendu l'intervalle des deux lignes le plus petit possible1 tellement que toute autre droite pour laquelle t n'aurait point la valeur ainsi dtermine1 s'carterait ncessairement davantage de la courbe propose4 ,on a donc1 pour la direction de la tangente cherche1 l'expression gnrale tf'7x72 rsultat exactement quivalent ceux que fournissent la mthode infinitsimale1 et la mthode des limites4 ,il restera maintenant1 dans chaque courbe particulire1 trouver f'7x71 ce qui est une pure question d'analyse1 tout--fait identique avec celles que prescrivent alors les autres mthodes4 ,aprs avoir suffisamment considr dans leur ensemble les principales conceptions gnrales successivement produites jusqu'ici pour l'analyse transcendante1 je ne dois pas m'arrter l'examen de quelques autres thories proposes1 telles que le calcul des vanouissans d',euler1 qui ne sont rellement que des modifications plus ou moins importantes1 et d'ailleurs inusites1 des mthodes prcdentes4 ,il me reste maintenant1 afin de complter cet ensemble de considrations1 tablir la comparaison et l'apprciation de ces trois mthodes fondamentales4 ,je dois pralablement constater d'une manire gnrale1 leur conformit parfaite et ncessaire4 ,il est d'abord vident1 par ce qui prcde1 qu' considrer ces trois mthodes quant leur destination effective1 indpendamment des ides prliminaires1 elles consistent toutes en un mme artifice logique gnral1 que j'ai caractris dans la quatrime leon1 savoir3 l'introduction d'un certain systme des grandeurs auxiliaires1 uniformment corrlatives celles qui sont l'objet propre de la question1 et qu'on leur substitue expressment pour faciliter l'expression analytique des lois mathmatiques des phnomnes1 quoiqu'elles doivent finalement tre limines1 l'aide d'un calcul spcial4 ,c'est ce qui m'a dtermin dfinir rgulirement l'analyse transcendante le calcul des fonctions indirectes1 afin de marquer son vrai caractre philosophique1 en cartant toute discussion sur la manire la plus convenable de la concevoir et de l'appliquer4 ,l'effet gnral de cette analyse1 quelle que soit la mthode employe1 est donc de faire rentrer beaucoup plus promptement chaque question mathmatique dans le domaine du calcul1 et de diminuer ainsi considrablement la difficult capitale que prsente ordinairement le passage du concret l'abstrait4 ,quoiqu'on fasse1 on ne peut esprer que le calcul s'empare jamais de chaque question de philosophie naturelle1 gomtrique1 ou mcanique1 ou thermologique1 etc41 immdiatement sa naissance1 ce qui serait videmment contradictoire4 ,il y aura constamment dans tout problme1 un certain travail prliminaire effectuer sans que le calcul puisse tre d'aucun secours1 et qui ne saurait tre1 par sa nature1 assujti des rgles abstraites et invariables2 c'est celui qui a pour objet propre l'tablissement des quations1 qui sont le point de dpart indispensable de toutes les recherches analytiques4 ,mais cette laboration pralable a t singulirement simplifie par la cration de l'analyse transcendante1 qui a ainsi ht l'poque o la solution comporte l'application uniforme et prcise de procds gnraux et abstraits2 en rduisant1 dans chaque cas1 ce travail spcial la recherche des quations entre les grandeurs auxiliaires1 d'o le calcul conduit ensuite aux quations directement relatives aux grandeurs proposes1 qu'il fallait1 avant cette admirable conception1 tablir immdiatement4 ,que ces quations indirectes soient des quations diffrentielles1 suivant la pense de ,lebnitz2 ou des quations aux limites1 conformment aux ides de ,newton2 ou enfin des quations drives1 d'aprs la thorie de ,lagrange2 le procd gnral est videmment toujours le mme4 ,mais la concidence de ces trois mthodes principales ne se borne pas l'effet commun qu'elles produisent2 elle existe1 en outre1 dans la manire mme de l'obtenir4 ,en effet1 non-seulement toutes trois considrent1 la place des grandeurs primitives1 certaines grandeurs auxiliaires2 de plus1 les quantits ainsi introduites subsidiairement1 sont exactement identiques dans les trois mthodes1 qui ne diffrent1 par consquent1 que par la manire de les envisager4 ,c'est ce qu'on peut aisment constater1 en prenant pour terme gnral de comparaison une quelconque des trois conceptions1 celle de ,lagrange surtout1 la plus propre servir de type1 comme tant la plus dgage de considrations trangres4 ,n'est-il pas vident1 par la seule dfinition des fonctions drives1 qu'elles ne sont autre chose que ce que ,lebnitz appelle les cofficiens diffrentiels1 ou les rapports de la diffrentielle de chaque fonction celle de la variable correspondante1 puisque1 en dterminant la premire diffrentielle1 on devra1 par la nature mme de la mthode infinitsimale1 se borner prendre le seul terme de l'accroissement de la fonction qui contient la premire puissance de l'accroissement infiniment petit de la variable8 ,de mme1 la fonction drive n'est elle pas aussi par sa nature1 la limite ncessaire vers laquelle tend le rapport entre l'accroissement de la fonction primitive et celui de sa variable1 mesure que ce dernier diminue indfiniment1 puisqu'elle exprime videmment ce que devient ce rapport1 en supposant nul l'accroissement de la variable4 ,ce qu'on dsigne par _/fracdydx dans la mthode de ,lebnitz1 ce qu'on devrait noter ,l _/frac_/,delta y_/,delta x dans celle de ,newton1 et ce que ,lagrange a indiqu par f'7x71 est toujours une mme fonction1 envisage sous trois points de vue diffrens2 les considrations de ,lebnitz et de ,newton1 consistant proprement faire connatre deux proprits gnrales ncessaires de la fonction drive4 ,l'analyse transcendante1 examine abstraitement1 et dans son principe1 est donc toujours la mme1 quelle que soit la conception qu'on adopte3 les procds du calcul des fonctions indirectes sont ncessairement identiques dans ces diverses mthodes1 qui1 pareillement1 doivent1 pour une application quelconque1 conduire constamment des rsultats rigoureusement conformes4 ,si maintenant nous cherchons apprcier la valeur relative de ces trois conceptions quivalentes1 nous trouverons dans chacune des avantages et des inconvniens qui lui sont propres1 et qui empchent encore les gomtres de s'en tenir strictement une seule d'entr'elles1 considre comme dfinitive4 ,la conception de ,lebnitz prsente1 incontestablement1 dans l'ensemble des applications1 une supriorit trs-prononce1 en conduisant d'une manire beaucoup plus rapide1 et avec bien moins d'efforts intellectuels1 la formation des quations entre les grandeurs auxiliaires4 ,c'est son usage que nous devons la haute perfection qu'ont enfin acquise toutes les thories gnrales de la gomtrie et de la mcanique4 ,quelles que soient les diverses opinions spculatives des gomtres sur la mthode infinitsimale1 envisage abstraitement1 tous s'accordent tacitement l'employer de prfrence1 aussitt qu'ils ont traiter une question nouvelle1 afin de ne point compliquer la difficult ncessaire par cet obstacle purement artificiel1 provenant d'une obstination dplace vouloir suivre une marche moins expditive4 ,lagrange lui-mme1 aprs avoir reconstruit sur de nouvelles bases l'analyse transcendante1 a rendu1 avec cette haute franchise qui convenait si bien son gnie1 un hommage clatant et dcisif aux proprits caractristiques de la conception de ,lebnitz1 en la suivant exclusivement dans le systme entier de la mcanique analytique4 ,un tel fait nous dispense1 ce sujet1 de toute autre rflexion4 ,mais quand on considre en elle-mme1 et sous le rapport logique1 la conception de ,lebnitz1 on ne peut s'empcher de reconnatre avec ,lagrange qu'elle est radicalement vicieuse1 en ce que1 suivant ses propres expressions1 la notion des infiniment petits1 est une ide fausse1 qu'il est impossible1 en effet1 de se reprsenter nettement1 quoiqu'on se fasse quelquefois illusion cet gard4 ,l'analyse transcendante1 ainsi conue1 prsente1 mes yeux1 cette grande imperfection philosophique1 de se trouver encore essentiellement fonde sur ces principes mtaphysiques1 dont l'esprit humain a eu tant de peine dgager toutes ses thories positives4 ,sous ce rapport1 on peut dire que la mthode infinitsimale porte vraiment l'empreinte caractristique de l'poque de sa fondation1 et du gnie propre de son fondateur4 ,on peut bien1 il est vrai1 par l'ingnieuse ide de la compensation des erreurs1 s'expliquer d'une manire gnrale1 comme nous l'avons fait ci-dessus1 l'exactitude ncessaire des procds gnraux qui composent la mthode infinitsimale4 ,mais cela seul n'est-il pas un inconvnient radical1 que d'tre oblig de distinguer1 en mathmatique1 deux classes de raisonnemens1 ceux qui sont parfaitement rigoureux1 et ceux dans lesquels on commet dessein des erreurs qui devront se compenser plus tard8 ,une conception qui conduit des consquences aussi tranges1 est1 sans doute1 rationnellement1 bien peu satisfaisante4 ,ce serait videmment luder la difficult sans la rsoudre1 que de dire1 comme on l'a fait quelquefois1 qu'il est possible1 par rapport chaque question1 de faire rentrer la mthode infinitsimale proprement dite dans celle des limites1 dont le caractre logique est irrprochable4 ,d'ailleurs1 une telle transformation enlve presqu'entirement la conception de ,lebnitz les avantages essentiels qui la recommandent si minemment1 quant la facilit et la rapidit des oprations intellectuelles4 ,enfin n'et-on mme aucun gard aux importantes considrations qui prcdent1 la mthode infinitsimale n'en prsenterait pas moins videmment1 par sa nature1 ce dfaut capital de rompre l'unit de la mathmatique abstraite1 en crant un calcul transcendant fond sur des principes si diffrens de ceux qui servent de base l'analyse ordinaire4 ,ce partage de l'analyse en deux mondes presque indpendans1 tend empcher la formation de conceptions analytiques vritablement gnrales4 ,pour en bien apprcier les consquences1 il faudrait se reporter1 par la pense1 l'tat dans lequel se trouvait la science1 avant que ,lagrange et tabli entre ces deux grandes sections une harmonie gnrale et dfinitive4 ,passant la conception de ,newton1 il est vident que1 par sa nature1 elle se trouve l'abri des objections logiques fondamentales que provoque la mthode de ,lebnitz4 ,la notion des limites est1 en effet1 remarquable par sa nettet et par sa justesse4 ,dans l'analyse transcendante prsente de cette manire1 les quations sont envisages comme exactes ds l'origine1 et les rgles gnrales du raisonnement sont aussi constamment observes que dans l'analyse ordinaire4 ,mais1 d'un autre ct1 elle est bien loin d'offrir1 pour la solution des problmes1 d'aussi puissantes ressources que la mthode infinitsimale4 ,cette obligation qu'elle impose de ne considrer jamais les accroissemens des grandeurs sparment et en eux-mmes1 ni seulement dans leurs rapports1 mais uniquement dans les limites de ces rapports ralentit considrablement la marche de l'intelligence pour la formation des quations auxiliaires4 ,on peut mme dire qu'elle gne beaucoup les transformations purement analytiques4 ,aussi le calcul transcendant1 considr sparment de ses applications1 est-il loin d'offrir dans cette mthode l'tendue et la gnralit que lui a imprimes la conception de ,lebnitz4 ,c'est trs-pniblement1 par exemple1 qu'on parvient tendre la thorie de ,newton aux fonctions de plusieurs variables indpendantes4 ,quoi qu'il en soit1 c'est surtout par rapport aux applications1 que l'infriorit relative de cette thorie se trouve marque4 ,je ne dois pas ngliger ce sujet de faire observer que plusieurs gomtres du continent1 en adoptant1 comme plus rationnelle1 la mthode de ,newton1 pour servir de base l'analyse transcendante1 ont dguis en partie cette infriorit1 par une grave inconsquence1 qui consiste appliquer cette mthode la notation imagine par ,lebnitz pour la mthode infinitsimale1 et qui n'est rellement propre qu' elle4 ,en dsignant par _/fracdydx ce que1 rationnellement1 il faudrait1 dans la thorie des limites1 noter ,l_/frac_/,delta y_/,delta x1 et en tendant toutes les autres notions analytiques ce dplacement de signes1 on se propose sans doute de combiner les avantages spciaux des deux mthodes2 mais on ne parvient1 en ralit1 qu' tablir entr'elles une confusion vicieuse1 dont l'habitude tend empcher de se former des ides nettes et exactes de l'une ou de l'autre4 ,il serait sans doute trange1 considrer cet usage en lui-mme1 que1 par le seul moyen des signes1 on pt effectuer une vritable combinaison entre deux thories gnrales aussi distinctes4 ,enfin la mthode des limites1 prsente aussi1 quoiqu' un moindre degr1 l'inconvnient majeur que j'ai signal ci-dessus1 dans la mthode infinitsimale1 d'tablir une sparation totale entre l'analyse ordinaire et l'analyse transcendante4 ,car l'ide des limites1 quoique nette et rigoureuse1 n'en est pas moins1 par elle-mme1 comme ,lagrange l'a remarqu1 une ide trangre1 dont les thories analytiques ne devraient pas se trouver dpendantes4 ,cette unit parfaite de l'analyse1 ce caractre purement abstrait de ses notions fondamentales1 se trouvent au plus haut degr dans la conception de ,lagrange1 et ne se trouvent que l4 ,elle est1 pour cette raison1 la plus rationnelle et la plus philosophique de toutes4 cartant avec soin toute considration htrogne1 ,lagrange a rduit l'analyse transcendante son vritable caractre propre1 celui d'offrir une classe trs-tendue de transformations analytiques1 l'aide desquelles on facilite singulirement l'expression des conditions des divers problmes4 ,en mme temps1 cette analyse s'est ncessairement prsente par l comme une simple extension de l'analyse ordinaire2 elle n'a plus t qu'une algbre suprieure4 ,toutes les diverses parties1 jusqu'alors si incohrentes1 de la mathmatique abstraite1 ont pu tre conues1 ds ce moment1 comme formant un systme unique4 ,malheureusement1 une conception doue1 indpendamment de la notation si simple et si lucide qui lui correspond1 de proprits aussi fondamentales1 et qui est1 sans doute1 destine devenir la thorie dfinitive de l'analyse transcendante1 cause de sa haute supriorit philosophique sur toutes les autres mthodes proposes1 prsente dans son tat actuel1 trop de difficults1 quant aux applications1 lorsqu'on la compare la conception de ,newton1 et surtout celle de ,lebnitz1 pour pouvoir tre encore exclusivement adopte4 ,lagrange lui-mme1 n'est parvenu que trs-pniblement retrouver1 d'aprs sa mthode1 les rsultats principaux dj obtenus par la mthode infinitsimale pour la solution des questions gnrales de gomtrie et de mcanique2 on peut juger par l combien on trouverait d'obstacles traiter1 de la mme manire1 des questions vraiment nouvelles et de quelque importance4 ,il est vrai que ,lagrange1 en plusieurs occasions1 a montr que les difficults1 mme artificielles1 dterminent1 dans les hommes de gnie1 des efforts suprieurs1 susceptibles de conduire des rsultats plus tendus4 ,c'est ainsi qu'en tentant d'adapter sa mthode l'tude de la courbure des lignes1 qui paraissait si peu pouvoir en comporter l'application1 il s'est lev cette belle thorie des contacts1 qui a tant perfectionn cette partie importante de la gomtrie4 ,mais1 malgr ces heureuses exceptions1 la conception de ,lagrange n'en est pas moins jusqu'ici demeure1 dans son ensemble1 essentiellement impropre aux applications4 ,le rsultat final de la comparaison gnrale que je viens d'esquisser1 et qui exigerait de plus amples dveloppemens1 est donc1 comme je l'avais avanc en commenant cette leon1 que1 pour connatre rellement l'analyse transcendante1 il faut non-seulement la considrer1 dans son principe1 d'aprs les trois conceptions fondamentales distinctes1 produites par ,lebnitz1 par ,newton1 et par ,lagrange1 mais1 en outre1 s'habituer suivre presqu'indiffremment d'aprs ces trois mthodes principales1 et surtout d'aprs les deux extrmes1 la solution de toutes les questions importantes1 soit du calcul des fonctions indirectes en lui-mme1 soit de ses applications4 ,c'est une marche que je ne saurais trop fortement recommander tous ceux qui dsirent juger philosophiquement cette admirable cration de l'esprit humain1 comme ceux qui veulent essentiellement apprendre se servir avec succs et avec facilit de ce puissant instrument4 ,dans toutes les autres parties de la science mathmatique1 la considration de diverses mthodes pour une seule classe de questions peut tre utile1 mme indpendamment de l'intrt historique qu'elle prsente2 mais elle n'est point indispensable3 ici1 au contraire1 elle est strictement ncessaire4 ,ayant dtermin avec prcision1 dans cette leon1 le caractre philosophique du calcul des fonctions indirectes1 d'aprs les principales conceptions fondamentales dont il est susceptible1 il me reste maintenant considrer1 dans la leon suivante1 la division rationnelle et la composition gnrale de ce calcul4 ,,septi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,tableau gnral du calcul des fonctions indirectes4 ,par suite des considrations exposes dans la leon prcdente1 on conoit que le calcul des fonctions indirectes se divise ncessairement en deux parties1 ou1 pour mieux dire1 se dcompose en deux calculs tout--fait distincts1 quoique1 par leur nature1 intimement lis2 suivant qu'on se propose de trouver les relations entre les grandeurs auxiliaires1 dont l'introduction constitue l'esprit gnral de ce calcul1 d'aprs les relations entre les grandeurs primitives correspondantes2 ou qu'on cherche1 en sens inverse1 dcouvrir ces quations directes d'aprs les quations indirectes tablies immdiatement4 ,tel est1 en effet1 le double objet qu'on a continuellement en vue dans l'analyse transcendante4 ,ces deux calculs ont reu diffrens noms1 selon le point de vue sous lequel a t envisag l'ensemble de cette analyse4 ,la mthode infinitsimale proprement dite tant jusqu'ici la plus usite1 par les raisons que j'ai discutes1 presque tous les gomtres du continent emploient habituellement1 pour dsigner ces deux calculs1 les dnominations de calcul diffrentiel et de calcul intgral1 tablies par ,lebnitz1 et qui sont1 en effet1 des consquences trs-rationnelles de sa conception4 ,newton1 d'aprs sa mthode1 a nomm le premier1 le calcul des fluxions1 et le second le calcul des fluentes1 expressions communment adoptes en ,angleterre4 ,enfin1 en suivant la thorie minemment philosophique fonde par ,lagrange1 on appellerait l'un1 le calcul des fonctions drives et l'autre le calcul des fonctions primitives4 ,je continuerai me servir des termes de ,lebnitz1 comme plus propres1 dans notre langue1 la formation des expressions secondaires1 quoique je doive1 d'aprs les explications contenues dans la leon prcdente1 employer concurremment toutes les diverses conceptions1 en me rapprochant1 autant que possible1 de celle de ,lagrange4 ,le calcul diffrentiel est videmment la base rationnelle du calcul intgral4 ,car nous ne savons et ne pouvons savoir intgrer immdiatement que les expressions diffrentielles produites par la diffrentiation des diverses fonctions simples qui constituent les lmens gnraux de notre analyse4 ,l'art de l'intgration consiste ensuite essentiellement ramener1 autant que possible1 tous les autres cas ne dpendre finalement que de ce petit nombre d'intgrations fondamentales4 ,en considrant l'ensemble de l'analyse transcendante1 tel que je l'ai caractris dans la leon prcdente1 on ne voit pas d'abord quelle peut tre l'utilit propre du calcul diffrentiel1 indpendamment de cette relation ncessaire avec le calcul intgral1 qui semble devoir tre1 par lui-mme1 le seul directement indispensable4 ,en effet1 l'limination des infinitsimales ou des drives1 introduites comme auxiliaires pour faciliter l'tablissement des quations1 constituant1 d'aprs ce que nous avons vu1 l'objet dfinitif et invariable du calcul des fonctions indirectes2 il est naturel de penser que le calcul qui enseigne dduire des quations entre ces grandeurs auxiliaires1 celles qui ont lieu entre les grandeurs primitives elles-mmes1 doit strictement suffire aux besoins gnraux de l'analyse transcendante1 sans qu'on aperoive1 au premier coup-d'oeil1 quelle part spciale et constante peut avoir1 dans une telle analyse1 la solution de la question inverse4 ,ce serait abusivement que1 suivant l'usage ordinaire1 pour expliquer l'influence directe et ncessaire propre au calcul diffrentiel1 on lui assignerait la destination de former les quations diffrentielles1 d'o le calcul intgral fait parvenir ensuite aux quations finies4 ,car la formation primitive des quations diffrentielles n'est1 et ne peut tre1 proprement parler1 l'objet d'aucun calcul1 puisqu'elle constitue1 au contraire1 par sa nature1 le point de dpart indispensable de tout calcul quelconque4 ,comment1 en particulier1 le calcul diffrentiel qui1 par lui-mme1 se rduit enseigner les moyens de diffrentier les diverses quations1 pourrait-il tre un procd gnral pour en tablir8 ,ce qui1 dans toute application de l'analyse transcendante1 facilite en effet la formation des quations1 c'est la mthode infinitsimale1 et non le calcul infinitsimal1 qui en est parfaitement distinct1 quoiqu'en tant le complment indispensable4 ,une telle considration donnerait donc une fausse ide de la destination spciale qui caractrise le calcul diffrentiel dans le systme gnral de l'analyse transcendante4 ,mais ce serait1 nanmoins1 concevoir bien imparfaitement la vritable importance propre de cette premire branche du calcul des fonctions indirectes1 que d'y voir seulement un simple travail prliminaire1 n'ayant d'autre objet gnral et essentiel que de prparer au calcul intgral des fondemens indispensables4 ,comme les ides sont ordinairement confuses cet gard1 je crois devoir expliquer sommairement ici cette importante relation1 telle que je la conois1 et montrer que1 dans chaque application quelconque de l'analyse transcendante1 une premire part directe et ncessaire est constamment assigne au calcul diffrentiel4 ,en formant les quations diffrentielles d'un phnomne quelconque1 il est bien rare qu'on se borne introduire diffrentiellement les seules grandeurs dont on cherche les relations4 ,s'imposer cette condition1 ce serait diminuer inutilement les ressources que prsente l'analyse transcendante pour l'expression des lois mathmatiques des phnomnes4 ,le plus souvent on fait entrer aussi par leurs diffrentielles1 dans ces quations premires1 d'autres grandeurs1 dont la relation est dj connue ou suppose l'tre1 et sans la considration desquelles il serait frquemment impossible d'tablir les quations4 ,c'est ainsi1 par exemple1 que dans le problme gnral de la rectification des courbes1 l'quation diffrentielle1 _/ds#b dy#b dx#b1 _/mbox_/rm ouds#b dx#b dy#b dz#b1 _/ n'est pas seulement tablie entre la fonction cherche s et la variable indpendante x laquelle on veut la rapporter2 mais on a introduit en mme temps1 comme intermdiaires indispensables1 les diffrentielles d'une ou deux autres fonctions y et z1 qui sont au nombre des donnes du problme2 il n'et pas t possible de former immdiatement l'quation entre ds et dx1 qui serait d'ailleurs particulire chaque courbe considre4 ,il en est de mme pour la plupart des questions4 ,or1 dans ces cas1 il est vident que l'quation diffrentielle n'est pas immdiatement propre l'intgration4 ,il faut1 auparavant1 que les diffrentielles des fonctions supposes connues1 qui ont t employes comme intermdiaires1 soient entirement limines1 afin que les quations se trouvent tablies entre les diffrentielles des seules fonctions cherches et celles des variables rellement indpendantes1 aprs quoi la question ne dpend plus effectivement que du calcul intgral4 ,or1 cette limination prparatoire de certaines diffrentielles1 afin de rduire les infinitsimales au plus petit nombre possible1 est simplement du ressort du calcul diffrentiel4 ,car elle doit se faire1 videmment1 en dterminant1 d'aprs les quations entre les fonctions supposes connues prises pour intermdiaires1 les relations de leurs diffrentielles1 ce qui n'est qu'une question de diffrentiation4 ,ainsi1 par exemple1 dans le cas des rectifications1 il faudra d'abord calculer dy ou dy et dz1 en diffrentiant l'quation ou les quations de chaque courbe propose2 et1 d'aprs ces expressions1 la formule diffrentielle gnrale nonce ci-dessus ne contiendra plus que ds et dx2 parvenue ce point1 l'limination des infinitsimales ne peut plus tre acheve que par le calcul intgral4 ,tel est donc l'office gnral ncessairement propre au calcul diffrentiel dans la solution totale des questions qui exigent l'emploi de l'analyse transcendante3 prparer1 autant que possible1 l'limination des infinitsimales1 c'est--dire rduire1 dans chaque cas1 les quations diffrentielles primitives ne plus contenir que les diffrentielles des variables rellement indpendantes et celles des fonctions cherches1 en faisant disparatre1 par la diffrentiation1 les diffrentielles de toutes les autres fonctions connues qui ont pu tre prises pour intermdiaires lors de la formation des quations diffrentielles du problme4 ,pour certaines questions1 qui1 quoiqu'en petit nombre1 n'en ont pas moins1 ainsi que nous le verrons plus tard1 une trs-grande importance1 les grandeurs cherches se trouvent mme entrer directement1 et non par leurs diffrentielles1 dans les quations diffrentielles primitives1 qui ne contiennent alors diffrentiellement que les diverses fonctions connues1 employes comme intermdiaires d'aprs l'explication prcdente4 ,ces cas sont1 de tous1 les plus favorables1 car1 il est vident que le calcul diffrentiel suffit alors entirement l'limination complte des infinitsimales1 sans que la question puisse donner lieu aucune intgration4 ,c'est ce qui arrive1 par exemple1 dans le problme des tangentes1 en gomtrie2 dans celui des vitesses1 en mcanique1 etc4 ,enfin1 plusieurs autres questions1 dont le nombre est aussi fort petit1 mais dont l'importance n'est pas moins grande1 prsentent un second cas d'exception1 qui est1 par sa nature1 exactement l'inverse du prcdent4 ,ce sont celles o les quations diffrentielles se trouvent tre immdiatement propres l'intgration1 parce qu'elles ne contiennent1 ds leur premire formation1 que les infinitsimales relatives aux fonctions cherches ou aux variables rellement indpendantes1 sans qu'on ait t oblig d'introduire diffrentiellement d'autres fonctions comme intermdiaires4 ,si1 dans ces nouveaux cas1 on a effectivement employ ces dernires fonctions1 comme1 par hypothse1 elles entreront directement et non par leurs diffrentielles1 l'algbre ordinaire suffira pour les liminer1 et rduire la question ne plus dpendre que du calcul intgral4 ,le calcul diffrentiel n'aura donc alors aucune part spciale la solution complte du problme1 qui sera tout entire du ressort du calcul intgral4 ,la question gnrale des quadratures en offre un exemple important1 car l'quation diffrentielle tant alors1 d,aydx1 deviendra immdiatement propre l'intgration aussitt qu'on aura limin1 d'aprs l'quation de la courbe propose1 la fonction intermdiaire y1 qui n'y entre point diffrentiellement3 la mme circonstance a lieu pour le problme des cubatures1 et pour quelques autres aussi essentiels4 ,en rsultat gnral des considrations prcdentes1 il faut donc partager en trois classes les questions mathmatiques qui exigent l'emploi de l'analyse transcendante3 la premire classe comprend les problmes susceptibles d'tre entirement rsolus au moyen du seul calcul diffrentiel1 sans aucun besoin du calcul intgral2 la seconde1 ceux qui sont1 au contraire1 entirement du ressort du calcul intgral1 sans que le calcul diffrentiel ait aucune part leur solution2 enfin1 dans la troisime et la plus tendue1 qui constitue le cas normal1 les deux autres n'tant que d'exception1 les deux calculs ont successivement une part distincte et ncessaire la solution complte du problme1 le calcul diffrentiel faisant subir aux quations diffrentielles primitives1 une prparation indispensable l'application du calcul intgral4 ,telles sont exactement les relations gnrales de ces deux calculs1 dont on se forme communment des ides trop peu prcises4 ,jetons maintenant un coup-d'oeil gnral sur la composition rationelle de chacun d'eux1 en commenant1 comme il convient videmment1 par le calcul diffrentiel4 ,dans l'exposition de l'analyse transcendante1 on a l'habitude de mler la partie purement analytique1 qui se rduit au trait abstrait de la diffrentiation et de l'intgration1 l'tude de ses diverses applications principales1 surtout de celles qui concernent la gomtrie4 ,cette confusion d'ides1 qui est une suite du mode effectif suivant lequel la science s'est dveloppe1 prsente1 sous le rapport dogmatique1 de graves inconvniens en ce qu'elle empche de concevoir convenablement1 soit l'analyse1 soit la gomtrie4 ,devant considrer ici la coordination la plus rationnelle possible1 je ne comprendrai1 dans le tableau suivant1 que le calcul des fonctions indirectes proprement dit1 rservant1 pour la portion de ce volume relative l'tude philosophique de la mathmatique concrte1 l'examen gnral de ses grandes applications gomtriques et mcaniques#ae4 ,note #ae3 ,j'ai tabli depuis long-temps1 dans mon enseignement ordinaire de l'analyse transcendante1 l'ordre que je vais exposer4 ,un nouveau professeur d'analyse transcendante l'cole ,polytechnique1 avec lequel je me flicite de m'tre rencontr1 ,m4 ,mathieu a adopt1 dans son cours de cette anne1 une marche essentiellement semblable4 ,la division fondamentale du calcul diffrentiel pur1 ou du trait gnral de la diffrentiation1 consiste distinguer deux cas1 suivant que les fonctions analytiques qu'il s'agit de diffrentier sont explicites ou implicites2 d'o deux parties ordinairement dsignes par les noms de diffrentiation des formules et diffrentiation des quations4 ,il est ais de concevoir priori l'importance de cette classification4 ,en effet1 une telle distinction serait illusoire si l'analyse ordinaire tait parfaite1 c'est--dire1 si l'on savait rsoudre algbriquement toutes les quations2 car alors il serait possible de rendre explicite toute fonction implicite2 et1 en ne la diffrentiant que dans cet tat1 la seconde partie du calcul diffrentiel rentrerait immdiatement dans la premire1 sans donner lieu aucune nouvelle difficult4 ,mais la rsolution algbrique des quations tant1 comme nous l'avons vu1 encore presque dans l'enfance1 et ignore jusqu' prsent pour le plus grand nombre des cas1 on comprend qu'il en doit tre tout autrement2 puisqu'il s'agit ds lors1 proprement parler1 de diffrentier une fonction sans la connatre1 bien qu'elle soit dtermine4 ,la diffrentiation des fonctions implicites constitue donc1 par sa nature1 une question vraiment distincte de celle que prsentent les fonctions explicites1 et ncessairement plus complique4 ,ainsi c'est videmment par la diffrentiation des formules qu'il faut commencer1 et on parvient ensuite ramener gnralement ce premier cas la diffrentiation des quations1 par certaines considrations analytiques invariables1 que je ne dois pas mentionner ici4 ,ces deux cas gnraux de la diffrentiation sont encore distincts sous un autre rapport galement ncessaire1 et trop important pour que je nglige de le signaler4 ,la relation obtenue entre les diffrentielles est constamment plus indirecte1 par rapport celle des quantits finies1 dans la diffrentiation des fonctions implicites que dans celle des fonctions explicites4 ,on sait1 en effet1 d'aprs les considrations prsentes par ,lagrange sur la formation gnrale des quations diffrentielles1 que1 d'une part1 la mme quation primitive peut donner lieu un plus ou moins grand nombre d'quations drives de formes trs-diverses1 quoique1 au fond1 quivalentes1 suivant celles des constantes arbitraires que l'on limine1 ce qui n'a pas lieu dans la diffrentiation des formules explicites2 et que1 d'une autre part1 le systme infini d'quations primitives diffrentes qui correspondent une mme quation drive1 prsente une varit analytique bien plus profonde que celle des diverses fonctions susceptibles d'une mme diffrentielle explicite1 et qui ne se distinguent les unes des autres que par un terme constant4 ,les fonctions implicites doivent donc tre envisages comme tant rellement encore plus modifies par la diffrentiation que les fonctions explicites4 ,nous retrouverons tout l'heure cette considration relativement au calcul intgral1 o elle acquiert une importance prpondrante4 ,chacune des deux parties fondamentales du calcul diffrentiel se subdivise elle-mme en deux thories trs-distinctes1 suivant qu'il s'agit de diffrentier des fonctions une seule variable1 ou des fonctions plusieurs variables indpendantes4 ,ce second cas est1 par sa nature1 tout--fait distinct du premier1 et prsente videmment plus de complication1 mme en ne considrant que les fonctions explicites1 et plus forte raison pour les fonctions implicites4 ,du reste1 l'un se dduit gnralement de l'autre1 l'aide d'un principe invariable fort simple1 qui consiste regarder la diffrentielle totale d'une fonction en vertu des accroissemens simultans des diverses variables indpendantes qu'elles contient1 comme la somme des diffrentielles partielles que produirait l'accroissement spar de chaque variable successivement1 si toutes les autres taient constantes4 ,il faut1 d'ailleurs1 soigneusement remarquer ce sujet une notion nouvelle qu'introduit1 dans le systme de l'analyse transcendante1 la distinction des fonctions une seule variable et plusieurs3 c'est la considration de ces diverses fonctions drives spciales1 relatives chaque variable isolment1 et dont le nombre crot de plus en plus mesure que l'ordre de la drivation s'lve1 et aussi quand les variables sont plus multiplies4 ,il en rsulte que les relations diffrentielles propres aux fonctions de plusieurs variables1 sont1 par leur nature1 et bien plus indirectes1 et surtout beaucoup plus indtermines que celles relatives aux fonctions d'une seule variable4 ,cela est principalement sensible pour les fonctions implicites o1 au lieu des simples constantes arbitraires que l'limination fait disparatre quand on forme les quations diffrentielles propres aux fonctions d'une seule variable1 ce sont des fonctions arbitraires des variables proposes qui se trouvent limines1 d'o doivent rsulter1 lors des intgrations1 des difficults spciales4 ,enfin1 pour complter ce tableau sommaire des diverses parties essentielles du calcul diffrentiel proprement dit1 je dois ajouter que1 dans la diffrentiation des fonctions implicites1 soit une seule variable1 soit plusieurs1 il faut encore distinguer le cas o il s'agit de diffrentier la fois diverses fonctions de ce genre1 mles dans certaines quations primitives1 de celui o toutes ces fonctions sont spares4 ,les fonctions sont videmment1 en effet1 encore plus implicites dans le premier cas que dans le second1 si l'on considre que la mme imperfection de l'analyse ordinaire1 qui empche de convertir toute fonction implicite en une fonction explicite quivalente1 ne permet pas davantage de sparer les fonctions qui entrent simultanment dans un systme quelconque d'quations4 ,il s'agit alors de diffrentier1 non-seulement sans savoir rsoudre les quations primitives1 mais mme sans pouvoir effectuer entr'elles les liminations convenables1 ce qui constitue une nouvelle difficult4 ,tels sont donc l'enchanement naturel et la distribution rationnelle des diverses thories principales dont se compose le trait gnral de la diffrentiation4 ,on voit que1 la diffrentiation des fonctions implicites se dduisant de celle des fonctions explicites par un seul principe constant1 et la diffrentiation des fonctions plusieurs variables se ramenant1 par un autre principe fixe1 celle des fonctions une seule variable1 tout le calcul diffrentiel se trouve reposer1 en dernire analyse1 sur la diffrentiation des fonctions explicites une seule variable1 la seule qui s'excute jamais directement4 ,or1 il est ais de concevoir que cette premire thorie1 base ncessaire du systme entier1 consiste simplement dans la diffrentiation des dix fonctions simples1 qui sont les lmens uniformes de toutes nos combinaisons analytiques1 et dont j'ai prsent le tableau 7#d;e leon1 page #agc74 ,car la diffrentiation des fonctions composes se dduit videmment1 d'une manire immdiate et ncessaire1 de celle des fonctions simples qui les constituent4 ,c'est donc la connaissance de ces dix diffrentielles fondamentales1 et celle des deux principes gnraux1 ci-dessus mentionns1 qui y ramnent tous les autres cas possibles1 que se rduit1 proprement parler1 tout le trait de la diffrentiation4 ,on voit1 par la combinaison de ces diverses considrations1 combien est la fois simple et parfait le systme entier du calcul diffrentiel proprement dit4 ,il constitue certainement1 sous le rapport logique1 le spectacle le plus intressant que l'analyse mathmatique puisse prsenter notre intelligence4 ,le tableau gnral que je viens d'esquisser sommairement offrirait1 nanmoins1 une lacune essentielle1 si je n'indiquais ici distinctement une dernire thorie1 qui forme1 par sa nature1 le complment indispensable du trait de la diffrentiation4 ,c'est celle qui a pour objet la transformation constante des fonctions drives1 en rsultat des changemens dtermins de variables indpendantes1 d'o rsulte la possibilit de rapporter de nouvelles variables toutes les formules diffrentielles gnrales tablies primitivement pour d'autres4 ,cette question est maintenant rsolue de la manire la plus complte et la plus simple1 comme toutes celles dont se compose le calcul diffrentiel4 ,on conoit aisment l'importance gnrale qu'elle doit avoir dans les applications quelconques de l'analyse transcendante1 dont elle peut tre considre comme augmentant les ressources fondamentales1 en permettant de choisir1 pour former d'abord plus aisment les quations diffrentielles1 le systme de variables indpendantes qui paratra le plus avantageux1 bien qu'il ne doive pas tre maintenu plus tard4 ,c'est ainsi1 par exemple1 que la plupart des questions principales de la gomtrie se rsolvent beaucoup plus aisment en rapportant les lignes et les surfaces des coordonnes rectilignes1 et qu'on peut nanmoins tre conduit les appliquer des formes exprimes analytiquement1 l'aide de coordonnes polaires1 ou de toute autre manire4 ,on pourra commencer alors la solution diffrentielle du problme en employant toujours le systme rectiligne1 mais seulement comme un intermdiaire1 d'aprs lequel1 par la thorie gnrale que nous avons en vue ici1 on passera au systme dfinitif1 qu'il et t quelquefois impossible de considrer directement4 ,dans la classification rationnelle que je viens d'exposer pour l'ensemble du calcul diffrentiel1 on serait naturellement tent de signaler une omission grave1 puisque je n'ai pas sous-divis chacune des quatre parties essentielles d'aprs une autre considration gnrale1 qui semble d'abord fort importante en elle-mme1 celle de l'ordre plus ou moins lev de la diffrentiation4 ,mais il est ais de comprendre que cette distinction n'a aucune influence relle dans le calcul diffrentiel1 en ce qu'elle n'y donne lieu aucune difficult nouvelle4 ,en effet1 si le calcul diffrentiel n'tait pas rigoureusement complet1 c'est--dire1 si on ne savait point diffrentier indistinctement toute fonction quelconque1 la diffrentiation au second ordre1 ou un ordre suprieur1 de chaque fonction dtermine1 pourrait engendrer des difficults spciales4 ,mais la parfaite universalit du calcul diffrentiel donne videmment l'assurance de pouvoir diffrentier un ordre quelconque toutes les fonctions analytiques connues1 la question se rduisant sans cesse une diffrentiation au premier ordre1 successivement redouble4 ,ainsi1 la considration des divers ordres de diffrentielles peut bien donner naissance de nouvelles remarques plus ou moins importantes1 surtout en ce qui concerne la formation des quations diffrentielles1 et les drives partielles successives des fonctions plusieurs variables4 ,mais elle ne saurait1 videmment1 constituer aucun nouveau problme gnral dans le trait de la diffrentiation4 ,nous verrons tout l'heure que cette distinction1 qui n'a1 pour ainsi dire1 aucune importance dans le calcul diffrentiel1 en acquiert1 au contraire1 une trs-grande dans le calcul intgral1 en vertu de l'extrme imperfection de ce dernier calcul4 ,enfin1 quoique j'aie cru1 en thse gnrale1 ne devoir nullement envisager en ce moment les diverses applications principales du calcul diffrentiel1 il convient nanmoins de faire une exception pour celles qui consistent dans la solution de questions purement analytiques1 qui doivent1 en effet1 tre rationnellement places la suite du trait de la diffrentiation proprement dite1 cause de l'homognit vidente des considrations4 ,ces questions peuvent se rduire trois essentielles3 #a le dveloppement en sries des fonctions une seule ou plusieurs variables1 ou1 plus gnralement1 la transformation des fonctions1 qui constitue la plus belle et la plus importante application du calcul diffrentiel l'analyse gnrale1 et qui comprend1 outre la srie fondamentale dcouverte par ,taylor1 les sries si remarquables trouves par ,maclaurin1 par ,jean ,bernouilli1 par ,lagrange1 etc42 #b la thorie gnrale des valeurs maxima et minima pour les fonctions quelconques une seule ou plusieurs variables1 un des plus intressans problmes que puisse prsenter l'analyse1 quelque lmentaire qu'il soit devenu aujourd'hui1 et la solution complte duquel le calcul diffrentiel s'applique trs-naturellement2 #c enfin1 la dtermination gnrale de la vraie valeur des fonctions qui se prsentent sous une apparence indtermine pour certaines hypothses faites sur les valeurs des variables correspondantes1 ce qui est le problme le moins tendu et le moins important des trois1 quoiqu'il mrite d'tre not ici4 ,la premire question est1 sans contredit1 la principale sous tous les rapports3 elle est aussi la plus susceptible d'acqurir dans la suite une extension nouvelle1 surtout en concevant1 d'une manire plus large qu'on ne l'a fait jusqu'ici1 l'emploi du calcul diffrentiel pour la transformation des fonctions1 au sujet de laquelle ,lagrange a laiss quelques indications prcieuses1 qui n'ont encore t ni gnralises ni suivies4 ,je regrette beaucoup d'tre oblig1 par les limites ncessaires de cet ouvrage1 de me borner des considrations sommaires aussi insuffisantes sur tous les divers sujets que je viens de passer en revue1 et qui comporteraient1 par leur nature1 des dveloppemens beaucoup plus tendus1 en continuant toujours nanmoins rester dans les gnralits qui sont le sujet propre de ce cours4 ,je passe maintenant l'exposition galement rapide du tableau systmatique du calcul intgral proprement dit1 c'est--dire du trait abstrait de l'intgration4 ,la division fondamentale du calcul intgral est fonde sur le mme principe que celle ci-dessus expose pour le calcul diffrentiel1 en distinguant l'intgration des formules diffrentielles explicites1 et l'intgration des diffrentielles implicites1 ou des quations diffrentielles4 ,la sparation de ces deux cas est mme bien plus profonde relativement l'intgration1 que sous le simple rapport de la diffrentiation4 ,dans le calcul diffrentiel1 en effet1 cette distinction ne repose1 comme nous l'avons vu1 que sur l'extrme imperfection de l'analyse ordinaire4 ,mais1 au contraire1 il est ais de voir que1 quand mme toutes les quations seraient rsolues algbriquement1 les quations diffrentielles n'en constitueraient pas moins un cas d'intgration tout--fait distinct de celui que prsentent les formules diffrentielles explicites4 ,car1 en se bornant1 par exemple1 au premier ordre et une fonction unique y d'une seule variable x1 pour plus de simplicit1 si l'on suppose rsolue1 par rapport _/fracdydx1 une quation diffrentielle quelconque entre x1 y1 et _/fracdydx1 l'expression de la fonction drive se trouvant alors contenir gnralement la fonction primitive elle-mme qui est l'objet de la recherche1 la question d'intgration n'aurait nullement chang de nature1 et la solution n'aurait fait rellement d'autre progrs que d'avoir amen l'quation diffrentielle1 propose ne plus tre que du premier degr relativement la fonction drive1 ce qui est1 en soi1 de peu d'importance4 ,la diffrentielle n'en serait donc pas moins dtermine d'une manire peu prs aussi implicite qu'auparavant1 sous le rapport de l'intgration1 qui continuerait prsenter essentiellement la mme difficult caractristique4 ,la rsolution algbrique des quations ne pourrait faire rentrer le cas que nous considrons dans la simple intgration des diffrentielles explicites1 que dans les occasions trs-particulires o l'quation diffrentielle propose ne contiendrait point la fonction primitive elle-mme1 ce qui permettrait1 par consquent1 en la rsolvant1 de trouver _/fracdydx en fonction de x seulement1 et de rduire ainsi la question aux quadratures4 ,la considration que je viens d'indiquer pour les quations diffrentielles les plus simples aurait videmment encore plus d'importance pour celles des ordres suprieurs ou qui contiendraient simultanment diverses fonctions de plusieurs variables indpendantes4 ,ainsi1 l'intgration des diffrentielles qui ne sont dtermines qu'implicitement constitue par sa nature1 et1 sans aucun gard l'tat de l'algbre1 un cas entirement distinct de celui relatif aux diffrentielles explicitement exprimes en fonction des variables indpendantes4 ,l'intgration des quations diffrentielles est donc ncessairement plus complique que celle des diffrentielles explicites1 par l'laboration desquelles le calcul intgral a pris naissance1 et dont ensuite on s'est efforc de faire1 autant que possible1 dpendre les autres4 ,tous les divers procds analytiques proposs jusqu'ici pour intgrer les quations diffrentielles1 soit la sparation des variables1 soit la mthode des multiplicateurs1 etc1 ont en effet pour but de ramener ces intgrations celles des formules diffrentielles1 la seule qui1 par sa nature1 puisse tre entreprise directement4 ,malheureusement1 quelqu'imparfaite que soit jusqu'ici cette base ncessaire de tout le calcul intgral1 l'art d'y rduire l'intgration des quations diffrentielles est encore bien moins avanc4 ,chacune de ces deux branches fondamentales du calcul intgral se sous-divise ensuite en deux autres1 comme dans le calcul diffrentiel1 et par des motifs exactement analogues 7que je me dispenserai1 par consquent1 de reproduire71 suivant que l'on considre des fonctions une seule variable ou des fonctions plusieurs variables indpendantes4 ,je ferai seulement observer que cette distinction est1 comme la prcdente1 encore plus importante pour l'intgration que pour la diffrentiation4 ,cela est surtout remarquable1 relativement aux quations diffrentielles4 ,en effet1 celles qui se rapportent plusieurs variables indpendantes peuvent videmment prsenter cette difficult caractristique1 et d'un ordre bien plus lev1 que la fonction cherche soit dfinie diffrentiellement par une simple relation entre ses diverses drives spciales relatives aux diffrentes variables prises sparment4 ,de l rsulte la branche la plus difficile1 et aussi la plus tendue du calcul intgral1 ce qu'on nomme ordinairement le calcul intgral aux diffrences partielles1 cr par d',alembert1 et dans lequel1 suivant la juste apprciation de ,lagrange1 les gomtres auraient d voir rellement un calcul nouveau1 dont le caractre philosophique n'est pas assez exactement jug4 ,une diffrence trs-saillante entre ce cas et celui des quations une seule variable indpendante consiste1 comme je l'ai observ ci-dessus1 dans les fonctions arbitraires qui remplacent les simples constantes arbitraires pour donner aux intgrales correspondantes toute la gnralit convenable4 peine ai-je besoin de dire que cette branche suprieure de l'analyse transcendante est encore entirement dans l'enfance1 puisque1 seulement dans le cas le plus simple1 celui d'une quation du premier ordre entre les drives partielles d'une seule fonction deux variables indpendantes1 on ne sait point mme jusqu'ici compltement ramener l'intgration celle des quations diffrentielles ordinaires4 ,l'intgration relative aux fonctions de plusieurs variables est beaucoup plus avance1 dans le cas1 infiniment plus simple1 la vrit1 o il ne s'agit que des formules diffrentielles explicites4 ,on sait alors en effet1 quand ces formules remplissent les conditions convenables d'intgrabilit1 rduire constamment leur intgration aux quadratures4 ,une nouvelle distinction gnrale1 applicable1 comme sous-division1 l'intgration des diffrentielles explicites ou implicites1 une seule variable ou plusieurs1 se tire de l'ordre plus ou moins lev des diffrentiations1 qui ne donne lieu aucune question spciale dans le calcul diffrentiel1 ainsi que nous l'avons remarqu4 ,relativement aux diffrentielles explicites1 soit une variable1 soit plusieurs1 la ncessit de distinguer leurs divers ordres ne tient qu' l'extrme imperfection du calcul intgral4 ,en effet1 si l'on savait constamment intgrer toute formule diffrentielle du premier ordre1 l'intgration d'une formule du second ordre ou de tout autre ne constituerait point1 videmment1 une question nouvelle1 puisqu'en l'intgrant d'abord au premier ordre1 on parviendrait l'expression diffrentielle de l'ordre immdiatement prcdent1 d'o1 par une suite convenable d'intgrations analogues1 on serait certain de remonter finalement la fonction primitive1 objet propre d'un tel travail4 ,mais le peu de connaissances que nous possdons sur les intgrations premires fait qu'il n'en est point ainsi1 et que l'ordre plus ou moins lev des diffrentielles engendre des difficults nouvelles4 ,car1 ayant des formules diffrentielles d'un ordre quelconque suprieur au premier1 il peut arriver qu'on sache les intgrer une premire fois ou plusieurs fois de suite1 et que1 nanmoins1 on ne puisse remonter ainsi aux fonctions primitives1 si ces travaux prliminaires ont produit1 pour les diffrentielles d'un ordre infrieur1 des expressions dont les intgrales ne sont pas connues4 ,cette circonstance doit se prsenter d'autant plus frquemment1 le nombre des intgrales connues tant encore fort petit1 que ces intgrales successives sont gnralement1 comme on sait1 des fonctions trs-diffrentes des drives qui les ont engendres4 ,par rapport aux diffrentielles implicites1 la distinction des ordres est encore plus importante2 car1 outre le motif prcdent1 dont l'influence est videmment ici analogue1 et mme un plus haut degr1 il est ais de sentir que l'ordre suprieur des quations diffrentielles donne lieu ncessairement des questions d'une nature nouvelle4 ,en effet1 st-on mme intgrer indistinctement toute quation du premier ordre relative une fonction unique1 cela ne suffirait point pour faire obtenir l'intgrale dfinitive d'une quation d'un ordre quelconque1 toute quation diffrentielle n'tant pas rductible celle d'un ordre immdiatement infrieur4 ,si l'on a par exemple1 pour dterminer une fonction y de la variable x1 une relation quelconque entre x1 y1 _/fracdydx1 et _/fracd#bydx#b1 on n'en pourra point dduire immdiatement1 en effectuant une premire intgration1 la relation diffrentielle correspondante entre x1 y1 et _/fracdydx1 d'o1 par une seconde intgration on remonterait l'quation primitive4 ,cela n'aurait lieu ncessairement1 du moins sans introduire de nouvelles fonctions auxiliaires1 que si l'quation du second ordre propose ne contenait point la fonction cherche y1 concourremment avec ses drives4 ,en thse gnrale1 les quations diffrentielles devront donc rellement tre envisages comme prsentant des cas d'autant plus implicites que leur ordre est plus lev1 et qui ne pourront rentrer les uns dans les autres que par des mthodes spciales1 dont la recherche constitue1 par consquent1 une nouvelle classe de questions1 l'gard desquelles on ne sait jusqu'ici presque rien1 mme pour les fonctions d'une seule variable#af4 ,note #af3 ,le seul cas important de ce genre qui ait t compltement trait jusqu'ici1 est l'intgration gnrale des quations linaires d'un ordre quelconque1 coefficiens constans4 ,encore se trouve-t-elle dpendre finalement de la rsolution algbrique des quations d'un degr gal l'ordre de la diffrentiation4 ,au reste1 quand ou examine1 d'une manire trs-approfondie1 cette distinction des divers ordres d'quations diffrentielles1 on trouve qu'elle pourrait rentrer constamment dans une dernire distinction gnrale1 relative aux quations diffrentielles1 que j'ai encore signaler4 ,en effet1 les quations diffrentielles une seule ou plusieurs variables indpendantes peuvent ne contenir simplement qu'une seule fonction1 ou bien1 dans un cas videmment plus compliqu et plus implicite1 qui correspond la diffrentiation des fonctions implicites simultanes1 on peut avoir dterminer en mme temps plusieurs fonctions d'aprs des quations diffrentielles o elles se trouvent mles1 concurremment avec leurs diverses drives4 ,il est clair qu'un tel tat de la question prsente ncessairement une nouvelle difficult spciale1 celle d'tablir la sparation des diffrentes fonctions cherches1 en formant pour chacune1 d'aprs les quations diffrentielles proposes1 une quation diffrentielle isole1 qui ne contienne plus les autres fonctions ni leurs drives4 ,ce travail prliminaire1 qui est l'analogue de l'limination en algbre1 est videmment indispensable avant de tenter aucune intgration directe1 puisqu'on ne peut entreprendre gnralement1 moins d'artifices spciaux trs-rarement applicables1 de dterminer immdiatement la fois plusieurs fonctions distinctes4 ,or1 il est ais d'tablir la concidence exacte et ncessaire de cette nouvelle distinction avec la prcdente1 relative l'ordre des quations diffrentielles4 ,on sait1 en effet1 que la mthode gnrale pour isoler les fonctions dans les quations diffrentielles simultanes1 consiste essentiellement former des quations diffrentielles1 sparment relatives chaque fonction1 et dont l'ordre est gal la somme de tous ceux des diverses quations proposes4 ,cette transformation peut s'effectuer constamment4 ,d'un autre ct1 toute quation diffrentielle d'un ordre quelconque relative une seule fonction pourrait videmment se ramener toujours au premier ordre1 en introduisant un nombre convenable d'quations diffrentielles auxiliaires1 contenant simultanment les diverses drives antrieures considres comme nouvelles fonctions dterminer4 ,ce procd a mme t quelquefois employ avec succs1 quoique1 en gnral1 il ne soit pas normal4 ,ce sont donc deux genres de conditions ncessairement quivalens1 dans la thorie gnrale des quations diffrentielles1 que la simultanit d'un plus ou moins grand nombre de fonctions1 et l'ordre de diffrentiation plus ou moins lev d'une fonction unique4 ,en augmentant l'ordre des quations diffrentielles1 on peut isoler toutes les fonctions2 et1 en multipliant artificiellement le nombre des fonctions1 on peut ramener toutes les quations au premier ordre4 ,il n'y a1 par consquent1 dans l'un et l'autre cas1 qu'une mme difficult1 envisage sous deux points de vue diffrens4 ,mais1 de quelque manire qu'on la conoive1 cette nouvelle difficult commune n'en est pas moins relle1 et n'en constitue pas moins1 par sa nature1 une sparation tranche entre l'intgration des quations du premier ordre et celle des quations d'un ordre suprieur4 ,je prfre indiquer la distinction sous cette dernire forme1 comme plus simple1 plus gnrale et plus rationnelle4 ,d'aprs les diverses considrations indiques ci-dessus sur l'enchanement rationnel des diffrentes parties principales du calcul intgral1 on voit que l'intgration des formules diffrentielles explicites du premier ordre une seule variable est la base ncessaire de toutes les autres intgrations1 qu'on ne parvient jamais effectuer qu'autant qu'on peut les faire rentrer dans ce cas lmentaire1 le seul videmment qui1 par sa nature1 soit susceptible d'tre trait directement4 ,cette intgration simple et fondamentale est souvent dsigne par l'expression commode de quadratures1 attendu que toute intgrale de ce genre ,sf7x7dx1 peut1 en effet1 tre envisage comme reprsentant l'aire d'une courbe dont l'quation en coordonnes rectilignes serait yf7x74 ,une telle classe de questions correspond1 dans le calcul diffrentiel1 au cas lmentaire de la diffrentiation des fonctions explicites une seule variable4 ,mais la question intgrale est1 par sa nature1 bien autrement complique1 et surtout beaucoup plus tendue que la question diffrentielle4 ,celle-ci se rduit ncessairement1 en effet1 comme nous l'avons vu1 la diffrentiation des dix fonctions simples1 lmens de toutes celles que l'analyse considre4 ,au contraire1 l'intgration des fonctions composes ne se dduit point ncessairement de celle des fonctions simples1 dont chaque nouvelle combinaison doit prsenter1 sous le rapport du calcul intgral1 des difficults spciales4 ,de l1 l'tendue naturellement indfinie1 et la complication si varie de la question des quadratures1 sur laquelle1 malgr tous les efforts des analystes1 on possde encore si peu de connaissances compltes4 ,en dcomposant cette question1 comme il est naturel de le faire1 suivant les diverses formes que peut affecter la fonction drive1 on distingue d'abord le cas des fonctions algbriques1 et ensuite celui des fonctions transcendantes4 ,l'intgration vraiment analytique de ce dernier ordre d'expressions est jusqu'ici fort peu avance1 soit pour les fonctions exponentielles1 soit pour les fonctions logarithmiques1 soit pour les fonctions circulaires4 ,on n'a trait encore qu'un trs-petit nombre de cas de ces trois divers genres1 en les choisissant parmi les plus simples1 qui conduisent mme ordinairement des calculs extrmement pnibles4 ,ce que nous devons surtout remarquer ce sujet sous le rapport philosophique1 c'est que les divers procds de quadrature ne tiennent aucune vue gnrale sur l'intgration1 et consistent en de simples artifices de calcul fort incohrens entre eux1 et dont le nombre est trs-multipli1 cause de l'tendue trs-borne de chacun d'eux4 ,je dois cependant signaler ici un de ces artifices qui1 sans tre rellement une mthode d'intgration1 est nanmoins remarquable par sa gnralit3 c'est le procd invent par ,jean ,bernouilli1 et connu sous le nom de l'intgration par parties1 d'aprs lequel toute intgrale peut tre ramene une autre1 qui se trouve quelquefois tre plus facile obtenir4 ,cette ingnieuse relation mrite d'tre note sous un autre rapport1 comme ayant offert la premire ide de cette transformation les unes dans les autres des intgrales encore inconnues1 qui a reu dans ces derniers temps une plus grande extension1 et dont ,m4 ,fourier surtout a fait un usage si nouveau et si important pour les questions analytiques engendres par la thorie de la chaleur4 ,quant l'intgration des fonctions algbriques1 elle est plus avance4 ,cependant1 on ne sait encore presque rien relativement aux fonctions irrationnelles1 dont les intgrales n'ont t obtenues que dans des cas extrmement borns1 et surtout en les rendant rationnelles4 ,l'intgration des fonctions rationnelles est jusqu'ici la seule thorie de calcul intgral qui ait pu tre traite d'une manire vraiment complte3 sous le rapport logique1 elle en constitue donc la partie la plus satisfaisante1 mais peut-tre aussi la moins importante4 ,il est mme essentiel de remarquer1 pour avoir une juste ide de l'extrme imperfection du calcul intgral1 que ce cas si peu tendu n'est entirement rsolu que pour ce qui concerne proprement l'intgration1 envisage d'une manire abstraite2 car1 dans l'excution1 la thorie se trouve le plus souvent1 indpendamment de la complication des calculs1 tout--fait arrte par l'imperfection de l'analyse ordinaire1 attendu qu'elle fait dpendre finalement l'intgration de la rsolution algbrique des quations1 ce qui en limite singulirement l'usage4 ,pour saisir1 d'une manire gnrale1 l'esprit des divers procds d'aprs lesquels on procde aux quadratures1 nous devons reconnatre d'ailleurs que1 par leur nature1 ils ne peuvent tre fonds primitivement que sur la diffrentiation des dix fonctions simples1 dont les rsultats1 considrs sous le point de vue inverse1 tablissent autant de thormes immdiats de calcul intgral1 les seuls qui puissent tre connus directement1 tout l'art de l'intgration consistant ensuite1 comme je l'ai exprim en commenant cette leon1 faire rentrer1 autant que possible1 toutes les autres quadratures dans ce petit nombre de quadratures lmentaires1 ce qui malheureusement nous est encore le plus souvent inconnu4 ,dans cette numration raisonne des diverses parties essentielles de calcul intgral suivant leurs relations logiques1 j'ai nglig dessein1 pour ne pas interrompre l'enchanement1 de considrer distinctement une thorie fort importante1 qui forme implicitement une portion de la thorie gnrale de l'intgration des quations diffrentielles1 mais que je dois ici signaler sparment1 comme tant1 pour ainsi dire1 en dehors du calcul intgral1 et offrant nanmoins le plus grand intrt1 soit par sa perfection rationnelle1 soit par l'tendue de ses applications4 ,je veux parler de ce qu'on appelle les solutions singulires des quations diffrentielles1 dites quelquefois1 mais tort1 solutions particulires1 qui ont t le sujet de travaux trs-remarquables de la part d',euler et de ,laplace1 et dont ,lagrange surtout a prsent une si belle et si simple thorie gnrale4 ,on sait que ,clairaut1 qui le premier1 eut occasion d'en remarquer l'existence1 y vit un paradoxe de calcul intgral1 puisque ces solutions ont pour caractre propre de satisfaire aux quations diffrentielles sans tre nanmoins comprises dans les intgrales gnrales correspondantes4 ,lagrange a1 depuis1 expliqu ce paradoxe de la manire la plus ingnieuse et la plus satisfaisante1 en montrant comment de telles solutions drivent toujours de l'intgrale gnrale par la variation des constantes arbitraires4 ,il a aussi1 le premier1 convenablement apprci l'importance de cette thorie1 et c'est avec raison qu'il lui a consacr1 dans ses leons sur le calcul des fonctions1 un si grand dveloppement4 ,sous le point de vue rationnel1 cette thorie mrite en effet toute notre attention1 par le caractre de parfaite gnralit qu'elle comporte1 puisque ,lagrange a expos des procds invariables et fort simples pour trouver la solution singulire de toute quation diffrentielle quelconque qui en est susceptible2 et1 ce qui n'est pas moins remarquable1 ces procds n'exigent aucune intgration1 consistant seulement dans des diffrentiations1 et par l mme toujours applicables4 ,la diffrentiation est ainsi devenue1 par un heureux artifice1 un moyen de suppler dans certaines circonstances l'imperfection du calcul intgral4 ,en effet1 certains problmes exigent surtout1 par leur nature1 la connaissance de ces solutions singulires4 ,telles sont1 par exemple1 en gomtrie1 toutes les questions o il s'agit de dterminer une courbe d'aprs une proprit quelconque de sa tangente ou de son cercle osculateur4 ,dans tous les cas de ce genre1 aprs avoir exprim cette proprit par une quation diffrentielle1 ce sera1 sous le rapport analytique1 l'quation singulire qui constituera l'objet le plus important de la recherche1 puisqu'elle seule reprsentera la courbe demande1 l'intgrale gnrale1 qui devient ds lors inutile connatre1 ne devant dsigner autre chose que le systme des tangentes ou des cercles osculateurs de cette courbe4 ,on conoit aisment1 d'aprs cela1 toute l'importance de cette thorie1 qui me semble n'tre pas encore suffisamment apprcie par la plupart des gomtres4 ,enfin1 pour achever de signaler le vaste ensemble de recherches analytiques dont se compose le calcul intgral proprement dit1 il me reste mentionner une thorie fort importante dans toutes les applications de l'analyse transcendante1 que j'ai d laisser en dehors du systme comme n'tant pas rellement destine une vritable intgration1 et se proposant au contraire de remplacer la connaissance des intgrales vraiment analytiques1 qui sont le plus souvent ignores4 ,on voit qu'il s'agit de la dtermination des intgrales dfinies4 ,l'expression1 toujours possible1 des intgrales en sries indfinies1 peut d'abord tre envisage comme un heureux moyen gnral de compenser souvent l'extrme imperfection du calcul intgral4 ,mais l'emploi de telles sries1 cause de leur complication et de la difficult de dcouvrir la loi de leurs termes1 est ordinairement d'une mdiocre utilit sous le rapport algbrique1 bien qu'on en ait dduit quelquefois des relations fort essentielles4 ,c'est surtout sous le rapport arithmtique que ce procd acquiert une grande importance1 comme moyen de calculer ce qu'on appelle les intgrales dfinies1 c'est--dire1 les valeurs des fonctions cherches pour certaines valeurs dtermines des variables correspondantes4 ,une recherche de cette nature correspond exactement1 dans l'analyse transcendante1 la rsolution numrique des quations dans l'analyse ordinaire4 ,ne pouvant obtenir le plus souvent la vritable intgrale1 celle qu'on nomme par opposition1 l'intgrale gnrale ou indfinie1 c'est--dire1 la fonction qui1 diffrentie1 a produit la formule diffrentielle propose1 les analystes ont d s'attacher dterminer1 du moins1 sans connatre une telle fonction1 les valeur numriques particulires qu'elle prendrait en assignant aux variables des valeurs dsignes4 ,c'est videmment rsoudre la question arithmtique1 sans avoir pralablement rsolu la question algbrique correspondante1 qui1 le plus souvent1 est prcisment la plus importante4 ,une telle analyse est donc par sa nature1 aussi imparfaite que nous avons vu l'tre la rsolution numrique des quations4 ,elle prsente1 comme celle-ci1 une confusion vicieuse du point de vue arithmtique avec le point de vue algbrique2 d'o rsultent1 soit sous le rapport purement logique1 soit relativement aux applications1 des inconvniens analogues4 ,je puis donc me dispenser de reproduire ici les considrations indiques dans la cinquime leon au sujet de l'algbre4 ,on conoit nanmoins que1 dans l'impossibilit o nous sommes presque toujours de connatre les vritables intgrales1 il est de la plus haute importance d'avoir pu obtenir au moins cette solution incomplte et ncessairement insuffisante4 ,or1 c'est quoi on est heureusement parvenu aujourd'hui pour tous les cas1 l'valuation des intgrales dfinies ayant t ramene des mthodes entirement gnrales1 qui ne laissent dsirer1 dans un grand nombre d'occasions1 qu'une moindre complication des calculs1 but vers lequel se dirigent aujourd'hui toutes les transformations spciales des analystes4 ,regardant maintenant comme parfaite cette sorte d'arithmtique transcendante1 la difficult1 dans les applications1 se rduit essentiellement ne faire dpendre finalement la recherche propose que d'une simple dtermination d'intgrales dfinies1 ce qui1 videmment1 ne saurait tre toujours possible1 quelque habilet analytique qu'on puisse employer effectuer une transformation aussi force4 ,par l'ensemble des considrations indiques dans cette leon1 on voit que1 si le calcul diffrentiel constitue1 de sa nature1 un systme limit et parfait auquel il ne reste plus ajouter rien d'essentiel1 le calcul intgral proprement dit1 ou le simple trait de l'intgration1 prsente ncessairement un champ inpuisable l'activit de l'esprit humain1 indpendamment des applications indfinies dont l'analyse transcendante est videmment susceptible4 ,les motifs gnraux par lesquels j'ai tch de faire sentir1 dans la cinquime leon1 l'impossibilit de dcouvrir jamais la rsolution algbrique des quations d'un degr et d'une forme quelconques1 ont sans aucun doute1 infiniment plus de force encore relativement la recherche d'un procd unique d'intgration1 invariablement applicable tous les cas4 ,c'est1 dit ,lagrange1 un de ces problmes dont on ne saurait esprer de solution gnrale4 ,plus on mditera sur ce sujet1 plus on sera convaincu1 je ne crains pas de l'affirmer1 qu'une telle recherche est totalement chimrique1 comme tant beaucoup trop suprieure la faible porte de notre intelligence1 bien que les travaux des gomtres doivent certainement augmenter dans la suite l'ensemble de nos connaissances acquises sur l'intgration1 et crer aussi des procds d'une plus grande gnralit4 ,l'analyse transcendante est encore trop prs de sa naissance1 il y a surtout trop peu de temps qu'elle est conue d'une manire vraiment rationelle1 pour que nous puissions nous faire une juste ide de ce qu'elle pourra devenir un jour4 ,mais1 quelles que doivent tre nos lgitimes esprances1 n'oublions pas de considrer avant tout les limites imposes par notre constitution intellectuelle1 et qui1 pour n'tre pas susceptibles d'une dtermination prcise1 n'en ont pas moins une ralit incontestable4 ,au lieu de tendre imprimer au calcul des fonctions indirectes1 tel que nous le concevons aujourd'hui1 une perfection chimrique1 je suis port penser que lorsque les gomtres auront puis les applications les plus importantes de notre analyse transcendante actuelle1 ils se creront plutt de nouvelles ressources1 en changeant le mode de drivation des quantits auxiliaires introduites pour faciliter l'tablissement des quations1 et dont la formation pourrait suivre une infinit d'autres lois que la relation trs-simple qui a t choisie1 d'aprs une conception que j'ai dj indique dans la quatrime leon4 ,les moyens de cette nature me paraissent susceptibles1 en eux-mmes1 d'une plus grande fcondit que ceux qui consisteraient seulement pousser plus loin notre calcul actuel des fonctions indirectes4 ,c'est une pense que je soumets aux gomtres dont les mditations se sont tournes vers la philosophie gnrale de l'analyse4 ,du reste1 quoique j'aie d1 dans l'exposition sommaire qui tait l'objet propre de cette leon1 rendre sensible l'tat d'extrme imperfection o se trouve encore le calcul intgral1 on aurait une fausse ide des ressources gnrales de l'analyse transcendante1 si on accordait cette considration une trop grande importance4 ,il en est ici1 en effet1 comme dans l'analyse ordinaire1 o l'on est parvenu utiliser1 un degr immense1 un trs-petit nombre de connaissances fondamentales sur la rsolution des quations4 ,quelque peu avancs qu'ils soient rellement jusqu'ici dans la science des intgrations1 les gomtres n'en ont pas moins tir1 de notions abstraites aussi peu multiplies1 la solution d'une multitude de questions de premire importance en gomtrie1 en mcanique1 en thermologie1 etc4 ,l'explication philosophique de ce double fait gnral rsulte de l'importance et de la porte ncessairement prpondrantes des connaissances abstraites1 dont la moindre se trouve naturellement correspondre une foule de recherches concrtes1 l'homme n'ayant d'autre ressource pour l'extension successive de ses moyens intellectuels1 que dans la considration d'ides de plus en plus abstraites et nanmoins positives4 ,pour achever de faire connatre1 dans toute son tendue1 le caractre philosophique de l'analyse transcendante1 il me reste considrer une dernire conception par laquelle l'immortel ,lagrange1 que nous retrouvons sur toutes les grandes voies de la science mathmatique1 a rendu cette analyse encore plus propre faciliter l'tablissement des quations dans les problmes les plus difficiles1 en considrant une classe d'quations encore plus indirectes que les quations diffrentielles proprement dites4 ,c'est le calcul ou plutt la mthode des variations1 dont l'apprciation gnrale sera l'objet de la leon suivante4 ,,huiti,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations gnrales sur le calcul des variations4 ,afin de saisir avec plus de facilit le caractre philosophique de la mthode des variations1 il convient d'abord de considrer sommairement la nature spciale des problmes dont la rsolution gnrale a ncessit la formation de cette analyse hyper-transcendante4 ,ce calcul est encore trop prs de son origine1 les applications en ont t jusqu'ici trop peu varies1 pour qu'on pt en concevoir une ide gnrale suffisamment claire1 si je me bornais une exposition purement abstraite de sa thorie fondamentale1 bien qu'une telle exposition doive tre ensuite1 sans aucun doute1 l'objet principal et dfinitif de cette leon4 ,les questions mathmatiques qui ont donn naissance au calcul des variations consistent1 en gnral1 dans la recherche des maxima et des minima de certaines formules intgrales indtermines1 qui expriment la loi analytique de tel ou tel phnomne gomtrique ou mcanique1 considr indpendamment d'aucun sujet particulier4 ,les gomtres ont dsign pendant long-temps toutes les questions de ce genre par le nom commun de problmes des isoprimtres1 qui ne convient cependant qu'au plus petit nombre d'entre elles4 ,dans la thorie ordinaire des maxima et minima1 on se propose de dcouvrir1 relativement une fonction donne d'une seule ou de plusieurs variables1 quelles valeurs particulires il faut assigner ces variables pour que la valeur correspondante de la fonction propose soit un maximum ou un minimum1 par rapport celles qui prcdent et qui suivent immdiatement1 c'est--dire qu'on cherche1 proprement parler1 quel instant la fonction cesse de crotre pour commencer dcrotre1 ou rciproquement4 ,le calcul diffrentiel suffit pleinement1 comme on sait1 la rsolution gnrale de cette classe de questions1 en montrant que les valeurs des diverses variables qui conviennent1 soit au maximum1 soit au minimum1 doivent toujours rendre nulles les diffrentes drives du premier ordre de la fonction donne1 prises sparment par rapport chaque variable indpendante2 et en indiquant de plus un caractre propre distinguer le maximum du minimum1 qui consiste1 dans le cas d'une fonction d'une seule variable1 par exemple1 en ce que la fonction drive du second ordre doit prendre une valeur ngative pour le maximum1 et positive pour le minimum4 ,telles sont1 du moins1 les conditions fondamentales qui se rapportent au plus grand nombre des cas2 les modifications qu'elles doivent subir pour que la thorie soit compltement applicable certaines questions1 sont d'ailleurs galement assujetties des rgles abstraites aussi invariables1 quoique plus compliques4 ,la construction de cette thorie gnrale ayant fait disparatre ncessairement le principal intrt que les questions de ce genre pouvaient inspirer aux gomtres1 ils se sont levs presque aussitt la considration d'un nouvel ordre de problmes1 la fois beaucoup plus importans et d'une difficult bien suprieure1 ceux des isoprimtres4 ,ce ne sont plus alors les valeurs des variables propres au maximum ou au minimum d'une fonction donne1 qu'il s'agit de dterminer4 ,c'est la forme de la fonction elle-mme qu'on se propose de dcouvrir1 d'aprs la condition du maximum ou du minimum d'une certaine intgrale dfinie1 seulement indique1 qui dpend de cette fonction4 ,la plus ancienne question de cette nature est celle du solide de moindre rsistance1 traite par ,newton1 dans le second livre des ,principes1 o il dtermine quelle doit tre la courbe mridienne d'un solide de rvolution1 pour que la rsistance prouve par ce corps dans le sens de son axe1 en traversant avec une vitesse quelconque un fluide immobile1 soit la plus petite possible4 ,mais la marche suivie par ,newton n'avait point un caractre assez simple1 assez gnral et surtout assez analytique1 par la nature de sa mthode spciale d'analyse transcendante1 pour qu'une telle solution pt suffire entraner les gomtres vers ce nouvel ordre de problmes4 ,l'impulsion vraiment dcisive cet gard ne pouvait gure partir que de l'un des gomtres occups sur le continent laborer et appliquer la mthode infinitsimale proprement dite4 ,c'est ce que fit1 en #afie1 ,jean ,bernouilli1 en proposant le problme clbre de la brachystochrone1 qui suggra depuis une si longue suite de questions analogues4 ,il consiste dterminer la courbe qu'un corps pesant doit suivre pour descendre d'un point un autre dans le temps le plus court4 ,en se bornant la simple chute dans le vide1 seul cas qu'on ait d'abord considr1 on trouve assez facilement que la courbe cherche doit tre une cyclode renverse1 base horizontale1 ayant son origine au point le plus lev4 ,mais la question peut tre singulirement complique1 soit en ayant gard la rsistance du milieu1 soit en tenant compte du changement d'intensit de la pesanteur4 ,quoique cette nouvelle classe de problmes ait t primitivement fournie par la mcanique1 c'est nanmoins dans la gomtrie qu'on a puis plus tard les sujets des principales recherches4 ,ainsi1 on s'est propos de dcouvrir1 parmi toutes les courbes de mme contour traces entre deux points donns1 quelle est celle dont l'aire est un maximum ou un minimum1 d'o est venu proprement le nom de problme des iprimtres2 ou bien on a demand que le maximum et le minimum eussent lieu pour la surface engendre par la rvolution de la courbe cherche autour d'un axe1 ou pour le volume correspondant2 dans d'autres cas1 c'tait la hauteur verticale du centre de gravit de la courbe inconnue1 ou de la surface et du volume qu'elle pouvait engendrer1 qui devait devenir un maximum ou un minimum1 etc4 ,enfin1 ces problmes ont t successivement varis et compliqus1 pour ainsi dire l'infini1 par les ,bernouilli1 par ,taylor1 et surtout par ,euler1 avant que ,lagrange en et assujetti la solution une mthode abstraite et entirement gnrale1 dont la dcouverte a fait cesser l'empressement des gomtres pour un tel ordre de recherches4 ,il ne s'agit point ici de tracer1 mme sommairement1 l'histoire de cette partie suprieure des mathmatiques1 quelque intressante qu'elle ft4 ,je n'ai fait l'numration de certaines questions principales choisies parmi les plus simples1 qu'afin de rendre sensible la destination gnrale qu'avait essentiellement1 son origine1 la mthode des variations4 ,on voit que1 considrs sous le point de vue analytique1 tous ces problmes consistent1 par leur nature1 dterminer quelle forme doit avoir une certaine fonction inconnue d'une ou de plusieurs variables1 pour que telle ou telle intgrale dpendante de cette fonction se trouve avoir1 entre des limites assignes1 une valeur qui soit un maximum ou un minimum1 relativement toutes celles qu'elle prendrait si la fonction cherche avait une autre forme quelconque4 ,ainsi1 par exemple1 dans le problme de la brachystochrone1 on sait que si yf7z71 x_/varphi7z7 sont les quations rectilignes de la courbe cherche1 en supposant les axes des x et des y horizontaux1 et l'axe z des vertical1 le temps de la chute d'un corps pesant le long de cette courbe1 depuis le point dont l'ordonne est z#a jusqu' celui dont l'ordonne est z#b est gnralement exprim par l'intgrale dfinie#ag4 _/_/intz#az#b _/sqrt_/frac#a7;f'7z77#b7_/varphi'7z77#b b;gzdz_/4 ,note #ag3 ,j'emploie la notation simple et lumineuse propose par ,m4 ,fourier1 pour dsigner les intgrales dfinies1 en mentionnant distinctement leurs limites4 ,il faut donc trouver quelles doivent tre les deux fonctions inconnues f et _/varphi pour que cette intgrale soit un minimum4 ,de mme1 demander quelle est1 parmi toutes les courbes planes isoprimtres1 celle qui renferme la plus grande aire1 c'est proposer de trouver1 parmi toutes les fonctions f7x7 qui peuvent donner l'intgrale _/_/int dx_/sqrt#a7;f'7x77#b_/ une certaine valeur constante1 celle qui rend un maximum l'intgrale _/int f7x7dx1 prise entre les mmes limites4 ,il en est videmment toujours ainsi dans toutes les autres questions de ce genre4 ,dans les solutions que les gomtres donnaient de ces problmes avant ,lagrange1 on se proposait essentiellement de les ramener la thorie ordinaire des maxima et minima4 ,mais les moyens employs pour effectuer cette transformation consistaient en de simples artifices particuliers1 propres chaque cas1 et dont la dcouverte ne comportait point de rgles invariables et certaines1 en sorte que toute question vraiment nouvelle reproduisait constamment des difficults analogues1 sans que les solutions dj obtenues pussent tre rellement d'aucun secours essentiel1 autrement que par les habitudes qu'elles avaient fait contracter l'intelligence4 ,en un mot1 cette branche des mathmatiques prsentait alors l'imperfection ncessaire qui existe constamment tant qu'on n'est point parvenu saisir distinctement1 pour la traiter d'une manire abstraite et ds-lors gnrale1 la partie commune toutes les questions d'une mme classe4 ,en cherchant rduire tous les divers problmes des isoprimtres dpendre d'une analyse commune1 organise abstraitement en un calcul distinct1 ,lagrange a t conduit concevoir une nouvelle nature de diffrentiations1 auxquelles il a appliqu la caractristique _/delta1 en rservant la caractristique d pour les simples diffrentielles ordinaires4 ,ces diffrentielles d'une espce nouvelle1 qu'il a dsignes sous le nom de variations1 consistent dans les accroissemens infiniment petits que reoivent les intgrales1 non en vertu d'accroissemens analogues de la part des variables correspondantes1 comme pour l'analyse transcendante ordinaire1 mais en supposant que la forme de la fonction place sous le signe d'intgration vienne changer infiniment peu4 ,cette distinction se conoit1 par exemple1 avec facilit1 relativement aux courbes1 o l'on voit l'ordonne ou toute autre variable de la courbe1 comporter deux sortes de diffrentielles videmment trs-diffrentes1 suivant que l'on passe d'un point un autre infiniment voisin sur la mme courbe1 ou bien au point correspondant de la courbe infiniment voisine produite par une certaine modification dtermine de la premire#ah4 ,il est clair1 du reste1 que1 par leur nature1 les variations relatives de diverses grandeurs lies entre elles par des lois quelconques1 se calculent1 la caractristique prs1 exactement de la mme manire que les diffrentielles4 ,enfin1 on dduit galement de la notion gnrale des variations les principes fondamentaux de l'algorithme propre cette mthode et qui consistent simplement dans la facult vidente de pouvoir transposer volont les caractristiques spcialement affectes aux variations avant ou aprs celles qui correspondent aux diffrentielles ordinaires4 ,note #ah3 ,lebnitz avait dj considr la comparaison d'une courbe une autre infiniment voisine2 c'est ce qu'il appelait diffrentiatio de curv in curvam4 ,mais cette comparaison n'avait aucune analogie avec la conception de ,lagrange1 les courbes de ,lebnitz tant renfermes dans une mme quation gnrale1 d'o elles se dduisent par le simple changement d'une constante arbitraire4 ,cette conception abstraite une fois forme1 ,lagrange a pu rduire aisment1 de la manire la plus gnrale1 tous les problmes des isoprimtres la simple thorie ordinaire des maxima et des minima4 ,pour se faire une ide nette de cette grande et heureuse transformation1 il faut pralablement considrer une distinction essentielle laquelle donnent lieu les diverses questions des isoprimtres4 ,on doit1 en effet1 partager ces recherches en deux classes gnrales1 selon que les maxima et minima demands sont absolus ou relatifs1 pour employer les expressions abrges des gomtres4 ,le premier cas est celui o les intgrales dfinies indtermines dont on cherche le maximum ou le minimum1 ne sont assujetties1 par la nature du problme1 aucune condition2 comme il arrive1 par exemple1 dans le problme de la brachystochrone1 o il s'agit de choisir entre toutes les courbes imaginables4 ,le second cas a lieu1 quand1 au contraire1 les intgrales variables ne peuvent changer que suivant certaines conditions1 consistant ordinairement en ce que d'autres intgrales dfinies1 dpendant galement des fonctions cherches1 conservent constamment une mme valeur donne2 comme1 par exemple1 dans toutes les questions gomtriques concernant les figures isoprimtres proprement dites1 et o1 par la nature du problme1 l'intgrale relative la longueur de la courbe ou l'aire de la surface1 doit rester constante pendant le changement de celle qui est l'objet de la recherche propose4 ,le calcul des variations donne immdiatement la solution gnrale des questions de la premire espce4 ,car1 il suit videmment de la thorie ordinaire des maxima et minima1 que la relation cherche doit rendre nulle la variation de l'intgrale propose par rapport chaque variable indpendante1 ce qui donne la condition commune au maximum et au minimum2 et1 comme caractre propre distinguer l'un de l'autre1 que la variation du second ordre de la mme intgrale doit tre ngative pour le maximum et positive pour le minimum4 ,ainsi1 par exemple1 dans le problme de la brachystochrone1 on aura1 pour dterminer la nature de la courbe cherche1 l'quation de condition1 _/_/delta_/intz#az#b _/sqrt_/frac#a7;f'7z77#b7_/varphi'7z77#b b;gzdz#j_/ qui1 se dcomposant en deux1 par rapport aux deux fonctions inconnues f et _/varphi qui sont indpendantes l'une de l'autre1 exprimera compltement la dfinition analytique de la courbe demande4 ,la seule difficult propre cette nouvelle analyse consiste dans l'limination de la caractristique _/delta1 pour laquelle le calcul des variations fournit des rgles invariables et compltes1 fondes1 en gnral1 sur le procd de l'intgration par parties1 dont ,lagrange a su tirer ainsi un parti immense4 ,le but constant de cette premire laboration analytique1 dans l'exposition de laquelle je ne dois nullement entrer ici1 est de faire parvenir aux quations diffrentielles proprement dites1 ce qui se peut toujours1 et par-l la question rentre dans le domaine de l'analyse transcendante ordinaire1 qui achve la solution1 du moins en la ramenant l'algbre pure1 si on sait effectuer l'intgration4 ,la destination gnrale1 propre la mthode des variations1 est d'oprer cette transformation1 pour laquelle ,lagrange a tabli des rgles simples1 invariables1 et d'un succs toujours assur4 ,je ne dois pas ngliger1 dans cette rapide indication gnrale1 de faire remarquer1 comme un des plus grands avantages spciaux de la mthode des variations compare aux solutions isoles qu'on avait auparavant des problmes des isoprimtres1 l'importante considration de ce que ,lagrange appelle les quations aux limites1 entirement ngliges avant lui1 et sans lesquelles nanmoins la plupart des solutions particulires restaient ncessairement incompltes4 ,quand les limites des intgrales proposes doivent tre fixes1 leurs variations tant nulles1 il n'y a pas lieu d'en tenir compte4 ,mais il n'en est plus ainsi quand ces limites1 au lieu d'tre rigoureusement invariables1 sont assujetties seulement certaines conditions2 comme1 par exemple1 si les deux points entre lesquels doit tre trace la courbe cherche ne sont pas fixes1 et doivent seulement rester sur des lignes ou des surfaces donnes4 ,alors1 il faut avoir gard aux variations de leurs coordonnes1 et tablir entr'elles les relations correspondantes aux quations de ces lignes ou de ces surfaces4 ,cette considration essentielle n'est que le dernier complment d'une considration plus gnrale et plus importante relative aux variations des diverses variables indpendantes4 ,si ces variables sont rellement indpendantes les unes des autres1 comme lorsqu'on compare toutes les courbes imaginables susceptibles d'tre traces entre deux points1 il en sera de mme de leurs variations1 et par suite les termes relatifs chacune de ces variations devront tre sparment nuls dans l'quation gnrale qui exprime le maximum ou le minimum4 ,mais si1 au contraire1 on suppose les variables assujetties de certaines conditions quelconques1 il faudra tenir compte de la relation qui en rsulte entre leurs variations1 de telle sorte que le nombre des quations dans lesquelles se dcompose alors cette quation gnrale soit toujours gal celui seulement des variables qui restent vraiment indpendantes4 ,c'est ainsi1 par exemple1 qu'au lieu de chercher le plus court chemin pour aller d'un point un autre1 en choisissant parmi tous les chemins possibles1 on peut se proposer de trouver seulement quel est le plus court entre tous ceux qu'on peut suivre sur une surface quelconque donne1 question dont la solution gnrale constitue certainement une des plus belles applications de la mthode des variations4 ,les problmes o l'on considre de telles conditions modificatrices se rapprochent beaucoup1 par leur nature1 de la seconde classe gnrale d'applications de la mthode des variations1 caractrise ci-dessus comme consistant dans la recherche des maxima et minima relatifs4 ,il y a nanmoins1 entre les deux cas1 cette diffrence essentielle1 que1 dans ce dernier1 la modification est exprime par une intgrale qui dpend de la fonction cherche1 tandis que1 dans l'autre1 elle se trouve dsigne par une quation finie qui est immdiatement donne4 ,on conoit par l1 que la recherche des maxima et minima relatifs est toujours et ncessairement plus complique que celle des maxima et minima absolus4 ,heureusement1 un thorme gnral fort important1 trouv avant l'invention du calcul des variations1 et qui est une des plus belles dcouvertes dues au gnie du grand ,euler1 donne un moyen uniforme et trs-simple de faire rentrer ces deux classes de questions l'une dans l'autre4 ,il consiste1 en ce que si l'on ajoute l'intgrale qui doit tre un maximum ou un minimum un multiple constant et indtermin de celle qui doit rester constante par la nature du problme1 il suffira de chercher1 suivant le procd gnral de ,lagrange1 ci-dessus indiqu1 le maximum ou le minimum absolu de cette expression totale4 ,on peut aisment concevoir1 en effet1 que la partie de la variation complte qui proviendrait de la dernire intgrale doit aussi bien tre nulle1 cause de la constance de celle-ci1 que la portion due la premire intgrale1 qui s'anantit en vertu de l'tat maximum ou minimum4 ,ces deux conditions distinctes1 s'accordent videmment pour produire1 sous ce rapport1 des effets exactement semblables4 ,telle est1 par aperu1 la manire gnrale dont la mthode des variations s'applique toutes les diverses questions qui composent ce qu'on appelait la thorie des isoprimtres4 ,on aura sans doute remarqu dans cette exposition sommaire1 quel degr s'est trouve utilise par cette nouvelle analyse la seconde proprit fondamentale de l'analyse transcendante1 apprcie dans la sixime leon1 savoir3 la gnralit des expressions infinitsimales pour reprsenter un mme phnomne gomtrique ou mcanique1 en quelque corps qu'il soit considr4 ,c'est1 en effet1 sur cette gnralit que sont fondes1 par leur nature1 toutes les solutions dues la mthode des variations4 ,si une formule unique ne pouvait point exprimer la longueur ou l'aire de toute courbe quelconque1 si on n'avait point une autre formule fixe pour dsigner le temps de la chute d'un corps pesant1 suivant quelque ligne qu'il descende1 etc41 comment et-il t possible de rsoudre des questions qui exigent invitablement1 par leur nature1 la considration simultane de tous les cas que peuvent dterminer dans chaque phnomne les divers sujets qui le manifestent8 ,quelle que soit l'extrme importance de la thorie des isoprimtres1 et quoique la mthode des variations n'ait eu primitivement d'autre objet que la rsolution rationnelle et gnrale de cet ordre de problmes1 on n'aurait cependant qu'une ide incomplte de cette belle analyse1 si on bornait l sa destination4 ,en effet1 la conception abstraite de deux natures distinctes de diffrentiations1 est videmment applicable non-seulement aux cas pour lesquels elle a t cre1 mais aussi tous ceux qui prsentent1 par quelque cause que ce soit1 deux manires diffrentes de faire varier les mmes grandeurs4 ,c'est ainsi que ,lagrange lui-mme a fait1 dans sa mcanique analytique1 une immense application capitale de son calcul des variations1 en l'employant distinguer les deux sortes de changemens que prsentent si naturellement les questions de mcanique rationnelle pour les divers points que l'on considre1 suivant que l'on compare les positions successives qu'occupe1 en vertu du mouvement1 un mme point de chaque corps dans deux instans conscutifs1 ou que l'on passe d'un point du corps un autre dans le mme instant4 ,l'une de ces comparaisons produit les diffrentielles ordinaires2 l'autre donne lieu aux variations1 qui ne sont1 l comme partout1 que des diffrentielles prises sous un nouveau point de vue4 ,c'est dans une telle acception gnrale qu'il faut concevoir le calcul des variations1 pour apprcier convenablement l'importance de cet admirable instrument logique1 le plus puissant que l'esprit humain ait construit jusqu'ici4 ,la mthode des variations n'tant qu'une immense extension de l'analyse transcendante gnrale1 je n'ai pas besoin de constater spcialement qu'elle est susceptible d'tre envisage sous les divers points de vue fondamentaux que comporte le calcul des fonctions indirectes1 considr dans son ensemble4 ,lagrange a invent le calcul des variations d'aprs la conception infinitsimale proprement dite1 et mme bien avant d'avoir entrepris la reconstruction gnrale de l'analyse transcendante4 ,quand il eut excut cette importante rformation1 il montra aisment comment elle pouvait aussi s'appliquer au calcul des variations1 qu'il exposa avec tout le dveloppement convenable1 suivant sa thorie des fonctions drives4 ,mais1 plus l'emploi de la mthode des variations est difficile pour l'intelligence cause du degr d'abstraction suprieur des ides considres1 plus il importe de mnager dans son application les forces de notre esprit1 en adoptant la conception analytique la plus directe et la plus rapide1 c'est--dire1 celle de ,lebnitz4 ,aussi ,lagrange lui-mme l'a-t-il constamment prfre dans l'important usage qu'il a fait du calcul des variations pour la mcanique analytique4 ,il n'existe pas1 en effet1 la moindre hsitation cet gard parmi les gomtres4 ,afin d'claircir aussi compltement que possible le caractre philosophique du calcul des variations1 je crois devoir terminer en indiquant sommairement ici une considration qui me semble importante1 et par laquelle je puis le rapprocher de l'analyse transcendante ordinaire un plus haut degr que ,lagrange ne me parat l'avoir fait#ai4 ,note #ai3 ,je me propose de dvelopper plus tard cette considration nouvelle1 dans un travail spcial sur le calcul des variations1 qui a pour objet de prsenter l'ensemble de cette analyse hyper-transcendante sous un nouveau point de vue1 que je crois propre en tendre la porte gnrale4 ,nous avons remarqu1 d'aprs ,lagrange1 dans la leon prcdente1 la formation du calcul aux diffrences partielles1 cr par d',alembert1 comme ayant introduit1 dans l'analyse transcendante1 une nouvelle ide lmentaire1 la notion de deux sortes d'accroissemens distincts et indpendans les uns des autres que peut recevoir une fonction de deux variables1 en vertu du changement de chaque variable sparment4 ,c'est ainsi que l'ordonne verticale d'une surface1 ou toute autre grandeur qui s'y rapporte1 varie de deux manires tout--fait distinctes et qui peuvent suivre les lois les plus diverses1 en faisant crotre tantt l'une tantt l'autre des deux coordonnes horizontales4 ,or1 une telle considration me semble trs-rapproche1 par sa nature1 de celle qui sert de base gnrale la mthode des variations4 ,celle-ci1 en effet1 n'a rellement fait autre chose que transporter aux variables indpendantes elles-mmes la manire de voir dj adopte pour les fonctions de ces variables1 ce qui en a singulirement agrandi l'usage4 ,je crois1 d'aprs cela1 que1 sous le seul rapport des conceptions fondamentales1 on peut envisager le calcul cr par d',alembert1 comme ayant tabli une transition naturelle et ncessaire entre le calcul infinitsimal ordinaire et le calcul des variations1 dont une telle filiation me parat devoir claircir et simplifier la notion gnrale4 ,d'aprs les diverses considrations indiques dans cette leon1 la mthode des variations se prsente comme le plus haut degr de perfection connu jusqu'ici de l'analyse des fonctions indirectes4 ,dans son tat primitif1 cette dernire analyse s'est prsente comme un puissant moyen gnral de faciliter l'tude mathmatique des phnomnes naturels1 en introduisant1 pour l'expression de leurs lois1 la considration de grandeurs auxiliaires choisies de telle manire1 que leurs relations soient ncessairement plus simples et plus aises obtenir que celles des grandeurs directes4 ,mais la formation de ces quations diffrentielles n'tait point conue comme pouvant comporter aucunes rgles gnrales et abstraites4 ,or1 l'analyse des variations1 considre sous le point de vue le plus philosophique1 peut tre envisage comme essentiellement destine1 par sa nature1 faire rentrer1 autant que possible1 dans le domaine du calcul1 l'tablissement mme des quations diffrentielles1 car tel est1 pour un grand nombre de questions importantes et difficiles1 l'effet gnral des quations varies qui1 encore plus indirectes que les simples quations diffrentielles par rapport aux objets propres de la recherche1 sont aussi bien plus aises former1 et desquelles on peut ensuite1 par des procds analytiques invariables et complets1 destins liminer le nouvel ordre d'infinitsimales auxiliaires introduit1 dduire ces quations diffrentielles ordinaires1 qu'il et t souvent impossible d'tablir immdiatement4 ,la mthode des variations constitue donc la partie la plus sublime de ce vaste systme de l'analyse mathmatique qui1 partant des plus simples lmens de l'algbre1 organise1 par une succession d'ides non-interrompue1 des moyens gnraux de plus en plus puissans pour l'tude approfondie de la philosophie naturelle1 et qui1 dans son ensemble1 prsente1 sans aucune comparaison1 le monument le plus imposant et le moins quivoque de la porte de l'esprit humain4 ,mais1 il faut reconnatre aussi que les conceptions habituellement considres dans la mthode des variations tant1 par leur nature1 plus indirectes1 plus gnrales1 et surtout beaucoup plus abstraites que toutes les autres1 l'emploi d'une telle mthode exige ncessairement1 et d'une manire soutenue1 le plus haut degr connu de contention intellectuelle1 pour ne jamais perdre de vue l'objet prcis de la recherche en suivant des raisonnemens qui offrent l'esprit des points d'appui aussi peu dtermins1 et dans lesquels les signes ne sont presque jamais d'aucun secours4 ,on doit1 sans doute1 attribuer en grande partie cette difficult ncessaire le peu d'usage rel que les gomtres1 except ,lagrange1 ont fait jusqu'ici d'une conception aussi admirable4 ,,neuvi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations gnrales sur le calcul aux diffrences finies4 ,les diverses considrations fondamentales indiques dans les cinq leons prcdentes constituent rellement toutes les bases essentielles d'une exposition complte de l'analyse mathmatique1 envisage sous le point de vue philosophique4 ,nanmoins1 pour ne ngliger aucune conception gnrale vraiment importante relative cette analyse1 je crois devoir1 avant de passer l'tude philosophique de la mathmatique concrte1 expliquer trs-sommairement le vritable caractre propre un genre de calcul fort tendu1 et qui1 bien que rentrant au fond dans l'analyse ordinaire1 est cependant encore regard comme tant d'une nature essentiellement distincte4 ,il s'agit de ce qu'on appelle le calcul aux diffrences finies1 qui sera le sujet spcial de cette leon4 ,ce calcul1 cr par ,taylor1 dans son clbre ouvrage intitul mthodes incrumentorum1 consiste essentiellement1 comme on sait1 dans la considration des accroissemens finis que reoivent les fonctions par suite d'accroissemens analogues de la part des variables correspondantes4 ,ces accroissemens ou diffrences1 auxquels on applique la caractristique _/,delta1 pour les distinguer des differentielles ou accroissemens infiniment petits1 peuvent tre1 leur tour1 envisags comme de nouvelles fonctions1 et devenir le sujet d'une seconde considration semblable1 et ainsi de suite1 d'o rsulte la notion des diffrences des divers ordres successifs1 analogues1 au moins en apparence1 aux ordres conscutifs des diffrentielles4 ,un tel calcul prsente1 videmment1 comme le calcul des fonctions indirectes1 deux classes gnrales de questions3 #a dterminer les diffrences successives de toutes les diverses fonctions analytiques une ou plusieurs variables1 en rsultat d'un mode d'accroissement dfini des variables indpendantes1 que l'on suppose1 en gnral1 augmenter en progression arithmtique2 #b rciproquement1 en partant de ces diffrences1 ou1 plus gnralement1 d'quations quelconques tablies entre elles1 remonter aux fonctions primitives elles-mmes1 ou leurs relations correspondantes4 ,d'o la dcomposition de ce calcul total en deux calculs distincts1 auxquels on donne ordinairement les noms de calcul direct aux diffrences finies1 et de calcul inverse aux diffrences finies1 ce dernier tant aussi appel quelquefois calcul intgral aux diffrences finies4 ,chacun de ces deux calculs serait d'ailleurs videmment susceptible d'une distribution rationnelle semblable celle expose dans la septime leon pour le calcul diffrentiel et le calcul intgral1 ce qui me dispense d'en faire une mention distincte4 ,il n'est pas douteux que1 par une telle conception1 ,taylor a cru fonder un calcul d'une nature entirement nouvelle1 absolument distinct de l'analyse ordinaire1 et plus gnral que le calcul de ,lebnitz1 quoique consistant dans une considration analogue4 ,c'est aussi de cette manire que presque tous les gomtres ont jug l'analyse de ,taylor4 ,mais ,lagrange1 avec sa profondeur habituelle1 a clairement aperu que ces proprits appartenaient bien plus aux formes et aux notations employes par ,taylor qu'au fond mme de sa thorie4 ,en effet1 ce qui fait le caractre propre de l'analyse de ,lebnitz1 et la constitue en un calcul vraiment distinct et suprieur1 c'est que les fonctions drives sont1 en gnral1 d'une toute autre nature que les fonctions primitives1 en sorte qu'elles peuvent donner lieu des relations plus simples et d'une formation plus facile1 d'o rsultent les admirables proprits fondamentales de l'analyse transcendante1 expliques dans les leons prcdentes4 ,mais il n'en est nullement ainsi pour les diffrences considres par ,taylor4 ,car ces diffrences sont1 par leur nature1 des fonctions essentiellement semblables celles qui les ont engendres1 ce qui les rend impropres faciliter l'tablissement des quations1 et ne leur permet pas davantage de conduire des relations plus gnrales4 ,toute quation aux diffrences finies est vraiment1 au fond1 une quation directement relative aux grandeurs mmes dont on compare les tats successifs4 ,l'chafaudage de nouveaux signes1 qui fait illusion sur le vritable caractre de ces quations1 ne le dguise cependant que d'une manire fort imparfaite1 puisqu'on pourrait toujours le mettre aisment en vidence en remplaant constamment les diffrences par les combinaisons quivalentes des grandeurs primitives1 dont elles ne sont rellement autre chose que les dsignations abrges4 ,aussi1 le calcul de ,taylor n'a-t-il jamais offert et ne peut-il offrir1 dans aucune question de gomtrie ou de mcanique1 ce puissant secours gnral que nous avons vu rsulter ncessairement de l'analyse de ,lebnitz4 ,lagrange a1 d'ailleurs1 trs-nettement tabli que la prtendue analogie observe entre le calcul aux diffrences et le calcul infinitsimal tait radicalement vicieuse1 en ce sens que les formules propres au premier calcul ne peuvent nullement fournir1 comme cas particuliers1 celles qui conviennent au second1 dont la nature est essentiellement distincte4 ,d'aprs l'ensemble de considrations que je viens d'indiquer1 je crois que le calcul aux diffrences finies est ordinairement class tort dans l'analyse transcendante proprement dite1 c'est--dire dans le calcul des fonctions indirectes4 ,je le conois1 au contraire1 en adoptant pleinement les importantes rflexions de ,lagrange1 qui ne sont pas encore suffisamment apprcies1 comme tant seulement une branche trs-tendue et fort importante de l'analyse ordinaire1 c'est--dire1 de ce que j'ai nomm le calcul des fonctions directes4 ,tel est1 en effet1 ce me semble1 son vrai caractre philosophique1 que les quations qu'il considre sont toujours1 malgr la notation1 de simples quations directes4 ,en prcisant1 autant que possible1 l'explication prcdente1 on doit envisager le calcul de ,taylor comme ayant constamment pour vritable objet la thorie gnrale des suites1 dont1 avant cet illustre gomtre1 on n'avait encore considr que les cas les plus simples4 ,j'aurais d1 rigoureusement1 mentionner cette importante thorie en traitant1 dans la cinquime leon1 de l'algbre proprement dite1 dont elle est une branche si tendue4 ,mais1 afin d'viter tout double emploi1 j'ai prfr ne la signaler qu'en considrant le calcul aux diffrences finies1 qui1 rduit sa plus simple expression gnrale1 n'est autre chose1 dans toute son tendue1 qu'une tude rationnelle complte des questions relatives aux suites4 ,toute suite1 ou succession de nombres dduits les uns des autres d'aprs une loi constante quelconque1 donne lieu ncessairement ces deux questions fondamentales3 #a la loi de la suite tant suppose connue1 trouver l'expression de son terme gnral1 de manire pouvoir calculer immdiatement un terme d'un rang quelconque1 sans tre oblig de former successivement tous les prcdens2 #b dans les mmes circonstances1 dterminer la somme d'un nombre quelconque de termes de la suite en fonction de leurs rangs1 en sorte qu'on puisse la connatre sans tre forc d'ajouter continuellement ces termes les uns aux autres4 ,ces deux questions fondamentales tant supposes rsolues1 on peut en outre se proposer rciproquement de trouver la loi d'une srie d'aprs la forme de son terme gnral1 ou l'expression de la somme4 ,chacun de ses divers problmes comporte d'autant plus d'tendue et de difficult1 que l'on peut concevoir un plus grand nombre de lois diffrentes pour les sries1 suivant le nombre de termes prcdens dont chaque terme dpend immdiatement1 et suivant la fonction qui exprime cette dpendance4 ,on peut mme considrer des sries plusieurs indices variables1 comme l'a fait ,laplace dans la thorie analytique des probabilits1 par l'analyse laquelle il a donn le nom de thorie des fonctions gnratrices1 bien qu'elle ne soit rellement qu'une branche nouvelle et suprieure du calcul aux diffrences finies1 ou de la thorie gnrale des suites4 ,les divers aperus gnraux que je viens d'indiquer ne donnent mme qu'une ide imparfaite de l'tendue et de la varit vraiment infinie des questions auxquelles les gomtres se sont levs d'aprs cette seule considration des sries1 si simple en apparence1 et si borne son origine4 ,elle prsente ncessairement autant de cas divers que la rsolution algbrique des quations envisage dans toute son tendue2 et elle est1 par sa nature1 beaucoup plus complique1 tellement mme qu'elle en dpend toujours1 pour conduire une solution complte4 ,c'est assez faire pressentir quelle doit tre encore son extrme imperfection1 malgr les travaux successifs de plusieurs gomtres du premier ordre4 ,nous ne possdons1 en effet1 jusqu'ici que la solution totale et rationnelle des plus simples questions de cette nature4 ,il est maintenant ais de concevoir l'identit ncessaire et parfaite que j'ai annonce ci-dessus1 d'aprs les indications de ,lagrange1 entre le calcul aux diffrences finies1 et la thorie des suites prise dans son ensemble4 ,en effet1 toute diffrentiation la manire de ,taylor revient videmment trouver la loi de formation d'une suite un ou plusieurs indices variables1 d'aprs l'expression de son terme gnral2 de mme1 toute intgration analogue peut tre regarde comme ayant pour objet la sommation d'une suite1 dont le terme gnral serait exprim par la diffrence propose4 ,sous ce rapport1 les divers problmes de calcul aux diffrences1 direct ou inverse1 rsolus par ,taylor et par ses successeurs1 ont rellement une trs-grande valeur1 comme traitant des questions importantes relativement aux suites4 ,mais il est fort douteux que la forme et la notation introduites par ,taylor apportent rellement aucune facilit essentielle dans la solution des questions de ce genre4 ,il serait peut-tre plus avantageux pour la plupart des cas1 et certainement plus rationnel1 de remplacer les diffrences par les termes mmes dont elles dsignent certaines combinaisons4 ,le calcul de ,taylor ne reposant pas sur une pense fondamentale vraiment distincte1 et n'ayant de propre que son systme de signes1 il ne saurait y avoir rellement1 dans la supposition mme la plus favorable1 aucun avantage important le concevoir comme dtach de l'analyse ordinaire1 dont il n'est1 vrai dire1 qu'une branche immense4 ,cette considration des diffrences1 le plus souvent inutile quand elle ne complique pas1 me semble conserver encore le caractre d'une poque o les ides analytiques n'tant pas assez familires aux gomtres1 ils devaient naturellement prfrer les formes spciales propres aux simples comparaisons numriques4 ,quoi qu'il en soit1 je ne dois pas terminer cette apprciation gnrale du calcul aux diffrences finies1 sans signaler une nouvelle notion laquelle il a donn naissance1 et qui a pris ensuite une grande importance4 ,c'est la considration de ces fonctions priodiques ou discontinues1 conservant toujours la mme valeur pour une suite infinie de valeurs assujties une certaine loi dans les variables correspondantes1 et qui doivent tre ncessairement ajoutes aux intgrales des quations aux diffrences finies pour les rendre suffisamment gnrales1 comme on ajoute de simples constantes arbitraires toutes les quadratures afin d'en complter la gnralit4 ,cette ide1 primitivement introduite par ,euler1 est devenue1 dans ces derniers temps1 le sujet de travaux fort tendus de la part de ,m4 ,fourier1 qui l'a transporte dans le systme gnral de l'analyse1 et qui en a fait un usage tellement neuf et si essentiel pour la thorie mathmatique de la chaleur que cette conception1 dans son tat actuel1 lui appartient vraiment d'une manire exclusive4 ,afin de signaler compltement le caractre philosophique du calcul aux diffrences finies1 je ne dois pas ngliger de mentionner ici rapidement les principales applications gnrales qu'on en a faites jusqu' prsent4 ,il faudrait placer au premier rang1 comme la plus tendue et la plus importante1 la solution des questions relatives aux suites1 si1 d'aprs les explications donnes ci-dessus1 la thorie gnrale des suites ne devait pas tre considre comme constituant1 par sa nature1 le fond mme du calcul de ,taylor4 ,cette grande classe de problmes tant donc carte1 la plus essentielle des vritables applications de l'analyse de ,taylor1 est sans doute1 jusqu'ici1 la mthode gnrale des interpolations1 si frquemment et si utilement employe dans la recherche des lois empiriques des phnomnes naturels4 ,la question consiste1 comme on sait1 intercaler1 entre certains nombres donns1 d'autres nombres intermdiaires assujtis la mme loi que l'on suppose exister entre les premiers4 ,on peut pleinement vrifier1 dans cette application principale du calcul de ,taylor1 combien1 ainsi que je l'ai expliqu plus haut1 la considration des diffrences est vraiment trangre et souvent gnante1 relativement aux questions qui dpendent de cette analyse4 ,en effet1 ,lagrange a remplac les formules d'interpolation dduites de l'algorithme ordinaire du calcul aux diffrences finies par des formules gnrales beaucoup plus simples1 qui sont aujourd'hui presque toujours prfres1 et qui ont t trouves directement1 sans faire jouer aucun rle la notion superflue des diffrences1 qui ne faisaient que compliquer la question4 ,une dernire classe importante d'applications du calcul aux diffrences finies1 qui mrite d'tre distingue de la prcdente1 consiste dans l'usage minemment utile qu'on en fait1 en gomtrie1 pour dterminer par approximation la longueur et l'aire de quelque courbe que ce soit1 et1 de mme1 la quadrature et la cubature d'un corps ayant une forme quelconque4 ,ce procd1 qui peut d'ailleurs tre conu abstraitement comme dpendant de la mme recherche analytique que la question des interpolations1 prsente souvent un supplment prcieux aux mthodes gomtriques entirement rationnelles1 qui conduisent frquemment des intgrations qu'on ne sait point encore effectuer1 ou des calculs d'une excution trs-complique4 ,telles sont les diverses considrations principales que j'ai cru devoir indiquer relativement au calcul des diffrences finies4 ,cet examen complte l'tude philosophique que je m'tais propos d'esquisser pour la mathmatique abstraite4 ,nous devons maintenant procder un travail semblable sur la mathmatique concrte1 o nous nous attacherons surtout concevoir comment1 en supposant parfaite la science gnrale du calcul1 on a pu1 par des procds invariables1 rduire de pures questions d'analyse tous les problmes que peuvent prsenter la gomtrie et la mcanique1 et imprimer ainsi ces deux bases fondamentales de la philosophie naturelle1 un degr de prcision et surtout d'unit1 en un mot1 un caractre de haute perfection1 qu'une telle marche pouvait seule leur communiquer4 ,,dixi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,vue gnrale de la gomtrie4 ,d'aprs l'explication gnrale prsente dans la troisime leon relativement au caractre philosophique de la mathmatique concrte1 compar celui de la mathmatique abstraite1 je n'ai pas besoin d'tablir ici1 d'une manire spciale1 que la gomtrie doit tre considre comme une vritable science naturelle1 seulement bien plus simple et par suite beaucoup plus parfaite qu'aucune autre4 ,cette perfection ncessaire de la gomtrie1 obtenue essentiellement par l'application1 qu'elle comporte si minemment1 de l'analyse mathmatique1 fait ordinairement illusion sur la nature relle de cette science fondamentale1 que la plupart des esprits conoivent aujourd'hui comme une science purement rationnelle1 tout--fait indpendante de l'observation4 ,il est nanmoins vident1 pour quiconque examine avec attention le caractre des raisonnemens gomtriques1 mme dans l'tat actuel de la gomtrie abstraite1 que1 si les faits qu'on y considre sont beaucoup plus lis entr'eux que ceux relatifs toute autre science1 il existe toujours cependant1 par rapport chaque corps tudi par les gomtres1 un certain nombre de phnomnes primitifs1 qui1 n'tant tablis par aucun raisonnement1 ne peuvent tre fonds que sur l'observation1 et constituent la base ncessaire de toutes les dductions4 ,l'erreur commune cet gard doit tre regarde comme un reste d'influence de l'esprit mtaphysique1 qui a si long-temps domin1 mme dans les tudes gomtriques4 ,indpendamment de sa gravit logique1 cette fausse manire de voir prsente continuellement1 dans les applications de la gomtrie rationnelle1 les plus grands inconvniens1 en ce qu'elle empche de concevoir nettement le passage du concret l'abstrait4 ,la supriorit scientifique de la gomtrie tient1 en gnral1 ce que les phnomnes qu'elle considre sont1 ncessairement1 les plus universels et les plus simples de tous4 ,non-seulement tous les corps de la nature peuvent videmment donner lieu des recherches gomtriques1 aussi bien qu' des recherches mcaniques1 mais1 de plus1 les phnomnes gomtriques subsisteraient encore1 quand mme toutes les parties de l'univers seraient supposes immobiles4 ,la gomtrie est donc1 par sa nature1 plus gnrale que la mcanique4 ,en mme temps1 ses phnomnes sont plus simples2 car ils sont videmment indpendans des phnomnes mcaniques1 tandis que ceux-ci se compliquent toujours ncessairement des premiers4 ,il en est de mme1 en comparant la gomtrie la thermologie abstraite1 qu'on peut concevoir aujourd'hui1 depuis les travaux de ,m4 ,fourier1 ainsi que je l'ai indiqu dans la troisime leon1 comme une nouvelle branche gnrale de la mathmatique concrte4 ,en effet1 les phnomnes thermologiques1 considrs mme indpendamment des effets dynamiques qui les accompagnent presque constamment1 surtout dans les corps fluides1 dpendent ncessairement des phnomnes gomtriques1 puisque la forme des corps influe singulirement sur la rpartition de la chaleur4 ,c'est pour ces diverses raisons que nous avons d classer prcdemment la gomtrie comme la premire partie de la mathmatique concrte1 celle dont l'tude1 outre son importance propre1 sert de base indispensable toutes les autres4 ,avant de considrer directement l'tude philosophique des divers ordres de recherches qui constituent la gomtrie actuelle1 il faut se faire une ide nette et exacte de la destination gnrale de cette science1 envisage dans son ensemble4 ,tel est l'objet de cette leon4 ,on dfinit communment la gomtrie d'une manire trs-vague et tout--fait vicieuse1 en se bornant la prsenter comme la science de l'tendue4 ,il conviendrait d'abord d'amliorer cette dfinition1 en disant1 avec plus de prcision1 que la gomtrie a pour objet la mesure de l'tendue4 ,mais une telle explication serait1 par elle-mme1 fort insuffisante1 bien que1 au fond1 elle soit exacte4 ,un aperu aussi imparfait ne peut nullement faire connatre le vritable caractre gnral de la science gomtrique4 ,pour y parvenir1 je crois devoir claircir pralablement deux notions fondamentales1 qui1 trs-simples en elles-mmes1 ont t singulirement obscurcies par l'emploi des considrations mtaphysiques4 ,la premire est celle de l'espace1 qui a donn lieu tant de raisonnemens sophistiques1 des discussions si creuses et si puriles de la part des mtaphysiciens4 ,rduite son acception positive1 cette conception consiste simplement en ce que1 au lieu de considrer l'tendue dans les corps eux-mmes1 nous l'envisageons dans un milieu indfini1 que nous regardons comme contenant tous les corps de l'univers4 ,cette notion nous est naturellement suggre par l'observation1 quand nous pensons l'empreinte que laisserait un corps dans un fluide o il aurait t plac4 ,il est clair1 en effet1 que1 sous le rapport gomtrique1 une telle empreinte peut tre substitue au corps lui-mme1 sans que les raisonnemens en soient altrs4 ,quant la nature physique de cet espace indfini1 nous devons spontanment nous le reprsenter1 pour plus de facilit1 comme analogue au milieu effectif dans lequel nous vivons1 tellement que si ce milieu tait liquide1 au lieu d'tre gazeux1 notre espace gomtrique serait sans doute conu aussi comme liquide4 ,cette circonstance n'est d'ailleurs videmment que trs-secondaire1 l'objet essentiel d'une telle conception tant seulement de nous faire envisager l'tendue sparment des corps qui nous la manifestent4 ,on comprend aisment priori l'importance de cette image fondamentale1 puisqu'elle nous permet d'tudier les phnomnes gomtriques en eux-mmes1 abstraction faite de tous les autres phnomnes qui les accompagnent constamment dans les corps rels1 sans cependant exercer sur eux aucune influence4 ,l'tablissement rgulier de cette abstraction gnrale doit tre regard comme le premier pas qui ait t fait dans l'tude rationnelle de la gomtrie1 qui et t impossible s'il avait fallu continuer considrer avec la forme et la grandeur des corps l'ensemble de toutes leurs autres proprits physiques4 ,l'usage d'une semblable hypothse1 qui est peut-tre la plus ancienne conception philosophique cre par l'esprit humain1 nous est maintenant devenu si familier1 que nous avons peine mesurer exactement son importance1 en apprciant les consquences qui rsulteraient de sa suppression4 ,les spculations gomtriques ayant pu ainsi devenir abstraites1 elles ont acquis non-seulement plus de simplicit1 mais encore plus de gnralit4 ,tant que l'tendue est considre dans les corps eux-mmes1 on ne peut prendre pour sujet des recherches que les formes effectivement ralises dans la nature1 ce qui restreindrait singulirement le champ de la gomtrie4 ,au contraire1 en concevant l'tendue dans l'espace1 l'esprit humain peut envisager toutes les formes quelconques imaginables1 ce qui est indispensable pour donner la gomtrie un caractre entirement rationnel4 ,la seconde conception gomtrique prliminaire que nous devons examiner est celle des diffrentes sortes d'tendue1 dsignes par les mots de volume#bj1 surface1 ligne1 et mme point1 et dont l'explication ordinaire est si peu satisfaisante4 ,note #bj3 ,m4 ,lacroix a critiqu avec raison l'expression de solide1 communment employe par les gomtres pour dsigner un volume4 ,il est certain1 en effet1 que lorsque nous voulons considrer sparment une certaine portion de l'espace indfini1 conu comme gazeux1 nous en solidifions par la pense l'enceinte extrieure1 en sorte qu'une ligne et une surface sont habituellement1 pour notre esprit1 tout aussi solides qu'un volume4 ,on peut mme remarquer que1 le plus souvent1 afin que les corps se pntrent mutuellement avec plus de facilit1 nous sommes obligs de nous reprsenter comme creux l'intrieur des volumes1 ce qui rend encore plus sensible l'improprit du mot solide4 ,quoiqu'il soit videmment impossible de concevoir aucune tendue absolument prive de l'une quelconque des trois dimensions fondamentales1 il n'est pas moins incontestable que1 dans une foule d'occasions1 mme d'une utilit immdiate1 les questions gomtriques ne dpendent que de deux dimensions1 considres sparment de la troisime1 ou d'une seule dimension1 considre sparment des deux autres4 ,d'un autre ct1 indpendamment de ce motif direct1 l'tude de l'tendue une seule dimension et ensuite deux se prsente clairement comme un prliminaire indispensable pour faciliter l'tude des corps complets ou trois dimensions1 dont la thorie immdiate serait trop complique4 ,tels sont les deux motifs gnraux qui obligent les gomtres considrer isolment l'tendue sous le rapport d'une ou de deux dimensions1 aussi bien que relativement toutes les trois ensemble4 ,c'est afin de pouvoir penser1 d'une manire permanente1 l'tendue dans deux sens ou dans un seul1 que l'esprit humain se forme les notions gnrales de surface1 et de ligne4 ,les expressions hyperboliques habituellement employes par les gomtres pour les dfinir1 tendent en faire concevoir une fausse ide4 ,mais1 examines en elles-mmes1 elles n'ont d'autre destination que de nous permettre de raisonner avec facilit sur ces deux genres d'tendue1 en faisant compltement abstraction de ce qui ne doit pas tre pris en considration4 ,or1 il suffit1 pour cela1 de concevoir la dimension que l'on veut liminer comme devenue graduellement de plus en plus petite1 les deux autres restant les mmes1 jusqu' ce qu'elle soit parvenue un tel degr de tnuit qu'elle ne puisse plus fixer l'attention4 ,c'est ainsi qu'on acquiert naturellement l'ide relle d'une surface1 et1 par une seconde opration analogue1 l'ide d'une ligne1 en renouvelant pour la largeur ce qu'on a d'abord fait pour l'paisseur4 ,enfin1 si l'on rpte encore le mme travail1 on parvient l'ide d'un point1 ou d'une tendue considre uniquement par rapport son lieu1 abstraction faite de toute grandeur1 et destine1 par consquent1 prciser les positions4 ,les surfaces ont d'ailleurs videmment la proprit gnrale de circonscrire exactement les volumes2 et1 de mme les lignes1 leur tour1 circonscrivent les surfaces1 et sont limites par les points4 ,mais cette considration1 laquelle on a donn souvent trop d'importance1 n'est que secondaire4 ,les surfaces et les lignes sont donc rellement toujours conues avec trois dimensions2 il serait1 en effet1 impossible de se reprsenter une surface autrement que comme une plaque extrmement mince1 et une ligne autrement que comme un fil infiniment dli4 ,il est mme vident que le degr de tnuit attribu par chaque individu aux dimensions dont il veut faire abstraction1 n'est pas constamment identique1 car il doit dpendre du degr de finesse de ses observations gomtriques habituelles4 ,ce dfaut d'uniformit n'a d'ailleurs aucun inconvnient rel1 puisqu'il suffit1 pour que les ides de surface et de ligne remplissent la condition essentielle de leur destination1 que chacun se reprsente les dimensions ngliger comme plus petites que toutes celles dont ses expriences journalires lui donnent occasion d'apprcier la grandeur4 ,on doit sans doute regretter qu'il soit encore ncessaire aujourd'hui d'indiquer expressment une explication aussi simple que la prcdente1 dans un ouvrage tel que celui-ci4 ,mais j'ai cru devoir signaler rapidement ces considrations cause du nuage ontologique dont une fausse manire de voir enveloppe ordinairement ces notions premires4 ,on voit par l combien sont dpourvues de toute espce de sens les discussions fantastiques des mtaphysiciens sur les fondemens de la gomtrie4 ,on doit aussi remarquer que ces ides primordiales sont habituellement prsentes par les gomtres d'une manire peu philosophique1 puisqu'ils exposent1 par exemple1 les notions des diffrentes sortes d'tendue dans un ordre absolument inverse de leur enchanement naturel1 ce qui engendre souvent1 pour l'enseignement lmentaire1 les plus graves inconvniens4 ,ces prliminaires tant poss1 nous pouvons procder directement la dfinition gnrale de la gomtrie1 en concevant toujours cette science comme ayant pour but final la mesure de l'tendue4 ,il est tellement ncessaire d'entrer cet gard dans une explication approfondie1 fonde sur la distinction des trois espces d'tendue1 que la notion de mesure n'est pas exactement la mme par rapport aux surfaces et aux volumes que relativement aux lignes1 en sorte que1 sans cet examen1 on se formerait une fausse ide de la nature des questions gomtriques4 ,si l'on prend le mot mesure dans son acception mathmatique directe et gnrale1 qui signifie simplement l'valuation des rapports qu'ont entr'elles des grandeurs homognes quelconques1 on doit considrer1 en gomtrie1 que la mesure des surfaces et des volumes1 par opposition celle des lignes1 n'est jamais conue1 mme dans les cas les plus simples et les plus favorables1 comme s'effectuant immdiatement4 ,on regarde comme directe la comparaison de deux lignes2 celle de deux surfaces ou de deux volumes est1 au contraire1 constamment indirecte4 ,en effet1 on conoit que deux lignes puissent tre superposes2 mais la superposition de deux surfaces1 ou1 plus forte raison1 celle de deux volumes1 est videmment impossible tablir dans le plus grand nombre des cas2 et1 lors mme qu'elle devient rigoureusement praticable1 une telle comparaison n'est jamais ni commode1 ni susceptible d'exactitude4 ,il est donc bien ncessaire d'expliquer en quoi consiste proprement la mesure vraiment gomtrique d'une surface ou d'un volume4 ,il faut considrer1 pour cela1 que1 quelle que puisse tre la forme d'un corps1 il existe toujours un certain nombre de lignes1 plus ou moins faciles assigner1 dont la longueur suffit pour dfinir exactement la grandeur de sa surface ou de son volume4 ,la gomtrie1 regardant ces lignes comme seules susceptibles d'tre mesures immdiatement1 se propose de dduire1 de leur simple dtermination1 le rapport de la surface ou du volume cherchs1 l'unit de surface ou l'unit de volume4 ,ainsi l'objet gnral de la gomtrie1 relativement aux surfaces et aux volumes1 est proprement de ramener toutes les comparaisons de surfaces ou de volumes1 de simples comparaisons de lignes4 ,outre la facilit immense que prsente videmment une telle transformation pour la mesure des volumes et des surfaces1 il en rsulte1 en la considrant d'une manire plus tendue et plus scientifique1 la possibilit gnrale de rduire des questions de lignes1 toutes les questions relatives aux volumes et aux surfaces1 envisags quant leur grandeur4 ,tel est souvent l'usage le plus important des expressions gomtriques qui dterminent les surfaces et les volumes en fonction des lignes correspondantes4 ,ce n'est pas que les comparaisons immdiates entre surfaces ou entre volumes ne soient jamais employes4 ,mais de telles mesures ne sont pas regardes comme gomtriques1 et on n'y voit qu'un supplment quelquefois ncessaire1 quoique trop rarement applicable1 l'insuffisance ou la difficult des procds vraiment rationnels4 ,c'est ainsi que souvent on dtermine le volume d'un corps1 et1 dans certains cas1 sa surface1 d'aprs son poids4 ,de mme1 en d'autres occasions1 quand on peut substituer au volume propos un volume liquide quivalent1 on tablit immdiatement la comparaison de deux volumes1 en profitant de la proprit que prsentent les masses liquides1 de pouvoir prendre aisment toutes les formes qu'on veut leur donner4 ,mais tous les moyens de cette nature sont purement mcaniques1 et la gomtrie rationnelle les rejette ncessairement4 ,pour rendre plus sensible la diffrence de ces dterminations avec les vritables mesures gomtriques1 je citerai un seul exemple trs-remarquable1 la manire dont ,galile valua le rapport de l'aire de la cyclode ordinaire celle du cercle gnrateur4 ,la gomtrie de son temps tant encore trop infrieure la solution rationnelle d'un tel problme1 ,galile imagina de chercher ce rapport par une exprience directe4 ,ayant pes le plus exactement possible deux lames de mme matire et d'gale paisseur1 dont l'une avait la forme d'un cercle et l'autre celle de la cyclode engendre1 il trouva le poids de celle-ci constamment triple de celui de la premire1 d'o il conclut que l'aire de la cylode est triple de celle du cercle gnrateur1 rsultat conforme la vritable solution obtenue plus tard par ,pascal et ,wallis4 ,un tel succs1 sur lequel d'ailleurs ,galile n'avait pas pris le change1 tient videmment l'extrme simplicit relle du rapport cherch2 et on conoit l'insuffisance ncessaire de semblables expdiens1 mme lorsqu'ils seraient effectivement praticables4 ,on voit clairement1 d'aprs ce qui prcde1 en quoi consistent proprement la partie de la gomtrie relative aux volumes et celle relative aux surfaces4 ,mais on ne conoit pas aussi nettement le caractre de la gomtrie des lignes1 puisque nous avons sembl1 pour simplifier l'exposition1 considrer la mesure des lignes comme se fesant immdiatement4 ,il faut donc1 par rapport elles1 un complment d'explication4 cet effet1 il suffit de distinguer1 entre la ligne droite et les lignes courbes2 la mesure de la premire tant seule regarde comme directe1 et celle des autres comme constamment indirecte4 ,bien que la superposition soit quelquefois rigoureusement praticable pour les lignes courbes1 il est vident nanmoins que la gomtrie vraiment rationnelle doit la rejeter ncessairement1 comme ne comportant1 lors mme qu'elle est possible1 aucune exactitude4 ,la gomtrie des lignes a donc pour objet gnral de ramener constamment la mesure des lignes courbes celle des lignes droites2 et par suite1 sous un point de vue plus tendu1 de rduire de simples questions de lignes droites toutes les questions relatives la grandeur des courbes quelconques4 ,pour comprendre la possibilit d'une telle transformation1 il faut remarquer que1 dans toute courbe quelconque1 il existe constamment certaines droites dont la longueur doit suffire pour dterminer celle de la courbe4 ,ainsi1 dans un cercle1 il est vident que de la longueur du rayon on doit pouvoir conclure celle de la circonfrence2 de mme1 la longueur d'une ellipse dpend de celle de ses deux axes2 la longueur d'une cyclode1 du diamtre du cercle gnrateur1 etc42 et si1 au lieu de considrer la totalit de chaque courbe1 on demande plus gnralement la longueur d'un arc quelconque1 il suffira d'ajouter1 aux divers paramtres rectilignes qui dterminent l'ensemble de la courbe1 la corde de l'arc propos1 ou les coordonnes de ses extrmits4 ,dcouvrir la relation qui existe entre la longueur d'une ligne courbe et celle de semblables lignes droites1 tel est le problme gnral qu'on a essentiellement en vue dans la partie de la gomtrie relative l'tude des lignes4 ,en combinant cette considration avec celles prcdemment exposes sur les volumes et sur les surfaces1 on peut se former une ide trs-nette de la science gomtrique1 conue dans son ensemble1 en lui assignant pour destination gnrale de rduire finalement les comparaisons de toutes les espces d'tendue1 volumes1 surfaces1 ou lignes1 de simples comparaisons de lignes droites1 les seules regardes comme pouvant tre effectues immdiatement1 et qui1 en effet1 ne sauraient videmment tre ramenes d'autres plus faciles4 ,en mme temps qu'une telle conception manifeste clairement le vritable caractre de la gomtrie1 elle me semble propre faire apercevoir1 d'un coup-d'oeil unique1 son utilit et sa perfection4 ,afin de complter rigoureusement cette explication fondamentale1 il me reste indiquer comment il peut y avoir1 en gomtrie1 une section spciale relative la ligne droite1 ce qui parat d'abord incompatible avec le principe que la mesure de cette classe de lignes doit tre toujours regarde comme immdiate4 ,elle l'est1 en effet1 par rapport celle des lignes courbes1 et de tous les autres objets que la gomtrie considre4 ,mais il est vident que l'estimation d'une ligne droite ne peut tre envisage comme directe qu'autant qu'on peut immdiatement porter sur elle l'unit linaire4 ,or1 c'est ce qui prsente le plus souvent des difficults insurmontables1 comme j'ai eu occasion de l'exposer spcialement pour un autre motif dans la troisime leon4 ,on doit alors faire dpendre la mesure de la droite propose d'autres mesures analogues1 susceptibles d'tre immdiatement effectues4 ,il y a donc ncessairement une premire tude gomtrique distincte1 exclusivement consacre la ligne droite2 elle a pour objet de dterminer les lignes droites1 les unes par les autres1 d'aprs les relations propres aux figures quelconques rsultant de leur assemblage4 ,cette partie prliminaire de la gomtrie1 qui semble pour ainsi dire imperceptible quand on envisage l'ensemble de la science1 est nanmoins susceptible d'un trs-grand dveloppement1 lorsqu'on veut la traiter dans toute son tendue4 ,elle est videmment d'autant plus importante1 que1 toutes les mesures gomtriques devant se ramener1 autant que possible1 celle des lignes droites1 l'impossibilit de dterminer ces dernires suffirait pour rendre incomplte la solution de chaque question quelconque4 ,telles sont donc1 suivant leur enchanement naturel1 les diverses parties fondamentales de la gomtrie rationnelle4 ,on voit que1 pour suivre dans son tude gnrale un ordre vraiment dogmatique1 il faut considrer d'abord la gomtrie des lignes1 en commenant par la ligne droite1 et passer ensuite la gomtrie des surfaces1 pour traiter enfin celle des volumes4 ,il y a lieu de s'tonner1 sans doute1 qu'une classification mthodique qui drive aussi simplement de la nature mme de la science n'ait pas t constamment suivie4 ,aprs avoir dtermin avec prcision l'objet gnral et dfinitif des recherches gomtriques1 il faut maintenant considrer la science sous le rapport du champ embrass par chacune de ses trois sections fondamentales4 ,ainsi envisage1 la gomtrie est videmment susceptible1 par sa nature1 d'une extension rigoureusement indfinie2 car la mesure des lignes1 des surfaces ou des volumes1 prsente ncessairement autant de questions distinctes que l'on peut concevoir de formes diffrentes1 assujetties des dfinitions exactes1 et le nombre en est videmment infini4 ,les gomtres se sont borns d'abord considrer les formes les plus simples que la nature leur fournissait immdiatement1 ou qui se dduisaient de ces lmens primitifs par les combinaisons les moins compliques4 ,mais ils ont senti1 depuis ,descartes1 que1 pour constituer la science de la manire la plus philosophique1 il fallait ncessairement la faire porter1 en gnral1 sur toutes les formes imaginables4 ,ils ont ainsi acquis la certitude raisonne que cette gomtrie abstraite comprendrait invitablement1 comme cas particuliers1 toutes les diverses formes relles que le monde extrieur pourrait prsenter1 de faon n'tre jamais pris au dpourvu4 ,si1 au contraire1 on s'tait toujours rduit la seule considration de ces formes naturelles1 sans s'y tre prpar par une tude gnrale et par l'examen spcial de certaines formes hypothtiques plus simples1 il est clair que les difficults auraient t le plus souvent insurmontables au moment de l'application effective4 ,c'est donc un principe fondamental1 dans la gomtrie vraiment rationnelle1 que la ncessit de considrer1 autant que possible1 toutes les formes qu'on peut concevoir rigoureusement4 ,l'examen le moins approfondi suffit pour faire comprendre que ces formes prsentent une varit tout--fait infinie4 ,relativement aux lignes courbes1 en les regardant comme engendres par le mouvement d'un point assujetti une certaine loi1 il est clair qu'on aura1 en gnral1 autant de courbes diffrentes que l'on supposera de lois diffrentes pour ce mouvement1 qui peut videmment s'oprer suivant une infinit de conditions distinctes1 quoiqu'il puisse arriver accidentellement quelquefois que de nouvelles gnrations produisent des courbes dj obtenues4 ,ainsi1 pour me borner aux seules courbes planes1 si un point se meut de manire rester constamment la mme distance d'un point fixe1 il engendrera un cercle2 si c'est la somme ou la diffrence de ses distances deux points fixes qui demeure constante1 la courbe dcrite sera une ellipse ou une hyperbole2 si c'est leur produit1 on aura une courbe toute diffrente2 si le point s'carte toujours galement d'un point fixe et d'une droite fixe1 il dcrira une parabole2 s'il tourne sur un cercle en mme temps que ce cercle roule sur une ligne droite1 on aura une cyclode2 s'il s'avance le long d'une droite1 tandis que cette droite1 fixe par une de ses extrmits1 tourne d'une manire quelconque1 il en rsultera ce qu'on appelle1 en gnral1 des spirales qui1 elles seules1 prsentent videmment autant de courbes parfaitement distinctes1 qu'on peut supposer de relations diffrentes entre ces deux mouvemens de translation et de rotation1 etc41 etc4 ,chacune de ces diverses courbes peut ensuite en fournir de nouvelles1 par les diffrentes constructions gnrales que les gomtres ont imagines1 et qui donnent naissance aux dveloppes1 aux picyclodes1 aux caustiques1 etc41 etc4 ,enfin il existe videmment une varit encore plus grande parmi les courbes double courbure4 ,relativement aux surfaces1 les formes en sont ncessairement bien plus diverses encore1 en les regardant comme engendres par le mouvement des lignes4 ,en effet1 la forme peut alors varier1 non seulement en considrant1 comme dans les courbes1 les diffrentes lois en nombre infini auxquelles peut tre assujetti le mouvement de la ligne gnratrice1 mais aussi en supposant que cette ligne elle-mme vienne changer de nature1 ce qui n'a pas d'analogue dans les courbes1 les points qui les dcrivent ne pouvant avoir aucune figure distincte4 ,deux classes de conditions trs-diverses peuvent donc faire varier les formes des surfaces1 tandis qu'il n'en existe qu'une seule pour les lignes4 ,il est inutile de citer spcialement une srie d'exemples propres vrifier cette multiplicit doublement infinie qu'on remarque parmi les surfaces4 ,il suffirait1 pour s'en faire une ide1 de considrer l'extrme varit que prsente le seul groupe des surfaces dites rgles1 c'est--dire engendres par une ligne droite1 et qui comprend toute la famille des surfaces cylindriques1 celle des surfaces coniques1 la classe plus gnrale des surfaces dveloppantes quelconques1 etc4 ,par rapport aux volumes1 il n'y a lieu aucune considration spciale1 puisqu'ils ne se distinguent entr'eux que par les surfaces qui les terminent4 ,afin de complter cet aperu gomtrique1 il faut ajouter que les surfaces elles-mmes fournissent un nouveau moyen gnral de concevoir des courbes nouvelles1 puisque toute courbe peut tre envisage comme produite par l'intersection de deux surfaces4 ,c'est ainsi1 en effet1 qu'ont t obtenues les premires lignes qu'on puisse regarder comme vraiment inventes par les gomtres1 puisque la nature donnait immdiatement la ligne droite et le cercle4 ,on sait que l'ellipse1 la parabole et l'hyperbole1 les seules courbes compltement tudies par les anciens1 avaient t seulement conues1 dans l'origine1 comme rsultant de l'intersection d'un cne base circulaire par un plan diversement situ4 ,il est vident que par l'emploi combin de ces diffrens moyens gnraux pour la formation des lignes et des surfaces1 on pourrait produire une suite rigoureusement infinie de formes distinctes1 en partant seulement d'un trs-petit nombre de figures directement fournies par l'observation4 ,du reste1 tous les divers moyens immdiats pour l'invention des formes1 n'ont presque plus aucune importance1 depuis que la gomtrie rationnelle a pris1 entre les mains de ,descartes1 son caractre dfinitif4 ,en effet1 comme nous le verrons spcialement dans la douzime leon1 l'invention des formes se rduit aujourd'hui l'invention des quations1 en sorte que rien n'est plus ais que de concevoir de nouvelles lignes et de nouvelles surfaces1 en changeant volont les fonctions introduites dans les quations4 ,ce simple procd abstrait est1 sous ce rapport1 infiniment plus fcond que les ressources gomtriques directes1 dveloppes par l'imagination la plus puissante1 qui s'appliquerait uniquement cet ordre de conceptions4 ,il explique d'ailleurs1 de la manire la plus gnrale et la plus sensible1 la varit ncessairement infinie des formes gomtriques1 qui correspond ainsi la diversit des fonctions analytiques4 ,enfin1 il montre non moins clairement que les diffrentes formes de surfaces doivent tre encore plus multiplies que celles des lignes1 puisque les lignes sont reprsentes analytiquement par des quations deux variables1 tandis que les surfaces donnent lieu des quations trois variables1 qui prsentent ncessairement une plus grande diversit4 ,les considrations prcdemment indiques suffisent pour montrer nettement l'extension rigoureusement infinie que comporte1 par sa nature1 chacune des trois sections gnrales de la gomtrie1 relativement aux lignes1 aux surfaces et aux volumes1 en rsultat de la varit infinie des corps mesurer4 ,pour achever de nous faire une ide exacte et suffisamment tendue de la nature des recherches gomtriques1 il est maintenant indispensable de revenir sur la dfinition gnrale donne ci-dessus1 afin de la prsenter sous un nouveau point de vue1 sans lequel l'ensemble de la science ne serait que fort imparfaitement conu4 ,en assignant pour but la gomtrie la mesure de toutes les sortes de lignes1 de surfaces et de volumes1 c'est--dire1 comme je l'ai expliqu1 la rduction de toutes les comparaisons gomtriques de simples comparaisons de lignes droites1 nous avons videmment l'avantage d'indiquer une destination gnrale trs-prcise et trs-facile saisir4 ,mais1 si cartant toute dfinition1 on examine la composition effective de la science gomtrique1 on sera d'abord port regarder la dfinition prcdente comme beaucoup trop troite1 car il n'est pas douteux que la majeure partie des recherches qui constituent notre gomtrie actuelle ne paraissent nullement avoir pour objet la mesure de l'tendue4 ,c'est probablement une telle considration qui maintient encore1 pour la gomtrie1 l'usage de ces dfinitions vagues1 qui ne comprennent tout que parce qu'elles ne caractrisent rien4 ,je crois nanmoins1 malgr cette objection fondamentale1 pouvoir persister indiquer la mesure de l'tendue comme le but gnral et uniforme de la science gomtrique1 et en y comprenant cependant tout ce qui entre dans sa composition relle4 ,en effet1 si1 au lieu de se borner considrer isolment les diverses recherches gomtriques1 on s'attache saisir les questions principales1 par rapport auxquelles toutes les autres1 quelque importantes qu'elles soient1 ne doivent tre regardes que comme secondaires1 on finira par reconnatre que la mesure des lignes1 des surfaces et des volumes1 est le but invariable1 quelquefois direct1 et le plus souvent indirect1 de tous les travaux gomtriques4 ,cette proposition gnrale tant fondamentale1 puisqu'elle peut seule donner notre dfinition toute sa valeur1 il est indispensable d'entrer ce sujet dans quelques dveloppemens4 ,en examinant avec attention les recherches gomtriques qui ne paraissent point se rapporter la mesure de l'tendue1 on trouve qu'elles consistent essentiellement dans l'tude des diverses proprits de chaque ligne ou de chaque surface1 c'est--dire1 en termes prcis1 dans la connaissance des diffrens modes de gnration1 ou du moins de dfinition1 propres chaque forme que l'on considre4 ,or1 on peut aisment tablir1 de la manire la plus gnrale1 la relation ncessaire d'une telle tude avec la question de mesure1 pour laquelle la connaissance la plus complte possible des proprits de chaque forme est un prliminaire indispensable4 ,c'est ce que concourent prouver deux considrations galement fondamentales1 quoique de nature tout--fait distincte4 ,la premire1 purement scientifique1 consiste remarquer que si l'on ne connaissait1 pour chaque ligne ou pour chaque surface1 d'autre proprit caractristique que celle d'aprs laquelle les gomtres l'ont primitivement conue1 il serait le plus souvent impossible de parvenir la solution des questions relatives sa mesure4 ,en effet1 il est facile de sentir que les diffrentes dfinitions dont chaque forme est susceptible ne sont pas toutes galement propres une telle destination1 et qu'elles prsentent mme1 sous ce rapport1 les oppositions les plus compltes4 ,or1 d'un autre ct1 la dfinition primitive de chaque forme n'ayant pu videmment tre choisie d'aprs cette condition1 il est clair qu'on ne doit pas s'attendre1 en gnral1 la trouver la plus convenable2 d'o rsulte la ncessit d'en dcouvrir d'autres1 c'est dire d'tudier1 autant que possible1 les proprits de la forme propose4 ,qu'on suppose1 par exemple1 que le cercle soit dfini1 la courbe qui1 sous le mme contour1 renferme la plus grande aire1 ce qui est certainement une proprit tout--fait caractristique1 on prouverait videmment des difficults insurmontables pour dduire d'un tel point de dpart la solution des questions fondamentales relatives la rectification ou la quadrature de cette courbe4 ,il est clair1 priori1 que la proprit d'avoir tous ses points gale distance d'un point fixe1 doit ncessairement s'adapter bien mieux des recherches de cette nature1 sans qu'elle soit prcisment la plus convenable4 ,de mme1 ,archimde et-il jamais pu dcouvrir la quadrature de la parabole1 s'il n'avait connu de cette courbe d'autre proprit que d'tre la section d'un cne base circulaire1 par un plan parallle sa gnratrice8 ,les travaux purement spculatifs des gomtres prcdens1 pour transformer cette premire dfinition1 ont videmment t des prliminaires indispensables la solution directe d'une telle question4 ,il en est de mme1 plus forte raison1 relativement aux surfaces4 ,il suffirait1 pour s'en faire une juste ide1 de comparer1 par exemple1 quant la question de la cubature ou de la quadrature1 la dfinition ordinaire de la sphre avec celle1 non moins caractristique sans doute1 qui consisterait regarder un corps sphrique comme celui qui1 sous la mme aire1 contient le plus grand volume4 ,je n'ai pas besoin d'indiquer un plus grand nombre d'exemples pour faire comprendre1 en gnral1 la ncessit de connatre1 autant que possible1 toutes les proprits de chaque ligne ou de chaque surface1 afin de faciliter la recherche des rectifications1 des quadratures1 et des cubatures1 qui constitue l'objet final de la gomtrie4 ,on peut mme dire que la principale difficult des questions de ce genre consiste employer1 dans chaque cas1 la proprit qui s'adapte le mieux la nature du problme propos4 ,ainsi en continuant indiquer1 pour plus de prcision1 la mesure de l'tendue1 comme la destination gnrale de la gomtrie1 cette premire considration1 qui touche directement au fond du sujet1 dmontre clairement la ncessit d'y comprendre l'tude1 aussi approfondie que possible1 des diverses gnrations ou dfinitions propres une mme forme4 ,un second motif1 d'une importance au moins gale1 consiste en ce qu'une telle tude est indispensable pour organiser1 d'une manire rationnelle1 la relation de l'abstrait au concret en gomtrie4 ,la science gomtrique devant considrer1 ainsi que je l'ai indiqu ci-dessus1 toutes les formes imaginables qui comportent une dfinition exacte1 il en rsulte ncessairement1 comme nous l'avons remarqu1 que les questions relatives aux formes quelconques prsentes par la nature1 sont toujours implicitement comprises dans cette gomtrie abstraite1 suppose parvenue sa perfection4 ,mais quand il faut passer effectivement la gomtrie concrte1 on rencontre constamment une difficult fondamentale1 celle de savoir auxquels des diffrens types abstraits on doit rapporter1 avec une approximation suffisante1 les lignes ou les surfaces relles qu'il s'agit d'tudier4 ,or1 c'est pour tablir une telle relation qu'il est particulirement indispensable de connatre le plus grand nombre possible de proprits de chaque forme considre en gomtrie4 ,en effet1 si l'on se bornait toujours la seule dfinition primitive d'une ligne ou d'une surface1 en supposant mme qu'on pt alors la mesurer 7ce qui1 d'aprs le premier genre de considrations1 serait le plus souvent impossible71 ces connaissances resteraient presque ncessairement striles dans l'application1 puisqu'on ne saurait point ordinairement reconnatre cette forme dans la nature1 quand elle s'y prsenterait4 ,il faudrait pour cela que le caractre unique1 d'aprs lequel les gomtres l'auraient conue1 ft prcisment celui dont les circonstances extrieures comporteraient la vrification1 concidence purement fortuite1 sur laquelle videmment on ne doit pas compter1 bien qu'elle puisse avoir lieu quelquefois4 ,ce n'est donc qu'en multipliant autant que possible les proprits caractristiques de chaque forme abstraites1 que nous pouvons tre assurs d'avance de la reconnatre l'tat concret1 et d'utiliser ainsi tous nos travaux rationnels1 en vrifiant1 dans chaque cas1 la dfinition qui est susceptible d'tre constate directement4 ,cette dfinition est presque toujours unique dans des circonstances donnes1 et varie1 au contraire1 pour une mme forme1 avec des circonstances diffrentes3 double motif de dtermination4 ,la gomtrie cleste nous fournit1 cet gard1 l'exemple le plus mmorable1 bien propre mettre en vidence la ncessit gnrale d'une telle tude4 ,on sait1 en effet1 que l'ellipse a t reconnue par ,kpler comme tant la courbe que dcrivent les plantes autour du soleil et les satellites autour de leurs plantes4 ,or1 cette dcouverte fondamentale1 qui a renouvel l'astronomie1 et-elle jamais t possible1 si l'on s'tait toujours born concevoir l'ellipse comme la section oblique d'un cne circulaire par un plan8 ,aucune telle dfinition ne pouvait videmment comporter une semblable vrification4 ,la proprit la plus usuelle de l'ellipse1 que la somme des distances de tous ses points deux points fixes soit constante1 est bien plus susceptible sans doute1 par sa nature1 de faire reconnatre la courbe dans ce cas2 mais elle n'est point encore directement convenable4 ,le seul caractre qui puisse tre alors vrifi immdiatement1 est celui qu'on tire de la relation qui existe dans l'ellipse entre la longueur des distances focales et leur direction1 l'unique relation qui admette une interprtation astronomique1 comme exprimant la loi qui lie la distance de la plante au soleil au temps coul depuis l'origine de sa rvolution4 ,il a donc fallu que les travaux purement spculatifs des gomtres grecs sur les proprits des sections coniques eussent pralablement prsent leur gnration sous une multitude de points de vue diffrens1 pour que ,kpler ait pu passer ainsi de l'abstrait au concret1 en choisissant parmi tous ces divers caractres celui qui pouvait le plus facilement tre constat pour les orbites plantaires4 ,je puis citer encore un exemple du mme ordre1 relativement aux surfaces1 en considrant l'importante question de la figure de la terre4 ,si on n'avait jamais connu d'autre proprit de la sphre que son caractre primitif d'avoir tous ses points galement distans d'un point intrieur1 comment aurait-on pu jamais dcouvrir que la surface de la terre tait sphrique8 ,il a t ncessaire pour cela de dduire pralablement de cette dfinition de la sphre quelques proprits susceptibles d'tre vrifies par des observations effectues uniquement la surface1 comme1 par exemple1 le rapport constant qui existe pour la sphre entre la longueur du chemin parcouru le long d'un mridien quelconque en s'avanant vers un ple1 et la hauteur angulaire de ce ple sur l'horizon en chaque point4 ,il en a t videmment de mme1 et avec une bien plus longue suite de spculations prliminaires1 pour constater plus tard que la terre n'tait point rigoureusement sphrique1 mais que sa forme est celle d'un ellipsode de rvolution4 ,aprs de tels exemples1 il serait sans doute inutile d'en rapporter d'autres1 que chacun peut d'ailleurs aisment multiplier4 ,on y vrifiera toujours que1 sans une connaissance trs-tendue des diverses proprits de chaque forme1 la relation de l'abstrait au concret en gomtrie serait purement accidentelle1 et que1 par consquent1 la science manquerait de l'un de ses fondemens les plus essentiels4 ,tels sont donc les deux motifs gnraux qui dmontrent pleinement la ncessit d'introduire en gomtrie une foule de recherches qui n'ont pas pour objet direct la mesure de l'tendue1 en continuant cependant concevoir une telle mesure comme la destination finale de toute la science gomtrique4 ,ainsi1 nous pouvons conserver les avantages philosophiques que prsentent la nettet et la prcision de cette dfinition1 et y comprendre nanmoins1 d'une manire trs-rationnelle1 quoiqu'indirecte1 toutes les recherches gomtriques connues1 en considrant celles qui ne paraissent point se rapporter la mesure de l'tendue1 comme destines soit prparer la solution des questions finales1 soit permettre l'application des solutions obtenues4 ,aprs avoir reconnu1 en thse gnrale1 les relations intimes et ncessaires de l'tude des proprits des lignes et des surfaces avec les recherches qui constituent l'objet dfinitif de la gomtrie1 il est d'ailleurs vident que1 dans la suite de leurs travaux1 les gomtres ne doivent nullement s'astreindre ne jamais perdre de vue un tel enchanement4 ,sachant1 une fois pour toutes1 combien il importe de varier le plus possible les manires de concevoir chaque forme1 ils doivent poursuivre cette tude sans considrer immdiatement de quelle utilit peut tre telle ou telle proprit spciale pour les rectifications1 les quadratures ou les cubatures4 ,ils entraveraient inutilement leurs recherches1 en attachant une importance purile l'tablissement continu de cette coordination4 ,l'esprit humain doit procder1 cet gard1 comme il le fait en toute occasion semblable1 quand1 aprs avoir conu1 en gnral1 la destination d'une certaine tude1 il s'attache exclusivement la pousser le plus loin possible1 en faisant compltement abstraction de cette relation1 dont la considration perptuelle compliquerait tous ses travaux4 ,l'explication gnrale que je viens d'exposer est d'autant plus indispensable1 que1 par la nature mme du sujet1 cette tude des diverses proprits de chaque ligne et de chaque surface compose ncessairement la trs-majeure partie de l'ensemble des recherches gomtriques4 ,en effet1 les questions immdiatement relatives aux rectifications1 aux quadratures et aux cubatures1 sont videmment1 par elles-mmes1 en nombre fort limit pour chaque forme considre4 ,au contraire1 l'tude des proprits d'une mme forme prsente l'activit de l'esprit humain un champ naturellement indfini1 o l'on peut toujours esprer de faire de nouvelles dcouvertes4 ,ainsi1 par exemple1 quoique les gomtres se soient occups depuis vingt sicles1 avec plus ou moins d'activit sans doute1 mais sans aucune interruption relle1 de l'tude des sections coniques1 ils sont loin de regarder ce sujet si simple comme puis2 et il est certain en effet qu'en continuant s'y livrer1 on ne manquerait pas de trouver encore des proprits inconnues de ces diverses courbes4 ,si les travaux de ce genre se sont considrablement ralentis depuis environ un sicle1 ce n'est pas qu'ils soient termins2 cela tient seulement1 comme je l'expliquerai tout--l'heure1 ce que la rvolution philosophique opre en gomtrie par ,descartes a d singulirement diminuer l'importance de semblables recherches4 ,il rsulte des considrations prcdentes que non-seulement le champ de la gomtrie est ncessairement infini cause de la varit des formes considrer1 mais aussi en vertu de la diversit des points de vue sous lesquels une mme forme peut tre envisage4 ,cette dernire conception est mme celle qui donne l'ide la plus large et la plus complte de l'ensemble des recherches gomtriques4 ,on voit que les tudes de ce genre consistent essentiellement1 pour chaque ligne ou pour chaque surface1 rattacher tous les phnomnes gomtriques qu'elle peut prsenter un seul phnomne fondamental1 regard comme dfinition primitive4 ,aprs avoir expos1 d'une manire gnrale et pourtant prcise1 l'objet final de la gomtrie1 et montr comment la science1 ainsi dfinie1 comprend une classe de recherches trs-tendue qui ne paraissaient point d'abord s'y rapporter ncessairement1 il me reste considrer1 dans son ensemble1 la mthode suivre pour la formation de cette science4 ,cette dernire explication est indispensable pour complter ce premier aperu du caractre philosophique de la gomtrie4 ,je me bornerai en ce moment indiquer cet gard la considration la plus gnrale1 cette importante notion fondamentale devant tre dveloppe et prcise dans les leons suivantes4 ,l'ensemble des questions gomtriques peut tre trait suivant deux mthodes tellement diffrentes1 qu'il en rsulte1 pour ainsi dire1 deux sortes de gomtries1 dont le caractre philosophique ne me semble pas avoir t encore convenablement saisi4 ,les expressions de gomtrie synthtique et gomtrie analytique1 habituellement employes pour les dsigner1 en donnent une trs-fausse ide4 ,je prfrerais de beaucoup les dnominations purement historiques de gomtrie des anciens et gomtrie des modernes1 qui ont1 du moins1 l'avantage de ne pas faire mconnatre leur vrai caractre4 ,mais je propose d'employer dsormais les expressions rgulires de gomtrie spciale et gomtrie gnrale1 qui me paraissent propres caractriser avec prcision la vritable nature des deux mthodes4 ,ce n'est point1 en effet1 dans l'emploi du calcul1 comme on le pense communment1 que consiste prcisment la diffrence fondamentale entre la manire dont nous concevons la gomtrie depuis ,descartes1 et la manire dont les gomtres de l'antiquit traitaient les questions gomtriques4 ,il est certain1 d'une part1 que l'usage du calcul ne leur tait point entirement inconnu1 puisqu'ils faisaient1 dans leur gomtrie1 des applications continuelles et fort tendues de la thorie des proportions1 qui tait pour eux1 comme moyen de dduction1 une sorte d'quivalent rel1 quoique trs-imparfait et surtout extrmement born1 de notre algbre actuelle4 ,on peut mme employer le calcul d'une manire beaucoup plus complte qu'ils ne l'ont fait pour obtenir certaines solutions gomtriques1 qui n'en auront pas moins le caractre essentiel de la gomtrie ancienne2 c'est ce qui arrive trs-frquemment1 par rapport ces problmes de gomtrie deux ou trois dimensions1 qu'on dsigne vulgairement sous le nom de dtermins4 ,d'un autre ct1 quelque capitale que soit l'influence du calcul dans notre gomtrie moderne1 plusieurs solutions1 obtenues sans algbre1 peuvent manifester quelquefois le caractre propre qui la distingue de la gomtrie ancienne1 quoique1 en thse gnrale1 l'analyse soit indispensable2 j'en citerai1 comme exemple1 la mthode de ,roberval pour les tangentes1 dont la nature est essentiellement moderne1 et qui cependant conduit1 en certains cas1 des solutions compltes1 sans aucun secours du calcul4 ,ce n'est donc point par l'instrument de dduction employ qu'on doit principalement distinguer les deux marches que l'esprit humain peut suivre en gomtrie4 ,la diffrence fondamentale1 jusqu'ici imparfaitement saisie1 me parat consister rellement dans la nature mme des questions considres4 ,en effet1 la gomtrie1 envisage dans son ensemble1 et suppose parvenue son entire perfection1 doit1 comme nous l'avons vu1 d'une part1 embrasser toutes les formes imaginables1 et d'une autre part1 dcouvrir toutes les proprits de chaque forme4 ,elle est susceptible1 d'aprs cette double considration1 d'tre traite suivant deux plans essentiellement distinctifs3 soit en groupant ensemble toutes les questions1 quelque diverses qu'elles soient1 qui concernent une mme forme1 et isolant celles relatives des corps diffrens1 quelque analogie qui puisse exister entre elles2 soit1 au contraire1 en runissant sous un mme point de vue toutes les recherches semblables1 quelques formes diverses qu'elles se rapportent d'ailleurs1 et sparant les questions relatives aux proprits rellement diffrentes d'un mme corps4 ,en un mot1 l'ensemble de la gomtrie peut tre essentiellement ordonn ou par rapport aux corps tudis1 ou par rapport aux phnomnes considrer4 ,le premier plan1 qui est le plus naturel1 a t celui des anciens2 le second1 infiniment plus rationnel1 est celui des modernes depuis ,descartes4 ,tel est1 en effet1 le caractre principal de la gomtrie ancienne1 qu'on tudiait1 une une1 les diverses lignes et les diverses surfaces1 ne passant l'examen d'une nouvelle forme que lorsqu'on croyait avoir puis tout ce que pouvaient offrir d'intressant les formes connues jusqu'alors4 ,dans cette manire de procder1 quand on entreprenait l'tude d'une courbe nouvelle1 l'ensemble des travaux excuts sur les prcdentes ne pouvait prsenter directement aucune ressource essentielle1 autrement que par l'exercice gomtrique auquel il avait dress l'intelligence4 ,quelle que pt tre la similitude relle des questions proposes sur deux formes diffrentes1 les connaissances compltes acquises pour l'une ne pouvaient nullement dispenser de reprendre pour l'autre l'ensemble de la recherche4 ,aussi la marche de l'esprit n'tait-elle jamais assure2 en sorte qu'on ne pouvait tre certain d'avance d'obtenir une solution quelconque1 quelqu'analogue que ft le problme propos des questions dj rsolues4 ,ainsi1 par exemple1 la dtermination des tangentes aux trois sections coniques ne fournissait aucun secours rationnel pour mener la tangente quelqu'autre courbe nouvelle1 comme le conchode1 la cissode1 etc4 ,en un mot1 la gomtrie des anciens tait1 suivant l'expression propose ci-dessus1 essentiellement spciale4 ,dans le systme des modernes1 la gomtrie est1 au contraire1 minemment gnrale1 c'est--dire1 relative des formes quelconques4 ,il est ais de comprendre d'abord que toutes les questions gomtriques de quelqu'intrt peuvent tre proposes par rapport toutes les formes imaginables4 ,c'est ce qu'on voit directement pour les problmes fondamentaux1 qui constituent1 d'aprs les explications donnes dans cette leon1 l'objet dfinitif de la gomtrie1 c'est--dire1 les rectifications1 les quadratures1 et les cubatures4 ,mais cette remarque n'est pas moins incontestable1 mme pour les recherches relatives aux diverses proprits des lignes et des surfaces1 et dont les plus essentielles1 telles que la question des tangentes ou des plans tangens1 la thorie des courbures1 etc41 sont videmment communes toutes les formes quelconques4 ,les recherches trs-peu nombreuses qui sont vraiment particulires telle ou telle forme n'ont qu'une importance extrmement secondaire4 ,cela pos1 la gomtrie moderne consiste essentiellement abstraire1 pour la traiter part1 d'une manire entirement gnrale1 toute question relative un mme phnomne gomtrique1 dans quelques corps qu'il puisse tre considr4 ,l'application des thories universelles ainsi construites la dtermination spciale du phnomne dont il s'agit dans chaque corps particulier1 n'est plus regarde que comme un travail subalterne1 excuter suivant des rgles invariables et dont le succs est certain d'avance4 ,ce travail est1 en un mot1 du mme ordre que l'valuation numrique d'une formule analytique dtermine4 ,il ne peut y avoir sous ce rapport d'autre mrite que celui de prsenter1 dans chaque cas1 la solution ncessairement fournie par la mthode gnrale1 avec toute la simplicit et l'lgance que peut comporter la ligne ou la surface considre4 ,mais on n'attache d'importance relle qu' la conception et la solution complte d'une nouvelle question propre une forme quelconque4 ,les travaux de ce genre sont seuls regards comme faisant faire la science de vritables pas4 ,l'attention des gomtres1 ainsi dispense de l'examen des particularits des diverses formes1 et dirige tout entire vers les questions gnrales1 a pu s'lever par l la considration de nouvelles notions gomtriques1 qui1 appliques aux courbes tudies par les anciens1 en ont fait dcouvrir des proprits importantes qu'ils n'avaient pas mme souponnes4 ,telle est la gomtrie depuis la rvolution radicale opre par ,descartes dans le systme gnral de la science4 ,la simple indication du caractre fondamental propre chacune des deux gomtries1 suffit sans doute pour mettre en vidence l'immense supriorit ncessaire de la gomtrie moderne4 ,on peut mme dire qu'avant la grande conception de ,descartes1 la gomtrie rationnelle n'tait pas vraiment constitue sur des bases dfinitives1 soit sous le rapport abstrait1 soit sous le rapport concret4 ,en effet1 pour la science considre spculativement1 il est clair qu'en continuant indfiniment1 comme l'ont fait les modernes avant ,descartes et mme un peu aprs1 suivre la marche des anciens1 en ajoutant quelques nouvelles courbes au petit nombre de celles qu'ils avaient tudies1 les progrs1 quelque rapides qu'ils eussent p tre1 n'auraient t1 aprs une longue suite de sicles1 que fort peu considrables par rapport au systme gnral de la gomtrie1 vu l'infinie varit des formes qui seraient toujours restes tudier4 ,au contraire1 chaque question rsolue suivant la marche des modernes1 le nombre des problmes gomtriques rsoudre se trouve1 une fois pour toutes1 diminu d'autant1 par rapport tous les corps possibles4 ,sous un second point de vue1 du dfaut complet de mthodes gnrales il rsultait que les gomtres anciens1 dans toutes leurs recherches1 taient entirement abandonns leurs propres forces1 sans avoir jamais la certitude d'obtenir tt ou tard une solution quelconque4 ,si cette imperfection de la science tait minemment propre mettre dans tout son jour leur admirable sagacit1 elle devait rendre leurs progrs extrmement lents3 on peut s'en faire une ide par le temps considrable qu'ils ont employ l'tude des sections coniques4 ,la gomtrie moderne1 assurant d'une manire invariable la marche de notre esprit1 permet1 au contraire1 d'utiliser au plus haut degr possible les forces de l'intelligence1 que les anciens devaient consumer frquemment sur des questions bien peu importantes4 ,une diffrence non moins capitale se manifeste entre les deux systmes1 quand on vient considrer la gomtrie sous le rapport concret4 ,en effet1 nous avons remarqu plus haut que la relation de l'abstrait au concret en gomtrie ne peut tre solidement fonde sur des bases rationnelles qu'autant qu'on fait directement porter les recherches sur toutes les formes imaginables4 ,en n'tudiant les lignes et les surfaces qu'une une1 quel que soit le nombre1 toujours ncessairement fort petit1 de celles qu'on aura considres1 l'application de thories semblables aux formes rellement existantes dans la nature n'aura jamais qu'un caractre essentiellement accidentel1 puisque rien n'assure que ces formes pourront effectivement rentrer dans les types abstraits envisags par les gomtres4 ,il y a certainement1 par exemple1 quelque chose de fortuit dans l'heureuse relation qui s'est tablie entre les spculations des gomtres grecs sur les sections coniques et la dtermination des vritables orbites plantaires4 ,en continuant sur le mme plan les travaux gomtriques1 on n'avait point1 en gnral1 le droit d'esprer de semblables concidences2 et il et t possible1 dans ces tudes spciales1 que les recherches des gomtres se fussent diriges sur des formes abstraites indfiniment inapplicables1 tandis qu'ils en auraient nglig d'autres1 susceptibles peut-tre d'une application importante et prochaine4 ,il est clair1 du moins1 que rien ne garantissait positivement l'applicabilit ncessaire des spculations gomtriques4 ,il en est tout autrement dans la gomtrie moderne4 ,par cela seul qu'on y procde par questions gnrales1 relatives des formes quelconques1 on a d'avance la certitude vidente que les formes ralises dans le monde extrieur se sauraient jamais chapper chaque thorie1 si le phnomne gomtrique qu'elle envisage vient s'y prsenter4 ,par ces diverses considrations1 on voit que le systme de gomtrie des anciens porte essentiellement le caractre de l'enfance de la science1 qui n'a commenc devenir compltement rationnelle que par suite de la rvolution philosophique opre par ,descartes4 ,mais il est vident1 d'un autre ct1 que la gomtrie n'a pu tre conue d'abord que de cette manire spciale4 ,la gomtrie gnrale n'et point t possible1 et la ncessit n'et pu mme en tre sentie1 si une longue suite de travaux spciaux sur les formes les plus simples n'avait point pralablement fourni des bases la conception de ,descartes1 et rendu sensible l'impossibilit de persister indfiniment dans la philosophie gomtrique primitive4 ,en prcisant autant que possible cette dernire considration1 il faut mme en conclure que1 quoique la gomtrie que j'ai appel gnrale doive tre aujourd'hui regarde comme la seule vritable gomtrie dogmatique1 celle laquelle nous nous bornerons essentiellement1 l'autre n'ayant plus1 principalement1 qu'un intrt historique1 nanmoins il n'est pas possible de faire disparatre entirement la gomtrie spciale dans une exposition rationnelle de la science4 ,on peut sans doute se dispenser1 comme on l'a fait depuis environ un sicle1 d'emprunter directement la gomtrie ancienne tous les rsultats qu'elle a fournis4 ,les recherches les plus tendues et les plus difficiles dont elle tait compose1 ne sont plus mme habituellement prsentes aujourd'hui que d'aprs la mthode moderne4 ,mais1 par la nature mme du sujet1 il est ncessairement impossible de se passer absolument de la mthode ancienne1 qui1 quoi qu'on fasse1 servira toujours dogmatiquement de base prliminaire la science1 comme elle l'a fait historiquement4 ,le motif en est facile comprendre4 ,en effet1 la gomtrie gnrale tant essentiellement fonde1 comme nous l'tablirons bientt1 sur l'emploi du calcul1 sur la transformation des considrations gomtriques en considrations analytiques1 une telle manire de procder ne saurait s'emparer du sujet immdiatement son origine4 ,nous savons que l'application de l'analyse mathmatique1 par sa nature1 ne peut jamais commencer aucune science quelconque1 puisqu'elle ne saurait avoir lieu que lorsque la science a dj t assez cultive pour tablir1 relativement aux phnomnes considrs1 quelques quations qui puissent servir de point de dpart aux travaux analytiques4 ,ces quations fondamentales une fois dcouvertes1 l'analyse permettra d'en dduire une multitude de consquences1 qu'il et t mme impossible de souponner d'abord2 elle perfectionnera la science un degr immense1 soit sous le rapport de la gnralit des conceptions1 soit quant la coordination complte tablie entre elles4 ,mais1 pour constituer les bases mmes d'une science naturelle quelconque1 jamais1 videmment1 la simple analyse mathmatique ne saurait y suffire1 pas mme pour les dmontrer de nouveau lorsqu'elles ont t dj fondes4 ,rien ne peut dispenser1 cet gard1 de l'tude directe du sujet1 pousse jusqu'au point de la dcouverte de relations prcises4 ,tenter de faire rentrer la science1 ds son origine1 dans le domaine du calcul1 ce serait vouloir imposer des thories portant sur des phnomnes effectifs1 le caractre de simples procds logiques1 et les priver ainsi de tout ce qui constitue leur corrlation ncessaire avec le monde rel4 ,en un mot1 une telle opration philosophique1 si par elle-mme elle n'tait pas ncessairement contradictoire1 ne saurait aboutir videmment qu' replonger la science dans le domaine de la mtaphysique1 dont l'esprit humain a eu tant de peine se dgager compltement4 ,ainsi1 la gomtrie des anciens aura toujours1 par sa nature1 une premire part ncessaire et plus ou moins tendue dans le systme total des connaissances gomtriques4 ,elle constitue une introduction rigoureusement indispensable la gomtrie gnrale4 ,mais c'est cela que nous devons la rduire dans une exposition compltement dogmatique4 ,je considrerai donc directement1 dans la leon suivante1 cette gomtrie spciale ou prliminaire1 restreinte exactement ses limites ncessaires1 pour ne plus m'occuper ensuite que de l'examen philosophique de la gomtrie gnrale ou dfinitive1 la seule vraiment rationnelle1 et qui aujourd'hui compose essentiellement la science4 ,,onzi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations gnrales sur la gomtrie spciale ou prliminaire4 ,la mthode gomtrique des anciens devant avoir ncessairement1 d'aprs les motifs indiqus la fin de la leon prcdente1 une part prliminaire dans le systme dogmatique de la gomtrie1 pour fournir la gomtrie gnrale des fondemens indispensables1 il convient maintenant de fixer d'abord en quoi consiste strictement cette fonction pralable de la gomtrie spciale1 ainsi rduite au moindre dveloppement possible4 ,en la considrant sous ce point de vue1 il est ais de reconnatre qu'on pourrait la restreindre la seule tude de la ligne droite pour ce qui concerne la gomtrie des lignes1 la quadrature des aires planes rectilignes1 et enfin la cubature des corps termins par des faces planes4 ,les propositions lmentaires relatives ces trois questions fondamentales constituent1 en effet1 le point de dpart ncessaire de toutes les recherches gomtriques2 elles seules ne peuvent tre obtenues que par une tude directe du sujet2 tandis qu'au contraire la thorie complte de toutes les autres formes quelconques1 mme celle du cercle et des surfaces et volumes qui s'y rapportent1 peut aujourd'hui rentrer entirement dans le domaine de la gomtrie gnrale ou analytique1 ces lmens primitifs fournissant dj des quations1 qui suffisent pour permettre l'application du calcul aux questions gomtriques1 qui n'et pas t possible sans cette condition pralable4 ,il rsulte de cette considration que1 dans l'usage ordinaire1 on donne la gomtrie lmentaire plus d'tendue qu'il ne serait rigoureusement ncessaire1 puisque1 outre la ligne droite1 les polygones et les polydres1 on y comprend aussi le cercle et les corps ronds1 dont l'tude pourrait cependant tre aussi purement analytique que celle1 par exemple1 des sections coniques4 ,une vnration irrflchie pour l'antiquit contribue1 sans doute1 maintenir ce dfaut de mthode4 ,mais comme ce respect n'a point empch de faire rentrer dans le domaine de la gomtrie moderne la thorie des sections coniques1 il faut bien que1 relativement aux formes circulaires1 l'habitude contraire1 encore universelle1 soit fonde sur d'autres motifs4 ,la raison la plus sensible qu'on en puisse donner1 c'est le grave inconvnient qu'il y aurait1 pour l'enseignement ordinaire1 ajourner une poque assez loigne de l'ducation mathmatique la solution de plusieurs questions essentielles1 susceptibles d'une application immdiate et continuelle une foule d'usages importans4 ,pour procder1 en effet1 de la manire la plus rationnelle1 ce ne serait qu' l'aide du calcul intgral qu'on pourrait obtenir les intressans rsultats1 relatifs la mesure de la longueur ou de l'aire du cercle1 ou la quadrature de la sphre1 etc41 tablis par les anciens d'aprs des considrations extrmement simples4 ,cet inconvnient serait peu important1 l'gard des esprits destins tudier l'ensemble de la science mathmatique1 et l'avantage de procder avec une rationnalit parfaite aurait1 comparativement1 une bien plus grande valeur4 ,mais1 le cas contraire tant encore le plus frquent1 on a d s'attacher conserver dans la gomtrie lmentaire proprement dite des thories aussi essentielles4 ,en admettant l'influence d'une telle considration1 et ne restreignant plus cette gomtrie prliminaire ce qui est strictement indispensable1 on peut mme concevoir l'utilit1 pour certains cas particuliers1 d'y introduire plusieurs tudes importantes qui en ont t gnralement exclues1 comme celles des sections coniques1 de la cyclode1 etc41 afin de renfermer1 dans un enseignement born1 le plus grand nombre possible de connaissances usuelles1 quoique1 mme sous le simple rapport du temps1 il ft prfrable de suivre la marche la plus rationnelle4 ,je ne dois point1 ce sujet1 tenir compte ici des avantages que peut prsenter cette extension habituelle de la mthode gomtrique des anciens au-del de la destination ncessaire qui lui est propre1 par la connaissance plus profonde qu'on acquiert ainsi de cette mthode1 et par la comparaison instructive qui en rsulte avec la mthode moderne4 ,ce sont l des qualits qui1 dans l'tude d'une science quelconque1 appartiennent la marche que nous avons nomme historique1 et auxquelles il faut savoir renoncer franchement1 quand on a bien reconnu la ncessit de suivre la marche vraiment dogmatique4 ,aprs avoir conu toutes les parties d'une science de la manire la plus rationnelle1 nous savons combien il importe1 pour complter cette ducation1 d'tudier l'histoire de la science1 et par consquent1 de comparer exactement les diverses mthodes que l'esprit humain a successivement employes2 mais ces deux sries d'tudes doivent tre1 en gnral1 comme nous l'avons vu1 soigneusement spares4 ,cependant1 dans le cas dont il s'agit ici1 la mthode gomtrique des modernes est peut-tre encore trop rcente pour qu'il ne convienne pas1 afin de la mieux caractriser par la comparaison1 de traiter d'abord1 suivant la mthode des anciens1 certaines questions qui1 par leur nature1 doivent rentrer rationnellement dans la gomtrie moderne4 ,quoi qu'il en soit1 cartant maintenant ces diverses considrations accessoires1 nous voyons que cette introduction la gomtrie1 qui ne peut tre traite que suivant la mthode des anciens1 est strictement rductible l'tude de la ligne droite1 des aires polygonales et des polydres4 ,il est mme vraisemblable qu'on finira par la restreindre habituellement ces limites ncessaires1 quand les grandes notions analytiques seront devenues plus familires1 et qu'une tude de l'ensemble des mathmatiques sera universellement regarde comme la base philosophique de l'ducation gnrale4 ,si cette portion prliminaire de la gomtrie1 qui ne saurait tre fonde sur l'application du calcul1 se rduit1 par sa nature1 une suite de recherches fondamentales trs-peu tendues1 il est certain1 d'un autre ct1 qu'on ne peut la restreindre davantage1 quoique1 par un vritable abus de l'esprit analytique1 on ait quelquefois essay1 dans ces derniers temps1 de prsenter sous un point de vue purement algbrique l'tablissement des thormes principaux de la gomtrie lmentaire4 ,c'est ainsi qu'on a prtendu dmontrer par de simples considrations abstraites d'analyse mathmatique la relation constante qui existe entre les trois angles d'un triangle rectiligne1 la proposition fondamentale de la thorie des triangles semblables1 la mesure des rectangles1 celle des paralllipipdes1 etc41 en un mot1 prcisment les seules propositions gomtriques qui ne puissent tre obtenues que par une tude directe du sujet1 sans que le calcul soit susceptible d'y avoir aucune part4 ,je ne signalerais point ici de telles aberrations1 si elles n'avaient pas t dtermines par l'intention vidente de perfectionner1 au plus haut degr possible1 le caractre philosophique de la science gomtrique1 en la faisant rentrer immdiatement1 ds sa naissance1 dans le domaine des applications de l'analyse mathmatique4 ,mais l'erreur capitale commise cet gard par quelques gomtres doit tre soigneusement remarque1 parce qu'elle rsulte de l'exagration irrflchie de cette tendance aujourd'hui trs-naturelle et minemment philosophique1 qui porte tendre de plus en plus l'influence de l'analyse dans les tudes mathmatiques4 ,la contemplation des rsultats prodigieux auxquels l'esprit humain est parvenu en suivant une telle direction1 a d involontairement entraner croire que mme les fondemens de la mathmatique concrte pourraient tre tablis sur de simples considrations analytiques4 ,ce n'est point1 en effet1 pour la gomtrie seulement que nous devons noter de semblables aberrations2 nous aurons bientt en constater de parfaitement analogues relativement la mcanique1 l'occasion des prtendues dmonstrations analytiques du paralllogramme des forces4 ,cette confusion logique a mme aujourd'hui bien plus de gravit en mcanique1 o elle contribue effectivement rpandre encore un nuage mtaphysique sur le caractre gnral de la science2 tandis que1 du moins en gomtrie1 ces considrations abstraites ont t jusqu'ici laisses en dehors1 sans s'incorporer l'exposition normale de la science4 ,d'aprs les principes prsents dans cet ouvrage1 sur la philosophie mathmatique1 il n'est pas ncessaire d'insister beaucoup pour faire sentir le vice d'une telle manire de procder4 ,nous avons dj reconnu1 en effet1 que le calcul n'tant et ne pouvant tre qu'un moyen de dduction1 c'est s'en former une ide radicalement fausse que de vouloir l'employer tablir les fondemens lmentaires d'une science quelconque2 car1 sur quoi reposeraient1 dans une telle opration1 les argumentations analytiques8 ,un travail de cette nature1 bien loin de perfectionner vritablement le caractre philosophique d'une science1 constituerait un retour vers l'tat mtaphysique1 en prsentant des connaissances relles comme de simples abstractions logiques4 ,quand on examine en elles-mmes ces prtendues dmonstrations analytiques des propositions fondamentales de la gomtrie lmentaire1 on vrifie aisment leur insignifiance ncessaire4 ,elles sont toutes fondes sur une manire vicieuse de concevoir le principe de l'homognit1 dont j'ai expos1 dans la cinquime leon1 la vritable notion gnrale4 ,ces dmonstrations supposent que ce principe ne permet point d'admettre la coexistence dans une mme quation de nombres obtenus par des comparaisons concrtes diffrentes1 ce qui est videmment faux et visiblement contraire la marche constante des gomtres4 ,aussi1 il est facile de reconnatre qu'en employant la loi de l'homognit dans cette acception arbitraire et illgitime1 on pourrait parvenir dmontrer avec tout autant de rigueur apparente des propositions dont l'absurdit est manifeste au premier coup-d'oeil4 ,en examinant avec attention1 par exemple1 le procd l'aide duquel on a tent de prouver analytiquement que la somme des trois angles d'un triangle rectiligne quelconque est constamment gale deux angles droits1 on voit qu'il est fond sur cette notion prliminaire1 que si deux triangles ont deux de leurs angles respectivement gaux1 le troisime angle sera aussi1 de part et d'autre1 ncessairement gal4 ,ce premier point tant accord1 la relation propose s'en dduit immdiatement1 d'une manire trs-exacte et fort simple4 ,or1 la considration analytique1 d'aprs laquelle on a voulu tablir cette proposition pralable1 est d'une telle nature que1 si elle pouvait tre juste1 on en dduirait rigoureusement1 en la reproduisant en sens inverse1 cette absurdit palpable1 que deux cots d'un triangle suffisent1 sans aucun angle1 l'entire dtermination du troisime ct4 ,on peut faire des remarques analogues sur toutes les dmonstrations de ce genre1 dont le sophisme sera ainsi vrifi d'une manire parfaitement sensible4 ,plus nous devons ici considrer la gomtrie comme tant aujourd'hui essentiellement analytique1 plus il tait ncessaire de prmunir les esprits contre cette exagration abusive de l'analyse mathmatique1 suivant laquelle on prtendrait se dispenser de toute observation gomtrique proprement dite1 en tablissant sur de pures abstractions algbriques les fondemens mmes de cette science naturelle4 ,j'ai d attacher d'autant plus d'importance caractriser des aberrations ainsi lies au dveloppement normal de l'esprit humain1 qu'elles ont t pour ainsi dire consacres dans ces derniers temps par l'assentiment formel d'un gomtre fort distingu1 dont l'autorit exerce sur l'enseignement lmentaire de la gomtrie une trs-grande influence4 ,je crois devoir remarquer cette occasion que1 sous plus d'un autre rapport1 on a1 ce me semble1 trop perdu de vue le caractre de science naturelle ncessairement inhrent la gomtrie4 ,il est ais de le reconnatre1 en considrant les vains efforts tents si long-temps par les gomtres pour dmontrer rigoureusement1 non l'aide du calcul1 mais d'aprs certaines constructions1 plusieurs propositions fondamentales de la gomtrie lmentaire4 ,quoi qu'on puisse faire1 on ne saurait videmment viter de recourir quelquefois en gomtrie la simple observation immdiate1 comme moyen d'tablir divers rsultats4 ,si1 dans cette science1 les phnomnes que l'on considre sont1 en vertu de leur extrme simplicit1 beaucoup plus lis entr'eux que ceux relatifs toute autre science physique1 il doit nanmoins s'en trouver ncessairement quelques-uns qui ne peuvent tre dduits1 et qui servent au contraire de point de dpart4 ,qu'il convienne1 en thse gnrale1 pour la plus grande perfection rationnelle de la science1 de les rduire au plus petit nombre possible1 cela est sans doute incontestable2 mais il serait absurde de prtendre les faire disparatre compltement4 ,j'avoue d'ailleurs que je trouve moins d'inconvniens rels tendre un peu au del de ce qui serait strictement ncessaire le nombre de ces notions gomtriques ainsi tablies par l'observation immdiate1 pourvu qu'elles soient d'une simplicit suffisante1 qu' en faire le sujet de dmonstrations compliques et indirectes1 mme quand ces dmonstrations peuvent tre logiquement irrprochables4 ,aprs avoir caractris aussi exactement que possible la vritable destination dogmatique de la gomtrie des anciens rduite son moindre dveloppement indispensable1 il convient de considrer sommairement dans son ensemble chacune des parties principales dont elle doit se composer4 ,je crois pouvoir me borner ici envisager la premire et la plus tendue de ces parties1 celle qui a pour objet l'tude de la ligne droite2 les deux autres sections1 savoir3 la quadrature des polygones et la cubature des polydres1 ne pouvant donner lieu1 vu leur nature trop restreinte1 aucune considration philosophique de quelque importance1 distincte de celles indiques dans la leon prcdente relativement la mesure des aires et des volumes en gnral4 ,la question dfinitive que l'on a constamment en vue dans l'tude de la ligne droite1 consiste proprement dterminer les uns par les autres les divers lmens d'une figure rectiligne quelconque1 ce qui permet de connatre toujours indirectement une ligne droite dans quelques circonstances qu'elle puisse tre place4 ,ce problme fondamental est susceptible de deux solutions gnrales1 dont la nature est tout--fait distincte1 l'une graphique1 l'autre algbrique4 ,la premire1 quoique fort imparfaite1 est celle qu'on doit considrer d'abord1 parce qu'elle drive spontanment de l'tude directe du sujet2 la seconde1 bien plus parfaite sous les rapports les plus importans1 ne peut tre tudie qu'en dernier lieu1 parce qu'elle est fonde sur la connaissance pralable de l'autre4 ,la solution graphique consiste rapporter volont la figure propose1 soit avec les mmes dimensions1 soit surtout avec des dimensions varies dans une proportion quelconque4 ,le premier mode ne peut gure tre mentionn que pour mmoire1 comme tant le plus simple1 et celui que l'esprit doit envisager d'abord1 car il est1 videmment1 d'ailleurs presque entirement inapplicable par sa nature4 ,le second est1 au contraire1 susceptible de l'application la plus tendue et la plus utile4 ,nous en faisons encore aujourd'hui un usage important et continuel1 non-seulement pour reprsenter exactement les formes des corps et leurs positions mutuelles1 mais mme pour la dtermination effective des grandeurs gomtriques1 quand nous n'avons pas besoin d'une grande prcision4 ,les anciens1 vu l'imperfection de leurs connaissances gomtriques1 employaient ce procd d'une manire beaucoup plus tendue1 puisqu'il a t long-temps le seul qu'ils pussent appliquer1 mme dans les dterminations prcises les plus importantes4 ,c'est ainsi1 par exemple1 qu',aristarque de ,samos estimait la distance relative du soleil et de la lune la terre1 en prenant des mesures sur un triangle construit le plus exactement possible de faon tre semblable au triangle rectangle form par les trois astres1 l'instant o la lune se trouve en quadrature1 et o1 en consquence1 il suffirait1 pour dfinir le triangle1 d'observer l'angle la terre4 ,archimde lui-mme1 quoiqu'ayant1 le premier1 introduit en gomtrie les dterminations calcules1 a plusieurs fois employ de semblables moyens4 ,la formation de la trigonomtrie n'y a pas fait mme renoncer entirement1 quoiqu'elle en ait beaucoup diminu l'usage2 les ,grecs et les ,arabes ont continu s'en servir pour une foule de recherches1 o nous regardons aujourd'hui l'emploi du calcul comme indispensable4 ,cette exacte reproduction d'une figure quelconque suivant une chelle diffrente1 ne peut prsenter aucune grande difficult thorique lorsque toutes les parties de la figure propose sont comprises dans un mme plan4 ,mais1 si l'on suppose1 comme il arrive le plus souvent1 qu'elles soient situes dans des plans diffrens1 on voit natre alors un nouvel ordre de considrations gomtriques4 ,la figure artificielle1 qui est constamment plane1 ne pouvant plus1 en ce cas1 tre une image parfaitement fidle de la figure relle1 il faut d'abord fixer avec prcision le mode de reprsentation1 ce qui donne lieu aux divers systmes de projection4 ,cela pos1 il reste dterminer suivant quelles lois les phnomnes gomtriques se correspondent dans les deux figures4 ,cette considration engendre une nouvelle srie de recherches gomtriques1 dont l'objet dfinitif est proprement de dcouvrir comment on pourra remplacer les constructions en relief par des constructions planes4 ,les anciens ont eu rsoudre plusieurs questions lmentaires de ce genre1 pour les divers cas o nous employons aujourd'hui la trigonomtrie sphrique2 et principalement pour les diffrens problmes relatifs la sphre cleste4 ,telle tait la destination de leurs analemnes1 et des autres figures planes qui ont suppl pendant si long-temps l'usage du calcul4 ,on voit par l que les anciens connaissaient rellement les lmens de ce que nous nommons maintenant la gomtrie descriptive1 quoiqu'ils ne les eussent point conus d'une manire distincte et gnrale4 ,je crois convenable de signaler ici rapidement1 cette occasion1 le vritable caractre philosophique de cette gomtrie descriptive1 bien que1 comme tant une science essentiellement d'application1 elle ne doive pas tre comprise dans le domaine propre de cet ouvrage1 tel que je l'ai circonscrit en commenant4 ,toutes les questions quelconques de gomtrie trois dimensions1 donnent lieu ncessairement1 quand on considre leur solution graphique1 une difficult gnrale qui leur est propre1 celle de substituer aux diverses constructions en relief ncessaires pour les rsoudre1 et qui sont presque toujours d'une excution impossible1 de simples constructions planes quivalentes1 susceptibles de dterminer finalement les mmes rsultats4 ,sans cette indispensable conversion1 chaque solution de ce genre serait videmment incomplte et rellement inapplicable dans la pratique1 quoique1 pour la thorie1 les constructions dans l'espace soient ordinairement prfrables comme plus directes4 ,c'est afin de fournir les moyens gnraux d'effectuer constamment une telle transformation que la gomtrie descriptive a t cre1 et constitue en un corps de doctrine distinct et homogne par une vue de gnie de notre illustre ,monge4 ,il a pralablement conu un mode uniforme de reprsenter les corps par des figures traces sur un seul plan1 l'aide des projections sur deux plans diffrens1 ordinairement perpendiculaires entre eux1 et dont l'un est suppos tourner autour de leur intersection commune pour venir se confondre avec le prolongement de l'autre2 il a suffi1 dans ce systme1 ou dans tout autre quivalent1 de regarder les points et les lignes1 comme dtermins par leurs projections1 et les surfaces par les projections de leurs gnratrices4 ,cela pos1 ,monge1 analysant avec une profonde sagacit les divers travaux partiels de ce genre excuts avant lui d'aprs une foule de procds incohrens1 et considrant mme1 d'une manire gnrale et directe1 en quoi devaient consister constamment les questions quelconques de cette nature1 a reconnu qu'elles taient toujours rductibles un trs-petit nombre de problmes abstraits invariables1 susceptibles d'tre rsolus sparment une fois pour toutes par des oprations uniformes1 et qui se rapportent essentiellement les uns aux contacts et les autres aux intersections des surfaces4 ,ayant form des mthodes simples et entirement gnrales pour la solution graphique de ces deux ordres de problmes1 toutes les questions gomtriques auxquelles peuvent donner lieu les divers arts quelconques de construction1 la coupe des pierres1 la charpente1 la perspective1 la gnonomonique1 la fortification1 etc41 ont pu tre traites dsormais comme de simples cas particuliers d'une thorie unique1 dont l'application invariable conduira toujours ncessairement une solution exacte1 susceptible d'tre facilite dans la pratique en profitant des circonstances propres chaque cas4 ,cette importante cration mrite singulirement de fixer l'attention de tous les philosophes qui considrent l'ensemble des oprations de l'espce humaine1 comme tant un premier pas1 et jusqu'ici le seul rellement complet1 vers cette rnovation gnrale des travaux humains1 qui doit imprimer tous nos arts un caractre de prcision et de rationnalit1 si ncessaire leurs progrs futurs4 ,une telle rvolution devait1 en effet1 commencer invitablement par cette classe de travaux industriels qui se rapporte essentiellement la science la plus simple1 la plus parfaite1 et la plus ancienne4 ,elle ne peut manquer de s'tendre successivement dans la suite1 quoique avec moins de facilit1 toutes les autres oprations pratiques4 ,nous aurons mme bientt occasion de remarquer que ,monge1 qui a conu plus profondment que personne la vritable philosophie des arts1 avait essay d'baucher pour l'industrie mcanique une doctrine correspondante celle qu'il avait si heureusement forme pour l'industrie gomtrique1 mais sans obtenir pour ce cas1 dont la difficult est bien suprieure1 aucun autre succs que celui d'indiquer assez nettement la direction que doivent prendre les recherches de cette nature4 ,quelqu'essentielle que soit rellement la conception de la gomtrie descriptive1 il importe beaucoup de ne pas se mprendre sur la vritable destination qui lui est si expressment propre1 comme l'ont fait1 surtout dans les premiers temps de cette dcouverte1 ceux qui y ont vu un moyen d'agrandir le domaine gnral et abstrait de la gomtrie rationnelle4 ,l'vnement n'a nullement rpondu depuis ces esprances mal conues4 ,et1 en effet1 n'est-il pas vident que la gomtrie descriptive n'a de valeur spciale que comme science d'application1 comme constituant la vritable thorie propre des arts gomtriques8 ,considre sous le rapport abstrait1 elle ne saurait introduire aucun ordre vraiment distinct de spculations gomtriques4 ,il ne faut point perdre de vue que1 pour qu'une question gomtrique tombe dans le domaine propre de la gomtrie descriptive1 elle doit ncessairement avoir toujours t rsolue pralablement par la gomtrie spculative1 dont ensuite1 comme nous l'avons vu1 les solutions ont constamment besoin d'tre prpares pour la pratique de manire suppler aux constructions en relief par des constructions planes1 substitution qui constitue rellement la seule fonction caractristique de la gomtrie descriptive4 ,il convient nanmoins de remarquer ici que1 sous le rapport de l'ducation intellectuelle1 l'tude de la gomtrie descriptive prsente une importante proprit philosophique1 tout--fait indpendante de sa haute utilit industrielle4 ,c'est l'avantage qu'elle offre si minemment1 en habituant considrer dans l'espace des systmes gomtriques quelquefois trs-composs1 et suivre exactement leur correspondance continuelle avec les figures effectivement traces1 d'exercer ainsi au plus haut degr de la manire la plus sre et la plus prcise1 cette importante facult de l'esprit humain qu'on appelle l'imagination proprement dite1 et qui consiste1 dans son acception lmentaire et positive1 se reprsenter nettement1 avec facilit1 un vaste ensemble variable d'objets fictifs1 comme s'ils taient sous nos yeux4 ,enfin1 pour achever d'indiquer la nature gnrale de la gomtrie descriptive en dterminant son caractre logique1 nous devons observer que si1 par le genre de ses solutions1 elle appartient la gomtrie des anciens1 d'un autre ct elle se rapproche de la gomtrie des modernes par l'espce des questions qui la composent4 ,ces questions sont1 en effet1 minemment remarquables par cette gnralit que nous avons vue1 dans la dernire leon1 constituer le vrai caractre fondamental de la gomtrie moderne2 les mthodes y sont toujours conues comme applicables des formes quelconques1 les particularits propres chaque forme n'y pouvant avoir qu'une influence purement secondaire4 ,les solutions y sont donc graphiques comme la plupart de celles des anciens1 et gnrales comme celles des modernes4 ,aprs cette importante digression1 dont le lecteur aura sans doute reconnu la ncessit1 poursuivons l'examen philosophique de la gomtrie spciale1 considre toujours comme rduite son moindre dveloppement possible1 pour servir d'introduction indispensable la gomtrie gnrale4 ,ayant suffisamment envisag la solution graphique du problme fondamental relatif la ligne droite1 c'est--dire1 de la dtermination les uns par les autres des divers lmens d'une figure rectiligne quelconque1 nous devons maintenant en examiner d'une manire gnrale la solution algbrique4 ,cette seconde solution1 dont il est inutile ici d'apprcier expressment la supriorit vidente1 appartient ncessairement1 par la nature mme de la question1 au systme de la gomtrie ancienne1 quoique le procd logique employ l'en fasse ordinairement sparer mal propos4 ,nous avons lieu de vrifier ainsi1 sous un rapport trs-important1 ce qui a t tabli en gnral dans la leon prcdente1 que ce n'est point par l'emploi du calcul qu'on doit distinguer essentiellement la gomtrie moderne de celle des anciens4 ,les anciens sont1 en effet1 les vrais inventeurs de la trigonomtrie actuelle1 tant sphrique que rectiligne1 qui seulement tait beaucoup moins parfaite entre leurs mains1 vu l'extrme infriorit de leurs connaissances algbriques4 ,c'est donc rellement dans cette leon1 et non1 comme on pourrait le croire d'abord1 dans celles que nous consacrerons ensuite l'examen philosophique de la gomtrie gnrale1 qu'il convient d'apprcier le caractre de cette importante thorie prliminaire1 habituellement comprise tort dans ce qu'on appelle la gomtrie analytique1 et qui n'est effectivement qu'un complment de la gomtrie lmentaire proprement dite4 ,toutes les figures rectilignes pouvant tre dcomposes en triangles1 il suffit videmment de savoir dterminer les uns par les autres les divers lmens d'un triangle1 ce qui rduit la polygonomtrie la simple trigonomtrie4 ,pour qu'une telle question puisse tre rsolue algbriquement1 la difficult consiste essentiellement former entre les angles et les cts d'un triangle trois quations distinctes1 qui1 une fois obtenues1 rduiront videmment tous les problmes trigonomtriques de pures recherches de calcul4 ,en considrant de la manire la plus gnrale l'tablissement de ces quations1 on voit natre immdiatement une distinction fondamentale relativement au mode d'introduction des angles dans le calcul1 suivant qu'on les y fera entrer directement par eux-mmes ou par les arcs circulaires qui leur sont proportionnels1 ou que1 au contraire1 on leur substituera certaines droites1 comme1 par exemple1 les cordes de ces arcs qui leur sont inhrentes1 et que1 par cette raison1 on appelle ordinairement leurs lignes trigonomtriques4 ,de ces deux systmes de trigonomtrie1 le second a d tre1 l'origine1 le seul adopt1 comme tant le seul praticable1 puisque l'tat de la gomtrie permettait alors de trouver assez aisment des relations exactes entre les cts des triangles et les lignes trigonomtriques des angles1 tandis qu'il et t absolument impossible1 cette poque1 d'tablir des quations entre les cts et les angles eux-mmes4 ,la solution pouvant aujourd'hui tre obtenue indiffremment dans l'un et dans l'autre systme1 ce motif de prfrence ne subsiste plus4 ,mais les gomtres n'en ont pas moins d persister suivre par choix le systme primitivement admis par ncessit2 car1 la mme raison qui a permis ainsi d'obtenir les quations trigonomtriques avec beaucoup plus de facilit1 doit galement1 comme il est encore plus ais de le concevoir priori1 rendre ces quations bien plus simples1 puisqu'elles existent alors seulement entre des lignes droites1 au lieu d'tre tablies entre des lignes droites et des arcs de cercle4 ,une telle considration a d'autant plus d'importance qu'il s'agit l de formules minemment lmentaires1 destines tre continuellement employes dans toutes les parties de la science mathmatique aussi bien que dans toutes ses diverses applications4 ,on peut objecter1 il est vrai1 que1 lorsqu'un angle est donn1 c'est toujours en effet par lui-mme et non par sa ligne trigonomtrique2 et que1 lorsqu'il est inconnu1 c'est sa valeur angulaire qu'il s'agit proprement de dterminer1 et non celle d'aucune de ses lignes trigonomtriques4 ,il semble1 d'aprs cela1 que de telles lignes ne sont entre les cts et les angles qu'un intermdiaire inutile1 qui doit tre finalement limin1 et dont l'introduction ne parat point susceptible de simplifier la recherche qu'on se propose4 ,il importe1 en effet1 d'expliquer avec plus de gnralit et de prcision qu'on ne le fait d'ordinaire l'immense utilit relle de cette manire de procder4 ,elle consiste en ce que l'introduction de ces grandeurs auxiliaires partage la question totale de la trigonomtrie en deux autres essentiellement distinctes1 dont l'une a pour objet de passer des angles leurs lignes trigonomtriques ou rciproquement1 et dont l'autre se propose de dterminer les cts des triangles par les lignes trigonomtriques de leurs angles ou rciproquement4 ,or1 la premire de ces deux questions fondamentales est videmment susceptible1 par sa nature1 d'tre entirement traite et rduite en tables numriques une fois pour toutes1 en considrant tous les angles possibles1 puisqu'elle ne dpend que de ces angles1 et nullement des triangles particuliers o ils peuvent entrer dans chaque cas2 tandis que la solution de la seconde question doit ncessairement tre renouvele1 du moins sous le rapport arithmtique1 chaque nouveau triangle qu'il faut rsoudre4 ,c'est pourquoi la premire portion du travail total1 qui serait prcisment la plus pnible1 n'est plus compte ordinairement1 tant toujours faite d'avance2 tandis que si une telle dcomposition n'avait point t institue1 on se serait trouv videmment dans l'obligation de recommencer dans chaque cas particulier le calcul tout entier4 ,telle est la proprit essentielle du systme trigonomtrique adopt1 qui1 en effet1 ne prsenterait rellement aucun avantage effectif si1 pour chaque angle considrer1 il fallait calculer continuellement sa ligne trigonomtrique ou rciproquement3 l'intermdiaire serait alors plus gnant que commode4 ,afin de comprendre nettement la vraie nature de cette conception1 il sera utile de la comparer une conception encore plus importante1 destine produire un effet analogue1 soit sous le rapport algbrique1 soit surtout sous le rapport arithmtique1 l'admirable thorie des logarithmes4 ,en examinant d'une manire philosophique l'influence de cette thorie1 on voit1 en effet1 que son rsultat gnral est d'avoir dcompos toutes les oprations arithmtiques imaginables en deux parties distinctes1 dont la premire1 qui est la plus complique1 est susceptible d'tre excute l'avance une fois pour toutes1 comme ne dpendant que des nombres considrer et nullement des diverses combinaisons quelconques dans lesquelles ils peuvent entrer1 et qui consiste se reprsenter tous les nombres comme des puissances assignables d'un nombre constant2 la seconde partie du calcul1 qui doit ncessairement tre recommence pour chaque formule nouvelle valuer1 tant ds lors rduite excuter sur ces exposans des oprations corrlatives infiniment plus simples4 ,je me borne indiquer ce rapprochement1 que chacun peut aisment dvelopper4 ,nous devons de plus observer comme une proprit1 secondaire aujourd'hui1 mais capitale l'origine1 du systme trigonomtrique adopt1 la circonstance trs-remarquable que la dtermination des angles par leurs lignes trigonomtriques ou rciproquement1 est susceptible d'une solution arithmtique1 la seule qui soit directement indispensable pour la destination propre de la trigonomtrie1 sans avoir pralablement rsolu la question algbrique correspondante4 ,c'est sans doute une telle particularit que les anciens ont d de pouvoir connatre la trigonomtrie4 ,la recherche ainsi conue a t d'autant plus facile que1 les anciens ayant pris naturellement la corde pour ligne trigonomtrique1 les tables se trouvaient avoir t d'avance construites en partie pour un tout autre motif1 en vertu du travail d',archimde sur la rectification du cercle1 d'o rsultait la dtermination effective d'une certaine suite de cordes1 en sorte que1 lorsque plus tard ,hipparque eut invent la trigonomtrie1 il put se borner complter cette opration par des intercalations convenables1 ce qui marque nettement la filiation des ides cet gard4 ,afin d'esquisser entirement cet aperu philosophique de la trigonomtrie1 il convient d'observer maintenant que l'extension du mme motif qui conduit remplacer les angles ou les arcs de cercle par des ligues droites dans la vue de simplifier les quations1 doit aussi porter employer concurremment plusieurs lignes trigonomtriques1 au lieu de se borner une seule1 comme le faisaient les anciens1 pour perfectionner ce systme en choisissant celle qui sera algbriquement la plus convenable en telle ou telle occasion4 ,sous ce rapport1 il est clair que le nombre de ces lignes n'est par lui-mme nullement limit2 pourvu qu'elles soient dtermines d'aprs l'arc1 et que rciproquement elles le dterminent1 suivant quelque loi qu'elles en drivent d'ailleurs1 elles sont aptes lui tre substitues dans les quations4 ,en se bornant aux constructions les plus simples1 les ,arabes et les modernes ensuite ont successivement port quatre ou cinq le nombre des lignes trigonomtriques directes1 qui pourrait tre tendu bien davantage4 ,mais1 au lieu de recourir des formations gomtriques qui finiraient par devenir trs-compliques1 on conoit avec une extrme facilit autant de nouvelles lignes trigonomtriques que peuvent l'exiger les transformations analytiques1 au moyen d'un artifice remarquable1 qui n'est pas ordinairement saisi d'une manire assez gnrale4 ,il consiste1 sans multiplier immdiatement les lignes trigonomtriques propres chaque arc considr1 en introduire de nouvelles en regardant cet arc comme dtermin indirectement par toutes les lignes relatives un arc qui soit une fonction trs-simple du premier4 ,c'est ainsi1 par exemple1 que souvent1 pour calculer un angle avec plus de facilit1 on dterminera1 au lieu de son sinus1 le sinus de sa moiti ou de son double1 etc4 ,une telle cration de lignes trigonomtriques indirectes est videmment bien plus fconde que tous les procds gomtriques immdiats pour en obtenir de nouvelles4 ,on peut dire1 d'aprs cela1 que le nombre des lignes trigonomtriques effectivement employes aujourd'hui par les gomtres est rellement indfini1 puisque1 chaque instant pour ainsi dire1 les transformations analytiques peuvent conduire l'augmenter par le procd que je viens d'indiquer4 ,seulement1 on n'a donn jusqu'ici de noms spciaux qu' celles de ces lignes indirectes qui se rapportent au complment de l'arc primitif1 les autres ne revenant pas assez frquemment pour ncessiter de semblables dnominations1 ce qui a fait communment mconnatre la vritable tendue du systme trigonomtrique4 ,cette multiplicit des lignes trigonomtriques fait natre videmment1 dans la trigonomtrie1 une troisime question fondamentale1 l'tude des relations qui existent entre ces diverses lignes2 puisque1 sans une telle connaissance1 on ne pourrait point utiliser1 pour les besoins analytiques1 cette varit de grandeurs auxiliaires1 qui n'a pourtant pas d'autre destination4 ,il est clair1 en outre1 d'aprs la considration indique tout l'heure1 que cette partie essentielle de la trigonomtrie1 quoique simplement prparatoire1 est1 par sa nature1 susceptible d'une extension indfinie quand on l'envisage dans son entire gnralit1 tandis que les deux autres sont ncessairement circonscrites dans un cadre rigoureusement dfini4 ,je n'ai pas besoin d'ajouter expressment que ces trois parties principales de la trigonomtrie doivent tre tudies dans un ordre prcisment inverse de celui suivant lequel nous les avons vues driver ncessairement de la nature gnrale du sujet2 car la troisime est visiblement indpendante des deux autres1 et la seconde de celle qui s'est prsente la premire1 la rsolution des triangles proprement dite1 qui doit1 pour cette raison1 tre traite en dernier lieu1 ce qui rendait d'autant plus importante la considration de la filiation naturelle4 ,il tait inutile d'envisager ici distinctement la trigonomtrie sphrique1 qui ne peut donner lieu aucune considration philosophique spciale1 puisque1 quelque essentielle qu'elle soit par l'importance et la multiplicit de ses usages1 on ne peut plus la traiter aujourd'hui1 dans son ensemble1 que comme une simple application de la trigonomtrie rectiligne1 qui fournit immdiatement ses quations fondamentales1 en substituant au triangle sphrique l'angle tridre correspondant4 ,j'ai cru devoir indiquer cette exposition sommaire de la philosophie trigonomtrique1 qui pourrait d'ailleurs donner lieu beaucoup d'autres considrations intressantes1 afin de rendre sensibles1 par un exemple important1 cet enchanement rigoureux et cette ramification successive que prsentent les questions les plus simples en apparence de la gomtrie lmentaire4 ,avant ainsi suffisamment considr pour le but de cet ouvrage le caractre propre de la gomtrie spciale1 rduite sa seule destination dogmatique1 de fournir la gomtrie gnrale une base prliminaire indispensable1 nous devons dsormais porter toute notre attention sur la vritable science gomtrique1 envisage dans son ensemble de la manire la plus rationnelle4 ,il faut d'abord1 cet effet1 soigneusement examiner la grande ide-mre de ,descartes1 sur laquelle elle est entirement fonde1 ce qui fera l'objet de la leon suivante4 ,,douzi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,conception fondamentale de la gomtrie gnrale ou analytique4 ,la gomtrie gnrale tant entirement fonde sur la transformation des considrations gomtriques en considrations analytiques quivalentes1 nous devons d'abord examiner directement et d'une manire approfondie la belle conception d'aprs laquelle ,descartes a tabli uniformment la possibilit constante d'une telle corlation4 ,outre son extrme importance propre1 comme moyen de perfectionner minemment la science gomtrique1 ou plutt de la constituer dans son ensemble sur des bases rationnelles1 l'tude philosophique de cette admirable conception doit avoir nos yeux un intrt d'autant plus lev1 qu'elle caractrise avec une parfaite vidence la mthode gnrale employer pour organiser les relations de l'abstrait au concret en mathmatique1 par la reprsentation analytique des phnomnes naturels4 ,il n'y a point1 dans la philosophie mathmatique1 de pense qui mrite davantage de fixer toute notre attention4 ,afin de parvenir exprimer par de simples relations analytiques tous les divers phnomnes gomtriques que l'on peut imaginer1 il faut videmment tablir d'abord un mode gnral pour reprsenter analytiquement les sujets mmes dans lesquels ces phnomnes rsident1 c'est--dire les lignes ou les surfaces considrer4 ,le sujet tant ainsi habituellement envisag sous un point de vue purement analytique1 on comprend que ds-lors il a t possible de concevoir de la mme manire les accidens quelconques dont il est susceptible4 ,pour organiser la reprsentation des formes gomtriques par des quations analytiques1 on doit surmonter pralablement une difficult fondamentale1 celle de rduire des ides simplement numriques les lmens gnraux des diverses notions gomtriques2 en un mot1 de substituer1 en gomtrie1 de pures considrations de quantit toutes les considrations de qualit4 cet effet1 observons d'abord que toutes les ides gomtriques se rapportent ncessairement ces trois catgories universelles3 la grandeur1 la forme et la position des tendues considrer4 ,quant la premire1 il n'y a videmment aucune difficult2 elle rentre immdiatement dans les ides de nombres4 ,pour la seconde1 il faut remarquer qu'elle est toujours rductible par sa nature la troisime4 ,car la forme d'un corps rsulte videmment de la position mutuelle des diffrens points dont il est compos1 en sorte que l'ide de position comprend ncessairement celle de forme1 et que toute circonstance de forme peut tre traduite par une circonstance de position4 ,c'est ainsi1 en effet1 que l'esprit humain a procd pour parvenir la reprsentation analytique des formes gomtriques1 la conception n'tant directement relative qu'aux positions4 ,toute la difficult lmentaire se rduit donc proprement ramener les ides quelconques de situation des ides de grandeur4 ,telle est la destination immdiate de la conception prliminaire sur laquelle ,descartes a tabli le systme gnral de la gomtrie analytique4 ,son travail philosophique a simplement consist1 sous ce rapport1 dans l'entire gnralisation d'un procd lmentaire qu'on peut regarder comme naturel l'esprit humain1 puisqu'il se forme pour ainsi dire spontanment chez toutes les intelligences1 mme les plus vulgaires4 ,en effet1 quand il s'agit d'indiquer la situation d'un objet sans le montrer immdiatement1 le moyen que nous adoptons toujours1 et le seul videmment qui puisse tre employ1 consiste rapporter cet objet d'autres qui soient connus1 en assignant la grandeur des lmens gomtriques quelconques1 par lesquels on le conoit li ceux-ci#ba4 ,ces lmens constituent ce que ,descartes1 et d'aprs lui tous les gomtres1 ont appel les coordonnes de chaque point considr1 qui sont ncessairement au nombre de deux si l'on sait d'avance dans quel plan le point est situ1 et au nombre de trois1 s'il peut se trouver indiffremment dans une rgion quelconque de l'espace4 ,autant de constructions diffrentes on peut imaginer pour dterminer la position d'un point1 soit sur un plan1 soit dans l'espace1 autant on conoit de systmes de coordonnes distincts1 qui sont susceptibles1 par consquent1 d'tre multiplis l'infini4 ,mais quelque soit le systme adopt1 on aura toujours ramen les ides de situation de simples ides de grandeur1 en sorte que l'on se reprsentera le dplacement d'un point comme produit par de pures variations numriques dans les valeurs de ses coordonnes4 ,pour ne considrer d'abord que le cas le moins compliqu1 celui de la gomtrie plane1 c'est ainsi qu'on dtermine le plus souvent la position d'un point sur un plan1 par ses distances plus ou moins grandes deux droites fixes supposes connues1 qu'on nomme axes1 et qu'on suppose ordinairement perpendiculaires entre elles4 ,ce systme est le plus adopt1 cause de sa simplicit2 mais les gomtres en emploient quelquefois encore une infinit d'autres4 ,ainsi1 la position d'un point sur un plan peut tre dtermine par ses distances deux points fixes2 ou par sa distance un seul point fixe1 et la direction de cette distance1 estime par l'angle plus ou moins grand qu'elle fait avec une droite fixe1 ce qui constitue le systme des coordonnes dites polaires1 le plus usit aprs celui dont nous avons parl d'abord2 ou par les angles que forment les droites allant du point variable deux points fixes avec la droite qui joint ces derniers2 ou par les distances de ce point une droite fixe et un point fixe1 etc4 ,en un mot1 il n'y a pas de figure gomtrique quelconque d'o l'on ne puisse dduire un certain systme de coordonnes1 plus ou moins susceptible d'tre employ4 ,note #ba3 ,c'est ainsi1 par exemple1 que nous dterminons habituellement la position des lieux sur la terre par leurs distances plus ou moins grandes l'quateur et un premier mridien4 ,une observation gnrale qu'il importe de faire cet gard1 c'est que tout systme de coordonnes revient dterminer un point1 dans la gomtrie plane1 par l'intersection de deux lignes1 dont chacune est assujtie certaines conditions fixes de dtermination2 une seule de ces conditions restant variable1 et tantt l'une1 tantt une autre1 selon le systme considr4 ,on ne saurait1 en effet1 concevoir d'autre moyen de construire un point que de le marquer par la rencontre de deux lignes quelconques4 ,ainsi1 dans le systme le plus frquent1 celui des coordonnes rectilignes proprement dites1 le point est dtermin par l'intersection de deux droites1 dont chacune reste constamment parallle un axe fixe1 en s'en loignant plus ou moins2 dans le systme polaire1 c'est la rencontre d'un cercle de rayon variable et dont le centre est fixe1 avec une droite mobile assujtie tourner autour de ce centre1 qui marque la position du point2 en choisissant d'autres systmes1 le point pourrait tre dsign par l'intersection de deux cercles1 ou de deux autres lignes quelconques1 etc4 ,en un mot1 assigner la valeur d'une des coordonnes d'un point dans quelque systme que ce puisse tre1 c'est toujours ncessairement dterminer une certaine ligne sur laquelle ce point doit tre situ4 ,les gomtres de l'antiquit avaient dj fait cette remarque essentielle1 qui servait de base leur mthode des lieux gomtriques1 dont ils faisaient un si heureux usage pour diriger leurs recherches dans la rsolution des problmes de gomtrie dtermins1 en apprciant isolment l'influence de chacune des deux conditions par lesquelles tait dfini chaque point constituant l'objet1 direct ou indirect1 de la question propose3 c'est prcisment cette mthode dont la systmatisation gnrale a t pour ,descartes le motif immdiat des travaux qui l'ont conduit fonder la gomtrie analytique4 ,aprs avoir nettement tabli cette conception prliminaire1 en vertu de laquelle les ides de position1 et1 par suite implicitement1 toutes les notions gomtriques lmentaires1 sont rductibles de simples considrations numriques1 il est ais de concevoir directement1 dans son entire gnralit1 la grande ide-mre de ,descartes1 relative la reprsentation analytique des formes gomtriques1 ce qui constitue l'objet propre de cette leon4 ,je continuerai ne considrer d'abord1 pour plus de facilit1 que la gomtrie deux dimensions1 la seule que ,descartes ait traite1 devant ensuite examiner sparment sous le mme point de vue ce qui est propre la thorie des surfaces ou des courbes double courbure4 ,d'aprs la manire d'exprimer analytiquement la position d'un point sur un plan1 on peut aisment tablir que1 par quelque proprit qu'une ligne quelconque puisse tre dfinie1 cette dfinition est toujours susceptible d'tre remplace par une quation correspondante entre les deux coordonnes variables du point qui dcrit cette ligne1 quation qui sera ds lors la reprsentation analytique de la ligne propose1 dont tout phnomne devra se traduire par une certaine modification algbrique de son quation4 ,si l'on suppose1 en effet1 qu'un point se meuve sur un plan sans que son cours soit dtermin en aucune manire1 on devra videmment regarder ses deux coordonnes1 dans quelque systme que ce soit1 comme deux variables entirement indpendantes l'une de l'autre4 ,mais1 si au contraire ce point est assujti dcrire une certaine ligne quelconque1 il faudra ncessairement concevoir que ses coordonnes conservent entre elles1 dans toutes les positions qu'il peut prendre1 une certaine relation permanente et prcise1 susceptible1 par consquent1 d'tre exprime par une quation convenable1 qui deviendra la dfinition analytique trs-nette et trs-rigoureuse de la ligne considre1 puisqu'elle exprimera une proprit algbrique exclusivement relative aux coordonnes de tous les points de cette ligne4 ,il est clair1 en effet1 que lorsqu'un point n'est soumis aucune condition1 sa situation n'est dtermine qu'autant qu'on donne la fois ses deux coordonnes1 distinctement l'une de l'autre2 tandis que quand le point doit se trouver sur une ligne dfinie1 une seule coordonne suffit pour fixer entirement sa position4 ,la seconde coordonne est donc alors une fonction dtermine de la premire1 ou1 en d'autres termes1 il doit exister entre elles une certaine quation1 d'une nature correspondante celle de la ligne sur laquelle le point est assujti rester4 ,en un mot1 chacune des coordonnes d'un point l'obligeant tre situ sur une certaine ligne1 on conoit rciproquement que la condition1 de la part d'un point1 de devoir appartenir une ligne dfinie d'une manire quelconque1 quivaut assigner la valeur de l'une des deux coordonnes1 qui se trouve1 dans ce cas1 tre entirement dpendante de l'autre4 ,la relation analytique qui exprime cette dpendance peut tre plus ou moins difficile dcouvrir2 mais on doit videmment en concevoir toujours l'existence1 mme dans les cas o nos moyens actuels seraient insuffisans pour la faire connatre4 ,c'est par cette simple considration que1 indpendamment des vrifications particulires sur lesquelles est ordinairement tablie cette conception fondamentale l'occasion de telle ou telle dfinition de ligne1 on peut dmontrer1 d'une manire entirement gnrale1 la ncessit de la reprsentation analytique des lignes par les quations4 ,en reprenant en sens inverse les mmes rflexions1 on mettrait aussi facilement en vidence la ncessit gomtrique de la reprsentation de toute quation deux variables1 dans un systme dtermin de coordonnes1 par une certaine ligne1 dont une telle relation serait1 dfaut d'aucune autre proprit connue1 une dfinition trs-caractristique1 et qui aura pour destination scientifique de fixer immdiatement l'attention sur la marche gnrale des solutions de l'quation1 qui se trouvera ainsi note de la manire la plus sensible et la plus simple4 ,cette peinture des quations est un des avantages fondamentaux les plus importans de la gomtrie analytique1 qui a par l ragi au plus haut degr sur le perfectionnement gnral de l'analyse elle-mme1 non seulement en assignant aux recherches purement abstraites un but nettement dtermin et une carrire inpuisable1 mais1 sous un rapport encore plus direct1 en fournissant un nouveau moyen philosophique de mditation analytique1 qui ne pourrait tre remplac par aucun autre4 ,en effet1 la discussion purement algbrique d'une quation en fait sans doute connatre les solutions de la manire la plus prcise1 mais en les considrant seulement une une1 de telle sorte que1 par cette voie1 leur marche gnrale ne saurait tre conue qu'en rsultat dfinitif d'une longue et pnible suite de comparaisons numriques1 aprs laquelle l'activit intellectuelle doit ordinairement se trouver mousse4 ,au contraire1 le lieu gomtrique de l'quation tant uniquement destin reprsenter distinctement et avec une nettet parfaite le rsum de cet ensemble de comparaisons1 permet de le considrer directement en fesant compltement abstraction des dtails qui l'ont fourni1 et par l peut indiquer notre esprit des vues analytiques gnrales1 auxquelles nous serions difficilement parvenus de toute autre manire1 faute d'un moyen de caractriser clairement leur objet4 ,il est vident1 par exemple1 que la simple inspection de la courbe logarithmique ou de la courbe y _/sin x fait connatre d'une manire bien plus distincte le mode gnral de variations des logarithmes par rapport aux nombres ou des sinus par rapport aux arcs1 que ne pourrait le permettre l'tude la plus attentive d'une table de logarithmes ou d'une table trigonomtrique4 ,on sait que ce procd est devenu aujourd'hui entirement lmentaire1 et qu'on l'emploie toutes les fois qu'il s'agit de saisir nettement le caractre gnral de la loi qui rgne dans une suite d'observations prcises d'un genre quelconque4 ,revenant la reprsentation des lignes par les quations1 qui est notre objet principal1 nous voyons que cette reprsentation est1 par sa nature1 tellement fidle1 que la ligne ne saurait prouver aucune modification1 quelque lgre qu'elle soit1 sans dterminer dans l'quation un changement correspondant4 ,cette complte exactitude donne mme lieu souvent des difficults spciales1 en ce que1 dans notre systme de gomtrie analytique1 les simples dplacemens des lignes se fesant aussi bien ressentir dans les quations que les variations relles de grandeur ou de forme1 on pourrait tre expos confondre analytiquement les uns avec les autres1 si les gomtres n'avaient pas dcouvert une mthode ingnieuse expressment destine les distinguer constamment4 ,cette mthode est fonde sur ce que1 bien qu'il soit impossible de changer analytiquement volont la position d'une ligne par rapport aux axes des coordonnes1 on peut changer d'une manire quelconque la situation des axes eux-mmes1 ce qui est videmment quivalent2 ds lors1 l'aide des formules gnrales trs-simples par lesquelles on opre cette transformation d'axes1 il devient ais de reconnatre si deux quations diffrentes ne sont que l'expression analytique d'une mme ligne diversement situe1 ou se rapportent des lieux gomtriques vraiment distincts1 puisque1 dans le premier cas1 l'une d'elles doit rentrer dans l'autre en changeant convenablement les axes ou les autres constantes du systme de coordonnes considr4 ,du reste1 il faut remarquer ce sujet que les inconvniens gnraux de cette nature paraissent1 en gomtrie analytique1 devoir tre strictement invitables2 puisque les ides de position tant1 comme nous l'avons vu1 les seules ides gomtriques immdiatement rductibles des considrations numriques1 et les notions de forme ne pouvant y tre ramenes qu'en voyant en elles des rapports de situation1 il est impossible que l'analyse ne confonde point d'abord les phnomnes de forme avec de simples phnomnes de position1 les seuls que les quations expriment directement4 ,pour complter l'explication philosophique de la conception fondamentale qui sert de base la gomtrie analytique1 je crois devoir indiquer ici une nouvelle considration gnrale1 qui me semble particulirement propre mettre dans tout son jour cette reprsentation ncessaire des lignes par des quations deux variables4 ,elle consiste en ce que non-seulement1 ainsi que nous l'avons tabli1 toute ligne dfinie doit ncessairement donner lieu une certaine quation entre les deux coordonnes de l'un quelconque de ses points2 mais1 de plus1 toute dfinition de ligne peut tre envisage comme tant dj elle-mme une quation de cette ligne dans un systme de coordonnes convenable4 ,il est ais d'tablir ce principe1 en faisant d'abord une distinction logique prliminaire relativement aux diverses sortes de dfinition4 ,la condition rigoureusement indispensable de toute dfinition1 c'est de distinguer l'objet dfini d'avec tout autre1 en assignant une proprit qui lui appartienne exclusivement4 ,mais ce but peut tre atteint1 en gnral1 de deux manires trs-diffrentes3 ou par une dfinition simplement caractristique1 c'est--dire1 indiquant une proprit qui1 quoique vraiment exclusive1 ne fait pas connatre la gnration de l'objet2 ou par une dfinition rellement explicative1 c'est--dire1 caractrisant l'objet par une proprit qui exprime un de ses modes de gnration4 ,par exemple1 en considrant le cercle comme la ligne qui1 sous le mme contour1 renferme la plus grande aire1 on a videmment une dfinition du premier genre2 tandis qu'en choisissant la proprit d'avoir tous ses points gale distance d'un point fixe1 ou toute autre semblable1 on a une dfinition du second genre4 ,il est1 du reste1 vident1 en thse gnrale1 que quand mme un objet quelconque ne serait d'abord connu que par une dfinition caractristique1 on ne devrait pas moins l'envisager comme susceptible de dfinitions explicatives1 que ferait ncessairement dcouvrir l'tude ultrieure de cet objet4 ,cela pos1 il est clair que ce n'est point aux dfinitions simplement caractristiques que peut s'appliquer l'observation gnrale annonce ci-dessus1 qui reprsente toute dfinition de ligne comme tant ncessairement une quation de cette ligne dans un certain systme de coordonnes4 ,on ne peut l'entendre que des dfinitions vraiment explicatives4 ,mais1 en ne considrant que celle-ci1 le principe est ais constater4 ,en effet1 il est videmment impossible de dfinir la gnration d'une ligne1 sans spcifier une certaine relation entre les deux mouvemens simples1 de translation ou de rotation1 dans lesquels se dcomposera chaque instant le mouvement du point qui la dcrit4 ,or1 en se formant la notion la plus gnrale de ce que c'est qu'un systme de coordonnes1 et admettant tous les systmes possibles1 il est clair qu'une telle relation ne sera autre chose que l'quation de la ligne propose1 dans un systme de coordonnes d'une nature correspondante celle du mode de gnration considr4 ,ainsi1 par exemple1 la dfinition vulgaire du cercle peut videmment tre envisage comme tant immdiatement l'quation polaire de cette courbe1 en prenant pour ple le centre du cercle2 de mme1 la dfinition lmentaire de l'ellipse ou de l'hyperbole1 comme tant la courbe engendre par un point qui se meut de telle manire que la somme ou la diffrence de ses distances deux points fixes demeure constante1 donne sur-le-champ1 pour l'une ou l'autre courbe1 l'quation yxc1 en prenant pour systme de coordonnes celui dans lequel on dterminerait la position d'un point par ses distances deux points fixes1 et choisissant pour ces ples les deux foyers donns2 pareillement encore1 la dfinition ordinaire de la cyclode quelconque fournirait directement1 pour cette courbe1 l'quation ymx1 en adoptant comme coordonnes de chaque point l'arc plus ou moins grand qu'il marque sur un cercle de rayon invariable partir du point de contact de ce cercle avec une droite fixe1 et la distance rectiligne de ce point de contact une certaine origine prise sur cette droite4 ,on peut faire des vrifications analogues et aussi faciles relativement aux dfinitions habituelles des spirales1 des picyclodes1 etc4 ,on trouvera constamment qu'il existe un certain systme de coordonnes1 dans lequel on obtient immdiatement une quation trs-simple de la ligne propose1 en se bornant crire algbriquement la condition impose par le mode de gnration que l'on considre4 ,outre son importance directe1 comme moyen de rendre parfaitement sensible la reprsentation ncessaire de toute ligne par une quation1 la considration prcdente me parat pouvoir offrir une vritable utilit scientifique1 en caractrisant avec exactitude la principale difficult gnrale qu'on rencontre dans l'tablissement effectif de ces quations1 et1 par consquent1 en fournissant une indication intressante relativement la marche suivre dans les recherches de ce genre1 qui1 par leur nature1 ne sauraient comporter des rgles compltes et invariables4 ,en effet1 si une dfinition quelconque de ligne1 du moins parmi celles qui indiquent un mode de gnration1 fournit directement l'quation de cette ligne dans un certain systme de coordonnes1 ou pour mieux dire constitue par elle-mme cette quation1 il s'ensuit que la difficult qu'on prouve souvent dcouvrir l'quation d'une courbe1 d'aprs telle ou telle de ses proprits caractristiques1 difficult qui quelquefois est trs-grande1 ne doit provenir essentiellement que de la condition qu'on s'impose ordinairement d'exprimer analytiquement cette courbe l'aide d'un systme de coordonnes dsign1 au lieu d'admettre indiffremment tous les systmes possibles4 ,ces divers systmes ne peuvent pas tre regards1 en gomtrie analytique1 comme tant tous galement convenables2 pour diffrens motifs1 dont les plus importans vont tre discuts ci-dessous1 les gomtres croient devoir presque toujours rapporter1 autant que possible1 les courbes des coordonnes rectilignes proprement dites4 ,or1 on conoit1 d'aprs ce qui prcde1 que souvent ces coordonnes uniques ne seront pas celles relativement auxquelles l'quation de la courbe se trouverait immdiatement tablie par la dfinition propose4 ,la principale difficult que prsente la formation de l'quation d'une ligne consiste donc rellement1 en gnral1 dans une certaine transformation de coordonnes4 ,sans doute1 cette considration n'assujtit point l'tablissement de ces quations une vritable mthode gnrale complte1 dont le succs soit toujours assur ncessairement1 ce qui1 par la nature mme du sujet1 est videmment chimrique2 mais une telle vue peut nous clairer utilement cet gard sur la marche qu'il convient d'adopter pour parvenir au but propos4 ,ainsi1 aprs avoir d'abord form l'quation prparatoire qui drive spontanment de la dfinition que l'on considre1 il faudra1 pour obtenir l'quation relative au systme de coordonnes qui doit tre admis dfinitivement1 chercher exprimer en fonction de ces dernires coordonnes celles qui correspondent naturellement au mode de gnration dont il s'agit4 ,c'est sur ce dernier travail qu'il est videmment impossible de donner des prceptes invariables et prcis4 ,on peut dire seulement qu'on aura d'autant plus de ressources cet gard1 qu'on saura davantage de vritable gomtrie analytique1 c'est--dire1 qu'on connatra l'expression algbrique d'un plus grand nombre de phnomnes gomtriques diffrens4 ,pour complter l'exposition philosophique de la conception qui sert de base la gomtrie analytique1 il me reste indiquer les considrations relatives au choix du systme de coordonnes qui est1 en gnral1 le plus convenable1 ce qui fournira l'explication rationnelle de la prfrence unanimement accorde au systme rectiligne ordinaire1 prfrence qui a t plutt jusqu'ici l'effet d'un sentiment empirique de la supriorit de ce systme1 que le rsultat exact d'une analyse directe et approfondie4 ,afin de dcider nettement entre tous les divers systmes de coordonnes1 il est indispensable de distinguer avec soin les deux points de vue gnraux1 inverses l'un de l'autre1 propres la gomtrie analytique1 savoir3 la relation de l'algbre la gomtrie1 fonde sur la reprsentation des lignes par les quations2 et rciproquement la relation de la gomtrie l'algbre fonde sur la peinture des quations par les lignes4 ,il est vident que1 dans toute recherche quelconque de gomtrie gnrale1 ces deux points de vue fondamentaux se trouvent ncessairement combins sans cesse1 puisqu'il s'agit toujours de passer alternativement1 et des intervalles pour ainsi dire insensible1 des considrations gomtriques aux considrations analytiques1 et des considrations analytiques aux considrations gomtriques4 ,mais la ncessit de les sparer ici momentanment n'en est pas moins relle2 car la rponse la question de mthode que nous examinons est1 en effet1 comme nous allons le voir1 fort loin de pouvoir tre la mme sous l'un et sous l'autre de ces deux rapports1 en sorte que sans cette distinction on ne saurait s'en former aucune ide nette4 ,sous le premier point de vue1 rigoureusement isol1 le seul motif qui puisse faire prfrer un systme de coordonnes un autre1 ne peut tre que la plus grande simplicit de l'quation de chaque ligne1 et la facilit plus grande d'y parvenir4 ,or1 il est ais de voir qu'il n'existe et ne doit exister aucun systme de coordonnes mritant cet gard une prfrence constante sur tous les autres4 ,en effet1 nous avons remarqu ci-dessus que1 pour chaque dfinition gomtrique propose1 on peut concevoir un systme de coordonnes dans lequel l'quation de la ligne s'obtient immdiatement et se trouve ncessairement tre en mme temps fort simple3 de plus1 ce systme varie invitablement avec la nature de la proprit caractristique que l'on considre4 ,ainsi1 le systme rectiligne ne saurait tre1 en ce sens1 constamment le plus avantageux1 quoiqu'il soit souvent trs-favorable2 il n'en est probablement pas un seul qui1 dans certains cas particuliers1 ne doive cet gard lui tre prfr1 aussi bien qu' tout autre systme4 ,il n'en est1 au contraire1 nullement de mme sous le second point de vue4 ,on peut1 en effet1 facilement tablir1 en thse gnrale1 que le systme rectiligne ordinaire doit s'adapter ncessairement mieux que tout autre la peinture des quations par les lieux gomtriques correspondans1 c'est--dire que cette peinture y est constamment plus simple et plus fidle4 ,considrons1 pour cela1 que1 tout systme de coordonnes consistant dterminer un point par l'intersection de deux lignes1 le systme propre fournir les lieux gomtriques les plus convenables doit tre celui dans lequel ces deux lignes sont les plus simples possibles1 ce qui restreint d'abord le choix ne pouvoir porter que sur des systmes rectilignes4 la vrit1 il y a videmment une infinit de systmes qui mritent ce nom1 c'est--dire qui n'emploient que des lignes droites pour dterminer les points1 outre le systme ordinaire qui assigne pour coordonnes les distances deux droites fixes2 tel serait1 par exemple1 celui dans lequel les coordonnes de chaque point se trouveraient tre les deux angles que font les droites qui aboutissent de ce point deux points fixes avec la droite de jonction de ces derniers2 en sorte que cette premire considration n'est pas rigoureusement suffisante pour expliquer la prfrence accorde unanimement au systme ordinaire4 ,mais1 en examinant d'une manire plus approfondie la nature de tout systme de coordonnes1 nous avons reconnu1 en outre1 que chacune des deux lignes dont la rencontre dtermine le point considr1 doit ncessairement offrir chaque instant1 parmi ses diverses conditions quelconques de dtermination1 une seule condition variable1 qui donne lieu l'ordonne correspondante1 et toutes les autres fixes1 qui constituent les axes du systme1 en prenant ce terme dans son acception mathmatique la plus tendue3 la variation est indispensable pour que toutes les positions puissent tre considres1 et la fixit ne l'est pas moins pour qu'il existe des moyens de comparaison4 ,ainsi1 dans tous les systmes rectilignes1 chacune des deux droites sera assujtie une condition fixe1 et l'ordonne rsultera de la condition variable4 ,sous ce rapport1 il est vident1 en thse gnrale1 que le systme le plus favorable la construction des lieux gomtriques1 sera ncessairement celui d'aprs lequel la condition variable de chaque droite sera la plus simple possible1 sauf compliquer pour cela1 s'il le faut1 la condition fixe4 ,or1 de toutes les manires possibles de dterminer deux droites mobiles1 la plus aise suivre gomtriquement est certainement celle dans laquelle1 la direction de chaque droite restant invariable1 elle ne fait que se rapprocher ou s'loigner plus ou moins d'un axe constant4 ,il serait1 par exemple1 videmment plus difficile de se figurer nettement le dplacement d'un point produit par l'intersection de deux droites1 qui tourneraient chacune autour d'un point fixe en fesant avec un certain axe un angle plus ou moins grand1 comme dans le systme de coordonnes prcdemment indiqu4 ,telle est la vritable explication gnrale de la proprit fondamentale que prsente1 par sa nature1 le systme rectiligne ordinaire1 d'tre plus apte qu'aucun autre la reprsentation gomtrique des quations1 comme tant celui dans lequel il est le plus ais de concevoir le dplacement d'un point en rsultat du changement de valeur de ses coordonnes4 ,pour sentir nettement toute la force de cette considration1 il suffirait1 par exemple1 de comparer soigneusement ce systme avec le systme polaire1 dans lequel cette image gomtrique si simple et si aise suivre1 de deux droites se mouvant chacune paralllement l'axe correspondant1 se trouve remplace par le tableau compliqu d'une srie infinie de cercles concentriques coups par une droite assujtie tourner autour d'un point fixe4 ,il est d'ailleurs facile de concevoir priori quelle doit tre1 pour la gomtrie analytique1 l'extrme importance d'une proprit aussi profondment lmentaire1 qui1 par cette raison1 doit se reproduire chaque instant et prendre une valeur progressivement croissante dans tous les travaux quelconques de cette nature#bb4 ,note #bb3 ,devant me borner ici la comparaison la plus gnrale1 je n'ai point considr plusieurs autres inconvniens lmentaires de moindre importance1 mais cependant fort graves1 que prsente le systme des coordonnes polaires1 comme de ne point admettre d'interprtation gomtrique pour le signe du rayon recteur1 et mme d'assigner quelquefois un point unique pour diverses solutions distinctes1 d'o il rsulte que la peinture des quations y est ncessairement imparfaite4 ,quels que soient ces inconvniens1 comme plusieurs systmes autres que le systme rectiligne ordinaire pourraient aussi en tre exempts1 il ne fallait point en tenir compte pour tablir la supriorit gnrale de ce dernier4 ,en prcisant davantage la considration qui dmontre la supriorit du systme de coordonnes ordinaire sur tout autre quant la peinture des quations1 on peut mme se rendre compte de l'utilit que prsente sous ce rapport l'usage habituel de prendre autant que possible les deux axes perpendiculaires entre eux plutt qu'avec aucune autre inclinaison4 ,sous le rapport de la reprsentation des lignes par les quations1 cette circonstance secondaire n'est pas plus universellement convenable que nous n'avons vu l'tre la nature mme du systme2 puisque1 suivant les occasions1 toute autre inclinaison des axes peut mriter cet gard la prfrence4 ,mais1 sous le point de vue inverse1 il est ais de voir que des axes rectangulaires permettent constamment de peindre les quations d'une manire plus simple et mme plus fidle4 ,car1 avec des axes obliques1 l'espace se trouvant partag par eux en rgions dont l'identit n'est plus parfaite1 il en rsulte que1 si le lieu gomtrique de l'quation s'tend la fois dans toutes ces rgions1 il y prsentera1 raison de la seule ingalit des angles1 des diffrences de figure qui1 ne correspondant aucune diversit analytique1 altreront ncessairement l'exactitude rigoureuse du tableau1 en se mlant aux rsultats propres des comparaisons algbriques4 ,par exemple1 une quation comme xm ym c1 qui1 par sa symtrie parfaite1 devrait donner videmment une courbe compose de quatre quarts identiques1 sera reprsente1 au contraire1 en prenant des axes non-rectangulaires1 par un lieu gomtrique dont les quatre parties seront ingales4 ,on voit que le seul moyen d'viter toute disconvenance de ce genre est de supposer droit l'angle des deux axes4 ,la discussion prcdente tablit clairement que1 si1 sous l'un des deux points de vue fondamentaux continuellement combins en gomtrie analytique1 le systme des coordonnes rectilignes proprement dit n'a aucune supriorit constante sur tout autre2 comme il n'est pas non plus cet gard constamment infrieur1 sa plus grande aptitude ncessaire et absolue la peinture des quations doit lui faire gnralement accorder la prfrence1 quoiqu'il puisse videmment arriver1 dans quelques cas particuliers1 que le besoin de simplifier les quations et de les obtenir plus aisment dtermine les gomtres adopter un systme moins parfait4 ,c'est1 en effet1 d'aprs le systme rectiligne1 que sont ordinairement construites les thories les plus essentielles de gomtrie gnrale1 destines exprimer analytiquement les phnomnes gomtriques les plus importans4 ,quand on juge ncessaire d'en choisir un autre1 c'est presque toujours le systme polaire auquel on s'arrte1 ce systme tant d'une nature assez oppose celle du systme rectiligne pour que les quations trop compliques relativement celui-ci deviennent1 en gnral1 suffisamment simples par rapport l'autre4 ,les coordonnes polaires ont d'ailleurs souvent l'avantage de comporter une signification concrte plus directe et plus naturelle1 comme il arrive en mcanique pour les questions gomtriques auxquelles donne lieu la thorie des mouvemens de rotation1 et dans presque tous les cas de gomtrie cleste4 ,afin de simplifier l'exposition1 nous n'avons jusqu'ici considr la conception fondamentale de la gomtrie analytique que relativement aux seules courbes planes1 dont l'tude gnrale avait t l'objet unique de la grande rnovation philosophique opre par ,descartes4 ,il s'agit maintenant1 pour complter cette importante explication1 de montrer sommairement de quelle manire cette pense lmentaire a t tendue1 environ un sicle aprs1 par notre illustre ,clairaut1 l'tude gnrale des surfaces et des courbes double courbure4 ,les considrations indiques ci-dessus me permettront de me borner ce sujet l'examen rapide de ce qui est strictement propre ce nouveau cas4 ,l'entire dtermination analytique d'un point dans l'espace exige videmment qu'on assigne les valeurs de trois coordonnes2 par exemple1 d'aprs le systme le plus frquemment adopt et qui correspond au systme rectiligne de la gomtrie plane1 des distances de ce point trois plans fixes1 ordinairement perpendiculaires entre eux1 ce qui prsente le point comme l'intersection de trois plans dont la direction est invariable4 ,on pourrait galement employer les distances du point mobile trois points fixes1 ce qui le dterminerait par la rencontre de trois sphres centre constant4 ,de mme1 la position d'un point serait dfinie en donnant sa distance plus ou moins grande un point fixe1 et la direction de cette distance1 au moyen des deux angles que fait cette droite avec deux axes invariables2 c'est le systme polaire propre la gomtrie trois dimensions2 le point est alors construit par l'intersection d'une sphre centre constant avec deux cnes droits base circulaire dont les axes et le sommet commun ne changent pas4 ,en un mot1 il y a videmment1 dans ce cas1 au moins la mme varit infinie entre les divers systmes possibles de coordonnes que nous avons dj observe pour la gomtrie deux dimensions4 ,en gnral1 il faut concevoir un point comme toujours dtermin par l'intersection de trois surfaces quelconques1 ainsi qu'il l'tait auparavant par celle de deux lignes2 chacune de ces trois surfaces a pareillement toutes ses conditions de dtermination constantes1 except une1 qui donne lieu la coordonne correspondante1 dont l'influence gomtrique propre est ainsi d'astreindre le point tre situ sur cette surface4 ,cela pos1 il est clair que si les trois coordonnes d'un point sont entirement indpendantes entre elles1 ce point pourra prendre successivement dans l'espace toutes les positions possibles4 ,mais1 si le point est assujti rester sur une certaine surface1 dfinie d'une manire quelconque1 alors deux coordonnes suffisent videmment pour dterminer chaque instant sa situation1 puisque la surface propose tiendra lieu de la condition impose par la troisime coordonne4 ,on doit donc concevoir ncessairement dans ce cas1 sous le point de vue analytique1 cette dernire coordonne comme une fonction dtermine des deux autres1 celles-ci demeurant entre elles compltement indpendantes4 ,ainsi1 il y aura entre les trois coordonnes variables une certaine quation permanente1 et qui sera unique afin de correspondre au degr prcis d'indtermination de la position du point4 ,cette quation1 plus ou moins facile dcouvrir1 mais toujours possible1 sera la dfinition analytique de la surface propose1 puisqu'elle devra se vrifier pour tous les points de cette surface1 et seulement pour eux4 ,si la surface vient prouver un changement quelconque1 mme un simple dplacement1 l'quation devra subir une modification correspondante plus ou moins profonde4 ,en un mot1 tous les phnomnes gomtriques quelconques relatifs aux surfaces seront susceptibles d'tre traduits par certaines conditions analytiques quivalentes propres aux quations trois variables1 et c'est dans l'tablissement et l'interprtation de cette harmonie gnrale et ncessaire que consistera essentiellement la science de la gomtrie analytique trois dimensions4 ,considrant ensuite cette conception fondamentale sous le point de vue inverse1 on voit de la mme manire que toute quation trois variables peut tre1 en gnral1 reprsente gomtriquement par une surface dtermine1 primitivement dfinie d'aprs la proprit trs-caractristique1 que les coordonnes de tous ses points conservent toujours entre elles la relation nonce dans cette quation4 ,ce lieu gomtrique changera videmment1 pour la mme quation1 suivant le systme de coordonnes qui servira la construction de ce tableau4 ,en adoptant1 par exemple1 le systme rectiligne1 il est clair que dans l'quation entre les trois variables x1 y1 z1 chaque valeur particulire attribue z1 donnera une quation entre x et y1 dont le lieu gomtrique sera une certaine ligne situe dans un plan parallle au plan des x1 y1 et une distance de ce dernier gale la valeur de z1 de telle sorte que le lieu gomtrique total se prsentera comme compos d'une suite infinie de lignes superposes dans une srie de plans parallles1 sauf les interruptions qui pourront exister1 et formera1 par consquent1 une vritable surface4 ,il en serait de mme en considrant tout autre systme de coordonnes1 quoique la construction gomtrique de l'quation devnt plus difficile suivre4 ,telle est la conception lmentaire1 complment de l'ide-mre de ,descartes1 sur laquelle est fonde la gomtrie gnrale relativement aux surfaces4 ,il serait inutile de reprendre directement ici les autres considrations indiques ci-dessus par rapport aux lignes1 et que chacun peut aisment tendre aux surfaces1 soit pour montrer que toute dfinition d'une surface par un mode quelconque de gnration est rellement une quation directe de cette surface dans un certain systme de coordonnes1 soit pour dterminer entre tous les divers systmes de coordonnes possibles quel est gnralement le plus convenable4 ,j'ajouterai seulement1 sous ce dernier rapport1 que la supriorit ncessaire du systme rectiligne ordinaire1 quant la peinture des quations1 est videmment encore plus prononce dans la gomtrie analytique trois dimensions que dans celle deux1 cause de la complication gomtrique incomparablement plus grande qui rsulterait alors du choix de tout autre systme1 ainsi qu'on peut le vrifier de la manire la plus sensible en considrant1 par opposition1 le systme polaire en particulier1 qui est1 pour les surfaces comme pour les courbes1 et en vertu des mmes motifs1 le plus usit aprs le systme rectiligne proprement dit4 ,afin de complter l'exposition gnrale de la conception fondamentale relative l'tude analytique des surfaces1 nous aurons encore examiner philosophiquement1 dans la quatorzime leon1 un dernier perfectionnement de la plus haute importance1 que ,monge a rcemment introduit dans les lmens mmes de cette thorie1 pour la classification des surfaces en familles naturelles1 tablies d'aprs le mode de gnration1 et exprimes algbriquement par des quations diffrentielles communes1 ou par des quations finies contenant des fonctions arbitraires4 ,considrons maintenant le dernier point de vue lmentaire de la gomtrie analytique trois dimensions1 celui qui se rapporte la reprsentation algbrique des courbes1 envisages dans l'espace de la manire la plus gnrale4 ,en continuant suivre le principe constamment employ ci-dessus1 celui du degr d'indtermination du lieu gomtrique1 correspondant au degr d'indpendance des variables1 il est vident1 en thse gnrale1 que1 lorsque un point doit tre situ sur une certaine courbe quelconque1 une seule coordonne suffit pour achever de dterminer entirement sa position1 par l'intersection de cette courbe avec la surface qui rsulte de cette coordonne4 ,ainsi1 dans ce cas1 les deux autres coordonnes du point doivent tre conues comme des fonctions ncessairement dtermines et distinctes de la premire4 ,par consquent1 toute ligne1 considre dans l'espace1 est donc reprsente analytiquement1 non plus par une seule quation1 mais par le systme de deux quations entre les trois coordonnes de l'un quelconque de ses points4 ,il est clair1 en effet1 d'un autre ct1 que chacune de ces quations1 envisage sparment1 exprimant une certaine surface1 leur ensemble prsente la ligne propose comme l'intersection de deux surfaces dtermines4 ,telle est la manire la plus gnrale de concevoir la reprsentation algbrique d'une ligne dans la gomtrie analytique trois dimensions4 ,cette conception est ordinairement envisage d'une manire trop troite1 lorsqu'on se borne considrer une ligne comme dtermine par le systme de ses deux projections sur deux des plans coordonns1 systme caractris analytiquement par cette particularit que chacune des deux quations de la ligne ne contient alors que deux des trois coordonnes1 au lieu de renfermer simultanment les trois variables4 ,cette considration1 qui consiste regarder la ligne comme l'intersection de deux surfaces cylindriques parallles deux des trois axes des coordonnes1 outre l'inconvnient d'tre borne au systme rectiligne ordinaire1 a le dfaut1 lorsqu'on croit devoir s'y rduire strictement1 d'introduire des difficults inutiles dans la reprsentation analytique des lignes1 puisque la combinaison de ces deux cylindres ne saurait tre videmment toujours la plus convenable pour former les quations d'une ligne4 ,ainsi1 envisageant cette notion fondamentale dans son entire gnralit1 il faudra1 dans chaque cas1 parmi l'infinit de couples de surfaces dont l'intersection pourrait produire la courbe propose1 choisir celui qui se prtera le mieux l'tablissement des quations1 comme se composant des surfaces les plus connues4 ,par exemple1 s'agit-il d'exprimer analytiquement un cercle dans l'espace1 il sera videmment prfrable de le considrer comme l'intersection d'une sphre et d'un plan1 plutt que suivant toute autre combinaison de surfaces qui pourrait galement le produire4 la vrit1 cette manire de concevoir la reprsentation des lignes par des quations dans la gomtrie analytique trois dimensions1 engendre1 par sa nature1 un inconvnient ncessaire1 celui d'une certaine confusion analytique1 consistant en ce que la mme ligne peut se trouver ainsi exprime1 avec un mme systme de coordonnes1 par une infinit de couples d'quations diffrens1 vu l'infinit de couples de surfaces qui peuvent la former1 ce qui peut prsenter quelques difficults pour reconnatre cette ligne travers tous les dguisemens algbriques dont elle est susceptible4 ,mais il existe un procd gnral fort simple pour faire disparatre cet inconvnient1 se priver des facilits qui rsultent de cette varit de constructions gomtriques4 ,il suffit1 en effet1 quel que soit le systme analytique tabli primitivement pour une certaine ligne1 de pouvoir en dduire le systme correspondant un couple unique de surfaces uniformment engendres1 par exemple1 celui des deux surfaces cylindriques qui projettent la ligne propose sur deux des plans coordonns1 surfaces qui videmment seront toujours identiques de quelque manire que la ligne ait t obtenue1 et ne varieront que lorsque cette ligne elle-mme changera4 ,or1 en choisissant ce systme fixe1 qui est effectivement le plus simple1 on pourra gnralement dduire des quations primitives celles qui leur correspondent dans cette construction spciale1 en les transformant1 par deux liminations successives1 en deux quations ne contenant chacune que deux des coordonnes variables1 et qui conviendront par cela seul aux deux surfaces de projection4 ,telle est rellement la principale destination de cette sorte de combinaison gomtrique1 qui nous offre ainsi un moyen invariable et certain de reconnatre l'identit des lignes malgr la diversit quelquefois trs-grande de leurs quations4 ,aprs avoir considr dans son ensemble la conception fondamentale de la gomtrie analytique sous les principaux aspects lmentaires qu'elle peut prsenter1 il convient1 pour complter1 sous le rapport philosophique1 une telle esquisse1 de signaler ici les imperfections gnrales que prsente encore cette conception1 soit relativement la gomtrie1 soit relativement l'analyse4 ,relativement la gomtrie1 il faut remarquer que les quations ne sont propres jusqu'ici qu' reprsenter des lieux gomtriques entiers1 et nullement des portions dtermines de ces lieux gomtriques4 ,il serait cependant ncessaire1 dans plusieurs circonstances1 de pouvoir exprimer analytiquement une partie de ligne ou de surface1 et mme une ligne ou surface discontinue compose d'une suite de sections appartenant des figures gomtriques distinctes1 par exemple le contour d'un polygone ou la surface d'un polydre4 ,la thermologie surtout donne lieu frquemment de semblables considrations1 auxquelles notre gomtrie analytique actuelle se trouve ncessairement inapplicable4 ,nanmoins il importe d'observer que1 dans ces derniers temps1 les travaux de ,m4 ,fourier sur les fonctions discontinues ont commenc remplir cette grande lacune1 et ont par l directement introduit un nouveau perfectionnement essentiel dans la conception fondamentale de ,descartes4 ,mais cette manire de reprsenter des formes htrognes ou partielles1 tant fonde sur l'emploi de sries trigonomtriques procdant selon les sinus d'une suite infinie d'arcs multiples1 ou sur l'usage de certaines intgrales dfinies quivalentes ces sries et dont l'intgrale gnrale est ignore1 prsente encore trop de complication pour pouvoir tre immdiatement introduite dans le systme propre de la gomtrie analytique4 ,relativement l'analyse1 il faut commencer par reconnatre que l'impossibilit o nous sommes de concevoir gomtriquement pour des quations contenant quatre1 cinq variables ou un plus grand nombre1 une reprsentation analogue celles que comportent toutes les quations deux ou trois variables1 ne doit pas tre envisage comme une imperfection de notre systme de gomtrie analytique1 car elle tient videmment la nature mme du sujet4 ,l'analyse tant ncessairement plus gnrale que la gomtrie1 puisqu'elle est relative tous les phnomnes possibles1 il serait peu philosophique de vouloir constamment trouver parmi les seuls phnomnes gomtriques une reprsentation concrte de toutes les lois que l'analyse peut exprimer4 ,mais il existe une autre imperfection de moindre importance qu'on doit rellement envisager comme provenant de la manire mme dont nous concevons la gomtrie analytique4 ,elle consiste en ce que notre reprsentation actuelle des quations deux ou trois variables par des lignes ou des surfaces est videmment toujours plus ou moins incomplte1 puisque1 dans la construction du lieu gomtrique1 nous n'avons gard qu'aux solutions relles des quations1 sans tenir aucun compte des solutions imaginaires4 ,la marche gnrale de ces dernires serait cependant1 par sa nature1 tout aussi susceptible que celle des autres d'une peinture gomtrique4 ,il rsulte de cette omission que le tableau graphique de l'quation est constamment imparfait1 et quelquefois mme au point qu'il n'y a plus de reprsentation gomtrique1 lorsque l'quation n'admet que des solutions imaginaires4 ,cependant1 mme dans ce dernier cas1 il y aurait videmment lieu de distinguer sous le rapport gomtrique des quations aussi diffrentes en elles-mmes que celles-ci1 par exemple1 _/x#by#baj1_/2x#fy#daj1_/2y#b;ex#j4_/ ,on sait de plus que cette imperfection principale entrane souvent1 dans la gomtrie analytique deux ou trois dimensions1 une foule d'inconvniens secondaires1 tenant ce que plusieurs modifications analytiques se trouvent ne correspondre aucun phnomne gomtrique4 ,un de nos plus grands gomtres actuels1 ,m4 ,poinsot1 a prsent une considration trs-ingnieuse et fort simple1 laquelle on n'a pas fait communment assez d'attention1 et qui permet1 lorsque les quations sont peu compliques1 de concevoir la reprsentation graphique des solutions imaginaires1 en se bornant peindre leurs rapports quand ils sont rels#bc4 ,mais cette considration1 qu'il serait ais de gnraliser abstraitement1 est jusqu'ici trop peu susceptible d'tre effectivement employe1 cause de l'tat extrme d'imperfection o se trouve encore la rsolution algbrique des quations1 et d'o il rsulte ou que la forme des racines imaginaires est le plus souvent ignore1 ou qu'elle prsente une trop grande complication2 en sorte que de nouveaux travaux sont indispensables cet gard1 avant qu'on puisse regarder comme comble cette lacune essentielle de notre gomtrie analytique4 ,note #bc3 ,m4 ,poinsot a montr1 par exemple1 dans son excellent mmoire sur l'analyse des sections angulaires1 que l'quation x#by#b;a#bj1 ordinairement carte comme n'ayant pas de lieu gomtrique1 peut tre reprsente1 de la manire la plus simple et la plus nette1 par une hyperbole quilatre1 qui remplit son gard le mme office que le cercle pour l'quation x#by#b-;a#bj4 ,l'exposition philosophique essaye dans cette leon de la conception fondamentale de la gomtrie analytique1 nous montre clairement que cette science consiste essentiellement dterminer quelle est1 en gnral1 l'expression analytique de tel ou tel phnomne gomtrique propre aux lignes ou aux surfaces1 et rciproquement dcouvrir l'interprtation gomtrique de telle ou telle considration analytique4 ,nous avons maintenant examiner1 en nous bornant aux questions gnrales les plus importantes1 comment les gomtres sont parvenus tablir effectivement cette belle harmonie1 et imprimer ainsi la science gomtrique1 envisage dans son ensemble total1 le caractre parfait de rationalit et de simplicit qu'elle prsente aujourd'hui si minemment4 ,tel sera l'objet essentiel des deux leons suivantes1 l'une1 consacre l'tude gnrale des lignes1 et l'autre1 l'tude gnrale des surfaces4 ,,treizi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,de la gomtrie gnrale deux dimensions4 ,d'aprs la marche habituellement adopte jusqu' ce jour pour l'exposition de la science gomtrique1 la destination vraiment essentielle de la gomtrie analytique n'est encore sentie que d'une manire fort imparfaite1 qui ne correspond nullement l'opinion que s'en forment les vritables gomtres1 depuis que l'extension des conceptions analytiques la mcanique rationnelle a permis de s'lever quelques ides gnrales sur la philosophie mathmatique4 ,la rvolution fondamentale opre par la grande pense de ,descartes n'est point encore dignement apprcie dans notre ducation mathmatique1 mme la plus haute4 la manire dont elle est ordinairement prsente et surtout employe1 cette admirable mthode ne semblerait d'abord avoir d'autre but rel que de simplifier l'tude des sections coniques1 ou de quelques autres courbes1 considres toujours une une suivant l'esprit de la gomtrie ancienne1 ce qui serait sans doute de fort peu d'importance4 ,on n'a point encore convenablement senti que le vritable caractre distinctif de notre gomtrie moderne1 ce qui constitue son incontestable supriorit1 consiste tudier1 d'une manire entirement gnrale1 les diverses questions relatives des lignes ou des surfaces quelconques1 en transformant les considrations et les recherches gomtriques en considrations et en recherches analytiques4 ,il est remarquable que dans les tablissemens1 mme les plus justement clbres1 consacrs la haute instruction mathmatique1 on n'ait point institu de cours vraiment dogmatique de gomtrie gnrale1 conu d'une manire la fois distincte et complte#bd4 ,cependant une telle tude est la plus propre manifester clairement le vrai caractre philosophique de la science mathmatique1 en dmontrant avec une nettet parfaite l'organisation gnrale de la relation de l'abstrait au concret dans la thorie mathmatique d'un ordre quelconque de phnomnes naturels4 ,note #bd3 ,la profonde mdiocrit qu'on observe gnralement cet gard1 surtout dans l'enseignement de la partie lmentaire des mathmatiques1 quoique deux sicles se soient couls dj depuis la publication de la gomtrie de ,descartes1 montre combien notre ducation mathmatique ordinaire est encore loin de correspondre au vritable tat de la science2 ce qui tient sans doute1 en grande partie1 on ne doit pas se le dissimuler1 l'extrme infriorit de la plupart des personnes auxquelles on confie un enseignement aussi important1 sur la haute direction duquel les vritables chefs de la science ne sont d'ailleurs admis exercer aucune influence rgulire et permanente4 ,ces considrations indiquent assez quelle peut tre1 outre son extrme importance philosophique1 l'utilit spciale et directe de l'exposition laquelle nous conduit maintenant le plan de cet ouvrage4 ,il s'agit donc1 en partant de la conception fondamentale explique dans la leon prcdente1 relativement la reprsentation analytique des formes gomtriques1 d'examiner comment les gomtres sont parvenus rduire toutes les questions de gomtrie gnrale de pures questions d'analyse1 en dterminant les lois analytiques de tous les phnomnes gomtriques1 c'est--dire les modifications algbriques qui leur correspondent dans les quations des lignes et des surfaces4 ,je ne m'occuperai d'abord que des courbes1 et mme des courbes planes1 rservant pour la leon suivante l'tude gnrale des surfaces et des courbes double courbure4 ,l'esprit de cet ouvrage prescrit d'ailleurs de se borner l'examen philosophique des questions gnrales les plus importantes1 et surtout d'carter toute application des formes particulires4 ,le but essentiel que nous devons avoir en vue ici1 est seulement de constater avec prcision comment la conception fondamentale de ,descartes a tabli le systme gnral de la science gomtrique sur des bases rationnelles et dfinitives4 ,toute autre tude rentrerait dans un trait spcial de gomtrie2 mais1 quant celle-ci1 elle est indispensable pour l'objet que nous nous proposons4 ,on peut sans doute concevoir priori1 comme je l'ai indiqu dans la leon prcdente1 que1 une fois le sujet des recherches gomtriques reprsent analytiquement1 tous les accidens ou phnomnes quelconques dont il est susceptible doivent comporter ncessairement une interprtation semblable4 ,mais il est clair qu'une telle considration ne dispense nullement1 mme sous le simple rapport philosophique1 d'tudier l'organisation effective de cette harmonie gnrale entre la gomtrie et l'analyse1 dont on ne se formerait sans cela qu'une ide vague et confuse1 entirement insuffisante4 ,la premire et la plus simple question qu'on puisse se proposer relativement une courbe quelconque1 c'est de connatre1 d'aprs son quation#be1 le nombre de points ncessaire sa dtermination4 ,outre l'importance propre d'une telle notion1 qui n'est pas tablie jusqu'ici d'une manire assez rationnelle1 je crois devoir exposer avec quelque dveloppement la solution gnrale de ce problme lmentaire1 parce qu'elle me semble minemment apte1 sous le rapport de la mthode1 vu l'extrme simplicit des considrations analytiques correspondantes1 faire saisir le vritable esprit de la gomtrie analytique1 c'est--dire la corrlation ncessaire et continue entre le point de vue concret et le point de vue abstrait4 ,note #be3 ,je considrerai toujours1 pour fixer les ides1 moins d'avertissement formel1 le systme de coordonnes rectilignes ordinaire1 soit dans cette leon1 soit dans la suivante4 ,pour rsoudre compltement cette question1 il faut distinguer deux cas1 suivant que la courbe propose est dfinie analytiquement par son quation la plus gnrale1 c'est--dire convenant toutes les positions de la courbe relativement aux axes1 ou par une quation particulire et plus simple1 qui n'a lieu que dans une certaine situation de la courbe l'gard des axes4 ,dans le premier cas1 il est vident que la condition1 de la part de la courbe1 de devoir passer par un point donn1 quivaut analytiquement ce que les constantes arbitraires que renferme son quation gnrale conservent entre elles la relation marque par la substitution des coordonnes particulires de ce point dans cette quation4 ,chaque point donn imposant ainsi ces constantes une certaine condition algbrique1 pour que la courbe soit entirement dtermine il faudra donc assigner un nombre de points gal au nombre des constantes arbitraires contenues dans son quation4 ,telle est la rgle gnrale4 ,il convient cependant d'observer qu'elle pourrait induire en erreur1 et indiquer un nombre de points trop considrable1 si1 dans l'quation propose1 le nombre des termes distincts renfermant les constantes arbitraires tait moindre que celui de ces constantes1 auquel cas il faudrait videmment juger du nombre de points ncessaire l'entire dtermination de la courbe1 seulement par celui de ces termes1 ce qui signifierait gomtriquement que les constantes considres pourraient alors prouver certains changemens sans qu'il en rsultt aucun pour la courbe4 ,tel serait1 par exemple1 le cas du cercle1 si on le dfinissait comme la courbe dcrite par le sommet d'un angle de grandeur invariable qui se meut de manire ce que chacun de ses cts passe toujours par un certain point fixe4 ,il faut donc1 pour plus de gnralit1 compter sparment le nombre des constantes entrant dans l'quation de la courbe propose et le nombre des termes qui les contiennent1 et dterminer combien de points exige l'entire spcification de la courbe par le plus petit de ces deux nombres1 moins qu'ils ne soient gaux4 ,quand une courbe n'est primitivement dfinie que par une quation du genre de celles que nous avons nommes plus haut particulires1 on peut1 l'aide d'une transformation invariable et fort simple1 faire rentrer ce cas dans le prcdent1 en gnralisant convenablement l'quation propose4 ,il suffit1 pour cela1 de rapporter la courbe1 d'aprs les formules connues1 un nouveau systme d'axes1 dont la situation par rapport aux premiers soit regarde comme indtermine4 ,si cette transformation ne change pas essentiellement la composition analytique de l'quation primitive1 ce sera la preuve que celle-ci tait dj suffisamment gnrale2 dans le cas contraire1 elle le sera devenue1 et ds lors la question se rsoudra facilement par l'application de la rgle prcdemment tablie4 ,on peut mme observer1 pour simplifier encore davantage cette solution1 que cette gnralisation de l'quation introduira toujours1 quelle que soit l'quation primitive1 trois nouvelles constantes arbitraires1 savoir les deux coordonnes de la nouvelle origine et l'inclinaison des nouveaux axes sur les anciens2 en sorte que1 sans effectuer le calcul1 on pourra connatre le nombre des constantes arbitraires qui entreraient dans l'quation la plus gnrale1 et par suite en dduire directement le nombre de points ncessaire la dtermination de la courbe propose1 toutes les fois du moins qu'on pourra tre certain d'avance1 ce qui a lieu trs-frquemment1 que le nombre des termes qui contiendraient ces constantes ne serait pas moindre que celui des constantes elles-mmes4 ,afin de montrer quel degr de facilit peut parvenir la solution gnrale de cette question1 il importe de remarquer que1 l'opration analytique prescrite pour la rsoudre se rduisant une simple numration1 cette numration peut tre faite avant mme que l'quation de la courbe soit obtenue1 et d'aprs sa seule dfinition gomtrique4 ,il suffit1 en effet1 d'analyser cette dfinition sous ce point de vue1 en estimant combien de points donns1 ou de droites donnes soit en longueur1 soit en direction1 ou de cercles donns1 etc41 elle exige pour l'entire dtermination de la courbe propose4 ,cela pos1 on saura aussi d'avance combien il devra entrer de constantes arbitraires dans l'quation la plus gnrale de cette courbe1 en considrant que chaque point fixe donn par la dfinition en introduira deux1 chaque droite donne galement deux1 chaque longueur donne une1 chaque cercle entirement donn trois1 etc4 ,on pourra donc juger immdiatement par l du nombre de points qu'exige la dtermination de la courbe1 avec autant d'exactitude que si l'on avait sous les yeux son quation gnrale2 cela prs nanmoins de la restriction indique ci-dessus pour le cas o le nombre des termes renfermant les constantes arbitraires serait infrieur celui des constantes2 restriction qu'on pourra souvent reconnatre comme inapplicable1 si l'analyse de la dfinition propose a montr clairement que les donnes qu'elle prescrit ne pourraient nullement varier1 soit isolment1 soit ensemble1 sans qu'il en rsultt pour la courbe un changement quelconque4 ,mais1 lorsque cette restriction devra tre rellement applique1 cette considration ne fournira d'abord qu'une limite suprieure du nombre cherch1 qui ne pourra tre alors entirement connu qu'en consultant effectivement l'quation gnrale4 ,j'ai suppos jusqu'ici que les points par lesquels on veut dterminer le cours d'une ligne fussent absolument quelconques2 mais1 pour complter la mthode1 il faut examiner le cas o l'on introduirait parmi eux des points singuliers1 c'est--dire distincts de tous les autres par une proprit caractristique quelconque1 comme ce que l'on nomme les foyers dans les sections coniques1 les sommets1 les centres1 les points d'inflexion ou de rebroussement1 etc4 ,ces points ayant tous pour caractre d'tre uniques1 ou du moins dtermins1 dans une mme courbe1 leurs deux coordonnes sont donc chacune une fonction dtermine1 connue ou inconnue1 des constantes qui spcifient exactement la courbe propose4 ,ainsi1 donner un seul de ces points1 c'est imposer ces constantes arbitraires deux conditions algbriques1 ce qui1 par consquent1 quivaut analytiquement donner deux points ordinaires4 ,la rgle gnrale et fort simple se rduit donc1 cet gard1 compter toujours pour deux chaque point singulier1 par quelque proprit qu'il puisse tre dfini3 cela prs1 on rentrera dans la loi tablie ci-dessus4 ,toute application spciale de la thorie gnrale que je viens d'indiquer serait ici dplace4 ,je crois cependant utile de remarquer1 au sujet de cette application1 que le nombre de points ncessaires l'entire dtermination de chaque courbe1 quoique constituant une circonstance fort importante1 n'est point aussi intimement li qu'on le croirait d'abord1 soit la nature analytique de l'quation1 soit la forme gomtrique de la ligne4 ,ainsi1 par exemple1 on trouve1 d'aprs la mthode prcdente1 que la parabole ordinaire1 et mme les paraboles de tous les degrs1 la logarithmique1 la cyclode1 la spirale d',archimde1 etc41 exigent galement quatre points pour leur dtermination1 quoiqu'on n'ait pu dcouvrir jusqu'ici aucune autre proprit commune entre des courbes aussi diffrentes sous le rapport analytique que sous le rapport gomtrique4 ,il est nanmoins vraisemblable que cette analogie ne doit pas tre entirement isole4 ,je choisirai1 comme second exemple intressant1 parmi les questions lmentaires relatives l'tude gnrale des lignes1 la dtermination des centres dans une courbe plane quelconque4 ,le caractre gomtrique du centre d'une figure tant1 en gnral1 d'tre le milieu de toutes les cordes qui y passent1 il en rsulte videmment que1 si l'on y place l'origine du systme des coordonnes rectilignes1 les points de la figure auront1 deux deux1 par rapport une telle origine1 des coordonnes gales et de signe contraire4 ,on peut donc reconnatre immdiatement1 d'aprs l'quation d'une courbe quelconque1 si elle a pour centre l'origine actuelle des coordonnes1 puisqu'il suffit d'examiner si cette quation n'est point altre1 en y changeant la fois les signes des deux coordonnes variables1 ce qui exige1 dans le cas o il n'y entre que des fonctions algbriques1 rationnelles et entires1 que les termes soient tous de degr pair ou tous de degr impair1 suivant le degr de l'quation4 ,cela pos1 quand un tel changement trouble l'quation1 il faut dplacer l'origine d'une manire indtermine1 et chercher disposer des deux constantes arbitraires que cette transformation introduit dans l'quation pour les coordonnes de la nouvelle origine1 de faon ce que l'quation puisse jouir1 relativement aux nouveaux axes1 de la proprit prcdente4 ,si1 par des valeurs relles convenables des coordonnes de la nouvelle origine1 on peut faire disparatre tous les termes qui empchaient l'quation de prsenter ce caractre analytique1 la courbe aura un centre dont ces valeurs feront connatre la position3 dans le cas contraire1 il sera constat que la courbe n'a point de centre4 ,parmi les questions de gomtrie gnrale deux dimensions dont la solution complte ne dpend que de l'analyse ordinaire1 je crois devoir encore indiquer ici celle qui se rapporte la dtermination des conditions de la similitude entre des courbes quelconques d'un mme genre1 c'est--dire susceptibles d'une mme dfinition ou quation1 qui ne les distingue les unes des autres que par les diverses valeurs de certaines constantes arbitraires relatives la grandeur de chacune d'elles4 ,cette question1 importante en elle-mme1 a d'autant plus d'intrt sous le rapport de la mthode1 que le phnomne gomtrique qu'il s'agit alors de caractriser analytiquement1 est videmment purement relatif la forme1 et nullement un phnomne de situation1 ce qui1 comme nous l'avons remarqu dans la leon prcdente1 donne toujours lieu des difficults spciales par rapport notre systme de gomtrie analytique1 o les ides de position sont seules directement considres4 ,l'emploi de l'analyse diffrentielle fournirait immdiatement la solution de ce problme gnral1 en tendant aux courbes1 comme il convient1 la dfinition lmentaire de la similitude pour les figures rectilignes4 ,il suffirait1 en effet1 #a de calculer1 d'aprs l'quation de chacune des deux courbes1 l'angle de contingence en un point quelconque1 et d'exprimer que cet angle a la mme valeur dans les deux courbes pour des points correspondans2 #b d'aprs l'expression diffrentielle gnrale de la longueur d'un lment infiniment petit de chaque courbe1 d'exprimer que les lmens homologues des deux courbes sont entre eux dans un rapport constant4 ,les conditions analytiques de la similitude se trouveraient ainsi dpendre des deux premires fonctions drives de l'ordonne rapporte l'abcisse4 ,mais le problme peut tre rsolu d'une manire beaucoup plus simple1 et nanmoins tout aussi gnrale1 quoique moins directe1 par le simple usage de l'analyse ordinaire4 ,pour cela1 il faut d'abord remarquer une proprit lmentaire que peuvent toujours prsenter deux figures semblables de forme quelconque1 quand elles sont places dans une situation parallle1 c'est--dire1 de telle faon que tous les lmens de chacune soient respectivement parallles aux lmens homologues de l'autre1 ce que la similitude permet videmment de faire constamment4 ,dans cette situation1 il est ais de voir que1 si on joint deux deux par des droites les points homologues des deux figures1 toutes ces lignes de jonction concourront ncessairement en un point unique1 partir duquel leurs longueurs1 comptes jusqu' l'une et l'autre des deux figures semblables1 auront entre elles un rapport constant1 gal celui des deux figures4 ,il rsulte immdiatement de cette proprit1 considre sous le point de vue analytique1 que1 si l'origine des coordonnes rectilignes est suppose place au point particulier dont nous venons de parler1 les points homologues des deux courbes semblables auront des coordonnes constamment proportionnelles1 en sorte que l'quation de la premire courbe devra rentrer dans celle de la seconde1 en y changeant x en mx1 et y en my1 m tant une constante arbitraire gale au rapport linaire des deux figures4 ,avec des coordonnes polaires z et _/varphi1 dont le ple serait plac au mme point1 les deux quations deviendraient identiques en changeant seulement z en mz dans l'une d'elles1 sans changer _/varphi4 ,la vrification d'un tel caractre algbrique suffira donc videmment pour constater la similitude4 ,mais1 de sa non-vrification1 il est clair qu'on ne devra point conclure immdiatement la dissimilitude des deux courbes compares1 puisque l'origine ou le ple pourraient n'tre pas placs au point unique pour lequel cette relation a lieu1 ou mme que les deux courbes pourraient n'tre pas poses actuellement dans la situation parallle4 ,il est nanmoins facile de gnraliser et de complter la mthode sous l'un et l'autre de ces deux rapports1 quoiqu'il semble d'abord impossible analytiquement de modifier la situation relative de deux courbes4 ,il suffira pour cela de changer1 l'aide des formules connues1 la fois l'origine et la direction des axes si les coordonnes sont rectilignes1 ou le ple et la direction de l'axe si elles sont polaires1 mais en effectuant cette transformation seulement dans l'une des deux quations4 ,on cherchera alors disposer des trois constantes arbitraires introduites par l1 pour que cette quation ainsi modifie prsente1 relativement l'autre1 la proprit analytique indique4 ,si cette relation peut avoir lieu d'aprs certaines valeurs relles des constantes arbitraires1 les deux courbes seront semblables2 sinon1 leur dissimilitude sera constate4 ,quoiqu'il ne convienne point de considrer ici aucune application spciale de la thorie prcdente1 je crois cependant utile d'indiquer ce sujet une remarque gnrale4 ,elle consiste en ce que1 toutes les fois que l'quation d'une courbe1 simplifie le plus possible par la disposition des axes1 ne renfermera qu'une seule constante arbitraire1 toutes les courbes de ce genre seront ncessairement semblables entre elles4 ,on peut augmenter l'utilit de cette observation1 en ce que1 sans considrer mme l'quation de la courbe1 il suffira d'examiner1 dans ce cas1 si sa dfinition gomtrique primitive ne fait dpendre que d'une seule donne l'entire dtermination de sa grandeur#bf4 ,quand1 au contraire1 l'quation la plus simple de la courbe propose contiendra deux constantes arbitraires ou davantage1 ou1 ce qui est exactement quivalent1 lorsque la dfinition fera dpendre sa grandeur de plusieurs donnes distinctes1 les courbes de ce genre ne pourront tre semblables qu' l'aide de certaines relations entre ces constantes ou ces donnes1 qui consisteront ordinairement dans leur proportionnalit4 ,c'est ainsi que toutes les paraboles d'un mme degr1 d'ailleurs quelconque1 sont semblables entre elles1 aussi bien que toutes les logarithmiques1 toutes les cyclodes ordinaires1 tous les cercles1 etc42 tandis que deux ellipses ou deux hyperboles1 par exemple1 ne sont semblables qu'autant que leurs axes sont proportionnels4 ,note #bf3 ,cette proprit1 qui est une consquence vidente de la thorie indique ci-dessus1 pourrait d'ailleurs tre tablie directement par une considration fort simple4 ,il suffirait de remarquer que1 dans ce cas1 les diverses courbes de ce genre pourraient concider en les construisant sur une chelle diffrente1 d'o rsulte clairement leur similitude ncessaire4 ,je me borne ce petit nombre de questions gnrales relatives aux lignes1 parmi celles dont la solution complte dpend seulement de l'analyse ordinaire4 ,on n'y doit pas comprendre la dtermination de ce qu'on appelle les foyers1 la recherche des diamtres1 etc41 et plusieurs autres problmes de ce genre1 qui1 bien que susceptibles d'tre proposs et rsolus pour des courbes quelconques1 n'ont de vritable intrt qu' l'gard des sections coniques4 ,relativement aux diamtres1 par exemple1 c'est--dire aux lieux gomtriques des milieux d'un systme quelconque de cordes parallles1 il est ais de former une mthode gnrale pour dduire de l'quation d'une courbe l'quation commune de tous ses diamtres4 ,mais une telle considration ne peut faciliter l'tude d'une courbe qu'autant que les diamtres se trouvent tre des lignes plus simples et plus connues que la courbe primitive2 et mme cette recherche n'a vraiment une grande utilit que lorsque tous les diamtres sont des lignes droites4 ,or1 c'est ce qui n'a lieu que dans les courbes du second degr4 ,pour toutes les autres1 les diamtres sont1 en gnral1 des courbes aussi peu connues et souvent mme d'une tude plus difficile que la courbe propose4 ,c'est pourquoi je ne dois point ici considrer une telle question1 ni aucune autre semblable1 quoique1 dans les traits spciaux de gomtrie analytique1 il convnt d'ailleurs de les prsenter d'abord1 autant que possible1 sous un point de vue entirement gnral4 ,je passe donc immdiatement l'examen des thories de gomtrie gnrale deux dimensions qui ne peuvent tre compltement tablies qu' l'aide de l'analyse transcendante4 ,la premire et la plus simple d'entre elles consiste dans la dtermination des tangentes aux courbes planes4 ,ayant eu occasion1 dans la sixime leon1 d'indiquer la solution gnrale de cet important problme1 d'aprs chacun des divers points de vue fondamentaux propres l'analyse transcendante1 il est inutile d'y revenir ici4 ,je ferai seulement observer ce sujet que la question fondamentale ainsi considre suppose connu le point de contact de la droite avec la courbe1 tandis que la tangente peut tre dtermine par plusieurs autres conditions1 qu'il faut alors faire rentrer dans la prcdente1 en dterminant pralablement les coordonnes du point de contact1 ce qui est ordinairement trs-facile4 ,ainsi1 par exemple1 si la tangente est assujtie passer par un point donn extrieur la courbe1 les coordonnes de ce point devant satisfaire la formule gnrale de l'quation de la tangente cette courbe1 formule qui contient les coordonnes inconnues du point de contact1 ce dernier point sera dtermin par une telle relation combine avec l'quation de la courbe propose4 ,de mme1 si la tangente cherche doit tre parallle une droite donne1 il faudra galer le cofficient gnral qui marque sa direction en fonction des coordonnes du point de contact celui qui dtermine celle de la droite donne1 et la combinaison de cette condition avec l'quation de la courbe fera encore connatre ces coordonnes4 ,afin de considrer sous un point de vue plus tendu les problmes relatifs aux tangentes1 il peut tre utile d'exprimer distinctement la relation qui doit exister entre les deux constantes arbitraires contenues dans l'quation gnrale d'une ligne droite et les diverses constantes propres une courbe quelconque donne1 pour que la droite soit tangente la courbe4 cet effet1 il suffit d'observer que les deux constantes par lesquelles se trouve fixe chaque instant la position de la tangente tant des fonctions connues des coordonnes du point de contact1 l'limination de ces deux coordonnes entre ces deux formules et l'quation de la courbe propose fournira une relation indpendante du point de contact et contenant seulement les constantes des deux lignes1 qui sera le caractre analytique cherch du phnomne d'un contact indtermin4 ,on se servirait1 par exemple1 de telles expressions pour dterminer une tangente commune deux courbes donnes1 en calculant les deux constantes propres cette droite d'aprs les deux relations qu'entranerait ainsi son contact avec l'une et l'autre courbe4 ,la question fondamentale des tangentes est le point de dpart de plusieurs autres recherches gnrales plus ou moins importantes relativement aux courbes1 qu'il est ais d'en faire dpendre4 ,la plus directe et la plus simple de ces questions secondaires consiste dans la dtermination des asymptotes1 ou du moins des asymptotes rectilignes1 les seules1 en gnral1 qu'il soit intressant de connatre1 parce qu'elles seules contribuent rellement faciliter l'tude d'une courbe4 ,on sait que l'asymptote est une droite qui s'approche indfiniment et d'aussi prs qu'on veut d'une courbe1 sans cependant pouvoir jamais l'atteindre rigoureusement4 ,elle peut donc tre envisage comme une tangente dont le point de contact s'loigne l'infini4 ,ainsi1 pour la dterminer1 il suffit de supposer infinies les coordonnes du point de contact dans les deux formules gnrales qui expriment1 d'aprs l'quation de la courbe1 en fonction de ces coordonnes1 les deux constantes par lesquelles est fixe la position de la tangente4 ,si ces deux constantes prennent alors des valeurs relles et compatibles entre elles1 la courbe donne aura des asymptotes dont un tel calcul fera connatre le nombre et la situation2 si ces valeurs sont imaginaires ou incompatibles1 ce sera la preuve que la courbe propose n'a point d'asymptotes1 du moins rectilignes4 ,on voit que cette dtermination est exactement analogue celle d'une tangente mene par un point de la courbe dont les coordonnes seraient finies4 ,il arrivera seulement1 dans un assez grand nombre de cas1 que les deux valeurs cherches se prsenteront sous une forme indtermine1 ce qui est un inconvnient gnral des formules algbriques1 quoiqu'il doive sans doute avoir lieu plus frquemment en attribuant aux variables des valeurs infinies4 ,mais on sait qu'il existe une mthode analytique gnrale pour estimer la vraie valeur de toute expression semblable2 il suffira donc alors d'y recourir4 ,on peut rattacher aussi1 quoique d'une manire beaucoup moins directe1 la thorie des tangentes1 la thorie tout entire des divers points singuliers1 dont la dtermination contribue minemment la connaissance de toute courbe qui en prsente1 comme les points d'inflexion1 les points multiples1 les points de rebroussement1 etc4 ,relativement aux points d'inflexion1 par exemple1 c'est--dire ceux o une courbe de concave devient convexe1 ou de convexe concave1 il faut d'abord examiner le caractre analytique immdiatement propre la concavit ou la convexit1 ce qui dpend de la manire dont varie la direction de la tangente4 ,quand la courbe est concave vers l'axe des abcisses1 elle fait avec lui un angle de plus en plus petit mesure qu'elle s'en loigne2 au contraire1 lorsqu'elle est convexe1 l'angle qu'elle fait avec l'axe devient de plus en plus grand en s'en cartant davantage4 ,on peut donc directement reconnatre1 d'aprs l'quation d'une courbe1 le sens de sa courbure chaque instant3 il suffit d'examiner si le cofficient qui marque l'inclinaison de la tangente1 c'est--dire la fonction drive de l'ordonne1 prend des valeurs croissantes ou des valeurs dcroissantes mesure que l'ordonne augmente2 dans le premier cas1 la courbe tourne sa convexit vers l'axe des abcisses2 dans le second1 sa concavit4 ,cela pos1 s'il y a inflexion en quelque point1 c'est--dire si la courbure change de sens1 il est clair qu'en ce point l'inclinaison de la tangente sera devenue un maximum ou un minimum1 suivant qu'il s'agira du passage de la convexit la concavit1 ou du passage inverse4 ,on trouvera donc en quels points ce phnomne peut avoir lieu1 l'aide de la thorie ordinaire des maxima et minima1 dont l'application cette recherche apprendra videmment que1 pour l'abcisse du point d'inflexion1 la seconde fonction drive de l'ordonne propose doit tre nulle1 ce qui suffira pour dterminer l'existence et la position de ce point4 ,cette recherche peut ainsi tre rattache la thorie des tangentes1 quoiqu'elle soit ordinairement prsente d'aprs la thorie du cercle osculateur4 ,il en serait de mme1 avec plus ou moins de difficult1 relativement tous les autres points singuliers4 ,un second problme fondamental que prsente l'tude gnrale des courbes1 et dont la solution complte exige un emploi plus tendu de l'analyse transcendante1 est l'importante question de la mesure de la courbure des courbes au moyen du cercle osculateur en chaque point1 dont la dcouverte suffirait seule pour immortaliser le nom du grand ,huyghens4 ,le cercle tant la seule courbe qui prsente en tous ses points une courbure uniforme1 d'autant plus grande d'ailleurs que le rayon est plus petit1 quand les gomtres se sont propos de soumettre une estimation prcise la courbure de toute autre courbe quelconque1 ils ont d naturellement la comparer en chaque point au cercle qui pouvait avoir avec elle le plus intime contact possible1 et qu'ils ont nomm1 pour cette raison1 cercle osculateur1 afin de le distinguer des cercles simplement tangens1 qui sont en nombre infini au mme point de courbe1 tandis que le cercle osculateur est videmment unique4 ,en considrant cette question sous un autre aspect1 on conoit que la courbure d'une courbe en chaque point pourrait aussi tre estime par l'angle plus ou moins grand de deux lmens conscutifs1 qu'on appelle angle de contingence4 ,mais1 il est ais de reconnatre que ces deux mesures sont ncessairement quivalentes1 puisque le centre du cercle osculateur sera d'autant plus loign que cet angle de contingence sera plus obtus3 on voit mme1 sous le point de vue analytique1 que l'expression du rayon de ce cercle fournit immdiatement la valeur de cet angle4 ,d'aprs cette conformit vidente des deux points de vue1 les gomtres ont d prfrer habituellement la considration du cercle osculateur1 comme plus tendue et se prtant mieux la dduction des autres thories gomtriques qui se rattachent cette conception fondamentale4 ,cela pos1 la manire la plus simple et la plus directe de dterminer le cercle osculateur consiste l'envisager1 d'aprs la mthode infinitsimale proprement dite1 comme passant par trois points infiniment voisins de la courbe propose1 ou1 en d'autres termes1 comme ayant avec elle deux lmens conscutifs communs1 ce qui le distingue nettement de tous les cercles simplement tangens1 avec lesquels la courbe n'a qu'un seul lment commun4 ,il rsulte de cette notion1 en ayant gard la construction ncessaire pour dcrire un cercle passant par trois points donns1 que le centre du cercle osculateur1 ou ce qu'on appelle le centre de courbure de la courbe en chaque point1 peut tre regard comme le point d'intersection de deux normales infiniment voisines1 en sorte que la question se rduit trouver ce dernier point4 ,or1 cette recherche est facile1 en formant1 d'aprs l'quation gnrale de la tangente une courbe quelconque1 celle de la normale qui lui est perpendiculaire1 et faisant ensuite varier d'une quantit infiniment petite1 dans cette dernire quation1 les coordonnes du point de contact1 afin de passer la normale infiniment voisine3 la dtermination de la solution commune ces deux quations1 qui sont du premier degr par rapport aux deux coordonnes du point d'intersection1 suffit pour faire trouver les deux formules gnrales qui expriment les coordonnes du centre de courbure d'une courbe en un point quelconque4 ,ces formules une fois obtenues1 la recherche du rayon de courbure n'offre plus aucune difficult1 puisqu'elle se rduit calculer la distance de ce centre de courbure au point correspondant de la courbe4 ,en appelant _/alpha1 _/beta1 les coordonnes rectilignes du centre de courbure d'une courbe quelconque en un point dont les coordonnes sont x1 y1 et nommant r le rayon de courbe1 on trouve par cette mthode les formules connues4 _/_/alpha x-_/frac_/fracdydx_/left7#a_/;fracdy#b;d x#b_/right7_/fracd#bydx#b1 2_/beta y_/frac_/left7#a_/;fracdy#b;dx#b_/right7 _/fracd#bydx#b1_/ _/r_/frac_/left7#a_/;fracdy#b;dx#b_/righ t7_/frac#cb_/;fracd#by dx#b_/ ,on conoit de quelle importance est la dtermination du rayon de courbure1 et combien la discussion de la manire gnrale dont il varie aux diffrens points d'une courbe1 doit contribuer la connaissance approfondie de cette courbe4 ,cet lment a surtout ceci de trs-remarquable1 entre tous les autres sujets ordinaires de recherches dans la gomtrie analytique1 qu'il se rapporte directement1 par sa nature1 la forme mme de la courbe1 sans dpendre aucunement de sa position4 ,on voit que1 sous le rapport analytique1 il exige la considration simultane des deux premires fonctions drives de l'ordonne4 ,la thorie des centres de courbure conduit naturellement l'importante notion des dveloppes1 qui sont maintenant dfinies comme tant les lieux gomtriques de tous les centres de courbure de chaque courbe en ses diffrens points1 quoique1 au contraire1 dans la conception primitive de cette branche de la gomtrie1 ,huyghens et dduit l'ide du cercle osculateur de celle de la dveloppe1 directement envisage comme engendrant par son dveloppement la courbe primitive1 ou la dveloppante4 ,il est ais de reconnatre que ces deux manires de voir rentrent l'une dans l'autre4 ,cette dveloppe prsente videmment1 par quelque mode qu'on l'obtienne1 deux proprits gnrales et ncessaires relativement la courbe quelconque1 dont elle drive3 la premire1 d'avoir pour tangentes les normales celle-ci2 et la seconde1 que la longueur de ses arcs soit gale celle des rayons de courbure correspondans de la dveloppante4 ,quant au moyen d'obtenir l'quation de la dveloppe d'une courbe donne1 il est clair qu'entre les deux formules cites ci-dessus pour exprimer les coordonnes du centre de courbure1 il suffit d'liminer1 dans chaque cas1 les coordonnes x1 y1 du point correspondant de la courbe propose1 l'aide de l'quation de cette courbe3 l'quation en _/alpha1 _/beta qui rsultera de l'limination1 sera celle de la dveloppe demande4 ,on pourrait galement entreprendre de rsoudre la question inverse1 c'est--dire de trouver la dveloppante d'aprs la dveloppe4 ,mais il faut remarquer qu'une limination analogue la prcdente ne fournirait alors1 pour la courbe cherche1 qu'une quation contenant1 outre x et y1 les deux fonctions drives dy_/dx1 d#by_/dx#b2 en sorte qu'aprs cette analyse prparatoire1 la solution complte du problme exigerait encore l'intgration de cette quation diffrentielle du second ordre ce qui1 vu l'extrme imperfection du calcul intgral1 serait le plus souvent impossible1 si1 par la nature propre d'une telle recherche1 la courbe demande ne devait point1 comme j'ai eu occasion de l'indiquer dans la septime leon1 tre reprsente par la solution singulire1 que la simple diffrentiation peut toujours faire obtenir1 l'intgrale gnrale ne dsignant ici que le systme des cercles osculateurs1 dont la connaissance n'est point l'objet de la question propose4 ,il en serait de mme toutes les fois qu'on aurait dterminer une courbe d'aprs une proprit quelconque de son rayon de courbure4 ,cet ordre de questions est exactement analogue aux problmes plus simples qui constituent ce que1 dans l'origine de l'analyse transcendante1 on appelait la ,mthode inverse des tangentes1 o l'on se proposait de dterminer une courbe par une proprit donne de sa tangente en un point quelconque4 ,par des considrations gomtriques plus ou moins compliques1 analogues celle qui fournit les dveloppes1 les gomtres ont dduit d'une mme courbe primitive quelconque diverses autres courbes secondaires1 dont les quations peuvent tre obtenues d'aprs des procds semblables4 ,les plus remarquables d'entre elles sont les caustiques par rflexion ou par rfraction1 dont la premire ide est due ,tschirnas1 quoique ,jacques ,bernouilli en ait seul tabli la vritable thorie gnrale4 ,ce sont1 comme on sait1 des courbes formes par l'intersection continuelle des rayons de lumire infiniment voisins qu'on supposerait rflchis ou rfracts par la courbe primitive4 ,en partant de la loi gomtrique de la rflexion ou de la rfraction de la lumire1 consistant en ce que l'angle de rflexion est gal l'angle d'incidence1 ou en ce que le sinus de l'angle de rfraction est un multiple constant et connu du sinus de l'angle d'incidence1 il est vident que la recherche de ces caustiques se rduit une pure question de gomtrie1 parfaitement semblable celle des dveloppes1 conues comme formes par l'intersection continuelle des normales infiniment voisines4 ,le problme se rsoudra donc analytiquement en suivant une marche analogue1 au sujet de laquelle toute autre indication serait ici superflue4 ,le calcul sera seulement plus laborieux1 surtout si les rayons incidens ne sont pas supposs parallles entre eux ou mans d'un mme point4 ,les dveloppes1 les caustiques1 et toutes les autres lignes dduites d'une mme courbe principale l'aide de constructions analogues1 sont formes par les intersections continuelles de droites infiniment voisines soumises une certaine loi4 ,mais on peut aussi1 en gnralisant le plus possible cette considration gomtrique1 concevoir des courbes produites par l'intersection continuelle de certaines courbes infiniment voisines1 assujties une mme loi quelconque4 ,cette loi consiste ordinairement en ce que toutes ces courbes sont reprsentes par une quation commune1 d'ailleurs quelconque1 d'o elles drivent successivement en donnant diverses valeurs une certaine constante arbitraire4 ,on peut alors se proposer de trouver le lieu gomtrique des points d'intersection de ces courbes conscutives1 qui correspondent des valeurs infiniment rapproches de cette constante arbitraire conue comme variant d'une manire continue4 ,lebnitz a imagin le premier les recherches de cette nature1 qui ont ensuite t fort tendues par ,clairaut et surtout par ,lagrange4 ,pour traiter le cas le plus simple1 celui que je viens de caractriser exactement1 il suffit videmment de diffrentier l'quation gnrale propose par rapport la constante arbitraire que l'on considre1 et d'liminer ensuite cette constante entre cette quation diffrentielle et l'quation primitive2 on obtiendra ainsi1 entre les deux coordonnes variables1 une quation indpendante de cette constante1 qui sera celle de la courbe cherche1 dont la forme diffrera souvent beaucoup de celle des courbes gnratrices4 ,lagrange a tabli1 au sujet de cette relation gomtrique1 un important thorme gnral1 en montrant que1 sous le point de vue analytique1 la courbe ainsi obtenue et les courbes gnratrices ont ncessairement une mme quation diffrentielle1 dont l'intgrale complte reprsente le systme des courbes gnratrices1 tandis que sa solution singulire correspond la courbe des intersections4 ,j'ai considr jusqu'ici la thorie de la courbure des courbes suivant l'esprit de la mthode infinitsimale proprement dite1 qui s'adapte en effet bien plus simplement qu'aucune autre toute recherche de ce genre4 ,la conception de ,lagrange1 relativement l'analyse transcendante1 prsentait surtout1 par sa nature1 de grandes difficults spciales pour la solution directe d'une telle question1 comme je l'ai dj remarqu dans la sixime leon4 ,mais ces difficults ont si heureusement excit le gnie de ,lagrange1 qu'elles l'ont conduit la formation de la thorie gnrale des contacts1 dont l'ancienne thorie du cercle osculateur se trouve n'tre plus qu'un cas particulier fort simple4 ,il importe au but de cet ouvrage de considrer maintenant cette belle conception1 qui est peut-tre1 sous le rapport philosophique1 l'objet le plus profondment intressant que puisse offrir jusqu'ici la gomtrie analytique4 ,comparons une courbe quelconque donne yf7x7 une autre courbe variable z_/varphi7x71 et cherchons nous former une ide prcise des divers degrs d'intimit qui pourront exister entre ces deux courbes1 en un point commun1 suivant les relations qu'on supposera entre la fonction _/varphi et la fonction f4 ,il suffira pour cela de considrer la distance verticale des deux courbes en un autre point de plus en plus rapproch du premier1 afin de la rendre successivement la moindre possible1 eu gard la corrlation des deux fonctions4 ,si h dsigne l'accroissement qu'prouve l'abcisse en passant ce nouveau point1 cette distance1 qui est gale la diffrence des deux ordonnes correspondantes1 pourra tre dveloppe1 d'aprs la formule de ,taylor1 suivant les puissances ascendantes de h1 et aura pour expression la srie1 _/,d_/left7f'7x7-_/varphi7x7_/right7h _/left7f''7x7-_/varphi''7x7_/right7_/fra ch#ba4b_/ _/ _/left7f'''7x7-_/varphi'''7x7_/right7_/f rach#ca4b4c _/mbox_/rm etc4_/ ,en concevant1 ce qui est videmment toujours possible1 h tellement petit1 que le premier terme de cette srie soit suprieur la somme de tous les autres1 il est clair que la courbe z aura avec la courbe y un rapprochement d'autant plus intime1 que la nature de la fonction variable _/varphi permettra de supprimer un plus grand nombre de termes dans ce dveloppement1 partir du premier4 ,le degr d'intimit des deux courbes sera donc exactement apprci1 sous le point de vue analytique1 par le nombre plus ou moins grand de fonctions drives successives de leurs ordonnes qui auront la mme valeur au point que l'on considre4 ,de l1 l'importante conception gnrale des divers ordres de contacts plus ou moins parfaits1 dont la notion du cercle osculateur compar aux cercles simplement tangens n'avait prsent jusqu'alors qu'un seul exemple particulier4 ,ainsi1 aprs la simple intersection1 le premier degr de rapprochement entre deux courbes a lieu quand les premires drives de leurs ordonnes sont gales2 c'est le contact du premier ordre1 ou ce qu'on appelle ordinairement le simple contact1 parce qu'il a t long-temps le seul connu4 ,le contact du second ordre exige de plus que les secondes drives des fonctions f et _/varphi soient gales3 en y joignant encore l'galit de leurs troisimes drives1 on constitue un contact du troisime ordre1 et ainsi de suite l'infini4 ,au del du premier ordre1 les contacts portent souvent le nom d'osculations du premier ordre1 du second ordre1 etc4 ,les contacts du premier et du second ordre peuvent tre caractriss gomtriquement par une observation fort simple1 en ce qu'il en rsulte videmment que les deux courbes compares ont au point commun1 dans un cas1 la mme tangente1 et1 dans l'autre1 le mme cercle de courbure1 puisque la tangente chaque courbe dpend de la premire drive de son ordonne1 et le cercle de courbure1 des deux premires drives successives4 ,mais cette considration ne conviendrait plus au-del du second ordre pour dterminer l'ide gomtrique du contact4 ,lagrange s'est born1 sous ce rapport1 assigner le caractre gnral qui rsulte immdiatement de l'analyse ci-dessus indique1 et qui consiste en ce que lorsque la courbe z est dtermine de manire avoir avec la courbe y un contact de l'ordre n1 produit analytiquement par l'galit de toutes les fonctions drives jusqu' celle de l'ordre n1 aucune autre courbe z1 de mme nature que la prcdente1 mais qui ne satisferait qu' un moindre nombre de conditions analytiques1 et qui1 par consquent1 n'aurait avec la courbe y qu'un contact moins intime1 ne pourrait passer entre les deux courbes1 puisque l'intervalle de celles-ci a reu la plus petite valeur dont il tait susceptible d'aprs une telle relation des deux quations4 ,lorsqu'on a particularis la nature de la courbe z ainsi compare une courbe quelconque donne y1 l'ordre du contact le plus intime qu'elle peut avoir avec celle-ci dpend videmment du nombre plus ou moins grand de constantes arbitraires que renferme son quation la plus gnrale1 un contact de l'ordre n exigeant n#a conditions analytiques1 qui ne sauraient tre remplies qu'avec un pareil nombre de constantes disponibles4 ,par consquent1 une ligne droite1 dont l'quation la plus gnrale contient seulement deux constantes arbitraires1 ne peut avoir avec une courbe quelconque qu'un contact du premier ordre3 d'o dcoule la thorie ordinaire des tangentes4 ,l'quation du cercle renfermant1 en gnral1 trois constantes arbitraires1 le cercle peut avoir avec une courbe quelconque un contact du second ordre1 et de l rsulte1 comme cas particulier1 l'ancienne thorie du cercle osculateur4 ,en considrant une parabole1 comme il y a quatre constantes arbitraires dans son quation la plus complte et la plus simple1 elle est susceptible1 compare toute autre courbe1 d'une intimit plus profonde1 qui peut aller jusqu'au contact du troisime ordre3 de mme1 une ellipse comporterait un contact du quatrime ordre1 etc4 ,la considration prcdente est propre suggrer une interprtation gomtrique de cette thorie gnrale des contacts1 qui me semble destine complter le travail de ,lagrange1 en assignant1 pour dfinir directement les divers ordres de contacts1 un caractre concret plus simple et plus clair que celui indiqu par ,lagrange4 ,en effet1 ce nombre plus ou moins grand de constantes arbitraires contenues dans une quation a pour signification gomtrique1 comme nous l'avons tabli en commenant cette leon1 le nombre des points ncessaires l'entire dtermination de la courbe correspondante1 lequel se trouve ainsi marquer le degr d'intimit dont cette courbe est susceptible relativement toute autre4 ,or1 d'un autre ct1 la loi analytique qui exprime ce contact par l'galit d'un pareil nombre de drives successives des deux ordonnes1 indique videmment que les deux courbes ont alors autant de points infiniment voisins communs2 puisque1 d'aprs la nature des diffrentielles1 il est clair que la diffrentielle de l'ordre n dpend de la comparaison de n#a ordonnes conscutives4 ,on peut donc se faire directement une ide nette des divers ordres de contacts1 en disant qu'ils consistent dans la communaut d'un nombre plus ou moins grand de points infiniment voisins entre les deux courbes4 ,en termes plus rigoureux1 on dfinirait1 par exemple1 l'ellipse osculatrice au troisime ordre1 en la regardant comme la limite vers laquelle tendraient les ellipses passant par cinq points de la courbe propose1 mesure que quatre de ces points supposs mobiles se rapprocheraient indfiniment du cinquime suppos fixe4 ,cette thorie gnrale des contacts est videmment propre1 par sa nature1 fournir une connaissance de plus en plus profonde de la courbure d'une courbe quelconque1 en lui comparant successivement diverses courbes connues1 susceptibles d'un contact de plus en plus intime2 ce qui permettrait de rendre aussi exacte qu'on voudrait la mesure de la courbure1 en changeant convenablement le terme de comparaison4 ,ainsi1 il est clair1 d'aprs les considrations prcdentes1 que l'assimilation de tout arc de courbe infiniment petit un arc de parabole1 en ferait connatre la courbure avec plus de prcision que par l'emploi du cercle osculateur2 et la comparaison avec l'ellipse procurerait encore plus d'exactitude1 etc42 en sorte qu'en destinant chaque type primitif approfondir l'tude du type suivant1 on pourrait perfectionner l'infini la thorie des courbes4 ,mais la ncessit d'avoir une connaissance nette et familire de la courbe ainsi adopte comme unit de courbure1 dtermine les gomtres renoncer cette haute perfection spculative1 pour se contenter1 en ralit1 de comparer toutes les courbes au cercle seulement1 en vertu de l'uniformit de courbure1 proprit caractristique du cercle4 ,aucune autre courbe1 en effet1 ne peut tre regarde1 sous ce rapport1 comme assez simple et assez connue pour pouvoir tre utilement employe1 quoique l'on n'ignore plus que le cercle n'est pas l'unit de courbure la plus convenable abstraitement4 ,lagrange s'est donc born dfinitivement dduire de sa conception gnrale la thorie du cercle osculateur1 ainsi prsente sous un point de vue purement analytique4 ,il est mme remarquable que de cette seule considration il ait pu conclure avec facilit les deux proprits fondamentales ci-dessus indiques pour les dveloppes1 que la simple analyse paraissait d'abord si peu propre tablir4 ,j'ai cru devoir considrer la thorie des contacts des courbes dans sa plus grande extension spculative1 afin d'en faire saisir convenablement le vritable caractre4 ,quoiqu'on doive la rduire finalement la seule dtermination effective du cercle osculateur1 il y a sans doute1 sous le rapport philosophique1 une profonde diffrence entre concevoir cette dernire considration1 pour ainsi dire1 comme le dernier terme des efforts de l'esprit humain dans l'tude des courbes1 ainsi qu'on le faisait avant ,lagrange1 et n'y voir1 au contraire1 qu'un simple cas particulier d'une thorie gnrale trs-tendue1 l'examen duquel on doit habituellement se borner1 en sachant nanmoins que d'autres comparaisons pourraient perfectionner davantage la doctrine gomtrique4 ,aprs avoir envisag les principales questions de gomtrie gnrale relatives aux proprits des courbes1 il me reste signaler celles qui se rapportent aux rectifications et aux quadratures1 dans lesquelles consiste proprement1 suivant l'explication donne dans la dixime leon1 le but dfinitif de la science gomtrique4 ,mais ayant eu occasion prcdemment 7voyez la #fme leon7 d'tablir les formules gnrales qui expriment1 l'aide de certaines intgrales1 la longueur et l'aire d'une courbe plane quelconque dont l'quation rectiligne est donne1 et devant d'ailleurs m'interdire ici toute application aucune courbe particulire1 cette partie importante du sujet se trouve suffisamment traite4 ,je me bornerai seulement indiquer les formules propres dterminer l'aire et le volume des corps produits par la rvolution des courbes planes autour de leurs axes4 ,supposons1 comme on peut videmment toujours le faire1 que l'axe de rotation soit pris pour axe des abcisses2 et1 suivant l'esprit de la mthode infinitsimale proprement dite1 la seule bien convenable jusqu'ici aux recherches de cette nature1 concevons que l'abcisse augmente d'une quantit infiniment petite3 cet accroissement dterminera dans l'arc et dans l'aire de la courbe des augmentations diffrentielles analogues qui1 par la rvolution autour de l'axe1 engendreront les lmens de la surface et du volume cherchs4 ,il est ais de voir que1 en ngligeant seulement un infiniment petit du second ordre tout au plus1 on pourra regarder ces lmens comme gaux la surface et au volume du tronc de cne ou du cylindre correspondant1 ayant pour hauteur la diffrentielle de l'abcisse1 et pour rayon de sa base l'ordonne du point considr4 ,d'aprs cela1 en appelant ,s et ,v la surface et le volume demands1 les plus simples propositions de la gomtrie lmentaire fourniront immdiatement les quations diffrentielles gnrales _/d,s#b_/pi ydx1_/2d,v_/pi y#b;dx4_/ ,ainsi1 lorsque la relation entre y et x sera donne dans chaque cas particulier1 les valeurs de ,s et de ,v seront exprimes par les deux intgrales _/,s#b_/pi _/int yds1_/2,v_/pi_/int y#b;dx2_/ prises entre les limites convenables4 ,telles sont les formules invariables d'aprs lesquelles1 depuis ,lebnitz1 les gomtres ont rsolu un grand nombre de questions de ce genre1 quand les progrs du calcul intgral l'ont permis4 ,on pourrait aussi comprendre au nombre des recherches de gomtrie gnrale deux dimensions1 l'importante dtermination des centres de gravit des arcs ou des aires appartenant des courbes quelconques1 quoique cette considration ait son origine dans la mcanique rationnelle4 ,car1 en dfinissant le centre de gravit comme tant le centre des moyennes distances1 c'est--dire un point dont la distance un plan ou un axe quelconque est la moyenne arithmtique entre les distances de tous les points du corps ce plan ou cet axe1 il est clair que cette question devient purement gomtrique1 et peut tre traite sans aucun recours la mcanique4 ,mais1 malgr une telle considration1 dont nous reconnatrons plus tard l'importance pour gnraliser suffisamment et avec facilit la notion du centre de gravit1 il est certain1 d'un autre ct1 que la destination essentielle de cette recherche doit continuer la faire classer plus convenablement parmi les questions de mcanique2 quoique1 par sa nature propre1 et aussi par le caractre analytique de la mthode correspondante1 elle appartienne rellement la gomtrie1 ce qui m'a engag l'indiquer ici par anticipation4 ,telles sont les principales questions fondamentales dont se compose le systme actuel de notre gomtrie gnrale deux dimensions4 ,on voit que1 sous le rapport analytique1 elles peuvent tre nettement distingues en trois classes3 la premire1 comprenant les recherches gomtriques qui dpendent seulement de l'analyse ordinaire2 la seconde1 celles dont la solution exige l'emploi du calcul diffrentiel2 la troisime1 enfin1 celles qui ne peuvent tre rsolues qu' l'aide du calcul intgral4 ,il nous reste maintenant considrer sous le mme aspect1 dans la leon suivante1 l'ensemble de la gomtrie gnrale trois dimensions4 ,,quatorzi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,de la gomtrie gnrale trois dimensions4 ,l'tude des surfaces se compose d'une suite de questions gnrales exactement analogues celles indiques dans la leon prcdente par rapport aux lignes4 ,il est inutile de considrer ici distinctement celles qui ne dpendent que de l'analyse ordinaire1 car elles se rsolvent par des mthodes essentiellement semblables2 soit qu'il s'agisse de connatre le nombre des points ncessaires l'entire dtermination d'une surface1 soit qu'on s'occupe de la recherche des centres1 soit qu'on demande les conditions prcises de la similitude entre deux surfaces du mme genre1 etc4 ,il n'y a d'autre diffrence analytique que d'envisager des quations trois variables au lieu d'quations deux variables4 ,je passe donc immdiatement aux questions qui exigent l'emploi de l'analyse transcendante1 en insistant seulement sur les considrations nouvelles qu'elles prsentent relativement aux surfaces4 ,la premire thorie gnrale est celle des plans tangens4 ,en se servant de la mthode infinitsimale proprement dite1 on peut aisment trouver l'quation du plan qui touche une surface quelconque en un point donn1 et qui est alors dfini comme concidant avec la surface dans une tendue infiniment petite tout autour du point de contact4 ,il suffit1 en effet1 de considrer que1 afin de remplir une telle condition1 l'accroissement infiniment petit reu par l'ordonne verticale en rsultat des accroissemens infiniment petits des deux coordonnes horizontales1 doit tre le mme pour le plan que pour la surface1 et cela indpendamment d'aucune relation dtermine entre ces deux derniers accroissemens1 sans quoi la concidence n'aurait pas lieu en tout sens4 ,d'aprs cette ide1 l'analyse donne immdiatement l'quation gnrale3 _/z-z' _/fracdz'dx'7x-x'7 _/fracdz'dy'7y-y'7_/ pour celle du plan tangent1 x'1 y'1 z'1 dsignant les coordonnes du point de contact4 ,la dtermination de ce plan1 dans chaque cas particulier1 se trouve ainsi rduite une simple diffrentiation de l'quation de la surface propose4 ,on peut aussi obtenir cette quation gnrale du plan tangent1 en faisant dpendre sa recherche de la seule thorie des tangentes aux courbes planes4 ,il faut1 pour cela1 considrer ce plan1 ainsi qu'on le fait habituellement en gomtrie descriptive1 comme dtermin par les tangentes deux sections planes quelconques de la surface passant au point donn4 ,en choisissant les plans de ces sections parallles deux des plans coordonns1 on parvient sur-le-champ l'quation prcdente4 ,cette manire de concevoir le plan tangent donne lieu d'tablir facilement un important thorme de gomtrie gnrale1 que ,monge a dmontr le premier1 et qui consiste en ce que les tangentes toutes les courbes qu'on peut tracer en un mme point sur une surface quelconque sont toujours comprises dans un mme plan4 ,enfin1 il est encore possible de parvenir l'quation gnrale du plan tangent en le considrant comme perpendiculaire la normale correspondante1 et dfinissant celle-ci par sa proprit gomtrique directe d'tre le chemin maximum ou minimum pour aller d'un point extrieur la surface4 ,la mthode ordinaire des maxima et minima suffit pour former1 d'aprs cette notion1 les deux quations de la normale1 en appliquant cette mthode l'expression de la distance entre deux points1 l'un situ sur la surface1 l'autre extrieur1 dont le premier conu comme variable1 est ensuite suppos fixe quand les conditions analytiques ont t exprimes1 tandis que le second1 primitivement constant1 est alors envisag comme mobile1 et dcrit la droite cherche4 ,les quations de la normale une fois obtenues1 on en dduit aisment celle du plan tangent4 ,cette ingnieuse manire de l'tablir est galement due ,monge4 ,la question fondamentale que nous venons d'examiner devient1 comme dans le cas des courbes1 la base d'un grand nombre de recherches relatives la dtermination du plan tangent1 lorsqu'on remplace le point de contact donn par d'autres conditions quivalentes4 ,le plan tangent ne peut point videmment tre dtermin par un seul point donn extrieur1 comme l'est la tangente3 il faut l'assujtir contenir une droite donne2 cela prs1 l'analogie est parfaite1 et les deux questions se rsolvent de la mme manire4 ,il en est de mme si le plan tangent doit tre parallle un plan donn1 ce qui fixe la valeur des deux constantes qui assignent sa direction1 et par suite dtermine les coordonnes du point de contact1 dont ces constantes sont1 pour chaque surface dsigne1 des fonctions connues4 ,enfin on peut aussi trouver comme dans les courbes1 la relation analytique qui exprime gnralement le simple phnomne du contact entre un plan et une surface1 sans spcifier le lieu de ce contact2 d'o rsulte pareillement la solution de plusieurs questions relatives aux plans tangens1 entr'autres celle qui consiste dterminer un plan qui touche la fois trois surfaces quelconques donnes1 recherche analogue celle de la tangente commune deux courbes4 ,la thorie gnrale des contacts plus ou moins intimes qui peuvent exister entre deux surfaces quelconques par suite des relations plus ou moins nombreuses de leurs quations1 se forme d'aprs une mthode exactement semblable celle indique dans la leon prcdente relativement aux courbes1 en exprimant1 l'aide de la srie de ,taylor pour les fonctions de deux variables1 la distance verticale des deux surfaces en un second point voisin de leur point d'intersection1 et dont les coordonnes horizontales auraient reu deux accroissemens h et k entirement indpendans l'un de l'autre4 ,la considration de cette distance1 dveloppe selon les puissances croissantes de h et k1 et dans l'expression de laquelle on suprimera successivement les termes du premier degr en h et k1 ensuite ceux du second1 etc41 dterminera les conditions analytiques des contacts de diffrens ordres que peuvent avoir les deux surfaces suivant le plus ou moins grand nombre de constantes arbitraires contenues dans l'quation gnrale de celle qu'on regarde comme variable4 ,mais1 malgr la conformit de mthode1 cette thorie prsentera avec celle des courbes une diffrence fondamentale relativement au nombre de ces conditions1 par suite de la ncessit o l'on se trouve dans ce cas de considrer deux accroissemens indpendant au lieu d'un seul4 ,il en rsulte1 en effet1 que1 afin que chaque contact ait lieu dans tous les sens possibles autour du point commun1 on doit annuler sparment tous les diffrens termes du mme degr correspondant1 et1 dont le nombre augmentera d'autant plus que ce degr ou l'ordre du contact sera plus lev4 ,ainsi1 aprs la condition de l'galit des deux ordonnes verticales z ncessaire pour la simple intersection1 on trouvera que le contact du premier ordre exige1 en outre1 deux relations distinctes1 consistant dans l'galit respective des deux fonctions drives partielles du premier ordre propres chaque ordonne verticale4 ,en passant au contact du second ordre1 il faudra ajouter encore trois nouvelles conditions1 cause des trois termes distincts du second degr en h et k dans l'expression de la distance1 et dont la suppression complte exigera l'galit respective des trois fonctions drives partielles du second ordre relatives au z de chaque surface4 ,on trouvera de la mme manire que le contact du troisime ordre donne lieu en outre quatre autres relations1 et ainsi de suite1 le nombre des drives partielles de chaque ordre restant constamment gal au nombre de termes en h et k du degr correspondant4 ,il est ais d'en conclure1 en gnral1 que le nombre total des conditions distinctes ncessaires au contact de l'ordre n1 a pour valeur 7n#a77n#b7_/b1 tandis que dans les courbes1 il tait simplement gal n#a4 ,par suite de cette seule diffrence essentielle1 la thorie des surfaces est loin d'offrir cet gard la mme facilit et de comporter la mme perfection que celle des courbes4 ,quand on se borne au contact du premier ordre1 il y a parit complte1 puisque ce contact n'exige que trois conditions1 auxquelles on peut toujours satisfaire l'aide des trois constantes arbitraires que renferme l'quation gnrale d'un plan2 de l rsulte1 comme cas particulier1 la thorie des plans tangens1 exactement analogue celle des tangentes aux courbes1 et prsentant la mme utilit pour tudier la forme d'une surface quelconque4 ,mais il n'en est plus ainsi lorsqu'on considre le contact du second ordre1 afin de mesurer la courbure des surfaces4 ,il serait naturel alors de comparer toutes les surfaces la sphre1 la seule qui prsente une courbure uniforme1 comme on compare toutes les courbes au cercle4 ,or1 le contact du second ordre entre deux surfaces exigeant six conditions1 tandis que l'quation la plus gnrale d'une sphre contient seulement quatre constantes arbitraires1 il n'est pas possible de trouver1 en chaque point d'une surface quelconque1 une sphre qui soit compltement osculatrice en tous sens1 au lieu que nous avons vu un arc de courbe infiniment petit pouvoir toujours tre assimil un certain arc de cercle4 ,d'aprs cette impossibilit de mesurer la courbure d'une surface en chaque point l'aide d'une seule sphre1 les gomtres ont dtermin les coordonnes du centre et le rayon d'une sphre qui1 au lieu d'tre osculatrice en tout sens indistinctement1 le serait seulement dans une certaine direction particulire1 correspondante un rapport donn entre les deux accroissemens h et k4 ,il suffit alors1 en effet1 pour tablir ce contact du second ordre relatif1 d'ajouter1 aux trois conditions ordinaires du contact du premier ordre1 la condition unique qui rsulte de la suppression totale des termes du second degr en h et k envisags collectivement1 sans qu'il soit ncessaire de les annuler chacun sparment2 le nombre des relations se trouve par l seulement gal celui des constantes disponibles renfermes dans l'quation gnrale de la sphre1 qui est ainsi dtermine4 ,ce procd se rduit proprement tudier la courbure d'une surface en chaque point par celle des diffrentes courbes que tracerait sur cette surface une suite de plans mens par la normale correspondante4 ,d'aprs la formule gnrale qui exprime le rayon de courbure de chacune de ces sections normales en fonction de sa direction1 ,euler1 auquel est essentiellement due toute cette thorie1 a dcouvert plusieurs thormes importans relatifs une surface quelconque4 ,il a d'abord aisment tabli que1 parmi toutes les sections normales d'une surface en un mme point1 on en pouvait distinguer deux principales1 dont la courbure1 compare celle de toutes les autres1 tait un minimum pour la premire1 et un maximum pour la seconde1 et dont les plans prsentent cette circonstance remarquable d'tre constamment perpendiculaires entre eux4 ,il a fait voir ensuite que1 quelle que pt tre la surface propose1 et sans qu'il ft mme ncessaire de la dfinir1 la courbure de ces deux sections principales suffisait seule pour dterminer compltement celle d'une autre section normale quelconque1 l'aide d'une formule invariable et trs-simple1 d'aprs l'inclinaison du plan de cette section sur celui de la section de plus grande ou de plus petite courbure4 ,en considrant cette formule comme l'quation polaire d'une certaine courbe plane1 il en a dduit une ingnieuse construction1 minemment remarquable par sa gnralit et par sa simplicit4 ,elle consiste en ce que1 si l'on construit une ellipse telle que les distances d'un de ses foyers aux deux extrmits du grand axe soient gales aux deux rayons de courbure maximum et minimum1 le rayon de courbure de toute autre section normale sera gal celui des rayons vecteurs de l'ellipse qui fera avec l'axe un angle double de l'inclinaison du plan de cette section sur celui d'une des sections principales4 ,cette ellipse se change en une hyperbole construite de la mme manire1 quand les deux sections principales ne tournent pas leur concavit dans le mme sens3 enfin elle devient une parabole1 lorsque la surface est du genre de celles qui peuvent tre engendres par une ligne droite1 ou qu'elle prsente une inflexion au point que l'on considre4 ,de cette belle proprit fondamentale1 on a conclu plus tard un grand nombre de thormes secondaires plus ou moins intressans1 que ce n'est pas ici le lieu d'indiquer4 ,je dois seulement signaler le thorme essentiel par lequel ,meunier a complt le travail d',euler1 en rattachant la courbure de toutes les courbes quelconques qui peuvent tre traces sur une surface en un mme point1 celle des sections normales1 les seules qu',euler et considres4 ,ce thorme consiste en ce que le centre de courbure de toute section oblique peut tre envisag comme la projection sur le plan de cette section1 du centre de courbure correspondant la section normale qui passerait par la mme tangente3 d'o ,meunier a dduit une construction fort simple1 d'aprs laquelle1 par l'emploi d'un cercle analogue l'ellipse d',euler1 on dtermine la courbure des sections obliques1 connaissant celle des sections normales2 en sorte que1 par la combinaison des deux thormes1 la seule courbure des deux sections normales principales suffit pour obtenir celle de toutes les autres courbes qu'on peut tracer sur une surface d'une manire quelconque en chaque point considr4 ,la thorie prcdente permet d'tudier compltement1 point par point1 la courbure d'une surface quelconque4 ,afin de lier plus aisment entre elles les considrations relatives aux divers points d'une mme surface1 les gomtres ont cherch dterminer ce qu'ils appellent les lignes de courbure d'une surface1 c'est--dire1 celles qui jouissent de la proprit que les normales conscutives la surface peuvent y tre regardes comme comprises dans un mme plan4 ,en chaque point d'une surface quelconque1 il existe deux de ces lignes1 qui se trouvent tre constamment perpendiculaires entre elles1 et dont les directions concident leur origine avec celles des deux sections normales principales considres ci-dessus1 ce qui peut dispenser d'envisager distinctement ces dernires4 ,la dtermination de ces lignes de courbure s'effectue trs-simplement sur les surfaces les plus usuelles1 telles que les surfaces cylindriques1 coniques1 et de rvolution4 ,cette nouvelle considration fondamentale est d'ailleurs devenue le point de dpart de plusieurs autres recherches gnrales moins importantes1 comme celle des surfaces de courbure1 qui sont les lieux gomtriques des centres de courbure des diverses sections principales2 celle des surfaces dveloppables formes par les normales la surface menes aux diffrens points de chaque ligne de courbure1 etc4 ,pour terminer l'examen de la thorie de la courbure1 il me reste indiquer sommairement ce qui se rapporte aux courbes double courbure1 c'est--dire1 celles qui ne peuvent tre contenues dans un plan4 ,quant la dtermination de leurs tangentes1 elle n'offre videmment aucune difficult4 ,si la courbe est donne analytiquement par les quations de ses projections sur deux des plans coordonnes1 les quations de sa tangente seront simplement celles des tangentes ces deux projections1 ce qui fait rentrer la question dans le cas des courbes planes4 ,si1 sous un point de vue plus gnral1 la dfinition analytique de la courbe consiste1 ainsi que l'indique la douzime leon1 dans le systme des quations des deux surfaces quelconques dont elle serait l'intersection1 on regardera la tangente comme tant l'intersection des plans tangens ces deux surfaces1 et le problme sera ramen celui du plan tangent1 rsolu ci-dessus4 ,la courbure des courbes de cette nature donne lieu l'tablissement d'une notion nouvelle fort importante4 ,en effet1 dans une courbe plane1 la courbure se trouve tre suffisamment apprcie en mesurant l'inflexion plus ou moins grande des lmens conscutifs les uns sur les autres1 qui est estime indirectement par le rayon du cercle osculateur4 ,mais il n'en est nullement ainsi dans une courbe qui n'est point plane4 ,les lmens conscutifs n'tant plus alors contenus dans un mme plan1 on ne peut avoir une ide exacte de la courbure qu'en considrant distinctement les angles qu'ils forment entre eux et aussi les inclinaisons mutuelles des plans qui les comprennent4 ,il faut donc1 avant tout1 commencer par fixer ce qu'on doit entendre chaque instant par le plan de la courbe1 c'est--dire1 celui que dterminent trois points infiniment voisins1 et qu'on appelle1 pour cette raison1 le plan osculateur1 qui change continuellement d'un point un autre4 ,la position de ce plan une fois obtenue1 la mesure de la courbure ordinaire1 l'aide du cercle osculateur1 ne prsente plus videmment aucune difficult nouvelle4 ,quant la seconde courbure1 elle est estime par l'angle plus ou moins grand que forment entre eux deux plans osculateurs conscutifs1 et dont il est ais de trouver gnralement l'expression analytique4 ,pour tablir plus d'analogie entre la thorie de cette courbure et celle de la premire1 on pourrait galement la regarder comme mesure indirectement d'aprs le rayon de la sphre osculatrice qui passerait par quatre points infiniment voisins de la courbe propose1 et dont l'quation se formerait de la mme manire que celle du plan osculateur4 ,on l'apprcie ordinairement par la courbure maximum que prsente1 au point considr1 la surface dveloppable qui est le lieu gomtrique de toutes les tangentes la courbe propose4 ,nous devons passer maintenant l'indication des questions de gomtrie gnrale trois dimensions qui dpendent du calcul intgral2 elles comprennent la quadrature des surfaces courbes1 et la cubature des volumes correspondans4 ,relativement la quadrature des surfaces courbes1 il faut1 pour tablir l'quation diffrentielle gnrale1 concevoir la surface partage en lmens plans infinimens petits dans tous les sens1 par quatre plans perpendiculaires deux deux aux axes des coordonnes x et y4 ,chacun de ces lmens1 situ dans le plan tangent correspondant1 aurait videmment pour projection horizontale1 le rectangle form par les diffrentielles des deux coordonnes horizontales1 et dont l'aire serait dxdy4 ,cette aire donnera celle de l'lment lui-mme1 d'aprs un thorme lmentaire fort simple1 en la divisant par le cosinus de l'angle que fait le plan tangent avec le plan des x1 y4 ,on trouvera ainsi que l'expression de cet lment est gnralement3 _/d#b,s dxdy_/sqrt_/fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b;dy# ba_/ ,c'est donc par la double intgration de cette formule diffrentielle deux variables qu'on connatra1 dans chaque cas particulier1 l'aire de la surface propose1 autant que pourra le permettre l'imperfection actuelle du calcul intgral4 ,les limites de chaque intgrale successive seront dtermines par la nature des surfaces dont l'intersection avec celle que l'on considre devra circonscrire l'tendue mesurer1 en sorte que1 dans l'application de cette mthode gnrale1 il faudra apporter un soin particulier la manire de fixer les constantes arbitraires ou les fonctions arbitraires introduites par l'intgration4 ,relativement la cubature des volumes termins par les surfaces courbes1 le systme de plans l'aide duquel nous venons de diffrentier l'aire1 peut aussi servir immdiatement dcomposer le volume en lmens polydres4 ,il est clair1 en effet1 que l'espace infiniment petit du second ordre compris entre ces quatre plans1 doit tre envisag1 suivant l'esprit de la mthode infinitsimale1 comme gal au paralllipipde rectangle ayant pour hauteur l'ordonne verticale z du point que l'on considre et pour base le rectangle dxdy1 puisque leur diffrence est videmment un infiniment petit du troisime ordre1 moindre que dzdydz4 ,d'aprs cela1 un des plus simples thormes de la gomtrie lmentaire fournira directement1 pour l'expression diffrentielle du volume cherch1 l'quation gnrale _/d#b,v zdxdy2_/ d'o l'on dduira1 par une double intgration1 dans chaque cas particulier1 la valeur effective de ce volume1 en ayant le mme gard que prcdemment la dtermination des limites de chaque intgrale1 conformment la nature des surfaces qui devront circonscrire latralement le volume propos4 ,sans entrer ici dans aucun dtail relatif la solution dfinitive de l'une ou de l'autre de ces deux questions fondamentales1 il peut tre utile de remarquer1 d'aprs les quations diffrentielles prcdentes1 une analogie gnrale et singulire qui existe ncessairement entre elles1 et qui permettrait de transformer toute recherche relative la quadrature en une recherche correspondante relative la cubature4 ,on voit1 en effet1 que les deux quations diffrentielles ne diffrent que par le changement de z en _/sqrtdz#b_/;dx#b;dz#b_/;dy#ba en passant de la seconde la premire4 ,ainsi l'aire d'une surface courbe quelconque peut tre regarde comme numriquement gale au volume d'un corps termin par une surface dont l'ordonne verticale aurait chaque instant pour valeur la scante de l'angle que fait avec le plan horizontal le plan tangent correspondant la surface primitive1 les limites tant d'ailleurs supposes respectivement les mmes4 ,pour terminer l'examen philosophique de la gomtrie gnrale trois dimensions1 il me reste considrer sommairement la belle conception fondamentale tablie par ,monge relativement la classification analytique des surfaces en familles naturelles1 qui doit tre regarde comme le perfectionnement le plus important qu'ait reu la science gomtrique depuis ,descartes et ,lebnitz4 ,quand on se propose d'tudier1 sous un point de vue gnral1 les proprits spciales des diverses surfaces1 la premire difficult qui se prsente consiste dans l'absence d'une bonne classification1 dtermine par les caractres gomtriques les plus essentiels1 et d'ailleurs suffisamment simple4 ,ds la fondation de la gomtrie analytique1 les gomtres ont t involontairement conduits classer les surfaces1 comme les courbes1 par la forme et le degr de leurs quations1 seule considration qui s'offrt d'elle-mme l'esprit pour servir de base une distinction dont l'importance n'avait d'abord t nullement sentie4 ,mais il est ais de voir que ce principe de classification1 convenablement applicable aux quations du premier et du second degr1 ne remplit aucune des conditions principales auxquels doit satisfaire un tel travail4 ,en effet1 on sait que ,newton1 en discutant l'quation gnrale du troisime degr deux variables1 pour se borner la simple numration des diverses courbes planes qu'elle peut reprsenter1 a reconnu que1 bien qu'elles fussent toutes ncessairement indfinies en tout sens1 on devait en distinguer #gd espces particulires1 aussi diffrentes les unes des autres que le sont entre elles les trois courbes du second degr4 ,quoique personne n'ait analys sous le mme point de vue l'quation gnrale du quatrime degr deux variables1 il n'est pas douteux qu'elle ne dt faire natre un nombre beaucoup plus considrable encore de courbes distinctes2 et ce nombre devrait videmment augmenter avec une prodigieuse rapidit d'aprs le degr de l'quation4 ,si maintenant l'on passe aux quations trois variables1 qui1 vu leur plus grande complication1 prsentent ncessairement bien plus de varit1 il est incontestable que le nombre des surfaces vraiment distinctes qu'elles peuvent exprimer doit tre encore plus multipli1 et crotre beaucoup plus rapidement d'aprs le degr4 ,cette multiplicit devient telle1 qu'on s'est toujours born analyser ainsi les quations des deux premiers degrs1 aucun gomtre n'ayant tent pour les surfaces du troisime degr ce qu'a excut ,newton pour les courbes correspondantes4 ,il suit donc de cette considration vidente que1 quand mme l'imperfection de l'algbre ne s'opposerait pas l'emploi indfini d'un procd semblable1 la classification gnrale des surfaces par le degr et la forme de leurs quations serait entirement impraticable4 ,mais ce motif n'est pas le seul qui doive faire rejeter une telle classification2 il n'est point mme le plus important4 ,en effet1 cette manire de disposer les surfaces1 outre l'impossibilit de la suivre1 se trouve directement contraire la principale destination de toute bonne classification quelconque1 consistant rapprocher le plus les uns des autres les objets qui offrent les relations les plus importantes1 et loigner ceux dont les analogies ont peu de valeur4 ,l'identit du degr de leurs quations est1 pour les surfaces1 un caractre d'une valeur gomtrique trs-mdiocre1 qui n'indique pas mme exactement le nombre des points ncessaires l'entire dtermination de chacune4 ,la proprit commune la plus importante considrer entre des surfaces consiste videmment dans leur mode de gnration2 toutes celles qui sont engendres de la mme manire devant offrir ncessairement une grande analogie gomtrique1 tandis qu'elles ne sauraient avoir que de trs-faibles ressemblances si elles sont engendres d'aprs des modes essentiellement diffrens4 ,ainsi1 par exemple1 toutes les surfaces cylindriques1 quelle que soit la forme de leur base1 constituent une mme famille naturelle1 dont les diverses espces prsentent un grand nombre de proprits communes de premire importance3 il en est de mme pour toutes les surfaces coniques1 et aussi pour toutes les surfaces de rvolution1 etc4 ,or1 cet ordre naturel se trouve compltement dtruit par la classification fonde sur le degr des quations4 ,car des surfaces assujties un mme mode de gnration1 les surfaces cylindriques1 par exemple1 peuvent fournir des quations de tous les degrs imaginables1 raison de la seule diffrence secondaire de leurs bases2 tandis1 que d'un autre ct1 des quations d'un mme degr quelconque expriment souvent des surfaces de nature gomtrique oppose1 les unes cylindriques1 les autres coniques1 ou de rvolution1 etc4 ,une telle classification analytique est donc radicalement vicieuse1 comme sparant ce qui doit tre runi1 et rapprochant ce qui doit tre distingu4 ,cependant1 la gomtrie gnrale tant entirement fonde sur l'emploi des considrations et des mthodes analytiques1 il est indispensable que la classification puisse prendre aussi un caractre analytique4 ,tel tait donc l'tat prcis de la difficult fondamentale1 si heureusement vaincue par ,monge3 les familles naturelles entre les surfaces tant clairement tablies sous le point de vue gomtrique d'aprs le mode de gnration1 il fallait dcouvrir un genre de relations analytiques destin prsenter constamment une interprtation abstraite de ce caractre concret4 ,cette dcouverte capitale tait rigoureusement indispensable pour achever de constituer la thorie gnrale des surfaces4 ,la considration1 que ,monge a employe pour y parvenir1 consiste dans cette observation gnrale1 aussi simple que directe3 les surfaces assujties un mme mode de gnration sont ncessairement caractrises par une certaine proprit commune de leur plan tangent en un point quelconque2 en sorte qu'en exprimant analytiquement cette proprit d'aprs l'quation gnrale du plan tangent une surface quelconque1 on formera une quation diffrentielle reprsentant la fois toutes les surfaces de cette famille4 ,ainsi1 par exemple1 toute surface cylindrique prsente ce caractre exclusif3 que le plan tangent en un point quelconque de la surface est constamment parallle la droite fixe qui indique la direction des gnratrices4 ,d'aprs cela1 il est ais de voir que les quations de cette droite tant supposes tre _/xaz1_/2ybz1_/ l'quation gnrale du plan tangent tablie ci-dessus donnera1 pour l'quation diffrentielle commune toutes les surfaces cylindriques1 _/a_/fracdzdx b_/fracdzdy #a4_/ ,de mme1 relativement aux surfaces coniques1 elles sont toutes caractrises sous ce point de vue par la proprit ncessaire que leur plan tangent en un point quelconque passe constamment par le sommet du cne4 ,si donc _/alpha1 _/beta1 _/gamma1 dsignent les coordonnes de ce sommet1 on trouvera immdiatement _/7x-_/alpha7_/fracdzdx 7y-_/beta7_/fracdzdy z-_/gamma1_/ pour l'quation diffrentielle reprsentant la famille entire des surfaces coniques4 ,dans les surfaces de rvolution1 le plan tangent en un point quelconque est toujours perpendiculaire au plan mridien1 c'est--dire celui qui passe par ce point et par l'axe de la surface4 ,afin d'exprimer analytiquement cette proprit d'une manire plus simple1 supposons que l'axe de rvolution soit pris pour celui des z3 l'quation diffrentielle commune toute cette famille de surfaces1 sera _/y_/fracdzdx-x_/fracdzdy #j4_/ ,il serait superflu de citer ici un plus grand nombre d'exemples pour tablir clairement1 en gnral1 que1 quel que soit le mode de gnration1 toutes les surfaces d'une mme famille naturelle sont susceptibles d'tre reprsentes analytiquement par une mme quation aux diffrences partielles contenant des constantes arbitraires1 d'aprs une proprit commune de leur plan tangent4 ,afin de complter cette correspondance fondamentale et ncessaire entre le point de vue gomtrique et le point de vue analytique1 ,monge a considr en outre les quations finies qui sont les intgrales de ces quations diffrentielles1 et qu'on peut d'ailleurs presque toujours facilement obtenir aussi par des recherches directes4 ,chacune de ces quations finies doit1 comme on le sait par la thorie gnrale de l'intgration1 contenir une fonction arbitraire1 si l'quation diffrentielle est seulement du premier ordre2 ce qui n'empche pas que de telles quations1 quoique beaucoup plus gnrales que celles dont on s'occupe ordinairement1 ne prsentent un sens nettement dtermin1 soit sous le rapport gomtrique1 soit sous le simple rapport analytique4 ,cette fonction arbitraire correspond ce qu'il y a d'indtermin dans la gnration des surfaces proposes1 la base1 par exemple1 si les surfaces sont cylindriques ou coniques1 la courbe mridienne1 si elles sont de rvolution1 etc4#bg4 ,dans certains cas mme1 l'quation finie d'une famille de surfaces contient la fois deux fonctions arbitraires1 affectes des combinaisons distinctes des coordonnes variables2 c'est ce qui a lieu lorsque l'quation diffrentielle correspondante doit tre du second ordre2 sous le point de vue gomtrique1 cette indtermination plus grande indique une famille plus gnrale1 et nanmoins caractrise4 ,telle est1 par exemple1 la famille des surfaces dveloppables1 qui comprend1 comme subdivisions1 toutes les surfaces cylindriques1 toutes les surfaces coniques1 et une infinit d'autres familles analogues1 et qui peut cependant tre nettement dfinie1 dans sa plus grande gnralit1 comme tant l'enveloppe de l'espace parcouru par un plan qui se meut en restant toujours tangent deux surfaces fixes quelconques1 ou comme le lieu gomtrique de toutes les tangentes une mme courbe quelconque double courbure4 ,ce groupe naturel de surfaces a1 pour quation diffrentielle invariable1 cette quation trs-simple1 dcouverte par ,euler1 entre les trois drives partielles du second ordre1 _/_/left7_/fracd#bzdxdy_/right7#b _/fracd#bzdx#b_/;fracd#bzdy#b_/4 ,note #bg3 ,on trouve1 par exemple1 soit d'aprs les considrations directes de gomtrie analytique1 soit en rsultat des mthodes d'intgration1 que les surfaces cylindriques et les surfaces coniques ont pour quations finies _/x-az _/varphi7y-bz71_/2 _/fracx-_/alphaz-_/gamma _/varphi_/left7_/fracy-_/betaz-_/gamma_/ right7_/ _/varphi1 dsignant une fonction entirement arbitraire4 ,l'quation finie contient donc ncessairement deux fonctions arbitraires distinctes1 qui correspondent gomtriquement aux deux surfaces indtermines sur lesquelles doit glisser le plan gnrateur1 ou aux deux quations quelconques de la courbe directrice4 ,quoiqu'il soit utile de considrer les quations finies des familles naturelles de surfaces1 on conoit nanmoins que l'indtermination des fonctions arbitraires qu'elles renferment invitablement1 doit les rendre peu propres des travaux analytiques soutenus1 pour lesquels il est bien prfrable d'employer les quations diffrentielles1 o il n'entre que de simples constantes arbitraires1 malgr leur nature indirecte4 ,c'est par l que l'tude gnrale et rgulire des proprits des diverses surfaces est rellement devenue possible1 le point de vue commun ayant pu ainsi tre saisi et spar par l'analyse4 ,on conoit qu'une telle conception ait permis de dcouvrir des rsultats d'un degr de gnralit et d'intrt infiniment suprieurs ceux qu'on pouvait obtenir auparavant4 ,pour ne citer qu'un seul exemple trs-simple1 qui est fort loin d'tre le plus remarquable1 c'est par une semblable mthode de gomtrie analytique qu'on a pu reconnatre cette singulire proprit de toute quation homogne trois variables1 de reprsenter ncessairement une surface conique dont le sommet est situ l'origine des coordonnes2 de mme1 parmi les recherches plus difficiles1 il a t possible de dterminer1 l'aide du calcul des variations1 le plus court chemin d'un point un autre sur une surface dveloppable quelconque1 sans qu'il ft ncessaire de la particulariser1 etc4 ,j'ai cru devoir ici accorder quelque dveloppement l'exposition philosophique de cette belle conception de ,monge1 qui constitue1 sans contredit1 son premier titre la gloire1 et dont la haute importance ne me semble point avoir encore t dignement sentie1 except par ,lagrange1 si juste apprciateur de tous ses mules4 ,je regrette mme d'tre rduit1 par les limites naturelles de cet ouvrage1 une indication aussi imparfaite1 o je n'ai pu seulement signaler l'heureuse raction ncessaire de cette nouvelle gomtrie sur le perfectionnement de l'analyse1 quant la thorie gnrale des quations diffrentielles plusieurs variables4 ,en mditant sur cette classification philosophique des surfaces1 essentiellement analogue aux mthodes naturelles que les physiologistes ont tent d'tablir en zoologie et en botanique1 on est conduit se demander si les courbes elles-mmes ne comportent pas une opration semblable4 ,vu la varit infiniment moindre qui existe entre elles1 un tel travail est la fois moins important et plus difficile1 les caractres qui pourraient servir de base n'tant point alors beaucoup prs aussi tranchs4 ,il a donc t naturel que l'esprit humain s'occupt d'abord de classer les surfaces4 ,mais on doit sans doute esprer que cet ordre de considrations s'tendra plus tard jusqu'aux courbes4 ,on peut mme apercevoir dj entre elles quelques familles vraiment naturelles1 comme celle des paraboles quelconques1 et celle des hyperboles quelconques1 etc4 ,nanmoins1 il n'a t encore produit aucune conception gnrale directement propre dterminer une telle classification4 ,ayant ainsi expos aussi nettement qu'il m'a t possible1 dans cette leon et dans l'ensemble des quatre prcdentes1 le vritable caractre philosophique de la section la plus gnrale et la plus simple de la mathmatique concrte1 je dois maintenant entreprendre le mme travail relativement la science immense et plus complique de la mcanique rationnelle4 ,ce sera l'objet des quatre leons suivantes4 ,,quinzi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations philosophiques sur les principes fondamentaux de la mcanique rationnelle4 ,les phnomnes mcaniques sont1 par leur nature1 comme nous l'avons dj remarqu1 la fois plus particuliers1 plus compliqus et plus concrets que les phnomnes gomtriques4 ,aussi1 conformment l'ordre encyclopdique tabli dans cet ouvrage1 plaons-nous la mcanique rationnelle aprs la gomtrie dans cette exposition philosophique de la mathmatique concrte1 comme tant ncessairement d'une tude plus difficile1 et par suite moins perfectionne4 ,les questions gomtriques sont toujours compltement indpendantes de toute considration mcanique1 tandis que les questions mcaniques se compliquent constamment des considrations gomtriques1 la forme des corps devant influer invitablement sur les phnomnes du mouvement ou de l'quilibre4 ,cette complication est souvent telle1 que le plus simple changement dans la forme d'un corps suffit seul pour augmenter extrmement les difficults du problme de mcanique dont il est le sujet1 comme on peut s'en faire une ide en considrant1 par exemple1 l'importante dtermination de la gravitation mutuelle de deux corps en rsultat de celle de toutes leurs molcules1 question qui n'est encore compltement rsolue qu'en supposant ces corps une forme sphrique1 et o1 par consquent1 le principal obstacle vient videmment des circonstances gomtriques4 ,puisque nous avons reconnu dans les leons prcdentes que le caractre philosophique de la science gomtrique tait encore altr un certain degr par un reste d'influence trs-sensible de l'esprit mtaphysique1 on doit s'attendre naturellement1 vu cette plus grande complication ncessaire de la mcanique rationnelle1 l'en trouver bien plus profondment affecte4 ,c'est ce qui n'est1 en effet1 que trop facile constater4 ,le caractre de science naturelle1 encore plus videmment inhrent la mcanique qu' la gomtrie1 est aujourd'hui compltement dguis dans presque tous les esprits1 par l'emploi des considrations ontologiques4 ,on remarque1 dans toutes les notions fondamentales de cette science1 une confusion profonde et continuelle entre le point de vue abstrait et le point de vue concret1 qui empche de distinguer nettement ce qui est rellement physique de ce qui est purement logique1 et de sparer avec exactitude les conceptions artificielles uniquement destines faciliter l'tablissement des lois gnrales de l'quilibre ou du mouvement1 des faits naturels fournis par l'observation effective du monde extrieur1 qui constituent les bases relles de la science4 ,on peut mme reconnatre que l'immense perfectionnement de la mcanique rationnelle depuis un sicle1 soit sous le rapport de l'extension de ses thories1 soit quant leur coordination1 a fait en quelque sorte rtrograder sous ce rapport la conception philosophique de la science1 qui est communment expose aujourd'hui d'une manire beaucoup moins nette que ,newton ne l'avait prsente4 ,ce dveloppement ayant t1 en effet1 essentiellement obtenu par l'usage de plus en plus exclusif de l'analyse mathmatique1 l'importance prpondrante de cet admirable instrument a fait graduellement contracter l'habitude de ne voir dans la mcanique rationnelle que de simples questions d'analyse2 et1 par une extension abusive1 quoique trs-naturelle1 d'une telle manire de procder1 on a tent d'tablir1 a priori1 d'aprs des considrations purement analytiques1 jusqu'aux principes fondamentaux de la science1 que ,newton s'tait sagement born prsenter comme des rsultats de la seule observation4 ,c'est ainsi1 par exemple1 que ,daniel ,bernouilli1 d',alembert1 et1 de nos jours1 ,laplace1 ont essay de prouver la rgle lmentaire de la composition des forces par des dmonstrations uniquement analytiques1 dont ,lagrange seul a bien aperu l'insuffisance radicale et ncessaire4 ,tel est1 maintenant encore1 l'esprit qui domine plus ou moins chez tous les gomtres4 ,il est nanmoins vident en thse gnrale1 comme nous l'avons plusieurs fois remarqu1 que l'analyse mathmatique1 quelle que soit son extrme importance1 dont j'ai tch de donner une juste ide1 ne saurait tre1 par sa nature1 qu'un puissant moyen de dduction1 qui1 lorsqu'il est applicable1 permet de perfectionner une science au degr le plus minent1 aprs que les fondemens en ont t poss1 mais qui ne peut jamais suffire tablir ces bases elles-mmes4 ,s'il tait possible de constituer entirement la science de la mcanique d'aprs de simples conceptions analytiques1 on ne pourrait se reprsenter comment une telle science deviendrait jamais vraiment applicable l'tude effective de la nature4 ,ce qui tablit la ralit de la mcanique rationnelle1 c'est prcisment1 au contraire1 d'tre fonde sur quelques faits gnraux1 immdiatement fournis par l'observation1 et que tout philosophe vraiment positif doit envisager1 ce me semble1 comme n'tant susceptibles d'aucune explication quelconque4 ,il est donc certain qu'on a abus en mcanique de l'esprit analytique1 beaucoup plus encore qu'en gomtrie4 ,l'objet spcial de cette leon est d'indiquer comment1 dans l'tat actuel de la science1 on peut tablir nettement son vritable caractre philosophique1 et la dgager dfinitivement de toute influence mtaphysique1 en distinguant constamment le point de vue abstrait du point de vue concret1 et en effectuant une sparation exacte entre la partie simplement exprimentale de la science1 et la partie purement rationnelle4 ,d'aprs le but de cet ouvrage1 un tel travail doit ncessairement prcder les considrations gnrales sur la composition effective de cette science1 qui seront successivement exposes dans les trois leons suivantes4 ,commenons par indiquer avec prcision l'objet gnral de la science4 ,on a l'habitude de remarquer d'abord1 et avec beaucoup de raison1 que la mcanique ne considre point1 non-seulement les causes premires des mouvemens1 qui sont en dehors de toute philosophie positive1 mais mme les circonstances de leur production1 lesquelles1 quoique constituant rellement un sujet intressant de recherches positives dans les diverses parties de la physique1 ne sont nullement du ressort de la mcanique1 qui se borne envisager le mouvement en lui-mme1 sans s'enqurir de quelle manire il a t dtermin4 ,ainsi les forces ne sont autre chose1 en mcanique1 que les mouvemens produits ou tendant se produire2 et deux forces qui impriment un mme corps la mme vitesse dans la mme direction sont regardes comme identiques1 quelque diverse que puisse tre leur origine1 soit que le mouvement provienne des contractions musculaires d'un animal1 ou de la pesanteur vers un centre attractif1 ou du choc d'un corps quelconque1 ou de la dilatation d'un fluide lastique1 etc4 ,mais1 quoique cette manire de voir soit heureusement devenue aujourd'hui tout--fait familire1 il reste encore aux gomtres oprer1 sinon dans la conception mme1 du moins dans le langage habituel1 une rforme essentielle pour carter entirement l'ancienne notion mtaphysique des forces1 et indiquer plus nettement qu'on ne le fait encore le vritable point de vue de la mcanique#bh4 ,note #bh3 ,il importe de remarquer aussi que le nom mme de la science est extrmement vicieux1 en ce qu'il rappelle seulement une de ses applications les plus secondaires1 ce qui devient habituellement une source de confusion1 qui oblige ajouter frquemment l'adjectif rationnelle1 dont la rptition1 quoiqu'indispensable1 est fastidieuse4 ,les philosophes allemands1 pour viter cet inconvnient1 ont cr la dnomination beaucoup plus philosophique de phoronomie1 employe dans le trait d',hermann1 et dont l'adoption gnrale serait trs-dsirable4 ,cela pos1 on peut caractriser d'une manire trs-prcise le problme gnral de la mcanique rationnelle4 ,il consiste dterminer l'effet que produiront sur un corps donn diffrentes forces quelconques agissant simultanment1 lorsqu'on connat le mouvement simple qui rsulterait de l'action isole de chacune d'elles2 ou1 en prenant la question en sens inverse1 dterminer les mouvemens simples dont la combinaison donnerait lieu un mouvement compos connu4 ,cet nonc montre exactement quelles sont ncessairement les donnes et les inconnues de toute question mcanique4 ,on voit que l'tude de l'action d'une force unique n'est jamais1 proprement parler1 du domaine de la mcanique rationnelle1 o elle est toujours suppose connue1 car le second problme gnral n'est susceptible d'tre rsolu que comme tant l'inverse du premier4 ,toute la mcanique porte donc essentiellement sur la combinaison des forces1 soit que de leur concours il rsulte un mouvement dont il faut tudier les diverses circonstances1 soit que par leur neutralisation mutuelle le corps se trouve dans un tat d'quilibre dont il s'agit de fixer les conditions caractristiques4 ,les deux problmes gnraux1 l'un direct1 l'autre inverse1 dans la solution desquels consiste la science de la mcanique1 ont1 sous le rapport des applications1 une importance gale2 car1 tantt les mouvemens simples peuvent tre immdiatement tudis par l'observation1 tandis que la connaissance du mouvement qui rsultera de leur combinaison ne saurait tre obtenue que par la thorie2 et tantt1 au contraire1 le mouvement compos peut seul tre effectivement observ1 tandis que les mouvemens simples1 dont on le regardera comme le produit1 ne sont susceptibles d'tre dtermins que rationnellement4 ,ainsi1 par exemple1 dans le cas de la chute oblique des corps pesans la surface de la terre1 on connat les deux mouvemens simples que prendrait le corps par l'action isole de chacune des forces dont il est anim1 savoir1 la direction et la vitesse du mouvement uniforme que produirait la seule impulsion1 et la loi d'acclration du mouvement vertical vari1 qui rsulterait de la seule pesanteur2 ds-lors1 on se propose de dcouvrir les diverses circonstances du mouvement compos produit par l'action combine de ces deux forces1 c'est--dire de dterminer la trajectoire que dcrira le mobile1 sa direction et sa vitesse acquise chaque instant1 le temps qu'il emploiera parvenir une certaine position1 etc42 on pourra1 pour plus de gnralit1 joindre aux deux forces donnes la rsistance du milieu ambiant1 pourvu que la loi en soit galement connue4 ,la mcanique cleste prsente un exemple capital de la question inverse1 dans la dtermination des forces qui produisent le mouvement des plantes autour du soleil1 ou des satellites autour des plantes4 ,on ne peut alors connatre immdiatement que le mouvement compos1 et c'est d'aprs les circonstances caractristiques de ce mouvement1 telles que les lois de ,kpler les ont rsumes1 qu'il faut remonter aux forces lmentaires dont les astres doivent tre conus anims pour correspondre aux mouvemens effectifs2 ces forces une fois connues1 les gomtres peuvent utilement reprendre la question sous le point de vue oppos1 qu'il et t impossible de suivre primitivement4 ,la vritable destination gnrale de la mcanique rationnelle tant ainsi nettement conue1 considrons maintenant les principes fondamentaux sur lesquels elle repose1 et d'abord examinons un artifice philosophique de la plus haute importance relativement la manire dont les corps doivent tre envisags en mcanique4 ,cette conception mrite d'autant plus notre attention qu'elle est encore habituellement entoure d'un pais nuage mtaphysique1 qui en fait mconnatre la vraie nature4 ,il serait entirement impossible d'tablir aucune proposition gnrale sur les lois abstraites de l'quilibre ou du mouvement1 si on ne commenait par regarder les corps comme absolument inertes1 c'est--dire comme tout--fait incapables de modifier spontanment l'action des forces qui leur sont appliques4 ,mais la manire dont cette conception fondamentale est ordinairement prsente me semble radicalement vicieuse4 ,d'abord cette notion abstraite1 qui n'est qu'un simple artifice logique imagin par l'esprit humain pour faciliter la formation de la mcanique rationnelle1 ou plutt pour la rendre possible1 est souvent confondue avec ce qu'on appelle fort improprement la loi d'inertie1 qui doit tre regarde1 ainsi que nous le verrons plus bas1 comme un rsultat gnral de l'observation4 ,en second lieu1 le caractre de cette ide est d'ordinaire tellement indcis1 qu'on ne sait point exactement si cet tat passif des corps est purement hypothtique1 ou s'il reprsente la ralit des phnomnes naturels4 ,enfin1 il rsulte frquemment de cette indtermination1 que l'esprit est involontairement port regarder les lois gnrales de la mcanique rationnelle comme tant par elles-mmes exclusivement applicables ce que nous appelons les corps bruts1 tandis qu'elles se vrifient ncessairement1 au contraire1 tout aussi bien dans les corps organiss1 quoique leur application prcise y rencontre de bien plus grandes difficults4 ,il importe beaucoup de rectifier sous ces divers rapports les notions habituelles4 ,nous devons nettement reconnatre avant tout que cet tat passif des corps est une pure abstraction1 directement contraire leur vritable constitution4 ,dans la manire de philosopher primitivement employe par l'esprit humain1 on concevait1 en effet1 la matire comme tant rellement par sa nature essentiellement inerte ou passive1 toute activit lui venant ncessairement du dehors1 sous l'influence de certains tres surnaturels ou de certaines entits mtaphysiques4 ,mais depuis que la philosophie positive a commenc prvaloir1 et que l'esprit humain s'est born tudier le vritable tat des choses1 sans s'enqurir des causes premires et gnratrices1 il est devenu vident pour tout observateur que les divers corps naturels nous manifestent tous une activit spontane plus ou moins tendue4 ,il n'y a sous ce rapport1 entre les corps bruts et ceux que nous nommons par excellence anims1 que de simples diffrences de degrs4 ,d'abord1 les progrs de la philosophie naturelle ont pleinement dmontr1 comme nous le constaterons spcialement plus tard1 qu'il n'existe point de matire vivante proprement dite sui generis1 puisqu'on retrouve dans les corps anims des lmens exactement identiques ceux que prsentent les corps inanims4 ,de plus1 il est ais de reconnatre dans ces derniers une activit spontane exactement analogue celle des corps vivans1 mais seulement moins varie4 ,n'y et-il dans toutes les molcules matrielles d'autre proprit que la pesanteur1 cela suffirait pour interdire tout physicien de les regarder comme essentiellement passives4 ,ce serait vainement qu'on voudrait prsenter les corps sous un point de vue entirement inerte dans l'acte de la pesanteur1 en disant qu'ils ne font alors qu'obir l'attraction du globe terrestre4 ,cette considration ft-elle exacte1 on n'aurait fait videmment que dplacer la difficult1 en transportant la masse totale de la terre l'activit refuse aux molcules isoles4 ,mais1 de plus1 on voit clairement que1 dans sa chute vers le centre de notre globe1 un corps pesant est tout aussi actif que la terre elle-mme1 puisqu'il est prouv que chaque molcule de ce corps attire une partie quivalente de la terre tout autant qu'elle en est attire1 quoique cette dernire attraction produise seule un effet sensible1 raison de l'immense ingalit des deux masses4 ,enfin1 dans une foule d'autres phnomnes galement universels1 thermologiques1 lectriques1 ou chimiques1 la matire nous prsente videmment une activit spontane trs-varie1 dont nous ne saurions plus la concevoir entirement prive4 ,les corps vivans ne nous offrent rellement cet gard d'autre caractre particulier que de manifester1 outre tous ces divers genres d'activit1 quelques-uns qui leur sont propres1 et que les physiologistes tendent d'ailleurs de plus en plus envisager comme une simple modification des prcdens4 ,quoi qu'il en soit1 il est incontestable que l'tat purement passif1 dans lequel les corps sont considrs en mcanique rationnelle1 prsente1 sous le point de vue physique1 une vritable absurdit4 ,examinons maintenant comment il est possible qu'une telle supposition soit employe sans aucun inconvnient dans l'tablissement des lois abstraites de l'quilibre et du mouvement1 qui n'en seront pas moins susceptibles ensuite d'tre convenablement appliques aux corps rels4 ,il suffit1 pour cela1 d'avoir gard l'importante remarque prliminaire rappele ci-dessus1 que les mouvemens sont simplement considrs en eux-mmes dans la mcanique rationnelle1 sans aucun gard au mode quelconque de leur production4 ,de l rsulte videmment1 pour me conformer au langage adopt1 la facult de remplacer volont toute force par une autre d'une nature quelconque1 pourvu qu'elle soit capable d'imprimer au corps exactement le mme mouvement4 ,d'aprs cette considration vidente1 on conoit qu'il est possible de faire abstraction des diverses forces qui sont rellement inhrentes aux corps1 et de regarder ceux-ci comme seulement sollicits par des forces extrieures1 puisqu'on pourra substituer ces forces intrieures des forces extrieures mcaniquement quivalentes4 ,ainsi1 par exemple1 quoique tout corps soit ncessairement pesant1 et que nous ne puissions mme concevoir rellement un corps qui ne le serait pas1 les gomtres considrent1 dans la mcanique abstraite1 les corps comme tant d'abord entirement dpouills de cette proprit1 qui est implicitement comprise au nombre des forces extrieures1 si l'on a envisag1 comme il convient1 un systme de forces tout--fait quelconque4 ,que le corps1 dans sa chute1 soit m par une attraction interne1 ou qu'il obisse une simple impulsion extrieure1 cela est indiffrent pour la mcanique rationnelle1 si le mouvement effectif se trouve tre exactement identique1 et l'on pourra par consquent adopter de prfrence la dernire conception4 ,il en est ncessairement ainsi relativement toute autre proprit naturelle1 qu'il sera toujours possible de remplacer par la supposition d'une action externe1 construite de manire produire le mme mouvement1 ce qui permettra de se reprsenter le corps comme purement passif2 seulement1 mesure que l'observation ou l'exprience feront connatre avec plus de prcision les lois de ces forces intrieures1 il faudra toujours modifier en consquence le systme des forces extrieures qu'on leur substitue hypothtiquement1 ce qui conduira souvent une trs-grande complication4 ,ainsi1 par exemple1 l'observation ayant appris que le mouvement vertical d'un corps en vertu de sa pesanteur n'est point uniforme1 mais continuellement acclr1 on ne pourra point l'assimiler celui qu'imprimerait au corps une impulsion unique dont l'action ne se renouvellerait plus1 puisqu'il en rsulterait videmment une vitesse constante3 on sera donc oblig de concevoir le corps comme ayant reu successivement1 des intervalles de temps infiniment petits1 une srie infinie de chocs infiniment petits1 tels que1 la vitesse produite par chacun s'ajoutant d'une manire continue celle qui rsulte de l'ensemble des prcdens1 le mouvement effectif soit indfiniment vari2 et si l'exprience prouve que l'acclration du mouvement est uniforme1 on supposera tous ces chocs successifs constamment gaux entre eux3 dans tout autre cas1 il faudra leur supposer1 soit pour la direction1 soit pour l'intensit1 une relation exactement conforme la loi relle de la variation du mouvement2 mais1 ces conditions1 il est clair que la substitution sera toujours possible4 ,il serait inutile d'insister beaucoup pour faire sentir l'indispensable ncessit de supposer les corps dans cet tat compltement passif1 o l'on n'a plus considrer que les forces extrieures qui leur sont appliques1 afin d'tablir les lois abstraites de l'quilibre et du mouvement4 ,on conoit que s'il fallait d'abord tenir compte de la modification quelconque que le corps peut imprimer1 en vertu de ses forces naturelles1 l'action de chacune de ces puissances extrieures1 on ne pourrait tablir1 en mcanique rationnelle1 la moindre proposition gnrale1 d'autant plus que cette modification est loin1 dans la plupart des cas1 d'tre exactement connue4 ,ce n'est donc qu'en commenant par en faire totalement abstraction1 pour ne penser qu' la raction des forces les unes sur les autres1 qu'il devient possible de fonder une mcanique abstraite1 de laquelle on passera ensuite la mcanique concrte1 en restituant aux corps leurs proprits actives naturelles1 primitivement cartes4 ,cette restitution constitue1 en effet1 la principale difficult qu'on prouve pour oprer la transition de l'abstrait au concret en mcanique1 difficult qui limite singulirement dans la ralit les applications importantes de cette science1 dont le domaine thorique est1 en lui-mme1 ncessairement indfini4 ,afin de donner une ide de la porte de cet obstacle fondamental1 on peut dire que1 dans l'tat actuel de la science mathmatique1 il n'y a vraiment qu'une seule proprit naturelle et gnrale des corps dont nous sachions tenir compte d'une manire convenable1 c'est la pesanteur1 soit terrestre1 soit universelle2 et encore faut-il supposer1 dans ce dernier cas1 que la forme des corps est suffisamment simple4 ,mais si cette proprit se complique de quelques autres circonstances physiques1 comme la rsistance des milieux1 les frottemens1 etc41 si mme les corps sont seulement supposs l'tat fluide1 ce n'est encore que fort imparfaitement qu'on est parvenu jusqu'ici en apprcier l'influence dans les phnomnes mcaniques4 ,a plus forte raison nous est-il impossible de prendre en considration les proprits lectriques ou chimiques1 et1 bien moins encore1 les proprits physiologiques4 ,aussi les grandes applications de la mcanique rationnelle sont-elles rellement bornes jusqu'ici aux seuls phnomnes clestes1 et mme ceux de notre systme solaire1 o il suffit d'avoir uniquement gard une gravitation gnrale1 dont la loi est simple et bien dtermine1 et qui prsente nanmoins des difficults qu'on ne sait point encore surmonter compltement1 lorsqu'on veut tenir un compte exact de toutes les actions secondaires susceptibles d'effets apprciables4 ,on conoit par l quel degr les questions doivent se compliquer quand on passe la mcanique terrestre1 dont la plupart des phnomnes1 mme les plus simples1 ne comporteront probablement jamais1 vu la faiblesse de nos moyens rels1 une tude purement rationnelle et pourtant exacte d'aprs les lois gnrales de la mcanique abstraite1 quoique la connaissance de ces lois1 d'ailleurs videmment indispensable1 puisse souvent conduire des indications importantes4 ,aprs avoir expliqu la vritable nature de la conception fondamentale relative l'tat dans lequel les corps doivent tre supposs en mcanique rationnelle1 il nous reste considrer les faits gnraux ou les lois physiques du mouvement qui peuvent fournir une base relle aux thories dont la science se compose4 ,cette importante exposition est d'autant plus indispensable1 que1 comme je l'ai indiqu ci-dessus1 depuis qu'on s'est cart de la route suivie par ,newton1 on a compltement mconnu le vrai caractre de ces lois1 dont la notion ordinaire est encore essentiellement mtaphysique4 ,les lois fondamentales du mouvement me semblent pouvoir tre rduites trois1 qui doivent tre envisages comme de simples rsultats de l'observation1 dont il est absurde de vouloir tablir priori la ralit1 bien qu'on l'ait tent frquemment4 ,la premire loi est celle qu'on dsigne fort mal propos sous le nom de loi d'inertie4 ,elle a t dcouverte par ,kpler4 ,elle consiste proprement en ce que tout mouvement est naturellement rectiligne et uniforme1 c'est--dire que tout corps soumis l'action d'une force unique quelconque1 qui agit sur lui instantanment1 se meut constamment en ligne droite et avec une vitesse invariable4 ,l'influence de l'esprit mtaphysique se manifeste particulirement dans la manire dont cette loi est communment prsente4 ,au lieu de se borner la regarder comme un fait observ1 on a prtendu la dmontrer abstraitement1 par une application du principe de la raison suffisante1 qui n'a pas la moindre solidit4 ,en effet1 pour expliquer1 par exemple1 la ncessit du mouvement rectiligne1 on dit que le corps devait suivre la ligne droite1 parce qu'il n'y a pas de raison pour qu'il s'carte d'un ct plutt que d'un autre de sa direction primitive4 ,il est ais de constater l'invalidit radicale et mme l'insignifiance complte d'une telle argumentation4 ,d'abord1 comment pourrions-nous tre assurs qu'il n'y a pas de raison pour que le corps se dvie8 que pouvons-nous savoir cet gard1 autrement que par l'exprience8 ,les considrations priori fondes sur la nature des choses ne nous sont-elles pas compltement et ncessairement interdites en philosophie positive8 ,d'ailleurs un tel principe1 mme quand on l'admettrait1 ne comporte par lui-mme qu'une application vague et arbitraire4 ,car1 l'origine du mouvement1 c'est--dire l'instant mme o l'argument devrait tre employ1 il est clair que la trajectoire du corps n'a point encore de caractre gomtrique dtermin1 et que c'est seulement aprs que le corps a parcouru un certain espace qu'on peut constater quelle ligne il dcrit4 ,il est vident1 par la gomtrie1 que le mouvement initial1 au lieu d'tre regard comme rectiligne1 pourrait tre indiffremment suppos circulaire1 parabolique1 ou suivant toute autre ligne tangente la trajectoire effective1 en sorte que la mme argumentation rpte pour chacune de ces lignes1 ce qui serait tout aussi lgitime1 conduirait une conclusion absolument indtermine4 ,pour peu qu'on rflchisse sur un tel raisonnement1 on ne tardera pas reconnatre que1 comme toutes les prtendues explications mtaphysiques1 il se rduit rellement rpter en termes abstraits le fait lui-mme1 et dire que les corps ont une tendance naturelle se mouvoir en ligne droite1 ce qui tait prcisment la proposition tablir4 ,l'insignifiance de ces considrations vagues et arbitraires finira par devenir palpable si l'on remarque que1 par suite de semblables argumens1 les philosophes de l'antiquit1 et particulirement ,aristote1 avaient1 au contraire1 regard le mouvement circulaire comme naturel aux astres1 en ce qu'il est le plus parfait de tous1 conception qui n'est galement que l'nonciation abstraite d'un phnomne mal analys4 ,je me suis born indiquer la critique des raisonnemens ordinaires relativement la premire partie de la loi d'inertie4 ,on peut faire des remarques parfaitement analogues au sujet de la seconde partie1 qui concerne l'invariabilit de la vitesse1 et qu'on prtend aussi pouvoir dmontrer abstraitement1 en se bornant dire qu'il n'y a pas de raison pour que le corps se meuve jamais plus lentement ou plus rapidement qu' l'origine du mouvement4 ,ce n'est donc point sur de telles considrations qu'on peut solidement tablir une loi aussi importante1 qui est un des fondemens ncessaires de toute la mcanique rationnelle4 ,elle ne saurait avoir de ralit qu'autant qu'on la conoit comme base sur l'observation4 ,mais1 sous ce point de vue1 l'exactitude en est vidente d'aprs les faits les plus communs4 ,nous avons continuellement occasion de reconnatre qu'un corps anim d'une force unique se meut constamment en ligne droite2 et1 s'il se dvie1 nous pouvons aisment constater que cette modification tient l'action simultane de quelque autre force1 active ou passive3 enfin les mouvemens curvilignes eux-mmes nous montrent clairement1 par les phnomnes varis dus ce qu'on appelle la force centrifuge1 que les corps conservent constamment leur tendance naturelle se mouvoir en ligne droite4 ,il n'y a pour ainsi dire aucun phnomne dans la nature qui ne puisse nous fournir une vrification sensible de cette loi1 sur laquelle est en partie fonde toute l'conomie de l'univers4 ,il en est de mme relativement l'uniformit du mouvement4 ,tous les faits nous prouvent que1 si le mouvement primitivement imprim se ralentit toujours graduellement et finit par s'teindre entirement1 cela provient des rsistances que les corps rencontrent sans cesse1 et sans lesquelles l'exprience nous porte penser que la vitesse demeurerait indfiniment constante1 puisque nous voyons augmenter sensiblement la dure de ce mouvement mesure que nous diminuons l'intensit de ces obstacles4 ,on sait que le simple mouvement d'un pendule cart de la verticale1 qui1 dans les circonstances ordinaires1 se maintient peine pendant quelques minutes1 a pu se prolonger jusqu' plus de trente heures1 en diminuant autant que possible le frottement au point de la suspension1 et faisant osciller le corps dans un vide trs-approch1 lors des expriences de ,borda l',observatoire de ,paris pour dterminer la longueur du pendule secondes par rapport au mtre4 ,les gomtres citent aussi avec beaucoup de raison1 comme une preuve manifeste de la tendance naturelle des corps conserver indfiniment leur vitesse acquise1 l'invariabilit rigoureuse qu'on remarque si clairement dans les mouvemens clestes1 qui1 s'excutant dans un milieu d'une raret extrme1 se trouvent dans les circonstances les plus favorables une parfaite observation de la loi d'inertie1 et qui1 en effet1 depuis vingt sicles qu'on les tudie avec quelque exactitude1 ne nous prsentent point encore la moindre altration certaine1 quant la dure des rotations1 ou celle des rvolutions1 quoique la suite des temps et le perfectionnement de nos moyens d'apprciation doivent probablement nous dvoiler un jour quelques variations encore inconnues4 ,nous devons donc regarder comme une grande loi de la nature cette tendance spontane de tous les corps se mouvoir en ligne droite et avec une vitesse constante4 ,vu la confusion extrme des ides communes relativement ce premier principe fondamental1 il peut tre utile de remarquer expressment ici que cette loi naturelle est tout aussi applicable aux corps vivans qu'aux corps inertes pour lesquels on la croit souvent exclusivement tablie4 ,quelle que soit l'origine de l'impulsion qu'il a reue1 un corps vivant tend persister1 comme un corps inerte1 dans la direction de son mouvement1 et conserver sa vitesse acquise3 seulement il peut se dvelopper en lui des forces susceptibles de modifier ou de supprimer ce mouvement1 tandis que1 pour les autres corps1 ces modifications sont exclusivement dues des agens extrieurs4 ,mais1 dans ce cas mme1 nous pouvons acqurir une preuve directe et personnelle de l'universalit de la loi d'inertie1 en considrant l'effort trs-sensible que nous sommes obligs de faire pour changer la direction ou la vitesse de notre mouvement effectif1 tel point1 que lorsque ce mouvement est trs-rapide1 il nous est impossible de le modifier ou de le suspendre l'instant prcis o nous le dsirerions4 ,la seconde loi fondamentale du mouvement est due ,newton4 ,elle consiste dans le principe de l'galit constante et ncessaire entre l'action et la raction2 c'est--dire1 que toutes les fois qu'un corps est m par un autre d'une manire quelconque1 il exerce sur lui1 en sens inverse1 une raction telle1 que le second perd1 en raison des masses1 une quantit de mouvement exactement gale celle que le premier a reue4 ,on a essay quelquefois d'tablir aussi priori1 ce thorme gnral de philosophie naturelle1 qui n'en est pas plus susceptible que le prcdent4 ,mais il a t beaucoup moins le sujet de considrations sophistiques1 et presque tous les gomtres s'accordent maintenant le regarder d'aprs ,newton comme un simple rsultat de l'observation1 ce qui me dispense ici de toute discussion analogue celle de la loi d'inertie4 ,cette galit dans l'action rciproque des corps se manifeste dans tous les phnomnes naturels1 soit que les corps agissent les uns sur les autres par impulsion1 soit qu'ils agissent par attraction2 il serait superflu d'en citer ici des exemples4 ,nous avons mme tellement occasion de constater cette mutualit dans nos observations les plus communes1 que nous ne saurions plus concevoir un corps agissant sur un autre1 sans que celui-ci ragisse sur lui4 ,je crois devoir seulement indiquer1 ds ce moment1 au sujet de cette seconde loi du mouvement1 une remarque qui me semble importante1 et qui d'ailleurs sera convenablement dveloppe dans la dix-septime leon4 ,elle consiste en ce que le clbre principe de d',alembert1 d'aprs lequel on parvient transformer si heureusement toutes les questions de dynamique en simples questions de statique1 n'est vraiment autre chose que la gnralisation complte de la loi de ,newton1 tendue un systme quelconque de forces4 ,ce principe en effet concide videmment avec celui de l'galit entre l'action et la raction1 lorsqu'on ne considre que deux forces4 ,une telle corrlation permet de concevoir dsormais la proposition gnrale de d',alembert comme ayant une base exprimentale1 tandis qu'elle n'est communment tablie jusqu'ici que sur des considrations abstraites peu satisfaisantes4 ,la troisime loi fondamentale du mouvement me parat consister dans ce que je propose d'appeler le principe de l'indpendance ou de la coexistence des mouvemens1 qui conduit immdiatement ce qu'on appelle vulgairement la composition des forces4 ,galile est1 proprement parler1 le vritable inventeur de cette loi1 quoiqu'il ne l'ait point conue prcisment sous la forme que je crois devoir prfrer ici4 ,considre sous le point de vue le plus simple1 elle se rduit ce fait gnral1 que tout mouvement exactement commun tous les corps d'un systme quelconque n'altre point les mouvemens particuliers de ces diffrens corps les uns l'gard des autres1 mouvemens qui continuent s'excuter comme si l'ensemble du systme tait immobile4 ,pour noncer cet important principe avec une prcision rigoureuse1 qui n'exige plus aucune restriction1 il faut concevoir que tous les points du systme dcrivent la fois des droites parallles et gales1 et considrer que ce mouvement gnral1 avec quelque vitesse et dans quelque direction qu'il puisse avoir lieu1 n'affectera nullement les mouvemens relatifs4 ,ce serait vainement qu'on tenterait d'tablir par aucune ide priori cette grande loi fondamentale1 qui n'en est pas plus susceptible que les deux prcdentes4 ,on pourrait1 tout au plus1 concevoir que si les corps du systme sont entre eux l'tat de repos1 ce dplacement commun1 qui ne change videmment ni leurs distances ni leurs situations respectives1 ne saurait altrer cette immobilit relative3 encore mme1 l'ignorance absolue o nous sommes ncessairement de la nature intime des corps et des phnomnes1 ne nous permet point d'affirmer rationnellement1 avec une scurit parfaite1 que l'introduction de cette circonstance nouvelle ne modifiera pas d'une manire inconnue les conditions primitives du systme4 ,mais l'insuffisance d'une telle argumentation devient surtout sensible quand on essaie de l'appliquer au cas le plus tendu et le plus important1 celui o les diffrens corps du systme sont en mouvement les uns l'gard des autres4 ,en s'attachant faire abstraction1 aussi compltement que possible1 des observations si connues et si varies qui nous font reconnatre alors l'exactitude physique de ce principe1 il sera facile de constater qu'aucune considration rationnelle ne nous donne le droit de conclure a priori que le mouvement gnral ne fera natre aucun changement dans les mouvemens particuliers4 ,cela est tellement vrai1 que lorsque ,galile a expos pour la premire fois cette grande loi de la nature1 il s'est lev de toutes parts une foule d'objections a priori tendant prouver l'impossibilit rationnelle d'une telle proposition1 qui n'a t unanimement admise1 que lorsqu'on a abandonn le point de vue logique pour se placer au point de vue physique4 ,c'est donc seulement comme un simple rsultat gnral de l'observation et de l'exprience que cette loi peut tre en effet solidement tablie4 ,mais1 ainsi considre1 il est vident qu'aucune proposition de philosophie naturelle n'est fonde sur des observations aussi simples1 aussi diverses1 aussi multiplies1 aussi faciles vrifier4 ,il ne s'opre point dans le monde rel un seul phnomne dynamique qui n'en puisse offrir une preuve sensible2 et toute l'conomie de l'univers serait videmment bouleverse de fond en comble1 si on supposait que cette loi n'existt plus4 ,c'est ainsi1 par exemple1 que dans le mouvement gnral d'un vaisseau1 quelque rapide qu'il puisse tre et suivant quelque direction qu'il ait lieu1 les mouvemens relatifs continuent s'excuter1 sauf les altrations provenant du roulis et du tangage1 exactement comme si le vaisseau tait immobile1 en se composant avec le mouvement total pour un observateur qui n'y participerait pas4 ,de mme1 nous voyons continuellement le dplacement gnral d'un foyer chimique1 ou d'un corps vivant1 n'affecter en aucune manire les mouvemens internes qui s'y excutent4 ,c'est ainsi surtout1 pour citer l'exemple le plus important1 que le mouvement du globe terrestre ne trouble nullement les phnomnes mcaniques qui s'oprent sa surface ou dans son intrieur4 ,on sait que l'ignorance de cette troisime loi du mouvement a t prcisment le principal obstacle scientifique qui s'est oppos pendant si long-temps l'tablissement de la thorie de ,copernic1 contre laquelle une telle considration prsentait alors1 en effet1 des objections insurmontables1 dont les coperniciens n'avaient essay de se dgager que par de vaines subtilits mtaphysiques avant la dcouverte de ,galile4 ,mais1 depuis que le mouvement de la terre a t universellement reconnu1 les gomtres l'ont prsent1 avec raison1 comme offrant lui-mme une confirmation essentielle de la ralit de cette loi4 ,laplace a propos ce sujet une considration indirecte fort ingnieuse1 que je crois utile d'indiquer ici1 parce qu'elle nous montre le principe de l'indpendance des mouvemens sous la vrification d'une exprience continuelle et trs-sensible4 ,elle consiste remarquer que1 si le mouvement gnral de la terre pouvait altrer en aucune manire les mouvemens particuliers qui s'excutent sa surface1 cette altration ne saurait videmment tre la mme pour tous ces mouvemens quelle que ft leur direction1 et qu'ils en seraient ncessairement diversement affects suivant l'angle plus ou moins grand que ferait cette direction avec celle du mouvement du globe4 ,ainsi1 par exemple1 le mouvement oscillatoire d'un pendule devrait alors nous prsenter des diffrences trs-considrables selon l'azimuth du plan vertical dans lequel il s'excute1 et qui lui donne une direction tantt conforme1 tantt contraire1 et fort ingalement contraire1 celle du mouvement de la terre2 tandis que l'exprience ne nous manifeste jamais1 cet gard1 la moindre variation1 mme en mesurant le phnomne avec l'extrme prcision que comporte1 sous ce rapport1 l'tat actuel de nos moyens d'observation4 ,afin de prvenir toute interprtation inexacte et toute application vicieuse de la troisime loi du mouvement1 il importe de remarquer que1 par sa nature1 elle n'est relative qu'aux mouvemens de translation1 et qu'on ne doit jamais l'tendre aucun mouvement de rotation4 ,les mouvemens de translation sont videmment1 en effet1 les seuls qui puissent tre rigoureusement communs1 pour le degr aussi bien que pour la direction1 toutes les diverses parties d'un systme quelconque4 ,cette exacte parit ne saurait jamais avoir lieu quand il s'agit d'un mouvement de rotation1 qui prsente toujours ncessairement des ingalits entre les diverses parties du systme1 suivant qu'elles sont plus ou moins loignes du centre de la rotation4 ,c'est pourquoi tout mouvement de ce genre tend constamment altrer l'tat du systme1 et l'altre en effet si les conditions de liaison entre les diverses parties ne constituent pas une rsistance suffisante4 ,ainsi1 par exemple1 dans le cas d'un vaisseau1 ce n'est pas le mouvement gnral de progression qui peut troubler les mouvemens particuliers2 le drangement n'est d qu'aux effets secondaires du roulis et du tangage1 qui sont des mouvemens de rotation4 ,qu'une montre soit simplement transporte dans une direction quelconque avec autant de rapidit qu'on voudra1 mais sans tourner nullement1 elle n'en sera jamais affecte2 tandis qu'un mdiocre mouvement de rotation suffira seul pour dranger promptement sa marche4 ,la diffrence entre ces deux effets deviendrait surtout sensible1 en rptant l'exprience sur un corps vivant4 ,enfin1 c'est par suite d'une telle distinction1 que nous ne saurions avoir aucun moyen de constater1 par des phnomnes purement terrestres1 la ralit du mouvement de translation de la terre1 qui n'a pu tre dcouvert que par des observations clestes2 tandis que1 relativement son mouvement de rotation1 il dtermine ncessairement la surface de la terre1 vu l'ingalit de force centrifuge entre les diffrens points du globe1 des phnomnes trs-sensibles1 quoique peu considrables1 dont l'analyse pourrait suffire pour dmontrer1 indpendamment de toute considration astronomique1 l'existence de cette rotation4 ,le principe de l'indpendance ou de la coexistence des mouvemens tant une fois tabli1 il est facile de concevoir qu'il conduit immdiatement la rgle lmentaire ordinairement usite pour ce qu'on appelle la composition des forces1 qui n'est vraiment autre chose qu'une nouvelle manire de considrer et d'noncer la troisime loi du mouvement4 ,en effet1 la proposition du paralllogramme des forces1 envisage sous le point de vue le plus positif1 consiste proprement en ce que1 lorsqu'un corps est anim la fois de deux mouvemens uniformes dans des directions quelconques1 il dcrit1 en vertu de leur combinaison1 la diagonale du paralllogramme dont il et dans le mme temps dcrit sparment les cts en vertu de chaque mouvement isol4 ,or n'est-ce pas l videmment une simple application directe du principe de l'indpendance des mouvemens1 d'aprs lequel le mouvement particulier du corps le long d'une certaine droite n'est nullement troubl par le mouvement gnral qui entrane paralllement elle-mme la totalit de cette droite le long d'une autre droite quelconque8 ,cette considration conduit sur-le-champ la construction gomtrique nonce par la rgle du paralllogramme des forces4 ,c'est ainsi que ce thorme fondamental de la mcanique rationnelle me parat tre prsent directement comme une loi naturelle1 ou du moins comme une application immdiate d'une des plus grandes lois de la nature4 ,telle est1 mon gr1 la seule manire vraiment philosophique d'tablir solidement cette importante proposition1 pour carter dfinitivement tous les nuages mtaphysiques dont elle est encore environne et la mettre compltement l'abri de toute objection relle4 ,toutes les prtendues dmonstrations analytiques qu'on a successivement essay d'en donner d'aprs des considrations purement abstraites1 outre qu'elles reposent ordinairement sur une interprtation vicieuse et sur une fausse application du principe analytique de l'homognit1 supposent d'ailleurs que la proposition est vidente par elle-mme dans certains cas particuliers1 quand les deux forces1 par exemple1 agissent suivant une mme droite1 vidence qui ne peut rsulter alors que de l'observation effective de la loi naturelle de l'indpendance des mouvemens1 dont l'indispensabilit se trouve ainsi irrcusablement manifeste4 ,il serait trange1 en effet1 pour quiconque envisage directement la question sous un point de vue philosophique1 que1 par de simples combinaisons logiques1 l'esprit humain pt ainsi dcouvrir une loi relle de la nature1 sans consulter aucunement le monde extrieur4 ,cette notion tant de la plus haute importance quant la manire de concevoir la mcanique rationnelle1 et s'cartant beaucoup de la marche habituellement adopte aujourd'hui1 je crois devoir la prsenter encore sous un dernier point de vue qui achvera de l'claircir1 en montrant que1 malgr tous les efforts des gomtres pour luder cet gard l'emploi des considrations exprimentales1 la loi physique de l'indpendance des mouvemens reste implicitement1 mme de leur aveu unanime1 une des bases essentielles de la mcanique1 quoique prsente sous une forme diffrente et une autre poque de l'exposition4 ,il suffit1 pour cela1 de reconnatre que cette loi1 au lieu d'tre expose directement dans l'tude des prolgomnes de la science1 se retrouve plus tard admise par tous les gomtres1 comme tablissant le principe de la proportionnalit des vitesses aux forces1 base ncessaire de la dynamique ordinaire4 ,afin de saisir convenablement le vrai caractre de cette question1 il faut remarquer que les rapports des forces peuvent tre dtermins de deux manires diffrentes1 soit par le procd statique1 soit par le procd dynamique4 ,en effet1 nous ne jugeons pas toujours du rapport de deux forces d'aprs l'intensit plus ou moins grande des mouvemens qu'elles peuvent imprimer un mme corps4 ,nous l'apprcions frquemment aussi d'aprs de simples considrations d'quilibre mutuel1 en regardant comme gales les forces qui1 appliques en sens contraire1 suivant une mme droite1 se dtruisent rciproquement1 et ensuite comme double1 triple1 etc4 d'une autre1 la force qui ferait quilibre deux1 trois1 etc41 forces gales celle-ci1 et toutes directement opposes la seconde4 ,ce nouveau moyen de mesure est1 en ralit1 tout aussi usit que le prcdent4 ,cela pos1 la question consiste essentiellement savoir si les deux moyens sont toujours et ncessairement quivalens1 c'est--dire si1 les rapports des forces tant d'abord seulement dfinis par la considration statique1 il s'ensuivra1 sous le point de vue dynamique1 qu'elles imprimeront une mme masse des vitesses qui leur soient exactement proportionnelles4 ,cette corrlation n'est nullement vidente par elle-mme2 tout au plus peut-on concevoir priori que les plus grandes forces doivent ncessairement donner les plus grandes vitesses4 ,mais l'observation seule peut dcider si c'est la premire puissance de la force ou toute autre fonction croissante que la vitesse est proportionnelle4 ,c'est pour dterminer quelle est1 cet gard1 la vritable loi de la nature1 que1 de l'aveu de tous les gomtres et particulirement de ,laplace1 il faut considrer le fait gnral de l'indpendance ou de la coexistence des mouvemens4 ,il est facile de voir1 d'aprs le raisonnement de ,laplace1 que la thorie de la proportionnalit des vitesses aux forces est une consquence ncessaire et immdiate de ce fait gnral1 appliqu deux forces qui agissent dans la mme direction4 ,car1 si un corps1 en vertu d'une certaine force1 a parcouru un espace dtermin suivant une certaine droite1 et qu'on vienne ajouter1 selon la mme direction1 une seconde force gale la premire2 d'aprs la loi de l'indpendance des mouvemens1 cette nouvelle force ne fera que dplacer la totalit de la droite d'application d'une gale quantit dans le mme temps1 sans altrer le mouvement du corps le long de cette droite1 en sorte que par la composition des deux mouvemens1 ce corps aura effectivement parcouru un espace double de celui qui correspondait la force primitive4 ,telle est la seule manire dont on puisse rellement constater la proportionnalit gnrale des vitesses aux forces1 que je dois ainsi me dispenser de regarder comme une quatrime loi fondamentale du mouvement1 puisqu'elle rentre dans la troisime4 ,il est donc vident que1 quand on a cru pouvoir se dispenser en mcanique du fait gnral de l'indpendance des mouvemens pour tablir la loi fondamentale de la composition des forces1 la ncessit de regarder cette proposition de philosophie naturelle comme une des bases indispensables de la science s'est reproduite invitablement pour dmontrer la loi non moins importante des forces proportionnelles aux vitesses1 ce qui met cette ncessit hors de toute contestation4 ,ainsi quel a t le rsultat rel de tous les efforts intellectuels qui ont t tents pour viter d'introduire directement1 dans les prolgomnes de la mcanique1 cette observation fondamentale8 seulement de paratre s'en dispenser en statique1 et de ne la prendre videmment en considration qu'aussitt qu'on passe la dynamique4 ,tout se rduit donc effectivement une simple transposition4 ,il est clair qu'un rsultat aussi peu important n'est nullement proportionn la complication des procds indirects qui ont t employs pour y parvenir1 quand mme ces procds seraient logiquement irrprochables1 et nous avons expressment reconnu le contraire4 ,il est donc1 sous tous les rapports1 beaucoup plus satisfaisant de se conformer franchement et directement la ncessit philosophique de la science1 et1 puisqu'elle ne saurait se passer d'une base exprimentale1 de reconnatre nettement cette base ds l'origine4 ,aucune autre marche ne peut rendre compltement positive une science qui1 sans de tels fondemens1 conserverait encore un certain caractre mtaphysique4 ,telles sont donc les trois lois physiques du mouvement qui fournissent la mcanique rationnelle une base exprimentale suffisante1 sur laquelle l'esprit humain1 par de simples oprations logiques1 et sans consulter davantage le monde extrieur1 peut solidement tablir l'difice systmatique de la science4 ,quoique ces trois lois me semblent pouvoir suffire1 je ne vois priori aucune raison de n'en point augmenter le nombre1 si on parvenait effectivement constater qu'elles ne sont pas strictement compltes4 ,cette augmentation me paratrait un fort lger inconvnient pour la perfection rationnelle de la science1 puisque ces lois ne sauraient jamais videmment tre trs-multiplies2 je regarderais comme prfrable1 en thse gnrale1 d'en tablir une ou deux de plus1 si1 pour l'viter1 il fallait recourir des considrations trop dtournes1 qui fussent de nature altrer le caractre positif de la science4 ,mais l'ensemble des trois lois ci-dessus exposes remplit convenablement1 mes yeux1 toutes les conditions essentielles rellement imposes par la nature des thories de la mcanique rationnelle4 ,en effet1 la premire1 celle de ,kpler1 dtermine compltement l'effet produit par une force unique agissant instantanment3 la seconde1 celle de ,newton1 tablit la rgle fondamentale pour la communication du mouvement par l'action des corps les uns sur les autres2 enfin la troisime1 celle de ,galile1 conduit immdiatement au thorme gnral relatif la composition des mouvemens4 ,on conoit1 d'aprs cela1 que toute la mcanique des mouvemens uniformes ou des forces instantanes peut tre entirement traite comme une consquence directe de la combinaison de ces trois lois1 qui1 tant de leur nature extrmement prcises1 sont videmment susceptibles d'tre aussitt exprimes par des quations analytiques faciles obtenir4 ,quant la partie la plus tendue et la plus importante de la mcanique1 celle qui en constitue essentiellement la difficult1 c'est--dire la mcanique des mouvemens varis ou des forces continues1 on peut concevoir1 d'une manire gnrale1 la possibilit de la ramener la mcanique lmentaire dont nous venons d'indiquer le caractre1 par l'application de la mthode infinitsimale1 qui permettra de substituer1 pour chaque instant infiniment petit1 un mouvement uniforme au mouvement vari1 d'o rsulteront immdiatement les quations diffrentielles relatives cette dernire espce de mouvemens4 ,il sera sans doute fort important d'tablir directement et avec prcision1 dans les leons suivantes1 la manire gnrale d'employer une telle mthode pour rsoudre les deux problmes essentiels de la mcanique rationnelle1 et de considrer soigneusement les principaux rsultats que les gomtres ont ainsi obtenus relativement aux lois abstraites de l'quilibre et du mouvement4 ,mais il est1 ds ce moment1 vident que la science se trouve rellement fonde par l'ensemble des trois lois physiques tablies ci-dessus1 et que tout le travail devient dsormais purement rationnel1 devant consister seulement dans l'usage faire de ces lois pour la solution des diffrentes questions gnrales4 ,en un mot1 la sparation entre la partie ncessairement physique et la partie simplement logique de la science me semble pouvoir tre ainsi nettement effectue d'une manire exacte et dfinitive4 ,pour terminer cet aperu gnral du caractre philosophique de la mcanique rationnelle1 il ne nous reste plus maintenant qu' considrer sommairement les divisions principales de cette science1 les divisions secondaires devant tre envisages dans les leons suivantes4 ,la premire et la plus importante division naturelle de la mcanique consiste distinguer deux ordres de questions1 suivant qu'on se propose la recherche des conditions de l'quilibre1 ou l'tude des lois du mouvement1 d'o la statique1 et la dynamique4 ,il suffit d'indiquer une telle division1 pour en faire comprendre directement la ncessit gnrale4 ,outre la diffrence effective qui existe videmment entre ces deux classes fondamentales de problmes1 il est ais de concevoir priori que les questions de statique doivent tre1 en gnral1 par leur nature1 bien plus faciles traiter que les questions de dynamique4 ,cela rsulte essentiellement de ce que1 dans les premires1 on fait1 comme on l'a dit avec raison1 abstraction du temps2 c'est--dire que1 le phnomne tudier tant ncessairement instantan1 on n'a pas besoin d'avoir gard aux variations que les forces du systme peuvent prouver dans les divers instans successifs4 ,cette considration qu'il faut1 au contraire1 introduire dans toute question de dynamique1 y constitue un lment fondamental de plus1 qui en fait la principale difficult4 ,il suit1 en thse gnrale1 de cette diffrence radicale1 que la statique tout entire1 quand on la traite comme un cas particulier de la dynamique1 correspond seulement la partie de beaucoup la plus simple de la dynamique1 celle qui concerne la thorie des mouvemens uniformes1 comme nous l'tablirons spcialement dans la leon suivante4 ,l'importance de cette division est bien clairement vrifie par l'histoire gnrale du dveloppement effectif de l'esprit humain4 ,nous voyons1 en effet1 que les anciens avaient acquis quelques connaissances fondamentales trs-essentielles relativement l'quilibre1 soit des solides1 soit des fluides1 comme on le voit surtout par les belles recherches d',archimde1 quoiqu'ils fussent encore fort loigns de possder une statique rationnelle vraiment complte4 ,au contraire1 ils ignoraient entirement la dynamique1 mme la plus lmentaire2 la premire cration de cette science toute moderne est due ,galile4 ,aprs cette division fondamentale1 la distinction la plus importante tablir en mcanique consiste sparer1 soit dans la statique1 soit dans la dynamique1 l'tude des solides et celle des fluides4 ,quelque essentielle que soit cette division1 je ne la place qu'en seconde ligne1 et subordonne la prcdente1 suivant la mthode tablie par ,lagrange1 car c'est1 ce me semble1 s'exagrer son influence que de la constituer division principale1 comme on le fait encore dans les traits ordinaires de mcanique4 ,les principes essentiels de statique ou de dynamique sont1 en effet1 ncessairement les mmes pour les fluides que pour les solides2 seulement les fluides exigent d'ajouter aux conditions caractristiques du systme une considration de plus1 celle relative la variabilit de forme1 qui dfinit gnralement leur constitution mcanique propre4 ,mais1 tout en plaant cette distinction au rang convenable1 il est facile de concevoir priori son extrme importance1 et de sentir1 en gnral1 combien elle doit augmenter la difficult fondamentale des questions1 soit dans la statique1 soit surtout dans la dynamique4 ,car cette parfaite indpendance rciproque des molcules1 qui caractrise les fluides1 oblige de considrer sparment chaque molcule1 et1 par consquent1 d'envisager toujours1 mme dans le cas le plus simple1 un systme compos d'une infinit de forces distinctes4 ,il en rsulte1 pour la statique1 l'introduction d'un nouvel ordre de recherches1 relativement la figure du systme dans l'tat d'quilibre1 question trs-difficile par sa nature1 et dont la solution gnrale est encore peu avance1 mme pour le seul cas de la pesanteur universelle4 ,mais la difficult est encore plus sensible dans la dynamique4 ,en effet1 l'obligation o l'on se trouve alors strictement de considrer part le mouvement propre de chaque molcule1 pour faire une tude vraiment complte du phnomne1 introduit dans la question1 envisage sous le point de vue analytique1 une complication jusqu' prsent inextricable en gnral1 et qu'on n'est encore parvenu surmonter1 mme dans le cas trs-simple d'un fluide uniquement m par sa pesanteur terrestre1 qu' l'aide d'hypothses fort prcaires1 comme celle de ,daniel ,bernouilli sur le paralllisme des tranches1 qui altrent d'une manire notable la ralit des phnomnes4 ,on conoit donc1 en thse gnrale1 la plus grande difficult ncessaire de l'hydrostatique1 et surtout de l'hydrodynamique1 par rapport la statique et la dynamique proprement dites1 qui sont en effet bien plus avances4 ,il faut ajouter ce qui prcde1 pour se faire une juste ide gnrale de cette diffrence fondamentale1 que la dfinition caractristique par laquelle les gomtres distinguent les solides et les fluides en mcanique rationnelle1 n'est vritablement1 l'gard des uns comme l'gard des autres1 qu'une reprsentation exagre1 et1 par consquent1 strictement infidle de la ralit4 ,en effet1 quant aux fluides principalement1 il est clair que leurs molcules ne sont point rellement dans cet tat rigoureux d'indpendance mutuelle o nous sommes obligs de les supposer en mcanique1 en les assujtissant seulement conserver entre elles un volume constant s'il s'agit d'un liquide1 ou1 s'il s'agit d'un gaz1 un volume variable suivant une fonction donne de la pression1 par exemple1 en raison inverse de cette pression1 d'aprs la loi de ,mariotte4 ,un grand nombre de phnomnes naturels sont1 au contraire1 essentiellement dus l'adhrence mutuelle des molcules d'un fluide1 liaison qui est seulement beaucoup moindre que dans les solides4 ,cette adhsion1 dont on fait abstraction pour les fluides mathmatiques1 et qu'il semble1 en effet1 presqu'impossible de prendre convenablement en considration1 dtermine1 comme on sait1 des diffrences trs-sensibles entre les phnomnes effectifs et ceux qui rsultent de la thorie1 soit pour la statique1 soit surtout1 pour la dynamique1 par exemple relativement l'coulement d'un liquide pesant par un orifice dtermin1 o l'observation s'carte notablement de la thorie quant la dpense de liquide en un temps donn4 ,quoique la dfinition mathmatique des solides se trouve reprsenter beaucoup plus exactement leur tat rel1 on a cependant plusieurs occasions de reconnatre la ncessit de tenir compte en certains cas de la possibilit de sparation mutuelle qui existe toujours entre les molcules d'un solide1 si les forces qui leur sont appliques1 acquirent une intensit suffisante1 et dont on fait compltement abstraction en mcanique rationnelle4 ,c'est ce qu'on peut aisment constater surtout dans la thorie de la rupture des solides1 qui1 peine bauche par ,galile1 par ,huyghens1 et par ,lebnitz1 se trouve aujourd'hui dans un tat fort imparfait et mme trs-prcaire1 malgr les travaux de plusieurs autres gomtres1 et qui nanmoins serait importante pour clairer plusieurs questions de mcanique terrestre1 principalement de mcanique industrielle4 ,on doit pourtant remarquer1 ce sujet1 que cette imperfection est la fois beaucoup moins sensible et bien moins importante que celle ci-dessus note1 relativement la mcanique des fluides4 ,car elle se trouve ne pouvoir nullement influer sur les questions de mcanique cleste1 qui constituent rellement1 comme nous avons eu plusieurs occasions de le reconnatre1 la principale application1 et probablement la seule qui puisse tre jamais vraiment complte1 de la mcanique rationnelle4 ,enfin nous devons encore signaler1 en thse gnrale1 dans la mcanique actuelle1 une lacune1 secondaire il est vrai1 mais qui n'est pas sans importance1 relativement la thorie d'une classe de corps qui sont dans un tat intermdiaire entre la solidit et la fluidit rigoureuses1 et qu'on pourrait appeler semi-fluides1 ou semi-solides3 tels sont par exemple1 d'une part1 les sables1 et1 d'une autre part1 les fluides l'tat glatineux4 ,il a t prsent quelques considrations rationnelles au sujet de ces corps1 sous le nom fluides imparfaits1 surtout relativement leurs surfaces d'quilibre4 ,mais leur thorie propre n'a jamais t rellement tablie d'une manire gnrale et directe4 ,tels sont les principaux aperus gnraux que j'ai cru devoir indiquer sommairement pour faire apprcier le caractre philosophique qui distingue la mcanique rationnelle1 envisage dans son ensemble4 ,il s'agit maintenant1 en considrant sous le mme point de vue philosophique la composition effective de la science1 d'apprcier comment1 par les importans travaux successifs des plus grands gomtres1 cette seconde section gnrale si tendue1 si essentielle1 et si difficile de la mathmatique concrte1 a pu tre leve cet minent degr de perfection thorique qu'elle a atteint de nos jours dans l'admirable trait de ,lagrange1 et qui nous prsente toutes les questions abstraites qu'elle est susceptible d'offrir1 ramenes1 d'aprs un principe unique1 ne plus dpendre que de recherches purement analytiques1 comme nous l'avons dj reconnu pour les problmes gomtriques4 ,ce sera l'objet des trois leons suivantes2 la premire consacre la statique1 la seconde la dynamique1 et la troisime1 l'examen des thormes gnraux de la mcanique rationnelle4 ,,seizi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,vue gnrale de la statique4 ,l'ensemble de la mcanique rationnelle peut tre trait d'aprs deux mthodes gnrales essentiellement distinctes et ingalement parfaites1 suivant que la statique est conue d'une manire directe1 ou qu'elle est considre comme un cas particulier de la dynamique4 ,par la premire mthode1 on s'occupe immdiatement de dcouvrir un principe d'quilibre suffisamment gnral1 qu'on applique ensuite la dtermination des conditions d'quilibre de tous les systmes de forces possibles4 ,par la seconde1 au contraire1 on cherche d'abord quel serait le mouvement rsultant de l'action simultane des diverses forces quelconques proposes1 et on en dduit les relations qui doivent exister entre ces forces pour que ce mouvement soit nul4 ,la statique tant ncessairement d'une nature plus simple que la dynamique1 la premire mthode a pu seule tre employe l'origine de la mcanique rationnelle4 ,c'est1 en effet1 la seule qui ft connue des anciens1 entirement trangers toute ide de dynamique1 mme la plus lmentaire4 ,archimde1 vrai fondateur de la statique1 et auquel sont dues toutes les notions essentielles que l'antiquit possdait cet gard1 commence tablir la condition d'quilibre de deux poids suspendus aux deux extrmits d'un levier droit1 c'est--dire la ncessit que ces poids soient en raison inverse de leurs distances au point d'appui du levier2 et il s'efforce ensuite de ramener autant que possible ce principe unique la recherche des relations d'quilibre propres d'autres systmes de forces4 ,pareillement1 quant la statique des fluides1 il pose d'abord son clbre principe1 consistant en ce que tout corps plong dans un fluide perd une partie de son poids gale au poids du fluide dplac2 et ensuite il en dduit1 dans un grand nombre de cas1 la thorie de la stabilit des corps flottans4 ,mais le principe du levier n'avait point par lui-mme une assez grande gnralit pour qu'il ft possible de l'appliquer rellement la dtermination des conditions d'quilibre de tous les systmes de forces4 ,par quelques ingnieux artifices qu'on ait successivement essay d'en tendre l'usage1 on n'a pu effectivement y ramener que les systmes composs de forces parallles4 ,quant aux forces dont les directions concourent1 on a d'abord essay de suivre une marche analogue1 en imaginant de nouveaux principes directs d'quilibre spcialement propres ce cas plus gnral1 et parmi lesquels il faut surtout remarquer l'heureuse ide de ,stvin1 relative l'quilibre du systme de deux poids poss sur deux plans inclins adosss4 ,cette nouvelle ide-mre et peut-tre suffi strictement pour combler la lacune que laissait dans la statique le principe d',archimde1 puisque ,stvin tait parvenu en dduire les rapports d'quilibre entre trois forces appliques en un mme point1 dans le cas du moins o deux de ces forces sont angles droits2 et il avait mme remarqu que les trois forces sont alors entre elles comme les trois cts d'un triangle dont les angles seraient gaux ceux forms par ces trois forces4 ,mais1 la dynamique ayant t fonde dans le mme temps par ,galile1 les gomtres cessrent de suivre l'ancienne marche statique directe1 prfrant procder la recherche des conditions d'quilibre d'aprs les lois ds lors connues de la composition des forces4 ,c'est par cette dernire mthode que ,varignon dcouvrit la vritable thorie gnrale de l'quilibre d'un systme de forces appliques en un mme point1 et que plus tard d',alembert tablit enfin1 pour la premire fois1 les quations d'quilibre d'un systme quelconque de forces appliques aux diffrens points d'un corps solide de forme invariable4 ,cette mthode est encore aujourd'hui la plus universellement employe4 ,au premier abord1 elle semble peu rationnelle1 puisque1 la dynamique tant plus complique que la statique1 il ne parat nullement convenable de faire dpendre celle-ci de l'autre4 ,il serait1 en effet1 plus philosophique de ramener au contraire1 s'il est possible1 la dynamique la statique1 comme on y est parvenu depuis4 ,mais on doit nanmoins reconnatre que1 pour traiter compltement la statique comme un cas particulier de la dynamique1 il suffit d'avoir form seulement la partie la plus lmentaire de celle-ci1 la thorie des mouvemens uniformes1 sans avoir aucun besoin de la thorie des mouvemens varis4 ,il importe d'expliquer avec prcision cette distinction fondamentale4 ,a cet effet1 observons d'abord qu'il existe1 en gnral1 deux sortes de forces3 #a les forces que j'appelle instantanes1 comme les impulsions1 qui n'agissent sur un corps qu' l'origine du mouvement1 en l'abandonnant lui-mme aussitt qu'il est en marche2 #b les forces qu'on appelle assez improprement acclratrices1 et que je prfre nommer continues1 comme les attractions1 qui agissent sans cesse sur le mobile pendant toute la dure du mouvement4 ,cette distinction quivaut videmment celle des mouvemens uniformes et des mouvemens varis2 car il est clair1 en vertu de la premire des trois lois fondamentales du mouvement exposes dans la leon prcdente1 que toute force instantane doit ncessairement produire un mouvement uniforme1 tandis que toute force continue doit1 au contraire1 par sa nature1 imprimer au mobile un mouvement indfiniment vari4 ,cela pos1 on conoit fort aisment1 priori1 comme je l'ai dj indiqu plusieurs fois1 que la partie de la dynamique relative aux forces instantanes ou aux mouvemens uniformes doit tre1 sans aucune comparaison1 infiniment plus simple que celle qui concerne les forces continues ou les mouvemens varis1 et dans laquelle consiste essentiellement toute la difficult de la dynamique4 ,la premire partie prsente une telle facilit1 qu'elle peut tre traite dans son ensemble comme une consquence immdiate des trois lois fondamentales du mouvement1 ainsi que je l'ai expressment remarqu la fin de la leon prcdente4 ,or il est maintenant ais de concevoir1 en thse gnrale1 que c'est seulement de cette premire partie de la dynamique qu'on a besoin pour constituer la statique comme un cas particulier de la dynamique4 ,en effet1 le phnomne d'quilibre1 dont il s'agit alors de dcouvrir les lois1 est videmment1 par sa nature1 un phnomne instantan1 qui doit tre tudi sans aucun gard au temps4 ,la considration du temps ne s'introduit que dans les recherches relatives ce qu'on appelle la stabilit de l'quilibre2 mais ces recherches ne font plus1 proprement parler1 partie de la statique1 et rentrent essentiellement dans la dynamique4 ,en un mot1 suivant l'aphorisme ordinaire dj cit1 on fait toujours1 en statique1 abstraction du temps4 ,il en rsulte qu'on y peut regarder comme instantanes toutes les forces que l'on considre1 sans que les thories cessent pour cela d'avoir toute la gnralit ncessaire4 ,car1 chaque poque de son action1 une force continue peut toujours videmment tre remplace par une force instantane mcaniquement quivalente1 c'est--dire susceptible d'imprimer au mobile une vitesse gale celle que lui donne effectivement en cet instant la force propose4 ,a la vrit1 il faudra1 dans le moment infiniment petit suivant1 substituer cette force instantane une nouvelle force de mme nature1 pour reprsenter le changement effectif de la vitesse1 de telle sorte que1 en dynamique1 o l'on doit considrer l'tat du mobile dans les divers instans successifs1 on retrouvera ncessairement par la variation de ces forces instantanes la difficult fondamentale inhrente la nature des forces continues1 et qui n'aura fait que changer de forme4 ,mais1 en statique1 o il ne s'agit d'envisager les forces que dans un instant unique1 on n'aura point tenir compte de ces variations1 et les lois gnrales de l'quilibre1 ainsi tablies en considrant toutes les forces comme instantanes1 n'en seront pas moins applicables des forces continues1 pourvu qu'on ait soin1 dans cette application1 de substituer chaque force continue la force instantane qui lui correspond en ce moment4 ,on conoit donc nettement par l comment la statique abstraite peut tre traite avec facilit comme une simple application de la partie la plus lmentaire de la dynamique1 celle qui se rapporte aux mouvemens uniformes4 ,la manire la plus convenable d'effectuer cette application consiste remarquer que1 lorsque des forces quelconques sont en quilibre1 chacune d'entre elles1 considre isolment1 peut tre regarde comme dtruisant l'effet de l'ensemble de toutes les autres4 ,ainsi la recherche des conditions de l'quilibre se rduit1 en gnral1 exprimer que l'une quelconque des forces du systme1 est gale et directement oppose la rsultante de toutes les autres4 ,la difficult ne consiste donc1 dans cette mthode1 qu' dterminer cette rsultante1 c'est--dire composer entre elles les forces proposes4 ,cette composition s'effectue immdiatement pour le cas de deux forces d'aprs la troisime loi fondamentale du mouvement1 et l'on en dduit ensuite la composition d'un nombre quelconque de forces4 ,la question lmentaire prsente1 comme on sait1 deux cas essentiellement distincts1 suivant que les deux forces composer agissent dans des directions convergentes ou dans des directions parallles4 ,chacun de ces deux cas peut tre trait comme drivant de l'autre1 d'o rsulte parmi les gomtres une certaine divergence dans la manire d'tablir les lois lmentaires de la composition des forces1 suivant le cas que l'on choisit pour point de dpart4 ,mais1 sans contester la possibilit rigoureuse de procder autrement1 il me semble plus rationnel1 plus philosophique et plus strictement conforme l'esprit de cette manire de traiter la statique1 de commencer par la composition des forces qui concourent1 d'o l'on dduit naturellement celle des forces parallles comme cas particulier1 tandis que la dduction inverse ne peut se faire qu' l'aide de considrations indirectes1 qui1 quelque ingnieuses qu'elles puissent tre1 prsentent ncessairement quelque chose de forc4 ,aprs avoir tabli les lois lmentaires de la composition des forces1 les gomtres1 avant de les appliquer la recherche des conditions de l'quilibre1 leur font prouver ordinairement une importante transformation1 qui1 sans tre compltement indispensable1 prsente nanmoins1 sous le rapport analytique1 la plus haute utilit1 par l'extrme simplification qu'elle introduit dans l'expression algbrique des conditions d'quilibre4 ,cette transformation consiste dans ce qu'on appelle la thorie des momens1 dont la proprit essentielle est de rduire analytiquement toutes les lois de la composition des forces de simples additions et soustractions4 ,la dnomination de momens1 entirement dtourne aujourd'hui de sa signification premire1 ne dsigne plus maintenant que la considration abstraite du produit d'une force par une distance4 ,il faut distinguer1 comme on sait1 deux sortes de momens1 les momens par rapport un point1 qui indiquent le produit d'une force par la perpendiculaire abaisse de ce point sur sa direction1 et les momens par rapport un plan1 qui dsignent le produit de la force par la distance de son point d'application ce plan4 ,les premiers ne dpendent videmment que de la direction de la force1 et nullement de son point d'application2 ils sont spcialement appropris par leur nature la thorie des forces non parallles3 les seconds au contraire1 ne dpendent que du point d'application de la force1 et nullement de sa direction2 ils sont donc essentiellement destins la thorie des forces parallles4 ,nous aurons occasion d'indiquer plus bas par quelle heureuse ide fondamentale ,m4 ,poinsot est parvenu attribuer gnralement1 et de la manire la plus naturelle1 une signification concrte directe l'un et l'autre genre de momens1 qui n'avaient rellement avant lui qu'une valeur abstraite4 ,la notion des momens une fois tablie1 leur thorie lmentaire consiste essentiellement dans ces deux proprits gnrales trs-remarquables1 qu'on dduit aisment de la composition des forces3 #a si l'on considre un systme de forces toutes situes dans un mme plan1 et disposes d'ailleurs d'une manire quelconque1 le moment de leur rsultante1 par rapport un point quelconque de ce plan1 est gal la somme algbrique des momens de toutes les composantes par rapport ce mme point1 en attribuant ces divers momens le signe convenable1 d'aprs le sens suivant lequel chaque force tendrait faire tourner son bras de levier autour de l'origine des momens suppose fixe2 #b en considrant un systme de forces parallles disposes d'une manire quelconque dans l'espace1 le moment de leur rsultante par rapport un plan quelconque est gal la somme algbrique des momens de toutes les composantes par rapport ce mme plan1 le signe de chaque moment tant alors naturellement dtermin1 conformment aux rgles ordinaires1 d'aprs le signe propre chacun des facteurs dont il se compose4 ,le premier de ces deux thormes fondamentaux a t dcouvert par un gomtre auquel la mcanique rationnelle doit beaucoup1 et dont la mmoire a t dignement releve par ,lagrange d'un injuste oubli1 ,varignon4 ,la manire dont ,varignon tablit ce thorme dans le cas de deux composantes1 d'o rsulte immdiatement le cas gnral1 est mme spcialement remarquable4 ,en effet1 regardant le moment de chaque force par rapport un point comme videmment proportionnel l'aire du triangle qui aurait ce point pour sommet et pour base la droite qui reprsente la force1 ,varignon1 d'aprs la loi du paralllogramme des forces1 prsente d'abord le thorme des momens sous une forme gomtrique trs-simple1 en dmontrant que si1 dans le plan d'un paralllogramme1 on prend un point quelconque1 et que l'on considre les trois triangles ayant ce point pour sommet commun1 et pour bases les deux cts contigus du paralllogramme et la diagonale correspondante1 le triangle construit sur la diagonale sera constamment quivalent la somme o la diffrence des triangles construits sur les deux cts2 ce qui est en soi1 comme l'observe avec raison ,lagrange1 un beau thorme de gomtrie1 indpendamment de son utilit en mcanique4 ,a l'aide de cette thorie des momens1 on parvient exprimer aisment les relations analytiques qui doivent exister entre les forces dans l'tat d'quilibre1 en considrant d'abord1 pour plus de facilit1 les deux cas particuliers d'un systme de forces toutes situes d'une manire quelconque dans un mme plan1 et d'un systme quelconque de forces parallles4 ,chacun de ces deux systmes exige1 en gnral1 trois quations d'quilibre1 qui consistent3 #a pour le premier1 en ce que la somme algbrique des produits de chaque force1 soit par le cosinus1 soit par le sinus de l'angle qu'elle fait avec une droite fixe prise arbitrairement dans le plan soit sparment nulle1 ainsi que la somme algbrique des momens de toutes les forces par rapport un point quelconque de ce plan2 #b pour le second1 en ce que la somme algbrique de toutes les forces proposes soit nulle1 ainsi que la somme algbrique de leurs momens pris sparment par rapport deux plans diffrens parallles la direction commune de ces forces4 ,aprs avoir trait ces deux cas prliminaires1 il est facile d'en dduire celui d'un systme de forces tout--fait quelconque4 ,il suffit1 pour cela1 de concevoir chaque force du systme dcompose en deux1 l'une situe dans un plan fixe quelconque1 l'autre perpendiculaire ce plan4 ,le systme propos se trouvera ds lors remplac par l'ensemble de deux systmes secondaires plus simples1 l'un compos de forces diriges toutes dans un mme plan1 l'autre de forces toutes perpendiculaires ce plan et consquemment parallles entre elles4 ,comme ces deux systmes partiels ne sauraient videmment se faire quilibre l'un l'autre1 il faudra donc1 pour que l'quilibre puisse avoir lieu dans le systme gnral primitif1 qu'il existe dans chacun d'eux en particulier1 ce qui ramne la question aux deux questions prliminaires dj traites4 ,telle est du moins la manire la plus simple de concevoir1 en traitant la statique par la mthode dynamique1 la recherche gnrale des conditions analytiques de l'quilibre pour un systme quelconque de forces2 quoiqu'il ft d'ailleurs possible videmment1 en compliquant la solution1 de rsoudre directement le problme dans son entire gnralit1 de faon y faire rentrer au contraire1 comme une simple application1 les deux cas prliminaires4 ,quelque marche qu'on juge propos d'adopter1 on trouve pour l'quilibre d'un systme quelconque de forces1 les six quations suivantes3 _/,s,pcos_/alpha #j1_/2,s,pcos_/beta #j1_/2,s,pcos_/gamma #j1_/ _/,,sp7ycos_/alpha-xcos_/beta7 #j1_/2,,sp7zcos_/alpha-xcos_/gamma7 #j1_/ _/,,sp7ycos_/gamma-zcos_/beta7 #j2_/ en dsignant par ,p l'intensit de l'une quelconque des forces du systme1 par _/alpha1 _/beta1 _/gamma1 les angles que forme sa direction avec trois axes fixes rectangulaires choisis arbitrairement1 et par x1 y1 z1 les coordonnes de son point d'application relativement ces trois axes4 ,j'emploie ici la caractristique ,s pour dsigner la somme des produits semblables1 propres toutes les forces du systme ,p1 ,p'1 ,p''1 etc4 ,telle est1 en substance1 la manire de procder la dtermination des conditions gnrales de l'quilibre1 en concevant la statique comme un cas particulier de la dynamique lmentaire4 ,mais1 quelque simple que soit en effet cette mthode1 il serait videmment plus rationnel et plus satisfaisant de revenir1 s'il est possible1 la mthode des anciens1 en dgageant la statique de toute considration dynamique1 pour procder directement la recherche des lois de l'quilibre envisag en lui-mme1 l'aide d'un principe d'quilibre suffisamment gnral1 tabli immdiatement4 ,c'est effectivement ce que les gomtres ont tent1 quand une fois les quations gnrales de l'quilibre ont t dcouvertes par la mthode dynamique4 ,mais ils ont surtout t dtermins tablir une mthode statique directe1 par un motif philosophique d'un ordre plus lev et en mme temps plus pressant que le besoin de prsenter la statique sous un point de vue logique plus parfait4 ,c'est maintenant ce qu'il nous importe minemment d'expliquer1 puisque telle est la marche qui a conduit ,lagrange imprimer l'ensemble de la mcanique rationnelle cette haute perfection philosophique qui la caractrise dsormais4 ,ce motif fondamental rsulte de la ncessit o l'ont se trouve pour traiter1 en gnral1 les questions les plus difficiles et les plus importantes de la dynamique1 de les faire rentrer dans de simples questions de statique4 ,nous examinerons spcialement1 dans la leon suivante1 le clbre principe gnral de dynamique dcouvert par d',alembert1 et l'aide duquel toute recherche relative au mouvement d'un corps ou d'un systme quelconque1 peut tre convertie immdiatement en un problme d'quilibre4 ,ce principe1 qui1 sous le point de vue philosophique1 n'est vraiment1 comme je l'ai dj indiqu dans la leon prcdente1 que la plus grande gnralisation possible de la seconde loi fondamentale du mouvement1 sont depuis prs d'un sicle de base permanente la solution de tous les grands problmes de dynamique1 et doit videmment dsormais recevoir de plus en plus une telle destination1 vu l'admirable simplification qu'il apporte dans les recherches les plus difficiles4 ,or il est clair qu'une semblable manire de procder oblige ncessairement traiter son tour la statique par une mthode directe1 sans la dduire de la dynamique1 qui ainsi est1 au contraire1 entirement fonde sur elle4 ,ce n'est pas qu'il y ait1 proprement parler1 aucun vritable cercle vicieux persister encore dans la marche ordinaire expose ci-dessus1 puisque la partie lmentaire de la dynamique1 sur laquelle seule on a fait reposer la statique1 se trouve1 en ralit1 tre compltement distincte de celle qu'on ne peut traiter qu'en la rduisant la statique4 ,mais il n'en est pas moins vident que l'ensemble de la mcanique rationnelle ne prsente alors1 en procdant ainsi1 qu'un caractre philosophique peu satisfaisant1 cause de l'alternative frquente entre le point de vue statique et le point de vue dynamique4 ,en un mot1 la science1 mal coordonne1 se trouve1 par l1 manquer essentiellement d'unit4 ,l'adoption dfinitive et l'usage universel du principe de d',alembert rendaient donc indispensable aux progrs futurs de l'esprit humain une refonte radicale du systme entier de la mcanique rationnelle1 o1 la statique tant traite directement d'aprs une loi primitive d'quilibre suffisamment gnrale1 et la dynamique rappele la statique1 l'ensemble de la science pt acqurir un caractre d'unit dsormais irrvocable4 ,telle est la rvolution minemment philosophique excute par ,lagrange dans son admirable trait de mcanique analytique1 dont la conception fondamentale servira toujours de base tous les travaux ultrieurs des gomtres sur les lois de l'quilibre et du mouvement1 comme nous avons vu la grande ide mre de ,descartes devoir diriger indfiniment toutes les spculations gomtriques4 ,en examinant les recherches des gomtres antrieurs sur les proprits de l'quilibre1 pour y puiser un principe direct de statique qui pt offrir toute la gnralit ncessaire1 ,lagrange s'est arrt choisir le principe des vitesses virtuelles1 devenu dsormais si clbre par l'usage immense et capital qu'il en a fait4 ,ce principe1 dcouvert primitivement par ,galile dans le cas de deux forces1 comme une proprit gnrale que manifestait l'quilibre de toutes les machines1 avait t1 plus tard1 tendu par ,jean ,bernouilli un nombre quelconque de forces1 constituant un systme quelconque2 et ,varignon avait ensuite remarqu expressment l'emploi universel qu'il tait possible d'en faire en statique4 ,la combinaison de ce principe avec celui de d',alembert a conduit ,lagrange concevoir et traiter la mcanique rationnelle tout entire comme dduite d'un seul thorme fondamental1 et lui donner ainsi le plus haut degr du perfection qu'une science puisse acqurir sous le rapport philosophique1 une rigoureuse unit4 ,pour concevoir nettement avec plus de facilit le principe gnral des vitesses virtuelles1 il est encore utile de le considrer d'abord dans le simple cas de deux forces1 comme l'avait fait ,galile4 ,il consiste alors en ce que1 deux forces se faisant quilibre l'aide d'une machine quelconque1 elles sont entre elles en raison inverse des espaces que parcouraient dans le sens de leurs directions leurs points d'application1 si on supposait que le systme vnt prendre un mouvement infiniment petit3 ces espaces portent le nom de vitesses virtuelles1 afin de les distinguer des vitesses relles qui auraient effectivement lieu si l'quilibre n'existait pas4 ,dans cet tat primitif1 ce principe1 qu'on peut trs-aisment vrifier relativement toutes les machines connues1 prsente dj une grande utilit pratique1 vu l'extrme facilit avec laquelle il permet d'obtenir effectivement la condition mathmatique d'quilibre d'une machine quelconque1 dont la constitution serait mme entirement inconnue4 ,en appelant moment virtuel ou simplement moment1 suivant l'acception primitive de ce terme parmi les gomtres1 le produit de chaque force par sa vitesse virtuelle1 produit qui1 en effet1 mesure alors l'effort de la force pour mouvoir la machine1 on peut simplifier beaucoup l'nonce du principe en se bornant dire que1 dans ce cas1 les momens des deux forces doivent tre gaux et de signe contraire pour qu'il y ait quilibre2 le signe positif ou ngatif de chaque moment est dtermin d'aprs celui de la vitesse virtuelle1 qu'on estimera1 conformment l'esprit ordinaire de la thorie mathmatique des signes1 positive ou ngative selon que1 par le mouvement fictif que l'on imagine1 la projection du point d'application se trouverait tomber sur la direction mme de la force ou sur son prolongement4 ,cette expression abrge du principe des vitesses virtuelles est surtout utile pour noncer ce principe d'une manire gnrale1 relativement un systme de forces tout--fait quelconque4 ,il consiste alors en ce que la somme algbrique des momens virtuels de toutes les forces1 estims suivant la rgle prcdente1 doit tre nulle pour qu'il y ait quilibre2 et cette condition doit avoir lieu distinctement par rapport tous les mouvemens lmentaires que le systme pourrait prendre en vertu des forces dont il est anim4 ,en appelant ,p1 ,p'1 ,p''1 etc41 les forces proposes1 et1 suivant la notation ordinaire de ,lagrange1 _/delta_/rho1 _/delta_/rho'1 _/delta_/rho''1 etc41 les vitesses virtuelles correspondantes1 ce principe se trouve immdiatement exprim par l'quation _/,p_/delta_/rho ,p'_/delta_/rho' ,p''_/delta_/rho'' _/mbox_/rm etc4 #j1_/ ou1 plus brivement1 _/_/int ,p_/delta_/rho #j1_/ dans laquelle1 par les travaux de ,lagrange1 la mcanique rationnelle tout entire peut tre regarde comme implicitement renferme4 ,quant la statique1 la difficult fondamentale de dvelopper convenablement cette quation gnrale se rduira essentiellement1 lorsque toutes les forces dont il faut tenir compte seront bien connues1 une difficult purement analytique1 qui consistera rapporter1 dans chaque cas1 d'aprs les conditions de liaison caractristiques du systme considr1 toutes les variations infiniment petites _/delta p1 _/delta p'1 etc41 au plus petit nombre possible de variations rellement indpendantes1 afin d'annuler sparment les divers groupes de termes relatifs chacune de ces dernires variations1 ce qui fournit1 pour l'quilibre1 autant d'quations distinctes qu'il pourrait exister de mouvemens lmentaires vraiment diffrens par la nature du systme propos4 ,en supposant que les forces soient entirement quelconques1 et qu'elles soient appliques aux divers points d'un corps solide1 qui ne soit d'ailleurs assujetti aucune condition particulire1 on parvient aussi immdiatement et de la manire la plus simple aux six quations gnrales de l'quilibre rapportes ci-dessus d'aprs la mthode dynamique4 ,si le solide1 au lieu d'tre compltement libre1 doit tre plus ou moins gn1 il suffit d'introduire au nombre des forces du systme les rsistances qui en rsultent aprs les avoir convenablement dfinies1 ce qui ne fera qu'ajouter quelques nouveaux termes l'quation fondamentale4 ,il en est de mme quand la forme du solide n'est point suppose rigoureusement invariable1 et qu'on vient1 par exemple1 considrer son lasticit4 ,de semblables modifications n'ont d'autre effet1 sous le point de vue logique1 que de compliquer plus ou moins l'quation des vitesses virtuelles1 qui ne cesse point pour cela de conserver ncessairement son entire gnralit1 quoique ces conditions secondaires puissent quelquefois rendre presqu'inextricables les difficults purement analytiques que prsente la solution effective de la question propose4 ,tant que le thorme des vitesses virtuelles n'avait t conu que comme une proprit gnrale de l'quilibre1 on avait pu se borner le vrifier par sa conformit constante avec les lois ordinaires de l'quilibre dj obtenues autrement1 et dont il prsentait ainsi un rsum trs-utile par sa simplicit et son uniformit4 ,mais1 pour faire de ce thorme fondamental la base effective de toute la mcanique rationnelle1 en un mot1 pour la convertir en un vritable principe1 il tait indispensable de l'tablir directement sans le dduire d'aucun autre1 ou du moins en ne supposant que des propositions prliminaires susceptibles par leur extrme simplicit d'tre prsentes comme immdiates4 ,c'est ce qu'a si heureusement excut ,lagrange par son ingnieuse dmonstration fonde sur le principe des mouffles et dans laquelle il parvient prouver gnralement le thorme des vitesses virtuelles avec une extrme facilit1 en imaginant un poids unique1 qui1 l'aide de mouffles convenablement construites1 se trouve remplacer simultanment toutes les forces du systme4 ,on a successivement propos depuis quelques autres dmonstrations directes et gnrales du principe des vitesses virtuelles1 mais qui1 beaucoup plus compliques que celle de ,lagrange1 ne lui sont1 en ralit1 nullement suprieures quant la rigueur logique4 ,pour nous1 sous le point de vue philosophique1 nous devons regarder ce thorme gnral comme une consquence ncessaire des lois fondamentales du mouvement1 d'o elle peut tre dduite de diverses manires1 et qui devient ensuite le point de dpart effectif de la mcanique rationnelle tout entire4 ,l'emploi d'un tel principe ramenant l'ensemble de la science une parfaite unit1 il devient videmment fort peu intressant dsormais de connatre d'autres principes plus gnraux encore1 en supposant qu'on puisse en obtenir4 ,on peut donc regarder comme essentiellement oiseuses par leur nature les tentatives qui pourraient tre projetes pour substituer quelque nouveau principe celui des vitesses virtuelles4 ,un tel travail ne saurait plus perfectionner nullement le caractre philosophique fondamental de la mcanique rationnelle1 qui1 dans le trait de ,lagrange1 est aussi fortement coordonne qu'elle puisse jamais l'tre4 ,on n'y pourrait rellement avoir en vue d'autre utilit effective que de simplifier considrablement les recherches analytiques auxquelles la science est maintenant rduite1 ce qui doit paratre presque impossible quand on envisage avec quelle admirable facilit le principe des vitesses virtuelles a t adapt par ,lagrange l'application uniforme de l'analyse mathmatique4 ,telle est donc la manire incomparablement la plus parfaite de concevoir et de traiter la statique1 et par suite l'ensemble de la mcanique rationnelle4 ,dans un ouvrage tel que celui-ci surtout1 nous ne pouvions hsiter un seul moment accorder cette mthode une prfrence clatante sur tout autre1 puisque son principal avantage caractristique est de perfectionner au plus haut degr la philosophie de cette science4 ,cette considration doit avoir nos yeux bien plus d'importance que nous ne pouvons en attribuer en sens inverse aux difficults propres qu'elle prsente encore frquemment dans les applications1 et qui consistent essentiellement dans l'extrme contention intellectuelle qu'elle exige souvent1 ce qui peut tre regard comme tant jusqu' un certain point inhrent toute mthode trs-gnrale o les questions quelconques sont constamment ramenes un principe unique4 ,nanmoins ces difficults sont assez grandes jusqu'ici pour qu'on ne puisse point encore regarder la mthode de ,lagrange comme vraiment lmentaire1 de manire pouvoir dispenser entirement d'en considrer aucune autre dans un enseignement dogmatique4 ,c'est ce qui m'a dtermin caractriser d'abord avec quelques dveloppemens la mthode dynamique proprement dite1 la seule encore gnralement usite4 ,mais ces considrations ne peuvent tre videmment que provisoires2 les principaux embarras qu'occasione l'emploi de la conception de ,lagrange n'ayant rellement d'autre cause essentielle que sa nouveaut4 ,une telle mthode n'est point indfiniment destine sans doute l'usage exclusif d'un trs-petit nombre de gomtres1 qui en ont seuls encore une connaissance assez familire pour utiliser convenablement les admirables proprits qui la caractrisent3 elle doit certainement devenir plus tard aussi populaire dans le monde mathmatique que la grande conception gomtrique de ,descartes1 et ce progrs gnral serait vraisemblablement dj presqu'effectu si les notions fondamentales de l'analyse transcendante taient plus universellement rpandues4 ,je ne croirais pas avoir convenablement caractris toutes les notions philosophiques essentielles relatives la statique rationnelle1 si je ne faisais maintenant une mention distincte d'une nouvelle conception fort importante1 introduite dans la science par ,m4 ,poinsot1 et que je regarde comme le plus grand perfectionnement qu'ait prouv1 sous le point de vue philosophique1 le systme gnral de la mcanique1 depuis la rgnration opre par ,lagrange1 quoiqu'elle ne soit pas exactement dans la mme direction4 ,il s'agit1 comme on voit1 de l'ingnieuse et lumineuse thorie des couples1 que ,m4 ,poinsot a si heureusement cre pour perfectionner directement dans ses conceptions fondamentales la mcanique rationnelle1 et dont la porte ne me parat point avoir t encore suffisamment apprcie par la plupart des gomtres4 ,on sait que ces couples1 ou systmes de forces parallles gales et contraires1 avaient peine t remarqus avant ,m4 ,poinsot comme une sorte de paradoxe en statique1 et qu'il s'est empar de cette notion isole pour en faire immdiatement le sujet d'une thorie fort tendue et entirement originale relative la transformation1 la composition et l'usage de ces groupes singuliers1 qu'il a montrs dous de proprits si remarquables par leur gnralit et leur simplicit4 ,ces proprits fondamentales consistent essentiellement3 #a sous le rapport de la direction1 en ce que l'effet d'un couple dpend seulement de la direction de son plan ou de son axe1 et nullement de la position de ce plan1 ni de celle du couple dans le plan2 #b quant l'intensit1 en ce que l'effet d'un couple ne dpend proprement ni de la valeur de chacune des forces gales qui le composent1 ni du bras de levier sur lequel elles agissent1 mais uniquement du produit de cette force par cette distance1 auquel ,m4 ,poinsot a donn avec raison le nom de moment du couple4 ,en adoptant la mthode dynamique proprement dite pour procder la recherche des conditions gnrales de l'quilibre1 ,m4 ,poinsot l'a prsente sous un point de vue compltement neuf l'aide de sa conception des couples1 qui l'a considrablement simplifie et claircie4 ,pour caractriser ici sommairement cette varit de la mthode dynamique1 il suffira de concevoir que1 en ajoutant en un point quelconque du systme deux forces gales chacune de celles que l'on considre et qui agissent1 en sens contraire l'une de l'autre1 suivant une droite parallle sa direction1 on pourra ainsi1 sans jamais altrer videmment l'tat du systme propos1 le regarder comme remplac3 #a par un systme de forces gales aux forces primitives transportes toutes paralllement leurs directions au point unique que l'on aura choisi1 et qui1 en consquence1 seront gnralement rductibles en une seule2 #b par un systme de couples ayant pour mesure de leur intensit les momens des forces proposes relativement ce mme point1 et dont les plans1 passant tous en ce mme point1 les rendront aussi rductibles gnralement un couple unique4 ,on voit1 d'aprs cela1 avec quelle facilit on pourra procder ainsi la dtermination des relations d'quilibre1 puisqu'il suffira de trouver1 par les lois connues de la composition des forces convergentes1 cette rsultante unique1 afin d'exprimer qu'elle est nulle2 et ensuite1 par les lois que ,m4 ,poinsot a tablies pour la composition des couples1 obtenir galement ce couple rsultant1 et l'annuler aussi sparment2 car il est clair que1 la force et le couple ne pouvant se dtruire mutuellement1 l'quilibre ne saurait exister qu'en les supposant individuellement nuls4 ,il faut1 sans doute1 reconnatre que cette nouvelle manire de procder n'est point indispensable pour appliquer la mthode dynamique la dtermination des conditions gnrales de l'quilibre4 ,mais1 outre l'extrme simplification qu'elle introduit dans une telle recherche1 nous devons surtout apprcier1 quant aux progrs gnraux de la science1 la clart inattendue qu'elle y apporte1 c'est--dire l'aspect minemment lucide sous lequel elle prsente une partie essentielle de ces conditions d'quilibre1 toutes celles qui sont relatives aux momens des forces proposes1 et qui constituent la plus importante moiti des quations statiques4 ,ces momens1 qui n'indiquaient jusqu'alors qu'une considration purement abstraite1 artificiellement introduite dans la statique pour faciliter l'expression algbrique des lois de l'quilibre1 ont pris dsormais une signification concrte parfaitement distincte1 et sont entrs aussi naturellement que les forces elles-mmes dans les spculations statiques1 comme tant la mesure directe des couples auxquels ces forces donnent immdiatement naissance4 ,on conoit aisment priori quelle facilit cette interprtation gnrale et lmentaire doit ncessairement procurer pour la combinaison de toutes les ides relatives la thorie des momens1 comme on en voit dj d'ailleurs la preuve effective dans l'extension et le perfectionnement de cette importante thorie1 par les travaux de ,m4 ,poinsot lui-mme4 ,quelles que soient1 en ralit1 les qualits fondamentales de la conception de ,m4 ,poinsot par rapport la statique1 on doit nanmoins reconnatre1 ce me semble1 que c'est surtout au perfectionnement de la dynamique qu'elle se trouve1 par sa nature1 essentiellement destine2 et je crois pouvoir assurer1 cet gard1 que cette conception n'a point encore exerc jusqu'ici son influence la plus capitale4 ,il faut la regarder1 en effet1 comme directement propre perfectionner sous un rapport trs-important les lmens mmes de la dynamique gnrale1 en rendant la notion des mouvemens de rotation aussi naturelle1 aussi familire1 et presqu'aussi simple que celle des mouvemens de translation4 ,car le couple peut tre envisag comme l'lment naturel du mouvement de rotation1 aussi bien que la force l'est du mouvement de translation4 ,ce n'est pas ici le lieu d'indiquer plus distinctement cette considration1 qui sera convenablement reproduite dans les leons suivantes4 ,nous devons seulement concevoir1 en thse gnrale1 qu'un usage bien entendu de la thorie des couples tablit la possibilit de rendre l'tude des mouvemens de rotation1 qui constitue jusqu'ici la partie la plus complique et la plus obscure de la dynamique1 aussi lmentaire et aussi nette que l'tude des mouvemens de translation4 ,nous aurons occasion de constater effectivement plus tard quel degr de simplicit et de clart ,m4 ,poinsot est parvenu rduire ainsi diverses propositions essentielles1 relatives aux mouvemens de rotation1 et qui n'taient tablies avant lui que de la manire la plus pnible et la plus indirecte1 principalement en ce qui concerne les proprits des aires1 dont il a mme sensiblement augment l'tendue et rgularis l'application sous divers rapports importans1 surtout1 en dernier lieu1 quant la dtermination de ce qu'on appelle le plan invariable4 ,pour complter ces considrations philosophiques sur l'ensemble de la statique1 je crois devoir ajouter ici l'indication sommaire d'une dernire notion gnrale1 qu'il me parat utile d'introduire dans la thorie de l'quilibre1 de quelque manire qu'on ait d'ailleurs jug convenable de l'tablir4 ,quand on veut se faire une juste ide de la nature des diverses quations qui expriment les conditions de l'quilibre d'un systme quelconque de forces1 il est1 ce me semble1 insuffisant de se borner constater que l'ensemble de ces quations est indispensable pour l'quilibre1 et l'tablit invitablement4 ,il faut1 de plus1 pouvoir assigner nettement la signification statique distinctement propre chacune de ces quations envisage isolment1 c'est--dire dterminer avec prcision en quoi chacune contribue sparment la production de l'quilibre1 analyse laquelle on ne s'attache point ordinairement1 quoiqu'elle soit1 sans doute1 importante4 ,par quelque mthode qu'on procde l'tablissement des quations statiques1 il est clair priori que l'quilibre ne peut rsulter que de la destruction de tous les mouvemens lmentaires que le corps pourrait prendre en vertu des forces dont il est anim1 si ces forces n'avaient point entr'elles les relations ncessaires pour se contrebalancer exactement4 ,ainsi chaque quation prise part doit ncessairement anantir un de ces mouvemens1 en sorte que l'ensemble de ces quations produise l'quilibre1 par l'impossibilit o se trouve ds-lors1 le corps de se mouvoir d'aucune manire4 ,examinons maintenant sommairement le principe gnral d'aprs lequel une telle analyse me semble pouvoir s'oprer dans un cas quelconque4 ,en considrant le mouvement sous le point de vue le plus positif1 comme le simple transport d'un corps d'un lieu dans un autre1 indpendamment du mode quelconque suivant lequel il peut tre produit1 il est vident que tout mouvement doit tre envisag1 dans le cas le plus gnral1 comme ncessairement compos la fois de translation et de rotation4 ,ce n'est pas1 sans doute1 qu'il ne puisse rellement exister de translation sans rotation1 ou de rotation sans translation2 mais on doit regarder l'un et l'autre cas comme tant d'exception1 le cas normal consistant en effet dans la coexistence de ces deux sortes de mouvemens1 qui s'accompagnent constamment moins de conditions particulires trs-prcises1 et par suite fort rares1 relativement aux circonstances du phnomne4 ,cela est tellement vrai1 que la seule vrification de l'un de ces mouvemens est habituellement regarde avec raison par les gomtres1 qui connaissent toute la porte de cette observation lmentaire1 comme un puissant motif1 non d'affirmer1 mais de prsumer trs-vraisemblablement l'existence de l'autre4 ,ainsi1 par exemple1 la seule connaissance du mouvement de rotation du soleil sur son axe1 parfaitement constat depuis ,galile1 serait priori pour un gomtre une preuve presque certaine d'un mouvement de translation de cet astre accompagn de toutes ses plantes1 quand mme les astronomes n'auraient point commenc dj reconnatre effectivement1 par des observations directes1 la ralit de ce transport1 dans un sens encore peu dtermin4 ,pareillement1 c'est d'aprs une semblable considration qu'on admet communment1 avec raison1 outre le motif d'analogie1 l'existence d'un mouvement de rotation dans les plantes mme l'gard desquelles on n'a point encore pu le constater directement1 par cela seul qu'elles ont un mouvement de translation bien connu autour du soleil4 ,il rsulte de cette premire analyse que les quations qui expriment les conditions d'quilibre d'un corps1 sollicit par des forces quelconques1 doivent avoir pour objet1 les unes de dtruire tout mouvement de translation1 les autres d'anantir tout mouvement de rotation4 ,voyons maintenant1 d'aprs le mme point de vue1 afin de complter cet aperu gnral1 quel doit tre a priori le nombre des quations de chaque espce4 ,quant la translation1 il suffit de considrer que1 pour empcher un corps de marcher dans un sens quelconque1 il faut videmment l'en empcher selon trois axes principaux situs dans des plans diffrens1 et qu'on suppose d'ordinaire perpendiculaires entr'eux4 ,en effet1 quelle progression serait possible1 par exemple1 dans un corps qui ne pourrait avancer ni de l'est l'ouest ou de l'ouest l'est1 ni du nord au sud ou du sud au nord1 ni enfin du haut en bas ou du bas en haut8 ,toute progression dans un autre sens quelconque1 pouvant videmment se concevoir comme compose de progressions partielles correspondantes dans ces trois sens principaux1 serait ds lors devenue ncessairement impossible4 ,d'un autre ct1 il est clair qu'on ne doit pas considrer moins de trois mouvemens lmentaires indpendans1 car le corps pourrait se mouvoir dans le sens d'un des axes1 sans avoir aucune translation dans le sens d'aucun des deux autres4 ,on conoit ainsi que1 en gnral1 trois quations de condition seront ncessaires et suffisantes pour tablir1 dans un systme quelconque1 l'quilibre de translation2 et chacune d'elles sera spcialement destine dtruire un des trois mouvemens de translation lmentaires que le corps pourrait prendre4 ,on peut prsenter une considration exactement analogue relativement la rotation3 il n'y a de nouvelle difficult que celle d'apercevoir distinctement une image mcanique plus complique4 ,la rotation d'un corps dans un plan ou autour d'un axe quelconque1 pouvant toujours se concevoir dcompose en trois rotations lmentaires dans les trois plans coordonns ou autour des trois axes1 il est clair que1 pour empcher toute rotation dans un corps1 il faut aussi l'empcher de tourner sparment par rapport chacun de ces trois plans ou de ces trois axes4 ,trois quations sont donc1 pareillement1 ncessaires et suffisantes pour tablir l'quilibre de rotation2 et l'on aperoit1 avec la mme facilit que dans le cas prcdent1 la destination mcanique propre chacune d'elles4 ,en appliquant l'analyse prcdente l'ensemble des six quations gnrales rapportes au commencement de cette leon1 pour l'quilibre d'un corps solide anim de forces quelconques1 il est ais de reconnatre que les trois premires sont relatives l'quilibre de translation1 et les trois autres l'quilibre de rotation4 ,dans le premier groupe1 la premire quation empche la translation suivant l'axe des x1 la seconde suivant l'axe des y1 et la troisime suivant l'axe des z4 ,dans le second groupe1 la premire quation empche le corps de tourner suivant le plan des x1 y1 la seconde suivant le plan des x1 z1 et la troisime suivant le plan des y1 z4 ,on conoit nettement par l comment la coexistence de toutes ces quations tablit ncessairement l'quilibre4 ,cette dcomposition serait encore utile pour rduire1 dans chaque cas1 les quations d'quilibre au nombre strictement ncessaire1 quand on vient particulariser plus ou moins le systme de forces considr1 au lieu de le supposer entirement quelconque4 ,sans entrer ici dans aucun dtail spcial ce sujet1 il suffira de dire1 conformment au point de vue prcdent1 que1 la particularisation du systme propos restreignant plus ou moins les mouvemens possibles1 soit quant la translation1 soit quant la rotation1 aprs avoir d'abord exactement dtermin dans chaque cas1 ce qui sera toujours facile1 en quoi consiste cette restriction1 il faudra supprimer1 comme superflues1 les quations d'quilibre relatives aux translations ou aux rotations qui ne peuvent avoir lieu1 et conserver seulement celles qui se rapportent aux mouvemens rests possibles4 ,c'est ainsi que1 suivant la limitation plus ou moins grande du systme de forces particulier que l'on considre1 il peut1 au lieu de six quations ncessaires en gnral pour l'quilibre1 n'en plus subsister que trois1 ou deux1 ou mme une seule1 qu'il sera par l facile d'obtenir dans chaque cas4 ,on doit faire des remarques parfaitement analogues quant aux restrictions de mouvemens qui rsulteraient1 non de la constitution spciale du systme des forces1 mais des gnes plus ou moins troites auxquelles le corps pourrait tre assujetti dans certains cas1 et qui produiraient des effets semblables4 ,il suffirait galement alors de voir nettement quels mouvemens sont rendus impossibles par la nature des conditions imposes1 et de supprimer les quations d'quilibre qui s'y rapportent1 en conservant celles relatives aux mouvemens rests libres4 ,c'est ainsi1 par exemple1 que1 dans le cas d'un systme quelconque de forces1 on trouverait que les trois dernires quations suffisent pour l'quilibre1 si le corps est retenu par un point fixe autour duquel il peut tourner librement en tout sens1 tout mouvement de translation tant alors devenu impossible2 de mme on verrait les quations d'quilibre tre au nombre de deux1 ou mme se rduire une seule1 s'il y avait la fois deux points fixes1 suivant que le corps pourrait ou non glisser le long de l'axe qui les joint2 et enfin on arriverait reconnatre que l'quilibre existe ncessairement sans aucune condition1 quelles que soient les forces du systme1 si le corps solide prsente trois points fixes non en ligne droite4 ,enfin on pourrait encore employer le mme ordre de considrations lorsque les points1 au lieu d'tre rigoureusement fixes1 seraient seulement astreints demeurer sur des courbes ou des surfaces donnes4 ,l'esprit de l'analyse que je viens d'esquisser est1 comme on le voit1 entirement indpendant de la mthode quelconque d'aprs laquelle auront t obtenues les quations de l'quilibre4 ,mais les diverses mthodes gnrales sont loin cependant de se prter avec la mme facilit l'application de cette rgle4 ,celle qui s'y adapte le mieux1 c'est incontestablement la mthode statique proprement dite1 fonde1 comme nous l'avons vu1 sur le principe des vitesses virtuelles4 ,on doit mettre1 en effet1 au nombre des proprits caractristiques de ce principe1 la nettet parfaite avec laquelle il analyse naturellement le phnomne de l'quilibre1 en considrant distinctement chacun des mouvemens lmentaires que permettent les forces du systme1 et fournissant aussitt une quation d'quilibre spcialement relative ce mouvement4 ,la mthode dynamique ne prsente point cet avantage important4 ,il faut reconnatre toutefois que1 dans la manire dont ,m4 ,poinsot l'a conue1 elle se trouve cet gard considrablement amliore1 puisque la seule distinction des conditions d'quilibre relatives aux forces et de celles qui concernent les couples1 distinction qui s'tablit alors ncessairement1 ralise par elle-mme la dtermination spare entre l'quilibre de translation et l'quilibre de rotation4 ,mais la mthode dynamique ordinaire1 exclusivement usite en statique avant la rforme de ,m4 ,poinsot1 et que j'ai caractrise dans son ensemble au commencement de cette leon1 ne remplit nullement cette condition essentielle1 sans laquelle nanmoins il me parat impossible de concevoir nettement l'expression analytique des lois gnrales de l'quilibre4 ,aprs avoir considr les diverses manires principales de parvenir aux lois exactes de l'quilibre abstrait pour un systme quelconque des forces1 en supposant les corps dans cet tat compltement passif que nous avions d'abord reconnu1 quoique purement hypothtique1 tre strictement indispensable l'tablissement des principes fondamentaux de la mcanique rationnelle2 nous devons maintenant examiner comment les gomtres ont pu tenir compte des proprits gnrales naturelles aux corps rels1 et auxquelles il faut ncessairement avoir gard dans toute application effective de la mcanique abstraite4 ,la seule que l'on sache jusqu'ici prendre en considration d'une manire vraiment complte1 c'est la pesanteur terrestre4 ,voyons comment on a pu l'introduire1 en effet1 dans les quations statiques4 ,cet important examen constitue1 sans doute1 dans l'ordre strictement logique de nos tudes philosophiques1 une anticipation vicieuse sur la partie de ce cours relative la physique proprement dite1 o nous envisagerons spcialement la science de la pesanteur4 ,mais la thorie des centres de gravit1 laquelle se rduit essentiellement cette tude statique de la pesanteur terrestre1 joue un rle trop tendu et trop important dans toutes les parties de la mcanique rationnelle1 pour que nous puissions nous dispenser de l'indiquer ici1 l'exemple de tous les gomtres1 quoique ce ne soit pas strictement rgulier4 ,du reste1 je dois faire observer ce sujet qu'on viterait presqu'entirement tout ce qu'il y a vraiment d'irrationnel dans cette disposition scientifique1 sans se priver nanmoins des avantages capitaux que prsente la rsolution pralable d'une telle question1 si on contractait l'habitude de classer la thorie des centres de gravit parmi les recherches de pure gomtrie1 comme je l'ai propos la fin de la treizime leon4 ,pour tenir compte de la pesanteur terrestre1 dans les questions statiques1 il suffit1 comme on sait1 de se reprsenter1 sous ce rapport1 chaque corps homogne comme un systme de forces parallles et gales1 appliques toutes les molcules du corps1 et dont il faut dterminer compltement la rsultante1 qu'on introduira ds lors sans aucune difficult parmi les forces extrieures primitives4 ,en ralit1 ce paralllisme et cette galit des pesanteurs molculaires ne sont effectivement que des approximations1 puisque1 de fait1 toutes ces forces concourraient au centre de la terre si cette plante tait rigoureusement sphrique1 et que leur intensit absolue1 indpendamment des ingalits qui tiennent la force centrifuge produite par le mouvement de rotation de la terre1 varie en raison inverse des carrs des distances des molcules correspondantes au centre de notre globe4 ,mais1 quand il ne s'agit que des masses terrestres notre disposition1 auxquelles sont ordinairement destines ces applications de la statique1 les dimensions n'en sont jamais assez grandes pour que le dfaut de paralllisme et d'galit entre les pesanteurs des diverses molcules de chaque masse1 doive tre rellement pris en considration4 ,on suppose donc alors1 avec raison1 toutes ces forces rigoureusement parallles et gales1 ce qui simplifie extrmement la question de leur composition4 ,en effet1 leur rsultante est1 ds ce moment1 gale leur somme1 et agit suivant une droite parallle leur direction commune1 en sorte que son intensit et sa direction sont immdiatement connues4 ,toute la difficult se rduit donc trouver son point d'application1 c'est--dire ce qu'on appelle le centre de gravit du corps4 ,d'aprs les proprits gnrales du point d'application de la rsultante dans un systme quelconque de forces parallles1 la distance de ce point un plan quelconque est gale la somme des momens de toutes les forces du systme par rapport ce mme plan1 divise par la somme de ces forces elles-mmes4 ,en appliquant cette formule au centre de gravit1 et ayant gard la simplification que produit alors l'galit de toutes les forces proposes1 on trouve que la distance du centre de gravit un plan quelconque est gale la somme des distances de tous les points du corps considr1 divise par le nombre de ces points2 c'est--dire1 que cette distance est1 ce qu'on appelle proprement la moyenne arithmtique entre les distances de tous les points proposs4 ,cette considration fondamentale rduit videmment la notion du centre de gravit tre purement gomtrique1 puisqu'en le cherchant ainsi comme centre des moyennes distances1 suivant la dnomination trs-rationnelle des anciens gomtres1 la question ne conserve plus aucune trace de son origine mcanique1 et consiste seulement dans ce problme de gomtrie gnrale3 tant donn un systme quelconque de points disposs entr'eux d'une manire dtermine1 trouver un point dont la distance un plan quelconque soit moyenne entre les distances de tous les points donns ce mme plan4 ,il y aurait1 comme je l'ai dj indiqu1 des avantages importans concevoir habituellement ainsi la notion gnrale du centre de gravit1 en faisant compltement abstraction de toute considration de pesanteur1 car cette ide simple et purement gomtrique est prcisment celle qu'on doit s'en former dans la plupart des thories principales de la mcanique rationnelle1 surtout quand on envisage les grandes proprits dynamiques du centre des moyennes distances1 o l'ide htrogne et surabondante de la gravit introduit ordinairement une complication et une obscurit vicieuses4 ,cette manire de concevoir la question conduit naturellement1 il est vrai1 l'exclure de la mcanique pour la faire rentrer dans la gomtrie1 comme je l'ai propos4 ,si je ne l'ai pas ainsi classe effectivement1 c'est uniquement afin de ne m'carter que le moins possible des habitudes universellement reues1 quoique je fusse trs-convaincu qu'une telle transposition serait la seule disposition vraiment rationnelle4 ,quoi qu'il en soit de cette discussion d'ordre1 ce qui importe essentiellement c'est de ne point se mprendre sur la vritable nature de la question1 quelqu'poque et sous quelque dnomination qu'on juge convenable de la traiter4 ,la seule dfinition gomtrique du centre de gravit donnerait immdiatement le moyen de le dterminer1 si le systme des points que l'on considre n'tait compos que d'un nombre fini de points isols1 car il en rsulterait directement alors des formules trs-simples et qui n'auraient nullement besoin d'tre transformes pour exprimer les coordonnes du point cherch1 relativement trois axes rectangulaires fixes arbitrairement4 ,mais ces formules fondamentales ne peuvent plus tre employes sans transformation1 aussitt qu'il s'agit d'un systme compos d'une infinit de points formant un vritable corps continu1 ce qui est le cas ordinaire4 ,car le numrateur et le dnominateur de chaque formule devenant ds lors simultanment infinis1 ces formules n'offrent plus aucune signification distincte1 et ne sauraient tre appliques qu'aprs avoir t convenablement transformes4 ,c'est dans cette transformation gnrale que consiste1 sous le rapport analytique1 toute la difficult fondamentale de la question du centre de gravit envisage sous le point de vue le plus tendu4 ,or il est clair que le calcul intgral donne immdiatement les moyens de la surmonter1 puisque ces deux sommes infinies qui constituent les deux termes de chaque formule1 sont videmment par elles-mmes de vritables intgrales1 dont celle qui exprime le dnominateur commun des trois formules se rapporte aux lmens gomtriques infiniment petits de la masse considre1 et celle qui reprsente le numrateur propre chaque formule se rapporte aux produits de ces lmens par leurs coordonnes correspondantes4 ,il suit de l1 pour ne considrer ici que le cas le plus gnral1 qu'en dcomposant le corps seulement en lmens infiniment petits dans deux sens par deux sries de plans infiniment rapprochs parallles les uns au plan des x1 z1 les autres au plan des y1 z1 on trouvera aussitt les formules fondamentales1 _/x#a _/frac_/iint xzdxdy_/iint zdxdy1_/2y#a _/frac_/iint yzdxdy_/iint zdxdy1_/2z#a _/frac#ab_/;frac_/iint z#b;dxdy_/iint zdydx_/ qui feront connatre les trois coordonnes du centre de gravit du volume d'un corps homogne de forme quelconque1 limit par une surface dont l'quation en x1 y1 et z1 est suppose donne4 ,on obtiendra de la mme manire1 pour le centre de gravit de la surface seule de ce corps1 les formules _/x#a _/frac_/iint xdxdy_/sqrt#a_/;fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b ;dy#b_/;iint dxdy_/sqrt#a_/;fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b; dy#b_/ _/y#a _/frac_/iint ydxdy_/sqrt#a_/;fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b ;dy#b_/;iint dxdy_/sqrt#a_/;fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b; dy#b_/ _/z#a _/frac_/iint zdxdy_/sqrt#a_/;fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b ;dy#b_/;iint dxdy_/sqrt#a_/;fracdz#b;dx#b_/;fracdz#b; dy#b_/ ,la dtermination des centres de gravit sera donc rduite ainsi1 dans chaque cas particulier1 des recherches purement analytiques1 tout--fait analogues celles qu'exigent1 comme nous l'avons vu1 les quadratures et les cubatures4 ,seulement1 ces intgrations tant1 en gnral1 plus compliques1 l'tat d'extrme imperfection dans lequel se trouve jusqu'ici le calcul intgral permettra bien plus rarement encore de parvenir une solution dfinitive4 ,mais ces formules gnrales n'en ont pas moins1 par elles-mmes1 une importance capitale1 pour introduire la considration du centre de gravit dans les thories gnrales de la mcanique analytique1 ainsi que nous aurons spcialement occasion de le reconnatre bientt4 ,il faut d'ailleurs considrer1 quant la question mme1 que ces formules prouvent de trs-grandes simplifications1 quand on vient supposer que la surface qui termine le corps propos est une surface de rvolution1 ce qui heureusement a lieu dans la plupart des applications vraiment importantes4 ,telle est donc essentiellement la manire de tenir compte de la pesanteur terrestre dans les applications de la statique abstraite4 ,quant la pesanteur universelle1 on peut dire que jusqu'ici elle n'a t prise en considration d'une manire vraiment complte1 que relativement aux corps sphriques4 ,ce n'est pas que1 lorsque la loi de la gravitation est suppose connue1 et surtout en la concevant inversement proportionnelle au carr de la distance1 comme dans la vritable pesanteur universelle1 on ne puisse aisment construire1 l'aide d'intgrales convenables1 des formules qui expriment l'attraction d'un corps de figure et de constitution quelconques sur un point donn1 et mme sur un autre corps4 ,mais ces expressions symboliques gnrales sont demeures jusqu'ici le plus souvent inapplicables1 faute de pouvoir effectuer les intgrations qu'elles indiquent1 mme quand on suppose1 pour simplifier la question1 que chaque corps est homogne4 ,ce n'est encore que par une approximation fort imparfaite qu'on a pu parvenir la dtermination dfinitive dans le cas trs-simple de l'attraction de deux ellipsodes1 et les approximations n'ont pu tre conduites jusqu'au degr de prcision convenable1 qu'en supposant ces elipsodes trs-peu diffrens de la sphre1 ce qui a lieu heureusement pour toutes nos plantes4 ,il faut d'ailleurs considrer que1 dans la ralit1 ces formules supposent la connaissance pralable de la loi de la densit l'intrieur de chaque corps propos1 ce que nous ignorons jusqu'ici compltement4 ,dans l'tat prsent de cette importante et difficile thorie1 on peut dire que les thormes primitifs de ,newton sur l'attraction des corps sphriques constituent effectivement encore la partie la plus utile de cet ordre de notions4 ,ces proprits si remarquables1 et que ,newton a si simplement tablies1 consistent1 comme on sait1 en ce que #a l'attraction d'une sphre dont toutes les molcules attirent en raison inverse du carr de la distance1 est la mme1 sur un point extrieur quelconque1 que si la masse entire de cette sphre tait toute condense son centre2 #b quand un point est plac dans l'intrieur d'une sphre dont les molcules agissent sur lui suivant cette mme loi1 il n'prouve absolument aucune attraction de la part de toute la portion du globe qui se trouve une plus grande distance que lui du centre1 du moins1 en supposant1 si le globe n'est pas homogne1 que chacune de ses couches sphriques concentriques prsente en tous ses points la mme densit4 ,la pesanteur est la seule force naturelle dont nous sachions rellement tenir compte en statique rationnelle3 encore voit-on combien cette tude est encore peu avance par rapport la gravit universelle4 ,quant aux circonstances extrieures gnrales1 dont on a d galement faire d'abord compltement abstraction pour tablir les lois rationnelles de la mcanique1 comme le frottement1 la rsistance des milieux1 etc41 on peut dire que nous ne connaissons encore nullement la manire de les introduire dans les relations fondamentales donnes par la mcanique analytique1 car on n'y est parvenu jusqu'ici qu' l'aide d'hypothses fort prcaires1 et mme videmment inexactes1 qui ne peuvent tre rellement considres1 dans le plus grand nombre des cas1 que comme propres fournir des exercices de calcul4 ,du reste1 nous devrons naturellement revenir sur ce sujet dans la partie de ce cours relative la physique proprement dite4 ,pour complter l'examen philosophique de l'ensemble de la statique1 il nous reste enfin considrer sommairement la manire gnrale d'tablir la thorie de l'quilibre1 lorsque le corps auquel les forces sont appliques est suppos se trouver l'tat fluide1 soit liquide1 soit gazeux4 ,l'hydrostatique peut tre compltement traite d'aprs deux mthodes gnrales parfaitement distinctes1 suivant qu'on cherche directement les lois de l'quilibre des fluides d'aprs des considrations statiques exclusivement propres cette classe de corps1 ou qu'on se borne les dduire simplement des principes fondamentaux qui ont dj fourni les quations statiques des corps solides1 en ayant seulement gard1 comme il convient1 aux nouvelles conditions caractristiques qui rsultent de la fluidit4 ,la premire mthode a d naturellement commencer par tre la seule employe1 comme tant primitivement la plus facile1 sinon la plus rationnelle4 ,tel a t effectivement le caractre des travaux des gomtres du dix-septime et du dix-huitime sicle sur cette importante section de la mcanique gnrale4 ,divers principes statiques particuliers aux fluides1 et plus ou moins satisfaisans1 ont t successivement proposs1 principalement l'occasion de la clbre question dans laquelle les gomtres se proposaient de dterminer priori la vritable figure de la terre1 suppose originairement toute fluide1 question capitale qui1 envisage dans son ensemble1 se rattache en effet1 directement ou indirectement1 toutes les thories essentielles de l'hydrostatique4 ,on sait que ,huyghens avait d'abord essay de la rsoudre1 en prenant pour principe d'quilibre la perpendicularit videmment ncessaire de la pesanteur la surface libre du fluide4 ,newton de son ct avait1 la mme poque1 choisi pour considration fondamentale la ncessit non moins vidente de l'galit de poids entre les deux colonnes fluides allant du centre1 l'une au ple1 l'autre un point quelconque de l'quateur4 ,bouguer1 en discutant plus tard cette importante question1 montra clairement que ces deux manires de procder taient galement vicieuses1 en ce que le principe d',huyghens et celui de ,newton1 bien que tous deux incontestables1 ne s'accordaient point1 dans un grand nombre de cas1 donner la mme forme la masse fluide en quilibre1 ce qui mettait pleinement en vidence leur insuffisance commune4 ,mais ,bouguer se trompa gravement son tour1 en croyant que la runion de ces deux principes1 lorsqu'ils s'accordaient indiquer une mme figure1 tait entirement suffisante pour l'quilibre4 ,clairaut1 dans son immortel trait de la figure de la terre1 dcouvrit1 le premier1 les vritables lois gnrales de l'quilibre d'une masse fluide1 en parlant de la considration vidente de l'quilibre isol d'un canal quelconque infiniment petit2 et1 d'aprs ce criterium infaillible1 il montra qu'il pouvait exister une infinit de cas dans lesquels la combinaison exige par ,bouguer se trouvait observe sans que cependant l'quilibre et lieu4 ,depuis que l'ouvrage de ,clairaut eut fond dans son ensemble l'hydrostatique rationnelle1 plusieurs grands gomtres1 continuant adopter la mme manire gnrale de procder1 s'occuprent d'tablir la thorie mathmatique de l'quilibre des fluides sur des considrations plus naturelles et plus distinctes que celle employe par son illustre inventeur4 ,on doit principalement distinguer1 cet gard1 les travaux de ,maclaurin et surtout ceux d',euler1 qui ont donn cette thorie fondamentale la forme simple et rgulire qu'elle a maintenant dans tous les traits ordinaires1 en la fondant sur le principe de l'galit de pression en tout sens1 qu'on peut regarder comme une loi gnrale indique par l'observation relativement la constitution statique des fluides4 ,ce principe est incontestablement1 en effet1 le plus convenable qu'on puisse employer dans une telle recherche1 lorsqu'on veut traiter directement par quelque considration propre aux fluides la thorie de leur quilibre1 dont il fournit immdiatement les quations gnrales avec une extrme facilit4 ,il suffit alors1 pour les obtenir le plus simplement possible1 aprs avoir conu la masse fluide partage en molcules cubiques par trois sries de plans infiniment rapprochs1 parallles aux trois plans coordonns1 d'exprimer que chaque molcule est galement presse suivant les trois axes perpendiculaires ses faces par l'ensemble des forces du systme1 la pression de la molcule en chaque sens tant gale la diffrence des pressions exerces sur les deux faces opposes correspondantes4 ,on trouve ainsi que la loi mathmatique de l'quilibre d'un fluide quelconque1 par quelques forces qu'il soit sollicit1 est exprime par les trois quations3 _/_/fracd,pdx p,x1_/2_/fracd,pdy p,y1_/2_/fracd,pdz p,z1_/ o ,p exprime la pression supporte par la molcule dont les coordonnes sont x1 y1 z1 et la densit ou pesanteur spcifique p1 et ,x1 ,y1 ,z1 dsignent les composantes totales des forces dont le fluide est anim suivant les trois axes coordonns4 ,comme on peut videmment dduire1 de l'ensemble de ces trois quations1 la formule _/,p _/int p7,xdx ,ydy ,zdz7_/ pour la dtermination de la pression en chaque point1 quand les forces seront connues ainsi que la loi de la densit1 il est possible de donner une autre forme analytique la loi gnrale de l'quilibre des fluides1 en se bornant dire que la fonction diffrentielle1 place ici sous le signe ,s1 doit satisfaire aux conditions connues d'intgrabilit relativement aux trois variables indpendantes x1 y1 z1 ce qui est prcisment l'expression trs-simple trouve primitivement par ,clairaut quant la thorie mathmatique de l'hydrostatique4 ,l'tude de l'quilibre des fluides donne constamment lieu une nouvelle question gnrale fort importante qui leur est propre1 celle qui consiste dterminer1 dans le cas d'quilibre1 la figure de la surface qui limite la masse fluide4 ,la solution abstraite de cette question est implicitement comprise dans la formule fondamentale prcdente1 puisqu'il suffit videmment de supposer que la pression est nulle ou du moins constante1 pour caractriser les points de la surface1 ce qui donne indistinctement _/,xdx ,ydy ,zdz #j_/ quant l'quation diffrentielle gnrale de cette surface4 ,toute la difficult concrte se rduit donc essentiellement1 en chaque cas1 connatre la loi relle relative la variation de la densit dans l'intrieur de la masse fluide propose1 moins qu'elle ne soit homogne1 dtermination qui prsente des obstacles tout--fait insurmontables dans les applications les plus importantes4 ,si l'on en fait abstraction1 la question ne prsente ds lors qu'une recherche analytique plus ou moins complique1 consistant dans l'intgration1 le plus souvent encore inconnue1 de l'quation prcdente4 ,on doit remarquer d'ailleurs que cette quation est1 par sa nature1 assez gnrale pour qu'on puisse l'appliquer mme l'quilibre d'une masse fluide qui serait anime d'un mouvement de rotation dtermin1 comme l'exige surtout la grande question de la figure des plantes4 ,il suffit alors en effet de comprendre1 parmi les forces du systme propos1 les forces centrifuges qui rsultent de ce mouvement de rotation4 ,telle est1 par aperu1 la manire gnrale d'tablir la thorie mathmatique de l'quilibre des fluides1 en la fondant directement sur des principes statiques particuliers ce genre de corps4 ,on conoit1 comme je l'ai dj indiqu1 que cette mthode ait d d'abord tre seule employe2 car1 l'poque des premires recherches1 les diffrences caractristiques entre les solides et les fluides devaient ncessairement paratre trop considrables pour qu'aucun gomtre pt alors se proposer d'appliquer ceux-ci les principes gnraux uniquement destins aux autres1 en ayant seulement gard1 dans cette dduction1 quelques nouvelles conditions spciales4 ,mais1 quand les lois fondamentales de l'hydrostatique ont enfin t obtenues1 et que l'esprit humain1 cessant d'tre proccup de la difficult de leur tablissement1 a pu mesurer avec justesse la diversit relle qui existe entre la thorie des fluides et celle des solides1 il tait impossible qu'il ne chercht point les ramener toutes deux aux mmes principes essentiels1 et qu'il ne reconnt pas1 en thse gnrale1 l'applicabilit ncessaire des rgles fondamentales de la statique l'quilibre des fluides1 pourvu qu'on tnt compte convenablement de la variabilit de forme qui les caractrise4 ,en un mot1 la science ne pouvait rester sous ce rapport dans son tat primitif1 o l'on accordait une importance videmment exagre aux conditions propres aux fluides4 ,mais1 pour subordonner l'hydrostatique la statique proprement dite1 et augmenter ainsi par une plus grande unit la perfection rationnelle de la science1 il tait indispensable que la thorie abstraite de l'quilibre ft pralablement traite d'aprs un principe statique suffisamment gnral1 qui seul pouvait tre directement appliqu aux fluides aussi bien qu'aux solides1 car on ne pouvait point recourir1 cet effet1 aux quations d'quilibre proprement dites1 dans la formation desquelles on avait toujours eu1 ncessairement1 plus ou moins gard l'invariabilit du systme4 ,cette condition invitable a t remplie1 lorsque ,lagrange a conu la manire de fonder la statique1 et par suite toute la mcanique rationnelle1 sur le seul principe des vitesses virtuelles4 ,ce principe est videmment1 en effet1 par sa nature1 tout aussi directement applicable aux fluides qu'aux solides1 et c'est l une de ses proprits les plus prcieuses4 ,ds lors l'hydrostatique1 philosophiquement classe son rang naturel1 n'a plus t1 dans le trait de ,lagrange1 qu'une division secondaire de la statique4 ,quoique cette manire de la concevoir n'ait pas encore pu devenir suffisamment familire1 et que la mthode hydrostatique directe soit reste jusqu'ici la seule usuelle1 il n'est pas douteux que la mthode de ,lagrange finira par tre habituellement et exclusivement adopte1 comme tant celle qui imprime la science son vritable caractre dfinitif1 en la faisant driver tout entire d'un principe unique4 ,pour se reprsenter nettement1 en gnral1 comment le principe des vitesses virtuelles peut conduire aux quations fondamentales de l'quilibre des fluides1 il suffit de considrer que tout ce qu'une telle application exige de particulier consiste seulement comprendre parmi les forces quelconques du systme une force nouvelle1 la pression exerce sur chaque molcule1 qui introduira un terme de plus dans l'quation gnrale1 ou1 plus exactement1 qui donnera lieu trois nouveaux momens virtuels1 si l'on distingue1 comme il convient1 les variations sparment relatives chacun des trois axes coordonns4 ,en procdant ainsi1 on parviendra immdiatement aux trois quations gnrales de l'quilibre des fluides1 qui ont t rapportes ci-dessus d'aprs la mthode hydrostatique proprement dite4 ,si le fluide considr est liquide1 il faudra concevoir le systme assujti cette condition caractristique de pouvoir changer de forme1 sans cependant jamais changer de volume4 ,cette condition d'incompressibilit s'introduira d'autant plus naturellement dans l'quation gnrale des vitesses virtuelles1 qu'elle peut s'exprimer immdiatement1 comme l'a fait ,lagrange1 par une formule analytique analogue celle des termes de cette quation1 en exprimant que la variation du volume est nulle1 ce qui mme a permis ,lagrange de se reprsenter abstraitement cette incompressibilit comme l'effet d'une certaine force nouvelle1 dont il suffit d'ajouter le moment virtuel ceux des forces du systme4 ,si l'on veut tablir1 au contraire1 la thorie de l'quilibre pour les fluides gazeux1 il faudra remplacer la condition de l'incompressibilit par celle qui assujtit le volume du fluide varier suivant une fonction dtermine de la pression1 par exemple en raison inverse de cette pression1 conformment la loi physique sur laquelle ,mariotte a fond toute la mcanique des gaz4 ,cette nouvelle circonstance donnera lieu une quation analogue celle des liquides1 quoique plus complique4 ,seulement cette dernire section de la thorie gnrale de l'quilibre1 outre les grandes difficults analytiques qui lui sont propres1 se ressentira ncessairement1 dans les applications1 de l'incertitude o l'on est encore sur la vritable loi des gaz relativement la fonction de la pression qui exprime rellement la densit1 car la loi de ,mariotte1 si prcieuse par son extrme simplicit1 ne peut malheureusement tre regarde que comme une approximation1 qui1 suffisamment exacte pour des circonstances moyennes1 ne saurait tre tendue rigoureusement un cas quelconque4 ,tel est le caractre fondamental de la mthode incontestablement la plus rationnelle qu'on puisse employer pour former la thorie abstraite de l'quilibre des fluides1 et que nous devons regarder1 surtout dans cet ouvrage1 comme constituant dsormais la conception dfinitive de l'hydrostatique4 ,cette conception paratra d'autant plus philosophique que1 dans la statique ainsi traite1 on trouve une suite de cas en quelque sorte intermdiaires entre les solides et les fluides1 lorsqu'on considre les questions relatives aux corps solides susceptibles de changer de forme jusqu' un certain degr d'aprs des lois dtermines1 c'est--dire quand on tient compte de la flexibilit et de l'lasticit1 ce qui tablit1 sous le rapport analytique1 une filiation naturelle qui fait passer1 par une succession de recherches presqu'insensible1 des systmes dont la forme est rigoureusement invariable ceux o elle est au contraire minemment variable4 ,aprs avoir examin sommairement comment la statique rationnelle1 envisage dans son ensemble1 a pu tre leve enfin ce haut degr de perfection spculative o toutes les questions qu'elle est susceptible de prsenter1 constamment traites d'aprs un principe unique directement tabli1 sont uniformment rduites de simples problmes d'analyse mathmatique1 nous devons maintenant entreprendre la mme tude relativement la dernire branche de la mcanique gnrale1 ncessairement plus tendue1 plus complique1 et par suite plus difficile1 celle qui a pour objet la thorie du mouvement4 ,ce sera le sujet de la leon suivante4 ,,dix-,,septi,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,vue gnrale de la dynamique4 ,l'objet essentiel de la dynamique consiste1 comme nous l'avons vu1 dans l'tude des mouvemens varis produits par les forces continues1 la thorie des mouvemens uniformes dus aux forces instantanes n'tant entirement qu'une simple consquence immdiate des trois lois fondamentales du mouvement4 ,dans cette dynamique des mouvemens varis ou des forces continues on distingue ordinairement et avec raison deux cas gnraux1 suivant qu'on considre le mouvement d'un point ou celui d'un corps4 ,sous le point de vue le plus positif1 cette distinction revient concevoir que1 dans certains cas1 toutes les parties du corps prennent exactement le mme mouvement1 en sorte qu'il suffit alors en effet de dterminer le mouvement d'une seule molcule1 chacune se mouvant comme si elle tait isole1 sans aucun gard aux conditions de liaison du systme2 tandis que1 dans le cas le plus gnral1 chaque portion du corps ou chaque corps du systme prenant un mouvement distinct1 il faut examiner ces divers effets et connatre l'influence qu'exercent sur eux les relations qui caractrisent le systme considr4 ,la seconde thorie tant videmment plus complique que la premire1 c'est par celle-ci qu'il convient ncessairement de commencer l'tude spciale de la dynamique1 mme quand on les dduit toutes deux de principes uniformes4 ,tel est aussi l'ordre que nous adopterons ici dans l'indication de nos considrations philosophiques4 ,relativement au mouvement d'un point1 nous savons dj que la question gnrale consiste dterminer exactement toutes les circonstances du mouvement curviligne compos1 rsultant de l'action simultane de diverses forces continues quelconques1 en supposant entirement connu le mouvement rectiligne que prendrait le mobile sous l'influence exclusive de chaque force envisage isolment4 ,nous avons galement constat que ce problme tait susceptible1 comme tout autre1 d'tre considr en sens inverse1 lorsqu'on se proposait1 au contraire1 de dcouvrir par quelles forces le corps est sollicit1 d'aprs les circonstances caractristiques directement connues du mouvement compos4 ,mais1 avant d'entrer dans l'examen philosophique de ces deux questions gnrales1 nous devons d'abord arrter notre attention sur une thorie prliminaire fort importante1 celle du mouvement vari envisag en lui-mme1 c'est--dire conformment l'expression ordinaire1 la thorie du mouvement rectiligne produit par une seule force continue1 agissant indfiniment selon la mme direction4 ,cette thorie lmentaire est indispensable pour tablir les notions fondamentales qui se reproduisent sans cesse dans toutes les parties de la dynamique4 ,voici en quoi elle consiste essentiellement1 d'aprs notre manire de concevoir la mcanique rationnelle4 ,nous avons prcdemment remarqu que1 dans la question dynamique directe1 il fallait ncessairement supposer connu l'effet de chaque force unique1 la vritable inconnue du problme gnral tant l'effet dtermin par le concours de toutes les forces4 ,cette observation est incontestable4 ,mais1 d'aprs cela1 quel peut tre l'objet de cette partie prliminaire de la dynamique qu'on destine l'tude du mouvement rsultant de l'action d'une seule force continue8 ,la contradiction apparente ne tient qu'aux expressions peu exactes qu'on emploie ordinairement1 et d'aprs lesquelles une telle question semblerait aussi distincte et aussi directe que les vritables questions dynamiques1 tandis qu'elle n'est rellement qu'un prliminaire4 ,pour en concevoir nettement le vrai caractre1 il faut observer que le mouvement vari produit par une seule force continue peut tre dfini de plusieurs manires1 qui dpendent les unes des autres1 et qui1 par consquent1 ne sauraient jamais tre donnes simultanment1 quoique chacune puisse tre sparment la plus convenable1 d'o rsulte la ncessit de savoir passer1 en gnral1 de l'une quelconque d'entre elles toutes les autres3 c'est dans ces transformations que consiste proprement la thorie gnrale prliminaire du mouvement vari1 dsigne fort inexactement sous le nom d'tude de l'action d'une force unique4 ,ces diverses dfinitions quivalentes d'un mme mouvement vari rsultent de la considration simultane des trois fonctions fondamentales distinctes1 quoique co-relatives1 qu'on y peut envisager1 l'espace1 la vitesse et la force1 conus comme dpendant du temps coul4 ,la loi du mouvement peut tre immdiatement donne par la relation entre l'espace parcouru et le temps coul1 et alors il importe d'en dduire la vitesse acquise par le mobile chaque instant1 c'est--dire celle du mouvement uniforme qui aurait lieu si1 la force continue cessant tout coup d'agir1 le corps ne se mouvait plus qu'en vertu de l'impulsion naturelle rsultant1 d'aprs la loi d'inertie1 du mouvement dj effectu3 il est galement intressant de dterminer aussi quelle est1 chaque instant1 l'intensit de la force continue1 compare celle d'une force acclratrice constante bien connue1 telle1 par exemple1 que la gravit terrestre1 la seule force de ce genre qui nous soit assez familire pour servir habituellement de type convenable4 ,dans d'autres occasions1 au contraire1 le mouvement pourra tre naturellement dfini par la loi qui rgle la variation de la vitesse en raison du temps1 et d'o il faudra conclure celle relative l'espace1 ainsi que celle qui concerne la force4 ,il en serait de mme si la dfinition primitive du mouvement consistait dans la loi de la force continue1 qui pourrait n'tre pas toujours immdiatement donne en fonction du temps1 mais quelquefois par rapport l'espace1 comme par exemple lorsqu'il s'agit de la gravitation universelle1 ou d'autres fois relativement la vitesse1 ainsi qu'on le voit pour la rsistance des milieux4 ,enfin1 si l'on considre cet ordre de questions sous le point de vue le plus tendu1 il faut concevoir1 en gnral1 que la dfinition d'un mouvement vari peut tre donne par une quation quelconque1 pouvant contenir la fois ces quatre variables dont une seule est indpendante1 le temps1 l'espace1 la vitesse1 et la force2 le problme consistera dduire de cette quation la dtermination distincte des trois lois caractristiques relatives l'espace1 la vitesse et la force1 en fonction du temps1 et1 par suite1 en corlation mutuelle4 ,ce problme gnral se rduit constamment une recherche purement analytique1 l'aide des deux formules dynamiques fondamentales qui expriment1 en fonction du temps1 la vitesse et la force1 quand on suppose connue la loi relative l'espace4 ,la mthode infinitsimale conduit ces deux formules avec la plus grande facilit4 ,il suffit en effet1 pour les obtenir1 de considrer1 suivant l'esprit de cette mthode1 le mouvement comme uniforme pendant la dure d'un mme intervalle de temps infiniment petit1 et comme uniformment acclr pendant deux intervalles conscutifs4 ,ds lors1 la vitesse1 suppose momentanment constante1 d'aprs la premire considration1 sera naturellement exprime par la diffrentielle de l'espace divise par celle du temps2 et1 de mme1 la force continue1 d'aprs la seconde considration1 sera videmment mesure par le rapport entre l'accroissement infiniment petit de la vitesse1 et le temps employ produire cet accroissement4 ,ainsi1 en appelant t le temps coul1 e l'espace parcouru1 v la vitesse acquise et _/varphi l'intensit de la force continue chaque instant1 la corrlation gnrale et ncessaire de ces quatre variables simultanes sera exprime analytiquement par les deux formules fondamentales1 _/v _/fracdedt1_/2 _/varphi _/fracdvdt _/fracd#b;edt#b4_/ ,d'aprs ces formules1 toutes les questions relatives cette thorie prliminaire du mouvement vari se rduiront immdiatement de simples recherches analytiques1 qui consisteront ou dans des diffrentiations1 ou1 le plus souvent1 dans des intgrations4 ,en considrant le cas le plus gnral1 o la dfinition primitive du mouvement propos serait donne seulement par une quation entre les quatre variables1 le problme analytique consistera dans l'intgration d'une quation diffrentielle du second ordre1 relative la fonction e1 et qui pourra tre frquemment inexcutable1 vu l'extrme imperfection actuelle du calcul intgral4 ,la conception fondamentale de ,lagrange1 relativement l'analyse transcendante1 l'ayant ncessairement oblig se priver des facilits qu'offre l'emploi de la mthode infinitsimale pour l'tablissement des deux formules dynamiques prcdentes1 il a t conduit prsenter cette thorie sous un nouveau point de vue1 dont on n'a pas communment1 ce me semble1 assez apprci l'importance1 et qui me parat singulirement propre claircir la vritable nature de ces notions lmentaires4 ,lagrange a montr dans sa thorie des fonctions analytiques que cette considration dynamique consistait rellement concevoir un mouvement vari quelconque comme compos chaque instant d'un certain mouvement uniforme et d'un autre mouvement uniformment vari1 en l'assimilant au mouvement vertical d'un corps pesant lanc avec une impulsion initiale4 ,mais1 pour donner cette lumineuse conception toute sa valeur philosophique1 je crois devoir la prsenter sous un point de vue plus tendu que ne l'a fait ,lagrange1 comme donnant lieu une thorie complte de l'assimilation des mouvemens1 exactement semblable la thorie gnrale des contacts des courbes et des surfaces1 expose dans les treizime et quatorzime leons4 cet effet1 supposons deux mouvemens rectilignes quelconques1 dfinis par les quations ef7t71 ,e,f7t72 que les deux mobiles soient parvenus au bout du temps t une mme situation2 et considrons leur distance mutuelle aprs un certain temps th4 ,cette distance1 qui sera gale la diffrence des valeurs correspondantes des deux fonctions f et ,f aura videmment pour expression1 d'aprs la formule de ,taylor1 la srie _/7f'7t7-,f'7t77h 7f''7t7-,f''7t77_/frach#ba4b4 _/ _/7f'''7t7-,f'''7t77_/frach#ca4b4c4 _/mbox_/rm etc4_/ l'aide de cette srie1 on pourra1 par des considrations entirement analogues celles employes dans la thorie des courbes1 se faire une ide nette de l'assimilation plus ou moins parfaite des deux mouvemens1 suivant les relations analytiques plus ou moins tendues des deux fonctions primitives f et ,f4 ,si leurs drives du premier ordre ont une mme valeur1 il existera entre les deux mouvemens ce qu'on pourrait appeler une assimilation du premier ordre1 semblable au contact du premier ordre dans les courbes1 et qu'on pourra caractriser1 sous le rapport concret1 en disant alors que le mouvement des deux corps sera le mme pendant un instant infiniment petit4 ,si1 en outre1 les deux drives du second ordre prennent encore la mme valeur1 l'assimilation des mouvemens deviendra plus intime1 et s'lvera au second ordre2 elle consistera physiquement alors en ce que les deux mobiles auront le mme mouvement pendant deux instans infiniment petits conscutifs4 ,pareillement1 en ajoutant ces deux premires relations l'galit des troisimes drives1 on tablira1 entre les mouvemens considrs1 une assimilation du troisime ordre1 qui les fera concider pendant trois instans conscutifs1 et ainsi de suite indfiniment4 ,le degr de similitude des deux mouvemens1 dtermin analytiquement par le nombre de fonctions drives successives qui auront respectivement la mme valeur1 aura toujours pour interprtation concrte la concidence des deux mobiles pendant un nombre gal d'instans conscutifs2 comme nous avons vu l'ordre du contact des courbes mesur gomtriquement par la communaut d'un nombre correspondant d'lmens successifs4 ,si la loi caractristique de l'un des mouvemens proposs contient1 dans son expression analytique1 quelques constantes arbitraires1 on pourra l'assimiler un autre mouvement quelconque jusqu' un ordre marqu par le nombre de ces constantes1 qui seront alors dtermines d'aprs les quations destines tablir1 suivant la thorie prcdente1 ce degr d'intimit entre les deux mouvemens4 ,cette conception fondamentale conduit apercevoir la possibilit1 du moins sous le point de vue abstrait1 d'acqurir une connaissance de plus en plus approfondie d'un mouvement vari quelconque1 en le comparant successivement une suite de mouvemens connus1 dont la loi analytique dpende d'un nombre de plus en plus grand de constantes arbitraires1 et qui pourront1 par consquent1 avoir avec lui une concidence de plus en plus prolonge4 ,mais1 de mme que nous avons vu la thorie gnrale des contacts des lignes1 applique la mesure de la courbure les unes par les autres1 devoir se rduire effectivement la comparaison d'une courbe quelconque d'abord avec une ligne droite et ensuite avec un cercle1 ces deux lignes tant les seules qu'on puisse regarder comme assez connues pour servir utilement de type l'gard des autres1 pareillement la thorie dynamique relative la mesure des mouvemens les uns par les autres doit tre rellement limite la comparaison effective de tout mouvement vari1 d'abord avec un mouvement uniforme o l'espace est proportionnel au temps1 et ensuite avec un mouvement uniformment vari o l'espace crot en raison du carr du temps2 ou bien1 afin de tout embrasser en une seule considration1 avec un mouvement compos d'un mouvement uniforme1 et d'un autre uniformment vari1 tel que celui d'un corps pesant anim d'une impulsion initiale4 ,ces deux mouvemens lmentaires sont1 en effet1 comme le remarque ,lagrange1 les seuls dont nous ayons rellement une notion assez familire pour que nous puissions les appliquer avec succs la mesure de tous les autres4 ,en tablissant cette assimilation1 on trouve1 d'aprs la thorie prcdente1 que tout mouvement vari peut tre chaque instant compar celui d'un corps pesant qui aurait reu une vitesse initiale gale la premire drive de l'espace parcouru envisag comme une fonction du temps coul1 et qui serait anim d'une gravit mesure par la seconde drive de cette mme fonction1 ce qui nous fait rentrer dans les deux formules fondamentales obtenues ci-dessus par la mthode infinitsimale4 ,le mouvement propos concidera pendant un instant infiniment petit avec le mouvement uniforme exprim dans la premire partie de cette comparaison1 et pendant deux instans conscutifs avec le mouvement uniformment acclr qui correspond la seconde partie4 ,on se formera donc ainsi une ide nette du mouvement du mobile chaque moment1 et de la manire dont il varie d'un moment l'autre1 ce qui est strictement suffisant4 ,quoique la conception de ,lagrange1 telle que je l'ai gnralise1 conduise finalement aux mmes rsultats que la thorie ordinaire1 il est ais de sentir cependant sa supriorit rationnelle1 puisque ces deux thormes fondamentaux1 dans lesquels on avait vu jusqu'alors le terme absolu des efforts de l'esprit humain1 relativement l'tude des mouvemens varis1 peuvent tre envisags maintenant comme une simple application particulire d'une mthode trs-gnrale1 qui nous permet abstraitement d'entrevoir une mesure beaucoup plus parfaite de tout mouvement vari1 quoique de puissans motifs de convenance nous obligent considrer seulement la mesure primitivement adopte4 ,on conoit1 d'aprs ce qui prcde1 que si la nature nous offrait un exemple simple et familier d'un mouvement rectiligne dans lequel l'espace crotrait proportionnellement au cube du temps1 en ajoutant nos notions dynamiques ordinaires la considration habituelle de ce mouvement1 nous obtiendrions une connaissance plus approfondie de la nature d'un mouvement vari quelconque1 qui pourrait alors avoir avec le triple mouvement ainsi compos une assimilation du troisime ordre1 ce qui nous permettrait d'envisager directement1 par une seule vue de l'esprit1 l'tat du mobile pendant trois instans conscutifs1 tandis que nous sommes maintenant forcs de nous arrter deux instans4 ,sous le rapport analytique1 au lieu de nous borner aux deux premires fonctions drives de l'espace relativement au temps1 cette mthode reviendrait considrer simultanment la troisime drive1 qui aurait ds lors aussi une signification dynamique1 dont elle est actuellement dpourvue4 ,dans cette supposition1 de mme que nous concevons habituellement la force acclratrice pour nous reprsenter les changemens de la vitesse1 nous aurions pareillement une considration dynamique propre nous figurer les variations de la force continue4 ,notre tude gnrale des mouvemens varis deviendrait encore plus parfaite si1 tendant cette hypothse1 il existait en outre un mouvement connu dans lequel l'espace ft proportionnel la quatrime puissance du temps1 et ainsi de suite4 ,mais en ralit1 parmi les mouvemens simples o l'espace parcouru se trouve crotre proportionnellement une puissance entire et positive du temps coul1 l'observation ne nous faisant connatre que le mouvement uniforme produit par une impulsion unique et le mouvement uniformment acclr qui rsulte de la pesanteur terrestre suivant la dcouverte de ,galile1 nous sommes contraints de nous arrter aux deux premiers degrs de la thorie prcdente pour la mesure gnrale des mouvemens varis quelconques4 ,telle est la vritable explication philosophique de la mthode universellement adopte1 estime sa valeur relle4 ,j'ai cru devoir insister sur cette explication1 parce que cette conception fondamentale me semble n'tre pas encore apprcie d'une manire convenable1 quoiqu'elle soit la base de la dynamique tout entire4 ,aprs l'examen gnral de cette importante thorie prliminaire1 je passe maintenant considrer sommairement le caractre philosophique de la vritable dynamique rationnelle directe1 c'est--dire de l'tude du mouvement curviligne produit par l'action simultane de diverses forces continues quelconques1 en continuant supposer d'abord que le mobile soit regard comme un point1 ou1 ce qui revient au mme1 que toutes les molcules du corps prenant exactement le mme mouvement1 chacune se meuve isolment sans tre affecte par sa liaison avec les autres4 ,on doit distinguer1 en gnral1 dans le mouvement curviligne d'une molcule soumise l'action de forces quelconques1 deux cas trs-diffrens1 suivant qu'elle est d'ailleurs entirement libre1 de manire devoir dcrire la trajectoire qui rsultera naturellement de la combinaison des forces proposes1 ou que1 au contraire1 elle est astreinte se mouvoir sur une seule courbe ou sur une surface donne4 ,la thorie fondamentale du mouvement curviligne peut tre tablie dans son ensemble suivant deux modes fort distincts1 en prenant pour base l'un ou l'autre de ces deux cas1 car chacun d'eux peut tre trait directement et se trouve en mme temps susceptible de se rattacher l'autre1 les deux considrations tant presqu'galement naturelles selon le point de vue o l'esprit se place4 ,en parlant du premier cas1 il suffira1 pour en dduire le second1 de regarder la rsistance1 tant active que passive1 de la courbe ou de la surface sur laquelle le corps est assujetti rester1 comme une nouvelle force joindre celles du systme propos1 ainsi que nous avons vu qu'on a coutume de le faire en statique4 ,si1 au contraire1 on prfre d'tablir d'abord la thorie du second cas1 on y ramnera ensuite le premier1 en considrant le mobile comme forc dcrire la courbe qu'il doit effectivement parcourir1 ce qui suffira entirement pour former les quations fondamentales1 malgr que cette courbe soit alors primitivement inconnue4 ,quoique cette dernire mthode ne soit point ordinairement employe1 il convient1 je crois1 de les caractriser ici toutes deux1 pour donner le plus compltement possible une juste ide de la thorie gnrale du mouvement curviligne1 car chacune d'elles a1 ce me semble1 des avantages importans qui lui sont propres4 ,considrons d'abord la premire4 ,examinant1 en premier lieu1 le mouvement curviligne d'une molcule entirement libre soumise l'action de forces continues quelconques1 on peut former de deux manires distinctes les quations fondamentales de ce mouvement1 en les dduisant par deux modes diffrens de la thorie du mouvement rectiligne4 ,le premier mode1 qui a d'abord t le plus employ par les gomtres1 quoique1 sous le rapport analytique1 il ne soit pas le plus simple1 consiste dcomposer chaque instant la rsultante totale des forces continues qui agissent sur le mobile en deux forces1 l'une dirige selon la tangente la trajectoire qu'il dcrit1 l'autre suivant la normale4 ,considrons alors pendant un instant infiniment petit1 le mouvement comme rectiligne et ayant lieu dans la direction de la tangente1 d'aprs la premire loi fondamentale du mouvement4 ,la progression du corps en ce sens ne sera videmment due qu' la premire de ces deux composantes1 laquelle1 par consquent1 on pourra appliquer la formule lmentaire rapporte ci-dessus par le mouvement rectiligne4 ,cette composante1 qui est d'ailleurs gale la force acclratrice totale multiplie par le cosinus de son inclinaison sur la tangente1 sera donc exprime par la seconde fonction drive de l'arc de la courbe relativement au temps4 ,en dveloppant cette quation par les formules gomtriques connues1 et introduisant dans le calcul les composantes de la force acclratrice totale paralllement aux trois axes coordonns rectangulaires1 on parvient finalement aux trois quations fondamentales ordinaires du mouvement curviligne ,le second mode1 plus simple et plus rgulier1 d ,euler1 et depuis gnralement adopt1 consiste obtenir immdiatement ces quations en dcomposant directement le mouvement du corps chaque instant1 ainsi que la force continue totale dont il est anim1 en trois autres dans le sens des trois axes coordonns4 ,d'aprs la troisime loi fondamentale du mouvement1 le mouvement selon chaque axe tant indpendant des mouvemens suivant les deux autres n'est d qu' la composante totale des forces acclratrices paralllement cet axe1 en sorte que le mouvement curviligne se trouve ainsi continuellement remplac par le systme de trois mouvemens rectilignes1 chacun desquels on peut aussitt appliquer la thorie dynamique prliminaire indique ci-dessus4 ,en nommant ,x1 ,y1 ,z1 les composantes totales1 paralllement aux trois axes des x1 des y1 et des z1 des forces continues qui agissent chaque instant dt sur la molcule dont les coordonnes sont x1 y1 z1 on obtient ainsi immdiatement les quations _/_/fracd#bxdt#b ,x1_/2_/fracd#bydt#b ,y1_/2_/fracd#bzdt#b ,z1_/ auxquelles on ne parvient que par un assez long calcul en suivant le premier mode4 ,telles sont les quations diffrentielles fondamentales du mouvement curviligne1 d'aprs lesquelles les questions quelconques de dynamique relatives un corps dont toutes les molcules prennent exactement le mme mouvement se rduisent immdiatement des problmes purement analytiques1 lorsque les donnes ont t convenablement exprimes4 ,en considrant d'abord la question gnrale directe1 qui est la plus importante1 on se propose1 connaissant la loi des forces continues dont le corps est anim1 de dterminer toutes les circonstances de son mouvement effectif4 ,pour cela1 de quelque manire que cette loi soit donne1 ou en fonction du temps1 ou en fonction des coordonnes1 ou en fonction de la vitesse1 il suffira en gnral d'intgrer ces trois quations du second ordre1 ce qui donnera lieu des difficults analytiques plus ou moins leves1 que l'imperfection du calcul intgral pourra rendre frquemment insurmontables4 ,les six constantes arbitraires successivement introduites par cette intgration se dtermineront d'ailleurs en ayant gard aux circonstances de l'tat initial du mobile1 dont les quations diffrentielles n'ont pu conserver aucune trace4 ,on obtiendra ainsi les trois coordonnes du corps en fonction du temps1 de manire pouvoir assigner exactement sa position chaque instant2 et on trouvera ensuite les deux quations caractristiques de la courbe qu'il dcrit1 en liminant le temps entre ces trois expressions4 ,quant la vitesse acquise par le mobile une poque quelconque1 on pourra ds lors la dterminer aussi d'aprs les valeurs de ses trois composantes1 dans le sens des axes1 _/fracdxdt1 _/fracdydt1 _/fracdzdt4 ,il est d'ailleurs utile de remarquer1 cet gard1 que cette vitesse v sera souvent susceptible d'tre immdiatement calcule par une combinaison fort simple des trois quations diffrentielles fondamentales1 qui donne videmment la formule gnrale _/v#b #b_/;int 7,xdx ,ydy ,zdz71_/ l'aide de laquelle une seule intgration suffira pour la dtermination directe de la vitesse1 lorsque l'expression place sous le signe _/int satisfera aux conditions connues d'intgrabilit relativement aux trois variables x1 y1 z1 envisages comme indpendantes4 ,cette proprit n'a pas lieu1 sans doute1 relativement toutes les forces continues possibles1 ni mme par rapport toutes celles que nous prsentent en effet les phnomnes naturels1 puisque1 par exemple1 elle ne saurait se vrifier pour les forces qui reprsentent la rsistance des milieux1 ou les frottemens1 ou1 en gnral1 quant toutes celles dont la loi primitive dpend du temps ou de la vitesse elle-mme4 ,la remarque prcdente n'en est pas moins regarde avec raison par les gomtres comme ayant une extrme importance pour simplifier les recherches analytiques auxquelles se rduisent les problmes de dynamique1 car la condition nonce se vrifie constamment1 ainsi qu'il est ais de le prouver1 dans un cas particulier fort tendu1 qui comprend toutes les grandes applications de la dynamique rationnelle la mcanique cleste1 c'est--dire celui o toutes les forces continues dont le corps est anim sont des tendances vers des centres fixes1 agissant suivant une fonction quelconque de la distance du corps chaque centre1 mais indpendamment de la direction4 ,si1 prenant maintenant en sens inverse la thorie gnrale du mouvement curviligne d'une molcule libre1 on se propose de dterminer1 au contraire1 d'aprs les circonstances caractristiques du mouvement effectif1 la loi des forces acclratrices qui ont pu le produire1 la question sera ncessairement beaucoup plus simple sous le rapport analytique1 puisqu'elle ne consistera essentiellement qu'en des diffrentiations4 ,car il sera toujours possible alors1 par des recherches prliminaires plus ou moins compliques1 qui ne pourront porter que sur des considrations purement gomtriques1 de dduire1 de la dfinition primitive du mouvement propos1 les valeurs des trois coordonnes du mobile chaque instant en fonction du temps coul2 et ds lors1 en diffrentiant deux fois ces trois expressions1 on obtiendra les composantes des forces continues suivant les trois axes1 d'o l'on pourra conclure immdiatement la loi de la force acclratrice totale1 de quelque nature qu'elle soit4 ,c'est ainsi que nous verrons1 dans la seconde section de ce cours1 les trois lois gomtriques fondamentales trouves par ,kpler pour les mouvemens des corps clestes qui composent notre systme solaire1 nous conduire ncessairement la loi de gravitation universelle1 qui devient ensuite la base de toute la mcanique gnrale de l'univers4 ,aprs avoir tabli la thorie du mouvement curviligne d'une molcule libre1 il est ais d'y faire rentrer le cas o cette molcule est assujtie1 au contraire1 rester sur une courbe donne4 ,il suffit1 comme je l'ai indiqu1 de comprendre alors1 parmi les forces continues auxquelles la molcule est primitivement soumise1 la rsistance totale exerce par la courbe propose1 ce qui permettra videmment de considrer le mobile comme entirement libre4 ,toute la difficult propre ce second cas se rduit donc essentiellement analyser avec exactitude cette rsistance4 ,or il faut1 cet effet1 distinguer d'abord1 dans la rsistance de la courbe1 deux parties trs-diffrentes qu'on pourrait appeler1 pour les caractriser nettement1 l'une statique1 l'autre dynamique4 ,la rsistance statique est celle qui aurait lieu lors mme que le corps serait immobile2 elle provient de la pression exerce sur la courbe propose par les forces acclratrices dont il est anim2 ainsi on l'obtiendra en dterminant la composante de la force continue totale suivant la normale la courbe donne au point que l'on considre4 ,la rsistance dynamique a une origine toute diffrente2 elle n'est engendre que par le mouvement1 et rsulte de la tendance perptuelle du corps abandonner la courbe qu'il est forc de dcrire1 pour continuer suivre1 en vertu de la premire loi fondamentale du mouvement1 la direction de la tangente4 ,cette seconde rsistance1 qui se manifeste dans le passage du corps d'un lment de la courbe l'lment suivant1 est videmment dirige chaque instant selon la normale la courbe situe dans le plan osculateur1 et pourra1 par consquent1 n'avoir pas la mme direction que la rsistance statique1 si le plan osculateur ne contient pas la droite suivant laquelle agit la force acclratrice totale4 ,c'est cette rsistance dynamique qu'on donne1 en gnral1 le nom de force centrifuge1 tenant ce que les seules forces acclratrices considres d'abord par les gomtres taient des forces centriptes1 ou des tendances vers des centres fixes4 ,quant son intensit1 en concevant cette force centrifuge comme une nouvelle force acclratrice1 elle sera mesure par la composante normale que produit1 dans chaque instant infiniment petit1 la vitesse du mobile1 lorsqu'il passe d'un lment de la courbe un autre4 ,on trouve aisment ainsi1 aprs avoir limin les infinitsimales auxiliaires introduites d'abord naturellement par cette considration1 que la force centrifuge est continuellement gale au carr de la vitesse effective du mobile divis par le rayon de courbure correspondant de la courbe propose4 ,du reste1 cette expression fondamentale1 aussi bien que la direction mme de la force centrifuge1 pourraient tre entirement obtenues par le calcul1 en introduisant pralablement cette force1 d'une manire compltement indtermine1 dans les trois quations diffrentielles gnrales du mouvement curviligne rapportes ci-dessus4 ,quoi qu'il en soit1 aprs avoir dtermin la rsistance dynamique1 on la composera convenablement avec la rsistance statique1 et1 en faisant entrer la rsistance totale parmi les forces proposes1 le problme sera immdiatement ramen au cas prcdent4 ,la question la plus remarquable de ce genre consiste dans l'tude du mouvement oscillatoire d'un corps pesant sur une courbe quelconque 7et particulirement sur un cercle ou sur une cyclode71 dont l'examen philosophique doit naturellement tre renvoy la partie de ce cours qui concerne la physique proprement dite4 ,il serait superflu de considrer distinctement ici le cas o le mobile1 au lieu de devoir dcrire une courbe donne1 serait seulement assujti rester sur une certaine surface4 ,c'est essentiellement par les mmes considrations qu'on ramne ce nouveau cas1 d'ailleurs peu important dans les applications1 celui d'un corps libre4 ,il n'y a d'autre diffrence relle qu'en ce qu'alors la trajectoire du mobile n'est pas d'abord entirement dtermine1 et qu'on est oblig1 pour la connatre1 de joindre l'quation de la surface propose une autre quation fournie par l'tude dynamique du problme4 ,considrons maintenant1 par aperu1 le second mode gnral distingu prcdemment pour construire la thorie fondamentale du mouvement curviligne d'une molcule isole1 en partant1 au contraire1 du cas o la molcule est pralablement assujtie dcrire une courbe donne4 ,toute la difficult relle consiste alors tablir directement le thorme fondamental relatif la mesure de la forme centrifuge4 ,or c'est ce qu'on peut faire aisment1 en considrant d'abord le mouvement uniforme du corps dans un cercle1 en vertu d'une impulsion initiale1 et sans aucune force acclratrice1 ainsi que l'a suppos ,huyghens1 auquel est due la base de cette thorie4 ,la force centrifuge est ds lors videmment proportionnelle au sinus-verse de l'arc de cercle dcrit dans un instant infiniment petit1 convenablement compar au temps correspondant1 d'o il est facile de conclure1 comme l'a fait ,huyghens1 qu'elle a pour expression le carr de la vitesse constante avec laquelle le mobile dcrit le cercle divis par le rayon de ce cercle4 ,ce rsultat une fois obtenu1 en le combinant avec une autre notion fondamentale due ,huyghens1 on en dduit immdiatement la valeur de la force centrifuge dans une courbe quelconque4 ,il suffit1 pour cela1 de concevoir que la dtermination de cette force exigeant seulement la considration simultane de deux lmens conscutifs de la courbe propose1 le mouvement peut tre continuellement envisag comme ayant lieu dans le cercle osculateur correspondant1 puisque ce cercle prsente relativement la courbe deux lmens successifs communs4 ,on peut donc directement transporter une courbe quelconque l'expression de la force centrifuge trouve primitivement pour le cas du cercle1 et tablir1 comme dans la premire mthode1 mais bien plus simplement1 qu'elle est gnralement gale au carr de la vitesse divis par le rayon du cercle osculateur4 ,cette manire de procder prsente l'avantage de donner une ide plus nette de la force centrifuge4 ,le cas du mouvement dans une courbe dtermine tant ainsi trait pralablement avec toute la gnralit convenable1 il est ais d'y ramener celui d'un corps entirement libre1 dcrivant la trajectoire qui doit naturellement rsulter de l'action simultane de certaines forces acclratrices quelconques4 ,il suffit1 en effet1 suivant l'indication prcdemment exprime1 de concevoir le corps comme assujti rester sur la courbe qu'il dcrira rellement1 ce qui revient videmment au mme1 puisqu'il importe peu1 en dynamique1 le corps ne pouvant point vritablement parcourir toute autre courbe1 qu'il y soit contraint par la nature des forces dont il est anim1 ou par des conditions de liaison spciales4 ,ds lors ce mouvement donnera naissance une vritable force centrifuge1 exprime par la formule gnrale trouve ci-dessus4 ,maintenant il est clair que1 si la force continue totale dont le mobile est anim a t d'abord conue comme dcompose chaque instant en deux autres1 l'une dirige suivant la tangente la trajectoire1 et l'autre selon la normale situe dans le plan osculateur1 cette dernire doit ncessairement tre gale et directement oppose la force centrifuge4 ,or1 cette composante normale ayant pour expression la force continue totale multiplie par le cosinus de l'angle que sa direction forme avec la normale1 en galant cette valeur celle de la force centrifuge1 on formera une quation fondamentale d'o l'on pourra dduire les quations gnrales du mouvement curviligne prcdemment obtenues par une autre mthode4 ,on n'aura1 pour cela1 d'autre transformation faire que d'introduire dans cette quation1 au lieu de la force continue totale et de sa direction1 ses composantes selon les trois axes coordonns1 et de remplacer1 dans la formule qui exprime la force centrifuge1 la vitesse et le rayon de courbure par leurs valeurs gnrales en fonction des coordonnes4 ,l'quation ainsi obtenue se dcomposera naturellement en trois1 si l'on considre que1 devant avoir lieu pour quelque systme que ce soit de forces acclratrices et pour une trajectoire quelconque1 elle doit se vrifier sparment par rapport chacune des trois coordonnes1 envisages momentanment comme trois variables entirement indpendantes4 ,ces trois quations se trouveront tre exactement identiques celles rapportes ci-dessus4 ,quoique cette manire de les obtenir soit bien moins directe1 et qu'elle exige un plus grand appareil analytique1 j'ai cependant cru ncessaire de l'indiquer distinctement1 parce qu'elle me semble propre clairer1 sous un rapport fort important1 la thorie ordinaire du mouvement curviligne1 en rendant sensible l'existence de la force centrifuge1 mme dans le cas d'un corps libre1 notion sur laquelle la mthode habituellement adopte aujourd'hui laisse communment beaucoup d'incertitude et d'obscurit4 ,ayant suffisamment tudi1 dans ce qui prcde1 le caractre gnral de la partie de la dynamique relative au mouvement d'un point1 ou1 ce qui revient au mme1 d'un corps dont toutes les molcules se meuvent identiquement1 nous devons maintenant examiner1 sous un semblable point de vue1 la partie de la dynamique la plus difficile et la plus tendue1 celle qui se rapporte au cas plus rel du mouvement d'un systme de corps lis entre eux d'une manire quelconque1 et dont les mouvemens propres sont altrs par les conditions dpendantes de leur liaison4 ,je considrerai soigneusement1 dans la leon suivante1 les rsultats gnraux obtenus jusqu'ici par les gomtres1 relativement cet ordre de recherches4 ,je dois donc me borner strictement ici caractriser la mthode gnrale d'aprs laquelle on est parvenu convertir tous les problmes de cette nature en de pures questions d'analyse4 ,dans cette dernire partie de la dynamique1 il faut pralablement tablir une nouvelle notion lmentaire1 relativement la mesure des forces4 ,en effet1 les forces considres jusqu'ici tant toujours appliques une molcule unique1 ou du moins agissant toutes sur un mme corps1 leur intensit se trouvait tre suffisamment mesure1 en ayant seulement gard la vitesse plus ou moins grande qu'elles pouvaient imprimer au mobile chaque instant4 ,mais1 quand on vient envisager simultanment les mouvemens de plusieurs corps diffrens1 cette manire de mesurer les forces devient videmment insuffisante1 puisqu'on ne saurait se dispenser de tenir compte de la masse de chaque mobile1 aussi bien que de sa vitesse4 ,pour la prendre convenablement en considration1 les gomtres ont tabli cette notion fondamentale1 que les forces susceptibles d'imprimer diverses masses une mme vitesse sont exactement entre elles comme ces masses2 ou1 en d'autres termes1 que les forces sont proportionnelles aux masses1 aussi bien que nous les avons reconnues1 dans la quinzime leon1 d'aprs la troisime loi physique du mouvement1 tre proportionnelles aux vitesses4 ,tous les phnomnes relatifs la communication du mouvement par le choc1 ou de toute autre manire1 ont constamment confirm la supposition de cette nouvelle proportionnalit4 ,il en rsulte videmment que lorsqu'il faut comparer1 dans le cas le plus gnral1 des forces qui impriment des masses ingales des vitesses diffrentes1 chacune d'elles doit tre mesure d'aprs le produit de la masse sur laquelle elle agit par la vitesse correspondante4 ,ce produit1 auquel les gomtres ont donn communment le nom de quantit de mouvement1 dtermine exactement1 en effet1 la force d'impulsion d'un corps dans le choc1 la percussion proprement dite1 ainsi que la pression qu'un corps peut exercer contre tout obstacle fixe son mouvement4 ,telle est la nouvelle notion lmentaire relative la mesure gnrale des forces1 dont il serait peut-tre convenable de faire une quatrime et dernire loi fondamentale du mouvement1 en tant du moins que cette notion n'est point rellement susceptible1 comme quelques gomtres l'ont pens1 d'tre logiquement dduite des notions prcdentes1 et ne saurait tre solidement tablie que sur des considrations physiques qui lui soient propres4 ,cette notion prliminaire tant tablie1 examinons maintenant la conception gnrale d'aprs laquelle peut tre traite la dynamique d'un systme quelconque de corps soumis l'action de forces quelconques4 ,la difficult caractristique de cet ordre de questions consiste essentiellement dans la manire de tenir compte de la liaison des diffrens corps du systme1 en vertu de laquelle leurs ractions mutuelles altreront ncessairement les mouvemens propres que chaque corps prendrait1 s'il tait seul1 par l'influence des forces qui le sollicitent1 sans qu'on sache nullement priori en quoi peut consister cette altration4 ,ainsi1 pour choisir un exemple trs-simple1 et nanmoins important1 dans le clbre problme du mouvement d'un pendule compos1 qui a t primitivement le principal sujet des recherches des gomtres sur cette partie suprieure de la dynamique1 il est vident que1 par suite de la liaison tablie entre les corps ou les molcules les plus rapprochs du point de suspension1 et les corps ou les molcules qui en sont les plus loigns1 il s'exercera une raction telle que ni les uns ni les autres n'oscilleront comme s'ils taient libres1 le mouvement des premiers tant retard1 et celui des derniers tant acclr en vertu de la ncessit o ils se trouvent d'osciller simultanment1 sans qu'aucun principe dynamique dj tabli puisse faire connatre la loi qui dtermine ces ractions4 ,il en est de mme dans tous les autres cas relatifs au mouvement d'un systme de corps4 ,on prouve donc videmment ici le besoin de nouvelles conceptions dynamiques4 ,les gomtres1 obissant ce sujet1 l'habitude impose presque constamment par la faiblesse de l'esprit humain1 ont d'abord trait cette nouvelle srie de recherches1 en crant pour ainsi dire un nouveau principe particulier relativement chaque question essentielle4 ,telles ont t l'origine et la destination des diverses proprits gnrales du mouvement que nous examinerons dans la leon suivante1 et qui1 primitivement envisages comme autant de principes indpendans les uns des autres1 ne sont plus aujourd'hui1 aux yeux des gomtres1 que des thormes remarquables fournis simultanment par les quations dynamiques fondamentales4 ,on peut suivre1 dans la ,mcanique analytique1 l'histoire gnrale de cette srie de travaux1 que ,lagrange a prsente d'une manire si profondment intressante pour l'tude de la marche progressive de l'esprit humain4 ,cette manire de procder a t continuellement adopte jusqu' d',alembert1 qui a mis fin toutes ces recherches isoles1 en s'levant une conception gnrale sur la manire de tenir compte de la raction dynamique des corps d'un systme en vertu de leurs liaisons1 et en tablissant par suite les quations fondamentales du mouvement d'un systme quelconque4 ,cette conception1 qui a toujours servi depuis1 et qui servira indfiniment de base toutes les recherches relatives la dynamique des corps1 consiste essentiellement faire rentrer les questions de mouvement dans de simples questions d'quilibre1 l'aide de ce clbre principe gnral auquel l'accord unanime des gomtres a donn1 avec tant de raison1 le nom de principe de d',alembert4 ,considrons donc maintenant ce principe d'une manire directe4 ,lorsque1 par les ractions que divers corps exercent les uns sur les autres en vertu de leur liaison1 chacun d'eux prend un mouvement diffrent de celui que les forces dont il est anim lui eussent imprim s'il et t libre1 on peut videmment regarder le mouvement naturel comme dcompos en deux1 dont l'un est celui qui aura effectivement lieu1 et dont l'autre1 par consquent1 a t dtruit4 ,le principe de d',alembert consiste proprement en ce que tous les mouvemens de ce dernier genre1 ou1 en d'autres termes1 les quantits de mouvemens perdues ou gagnes par les diffrens corps du systme dans leur raction1 se font ncessairement quilibre1 en ayant gard aux conditions de liaison qui caractrisent le systme propos4 ,cette lumineuse conception gnrale a t d'abord entrevue par ,jacques ,bernouilli dans un cas particulier2 car telle est videmment la considration qu'il emploie pour rsoudre le problme du pendule compos1 lorsqu'il regarde la quantit de mouvement perdue par le corps le plus rapproch du point de suspension1 et la quantit de mouvement gagne par celui qui en est le plus loign1 comme devant ncessairement satisfaire la loi d'quilibre du levier1 relativement au point de suspension1 ce qui le conduit former immdiatement une quation susceptible de dterminer le centre d'oscillation du systme de poids le plus simple4 ,mais cette ide n'tait1 pour ,jacques ,bernouilli1 qu'un artifice isol qui n'te rien au mrite de la grande conception de d',alembert1 dont la proprit essentielle consiste dans son entire gnralit ncessaire4 ,en considrant le principe de d',alembert sous le point de vue le plus philosophique1 on peut1 ce me semble1 en reconnatre le vritable germe primitif dans la seconde loi fondamentale du mouvement 7voyez la quinzime leon71 tablie par ,newton sous le nom d'galit de la raction l'action4 ,le principe de d',alembert concide exactement1 en effet1 avec cette loi de ,newton1 quand on envisage seulement un systme de deux corps1 agissant l'un sur l'autre suivant la ligne qui les joint4 ,ce principe peut donc tre envisag comme la plus grande gnralisation possible de la loi de la raction gale et contraire l'action2 et cette manire nouvelle de le concevoir me parat propre faire ressortir sa vritable nature1 en lui donnant ainsi un caractre physique1 au lieu du caractre purement logique qui lui avait t imprim par d',alembert4 ,en consquence nous ne verrons dsormais dans ce grand principe que notre seconde loi du mouvement tendue un nombre quelconque de corps1 disposs entr'eux d'une manire quelconque4 ,d'aprs ce principe gnral1 on conoit que toute question de dynamique pourra tre immdiatement convertie en une simple question de statique1 puisqu'il suffira de former1 dans chaque cas1 les quations d'quilibre entre les mouvemens dtruits2 ce qui donne la certitude ncessaire de pouvoir mettre en quation un problme quelconque de dynamique1 et de le faire ainsi dpendre uniquement de recherches analytiques4 ,mais la forme sous laquelle le principe de d',alembert a t primitivement conu n'est point la plus convenable pour effectuer avec facilit cette transformation fondamentale1 vu la grande difficult qu'on prouve souvent discerner quels doivent tre les mouvemens dtruits1 comme on peut pleinement s'en convaincre par l'examen attentif du ,trait de dynamique de d',alembert1 dont les solutions sont ordinairement si compliques4 ,hermann1 et surtout ,euler ont cherch faire disparatre la considration embarrassante des quantits de mouvement perdues ou gagnes1 en remplaant les mouvemens dtruits par les mouvemens primitifs composs avec les mouvemens effectifs pris en sens contraire1 ce qui revient videmment au mme1 puisque1 quand une force a t dcompose en deux1 on peut rciproquement substituer l'une des composantes la combinaison de la rsultante avec l'autre composante prise en sens contraire4 ,ds lors le principe de d',alembert1 envisag sous ce nouveau point de vue1 consiste simplement1 en ce que les mouvemens effectifs conformes la liaison des corps du systme devront ncessairement1 tant pris en sens inverse1 faire toujours quilibre aux mouvemens primitifs qui rsulteraient de la seule action des forces proposes sur chaque corps suppos libre2 ce qui peut d'ailleurs tre tabli directement1 car il est vident que le systme serait en quilibre si on imprimait chaque corps une quantit de mouvement gale et contraire celle qu'il prendra effectivement4 ,cette nouvelle forme donne par ,euler au principe de d',alembert est la plus convenable pour en faire usage1 comme ne prenant en considration que les mouvemens primitifs et les mouvemens effectifs1 qui sont les vritables lmens du problme dynamique1 dont les uns constituent les donnes et les autres les inconnues4 ,tel est1 en effet1 le point de vue dfinitif sous lequel le principe de d',alembert a t habituellement conu depuis4 ,les questions relatives au mouvement tant ainsi gnralement rduites1 de la manire la plus simple possible1 de pures questions d'quilibre1 la mthode la plus philosophique pour traiter la dynamique rationnelle consiste combiner le principe de d',alembert avec le principe des vitesses virtuelles1 qui fournit directement1 comme nous l'avons vu dans la leon prcdente1 toutes les quations ncessaires l'quilibre d'un systme quelconque4 ,telle est la combinaison conue par ,lagrange1 et si admirablement dveloppe dans sa ,mcanique analytique1 qui a lev la science gnrale de la mcanique abstraite au plus haut degr de perfection que l'esprit humain puisse ambitionner sous le rapport logique1 c'est--dire une rigoureuse unit1 toutes les questions qui peuvent s'y rapporter tant dsormais uniformment rattaches un principe unique1 d'aprs lequel la solution dfinitive d'un problme quelconque ne prsente plus ncessairement que des difficults analytiques4 ,pour tablir le plus simplement possible la formule gnrale de la dynamique1 concevons que toutes les forces acclratrices du systme quelconque propos aient t dcomposes paralllement aux trois axes des coordonnes1 et soient ,x1 ,y1 ,z1 les groupes de forces correspondant aux axes des x1 y1 z2 en dsignant par m la masse du systme1 il devra y avoir quilibre1 d'aprs le principe de d',alembert1 entre les quantits primitives de mouvement m,x1 m,y1 m,z1 et les quantits de mouvement effectives prises en sens contraire1 qui seront videmment exprimes par -md#bx_/overdt#b1 -md#by_/overdt#b1 -md#bz_/overdt#b1 suivant les trois axes4 ,ainsi1 appliquant cet ensemble de forces le principe gnral des vitesses virtuelles1 en ayant soin de distinguer les variations relatives aux diffrens axes1 on obtiendra l'quation _/_/int m_/left7,x-_/fracd#bxdt#b_/right7_/delta x _/int m_/left7,y-_/fracd#bydt#b_/right7_/delta y _/ _/_/int m_/left7,z-_/fracd#bzdt#b_/right7_/delta z #j1_/ qui peut tre regarde comme comprenant implicitement toutes les quations ncessaires pour l'entire dtermination des diverses circonstances relatives au mouvement d'un systme quelconque de corps sollicits par des forces quelconques4 ,les quations explicites se dduiront convenablement1 dans chaque cas1 de celle formule gnrale1 en rduisant toutes les variations au plus petit nombre possible1 d'aprs les conditions de liaison qui caractriseront le systme propos1 ce qui fournira autant d'quations distinctes qu'il restera de variations rellement indpendantes4 ,afin de faire ressortir1 sous le point de vue philosophique1 toute la fcondit de cette formule1 et de montrer qu'elle comprend rigoureusement l'ensemble total de la dynamique1 il convient de remarquer qu'on en pourrait mme tirer1 comme un simple cas particulier1 la thorie du mouvement curviligne d'une molcule unique2 que nous avons spcialement considre dans la premire partie de cette leon4 ,en effet il est vident que1 si toutes les forces continues proposes agissent sur une seule molcule1 la masse m disparat de l'quation gnrale prcdente1 qui1 en distinguant sparment le mouvement virtuel relatif chaque axe1 fournit immdiatement les trois quations fondamentales tablies ci-dessus pour le mouvement d'un point4 ,mais1 bien qu'on doive considrer cette filiation1 sans laquelle on ne concevrait pas toute l'tendue relle de la formule gnrale de la dynamique1 la thorie du mouvement d'une seule molcule n'exige point vritablement l'emploi du principe de d',alembert1 qui est essentiellement destin l'tude dynamique des systmes de corps4 ,cette premire thorie est trop simple par elle-mme1 et rsulte trop immdiatement des lois fondamentales du mouvement1 pour que je n'aie pas cru devoir1 conformment l'usage ordinaire1 la prsenter d'abord isolment1 afin de rendre plus nettes les importantes notions gnrales auxquelles elle donne naissance1 quoique nous devions finir par la faire rentrer1 en vue d'une coordination plus parfaite1 dans la formule invariable qui renferme ncessairement toutes les thories dynamiques possibles4 ,ce serait sortir des limites naturelles de ce cours que d'indiquer ici aucune application spciale de cette formule gnrale la solution effective d'un problme dynamique quelconque1 la mthode devant tre le seul objet essentiel de nos considrations philosophiques1 sauf l'indication des rsultats principaux qu'elle a produits1 et dont nous nous occuperons dans la leon suivante4 ,je crois cependant devoir rappeler ce sujet1 comme une conception vraiment relative la mthode bien plus qu' la science1 la distinction ncessaire1 signale dans la leon prcdente1 entre les mouvemens de translation et les mouvemens de rotation4 ,pour tudier convenablement le mouvement d'un systme quelconque1 il faut1 en effet1 l'envisager comme compos d'une translation commune toutes ses parties1 et d'une rotation propre chacun de ses points autour d'un certain axe constant ou variable4 ,par des motifs de simplification analytique dont nous aurons occasion1 dans la leon suivante1 d'indiquer l'origine1 les gomtres considrent toujours de prfrence le mouvement de rotation d'un systme quelconque relativement son centre de gravit1 ou1 pour mieux dire1 son centre des moyennes distances1 qui prsente1 sous ce rapport1 des proprits gnrales trs-remarquables1 dont la dcouverte est due ,euler4 ,ds lors l'analyse complte du mouvement d'un systme anim de forces quelconques consiste essentiellement3 #a dterminer chaque instant la vitesse du centre de gravit et la direction dans laquelle il se meut1 ce qui suffit pour faire connatre1 comme nous le constaterons1 tout ce qui concerne la translation du systme2 #b dterminer galement chaque instant la direction de l'axe instantan de rotation passant par le centre de gravit1 et la vitesse de rotation de chaque partie du systme autour de cet axe4 ,il est clair1 en effet1 que toutes les circonstances secondaires du mouvement pourront ncessairement tre dduites1 dans chaque cas1 de ces deux dterminations principales4 ,la formule gnrale de la dynamique1 tablie ci-dessus1 est videmment1 par sa nature1 tout aussi directement applicable au mouvement des fluides qu' celui des solides1 pourvu qu'on prenne convenablement en considration les conditions qui caractrisent l'tat fluide1 soit liquide1 soit gazeux1 ce que nous avons eu occasion d'indiquer dans la leon prcdente au sujet de l'quilibre4 ,aussi d',alembert1 aprs avoir dcouvert le principe fondamental qui lui a permis1 vu les progrs de la statique1 de traiter dans son ensemble la dynamique d'un systme quelconque1 en a-t-il fait immdiatement application l'tablissement des quations gnrales du mouvement des fluides1 entirement inconnues jusqu'alors4 ,ces quations s'obtiennent surtout avec une grande facilit d'aprs le principe des vitesses virtuelles1 tel qu'il est exprim par la formule gnrale prcdente4 ,cette partie de la dynamique ne laisse donc rellement rien dsirer sous le rapport concret1 et ne prsente plus que des difficults purement analytiques1 relatives l'intgration des quations aux diffrences partielles auxquelles on parvient4 ,mais il faut reconnatre que cette intgration gnrale offrant jusqu'ici des obstacles insurmontables1 les connaissances effectives qu'on peut dduire de cette thorie sont encore extrmement imparfaites1 mme dans les cas les plus simples2 ce qui nous semblera sans doute invitable1 en considrant la grande complication que nous avons dj reconnue cet gard dans les questions de pure statique1 dont la nature est cependant bien moins complexe4 ,le seul problme de l'coulement d'un liquide pesant par un orifice donn1 quelque facile qu'il doive paratre1 n'a pu encore tre rsolu d'une manire vraiment satisfaisante4 ,afin de simplifier suffisamment les recherches analytiques dont il dpend1 les gomtres ont t obligs d'adopter la clbre hypothse propose par ,daniel ,bernouilli sous le nom de paralllisme des tranches1 qui permet de ne considrer le mouvement que par tranches1 au lieu de devoir l'envisager molcule molcule4 ,mais cette hypothse1 qui consiste regarder chaque section horizontale du liquide comme se mouvant en totalit et prenant la place de la suivante1 est videmment en contradiction formelle avec la ralit dans presque tous les cas1 except dans un petit nombre de circonstances choisies pour ainsi dire expressment1 cause des mouvemens latraux dont une telle hypothse fait compltement abstraction1 et dont l'existence sensible impose ncessairement la loi d'tudier isolment le mouvement de chaque molcule4 ,la science gnrale de l'hydrodynamique ne peut donc rellement tre encore envisage que comme tant sa naissance1 mme relativement aux liquides1 et plus forte raison l'gard des gaz4 ,mais il importe minemment de reconnatre1 d'un autre ct1 que tous les grands travaux qui restent faire sous ce rapport consistent essentiellement dans les progrs de la seule analyse mathmatique1 les quations fondamentales du mouvement des fluides tant irrvocablement tablies4 ,aprs avoir considr sous ses divers aspects principaux le caractre gnral de la mthode en mcanique rationnelle1 et indiqu comment toutes les questions qu'elle petit offrir se rduisent des recherches purement analytiques1 il nous reste maintenant1 pour complter l'examen philosophique de cette science fondamentale1 envisager1 dans la leon suivante1 les rsultats principaux obtenus par l'esprit humain en procdant ainsi1 c'est--dire les proprits gnrales les plus remarquables de l'quilibre et du mouvement4 ,,dix-,,huiti,,me ,,le,,on4 ,,sommaire4 ,considrations sur les thormes gnraux de mcanique rationnelle4 ,le but et l'esprit de cet ouvrage1 aussi bien que son tendue naturelle1 nous interdisent ncessairement ici tout dveloppement spcial relatif l'application des quations fondamentales de l'quilibre et du mouvement1 la solution effective d'aucun problme mcanique particulier4 ,nanmoins1 on ne se formerait qu'une ide incomplte du caractre philosophique de la mcanique rationnelle envisage dans son ensemble1 si1 aprs avoir convenablement tudi la mthode1 on ne considrait enfin les grands rsultats thoriques de la science1 c'est--dire les principales proprits gnrales de l'quilibre et du mouvement dcouvertes jusqu'ici par les gomtres1 et qui nous restent maintenant examiner4 ,ces diverses proprits ont t conues dans l'origine comme autant de vritables principes1 dont chacun tait destin primitivement procurer la solution d'un certain ordre de nouveaux problmes mcaniques1 suprieurs aux mthodes connues jusqu'alors4 ,mais1 depuis que l'ensemble de la mcanique rationnelle a pris son caractre systmatique dfinitif1 chacun de ces anciens principes a t ramen n'tre plus qu'un simple thorme plus ou moins gnral1 rsultat ncessaire des thories fondamentales de la statique et de la dynamique abstraites3 c'est seulement sous ce point de vue philosophique que nous devons les envisager ici4 ,commenons par ceux qui se rapportent la statique4 ,le thorme le plus remarquable qui ait t dduit jusqu' prsent des quations gnrales de l'quilibre est la clbre proprit1 primitivement dcouverte par ,torricelli1 relativement l'quilibre des corps pesans4 ,elle consiste proprement en ce que1 quand un systme quelconque de corps pesans est dans sa situation d'quilibre1 son centre de gravit est ncessairement plac au point le plus bas ou le plus haut possible1 comparativement toutes les positions qu'il pourrait prendre d'aprs toute autre situation du systme4 ,torricelli d'abord prsent cette proprit comme immdiatement vrifie par les conditions d'quilibre connues de tous les systmes de poids considrs jusqu'alors4 ,mais les considrations gnrales d'aprs lesquelles il a tent ensuite de la dmontrer directement sont rellement peu satisfaisantes1 et offrent un exemple sensible de la ncessit de se dfier1 dans les sciences mathmatiques1 de toute ide dont le caractre n'est point parfaitement prcis1 quelque plausible qu'elle puisse d'ailleurs paratre4 ,en effet le raisonnement de ,torricelli consiste essentiellement remarquer que la tendance naturelle du poids tant de descendre1 il y aura ncessairement quilibre si le centre de gravit se trouve plac le plus bas possible4 ,l'insuffisance de cette considration est vidente1 puisqu'elle n'explique point pourquoi il y a galement quilibre quand le centre de gravit est plac le plus haut possible1 et qu'elle tendrait mme dmontrer que ce second cas d'quilibre ne peut exister1 tandis que1 sous le point de vue thorique1 il est aussi rel que le premier1 quoique1 par le dfaut de stabilit1 on ait rarement occasion de l'observer dans la pratique4 ,ainsi1 pour choisir un exemple trs-simple1 la loi d'quilibre d'un pendule exige que le centre de gravit du poids soit plac sur la verticale mene par le point de suspension1 ce qui offre une vrification palpable du thorme de ,torricelli2 mais1 quand on fait abstraction de la stabilit1 il est vident que ce centre de gravit peut d'ailleurs tre indiffremment au-dessus ou au-dessous du point de suspension1 l'quilibre ayant galement lieu dans les deux cas4 ,la vritable dmonstration gnrale du thorme de ,torricelli consiste le dduire du principe fondamental des vitesses virtuelles1 qui le fournit immdiatement avec la plus grande facilit4 ,il suffit1 en effet1 pour cela1 d'appliquer directement ce principe l'quilibre d'un systme quelconque de corps pesans1 l'gard duquel il donne aussitt l'quation _/_/int ,pdz #j1_/ o ,p dsigne un quelconque des poids1 et z la hauteur verticale de son centre de gravit4 ,or1 d'aprs la dfinition gnrale du centre de gravit de tout systme de poids1 on a videmment en nommant ,p4 le poids total du systme1 et z1 l'ordonne verticale de son centre de gravit1 la relation _/_/int ,pdz ,p#a;dz#a4_/ ,ainsi l'quation des vitesses virtuelles devient1 dans ce cas1 dz#a #j2 ce qui1 conformment la thorie analytique gnrale des maxima et minima1 dmontre immdiatement que la hauteur verticale du centre de gravit du systme est alors un maximum ou un minimum1 comme l'indique le thorme de ,torricelli4 ,cette importante proprit1 indpendamment du grand intrt qu'elle prsente sous le point de vue physique1 peut mme tre avantageusement employe pour faciliter la solution gnrale de plusieurs problmes essentiels de statique rationnelle1 relativement aux corps pesans4 ,ainsi1 par exemple1 elle suffit l'entire rsolution de la clbre question de la chanette1 c'est--dire de la figure que prend une chane pesante suspendue deux points fixes1 et ensuite librement abandonne la seule influence de la gravit1 en la supposant parfaitement flexible1 et de plus inextensible4 ,en effet1 le thorme de ,torricelli indiquant alors que le centre de gravit doit tre plac le plus bas possible1 le problme appartient immdiatement la thorie gnrale des isoprimtres1 indique dans la huitime leon1 puisqu'il se rduit dterminer1 parmi toutes les courbes de mme contour traces entre les deux points fixes donns1 quelle est celle qui jouit de cette proprit caractristique1 que la hauteur verticale de son centre de gravit totale soit un minimum1 condition qui suffit pour dterminer compltement1 l'aide du calcul des variations1 l'quation diffrentielle1 et ensuite l'quation finie de la courbe cherche4 ,il en est de mme dans quelques autres questions intressantes relatives l'quilibre des poids4 ,le thorme de ,torricelli a prouv plus tard une importante gnralisation par les travaux de ,maupertuis1 qui1 sous le nom de loi du repos1 a dcouvert une proprit trs-tendue de l'quilibre1 dont celle ci-dessus considre n'est plus qu'un simple cas particulier4 ,c'est seulement la pesanteur terrestre1 ou la gravit proprement dite1 que s'applique la loi trouve par ,torricelli4 ,celle de ,maupertuis s'tend1 au contraire1 toutes les forces attractives qui peuvent faire tendre les corps d'un systme quelconque vers des centres fixes1 ou les uns vers les autres1 suivant une fonction quelconque de la distance1 indpendante de la direction1 ce qui comprend toutes les grandes forces naturelles4 ,on sait que1 dans ce cas1 l'expression ,p_/delta p,p'_/delta p' etc41 qui forme le premier membre de l'quation gnrale des vitesses virtuelles1 se trouve ncessairement tre toujours une diffrentielle exacte4 ,par consquent1 le principe des vitesses virtuelles consiste alors proprement en ce que la variation de son intgrale est nulle1 ce qui indique videmment1 d'aprs la thorie fondamentale des maxima et minima1 que cette intgrale _/int ,p_/delta p est constamment1 dans le cas d'quilibre1 un maximum ou un minimum4 ,c'est en cela que consiste la loi de ,maupertuis1 considre sous le point de vue le plus gnral1 et dduite ainsi directement avec une extrme simplicit du principe fondamental des vitesses virtuelles1 qui doit ncessairement renfermer implicitement toutes les proprits auxquelles peut donner lieu la thorie de l'quilibre4 ,le thorme de ,maupertuis a t prsent par ,lagrange sous un aspect plus concret et plus remarquable1 en le rattachant la notion des forces vives1 dont nous nous occuperons plus bas4 ,lagrange1 considrant que l'intgrale _/int ,p_/delta p envisage par ,maupertuis est ncessairement toujours1 d'aprs la thorie analytique gnrale du mouvement1 le complment de la somme des forces vives du systme une certaine constante1 en a conclu que cette somme de forces vives est un minimum lorsque l'intgrale prcdente est un maximum1 et rciproquement4 ,d'aprs cela1 le thorme de ,maupertuis peut tre envisag plus simplement comme consistant en ce que la situation d'quilibre d'un systme quelconque est constamment celle dans laquelle la somme des forces vives se trouve tre un maximum ou un minimum4 ,il est vident que1 dans le cas particulier de la pesanteur terrestre1 cette loi concide exactement avec celle de ,torricelli1 la force vive tant alors gale1 comme on sait1 au produit du poids par la hauteur verticale du centre de gravit1 laquelle doit donc devenir ncessairement un maximum ou un minimum1 s'il y a quilibre4 ,une autre proprit gnrale trs-remarquable de l'quilibre1 qui peut tre regarde comme le complment indispensable du thorme de ,torricelli et de ,maupertuis1 consiste dans la distinction fondamentale des cas de stabilit ou d'instabilit de l'quilibre4 ,on sait que l'quilibre peut tre stable ou instable1 c'est--dire que le corps1 infiniment peu cart de sa situation d'quilibre1 peut tendre y revenir1 et y retourne en effet aprs un certain nombre d'oscillations bientt ananties par la rsistance du milieu1 les frottemens1 etc41 ou bien qu'il tend1 au contraire1 s'en loigner de plus en plus1 pour ne s'arrter que dans une nouvelle position d'quilibre stable4 ,ce que nous appelons physiquement l'tat de repos d'un corps n'est rellement autre chose que l'quilibre stable1 car le repos abstrait1 tel que les gomtres le conoivent1 lorsqu'ils supposent un corps qui ne serait sollicit par aucune force1 ne saurait videmment exister dans la nature1 o il ne peut y avoir que des quilibres plus ou moins durables4 ,l'quilibre instable1 au contraire1 constitue effectivement ce que le vulgaire appelle proprement quilibre1 qui dsigne toujours un tat plus ou moins passager et artificiel4 ,la proprit gnrale que nous considrons maintenant1 et dont la dmonstration complte est due ,lagrange1 consiste en ce que1 dans un systme quelconque1 l'quilibre est stable ou instable1 suivant que l'intgrale envisage par ,maupertuis1 et qui a t indique1 ci-dessus1 se trouve tre un minimum ou un maximum2 ou1 ce qui revient au mme1 comme nous l'avons dit1 suivant que la somme des forces vives est un maximum ou un minimum4 ,ce beau thorme de mcanique1 appliqu au cas le plus simple et le plus remarquable1 celui de l'quilibre des corps pesans considr par ,torricelli1 apprend alors que le systme est dans un tat d'quilibre stable1 quand le centre de gravit est plac le plus bas possible1 et dans un tat d'quilibre instable quand1 au contraire1 le centre de gravit est plac le plus haut possible1 ce qu'il est ais de vrifier directement pour les systmes les moins compliqus4 ,ainsi1 par exemple1 l'quilibre d'un pendule est videmment stable1 quand le centre de gravit du poids se trouve tre situ au dessus du point de suspension1 et instable quand il est au dessous4 ,de mme1 un ellipsode de rvolution1 pos sur un plan horizontal1 est en quilibre stable quand il repose sur le sommet de son petit axe1 et en quilibre instable quand c'est sur le sommet de son grand axe4 ,la seule observation aurait suffi sans doute pour distinguer les deux tats dans des cas aussi simples4 ,mais la thorie la plus profonde a t ncessaire pour dvoiler aux gomtres que cette distinction fondamentale tait galement applicable aux systmes les plus composs1 en montrant que lorsque l'intgrale relative la somme des momens virtuels est un minimum1 le systme ne peut faire autour de sa situation d'quilibre que des oscillations trs-petites et dont l'tendue est dtermine1 tandis que1 si cette intgrale est1 au contraire1 un maximum1 ces oscillations peuvent acqurir et acquirent en effet une tendue finie et quelconque4 ,il est d'ailleurs inutile d'avertir que1 par leur nature1 ces proprits1 ainsi que les prcdentes1 ont lieu dans les fluides tout aussi bien que dans les solides1 ce qui est galement le caractre de toutes les proprits mcaniques gnrales l'examen desquelles nous avons destin cette leon4 ,considrons maintenant les thormes gnraux de mcanique relatifs au mouvement4 ,depuis que ces proprits ont cess d'tre envisages comme autant de principes1 et qu'on n'y a vu que des simples rsultats ncessaires des thories dynamiques fondamentales1 la manire la plus directe et la plus convenable de les tablir consiste les prsenter1 ainsi que l'a fait ,lagrange1 comme des consquences immdiates de l'quation gnrale de la dynamique1 dduite de la combinaison du principe d',alembert avec le principe des vitesses virtuelles1 telle que nous l'avons expose dans la leon prcdente4 ,on doit mettre au nombre des avantages les plus sensibles de cette mthode1 comme ,lagrange l'a justement remarqu1 cette facilit qu'elle offre pour la dmonstration de ces grands thormes de dynamique dans leur plus grande gnralit1 dmonstration laquelle on ne pouvait autrement parvenir que par des considrations indirectes et fort compliques4 ,nanmoins la nature de ce cours nous interdit d'indiquer spcialement ici chacune de ces dmonstrations1 et nous devons nous borner considrer seulement les divers rsultats4 ,le premier thorme gnral de dynamique est celui que ,newton a dcouvert relativement au mouvement du centre de gravit d'un systme quelconque1 et qui est habituellement connu sous le nom de principe de la conservation du mouvement du centre de gravit4 ,newton a reconnu le premier et dmontr par des considrations extrmement simples1 au commencement de son grand trait des principes mathmatiques de la philosophie naturelle1 que l'action mutuelle des corps d'un systme les uns sur les autres1 soit par attraction1 soit par impulsion1 en un mot d'une manire quelconque1 en ayant convenablement gard l'galit constante et ncessaire entre la raction et l'action1 ne peut nullement altrer l'tat du centre de gravit1 en sorte que1 s'il n'y a pas d'autres forces acclratrices que ces actions rciproques1 et si les forces extrieures du systme se rduisent seulement des forces instantanes1 le centre de gravit restera toujours immobile ou se mouvera uniformment en ligne droite4 ,d',alembert a1 depuis1 gnralis cette proprit1 et prouv que1 quelqu'altration que puisse introduire l'action mutuelle des corps du systme dans le mouvement de chacun d'eux1 le centre de gravit n'en est jamais affect1 et que son mouvement a constamment lieu comme si toutes les forces du systme y taient directement appliques paralllement leur direction1 quelles que soient les forces extrieures de ce systme1 et en supposant seulement qu'il ne prsente aucun point fixe4 ,c'est ce qu'il est ais de dmontrer1 en dveloppant1 dans la formule gnrale de la dynamique1 les quations relatives au mouvement de translation1 qui1 par la proprit analytique fondamentale du centre de gravit1 se trouvent concider avec celles qu'aurait fourni le mouvement isol de ce centre si la masse totale du systme y et t suppose condense1 et qu'on l'et conue anime de toutes les forces extrieures du systme4 ,le principal avantage de ce beau thorme est de pouvoir ainsi1 en ce qui concerne le mouvement du centre de gravit1 faire rentrer le cas d'un corps ou d'un systme quelconque dans celui d'une molcule unique4 ,comme le mouvement de translation d'un systme doit tre estim par le mouvement de son centre de gravit1 on parvient donc de cette manire rduire la seconde partie de la dynamique la premire pour tout ce qui se rapporte aux mouvemens de translation1 d'o rsulte1 ainsi qu'il est ais de le sentir1 une importante simplification dans la solution de tout problme dynamique particulier1 puisqu'on peut alors ngliger1 dans cette partie de la recherche1 les effets de l'action mutuelle de tous les corps proposs1 dont la dtermination constitue ordinairement la principale difficult de chaque question4 ,on ne se fait pas communment une assez juste ide de l'entire gnralit thorique des grands rsultats de la mcanique rationnelle1 qui sont ncessairement applicables1 par eux-mmes1 tous les ordres de phnomnes naturels1 puisque nous avons reconnu que les lois fondamentales sur lesquelles repose tout l'difice systmatique de la science ne souffrent d'exception dans aucune classe quelconque de phnomnes1 et constituent les faits les plus gnraux de l'univers rel1 quoiqu'on paraisse ordinairement1 dans ce genre de conceptions1 avoir seulement en vue le monde inorganique4 ,aussi est-il propos1 ce me semble1 de faire remarquer formellement ici1 au sujet de cette premire proprit gnrale du mouvement1 que le thorme a galement lieu dans les corps vivans comme dans les corps inanims4 ,quelle que puisse tre1 en effet1 la nature des phnomnes qui caractrisent les corps vivans1 ils ne sauraient consister tout au plus qu'en certaines actions particulires des molcules les unes sur les autres1 qui ne s'observeraient point dans les corps bruts1 sans qu'on doive douter d'ailleurs que la raction y soit toujours1 aussi bien qu'en tout autre cas1 gale au contraire l'action4 ,ainsi1 par la nature mme du thorme que nous venons de considrer1 il doit ncessairement se vrifier aussi bien pour les corps vivans que pour les corps bruts1 puisque le mouvement du centre de gravit est indpendant de ces actions intrieures mutuelles4 ,il en rsulte1 par exemple1 qu'un corps vivant1 quel que soit le jeu interne de ses organes1 ne saurait de lui-mme dplacer son centre de gravit1 quoiqu'il puisse faire excuter quelques-uns de ses points certains mouvemens partiels autour de ce centre4 ,ne vrifie-t-on pas clairement1 en effet1 que la locomotion totale d'un corps vivant serait entirement impossible sans le secours extrieur que lui fournit la rsistance et le frottement du sol sur lequel il se meut1 ou du fluide qui le contient8 ,on peut faire des remarques exactement analogues1 relativement toutes les autres proprits dynamiques gnrales qui nous restent considrer1 et pour chacune desquelles je me dispenserai1 par consquent1 d'indiquer spcialement son applicabilit ncessaire aux corps vivans aussi bien qu'aux corps inertes4 ,le second thorme gnral de dynamique consiste dans le clbre et important principe des aires1 dont la premire ide est due ,kpler1 qui dcouvrit et dmontra fort simplement cette proprit pour le cas du mouvement d'une molcule unique1 ou en d'autres termes1 d'un corps dont tous les points se meuvent identiquement4 ,kpler tablit1 par les considrations les plus lmentaires1 que si la force acclratrice totale dont une molcule est anime tend constamment vers un point fixe1 le rayon vecteur du mobile dcrit autour de ce point des aires gales en temps gaux1 de telle sorte que l'aire dcrite au bout d'un temps quelconque crot proportionnellement ce temps4 ,il fit voir en outre que1 rciproquement1 si une semblable relation a t vrifie dans le mouvement d'un corps par rapport un certain point1 c'est une preuve suffisante de l'action sur ce corps d'une force dirige sans cesse vers ce point4 ,cette belle proprit se dduit d'ailleurs trs-aisment des quations gnrales du mouvement curviligne d'une molcule1 exposes dans la leon prcdente1 en plaant l'origine des coordonnes au centre des forces1 et considrant l'expression de l'aire dcrite sur l'un quelconque des plans coordonns par la projection correspondante du rayon vecteur du mobile4 ,cette dcouverte de ,kpler est d'autant plus remarquable qu'elle a eu lieu avant que la dynamique et t rellement cre par ,galile4 ,nous aurons occasion de remarquer1 dans la partie astronomique de ce cours1 que ,kpler ayant reconnu que les rayons vecteurs des plantes dcrivent autour du soleil des aires proportionnelles aux temps1 ce qui constitue la premire de ses trois grandes lois astronomiques1 en conclut ainsi que les plantes sont continuellement animes d'une tendance vers le soleil1 dont il tait rserv ,newton de dcouvrir la loi4 ,mais1 quelle que soit l'importance de ce premier thorme des aires1 qui est ainsi une des bases essentielles de la mcanique cleste1 on ne doit plus y voir aujourd'hui que le cas particulier le plus simple du grand thorme gnral des aires1 dcouvert presque simultanment et sous des formes diffrentes par d',arcy1 par ,daniel ,bernouilli et par ,euler1 vers le milieu du sicle dernier4 ,la dcouverte de ,kpler n'tait relative qu'au mouvement d'un point3 celle de d',arcy se rapporte au mouvement de tout systme quelconque de corps agissant les uns sur les autres d'une manire quelconque1 ce qui constitue un cas1 non-seulement plus compliqu1 mais mme essentiellement diffrent1 cause de ces actions mutuelles4 ,le thorme consiste alors en ce que1 par suite de ces influences rciproques1 l'aire que dcrira sparment le rayon vecteur de chaque molcule du systme chaque instant autour d'un point quelconque pourra bien tre altre1 mais que la somme algbrique des aires ainsi dcrites par les projections sur un plan quelconque des rayons vecteurs de toutes les molcules1 en donnant chacune de ces aires le signe convenable d'aprs la rgle ordinaire1 ne souffrira aucun changement1 en sorte que1 s'il n'y pas d'autres forces acclratrices dans le systme que ces actions mutuelles1 cette somme des aires dcrites demeurera invariable en un temps donn1 et crotra par consquent proportionnellement au temps4 ,quand le systme ne prsente aucun point fixe1 cette proprit remarquable a lieu relativement un point quelconque de l'espace2 tandis qu'elle se vrifie seulement en prenant le point fixe pour centre des aires1 si le systme en offre un4 ,enfin1 lorsque les corps du systme sont anims de forces acclratrices extrieures1 si ces forces tendent constamment vers un mme point1 le thorme des aires subsiste encore1 mais uniquement l'gard de ce point4 ,cette dernire partie de la proposition gnrale fournit videmment comme cas particulier1 le thorme de ,kpler1 en supposant que le systme se rduise une seule molcule4 ,dans l'application de ce thorme1 on remplace ordinairement la somme des aires correspondantes toutes les molcules du systme par la somme quivalente des produits de la masse de chaque corps par l'aire qui s'y rapporte1 ce qui dispense de partager le systme en molcules de mme masse4 ,telle est la forme sous laquelle le thorme gnral des aires a t dcouvert par d',arcy2 c'est celle qu'on emploie habituellement4 ,comme l'aire dcrite par le rayon vecteur de chaque corps dans un instant infiniment petit1 est videmment proportionnelle au produit de la vitesse de ce corps par sa distance au point fixe que l'on considre1 on peut substituer la somme des aires la somme des momens par rapport ce point de toutes les forces du systme projetes sur un mme plan quelconque4 ,sous ce point de vue1 le thorme des aires prsente1 suivant la remarque de ,laplace1 une proprit gnrale du mouvement analogue une de celles de l'quilibre1 puisqu'il consiste alors en ce que cette somme des momens1 nulle dans le cas de l'quilibre1 est constante dans le cas du mouvement4 ,c'est ainsi que ce thorme a t trouv par ,euler et par ,daniel ,bernouilli4 ,quelle que soit l'interprtation concrte qu'on juge convenable de lui donner1 il est une simple consquence analytique directe de la formule gnrale de la dynamique4 ,il suffit1 pour l'en dduire1 de dvelopper cette formule en formant les quations qui se rapportent au mouvement de rotation1 et dans lesquelles on apercevra immdiatement l'expression analytique du thorme des aires ou des momens1 en ayant gard aux conditions ci-dessus indiques4 ,sous le rapport analytique1 on peut dire que l'utilit de ce thorme consiste essentiellement fournir dans tous les cas trois intgrales premires des quations gnrales du mouvement qui sont par elles-mmes du second ordre1 ce qui tend faciliter singulirement la solution dfinitive de chaque problme dynamique particulier4 ,le thorme des aires suffit pour dterminer1 dans le mouvement gnral d'un systme quelconque1 tout ce qui se rapporte aux mouvemens de rotation1 comme le thorme du centre de gravit dtermine tout ce qui est relatif aux mouvemens de translation4 ,ainsi1 par la seule combinaison de ces deux proprits gnrales1 on pourrait procder l'tude complte du mouvement d'un systme quelconque de corps1 soit quant la translation1 soit quant la rotation4 ,je ne dois pas ngliger de signaler sommairement ici1 au sujet du thorme des aires1 la clart inespre et la simplicit admirable que ,m4 ,poinsot y a introduites en y appliquant sa conception fondamentale relative aux mouvemens de rotation1 que nous avons considre sous le point de vue statique dans la seizime leon4 ,en substituant aux aires1 ou aux momens considrs jusqu'alors par les gomtres1 les couples qu'engendrent les forces proposes1 ,m4 ,poinsot a fait prouver cette thorie un perfectionnement philosophique trs-important1 qui ne me parat pas encore avoir t suffisamment senti4 ,il a donn ainsi une valeur concrte1 un sens dynamique propre et direct1 ce qui n'tait auparavant qu'un simple nonc gomtrique d'une partie des quations fondamentales du mouvement4 ,une aussi heureuse transformation gnrale est destine1 sans doute1 accrotre ncessairement les ressources de l'esprit humain pour l'laboration des ides dynamiques1 en tout ce qui concerne la thorie des mouvemens de rotation4 ,on peut voir dans le beau mmoire de ,m4 ,poinsot sur les proprits des momens et des aires1 qui se trouve annex sa ,statique1 avec quelle facilit il est parvenu1 d'aprs cette lumineuse conception1 non-seulement rendre lmentaire une thorie jusqu'alors fonde sur la plus haute analyse1 mais dcouvrir cet gard de nouvelles proprits gnrales trs-remarquables1 que nous ne devons point considrer ici1 et qu'il et t difficile d'obtenir par les mthodes antrieures4 ,le thorme des aires a t1 pour l'illustre ,laplace1 l'origine de la dcouverte d'une autre proprit dynamique trs-remarquable1 celle de ce qu'il a nomm le plan invariable1 dont la considration est surtout si importante dans la mcanique cleste4 ,la somme des aires projetes par tous les corps du systme sur un plan quelconque tant constante en un temps donn1 ,laplace a cherch la direction du plan l'gard duquel cette somme se trouvait tre la plus grande possible4 ,or1 d'aprs la manire dont ce plan de la plus grande aire ou du plus grand moment est dtermin1 ,laplace a dmontr que sa direction est ncessairement indpendante de la raction mutuelle des diffrentes parties du systme1 en sorte que1 par sa nature1 ce plan doit rester continuellement invariable1 quelles que puissent jamais tre les altrations introduites dans la situation de ces corps par leurs influences rciproques1 pourvu qu'il ne survienne aucune nouvelle force extrieure4 ,on conoit aisment de quelle importance doit tre1 comme nous l'expliquerons spcialement dans la seconde partie de ce cours1 la dtermination d'un tel plan relativement notre systme solaire1 puisque1 en y rapportant tous nos mouvemens clestes1 il nous procure l'inapprciable avantage d'avoir un terme de comparaison ncessairement fixe1 travers tous les drangemens que l'action mutuelle de nos plantes pourra faire subir dans la suite des temps leurs distances1 leurs rvolutions et mme aux plans de leurs orbites1 ce qui est une premire condition videmment indispensable pour que nous puissions exactement connatre en quoi consistent ces altrations4 ,malheureusement nous aurons occasion de remarquer que l'incertitude o nous sommes jusqu'ici relativement la valeur exacte de plusieurs donnes essentielles1 ne nous permet pas encore de dterminer avec toute la prcision suffisante la situation de ce plan4 ,mais cette difficult d'application n'affecte en aucune manire le caractre de ce beau thorme1 considr sous le point de vue de la mcanique rationnelle1 le seul que nous devions adopter ici4 ,la thorie du plan invariable a t notablement perfectionne dans ces derniers temps par ,m4 ,poinsot1 qui a d naturellement y transporter sa conception propre relativement la thorie gnrale des aires ou des momens4 ,il a d'abord considrablement simplifi la notion fondamentale de ce plan1 de faon la rendre aussi lmentaire qu'il est possible1 en montrant qu'un tel plan n'est rellement autre chose que le plan du couple gnral rsultant de tous les couples engendrs par les diffrentes forces du systme1 ce qui le dfinit immdiatement par une proprit dynamique trs-sensible1 au lieu de la seule proprit gomtrique du maximum des aires4 ,quand une conception quelconque a t vraiment simplifie dans sa nature1 l'laboration en tant par cela mme facilite1 elle ne saurait manquer de prendre plus d'extension et de conduire des rsultats nouveaux3 telle est1 en effet1 la marche ordinaire de l'esprit humain dans les sciences1 que les thories les plus fcondes en dcouvertes n'ont t le plus souvent1 leur origine1 qu'un moyen de rendre plus simple la solution de questions dj traites4 ,le travail que nous considrons ici en a offert une nouvelle preuve4 ,car la thorie de ,m4 ,poinsot a permis d'introduire un plus haut degr de prcision dans la dtermination du plan invariable propre notre systme solaire1 en signalant et rectifiant une importante lacune que ,laplace y avait laisse4 ,ce grand gomtre1 en calculant la situation du plan du maximum des aires1 avait cru ne devoir prendre en considration que les aires principales1 produites par la circulation des plantes autour du soleil1 sans tenir aucun compte de celles dues aux mouvemens des satellites autour des plantes1 ou la rotation de tous ces astres et du soleil lui-mme4 ,m4 ,poinsot vient de prouver la ncessit d'avoir gard ces divers lmens1 sans quoi le plan ainsi dtermin ne pourrait point tre regard comme rigoureusement invariable2 et en cherchant la direction du vritable plan invariable aussi exactement que le comporte l'imperfection actuelle de la plupart des donnes1 il a fait voir que ce plan diffre sensiblement de celui trouv par ,laplace2 ce qu'il est facile de concevoir par la seule considration de l'aire immense que doit introduire dans le calcul la masse norme du soleil1 quoique sa rotation soit trs-lente4 ,pour complter l'indication des proprits dynamiques les plus importantes relatives au mouvement de rotation1 il convient maintenant de signaler ici les beaux thormes dcouverts par ,euler sur ce qu'il a nomm les momens d'inertie et les axes principaux1 qu'on doit mettre au nombre des rsultats gnraux les plus importans de la mcanique rationnelle4 ,euler a donn le nom de moment d'inertie d'un corps l'intgrale qui exprime la somme des produits de la masse de chaque molcule par le carr de sa distance l'axe autour duquel le corps tourne1 intgrale dont la considration doit videmment tre trs-essentielle1 puisqu'elle peut tre naturellement regarde comme la mesure exacte de l'nergie de rotation du corps4 ,quand la masse propose est homogne1 ce moment d'inertie se dtermine comme les autres intgrales analogues relatives la forme d'un corps2 lorsque1 au contraire1 cette masse est htrogne1 il faut de plus connatre la loi de la densit dans les diverses couches qui la composent1 et1 cela prs1 l'intgration n'est alors seulement que plus complique4 ,cette notion tant tablie1 ,euler1 comparant1 en gnral1 les momens d'inertie d'un mme corps quelconque par rapport tous les axes de rotation imaginables passant en un point donn1 dtermina les axes relativement auxquels le moment d'inertie doit tre un maximum ou un minimum1 en considrant surtout ceux qui se coupent au centre de gravit1 et qui se distinguent en ce qu'ils produisent ncessairement des momens moindres que si1 avec la mme direction1 ils taient placs partout ailleurs4 ,il dcouvrit ainsi qu'il existe constamment1 en un point quelconque d'un corps1 et particulirement au centre de gravit1 trois axes rectangulaires1 tels que le moment d'inertie du corps est un maximum l'gard de l'un d'entre eux1 et un minimum l'gard d'un autre4 ,ces axes sont d'ailleurs caractriss par une autre proprit commune qui leur sert habituellement aujourd'hui de dfinition analytique1 et qui constitue1 en effet1 pour l'analyse1 le principal avantage que l'on trouve rapporter le mouvement du corps ces trois axes4 ,cette proprit consiste en ce que1 lorsque ces trois axes sont pris pour ceux des coordonnes x1 y1 z1 les intgrales _/int xzdm1 _/int xydm1 _/int yzdm 7m exprimant la masse du corps71 sont nulles relativement au corps tout entier1 ce qui simplifie notablement les quations gnrales du mouvement de rotation4 ,mais le principal thorme dynamique dcouvert par ,euler l'gard de ces axes1 et d'aprs lequel il les a justement appels axes principaux de rotation1 consiste dans la stabilit des rotations qui leur correspondent2 c'est--dire1 que si le corps a commenc tourner autour d'un de ces axes1 cette rotation persistera indfiniment de la mme manire1 ce qui n'aurait pas lieu pour tout autre axe quelconque1 la rotation instantane s'excutant en gnral autour d'un axe continuellement variable4 ,ce systme des axes principaux est gnralement unique dans chaque corps3 cependant1 si tous les momens d'inertie taient constamment gaux entre eux1 la direction de ces axes deviendrait totalement indtermine1 pourvu qu'on les choist toujours perpendiculaires entre eux1 ce qui a lieu1 par exemple1 dans une sphre homogne1 o l'on peut regarder comme des axes permanens de rotation tous les systmes d'axes rectangulaires passant par le centre4 ,il y aurait encore un certain degr d'indtermination si le corps tait un solide de rvolution1 l'axe gomtrique tant alors un des axes dynamiques principaux2 mais les deux autres pouvant videmment tre pris volont dans un plan perpendiculaire au premier4 ,la dtermination des axes principaux prsente souvent de grandes difficults en considrant des corps de figure et de constitution quelconques2 mais elle s'effectue avec une extrme facilit dans les cas peu compliqus1 que la mcanique cleste nous prsente heureusement comme les plus communs4 ,par exemple dans un ellipsode homogne1 ou mme seulement compos de couches semblables et concentriques d'ingale densit1 mais dont chacune est homogne1 les trois diamtres conjugus rectangulaires sont eux-mmes les axes dynamiques principaux3 le moment d'inertie du corps est un maximum relativement du plus petit de ces diamtres1 et un minimum l'gard du plus grand4 ,quand les axes principaux d'un corps ou d'un systme sont dtermins ainsi que les momens d'inertie correspondans1 si le systme ne tourne pas autour de l'un de ces axes1 ,euler a tabli des formules gnrales trs-simples1 qui font connatre constamment les angles que doit faire avec eux la droite autour de laquelle s'excute spontanment la rotation instantane1 et la valeur du moment d'inertie qui s'y rapporte1 ce qui suffit pour l'analyse complte du mouvement de rotation4 ,tels sont les thormes gnraux de dynamique qui se rapportent directement l'entire dtermination du mouvement d'un corps ou d'un systme quelconque1 soit quant la translation1 soit quant la rotation4 ,mais outre ces proprits fondamentales1 les gomtres en ont encore dcouvert plusieurs autres trs-gnrales1 qui1 sans tre aussi strictement indispensables1 mritent singulirement d'tre signals dans un examen philosophique de la mcanique rationnelle1 cause de leur extrme importance pour la simplification des recherches spciales4 ,la premire et la plus remarquable d'entre elles1 celle qui prsente les plus prcieux avantages pour les applications1 consiste dans le clbre thorme de la conservation des forces vives4 ,la dcouverte primitive en est due ,huyghens1 qui fonda sur cette considration sa solution du problme du centre d'oscillation4 ,la notion en fut ensuite gnralise par ,jean ,bernouilli1 car ,huyghens ne l'avait tabli que relativement au mouvement des corps pesans4 ,mais ,jean ,bernouilli1 accordant une importance exagre et vicieuse la fameuse distinction introduite par ,lebnitz1 entre les forces mortes et les forces vives1 tenta vainement d'riger ce thorme en une loi primitive de la nature1 tandis qu'il ne saurait tre qu'une consquence plus ou moins gnrale des thories dynamiques fondamentales4 ,les travaux les plus importans dont cette proprit du mouvement ait t le sujet sont certainement ceux de l'illustre ,daniel ,bernouilli1 qui donna au thorme des forces vives sa plus grande extension1 ainsi que la forme systmatique sous laquelle nous le concevons aujourd'hui1 et qui en fit surtout un si heureux usage pour l'tude du mouvement des fluides4 ,on sait que1 depuis ,lebnitz1 les gomtres appellent force vive d'un corps le produit de sa masse par le carr de sa vitesse1 en faisant d'ailleurs compltement abstraction des considrations trop vagues qui avaient conduit ,lebnitz former une telle expression4 ,le thorme gnral que nous envisageons ici consiste en ce que quelques altrations qui puissent survenir dans le mouvement de chacun des corps d'un systme quelconque en vertu de leur action rciproque1 la somme des forces vives de tous ces corps reste constamment la mme en un temps donn4 ,c'est ce qu'on dmontre aujourd'hui avec la plus grande facilit d'aprs les quations fondamentales du mouvement d'un systme quelconque1 et surtout1 comme l'a fait ,lagrange1 en partant de la formule gnrale de la dynamique expose dans la leon prcdente4 ,sous le point de vue analytique1 l'extrme utilit de ce beau thorme consiste essentiellement en ce qu'il fournit toujours d'avance une premire quation finie entre les masses et les vitesses des diffrens corps du systme4 ,cette relation1 qui peut tre envisage comme une des intgrales dfinitives des quations diffrentielles du mouvement1 suffit l'entire solution du problme1 toutes les fois qu'il est rductible la dtermination du mouvement d'un seul des corps que l'on considre1 dtermination qui s'effectue alors avec une grande facilit4 ,mais pour se faire une juste ide de cette importante proprit1 il est indispensable de remarquer qu'elle est assujtie une limitation considrable1 qui ne permet point1 sous le rapport de la gnralit1 de la placer sur la mme ligne que les thormes prcdemment examins4 ,cette limitation1 dcouverte la fin du dernier sicle par ,carnot1 consiste en ce que la somme des forces vives subit constamment une diminution dans le choc des corps qui ne sont pas parfaitement lastiques1 et gnralement toutes les fois que le systme prouve un changement brusque quelconque4 ,carnot a dmontr qu'alors il y a une perte de forces vives gale la somme des forces vives dues aux vitesses perdues par ce changement4 ,ainsi le thorme de la conservation des forces vives n'a lieu qu'autant que le mouvement du systme varie seulement par degrs insensibles1 ou qu'il ne survient de choc qu'entre des corps dous d'une lasticit parfaite4 ,cette importante considration complte la notion gnrale qu'on doit se former d'une proprit aussi remarquable4 ,de tous les grands thormes de mcanique rationnelle1 celui que nous venons d'envisager est sans contredit le plus important pour les applications la mcanique industrielle2 c'est--dire en ce qui concerne la thorie du mouvement des machines1 en tant qu'elle est susceptible d'tre tablie d'une manire exacte et prcise4 ,le thorme des forces vives a commenc fournir jusqu'ici1 sous ce point de vue1 des indications gnrales trs-prcieuses1 qui ont t surtout prsentes avec une nettet et une concision parfaites dans le travail de ,carnot1 auquel on n'a ajout depuis rien de vraiment essentiel4 ,ce thorme prsente directement1 en effet1 la considration dynamique d'une machine quelconque sous son vritable aspect1 en montrant que1 dans toute transmission et modification du mouvement effectue par une machine1 il y a simplement change de force vive entre la masse du moteur et celle du corps mouvoir4 ,cet change serait complet1 c'est--dire toute la force vive du moteur serait utilise en vitant les changemens brusques1 si les frottemens1 la rsistance des milieux1 etc41 n'en absorbaient ncessairement une portion plus ou moins considrable suivant que la machine est plus ou moins complique4 ,cette notion met dans tout son jour l'absurdit de ce qu'on a appel le mouvement perptuel1 en indiquant mme d'une manire gnrale quel instant la machine abandonne sa seule impulsion primitive doit s'arrter spontanment2 mais cette absurdit est d'ailleurs de sa nature tellement sensible1 qu',huyghens avait1 au contraire1 fond en partie sa dmonstration du thorme des forces vives sur l'vidence manifeste d'une telle impossibilit4 ,quoi qu'il en soit1 ce thorme donne une ide nette de la vritable perfection dynamique d'une machine1 en la rduisant utiliser la plus grande fraction possible de la force vive du moteur1 ce qui ne peut avoir lieu gnralement qu'en s'efforant de simplifier le mcanisme autant que le comporte la nature du moteur4 ,on conoit en effet que si l'on mesure1 comme il semble naturel de le faire1 l'effet dynamique utile d'un moteur en un temps donn par le produit du poids qu'il peut lever et de la hauteur laquelle il le transporte1 cet effet quivaut immdiatement1 d'aprs les lois du mouvement vertical des corps pesans1 une force vive1 et non une quantit de mouvement4 ,sous ce point de vue1 la fameuse discussion souleve par ,lebnitz au sujet des forces vives1 et laquelle prirent part tous les grands gomtres de cette poque1 ne doit point tre regarde comme aussi dpourvue de ralit que d',alembert a paru le croire4 ,on s'tait sans doute mpris en pensant que la mcanique rationnelle tait intresse dans cette contestation1 qui ne saurait en effet1 selon la remarque de d',alembert1 exercer sur elle la moindre influence relle4 ,le point de vue thorique et le point de vue pratique n'avaient pas t assez soigneusement spars par les gomtres qui suivirent cette discussion4 ,mais1 sous le seul point de vue de la mcanique industrielle1 elle n'en avait pas moins une vritable importance4 ,elle pourrait mme tre utilement reprise aujourd'hui1 car les objections qui ont t faites contre la mesure vulgaire de la valeur dynamique des moteurs mritent d'tre prises en srieuse considration1 vu qu'il semble en effet peu rationnel de prendre pour unit un mouvement qui n'est point uniforme4 ,mais1 quelque dcision qu'on finisse par adopter sur cette contestation non-termine1 l'application du thorme des forces vives n'en conservera pas moins toute son importance pour montrer sous son vrai jour la destination relle des machines1 en prouvant que ncessairement elles font perdre en vitesse ou en temps ce qu'elles font gagner en force ou rciproquement1 de telle sorte que leur utilit consiste essentiellement changer les uns dans les autres les divers facteurs de l'effet produire1 sans pouvoir jamais l'augmenter par elles-mmes dans sa totalit1 et en lui faisant constamment subir au contraire une invitable diminution1 ordinairement trs-notable4 ,il est douteux1 du reste1 que l'application de ce thorme puisse aucune poque tre pousse beaucoup plus loin que les indications gnrales de ce genre1 car le vritable calcul priori de l'effet prcis d'une machine quelconque donne prsente1 comme problme de dynamique1 une trop grande complication1 et exige la connaissance exacte d'un trop grand nombre de relations encore compltement inconnues1 pour pouvoir tre efficacement tent dans la plupart des cas#bi4 ,note #bi3 ,la vritable thorie propre de la mcanique industrielle1 qui n'est nullement1 ainsi qu'on le croit souvent1 une simple drivation de la phoronomie ou mcanique rationnelle1 et qui se rapporte un ordre d'ides compltement distinct1 n'a point encore t conue4 ,il en est1 cet gard1 comme de toute autre science d'application dont l'esprit humain ne possde jusqu'ici que quelques lmens insuffisans1 selon la remarque indique dans notre seconde leon4 ,la mcanique industrielle1 abstraction faite de la formation des moteurs1 qui dpend de l'ensemble de nos connaissances sur la nature1 se compose de deux classes de recherches trs-diffrentes1 les unes dynamiques1 les autres gomtriques4 ,les premires ont pour objet la dtermination des appareils les plus convenables1 afin d'utiliser autant que possible les forces motrices donnes2 c'est--dire d'obtenir entre la force vive du corps mouvoir et celle du moteur le rapport le plus rapproch de l'unit1 en ayant gard aux modifications exiges dans la vitesse par la destination connue de la machine4 ,quant aux autres1 on s'y propose de changer volont1 l'aide d'un mcanisme convenable1 les lignes dcrites par les points d'application des forces4 ,en un mot1 le mouvement est modifi1 dans les unes1 quant son intensit2 dans les autres1 quant sa direction4 ,les premires se rapportent une doctrine entirement neuve1 au sujet de laquelle il n'a encore t produit aucune conception directe et vraiment rationnelle4 ,il en est peu prs de mme pour les autres1 qui dpendent de cette gomtrie de situation entrevue par ,lebnitz1 mais qui n'a fait jusqu'ici presqu'aucun progrs4 ,je ne connais1 cet gard1 d'autre travail rel qu'une ingnieuse considration lmentaire prsente par ,monge1 et qui1 quoique simplement empirique1 mrite d'tre note ici1 ne fut-ce que pour indiquer la vritable nature de cet ordre d'ides4 ,monge est parti de cette observation1 trs-plausible en effet1 que1 dans la ralit1 les mouvemens excuts par les machines sont ou rectilignes ou circulaires1 chacun pouvant tre d'ailleurs ou continu ou alternatif4 ,il a1 ds lors1 envisag toute machine comme destine1 sous le rapport gomtrique1 transformer ces divers mouvemens lmentaires les uns dans les autres4 ,cela pos1 en puisant toutes les combinaisons diverses qu'une telle transformation peut offrir1 il en a vu rsulter ncessairement dix sries d'appareils dans lesquelles peuvent tre ranges toutes les machines connues1 ainsi que celles qu'on imaginera plus tard4 ,les tableaux rsultant de cette classification peuvent donc tre envisags comme prsentant au mcanicien les moyens empiriques de rsoudre1 dans chaque cas1 le problme de la transformation du mouvement1 en choisissant1 parmi tous les appareils propres remplir la condition propose1 celui qui prsente d'ailleurs le plus d'avantages4 ,le mouvement d'un systme quelconque prsente une autre proprit gnrale trs-remarquable1 quoique moins importante1 soit sous le rapport analytique1 soit surtout sous le rapport physique1 que celle qui vient d'tre examine3 c'est la proprit exprime par le clbre thorme gnral de dynamique auquel ,maupertuis a donn la dnomination si vicieuse de principe de la moindre action4 ,la filiation des ides au sujet de cette dcouverte remonte une poque trs loigne1 car les gomtres de l'antiquit avaient dj fait quelques remarques qu'on peut concevoir aujourd'hui comme quivalentes la vrification de ce thorme dans le cas particulier le plus simple4 ,ptolme1 en effet1 observe expressment1 quant la loi de la rflexion de la lumire1 que par la nature de cette loi1 la lumire en se rflchissant se trouve suivre le plus court chemin possible pour parvenir d'un point un autre4 ,lorsque ,descartes et ,snellius eurent dcouvert la loi relle de la rfraction1 ,fermat rechercha si on ne pourrait point y arriver priori d'aprs quelque considration analogue la remarque de ,ptolme4 ,le minimum ne pouvant alors avoir lieu relativement la longueur du chemin parcouru1 puisque la route rectiligne et t possible dans ce cas1 ,fermat prsuma qu'il existerait l'gard du temps4 ,il se proposa donc1 en regardant la route de la lumire comme compose de deux droites diffrentes1 spares1 sous un angle inconnu1 la surface du corps rfringent1 quelle devait tre cette direction relative pour que le temps employ par la lumire dans son trajet ft le moindre possible1 et il eut le bonheur de trouver d'aprs cette seule considration une loi de la rfraction exactement conforme celle directement dduite des observations par ,snellius et par ,descartes4 ,cette belle solution est d'ailleurs minemment remarquable dans l'histoire gnrale des progrs de l'analyse mathmatique1 comme ayant offert ,fermat la premire application importante de sa clbre mthode de maximis et minimis1 qui contient le vritable germe primitif du calcul diffrentiel4 ,la comparaison de la remarque de ,ptolme avec le travail de ,fermat envisag sous le point de vue dynamique1 devint pour ,maupertuis la base de la dcouverte du thorme que nous considrons4 ,quoiqu'gar1 bien plus que conduit1 par de vagues considrations mtaphysiques sur la prtendue conomie des forces dans la nature1 il finit par arriver ce rsultat important1 que la trajectoire d'un corps soumis l'action de forces quelconques devait ncessairement tre telle1 que l'intgrale du produit de la vitesse du mobile par l'lment de la courbe dcrite ft toujours un minimum1 relativement sa valeur dans toute autre courbe4 ,mais ,lagrange est avec justice gnralement regard par les gomtres actuels comme le vritable fondateur de ce thorme1 non-seulement pour l'avoir gnralis autant que possible1 mais surtout pour en avoir dcouvert la vritable dmonstration en le rattachant aux thories dynamiques fondamentales1 et en le dgageant des notions confuses et arbitraires que ,maupertuis avait employes4 ,il ne subsiste maintenant d'autre trace du travail de ,maupertuis que le nom qu'il a impos ce thorme1 et dont l'improprit est universellement reconnue1 quoique1 pour plus de brivet1 on ait continu s'en servir4 ,le thorme1 tel qu'il a t tabli par ,lagrange relativement un systme quelconque de corps1 consiste en ce que1 quelles que soient leurs attractions rciproques1 ou leurs tendances vers des centres fixes1 les trajectoires dcrites par ces corps sont toujours telles que la somme des produits de la masse de chacun d'eux1 et de l'intgrale relative sa vitesse multiplie par l'lment de la courbe correspondante1 est ncessairement un maximum ou un minimum1 cette somme tant tendue la totalit du systme4 ,il importe d'ailleurs de remarquer que la dmonstration de ce thorme gnral tant fonde sur le thorme des forces vives1 il est invitablement assujti aux mmes limitations que celui-ci4 ,outre la belle proprit du mouvement contenue dans cette proposition remarquable1 on conoit que1 sous le rapport analytique1 elle peut tre envisage comme un nouveau moyen de former les quations diffrentielles qui doivent conduire la dtermination de chaque mouvement spcial4 ,il suffit1 en effet1 conformment la mthode gnrale des maxima et minima fournie par le calcul des variations1 d'exprimer que la somme prcdemment indique est un maximum ou un minimum 7soit absolu1 soit relatif suivant les cas71 en rendant sa variation nulle4 ,lagrange a expressment montr comment1 d'aprs cette seule considration1 on peut1 en gnral1 retrouver la formule fondamentale de la dynamique4 ,mais1 quelqu'utile que puisse tre en certains cas une telle manire de procder1 il ne faut point s'exagrer son importance2 car on ne doit pas perdre de vue qu'elle ne fournit par elle-mme aucune intgrale finie des quations du mouvement2 elle se borne seulement tablir ces quations d'une autre manire1 qui peut quelquefois tre plus convenable4 ,sous ce rapport1 le thorme de la moindre action est certainement moins prcieux que celui des forces vives4 ,quoi qu'il en soit1 il convient de remarquer ici avec ,lagrange que l'ensemble de ces deux thormes peut tre regard1 en thse gnrale1 comme suffisant pour l'entire dtermination du mouvement d'un corps4 ,le thorme de la moindre action a aussi t prsent par ,lagrange sous une autre forme gnrale1 spcialement destine rendre plus sensible son interprtation concrte4 ,en effet1 l'lment de la trajectoire pouvant videmment tre remplac dans l'nonc de ce thorme par le produit quivalent de la vitesse et de l'lment du temps1 le thorme consiste alors en ce que chaque corps du systme dcrit constamment une courbe telle que la somme des forces vives consommes en un temps donn pour parvenir d'une position une autre est ncessairement un maximum ou un minimum4 ,l'histoire philosophique des travaux relatifs au thorme de la moindre action est particulirement propre mettre dans tout son jour l'insuffisance complte et le vice radical des considrations mtaphysiques employes comme moyens de dcouvertes scientifiques4 ,on ne peut nier sans doute que le principe thologique et mtaphysique des causes finales n'ait eu ici quelque utilit1 en contribuant dans l'origine veiller l'attention des gomtres sur cette importante proprit dynamique1 et mme en leur fournissant cet gard quelques indications vagues4 ,l'esprit de ce cours1 tel que nous l'avons dj expressment signal1 et tel qu'il se dveloppera de plus en plus par la suite1 nous prescrit1 en effet1 de regarder1 en thse gnrale1 les hypothses thologiques et mtaphysiques comme ayant t utiles et mme ncessaires aux progrs rels de l'intelligence humaine1 en soutenant son activit aussi long-temps qu'a dur l'absence de conceptions positives d'une gnralit suffisante4 ,mais1 alors mme1 les nombreux inconvniens fondamentaux inhrens une telle manire de procder vrifient clairement qu'elle ne peut tre envisage que comme provisoire4 ,l'exemple actuel en offre une preuve sensible4 ,car1 sans l'introduction des considrations exactes et relles fondes sur les lois gnrales de la mcanique1 on disputerait encore1 ainsi que le remarque ,lagrange avec tant de raison1 sur ce qu'il faut entendre par la moindre action de la nature1 la prtendue conomie des forces consistant tantt dans l'espace1 tantt dans le temps1 et le plus souvent n'tant en effet ni l'une ni l'autre4 ,il est d'ailleurs vident que cette proprit n'a point ce caractre absolu qu'on avait d'abord voulu lui imposer1 puisqu'elle prouve dans un grand nombre de cas des restrictions dtermines4 ,mais ce qui rend surtout manifeste le vice radical des considrations primitives1 c'est que1 d'aprs l'analyse exacte de la question traite par ,lagrange1 on voit que l'intgrale ci-dessus dfinie n'est nullement assujettie tre ncessairement un minimum1 et qu'elle peut1 au contraire1 tre tout aussi bien un maximum1 comme il arrive effectivement en certains cas1 le vritable thorme gnral consistant seulement en ce que la variation de cette intgrale est nulle3 que devient alors l'conomie des forces1 de quelque manire qu'on prtende caractriser l'action8 ,l'insuffisance et mme l'erreur de l'argumentation de ,maupertuis sont ds lors pleinement videntes4 ,dans cette occasion1 comme dans toutes celles o il a pu jusqu'ici y avoir concours1 la comparaison a expressment constat la supriorit immense et ncessaire de la philosophie positive sur la philosophie thologique et mtaphysique1 non-seulement quant la justesse et la prcision des rsultats effectifs1 mais mme quant l'tendue des conceptions et l'lvation relle du point de vue intellectuel4 ,pour complter cette numration raisonne des proprits gnrales du mouvement1 je crois devoir enfin signaler ici une dernire proposition fort remarquable1 qu'on ne place point ordinairement dans la mme catgorie que les prcdentes1 et qui mrite cependant1 un aussi haut degr1 de fixer notre attention1 soit par sa beaut intrinsque1 soit surtout par l'importance et l'tendue de ses applications aux problmes dynamiques les plus difficiles4 ,il s'agit du clbre thorme gnral dcouvert par ,daniel ,bernouilli1 sur la coexistence des petites oscillations4 ,voici en quoi il consiste4 ,nous avons vu1 en commenant cette leon1 qu'il existe1 pour tout systme de forces1 une situation d'quilibre stable1 celle dans laquelle la somme des forces vives est un des maximum1 suivant la loi de ,maupertuis gnralise par ,lagrange4 ,quand le systme est infiniment peu cart de cette situation par une cause quelconque1 il tend y revenir1 en faisant autour d'elle une suite d'oscillations infiniment petites1 graduellement diminues et bientt dtruites par la rsistance du milieu et les frottemens1 et qu'on peut assimiler celles d'un pendule d'une longueur convenable soumis l'influence d'une gravit dtermine4 ,mais plusieurs causes diffrentes peuvent faire simultanment osciller le systme de diverses manires autour de la position de stabilit4 ,cela pos1 le thorme de ,daniel ,bernouilli consiste en ce que toutes les espces d'oscillations infiniment petites produites par ces divers drangemens simultans1 quelle que soit leur nature1 ne font simplement que se superposer1 en coexistant sans se nuire1 chacune d'elles ayant lieu comme si elle tait seule4 ,on conoit aisment l'extrme importance de cette belle proposition pour faciliter l'tude d'un tel genre de mouvemens1 puisqu'il suffit d'aprs cela d'analyser isolment chaque sorte d'oscillations produite par chaque perturbation spare4 ,cette dcomposition est surtout de la plus grande utilit dans les recherches relatives au mouvement des fluides1 o un tel ordre de considrations se prsente presque constamment4 ,mais la proprit dcouverte par ,daniel ,bernouilli n'est pas moins intressante sous le rapport physique que sous le point de vue logique4 ,en effet1 envisage comme une loi de la nature1 elle explique directement1 de la manire la plus satisfaisante1 une foule de faits divers1 que l'observation avait depuis long-temps constats1 et qu'on cherchait vainement concevoir jusqu'alors4 ,telle est1 par exemple1 la coexistence des ondes produites la surface d'un liquide1 lorsqu'elle se trouve agite la fois en plusieurs points diffrens par diverses causes quelconques4 ,telle est1 surtout1 dans l'acoustique1 la simultanit des sons distincts produits par divers branlemens de l'air4 ,cette coexistence qui a lieu sans confusion entre les diffrentes ondes sonores1 avait videmment t souvent observe1 puisqu'elle est une des bases essentielles du mcanisme de notre audition2 mais elle paraissait inexplicable2 on n'y voit plus maintenant qu'une consquence immdiate du beau thorme de ,daniel ,bernouilli4 ,en considrant ce thorme sous le point de vue le plus philosophique1 on ne le trouve peut-tre pas moins remarquable par la manire dont il rsulte des quations gnrales du mouvement1 que par son importance analytique ou physique4 ,en effet cette coexistence des divers ordres d'oscillations infiniment petites d'un systme quelconque1 autour de sa situation de stabilit1 a lieu parce que l'quation diffrentielle qui exprime la loi de l'un quelconque de ces mouvemens se trouve tre linaire1 et consquemment de la classe de celles dont l'intgrale gnrale est ncessairement la simple somme d'un certain nombre d'intgrales particulires4 ,ainsi1 sous le rapport analytique1 la superposition des divers mouvemens oscillatoires a pour cause l'espce de superposition qui s'tablit alors entre les diffrentes intgrales correspondantes4 ,cette importante corrlation est certainement1 comme l'observe avec raison ,laplace1 un des plus beaux exemples de cette harmonie ncessaire entre l'abstrait et le concret1 dont la philosophie mathmatique nous a offert tant de vrifications admirables4 ,telles sont les principales considrations philosophiques relatives aux diffrens thormes gnraux dcouverts jusqu'ici dans la mcanique rationnelle1 et qui tous drivent1 comme de simples dductions analytiques plus ou moins loignes1 des lois fondamentales du mouvement sur lesquelles repose le systme entier de la science phoronomique4 ,l'examen sommaire de ces thormes1 dont l'ensemble constitue un des monumens les plus imposans de l'activit de l'intelligence humaine convenablement dirige1 tait indispensable pour achever de dterminer le caractre philosophique de la science de l'quilibre et du mouvement1 dj suffisamment trac dans les leons prcdentes1 l'gard de la mthode4 ,nous pouvons donc maintenant nous former nettement une ide gnrale de la nature propre de cette seconde branche de la mathmatique concrte1 ce qui devait tre le seul objet essentiel de notre travail ce sujet4 ,je me suis efforc1 dans ce volume1 de faire sentir1 autant qu'il a t en mon pouvoir1 en quoi consiste rellement la philosophie mathmatique1 soit quant ses conceptions abstraites1 soit quant ses divers ordres de considrations concrtes1 soit enfin quant la corrlation intime et permanente qui existe ncessairement entre les unes et les autres4 ,je regrette vivement que les limites dans lesquelles j'ai d me renfermer1 vu la destination de cet ouvrage1 ne m'aient point permis de faire passer1 autant que je l'aurais dsir1 dans l'esprit du lecteur mon sentiment profond de la nature de cette immense et admirable science1 qui1 base ncessaire de la philosophie positive tout entire1 constitue d'ailleurs videmment1 en elle-mme1 le tmoignage le plus irrcusable de la porte du gnie humain4 ,mais j'espre que les penseurs qui n'ont pas le malheur d'tre entirement trangers cette science fondamentale pourront1 d'aprs les rflexions que j'ai indiques1 parvenir en concevoir nettement le vritable caractre philosophique4 ,pour prsenter un aperu vraiment complet de la philosophie mathmatique dans son tat actuel1 j'ai indiqu d'avance 7voyez la #c;e ,leon7 qu'il me reste encore considrer une troisime branche de la mathmatique concrte1 celle qui consiste dans l'application de l'analyse l'tude des phnomnes thermologiques1 dernire grande conqute de l'esprit humain1 due l'illustre ami dont je dplore la perte rcente1 l'immortel ,fourier1 qui vient de laisser dans le monde savant une si profonde lacune1 long-temps destine tre de jour en jour plus fortement sentie4 ,mais1 afin de ne m'carter que le moins possible des habitudes encore universellement adoptes1 j'ai annonc que je croyais devoir ajourner cet important examen jusqu' ce que l'ordre naturel des considrations exposes dans cet ouvrage nous ait conduits la partie de la physique qui traite de la thermologie4 ,quoiqu'une telle transposition ne soit point vritablement rationnelle1 il n'en saurait rsulter cependant qu'un inconvnient secondaire1 l'apprciation philosophique que je prsenterai ayant d'ailleurs exactement le mme caractre que si elle et t place son vritable rang logique4 ,considrant donc maintenant la philosophie mathmatique comme compltement caractrise1 nous devons procder l'examen de son application plus ou moins parfaite l'tude des divers ordres de phnomnes naturels suivant leur degr de simplicit1 application qui1 par elle-mme1 est d'ailleurs videmment propre jeter un nouveau jour sur les vrais principes de cette philosophie1 et sans laquelle1 en effet1 ils ne sauraient tre convenablement apprcis4 ,tel sera l'objet du volume suivant1 en nous conformant l'ordre encyclopdique rigoureusement dtermin dans la seconde leon1 d'aprs la nature spciale de chacune des classes principales de phnomnes que nous avons tablies1 et1 par consquent1 en commenant par les phnomnes astronomiques l'tude approfondie desquels la science mathmatique est minemment destine4 ,,fin ,,du ,,tome ,,premier4 ,,table ,,des ,,mati,,res ,,contenues ,,dans ,,le ,,tome ,,premier4 ,ddicace v ,avertissement de l'auteur4 ,tableau synoptique de l'ensemble du cours de philosophie positive4 #are ,,le,,on4--,exposition du but de ce cours1 ou considrations gnrales sur la nature et l'importance de la philosophie positive4 #b;e ,,le,,on4--,exposition du plan de ce cours1 ou considrations gnrales sur la hirarchie des sciences positives4 #c;e ,,le,,on4--,considrations philosophiques sur l'ensemble de la science mathmatique4 #d;e ,,le,,on4--,vue gnrale de l'analyse mathmatique4 #e;e ,,le,,on4--,considrations gnrales sur le calcul des fonctions directes4 #f;e ,,le,,on4--,exposition comparative des divers points de vue gnraux sous lesquels on peut envisager le calcul des fonctions indirectes4 #g;e ,,le,,on4--,tableau gnral du calcul des fonctions indirectes4 #h;e ,,le,,on4--,considrations gnrales sur le calcul des variations4 #i;e ,,le,,on4--,considrations gnrales sur le calcul aux diffrences finies4 #aj;e ,,le,,on4--,vue gnrale de la gomtrie4 #aa;e ,,le,,on4--,considrations gnrales sur la gomtrie spciale ou prliminaire4 #ab;e ,,le,,on4--,conception fondamentale de la gomtrie gnrale ou analytique4 #ac;e ,,le,,on4--,de la gomtrie gnrale deux dimensions4 #ad;e ,,le,,on4--,de la gomtrie gnrale trois dimensions4 #ae;e ,,le,,on4--,considrations philosophiques sur les principes fondamentaux de la mcanique rationnelle4 #af;e ,,le,,on4--,vue gnrale de la statique4 #ag;e ,,le,,on4--,vue gnrale de la dynamique4 #ah;e ,,le,,on4--,considrations sur les thormes gnraux de mcanique rationnelle4 ,,errata ,,du ,,tome ,,premier4 ,,note ,,du ,,transcripteur3 ,ces erreurs ont t corriges dans le prsent document4 ,la liste en est reproduite ici seulement pour fin de rfrence4 ,page #adg1 ligne #be1 au lieu de ides1 lisez conceptions4 #bja #a fait1 lisez sait4 #bcf #ab ,m4 ,fournier1 lisez ,m4 ,fourier4 #bdh #bf supprimez ou moins4 #cea #ag aprs influe1 ajoutez singulirement4 #dbj #aa au lieu de signes1 lisez lignes4 #dfi #a jusqu'ici1 lisez jusqu' ce jour4 #ejd #bj intensit1 lisez intimit4 #ejh #ah1 aprs volume du1 ajoutez tronc de cne ou du4 #eji #c1 au lieu de ,s#b_/pi_/int ydx1 lisez ,s#b_/pi_/int yds4 #ecj #bj divers individus1 lisez diverses espces4 #ecd dernire ligne de la note1 avant dsignant1 ajoutez4 #eef #f au lieu de relations1 lisez actions4 #fbd #d oprations1 lisez quations4