,transcrib]'s note3 ,a few typographical errors h be5 correct$3 !y are li/$ at ! end ( ! text4 ,braces are ins]t$ by ! ,transcrib] to cl>ify ! mean+ ( ma?s expressions4 ,ov]l9+ is ! me?od ( gr\p+ us$ 9 ! orig9al & is m>k$ l ?is4 ,9 ,lib4 ,i4 ,lemma ,,xviii4 ,,xx4 r is upright r di/+ui%$ f italics1 9 ,lemma ,,xviii4 s is long-s di/+ui%$ f %ort-s1 & 9 ,prop4 ,,xxii4 ,d is small-caps di/+ui%$ f normal font size4 99 99 99 99 99 ,,philosophi ,,naturalis ,,pr9cipia ,,ma!matica 99 99 99 99 99 ,autore ,,is4 ,,newton1 ,tr94 ,coll4 ,cantab4 ,soc4 ,ma!seos ,pr(essore ,lucasiano1 ,societatis ,regalis ,sodali4 99 99 99 99 99 ,,imprimatur4 ,s4 ,,pepys1 ,reg4 ,soc4 ,,pr,,ses4 ,julii #e4 #afhf4 99 99 99 99 99 ,,lond9i1 ,jussu ,societatis ,regi ac ,typis ,josephi ,/reat]4 ,pro/at apud plures ,bibliopolas4 ,anno ,,mdclxxxvii4 99 99 99 99 99 ,,illu/rissim ,,societati ,,regali a ,s]5issimo ,,rege ,,c>olo ,,ii4 ,,ad ,,philosophiam ,,promov5dam ,,fundat1 ,,et ,,auspiciis ,,pot5tissimi ,,mon>* ,,jacobi ,,ii4 ,,flor5ti4 ,tractatum hunc humillime ,d4,d4,d4 ,,is4 ,,newton4 99 99 99 99 99 ,,pr,,fatio ,,ad ,,lectorem4 ,cum ,vet]es ,me*anicam 7uti ,au?or e/ ,pappus7 9 v]um ,naturalium inve/igatione maximi fec]9t1 rec5tiores1 missis =mis sub/antialibus qualitatibus occultis1 ,phnom5a ,natur ad leges ,ma!maticas revoc>e aggressi s9t3 ,visum e/ 9 hoc ,tractatu ,ma!s9 excol]e quat5us ea ad ,philosophiam spectat4 ,me*anicam v]o duplicem ,vet]es con/itu]unt3 ,rationalem qu p] ,demon/rationes accurate proc$it1 ,practicam4 ,ad practicam spectant ,artes omnes ,manuales1 a quibus utiq2 ,me*anica nom5 mutuata e/4 ,cum autem ,artifices p>um accurate op]>i soleant1 fit ut ,me*anica omnis a ,geometria ita di/+uatur1 ut quicquid accuratum sit ad ,geometriam ref]atur1 quicquid m9us accuratum ad ,me*anicam4 ,attam5 errores non sunt ,artis s$ ,artificum4 ,qui m9us accurate op]atur1 imp]fectior e/ ,me*anicus1 si quis accuratissime op]>i posset1 hic =et ,me*anicus omnium p]fectissimus4 ,nam ,l9e>um rect>um ,circulorum descriptiones 9 quibus ,geometria fundatur1 ad ,me*anicam p]t95t4 ,has l9eas describ]e ,geometria non docet s$ po/ulat4 ,po/ulat enim ut ,tyro easdem accurate describ]e prius didic]it quam lim5 att+at ,geometri2 de91 quomodo p] has op]ationes ,problemata solvantur1 docet4 ,rectas circulos describ]e ,problemata sunt s$ non ,geometrica4 ,ex ,me*anica po/ulatur horum solutio1 9 ,geometria docetur solutorum usus4 ,ac gloriatur ,geometria quod tam paucis pr9cipiis aliunde petitis tam multa pr/et4 ,fundatur igitur ,geometria 9 praxi ,me*anica1 nihil aliud e/ quam ,me*anic univ]salis p>s illa qu artem m5sur&i accurate proponit ac demon/rat4 ,cum autem artes ,manuales 9 corporibus mov5dis prcipue v]s5tur1 fit ut ,geometria ad magnitud9em1 ,me*anica ad motum vulgo res]atur4 ,quo s5su ,me*anica rationalis erit ,sci5tia ,motuum qui ex viribus quibuscunq2 resultant1 virium qu ad motus quoscunq2 requiruntur1 accurate proposita ac demon/rata4 ,p>s hc ,me*anic a ,vet]ibus 9 ,pot5tiis qu9que ad artes manuales spectantibus exculta fuit1 qui ,gravitatem 7cum pot5tia manualis non sit7 vix alit] quam 9 pond]ibus p] pot5tias illas mov5dis consid]>unt4 ,nos autem non ,artibus s$ ,philosophi consul5tes1 deq2 pot5tiis non manualibus s$ naturalibus scrib5tes1 ea maxime tractamus qu ad ,gravitatem1 levitatem1 vim ,ela/icam1 resi/5tiam ,fluidorum ejusmodi vires seu attractivas seu impulsivas spectant3 ,et ea propt] hc no/ra tanquam ,philosophi pr9cipia ,ma!matica proponimus4 ,omnis enim ,philosophi difficultas 9 eo v]s>i videtur1 ut a ,phnom5is motuum inve/igemus vires ,natur1 de9de ab 8 viribus demon/remus phnom5a reliqua4 ,et hac spectant ,propositiones g5]ales quas ,libro primo secundo p]tractavimus4 ,9 ,libro autem t]tio exemplum hujus rei proposuimus p] explicationem ,sy/ematis mundani4 ,ibi enim1 ex phnom5is cle/ibus1 p] ,propositiones 9 ,libris prioribus ,ma!matice demon/ratas1 d]ivantur vires gravitatis quibus corpora ad ,solem ,planetas s+ulos t5dunt4 ,de9de ex 8 viribus p] ,propositiones etiam ,ma!maticas d$ucuntur motus ,planet>um1 ,comet>um1 ,lun ,m>is4 ,ut9am ct]a ,natur phnom5a ex pr9cipiis ,me*anicis eodem argum5t&i g5]e d]iv>e lic]et4 ,nam multa me mov5t ut nonnihil suspic] ea omnia ex viribus quibusdam p5d]e posse1 quibus corporum p>ticul p] causas nondum cognitas vel 9 se mutuo impelluntur secundum figuras regul>es cohr5t1 vel ab invicem fugantur rec$unt3 quibus viribus ignotis1 ,philosophi hact5us ,naturam fru/ra t5t>unt4 ,sp]o autem quod vel huic ,philosoph&i modo1 vel v]iori alicui1 ,pr9cipia hic posita lucem aliquam prbebunt4 ,9 8 ed5dis1 ,vir acutissimus 9 omni lit]>um g5]e eruditissimus ,edmundus ,halleius op]am navavit1 nec solum ,typo!t>um ,sphalmata correxit ,s*emata incidi curavit1 s$ etiam ,au?or fuit ut horum editionem aggr$]]4 ,quippe cum demon/ratam a me figuram ,orbium cle/ium impetrav]at1 rog>e non de/itit ut eadem cum ,societate ,regali communic>em1 ,qu de9de hortatibus b5ignis suis auspiciis effecit ut de eadem 9 lucem emitt5da cogit>e incip]em4 ,at po/quam ,motuum ,lun>ium 9qualitates aggressus essem1 de9de etiam alia t5t>e cpissem qu ad leges m5suras ,gravitatis ali>um virium1 ad figuras a corporibus secundum datas quascunque leges attractis describ5das1 ad motus corporum plurium int] se1 ad motus corporum 9 ,m$iis resi/5tibus1 ad vires1 d5sitates motus ,m$iorum1 ad ,orbes ,comet>um similia spectant1 editionem 9 aliud tempus diff]5dam esse putavi1 ut ct]a rim>] una 9 publicum d>em4 ,qu ad motus ,lun>es spectant1 7imp]fecta cum s9t17 9 ,coroll>iis ,propositionis ,,lxvi4 simul complexus sum1 ne s+ula me?odo prolixiore quam pro rei dignitate propon]e1 sigillatim demon/r>e t5]]1 s]iem reliqu>um ,propositionum int]rump]e4 ,nonnulla s]o inv5ta locis m9us idoneis ins]]e malui1 quam num]um ,propositionum citationes mut>e4 ,ut omnia c&ide legantur1 defectus1 9 mat]ia tam difficili non tam repreh5dantur1 quam novis ,lectorum conatibus inve/ig5tur1 b5igne suppleantur1 enixe rogo4 99 99 99 99 99 ,,9 ,,viri ,,pr,,/antissimi ,d4 ,,isaaci ,,newtoni ,,opus ,,hocce ,,ma!matico-,,physicum ,sculi ,g5tisque no/r ,decus egregium4 ,en tibi norma ,poli1 div libram9a ,molis1 ,computus atque ,jovis2 quas1 dum primordia r]um ,pang]et1 omnip>5s ,leges viol>e ,creator ,noluit1 t]nique op]is fundam9a fixit4 ,intima p&untur victi p5etralia cli1 ,nec latet extremos qu ,vis circumrotat ,orbes4 ,sol solio resid5s ad se jubet omnia prono ,t5d]e desc5su1 nec recto tramite currus ,sid]eos patitur va/um p] inane mov]i2 ,s$ rapit immotis1 se c5tro1 s+ula ,gyris4 ,jam patet horrificis qu sit via flexa ,cometis2 ,jam non miramur b>bati ,phnom5a ,a/ri4 ,discimus h9c t&em qua causa arg5tea ,phoebe ,passibus haud quis graditur2 cur subdita nulli ,hact5us ,a/ronomo num]orum frna recuset3 ,cur remeant ,nodi1 curque ,auges progr$iuntur4 ,discimus quantis refluum vaga ,cyn?ia ,pontum ,viribus impellit1 dum fractis fluctibus ,ulvam ,des]it1 ac ,nautis suspectas nudat ar5as2 ,alt]nis vicibus suprema ad littora pulsans4 ,qu toties animos vet]um tors]e ,sophorum1 ,quque ,s*olas fru/ra rauco c]tam9e vexant ,obvia conspicimus nubem pell5te ,ma!si4 ,jam dubios nulla calig9e prgravat error ,queis ,sup]um p5etr>e domos atque ardua ,coeli ,sc&]e sublimis ,g5ii concessit acum54 ,surgite ,mortales1 t]r5as mittite curas ,atque h9c coelig5 vires dignoscite ,m5tis ,a pecudum vita longe lateque remot4 ,qui scriptis jussit ,tabulis compesc]e ,cdes ,furta ,adult]ia1 p]jur crim9a ,fraudis2 ,quive vagis populis circumd>e mo5ibus ,urbes ,autor erat2 ,c]]isve beavit mun]e g5tes2 ,vel qui cur>um l5im5 pressit ab ,uva2 ,vel qui ,niliaca mon/ravit arund9e pictos ,consoci>e sonos1 oculisque expon]e ,voces2 ,humanam sortem m9us extulit2 utpote pauca ,respici5s mis] solummodo commoda vit4 ,jam v]o ,sup]is conviv admittimur1 alti ,jura poli tract>e licet1 jamque abdita coec ,clau/ra pat5t ,t]r r]umque immobilis ordo1 ,et qu prt]iti latu]unt scula mundi4 ,talia mon/rantem mecum celebrate ,camnis1 ,vos qui coele/i gaudetis nect>e vesci1 ,,newtonvm clausi res]antem scr9ia ,v]i1 ,,newtonvm ,musis *>um1 cui pectore puro ,phoebus ade/1 totoque incessit ,num9e m5tem3 ,nec fas e/ propius ,mortali att+]e ,divos4 ,,edm4 ,,halley4 99 99 99 99 99 ,,philosophi ,,naturalis ,pr9cipia ,,ma!matica4 99 99 99 99 99 ,def9itiones4 99 99 99 99 99 ,def4 ,i4 ,quantitas ,mat]i e/ m5sura ejusdem orta ex illius ,d5sitate ,magnitud9e conjunctim4 ,a] duplo d5sior 9 duplo spatio quadruplus e/4 ,idem intellige de ,nive et ,pulv]ibus p] compressionem vel liquefactionem cond5satis4 ,et p> e/ ratio corporum omnium1 qu p] causas quascunq2 div]simode cond5santur4 ,m$ii int]ea1 si quod fu]it1 int]/itia p>tium lib]e p]vad5tis1 hic nullam rationem habeo4 ,hanc autem quantitatem sub nom9e corporis vel ,mass 9 sequ5tibus passim intelligo4 ,innotescit ea p] corporis cujusq2 pondus4 ,nam pond]i proportionalem esse rep]i p] exp]im5ta p5dulorum accuratissime in/ituta1 uti po/hac docebitur4 ,def4 ,,ii4 ,quantitas motus e/ m5sura ejusdem orta ex ,velocitate et quantitate ,mat]i conjunctim4 ,motus totius e/ summa motuum 9 p>tibus s+ulis1 adeoq2 9 corpore duplo majore quali cum ,velocitate duplus e/1 et dupla cum ,velocitate quadruplus4 ,def4 ,,iii4 ,mat]i vis insita e/ pot5tia resi/5di1 qua corpus unumquodq21 quantum 9 se e/1 p]sev]at 9 /atu suo vel quiesc5di vel mov5di uni=mit] 9 directum4 ,hc semp] proportionalis e/ suo corpori1 neq2 diff]t quicquam ab in]tia ,mass1 nisi 9 modo concipi5di4 ,p] in]tiam mat]i fit ut corpus omne de /atu suo vel quiesc5di vel mov5di difficult] deturbetur4 ,unde etiam vis insita nom9e significantissimo vis in]ti dici possit4 ,ex]cet v]o corpus hanc vim solummodo 9 mutatione /atus sui p] vim aliam 9 se impressam facta1 e/q2 ex]citium ejus sub div]so respectu et ,resi/5tia et ,impetus3 ,resi/5tia quat5us corpus ad cons]v&um /atum suum reluctatur vi impress2 ,impetus quat5us corpus idem1 vi resi/5tis ob/aculi difficult] c$5do1 conatur /atum ejus mut>e4 ,vulgus ,resi/5tiam quiesc5tibus et ,impetum mov5tibus tribuit2 s$ motus et quies1 uti vulgo concipiuntur1 respectu solo di/+uuntur ab invicem1 neq2 semp] v]e quiescunt qu vulgo tanquam quiesc5tia spectantur4 ,def4 ,,iv4 ,vis impressa e/ actio 9 corpus ex]cita1 ad mut&um ejus /atum vel quiesc5di vel mov5di uni=mit] 9 directum4 ,consi/it hc vis 9 actione sola1 neq2 po/ actionem p]manet 9 corpore4 ,p]sev]at enim corpus 9 /atu omni novo p] solam vim in]ti4 ,e/ autem vis impressa div]s>um orig9um1 ut ex ictu1 ex pressione1 ex vi c5tripeta4 ,def4 ,v4 ,vis c5tripeta e/ qua corpus v]sus punctum aliquod tanquam ad c5trum trahitur1 impellitur1 vel utcunq2 t5dit4 ,hujus g5]is e/ gravitas1 qua corpus t5dit ad c5trum ,t]r3 ,vis magnetica1 qua f]rum petit c5trum ,magnetis1 et vis illa1 qucunq2 sit1 qua ,planet p]petuo retrahuntur a motibus rectil9eis1 et 9 l9eis curvis revolvi coguntur4 ,e/ autem vis c5tripet quantitas trium g5]um1 absoluta1 accel]atrix et motrix4 ,def4 ,,vi4 ,vis c5tripet quantitas absoluta e/ m5sura ejusdem major vel m9or pro efficacia caus eam propagantis a c5tro p] regiones 9 circuitu4 ,uti virtus ,magnetica major 9 uno magnete1 m9or 9 alio4 ,def4 ,,vii4 ,vis c5tripet quantitas accel]atrix e/ ipsius m5sura ,velocitati proportionalis1 quam dato tempore g5]at4 ,uti ,virtus ,magnetis ejusdem major 9 m9ori ,di/antia1 m9or 9 majori3 vel vis gravitans major 9 ,vallibus1 m9or 9 cacum9ibus praltorum montium 7ut exp]im5to p5dulorum con/at7 atq2 adhuc m9or 7ut po/hac patebit7 9 majoribus di/antiis a ,t]ra2 9 qualibus autem di/antiis eadem undiq2 propt]ea quod corpora omnia cad5tia 7gravia an levia1 magna an p>va7 sublata ,a]is resi/5tia1 qualit] accel]at4 ,def4 ,,viii4 ,vis c5tripet quantitas motrix e/ ipsius m5sura proportionalis motui1 quem dato tempore g5]at4 ,uti pondus majus 9 majori corpore1 m9us 9 m9ore2 inq2 corpore eodem majus prope t]ram1 m9us 9 clis4 ,hc vis e/ corporis totius c5tripet5tia seu prop5sio 9 c5trum 7ut ita dicam7 pondus1 innotescit semp] p] vim ipsi contr>iam qualem1 qua desc5sus corporis imp$iri pote/4 ,hasce virium quantitates brevitatis gratia nom9>e licet vires absolutas1 accel]atrices motrices1 di/9ctionis gratia ref]re ad corpora1 ad corporum loca1 ad c5trum virium3 ,nimirum vim motricem ad corpus1 tanquam conatum prop5sionem totius 9 c5trum1 ex prop5sionibus omnium p>tium compositum2 vim accel]atricem ad locum corporis1 tanquam efficaciam qu&am1 de c5tro p] loca s+ula 9 circuitu diffusam1 ad mov5da corpora qu 9 ipsis sunt2 vim autem absolutam ad c5trum1 tanquam causa aliqua prditum1 s9e qua vires motrices non propagantur p] regiones 9 circuitu2 sive causa illa sit corpus aliquod c5trale 7quale e/ ,magnes 9 c5tro vis ,magnetic vel ,t]ra 9 c5tro vis gravitantis7 sive alia aliqua qu non app>et4 ,ma!maticus saltem e/ hic conceptus4 ,nam virium causas s$es physicas jam non exp5do4 ,e/ igitur vis accel]atrix ad vim motricem ut cel]itas ad motum4 ,oritur enim quantitas motus ex cel]itate ducta 9 quantitatem ,mat]i1 vis motrix ex vi accel]atrice ducta 9 quantitatem ejusdem mat]i4 ,nam summa actionum vis accel]atricis 9 s+ulas corporis p>ticulas e/ vis motrix totius4 ,unde juxta ,sup]ficiem ,t]r1 ubi gravitas accel]atrix seu vis gravitans 9 corporibus univ]sis eadem e/1 gravitas motrix seu pondus e/ ut corpus3 at si 9 regiones asc5datur ubi gravitas accel]atrix fit m9or1 pondus p>it] m9uetur1 eritq2 semp] ut corpus 9 gravitatem accel]atricem ductum4 ,sic 9 regionibus ubi gravitas accel]atrix duplo m9or e/1 pondus corporis duplo vel triplo m9oris erit quadruplo vel sextuplo m9us4 ,porro attractiones et impulsus eodem s5su accel]atrices motrices nom9o4 ,voces autem attractionis1 impulsus vel prop5sionis cujuscunq2 9 c5trum1 indiff]5t] et pro se mutuo promiscue usurpo1 has vires non physice s$ ,ma!matice tantum consid]&o4 ,unde caveat lector ne p] hujusmodi voces cogitet me speciem vel modum actionis causamve aut rationem physicam alicubi def9ire1 vel c5tris 7qu sunt puncta ,ma!matica7 vires v]e et physice tribu]e1 si =te aut c5tra trah]e1 aut vires c5trorum esse dix]o4 ,s*olium4 ,hact5us voces m9us notas1 quo 9 s5su 9 sequ5tibus accipi5d sunt1 explic>e visum e/4 ,nam tempus1 spatium1 locum et motum ut omnibus notissima non def9io4 ,dicam tam5 quod vulgus quantitates hasce non alit] quam ex relatione ad s5sibilia concipit4 ,et inde oriuntur prjudicia qudam1 quibus toll5dis conv5it easdem 9 absolutas relativas1 v]as app>5tes1 ,ma!maticas et vulg>es di/+ui4 ,i4 ,tempus absolutum v]um ,ma!maticum1 9 se natura sua absq2 relatione ad ext]num quodvis1 quabilit] fluit1 alioq2 nom9e dicitur ,duratio2 relativum app>5s vulg>e e/ s5sibilis ext]na quvis ,durationis p] motum m5sura1 7seu accurata seu 9quabilis7 qua vulgus vice v]i temporis utitur2 ut ,hora1 ,dies1 ,m5sis1 ,annus4 ,,ii4 ,spatium absolutum natura sua absq2 relatione ad ext]num quodvis semp] manet simil>e immobile2 relativum e/ spatii hujus m5sura seu dim5sio qulibet mobilis1 qu a s5sibus no/ris p] situm suum ad corpora def9itur1 a vulgo pro spatio immobili usurpatur3 uti dim5sio spatii subt]ranei1 a]ei vel cle/is def9ita p] situm suum ad ,t]ram4 ,idem sunt spatium absolutum relativum1 specie magnitud9e1 s$ non p]man5t idem semp] num]o4 ,nam si ,t]ra1 v]bi gratia1 movetur1 spatium ,a]is no/ri quod relative respectu ,t]r semp] manet idem1 nunc erit una p>s spatii absoluti 9 quam ,a] transit1 nunc alia p>s ejus1 sic absolute mutabitur p]petuo4 ,,iii4 ,locus e/ p>s spatii quam corpus occupat1 e/q2 pro ratione spatii vel absolutus vel relativus4 ,p>tem dico spatii1 non situm corporis vel sup]ficiem ambi5tem4 ,nam solidorum qualium quales semp] sunt loci2 ,sup]ficies autem ob dissimilitud9em figur>um ut plurimum 9quales sunt2 situs v]o proprie loqu5do quantitatem non hab5t1 neq2 tam sunt loca quam affectiones locorum4 ,motus totius idem e/ cum summa motuum p>tium1 hoc e/1 translatio totius de ipsius loco eadem cum summa translationum p>tium de locis suis1 adeoq2 locus totius idem cum summa locorum p>tium1 propt]ea int]nus 9 corpore toto4 ,,iv4 ,motus absolutus e/ translatio corporis de loco absoluto 9 locum absolutum1 relativus de relativo 9 relativum4 ,sic 9 ,navi qu velis passis f]tur1 relativus corporis locus e/ navis regio illa 9 qua corpus v]satur1 seu cavitatis totius p>s illa quam corpus implet1 quq2 adeo movetur una cum ,navi2 ,quies relativa e/ p]mansio corporis 9 eadem illa navis regione vel p>te cavitatis4 ,at ,quies v]a e/ p]mansio corporis 9 eadem p>te spatii illius immoti 9 qua ,navis ipsa una cum cavitate sua cont5tis univ]sis movetur4 ,unde si ,t]ra v]e quiescit1 corpus quod relative quiescit 9 ,navi1 movebitur v]e et absolute ea cum ,velocitate qua ,navis movetur 9 ,t]ra4 ,s9 ,t]ra etiam movetur1 orietur v]us et absolutus corporis motus p>tim ex ,t]r motu v]o 9 spatio immoto1 p>tim ex ,navis motu relativo 9 ,t]ra2 et si corpus etiam movetur relative 9 ,navi1 orietur v]us ejus motus p>tim ex v]o motu ,t]r 9 spatio immoto1 p>tim ex relativis motibus tum ,navis 9 ,t]ra1 tum corporis 9 ,navi1 et ex 8 motibus relativis orietur corporis motus relativus 9 ,t]ra4 ,ut si ,t]r p>s illa ubi ,navis v]satur moveatur v]e 9 ,ori5tem1 cum ,velocitate p>tium #ajjaj1 et velis v5toq2 f]atur ,navis 9 ,occid5tem cum ,velocitate p>tium decem1 ,nauta autem ambulet 9 ,navi ,ori5tem v]sus cum ,velocitatis p>te una1 movebitur ,nauta v]e et absolute 9 spatio immoto cum ,velocitatis p>tibus #ajjja 9 ,ori5tem1 et relative 9 ,t]ra ,occid5tem v]sus cum ,velocitatis p>tibus novem4 ,tempus absolutum a relativo di/+uitur 9 ,a/ronomia p] quationem ,temporis vulgi4 ,9quales enim sunt dies ,naturales1 qui vulgo tanquam quales pro ,m5sura ,temporis hab5tur4 ,hanc 9qualitatem corrigunt ,a/ronomi ut ex v]iore ,tempore m5sur5t motus cle/es4 ,possibile e/ ut nullus sit motus quabilis quo ,tempus accurate m5suretur4 ,accel]>i ret>d>i possunt motus omnes1 s$ fluxus ,temporis absoluti mut>i nequit4 ,eadem e/ duratio seu p]sev]antia exi/5ti r]um1 sive motus s9t cel]es1 sive t>di1 sive nulli2 pro9de hc a m5suris suis s5sibilibus m]ito di/+uitur1 ex ijsdem colligitur p] quationem ,a/ronomicam4 ,hujus autem quationis 9 det]m9&is ,phnom5is necessitas1 tum p] exp]im5tum ,horologii oscillatorii1 tum etiam p] ,eclipses ,satellitum ,jovis ev9citur4 ,ut p>tium ,temporis ordo e/ immutabilis1 sic etiam ordo p>tium ,spatii4 ,moveantur h de locis suis1 movebuntur 7ut ita dicam7 de seipsis4 ,nam ,tempora ,spatia sunt sui ipsorum r]um omnium quasi loca4 ,9 ,tempore quoad ord9em successionis2 9 ,spatio quoad ord9em situs locantur univ]sa4 ,de illorum ,ess5tia e/ ut s9t loca1 loca prim>ia mov]i absurdum e/4 ,hc sunt igitur absoluta loca1 sol translationes de 8 locis sunt absoluti motus4 ,v]um quoniam h spatii p>tes vid]i nequeunt1 ab invicem p] s5sus no/ros di/+ui1 e>um vice adhibemus m5suras s5sibiles4 ,ex positionibus enim di/antiis r]um a corpore aliquo1 quod spectamus ut immobile1 def9imus loca univ]sa2 de9de etiam omnes motus /imamus cum respectu ad prdicta loca1 quat5us corpora ab iisdem transf]ri concipimus4 ,sic vice locorum motuum absolutorum relativis utimur1 nec incommode 9 rebus humanis3 9 ,philosophicis autem ab/rah5dum e/ a s5sibus4 ,fi]i et5im pote/ ut nullum rev]a quiescat corpus1 ad quod loca motusq2 ref]antur4 ,di/+uuntur autem ,quies ,motus absoluti relativi ab invicem p] eorum proprietates1 causas effectus4 ,quietis proprietas e/1 quod corpora v]e quiesc5tia quiescunt int] se4 ,ideoq2 cum possibile sit ut corpus aliquod 9 regionibus fix>um1 aut longe ultra1 quiescat absolute2 sciri autem non possit ex situ corporum ad invicem 9 regionibus no/ris1 utrum horum aliquod ad long9quum illud datam positionem s]vet1 quies v]a ex horum situ int] se def9iri nequit4 ,motus proprietas e/1 quod p>tes qu datas s]vant positiones ad tota1 p>ticipant motus eorundem totorum4 ,nam gyrantium p>tes omnes conantur rec$]e de axe motus1 et progr$i5tium impetus oritur ex conjuncto impetu p>tium s+ul>um4 ,igitur motis corporibus ambi5tibus1 mov5tur qu 9 ambi5tibus relative quiescunt4 ,et propt]ea motus v]us et absolutus def9iri nequit p] translationem e vic9ia corporum1 qu tanquam quiesc5tia spectantur4 ,deb5t corpora ext]na non solum tanquam quiesc5tia spect>i1 s$ etiam v]e quiesc]e4 ,alioqu9 inclusa omnia1 prt] translationem e vic9ia ambi5tium1 p>ticipabunt etiam ambi5tium motus v]os1 et sublata illa translatione non v]e quiesc5t1 s$ tanquam quiesc5tia solummodo spectabuntur2 sunt enim ambi5tia ad inclusa ut totius p>s ext]ior ad p>tem int]iorem1 vel ut cortex ad nucleum4 ,moto autem cortice1 nucleus etiam1 absq2 translatione de vic9ia corticis1 ceu p>s totius1 movetur4 ,prc$5ti proprietati aff9is e/1 quod moto loco movetur una locatum1 adeoq2 corpus1 quod de loco moto movetur1 p>ticipat etiam loci sui motum4 ,igitur motus omnes1 qui de locis motis fiunt1 sunt p>tes solummodo motuum integrorum et absolutorum1 et motus omnis integ] componitur ex motu corporis de loco suo primo1 et motu loci hujus de loco suo1 et sic de9ceps1 usq2 dum p]v5iatur ad locum immotum1 ut 9 exemplo ,naut supra memorato4 ,unde motus integri et absoluti non nisi p] loca immota def9iri possunt1 et propt]ea hos ad loca immota1 relativos ad mobilia supra retuli3 ,loca autem immota non sunt1 nisi qu omnia ab inf9ito 9 inf9itum datas s]vant positiones ad invicem1 atq2 adeo semp] man5t immota1 spatiumq2 con/ituunt quod immobile appello4 ,caus1 quibus motus v]i et relativi di/+uuntur ab invicem1 sunt vires 9 corpora impress ad motum g5]&um4 ,motus v]us nec g5]atur nec mutatur nisi p] vires 9 ipsum corpus motum impressas3 at motus relativus g5]>i et mut>i pote/ absq2 viribus impressis 9 hoc corpus4 ,sufficit enim ut imprimantur 9 alia solum corpora ad qu fit relatio1 ut ijs c$5tibus mutetur relatio illa 9 qua hujus quies vel motus relativus consi/it4 ,rursus motus v]us a viribus 9 corpus motum impressis semp] mutatur1 at motus relativus ab 8 viribus non mutatur necess>io4 ,nam si edem vires 9 alia etiam corpora1 ad qu fit relatio1 sic imprimantur ut situs relativus cons]vetur1 cons]vabitur relatio 9 qua motus relativus consi/it4 ,mut>i igitur pote/ motus omnis relativus ubi v]us cons]vatur1 et cons]v>i ubi v]us mutatur2 et propt]ea motus v]us 9 ejusmodi relationibus m9ime consi/it4 ,effectus quibus motus absoluti et relativi di/+uuntur ab invicem1 sunt vires rec$5di ab axe motus circul>is4 ,nam 9 motu circul>i nude relativo h vires null sunt1 9 v]o autem et absoluto majores vel m9ores pro quantitate motus4 ,si p5deat situla a filo prlongo1 agaturq2 p]petuo 9 orbem donec filum a contorsione admodum rigescat1 de9 impleatur aqua1 et una cum aqua quiescat2 tum vi aliqua subitanea agatur motu contr>io 9 orbem1 et filo se relaxante1 diutius p]sev]et 9 hoc motu3 sup]ficies aqu sub initio plana erit1 quemadmodum ante motum vasis1 at po/quam1 vi 9 aquam paulatim impressa1 effecit vas1 ut hc quoq2 s5sibilit] revolvi incipiat1 rec$et ipsa paulatim e m$io1 asc5detq2 ad lat]a vasis1 figuram concavam indu5s1 7ut ipse exp]tus sum7 et incitatiore semp] motu asc5det magis magis1 donec revolutiones 9 qualibus cum vase temporibus p]ag5do1 quiescat 9 eodem relative4 ,indicat hic asc5sus conatum rec$5di ab axe motus1 p] talem conatum innotescit m5suratur motus aqu circul>is v]us absolutus1 motuiq2 relativo hic omn9o contr>ius4 ,initio ubi maximus erat aqu motus relativus 9 vase1 motus ille nullum excitabat conatum rec$5di ab axe3 ,aqua non petebat circumf]5tiam asc5d5do ad lat]a vasis1 s$ plana manebat1 propt]ea motus illius circul>is v]us nondum incep]at4 ,po/ea v]o ut aqu motus relativus decrevit1 asc5sus ejus ad lat]a vasis indicabat conatum rec$5di ab axe1 atq2 hic conatus mon/rabat motum illius circul>em v]um p]petuo cresc5tem1 ac t&em maximum factum ubi aqua quiescebat 9 vase relative4 ,igitur conatus i/e non p5det a translatione aqu respectu corporum ambi5tium1 propt]ea motus circul>is v]us p] tales translationes def9iri nequit4 ,unicus e/ corporis cujusq2 revolv5tis motus v]e circul>is1 conatui unico tanquam proprio adquato effectui respond5s2 motus autem relativi pro v>ijs relationibus ad ext]na innum]i sunt1 relationum in/>1 effectibus v]is omn9o de/ituuntur1 nisi quat5us de v]o illo unico motu p>ticipant4 ,unde 9 ,sy/emate eorum qui ,clos no/ros infra ,clos fix>um 9 orbem revolvi volunt1 ,planetas secum def]re2 ,planet s+ul ,clorum p>tes1 qui relative quidem 9 ,clis suis proximis quiescunt1 mov5tur v]e4 ,mutant enim positiones suas ad invicem 7secus quam fit 9 v]e quiesc5tibus7 unaq2 cum clis delati p>ticipant eorum motus1 ut p>tes revolv5tium totorum1 ab eorum axibus rec$]e conantur4 ,igitur quantitates relativ non sunt e ips quantitates qu>um nom9a pr se f]unt1 s$ e>um m5sur ill s5sibiles 7v] an errantes7 quibus vulgus loco m5surat>um utitur4 ,at si ex usu def9i5d sunt v]borum significationes2 p] nom9a illa ,temporis1 ,spatij1 ,loci ,motus proprie intellig5d erunt h m5sur2 s]mo erit insol5s pure ,ma!maticus si quantitates m5surat hic sub9telligantur4 ,pro9de vim inf]unt ,sacris lit]is qui voces hasce de quantitatibus m5suratis ibi int]pretantur4 ,neq2 m9us contam9ant ,ma!s9 ,philosophiam qui quantitates v]as cum ips>um relationibus vulg>ibus m5suris confundunt4 ,motus quidem v]os corporum s+ulorum cognosc]e1 ab app>5tibus actu discrim9>e1 difficillimum e/2 propt]ea quod p>tes spatij illius immobilis 9 quo corpora v]e mov5tur1 non incurrunt 9 s5sus4 ,causa tam5 non e/ prorsus desp]ata4 ,nam suppetunt argum5ta p>tim ex motibus app>5tibus1 qui sunt motuum v]orum diff]5ti1 p>tim ex viribus qu sunt motuum v]orum caus effectus4 ,ut si globi duo ad datam ab invicem di/antiam filo int]c$5te connexi1 revolv]5tur circa commune gravitatis c5trum2 innotesc]et ex t5sione fili conatus globorum rec$5di ab axe motus1 inde quantitas motus circul>is comput>i posset4 ,de9de si vires qulibet quales 9 alt]nas globorum facies ad motum circul>em aug5dum vel m9u5dum simul imprim]5tur1 innotesc]et ex aucta vel dim9uta fili t5sione augm5tum vel decrem5tum motus2 inde t&em inv5iri poss5t facies globorum 9 quas vires imprimi deb]5t1 ut motus maxime aug]etur1 id e/ facies po/ic1 sive qu 9 motu circul>i sequuntur4 ,cognitis autem faciebus qu sequuntur faciebus oppositis qu prc$unt1 cognosc]etur det]m9atio motus4 ,9 hunc modum inv5iri posset quantitas det]m9atio motus hujus circul>is 9 vacuo quovis imm5so1 ubi nihil ext>et ext]num s5sibile1 quocum globi conf]ri poss5t4 ,si jam con/itu]5tur 9 spatio illo corpora aliqua long9qua datam int] se positionem s]vantia1 qualia sunt /ell fix 9 regionibus no/ris3 sciri quidem non posset ex relativa globorum translatione int] corpora1 utrum 8 an illis tribu5dus esset motus4 ,at si att5d]etur ad filum inv5iretur t5sionem ejus illam ipsam esse quam motus globorum requir]et2 conclud]e lic]et motum esse globorum1 tum demum ex translatione globorum int] corpora1 det]m9ationem hujus motus collig]e4 ,motus autem v]os ex eorum causis1 effectibus app>5tibus diff]5tijs collig]e1 contra1 ex motibus seu v]is seu app>5tibus1 eorum causas effectus1 docebitur fusius 9 sequ5tibus4 ,hunc enim 9 f9em ,tractatum sequ5tem composui4 99 99 99 99 99 ,,axiomata ,,sive ,,leges ,,motus 99 99 99 99 99 ,lex4 ,i4 ,corpus omne p]sev]>e 9 /atu suo quiesc5di vel mov5di uni=mit] 9 directum1 nisi quat5us a viribus impressis cogitur /atum illum mut>e4 ,projectilia p]sev]ant 9 motibus suis nisi quat5us a resi/5tia a]is ret>dantur vi gravitatis impelluntur deorsum4 ,tro*us1 cujus p>tes cohr5do p]petuo retrahunt sese a motibus rectil9eis1 non cessat rot>i nisi quat5us ab a]e ret>datur4 ,majora autem ,planet>um ,comet>um corpora motus suos progressivos circul>es 9 spatiis m9us resi/5tibus factos cons]vant diutius4 ,lex4 ,,ii4 ,mutationem motus proportionalem esse vi motrici impress1 fi]i secundum l9eam rectam qua vis illa imprimitur4 ,si vis aliqua motum quemvis g5]et1 dupla duplum1 tripla triplum g5]abit1 sive simul semel1 sive gradatim successive impressa fu]it4 ,et hic motus quoniam 9 e&em semp] plagam cum vi g5]atrice det]m9atur1 si corpus antea movebatur1 motui ejus vel conspiranti additur1 vel contr>io subducitur1 vel obliquo oblique adjicitur1 cum eo secundum utriusq2 det]m9ationem componitur4 ,lex4 ,,iii4 ,actioni contr>iam semp] qualem esse reactionem3 sive corporum duorum actiones 9 se mutuo semp] esse quales 9 p>tes contr>ias dirigi4 ,quicquid premit vel trahit alt]um1 tantundem ab eo premitur vel trahitur4 ,siquis lapidem digito premit1 premitur hujus digitus a lapide4 ,si equus lapidem funi allegatum trahit1 retrahetur etiam equus qualit] 9 lapidem3 nam funis utr9q2 di/5tus eodem relax&i se conatu urgebit ,equum v]sus lapidem1 ac lapidem v]sus equum1 tantumq2 imp$iet progressum unius quantum promovet progressum alt]ius4 ,si corpus aliquod 9 corpus aliud imp+5s1 motum ejus vi sua quomodocunq2 mutav]it1 idem quoque vicissim 9 motu proprio e&em mutationem 9 p>tem contr>iam vi alt]ius 7ob qualitatem pressionis mutu7 subibit4 ,8 actionibus quales fiunt mutationes non velocitatum s$ motuum1 7scilicet 9 corporibus non aliunde imp$itis37 ,mutationes enim velocitatum1 9 contr>ias itidem p>tes fact1 quia motus qualit] mutantur1 sunt corporibus reciproce proportionales4 ,corol4 ,i4 ,illu/ration ,corpus viribus conjunctis diagonalem p>allelogrammi eodem tempore describ]e1 quo lat]a sep>atis4 ,si corpus dato tempore1 vi sola ,m1 f]retur ab ,a ad ,b1 vi sola ,n1 ab ,a ad ,c1 compleatur p>allelogrammum ,,abdc1 vi utraq2 f]etur id eodem tempore ab ,a ad ,d4 ,nam quoniam vis ,n agit secundum l9eam ,,ac ipsi ,,bd p>allelam1 hc vis nihil mutabit velocitatem acc$5di ad l9eam illam ,,bd a vi alt]a g5itam4 ,acc$et igitur corpus eodem tempore ad l9eam ,,bd sive vis ,n imprimatur1 sive non1 atq2 adeo 9 f9e illius temporis rep]ietur alicubi 9 l9ea illa ,,bd4 ,eodem argum5to 9 f9e temporis ejusdem rep]ietur alicubi 9 l9ea ,,cd1 idcirco 9 utriusq2 l9e concursu ,d rep]iri necesse e/4 ,corol4 ,,ii4 ,et h9c patet compositio vis direct ,,ad ex viribus quibusvis obliquis ,,ab ,,bd1 vicissim resolutio vis cujusvis direct ,,ad 9 obliquas quascunq2 ,,ab ,,bd4 ,qu quidem ,compositio resolutio abunde confirmatur ex ,me*anica4 ,illu/ration ,ut si de rot alicujus c5tro ,o exeuntes radij 9quales ,,om1 ,,on filis ,,ma1 ,,np su/9eant pond]a ,a ,p1 qurantur vires pond]um ad mov5dam rotam3 p] c5trum ,o agatur recta ,,kol filis p]p5dicul>it] occurr5s 9 ,k ,l1 c5troq2 ,o int]vallorum ,,ok1 ,,ol majore ,,ol describatur circulus occurr5s filo ,,ma 9 ,d3 act rect ,,od p>allela sit ,,ac p]p5dicul>is ,,dc4 ,quoniam nihil ref]t utrum filorum puncta ,k1 ,l1 ,d affixa s9t vel non affixa ad planum rot1 pond]a idem valebunt ac si susp5d]5tur a punctis ,k ,l vel ,d ,l4 ,pond]is autem ,a exponatur vis tota p] l9eam ,,ad1 hc resolvetur 9 vires ,,ac1 ,,cd1 qu>um ,,ac trah5do radium ,,od directe a c5tro nihil valet ad mov5dam rotam2 vis autem alt]a ,,dc1 trah5do radium ,,d p]p5dicul>it]1 idem valet ac si p]p5dicul>it] trah]et radium ,,ol ipsi ,,od qualem2 hoc e/ idem atq2 pondus ,p1 quod sit ad pondus ,a ut vis ,,dc ad vim ,,da1 id e/ 7ob similia triangula ,,adc1 ,,dok17 ut ,,ok ad ,,od seu ,,ol4 ,pond]a igitur ,a ,p1 qu sunt reciproce ut radii 9 directum positi ,,ok ,,ol1 idem pollebunt sic consi/5t 9 quilibrio3 7qu e/ proprietas notissima ,libr1 ,vectis ,axis 9 ,p]itro*io37 s9 pondus alt]utrum sit majus quam 9 hac ratione1 erit vis ejus ad mov5dam rotam tanto major4 ,quod si pondus p pond]i ,p quale p>tim susp5datur filo ,np1 p>tim incumbat plano obliquo p,g3 agantur p,h1 ,,nh1 prior horizonti1 po/]ior plano p,g p]p5dicul>is2 si vis pond]is p deorsum t5d5s1 exponatur p] l9eam p,h1 resolvi pote/ hc 9 vires p,n1 ,,hn4 ,si filo p,n p]p5dicul>e esset planum aliquod p,q secans planum alt]um p,g 9 l9ea ad horizontem p>allela2 pondus p 8 planis p,q1 p,g solummodo incumb]et2 urg]et illud hc plana viribus p,n1 ,,hn p]p5dicul>it]1 nimirum planum p,q vi p,n planum p,g vi ,,hn4 ,ideoque si tollatur planum p,q ut pondus t5dat filum1 quoniam filum su/95do pondus1 jam vicem pr/at plani sublati1 t5detur illud eadem vi p,n1 qua planum antea urgebatur4 ,unde t5sio fili hujus obliqui erit ad t5sionem fili alt]ius p]p5dicul>is ,,pn1 ut p,n ad p,h4 ,ideoq2 si pondus p sit ad pondus ,a 9 ratione qu componitur ex ratione reciproca m9im>um di/anti>um filorum suorum ,,am1 p,n a c5tro rot1 ratione directa p,h ad p,n2 pond]a idem valebunt ad rotam mov5dam1 atq2 adeo se mutuo su/9ebunt1 ut quilibet exp]iri pote/4 ,pondus autem p planis illis duobus obliquis incumb5s1 rationem habet cunei int] corporis fissi facies int]nas3 inde vires cunei mallei innotescunt3 utpote cum vis qua pondus p urget planum p,q sit ad vim1 qua idem vel gravitate sua vel ictu mallei impellitur secundum l9eam p,h 9 plano1 ut p,n ad p,h2 atq2 ad vim qua urget planum alt]um p,g ut p,n ad ,,nh4 ,s$ vis ,co*le p] similem virium divisionem colligitur2 quippe qu cuneus e/ a vecte impulsus4 ,usus igitur ,coroll>ij hujus latissime patet1 late pat5do v]itatem ejus ev9cit1 cum p5deat ex jam dictis ,me*anica tota ab ,au?oribus div]simode demon/rata4 ,ex hisce enim facile d]ivantur vires ,ma*9>um1 qu ex ,rotis1 ,tympanis1 ,tro*leis1 ,vectibus1 radijs volubilibus1 n]vis t5sis pond]ibus directe vel oblique asc5d5tibus1 ct]isq2 pot5tijs ,me*anicis componi sol5t1 ut vires ,n]vorum ad animalium ossa mov5da4 ,corol4 ,,iii4 ,quantitas motus qu colligitur capi5do summam motuum factorum ad e&em p>tem1 diff]5tiam factorum ad contr>ias1 non mutatur ab actione corporum int] se4 ,et5im actio eiq2 contr>ia reactio quales sunt p] ,legem #c1 adeoq2 p] legem #b1 quales 9 motibus efficiunt mutationes v]sus contr>ias p>tes4 ,ergo si motus fiunt ad e&em p>tem1 quicquid additur motui corporis fugi5tis subducetur motui corporis insequ5tis sic1 ut summa maneat eadem qu prius4 ,s9 corpora obviam eant1 qualis erit subductio de motu utriusq21 adeoq2 diff]5tia motuum factorum 9 contr>ias p>tes manebit eadem4 ,ut si corpus sphricum ,a sit triplo majus corpore sphrico ,b1 habeatq2 duas velocitatis p>tes1 et ,b sequatur 9 eadem recta cum velocitatis p>tibus decem1 adeoq2 motus ipsius ,a sit ad motum ipsius ,b ut sex ad decem2 ponantur motus illis esse p>tium sex decem1 summa erit p>tium sexdecim4 ,9 corporum igitur concursu1 si corpus ,a lucretur motus p>tes tres vel quatuor vel qu9q2 corpus ,b amittet p>tes totidem1 adeoq2 p]get corpus ,a po/ reflexionem cum p>tibus novem vel decem vel undecim2 ,b cum p>tibus septem vel sex vel qu9q2 exi/5te semp] summa p>tium sexdecim ut prius4 ,s9 corpus ,a lucretur p>tes novem vel decem vel undecim vel duodecim1 adeoq2 progr$iatur po/ concursum cum p>tibus qu9decim vel sexdecim vel sept5decim vel octodecim2 corpus ,b amitt5do1 tot p>tes quot ,a lucratur1 vel progr$ietur cum una p>te1 amissis p>tibus novem1 vel quiescet amisso motu suo progressivo p>tium decem1 vel regr$ietur cum una p>te amisso motu suo 7ut ita dicam7 una p>te amplius1 vel regr$ietur cum p>tibus duabus ob detractum motum progressivum p>tium duodecim4 ,atq2 ita summ motuum conspirantium #ae #a vel #af #j1 diff]5ti contr>iorum #ag - #a #ah - #b semp] erunt p>tium sexdecim ut ante concursum reflexionem4 ,cognitis autem motibus quibuscum corpora po/ reflexionem p]g5t1 inv5ietur cujusq2 velocitas pon5do eam esse ad velocitatem ante reflexionem ut motus po/ ad motum ante4 ,ut 9 casu ultimo1 ubi corporis ,a motus erat p>tium sex ante reflexionem2 p>tium octodecim po/ea1 velocitas p>tium du>um ante reflexionem2 inv5ietur ejus velocitas p>tium sex po/ reflexionem1 dic5do1 ut motus p>tes sex ante reflexionem ad motus p>tes octodecim po/ea1 ita velocitatis p>tes du ante reflexionem ad velocitatis p>tes sex po/ea4 ,quod si corpora vel non ,sphrica vel div]sis 9 rectis mov5tia incidant 9 se mutuo oblique1 requirantur eorum motus po/ reflexionem1 cognosc5dus e/ situs plani a quo corpora concurr5tia tanguntur 9 puncto concursus2 de9 corporis utriusq2 motus 7p] ,corol4 #b47 di/+u5dus e/ 9 duos1 unum huic plano p]p5dicul>em1 alt]um eidem p>allelum3 motus autem p>alleli1 propt]ea quod corpora agant 9 se invicem secundum l9eam huic plano p]p5dicul>em1 ret95di sunt iidem po/ reflexionem atq2 antea1 motibus p]p5dicul>ibus mutationes quales 9 p>tes contr>ias tribu5d sunt sic1 ut summa conspirantium diff]5tia contr>iorum maneat eadem qu prius4 ,ex hujusmodi reflexionibus oriri etiam sol5t motus circul>es corporum circa c5tra propria4 ,s$ hos casus 9 sequ5tibus non consid]o1 nimis longum esset omnia huc spectantia demon/r>e4 ,corol4 ,,iiii4 ,commune gravitatis c5trum ab actionibus corporum int] se non mutat /atum suum vel motus vel quietis1 propt]ea corporum omnium 9 se mutuo ag5tium 7exclusis actionibus imp$im5tis ext]nis7 commune c5trum gravitatis vel quiescit vel movetur uni=mit] 9 directum4 ,nam si puncta duo progr$iantur uni=mi cum motu 9 l9eis rectis di/antia eorum dividatur 9 ratione data1 punctum divid5s vel quiescet vel progr$ietur uni=mit] 9 l9ea recta4 ,hoc po/ea 9 ,lemmate xxiii demon/ratur 9 plano1 eadem ratione demon/r>i pote/ 9 loco solido4 ,ergo si corpora quotcunq2 mov5tur uni=mit] 9 l9eis rectis1 commune c5trum gravitatis duorum quorumvis1 vel quiescit vel progr$itur uni=mit] 9 l9ea recta1 propt]ea quod l9ea horum corporum c5tra 9 rectis uni=mit] progr$i5tia jung5s1 dividitur ab hoc c5tro communi 9 ratione data3 similit] commune c5trum horum duorum t]tii cujusvis vel quiescit vel progr$itur uni=mit] 9 l9ea recta1 propt]ea quod ab eo dividitur di/antia c5tri communis corporum duorum c5tri corporis t]tii 9 data ratione4 ,eodem modo commune c5trum horum trium qu>ti cujusvis vel quiescit vel progr$itur uni=mit] 9 l9ea recta1 propt]ea quod ab eo dividitur di/antia int] c5trum commune trium c5trum qu>ti 9 data ratione1 sic 9 inf9itum4 ,igitur 9 sy/emate corporum qu actionibus 9 se invicem1 alijsq2 omnibus 9 se extr9secus impressis1 omn9o vacant1 adeoq2 mov5tur s+ula uni=mit] 9 rectis s+ulis1 commune omnium c5trum gravitatis vel quiescit vel movetur uni=mit] 9 directum4 ,porro 9 sy/emate duorum corporum 9 se invicem ag5tium1 cum di/anti c5trorum utriusq2 a communi gravitatis c5tro s9t reciproce ut corpora1 erunt motus relativi corporum eorundem vel acc$5di ad c5trum illud vel ab eodem rec$5di1 quales int] se4 ,pro9de c5trum illud a motuum qualibus mutationibus 9 p>tes contr>ias factis1 atq2 adeo ab actionibus horum corporum int] se1 nec promovetur nec ret>datur nec mutationem patitur 9 /atu suo quoad motum vel quietem4 ,9 sy/emate autem corporum plurium1 quoniam duorum quorumvis 9 se mutuo ag5tium commune gravitatis c5trum ob actionem illam nullat5us mutat /atum suum2 reliquorum1 quibuscum actio illa non int]c$it1 commune gravitatis c5trum nihil inde patitur2 di/antia autem horum duorum c5trorum dividitur1 a communi corporum omnium c5tro1 9 p>tes summis totalibus corporum1 quorum sunt c5tra1 reciproce proportionales1 adeoq2 c5tris illis duobus /atum suum mov5di vel quiesc5di s]vantibus1 commune omnium c5trum s]vat etiam /atum suum2 manife/um e/ quod commune illud omnium c5trum1 ob actiones b9orum corporum int] se1 nunquam mutat /atum suum quoad motum quietem4 ,9 tali autem sy/emate actiones omnes corporum int] se1 vel int] b9a sunt corpora1 vel ab actionibus int] b9a composit1 propt]ea communi omnium c5tro mutationem 9 /atu motus ejus vel ,quietis nunquam inducunt4 ,qu>e cum c5trum illud ubi corpora non agunt 9 se invicem1 vel quiescit1 vel 9 recta aliqua progr$itur uni=mit]1 p]get idem1 non ob/antibus corporum actionibus int] se1 vel semp] quiesc]e1 vel semp] progr$i uni=mit] 9 directum1 nisi a viribus 9 sy/ema extr9secus impressis deturbetur de hoc /atu4 ,e/ igitur sy/ematis corporum plurium ,lex eadem qu corporis solit>ii1 quoad p]sev]antiam 9 /atu motus vel quietis4 ,motus enim progressivus seu corporis solit>ii seu sy/ematis corporum ex motu c5tri gravitatis /im>i semp] debet4 ,corol4 ,v4 ,corporum dato spatio inclusorum ijdem sunt motus int] se1 sive spatium illud quiescat1 sive moveatur idem uni=mit] 9 directum absq2 motu circul>i4 ,nam diff]5ti motuum t5d5tium ad e&em p>tem1 summ t5d5tium ad contr>ias1 eadem sunt sub initio 9 utroq2 casu 7ex hypo!si7 ex 8 summis vel diff]5tiis oriuntur congressus impetus quibus corpora se mutuo f]iunt4 ,ergo p] ,legem #b quales erunt congressuum effectus 9 utroq2 casu1 propt]ea manebunt motus int] se 9 uno casu quales motibus int] se 9 alt]o4 ,idem comprobatur exp]im5to lucul5to4 ,motus omnes eodem modo se hab5t 9 ,navi1 sive ea quiescat1 sive moveatur uni=mit] 9 directum4 ,corol4 ,,vi4 ,si corpora moveantur quomodocunq2 int] se a viribus accel]atricibus qualibus secundum l9eas p>allelas urgeantur2 p]g5t omnia eodem modo mov]i int] se ac si viribus illis non ess5t incitata4 ,nam vires ill qualit] 7pro quantitatibus mov5dorum corporum7 secundum l9eas p>allelas ag5do1 corpora omnia qualit] 7quoad velocitatem7 movebunt 7p] ,legem #b47 adeoq2 nunquam mutabunt positiones motus eorum int] se4 ,s*olium ,illu/ration ,hact5us pr9cipia tradidi a ,ma!maticis recepta exp]i5tia multiplici confirmata4 ,p] leges duas primas ,coroll>ia duo prima ad9v5it ,galilu desc5sum gravium esse 9 duplicata ratione temporis1 motum projectilium fi]i 9 ,p>abola1 conspirante exp]i5tia1 nisi quat5us motus illi p] a]is resi/5tiam aliquantulum ret>dantur4 ,ab ijsdem ,legibus ,coroll>iis p5d5t demon/rata de temporibus oscillantium ,p5dulorum1 suffragante ,horologiorum exp]i5tia quotidiana4 ,ex 8 ijsdem ,lege t]tia ,d4 ,*ri/oph]us ,wr5nus ,eques auratus1 ,johannes ,wallisius ,s4,t4,d4 ,d4 ,*ri/ianus ,hug5ius1 hujus tatis ,geometr>um facile ,pr9cipes1 regulas congressuum reflexionum duorum corporum seorsim ad9v5]unt1 eodem f]e tempore cum ,societate ,regia communic>unt1 int] se 7quoad has leges7 omn9o conspirantes2 ,et primus quidem ,d4 ,wallisius de9 ,d4 ,wr5nus ,d4 ,hug5ius inv5tum prodidit4 ,s$ v]itas comprobata e/ a ,d4 ,wr5no coram ,regia ,societate p] exp]im5tum ,p5dulorum1 quod etiam ,cl>issimus ,m>iottus ,libro integro expon]e mox dignatus e/4 ,v]um ut hoc exp]im5tum cum ,!orijs ad amussim congruat1 hab5da e/ ratio tum resi/5ti a]is1 tum etiam vis ,ela/ic concurr5tium corporum4 ,p5deant corpora ,a1 ,b filis p>allelis ,,ac1 ,,bd a c5tris ,c1 ,d4 ,8 c5tris int]vallis describantur semicirculi ,,eaf1 ,,gbh radijs ,,ca1 ,,db bisecti4 ,trahatur corpus ,a ad arcus ,,eaf punctum quodvis ,r1 7subducto corpore ,b7 demittatur inde1 r$eatq2 po/ unam oscillationem ad punctum ,v4 ,e/ ,,rv ret>datio ex resi/5tia a]is4 ,hujus ,,rv fiat ,,/ p>s qu>ta sita 9 m$io1 hc exhibebit ret>dationem 9 desc5su ab ,s ad ,a quam proxime4 ,re/ituatur corpus ,b 9 locum suum4 ,cadat corpus ,a de puncto ,s1 velocitas ejus 9 loco reflexionis ,a1 absq2 errore s5sibili1 tanta erit ac si 9 vacuo cecidisset de loco ,t4 ,exponatur igitur hc velocitas p] *ordam arcus ,,ta4 ,nam velocitatem ,p5duli 9 puncto infimo esse ut *orda arcus quem cad5do descripsit1 ,propositio e/ ,geometris notissima4 ,po/ reflexionem p]v5iat corpus ,a ad locum s1 corpus ,b ad locum k4 ,tollatur corpus ,b inv5iatur locus v1 a quo si corpus ,a demittatur po/ unam oscillationem r$eat ad locum r1 sit / p>s qu>ta ipsius rv sita 9 m$io1 p] *ordam arcus t,a exponatur velocitas quam corpus ,a proxime po/ reflexionem habuit 9 loco ,a4 ,nam t erit locus ille v]us correctus ad quem corpus ,a1 sublata a]is resi/5tia1 asc5d]e debuisset4 ,simili me?odo corrig5dus erit locus k1 ad quem corpus ,b asc5dit1 inv5i5dus locus l1 ad quem corpus illud asc5d]e debuisset 9 vacuo4 ,hoc pacto exp]iri licet omnia p]9de ac si 9 vacuo con/ituti essemus4 ,t&em duc5dum erit corpus ,a 9 *ordam arcus ,,ta 7qu velocitatem ejus exhibet7 ut habeatur motus ejus 9 loco ,a proxime ante reflexionem1 de9de 9 *ordam arcus t,a ut habeatur motus ejus 9 loco ,a proxime po/ reflexionem4 ,et sic corpus ,b duc5dum erit 9 *ordam arcus ,bl1 ut habeatur motus ejus proxime po/ reflexionem4 ,et simili me?odo ubi corpora duo simul demittuntur de locis div]sis1 inv5i5di sunt motus utriusq2 tam ante1 quam po/ reflexionem2 tum demum conf]5di sunt motus int] se collig5di effectus reflexionis4 ,hoc modo 9 ,p5dulis p$um decem rem t5t&o1 idq2 9 corporibus tam 9qualibus quam qualibus1 faci5do ut corpora de int]vallis amplissimis1 puta p$um octo1 duodecim vel sexdecim concurr]5t1 rep]i semp] s9e errore trium digitorum 9 m5suris1 ubi corpora sibi mutuo directe occurrebant quod 9 p>tes contr>ias mutatio motus erat corpori utriq2 illata1 atq2 adeo quod actio reactio semp] erant quales4 ,ut si corpus ,a incidebat 9 corpus ,b cum novem p>tibus motus1 amissis septem p>tibus p]gebat po/ reflexionem cum duabus1 corpus ,b resiliebat cum p>tibus i/is septem4 ,si corpora obviam ibant1 ,a cum duodecim p>tibus ,b cum sex r$ibat ,a cum duabus1 r$ibat ,b cum octo1 facta detractione p>tium quatuordecim utr9que4 ,de motu ipsius ,a subducantur p>tes duodecim re/abit nihil2 subducantur ali p>tes du fiet motus du>um p>tium 9 plagam contr>iam4 sic de motu corporis ,b p>tium sex subduc5do p>tes quatuordecim1 fiunt p>tes octo 9 plagam contr>iam4 ,quod si corpora ibant ad e&em plagam1 ,a velocius cum p>tibus quatuordecim ,b t>dius cum p>tibus qu9q2 po/ reflexionem p]gebat ,a cum qu9q2 p>tibus1 p]gebat ,b cum quatuordecim1 facta translatione p>tium novem de ,a 9 ,b4 ,et sic 9 reliquis4 ,a congressu collisione corporum nunquam mutabatur quantitas motus qu ex summa motuum conspirantium diff]5tia contr>iorum colligebatur4 ,namq2 errorem digiti unius alt]ius 9 m5suris tribu]im difficultati p]ag5di s+ula satis accurate4 ,difficile erat tum p5dula simul demitt]e sic1 ut corpora 9 se mutuo imp+]5t 9 loco infimo ,,ab1 tum loca s1 k1 not>e ad qu corpora asc5debant po/ concursum4 ,s$ 9 ipsis pilis 9qualis p>tium d5sitas1 textura aliis de causis irregul>is1 errores inducebant4 ,porro nequis objiciat ,regulam ad quam prob&am inv5tum e/ hoc exp]im5tum prsuppon]e corpora vel absolute dura esse1 vel saltem p]fecte ela/ica1 cujusmodi nulla rep]iuntur 9 compositionibus naturalibus2 addo quod exp]im5ta jam descripta succ$unt 9 corporibus mollibus que ac 9 duris1 nimirum a conditione duritiei neutiquam p5d5tia4 ,nam si conditio illa 9 corporibus non p]fecte duris t5t&a e/1 debebit solummodo reflexio m9ui 9 c]ta proportione pro quantitate vis ,ela/ic4 ,9 ,!oria ,wr5ni ,hug5ij corpora absolute dura r$eunt ab invicem cum velocitate congressus4 ,c]tius id affirmabitur de p]fecte ,ela/icis4 ,9 imp]fecte ,ela/icis velocitas r$itus m9u5da e/ simul cum vi ,ela/ica2 propt]ea quod vis illa1 7nisi ubi p>tes corporum ex congressu lduntur1 vel ext5sionem aliqualem quasi sub malleo patiuntur17 c]ta ac det]m9ata sit 7quantum s5tio7 faciatq2 corpora r$ire ab invicem cum velocitate relativa qu sit ad relativam velocitatem concursus 9 data ratione4 ,id 9 pilis ex lana arcte conglom]ata =tit] con/ricta sic t5tavi4 ,primum demitt5do ,p5dula m5sur&o reflexionem1 inv5i quantitatem vis ,ela/ic2 de9de p] hanc vim det]m9avi reflexiones 9 aliis casibus concursuum1 respondebant exp]im5ta4 ,r$ibant semp] pil ab invicem cum velocitate relativa1 qu esset ad velocitatem relativam concursus ut #e ad #i circit]4 ,eadem f]e cum velocitate r$ibant pil ex *alybe3 ali ex sub]e cum paulo m9ore4 ,9 vitreis autem proportio erat #ae ad #af circit]4 ,atq2 hoc pacto ,lex t]tia quoad ictus reflexiones p] ,!oriam comprobata e/1 qu cum exp]i5tia plane congruit4 ,9 attractionibus rem sic brevit] o/5do4 ,corporibus duobus quibusvis ,a1 ,b se mutuo trah5tibus1 concipe ob/aculum quodvis int]poni quo congressus eorum imp$iatur4 ,si corpus alt]utrum ,a magis trahitur v]sus corpus alt]um ,b1 quam illud alt]um ,b 9 prius ,a1 ob/aculum magis urgebitur pressione corporis ,a quam pressione corporis ,b2 pro9deq2 non manebit 9 quilibrio4 ,prvalebit pressio =tior1 facietq2 sy/ema corporum duorum ob/aculi mov]i 9 directum 9 p>tes v]sus ,b1 motuq2 9 spatiis lib]is semp] accel]ato abire 9 inf9itum4 ,quod e/ absurdum ,legi prim contr>ium4 ,nam p] ,legem primam debebit sy/ema p]sev]>e 9 /atu suo quiesc5di vel mov5di uni=mit] 9 directum1 pro9deq2 corpora qualit] urgebunt ob/aculum1 idcirco qualit] trah5tur 9 invicem4 ,t5tavi hoc 9 ,magnete f]ro4 ,si hc 9 vasculis propriis sese cont+5tibus seorsim posita1 9 aqua /agnante juxta fluit5t1 neutrum propellet alt]um1 s$ qualitate attractionis utr9q2 su/9ebunt conatus 9 se mutuos1 ac t&em 9 quilibrio con/ituta quiesc5t4 ,ut corpora 9 concursu reflexione idem poll5t1 quorum velocitates sunt reciproce ut vires insit3 sic 9 mov5dis ,in/rum5tis ,me*anicis ag5tia idem poll5t conatibus contr>iis se mutuo su/95t1 quorum velocitates secundum det]m9ationem virium /imat1 sunt reciproce ut vires4 ,sic pond]a quipoll5t ad mov5da bra*ia ,libr1 qu oscillante ,libra1 sunt reciproce ut eorum velocitates sursum deorsum3 hoc e/ pond]a1 si recta asc5dunt desc5dunt1 quipoll5t1 qu sunt reciproce ut punctorum a quibus susp5duntur di/anti ab axe ,libr2 s9 planis obliquis aliisve admotis ob/aculis imp$ita asc5dunt vel desc5dunt oblique1 quipoll5t qu sunt ut asc5sus desc5sus quat5us facti secundum p]p5diculum3 id adeo ob det]m9ationem gravitatis deorsum4 ,similit] 9 ,tro*lea seu ,polyspa/o vis manus funem directe trah5tis1 qu sit ad pondus vel directe vel oblique asc5d5s ut velocitas asc5sus p]p5dicul>is ad velocitatem manus funem trah5tis1 su/9ebit pondus4 ,9 horologiis similibus in/rum5tis1 qu ex rotulis commissus con/ructa sunt1 vires contr>i ad motum rotul>um promov5dum imp$i5dum si sunt reciproce ut velocitates p>tium rotul>um 9 quas imprimuntur1 su/9ebunt se mutuo4 ,vis ,co*le ad prem5dum corpus e/ ad vim manus manubrium circumag5tis1 ut circul>is velocitas ,manubrii ea 9 p>te ubi a manu urgetur1 ad velocitatem progressivam ,co*le v]sus corpus pressum4 ,vires quibus cuneus urget p>tes duas ligni fissi e/ ad vim mallei 9 cuneum1 ut progressus cunei secundum det]m9ationem vis a malleo 9 ipsum impress1 ad velocitatem qua p>tes ligni c$unt cuneo1 secundum l9eas faciebus cunei p]p5dicul>es4 ,et p> e/ ratio ,ma*9>um omnium4 ,h>um efficacia usus 9 eo solo consi/it ut dim9u5do velocitatem augeamus vim1 contra3 ,unde solvitur 9 omni aptorum in/rum5torum g5]e ,problema2 ,datum pondus data vi mov5di1 aliamve datam resi/5tiam vi data sup]&i4 ,nam si ,ma*9 ita =m5tur ut velocitates ,ag5tis ,resi/5tis s9t reciproce ut vires1 ,ag5s resi/5tiam su/9ebit1 majori cum velocitatum disp>itate e&em v9cet4 ,c]te si tanta sit velocitatum disp>itas ut v9catur etiam resi/5tia omnis1 qu tam ex contiguorum int] se lab5tium corporum attritione1 quam ex cont9uorum ab invicem sep>&orum cohsione elev&orum pond]ibus oriri solet2 sup]ata omni ea resi/5tia1 vis r$undans accel]ationem motus sibi proportionalem1 p>tim 9 p>tibus ,ma*91 p>tim 9 corpore resi/5te producet4 ,ct]um ,me*anicam tract>e non e/ hujus in/ituti4 ,hisce volui tantum o/5d]e quam late pateat1 quamq2 c]ta sit ,lex t]tia motus4 ,nam si /imetur ,ag5tis actio ex ejus vi velocitate conjunctim2 ,resi/5tis reactio ex ejus p>tium s+ul>um velocitatibus viribus resi/5di ab e>um attritione1 cohsione1 pond]e accel]atione oriundis2 erunt actio reactio1 9 omni in/rum5torum usu1 sibi invicem semp] quales4 ,et quat5us actio propagatur p] in/rum5tum ultimo imprimitur 9 corpus omne resi/5s1 ejus ultima det]m9atio det]m9ationi reactionis semp] erit contr>ia4 99 99 99 99 99 ,,de ,,motu ,,corporum 99 99 99 99 99 ,lib] ,,primus 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,i4 ,de ,me?odo ,rationum prim>um ultim>um1 cujus ope sequ5tia demon/rantur4 99 99 99 99 99 ,,lemma ,i4 ,quantitates1 ut quantitatum rationes1 qu ad qualitatem dato tempore con/ant] t5dunt eo pacto propius ad invicem acc$]e possunt quam pro data quavis diff]5tia2 fiunt ultimo quales4 ,si negas1 sit e>um ultima diff]5tia ,d4 ,ergo nequeunt propius ad qualitatem acc$]e quam pro data diff]5tia ,d3 contra hypo!s94 ,lemma ,,ii4 ,illu/ration ,si 9 figura quavis ,aac,e rectis ,aa1 ,,ae1 curva ac,e compreh5sa1 inscribantur p>allelogramma quotcunq2 ,ab1 ,bc1 ,cd1 c4 sub basibus ,,ab1 ,,bc1 ,,cd1 c4 qualibus1 lat]ibus ,bb1 ,cc1 ,dd1 c4 figur lat]i ,aa p>allelis cont5ta2 compleantur p>allelogramma a,kbl1 b,lcm1 c,mdn1 c4 ,de9 horum p>allelogrammorum latitudo m9uatur1 num]us augeatur 9 inf9itum3 dico quod ultim rationes1 quas hab5t ad se invicem figura inscripta ,a,kb,lc,md,d1 circumscripta ,aalbmcndo,e1 curvil9ea ,aabcd,e1 sunt rationes qualitatis4 ,nam figur inscript circumscript diff]5tia e/ summa p>allelogrammorum ,kl ,lm ,mn ,d1 hoc e/ 7ob quales omnium bases7 rectangulum sub unius basi ,kb altitud9um summa ,aa1 id e/ rectangulum ,a,bla4 ,s$ hoc rectangulum1 eo quod latitudo ejus ,,ab 9 inf9itum m9uitur1 sit m9us quovis dato4 ,ergo1 p] ,lemma ,i1 figura inscripta circumscripta multo magis figura curvil9ea int]m$ia fiunt ultimo quales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lemma ,,iii4 ,edem rationes ultim sunt etiam qualitatis1 ubi p>allelogrammorum latitud9es ,,ab1 ,,bc1 ,,cd1 c4 sunt 9quales1 omnes m9uuntur 9 inf9itum4 ,sit enim ,,af qualis latitud9i maxim compleatur p>allelogrammum ,f,aaf4 ,hoc erit majus quam diff]5tia figur inscript figur circumscripta1 at latitud9e sua ,,af 9 inf9itum dim9uta1 m9us fiet quam datum quodvis rectangulum4 ,corol4 #a4 ,h9c summa ultima p>allelogrammorum evanesc5tium co9cidit omni ex p>te cum figura curvil9ea4 ,corol4 #b4 ,et multo magis figura rectil9ea1 qu *ordis evanesc5tium arcuum ab1 bc1 cd1 c4 compreh5ditur1 co9cidit ultimo cum figura curvil9ea4 ,corol4 #c4 ,ut figura rectil9ea qu tang5tibus eorundem arcuum circumscribitur4 ,corol4 #d4 ,et propt]ea h figur ultim 7quoad p]imetros ac,e17 non sunt rectil9e1 s$ rectil9e>um limites curvil9ei4 ,lemma ,,iv4 ,si 9 duabus figuris ,aac,e1 ,ppr,t1 inscribantur 7ut supra7 du p>allelogrammorum s]ies1 sitq2 idem amborum num]us1 ubi latitud9es 9 inf9itum dim9uitur1 rationes ultim p>allelogrammorum 9 una figura ad p>allelogramma 9 alt]a1 s+ulorum ad s+ula1 s9t edem2 dico quod figur du ,aac,e1 ,ppr,t1 sunt ad invicem 9 eadem illa ratione4 ,illu/ration ,et5im ut sunt p>allelogramma s+ula ad s+ula1 ita 7compon5do7 fit summa omnium ad summam omnium1 ita figura ad figuram2 exi/5te nimirum figura priore 7p] ,lemma ,,iii47 ad summam priorem1 po/]iore figura ad summam po/]iorem 9 ratione qualitatis4 ,corol4 ,h9c si du cujuscunq2 g5]is quantitates 9 eundem p>tium num]um utcunq2 dividantur1 p>tes ill1 ubi num]us e>um augetur magnitudo dim9uitur 9 inf9itum1 datam obt9eant rationem ad invicem1 prima ad primam1 secunda ad secundam ct]q2 suo ord9e ad ct]as2 erunt tota ad invicem 9 eadem illa data ratione4 ,nam si 9 ,lemmatis hujus figuris sumantur p>allelogramma int] se ut p>tes1 summ p>tium semp] erunt ut summ p>allelogrammorum2 atq2 adeo1 ubi p>tium p>allelogrammorum num]us augetur magnitudo dim9uitur 9 inf9itum1 9 ultima ratione p>allelogrammi ad p>allelogrammum1 id e/ 7p] hypo!s97 9 ultima ratione p>tis ad p>tem4 ,lemma ,v4 ,similium figur>um lat]a omnia1 qu sibi mutuo respond5t1 sunt proportionalia1 tam curvil9ea quam rectil9ea1 are sunt 9 duplicata ratione lat]um4 ,lemma ,,vi4 ,illu/ration ,si arcus quilibet positione datus ,,ab subt5datur *orda ,,ab1 9 puncto aliquo ,a1 9 m$io curvatur cont9u1 tangatur a recta utr9q2 producta ,,ad2 de9 puncta ,a1 ,b ad invicem acc5dant coeant2 dico quod angulus ,,bad sub *orda tang5te cont5tus m9uetur 9 inf9itum ultimo evanescet4 ,nam producatur ,,ab ad b ,,ad ad d1 punctis ,a1 ,b coeuntibus1 nullaq2 adeo ipsius ,ab p>te ,,ab jac5te amplius intra curvam1 manife/um esi quod hc recta ,ab1 vel co9cidet cum tang5te ,ad1 vel ducetur int] tang5tem curvam4 ,s$ casus po/]ior e/ contra naturam ,curvatur1 ergo prior obt9et4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lemma ,,vii4 ,iisdem positis1 dico quod ultima ratio arcus1 *ord tang5tis ad invicem e/ ratio qualitatis4 ,vide ,fig4 ,lem4 #f #h vi4 ,nam producantur ,,ab ,,ad ad b d secanti ,,bd p>allela agatur bd4 ,sitq2 arcus ,ab similis arcui ,,ab4 ,et punctis ,a1 ,b coeuntibus1 angulus d,ab1 p] ,lemma sup]ius1 evanescet2 adeoq2 rect ,ab1 ,ad arcus int]m$ius ,ab co9cid5t1 propt]ea quales erunt4 ,unde hisce semp] proportionales rect ,,ab1 ,,ad1 arcus int]m$ius ,,ab rationem ultimam habebunt qualitatis4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illu/ration ,corol4 #a4 ,unde si p] ,b ducatur tang5ti p>allela ,,bf rectam quamvis ,,af p] ,a transeuntem p]petuo secans 9 ,f1 hc ultimo ad arcum evanesc5tem ,,ab rationem habebit qualitatis1 eo quod completo p>allelogrammo ,,afbd1 rationem semp] habet qualitatis ad ,,ad4 ,corol4 #b4 ,et si p] ,b ,a ducantur plures rect ,,be1 ,,bd1 ,,af1 ,,ag1 secantes tang5tem ,,ad ipsius p>allelam ,,bf1 ratio ultima absciss>um omnium ,,ad1 ,,ae1 ,,bf1 ,,bg1 *ordq2 arcus ,,ab ad invicem erit ratio qualitatis4 ,corol4 #c4 ,et propt]ea h omnes l9e 9 omni de rationibus ultimis argum5tatione pro se invicem usurp>i possunt4 ,lemma ,,viii4 ,illu/ration ,si rect dat ,,ar1 ,,br cum arcu ,,ab1 *orda ,,ab tang5te ,,ad1 triangula tria ,,arb1 ,,arb1 ,,ard con/ituunt1 de9 puncta ,a1 ,b acc$unt ad invicem3 dico quod ultima =ma triangulorum evanesc5tium e/ similitud9is1 ultima ratio qualitatis4 ,nam producantur ,,ab1 ,,ad1 ,,ar ad b1 d r4 ,ipsi ,,rd agatur p>allela rbd1 arcui ,,ab similis ducatur arcus ,ab4 ,coeuntibus punctis ,a1 ,b1 angulus b,ad evanescet1 propt]ea triangula tria r,ab1 r,ab1 r,ad co9cid5t1 suntq2 eo nom9e similia qualia4 ,unde hisce semp] similia proportionalia ,,rab1 ,,rab1 ,,rad fi5t ultimo sibi invicem similia qualia4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,et h9c triangula illa 9 omni de rationibus ultimis argum5tatione pro se invicem usurp>i possunt4 ,lemma ,,ix4 ,illu/ration ,si recta ,,ae ,curva ,,ac positione dat se mutuo sec5t 9 angulo dato ,a1 ad rectam illam 9 alio dato angulo ord9atim applic5tur ,,bd1 ,,ec1 curv occurr5tes 9 ,b1 ,c2 de9 puncta ,b1 ,c acc$ant ad punctum ,a3 dico quod are triangulorum ,,adb1 ,,aec erunt ultimo ad invicem 9 duplicata ratione lat]um4 ,et5im 9 ,,ad producta capiantur ,ad1 ,ae ipsis ,,ad1 ,,ae proportionales1 erigantur ord9at db1 ec ord9atis ,,db1 ,,ec p>allel proportionales4 ,producatur ,,ac ad c1 ducatur curva ,abc ipsi ,,abc similis1 recta ,ag tangatur curva utraq2 9 ,a2 secantur ord9atim applicat 9 ,f1 ,g1 f1 g4 ,tum coeant puncta ,b1 ,c cum puncto ,a1 angulo c,ag evanesc5te1 co9cid5t are curvil9e ,abd1 ,ace cum rectil9eis ,afd1 ,age1 adeoq2 p] ,lemma ,v1 erunt 9 duplicata ratione lat]um ,ad1 ,ae3 ,s$ 8 areis proportionales semp] sunt are ,,abd1 ,,ace1 8 lat]ibus lat]a ,,ad1 ,,ae4 ,ergo are ,,abd1 ,,ace sunt ultimo 9 duplicata ratione lat]um ,,ad1 ,,ae4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lemma ,x4 ,spatia1 qu corpus urg5te quacunq2 vi regul>i describit1 sunt ipso motus initio 9 duplicata ratione temporum4 ,exponantur tempora p] l9eas ,,ad1 ,,ae1 velocitates g5it p] ord9atas ,,db1 ,,ec1 spatia 8 velocitatibus descripta erunt ut are ,,abd1 ,,ace 8 ord9atis descript1 hoc e/ ipso motus initio 7p] ,lemma ,,ix7 9 duplicata ratione temporum ,,ad1 ,,ae4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,et h9c facile colligitur1 quod corporum similes similium figur>um p>tes temporibus proportionalibus describ5tium errores1 qui viribus qualibus 9 p>tibus i/is ad corpora similit] applicatis g5]antur1 m5surantur a locis figur>um1 ad qu corpora temporibus ijsdem proportionalibus absq2 viribus i/is p]v5ir5t1 sunt ut quadrata temporum 9 quibus g5]antur quam proxime4 ,corol4 #b4 ,errores autem qui viribus proportionalibus similit] applicatis g5]antur1 sunt ut vires quadrata temporum conjunctim4 ,lemma ,,xi4 ,subt5sa evanesc5s anguli contactus e/ ultimo 9 ratione duplicata subt5s arcus cont]m9i4 ,illu/ration ,cas4 #a4 ,sit arcus ille ,,ab1 tang5s ejus ,,ad1 subt5sa anguli contactus ad tang5tem p]p5dicul>is ,,bd1 subt5sa arcus ,,ab4 ,huic subt5s ,,ab tang5ti ,,ad p]p5dicul>es erigantur ,,ag1 ,,bg1 concurr5tes 9 ,g2 de9 acc$ant puncta ,d1 ,b1 ,g1 ad puncta d1 b1 g1 sitq2 ,j int]sectio l9e>um ,,bg1 ,,ag ultimo facta ubi puncta ,d1 ,b acc$unt usq2 ad ,a4 ,manife/um e/ quod di/antia ,,gj m9or esse pote/ quam assignata quvis4 ,e/ autem 7ex natura circulorum p] puncta ,,abg1 ,abg transeuntium7 ,,ab quad4 quale ,,ag ,,bd ,ab quad4 quale ,ag bd1 adeoq2 ratio ,,ab quad4 ad ,ab quad4 componitur ex rationibus ,,ag ad ,ag ,,bd ad bd4 ,s$ quoniam ,,jg assumi pote/ m9or longitud9e quavis assignata1 fi]i pote/ ut ratio ,,ag ad ,ag m9us diff]at a ratione qualitatis quam pro diff]5tia quavis assignata1 adeoq2 ut ratio ,,ab quad4 ad ,ab quad4 m9us diff]at a ratione ,,bd ad bd quam pro diff]5tia quavis assignata4 ,e/ ergo1 p] ,lemma ,i1 ratio ultima ,,ab quad4 ad ,ab quad4 qualis rationi ultim ,,bd ad bd4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,incl9etur jam ,,bd ad ,,ad 9 angulo quovis dato1 eadem semp] erit ratio ultima ,,bd ad bd qu prius1 adeoq2 eadem ac ,,ab quad4 ad ,ab quad4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #c4 ,et quamvis angulus ,d non detur1 tam5 anguli ,d1 d ad qualitatem semp] v]g5t propius acc$5t ad invicem quam pro diff]5tia quavis assignata1 adeoq2 ultimo quales erunt1 p] ,lem4 ,i4 propt]ea l9e ,,bd1 bd 9 eadem ratione ad invicem ac prius4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,unde cum tang5tes ,,ad1 ,ad1 arcus ,,ab1 ,ab eorum s9us ,,bc1 bc fiant ultimo *ordis ,,ab1 ,ab quales2 erunt etiam illorum quadrata ultimo ut subt5s ,,bd1 bd4 ,corol4 #b4 ,triangula rectil9ea ,,adb1 ,adb sunt ultimo 9 triplicata ratione lat]um ,,ad1 ,ad1 inq2 sesquiplicata lat]um ,,db1 db3 ,utpote 9 composita ratione lat]um ,,ad ,,db1 ,ad db exi/5tia4 ,sic triangula ,,abc1 ,abc sunt ultimo 9 triplicata ratione lat]um ,,bc1 bc4 ,corol4 #c4 ,et quoniam ,,db1 db sunt ultimo p>allel 9 duplicata ratione ips>um ,,ad1 ,ad2 erunt are ultim curvil9e ,,adb1 ,adb 7ex natura ,p>abol7 du t]ti p>tes triangulorum rectil9eorum ,,adb1 ,adb1 segm5ta ,,ab1 ,ab p>tes t]ti eorundem triangulorum4 ,et inde h are hc segm5ta erunt 9 triplicata ratione tum tang5tium ,,ad1 ,ad2 tum *ord>um arcuum ,,ab1 ,ab4 ,s*olium4 ,ct]um 9 8 omnibus supponimus angulum contactus nec inf9ite majorem esse angulis contactuum1 quos circuli cont95t cum tang5tibus suis1 nec iisdem inf9ite m9orem2 hoc e/ curvaturam ad punctum ,a1 nec inf9ite p>vam esse nec inf9ite magnam1 seu int]vallum ,,aj f9it esse magnitud9is4 ,capi enim pote/ ,,db ut ,,ad#c3 quo 9 casu circulus nullus p] punctum ,a int] tang5tem ,,ad curvam ,,ab duci pote/1 pro9deq2 angulus contactus erit inf9ite m9or circul>ibus4 ,et simili argum5to si fiat ,,db successive ut ,,ad#d1 ,,ad#e1 ,,ad#f1 ,,ad#g1 c4 habebitur s]ies angulorum contactus p]g5s 9 inf9itum1 quorum quilibet po/]ior e/ inf9ite m9or priore4 ,et si fiat ,,db successive ut ,,ad#b1 ,,ad#c_/b1 ,,ad#d_/c1 ,,ad#e_/d1 ,,ad#f_/e1 ,,ad#g_/f1 c4 habebitur alia s]ies inf9ita angulorum contactus1 quorum primus e/ ejusdem g5]is cum circul>ibus1 secundus inf9ite major1 quilibet po/]ior inf9ite major priore4 ,s$ int] duos quosvis ex 8 angulis pote/ s]ies utr9q2 9 inf9itum p]g5s angulorum int]m$iorum ins]i1 quorum quilibet po/]ior erit inf9ite major priore4 ,ut si int] t]m9os ,,ad#b ,,ad#c ins]atur s]ies ,,ad#ac_/f1 ,,ad#aa_/e1 ,,ad#i_/d1 ,,ad#g_/c1 ,,ad#e_/b1 ,,ad#h_/c1 ,,ad#aa_/d1 ,,ad#ad_/e1 ,,ad#ag_/f1 c4 ,et rursus int] b9os quosvis angulos hujus s]iei ins]i pote/ s]ies nova angulorum int]m$iorum ab invicem inf9itis int]vallis diff]5tium4 ,neq2 novit natura limitem4 ,qu de curvis l9eis deq2 sup]ficiebus compreh5sis demon/rata sunt1 facile applicantur ad solidorum sup]ficies curvas cont5ta4 ,prmisi v]o hc ,lemmata ut effug]em tdium d$uc5di p]plexas demon/rationes1 m vet]um ,geometr>um1 ad absurdum4 ,contractiores enim r$duntur demon/rationes p] me?odum indivisibilium4 ,s$ quoniam durior e/ indivisibilium ,hypo!sis2 propt]ea ,me?odus illa m9us ,geometrica c5setur1 malui demon/rationes r]um sequ5tium ad ultimas quantitatum evanesc5tium summas rationes1 primasq2 nasc5tium1 id e/1 ad limites summ>um rationum d$uc]e1 propt]ea limitum illorum demon/rationes qua potui breuitate prmitt]e4 ,8 enim idem pr/atur quod p] me?odum indivisibilium1 pr9cipiis demon/ratis jam tutius utemur4 ,pro9de 9 sequ5tibus1 siqu&o quantitates tanquam ex p>ticulis con/antes consid]av]o1 vel si pro rectis usurpav]o l9eolas curvas1 nolim indivisibilia s$ evanesc5tia divisibilia1 non summas rationes p>tium det]m9at>um1 s$ summ>um rationum limites semp] intelligi1 vimq2 talium demon/rationum ad me?odum prc$5tium ,lemmatum semp] revoc>i4 ,objectio e/1 quod quantitatum evanesc5tium nulla sit ultima proportio2 quippe qu1 antequam evanu]unt1 non e/ ultima1 ubi evanu]unt1 nulla e/4 ,s$ eodem argum5to que cont5di posset nullam esse corporis ad c]tum locum p]g5tis velocitatem ultimam4 ,hanc enim1 antequam corpus att+it locum1 non esse ultimam1 ubi attigit1 nullam esse4 ,et responsio facilis e/4 ,p] velocitatem ultimam intelligi eam1 qua corpus movetur neq2 antequam att+it locum ultimum motus cessat1 neq2 po/ea1 s$ tunc cum att+it1 id e/ illam ipsam velocitatem quacum corpus att+it locum ultimum quacum motus cessat4 ,et similit] p] ultimam rationem quantitatum evanesc5tium intellig5dam esse rationem quantitatum non antequam evanescunt1 non po/ea1 s$ quacum evanescunt4 ,p>it] ratio prima nasc5tium e/ ratio quacum nascuntur4 ,et summa prima ultima e/ quacum esse 7vel aug]i m9ui7 incipiunt cessant4 ,extat limes quem velocitas 9 f9e motus att+]e pote/1 non autem transgr$i4 ,hc e/ velocitas ultima4 ,et p> e/ ratio limitis quantitatum proportionum omnium incipi5tium cessantium4 ,cumq2 hic limes sit c]tus def9itus1 ,problema e/ v]e ,geometricum eundem det]m9>e4 ,geometrica v]o omnia 9 aliis ,geometricis det]m9&is ac demon/r&is legitime usurpantur4 ,cont5di etiam pote/1 quod si d5tur ultim quantitatum evanesc5tium rationes1 dabuntur ultim magnitud9es2 sic quantitas omnis con/abit ex indivisibilibus1 contra quam ,euclides de incomm5surabilibus1 9 libro decimo ,elem5torum1 demon/ravit4 ,v]um hc ,objectio fals innititur hypo!si4 ,ultim rationes ill quibuscum quantitates evanescunt1 rev]a non sunt rationes quantitatum ultim>um1 s$ limites ad quos quantitatum s9e limite decresc5tium rationes semp] approp9quant1 quas propius assequi possunt quam pro data quavis diff]5tia1 nunquam v]o transgr$i1 neq2 prius att+]e quam quantitates dim9uuntur 9 inf9itum4 ,res cl>ius intelligetur 9 inf9ite magnis4 ,si quantitates du qu>um data e/ diff]5tia augeantur 9 inf9itum1 dabitur h>um ultima ratio1 nimirum ratio qualitatis1 nec tam5 ideo dabuntur quantitates ultim seu maxim qu>um i/a e/ ratio4 ,igitur 9 sequ5tibus1 siqu&o facili r]um imag9ationi consul5s1 dix]o quantitates quam m9imas1 vel evanesc5tes vel ultimas1 cave intelligas quantitates magnitud9e det]m9atas1 s$ cogita semp] dim9u5das s9e limite4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,ii4 ,de ,inv5tione ,virium ,c5tripet>um4 ,prop4 ,i4 ,!orema4 ,i4 ,areas quas corpora 9 gyros acta radiis ad immobile c5trum virium ductis describunt1 9 planis immobilibus consi/]e1 esse temporibus proportionales4 ,illu/ration ,dividatur tempus 9 p>tes quales1 prima temporis p>te describat corpus vi insita rectam ,,ab4 ,idem secunda temporis p>te1 si nil imp$iret1 recta p]g]et ad c1 7p] ,leg4 ,i7 describ5s l9eam ,bc qualem ipsi ,,ab1 adeo ut radiis ,,z1 ,,bs1 c,s ad c5trum actis1 consect =5t quales are ,,asb1 ,b,sc4 ,v]um ubi corpus v5it ad ,b1 agat vis c5tripeta impulsu unico s$ magno1 faciatq2 corpus a recta ,bc deflect]e p]g]e 9 recta ,,bc4 ,ipsi ,,bs p>allela agatur c,c occurr5s ,,bc 9 ,c1 completa secunda temporis p>te1 corpus 7p] ,legum ,corol4 ,i7 rep]ietur 9 ,c1 9 eodem plano cum triangulo ,,asb4 ,junge ,,sc1 triangulum ,,sbc1 ob p>allelas ,,sb1 ,cc1 quale erit triangulo ,s,bc1 atq2 adeo etiam triangulo ,,sab4 ,simili argum5to si vis c5tripeta successive agat 9 ,c1 ,d1 ,e1 c4 faci5s ut corpus s+ulis temporis p>ticulis s+ulas describat rectas ,,cd1 ,,de1 ,,ef1 c4 jacebunt h 9 eodem plano1 triangulum ,,scd triangulo ,,sbc ,,sde ipsi ,,scd ,,sef ipsi ,,sde quale erit4 qualibus igitur temporibus quales are 9 plano immoto describuntur3 compon5do1 sunt are>um summ quvis ,,sads1 ,,safs int] se1 ut sunt tempora descriptionum4 ,augeatur jam num]us m9uatur latitudo triangulorum 9 inf9itum1 eorum ultima p]imet] ,,adf1 7p] ,coroll>ium qu>tum ,lemmatis t]tii7 erit l9ea curva2 adeoq2 vis c5tripeta qua corpus de tang5te hujus curv p]petuo retrahitur1 aget indes95t]2 are v]o quvis descript ,,sads1 ,,safs temporibus descriptionum semp] proportionales1 erunt iisdem temporibus 9 hoc casu proportionales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,9 m$iis non resi/5tibus1 si are non sunt temporibus proportionales1 vires non t5dunt ad concursum radiorum4 ,corol4 #b4 ,9 m$iis omnibus1 si are>um descriptio accel]atur1 vires non t5dunt ad concursum radiorum1 s$ inde decl9ant 9 consequ5tia4 ,pro4 ,,ii4 ,!or4 ,,ii4 ,corpus omne quod1 cum movetur 9 l9ea aliqua curva1 radio ducto ad punctum vel immobile1 vel motu rectil9eo uni=mit] progr$i5s1 describit areas circa punctum illud temporibus proportionales1 urgetur a vi c5tripeta t5d5te ad idem punctum4 ,cas4 #a4 ,nam corpus omne quod movetur 9 l9ea curva1 detorquetur de cursu rectil9eo p] vim aliquam 9 ipsum ag5tem4 7p] ,leg4 ,i47 ,et vis illa qua corpus de cursu rectil9eo detorquetur cogitur triangula quam m9ima ,,sab1 ,,sbc1 ,,scd c4 circa punctum immobile ,s1 temporibus qualibus qualia describ]e1 agit 9 loco ,b secundum l9eam p>allelam ipsi c,c 7p] ,prop4 #dj ,lib4 ,i ,elem4 ,leg4 ,,ii47 hoc e/ secundum l9eam ,,bs 9 loco ,c secundum l9eam ipsi d,d p>allelam1 hoc e/ secundum l9eam ,,cs1 c4 ,agit ergo semp] secundum l9eas t5d5tes ad punctum illud immobile ,s4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,et1 p] ,legum ,coroll>ium qu9tum1 p]9de e/ sive quiescat sup]ficies 9 qua corpus describit figuram curvil9eam1 sive moveatur eadem una cum corpore1 figura descripta puncto suo ,s uni=mit] 9 directum4 ,s*olium4 ,urg]i pote/ corpus a vi c5tripeta composita ex pluribus viribus4 ,9 hoc casu s5sus ,propositionis e/1 quod vis illa qu ex omnibus componitur1 t5dit ad punctum ,s4 ,porro si vis aliqua agat secundum l9eam sup]ficiei descript p]p5dicul>em1 hc faciet corpus deflect]e a plano sui motus1 s$ quantitatem sup]ficiei descript nec augebit nec m9uet1 propt]ea 9 compositione virium neglig5da e/4 ,prop4 ,,iii4 ,!or4 ,,iii4 ,corpus omne quod1 radio ad c5trum corporis alt]ius utcunq2 moti ducto1 describit areas circa c5trum illud temporibus proportionales1 urgetur vi composita ex vi c5tripeta t5d5te ad corpus alt]um ex vi omni accel]atrice1 qua corpus alt]um urgetur4 ,nam 7p] ,legum ,corol4 #f47 si vi nova1 qu qualis contr>ia sit illi qua corpus alt]um urgetur1 urgeatur corpus utrumq2 secundum l9eas p>allelas1 p]get corpus primum describ]e circa corpus alt]um areas easdem ac prius3 vis autem qua corpus alt]um urgebatur1 jam de/ruetur p] vim sibi qualem contr>iam1 propt]ea 7p] ,leg4 #a47 corpus illud alt]um vel quiescet vel movebitur uni=mit] 9 directum1 corpus primum1 urg5te diff]5tia virium1 p]get areas temporibus proportionales circa corpus alt]um describ]e4 ,t5dit igitur 7p] ,!or4 #b47 diff]5tia virium ad corpus illud alt]um ut c5trum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si corpus unum radio ad alt]um ducto describit areas temporibus proportionales1 atq2 de vi tota 7sive simplici1 sive ex viribus pluribus1 juxta ,legum ,coroll>ium secundum1 composita17 qua corpus prius urgetur1 subducatur 7p] idem ,legum ,coroll>ium7 vis tota accel]atrix qua corpus alt]um urgetur2 vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur t5det ad corpus alt]um ut c5trum4 ,corol4 #b4 ,et si are ill sunt temporibus quamproxime proportionales1 vis reliqua t5det ad corpus alt]um quamproxime4 ,corol4 #c4 ,et vice v]sa1 si vis reliqua t5dit quamproxime ad corpus alt]um1 erunt are ill temporibus quamproxime proportionales4 ,corol4 #d4 ,si corpus radio ad alt]um corpus ducto describit areas qu1 cum temporibus collat1 sunt valde 9quales1 corpus illud alt]um vel quiescit vel movetur uni=mit] 9 directum2 actio vis c5tripet ad corpus illud alt]um t5d5tis1 vel nulla e/1 vel miscetur componitur cum actionibus admodum pot5tibus ali>um virium3 ,visq2 tota ex omnibus1 si plures sunt vires1 composita1 ad aliud 7sive immobile sive mobile7 c5trum dirigitur1 circum quod quabilis e/ are>um descriptio4 ,idem obt9et ubi corpus alt]um motu quocunq2 movetur1 si modo vis c5tripeta sumatur1 qu re/at po/ subductionem vis totius ag5tis 9 corpus illud alt]um4 ,s*olium ,quoniam quabilis are>um descriptio ,index e/ c5tri quod vis illa respicit qua corpus maxime afficitur1 corpus autem vi ad hoc c5trum t5d5te ret9etur 9 orbita sua1 motus omnis circul>is recte dicitur circa c5trum illud fi]i1 cujus vi corpus retrahitur de motu rectil9eo ret9etur 9 ,orbita3 quidni usurpemus 9 sequ5tibus quabilem are>um descriptionem ut ,indicem c5tri circum quod motus omnis circul>is 9 spatiis lib]is p]agitur8 ,prop4 ,,iv4 ,!or4 ,,iv4 ,corporum qu div]sos circulos quabili motu describunt1 vires c5tripetas ad c5tra eorundem circulorum t5d]e1 esse int] se ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum radios4 ,illu/ration ,corpora ,b1 b 9 circumf]5tiis circulorum ,,bd1 bd gyrantia1 simul describant arcus ,,bd1 bd4 ,quoniam sola vi insita describ]5t tang5tes ,,bc1 bc 8 arcubus quales1 manife/um e/ quod vires c5tripet sunt qu p]petuo retrahunt corpora de tang5tibus ad circumf]5tias circulorum1 atq2 adeo h sunt ad invicem 9 ratione prima spatiorum nasc5tium ,,cd1 cd3 t5dunt v]o ad c5tra circulorum p] ,!or4 ,,ii1 propt]ea quod are radiis descript ponuntur temporibus proportionales4 ,fiat figura tkb figur ,,dcb similis1 p] ,lemma ,v1 l9eola ,,cd erit ad l9eolam kt ut arcus ,,bd ad arcum bt3 nec non1 p] ,lemma ,,xi1 l9eola nasc5s tk ad l9eolam nasc5tem dc ut bt quad4 ad bd quad4 ex quo l9eola nasc5s ,,dc ad l9eolam nasc5tem dc ut ,,bd bt ad bd quad4 seu quod p]9de e/1 ut ,,bd bt ,sb ad bd quad4 ,sb1 adeoq2 7ob quales rationes bt ,sb ,,bd ,,sb7 ut ,,bd quad4 ,,sb ad bd quad4 ,sb ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c vires c5tripet sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum4 ,corol4 #b4 ,et reciproce ut quadrata temporum p]iodicorum applicata ad radios ita sunt h vires int] se4 ,id e/ 7ut cum ,geometris loqu>7 h vires sunt 9 ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe ratione simplici radiorum inv]se3 necnon 9 ratione composita ex ratione simplici radiorum directe ratione duplicata temporum p]iodicorum inv]se4 ,corol4 #c4 ,unde si tempora p]iodica quantur1 erunt tum vires c5tripet tum velocitates ut radii1 vice v]sa4 ,corol4 #d4 ,si quadrata temporum p]iodicorum sunt ut radii1 vires c5tripet sunt quales1 velocitates 9 dimidiata ratione radiorum3 ,et vice v]sa4 ,corol4 #e4 ,si quadrata temporum p]iodicorum sunt ut quadrata radiorum1 vires c5tripet sunt reciproce ut radii1 velocitates quales2 ,et vice v]sa4 ,corol4 #f4 ,si quadrata temporum p]iodicorum sunt ut cubi radiorum1 vires c5tripeta3 sunt reciproce ut quadrata radiorum2 velocitates autem 9 radiorum dimidiata ratione3 ,et vice v]sa4 ,corol4 #g4 ,eadem omnia de temporibus1 velocitatibus viribus1 quibus corpora similes figur>um qu>umcunq2 similium1 c5traq2 similit] posita hab5tium1 p>tes describunt1 consequuntur ex ,demon/ratione prc$5tium ad hosce casus applicata4 ,s*olium4 ,casus ,coroll>ii sexti obt9et 9 corporibus cle/ibus 7ut seorsum collig]unt etiam no/rates ,wr5nus1 ,hookius ,halleus7 propt]ea qu spectant ad vim c5tripetam decresc5tem 9 duplicata ratione di/anti>um a c5tris decrevi fusius 9 sequ5tibus expon]e4 ,porro prc$5tis demon/rationis b5eficio colligitur etiam proportio vis c5tripet ad vim quamlibet notam1 qualis e/ ea gravitatis4 ,nam cum vis illa1 quo tempore corpus p]currit arcum ,,bc1 impellat ipsum p] spatium ,,cd1 quod ipso motus initio quale e/ quadrato arcus illius ,,bd ad circuli diametrum applicato2 corpus omne vi eadem 9 e&em semp] plagam cont9uata1 describat spatia 9 duplicata ratione temporum3 ,vis illa1 quo tempore corpus revolv5s arcum quemvis datum describit1 efficiet ut corpus idem recta progr$i5s describat spatium quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato quale2 adeoq2 e/ ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod grave cad5do eodem tempore describit4 ,et hujusmodi ,propositionibus ,hug5ius1 9 eximio suo ,tractatu de ,horologio oscillatorio1 vim gravitatis cum revolv5tium viribus c5trifugis contulit4 ,demon/r>i etiam possunt prc$5tia 9 hunc modum4 ,9 circulo quovis describi intelligatur ,polygonum lat]um quotcunq2 ,et si corpus 9 ,polygoni lat]ibus data cum velocitate mov5do1 ad ejus angulos s+ulos a circulo reflectatur2 vis qua s+ulis reflexionibus imp+it 9 circulum erit ut ejus velocitas1 adeoq2 summa virium 9 dato tempore erit ut velocitas illa num]us reflexionum conjunctim1 hoc e/ 7si ,polygonum detur specie7 ut longitudo dato illo tempore descripta longitudo eadem applicata ad ,radium circuli1 id e/ ut quadratum longitud9is illius applicatum ad ,radium2 adeoq2 si ,polygonum lat]ibus inf9ite dim9utis co9cidat cum circulo1 ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium4 ,hc e/ vis qua corpus urget circulum1 huic qualis e/ vis contr>ia qua circulus cont9uo repellit corpus c5trum v]sus4 ,prop4 ,v4 ,prob4 ,i4 ,illu/ration ,data quibuscunq2 9 locis velocitate1 qua corpus figuram datam viribus ad commune aliquod c5trum t5d5tibus describit1 c5trum illud inv5ire4 ,figuram descriptam tangant rect tres ,,pt1 ,,tqv1 ,,vr 9 punctis totidem ,p1 ,q1 ,r1 concurr5tes 9 ,t ,v4 ,ad tang5tes erigantur p]p5dicula ,,pa1 ,,qb1 ,,rc1 velocitatibus corporis 9 punctis illis ,p1 ,q1 ,r a quibus eriguntur reciproce proportionalia2 id e/ ita ut sit ,,pa ad ,,qb ut velocitas 9 ,q ad velocitatem 9 ,p1 ,,qb ad ,,rc ut velocitas 9 ,r ad velocitatem 9 ,q4 ,p] p]p5diculorum t]m9os ,a1 ,b1 ,c ad angulos rectos ducantur ,,ad1 ,,dbe1 ,,ec concurr5tia 9 ,d ,e3 ,et act ,,td1 ,,ve concurr5t 9 c5tro qusito ,s4 ,nam cum corpus 9 ,p ,q radiis ad c5trum ductis areas describat temporibus proportionales1 s9tq2 are ill simul descript ut velocitates 9 ,p ,q duct respective 9 p]p5dicula a c5tro 9 tang5tes ,,pt1 ,,qt demissa3 ,erunt p]p5dicula illa ut velocitates reciproce1 adeoq2 ut p]p5dicula ,,ap1 ,,bq directe1 id e/ ut p]p5dicula a puncto ,d 9 tang5tes demissa4 ,unde facile colligitur quod puncta ,s1 ,d1 ,t sunt 9 una recta4 ,et simili argum5to puncta ,s1 ,e1 ,v sunt etiam 9 una recta2 propt]ea c5trum ,s 9 concursu rect>um ,,td1 ,,ve v]satur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,pro4 ,,vi4 ,!or4 ,v4 ,si corpus ,p revolv5do circa c5trum ,s1 describat l9eam quamvis curvam ,,apq1 tangat v]o recta ,,zpr curvam illam 9 puncto quovis ,p1 ad tang5tem ab alio quovis curv ,q agatur ,,qr di/anti ,,sp p>allela1 ac demittatur ,,qt p]p5dicul>is ad di/antiam ,,sp3 ,dico quod vis c5tripeta sit reciproce ut solidum ,,sp quad4 ,,qt quad4 ,,qr1 si modo solidi illius ea semp] sumatur quantitas qu ultimo fit ubi coeunt puncta ,p ,q4 ,illu/ration ,namq2 9 figura indef9ite p>va ,,qrpt l9eola nasc5s ,,qr1 dato tempore1 e/ ut vis c5tripeta 7p] ,leg4 ,,ii47 data vi1 ut quadratum temporis 7p] ,lem4 ,x47 atq2 adeo1 neutro dato1 ut vis c5tripeta quadratum temporis conjunctim1 adeoq2 vis c5tripeta ut l9eola ,,qr directe quadratum temporis inv]se4 ,e/ autem tempus ut area ,,spq1 ejus dupla ,,sp ,,qt1 id e/ ut ,,sp ,,qt conjunctim1 adeoq2 vis c5tripeta ut ,,qr directe atq2 ,,sp quad4 9 ,,qt quad4 inv]se1 id e/ ut ,,sp quad4 ,,qt quad4 ,,qr inv]se4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,h9c si detur figura quvis1 9 ea punctum ad quod vis c5tripeta dirigitur2 inv5iri pote/ lex vis c5tripet qu corpus 9 figur illius p]imetro gyr>i faciet4 ,nimirum comput&um e/ solidum ,,sp quad4 ,,qt quad4 ,,qr huic vi reciproce proportionale4 ,ejus rei dabimus exempla 9 problematis sequ5tibus4 ,prop4 ,,vii4 ,prob4 ,,ii4 ,illu/ration ,gyretur corpus 9 circumf]5tia circuli1 requiritur lex vis c5tripet t5d5tis ad punctum aliquod 9 circumf]5tia datum4 ,e/o circuli circumf]5tia ,,sqpa1 c5trum vis c5tripet ,s1 corpus 9 circumf]5tia latum ,p1 locus proximus 9 quem movebitur ,q4 ,ad diametrum ,,sa rectam ,,sp demitte p]p5diculi ,,pk1 ,,qt1 p] ,q ipsi ,,sp p>allelam age ,,lr occurr5tem circulo 9 ,l tang5ti ,,pr 9 ,r1 coeant ,,tq1 ,,pr 9 ,z4 ,ob similitud9em triangulorum ,,zqr1 ,,ztp1 ,,spa erit ,,rp quad4 7hoc e/ ,,qrl7 ad ,,qt quad4 ut ,,sa quad4 ad ,,sp quad4 ,ergo ,,qrl ,,sp quad4 ,,sa quad4 quatur ,,qt quad4 ,ducantur hc qualia 9 ,,sp quad4 ,,qr1 punctis ,p ,q coeuntibus1 scribatur ,,sp pro ,,rl4 ,sic fiet ,,sp qc4 ,s,aq4 quale ,q,tq4 ,s,pq4 ,,qr4 ,ergo 7p] ,corol4 ,!or4 ,v47 vis c5tripeta reciproce e/ ut ,,sp qc4 ,s,aq41 id e/ 7ob datum ,,sa quad47 ut quadrato-cubus di/anti ,,sp4 ,quod erat inv5i5dum4 ,prop4 ,,viii4 ,prob4 ,,iii4 ,illu/ration ,moveatur corpus 9 circulo ,,pqa3 ad hunc effectum requiritur lex vis c5tripet t5d5tis ad punctum adeo long9quum1 ut l9e omnes ,,ps1 ,,rs ad id duct1 pro p>allelis hab]i poss9t4 ,a circuli c5tro ,c agatur semidiamet] ,,ca p>allelas i/as p]p5dicul>it] secans 9 ,m ,n1 jungantur ,,cp4 ,ob similia triangula ,,cpm1 ,,tpz1 vel 7p] ,lem4 ,,viii47 ,,tpq1 e/ ,c,pq4 ad ,p,mq4 ut ,p,qq4 vel 7p] ,lem4 ,,vii47 ,p,rq4 ad ,q,tq4 ex natura circuli rectangulum ,,qr ,,rn ,,qn quale e/ ,,pr quadrato4 ,coeuntibus autem punctis ,p1 ,q fit ,,rn ,,qn qualis #b,,pm4 ,ergo e/ ,,cp quad4 ad ,,pm quad4 ut ,,qr #b,,pm ad ,,qt quad4 adeoq2 ,,qt quad4 ,,qr quale #b,,pm cub4 ,,cp quad41 ,,qt quad4 ,,sp quad4 ,,qr quale #b,,pm cub4 ,,sp quad4 ,,cp quad4 ,e/ ergo 7p] ,corol4 ,!or4 ,v47 vis c5tripeta reciproce ut #b,,pm cub4 ,,sp quad4 ,,cp quad4 hoc e/ 7neglecta ratione det]m9ata #b,,sp quad4 ,,cp quad47 reciproce ut ,,pm cub4 ,q4 ,e4 ,i4 ,s*olium4 ,et simili argum5to corpus movebitur 9 ,ellipsi vel etiam 9 ,hyp]bola vel ,p>abola1 vi c5tripeta qu sit reciproce ut cubus ord9atim applicat ad c5trum virium maxime long9quum t5d5tis4 ,prop4 ,,ix4 ,prob4 ,,iv4 ,illu/ration ,gyretur corpus 9 spiral ,,pqs secante radios omnes ,,sp1 ,,sq1 c4 9 angulo dato3 ,requiritur lex vis c5tripet t5d5tis ad c5trum spiralis4 ,detur angulus indef9ite p>vus ,,psq1 ob datos omnes angulos dabitur specie figura ,,spqrt4 ,ergo datur ratio ,,qt ,,rq e/q2 ,,qt quad4 ,,qr ut ,,qt1 hoc e/ ut ,,sp4 ,mutetur jam utcunq2 angulus ,,psq1 recta ,,qr angulum contactus ,,qpr subt5d5s mutabitur 7p] ,lemma ,,xi47 9 duplicata ratione ipsius ,,pr vel ,,qt4 ,ergo manebit ,,qt quad4 ,,qr eadem qu prius1 hoc e/ ut ,,sp4 ,qu>e ,q,tq4 ,s,pq4 ,,qr e/ ut ,,sp cub4 id e/ 7p] ,corol4 ,!or4 ,v47 vis c5tripeta ut cubus di/anti ,,sp4 ,q4 ,e4 ,i4 ,lemma ,,xii4 ,p>allelogramma omnia circa datam ,ellips9 descripta esse int] se qualia4 ,idem intellige de ,p>allelogrammis 9 ,hyp]bola circum diametros ejus descriptis4 ,con/at utrumq2 ex ,conicis4 ,prop4 ,x4 ,prob4 ,v4 ,gyretur corpus 9 ,ellipsi3 requiritur lex vis c5tripet t5d5tis ad c5trum ,ellipseos4 ,illu/ration ,sunto ,,ca1 ,,cb semiaxes ,ellipseos2 ,,gp1 ,,dk diametri conjugat2 ,,pf1 ,qt1 p]p5dicula ad diametros2 ,qv ord9atim applicata ad diametrum ,,gp2 si compleatur p>allelogrammum ,qv,r,p1 erit 7ex ,conicis7 ,pv,g ad ,qv quad4 ut ,,pc quad4 ad ,,cd quad4 7ob similia triangula ,qvt1 ,,pcf7 ,qv quad4 e/ ad ,qt quad4 ut ,,pc quad4 ad ,,pf quad4 conjunctis rationibus1 ,pv,g ad ,qt quad4 ut ,,pc quad4 ad ,,cd quad4 ,,pc quad4 ad ,,pf quad4 id e/ v,g ad ,qt quad4 ,pv ut ,,pc quad4 ad ,c,dq4 ,p,fq4 ,p,cq44 ,scribe ,,qr pro ,pv1 7p] ,lemma xii47 ,,bc ,,ca pro ,,cd ,,pf1 nec non 7punctis ,p ,q coeuntibus7 #b,,pc pro v,g1 ductis extremis m$ijs 9 se mutuo1 fiet ,q,tq4 ,p,cq4 ,,qr quale #b;,b,cq4 ,c,aq4 ,,pc4 ,e/ ergo 7p] ,corol4 ,!or4 ,v47 vis c5tripeta reciproce ut #b;,b,cq4 ,c,aq4 ,,pc1 id e/ 7ob datum #b;,b,cq4 ,c,aq47 ut #a ,,pc1 hoc e/1 directe ut di/antia ,,pc4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,unde vicissim si vis sit ut di/antia1 movebitur corpus 9 ,ellipsi c5trum hab5te 9 c5tro virium1 aut =te 9 circulo1 9 quem ,ellipsis migr>e pote/4 ,corol4 #b4 ,et qualia erunt revolutionum 9 ,figuris univ]sis circa c5trum idem fact>um p]iodica tempora4 ,nam tempora illa 9 ,ellipsibus similibus qualia sunt p] ,corol4 #c #g ,prop4 ,,iv3 ,9 ,ellipsibus autem communem hab5tibus axem majorem1 sunt ad invicem ut ,ellipseon are tot directe are>um p>ticul simul descript inv]se2 id e/ ut axes m9ores directe corporum velocitates 9 v]ticibus pr9cipalibus inv]se1 hoc e/ ut axes illi directe ord9atim applicat ad axes alt]os inv]se1 propt]ea 7ob qualitatem rationum direct>um inv]s>um7 9 ratione qualitatis4 ,s*olium4 ,si ,ellipsis1 c5tro 9 inf9itum abeunte1 v]tatur 9 ,p>abolam1 corpus movebitur 9 hac ,p>abola1 vis ad c5trum inf9ite di/ans jam t5d5s1 evadet quabilis4 ,hoc e/ ,!orema ,galilei4 ,et si ,conisectio ,p>abolica1 incl9atione plani ad conum sectum mutata1 v]tatur 9 ,hyp]bolam1 movebitur corpus 9 hujus p]imetro1 vi c5tripeta 9 c5trifugam v]sa4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,iii4 ,de motu ,corporum 9 ,conicis ,sectionibus exc5tricis4 ,prop4 ,,xi4 ,prob4 ,,vi4 ,revolvatur corpus 9 ,ellipsi3 ,requiritur lex vis c5tripet t5d5tis ad umbilicum ,ellipseos4 ,illu/ration ,e/o ,ellipseos sup]ioris umbilicus ,s4 ,agatur ,,sp secans ,ellipseos tum diametrum ,,dk 9 ,e1 tum ord9atim applicatam ,qv 9 x1 compleatur p>allelogrammum ,qx,p,r4 ,patet ,,ep qualem esse semiaxi majori ,,ac1 eo quod acta ab alt]o ,ellipseos umbilico ,h l9ea ,,hi ipsi ,,ec p>allela1 7ob quales ,,cs1 ,,*7 qu5tur ,,es1 ,,ei1 adeo ut ,,ep semisumma sit ips>um ,,ps1 ,,pi1 id e/ 7ob p>allelas ,,hi1 ,,pr angulos quales ,,ipr1 ,,hpz7 ipsorum ,,ps1 ,,ph1 qu conjunctim axem totum #b;,,ac adquant4 ,ad ,,sp demittatur p]p5dicul>is ,,qt1 ,ellipseos lat]e recto pr9cipali 7seu #b;,,bc quad4 ,,ac7 dicto ,l1 erit ,l ,,qr ad ,l ,pv ut ,,qr ad ,pv2 id e/ ut ,,pe 7seu ,,ac7 ad ,,pc2 ,l ,pv ad ,gv,p ut ,l ad ,gv2 ,gv,p ad ,qv quad4 ut ,,cp quad4 ad ,,cd quad42 7p] ,lem4 ,,viii47 ,qv quad4 ad ,qx quad4 punctis ,q ,p coeuntibus1 e/ ratio qualitatis1 ,qx quad4 seu ,qv quad4 e/ ad ,,qt quad4 ut ,,ep quad4 ad ,,pf quad41 id e/ ut ,,ca quad4 ad ,,pf quad4 sive 7p] ,lem4 ,,xii47 ut ,,cd quad4 ad ,,cb quad4 ,et conjunctis 8 omnibus rationibus1 ,l ,,qr fit ad ,,qt quad4 ut ,,ac ad ,,pc ,l ad ,gv ,c,pq4 ad ,c,dq4 ,c,dq4 ad ,c,bq4 id e/ ut ,,ac ,l 7seu #b;,c,bq47 ,c,pq4 ad ,,pc ,gv ,c,bq4 sive ut #b,,pc ad ,gv4 ,s$ punctis ,q ,p coeuntibus1 quantur #b,,pc ,gv4 ,ergo 8 proportionalia ,l ,,qr ,,qt quad4 quantur4 ,ducantur hc aqualia 9 ,s,pq4 ,,qr fiet ,l ,s,pq4 quale ,s,pq4 ,q,tq4 ,,qr4 ,ergo 7p] ,corol4 ,!or4 ,v47 vis c5tripeta reciproce e/ ut ,l ,s,pq4 id e/ reciproce 9 ratione duplicata di/anti ,,sp4 ,q4 ,e4 ,i4 ,eadem brevitate qua traduximus ,problema qu9tum ad ,p>abolam1 ,hyp]bolam1 lic]et idem hic fac]e3 v]um ob dignitatem ,problematis usum ejus 9 sequ5tibus1 non pigebit casus ct]os demon/ratione confirm>e4 ,prop4 ,,xii4 ,prob4 ,,vii4 ,moveatur corpus 9 ,hyp]bola3 requiritur lex vis c5tripet t5d5tis ad umbilicum figur4 ,illu/ration ,sunto ,,ca1 ,,cb semi-axes ,hyp]bol2 ,,pg1 ,,kd diametri conjugat2 ,,pf1 ,qt p]p5dicula ad diametros2 ,qv ord9atim applicata ad diametrum ,,gp4 ,agatur ,,sp secans tum diametrum ,,dk 9 ,e1 tum ord9atim applicatam ,qv 9 x1 compleatur p>allelogrammum ,q,r,px4 ,patet ,,ep qualem esse semi-axi transv]so ,,ac1 eo quod1 acta ab alt]o ,hyp]bol umbilico ,h l9ea ,,hi ipsi ,,ec p>allela1 ob quales ,,cs1 ,,*1 qu5tur ,,es1 ,,ei2 adeo ut ,,ep semidiff]5tia sit ips>um ,,ps1 ,,pi1 id e/ 7ob p>allelas ,,hi1 ,,pr angulos quales ,,ipr1 ,,hpz7 ips>um ,,pi1 ,,ph1 qu>um diff]5tia axem totum #b;,,ac adquat4 ,ad ,,sp demittatur p]p5dicul>is ,,qt4 ,et ,hyp]bol lat]e recto pr9cipali 7seu #b;,b,cq4 ,,ac7 dicto ,l1 erit ,l ,,qr ad ,l ,pv ut ,,qr ad ,pv1 id e/1 ut ,,pe 7seu ,,ac7 ad ,,pc2 ,et ,l ,pv ad ,gv,p ut ,l ad ,gv2 ,gv,p ad ,qvq4 ut ,c,pq4 ad ,c,dq42 7p] ,lem4 ,,viii47 ,qvq4 ad ,qxq41 punctis ,q ,p coeuntibus fit ratio qualitatis2 ,qxq4 seu ,qvq4 e/ ad ,q,tq4 ut ,e,pq4 ad ,p,fq41 id e/ ut ,c,aq4 ad ,p,fq41 sive 7p] ,lem4 ,,xii47 ut ,c,dq4 ad ,c,bq43 conjunctis 8 omnibus rationibus ,l ,,qr fit ad ,q,tq4 ut ,,ac ad ,,pc ,l ad ,gv ,c,pq4 ad ,c,dq4 ,c,dq4 ad ,c,bq43 id e/ ut ,,ac ,l 7seu #b;,b,cq47 ,p,cq4 ad ,,pc ,gv ,,cb quad4 sive ut #b,,pc ad ,gv1 s$ punctis ,q ,p coeuntibus quantur #b,,pc ,gv4 ,ergo 8 proportionalia ,l ,,qr ,q,tq4 quantur4 ,ducantur hc qualia 9 ,s,pq4 ,,qr fiet ,l ,s,pq4 quale ,s,pq4 ,q,tq4 ,,qr4 ,ergo 7p] ,corol4 ,!or4 ,v47 vis c5tripeta reciproce e/ ut ,l ,s,pq4 id e/ 9 ratione duplicata di/anti ,,sp4 ,q4 ,e4 ,i4 ,eodem modo demon/ratur quod corpus1 hac vi c5tripeta 9 c5trifugam v]sa1 movebitur 9 ,hyp]bola conjugata4 ,lemma ,,xiii4 ,latus rectum ,p>abol ad v]ticem quemvis p]t95s1 e/ quadruplum di/anti v]ticis illius ab umbilico figur4 ,patet ex ,conicis4 ,lemma ,,xiv4 ,illu/ration ,p]p5diculum quod ab umbilico ,p>abol ad tang5tem ejus demittitur1 m$ium e/ proportionale int] di/antias umbilici a puncto contactus a v]tice pr9cipali figur4 ,sit enim ,,apq ,p>abola1 ,s umbilicus ejus1 ,a v]tex pr9cipalis1 ,p punctum contactus1 ,,po ord9atim applicata ad diametrum pr9cipalem1 ,,pm tang5s diametro pr9cipali occurr5s 9 ,m1 ,,sn l9ea p]p5dicul>is ab umbilico 9 tang5tem4 ,jungatur ,,an1 ob quales ,,ms ,,sp1 ,,mn ,,np1 ,,ma ,,ao1 p>allel erunt rect ,,an ,,op1 inde triangulum ,,san rectangulum erit ad ,a simile triangulis qualibus ,,smn1 ,,spn4 ,ergo ,,ps e/ ad ,,sn ut ,,sn ad ,,sa4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,p,sq4 e/ ad ,s,nq4 ut ,,ps ad ,,sa4 ,corol4 #b4 ,et ob datam ,,sa1 e/ ,s,nq4 ut ,,ps4 ,corol4 #c4 ,et concursus tang5tis cujusvis ,,pm cum recta ,,sn qu ab umbilico 9 ipsam p]p5dicul>is e/1 incidit 9 rectam ,,an1 qu ,p>abolam tangit 9 v]tice pr9cipali4 ,prop4 ,,xiii4 ,prob4 ,,viii4 ,moveatur corpus 9 p]imetro ,p>abol3 requiritur ,lex vis c5tripet t5d5tis ad umbilicum hujus figur4 ,illu/ration ,maneat con/ructio ,lemmatis1 sitq2 ,p corpus 9 p]imetro ,p>abol1 a loco ,q 9 quem corpus proxime movetur1 age ipsi ,,sp ,p>allelam ,,qr p]p5dicul>em ,,qt1 necnon ,qv tang5tip>allelam occurr5tem tum diametro ,,ypg 9 v1 tum di/anti ,,sp 9 x4 ,jam ob similia triangula ,pxv1 ,,msp qualia unius lat]a ,,sm1 ,,sp1 qualia sunt alt]ius lat]a ,px seu ,,qr ,pv4 ,s$1 ex ,conicis1 quadratum ord9at ,qv quale e/ rectangulo sub lat]e recto segm5to diametri ,pv1 id e/ 7p] ,lem4 ,,xiii47 rectangulo #d,,ps ,pv seu #d,,ps ,,qr2 punctis ,p ,q coeuntibus1 ratio ,qv ad ,qx 7p] ,lem4 #h47 fit qualitatis4 ,ergo ,qxq4 eo 9 casu1 quale e/ rectangulo #d,,ps ,,qr4 ,e/ autem 7ob quales angulos ,qx,t1 ,,mps1 ,,pmo7 ,qxq4 ad ,q,tq4 ut ,p,sq4 ad ,s,nq4 hoc e/ 7p] ,corol4 ,i4 ,lem4 ,,xiv47 ut ,,ps ad ,,z1 id e/ ut #d,,ps ,,qr ad #d;,,z ,,qr1 inde 7p] ,prop4 #i4 ,lib4 ,v4 ,elem47 ,q,tq4 #d;,,z ,,qr quantur4 ,ducantur hc qualia 9 ,s,pq4 ,,qr1 fiet ,s,pq4 ,q,tq4 ,,qr quale ,s,pq4 #d;,,z3 propt]ea 7p] ,corol4 ,!or4 ,v47 vis c5tripeta e/ reciproce ut ,s,pq4 #d;,,z1 id e/1 ob datam #d;,,z1 reciproce 9 duplicata ratione di/anti ,,sp4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 ,i4 ,ex tribus novissimis ,proportionibus consequ5s e/1 quod si corpus quodvis ,p1 secundum l9eam quamvis rectam ,,pr1 quacunq2 cum velocitate exeat de loco ,p1 vi c5tripeta qu sit reciproce proportionalis quadrato di/anti a c5tro1 simul agitetur2 movebitur hoc corpus 9 aliqua sectionum ,conic>um umbilicum hab5te 9 c5tro virium2 contra4 ,corol4 ,,ii4 ,et si velocitas1 quacum corpus exit de loco suo ,p1 ea sit1 qua l9eola ,,pr 9 m9ima aliqua temporis p>ticula describi possit1 vis c5tripeta potis sit eodem tempore corpus idem mov]e p] spatium ,,qr3 movebitur hoc corpus 9 ,conica aliqua sectione cujus latus rectum e/ quantitas illa ,q,tq4 ,,qr qu ultimo fit ubi l9eol ,,pr1 ,,qr 9 inf9itum dim9uuntur4 ,circulum 9 8 ,coroll>iis ref]o ad ,ellips91 casum excipio ubi corpus recta desc5dit ad c5trum4 ,prop4 ,,xiv4 ,!or4 ,,vi4 ,si corpora plura revolvantur circa c5trum commune1 vis c5tripeta decrescat 9 duplicata ratione di/anti>um a c5tro2 dico quod ,orbium ,lat]a recta sunt 9 duplicata ratione are>um quas corpora1 radiis ad c5trum ductis1 eodem tempore describunt4 ,nam p] ,corol4 ,,ii4 ,prob4 ,,viii4 ,latus rectum ,l quale e/ quantitati ,q,tq4 ,,qr qu ultimo fit ubi coeunt puncta ,p ,q4 ,s$ l9ea m9ima ,,qr1 dato tempore1 e/ ut vis c5tripeta g5]ans1 hoc e/ 7p] ,hypo!s97 reciproce ut ,s,pq4 ,ergo ,q,tq4 ,,qr e/ ut ,q,tq4 ,s,pq4 hoc e/1 latus rectum ,l 9 duplicata ratione are ,,qt ,,sp4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,h9c ,ellipseos area tota1 eiq2 proportionale rectangulum sub axibus1 e/ 9 ratione composita ex dimidiata ratione lat]is recti integra ratione temporis p]iodici4 ,prop4 ,,xv4 ,!or4 ,,vii4 ,iisdem positis1 dico quod tempora p]iodica 9 ,ellipsibus sunt 9 ratione sesquiplicata transv]sorum axium4 ,namq2 axis m9or e/ m$ius proportionalis int] axem majorem 7quem transv]sum appello7 latus rectum1 atq2 adeo rectangulum sub axibus e/ 9 ratione composita ex dimidiata ratione lat]is recti sesquiplicata ratione axis transv]si4 ,s$ hoc rectangulum1 p] ,coroll>ium ,!orematis ,sexti1 e/ 9 ratione composita ex dimidiata ratione lat]is recti integra ratione p]iodici temporis4 ,dematur utrobiq2 dimidiata ratio lat]is recti manebit sesquiplicata ratio axis transv]si qualis rationi p]iodici temporis4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,sunt igitur tempora p]iodica 9 ,ellipsibus eadem ac 9 circulis1 quorum diametri quantur majoribus axibus ,ellipseon4 ,prop4 ,,xvi4 ,!or4 ,,viii4 ,iisdem positis1 actis ad corpora l9eis rectis1 qu ibidem tangant orbitas1 demissisq2 ab umbilico communi ad has tang5tes p]p5dicul>ibus3 dico quod velocitates corporum sunt 9 ratione composita ex ratione p]p5diculorum inv]se dimidiata ratione lat]um rectorum directe4 ,vide ,fig4 ,prop4 ,x4 4 ,,xi4 ,ab umbilico ,s ad tang5tem ,,pr demitte p]p5diculum ,,sy velocitas corporis ,p erit reciproce 9 dimidiata ratione quantitatis ,s,yq4 ,l4 ,nam velocitas illa e/ ut arcus quam m9imus ,,pq 9 data temporis p>ticula descriptus1 hoc e/ 7p] ,lem4 ,,vii47 ut tang5s ,,pr1 id e/ 7ob proportionales ,,pr ad ,,qt ,,sp ad ,,sy7 ut ,,sp ,,qt ,,sy1 sive ut ,,sy reciproce ,,sp ,,qt directe2 e/q2 ,,sp ,,qt ut area dato tempore descripta1 id e/1 p] ,!or4 ,,vi4 9 dimidiata ratione lat]is recti ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,lat]a recta sunt 9 ratione composita ex duplicata ratione p]p5diculorum duplicata ratione velocitatum4 ,corol4 #b4 ,velocitates corporum 9 maximis m9imis ab umbilico communi di/antiis1 sunt 9 ratione composita ex ratione di/anti>um inv]se dimidiata ratione lat]um rectorum directe4 ,nam p]p5dicula jam sunt ips di/anti4 ,corol4 #c4 ,ideoq2 velocitas 9 ,conica sectione1 9 m9ima ab umbilico di/antia1 e/ ad velocitatem 9 circulo 9 eadem a c5tro di/antia1 9 dimidiata ratione lat]is recti ad di/antiam illam duplicatam4 ,corol4 #d4 ,corporum 9 ,ellipsibus gyrantium velocitates 9 m$iocribus di/antiis ab umbilico communi sunt edem qu corporum gyrantium 9 circulis ad easdem di/antias1 hoc e/ 7p] ,corol4 ,,vi4 ,!or4 ,,iv47 reciproce 9 dimidiata ratione di/anti>um4 ,nam p]p5dicula jam sunt semi-axes m9ores1 hi sunt ut m$i proportionales int] di/antias lat]a recta4 ,componatur hc ratio inv]se cum dimidiata ratione lat]um rectorum directe1 fiet ratio dimidiata di/anti>um inv]se4 ,corol4 #e4 ,9 eadem vel qualibus figuris1 vel etiam 9 figuris 9qualibus1 qu>um lat]a recta sunt qualia1 velocitas corporis e/ reciproce ut p]p5diculum demissum ab umbilico ad tang5tem4 ,corol4 #f4 ,9 ,p>abola1 velocitas e/ reciproce 9 dimidiata ratione di/anti corporis ab umbilico figur1 9 ,ellipsi m9or e/1 9 ,hyp]bola major quam 9 hac ratione4 ,nam 7p] ,corol4 #b ,lem4 ,,xiv47 p]p5diculum demissum ab umbilico ad tang5tem ,p>abol e/ 9 dimidiata ratione di/anti4 ,corol4 #g4 ,9 ,p>abola1 velocitas ubiq2 e/ ad velocitatem corporis revolv5tis 9 circulo ad e&em di/antiam1 9 dimidiata ratione num]i b9>ii ad unitatem2 9 ,ellipsi m9or e/1 9 ,hyp]bola major quam 9 hac ratione4 ,nam p] hujus ,coroll>ium secundum1 velocitas 9 v]tice ,p>abol e/ 9 hac ratione1 p] ,coroll>ia sexta hujus ,!orematis qu>ti1 s]vatur eadem proportio 9 omnibus di/antiis4 ,h9c etiam 9 ,p>abola velocitas ubiq2 qualis e/ velocitati corporis revolv5tis 9 circulo ad dimidiam di/antiam1 9 ,ellipsi m9or e/1 9 ,hyp]bola major4 ,corol4 #h4 ,velocitas gyrantis 9 ,sectione quavis ,conica e/ ad velocitatem gyrantis 9 circulo 9 di/antia dimidii lat]is recti ,sectionis1 ut di/antia illa ad p]p5diculum ab umbilico 9 tang5tem ,sectionis demissum4 ,patet p] ,coroll>ium qu9tum4 ,corol4 #i4 ,unde cum 7p] ,corol4 #f4 ,!or4 ,,iv47 velocitas gyrantis 9 hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis 9 circulo quovis alio1 reciproce 9 dimidiata ratione di/anti>um2 fiet ex quo velocitas gyrantis 9 ,conica sectione ad velocitatem gyrantis 9 circulo 9 eadem di/antia1 ut m$ia proportionalis int] di/antiam illam communem semissem lat]is recti sectionis1 ad p]p5diculum ab umbilico communi 9 tang5tem sectionis demissum4 ,prop4 ,,xvii4 ,prob4 ,,ix4 ,posito quod vis c5tripeta sit reciproce proportionalis quadrato di/anti a c5tro1 quod vis illius quantitas absoluta sit cognita2 requiritur l9ea quam corpus describit1 de loco dato cum data velocitate secundum datam rectam egr$i5s4 ,illu/ration ,vis c5tripeta t5d5s ad punctum ,s ea sit qu corpus p 9 orbita quavis data pq gyr>e faciat1 cognoscatur hujus velocitas 9 loco p4 ,de loco ,p secundum l9eam ,,pr exeat corpus ,p cum data velocitate1 mox inde1 cog5te vi c5tripeta1 deflectat illud 9 ,conisectionem ,,pq4 ,hanc igitur recta ,,pr tanget 9 ,p4 ,tangat itidem recta aliqua pr orbitam pq 9 p1 si ab ,s ad eas tang5tes demitti intelligantur p]p5dicula1 erit 7p] ,corol4 #a4 ,!or4 ,,viii47 latus rectum ,conisectionis ad latus rectum orbit dat1 9 ratione composita ex duplicata ratione p]p5diculorum duplicata ratione velocitatum1 atq2 adeo datur4 ,sit i/ud ,l4 ,datur prt]ea ,conisectionis umbilicus ,s4 ,anguli ,,rps complem5tum ad duos rectos fiat angulus ,,rph1 dabitur positione l9ea ,,ph1 9 qua umbilicus alt] ,h locatur4 ,demisso ad ,,ph p]p5diculo ,,sk1 erecto semiaxe conjugato ,,bc1 e/ ,s,pq4 - #b,,kph ,p,hq4 7p] ,prop4 #ac4 ,lib4 ,,ii4 ,elem47 ,s,hq4 #d;,c,hq4 #d;,b,hq4 - #d;,b,cq4 ,,sp ,,ph quad4 - ,l ,,sp ,,ph ,s,pq4 #b,,sph ,p,hq4 - ,l ,,sp ,,ph4 ,addantur utrobiq2 #b,,kph ,l ,,sp ,,ph - ,s,pq4 - ,p,hq4 fiet ,l ,,sp ,,ph #b,,sph #b,,kph1 seu ,,sp ,,ph ad ,,ph ut #b,,sp #b,,kp ad ,l4 ,unde datur ,,ph tam longitud9e quam positione4 ,nimirum si ea sit corporis 9 ,p velocitas1 ut latus rectum ,l m9us fu]it quam #b,,sp #b,,kp1 jacebit ,,ph ad e&em p>tem tang5tis ,,pr cum l9ea ,,ps1 adeoq2 figura erit ,ellipsis1 ex datis umbilicis ,s1 ,h1 axe pr9cipali ,,sp ,,ph1 dabitur3 ,s9 tanta sit corporis velocitas ut latus rectum ,l quale fu]it #b,,sp #b,,kp1 longitudo ,,ph inf9ita erit1 propt]ea figura erit ,p>abola axem hab5s ,,% p>allelum l9e ,,pk1 inde dabitur4 ,quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suo ,p exeat1 capi5da erit longitudo ,,ph ad alt]am p>tem tang5tis1 adeoq2 tang5te int] umbilicos p]g5te1 figura erit ,hyp]bola axem hab5s pr9cipalem qualem diff]5ti l9e>um ,,sp ,,ph1 inde dabitur4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,h9c 9 omni ,conisectione ex dato v]tice pr9cipali ,d1 lat]e recto ,l1 umbilico ,s1 datur umbilicus alt] ,h capi5do ,,dh ad ,,ds ut e/ latus rectum ad diff]5tiam int] latus rectum #d;,,ds4 ,nam proportio ,,sp ,,ph ad ,,ph ut #b,,sp ad ,l1 9 casu hujus ,coroll>ii1 fit ,,ds ,,dh ad ,,dh ut #d;,,ds ad ,l1 divisim ,,ds ad ,,dh ut #d;,,ds - ,l ad ,l4 ,corol4 #b4 ,unde si datur corporis velocitas 9 v]tice pr9cipali ,d1 inv5ietur ,orbita exp$ite1 capi5do scilicet latus rectum ejus1 ad duplam di/antiam ,,ds1 9 duplicata ratione velocitatis hujus dat ad velocitatem corporis 9 circulo ad di/antiam ,,ds gyrantis3 7,p] ,corol4 #c4 ,!or4 ,,viii47 de9 ,,dh ad ,,ds ut latus rectum ad diff]5tiam int] latus rectum #d;,,ds4 ,corol4 #c4 ,h9c etiam si corpus moveatur 9 ,sectione quacunq2 ,conica1 ex orbe suo impulsu quocunq2 exturbetur2 cognosci pote/ orbis 9 quo po/ea cursum suum p]aget4 ,nam compon5do proprium corporis motum cum motu illo quem impulsus solus g5]>et1 habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco1 secundum rectam positione datam1 exibit4 ,corol4 #d4 ,et si corpus illud vi aliqua extr9secus impressa cont9uo p]turbetur1 innotescet cursus quam proxime1 collig5do mutationes quas vis illa 9 punctis quibusdam inducit1 ex s]iei analogia1 mutationes cont9uas 9 locis int]m$iis /im&o4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,iv4 ,de ,inv5tione ,orbium ,ellipticorum1 ,p>abolicorum ,hyp]bolicorum ex umbilico dato4 ,illu/ration ,lemma ,,xv4 ,si ab ,ellipseos vel ,hyp]bol cujusvis umbilicis duobus ,s1 ,h1 ad punctum quodvis t]tium ,v inflectantur rect du ,,sv1 ,,hv1 qu>um una ,,hv qualis sit axi transv]so figur1 alt]a ,,sv a p]p5diculo ,,tr 9 se demisso bisecetur 9 ,t2 p]p5diculum illud ,,tr sectionem ,conicam alicubi tangit3 contra1 si tangit1 erit ,,vh qualis axi figur4 ,secet enim ,,vh sectionem conicam 9 ,r1 jungatur ,,sr4 ,ob quales rectas ,,ts1 ,,tv1 quales erunt anguli ,,trs1 ,,trv4 ,bisecat ergo ,,rt angulum ,,vrs propt]ea figuram tangit3 contra4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xviii4 ,prob4 ,x4 ,datis umbilico axibus transv]sis describ]e ,trajectorias ,ellipticas ,hyp]bolicas1 qu transibunt p] puncta data1 rectas positione datas cont+5t4 ,illu/ration ,sit ,s communis umbilicus figur>am2 ,,ab longitudo axis transv]si ,trajectori cujusvis2 ,p punctum p] quod ,trajectoria debet transire2 ,,tr recta quam debet tang]e4 ,c5tro ,p int]vallo ,,ab - ,,sp1 si orbita sit ,ellipsis1 vel ,,ab ,,sp1 si ea sit ,hyp]bola1 describatur circulus ,,hg4 ,ad tang5tem ,,tr demittatur p]p5diculum ,,/1 producatur ea ad ,v ut sit ,,tv qualis ,,/2 c5troq2 ,v int]vallo ,,ab describatur circulus ,,fh4 ,hac me?odo sive d5tur duo puncta ,p1 p1 sive du tang5tes ,,tr1 tr1 sive punctum ,p tang5s ,,tr1 describ5di sunt circuli duo4 ,sit ,h eorum int]sectio communis1 umbilicis ,s1 ,h1 axe illo dato describatur ,trajectoria4 ,dico factum4 ,nam ,trajectoria descripta 7eo quod ,,ph ,,sp 9 ,ellipsi1 ,,ph - ,,sp 9 ,hyp]bola quatur axi7 transibit p] punctum ,p1 7p] ,lemma sup]ius7 tanget rectam ,,tr4 ,et eodem argum5to vel transibit eadem p] puncta duo ,p1 p1 vel tanget rectas duas ,,tr1 tr4 ,q4 ,e4 ,f4 ,prop4 ,,xix4 ,prob4 ,,xi4 ,circa datum umbilicum ,trajectoriam ,p>abolicam describ]e1 qu transibit p] puncta data1 rectas positione datas cont+et4 ,illu/ration ,sit ,s umbilicus1 ,p punctum ,,tr tang5s trajectori describ5d4 ,c5tro ,p1 int]vallo ,,ps describe circulum ,,fg4 ,ab umbilico ad tang5tem demitte p]p5dicul>em ,,/1 produc eam ad ,v1 ut sit ,,tv qualis ,,/4 ,eodem modo describ5dus e/ alt] circulus fg1 si datur alt]um punctum p2 vel inv5i5dum alt]um punctum v1 si datur alt]a tang5s tr2 de9 duc5da recta ,,if qu tangat duos circulos ,,fg1 fg si dantur duo puncta ,p1 p2 vel transeat p] duo puncta ,v1 v1 si dantur du tang5tes ,,tr1 tr1 vel tangat circulum ,,fg transeat p] punctum ,v1 si datur punctum ,p tang5s ,,tr4 ,ad ,,fi demitte p]p5dicul>em ,,si1 eamq2 biseca 9 ,k1 axe ,,sk1 v]tice pr9cipali ,k describatur ,p>abola4 ,dico factum4 ,nam ,p>abola ob quales ,,sk ,,ik1 ,,sp ,,fp transibit p] punctum ,p2 7p] ,lemmatis ,,xiv4 ,corol4 #c47 ob quales ,,/ ,,tv angulum rectum ,,/r1 tanget rectam ,,tr4 ,q4 ,e4 ,f4 ,prop4 ,,xx4 ,prob4 ,,xii4 ,illu/ration ,circa datum umbilicum ,trajectoriam quamvis specie datam describ]e1 qu p] data puncta transibit rectas tanget positione datas4 ,cas4 #a4 ,dato umbilico ,s1 describ5da sit ,trajectoria ,,abc p] puncta duo ,b1 ,c4 ,quoniam ,trajectoria datur specie1 dabitur ratio axis transv]si ad di/antiam umbilicorum4 ,9 ea ratione cape ,,kb ad ,,bs1 ,,lc ad ,,cs4 ,c5tris ,b1 ,c1 int]vallis ,,bk1 ,,cl1 describe circulos duos1 ad rectam ,,kl1 qu tangat eosdem 9 ,k ,l1 demitte p]p5diculum ,,sg1 idemq2 seca 9 ,a a1 ita ut sit ,,sa ad ,,ag ,sa ad a,g1 ut e/ ,,sb ad ,,bk1 axe ,aa1 v]ticibus ,a1 a1 describatur ,trajectoria4 ,dico factum4 ,sit enim ,h umbilicus alt] figur descript1 cum sit ,,sa ad ,,ag ut ,sa ad a,g1 erit divisim ,sa - ,,sa seu ,,% ad a,g - ,,ag seu ,aa 9 eadem ratione1 adeoq2 9 ratione quam habet axis transv]sus figur describ5d ad di/antiam umbilicorum ejus2 propt]ea figura descripta e/ ejusdem speciei cum describ5da4 ,cumq2 s9t ,,kb ad ,,bs ,,lc ad ,,cs 9 eadem ratione1 transibit hc ,figura p] puncta ,b1 ,c1 ut ex ,conicis manife/um e/4 ,illu/ration ,cas4 #b4 ,dato umbilico ,s1 describ5da sit ,trajectoria qu rectas duas ,,tr1 tr alicubi cont+at4 ,ab umbilico 9 tang5tes demitte p]p5dicula ,,/1 ,/ produc eadem ad ,v1 v1 ut s9t ,,tv1 tv quales ,,ts1 ts4 ,biseca ,vv 9 ,o1 erige p]p5diculum inf9ite ,,oh1 rectamq2 ,,vs inf9ite productam seca 9 ,k k ita1 ut sit ,,vk ad ,,ks ,vk ad k,s ut e/ ,trajectori describ5d axis transv]sus ad umbilicorum di/antiam4 ,sup] diametro ,kk describatur circulus secans rectam ,,oh 9 ,h2 umbilicis ,s1 ,h1 axe transv]so ipsam ,,vh quante1 describatur ,trajectoria4 ,dico factum4 ,nam biseca ,kk 9 ,x1 junge ,,hx1 ,,hs1 ,,hv1 ,hv4 ,quoniam e/ ,,vk ad ,,ks ut ,vk ad k,s2 composite ut ,,vk ,vk ad ,,ks k,s2 divisimq2 ut ,vk - ,,vk ad k,s - ,,ks id e/ ut #b,,vx ad #b,,kx #b,,kx ad #b,,sx1 adeoq2 ut ,,vx ad ,,hx ,,hx ad ,,sx1 similia erunt triangula ,,vxh1 ,,hxs1 propt]ea ,,vh erit ad ,,% ut ,,vx ad ,,xh1 adeoq2 ut ,,vk ad ,,ks4 ,habet igitur ,trajectoria2 descript axis transv]sus ,,vh eam rationem ad ipsius umbilicorum di/antiam ,,%1 quam habet ,trajectori describ5d axis transv]sus ad ipsius umbilicorum di/antiam1 propt]ea ejusdem e/ speciei4 ,insup] cum ,,vh1 v,h qu5tur axi transv]so1 ,,vs1 v,s a rectis ,,tr1 tr p]p5dicul>it] bisec5tur1 liquet1 ex ,lemmate ,,xv1 rectas illas ,trajectoriam descriptam tang]e4 ,q4 ,e4 ,f4 ,illu/ration ,cas4 #c4 ,dato umbilico ,s describ5da sit ,trajectoria qu rectam ,,tr tanget 9 puncto dato ,r4 ,9 rectam ,,tr demitte p]p5dicul>em ,,/1 produc e&em ad ,v1 ut sit ,,tv qualis ,,/4 ,junge ,,vr1 rectam ,,vs inf9ite productam seca 9 ,k k1 ita ut sit ,,vk ad ,,sk ,vk ad ,sk ut ,ellipseos describ5d axis transv]sus ad di/antiam umbilicorum2 circuloq2 sup] diametro ,kk descripto1 secetur producta recta ,,vr 9 ,h1 umbilicis ,s1 ,h1 axe transv]so rectam ,,hv quante1 describatur ,trajectoria4 ,dico factum4 ,namq2 ,,vh esse ad ,,% ut ,,vk ad ,,sk1 atq2 adeo ut axis transv]sus ,trajectori describ5d ad di/antiam umbilicorum ejus1 patet ex demon/ratis 9 ,casu secundo1 propt]ea ,trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describ5da3 rectam v]o ,,tr qua angulus ,,vrs bisecatur1 tang]e ,trajectoriam 9 puncto ,r1 patet ex ,conicis4 ,q4 ,e4 ,f4 ,illu/ration ,cas4 #d4 ,circa umbilicum ,s describ5da jam sit ,trajectoria ,,apb1 qu tangat rectam ,,tr1 transeatq2 p] punctum quodvis ,p extra tang5tem datum1 quq2 similis sit figur apb1 axe transv]so ab umbilicis s1 h descript4 ,9 tang5tem ,,tr demitte p]p5diculum ,,/1 produc idem ad ,v1 ut sit ,,tv qualis ,,/4 ,angulis autem ,,vsp1 ,,svp fac angulos hsq1 %q quales2 c5troq2 q int]vallo quod sit ad ab ut ,,sp ad ,,vs describe circulum secantem figuram apb 9 p4 ,junge sp age ,,% qu sit ad % ut e/ ,,sp ad sp quq2 angulum ,,p% angulo p% angulum ,,v% angulo psq quales con/ituat4 ,d5iq2 umbilicis ,s1 ,h1 axe di/antiam ,,vh quante1 describatur sectio conica4 ,dico factum4 ,nam si agatur sv qu sit ad sp ut e/ % ad sq1 quq2 con/ituat angulum vsp angulo hsq angulum v% angulo psq quales1 triangula svh1 spq erunt similia1 propt]ea vh erit ad pq ut e/ % ad sq1 id e/ 7ob similia triangula ,,vsp1 hsq7 ut e/ ,,vs ad ,,sp seu ab ad pq4 quantur ergo vh ab4 ,porro ob similia triangula ,,v%1 v% e/ ,,vh ad ,,% ut vh ad %1 id e/1 axis ,conic actionis jam descripta3 ad illius umbilicorum int]vallum1 ut axis ab ad umbilicorum int]vallum %1 propt]ea figura jam descripta similis e/ figur apb4 ,transit autem hc figura p] punctum ,p1 eo quod triangulum ,,p% simile sit triangulo p%2 quia ,,vh quatur ipsius axi ,,vs bisecatur p]p5dicul>it] a recta ,,tr tangit eadem rectam ,,tr4 ,q4 ,e4 ,f4 ,lemma ,,xvi4 ,a datis tribus punctis ad qu>tum non datum inflect]e tres rectas qu>um diff]5ti vel dantur vel null sunt4 ,illu/ration ,cas4 #a4 ,sunto puncta illa data ,a1 ,b1 ,c punctum qu>tum ,z1 quod inv5ire oportet3 ,ob datam diff]5tiam l9e>um ,,az1 ,,bz1 locabitur punctum ,z 9 ,hyp]bola cujus umbilici sunt ,a ,b1 axis transv]sus diff]5tia illa data4 ,sit axis ille ,,mn4 ,cape ,,pm ad ,,ma ut e/ ,,mn ad ,,ab1 erecto ,,pr p]p5dicul>i ad ,,ab1 demissoq2 ,,zr p]p5dicul>i ad ,,pr1 erit ex natura hujus ,hyp]bol ,,zr ad ,,az ut e/ ,,mn ad ,,ab4 ,simili discursu punctum ,z locabitur 9 alia ,hyp]bola1 cujus umbilici sunt ,a1 ,c axis transv]sus diff]5tia int] ,,az ,,cz1 duciq2 pote/ ,,qs ipsi ,,ac p]p5dicul>is1 ad quam si ab ,hyp]bol hujus puncto quovis ,z demittatur normalis ,,zs1 hc fu]it ad ,,az ut e/ diff]5tia int] ,,az ,,cz ad ,,ac4 ,dantur ergo rationes ips>um ,,zr ,,zs ad ,,az1 idcirco datur e>undem ,,zr ,,zs ratio ad invicem2 adeoq2 rectis ,,rp1 ,,sq concurr5tibus 9 ,t1 locabitur punctum ,z 9 recta ,,tz positione data4 ,eadem ,me?odo p] ,hyp]bolam t]tiam1 cujus umbilici sunt ,b ,c axis transv]sus diff]5tia rect>um ,,bz1 ,,cz1 inv5iri pote/ alia recta 9 qua punctum ,z locatur4 ,habitis autem duobus locis rectil9eis1 habetur punctum qusitum ,z 9 e>um int]sectione1 ,q4 ,e4 ,i4 ,cas4 #b4 ,si du ex tribus l9eis1 puta ,,az ,,bz quantur1 punctum ,z locabitur 9 p]p5diculo bisecante di/antiam ,,ab1 locus alius rectil9eus inv5ietur ut supra4 ,q4 ,e4 ,i4 ,cas4 #c4 ,si omnes tres quantur1 locabitur punctum ,z 9 c5tro circuli p] puncta ,a1 ,b1 ,c transeuntis4 ,q4 ,e4 ,i4 ,solvitur etiam hoc ,lemma problematicum p] ,librum4 ,tactionum ,apollonii a ,vieta re/itutum4 ,prop4 ,,xxi4 ,prob4 ,,xiii4 ,illu/ration ,trajectoriam circa datum umbilicum describ]e1 qu transibit p] puncta data rectas positione datas cont+et4 ,detur umbilicus ,s1 punctum ,p1 tang5s ,,tr1 inv5i5dus sit umbilicus alt] ,h4 ,ad tang5tem demitte p]p5diculum ,,/1 produc idem ad ,y1 ut sit ,,ty qualis ,,/1 erit ,,yh qualis axi transv]so4 ,junge ,,sp1 ,,hp erit ,,sp diff]5tia int] ,,hp axem transv]sum4 ,hoc modo si d5tur plures tang5tes ,,tr1 vel plura puncta ,p1 dev5ietur semp] ad l9eas totidem ,,yh1 vel ,,ph1 a dictis punctis ,y vel ,p ad umbilicum ,h ductas1 qu vel quantur axibus1 vel datis longitud9ibus ,,sp diff]unt ab iisdem1 atq2 adeo qu vel quantur sibi invicem1 vel datas hab5t diff]5tias2 inde1 p] ,lemma sup]ius1 datur umbilicus ille alt] ,h4 ,habitis autem umbilicis una cum axis longitud9e 7qu vel e/ ,,yh1 vel si ,trajectoria ,ellipsis e/1 ,,ph ,,sp2 s9 ,hyp]bola ,,ph - ,,sp7 habetur ,trajectoria4 ,q4 ,e4 ,i4 ,s*olium4 ,illu/ration ,casus ubi dantur tria puncta sic solvitur exp$itius4 ,d5tur puncta ,b1 ,c1 ,d4 ,junctas ,,bc1 ,,cd produc ad ,e1 ,f1 ut sit ,,eb ad ,,ec ut ,,sb ad ,,sc1 ,,fc ad ,,fd ut ,,sc ad ,,sd4 ,ad ,,ef ductam productam demitte normales ,,sg1 ,,bh1 inq2 ,,gs inf9ite producta cape ,,ga ad ,,z ,ga ad a,s ut e/ ,,hb ad ,,bs2 erit ,a v]tex1 ,aa axis transv]sus ,trajectori3 qu1 p]9de ut ,,ga m9or1 qualis vel major fu]it quam ,,z1 erit ,ellipsis1 ,p>abola vel ,hyp]bola2 puncto a 9 primo casu cad5te ad e&em p>tem l9e ,,gk cum puncto ,a2 9 secundo casu abeunte 9 inf9itum2 9 t]tio cad5te ad contr>iam p>tem l9e ,,gk4 ,nam si demittantur ad ,,gf p]p5dicula ,,ci1 ,,dk1 erit ,,ic ad ,,hb ut ,,ec ad ,,eb1 hoc e/ ut ,,sc ad ,,sb2 vicissim ,,ic ad ,,sc ut ,,hb ad ,,sb1 seu ,,ga ad ,,sa4 ,et simili argum5to probabitur esse ,,kd ad ,,sd 9 eadem ratione4 ,jac5t ergo puncta ,b1 ,c1 ,d 9 ,conisectione circa umbilicum ,s ita descripta1 ut rect omnes ab umbilico ,s ad s+ula ,sectionis puncta duct1 s9t ad p]p5dicula a punctis iisdem ad rectam ,,gk demissa 9 data illa ratione4 ,me?odo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit ,cl>issimus ,geometra ,de la ,hire1 ,conicorum suorum ,lib4 ,,viii4 ,prop4 ,,xxv4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,v4 ,inv5tio orbium ubi umbilicus neut] datur4 ,lemma ,,xvii4 ,illu/ration ,si a dat conic sectionis puncto quovis ,p1 ad ,trapezii alicujus ,,abcd1 9 ,conica illa sectione inscripti1 lat]a quatuor inf9ite producta ,,ab1 ,,cd1 ,,ac1 ,,db1 totidem rect ,,pq1 ,,pr1 ,,ps1 ,,pt 9 datis angulis ducantur1 s+ul ad s+ula3 rectangulum duct>um ad opposita duo lat]a ,,pq ,,pr1 erit ad rectangulum duct>um ad alia duo lat]a opposita ,,ps ,,pt 9 data ratione4 ,cas4 #a4 ,ponamus imprimis l9eas ad opposita lat]a ductas p>allelas esse alt]utri reliquorum lat]um1 puta ,,pq ,,pr lat]i ,,ac1 ,,ps ac ,,pt lat]i ,,ab4 ,s9tq2 insup] lat]a duo ex oppositis1 puta ,,ac ,,bd1 p>allela4 ,et recta qu bisecat p>allela illa lat]a erit una ex diametris ,conic sectionis1 bisecabit etiam ,,rq4 ,sit ,o punctum 9 quo ,,rq bisecatur1 erit ,,po ord9atim applicata ad diametrum illam4 ,produc ,,po ad ,k ut sit ,,ok qualis ,,po1 erit ,,ok ord9atim applicata ad contr>ias p>tes diametri4 ,cum igitur puncta ,a1 ,b1 ,p ,k s9t ad ,conicam sectionem1 ,,pr secet ,,ab 9 dato angulo1 erit 7p] ,prop4 #ag #ah ,lib4 ,,iii ,apollonii7 rectangulum ,,pqk ad rectangulum ,,aqb 9 data ratione4 ,s$ ,,qk ,,pr quales sunt1 utpote qualium ,,ok1 ,,op1 ,,oq1 ,,or diff]5ti1 inde etiam rectangula ,,pqk ,,pq ,,pr qualia sunt2 atq2 adeo rectangulum ,,pq ,,pr e/ ad rectangulum ,,aqb1 hoc e/ ad rectangulum ,,ps ,,pt 9 data ratione4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illu/ration ,cas4 #b4 ,ponamus jam ,trapezii lat]a opposita ,,ac ,,bd non esse p>allela4 ,age ,bd p>allelam ,,ac occurr5tem tum rect ,,/ 9 t1 tum ,conic sectioni 9 d4 ,junge ,cd secantem ,,pq 9 r1 ipsi ,,pq p>allelam age ,,dm secantem ,cd 9 ,m ,,ab 9 ,n4 ,jam ob similia triangula ,b,tt1 ,,dbn1 e/ ,bt seu ,,pq ad ,tt ut ,,dn ad ,,nb4 ,sic ,rr e/ ad ,,aq seu ,,ps ut ,,dm ad ,,an4 ,ergo duc5do antec$5tes 9 antec$5tes consequ5tes 9 consequ5tes1 ut rectangulum ,,pq 9 ,rr e/ ad rectangulum ,tt 9 ,,ps1 ita rectangulum ,,ndm e/ ad rectangulum ,,anb1 7p] ,cas4 #a7 ita rectangulum ,q,pr e/ ad rectangulum ,s,pt1 ac divisim ita rectangulum ,,qpr e/ ad rectangulum ,,ps ,,pt4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illu/ration ,cas4 #c4 ,ponamus d5iq2 l9eas quatuor ,,pq1 ,,pr1 ,,ps1 ,,pt non esse p>allelas lat]ibus ,,ac1 ,,ab1 s$ ad ea utcunq2 incl9atas4 ,e>um vice age ,pq1 ,pr p>allelas ipsi ,,ac2 ,ps1 ,pt p>allelas ipsi ,,ab2 propt] datos angulos triangulorum ,p,qq1 ,p,rr1 ,p,ss1 ,p,tt1 dabuntur rationes ,,pq ad ,pq1 ,,pr ad ,pr1 ,,ps ad ,ps ,,pt ad ,pt1 atq2 adeo rationes composit ,,pq 9 ,,pr ad ,pq 9 ,pr1 ,,ps 9 ,,pt ad ,ps 9 ,pt4 ,s$ p] sup]ius demon/rata1 ratio ,pq 9 ,pr ad ,ps 9 ,pt data e/3 ,ergo ratio ,,pq 9 ,,pr ad ,,ps 9 ,,pt4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lemma ,,xviii4 ,iisdem positis1 si rectangulum duct>um ad opposita duo lat]a ,trapezii ,,pq ,,pr sit ad rectangulum duct>um ad reliqua duo lat]a ,,ps ,,pt 9 data ratione2 punctum ,p1 a quo l9e ducuntur1 tanget ,conicam sectionem circa ,trapezium descriptam4 ,illu/ration ,p] puncta ,a1 ,b1 ,c1 ,d aliquod inf9itorum punctorum ,p1 puta p1 concipe ,conicam sectionem describi3 dico punctum ,p hanc semp] tang]e4 ,si negas1 junge ,,ap secantem hanc ,conicam sectionem alibi quam 9 ,p si fi]i pote/1 puta 9 b4 ,ergo si ab 8 punctis p b ducantur 9 datis angulis ad lat]a ,trapezii rect pq1 pr1 ps1 pt bk1 br1 bs1 bd2 erit ut bk br ad bd bs ita 7p] ,lemma ,,xvii7 pq pr ad ps pt ita 7p] hypo?47 ,,pq ,,pr ad ,,ps ,,pt4 ,e/ propt] similitud9em ,trapeziorum bk,as1 ,,pqas1 ut bk ad bs ita ,,pq ad ,,ps4 ,qu>e applic&o t]m9os prioris propositionis ad t]m9os correspond5tes hujus1 erit br ad bd ut ,,pr ad ,,pt4 ,ergo ,trapezia quiangula ,drbd1 ,,drpt similia sunt1 eorum diagonales ,db1 ,,dp propt]ea co9cidunt4 ,incidit itaq2 b 9 int]sectionem rect>um ,,ap1 ,,dp adeoq2 co9cidit cum puncto ,p4 ,qu>e punctum ,p1 ubicunq2 sumatur1 incidit 9 assignatam ,conicam sectionem4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,h9c si rect tres ,,pq1 ,,pr1 ,,ps a puncto communi ,p ad alias totidem positione datas rectas ,,ab1 ,,cd1 ,,ac1 s+ul ad s+ulas1 9 datis angulis ducantur1 sitq2 rectangulum sub duabus ductis ,,pq ,,pr ad quadratum t]tii1 ,,ps quad4 9 data ratione3 punctum ,p1 a quibus rect ducuntur1 locabitur 9 sectione ,conica qu tangit l9eas ,,ab1 ,,cd 9 ,a ,c contra4 ,nam coeat l9ea ,,bd cum l9ea ,,ac man5te positione trium ,,ab1 ,,cd1 ,,ac2 de9 coeat etiam l9ea ,,pt cum l9ea ,,ps3 rectangulum ,,ps ,,pt evadet ,,ps quad4 rectq2 ,,ab1 ,,cd qu curvam 9 punctis ,a ,b1 ,c ,d secabant1 jam ,curvam 9 punctis illis coeuntibus non amplius sec>e possunt s$ tantum tang5t4 ,s*olium4 ,nom5 ,conic sectionis 9 hoc ,lemmate late sumitur1 ita ut sectio tam rectil9ea p] v]ticem ,coni transi5s1 quam circul>is basi p>allela includatur4 ,nam si punctum p incidit 9 rectam1 qua quvis ex punctis quatuor ,a1 ,b1 ,c1 ,d junguntur1 ,conica sectio v]tetur 9 gem9as rectas1 qu>um una e/ recta illa 9 quam punctum p incidit1 alt]a recta qua alia duo ex punctis quatuor junguntur4 ,si trapezii anguli duo oppositi simul sumpti qu5tur duobus rectis1 l9e quatuor ,,pq1 ,,pr1 ,,ps1 ,,pt ducantur ad lat]a ejus vel p]p5dicul>it] vel 9 angulis quibusvis qualibus1 sitq2 rectangulum sub duabus ductis ,,ps ,,pr quale rectangulo sub duabus aliis ,,ps ,,pt1 ,sectio conica evadet ,circulus4 ,idem fiet si l9e quatuor ducantur 9 angulis quibusvis rectangulum sub duabus ductis ,,pq ,,pr sit ad rectangulum sub aliis duabus ,,ps ,,pt ut rectangulum sub s9ubus angulorum ,s1 ,t1 9 quibus du ultim ,,ps1 ,,pt ducuntur1 ad rectangulum sub s9ubus angulorum ,q1 ,r1 9 quibus du prim ,,pq1 ,,pr ducuntur4 ,ct]is 9 casibus ,locus puncti ,p erit aliqua trium figur>um qu vulgo nom9antur ,sectiones ,conic4 ,vice autem ,trapezii ,,abcd sub/itui pote/ quadrilat]um cujus lat]a duo opposita se mutuo in/> diagonalium decussant4 ,s$ e punctis quatuor ,a1 ,b1 ,c1 ,d possunt unum vel duo abire 9 inf9itum1 eoq2 pacto lat]a figur qu ad puncta illa conv]gunt1 evad]e p>allela3 quo 9 casu sectio conica transibit p] ct]a puncta1 9 plagas p>allel>um abibit 9 inf9itum4 ,lemma ,,xix4 ,illu/ration ,inv5ire punctum ,p1 a quo si rect quatuor ,,pq1 ,,pr1 ,,ps1 ,,pt ad alias totidem positione datas rectas ,,ab1 ,,cd1 ,,ac1 ,,bd s+ul ad s+ulas 9 datis angulis ducantur1 rectangulum sub duabus ductis1 ,,pq ,,pr1 sit ad rectangulum sub aliis duabus1 ,,ps ,,pt1 9 data ratione4 ,l9e ,,ab1 ,,cd1 ad quas rect du ,,pq1 ,,pr1 unum rectangulorum cont95tes ducuntur1 conv5iant cum aliis duabus positione datis l9eis 9 punctis ,a1 ,b1 ,c1 ,d4 ,ab eorum aliquo ,a age rectam quamlibet ,,ah1 9 qua velis punctum ,p rep]iri4 ,secet ea l9eas oppositas ,,bd1 ,,cd1 nimirum ,,bd 9 ,h ,,cd 9 ,i1 ob datos omnes angulos figur1 dabuntur rationes ,,pq ad ,,pa ,,pa ad ,,ps1 adeoq2 ratio ,,pq ad ,,ps4 ,auf]5do hanc a data ratione ,,pq ,,pr ad ,,ps ,,pt1 dabitur ratio ,,pr ad ,,pt1 add5do datas rationes ,,pi ad ,,pr1 ,,pt ad ,,ph dabitur ratio ,,pi ad ,,ph atq2 adeo punctum ,p4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,h9c etiam ad ,loci punctorum inf9itorum ,p punctum quodvis ,d tang5s duci pote/4 ,nam *orda ,,pd ubi puncta ,p ac ,d conv5iunt1 hoc e/1 ubi ,,ah ducitur p] punctum ,d1 tang5s evadit4 ,quo 9 casu1 ultima ratio evanesc5tium ,,ip ,,ph inv5ietur ut supra4 ,ipsi igitur ,,ad duc p>allelam ,,cf1 occurr5tem ,,bd 9 ,f1 9 ea ultima ratione sectam 9 ,e1 ,,de tang5s erit1 propt]ea quod ,,cf evanesc5s ,,ih p>allel sunt1 9 ,e ,p similit] sect4 ,illu/ration ,corol4 #b4 ,h9c etiam ,locus punctorum omnium ,p def9iri pote/4 ,p] quodvis punctorum ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 puta ,a1 duc ,loci tang5tem ,,ae1 p] aliud quodvis punctum ,b duc tang5ti p>allelam ,,bf occurr5tem ,loco 9 ,f4 ,inv5ietur autem punctum ,f p] ,lemma sup]ius4 ,biseca ,,bf 9 ,g1 acta ,,ag diamet] erit ad quam ,,bg ,,fg ord9atim applicantur4 ,hc ,,ag occurrat ,loco 9 ,h1 erit ,,ah latus transv]sum1 ad quod latus rectum e/ ut ,b,gq4 ad ,,agh4 ,si ,,ag nullibi occurrit ,loco1 l9ea ,,ah exi/5te inf9ita1 ,locus erit ,p>abola latus rectum ejus ,b,gq4 ,,ag4 ,s9 ea alicubi occurrit1 ,locus ,hyp]bola erit ubi puncta ,a ,h sita sunt ad easdem p>tes ipsius ,g3 ,ellipsis1 ubi ,g int]m$ium e/1 nisi =te angulus ,,agb rectus sit insup] ,,bg quad4 quale rectangulo ,,agh1 quo 9 casu circulus habebitur4 ,atq2 ita ,problematis vet]um de quatuor l9eis ab ,euclide incpti ab ,apollonio cont9uati non calculus1 s$ compositio ,geometrica1 qualem ,vet]es qurebant1 9 hoc ,coroll>io exhibetur4 ,lemma ,,xx4 ,si p>allelogrammum quodvis ,,aspq angulis duobus oppositis ,a ,p tangit sectionem quamvis ,conicam 9 punctis ,a ,p1 lat]ibus unius angulorum illorum inf9ite productis ,,aq1 ,,z occurrit eidem sectioni ,conic 9 ,b ,c2 a punctis autem occursuum ,b ,c ad qu9tum quodvis sectionis ,conic punctum ,d agantur rect du ,,bd1 ,,cd occurr5tes alt]is duobus inf9ite productis p>allelogrammi lat]ibus ,,ps1 ,,pq 9 ,t ,r3 erunt semp] absciss lat]um p>tes ,,pr ,,pt ad invicem 9 data ratione4 ,et contra1 si p>tes ill absciss sunt ad invicem 9 data ratione1 punctum ,d tanget ,sectionem ,conicam p] puncta quatuor ,a1 ,b1 ,p1 ,c transeuntem4 ,illu/ration ,cas4 #a4 ,jungantur ,,bp1 ,,cp a puncto ,d agantur rect du ,,dg1 ,,de1 qu>um prior ,,dg ipsi ,,ab p>allela sit occurrat ,,pb1 ,,pq1 ,,ca 9 ,h1 ,i1 ,g2 alt]a ,,de p>allela sit ipsi ,,ac occurrat ,,pc1 ,,ps1 ,,ab 9 ,f1 ,k1 ,e3 erit 7p] ,lemma ,,xvii47 rectangulum ,,de ,,df ad rectangulum ,,dg ,,dh 9 ratione data4 ,s$ e/ ,,pq ad ,,de seu ,,iq1 ut ,,pb ad ,,hb1 adeoq2 ut ,,pt ad ,,dh2 vicissim ,,pq ad ,,pt ut ,,de ad ,,dh4 ,e/ ,,pr ad ,,df ut ,,rc ad ,,dc1 adeoq2 ut ,,ig vel ,,ps ad ,,dg1 vicissim ,,pr ad ,,ps ut ,,df ad ,,dg2 conjunctis rationibus fit rectangulum ,,pq ,,pr ad rectangulum ,,ps ,,pt ut rectangulum ,,de ,,df ad rectangulum ,,dg ,,dh1 atq2 adeo 9 data ratione4 ,s$ dantur ,,pq ,,ps propt]ea ratio ,,pr ad ,,pt datur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,quod si ,,pr ,,pt ponantur 9 data ratione ad invicem1 tunc simili ratioc9io regr$i5do1 sequetur esse rectangulum ,,de ,,df ad rectangulum ,,dg ,,dh 9 ratione data1 adeoq2 punctum ,d 7p] ,lemma ,,xviii47 cont+]e ,conicam sectionem transeuntem p] puncta ,a1 ,b1 ,p1 ,c4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si agatur ,,bc secans ,,pq 9 r1 9 ,,pt capiatur ,pt 9 ratione ad ,pr quam habet ,,pt ad ,,pr1 erit ,bt ,tang5s ,conic sectionis ad punctum ,b4 ,nam concipe punctum ,d coire cum puncto ,b ita ut1 *orda ,,bd evanesc5te1 ,,bt ,tang5s evadet2 ,,cd ac ,,bt co9cid5t cum ,,cb ,bt4 ,corol4 #b4 ,et vice v]sa si ,bt sit ,tang5s1 ad quodvis ,conic sectionis punctum ,d conv5iant ,,bd1 ,,cd erit ,,pr ad ,,pt ut ,pr ad ,pt4 ,et contra1 si sit ,,pr ad ,,pt ut ,pr ad ,pt1 conv5i5t ,,bd1 ,,cd ad ,conic sectionis punctum aliquod ,d4 ,corol4 #c4 ,conica sectio non secat ,conicam sectionem 9 punctis pluribus quam quatuor4 ,nam1 si fi]i pote/1 transeant du ,conic sectiones p] qu9q2 puncta ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,p1 easq2 secet recta ,,bd 9 punctis ,d1 d1 ipsam ,,pq secet recta ,cd 9 r4 ,ergo ,,pr e/ ad ,,pt ut ,pr ad ,,pt1 hoc e/1 ,,pr ,pr sibi invicem quantur1 contra ,hypo!s94 ,lemma ,,xxi4 ,illu/ration ,si recta du mobiles inf9it ,,bm1 ,,cm p] data puncta ,b1 ,c1 ceu polos duct1 concursu suo ,m describant t]tiam positione datam rectam ,,mn2 ali du inf9it rect ,,bd1 ,,cd cum prioribus duabus ad puncta illa data ,b1 ,c1 datos angulos ,,mbd1 ,,mcd effici5tes ducantur2 dico quod h du ,,bd1 ,,cd concursu suo ,d describ5t sectionem ,conicam4 ,et vice v]sa1 si rect ,,bd1 ,,cd concursu suo ,d describant ,sectionem ,conicam p] puncta ,b1 ,c1 ,a transeuntem1 h>um concursus tunc incidit 9 ejus punctum aliquod ,a1 cum alt] du ,,bm1 ,,cm co9cidunt cum l9ea ,,bc1 punctum ,m cont+et rectam positione datam4 ,nam 9 recta ,,mn detur punctum ,n1 ubi punctum mobile ,m incidit 9 immotum ,n1 incidat punctum mobile ,d 9 immotum ,p4 ,junge ,,cn1 ,,bn1 ,,cp1 ,,bp1 a puncto ,p age rectas ,,pt1 ,,pr occurr5tes ipsis ,,bd1 ,,cd 9 ,t ,r1 faci5tes angulum ,,bpt qualem angulo ,,bnm angulum ,,cpr qualem angulo ,,cnm4 ,cum ergo 7ex ,hypo!si7 quales s9t anguli ,,mbd1 ,,nbp1 ut anguli ,,mcd1 ,,ncp3 auf] communes ,,nbd ,,mcp1 re/abunt quales ,,nbm ,,pbt1 ,,ncm ,,pcr3 adeoq2 triangula ,,nbm1 ,,pbt similia sunt1 ut triangula ,,ncm1 ,,pcr4 ,qu>e ,,pt e/ ad ,,nm ut ,,pb ad ,,nb1 ,,pr ad ,,nm ut ,,pc ad ,,nc4 ,ergo ,,pt ,,pr datam hab5t rationem ad ,,nm1 pro9deq2 datam rationem int] se1 atq2 adeo1 p] ,lemma ,,xx1 punctum ,p 7p]petuus rect>um mobilum ,,bt ,,cr concursus7 cont+it sectionem ,conicam4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et contra1 si punctum ,d cont+it sectionem ,conicam transeuntem p] puncta ,b1 ,c1 ,a1 ubi rect ,,bm1 ,,cm co9cidunt cum recta ,,bc1 punctum illud ,d incidit 9 aliquod sectionis punctum ,a2 ubi v]o punctum ,d incidit successive 9 alia duo quvis sectionis puncta p1 ,p1 punctum mobile ,m incidit successive 9 puncta immobilia n1 ,n3 p] eadem n1 ,n agatur recta n,n1 hc erit ,locus p]petuus puncti illius mobilis ,m4 ,nam1 si fi]i pote/1 v]setur punctum ,m 9 l9ea aliqua curva4 ,tanget ergo punctum ,d sectionem ,conicam p] puncta qu9q2 ,c1 p1 ,p1 ,b1 ,a1 transeuntem1 ubi punctum ,m p]petuo tangit l9eam curvam4 ,s$ ex jam demon/ratis tanget etiam punctum ,d sectionem ,conicam p] eadem qu9q2 puncta ,c1 p1 ,p1 ,b1 ,a1 transeuntem1 ubi punctum ,m p]petuo tangit l9eam rectam4 ,ergo du sectiones ,conic transibunt p] eadem qu9q2 puncta1 contra ,corol4 #c4 ,lem4 ,,xx4 ,igitur punctum ,m v]s>i 9 l9ea curva absurdum e/4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xxii4 ,prob4 ,,xiv4 ,trajectoriam p] data qu9q2 puncta describ]e4 ,illu/ration ,d5tur puncta qu9q2 ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,p4 ,ab eorum aliquo ,a ad alia duo quvis ,b1 ,c1 qu poli nom95tur1 age rectas ,,ab1 ,,ac hisq2 p>allelas ,,tps1 ,,prq p] punctum qu>tum ,p4 ,de9de a polis duobus ,b1 ,c age p] punctum qu9tum ,d inf9itas duas ,,bdt1 ,,crd1 novissime ductis ,,tps1 ,,prq 7priorem priori po/]iorem po/]iori7 occurr5tes 9 ,t ,r4 ,d5iq2 de rectis ,,pt1 ,,pr1 acta recta tr ipsi ,,tr p>allela1 absc9de quasvis ,pt1 ,pr ipsis ,,pt1 ,,pr proportionales1 si p] e>um t]m9os t1 r polos ,b1 ,c act ,bt1 ,cr concurrant 9 d1 locabitur punctum illud d 9 ,trajectoria qusita4 ,nam punctum illud d 7p] ,lem4 ,,xx7 v]satur 9 ,conica ,sectione p] puncta quatuor ,a1 ,b1 ,p1 ,c transeunte2 l9eis ,rr1 ,tt evanesc5tibus1 coit punctum d cum puncto ,d4 ,transit ergo sectio ,conica p] puncta qu9q2 ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,p4 ,q4 ,e4 ,d4 ,idem alit]4 ,illu/ration ,e punctis datis junge tria quvis ,a1 ,b1 ,c1 circum duo eorum ,b1 ,c ceu polos1 rot&o angulos magnitud9e datos ,,abc1 ,,acb1 applic5tur crura ,,ba1 ,,ca primo ad punctum ,d de9de ad punctum ,p1 not5tur puncta ,m1 ,n 9 quibus alt]a crura ,,bl1 ,,cl casu utroq2 se decussant4 ,agatur recta inf9ita ,,mn1 rot5tur anguli illi mobiles circum polos suos ,b1 ,c1 ea lege ut crurum ,,bl1 ,,cl vel ,,bm1 ,,cm int]sectio1 qu jam sit m1 incidat semp] 9 rectam illam inf9itam ,,mn1 crurum ,,ba1 ,,ca1 vel ,,bd1 ,,cd int]sectio1 qu jam sit d1 ,trajectoriam qusitam ,p,a,dd,b del9eabit4 ,nam punctum d p] ,lem4 ,,xxi cont+et sectionem ,conicam p] puncta ,b1 ,c transeuntem ubi punctum m acc$it ad puncta ,l1 ,m1 ,n1 punctum d 7p] con/ructionem7 acc$et ad puncta ,a1 ,d1 ,p4 ,describetur itaq2 sectio ,conica transi5s p] puncta qu9q2 ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,p4 ,q4 ,e4 ,f4 ,corol4 #a4 ,h9c rect exp$ite duci possunt qu trajectoriam 9 punctis quibusvis datis ,b1 ,c tang5t4 ,9 casu utrovis acc$at punctum d ad punctum ,c recta ,cd evadet tang5s qusita4 ,corol4 #b4 ,unde etiam ,trajectori>um c5tra1 diametri lat]a recta inv5iri possunt1 ut 9 ,coroll>io secundo ,lemmatis ,,xix4 ,s*ol4 ,con/ructio 9 casu priore evadet paulo simplicior jung5do ,,bp1 9 ea si opus e/ producta1 capi5do ,bp ad ,,bp ut e/ ,,pr ad ,,pt1 p] p ag5do rectam inf9itam p,d ipsi ,,spt p>allelam1 inq2 ea capi5do semp] p,d qualem ,pr1 ag5do rectas ,b,d1 ,cr concurr5tes 9 d4 ,nam cum s9t ,pr ad ,pt1 ,,pr ad ,,pt1 p,b ad ,,pb1 p,d ad ,pt 9 eadem ratione1 erunt p,d ,pr semp] quales4 ,hac me?odo puncta ,trajectori inv5iuntur exp$itissime1 nisi mavis ,curvam1 ut 9 casu secundo1 describ]e ,me*anice4 ,prop4 ,,xxiii4 ,prob4 ,,xv4 ,trajectoriam describ]e qu p] data quatuor puncta transibit1 rectam cont+et positione datam4 ,cas4 #a4 ,d5tur tang5s ,,hb1 punctum contactus ,b1 alia tria puncta ,c1 ,d1 ,p4 ,junge ,,bc1 ag5do ,,ps p>allelam ,,bh1 ,,pq p>allelam ,,bc1 comple p>allelogrammum ,,bspq4 ,age ,,bd secantem ,,sp 9 ,t1 ,,cd secantem ,,pq 9 ,r4 ,d5iq2 ag5do quamvis tr ipsi ,,tr p>allelam1 de ,,pq1 ,,ps absc9de ,pr1 ,pt ipsis ,,pr1 ,,pt proportionales respective2 act>um ,cr1 ,bt concursus d 7p] ,corol4 #b4 ,lem4 ,,xx7 incidet semp] 9 ,trajectoriam describ5dam4 ,illu/ration ,idem alit]4 ,revolvatur tum angulus magnitud9e datus ,,cbh circa polum ,b1 tum radius quilibet rectil9eus utr9q2 productus ,,dc circa polum ,c4 ,not5tur puncta ,m1 ,n 9 quibus anguli crus ,,bc secat radium illum ubi crus alt]um ,,bh concurrit cum eodem radio 9 punctis ,d ,p4 ,de9de ad actam inf9itam ,,mn concurrant p]petuo radius ille ,,cp vel ,,cd anguli crus ,,cb1 cruris alt]ius ,,bh concursus cum radio del9eabit ,trajectoriam qusitam4 ,illu/ration ,illu/ration ,nam si 9 con/ructionibus ,problematis sup]ioris acc$at punctum ,a ad punctum ,b1 l9e ,,ca ,,cb co9cid5t1 l9ea ,,ab 9 ultimo suo situ fiet tang5s ,,bh1 atq2 adeo con/ructiones ibi posit evad5t edem cum con/ructionibus hic descriptis4 ,del9eabit igitur cruris ,,bh concursus cum radio sectionem ,conicam p] puncta ,c1 ,d1 ,p transeuntem1 rectam ,,bh tang5tem 9 puncto ,b4 ,q4 ,e4 ,f4 ,cas4 #b4 ,d5tur puncta quatuor ,b1 ,c1 ,d1 ,p extra tang5tem ,,hi sita4 ,junge b9a ,,bd1 ,,cp concurr5tia 9 ,g1 tang5tiq2 occurr5tia 9 ,h ,i4 ,secetur tang5s 9 ,a1 ita ut sit ,,ha ad ,,ai1 ut e/ rectangulum sub m$ia proportionali int] ,,bh ,,hd m$ia proportionali int] ,,cg ,,gp1 ad rectangulum sub m$ia proportionali int] ,,pi ,,ic m$ia proportionali int] ,,dg ,,gb1 erit ,a punctum contactus4 ,nam si rect ,,pi p>allela ,,hx trajectoriam secet 9 punctis quibusvis ,x ,y3 erit 7ex ,conicis7 ,,ha quad4 ad ,,ai quad4 ut rectangulum ,,xhy ad rectangulum ,,bhd 7seu rectangulum ,,cgp ad rectangulum ,,dgb7 rectangulum ,,bhd ad rectangulum ,,pic conjunctim4 ,inv5to autem contactus puncto ,a1 describetur ,trajectoria ut 9 casu primo4 ,q4 ,e4 ,f4 ,capi autem pote/ punctum ,a vel int] puncta ,h ,i1 vel extra2 p]9de ,trajectoria duplicit] describi4 ,prop4 ,,xxiv4 ,prob4 ,,xvi4 ,trajectoriam describ]e qu transibit p] data tria puncta rectas duas positione datas cont+et4 ,illu/ration ,d5tur tang5tes ,,hi1 ,,kl puncta ,b1 ,c1 ,d4 ,age ,,bd tang5tibus occurr5tem 9 punctis ,h1 ,k ,,cd tang5tibus occurr5tem 9 punctis ,i1 ,l4 ,actas ita seca 9 ,r ,s1 ut sit ,,hr ad ,,kr ut e/ m$ia proportionalis int] ,,bh ,,hd ad m$iam proportionalem int] ,,bk ,,kd2 ,,is ad ,,ls ut e/ m$ia proportionalis int] ,,ci ,,id ad m$iam proportionalem int] ,,cl ,,ld4 ,age ,,rs secantem tang5tes 9 ,a ,p1 erunt ,a ,p puncta contactus4 ,nam si ,a ,p s9t ,puncta contactuum ubivis 9 tang5tibus sita1 p] punctorum ,h1 ,i1 ,k1 ,l quodvis ,i agatur recta ,,iy tang5ti ,,kl p>allela occurr5s curv 9 ,x ,y1 9 ea sumatur ,,iz m$ia proportionalis int] ,,ix ,,iy3 erit1 ex ,conicis1 rectangulum ,,xiy 7seu ,,iz quad47 ad ,,lp quad4 ut rectangulum ,,cid ad rectangulum ,,cld2 id e/ 7p] con/ructionem7 ut ,,si quad4 ad ,,sl quad4 atq2 adeo ,,iz ad ,,lp ut ,,si ad ,,sl4 ,jac5t ergo puncta ,s1 ,p1 ,z 9 una recta4 ,porro tang5tibus concurr5tibus 9 ,g1 erit 7ex ,conicis7 rectangulum ,,xiy 7seu ,,iz quad47 ad ,,ia quad4 ut ,,gp quad4 ad ,,ga quad41 adeoq2 ,,iz ad ,,ia ut ,,gp ad ,,ga4 ,jac5t ergo puncta ,p1 ,z ,a 9 una recta1 adeoq2 puncta ,s1 ,p ,a sunt 9 una recta4 ,et eodem argum5to probabitur quod puncta ,r1 ,p ,a sunt 9 una recta4 ,jac5t igitur puncta contactus ,a ,p 9 recta ,,sr4 ,hisce autem inv5tis1 ,trajectoria describetur ut 9 casu primo ,problematis sup]ioris4 ,q4 ,e4 ,f4 ,lemma ,,xxii4 ,figuras 9 alias ejusdem g5]is figuras mut>e4 ,illu/ration ,transmut&a sit figura quvis ,,hgi4 ,ducantur pro lubitu rect du p>allel ,,ao1 ,,bl t]tiam quamvis positione datam ,,ab secantes 9 ,a ,b1 a figur puncto quovis ,g1 ad rectam ,,ab ducatur ,,gd1 ipsi ,,oa p>allela4 ,de9de a puncto aliquo ,o 9 l9ea ,,oa dato ad punctum ,d ducatur recta ,,od1 ipsi ,,bl occurr5s 9 d2 a puncto occursus erigatur recta gd1 datum quemvis angulum cum recta ,,bl cont95s1 atq2 eam hab5s rationem ad ,od quam habet ,,gd ad ,,od2 erit g punctum 9 figura nova hgi puncto ,g respond5s4 ,eadem ratione puncta s+ula figur prim dabunt puncta totidem figur nov4 ,concipe igitur punctum ,g motu cont9uo p]curr]e puncta omnia figur prim1 punctum g motu itidem cont9uo p]curret puncta omnia figur nov e&em describet4 ,di/9ctionis gratia nom9emus ,,dg ord9atam primam1 dg ord9atam novam2 ,,bd abscissam primam1 ,bd abscissam novam2 ,o polum1 ,,od radium absc9d5tem1 ,,oa radium ord9atum primum ,oa 7quo p>allelogrammum ,o,a,ba completur7 radium ord9atum novum4 ,dico jam quod si punctum ,g tangit rectam l9eam positione datam1 punctum g tanget etiam l9eam rectam positione datam4 ,si punctum ,g tangit ,conicam sectionem1 punctum g tanget etiam conicam sectionem4 ,conicis sectionibus hic circulum annum]o4 ,porro si punctum ,g tangit l9eam t]tii ord9is ,analytici1 punctum g tanget l9eam t]tii itidem ord9is2 sic de curvis l9eis sup]iorum ord9um3 ,l9e du erunt ejusdem semp] ord9is ,analytici quas puncta ,g1 g tangunt4 ,et5im ut e/ ad ad ,,oa ita sunt ,od ad ,,od1 dg ad ,,dg1 ,,ab ad ,,ad2 adeoq2 ,,ad qualis e/ ,,oa ,,ab ad ,,dg qualis e/ ,,oa dg ad4 ,jam si punctum ,d tangit rectam l9eam1 atq2 adeo 9 quatione quavis1 qua relatio int] abscissam ,,ad ord9atam ,,dg habetur1 indet]m9at ill ,,ad ,,dg ad unicam tantum dim5sionem asc5dunt1 scrib5do 9 hac quatione ,,oa ,,ab ad pro ,,ad1 ,,oa dg ad pro ,,dg1 producetur quatio nova1 9 qua abscissa nova ad ord9ata n\a dg ad unicam tantum dim5sionem asc5d5t1 atq2 adeo qu designat l9eam rectam4 ,s9 ,,ad ,,dg 7vel e>um alt]utra7 asc5debant ad duas dim5siones 9 quatione prima1 asc5d5t itidem ad dg ad duas 9 quatione secunda4 ,et sic de tribus vel pluribus dim5sionibus4 ,indet]m9at ad1 dg 9 quatione secunda ,,ad1 ,,dg 9 prima asc5d5t semp] ad eundem dim5sionum num]um1 propt]ea l9e1 quas puncta ,g1 g tangunt1 sunt ejusdem ord9is ,analytici4 ,dico prt]ea quod si recta aliqua tangat l9eam curvam 9 figura prima2 hc recta translata tanget l9eam curvam 9 figura nova3 contra4 ,nam si ,curv puncta quvis duo acc$unt ad invicem coeunt 9 figura prima1 puncta eadem translata coibunt 9 figura nova1 atq2 adeo rect1 quibus hc puncta junguntur simul1 evad5t curv>um tang5tes 9 figura utraq24 ,componi poss5t h>um ass]tionum ,demon/rationes m magis ,geometrico4 ,s$ brevitati consulo4 ,igitur si figura rectil9ea 9 aliam transmut&a e/1 sufficit rect>um int]sectiones transf]re1 p] easdem 9 figura nova l9eas rectas duc]e4 ,s9 curvil9eam transmut>e oportet1 transf]5da sunt puncta1 tang5tes ali rect qu>um ope ,curva l9ea def9itur4 ,ins]vit autem hoc ,lemma solutioni difficiliorum ,problematum1 transmut&o figuras propositas 9 simpliciores4 ,nam rect quvis conv]g5tes transmutantur 9 p>allelas1 adhib5do pro radio ord9ato primo ,,ao l9eam quamvis rectam1 qu p] concursum conv]g5tium transit2 id adeo quia concursus ille hoc pacto abit 9 inf9itum1 l9e autem p>allel sunt qu ad punctum inf9ite di/ans t5dunt4 ,po/quam autem ,problema solvitur 9 figura nova1 si p] inv]sas op]ationes transmutetur hc figura 9 figuram primam1 habebitur ,solutio qusita4 ,utile e/ etiam hoc ,lemma 9 solutione ,solidorum problematum4 ,nam quoties du sectiones conic obv5]9t1 qu>um int]sectione ,problema solvi pote/1 transmut>e licet unum e>um 9 circulum4 ,recta item sectio ,conica 9 con/ructione planorum problematum v]tuntur 9 rectam circulum4 ,prop4 ,,xxv4 ,prob4 ,,xvii4 ,trajectoriam describ]e qu p] data duo puncta transibit rectas tres cont+et positione datas4 ,illu/ration ,p] concursum tang5tium qu>umvis du>um cum se invicem1 concursum tang5tis t]ti cum recta illa1 qu p] puncta duo data transit1 age rectam inf9itam2 eaq2 adhibita pro radio ord9ato primo1 transmutetur figura1 p] ,lemma sup]ius1 9 figuram novam4 ,9 hac figura tang5tes ill du evad5t p>allel1 tang5s t]tia fiet p>allela rect p] puncta duo transeunti4 ,sunto hi1 kl tang5tes du p>allel1 ik tang5s t]tia1 hl recta huic p>allela transi5s p] puncta illa a1 b1 p] qu ,conica sectio 9 hac figura nova transire debet1 p>allelogrammum hikl compl5s4 ,sec5tur rect hi1 ik1 kl 9 c1 d e1 ita ut sit hc ad latus quadratum rectanguli ahb1 ic ad id1 ke ad kd ut e/ summa rect>um hi kl ad summam trium l9e>um qu>um prima e/ recta ik1 alt] du sunt lat]a quadrata rectangulorum ahb alb3 ,et erunt c1 d1 e puncta contactus4 ,et5im1 ex ,conicis1 sunt hc quadratum ad rectangulum ahb1 ic quadratum ad id quadratum1 ke quadratum ad kd quadratum1 el quadratum ad alb rectangulum 9 eadem ratione1 propt]ea hc ad latus quadratum ipsius ahb1 ic ad id1 ke ad kd el ad latus quadratum ipsius alb sunt 9 dimidiata illa ratione1 composite1 9 data ratione omnium antec$5tium hi kl ad omnes consequ5tes1 qu sunt latus quadratum rectanguli ahb recta ik latus quadratum rectanguli alb4 ,hab5tur igitur ex data illa ratione puncta contactus c1 d1 e1 9 figura nova4 ,p] inv]sas op]ationes ,lemmatis novissimi transf]antur hc puncta 9 figuram primam ibi1 p] casum primum ,problematis ,,xiv1 describetur ,trajectoria4 ,q4 ,e4 ,f4 ,ct]um p]9de ut puncta a1 b jac5t vel int] puncta h1 l1 vel extra1 deb5t puncta c1 d1 e vel int] puncta h1 i1 k1 l capi1 vel extra4 ,si punctorum a1 b alt]utrum cadit int] puncta h1 l1 alt]um extra1 ,problema impossibile e/4 ,prop4 ,,xxvi4 ,prob4 ,,xviii4 ,trajectoriam describ]e qu transibit p] punctum datum rectas quatuor positione datas cont+et4 ,ab int]sectione communi du>um qu>umlibet tang5tium ad int]sectionem communem reliqu>um du>um agatur recta inf9ita1 eadem pro radio ord9ato primo adhibita1 transmutetur figura 7p] ,lem4 ,,xxii7 9 figuram novam1 ,tang5tes b91 qu ad radium ord9atum concurrebant1 jam evad5t p>allel4 ,sunto ill hi kl1 ik hl cont95tes p>allelogrammum hikl4 ,sitq2 p punctum 9 hac nova figura1 puncto 9 figura prima dato respond5s4 ,p] figur c5trum ,o agatur pq1 exi/5te ,oq quali ,op erit q punctum alt]um p] quod sectio ,conica 9 hac figura nova transire debet4 ,p] ,lemmatis ,,xxii op]ationem inv]sam transf]atur hoc punctum 9 figuram primam1 ibi habebuntur puncta duo p] qu ,trajectoria describ5da e/4 ,p] eadem v]o describi pote/ ,trajectoria illa p] ,prob4 ,,xvii4 ,q4 ,e4 ,f4 ,lemma ,,xxiii4 ,illu/ration ,si rect du positione dat ,,ac1 ,,bd ad data puncta ,a1 ,b t]m95tur1 datamq2 habeant rationem ad invicem1 recta ,,cd1 qua puncta indet]m9ata ,c1 ,d junguntur secetur 9 ratione data 9 ,k3 dico quod punctum ,k locabitur 9 recta positione data4 ,concurrant enim rect ,,ac1 ,,bd 9 ,e1 9 ,,be capiatur ,,bg ad ,,ae ut e/ ,,bd ad ,,ac1 sitq2 ,,fd qualis ,,eg1 erit ,,ec ad ,,gd1 hoc e/ ad ,,ef ut ,,ac ad ,,bd1 adeoq2 9 ratione data1 propt]ea dabitur specie triangulum ,,efc4 ,secetur ,,cf 9 ,l 9 ratione ,,ck ad ,,cd1 dabitur etiam specie triangulum ,,efl1 pro9deq2 punctum ,l locabitur 9 recta ,,el positione data4 ,junge ,,lk1 ob datam ,,fd datam rationem ,,lk ad ,,fd1 dabitur ,,lk4 ,huic qualis capiatur ,,eh1 erit ,,elkh p>allelogrammum4 ,locatur igitur punctum ,k 9 p>allelogrammi lat]e positione dato ,,hk4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lemma ,,xxiv4 ,si rect tres tangant quamcunq2 conisectionem1 qu>um du p>allel s9t ac d5tur positione2 dico quod sectionis semidiamet] hisce duabus p>allela1 sit m$ia proportionalis int] h>um segm5ta1 punctis contactum tang5ti t]ti int]jecta4 ,illu/ration ,sunto ,,af1 ,,gb p>allel du ,conisectionem ,,adb tang5tes 9 ,a ,b2 ,,ef recta t]tia ,conisectionem tang5s 9 ,i1 occurr5s prioribus tang5tibus 9 ,f ,g2 sitq2 ,,cd semidiamet] ,figur tang5tibus p>allela3 ,dico quod ,,af1 ,,cd1 ,,bg sunt cont9ue proportionales4 ,nam si diametri conjugat ,,ab1 ,,dm tang5ti ,,fg occurrant 9 ,e ,h1 seq2 mutuo sec5t 9 ,c1 compleatur p>allelogrammum ,,ikcl2 erit ex natura sectionum ,conic>um1 ut ,,ec ad ,,ca ita ,,ca ad ,,lc1 ita divisim ,,ec - ,,ca ad ,,ca - ,,cl seu ,,ea ad ,,al1 composite ,,ea ad ,,ea ,,al seu ,,el ut ,,ec ad ,,ec ,,ca seu ,,eb2 adeoq2 7ob similitud9em triangulorum ,,eaf1 ,,eli1 ,,e*1 ,,ebg7 ,,af ad ,,li ut ,,* ad ,,bg4 ,e/ itidem ex natura sectionum ,conic>um ,,li seu ,,ck ad ,,cd ut ,,cd ad ,,* atq2 adeo ex quo p]turbate ,,af ad ,,cd ut ,,cd ad ,,bg4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si tang5tes du ,,fg1 ,,pq tang5tibus p>allelis ,,af1 ,,bg occurrant 9 ,f ,g1 ,p ,q1 seq2 mutuo sec5t 9 ,o1 erit 7ex quo p]turbate7 ,,af ad ,,bq ut ,,ap ad ,,bg1 divisim ut ,,fp ad ,,gq1 atq2 adeo ut ,,fo ad ,,og4 ,corol4 #b4 ,unde etiam rect du ,,pg1 ,,fq p] puncta ,p ,g1 ,f ,q duct1 concurr5t ad rectam ,,acb p] c5trum figur puncta contactuum ,a1 ,b transeuntem4 ,lemma ,,xxv4 ,si p>allelogrammi lat]a quattuor inf9ite producta tangant sectionem quamcunq2 ,conicam absc9dantur ad tang5tem quamvis qu9tam2 sumantur autem abscisse t]m9ate ad angulos oppositos p>allelogrammi3 dico quod abscissa unius lat]is ad latus illud1 ut p>s lat]is cont]m9i int] punctum contactus latus t]tium1 ad abscissam lat]is hujus cont]m9i4 ,illu/ration ,tangant p>allelogrammi ,,mikl lat]a quatuor ,,ml1 ,,ik1 ,,kl1 ,,mi sectionem ,conicam 9 ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 secet tang5s qu9ta ,,fq hc lat]a 9 ,f1 ,q1 ,h ,e3 dico quod sit ,,me ad ,,mi ut ,,bk ad ,,kq ,,kh ad ,,kl ut ,,am ad ,,mf4 ,nam p] ,coroll>ium ,lemmatis sup]ioris1 e/ ,,me ad ,,ei ut ,,am seu ,,bk ad ,,bq1 compon5do ,,me ad ,,mi ut ,,bk ad ,,kq4 ,q4 ,e4 ,d4 ,item ,,kh ad ,,hl ut ,,bk seu ,,am ad ,,af1 divid5do ,,kh ad ,,kl ut ,,am ad ,,mf4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si p>allelogrammum ,,iklm datur1 dabitur rectangulum ,,kq ,,me1 ut huic quale rectangulum ,,kh ,,mf4 quantur enim rectangula illa ob similitud9em triangulorum ,,kqh1 ,,mfe4 ,corol4 #b4 ,et si sexta ducatur tang5s eq tang5tibus ,,ki1 ,,mi occurr5s 9 e q1 rectangulum ,,kq ,,me quabitur rectangulo ,kq ,me1 eritq2 ,,kq ad ,me ut ,kq ad ,,me1 divisim ut ,qq ad ,ee4 ,corol4 #c4 ,unde etiam si ,eq1 e,q jungantur bisec5tur1 recta p] puncta bisectionum agatur1 transibit hc p] c5trum ,sectionis ,conic4 ,nam cum sit ,qq ad ,ee ut ,,kq ad ,me1 transibit eadem recta p] m$ium omnium ,eq1 e,q1 ,,mk2 7p] ,lemma ,,xxiii7 m$ium rect ,,mk e/ c5trum ,sectionis4 ,prop4 ,,xxvii4 ,prob4 ,,xix4 ,illu/ration ,trajectoriam describ]e qu rectas qu9q2 positione datas cont+et4 ,d5tur positione tang5tes ,,abg1 ,,bcf1 ,,gcd1 ,,fde1 ,,ea4 ,figur quadrilat] sub quatuor quibusvis cont5t ,,abfe diagonales ,,af1 ,,be biseca1 7p] ,cor4 #c4 ,lem4 ,,xxv7 recta p] puncta bisectionum acta transibit p] c5trum ,trajectori4 ,rursus figur quadrilat] ,,bgdf1 sub alijs quibusvis quatuor tang5tibus cont5t1 diagonales 7ut ita dicam7 ,,bd1 ,,gf biseca1 recta p] puncta bisectionum acta transibit p] c5trum sectionis4 ,dabitur ergo c5trum 9 concursu bisecantium4 ,sit illud ,o4 ,tang5ti cuivis ,,bc p>allelam age ,,kl1 ad eam di/antiam ut c5trum ,o 9 m$io int] p>allelas locetur1 acta ,,kl tanget trajectoriam describ5dam4 ,secet hc tang5tes alias quasvis duas ,,cd1 ,,fde 9 ,l ,k4 ,p] tang5tium non p>allel>um ,,cl1 ,,fk cum p>allelis ,,cf1 ,,kl concursus ,c ,k1 ,f ,l age ,,ck1 ,,fl concurr5tes 9 ,r1 recta ,,or ducta producta secabit tang5tes p>allelas ,,cf1 ,,kl 9 punctis contactuum4 ,patet hoc p] ,corol4 #b4 ,lem4 ,,xxiv4 ,eadem me?odo inv5ire licet alia contactuum puncta1 tum demum p] ,casum #a4 ,prob4 ,,xiv4 ,trajectoriam describ]e4 ,q4 ,e4 ,f4 ,s*ol4 ,problemata1 ubi dantur ,trajectori>um vel c5tra vel ,asymptoti includuntur 9 prc$5tibus4 ,nam datis punctis tang5tibus una cum c5tro1 dantur alia totidem puncta aliq2 tang5tes a c5tro ex alt]a ejus p>te qualit] di/antes4 ,asymptotos autem pro tang5te hab5da e/1 ejus t]m9us inf9ite di/ans 7si ita loqui fas sit7 pro puncto contactus4 ,concipe tang5tis cujusvis punctum contactus abire 9 inf9itum1 tang5s v]tetur 9 ,asymptoton1 atq2 con/ructiones ,problematis ,,xv ,casus primi ,problematis ,,xiv v]t5tur 9 con/ructiones ,problematum ubi ,asymptoti dantur4 ,illu/ration ,po/quam ,trajectoria descripta e/1 inv5ire licet axes umbilicos ejus hac me?odo4 ,9 con/ructione ,figura ,lemmatis ,,xxi1 fac ut angulorum mobilium ,,pbn1 ,,pcn crura ,,bp1 ,,cp quorum concursu ,trajectoria describebatur s9t sibi invicem p>allela1 eumq2 s]vantia situm revolvantur circa polos suos ,b1 ,c 9 figura illa4 ,int]ea v]o describant alt]a angulorum illorum crura ,,cn1 ,,bn concursu suo ,k vel k1 circulum ,,ibkgc4 ,sit circuli hujus c5trum ,o4 ,ab hoc c5tro ad ,regulam ,,mn1 ad quam alt]a illa crura ,,cn1 ,,bn int]ea concurrebant dum ,trajectoria describebatur1 demitte normalem ,,oh circulo occurr5tem 9 ,k ,l4 ,et ubi crura illa alt]a ,,ck1 ,,bk concurrant ad punctum i/ud ,k quod ,regul proprius e/1 crura prima ,,cp1 ,,bp p>allela erunt axi majori p]p5dicul>ia m9ori2 contr>ium ev5iet si crura eadem concurrunt ad punctum remotius ,l4 ,unde si detur ,trajectori c5trum1 dabuntur axes4 ,hisce autem datis1 umbilici sunt 9 promptu4 ,axium v]o quadrata sunt ad invicem ut ,,kh ad ,,lh1 inde facile e/ ,trajectoriam specie datam p] data quatuor puncta describ]e4 ,nam si duo ex punctis datis con/ituantur poli ,c1 ,b1 t]tium dabit angulos mobiles ,,pck1 ,,pbk4 ,tum ob datam specie ,trajectoriam1 dabitur ratio ,,oh ad ,,ok1 c5troq2 ,o int]vallo ,,oh describ5do circulum1 p] punctum qu>tum ag5do rectam qu circulum illum tangat1 dabitur regula ,,mn cujus ope ,trajectoria describatur4 ,unde etiam vicissim ,trapezium specie datum 7si casus quidam impossibiles excipiantur7 9 data quavis sectione ,conica inscribi pote/4 ,sunt alia ,lemmata quorum ope ,trajectori specie dat1 datis punctis tang5tibus1 describi possunt4 ,ejus g5]is e/ quod1 si recta l9ea p] punctum quodvis positione datum ducatur1 qu datam ,conisectionem 9 punctis duobus int]secet1 int]sectionum int]vallum bisecetur1 punctum bisectionis tanget aliam ,conisectionem ejusdem speciei cum priore1 atq2 axes hab5tem prioris axibus p>allelos4 ,s$ prop]o ad magis utilia4 ,lemma ,,xxvi4 ,illu/ration ,trianguli specie magnitud9e dati tres angulos ad rectas totidem positione datas1 qu non sunt omnes p>allel1 s+ulos ad s+ulas pon]e4 ,dantur positione tres rect inf9it ,,ab1 ,,ac1 ,,bc1 oportet triangulum ,,def ita loc>e1 ut angulus ejus ,d l9eam ,,ab1 angulus ,e l9eam ,,ac1 angulus ,f l9eam ,,bc tangat4 ,sup] ,,de1 ,,df ,,ef describe tria circulorum segm5ta ,,dre1 ,,dgf1 ,,emf1 qu capiant angulos angulis ,,bac1 ,,abc1 ,,acb quales respective4 ,describantur autem hc segm5ta ad eas p>tes l9e>um ,,de1 ,,df1 ,,ef ut lit] ,,dr$ eodem ord9e cum lit]is ,,bacb1 lit] ,,dgfd eodem cum lit]is ,,abca1 lit] ,,emfe eodem cum lit]is ,,acba 9 orbem r$eant3 de9de compleantur hc ,illu/ration segm5ta 9 circulos4 ,sec5t circuli duo priores se mutuo 9 ,g1 s9tq2 c5tra eorum ,p ,q4 ,junctis ,,gp1 ,,pq1 cape ,ga ad ,,ab ut e/ ,,gp ad ,,pq1 c5tro ,g1 int]vallo ,ga describe circulum1 qui secet circulum primum ,,dge 9 a4 ,jungatur tum a,d secans circulum secundum ,,dfg 9 b1 tum a,e secans circulum t]tium ,g,ec 9 c4 ,et compleatur figura ,a,b,cdef similis qualis figur abc,d,e,f4 ,dico factum4 ,agatur enim ,fc ipsi a,d occurr5s 9 n4 ,jungantur a,g1 b,g1 ,,pd1 ,,qd producatur ,,pq ad ,r4 ,ex con/ructione e/ angulus ,ea,d qualis angulo ,,cab1 angulus ,ec,f qualis angulo ,,acb1 adeoq2 triangulum anc triangulo ,,abc quiangulum4 ,ergo angulus anc seu ,fn,d angulo ,,abc1 adeoq2 angulo ,fb,d qualis e/1 propt]ea punctum n incidit 9 punctum b4 ,porro angulus ,,gpq1 qui dimidius e/ anguli ad c5trum ,,gpd1 qualis e/ angulo ad circumf]5tiam ,ga,d2 angulus ,,gqr1 qui dimidius e/ complem5ti anguli ad c5trum ,,gqd1 qualis e/ angulo ad circumf]5tiam ,gb,d1 adeoq2 eorum complem5ta ,,pqg1 ab,g quantur1 suntq2 ideo triangula ,,gpq1 ,gab similia1 ,ga e/ ad ab ut ,,gp ad ,,pq2 id e/ 7ex con/ructione7 ut ,ga ad ,,ab4 quantur itaq2 ab ,,ab1 propt]ea triangula abc1 ,,abc1 qu modo similia esse probavimus1 sunt etiam qualia4 ,unde cum tangant insup] trianguli ,,def anguli ,d1 ,e1 ,f trianguli abc lat]a ab1 ac1 bc respective1 compl]i pote/ figura ,a,b,cdef figur abc,d,e,f similis qualis1 atq2 eam compl5do solvetur ,problema4 ,q4 ,e4 ,f4 ,corol4 ,h9c recta duci pote/ cujus p>tes longitud9e dat rectis tribus positione datis int]jacebunt4 ,concipe ,triangulum ,,def1 puncto ,d ad latus ,,ef acc$5te1 lat]ibus ,,de1 ,,df 9 directum positis1 mut>i 9 l9eam rectam1 cujus p>s data ,,de1 rectis positione datis ,,ab1 ,,ac1 p>s data ,,df rectis positione datis ,,ab1 ,,bc int]poni debet2 applic&o con/ructionem prc$5tem ad hunc casum solvetur ,problema4 ,prop4 ,,xxviii4 ,prob4 ,,xx4 ,trajectoriam specie magnitud9e datam describ]e1 cujus p>tes dat rectis tribus positione datis int]jacebunt4 ,describ5da sit ,trajectoria qu sit similis qualis l9e curv ,,def1 quq2 a rectis tribus ,,ab1 ,,ac1 ,,bc positione datis1 9 p>tes datis hujus p>tibus ,,de ,,ef similes quales secabitur4 ,illu/ration ,age rectas ,,de1 ,,ef1 ,,df1 trianguli hujus ,,def pone angulos ,d1 ,e1 ,f ad rectas illas positione datas3 7p] ,lem4 ,,xxvi7 ,de9 circa triangulum describe ,trajectoriam curv ,,def similem qualem4 ,q4 ,e4 ,f4 ,lemma ,,xxvii4 ,trapezium specie datum describ]e cujus anguli ad rectas quatuor positione datas 7qu neq2 omnes p>allel sunt1 neq2 ad commune punctum conv]gunt7 s+uli ad s+ulas consi/5t4 ,illu/ration ,d5tur positione rect quatuor ,,abc1 ,,ad1 ,,bd1 ,,ce1 qu>um prima secet secundam 9 ,a1 t]tiam 9 ,b1 qu>tam 9 ,c3 describ5dum sit ,trapezium fghi quod sit ,trapezio ,,fghi simile1 cujus angulus f1 angulo dato ,f qualis1 tangat rectam ,,abc ct]iq2 anguli g1 h1 i ct]is angulis datis ,g1 ,h1 ,i quales tangant ct]as l9eas ,,ad1 ,,bd1 ,,ce respective4 ,jungatur ,,fh1 sup] ,,fg1 ,,fh1 ,,fi describantur totidem circulorum segm5ta ,,fsg1 ,,f?1 ,,fvi2 quorum primum ,,fsg capiat angulum qualem angulo ,,bad1 secundum ,,f? capiat angulum qualem angulo ,,cbe2 ac t]tium ,,fvi capiat angulum qualem angulo ,,ace4 ,describi autem deb5t segm5ta ad eas p>tes l9e>um ,,fg1 ,,fh1 ,,fi1 ut lit]>um ,,fsgf idem sit ordo circul>is qui lit]>um ,,badb1 utq2 lit] ,,f?f eodem ord9e cum lit]is ,,cbec1 lit] ,,fvif eodem cum lit]is ,,acea 9 orbem r$eant4 ,compleantur segm5ta 9 circulos1 sitq2 ,p c5trum circuli primi ,,fsg1 ,q c5trum secundi ,,f?4 ,jungatur utr9q2 producatur ,,pq1 9 ea capiatur ,,qr 9 ea ratione ad ,,pq quam habet ,,bc ad ,,ab4 ,capiatur autem ,,qr ad eas p>tes puncti ,q ut lit]>um ,p1 ,q1 ,r idem sit ordo circul>is atq2 lit]>um ,a1 ,b1 ,c3 c5troq2 ,r int]vallo ,,rf describatur circulus qu>tus ,f,nc secans circulum t]tium ,,fvi 9 c4 ,jungatur ,fc secans circulum primum 9 a secundum 9 b4 ,agantur a,g1 b,h1 c,i1 figur abc,f,g,h,i similis con/ituatur figura ,a,b,cfghi3 ,eritq2 ,trapezium fghi illud ipsum quod con/itu]e oportuit4 ,sec5t enim circuli duo primi ,,fsg1 ,,f? se mutuo 9 ,k4 ,jungantur ,,pk1 ,,qk1 ,,rk1 a,k1 b,k1 c,k producatur ,,qp ad ,l4 ,anguli ad circumf]5tias ,fa,k1 ,fb,k1 ,fc,k1 sunt semisses angulorum ,,fpk1 ,,fqk1 ,,frk ad c5tra1 adeoq2 angulorum illorum dimidiis ,,lpk1 ,,lqk1 ,,lrk quales4 ,e/ ergo figura ,,pqrk figur abc,k quiangula similis1 propt]ea ab e/ ad bc ut ,,pq ad ,,qr1 id e/ ut ,,ab ad ,,bc4 ,angulis insup] ,fa,g1 ,fb,h1 ,fc,i quantur f,ag1 f,bh1 f,ci p] con/ructionem4 ,ergo figur abc,f,g,h,i figura similis ,a,b,cfghi compl]i pote/4 ,quo facto ,trapezium fghi con/ituetur simile ,trapezio ,,fghi angulis suis f1 g1 h1 i tanget rectas ,,ab1 ,,ad1 ,,bd1 ,,ce4 ,q4 ,e4 ,f4 ,corol4 ,h9c recta duci pote/ cujus p>tes1 rectis quatuor positione datis dato ord9e int]ject1 datam habebunt proportionem ad invicem4 ,augeantur anguli ,,fgh1 ,,ghi usq2 eo1 ut rect ,,fg1 ,,gh1 ,,hi 9 directum jaceant1 9 hoc casu con/ru5do ,problema1 ducetur recta fghi cujus p>tes fg1 gh1 hi1 rectis quatuor positione datis ,,ab ,,ad1 ,,ad ,,bd1 ,,bd ,,ce int]ject1 erunt ad invicem ut l9e ,,fg1 ,,gh1 ,,hi1 eundemq2 s]vabunt ord9em int] se4 ,idem v]o sic fit exp$itius4 ,producantur ,,ab ad ,k1 ,,bd ad ,l1 ut sit ,,bk ad ,,ab ut ,,hi ad ,,gh2 ,,dl ad ,,bd ut ,,gi ad ,,fg2 jungatur ,,kl occurr5s rect ,,ce 9 i4 ,producatur i,l ad ,m1 ut sit ,,lm ad i,l ut ,,gh ad ,,hi1 agatur tum ,,mq ipsi ,,lb p>allela rectq2 ,,ad occurr5s 9 g1 tum gi secans ,,ab1 ,,bd 9 f1 h4 ,dico factum4 ,illu/ration ,secet enim ,mg rectam ,,ab 9 ,q1 ,,ad rectam ,,kl 9 ,s1 agatur ,,ap1 qu sit ipsi ,,bd p>allela occurrat i,l 9 ,p1 erunt ,mg ad ,lh 7,mi ad ,li1 gi ad hi1 ,,ak ad ,,bk7 ,,ap ad ,,bl 9 eadem ratione4 ,secetur ,,dl 9 ,r ut sit ,,dl ad ,,rl 9 eadem illa ratione1 ob proportionales g,s ad g,m1 ,,z ad ,,ap ,,ds ad ,,dl1 erit ex quo ut g,s ad ,lh ita ,,z ad ,,bl ,,ds ad ,,rl2 mixtim1 ,,bl - ,,rl ad ,lh - ,,bl ut ,,z - ,,ds ad g,s - ,,z4 ,id e/ ,,br ad ,bh ut ,,ad ad ,ag1 adeoq2 ut ,,bd ad g,q4 ,et vicissim ,,br ad ,,bd ut ,bh ad g,q seu fh ad fg4 ,s$ ex con/ructione e/ ,,br ad ,,bd ut ,,fh ad ,,fg4 ,ergo fh e/ ad fg ut ,,fh ad ,,fg4 ,cum igitur sit etiam ig ad ih ut ,mi ad ,li1 id e/1 ut ,,ig ad ,,ih1 patet l9eas ,,fi1 fi 9 g h1 ,g ,h similit] sectas esse4 ,q4 ,e4 ,f4 ,9 con/ructione ,coroll>ii hujus po/quam ducitur ,,lk secans ,,ce 9 i1 produc]e licet i,e ad ,v1 ut sit ,,ev ad i,e ut ,,fh ad ,,hi1 ag]e ,vf p>allelam ipsi ,,bd4 ,eodem recidit si c5tro i1 int]vallo ,,ih describatur circulus secans ,,bd 9 ,x1 producatur i,x ad ,y1 ut sit i,y qualis ,,if1 agatur ,yf ipsi ,,bd p>allela4 ,prop4 ,,xxix4 ,prob4 ,,xix4 ,trajectoriam specie datam describ]e1 qu a rectis quatuor positione datis 9 p>tes secabitur1 ord9e1 specie proportione datas4 ,illu/ration ,describ5da sit ,trajectoria fghi1 qu similis sit l9e curv ,,fghi1 cujus p>tes fg1 gh1 hi illius p>tibus ,,fg1 ,,gh1 ,,hi similes proportionales1 rectis ,,ab ,,ad1 ,,ad ,,bd1 ,,bd ,,ec positione datis1 prima primis1 secunda secundis1 t]tia t]tiis int]jaceant4 ,actis rectis ,,fg1 ,,gh1 ,,hi1 ,,fi1 describatur ,trapezium fghi quod sit ,trapezio ,,fghi simile cujus anguli f1 g1 h1 i tangant rectas illas positione datas ,,ab1 ,,ad1 ,,bd1 ,,ce s+uli s+ulas dicto ord9e4 ,de9 7p] ,lem4 ,,xxvii7 circa hoc ,trapezium describatur ,trajectoria curv l9e ,,fghi consimilis4 ,s*olium4 ,illu/ration ,con/rui etiam pote/ hoc ,problema ut sequitur4 ,junctis ,,fg1 ,,gh1 ,,hi1 ,,fi produc ,,gf ad ,v1 jungeq2 ,,fh1 ,,ig1 angulis ,,fgh1 ,,vfh fac angulos ,,cak1 ,,dal quales4 ,concurrant ,,ak1 ,,al cum recta ,,bd 9 ,k ,l1 inde aguntur ,,km1 ,,ln1 qu>um ,,km con/ituat angulum ,,akm qualem angulo ,,ghi1 sitq2 ad ,,ak ut e/ ,,hi ad ,,gh2 ,,ln con/ituat angulum ,,aln qualem angulo ,,fhi1 sitq2 ad ,,al ut ,,hi ad ,,fh4 ,ducantur autem ,,ak1 ,,km1 ,,al1 ,,ln ad eas p>tes l9e>um ,,ad1 ,,ak1 ,,al1 ut lit] ,,cakmc1 ,,alk1 ,,dalnd eodem ord9e cum lit]is ,,fghif 9 orbem r$eant1 acta ,,mn occurrat rect ,,ce 9 i4 ,fac angulum i,e,p qualem angulo ,,igf1 sitq2 ,,pe ad ,ei ut ,,fg ad ,,gi2 p] ,p agatur ,q,pf1 qu cum recta ,,a$ cont9eat angulum ,,pqe qualem angulo ,,fig1 rectq2 ,,ab occurrat 9 f1 jungatur fi4 ,agantur autem ,,pe ,,pq ad eas p>tes l9e>um ,,ce1 ,,pe1 ut lit]>um ,p,ei,p ,,peqp idem sit ordo circul>is qui lit]>um ,,fghif1 si sup] l9ea fi eodem quoq2 lit]>um ord9e con/ituatur ,trapezium fghi ,trapezio ,,fghi simile1 circumscribatur ,trajectoria specie data1 solvetur ,problema4 ,hact5us de orbibus inv5i5dis4 ,sup]e/ ut motus corporum orbibus inv5tis det]m9emus4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,vi4 ,de inv5tione motuum 9 ,orbibus datis4 ,prop4 ,,xxx4 ,prob4 ,,xxii4 ,illu/ration ,corporis 9 data ,trajectoria ,p>abolica mov5tis1 inv5ire locum ad tempus assignatum4 ,sit ,s umbilicus ,a v]tex pr9cipalis ,p>abol1 sitq2 #d;,,z ,m area ,p>abolica ,,aps1 qu radio ,,sp1 vel po/ excessum corporis de v]tice descripta fuit1 vel ante appulsum ejus ad v]ticem describ5da e/4 ,innotescit area illa ex tempore ipsi proportionali4 ,biseca ,,z 9 ,g1 erigeq2 p]p5diculum ,,gh quale #c,m1 circulus c5tro ,h1 int]vallo ,,hs descriptus secabit ,p>abolam 9 loco qusito ,p4 ,nam demissa ad axem p]p5dicul>i ,,po1 e/ ,h,gq4 ,g,sq4 7 ,h,sq4 ,h,pq4 ,g,oq4 ,,po - ,,hgq47 ,g,oq4 ,h,gq4 - #b;,,hg ,,po ,p,oq4 ,et deleto utr9q2 ,h,gq4 fiet ,g,sq4 ,g,oq4 - #b;,,hg ,,po ,p,oq4 seu #b;,,hg ,,po 7 ,g,oq4 ,p,oq4 - ,g,sq4 ,a,oq4 - #b;,,gao ,p,oq47 ,a,oq4 ,p,oq4 ,pro ,a,oq4 scribe ,,ao ,p,oq4 #d;,,z1 applicatis t]m9is omnibus ad #c,,po1 ductisq2 9 #b;,,z1 fiet #d_/c;,,gh ,,z 7 #a_/f;,,ao ,,po ,,z ,,po ,,ao #c;,,z #f ,,po #d;,,ao - #c,,s #f ,,po are ,,apo - ,,spo7 are ,,aps4 ,s$ ,,gh erat #c,m1 inde #d_/c;,,hg ,,z e/ #d;,,z ,m4 ,ergo area ,,aps qualis e/ #d;,,z ,m4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c ,,gh e/ ad ,,z1 ut tempus quo corpus descripsit arcum ,,ap ad tempus quo corpus descripsit arcum int] v]ticem ,a p]p5diculum ad axem ab umbilico ,s erectum4 ,corol4 #b4 ,et circulo ,,asp p] corpus mov5s p]petuo transeunte1 velocitas puncti ,h e/ ad velocitatem quam corpus habuit 9 v]tice ,a1 ut #c ad #h2 adeoq2 9 ea etiam ratione e/ l9ea ,,gh ad l9eam rectam quam corpus tempore motus sui ab ,a ad ,p1 ea cum velocitate quam habuit 9 v]tice ,a1 describ]e posset4 ,corol4 #c4 ,h9c etiam vicev]sa inv5iri pote/ tempus quo corpus descripsit arcum quemvis assignatum ,,ap4 ,junge ,,ap ad m$ium ejus punctum erige p]p5diculum rect ,,gh occurr5s 9 ,h4 ,lemma ,,xxviii4 ,nulla extat figura ,ovalis cujus area1 rectis pro lubitu abscissa1 possit p] quationes num]o t]m9orum ac dim5sionum f9itas g5]alit] inv5iri4 ,intra ,ovalem detur punctum quodvis1 circa quod ceu polum revolvatur p]petuo l9ea recta1 int]ea 9 recta illa exeat punctum mobile de polo1 p]gatq2 semp] ea cum velocitate1 qu sit ut rect illius intra ,ovalem longitudo4 ,hoc motu punctum illud describet ,spiralem gyris inf9itis4 ,jam si area ,oualis p] f9itam quationem inv5iri pote/1 inv5ietur etiam p] e&em quationem di/antia puncti a polo2 qu huic are proportionalis e/1 adeoq2 omnia ,spiralis puncta p] quationem f9itam inv5iri possunt3 propt]ea rect cujusvis positione dat int]sectio cum spirali inv5iri etiam pote/ p] quationem f9itam4 ,atqui recta omnis inf9ite producta spiralem secat 9 punctis num]o inf9itis1 quatio1 qua int]sectio aliqua du>um l9e>um inv5itur1 exhibet e>um int]sectiones omnes radicibus totidem1 adeoq2 asc5dit ad tot dim5siones quot sunt int]sectiones4 ,quoniam circuli duo se mutuo secant 9 punctis duobus1 int]sectio una non inv5itur nisi p] quationem du>um dim5sionum1 qua int]sectio alt]a etiam inv5iatur4 ,quoniam du>um sectionum ,conic>um quatuor esse possunt int]sectiones1 non pote/ aliqua e>um g5]alit] inv5iri nisi p] quationem quatuor dim5sionum1 qua omnes simul inv5iantur4 ,nam si int]sectiones ill seorsim qurantur1 quoniam eadem e/ omnium lex conditio1 idem erit calculus 9 casu unoquoq2 propt]ea eadem semp] conclusio1 qu igitur debet omnes int]sectiones simul complecti indiff]5t] exhib]e4 ,unde etiam int]sectiones ,sectionum ,conic>um curv>um t]ti pote/atis1 eo quod sex esse possunt1 simul prodeunt p] quationes sex dim5sionum1 int]sectiones du>um curv>um t]ti pote/atis1 quia novem esse possunt1 simul prodeunt p] quationes dim5sionum novem4 ,id nisi necess>io fi]et1 r$uc]e lic]et ,problemata omnia ,solida ad ,plana1 plusquam solida ad solida4 ,eadem de causa int]sectiones b9 rect>um sectionum ,conic>um prodeunt semp] p] quationes du>um dim5sionum2 t]n rect>um curv>um t]ti pote/atis p] quationes trium1 quat]n rect>um curv>um qu>t pote/atis p] quationes dim5sionum quatuor1 sic 9 inf9itum4 ,ergo int]sectiones num]o inf9it rect>um1 propt]ea quod omnium eadem e/ lex idem calculus1 requirunt quationes num]o dim5sionum radicum inf9itas1 quibus omnes possunt simul exhib]i4 ,si a polo 9 rectam illam secantem demittatur p]p5diculum1 p]p5diculum una cum secante revolvatur circa polum1 int]sectiones spiralis transibunt 9 se mutuo1 quq2 prima erat seu proxima1 po/ unam revolutionem secunda erit1 po/ duas t]tia1 sic de9ceps3 nec int]ea mutabitur quatio nisi pro mutata magnitud9e quantitatum p] quas positio secantis det]m9atur4 ,unde cum quantitates ill po/ s+ulas revolutiones r$eunt ad magnitud9es primas1 quatio r$ibit ad =mam primam1 adeoq2 una eademq2 exhibebit int]sectiones omnes1 propt]ea radices habebit num]o inf9itas1 quibus omnes exhib]i possunt4 ,nequit ergo int]sectio rect spiralis p] quationem f9itam g5]alit] inv5iri1 idcirco nulla extat ,ovalis cujus area1 rectis imp]atis abscissa1 possit p] talem quationem g5]alit] exhib]i4 ,eodem argum5to1 si int]vallum poli puncti1 quo spiralis describitur1 capiatur ,ovalis p]imetro absciss proportionale1 prob>i pote/ quod longitudo p]imetri nequit p] f9itam quationem g5]alit] exhib]i4 ,coroll>ium4 ,h9c area ,ellipseos1 qu radio ab umbilico ad corpus mobile ducto describitur1 non prodit ex dato tempore1 p] quationem f9itam2 propt]ea p] descriptionem ,curu>um ,geometrice rationalium det]m9>i nequit4 ,curvas ,geometrice rationales appello qu>um puncta omnia p] longitud9es quationibus def9itas1 id e/1 p] longitud9um rationes complicatas1 det]m9>i possunt2 ct]asq2 7ut ,spirales1 ,quadratrices1 ,tro*oides7 ,geometrice irrationales4 ,nam longitud9es qu sunt vel non sunt ut num]us ad num]um 7quemadmodum 9 decimo ,elem5torum7 sunt ,ari?metice rationales vel irrationales4 ,aream igitur ,ellipseos tempori proportionalem absc9do p] ,curvam ,geometrice irrationalem ut sequitur4 ,prop4 ,,xxxi4 ,prob4 ,,xxiii4 ,corporis 9 data ,trajectoria ,elliptica mov5tis inv5ire locum ad tempus assignatum4 ,illu/ration ,ellipseos ,,apb sit ,a v]tex pr9cipalis1 ,s umbilicus1 ,o c5trum1 sitq2 ,p corporis locus inv5i5dus4 ,produc ,,oa ad ,g ut sit ,,og ad ,,oa ut ,,oa ad ,,os4 ,erige p]p5diculum ,,gh1 c5troq2 ,o int]vallo ,,og describe circulum ,,efg1 sup] regula ,,gh1 ceu fundo1 progr$iatur rota ,,gef revolv5do circa axem suum1 int]ea puncto suo ,a describ5do ,tro*oidem ,,ali4 ,quo facto1 cape ,,gk 9 ratione ad rot p]imetrum ,,gefg1 ut e/ tempus quo corpus progr$i5do ab ,a descripsit arcum ,,ap1 ad tempus revolutionis unius 9 ,ellipsi4 ,erigatur p]p5diculum ,,kl occurr5s ,tro*oidi 9 ,l1 acta ,,lp ipsi ,,kg p>allela occurret ,ellipsi 9 corporis loco qusito ,p4 ,nam c5tro ,o int]vallo ,,oa describatur semicirculus ,,aqb1 arcui ,,aq occurrat ,,lp producta 9 ,q1 junganturq2 ,,sq1 ,,oq4 ,arcui ,,efg occurrat ,,oq 9 ,f1 9 e&em ,,oq demittatur p]p5diculum ,,sr4 ,area ,,aps e/ ut area ,,aqs1 id e/1 ut diff]5tia int] sectorem ,,oqa triangulum ,,oqs1 sive ut diff]5tia rectangulorum ,q ,,aq ,,oq ,,sr1 hoc e/1 ob datam ,,oq1 ut diff]5tia int] arcum ,,aq rectam ,,sr1 adeoq2 7ob qualitatem rationum ,,sr ad s9um arcus ,,aq1 ,,os ad ,,oa1 ,,oa ad ,,og1 ,,aq ad ,,gf1 divisim ,,aq - ,,sr ad ,,gf - s94 arc4 ,,aq7 ut ,,gk diff]5tia int] arcum ,,gf s9um arcus ,,aq4 ,q4 ,e4 ,d4 ,s*olium4 ,illu/ration ,ct]um ob difficultatem describ5di hanc curvam pr/at con/ructiones v]o proximas 9 praxi ,me*anica adhib]e4 ,ellipseos cujusvis ,,apb sit ,,ab axis major1 ,o c5trum1 ,s umbilicus1 ,,od semiaxis m9or1 ,,ak dimidium lat]is recti4 ,secetur ,,z 9 ,g1 ut sit ,,ag ad ,,z ut ,,bo ad ,,bs2 quratur longitudo ,l1 qu sit ad ,,gk ut e/ ,,ao quad4 ad rectangulum ,,z ,,od4 ,bisecetur ,,og 9 ,c1 c5troq2 ,c int]vallo ,,cg describatur semicirculus ,,gfo4 ,d5iq2 capiatur angulus ,,gcf 9 ea ratione ad angulos quatuor rectos1 quam habet tempus datum1 quo corpus descripsit arcum qusitum ,,ap1 ad tempus p]iodicum seu revolutionis unius 9 ,ellipsi3 ,ad ,,ao demittatur normalis ,,fe1 producatur eadem v]sus ,f ad usq2 ,n1 ut sit ,,en ad longitud9em ,l1 ut anguli illius s9us ,,ef ad radium ,,cf2 c5troq2 ,n int]vallo ,,an descriptus circulus secabit ,ellips9 9 corporis loco qusito ,p quam proxime4 ,nam completo dimidio temporis p]iodici1 corpus ,p semp] rep]ietur 9 ,apside summa ,b1 completo alt]o temporis dimidio1 r$ibit ad ,apsidem imam1 ut oportet4 ,ubi v]o proxime abe/ ab ,apsidibus1 ratio prima nasc5tium sectorum ,,asp1 ,,gcf1 ratio ultima evanesc5tium ,,bsp ,,ocf1 eadem e/ rationi ,ellipseos totius ad circulum totum4 ,nam punctis ,p1 ,f ,n incid5tibus 9 loca p1 f n axi ,,ab quam proximis2 ob quales ,an1 pn1 recta nq1 qu ad arcum ,ap p]p5dicul>is e/1 adeoq2 concurrit cum axe 9 puncto ,k1 bisecat arcum ,ap4 ,pro9de e/ ,ap ad ,gn ut ,,ak ad ,,gk1 ,ap ad ,gn ut #b;,,ak ad ,,gk4 ,e/ ,gn ad ,gf ut ,,en ad ,,ef1 seu ,l ad ,,cf1 id e/1 ut ,,gk ,a,oq4 #b;,,z ,,od ad ,,cf1 seu ,,gk ,a,oq4 ad #b;,,z ,,od ,,cf1 ex quo ,ap ad ,gf ut #b;,,ak ad ,,gk ,,gk ,a,oq4 ad #b;,,z ,,od ,,cf1 id e/1 ut ,,ak ,a,oq4 ad ,,z ,,od ,,cf1 hoc e/1 ob qualia ,,ak ,,ao ,o,dq4 ut ,,ao ,,od ad ,,z ,,cf4 ,pro9de ,ap ,,z e/ ad ,gf ,,gc ut ,,ao ,,od ,,z ad ,,z ,,cf ,,gc1 seu ,,ao ,,od ad ,c,gq4 id e/1 sector nasc5s ,a,sp ad sectorem nasc5tem ,g,cf ut ,,ao ,,od ad ,c,gq4 propt]ea ut area ,ellipseos totius ad aream circuli totius4 ,q4 ,e4 ,d4 ,argum5to prolixiore prob>i pote/ analogia ultima 9 ,sectoribus evanesc5tibus ,,bsp1 ,,ocf3 ideoq2 locus puncti ,p prope ,apsides satis accurate inv5tus e/4 ,9 quadraturis error quasi qu+5tesim p>tis are ,ellipseos totius vel paulo major obv5ire solet3 qui tam5 propemodum evanescet p] ult]iorem ,con/ructionem sequ5tem4 ,p] puncta ,g1 ,o1 duc arcum circul>em ,,gto j magnitud9is2 de9 produc ,,ef h9c inde ad ,t ,n ut sit ,,en ad ,,ft ut ,l ad ,,cf2 c5troq2 ,n int]vallo ,,an describe circulum qui secet ,ellips9 9 ,p1 ut supra4 ,arcus autem ,,gto det]m9abitur qur5do ejus punctum aliquod ,t2 quod con/ructionem 9 illo casu accuratam r$det4 ,si ,ellipseos latus transv]sum multo majus sit quam latus rectum1 motus corporis prope v]ticem ,ellipseos desid]etur1 7qui casus 9 ,!oria ,comet>um incidit17 educ]e licet e puncto ,g rectam ,,gi axi ,,ab p]p5dicul>em1 9 ea ratione ad ,,gk quam habet area ,,avps ad rectangulum ,,ak ,,z2 de9 c5tro ,i int]vallo ,,ai circulum describ]e4 ,hic enim secabit ,ellipsim 9 corporis loco qusito ,p quamproxime4 ,et eadem con/ructione 7mutatis mut&is7 conficitur ,problema 9 ,hyp]bola4 ,h autem con/ructiones demon/rantur ut supra1 si ,figura 7v]tice ult]iore ,b 9 inf9itum abeunte7 v]tatur 9 ,p>abolam1 migrant 9 accuratam illam con/ructionem ,problematis ,,xxii4 ,illu/ration ,si qu&o locus ille ,p accuratius det]m9&us sit1 inv5iatur tum angulus quidam ,b1 qui sit ad angulum graduum #eg1biegh quem arcus radio qualis subt5dit1 ut e/ umbilicorum di/antia ,,% ad ,ellipseos diametrum ,,ab2 tum etiam longitudo qudam ,l1 qu sit ad radium 9 eadem ratione inv]se4 ,quibus semel inv5tis1 ,problema de9ceps confit p] sequ5tem ,analys94 ,p] con/ructionem sup]iorem 7vel utcunq2 conjecturam faci5do7 cognoscatur corporis locus ,p quam proxime4 ,demissaq2 ad axem ,ellipseos ord9atim applicata ,,pr1 ex proportione diametrorum ,ellipseos1 dabitur circuli circumscripti ,,aqb ord9atim applicata ,,rq1 qu s9us e/ anguli ,,acq exi/5te ,,ac radio4 ,sufficit angulum illum rudi calculo 9 num]is proximis inv5ire4 ,cognoscatur etiam angulus tempori proportionalis1 id e/1 qui sit ad quatuor rectos ut e/ tempus quo corpus descripsit arcum ,,ap1 ad tempus revolutionis unius 9 ,ellipsi4 ,sit angulus i/e ,n4 ,tum capiatur angulus ,d ad angulum ,b1 ut e/ s9us i/e anguli ,,acq ad ,radium1 angulus ,e ad angulum ,n - ,,acq ,d1 ut e/ longitudo ,l ad longitud9em e&em ,l cos9u anguli ,,acq ,d dim9utam1 ubi angulus i/e recto m9or e/1 auctam ubi major4 ,po/ea capiatur tum angulus ,f ad angulum ,b1 ut e/ s9us anguli ,,acq ,e ad radium1 tum angulus ,g ad angulum ,n - ,,acq - ,e ,f ut e/ longitudo ,l ad ,longitud9em e&em cos9u anguli ,,acq ,e ,f dim9utam ubi angulus i/e recto m9or e/1 auctam ubi major4 ,t]tia vice capiatur angulus ,h ad angulum ,b1 ut e/ s9us anguli ,,acq ,e ,g ad radium2 angulus ,i ad angulum ,n - ,,acq - ,e - ,g ,h1 ut e/ longitudo ,l ad e&em longitud9em cos9u anguli ,,acq ,e ,g ,h dim9utam1 ubi angulus i/e recto m9or e/1 auctam ubi major4 ,et sic p]g]e licet 9 inf9itum4 ,d5iq2 capiatur angulus ,a,cq qualis angulo ,,acq ,e ,g ,i c4 ex cos9u ejus ,cr ord9ata pr1 qu e/ ab s9um qr ut ,ellipseos axis m9or ad axem majorem1 habebitur corporis locus correctus p4 ,siqu&o angulus ,n - ,,acq ,d negativus e/1 debet signum ipsius ,e ubiq2 mut>i 9 -1 signum - 9 4 ,idem intellig5dum e/ de signis ipsorum ,g ,i1 ubi anguli ,n - ,,acq - ,e ,f1 ,n - ,,acq - ,e - ,g ,h negative prodeunt4 ,conv]git autem s]ies inf9ita ,,acq ,e ,g ,i quam cel]rime1 adeo ut vix unquam opus fu]it ultra progr$i quam ad t]m9um secundum ,e4 ,et fundatur calculus 9 hoc ,!oremate1 quod area ,,aps sit ut diff]5tia int] arcum ,,aq rectam ab umbilico ,s 9 ,radium ,,cq p]p5dicul>it] demissam4 ,illu/ration ,non dissimili calculo conficitur ,problema 9 ,hyp]bola4 ,sit ejus c5trum ,c1 ,v]tex ,a1 ,umbilicus ,s ,asymptotos ,,ck4 ,cognoscatur quantitas are ,,aps tempori proportionalis4 ,sit ea ,a1 fiat conjectura de positione rect ,,sp1 qu aream illam absc9dat quamproxime4 ,jungatur ,,cp1 ab ,a ,p ad ,asymptoton agantur ,,ai1 ,,pk ,asymptoto alt]i p>allel1 p] ,tabulam ,log>i?morum dabitur ,area ,,aikp1 eiq2 qualis area ,,cpa1 qu subducta de triangulo ,,cps rel9quet aream ,,aps4 ,applic&o are>um ,a ,,aps semidiff]5tiam ,,aps - ,a vel ,a - ,,aps ad l9eam ,,sn1 qu ab umbilico ,s 9 tang5tem ,,pt p]p5dicul>is e/1 orietur longitudo ,,pq4 ,capiatur autem ,,pq int] ,a ,p1 si area ,,aps major sit area ,a1 secus ad puncti ,p contr>ias p>tes3 punctum ,q erit locus corporis accuratius4 ,et computatione repetita inv5ietur idem accuratius 9 p]petuum4 ,atq2 8 calculis ,problema g5]alit] confit ,analytice4 ,v]um usibus ,a/ronomicis accommodatior e/ calculus p>ticul>is qui sequitur4 ,exi/5tibus ,,ao1 ,,ob1 ,,od semiaxibus ,ellipseos1 7,vide fig4 pag4 #aji4 #aaj47 ,l ipsius lat]e recto1 qure tum angulum ,y1 cujus ,tang5s sit ad ,radium ut e/ semiaxium diff]5tia ,,ao - ,,od ad eorum summam ,,ao ,,od2 tum angulum ,z1 cujus tang5s sit ad ,radium ut rectangulum sub umbilicorum di/antia ,,% semiaxium diff]5tia ,,ao - ,,od ad triplum rectangulum sub ,,oq semiaxe m9ore ,,ao - ,l diff]5tia int] semiaxem majorem qu>tam p>tem lat]is recti4 ,8 angulis semel inv5tis1 locus corporis sic de9ceps det]m9abitur4 ,sume angulum ,t proportionalem tempori quo arcus ,,bp descriptus e/1 seu motui m$io 7ut loquuntur7 qualem2 angulum ,v 7primam m$ii motus quationem7 ad angulum ,y 7quationem maximam primam7 ut e/ s9us anguli ,t duplicati ad radium2 atq2 angulum ,x 7quationem secundam7 ad angulum ,z 7quationem maximam secundam7 ut e/ s9us v]sus anguli ,t duplicati ad radium duplicatum1 vel 7quod eodem recidit7 ut e/ quadratum s9us anguli ,t ad quadratum ,radii4 ,angulorum ,t1 ,v1 ,x vel summ ,t ,x ,v1 si angulus ,t recto m9or e/1 vel diff]5ti ,t ,x - ,v1 si is recto major e/ rectisq2 duobus m9or1 qualem cape angulum ,,bhp 7motum m$ium quatum27 si ,,hp occurrat ,ellipsi 9 ,p1 acta ,,sp absc9det aream ,,bsp tempori proportionalem quamproxime4 ,hc ,praxis satis exp$ita videtur1 propt]ea quod angulorum p]exiguorum ,v ,x 79 m9utis secundis1 si placet1 positorum7 figuras duas tresve primas inv5ire sufficit4 ,inv5to autem angulo motus m$ii quati ,,bhp1 angulus v]i motus ,,hsp di/antia ,,sp 9 promptu sunt p] me?odum notissimam ,dris4 ,se?i ,w>di ,episcopi ,salisburi5sis mihi plurimum col5di4 ,hact5us de motu corporum 9 l9eis curvis4 ,fi]i autem pote/ ut mobile recta desc5dat vel recta asc5dat1 qu ad i/iusmodi motus spectant1 p]go jam expon]e4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,vii4 ,de ,corporum ,asc5su ,desc5su ,rectil9eo4 ,prop4 ,,xxxii4 ,prob4 ,,xxiv4 ,illu/ration ,posito quod vis c5tripeta sit reciproce proportionalis quadrato di/anti locorum a c5tro1 spatia def9ire qu corpus recta cad5do datis temporibus describit4 ,cas4 #a4 ,si corpus non cadit p]p5dicul>it] describet id sectionem aliquam ,conicam cujus umbilicus inf]ior congruit cum c5tro4 ,id ex ,propositionibus ,,xi1 ,,xii1 ,,xiii e>um ,coroll>iis con/at4 ,sit sectio illa ,conica ,,arpb umbilicus inf]ior ,s4 ,et primo si ,figura illa ,ellipsis e/1 sup] hujus axe majore ,,ab describatur semicirculus ,,adb1 p] corpus decid5s transeat recta ,,dpc p]p5dicul>is ad axem2 actisq2 ,,ds1 ,,ps erit area ,,asd are ,,asp atq2 adeo etiam tempori proportionalis4 ,man5te axe ,,ab m9uatur p]petuo latitudo ,ellipseos1 semp] manebit area ,,asd tempori proportionalis4 ,m9uatur latitudo illa 9 inf9itum1 orbe ,,apb jam co9cid5te cum axe ,,ab umbilico ,s cum axis t]m9o ,b1 desc5det corpus 9 recta ,,ac1 area ,,abd evadet tempori proportionalis4 ,dabitur itaq2 spatium ,,ac1 quod corpus de loco ,a p]p5dicul>it] cad5do tempore dato describit1 si modo tempori proportionalis capiatur area ,,abd1 a puncto ,d ad rectam ,,ab demittatur p]p5dicul>is ,,dc4 ,q4 ,e4 ,i4 ,illu/ration ,cas4 #b4 ,s9 figura sup]ior ,,rpb ,hyp]bola e/1 describatur ad e&em diametrum pr9cipalem ,,ab ,hyp]bola rectangula ,,bd3 quoniam are ,,csp1 ,c,bf,p1 ,s,pf,b sunt ad areas ,,csd1 ,,cb$1 ,,sdeb1 s+ul ad s+ulas1 9 data ratione altitud9um ,,cp1 ,,cd2 area ,s,pf,b proportionalis e/ tempori quo corpus ,p movebitur p] arcum ,,pb1 erit etiam area ,,sdeb eidem tempori proportionalis4 ,m9uatur latus rectum ,hyp]bol ,,rpb 9 inf9itum man5te lat]e transv]so1 coibit arcus ,,pb cum recta ,,cb1 umbilicus ,s cum v]tice ,b recta ,,sd cum recta ,,bd4 ,pro9de area ,,bdeb proportionalis erit tempori quo corpus ,c recto desc5su describit l9eam ,,cb4 ,q4 ,e4 ,i4 ,cas4 #c4 ,et simili argum5to si figura ,,rpb ,p>abola e/1 eodem v]tice pr9cipali ,b describatur alia ,p>abola ,,b$1 qu semp] maneat data1 int]ea dum ,p>abola prior 9 cujus p]imetro corpus ,p movetur1 dim9uto 9 nihilum r$acto ejus ,lat]e recto1 conv5iat cum l9ea ,,cb1 fiet segm5tum ,p>abolicum ,,bdeb proportionale tempori quo corpus illud ,p vel ,c desc5det ad c5trum ,b4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,xxxiii4 ,!or4 ,,ix4 ,positis jam inv5tis1 dico quod corporis cad5tis velocitas 9 loco quovis ,c e/ ad velocitatem corporis c5tro ,b int]vallo ,,bc circulum describ5tis1 9 dimidiata ratione quam ,,ca1 di/antia corporis a ,circuli vel ,hyp]bol v]tice ult]iore ,a1 habet ad figur semidiametrum pr9cipalem ,,ab4 ,illu/ration ,namq2 ob proportionales ,,cd1 ,,cp1 l9ea ,,ab communis e/ utriusq2 figur ,,rpb1 ,,deb diamet]4 ,bisecetur eadem 9 ,o1 agatur recta ,,pt qu tangat figuram ,,rpb 9 ,p1 atq2 etiam secet communem illam diametrum ,,ab 7si opus e/ productam7 9 ,t2 sitq2 ,,sy ad hanc rectam ,,bq ad hanc diametrum p]p5dicul>is1 atq2 figur ,,rpb latus rectum ponatur ,l4 ,con/at p] ,cor4 #i4 ,!or4 ,,viii4 quod corporis 9 l9ea ,,rpb circa c5trum ,s mov5tis velocitas 9 loco quovis ,p sit ad velocitatem corporis int]vallo ,,sp circa idem c5trum circulum describ5tis 9 dimidiata ratione rectanguli ,l ,,sp ad ,,sy quadratum4 ,e/ autem ex ,conicis ,,acb ad ,c,pq4 ut #b;,,ao ad ,l1 adeoq2 #b;,c,pq4 ,,ao ,,acb quale ,l4 ,ergo velocitates ill sunt ad invicem 9 dimidiata ratione ,c,pq4 ,,ao ,,sp ,,acb ad ,,sy quad4 ,porro ex ,conicis e/ ,,co ad ,,bo ut ,,bo ad ,,to1 composite vel divisim ut ,,cb ad ,,bt4 ,unde divid5do vel compon5do fit ,,bo - uel ,,co ad ,,bo ut ,,ct ad ,,bt1 id e/ ,,ac ad ,,ao ut ,,cp ad ,,bq2 indeq2 ,c,pq4 ,,ao ,,sp ,,acb quale e/ ,b,qq4 ,,ac ,,sp ,,ao ,,bc4 ,m9uatur jam 9 inf9itum figur ,,rpb latitudo ,,cp1 sic ut punctum ,p coeat cum puncto ,c1 punctumq2 ,s cum puncto ,b1 l9ea ,,sp cum l9ea ,,bc1 l9eaq2 ,,sy cum l9ea ,,bq2 corporis jam recta desc5d5tis 9 l9ea ,,cb velocitas fiet ad velocitatem corporis c5tro ,b int]uallo ,,bc circulum describ5tis1 9 dimidiata ratione ipsius ,b,qq4 ,,ac ,,sp ,,ao ,,bc ad ,s,yq4 hoc e/ 7neglectis qualitatis rationibus ,,sp ad ,,bc ,b,qq4 ad ,s,yq47 9 dimidiata ratione ,,ac ad ,,ao4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,punctis ,b ,s coeuntibus1 fit ,,tc ad ,,/ ut ,,ac ad ,,ao4 ,prop4 ,,xxxiv4 ,!or4 ,x4 ,si figura ,,b$ ,p>abola e/1 dico quod corporis cad5tis velocitas 9 loco quovis ,c qualis e/ velocitati qua corpus c5tro ,b dimidio int]valli sui ,,bc circulum uni=mit] describ]e pote/4 ,illu/ration ,nam corporis ,p>abolam ,,rpb circa c5trum ,s describ5tis velocitas 9 loco quovis ,s 7p] ,corol4 #g4 ,!or4 ,,viii7 qualis e/ velocitati corporis dimidio int]valli ,,sp circulum circa idem ,s uni=mit] describ5tis4 ,m9uatur ,p>abol latitudo ,,cp 9 inf9itum eo1 ut arcus ,p>abolicus ,pf,b cum recta ,,cb1 c5trum ,s cum v]tice ,b1 int]uallum ,,sp cum int]vallo ,,bp co9cidat1 con/abit ,propositio4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xxxv4 ,!or4 ,,xi4 ,iisdem positis1 dico quod area figur ,,des1 radio indef9ito ,,sd descripta1 qualis sit are quam corpus1 radio dimidium lat]is recti figur ,,des quante1 circa c5trum ,s uni=mit] gyr&o1 eodem tempore describ]e pote/4 ,illu/ration ,nam concipe corpus ,c quam m9ima temporis p>ticula l9eolam ,cc cad5do describ]e1 int]ea corpus aliud ,k1 uni=mit] 9 circulo ,o,kk circa c5trum ,s gyr&o1 arcum ,kk describ]e4 ,erigantur p]p5dicula ,,cd1 cd occurr5tia figur ,,des 9 ,d1 d4 ,jungantur ,,sd1 ,,sk1 ,sk ducatur ,dd axi ,,z occurr5s 9 ,t1 ad eam demittatur p]p5diculum ,,sy4 ,cas4 #a4 ,jam si figura ,,des ,circulus e/ vel ,hyp]bola1 bisecetur ejus transv]sa diamet] ,,z 9 ,o1 erit ,,s dimidium ,lat]is recti4 ,et quoniam e/ ,,tc ad ,,td ut ,cc ad ,dd1 ,,td ad ,,ts ut ,,cd ad ,,sy1 erit ex quo ,,tc ad ,,ts ut ,,cd ,cc ad ,,sy ,dd4 ,s$ p] ,corol4 ,prop4 #cc4 e/ ,,tc ad ,,/ ut ,,ac ad ,,ao1 puta si 9 coitu punctorum ,d1 d capiantur l9e>um rationes ultim4 ,ergo ,,ac e/ ad ,,ao1 id e/ ad ,,sk1 ut ,,cd ,cc ad ,,sy ,dd4 ,porro corporis desc5d5tis velocitas 9 ,c e/ ad velocitatem corporis circulum int]vallo ,,sc circa c5trum ,s describ5tis 9 dimidiata ratione ,,ac ad ,,ao vel ,,sk 7p] ,!or4 ,,ix47 ,et hc velocitas ad velocitatem corporis describ5tis circulum ,o,kk 9 dimidiata ratione ,,sk ad ,,sc p] ,cor4 #f4 ,!or4 ,,iv4 ex quo velocitas prima ad ultimam1 hoc e/ l9eola ,cc ad arcum ,kk 9 dimidiata ratione ,,ac ad ,,sc1 id e/ 9 ratione ,,ac ad ,,cd4 ,qu>e e/ ,,cd ,cc quale ,,ac ,kk1 propt]ea ,,ac ad ,,sk ut ,,ac ,kk ad ,,sy ,dd1 indeq2 ,,sk ,kk quale ,,sy ,dd1 ,,sk ,kk quale ,,sy ,dd1 id e/ area ,k,sk qualis are ,s,dd4 ,s+ulis igitur temporis p>ticulis g5]antur are>um du>um p>ticul ,k,sk1 ,s,dd1 qu1 si magnitudo e>um m9uatur num]us augeatur 9 inf9itum1 rationem obt95t qualitatis1 propt]ea 7p] ,coroll>ium ,lemmatis ,,iv7 are tot simul g5it sunt semp] quales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illu/ration ,cas4 #b4 ,quod si figura ,,des ,p>abola sit1 inv5ietur ut supra ,,cd ,cc esse ad ,,sy ,dd ut ,,tc ad ,,/1 hoc e/ ut #b ad #a1 adeoq2 ,,cd ,cc qualem esse ,,sy ,dd4 ,s$ corporis cad5tis velocitas 9 ,c qualis e/ velocitati qua circulus int]vallo ,,sc uni=mit] describi possit 7p] ,!or4 ,x47 ,et hc velocitas ad velocitatem qua circulus radio ,,sk describi possit1 hoc e/1 l9eola ,cc ad arcum ,kk e/ 9 dimidiata ratione ,,sk ad ,sc1 id e/1 9 ratione ,,sk ad ,,cd1 p] ,corol4 #f4 ,!orem4 ,,iv4 ,qu>e e/ ,,sk ,kk quale ,,cd ,cc1 adeoq2 quale ,,sy ,dd1 hoc e/1 area ,k,sk qualis ,are ,s,dd1 ut supra4 ,quod erat demon/r&um4 ,prop4 ,,xxxvi4 ,prob4 ,,xxv4 ,illu/ration ,corporis de loco dato ,a cad5tis det]m9>e tempora desc5sus4 ,sup] diametro ,,z 7di/antia corporis a c5tro sub initio7 describe semicirculum ,,ads1 ut huic qualem semicirculum ,,okh circa c5trum ,s4 ,de corporis loco quovis ,c erige ord9atim applicatam ,,cd4 ,junge ,,sd1 are ,,asd qualem con/itue ,sectionem ,,osk4 ,patet p] ,!or4 ,,xi1 quod corpus cad5do describet spatium ,,ac eodem tempore quo corpus aliud uni=mit] circa c5trum ,s gyr&o1 describ]e pote/ arcum ,,ok4 ,quod erat faci5dum4 ,prop4 ,,xxxvii4 ,prob4 ,,xxvi4 ,corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti def9ire tempora asc5sus vel desc5sus4 ,illu/ration ,exeat corpus de loco dato ,g secundum l9eam ,,asg cum velocitate quacunq24 ,9 duplicata ratione hujus velocitatis ad uni=mem 9 circulo velocitatem1 qua corpus ad int]vallum datum ,,sg circa c5trum ,s revolvi posset1 cape ,,ca ad ,,z4 ,si ratio illa e/ num]i b9>ii ad unitatem1 punctum ,a cadet ad inf9itam di/antiam1 quo 9 casu ,p>abola u]tice ,s1 axe ,,sc1 lat]e quovis recto describ5da e/4 ,patet hoc p] ,!orema ,x4 ,s9 ratio illa m9or vel major e/ quam #b ad #a1 priore casu ,circulus1 po/]iore ,hyp]bola rectangula sup] diametro ,,sa describi debet4 ,patet p] ,!orema ,,ix4 ,tum c5tro ,s1 int]vallo quante dimidium lat]is recti1 describatur circulus ,h,kk1 ad corporis asc5d5tis vel desc5d5tis loca duo quvis ,g1 ,c1 erigantur p]p5dicula ,,gi1 ,,cd occurr5tia ,conic ,sectioni vel circulo 9 ,i ac ,d4 ,de9 junctis ,,si1 ,,sd1 fiant segm5tis ,,seis1 ,,s$s ,sectores ,,hsk1 ,h,sk quales1 p] ,!orema ,,xi4 corpus ,g describet spatium ,,gc eodem tempore quo corpus ,k describ]e pote/ arcum ,kk4 ,q4 ,e4 ,f4 ,prop4 ,,xxxviii4 ,!or4 ,,xii4 ,posito quod vis c5tripeta proportionalis sit altitud9i seu di/anti locorum a c5tro1 dico quod cad5tium tempora1 velocitates spatia descripta sunt arcubus arcuumq2 s9ibus v]sis s9ibus rectis respective proportionales4 ,illu/ration ,cadat corpus de loco quovis ,a secundum rectam ,,z2 c5tro virium ,s1 int]vallo ,,z1 describatur circuli quadrans ,,ae1 sitq2 ,,cd s9us rectus arcus cujusvis ,,ad1 corpus ,a1 tempore ,,ad1 cad5do describet spatium ,,ac1 inq2 loco ,c acquisi]it velocitatem ,,cd4 ,demon/ratur eodem modo ex ,propositione ,x4 quo ,propositio ,,xxxii4 ex ,propositione ,,xi4 demon/rata fuit4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c qualia sunt tempora quibus corpus unum de loco ,a cad5do prov5it ad c5trum ,s1 corpus aliud revolv5do describit arcum quadrantalem ,,ade4 ,corol4 #b4 ,pro9de qualia sunt tempora omnia quibus corpora de locis quibusvis ad usq2 c5trum cadunt4 ,nam revolv5tium tempora omnia p]iodica 7p] ,corol4 #c4 ,prop4 ,,iv47 quantur4 ,prop4 ,,xxxix4 ,prob4 ,,xxvii4 ,posita cujuscunq2 g5]is vi c5tripeta1 concessis figur>um curvil9e>um quadraturis1 requiritur corporis recta asc5d5tis vel desc5d5tis tum velocitas 9 locis s+ulis1 tum tempus quo corpus ad locum quemvis p]v5iet3 ,et contra4 ,illu/ration ,de loco quovis ,a 9 recta ,,adec cadat corpus ,e1 deq2 loco ejus ,e erigatur semp] p]p5dicul>is ,,eg1 vi c5tripet 9 loco illo ad c5trum ,c t5d5ti proportionalis3 ,sitq2 ,,bfg l9ea curva quam punctum ,g p]petuo tangit4 ,co9cidat autem ,,eg ipso motus initio cum p]p5dicul>i ,,ab1 erit corporis velocitas 9 loco quovis ,e ut are curvil9e ,,abge latus quadratum4 ,q4 ,e4 ,i4 ,9 ,,eg capiatur ,,em lat]i quadrato are ,,abge reciproce proportionalis1 sit ,,alm l9ea curva quam punctum ,m p]petuo tangit1 erit tempus quo corpus cad5do describit l9eam ,,ae ut area curvil9ea ,,alme4 ,quod erat ,inv5i5dum4 ,et5im 9 recta ,,ae capiatur l9ea quam m9ima ,,de dat longitud9is1 sitq2 ,,dlf locus l9e ,,emg ubi corpus v]sabatur 9 ,d2 si ea sit vis c5tripeta1 ut area ,,abge latus quadratum sit ut desc5d5tis velocitas1 erit area ipsa 9 duplicata ratione velocitatis1 id e/1 si pro velocitatibus 9 ,d ,e scribantur ,v ,v ,i1 erit area ,,abfd ut ,v#b1 area ,,abge ut ,v#b #b,,vi ,i#b1 divisim area ,,dfge ut #b,,vi ,i#b1 adeoq2 ,,dfge ,,de ut #b;,i ,v ,i ,,de1 id e/1 si prim quantitatum nasc5tium rationes sumantur1 longitudo ,,df ut quantitas #b;,i ,v ,,de1 adeoq2 etiam ut quantitatis hujus dimidium ,i ,v ,,de4 ,e/ autem tempus quo corpus cad5do describit l9eolam ,,de1 ut l9eola illa directe velocitas ,v inv]se1 e/q2 vis ut velocitatis increm5tum ,i directe tempus inv]se1 adeoq2 si prim nasc5tium rationes sumantur1 ut ,i ,v ,,de1 hoc e/1 ut longitudo ,,df4 ,ergo vis ipsi ,,df vel ,,eg proportionalis facit corpus ea cum velocitate desc5d]e qu sit ut are ,,abge latus quadratum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,porro cum tempus1 quo qulibet longitud9is dat l9eola ,,de describatur1 sit ut velocitas1 adeoq2 ut are ,,abfd latus quadratum inv]se2 sitq2 ,,dl1 atq2 adeo are nasc5s ,,dlme1 ut idem latus quadratum inv]se3 erit tempus ut area ,,dlme1 summa omnium temporum ut summa omnium are>um1 hoc e/ 7p] ,corol4 ,lem4 ,,iv47 tempus totum quo l9ea ,,ae describitur ut area tota ,,ame4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,si ,p sit locus de quo corpus cad]e debet1 ut1 urg5te aliqua uni=mi ui c5tripeta nota 7qualis vulgo supponitur gravitas7 velocitatem acquirat 9 loco ,d qualem velocitati quam corpus aliud vi quacunq2 cad5s acquisivit eodem loco ,d1 9 p]p5dicul>i ,,df capiatur ,,dr1 qu sit ad ,,df ut vis illa uni=mis ad vim alt]am 9 loco ,d1 compleatur rectangulum ,,pdrq1 eiq2 qualis absc9datur area ,,abfd2 erit ,a locus de quo corpus alt]um cecidit4 ,namq2 completo rectangulo ,,edrs1 cum sit area ,,abfd ad aream ,,dfge ut ,,vv ad #b,v ,i1 adeoq2 ut ,v ad ,i1 id e/1 ut semissis velocitatis totius ad increm5tum velocitatis corporis vi 9quabili cad5tis2 similit] area ,,pqrd ad aream ,,drse ut semissis velocitatis totius ad increm5tum velocitatis corporis uni=mi vi cad5tis2 s9tq2 increm5ta illa 7ob qualitatem temporum nasc5tium7 ut vires g5]atrices1 id e/ ut ord9atim applicat ,,df1 ,,dr1 adeoq2 ut are nasc5tes ,,dfge1 ,,drse2 erunt 7ex quo7 are tot ,,abfd1 ,,pqrd ad invicem ut semisses tot>um velocitatum1 propt]ea 7ob qualitatem velocitatum7 quantur4 ,corol4 #b4 ,unde si corpus quodlibet de loco quocunq2 ,d data cum velocitate vel sursum vel deorsum projiciatur1 detur lex vis c5tripet1 inv5ietur velocitas ejus 9 alio quovis loco e1 erig5do ord9atam eg1 capi5do velocitatem illam ad velocitatem 9 loco ,d ut e/ latus quadratum rectanguli ,,pqrd area curvil9ea ,d,fge vel aucti1 si locus e e/ loco ,d inf]ior1 vel dim9uti1 si is sup]ior e/1 ad latus quadratum rectanguli solius ,,pqrd1 id e/ ut sqrt,,pqrd vel - ,d,fge ad sqrt,,pqrd4 ,corol4 #c4 ,tempus quoq2 innotescet erig5do ord9atam em reciproce proportionalem lat]i quadrato ex ,,pqrd vel - ,d,fge1 capi5do tempus quo corpus descripsit l9eam ,de ad tempus quo corpus alt]um vi uni=mi cecidit a ,p cad5do p]v5it ad ,d1 ut area curvil9ea ,d,lme ad rectangulum #b,,pd ,,dl4 ,namq2 tempus quo corpus vi uni=mi desc5d5s descripsit l9eam ,,pd e/ ad tempus quo corpus idem descripsit l9eam ,,pe 9 dimidiata ratione ,,pd ad ,,pe1 id e/ 7l9eola ,,de jamjam nasc5te7 9 ratione ,,pd ad ,,pd ,,de seu #b,,pd ad #b,,pd ,,de1 divisim1 ad tempus quo corpus idem descripsit l9eolam ,,de ut #b,,pd ad ,,de1 adeoq2 ut rectangulum #b,,pe ,,dl ad aream ,,dlme2 e/q2 tempus quo corpus utrumq2 descripsit l9eolam ,,de ad tempus quo corpus alt]um 9quabili motu descripsit l9eam ,de ut area ,,dlme ad aream ,d,lme1 ex quo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum #b,,pd ,,dl ad aream ,d,lme4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,viii4 ,de ,inv5tione ,orbium 9 quibus corpora viribus quibuscunq2 c5tripetis agitata revolv5tur4 ,prop4 ,,xl4 ,!or4 ,,xiii4 ,si corpus1 cog5te vi quacunq2 c5tripeta1 moveatur utcunq21 corpus aliud recta asc5dat vel desc5dat1 s9tq2 eorum velocitates 9 aliquo qualium altitud9um casu quales1 velocitates eorum 9 omnibus qualibus altitud9ibus erunt quales4 ,illu/ration ,desc5dat corpus aliquod ab ,a p] ,d1 ,e1 ad c5trum ,c1 moveatur corpus aliud a ,v 9 l9ea curva ,v,i,kk4 ,c5tro ,c int]vallis quibusvis describantur circuli conc5trici ,,di1 ,,ek rect ,,ac 9 ,d ,e1 curvq2 ,,vik 9 ,i ,k occurr5tes4 ,jungatur ,,ic occurr5s ipsi ,,ke 9 ,n2 9 ,,ik demittatur p]p5diculum ,,nt2 sitq2 circumf]5ti>um circulorum int]vallum ,,de vel ,,9 quam m9imum1 habeant corpora 9 ,d ,i velocitates quales4 ,quoniam di/anti ,,cd1 ,,ci quantur1 erunt vires c5tripet 9 ,d ,i quales4 ,exponantur h vires p] quales l9eolas ,,de1 ,,92 si vis una ,,91 p] ,legum ,corol4 #b4 resolvatur 9 duas ,,nt ,,x1 vis ,,nt1 ag5do secundum l9eam ,,nt corporis cursui ,,itk p]p5dicul>em1 nil mutabit velocitatem corporis 9 cursu illo1 s$ retrahet solummodo corpus a cursu rectil9eo1 facietq2 ipsum de ,orbis tang5te p]petuo deflect]e1 inq2 via curvil9ea ,i,t,kk1 progr$i4 ,9 hoc effectu produc5do vis illa tota consumetur3 vis autem alt]a ,,x1 secundum corporis cursum ag5do1 tota accel]abit illud1 ac dato tempore quam m9imo accel]ationem g5]abit sibi ipsi proportionalem4 ,pro9de corporum 9 ,d ,i accel]ationes qualibus temporibus fact 7si sumantur l9e>um nasc5tium ,,de1 ,,91 ,,ik1 ,,x1 ,,nt rationes prim7 sunt ut l9e ,,de1 ,,x3 temporibus autem 9qualibus ut l9e ill tempora conjunctim4 ,tempora ob qualitatem velocitatum sunt ut vi descript ,,de ,,ik1 adeoq2 accel]ationes1 9 cursu corporum p] l9eas ,,de ,,ik1 sunt ut ,,de ,,x1 ,,de ,,ik conjunctim1 id e/ ut ,,de quad4 ,,x ,,ik rectangulum4 ,s$ rectangulum ,,x ,,ik quale e/ ,,9 quadrato1 hoc e/1 quale ,,de quadrato propt]ea accel]ationes 9 transitu corporum a ,d ,i ad ,e ,k quales g5]antur4 quales igitur sunt corporum velocitates 9 ,e ,k eodem argum5to semp] rep]i5tur quales 9 subsequ5tibus qualibus di/antiis4 ,q4 ,e4 ,d4 ,s$ eodem argum5to corpora quivelocia qualit] a c5tro di/antia1 9 asc5su ad quales di/antias qualit] ret>dabuntur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si corpus vel funip5dulum oscilletur1 vel imp$im5to quovis politissimo p]fecte lubrico cogatur 9 l9ea curva mov]i1 corpus aliud recta asc5dat vel desc5dat1 s9tq2 velocitates eorum 9 eadem quacunq2 altitud9e quales3 erunt velocitates eorum 9 aliis quibuscunq2 qualibus altitud9ibus quales4 ,namq2 imp$im5to vasis absolute lubrici idem pr/atur quod vi transv]sa ,,nt4 ,corpus eo non ret>datur1 non accel]atur1 s$ tantum cogitur de cursu rectil9eo disc$]e4 ,corol4 #b4 ,h9c etiam si quantitas ,p sit maxima a c5tro di/antia1 ad quam corpus vel oscillans vel 9 ,trajectoria quacunq2 revolv5s1 deq2 quovis trajectori puncto1 ea quam ibi habet velocitate sursum projectum asc5d]e possit2 sitq2 quantitas ,a di/antia corporis a c5tro 9 alio quovis ,orbis puncto1 vis c5tripeta semp] sit ut ipsius ,a dignitas qulibet ,an - #a1 cujus ,index n - #a e/ num]us quilibet n unitate dim9utus2 velocitas corporis 9 omni altitud9e ,a erit ut sqrtn,pn - n,an1 atq2 adeo datur4 ,namq2 velocitas asc5d5tis ac desc5d5tis 7p] ,prop4 ,,xxxix47 e/ 9 hac ipsa ratione4 ,prop4 ,,xli4 ,prob4 ,,xxviii4 ,posita cujuscunq2 g5]is vi c5tripeta concessis figur>um curvil9e>um quadraturis1 requiruntur tum ,trajectori 9 quibus corpora movebuntur1 tum tempora motuum 9 ,trajectoriis inv5tis4 ,illu/ration ,t5dat vis qulibet ad c5trum ,c inv5i5da sit ,trajectoria ,v,i,t,kk4 ,detur circulus ,,vxy c5tro ,c int]vallo quovis ,,cv descriptus1 c5troq2 eodem describantur alii quivis circuli ,,id1 ,,ke trajectoriam secantes 9 ,i ,k rectamq2 ,,cv 9 ,d ,e4 ,age tum rectam ,,cnix secantem circulos ,,ke1 ,,vy 9 ,n ,x1 tum rectam ,,cky occurr5tem circulo ,,vxy 9 ,y4 ,s9t autem puncta ,i ,k sibi invicem vic9issima1 p]gat corpus ab ,v p] ,i1 ,t ,k ad k2 sitq2 ,a altitudo illa de qua corpus aliud cad]e debet ut 9 loco ,d velocitatem acquirat qualem velocitati corporis prioris 9 ,i2 /antibus qu 9 ,propositione ,,xxxix1 quoniam l9eola ,,ik1 dato tempore quam m9imo descripta1 e/ ut velocitas atq2 adeo ut latus quadratum are ,,abfd1 triangulum ,,ick tempori proportionale datur1 adeoq2 ,,kn e/ reciproce ut altitudo ,,ic1 id e/1 si detur quantitas aliqua ,q1 altitudo ,,ic nom9etur ,a1 ut ,q ,a2 quam nom9emus ,z4 ,ponamus eam esse magnitud9em ipsius ,q ut sit sqrt,,abfd 9 aliquo casu ad ,z ut e/ ,,ik ad ,,kn1 erit semp] sqrt,,abfd ad ,z ut ,,ik ad ,,kn1 ,,abfd ad ,,zz ut ,,ik quad4 ad ,,kn quad4 divisim ,,abfd - ,,zz ad ,,zz ut ,,9 quad4 ad ,,kn quad4 adeoq2 sqrt,,abfd - ,,zz ad ,z ut ,,9 ad ,,kn1 propt]ea ,a ,,kn quale ,q ,,9 sqrt,,abfd - ,,zz4 ,unde cum ,,yx ,,xc sit ad ,a ,,kn 9 duplicata ratione ,,yc ad ,,kc1 erit rectang4 ,,yx ,,xc quale ,q ,,9 ,,cx quad4 ,,aa sqrt,,abfd - ,,zz4 ,igitur si 9 p]p5diculo ,,df capiantur semp] ,db1 ,dc ipsis ,q #bsqrt,,abfd - ,,zz ,q ,,cx quad4 #b ,,aa sqrt,,abfd - ,,zz quales respective1 describantur curv l9e ab1 cd quas puncta b1 c p]petuo tangunt2 deq2 puncto ,v ad l9eam ,,ac erigatur p]p5diculum ,vad absc9d5s areas curvil9eas ,v,dba1 ,v,ddc1 erigantur etiam ord9at ,ez1 ,ex3 quoniam rectangulum ,db ,,9 seu ,dbz,e quale e/ dimidio rectanguli ,a ,,kn1 seu triangulo ,,ick2 rectangulum ,dc ,,9 seu ,dc ,e quale e/ dimidio rectanguli ,,yx 9 ,,cx1 seu triangulo ,,xcy2 hoc e/1 quoniam are>um ,v,dba1 ,,vic quales semp] sunt nasc5tes p>ticul ,dbz,e1 ,,ick1 are>um ,v,dcd1 ,,vcx quales semp] sunt nasc5tes p>ticul ,d,exc1 ,,xcy1 erit area g5ita ,v,dba qualis are g5it1 ,,vic1 adeoq2 tempori proportionalis1 area g5ita ,v,ddc qualis ,sectori g5ito ,,vcx4 ,dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco ,v1 dabitur area ipsi proportionalis ,v,dba1 inde dabitur corporis altitudo ,,cd vel ,,ci2 area ,v,dcd1 eiq2 qualis ,sector ,,vcx una cum ejus angulo ,,vci4 ,datis autem angulo ,,vci altitud9e ,,ci datur locus ,i1 9 quo corpus completo illo tempore rep]ietur4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,h9c maxim m9imq2 corporum altitud9es1 id e/ ,apsides ,trajectori>um exp$ite inv5iri possunt4 ,incidunt enim ,apsides 9 puncta illa 9 quibus recta ,,ic p] c5trum ducta incidit p]p5dicul>it] 9 ,trajectoriam ,,vik3 id quod fit ubi rect ,,ik ,,nk quantur1 adeoq2 ubi area ,,abfd qualis e/ ,,zz4 ,corol4 #b4 ,s$ angulus ,,k91 9 quo ,trajectoria alibi secat l9eam illam ,,ic1 ex data corporis altitud9e ,,ic exp$ite inv5itur1 nimirum capi5do s9um ejus ad radium ut ,,kn ad ,,ik1 id e/ ut ,z ad latus quadratum are ,,abfd4 ,illu/ration ,corol4 #c4 ,si c5tro ,c v]tice pr9cipali ,v describatur sectio qulibet ,conica ,,vrs1 a quovis ejus puncto ,r agatur ,tang5s ,,rt occurr5s axi inf9ite producto ,,cv 9 puncto ,t2 de9 juncta ,,cr ducatur recta ,,cp1 qu qualis sit absciss ,,ct1 angulumq2 ,,vcp ,sectori ,,vcr proportionalem con/ituat2 t5dat autem ad c5trum ,c vis c5tripeta cubo di/anti locorum a c5tro reciproce proportionalis1 exeat corpus de loco ,v ju/a cum velocitate secundum l9eam rect ,,cv p]p5dicul>em3 progr$ietur corpus illud 9 ,trajectoria quam punctum ,p p]petuo tangit2 adeoq2 si conica sectio ,,cvrs ,hyp]bola sit1 desc5det idem ad c5trum3 ,s9 ea ,ellipsis sit1 asc5det illud p]petuo abibit 9 inf9itum4 ,et contra1 si corpus quacunq2 cum velocitate exeat de loco ,v1 p]9de ut incp]it vel oblique desc5d]e ad c5trum1 vel ab eo oblique asc5d]e1 figura ,,cvrs vel ,hyp]bola sit vel ,ellipsis1 inv5iri pote/ ,trajectoria aug5do vel m9u5do angulum ,,vcp 9 data aliqua ratione4 ,s$ et vi c5tripeta 9 c5trifugam v]sa1 asc5det corpus oblique 9 ,trajectoria ,,vpq qu inv5itur capi5do angulum ,,vcp ,sectori ,elliptico ,,cvrc proportionalem1 longitud9em ,,cp longitud9i ,,ct qualem3 ut supra4 ,consequuntur hc omnia ex ,propositione prc$5te1 p] ,curv cujusdam quadraturam1 cujus inv5tionem ut satis facilem brevitatis gracia missam facio4 ,prop4 ,,xlii4 ,prob4 ,,xxix4 ,data lege vis c5tripet1 requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum datam rectam egressi4 ,/antibus qu 9 tribus ,propositionibus prc$5tibus3 exeat corpus de loco ,i secundum l9eolam ,,x1 ea cum velocitate quam corpus aliud1 vi aliqua uni=mi c5tripeta1 de loco ,p cad5do acquir]e posset 9 ,d3 sitq2 hc vis uni=mis ad vim qua corpus primum urgetur 9 ,i1 ut ,,dr ad ,,df4 ,p]gat autem corpus v]sus k2 c5troq2 ,c int]vallo ,ck describatur circulus ke occurr5s rect ,,pd 9 e1 erigantur curv>um ,a,l,mm1 ,b,f,gg1 abzv1 dcxw ord9atim applicat em1 eg1 ev1 ew4 ,ex dato rectangulo ,,pdrq1 dataq2 lege vis c5tripet qua corpus primum agitatur1 dantur curv l9e ,b,f,gg1 ,a,l,mm1 p] con/ructionem ,problematis ,,xxviii4 ejus ,corol4 #a4 ,de9de ex dato angulo ,,cit datur proportio nasc5tium ,,ik1 ,,kn inde1 p] con/ructionem ,prob4 ,,xxviii1 datur quantitas ,q1 una cum curvis l9eis abzv1 dcxw3 adeoq2 completo tempore quovis ,dbve1 datur tum corporis altitudo ,ce vel ,ck1 tum area ,dcwe1 eiq2 qualis ,sector ,x,cy1 angulusq2 ,x,cy locus k 9 quo corpus tunc v]sabitur4 ,q4 ,e4 ,i4 ,supponimus autem 9 8 ,propositionibus vim c5tripetam 9 recessu quidem a c5tro v>i>i secundum legem quamcunq2 quam quis imag9>i pote/1 9 qualibus autem a c5tro di/antiis esse undiq2 e&em4 ,atq2 hact5us corporum 9 ,orbibus immobilibus consid]avimus4 ,sup]e/ ut de motu eorum 9 ,orbibus qui circa c5trum virium revolvuntur adjiciamus pauca4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,ix4 ,de ,motu ,corporum 9 ,orbibus mobilibus1 deq2 motu ,apsidum4 ,prop4 ,,xliii4 ,prob4 ,,xxx4 ,effici5dum e/ ut corpus 9 ,trajectoria quacunq2 circa c5trum virium revolv5te p]9de mov]i possit1 atq2 corpus aliud 9 eadem ,trajectoria quiesc5te4 ,9 ,orbe ,,vpk positione dato revolvatur corpus ,p p]g5do a ,v v]sus ,k4 ,a c5tro ,c agatur semp] ,cp1 qu sit ipsi ,,cp qualis1 angulumq2 ,v,cp angulo ,,vcp proportionalem con/ituat2 area quam l9ea ,cp describit erit ad aream ,,vcp quam l9ea ,,cp describit1 ut velocitas l9e describ5tis ,cp ad velocitatem l9e describ5tis ,,cp2 hoc e/1 ut angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp1 adeoq2 9 data ratione1 propt]ea tempori proportionalis4 ,cum area tempori proportionalis sit quam l9ea ,cp 9 plano immobili describit1 manife/um e/ quod corpus1 cog5te j quantitatis vi c5tripeta1 revolvi possit una cum puncto p 9 curva illa l9ea quam punctum idem p ratione jam exposita describit 9 plano immobili4 ,fiat angulus ,v,cv angulo ,p,cp1 l9ea ,cv l9e ,,cv1 atq2 figura v,cp figur ,,vcp qualis1 corpus 9 p ,illu/ration semp] exi/5s movebitur 9 p]imetro figur revolv5tis v,cp1 eodemq2 tempore describet arcum ejus vp quo corpus aliud ,p arcum ipsi similem qualem ,,vp 9 figura quiesc5te ,,vpk describ]e pote/4 ,quratur igitur1 p] ,coroll>ium ,propositionis ,,vi1 vis c5tripeta qua corpus revolvi possit 9 curva illa l9ea quam punctum p describit 9 plano immobili1 solvetur ,problema4 ,q4 ,e4 ,f4 ,prop4 ,,xliv4 ,!or4 ,,xiv4 ,diff]5tia virium1 quibus corpus 9 ,orbe quiesc5te1 corpus aliud 9 eodem ,orbe revolv5te qualit] mov]i possunt1 e/ 9 triplicata ratione communis altitud9is inv]se4 ,p>tibus orbis quiesc5tis ,,vp1 ,,pk sunto similes quales orbis revolv5tis p>tes vp1 pk4 ,a puncto k 9 rectam1 p,c demitte p]p5diculum kr1 idemq2 produc ad m1 ut sit mr ad kr ut angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp4 ,quoniam corporum altitud9es ,,pc p,c1 ,,kc k,c semp] quantur1 manife/um e/ quod si corporum 9 locis ,p p exi/5tium di/+uantur motus s+uli 7p] ,legum ,corol4 #b47 9 b9os1 7quorum hi v]sus c5trum1 sive secundum l9eas ,,pc1 p,c2 alt]i prioribus transv]si secundum l9eas ipsis ,,pc1 p,c p]p5dicul>es det]m9antur7 motus v]sus c5trum erunt quales1 motus transv]sus corporis p erit ad motum transv]sum corporis ,p1 ut motus angul>is l9e p,c ad motum angul>em l9e ,,pc1 id e/ ut angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp4 ,igitur eodem tempore quo corpus ,p motu suo utroq2 p]v5it ad punctum ,k1 corpus p quali 9 c5trum motu qualit] movebitur a ,p v]sus ,c1 adeoq2 completo illo tempore rep]ietur alicubi 9 l9ea mkr1 qu p] punctum k 9 l9eam p,c p]p5dicul>is e/2 motu transv]so acquiret di/antiam a l9ea p,c1 qu sit ad di/antiam quam corpus alt]um acquirit a l9ea ,,pc1 ut e/ hujus motus transv]sus ad motum transv]sum alt]ius4 ,qu>e cum kr qualis sit di/anti quam corpus alt]um acquirit a l9ea p,c1 sitq2 mr ad kr ut angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp1 hoc e/1 ut motus transv]sus corporis p ad motum transv]sum corporis ,p1 manife/um e/ quod corpus p completo illo tempore rep]ietur 9 loco m4 ,hc ita se habebunt ubi corpora ,p p qualit] secundum l9eas p,c ,,pc mov5tur1 adeoq2 qualibus viribus secundum l9eas illas urg5tur4 ,capiatur autem angulus p,cn ad angulum p,ck ut e/ angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp1 sitq2 n,c qualis k,c1 corpus p completo illo tempore rev]a rep]ietur 9 n2 adeoq2 vi majore urgetur1 si modo angulus m,cp angulo k,cp major e/1 id e/ si orbis ,vpk movetur 9 consequ5tia1 m9ore1 si orbis regr$itur2 e/q2 virium diff]5tia ut locorum int]vallum mn1 p] quod corpus illud p ipsius actione1 dato illo temporis spatio transf]ri debet4 ,c5tro ,c int]vallo ,cn vel ,ck describi intelligetur circulus secans l9eas mr1 mn productas 9 s t1 erit rectangulum mn mt quale rectangulo mk ms1 adeoq2 mn quale mk ms mt4 ,cum autem triangula p,ck1 p,cn d5tur magnitud9e1 sunt kr mr1 e>umq2 diff]5tia mk summa ms reciproce ut altitudo p,c1 adeoq2 rectangulum mk ms e/ reciproce ut quadratum altitud9is p,c4 ,e/ mt directe ut mt1 id e/ ut altitudo p,c4 ,h sunt prim rationes l9e>um nasc5tium2 h9c fit mk ms mt1 id e/ l9eola nasc5s mn1 eiq2 proportionalis virium diff]5tia reciproce ut cubus altitud9is p,c4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c diff]5tia virium 9 locis ,p p vel ,k k e/ ad vim qua corpus motu circul>i revolvi posset ab r ad k1 eodem tempore quo corpus ,p 9 orbe immobili describit arcum ,,pk1 ut mk ms ad rk quadratum2 hoc e/ si capiantur dat quantitates ,f1 ,g 9 ea ratione ad invicem quam habet angulus ,,vcp ad angulum ,v,cp1 ut ,gq4 - ,fq4 ad ,fq4 ,et propt]ea1 si c5tro ,c int]vallo quovis ,,cp vel ,cp describatur ,sector circul>is qualis are toti ,,vpc1 quam corpus ,p tempore quovis 9 orbe immobili revolv5s radio ad c5trum ducto descripsit1 diff]5tia virium1 quibus corpus ,p 9 orbe immobili corpus p 9 orbe mobili revolvuntur1 erit ad vim c5tripetam qua corpus aliquod radio ad c5trum ducto ,sectorem illum1 eodem tempore quo descripta sit area ,,vpc1 uni=mit] describ]e potuisset1 ut ,gq4 - ,fq4 ad ,fq4 ,namq2 sector ille area p,ck sunt ad invicem ut tempora quibus describuntur4 ,corol4 #b4 ,si orbis ,,vpk ,ellipsis sit umbilicum hab5s ,c ,apsidem summam ,v2 eiq2 similis qualis ponatur ,ellipsis vpk1 ita ut sit semp] pc qualis ,,pc1 angulus ,v,cp sit ad angulum ,,vcp 9 data ratione ,g ad ,f2 pro altitud9e autem ,,pc vel pc scribatur ,a1 pro ,ellipseos lat]e recto ponatur #b,r3 erit vis qua corpus 9 ,ellipsi mobili revolvi pote/1 ut ,fq4 ,aq4 ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub4 contra4 ,exponatur enim vis qua corpus revolvatur 9 immota ,ellipsi p] quantitatem ,fq4 ,aq41 vis 9 ,v erit ,fq4 ,,cv quad4 ,vis autem qua corpus 9 circulo ad di/antiam ,,cv ea cum velocitate revolvi posset quam corpus 9 ,ellipsi revolv5s habet 9 ,v1 e/ ad vim qua corpus 9 ,ellipsi revolv5s urgetur 9 ,apside ,v1 ut dimidium lat]is recti ,ellipseos ad circuli semidiametrum ,,cv1 adeoq2 valet ,r,fq4 ,,cv cub43 vis qu sit ad hanc ut ,gq4 - ,fq4 ad ,fq41 valet ,r,gq4 - ,r,fq4 ,,cv cub43 e/q2 hc vis 7p] hujus ,corol4 #a47 diff]5tia virium quibus corpus ,p 9 ,ellipsi immota ,,vpk1 corpus p 9 ,ellipsi mobili vpk revolvuntur4 ,unde cum 7p] hanc ,prop47 diff]5tia illa 9 alia quavis altitud9e ,a sit ad seipsam 9 altitud9e ,,cv ut #a ,a cub4 ad #a ,,cv cub41 eadem diff]5tia 9 omni altitud9e ,a valebit ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub4 ,igitur ad vim ,fq4 ,aq4 qua corpus revolvi pote/ 9 ,ellipsi immobili ,,vpk1 addatur excessus ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub4 componetur vis tota ,fq4 ,aq4 ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub4 qua corpus 9 ,ellipsi mobili vpk iisdem temporibus revolvi possit4 ,corol4 #c4 ,ad eundem modum colligetur quod1 si orbis immobilis ,,vpk ,ellipsis sit c5trum hab5s 9 virium c5tro ,c2 eiq2 similis1 qualis conc5trica ponatur ,ellipsis mobilis vpk1 sitq2 #b,r ,ellipseos hujus latus rectum1 #b,t latus transv]sum atq2 angulus ,v,cp semp] sit ad angulum ,,vcp ut ,g ad ,f2 vires quibus corpora 9 ,ellipsi immobili mobili temporibus qualibus revolvi possunt1 erunt ut ,fq4,a ,t cub4 ,fq4,a ,t cub4 ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub4 respective4 ,illu/ration ,corol4 #d4 ,et univ]salit]1 si corporis altitudo maxima ,,cv nom9etur ,t1 radius curvatur quam ,orbis ,,vpk habet 9 ,v1 id e/ radius circuli qualit] curvi1 nom9etur ,r1 vis c5tripeta qua corpus 9 ,trajectoria quacunq2 immobili ,,vpk revolvi pote/1 9 loco ,v dicatur ,fq4 ,tq4 ,v1 atq2 aliis 9 locis ,p indef9ite dicatur ,x1 altitud9e ,,cp nom9ata ,a1 capiatur ,g ad ,f 9 data ratione anguli ,v,cp ad angulum ,,vcp3 erit vis c5tripeta qua corpus idem eosdem motus 9 eadem ,trajectoria vpk circul>it] mota temporibus iisdem p]ag]e pote/1 ut summa virium ,x ,v,r,gq4 - ,v,r,fq4 ,a cub4 ,corol4 #e4 ,dato igitur motu corporis 9 ,orbe quocunq2 immobili1 aug]i vel m9ui pote/ ejus motus angul>is circa c5trum virium 9 ratione data1 inde inv5iri novi orbes immobiles 9 quibus corpora novis viribus c5tripetis gyr5tur4 ,corol4 #f4 ,igitur si ad rectam ,,cv positione datam erigatur p]p5diculum ,,vp longitud9is indet]m9at1 jungaturq2 ,,pc1 ipsi qualis agatur ,cp1 con/itu5s angulum ,v,cp1 qui sit ad angulum ,,vcp 9 data ratione2 vis qua corpus gyr>i pote/ 9 ,curva illa ,vpk quam punctum p p]petuo tangit1 erit reciproce ut cubus altitud9is ,cp4 ,nam corpus ,p1 p] vim in]ti1 nulla alia vi urg5te1 uni=mit] progr$i pote/ 9 recta ,,vp4 ,addatur vis 9 c5trum ,c1 cubo altitud9is ,,cp vel ,cp reciproce proportionalis1 7p] jam demon/rata7 detorquebitur motus ille rectil9eus 9 l9eam curvam ,vpk4 ,e/ autem hc ,curva ,vpk eadem cum ,curva illa ,,vpq 9 ,corol4 #c4 ,prop4 ,,xli inv5ta1 9 qua ibi diximus corpora hujusmodi viribus attracta oblique asc5d]e4 ,prop4 ,,xlv4 ,prob4 ,,xxxi4 ,orbium qui sunt ,circulis maxime f9itimi requiruntur motus ,apsidum4 ,problema solvitur ,ari?metice faci5do ut orbis1 quem corpus 9 ,ellipsi mobili1 ut 9 ,propositionis sup]ioris ,corol4 #b4 vel #c4 revolv5s1 describit 9 plano immobili1 acc$at ad =mam orbis cujus ,apsides requiruntur1 qur5do ,apsides orbis quem corpus illud 9 plano immobili describit4 ,orbes autem e&em acquir5t =mam1 si vires c5tripet quibus describuntur1 int] se collat1 9 qualibus altitud9ibus r$dantur proportionales4 ,sit punctum ,v ,apsis summa1 scribantur ,t pro altitud9e maxima ,,cv1 ,a pro altitud9e quavis alia ,,cp vel ,cp1 ,x pro altitud9um diff]5tia ,,cv - ,,cp2 vis qua corpus 9 ,ellipsi circa umbilicum ejus ,c 7ut 9 ,coroll>io #b47 revolv5te movetur1 quq2 9 ,coroll>io #b4 erat ut ,fq4 ,aq4 ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub4 id e/ ut ,fq4 ,a ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub41 sub/itu5do ,t - ,x pro ,a1 erit ut ,r,gq4 - ,r,fq4 ,t,fq4 - ,fq4,x ,a cub4 ,r$uc5da similit] e/ vis alia quvis c5tripeta ad fractionem cujus d5om9ator sit ,a cub4 num]atores1 facta homologorum t]m9orum collatione1 /atu5di sunt analogi4 ,res ,exemplis p>ebit4 ,exempl4 #a4 ,ponamus vim c5tripetam uni=mem esse1 adeoq2 ut ,a cub4 ,a cub41 sive 7scrib5do ,t - ,x pro ,a 9 ,num]atore7 ut ,t cub4 - #c,tq4,x #c,t,xq4 - ,x cub4 ,a cub42 collatis ,num]atorum t]m9is correspond5tibus1 nimirum datis cum datis non datis cum non datis1 fiet ,r,gq4 - ,r,fq4 ,t,fq4 ad ,t cub4 ut -,fq4,x ad -#c,tq4,x #c,t,xq4 - ,x cub4 sive ut -,fq4 ad -#c,tq4 #c,,tx - ,xq4 ,jam cum ,orbis ponatur circulo quam maxime f9itimus1 coeat orbis cum circulo2 ob factas ,r1 ,t quales1 atq2 ,x 9 inf9itum dim9utam1 rationes ultim erunt ,r,gq4 ad ,t cub4 ut -,fq4 ad -#c,tq4 seu ,gq4 ad ,tq4 ut ,fq4 ad #c,tq4 vicissim ,g quadrat4 ad ,f quadrat4 ut ,t quad4 ad #c,t quad4 id e/1 ut #a ad #c2 adeoq2 ,g ad ,f1 hoc e/ angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp ut #a ad sqrt#c4 ,ergo cum corpus 9 ,ellipsi immobili1 ab ,apside summa ad ,apsidem imam desc5d5do conficiat angulum ,,vcp 7ut ita dicam7 graduum #ahj2 corpus aliud 9 ,ellipsi mobili1 atq2 adeo 9 orbe immobili de quo agimus1 ab ,abside summa ad ,apsidem imam desc5d5do conficiet angulum ,v,cp graduum #ahj sqrt#c3 id adeo ob similitud9em orbis hujus1 quem corpus ag5te uni=mi vi c5tripeta describit1 orbis illius quem corpus 9 ,ellipsi revolv5te gyros p]ag5s describit 9 plano quiesc5te4 ,p] sup]iorem t]m9orum collationem similes r$duntur hi orbes1 non univ]salit]1 s$ tunc cum ad =mam circul>em quam maxime approp9quant4 ,corpus igitur uni=mi cum vi c5tripeta 9 orbe propemodum circul>i revolv5s1 int] ,apsidem summam ,apsidem imam conficiet semp] angulum #ahj sqrt#c graduum1 seu #ajc gr4 #ee m4 ad c5trum2 p]v5i5s ab ,apside summa ad ,apsidem imam1 ubi semel confecit hunc angulum1 inde ad ,apsidem summam r$i5s1 ubi it]um confecit eundem angulum1 sic de9ceps 9 inf9itum4 ,exempl4 #b4 ,ponamus vim c5tripetam esse ut altitud9is ,a dignitas qulibet ,an - #c seu ,an ,a#c3 ubi n - #c n significant dignitatum indices quoscunq2 integros vel fractos1 rationales vel irrationales1 affirmativos vel negativos4 ,num]ator ille ,an seu ,t - ,xn 9 s]iem indet]m9atam p] ,me?odum no/ram ,s]i]um conv]g5tium r$ucta1 evadit ,tn - n,x,tn - #a nn - n#b ,xq4,tn - #b c4 ,et collatis hujus t]m9is cum t]m9is ,num]atoris alt]ius ,r,gq4 - ,r,fq4 ,t,fq4 - ,fq4,x1 fit ,r,gq4 - ,r,fq4 ,t,fq4 ad ,tn ut -,fq4 ad -n,tn - #a nn - n#b ,,xtn - #b c4 ,et sum5do rationes ultimas ubi orbes ad =mam circul>em acc$unt1 fit ,r,gq4 ad ,tn ut -,fq4 ad -n,tn - #a1 seu ,gq4 ad ,tn - #a ut ,fq4 ad n,tn - #a1 vicissim ,gq4 ad ,fq4 ut ,tn - #a ad n,tn - #a id e/ ut #a ad n2 adeoq2 ,g ad ,f1 id e/ angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp1 ut #a ad sqrtn4 ,qu>e cum angulus ,,vcp1 9 desc5su corporis ab ,apside summa ad ,apsidem imam 9 ,ellipsi confectus1 sit graduum #ahj1 conficietur angulus ,v,cp1 9 desc5su corporis ab ,apside summa ad ,apsidem imam 9 ,orbe propemodum circul>i1 quem corpus quodvis vi c5tripeta dignitati ,an - #c proportionali describit1 qualis angulo graduum #ahj sqrtn2 hoc angulo repetito corpus r$ibit ab ,apside ima ad ,apsidem summam1 sic de9ceps 9 inf9itum4 ,ut si vis c5tripeta sit ut di/antia corporis a c5tro1 id e/ ut ,a seu ,a#d ,a#c1 erit n qualis #d sqrt#d qualis #b2 adeoq2 angulus int] ,apsidem summam ,apsidem imam qualis #ahj #b gr4 seu #ij gr4 ,completa igitur qu>ta p>te revolutionis unius corpus p]v5iet ad ,apsidem imam1 completa alia qu>ta p>te ad ,apsidem summam1 sic de9ceps p] vices 9 inf9itum4 ,id quod etiam ex ,propositione ,x4 manife/um e/4 ,nam corpus urg5te hac vi c5tripeta revolvetur 9 ,ellipsi immobili1 cujus c5trum e/ 9 c5tro virium4 ,quod si vis c5tripeta sit reciproce ut di/antia1 id e/ directe ut #a ,a seu ,a#b ,a#c1 erit n #b1 adeoq2 int] ,apsidem summam imam angulus erit graduum #ahj sqrt#b seu #abg gr4 #ag m94 propt]ea corpus tali vi revolv5s1 p]petua anguli hujus repetitione1 vicibus alt]nis ab ,apside summa ad imam ab ima ad summam p]v5iet 9 t]num4 ,porro si vis c5tripeta sit reciproce ut ,latus quadrato-quadratum undecim dignitatis ,altitud9is1 id e/ reciproce ut ,a#aa_/d1 adeoq2 directe ut #a ,a#aa_/d seu ut ,a ,a#c erit n qualis 1 #ahj sqrtn gr4 qualis #cfj gr4 propt]ea corpus de ,apside summa disc$5s sub9de p]petuo desc5d5s1 p]v5iet ad ,apsidem imam ubi complevit revolutionem integram1 de9 p]petuo asc5su compl5do aliam revolutionem integram1 r$ibit ad ,apsidem summam3 sic p] vices 9 t]num4 ,exempl4 #c4 ,assum5tes m n pro quibusvis indicibus dignitatum ,altitud9is1 b1 c pro num]is quibusvis datis1 ponamus vim c5tripetam esse ut b,am c,an ,a cub4 id e/ ut b 9 ,t - ,xm c 9 ,t - ,xn ,a cub4 seu 7p] e&em ,me?odum no/ram ,s]i]um conv]g5tium7 ut mm-m nn-n b,tm - mb,x,tm-#a ----b,x#b,tm-#b c,tn - nc,x,tn-#a ----c,x#b,tn-#b #b #b c4 ---------------------------------------- --------------------------------- ,a cub4 collatis num]atorum t]m9is1 fiet ,r,gq4 - ,r,fq4 ,t,fq4 ad b,tm c,tn1 ut -,fq4 ad -mb,tm - #a - nc,tn - #a mm - m#b ,,xtm - #b nn - n#b ,,xtn - #b c4 ,et sum5do rationes ultimas qu prodeunt ubi orbes ad =mam circul>em acc$unt1 fit ,gq4 ad b,tm - #a c,tn - #a1 ut ,fq4 ad mb,tm - #a nc,tn - #a1 vicissim ,gq4 ad ,fq4 ut b,tm - #a c,tn - #a ad mb,tm - #a nc,tn - #a4 ,qu proportio1 expon5do altitud9em maximam ,,cv seu ,t ,ari?metice p] unitatem1 fit ,gq4 ad ,fq4 ut b c ad mb nc1 adeoq2 ut #a ad mb nc b c4 ,unde e/ ,g ad ,f1 id e/ angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp1 ut #a ad sqrtmb nc b c4 ,et propt]ea cum angulus ,,vcp int] ,apsidem summam ,apsidem imam 9 ,ellipsi immobili sit #ahj gr4 erit angulus ,v,cp int] easdem ,apsides1 9 ,orbe quem corpus vi c5tripeta quantitati b,am c,an ,a cub4 proportionali describit1 qualis angulo graduum #ahj sqrtb c mb nc4 ,et eodem argum5to si vis c5tripeta sit ut b,am - c,an ,a cub41 angulus int] ,apsides inv5ietur #ahj sqrtb - c mb - nc graduum4 ,nec secus resolvetur ,problema 9 casibus difficilioribus4 ,quantitas cui vis c5tripeta proportionalis e/1 resolvi semp] debet 9 s]ies conv]g5tes d5om9atorem hab5tes ,a cub4 ,de9 p>s data ,num]atoris hujus ,r,gq4 - ,r,fq4 ,t,fq4 - ,fq4,x ad p>tem non datam 9 eadem ratione pon5d sunt3 ,et quantitates sup]fluas del5do1 scrib5doq2 unitatem pro ,t1 obt9ebitur proportio ,g ad ,f4 ,corol4 #a4 ,h9c si vis c5tripeta sit ut aliqua altitud9is dignitas1 inv5iri pote/ dignitas illa ex motu ,apsidum2 contra4 ,nimirum si motus totus angul>is1 quo corpus r$it ad ,apsidem e&em1 sit ad motum angul>em revolutionis unius1 seu graduum #cfj1 ut num]us aliquis m ad num]um alium n1 altitudo nom9etur ,a3 erit vis ut altitud9is dignitas illa ,annmm - #c1 cujus ,index e/ nnmm - #c4 ,id quod p] ,exempla secunda manife/um e/4 ,unde liquet vim illam 9 majore quam triplicata altitud9is ratione decresc]e non posse3 ,corpus tali vi revolv5s deq2 ,apside disc$5s1 si cp]it desc5d]e1 nunquam p]v5iet ad ,apsidem imam seu altitud9em m9imam1 s$ desc5det usq2 ad c5trum1 describ5s curvam illam l9eam de qua egimus 9 ,corol4 #c4 ,prop4 ,,xli4 ,s9 cp]it illud de ,apside disc$5s vel m9imum asc5d]e1 asc5det 9 inf9itum1 neq2 unquam p]v5iet ad ,apsidem summam4 ,describet enim curvam illam l9eam de qua actum e/ 9 eodem ,corol4 9 ,corol4 #f4 ,prop4 ,,xliv4 ,sic ubi vis 9 recessu a c5tro decrescit 9 majori quam triplicata ratione altitud9is1 corpus de ,apside disc$5s1 p]9de ut cp]it desc5d]e vel asc5d]e1 vel desc5det ad c5trum usq2 vel asc5det 9 inf9itum4 ,at si vis 9 recessu a c5tro vel decrescat 9 m9ori quam triplicata ratione altitud9is1 vel crescat 9 altitud9is ratione quacunq2 ,corpus nunquam desc5det ad c5trum usq2 s$ ad ,apsidem imam aliqu&o p]v5iet3 contra1 si corpus de ,apside ad ,apsidem alt]nis vicibus desc5d5s asc5d5s nunquam appellat ad c5trum1 ,vis 9 recessu a c5tro aut augebitur1 aut 9 m9ore quam triplicata altitud9is ratione decrescet3 quo citius corpus de ,apside ad ,apsidem r$i]it1 eo longius ratio virium rec$et a ratione illa triplicata4 ,ut si corpus revolutionibus #h vel #d vel #b vel #a de ,apside summa ad ,apsidem summam alt]no desc5su asc5su r$i]it1 hoc e/1 si fu]it m ad n ut #h vel #d vel #b vel #a ad #a1 adeoq2 nn mm - #c ualeat #a_/fd - #c vel #a_/af - #c vel #a_/d - #c vel #d_/i - #c1 erit vis ut ,a#a_/fd - #c vel ,a#a_/af - #c vel ,a#a_/d - #c vel ,a#d_/i - #c1 id e/ reciproce ut ,a#c - #a_/fd vel ,a#c - #a_/af vel ,a#c - #a_/d vel ,a#c - #d_/i4 ,si corpus s+ulis revolutionibus r$i]it ad ,apsidem e&em immotam1 erit m ad n ut #a ad #a1 adeoq2 ,annmm - #c qualis ,a-#b seu #a ,a#b1 propt]ea decrem5tum virium 9 ratione duplicata altitud9is1 ut 9 prc$5tibus demon/ratum e/4 ,si corpus p>tibus revolutionis unius vel tribus qu>tis1 vel duabus t]tiis1 vel una t]tia1 vel una qu>ta1 ad ,apsidem e&em r$i]it1 erit m ad n ut #c_/d vel #b_/c vel #a_/c vel #a_/d ad #a1 adeoq2 ,annmm - #c qualis ,a#af_/i - #c vel ,a#i_/d - #c vel ,a#i - #c vel ,a#af - #c propt]ea ,vis aut reciproce ut ,a#aa_/i vel ,a#c_/d1 aut directe ut ,a#f vel ,a#ac4 ,d5iq2 si ,corpus p]g5do ab ,apside summa ad ,apsidem summam confec]it revolutionem integram1 prt]ea gradus tres1 adeoq2 ,apsis illa s+ulis corporis revolutionibus confec]it 9 ,consequ5tia gradus tres1 erit m ad n ut #cfc;gr4 ad #cfj;gr4 adeoq2 ,annmm - #c erit quale ,a-#bfegjgacagfi1 propt]ea ,vis c5tripeta reciproce ut ,a#bfegjgacagfi seu ,a#b-d_/bdc4 ,decrescit igitur ,vis c5tripeta 9 ratione paulo majore quam duplicata1 s$ qu vicibus #fj propius ad duplicatam quam ad triplicatam acc$it4 ,corol4 #b4 ,h9c etiam si corpus1 vi c5tripeta qu sit reciproce ut quadratum altitud9is1 revolvatur 9 ,ellipsi umbilicum hab5te 9 c5tro virium1 huic vi c5tripet addatur vel auf]atur vis alia quvis extranea2 cognosci pote/ 7p] ,exempla t]tia7 motus ,apsidum qui ex vi illa extranea orietur3 contra4 ,ut si vis qua corpus revolvitur 9 ,ellipsi sit ut #a ,a#b1 vis extranea ablata ut c,a1 adeoq2 vis reliqua ut ,a - c,a#d ,a#c2 erit 79 ,exemplis t]tiis7 ,a qualis #a n qualis #d1 adeoq2 angulus revolutionis int] ,apsides qualis angulo graduum #ahjsqrt#a - c #a - #d;c4 ,ponatur vim illam extraneam esse #ceg1de vicibus m9orem quam vis alt]a qua corpus revolvitur 9 ,ellipsi1 id e/ c esse #ajj #cegde1 #ahjsqrt#a - c #a - #d;c evadet #ahjsqrt#cefde #cecde seu #ahj1gfjb1 id e/ #ahj;gr4 #dem4 #cgs4 ,igitur corpus de ,apside summa disc$5s1 motu angul>i #ahj;gr4 #dem4 #cgs4 p]v5iet ad ,apsidem imam1 hoc motu duplicato ad ,apsidem summam r$ibit3 adeoq2 ,apsis summa s+ulis revolutionibus progr$i5do conficiet #a;gr4 #cam4 #ads4 ,hact5us de motu corporum 9 orbibus quorum plana p] c5trum virium transeunt4 ,sup]e/ ut motus etiam det]m9emus 9 planis exc5tricis4 ,nam ,scriptores qui motum gravium tractant1 consid]>e sol5t asc5sus desc5sus pond]um1 tam obliquos 9 planis quibuscunq2 datis1 quam p]p5dicul>es3 p>i jure motus corporum viribus quibuscunq2 c5tra pet5tium1 planis exc5tricis innit5tium hic consid]&us v5it4 ,plana autem supponimus esse politissima absolute lubrica ne corpora ret>d5t4 ,qu9imo 9 8 demon/rationibus1 vice planorum quibus corpora incumbunt quasq2 tangunt incumb5do1 usurpamus plana 8 p>allela1 9 quibus c5tra corporum mov5tur orbitas mov5do describunt4 ,et eadem lege motus corporum 9 sup]ficiebus curvis p]actos sub9de det]m9amus4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,x4 ,de ,motu ,corporum 9 ,sup]ficiebus datis1 deq2 ,funip5dulorum ,motu reciproco4 ,prop4 ,,xlvi4 ,prob4 ,,xxxii4 ,posita cujuscunq2 g5]is vi c5tripeta1 datoq2 tum virium c5tro tum plano quocunq2 9 quo corpus revolvitur1 concessis ,figur>um curvil9e>um quadraturis3 requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum ,rectam 9 ,plano illo datam egressi4 ,illu/ration ,sit ,s c5trum virium1 ,,sc di/antia m9ima c5tri hujus a plano dato1 ,p corpus de loco ,p secundum rectam ,,pz egr$i5s1 ,q corpus idem 9 ,trajectoria sua revolv5s1 ,,pqr ,trajectoria illa 9 plano dato descripta1 quam inv5ire oportet4 ,jungantur ,,cq1 ,,qs1 si 9 ,,qs capiatur ,,sv proportionalis vi c5tripet qua corpus trahitur v]sus c5trum ,s1 agatur ,,vt qu sit p>allela ,,cq occurrat ,,sc 9 ,t3 ,vis ,,sv resolvetur 7p] ,legum ,corol4 #b47 9 vires ,,/1 ,,tv2 qu>um ,,/ trah5do corpus secundum l9eam plano p]p5dicul>em1 nil mutat motum ejus 9 hoc plano4 ,vis autem alt]a ,,tv1 ag5do secundum positionem plani1 trahit corpus directe v]sus punctum ,c 9 plano datum1 adeoq2 facit illud 9 hoc plano p]9de mov]i ac si vis ,,/ toll]etur1 corpus vi sola ,,tv revolv]etur circa c5trum ,c 9 spatio lib]o4 ,data autem vi c5tripeta ,,tv qua corpus ,q 9 spatio lib]o circa c5trum datum ,c revolvitur1 datur p] ,prop4 ,,xlii4 tum ,trajectoria ,,pqr quam corpus describit1 tum locus ,q 9 quo corpus ad datum quodvis tempus v]sabitur1 tum d5iq2 velocitas corporis 9 loco illo ,q2 contra4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,xlvii4 ,!or4 ,,xv4 ,posito quod vis c5tripeta proportionalis sit di/anti corporis a c5tro2 corpora omnia 9 planis quibuscunq2 revolv5tia describ5t ,ellipses1 revolutiones temporibus qualibus p]ag5t2 quq2 mov5tur 9 l9eis rectis ultro citroq2 discurr5do1 s+ulas eundi r$eundi p]iodos iisdem temporibus absolv5t4 ,nam /antibus qu 9 sup]iore ,propositione2 vis ,,sv qua corpus ,q 9 plano quovis ,,pqr revolv5s trahitur v]sus c5trum ,s e/ ut di/antia ,,sq2 atq2 adeo ob proportionales ,,sv ,,sq1 ,,tv ,,cq1 vis ,,tv qua corpus trahitur v]sus punctum ,c 9 ,orbis plano datum1 e/ ut di/antia ,,cq4 ,vires igitur1 quibus corpora 9 plano ,,pqr v]santia trahuntur v]sus punctum ,c1 sunt pro ratione di/anti>um quales viribus quibus corpora unaquaq2 trahuntur v]sus c5trum ,s2 propt]ea corpora movebuntur iisdem temporibus 9 iisdem figuris 9 plano quovis ,,pqr circa punctum ,c1 atq2 9 spatiis lib]is circa c5trum ,s1 adeoq2 7p] ,corol4 #b4 ,prop4 ,x4 ,corol4 #b4 ,prop4 ,,xxxviii47 temporibus semp] qualibus1 vel describ5t ,ellipses 9 plano illo circa c5trum ,c1 vel p]iodos mov5di ultro citroq2 9 l9eis rectis p] c5trum ,c 9 plano illo ductis1 complebunt4 ,q4 ,e4 ,d4 ,s*olium4 ,8 aff9es sunt asc5sus ac desc5sus corporum 9 sup]ficiebus curvis4 ,concipe l9eas curvas 9 plano describi1 de9 circa axes quosvis datos p] c5trum virium transeuntes revolvi1 ea revolutione sup]ficies curvas describ]e2 tum corpora ita mov]i ut eorum c5tra 9 8 sup]ficiebus p]petuo rep]iantur4 ,si corpora illa oblique asc5d5do desc5d5do currant ultro citroq2 p]ag5tur eorum motus 9 planis p] axem transeuntibus1 atq2 adeo 9 l9eis curvis qu>um revolutione curv ill sup]ficies g5it sunt4 ,i/is igitur 9 casibus sufficit motum 9 8 l9eis curvis consid]>e4 ,prop4 ,,xlviii4 ,!or4 ,,xvi4 ,si rota globo extr9secus ad angulos rectos insi/at1 m rot>um revolv5do progr$iatur 9 circulo maximo2 longitudo it9]is curvil9ei1 quod punctum quodvis 9 rot p]imetro datum1 ex quo globum tetigit1 confecit1 erit ad duplicatum s9um v]sum arcus dimidii qui globum ex eo tempore int] eundem tetigit1 ut summa diametrorum globi rot ad semidiametrum globi4 ,prop4 ,,xlix4 ,!or4 ,,xvii4 ,si rota globo concavo ad rectos angulos intr9secus insi/at revolv5do progr$iatur 9 circulo maximo2 longitudo it9]is curvil9ei quod punctum quodvis 9 ,rot ,p]imetro datum1 ex quo globum tetigit1 confecit1 erit ad duplicatum s9um v]sum arcus dimidii qui globum toto hoc tempore int] eundum tetigit1 ut diff]5tia diametrorum globi rot ad semidiametrum globi4 ,illu/ration ,sit ,,abl globus1 ,c c5trum ejus1 ,,bpv rota ei insi/5s1 ,e c5trum rot1 ,b punctum contactus1 ,p punctum datum 9 p]imetro rot4 ,concipe hanc ,rotam p]g]e 9 circulo maximo ,,abl ab ,a p] ,b v]sus ,l1 int] eundum ita revolvi ut arcus ,,ab1 ,,pb sibi invicem semp] qu5tur1 atq2 punctum illud ,p 9 ,p]imetro rot datum int]ea describ]e viam curvil9eam ,,ap4 ,sit autem ,,ap via tota curvil9ea descripta ex quo ,rota globum tetigit 9 ,a1 erit vi hujus longitudo ,,ap ad duplum s9um v]sum arcus ,,pb1 ut #b;,,ce ad ,,cb4 ,nam recta ,,ce 7si opus e/ producta7 occurrat ,rot 9 ,v1 junganturq2 ,,cp1 ,,bp1 ,,ep1 ,,vp1 9 ,,cp productam demittatur ,normalis ,,vf4 ,tangant ,,ph1 ,,vh circulum 9 ,p ,v concurr5tes 9 ,h1 secetq2 ,,ph ipsam ,,vf 9 ,g1 ad ,,vp demittantur ,normales ,,gi1 ,,hk4 ,c5tro item ,c int]vallo quovis describatur circulus nom secans rectam ,,cp 9 n1 ,rot p]imetrum ,bp 9 o viam curvil9eam ,,ap 9 m1 c5troq2 ,v int]vallo ,vo describatur circulus secans ,,vp productam 9 q4 ,quoniam ,rota eundo semp] revolvitur circa punctum contactus ,b1 manife/um e/ quod recta ,,bp p]p5dicul>is e/ ad l9eam illam curvam ,,ap1 quam ,rot punctum ,p describit1 atq2 adeo quod recta ,,vp tanget hanc curvam 9 puncto ,p4 ,circuli nom radius s5sim auctus quetur t&em di/anti ,,cp1 ob similitud9em figur evanesc5tis ,pnomq figur ,,pfgvi1 ratio ultima l9eol>um evanesc5tium ,pm1 ,pn1 ,po1 ,pq1 id e/ ratio increm5torum mom5taneorum curv ,,ap1 rect ,,cp arcus circul>is ,,bp1 ac decrem5ti rect ,,vp1 eadem erit qu l9e>um ,,pv1 ,,pf1 ,,pg1 ,,pi respective4 ,cum autem ,,vf ad ,,cf ,,vh ad ,,cv p]p5dicul>es sunt1 anguliq2 ,,hvg1 ,,vcf propt]ea quales2 angulus ,,vhp1 7ob angulos quadrilat]i ,,hvep ad ,v ,p rectos17 complet angulum ,,vep ad duos rectos1 adeoq2 angulo ,,cep qualis e/1 similia erunt triangula ,,vhg1 ,,cep2 inde fiet ut ,,ep ad ,,ce ita ,,hg ad ,,hv seu ,,hp1 ita ,,ki ad ,,kp1 divisim ut ,,cb ad ,,ce ita ,,pi ad ,,pk1 duplicatis consequ5tibus ut ,,cb ad #b;,,ce ita ,,pi ad ,,pv4 ,e/ igitur decrem5tum l9e ,,vp1 id e/ increm5tum l9e ,,bv - ,,vp1 ad increm5tum l9e curv ,,ap 9 data ratione ,,cb ad #b;,,ce1 propt]ea 7p] ,corol4 ,lem4 ,,iv47 longitud9es ,,bv - ,,vp ,,ap increm5tis illis g5it sunt 9 eadem ratione4 ,s$ exi/5te ,,bv radio1 e/ ,,vp cos9us anguli ,,vpb seu ,,bep1 adeoq2 ,,bv - ,,vp s9us v]sus ejusdem anguli1 propt]ea 9 hac ,rota cujus radius e/ ,,bv1 erit ,,bv - ,,vp duplus s9us v]sus arcus ,,bp4 ,ergo ,,ap e/ ad duplum s9um v]sum arcus ,,bp ut #b;,,ce ad ,,cb4 ,q4 ,e4 ,d4 ,l9eam autem ,,ap 9 ,propositione priore ,cycloidem extra ,globum1 alt]am 9 po/]iore ,cycloidem intra ,globum di/9ctionis gratia nom9abimus4 ,corol4 #a4 ,h9c si describatur ,cyclois integra ,,asl bisecetur ea 9 ,s1 erit longitudo p>tis ,,ps ad longitud9em ,,vp 7qu duplus e/ s9us anguli ,,vbp1 exi/5te ,,eb radio7 ut #b;,,ce ad ,,cb atq2 adeo 9 ratione data4 ,corol4 #b4 ,et longitudo semip]imetri ,cycloidis ,,z quabitur l9e rect1 qu e/ ad ,rot diametrum ,,bv ut #b;,,ce ad ,,cb4 ,corol4 #c4 ,ideoq2 longitudo illa e/ ut rectangulum ,,bec1 si modo ,globi detur semidiamet]4 ,prop4 ,l4 ,prob4 ,,xxxiii4 ,illu/ration ,fac]e ut ,corpus p5dulum oscilletur 9 ,cycloide data4 ,intra ,globum ,,qvs c5tro ,c descriptum detur ,cyclois ,,qrs bisecta 9 ,r punctis suis extremis ,q ,s sup]ficiei ,globi h9c inde occurr5s4 ,agatur ,,cr bisecans arcum ,,qs 9 ,o1 producatur ea ad ,a1 ut sit ,,ca ad ,,co ut ,,co ad ,,cr4 ,c5tro ,c int]vallo ,,ca describatur ,globus ext]ior ,,abd1 intra hunc globum ,rota1 cujus diamet] sit ,,ao1 describantur du semicycloides ,,aq1 ,,z1 qu globum int]iorem tangant 9 ,q ,s globo ext]iori occurrant 9 ,a4 ,a puncto illo ,a1 filo ,,apt longitud9em ,,ar quante1 p5deat corpus ,t1 ita intra semicycloides ,,aq1 ,,z oscilletur1 ut quoties p5dulum digr$itur a p]p5diculo ,,ar1 filum p>te sui sup]iore ,,ap applicetur ad semicycloidem illam ,,aps1 v]sus quam p]agitur motus1 circum eam ceu ob/aculum flectatur1 p>teq2 reliqua ,,pt cui semicyclois nondum objicitur1 prot5datur 9 l9eam rectam2 pondus ,t oscillabitur 9 ,cycloide data ,,qrs4 ,q4 ,e4 ,f4 ,occurrat enim filum ,,pt tum ,cycloidi ,,qrs 9 ,t1 tum circulo ,,qos 9 ,v1 agaturq2 ,,cv occurr5s circulo ,,abd 9 ,b2 ad fili p>tem rectam ,,pt1 e punctis extremis ,p ac ,t1 erigantur p]p5dicula ,,pb1 ,,tw1 occurr5tia rect ,,cv 9 ,b ,w4 ,patet enim ex g5esi ,cycloidis1 quod p]p5dicula illa ,,pb1 ,,tw1 absc9d5t de ,,cv longitud9es ,,vb1 ,,vw rot>um diametris ,,oa1 ,,or quales1 atq2 adeo quod punctum ,b incidet 9 circulum ,,abd4 ,e/ igitur ,,tp ad ,,vp 7duplum s9um anguli ,,vbp exi/5te ,,bv radio7 ut ,,bw ad ,,bv1 seu ,,ao ,,or ad ,,ao1 id e/ 7cum s9t ,,ca ad ,,co1 ,,co ad ,,cr divisim ,,ao ad ,,or proportionales17 ut ,,ca ,,co seu #b;,,ce ad ,,ca4 ,pro9de p] ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlix4 longitudo ,,pt quatur ,cycloidis arcui ,,ps1 filum totum ,,apt quatur ,cycloidis arcui dimidio ,,aps1 hoc e/ 7p] ,coroll>4 #b4 ,prop4 ,,xlix7 longitud9i ,,ar4 ,et propt]ea vicissim si filum manet semp] quale longitud9i ,,ar movebitur punctum ,t 9 ,cycloide ,,qrs4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,filum ,,ar quatur ,cycloidis arcui dimidio ,,aps4 ,prop4 ,,li4 ,!or4 ,,xviii4 ,si vis c5tripeta t5d5s undiq2 ad ,globi c5trum ,c sit 9 locis s+ulis ut di/antia loci cujusq2 a c5tro1 hac sola vi ag5te ,corpus ,t oscilletur 7modo jam descripto7 9 p]imetro ,cycloidis ,,qrs3 dico quod oscillationum utcunq2 9qualium qualia erunt ,tempora4 ,nam 9 ,cycloidis tang5tem ,,tw inf9ite productam cadat p]p5diculum ,,cx jungatur ,,ct4 ,quoniam vis c5tripeta qua corpus ,t impellitur v]sus ,c e/ ut di/antia ,,ct1 7p] ,legum ,corol4 #b47 resolvitur 9 p>tes ,,cx1 ,,tx1 qu>um ,,cx impell5do corpus directe a ,p di/5dit filum ,,pt p] cujus resi/5tiam tota cessat1 nullum alium ed5s effectum2 p>s autem alt]a ,,tx urg5do corpus transv]sim seu v]sus ,x1 directe accel]at motum ejus 9 ,cycloide2 manife/um e/ quod corporis accel]atio huic vi accel]atrici proportionalis sit s+ulis mom5tis ut longitudo ,,tx1 id e/1 ob datas ,,cv1 ,,wv iisq2 proportionales ,,tx1 ,,tw1 ut longitudo ,,tw1 hoc e/ 7p] ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlix47 ut longitudo arcus ,cycloidis ,,tr4 ,p5dulis igitur duabus ,,apt1 ,apt de p]p5diculo ,,ar 9qualit] d$uctis simul dimissis1 accel]ationes eorum semp] erunt ut arcus describ5di ,,tr1 t,r4 ,sunt autem p>tes sub initio descript ut accel]ationes1 hoc e/ ut tot sub initio describ5d1 propt]ea p>tes qu man5t describ5d accel]ationes subsequ5tes 8 p>tibus proportionales sunt etiam ut tot2 sic de9ceps4 ,sunt igitur accel]ationes atq2 adeo velocitates g5it p>tes 8 velocitatibus descript p>tesq2 describ5d1 semp] ut tot2 propt]ea p>tes describ5d datam s]vantes rationem ad invicem simul evanesc5t1 id e/ corpora duo oscillantia simul p]v5i5t ad p]p5diculum ,,ar4 ,cumq2 vicissim asc5sus p]p5diculorum de loco infimo ,r1 p] eosdem arcus ,tro*oidales motu retrogrado facti1 ret>d5tur 9 locis s+ulis a viribus iisdem a quibus desc5sus accel]abantur1 patet velocitates asc5suum ac desc5suum p] eosdem arcus factorum quales esse1 atq2 adeo temporibus qualibus fi]i2 propt]ea1 cum ,cycloidis p>tes du ,,rs ,,rq ad utrumq2 p]p5diculi latus jac5tes s9t similes quales1 p5dula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem temporibus semp] p]ag5t4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lii4 ,prob4 ,,xxxiv4 ,def9ire velocitates ,p5dulorum 9 locis s+ulis1 ,tempora quibus tum oscillationes tot1 tum s+ul oscillationum p>tes p]aguntur4 ,illu/ration ,c5tro quovis ,g1 int]vallo ,,gh ,cycloidis arcum ,,rs quante1 describe semicirculum ,,hkmg semidiametro ,,gk bisectum4 ,et si vis c5tripeta di/antiis locorum a c5tro proportionalis t5dat ad c5trum ,g1 sitq2 ea 9 p]imetro ,,hik qualis vi c5tripet 9 p]imetro globi ,,qos 7,vide ,fig4 ,prop4 ,l4 ,,li47 ad ipsius c5trum t5d5te2 eodem tempore quo p5dulum ,t dimittitur e loco supremo ,s1 cadat corpus aliquod ,l ab ,h ad ,g3 quoniam vires quibus corpora urg5tur sunt quales sub initio spatiis describ5dis ,,tr1 ,,gl semp] proportionales1 atq2 adeo1 si quantur ,,tr ,,lg1 quales 9 locis ,t ,l2 patet corpora illa describ]e spatia ,,/1 ,,hl qualia sub initio1 adeoq2 sub9de p]g]e qualit] urg]i1 qualia spatia describ]e4 ,qu>e1 p] ,prop4 ,,xxxviii41 tempus quo corpus describit arcum ,,/ e/ ad tempus oscillationis unius1 ut arcus ,,hi 7tempus quo corpus ,h p]v5iet ad ,l7 ad semicirculum ,,hkm 7tempus quo corpus ,h p]v5iet ad ,m47 ,et velocitas corporis p5duli 9 loco ,t e/ ad velocitatem ipsius 9 loco infimo ,r1 7hoc e/ velocitas corporis ,h 9 loco ,l ad velocitatem ejus 9 loco ,g1 seu increm5tum mom5taneum l9e ,,hl ad increm5tum mom5taneum l9e ,,hg1 arcubus ,,hi1 ,,hk quabili fluxu cresc5tibus7 ut ord9atim applicata ,,li ad radium ,,gk1 sive ut sqrt,s,rq4 - ,t,rq4 ad ,,sr4 ,unde cum 9 ,oscillationibus 9qualibus describantur qualibus temporibus arcus totis ,oscillationum arcubus proportionales1 hab5tur ex datis temporibus velocitates arcus descripti 9 ,oscillationibus univ]sis4 ,qu erant primo inv5i5da4 ,illu/ration ,oscill5tur jam funip5dula duo corpora 9 ,cycloidibus 9qualibus e>um semi>cubus quales capiantur rect ,,gh1 gh1 c5trisq2 ,g1 g int]vallis ,,gh1 gh describantur semicirculi ,,hzkm1 hzkm4 ,9 eorum diametris ,,hm1 hm capiantur l9eol quales ,,hy1 hy1 erigantur normalit] ,,yz1 yz circumf]5tiis occurr5tes 9 ,z z4 ,quoniam corpora p5dula sub initio motus v]santur 9 circumf]5tia globi ,,qos1 adeoq2 a viribus qualibus urg5tur 9 c5trum1 incipiuntq2 directe v]sus c5trum mov]i1 spatia simul consecta qualia erunt sub initio4 ,urgeantur igitur corpora ,h1 h a viribus iisdem 9 ,h h1 s9tq2 ,,hy1 hy spatia qualia ipso motus initio descripta1 arcus ,,hz1 hz d5otabunt qualia tempora4 ,horum arcuum nasc5tium ratio prima duplicata e/ eadem qu rectangulorum ,,ghy1 ghy1 id e/1 eadem qu l9e>um ,,gh1 gh adeoq2 arcus capti 9 dimidiata ratione semidiametrorum d5otant qualia tempora4 ,e/ ergo tempus totum 9 circulo ,,hkm1 ,oscillationi 9 una ,cycloide respond5s1 ad tempus totum 9 circulo hkm ,oscillationi 9 alt]a ,cycloide respond5s1 ut semip]if]ia ,,hkm ad m$ium proportionale int] hanc semip]if]iam semip]if]iam circuli alt]ius hkm1 id e/ 9 dimidiata ratione diametri ,,hm ad diametrum hm1 hoc e/ 9 dimidiata ratione p]imetri ,cycloidis prim ad p]imetrum ,cycloidis alt]ius1 adeoq2 tempus illud 9 ,cycloide quavis e/ 7p] ,corol4 #c4 ,prop4 ,,xlix47 ut latus quadratum rectanguli ,,bec cont5ti sub semidiametro ,rot1 qua ,cyclois descripta fuit1 diff]5tia int] semidiametrum illam semidiametrum globi4 ,q4 ,e4 ,i4 ,e/ idem tempus 7p] ,corol4 ,prop4 ,l47 9 dimidiata ratione longitud9is fili ,,ar4 ,q4 ,e4 ,i4 ,porro si 9 globis conc5tricis describantur similes ,cycloides3 quoniam e>um p]imetri sunt ut semidiametri globorum vires 9 analogis p]imetrorum locis sunt ut di/anti locorum a communi globorum c5tro1 hoc e/ ut globorum semidiametri1 atq2 adeo ut ,cycloidum p]imetri p]imetrorum p>tes similes1 qualia erunt tempora quibus p]imetrorum p>tes similes ,oscillationibus similibus describuntur1 propt]ea ,oscillationes omnes erunt ,iso*ron4 ,cum igitur ,oscillationum tempora 9 ,globo dato s9t 9 dimidiata ratione longitud9is ,,ar1 atq2 adeo 7ob datam ,,ac7 9 dimidiata ratione num]i ,,ar ,,ac1 id e/ 9 ratione integra num]i sqrt,,ar ,,ac2 hic num]us sqrt,,ar ,,ac s]vata ratione ,,ar ad ,,ac 7ut fit 9 ,cycloidibus similibus7 idem semp] maneat1 propt]ea 9 globis div]sis1 ubi ,cycloides sunt similes1 sit ut tempus3 manife/um e/ quod ,oscillationum tempora 9 alio quovis globo dato1 atq2 adeo 9 globis omnibus conc5tricis sunt ut num]us sqrt,,ar ,,ac1 id e/1 9 ratione composita ex dimidiata ratione longitud9is fili ,,ar directe dimidiata ratione semidiametri globi ,,ac inv]se4 ,q4 ,e4 ,i4 ,d5iq2 si vires absolut div]sorum globorum ponantur 9quales1 accel]ationes temporibus qualibus fact1 erunt ut vires4 ,unde si tempora capiantur 9 dimidiata ratione virium inv]se1 velocitates erunt 9 eadem dimidiata ratione directe1 propt]ea spatia erunt qualia qu 8 temporibus describuntur4 ,ergo ,oscillationes 9 globis ,cycloidibus omnibus1 quibuscunq2 cum viribus absolutis fact1 sunt 9 ratione qu componitur ex dimidiata ratione longitud9is ,p5duli directe1 dimidiata ratione di/anti int] c5trum ,p5duli c5trum globi inv]se1 dimidiata ratione vis absolut etiam inv]se1 id e/1 si vis illa dicatur ,v1 9 ratione num]i sqrt,,ar ,,ac ,v4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,h9c etiam ,oscillantium1 cad5tium revolv5tium corporum tempora possunt int] se conf]ri4 ,nam si ,rot1 qua ,cyclois intra globum describitur1 diamet] con/ituatur qualis semidiametro globi1 ,cyclois evadet l9ea recta p] c5trum globi transi5s1 ,oscillatio jam erit desc5sus subsequ5s asc5sus 9 hac recta4 ,unde datur tum tempus desc5sus de loco quovis ad c5trum1 tum tempus huic quale quo corpus uni=mit] circa c5trum globi ad di/antiam quamvis revolv5do arcum quadrantalem describit4 ,e/ enim hoc tempus 7p] ,casum secundum7 ad tempus semioscillationis 9 ,tro*oide quavis ,,aps ut ,,bc ad sqrt,,bec4 ,corol4 #b4 ,h9c etiam consectantur qu ,d4 ,c4 ,wr5nus ,d4 ,c4 ,hug5ius de ,cycloide vulg>i ad9v5]unt4 ,nam si globi diamet] augeatur 9 inf9itum1 mutabitur ejus sup]ficies ,sphrica 9 planum1 visq2 c5tripeta aget uni=mit] secundum l9eas huic plano p]p5dicul>es1 ,cyclois no/ra abibit 9 ,cycloidem vulgi4 ,i/o autem 9 casu1 longitudo arcus ,cycloidis1 int] planum illud punctum describ5s1 qualis evadet quadruplicato s9ui v]so dimidii arcus ,rot int] idem planum punctum describ5s2 ut inv5it ,d4 ,c4 ,wr5nus3 ,et p5dulum int] duas ejusmodi ,cycloides 9 simili quali ,cycloide temporibus qualibus ,oscillabitur1 ut demon/ravit ,hug5ius4 ,s$ desc5sus gravium1 tempore ,oscillationis unius1 is erit quem ,hug5ius indicavit4 ,aptantur autem ,propositiones a nobis demon/rat ad v]am con/itutionem ,t]r1 quat5us ,rot eundo 9 ejus circulis maximis describunt motu clavorum ,cycloides extra globum2 ,p5dula inf]ius 9 fod9is cav]nis ,t]ra susp5sa1 9 ,cycloidibus intra globos ,oscill>i deb5t1 ut ,oscillationes omnes evadant ,iso*ron4 ,nam ,gravitas 7ut 9 ,libro t]tio docebitur7 decrescit 9 progressu a sup]ficie ,t]r1 sursum quidem 9 duplicata ratione di/anti>um a c5tro ejus1 deorsum v]o 9 ratione simplici4 ,prop4 ,,liii4 ,prob4 ,,xxxv4 ,concessis figur>um curvil9e>um ,quadraturis1 inv5ire vires quibus corpora 9 datis curvis l9eis ,oscillationes semp] ,iso*ronas p]ag5t4 ,illu/ration ,oscilletur corpus ,t 9 curva quavis l9ea ,,/rq1 cujus axis sit ,,or transi5s p] virium c5trum ,c4 ,agatur ,,tx qu curvam illam 9 corporis loco quovis ,t cont+at1 inq2 hac ,tang5te ,,tx capiatur ,,ty qualis arcui ,,tr4 ,nam longitudo arcus illius ex figur>um ,quadraturis p] ,me?odos vulg>es innotescit4 ,de puncto ,y educatur recta ,,yz ,tang5ti p]p5dicul>is4 ,agatur ,,ct p]p5dicul>i illi occurr5s 9 ,z1 erit vis c5tripeta proportionalis rect ,,tz4 ,q4 ,e4 ,i4 ,nam si vis1 qua corpus trahitur de ,t v]sus ,c1 exponatur p] rectam ,,tz captam ipsi proportionalem1 resolvetur hc 9 vires ,,ty1 ,,yz2 qu>um ,,yz trah5do corpus secundum longitud9em fili ,,pt1 motum ejus nil mutat1 vis autem alt]a ,,ty motum ejus 9 curva ,,/rq directe accel]at vel directe ret>dat4 ,pro9de cum hc sit ut via describ5da ,,tr1 accel]ationes corporis vel ret>dationes 9 ,oscillationum du>um 7majoris m9oris7 p>tibus proportionalibus describ5dis1 erunt semp] ut p>tes ill1 propt]ea faci5t ut p>tes ill simul describantur4 ,corpora autem qu p>tes totis semp] proportionales simul describunt1 simul describ5t totas4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si corpus ,t filo rectil9eo ,,at a c5tro ,a p5d5s1 describat arcum circul>em ,,/rq1 int]ea urgeatur secundum l9eas p>allelas deorsum a vi aliqua1 qu sit ad vim uni=mem gravitatis1 ut arcus ,,tr ad ejus s9um ,,tn3 qualia erunt ,oscillationum s+ul>um tempora4 ,et5im ob p>allelas ,,tz1 ,,ar1 similia erunt triangula ,,ant1 ,,tyz2 propt]ea ,,tz erit ad ,,at ut ,,ty ad ,,tn2 hoc e/1 si gravitatis vis uni=mis exponatur p] longitud9em datam ,,at1 vis ,,tz1 qua ,oscillationes evad5t ,iso*ron1 erit ad vim gravitatis ,,at1 ut arcus ,,tr ipsi ,,ty qualis ad arcus illius s9um ,,tn4 ,corol4 #b4 ,igitur 9 ,horologiis1 si vires a ,ma*9a 9 ,p5dulum ad motum cons]v&um impress ita cum vi gravitatis componi poss9t1 ut vis tota deorsum semp] sit ut l9ea qu oritur applic&o rectangulum sub arcu ,,tr radio ,,ar1 ad s9um ,,tn1 ,oscillationes omnes erunt ,iso*ron4 ,prop4 ,,liv4 ,prob4 ,,xxxvi4 ,concessis figur>um curvil9e>um quadraturis1 inv5ire tempora quibus corpora vi qualibet c5tripeta 9 l9eis quibuscunq2 curvis 9 plano p] c5trum virium transeunte descriptis1 desc5d5t asc5d5t4 ,illu/ration ,desc5dat enim corpus de loco quovis ,s p] l9eam quamvis curvam ,s,tt,r 9 plano p] virium c5trum ,c transeunte datam4 ,jungatur ,,cs dividatur eadem 9 p>tes innum]as quales1 sitq2 ,dd p>tium ill>um aliqua4 ,c5tro ,c1 int]vallis ,,cd1 ,cd describantur circuli ,,dt1 dt1 ,l9e curv ,s,tt,r occurr5tes 9 ,t t4 ,et ex data tum lege vis c5tripet1 tum altitud9e ,,cs de qua corpus cecidit2 dabitur velocitas corporis 9 alia quavis altitud9e ,,ct1 p] ,prop4 ,,xxxix4 ,tempus autem1 quo corpus describit l9eolam ,tt1 e/ ut l9eol hujus longitudo 7id e/ ut secans anguli t,t,c7 directe1 velocitas inv]se4 ,tempori huic proportionalis sit ord9atim applicata ,,dn ad rectam ,,cs p] punctum ,d p]p5dicul>is1 ob datam ,dd erit rectangulum ,dd ,,dn1 hoc e/ area ,d,nnd1 eidem tempori proportionale4 ,ergo si ,s,nn sit curva illa l9ea quam punctum ,n p]petuo tangit1 erit area ,,snds proportionalis tempori quo corpus desc5d5do descripsit l9eam ,,/2 pro9deq2 ex inv5ta illa area dabitur tempus4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,lv4 ,!or4 ,,xix4 ,si corpus movetur 9 sup]ficie quacunq2 curva1 cujus axis p] c5trum virium transit1 a corpore 9 axem demittatur p]p5dicul>is1 eiq2 p>allela qualis ab axis puncto quovis ducatur3 dico quod p>allela illa aream tempori proportionalem describet4 ,illu/ration ,sit ,,bskl sup]ficies curva1 ,t corpus 9 ea revolv5s1 ,s,tt,r ,trajectoria quam corpus 9 eadem describit1 ,s initium ,trajectori1 ,,omnk axis sup]ficiei curv1 ,,tn recta a corpore 9 axem p]p5dicul>is1 ,,op huic p>allela qualis a puncto ,o quod 9 axe datur educta1 ,,ap ve/igium ,trajectori a puncto ,p 9 l9e volubilis ,,op plano ,,aop descriptum1 ,a ve/igii initium puncto ,s respond5s1 ,,tc recta a corpore ad c5trum ducta2 ,,tg p>s ejus vi c5tripet qua corpus urgetur 9 c5trum ,c proportionalis2 ,,tm recta ad sup]ficiem curvam p]p5dicul>is2 ,,ti p>s ejus vi pressionis qua corpus urget sup]ficiem1 vicissimq2 urgetur v]sus ,m a sup]ficie1 proportionalis2 ,,phtf recta axi p>allela p] corpus transi5s1 ,,gf1 ,,ih rect a punctis ,g ,i 9 p>allelam illam ,,phtf p]p5dicul>it] demiss4 ,dico jam quod area ,,aop1 radio ,,op ab initio motus descripta1 sit tempori proportionalis4 ,nam vis ,,tg 7p] ,legum ,corol4 #b47 resolvitur 9 vires ,,tf1 ,,fg2 vis ,,ti 9 vires ,,?1 ,,hi3 ,vires autem ,,tf1 ,,? ag5do secundum l9eam ,,pf plano ,,aop p]p5dicul>em mutant solummodo motum corporis quat5us huic plano p]p5dicul>em4 ,ideoq2 motus ejus quat5us secundum positionem plani factus1 hoc e/ motus puncti ,p1 quo ,trajectori ve/igium ,,ap 9 hoc plano describitur1 idem e/ ac si vires ,,tf1 ,,? toll]5tur1 corpus solis viribus ,,fg1 ,,hi agit>etur1 hoc e/ idem ac si corpus 9 plano ,,aop vi c5tripeta ad c5trum ,o t5d5te summam virium ,,fg ,,hi quante1 describ]et curvam ,,ap4 ,s$ vi tali describetur area ,,aop 7p] ,prop4 ,i47 tempori proportionalis4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,eodem argum5to si corpus a viribus agitatum ad c5tra duo vel plura 9 eadem quavis recta ,,co data t5d5tibus1 describ]et 9 spatio lib]o l9eam quamcunq2 curvam ,,/1 =et area ,,aop tempori semp] proportionalis4 ,prop4 ,,lvi4 ,prob4 ,,xxxvii4 ,concessis figur>um curvil9e>um ,quadraturis1 datisq2 tum lege vis c5tripet ad c5trum datum t5d5tis1 tum sup]ficie curva cujus axis p] c5trum illud transit2 inv5i5da e/ ,trajectoria quam corpus 9 eadem sup]ficie describet1 de loco dato1 data cum velocitate v]sus plagam 9 sup]ficie illa datam egressum4 ,/antibus qu 9 sup]iore ,propositione con/ructa sunt1 exeat corpus de loco ,s 9 ,trajectoriam inv5i5dam ,s,tt,r ex data ejus velocitate 9 altitud9e ,,sc dabitur ejus velocitas 9 alia quavis altitud9e ,,tc4 ,ea cum velocitate1 dato tempore quam m9imo1 describat corpus ,trajectori su p>ticulam ,tt1 sitq2 ,pp ve/igium ejus plano ,,aop descriptum4 ,jungatur ,op1 circelli c5tro ,t int]vallo ,tt 9 sup]ficie curva descripti sit ,pp,q ve/igium ,ellipticum 9 eodem plano ,o,a,pp descriptum4 ,et ob datum magnitud9e positione circellum1 dabitur ,ellipsis illa ,pp,q4 ,cumq2 area ,p,op sit tempori proportionalis1 atq2 adeo ex dato tempore detur1 dabitur ,op positione1 inde dabitur communis ejus ,ellipseos int]sectio p1 una cum angulo ,o,pp1 9 quo ,trajectori ve/igium ,a,pp secat l9eam ,,op4 ,inde autem inv5ietur ,trajectori ve/igium illud ,a,pp1 eadem me?odo qua curva l9ea ,v,i,kk 9 ,propositione ,,xli4 ex similibus datis inv5ta fuit4 ,tum ex s+ulis ve/igii punctis ,p erig5do ad planum ,,aop p]p5dicula ,,pt sup]ficiei curv occurr5tia 9 ,t1 dabuntur s+ula ,trajectori puncta ,t4 ,q4 ,e4 ,i4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,xi4 ,de ,motu ,corporum ,sphricorum viribus c5tripetis se mutuo pet5tium4 ,hact5us exposui motus corporum attractorum ad c5trum immobile1 quale tam5 vix extat 9 r]um natura4 ,attractiones enim fi]i sol5t ad corpora2 corporum trah5tium attractorum actiones semp] mutu sunt quales1 p] ,legem t]tiam3 adeo ut neq2 attrah5s possit quiesc]e neq2 attractum1 si duo s9t corpora1 s$ ambo 7p] ,legum ,coroll>ium qu>tum7 quasi attractione mutua1 circum gravitatis c5trum commune revolvantur3 si plura s9t corpora 7qu vel ab unico attrahantur vel omnia se mutuo attrahant7 hc ita int] se mov]i debeant1 ut gravitatis c5trum commune vel quiescat vel uni=mit] moveatur 9 directum4 ,qua de causa jam p]go motum expon]e corporum se mutuo trah5tium1 consid]&o vires c5tripetas tanquam ,attractiones1 quamvis =tasse1 si physice loquamur1 v]ius dicantur ,impulsus4 ,9 ,ma!maticis enim jam v]samur1 propt]ea missis disputationibus ,physicis1 famili>i utimur s]mone1 quo possimus a ,lectoribus ,ma!maticis facilius intelligi4 ,prop4 ,,lvii4 ,!or4 ,,xx4 ,corpora duo se invicem trah5tia describunt1 circum commune c5trum gravitatis1 circum se mutuo1 figuras similes4 ,sunt enim di/anti a communi gravitatis c5tro reciproce proportionales corporibus1 atq2 adeo 9 data ratione ad invicem1 compon5do1 9 data ratione ad di/antiam totam int] corpora4 ,f]untur autem h di/anti circum t]m9os suos communi motu angul>i1 propt]ea quod 9 directum semp] jac5tes non mutant incl9ationem ad se mutuo4 ,l9e autem rect1 qu sunt 9 data ratione ad invicem1 quali motu angul>i circum t]m9os suos f]untur1 figuras circum eosdem t]m9os 79 planis qu una cum 8 t]m9is vel quiescunt vel motu quovis non angul>i mov5tur7 describunt omn9o similes4 ,pro9de similes sunt figur qu 8 di/antiis circumactis describuntur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lviii4 ,!or4 ,,xxi4 ,si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahunt1 int]ea revolvuntur circa gravitatis c5trum commune3 dico quod figuris1 quas corpora sic mota describunt circum se mutuo1 pote/ figura similis qualis1 circum corpus alt]utrum immotum1 viribus iisdem describi4 ,revolvantur corpora ,s1 ,p circa commune gravitatis c5trum ,c1 p]g5do de ,s ad ,t deq2 ,p ad ,q4 ,a dato puncto s ipsis ,,sp1 ,,tq quales p>allel ducantur semp] sp1 sq2 curva pqv quam punctum p1 revolv5do circum punctum immotum s1 describit1 erit similis qualis curvis quas corpora ,s1 ,p describunt circum se mutuo3 pro9deq2 7p] ,!or4 ,,xx47 similis curvis ,,/ ,,pqv1 quas eadem corpora describunt circum commune gravitatis c5trum ,c3 id adeo quia proportiones l9e>um ,,sc1 ,,cp ,,sp vel sp ad invicem dantur4 ,illu/ration ,cas4 #a4 ,commune illud gravitatis c5trum ,c1 p] ,legum ,coroll>ium qu>tum1 vel quiescit vel movetur uni=mit] 9 directum4 ,ponamus primo quod id quiescit1 inq2 s p loc5tur corpora duo1 immobile 9 s1 mobile 9 p1 corporibus ,s ,p similia qualia4 ,de9 tangant rect ,,pr pr ,curvas ,,pq pq 9 ,p p1 producantur ,,cq sq ad ,r r4 ,et ob similitud9em figur>um ,,cprq1 sprq1 erit ,,rq ad rq ut ,,cp ad sp1 adeoq2 9 data ratione4 ,pro9de si vis qua ,corpus ,p v]sus ,corpus ,s1 atq2 adeo v]sus c5trum int]m$ium ,c attrahitur1 esset ad vim qua corpus p v]sus c5trum s attrahitur 9 eadem illa ratione data1 h vires qualibus temporibus attrah]5t semp] corpora de tang5tibus ,,pr1 pr ad arcus ,,pq1 pq1 p] int]valla ipsis proportionalia ,,rq1 rq2 adeoq2 vis po/]ior effic]et ut corpus p gyr>etur 9 curva pqv1 qu similis esset curv ,,pqv1 9 qua vis prior efficit ut corpus ,p gyretur1 revolutiones iisdem temporibus compl]5tur4 ,at quoniam vires ill non sunt ad invicem 9 ratione ,,cp ad sp1 s$ 7ob similitud9em qualitatem corporum ,s s1 ,p p1 qualitatem di/anti>um ,,sp1 sp7 sibi mutuo quales1 corpora qualibus temporibus qualit] trah5tur de ,tang5tibus2 propt]ea ut corpus po/]ius p trahatur p] int]vallum majus rq1 requiritur tempus majus1 idq2 9 dimidiata ratione int]vallorum2 propt]ea quod1 p] ,lemma decimum1 spatia ipso motus initio descripta sunt 9 duplicata ratione temporum4 ,ponatur igitur velocitas corporis p esse ad velocitatem corporis ,p 9 dimidiata ratione di/anti sp ad di/antiam ,,cp1 eo ut temporibus qu s9t 9 eadem dimidiata ratione describantur arcus ,,pq1 pq1 qui sunt 9 ratione integra3 ,et corpora ,p1 p viribus qualibus semp] attracta describ5t circum c5tra quiesc5tia ,c s figuras similes ,,pqv1 pqv1 qu>um po/]ior pqv similis e/ qualis figur quam corpus ,p circum corpus mobile ,s describit4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,ponamus jam quod commune gravitatis c5trum1 una cum spatio 9 quo corpora mov5tur int] se1 progr$itur uni=mit] 9 directum2 1 p] ,legum ,coroll>ium sextum1 motus omnes 9 hoc spatio p]ag5tur ut prius1 adeoq2 corpora describ5t circum se mutuo figuras easdem ac prius1 propt]ea figur pqv similes quales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c corpora duo viribus di/anti su proportionalibus se mutuo trah5tia1 describunt 7p] ,prop4 ,x47 circum commune gravitatis c5trum1 circum se mutuo1 ,ellipses conc5tricas3 vice v]sa1 si tales figur describuntur1 sunt vires di/anti proportionales4 ,corol4 #b4 ,et corpora duo viribus quadrato di/anti su reciproce proportionalibus describunt 7p] ,prop4 ,,xi1 ,,xii1 ,,xiii47 circum commune gravitatis c5trum1 circum se mutuo sectiones conicas umbilicos hab5tes 9 c5tro circum quod figur describuntur4 ,et vice v]sa1 si tales figur describuntur1 vires c5tripet sunt quadrato di/anti reciproce proportionales4 ,corol4 #c4 ,corpora duo quvis circum gravitatis c5trum commune gyrantia1 radiis ad c5trum illud ad se mutuo ductis1 describunt areas temporibus proportionales4 ,prop4 ,,lix4 ,!or4 ,,xxii4 ,corporum duorum ,s ,p circa commune gravitatis c5trum ,c revolv5tium tempus p]iodicum esse ad tempus p]iodicum corporis alt]utrius ,p1 circa alt]um immotum ,s gyrantis figuris qu corpora circum se mutuo describunt figuram similem qualem describ5tis1 9 dimidiata ratione corporis alt]ius ,s1 ad summam corporum ,s ,p4 ,namq2 ex demon/ratione sup]ioris ,propositionis1 tempora quibus arcus quivis similes ,,pq pq describuntur1 sunt 9 dimidiata ratione di/anti>um ,,cp ,,sp vel sp1 hoc e/1 9 dimidiata ratione corporis ,s ad summam corporum ,s ,p4 ,et compon5do1 summ temporum quibus arcus omnes similes ,,pq pq describuntur1 hoc e/ tempora tota quibus figur tot similes describuntur1 sunt 9 eadem dimidiata ratione4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lx4 ,!or4 ,,xxiii4 ,si corpora duo ,s ,p1 viribus quadrato di/anti su reciproce proportionalibus se mutuo trah5tia1 revolvuntur circa gravitatis c5trum commune3 dico quod ,ellipseos1 quam corpus alt]utrum ,p hoc motu circa alt]um ,s describit1 ,axis transv]sus erit ad axem transv]sum ,ellipseos1 quam corpus idem ,p circa alt]um quiesc5s ,s eodem tempore p]iodico describ]e posset1 ut summa corporum duorum ,s ,p ad primam du>um m$ie proportionalium int] hanc summam corpus illud alt]um ,s4 ,nam si descript ,ellipses ess5t sibi invicem quales1 tempora p]iodica1 p] ,!orema sup]ius1 =5t 9 dimidiata ratione corporis ,s ad summam corporum ,s ,p4 ,m9uatur 9 hac ratione tempus p]iodicum 9 ,ellipsi po/]iore1 tempora p]iodica evad5t qualia1 ,ellipseos autem axis transv]sus p] ,!orema ,,vii4 m9uetur 9 ratione cujus hc e/ sesquiplicata1 id e/ 9 ratione1 cujus ratio ,s ad ,s ,p e/ triplicata2 adeoq2 ad axem transv]sum ,ellipseos alt]ius1 ut prima du>um m$ie proportionalium int] ,s ,p ,s ad ,s ,p4 ,et inv]se1 axis transv]sus ,ellipseos circa corpus mobile descript erit ad axem transv]sum descript circa immobile1 ut ,s ,p ad primam du>um m$ie proportionalium int] ,s ,p ,s4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxi4 ,!or4 ,,xxiv4 ,si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trah5tia1 neq2 alias agitata vel imp$ita1 quomodocunq2 moveantur2 motus eorum p]9de se habebunt ac si non trah]5t se mutuo1 s$ utrumq2 a corpore t]tio 9 communi gravitatis c5tro con/ituto viribus iisdem trah]etur3 ,et ,virium trah5tium eadem erit ,lex respectu di/anti corporum a c5tro illo communi atq2 respectu di/anti totius int] corpora4 ,nam vires ill1 quibus corpora se mutuo trahunt1 t5d5do ad corpora1 t5dunt ad commune gravitatis c5trum int]m$ium1 adeoq2 edem sunt ac si a corpore int]m$io man>5t4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et quoniam data e/ ratio di/anti corporis utriusvis a c5tro illo communi ad di/antiam corporis ejusdem a corpore alt]o1 dabitur ratio cujusvis pote/atis di/anti unius ad e&em pote/atem di/anti alt]ius2 ut ratio quantitatis cujusvis1 qu ex una di/antia quantitatibus datis utcunq2 d]ivatur1 ad quantitatem aliam1 qu ex alt]a di/antia quantitatibus totidem datis datamq2 illam di/anti>um rationem ad priores hab5tibus similit] d]ivatur4 ,pro9de si vis1 qua corpus unum ab alt]o trahitur1 sit directe vel inv]se ut di/antia corporum ab invicem2 vel ut qulibet hujus di/anti pote/as2 vel d5iq2 ut quantitas quvis ex hac di/antia quantitatibus datis quomodocunq2 d]ivata3 erit eadem vis1 qua corpus idem ad commune gravitatis c5trum trahitur1 directe itidem vel inv]se ut corporis attracti di/antia a c5tro illo communi1 vel ut eadem di/anti hujus pote/as1 vel d5iq2 ut quantitas ex hac di/antia analogis quantitatibus datis similit] d]ivata4 ,hoc e/ ,vis trah5tis eadem erit ,lex respectu di/anti utriusq24 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxii4 ,prob4 ,,xxxviii4 ,corporum duorum qu viribus quadrato di/anti su reciproce proportionalibus se mutuo trahunt1 ac de locis datis demittuntur1 det]m9>e motus4 ,corpora1 p] ,!orema novissimum1 p]9de movebuntur1 ac si a corpore t]tio 9 communi gravitatis c5tro con/ituto trah]5tur2 c5trum illud ipso motus initio quiescet 7p] ,hypo!s97 propt]ea 7p] ,legum ,corol4 #d47 semp] quiescet4 ,det]m9&i sunt igitur motus ,corporum 7p] ,probl4 ,,xxv47 p]9de ac si a viribus ad c5trum illud t5d5tibus urg]5tur1 habebuntur motus corporum se mutuo trah5tium4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,lxiii4 ,prob4 ,,xxxix4 ,corporum duorum qu viribus quadrato di/anti su reciproce proportionalibus se mutuo trahunt1 deq2 locis datis1 secundum datas rectas1 datis cum velocitatibus exeunt1 det]m9>e motus4 ,ex datis corporum motibus sub initio1 datur uni=mis motus c5tri communis gravitatis1 ut motus spatii quod una cum hoc c5tro movetur uni=mit] 9 directum1 nec non corporum motus initiales respectu hujus spatii4 ,motus autem subsequ5tes 7p] ,legum ,coroll>ium qu9tum ,!orema novissimum7 p]9de fiunt 9 hoc spatio1 ac si spatium ipsum una cum communi illo gravitatis c5tro quiesc]et1 corpora non trah]5t se mutuo1 s$ a corpore t]tio sito 9 c5tro illo trah]5tur4 ,corporis igitur alt]utrius 9 hoc spatio mobili de loco dato1 secundum datam rectam1 data cum velocitate exeuntis1 vi c5tripeta ad c5trum illud t5d5te correpti1 det]m9&us e/ motus p] ,problema nonum vicesimum sextum3 habebitur simul motus corporis alt]ius e regione4 ,cum hoc motu compon5dus e/ uni=mis ille ,sy/ematis spatii corporum 9 eo gyrantium motus progressivus supra inv5tus1 habebitur motus absolutus corporum 9 spatio immobili4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,lxiv4 ,prob4 ,,xl4 ,viribus quibus ,corpora se mutuo trahunt cresc5tibus 9 simplici ratione di/anti>um a c5tris3 requiruntur motus plurium ,corporum int] se4 ,ponantur imprimis corpora duo ,t ,l commune hab5tia gravitatis c5trum ,d4 ,describ5t hc p] ,coroll>ium primum ,!orematis ,,xxi4 ,ellipses c5tra hab5tes 9 ,d1 qu>um magnitudo ex ,problemate ,v4 innotescit4 ,illu/ration ,trahat jam corpus t]tium ,s priora duo ,t ,l viribus accel]atricibus ,,/1 ,,sl1 ab ipsis vicissim trahatur4 ,vis ,,/ p] ,legum ,corol4 #b4 resolvitur 9 vires ,,sd1 ,,dt2 vis ,,sl 9 vires ,,sd1 ,,dl4 ,vires autem ,,dt1 ,,dl1 qu sunt ut ips>um summa ,,tl1 atq2 adeo ut vires accel]atrices quibus corpora ,t ,l se mutuo trahunt1 addit 8 viribus corporum ,t ,l1 prior priori po/]ior po/]iori1 componunt vires di/antiis ,,dt ac ,,dl proportionales1 ut prius1 s$ viribus prioribus majores2 adeoq2 7p] ,corol4 #a4 ,prop4 ,x4 ,corol4 #a #g4 ,prop4 ,,iv47 efficiunt ut corpora illa describant ,ellipses ut prius1 s$ motu cel]iore4 ,vires reliqu accel]atrices ,,sd ,,sd1 actionibus motricibus ,,sd ,t ,,sd ,l1 qu sunt ut corpora1 trah5do corpora illa qualit] secundum l9eas ,,ti1 ,,lk1 ipsi ,,ds p>allelas1 nil mutant situs e>um ad invicem1 s$ faciunt ipsa qualit] acc$]e ad l9eam ,,ik2 quam ductam concipe p] m$ium corporis ,s1 l9e ,,ds p]p5dicul>em4 ,imp$ietur autem i/e ad l9eam ,,ik accessus faci5do ut ,sy/ema corporum ,t ,l ex una p>te1 corpus ,s ex alt]a1 ju/is cum velocitatibus1 gyr5tur circa commune gravitatis c5trum ,c4 ,tali motu corpus ,s 7eo quod summa virium motricium ,,sd ,t ,,sd ,l1 di/anti ,,cs proportionalium1 trahitur v]sus c5trum ,c7 describit ,ellips9 circa idem ,c2 punctum ,d ob proportionales ,,cs1 ,,cd describet ,ellips9 consimilem1 e regione4 ,corpora autem ,t ,l viribus motricibus ,,sd ,t ,,sd ,l1 7prius priore1 po/]ius po/]iore7 qualit] secundum l9eas p>allelas ,,ti ,,lk 7ut dictum e/7 attracta1 p]g5t 7p] ,legum ,coroll>ium qu9tum sextum7 circa c5trum mobile ,d ,ellipses suas describ]e1 ut prius4 ,q4 ,e4 ,i4 ,addatur jam corpus qu>tum ,v1 simili argum5to concludetur hoc punctum ,c ,ellipses circa omnium commune c5trum gravitatis ,b describ]e2 man5tibus motibus priorum corporum ,t1 ,l ,s circa c5tra ,d ,c1 s$ paulo accel]atis4 ,et eadem me?odo corpora plura adjung]e licebit4 ,q4 ,e4 ,i4 ,hc ita se hab5t ubi corpora ,t ,l trahunt se mutuo viribus accel]atricibus majoribus vel m9oribus quam trahunt corpora reliqua pro ratione di/anti>um4 ,sunto mutu omnium attractiones accel]atrices ad invicem ut di/anti duct 9 corpora trah5tia1 ex prc$5tibus facile d$ucetur quod corpora omnia qualibus temporibus p]iodicis ,ellipses v>ias1 circa omnium commune gravitatis c5trum ,b1 9 plano immobili describunt4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,lxv4 ,!or4 ,,xxv4 ,corpora plura quorum vires decrescunt 9 duplicata ratione di/anti>um ab eorundem c5tris1 mov]i posse int] se 9 ,ellipsibus1 radiis ad umbilicos ductis ,areas describ]e temporibus proportionales quam proxime4 ,9 ,propositione sup]iore demon/ratus e/ casus ubi motus plures p]aguntur 9 ,ellipsibus accurate4 ,quo magis rec$it lex virium a lege ibi posita1 eo magis corpora p]turbabunt mutuos motus1 neq2 fi]i pote/ ut corpora secundum legem hic positam se mutuo trah5tia moveantur 9 ,ellipsibus accurate1 nisi s]v&o c]tam proportionem di/anti>um ab invicem4 ,9 sequ5tibus autem casibus non multum ab ,ellipsibus errabitur4 ,cas4 #a4 ,pone corpora plura m9ora circa maximum aliquod ad v>ias ab eo di/antias revolvi1 t5dantq2 ad s+ula vires absolut proportionales iisdem corporibus4 ,et quoniam omnium commune gravitatis c5trum 7p] ,legum ,corol4 qu>tum47 vel quiescet vel movebitur uni=mit] 9 directum1 f+amus corpora m9ora tam p>va esse1 ut corpus maximum nunquam di/et s5sibilit] ab hoc c5tro3 maximum illud vel quiescet vel movebitur uni=mit] 9 directum1 absq2 errore s5sibili2 m9ora autem revolv5tur circa hoc maximum 9 ,ellipsibus1 atq2 radiis ad idem ductis describ5t areas temporibus proportionales2 nisi quat5us errores inducuntur1 vel p] errorem maximi a communi illo gravitatis c5tro1 vel p] actiones m9orum corporum 9 se mutuo4 ,dim9ui autem possunt corpora m9ora usq2 donec error i/e actiones mutu s9t datis quibusvis m9ores1 atq2 adeo donec orbes cum ,ellipsibus quadr5t1 are respondeant temporibus1 absq2 errore qui non sit m9or quovis dato4 ,q4 ,e4 ,o4 ,cas4 #b4 ,f+amus jam ,sy/ema corporum m9orum modo jam descripto circa maximum revolv5tium1 aliudve quodvis duorum circum se mutuo revolv5tium corporum ,sy/ema progr$i uni=mit] 9 directum1 int]ea vi corporis alt]ius longe maximi ad magnam di/antiam siti urg]i ad latus4 ,et quoniam quales vires accel]atrices1 quibus corpora secundum l9eas p>allelas urg5tur1 non mutant situs corporum ad invicem1 s$ ut ,sy/ema totum1 s]vatis p>tium motibus int] se1 simul transf]atur efficiunt3 manife/um e/ quod ex attractionibus 9 corpus maximum1 nulla prorsus orietur mutatio motus attractorum int] se1 nisi vel ex attractionum accel]atricum 9qualitate1 vel ex incl9atione l9e>um ad invicem1 secundum quas attractiones fiunt4 ,pone ergo attractiones omnes accel]atrices 9 corpus maximum esse int] se reciproce ut quadrata di/anti>um1 aug5do corporis maximi di/antiam1 donec rect>um ab hoc ad reliqua duct>um m9ores s9t diff]5ti incl9ationes ad invicem quam dat quvis1 p]sev]abunt motus p>tium ,sy/ematis int] se absq2 erroribus qui non s9t quibusvis datis m9ores4 ,et quoniam1 ob exiguam p>tium ill>um ab invicem di/antiam1 ,sy/ema totum ad modum corporis unius attrahitur1 movebitur idem hac attractione ad modum corporis unius2 hoc e/1 c5tro suo gravitatis describet circa corpus maximum1 ,sectionem aliquam ,conicam 7viz4 ,hyp]bolam vel ,p>abolam attractione languida1 ,ellipsim =tiore17 ,radio ad maximum ducto1 v]ret areas temporibus proportionales1 absq2 ullis erroribus1 nisi quas p>tium di/anti 7p]exigu sane pro lubitu m9u5d7 valeant effic]e4 ,q4 ,e4 ,o4 ,simili argum5to p]g]e licet ad casus magis compositos 9 inf9itum4 ,corol4 #a4 ,9 casu secundo2 quo propius acc$it corpus omnium maximum ad ,sy/ema duorum vel plurium1 eo magis turbabuntur motus p>tium ,sy/ematis int] se1 propt]ea quod l9e>um a corpore maximo ad has duct>um jam major e/ incl9atio ad invicem1 majorq2 proportionis 9qualitas4 ,corol4 #b4 ,maxime autem turbabuntur1 pon5do quod attractiones accel]atrices p>tium ,sy/ematis v]sus corpus omnium maximum1 non s9t ad invicem reciproce ut quadrata di/anti>um a corpore illo maximo2 prs]tim si proportionis hujus 9qualitas major sit quam 9qualitas proportionis di/anti>um a corpore maximo3 ,nam si vis accel]atrix1 qualit] secundum l9eas p>allelas ag5do1 nil p]turbat motus int] se1 necesse e/ ut ex actionis 9qualitate p]turbatio oriatur1 majorq2 sit vel m9or pro majore vel m9ore 9qualitate4 ,excessus impulsuum majorum ag5do 9 aliqua corpora non ag5do 9 alia1 necess>io mutabunt situm eorum int] se4 ,et hc p]turbatio addita p]turbationi1 qu ex l9e>um incl9atione 9qualitate oritur1 majorem r$det p]turbationem totam4 ,corol4 #c4 ,unde si ,sy/ematis hujus p>tes 9 ,ellipsibus vel ,circulis s9e p]turbatione insigni moveantur1 manife/um e/1 quod edem a viribus accel]atricibus ad alia corpora t5d5tibus1 aut non urg5tur nisi levissime1 aut urg5tur qualit] secundum l9eas p>allelas quamproxime4 ,prop4 ,,lxvi4 ,!or4 ,,xxvi4 ,si corpora tria1 quorum vires decrescunt 9 duplicata ratione di/anti>um1 se mutuo trahant1 attractiones accel]atrices b9orum quorumcunq2 9 t]tium s9t int] se reciproce ut quadrata di/anti>um2 m9ora autem circa maximum 9 plano communi revolvantur3 ,dico quod int]ius circa intimum maximum1 radiis ad ipsum ductis1 describet areas temporibus magis proportionales1 figuram ad =mam ,ellipseos umbilicum 9 concursu radiorum hab5tis magis acc$5tem1 si corpus maximum 8 attractionibus agitetur1 quam si maximum illud vel a m9oribus non attractum quiescat1 vel multo m9us vel multo magis attractum aut multo m9us aut multo magis agitetur4 ,liquet f]e ex demon/ratione ,coroll>ii secundi ,propositionis prc$5tis2 s$ argum5to magis di/9cto latius cog5te sic ev9citur4 ,illu/ration ,cas4 #a4 ,revolvantur corpora m9ora ,p ,q 9 eodem plano circa maximum ,s1 quorum ,p describat orbem int]iorem ,,pab1 ,q ext]iorem ,,qe4 ,sit ,,qk m$iocris di/antia corporum ,p ,q2 corporis ,p v]sus ,q attractio accel]atrix 9 m$iocri illa di/antia exponatur p] e&em4 ,9 duplicata ratione ,,qk ad ,,qp capiatur ,,ql ad ,,qk1 erit ,,ql attractio accel]atrix corporis ,p v]sus ,q 9 di/antia quavis ,,qp4 ,junge ,,ps1 eiq2 p>allelam age ,,lm occurr5tem ,,qs 9 ,m1 attractio ,,ql resolvetur 7p] ,legum ,corol4 #b47 9 attractiones ,,qm1 ,,lm4 ,et sic urgebitur corpus ,p vi accel]atrice triplici3 una t5d5te ad ,s oriunda a mutua attractione corporum ,s ,p4 ,hac vi sola corpus ,p1 circum corpus ,s sive immotum1 sive hac attractione agitatum1 describ]e deb]et areas1 radio ,,ps temporibus proportionales1 ,ellips9 cui umbilicus e/ 9 c5tro corporis ,s4 ,patet hoc p] ,prob4 ,,vi4 ,coroll>ia ,!or4 ,,xxi4 ,vis alt]a e/ attractionis ,,lm1 qu quoniam t5dit a ,p ad ,s1 sup]addita vi priori co9cidet cum ipsa1 sic faciet ut are etiamnum temporibus proportionales describantur p] ,corol4 #c4 ,!or4 ,,xxi4 ,at quoniam non e/ quadrato di/anti ,,ps reciproce proportionalis1 componet ea cum vi priore vim ab hac proportione ab]rantem1 idq2 eo magis quo major e/ proportio hujus vis ad vim priorem1 ct]is p>ibus4 ,pro9de cum 7p] ,corol4 #a4 ,prob4 ,,viii4 ,corol4 #b4 ,!or4 ,,xxi47 vis qua ,ellipsis circa umbilicum ,s describitur t5d]e debeat ad umbilicum illum1 esse quadrato di/anti ,,ps reciproce proportionalis2 vis illa composita ab]r&o ab hac proportione1 faciet ut ,orbis ,,pab ab]ret a =ma ,ellipseos umbilicum hab5tis 9 ,s2 idq2 eo magis quo major e/ ab]ratio ab hac proportione2 atq2 adeo etiam quo major e/ proportio vis secund ,,lm ad vim primam1 ct]is p>ibus4 ,jam v]o vis t]tia ,,qm1 trah5do corpus ,p secundum l9eam ipsi ,,qs p>allelam1 componet cum viribus prioribus vim qu non amplius dirigitur a ,p 9 ,s1 quq2 ab hac det]m9atione tanto magis ab]rat1 quanto major e/ proportio hujus t]ti vis ad vires priores1 ct]is p>ibus2 atq2 adeo qu faciet ut corpus ,p1 radio ,,sp1 areas non amplius temporibus proportionales describet1 atq2 ab]ratio ab hac proportionalitate ut tanto major sit1 quanto major e/ proportio vis hujus t]ti ad vires ct]as4 ,orbis v]o ,,pab ab]rationem a =ma ,elliptica prfata hc vis t]tia duplici de causa adaugebit1 tum quod non dirigitur a ,p ad ,s1 tum etiam quod non sit proportionalis quadrato di/anti ,,ps4 ,quibus intellectis1 manife/um e/ quod are temporibus tum maxime fiunt proportionales1 ubi vis t]tia1 man5tibus viribus ct]is1 fit m9ima2 quod ,orbis ,,pab tum maxime acc$it ad prfatam =mam ,ellipticam1 ubi vis tam secunda quam t]tia1 s$ prcipue vis t]tia1 fit m9ima1 vi prima man5te4 ,exponatur corporis ,s attractio accel]atrix v]sus ,q p] l9eam ,,qn2 si attractiones accel]atrices ,,qm1 ,,qn quales ess5t1 h trah5do corpora ,s ,p qualit] secundum l9eas p>allelas1 nil mut>5t situm eorum ad invicem4 ,iidem jam =5t corporum illorum motus int] se 7p> ,legum ,corol4 #f47 ac si h attractiones toll]5tur4 ,et p>i ratione si attractio ,,qn m9or esset attractione ,,qm1 toll]et ipsa attractionis ,,qm p>tem ,,qn1 man]et p>s sola ,,mn1 qua temporum are>um proportionalitas ,orbit =ma illa ,elliptica p]turb>etur4 ,et similit] si attractio ,,qn major esset attractione ,,qm1 oriretur ex diff]5tia sola ,,mn p]turbatio proportionalitatis ,orbit4 ,sic p] attractionem ,,qn r$ucitur semp] attractio t]tia sup]ior ,,qm ad attractionem ,,mn1 attractione prima secunda man5tibus prorsus immutatis3 propt]ea are ac tempora ad proportionalitatem1 ,orbita ,,pab ad =mam prfatam ,ellipticam tum maxime acc$unt1 ubi attractio ,,mn vel nulla e/1 vel quam fi]i possit m9ima2 hoc e/ ubi corporum ,p ,s attractiones accel]atrices1 fact v]sus corpus ,q1 acc$unt quantum fi]i pote/ ad qualitatem2 id e/ ubi attractio ,,qn non e/ nulla1 neq2 m9or m9ima attractionum omnium ,,qm1 s$ int] attractionum omnium ,,qm maximam m9imam quasi m$iocris1 hoc e/1 non multo major neq2 multo m9or attractione ,,qk4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,revolvantur jam corpora m9ora ,p1 ,q circa maximum ,s 9 planis div]sis1 vis ,,lm1 ag5do secundum l9eam ,,ps 9 plano ,orbit ,,pab sitam1 eundem habebit effectum ac prius1 neq2 corpus ,p de plano ,orbit su deturbabit4 ,at vis alt]a ,,nm1 ag5do secundum l9eam qu ipsi ,,qs p>allela e/1 7atq2 adeo1 qu&o corpus ,q v]satur extra l9eam ,nodorum1 incl9atur ad planum ,orbit ,,pab27 prt] p]turbationem motus 9 longitud9em jam ante expositam1 inducet p]turbationem motus 9 latitud9em1 trah5do corpus ,p de plano su ,orbit4 ,et hc p]turbatio 9 dato quovis corporum ,p ,s ad invicem situ1 erit ut vis illa g5]ans ,,mn1 adeoq2 m9ima evadet ubi ,,mn e/ m9ima1 hoc e/ 7uti jam exposui7 ubi attractio ,,qn non e/ multo major neq2 multo m9or attractione ,,qk4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,ex 8 facile colligitur quod si corpora plura m9ora ,p1 ,q1 ,r c4 revolvantur circa maximum ,s3 motus corporis intimi ,p m9ime p]turbabitur attractionibus ext]iorum1 ubi corpus maximum ,s p>it] a ct]is1 pro ratione virium accel]atricum1 attrahitur agitatur atq2 ct]i a se mutuo4 ,corol4 #b4 ,9 ,sy/emate v]o trium corporum ,s1 ,p1 ,q2 si attractiones accel]atrices b9orum quorumcunq2 9 t]tium s9t ad invicem reciproce ut quadrata di/anti>um1 corpus ,p radio ,,ps aream circa corpus ,s velocius describet prope conjunctionem ,a oppositionem ,b1 quam prope quadraturas ,c1 ,d4 ,namq2 vis omnis qua corpus ,p urgetur corpus ,s non urgetur1 quq2 non agit secundum l9eam ,,ps1 accel]at vel ret>dat descriptionem are1 p]9de ut ipsa 9 antec$5tia vel 9 consequ5tia dirigitur4 ,talis e/ vis ,,nm4 ,hc 9 transitu corporis ,p a ,c ad ,a t5dit 9 antec$5tia1 motumq2 accel]at2 de9 usq2 ad ,d 9 consequ5tia1 motum ret>dat2 tum 9 antec$5tia usq2 ad ,b1 ultimo 9 consequ5tia transeundo a ,b ad ,c4 ,corol4 #c4 ,et eodem argum5to patet quod corpus ,p1 ct]is p>ibus1 velocius movetur 9 ,conjunctione ,oppositione quam 9 ,quadraturis4 ,corol4 #d4 ,orbita corporis ,p ct]is p>ibus curvior e/ 9 quadraturis quam 9 ,conjunctione ,oppositione4 ,nam corpora velociora m9us deflectunt a recto tramite4 ,et prt]ea vis ,,nm1 9 ,conjunctione ,oppositione1 contr>ia e/ vi qua corpus ,s trahit corpus ,p1 adeoq2 vim illam m9uit2 corpus autem ,p m9us deflectet a recto tramite1 ubi m9us urgetur 9 corpus ,s4 ,corol4 #e4 ,unde corpus ,p1 ct]is p>ibus1 longius rec$et a corpore ,s 9 quadraturis1 quam 9 ,conjunctione ,oppositione4 ,hc ita se hab5t excluso motu ,exc5tricitatis4 ,nam si ,orbita corporis ,p exc5trica sit1 ,exc5tricitas ejus 7ut mox 9 hujus ,corol4 #i4 o/5detur7 evadet maxima ubi ,apsides sunt 9 ,syzygiis2 indeq2 fi]i pote/ ut corpus ,p1 ad ,apsidem summam appellans1 absit longius a corpore ,s 9 ,syzygiis quam 9 ,quadraturis4 ,corol4 #f4 ,quoniam vis c5tripeta corporis c5tralis ,s1 qua corpus ,p ret9etur 9 ,orbe suo1 augetur 9 quadraturis p] additionem vis ,,lm1 ac dim9uitur 9 ,syzygiis p] ablationem vis ,,kl1 ob magnitud9em vis ,,kl1 magis dim9uitur quam augeatur1 e/ autem vis illa c5tripeta 7p] ,corol4 #b1 ,prop4 ,,iv47 9 ratione composita ex ratione simplici radii ,,sp directe ratione duplicata temporis p]iodici inv]se3 patet hanc rationem compositam dim9ui p] actionem vis ,,kl1 adeoq2 tempus p]iodicum1 si maneat ,orbis radius ,,sp1 aug]i1 idq2 9 dimidiata ratione qua vis illa c5tripeta dim9uitur3 auctoq2 adeo vel dim9uto hoc ,radio1 tempus p]iodicum aug]i magis1 vel dim9ui m9us quam 9 ,radii hujus ratione sesquiplicata1 p] ,corol4 #f4 ,prop4 ,,iv4 ,si vis illa corporis c5tralis paulatim languesc]et1 corpus ,p m9us semp] m9us attractum p]petuo rec$]et longius a c5tro ,s2 contra1 si vis illa aug]etur1 acc$]et propius4 ,ergo si actio corporis long9qui ,q1 qua vis illa dim9uitur1 augeatur ac dim9uatur p] vices1 augebitur simul ac dim9uetur ,radius ,,sp p] vices1 tempus p]iodicum augebitur ac dim9uetur 9 ratione composita ex ratione sesquiplicata ,radii ratione dimidiata qua vis illa c5tripeta corporis c5tralis ,s p] increm5tum vel decrem5tum actionis corporis long9qui ,q dim9uitur vel augetur4 ,corol4 #g4 ,ex prmissis consequitur etiam quod ,ellipseos a corpore ,p descript axis seu ,apsidum l9ea1 quoad motum angul>em progr$itur regr$itur p] vices1 s$ magis tam5 progr$itur1 9 s+ulis corporis revolutionibus p] excessum progressionis f]tur 9 consequ5tia4 ,nam vis qua corpus ,p urgetur 9 corpus ,s 9 ,quadraturis1 ubi vis ,,mn evanuit1 componitur ex vi ,,lm vi c5tripeta qua corpus ,s trahit corpus ,p4 ,vis prior ,,lm1 si augeatur di/antia ,,ps1 augetur 9 eadem f]e ratione cum hac di/antia1 vis po/]ior decrescit 9 duplicata illa ratione1 adeoq2 summa h>um virium decrescit 9 m9ore quam duplicata ratione di/anti ,,ps1 propt]ea1 p] ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlv4 facit ,augem seu ,apsidem summam regr$i4 ,9 ,conjunctione v]o ,oppositione1 vis qua corpus ,p urgetur 9 corpus ,s diff]5tia e/ int] vim qua corpus ,s trahit corpus ,p vim ,,kl2 diff]5tia illa1 propt]ea quod vis ,,kl augetur quamproxime 9 ratione di/anti ,,ps1 decrescit 9 majore quam duplicata ratione di/anti ,,ps1 adeoq2 p] ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlv4 facit ,augem progr$i4 ,9 locis int] ,syzygias ,quadraturas1 p5det motus ,augis ex causa utraq2 conjunctim1 adeo ut pro hujus vel alt]ius excessu progr$iatur ipsa vel regr$iatur4 ,unde cum vis ,,kl 9 ,syzygiis sit quasi duplo major quam vis ,,lm 9 quadraturis1 excessus 9 tota revolutione erit p5es vim ,,kl1 transf]etq2 ,augem s+ulis revolutionibus 9 consequ5tia4 ,v]itas autem hujus prc$5tis ,coroll>ii facilius intelligetur concipi5do ,sy/ema corporum duorum ,s1 ,p corporibus pluribus ,q1 ,q1 ,q c4 9 ,orbe ,,qe consi/5tibus1 undiq2 c+i4 ,namq2 horum actionibus actio ipsius ,s m9uetur undiq21 decrescetq2 9 ratione plusquam duplicata di/anti4 ,corol4 #h4 ,cum autem p5deat ,apsidum progressus vel regressus a decrem5to vis c5tripet facto 9 majori vel m9ori quam duplicata ratione di/anti ,,sp1 9 transitu corporis ab ,apside ima ad ,apsidem summam2 ut a simili increm5to 9 r$itu ad ,apsidem imam2 atq2 adeo maximus sit ubi proportio vis 9 ,apside summa ad vim 9 ,apside ima maxime rec$it a duplicata ratione di/anti>um inv]sa3 manife/um e/ quod ,apsides 9 ,syzygiis suis1 p] vim ablatitiam ,,kl seu ,,nm - ,,lm1 progr$i5tur velocius1 inq2 ,quadraturis suis t>dius rec$5t p] vim addititiam ,,lm4 ,ob diuturnitatem v]o temporis quo velocitas progressus vel t>ditas regressus cont9uatur1 fit hc 9qualitas longe maxima4 ,corol4 #i4 ,si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadrato di/anti su a c5tro1 revolv]etur circa hoc c5trum 9 ,ellipsi1 mox1 9 desc5su ab ,apside summa seu ,auge ad ,apsidem imam1 vis illa p] accessum p]petuum vis nov aug]etur 9 ratione plusquam duplicata di/anti dim9ut3 ,manife/um e/ quod corpus1 p]petuo accessu vis illius nov impulsum semp] 9 c5trum1 magis v]g]et 9 hoc c5trum1 quam si urg]etur vi sola cresc5te 9 duplicata ratione di/anti dim9ut1 adeoq2 ,orbem describ]et ,orbe ,elliptico int]iorem1 9 ,apside ima propius acc$]et ad c5trum quam prius4 ,orbis igitur1 accessu hujus vis nov1 fiet magis exc5tricus4 ,si jam vis1 9 recessu corporis ab ,apside ima ad ,apsidem summam1 decresc]et iisdem gradibus quibus ante crev]at1 r$iret corpus ad di/antiam priorem1 adeoq2 si vis decrescat 9 majori ratione1 corpus jam m9us attractum asc5det ad di/antiam majorem sic ,orbis ,exc5tricitas adhuc magis augebitur4 ,igitur si ratio increm5ti decrem5ti vis c5tripet s+ulis revolutionibus augeatur1 augebitur semp] ,exc5tricitas2 e contra1 dim9uetur eadem si ratio illa decrescat4 ,jam v]o 9 ,sy/emate corporum ,s1 ,p1 ,q1 ubi ,apsides orbis ,,pab sunt 9 quadraturis1 ratio illa increm5ti ac decrem5ti m9ima e/1 maxima fit ubi ,apsides sunt 9 ,syzygiis4 ,si ,apsides con/ituantur 9 quadraturis ratio prope ,apsides m9or e/1 prope ,syzygias major quam duplicata di/anti>um1 ex ratione illa majori oritur ,augis motus velocissimus1 uti jam dictum e/4 ,at si consid]etur ratio increm5ti vel decrem5ti totius 9 progressu int] ,apsides1 hc m9or e/ quam duplicata di/anti>um4 ,vis 9 ,apside ima e/ ad vim 9 ,apside summa 9 m9ore quam duplicata ratione di/anti ,apsidis summ ab umbilico ,ellipseos ad di/antiam ,apsidis im ab eodem umbilico3 e contra1 ubi ,apsides con/ituuntur 9 ,syzygiis1 vis 9 ,apside ima e/ ad vim 9 ,apside summa 9 majore quam duplicata ratione di/anti>um4 ,nam vires ,,lm 9 ,quadraturis addit viribus corporis ,s componunt vires 9 ratione m9ore1 vires ,,kl 9 ,syzygiis subduct viribus corporis ,s rel9quunt vires 9 ratione majore4 ,e/ igitur ratio decrem5ti increm5ti totius 9 transitu int] ,apsides1 m9ima 9 quadraturis1 maxima 9 ,syzygiis3 propt]ea 9 transitu ,apsidum a quadraturis ad ,syzygias p]petuo augetur1 augetq2 ,exc5tricitatem ,ellipseos2 inq2 transitu a ,syzygiis ad quadraturas p]petuo dim9uitur1 ,exc5tricitatem dim9uit4 ,corol4 #aj4 ,ut rationem ineamus errorum 9 latitud9em1 f+amus planum ,orbis ,,qes immobile man]e2 ex errorum exposita causa manife/um e/1 quod ex viribus ,,nm1 ,,ml1 qu sunt causa illa tota1 vis ,,ml ag5do semp] secundum planum ,orbis ,,pab1 nunquam p]turbat motus 9 latitud9em1 quodq2 vis ,,nm ubi ,nodi sunt 9 ,syzygiis1 ag5do etiam secundum idem ,orbis planum1 non p]turbat hos motus2 ubi v]o sunt 9 ,quadraturis eos maxime p]turbat1 corpusq2 ,p de plano ,orbis sui p]petuo trah5do1 m9uit incl9ationem plani 9 transitu corporis a quadraturis ad ,syzygias1 augetq2 vicissim e&em 9 transitu a ,syzygiis ad quadraturas4 ,unde fit ut corpore 9 ,syzygiis exi/5te incl9atio evadat omnium m9ima1 r$eatq2 ad priorem magnitud9em circit]1 ubi corpus ad ,nodum proximum acc$it4 ,at si ,nodi con/ituantur 9 ,octantibus po/ quadraturas1 id e/ int] ,c ,a1 ,d ,b1 intelligetur ex modo expositis quod1 9 transitu corporis ,p a ,nodo alt]utro ad gradum inde nonagesimum1 incl9atio plani p]petuo m9uitur2 de9de 9 transitu p] proximos #de gradus1 usq2 ad quadraturam proximam1 incl9atio augetur1 po/ea d5uo 9 transitu p] alios #de gradus1 usq2 ad nodum proximum1 dim9uitur4 ,magis itaq2 dim9uitur incl9atio quam augetur1 propt]ea m9or e/ semp] 9 nodo subsequ5te quam 9 prc$5te4 ,et simili ratioc9io incl9atio magis augetur quam dim9uitur1 ubi nodi sunt 9 ,octantibus alt]is int] ,a ,d1 ,b ,c4 ,incl9atio igitur ubi ,nodi sunt 9 ,syzygiis e/ omnium maxima4 ,9 transitu eorum a ,syzygiis ad quadraturas1 9 s+ulis corporis ad ,nodos appulsibus1 dim9uitur1 fitq2 omnium m9ima ubi nodi sunt 9 quadraturis corpus 9 ,syzygiis3 de9 crescit iisdem gradibus quibus antea decrev]at1 ,nodisq2 ad ,syzygias proximas appulsis ad magnitud9em primam rev]titur4 ,corol4 #aa4 ,quoniam corpus ,p ubi nodi sunt 9 quadraturis p]petuo trahitur de plano ,orbis sui1 idq2 9 p>tem v]sus ,q1 9 transitu suo a nodo ,c p] ,conjunctionem ,a ad nodum ,d2 9 contr>iam p>tem 9 transitu a nodo ,d p] ,oppositionem ,b ad nodum ,c2 manife/um e/ quod 9 motu suo a nodo ,c1 corpus p]petuo rec$it ab ,orbis sui plano primo ,,cd1 usq2 dum p]v5tum e/ ad nodum proximum2 adeoq2 9 hoc nodo1 longissime di/ans a plano illo primo ,,cd1 transit p] planum ,orbis ,,qes1 non 9 plani illius ,nodo alt]o ,d1 s$ 9 puncto quod inde v]git ad p>tes corporis ,q1 quodq2 pro9de novus e/ ,nodi locus 9 ant]iora v]g5s4 ,et simili argum5to p]g5t ,nodi rec$]e 9 transitu ,corporis de hoc nodo 9 nodum proximum4 ,nodi igitur 9 quadraturis con/ituti p]petuo rec$unt1 9 ,syzygiis 7ubi motus 9 latitud9em nil p]turbatur7 quiescunt2 9 locis int]m$iis conditionis utriusq2 p>ticipes rec$unt t>dius1 adeoq2 semp] vel retrogradi vel /ation>ii s+ulis revolutionibus f]untur 9 antec$5tia4 ,corol4 #ab4 ,omnes illi 9 8 ,coroll>iis descripti errores sunt paulo majores 9 conjunctione ,corporum ,p1 ,q quam 9 eorum ,oppositione1 idq2 ob majores vires g5]antes ,,nm ,,ml4 ,corol4 #ac4 ,cumq2 rationes horum ,coroll>iorum non p5deant a magnitud9e corporis ,q1 obt95t prc$5tia omnia1 ubi corporis ,q tanta /atuitur magnitudo ut circa ipsum revolvatur corporum duorum ,s ,p ,sy/ema4 ,et ex aucto corpore ,q1 auctaq2 adeo ipsius vi c5tripeta1 a qua errores corporis ,p oriuntur1 evad5t errores illi omnes 7p>ibus di/antiis7 majores 9 hoc casu quam 9 alt]o1 ubi corpus ,q circum ,sy/ema corporum ,p ,s revolvitur4 ,corol4 #ad4 ,cum autem vires ,,nm1 ,,ml1 ubi corpus ,q long9quum e/1 s9t quamproxime ut vis ,,qk ratio ,,ps ad ,,qs conjunctim1 hoc e/1 si detur tum di/antia ,,ps1 tum corporis ,q vis absoluta1 ut ,,qs cub4 reciproce2 s9t autem vires ill ,,nm1 ,,ml caus errorum effectuum omnium de quibus actum e/ 9 prc$5tibus ,coroll>iis3 manife/um e/ quod effectus illi omnes1 /ante corporum ,s ,p ,sy/emate1 s9t quamproxime 9 ratione composita ex ratione directa vis absolut corporis ,q ratione triplicata inv]sa di/anti ,,qs4 ,unde si ,sy/ema corporum ,s ,p revolvatur circa corpus long9quum ,q1 vires ill ,,nm1 ,,ml e>um effectus erunt 7p] ,corol4 #b4 #f4 ,prop4 ,,iv47 reciproce 9 duplicata ratione temporis p]iodici4 ,et inde si magnitudo corporis ,q proportionalis sit ipsius vi absolut1 erunt vires ill ,,nm1 ,,ml e>um effectus directe ut cubus diametri app>5tis long9qui corporis ,q e corpore ,s spectati1 vice v]sa4 ,namq2 h rationes edem sunt atq2 ratio sup]ior composita4 ,corol4 #ae4 ,et quoniam si1 man5tibus ,orbium ,,qe ,,pab =ma1 proportionibus incl9atione ad invicem1 mutetur eorum magnitudo1 si corporum ,q ,s vel maneant vel mut5tur vires 9 data quavis ratione1 h vires 7hoc e/ vis corporis ,s1 qua corpus ,p de recto tramite 9 ,orbitam ,,pab deflect]e1 vis corporis ,q1 qua corpus idem ,p de ,orbita illa devi>e cogitur7 agunt semp] eodem modo eadem proportione3 necesse e/ ut similes proportionales s9t effectus omnes proportionalia effectuum tempora2 hoc e/1 ut errores omnes l9e>es s9t ut ,orbium diametri1 angul>es v]o iidem qui prius1 errorum l9e>ium similium vel angul>ium qualium tempora ut ,orbium tempora p]iodica4 ,corol4 #af4 ,unde1 si d5tur ,orbium =m incl9atio ad invicem1 mut5tur utcunq2 corporum magnitud9es1 vires di/anti2 ex datis erroribus errorum temporibus 9 uno ,casu colligi possunt errores errorum tempora 9 alio quovis1 quam proxime3 ,s$ brevius hac ,me?odo4 ,vires ,,nm1 ,,ml ct]is /antibus sunt ut ,radius ,,sp1 h>um effectus p]iodici 7p] ,corol4 #b1 ,lem4 ,x7 ut vires quadratum temporis p]iodici corporis ,p conjunctim4 ,hi sunt errores l9e>es corporis ,p2 h9c errores angul>es e c5tro ,s spectati 7id e/ tam motus ,augis ,nodorum1 quam omnes 9 longitud9em latitud9em errores app>5tes7 sunt 9 qualibet revolutione corporis ,p1 ut quadratum temporis revolutionis quam proxime4 ,conjungantur h rationes cum rationibus ,coroll>ii #ad4 9 quolibet corporum ,s1 ,p1 ,q ,sy/emate1 ubi ,p circum ,s sibi prop9quum1 ,s circum ,q long9quum revolvitur1 errores angul>es corporis ,p1 de c5tro ,s app>5tes1 erunt1 9 s+ulis revolutionibus corporis illius ,p1 ut quadratum temporis p]iodici corporis ,p directe quadratum temporis p]iodici corporis ,s inv]se4 ,et inde motus m$ius ,augis erit 9 data ratione ad motum m$ium ,nodorum2 motus ut]q2 erit ut tempus p]iodicum corporis ,p directe quadratum temporis p]iodici corporis ,s inv]se4 ,aug5do vel m9u5do ,exc5tricitatem ,incl9ationem ,orbis ,,pab non mutantur motus ,augis ,nodorum s5sibilit]1 nisi ubi edem sunt nimis magn4 ,corol4 #ag4 ,cum autem l9ea ,,lm nunc major si nunc m9or quam radius ,,ps1 ,exponatur vis m$iocris ,,lm p] radium illum ,,ps1 erit hc ad vim m$iocrem ,,qk vel ,,qn 7quam expon]e licet p] ,,qs7 ut longitudo ,,ps ad longitud9em ,,qs4 ,e/ autem vis m$iocris ,,qn vel ,,qs1 qua corpus ret9etur 9 orbe suo circum ,q1 ad vim qua corpus ,p ret9etur 9 ,orbe suo circum ,s1 9 ratione composita ex ratione radii ,,qs ad radium ,,ps1 ratione duplicata temporis p]iodici corporis ,p circum ,s ad tempus p]iodicum corporis ,s circum ,q4 ,et ex quo1 vis m$iocris ,,lm1 ad vim qua corpus ,p ret9etur 9 ,orbe suo circum ,s 7quave corpus idem ,p eodem tempore p]iodico circum punctum quodvis immobile ,s ad di/antiam ,,ps revolvi posset7 e/ 9 ratione illa duplicata p]iodicorum temporum4 ,datis igitur temporibus p]iodicis una cum di/antia ,,ps1 datur vis m$iocris ,,lm2 ea data datur etiam vis ,,mn quamproxime p] analogiam l9e>um ,,ps1 ,,mn4 ,corol4 #ah4 ,iisdem legibus quibus corpus ,p circum corpus ,s revolvitur1 f+amus corpora plura fluida circum idem ,s ad quales ab ipso di/antias mov]i2 de9de ex 8 contiguis factis confl>i annulum fluidum1 rotundum ac corpori ,s conc5tricum2 s+ul annuli p>tes1 motus suos omnes ad legem corporis ,p p]ag5do1 propius acc$5t ad corpus ,s1 cel]ius movebuntur 9 ,conjunctione ,oppositione ips>um corporis ,q1 quam 9 ,quadraturis4 ,et ,nodi annuli hujus seu int]sectiones ejus cum plano ,orbit corporis ,q vel ,s1 quiesc5t 9 ,syzygiis2 extra ,syzygias v]o movebuntur 9 antec$5tia1 velocissime quidem 9 ,quadraturis1 t>dius aliis 9 locis4 ,annuli quoq2 incl9atio v>iabitur1 axis ejus s+ulis revolutionibus oscillabitur1 completaq2 revolutione ad pri/9um situm r$ibit1 nisi quat5us p] prcessionem ,nodorum circumf]tur4 ,corol4 #ai4 ,f+as jam globum corporis ,s ex mat]ia non fluida con/antem ampli>i ext5di usq2 ad hunc annulum1 alveo p] circuitum excavato cont9]e ,aquam1 motuq2 eodem p]iodico circa axem suum uni=mit] revolvi4 ,hic liquor p] vices accel]atus ret>datus 7ut 9 sup]iore ,lemmate7 9 ,syzygiis velocior erit1 9 ,quadraturis t>dior quam sup]ficies ,globi1 sic fluet 9 alveo refluetq2 ad modum ,m>is4 ,aqua revolv5do circa ,globi c5trum quiesc5s1 si tollatur attractio ,q1 nullum acquiret motum fluxus refluxus4 ,p> e/ ratio ,globi uni=mit] progr$i5tis 9 directum int]ea revolv5tis circa c5trum suum 7p] ,legum ,corol4 #e7 ut ,globi de cursa rectil9eo uni=mit] tracti 7p] ,legum ,corol4 #f47 ,acc$at autem corpus ,q1 ab ipsius 9quabili attractione mox turbabitur ,aqua4 ,et5im major erit attractio aqu propioris1 m9or ea remotioris4 ,vis autem ,,lm trahet aquam deorsum 9 ,quadraturis1 facietq2 ipsam desc5d]e usq2 ad ,syzygias2 vis ,,kl trahet e&em sursum 9 ,syzygiis1 si/etq2 desc5sum ejus faciet ipsam asc5d]e usq2 ad ,quadraturas4 ,corol4 #bj4 ,si annulus jam rigeat m9uatur ,globus1 cessabit motus flu5di reflu5di2 s$ ,oscillatorius ille incl9ationis motus prcessio ,nodorum manebunt4 ,habeat ,globus eundem axem cum annulo1 gyrosq2 compleat iisdem temporibus1 sup]ficie sua cont+at ipsum int]ius1 eiq2 inhreat2 p>ticip&o motum ejus1 compages utriusq2 ,oscillabitur ,nodi regr$i5tur4 ,nam ,globus1 ut mox dicetur1 ad suscipi5das impressiones omnes indiff]5s e/4 ,annuli ,globo orbati maximus incl9ationis angulus e/ ubi ,nodi sunt 9 ,syzygiis4 ,inde 9 progressu ,nodorum ad ,quadraturas conatur is incl9ationem suam m9u]e1 i/o conatu motum imprimit ,globo toti4 ,ret9et ,globus motum impressum usq2 dum annulus conatu contr>io motum hunc tollat1 imprimatq2 motum novum 9 contr>iam p>tem3 ,atq2 hac ratione maximus decresc5tis incl9ationis motus fit 9 ,quadraturis ,nodorum1 m9imus incl9ationis angulus 9 ,octantibus po/ ,quadraturas2 de9 maximus recl9ationis motus 9 ,syzygiis maximus angulus 9 ,octantibus proximis4 ,et eadem e/ ratio ,globi annulo nudati1 qui 9 regionibus quatoris vel altior e/ paulo quam juxta polos1 vel con/at ex mat]ia paulo d5siore4 ,supplet enim vicem annuli i/e mat]i 9 quatoris regionibus excessus4 ,et quanquam1 aucta utcunq2 ,globi hujus vi c5tripeta1 t5d]e supponantur omnes ejus p>tes deorsum1 ad modum gravitantium p>tium telluris1 tam5 ,phnom5a hujus prc$5tis ,coroll>ii vix inde mutabuntur4 ,corol4 #ba4 ,eadem ratione qua mat]ia ,globi juxta quatorem r$undans efficit ut ,nodi regr$iantur1 atq2 adeo p] hujus increm5tum augetur i/e regressus1 p] dim9utionem v]o dim9uitur p] ablationem tollitur2 si mat]ia plusquam r$undans tollatur1 hoc e/1 si ,globus juxta quatorem vel depressior r$datur vel r>ior quam juxta polos1 orietur motus ,nodorum 9 consequ5tia4 ,corol4 #bb4 ,et inde vicissim ex motu ,nodorum innotescit con/itutio ,globi4 ,nimirum si ,globus polos eosdem con/ant] s]vat motus fit 9 antec$5tia1 mat]ia juxta quatorem r$undat2 si 9 consequ5tia1 deficit4 ,pone ,globum uni=mem p]fecte circ9atum 9 spatiis lib]is primo quiesc]e2 de9 impetu quocunq2 oblique 9 sup]ficiem suam facto propelli1 motum inde concip]e p>tim circul>em1 p>tim 9 directum4 ,quoniam ,globus i/e ad axes omnes p] c5trum suum transeuntes indiff]5t] se habet1 neq2 prop5sior e/ 9 unum axem1 unumve axis situm1 quam 9 alium quemvis2 p]spicuum e/ quod is axem suum axisq2 incl9ationem vi propria nunquam mutabit4 ,impellatur jam ,globus oblique 9 eadem illa sup]ficiei p>te qua prius1 impulsu quocunq2 novo2 cum citior vel s]ior impulsus effectum nil mutet1 manife/um e/ quod hi duo impulsus successive impressi eundem produc5t motum ac si simul impressi fuiss5t1 hoc e/ eundem ac si ,globus vi simplici ex utroq2 7p] ,legum ,corol4 #b47 composita impulsus fuisset1 atq2 adeo simplicem1 circa axem incl9atione datum4 ,et p> e/ ratio impulsus secundi facti 9 locum alium quemvis 9 quatore motus primi2 ut impulsus primi facti 9 locum quemvis 9 quatore motus1 quem impulsus secundus absq2 primo g5]>et2 atq2 adeo impulsuum amborum factorum 9 loca qucunq23 ,g5]abunt hi eundem motum circul>em ac si simul semel 9 locum int]sectionis quatorum motuum illorum1 quos seorsim g5]>5t1 fuiss5t impressi4 ,globus igitur homog5eus p]fectus non ret9et motus plures di/9ctos1 s$ impressos omnes componit ad unum r$ucit1 quat5us 9 se e/1 gyratur semp] motu simplici uni=mi circa axem unicum incl9atione semp] inv>iabili datum4 ,s$ nec vis c5tripeta incl9ationem axis1 aut rotationis velocitatem mut>e pote/4 ,si ,globus plano quocunq2 p] c5trum suum c5trum 9 quod vis dirigitur transeunte dividi intelligatur 9 duo hemisphria1 urgebit semp] vis illa utrumq2 hemisphrium qualit]1 propt]ea ,globum quoad motum rotationis nullam 9 p>tem incl9abit4 ,addatur v]o alicubi int] polum quatorem mat]ia nova 9 =mam montis cumulata1 hc1 p]petuo conatu rec$5di a c5tro sui motus1 turbabit motum ,globi1 facietq2 polos ejus err>e p] ipsius sup]ficiem1 circulos circum se punctumq2 sibi oppositum p]petuo describ]e4 ,neq2 corrigetur i/a vagationis enormitas1 nisi loc&o montem illum vel 9 polo alt]utro1 quo 9 ,casu1 p] ,corol4 #ba1 ,nodi quatoris progr$i5tur2 vel 9 quatore1 qua ratione1 p] ,corol4 #bj1 ,nodi regr$i5tur2 vel d5iq2 ex alt]a axis p>te add5do mat]iam novam1 qua mons int] mov5dum libretur3 hoc pacto ,nodi vel progr$i5tur1 vel rec$5t1 p]9de ut mons hcce nova mat]ia sunt vel polo vel quatori propiores4 ,prop4 ,,lxvii4 ,!or4 ,,xxvii4 ,positis iisdem attractionum legibus1 dico quod corpus ext]ius ,q1 circa int]iorum ,p1 ,s commune ,gravitatis c5trum ,c1 radiis ad c5trum illud ductis1 describit areas temporibus magis proportionales ,orbem ad =mam ,ellipseos umbilicum 9 c5tro eodem hab5tis magis acc$5tem1 quam circa corpus intimum maximum ,s1 radiis ad ipsum ductis1 describ]e pote/4 ,nam corporis ,q attractiones v]sus ,s ,p componunt ipsius attractionem absolutam1 qu magis dirigitur 9 corporum ,s ,p commune gravitatis c5trum ,c1 quam 9 corpus maximum ,s1 quq2 quadrato di/anti ,,qc magis e/ proportionalis reciproce1 quam quadrato di/anti ,,qs3 ut rem p]p5d5ti facile con/abit4 ,prop4 ,,lxviii4 ,!or4 ,,xxviii4 ,positis iisdem attractionum legibus1 dico quod corpus ext]ius ,q circa int]iorum ,p ,s commune gravitatis c5trum ,c1 radiis ad c5trum illud ductis1 describit areas temporibus magis proportionales1 ,orbem ad =mam ,ellipseos umbilicum 9 c5tro eodem hab5tis magis acc$5tem1 si corpus intimum maximum 8 attractionibus p]9de atq2 ct]a agitetur1 quam si id vel non attractum quiescat1 vel multo magis aut multo m9us attractum aut multo magis aut multo m9us agitetur4 ,illu/ration ,demon/ratur eodem f]e modo cum ,prop4 ,,lxvi1 s$ argum5to prolixiore1 quod ideo prt]eo4 ,suffec]it rem sic /im>e4 ,ex demon/ratione ,propositionis novissim liquet c5trum 9 quod corpus ,q conjunctis viribus urgetur1 proximum esse communi c5tro gravitatis illorum duorum4 ,si co9cid]et hoc c5trum cum c5tro illo communi1 quiesc]et commune c5trum gravitatis corporum trium2 describ]5t corpus ,q ex una p>te1 commune c5trum aliorum duorum ex alt]a p>te1 circa commune omnium c5trum quiesc5s1 ,ellipses accuratas4 ,liquet hoc p] ,coroll>ium secundum ,propositionis ,,lviii4 collatum cum demon/ratis 9 ,prop4 ,,lxiv4 ,,lxv4 ,p]turbatur i/e motus ,ellipticus aliquantulum p] di/antiam c5tri duorum a c5tro 9 quod t]tium ,q attrahitur4 ,detur prt]ea motus communi trium c5tro1 augebitur p]turbatio4 ,pro9de m9ima e/ p]turbatio1 ubi commune trium c5trum quiescit1 hoc e/ ubi corpus intimum maximum ,s lege ct]orum attrahitur3 fitq2 major semp] ubi trium commune illud c5trum1 m9u5do motum corporis ,s1 mov]i incipit magis de9ceps magisq2 agitatur4 ,corol4 ,et h9c si corpora plura m9ora revolvantur circa maximum1 collig]e licet quod ,orbit descript propius acc$5t ad ,ellipticas1 are>um descriptiones fi5t magis quabiles1 si corpora omnia viribus accel]atricibus1 qu sunt ut eorum vires absolut directe quadrata di/anti>um inv]se1 se mutuo trahant agit5tq21 ,orbit cujusq2 umbilicus collocetur 9 communi c5tro gravitatis corporum omnium int]iorum 7nimirum umbilicus ,orbit prim intim 9 c5tro gravitatis corporis maximi intimi2 ille ,orbit secund1 9 communi c5tro gravitatis corporum duorum intimorum2 i/e t]ti1 9 communi c5tro gravitatis trium int]iorum sic de9ceps7 quam si corpus intimum quiescat /atuatur communis umbilicus orbit>um ,omnium4 ,prop4 ,,lxix4 ,!or4 ,,xxix4 ,9 ,sy/emate corporum plurium ,a1 ,b1 ,c1 ,d c4 si corpus aliquod ,a trahit ct]a omnia ,b1 ,c1 ,d c4 viribus accel]atricibus qu sunt reciproce ut quadrata di/anti>um a trah5te2 corpus aliud ,b trahit etiam ct]a ,a1 ,c1 ,d c4 viribus qu sunt reciproce ut quadrata di/anti>um a trah5te3 erunt absolut corporum trah5tium ,a1 ,b vires ad invicem1 ut sunt ipsa corpora ,a1 ,b1 quorum sunt vires4 ,nam attractiones accel]atrices corporum omnium ,b1 ,c1 ,d v]sus ,a1 p>ibus di/antiis1 sibi invicem quantur ex hypo!si1 similit] attractiones accel]atrices corporum omnium v]sus ,b1 p>ibus di/antiis1 sibi invicem quantur4 ,e/ autem absoluta vis attractiva corporis ,a ad vim absolutam attractivam corporis ,b1 ut attractio accel]atrix corporum omnium v]sus ,a ad attractionem accel]atricem corporum omnium v]sus ,b1 p>ibus di/antiis2 ita e/ attractio accel]atrix corporis ,b v]sus ,a1 ad attractionem accel]atricem corporis ,a v]sus ,b4 ,s$ attractio accel]atrix corporis ,b v]sus ,a e/ ad attractionem accel]atricem corporis ,a v]sus ,b1 ut massa corporis ,a ad massam corporis ,b2 propt]ea quod vires motrices1 qu 7p] ,def9itionem secundam1 septimam octavam7 ex viribus accel]atricibus 9 corpora attracta ductis oriuntur1 sunt 7p] motus ,legem t]tiam7 sibi invicem quales4 ,ergo absoluta vis attractiva corporis ,a e/ ad absolutam vim attractivam corporis ,b1 ut massa corporis ,a ad massam corporis ,b4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si s+ula ,sy/ematis corpora ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 c4 seorsim spectata trahant ct]a omnia viribus accel]atricibus qu s9t reciproce ut ,quadrata di/anti>um a trah5te2 erunt corporum illorum omnium vires absolut ad invicem ut sunt ipsa corpora4 ,corol4 #b4 ,eodem argum5to1 si s+ula ,sy/ematis corpora ,a1 ,b1 ,c1 ,d c4 seorsim spectata trahant ct]a omnia viribus accel]atricibus qu sunt vel reciproce vel directe 9 ratione dignitatis cujuscunq2 di/anti>um a trah5te1 quve secundum legem quamcunq2 communem ex di/antiis ab unoquoq2 trah5te def9iuntur2 con/at quod corporum illorum vires absolut sunt ut corpora4 ,corol4 #c4 ,9 ,sy/emate corporum1 quorum vires decrescunt 9 ratione duplicata di/anti>um1 si m9ora circa maximum 9 ,ellipsibus umbilicum communem 9 maximi illius c5tro hab5tibus quam fi]i pote/ accuratissimis revolvantur1 radiis ad maximum illud ductis describant areas temporibus quam maxime proportionales3 erunt corporum illorum vires absolut ad invicem1 aut accurate aut quamproxime 9 ratione corporum2 contra4 ,patet p] ,corol4 ,prop4 ,,lxviii4 collatum cum hujus ,corol4 #a4 ,s*olium4 ,8 ,propositionibus manuducimur ad analogiam int] vires c5tripetas corpora c5tralia1 ad qu vires ill dirigi sol5t4 ,rationi enim cons5taneum e/1 ut vires qu ad corpora diriguntur p5deant ab eorundem natura quantitate1 ut fit 9 ,magneticis4 ,et quoties hujusmodi casus incidunt1 /im& erunt corporum attractiones1 assign&o s+ulis eorum p>ticulis vires proprias1 collig5do summas virium4 ,vocem attractionis hic g5]alit] usurpo pro corporum conatu quocunq2 acc$5di ad invicem2 sive conatus i/e fiat ab actione corporum vel se mutuo pet5tium1 vel p] ,spiritus emissos se invicem agitantium1 sive is ab actione !ris aut ,a]is m$iive cujuscunq2 seu corporei seu incorporei oriatur corpora innatantia 9 se invicem utcunq2 impell5tis4 ,eodem s5su g5]ali usurpo vocem impulsus1 non species virium qualitates physicas1 s$ quantitates proportiones ,ma!maticas 9 hoc ,tractatu exp5d5s2 ut 9 ,def9itionibus explicui4 ,9 ,ma!si inve/ig& sunt virium quantitates rationes ill1 qu ex conditionibus quibuscunq2 positis consequ5tur3 de9de ubi 9 ,physicam desc5ditur1 conf]5d sunt h rationes cum ,phnom5is1 ut innotescat qunam virium conditiones s+ulis corporum attractivorum g5]ibus competant4 ,et tum demum de virium speciebus1 causis rationibus physicis tutius disput>e licebit4 ,videamus igitur quibus viribus corpora ,sphrica1 ex p>ticulis modo jam exposito attractivis con/antia1 debeant 9 se mutuo ag]e1 quales motus inde consequantur4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,xii4 ,de ,corporum ,sphricorum ,viribus attractivis4 ,prop4 ,,lxx4 ,!or4 ,,xxx4 ,illu/ration ,si ad ,sphric sup]ficiei puncta s+ula t5dant vires quales c5tripet decresc5tes 9 duplicata ratione di/anti>um a punctis3 dico quod corpusculum intra sup]ficiem con/itutum 8 viribus nullam 9 p>tem attrahitur4 ,sit ,,hikl sup]ficies illa ,sphrica1 ,p corpusculum intus con/itutum4 ,p] ,p agantur ad hanc sup]ficiem l9e du ,,hk1 ,,il1 arcus quam m9imos ,,hi1 ,,kl int]cipi5tes2 ob triangula ,,hpi1 ,,lpk 7p] ,corol4 #c4 ,lem4 ,,vii47 similia1 arcus illi erunt di/antiis ,,hp1 ,,lp proportionales1 sup]ficiei ,sphric p>ticul quvis1 ad ,,hi ,,kl rectis p] punctum ,p transeuntibus undiq2 t]m9at1 erunt 9 duplicata illa ratione4 ,ergo vires h>um p>ticul>um 9 corpus ,p ex]cit sunt int] se aquales4 ,sunt enim ut p>ticul directe quadrata di/anti>um inv]se4 ,et h du rationes componunt rationem qualitatis4 ,attractiones igitur 9 contr>ias p>tes qualit] fact se mutuo de/ruunt4 ,et simili argum5to attractiones omnes p] totam ,sphricam sup]ficiem a contr>iis attractionibus de/ruuntur4 ,pro9de corpus ,p nullam 9 p>tem 8 attractionibus impellitur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxi4 ,!or4 ,,xxxi4 ,iisdem positis1 dico quod corpusculum extra ,sphricam sup]ficiem con/itutum attrahitur ad c5trum ,sphr1 vi reciproce proportionali quadrato di/anti su ab eodem c5tro4 ,illu/ration ,s9t ,,ahkb1 ahkb quales du sup]ficies ,sphric1 c5tris ,s1 s1 diametris ,,ab1 ab descript1 ,p1 p corpuscula sita extr9secus 9 diametris illis productis4 ,agantur a corpusculis l9e ,,phk1 ,,pil1 phk1 pil1 auf]5tes a circulis maximis ,,ahb1 ahb1 quales arcus quam m9imos ,,hk1 hk ,,hl1 hl3 ,et ad eas demittantur p]p5dicula ,,sd1 sd2 ,,se1 se2 ,,ir1 ir2 quorum ,,sd1 sd sec5t ,,pl1 pl 9 ,f f4 ,demittantur etiam ad diametros p]p5dicula ,,iq1 iq2 ob quales ,,ds ds1 ,,es es1 angulos evanesc5tes ,,dpe dpe1 l9e ,,pe1 ,,pf pe1 pf l9eol ,,df1 df pro qualibus habeantur3 quippe qu>um ratio ultima1 angulis illis ,,dpe1 dpe simul evanesc5tibus1 e/ qualitatis4 ,8 itaq2 con/itutis1 erit ,,pi ad ,,pf ut ,,ri ad ,,df1 pf ad pi ut ,,df vel df ad ri2 ex quo ,,pi pf ad ,,pf pi ut ,,ri ad ri1 hoc e/ 7p] ,corol4 #c4 ,lem4 ,,vii47 ut arcus ,,ih ad arcum ih4 ,rursus ,,pi ad ,,ps ut ,,iq ad ,,se1 ps ad pi ut ,,se vel se ad iq2 ex quo ,,pi ps ad ,,ps pi ut ,,iq ad iq4 ,et conjunctis rationibus ,,pi quad4 pf ps ad pi quad4 ,,pf ,,ps1 ut ,,ih ,,iq ad ih iq2 hoc e/1 ut sup]ficies circul>is1 quam arcus ,,ih convolutione semicirculi ,,akb circa diametrum ,,ab describet1 ad sup]ficiem circul>em1 quam arcus ih convolutione semicirculi akb circa diametrum ab describet4 ,et vires1 quibus h sup]ficies secundum l9eas ad se t5d5tes attrahunt corpuscula ,p p1 sunt 7p] ,hypo!s97 ut ips sup]ficies applicat ad quadrata di/anti>um su>um a corporibus1 hoc e/1 ut pf ps ad ,,pf ,,ps4 ,suntq2 h vires ad ips>um p>tes obliquas qu 7facta p] ,legum ,corol4 #b resolutione virium7 secundum l9eas ,,ps1 ps ad c5tra t5dunt1 ut ,,pi ad ,,pq1 pi ad pq2 id e/ 7ob similia triangula ,,piq ,,psf1 piq psf7 ut ,,ps ad ,,pf ps ad pf4 ,unde ex quo fit attractio corpusculi hujus ,p v]sus ,s ad attractionem corpusculi p v]sus s1 ut ,,pf pf ps ,,ps ad pf ,,pf ,,ps ps1 hoc es ut ps quad4 ad ,,ps quad4 ,et simili argum5to vires1 quibus sup]ficies convolutione arcuum ,,kl1 kl descript trahunt corpuscula1 erunt ut ps quad4 ad ,,ps quad42 inq2 eadem ratione erunt vires sup]fici]um omnium circul>ium 9 quas utraq2 sup]ficies ,sphrica1 capi5do semp] sd ,,sd se ,,se1 di/+ui pote/4 ,et p] ,compositionem1 vires tot>um sup]fici]um ,sphric>um 9 corpuscula ex]cit erunt 9 eadem ratione4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxii4 ,!or4 ,,xxxii4 ,si ad ,sph] cujusvis puncta s+ula t5dant vires quales c5tripet decresc5tes 9 duplicata ratione di/anti>um a punctis1 ac detur ratio diametri ,sph] ad di/antiam corpusculi a c5tro ejus2 dico quod vis qua corpusculum attrahitur proportionalis erit semi-diametro ,sphr4 ,nam concipe corpuscula duo seorsim a ,sphris duabus attrahi1 di/antias a c5tris proportionales esse diametris1 ,sphras autem resolvi 9 p>ticulas similes similit] positas ad corpuscula4 ,h9c attractiones corpusculi unius1 fact v]sus s+ulas p>ticulas ,sphr unius1 erunt ad attractiones alt]ius v]sus analogas totidem p>ticulas ,sphr alt]ius1 9 ratione composita ex ratione p>ticul>um directe ratione duplicata di/anti>um inv]se4 ,s$ p>ticul sunt ut ,sphr1 hoc e/ 9 ratione triplicata diametrorum1 di/anti sunt ut diametri1 ratio prior directe una cum ratione po/]iore bis inv]se e/ ratio diametri ad diametrum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si corpuscula 9 circulis circa ,sphras ex mat]ia qualit] attractiva con/antes revolvantur1 s9tq2 di/anti a c5tris ,sphr>um proportionales e>undem diametris2 tempora p]iodica erunt qualia4 ,corol4 #b4 ,et vice v]sa1 si tempora p]iodica sunt qualia2 di/anti erunt proportionales diametris4 ,con/ant hc duo p] ,corol4 #c4 ,!or4 ,,iv4 ,prop4 ,,lxxiii4 ,!or4 ,,xxxiii4 ,illu/ration ,si ad sphr alicujus dat puncta s+ula t5dant quales vires c5tripet decresc5tes 9 duplicata ratione di/anti>um a punctis3 dico quod corpusculum intra ,sphram con/itutum attrahitur vi proportionali di/anti su ab ipsius c5tro4 ,9 ,sphra ,,abcd1 c5tro ,s descripta1 locetur corpusculum ,p1 c5tro eodem ,s int]vallo ,,sp concipe ,sphram int]iorem ,,peqf describi4 ,manife/um e/1 p] ,!or4 ,,xxx4 quod ,sphric sup]ficies conc5tric1 ex quibus ,sphr>um diff]5tia ,,aebf componitur1 attractionibus p] attractiones contr>ias de/ructis1 nil agunt 9 corpus ,p4 ,re/at sola attractio ,sphr int]ioris ,,peqf4 ,et p] ,!or4 ,,xxxii1 hc e/ ut di/antia ,,ps4 ,q4 ,e4 ,d4 ,s*olium4 ,sup]ficies ex quibus solida componuntur1 hic non sunt pure ,ma!matic1 s$ ,orbes adeo t5ues ut eorum crassitudo in/> nihili sit2 nimirum ,orbes evanesc5tes ex quibus ,sphra ultimo con/at1 ubi ,orbium illorum num]us augetur crassitudo m9uitur 9 inf9itum1 juxta ,me?odum sub initio 9 ,lemmatis g5]alibus expositam4 ,similit] p] puncta1 ex quibus l9e1 sup]ficies solida componi dicuntur1 intellig5d sunt p>ticul quales magnitud9is contemn5d4 ,prop4 ,,lxxiv4 ,!or4 ,,xxxiv4 ,iisdem positis1 dico quod corpusculum extra ,sphram con/itutum attrahitur vi reciproce proportionali quadrato di/anti su ab ipsius c5tro4 ,nam di/+uatur ,sphra 9 sup]ficies ,sphricas innum]as conc5tricas1 attractiones corpusculi a s+ulis sup]ficiebus oriund erunt reciproce proportionales quadrato di/anti corpusculi a c5tro1 p] ,!or4 ,,xxxi4 ,et compon5do1 fiet summa attractionum1 hoc e/ attractio ,sphr totius1 9 eadem ratione4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c 9 qualibus di/antiis a c5tris homog5e>um ,sphr>um1 attractiones sunt ut ,sphr4 ,nam p] ,!or4 ,,xxxii4 si di/anti sunt proportionales diametris ,sphr>um1 vires erunt ut diametri4 ,m9uatur di/antia major 9 illa ratione1 di/antiis jam factis qualibus1 augebitur attractio 9 duplicata illa ratione1 adeoq2 erit ad attractionem alt]am 9 triplicata illa ratione1 hoc e/ 9 ratione ,sphr>um4 ,corol4 #b4 ,9 di/antiis quibusvis attractiones sunt ut ,sphr applicat ad quadrata di/anti>um4 ,corol4 #c4 ,si corpusculum extra ,sphram homog5eam positum trahitur vi reciproce proportionali quadrato di/anti su ab ipsius c5tro1 con/et autem ,sphra ex p>ticulis attractivis2 decrescet vis p>ticul cujusq2 9 duplicata ratione di/anti a p>ticula4 ,prop4 ,,lxxv4 ,!or4 ,,xxxv4 ,si ad ,sphr dat puncta s+ula t5dant vires quales c5tripet decresc5tes 9 duplicata ratione di/anti>um a punctis1 dico quod ,sphra quvis alia simil>is attrahitur vi reciproce proportionali quadrato di/anti c5trorum4 ,nam p>ticul cujusvis attractio e/ reciproce ut quadratum di/anti ejus a c5tro ,sphr trah5tis1 7p] ,!or4 ,,xxxi17 propt]ea eadem e/ ac si vis tota attrah5s man>et de corpusculo unico sito 9 c5tro hujus ,sphr4 ,hc autem attractio tanta e/ quanta =et vicissim attractio corpusculi ejusdem1 si modo illud a s+ulis ,sphr attract p>ticulis eadem vi trah]etur qua ipsas attrahit4 ,=et autem illa corpusculi attractio 7p] ,!or4 ,,xxxiv7 reciproce proportionalis quadrato di/anti ejus a c5tro ,sphr2 adeoq2 huic qualis attractio ,sphr e/ 9 eadem ratione4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,attractiones ,sphr>um1 v]sus alias ,sphras homog5eas1 sunt ut ,sphr trah5tes applicat ad quadrata di/anti>um c5trorum suorum a c5tris e>um quas attrahunt4 ,corol4 #b4 ,idem valet ubi ,sphra attracta etiam attrahit4 ,namq2 hujus puncta s+ula trah5t s+ula alt]ius1 eadem vi qua ab ipsis vicissim trahuntur1 adeoq2 cum 9 omni attractione urgeatur 7p] ,legem #c47 tam punctum attrah5s1 quam punctum attractum1 gem9abitur vis attractionis mutu1 cons]vatis proportionibus4 ,corol4 #c4 ,eadem omnia1 qu sup]ius de motu corporum circa umbilicum ,conic>um ,sectionum demon/rata sunt1 obt95t ubi ,sphra attrah5s locatur 9 umbilico corpora mov5tur extra ,sphram4 ,corol4 #d4 ,ea v]o qu de motu corporum circa c5trum ,conic>um ,sectionum demon/rantur1 obt95t ubi motus p]aguntur intra ,sphram4 ,prop4 ,,lxxvi4 ,!or4 ,,xxxvi4 ,si ,sphr 9 progressu a c5tro ad circumf]5tiam 7quod mat]i d5sitatem vim attractivam7 utcunq2 dissimil>es1 9 progressu v]o p] circuitum ad datam omnem a c5tro di/antiam sunt undiq2 simil>es1 vis attractiva puncti cujusq2 decrescit 9 duplicata ratione di/anti corporis attracti3 dico quod vis tota qua hujusmodi ,sphra una attrahit aliam sit reciproce proportionalis quadrato di/anti c5trorum4 ,illu/ration ,sunto ,sphr quotcunq2 conc5tric simil>es ,,ab1 ,,cd1 ,,ef c4 qu>um int]iores addit ext]ioribus componant mat]iam d5siorem v]sus c5trum1 vel subduct rel9quant t5uiorem2 h1 p] ,!or4 ,,xxxv1 trah5t ,sphras alias quotcunq2 conc5tricas simil>es ,,gh1 ,,ik1 ,,lm1 c4 s+ul s+ulas1 viribus reciproce proportionalibus quadrato di/anti ,,sp4 ,et compon5do vel divid5do1 summa virium ill>um omnium1 vel excessus aliqu>um supra alias1 hoc e/1 vis qua ,sphra tota ex conc5tricis quibuscunq2 vel conc5tric>um diff]5tiis composita ,,ab1 trahit totam ex conc5tricis quibuscunq2 vel conc5tric>um diff]5tiis compositam ,,gh1 erit 9 eadem ratione4 ,augeatur num]us ,sphr>um conc5tric>um 9 inf9itum sic1 ut mat]i d5sitas una cum vi attractiva1 9 progressu a circumf]5tia ad c5trum1 secundum ,legem quamcunq2 crescat vel decrescat3 addita mat]ia non attractiva compleatur ubivis d5sitas defici5s1 eo ut ,sphr acquirant =mam quamvis optatam2 vis qua h>um una attrahet alt]am erit etiamnum 7p] argum5tum sup]ius7 9 eadem illa di/anti quadrat ratione inv]sa4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si ejusmodi ,sphr complures sibi invicem p] omnia similes se mutuo trahant2 attractiones accel]atrices s+ul>um 9 s+ulas erunt 9 qualibus quibusvis c5trorum di/antiis ut ,sphr attrah5tes4 ,corol4 #b4 ,inq2 di/antiis quibusvis 9qualibus1 ut ,sphr attrah5tes applicat ad quadrata di/anti>um int] c5tra4 ,corol4 #c4 ,attractiones v]o motrices1 seu pond]a ,sphr>um 9 ,sphras erunt1 9 qualibus c5trorum di/antiis1 ut ,sphr attrah5tes attract conjunctim1 id e/1 ut cont5ta sub ,sphris p] multiplicationem producta4 ,corol4 #d4 ,inq2 di/antiis 9qualibus1 ut cont5ta illa applicata ad quadrata di/anti>um int] c5tra4 ,corol4 #e4 ,eadem val5t ubi attractio oritur a ,sphr utriusq2 virtute attractiva1 mutuo ex]cita 9 ,sphram alt]am4 ,nam viribus ambabus gem9atur attractio1 proportione s]vata4 ,corol4 #f4 ,si hujusmodi ,sphr aliqu circa alias quiesc5tes revolvantur1 s+ul circa s+ulas1 s9tq2 di/anti int] c5tra revolv5tium quiesc5tium proportionales quiesc5tium diametris2 qualia erunt tempora p]iodica4 ,corol4 #g4 ,et vicissim1 si tempora p]iodica sunt qualia1 di/anti erunt proportionales diametris4 ,corol4 #h4 ,eadem omnia1 qu sup]ius de motu corporum circa umbilicos ,conic>um ,sectionum demon/rata sunt1 obt95t ubi ,sphra attrah5s1 =m conditionis cujusvis jam descript1 locatur 9 umbilico4 ,corol4 #i4 ,ut ubi gyrantia sunt etiam ,sphr attrah5tes1 conditionis cujusvis jam descript4 ,prop4 ,,lxxvii4 ,!or4 ,,xxxvii4 ,si ad s+ula ,sphr>um puncta t5dant vires c5tripet proportionales di/antiis punctorum a corporibus attractis3 dico quod vis composita1 qua ,sphr du se mutuo trah5t1 e/ ut di/antia int] c5tra ,sphr>um4 ,illu/ration ,cas4 #a4 ,sit ,,acbd ,sphra1 ,s c5trum ejus1 ,p corpusculum attractum1 ,,pasb axis ,sphr p] c5trum corpusculi transi5s1 ,,ef1 ef plana duo quibus ,sphra secatur1 huic axi p]p5dicul>ia1 h9c inde qualit] di/antia a c5tro ,sphr2 ,gg int]sectiones planorum axis1 ,h punctum quodvis 9 plano ,,ef4 ,puncti ,h vis c5tripeta 9 corpusculum ,p secundum l9eam ,,ph ex]cita e/ ut di/antia ,,ph1 7p] ,legum ,corol4 #b47 secundum l9eam ,,pg1 seu v]sus c5trum ,s1 ut longitudo ,,pg4 ,igitur punctorum omnium 9 plano ,,ef1 hoc e/ plani totius vis1 qua corpusculum ,p trahitur v]sus c5trum ,s1 e/ ut num]us punctorum ductus 9 di/antiam ,,pg3 id e/ ut cont5tum sub plano ipso ,,ef di/antia illa ,,pg4 ,et similit] vis plani ef1 qua corpusculum ,p trahitur v]sus c5trum ,s1 e/ ut planum illud ductum 9 di/antiam suam ,pg2 sive ut huic quale planum ,,ef ductum 9 di/antiam illam ,pg2 summa virium plani utriusq2 ut planum ,,ef ductum 9 summam di/anti>um ,,pg ,pg1 id e/1 ut planum illud ductum 9 duplam c5tri corpusculi di/antiam ,,ps1 hoc e/1 ut duplum planum ,,ef ductum 9 di/antiam ,,ps1 vel ut summa qualium planorum ,,ef ef ducta 9 di/antiam e&em4 ,et simili argum5to1 vires omnium planorum 9 ,sphra tota1 h9c inde qualit] a c5tro ,sphr di/antium1 sunt ut summa planorum ducta 9 di/antiam ,,ps1 hoc e/1 ut ,sphra tota ducta 9 di/antiam c5tri sui ,s a corpusculo ,p4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,trahat jam corpusculum ,p ,sphram ,,acbd4 ,et eodem argum5to probabitur quod vis1 qua ,sphra illa trahitur1 erit ut di/antia ,,ps4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #c4 ,componatur jam ,sphra alt]a ex corpusculis innum]is ,p2 quoniam vis1 qua corpusculum unumquodq2 trahitur1 e/ ut di/antia corpusculi a c5tro ,sphr prim ducta 9 ,sphram e&em1 atq2 adeo eadem e/ ac si prodiret tota de corpusculo unico 9 c5tro ,sphr2 vis tota qua corpuscula omnia 9 ,sphra secunda trahuntur1 hoc e/1 qua ,sphra illa tota trahitur1 eadem erit ac si ,sphra illa trah]etur vi prodeunte de corpusculo unico 9 c5tro ,sphr prim1 propt]ea proportionalis e/ di/anti int] c5tra ,sphr>um4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #d4 ,trahant ,sphr se mutuo1 vis gem9ata proportionem priorem s]vabit4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #e4 ,locetur jam corpusculum p intra ,sphram ,,acbd1 quoniam vis plani ef 9 corpusculum e/ ut cont5tum sub plano illo di/antia pg2 vis contr>ia plani ,,ef ut cont5tum sub plano illo di/antia p,g2 erit vis ex utraq2 composita ut diff]5tia cont5torum1 hoc e/1 ut summa qualium planorum ducta 9 semissem diff]5ti di/anti>um1 id e/1 ut summa illa ducta 9 p,s1 di/antiam corpusculi a c5tro ,sphr4 ,et simili argum5to attractio planorum omnium ,,ef1 ef 9 ,sphra tota1 hoc e/ attractio ,sphr totius1 e/ ut summa planorum omnium1 seu ,sphra tota1 ducta 9 p,s di/antiam corpusculi a c5tro ,sphr4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #f4 ,et si ex corpusculis innum]is p componatur ,sphra nova intra ,sphram priorem ,,acbd sita1 probabitur ut prius1 quod attractio1 sive simplex ,sphr unius 9 alt]am1 sive mutua utriusq2 9 se invicem1 erit ut di/antia c5trorum p,s4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxviii4 ,!or4 ,,xxxviii4 ,si ,sphr 9 progressu a c5tro ad circumf]5tiam s9t utcunq2 dissimil>es 9quabiles1 9 progressu v]o p] circuitum ad datam omnem a c5tro di/antiam s9t undiq2 simil>es2 vis attractiva puncti cujusq2 sit ut di/antia corporis attracti3 dico quod vis tota qua hujusmodi ,sphr du se mutuo trahunt sit proportionalis di/anti int] c5tra ,sphr>um4 ,demon/ratur ex ,propositione prc$5te1 eodem modo quo ,propositio ,,lxxvii4 ex ,propositione ,,lxxv4 demon/rata fuit4 ,corol4 ,qu sup]ius 9 ,propositionibus ,x4 ,,lxiv4 de motu corporum circa c5tra ,conic>um ,sectionum demon/rata sunt1 val5t ubi attractiones omnes fiunt vi ,corporum ,sphricorum1 conditionis jam descript1 suntq2 corpora attracta ,sphr conditionis ejusdem4 ,s*olium4 ,attractionum ,casus duos insigniores jam d$i expositos2 nimirum ubi vires c5tripet decrescunt 9 duplicata di/anti>um ratione1 vel crescunt 9 di/anti>um ratione simplici2 effici5tes 9 utroq2 ,casu ut corpora gyr5tur 9 ,conicis ,sectionibus1 compon5tes corporum ,sphricorum vires c5tripetas eadem lege 9 recessu a c5tro decresc5tes vel cresc5tes cum seipsis4 ,quod e/ notatu dignum4 ,casus ct]os1 qui conclusiones m9us elegantes exhib5t1 sigillatim p]curr]e longum esset3 ,malim cunctos me?odo g5]ali simul compreh5d]e ac det]m9>e1 ut sequitur4 ,lemma ,,xxix4 ,si describantur c5tro ,s circulus quilibet ,,aeb1 7,vide ,fig4 ,prop4 sequ5tis7 c5tro ,p circuli duo ,,ef1 ef1 secantes priorem 9 ,e1 e1 l9eamq2 ,,ps 9 ,f1 f2 ad ,,ps demittantur p]p5dicula ,,ed1 ed3 dico quod si di/antia arcuum ,,ef1 ef 9 inf9itum m9ui intelligatur1 ratio ultima l9e evanesc5tis ,dd ad l9eam evanesc5tem ,ff ea sit1 qu l9e ,,pe ad l9eam ,,ps4 ,nam si l9ea ,pe secet arcum ,,ef 9 q2 recta ,ee1 qu cum arcu evanesc5te ,ee co9cidit1 producta occurrat rect ,,ps 9 ,t2 ab ,s demittatur 9 ,,pe normalis ,,sg3 ob similia triangula ,,edt1 edt1 ,,eds2 erit ,dd ad ,ee1 ut ,,dt ad ,,et seu ,,de ad ,,es1 ob triangula ,eqe1 ,,esg 7p] ,lem4 ,,viii4 ,corol4 #c4 ,lem4 ,,vii47 similia1 erit ,ee ad qe seu ,ff1 ut ,,es ad ,,sg1 ex quo ,dd ad ,ff ut ,,de ad ,,sg2 hoc e/ 7ob similia triangula ,,pde1 ,,pgs7 ut ,,pe ad ,,ps4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxix4 ,!or4 ,,xxxix4 ,si sup]ficies ob latitud9em inf9ite dim9utam jamjam evanesc5s ,e,ffe1 convolutione sui circa axem ,,ps1 describat solidum ,sphricum concavo-convexum1 ad cujus p>ticulas s+ulas quales t5dant quales vires c5tripet3 dico quod vis1 qua solidum illud trahit corpusculum situm 9 ,p1 e/ 9 ratione composita ex ratione solidi ,d,eq4 ,ff ratione vis qua p>ticula data 9 loco ,ff trah]et idem corpusculum4 ,illu/ration ,nam si primo consid]emus vim sup]ficiei ,sphric ,,fe1 qu convolutione arcus ,,fe g5]atur1 l9ea de ubivis secatur 9 r2 erit sup]ficiei p>s annul>is1 convolutione arcus r,e g5ita1 ut l9eola ,dd1 man5te ,sphr radio ,,pe1 7uti demon/ravit ,ar*im$es 9 ,lib4 de ,sphra ,cyl9dro47 ,et hujus vis secundum l9eas ,,pe vel ,pr undiq2 9 sup]ficie conica sitas ex]cita1 ut hc ipsa sup]ficiei p>s annul>is2 hoc e/1 ut l9eola ,dd1 vel quod p]9de e/1 ut rectangulum sub dato ,sphr radio ,,pe l9eola illa ,dd3 at secundum l9eam ,,ps ad c5trum ,s t5d5tem m9or1 9 ratione ,,pd ad ,,pe1 adeoq2 ut ,,pd ,dd4 ,dividi jam intelligatur l9ea ,,df 9 p>ticulas innum]as quales1 qu s+ul nom95tur ,dd2 sup]ficies ,,fe dividetur 9 totidem quales annulos1 quorum vires erunt ut summa omnium ,,pd ,dd1 hoc e/1 cum l9eol omnes ,dd sibi invicem qu5tur1 adeoq2 pro datis hab]i poss9t1 ut summa omnium ,,pd ducta 9 ,dd1 id e/1 ut ,p,fq4 - ,p,dq4 sive ,p,eq4 - ,p,dq4 vel ,d,eq4 ductum 9 ,dd2 hoc e/1 si negligatur data ,dd1 ut ,,de quad4 ,ducatur jam sup]ficies ,,fe 9 altitud9em ,ff2 fiet solidi ,e,ffe vis ex]cita 9 corpusculum ,p ut ,d,eq4 ,ff3 puta si detur vis quam p>ticula aliqua data ,ff 9 di/antia ,,pf ex]cet 9 corpusculum ,p4 ,at si vis illa non detur1 fiet vis solidi ,e,ffe ut solidum ,d,eq4 ,ff vis illa non data conjunctim4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxx4 ,!or4 ,,xl4 ,si ad ,sphr alicujus ,,aeb1 c5tro ,s descript1 p>ticulas s+ulas quales t5dant quales vires c5tripet1 ad ,sphr axem ,,ab1 9 quo corpusculum aliquod ,p locatur1 erigantur de punctis s+ulis ,d p]p5dicula ,,de1 ,sphr occurr5tia 9 ,e1 9 ipsis capiantur longitud9es ,,dn1 qu s9t ut quantitas ,d,eq4 ,,ps ,,pe vis quam ,sphr p>ticula sita 9 axe ad di/antiam ,,pe ex]cet 9 corpusculum ,p conjunctim3 dico quod vis tota1 qua corpusculum ,p trahitur v]sus ,sphram1 e/ ut area compreh5sa sub axe ,sphr ,,ab l9ea curva ,,anb1 quam punctum ,n p]petuo tangit4 ,et5im /antibus qu 9 ,lemmate ,!oremate novissimo con/ructa sunt1 concipe axem ,sphr ,,ab dividi 9 p>ticulas innum]as quales ,dd1 ,sphram totam dividi 9 totidem lam9as ,sphricas concavo-convexas ,e,ffe2 erigatur p]p5diculum dn4 ,p] ,!orema sup]ius1 vis qua lam9a ,e,ffe trahit corpusculum ,p e/ ut ,d,eq4 ,ff vis p>ticul unius ad di/antiam ,,pe vel ,,pf ex]cita conjunctim4 ,e/ autem p] ,lemma novissimum1 ,dd ad ,ff ut ,,pe ad ,,ps1 inde ,ff qualis ,,ps ,dd ,,pe2 ,d,eq4 ,ff quale ,dd 9 ,d,eq4 ,,ps ,,pe1 propt]ea vis lam9 ,e,ffe e/ ut ,dd 9 ,d,eq4 ,,ps ,,pe vis p>ticul ad di/antiam ,,pf ex]cita conjunctim1 hoc e/ 7ex ,hypo!si7 ut ,,dn ,dd1 seu area evanesc5s ,d,nnd4 ,sunt igitur lam9>um omnium vires 9 corpus ,p ex]cit1 ut are omnes ,d,nnd1 hoc e/ ,sphr vis tota ut area tota ,,abna4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si vis c5tripeta1 ad p>ticulas s+ulas t5d5s1 eadem semp] maneat 9 omnibus di/antiis1 fiat ,,dn ut ,d,eq4 ,,ps ,,pe3 erit vis tota qua corpusculum a ,sphra attrahitur1 ut area ,,abna4 ,corol4 #b4 ,si p>ticul>um vis c5tripeta sit reciproce ut di/antia corpusculi a se attracti1 fiat ,,dn ut ,d,eq4 ,,ps ,p,eq43 erit vis qua corpusculum ,p a ,sphra tota attrahitur ut area ,,abna4 ,corol4 #c4 ,si p>ticul>um vis c5tripeta sit reciproce ut cubus di/anti corpusculi a se attracti1 fiat ,,dn ut ,d,eq4 ,,ps ,p,eqq43 erit vis qua corpusculum a tota ,sphra attrahitur ut area ,,abna4 ,corol4 #d4 ,et univ]salit] si vis c5tripeta ad s+ulas ,sphr p>ticulas t5d5s ponatur esse reciproce ut quantitas ,v1 fiat autem ,,dn ut ,d,eq4 ,,ps ,,pe ,v2 erit vis qua corpusculum a ,sphra tota attrahitur ut area ,,abna4 ,prop4 ,,lxxxi4 ,prob4 ,,xli4 ,illu/ration ,/antibus jam positis1 m5sur&a e/ ,area ,,abna4 ,a puncto ,p ducatur recta ,,ph ,sphram tang5s 9 ,h1 ad axem ,,pab demissa ,normali ,,hi1 bisecetur ,,pi 9 ,l2 erit 7p] ,prop4 #ab1 ,lib4 #b4 ,elem47 ,p,eq4 quale ,p,sq4 ,s,eq4 #b,,psd4 ,e/ autem ,s,eq4 seu ,s,hq4 7ob similitud9em triangulorum ,,sph1 ,,%i7 quale rectangulo ,,psi4 ,ergo ,p,eq4 quale e/ cont5to sub ,,ps ,,ps ,,si #b,,sd1 hoc e/1 sub ,,ps #b,,ls #b,,sd1 id e/1 sub ,,ps #b,,ld4 ,porro ,,de quad4 quale e/ ,s,eq4 - ,s,dq4 seu ,s,eq4 - ,l,sq4 #b,,sld - ,l,dq4 id e/1 ,,sld - ,l,dq4 - ,,alb4 ,nam ,l,sq4 - ,s,eq4 seu ,l,sq4 - ,s,aq4 7p] ,prop4 #f ,lib4 #b4 ,elem7 quatur rectangulo ,,alb4 ,scribatur itaq2 #b,,sld - ,l,dq4 - ,,alb pro ,d,eq4 quantitas ,d,eq4 ,,ps ,,pe ,v1 qu secundum ,coroll>ium qu>tum ,propositionis prc$5tis e/ ut longitudo ord9atim applicat ,,dn1 resolvet sese 9 tres p>tes #b,,sld ,,ps ,l,dq4 ,,ps ,,alb ,,ps -------- - -------- - --------3 ,,pe ,v ,,pe ,v ,,pe ,v ,illu/ration ubi si pro ,v scribatur ratio inv]sa vis c5tripet1 pro ,,pe m$ium proportionale int] ,,ps #b,,ld2 tres ill p>tes evad5t ord9atim applicat l9e>um totidem curv>um1 qu>um are p] ,me?odos vulgatas innotescunt4 ,q4 ,e4 ,f4 ,exempl4 #a4 ,si vis c5tripeta ad s+ulas ,sphr p>ticulas t5d5s sit reciproce ut di/antia2 pro ,v scribe di/antiam ,,pe1 de9 #b,,ps ,,ld pro ,p,eq41 fiet ,,dn ut ,,sl - ,,ld - ,,alb #b,,ld4 ,pone ,,dn qualem duplo ejus #b,,sl - ,,ld - ,,alb ,,ld3 ord9at p>s data #b,,sl ducta 9 longitud9em ,,ab describet aream rectangulam #b,,sl ,,ab2 p>s indef9ita ,,ld ducta normalit] 9 e&em longitud9em p] motum cont9uum1 ea lege ut int] mov5dum cresc5do vel decresc5do quetur semp] longitud9i ,,ld1 describet aream ,l,bq4 - ,l,aq4 #b1 id e/1 aream ,,sl ,,ab2 qu subducta de area priore #b,,sl ,,ab rel9quit aream ,,sl ,,ab4 ,p>s autem t]tia ,,alb ,,ld ducta itidem p] motum localem normalit] 9 e&em longitud9em1 describet aream ,hyp]bolicam2 qu subducta de area ,,sl ,,ab rel9quet aream qusitam ,,abna4 ,unde talis em]git ,problematis con/ructio4 ,ad puncta ,l1 ,a1 ,b erige p]p5dicula ,ll1 ,aa1 ,bb1 quorum ,aa ipsi ,,lb1 ,bb ipsi ,,la quetur4 ,asymptotis ,ll1 ,,lb1 p] puncta a1 b describatur ,hyp]bola ab4 ,et acta *orda ba claudet aream aba are qusit ,,abna qualem4 ,illu/ration ,exempl4 #b4 ,si vis c5tripeta ad s+ulas ,sphr p>ticulas t5d5s sit reciproce ut cubus di/anti1 vel 7quod p]9de e/7 ut cubus ille applicatus ad planum quodvis datum2 scribe ,,pe cub4 #b;,a,sq4 pro ,v1 de9 #b,,ps ,,ld pro ,p,eq42 fiet ,,dn ut ,,sl ,a,sq4 ,a,sq4 ,,alb ,a,sq4 -------- - ---- - ---------- ,,ps ,,ld #b,,ps #b,,ps ,l,dq4 id e/ 7ob cont9ue proportionales ,,ps1 ,,z1 ,,si7 ut ,,lsi ,,alb ,,si --- - #a_/b,,si - --------4 ,,ld #b,l,dq4 ,si ducantur hujus p>tes tres 9 longitud9em ,,ab1 prima ,,lsi ,,ld g5]abit aream ,hyp]bolicam2 secunda ,,si aream ,,ab ,,si2 t]tia ,,alb ,,si #b,l,dq4 aream ,,alb ,,si ,,alb ,,si -------- - --------1 #b,,la #b,,lb id e/ ,,ab ,,si4 ,de prima subducatur summa secund ac t]ti1 manebit area qusita ,,abna4 ,unde talis em]git ,problematis con/ructio4 ,ad puncta ,l1 ,a1 ,s1 ,b erige p]p5dicula ,ll1 ,aa1 ,ss1 ,bb1 quorum ,ss ipsi ,,si quetur1 p]q2 punctum s ,asymptotis ,ll1 ,,lb describatur ,hyp]bola asb occurr5s p]p5diculis ,aa1 ,bb 9 a b2 rectangulum #b;,,asi subductum de area ,hyp]bolica ,aasb,b rel9quet aream qusitam ,,abna4 ,exempl4 #c4 ,si ,vis c5tripeta1 ad s+ulas ,sphr p>ticulas t5d5s1 decrescit 9 quadruplicata ratione di/anti a p>ticulis1 scribe ,,pe#d #b;,,z#c pro ,v1 de9 sqrt#b,,ps ,,ld pro ,,pe1 fiet ,,dn ut ,,sl ,,si#c_/b ,,si#c_/b ,,alb ,,si#c_/b ------------------ - ------------------- - -------------------4 sqrt#b ,,ld#c_/b #bsqrt#b ,,ld#a_/b #bsqrt#b ,,ld#e_/b ,cujus tres p>tes duct 9 longitud9em ,,ab1 producunt ,areas totidem1 viz4 sqrt#b ,,sl ,,si#c_/b sqrt#b ,,sl ,,si#c_/b ----------------------- - -----------------------1 ,,la#a_/b ,,lb#a_/b ,,lb#a_/b ,,si#c_/b - ,,la#a_/b - ,,si#c_/b ---------------------------------------- - sqrt#b ,,alb ,,si#c_/b ,,alb ,,si#c_/b ------------------- - -------------------4 #csqrt#b ,,la#c_/b #csqrt#b ,,lb#c_/b ,et h po/ debitam r$uctionem1 subductis po/]ioribus de priori1 evadunt #h,,si cub4 #c,,li4 ,igitur vis tota1 qua corpusculum ,p 9 ,sphr c5trum trahitur1 e/ ut ,,si cub4 ,,pi1 id e/ reciproce ut ,,ps cub4 ,,pi4 ,q4 ,e4 ,i4 ,eadem ,me?odo det]m9>i pote/ attractio corpusculi siti intra ,sphram1 s$ exp$itius p] ,!orema sequ5s4 ,prop4 ,,lxxxii4 ,!or4 ,,xli4 ,9 ,sphra c5tro ,s int]vallo ,,sa descripta1 si capiantur ,,si1 ,,sa1 ,,sp cont9ue proportionales3 dico quod corpusculi intra ,sphram 9 loco quovis ,i attractio e/ ad attractionem ipsius extra ,sphram 9 loco ,p1 9 ratione composita ex dimidiata ratione di/anti>um a c5tro ,,is1 ,,ps dimidiata ratione virium c5tripet>um1 9 locis illis ,p ,i1 ad c5trum t5d5tium4 ,illu/ration ,ut si vires c5tripet p>ticul>um ,sphr s9t reciproce ut di/anti corpusculi a se attracti2 vis1 qua corpusculum situm 9 ,i trahitur a ,sphra tota1 erit ad vim qua trahitur 9 ,p1 9 ratione composita ex dimidiata ratione di/anti ,,si ad di/antiam ,,sp ratione dimidiata vis c5tripet 9 loco ,i1 a p>ticula aliqua 9 c5tro oriund1 ad vim c5tripetam 9 loco ,p ab eadem 9 c5tro p>ticula oriundam1 id e/1 ratione dimidiata di/anti>um ,,si1 ,,sp ad invicem reciproce4 ,h du rationes dimidiat componunt rationem qualitatis1 propt]ea attractiones 9 ,i ,p a ,sphra tota fact quantur4 ,simili computo1 si vires p>ticul>um ,sphr sunt reciproce 9 duplicata ratione di/anti>um1 colligetur quod attractio 9 ,i sit ad attractionem 9 ,p1 ut di/antia ,,sp ad ,sphr semidiametrum ,,sa3 ,si vires ill sunt reciproce 9 triplicata ratione di/anti>um1 attractiones 9 ,i ,p erunt ad invicem ut ,,sp quad4 ad ,,sa quad42 si 9 quadruplicata1 ut ,,sp cub4 ad ,,sa cub4 ,unde cum attractio 9 ,p1 9 hoc ultimo casu1 inv5ta fuit reciproce ut ,,ps cub4 ,,pi1 attractio 9 ,i erit reciproce ut ,,sa cub4 ,,pi1 id e/ 7ob datum ,,sa cub47 reciproce ut ,,pi4 ,et similis e/ progressus 9 inf9itum4 ,!orema v]o sic demon/ratur4 ,/antibus jam ante con/ructis1 exi/5te corpore 9 loco quovis ,p1 ord9atim applicata ,,dn inv5ta fuit ut ,d,eq4 ,,ps ,,pe ,v4 ,ergo si agatur ,,ie1 ord9ata illa ad alium quemvis locum ,i1 mutatis mut&is1 evadet ut ,d,eq4 ,,is ,,ie ,v4 ,pone vires c5tripetas1 e ,sphr puncto quovis ,e manantes1 esse ad invicem 9 di/antiis ,,ie1 ,,pe1 ut ,,pen ad ,,ien1 7ubi num]us n designet indicem pote/atum ,,pe ,,ie7 ord9at ill fi5t ut ,d,eq4 ,,ps ,,pe ,,pen ,d,eq4 ,,is ,,ie ,,ien1 qu>um ratio ad invicem e/ ut ,,ps ,,ie ,,ien ad ,,is ,,pe ,,pen4 ,quoniam ob similia triangula ,,spe1 ,,sei1 fit ,,ie ad ,,pe ut ,,is ad ,,se vel ,,sa2 pro ratione ,,ie ad ,,pe scribe rationem ,,is ad ,,sa2 ord9at>um ratio evadet ,,ps ,,ien ad ,,sa ,,pen4 ,s$ ,,ps ad ,,sa dimidiata e/ ratio di/anti>um ,,ps1 ,,si2 ,,ien ad ,,pen dimidiata e/ ratio virium 9 di/antiis ,,ps1 ,,is4 ,ergo ord9at1 propt]ea are quas ord9at describunt1 hisq2 proportionales attractiones1 sunt 9 ratione composita ex dimidiatis illis rationibus4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxxiii4 ,prob4 ,,xlii4 ,illu/ration ,inv5ire vim qua corpusculum 9 c5tro ,sphr locatum ad ejus segm5tum quodcunq2 attrahitur4 ,sit ,p corpus 9 c5tro ,sphr1 ,,rbsd segm5tum ejus plano ,,rds sup]ficie ,sphrica ,,rbs cont5tum4 ,sup]ficie ,sphrica ,,efg c5tro ,p descripta secetur ,,db 9 ,f1 ac di/+uatur segm5tum 9 p>tes ,,brefgs1 ,,f$g4 ,sit autem sup]ficies illa non pure ,ma!matica1 s$ ,physica1 pr(unditatem hab5s quam m9imam4 ,nom9etur i/a pr(unditas ,o1 erit hc sup]ficies 7p] demon/rata ,ar*im$is7 ut ,,pf ,,df ,o4 ,ponamus prt]ea vires attractivas p>ticul>um ,sphr esse reciproce ut di/anti>um dignitas illa cujus ,index e/ n2 vis qua sup]ficies ,,fe trahit corpus ,p erit ut ,,df ,o ,,pfn - #a4 ,huic proportionale sit p]p5diculum ,,fn ductum 9 ,o2 area curvil9ea ,,bdlib1 quam ord9atim applicata ,,fn 9 longitud9em ,,db p] motum cont9uum ducta describit1 erit ut vis tota qua segm5tum totum ,,rbsd trahit corpus ,p4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,lxxxiv4 ,prob4 ,,xliii4 ,inv5ire vim qua corpusculum1 extra c5trum ,sphr 9 axe segm5ti cujusvis locatum1 attrahitur ab eodem segm5to4 ,a segm5to ,,ebk trahatur corpus ,p 7,vide ,fig4 ,prop4 #gi4 #hj4 #ha47 9 ejus axe ,,adb locatum4 ,c5tro ,p int]vallo ,,pe describatur sup]ficies ,sphrica ,,efk1 qua di/+uatur segm5tum 9 p>tes duas ,,ebkf ,,efkd4 ,quratur vis p>tis prioris p] ,prop4 ,,lxxxi4 vis p>tis po/]ioris p] ,prop4 ,,lxxxiii42 summa virium erit vis segm5ti totius ,,ebkd4 ,q4 ,e4 ,i4 ,s*olium4 ,explicatis attractionibus corporum ,sphricorum1 jam p]g]e lic]et ad leges attractionum aliorum quorundam ex p>ticulis attractivis similit] con/antium corporum2 s$ i/a p>ticulatim tract>e m9us ad in/itutum spectat4 ,suffec]it ,propositiones quasdam g5]aliores de viribus hujusmodi corporum1 deq2 motibus inde oriundis1 ob eorum 9 rebus ,philosophicis aliqualem usum1 subjung]e4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,xiii4 ,de ,corporum etiam non ,sphricorum viribus attractivis4 ,prop4 ,,lxxxv4 ,!or4 ,,xlii4 ,si corporis attracti1 ubi attrah5ti contiguum e/1 attractio longe =tior sit1 quam cum vel m9imo int]vallo sep>antur ab invicem3 vires p>ticul>um trah5tis1 9 recessu corporis attracti1 decrescunt 9 ratione plusquam duplicata di/anti>um a p>ticulis4 ,nam si vires decrescunt 9 ratione duplicata di/anti>um a p>ticulis2 attractio v]sus corpus ,sphricum1 propt]ea quod 7p] ,prop4 ,,lxxiv47 sit reciproce ut quadratum di/anti attracti corporis a c5tro ,sphr1 haud s5sibilit] augebitur ex contactu2 atq2 adhuc m9us augebitur ex contactu1 si attractio 9 recessu corporis attracti decrescat 9 ratione m9ore4 ,patet igitur ,propositio de ,sphris attractivis4 ,et p> e/ ratio ,orbium ,sphricorum concavorum corpora ext]na trah5tium4 ,et multo magis res con/at 9 ,orbibus corpora int]ius con/ituta trah5tibus1 cum attractiones passim p] ,orbium cavitates ab attractionibus contr>iis 7p] ,prop4 ,,lxx47 tollantur1 ideoq2 vel 9 ipso contactu null sunt4 ,quod si ,sphris hisce ,orbibusq2 ,sphricis p>tes qulibet a loco contactus remot auf]antur1 p>tes nov ubivis addantur3 mut>i possunt figur horum corporum attractivorum pro lubitu1 nec tam5 p>tes addit vel subduct1 cum s9t a loco contactus remot1 augebunt notabilit] attractionis excessum qui ex contactu oritur4 ,con/at igitur ,propositio de corporibus figur>um omnium4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxxvi4 ,!or4 ,,xliii4 ,si p>ticul>um1 ex quibus corpus attractivum componitur1 vires 9 recessu corporis attracti decrescunt 9 triplicata vel plusquam triplicata ratione di/anti>um a p>ticulis3 attractio longe =tior erit 9 contactu1 quam cum attrah5s attractum int]vallo vel m9imo sep>antur ab invicem4 ,nam attractionem 9 accessu attracti corpusculi ad hujusmodi ,sphram trah5tem aug]i 9 inf9itum1 con/at p] solutionem ,problematis ,,xli4 9 ,exemplo secundo ac t]tio exhibitam4 ,idem1 p] ,exempla illa ,!orema ,,xli int] se collata1 facile colligitur de attractionibus corporum v]sus ,orbes concavo-convexos1 sive corpora attracta colloc5tur extra ,orbes1 sive intra 9 eorum cavitatibus4 ,s$ add5do vel auf]5do 8 ,sphris ,orbibus ubivis extra locum contactus mat]iam quamlibet attractivam1 eo ut corpora attractiva induant figuram quamvis assignatam1 con/abit ,propositio de corporibus univ]sis4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxxvii4 ,!or4 ,,xliv4 ,si corpora duo sibi invicem similia ex mat]ia qualit] attractiva con/antia seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis proportionalia ad se similit] posita3 attractiones accel]atrices corpusculorum 9 corpora tota erunt ut attractiones accel]atrices corpusculorum 9 eorum p>ticulas totis proportionales 9 totis similit] positas4 ,nam si corpora di/+uantur 9 p>ticulas1 qu s9t totis proportionales 9 totis similit] sit2 erit1 ut attractio 9 p>ticulam quamlibet unius corporis ad attractionem 9 p>ticulam correspond5tem 9 corpore alt]o1 ita attractiones 9 p>ticulas s+ulas primi corporis ad attractiones 9 alt]ius p>ticulas s+ulas correspond5tes2 compon5do1 ita attractio 9 totum primum corpus ad attractionem 9 totum secundum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,ergo si vires attractiv p>ticul>um1 aug5do di/antias corpusculorum attractorum1 decrescant 9 ratione dignitatis cujusvis di/anti>um3 attractiones accel]atrices 9 corpora tota erunt ut corpora directe di/anti>um dignitates ill inv]se4 ,ut si vires p>ticul>um decrescant 9 ratione duplicata di/anti>um a corpusculis attractis1 corpora autem s9t ut ,a cub4 ,b cub4 adeoq2 tum corporum lat]a cubica1 tum corpusculorum attractorum di/anti a corporibus1 ut ,a ,b3 attractiones accel]atrices 9 corpora erunt ut ,a cub4 ,a quad4 ,b cub4 ,b quad4 id e/1 ut corporum lat]a illa cubica ,a ,b4 ,si vires p>ticul>um decrescant 9 ratione triplicata di/anti>um a corpusculis attractis2 attractiones accel]atrices 9 corpora tota erunt ut ,a cub4 ,a cub4 ,b cub4 ,b cub4 id e/1 quales4 ,si vires decrescant 9 ratione quadruplicata1 attractiones 9 corpora erunt ut ,a cub4 ,aqq4 ,b cub4 ,bqq4 id e/1 reciproce ut lat]a cubica ,a ,b4 ,et sic 9 ct]is4 ,corol4 #b4 ,unde vicissim1 ex viribus quibus corpora similia trahunt corpuscula ad se similit] posita1 colligi pote/ ratio decrem5ti virium p>ticul>um attractiv>um 9 recessu corpusculi attracti2 si modo decrem5tum illud sit directe vel inv]se 9 ratione aliqua di/anti>um4 ,prop4 ,,lxxxviii4 ,!or4 ,,xlv4 ,si p>ticul>um qualium corporis cujuscunq2 vires attractiv s9t ut di/anti locorum a p>ticulis3 vis corporis totius t5det ad ipsius c5trum gravitatis2 eadem erit cum vi globi ex mat]ia consimili quali con/antis c5trum hab5tis 9 ejus c5tro gravitatis4 ,illu/ration ,corporis ,,r/v p>ticul ,a1 ,b trahant corpusculum aliquod ,z viribus qu1 si p>ticul quantur int] se1 s9t ut di/anti ,,az1 ,,bz2 s9 p>ticul /atuantur 9quales1 s9t ut h p>ticul 9 di/antias suas ,,az1 ,,bz respective duct4 ,et exponantur h vires p] cont5ta illa ,a ,,az ,b ,,bz4 ,jungatur ,,ab1 secetur ea 9 ,g ut sit ,,ag ad ,,bg ut p>ticula ,b ad p>ticulam ,a2 erit ,g commune c5trum gravitatis p>ticul>um ,a ,b4 ,vis ,a ,,az p] ,legum ,corol4 #b4 resolvitur 9 vires ,a ,,gz ,a ,,ag1 vis ,b ,,bz 9 vires ,b ,,gz ,b ,,bg4 ,vires autem ,a ,,ag ,b ,,bg1 ob proportionales ,a ad ,b ,,bg ad ,,ag1 quantur1 adeoq21 cum dirigantur 9 p>tes contr>ias1 se mutuo de/ruunt4 ,re/ant vires ,a ,,gz ,b ,,gz4 ,t5dunt h ab ,z v]sus c5trum ,g1 vim ,a ,b ,,gz componunt2 hoc e/1 vim e&em ac si p>ticul attractiv ,a ,b consi/]5t 9 eorum communi gravitatis c5tro ,g1 globum ibi compon5tes4 ,eodem argum5to si adjungatur p>ticula t]tia ,c2 componatur hujus vis cum vi ,a ,b ,,gz t5d5te ad c5trum ,g1 vis inde oriunda t5det ad commune c5trum gravitatis globi illius ,g p>ticul ,c2 hoc e/1 ad commune c5trum gravitatis trium p>ticul>um ,a1 ,b1 ,c2 eadem erit ac si globus p>ticula ,c consi/]5t 9 c5tro illo communi1 globum majorem ibi compon5tes4 ,et sic p]gitur 9 inf9itum4 ,eadem e/ igitur vis tota p>ticul>um omnium corporis cujuscunq2 ,,r/v ac si corpus illud1 s]vato gravitatis c5tro1 figuram globi indu]et4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,h9c motus corporis attracti ,z idem erit ac si corpus attrah5s ,,r/v esset ,sphricum3 propt]ea si corpus illud attrah5s vel quiescat1 vel progr$iatur uni=mit] 9 directum1 corpus attractum movebitur 9 ,ellipsi c5trum hab5te 9 attrah5tis c5tro gravitatis4 ,prop4 ,,lxxxix4 ,!or4 ,,xlvi4 ,si ,corpora s9t plura ex p>ticulis qualibus con/antia1 qu>um vires sunt ut di/anti locorum a s+ulis3 vis ex omnium viribus composita1 qua corpusculum quodcunq2 trahitur1 t5det ad trah5tium commune c5trum gravitatis1 eadem erit ac si trah5tia illa1 s]vato gravitatis c5tro communi1 coir5t 9 globum =m>5tur4 ,demon/ratur eodem modo1 atq2 ,propositio sup]ior4 ,corol4 ,ergo motus corporis attracti idem erit ac si corpora trah5tia1 s]vato communi gravitatis c5tro1 coir5t 9 globum =m>5tur4 ,ideoq2 si corporum trah5tium commune gravitatis c5trum vel quiescit1 vel progr$itur uni=mit] 9 l9ea recta1 corpus attractum movebitur 9 ,ellipsi1 c5trum hab5te 9 communi illo trah5tium c5tro gravitatis4 ,prop4 ,,xc4 ,prob4 ,,xliv4 ,si ad s+ula circuli cujuscunq2 puncta t5dant vires c5tripet decresc5tes 9 quacunq2 di/anti>um ratione3 inv5ire vim qua corpusculum attrahitur ubivis 9 recta qu ad planum circuli p] c5trum ejus p]p5dicul>is consi/it4 ,illu/ration ,c5tro ,a int]vallo quovis ,,ad1 9 plano cui recta ,,ap p]p5dicul>is e/1 describi intelligatur circulus2 inv5i5da sit vis qua corpus quodvis ,p 9 eundem attrahitur4 ,a circuli puncto quovis ,e ad corpus attractum ,p agatur recta ,,pe3 ,9 recta ,,pa capiatur ,,pf ipsi ,,pe qualis1 erigatur ,normalis ,,fk1 qu sit ut vis qua punctum ,e trahit corpusculum ,p4 ,sitq2 ,,ikl curva l9ea quam punctum ,k p]petuo tangit4 ,occurrat eadem circuli plano 9 ,l4 ,9 ,,pa capiatur ,,ph qualis ,,pd1 erigatur p]p5diculum ,,hi curv prdict occurr5s 9 ,i2 erit corpusculi ,p attractio 9 circulum ut area ,,ahil ducta 9 altitud9em ,,ap4 ,q4 ,e4 ,i4 ,et5im 9 ,,ae capiatur l9ea quam m9ima ,ee4 ,jungatur ,pe1 9 ,,pa capiatur ,pf ipsi ,pe qualis4 ,et quoniam vis1 qua annuli punctum quodvis ,e trahit ad se corpus ,p1 ponitur esse ut ,,fk1 inde vis qua punctum illud trahit corpus ,p v]sus ,a e/ ut ,,ap ,,fk ,,pe1 vis qua annulus totus trahit corpus ,p v]sus ,a1 ut annulus ,,ap ,,fk ,,pe conjunctim2 annulus autem i/e e/ ut rectangulum sub radio ,,ae latitud9e ,ee1 hoc rectangulum 7ob proportionales ,,pe ,,ae1 ,ee c,e7 quatur rectangulo ,,pe c,e seu ,,pe ,ff2 erit vis qua annulus i/e trahit corpus ,p v]sus ,a ut ,,pe ,ff ,,ap ,,fk ,,pe conjunctim1 id e/1 ut cont5tum ,ff ,,ap ,,fk1 sive ut area ,f,kkf ducta 9 ,,ap4 ,et propt]ea summa virium1 quibus annuli omnes 9 circulo1 qui c5tro ,a int]vallo ,,ad describitur1 trahunt corpus ,p v]sus ,a1 e/ ut area tota ,,ahikl ducta 9 ,,ap4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si vires punctorum decrescunt 9 duplicata di/anti>um ratione1 hoc e/1 si sit ,,fk ut #a ,,pf quad41 atq2 adeo area ,,ahikl ut #a ,,pa - #a ,,ph2 erit attractio corpusculi ,p 9 circulum #a - ,,pa ,,ph1 id e/1 ut ,,ah ,,ph4 ,corol4 #b4 ,et univ]salit]1 si vires punctorum ad di/antias ,d s9t reciproce ut di/anti>um dignitas qulibet ,dn1 hoc e/1 si sit ,,fk ut #a ,dn1 adeoq2 area ,,ahikl ut #a ,,pan - #a - #a ,,phn - #a2 erit attractio corpusculi ,p 9 circulum ut #a ,,pan - #b - ,,pa ,,phn - #a4 ,corol4 #c4 ,et si diamet] circuli augeatur 9 inf9itum1 num]us n sit unitate major2 attractio corpusculi ,p 9 planum totum inf9itum erit reciproce ut ,,pan - #b1 propt]ea quod t]m9us alt] ,,pa ,,phn - #a evanescet4 ,prop4 ,,xci4 ,prob4 ,,xlv4 ,inv5ire attractionem corpusculi siti 9 axe solidi1 ad cujus puncta s+ula t5dunt vires c5tripet 9 quacunq2 di/anti>um ratione decresc5tes4 ,illu/ration ,9 solidum ,,adefg trahatur corpusculum ,p1 situm 9 ejus axe ,,ab4 ,circulo quolibet ,,rfs ad hunc axem p]p5dicul>i secetur hoc solidum1 9 ejus diametro ,,fs1 9 plano aliquo ,,palkb p] axem transeunte1 capiatur 7p] ,prop4 ,,xc47 longitudo ,,fk vi qua corpusculum ,p 9 circulum illum attrahitur proportionalis4 ,tangat autem punctum ,k curvam l9eam ,,lki1 planis extimorum circulorum ,,al ,,bi occurr5tem 9 ,a ,b2 erit attractio corpusculi ,p 9 solidum ut area ,,labi4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,unde si solidum ,cyl9drus sit1 p>allelogrammo ,,adeb circa axem ,,ab revoluto descriptus1 vires c5tripet 9 s+ula ejus puncta t5d5tes s9t reciproce ut quadrata di/anti>um a punctis3 erit attractio corpusculi ,p 9 hunc ,cyl9drum ut ,,ba - ,,pe ,,pd4 ,nam ord9atim applicata ,,fk 7p] ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xc47 erit ut #a - ,,pf ,,pr4 ,hujus p>s #a ducta 9 longitud9em ,,ab1 describit aream #a ,,ab2 p>s alt]a ,,pf ,,pr ducta 9 longitud9em ,,pb1 describit aream #a 9 ,,pe - ,,ad 7id quod ex curv ,,lki quadratura facile o/5di pote/37 similit] p>s eadem ducta 9 longitud9em ,,pa describit aream #a 9 ,,pd - ,,ad1 ductaq2 9 ips>um ,,pb1 ,,pa diff]5tiam ,,ab describit are>um diff]5tiam #a 9 ,,pe - ,,pd4 ,de cont5to primo #a ,,ab auf]atur cont5tum po/remum #a 9 ,,pe - ,,pd1 re/abit area ,,labi qualis #a 9 ,,ab - ,,pe ,,pd4 ,ergo vis huic are proportionalis e/ ut ,,ab - ,,pe ,,pd4 ,illu/ration ,corol4 #b4 ,h9c etiam vis innotescit qua ,sphrois ,,agbcd attrahit corpus quodvis ,p1 ext]ius 9 axe suo ,,ab situm4 ,sit ,,nkrm ,sectio ,conica cujus ord9atim applicata ,,er1 ipsi ,,pe p]p5dicul>is1 quetur semp] longitud9i ,,pd1 qu ducitur ad punctum illud ,d1 9 quo applicata i/a ,sphroidem secat4 ,a ,sphroidis v]ticibus ,a1 ,b ad ejus axem ,,ab erigantur p]p5dicula ,,ak1 ,,bm ipsis ,,ap1 ,,bp qualia respective1 propt]ea ,sectioni ,conic occurr5tia 9 ,k ,m2 jungantur ,,km auf]5s ab eadem segm5tum ,,kmrk4 ,sit autem ,sphroidis c5trum ,s semidiamet] maxima ,,sc3 vis qua ,sphrois trahit corpus ,p erit ad vim qua ,sphra1 diametro ,,ab descripta1 trahit idem corpus1 ut ,,z ,c,sq4 - ,,ps ,,kmrk ,,z cub4 --------------------- ad ---------4 ,p,sq4 ,c,sq4 - ,a,sq4 #c,,ps quad4 ,et eodem comput&o fundam5to inv5ire licet vires segm5torum ,sphroidis4 ,illu/ration ,corol4 #c4 ,quod si corpusculum intra ,sphroidem 9 data quavis ejusdem diametro collocetur2 attractio erit ut ipsius di/antia a c5tro4 ,id quod facilius colligetur hoc argum5to4 ,sit ,,ag( ,sphrois attrah5s1 ,s c5trum ejus ,p corpus attractum4 ,p] corpus illud ,p agantur tum semidiamet] ,,spa1 tum rect du quvis ,,de1 ,,fg ,sphroidi h9c inde occurr5tes 9 ,d ,e1 ,f ,g3 ,s9tq2 ,,pcm1 ,,hln sup]ficies ,sphroidum du>um int]iorum1 ext]iori similium conc5tric>um1 qu>um prior transeat p] corpus ,p secet rectas ,,de ,,fg 9 ,b ,c1 po/]ior secet easdem rectas 9 ,h1 ,i ,k1 ,l4 ,habeant autem ,sphroides omnes axem communem1 erunt rect>um p>tes h9c inde int]cept ,,dp ,,be1 ,,fp ,,cg1 ,,dh ,,ie1 ,,fk ,,lg sibi mutuo quales2 propt]ea quod rect ,,de1 ,,pb ,,hi bisecantur 9 eodem puncto1 ut rect ,,fg1 ,,pc ,,kl4 ,concipe jam ,,dpf1 ,,epg design>e ,conos oppositos1 angulis v]ticalibus ,,dpf1 ,,epg inf9ite p>vis descriptos1 l9eas etiam ,,dh1 ,,ei inf9ite p>vas esse2 ,conorum p>ticul ,sphroidum sup]ficiebus absciss ,,dhkf1 ,,glie1 ob qualitatem l9e>um ,,dh1 ,,ei1 erunt ad invicem ut quadrata di/anti>um su>um a corpusculo ,p1 propt]ea corpusculum illud qualit] trah5t4 ,et p>i ratione1 si sup]ficiebus ,sphroidum innum]>um similium conc5tric>um axem communem hab5tium dividantur spatia ,,dpf1 ,,egcb 9 p>ticulas1 h omnes utr9q2 qualit] trah5t corpus ,p 9 p>tes contr>ias4 quales igitur sunt vires coni ,,dpf segm5ti ,conici ,,egcb1 p] contr>ietatem se mutuo de/ruunt4 ,et p> e/ ratio virium mat]i omnis extra ,sphroidem intimam ,,pcbm4 ,trahitur igitur corpus ,p a sola ,sphroide intima ,,pcbm1 propt]ea 7p] ,corol4 #c4 ,prop4 ,,lxxii47 attractio ejus e/ ad vim1 qua corpus ,a trahitur a ,sphroide tota ,,agod1 ut di/antia ,,ps ad di/antiam ,,z4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,xcii4 ,prob4 ,,xlvi4 ,dato corpore attractivo1 inv5ire rationem decrem5ti virium c5tripet>um 9 ejus puncta s+ula t5d5tium4 ,e corpore dato =m&a e/ ,sphra vel ,cyl9drus aliave figura regul>is1 cujus lex attractionis1 cuivis decrem5ti rationi congru5s 7p] ,prop4 ,,lxxx4 ,,lxxxi4 ,,xci47 inv5iri pote/4 ,de9 factis exp]im5tis inv5i5da e/ vis attractionis 9 div]sis di/antiis1 lex attractionis 9 totum inde patefacta dabit rationem decrem5ti virium p>tium s+ul>um1 quam inv5ire oportuit4 ,prop4 ,,xciii4 ,!or4 ,,xlvii4 ,si solidum ex una p>te planum1 ex reliquis autem p>tibus inf9itum1 con/et ex p>ticulis qualibus qualit] attractivis1 qu>um vires 9 recessu a solido decrescunt 9 ratione pote/atis cujusvis di/anti>um plusquam quadratic1 vi solidi totius corpusculum ad utramvis plani p>tem con/itutum trahatur3 dico quod solidi vis illa attractiva1 9 recessu ab ejus sup]ficie plana1 decrescet 9 ratione pote/atis1 cujus latus e/ di/antia corpusculi a plano1 ,index t]n>io m9or quam ,index pote/atis di/anti>um4 ,illu/ration ,cas4 #a4 ,sit ,l,gl planum quo ,solidum t]m9atur4 ,jaceat autem solidum ex p>te plani hujus v]sus ,i1 inq2 plana innum]a m,h,m1 n,i,n c4 ipsi ,,gl p>allela resolvatur4 ,et primo collocetur corpus attractum ,c extra solidum4 ,agatur autem ,,cghi planis illis innum]is p]p5dicul>is1 decrescant vires attractiv punctorum solidi 9 ratione pote/atis di/anti>um1 cujus index sit num]us n t]n>io non m9or4 ,ergo 7p] ,corol4 #c4 ,prop4 ,,xc7 vis qua planum quodvis m,h,m trahit punctum ,c e/ reciproce ut ,,*n - #b4 ,9 plano m,h,m capiatur longitudo ,,hm ipsi ,,*n - #b reciproce proportionalis1 erit vis illa ut ,,hm4 ,similit] 9 planis s+ulis l,g,l1 n,i,n1 o,k,o c4 capiantur longitud9es ,,gl1 ,,91 ,,ko c4 ipsis ,,cgn - #b1 ,,cin - #b1 ,,ckn - #b c4 reciproce proportionales2 vires planorum eorundem erunt ut longitud9es capt1 adeoq2 summa virium ut summa longitud9um1 hoc e/1 vis solidi totius ut area ,,glok 9 inf9itum v]sus ,,ok producta4 ,s$ area illa p] notas quadratur>um me?odos e/ reciproce ut ,,cgn - #c1 propt]ea vis solidi totius e/ reciproce ut ,,cgn - #c ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,collocetur jam corpusculum ,c ex p>te plani l,g,l intra solidum1 capiatur di/antia ,,ck qualis di/anti ,,cg4 ,et solidi p>s ,l,glo,k,o1 planis p>allelis l,g,l1 o,k,o t]m9ata1 corpusculum ,c 9 m$io situm nullam 9 p>tem trahet1 contr>iis oppositorum punctorum actionibus se mutuo p] qualitatem toll5tibus4 ,pro9de corpusculum ,c sola vi solidi ultra planum ,,ok siti trahitur4 ,hc autem vis 7p] ,casum primum7 e/ reciproce ut ,,ckn - #c1 hoc e/ 7ob quales ,,cg1 ,,ck7 reciproce ut ,,cgn - #c4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si solidum ,,lg9 planis duobus inf9itis p>allelis ,,lg1 ,,9 utr9q2 t]m9etur2 innotescit ejus vis attractiva1 subduc5do de vi attractiva solidi totius inf9iti ,,lgko vim attractivam p>tis ult]ioris ,,niko1 9 inf9itum v]sus ,,ko product4 ,corol4 #b4 ,si solidi hujus inf9iti p>s ult]ior1 qu&o attractio ejus collata cum attractione p>tis cit]ioris nullius p5e e/ mom5ti1 rejiciatur3 attractio p>tis illius cit]ioris aug5do di/antiam decrescet quam proxime 9 ratione pote/atis ,,cgn - #c4 ,corol4 #c4 ,et h9c si corpus quodvis f9itum ex una p>te planum trahat corpusculum e regione m$ii illius plani1 di/antia int] corpusculum planum collata cum dim5sionibus corporis attrah5tis p]exigua sit1 con/et autem corpus attrah5s ex p>ticulis homog5eis1 qu>um vires attractiv decrescunt 9 ratione pote/atis cujusvis plusquam quadruplicat di/anti>um2 vis attractiva corporis totius decrescet quamproxime 9 ratione pote/atis1 cujus latus sit di/antia illa p]exigua1 ,index t]n>io m9or quam ,index pote/atis prioris4 ,de corpore ex p>ticulis con/ante1 qu>um vires attractiv decrescunt 9 ratione pote/atis triplicat di/anti>um1 ass]tio non valet1 propt]ea quod1 9 hoc casu1 attractio p>tis illius ult]ioris corporis inf9iti 9 ,coroll>io secundo1 semp] e/ inf9ite major quam attractio p>tis cit]ioris4 ,s*olium4 ,si corpus aliquod p]p5dicul>it] v]sus planum datum trahatur1 ex data lege attractionis quratur motus corporis3 ,solvetur ,problema qur5do 7p] ,prop4 ,,xxvii47 motum corporis recta desc5d5tis ad hoc planum1 7p] ,legum ,corol4 #b47 compon5do motum i/um cum uni=mi motu1 secundum l9eas eidem plano p>allelas facto4 ,et contra1 si quratur ,lex attractionis 9 planum secundum l9eas p]p5dicul>es fact ea conditione ut corpus attractum 9 data quacunq2 curva l9ea moveatur1 solvetur ,problema op]&o ad exemplum ,problematis t]tii4 ,op]ationes autem contrahi sol5t resolv5do ord9atim applicatas 9 s]ies conv]g5tes4 ,ut si ad basem ,a 9 angulo quovis dato ord9atim applicetur longitudo ,b1 qu sit ut basis dignitas qulibet ,amn2 quratur vis qua corpus1 secundum positionem ord9atim applicat1 vel 9 basem attractum vel a basi fugatum1 mov]i possit 9 curva l9ea quam ord9atim applicata t]m9o suo sup]iore semp] att+it2 ,suppono basem aug]i p>te quam m9ima ,o1 ord9atim applicatam ,a ,omn resolvo 9 ,s]iem inf9itam ,amn m n ,,oam - nn mm - mn #bnn ,o#b ,am - #bnn c4 atq2 hujus t]m9o 9 quo ,o du>um e/ dim5sionum1 id e/ t]m9o mm - mn #bnn ,o#b ,a7m - #bn7n vim proportionalem esse suppono4 ,e/ igitur vis qusita ut mm - mn nn ,a7m - #bn7n1 vel quod p]9de e/1 ut mm - mn nn ,b7m - #bn7m4 ,ut si ord9atim applicata ,p>abolam att+at1 exi/5te m #b1 n #a3 fiet vis ut data #b;,b#j1 adeoq2 dabitur4 ,data igitur vi corpus movebitur 9 ,p>abola1 quemadmodum ,galilu demon/ravit4 ,quod si ord9atim applicata ,hyp]bolam att+at1 exi/5te m #j - #a1 n #a2 fiet vis ut #b;,b#c3 adeoq2 vi1 qu sit ut cubus ord9atim applicat1 corpus movebitur 9 ,hyp]bola4 ,s$ missis hujusmodi ,propositionibus1 p]go ad alias quasdam de motu1 quas nondum attigi4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,xiv4 ,de motu corporum m9imorum1 qu viribus c5tripetis ad s+ulas magni alicujus corporis p>tes t5d5tibus agitantur4 ,prop4 ,,xciv4 ,!or4 ,,xlviii4 ,illu/ration ,si m$ia duo simil>ia1 spatio planis p>allelis utr9q2 t]m9ato1 di/+uantur ab invicem1 corpus 9 transitu p] hoc spatium attrahatur vel impellatur p]p5dicul>it] v]sus m$ium alt]utrum1 neq2 ulla alia vi agitetur vel imp$iatur2 ,sit autem attractio1 9 qualibus ab utroq2 plano di/antiis ad e&em ipsius p>tem captis1 ubiq2 eadem3 dico quod s9us incid5ti 9 planum alt]utrum erit ad s9um em]g5ti ex plano alt]o 9 ratione data4 ,cas4 #a4 ,sunto ,aa1 ,bb plana duo p>allela4 ,incidat corpus 9 planum prius ,aa secundam l9eam ,,gh1 ac toto suo p] spatium int]m$ium transitu attrahatur vel impellatur v]sus m$ium incid5ti1 eaq2 actione describat l9eam curvam ,,hi1 em]gat secundum l9eam ,,ik4 ,ad planum em]g5ti ,bb erigatur p]p5diculum ,,im1 occurr5s tum l9e incid5ti ,,gh product 9 ,m1 tum plano incid5ti ,aa 9 ,r2 l9ea em]g5ti ,,ki producta occurrat ,,hm 9 ,l4 ,c5tro ,l int]vallo ,,li describatur circulus1 secans tam ,,hm 9 ,p ,q1 quam ,,mi productam 9 ,n2 primo si attractio vel impulsus ponatur uni=mis1 erit 7ex demon/ratis ,galili7 curva ,,hi ,p>abola1 cujus hc e/ proprietas1 ut rectangulum sub dato lat]e recto l9ea ,,im quale sit ,,hm quadrato2 s$ l9ea ,,hm bisecabitur 9 ,l4 ,unde si ad ,,mi demittatur p]p5diculum ,,lo1 quales erunt ,,mo1 ,,or2 additis qualibus ,,io1 ,,on1 fi5t tot quales ,,mn1 ,,ir4 ,pro9de cum ,,ir detur1 datur etiam ,,mn1 e/q2 rectangulum ,,nmi ad rectangulum sub lat]e recto ,,im1 hoc e/1 ad ,h,mq41 9 data ratione4 ,s$ rectangulum ,,nmi quale e/ rectangulo ,,pmq1 id e/1 diff]5ti quadratorum ,m,lq4 ,p,lq4 seu ,l,iq42 ,h,mq4 datam rationem habet ad sui ipsius qu>tam p>tem ,l,mq43 ergo datur ratio ,m,lq4 - ,l,iq4 ad ,m,lq41 divisim1 ratio ,l,iq4 ad ,m,lq41 ratio dimidiata ,,li ad ,,ml4 ,s$ 9 omni triangulo ,,lmi1 s9us angulorum sunt proportionales lat]ibus oppositis4 ,ergo datur ratio s9us anguli incid5ti ,,lmr ad s9um anguli em]g5ti ,,lir4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illu/ration ,cas4 #b4 ,transeat jam corpus successive p] spatia plura p>allelis planis t]m9ata1 ,aab,b1 ,bbc,c c4 agitetur vi qu sit 9 s+ulis sep>atim uni=mis1 at 9 div]sis div]sa2 p] jam demon/rata1 s9us incid5ti 9 planum primum ,aa erit ad s9um em]g5ti ex plano secundo ,bb1 9 data ratione2 hic s9us1 qui e/ s9us incid5ti 9 planum secundum ,bb1 erit ad s9um em]g5ti ex plano t]tio ,cc1 9 data ratione2 hic s9us ad s9um em]g5ti ex plano qu>to ,dd1 9 data ratione2 sic 9 inf9itum3 ex quo s9us incid5ti 9 planum primum ad s9um em]g5ti ex plano ultimo 9 data ratione4 ,m9uatur jam planorum int]valla augeatur num]us 9 inf9itum1 eo ut attractionis vel impulsus actio secundum legem quamcunq2 assignatam cont9ua r$datur2 ratio s9us incid5ti 9 planum primum ad s9um em]g5ti ex plano ultimo1 semp] data exi/5s1 etiamnum dabitur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xcv4 ,!or4 ,,xlix4 ,iisdem positis2 dico quod velocitas corporis ante incid5tiam e/ ad ejus velocitatem po/ em]g5tiam1 ut s9us em]g5ti ad s9um incid5ti4 ,capiantur ,,ah1 ,id quales1 erigantur p]p5dicula ,,ag1 d,k occurr5tia l9eis incid5ti em]g5ti ,,gh1 ,,ik1 9 ,g ,k4 ,9 ,,gh capiatur ,,? qualis ,,ik1 ad planum ,aa demittatur normalit] ,tv4 ,et p] ,legum ,corol4 #b4 di/+uatur motus corporis 9 duos1 unum planis ,aa1 ,bb1 ,cc c4 p]p5dicul>em1 alt]um iisdem p>allelum4 ,vis attractionis vel impulsus ag5do secundum l9eas p]p5dicul>es nil mutat motum secundum p>allelas1 propt]ea corpus hoc motu conficiet qualibus temporibus qualia illa secundum p>allelas int]valla1 qu sunt int] l9eam ,,ag punctum ,h1 int]q2 punctum ,i l9eam d,k2 hoc e/1 qualibus temporibus describet l9eas ,,gh1 ,,ik4 ,pro9de velocitas ante incid5tiam e/ ad velocitatem po/ em]g5tiam1 ut ,,gh ad ,,ik vel ,,?1 id e/1 ut ,,ah vel ,id ad v,h1 hoc e/ 7respectu radii ,,? vel ,,ik7 ut s9us em]g5ti ad s9um incid5ti4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xcvi4 ,!or4 ,l4 ,iisdem positis quod motus ante incid5tiam velocior sit quam po/ea3 dico quod corpus1 incl9&o l9eam incid5ti1 reflectetur t&em1 angulus reflexionis fiet qualis angulo incid5ti4 ,illu/ration ,nam concipe corpus int] plana p>allela ,aa1 ,bb1 ,cc c4 describ]e arcus ,p>abolicos1 ut supra2 s9tq2 arcus illi ,,hp1 ,,pq1 ,,qr1 c4 ,et sit ea l9e incid5ti ,,gh obliquitas ad planum primum ,aa1 ut s9us incid5ti sit ad radium circuli1 cujus e/ s9us1 9 ea ratione quam habet idem s9us incid5ti ad s9um em]g5ti ex plano ,dd1 9 spatium ,dde,e3 ob s9um em]g5ti jam factum qualem radio1 angulus em]g5ti erit rectus1 adeoq2 l9ea em]g5ti co9cidet cum plano ,dd4 ,p]v5iat corpus ad hoc planum 9 puncto ,r2 quoniam l9ea em]g5ti co9cidit cum eodem plano1 p]spicuum e/ quod corpus non pote/ ultra p]g]e v]sus planum ,ee4 ,s$ nec pote/ idem p]g]e 9 l9ea em]g5ti ,rd1 propt]ea quod p]petuo attrahitur vel impellitur v]sus m$ium incid5ti4 ,rev]tetur itaq2 int] plana ,cc1 ,dd describ5do arcum ,p>abol ,q,rq1 cujus v]tex pr9cipalis 7juxta demon/rata ,galili7 e/ 9 ,r2 secabit planum ,cc 9 eodem angulo 9 q1 ac prius 9 ,q2 de9 p]g5do 9 arcubus p>abolicis qp1 ph c4 arcubus prioribus ,,qp1 ,,ph similibus qualibus1 secabit reliqua plana 9 iisdem angulis 9 p1 h c4 ac prius 9 ,p1 ,h c4 em]getq2 t&em eadem obliquitate 9 h1 qua incidit 9 ,h4 ,concipe jam planorum ,aa1 ,bb1 ,cc1 ,dd1 ,ee int]valla 9 inf9itum m9ui num]um aug]i1 eo ut actio attractionis vel impulsus secundum legem quamcunq2 assignatam cont9ua r$datur2 angulus em]g5ti semp] angulo incid5ti qualis exi/5s1 eidem etiamnum manebit qualis4 ,q4 ,e4 ,d4 ,s*olium4 ,illu/ration ,h>um attractionum haud multum dissimiles sunt ,lucis reflexiones refractiones1 fact secundum datam ,secantium rationem1 ut inv5it ,snellius1 p] consequ5s secundum datam ,s9uum rationem1 ut exposuit ,c>tesius4 ,namq2 ,lucem successive propag>i spatio quasi decem m9utorum primorum a ,sole ad ,t]ram v5ire1 jam con/at p] ,phnom5a ,satellitum ,jovis1 ,obs]vationibus div]sorum ,a/ronomorum confirmata4 ,radii autem 9 a]e exi/5tes 7uti dudum ,grimaldus1 luce p] =am5 9 t5ebrosum cubiculum admissa1 inv5it1 ipse quoq2 exp]tus sum7 9 transitu suo prope corporum vel opacorum vel p]spicuorum angulos 7quales sunt nummorum ex auro1 arg5to re cusorum t]m9i rectanguli circul>es1 cultrorum1 lapidum aut fractorum vitrorum acies7 incurvantur circum corpora1 quasi attracti 9 eadem2 ex 8 radiis1 qui 9 transitu illo propius acc$unt ad corpora incurvantur magis1 quasi magis attracti1 ut ipse etiam dilig5t] obs]vavi4 ,9 figura designat s aciem cultri vel cunei cujusvis ,as,b2 g[og1 fnvnf1 emtme1 dlsld sunt radii1 arcubus owo1 nvn1 mtm1 lsl v]sus cultrum incurvati2 idq2 magis vel m9us pro di/antia eorum a cultro4 ,cum autem talis incurvatio radiorum fiat 9 a]e extra cultrum1 debebunt etiam radii1 qui incidunt 9 cultrum1 prius incurv>i 9 a]e quam cultrum att+unt4 ,et p> e/ ratio incid5tium 9 vitrum4 ,fit igitur refractio1 non 9 puncto incid5ti1 s$ paulatim p] cont9uam incurvationem radiorum1 factam p>tim 9 a]e antequam att+unt vitrum1 p>tim 7ni fallor7 9 vitro1 po/quam illud +ressi sunt3 uti 9 radiis ckzkc1 biyib1 ahxha incid5tibus ad r1 q1 p1 int] k z1 i y1 h x incurvatis1 del9eatum e/4 ,igitur ob analogiam qu e/ int] propagationem radiorum lucis progressum corporum1 visum e/ ,propositiones sequ5tes 9 usus opticos subjung]e2 int]ea de natura radiorum 7utrum s9t corpora necne7 nihil omn9o disputans1 s$ trajectorias corporum trajectoriis radiorum p]similes solummodo det]m9ans4 ,prop4 ,,xcvii4 ,prob4 ,,xlvii4 ,posito quod s9us incid5ti 9 sup]ficiem aliquam sit ad s9um em]g5ti 9 data ratione1 quodq2 incurvatio vi corporum juxta sup]ficiem illam fiat 9 spatio brevissimo1 quod ut punctum consid]>i possit2 det]m9>e sup]ficiem qu corpuscula omnia de loco dato successive manantia conv]g]e faciat ad alium locum datum4 ,illu/ration ,sit ,a locus a quo corpuscula div]gunt2 ,b locus 9 quem conv]g]e deb5t2 ,,cde curva l9ea qu circa axem ,,ab revoluta describat sup]ficiem qusitam2 ,d1 ,e curv illius puncta duo quvis2 ,,ef1 ,,eg p]p5dicula 9 corporis vias ,,ad1 ,,db demissa4 ,acc$at punctum ,d ad punctum ,e2 l9e ,,df qua ,,ad augetur1 ad l9eam ,,dg qua ,,db dim9uitur1 ratio ultima erit eadem qu s9us incid5ti ad s9um em]g5ti4 ,datur ergo ratio increm5ti l9e ,,ad ad decrem5tum l9e ,,db2 propt]ea si 9 axe ,,ab sumatur ubivis punctum ,c1 p] quod curva ,,cde transire debet1 capiatur ipsius ,,ac increm5tum ,,cm1 ad ipsius ,,bc decrem5tum ,,cn 9 data ratione2 c5trisq2 ,a1 ,b1 int]vallis ,,am1 ,,bn describantur circuli duo se mutuo secantes 9 ,d3 punctum illud ,d tanget curvam qusitam ,,cde1 e&emq2 ubivis tang5do det]m9abit4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,faci5do autem ut punctum ,a vel ,b nunc abeat 9 inf9itum1 nunc migret ad alt]as p>tes puncti ,c1 habebuntur figur ill omnes quas ,c>tesius 9 ,optica ,geometria ad refractiones exposuit4 ,qu>um inv5tionem cum ,c>tesius maximi fec]it /udiose celav]it1 visum fuit hic propositione expon]e4 ,illu/ration ,corol4 #b4 ,si corpus 9 sup]ficiem quamvis ,,cd1 secundum l9eam rectam ,,ad lege quavis ductam incid5s1 em]gat secundum aliam quamvis rectam ,,dk1 a puncto ,c duci intelligantur l9e curv ,,cp1 ,,cq ipsis ,,ad1 ,,dk semp] p]p5dicul>es3 erunt increm5ta l9e>um ,,pd1 ,,qd1 atq2 adeo l9e ips ,,pd1 ,,qd1 increm5tis i/is g5it1 ut s9us incid5ti em]g5ti ad invicem3 contra4 ,prop4 ,,xcviii4 ,prob4 ,,xlviii4 ,iisdem positis1 circa axem ,,ab descripta sup]ficie quacunq2 attractiva ,,cd1 regul>i vel irregul>i1 p] quam corpora de loco dato ,a exeuntia transire deb5t3 inv5ire sup]ficiem secundam attractivam ,,ef1 qu corpora illa ad locum datum ,b conv]g]e faciat4 ,juncta ,,ab secet sup]ficiem primam 9 ,c secundam 9 ,e1 puncto ,d utcunq2 assumpto4 ,et posito s9u incid5ti 9 sup]ficiem primam ad s9um em]g5ti ex eadem1 s9u em]g5ti e sup]ficie secunda ad s9um incid5ti 9 e&em1 ut quantitas aliqua data ,m ad aliam datam ,n2 produc tum ,,ab ad ,g ut sit ,,bg ad ,,ce ut ,m - ,n ad ,n1 tum ,,ad ad ,h ut sit ,,ah qualis ,,ag1 tum etiam ,,df ad ,k ut sit ,,dk ad ,,dh ut ,n ad ,m4 ,junge ,,kb1 c5tro ,d int]vallo ,,dh describe circulum occurr5tem ,,kb product 9 ,l1 ipsiq2 ,,dl p>allelam age ,,bf3 punctum ,f tanget l9eam ,,ef1 qu circa axem ,,ab revoluta describet sup]ficiem qusitam4 ,q4 ,e4 ,f4 ,nam concipe l9eas ,,cp1 ,,cq ipsis ,,ad1 ,,df respective1 l9eas ,,er1 ,,es ipsis ,,fb1 ,,fd ubiq2 p]p5dicul>es esse1 adeoq2 ,,qs ipsi ,,ce semp] qualem2 erit 7p] ,corol4 #b4 ,prop4 ,,xcvii47 ,,pd ad ,,qd ut ,m ad ,n1 adeoq2 ut ,,dl ad ,,dk vel ,,fb ad ,,fk2 divisim ut ,,dl - ,,fb seu ,,ph - ,,pd - ,,fb ad ,,fd seu ,,fq - ,,qd2 composite ut ,,hp - ,,fb ad ,,fq1 id e/ 7ob quales ,,hp ,,cg1 ,,qs ,,ce7 ,,ce ,,bg - ,,fr ad ,,ce - ,,fs4 ,v]um 7ob proportionales ,,bg ad ,,ce ,m - ,n ad ,n7 e/ etiam ,,ce ,,bg ad ,,ce ut ,m ad ,n3 adeoq2 divisim ,,fr ad ,,fs ut ,m ad ,n1 propt]ea p] ,corol4 #b4 ,prop4 ,,xcvii4 sup]ficies ,,ef cogit corpus 9 se secundum l9eam ,,df incid5s p]g]e 9 l9ea ,,fr1 ad locum ,b4 ,q4 ,e4 ,d4 ,s*olium4 ,eadem me?odo p]g]e lic]et ad sup]ficies tres vel plures4 ,ad usus autem ,opticos maxime accommodat sunt figur ,sphric4 ,si ,p]spicillorum vitra ,objectiva ex vitris duobus ,sphrice figuratis ,aquam int] se claud5tibus confl5tur1 fi]i pote/ ut a refractionibus aqu errores refractionum1 qu fiunt 9 vitrorum sup]ficiebus extremis1 satis accurate corrigantur4 ,talia autem vitra ,objectiva vitris ,ellipticis ,hyp]bolicis prf]5da sunt1 non solum quod facilius accuratius =m>i poss9t1 s$ etiam quod p5icillos radiorum extra axem vitri sitos accuratius refr+ant4 ,v]um tam5 div]sa div]sorum radiorum refrangibilitas imp$im5to e/1 quo m9us ,optica p] figuras vel ,sphricas vel alias quascunq2 p]fici possit4 ,nisi corrigi poss9t errores ill9c oriundi1 labor omnis 9 ct]is corrig5dis imp]ite collocabitur4 99 99 99 99 99 ,,de ,,motu ,,corporum 99 99 99 99 99 ,lib] ,,secundus 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,i4 ,de ,motu corporum quibus resi/itur 9 ratione velocitatis4 ,prop4 ,i4 ,!or4 ,i4 ,corporis1 cui resi/itur 9 ratione velocitatis1 motus ex resi/5tia amissus e/ ut spatium mov5do confectum4 ,nam cum motus s+ulis temporis p>ticulis amissus sit ut velocitas1 hoc e/ ut it9]is confecti p>ticula3 erit compon5do motus toto tempore amissus ut it] totum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,igitur si corpus gravitate omni de/itutum 9 spatiis lib]is sola vi insita moveatur1 ac detur tum motus totus sub initio1 tum etiam motus reliquus po/ spatium aliquod confectum1 dabitur spatium totum quod corpus inf9ito tempore describ]e pote/4 ,erit enim spatium illud ad spatium jam descriptum ut motus totus sub initio ad motus illius p>tem amissam4 ,lemma ,i4 ,quantitates diff]5tiis suis proportionales1 sunt cont9ue proportionales4 ,sit ,a ad ,a - ,b ut ,b ad ,b - ,c ,c ad ,c - ,d c4 divid5do fiet ,a ad ,b ut ,b ad ,c ,c ad ,d c4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,ii4 ,!or4 ,,ii4 ,si corpori resi/itur 9 ratione velocitatis1 sola vi insita p] ,m$ium simil>e moveatur1 sumantur autem tempora qualia3 velocitates 9 pr9cipiis s+ulorum temporum sunt 9 progressione ,geometrica1 spatia s+ulis temporibus descripta sunt ut velocitates4 ,cas4 #a4 ,dividatur tempus 9 p>ticulas quales1 si ipsis p>ticul>um initiis agat vis resi/5ti impulsu unico1 qu sit ut velocitas1 erit decrem5tum velocitatis s+ulis temporis p>ticulis ut eadem velocitas4 ,sunt ergo velocitates diff]5tiis suis proportionales1 propt]ea 7p] ,lem4 ,i4 ,lib4 ,,ii47 cont9ue proportionales4 ,pro9de si ex quali p>ticul>um num]o componantur tempora qulibet qualia1 erunt velocitates ipsis temporum initiis1 ut t]m9i 9 progressione cont9ua1 qui p] saltum capiuntur1 omisso passim quali t]m9orum int]m$iorum num]o4 ,componuntur autem horum t]m9orum rationes ex qualibus rationibus t]m9orum int]m$iorum qualit] repetitis1 propt]ea sunt quales4 ,igitur velocitates 8 t]m9is proportionales1 sunt 9 progressione ,geometrica4 ,m9uantur jam quales ill temporum p>ticul1 augeatur e>um num]us 9 inf9itum1 eo ut resi/5ti impulsus r$datur cont9uus1 velocitates 9 pr9cipiis qualium temporum1 semp] cont9ue proportionales1 erunt 9 hoc etiam ,casu cont9ue proportionales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illu/ration ,cas4 #b4 ,et divisim velocitatum diff]5ti1 hoc e/ e>um p>tes s+ulis temporibus amiss1 sunt ut tot3 ,spatia autem s+ulis temporibus descripta sunt ut velocitatum p>tes amiss1 7p] ,prop4 ,i4 ,lib4 ,,ii47 propt]ea etiam ut tot4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,h9c si ,asymptotis rectangulis ,,adc1 ,,* describatur ,hyp]bola ,,bg1 s9tq2 ,,ab1 ,,dg ad ,asymptoton ,,ac p]p5dicul>es1 exponatur tum corporis velocitas tum resi/5tia ,m$ii1 ipso motus initio1 p] l9eam quamvis datam ,,ac1 elapso autem tempore aliquo p] l9eam indef9itam ,,dc3 exponi pote/ tempus p] aream ,,abgd1 spatium eo tempore descriptum p] l9eam ,,ad4 ,nam si area illa p] motum puncti ,d augeatur uni=mit] ad modum temporis1 decrescet recta ,,dc 9 ratione ,geometrica ad modum velocitatis1 p>tes rect ,,ac qualibus temporibus descript decresc5t 9 eadem ratione4 ,prop4 ,,iii4 ,prob4 ,i4 ,illu/ration ,corporis1 cui dum 9 ,m$io simil>i recta asc5dit vel desc5dit1 resi/itur 9 ratione velocitatis1 quodq2 ab uni=mi gravitate urgetur1 def9ire motum4 ,corpore asc5d5te1 exponatur gravitas p] datum quodvis rectangulum ,,bc1 resi/5tia ,m$ii initio asc5sus p] rectangulum ,,bd sumptum ad contr>ias p>tes4 ,asymptotis rectangulis ,,ac1 ,,*1 p] punctum ,b describatur ,hyp]bola secans p]p5dicula ,,de1 de 9 ,g1 g2 corpus asc5d5do1 tempore ,d,ggd1 describet spatium ,e,gge1 tempore ,,dgba spatium asc5sus totius ,,egb1 tempore ,,ab#b;,g#b;,d spatium desc5sus ,,bf#b;,g1 atq2 tempore #b;,d#b;,g#b;g#b;d spatium desc5sus #b;,,gf#b;e#b;g3 velocitates corporis 7resi/5ti ,m$ii proportionales7 9 horum temporum p]iodis erunt ,,ab$1 ,a,bed1 nulla1 ,,abf#b;,d1 ,,ab#b;e#b;d respective2 atq2 maxima velocitas1 quam corpus desc5d5do pote/ acquir]e1 erit ,,bc4 ,illu/ration ,resolvatur enim rectangulum ,,ah 9 rectangula innum]a ,ak1 ,kl1 ,lm1 ,mn1 c4 qu s9t ut increm5ta velocitatum qualibus totidem temporibus facta2 erunt nihil1 ,ak1 ,al1 ,am1 ,an1 c4 ut velocitates tot1 atq2 adeo 7p] ,hypo!s97 ut resi/5tia ,m$ii 9 pr9cipio s+ulorum temporum qualium4 ,fiat ,,ac ad ,,ak vel ,,abhc ad ,a,bk,k1 ut vis gravitatis ad resi/5tiam 9 pr9cipio temporis secundi1 deq2 vi gravitatis subducantur resi/5ti1 manebunt ,,abhc1 ,kk,h,c1 ,ll,h,c1 ,nn,h,c1 c4 ut vires absolut quibus corpus 9 pr9cipio s+ulorum temporum urgetur1 atq2 adeo 7p] motus ,legem ,,ii47 ut increm5ta velocitatum1 id e/1 ut rectangula ,ak1 ,kl1 ,lm1 ,mn c2 propt]ea 7p] ,lem4 ,i4 ,lib4 ,,ii47 9 progressione ,geometrica4 ,qu>e si rect ,kk1 ,ll1 ,mm1 ,nn c4 product occurrant ,hyp]bol 9 q1 r1 s1 t c4 erunt are ,a,bq,k1 ,kqr,l1 ,lrs,m1 ,mst,n c4 quales1 adeoq2 tum temporibus tum viribus gravitatis semp] qualibus analog4 ,e/ autem area ,a,bq,k 7p] ,corol4 #c4 ,lem4 ,,vii4 ,lem4 ,,viii4 ,lib4 ,i47 ad aream ,bkq ut ,kq ad kq seu ,,ac ad ,,ak1 hoc e/ ut vis gravitatis ad resi/5tiam 9 m$io temporis primi4 ,et simili argum5to are q,k,lr1 r,l,ms1 s,m,nt1 c4 sunt ad areas qklr1 rlms1 smnt c4 ut vires gravitatis ad resi/5tias 9 m$io temporis secundi1 t]tii1 qu>ti1 c4 ,pro9de cum are quales ,b,a,kq1 q,k,lr1 r,l,ms1 s,m,nt1 c4 s9t viribus grauitatis analog1 erunt are ,bkq1 qklr1 rlms1 smnt1 c4 resi/5tiis 9 m$iis s+ulorum temporum1 hoc e/1 7p] ,hypo!s97 velocitatibus1 atq2 adeo descriptis spatiis analog4 ,sumantur analog>um summ1 erunt are ,bkq1 ,blr1 ,bms1 ,bnt1 c4 spatiis totis descriptis analog2 necnon are ,a,bq,k1 ,a,br,l1 ,a,bs,m1 ,a,bt,n1 c4 temporibus4 ,corpus igitur int] desc5d5dum1 tempore quovis ,a,br,l1 describit spatium ,blr1 tempore ,lrt,n spatium rlnt4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et similis e/ demon/ratio motus expositi 9 asc5su4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur velocitas maxima1 quam corpus cad5do pote/ acquir]e1 e/ ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam1 ut vis data gravitatis qua p]petuo urgetur1 ad excessum vis hujus supra vim qua 9 f9e temporis illius resi/itur4 ,corol4 #b4 ,tempore autem aucto 9 progressione ,ari?metica1 summa velocitatis illius maxim ac velocitatis 9 asc5su 7atq2 etiam e>undem diff]5tia 9 desc5su7 decrescit 9 progressione ,geometrica4 ,corol4 #c4 ,s$ diff]5ti spatiorum1 qu 9 qualibus temporum diff]5tiis describuntur1 decrescunt 9 eadem progressione ,geometrica4 ,corol4 #d4 ,spatium v]o a corpore descriptum diff]5tia e/ duorum spatiorum1 quorum alt]um e/ ut tempus sumptum ab initio desc5sus1 alt]um ut velocitas1 qu etiam ipso desc5sus initio quantur int] se4 ,prop4 ,,iv4 ,prob4 ,,ii4 ,posito quod vis gravitatis 9 ,m$io aliquo simil>i uni=mis sit1 ac t5dat p]p5dicul>it] ad planum ,horizontis2 def9ire motum ,projectilis1 9 eodem resi/5tiam velocitati proportionalem pati5tis4 ,illu/ration ,e loco quovis ,d egr$iatur ,projectile secundum l9eam quamvis rectam ,,dp1 p] longitud9em ,,dp exponatur ejusdem velocitas sub initio motus4 ,a puncto ,p ad l9eam ,horizontalem ,,dc demittatur p]p5diculum ,,pc1 secetur ,,dc 9 ,a ut sit ,,da ad ,,ac ut resi/5tia ,m$ii ex motu 9 altitud9em sub initio orta1 ad vim gravitatis2 vel 7quod p]9de e/7 ut sit rectangulum sub ,,da ,,dp ad rectangulum sub ,,ac ,,cp ut resi/5tia tota sub initio motus ad vim ,gravitatis4 ,describatur ,hyp]bola quvis ,,gtbs secans erecta p]p5dicula ,,dg1 ,,ab 9 ,g ,b2 compleatur p>allelogrammum ,,dgkc1 cujus latus ,,gk secet ,,ab 9 ,q4 ,capiatur l9ea ,n 9 ratione ad ,,qb qua ,,dc sit ad ,,cp2 ad rect ,,dc punctum quodvis ,r erecto p]p5diculo ,,rt1 quod ,hyp]bol 9 ,t1 rectis ,,gk1 ,,dp 9 t ,v occurrat2 9 eo cape ,vr qualem t,g,t ,n1 ,projectile tempore ,,drtg p]v5iet ad punctum r1 describ5s curvam l9eam ,dra,f1 quam punctum r semp] tangit2 p]v5i5s autem ad maximam altitud9em a 9 p]p5diculo ,,ab1 po/ea semp] approp9quans ad ,asymptoton ,,plc4 ,e/q2 velocitas ejus 9 puncto quovis r ut ,curv ,tang5s r,l4 ,q4 ,e4 ,i4 ,e/ enim ,n ad ,,qb ut ,,dc ad ,,cp seu ,,dr ad ,,rv1 adeoq2 ,,rv qualis ,,dr ,,qb ,n1 ,rr 7id e/ ,,rv - ,vr seu ,,dr ,,qb - t,g,t ,n7 qualis ,,dr ,,ab - ,,rdgt ,n4 ,exponatur jam tempus p] aream ,,rdgt1 7p] ,legum ,corol4 #b47 di/+uatur motus corporis 9 duos1 unum asc5sus1 alt]um ad latus4 ,et cum resi/5tia sit ut motus1 di/+uetur etiam hc 9 p>tes duas p>tibus motus proportionales contr>ias3 ideoq2 longitudo a motu ad latus descripta erit 7p] ,prop4 ,,ii4 hujus7 ut l9ea ,,dr1 altitudo v]o 7p] ,prop4 ,,iii4 hujus7 ut area ,,dr ,,ab - ,,rdgt1 hoc e/1 ut l9ea ,rr4 ,ipso autem motus initio area ,,rdgt qualis e/ rectangulo ,,dr ,,aq1 ideoq2 l9ea illa ,rr 7seu ,,dr ,,ab - ,,dr ,,aq ,n7 tunc e/ ad ,,dr ut ,,ab - ,,aq 7seu ,,qb7 ad ,n1 id e/ ut ,,cp ad ,,dc2 atq2 adeo ut motus 9 altitud9em ad motum 9 longitud9em sub initio4 ,cum igitur ,rr semp] sit ut altitudo1 ac ,,dr semp] ut longitudo1 atq2 ,rr ad ,,dr sub initio ut altitudo ad longitud9em3 necesse e/ ut ,rr semp] sit ad ,,dr ut altitudo ad longitud9em1 propt]ea ut corpus moveatur 9 l9ea ,dra,f1 quam punctum r p]petuo tangit4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si v]tice ,d1 ,diametro ,,de deorsum producta1 lat]e recto quod sit ad #b;,,dp ut resi/5tia tota1 ipso motus initio1 ad vim gravitatis1 ,p>abola con/ruatur3 velocitas quacum corpus exire debet de loco ,d secundum rectam ,,dp1 ut 9 ,m$io uni=mi resi/5te describat ,curvam ,dra,f1 ea ipsa erit quacum exire debet de eodem loco ,d1 secundum e&em rectam ,,dr1 ut 9 spatio non resi/5te describat ,p>abolam4 ,nam ,latus rectum ,p>abol hujus1 ipso motus initio1 e/ ,,dv quad4 ,vr ,vr e/ t,g,t ,n seu ,,dr ,tt #b,n4 ,recta autem1 qu1 si duc]etur1 ,hyp]bolam ,,gtb tang]et 9 ,g1 p>allela e/ ipsi ,,dk1 ideoq2 ,tt e/ ,,ck ,,dr ,,dc1 ,n erat ,,qb ,,dc ,,cp4 ,et propt]ea ,vr e/ ,d,rq4 ,,ck ,,cp #b;,c,dq4 ,,qb1 id e/ 7ob proportionales ,,dr ,,dc1 ,,dv ,,dp7 ,d,vq4 ,,ck ,,cp #b;,d,pq4 ,,qb1 ,latus rectum ,,dv quad4 ,vr prodit #b;,d,pq4 ,,qb ,,ck ,,cp1 id e/ 7ob proportionales ,,qb ,,ck1 ,,da ,,ac7 #b;,d,pq4 ,,da ,,ac ,,cp1 adeoq2 ad #b;,,dp ut ,,dp ,,da ad ,,pc ,,ac2 hoc e/ ut resi/5tia ad gravitatem4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #b4 ,unde si corpus de loco quovis ,d1 data cum velocitate1 secundum rectam quamvis positione datam ,,dp projiciatur2 resi/5tia ,m$ii ipso motus initio detur1 inv5iri pote/ ,curva ,dra,f1 quam corpus idem describet4 ,nam ex data velocitate datur latus rectum ,p>abol1 ut notum e/4 ,et sum5do #b;,,dp ad latus illud rectum ut e/ vis ,gravitatis ad vim resi/5ti1 datur ,,dp4 ,de9 sec&o ,,dc 9 ,a1 ut sit ,,cp ,,ac ad ,,dp ,,da 9 eadem illa ratione ,gravitatis ad resi/5tiam1 dabitur punctum ,a4 ,et inde datur ,curva ,dra,f4 ,corol4 #c4 ,et contra1 si datur curva ,dra,f1 dabitur velocitas corporis resi/5tia ,m$ii 9 locis s+ulis r4 ,nam ex data ratione ,,cp ,,ac ad ,,dp ,,da1 datur tum resi/5tia ,m$ii sub initio motus1 tum latus rectum ,p>abol3 inde datur etiam velocitas sub initio motus4 ,de9de ex longitud9e tang5tis r,l1 datur huic proportionalis velocitas1 velocitati proportionalis resi/5tia 9 loco quovis r4 ,corol4 #d4 ,cum autem longitudo #b;,,dp sit ad latus rectum ,p>abol ut gravitas ad resi/5tiam 9 ,d2 ex aucta ,velocitate augeatur resi/5tia 9 eadem ratione1 at latus rectum ,p>abol augeatur 9 ratione illa duplicata3 patet longitud9em #b;,,dp aug]i 9 ratione illa simplici1 adeoq2 velocitati semp] proportionalem esse1 neq2 ex angulo ,,cdp mutato aug]i vel m9ui1 nisi mutetur quoq2 velocitas4 ,illu/ration ,corol4 #e4 ,unde liquet me?odus det]m9&i ,curvam ,dra,f ex ,phnom5is quamproxime1 inde collig5di resi/5tiam velocitatem quacum corpus projicitur4 ,projiciantur corpora duo similia qualia eadem cum velocitate1 de loco ,d1 secundum angulos div]sos ,,cdp1 c,dp 7m9uscul>um lit]>um locis sub9tellectis7 cognoscantur loca ,f1 f1 ubi incidunt 9 horizontale planum ,,dc4 ,tum1 assumpta quacunq2 longitud9e pro ,,dp vel ,dp1 f+atur quod resi/5tia 9 ,d sit ad gravitatem 9 ratione qualibet1 exponatur ratio illa p] longitud9em quamvis ,,sm4 ,de9de p] computationem1 ex longitud9e illa assumpta ,,dp1 inv5iantur longitud9es ,,df1 ,df1 ac de ratione ,ff ,,df p] calculum inv5ta1 auf]atur ratio eadem p] exp]im5tum inv5ta1 exponatur diff]5tia p] p]p5diculum ,,mn4 ,idem fac it]um ac t]tio1 assum5do semp] novam resi/5ti ad gravitatem rationem ,,sm1 collig5do novam diff]5tiam ,,mn4 ,ducantur autem diff]5ti affirmativ ad unam p>tem rect ,,sm1 negativ ad alt]am2 p] puncta ,n1 ,n1 ,n agatur curva regul>is ,,nnn secans rectam ,,smmm 9 ,x1 erit ,,sx v]a ratio resi/5ti ad gravitatem1 quam inv5ire oportuit4 ,ex hac ratione collig5da e/ longitudo ,,df p] calculum2 longitudo qu sit ad assumptam longitud9em ,,dp ut modo inv5ta longitudo ,,df ad longitud9em e&em p] exp]im5tum cognitam1 erit v]a longitudo ,,dp4 ,qua inv5ta1 habetur tum ,curva ,l9ea ,dra,f quam corpus describit1 tum corporis velocitas resi/5tia 9 locis s+ulis4 ,s*olium4 ,ct]um corpora resi/i 9 ratione velocitatis ,hypo!sis e/ magis ,ma!matica quam ,naturalis4 ,obt9et hc ratio quamproxime ubi corpora 9 ,m$iis rigore aliquo prditis t>dissime mov5tur4 ,9 ,m$iis autem qu rigore omni vacant 7uti po/hac demon/rabitur7 corpora resi/untur 9 duplicata ratione velocitatum4 ,actione corporis velocioris communicatur eidem ,m$ii quantitati1 tempore m9ore1 motus major 9 ratione majoris velocitatis1 adeoq2 tempore quali 7ob majorem ,m$ii quantitatem p]turbatam7 communicatur motus 9 duplicata ratione major1 e/q2 resi/5tia 7p] motus ,legem #b4 #c47 ut motus communicatus4 ,videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege ,resi/5ti4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,ii4 ,de motu corporum quibus resi/itur 9 duplicata ratione velocitatum4 ,prop4 ,v4 ,!or4 ,,iii4 ,si corpori resi/itur 9 velocitatis ratione duplicata1 sola vi insita p] ,m$ium simil>e movetur1 tempora v]o sumantur 9 progressione ,geometrica a m9oribus t]m9is ad majores p]g5te3 dico quod velocitates initio s+ulorum temporum sunt 9 eadem progressione ,geometrica inv]se1 quod spatia sunt qualia qu s+ulis temporibus describuntur4 ,illu/ration ,nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis e/ resi/5tia ,m$ii1 resi/5ti proportionale e/ decrem5tum velocitatis2 si tempus 9 p>ticulas innum]as quales dividatur1 quadrata velocitatum s+ulis temporum initiis erunt velocitatum e>undem diff]5tiis proportionalia4 ,sunto temporis p>ticul ill ,,ak1 ,,kl1 ,,lm1 c4 9 recta ,,cd sumpt1 erigantur p]p5dicula ,,ab1 ,kk1 ,ll1 ,mm1 c4 ,hyp]bol ,bklm,g1 c5tro ,c ,asymptotis rectangulis ,,cd1 ,,* descript occurr5tia 9 ,b1 k1 l1 m1 c4 erit ,,ab ad ,kk ut ,,ck ad ,,ca1 divisim ,,ab - ,kk ad ,kk ut ,,ak ad ,,ca1 vicissim ,,ab - ,kk ad ,,ak ut ,kk ad ,,ca1 adeoq2 ut ,,ab ,kk ad ,,ab ,,ca4 ,unde cum ,,ak ,,ab ,,ca d5tur1 erit ,,ab - ,kk ut ,,ab ,kk2 ultimo1 ubi coeunt ,,ab ,kk1 ut ,a,bq4 ,et simili argum5to erunt ,kk - ,ll1 ,ll - ,mm1 c4 ut ,kkq41 ,llq4 c4 ,l9e>um igitur ,,ab1 ,kk1 ,ll1 ,mm quadrata sunt ut e>undem diff]5ti1 idcirco cum quadrata velocitatum fu]9t etiam ut ips>um diff]5ti1 similis erit amb>um progressio4 ,quo demon/rato1 consequ5s e/ etiam ut are 8 l9eis descript s9t 9 progressione consimili cum spatiis qu velocitatibus describuntur4 ,ergo si velocitas initio primi temporis ,,ak exponatur p] l9eam ,,ab1 velocitas initio secundi ,,kl p] l9eam ,kk1 longitudo primo tempore descripta p] arcam ,a,kk,b1 velocitates omnes subsequ5tes expon5tur p] l9eas subsequ5tes ,ll1 ,mm1 c4 longitud9es descript p] areas ,kl1 ,lm1 c4 composite1 si tempus totum exponatur p] summam p>tium su>um ,,am1 longitudo tota descripta exponetur p] summam p>tium su>um ,a,mm,b4 ,concipe jam tempus ,,am ita dividi 9 p>tes ,,ak1 ,,kl1 ,,lm1 c4 ut s9t ,,ca1 ,,ck1 ,,cl1 ,,cm1 c4 9 progressione ,geometrica1 erunt p>tes ill 9 eadem progressione1 velocitates ,,ab1 ,kk1 ,ll1 ,mm1 c4 9 progressione eadem inv]sa1 atq2 spatia descripta ,ak1 ,kl1 ,lm1 c4 qualia4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,patet ergo quod si tempus exponatur p] ,asymptoti p>tem quamvis ,,ad1 velocitas 9 pr9cipio temporis p] ord9atim applicatam ,,ab2 velocitas 9 f9e temporis exponetur p] ord9atam ,,dg1 spatium totum descriptum p] aream ,hyp]bolicam adjac5tem ,,abgd2 necnon spatium quod corpus aliquod eodem tempore ,,ad1 velocitate prima ,,ab 9 ,m$io non resi/5te describ]e posset1 p] rectangulum ,,ab ,,ad4 ,corol4 #b4 ,unde datur spatium 9 ,m$io resi/5te descriptum1 capi5do illud ad spatium quod velocitate uni=mi ,,ab 9 ,m$io non resi/5te simul describi posset1 ut e/ area ,hyp]bolica ,,abgd ad rectangulum ,,ab ,,ad4 ,corol4 #c4 ,datur etiam resi/5tia ,m$ii1 /atu5do eam ipso motus initio qualem esse vi uni=mi c5tripet1 qu1 9 cad5te corpore1 tempore ,,ac1 9 ,m$io non resi/5te1 g5]>e posset velocitatem ,,ab4 ,nam si ducatur ,,bt qu tangat ,hyp]bolam 9 ,b1 occurrat ,asymptoto 9 ,t2 recta ,,at qualis erit ipsi ,,ac1 tempus exponet quo resi/5tia prima uni=mit] cont9uata toll]e posset velocitatem totam ,,ab4 ,corol4 #d4 ,et inde datur etiam proportio hujus resi/5ti ad vim gravitatis1 aliamve quamvis datam vim c5tripetam4 ,corol4 #e4 ,et vicev]sa1 si datur proportio resi/5ti ad datam quamvis vim c5tripetam1 datur tempus ,,ac1 quo vis c5tripeta resi/5ti qualis g5]>e possit velocitatem quamvis ,,ab2 inde datur punctum ,b p] quod ,hyp]bola ,asymptotis ,,*1 ,,cd describi debet2 ut spatium ,,abgd1 quod corpus incipi5do motum suum cum velocitate illa ,,ab1 tempore quovis ,,ad1 9 ,m$io simil>i resi/5te describ]e pote/4 ,prop4 ,,vi4 ,!or4 ,,iv4 ,illu/ration ,corpora ,sphrica homog5ea qualia1 resi/5tiis 9 duplicata ratione velocitatum imp$ita1 solis viribus insitis incitata1 temporibus qu sunt reciproce ut velocitates sub initio1 describunt semp] qualia spatia1 amittunt p>tes velocitatum proportionales totis4 ,asymptotis rectangulis ,,cd1 ,,* descripta ,hyp]bola quavis ,bb,ee secante p]p5dicula ,,ab1 ab1 ,,de1 de1 9 ,b1 b1 ,e1 e1 exponantur velocitates initiales p] p]p5dicula ,,ab1 ,,de1 tempora p] l9eas ,aa1 ,dd4 ,e/ ergo ut ,aa ad ,dd ita 7p] ,hypo!s97 ,,de ad ,,ab1 ita 7ex natura ,hyp]bol7 ,,ca ad ,,cd2 compon5do1 ita ,ca ad ,cd4 ,ergo are ,a,bba1 ,d,eed1 hoc e/ spatia descripta quantur int] se1 velocitates prim ,,ab1 ,,de sunt ultimis ab1 de1 propt]ea 7divid5do7 p>tibus etiam suis amissis ,,ab - ab1 ,,de - de proportionales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,vii4 ,!or4 ,v4 ,corpora ,sphrica quibus resi/itur 9 duplicata ratione velocitatum1 temporibus qu sunt ut motus primi directe resi/5ti prim inv]se1 amitt5t p>tes motuum proportionales totis1 spatia describ5t temporibus i/is 9 velocitates primas ductis proportionalia4 ,namq2 motuum p>tes amiss sunt ut resi/5ti tempora conjunctim4 ,igitur ut p>tes ill s9t totis proportionales1 debebit resi/5tia tempus conjunctim esse ut motus4 ,pro9de tempus erit ut ,motus directe resi/5tia inv]se4 ,qu>e temporum p>ticulis 9 ea ratione sumptis1 corpora amitt5t semp] p>ticulas motuum proportionales totis1 adeoq2 ret9ebunt velocitates 9 ratione prima4 ,et ob datam velocitatum rationem1 describ5t semp] spatia qu sunt ut velocitates prim tempora conjunctim4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur si quivelocia corpora resi/untur 9 duplicata ratione diametrorum1 ,globi homog5ei quibuscunq2 cum velocitatibus moti1 describ5do spatia diametris suis proportionalia1 amitt5t p>tes motuum proportionales totis4 ,motus enim ,globi cujusq2 erit ut ejus velocitas ,massa conjunctim1 id e/ ut velocitas cubus diametri2 resi/5tia 7p] ,hypo!s97 erit ut quadratum diametri quadratum velocitatis conjunctim2 tempus 7p] hanc ,propositionem7 e/ 9 ratione priore directe ratione po/]iore inv]se1 id e/ ut diamet] directe velocitas inv]se2 adeoq2 spatium 7tempori velocitati proportionale7 e/ ut diamet]4 ,corol4 #b4 ,si quivelocia corpora resi/untur 9 ratione sesquialt]a diametrorum3 ,globi homog5ei quibuscunq2 cum velocitatibus moti1 describ5do spatia 9 sesquialt]a ratione diametrorum inv]se1 amitt5t p>tes motuum proportionales totis4 ,nam tempus augetur 9 ratione resi/5ti dim9ut1 spatium augetur 9 ratione temporis4 ,corol4 #c4 ,et univ]salit]1 si quivelocia corpora resi/untur 9 ratione dignitatis cujuscunq2 diametrorum1 spatia quibus ,globi homog5ei1 quibuscunq2 cum velocitatibus moti1 amitt5t p>tes motuum proportionales totis1 erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem illam applicata4 ,sunto diametri ,d ,e2 si resi/5ti s9t ut ,dn ,en1 spatia quibus amitt5t p>tes motuum proportionales totis1 erunt ut ,d#c - n ,e#c - n4 ,igitur describ5do spatia ipsis ,d#c - n ,e#c - n proportionalia1 ret9ebunt velocitates 9 eadem ratione ad invicem ac sub initio4 ,corol4 #d4 ,quod si ,globi non s9t homog5ei1 spatium a ,globo d5siore descriptum aug]i debet 9 ratione d5sitatis4 ,motus enim sub p>i velocitate major e/ 9 ratione d5sitatis1 tempus 7p] hanc ,propositionem7 augetur 9 ratione motus directe1 ac spatium descriptum 9 ratione temporis4 ,corol4 #e4 ,et si ,globi moveantur 9 ,m$iis div]sis1 spatium 9 ,m$io1 quod ct]is p>ibus magis resi/it1 dim9u5dum erit 9 ratione majoris resi/5ti4 ,tempus enim 7p] hanc ,propositionem7 dim9uetur 9 ratione resi/5ti1 spatium 9 ratione temporis4 ,lemma ,,ii4 ,mom5tum ,g5it quatur mom5tis ,t]m9orum s+ulorum g5]antium 9 eorundem lat]um indices dignitatum coeffici5tia cont9ue ductis4 ,g5itam voco quantitatem omnem qu ex ,t]m9is quibuscunq2 9 ,ari?metica p] multiplicationem1 divisionem1 extractionem radicum2 9 ,geometria p] inv5tionem vel cont5torum lat]um1 vel extrem>um m$i>um proportionalium absq2 additione subductione g5]atur4 ,ejusmodi quantitates sunt ,facti1 ,quoti1 ,radices1 rectangula1 quadrata1 cubi1 lat]a quadrata1 lat]a cubica similes4 ,has quantitates ut indet]m9atas in/abiles1 quasi motu fluxuve p]petuo cresc5tes vel decresc5tes hic consid]o1 eorum increm5ta vel decrem5ta mom5tanea sub nom9e mom5torum intelligo3 ita ut increm5ta pro mom5tis addititiis seu affirmativis1 ac decrem5ta pro subductitiis seu negativis habeantur4 ,cave tam5 intellex]is p>ticulas f9itas4 ,mom5ta1 quam primum f9it sunt magnitud9is1 des9unt esse mom5ta4 ,f9iri enim repugnat aliquat5us p]petuo eorum increm5to vel decrem5to4 ,intellig5da sunt pr9cipia jamjam nasc5tia f9it>um magnitud9um4 ,neq2 enim spectatur 9 hoc ,lemmate magnitudo mom5torum1 s$ prima nasc5tium proportio4 ,eodem recidit si loco mom5torum usurp5tur vel velocitates increm5torum ac decrem5torum1 7quas etiam motus1 mutationes fluxiones quantitatum nom9>e licet7 vel f9it quvis quantitates velocitatibus hisce proportionales4 ,t]m9i autem cujusq2 ,g5]antis coeffici5s e/ quantitas1 qu oritur applic&o ,g5itam ad hunc ,t]m9um4 ,igitur s5sus ,lemmatis e/1 ut si quantitatum qu>umcunq2 p]petuo motu cresc5tium vel decresc5tium ,a1 ,b1 ,c1 c4 ,mom5ta1 vel mutationum velocitates dicantur a1 b1 c1 c4 mom5tum vel mutatio rectanguli ,,ab fu]it ,ab a,b1 cont5ti ,,abc mom5tum fu]it ,a,bc ,ab,c a,b,c3 dignitatum ,a#b1 ,a#c1 ,a#d1 ,a#a_/b1 ,a#c_/b1 ,a#a_/c1 ,a#b_/c1 #a ,a1 #a ,a#b1 #a ,a#a_/b mom5ta #b;,aa1 #c;a,a#b1 #d;a,a#c1 #a_/b;a,a-#a_/b1 #c_/b;a,a#a_/b1 #a_/c;a,a-#b_/c1 #b_/c;a,a-#a_/c1 -a,a-#b1 -#b;a,a-#c1 -#a_/b;a,a-#c_/b respective4 ,et g5]alit] ut dignitatis cujuscunq2 ,an m mom5tum fu]it n m a,a7n-m7 m4 ,item ut ,g5it ,a quad4 ,b mom5tum fu]it #b;a,a,b ,a#b;b2 ,g5it ,a#c;,b#d;,c#b mom5tum #c;a,a#b;,b#d;,c#b #d;,a#c;b,b#c;,c#b #b;,a#c;,b#d;,cc2 ,g5it ,a#c ,b#b sive ,a#c;,b-#b mom5tum #c;a,a#b;,b-#b - #b;,a#c;b,b-#c3 sic 9 ct]is4 ,demon/ratur v]o ,lemma 9 hunc modum4 ,cas4 #a4 ,rectangulum quodvis motu p]petuo auctum ,,ab1 ubi de lat]ibus ,a ,b de]ant mom5torum dimidia a b1 fuit ,a - a 9 ,b - b1 seu ,,ab - a,b - ,ab ab2 quam primum lat]a ,a ,b alt]is mom5torum dimidiis aucta sunt1 evadit ,a a 9 ,b b seu ,,ab a,b ,ab ab4 ,de hoc rectangulo subducatur rectangulum prius1 manebit excessus a,b ,ab4 ,igitur lat]um increm5tis totis a b g5]atur rectanguli increm5tum a,b ,ab4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,ponatur ,,ab quale ,g1 cont5ti ,,abc seu ,,gc mom5tum 7p] ,cas4 #a47 erit g,c ,gc1 id e/ 7si pro ,g g scribantur ,,ab a,b ,ab7 a,b,c ,ab,c ,a,bc4 ,et p> e/ ratio cont5ti sub lat]ibus quotcunq24 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #c4 ,ponantur ,a1 ,b1 ,c qualia2 ipsius ,a#b1 id e/ rectanguli ,,ab1 mom5tum a,b ,ab erit #b;a,a1 ipsius autem ,a#c1 id e/ cont5ti ,,abc1 mom5tum a,b,c ,ab,c ,a,bc erit #c;a,a#b4 ,et eodem argum5to mom5tum dignitatis cujuscunq2 ,an e/ na,an - #a4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #d4 ,unde cum #a ,a 9 ,a sit #a1 mom5tum ipsius #a ,a ductum 9 ,a1 una cum #a ,a ducto 9 a erit mom5tum ipsius #a1 id e/ nihil4 ,pro9de mom5tum ipsius #a ,a seu ,a-#a e/ -a ,a#b4 ,et g5]alit] cum #a ,an 9 ,an sit #a1 mom5tum ipsius #a ,an ductum 9 ,an una cum #a ,an 9 na,an - #a erit nihil4 ,et propt]ea mom5tum ipsius #a ,an seu ,a-n erit -na ,an #a4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #e4 ,et cum ,a 9 ,a sit ,a1 mom5tum ipsius ,a 9 #b;,a erit a1 p] ,cas4 #c3 ideoq2 mom5tum ipsius ,a erit a #b;,a sive #b;a,a-4 ,et g5]alit] si ponatur ,am n qualem ,b1 erit ,am quale ,bn1 ideoq2 ma,am - #a quale nb,bn - #a1 ma,a-#a quale nb,b-#a seu nb ,am n1 adeoq2 m na,a7m-n7 n quale b1 id e/ quale mom5to ipsius ,am n4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #f4 ,igitur ,g5it cujuscunq2 ,am ,bn mom5tum e/ mom5tum ipsius ,am ductum 9 ,bn1 una cum mom5to ipsius ,bn ducto 9 ,am1 id e/ ma,am - #a nb,bn - #a2 idq2 sive dignitatum indices m n s9t integri num]i vel fracti1 sive affirmativi vel negativi4 ,et p> e/ ratio cont5ti sub pluribus dignitatibus4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c 9 cont9ue proportionalibus1 si t]m9us unus datur1 mom5ta t]m9orum reliquorum erunt ut iidem t]m9i multiplicati p] num]um int]vallorum int] ipsos t]m9um datum4 ,sunto ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e1 ,f cont9ue proportionales2 si detur t]m9us ,c1 mom5ta reliquorum t]m9orum erunt int] se ut -#b;,a1 -,b1 ,d1 #b;,e1 #c;,f4 ,corol4 #b4 ,et si 9 quatuor proportionalibus du m$i d5tur1 mom5ta extrem>um erunt ut edem extrem4 ,idem intellig5dum e/ de lat]ibus rectanguli cujuscunq2 dati4 ,corol4 #c4 ,et si summa vel diff]5tia duorum quadratorum detur1 mom5ta lat]um erunt reciproce ut lat]a4 ,s*olium4 ,9 lit]is qu mihi cum ,geometra p]itissimo ,g4 ,g4 ,leibnitio annis abh9c decem int]c$ebant1 cum signific>em me compotem esse me?odi det]m9&i ,maximas ,m9imas1 duc5di ,tang5tes1 similia p]ag5di1 qu 9 t]m9is surdis que ac 9 rationalibus proc$]et1 lit]is transpositis hanc s5t5tiam involv5tibus ,data quatione quotcunq2 flu5tes quantitates involv5te1 fluxiones inv5ire1 vice v]sa e&em cel>em3 rescripsit ,vir ,cl>issimus se quoq2 9 ejusmodi me?odum incidisse1 me?odum suam communicavit a mea vix ablud5tem prt]quam 9 v]borum not>um =mulis4 ,utriusq2 fundam5tum cont9etur 9 hoc ,lemmate4 ,prop4 ,,viii4 ,!or4 ,,vi4 ,si corpus 9 ,m$io uni=mi1 ,gravitate uni=mit] ag5te1 recta asc5dat vel desc5dat1 spatium totum descriptum di/+uatur 9 p>tes quales1 inq2 pr9cipiis s+ul>um p>tium 7add5do resi/5tiam ,m$ii ad vim gravitatis1 qu&o corpus asc5dit1 vel subduc5do ipsam qu&o corpus desc5dit7 colligantur vires absolut2 dico quod vires ill absolut sunt 9 progressione ,geometrica4 ,illu/ration ,exponatur enim vis gravitatis p] datam l9eam ,,ac2 resi/5tia p] l9eam indef9itam ,,ak2 vis absoluta 9 desc5su corporis p] diff]5tiam ,,kc2 velocitas corporis p] l9eam ,,ap 7qu sit m$ia proportionalis int] ,,ak ,,ac1 ideoq2 9 dimidiata ratione resi/5ti7 increm5tum resi/5ti data temporis p>ticula factum p] l9eolam ,,kl1 contemporaneum velocitatis increm5tum p] l9eolam ,,pq2 c5tro ,c ,asymptotis rectangulis ,,ca1 ,,* describatur ,hyp]bola quvis ,,bns1 erectis p]p5diculis ,,ab1 ,,kn1 ,,lo1 ,,pr1 ,,qs occurr5s 9 ,b1 ,n1 ,o1 ,r1 ,s4 ,quoniam ,,ak e/ ut ,a,pq41 erit hujus mom5tum ,,kl ut illius mom5tum #b;,,apq1 id e/ ut ,,ap 9 ,,kc4 ,nam velocitatis increm5tum ,,pq1 p] motus ,leg4 #b4 proportionale e/ vi g5]anti ,,kc4 ,componatur ratio ipsius ,,kl cum ratione ipsius ,,kn1 fiet rectangulum ,,kl ,,kn ut ,,ap ,,kc ,,kn2 hoc e/1 ob datum rectangulum ,,kc ,,kn1 ut ,,ap4 ,atqui are ,hyp]bolic ,,knol ad rectangulum ,,kl ,,kn ratio ultima1 ubi coeunt puncta ,k ,l1 e/ qualitatis4 ,ergo area illa ,hyp]bolica evanesc5s e/ ut ,,ap4 ,componitur igitur area tota ,hyp]bolica ,,abol ex p>ticulis ,,knol velocitati ,,ap semp] proportionalibus1 propt]ea spatio velocitate i/a descripto proportionalis e/4 ,dividatur jam area illa 9 p>tes quales ,,abmi1 ,,imnk1 ,,knol1 c4 vires absolut ,,ac1 ,,ic1 ,,kc1 ,,lc1 c4 erunt 9 progressione ,geometrica4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et simili argum5to1 9 asc5su corporis1 sum5do1 ad contr>iam p>tem puncti ,a1 quales areas ,a,bmi1 imnk1 knol1 c4 con/abit quod vires absolut ,,ac1 i,c1 k,c1 l,c1 c4 sunt cont9ue proportionales4 ,ideoq2 si spatia omnia 9 asc5su desc5su capiantur qualia2 omnes vires absolut l,c1 k,c1 i,c1 ,,ac1 ,,ic1 ,,kc1 ,,lc1 c4 erunt cont9ue proportionales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si spatium descriptum exponatur p] aream ,hyp]bolicam ,,abnk2 exponi possunt vis gravitatis1 velocitas corporis resi/5tia ,m$ii p] l9eas ,,ac1 ,,ap ,,ak respective2 vice v]sa4 ,corol4 #b4 ,et velocitatis maxim1 quam corpus 9 inf9itum desc5d5do pote/ unquam acquir]e1 expon5s e/ l9ea ,,ac4 ,corol4 #c4 ,igitur si 9 data aliqua velocitate cognoscatur resi/5tia ,m$ii1 inv5ietur velocitas maxima1 sum5do ipsam ad velocitatem illam datam 9 dimidiata ratione1 quam habet vis ,gravitatis ad ,m$ii resi/5tiam illam cognitam4 ,corol4 #d4 ,s$ p>ticula temporis1 quo spatii p>ticula quam m9ima ,,nklo 9 desc5su describitur1 e/ ut rectangulum ,,kn ,,pq4 ,nam quoniam spatium ,,nklo e/ ut velocitas ducta 9 p>ticulam temporis2 erit p>ticula temporis ut spatium illud applicatum ad velocitatem1 id e/ ut rectangulum quam m9imum ,,kn ,,kl applicatum ad ,,ap4 ,erat supra ,,kl ut ,,ap ,,pq4 ,ergo p>ticula temporis e/ ut ,,kn ,,pq1 vel quod p]9de e/1 ut ,,pq ,,ck4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #e4 ,eodem argum5to p>ticula temporis1 quo spatii p>ticula nklo 9 asc5su describitur1 e/ ut pq ,ck4 ,prop4 ,,ix4 ,!or4 ,,vii4 ,positis jam demon/ratis1 dico quod si ,tang5tes angulorum sectoris ,circul>is sectoris ,hyp]bolici sumantur velocitatibus proportionales1 exi/5te radio j magnitud9is3 erit tempus omne asc5sus futuri ut sector ,circuli1 tempus omne desc5sus prt]iti ut sector ,hyp]bol4 ,rect ,,ac1 qua vis gravitatis exponitur1 p]p5dicul>is qualis ducatur ,,ad4 ,c5tro ,d semidiametro ,,ad describatur tum circuli ,quadrans ,at,e1 tum ,hyp]bola rectangula ,,avz axem hab5s ,,ax1 v]ticem pr9cipalem ,a ,asymptoton ,,dc4 ,jungantur ,dp1 ,,dp1 erit sector circul>is ,at,d ut tempus asc5sus omnis futuri2 ,sector ,hyp]bolicus ,,atd ut tempus desc5sus omnis prt]iti1 si modo ,sectorem tang5tes ,ap ,,ap s9t velocitates4 ,illu/ration ,cas4 #a4 ,agatur enim ,dvq absc9d5s ,sectoris ,a,dt trianguli ,a,dp mom5ta1 seu p>ticulas quam m9imas simul descriptas t,dv p,dq4 ,cum p>ticul ill1 ob angulum communem ,d1 sunt 9 duplicata ratione lat]um1 erit p>ticula t,dv ut q,dp p,d quad4 ,s$ p,d quad4 e/ ,,ad quad4 ,ap quad4 id e/ ,,ad quad4 ,ak ,,ad seu ,,ad ,ck2 q,dp e/ ,,ad pq4 ,ergo ,sectoris p>ticula v,dt e/ ut pq ,ck1 id e/1 p] ,corol4 #e1 ,prop4 ,,viii4 ut p>ticula temporis4 ,et compon5do fit summa p>ticul>um omnium t,dv 9 ,sectore ,a,dt1 ut summa p>ticul>um temporis s+ulis velocitatis decresc5tis ,ap p>ticulis amissis pq respond5tium1 usq2 dum velocitas illa 9 nihilum dim9uta evanu]it2 hoc e/1 ,sector totus ,a,dt e/ ut asc5sus totius futuri tempus4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,agatur ,,dqv absc9d5s tum ,sectoris ,,dav1 tum trianguli ,,daq p>ticulas quam m9imas ,,tdv ,,pdq2 erunt h p>ticul ad invicem ut ,d,tq4 ad ,d,pq4 id e/ 7si ,,tx ,,ap p>allel s9t7 ut ,d,xq4 ad ,d,aq4 vel ,t,xq4 ad ,a,pq4 divisim ut ,d,xq4 - ,t,xq4 ad ,a,dq4 - ,a,pq4 ,s$ ex natura ,hyp]bol ,d,xq4 - ,t,xq4 e/ ,a,dq41 p] ,hypo!s9 ,a,pq4 e/ ,,ad ,,ak4 ,ergo p>ticul sunt ad invicem ut ,a,dq4 ad ,a,dq4 - ,,ad ,,ak2 id e/ ut ,,ad ad ,,ad - ,,ak seu ,,ac ad ,,ck3 ideoq2 ,sectoris p>ticula ,,tdv e/ ,,pdq ,,ac ,,ck1 atq2 adeo ob datas ,,ac ,,ad1 ut ,,pq ,,ck2 propt]ea p] ,corol4 #e4 ,prop4 ,,viii4 ,lib4 ,,ii4 ut p>ticula temporis increm5to velocitatis ,,pq respond5s4 ,et compon5do fit summa p>ticul>um temporis1 quibus omnes velocitatis ,,ap p>ticul ,,pq g5]antur1 ut summa p>ticul>um ,sectoris ,,adt1 id e/ tempus totum ut ,sector totus4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si ,,ab quetur qu>t p>ti ipsius ,,ac1 spatium ,,abrp1 quod corpus tempore quovis ,,atd cad5do describit1 erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maxim ,,ac1 eodem tempore uni=mit] progr$i5do describ]e pote/1 ut area ,,abrp1 qua spatium cad5do descriptum exponitur1 ad aream ,,atd qua tempus exponitur4 ,nam cum sit ,,ac ad ,,ap ut ,,ap ad ,,ak1 erit #b;,,apq quale ,,ac ,,kl 7p] ,corol4 #a4 ,lem4 ,,ii4 hujus7 adeoq2 ,,kl ad ,,pq ut #b;,,ap ad ,,ac1 inde ,,lkn ad ,,pq ,,ad seu ,,dpq ut #b;,,ap ,,kn ad ,,ac ,,ad4 ,s$ erat ,,dpq ad ,,dtv ut ,,ck ad ,,ac4 ,ergo ex quo ,,lkn e/ ad ,,dtv ut #b;,,ap ,,kn ,,ck ad ,,ac cub42 id e/1 ob quales ,,ckn ,a,cq41 ut ,,ap ad ,,ac2 hoc e/ ut velocitas corporis cad5tis ad velocitatem maximam quam corpus cad5do pote/ acquir]e4 ,cum igitur are>um ,,abkn ,,avd mom5ta ,,lkn ,,dtv sunt ut velocitates1 erunt are>um ill>um p>tes omnes simul g5it ut spatia simul descripta1 ideoq2 are tot ab initio g5it ,,abkn ,,avd ut spatia tota ab initio desc5sus descripta4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #b4 ,idem consequitur etiam de spatio quod 9 asc5su describitur4 ,nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium1 uni=mi cum velocitate ,,ac eodem tempore descriptum1 ut e/ area ,a,bnk ad ,sectorem ,a,dt4 ,corol4 #c4 ,velocitas corporis tempore ,,atd cad5tis e/ ad velocitatem1 quam eodem tempore 9 spatio non resi/5te acquir]et1 ut triangulum ,,apd ad ,sectorem ,hyp]bolicum ,,atd4 ,nam velocitas 9 ,m$io non resi/5te =et ut tempus ,,atd1 9 ,m$io resi/5te e/ ut ,,ap1 id e/ ut triangulum ,,apd4 ,et velocitates ill initio desc5sus quantur int] se1 p]9de ut are ill ,,atd1 ,,apd4 ,corol4 #d4 ,eodem argum5to velocitas 9 asc5su e/ ad velocitatem1 qua corpus eodem tempore 9 spatio non resi/5te omnem suum asc5d5di motum amitt]e posset1 ut triangulum ,ap,d ad ,sectorem circul>em ,at,d1 sive ut recta ,ap ad arcum ,at4 ,corol4 #e4 ,e/ igitur tempus quo corpus 9 ,m$io resi/5te cad5do velocitatem ,,ap acquirit1 ad tempus quo velocitatem maximam ,,ac 9 spatio non resi/5te cad5do acquir]e posset1 ut ,sector ,,adt ad triangulum ,,adc3 tempus1 quo velocitatem ,ap 9 ,m$io resi/5te asc5d5do possit amitt]e1 ad tempus quo velocitatem e&em 9 spatio non resi/5te asc5d5do posset amitt]e1 ut arcus ,at ad ejus ,tang5tem ,ap4 ,corol4 #f4 ,h9c ex dato tempore datur spatium asc5su vel desc5su descriptum4 ,nam corporis 9 inf9itum desc5d5tis datur velocitas maxima1 p] ,corol4 #b4 #c4 ,!or4 ,,vi1 ,lib4 ,,ii4 indeq2 datur spatium quod semisse velocitatis illius dato tempore describi pote/1 tempus quo corpus velocitatem illam 9 spatio non resi/5te cad5do posset acquir]e4 ,et sum5do ,sectorem ,,adt vel ,a,dt ad triangulum ,,adc 9 ratione temporum2 dabitur tum velocitas ,,ap vel ,ap1 tum area ,,abkn vel ,a,bkn1 qu e/ ad ,sectorem ut spatium qusitum ad spatium jam ante inv5tum4 ,corol4 #g4 ,et regr$i5do1 ex dato asc5sus vel desc5sus spatio ,a,bnk vel ,,abnk1 dabitur tempus ,a,dt vel ,,adt4 ,prop4 ,x4 ,prob4 ,,iii4 ,t5dat uni=mis vis gravitatis directe ad planum ,horizontis1 sitq2 resi/5tia ut m$ii d5sitas quadratum velocitatis conjunctim3 requiritur tum ,m$ii d5sitas 9 locis s+ulis1 qu faciat ut corpus 9 data quavis l9ea curva moveatur1 tum corporis velocitas 9 iisdem locis4 ,illu/ration ,sit ,,ak planum illud plano ,s*ematis p]p5dicul>e2 ,,ack l9ea curva2 ,c corpus 9 ipsa motum2 ,f,cf recta ipsam tang5s 9 ,c4 ,f+atur autem corpus ,c nunc progr$i ab ,a ad ,k p] l9eam illam ,,ack1 nunc v]o regr$i p] e&em l9eam2 9 progressu imp$iri a ,m$io1 9 regressu que promov]i1 sic ut 9 iisdem locis eadem semp] sit corporis progr$i5tis regr$i5tis velocitas4 qualibus autem temporibus describat corpus progr$i5s arcum quam m9imum ,,cg1 corpus regr$i5s arcum ,cg2 s9t ,,*1 ,* longitud9es quales rectil9e1 quas corpora de loco ,c exeuntia1 8 temporibus1 absq2 ,m$ii ,gravitatis actionibus describ]5t3 a punctis ,c1 ,g1 g1 ad planum horizontale ,,ak demittantur p]p5dicula ,,cb1 ,,gd1 gd1 quorum ,,gd ac gd tang5ti occurrant 9 ,f f4 ,p] ,m$ii resi/5tiam fit ut corpus progr$i5s1 vice longitud9is ,,*1 describat solummodo longitud9em ,,cf2 p] vim gravitatis transf]tur corpus de ,f 9 ,g3 adeoq2 l9eola ,,hf vi resi/5ti1 l9eola ,,fg vi gravitatis simul g5]antur4 ,pro9de 7p] ,lem4 ,x4 ,lib4 ,i47 l9eola ,,fg e/ ut vis gravitatis quadratum temporis conjunctim1 adeoq2 7ob datam gravitatem7 ut quadratum temporis2 l9eola ,,hf ut resi/5tia quadratum temporis1 hoc e/ ut resi/5tia l9eola ,,fg4 ,et inde resi/5tia fit ut ,,hf directe ,,fg inv]se1 sive ut ,,hf ,,fg4 ,hc ita se hab5t 9 l9eolis nasc5tibus4 ,nam 9 l9eolis f9it magnitud9is h rationes non sunt accurat4 ,et simili argum5to e/ fg ut quadratum temporis1 adeoq2 ob qualia tempora quatur ipsi ,,fg2 impulsus quo corpus regr$i5s urgetur e/ ut hf fg4 ,s$ impulsus corporis regr$i5tis resi/5tia progr$i5tis ipso motus initio quantur1 adeoq2 ipsis proportionales hf fg ,,hf ,,fg quantur2 propt]ea ob quales fg ,,fg1 quantur etiam hf ,,hf1 suntq2 adeo ,,cf1 ,,* 7vel ,*7 ,cf 9 progressione ,ari?metica1 inde ,,hf semidiff]5tia e/ ips>um ,cf ,,cf2 resi/5tia qu supra fuit ut ,,hf ,,fg1 e/ ut ,cf - ,,cf ,,fg4 ,e/ autem resi/5tia ut ,m$ii d5sitas quadratum velocitatis4 ,velocitas autem ut descripta longitudo ,,cf directe tempus sqrt,,fg inv]se1 hoc e/ ut ,,cf sqrt,,fg1 adeoq2 quadratum velocitatis ut ,c,fq4 ,,fg4 ,qu>e resi/5tia1 ipsiq2 proportionalis ,cf - ,,cf ,,fg e/ ut ,m$ii d5sitas ut ,c,fq4 ,,fg conjunctim2 inde ,m$ii d5sitas ut ,cf - ,,cf ,,fg directe ,c,fq4 ,,fg inv]se1 id e/ ut ,cf - ,,cf ,c,fq4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,et h9c colligitur1 quod si 9 ,cf capiatur ,ck qualis ,,cf1 ad planum horizontale ,,ak demittatur p]p5diculum ki1 secans curvam ,,ack 9 l2 fiet ,m$ii d5sitas ut ,,fg - kl ,,cf ,,fg kl4 ,erit enim f,c ad k,c ut sqrtfg seu sqrt,,fg ad sqrtkl1 divisim fk ad k,c1 id e/ ,cf - ,,cf ad ,,cf ut sqrt,,fg - sqrtkl ad sqrtkl2 hoc e/ 7si ducatur t]m9us ut]q2 9 sqrt,,fg sqrtkl7 ut ,,fg - kl ad kl sqrt,,fg kl1 sive ad ,,fg kl4 ,nam ratio prima nasc5tium kl sqrt,,fg kl ,,fg kl e/ qualitatis4 ,scribatur itaq2 ,,fk - ,kl ,,fk ,kl pro ,cf - ,,cf ,,cf2 ,m$ii d5sitas1 qu fuit ut ,cf - ,,cf ,,cf quad4 evadet ut ,,fg - kl ,,cf ,,fg kl4 ,corol4 #b4 ,unde cum #b;,,hf ,cf - ,,cf qu5tur1 ,,fg kl 7ob rationem qualitatis7 componant #b;,,fg2 erit #b;,,hf ad ,,cf ut ,,fg - kl ad #b;,,fg2 et inde ,,hf ad ,,fg1 hoc e/ resi/5tia ad gravitatem1 ut rectangulum ,,cf 9 ,,fg - kl ad #d;,,fg quad4 ,corol4 #c4 ,et h9c si curva l9ea def9iatur p] relationem int] basem seu abscissam ,,ab ord9atim applicatam ,,bc2 7ut moris e/7 valor ord9atim applicat resolvatur 9 s]iem conv]g5tem3 ,problema p] primos s]iei t]m9os exp$ite solvetur3 ut 9 ,exemplis sequ5tibus4 ,exempl4 #a4 ,sit ,l9ea ,,ack semicirculus sup] diametro ,,ak descriptus1 requiratur ,m$ii d5sitas qu faciat ut ,projectile 9 hac l9ea moveatur4 ,bisecetur semicirculi diamet] ,,ak 9 ,o2 dic ,,ok n1 ,,ob a1 ,,bc e1 ,,bd vel ,bi o3 erit ,d,gq4 seu ,o,gq4 - ,o,dq4 quale nn - aa - #b;ao - oo seu ee - #b;ao - oo2 radice p] me?odum no/ram extracta1 fiet ,,dg e - ao e - oo #b;e - aaoo #b;e#c - ao#c #b;e#c - a#co#c #b;e#e c4 ,hic scribatur nn pro ee aa evadet ,,dg e - ao e - nnoo #b;e#c - anno#c #b;e#e c4 ,hujusmodi ,s]ies di/+uo 9 t]m9os successivos 9 hunc modum4 ,t]m9um primum appello 9 quo quantitas inf9ite p>va o non extat2 secundum 9 quo quantitas illa extat unius dim5sionis2 t]tium 9 quo extat du>um1 qu>tum 9 quo trium e/1 sic 9 inf9itum4 ,et primus t]m9us1 qui hic e/ e1 d5otabit semp] longitud9em ord9at ,,bc insi/5tis ad indef9it quantitatis initium ,b2 secundus t]m9us qui hic e/ ao e1 d5otabit diff]5tiam int] ,,bc ,,df1 id e/ l9eolam ,,if1 qu absc9ditur compl5do p>allelogrammum ,,bc - ,,id1 atq2 adeo positionem ,tang5tis ,,cf semp] det]m9at3 ut 9 hoc casu capi5do ,,if ad ,,ic ut e/ ao e ad o seu a ad e4 ,t]m9us t]tius1 qui hic e/ nnoo #b;e#c designabit l9eolam ,,fg1 qu jacet int] ,tang5tem ,curvam1 adeoq2 det]m9at angulum contactus ,,fcg1 seu curvaturam quam curva l9ea habet 9 ,c4 ,si l9eola illa ,,fg f9it e/ magnitud9is1 designabitur p] t]m9um t]tium una cum subsequ5tibus 9 inf9itum4 ,at si l9eola illa m9uatur 9 inf9itum1 t]m9i subsequ5tes evad5t inf9ite m9ores t]tio1 ideoq2 negligi possunt4 ,t]m9us qu>tus1 qui hic e/ anno#c #b;e#e1 exhibet v>iationem ,curvatur2 qu9tus v>iationem v>iationis1 sic de9ceps4 ,unde obit] patet usus non contemn5dus h>um ,s]i]um 9 solutione ,problematum1 qu p5d5t a ,tang5tibus curvatura ,curv>um4 ,prt]ea ,,cf e/ latus quadratum ex ,c,iq4 ,i,fq4 hoc e/ ex ,b,dq4 quadrato t]m9i secundi4 ,e/q2 ,,fg kl qualis duplo t]m9i t]tii1 ,,fg - kl qualis duplo qu>ti4 ,nam valor ipsius ,,dg conv]titur 9 valorem ipsius il1 valor ipsius ,,fg 9 valorem ipsius kl1 scrib5do ,bi pro ,,bd1 seu -o pro o4 ,pro9de cum ,,fg sit - nnoo #b;e#c - anno#c #b;e#e c4 erit kl - nnoo #b;e#c anno#c #b;e#e1 c4 ,et horum summa e/ - nnoo e#c1 diff]5tia - anno#c e#e4 ,t]m9um qu9tum sequ5tes hic negligo1 ut inf9ite m9ores quam qui 9 hoc ,problemate consid]&i v5iant4 ,itaq2 si designetur ,s]ies univ]salit] 8 t]m9is ,qo - ,roo - ,s#c c4 erit ,,cf qualis sqrtoo ,q,qoo1 ,,fg kl qualis #b,roo1 ,,fg - kl qualis #b,s#c4 ,pro ,,cf1 ,,fg kl ,,fg - kl scribantur hi e>um valores1 ,m$ii d5sitas qu erat ut ,,fg - kl ,,cf 9 ,,fg kl jam fiet ut ,s ,r sqrt#a ,,qq4 ,d$uc5do igitur ,problema unumquodq2 ad s]iem conv]g5tem1 hic pro ,q1 ,r ,s scrib5do t]m9os s]iei ipsis respond5tes2 de9de etiam pon5do resi/5tiam ,m$ii 9 loco quovis ,g esse ad ,gravitatem ut ,ssqrt#a ,,qq ad #b,,rr1 velocitatem esse illam ipsam quacum corpus1 de loco ,c secundum rectam ,,cf egr$i5s1 9 ,p>abola1 diametrum ,,cb latus rectum #a ,,qq ,r hab5te1 de9ceps mov]i posset1 solvetur ,problema4 ,sic 9 ,problemate jam solv5do1 si scribantur sqrt#a aa ee seu n e pro sqrt#a ,,qq1 nn #b;e#c pro ,r1 ann #b;e#c pro ,s1 prodibit ,m$ii d5sitas ut a ne1 hoc e/ 7ob datam n7 ut a e seu ,,ob ,,bc1 id e/ ut ,tang5tis longitudo illa ,,ct1 qu ad semidiametrum ,,ol ipsi ,,ak normalit] insi/5tem t]m9atur1 resi/5tia erit ad gravitatem ut a ad n1 id e/ ut ,,ob ad circuli semidiametrum ,,ok1 velocitas autem erit ut sqrt#b;,,bc4 ,igitur si corpus ,c c]ta cum velocitate1 secundum l9eam ipsi ,,ok p>allelam1 exeat de loco ,l1 ,m$ii d5sitas 9 s+ulis locis ,c sit ut longitudo tang5tis ,,ct1 resi/5tia etiam 9 loco aliquo ,c sit ad vim gravitatis ut ,,ob ad ,,ok2 corpus illud describet circuli quadrantem ,,lck4 ,q4 ,e4 ,i4 ,at si corpus idem de loco ,a secundum l9eam ipsi ,,ak p]p5dicul>em egr$]etur1 sum5da esset ,,ob seu a ad contr>ias p>tes c5tri ,o1 propt]ea signum ejus mut&um esset1 scrib5dum -a pro a4 ,quo pacto prodiret ,m$ii d5sitas ut -a e4 ,negativam autem d5sitatem 7hoc e/ qu motus corporum accel]at7 ,natura non admittit1 propt]ea naturalit] fi]i non pote/ ut corpus asc5d5do ab ,a describat circuli quadrantem ,,al4 ,ad hunc effectum deb]et corpus a ,m$io impell5te accel]>i1 non a resi/5te imp$iri4 ,exempl4 #b4 ,sit l9ea ,,alck ,p>abola1 axem hab5s ,,ol horizonti ,,ak p]p5dicul>em1 requiratur ,m$ii d5sitas qu faciat ut projectile 9 ipsa moveatur4 ,ex natura ,p>abol1 rectangulum ,,adk quale e/ rectangulo sub ord9ata ,,dg recta aliqua data3 hoc e/1 si dicantur recta illa b1 ,,ab a1 ,,ak c1 ,,bc e ,,bd o2 rectangulum a o 9 c - a - o seu ac - aa - #b;ao co - oo quale e/ rectangulo b 9 ,,dg1 adeoq2 ,,dg quale ac - aa b c - #b;a bo - oo b4 ,jam scrib5dus esset hujus s]iei secundus t]m9us c - #b;a b o pro ,qo1 ejus coeffici5s c - #b;a b pro ,q2 t]tius item t]m9us oo b pro ,roo1 ejus coeffici5s #a b pro ,r4 ,cum v]o plures non s9t t]m9i1 debebit qu>ti t]m9i ,s#c coeffici5s ,s evanesc]e1 propt]ea quantitas ,s ,rsqrt#a ,,qq cui ,m$ii d5sitas proportionalis e/1 nihil erit4 ,nulla igitur ,m$ii d5sitate movebitur ,projectile 9 ,p>abola1 uti olim demon/ravit ,galilu4 ,q4 ,e4 ,i4 ,illu/ration ,exempl4 #c4 ,sit l9ea ,,agk ,hyp]bola1 ,asymptoton hab5s ,,nx plano horizontali ,,ak p]p5dicul>em2 quratur ,m$ii d5sitas qu faciat ut ,projectile moveatur 9 hac l9ea4 ,sit ,,mx ,asymptotos alt]a1 ord9atim applicat ,,dg product occurr5s 9 ,v1 ex natura ,hyp]bol1 rectangulum ,,xv 9 ,,vg dabitur4 ,datur autem ratio ,,dn ad ,,vx1 propt]ea datur etiam rectangulum ,,dn 9 ,,vg4 ,sit illud bb2 completo p>allelogrammo ,,dnxz1 dicatur ,,bn a1 ,,bd o1 ,,nx c1 ratio data ,,vz ad ,,zx vel ,,dn ponatur esse m n4 ,et erit ,,dn qualis a - o1 ,,vg qualis bb a - o1 ,,vz qualis m n a - o1 ,,gd seu ,,nx - ,,vz - ,,vg qualis c - m na m no - bb a - o4 ,resolvatur t]m9us bb a - o 9 s]iem conv]g5tem bb a bb aao bb a#coo bb a#do#c etc4 fiet ,,gd qualis c - m na - bb a m no - bb aao - bb a#co#b - bb a#do#c c4 ,hujus s]iei t]m9us secundus m no - bb aao usurp&us e/ pro ,qo1 t]tius cum signo mutato bb a#co#b pro ,ro#b1 qu>tus cum signo etiam mutato bb a#do#c pro ,s#c1 eorumq2 coeffici5tes m n - bb aa1 bb a#c bb a#d scrib5d sunt1 9 ,regula sup]iore1 pro ,q1 ,r ,s4 ,quo facto prodit m$ii d5sitas ut bb --- a#d #a ------------------------------ seu ------------------------------ --------------------- ------------------------- bb _/ mm #bmbb b#d _/ mm #bmbb b#d -- _/ #a - -- - ---- --- _/ aa -- aa - ---- ---- a#c_/ nn naa a#d _/ nn n aa e/1 si 9 ,,vz sumatur ,,vy qualis ,,vg1 ut #a ,,xy4 ,namq2 aa mm nnaa - #bmbb n b#d aa sunt ips>um ,,xz ,,zy quadrata4 ,resi/5tia autem inv5itur 9 ratione ad ,gravitatem quam habet ,,xy ad ,,yg1 velocitas ea e/ quacum corpus 9 ,p>abola p]g]et v]ticem ,g diametrum ,,dg latus rectum ,,yx quad4 ,,vg hab5te4 ,ponatur itaq2 quod ,m$ii d5sitates 9 locis s+ulis ,g s9t reciproce ut di/anti ,,xy1 quodq2 resi/5tia 9 loco aliquo ,g sit ad gravitatem ut ,,xy ad ,,yg2 corpus de loco ,a ju/a cum velocitate emissum describet ,hyp]bolam illam ,,agk4 ,q4 ,e4 ,i4 ,exempl4 #d4 ,ponatur indef9ite1 quod l9ea ,,agk ,hyp]bola sit1 c5tro ,x ,asymptotis ,,mx1 ,,nx1 ea lege descripta1 ut con/ructo rectangulo ,,xzdn cujus latus ,,zd secet ,hyp]bolam 9 ,g ,asymptoton ejus 9 ,v1 fu]it ,,vg reciproce ut ipsius ,,zx vel ,,dn dignitas aliqua ,,ndn1 cujus index e/ num]us n3 quratur ,m$ii d5sitas1 qua ,projectile progr$iatur 9 hac curva4 ,pro ,,dn1 ,,bd1 ,,nx scribantur ,a1 ,o1 ,c respective1 sitq2 ,,vz ad ,,zx vel ,,dn ut d ad e1 ,,vg qualis bb ,,dnn1 erit ,,dn qualis ,a - ,o1 ,,vg bb ,a - ,on1 ,,vz d e 9 ,a - ,o1 ,,gd seu ,,nx - ,,vz - ,,vg qualis ,c - d e,a d e,o - bb ,a - ,on4 ,resolvatur t]m9us ille bb ,a - ,on 9 s]iam inf9itam bb nbb,o nn n n#c #cnn #bn ----- ------- -------- bb,o#b -------------- bb,o#c c4 ,an ,an#a #b;,an#b #f;,an#c ac fiet ,,gd qualis d bb d nbb nn n n#c #cnn #bn ,c - -,a - ----- -,o - -------,o - --------bb,o#b - --------------bb,o#c c4 e ,an e ,an#a #b;,an#b #f;,an#c ,hujus s]iei t]m9us secundus d e,o - nbb ,an#a,o usurp&us e/ pro ,qo1 t]tius nn n #b;,an#b;bb,o#b pro ,ro#b1 qu>tus n#c #cnn #bn #f;,an#c;bb,o#c pro ,s#c4 ,et inde ,m$ii d5sitas ,s ,r sqrt#a ,,qq1 9 loco quovis ,g1 fit n #b --------------------------------------- 1 -------------------------------- _/ dd #b;dnbb nnb#d #c _/ ,a#b -- ,a#b - ------ ,a ------ _/ ee e,an ,a#bn adeoq2 si 9 ,,vz capiatur ,,vy qualis n ,,vg1 e/ reciproce ut ,,xy4 ,sunt enim ,a#b dd ee,a#b - #b;dnbb e,an 9 ,a nnb#d ,a#bn ips>um ,,xz ,,zy quadrata4 ,resi/5tia autem 9 eodem loco ,g fit ad ,gravitatem ut ,s 9 ,,xy ,a ad #b,,rr1 id e/ ,,xy ad #cnn #cn n #b,,vg4 ,et velocitas ibidem ea ipsa e/ quacum corpus projectum 9 ,p>abola p]g]et1 v]ticem ,g1 diametrum ,,gd ,latus rectum #a ,,qq ,r seu #b,,xy quad4 nn n 9 ,,vg hab5te4 ,q4 ,e4 ,i4 ,s*olium4 ,quoniam motus non fit 9 ,p>abola nisi 9 ,m$io non resi/5te1 9 ,hyp]bolis v]o hic descriptis fit p] resi/5tiam p]petuam2 p]spicuum e/ quod l9ea1 quam ,projectile 9 ,m$io uni=mit] resi/5te describit1 propius acc$it ad ,hyp]bolas hasce quam ad ,p>abolam4 ,e/ utiq2 l9ea illa ,hyp]bolici g5]is1 s$ qu circa v]ticem magis di/at ab ,asymptotis2 9 p>tibus a v]tice remotioribus propius ad ipsas acc$it quam pro ratione ,hyp]bol>um quas hic descripsi4 ,tanta v]o non e/ int] has illam diff]5tia1 qu9 illius loco poss9t h 9 rebus practicis non incommode adhib]i4 ,et utiliores =san futur sunt h1 quam ,hyp]bola magis accurata simul magis composita4 ,ips v]o 9 usum sic d$uc5tur4 ,compleatur p>allelogrammum ,,xygt1 ex natura h>um ,hyp]bol>um facile colligitur quod recta ,,gt tangit ,hyp]bolam 9 ,g1 ideoq2 d5sitas ,m$ii 9 ,g e/ reciproce ut tang5s ,,gt1 velocitas ibidem ut sqrt,g,tq4 ,,gv1 resi/5tia autem ad vim gravitatis ut ,,gt ad #cnn #cn n #b;,,gv4 ,pro9de si corpus de loco ,a secundum rectam ,,ah projectum describat ,hyp]bolam ,,agk1 ,,ah producta occurrat ,asymptoto ,,nx 9 ,h1 actaq2 ,,ai occurrat alt]i ,asymptoto ,,mx 9 ,i3 erit ,m$ii d5sitas 9 ,a reciproce ut ,,ah1 corporis velocitas ut sqrt,a,hq4 ,,ai1 ac resi/5tia ibidem ad ,gravitatem ut ,,ah ad #cnn #cn n #b 9 ,,ai4 ,unde prodeunt sequ5tes ,regul4 ,reg4 #a4 ,si s]vetur ,m$ii d5sitas 9 ,a mutetur angulus ,,nah1 manebunt longitud9es ,,ah1 ,,ai1 ,,hx4 ,ideoq2 si longitud9es ill 9 aliquo casu inv5iantur1 ,hyp]bola de9ceps ex dato quovis angulo ,,nah exp$ite det]m9>i pote/4 ,reg4 #b4 ,si s]vetur tum angulus ,,nah tum ,m$ii d5sitas 9 ,a1 mutetur velocitas quacum corpus projicitur2 s]vabitur longitudo ,,ah1 mutabitur ,,ai 9 duplicata ratione velocitatis reciproce4 ,reg4 #c4 ,si tam angulus ,,nah quam corporis velocitas 9 ,a1 gravitasq2 accel]atrix s]vetur1 proportio resi/5ti 9 ,a ad gravitatem motricem augeatur 9 ratione1 quacunque3 augebitur proportio ,,ah ad ,,ai eadem ratione1 man5te ,p>abol lat]e recto1 eiq2 proportionali longitud9e ,a,hq4 ,,ai2 propt]ea m9uetur ,,ah 9 eadem ratione1 ,,ai m9uetur 9 ratione illa duplicata4 ,augetur v]o proportio resi/5ti ad pondus1 ubi vel gravitas specifica sub quali magnitud9e fit m9or1 vel ,m$ii d5sitas major1 vel resi/5tia1 ex magnitud9e dim9uta1 dim9uitur 9 m9ore ratione quam pondus4 ,reg4 #d4 ,quoniam d5sitas ,m$ii prope v]ticem ,hyp]bol major e/ quam 9 loco ,a1 ut s]vetur d5sitas m$iocris1 debet ratio m9im tang5tium ,,gt ad ,tang5tem ,,ah inv5iri1 d5sitas 9 ,a1 p] ,regulam t]tiam1 dim9ui 9 ratione paulo m9ore quam semisumm ,tang5tium ad ,tang5tium ,,ah4 ,reg4 #e4 ,si dantur longitud9es ,,ah1 ,,ai1 describ5da sit figura ,,agk3 produc ,,hn ad ,x1 ut sit ,,hx qualis facto sub n #a ,,ai2 c5troq2 ,x ,asymptotis ,,mx1 ,,nx p] punctum ,a describatur ,hyp]bola1 ea lege ut sit ,,ai ad quamvis ,,vg ut ,,xvn ad ,,xin4 ,illu/ration ,reg4 #f4 ,quo major e/ num]us n1 eo magis accurat sunt h ,hyp]bol 9 asc5su corporis ab ,a1 m9us accurat 9 ejus desc5su ad ,g2 contra4 ,hyp]bola ,conica m$iocrem rationem t5et1 e/q2 ct]is simplicior4 ,igitur si ,hyp]bola sit hujus g5]is1 punctum ,k1 ubi corpus projectum incidet 9 rectam quamvis ,,an p] punctum ,a transeuntem1 quratur3 occurrat producta ,,an ,asymptotis ,,mx1 ,,nx 9 ,m ,n1 sumatur ,,nk ipsi ,,am qualis4 ,reg4 #g4 ,et h9c liquet me?odus exp$ita det]m9&i hanc ,hyp]bolam ex ,phnom5is4 ,projiciantur corpora duo similia qualia eadem velocitate1 9 angulis div]sis ,,hak1 h,ak1 incid5tq2 9 planum ,horizontis 9 ,k k2 notetur proportio ,,ak ad ,ak4 ,sit ea d ad e4 ,tum erecto cujusvis longitud9is p]p5diculo ,,ai1 assume utcunq2 longitud9em ,,ah vel ,ah1 inde collige graphice longitud9es ,,ak1 ,ak1 p] ,reg4 #f4 ,si ratio ,,ak ad ,ak sit eadem cum ratione d ad e1 longitudo ,,ah recte assumpta fuit4 ,s9 m9us cape 9 recta inf9ita ,,sm longitud9em ,,sm qualem assumpt ,,ah1 erige p]p5diculum ,,mn quale rationum diff]5ti ,,ak ,ak - d e duct 9 rectam quamvis datam4 ,simili me?odo ex assumptis pluribus longitud9ibus ,,ah inv5i5da sunt plura puncta ,n3 tum demum si p] omnia agatur ,curva l9ea regul>is ,,nnxn1 hc absc9det ,,sx qusit longitud9i ,,ah qualem4 ,ad usus ,me*anicos sufficit longitud9es ,,ah1 ,,ai easdem 9 angulis omnibus ,,hak ret9]e4 ,s9 figura ad inv5i5dam resi/5tiam ,m$ij accuratius det]m9&a sit1 corrig5d sunt semp] h longitud9es p] ,regulam qu>tam4 ,illu/ration ,reg4 #h4 ,inv5tis longitud9ibus ,,ah1 ,,hx2 si jam desid]etur positio rect ,,ah1 secundum quam ,projectile data illa cum velocitate emissum incidit 9 punctum quodvis ,k3 ad puncta ,a ,k erigantur rect ,,ac1 ,,kf horizonti p]p5dicul>es1 qu>um ,,ac deorsum t5dat1 quetur ipsi ,,ai seu ,,hx4 ,asymptotis ,,ak1 ,,kf describatur ,hyp]bola1 cujus ,conjugata transeat p] punctum ,c1 c5troq2 ,a int]vallo ,,ah describatur ,circulus secans ,hyp]bolam illam 9 puncto ,h2 projectile secundum rectam ,,ah emissum incidet 9 punctum ,k4 ,q4 ,e4 ,i4 ,nam punctum ,h1 ob datam longitud9em ,,ah1 locatur alicubi 9 circulo descripto4 ,agatur ,,* occurr5s ipsis ,,ak ,,kf1 illi 9 ,c1 huic 9 ,f1 ob p>allelas ,,*1 ,,mx quales ,,ac1 ,,ai1 erit ,,ae qualis ,,am1 propt]ea etiam qualis ,,kn4 ,s$ ,,ce e/ ad ,,ae ut ,,fh ad ,,kn1 propt]ea ,,ce ,,fh quantur4 ,incidit ergo punctum ,h 9 ,hyp]bolam ,asymptotis ,,ak1 ,,kf descriptam1 cujus conjugata transit p] punctum ,c1 atq2 adeo rep]itur 9 communi int]sectione ,hyp]bol hujus circuli descripti4 ,q4 ,e4 ,d4 ,not&um e/ autem quod hc op]atio p]9de se habet1 sive recta ,,akn horizonti p>allela sit1 sive ad horizontem 9 angulo quovis incl9ata3 quodq2 ex duabus int]sectionibus ,h1 ,h duo prodeunt anguli ,,nah1 ,,nah1 quorum m9or elig5dus e/2 quod 9 ,praxi me*anica sufficit circulum semel describ]e1 de9de regulam int]m9atam ,,* ita applic>e ad punctum ,c1 ut ejus p>s ,,fh1 circulo rect ,,fk int]jecta1 qualis sit ejus p>ti ,,ce int] punctum ,c rectam ,,hk sit4 ,illu/ration ,qu de ,hyp]bolis dicta sunt facile applicantur ad ,p>abolas4 ,nam si ,,xagk ,p>abolam designet quam recta ,,xv tangat 9 v]tice ,x1 s9tq2 ord9atim applicat ,,ia1 ,,vg ut qulibet absciss>um ,,xi1 ,,xv dignitates ,,xin1 ,,xvn2 agantur ,,xt1 ,,tg1 ,,ha1 qu>um ,,xt p>allela sit ,,vg1 ,,tg1 ,,ha p>abolam tangant 9 ,g ,a3 corpus de loco quovis ,a1 secundum rectam ,,ah productam1 ju/a cum velocitate projectum1 describet hanc ,p>abolam1 si modo d5sitas ,m$ij1 9 locis s+ulis ,g1 sit reciproce ut tang5s ,,gt4 ,velocitas autem 9 ,g ea erit quacum ,projectile p]g]et1 9 spatio non resi/5te1 9 ,p>abola ,conica1 v]ticem ,g1 diametrum ,,vg deorsum productam1 latus rectum sqrt#b,t,gq4 nn - n,,xvg hab5te4 ,et resi/5tia 9 ,g erit ad vim ,gravitatis ut ,,tg ad #cnn - #cn n - #b,,vg4 ,vnde si ,,nak l9eam horizontalem designet1 man5te tum d5sitate ,m$ij 9 ,a1 tum velocitate quacum corpus projicitur1 mutetur utcunq2 angulus ,,nah2 manebunt longitud9es ,,ah1 ,,ai1 ,,hx1 inde datur ,p>abol v]tex ,x1 positio rect ,,xi1 sum5do ,,vg ad ,,ia ut ,,xvn ad ,,xin1 dantur omnia ,p>abol puncta ,g1 p] qu ,projectile transibit4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,iii4 ,de motu corporum qu resi/untur p>tim 9 ratione velocitatis1 p>tim 9 ejusdem ratione duplicata4 ,prop4 ,,xi4 ,!or4 ,,viii4 ,si corpus resi/itur p>tim 9 ratione velocitatis1 p>tim 9 velocitatis ratione duplicata1 sola vi insita 9 ,m$io simil>i movetur1 sumantur autem tempora 9 progressione ,ari?metica3 quantitates velocitatibus reciproce proportionales1 data quadam quantitate auct1 erunt 9 progressione ,geometrica4 ,illu/ration ,c5tro ,c1 ,asymptotis rectangulis ,c,a,dd ,,* describatur ,hyp]bola ,b,ee,s1 ,asymptoto ,,* p>allel s9t ,,ab1 ,,de1 de4 ,9 ,asymptoto ,,cd d5tur puncta ,a1 ,g3 ,et si tempus exponatur p] aream ,hyp]bolicam ,,ab$ uni=mit] cresc5tem2 dico quod velocitas exponi pote/ p] longitud9em ,,df1 cujus reciproca ,,gd una cum data ,,cg componat longitud9em ,,cd 9 progressione ,geometrica cresc5tem4 ,sit enim areola ,d,eed datum temporis increm5tum quam m9imum1 erit ,dd reciproce ut ,,de1 adeoque directe ut ,,cd4 ,ipsius autem #a ,,gd decrem5tum1 quod 7p] hujus ,lem4 ,,ii47 e/ ,dd ,g,dq4 erit ut ,,cd ,g,dq4 seu ,,cg ,,gd ,g,dq41 id e/1 ut #a ,,gd ,,cg ,g,dq44 ,igitur tempore ,,ab$ p] additionem dat>um p>ticul>um ,e,dde uni=mit] cresc5te1 decrescit #a ,,gd 9 eadem ratione cum velocitate4 ,nam decrem5tum velocitatis e/ ut resi/5tia1 hoc e/ 7p] ,hypo!s97 ut summa du>um quantitatum1 qu>um una e/ ut velocitas1 alt]a ut quadratum velocitatis2 ipsius #a ,,gd decrem5tum e/ ut summa quantitatum #a ,,gd ,,cg ,g,dq41 qu>um prior e/ ipsa #a ,,gd1 po/]ior ,,cg ,g,dq4 e/ ut #a ,g,dq44 ,pro9de #a ,,gd1 ob analogum decrem5tum1 e/ ut velocitas4 ,et si quantitas ,,gd ipsi #a ,,gd reciproce proportionalis quantitate data ,,cg augeatur1 summa ,,cd1 tempore ,,ab$ uni=mit] cresc5te1 crescet 9 progressione ,geometrica4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur si datis punctis ,a1 ,g1 exponatur tempus p] aream ,hyp]bolicam ,,ab$1 exponi pote/ velocitas p] ipsius ,,gd reciprocam #a ,,gd4 ,corol4 #b4 ,sum5do autem ,,ga ad ,,gd ut velocitatis reciproca sub initio1 ad velocitatis reciprocam 9 f9e temporis cujusvis ,,ab$1 inv5ietur punctum ,g4 ,eo autem inv5to1 velocitas ex dato quovis alio tempore inv5iri pote/4 ,prop4 ,,xii4 ,!or4 ,,ix4 ,iisdem positis1 dico quod si spatia descripta sumantur 9 progressione ,ari?metica1 velocitates data quadam quantitate auct erunt 9 progressione ,geometrica4 ,9 ,asymptoto ,,cd detur punctum ,r1 erecto p]p5diculo ,,rs1 quod occurrat ,hyp]bol 9 ,s1 exponatur descriptum spatium p] aream ,hyp]bolicam ,,rs$2 velocitas erit ut longitudo ,,gd1 qu cum data ,,cg componit longitud9em ,,cd1 9 ,progressione ,geometrica decresc5tem1 int]ea dum spatium ,,rs$ augetur 9 ,ari?metica4 ,et5im ob datum spatii increm5tum ,e,dde1 l9eola ,dd1 qu decrem5tum e/ ipsius ,,gd1 erit reciproce ut ,,ed1 adeoq2 directe ut ,,cd1 hoc e/ ut summa ejusdem ,,gd longitud9is dat ,,cg4 ,s$ velocitatis decrem5tum1 tempore sibi reciproce proportionali1 quo data spatii p>ticula ,dde,e describitur1 e/ ut resi/5tia tempus conjunctim1 id e/ directe ut summa du>um quantitatum1 qu>um una e/ velocitas1 alt]a ut velocitatis quadratum1 inv]se ut velocitas2 adeoque directe ut summa de>um quantitatum1 qu>um una datur1 alt]a e/ ut velocitas4 ,igitur decrem5tum tam velocitatis quam l9e ,,gd1 e/ ut quantitas data quantitas decresc5s conjunctim1 propt] analoga decrem5ta1 analog semp] erunt quantitates decresc5tes3 nimirum velocitas l9ea ,,gd4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur si velocitas exponatur p] longitud9em ,,gd1 spatium descriptum erit ut area ,hyp]bolica ,,desr4 ,corol4 #b4 ,et si utcunque assumatur punctum ,r1 inv5ietur punctum ,g1 capi5do ,,gd ad ,,gr ut e/ velocitas sub initio ad velocitatem po/ spatium quodvis ,,ab$ descriptum4 ,inv5to autem puncto ,g1 datur spatium ex data velocitate1 contra4 ,corol4 #c4 ,unde cum1 p] ,prop4 ,,xi4 detur velocitas ex dato tempore1 p] hanc ,propositionem detur spatium ex data velocitate2 dabitur spatium ex dato tempore3 contra4 ,prop4 ,,xiii4 ,!or4 ,x4 ,illu/ration ,posito quod corpus ab uni=mi gravitate deorsum attractum recta asc5dit vel desc5dit1 resi/itur p>tim 9 ratione velocitatis1 p>tim 9 ejusdem ratione duplicata3 dico quod si ,circuli ,hyp]bol diametris p>allel rect p] conjugat>um diametrorum t]m9os ducantur1 velocitates s9t ut segm5ta qudam p>allel>um a dato puncto ducta1 ,tempora erunt ut are>um ,sectores1 rectis a c5tro ad segm5torum t]m9os ductis abscissi3 contra4 ,cas4 #a4 ,ponamus primo quod corpus asc5dit1 c5troque ,d semidiametro quovis ,,db describatur circuli quadrans ,,betf1 p] semidiametri ,,db t]m9um ,b agatur inf9ita ,,bap1 semidiametro ,,df p>allela4 ,9 ea detur punctum ,a1 capiatur segm5tum ,,ap velocitati proportionale4 ,et cum resi/5ti p>s aliqua sit ut velocitas p>s alt]a ut velocitatis quadratum1 fit resi/5tia tota 9 ,p ut ,,ap quad4 #b,,pab4 ,jungantur ,,da1 ,,dp circulum secantes 9 ,e ac ,t1 exponatur gravitas p] ,,da quadratum1 ita ut sit gravitas ad resi/5tiam 9 ,p ut ,d,aq4 ad ,a,pq4 #b,,pab3 tempus asc5sus omnis futuri erit ut circuli sector ,,edte4 ,agatur enim ,,dvq1 absc9d5s velocitatis ,,ap mom5tum ,,pq1 ,sectoris ,,det mom5tum ,,dtv dato temporis mom5to respond5s3 velocitatis decrem5tum illud ,,pq erit ut summa virium gravitatis ,d,bq4 resi/5ti ,a,pq4 #b;,,bap1 id e/ 7p] ,prop4 #ab4 ,lib4 ,,ii4 ,elem47 ut ,,dp quad4 ,pro9de area ,,dpq1 ipsi ,,pq proportionalis1 e/ ut ,,dp quad42 area ,,dtv1 7qu e/ ad aream ,,dpq ut ,d,tq4 ad ,d,pq47 e/ ut datum ,d,tq4 ,decrescit igitur area ,,edt uni=mit] ad modum temporis futuri1 p] subductionem dat>um p>ticul>um ,,dtv1 propt]ea tempori asc5sus futuri proportionalis e/4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illu/ration ,cas4 #b4 ,si velocitas 9 asc5su corporis exponatur p] longitud9em ,,ap ut prius1 resi/5tia ponatur esse ut ,a,pq4 #b;,,bap1 si vis gravitatis m9or sit quam qu p] ,d,aq4 exponi possit2 capiatur ,,bd ejus longitud9is1 ut sit ,a,bq4 - ,b,dq4 gravitati proportionale1 sitque ,,df ipsi ,,db p]p5dicul>is qualis1 p] v]ticem ,f describatur ,hyp]bola ,,ftve cujus semidiametri conjugat s9t ,,db ,,df1 quq2 secet ,,da 9 ,e1 ,,dp1 ,,dq 9 ,t ,v2 erit tempus asc5sus futuri ut ,hyp]bol sector ,,tde4 ,nam velocitatis decrem5tum ,,pq1 9 data temporis p>ticula factum1 e/ ut summa resi/5ti ,a,pq4 #b;,,abp gravitatis ,a,bq4 - ,b,dq4 id e/ ut ,b,pq4 - ,b,dq4 ,e/ autem area ,,dtv ad aream ,,dpq ut ,d,tq4 ad ,d,pq4 adeoque1 si ad ,,df demittatur p]p5diculum ,,gt1 ut ,g,tq4 seu ,g,dq4 - ,d,fq4 ad ,b,dq4 utque ,g,dq4 ad ,p,bq4 divisim ut ,d,fq4 ad ,b,pq4 - ,d,bq4 ,qu>e cum area ,,dpq sit ut ,,pq1 id e/ ut ,b,pq4 - ,b,dq4 erit area ,,dtv ut datum ,d,fq4 ,decrescit igitur area ,,edt uni=mit] s+ulis temporis p>ticulis qualibus1 p] subductionem p>ticul>um totidem dat>um ,,dtv1 propt]ea tempori proportionalis e/4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #c4 ,sit ,,ap velocitas 9 desc5su corporis1 ,a,pq4 #b;,,abp resi/5tia1 ,d,bq4 - ,a,bq4 vis gravitatis1 exi/5te angulo ,,dab recto4 ,et si c5tro ,d1 v]tice pr9cipali ,b1 describatur ,hyp]bola rectangula ,,betv secans productas ,,da1 ,,dp ,,dq 9 ,e1 ,t ,v2 erit ,hyp]bol hujus sector ,,det ut tempus desc5sus4 ,illu/ration ,nam velocitatis increm5tum ,,pq1 eiq2 proportionalis area ,,dpq1 e/ ut excessus gravitatis supra resi/5tiam1 id e/1 ut ,d,bq4 - ,a,bq4 - #b;,,abp - ,a,pq4 seu ,d,bq4 - ,b,pq4 ,et area ,,dtv e/ ad aream ,,dpq ut ,d,tq4 ad ,d,pq4 adeoq2 ut ,g,tq4 seu ,g,dq4 - ,b,dq4 ad ,b,pq4 utque ,g,dq4 ad ,b,dq4 divisim ut ,b,dq4 ad ,b,dq4 - ,b,pq4 ,qu>e cum area ,,dpq sit ut ,b,dq4 - ,b,pq4 erit area ,,dtv ut datum ,b,dq4 ,crescit igitur area ,,edt uni=mit] s+ulis temporis p>ticulis qualibus1 p] additionem totidem dat>um p>ticul>um ,,dtv1 propt]ea tempori desc5sus proportionalis e/4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,igitur velocitas ,,ap e/ ad velocitatem quam corpus tempore ,,edt1 9 spatio non resi/5te1 asc5d5do amitt]e vel desc5d5do acquir]e posset1 ut area trianguli ,,dap ad aream sectoris c5tro ,d1 radio ,,da1 angulo ,,adt descripti2 ideoque ex dato tempore datur4 ,nam velocitas 9 ,m$io non resi/5te1 tempori atque adeo ,sectori huic proportionalis e/2 9 ,m$io resi/5te e/ ut triangulum2 9 ,m$io utroq2 ubi quam m9ima e/1 acc$it ad rationem qualitatis1 pro m ,sectoris ,trianguli4 ,prop4 ,,xiv4 ,prob4 ,,iv4 ,iisdem positis1 dico quod spatium asc5su vel desc5su descriptum1 e/ ut summa vel diff]5tia are p] quam tempus exponitur1 are cujusdam alt]ius qu augetur vel dim9uitur 9 progressione ,ari?metica2 si vires ex resi/5tia gravitate composit sumantur 9 progressione ,geometrica4 ,capiatur ,,ac 79 ,fig4 tribus ultimis17 gravitati1 ,,ak resi/5ti proportionalis4 ,capiantur autem ad easdem p>tes puncti ,a si corpus asc5dit1 alit] ad contr>ias4 ,erigatur ,ab qu sit ad ,,db ut ,d,bq4 ad #d;,,bac3 area ,ab,n,k augebitur vel dim9uetur 9 progressione ,ari?metica1 dum vires ,,ck 9 progressione ,geometrica sumuntur4 ,dico igitur quod di/antia corporis ab ejus altitud9e maxima sit ut excessus are ,ab,n,k supra aream ,,det4 ,nam cum ,,ak sit ut resi/5tia1 id e/ ut ,a,pq4 #b;,,bap2 assumatur data quvis quantitas ,z1 ponatur ,,ak qualis ,a,pq4 #b;,,bap ,z2 7p] hujus ,lem4 ,,ii47 erit ipsius ,,ak mom5tum ,,kl quale #b;,,apq #b;,,ba ,,pb ,z seu #b;,,bpq ,z1 are ,ab,n,k mom5tum ,,klon quale #b;,,bpq ,,lo ,z seu ,,bpq ,,bd cub4 #b,z ,,ck ,,ab4 ,cas4 #a4 ,jam si corpus asc5dit1 sitque gravitas ut ,a,bq4 ,b,dq4 exi/5te ,,bet circulo1 79 ,fig4 ,cas4 #a4 ,prop4 ,,xiii47 l9ea ,,ac1 qu gravitati proportionalis e/1 erit ,a,bq4 ,b,dq4 ,z ,d,pq4 seu ,a,pq4 #b;,,bap ,a,bq4 ,b,dq4 erit ,,ak ,z ,,ac ,z seu ,,ck ,z2 ideoque area ,,dtv erit ad aream ,,dpq ut ,d,tq4 vel ,d,bq4 ad ,,ck ,z4 ,cas4 #b4 ,s9 corpus asc5dit1 gravitas sit ut ,a,bq4 - ,b,dq4 l9ea ,,ac 7,fig4 ,cas4 #b4 ,prop4 ,,xiii47 erit ,a,bq4 - ,b,dq4 ,z1 ,d,tq4 erit ad ,d,pq4 ut ,d,fq4 seu ,d,bq4 ad ,b,pq4 - ,b,dq4 seu ,a,pq4 #b;,,bap ,a,bq4 - ,b,dq4 id e/ ad ,,ak ,z ,,ac ,z seu ,,ck ,z4 ,ideoque area ,,dtv erit ad aream ,,dpq ut ,d,bq4 ad ,,ck ,z4 ,cas4 #c4 ,et eodem argum5to1 si corpus desc5dit1 propt]ea gravitas sit ut ,b,dq4 - ,a,bq4 l9ea ,,ac 7,fig4 ,cas4 #c4 ,prop4 prc$47 quetur ,b,dq4 - ,a,bq4 ,z erit area ,,dtv ad aream ,,dpq ut ,d,bq4 ad ,,ck ,z3 ut supra4 ,cum igitur are ill semp] s9t 9 hac ratione2 si pro area ,,dtv1 qua mom5tum temporis sibimet ipsi semp] quale exponitur1 scribatur det]m9atum quodvis rectangulum1 puta ,,bd m1 erit area ,,dpq1 id e/1 ,,bd ,,pq2 ad ,,bd m ut ,,ck 9 ,z ad ,b,dq4 ,atq2 inde fit ,,pq 9 ,,bd cub4 quale #b;,,bd m ,,ck ,z1 are ,ab,n,k mom5tum ,,klon sup]ius inv5tum1 fit ,,bp ,,bd m ,,ab4 ,auf]atur are ,,det mom5tum ,,dtv seu ,,bd m1 re/abit ,,ap ,,bd m ,,ab4 ,e/ igitur diff]5tia mom5torum1 id e/1 mom5tum diff]5ti are>um1 qualis ,,ap ,,bd m ,,ab2 propt]ea 7ob datum ,,bd m ,,ab7 ut velocitas ,,ap1 id e/ ut mom5tum spatii quod corpus asc5d5do vel desc5d5do describit4 ,ideoque diff]5tia are>um spatium illud proportionalibus mom5tis cresc5tia vel decresc5tia1 simul incipi5tia vel simul evanesc5tia1 sunt proportionalia4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,igitur si longitudo aliqua ,v sumatur 9 ea ratione ad arcum ,,et1 quam habet l9ea ,,da ad l9eam ,,de2 spatium quod corpus asc5su vel desc5su toto 9 ,m$io resi/5te describit1 erit ad spatium quod 9 ,m$io non resi/5te eodem tempore describ]e posset1 ut are>um ill>um diff]5tia ad ,,bd ,v#b #d;,,ab1 ideoque ex dato tempore datur4 ,nam spatium 9 ,m$io non resi/5te e/ 9 duplicata ratione temporis1 sive ut ,v#b1 ob datas ,,bd ,,ab1 ut ,,bd ,v#b #d;,,ab4 ,tempus autem e/ ut ,,det seu ,,bd ,,et1 h>um are>um mom5ta sunt ut ,,bd ,v #b;,,ab ductum 9 mom5tum ipsius ,v ,,bd ductum 9 mom5tum ipsius ,,et1 id e/1 ut ,,bd ,v #b;,,ab 9 ,d,aq4 #bm ,d,eq4 ,,bd #bm1 sive ut ,,bd ,v ,d,aq4 m ,,ab ,d,eq4 ,,bd m4 ,et propt]ea mom5tum are ,v#b e/ ad mom5tum diff]5ti are>um ,,det ,a,k,nb1 ut ,,bd ,v ,,da m ,,ab ,,de ad ,,ap ,,bd m ,,ab sive ut ,v ,,da ,,de ad ,,ap2 adeoque1 ubi ,v ,,ap quam m9im sunt1 9 ratione qualitatis4 qualis igitur e/ area quam m9ima ,,bd ,v#b #d;,,ab diff]5ti quam m9im are>um ,,det ,a,k,nb4 ,unde cum spatia 9 ,m$io utroque1 9 pr9cipio desc5sus vel f9e asc5sus simul descripta acc$unt ad qualitatem1 adeoque tunc sunt ad invicem ut area ,,bd ,v#b #d;,,ab are>um ,,det ,a,k,nb diff]5tia2 ob eorum analoga increm5ta necesse e/ ut 9 qualibus quibuscunque temporibus s9t ad invicem ut area illa ,,bd ,v#b #d;,,ab are>um ,,det ,a,k,nb diff]5tia4 ,q4 ,e4 ,d4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,iv4 ,de ,corporum circul>i ,motu 9 ,m$iis resi/5tibus4 ,,lem4 ,,iii4 ,sit ,p,q,rr ,spiralis qu secet radios omnes ,,sp1 ,,sq1 ,,sr1 c4 9 qualibus angulis4 ,agatur recta ,,pt qu tangat e&em 9 puncto quovis ,p1 secetque radium ,,sq 9 ,t2 ad ,spiralem erectis p]p5diculis ,,po1 ,,qo concurr5tibus 9 ,o1 jungatur ,,s4 ,dico quod si puncta ,p ,q acc$ant ad invicem coeant1 angulus ,,pso evadet rectus1 ultima ratio rectanguli ,,tq ,,ps ad ,,pq quad4 erit ratio qualitatis4 ,illu/ration ,et5im de angulis rectis ,,opq1 ,,oqr subducantur anguli quales ,,spq1 ,,sqr1 manebunt anguli quales ,,ops1 ,,oqs4 ,ergo circulus qui transit p] puncta ,o1 ,s1 ,p transibit etiam p] punctum ,q4 ,coeant puncta ,p ,q1 hic circulus 9 loco coitus ,,pq tanget ,spiralem1 adeoque p]p5dicul>it] secabit rectam ,,op4 ,fiet igitur ,,op diamet] circuli hujus1 angulus ,,osp 9 semicirculo rectus4 ,q4 ,e4 ,d4 ,ad ,,op demittantur p]p5dicula ,,qd1 ,,se1 l9e>um rationes ultim erunt hujusmodi3 ,,tq ad ,,pd ut ,,ts vel ,,ps ad ,,pe1 seu ,,po ad ,,ps4 ,item ,,pd ad ,,pq ut ,,pq ad ,,po4 ,et ex quo p]turbate ,,tq ad ,,pq ut ,,pq ad ,,ps4 ,unde fit ,p,qq4 qualis ,,tq ,,ps4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xv4 ,!or4 ,,xi4 ,si ,m$ii d5sitas 9 locis s+ulis sit reciproce ut di/antia locorum a c5tro immobili1 sitque vis c5tripeta 9 duplicata ratione d5sitatis3 dico quod corpus gyr>i pote/ 9 ,spirali1 qu radios omnes a c5tro illo ductos int]secat 9 angulo dato4 ,ponantur qu 9 sup]iore ,lemmate1 producatur ,,sq ad ,v1 ut sit ,,sv qualis ,,sp4 ,temporibus qualibus describat corpus arcus quam m9imos ,,pq ,,qr1 s9tque are ,,psq1 ,q,sr quales4 ,et quoniam vis c5tripeta1 qua corpus urgetur 9 ,p e/ reciproce ut ,s,pq4 7p] ,lem4 ,x4 ,lib4 ,i47 l9eola ,,tq1 qu vi illa g5]atur1 e/ 9 ratione composita ex ratione hujus vis ratione duplicata temporis quo arcus ,,pq describitur1 7,nam resi/5tiam 9 hoc casu1 ut inf9ite m9orem quam vis c5tripeta negligo7 erit ,,tq ,s,pq4 id e/ 7p] ,lemma novissimum7 ,p,qq4 ,,sp1 9 ratione duplicata temporis1 adeoque tempus e/ ut ,,pq sqrt,,sp1 corporis velocitas qua arcus ,,pq illo tempore describitur ut ,,pq ,,pq sqrt,,sp seu #a sqrt,,sp1 hoc e/ 9 dimidiata ratione ipsius ,,sp reciproce4 ,et simili argum5to velocitas1 qua arcus ,,qr describitur1 e/ 9 dimidiata ratione ipsius ,,sq reciproce4 ,sunt autem arcus illi ,,pq ,,qr ut velocitates descriptrices ad invicem1 id e/ 9 dimidiata ratione ,,sq ad ,,sp1 sive ut ,,sq ad sqrt,,sp sqrt,,sq2 ob quales angulos ,,spq1 ,s,qr quales areas ,,psq1 ,q,sr1 e/ arcus ,,pq ad arcum ,qr ut ,,sq ad ,,sp4 ,sumantur proportionalium consequ5tium diff]5ti1 fiet arcus ,,pq ad arcum ,rr ut ,,sq ad ,,sp - ,,sp ,,sq1 seu ,,vq2 nam punctis ,p ,q coeuntibus1 ratio ultima ,,sp - ,,sp ,,sq ad ,,vq fit qualitatis4 ,9 ,m$io non resi/5te are quales ,,psq1 ,q,sr 7,!or4 ,i4 ,lib4 ,i47 temporibus qualibus describi deb]5t4 ,ex resi/5tia oritur are>um diff]5tia ,r,sr1 propt]ea resi/5tia e/ ut l9eol ,qr decrem5tum ,rr collatum cum quadrato temporis quo g5]atur4 ,nam l9eola ,rr 7p] ,lem4 ,x4 ,lib4 ,i47 e/ 9 duplicata ratione temporis4 ,e/ igitur resi/5tia ut ,rr ,p,qq4 ,,sp4 ,erat autem ,,pq ad ,rr ut ,,sq ad ,,vq1 inde ,rr ,p,qq4 ,,sp fit ut ,,vq ,,pq ,,sp ,,sq sive ut ,,os ,,op ,s,pq44 ,namque punctis ,p ,q coeuntibus1 ,,sp ,,sq co9cidunt2 ob similia triangula ,,pvq1 ,,pso1 fit ,,pq ad ,,vq ut ,,op ad ,,os4 ,e/ igitur ,,os ,,op ,s,pq4 ut resi/5tia1 id e/ 9 ratione d5sitatis ,m$ii 9 ,p ratione duplicata velocitatis conjunctim4 ,auf]atur duplicata ratio velocitatis1 nempe ratio #a ,,sp1 manebit ,m$ii d5sitas 9 ,p ut ,,os ,,op ,,sp4 ,detur ,spiralis1 ob datam rationem ,,os ad ,,op1 d5sitas ,m$ii 9 ,p erit ut #a ,,sp4 ,9 ,m$io igitur cujus d5sitas e/ reciproce ut di/antia a c5tro ,,sp1 corpus gyr>i pote/ 9 hac ,spirali4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,velocitas 9 loco quovis ,p ea semp] e/ quacum corpus 9 ,m$io non resi/5te gyr>i pote/ 9 circulo1 ad e&em a c5tro di/antiam ,,sp4 ,corol4 #b4 ,m$ii d5sitas1 si datur di/antia ,,sp1 e/ ut ,,os ,,op1 s9 di/antia illa non datur1 ut ,,os ,,op ,,sp4 ,et inde ,spiralis ad quamlibet ,m$ii d5sitatem apt>i pote/4 ,corol4 #c4 ,vis resi/5ti 9 loco quovis ,p1 e/ ad vim c5tripetam 9 eodem loco ut ,,os ad ,,op4 ,nam vires ill sunt ut l9e ,rr ,,tq seu ut ,,vq ,,pq ,,sq ,p,qq4 ,,sp quas simul g5]ant1 hoc e/1 ut ,,vq ,,pq1 seu ,,os ,,op4 ,data igitur ,spirali datur proportio resi/5ti ad vim c5tripetam1 vicev]sa ex data illa proportione datur ,spiralis4 ,corol4 #d4 ,corpus itaque gyr>i nequit 9 hac spirali1 nisi ubi vis resi/5ti m9or e/ quam dimidium vis c5tripet4 ,fiat resi/5tia qualis dimidio vis c5tripet ,spiralis conv5iet cum l9ea recta ,,ps1 inque hac recta corpus desc5det ad c5trum1 dimidia semp] cum velocitate qua probavimus 9 sup]ioribus 9 casu ,p>abol 7,!or4 ,x4 ,lib4 ,i47 desc5sum 9 ,m$io non resi/5te fi]i4 ,unde tempora desc5sus hic erunt dupla majora temporibus illis atque adeo dantur4 ,corol4 #e4 ,et quoniam 9 qualibus a c5tro di/antiis velocitas eadem e/ 9 ,spirali ,,pqr atque 9 recta ,,sp1 longitudo ,spiralis ad longitud9em rect ,,ps e/ 9 data ratione1 nempe 9 ratione ,,op ad ,,os2 tempus desc5sus 9 ,spirali erit ad tempus desc5sus 9 recta ,,sp 9 eadem illa data ratione1 pro9deque datur4 ,corol4 #f4 ,si c5tro ,s int]vallis duobus describantur duo circuli2 num]us revolutionum quas corpus intra circulorum circumf]5tias compl]e pote/1 e/ ut ,,ps ,,os1 sive ut ,tang5s anguli quem ,spiralis cont9et cum radio ,,ps2 tempus v]o revolutionum e>undem ut ,,op ,,os1 id e/ reciproce ut ,m$ii d5sitas4 ,illu/ration ,corol4 #g4 ,si corpus1 9 ,m$io cujus d5sitas e/ reciproce ut di/antia locorum a c5tro1 revolutionem 9 ,curva quacunque ,,aeb circa c5trum illud fec]it1 ,radium primum ,,z 9 eodem angulo secu]it 9 ,b quo prius 9 ,a1 idque cum velocitate qu fu]it ad velocitatem suam primam 9 ,a reciproce 9 dimidiata ratione di/anti>um a c5tro 7id e/ ut ,,bs ad m$iam proportionalem int] ,,z ,,cs37 corpus illud p]get innum]as consimiles revolutiones ,,bfc1 ,,cgd1 c4 fac]e1 int]sectionibus di/+uet ,radium ,,z 9 p>tes ,,z1 ,,bs1 ,,cs1 ,,ds c4 cont9ue proportionales4 ,revolutionum v]o tempora erunt ut ,p]imetri orbit>um ,,aeb1 ,,bfc1 ,,cgd c4 directe1 velocitates 9 pr9cipiis ,a1 ,b1 ,c1 inv]se2 id e/ ut ,,z1 ,,bs1 ,,cs4 ,atq2 tempus totum1 quo corpus p]v5iet ad c5trum1 erit ad tempus revolutionis prim1 ut summa omnium cont9ue proportionalium ,,z1 ,,bs1 ,,cs p]g5tium 9 inf9itum1 ad t]m9um primum ,,z2 id e/ ut t]m9us ille primus ,,z ad diff]5tiam duorum primorum ,,z - ,,bs1 quam proxime ut #b_/c;,,z ad ,,ab4 ,unde tempus illud totum exp$ite inv5itur4 ,corol4 #h4 ,ex 8 etiam prt]propt] collig]e licet motus corporum 9 ,m$iis1 quorum d5sitas aut uni=mis e/1 aut aliam quamcunque legem assignatam obs]vat4 ,c5tro ,s int]vallis cont9ue proportionalibus ,,sa1 ,,sb1 ,,sc c4 describe circulos quotcunque1 /atue num]um revolutionum int] p]imetros duorum quorumvis ex 8 circulis1 9 ,m$io de quo egimus1 esse ad num]um revolutionum int] eosdem 9 ,m$io proposito1 ut ,m$ii propositi d5sitas m$iocris int] hos circulos ad ,m$ii1 de quo egimus1 d5sitatem m$iocrem int] eosdem quam proxime2 ,s$ 9 eadem quoq2 ratione esse ,tang5tem anguli quo ,spiralis prf9ita1 9 ,m$io de quo egimus1 secat radium ,,z1 ad tang5tem anguli quo ,spiralis nova secat radium eundem 9 ,m$io proposito3 ,atq2 etiam ut sunt eorundem angulorum secantes ita esse tempora revolutionum omnium int] circulos eosdem duos quam proxime4 ,si hc fiant passim int] circulos b9os1 cont9uabitur motus p] circulos omnes4 ,atque hoc pacto haud difficult] imag9>i possimus quibus modis ac temporibus corpora 9 ,m$io quocunque regul>i gyr>i debebunt4 ,corol4 #i4 ,et quamvis motus exc5trici 9 ,spiralibus ad =mam ,ovalium acc$5tibus p]agantur2 tam5 concipi5do ,spiralium ill>um s+ulas revolutiones eisdem ab invicem int]vallis di/>e1 iisdemque gradibus ad c5trum acc$]e cum ,spirali sup]ius descripta1 intelligemus etiam quomodo motus corporum 9 hujusmodi ,spiralibus p]agantur4 ,prop4 ,,xvi4 ,!or4 ,,xii4 ,si ,m$ii d5sitas 9 locis s+ulis sit reciproce ut dignitas aliqua di/anti locorum a c5tro1 sitque vis c5tripeta reciproce ut di/antia 9 dignitatem illam ducta3 dico quod corpus gyr>i pote/ 9 ,spirali1 qu radios omnes a c5tro illo ductos int]secat 9 angulo dato4 ,demon/ratur eadem me?odo cum ,propositione sup]iore4 ,nam si vis c5tripeta 9 ,p sit reciproce ut di/anti ,,sp dignitas qulibet ,,spn #a cujus index e/ n #a2 colligetur ut supra1 quod tempus quo corpus describit arcum quemvis ,,pq erit ut ,,pq ,,spn resi/5tia 9 ,p ut ,rr ,p,qq4 ,,spn sive ut n,v,q ,,pq ,,spn ,,sq1 adeoque ut ,,os ,,op ,,spn #a4 ,et propt]ea d5sitas 9 ,p e/ reciproce ut ,,spn4 ,s*olium4 ,ct]um hc ,propositio sup]iores1 qu ad ,m$ia 9qualit] d5sa spectant1 intellig5d sunt de motu corporum adeo p>vorum1 ut ,m$ii ex uno corporis lat]e major d5sitas quam ex alt]o non consid]&a v5iat4 ,resi/5tiam quoque ct]is p>ibus d5sitati proportionalem esse suppono4 ,unde 9 ,m$iis quorum vis resi/5di non e/ ut d5sitas1 debet d5sitas eo usque aug]i vel dim9ui1 ut resi/5ti vel tollatur excessus vel defectus suppleatur4 ,prop4 ,,xvii4 ,prob4 ,v4 ,inv5ire vim c5tripetam ,m$ii resi/5tiam qua corpus 9 data ,spirali data lege revolvi pote/4 ,vide ,fig4 ,prop4 ,,xv4 ,sit spiralis illa ,,pqr4 ,ex velocitate qua corpus p]currit arcum quam m9imum ,,pq dabitur tempus1 ex altitud9e ,,tq1 qu e/ ut vis c5tripeta quadratum temporis dabitur vis4 ,de9de ex are>um1 qualibus temporum p>ticulis confect>um ,,psq ,,qsr1 diff]5tia ,r,sr1 dabitur corporis ret>datio1 ex ret>datione inv5ietur resi/5tia ac d5sitas ,m$ii4 ,prop4 ,,xviii4 ,prob4 ,,vi4 ,data lege vis c5tripet1 inv5ire ,m$ii d5sitatem 9 locis s+ulis1 qua corpus datam ,spiralem describet4 ,ex vi c5tripeta inv5i5da e/ velocitas 9 locis s+ulis1 de9de ex velocitatis ret>datione qur5da ,m$ii d5sitas3 ut 9 ,propositione sup]iore4 ,me?odum v]o tract&i hc ,problemata ap]ui 9 hujus ,propositione decima1 ,lemmate secundo2 ,lectorem 9 hujusmodi p]plexis disquisitionibus diutius det5]e nolo4 ,add5da jam sunt aliqua de viribus corporum ad progr$i5dum1 deque d5sitate resi/5tia ,m$iorum1 9 quibus motus hact5us expositi 8 aff9es p]aguntur4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,v4 ,de ,d5sitate compressione ,fluidorum1 deque ,hydro/atica4 ,def9itio ,fluidi4 ,fluidum e/ corpus omne cujus p>tes c$unt vi cuicunque illat1 c$5do facile movetur int] se4 ,prop4 ,,xix4 ,!or4 ,,xiii4 ,fluidi homog5ei immoti1 quod 9 vase quocunque immoto clauditur undique comprimitur1 p>tes omnes 7seposita ,cond5sationis1 gravitatis virium omnium c5tripet>um consid]atione7 qualit] premuntur undique1 absque omni motu a pressione illa orto p]man5t 9 locis suis4 ,illu/ration ,cas4 #a4 ,9 vase sphrico ,,abc claudatur uni=mit] comprimatur fluidum undique3 dico quod ejusdem p>s nulla ex illa pressione movebitur4 ,nam si p>s aliqua ,d moveatur1 necesse e/ ut omnes ejusmodi p>tes1 ad e&em a c5tro di/antiam undique consi/5tes1 simili motu simul moveantur2 atq2 hoc adeo quia similis qualis e/ omnium pressio1 motus omnis exclusus supponitur1 nisi qui a pressione illa oriatur4 ,atqui non possunt omnes ad c5trum propius acc$]e1 nisi fluidum ad c5trum cond5setur2 contra ,hypo!s94 ,non possunt longius ab eo rec$]e nisi fluidum ad circumf]5tiam cond5setur2 etiam contra ,hypo!s94 ,non possunt s]vata sua a c5tro di/antia mov]i 9 plagam quamcunq2 quia p>i ratione movebuntur 9 plagam contr>iam2 9 plagas autem contr>ias non pote/ p>s eadem eodem tempore mov]i4 ,ergo fluidi p>s nulla de loco suo movebitur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,dico jam quod fluidi hujus p>tes omnes sphric qualit] premuntur undique3 sit enim ,,ef p>s sphrica fluidi1 si hc undiq2 non premitur qualit]1 augeatur pressio m9or1 usq2 dum ipsa undiq2 prematur qualit]2 p>tes ejus1 p] casum primum1 p]manebunt 9 locis suis4 ,s$ ante auctam pressionem p]manebunt 9 locis suis1 p] casum eundum primum1 additione pressionis nov movebuntur de locis suis1 p] def9itionem ,fluidi4 ,qu duo repugnant4 ,ergo falso dicebatur quod ,sphra ,,ef non undique premebatur qualit]4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #c4 ,dico prt]ea quod div]s>um p>tium sphric>um qualis sit pressio4 ,nam p>tes sphric contigu se mutuo premunt qualit] 9 puncto contactus1 p] motus ,legem ,,iii4 ,s$ p] ,casum secundum1 undiq2 premuntur eadem vi4 ,p>tes igitur du quvis sphric non contigu1 quia p>s sphrica int]m$ia tang]e pote/ utramque1 prem5tur eadem vi4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #d4 ,dico jam quod fluidi p>tes omnes ubiq2 premuntur qualit]4 ,nam p>tes du quvis tangi possunt a p>tibus ,sphricis 9 punctis quibuscunque1 ibi p>tes illas ,sphricas qualit] premunt1 p] ,casum #c4 vicissim ab illis qualit] premuntur1 p] ,motus ,legem ,t]tiam4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #e4 ,cum igitur fluidi p>s qulibet ,,ghi 9 fluido reliquo tanquam 9 vase claudatur1 undique prematur qualit]1 p>tes autem ejus se mutuo qualit] premant quiescant int] se2 manife/um e/ quod ,fluidi cujuscunque ,,ghi1 quod undique premitur qualit]1 p>tes omnes se mutuo premunt qualit]1 quiescunt int] se4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #f4 ,igitur si ,fluidum illud 9 vase non rigido claudatur1 undique non prematur qualit]1 c$et idem pressioni =tiori1 p] ,def9itionem ,fluiditatis4 ,cas4 #g4 ,ideoque 9 vase rigido ,fluidum non su/9ebit pressionem =tiorem ex uno lat]e quam ex alio1 s$ eidem c$et1 idq2 9 mom5to temporis1 quia latus vasis rigidum non p]sequitur liquorem c$5tem4 ,c$5do autem urgebit latus oppositum1 sic pressio undique ad qualitatem v]get4 ,et quoniam ,fluidum1 quam primum a p>te magis pressa rec$]e conatur1 inhibetur p] resi/5tiam vasis ad latus oppositum2 r$ucetur pressio undique ad qualitatem 9 mom5to temporis absque motu locali2 sub9de1 p>tes fluidi1 p] ,casum qu9tum1 se mutuo prem5t qualit]1 quiesc5t int] se4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,unde nec motus p>tium fluidi int] se1 p] pressionem fluido ubivis 9 ext]na sup]ficie illatam1 mut>i possunt nisi1 quat5us aut figura sup]ficiei alicubi mutatur1 aut omnes fluidi p>tes int5sius vel remissius sese prem5do difficilius vel facilius labuntur int] se4 ,prop4 ,,xx4 ,!or4 ,,xiv4 ,si ,fluidi ,sphrici1 9 qualibus a c5tro di/antiis homog5ei1 fundo sphrico conc5trico incumb5tis p>tes s+ul v]sus c5trum totius gravit5t2 su/9et fundum pondus ,cyl9dri1 cujus basis qualis e/ sup]ficiei fundi1 altitudo eadem qu ,fluidi incumb5tis4 ,illu/ration ,sit ,,dhm sup]ficies fundi1 ,,aei sup]ficies sup]ior fluidi4 ,sup]ficiebus sphricis innum]is ,,bfk1 ,,cgl di/+uatur fluidum 9 ,orbes conc5tricos qualit] crassos2 concipe vim gravitatis ag]e solummodo 9 sup]ficiem sup]iorem ,orbis cujusque1 quales esse actiones 9 quales p>tes sup]fici]um omnium4 ,premitur ergo sup]ficies suprema ,,ae vi simplici gravitatis propri1 qua omnes ,orbis supremi p>tes sup]ficies secunda ,,bfk 7p] ,prop4 ,,xix47 premuntur4 ,premitur prt]ea sup]ficies secunda ,,bfk vi propri gravitatis1 qu addita vi priori facit pressionem duplam4 ,hac pressione insup] vi propri gravitatis1 id e/ pressione tripla1 urgetur sup]ficies t]tia ,,cgl4 ,et similit] pressione quadrupla urgetur sup]ficies qu>ta1 qu9tupla qu9ta sic de9ceps4 ,pressio igitur qua sup]ficies unaquque urgetur1 non e/ ut quantitas solida fluidi incumb5tis1 s$ ut num]us ,orbium ad usque summitatem fluidi2 quatur gravitati ,orbis infimi multiplicat p] num]um ,orbium3 hoc e/ gravitati solidi cujus ultima ratio ad ,cyl9drum prf9itum1 7si modo ,orbium augeatur num]us m9uatur crassitudo 9 inf9itum1 sic ut actio gravitatis a sup]ficie infima ad supremam cont9ua r$datur7 fiet ratio qualitatis4 ,su/9et ergo sup]ficies infima pondus cyl9dri prf9iti4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et simili argum5tatione patet ,propositio1 ubi gravitas decrescit 9 ratione quavis assignata di/anti a c5tro1 ut ubi ,fluidum sursum r>ius e/1 deorsum d5sius4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumb5tis pond]e1 s$ eam solummodo pond]is p>tem su/9et qu 9 ,propositione describitur2 pond]e reliquo a fluidi figura =nicata su/5tato4 ,corol4 #b4 ,9 qualibus autem a c5tro di/antiis eadem semp] e/ pressionis quantitas1 sive sup]ficies pressa sit ,horizonti p>allela vel p]p5dicul>is vel obliqua2 sive fluidum a sup]ficie pressa sursum cont9uatum surgat p]p5dicul>it] secundum l9eam rectam1 vel s]pit oblique p] tortas cavitates canales1 easque regul>es vel maxime irregul>es1 amplas vel angu/issimas4 ,hisce circum/antiis pressionem nil mut>i colligitur1 applic&o demon/rationem ,!orematis hujus ad ,casus s+ulos ,fluidorum4 ,corol4 #c4 ,eadem ,demon/ratione colligitur etiam 7p] ,prop4 ,,xix47 quod fluidi gravis p>tes nullum1 ex pressione pond]is incumb5tis1 acquirunt motum int] se1 si modo excludatur motus qui ex cond5satione oriatur4 ,corol4 #d4 ,et propt]ea si aliud ejusdem gravitatis specific corpus1 quod sit cond5sationis exp]s1 subm]gatur 9 hoc fluido1 id ex pressione pond]is incumb5tis nullum acquiret motum3 non desc5det1 non asc5det1 non cogetur figuram suam mut>e4 ,si ,sphricum e/ manebit sphricum1 non ob/ante pressione2 si quadratum e/ manebit quadratum3 idq2 sive molle sit1 sive fluidissimum2 sive fluido lib]e innatet1 sive fundo incumbat4 ,habet enim fluidi p>s qulibet int]na rationem corporis subm]si1 p> e/ ratio omnium ejusdem magnitud9is1 figur gravitatis specific subm]sorum corporum4 ,si corpus subm]sum s]vato pond]e liquesc]et indu]et =mam fluidi2 hoc1 si prius asc5d]et vel desc5d]et vel ex pressione figuram novam indu]et1 etiam nunc asc5d]et vel desc5d]et vel figuram novam indu]e cog]etur3 id adeo quia gravitas ejus ct]que motuum caus p]man5t4 ,atqui1 p] ,cas4 #e4 ,prop4 ,,xix4 jam quiesc]et figuram ret9]et4 ,ergo prius4 ,corol4 #e4 ,pro9de corpus quod specifice gravius e/ quam ,fluidum sibi contiguum subsidebit1 quod specifice levius e/ asc5det1 motumque figur mutationem consequetur1 quantum excessus ille vel defectus gravitatis effic]e possit4 ,namque excessus ille vel defectus rationem habet impulsus1 quo corpus1 alias 9 quilibrio cum fluidi p>tibus con/itutum1 urgetur2 comp>>i pote/ cum excessu vel defectu pond]is 9 lance alt]utra libr4 ,corol4 #f4 ,corporum igitur 9 fluidis con/itutorum duplex e/ ,gravitas3 alt]a v]a absoluta1 alt]a app>5s1 vulg>is comp>ativa4 ,gravitas absoluta e/ vis tota qua corpus deorsum t5dit3 relativa vulg>is e/ excessus gravitatis quo corpus magis t5dit deorsum quam fluidum ambi5s4 ,prioris g5]is ,gravitate p>tes fluidorum corporum omnium gravitant 9 locis suis3 ideoque conjunctis pond]ibus componunt pondus totius4 ,nam totum omne grave e/1 ut 9 vasis liquorum pl5is exp]iri licet2 pondus totius quale e/ pond]ibus omnium p>tium1 ideoque ex iisdem componitur4 ,alt]ius g5]is gravitate corpora non gravitant 9 locis suis1 id e/ int] se collata non prgravant1 s$ mutuos ad desc5d5dum conatus imp$i5tia p]man5t 9 locis suis1 p]9de ac si gravia non ess5t4 ,qu 9 ,a]e sunt non prgravant1 ,vulgus gravia non judicat4 ,qu prgravant vulgus gravia judicat1 quat5us ab ,a]is pond]e non su/95tur4 ,pond]a vulgi nihil aliud sunt quam excessus v]orum pond]um supra pondus ,a]is4 ,unde vulgo dicuntur levia1 qu sunt m9us gravia1 ,a]ique prgravanti c$5do sup]iora petunt4 ,comp>ative levia sunt non v]e1 quia desc5dunt 9 vacuo4 ,sic 9 ,aqua1 corpora1 qu ob majorem vel m9orem gravitatem desc5dunt vel asc5dunt1 sunt comp>ative app>5t] gravia vel levia1 eorum gravitas vel levitas comp>ativa app>5s e/ excessus vel defectus quo v]a eorum gravitas vel sup]at gravitatem aqu vel ab ea sup]atur4 ,qu v]o nec prgrav&o desc5dunt1 nec prgravanti c$5do asc5dunt1 etiamsi v]is suis pond]ibus adaugeant pondus totius1 comp>ative tam5 9 s5su vulgi non gravitant 9 aqua4 ,nam similis e/ horum ,casuum ,demon/ratio4 ,corol4 #g4 ,qu de gravitate demon/rantur1 obt95t 9 aliis quibuscunque viribus c5tripetis4 ,corol4 #h4 ,pro9de si ,m$ium1 9 quo corpus aliquod movetur1 urgeatur vel a gravitate propria1 vel ab alia quacunq2 vi c5tripeta1 corpus ab eadem vi urgeatur =tius3 diff]5tia virium e/ vis illa motrix1 quam 9 prc$5tibus ,propositionibus ut vim c5tripetam consid]avimus4 ,s9 corpus a vi illa urgeatur levius1 diff]5tia virium pro vi c5trifuga hab]i debet4 ,corol4 #i4 ,cum autem fluida prem5do corpora inclusa non mut5t eorum ,figuras ext]nas1 patet insup]1 p] ,coroll>ia ,prop4 ,,xix4 quod non mutabunt situm p>tium int]n>um int] se3 pro9deque1 si ,animalia imm]gantur1 s5satio omnis a motu p>tium oriatur2 nec ld5t corporibus imm]sis1 nec s5sationem ullam excitabunt1 nisi quat5us hc corpora a compressione ne cond5s>i possunt4 ,et p> e/ ratio cujuscunque corporum ,sy/ematis fluido comprim5te circundati4 ,sy/ematis p>tes omnes iisdem agitabuntur motibus1 ac si 9 vacuo con/itu]5tur1 ac solam ret9]5t gravitatem suam comp>ativam1 nisi quat5us fluidum vel motibus e>um nonnihil resi/at1 vel ad easdem compressione conglut9&as requiratur4 ,prop4 ,,xxi4 ,!or4 ,,xv4 ,sit ,fluidi cujusdam d5sitas compressioni proportionalis1 p>tes ejus a vi c5tripeta di/antiis suis a c5tro reciproce proportionali deorsum trahantur3 dico quod si di/anti ill sumantur cont9ue proportionales1 d5sitates fluidi 9 iisdem di/antiis erunt etiam cont9ue proportionales4 ,illu/ration ,designet ,,atv fundum ,sphricum cui fluidum incumbit1 ,s c5trum1 ,,sa1 ,,sb1 ,,sc1 ,,sd1 ,,se1 c4 di/antias cont9ue proportionales4 ,erigantur p]p5dicula ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 ,,dl1 ,,em1 c4 qu s9t ut d5sitates ,m$ii 9 locis ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e2 specific gravitates 9 iisdem locis erunt ut ,,ah ,,z1 ,,bi ,,bs1 ,,ck ,,cs1 c4 vel1 quod p]9de e/1 ut ,,ah ,,ab1 ,,bi ,,bc1 ,,ck ,,cd c4 ,f+e primum has gravitates uni=mit] cont9u>i ab ,a ad ,b1 a ,b ad ,c1 a ,c ad ,d c4 factis p] gradus decrem5tis 9 punctis ,b1 ,c1 ,d c4 ,et h gravitates duct 9 altitud9es ,,ab1 ,,bc1 ,,cd c4 confici5t pressiones ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 quibus fundum ,,atv 7juxta ,!orema ,,xiv47 urgetur4 ,su/9et ergo p>ticula ,a pressiones omnes ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 ,,dl1 p]g5do 9 inf9itum2 p>ticula ,b pressiones omnes prt] primam ,,ah2 p>ticula ,c omnes prt] duas primas ,,ah1 ,,bi2 sic de9ceps3 adeoque p>ticul prim ,a d5sitas ,,ah e/ ad p>ticul secund ,b d5sitatem ,,bi ut summa omnium ,,ah ,,bi ,,ck ,,dl1 9 inf9itum1 ad summam omnium ,,bi ,,ck ,,dl1 c4 ,et ,,bi d5sitas secund ,b1 e/ ad ,,ck d5sitatem t]ti ,c1 ut summa omnium ,,bi ,,ck ,,dl1 c4 ad summam omnium ,,ck ,,dl1 c4 ,sunt igitur summ ill diff]5tiis suis ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 proportionales1 atque adeo cont9ue proportionales p] hujus ,lem4 ,i4 pro9deq2 diff]5ti ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 summis proportionales1 sunt etiam cont9ue proportionales4 ,qu>e cum d5sitates 9 locis ,a1 ,b1 ,c s9t ut ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 erunt etiam h cont9ue proportionales4 ,p]gatur p] saltum1 7ex quo7 9 di/antiis ,,sa1 ,,sc1 ,,se cont9ue proportionalibus1 erunt d5sitates ,,ah1 ,,ck1 ,,em cont9ue proportionales4 ,et eodem argum5to 9 di/antiis quibusvis cont9ue proportionalibus ,,sa1 ,,sd1 ,,sq d5sitates ,,ah1 ,,dl1 ,,qt erunt cont9ue proportionales4 ,coeant jam puncta ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e1 c4 eo ut progressio gravitatum specific>um a fundo ,a ad summitatem ,fluidi cont9ua r$datur1 9 di/antiis quibusvis cont9ue proportionalibus ,,sa1 ,,sd1 ,,sq1 d5sitates ,,ah1 ,,dl1 ,,qt1 semp] exi/5tes cont9ue proportionales1 manebunt etiamnum cont9ue proportionales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illu/ration ,corol4 ,h9c si detur d5sitas ,fluidi 9 duobus locis1 puta ,a ,e1 colligi pote/ ejus d5sitas 9 alio quovis loco ,q4 ,c5tro ,s1 ,asymptotis rectangulis ,,sq1 ,,sx describatur ,hyp]bola secans p]p5dicula ,,ah1 ,,em1 ,,qt 9 a1 e1 q1 ut p]p5dicula ,,hx1 ,,my1 ,,tz ad asymptoton ,,sx demissa 9 h1 m1 t4 ,fiat area ,z,ymt,z ad aream datam ,ymh,x ut area data ,eeq,q ad aream datam ,eea,a2 l9ea ,zt producta absc9det l9eam ,,qt d5sitati proportionalem4 ,namque si l9e ,,sa1 ,,se1 ,,sq sunt cont9ue proportionales1 erunt are ,eeq,q1 ,eea,a quales1 inde are 8 proportionales ,ymt,z1 ,xhm,y etiam quales l9e ,,sx1 ,,sy1 ,,sz id e/ ,,ah1 ,,em1 ,,qt cont9ue proportionales1 ut oportet4 ,et si l9e ,,sa1 ,,se1 ,,sq obt95t alium quemvis ord9em 9 s]ie cont9ue proportionalium1 l9e ,,ah1 ,,em1 ,,qt1 ob proportionales areas ,hyp]bolicas1 obt9ebunt eundem ord9em 9 alia s]ie quantitatum cont9ue proportionalium4 ,prop4 ,,xxii4 ,!or4 ,,xvi4 ,sit ,fluidi cujusdam d5sitas compressioni proportionalis1 p>tes ejus a gravitate quadratis di/anti>um su>um a c5tro reciproce proportionali deorsum trahantur3 dico quod si di/anti sumantur 9 progressione ,musica1 d5sitates ,fluidi 9 8 di/antiis erunt 9 progressione ,geometrica4 ,illu/ration ,designet ,s c5trum1 ,,sa1 ,,sb1 ,,sc1 ,,sd1 ,,se di/antias 9 ,progressione ,geometrica4 ,erigantur p]p5dicula ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 qu s9t ut ,fluidi d5sitates 9 locis ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e1 c4 ipsius gravitates specific 9 iisdem locis erunt ,,ah ,s,aq41 ,,bi ,s,bq41 ,,ck ,s,cq41 c4 ,f+e has gravitates uni=mit] cont9u>i1 primam ab ,a ad ,b1 secundam a ,b ad ,c1 t]tiam a ,c ad ,d1 c4 ,et h duct 9 altitud9es ,,ab1 ,,bc1 ,,cd1 ,,de1 c4 vel1 quod p]9de e/1 9 di/antias ,,sa1 ,,sb1 ,,sc1 c4 altitud9ibus illis proportionales1 confici5t expon5tes pressionum ,,ah ,,sa1 ,,bi ,,sb1 ,,ck ,,sc1 c4 ,qu>e cum d5sitates s9t ut h>um pressionum summ1 diff]5ti d5sitatum ,,ah - ,,bi1 ,,bi - ,,ck1 c4 erunt ut summ>um diff]5ti ,,ah ,,sa1 ,,bi ,,sb1 ,,ck ,,sc1 c4 ,c5tro ,s ,asymptotis ,,sa1 ,,sx describatur ,hyp]bola quvis1 qu secet p]p5dicula ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 9 a1 b1 c2 ut p]p5dicula ad ,asymptoton ,,sx demissa ,ht1 ,iu1 ,kw 9 h1 i1 k2 d5sitatum diff]5ti tu1 uw1 c4 erunt ut ,,ah ,,sa1 ,,bi ,,sb1 c4 ,et rectangula tu ?1 uw ui1 c4 seu tp1 uq1 c4 ut ,,ah ? ,,sa ut ,,bi ui ,,sb1 c4 id e/ ut ,aa1 ,bb c4 ,e/ enim ex natura ,hyp]bol ,,sa ad ,,ah vel ,/1 ut ? ad ,aa1 adeoque ,,ah ? ,,sa quale ,aa4 ,et simili argum5to e/ ,,bi ui ,,sb qualis ,bb1 c4 ,sunt autem ,aa1 ,bb1 ,cc1 c4 cont9ue proportionales1 propt]ea diff]5tiis suis ,aa - ,bb1 ,bb - ,cc1 c4 proportionales2 ideoque diff]5tiis hisce proportionalia sunt rectangula tp1 uq1 c4 ut summis diff]5ti>um ,aa - ,cc vel ,aa - ,dd summ rectangulorum tp uq1 vel tp uq wr4 ,sunto ejusmodi t]m9i quam plurimi1 summa omnium diff]5ti>um1 puta ,aa - ,ff1 erit summ omnium rectangulorum1 puta z?n1 proportionalis4 ,augeatur num]us t]m9orum m9uantur di/anti punctorum ,a1 ,b1 ,c1 c4 9 inf9itum1 rectangula illa evad5t qualia are ,hyp]bolic z?n1 adeoque huic are proportionalis e/ diff]5tia ,aa - ,ff4 ,sumantur jam di/anti qulibet1 puta ,,sa1 ,,sd1 ,,sf 9 ,progressione ,musica1 diff]5ti ,aa - ,dd1 ,dd - ,ff erunt quales2 propt]ea diff]5tiis hisce proportionales are ?lx1 xlnz quales erunt int] se1 d5sitates ,/1 ,sx1 ,sz1 id e/ ,,ah1 ,,dl1 ,,fn1 cont9ue proportionales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,h9c si d5tur ,fluidi d5sitates du quvis1 puta ,,ah ,,ck1 dabitur area ?kw h>um diff]5ti tw respond5s2 inde inv5ietur d5sitas ,,fn 9 altitud9e quacunque ,,sf1 sum5do aream ?nz ad aream illam datam ?kw ut e/ diff]5tia ,aa - ,ff ad diff]5tiam ,aa - ,cc4 ,s*olium4 ,simili argum5tatione prob>i pote/1 quod si gravitas p>ticul>um ,fluidi dim9uatur 9 triplicata ratione di/anti>um a c5tro2 quadratorum di/anti>um ,,sa1 ,,sb1 ,,sc1 c4 reciproca 7nempe ,,sa cub4 ,s,aq41 ,,sa cub4 ,s,bq41 ,,sa cub4 ,s,cq47 sumantur 9 progressione ,ari?metica2 d5sitates ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 erunt 9 progressione ,geometrica4 ,et si gravitas dim9uatur 9 quadruplicata ratione di/anti>um1 cuborum di/anti>um reciproca 7puta ,,sa qq4 ,,sa cub41 ,,sa qq4 ,,sb cub41 ,,sa qq4 ,,sc cub47 sumantur 9 progressione ,ari?metica2 d5sitates ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 erunt 9 progressione ,geometrica4 ,et sic 9 inf9itum4 ,rursus si gravitas p>ticul>um ,fluidi 9 omnibus di/antiis eadem sit1 di/anti s9t 9 progressione ,ari?metica1 d5sitates erunt 9 progressione ,geometrica1 uti ,vir ,cl4 ,edmundus ,halleius inv5it4 ,si gravitas sit ut di/antia1 quadrata di/anti>um s9t 9 progressione ,ari?metica1 d5sitates erunt 9 progressione ,geometrica4 ,et sic 9 inf9itum4 ,hc ita se hab5t ubi ,fluidi compressione cond5sati d5sitas e/ ut vis compressionis1 vel1 quod p]9de e/1 spatium a ,fluido occupatum reciproce ut hc vis4 ,f+i possunt ali cond5sationis leges1 ut quod cubus vis comprim5tis sit ut quadrato-quadratum d5sitatis1 seu triplicata ratio ,vis qualis quadruplicat rationi d5sitatis4 ,quo 9 casu1 si gravitas e/ reciproce ut quadratum di/anti a c5tro1 d5sitas erit reciproce ut cubus di/anti4 ,f+atur quod cubus vis comprim5tis sit ut quadrato-cubus d5sitatis1 si gravitas e/ reciproce ut quadratum di/anti1 d5sitas erit reciproce 9 sesquiplicata ratione di/anti4 ,f+atur quod vis comprim5s sit 9 duplicata ratione d5sitatis1 gravitas reciproce 9 ratione duplicata di/anti1 d5sitas erit reciproce ut di/antia4 ,casus omnes p]curr]e longum esset4 ,prop4 ,,xxiii4 ,!or4 ,,xvii4 ,p>ticul viribus qu sunt reciproce proportionales di/antiis c5trorum suorum se mutuo fugi5tes componunt ,fluidum ,ela/icum1 cujus d5sitas e/ compressioni proportionalis4 ,et vice v]sa1 si ,fluidi ex p>ticulis se mutuo fugi5tibus compositi d5sitas sit ut compressio1 vires c5trifug p>ticul>um sunt reciproce proportionales di/antiis c5trorum4 ,illu/ration ,includi intelligatur ,fluidum 9 spatio cubico ,,ace1 de9 compressione r$igi 9 spatium cubicum m9us ace2 p>ticul>um similem situm int] se 9 utroque spatio obt95tium di/anti erunt ut cuborum lat]a ,,ab1 ab2 ,m$ii d5sitates reciproce ut spatia cont95tia ,,ab cub4 ab cub4 ,9 lat]e cubi majoris ,,abcd capiatur quadratum ,,dp quale lat]i cubi m9oris db2 ex ,hypo!si1 pressio qua quadratum ,,dp urget ,fluidum inclusum1 erit ad pressionem qua latus illud quadratum db urget ,fluidum inclusum1 ut ,m$ii d5sitates ad invicem1 hoc e/ ab cub4 ad ,,ab cub4 ,s$ pressio qua quadratum ,,db urget ,fluidum inclusum1 e/ ad pressionem qua quadratum ,,dp urget idem ,fluidum1 ut quadratum ,,db ad quadratum ,,dp1 hoc e/ ut ,,ab quad4 ad ab quad4 ,ergo ex quo pressio qua latus ,,db urget ,fluidum1 e/ ad pressionem qua latus db urget ,fluidum1 ut ab ad ,,ab4 ,planis ,,fgh1 fgh p] m$ia cuborum ductis di/+uatur ,fluidum 9 duas p>tes1 h se mutuo prem5t iisdem viribus1 quibus premuntur a planis ,,ac1 ac1 hoc e/ 9 proportione ab ad ,,ab3 adeoque vires c5trifug1 quibus h pressiones su/95tur1 sunt 9 eadem ratione4 ,ob eundem p>ticul>um num]um similemq2 situm 9 utroque cubo1 vires quas p>ticul omnes secundum plana ,,fgh1 fgh ex]c5t 9 omnes1 sunt ut vires quas s+ul ex]c5t 9 s+ulas4 ,ergo vires1 quas s+ul ex]c5t 9 s+ulas secundum planum ,,fgh 9 cubo majore1 sunt ad vires quas s+ul ex]c5t 9 s+ulas secundum planum fgh 9 cubo m9ore ut ab ad ,,ab1 hoc e/ reciproce ut di/anti p>ticul>um ad invicem4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et vice v]sa1 si vires p>ticul>um s+ul>um sunt reciproce ut di/anti1 id e/ reciproce ut cuborum lat]a ,,ab1 ab2 summ virium erunt 9 eadem ratione1 pressiones lat]um ,,db1 db ut summ virium2 pressio quadrati ,,dp ad pressionem lat]is ,,db ut ab quad4 ad ,,ab quad4 ,et ex quo pressio quadrati ,,dp ad pressionem lat]is db ut ab cub4 ad ,,ab cub4 id e/ vis compressionis ad vim compressionis ut d5sitas ad d5sitatem4 ,q4 ,e4 ,d4 ,s*olium4 ,simili argum5to si p>ticul>um vires c5trifug s9t reciproce 9 duplicata ratione di/anti>um int] c5tra1 cubi virium comprim5tium erunt ut quadrato-quadrata d5sitatum4 ,si vires c5trifug s9t reciproce 9 triplicata vel quadruplicata ratione di/anti>um1 cubi virium comprim5tium erunt ut quadrato-cubi vel cubo-cubi d5sitatum4 ,et univ]salit]1 si ,d ponatur pro di/antia1 ,e pro d5sitate ,fluidi compressi1 vires c5trifug s9t reciproce ut di/anti dignitas qulibet ,dn1 cujus index e/ num]us n2 vires comprim5tes erunt ut lat]a cubica ,dignitatis ,en #b1 cujus index e/ num]us n #b2 contra4 ,intellig5da v]o sunt hc omnia de p>ticul>um ,viribus c5trifugis qu t]m9antur 9 p>ticulis proximis1 aut non longe ultra diffunduntur4 ,exemplum habemus 9 corporibus ,magneticis4 ,horum ,virtus attractiva t]m9atur f]e 9 sui g5]is corporibus sibi proximis4 ,magnetis virtus p] int]positam lam9am f]ri contrahitur1 9 lam9a f]e t]m9atur4 ,nam corpora ult]iora non tam a ,magnete quam a lam9a trahuntur4 ,ad eundem modum si p>ticul fugant alias sui g5]is p>ticulas sibi proximas1 9 p>ticulas autem remotiores virtutem nullam nisi =te p] p>ticulas int]m$ias virtute illa auctas ex]ceant1 ex hujusmodi p>ticulis compon5tur ,fluida de quibus actum e/ 9 hac propositione4 ,quod si p>ticul cujusq2 virtus 9 inf9itum propagetur1 opus erit vi majori ad qualem cond5sationem majoris quantitatis ,fluidi4 ,ut si p>ticula unaquq2 vi sua1 qu sit reciproce ut di/antia locorum a c5tro suo1 fugat alias omnes p>ticulas 9 inf9itum2 ,vires quibus ,fluidum 9 vasis similibus qualit] comprimi cond5s>i possit1 erunt ut quadrata diametrorum vasorum3 ideoque vis1 qua ,fluidum 9 eodem vase comprimitur1 erit reciproce ut latus cubicum quadrato-cubi d5sitatis4 ,an v]o ,fluida ,ela/ica ex p>ticulis se mutuo fugantibus con/5t1 ,qu/io ,physica e/4 ,nos proprietatem ,fluidorum ex ejusmodi p>ticulis con/antium ,ma!matice demon/ravimus1 ut ,philosophis ansam prbeamus ,qu/ionem illam tract&i4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,vi4 ,de ,motu resi/5tia ,corporum ,funep5dulorum4 ,prop4 ,,xxiv4 ,!or4 ,,xviii4 ,quantitates mat]i 9 corporibus funep5dulis1 quorum c5tra oscillationum a c5tro susp5sionis qualit] di/ant1 sunt 9 ratione composita ex ratione pond]um ratione duplicata temporum oscillationum 9 vacuo4 ,nam velocitas1 quam data vis 9 data mat]ia dato tempore g5]>e pote/1 e/ ut vis tempus directe1 mat]ia inv]se4 ,quo major e/ vis vel majus tempus vel m9or mat]ia1 eo major g5]abitur velocitas4 ,id quod p] motus ,legem secundam manife/um e/4 ,jam v]o si p5dula ejusdem s9t longitud9is1 vires motrices 9 locis a p]p5diculo qualit] di/antibus sunt ut pond]a3 ideoque si corpora duo oscill&o describant arcus quales1 arcus illi dividantur 9 p>tes quales2 cum tempora quibus corpora describant s+ulas arcuum p>tes correspond5tes s9t ut tempora oscillationum tot>um1 erunt velocitates ad invicem 9 correspond5tibus oscillationum p>tibus1 ut vires motrices tota oscillationum tempora directe quantitates mat]i reciproce3 adeoque quantitates mat]i ut vires oscillationum tempora directe velocitates reciproce4 ,s$ velocitates reciproce sunt ut tempora1 atque adeo tempora directe velocitates reciproce sunt ut quadrata temporum1 propt]ea quantitates mat]i sunt ut vires motrices quadrata temporum1 id e/ ut pond]a quadrata temporum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,ideoque si tempora sunt qualia1 quantitates mat]i 9 s+ulis corporibus erunt ut pond]a4 ,corol4 #b4 ,si pond]a sunt qualia1 quantitates mat]i erunt ut quadrata temporum4 ,corol4 #c4 ,si quantitates mat]i quantur1 pond]a erunt reciproce ut quadrata temporum4 ,corol4 #d4 ,unde cum quadrata temporum ct]is p>ibus s9t ut longitud9es p5dulorum2 si tempora quantitates mat]i qualia sunt1 pond]a erunt ut longitud9es p5dulorum4 ,corol4 #e4 ,et univ]salit]1 quantitas mat]i p5dul e/ ut pondus quadratum temporis directe1 longitudo p5duli inv]se4 ,corol4 #f4 ,s$ 9 ,m$io non resi/5te quantitas ,mat]i p5dul e/ ut pondus comp>ativum quadratum temporis directe longitudo p5duli inv]se4 ,nam pondus comp>ativum e/ vis motrix corporis 9 ,m$io quovis gravi1 ut supra explicui2 adeoque idem pr/at 9 tali ,m$io non resi/5te atque pondus absolutum 9 vacuo4 ,corol4 #g4 ,et h9c liquet ratio tum comp>&i corpora int] se1 quoad quantitatem mat]i 9 s+ulis1 tum comp>&i pond]a ejusdem corporis 9 div]sis locis1 ad cognosc5dam v>iationem gravitatis4 ,factis autem exp]im5tis quam accuratissimis inv5i semp] quantitatem mat]i 9 corporibus s+ulis eorum pond]i proportionalem esse4 ,prop4 ,,xxv4 ,!or4 ,,xix4 ,corpora ,funep5dula qu 9 ,m$io quovis resi/untur 9 ratione mom5torum temporis1 quque 9 ejusdem gravitatis specific ,m$io non resi/5te mov5tur1 oscillationes 9 ,cycloide eodem tempore p]agunt1 arcuum p>tes proportionales simul describunt4 ,illu/ration ,sit ,,ab ,cycloidis arcus1 quem corpus ,d tempore quovis 9 ,m$io non resi/5te oscill&o describit4 ,bisecetur idem 9 ,c1 ita ut ,c sit infimum ejus punctum2 erit vis accel]atrix qua corpus urgetur 9 loco quovis ,d vel d vel ,e ut longitudo arcus ,,cd vel ,cd vel ,,ce4 ,exponatur vis illa p] eundem arcum2 cum resi/5tia sit ut mom5tum temporis1 adeoque detur1 exponatur eadem p] datam arcus ,cycloidis p>tem ,,co1 sumatur arcus ,od 9 ratione ad arcum ,,cd quam habet arcus ,,ob ad arcum ,,cb3 vis qua corpus 9 d urgetur 9 ,m$io resi/5te1 cum sit excessus vis ,cd supra resi/5tiam ,,co1 exponetur p] arcum ,od1 adeoque erit ad vim qua corpus ,d urgetur 9 ,m$io non resi/5te1 9 loco ,d1 ut arcus ,od ad arcum ,,cd2 propt]ea etiam 9 loco ,b ut arcus ,,ob ad arcum ,,cb4 ,pro9de si corpora duo1 ,d1 d exeant de loco ,b 8 viribus urgeantur3 cum vires sub initio s9t ut arcus ,,cb ,,ob1 erunt velocitates prim arcus primo descripti 9 eadem ratione4 ,sunto arcus illi ,,bd ,bd1 arcus reliqui ,,cd1 ,od erunt 9 eadem ratione4 ,pro9de vires ipsis ,,cd1 ,od proportionales manebunt 9 eadem ratione ac sub initio1 propt]ea corpora p]g5t arcus 9 eadem ratione simul describ]e4 ,igitur vires velocitates arcus reliqui ,,cd1 ,od semp] erunt ut arcus toti ,,cd1 ,,ob1 propt]ea arcus illi reliqui simul describ5tur4 ,qu>e corpora duo ,d1 d simul p]v5i5t ad loca ,c ,o1 alt]um quidem 9 ,m$io non resi/5te ad locum ,c1 alt]um 9 ,m$io resi/5te ad locum ,o4 ,cum autem velocitates 9 ,c ,o s9t ut arcus ,,cb ,,ob2 erunt arcus quos corpora ult]ius p]g5do simul describunt1 9 eadem ratione4 ,sunto illi ,,ce ,oe4 ,vis qua corpus ,d 9 ,m$io non resi/5te ret>datur 9 ,e e/ ut ,,ce1 vis qua corpus d 9 ,m$io resi/5te ret>datur 9 e e/ ut summa vis ,ce resi/5ti ,,co1 id e/ ut ,oe2 ideoque vires1 quibus corpora ret>dantur1 sunt ut arcubus ,,ce1 ,oe proportionales arcus ,,cb1 ,,ob2 pro9deque velocitates 9 data illa ratione ret>dat man5t 9 eadem illa data ratione4 ,velocitates igitur arcus iisdem descripti semp] sunt ad invicem 9 data illa ratione arcuum ,,cb ,,ob2 propt]ea si sumantur arcus toti ,,ab1 a,b 9 eadem ratione1 corpora ,d1 d simul describ5t hos arcus1 9 locis ,a a motum omnem simul amitt5t4 ,iso*ron sunt igitur oscillationes tot1 arcubus totis ,,ba1 ,,be proportionales sunt arcuum p>tes qulibet ,,bd1 ,bd vel ,,be1 ,be qu simul describuntur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,igitur motus velocissimus 9 ,m$io resi/5te non incidit 9 punctum infimum ,c1 s$ rep]itur 9 puncto illo ,o1 quo arcus totus descriptus a,b bisecatur4 ,et corpus sub9de p]g5do ad a1 iisdem gradibus ret>datur quibus antea accel]abatur 9 desc5su suo a ,b ad ,o4 ,prop4 ,,xxvi4 ,!or4 ,,xx4 ,corporum ,funep5dulorum1 qu resi/untur 9 ratione velocitatum1 oscillationes 9 ,cycloide sunt ,iso*ron4 ,nam si corpora duo a c5tris susp5sionum qualit] di/antia1 oscill&o describant arcus 9quales1 velocitates 9 arcuum p>tibus correspond5tibus s9t ad invicem ut arcus toti2 resi/5ti velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem arcus4 ,pro9de si viribus motricibus a gravitate oriundis1 qu s9t ut iidem arcus auf]antur1 conf]antur vel addantur h resi/5ti1 erunt diff]5ti vel summ ad invicem 9 eadem arcuum ratione3 cumque velocitatum increm5ta vel decrem5ta s9t ut h diff]5ti vel summ1 velocitates semp] erunt ut arcus toti3 ,igitur velocitates1 si s9t 9 aliquo casu ut arcus toti1 manebunt semp] 9 eadem ratione4 ,s$ 9 pr9cipio motus1 ubi corpora incipiunt desc5d]e arcus illos describ]e1 vires1 cum s9t arcubus proportionales1 g5]abunt velocitates arcubus proportionales4 ,ergo velocitates semp] erunt ut arcus toti describ5di1 propt]ea arcus illi simul describ5tur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xxvii4 ,!or4 ,,xxi4 ,si corpora ,funep5dula resi/untur 9 duplicata ratione velocitatum1 diff]5ti int] tempora oscillationum 9 ,m$io resi/5te ac tempora oscillationum 9 ejusdem gravitatis specific ,m$io non resi/5te1 erunt arcubus oscill&o descriptis proportionales1 quam proxime4 ,nam p5dulis qualibus 9 ,m$io resi/5te describantur arcus 9quales ,a1 ,b2 resi/5tia corporis 9 arcu ,a1 erit ad resi/5tiam corporis 9 p>te correspond5te arcus ,b1 9 duplicata ratione velocitatum1 id e/ ut ,a quad4 ad ,b quad4 quamproxime4 ,si resi/5tia 9 arcu ,b esset ad resi/5tiam 9 arcu ,a ut rectangulum ,,ab ad ,a quad4 tempora 9 arcubus ,a ,b =5t qualia p] ,propositionem sup]iorem4 ,ideoque resi/5tia ,a quad4 9 arcu ,a1 vel ,,ab 9 arcu ,b1 efficit excessum temporis 9 arcu ,a supra tempus 9 ,m$io non resi/5te2 resi/5tia ,,bb efficit excessum temporis 9 arcu ,b supra tempus 9 ,m$io non resi/5te4 ,sunt autem excessus illi ut vires effici5tes ,,ab ,,bb quam proxime1 id e/ ut arcus ,a ,b4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c ex oscillationum temporibus1 9 ,m$io resi/5te 9 arcubus 9qualibus fact>um1 cognosci possunt tempora oscillationum 9 ejusdem gravitatis specific ,m$io non resi/5te4 ,nam si v]bi gratia arcus sit alt]o duplo major1 diff]5tia temporum erit ad excessum temporis 9 arcu m9ore supra tempus 9 ,m$io non resi/5te1 ut diff]5tia arcuum ad arcum m9orem4 ,corol4 #b4 ,oscillationes breviores sunt magis ,iso*ron1 brevissim iisdem temporibus p]aguntur ac 9 ,m$io non resi/5te1 quam proxime4 ,e>um v]o qu 9 majoribus arcubus fiunt1 tempora sunt paulo majora1 propt]ea quod resi/5tia 9 desc5su corporis qua tempus producitur1 major sit pro ratione longitud9is 9 desc5su descript1 quam resi/5tia 9 asc5su subsequ5te qua tempus contrahitur4 ,s$ tempus oscillationum tam brevium quam long>um nonnihil produci videtur p] motum ,m$ii4 ,nam corpora t>desc5tia paulo m9us resi/untur pro ratione velocitatis1 corpora accel]ata paulo magis quam qu uni=mit] progr$iuntur3 id adeo quia ,m$ium1 eo quem a corporibus accepit motu1 9 e&em plagam p]g5do1 9 priore casu magis agitatur1 9 po/]iore m9us2 ac pro9de magis vel m9us cum corporibus motis conspirat4 ,p5dulis igitur 9 desc5su magis resi/it1 9 asc5su m9us quam pro ratione velocitatis1 ex utraque causa tempus producitur4 ,prop4 ,,xxviii4 ,!or4 ,,xxii4 ,si corpus ,funep5dulum 9 ,cycloide oscillans resi/itur 9 ratione mom5torum temporis1 erit ejus resi/5tia ad vim gravitatis ut excessus arcus desc5su toto descripti supra arcum asc5su subsequ5te descriptum1 ad p5duli longitud9em duplicatam4 ,designet ,,bc arcum desc5su descriptum1 ,ca arcum asc5su descriptum1 ,aa diff]5tiam arcuum3 /antibus qu 9 ,propositione ,,xxv4 con/ructa demon/rata sunt1 erit vis qua corpus oscillans urgetur 9 loco quovis ,d1 ad uim resi/5tia ut arcus ,,cd ad arcum ,,co1 qui semissis e/ diff]5ti illius ,aa4 ,ideoque vis qua corpus oscillans urgetur 9 ,cycloidis pr9cipio seu puncto altissimo1 id e/ vis gravitatis1 erit ad resi/5tiam ut arcus ,cycloidis int] punctum illud supremum punctum infimum ,c ad arcum ,,co2 id e/ 7si arcus duplic5tur7 ut ,cycloidis totius arcus1 seu dupla p5duli longitudo1 ad arcum ,aa4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xxix4 ,prob4 ,,vii4 ,posito quod corpus 9 ,cycloide oscillans resi/itur 9 duplicata ratione velocitatis3 inv5ire resi/5tiam 9 locis s+ulis4 ,illu/ration ,sit ,ba 7,fig4 ,prop4 ,,xxv47 arcus oscillatione integra descriptus1 sitque ,c infimum ,cycloidis punctum1 ,,cz semissis arcus ,cycloidis totius1 longitud9i ,p5duli qualis2 quratur resi/5tia corporis 9 loco quovis ,d4 ,secetur recta inf9ita ,,oq 9 punctis ,o1 ,c1 ,p1 ,q ea lege ut 7si erigantur p]p5dicula ,,ok1 ,,ct1 ,,pi1 ,,qe1 c5troque ,o ,asymptotis ,,ok1 ,,oq describatur ,hyp]bola ,,tige secans p]p5dicula ,,ct1 ,,pi1 ,,qe 9 ,t1 ,i ,e1 p] punctum ,i agatur ,,kf occurr5s ,asymptoto ,,ok 9 ,k1 p]p5diculis ,,ct ,,qe 9 ,l ,f7 fu]it area ,hyp]bolica ,,pieq ad aream ,hyp]bolicam ,,pitc ut arcus ,,bc desc5su corporis descriptus ad arcum ,ca asc5su descriptum1 area ,,ief ad aream ,,ilt ut ,,oq ad ,,oc4 ,de9 p]p5diculo ,,mn absc9datur area ,hyp]bolica ,,p9m qu sit ad aream ,hyp]bolicam ,,pieq ut arcus ,,cz ad arcum ,,bc desc5su descriptum4 ,et si p]p5diculo ,,rg absc9datur area ,hyp]bolica ,,pigr1 qu sit ad aream ,,pieq ut arcus quilibet ,,cd ad arcum ,,bc desc5su toto descriptum3 erit resi/5tia 9 loco ,d ad vim gravitatis1 ut area ,,or ,,oq ,,ief - ,,igh ad aream ,,pi5m4 ,nam cum vires a gravitate oriund quibus corpus 9 locis ,z1 ,b1 ,d1 a urgetur1 s9t ut arcus ,,cz1 ,,cb1 ,,cd1 ,ca1 arcus illi s9t ut are ,,p9m1 ,,pieq1 ,,pigr1 ,,pitc2 exponatur tum arcus tum vires p] has areas respective4 ,sit insup] ,dd spatium quam m9imum a corpore desc5d5te descriptum1 exponatur idem p] aream quam m9imam ,r,ggr p>allelis ,,rg1 rg compreh5sam2 producatur rg ad h1 ut s9t ,g,hhg1 ,r,ggr contemporanea are>um ,,igh1 ,,pigr decrem5ta4 ,et are ,,or ,,oq ,,ief - ,,igh increm5tum ,g,hhg - ,rr ,,oq ,,ief1 seu ,rr ,,hg - ,rr ,,oq ,,ief1 erit ad are ,,pigr decrem5tum ,r,ggr seu ,rr ,,rg1 ut ,,hg - ,,ief ,,oq ad ,,rg2 adeoque ut ,,or ,,hg - ,,or ,,oq ,,ief ad ,,or ,,gr seu ,,op ,,pi3 hoc e/ 7ob qualia ,,or ,,hg1 ,,or ,,hr - ,,or ,,gr1 ,,orhk - ,,opik1 ,,pihr ,,pigr ,,igh7 ut ,,pigr ,,igh - ,,or ,,oq ,,ief ad ,,opik4 ,igitur si area ,,or ,,oq ,,ief - ,,igh dicatur ,y1 atque are ,,pigr decrem5tum ,r,ggr detur1 erit increm5tum are ,y ut ,,pigr - ,y4 ,quod si ,v designet vim a gravitate oriundam arcui describ5do ,,cd proportionalem1 qua corpus urgetur 9 ,d2 ,r pro resi/5tia ponatur3 erit ,v - ,r vis tota qua corpus urgetur 9 ,d1 adeoque ut increm5tum velocitatis 9 data temporis p>ticula factum4 ,e/ autem resi/5tia ,r 7p] ,hypo!s97 ut quadratum velocitatis1 inde 7p] ,lem4 ,,ii47 increm5tum resi/5ti ut velocitas increm5tum velocitatis conjunctim1 id e/ ut spatium data temporis p>ticula descriptum ,v - ,r conjunctim2 atque adeo1 si mom5tum spatii detur1 ut ,v - ,r2 id e/1 si pro vi ,v scribatur ejus expon5s ,,pigr1 resi/5tia ,r exponatur p] aliam aliquam aream ,z1 ut ,,pigr - ,z4 ,igitur area ,,pigr p] datorum mom5torum subductionem uni=mit] decresc5te1 crescunt area ,y 9 ratione ,,pigr - ,y1 area ,z 9 ratione ,,pigr - ,z4 ,et propt]ea si are ,y ,z simul incipiant sub initio quales s9t1 h p] additionem qualium mom5torum p]g5t esse quales1 qualibus itidem mom5tis sub9de decresc5tes simul evanesc5t4 ,et vicissim1 si simul incipiunt simul evanescunt1 qualia habebunt mom5ta semp] erunt quales3 id adeo quia si resi/5tia ,z augeatur1 velocitas una cum arcu illo ,ca1 qui 9 asc5su corporis describitur1 dim9uetur2 puncto 9 quo motus omnis una cum resi/5tia cessat propius acc$5te ad punctum ,c1 resi/5tia citius evanescet quam area ,y4 ,et contr>ium ev5iet ubi resi/5tia dim9uitur4 ,jam v]o area ,z incipit des9itque ubi resi/5tia nulla e/1 hoc e/1 9 pr9cipio f9e motus1 ubi arcus ,,cd1 ,,cd arcubus ,,cb ,ca quantur1 adeoque ubi recta ,,rg incidit 9 rectas ,,qe ,,ct4 ,et area ,y seu ,,or ,,oq ,,ief - ,,igh incipit des9itque ubi nulla e/1 adeoque ubi ,,or ,,oq ,,ief ,,igh qualia sunt3 hoc e/ 7p] con/ructionem7 ubi recta ,,rg incidit 9 rectam ,,qe ,,ct4 ,pro9deque are ill simul incipiunt simul evanescunt1 propt]ea semp] sunt quales4 ,igitur area ,,or ,,oq ,,ief - ,,igh qualis e/ are ,z1 p] quam resi/5tia exponitur1 propt]ea e/ ad aream ,,p9m p] quam gravitas exponitur1 ut resi/5tia ad gravitatem4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,e/ igitur resi/5tia 9 loco infimo ,c ad vim gravitatis1 ut area ,,op ,,oq ,,ief ad aream ,,p9m4 ,corol4 #b4 ,fit autem maxima1 ubi area ,,pihr e/ ad aream ,,ief ut ,,or ad ,,oq4 ,eo enim 9 casu mom5tum ejus 7nimirum ,,pigr - ,y7 evadit nullum4 ,corol4 #c4 ,h9c etiam innotescit velocitas 9 locis s+ulis3 quippe qu e/ 9 dimidiata ratione resi/5ti1 ipso motus initio quatur velocitati corporis 9 eadem ,cycloide absque omni resi/5tia oscillantis4 ,ct]um ob difficilem calculum quo resi/5tia velocitas p] hanc ,propositionem inv5i5d sunt1 visum e/ ,propositionem sequ5tem subjung]e1 qu g5]alior sit ad usus ,philosophicos abunde satis accurata4 ,prop4 ,,xxx4 ,!or4 ,,xxiii4 ,si recta a,b qualis sit ,cycloidis arcui quem corpus oscill&o describit1 ad s+ula ejus puncta ,d erigantur p]p5dicula ,,dk1 qu s9t ad longitud9em ,p5duli ut resi/5tia corporis 9 arcus punctis correspond5tibus ad vim gravitatis3 dico quod diff]5tia int] arcum desc5su toto descriptum1 arcum asc5su toto subsequ5te descriptum1 ducta 9 arcuum eorundem semisummam1 qualis erit are ,b,ka,b a p]p5diculis omnibus ,,dk occupat1 quamproxime4 ,illu/ration ,exponatur enim tum ,cycloidis arcus oscillatione integra descriptus1 p] rectam illam sibi qualem a,b1 tum arcus qui describ]etur 9 vacuo p] longitud9em ,,ab4 ,bisecetur ,,ab 9 ,c1 punctum ,c reprs5tabit infimum ,cycloidis punctum1 erit ,,cd ut vis a gravitate oriunda1 qua corpus 9 ,d secundum ,tang5tem ,cycloidis urgetur1 eamque habebit rationem ad longitud9em ,p5duli quam habet vis 9 ,d ad vim gravitatis4 ,exponatur igitur vis illa p] longitud9em ,,cd1 vis gravitatis p] longitud9em p5duli2 si 9 ,,de capiatur ,,dk 9 ea ratione ad longitud9em p5duli quam habet resi/5tia ad gravitatem1 erit ,,dk expon5s resi/5ti4 ,c5tro ,c int]vallo ,,ca vel ,,cb con/ruatur semicirculus1 ,b,ee,a4 ,describat autem corpus tempore quam m9imo spatium ,dd1 erectis p]p5diculis ,,de1 de circumf]5ti occurr5tibus 9 ,e e1 erunt hc ut velocitates quas corpus 9 vacuo1 desc5d5do a puncto ,b1 acquir]et 9 locis ,d d4 ,patet hoc p] ,prop4 ,,lii4 ,lib4 ,i4 ,exponantur itaq2 h velocitates p] p]p5dicula illa ,,de1 de2 sitque ,,df velocitas quam acquirit 9 ,d cad5do de ,b 9 ,m$io resi/5te4 ,et si c5tro ,c int]vallo ,,cf describatur circulus ,ff,m occurr5s rectis de ,,ab 9 f ,m1 erit ,m locus ad quem de9ceps absque ult]iore resi/5tia asc5d]et1 df velocitas quam acquir]et 9 d4 ,unde etiam si ,fg designet velocitatis mom5tum quod corpus ,d1 describ5do spatium quam m9imum ,dd1 ex resi/5tia ,m$ii amittit1 sumatur ,,cn qualis ,cg3 erit ,n locus ad quem corpus de9ceps absque ult]iore resi/5tia asc5d]et1 ,,mn erit decrem5tum asc5sus ex velocitatis illius amissione oriundum4 ,ad df demittatur p]p5diculum ,fm1 velocitatis ,,df decrem5tum fg a resi/5tia ,,dk g5itum1 erit ad velocitatis ejusdem increm5tum fma vi ,,cd g5itum1 ut vis g5]ans ,,dk ad vim g5]antem ,,cd4 ,s$ ob similia triangula ,fmf1 ,fhg1 ,,fdc1 e/ fm ad ,fm seu ,dd1 ut ,,cd ad ,,df1 ex quo ,fg ad ,dd ut ,,dk ad ,,df4 ,item ,fg ad ,fh ut ,,cf ad ,,df2 ex quo p]turbate ,fh seu ,,mn ad ,dd ut ,,dk ad ,,cf4 ,sumatur ,,dr ad a,b ut ,,dk ad ,,cf1 erit ,,mn ad ,dd ut ,,dr ad a,b2 ideoque summa omnium ,,mn a,b1 id e/ ,aa a,b1 qualis erit summ omnium ,dd ,,dr1 id e/ are ,b,rr,sa1 quam rectangula omnia ,dd ,,dr seu ,d,rrd componunt4 ,bisec5tur ,aa a,b 9 ,p ,o1 erit a,b seu ,,ob qualis ,,cp1 ideoque ,,dr e/ ad ,,dk ut ,,cp ad ,,cf vel ,,cm1 divisim ,,kr ad ,,dr ut ,,pm ad ,,cp4 ,ideoque cum punctum ,m1 ubi corpus v]satur 9 m$io oscillationis loco ,o1 incidat circit] 9 punctum ,p1 priore oscillationis p>te v]setur int] ,a ,p1 po/]iore autem int] ,p a1 utroque 9 casu qualit] a puncto ,p 9 p>tes contr>ias errans3 punctum ,k circa m$ium oscillationis locum1 id e/ e regione puncti ,o1 puta 9 ,v1 incidet 9 punctum ,r2 9 priore autem oscillationis p>te jacebit int] ,r ,e1 9 po/]iore int] ,r ,d1 utroque 9 casu qualit] a puncto ,r 9 p>tes contr>ias errans4 ,pro9de area quam l9ea ,,kr describit1 priore oscillationis p>te jacebit extra aream ,b,r,sa1 po/]iore intra e&em1 idque dim5sionibus h9c inde propemodum quatis int] se2 propt]ea 9 casu priore addita are ,b,r,sa1 9 po/]iore eidem subducta1 rel9quet aream ,b,k,ta are ,b,r,sa qualem quam proxime4 ,ergo rectangulum ,aa a,b seu ,aa,o1 cum sit quale are ,b,r,sa1 erit etiam quale are ,b,k,ta quamproxime4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,h9c ex lege resi/5ti arcuum ,ca1 ,,cb diff]5tia ,aa1 colligi pote/ proportio resi/5ti ad gravitatem quam proxime4 ,nam si uni=mis sit resi/5tia ,,dk1 figura a,b,kk,t rectangulum erit sub ,ba ,,dk1 inde rectangulum sub ,ba ,aa qualis erit rectangulo sub ,ba ,,dk1 ,,dk qualis erit ,aa4 ,qu>e cum ,,dk sit expon5s resi/5ti1 longitudo p5duli expon5s gravitatis1 erit resi/5tia ad gravitatem ut ,aa ad longitud9em ,p5duli2 omn9o ut 9 ,propositione ,,xxviii4 demon/ratum e/4 ,si resi/5tia sit ut velocitas1 ,figura a,b,kk,t ,ellipsis erit quam proxime4 ,nam si corpus1 9 ,m$io non resi/5te1 oscillatione integra describ]et longitud9em ,,ba1 velocitas 9 loco quovis ,d =et ut circuli diametro ,,ab descripti ord9atim applicata ,,de4 ,pro9de cum ,ba 9 ,m$io resi/5te ,,ba 9 ,m$io non resi/5te1 qualibus circit] temporibus describantur2 adeoque velocitates 9 s+ulis ipsius ,ba punctis1 s9t quam proxime ad velocitates 9 punctis correspond5tibus longitud9is ,,ba1 ut e/ ,ba ad ,,ba2 erit velocitas ,,dk 9 ,m$io resi/5te ut circuli vel ,ellipseos sup] diametro ,ba descripti ord9atim applicata2 adeoque figura ,b,k,v,ta ,ellipsis1 quam proxime4 ,cum resi/5tia velocitati proportionalis supponatur1 sit ,,ov expon5s resi/5ti 9 puncto ,m$io ,o2 ,ellipsis1 c5tro ,o1 semiaxibus ,,ob1 ,,ov descripta1 figuram a,b,k,v,t1 eique quale rectangulum ,aa ,,bo1 quabit quam proxime4 ,e/ igitur ,aa ,,bo ad ,,ov ,,bo ut area ,ellipseos hujus ad ,,ov ,,bo3 id e/ ,aa ad ,,ov ut area semicirculi1 ad quadratum radii sive ut #aa & #g circit]3 ,et propt]ea3 #g_/aa;,aa ad longitud9em p5duli ut corporis oscillantis resi/5tia 9 ,o ad ejusdem gravitatem4 ,quod si resi/5tia ,,dk sit 9 duplicata ratione velocitatis1 figura ,b,k,t,va ,p>abola erit v]ticem hab5s ,v axem ,,ov1 ideoque qualis erit duabus t]tiis p>tibus rectanguli sub ,ba ,,ov quam proxime4 ,e/ igitur rectangulum sub ,ba ,aa quale rectangulo sub #b_/c;,ba ,,ov1 adeoque ,,ov qualis ,aa1 propt]ea corporis oscillantis resi/5tia 9 ,o ad ipsius gravitatem ut ,aa ad longitud9em ,p5duli4 ,atque has conclusiones 9 rebus practicis abunde satis accuratas esse c5seo4 ,nam cum ,ellipsis vel ,p>abola congruat cum figura ,b,k,v,ta 9 puncto m$io ,v1 hc si ad p>tem alt]utram ,,bkv vel ,v,ta exc$it figuram illam1 deficiet ab eadem ad p>tem alt]am1 sic eidem quabitur quam proxime4 ,prop4 ,,xxxi4 ,!or4 ,,xxiv4 ,si corporis oscillantis resi/5tia 9 s+ulis arcuum descriptorum p>tibus proportionalibus augeatur vel m9uatur 9 data ratione2 diff]5tia int] arcum desc5su descriptum arcum subsequ5te asc5su descriptum1 augebitur vel dim9uetur 9 eadem ratione quamproxime4 ,oritur enim diff]5tia illa ex ret>datione ,p5duli p] resi/5tiam ,m$ii1 adeoque e/ ut ret>datio tota eique proportionalis resi/5tia ret>dans4 ,9 sup]iore ,propositione rectangulum sub recta a,b arcuum illorum ,,cb1 ,ca diff]5tia ,aa1 qualis erat are ,,bkt4 ,et area illa1 si maneat longitudo a,b1 augetur vel dim9uitur 9 ratione ord9atim applicat>um ,,dk2 hoc e/ 9 ratione resi/5ti1 adeoque e/ ut longitudo a,b resi/5tia conjunctim4 ,pro9deque rectangulum sub ,aa a,b e/ ut a,b resi/5tia conjunctim1 propt]ea ,aa ut resi/5tia4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,unde si resi/5tia sit ut velocitas1 diff]5tia arcuum 9 eodem ,m$io erit ut arcus totus descriptus3 contra4 ,corol4 #b4 ,si resi/5tia sit 9 duplicata ratione velocitatis1 diff]5tia illa erit 9 duplicata ratione arcus totius2 contra4 ,corol4 #c4 ,et univ]salit]1 si resi/5tia sit 9 triplicata vel alia quavis ratione velocitatis1 diff]5tia erit 9 eadem ratione arcus totius2 contra4 ,corol4 #d4 ,et si resi/5tia sit p>tim 9 ratione simplici velocitatis1 p>tim 9 ejusdem ratione duplicata1 diff]5tia erit p>tim 9 ratione arcus totius p>tim 9 ejus ratione duplicata2 contra4 ,eadem erit lex ratio resi/5ti pro velocitate1 qu e/ diff]5ti illius pro longitud9e arcus4 ,corol4 #e4 ,ideoque si1 p5dulo 9quales arcus successive describ5te1 inv5iri pote/ ratio increm5ti ac decrem5ti resi/5ti hujus pro longitud9e arcus descripti1 habebitur etiam ratio increm5ti ac decrem5ti resi/5ti pro velocitate majore vel m9ore4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,vii4 ,de ,motu ,fluidorum resi/5tia ,projectilium4 ,prop4 ,,xxxii4 ,!or4 ,,xxv4 ,si corporum ,sy/emata duo ex quali p>ticul>um num]o con/5t p>ticul correspond5tes similes s9t1 s+ul 9 uno ,sy/emate s+ulis 9 alt]o1 ac datam habeant rationem d5sitatis ad invicem1 int] se temporibus proportionalibus similit] mov]i incipiant1 7e int] se qu 9 uno sunt ,sy/emate e int] se qu sunt 9 alt]o7 si non tangant se mutuo qu 9 eodem sunt ,sy/emate1 nisi 9 mom5tis reflexionum1 neque attrahant vel fug5t se mutuo1 nisi viribus accel]atricibus qu s9t ut p>ticul>um correspond5tium diametri inv]se quadrata velocitatum directe3 dico quod ,sy/ematum p>ticul ille p]g5t int] se temporibus proportionalibus similit] mov]i2 contra4 ,corpora similia temporibus proportionalibus int] se similit] mov]i dico1 quorum situs ad invicem 9 f9e temporum illorum semp] sunt similes3 puta si p>ticul unius ,sy/ematis cum alt]ius p>ticulis correspond5tibus conf]antur4 ,unde tempora erunt proportionalia1 9 quibus similes proportionales figur>um similium p>tes a p>ticulis correspond5tibus describuntur4 ,igitur si duo s9t ejusmodi ,sy/emata1 p>ticul correspond5tes1 ob similitud9em incptorum motuum1 p]g5t similit] mov]i usque donec sibi mutuo occurrant4 ,nam si nullis agitantur viribus1 progr$i5tur uni=mit] 9 l9eis rectis p] motus ,leg4 ,i4 ,si viribus aliquibus se mutuo agitant1 vires ill s9t ut p>ticul>um correspond5tium diametri inv]se quadrata velocitatum directe2 quoniam p>ticul>um situs sunt similes vires proportionales1 vires tot quibus p>ticul correspond5tes agitantur1 ex viribus s+ulis agitantibus 7p] ,legum ,coroll>ium secundum7 composit1 similes habebunt det]m9ationes1 p]9de ac si c5tra int] p>ticulas similit] sita respic]5t2 erunt vires ill tot ad invicem ut vires s+ul compon5tes1 hoc e/ ut correspond5tium p>ticul>um diametri inv]se1 quadrata velocitatum directe3 propt]ea effici5t ut correspond5tes p>ticul figuras similes describ]e p]gant4 ,hc ita se habebunt p] ,corol4 #a4 #b1 #g4 ,prop4 ,,iv4 si modo c5tra illa quiescant4 ,s9 moveantur1 quoniam ob translationum similitud9em1 similes man5t eorum situs int] ,sy/ematum p>ticulas2 similes induc5tur mutationes 9 figuris quas p>ticul describunt4 ,similes igitur erunt correspond5tium similium p>ticul>um motus usque ad occursus suos primos1 propt]ea similes occursus1 similes reflexiones1 sub9de 7p] jam o/5sa7 similes motus int] se1 donec it]um 9 se mutuo incid]9t1 sic de9ceps 9 inf9itum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c si corpora duo quvis1 qu similia s9t ad ,sy/ematum p>ticulas correspond5tes similit] sita1 int] ipsas temporibus proportionalibus similit] mov]i incipiant1 s9tque eorum d5sitates ad invicem ut d5sitates correspond5tium p>ticul>um3 hc p]g5t temporibus proportionalibus similit] mov]i4 ,e/ enim eadem ratio p>tium majorum ,sy/ematis utriusque atque p>ticul>um4 ,corol4 #b4 ,et si similes similit] posit ,sy/ematum p>tes omnes quiescant int] se3 e>um du1 qu ct]is majores s9t1 sibi mutuo 9 utroque ,sy/emate correspondeant1 secundum l9eas similit] sitas simili cum motu utcunque mov]i incipiant3 h similes 9 reliquis sy/ematum p>tibus excitabunt motus1 p]g5t int] ipsas temporibus proportionalibus similit] mov]i2 atque adeo spatia diametris suis proportionalia describ]e4 ,prop4 ,,xxxiii4 ,!or4 ,,xxvi4 ,iisdem positis1 dico quod ,sy/ematum p>tes majores resi/untur 9 ratione composita ex duplicata ratione velocitatum su>um duplicata ratione diametrorum ratione d5sitatis p>tium ,sy/ematum4 ,nam resi/5tia oritur p>tim ex viribus c5tripetis vel c5trifugis quibus p>ticul sy/ematum se mutuo agitant1 p>tim ex occursibus reflexionibus p>ticul>um p>tium majorum4 ,prioris autem g5]is resi/5ti sunt ad invicem ut vires tot motrices a quibus oriuntur1 id e/ ut vires tot accel]atrices quantitates mat]i 9 p>tibus correspond5tibus2 hoc e/ 7p] ,hypo!s97 ut quadrata velocitatum directe di/anti p>ticul>um correspond5tium inv]se quantitates mat]i 9 p>tibus correspond5tibus directe3 ideoque 7cum di/anti p>ticul>um sy/ematis unius s9t ad di/antias correspond5tes p>ticul>um alt]ius1 ut diamet] p>ticul vel p>tis 9 sy/emate priore ad diametrum p>ticul vel p>tis correspond5tis 9 alt]o1 quantitates mat]i s9t ut d5sitates p>tium cubi diametrorum7 resi/5ti sunt ad invicem ut quadrata velocitatum quadrata diametrorum d5sitates p>tium ,sy/ematum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,po/]ioris g5]is resi/5ti sunt ut reflexionum correspond5tium num]i vires conjunctim4 ,num]i autem reflexionum sunt ad invicem ut velocitates p>tium correspond5tium directe1 spatia int] eorum reflexiones inv]se4 ,et vires reflexionum sunt ut velocitates magnitud9es d5sitates p>tium correspond5tium conjunctim2 id e/ ut velocitates diametrorum cubi d5sitates p>tium4 ,et conjunctis 8 omnibus rationibus1 resi/5ti p>tium correspond5tium sunt ad invicem ut quadrata velocitatum quadrata diametrorum d5sitates p>tium conjunctim4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur si sy/emata illa s9t ,fluida duo ,ela/ica ad modum ,a]is1 p>tes eorum quiescant int] se3 corpora autem duo similia p>tibus fluidorum quoad magnitud9em d5sitatem proportionalia1 int] p>tes illas similit] posita1 secundum l9eas similit] positas utcunque projiciantur2 vires autem motrices1 quibus p>ticul ,fluidorum se mutuo agitant1 s9t ut corporum projectorum diametri inv]se1 quadrata velocitatum directe3 corpora illa temporibus proportionalibus similes excitabunt motus 9 ,fluidis1 spatia similia ac diametris suis proportionalia describ5t4 ,corol4 #b4 ,pro9de 9 eodem ,fluido projectile velox resi/itur 9 duplicata ratione velocitatis quam proxime4 ,nam si vires1 quibus p>ticul di/antes se mutuo agitant1 aug]5tur 9 duplicata ratione velocitatis1 projectile resi/]etur 9 eadem ratione duplicata accurate2 ideoque 9 ,m$io1 cujus p>tes ab invicem di/antes sese viribus nullis agitant1 resi/5tia e/ 9 duplicata ratione velocitatis accurate4 ,sunto igitur ,m$ia tria ,a1 ,b1 ,c ex p>tibus similibus qualibus secundum di/antias quales regul>it] dispositis con/antia4 ,p>tes ,m$iorum ,a ,b fugiant se mutuo viribus qu s9t ad invicem ut ,t ,v1 ill ,m$ii ,c ejusmodi viribus omn9o de/ituantur4 ,et si corpora quatuor qualia ,d1 ,e1 ,f1 ,g 9 8 ,m$iis moveantur1 priora duo ,d ,e 9 prioribus duobus ,a ,b1 alt]a duo ,f ,g 9 t]tio ,c2 sitque velocitas corporis ,d ad velocitatem corporis ,e1 velocitas corporis ,f ad velocitatem corporis ,g1 9 dimidiata ratione virium ,t ad vires ,v2 resi/5tia corporis ,d erit ad resi/5tiam corporis ,e1 resi/5tia corporis ,f ad resi/5tiam corporis ,g 9 velocitatum ratione duplicata2 propt]ea resi/5tia corporis ,d erit ad resi/5tiam corporis ,f ut resi/5tia corporis ,e ad resi/5tiam corporis ,g4 ,sunto corpora ,d ,f quivelocia ut corpora ,e ,g2 aug5do velocitates corporum ,d ,f 9 ratione quacunque1 ac dim9u5do vires p>ticul>um ,m$ii ,b 9 eadem ratione duplicata1 acc$et ,m$ium ,b ad =mam conditionem ,m$ii ,c pro lubitu1 idcirco resi/5ti corporum qualium quivelocium ,e ,g 9 8 ,m$iis1 p]petuo acc$5t ad qualitatem1 ita ut e>um diff]5tia evadat t&em m9or quam data quvis4 ,pro9de cum resi/5ti corporum ,d ,f s9t ad invicem ut resi/5ti corporum ,e ,g1 acc$5t etiam h similit] ad rationem qualitatis4 ,corporum igitur ,d ,f1 ubi velocissime mov5tur1 resi/5ti sunt quales quam proxime3 propt]ea cum resi/5tia corporis ,f sit 9 duplicata ratione velocitatis1 erit resi/5tia corporis ,d 9 eadem ratione quamproxime4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #c4 ,igitur corporis 9 ,fluido quovis ,ela/ico velocissime mov5tis eadem f]e e/ resi/5tia ac si p>tes ,fluidi viribus suis c5trifugis de/itu]5tur1 seque mutuo non fug]5t3 si modo ,fluidi vis ,ela/ica ex p>ticul>um viribus c5trifugis oriatur4 ,corol4 #d4 ,pro9de cum resi/5ti similium quivelocium corporum1 9 ,m$io cujus p>tes di/antes se mutuo non fugiunt1 s9t ut quadrata diametrorum1 sunt etiam quivelocium cel]rime mov5tium corporum resi/5ti 9 ,fluido ,ela/ico ut quadrata diametrorum quam proxime4 ,corol4 #e4 ,et cum corpora similia1 qualia quivelocia1 9 ,m$iis ejusdem d5sitatis1 quorum p>ticul se mutuo non fugiunt1 sive p>ticul ill s9t plures m9ores1 sive pauciores majores1 9 qualem mat]i quantitatem temporibus qualibus inp+ant1 eique qualem motus quantitatem imprimant1 vicissim 7p] motus ,legem t]tiam7 qualem ab eadem reactionem patiantur1 hoc e/1 qualit] resi/antur3 manife/um e/ etiam quod 9 ejusdem d5sitatis ,fluidis ,ela/icis1 ubi velocissime mov5tur1 quales s9t eorum resi/5ti quam proxime2 sive ,fluida illa ex p>ticulis crassioribus con/5t1 sive ex omnium subtilissimis con/ituantur4 ,ex ,m$ii subtilitate resi/5tia projectilium cel]rime motorum non multum dim9uitur4 ,corol4 #f4 ,cum autem p>ticul ,fluidorum1 propt] vires quibus se mutuo fugiunt1 mov]i nequeant qu9 simul agit5t p>ticulas alias 9 circuitu1 atque adeo difficilius moveantur int] se quam si viribus i/is de/itu]5tur2 quo majores s9t e>um vires c5trifug1 eo difficilius moveantur int] se3 manife/um esse videtur quod projectile 9 tali ,fluido eo difficilius movebitur1 quo vires ill sunt int5siores2 propt]ea si corporis velocissimi 9 sup]ioribus ,coroll>iis velocitas dim9uatur1 quoniam resi/5tia dim9u]etur 9 duplicata ratione velocitatis1 si modo vires p>ticul>um 9 eadem ratione duplicata dim9u]5tur2 vires autem nullat5us dim9uantur1 manife/um e/ quod resi/5tia dim9uetur 9 ratione m9ore quam duplicata velocitatis4 ,corol4 #g4 ,porro cum vires c5trifug eo nom9e ad aug5dam resi/5tiam conducant1 quod p>ticul motus suos p] ,fluidum ad majorem a se di/antiam p] vires illas propag5t2 cum di/antia illa m9orem habeat rationem ad majora corpora3 manife/um e/ quod augm5tum resi/5ti ex viribus illis oriundum 9 corporibus majoribus m9oris sit mom5ti2 propt]ea1 quo corpora s9t majora eo magis accurate resi/5tia t>desc5tium decrescet 9 duplicata ratione velocitatis4 ,corol4 #h4 ,unde etiam ratio illa duplicata magis accurate obt9ebit 9 ,fluidis qu1 p>i d5sitate vi ,ela/ica1 ex p>ticulis m9oribus con/ant4 ,nam si corpora illa majora dim9uantur1 p>ticul ,fluidi1 man5te ejus d5sitate vi ,ela/ica1 dim9uantur 9 eadem ratione2 manebit eadem ratio resi/5ti qu prius3 ut ex prc$5tibus facile colligitur4 ,corol4 #i4 ,hc omnia ita se hab5t 9 ,fluidis1 quorum vis ,ela/ica ex p>ticul>um viribus c5trifugis orig9em ducit4 ,quod si vis illa aliunde oriatur1 veluti ex p>ticul>um expansione ad in/> ,lan vel ramorum arborum1 aut ex alia quavis causa1 qua motus p>ticul>um int] se r$duntur m9us lib]i3 resi/5tia1 ob m9orem ,m$ii fluiditatem1 erit major quam 9 sup]ioribus ,coroll>iis4 ,prop4 ,,xxxiv4 ,!or4 ,,xxvii4 ,qu 9 prc$5tibus duabus ,propositionibus demon/rata sunt1 obt95t ubi p>ticul ,sy/ematum se mutuo cont+unt1 si modo p>ticul ill s9t summe lubric4 ,concipe p>ticulas viribus quibusdam se mutuo fug]e1 vires illas 9 accessu ad sup]ficies p>ticul>um aug]i 9 inf9itum1 contra1 9 recessu ab iisdem cel]rime dim9ui /atim evanesc]e4 ,concipe etiam sy/emata comprimi1 ita ut p>tes eorum se mutuo cont+ant1 nisi quat5us vires ill contactum imp$iunt4 ,s9t autem spatia p] qu vires p>ticul>um diffunduntur quam angu/issima1 ita ut p>ticul se mutuo quam proxime cont+ant3 motus p>ticul>um int] se iidem erunt quam proxime ac si se mutuo cont+]5t4 ,eadem facilitate lab5tur int] se ac si ess5t summe lubric1 si imp+ant 9 se mutuo reflect5tur ab invicem ope virium prfat>um1 p]9de ac si ess5t ,ela/ic4 ,itaque motus erunt iidem 9 utroque casu1 nisi quat5us p]exigua p>ticul>um sese non cont+5tium int]valla div]sitatem efficiant3 qu quidem div]sitas dim9u5do p>ticul>um int]valla dim9ui pote/ 9 inf9itum4 ,jam v]o qu 9 prc$5tibus duabus ,propositionibus demon/rata sunt1 obt95t 9 p>ticulis sese non cont+5tibus1 idque licet int]valla p>ticul>um1 dim9u5do spatia p] qu vires diffunduntur1 dim9uantur 9 inf9itum4 ,et propt]ea eadem obt95t 9 p>ticulis sese cont+5tibus1 exceptis solum diff]5tiis qu t&em diff]5tiis quibusvis datis m9ores evadant4 ,dico igitur quod accurate obt95t4 ,si negas1 assigna diff]5tiam 9 casu quocunque4 ,atqui jam probatum e/ quod diff]5tia m9or sit quam data quvis4 ,ergo diff]5tia falso assignatur1 propt]ea nulla e/4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur si ,sy/ematum duorum p>tes omnes quiescant int] se1 exceptis duabus1 qu ct]is majores s9t sibi mutuo correspondeant int] ct]as similit] sit4 ,h secundum l9eas similit] positas utcunque project similes excitabunt motus 9 ,sy/ematibus1 temporibus proportionalibus p]g5t spatia similia diametris suis proportionalia describ]e2 resi/5tur 9 ratione composita ex duplicata ratione velocitatum duplicata ratione diametrorum ratione d5sitatis ,sy/ematum4 ,corol4 #b4 ,unde si ,sy/emata illa s9t ,fluida duo similia1 eorum p>tes du majores s9t corpora 9 iisdem projecta3 s9t autem ,fluidorum p>ticul summe lubric1 quoad magnitud9em d5sitatem proportionales corporibus3 p]g5t corpora temporibus proportionalibus spatia similia diametris suis proportionalia describ]e1 resi/5tur 9 ratione ,coroll>io sup]iore def9ita4 ,corol4 #c4 ,pro9de 9 eodem ,fluido ,projectile magnitud9e datum resi/itur 9 duplicata ratione velocitatis4 ,corol4 #d4 ,at si p>ticul ,fluidi non s9t summe lubric1 vel si viribus quibuscunque se mutuo agitant1 quibus motuum lib]tas dim9uitur3 ,projectilia t>diora difficilius sup]abunt resi/5tiam1 propt]ea magis resi/5tur quam 9 velocitatis ratione duplicata4 ,prop4 ,,xxxv4 ,!or4 ,,xxviii4 ,si ,globus ,cyl9drus qualibus diametris descripti1 9 ,m$io r>o ,ela/ico1 secundum plagam axis ,cyl9dri1 quali cum velocitate cel]rime moveantur3 erit resi/5tia ,globi duplo m9or quam resi/5tia ,cyl9dri4 ,illu/ration ,nam quoniam resi/5tia 7p] ,corol4 #c4 ,prop4 ,,xxxiii47 eadem e/ quam proxime ac si p>tes ,fluidi viribus nullis se mutuo fug]5t1 supponamus p>tes ,fluidi ejusmodi viribus de/itutas p] spatia omnia uni=mit] disp]gi4 ,et quoniam actio ,m$ii 9 corpus eadem e/ 7p] ,legum ,corol4 #e47 sive corpus 9 ,m$io quiesc5te moveatur1 sive ,m$ii p>ticul eadem cum velocitate imp+ant 9 corpus quiesc5s3 consid]emus corpus tanquam quiesc5s1 videamus quo impetu urgebitur a ,m$io mov5te4 ,designet igitur ,,abki corpus ,sphricum c5tro ,c semidiametro ,,ca descriptum1 incidant p>ticul ,m$ii data cum velocitate 9 corpus illud ,sphricum1 secundum rectas ipsi ,,ac p>allelas3 ,sitque ,,fb ejusmodi recta4 ,9 ea capiatur ,,lb semidiametro ,,cb qualis1 ducatur ,,bd qu ,sphram tangat 9 ,b4 ,9 ,,ac ,,bd demittantur p]p5dicul>es ,,be1 ,,dl1 vis qua p>ticula ,m$ii1 secundum rectam ,,fb oblique incid5do1 ,globum f]it 9 ,b1 erit ad vim qua p>ticula eadem ,cyl9drum ,,ongq axe ,,aci circa ,globum descriptum p]p5dicul>it] f]iret 9 b1 ut ,,ld ad ,,lb vel ,,be ad ,,bc4 ,rursus efficacia hujus vis ad mov5dum globum secundum incid5ti su plagam ,,fb vel ,,ac1 e/ ad ejusdem efficaciam ad mov5dum globum secundum plagam det]m9ationis su1 id e/ secundum plagam rect ,,bc qua globum directe urget1 ut ,,be ad ,,bc4 ,et conjunctis rationibus1 efficacia p>ticul1 9 globum secundum rectam ,,fb oblique incid5tis1 ad mov5dum eundem secundum plagam incid5ti su1 e/ ad efficaciam p>ticul ejusdem secundum e&em rectam 9 cyl9drum p]p5dicul>it] incid5tis1 ad ipsum mov5dum 9 plagam e&em1 ut ,,be quadratum ad ,,bc quadratum4 ,qu>e si ad cyl9dri basem circul>em ,,nao erigatur p]p5diculum b,h,e1 sit b,e qualis radio ,,ac1 b,h qualis ,,be quad4 ,,cb1 erit b,h ad b,e ut effectus p>ticul 9 globum ad effectum p>ticul 9 cyl9drum4 ,et propt]ea ,solidum quod a rectis omnibus b,h occupatur erit ad solidum quod a rectis omnibus b,e occupatur1 ut effectus p>ticul>um omnium 9 globum ad effectum p>ticul>um omnium 9 ,cyl9drum4 ,s$ solidum prius e/ ,p>abolois v]tice ,v1 axe ,,ca lat]e recto ,,ca descriptum1 solidum po/]ius e/ cyl9drus ,p>aboloidi circumscriptus3 notum e/ quod ,p>abolois sit semissis cyl9dri circumscripti4 ,ergo vis tota ,m$ii 9 globum e/ duplo m9or quam ejusdem vis tota 9 cyl9drum4 ,et propt]ea si p>ticul ,m$ii quiesc]5t1 cyl9drus ac globus quali cum velocitate mov]5tur1 =et resi/5tia globi duplo m9or quam resi/5tia cyl9dri4 ,q4 ,e4 ,d4 ,s*olium4 ,illu/ration ,eadem me?odo figur ali int] se quoad resi/5tiam comp>>i possunt1 eque inv5iri qu ad motus suos 9 ,m$iis resi/5tibus cont9u&os aptiores sunt4 ,ut si base circul>i ,,cebh1 qu c5tro ,o1 radio ,,oc describitur1 altitud9e ,,od1 con/ru5dum sit fru/um coni ,,cbgf1 quod omnium eadem basi altitud9e con/ructorum secundum plagam axis sui v]sus ,d progr$i5tium fru/orum m9ime resi/atur3 biseca altitud9em ,,od 9 ,q produc1 ,,oq ad ,s ut sit ,,qs qualis ,,qc1 erit ,s v]tex coni cujus fru/um quritur4 ,unde obit] cum angulus ,,csb semp] sit acutus1 consequ5s e/1 quod si solidum ,,adbe convolutione figur ,elliptic vel ,ovalis ,,adbe circa axem ,,ab facta g5]etur1 tangatur figura g5]ans a rectis tribus ,,fg1 ,,gh1 ,,hi 9 punctis ,f1 ,b ,i1 ea lege ut ,,gh sit p]p5dicul>is ad axem 9 puncto contactus ,b1 ,,fg1 ,,hi cum eadem ,,gh cont9eant angulos ,,fgb1 ,,bhi graduum #ace3 solidum1 quod convolutione figur ,,adfghie circa axem eundem ,,cb g5]atur1 m9us resi/itur quam solidum prius2 si modo utrumque secundum plagam axis sui ,,ab progr$iatur1 utriusque t]m9us ,b prc$at4 ,quam quidem propositionem 9 con/ru5dis ,navibus non inutilem futuram esse c5seo4 ,illu/ration ,quod si figura ,,dnfb ejusmodi sit ut1 si ab ejus puncto quovis ,n ad axem ,,ab demittatur p]p5diculum ,,nm1 a puncto dato ,g ducatur recta ,,gr qu p>allela sit rect figuram tang5ti 9 ,n1 axem productum secet 9 ,r1 fu]it ,,mn ad ,,gr ut ,,gr cub4 ad #d;,,br ,g,bq43 ,solidum quod figur hujus revolutione circa axem ,,ab facta describitur1 9 ,m$io r>o ,ela/ico ab ,a v]sus ,b velocissime mov5do1 m9us resi/etur quam aliud quodvis eadem longitud9e latitud9e descriptum ,solidum circul>e4 ,prop4 ,,xxxvi4 ,prob4 ,,viii4 ,inv5ire resi/5tiam corporis ,sphrici 9 ,fluido r>o ,ela/ico velocissime progr$i5tis4 7,vide ,fig4 ,pag4 #cbe47 ,designet ,,abki corpus ,sphricum c5tro ,c semidiametro ,,ca descriptum4 ,producatur ,,ca primo ad ,s de9de ad ,r1 ut sit ,,z p>s t]tia ipsius ,,ca1 ,,cr sit ad ,,cs ut d5sitas corporis ,sphrici ad d5sitatem ,m$ii4 ,ad ,,cr erigantur p]p5dicula ,,pc1 ,,rx1 c5troque ,r ,asymptotis ,,cr1 ,,rx describatur ,hyp]bola quvis ,,pvy4 ,9 ,,cr capiatur ,,ct longitud9is cujusvis1 erigatur p]p5diculum ,,tv absc9d5s aream ,hyp]bolicam ,,pctv1 sit ,,cz latus hujus are applicat ad rectam ,,pc4 ,dico quod motus quem globus1 describ5do spatium ,,cz1 ex resi/5tia ,m$ii amittet1 erit ad ejus motum totum sub initio ut longitudo ,,ct ad longitud9em ,,cr quamproxime4 ,nam 7p] motuum ,legem t]tiam7 motus quem cyl9drus ,,gnoq circa globum descriptus imp+5do 9 ,m$ii p>ticulas amitt]et1 qualis e/ motui quem imprim]et 9 easdem p>ticulas4 ,ponamus quod p>ticul s+ul reflectantur a cyl9dro1 ab eodem ea cum velocitate resiliant1 quacum cyl9drus ad ipsas acc$ebat4 ,nam talis erit reflexio1 p] ,legum ,corol4 #c4 si modo p>ticul quam m9ime s9t1 vi ,ela/ica quam maxima reflectantur4 ,velocitas igitur quacum a cyl9dro resiliunt1 addita velocitati cyl9dri componet totam velocitatem duplo majorem quam velocitas cyl9dri1 propt]ea motus quem cyl9drus ex reflexione p>ticul cujusque amittit1 erit ad motum totum cyl9dri1 ut p>ticula duplicata ad cyl9drum4 ,pro9de cum d5sitas ,m$ii sit ad d5sitatem cyl9dri ut ,,cs ad ,,cr2 si ,ct sit longitudo tempore quam m9imo a cyl9dro descripta1 erit motus eo tempore amissus ad motum totum cyl9dri ut #b;,ct ,,cs ad ,,ai ,,cr4 ,ea enim e/ ratio mat]i ,m$ii1 a cyl9dro protrus reflex1 ad massam cyl9dri4 ,unde cum globus sit du t]ti p>tes cyl9dri1 resi/5tia globi 7p] ,propositionem sup]iorem7 sit duplo m9or quam resi/5tia cyl9dri3 erit motus1 quem globus describ5do longitud9em ,l amittit1 ad motum totum globi1 ut ,ct ,,cs ad #b_/c;,,ai ,,cr1 sive ut ,ct ad ,,cr4 ,erigatur p]p5diculum tv ,hyp]bol occurr5s 9 v1 7p] ,corol4 #a4 ,prop4 ,v4 ,lib4 ,,ii47 si corpus describ5do longitud9em are ,ctv,p proportionalem1 amittit motus sui totius ,,cr p>tem quamvis ,ct1 idem describ5do longitud9em are ,,ctvp proportionalem1 amittet motus sui p>tem ,,ct4 ,s$ longitudo ,ct qualis e/ ,c,pvt ,,cp1 longitudo ,,cz 7p] ,hypo!s97 qualis e/ ,,cptv ,,cp1 adeoque longitudo ,ct e/ ad longitud9em ,,cz ut area ,c,pvt ad aream ,,cpvt4 ,et propt]ea cum globus describ5do longitud9em quam m9imam ,ct amittat motus sui p>tem1 qu sit ad totum ut ,ct ad ,,cr1 is describ5do longitud9em aliam quamvis ,,cz1 amittet motus sui p>tem qu sit ad totum ut ,,ct ad ,,cr4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,si detur corporis velocitas sub initio1 dabitur tempus quo corpus1 describ5do spatium ,ct1 amittet motus sui p>tem ,ct3 inde1 dic5do quod resi/5tia sit ad vim gravitatis ut i/a motus p>s amissa ad motum1 quem gravitas ,globi eodem tempore g5]>et2 dabitur proportio resi/5ti ad gravitatem ,globi4 ,corol4 #b4 ,quoniam 9 8 det]m9&is supposui quod p>ticul ,fluidi p] vim suam ,ela/icam quam maxime a ,globo reflectantur1 p>ticul>um sic reflex>um impetus 9 ,globum duplo major sit quam si non reflect]5tur3 manife/um e/ quod 9 ,fluido1 cujus p>ticul vi omni ,ela/ica aliaque omni vi reflexiva de/ituuntur1 corpus ,sphricum resi/5tiam duplo m9orem patietur2 adeoque e&em velocitatis p>tem amitt5do1 duplo longius progr$ietur quam pro con/ructione ,problematis hujus sup]ius allata4 ,corol4 #c4 ,et si p>ticul>um vis reflexiva neque maxima sit neque omn9o nulla1 s$ m$iocrem aliquam rationem t5eat3 resi/5tia p>it]1 int] limites 9 con/ructione ,problematis ,coroll>io sup]iore positos1 m$iocrem rationem t5ebit4 ,corol4 #d4 ,cum corpora t>da paulo magis resi/antur quam pro ratione duplicata velocitatis3 hc describ5do longitud9em quamvis ,,cz amitt5t majorem motus sui p>tem1 quam qu sit ad motum suum totum ut ,,ct ad ,,cr4 ,corol4 #e4 ,cognita autem resi/5tia corporum cel]rimorum1 innotescet etiam resi/5tia t>dorum2 si modo lex decrem5ti resi/5ti pro ratione velocitatis inv5iri pote/4 ,prop4 ,,xxxvii4 ,prob4 ,,ix4 ,aqu de vase dato p] =am5 efflu5tis def9ire motum4 ,si vas impleatur aqua1 9 fundo p]=etur ut aqua p] =am5 defluat1 manife/um e/ quod vas su/9ebit pondus aqu totius1 dempto pond]e p>tis illius quod =am9i p]p5dicul>it] imm9et4 ,nam si =am5 ob/aculo aliquo occlud]etur1 ob/aculum su/9]et pondus aqu sibi p]p5dicul>it] incumb5tis1 fundum vasis su/9]et pondus aqu reliqu4 ,sublato autem ob/aculo1 fundum vasis eadem aqu pressione eodemve ipsius pond]e urgebitur ac prius2 pondus quod ob/aculum su/9ebat1 cum jam non su/9eatur1 faciet ut aqua desc5dat p] =am5 defluat4 ,unde consequ5s e/1 quod motus aqu totius efflu5tis is erit quem pondus aqu =am9i p]p5dicul>it] incumb5tis g5]>e possit4 ,nam aqu p>ticula unaquque pond]e suo1 quat5us non imp$itur1 desc5dit1 idque motu uni=mit] accel]ato2 quat5us imp$itur1 urgebit ob/aculum4 ,ob/aculum illud vel vasis e/ fundum1 vel aqua inf]ior deflu5s2 propt]ea pond]is p>s illa1 quam vasis fundum non su/9et1 urgebit aquam deflu5tem motum sibi proportionalem g5]abit4 ,designet igitur ,f aream =am9is1 ,a altitud9em aqu =am9i p]p5dicul>it] incumb5tis1 ,p pondus ejus1 ,,af quantitatem ejus1 ,s spatium quod dato quovis tempore ,t 9 vacuo lib]e cad5do describ]et1 ,v velocitatem quam 9 f9e temporis illius cad5do acquisi]it3 motus ejus acquisitus ,,af ,v qualis erit motui aqu totius eodem tempore efflu5tis4 ,sit velocitas quacum efflu5do exit de =am9e1 ad velocitatem ,v ut d ad e2 cum aqua velocitate ,v describ]e posset spatium #b,s1 aqua efflu5s eodem tempore1 velocitate sua d e,v describ]e posset spatium #b;d e,s4 ,et propt]ea columna aqu cujus longitudo sit #b;d e,s latitudo eadem qu =am9is1 posset eo tempore deflu5do egr$i de vase1 hoc e/ columna #b;d e,,sf4 ,qu>e motus #b;dd ee,,sfv1 qui fiet duc5do quantitatem aqu efflu5tis 9 velocitatem suam1 hoc e/ motus omnis tempore effluxus illius g5itus1 quabitur motui ,,af ,v4 ,et si quales illi motus applic5tur ad ,,fv2 fiet #b;dd ee,s qualis ,a4 ,unde e/ dd ad ee ut ,a ad #b,s1 d ad e 9 dimidiata ratione ,a ad ,s4 ,e/ igitur velocitas quacum aqua exit e =am9e1 ad velocitatem quam aqua cad5s1 tempore ,t cad5do describ5s spatium ,s acquir]et1 ut altitudo aqu =am9i p]p5dicul>it] incumb5tis1 ad m$ium proportionale int] altitud9em illam duplicatam spatium illud ,s1 quod corpus tempore ,t cad5do describ]et4 ,igitur si motus illi sursum v]tantur2 quoniam aqua velocitate ,v asc5d]et ad altitud9em illam ,s de qua decid]at2 altitud9es 7uti notum e/7 s9t 9 duplicata ratione velocitatum3 aqua efflu5s asc5d]et ad altitud9em ,a4 ,et propt]ea quantitas aqu efflu5tis2 quo tempore corpus cad5do describ]e posset altitud9em ,a1 qualis erit column aqu totius ,,af =am9i p]p5dicul>it] imm95tis4 ,cum autem aqua efflu5s1 motu suo sursum v]so1 p]p5dicul>it] surg]et ad dimidiam altitud9em aqu =am9i incumb5tis2 consequ5s e/ quod si egr$iatur oblique p] canalem 9 latus vasis1 describet 9 spatiis non resi/5tibus ,p>abolam cujus latus rectum e/ altitudo aqu 9 vase supra canalis orificium1 cujus diamet] horizonti p]p5dicul>is ab orificio illo ducitur1 atque ord9atim applicat p>allel sunt axi canalis4 ,hc omnia de ,fluido subtilissimo intellig5da sunt4 ,nam si aqua ex p>tibus crassioribus con/et1 hc t>dius effluet quam pro ratione sup]ius assignata1 prs]tim si =am5 angu/um sit p] quod effluit4 ,d5ique si aqua p] canalem horizonti p>allelum egr$iatur2 quoniam fundum vasis integrum e/1 eadem aqu incumb5tis pressione ubique urgetur ac si aqua non efflu]et2 vas su/9ebit pondus aqu totius1 non ob/ante effluxu1 s$ latus vasis de quo effluit non su/9ebit pressionem illam omnem1 quam su/9]et si aqua non efflu]et4 ,tolletur enim pressio p>tis illius ubi p]=atur3 qu quidem pressio qualis e/ pond]i column aqu1 cujus basis =am9i quatur altitudo eadem e/ qu aqu totius supra =am54 ,et propt]ea si vas1 ad modum corporis p5duli1 filo prlongo a clavo susp5datur1 hoc1 si aqua 9 plagam quamvis secundum l9eam horizontalem effluit1 rec$et semp] a p]p5diculo 9 plagam contr>iam4 ,et p> e/ ratio motus pil>um1 qu ,pulv]e torm5t>io madefacto impl5tur1 1 mat]ia 9 flammam p] =am5 paulatim expirante1 rec$unt a regione flamm 9 p>tem contr>iam cum impetu f]untur4 ,prop4 ,,xxxviii4 ,!or4 ,,xxix4 ,corporum ,sphricorum 9 ,m$iis quibusque ,fluidissimis resi/5tiam 9 ant]iore sup]ficie def9ire4 ,illu/ration ,defluat aqua de vase ,cyl9drico ,,abcd1 p] canalem ,cyl9dricum ,,efgh1 9 vas inf]ius ,,iklm2 inde effluat p] vasis m>g9em ,,im4 ,sit autem m>go ille ejusdem altitud9is cum vasis sup]ioris fundo ,,cd1 eo ut aqua p] totum canalem uni=mi cum motu desc5dat2 9 m$io canalis collocetur ,globus ,p1 sitque ,,pr altitudo aqu supra ,globum1 ,,sr ejusdem altitudo supra fundum vasis4 ,su/9eatur autem ,globus filo t5uissimo ,,tv1 lat]ibus canalis h9c inde affixo4 ,et manife/um e/ p] proportionem sup]iorem1 quod quantitas aqu dato tempore deflu5tis erit ut amplitudo =am9is p] quod defluit2 hoc e/1 si ,globus tollatur1 ut canalis orificium3 s9 ,globus adsit1 ut spatium undique int] ,globum canalem4 ,nam velocitas aqu deflu5tis 7p] sup]iorem ,propositionem7 ea erit quam corpus cad5do1 casu suo describ5do dimidiam aqu altitud9em ,,sr1 acquir]e posset3 adeoque eadem e/ sive ,globus tollatur1 sive adsit4 ,et propt]ea aqua deflu5s erit ut amplitudo spatii p] quod transit4 ,c]te transitus aqu p] spatium angu/ius facilior esse nequit quam p] spatium amplius1 propt]ea velocitas ejus ubi ,globus ade/1 non pote/ esse major quam cum tollitur3 ideoque major aqu quantitas1 ubi ,globus ade/1 non effluet quam pro ratione spatii p] quod transit4 ,si aqua non sit liquor subtilissimus fluidissimus1 hujus transitus p] spatium angu/ius1 ob crassitud9em p>ticul>um1 erit aliquanto t>dior3 at liquorem fluidissimum esse hic supponimus4 ,igitur quantitas aqu1 cujus desc5sum ,globus dato tempore imp$it1 e/ ad quantitatem aqu qu1 si ,globus toll]etur1 eodem tempore desc5d]et1 ut basis ,cyl9dri circa ,globum descripti ad orificium canalis2 sive ut quadratum diametri ,globi ad quadratum diametri cavitatis canalis4 ,et propt]ea quantitas aqu cujus desc5sum ,globus imp$it1 qualis e/ quantitati aqu1 qu eodem tempore p] =am5 circul>e 9 fundo vasis1 basi ,cyl9dri illius quale1 desc5d]e posset1 cujus desc5sus p] fundi p>tem quamvis circul>em basi illi qualem imp$itur4 ,jam v]o pondus aqu1 quod vas ,globus conjunctim su/95t1 e/ pondus aqu totius 9 vase1 prt] p>tem illam qu aquam deflu5tem accel]at1 ad ejus motum g5]&um sufficit1 quque1 p] ,propositionem sup]iorem1 qualis e/ pond]i column aqu cujus basis quatur spatio int] ,globum canalem p] quod aqua defluit1 altitudo eadem cum altitud9e aqu supra fundum vasis1 p] l9eam ,,sr designata4 ,vasis igitur fundum ,globus conjunctim su/95t pondus aqu totius 9 vase sibi ipsis p]p5dicul>it] imm95tis4 ,unde cum fundum vasis su/9eat pondus aqu sibi p]p5dicul>it] imm95tis1 reliquum e/ ut ,globus etiam su/9eat pondus aqu sibi p]p5dicul>it] imm95tis4 ,globus quidem non su/9et pondus aqu illius /agnantis sibi absque omni motu incumb5tis1 s$ aqu deflu5ti resi/5do imp$it effectum tanti pond]is2 adeoque vim aqu deflu5tis su/9et pond]i illi qualem4 ,nam imp$it desc5sum effluxum quantitatis aqu quem pondus illud accurate effic]et si ,globus toll]etur4 ,aqua pond]e suo1 quat5us desc5sus ejus imp$itur1 urget ob/aculum omne1 ideoque ob/aculum1 quat5us desc5sum aqu imp$it1 vim su/9et qualem pond]i quo desc5sus ille effic]etur4 ,globus autem desc5sum quantitatis aqu imp$it1 quem pondus column aqu sibi p]p5dicul>it] incumb5tis effic]e posset2 propt]ea vim aqu decurr5tis su/9et pond]i illi qualem4 ,actio reactio aqu p] motus ,legem t]tiam quantur int] se1 9 plagas contr>ias diriguntur4 ,actio ,globi 9 aquam desc5d5tem1 ad ejus desc5sum imp$i5dum1 9 sup]iora dirigitur1 e/ ut desc5d5di motus imp$itus1 eique toll5do adquate sufficit3 propt]ea actio contr>ia aqu 9 ,globum qualis e/ vi qu motum eundem vel toll]e vel g5]>e possit1 hoc e/ pond]i column aqu1 qu ,globo p]p5dicul>it] imm9et cujus altitudo e/ ,,rs4 ,si jam canalis orificium sup]ius ob/ruatur1 sic ut aqua desc5d]e nequeat1 ,globus quidem1 pond]e aqu 9 canali vase inf]iore ,,iklm /agnantis1 premetur undique2 s$ non ob/ante pressione illa1 si ejusdem sit specific gravitatis cum aqua1 quiescet4 ,pressio illa ,globum nullam 9 p>tem impellet4 ,et propt]ea ubi canalis ap]itur aqua de vase sup]iore desc5dit1 vis omnis1 qua ,globus impellitur deorsum1 orietur ab aqu illius desc5su1 atque adeo qualis erit pond]i column aqu1 cujus altitudo e/ ,,rs diamet] eadem qu ,globi4 ,pondus autem i/ud1 quo tempore data qulibet aqu quantitas1 p] =am5 basi ,cyl9dri circa ,globum descripti quale1 sublato ,globo efflu]e posset1 sufficit ad ejus motum omnem g5]&um2 atque adeo quo tempore aqua 9 ,cyl9dro uni=mit] decurr5do describit duas t]tias p>tes diametri ,globi1 sufficit ad motum omnem aqu ,globo qualis g5]&um4 ,nam ,cyl9drus aqu1 latitud9e ,globi duabus t]tiis p>tibus altitud9is descriptus1 ,globo quatur4 ,et propt]ea aqu curr5tis impetus 9 ,globum quiesc5tem1 quo tempore aqua curr5do describit duas t]tias p>tes diametri ,globi1 si uni=mit] cont9uetur1 g5]>et motum omnem p>tis ,fluidi qu ,globo quatur4 ,qu v]o de aqua 9 canali demon/rata sunt1 intellig5da sunt etiam de aqua quacunque flu5te1 qua ,globus quilibet 9 ea quiesc5s urgetur4 ,quque de aqua demon/rata sunt obt95t etiam 9 ,fluidis univ]sis subtilissimis4 ,de 8 omnibus idem valet argum5tum4 ,jam v]o p] ,legum ,corol4 #e1 vis ,fluidi 9 ,globum eadem e/1 sive ,globus quiescat ,fluidum uni=mi cum velocitate moveatur1 sive ,fluidum quiescat ,globus eadem cum velocitate 9 p>tem contr>iam p]gat4 ,et propt]ea resi/5tia ,globi 9 ,m$io quocunque ,fluidissimo uni=mit] progr$i5tis1 quo tempore ,globus duas t]tias p>tes diametri su describit1 qualis e/ vi1 qu 9 corpus ejusdem magnitud9is cum ,globo ejusdem d5sitatis cum ,m$io uni=mit] impressa1 quo tempore ,globus duas t]tias p>tes diametri su progr$i5do describit1 velocitatem ,globi 9 corpore illo g5]>e posset4 ,tanta e/ resi/5tia ,globi 9 sup]ficiei p>te prc$5te4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,si solidum ,sphricum 9 ejusdem secum d5sitatis ,fluido subtilissimo lib]e moveatur1 int] mov5dum eadem vi urgeatur a t]go atque cum quiescit2 ejusdem resi/5tia ea erit quam 9 ,coroll>io secundo ,propositionis xxxvi4 descripsimus4 ,unde si computus ineatur1 patebit quod solidum dimidiam motus sui p>tem prius amittet1 quam progr$i5do descrips]it longitud9em diametri propri2 ,quod si int] mov5dum m9us urgeatur a t]go1 magis ret>dabitur3 contra1 si magis urgeatur1 m9us ret>dabitur4 ,corol4 #b4 ,halluc9antur igitur qui cr$unt resi/5tiam projectilium p] inf9itam divisionem p>tium ,fluidi 9 inf9itum dim9ui4 ,si ,fluidum sit valde crassum1 m9uetur resi/5tia aliquantulum p] divisionem p>tium ejus4 ,at po/quam compet5tem ,fluiditatis gradum acquisiv]it1 7qualis =te e/ ,fluiditas ,a]is vel aqu vel arg5ti vivi7 resi/5tia 9 ant]iore sup]ficie solidi1 p] ult]iorem p>tium divisionem non multum m9uetur4 ,nunquam enim m9or futura e/ quam pro limite quem 9 ,coroll>io sup]iore assignavimus4 ,corol4 #c4 ,m$ia igitur 9 quibus corpora projectilia s9e s5sibili motus dim9utione longissime progr$iuntur1 non solum ,fluidissima sunt1 s$ etiam longe r>iora quam sunt corpora illa qu 9 ipsis mov5tur3 nisi =te quis dix]it ,m$ium omne ,fluidissimum1 impetu p]petuo 9 po/icam projectilis p>tem facto1 tantum promov]e motum ejus quantum imp$it resi/it 9 p>te antica4 ,et motus quidem illius1 quem projectile imprimit 9 ,m$ium1 p>tem aliquam a ,m$io circul>it] lato r$di corpori a t]go v]isimile e/4 ,nam exp]im5tis quibusdam factis1 rep]i quod 9 ,fluidis satis compressis p>s aliqua r$ditur4 ,omnem v]o 9 casu quocunque r$di nec rationi cons5taneum videtur1 neque cum exp]im5tis hact5us a me t5tatis b5e quadrat4 ,fluidorum enim utcunque subtilium1 si d5sa s9t1 vim ad solida mov5da resi/5daque p]magnam esse1 quomodo vis illius quantitas p] exp]im5ta det]m9etur1 pl5ius patebit p] ,propositiones duas qu sequuntur4 ,lemma ,,iv4 ,si vas ,sphricum ,fluido homog5eo quiesc5te pl5um a vi impressa moveatur 9 directum1 motuque progessivo semp] accel]ato ita p]gat ut int]ea non moveatur 9 orbem3 p>tes ,fluidi inclusi1 qualit] p>ticip&o motum vasis1 quiesc5t int] se4 ,idem obt9ebit 9 vase figur cujuscunque4 ,res manife/a e/1 nec indiget demon/ratione4 ,prop4 ,,xxxix4 ,!or4 ,,xxx4 ,fluidum omne quod motu accel]ato ad modum v5ti increbesc5tis progr$itur1 cujus p>tes int] se quiescunt1 rapit omnia ejusdem d5sitatis innatantia corpora1 secum cum eadem velocitate def]t4 ,nam p] ,lemma sup]ius si vas ,sphricum1 rigidum1 ,fluidoque homog5eo quiesc5te pl5um1 motu paulatim impresso progr$iatur2 ,fluidi motum vasis p>ticipantis p>tis omnes semp] quiesc5t int] se4 ,ergo si ,fluidi p>tes aliqu congel>5tur1 p]g]5t h quiesc]e int] p>tes reliquas4 ,nam quoniam p>tes omnes quiescunt int] se1 p]9de e/ sive fluid s9t1 sive aliqu e>um rigescant4 ,ergo si vas a vi aliqua extr9secus impressa moveatur1 motum suum imprimat 9 ,fluidum2 ,fluidum quoque motum suum imprimet 9 sui ipsius p>tes congelatas easque secum rapiet4 ,s$ p>tes ill congelat sunt corpora solida ejusdem d5sitates cum ,fluido2 p> e/ ratio ,fluidi1 sive id 9 vase moto claudatur1 sive 9 spatiis lib]is ad modum v5ti spiret4 ,ergo ,fluidum omne quod motu progressivo accel]ato f]tur1 cujus p>tes int] se quiescunt1 solida qucunque ejusdem d5sitatis inclusa1 qu sub initio quiescebant1 rapit secum1 una mov]i cogit4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xl4 ,prob4 ,x4 ,inv5ire resi/5tiam solidorum ,sphricorum 9 ,m$iis ,fluidissimis d5sitate datis4 ,9 ,fluido quocunque dato inv5iatur resi/5tia ultima solidi specie dati1 cujus magnitudo 9 inf9itum augetur4 ,de9 dic3 ut ejus motus amissus1 quo tempore progr$i5do longitud9em semidiametri su describit1 e/ ad ejus motum totum sub initio1 ita motus quem solidum quodvis datum1 9 ,fluido eodem jam facto subtilissimo1 describ5do diametri su longitud9em amitt]et1 e/ ad ejus motum totum sub initio quamproxime4 ,nam si p>ticul m9im ,fluidi subtiliati e&em habeant proportionem eundemque situm ad solidum datum 9 eo mov5s1 quem p>ticul totidem m9im ,fluidi non subtiliati hab5t ad solidum auctum2 s9tque p>ticul ,fluidi utriusq2 summe lubric1 viribus c5trifugis c5tripetisque omn9o de/ituantur2 incipiant autem solida temporibus quibuscunque proportionalibus 9 8 ,fluidis similit] mov]i3 p]g5t eadem similit] mov]i1 adeoque quo tempore describunt spatia semidiametris suis qualia1 amitt5t p>tes motuum proportionales totis2 idque licet p>tes ,m$ii subtiliati m9uantur1 magnitudo solidi 9 ,m$io non subtiliato mov5tis augeatur 9 inf9itum4 ,ergo ex resi/5tia solidi aucti 9 ,m$io non subtiliato1 dabitur p] proportionem sup]iorem resi/5tia solidi non aucti 9 ,m$io subtiliato4 ,q4 ,e4 ,i4 ,si p>ticul non sunt summe lubric1 suppon5dum e/ quod 9 utroq2 ,fluido sunt qualit] lubric1 eo ut ex defectu lubricitatis resi/5tia utr9q2 qualit] augeatur3 ,propositio etiamnum valebit4 ,corol4 #a4 ,ergo si ex aucta solidi ,sphrici magnitud9e augeatur ejus resi/5tia 9 ratione duplicata1 resi/5tia solidi ,sphrici dati ex dim9uta magnitud9e p>ticul>um ,fluidi1 nullat5us m9uetur4 ,corol4 #b4 ,s9 resi/5tia1 aug5do solidum ,sphricum1 augeatur 9 m9ore quam duplicata ratione diametri2 eadem dim9u5do p>ticulas ,fluidi1 dim9uetur 9 ratione qua resi/5tia aucta deficit a ratione duplicata diametri4 ,corol4 #c4 ,unde p]spicuum e/ quod solidi dati resi/5tia p] divisionem p>tium ,fluidi non multum dim9ui pote/4 ,nam resi/5tia solidi aucti debebit esse quam proxime ut quantitas mat]i fluid resi/5tis1 quam solidum illud mov5do protrudit a locis a se invasis occupatis propellit3 hoc e/ ut spatium ,cyl9dricum p] quod solidum movetur1 adeoque 9 duplicata ratione semidiametri solidi quamproxime4 ,corol4 #d4 ,igitur propositis duobus ,fluidis1 quorum alt]um ab alt]o quoad vim resi/5di longissime sup]atur3 ,fluidum quod m9us resi/it e/ alt]o r>ius2 suntque ,fluidorum omnium vires resi/5di prope ut eorum d5sitates2 prs]tim si solida s9t magna1 velocit] moveantur1 ,fluidorum qualis sit compressio4 ,s*olium ,g5]ale4 ,qu hact5us demon/rata sunt t5tavi 9 hunc modum4 ,globum ligneum pond]e unci>um ,roman>um #eg-g_/bb1 diametro digitorum ,lond95sium #f-g_/h fabricatum1 filo t5ui ab unco satis firmo susp5di1 ita ut int] uncum c5trum oscillationis ,globi di/antia esset p$um #aj4 ,9 filo punctum notavi p$ibus decem uncia una a c5tro susp5sionis di/ans2 e regione puncti illius collocavi ,regulam 9 digitos di/9ctam1 quorum ope not>em longitud9es arcuum a ,p5dulo descriptas4 ,de9de num]avi oscillationes quibus ,globus qu>tam motus sui p>tem amitt]et4 ,si p5dulum d$ucebatur a p]p5diculo ad di/antiam duorum digitorum1 inde demittebatur2 ita ut toto suo desc5su describ]et arcum duorum digitorum1 totaque oscillatione prima1 ex desc5su asc5su subsequ5te composita1 arcum digitorum f]e quatuor2 idem oscillationibus #afd amisit octavam motus sui p>tem1 sic ut ultimo suo asc5su describ]et arcum digiti unius cum tribus p>tibus qu>tis digiti4 ,si primo desc5su descripsit arcum digitorum quatuor1 amisit octavam motus p>tem oscillationibus #aba2 ita ut asc5su ultimo describ]et arcum digitorum #c4 ,si primo desc5su descripsit arcum digitorum octo1 sexdecim1 trig9ta duorum vel sexag9ta quatuor1 amisit octavam motus p>tem oscillationibus #fi1 #ce1 #ah1 #i-b_/c1 respective4 ,igitur diff]5tia int] arcus desc5su primo asc5su ultimo descriptos1 erat 9 casu primo1 secundo1 t]tio1 qu>to1 qu9to1 sexto1 digitorum 1 1 #a1 #b1 #d1 #h respective4 ,dividantur e diff]5ti p] num]um oscillationum 9 casu unoquoque2 9 oscillatione una m$iocri1 qua arcus digitorum #c1 #g1 #ae1 #cj1 #fj1 #abj descriptus fuit1 diff]5tia arcuum desc5su subsequ5te asc5su descriptorum1 erit #a_/fef1 #a_/bdb1 #a_/fi1 #d_/ga1 #h_/cg1 #bd_/bi p>tes digiti respective4 ,h autem 9 majoribus oscillationibus sunt 9 duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime2 9 m9oribus v]o paulo majores quam 9 ea ratione1 propt]ea 7p] ,corol4 #b4 ,prop4 xxxi4 ,libri hujus7 resi/5tia ,globi1 ubi cel]ius movetur1 e/ 9 duplicata ratione velocitatis quamproxime2 ubi t>dius1 paulo major quam 9 ea ratione3 omn9o ut 9 ,coroll>iis ,propositionis xxxii4 demon/ratum e/4 ,designet jam ,v velocitatem maximam 9 oscillatione quavis1 s9tque ,a1 ,b1 ,c quantitates dat1 f+amus quod diff]5tia arcuum sit ,,av ,,bv#c_/b ,,cv#b4 ,et cum velocitates maxim 9 prdictis sex ,casibus1 s9t ut arcuum dimidiorum #a-g_/h1 #c1 #g1 #ae1 #cj1 #fj *ord1 atque adeo ut arcus ipsi quamproxime1 hoc e/ ut num]i 1 #a1 #b1 #d1 #h1 #af3 scribamus 9 ,casu secundo qu>to sexto num]os #a1 #d1 #af pro ,v2 prodibit arcuum diff]5tia #a_/bdb qualis ,a ,b ,c 9 ,casu secundo2 #b #ce qualis #d;,a #h;,b #af;,c 9 casu qu>to2 #h #i-b_/c qualis #af;,a #fd;,b #bef;,c 9 casu sexto4 ,unde si p] has quationes det]m9emus quantitates ,a1 ,b1 ,c2 habebimus ,regulam inv5i5di diff]5tiam arcuum pro velocitate quacunque data4 ,ct]um cum velocitates maxim s9t 9 ,cycloide ut arcus oscill&o descripti1 9 circulo v]o ut semissium arcuum illorum *ord1 adeoque p>ibus arcubus majores s9t 9 ,cycloide quam 9 circulo1 9 ratione semissium arcuum ad eorundem *ordas2 tempora autem 9 circulo s9t majora quam 9 ,cycloide 9 velocitatis ratione reciproca3 ut ex resi/5tia 9 circulo inv5iatur resi/5tia 9 ,tro*oide1 debebit resi/5tia aug]i 9 duplicata circit] ratione arcus ad *ordam1 ob velocitatem 9 ratione illa simplici auctam2 dim9ui 9 ratione *ord ad arcum1 ob tempus 7seu durationem resi/5ti qua arcuum diff]5tia prdicta g5]atur7 dim9utum 9 eadem ratione3 id e/ 7si rationes conjungamus7 debebit resi/5tia aug]i 9 ratione arcus ad *ordam circit]4 ,hc ratio 9 casu secundo e/ #fbhc ad #fbgi1 9 qu>to #abeff ad #abecc1 9 sexto #beacb ad #bdhfi4 ,et inde resi/5tia #a #bdb1 #b #ce1 #h #i-b_/c evadunt #fbhc #fbgi #bdb1 #beacb #abecc #ce #bjajef #bdhfi #i-b_/c1 id e/ 9 num]is decimalibus #j1jjdace1 #j1jefdhf #j1hcfc4 ,unde prodeunt quationes ,a ,b ,c #j1jjdace3 #d;,a #h;,b #af;,c #j1jefdh #af;,a #fd;,b #bef;,c #j1hcfc4 ,et ex 8 p] debitam t]m9orum collationem r$uctionem ,analyticam fit ,a #j1jjjbjig1 ,b #j1jjjhiee ,c #j1jjcjbih4 ,e/ igitur diff]5tia arcuum ut #j1jjjbjig,v #j1jjjhiee,v#c_/b #j1jjcjbih,v#b3 propt]ea cum p] ,corol4 ,prop4 xxx4 resi/5tia ,globi 9 m$io arcus oscill&o descripti1 ubi velocitas e/ ,v1 sit ad ipsius pondus ut #g_/aa;,,av #af_/bc;,,bv#c_/b ,,cv#b ad longitud9em ,p5duli2 si pro ,a1 ,b1 ,c scribantur num]i inv5ti1 fiet resi/5tia ,globi ad ejus pondus1 ut #j1jjjaccd,v #j1jjjfbc,v#c_/b #j1jjbbgbce,v#b ad longitud9em ,p5duli int] c5trum susp5sionis ,regulam1 id e/ ad #aba digitos4 ,unde cum ,v 9 casu secundo designet #a1 9 qu>to #d1 9 sexto #af3 erit resi/5tia ad pondus ,globi 9 casu secundo ut #j4jjcjbi ad #aba1 9 qu>to ut #j4jdbhge ad #aba1 9 sexto ut #j4fcjac ad #aba4 ,arcus quem punctum 9 filo notatum 9 ,casu sexto descripsit1 erat #abj - #h #i-b_/c seu #aai-e_/bi digitorum4 ,et propt]ea cum radius esset #aba digitorum1 longitudo p5duli int] punctum susp5sionis c5trum ,globi esset #abf digitorum1 arcus quem c5trum ,globi descripsit erat #abd-c_/ca digitorum4 ,quoniam corporis oscillantis velocitas maxima ob resi/5tiam ,a]is non incidit 9 punctum infimum arcus descripti1 s$ 9 m$io f]e loco arcus totius v]satur3 hc eadem erit circit] ac si ,globus desc5su suo toto 9 ,m$io non resi/5te describ]et arcus illius p>tem dimidiam digitorum #fb-c_/fb2 idque 9 ,cycloide1 ad quam motum p5duli supra r$uximus3 propt]ea velocitas illa qualis erit velocitati quam ,globus1 p]p5dicul>it] cad5do casu suo describ5do altitud9em arcus illius ,s9ui v]so qualem1 acquir]e posset4 ,e/ autem s9us ille v]sus 9 ,cycloide ad arcum i/um #fb-c_/fb ut arcus idem ad p5duli longitud9em duplam #beb1 propt]ea qualis digitis #ae1bgh4 ,qu>e velocitas ea ipsa e/ quam corpus cad5do casu suo spatium #ae1bgh digitorum describ5do acquir]e posset4 ,unde cum corpus tempore m9uti unius secundi cad5do 7uti p] exp]im5ta p5dulorum det]m9avit ,hug5ius7 describat p$es ,p>isi5ses #ae-a_/ab1 id e/ p$es ,anglicos #af-aa_/bd seu digitos #aig1 tempora s9t 9 dimidiata ratione spatiorum2 ,globus tempore m9ut4 #aft]t4 #chqu>t4 cad5do describet #ae1bgh digitos1 velocitatem suam prdictam acquiret2 propt]ea cum eadem velocitate uni=mit] cont9uata describet eodem tempore longitud9em duplam #cj1eef digitorum4 ,tali igitur cum velocitate ,globus resi/5tiam patitur1 qu sit ad ejus pondus ut #j1fcjac ad #aba1 vel 7si resi/5ti p>s illa sola spectetur qu e/ 9 velocitatis ratione duplicata7 ut #j1ehagb ad #aba4 ,exp]im5to autem ,hydro/atico inv5i quod pondus ,globi hujus lignei esset ad pondus ,globi aquei magnitud9is ejusdem1 ut #ee ad #ig3 propt]ea cum #aba sit ad #bac1d 9 eadem ratione1 erit resi/5tia ,globi aquei prfata cum velocitate progr$i5tis ad ipsius pondus ut #j1ehagb ad #bac1d1 id e/ ut #a ad #cff-e_/f4 ,unde cum pondus ,globi aquei1 quo tempore ,globus cum velocitate uni=mit] cont9uata describat longitud9em p$um #cj1eef1 velocitatem illam omnem 9 ,globo cad5te g5]>e posset2 manife/um e/ quod vis resi/5ti uni=mit] cont9uata toll]e posset velocitatem m9orem 9 ratione #a ad #cff-e_/f1 hoc e/ velocitatis totius p>tem #a #cff-e_/f4 ,et propt]ea quo tempore ,globus1 ea cum velocitate uni=mit] cont9uata1 longitud9em semidiametri su seu digitorum #c-g_/af describ]e posset1 eodem amitt]et motus sui p>tem #a_/cbfb4 ,num]abam etiam oscillationes quibus p5dulum qu>tam motus sui p>tem amisit4 ,9 sequ5te ,tabula num]i supremi d5otant longitud9em arcus desc5su primo descripti1 9 digitis p>tibus digiti expressam3 num]i m$ii significant longitud9em arcus asc5su ultimo descripti2 loco infimo /ant num]i oscillationum4 ,exp]im5tum descripsi tanquam magis accuratum quam cum motus p>s tantum octava amitt]etur4 ,calculum t5tet qui volet4 ,desc5sus ,primus #b #d #h #af #cb #fd ,asc5sus ultimus #a-a_/b #c #f #ab #bd #dh ,num4 ,oscillat4 #cgd #bgb #afb-a_/b #hc-a_/c #da-b_/c #bb-b_/c ,po/ea ,globum plumbeum1 diametro digitorum duorum pond]e unci>um ,roman>um #bf susp5di filo eodem1 sic ut int] c5trum ,globi punctum susp5sionis int]vallum esset p$um #aj1 num]abam oscillationes quibus data motus p>s amitt]etur4 ,tabul>um subsequ5tium prior exhibet num]um oscillationum quibus p>s octava motus totius cessavit2 secunda num]um oscillationum quibus ejusdem p>s qu>ta amissa fuit4 ,desc5sus primus #a #b #d #h #af #cb #fd ,asc5sus ultimus #g_/h #g_/d #c-a_/b #g #ad #bh #ef ,num]us ,oscillat4 #bbf #bbh #aic #adj #ij-a_/b #ec #cj ,desc5sus primus #a #b #d #h #af #cb #fd ,asc5sus ultimus #c_/d #a-a_/b #c #f #ab #bd #dh ,num]us ,oscillat4 #eaj #eah #dbj #cah #bjd #aba #gj ,9 ,tabula priore selig5do ex obs]vationibus t]tiam1 qu9tam septimam1 expon5do velocitates maximas 9 8 obs]vationibus p>ticulatim p] num]os #a1 #d1 #af respective1 g5]alit] p] quantitatem ,v ut supra3 em]get 9 obs]vatione prima #b_/aic ,a ,b ,c1 9 secunda #b #ij #d;,a #h;,b #af;,c1 9 t]tia #h_/cj qu4 #af;,a #fd;,b #bef;,c4 ,qu quationes p] r$uctiones sup]ius expositas dant1 ,a #j1jjjade1 ,b #j1jjjbdg ,c #j1jjji4 ,et inde prodit resi/5tia ,globi cum velocitate ,v mov5tis1 9 ea ratione ad pondus suum unci>um #bf1 quam habet #j1jjjibc,v #j1jjjagb,v#c_/b #j1jjjfge,v#b ad ,p5duli longitud9em #aba digitorum4 ,et si spectemus eam solummodo resi/5ti p>tem qu e/ 9 duplicata ratione velocitatis1 hc erit ad pondus ,globi ut #j1jjjfge,v#b ad #aba digitos4 ,erat autem hc p>s resi/5ti 9 exp]im5to primo ad pondus ,globi lignei unci>um #eg-g_/bb ut #j1jjbbgbce,v#b ad #aba3 inde fit resi/5tia ,globi lignei ad resi/5tiam ,globi plumbei 7p>ibus eorum velocitatibus7 ut #eg-g_/bb 9 #j1jjbbgbce ad #bf 9 #j1jjjfge1 id e/ ut #acjcji ad #aggai seu #g-a_/c ad #a4 ,diametri ,globorum duorum erant #f-g_/h #b digitorum1 h>um quadrata sunt ad invicem ut #dg #d1 seu #aa-ac_/af #a quamproxime4 ,ergo resi/5ti ,globorum quivelocium erant 9 m9ore ratione quam duplicata diametrorum4 ,at nondum consid]avimus resi/5tiam fili1 qu c]te p]magna erat1 ac de p5dulorum inv5ta resi/5tia subduci debet4 ,hanc accurate def9ire non potui1 s$ majorem tam5 inv5i quam p>tem t]tiam resi/5ti totius m9oris p5duli1 inde didici quod resi/5ti ,globorum1 dempta fili resi/5tia1 sunt quamproxime 9 dimidiata ratione diametrorum4 ,nam ratio #g-a_/c - #a_/c ad #a - #a_/c1 id e/ #g ad #b_/c seu #aj ad #a1 non longe abe/ a diametrorum ratione duplicata #aa-ac_/af ad #a4 ,cum resi/5tia fili 9 ,globis majoribus m9oris sit mom5ti1 t5tavi etiam exp]im5tum 9 ,globo cujus diamet] erat #ah digitorum4 ,longitudo p5duli int] punctum susp5sionis c5trum oscillationis erat digitorum #abb int] punctum susp5sionis nodum 9 filo #aji dig4 ,arcus primo p5duli desc5su a nodo descriptus1 #cb dig4 arcus asc5su ultimo po/ oscillationes qu9que ab eodem nodo descriptus1 #bh dig4 ,summa arcuum seu arcus totus oscillatione m$iocri descriptus1 #cj dig4 ,diff]5tia arcuum #d dig4 ,ejus p>s decima seu diff]5tia int] desc5sum asc5sum 9 oscillatione m$iocri #b_/e dig4 ,ut radius #aji ad radium #abb1 ita arcus totus #fj dig4 oscillatione m$iocri a ,nodo descriptus1 ad arcum totum #fg-a_/h1 oscillatione m$iocri a c5tro ,globi descriptum3 ita diff]5tia #b_/e ad diff]5tiam novam #j1ddge4 ,si longitudo p5duli1 man5te longitud9e arcus descripti1 aug]etur 9 ratione #abf ad #abb1 velocitas ejus dim9u]etur 9 ratione illa dimidiata2 arcuum desc5su subsequ5te asc5su descriptorum diff]5tia #j1ddge dim9u]etur 9 ratione velocitatis1 adeoque evad]et #j1ddab4 ,de9de si arcus descriptus aug]etur 9 ratione #fg-a_/h ad #abd-c_/ca1 diff]5tia i/a #j1ddab aug]etur 9 duplicata illa ratione1 adeoque1 evad]et #a1eji4 ,hc ita se hab]5t1 ex hypo!si quod resi/5tia ,p5duli esset 9 duplicata ratione velocitatis4 ,ergo si p5dulum describ]et arcum totum #abd-c_/ca digitorum1 longitudo ejus int] punctum susp5sionis c5trum oscillationis esset #abf digitorum1 diff]5tia arcuum desc5su subsequ5te asc5su descriptorum =et #a1eji dig4 ,et hc diff]5tia ducta 9 pondus ,globi p5duli1 quod erat unci>um #bjh1 producit #cac1i4 ,rursus ubi p5dulum sup]ius ex ,globo ligneo con/ructum1 c5tro oscillationis1 quod a puncto susp5sionis digitos #abf di/abat1 describebat arcum totum #abd-c_/ca digitorum1 diff]5tia arcuum desc5su asc5su descriptorum fuit #abf_/aba 9 #h #i-b_/c seu #be_/bi1 qu ducta 9 pondus ,globi1 quod erat unci>um #eg-g_/bb1 producit #dh1ee4 ,duxi autem diff]5tias hasce 9 pond]a ,globorum ut inv5irem eorum resi/5tias4 ,nam diff]5ti oriuntur ex resi/5tiis1 suntque ut resi/5ti directe pond]a inv]se4 ,sunt igitur resi/5ti ut num]i #cac1i #dh1ee4 ,p>s autem resi/5ti ,globi m9oris1 qu e/ 9 duplicata ratione velocitatis1 erat ad resi/5tiam totam ut #j1ehagb ad #j1fcjac1 id e/ ut #dd1d ad #dh1ee2 p>s resi/5ti ,globi majoris propemodum quatur ipsius resi/5ti toti1 adeoque p>tes ill sunt ut #cac1i #dd1d quamproxime1 id e/ ut #g1jg ad #a4 ,sunt autem ,globorum diametri #aj #f-g_/h2 h>um quadrata #cea #dg-ag_/fd sunt ut #g1dch #a1 id e/ ut ,globorum resi/5ti #g1jg #a quamproxime4 ,diff]5tia rationum haud major e/ quam qu ex fili resi/5tia oriri potuit4 ,igitur resi/5ti>um p>tes ill qu sunt 7p>ibus ,globis7 ut quadrata velocitatum1 sunt etiam 7p>ibus velocitatibus7 ut quadrata diametrorum ,globorum2 propt]ea 7p] ,coroll>ia ,prop4 ,,xl4 ,libri hujus7 resi/5tia quam ,globi majores velociores 9 a]e mov5do s5tiunt1 haud multum p] inf9itam a]is divisionem subtiliationem dim9ui pote/1 pro9deque ,m$ia omnia 9 quibus corpora multo m9us resi/untur1 sunt a]e r>iora4 ,ct]um ,globorum1 quibus usus sum 9 8 exp]im5tis1 maximus non erat p]fecte ,sphricus1 propt]ea 9 calculo hic allato m9utias quasdam brevitatis gratia neglexi2 de calculo accurato 9 exp]im5to non satis accurato m9ime sollicitus4 ,opt>im itaque 7cum demon/ratio vacui ex 8 dep5deat7 ut exp]im5ta cum ,globis pluribus majoribus magis accuratis t5t>5tur4 ,si ,globi sumantur 9 proportione ,geometrica1 puta quorum diametri s9t digitorum #d1 #h1 #af1 #cb2 ex progressione exp]im5torum colligetur quid 9 ,globis adhuc majoribus ev5ire debeat4 ,jam v]o conf]5do resi/5tias div]sorum fluidorum int] se t5tavi sequ5tia4 ,arcam ligneam p>avi longitud9e p$um quatuor1 latitud9e altitud9e p$is unius4 ,hanc op]culo nudatam implevi aqua fontana1 fecique ut imm]sa p5dula 9 m$io aqu oscill&o mov]5tur4 ,globus autem plumbeus pond]e #aff-a_/f unci>um1 diametro #c-e_/h digitorum1 movebatur ut 9 ,tabula sequ5te descripsimus1 exi/5te videlicet longitud9e p5duli a puncto susp5sionis ad punctum quoddam 9 filo notatum #abf digitorum1 ad oscillationis autem c5trum #acd-a_/h digitorum4 ,arcus desc5su primo a puncto 9 filo notato #fd #cb #af #h #d #b #a #a_/b #a_/d descriptus digitorum4 ,arcus asc5su ultimo #dh #bd #ab #f #c #a-a_/b #c_/d #c_/h #c_/af descriptus digitorum4 ,arcuum diff]5tia motui amisso proportionalis1 #af #h #d #b #a #a_/b #a_/d #a_/h #a_/af digitorum4 ,num]us oscillationum #bi_/fj #a-a_/e #c #g #aa-a_/d #ab-b_/c #ac-a_/c 9 aqua4 ,num]us oscillationum #he-a_/b #bhg #ece 9 a]e4 ,9 exp]im5to column qu>t1 motus quales oscillationibus #ece 9 a]e1 #a-a_/e 9 aqua amissi sunt4 ,erant autem oscillationes 9 a]e paulo cel]iores quam 9 aqua1 nimirum 9 ratione #dd ad #da4 ,nam #ad-b_/c oscillationes 9 aqua1 #ac-b_/c 9 a]e simul p]agebantur4 ,et propt]ea si oscillationes 9 aqua 9 ea ratione accel]>5tur ut motus p5dulorum 9 ,m$io utroque fi]5t quiveloces1 num]us oscillationum #a-a_/e 9 aqua1 quibus motus idem ac prius amitt]etur 7ob resi/5tiam auctam 9 ratione illa duplicata tempus dim9utum 9 ratione eadem simplici7 dim9u]etur 9 eadem illa ratione #dd ad #da1 adeoque evad]et #a-a_/e 9 #da_/dd seu #abc_/aaj4 ,p>ibus igitur ,p5dulorum velocitatibus motus quales 9 a]e oscillationibus #ece 9 aqua oscillationibus #abc_/aaj amissi sunt2 ideoque resi/5tia p5duli 9 aqua e/ ad ejus resi/5tiam 9 a]e ut #ece ad #abc_/aaj4 ,hc e/ proportio resi/5ti>um tot>um 9 ,casu column qu>t4 ,designet jam ,,av ,,cv#b resi/5tiam ,globi 9 a]e cum velocitate ,v mov5tis1 cum velocitas maxima1 9 ,casu column1 qu>t sit ad velocitatem maximam 9 casu column prim ut #a ad #h1 resi/5tia 9 ,casu column qu>t ad resi/5tiam 9 ,casu column prim 9 ratione arcuum diff]5ti 9 8 casibus1 ad num]os oscillationum applicat1 id e/ ut #b_/ece ad #af #he seu ut #he ad #dbhj3 scribamus 9 8 ,casibus #a #h pro velocitatibus1 atque #he #dbhj pro resi/5tiis1 fiet ,a ,c #he #h;,a #fd;,c #dbhj seu ,a #h;,c #ece1 indeque p] r$uctionem quationum prov5iet #g;,c #ddi ,c #fd-c_/ad ,a #ba-b_/g2 atque adeo resi/5tia ut #ba-b_/g,v #fd-c_/ad,v#b quamproxime4 ,qu>e 9 ,casu column qu>t ubi velocitas erat #a1 resi/5tia tota e/ ad p>tem suam quadrato velocitatis proportionalem1 ut #ba-b_/g #fd-c_/ad seu #he1 ad #fd-c_/ad2 idcirco resi/5tia p5duli 9 aqua e/ ad resi/5ti p>tem illam 9 a]e qu quadrato velocitatis proportionalis e/1 quque sola 9 motibus velocioribus consid]&a v5it1 ut #he ad #fd-c_/ad #ece ad #abc_/aaj conjunctim1 id e/ ut #fcg ad #a4 ,si p5duli 9 aqua oscillantis filum totum fuisset imm]sum1 resi/5tia ejus fuisset adhuc major2 adeo ut p5duli 9 a]e oscillantis resi/5tia illa qu velocitatis quadrato proportionalis e/1 quque sola 9 corporibus velocioribus consid]&a v5it1 sit ad resi/5tiam ejusdem p5duli totius1 eadem cum velocitate 9 aqua oscillantis1 ut #hjj vel #ijj ad #a circit]1 hoc e/ ut d5sitas aqu ad d5sitatem a]is quamproxime4 ,9 hoc calculo sumi quoque deb]et p>s illa resi/5ti p5duli 9 aqua1 qu esset ut quadratum velocitatis1 s$ 7quod mirum =te videatur7 resi/5tia 9 aqua augebatur 9 ratione velocitatis plusquam duplicata4 ,ejus rei causam inve/ig&o1 9 hanc incidi1 quod ,arca nimis angu/a esset pro magnitud9e ,globi p5duli1 motum aqu c$5tis pr angu/ia sua nimis imp$iebat4 ,nam si ,globus p5dulus1 cujus diamet] erat digiti unius1 imm]g]etur1 resi/5tia augebatur 9 duplicata ratione velocitatis quamproxime4 ,id t5tabam con/ru5do p5dulum ex ,globis duobus1 quorum inf]ior m9or oscill>etur 9 aqua1 sup]ior major proxime supra aquam filo affixus esset1 9 ,a]e oscill&o1 adjuv>et motum p5duli eumque diuturniorem r$d]et4 ,exp]im5ta autem hoc modo in/ituta se habebant ut 9 ,tabula sequ5te describitur4 ,arcus desc5su primo descriptus #af #h #d #b #a #a_/b #a_/d ,arcus asc5su ultimo descriptus4 #ab #f #c #a-a_/b #c_/d #c_/h #c_/af ,arcuum diff4 motui amisso proportionalis #d #b #a #a_/b #a_/d #a_/h #a_/af ,num]us ,oscillationum #c-c_/h #f-a_/b #ab-a_/ab #ba-a_/e #cd #ec #fb-a_/e ,resi/5tia hic nunquam augetur 9 ratione velocitatis plusquam duplicata4 ,et idem 9 p5dulo majore ev5ire v]isimile e/1 si modo ,arca augeatur 9 ratione p5duli4 ,debebit tam5 resi/5tia tam 9 a]e quam 9 aqua1 si velocitas p] gradus 9 inf9itum augeatur1 aug]i t&em 9 ratione paulo plusquam duplicata1 propt]ea quod 9 exp]im5tis hic descriptis resi/5tia m9or e/ quam pro ratione de corporibus velocissimis 9 ,libri hujus ,prop4 xxxvi xxxviii4 demon/rata4 ,nam corpora longe velocissima spatium a t]go rel9qu5t vacuum1 ideoque resi/5tia quam s5tiunt 9 p>tibus prc$5tibus1 nullat5us m9uetur p] pressionem ,m$ii 9 p>tibus po/icis4 ,conf]5do resi/5tias ,m$iorum int] se1 effeci etiam ut p5dula f]rea oscill>5tur 9 arg5to vivo4 ,longitudo fili f]rei erat p$um quasi trium1 diamet] ,globi p5duli quasi t]tia p>s digiti4 ,ad filum autem proxime supra ,m]curium affixus erat ,globus alius plumbeus satis magnus ad motum p5duli diutius cont9u&um4 ,tum vasculum1 quod capiebat quasi libras tres arg5ti vivi1 implebam vicibus alt]nis arg5to vivo aqua communi1 ut p5dulo 9 ,fluido utroque successive oscillante inv5irem proportionem resi/5ti>um3 prodiit resi/5tia arg5ti vivi ad resi/5tiam aqu ut #ac vel #ad ad #a circit]3 id e/ ut d5sitas arg5ti vivi ad d5sitatem aqu4 ,ubi ,globum p5dulum paulo majorem adhibebam1 puta cujus diamet] esset quasi vel #b_/c p>tes digiti1 prodibat resi/5tia arg5ti vivi 9 ea ratione ad resi/5tiam aqu quam habet num]us #ab vel #aj ad #a circit]4 ,s$ exp]im5to priori magis fid5dum e/1 propt]ea quod 9 8 ultimis vas nimis angu/um fuit pro magnitud9e ,globi imm]si4 ,ampliato ,globo1 deb]et etiam vas ampli>i4 ,con/itu]am quidem hujusmodi exp]im5ta 9 vasis majoribus 9 liquoribus tum ,metallorum fusorum1 tum aliis quibusdam tam calidis quam frigidis repet]e3 s$ omnia exp]iri non vacat1 ex jam descriptis satis liquet resi/5tiam corporum cel]it] motorum d5sitati ,fluidorum 9 quibus mov5tur proportionalem esse quamproxime4 ,non dico accurate4 ,nam ,fluida t5aciora p>i d5sitate proculdubio magis resi/unt quam liquidiora1 ut oleum frigidum quam calidum1 calidum quam aqua pluvialis1 aqua quam ,spiritus v9i4 ,v]um 9 liquoribus qui ad s5sum satis fluidi sunt1 ut 9 ,a]e1 9 aqua seu dulci seu falsa1 9 ,spiritibus v9i1 ,t]eb9?i ,salium1 9 ,oleo a foecibus p] de/illationem lib]ato calefacto1 ,oleoque ,vitrioli ,m]curio1 ac ,metallis liquefactis1 siqui s9t alii1 qui tam ,fluidi sunt ut 9 vasis agitati motum impressum diutius cons]v5t1 effusique lib]rime 9 guttas decurr5do resolvantur1 nullus dubito qu9 regula allata satis accurate obt9eat3 prs]tim si exp]im5ta 9 corporibus p5dulis majoribus velocius motis in/ituantur4 ,qu>e cum ,globus aqueus 9 a]e mov5do resi/5tiam patiatur qua motus sui p>s #a_/cbfa1 int]ea dum longitud9em semidiametri su describat 7ut jam ante o/5sum e/7 tollatur1 sitque d5sitas a]is ad d5sitatem aqu ut #hjj vel #hej ad #a circit]1 consequ5s e/ ut hc ,regula g5]alit] obt9eat4 ,si corpus quodlibet ,sphricum 9 ,m$io quocunque satis ,fluido moveatur1 spectetur resi/5ti p>s illa sola qu e/ 9 duplicata ratione velocitatis1 hc p>s erit ad vim qu totum corporis motum1 int]ea dum corpus idem longitud9em du>um ipsius semidiametrorum motu illo uni=mit] cont9uato describat1 vel toll]e posset vel eundem g5]>e1 ut d5sitas ,m$ii ad d5sitatem corporis quamproxime4 ,igitur resi/5tia quasi triplo major e/ quam pro lege 9 ,coroll>io primo ,propositionis xxxviii4 allata2 propt]ea p>tes quasi du t]ti motus illius omnis quem ,globi p>tes antic mov5do imprimunt 9 ,m$ium1 re/ituuntur 9 ,globi p>tes po/icas a ,m$io 9 orbem r$eunte1 inque spatium irru5te quod ,globus alias vacuum po/ se rel9qu]et4 ,unde si velocitas ,globi e\sque augeatur ut ,m$ium non posset adeo cel]it] 9 spatium illud irru]e1 qu9 aliquid vacui a t]go ,globi semp] rel9quatur1 resi/5tia t&em evadet quasi triplo major quam pro ,regula g5]ali novissime posita4 ,hact5us exp]im5tis usi sumus oscillantium p5dulorum1 eo quod eorum motus facilius accuratius obs]v>i m5sur>i poss9t4 ,motus autem p5dulorum 9 gyrum actorum 9 orbem r$eundo circulos describ5tium1 propt]ea quod s9t uni=mes eo nom9e ad inve/ig&am resi/5tiam dat velocitati compet5tem longe aptiores videantur1 9 consilium etiam adhibui4 ,faci5do enim ut p5dulum circul>it] latum duodecies revolv]etur1 notavi magnitud9es circulorum duorum1 quos prima ultima revolutione descripsit4 ,et inde collegi velocitates corporis sub initio f9e4 ,tum dic5do quod corpus1 velocitate m$iocri describ5do circulos duodecim m$iocres1 amitt]et velocitatum ill>um diff]5tiam1 collegi resi/5tiam qua diff]5tia illa eo omni corporis p] circulos duodecim it9]e amitti posset2 resi/5tia inv5ta1 quanquam hujus g5]is exp]im5ta m9us accurate t5t>e licuit1 probe tam5 cum prc$5tibus congruebat4 ,d5ique cum receptissima ,philosophorum tatis hujus op9io sit1 ,m$ium quoddam !reum longe subtilissimum ext>e1 quod omnes omnium corporum poros meatus lib]rime p]meet2 a tali autem ,m$io p] corporum poros flu5te resi/5tia oriri debeat3 ut t5t>em an resi/5tia1 quam 9 motis corporibus exp]imur1 tota sit 9 eorum ext]na sup]ficie1 an v]o p>tes etiam int]n 9 sup]ficiebus propriis resi/5tiam notabilem s5tiant1 excogitavi exp]im5tum tale4 ,filo p$um undecim longitud9is1 ab unco *alybeo satis firmo1 m$iante annulo *alybeo1 susp5debam pyxidem abiegnam rotundam1 ad con/itu5dum p5dulum longitud9is prdict4 ,uncus sursum pracutus erat acie concava1 ut annulus arcu suo sup]iore aciei innixus lib]rime mov]etur4 ,arcui autem inf]iori annectebatur filum4 ,p5dulum ita con/itutum d$ucebam a p]p5diculo ad di/antiam quasi p$um sex1 idque secundum planum aciei unci p]p5dicul>e1 ne annulus1 oscillante ,p5dulo1 supra aciem unci ultro citroque lab]etur4 ,nam punctum susp5sionis 9 quo annulus uncum tangit1 immotum man]e debet4 ,locum igitur accurate notabam1 ad quem d$ux]am p5dulum1 de9 p5dulo demisso notabam alia tria loca ad qu r$ibat 9 f9e oscillationis prim1 secund ac t]ti4 ,hoc repetebam spius1 ut loca illa quam potui accuratissime inv5irem4 ,tum pyxidem plumbo gravioribus1 qu ad manus erant1 metallis implebam4 ,s$ prius pond]abam pyxidem vacuam1 una cum p>te fili qu circum pyxidem volvebatur ac dimidio p>tis reliqu qu int] uncum pyxidem p5dulam t5debatur4 7,nam filum t5sum dimidio pond]is sui p5dulum a p]p5diculo digressum semp] urget47 ,huic pond]i addebam pondus a]is quam pyxis capiebat4 ,et pondus totum erat quasi p>s septuagesima octava pyxidis metallorum pl54 ,tum quoniam pyxis ,metallorum pl5a1 pond]e suo t5d5do filum1 augebat longitud9em p5duli1 contrahebam filum ut p5duli jam oscillantis eadem esset longitudo ac prius4 ,de9 p5dulo ad locum primo notatum di/racto ac dimisso1 num]abam oscillationes quasi septuag9ta septem1 donec pyxis ad locum secundo notatum r$iret1 totidemque sub9de donec pyxis ad locum t]tio notatum r$iret1 atque rursus totidem donec pyxis r$itu suo att+]et locum qu>tum4 ,unde concludo quod resi/5tia tota pyxidis pl5 non majorem habebat proportionem ad resi/5tiam pyxidis vacu quam #gh ad #gg4 ,nam si quales ess5t amb>um resi/5ti1 pyxis pl5a ob vim suam insitam septuagies octies majorem vi insita pyxidis vacui1 motum suum oscillatorium tanto diutius cons]v>e deb]et1 atque adeo completis semp] oscillationibus #gh ad loca illa notata r$ire4 ,r$iit autem ad eadem completis oscillationibus #gg4 ,designet igitur ,a resi/5tiam pyxidis 9 ipsius sup]ficie ext]na1 ,b resi/5tiam pyxidis vacu 9 p>tibus int]nis2 si resi/5ti corporum quivelocium 9 p>tibus int]nis s9t ut mat]ia1 seu num]us p>ticul>um qu resi/untur3 erit #gh;,b resi/5tia pyxidis pl5 9 ipsius p>tibus int]nis3 adeoque pyxidis vacu resi/5tia tota ,a ,b erit ad pyxidis pl5 resi/5tiam totam ,a #gh;,b ut #gg ad #gh1 divisim ,a ,b ad #gg;,b ut #gg1 ad #a1 indeque ,a ,b ad ,b ut #gg #gg ad #a1 divisim ,a ad ,b ut #eibh ad #a4 ,e/ igitur resi/5tia pyxidis vacu 9 p>tibus int]nis qu9quies millies m9or quam ejusdem resi/5tia 9 ext]na sup]ficie1 amplius4 ,sic disputamus ex hypo!si quod major illa resi/5tia pyxidis pl5 oriatur ab actione ,fluidi alicujus subtilis 9 ,metallum inclusum4 ,ac causam longe aliam esse op9or4 ,nam tempora oscillationum pyxidis pl5 m9ora sunt quam tempora oscillationum pyxidis vacu1 propt]ea resi/5tia pyxidis pl5 9 ext]na sup]ficie major e/1 pro ipsius velocitate longitud9e spatii oscill&o descripti1 quam ea pyxidis vacu4 ,quod cum ita sit1 resi/5tia pyxidum 9 p>tibus int]nis aut nulla erit aut plane ins5sibilis4 ,hoc exp]im5tum recitavi memorit]4 ,nam *>ta1 9 qua illud aliqu&o descrips]am1 int]cidit4 ,unde fractas quasdam num]orum p>tes1 qu memoria excid]unt1 omitt]e compulsus sum4 ,nam omnia d5uo t5t>e non vacat4 ,prima vice1 cum unco infirmo usus essem1 pyxis pl5a citius ret>dabatur4 ,causam qur5do1 rep]i quod uncus infirmus c$ebat pond]i pyxidis1 ejus oscillationibus obsequ5do 9 p>tes omnes flectebatur4 ,p>abam igitur uncum firmum1 ut punctum susp5sionis immotum man]et1 tunc omnia ita ev5]unt uti supra descripsimus4 ,eadem me?odo qua inv5imus resi/5tiam corporum ,sphricorum 9 ,aqua arg5to vivo1 inv5iri pote/ resi/5tia corporum figur>um ali>um2 sic ,navium figur v>i 9 ,typis exiguis con/ruct int] se conf]ri1 ut qunam ad navig&um aptissim s9t1 sumptibus p>vis t5tetur4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,viii4 ,de ,motu p] ,fluida propagato4 ,prop4 ,,xli4 ,!or4 ,,xxxi4 ,pressio non propagatur p] ,fluidum secundum l9eas rectas1 nisi ubi p>ticul ,fluidi 9 directum jac5t4 ,illu/ration ,si jaceant p>ticul a1 b1 c1 d1 e 9 l9ea recta1 pote/ quidem pressio directe propag>i ab a ad e2 at p>ticula e urgebit p>ticulas oblique positas f g oblique1 p>ticul ill f g non su/9ebunt pressionem illatam1 nisi fulciantur a p>ticulis ult]ioribus h k2 quat5us autem fulciuntur1 premunt p>ticulas fulci5tes2 h non su/9ebunt pressionem nisi fulciantur ab ult]ioribus l m easque premant1 sic de9ceps 9 inf9itum4 ,pressio igitur1 quam primum propagatur ad p>ticulas qu non 9 directum jac5t1 div>ic>e incipiet oblique propagabitur 9 inf9itum2 po/quam incipit oblique propag>i1 si incid]it 9 p>ticulas ult]iores1 qu non 9 directum jac5t1 it]um div>icabit2 idque toties1 quoties 9 p>ticulas non accurate 9 directum jac5tes incid]it4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,si pressionis a dato puncto p] ,fluidum propagat p>s aliqua ob/aculo int]cipiatur1 p>s reliqua qu non int]cipitur div>icabit 9 spatia pone ob/aculum4 ,id quod sic etiam demon/r>i pote/4 ,a puncto ,a propagetur pressio quaquav]sum1 idque si fi]i pote/ secundum l9eas rectas1 ob/aculo ,,nbck p]=ato 9 ,,bc1 int]cipiatur ea omnis1 prt] p>tem ,coni=mem ,,apq1 qu p] =am5 circul>e ,,bc transit4 ,planis transv]sis de1 fg1 hi di/+uatur conus ,,apq 9 fru/a int]ea dum conus ,,abc1 pressionem propag&o1 urget fru/um conicum ult]ius degf 9 sup]ficie de1 hoc fru/um urget fru/um proximum fgih 9 sup]ficie fg1 fru/um illud urget fru/um t]tium1 sic de9ceps 9 inf9itum2 manife/um e/ 7p] motus ,legem t]tiam7 quod fru/um primum defg1 reactione fru/i secundi fghi1 tantum urgebitur premetur 9 sup]ficie fg1 quantum urget premit fru/um illud secundum4 ,fru/um igitur degf int] ,conum ,ade fru/um fhig comprimitur utr9que1 propt]ea 7p] ,corol4 #f4 ,prop4 ,,xix47 figuram suam s]v>e nequit1 nisi vi eadem comprimatur undique4 ,eodem igitur impetu quo premitur 9 sup]ficiebus de1 fg conabitur c$]e ad lat]a df1 eg2 ibique 7cum rigidum non sit1 s$ omnimodo ,fluidum7 excurret ac dilatabitur1 nisi ,fluidum ambi5s adsit1 quo conatus i/e cohibeatur4 ,pro9de conatu excurr5di premet tam ,fluidum ambi5s ad lat]a df1 eg quam fru/um fghi eodem impetu2 propt]ea pressio non m9us propagabitur a lat]ibus df1 eg 9 spatia ,,no1 ,,kl h9c inde1 quam propagatur a sup]ficie fg v]sus ,,pq4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illu/ration ,prop4 ,,xlii4 ,!or4 ,,xxxii4 ,motus omnis p] ,fluidum propagatus div]git a recto tramite 9 spatia immota4 ,cas4 #a4 ,propagetur motus a puncto ,a p] =am5 ,,bc1 p]gatque 7si fi]i pote/7 9 spatio conico ,,bcqp1 secundum l9eas rectas div]g5tes a puncto ,c4 ,et ponamus primo quod motus i/e sit und>um 9 sup]ficie /agnantis aqu4 ,s9tque de1 fg1 hi1 kl1 c4 und>um s+ul>um p>tes altissim1 vallibus totidem int]m$iis ab invicem di/9ct4 ,igitur quoniam aqua 9 und>um jugis altior e/ quam 9 ,fluidi p>tibus immotis ,,lk1 ,,no1 defluet eadem de jugorum t]m9is e1 g1 i1 l1 c4 d1 f1 h1 k1 c4 h9c inde v]sus ,,kl ,,no3 quoniam 9 und>um vallibus depressior e/ quam 9 ,fluidi p>tibus immotis ,,kl1 ,,no2 defluet eadem de p>tibus illis immotis 9 und>um valles4 ,defluxu priore und>um juga1 po/]iore valles h9c inde dilatantur propagantur v]sus ,,kl ,,no4 ,et quoniam motus und>um ab ,a v]sus ,,pq fit p] cont9uum defluxum jugorum 9 valles proximos1 adeoque cel]ior non e/ quam pro cel]itate desc5sus2 desc5sus aqu h9c inde v]sus ,,kl ,,no eadem velocitate p]agi debet2 propagabitur dilatatio und>um h9c inde v]sus ,,kl ,,no1 eadem velocitate qua und ips ab ,a v]sus ,,pq recta progr$iuntur4 ,pro9deque spatium totum h9c inde v]sus ,,kl ,,no ab undis dilatatis rfgr1 %is1 tklt1 vmnv1 c4 occupabitur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,hc ita se hab]e quilibet 9 aqua /agnante exp]iri pote/4 ,cas4 #b4 ,ponamus jam quod de1 fg1 hi1 kl1 mn design5t pulsus a puncto ,a p] ,m$ium ,ela/icum successive propagatos4 ,pulsus propag>i concipe p] successivas cond5sationes r>efactiones ,m$ii1 sic ut pulsus cujusque p>s d5sissima ,sphricam occupet sup]ficiem circa c5trum ,a descriptam1 int] pulsus successivos qualia int]c$ant int]valla4 ,design5t autem l9e de1 fg1 hi1 kl1 c4 d5sissimas pulsuum p>tes p] =am5 ,,bc propagatas4 ,et quoniam ,m$ium ibi d5sius e/ quam 9 spatiis h9c inde v]sus ,,kl ,,no1 dilatabit sese tam v]sus spatia illa ,,kl1 ,,no utr9que sita1 quam v]sus pulsuum r>iora int]valla2 eoq2 pacto r>ius semp] evad5s e regione int]vallorum ac d5sius e regione pulsuum1 p>ticipabit eorundem motum4 ,et quoniam pulsuum progressivus motus oritur a p]petua relaxatione p>tium d5siorum v]sus antec$5tia int]valla r>iora2 pulsus eadem cel]itate sese 9 ,m$ii p>tes quiesc5tes ,,kl1 ,,no h9c inde relax>e deb5t2 pulsus illi eadem cel]itate sese dilatabunt undique 9 spatia immota ,,kl1 ,,no1 qua propagantur directe a c5tro ,a2 adeoque spatium totum ,,klon occupabunt4 ,q4 ,e4 ,d4 ,hoc exp]imur 9 sonis1 qui vel domo int]posita audiuntur1 vel 9 cubiculum p] f5e/ram admissi sese 9 omnes cubiculi p>tes dilatant1 inque angulis omnibus audiuntur1 non reflexi a p>ietibus oppositis s$ a f5e/ra directe propagati4 ,cas4 #c4 ,ponamus d5ique quod motus cujuscunque g5]is propagetur ab ,a p] =am5 ,,bc3 quoniam propagatio i/a non fit nisi quat5us p>tes ,m$ii c5tro ,a propiores urg5t commov5tque p>tes ult]iores2 p>tes qu urg5tur ,fluid sunt1 ideoque rec$unt quaquav]sum 9 regiones ubi m9us premuntur3 rec$5t edem v]sus ,m$ii p>tes omnes quiesc5tes1 tam lat]ales ,,kl ,,no1 quam ant]iores ,,pq1 eoque pacto motus omnis1 quam primum p] =am5 ,,bc transiit1 dilat>i incipiet1 ab9de tanquam a pr9cipio c5tro 9 p>tes omnes directe propag>i4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xliii4 ,!or4 ,,xxxiii4 ,corpus omne tremulum 9 ,m$io ,ela/ico propagabit motum pulsuum undique 9 directum2 9 ,m$io v]o non ,ela/ico motum circul>em excitabit4 ,cas4 #a4 ,nam p>tes corporis tremuli vicibus alt]nis eundo r$eundo1 itu suo urgebunt propell5t p>tes ,m$ii sibi proximas1 urg5do comprim5t easdem cond5sabunt2 de9 r$itu suo s95t p>tes compressas rec$]e sese exp&]e4 ,igitur p>tes ,m$ii corpori tremulo proxim ibunt r$ibunt p] vices1 ad in/> p>tium corporis illius tremuli3 qua ratione p>tes corporis hujus agitabant hasce ,m$ii p>tes1 h similibus tremoribus agitat agitabunt p>tes sibi proximas1 eque similit] agitat agitabunt ult]iores1 sic de9ceps 9 inf9itum4 ,et quemadmodum ,m$ii p>tes prim eundo cond5santur r$eundo relaxantur1 sic p>tes reliqu quoties eunt cond5sabuntur1 quoties r$eunt sese exp&5t4 ,et propt]ea non omnes ibunt simul r$ibunt 7sic enim det]m9atas ab invicem di/antias s]v&o non r>efi]5t cond5s>5tur p] vices7 s$ acc$5do ad invicem ubi cond5santur1 rec$5do ubi r>efiunt1 aliqu e>um ibunt dum ali r$eunt2 idque vicibus alt]nis 9 inf9itum4 ,p>tes autem euntes eundo cond5sat1 ob motum suum progressivum quo f]iunt ob/acula1 sunt pulsus2 propt]ea pulsus successivi a corpore omni tremulo 9 directum propagabuntur2 idque qualibus circit] ab invicem di/antiis1 ob qualia temporis int]valla1 quibus corpus tremoribus suis s+ulis s+ulos pulsus excitat4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et quanquam corporis tremuli p>tes eant r$eant secundum plagam aliquam c]tam det]m9atam1 tam5 pulsus inde p] ,m$ium propagati sese dilatabunt ad lat]a1 p] ,propositionem prc$5tem2 a corpore illo tremulo tanquam c5trocommuni1 secundum sup]ficies propemodum ,sphricas conc5tricas1 undique propagabuntur4 ,cujus rei exemplum aliquod habemus 9 ,undis1 qu si digito tremulo excit5tur1 non solum p]g5t h9c inde secundum plagam motus digiti1 s$1 9 modum circulorum conc5tricorum1 digitum /atim c+5t undique propagabuntur4 ,nam gravitas und>um supplet locum vis ,ela/ic4 ,quod si ,m$ium non sit ,ela/icum3 quoniam ejus p>tes a corporis tremuli p>tibus vibratis press cond5s>i nequeunt1 propagabitur motus 9 in/anti ad p>tes ubi ,m$ium facillime c$it1 hoc e/ ad p>tes qu corpus tremulum alioqui vacuas a t]go rel9qu]et4 ,idem e/ casus cum casu corporis 9 ,m$io quocunque projecti4 ,m$ium c$5do projectilibus1 non rec$it 9 inf9itum1 s$ 9 circulum eundo p]git ad spatia qu corpus rel9quit a t]go4 ,igitur quoties corpus tremulum p]git 9 p>tem quamcunque1 ,m$ium c$5do p]get p] circulum ad p>tes quas corpus rel9quit1 quoties corpus regr$itur ad locum priorem1 ,m$ium inde repelletur ad locum suum priorem r$ibit4 ,et quamvis corpus tremulum non sit firmum1 s$ modis omnibus flexile1 si tam5 magnitud9e datum maneat1 quoniam tremoribus suis nequit ,m$ium ubivis urg]e1 qu9 alibi eidem simul c$at2 efficiet ut ,m$ium1 rec$5do a p>tibus ubi premitur1 p]gat semp] 9 ,orbem ad p>tes qu eidem c$unt4 ,corol4 ,halluc9antur igitur qui cr$unt agitationem p>tium flamm ad pressionem p] ,m$ium ambi5s secundum l9eas rectas propag&am conduc]e4 ,debebit ejusmodi pressio non ab agitatione sola p>tium flamm s$ a totius dilatatione d]iv>i4 ,prop4 ,,xliv4 ,!or4 ,,xxxiv4 ,si ,aqua 9 canalis cruribus erectis ,,kl1 ,,mn vicibus alt]nis asc5dat desc5dat2 con/ruatur autem ,p5dulum cujus longitudo int] punctum susp5sionis c5trum oscillationis quetur semissi longitud9is aqu 9 ,canali3 dico quod aqua asc5det desc5det iisdem temporibus quibus p5dulum oscillatur4 ,illu/ration ,longitud9em aqu m5suro secundum axes canalis crurum1 e&em summ horum axium qu&o4 ,design5t igitur ,,ab1 ,,cd m$iocrem altitud9em aqu 9 crure utroque2 ubi aqua 9 crure ,,kl asc5dit ad altitud9em ,,ef1 desc5d]it aqua 9 crure ,,mn ad altitud9em ,,gh4 ,sit autem ,p corpus p5dulum1 ,,vp filum1 ,v punctum susp5sionis1 ,,spqr ,cyclois quam ,p5dulum describat1 ,p ejus punctum infimum1 ,,pq arcus altitud9i ,,ae qualis4 ,vis1 qua motus aqu alt]nis vicibus accel]atur ret>datur1 e/ excessus pond]is aqu 9 alt]utro crure supra pondus 9 alt]o1 ideoque ubi aqua 9 crure ,,kl asc5dit ad ,,ef1 9 crure alt]o desc5dit ad ,,gh1 vis illa e/ pondus duplicatum aqu ,,eabf1 propt]ea e/ ad pondus aqu totius ut ,,ae seu ,,pq ad ,,vp seu ,,pr4 ,vis etiam1 qua pondus ,p 9 loco quovis ,q accel]atur ret>datur 9 ,cycloide1 e/ ad ejus pondus totum1 ut ejus di/antia ,,pq a loco infimo ,p1 ad ,cycloidis longitud9em ,,pr4 ,qu>e aqu p5duli1 qualia spatia ,,ae1 ,,pq describ5tium1 vires motrices sunt ut pond]a mov5da2 ideoque vires ill1 si aqua p5dulum 9 pr9cipio1 quali cum velocitate moveantur2 p]g5t eadem temporibus qualit] mov]e1 effici5tque ut motu reciproco simul eant r$eant4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur aqu asc5d5tis desc5d5tis1 sive motus int5sior sit sive remissior1 vices omnes sunt ,iso*ron4 ,corol4 #b4 ,si longitudo aqu totius 9 canali sit p$um ,p>isi5sium #f-a_/i1 aqua tempore m9uti unius secundi desc5det1 tempore m9uti alt]ius secundi asc5det2 sic de9ceps vicibus alt]nis 9 inf9itum4 ,nam p5dulum p$um #c-a_/ah longitud9is1 tempore m9uti unius secundi oscillatur4 ,corol4 #c4 ,aucta autem vel dim9uta longitud9e aqu1 augetur vel dim9uitur tempus reciprocationis 9 longitud9is ratione dimidiata4 ,prop4 ,,xlv4 ,!or4 ,,xxxv4 ,und>um velocitas e/ 9 dimidiata ratione latitud9um4 ,consequitur ex con/ructione ,propositionis sequ5tis4 ,prop4 ,,xlvi4 ,prob4 ,,xi4 ,inv5ire velocitatem ,und>um4 ,con/ituatur ,p5dulum cujus longitudo int] punctum susp5sionis c5trum oscillationis quetur latitud9i ,und>um3 quo tempore p5dulum illud oscillationes s+ulas p]agit1 eodem ,und progr$i5do latitud9em suam propemodum confici5t4 ,und>um latitud9em voco m5suram transv]sam qu vel vallibus imis vel summis culm9ibus int]jacet4 ,designet ,,abcdef sup]ficiem aqu /agnantis1 undis successivis asc5d5tem ac desc5d5tem1 s9tque ,a1 ,c1 ,e1 c4 und>um culm9a1 ,b1 ,d1 ,f1 c4 valles int]m$ii4 ,et quoniam motus und>um fit p] aqu successivum asc5sum desc5sum1 sic ut ejus p>tes ,a1 ,c1 ,e1 c4 qu nunc infim sunt1 mox fiant altissim2 vis motrix1 qua p>tes altissim desc5dunt infim asc5dunt1 e/ pondus aqu elevat2 alt]nus ille asc5sus desc5sus analogus erit motui reciproco aqu 9 canali1 easdemque temporis leges obs]vabit3 propt]ea 7p] ,prop4 ,,xliv47 si di/anti int] und>um loca altissima ,a1 ,c1 ,e1 infima ,b1 ,d1 ,f qu5tur dupl p5duli longitud9i1 p>tes altissim ,a1 ,c1 ,e tempore oscillationis unius evad5t infim1 tempore oscillationis alt]ius d5uo asc5d5t4 ,igitur int] transitum ,und>um s+ul>um tempus erit oscillationum du>um2 hoc e/ ,unda describet latitud9em suam1 quo tempore p5dulum illud bis oscillatur2 s$ eodem tempore p5dulum1 cujus longitudo quadrupla e/1 adeoque quat und>um latitud9em1 oscillabitur semel4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur ,und1 qu p$es ,p>isi5ses #c-a_/ah lat sunt1 tempore m9uti unius secundi progr$i5do latitud9em suam confici5t2 adeoque tempore m9uti unius primi p]curr5t p$es #ahc-a_/c1 hor spatio p$es #aajjj quamproxime4 ,corol4 #b4 ,et und>um majorum vel m9orum velocitas augebitur vel dim9uetur 9 dimidiata ratione latitud9is4 ,hc ita se hab5t ex ,hypo!si quod p>tes aqu recta asc5dunt vel recta desc5dunt2 s$ asc5sus desc5sus ille v]ius fit p] circulum1 ideoque tempus hac ,propositione non nisi quamproxime def9itum esse affirmo4 ,prop4 ,,xlvii4 ,!or4 ,,xxxvi4 ,pulsuum 9 ,fluido ,ela/ico propagatorum velocitates sunt 9 ratione composita ex dimidiata ratione vis ,ela/ic directe dimidiata ratione d5sitatis inv]se2 si modo ,fluidi vis ,ela/ica ejusdem cond5sationi proportionalis esse supponatur4 ,cas4 #a4 ,si ,m$ia s9t homog5ea1 pulsuum di/anti 9 8 ,m$iis qu5tur int] se1 s$ motus 9 uno ,m$io int5sior sit3 contractiones dilatationes p>tium analog>um erunt ut iidem motus4 ,accurata quidem non e/ hc proportio4 ,v]um tam5 nisi contractiones dilatationes s9t valde int5s1 non errabit s5sibilit]1 ideoque pro ,physice accurata hab]i pote/4 ,sunt autem vires ,ela/ic motrices ut contractiones dilatationes2 velocitates p>tium qualium simul g5it sunt ut vires4 ,ideoque quales correspond5tes pulsuum correspond5tium p>tes1 itus r$itus suos p] spatia contractionibus dilatationibus proportionalia1 cum velocitatibus qu sunt ut spatia1 simul p]ag5t3 propt]ea pulsus1 qui tempore itus r$itus unius latitud9em suam progr$i5do conficiunt1 9 loca pulsuum proxime prc$5tium semp] succ$unt1 ob qualitatem di/anti>um1 quali cum velocitate 9 ,m$io utroque progr$i5tur4 ,cas4 #b4 ,s9 pulsuum di/anti seu longitud9es s9t majores 9 uno ,m$io quam 9 alt]o2 ponamus quod p>tes correspond5tes spatia latitud9ibus pulsuum proportionalia s+ulis vicibus eundo r$eundo describant3 quales erunt e>um contractiones dilatationes4 ,ideoque si ,m$ia s9t homog5ea1 quales erunt etiam vires ill ,ela/ic motrices quibus reciproco motu agitantur4 ,mat]ia autem 8 viribus mov5da1 e/ ut pulsuum latitudo2 9 eadem ratione e/ spatium p] quod s+ulis vicibus eundo r$eundo mov]i deb5t4 ,e/que tempus itus r$itus unius 9 ratione composita ex ratione dimidiata mat]i ratione dimidiata spatii1 atque adeo ut spatium4 ,pulsus autem temporibus itus r$itus unius eundo latitud9es suas conficiunt1 hoc e/1 spatia temporibus proportionalia p]currunt2 propt]ea sunt quiveloces4 ,cas4 #c4 ,9 ,m$iis igitur d5sitate vi ela/ica p>ibus1 pulsus omnes sunt quiveloces4 ,quod si ,m$ii vel d5sitas vel vis ,ela/ica int5datur1 quoniam vis motrix 9 ratione vis ,ela/ic1 mat]ia mov5da 9 ratione d5sitatis augetur2 tempus quo motus iidem p]agantur ac prius1 augebitur 9 dimidiata ratione d5sitatis1 ac dim9uetur 9 dimidiata ratione vis ,ela/ic4 ,et propt]ea velocitas pulsuum erit 9 ratione composita ex ratione dimidiata d5sitatis ,m$ii inv]se ratione dimidiata vis ,ela/ic directe4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xlviii4 ,!or4 ,,xxxvii4 ,pulsibus p] ,fluidum propagatis1 s+ul ,fluidi p>ticul1 motu reciproco brevissimo euntes r$euntes1 accel]antur semp] ret>dantur pro lege oscillantis ,p5duli4 ,illu/ration ,illu/ration ,design5t ,,ab1 ,,bc1 ,,cd1 c4 pulsuum successivorum quales di/antias2 ,,abc plagam motus pulsuum ab ,a v]sus ,b propagati2 ,e1 ,f1 ,g puncta tria ,physica ,m$ii quiesc5tis1 9 recta ,,ac ad quales ab invicem di/antias sita2 ,ee1 ,ff1 ,gg1 spatia qualia p]brevia p] qu puncta illa motu reciproco s+ulis vibrationibus eunt r$eunt2 epsilon1 phi1 gamma loca quvis int]m$ia eorundem punctorum2 ,,ef1 ,,fg l9eolas ,physicas seu ,m$ii p>tes l9e>es punctis illis int]jectas1 successive translatas 9 loca epsilonphi1 phigamma ef1 fg4 ,rect ,ee qualis ducatur recta ,,ps4 ,bisecetur eadem 9 ,o1 c5troque ,o int]vallo ,,op describatur circulus ,s,i,pi4 ,p] hujus circumf]5tiam totam cum p>tibus suis exponatur tempus totum vibrationis unius cum ipsius p>tibus proportionalibus2 sic ut completo tempore quovis ,,ph vel ,p,h,sh1 si demittatur ad ,,ps p]p5diculum ,,hl vel hl1 capiatur ,ee qualis ,,pl vel ,pl1 punctum ,physicum ,e rep]iatur 9 epsilon4 ,hac lege punctum quodvis ,e eundo ab ,e p] epsilon ad e1 inde r$eundo p] epsilon ad ,e iisdem accel]ationis ac ret>dationis gradibus1 vibrationes s+ulas p]aget cum oscillante ,p5dulo4 ,prob&um e/ quod s+ula ,m$ii puncta ,physica tali motu agit>i debeant4 ,f+amus igitur ,m$ium tali motu a causa quacunque ci]i1 videamus quid inde sequatur4 ,9 circumf]5tia ,p,h,sh capiantur quales arcus ,,hi1 ,,ik vel hi1 ik1 eam hab5tes rationem ad circumf]5tiam totam quam hab5t quales rect ,,ef1 ,,fg ad pulsuum int]vallum totum ,,bc4 ,et demissis p]p5diculis ,,im1 ,,kn vel im1 kn2 quoniam puncta ,e1 ,f1 ,g motibus similibus successive agitantur1 si ,,ph vel ,p,h,sk sit tempus ab initio motus puncti ,e1 erit ,,pi vel ,p,h,si tempus ab initio motus puncti ,f1 ,,pk vel ,p,h,sh tempus ab initio motus puncti ,g2 propt]ea ,eepsilon1 ,fphi1 ,ggamma erunt ipsis ,,pl1 ,,pm1 ,,pn 9 itu punctorum1 vel ipsis ,pn1 ,pm1 ,pl 9 punctorum r$itu1 quales respective4 ,unde epsilongamma 9 itu punctorum qualis erit ,,eg - ,,ln1 9 r$itu autem qualis ,,eg ln4 ,s$ epsilongamma latitudo e/ seu expansio p>tis ,m$ii ,,eg 9 loco epsilongamma1 propt]ea expansio p>tis illius 9 itu1 e/ ad ejus expansionem m$iocrem ut ,,eg - ,,ln ad ,,eg2 9 r$itu autem ut ,,eg ln seu ,,eg ,,ln ad ,,eg4 ,qu>e cum sit ,,ln ad ,,kh ut ,,im ad radium ,,op1 ,,eg ad ,,bc ut ,,hk ad circumf]5tiam ,p,h,sh,p1 vicissim ,,eg ad ,,hk ut ,,bc ad circumf]5tiam ,p,h,sh,p1 id e/ 7si circumf]5tia dicatur ,z7 ut ,,op ,,bc ,z ad ,,op1 ex quo ,,ln ad ,,eg ut ,,im ad ,,op ,,bc ,z3 erit expansio p>tis ,,eg 9 loco epsilongamma ad expansionem m$iocrem quam habet 9 loco suo primo ,,eg1 ut ,,op ,,bc ,z - ,,im ad ,,op ,,bc ,z 9 itu1 utque ,,op ,,bc ,z im ad ,,op ,,bc ,z 9 r$itu4 ,unde si ,,op ,,bc ,z dicatur ,v1 erit expansio p>tis ,,eg1 punctive ,physici ,f1 ad ejus expansionem m$iocrem 9 itu1 ut ,v - ,,im ad ,v1 9 r$itu ut ,v im ad ,v2 ejusdem vis ela/ica ad vim suam ela/icam m$iocrem 9 itu1 ut #a ,v - ,,im ad #a ,v2 9 r$itu1 ut #a ,v im ad #a ,v4 ,et eodem argum5to vires ,ela/ic punctorum ,physicorum ,e ,g 9 itu1 sunt ut #a ,v - ,,hl #a ,v - ,,kn ad #a ,v2 virium diff]5tia ad ,m$ii vim ela/icam m$iocrem1 ut ,,hl - ,,kn #a ------------------------------ ad ---4 ,,vv - ,v ,,hl - ,v ,,kn ,,hl ,,kn ,v ,hoc e/ 7si ob brevitatem pulsuum supponamus ,,hk ,,kn indef9ite m9ores esse quantitate ,v7 ut ,,hl - ,,kn ,,vv ad #a ,v1 sive ut ,,hl - ,,kn ad ,v4 ,qu>e cum quantitas ,v detur1 diff]5tia virium e/ ut ,,hl - ,,kn1 hoc e/ 7ob proportionales ,,hl - ,,kn ad ,,hk1 ,,om ad ,,oi vel ,,op1 datasque ,,hk ,,op7 ut ,,om2 id e/1 si ,ff bisecetur 9 ,omega1 ut ,omegaphi4 ,et eodem argum5to diff]5tia virium ,ela/ic>um punctorum ,physicorum epsilon gamma1 9 r$itu l9eol ,physic epsilongamma e/ ut ,omegaphi4 ,s$ diff]5tia illa 7id e/ excessus vis ,ela/ic puncti epsilon supra vim ela/icam puncti gamma17 e/ vis qua int]jecta ,m$ii l9eola ,physica epsilongamma accel]atur2 propt]ea vis accel]atrix l9eol ,physic epsilongamma e/ ut ipsius di/antia a ,m$io vibrationis loco ,omega4 ,pro9de tempus 7p] ,prop4 ,,xxxviii4 ,lib4 ,i47 recte exponitur p] arcum ,,pi2 ,m$ii p>s l9e>is epsilongamma lege prscripta movetur1 id e/ lege oscillantis ,p5duli3 e/que p> ratio p>tium omnium l9e>ium ex quibus ,m$ium totum componitur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,h9c patet quod num]us pulsuum propagatorum idem sit cum num]o vibrationum corporis tremuli1 neque multiplicatur 9 eorum progressu4 ,nam l9eola ,physica epsilongamma1 quamprimum ad locum suum primum r$i]it1 quiescet2 neque de9ceps movebitur1 nisi vel ab impetu corporis tremuli1 vel ab impetu pulsuum qui a corpore tremulo propagantur1 motu novo cieatur4 ,quiescet igitur quamprimum pulsus a corpore tremulo propag>i des9unt4 ,prop4 ,,xlix4 ,prob4 ,,xii4 ,datis ,m$ii d5sitate vi ,ela/ica1 inv5ire velocitatem pulsuum4 ,f+amus ,m$ium ab incumb5te pond]e1 pro m ,a]is no/ri comprimi1 sitque ,a altitudo ,m$ii homog5ei1 cujus pondus adquet pondus incumb5s1 cujus d5sitas eadem sit cum d5sitate ,m$ii compressi1 9 quo pulsus propagantur4 ,con/itui autem intelligatur ,p5dulum1 cujus longitudo int] punctum susp5sionis c5trum oscillationis sit ,a3 quo tempore p5dulum illud oscillationem integram ex itu r$itu compositam p]agit1 eodem pulsus eundo conficiet spatium circumf]5ti circuli radio ,a descripti quale4 ,nam /antibus qu 9 ,propositione sup]iore con/ructa sunt1 si l9ea quvis ,physica1 ,,ef s+ulis vibrationibus describ5do spatium ,,ps1 urgeatur 9 extremis itus r$itus cujusque locis ,p ,s1 a vi ,ela/ica qu ipsius pond]i quetur2 p]aget hc vibrationes s+ulas quo tempore eadem 9 ,cycloide1 cujus ,p]imet] tota longitud9i ,,ps qualis e/1 oscill>i posset3 id adeo quia vires quales qualia corpuscula p] qualia spatia simul impell5t4 ,qu>e cum oscillationum tempora s9t 9 dimidiata ratione longitud9is p5dulorum1 longitudo p5duli quetur dimidio arcui ,cycloidis totius2 =et tempus vibrationis unius ad tempus oscillationis ,p5duli cujus longitudo e/ ,a1 9 dimidiata ratione longitud9is ,,ps seu ,,po ad longitud9em ,a4 ,s$ vis ,ela/ica qua l9eola ,physica ,,eg1 9 locis suis extremis ,p1 ,s exi/5s1 urgetur1 erat 79 demon/ratione ,propositionis sup]ioris7 ad ejus vim totam ,ela/icam ut ,,hl - ,,kn ad ,v1 hoc e/ 7cum punctum ,k jam incidat 9 ,p7 ut ,,hk ad ,v3 vis illa tota1 hoc e/ pondus incumb5s1 qua l9eola ,,eg comprimitur1 e/ ad pondus l9eol ut pond]is incumb5tis altitudo ,a ad l9eol longitud9em ,,eg2 adeoque ex quo1 vis qua l9eola ,,eg 9 locis suis ,p ,s urgetur1 e/ ad l9eol illius pondus ut ,,hk ,a ad ,v ,,eg4 ,qu>e cum tempora1 quibus qualia corpora p] qualia spatia impelluntur1 s9t reciproce 9 dimidiata ratione virium1 erit tempus vibrationis unius urg5te vi illa ,ela/ica1 ad tempus vibrationis urg5te vi pond]is1 9 dimidiata ratione ,v ,,eg ad ,,hk ,a1 atque adeo ad tempus oscillationis ,p5duli cujus longitudo e/ ,a1 9 dimidiata ratione ,v ,,eg ad ,,hk ,a ,,po ad ,a conjunctim2 id e/ 7cm fu]it1 9 sup]iore ,propositione1 ,v qualis ,,po ,,bc ,z1 ,,hk qualis ,,eg ,z ,,bc7 9 dimidiata ratione ,,po qu4 ,,bc ,,eg ,z ad ,,eg ,z ,a qu4 ,,bc seu ,,po qu4 ,,bc qu4 ad ,z qu4 ,a qu4 hoc e/ 9 ratione ,,po ,,bc ad ,z ,a1 seu ,,bc ad ,z ,a ,,po4 ,s$ tempore vibrationis unius ex itu r$itu composit1 pulsus progr$i5do conficit latitud9em suam ,,bc4 ,ergo tempus quo pulsus p]currit spatium ,,bc1 e/ ad tempus oscillationis unius ex itu r$itu composit1 ut ,,bc ad ,z ,a ,,po1 id e/ ut ,,bc ad circumf]5tiam circuli cujus radius e/ ,a4 ,tempus autem1 quo pulsus p]curret spatium ,,bc1 e/ ad tempus quo p]curret longitud9em huic circumf]5ti qualem1 9 eadem ratione2 ideoque tempore talis oscillationis pulsus p]curret longitud9em huic circumf]5ti qualem4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,l4 ,prob4 ,,xiii4 ,inv5ire pulsuum di/antias4 ,corporis1 cujus tremore pulsus excitantur1 inv5iatur num]us ,vibrationum dato tempore4 ,p] num]um illum dividatur spatium quod pulsus eodem tempore p]curr]e possit1 p>s inv5ta erit pulsus unius latitudo4 ,q4 ,e4 ,i4 ,s*ol4 ,spectant ,propositiones novissim ad motum ,lucis ,sonorum4 ,lux enim cum propagetur secundum l9eas rectas1 9 actione sola 7p] ,prop4 ,,xli4 ,,xlii47 consi/]e nequit4 ,soni v]o propt]ea quod a corporibus tremulis oriantur1 nihil aliud sunt qum a]is pulsus propagati1 p] ,prop4 ,,xliii4 ,confirmatur id ex tremoribus quos excitant 9 corporibus objectis1 si mod vehem5tes s9t graves1 quales sunt soni ,tympanorum4 ,nam tremores cel]iores breviores difficilius excitantur4 ,s$ sonos quosvis1 9 *ordas corporibus sonoris unisonas impactos1 excit>e tremores notissimum e/4 ,confirmatur etiam ex velocitate sonorum4 ,nam cm pond]a specifica ,aqu pluvialis ,arg5ti vivi s9t ad invicem ut #a ad #ac-b_/c circit]1 ubi ,m]curius 9 ,b>ometro altitud9em att+it digitorum ,anglicorum #cj1 pondus specificum ,a]is aqu pluvialis s9t ad invicem ut #a ad #hej circit]3 erunt pond]a specifica a]is arg5ti vivi ut #a ad #aafag4 ,pro9de cum altitudo arg5ti vivi sit #cj digitorum1 altitudo a]is uni=mis1 cujus pondus a]em no/rum subjectum comprim]e posset1 erit #cdhejj digitorum seu p$um ,anglicorum #bijdb4 ,e/que hc altitudo illa ipsa quam 9 con/ructione sup]ioris ,problematis nom9avimus ,a4 ,circuli radio #bijdb p$um descripti circumf]5tia e/ p$um #ahbdgf4 ,et cum ,p5dulum digitos #ci-a_/e longum1 oscillationem ex itu r$itu compositam1 tempore m9utorum duorum secundorum1 uti notum e/1 absolvat2 p5dulum p$es #bijdb1 seu digitos #cdhejj1 longum1 oscillationem consimilem tempore m9utorum secundorum #ahh-d_/g absolv]e debebit4 ,eo igitur tempore sonus progr$i5do conficiet p$es #ahbdgf1 adeoque tempore m9uti unius secundi p$es #ifh4 ,scribit ,m]s5nus1 9 ,bali/ic su ,prop4 ,,xxxv4 se factis exp]im5tis inv5isse quod sonus m9utis qu9que secundis hexap$as ,gallicas #aaej 7id e/ p$es ,gallicos #fijj7 p]currat4 ,unde cum pes ,gallicus sit ad ,anglicum ut #ajfh ad #ajjj1 debebit sonus tempore m9uti unius secundi p$es ,anglicos #adgd confic]e4 ,scribit etiam idem ,m]s5nus ,rob]vallum ,geometram cl>issimum 9 ,obsidione ,!odonis obs]vasse torm5torum fragorem exauditum esse po/ #ac vel #ad ab igne viso m9uta secunda1 cm tam5 vix dimidiam ,leucam ab illis ,torm5tis abfu]it4 ,cont9et ,leuca ,gallica hexap$as #bejj1 adeoque sonus tempore #ac vel #ad secundorum1 ex ,obs]vatione ,rob]valli1 confecit p$es ,p>isi5ses #gejj1 ac tempore m9uti unius secundi p$es ,p>isi5ses #efj1 ,anglicos v] #fjj circit]4 ,multum diff]unt h ,obs]vationes ab invicem1 computus no/] m$ium locum t5et4 ,9 porticu ,collegii no/ri p$es #bjh longa1 sonus 9 t]m9o alt]utro excitatus quat]no recursu ,e*o quadruplicem efficit4 ,factis autem exp]im5tis inv5i quod s+ulis soni recursibus p5dulum quasi sex vel septem digitorum longitud9is oscillabatur1 ad priorem soni recursum eundo ad po/]iorem r$eundo4 ,longitud9em p5duli satis accurat def9ire nequibam3 s$ longitud9e quatuor digitorum1 oscillationes nimis cel]es esse1 ea novem digitorum nimis t>das judicabam4 ,unde sonus eundo r$eundo confecit p$es #daf m9ore tempore qum p5dulum digitorum novem1 majore qum p5dulum digitorum quatuor oscillatur2 id e/ m9ore tempore qum #bh m9utorum t]tiorum1 majore qum #ai-a_/f2 propt]ea tempore m9uti unius secundi conficit p$es ,anglicos plures qum #hff pauciores qum #abgb1 atque ade velocior e/ qum pro ,obs]vatione ,rob]valli1 ac t>dior qum pro ,obs]vatione ,m]s5ni4 ,qu9etiam accuratioribus po/ea ,obs]vationibus def9ivi quod longitudo p5duli major esse deb]et qum digitorum qu9que cum semisse1 m9or qum digitorum octo2 adeoque qud sonus tempore m9uti unius secundi confecit p$es ,anglicos plures qum #ibj pauciores qum #ajhe4 ,igitur motus sonorum1 secundum calculum ,geometricum sup]ius allatum1 int] hos limites consi/5s1 quadrat cum ,phnom5is1 quat5us hact5us t5t>e licuit4 ,pro9de cm motus i/e p5deat ab a]is totius d5sitate1 consequ5s e/ quod soni non 9 motu !ris vel a]is cujusdam subtilioris1 s$ 9 a]is totius agitatione consi/at4 ,refrag>i vid5tur exp]im5ta qudam de sono 9 vasis a]e vacuis propagato1 s$ vasa a]e omni evacu>i vix possunt2 ubi satis evacuantur soni notabilit] imm9ui sol5t2 ,ex4 gr4 ,si a]is totius p>s tantm c5tesima 9 vase maneat1 debebit sonus esse c5tuplo languidior1 atque ade non m9us audiri qum si quis sonum eundem 9 a]e lib]o excitatum audi5do1 sub9de ad decuplam di/antiam corpore sonoro rec$]et4 ,conf]5da sunt igitur corpora duo qualit] sonora1 quorum alt]um 9 vase evacuato1 alt]um 9 a]e lib]o consi/at1 quorum di/anti ab auditore s9t 9 dimidiata ratione d5sitatum a]is3 si sonus corporis prioris non sup]at sonum po/]ioris objectio cessabit4 ,cognita sonorum velocitate1 innotescunt etiam int]valla pulsuum4 ,scribit ,m]s5nus 7,lib4 ,i4 ,h>monicorum ,prop4 ,,iv47 se 7factis exp]im5tis quibusdam qu ibidem describit7 inv5isse quod n]vus t5sus vicibus #ajd recurrit spatio m9uti unius secundi1 qu&o facit ,unisonum cum organica ,fi/ula quadrup$ali ap]ta vel bip$ali obturata1 quam vocant ,organ>ii ,c fa ut4 ,sunt igitur pulsus #ajd 9 spatio p$um #ifh1 quos sonus tempore m9uti secundi describit3 adeoque pulsus unus occupat spatium p$um #i circit]2 id e/ duplam circit] longitud9em fi/ul4 ,unde v]isimile e/ qud latitud9es pulsuum1 9 omnium ap]t>um fi/ul>um sonis1 qu5tur duplis longitud9ibus fi/ul>um4 ,porr cur ,soni cessante motu corporis sonori /atim cessant1 neque diutis audiuntur ubi longissim di/amus corporibus sonoris1 qum cum proxim absumus1 patet ex ,coroll>io ,propositionis ,,xlviii4 ,libri hujus4 ,s$ cur soni 9 ,tubis ,/5t]ophonicis valde aug5tur1 ex allatis pr9cipiis manife/um e/4 ,motus enim omnis reciprocus s+ulis recursibus causa g5]ante aug]i solet4 ,motus autem 9 ,tubis dilatationem sonorum imp$i5tibus t>dis amittitur =tius recurrit1 propt]ea motu novo s+ulis recursibus impresso magis augetur4 ,et hc sunt prcipua ,phnom5a ,sonorum4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,ix4 ,de motu ,circul>i ,fluidorum4 ,hypo!sis4 ,resi/5tiam1 qu oritur ex defectu lubricitatis p>tium ,fluidi1 ct]is p>ibus1 proportionalem esse velocitati1 qua p>tes ,fluidi sep>antur ab invicem4 ,prop4 ,,li4 ,!or4 ,,xxxviii4 ,si ,cyl9drus solidus inf9it longus 9 fluido uni=mi inf9ito circa axem positione datum uni=mi cum motu revolvatur1 ab hujus impulsu solo agatur ,fluidum 9 ,orbem1 p]sev]et autem fluidi p>s unaquque uni=mit] 9 motu suo2 dico quod tempora p]iodica p>tium fluidi sunt ut ips>um di/anti ab axe cyl9dri4 ,illu/ration ,sit ,,afl cyl9drus uni=mit] circa axem ,s 9 orbem actus1 circulis conc5tricis ,,bgm1 ,,*n1 ,,dio1 ,,ekp1 c4 di/+uatur fluidum 9 orbes cyl9dricos innum]os conc5tricos solidos ejusdem crassitud9is4 ,et quoniam homog5eum e/ ,fluidum1 impressiones contiguorum orbium 9 se mutu fact1 erunt 7p] ,hypo!s97 ut eorum translationes ab invicem sup]ficies contigu 9 quibus impressiones fiunt4 ,si impressio 9 ,orbem aliquem major e/ vel m9or1 ex p>te concava qum ex p>te convexa1 prvalebit impressio =tior1 motum ,orbis vel accel]abit vel ret>dabit pr\t 9 e&em regionem cum ipsius motu1 vel 9 contr>iam dirigitur4 ,pro9de ut ,orbis unusquisque 9 motu suo uni=mit] p]sev]et1 deb5t impressiones ex p>te utraque sibi invicem qu>i1 fi]i 9 regiones contr>ias4 ,unde cm impressiones sunt ut contigu sup]ficies h>um translationes ab invicem1 erunt translationes inv]s ut sup]ficies1 hoc e/ inv]s ut sup]fici]um di/anti ab axe4 ,sunt autem diff]5ti motuum angul>ium circa axem ut h translationes applicat ad di/antias1 sive ut translationes direct di/anti inv]s2 hoc e/ 7conjunctis rationibus7 ut quadrata di/anti>um inv]s4 ,qu>e si ad inf9it rect ,,sabcdeq p>tes s+ulas erigantur p]p5dicula ,aa1 ,bb1 ,cc1 ,dd1 ,ee1 c4 ips>um ,,sa1 ,,sb1 ,,sc1 ,,sd1 ,,se1 c4 quadratis reciproc proportionalia1 p] t]m9os p]p5dicul>ium duci intelligatur l9ea curva ,hyp]bolica2 erunt summ di/anti>um1 hoc e/ motus toti angul>es1 ut respond5tes summ l9e>um ,aa1 ,bb1 ,cc1 ,dd1 ,ee3 id e/1 si ad con/itu5dum ,m$ium uni=mit] fluidum orbium num]us augeatur latitudo m9uatur 9 inf9itum1 ut are ,hyp]bolic 8 summis ,analog ,aa,q1 ,bb,q1 ,cc,q1 ,dd,q1 ,ee,q1 c4 tempora motibus angul>ibus reciproc proportionalia erunt etiam 8 areis reciproc proportionalia4 ,e/ igitur tempus p]iodicum p>ticul cujusvis ,d reciproc ut area ,dd,q1 hoc e/1 7p] notas ,curv>um quadraturas7 direct ut di/antia ,,sd4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,h9c motus angul>es p>ticul>um fluidi sunt reciproc ut ips>um di/anti ab axe ,cyl9dri1 velocitates absolut sunt quales4 ,corol4 #b4 ,si fluidum 9 vase cyl9drico longitud9is inf9it cont9eantur1 cyl9drum alium int]iorem cont9eat1 revolvatur autem cyl9drus ut]que circa axem communem1 s9tque revolutionum tempora ut ipsorum semidiametri1 p]sev]et fluidi p>s unaquque 9 motu suo3 erunt p>tium s+ul>um tempora p]iodica ut ips>um di/anti ab axe cyl9drorum4 ,corol4 #c4 ,si cyl9dro fluido ad hunc modum motis addatur vel auf]atur communis quilibet motus angul>is2 quoniam hoc novo motu non mutatur attritus mutuus p>tium fluidi1 non mutabuntur motus p>tium int] se4 ,nam translationes p>tium ab invicem p5d5t ab attritu4 ,p>s qulibet 9 eo p]sev]abit motu1 qui attritu utr9que 9 contr>ias p>tes facto1 non magis accel]atur qum ret>datur4 ,corol4 #d4 ,unde si toti cyl9drorum fluidi ,sy/emati auf]atur motus omnis angul>is cyl9dri ext]ioris1 habebitur motus fluidi 9 cyl9dro quiesc5te4 ,corol4 #e4 ,igitur si fluido cyl9dro ext]iore quiesc5tibus1 revolvatur cyl9drus int]ior uni=mit]1 communicabitur motus circul>is fluido1 paulatim p] totum fluidum propagabitur2 nec prius des9et aug]i qum fluidi p>tes s+ul motum ,coroll>io qu>to def9itum acquirant4 ,corol4 #f4 ,et quoniam fluidum conatur motum suum adhuc latius propag>e1 hujus impetu circumagetur etiam cyl9drus ext]ior nisi viol5t] det5tus2 accel]abitur ejus motus quoad usque tempora p]iodica cyl9dri utriusque qu5tur int] se4 ,quod si cyl9drus ext]ior viol5t] det9eatur1 conabitur is motum fluidi ret>d>e1 nisi cyl9drus int]ior vi aliqua extr9secs impressa motum illum cons]vet1 efficiet ut idem paulatim cesset4 ,qu omnia 9 aqua pr(unda /agnante exp]iri licet4 ,prop4 ,,lii4 ,!or4 ,,xxxix4 ,si ,sphra solida1 9 fluido uni=mi inf9ito1 circa axem positione datum uni=mi cum motu revolvatur1 ab hujus impulsu solo agatur fluidum 9 orbem2 p]sev]et autem fluidi p>s unaquque uni=mit] 9 motu suo3 dico quod tempora p]iodica p>tium fluidi erunt ut quadrata di/anti>um c5tro ,sphr4 ,fig4 ,prop4 ,,li4 ,cas4 #a4 ,sit ,,afl sphra uni=mit] circa axem ,s 9 orbem acta1 circulis conc5tricis ,,bgm1 ,,*n1 ,,dio1 ,,ekp1 c4 di/+uatur fluidum 9 orbes innum]os conc5tricos ejusdem crassitud9is4 ,f+e autem orbes illos esse solidos2 quoniam homog5eum e/ fluidum1 impressiones contiguorum ,orbium 9 se mutu fact1 erunt 7p] ,hypo!s97 ut eorum translationes ab invicem sup]ficies contigu 9 quibus impressiones fiunt4 ,si impressio 9 orbem aliquem major e/ vel m9or ex p>te concava qum ex p>te convexa1 prvalebit impressio =tior1 velocitatem ,orbis vel accel]abit vel ret>dabit1 pr\t 9 e&em regionem cum ipsius motu vel 9 contr>iam dirigitur4 ,pro9de ut orbis unusquisque 9 motu suo p]sev]et uni=mit]1 debebunt impressiones ex p>te utraque sibi invicem qu>i1 fi]i 9 regiones contr>ias4 ,unde cum impressiones s9t ut contigu sup]ficies h>um translationes ab invicem2 erunt translationes inv]s ut sup]ficies1 hoc e/ inv]s ut quadrata di/anti>um sup]fici]um c5tro4 ,sunt autem diff]5ti motuum angul>ium circa axem ut h translationes applicat ad di/antias1 sive ut translationes direct di/anti inv]s2 hoc e/ 7conjunctis rationibus7 ut cubi di/anti>um inv]s4 ,qu>e si ad rect inf9it ,,sabcdeq p>tes s+ulas erigantur p]p5dicula ,aa1 ,bb1 ,cc1 ,dd1 ,ee1 c4 ips>um ,,sa1 ,,sb1 ,,sc1 ,,sd1 ,,se1 c4 cubis reciproc proportionalia1 erunt summ di/anti>um1 hoc e/1 motus toti angul>es1 ut respond5tes summ l9e>um ,aa1 ,bb1 ,cc1 ,dd1 ,ee3 id e/ 7si ad con/itu5dum ,m$ium uni=mit] fluidum1 num]us ,orbium augeatur latitudo m9uatur 9 inf9itum7 ut are ,hyp]bolic 8 summis analog ,aa,q1 ,bb,q1 ,cc,q1 ,dd,q1 ,ee,q1 c4 ,et tempora p]iodica motibus angul>ibus reciproc proportionalia erunt etiam 8 areis reciproc proportionalia4 ,e/ igitur tempus p]iodicum orbis cujusvis ,,dio reciproc ut area ,dd,q1 hoc e/1 7p] notas ,curv>um quadraturas7 direct ut quadratum di/anti ,,sd4 ,id quod volui prim demon/r>e4 ,cas4 #b4 ,a c5tro ,sphr ducantur inf9it rect quam plurim1 qu cum axe datos cont9eant angulos1 qualibus diff]5tiis se mutu sup]antes2 8 rectis circa axem revolutis concipe orbes 9 annulos innum]os sec>i2 annulus unusquisque habebit annulos quatuor sibi contiguos1 unum int]iorem1 alt]um ext]iorem duos lat]ales4 ,attritu int]ioris ext]ioris non pote/ annulus unusquisque1 nisi 9 motu juxta legem casus primi facto1 qualit] 9 p>tes contr>ias urg]i4 ,patet hoc ex demon/ratione casus primi4 ,et propt]ea annulorum s]ies qulibet globo 9 inf9itum rect p]g5s movebitur pro lege casus primi1 nisi quat5us imp$itur ab attritu annulorum ad lat]a4 ,at 9 motu hac lege facto1 attritus annulorum ad lat]a nullus e/1 neque ade motum1 quo m9us hac lege fiat1 imp$iet4 ,si annuli1 qui c5tro qualit] di/ant1 vel citis revolv]5tur vel t>dis juxta polos qum juxta quatorem2 t>diores accel]>5tur1 velociores ret>d>5tur ab attritu mutuo1 sic v]g]5t semp] tempora p]iodica ad qualitatem1 pro lege casus primi4 ,non imp$it igitur hic attritus quo m9us motus fiat secundum legem casus primi1 propt]ea lex illa obt9ebit3 hoc e/ annulorum s+ulorum tempora p]iodica erunt ut quadrata di/anti>um ipsorum c5tro globi4 ,quod volui secundo demon/r>e4 ,cas4 #c4 ,dividatur jam annulus unusquisque sectionibus transv]sis 9 p>ticulas innum]as con/itu5tes sub/antiam absolut uni=mit] fluidam2 quoniam h sectiones non spectant ad legem motus circul>is1 s$ ad con/itutionem fluidi solummodo conducunt1 p]sev]abit motus circul>is ut pris4 ,8 sectionibus annuli omnes quamm9imi asp]itatem vim attritus mutui aut non mutabunt aut mutabunt qualit]4 ,et man5te caus>um proportione manebit effectuum proportio1 hoc e/ proportio motuum p]iodicorum temporum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,ct]um cum motus circul>is1 ab9de orta vis c5trifuga1 major sit ad ,eclipticam qum ad polos2 debebit causa aliqua adesse qua p>ticul s+ul 9 circulis suis ret9eantur1 ne mat]ia qu ad ,eclipticam e/ rec$at semp] c5tro p] ext]iora ,vorticis migret ad polos1 indeque p] axem ad ,eclipticam circulatione p]petua rev]tatur4 ,corol4 #a4 ,h9c motus angul>es p>tium fluidi circa axem globi sunt reciproc ut quadrata di/anti>um c5tro globi1 velocitates absolut reciproc ut eadem quadrata applicata ad di/antias ab axe4 ,corol4 #b4 ,si globus 9 fluido quiesc5te simil>i inf9ito circa axem positione datum uni=mi cum motu revolvatur1 communicabitur motus fluido 9 morem ,vorticis1 motus i/e paulatim propagabitur 9 inf9itum2 neque prius cessabit 9 s+ulis fluidi p>tibus accel]>i1 qum tempora p]iodica s+ul>um p>tium s9t ut quadrata di/anti>um c5tro globi4 ,corol4 #c4 ,quoniam ,vorticis p>tes int]iores ob majorem suam velocitatem att]unt urg5t ext]iores1 motumque ipsis ea actione p]petu communicant1 ext]iores illi e&em motus quantitatem 9 alios adhuc ext]iores simul transf]unt1 eaque actione s]vant quantitatem motus sui plan inv>iatam2 patet quod motus p]petu transf]tur c5tro ad circumf]5tiam ,vorticis1 p] inf9itatem circumf]5ti absorbetur4 ,mat]ia int] sphricas duas quasvis sup]ficies ,vortici conc5tricas nunquam accel]abitur1 e quod motum omnem mat]ia int]iore acceptum transf]t semp] 9 ext]iorem4 ,corol4 #d4 ,pro9de ad cons]vationem ,vorticis con/ant] 9 eodem mov5di /atu1 requiritur pr9cipium aliquod activum quo globus e&em semp] quantitatem motus accipiat quam imprimit 9 mat]iam vorticis4 ,absque tali pr9cipio necesse e/ ut globus ,vorticis p>tes int]iores1 propagantes semp] motum suum 9 ext]iores1 neque novum aliquem motum recipi5tes1 t>descant paulatim 9 orbem agi des9ant4 ,corol4 #e4 ,si globus alt] huic ,vortici ad c]tam ab ipsius c5tro di/antiam innat>et1 int]ea circa axem incl9atione datum vi aliqua con/ant] revolv]etur2 hujus motu rap]etur fluidum 9 vorticem3 prim revolv]etur hic vortex novus exiguus una cum globo circa c5trum alt]ius1 int]ea latis s]p]et ipsius motus1 paulatim propag>etur 9 inf9itum1 ad modum vorticis primi4 ,et eadem ratione qua hujus globus rap]etur motu vorticis alt]ius1 rap]etur etiam globus alt]ius motu hujus1 sic ut globi duo circa int]m$ium aliquod punctum revolv]5tur1 seque mutu ob motum illum circul>em fug]5t1 nisi p] vim aliquam cohibiti4 ,po/ea si vires con/ant] impress1 quibus globi 9 motibus suis p]sev]ant1 cess>5t1 omnia legibus ,me*anicis p]mitt]5tur1 languesc]et paulatim motus globorum 7ob rationem 9 ,corol4 #c4 #d4 assignatam7 vortices t&em conquiesc]5t4 ,corol4 #f4 ,si globi plures datis 9 locis circum axes positione datos c]tis cum velocitatibus con/ant] revolv]5tur1 fi]5t vortices totidem 9 inf9itum p]g5tes4 ,nam globi s+uli1 eadem ratione qua unus aliquis motum suum propagat 9 inf9itum1 propagabunt etiam motus suos 9 inf9itum1 ade ut fluidi inf9iti p>s unaquque eo agitetur motu qui ex omnium globorum actionibus resultat4 ,unde vortices non def9i5tur c]tis limitibus1 s$ 9 se mutu paulatim excurr5t2 globiq2 p] actiones vorticum 9 se mutu1 p]petu movebuntur de locis suis2 uti 9 ,lemmate sup]iore expositum e/2 neq2 c]tam quamvis int] se positionem s]vabunt1 nisi p] vim aliquam ret5ti4 ,cessantibus autem viribus illis qu 9 globos con/ant] impress cons]vant hosce motus1 mat]ia ob rationem 9 ,coroll>io t]tio qu>to assignatam paulatim requiescet 9 vortices agi des9et4 ,corol4 #g4 ,si ,fluidum simil>e claudatur 9 vase sphrico1 ac globi 9 c5tro consi/5tis uni=mi rotatione agatur 9 vorticem1 globus autem vas 9 e&em p>tem circa axem eundem revolvantur1 s9tq2 eorum tempora p]iodica ut quadrata semidiametrorum3 p>tes fluidi non prius p]sev]abunt 9 motibus suis s9e accel]atione ret>datione1 qum s9t eorum tempora p]iodica ut quadrata di/anti>um c5tro vorticis4 ,alia nulla ,vorticis con/itutio pote/ esse p]man5s4 ,corol4 #h4 ,si vas1 ,fluidum inclusum globus s]v5t hunc motum1 motu prt]ea communi angul>i circa axem quemvis datum revolvantur2 quoniam hoc motu novo non mutatur attritus p>tium fluidi 9 se invicem1 non mutabuntur motus p>tium int] se4 ,nam translationes p>tium int] se p5d5t ab attritu4 ,p>s qulibet 9 eo p]sev]abit motu1 quo fit ut attritu ex uno lat]e non magis t>detur qum accel]etur attritu ex alt]o4 ,corol4 #i4 ,unde si vas quiescat ac detur motus globi1 dabitur motus fluidi4 ,nam concipe planum transire p] axem globi motu contr>io revolvi2 pone tempus revolutionis hujus esse ad summam hujus temporis temporis revolutionis globi1 ut quadratum semidiametri vasis ad quadratum semidiametri globi3 tempora p]iodica p>tium fluidi respectu plani hujus erunt ut quadrata di/anti>um su>um c5tro globi4 ,corol4 #aj4 ,pro9de si vas vel circa axem eundem cum globo1 vel circa div]sum aliquem1 data cum velocitate quacunq2 moveatur1 dabitur motus fluidi4 ,nam si ,sy/emati toti auf]atur vasis motus angul>is1 manebunt motus omnes iidem int] se qui prius1 p] ,corol4 #h4 ,et motus i/i p] ,corol4 #i4 dabuntur4 ,corol4 #aa4 ,si vas fluidum quiescant globus uni=mi cum motu revolvatur1 propagabitur motus paulatim p] fluidum totum 9 vas1 circumagetur vas nisi viol5t] det5tum1 neq2 prius des95t fluidum vas accel]>i1 qum s9t eorum tempora p]iodica qualia temporibus p]iodicis globi4 ,quod si vas vi aliqua det9eatur vel revolvatur motu quovis con/anti uni=mi1 dev5iet ,m$ium paulatim ad /atum motus 9 ,coroll>iis #h4 #i #aj def9iti1 nec 9 alio unquam /atu quocunq2 p]sev]abit4 ,de9de v] si1 viribus illis cessantibus quibus vas globus c]tis motibus revolvebantur1 p]mittatur ,sy/ema totum ,legibus ,me*anicis2 vas globus 9 se invicem ag5t m$iante fluido1 neq2 motus suos 9 se mutu p] fluidum propag>e prius cessabunt1 qum eorum tempora p]iodica quantur int] se1 ,sy/ema totum ad in/> corporis unius solidi simul revolvatur4 ,s*olium4 ,9 8 omnibus suppono fluidum ex mat]ia quoad d5sitatem fluiditatem uni=mi con/>e4 ,tale e/ 9 quo globus idem eodem cum motu1 9 eodem temporis int]vallo1 motus similes quales1 ad quales semp] se di/antias1 ubivis 9 fluido con/itutus1 propag>e possit4 ,conatur quidem mat]ia p] motum suum circul>em rec$]e ab axe ,vorticis1 propt]ea premit mat]iam omnem ult]iorem4 ,ex hac pressione fit attritus p>tium =tior sep>atio ab invicem difficilior2 p] consequ5s dim9uitur mat]i fluiditas4 ,rursus si p>tes fluidi sunt alicubi crassiores seu majores1 fluiditas ibi m9or erit1 ob pauciores sup]ficies 9 quibus p>tes sep>5tur ab invicem4 ,9 hujusmodi casibus defici5tem fluiditatem vel lubricitate p>tium vel l5tore aliave aliqua conditione re/itui suppono4 ,hoc nisi fiat1 mat]ia ubi m9s fluida e/ magis cohrebit segnior erit1 adeoq2 motum t>dis recipiet longis propagabit qum pro ratione sup]is assignata4 ,si figura vasis non sit ,sphrica1 movebuntur p>ticul 9 l9eis non circul>ibus s$ con=mibus eidem vasis figur1 tempora p]iodica erunt ut quadrata m$iocrium di/anti>um c5tro quamproxim4 ,9 p>tibus int] c5trum circumf]5tiam1 ubi latiora sunt spatia1 t>diores erunt motus1 ubi angu/iora velociores2 neque tam5 p>ticul velociores pet5t circumf]5tiam4 ,arcus enim describ5t m9us curvos1 conatus rec$5di c5tro non m9us dim9uetur p] decrem5tum hujus curvatur1 qum augebitur p] increm5tum velocitatis4 ,p]g5do spatiis angu/ioribus 9 latiora rec$5t paul longis c5tro1 s$ i/o recessu t>desc5t2 acc$5do po/ea de latioribus ad angu/iora accel]abuntur1 sic p] vices t>desc5t accel]abuntur p>ticul s+ul 9 p]petuum4 ,hc ita se habebunt 9 vase rigido4 ,nam 9 fluido inf9ito con/itutio ,vorticum innotescit p] ,propositionis hujus ,coroll>ium sextum4 ,proprietates autem ,vorticum hac ,propositione inve/ig>e conatus sum1 ut p]t5t>em siqua ratione ,phnom5a coele/ia p] ,vortices explic>i poss9t4 ,nam ,phnom5on e/ quod ,planet>um circa ,jovem revolv5tium tempora p]iodica sunt 9 ratione sesquialt]a di/anti>um c5tro ,jovis2 eadem ,regula obt9et 9 ,planetis qui circa ,solem revolvuntur4 ,obt95t autem h ,regul 9 ,planetis utrisque quam accuratissim1 quat5us obs]vationes ,a/ronomic hact5us prodidre4 ,ideoq2 si ,planet illi ,vorticibus circa ,jovem ,solem revolv5tibus def]antur1 debebunt etiam hi ,vortices eadem lege revolvi4 ,v]um tempora p]iodica p>tium ,vorticis prodi]unt 9 ratione duplicata di/anti>um c5tro motus3 neque pote/ ratio illa dim9ui ad rationem sesquialt]am r$uci1 nisi vel mat]ia vorticis eo fluidior sit quo longius di/at c5tro1 vel resi/5tia1 qu oritur ex defectu lubricitatis p>tium fluidi1 ex aucta velocitate qua p>tes fluidi sep>antur ab invicem1 augeatur 9 majori ratione qum ea e/ 9 qua velocitas augetur4 ,quorum tam5 neutrum rationi cons5taneum videtur4 ,p>tes crassiores m9us fluid 7nisi graves s9t 9 c5trum7 circumf]5tiam pet5t2 v]isimile e/ quod1 etiamsi ,demon/rationum gratia ,hypo!s9 talem initio ,sectionis hujus proposu]im ut ,resi/5tia velocitati proportionalis esset1 tam5 ,resi/5tia 9 m9ori sit ratione qum ea velocitatis e/4 ,quo concesso tempora p]iodica p>tium ,vorticis erunt 9 majori qum duplicata ratione di/anti>um ab ipsius c5tro4 ,quod si vortices 7uti aliquorum e/ op9io7 cel]is moveantur prope c5trum1 de9 t>dis usque ad c]tum limitem1 tum d5u cel]is juxta circumf]5tiam2 c]t nec ratio sesquialt]a neque alia quvis c]ta ac det]m9ata obt9]e pote/4 ,vid]9t itaq2 ,philosophi quo pacto ,phnom5on illud rationis sesquialt] p] ,vortices explic>i possit4 ,prop4 ,,liii4 ,!or4 ,,xl4 ,corpora qu 9 ,vortice delata 9 orbem r$eunt ejusdem sunt d5sitatis cum ,vortice1 eadem lege cum ipsius p>tibus 7quoad velocitatem cursus det]m9ationem7 mov5tur4 ,nam si vorticis p>s aliqua exigua1 cujus p>ticul seu puncta physica datum s]vant situm int] se1 congel>i supponatur3 hc1 quoniam neq2 quoad d5sitatem suam1 neque quoad vim insitam aut figuram suam mutatur1 movebitur eadem lege ac prius3 contra1 si ,vorticis p>s congelata solida ejusdem sit d5sitatis cum reliquo vortice1 resolvatur 9 fluidum2 movebitur hc eadem lege ac prius1 nisi quat5us ipsius p>ticul jam fluid fact moveantur int] se4 ,negligatur igitur motus p>ticul>um int] se1 tanquam ad totius motum progressivum nil spectans1 motus totius idem erit ac prius4 ,motus autem idem erit cum motu ali>um ,vorticis p>tium c5tro qualit] di/antium1 propt]ea quod solidum 9 ,fluidum resolutum fit p>s ,vorticis ct]is p>tibus consimilis4 ,ergo solidum1 si sit ejusdem d5sitatis cum mat]ia ,vorticis1 eodem motu cum ipsius p>tibus movebitur1 9 mat]ia proxim ambi5te relative quiesc5s4 ,s9 d5sius sit1 jam magis conabitur rec$]e c5tro ,vorticis qum pris2 adeoq2 ,vorticis vim illam1 qua pris 9 ,orbita sua tanquam 9 quilibrio con/itutum ret9ebatur1 jam sup]ans1 rec$et c5tro revolv5do describet ,spiralem1 non amplius 9 eundem ,orbem r$i5s4 ,et eodem argum5to si r>ius sit1 acc$et ad c5trum4 ,igitur non r$ibit 9 eundem ,orbem nisi sit ejusdem d5sitatis cum fluido4 ,eo autem 9 casu o/5sum e/1 quod revolv]etur eadem lege cum p>tibus fluidi c5tro ,vorticis qualit] di/antibus4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,ergo solidum quod 9 ,vortice revolvitur 9 eundem ,orbem semp] r$it1 relativ quiescit 9 fluido cui innatat4 ,corol4 #b4 ,et si vortex sit quoad d5sitatem uni=mis1 corpus idem ad quamlibet c5tro ,vorticis di/antiam revolvi pote/4 ,s*olium4 ,illu/ration ,h9c liquet ,planetas ,vorticibus corporeis non def]ri4 ,nam ,planet secundum ,hypo!s9 ,cop]nicam circa ,solem delati revolvuntur 9 ,ellipsibus umbilicum hab5tibus 9 ,sole1 radiis ad ,solem ductis areas describunt temporibus proportionales4 ,at p>tes ,vorticis tali motu revolvi nequeunt4 ,design5t ,,ad1 ,,be1 ,,cf1 orbes tres circa ,solem ,s descriptos1 quorum extimus ,,cf circulus sit ,soli conc5tricus1 int]iorum duorum ,aphelia s9t ,a1 ,b1 ,p]ihelia ,d1 ,e4 ,ergo corpus quod revolvitur 9 orbe ,,cf1 radio ad ,solem ducto areas temporibus proportionales describ5do1 movebitur uni=mi cum motu4 ,corpus autem quod revolvitur 9 ,orbe ,,be1 t>dis movebitur 9 ,aphelio ,b velocis 9 ,p]ihelio ,c1 secundum leges ,a/ronomicas2 cum tam5 secundum leges ,me*anicas mat]ia ,vorticis 9 spatio angu/iore int] ,a ,c velocis mov]i debeat qum 9 spatio latiore int] ,d ,f2 id e/1 9 ,aphelio velocis qum 9 ,p]ihelio4 ,qu duo repugnant int] se4 ,sic 9 pr9cipio ,signi ,virg9is1 ubi ,aphelium ,m>tis jam v]satur1 di/antia int] orbes ,m>tis ,v5]is e/ ad di/antiam eorundem orbium 9 pr9cipio ,signi ,piscium ut tria ad duo circit]1 propt]ea mat]ia ,vorticis int] ,orbes illos 9 pr9cipio ,piscium debet esse velocior qum 9 pr9cipio ,virg9is 9 ratione trium ad duo4 ,nam quo angu/ius e/ spatium p] quod eadem ,mat]i quantitas eodem revolutionis unius tempore transit1 eo majori cum velocitate transire debet4 ,igitur si ,t]ra 9 hac ,mat]ia coele/i relativ quiesc5s ab ea def]retur1 una circa ,solem revolv]etur1 =et hujus velocitas 9 pr9cipio ,piscium ad ejusdem velocitatem 9 pr9cipio ,virg9is 9 ratione sesquialt]a4 ,unde ,solis motus diurnus app>5s 9 pr9cipio ,virg9is major esset qum m9utorum primorum septuag9ta1 9 pr9cipio ,piscium m9or qum m9utorum quadrag9ta octo3 cum tam5 7exp]i5tia te/e7 app>5s i/e ,solis motus major sit 9 pr9cipio ,piscium qum 9 pr9cipio ,virg9is1 propt]ea ,t]ra velocior 9 pr9cipio ,virg9is qum 9 pr9cipio ,piscium4 ,itaq2 ,hypo!sis ,vorticum cum ,phnom5is ,a/ronomicis omn9 pugnat1 non tam ad explic&os qum ad p]turb&os motus coele/es conducit4 ,quomodo v] motus i/i 9 spatiis lib]is absque ,vorticibus p]aguntur intelligi pote/ ex ,libro primo1 9 ,mundi ,sy/emate pl5is docebitur4 99 99 99 99 99 ,de ,mundi ,sy/emate ,,lib] ,,t]tius ,9 ,libris prc$5tibus pr9cipia ,philosophi tradidi1 non tam5 ,philosophica s$ ,ma!matica tantum1 ex quibus videlicet 9 rebus ,philosophicis disput>i possit4 ,hc sunt motuum virium leges conditiones1 qu ad ,philosophiam maxim spectant4 ,eadem tam51 ne /]ilia videantur1 illu/ravi ,s*oliis quibusdam ,philosophicis1 ea tractans qu g5]alia sunt1 9 quibus ,philosophia maxim fund>i videtur1 uti corporum d5sitatem resi/5tiam1 spatia corporibus vacua1 motumque ,lucis ,sonorum4 ,sup]e/ ut ex iisdem pr9cipiis doceamus con/itutionem ,sy/ematis ,mundani4 ,de hoc argum5to composu]am ,librum t]tium me?odo popul>i1 ut pluribus leg]etur4 ,s$ quibus ,pr9cipia posita satis intellecta non fu]9t1 ij vim consequ5ti>um m9im p]cipi5t1 neque prjudicia depon5t quibus multis retro annis insuev]unt3 propt]ea ne res 9 disputationes trahatur1 summam libri illius tran/uli 9 ,propositiones1 m ,ma!matico1 ut ab iis solis legantur qui pr9cipia prius evolv]9t4 ,v]untam5 quoniam ,propositiones ibi quam plurim occurrant1 qu ,lectoribus etiam ,ma!matic doctis moram nimiam injic]e poss9t1 au?or esse nolo ut quisquam eas omnes evolvat2 suffec]it siquis ,def9itiones1 ,leges motuum sectiones tres priores ,libri primi s$ul legat1 de9 transeat ad hunc ,librum de ,mundi ,sy/emate1 reliquas ,librorum priorum ,propositiones hic citatas pro lubitu consulat4 ,,hypo!ses4 ,hypo?4 ,i4 ,causas r]um naturalium non plures admitti deb]e1 qum qu v]a s9t e>um ,phnom5is explic&is sufficiunt4 ,natura enim simplex e/ r]um causis sup]fluis non luxuriat4 ,hypo?4 ,,ii4 ,ideoque effectuum naturalium ejusdem g5]is edem sunt caus4 ,uti respirationis 9 ,hom9e 9 ,be/ia2 desc5sus lapidum 9 ,europa 9 ,am]ica2 ,lucis 9 ,igne cul9>i 9 ,sole2 reflexionis lucis 9 ,t]ra 9 ,planetis4 ,hypo?4 ,,iii4 ,corpus omne 9 alt]ius cujuscunque g5]is corpus trans=m>i posse1 qualitatum gradus omnes int]m$ios sucessiv indu]e4 ,hypo?4 ,,iv4 ,c5trum ,sy/ematis ,mundani quiesc]e4 ,hoc ab omnibus concessum e/1 dum aliqui ,t]ram alii ,solem 9 c5tro quiesc]e cont5dat4 ,hypo?4 ,v4 ,planetas circumjoviales1 radiis ad c5trum ,jovis ductis1 areas describ]e temporibus proportionales1 eorumque tempora p]iodica esse 9 ratione sesquialt]a di/anti>um ab ipsius c5tro4 ,con/at ex obs]vationibus ,a/ronomicis4 ,orbes horum ,planet>um non diff]unt s5sibilit] circulis ,jovi conc5tricis1 motus eorum 9 8 circulis uni=mes depreh5duntur4 ,tempora v] p]iodica esse 9 sesquialt]a semidiametrorum orbium cons5tiunt ,a/ronomici3 ,flam/$ius1 qui omnia ,micrometro p] ,eclipses ,satellitum accuratius def9ivit1 lit]is ad me datis1 qu9etiam num]is suis mecum communicatis1 significavit rationem illam sesquialt]am tam accurat obt9]e1 qum sit possibile s5su depreh5d]e4 ,id qud ex ,tabula sequ5te manife/um e/4 ,satellitum tempora p]iodica4 #a;d4 #ah;h4 #bh'-c_/e4 #c;d4 #ac;h4 #ag'-i_/aj4 #g;d4 #c;h4 #ei'-c_/e4 #af;d4 #ah;h4 #e'-a_/e4 ,di/anti ,satellitum c5tro ,jovis4 ,ex ,obs]vationibus #a4 #b #c #d --------------------------------- ,cass9i #e4 #h4 #ac4 #bc4 ,borelli #e-b_/c4 #h-b_/c4 #ad4 #bd-b_/c4 ,semi- ,t\nlei p] ,micromet4 #e1ea4 #h1gh4 #ac1dg4 #bd1gb4 diam4 ,flam/$ii p] ,microm4 #e1ca4 #h1he4 #ac1ih4 #bd1bc4 ,jovis4 ,flam/4 p] ,eclips4 ,satel4 #e1egh4 #h1hgf4 #ad1aei4 #bd1ijc4 ---------------------------------------- ------------------- ,ex temporibus p]iodicis4 #e1egh4 #h1hgh4 #ad1afh4 #bd1ifh4 ,hypo?4 ,,vi4 ,planetas qu9que prim>ios ,m]curium1 ,v5]em1 ,m>tem1 ,jovem ,saturnum ,orbibus suis ,solem c+]e4 ,m]curium ,v5]em circa ,solem revolvi ex eorum phasibus lun>ibus demon/ratur4 ,pl5 facie luc5tes ultra ,solem siti sunt1 dimidiat regione ,solis1 falcat cis ,solem2 p] discum ejus ad modum macul>um nonnunquam transeuntes4 ,ex ,m>tis quoque pl5a facie prope ,solis conjunctionem1 gibbosa 9 quadraturis1 c]tum e/ quod is ,solem ambit4 ,de ,jove etiam ,saturno idem ex eorum phasibus semp] pl5is demon/ratur4 ,hypo?4 ,,vii4 ,planet>um qu9que prim>iorum1 7vel ,solis circa ,t]ram vel7 ,t]r circa ,solem tempora p]iodica esse 9 ratione sesquialt]a m$iocrium di/anti>um ,sole4 ,hc ,kepl]o inv5ta ratio 9 confesso e/ apud omnes4 ,eadem utique sunt tempora p]iodica1 edemq2 orbium dim5siones1 sive ,planet circa ,t]ram1 sive iidem circa ,solem revolvantur4 ,ac de m5sura quidem temporum p]iodicorum conv5it int] ,a/ronomos univ]sos4 ,magnitud9es autem ,orbium ,kepl]us ,bullialdus omnium dilig5tissim ex ,obs]vationibus det]m9av]unt3 di/anti m$iocres1 qu temporibus p]iodicis respond5t1 non diff]unt s5sibilit] di/antiis quas illi inv5]unt1 suntque int] ipsas ut plurimum int]m$i2 uti 9 ,tabula sequ5te vid]e licet4 ,planet>um ac ,telluris ,di/anti m$iocres ,sole4 ,satur4 ,jovis ,m>t4 ,tellur4 ,v5]4 ,m]cur4 ,secundum ,kepl]um #ieajjj4 #eaifej4 #aebcej4 #ajjjjj4 #gbdjj4 #chhjf4 ,secundum ,bullialdum #iedaih4 #ebbebj4 #aebcej4 #ajjjjj4 #gbcih4 #chehe4 ,secundum tempora #iechjf4 #ebjaaf4 #aebcii4 #ajjjjj4 #gbccc4 #chgaj4 p]iodica ,de di/antiis ,m]curii ,v5]is ,sole disput&i non e/ locus1 cum h p] eorum ,elongationes ,sole det]m95tur4 ,de di/antiis etiam sup]iorum ,planet>um ,sole tollitur omnis disputatio p] ,eclipses ,satellitum ,jovis4 ,et5im p] ,eclipses illas det]m9atur positio umbr quam ,jupit] projicit1 eo nom9e habetur ,jovis longitudo ,helioc5trica4 ,ex longitud9ibus autem ,helioc5trica ,geoc5trica int] se collatis det]m9atur di/antia ,jovis4 ,hypo?4 ,,viii4 ,planetas prim>ios radiis ad ,t]ram ductis areas describ]e temporibus m9im proportionales2 at radiis ad ,solem ductis areas temporibus proportionales p]curr]e4 ,nam respectu t]r nunc progr$iuntur1 nunc /ation>ii sunt1 nunc etiam regr$iuntur3 ,at ,solis respectu semp] progr$iuntur1 idque propemodum uni=mi cum motu1 s$ paulo cel]ius tam5 9 ,p]iheliis ac t>dius 9 ,apheliis1 sic ut are>um quabilis sit descriptio4 ,propositio e/ ,a/ronomis notissima1 9 ,jove apprim demon/ratur p] ,eclipses ,satellitum1 quibus ,eclipsibus ,helioc5tricas ,planet hujus longitud9es di/antias ,sole det]m9>i diximus4 ,hypo?4 ,,ix4 ,lunam radio ad c5trum t]r ducto aream tempori proportionalem describ]e4 ,patet ex ,lun motu app>5te cum ipsius diametro app>5te collato4 ,p]turbatur autem motus ,lun>is aliquantulum vi ,solis1 s$ errorum ins5sibiles m9utias ,physicis 9 hisce ,hypo!sibus negligo4 ,prop4 ,i4 ,!or4 ,i4 ,vires1 quibus ,planet circumjoviales p]petuo retrahuntur motibus rectil9eis 9 orbibus suis ret95tur1 respic]e c5trum ,jovis1 esse reciproce ut quadrata di/anti>um locorum ab eodem c5tro4 ,patet p>s prior ,propositionis p] ,hypo?4 ,v4 ,prop4 ,,ii4 vel ,,iii4 ,lib4 ,i4 p>s po/]ior p] ,hypo?4 ,v4 ,corol4 #f4 ,prop4 ,,iv4 ejusdem ,libri4 ,prop4 ,,ii4 ,!or4 ,,ii4 ,vires1 quibus ,planet prim>ii p]petuo retrahuntur motibus rectil9eis1 9 ,orbibus suis ret95tur1 respic]e ,solem1 esse reciproce ut quadrata di/anti>um ab ipsius c5tro4 ,patet p>s prior ,propositionis p] ,hypo?4 ,,viii4 ,prop4 ,,ii4 ,lib4 ,i4 p>s po/]ior p] ,hypo?4 ,,vii4 ,prop4 ,,iv4 ejusdem ,libri4 ,accuratissim autem demon/ratur hc p>s ,propositionis p] quietem ,apheliorum4 ,nam ab]ratio quam m9ima ratione duplicata 7p] ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlv4 ,lib4 ,i47 motum ,apsidum 9 s+ulis revolutionibus notabilem1 9 pluribus enormem effic]e deb]et4 ,prop4 ,,iii4 ,!or4 ,,iii4 ,vim qua ,luna ret9etur 9 ,orbe suo respic]e t]ram1 esse reciproc ut quadratum di/anti locorum ab ipsius c5tro4 ,patet ass]tionis p>s prior1 p] ,hypo?4 ,,ix4 ,prop4 ,,ii4 vel ,,iii4 ,lib4 ,i4 p>s po/]ior p] motum t>dissimum ,lun>is ,apogi4 ,nam motus ille1 qui s+ulis revolutionibus e/ graduum tantum trium 9 consequ5tia1 contemni pote/4 ,patet enim1 p] ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlv4 ,lib4 ,i4 quod si di/antia ,lun c5tro ,t]r dicatur ,d1 vis qua motus talis oriatur1 sit reciproce ut ,d#b-d_/bdc1 id e/ reciproc ut ea ipsius ,d dignitas1 cujus index e/ #b-d_/bdc1 hoc e/ 9 ratione di/anti paulo majore quam duplicata inv]se1 s$ qu vicibus #fj propius ad duplicatam quam ad triplicatam acc$it4 ,tantillus autem accessus m]it contemn5dus e/4 ,oritur v] ab actione ,solis 7uti po/hac dicetur7 propt]ea hic neglig5dus e/4 ,re/at igitur ut vis illa1 qu ad ,t]ram spectat1 sit reciproc ut ,d#b2 id quod etiam pl5ius con/abit1 conf]5do hanc vim cum vi gravitatis1 ut fit 9 ,propositione sequ5te4 ,prop4 ,,iv4 ,!or4 ,,iv4 ,lunam gravit>e 9 t]ram1 vi gravitatis retrahi semp] motu rectil9eo1 9 orbe suo ret9]i4 ,lun di/antia m$iocris c5tro ,t]r e/ semidiametrorum t]re/rium1 secundum pl]osque ,a/ronomorum #ei1 secundum ,v5del9um #fj1 secundum ,cop]nicum #fj-a_/c1 secundum ,kir*]um #fb1 secundum ,ty*onem #ef4 ,a/ ,ty*o1 quotquot ejus ,tabulas refractionum sequuntur1 con/itu5do refractiones ,solis ,lun 7omn9o contra naturam ,lucis7 majores quam fix>um1 idque scrupulis quasi quatuor vel qu9que1 aux]unt ,p>allax9 ,lun scrupulis totidem1 hoc e/ quasi duodecima vel decima qu9ta p>te totius p>allaxeos4 ,corrigatur i/e error1 di/antia evadet quasi #fa semidiametrorum t]re/rium1 f]e ut ab aliis assignatum e/4 ,assumamus di/antiam m$iocrem sexag9ta semidiametrorum2 ,lun>em p]iodum respectu fix>um compl]i diebus #bg1 horis #g1 m9utis primis #dc1 ut ab ,a/ronomis /atuitur2 atque ambitum ,t]r esse p$um ,p>isi5sium #abcbdifjj1 uti ,gallis m5surantibus nup] def9itum e/3 si ,luna motu omni priv>i f+atur1 ac dimitti ut1 urg5te vi illa omni qua 9 ,orbe suo ret9etur1 desc5dat 9 t]ram2 hc spatio m9uti primi cad5do describet p$es ,p>isi5ses #ae-a_/ab4 ,colligitur hoc ex calculo1 vel p] ,propositionem xxxvi ,libri primi1 vel 7quod eodem rec$it7 p] ,s*olium ,propositionis qu>t ejusdem ,libri1 confecto4 ,unde cum vis illa acc$5do ad t]ram augeatur 9 duplicata di/anti ratione inv]s1 adeoque ad sup]ficiem ,t]r major sit vicibus #fj #fj quam ad ,lunam1 corpus vi illa 9 regionibus no/ris cad5do describ]e deb]et spatio m9uti unius primi p$es ,p>isi5ses #fj #fj #ae-a_/ab1 spatio m9uti unius secundi p$es #ae-a_/ab4 ,atqui corpora 9 regionibus no/ris vi gravitatis cad5do describunt tempore m9uti unius secundi p$es ,p>isi5ses #ae-a_/ab1 uti ,hug5ius1 factis p5dulorum exp]im5tis computo inde inito1 demon/ravit3 propt]ea vis qua ,luna 9 orbe suo ret9etur1 illa ipsa e/ quam nos gravitatem dic]e solemus4 ,nam si gravitas ab ea div]sa e/1 corpora viribus utrisque conjunctis ,t]ram pet5do duplo velocius desc5d5t1 spatio m9uti unius secundi cad5do describ5t p$es ,p>isi5ses #cj-a_/f3 omn9o contra exp]i5tiam4 ,calculus hic fundatur 9 ,hypo!si quod ,t]ra quiescit4 ,nam si ,t]ra ,luna circa ,solem moveantur1 int]ea quoque circa commune gravitatis c5trum revolvantur3 di/antia c5trorum ,lun ac ,t]r ab invicem erit #fj semidiametrorum t]re/rium2 uti computationem 7p] ,prop4 ,,lx4 ,lib4 ,i47 ineunti patebit4 ,prop4 ,v4 ,!or4 ,v4 ,planetas circumjoviales gravit>e 9 ,jovem1 circumsol>es 9 ,solem1 vi gravitatis su retrahi semp] motibus rectil9eis1 9 orbibus curvil9eis ret9]i4 ,nam revolutiones ,planet>um circumjovialium circa ,jovem1 ,m]curii ac ,v5]is reliquorumque circumsol>ium circa ,solem sunt ,phnom5a ejusdem g5]is cum revolutione ,lun circa ,t]ram2 propt]ea p] ,hypo?4 ,,ii4 causis ejusdem g5]is dep5d5t3 prs]tim cm demon/ratum sit quod vires1 quibus revolutiones ill dep5d5t1 respiciant c5tra ,jovis ac ,solis1 rec$5do ,jove ,sole decrescant eadem ratione ac lege1 qua vis gravitatis decrescit 9 recessu ,t]ra4 ,corol4 #a4 ,igitur gravitas datur 9 ,planetas univ]sos4 ,nam ,v5]em1 ,m]curium ct]osque esse corpora ejusdem g5]is cum ,jove nemo dubitat4 ,c]te ,planeta ,hug5ianus1 eodem argum5to quo ,satellites ,jovis gravitant 9 ,jovem1 gravis e/ 9 ,saturnum4 ,et cum attractio omnis 7p] motus legem t]tiam7 mutua sit1 ,saturnus vicissim gravitabit 9 ,planetam ,hug5ianum4 ,eodem argum5to ,jupit] 9 ,satellites suos omnes1 ,t]raque 9 ,lunam1 ,sol 9 ,planetas omnes prim>ios gravitabit4 ,corol4 #b4 ,gravitatem1 qu ,planetam unumquemque respicit1 ese reciproc ut quadratum di/anti locorum ab ipsius c5tro4 ,prop4 ,,vi4 ,!or4 ,,vi4 ,corpora omnia 9 ,planetas s+ulos gravit>e1 pond]a eorum 9 eundem quemvis ,planetam1 p>ibus di/antiis c5tro ,planet1 proportionalia esse quantitati mat]i 9 s+ulis4 ,desc5sus gravium omnium 9 ,t]ram 7dempta saltem 9quali ret>datione qu ex ,a]is p]exigua resi/5tia oritur7 qualibus temporibus fi]i jamdudum obs]v>unt alii2 accuratissim quidem not>e licet qualitatem temporum 9 ,p5dulis4 ,rem t5tavi 9 auro1 arg5to1 plumbo1 vitro1 ar5a1 sale communi1 ligno1 aqua1 tritico4 ,comp>abam pixides duas ligneas rotundas quales4 ,unam implebam ligno1 idem auri pondus susp5debam 7qum potui exact7 9 alt]ius c5tro oscillationis4 ,pixides ab qualibus p$um undecim filis p5d5tes con/ituebant ,p5dula1 quoad pondus1 figuram a]is resi/5tia omn9o p>ia3 ,et p>ibus oscillationibus juxta posit ibant un r$ibant diutissime4 ,pro9de copia mat]i 9 auro 7p] ,corol4 #a4 #f4 ,prop4 ,,xxiv4 ,lib4 ,,ii47 erat ad copiam mat]i 9 ligno1 ut vis motricis actio 9 totum aurum ad ejusdem actionem 9 totum lignum2 hoc e/ ut pondus ad pondus4 ,et sit 9 ct]is4 ,9 corporibus ejusdem pond]is diff]5tia mat]i1 qu vel m9or esset qum p>s millesima mat]i totius1 8 exp]im5tis manife/ depreh5di potuit4 ,jam v] naturam gravitatis 9 ,planetas e&em esse atque 9 ,t]ram non e/ dubium4 ,elev>i enim f+antur corpora hc ,t]re/ria ad usque ,orbem ,lun1 una cum ,lun motu omni privata demitti1 ut 9 ,t]ram simul cadant2 p] jam ante o/5sa c]tum e/ quod temporibus qualibus describ5t qualia ,spatia cum ,luna1 adeoque quod sunt ad quantitatem mat]i 9 ,luna1 ut pond]a sua ad ipsius pondus4 ,porr quoniam ,satellites ,jovis temporibus revolvuntur qu sunt 9 ratione sesquialt]a di/anti>um a c5tro ,jovis1 erunt eorum gravitates accel]atrices 9 ,jovem reciproc ut quadrata di/anti>um c5tro ,jovis2 propt]ea 9 qualibus ,jove di/antiis eorum gravitates accel]atrices evad]5t quales4 ,pro9de temporibus qualibus ab qualibus altitud9ibus cad5do describ]5t qualia ,spatia1 p]9de ut fit 9 gravibus1 9 hac ,t]ra no/ra4 ,et eodem argum5to ,planet circumsol>es ab qualibus ,sole di/antiis dimissi1 desc5su suo 9 ,solem qualibus temporibus qualia spatia describ]5t4 ,vires autem1 quibus corpora 9qualia qualit] accel]antur1 sunt ut corpora2 hoc e/ pond]a ut quantitates mat]i 9 ,planetis4 ,porr ,jovis ejus ,satellitum pond]a 9 ,solem proportionalia esse quantitatibus mat]i eorum1 patet ex motu ,satellitum quam maxime regul>i2 p] ,corol4 #c4 ,prop4 ,,lxv4 ,lib4 ,i4 ,nam si horum aliqui magis trah]5tur 9 ,solem pro quantitate mat]i su qum ct]i1 motus ,satellitum 7p] ,corol4 #b4 ,prop4 ,,lxv4 ,lib4 ,i47 ex 9qualitate attractionis p]turb>5tur4 ,si 7p>ibus ,sole di/antiis7 ,satelles aliquis gravior esset 9 ,solem pro quantitate mat]i su1 quam ,jupit] pro quantitate mat]i su1 9 ratione quacunque data1 puta d ad e3 di/antia int] c5trum ,solis c5trum ,orbis ,satellitis major semp] =et quam di/antia int] c5trum ,solis c5trum ,jovis 9 ratione dimidiata quam proxim2 uti calculis quibusdam initis inv5i4 ,et si ,satelles m9us gravis esset 9 ,solem 9 ratione illa d ad e1 di/antia c5tri ,orbis ,satellitis ,sole m9or =et qum di/antia c5tri ,jovis ,sole 9 ratione illa dimidiata4 ,igitur si 9 qualibus ,sole di/antiis1 gravitas accel]atrix ,satellitis cujusvis 9 ,solem major esset vel m9or qum gravitas accel]atrix ,jovis 9 ,solem1 p>te tantum millesima gravitatis totius2 =et di/antia c5tri ,orbis ,satellitis ,sole major vel m9or qum di/antia ,jovis ,sole p>te #a_/bfjj di/anti totius1 id e/ p>te qu9ta di/anti ,satellitis extimi c5tro ,jovis3 ,qu quidem ,orbis exc5tricitas =et valde s5sibilis4 ,s$ ,orbes ,satellitum sunt ,jovi conc5trici1 propt]ea gravitates accel]atrices ,jovis ,satellitum 9 ,solem quantur int] se4 ,et eodem argum5to pond]a ,saturni ,comitis ejus 9 ,solem1 9 qualibus ,sole di/antiis1 sunt ut quantitates mat]i 9 ipsis3 ,et pond]a ,lun ac ,t]r 9 ,solem vel nulla sunt1 vel e>um massis accurat proportionalia4 ,qu9etiam pond]a p>tium s+ul>um ,planet cujusque 9 alium quemcunque sunt int] se ut mat]ia 9 p>tibus s+ulis4 ,nam si p>tes aliqu plus gravit>5t1 ali m9us1 qum pro quantitate mat]i1 ,planeta totus1 pro g5]e p>tium quibus maxim abundet1 gravit>et magis vel m9us qum pro quantitate mat]i totius4 ,s$ nec ref]t utrum p>tes ill ext]n s9t vel int]n4 ,nam si v]bi gratia corpora ,t]re/ria1 qu apud nos sunt1 9 ,orbem ,lun elev>i f+antur1 conf]antur cum corpore ,lun3 ,si horum pond]a ess5t ad pond]a p>tium ext]n>um ,lun ut quantitates mat]i 9 iisdem1 ad pond]a v] p>tium int]n>um 9 majori vel m9ori ratione1 =5t eadem ad pondus ,lun totius 9 majori vel m9ori ratione3 contra quam supra o/5sum e/4 ,corol4 #a4 ,h9c pond]a corporum non p5d5t ab eorum =mis texturis4 ,nam si cum =mis v>i>i poss5t1 =5t majora vel m9ora pro v>ietate =m>um 9 quali mat]ia2 omn9 contra exp]i5tiam4 ,corol4 #b4 ,igitur corpora univ]sa qu circa ,t]ram sunt1 gravia sunt 9 ,t]ram2 pond]a omnium1 qu qualit] c5tro ,t]r di/ant1 sunt ut quantitates mat]i 9 iisdem4 ,nam si !r aut corpus aliud quodcunque vel gravitate omn9o de/itu]etur vel pro quantitate mat]i su m9us gravit>et1 quoniam id non diff]t ab aliis corporibus nisi 9 =ma mat]i1 posset idem p] mutationem =m gradatim transmut>i 9 corpus ejusdem conditionis cum iis qu pro quantitate mat]i quam maxim gravitant1 7p] ,hypo?4 ,,iii47 vicissim corpora maxime gravia1 =mam illius gradatim indu5do1 poss5t gravitatem suam gradatim amitt]e4 ,ac pro9de pond]a p5d]5t =mis corporum1 poss5tque cum =mis v>i>i1 contra quam probatum e/ 9 ,coroll>io sup]iore4 ,corol4 #c4 ,itaque ,vacuum necess>i datur4 ,nam si spatia omnia pl5a ess5t1 gravitas specifica fluidi quo regio a]is impl]etur1 ob summam d5sitatem mat]i1 nil c$]et gravitati specific arg5ti vivi1 vel auri1 vel corporis alt]ius cujuscunque d5sissimi2 propt]ea nec aurum neque aliud quodcunque corpus 9 a]e desc5d]e posset4 ,nam corpora 9 fluidis1 nisi specific graviora s9t1 m9im desc5dunt4 ,corol4 #d4 ,gravitatem div]si g5]is esse vi magnetica4 ,nam attractio magnetica non e/ ut mat]ia attracta4 ,corpora aliqua magis trahuntur1 alia m9us1 plurima non trahuntur4 ,e/que vis magnetica longe major pro quantitate mat]i quam vis gravitatis3 s$ 9 eodem corpore int5di pote/ remitti2 9 recessu v] magnete decrescit 9 ratione di/anti plusquam duplicata1 p] ,prop4 ,,lxxxv4 ,lib4 ,i42 propt]ea quod vis longe =tior sit 9 contactu1 quam cum attrah5tia vel m9imum sep>antur ab invicem4 ,prop4 ,,vii4 ,!or4 ,,vii4 ,gravitatem 9 corpora univ]sa fi]i1 eamque proportionalem esse quantitati mat]i 9 s+ulis4 ,planetas omnes 9 se mutu graves esse jam ante probavimus1 ut gravitatem 9 unumquemque seorsim spectatum esse reciproc ut quadratum di/anti locorum c5tro ,planet4 ,et inde consequ5s e/1 7p] ,prop4 ,,lxix4 ,lib4 ,i4 ejus ,coroll>ia7 gravitatem 9 omnes proportionalem esse mat]i 9 iisdem4 ,porr cum ,planet cujusvis ,a p>tes omnes graves s9t 9 ,planetam quemvis ,b1 gravitas p>tis cujusque sit ad gravitatem totius1 ut mat]ia p>tis ad mat]iam totius1 actioni omni reactio 7p] motus ,legem t]tiam7 qualis sit2 ,planeta ,b 9 p>tes omnes ,planet ,a vicissim gravitabit1 erit gravitas sua 9 p>tem unamquamque ad gravitatem suam 9 totum1 ut mat]ia p>tis ad mat]iam totius4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,oritur igitur componitur gravitas 9 ,planetam totum ex gravitate 9 p>tes s+ulas4 ,cujus rei exempla habemus 9 attractionibus ,magneticis ,electricis4 ,oritur enim attractio omnis 9 totum ex attractionibus 9 p>tes s+ulas4 ,res intelligetur 9 gravitate1 concipi5do ,planetas plures m9ores 9 unum ,globum coire ,planetam majorem compon]e4 ,nam vis totius ex viribus p>tium compon5tium oriri debebit4 ,siquis objiciat quod corpora omnia1 qu apud nos sunt1 hac lege gravit>e deb]5t 9 se mutu1 cm tam5 ejusmodi gravitas neutiquam s5tiatur3 ,respondeo quod gravitas 9 hc corpora1 cum sit ad gravitatem 9 ,t]ram totam ut sunt hc corpora ad ,t]ram totam1 longe m9or e/ quam qu s5tiri possit4 ,corol4 #b4 ,gravitatio 9 s+ulas corporis p>ticulas quales e/ reciproc ut quadratum di/anti locorum p>ticulis4 ,patet p] ,corol4 #c4 ,prop4 ,,lxxiv4 ,lib4 ,i4 ,prop4 ,,viii4 ,!or4 ,,viii4 ,si ,globorum duorum 9 se mutu gravitantium mat]ia undique1 9 regionibus qu c5tris qualit] di/ant1 homog5ea sit3 erit pondus ,globi alt]utrius 9 alt]um reciproc ut quadratum di/anti int] c5tra4 ,po/quam inv5issem gravitatem 9 ,planetam totum oriri componi ex gravitatibus 9 p>tes2 esse 9 p>tes s+ulas reciproc proportionalem quadratis di/anti>um p>tibus3 dubitabam an reciproca illa proportio duplicata obt9]et accurat 9 vi tota ex viribus pluribus composita1 an v] quam proxim4 ,nam fi]i posset ut proportio illa 9 majoribus di/antiis satis obt9]et1 at prope sup]ficiem ,planet1 ob 9quales p>ticul>um di/antias situs dissimiles1 notabilit] err>et4 ,t&em v]1 p] ,prop4 ,,lxxv4 ,libri primi ipsius ,coroll>ia1 intellexi v]itatem ,propositionis de qua hic agitur4 ,corol4 #a4 ,h9c inv5iri int] se comp>>i possunt pond]a corporum 9 div]sos ,planetas4 ,nam pond]a corporum qualium circum ,planetas 9 circulis revolv5tium sunt 7p] ,prop4 ,,iv4 ,lib4 ,i47 ut diametri circulorum direct quadrata temporum p]iodicorum inv]s2 pond]a ad sup]ficies ,planet>um aliasve quasvis c5tro di/antias majora sunt vel m9ora 7p] hanc ,propositionem7 9 duplicata ratione di/anti>um inv]sa4 ,sic ex temporibus p]iodicis ,v5]is circa ,solem di]um #bbd-b_/c1 ,satellitis extimi circumjovialis circa ,jovem di]um #af1 ,satellitis ,hug5iani circa ,saturnum di]um #ae hor>um #bb-b_/c1 ,lun circa ,t]ram #bg di]4 #g hor4 #dc m94 collatis cum di/antia m$iocri ,v5]is ,sole2 cum ,elongatione maxima ,helioc5trica ,satellitis extimi circumjovialis1 qu 79 m$iocri ,jovis ,sole di/antia juxta obs]vationes ,flam/$ii7 e/ #h'4 #ac2 cum elongatione maxim ,helioc5trica ,satellitis ,saturnii #c'4 #bj2 cum di/antia ,lun ,t]ra1 ex ,hypo!si quod ,solis p>allaxis horizontalis seu semidiamet] ,t]r ,sole vis sit quasi #bj2 calculum ineundo inv5i quod corporum qualium ,sole1 ,jove1 ,saturno ac ,t]ra qualit] di/antium pond]a 9 ,solem1 ,jovem1 ,saturnum ac ,t]ram =5t ad invicem ut #a1 #a_/aajj1 #a_/bcfj #a_/bhgjj respectiv4 ,e/ autem ,solis semidiamet] m$iocris app>5s quasi #af'4 #f4 ,illam ,jovis ,sole visam ,flam/$ius1 ex umbr ,jovialis diametro p] ,eclipses ,satellitum inv5ta1 det]m9avit esse ad elongationem ,satellitis extimi ut #a ad #bd1i adeoque cum elongatio illa sit #h'4 #ac semidiamet] ,jovis ,sole visi erit #ai4 ,diamet] ,saturni e/ ad diametrum ,annuli ejus ut #d ad #i1 diamet] annuli ,sole visi 7m5surante ,flam/$io7 #ej1 adeoque semidiamet] ,saturnie ,sole visi #aa4 ,malim dic]e #aj vel #i1 propt]ea quod globus ,saturni p] lucis 9qualem refrangibilitatem nonnihil dilatatur4 ,h9c inito calculo prodeunt v] ,solis1 ,jovis1 ,saturni ac ,t]r semidiametri ad invicem ut #ajjjj1 #ajfc1 #hhi1 #bjh4 ,unde cum pond]a qualium corporum c5tris ,solis1 ,jovis1 ,saturni ac ,telluris qualit] di/antium s9t 9 ,solem1 ,jovem1 ,saturnum ac ,t]ram ut #a1 #a_/aajj1 #a_/bcfj1 #a_/bhgjj respective1 auctis vel dim9utis di/antiis dim9uuntur vel aug5tur pond]a 9 duplicata ratione2 erunt pond]a eorundem qualium corporum 9 ,solem1 ,jovem1 ,saturnum ,t]ram1 9 di/antiis #ajjjj1 #ajfc1 #hhi #bjh ab eorum c5tris1 atque adeo 9 eorum sup]ficiebus v]santium1 ut #ajjjj1 #hjd1 #ecf #hje respectiv4 ,pond]a corporum 9 sup]ficie ,lun f] duplo m9ora esse quam pond]a corporum 9 sup]ficie ,t]r dicemus 9 sequ5tibus4 ,corol4 #b4 ,igitur pond]a corporum qualium1 9 sup]ficiebus ,t]r ,planet>um1 sunt f]e 9 ratione dimidiata diametrorum app>5tium ,sole vis>um4 ,de ,t]r quidem diametro ,sole visa nondum con/at4 ,hanc assumpsi #dj1 propt]ea quod obs]vationes ,kepl]i1 ,riccioli ,v5del9i non multo majorem esse p]mittunt2 eam ,horroxii ,flam/$ii obs]vationes paulo m9orem ad/ru]e vid5tur4 ,et malui 9 excessu pecc>e4 ,qud si =t diamet] illa gravitas 9 sup]ficie ,t]r m$iocris sit int] diametros ,planet>um gravitatem 9 eorum sup]ficiebus3 quoniam ,saturni1 ,jovis1 ,m>tis1 ,v5]is ,m]curii ,sole visorum diametri sunt #ah1 #ci1 #h1 #bh1 #bj circit]1 erit diamet] ,t]r quasi #bd1 adeoque ,p>allaxis ,solis quasi #ab1 ut ,horroxius ,flam/$ius propemodum /atu]e4 ,s$ diamet] paulo major melius congruit cum ,regula hujus ,coroll>ii4 ,corol4 #c4 ,innotescit etiam quantitas mat]i 9 ,planetis s+ulis4 ,nam quantitates ill sunt ut ,planet>um ,vires 9 di/antiis se qualibus2 id e/ 9 ,sole1 ,jove1 ,saturno ac ,t]ra ut #a1 #a_/aajj1 #a_/bcfj1 #a_/bhgjj respectiv4 ,si ,p>allaxis ,solis /atuatur m9or quam #bj1 debebit quantitas mat]i 9 ,t]ra dim9ui 9 triplicata ratione4 ,corol4 #d4 ,innotescunt etiam d5sitates ,planet>um4 ,nam corporum qualium homog5eorum pond]a 9 ,sphras homog5eas 9 sup]ficiebus ,sphr>um1 sunt ut ,sphr>um diametri p] ,prop4 ,,lxxii4 ,lib4 ,i4 ideoque ,sphr>um het]og5e>um d5sitates sunt ut pond]a applicata ad diametros4 ,erant autem v] ,solis1 ,saturni1 ,jovis ac ,t]r diametri ad invicem ut #ajjjj1 #hhi1 #ajfc #bjh1 pond]a 9 eosdem ut #ajjjj1 #ecf1 #hjd #hje1 propt]ea d5sitates sunt ut #ajj1 #fj1 #gf1 #chg4 ,d5sitas autem ,t]r1 qu hic colligitur1 non p5det ,p>allaxi ,solis1 s$ det]m9atur p] p>allax9 ,lun1 propt]ea hic recte def9itur4 ,e/ igitur ,sol paulo d5sior qum ,jupit]1 ,t]ra multo d5sior qum ,sol4 ,corol4 #e4 ,planet>um autem d5sitates int] se f]e sunt 9 ratione composita ex ratione di/anti>um ,sole ratione dimidiata diametrorum app>5tium ,sole vis>um4 ,nempe ,saturni1 ,jovis1 ,t]r ,lun d5sitates #fj1 #gf1 #chg #gjj1 f]e sunt ut di/anti>um reciproca #a_/iech1 #a_/ebja1 #a_/ajjj #a_/ajjj1 ducta 9 radices diametrorum app>5tium #ah1 #ci1 #dj1 #aa4 ,diximus utique1 9 ,coroll>io secundo1 gravitatem ad sup]ficies ,planet>um esse quam proxim 9 ratione dimidiata app>5tium diametrorum ,sole vis>um2 9 ,lemmate qu>to d5sitates esse ut gravitates ill applicat ad diametros v]as3 ideoque d5sitates f]e sunt ut radices diametrorum app>5tium applicat ad diametros v]as1 hoc e/ reciproce ut di/anti ,planet>um ,sole duct 9 radices diametrorum app>5tium4 ,collocavit igitur ,deus ,planetas 9 div]sas di/antiis ,sole1 ut quilibet pro gradu d5sitatis calore ,solis majore vel m9ore fruatur4 ,aqua no/ra1 si ,t]ra loc>etur 9 orbe ,saturne1 rigesc]et1 si 9 orbe ,m]curii 9 vapores /atim abiret4 ,nam lux ,solis1 cui calor proportionalis e/1 septuplo d5sior e/ 9 orbe ,m]curii qum apud nos2 ,!rmometro exp]tus sum quod septuplo ,solis /ivi calore aqua ebullit4 ,dubium v] non e/ qu9 mat]ia ,m]curii ad calorem accommodetur1 propt]ea d5sior sit hac no/ra2 cum mat]ia omnis d5sior ad op]ationes ,naturales obeundas majorem calorem requirat4 ,prop4 ,,ix4 ,!or4 ,,ix4 ,gravitatem p]g5do sup]ficiebus ,planet>um deorsum decresc]e 9 ratione di/anti>um c5tro quam proxim4 ,si mat]ia ,planet quoad d5sitatem uni=mis esset1 obt9]et hc ,propositio accurat3 p] ,prop4 ,,lxxiii4 ,lib4 ,i4 ,error igitur tantus e/1 quantus ab 9quabili d5sitate oriri possit4 ,prop4 ,x4 ,!or4 ,x4 ,motus ,planet>um 9 ,coelis diutissim cons]v>i posse4 ,9 ,s*olio ,propositionis ,,xl4 ,lib4 ,,ii4 o/5sum e/ quod globus ,aqu congelat 9 ,a]e no/ro1 lib] mov5do longitud9em semidiametri su describ5do1 ex resi/5tia ,a]is amitt]et motus sui p>tem #a_/cbjj4 ,obt9et autem eadem proportio quam proxim 7p] ,prop4 ,,xl4 ,lib4 ,,ii47 9 globis utcunque magnis velocibus4 ,jam v] ,globum ,t]r no/r d5siorem esse quam si totus ex ,aqua con/>et1 sic colligo4 ,si ,globus hicce totus esset aqueus1 qucunque r>iora ess5t qum aqua1 ob m9orem specificam gravitatem em]g]5t sup]nat>5t4 ,eaque de causa ,globus t]reus aquis undique coop]tus1 si r>ior esset quam aqua1 em]g]et alicubi1 aqua omnis inde deflu5s congreg>etur 9 regione opposita4 ,et p> e/ ratio ,t]r no/r m>ibus magna ex p>te circumdat4 ,hc si d5sior non esset1 em]g]et ex m>ibus1 p>te sui pro gradu levitatis ext>et ex ,aqua1 m>ibus omnibus 9 regionem oppositam conflu5tibus4 ,eodem argum5to macul ,sol>es leviores sunt qum mat]ia lucida ,sol>is cui sup]natant4 ,et 9 =matione qualicunque ,planet>um1 mat]ia omnis gravior1 quo tempore massa tota fluida erat1 c5trum petebat4 ,unde cum ,t]ra communis suprema quasi duplo gravior sit quam aqua1 paulo inf]ius 9 fod9is quasi triplo vel quadruplo aut etiam qu9tuplo gravior rep]iatur3 v]isimile e/ quod copia mat]i totius 9 ,t]ra quasi qu9tuplo vel sextuplo major sit qum si tota ex aqua con/>et2 prs]tim cum ,t]ram quasi qu9tuplo d5siorem esse qum ,jovem jam ante o/5sum sit4 ,igitur si ,jupit] paulo d5sior sit qum aqua1 hic spatio di]um vig9ti unius1 quibus longitud9em #cbj semidiametrorum su>um describit1 amitt]et 9 ,m$io ejusdem d5sitatis cum ,a]e no/ro motus sui p>tem f]e decimam4 ,v]um cum resi/5tia ,m$iorum m9uatur 9 ratione pond]is ac d5sitatis1 sic ut aqua1 qu vicibus #ac-b_/c levior e/ qum arg5tum vivum1 m9us resi/at 9 eadem ratione2 a]1 qui vicibus #hjj levior e/ qum aqua1 m9us resi/at 9 eadem ratione3 si asc5datur 9 coelos ubi pondus ,m$ii1 9 quo ,planet mov5tur1 dim9uitur 9 imm5sum1 resi/5tia prope cessabit4 ,prop4 ,,xi4 ,!or4 ,,xi4 ,commune c5trum gravitas ,t]r ,solis ,planet>um omnium quiesc]e4 ,nam c5trum illud 7p] ,legum ,corol4 #d47 vel quiescet vel progr$ietur uni=mit] 9 directum4 ,s$ c5tro illo semp] progr$i5te1 c5trum ,mundi quoque movebitur contra ,hypo!s9 qu>tam4 ,prop4 ,,xii4 ,!or4 ,,xii4 ,solem motu p]petuo agit>i s$ nunquam longe rec$]e communi gravitatis c5tro ,planet>um omnium4 ,nam cum1 p] ,corol4 #c4 ,prop4 ,,viii4 mat]ia 9 ,sole sit ad mat]iam 9 ,jove ut #aajj ad #a1 di/antia ,jovis ,sole sit ad semidiametrum ,solis 9 eadem ratione circit]2 commune c5trum gravitatis ,jovis ,solis incidet f]e 9 sup]ficiem ,solis4 ,eodem argum5to cm mat]ia 9 ,sole sit ad mat]iam 9 ,saturno ut #bcfj ad #a1 di/antia ,saturni ,sole sit ad semidiametrum ,solis 9 ratione paulo m9ori3 incidet commune c5trum gravitatis ,saturni ,solis 9 punctum paulo infra sup]ficiem ,solis4 ,et ejusdem calculi ve/igiis insi/5do si ,t]ra ,planet omnes ex una ,solis p>te consi/]5t1 commune omnium c5trum gravitatis vix integra ,solis diametro c5tro ,solis di/>et4 ,aliis 9 casibus di/antia c5trorum semp] m9or e/4 ,et propt]ea cum c5trum illud gravitatis p]petuo quiescit1 ,sol pro v>io ,planet>um situ 9 omnes p>tes movebitur1 s$ c5tro illo nunquam longe rec$et4 ,corol4 ,h9c commune gravitatis c5trum ,t]r1 ,solis ,planet>um omnium pro c5tro ,mundi hab5dum e/4 ,nam cm ,t]ra1 ,sol ,planet omnes gravit5t 9 se mutu1 propt]ea1 pro vi gravitatis su1 secundum leges mots p]petu agit5tur3 p]spicuum e/ quod horum c5tra mobilia pro ,mundi c5tro quiesc5te hab]i nequeunt4 ,si corpus illud 9 c5tro loc&um esset 9 quod corpora omnia maxim gravitant 7uti vulgi e/ op9io7 privilegium i/ud conc$5dum esset ,soli4 ,cum autem ,sol moveatur1 elig5dum erit punctum quiesc5s1 quo c5trum ,solis quam m9im disc$it1 quo idem adhuc m9us disc$]et1 si mod ,sol d5sior esset major1 ut m9us mov]etur4 ,prop4 ,,xiii4 ,!or4 ,,xiii4 ,planet mov5tur 9 ,ellipsibus umbilicum hab5tibus 9 c5tro ,solis1 radiis ad c5trum illud ductis areas describunt temporibus proportionales4 ,disputavimus supra de 8 motibus ex ,phnom5is4 ,jam cognitis motuum pr9cipiis1 ex 8 colligimus motus coele/es priori4 ,quoniam pond]a ,planet>um 9 ,solem sunt reciproc ut quadrata di/anti>um c5tro ,solis2 si ,sol quiesc]et ,planet reliqui non ag]5t 9 se mutu1 =5t orbes eorum ,elliptici1 ,solem 9 umbilico communi hab5tes1 are describ]5tur temporibus proportionales 7p] ,prop4 ,i4 ,,xi1 ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xiii4 ,lib4 ,i47 ,actiones autem ,planet>um 9 se muto p]exigu sunt 7ut poss9t contemni7 motus ,planet>um 9 ,ellipsibus circa ,solem mobilem m9us p]turbant 7p] ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i47 qum si motus i/i circa ,solem quiesc5tem p]ag]5tur4 ,actio quidem ,jovis 9 ,saturnum non e/ omn9o contemn5da4 ,nam gravitas 9 ,jovem e/ ad gravitatem 9 ,solem 7p>ibus di/antiis7 ut #a ad #aajj2 adeoque 9 conjunctione ,jovis ,saturni1 quoniam di/antia ,saturni ,jove e/ ad di/antiam ,saturni ,sole f]e ut #d ad #i1 erit gravitas ,saturni 9 ,jovem ad gravitatem ,saturni 9 ,solem ut #ha ad #af #aajj seu #a ad #bag circit]4 ,error tam5 omnis 9 motu ,saturni circa ,solem1 tanta 9 ,jovem gravitate oriundus1 evit>i f]e pote/ con/itu5do umbilicum ,orbis ,saturni 9 communi c5tro gravitatis ,jovis ,solis 7p] ,prop4 ,,lxvii4 ,lib4 ,i47 propt]ea ubi maximus e/ vix sup]at m9utos duos primos4 ,9 conjunctione autem ,jovis ,saturni gravitates accel]atrices ,solis 9 ,saturnum1 ,jovis 9 ,saturnum ,jovis 9 ,solem sunt f]e ut #af1 #ha #af #ha #bcfj #be seu #abbcdb1 adeoque diff]5tia gravitatum ,solis 9 ,saturnum ,jovis 9 ,saturnum e/ ad gravitatem ,jovis 9 ,solem ut #fe ad #abbcdb seu #a ad #ahfg4 ,huic autem diff]5ti proportionalis e/ maxima ,saturni efficacia ad p]turb&um motum ,jovis1 propt]ea p]turbatio orbis ,jovialis longe m9or e/ qum ea ,saturnii4 ,reliquorum orbium p]turbationes sunt adhuc longe m9ores4 ,prop4 ,,xiv4 ,!or4 ,,xiv4 ,orbium ,aphelia ,nodi quiescunt4 ,aphelia quiescunt1 p] ,prop4 ,,xi4 ,lib4 ,i4 ut orbium plana1 p] ejusdem ,libri ,prop4 ,i4 quiesc5tibus planis quiescunt ,nodi4 ,attam5 ,planet>um revolv5tium ,comet>um actionibus 9 se invicem ori5tur 9qualitates aliqu1 s$ qu ob p>vitatem contemni possunt4 ,corol4 #a4 ,quiescunt etiam ,/ell fix1 propt]ea quod datas ad ,aphelia ,nodosque positiones s]vant4 ,corol4 #b4 ,ideoque cum nulla sit e>um p>allaxis s5sibilis ex ,t]r motu annuo oriunda1 vires e>um ob imm5sam corporum di/antiam nullos ed5t s5sibiles effectus 9 regione ,sy/ematis no/ri4 ,prop4 ,,xv4 ,!or4 ,,xv4 ,inv5ire ,orbium transv]sas diametros4 ,capi5d sunt h 9 ratione sesquialt]a temporum p]iodicorum p] ,prop4 ,,xv4 ,lib4 ,i4 de9de sigillatim aug5d 9 ratione summ mass>um ,solis ,planet cujusque revolv5tis ad primam du>um m$i proportionalium int] summam illam ,solem1 p] ,prop4 ,,lx4 ,lib4 ,i4 ,prop4 ,,xvi4 ,prob4 ,i4 ,inv5ire ,orbium ,exc5tricitates ,aphelia4 ,problema confit p] ,prop4 ,,xviii4 ,lib4 ,i4 ,prop4 ,,xvii4 ,!or4 ,,xvi4 ,planet>um motus diurnos uni=mes esse1 librationem ,lun ex ipsius motu diurno oriri4 ,patet p] motus ,legem ,i1 ,corol4 #bb4 ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i4 ,quoniam v] ,lun1 circa axem suum uni=mit] revolv5tis1 dies m5/ruus e/2 hujus facies eadem ult]iorem umbilicum orbis ipsius semp] respiciet1 propt]ea pro situ umbilici illius deviabit h9c inde ,t]ra4 ,hc e/ libratio 9 longitud9em4 ,nam libratio 9 latitud9em orta e/ ex incl9atione axis ,lun>is ad planum orbis4 ,porr hc ita se hab]e1 ex ,phnom5is manife/um e/4 ,prop4 ,,xviii4 ,!or4 ,,xvii4 ,axes ,planet>um dimetris qu ad eosdem axes normalit] ducuntur m9ores esse4 ,planet sublato omni motu circul>i diurno figuram ,sphricam1 ob qualem undique p>tium gravitatem1 affect>e deb]5t4 ,p] motum illum circul>em fit ut p>tes ab axe rec$5tes juxta quatorem asc5d]e con5tur4 ,ideoque mat]ia si fluida sit asc5su suo ad quatorem diametros adaugebit1 axem v] desc5su suo ad polos dim9uet4 ,sic ,jovis diamet] 7cons5ti5tibus obs]vationibus ,cass9i ,flam/$ii7 brevior depreh5ditur int] polos qum ab ori5te 9 occid5tem4 ,eodem argum5to1 nisi ,t]ra no/ra paul altior esset sub quatore qum ad polos1 ,m>ia ad polos subsid]5t1 juxta quatorem asc5d5do1 ibi omnia inund>5t4 ,prop4 ,,xix4 ,prob4 ,,ii4 ,inv5ire proportionem axis ,planet ad diametros eidem p]p5dicul>es4 ,illu/ration ,ad hujus ,problematis solutionem requiritur computatio multiplex1 qu facilius exemplis qum prceptis addiscitur4 ,inito igitur calculo inv5io1 p] ,prop4 ,,iv4 ,lib4 ,i4 quod vis c5trifuga p>tium ,t]r sub quatore1 ex motu diurno oriunda1 sit ad vim gravitatis ut #a ad #bij-d_/e4 ,unde si ,,apbq figuram ,t]r designet revolutione ,ellipseos circa axem m9orem ,,pq g5itam2 sitque ,a,c,qqca canalis aqu pl5a1 polo ,qq ad c5trum ,cc1 inde ad quatorem ,aa p]g5s3 debebit pondus aqu 9 canalis crure ,a,cca esse ad pondus aqu 9 crure alt]o ,q,ccq ut #bia ad #bij1 e qud vis c5trifuga ex circul>i motu orta p>tem unam pond]is p>tibus #bia su/9ebit detrahet1 pondus #bij 9 alt]o crure su/9ebit p>tes reliquas4 ,porr 7ex ,propositionis ,,xci4 ,coroll>io secundo1 ,lib4 ,i47 computationem ineundo1 inv5io quod si ,t]ra con/>et ex uni=mi mat]ia1 motuque omni priv>etur1 esset ejus axis ,,pq ad diametrum ,,ab ut #ajj ad #aja3 gravitas 9 loco ,q 9 ,t]ram1 =et ad gravitatem 9 eodem loco ,q sphram c5tro ,c radio ,,pc vel ,,qc descriptam1 ut #abf-b_/ae ad #abe-b_/ae4 ,et eodem argum5to gravitas 9 loco ,a 9 ,sphroidem1 convolutione ,ellipseos ,,apbq circa axem ,,ab descriptam1 e/ ad gravitatem 9 eodem loco ,a 9 ,sphram c5tro ,c radio ,,ac descriptam1 ut #abe-b_/ae ad #abf-b_/ae4 ,e/ autem gravitas 9 loco ,a 9 ,t]ram1 m$ia proportionalis int] gravitates 9 dictam ,sphroidem ,sphram1 propt]ea quod ,sphra1 dim9u5do diametrum ,,pq 9 ratione #aja ad #ajj1 v]titur 9 figuram ,t]r2 hc figura dim9u5do 9 eadem ratione diametrum t]tiam1 qu diametris duabus ,,ap1 ,,pq p]p5dicul>is e/1 v]titur 9 dictam ,sphroidem1 gravitas 9 ,a1 9 casu utroque1 dim9uitur 9 eadem ratione quam proxim4 ,e/ igitur gravitas 9 ,a 9 ,sphram c5tro ,c radio ,,ac descriptam1 ad gravitatem 9 ,a 9 ,t]ram ut #abf ad #abe1 gravitas 9 loco ,q 9 ,sphram c5tro ,c radio ,,qc descriptam1 e/ ad gravitatem 9 loco ,a 9 ,sphram c5tro ,c radio ,,ac descriptam1 9 ratione diametrorum 7p] ,prop4 ,,lxxii4 ,lib4 ,i47 id e/ ut #ajj ad #aja3 ,conjungantur jam h tres rationes1 #abf-b_/ae ad #abe-b_/ae1 #abe ad #abf #ajj ad #aja fiet gravitas 9 loco ,q 9 ,t]ram ad gravitatem 9 loco ,a 9 ,t]ram1 ut #abf #abf #ajj ad #abe #abe #aja1 seu ut #eja ad #ejj4 ,jam cum p] ,corol4 #c4 ,prop4 ,,xci4 ,lib4 ,i4 gravitas 9 canalis crure utrovis ,a,cca vel ,q,ccq sit ut di/antia locorum c5tro ,t]r2 si crura illa sup]ficiebus transv]sis quidi/antibus di/+uantur 9 p>tes totis proportionales1 erunt pond]a p>tium s+ul>um 9 crure ,a,cca ad pond]a p>tium totidem 9 crure alt]o1 ut magnitud9es gravitates accel]atrices conjunctim2 id e/ ut #aja ad #ajj #ejj ad #eja1 hoc e/ ut #eje ad #eja4 ,ac pro9de si vis c5trifuga p>tis cujusque 9 crure ,a,cca ex motu diurno oriunda1 fuisset ad pondus p>tis ejusdem ut #d ad #eje1 e ut de pond]e p>tis cujusque1 9 p>tes #eje diviso1 p>tes quatuor detrah]et2 man]5t pond]a 9 utroque crure qualia1 propt]ea fluidum consi/]et 9 quilibrio4 ,v]um vis c5trifuga p>tis cujusque e/ ad pondus ejusdem ut #a ad #bij4 ,hoc e/1 vis c5tripeta qu deb]et esse pond]is p>s #d_/eje e/ tantum p>s #a_/bij1 propt]ea dico1 secundum ,regulam auream1 quod si vis c5trifuga #d_/eje faciat ut altitudo aqu 9 crure ,a,cca sup]et altitud9 aqu 9 crure ,q,ccq p>te c5tesima totius altitud9is3 vis c5trifuga #a_/bij faciet ut excessus altitud9is 9 crure ,a,cca sit altitud9is 9 crure alt]o ,q,ccq p>s tantum #c_/fhi4 ,e/ igitur diamet] ,t]r secundum quatorem ad ipsius diametrum p] polos ut #fib ad #fhi4 ,ideoque cm ,t]r semidiamet] m$iocris1 juxta nup]am ,gallorum m5suram1 sit p$um ,p>isi5sium #aifaehjj seu milli>ium #cibc 7posito quod milli>e sit m5sura p$um #ejjj27 ,t]ra altior erit ad quatorem qum ad polos1 excessu p$um #hebjj seu milli>ium #ag4 ,si ,planeta vel major sit vel d5sior1 m9orve aut r>ior qum ,t]ra1 man5te tempore p]iodico revolutionis diurn1 manebit proportio vis c5trifug ad gravitatem1 propt]ea manebit etiam proportio diametri int] polos ad diametrum secundum quatorem4 ,at si motus diurnus 9 ratione quacunque accel]etur vel ret>detur1 augebitur vel m9uetur vis c5trifuga 9 duplicata illa ratione1 propt]ea diff]5tia diametrorum augebitur 9 eadem duplicata ratione4 ,unde cum ,t]ra respectu fix>um revolvatur horis #bc1 #ef' ,jupit] autem horis #i1 #ef'1 s9tque temporum quadrata ut #bi ad #e1 diff]5tia diametrorum ,jovis erit ad ipsius diametrum m9orem ut #bi #c #e #fhi ad #a1 seu #a ad #ci-c_/e4 ,e/ igitur diamet] ,jovis ab ori5te 9 occid5tem ducta1 ad ipsius diametrum int] polos ut #dj-c_/e ad #ci-c_/e quam proxim4 ,hc ita se hab5t ex ,hypo!si quod uni=mis sit ,planet>um mat]ia4 ,nam si mat]ia d5sior sit ad c5trum qum ad circumf]5tiam1 diamet]1 qu ab ori5te 9 occid5tem ducitur1 erit adhuc major4 ,prop4 ,,xx4 ,prob4 ,,iii4 ,inv5ire int] se comp>>e pond]a corporum 9 regionibus div]sis4 ,quoniam pond]a 9qualium crurum canalis aque ,a,c,qqca qualia sunt2 pond]a p>tium1 cruribus totis proportionalium similit] 9 totis sit>um1 sunt ad invicem ut pond]a totorum1 adeoque etiam quantur int] se2 erunt pond]a qualium 9 cruribus similit] sit>um p>tium reciproc ut crura1 id e/ reciproc ut #fib ad #fhi4 ,et p> e/ ratio homog5eorum qualium quorumvis 9 canalis cruribus similit] sitorum corporum4 ,horum pond]a sunt reciproc ut crura1 id e/ reciproc ut di/anti corporum c5tro ,t]r4 ,pro9de si corpora 9 supremis canalium p>tibus1 sive 9 sup]ficie ,t]r consi/ant2 erunt pond]a eorum ad invicem reciproc ut di/anti eorum c5tro4 ,et eodem argum5to pond]a1 9 aliis quibuscunque p] totam ,t]r sup]ficiem regionibus1 sunt reciproc ut di/anti locorum c5tro2 propt]ea1 ex ,hypo!si quod ,t]ra ,sphrois sit1 dantur proportione4 ,unde tale confit ,!orema1 quod increm5tum pond]is1 p]g5do ab quatore ad ,polos1 sit quam proxim ut ,s9us v]sus latitud9is duplicat1 vel quod p]9de e/ ut quadratum ,s9us recti ,latitud9is4 ,exempli gratia1 ,latitudo ,luteti ,p>isiorum e/ #dh gr4 #de'3 ,ea ,insul ,goree prope ,cape ,v]de #ad gr4 #ae'3 ea ,cay5n ad littus ,guian quasi #e gr4 ea locorum sub ,polo #ij gr4 ,duplorum #ig gr4 #bh gr4 #aj gr4 #ahj gr4 ,s9us v]si sunt #aacje1 #abaa1 #aeb1 #bjjjj4 ,pro9de cum gravitas 9 ,polo sit ad gravitatem sub quatore ut #fib ad #fhi1 excessus ille gravitatis sub ,polo ad gravitatem sub quatore ut #c ad #fhi2 erit excessus gravitatis ,luteti1 9 ,insula ,goree ,cay5n1 ad gravitatem sub quatore ut #c #aacje #bjjjj1 #c #abaa #bjjjj #c #aeb #bjjjj ad #fhi1 seu #cciae1 #cfcc1 #def ad #acghjjjj1 propt]ea gravitates tot 9 8 locis erunt ad invicem ut #achaciae1 #acghcfcc1 #acghjdef1 #acghjjjj4 ,qu>e cum longitud9es ,p5dulorum qualibus temporibus oscillantium s9t ut gravitates1 ,luteti ,p>isiorum longitudo p5duli s+ulis m9utis secundis oscillantis sit p$um trium ,p>isi5sium #ag_/bd p>tium digiti2 longitud9es ,p5dulorum 9 ,insul ,goree1 9 ill ,cay5n sub quatore1 m9utis s+ulis secundis oscillantium sup]abuntur longitud9e ,p5duli ,p>isi5sis excessibus #ha_/ajjj1 #hi_/ajjj #ij_/ajjj p>tium digiti4 ,hc omnia ita se habebunt1 ex ,hypo!si quod ,t]ra ex uni=mi mat]ia con/at4 ,nam si mat]ia ad c5trum paul d5sior sit qum ad sup]ficiem1 excessus illi erunt paul majores2 propt]ea quod1 si mat]ia ad c5trum r$undans1 qua d5sitas ibi major r$ditur1 subducatur seorsim spectetur1 gravitas 9 ,t]ram reliquam uni=mit] d5sam erit reciproc ut di/antia pond]is c5tro2 9 mat]iam v] r$undantem reciproc ut quadratum di/anti mat]ia illa quam proxim4 ,gravitas igitur sub quatore m9or erit 9 mat]iam illam r$undantem qum pro computo sup]iore1 propt]ea ,t]ra ibi propt] defectum gravitatis paul altius asc5det qum 9 prc$5tibus def9itum e/4 ,jam v] ,galli factis exp]im5tis inv5]unt quod ,p5dulorum m9utis s+ulis secundis oscillantium longitudo ,p>isiis major sit qum 9 ,insula ,goree1 p>te decima digiti1 major qum ,cay5n p>te octava4 ,paul majores sunt h diff]5ti quam diff]5ti #ha_/ajjj #hi_/ajjj qu p] computationem sup]iorem prodi]e3 propt]ea 7si crassis hisce ,obs]vationibus sats confid5dum sit7 ,t]ra aliquanto altior erit sub quatore qum pro sup]iore calculo1 d5sior ad c5trum qum 9 fod9is prope sup]ficiem4 ,si excessus gravitatis 9 locis hisce ,borealibus supra gravitatem ad quatorem1 exp]im5tis majori cum dilig5tia in/itutis1 accurat t&em det]m9etur1 de9de excessus ejus ubique sumatur 9 ratione ,s9us v]si latitud9is duplicat2 det]m9abitur tum ,m5sura ,univ]salis1 tum quatio temporis p] qualia p5dula 9 locis div]sis indicati1 tum etiam proportio diametrorum ,t]r ac d5sitas ejus ad c5trum2 ex ,hypo!si quod d5sitas illa1 p]g5do ad circumf]5tiam1 uni=mit] decrescat4 ,qu quidem ,hypo!sis1 licet accurata non sit1 ad ineundum tam5 calculum assumi pote/4 ,prop4 ,,xxi4 ,!or4 ,,xviii4 ,puncta qu9octialia regr$i1 axem ,t]r s+ulis revolutionibus nut&o bis incl9>i 9 ,eclipticam bis r$ire ad positionem priorem4 ,patet p] ,corol4 #bj4 ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i4 ,motus tam5 i/e nut&i p]exiguus esse debet1 vix aut ne vix quidem s5sibilis4 ,prop4 ,,xxii4 ,!or4 ,,xix4 ,motus omnes ,lun>es1 omnesque motuum 9qualitates ex allatis ,pr9cipiis consequi4 ,planetas majores1 int]ea dum circa ,solem f]untur1 posse alios m9ores circum se revolv5tes ,planetas def]re1 m9ores illos 9 ,ellipsibus1 umbilicos 9 c5tris majorum hab5tibus1 revolvi deb]e patet p] ,prop4 ,,lxv4 ,lib4 ,i4 ,actione autem ,solis p]turbabuntur eorum motus multimode1 iisque adfici5tur 9qualitatibus qu 9 ,luna no/ra notantur4 ,hc utique 7p] ,corol4 #b1 #c1 #d1 #e ,prop4 ,,lxvi47 velocius movetur1 ac radio ad ,t]ram ducto describit aream pro tempore majorem1 orbemque habet m9us curvam1 atque ade propius acc$it ad ,t]ram1 9 ,syzygiis qum 9 ,quadraturis1 nisi quat5us imp$it motus ,exc5tricitatis4 ,exc5tricitas enim maxima e/ 7p] ,corol4 #i4 ,prop4 ,,lxvi47 ubi ,apogum ,lun 9 ,syzygiis v]satur1 m9ima ubi idem 9 ,quadraturis consi/it2 inde ,luna 9 ,p]igo velocior e/ nobis propior1 9 ,apogo autem t>dior remotior 9 ,syzygiis qum 9 ,quadraturis4 ,progr$itur insup] ,apogum1 regr$iuntur ,nodi1 s$ motu 9quabili4 ,et ,apogum quidem 7p] ,corol4 #g #h ,prop4 ,,lxvi47 velocius progr$itur 9 ,syzygiis suis1 t>dius regr$itur 9 ,quadraturis1 excessu progressus supra regressum annuatim f]tur 9 consequ5tia4 ,nodi autem 7p] ,corol4 #aa4 ,prop4 ,,lxvi47 quiescunt 9 ,syzygiis suis1 velocissim regr$iuntur 9 ,quadraturis4 ,s$ major e/ ,lun latitudo maxima 9 ipsius ,quadraturis 7p] ,corol4 #aj4 ,prop4 ,,lxvi47 qum 9 ,syzygiis3 motus m$ius velocior 9 ,p]ihelio ,t]r 7p] ,corol4 #f4 ,prop4 ,,lxvi47 qum 9 ipsius ,aphelio4 ,atque h sunt 9qualitates insigniores ab ,a/ronomis notat4 ,sunt etiam ali qudam nondum obs]vat 9qualitates1 quibus motus ,lun>es ade p]turbantur1 ut nulla hact5us lege ad ,regulam aliquam c]tam r$uci potu]9t4 ,velocitates enim seu motus hor>ii ,apogi ,nodorum ,lun1 eorundem quationes1 ut diff]5tia int] exc5tricitatem maximam 9 ,syzygiis m9imam 9 ,quadraturis1 9qualitas qu ,v>iatio dicitur1 aug5tur ac dim9uuntur annuatim 7p] ,corol4 #ad4 ,prop4 ,,lxvi47 9 triplicata ratione diametri app>5tis ,sol>is4 ,et ,v>iatio prt]ea augetur vel dim9uitur 9 duplicata ratione temporis int] quadraturas quam proxim 7p] ,corol4 #a #b4 ,lem4 ,x4 ,corol4 #af4 ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i47 ,s$ hc 9qualitas 9 calculo ,a/ronomico1 ad ,pro/aphres9 ,lun ref]ri solet1 cum ea confundi4 ,prop4 ,,xxiii4 ,prob4 ,,iv4 ,motus 9quales ,satellitum ,jovis ,saturni motibus ,lun>ibus d]iv>e4 ,ex motibus ,lun no/r motus analogi ,lun>um seu ,satellitum ,jovis sic d]ivantur4 ,motus m$ius ,nodorum ,satellitis extimi ,jovialis e/ ad motum m$ium ,nodorum ,lun no/r1 9 ratione composita ex ratione duplicata temporis p]iodici ,t]r circa ,solem ad tempus p]iodicum ,jovis circa ,solem1 ratione simplici temporis p]iodici ,satellitis circa ,jovem ad tempus p]iodicum ,jovis circa ,solem1 ratione simplici temporis p]iodici ,satellitis circa ,jovem ad tempus p]iodicum ,lun circa ,t]ram3 7p] ,corol4 #af4 ,prop4 ,,lxvi47 adeoque annis c5tum conficit ,nodus i/e #i gr4 #cd'4 9 antec$5tia4 ,motus m$ii ,nodorum ,satellitum int]iorum sunt ad motum hujus1 ut illorum tempora p]iodica ad tempus p]iodicum hujus1 p] idem ,coroll>ium1 inde dantur4 ,motus autem ,augis ,satellitis cujusque 9 consequ5tia e/ ad motum ,nodorum ipsius 9 antec$5tia ut motus ,apogi ,lun no/r ad hujus motum ,nodorum 7p] idem ,corol47 inde datur4 ,dim9ui tam5 debet motus ,augis sic inv5tus 9 ratione #e ad #i vel #a ad #b circit]1 ob causam quam hic expon]e non vacat4 quationes maxim ,nodorum ,augis ,satellitis cujusque f]e sunt ad quationes maximas ,nodorum ,augis ,lun respectiv1 ut motus ,nodorum ,augis ,satellitum1 tempore unius revolutionis quationum priorum1 ad motus ,nodorum ,apogi ,lun tempore unius revolutionis quationum po/]iorum4 ,v>iatio ,satellitis ,jove spectati1 e/ ad ,v>iationem ,lun ut sunt toti motus ,nodorum temporibus p]iodicis ,satellitis ,lun ad invicem1 p] idem ,coroll>ium1 adeoque 9 ,satellite extimo non sup]at #f4 #bb'4 ,p>vitate h>um 9qualitatum t>ditate motuum fit ut motus ,satellitum summ regul>es rep]iantur1 utque ,a/ronomi rec5tiores aut motum omnem ,nodis d5eg5t1 aut ass]ant t>dissim retrogradum4 ,nam ,flam/$ius collatis suis cum ,cass9i ,obs]vationibus ,nodos t>de regr$i depreh5dit4 ,prop4 ,,xxiv4 ,!or4 ,,xx4 ,fluxum refluxum ,m>is ab actionibus ,solis ac ,lun oriri deb]e4 ,m>e s+ulis diebus tam ,lun>ibus qum ,sol>ibus bis intumesc]e deb]e ac bis deflu]e patet p] ,corol4 #ai4 ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i4 ut aqu maximam altitud9em1 9 m>ibus pr(undis lib]is1 appulsum ,lum9>ium ad ,m]idianum loci m9ori qum sex hor>um spatio sequi1 uti fit 9 ,m>is ,atlantici ?iopici tractu toto ori5tali int] ,galliam ,promontorium ,bon ,spei1 ut 9 ,m>is ,pacifici littore ,*il5si ,p]uviano3 9 quibus omnibus littoribus /us 9 horam circit] t]tiam incidit1 nisi ubi motus p] loca vadosa propagatus aliquantulum ret>datur4 ,horas num]o ab appulsu ,lum9>is utriusque ad ,m]idianum loci1 tam infra ,horizontem qum supra1 p] horas diei ,lun>is intelligo vigesimas qu>tas p>tes temporis quo ,luna motu app>5te diurno ad ,m]idianum loci revolvitur4 ,motus autem b9i1 quos ,lum9>ia duo excitant1 non c]n5tur di/9ct1 s$ motum qu5dam mixtum effici5t4 ,9 ,lum9>ium ,conjunctione vel ,oppositione conjug5tur eorum effectus1 componetur fluxus refluxus maximus4 ,9 ,quadraturis ,sol attollet aquam ubi ,luna deprimit1 deprimetque ubi ,sol attollit2 ex effectuum diff]5tia /us omnium m9imus orietur4 ,et quoniam1 exp]i5tia te/e1 major e/ effectus ,lun qum ,solis1 incidet aqu maxima altitudo 9 horam t]tiam ,lun>em4 ,extra ,syzygias ,quadraturas1 /us maximus qui sola vi ,lun>i incid]e semp] deb]et 9 horam t]tiam ,lun>em1 sola ,sol>i 9 t]tiam ,sol>em1 compositis viribus incidet 9 tempus aliquod int]m$ium quod t]ti ,lun>i prop9quius e/2 adeoque 9 transitu ,lun ,syzygiis ad ,quadraturas1 ubi hora t]tia ,sol>is prc$it t]tiam ,lun>em1 maxima aqu altitudo prc$et etiam t]tiam ,lun>em1 idque maximo int]vallo paulo po/ ,octantes ,lun2 p>ibus int]vallis /us maximus sequetur horam t]tiam ,lun>em 9 transitu ,lun ,quadraturis ad ,syzygias4 ,hc ita sunt 9 m>i ap]to4 ,nam 9 o/iis ,fluviorum fluxus majores ct]is p>ibus t>dius ad ,greek3 akmn v5i5t4 ,p5d5t autem effectus ,lum9>ium ex eorum di/antiis ,t]ra4 ,9 m9oribus enim di/antiis majores sunt eorum effectus1 9 majoribus m9ores1 idque 9 triplicata ratione diametrorum app>5tium4 ,igitur ,sol tempore hyb]no1 9 ,p]igo exi/5s1 majores edit effectus1 efficitque ut /us 9 ,syzygiis paulo majores s9t1 9 ,quadraturis paulo m9ores 7ct]is p>ibus7 qum tempore /ivo2 ,luna 9 ,p]igo s+ulis m5sibus majores ciet /us qum ante vel po/ dies qu9decim1 ubi 9 ,apogo v]satur4 ,unde fit ut /us duo omn9o maximi 9 ,syzygiis cont9uis se mutuo non sequantur4 ,p5det etiam effectus utriusque ,lum9>is ex ipsius ,decl9atione seu di/antia ab quatore4 ,nam si ,lum9>e 9 polo con/itu]etur1 trah]et illud s+ulas aqu p>tes con/ant]1 absque actionis int5sione remissione1 adeoque nullam motus reciprocationem ci]et4 ,igitur ,lum9>ia rec$5do ab quatore polum v]sus effectus suos gradatim amitt5t1 propt]ea m9ores ciebunt /us 9 ,syzygiis ,sol/itialibus qum 9 qu9octialibus4 ,9 ,quadraturis autem ,sol/itialibus majores ciebunt /us qum 9 ,quadraturis qu9octialibus2 e quod ,lun jam 9 quatore con/itut effectus maxime sup]at effectum ,solis4 ,incidunt igitur /us maximi 9 ,syzygias m9imi 9 ,quadraturas ,lum9>ium1 circa tempora qu9octii utriusque4 ,et /um maximum 9 ,syzygiis comitatur semp] m9imus 9 ,quadraturis1 ut exp]i5ti comp]tum e/4 ,p] m9orem autem di/antiam ,solis ,t]ra1 tempore hyb]no qum tempore /ivo1 fit ut /us maximi m9imi spius prc$ant qu9octium v]num qum sequantur1 spius sequantur autumnale qum prc$ant4 ,illu/ration ,p5d5t etiam effectus ,lum9>ium ex locorum latitud9e4 ,designet ,ap,e,p ,tellurem aquis pr(undis undique coop]tam2 ,c c5trum ejus2 ,pp1 polos2 ,,ae quatorem2 ,f locum quemvis extra quatorem2 ,ff p>allelum loci2 ,dd p>allelum ei respond5tem ex alt]a p>te quatoris2 ,l locum quem ,luna tribus ante horis occupabat2 ,h locum ,telluris ei p]p5dicul>it] subjectum2 h locum huic oppositum2 ,k1 k loca inde gradibus #ij di/antia1 ,,*1 ,* ,m>is altitud9es maximas m5suratas c5tro ,telluris2 ,,ck1 ,ck altitud9es m9imas2 si axibus ,hh1 ,kk describatur ,ellipsis1 de9de ,ellipseos hujus revolutione circa axem majorem ,hh describatur ,sphrois ,h,p,khpk2 designabit hc figuram ,m>is quam proxim1 erunt ,,cf1 ,cf1 ,,cd1 ,cd altitud9es ,m>is 9 locis ,f1 f1 ,d1 d4 ,qu9etiam si 9 prfata ,ellipseos revolutione punctum quodvis ,n describat circulum ,,nm1 secantem p>allelos ,ff1 ,dd 9 locis quibusvis ,r1 ,t1 quatorem ,,ae 9 ,s2 erit ,,cn altitudo ,m>is 9 locis omnibus ,r1 ,s1 ,t1 sitis 9 hoc circulo4 ,h9c 9 revolutione diurna loci cujusvis ,f1 affluxus erit maximus 9 ,f1 hora t]tia po/ appulsum ,lun ad ,m]idianum supra ,horizontem2 po/ea defluxus maximus 9 ,q hora t]tia po/ occasum ,lun2 de9 affluxus maximus 9 f hora t]tia po/ appulsum ,lun ad ,m]idianum infra ,horizontem2 ultim defluxus maximus 9 ,q hora t]tia po/ ortum ,lun2 affluxus po/]ior 9 f erit m9or qum affluxus prior 9 ,f4 ,di/+uitur enim ,m>e totum 9 duos omn9o fluctus ,hemisphricos1 unum 9 ,hemisphrio ,k,hk,c ad ,boream v]g5tem1 alt]um 9 ,hemisphrio opposito ,khk,c2 quos igitur fluctum ,borealem fluctum ,au/ralem nom9>e licet4 ,hi fluctus semp] sibi mutu oppositi v5iunt p] vices ad ,m]idianos locorum s+ulorum1 int]posito int]vallo hor>um ,lun>ium duodecim4 ,cumque regiones ,boreales magis p>ticipant fluctum ,borealem1 ,au/rales magis ,au/ralem1 inde oriuntur /us alt]nis vicibus majores m9ores1 9 locis s+ulis extra quatorem4 /us autem major1 ,lun 9 v]ticem loci decl9ante1 incidet 9 horam circit] t]tiam po/ appulsum ,lun ad ,m]idianum supra ,horizontem1 ,lun decl9ationem mutante v]tetur 9 m9orem4 ,et fluxuum diff]5tia maxima incidet 9 tempora ,sol/itiorum2 prs]tim si ,lun ,nodus asc5d5s v]satur 9 pr9cipio ,arietis4 ,sic exp]i5ti comp]tum e/1 quod /us matut9i tempore hyb]no sup]5t vesp]t9os vesp]t9i tempore /ivo matut9os1 ad ,plymu?um quidem altitud9e quasi p$is unius1 ad ,bri/oliam v] altitud9e qu9decim digitorum3 ,obs]vantibus ,colepressio ,/urmio4 ,motus autem hact5us descripti mutantur aliquantulum p] vim illam reciprocationis aqu>um1 qua ,m>is /us1 etiam cessantibus ,lum9>ium actionibus1 posset aliquamdiu p]sev]>e4 ,cons]vatio hcce motus impressi m9uit diff]5tiam /uum alt]norum2 /us proxim po/ ,syzygias majores r$dit1 eosque proxim po/ ,quadraturas m9uit4 ,unde fit ut /us alt]ni ad ,plymu?um ,bri/oliam non multo magis diff]ant ab invicem qum altitud9e p$is unius vel digitorum qu9decim2 utque /us omnium maximi 9 iisdem portubus non s9t primi ,syzygiis s$ t]tii4 ,ret>dantur etiam motus omnes 9 transitu p] vada1 ade ut /us omnium maximi1 9 fretis quibusdam ,fluviorum o/iis1 s9t qu>ti vel etiam qu9ti ,syzygiis4 ,porr fi]i pote/ ut /us propagetur ab ,oceano p] freta div]sa ad eundem portum1 citius transeat p] aliqua freta qum p] alia1 quo 9 casu /us idem1 9 duos vel plures successive adv5i5tes divisus1 compon]e possit motus novos div]sorum g5]um4 ,f+amus /us duos quales div]sis locis 9 eundem portum v5ire1 quorum prior prc$at alt]um spatio hor>um sex1 incidatque 9 horam t]tiam ab appulsu ,lun ad ,m]idianum portus4 ,si ,luna 9 hocce suo ad ,m]idianum appulsu v]sabatur 9 quatore1 v5i5t s+ulis horis s5is quales affluxus1 qui 9 mutuos refluxus incid5do eosdem affluxibus quabunt1 sic spatio diei illius effici5t ut aqua tranquill /agnet4 ,si ,luna tunc decl9abat ab quatore1 fi5t /us 9 ,oceano vicibus alt]nis majores m9ores1 uti dictum e/2 inde propagabuntur 9 hunc portum affluxus b9i majores b9i m9ores1 vicibus alt]nis4 ,affluxus autem b9i majores compon5t aquam altissimam 9 m$io int] utrumque1 affluxus major m9or faciet ut aqua asc5dat ad m$iocrem altitud9em 9 ,m$io ipsorum1 int] affluxus b9os m9ores aqua asc5det ad altitud9em m9imam4 ,sic spatio vig9ti quatuor hor>um1 aqua non bis ut fi]i solet1 s$ semel tantum p]v5iet ad maximam altitud9em semel ad m9imam2 altitudo maxima1 si ,luna decl9at 9 polum supra ,horizontem loci1 incidet 9 horam vel sextam vel tricesimam ab appulsu ,lun ad ,m]idianum1 atque ,lun decl9ationem mutante mutabitur 9 defluxum4 ,quorum omnium exemplum1 9 portu regni ,tunqu9i ad ,bat%am1 sub latitud9e ,boreali #bj gr4 #ej m94 ,halleius ex ,naut>um ,obs]vationibus patefecit4 ,ibi aqua die transitum ,lun p] quatorem sequ5te /agnat1 de9 ,lun ad ,boream decl9ante incipit flu]e reflu]e1 non bis1 ut 9 aliis portubus1 s$ semel s+ulis diebus2 /us incidit 9 occasum ,lun1 defluxus maximus 9 ortum4 ,cum ,lun decl9atione augetur hic /us1 usque ad diem septimum vel octavum1 de9 p] alios septem dies iisdem gradibus decrescit1 quibus antea crev]at2 ,lun decl9ationem mutante cessat1 ac mox mutatur 9 defluxum4 ,incidit enim sub9de defluxus 9 occasum ,lun affluxus 9 ortum1 donec ,luna it]um mutet decl9ationem4 ,aditus ad hunc portum fretaque vic9a duplex patet1 alt] ab ,oceano ,s95si int] ,cont95tem ,insulam ,luconiam1 alt] ,m>i ,indico int] ,cont95tem ,insulam ,borneo4 ,an /us spatio hor>um duodecim ,m>i ,indico1 spatio hor>um sex ,m>i ,s95si p] freta illa v5i5tes1 sic 9 horam t]tiam nonam ,lun>em incid5tes1 componant hujusmodi motus2 sitne alia ,m>ium illorum conditio1 obs]vationibus vic9orum littorum det]m9&um rel9quo4 ,hact5us causas motuum ,lun ,m>ium r$didi4 ,de quantitate motuum jam conv5it aliqua subjung]e4 ,prop4 ,,xxv4 ,prob4 ,v4 ,inv5ire vires ,solis ad p]turb&os motus ,lun4 ,illu/ration ,designet ,q ,solem1 ,s ,t]ram1 ,p ,lunam1 ,,padb orbem ,lun4 ,9 ,,qp capiatur ,,qk qualis ,,qs2 sitque ,,ql ad ,,qk 9 duplicata ratione ,,qk ad ,,qp ipsi ,,ps agatur p>allela ,,lm2 si gravitas accel]atrix ,t]r 9 ,solem exponatur p] di/antiam ,,qs vel ,,qk1 erit ,,ql gravitas accel]atrix ,lun 9 ,solem4 ,ea componitur ex p>tibus ,,qm1 ,,lm1 qu>um ,,lm ipsius ,,qm p>s ,,sm p]turbat motum ,lun1 ut 9 ,libri primi ,prop4 ,,lxvi4 ejus ,coroll>iis expositum e/4 ,quat5us ,t]ra ,luna circum commune gravitatis c5trum revolvuntur1 p]turbabitur motus ,t]r circa c5trum illud viribus consimilibus2 s$ summas tam virium qum motuum ref]re licet ad ,lunam1 summas virium p] l9eas ipsis analogas ,,sm ,,ml design>e4 ,vis ,,ml 79 m$iocri sua quantitate7 e/ ad vim gravitatis1 qua ,luna 9 orbe suo circa ,t]ram quiesc5tem ad di/antiam ,,ps revolvi posset1 9 duplicata ratione temporum p]iodicorum ,lun circa ,t]ram ,t]r circa ,solem1 7p] ,corol4 #ag4 ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i47 hoc e/ 9 duplicata ratione di]um #bg4 hor4 #g4 m94 #dc4 ad dies #cfe4 hor4 #f4 m94 #i4 id e/ ut #ajjj ad #aghgbe1 seu #a ad #agh-h_/aa4 ,vis qua ,luna 9 orbe suo circa ,t]ram quiesc5tem1 ad di/antiam ,,ps semidiametrorum t]re/rium #fj revolvi posset1 e/ ad vim1 qua eodem tempore ad di/antiam semidiametrorum #fj revolvi posset1 ut #fj ad #fj2 hc vis ad vim gravitatis apud nos ut #a ad #fj #fj4 ,ideoque vis m$iocris ,,ml e/ ad vim gravitatis 9 sup]ficie ,t]r1 ut #a #fj ad #fj #fj #fj #agh-h_/aa seu #a ad #fchjib1f4 ,unde ex proportione l9e>um ,,sm1 ,,ml datur etiam vis ,,sm3 h sunt vires ,solis quibus motus ,lun p]turbantur4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,xxvi4 ,prob4 ,,vi4 ,inv5ire increm5tum are quam ,luna radio ad ,t]ram ducto describit4 ,illu/ration ,diximus aream1 quam ,luna radio ad ,t]ram ducto describit1 esse tempori proportionalem1 nisi quat5us motus ,lun>is ab actione ,solis turbatur4 ,9qualitatem mom5ti 7vel increm5ti hor>ii7 hic inve/ig&am proponimus4 ,ut computatio facilior r$datur1 f+amus orbem ,lun circul>em esse1 9qualitates omnes negligamus1 ea sola excepta1 de qua hic agitur4 ,ob +5tem v] ,solis di/antiam ponamus etiam l9eas ,,qp1 ,,qs sibi invicem p>allelas esse4 ,hoc pacto vis ,,lm r$ucetur semp] ad m$iocrem suam quantitatem ,,sp1 ut vis ,,sm ad m$iocrem suam quantitatem #c,,pk4 ,h vires1 p] ,legum ,corol4 #b4 componunt vim ,,sl2 hc vis1 si 9 radium ,,sp demittatur p]p5diculum ,,le1 resolvitur 9 vires ,,se1 ,,el1 qu>um ,,se1 ag5do semp] secundum radium ,,sp1 nec accel]at nec ret>dat descriptionem are ,,qsp radio illo ,,sp factam2 ,,el ag5do secundum p]p5diculum1 accel]at vel ret>dat ipsam1 quantum accel]at vel ret>dat ,lunam4 ,accel]atio illa ,lun1 9 transitu ipsius ,quadratura ,c ad conjunctionem ,a1 s+ulis temporis mom5tis facta1 e/ ut ipsa vis accel]ans ,,el1 hoc e/ ut #c,,pk ,,sk ,,sp4 ,exponatur tempus p] motum m$ium ,lun>em1 vel 7quod eodem f]e recidit7 p] angulum ,,csp1 vel etiam p] arcum ,,cp4 ,ad ,,cs erigatur ,normalis ,,cg ipsi ,,cs qualis4 ,et diviso arcu quadrantali ,,ac 9 p>ticulas innum]as quales ,pp c4 p] quas quales totidem p>ticul temporis exponi poss9t1 ductque pk p]p5dicul>i ad ,,cs1 jungatur ,,sg ipsis ,,kp1 kp productis occurr5s 9 ,f f2 erit ,kk ad ,,pk ut ,pp ad ,sp1 hoc e/ 9 data ratione1 adeoque ,,fk ,kk seu area ,f,kkf ut #c,,pk ,,sk ,,sp id e/ ut ,,el2 composit1 area tota ,,gckf ut summa omnium virium ,,el tempore toto ,,cp impress>um 9 ,lunam1 atque ade etiam ut velocitas hac summ g5ita1 id e/1 ut accel]atio descriptionis are ,,csp1 seu increm5tum mom5ti4 ,vis qua ,luna circa ,t]ram quiesc5tem ad di/antiam ,,sp1 tempore suo p]iodico ,,cadbc di]um #bg4 hor4 #g4 m94 #dc4 revolvi posset1 effic]et ut corpus1 tempore ,,cs cad5do1 describ]et longitud9em ,,cs1 velocitatem simul acquir]et qualem velocitati1 qua ,luna 9 orbe suo movetur4 ,patet hoc p] ,s*ol4 ,prop4 ,,iv4 ,lib4 ,i4 ,cum autem p]p5diculum ,kd 9 ,,sp demissum sit ipsius ,,el p>s t]tia1 ipsius ,,sp seu ,,ml 9 octantibus p>s dimidia1 vis ,,el 9 ,octantibus1 ubi maxima e/1 sup]abit vim ,,ml 9 ratione #c ad #b1 adeoque erit ad vim illam1 qua ,luna tempore suo p]iodico circa ,t]ram quiesc5tem revolvi posset1 ut #ajj ad #b_/c #aghgb seu #aaiae1 tempore ,,cs velocitatem g5]>e deb]et qu esset p>s #ajj_/aaiae velocitatis ,lun>is1 tempore autem ,,cpa velocitatem majorem g5]>et 9 ratione ,,ca ad ,,cs seu ,,sp4 ,exponatur vis maxima ,,el 9 ,octantibus p] aream ,,fk ,kk rectangulo ,,sp ,pp qualem4 ,et velocitas1 quam vis maxima tempore quovis ,,cp g5]>e posset1 erit ad velocitatem quam vis omnis m9or ,,el eodem tempore g5]at ut rectangulum ,,sp ,,cp ad aream ,,kcgf3 tempore autem toto ,,cpa1 velocitates g5it erunt ad invicem ut rectangulum ,,sp ,,ca triangulum ,,scg1 sive ut arcus quadrantalis ,,ca ad radium ,,sp4 ,ideoque 7p] ,prop4 ,,ix4 ,lib4 ,v4 ,elem47 velocitatis po/]ior1 toto tempore g5ita1 erit p>s #ajj_/aaiae velocitatis ,lun4 ,huic ,lun velocitati1 qu are mom5to m$iocri analoga e/1 addatur auf]atur dimidium velocitatis alt]ius2 si mom5tum m$iocre exponatur p] num]um #aaiae summa #aaiae #ej seu #aaife exhibebit mom5tum maximum are 9 ,syzygia ,a1 ac diff]5tia #aaiae - #ej seu #aahfe ejusdem mom5tum m9imum 9 ,quadraturis4 ,igitur are temporibus qualibus 9 ,syzygiis ,quadraturis descript1 sunt ad invicem ut #aaife ad #aahfe4 ,ad mom5tum m9imum #aahfe addatur mom5tum1 quod sit ad mom5torum diff]5tiam #ajj ut trapezium ,,fkcg ad triangulum ,,scg 7vel quod p]9de e/1 ut quadratum ,s9us ,,pk ad quadratum ,radii ,,sp1 id e/ ut ,pd ad ,,sp7 summa exhibebit mom5tum are1 ubi ,luna e/ 9 loco quovis int]m$io ,p4 ,hc omnia ita se hab5t1 ex ,hypo!si quod ,sol ,t]ra quiescunt1 ,luna tempore ,synodico di]um #bg4 hor4 #g4 m94 #dc4 revolvitur4 ,cum autem p]iodus ,synodica ,lun>is v] sit di]um #bi4 hor4 #ab4 m94 #dd4 aug]i deb5t mom5torum increm5ta 9 ratione temporis4 ,hoc pacto increm5tum totum1 quod erat p>s #ajj_/aaiae mom5ti m$iocris1 jam fiet ejusdem p>s #ajj_/aajbc4 ,ideoque mom5tum are 9 ,quadratura ,lun erit ad ejus mom5tum 9 ,syzygia ut #aajbc - #ej ad #aajbc #ej1 seu #ajigc ad #aajgc1 ad ejus mom5tum1 ubi ,luna 9 alio quovis loco int]m$io ,p v]satur1 ut #ajigc ad #ajigc ,pd1 exi/5te videlicet ,,sp quali #ajj4 ,area igitur1 quam ,luna radio ad ,t]ram ducto s+ulis temporis p>ticulis qualibus describit1 e/ quam proxim ut summa num]i #bai-df_/ajj ,s9us v]si duplicat di/anti ,lun ,quadratura proxima1 9 circulo cujus radius e/ unitas4 ,hc ita se hab5t ubi ,v>iatio 9 ,octantibus e/ magnitud9is m$iocris4 ,s9 ,v>iatio ibi major sit vel m9or1 aug]i debet vel m9ui ,s9us ille v]sus 9 eadem ratione4 ,prop4 ,,xxvii4 ,prob4 ,,vii4 ,ex motu hor>io ,lun inv5ire ipsius di/antiam ,t]ra4 ,area1 quam ,luna radio ad ,t]ram ducto1 s+ulis temporis mom5tis1 describit1 e/ ut motus hor>ius ,lun quadratum di/anti ,lun ,t]r conjunctim2 propt]ea di/antia ,lun ,t]r e/ 9 ratione composit ex dimidiat ratione ,are direct dimidiat ratione motus hor>ii inv]s4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,h9c datur ,lun diamet] app>5s3 quippe qu sit reciproc ut ipsius di/antia ,t]ra4 ,t5t5t ,a/ronomi qum prob hc ,regula cum ,phnom5is congruat4 ,corol4 #b4 ,h9c etiam ,orbis ,lun>is accuratis ex ,phnom5is qum antehac def9iri pote/4 ,prop4 ,,xxviii4 ,prob4 ,,viii4 ,inv5ire diametros ,orbis 9 quo ,luna absque exc5tricitate mov]i deb]et4 ,illu/ration ,curvatura ,trajectori1 quam mobile1 si secundum ,trajectori illius p]p5diculum trahatur1 describit1 e/ ut attractio direct quadratum velocitatis inv]s4 ,curvaturas l9e>um pono esse int] se 9 ultima proportione ,s9uum vel ,tang5tium angulorum contactuum ad radios quales p]t95tium1 ubi radii illi 9 inf9itum dim9uuntur4 ,attractio autem ,lun 9 ,t]ram 9 ,syzygiis e/ excessus gravitatis ipsius 9 ,t]ram supra vim ,sol>em #b,,pk 7,vide ,figur4 pag4 #dcd47 qua gravitas accel]atrix ,lun 9 ,solem sup]at gravitatem accel]atricem ,t]r 9 ,solem4 ,9 ,quadraturis autem attractio illa e/ summa gravitatis ,lun 9 ,t]ram vis ,sol>is ,,ks1 qua ,luna 9 ,t]ram trahitur4 ,et h attractiones1 si ,,z ,,cs #b dicatur ,n1 sunt ut #aghgbe ,a,sq4 - #bjjj ,,cs ,n #aghgbe ,c,sq4 #ajjj ,,z ,n quam proxime2 seu ut #aghgbe,n 9 ,c,sq4 - #bjjj;,a,sq4 9 ,,cs1 #aghgbe,n 9 ,a,sq4 #ajjj ,c,sq4 ,,z4 ,nam se gravitas accel]atrix ,t]r 9 ,solem exponatur p] num]um #aghgbe1 vis m$iocris ,,ml1 qu 9 ,quadraturis e/ ,,ps vel ,,sk ,lunam trahit 9 ,t]ram1 erit #ajjj1 vis m$iocris ,,sm 9 ,syzygiis erit #cjjj2 de qua1 si vis m$iocris ,,ml subducatur1 manebit vis #bjjj qua ,luna 9 ,syzygiis di/rahitur ,t]ra1 quamque jam ante nom9avi #b,,pk4 ,velocitas autem ,lun 9 ,syzygiis ,a ,b e/ ad ipsius velocitatem 9 ,quadraturis ,c ,d ut ,,cs1 ad ,,z mom5tum are quam ,luna radio ad ,t]ram ducto describit 9 ,syzygiis ad mom5tum ejusdem are 9 ,quadraturis conjunctim2 id e/ ut #aajgc;,,cs ad #ajigc;,,z4 ,sumatur hc ratio bis inv]s ratio prior semel direct1 fiet ,curvatura ,orbis ,lun>is 9 ,syzygiis ad ejusdem ,curvaturam 9 ,quadraturis ut #abjdjg #aghgbe;,a,sq4 ,c,sq4 ,n - #abjdjg #bjjj;,,z qq4 ,,cs ad #abbfaa #aghgbe;,a,sq4 ,c,sq4 ,n #abbfaa #ajjj;,,cs qq4 ,,z1 id e/ ut #baeaifi;,,z ,,cs ,n - #bdjha;,,z cub4 ad #baiacga;,,z ,,cs ,n #abbfa;,,cs cub4 ,quoniam figura orbis ,lun>is ignoratur1 hujus vice assumamus ,ellips9 ,,dbca1 9 cujus c5tro ,s ,t]ra collocetur1 cujus axis major ,,dc ,quadraturis1 m9or ,,ab ,syzygiis int]jaceat4 ,cum autem planum ,ellipseos hujus motu angul>i circa ,t]ram revolvatur1 ,trajectoria1 cujus ,curvaturam consid]amus1 describi debet 9 plano quod motu omni angul>i omn9o de/ituitur3 consid]&a erit figura1 quam ,luna 9 ,ellipsi illa revolv5do describit 9 hoc plano1 hoc e/ ,figura ,cpa1 cujus puncta s+ula p inv5iuntur capi5do punctum quodvis ,p 9 ,ellipsi1 quod locum ,lun repres5tet1 duc5do ,sp qualem ,,sp1 ea lege ut angulus ,p,sp qualis sit motui app>5ti ,solis tempore ,quadratur ,c confecto2 vel 7quod eodem f]e recidit7 ut angulus ,c,sp sit ad angulum ,,csp ut tempus revolutionis ,synodic ,lun>is ad tempus revolutionis ,p]iodic seu #bi d4 #ab4 h4 #dd'1 ad #bg d4 #g h4 #dc'4 ,capiatur igitur angulus ,c,sa 9 eadem ratione ad angulum rectum ,,csa1 sit longitudo ,sa qualis longitud9i ,,sa2 erit a ,apsis ima ,c ,apsis summa orbis hujus ,cpa4 ,rationes autem ineundo inv5io quod diff]5tia int] curvaturam orbis ,cpa 9 v]tice a1 curvaturam circuli c5tro ,s int]vallo ,,sa descripti1 sit ad diff]5tiam int] curvaturam ,ellipseos 9 v]tice ,a curvaturam ejusdem circuli1 9 duplicata ratione anguli ,,csp ad angulum ,c,sp2 quod curvatura ,ellipseos 9 ,a sit ad curvaturam circuli illius 9 duplicata ratione ,,sa ad ,,sc2 curvatura circuli illius ad curvaturam circuli c5tro ,s int]vallo ,,sc descripti ut ,,sc ad ,,sa2 hujus autem curvatura ad curvaturam ,ellipseos 9 ,c 9 duplicata ratione ,,sa ad ,,sc2 diff]5tia int] curvaturam ,ellipseos 9 v]tice ,c curvaturam circuli novissimi1 ad diff]5tiam int] curvaturam figur ,spa 9 v]tice ,c curvaturam ejusdem circuli1 9 duplicata ratione anguli ,,csp ad angulum ,c,sp4 ,qu quidem rationes ex ,s9ubus angulorum contactus ac diff]5ti>um angulorum facil colliguntur4 ,collatis autem 8 rationibus int] se1 prodit curvatura figur ,cpa 9 a ad ipsius curvaturam 9 ,c1 ut ,,z cub4 #afhbd_/ajjjjj;,c,sq4 ,,z ad ,,cs cub4 #afhbd_/ajjjjj;,a,sq4 ,,cs4 ,ubi num]us #afhbd_/ajjjjj designat diff]5tiam quadratorum angulorum ,,csp ,c,sp applicatam ad ,quadratum anguli m9oris ,,csp1 seu 7quod p]9de e/7 diff]5tiam ,quadratorum temporum #bg d4 #g h4 #dc'1 #bi d4 #ab h4 #dd'1 applicatam ad ,quadratum temporis #bg d4 #g h4 #dc'4 ,igitur cum a designet ,syzygiam ,lun1 ,c ipsius ,quadraturam1 proportio jam inv5ta eadem esse debet cum proportione curvatur ,orbis ,lun 9 ,syzygiis ad ejusdem curvaturam 9 ,quadraturis1 quam supra inv5imus4 ,pro9de ut inv5iatur proportio ,,cs ad ,,z1 duco extrema m$ia 9 se invicem4 ,et t]m9i prodeuntes ad ,,z ,,cs applicati1 fiunt #bjfb1gi;,,cs qq4 - #baeaifi,n ,,cs cub4 #cfhfhb,n ,,z ,c,sq4 #cfcdb;,a,sq4 ,c,sq4 - #cfbjdf,n ,a,sq4 ,,cs #baiacga,n ,,z cub4 #djea1d;,,z qq4 #j4 ,hic pro t]m9orum ,,z ,,cs semisumm ,n scribo #a1 pro eorundem semidiff]5tia pon5do x1 fit ,,cs #a x1 ,,z #a - x3 quibus 9 quatione scriptis1 quatione prodeunte resolut1 obt9etur x qualis #j1jjgbjcf1 inde semidiamet] ,,cs fit #a1jjgb1 semidiamet] ,,z #j1iibh1 qui num]i sunt ut #fi-aa_/ab #fh-aa_/ab quam proxim4 ,e/ igitur di/antia ,lun ,t]ra 9 ,syzygiis ad ipsius di/antiam 9 ,quadraturis 7seposita scilicet exc5tricitatis consid]atione7 ut #fh-aa_/ab ad #fi-aa_/ab1 vel num]is rotundis ut #fi ad #gj4 ,prop4 ,,xxix4 ,prob4 ,,ix4 ,inv5ire ,v>iationem ,lun4 ,illu/ration ,oritur hc 9qualitas p>tim ex =ma ,elliptica orbis ,lun>is1 p>tim ex 9qualitate mom5torum are1 quam ,luna radio ad ,t]ram ducto describit4 ,si ,luna ,p 9 ,ellipsi ,,dbca circa ,t]ram 9 c5tro ,ellipseos quiesc5tem mov]etur1 radio ,,sp ad ,t]ram ducto describ]et aream ,,csp tempori proportionalem2 esset autem ,ellipseos semidiamet] maxima ,,cs ad semidiametrum m9imam ,,sa ut #fi-aa_/ab ad #fh-aa_/ab3 =et ,tang5s anguli ,,csp ad ,tang5tem anguli motus m$ii quadratura ,c computati1 ut ,ellipseos semidiamet] ,,sa ad ejusdem semidiametrum ,,sc seu #fh-aa_/ab ad #fi-aa_/ab4 ,debet autem descriptio are ,,csp1 9 progressu ,lun ,quadratura ad ,syzygiam1 ea ratione accel]>i1 ut ejus mom5tum 9 ,syzygia ,lun sit ad ejus mom5tum 9 ,quadratura ut #aajgc ad #ajigc1 utq2 excessus mom5ti 9 loco quovis int]m$io ,p supra mom5tum 9 ,quadratura sit ut quadratum ,s9us anguli ,,csp4 ,id quod satis accurat fiet1 si tang5s anguli ,,csp dim9uatur 9 dimidiata ratione num]i #ajigc ad num]um #aajgc1 id e/ 9 ratione num]i #fh-eieh_/ajjjj ad num]um #fh-aa_/ab4 ,quo pacto tang5s anguli ,,csp jam erit ad tang5tem motus m$ii ut #fh-eieh_/ajjjj ad #fi-aa_/ab1 angulus ,,csp 9 ,octantibus1 ubi motus m$ius e/ #de gr4 inv5ietur #dd gr4 #bg'4 #bi3 qui subductus de angulo motus m$ii #de gr4 rel9quit ,v>iationem #cb'4 #ca4 ,hc ita se hab]5t si ,luna1 p]g5do ,quadratura ad ,syzygiam1 describ]et angulum ,,csa graduum tantum nonag9ta4 ,v]um ob motum ,t]r1 quo ,sol 9 antec$5tia motu app>5te transf]tur1 ,luna1 priusquam ,solem assequitur1 describit angulum ,c,sa angulo recto majorem 9 ratione revolutionis ,lun>is ,synodic ad revolutionem p]iodicam1 id e/ 9 ratione #bi d4 #ab h4 #dd'4 ad #bg d4 #g h4 #dc'4 ,et hoc pacto anguli omnes circa c5trum ,s dilatantur 9 eadem ratione1 ,v>iatio qu secus esset #cb'4 #ca4 jam aucta 9 eadem ratione1 fit #ce'4 #i4 ,hc ab ,a/ronomis con/ituitur #dj'1 ex rec5tioribus ,obs]vationibus #ch'4 ,halleius autem rec5tissim depreh5dit esse #ch' 9 ,octantibus v]sus oppositionem ,solis1 #cb' 9 ,octantibus ,solem v]sus4 ,unde m$iocris ejus magnitudo erit #ce'3 qu cum magnitud9e nobis inv5ta #ce'4 #i probe congruit4 ,magnitud9em enim m$iocrem computavimus1 neglectis diff]5tiis1 qu curvatur ,orbis magni1 majorique ,solis actione 9 ,lunam falcatam novam quam 9 ,gibbosam pl5am1 oriri poss9t4 ,prop4 ,,xxx4 ,prob4 ,x4 ,inv5ire motum hor>ium ,nodorum ,lun 9 ,orbe circul>i4 ,illu/ration ,designet ,s ,solem1 ,t ,t]ram1 ,p ,lunam1 ,n,pn ,orbem ,lun1 ,npn ve/igium ,orbis 9 plano ,ecliptic2 ,n1 n1 ,nodos1 n,t,nm l9eam ,nodorum inf9it productam1 ,,pi1 ,,pk2 p]p5dicula demissa 9 l9eas ,,/1 ,qq2 ,pp p]p5diculum demissum 9 planum ,ecliptic2 ,q1 q ,quadraturas ,lun 9 plano ,ecliptic p,k p]p5diculum 9 l9eam ,qq ,quadraturis intrajac5tem4 ,et vis ,solis ad p]turb&um motum ,lun 7p] ,prop4 ,,xxv47 duplex erit1 alt]a l9e #b;,,x vel #b,kp1 alt]a l9e ,,pi proportionalis4 ,et ,luna vi priore 9 ,solem1 po/]iore 9 l9eam ,,/ trahitur4 ,componitur autem vis po/]ior ,,pi ex viribus ,,x ,,pt1 qu>um ,,pt agit secundum planum orbis ,lun>is1 propt]ea situm plani nil mutat4 ,hc igitur neglig5da e/4 ,vis autem ,,x cum vi #b;,,x componit vim totam #c;,,x1 qua planum ,orbis ,lun>is p]turbatur4 ,et hc vis p] ,prop4 ,,xxv4 e/ ad vim qua ,luna 9 circulo circa ,t]ram quiesc5tem tempore suo p]iodico revolvi posset1 ut #c;,,x ad ,radium circuli multiplicatum p] num]um #agh1gbe1 sive ut ,,x ad ,radium multiplicatum p] #ei1ege4 ,ct]um 9 hoc calculo eo omni qui sequitur1 consid]o l9eas omnes ,luna ad ,solem ductas tanquam p>allelas l9e qu ,t]ra ad ,solem ducitur1 propt]ea quod incl9atio tantum f] m9uit effectus omnes 9 aliquibus casibus1 quantum auget 9 aliis2 ,nodorum motus m$iocres qurimus1 neglectis i/iusmodi m9utiis1 qu calculum nimis imp$itum r$d]5t4 ,designet jam ,,pm arcum1 quem ,luna dato tempore quam m9imo describit1 ,,ml l9eolam quam ,luna1 impell5te vi prfata #c;,,x1 eodem tempore describ]e posset4 ,jungantur ,,pl1 ,,mp1 producantur e ad m l1 ubi sec5t planum ,ecliptic2 inque ,tm demittatur p]p5diculum ,,ph4 ,et quoniam ,,ml p>allela e/ ipsi ,,/1 si ml p>allela sit ipsi ,,ml1 erit ml 9 plano ,ecliptic1 contra4 ,ergo ml1 cum sit 9 plano ,ecliptic1 p>allela erit ipsi ,,ml1 similia erunt triangula ,,lmp1 ,lmp4 ,jam cum ,m,pm sit 9 plano ,orbis1 9 quo ,luna 9 loco ,p movebatur1 incidet punctum m 9 l9eam ,nn p] ,orbis illius ,nodos ,n1 n1 ductam4 ,et quoniam vis qua l9eola ,,lm g5]atur1 si tota simul semel 9 loco ,p impressa esset1 effic]et ut ,luna mov]etur 9 arcu1 cujus ,*orda esset ,,lp1 atque ade transf]ret ,lunam de plano ,m,pm,t 9 planum ,l,pl,t2 motus ,nodorum vi illa g5itus qualis erit angulo m,tl4 ,e/ autem ml ad m,p ut ,,ml ad ,,mp1 adeoque cum ,,mp ob datum tempus data sit1 e/ ml ut rectangulum ,,ml m,p1 id e/ ut rectangulum ,,x m,p4 ,et angulus m,tl1 si modo angulus ,tml rectus sit1 e/ ut ml ,tm1 propt]ea ut ,,x ,pm ,tm id e/ 7ob proportionales ,tm m,p1 ,,tp ,,ph7 ut ,,x ,,ph ,,tp1 adeoque ob datam ,,tp1 ut ,,x ,,ph4 ,quod si angulus ,tml1 seu ,,/n obliquus sit1 erit angulus m,tl adhuc m9or1 9 ratione ,s9us anguli ,,/n ad ,radium4 ,e/ igitur velocitas ,nodorum ut ,,x ,,ph ,s9us anguli ,,/n conjunctim1 sive ut cont5tum sub s9ubus trium angulorum ,,tpi1 ,,ptn ,,/n4 ,si anguli illi1 ,nodis 9 ,quadraturis ,luna 9 ,syzygia exi/5tibus1 recti s9t1 l9eola ml abibit 9 inf9itum1 angulus m,tl evadet angulo m,pl qualis4 ,hoc autem 9 casu1 angulus m,pl e/ ad angulum ,,ptm1 quem ,luna eodem tempore motu suo app>5te circa ,t]ram describit ut #a ad #ei1ege4 ,nam angulus m,pl qualis e/ angulo ,,lpm1 id e/ angulo deflexionis ,lun recto tramite1 quam prfata vis ,sol>is #c;,,x dato illo tempore g5]>e possit2 angulus ,,ptm qualis e/ angulo deflexionis ,lun recto tramite1 quem vis illa1 qua ,luna 9 ,orbe suo ret9etur1 eodem tempore g5]at4 ,et h vires1 uti supra diximus1 sunt ad invicem ut #a ad #ei1ege4 ,ergo cum motus m$ius hor>ius ,lun 7respectu fix>um7 sit #cb'4 #ef4 #bg'4 #ab;iv1 motus hor>ius ,nodi 9 hoc casu erit #cc4 #aj'4 #cc;iv4 #abv4 ,aliis autem 9 casibus motus i/e hor>ius erit ad #cc4 #aj'4 #cc;iv4 #abv4 ut cont5tum sub s9ibus angulorum trium ,,tpi1 ,,ptn1 ,,/n 7seu di/anti>um ,lun ,quadratura1 ,lun ,nodo ,nodi ,sole7 ad cubum ,radii4 ,et quoties signum anguli alicujus de affirmativo 9 negativum1 deque negativo 9 affirmativum mutatur1 debebit motus regressivus 9 progressivum progressivus 9 regressivum mut>i4 ,unde fit ut ,nodi progr$iantur quoties ,luna int] ,quadraturam alt]utram ,nodum ,quadratur proximum v]satur4 ,aliis 9 casibus regr$iuntur1 p] excessum regressus supra progressum1 s+ulis m5sibus f]untur 9 antec$5tia4 ,illu/ration ,corol4 #a4 ,h9c si a dati arcus quam m9imi ,,pm t]m9is ,p ,m ad l9eam ,quadraturas jung5tem ,qq demittantur p]p5dicula ,,pk1 ,mk1 eademque producantur donec sec5t l9eam ,nodorum ,nn 9 ,d d2 erit motus hor>ius ,nodorum ut area ,m,p,dd quadratum l9e ,,az conjunctim4 ,sunto enim ,,pk1 ,,ph ,,az prdicti tres ,s9us4 ,nempe ,,pk ,s9us di/anti ,lun ,quadratura1 ,,ph ,s9us di/anti ,lun ,nodo1 ,,az ,s9us di/anti ,nodi ,sole3 erit velocitas ,nodi ut cont5tum ,,pk ,,ph ,,az4 ,e/ autem ,,pt ad ,,pk ut ,,pm ad ,kk1 adeoque ob datas ,,pt ,,pm e/ ,kk ipsi ,,pk proportionalis4 ,e/ ,,at ad ,,pd ut ,,az ad ,,ph1 propt]ea ,,ph rectangulo ,,pd ,,az proportionalis1 conjunctis rationibus1 ,,pk ,,ph e/ ut cont5tum ,kk ,,pd ,,az1 ,,pk ,,ph ,,az ut ,kk ,,pd ,,az qu4 id e/ ut area ,p,dd,m1 ,,az qu4 conjunctim4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #b4 ,9 data quavis ,nodorum positione1 motus hor>ius m$iocris e/ semissis motus hor>ii 9 ,syzygiis ,lun1 ideoque e/ ad #af4 #ce'4 #af;iv4 #cfv4 ut quadratum ,s9us di/anti ,nodorum ,syzygiis ad quadratum ,radii1 sive ut ,,az qu4 ad ,,at qu4 ,nam si ,luna uni=mi cum motu p]ambulet semicirculum ,q,aq1 summa omnium are>um ,p,dd,m1 quo tempore ,luna p]git ,q ad ,m1 erit area ,q,md,e qu ad circuli tang5tem ,,qe t]m9atur2 quo tempore ,luna att+it punctum n1 summa illa erit area tota ,e,q,an quam l9ea ,,pd describit2 de9 ,luna p]g5te ab n ad q1 l9ea ,,pd cadet extra circulum1 aream nqe ad circuli tang5tem qe t]m9atam describet2 qu1 quoniam ,nodi prius regr$iebantur1 jam v] progr$iuntur1 subduci debet de area priore1 cum qualis sit are ,,q51 rel9quet semicirculum ,n,q,an4 ,igitur summa omnium are>um ,p,dd,m1 quo tempore ,luna semicirculum describit1 e/ area semicirculi2 summa omnium quo tempore ,luna circulum describit e/ area circuli totius4 ,at area ,p,dd,m1 ubi ,luna v]satur 9 ,syzygiis1 e/ rectangulum sub arcu ,,pm radio ,,mt2 summa omnium huic qualium are>um1 quo tempore ,luna circulum describit1 e/ rectangulum sub circumf]5tia tota radio circuli2 hoc rectangulum1 cum sit quale duobus circulis1 duplo majus e/ qum rectangulum prius4 ,pro9de ,nodi1 e cum velocitate uni=mit] cont9uat quam hab5t 9 ,syzygiis ,lun>ibus1 spatium duplo majus describ]5t qum rev]a describunt2 propt]ea motus m$iocris quocum1 si uni=mit] cont9u>etur1 spatium se 9quabili cum motu rev]a confectum describ]e poss5t1 e/ semissis motus quem hab5t 9 ,syzygiis ,lun4 ,unde cum motus or>ius maximus1 si ,nodi 9 ,quadraturis v]santur1 sit #cc4 #aj'4 #cc;iv4 #abv1 motus m$iocris hor>ius 9 hoc casu erit #af4 #ce'4 #af;iv4 #cfv4 ,et cum motus hor>ius ,nodorum semp] sit ut ,,az qu4 area ,p,dd,m conjunctim1 propt]ea motus hor>ius ,nodorum 9 ,syzygiis ,lun ut ,,az qu4 area ,p,dd,m conjunctim1 id e/ 7ob datam aream ,p,dd,m 9 ,syzygiis descriptam7 ut ,,az qu4 erit etiam motus m$iocris ut ,,az qu4 atque adeo hic motus1 ubi ,nodi extra ,quadraturas v]santur1 erit ad #af4 #ce'4 #af;iv4 #cfv4 ut ,,az qu4 ad ,,at qu4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xxxi4 ,prob4 ,,xi4 ,inv5ire motum hor>ium ,nodorum ,lun 9 ,orbe ,elliptico4 ,illu/ration ,designet ,qpmaq ,ellipsim1 axe majore ,qq1 m9ore ab descriptam1 ,q,aq circulum circumscriptum1 ,t ,t]ram 9 utriusque c5tro communi1 ,s ,solem1 p ,lunam 9 ,ellipsi mov5tem1 pm arcum quem data temporis p>ticula quam m9ima describit1 ,n n ,nodos l9ea ,nn junctos1 p,k mk p]p5dicula 9 axem ,qq demissa h9c inde producta1 donec occurrant circulo 9 ,p ,m1 l9e ,nodorum 9 ,d d4 ,et si ,luna1 radio ad ,t]ram ducto1 aream describat tempori proportionalem1 erit motus ,nodi 9 ,ellipsi ut area p,ddm4 ,nam si ,,pf tangat circulum 9 ,p1 producta occurrat ,,tn 9 ,f1 pf tangat ,ellips9 9 p producta occurrat eidem ,,tn 9 f1 conv5iant autem h ,tang5tes 9 axe ,,tq ad ,y2 si ,,ml designet spatium quod ,luna 9 circulo revolv5s1 int]ea dum describit arcum ,,pm1 urg5te impell5te vi prdicta #c;,,x1 motu transv]so describ]e posset1 ml designet spatium quod ,luna 9 ,ellipsi revolv5s eodem tempore1 urg5te etiam vi #c;,,x1 describ]e posset2 producantur ,,lp lp donec occurrant plano ,ecliptic 9 ,g g2 jungantur ,,fg fg1 qu>um ,,fg producta secet pf1 pg ,,tq 9 c1 e ,r respectiv1 fg producta secet ,,tq 9 r3 ,quoniam vis #c;,,x seu #c,,pk 9 circulo e/ ad vim #c;,,x seu #cp,k 9 ,ellipsi1 ut ,,pk ad p,k1 seu ,,at ad a,t2 erit spatium ,,ml vi priore g5itum1 ad spatium ml vi po/]iore g5itum1 ut ,,pk ad p,k1 id e/ ob similes figuras ,p,y,kp ,f,y,rc1 ut ,,fr ad c,r4 ,e/ autem ,,ml ad ,,fg 7ob similia triangula ,,plm1 ,,pgf7 ut ,,pl ad ,,pg1 hoc e/ 7ob p>allelas ,lk1 ,,pk1 ,,gr7 ut pl ad pe1 id e/ 7ob similia triangula plm1 cpe7 ut lm ad ce2 inv]s ut ,,lm e/ ad lm1 seu ,,fr ad c,r1 ita e/ ,,fg ad ce4 ,et propt]ea si fg esset ad ce ut f,y ad c,y1 id e/ ut fr ad c,r1 7hoc e/ ut fr ad ,,fr ,,fr ad c,r conjunctim1 id e/ ut f,t ad ,,ft ,,fg ad ce conjunctim17 quoniam ratio ,,fg ad ce utr9que ablata rel9quit rationes fg ad ,,fg f,t ad ,,ft1 =et fg ad ,,fg ut f,t ad ,,ft2 propt]ea quod anguli1 quos ,,fg fg subt5d]5t ad ,t]ram ,t1 qu>5tur int] se4 ,s$ anguli illi 7p] ea qu 9 prc$5te ,propositione exposuimus7 sunt motus ,nodorum1 quo tempore ,luna 9 circulo arcum ,,pm1 9 ,ellipsi arcum pm p]currit3 propt]ea motus ,nodorum 9 ,circulo ,ellipsi qu>5tur int] se4 ,hc ita se hab]5t1 si modo fg esset ad ce ut f,y ad c,y1 id e/ si fg qualis esset ce f,y c,y4 ,v]um ob similia triangula fgp1 cep1 e/ fg ad ce ut fp ad cp2 ideoque fg qualis e/ ce fp cp1 propt]ea angulus1 quem fg rev]a subt5dit1 e/ ad angulum priorem1 quem ,,fg subt5dit1 hoc e/ motus ,nodorum 9 ,ellipsi ad motum ,nodorum 9 ,circulo1 ut hc fg seu ce fp cp ad priorem fg seu ce f,y c,y1 id e/ ut fp c,y ad cp f,y1 seu fp ad f,y c,y ad cp2 hoc e/1 si pb ipsi ,,tn p>allela occurrat ,,fp 9 b1 ut ,fb ad ,,fy ,,fy ad ,,fp2 hoc e/ ut ,fb ad ,,fp seu ,dp ad ,,dp1 adeoque ut area ,dpmd ad aream ,d,p,md4 ,et propt]ea1 cum area po/]ior proportionalis sit motui ,nodorum 9 ,circulo1 erit area prior proportionalis motui ,nodorum 9 ,ellipsi4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,igitur cum1 9 data ,nodorum positione1 summa omnium are>um p,ddm1 quo tempore ,luna p]git ,quadratura ad locum quemvis m1 sit area mp,q,ed1 qu ad ,ellipseos ,tang5tem ,,qe t]m9atur2 summa omnium are>um ill>um1 9 revolutione integra1 sit area ,ellipseos totius3 motus m$iocris ,nodorum 9 ,ellipsi erit ad motum m$iocrem ,nodorum 9 circulo1 ut ,ellipsis ad circulum1 id e/ ut ,ta ad ,,ta1 seu #fh-aa_/ab ad #fi-aa_/ab4 ,et propt]ea1 cum motus m$iocris hor>ius ,nodorum 9 circulo sit ad #af4 #ce'4 #af;iv4 #cfv4 ut ,,az qu4 ad ,,at qu4 si capiatur angulus #af4 #ba'4 #b;iv4 #cfv4 ad angulum #af4 #ce'4 #af;iv4 #cfv4 ut #fh-aa_/ab ad #fi-aa_/ab1 erit motus m$iocris hor>ius ,nodorum 9 ,ellipsi ad #af4 #ba'4 #b;iv4 #cfv4 ut ,a,zq4 ad ,a,tq42 hoc e/ ut quadratum ,s9us di/anti ,nodi ,sole ad quadratum ,radii4 ,ct]um ,luna1 radio ad ,t]ram ducto1 aream velocius describit 9 ,syzygiis qum 9 ,quadraturis1 eo nom9e tempus 9 ,syzygiis contrahitur1 9 ,quadraturis producitur2 una cum tempore motus ,nodorum augetur ac dim9uitur4 ,erat autem mom5tum are 9 ,quadraturis ,lun ad ejus mom5tum 9 ,syzygiis ut #ajigc ad #aajgc2 propt]ea mom5tum m$iocre 9 ,octantibus e/ ad excessum 9 ,syzygiis1 defectumque 9 ,quadraturis1 ut num]orum semisumma #aajbc ad eorundem semidiff]5tiam #ej4 ,unde cum tempus ,lun 9 s+ulis ,orbis p>ticulis qualibus sit reciproc ut ipsius velocitas1 erit tempus m$iocre 9 ,octantibus ad excessum temporis 9 ,quadrantibus1 ac defectum 9 ,syzygiis1 ab hac causa oriundum1 ut #aajbc ad #ej quam proxime4 ,p]g5do autem ,quadraturis ad ,syzygias1 inv5io quod excessus mom5torum are 9 locis s+ulis1 supra mom5tum m9imum 9 ,quadraturis1 sit ut quadratum ,s9us di/anti ,lun ,quadrantibus quam proxim2 propt]ea diff]5tia int] mom5tum 9 loco quocunque mom5tum m$iocre 9 ,octantibus1 e/ ut diff]5tia int] quadratum ,s9us di/anti ,lun ,quadraturis quadratum ,s9us graduum #de1 seu semissem quadrati ,radii2 increm5tum temporis 9 locis s+ulis int] ,octantes ,quadraturas1 decrem5tum ejus int] ,octantes ,syzygias e/ 9 eadem ratione4 ,motus autem ,nodorum1 quo tempore ,luna p]currit s+ulas ,orbis p>ticulas quales1 accel]atur vel ret>datur 9 duplicata ratione temporis4 ,e/ enim motus i/e1 dum ,luna p]currit ,,pm1 7ct]is p>ibus7 ut ,,ml1 ,,ml e/ 9 duplicata ratione temporis4 ,qu>e motus ,nodorum 9 ,syzygiis1 eo tempore confectus quo ,luna datas ,orbis p>ticulas p]currit1 dim9uitur 9 duplicata ratione num]i #aajgc ad num]um #aajbc2 e/que decrem5tum ad motum reliquum ut #ajj ad #ajigc1 ad motum v] totum ut #ajj ad #aajgc quam proxim4 ,decrem5tum autem 9 locis int] ,octantes ,syzygias1 increm5tum 9 locis int] ,octantes ,quadraturas1 e/ quam proxime ad hoc decrem5tum1 ut motus totus 9 locis illis ad motum totum 9 ,syzygiis diff]5tia int] quadratum ,s9us di/anti ,lun ,quadratura semissem quadrati ,radii ad semissem quadrati ,radii1 conjunctim4 ,unde si ,nodi 9 ,quadraturis v]s5tur1 capiantur loca duo qualit] ab ,octante h9c inde di/antia1 alia duo ,syzygi ,quadratur iisdem int]vallis di/antia1 deque decrem5tis motuum 9 locis duabus int] ,syzygiam ,octantem1 subducantur increm5ta motuum 9 locis reliquis duobus1 qu sunt int] ,octantem ,quadraturam2 decrem5tum reliquum quale erit decrem5to 9 ,syzygia3 uti rationem ineunti facil con/abit4 ,pro9deque decrem5tum m$iocre1 quod de ,nodorum motu m$iocri subduci debet1 e/ p>s qu>ta decrem5ti 9 ,syzygia4 ,motus totus hor>ius ,nodorum 9 ,syzygiis 7ubi ,luna radio ad ,t]ram ducto aream tempori proportionalem describ]e supponebatur7 erat #cb4 #db'4 #e;iv4 #abv4 ,et decrem5tum motus ,nodorum1 quo tempore ,luna jam velocior describit idem spatium1 diximus esse ad hunc motum ut #ajj ad #aajgc2 adeoque decrem5tum illud e/ #ag'4 #dc;iv4 #ajv1 cujus p>s qu>ta #d'4 #be;iv4 #dhv1 motui hor>io m$iocri sup]ius inv5to #af4 #ba'4 #b;iv4 #cfv4 subducta1 rel9quit #af4 #af'4 #cf;iv4 #dhv4 motum m$iocrem hor>ium correctum4 ,si ,nodi v]santur extra ,quadraturas1 spect5tur loca b9a ,syzygiis h9c inde qualit] di/antia2 summa motuum ,nodorum1 ubi ,luna v]satur 9 8 locis1 erit ad summam motuum1 ubi ,luna 9 iisdem locis ,nodi 9 ,quadraturis v]santur1 ut ,,az qu4 ad ,,at qu4 ,et decrem5ta motuum1 causis jam expositis oriunda1 erunt ad invicem ut ipsi motus1 adeoque motus reliqui erunt ad invicem ut ,,az qu4 ad ,,at qu4 motus m$iocres ut motus reliqui4 ,e/ itaque motus m$iocris hor>ius correctus1 9 dato quocunque ,nodorum situ1 ad #af4 #af'4 #cf;iv4 #dhv4 ut ,,az qu4 ad ,,at qu42 id e/ ut quadratum ,s9us di/anti ,nodorum ,syzygiis ad quadratum ,radii4 ,prop4 ,,xxxii4 ,prob4 ,,xii4 ,inv5ire motum m$ium ,nodorum ,lun4 ,motus m$ius annuus e/ summa motuum omnium hor>iorum m$iocrium 9 anno4 ,concipe ,nodum v]s>i 9 ,n1 s+ulis horis completis retrahi 9 locum suum priorem1 ut non ob/ante motu suo proprio1 datum semp] s]vet situm ad ,/ellas ,fixas4 ,int]ea v] ,solem ,s1 p] motum ,t]r1 progr$i ,nodo1 cursum annuum app>5tem uni=mit] compl]e4 ,sit autem ,aa arcus datus quam m9imus1 quem recta ,,ts ad ,solem semp] ducta1 int]sectione sua circuli ,n,an1 dato tempore quam m9imo describit3 motus hor>ius m$iocris 7p] jam o/5sa7 erit ut ,a,zq4 id e/ 7ob proportionales ,,az1 ,,zy7 ut rectangulum sub ,,az ,,zy1 hoc e/ ut area ,a,z,ya4 ,et summa omnium hor>iorum motuum m$iocrium ab initio1 ut summa omnium are>um a,y,z,a1 id e/ ut area ,,naz4 ,e/ autem maxima ,a,z,ya qualis rectangulo sub arcu ,aa radio circuli2 propt]ea summa omnium rectangulorum 9 circulo toto ad summam totidem maximorum1 ut area circuli totius ad rectangulum sub circumf]5tia tota radio2 id e/ ut #a ad #b4 ,motus autem hor>ius1 rectangulo maximo respond5s1 erat #af4 #af'4 #cf;iv4 #dhv4 ,et hic motus1 anno toto sid]eo di]um #cfe4 #f hor4 #i m94 fit #ci gr4 #ch'4 #e4 #ci'4 ,ideoque hujus dimidium #ai gr4 #di'4 #b4 #di' e/ motus m$ius ,nodorum circulo toti respond5s4 ,et motus ,nodorum1 quo tempore ,sol p]git ab ,n ad ,a1 e/ ad #ai gr4 #di'4 #b4 #di' ut area ,,naz ad circulum totum4 ,illu/ration ,hc ita se hab5t1 ex ,hypo!si quod ,nodus horis s+ulis 9 locum priorem retrahitur1 sic ut ,sol anno toto completo ad ,nodum eundem r$eat quo sub initio digressus fu]at4 ,v]um p] motum ,nodi fit ut ,sol citius ad ,nodum rev]tatur1 comput&a jam e/ abbreviatio temporis4 ,cum ,sol anno toto conficiat #cfj gradus1 ,nodus motu maximo eodem tempore confic]et #ci gr4 #ch'4 #e4 #ci'4 seu #ci1fcdi gradus2 motus m$iocris ,nodi 9 loco quovis ,n sit ad ipsius motum m$iocrem 9 ,quadraturis suis1 ut ,a,zq4 ad ,a,tq4 erit motus ,solis ad motum ,nodi 9 ,n1 ut #cfj ,a,tq4 ad #ci1fcdi ,a,zq42 id e/ ut #i1jhbijcb ,a,tq4 ad ,a,zq4 ,unde si circuli totius circumf]5tia ,n,an dividatur 9 p>ticulas quales ,aa1 tempus quo ,sol p]currat p>ticulam ,aa1 si circulus quiesc]et1 erit ad tempus quo p]currit e&em p>ticulam1 si circulus una cum ,nodis circa c5trum ,t revolvatur1 reciproc ut #i1jhbijcb ,a,tq4 ad #i1jhbijcb ,a,tq4 ,a,zq4 ,nam tempus e/ reciproc ut velocitas qua p>ticula p]curritur1 hc velocitas e/ summa velocitatum ,solis ,nodi4 ,igitur si tempus1 quo ,sol absque motu ,nodi p]curr]et arcum ,,na1 exponatur p] ,sectorem ,,nta1 p>ticula temporis quo p]curr]et arcum quam m9imum ,aa1 exponatur p] ,sectoris p>ticulam ,a,ta2 7p]p5diculo a,y 9 ,nn demisso7 si 9 ,,az capiatur d,z1 ejus longitud9is ut sit rectangulum d,z 9 ,,zy ad ,sectoris p>ticulam ,a,ta ut ,a,zq4 ad #i1jhbijcb ,a,tq4 ,a,zq4 id e/ ut sit d,z ad ,,az ut ,a,tq4 ad #i1jhbijcb ,a,tq4 ,a,zq42 rectangulum d,z 9 ,,zy designabit decrem5tum temporis ex motu ,nodi oriundum1 tempore toto quo arcus ,aa p]curritur4 ,et si punctum d tangit curvam ,nd,gn1 area curvil9ea ,nd,z erit decrem5tum totum1 quo tempore arcus totus ,,na p]curritur2 propt]ea excessus ,sectoris ,,nat supra aream ,nd,z erit tempus illud totum4 ,et quoniam motus ,nodi tempore m9ore m9or e/ 9 ratione temporis1 debebit etiam area ,aa,y,z dim9ui 9 eadem ratione4 ,id quod fiet si capiatur 9 ,,az longitudo e,z1 qu sit ad longitud9em ,,az ut ,a,zq4 ad #i1jhbiijcb ,a,tq4 ,a,zq4 ,sic enim rectangulum e,z 9 ,,zy erit ad aream ,a,z,ya ut decrem5tum temporis1 quo arcus ,aa p]curritur1 ad tempus totum1 quo p]curr]etur si ,nodus quiesc]et3 ,et propt]ea rectangulum illud respondebit decrem5to motus ,nodi4 ,et si punctum e tangat curvam ,ne,fn1 area tota ,ne,z1 qu summa e/ omnium decrem5torum1 respondebit decrem5to toti1 quo tempore arcus ,,an p]curritur2 area reliqua ,n,ae respondebit motui reliquo1 qui v]us e/ ,nodi motus quo tempore arcus totus ,,na1 p] ,solis ,nodi conjunctos motus1 p]curritur4 ,jam v] si circuli radius ,,at ponatur #a1 erit area semicirculi #a1egjgif2 area figur ,ne,fn,t1 p] me?odum ,s]i]um inf9it>um qusita1 prodibit #j1aahhdgh4 ,motus autem qui respondet circulo toti erat #ai gr4 #di'4 #b4 #di'2 propt]ea motus1 qui figur ,ne,fn,t duplicat respondet1 e/ #a gr4 #bi'4 #eg4 #ea'4 ,qui de motu priore subductus rel9quit #ah gr4 #ai'4 #d4 #eh'4 motum totum ,nodi int] sui ipsius ,conjunctiones cum ,sole2 hic motus de ,solis motu annuo graduum #cfj subductus1 rel9quit #cda gr4 #dj'4 #ee4 #b'4 motum ,solis int] easdem ,conjunctiones4 ,i/e autem motus e/ ad motum annuum #cfj gr4 ut ,nodi motus jam inv5tus #ah gr4 #ai'4 #d4 #eh'4 ad ipsius motum annuum1 qui propt]ea erit #ai gr4 #ah'4 #j4 #bb'4 ,hic e/ motus m$ius ,nodorum 9 anno sid]eo4 ,idem p] ,tabulas ,a/ronomicas e/ #ai gr4 #bj'4 #ca4 #a'4 ,diff]5tia m9or e/ p>te quadr+5tesima motus totius1 ab ,orbis ,lun>is ,exc5tricitate ,incl9atione ad planum ,ecliptic oriri videtur4 ,p] ,exc5tricitatem ,orbis motus ,nodorum nimis accel]atur1 p] ejus ,incl9ationem vicissim ret>datur aliquantulum1 ad ju/am velocitatem r$ucitur4 ,prop4 ,,xxxiii4 ,prob4 ,,xiii4 ,inv5ire motum v]um ,nodorum ,lun4 ,illu/ration ,9 tempore quod e/ ut area ,,nta - ,nd,z1 79 ,fig4 prc$47 motus i/e e/ ut area ,n,ae,n1 inde datur4 ,v]um ob nimiam calculi difficultatem1 pr/at sequ5tem ,problematis con/ructionem adhib]e4 ,c5tro ,c1 int]vallo quovis ,,cd1 describatur circulus ,,befd4 ,producatur ,,dc ad ,a1 ut sit ,,ab ad ,,ac ut motus m$ius ad semissem motus v]i m$iocris1 ubi ,nodi sunt 9 ,quadraturis3 7id e/ ut #ai gr4 #ah'4 #j4 #bb'4 ad #ai gr4 #di'4 #b4 #di'1 atque adeo ,,bc ad ,,ac ut motuum diff]5tia #j gr4 #ca'4 #b4 #bg'1 ad motum po/]iorem #ai gr4 #di'4 #b4 #di'1 hoc e/1 ut #a4 ad #ch-a_/c7 de9 p] punctum ,d ducatur inf9ita ,gg1 qu tangat circulum 9 ,d2 si capiatur angulus ,,bce vel ,,bcf qualis semissi di/anti ,solis loco ,nodi1 p] motum m$ium inv5to2 agatur ,,ae vel ,,af secans p]p5diculum ,,dg 9 ,g2 capiatur angulus qui sit ad motum ,nodi int] ipsius ,syzygias 7id e/ ad #i gr4 #aj'4 #dj47 ut tang5s ,,dg ad circuli ,,b$ circumf]5tiam totam1 atque angulus i/e ad motum m$ium ,nodorum addatur2 habebitur eorum motus v]us4 ,nam motus v]us sic inv5tus congruet quam proxim cum motu v]o qui prodit expon5do tempus p] aream ,,nta - ,nd,z1 motum ,nodi p] aream ,n,ae,n2 ut rem p]p5d5ti con/abit4 ,hc e/ quatio annua motus ,nodorum4 ,e/ quatio m5/rua1 s$ qu ad inv5tionem ,latitud9is ,lun m9im necess>ia e/4 ,nam cum ,v>iatio incl9ationis ,orbis ,lun>is ad planum ,ecliptic duplici 9qualitati obnoxia sit1 alt]i annu1 alt]i autem m5/ru2 hujus m5/rua 9qualitas quatio m5/rua ,nodorum ita se mutu contemp]ant corrigunt1 ut amb 9 det]m9&a ,latitud9e ,lun negligi poss9t4 ,corol4 ,ex hac prc$5te ,propositione liquet quod ,nodi 9 ,syzygiis suis quiescunt1 9 ,quadraturis autem regr$iuntur motu hor>io #af4 #ah'4 #da;iv4 ,et quod quatio motus ,nodorum 9 ,octantibus sit #a gr4 #cj'4 ,qu omnia cum ,phnom5is coele/ibus prob quadrant4 ,prop4 ,,xxxiv4 ,prob4 ,,xiv4 ,inv5ire ,v>iationem hor>iam incl9ationis ,orbis ,lun>is ad planum ,ecliptic4 ,illu/ration ,design5t ,a a ,syzygias2 ,q q ,quadraturas2 ,n n ,nodos2 ,p locum ,lun 9 ,orbe suo2 p ve/igium loci illius 9 plano ,ecliptic1 m,tl motum mom5taneum ,nodorum ut supra4 ,et si ad l9eam ,tm demittatur p]p5diculum ,,pg1 jungatur p,g1 producatur ea donec occurrat ,tl 9 g1 jungatur etiam ,pg3 erit angulus ,p,gp incl9atio orbis ,lun>is ad planum ,ecliptic1 ubi ,luna v]satur 9 ,p2 angulus ,pgp incl9atio ejusdem po/ mom5tum temporis completum1 adeoque angulus ,g,pg ,v>iatio mom5tanea incl9ationis4 ,e/ autem hic angulus ,g,pg ad angulum ,g,tg ut ,,tg ad ,,pg ,pp ad ,,pg conjunctim4 ,et propt]ea si pro mom5to temporis sub/ituatur hora2 cum angulus ,g,tg 7p] ,prop4 ,,xxx47 sit ad angulum #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut ,,x ,,pg ,,az ad ,,at cub4 erit angulus ,g,pg 7seu incl9ationis hor>ia ,v>iatio7 ad angulum #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut ,,x ,,az ,,tg ,pp ,,pg ad ,,at cub4 ,q4 ,e4 ,i4 ,hc ita se hab5t ex ,hypo!si quod ,luna 9 ,orbe circul>i uni=mit] gyratur4 ,quod si orbis ille ,ellipticus sit1 motus m$iocris ,nodorum m9uetur 9 ratione axis m9oris ad axem majorem2 uti supra expositum e/4 ,et 9 eadem ratione m9uetur etiam ,s9us ,,x4 ,incl9ationis autem ,v>iatio tantum augebitur p] decrem5tum ,s9us ,,x1 quantum dim9uitur p] decrem5tum motus ,nodorum2 propt]ea idem manebit atque prius4 ,corol4 #a4 ,si ad ,nn erigatur p]p5diculum ,,tf1 sitque p,m motus hor>ius ,lun 9 plano ,ecliptic2 p]p5dicula p,k1 ,mk 9 ,,qt demissa utr9que producta occurrant ,,tf 9 ,h h3 erit ,kk ad ,mp ut p,k seu ,,x ad ,,at1 ,,tz ad ,,at ut ,,tg ad ,hp2 ideoque ,,x ,,tg quale ,kk ,hp ,,tz ,mp1 hoc e/ quale are ,hp,mh duct 9 rationem ,,tz ,mp3 propt]ea incl9ationis ,v>iatio hor>ia ad #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut ,hp,mh ducta 9 ,,az ,,tz ,mp ,pp ,,pg ad ,,at cub4 ,corol4 #b4 ,ideoque si ,t]ra ,nodi s+ulis horis completis retrah]5tur locis suis novis1 9 loca priora 9 in/anti semp] r$uc]5tur1 ut situs eorum1 p] m5sem integrum p]iodicum1 datus man]et2 tota ,incl9ationis ,v>iatio tempore m5sis illius =et ad #cc4 #aj'4 #cc;iv1 ut aggregatum omnium are>um ,hp,mh1 9 revolutione puncti p g5]at>um1 sub signis propriis - conjunct>um1 ductum 9 ,,az ,,tz ,pp ,,pg1 ad ,mp ,,at cub4 id e/ ut circulus totus ,q,aqa ductus 9 ,,az ,,tz ,pp ,,pg ad ,mp ,,at cub4 hoc e/ ut circumf]5tia ,q,aqa ducta 9 ,,az ,,tz ,pp ,,pg ad #b,,mp ,,at quad4 ,corol4 #c4 ,pro9de 9 dato ,nodorum situ1 ,v>iatio m$iocris hor>ia1 ex qu p] m5sem uni=mit] cont9uat ,v>iatio illa m5/rua g5]>i posset1 e/ ad #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut ,,az ,,tz ,pp ,,pg ad #b;,a,tq4 id e/ 7cum ,pp sit ad ,,pg ut ,s9us ,incl9ationis prdict ad ,radium1 ,,az ,,tz ,,at sit ad ,,at ut s9us duplicati anguli ,a,tn ad ,radium7 ut incl9ationis ejusdem ,s9us ductus 9 ,s9um duplicat di/anti ,nodorum ,sole1 ad quadruplum quadratum ,radii4 ,corol4 #d4 ,quoniam incl9ationis hor>ia ,v>iatio1 ubi ,nodi 9 ,quadraturis v]santur1 e/ 7p] ,propositionem sup]iorem7 ad angulum #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut ,,x ,,az ,,tg ,pp ,,pg ad ,,at cub4 id e/ ut ,,x ,,tg ,,at ,pp ,,pg ad ,,at2 hoc e/ ut ,s9us duplicat di/anti ,lun ,quadraturis ductus 9 ,pp ,,pg ad radium duplicatum3 summa omnium ,v>iationum hor>i>um1 quo tempore ,luna 9 hoc situ ,nodorum transit ,quadratura ad ,syzygiam1 7id e/ spatio hor>um #agg-a_/f17 erit ad summam totidem angulorum #cc4 #aj'4 #cc;iv4 seu #ehgh1 ut summa omnium s9uum duplicat di/anti ,lun ,quadraturis ducta 9 ,pp ,,pg ad summam totidem diametrorum2 hoc e/ ut diamet] ducta 9 ,pp ,,pg1 ad circumf]5tiam2 id e/ si incl9atio sit #e gr4 #b'1 ut #g #hgf_/ajjjj ad #bb1 seu #bgi ad #ajjjj4 ,pro9deque ,v>iatio tota1 ex summa omnium hor>i>um ,v>iationum tempore prdicto conflata1 e/ #afd1 seu #b'4 #dd4 ,prop4 ,,xxxv4 ,prob4 ,,xv4 ,dato tempore inv5ire ,incl9ationem ,orbis ,lun>is ad planum ,ecliptic4 ,illu/ration ,sit ,,ad ,s9us incl9ationis maxim1 ,,ab ,s9us ,incl9ationis m9im4 ,bisecetur ,,bd 9 ,c1 c5tro ,c1 int]vallo ,,bc1 describatur ,circulus ,,bgd4 ,9 ,,ac capiatur ,,ce 9 ea ratione ad ,,eb quam ,,eb habet ad #b;,,ba3 ,et si dato tempore con/ituatur angulus ,,aeg qualis duplicat di/anti ,nodorum ,quadraturis1 ad ,,ad demittatur p]p5diculum ,,gh3 erit ,,ah ,s9us incl9ationis qusit4 ,nam ,g,eq4 quale e/ ,g,hq4 ,h,eq4 ,,bhd ,h,eq4 ,,hbd ,h,eq4 - ,b,hq4 ,,hbd ,b,eq4 - #b;,,bh ,,be ,b,eq4 #b;,,ec ,,bh #b;,,ec ,,ab #b;,,ec ,,bh #b;,,ec ,,ah4 ,ideoque cum #b;,,ec detur1 e/ ,g,eq4 ut ,,ah4 ,designet jam ,a,eg di/antiam ,nodorum ,quadraturis po/ datum aliquod mom5tum temporis completum1 arcus ,gg1 ob datum angulum ,g,eg1 erit ut di/antia ,,ge4 ,e/ autem ,hh ad ,gg ut ,,gh ad ,,gc1 propt]ea ,hh e/ ut cont5tum ,,gh ,gg seu ,,gh ,,ge2 id e/ ut ,,gh ,,ge ,,ge qu4 seu ,,gh ,,ge ,,ah1 id e/ ut ,,ah s9us anguli ,,aeg conjunctim4 ,igitur si ,,ah 9 casu aliquo sit ,s9us incl9ationis1 augebitur ea iisdem increm5tis cum s9u incl9ationis1 p] ,corol4 #c4 ,propositionis sup]ioris1 propt]ea s9ui illi qualis semp] manebit4 ,s$ ,,ah ubi punctum ,g incidit 9 punctum alt]utrum ,b vel ,d huic ,s9ui qualis e/1 propt]ea eidem semp] qualis manet4 ,q4 ,e4 ,d4 ,9 hac demon/ratione supposui angulum ,,beg1 qui di/antia e/ ,nodorum ,quadraturis1 uni=mit] aug]i4 ,nam omnes 9qualitatum m9utias exp5d]e non vacat4 ,concipe jam angulum ,,beg rectum esse1 ,gg esse augm5tum hor>ium di/anti ,nodorum ,solis ab invicem2 incl9ationis ,v>iatio hor>ia 7p] ,corol4 #c4 ,prop4 novissim7 erit ad #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut cont5tum sub incl9ationis ,s9u ,,ah ,s9u anguli recti ,,beg1 qui e/ duplicata di/antia ,nodorum ,sole1 ad quadruplum quadratum ,radii2 id e/ ut m$iocris incl9ationis ,s9us ,,ah ad radium quadruplicatum2 hoc e/ 7cum incl9atio illa m$iocris sit quasi #e gr4 #h'47 ut ejus ,s9us #hif ad radium quadruplicatum #djjjj1 sive ut #bbd ad #ajjjj4 ,e/ autem ,v>iatio tota1 ,s9uum diff]5ti ,,bd respond5s1 ad v>iationem illam hor>iam ut diamet] ,,bd ad arcum ,gg2 id e/ ut diamet] ,,bd ad semicircumf]5tiam ,,bgd tempus hor>um #bjhj1 quo ,nodus p]git ,quadraturis ad ,syzygias1 ad horam unam conjunctim2 hoc e/ ut #g ad #aa #bjhj ad #a4 ,qu>e si rationes omnes conjungantur1 fiet ,v>iatio tota ,,bd ad #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut #bbd #g #bjhj ad #aajjjj1 id e/ ut #bife ad #ajj1 inde ,v>iatio illa ,,bd prodibit #af'4 #bd4 ,hc e/ incl9ationis ,v>iatio maxima quat5us locus ,lun 9 ,orbe suo non consid]atur4 ,nam incl9atio1 si ,nodi 9 ,syzygiis v]santur1 nil mutatur ex v>io situ ,lun4 ,at si ,nodi 9 ,quadraturis consi/unt1 incl9atio major e/ ubi ,luna v]satur 9 ,syzygiis1 qum ubi ea v]satur 9 ,quadraturis1 excessu #b'4 #dd2 uti 9 ,propositionis sup]ioris ,coroll>io qu>to indicavimus4 ,et hujus excessus dimidio #a'4 #bb ,v>iatio tota m$iocris ,,bd 9 ,quadraturis ,lun>ibus dim9uta fit #ae'4 #b1 9 ipsius autem ,syzygiis aucta fit #ag'4 #df4 ,si ,luna igitur 9 ,syzygiis con/ituatur1 ,v>iatio tota1 9 transitu ,nodorum ,quadraturis ad ,syzygias1 erit #ag'4 #df4 adeoque si ,incl9atio1 ubi ,nodi 9 ,syzygiis v]santur1 sit #e gr4 #ag'4 #df4 eadem1 ubi ,nodi sunt 9 ,quadraturis1 ,luna 9 ,syzygiis1 erit #e gr4 ,atque hc ita se hab]e confirmatur ex ,obs]vationibus4 ,nam /atuunt ,a/ronomi ,incl9ationem ,orbis ,lun>is ad planum ,ecliptic1 ubi ,nodi sunt 9 ,quadraturis ,luna 9 oppositione ,solis1 esse quasi #e gr4 ,ubi v] ,nodi sunt 9 ,syzygiis1 e&em doc5t esse #e gr4 #ag' vel #e gr4 #ah'4 ,si jam desid]etur ,orbis ,incl9atio illa1 ubi ,luna 9 ,syzygiis ,nodi ubivis v]santur2 fiat ,,ab ad ,,ad ut ,s9us #e gr4 ad ,s9um #e gr4 #ag'4 #df1 capiatur angulus ,,aeg qualis duplicat di/anti ,nodorum ,quadraturis2 erit ,,ah ,s9us ,incl9ationis qusit4 ,huic ,orbis ,incl9ationi qualis e/ ejusdem ,incl9atio1 ubi ,luna di/at #ij gr4 ,nodis4 ,aliis 9 ,lun locis 9qualitas m5/rua1 quam ,incl9ationis v>iatio admittit1 9 calculo ,latitud9is ,lun comp5satur quodammodo tollitur p] 9qualitatem m5/ruam motus ,nodorum1 7ut supra diximus7 adeoque 9 calculo ,latitud9is illius negligi pote/4 ,s*olium4 ,hact5us de motibus ,lun quat5us ,exc5tricitas ,orbis non consid]atur4 ,similibus computationibus inv5i1 quod ,apogum ubi 9 ,conjunctione vel ,oppositione ,solis v]satur1 progr$itur s+ulis diebus #bc' respectu ,fix>um2 ubi v] 9 ,quadraturis e/1 regr$itur s+ulis diebus #af-a_/c circit]3 quodque ipsius motus m$ius annuus sit quasi #dj gr4 ,p] ,tabulas ,a/ronomicas ,cl4 ,flam/$io ad ,hypo!s9 ,horroxii accommodatas1 ,apogum 9 ipsius ,syzygiis progr$itur cum motu diurno #bd'4 #bh1 9 ,quadraturis autem regr$itur cum motu diurno #bj'4 #ab1 motu m$io annuo #dj gr4 #da' f]tur 9 consequ5tia4 ,quod diff]5tia int] motum diurnum progressivum ,apogi 9 ipsius ,syzygiis1 motum diurnum regressivum 9 ipsius ,quadraturis1 p] ,tabulas sit #d'4 #af1 p] computationem v] no/ram #f'-b_/c1 vitio ,tabul>um tribu5dum esse suspicamur4 ,s$ neque computationem no/ram satis accuratam esse putamus4 ,nam rationem qu&am ineundo prodi]e ,apogi motus diurnus progressivus 9 ipsius ,syzygiis1 motus diurnus regressivus 9 ipsius ,quadraturis1 paulo majores4 ,computationes autem1 ut nimis p]plexas approximationibus imp$itas1 neque satis accuratas1 appon]e non lubet4 ,prop4 ,,xxxvi4 ,prob4 ,,xvi4 ,inv5ire vim ,solis ad ,m>e mov5dum4 ,illu/ration ,solis vis ,,ml seu ,,ps1 9 ,quadraturis ,lun>ibus1 ad p]turb&os motus ,lun>es1 erat 7p] ,prop4 ,,xxv4 hujus7 ad vim gravitatis apud nos ut #a ad #fchjib1f4 ,et vis ,,sm - ,,lm seu #b,,pk 9 ,syzygiis ,lun>ibus e/ duplo major4 ,h autem vires1 si desc5datur ad sup]ficiem ,t]r1 dim9uuntur 9 ratione di/anti>um c5tro ,t]r1 id e/ 9 ratione #fj ad #a2 adeoque vis prior 9 sup]ficie ,t]r e/ ad vim gravitatis ut #a ad #chfjdfjj4 ,hac vi ,m>e deprimitur 9 locis qu #ij gr4 di/ant ,sole4 ,vi alt] qu duplo major e/ ,m>e elevatur1 sub ,sole 9 regione ,soli opposita4 ,summa virium e/ ad vim gravitatis ut #a ad #abhfhbjj4 ,et quoniam vis eadem eundem ciet motum1 sive ea deprimat ,aquam 9 regionibus qu #ij gr4 di/ant ,sole1 sive elevet e&em 9 regionibus sub ,sole ,soli oppositis1 hc summa erit tota ,solis vis ad ,m>e agit&um2 eundem habebit effectum ac si tota 9 regionibus sub ,sole ,soli oppositis m>e elev>et1 9 regionibus autem qu #ij gr4 di/ant ,sole nil ag]et4 ,corol4 ,h9c cum vis c5trifuga p>tium ,t]r diurno ,t]r motu oriunda1 qu e/ ad vim gravitatis ut #a ad #bia1 efficiat ut altitudo ,aqu sub quatore sup]et ejus altitud9em sub polis m5sura p$um ,p>isi5sium #hebjj1 vis ,sol>is1 de qua egimus1 cum sit ad vim gravitatis ut #a ad #abhfhbjj1 atque adeo ad vim illam c5trifugam ut #bia ad #abhfhbjj seu #a ad #ddbba1 efficiet ut altitudo aqu 9 regionibus sub ,sole ,soli oppositis sup]et altitud9em ejus 9 locis qu #ij gradibus di/ant ,sole1 m5sura tantum p$is unius ,p>isi5sis digitorum undecim4 ,e/ enim hc m5sura ad m5suram p$um #hebjj ut #a ad #ddbba4 ,prop4 ,,xxxvii4 ,prob4 ,,xvii4 ,inv5ire vim ,lun ad ,m>e mov5dum4 ,vis ,lun ad m>e mov5dum collig5da e/ ex ejus proportione ad vim ,solis1 hc proportio collig5da e/ ex proportione motuum m>is1 qui ab 8 viribus oriuntur4 ,ante o/ium fluvii ,avon1 ad lapidem t]tium infra ,bri/oliam1 tempore v]no autumnali totus aqu asc5sus 9 ,conjunctione ,oppositione ,lum9>ium 7obs]vante ,samuele ,/urmio7 e/ p$um plus m9us #de1 9 ,quadraturis autem e/ p$um tantum #be3 ,altitudo prior ex summa virium1 po/]ior ex e>undem diff]5tia oritur4 ,solis igitur ,lun 9 quatore v]santium m$iocrit] ,t]ra di/antium1 sunto vires ,s ,l4 ,et quoniam ,luna 9 ,quadraturis1 tempore v]no autumnali extra quatorem 9 decl9atione graduum plus m9us #bc v]satur1 ,lum9>is ab quatore decl9antis vis ad m>e mov5dum m9or sit1 idque 7quantum s5tio7 9 duplicata ratione ,s9us complem5ti decl9ationis quam proxim1 vis ,lun 9 ,quadraturis1 7cum s9us ille sit ad radium ut #iagjf ad #ajjjjj7 erit #hda_/ajjj ,l1 summa virium 9 ,syzygiis erit ,l ,s1 ac diff]5tia 9 ,quadraturis #hda_/ajjj ,l - ,s1 adeoque ,l ,s erit ad #hda_/ajjj ,l - ,s ut #de ad #be seu #i ad #e1 inde #e,l #e,s qualis erit #gefi_/ajjj ,l - #i,s1 #ad,s qualis #befi_/ajjj ,l1 propt]ea ,l ad ,s ut #adjjj ad #befi seu #e-g_/ae ad #a4 ,9 ,portu ,plymu?i /us m>is 7ex obs]vatione ,samuelis ,colepressi7 ad p$es plus m9us sexdecim1 altitud9e m$iocri attollitur1 ac tempore v]no autumnali altitudo /us 9 ,syzygiis ,lun sup]>e pote/ altitud9em ejus 9 ,quadraturis p$ibus septem vel octo4 ,si excessus m$iocris 8 temporibus sit p$um septem cum dimidio2 /us 9 ,syzygiis asc5det ad p$es #ai1 9 ,quadraturis ad p$es #ab1 sic ,l ,s erit ad #hda_/ajjj ,l - ,s ut #ai ad #ab1 inde ,l ad ,s ut #gcd ad #ajj seu #g-a_/c ad #a4 ,e/ igitur vis ,lun ad vim ,solis p] computationem priorem ut #e-g_/ae ad #a1 p] po/]iorem ut #g-a_/c ad #a4 ,donec aliquid c]tius ex ,obs]vationibus accuratius in/itutis con/it]it1 usurpabimus proportionem m$iocrem #f-a_/c ad #a4 ,unde cum vis ,solis sit ad vim gravitatis ut #a ad #abhfhbjj1 vis ,lun erit ad vim gravitatis ut #a ad #bjcahba4 ,corol4 #a4 ,igitur cum aqua vi ,solis agitata ad altitud9em p$is unius undecim digitorum asc5dat1 eadem vi ,lun asc5det ad altitud9em p$um duodecim4 ,tanta autem vis ad omnes m>is motus excit&os abunde sufficit1 quantitati motuum probe respondet4 ,nam 9 m>ibus qu ab ,ori5te 9 ,occid5tem lat pat5t1 uti 9 ,m>i ,pacifico1 ,m>is ,atlantici ?iopici p>tibus extra ,tropicos1 aqua attolli solet ad altitud9em p$um sex1 novem duodecim vel qu9decim4 ,9 m>i autem ,pacifico1 quod pr(undius e/ latius patet1 /us dicuntur esse majores qum 9 ,atlantico ?iopico4 ,et5im ut pl5us sit /us1 latitudo ,m>is ab ,ori5te 9 ,occid5tem non m9or esse debet qum graduum nonag9ta4 ,9 ,m>i ?iopico1 asc5sus aqu intra ,tropicos m9or e/ qum 9 ,zonis temp]atis1 propt] angu/iam ,m>is int] ,africam ,au/ralem p>tem ,am]ic4 ,9 m$io ,m>i aqua nequit asc5d]e nisi ad littus utrumque ori5tale occid5tale simul desc5dat3 cum tam5 vicibus alt]nis ad littora illa 9 ,m>ibus no/ris angu/is desc5d]e debeat4 ,ea de causa fluxus refluxus 9 ,insulis1 qu littoribus longissim absunt1 p]exiguus esset solet4 ,9 ,portubus quibusdam1 ubi aqua cum impetu magno p] loca vadosa1 ad ,s9us alt]nis vicibus impl5dos evacu&os1 influ]e efflu]e cogitur1 fluxus refluxus sunt solito majores1 uti ad ,plymu?um pontem ,*ep/[ 9 ,anglia2 ad montes ,s4 ,mi*aelis urbem ,abr9catuorum 7vulgo ,auran*es7 9 ,normania2 ad ,cambaiam ,pegu 9 ,india ori5tali4 ,8 9 locis m>e1 magna cum velocitate acc$5do rec$5do1 littora nunc inundat nunc arida rel9quit ad multa ,milli>ia4 ,neque impetus influ5di reme&i prius frangi pote/1 quam aqua attollitur vel deprimitur ad p$es #cj1 #dj vel #ej amplius4 ,et p> e/ ratio fretorum oblongorum vadosorum1 uti ,magellanici ejus quo ,anglia circundatur4 /us 9 hujusmodi portubus fretis p] impetum cursus recursus supra modum augetur4 ,ad littora v] qu desc5su prcipiti ad m>e pr(undum ap]tum spectant1 ubi aqua s9e impetu efflu5di reme&i attolli subsid]e pote/1 magnitudo /us respondet viribus ,solis ,lun4 ,corol4 #b4 ,cum vis ,lun ad m>e mov5dum sit ad vim gravitatis ut #a ad #bjcahba1 p]spicuum e/ quod vis illa sit long m9or qum qu vel 9 exp]im5tis ,p5dulorum1 vel 9 ,/aticis aut ,hydro/aticis quibuscunque s5tiri possit4 ,9 /u solo m>9o hc vis s5sibilem edit effectum4 ,corol4 #c4 ,quoniam vis ,lun ad m>e mov5dum e/ ad ,solis vim consimilem ut #f-a_/c ad #a1 vires ill sunt ut d5sitates corporum ,lun ,solis cubi diametrorum app>5tium conjunctim2 erit d5sitas ,lun ad d5sitatem ,solis ut #f-a_/c ad #a direct cubus diametri ,solis ad cubum diametri ,lun inv]s1 id e/ 7cum diametri m$iocres app>5tes ,solis ,lun s9t #ca'4 #bg4 #cb'4 #ab47 ut #cd ad #e4 ,d5sitas autem ,solis erat ad d5sitatem ,t]r ut #ajj ad #chg1 propt]ea d5sitas ,lun e/ ad d5sitatem ,t]r ut #fjj ad #chg1 seu #i ad #e quam proxim4 ,e/ igitur corpus ,lun d5sius magis t]re/re qum ,t]ra no/ra4 ,corol4 #d4 ,unde cum v]a diamet] ,lun sit ad v]am diametrum ,t]r ut #a ad #c1f1 erit massa ,lun ad massam ,t]r ut #a ad #bf quam proxim4 ,corol4 #e4 ,et gravitas accel]atrix 9 sup]ficie ,lun1 erit quasi duplo m9or qum gravitas accel]atrix 9 sup]ficie ,t]r4 ,prop4 ,,xxxviii4 ,prob4 ,,xviii4 ,inv5ire figuram corporis ,lun4 ,si corpus ,lun>e fluidum esset ad in/> m>is no/ri1 vis ,t]r ad fluidum illud 9 p>tibus citimis ultimis elev&um1 esset ad vim ,lun1 qua m>e no/rum 9 p>tibus sub ,luna ,lun oppositis attollitur1 ut gravitas accel]atrix ,lun 9 ,t]ram ad gravitatem accel]atricem ,t]r 9 ,lunam diamet] ,lun ad diametrum ,t]r conjunctim2 id e/ ut #bf ad #a #e ad #ah conjunctim seu #fe ad #i4 ,unde cum m>e no/rum vi ,lun attollatur ad p$es duodecim1 fluidum ,lun>e vi ,t]r attolli deb]et ad p$es f]e nonag9ta4 ,eaque de causa figura ,lun ,sphrois esset1 cujus maxima diamet] producta transiret p] c5trum ,t]r1 sup]>et diametros p]p5dicul>es excessu p$um #ahj4 ,talem igitur figuram ,luna affectat1 eamque sub initio indu]e debuit4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 ,inde v] fit ut eadem semp] ,lun facies 9 ,t]ram obv]tatur4 ,9 alio enim situ corpus ,lun>e quiesc]e non pote/1 s$ ad hunc situm oscill&o semp] r$ibit4 ,attam5 oscillationes ob p>vitatem virium agitantium ess5t long t>dissim3 ade ut facies illa1 qu ,t]ram semp] respic]e deb]et1 possit alt]um orbis ,lun>is umbilicum1 ob rationem sup]ius allatam respic]e1 neque /atim ab9de retrahi 9 ,t]ram conv]ti4 ,lemma ,i4 ,illu/ration ,si ,a,p,ep ,t]ram designet uni=mit] d5sam1 c5troque ,c polis ,p1 p quatore ,,ae del9eatam2 si c5tro ,c radio ,,cp describi intelligatur sphra ,pape2 sit autem ,,qr planum1 cui recta c5tro ,solis ad c5trum ,t]r ducta normalit] insi/it2 ,t]r totius ext]ioris ,pap,a,pep,e1 qu ,sphr mod descript altior e/1 p>ticul s+ul conantur rec$]e h9c inde plano ,,qr1 sitque conatus p>ticul cujusque ut ejusdem di/antia plano3 erit vis efficacia tota p>ticul>um omnium1 ad ,t]ram circul>it] mov5dam1 quadruplo m9or qum vis tota p>ticul>um totidem 9 quatoris circulo ,,ae1 uni=mit] p] totum circuitum 9 morem annuli disposit>um1 ad ,t]ram consimili motu circul>i mov5dam4 ,et motus i/e circul>is circa axem 9 plano ,,qr jac5tem1 axi ,pp p]p5dicul>it] insi/5tem1 p]agetur4 ,sit enim ,,ik circulus m9or quatori ,,ae p>allelus1 sitque ,l p>ticula ,t]r 9 circulo illo extra globum ,pape sita4 ,et si 9 planum ,,qr demittatur p]p5diculum ,,lm1 vis tota p>ticul illius ad ,t]ram circa ipsius c5trum conv]t5dum proportionalis erit eidem ,,lm3 si hc vis ,,lm 7p] ,legum ,corol4 #b47 di/+uatur 9 vires ,,ln1 ,,nm2 efficacia virium ,,mn p>ticul>um omnium ,l1 9 circuitu ,t]r totius extra globum ,pape consi/5tium1 ad ,t]ram circa ipsius c5trum secundum ord9em lit]>um ,ap,e,p conv]t5dam1 erit ad efficaciam virium ,,ln p>ticul>um omnium ,l1 ad ,t]ram circa ipsius c5trum secundum ord9em contr>ium e>undem lit]>um conv]t5dam1 ut tria ad duo4 ,ideoque efficacia virium omnium ,,mn erit ad excessum efficaci hujus supra efficaciam virium omnium ,,ln ut tria ad unum4 ,et si p>ticul ill omnes loc>5tur 9 quatore1 efficacia virium omnium ,,ln evanesc]et1 efficacia virium omnium ,,mn aug]etur 9 ratione quatuor ad tria4 ,qu>e excessus ille1 qui e/ efficacia absoluta p>ticul>um 9 locis propriis1 e/ p>s qu>ta efficaci p>ticul>um e>undem 9 quatore4 ,motus autem qu9octiorum e/ ut hc efficacia4 ,s+ula exam9et qui volet4 ,brevitati consulo4 ,lemma ,,ii4 ,motus autem ,t]r totius circa axem illum1 ex motibus p>ticul>um omnium compositus1 erit ad motum annuli circa axem eundem1 9 ratione composita ex ratione mat]i 9 ,t]ra ad mat]iam 9 annulo1 ratione trium quadratorum ex arcu quadrantali circuli cujuscunque1 ad duo quadrata ex diametro2 id e/ 9 ratione mat]i ad mat]iam num]i #ibebge #ajjjjjj4 ,e/ enim motus ,cyl9dri circa axem suum immotum revolv5tis1 ad motum ,sphr inscript simul revolv5tis1 ut qulibet quatuor qualia quadrata ad tres ex circulis sibi inscriptis3 motus ,cyl9dri ad motum annuli t5uissimi1 ,sphram ,cyl9drum ad communem eorum contactum ambi5tis1 ut duplum mat]i 9 ,cyl9dro ad triplum mat]i 9 annulo2 annuli motus i/e circa axem ,cyl9dri uni=mit] cont9uatus1 ad ejusdem motum uni=mem circa diametrum propriam1 eodem tempore p]iodico factum1 ut circumf]5tia circuli ad duplum diametri4 ,lemma ,,iii4 ,si annulus1 ,t]ra omni reliqua sublata1 solus 9 orbe ,t]r motu annuo circa ,solem f]retur1 int]ea circa axem suum1 ad planum ,ecliptic 9 angulo graduum #bc incl9atum1 motu diurno revolv]etur3 idem =et motus ,punctorum qu9octialium sive annulus i/e fluidus esset1 sive is ex mat]ia rigida firma con/>et4 ,prop4 ,,xxxix4 ,prob4 ,,xix4 ,inv5ire ,prcessionem qu9octiorum4 ,motus m$iocris hor>ius ,nodorum ,lun 9 ,orbe circul>i1 ubi ,nodi sunt 9 ,quadraturis1 erat #af4 #ce'4 #af;iv4 #cfv4 hujus dimidium #h4 #ag'4 #ch;iv4 #ahv4 7ob rationes supra explicatas7 e/ motus m$ius hor>ius ,nodorum 9 tali ,orbe2 fitque anno toto sid]eo #bj gr4 #aa'4 #df4 ,quoniam igitur ,nodi ,lun 9 tali ,orbe confic]5t annuatim #bj gr4 #aa'4 #df4 9 antec$5tia2 si plures ess5t ,lun motus ,nodorum cujusque1 p] ,corol4 #af4 ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i4 =5t reciproc ut tempora p]iodica2 propt]ea si ,luna spatio diei sid]ei juxta sup]ficiem ,t]r revolv]etur1 motus annuus ,nodorum =et ad #bj gr4 #aa'4 #df4 ut dies sid]eus hor>um #bc4 #ef'4 ad tempus p]iodicum ,lun di]um #bg4 #g hor4 #dc'2 id e/ ut #adcf ad #cicdc4 ,et p> e/ ratio ,nodorum annuli ,lun>um ,t]ram ambi5tis2 sive ,lun ill se mutu non cont+ant1 sive liquescant 9 annulum cont9uum =m5tur1 sive d5ique annulus ille rigescat inflexibilis r$datur4 ,illu/ration ,f+amus igitur quod annulus i/e quoad quantitatem mat]i qualis sit ,t]r omni ,pap,a,pep,e1 qu globo ,pap,e sup]ior e/2 quoniam globus i/e e/ ad ,t]ram illam sup]iorem ut a,c qu4 ad ,,ac qu4 - a,c qu4 id e/ 7cum ,t]r diamet] m9or ,,pc vel a,c sit ad diametrum majorem ,,ac ut #fhi ad #fib7 ut #dadc ad #dgdgba seu #ajjj ad #aadehe2 si annulus i/e ,t]ram secundum quatorem c+]et1 ut]que simul circa diametrum annuli revolv]etur1 motus annuli esset ad motum globi int]ioris 7p] hujus ,lem4 ,,ii47 ut #dadc ad #dgdgba #ajjjjjj ad #ibebge conjunctim1 hoc e/ ut #dadc ad #dcibdh3 ideoque motus annuli esset ad summam motuum annuli globi1 ut #dadc ad #ddciia4 ,unde si annulus globo adhreat1 motum suum1 quo ipsius ,nodi seu puncta qu9octialia regr$iuntur1 cum globo communicet3 motus qui re/abit 9 annulo erit ad ipsius motum priorem ut #dadc ad #ddccia2 propt]ea motus punctorum qu9octialium dim9uetur 9 eadem ratione4 ,erit igitur motus annuus punctorum qu9octialium corporis ex globo annulo compositi1 ad motum #bj gr4 #aa'4 #df1 ut #adcf ad #cicdc #dadc ad #ddccia conjunctim1 id e/ ut #a ad #bicb4 ,vires autem quibus ,nodi ,lun>um 7ut supra explicui7 atque ade quibus puncta qu9octialia annuli regr$iuntur 7id e/ vires #c;,,x1 9 ,fig4 pag4 #ddd47 sunt 9 s+ulis p>ticulis ut di/anti p>ticul>um plano ,,qr1 8 viribus p>ticul ill planum fugiunt2 propt]ea 7p] ,lem4 ,i47 si mat]ia annuli p] totam globi sup]ficiem1 9 morem figur ,pap,a,pep,e1 ad sup]iorem illam ,t]r p>tem con/itu5dam sp>g]etur1 vis efficacia tota p>ticul>um omnium ad ,t]ram circa quamvis quatoris diametrum rot&am1 atque adeo ad mov5da puncta qu9octialia1 evad]et quadruplo m9or qum prius4 ,ideoque annuus qu9octiorum regressus jam esset ad #bj gr4 #aa'4 #df4 ut #a ad #aagbh1 ac pro9de fi]et #f4 #ab'4 #b;iv4 ,hc e/ prcessio qu9octiorum vi ,solis oriunda4 ,vis autem ,lun ad m>e mov5dum erat ad vim ,solis ut #f-a_/c ad #a1 hc vis pro quantitate sua augebit etiam prcessionem qu9octiorum4 ,ideoque prcessio illa ex utraque causa oriunda jam fiet major 9 ratione #g-a_/c ad #a1 sic erit #de4 #bd'4 #ae;iv4 ,hic e/ motus punctorum qu9octialium ab actionibus ,solis ,lun 9 p>tes ,t]r1 qu globo ,pape incumbunt1 oriundus4 ,nam ,t]ra ab actionibus illis 9 globum ipsum ex]citis nullam 9 p>tem incl9>i pote/4 ,illu/ration ,designet jam ,a,p,ep corpus ,t]r figur ,elliptic prditum1 ex uni=mi mat]i con/ans4 ,et si di/+uatur idem 9 figuras innum]as ,ellipticas conc5tricas consimiles1 ,a,p,ep1 ,b,qbq1 ,c,rcr1 ,d,sds1 c4 qu>um diametri s9t 9 progressione ,geometrica3 quoniam figur consimiles sunt1 vires ,solis ,lun1 quibus puncta qu9octialia regr$iuntur1 effic]5t ut figur>um reliqu>um seorsim spectat>um puncta eadem qu9octialia eadem cum velocitate regr$]5tur4 ,et p> e/ ratio motus orbium s+ulorum ,a,q,eq1 ,b,rbr1 ,c,scs1 c4 qui sunt figur>um ill>um diff]5ti4 ,orbis uniuscujusque1 si solus esset1 puncta qu9octialia eadem cum velocitate regr$i deb]5t4 ,nec ref]t utrum orbis quilibet d5sior sit an r>ior1 si mod ex mat]ia uni=mit] d5sa confletur4 ,unde etiam si orbes ad c5trum d5siores s9t qum ad circumf]5tiam1 idem erit motus qu9octiorum ,t]r totius ac prius2 si modo orbis unusquisque seorsim spectatus ex mat]ia uni=mit] d5sa con/et1 figura orbis non mutetur4 ,quod si figur orbium mut5tur1 ,t]raque ad quatorem ,,ae1 ob d5sitatem mat]i ad c5trum1 jam altius asc5dat qum prius2 regressus qu9octiorum ex aucta altitud9e augebitur1 idque 9 orbibus s+ulis seorsim exi/5tibus1 9 ratione majoris altitud9is mat]i juxta orbis illius quatorem2 9 ,t]ra autem tota 9 ratione majoris altitud9is mat]i juxta quatorem orbis non extimi ,a,q,eq1 non intimi ,gg1 s$ m$iocris alicujus ,c,scs4 ,t]ram autem ad c5trum d5siorem esse1 propt]ea sub quatore altiorem esse qum ad polos 9 majore ratione qum #fib ad #fhi1 9 sup]ioribus ins9uavimus4 ,et ratio majoris altitud9is colligi f] pote/ ex majore dim9utione gravitatis sub quatore1 qum qu ex ratione #fib ad #fhi consequi debeat4 ,excessus longitud9is p5duli1 quod 9 ,insula ,goree 9 ill ,cay5n m9utis s+ulis secundis oscillatur1 supra longitud9em ,p5duli quod ,p>isiis eodem tempore oscillatur1 ,gallis inv5ti sunt p>s decima p>s octava digiti1 qui tam5 ex proportione #fib ad #fhi prodi]e #ha_/ajjj #hi_/ajjj4 ,major e/ itaque longitudo ,p5duli ,cay5n qum oportet1 9 ratione #a_/h ad #hi_/ajjj1 seu #ajjj ad #gab2 9 ,insula ,goree 9 ratione #a_/aj ad #ha_/ajjj seu #ajjj ad #haj4 ,si sumamus rationem m$iocrem #ajjj ad #gfj2 m9u5da erit gravitas ,t]r ad quatorem1 ibidem aug5da ejus altitudo1 9 ratione #ajjj ad #gfj quam proxim4 ,unde motus qu9octiorum 7ut supra dictum e/7 auctus 9 ratione altitud9is ,t]r1 non ad orbem extimum1 non ad intimum1 s$ ad int]m$ium aliquem1 id e/1 non 9 ratione maxima #ajjj ad #gfj1 non 9 m9ima #ajjj ad #ajjj1 s$ 9 m$iocri aliqua1 puta #aj ad #h-a_/c vel #f ad #e1 evadet annuatim #ed4 #bi'4 #f;iv4 ,rursus hic motus1 ob incl9ationem plani quatoris ad planum ,ecliptic1 m9u5dus e/1 idque 9 ratione ,s9us complem5ti incl9ationis ad ,radium4 ,nam di/antia p>ticul cujusque t]re/ris plano ,,qr1 quo tempore p>ticula illa plano ,ecliptic longissim di/at1 9 ,tropico suo 7ut ita dicam7 consi/5s1 dim9uitur1 p] incl9ationem planorum ,ecliptic quatoris ad invicem1 9 ratione ,s9us complem5ti incl9ationis ad ,radium4 ,et 9 ratione di/anti illius dim9uitur etiam vis p>ticul ad qu9octia mov5da4 ,9 eadem quoque ratione dim9uitur summa virium p>ticul ejusdem1 9 locis h9c inde ,tropico qualit] di/antibus3 uti ex prdemon/ratis facil o/5di possit3 propt]ea vis tota p>ticul illius1 9 revolutione integr1 ad qu9octia mov5da1 ut vis tota p>ticul>um omnium1 motus qu9octiorum vi illa oriundus1 dim9uitur 9 eadem ratione4 ,igitur cum incl9atio illa sit #bc gr4 dim9u5dus e/ motus #ed4 #bi'4 9 ratione ,s9us #iagjf 7qui s9us e/ complem5ti graduum #bc7 ad ,radium #ajjjjj4 ,qua ratione motus i/e jam fiet #di4 #eh'4 ,regr$iuntur igitur puncta qu9octiorum motu annuo 7juxta computationem no/ram7 #di4 #eh'1 f]e ut ,phnom5a coele/ia requirunt4 ,nam regressus ille annuus ex obs]vationibus ,a/ronomorum e/ #ej4 ,descripsimus jam ,sy/ema ,solis1 ,t]r ,planet>um3 sup]e/ ut de ,cometis nonnulla adjiciantur4 ,lemma ,,iv4 ,cometas esse ,lun sup]iores 9 regione ,planet>um v]s>i4 ,illu/ration ,ut defectus ,p>allaxeos diurn extulit ,cometas supra regiones sublun>es1 sic ex ,p>allaxi annua conv9citur eorum desc5sus 9 regiones ,planet>um4 ,nam ,comet qui progr$iuntur secundum ord9em signorum sunt omnes1 sub exitu app>itionis1 aut solito t>diores aut retrogradi1 si ,t]ra e/ int] ipsos ,solem1 at ju/o cel]iores si ,t]ra v]git ad oppositionem4 ,et contra1 qui p]gunt contra ord9em signorum sunt ju/o cel]iores 9 f9e app>itionis1 si ,t]ra v]satur int] ipsos ,solem2 ju/o t>diores vel retrogradi si ,t]ra sita e/ ad contr>ias p>tes4 ,cont+it hoc maxim ex motu ,t]r 9 v>io ipsius situ1 p]9de ut fit 9 ,planetis1 qui1 pro motu ,t]r vel conspirante vel contr>io1 nunc retrogradi sunt1 nunc t>dis mov]i vid5tur1 nunc v] cel]is4 ,si ,t]ra p]git ad e&em p>tem cum ,cometa1 motu angul>i circa ,solem cel]ius f]tur1 ,cometa ,t]ra spectatus1 ob motum suum t>diorem1 app>et esse retrogradus2 s9 ,t]ra t>dis f]tur1 motus ,comet1 7detracto motu ,t]r7 fit saltem t>dior4 ,at si ,t]ra p]git 9 contr>ias p>tes1 ,cometa ex9de velocior app>et4 ,ex accel]atione autem vel ret>datione vel motu retrogrado di/antia ,comet 9 hunc modum colligitur4 ,sunto ,aries,,qa1 ,aries,,qb1 ,aries,,qc obs]vat tres longitud9es ,comet1 sub initio motus1 sitque ,aries,,qf longitudo ultim obs]vata1 ubi ,cometa vid]i des9it4 ,agatur recta ,,abc1 cujus p>tes ,,ab1 ,,bc rectis ,,qa ,,qb1 ,,qb ,,qc int]ject1 s9t ad invicem ut tempora int] obs]vationes tres primas4 ,producatur ,,ac ad ,g1 ut sit ,,ag ad ,,ab ut tempus int] obs]vationem primam ultimam1 ad tempus int] obs]vationem primam secundam1 jungatur ,,qg4 ,et si ,cometa mov]etur uni=mit] 9 l9ea recta1 atque ,t]ra vel quiesc]et1 vel etiam 9 l9ea recta1 uni=mi cum motu1 progr$]etur2 =et angulus ,aries,,qg longitudo ,comet tempore ,obs]vationis ultim4 ,angulus igitur ,,fqg1 qui longitud9um diff]5tia e/1 oritur ab 9qualitate motuum ,comet ac ,t]r4 ,hic autem angulus1 si ,t]ra ,cometa 9 contr>ias p>tes mov5tur1 additur angulo ,,aqg1 sic motum app>5tem ,comet velociorem r$dit3 ,s9 ,cometa p]git 9 easdem p>tes cum ,t]ra1 eidem subducitur1 motumque ,comet vel t>diorem r$dit1 vel =te retrogradum2 uti mod exposui4 ,oritur igitur hic angulus prcipu ex motu ,t]r1 idcirco pro p>allaxi ,comet m]it ,illu/ration hab5dus e/1 neglecto videlicet ejus increm5to vel decrem5to nonnullo1 quod ,comet motu 9quabili 9 orbe proprio oriri possit4 ,di/antia v] ,comet ex hac p>allaxi sic colligitur4 ,designet ,s ,solem1 ac,t ,orbem magnum1 a locum ,t]r 9 obs]vatione prima1 c locum ,t]r 9 obs]vatione secunda1 ,t locum ,t]r 9 obs]vatione ultima1 ,t,aries l9eam rectam v]sus pr9cipium ,arietis ductam4 ,sumatur angulus ,aries,,tv qualis angulo ,aries,,qf1 hoc e/ qualis longitud9i ,comet ubi ,t]ra v]satur 9 ,t4 ,jungatur ac1 producatur ea ad g1 ut sit ag ad ac ut ,,ag ad ,,ac1 erit g locus quem ,t]ra tempore obs]vationis ultim1 motu 9 recta ac uni=mit] cont9uato1 att+]et4 ,ideoque si ducatur g,aries ipsi ,t,aries p>allela1 capiatur angulus ,ariesg,v angulo ,aries,,qg qualis1 erit hic angulus ,ariesg,v qualis longitud9i ,comet loco g spectati2 angulus ,t,vg p>allaxis erit1 qu oritur translatione ,t]r de loco g 9 locum ,t3 ac pro9de ,v locus erit ,comet 9 plano ,ecliptic4 ,hic autem locus ,v orbe ,jovis inf]ior esse solet4 ,idem colligitur ex curvatura vi ,comet>um4 ,p]gunt hc corpora propemodum 9 circulis maximis quamdiu mov5tur cel]ius2 at 9 f9e cursus1 ubi motus app>5tis p>s illa qu p>allaxi oritur1 majorem habet proportionem ad motum totum app>5tem1 deflect]e sol5t ab 8 circulis1 quoties ,t]ra movetur 9 unam p>tem abire 9 p>tem contr>iam4 ,oritur hc deflexio maxim ex ,p>allaxi1 propt]ea quod respondet motui ,t]r2 insignis ejus quantitas meo computo collocavit disp>5tes ,cometas satis long infra ,jovem4 ,unde consequ5s e/ qud 9 ,p]igis ,p]iheliis1 ubi propius adsunt1 desc5dunt spius infra orbes ,m>tis inf]iorum ,planet>um4 ,confirmatur etiam prop9quitas ,comet>um ex luce capitum4 ,nam corporis coele/is ,sole illu/rati 9 regiones long9quas abeuntis dim9uitur spl5dor 9 quadruplicata ratione di/anti3 9 duplicata ratione videlicet ob auctam corporis di/antiam ,sole1 9 alia duplicata ratione ob dim9utam diametrum app>5tem4 ,unde si detur lucis quantitas app>5s diamet] ,comet1 dabitur di/antia1 dic5do quod di/antia sit ad di/antiam ,planet 9 ratione integra diametri ad diametrum direct ratione dimidiata lucis ad lucem inv]s4 ,sic m9ima ,capillitii ,comet anni #afhb diamet]1 p] ,tubum opticum sexdecim p$um ,cl4 ,flam/$io obs]vata micrometro m5surata1 quabat #b'4 #j4 ,nucleus autem seu /ella 9 m$io capitis vix decimam p>tem latitud9is hujus occupabat1 adeoque lata erat tantum #aa vel #ab4 ,luce v] cl>itate capitis sup]abit caput ,comet anni #afhj1 /ellasque prim vel secund magnitud9is mulabatur4 ,ponamus ,saturnum cum annulo suo quasi quadruplo lucidiorem fuisse3 quoniam lux annuli propemodum quabat lucem globi int]m$ii1 diamet] app>5s globi sit quasi #ba1 adeoque lux globi annuli conjunctim qu>et lucem globi1 cujus diamet] esset #cj3 erit di/anti ,comet ad di/antiam ,saturni ut #a ad sqrt#d inv]s1 #ab ad #cj direct1 id e/ ut #bd ad #cj seu #d ad #e4 ,rursus ,cometa anni #affe m5se ,aprili1 ut ,au?or e/ ,hevelius1 cl>itate sua p5e fixas omnes sup]abat1 qu9etiam ipsum ,saturnum1 ratione coloris videlicet long vividioris4 ,quippe lucidior erat hic ,cometa alt]o illo1 qui 9 f9e anni prc$5tis app>u]at cum /ellis prim magnitud9is conf]ebatur4 ,latitudo capillitii erat quasi #f'1 at nucleus cum ,planetis ope ,tubi optici collatus1 plane m9or erat ,jove1 nunc m9or corpore int]m$io ,saturni1 nunc ipsi qualis judicabatur4 ,porr cum diamet] ,capillitii ,comet>um r> sup]et #h' vel #ab'1 diamet] v] ,nuclei seu /ell c5tralis sit quasi decima vel =t decima qu9ta p>s diametri capillitii1 patet ,/ellas hasce ut plurimum ejusdem esse app>5tis magnitud9is cum ,planetis4 ,unde cum lux eorum cum luce ,saturni non r> conf]ri possit1 eamque aliqu&o sup]et2 manife/um e/ quod ,comet omnes 9 ,p]iheliis vel infra ,saturnum colloc&i s9t1 vel non longe supra4 ,errant igitur toto coelo qui ,cometas 9 regionem ,fix>um prope ablegant3 qua c]t ratione non magis illu/r>i deb]5t ,sole no/ro1 qum ,planet1 qui hic sunt1 illu/rantur ,/ellis fixis4 ,hc disputavimus non consid]&o obscurationem ,comet>um p] fumum illum maxim copiosum crassum1 quo caput circundatur1 quasi p] nubem obtus semp] luc5s4 ,nam quanto obscurius r$ditur corpus p] hunc fumum1 tanto propius ad ,solem acc$at necesse e/1 ut copia lucis se reflexa ,planetas muletur4 ,inde v]isimile fit ,cometas longe infra ,sphram ,saturni desc5d]e1 uti ex ,p>allaxi probavimus4 ,idem v] quam maxim confirmatur ex ,caudis4 ,h vel ex reflexione fumi sp>si p] !ra1 vel ex luce capitis oriuntur4 ,priore casu m9u5da e/ di/antia ,comet>um1 ne fumus ,capite semp] ortus p] spatia nimis ampla incr$ibili cum velocitate expansione propagetur4 ,9 po/]iore ref]5da e/ lux omnis tam caud qum capillitii ad ,nucleum capitis4 ,igitur si imag9emur lucem hanc omnem congreg>i intra discum ,nuclei co>ct>i1 ,nucleus ille jam c]t1 quoties caudam maximam fulg5tissimam emittit1 ,jovem ipsum spl5dore suo multum sup]abit4 ,m9ore igitur cum diametro app>5te plus lucis emitt5s1 mult magis illu/rabitur ,sole1 adeoque erit ,soli mult propior4 ,qu9etiam capita sub ,sole delitesc5tia1 caudas cum maximas tum fulg5tissimas in/> trabium ignit>um nonnunquam emitt5tia1 eodem argum5to infra orbem ,v5]is colloc>i deb5t4 ,nam lux illa omnis si 9 /ellam congreg>i supponatur1 ipsam ,v5]em ne dicam ,v5]es plures conjunctas qu&oque sup]>et4 ,idem d5ique colligitur ex luce capitum cresc5te 9 recessu ,comet>um ,t]ra ,solem v]sus1 ac decresc5te 9 eorum recessu ,sole v]sus ,t]ram4 ,sic enim ,cometa po/]ior ,anni #affe 7obs]vante ,hevelio17 ex quo conspici cpit1 remittebat semp] de motu suo1 adeoque prt]i]at ,p]igum2 ,spl5dor v] capitis nihilom9us indies crescebat1 usque dum ,cometa radiis ,sol>ibus obtectus desiit app>]e4 ,cometa ,anni #afhc1 obs]vante eodem ,hevelio1 9 f9e ,m5sis ,julii ubi primum conspectus e/1 t>dissim movebatur1 m9uta prima #dj vel #de circit] s+ulis diebus 9 orbe suo confici5s4 ,ex eo tempore motus ejus diurnus p]petuo augebatur usque ad ,sept4 #d4 qu&o evasit graduum quasi qu9que4 ,igitur toto hoc tempore ,cometa ad ,t]ram approp9quabat4 ,id quod etiam ex diametro capitis micrometro m5surata colligitur3 quippe quam ,hevelius rep]it ,aug4 #f4 esse tantum #f'4 #e inclus com1 at ,sept4 #b4 esse #i'4 #g4 ,caput igitur initio longe m9us app>uit qum 9 f9e motus1 at initio tam5 9 vic9ia ,solis longe lucidius extitit qum circa f9em1 ut ref]t idem ,hevelius4 ,pro9de toto hoc tempore1 ob recessum ipsius ,sole1 quoad lum5 decrevit1 non ob/ante accessu ad ,t]ram4 ,cometa ,anni #afah circa m$ium ,m5sis ,decembris1 i/e ,anni #afhj circa f9em ejusdem ,m5sis1 cel]rim movebantur1 adeoque tunc erant 9 ,p]igis4 ,v]um spl5dor maximus capitum contigit ante duas f]e septimanas1 ubi mod exi]ant de radiis ,sol>ibus2 spl5dor maximus caud>um paulo ante1 9 majore vic9itate ,solis4 ,caput ,comet prioris1 juxta obs]vationes ,cysati1 ,decem4 #a4 majus videbatur /ellis prim magnitud9is1 ,decem4 #af4 7jam 9 ,p]igo exi/5s7 magnitud9e p>m1 spl5dore seu cl>itate lum9is plurimum defec]at4 ,jan4 #g4 ,kepl]us de capite inc]tus f9em fecit obs]v&i4 ,die #ab m5sis ,decemb4 conspectum ,flam/$io obs]vatum e/ caput ,comet po/]ioris1 9 di/antia novem graduum ,sole2 id quod /ell t]ti magnitud9is vix concessum fuisset4 ,decem4 #ae #ag app>uit idem ut /ella t]ti magnitud9is1 dim9utum utique spl5dore ,nubium juxta ,solem occid5tum4 ,decem4 #bf4 velocissim motus1 inque ,p]igo propemodum exi/5s1 c$ebat ori ,pegasi1 ,/ell t]ti magnitud9is4 ,jan4 #c4 app>ebat ut ,/ella qu>t1 ,jan4 #i4 ut ,/ella qu9t1 ,jan4 #ac4 ob spl5dorem ,lun cresc5tis disp>uit4 ,jan4 #be4 vix quabat ,/ellas magnitud9is septim4 ,si sumantur qualia ,p]igo h9c inde tempora1 capita qu temporibus illis 9 long9quis regionibus posita1 ob quales ,t]ra di/antias1 qualit] luc]e debuiss5t1 9 plaga ,solis maxim spl5du]e1 ex alt]a ,p]igi p>te evanu]e4 ,igitur ex magna lucis 9 utroque situ diff]5tia concluditur magna ,solis ,comet vic9itas 9 situ priore4 ,nam lux ,comet>um regul>is esse solet1 maxima app>]e ubi capita velocissim mov5tur1 atque adeo sunt 9 ,p]igis2 nisi quat5us ea major e/ 9 vic9ia ,solis4 ,corol4 #a4 ,spl5d5t igitur ,comet luce ,solis se reflexa4 ,corol4 #b4 ,ex dictis etiam intelligitur cur ,comet tantop]e frequ5tant regionem ,solis4 ,si c]n]5tur 9 regionibus long ultra ,saturnum deb]5t spius app>]e 9 p>tibus ,soli oppositis4 ,=5t enim ,t]r vic9ioris qui 9 8 p>tibus v]s>5tur1 ,sol int]positus obscur>et ct]os4 ,v]um p]curr5do hi/orias ,comet>um rep]i quod quadruplo vel qu9tuplo plures detecti sunt 9 ,hemisphrio ,solem v]sus1 qum 9 ,hemisphrio opposito1 prt] alios procul dubio non paucos quos lux ,sol>is obtexit4 ,nimirum 9 desc5su ad regiones no/ras neque caudas emittunt1 neque adeo illu/rantur ,sole1 ut nudis oculis se prius deteg5dos exhibeant1 qum s9t ipso ,jove propiores4 ,spatii autem tantillo int]vallo circa ,solem descripti p>s long major sita e/ lat]e ,t]r quod ,solem respicit2 inque p>te illa majore ,comet ,soli ut plurimum vic9iores magis illum9>i sol5t4 ,corol4 #c4 ,h9c etiam manife/um e/1 quod coeli resi/5tia de/ituuntur4 ,nam ,comet vias obliquas nonnunquam cursui ,planet>um contr>ias secuti1 mov5tur omnif>iam lib]rim1 motus suos etiam contra cursum ,planet>um diutissim cons]vant4 ,fallor ni g5us ,planet>um s9t1 motu p]petuo 9 orbem r$eant4 ,nam quod ,scriptores aliqui ,meteora esse volunt1 argum5tum capitum p]petuis mutationibus duc5tes1 fundam5to c>]e videtur4 ,capita ,comet>um ,atmosphris +5tibus c+untur2 ,atmosphr inf]n d5siores esse deb5t4 ,unde nubes sunt non ipsa ,comet>um corpora1 9 quibus mutationes ill visuntur4 ,sic ,t]ra si ,planetis spect>etur1 luce nubium su>um proculdubio spl5d]et1 corpus firmum sub nubibus prope delitesc]et4 ,sic c+ula ,jovis 9 nubibus ,planet illius =mata1 situm mutant int] se1 firmum ,jovis corpus p] nubes illas difficilius c]nitur4 ,et multo magis corpora ,comet>um sub ,atmosphris pr(undioribus crassioribus abscondi deb5t4 ,prop4 ,,xl4 ,!or4 ,,xxi4 ,cometas 9 ,sectionibus conicis umbilicos 9 c5tro ,solis hab5tibus mov]i1 radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describ]e4 ,patet p] ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xiii4 ,libri primi1 collatum cum ,prop4 ,,viii1 ,,xii ,,xiii4 ,libri t]tii4 ,corol4 #a4 ,h9c si ,comet 9 orbem r$eunt1 orbes erunt ,ellipses1 tempora p]iodica erunt ad tempora p]iodica ,planet>um 9 ratione sesquialt]a transv]sorum axium4 ,ideoque ,comet maxima ex p>te supra ,planetas v]santes1 eo nom9e orbes axibus majoribus describ5tes1 t>dius revolv5tur4 ,ut si axis orbis ,comet sit quadruplo major axe orbis ,saturni1 tempus revolutionis ,comet erit ad tempus revolutionis ,saturni1 id e/ ad annos #cj1 ut #dsqrt#d 7seu #h7 ad #a1 ideoque erit annorum #bdj4 ,corol4 #b4 ,orbes autem erunt ,p>abolis adeo f9itimi1 ut eorum vice ,p>abol absque erroribus s5sibilibus adhib]i possunt4 ,corol4 #c4 ,et propt]ea1 p] ,corol4 #g4 ,prop4 ,,xvi4 ,lib4 ,i4 velocitas ,comet omnis erit semp] ad velocitatem ,planet cujusvis circa ,solem 9 circulo revolv5tis1 9 dimidiata ratione duplicat di/anti ,comet c5tro ,solis ad di/antiam ,planet c5tro ,solis quamproxim4 ,ponamus radium orbis magni1 seu ,ellipseos 9 qua ,t]ra revolvitur semidiametrum transv]sam1 esse p>tium #ajjjjjjjj1 ,t]ra motu suo diurno m$iocri describet p>tes #agbjbab1 motu hor>io p>tes #gafge4 ,ideoque ,cometa 9 eadem ,telluris ,sole di/antia m$iocri1 ea cum velocitate qu sit ad velocitatem ,telluris ut sqrt#b ad #a1 describet motu suo diurno p>tes #bdcbgdg1 motu hor>io p>tes #ajacfd4 ,9 majoribus autem vel m9oribus di/antiis1 motus tum diurnus tum hor>ius erit ad hunc motum diurnum hor>ium 9 dimidiata ratione di/anti>um respectiv1 ideoque datur4 ,lemma ,v4 ,inv5ire l9eam curvam g5]is ,p>abolici1 qu p] data quotcunque puncta transibit4 ,sunto puncta illa ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e1 ,f1 c4 ab iisdem ad rectam quamvis positione datam ,,hn demitte p]p5dicula quotcunque ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 ,,dl1 ,,em1 ,,fn4 ,illu/ration ,cas4 #a4 ,si punctorum ,h1 ,i1 ,k1 ,l1 ,m1 ,n qualia sunt int]valla ,,hi1 ,,ik1 ,,kl1 c4 collige p]p5diculorum ,,ah1 ,,bi1 ,,ck c4 diff]5tias primas b1 #b;b1 #c;b1 #d;b1 #e;b1 c4 secundas c1 #b;c1 #c;c1 #d;c1 c4 t]tias d1 #b;d1 #c;d1 c4 id e/1 ita ut sit ,,ha - ,,bi b1 ,,bi- ,,ck #b;b1 ,,ck - ,,dl #c;b1 ,,dl ,,em #d;b1 - ,,em ,,fn #e;b1 c4 de9 b - #b;b c c4 sic p]gatur ad diff]5tiam ultimam1 qu hic e/ f4 ,de9de erecta quacunque p]p5dicul>i ,,rs1 qu fu]it ord9atim applicata ad curvam qusitam3 ut inv5iatur hujus longitudo1 pone int]valla ,,hi1 ,,ik1 ,,kl1 ,,lm1 c4 unitates esse1 dic ,,ah a1 - ,,hs p1 p 9 - ,,is q1 #a_/cq 9 ,,sk r1 r 9 ,,sl s1 #a_/es 9 ,,sm t2 p]g5do videlicet ad usque p5ultimum p]p5diculum ,,me1 prpon5do signa negativa t]m9is ,,hs1 ,,is1 c4 qui jac5t ad p>tes puncti ,s v]sus ,a1 signa affirmativa t]m9is ,,sk1 ,,sl1 c4 qui jac5t ad alt]as p>tes puncti ,s4 ,et signis probe obs]vatis erit ,,rs a bp cq dr es ft c4 ,cas4 #b4 ,quod si punctorum ,h1 ,i1 ,k1 ,l1 c4 9qualia s9t int]valla ,,hi1 ,,ik1 c4 collige p]p5diculorum ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 diff]5tias primas p] int]valla p]p5diculorum divisas b1 #b;b1 #c;b1 #d;b1 #e;b2 secundas p] int]valla b9a divisas c1 #b;c1 #c;c1 #d;c1 c4 t]tias p] int]valla t]na divisas d1 #b;d1 #c;d1 c4 qu>tas p] int]valla quat]na divisas e1 #b;e1 c4 sic de9ceps2 id e/ ita ut sit b ,,ah - ,,bi ,,hi1 #b;b ,,bi - ,,ck ,,ik1 #c;b ,,ck - ,,dl ,,kl c4 de9 c b - #b;b ,,hk1 #b;c #b;b - #c;b ,,il1 #c;c #c;b - #d;b ,,km c4 ,po/ea d c - #b;c ,,hl1 #b;d #b;c - #c;c ,,im c4 ,inv5tis diff]5tiis1 dic ,,ah a1 - ,,hs p1 p 9 - ,,is q1 q 9 ,,sk r1 r 9 ,,sl s1 s 9 ,,sm t2 p]g5do scilicet ad usque p]p5diculum p5ultimum ,,me1 erit ord9atim applicata ,,rs a bp cq dr es ft1 c4 ,corol4 ,h9c are curv>um omnium inv5iri possunt quamproxim4 ,nam si curv cujusvis quadr& inv5iantur puncta aliquot1 ,p>abola p] eadem duci intelligatur3 erit area ,p>abol hujus eadem quam proxim cum area curv illius quadr&4 ,pote/ autem ,p>abola p] ,me?odos notissimas semp] quadr>i ,geometric4 ,lemma ,,vi4 ,ex obs]vatis aliquot locis ,comet inv5ire locum ejus ad tempus quodvis int]m$ium datum4 ,design5t ,,hi1 ,,ik1 ,,kl1 ,,lm tempora int] obs]vationes1 79 ,fig4 prc$47 ,,ha1 ,,ib1 ,,kc1 ,,ld1 ,,me1 obs]vatas qu9que longitud9es ,comet1 ,,hs tempus datum int] obs]vationem primam longitud9em qusitam4 ,et si p] puncta ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e duci intelligatur curva regul>is ,,abcde2 p] ,lemma sup]ius inv5iatur ejus ord9atim applicata ,,rs1 erit ,,rs longitudo qusita4 ,eadem me?odo ex obs]vatis qu9que latitud9ibus inv5itur latitudo ad tempus datum4 ,si longitud9um obs]vat>um p>v s9t diff]5ti1 puta graduum tantum #d vel #e2 suffec]9t obs]vationes tres vel quatuor ad inv5i5dam longitud9em latitud9em novam4 ,s9 majores s9t diff]5ti1 puta graduum #aj vel #bj1 debebunt obs]vationes qu9que adhib]i4 ,lemma ,,vii4 ,illu/ration ,p] datum punctum ,p duc]e rectam l9eam ,,bc1 cujus p>tes ,,pb1 ,,pc1 rectis duabus positione datis ,,ab1 ,,ac absciss1 datam habeant rationem ad invicem4 ,a puncto illo ,p ad rect>um alt]utram ,,ab ducatur recta quvis ,,pd1 producatur eadem v]sus rectam alt]am ,,ac usque ad ,e1 ut sit ,,pe ad ,,pd 9 data illa ratione4 ,ipsi ,,ad p>allela sit ,,ec2 si agatur ,,cpb1 erit ,,pc ad ,,pb ut ,,pe ad ,,pd4 ,q4 ,e4 ,f4 ,lemma ,,viii4 ,sit ,,abc ,p>abola umbilicum hab5s ,s4 ,*ord ,,ac bisect 9 ,i absc9datur segm5tum ,,abci1 cujus diamet] sit ,imu v]tex mu4 ,9 ,imu product capiatur mu,o qualis dimidio ipsius ,imu4 ,jungatur ,,os1 producatur ea ad xi1 ut sit ,sxi qualis #b,,s4 ,et si ,cometa ,b moveatur 9 arcu ,,cba1 agatur xi,b secans ,,ac 9 ,e3 dico quod punctum ,e absc9det de *orda ,,ac segm5tum ,,ae tempori proportionale quamproxim4 ,illu/ration ,jungatur enim ,,eo secans arcum ,p>abolicum ,,abc 9 ,y1 erit area curvil9ea ,,aey ad aream curvil9eam ,,acy ut ,,ae ad ,,ac quamproxim4 ,ideoque cum triangulum ,,ase sit ad triangulum ,,asc 9 eadem ratione1 erit area tota ,,asey ad aream totam ,,ascy ut ,,ae ad ,,ac quamproxim4 ,cum autem xi,o sit ad ,,s ut #c ad #a ,,eo ad ,,yo prope 9 eadem ratione1 erit ,,sy ipsi ,,eb p>allela quamproxim1 propt]ea triangulum ,,seb1 triangulo ,,yeb quamproxim quale4 ,unde si ad aream ,,asey addatur triangulum ,,eyb1 de summa auf]atur triangulum ,,seb1 manebit area ,,asby are ,,asey qualis quamproxim1 atque adeo ad aream ,,ascy ut ,,ae ad ,,ac4 ,s$ area ,,asby e/ ad aream ,,ascy ut tempus descripti arcus ,,ab ad tempus descripti arcus totius4 ,ideoque ,,ae e/ ad ,,ac 9 ratione temporum quamproxim4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lemma ,,ix4 ,rect ,imu mu,m longitudo ,,aic #d,smu quantur int] se4 ,nam #d,smu e/ latus rectum ,p>abol p]t95s ad v]ticem ,b4 ,lemma ,x4 ,si producatur ,smu ad ,n ,p1 ut mu,n sit p>s t]tia ipsius mu,i1 ,,sp sit ad ,,sn ut ,,sn ad ,smu4 ,cometa quo tempore describit arcum ,amu,c1 si progr$]etur ea semp] cum velocitate quam habet 9 altitud9e ipsi ,,sp quali1 describ]et longitud9em qualem *ord ,,ac4 ,nam si velocitate quam habet 9 mu1 eodem tempore progr$iatur uni=mit] 9 recta qu ,p>abolam tangit 9 mu2 area quam ,radio ad punctum ,s ducto describ]et1 qualis esset are ,p>abolic ,,ascmu4 ,ideoque cont5tum sub longitud9e 9 ,tang5te descripta longitud9e ,smu1 esset ad cont5tum sub longitud9ibus ,,ac ,,sm1 ut area ,,ascmu ad triangulum ,,ascm1 id e/ ut ,,sn ad ,,sm4 ,qu>e ,,ac e/ ad longitud9em 9 tang5te descriptam ut ,smu ad ,,sn4 ,cum autem velocitas ,comet 9 altitud9e ,,sp sit ad velocitatem 9 altitud9e ,smu 9 dimidiata ratione ,,sp ad ,smu inv]s1 id e/ 9 ratione ,smu ad ,,sn1 longitudo hac velocitate eodem tempore descripta1 erit ad longitud9em 9 ,tang5te descriptam ut ,smu ad ,,sn4 ,igitur ,,ac longitudo hac nova velocitate descripta1 cum s9t ad longitud9em 9 ,tang5te descriptam 9 eadem ratione1 quantur int] se4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,cometa igitur ea cum velocitate1 quam habet 9 altitud9e ,smu #b_/c;,imu1 eodem tempore describ]et *ordam ,,ac quamproxim4 ,lemma ,,xi4 ,si ,cometa motu omni privatus de altitud9e ,,sn seu ,smu #a_/c;,imu demitt]etur1 ut cad]et 9 ,solem1 ea semp] vi uni=mit] cont9uata urg]etur 9 ,solem qua urgetur sub initio2 idem tempore 9 orbe suo describat arcum ,,ac1 desc5su suo describ]et spatium longitud9i ,imu quale4 ,nam ,cometa quo tempore describat arcum ,p>abolicum ,,ac1 eodem tempore ea cum velocitate quam habet 9 altitud9e ,,sp 7p] ,lemma novissimum7 describet *ordam ,,ac1 adeoque eodem tempore 9 circulo cujus semidiamet] esset ,,sp revolv5do1 describ]et arcum cujus longitudo esset ad arcus ,p>abolici *ordam ,,ac 9 dimidiata ratione unius ad duo4 ,et propt]ea eo cum pond]e quod habet 9 ,solem 9 altitud9e ,,sp1 cad5do de altitud9e illa 9 ,solem1 describ]et eodem tempore 7p] ,s*olium ,prop4 ,,iv4 ,lib4 ,i47 spatium quale quadrato semissis *ord illius applicato ad quadruplum altitud9is ,,sp1 id e/ spatium ,a,iq4 #d,,sp4 ,unde cum pondus ,comet 9 ,solem 9 altitud9e ,,sn sit ad ipsius pondus 9 ,solem 9 altitud9e ,,sp1 ut ,,sp ad ,smu3 ,cometa pond]e quod habet 9 altitud9e ,,sn eodem tempore1 9 ,solem cad5do1 describet spatium ,a,iq4 #d,smu1 id e/ spatium longitud9i ,imu vel ,mmu quale4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xli4 ,prob4 ,,xx4 ,comet 9 ,p>abola mov5tis ,trajectoriam ex datis tribus obs]vationibus det]m9>e4 ,problema hocce longe difficillimum multimod aggressus1 composui ,problemata qudam 9 ,libro primo qu ad ejus solutionem spectant4 ,po/ea solutionem sequ5tem paul simpliciorem excogitavi4 ,seligantur tres obs]vationes qualibus temporum int]vallis ab invicem quamproxim di/antes4 ,sit autem temporis int]vallum illud ubi ,cometa t>dius movetur paulo majus alt]o1 ita videlicet ut temporum diff]5tia sit ad summam temporum ut summa temporum ad dies plus m9us sexc5tos4 ,si tales obs]vationes non pr/o s9t1 inv5i5dus e/ novus ,comet locus p] ,lemma sextum4 ,illu/ration ,design5t ,s ,solem1 ,t1 t1 tau tria loca ,t]r 9 orbe magno1 ,,ta1 t,b1 tau,c obs]vatas tres longitud9es ,comet1 ,v tempus int] obs]vationem primam secundam1 ,w tempus int] secundam ac t]tiam1 ,x longitud9em quam ,cometa toto illo tempore ea cum velocitate quam habet 9 m$iocri ,telluris ,sole di/antia1 describ]e posset1 t,v p]p5diculum 9 *ordam ,ttau4 ,9 longitud9e m$ia t,b sumatur utcunque punctum ,b1 inde v]sus ,solem ,s ducatur l9ea ,,be1 qu sit ad ,sagittam t,v1 ut cont5tum sub ,,sb ,/ quadrato ad cubum hypot5us trianguli rectanguli1 cujus lat]a sunt ,,sb tang5s latitud9is ,comet 9 obs]vatione secunda ad radium t,b4 ,et p] punctum ,e agatur recta ,,aec1 cujus p>tes ,,ae1 ,,ec ad rectas ,,ta tau,c t]m9at1 s9t ad invicem ut tempora ,v ,w3 ,tum p] puncta ,a1 ,b1 ,c1 duc circumf]5tiam circuli1 eamque biseca 9 i1 ut *ordam ,,ac 9 ,i4 ,age occultam ,si secantem ,,ac 9 lambda1 comple p>allelogrammum i,ilambdamu4 ,cape ,isigma qualem #c;,ilambda1 p] ,solem ,s age occultam sigmaxi qualem #c,ssigma #c;ilambda4 ,et deletis jam lit]is ,a1 ,e1 ,c1 ,i1 puncto ,b v]sus punctum xi duc occultam novam ,,be1 qu sit ad priorem ,,be 9 duplicata ratione di/anti ,,bs ad quantitatem ,smu #a_/c;ilambda4 ,et p] punctum ,e it]um duc rectam ,,aec eadem lege ac prius1 id e/1 ita ut ejus p>tes ,,ae ,,ec s9t ad invicem ut tempora int] obs]vationes1 ,v ,w4 ,ad ,,ac bisectam 9 ,i erigantur p]p5dicula ,,am1 ,,cn1 ,,io1 qu>um ,,am ,,cn s9t tang5tes latitud9um 9 obs]vatione prima ac t]tia ad radios ,,ta taualpha4 ,jungatur ,,mn secans ,,io 9 ,o4 ,con/ituatur rectangulum i,ilambdamu ut prius4 ,9 ,,ia producta capiatur ,,id qualis ,smu #b_/c;ilambda1 agatur occulta ,,od4 ,de9de 9 ,,mn v]sus ,n capiatur ,,mp1 qu sit ad longitud9em supra inv5tam ,x 9 dimidiata ratione m$iocris di/anti ,telluris ,sole 7seu semidiametri orbis magni7 ad di/antiam ,,od4 ,et 9 ,,ac capiatur ,,cg ipsi ,,np qualis1 ita ut puncta ,g ,p ad easdem p>tes rect ,,nc jaceant4 ,eadem me?odo qua puncta ,e1 ,a1 ,c1 ,g1 ex assumpto puncto ,b inv5ta sunt1 inv5iantur ex assumptis utcunque punctis aliis b beta puncta nova e1 a1 c1 g1 epsilon1 alpha1 kappa1 gamma4 ,de9de si p] ,g1 g1 gamma ducatur circumf]5tia circuli ,gggamma secans rectam tau,c 9 ,z3 erit ,z locus ,comet 9 plano ,ecliptic4 ,et si 9 ,,ac1 ac1 alphakappa capiantur ,,af1 af1 alphaphi ipsis ,,cg1 cg1 kappagamma respectiv quales1 p] puncta ,f1 f1 phi ducatur circumf]5tia circuli ,ffphi secans rectam ,,at 9 ,x2 erit punctum ,x alius ,comet locus 9 plano ,ecliptic4 ,ad puncta ,x ,z erigantur tang5tes latitud9um ,comet ad radios ,,tx tau,z2 habebuntur loca duo ,comet 9 orbe proprio4 ,d5ique 7p] ,prop4 ,,xix4 ,lib4 ,i47 umbilico ,s1 p] loca illa duo describatur ,p>abola1 hc erit ,trajectoria ,comet4 ,q4 ,e4 ,i4 ,con/ructionis hujus demon/ratio ex ,lemmatibus consequitur3 quippe cum recta ,,ac secetur 9 ,e 9 ratione temporum1 p] ,lemma ,,viii3 ,,be p] ,lem4 ,,xi4 sit p>s rect ,,bs 9 plano ,ecliptic arcui ,,abc *ord ,,aeg int]jecta2 ,,mp 7p] ,lem4 ,,viii47 longitudo sit *ord arcus1 quem ,cometa 9 orbe proprio int] obs]vationem primam ac t]tiam describ]e debet1 ideoque ipsi ,,mn qualis fu]it1 si mod ,b sit v]us ,comet locus 9 plano ,ecliptic4 ,ct]um puncta ,b1 b1 beta non qulibet1 s$ v]o proxima elig]e conv5it4 ,si angulus ,a,qt 9 quo ve/igium orbis 9 plano ,ecliptic descriptum secabit rectam t,b prt]propt] innotescat1 9 angulo illo duc5da erit recta occulta ,,ac1 qu sit ad #d_/c,tt 9 dimidiata ratione ,/ ad ,,sq4 ,et ag5do rectam ,,seb cujus p>s ,,eb quetur longitud9i ,vt1 det]m9abitur punctum ,b quod prima vice usurp>e licet4 ,tum rect ,,ac delet secundum prc$5tem con/ructionem it]um duct1 inv5t insup] longitud9e ,,mp2 9 t,b capiatur punctum b1 ea lege1 ut si ,,ta1 ,,tc se mutu secu]9t 9 ,y1 sit di/antia ,yb ad di/antiam ,,yb 9 ratione composita ex ratione ,,mn ad ,,mp ratione dimidiata ,,sb ad ,sb4 ,et eadem me?odo inv5i5dum erit punctum t]tium beta2 si mod op]ationem t]ti repet]e lubet4 ,s$ hac me?odo op]ationes du ut plurimum suffec]9t4 ,nam si di/antia ,bb p]exigua obv5]it1 po/quam inv5ta sunt puncta ,f1 f ,g1 g1 act rect ,ff ,gg1 secabunt ,,ta tau,c 9 punctis qusitis ,x ,z4 ,exemplum4 ,proponatur ,cometa anni #afhj4 ,hujus motum ,flam/$io obs]vatum ,tabula sequ5s exhibet4 ,tem4 ,temp4 ,lat4 app>4 v]u ,long4 ,solis ,long4 ,comet ,comet ---------------------------------------- --------------- #afhj #ab #d4df #d4df4jj ,cap4 #a4ec4 #b ,cap4 #f4cc4 #j #h4bf4 #j ,decemb] #baf4cb-a_/b #f4cf4ei #aa4 #h4aj ,aqu4 #e4 #g4ch #ba4de4cj #bd #f4ab #f4ag4eb #ad4aj4di #ah4di4aj #be4bc4bd #bf #e4ad #e4bj4dd #af4aj4ch #bh4bd4 #f #bg4jj4eg #bi #g4ee #h4jc4 #b #ai4bj4ef ,psc4#ac4aa4de #bh4aj4je #cj #h4 #b #h4aj4bf #bj4bb4bj #ag4cg4 #e #bh4aa4ab #afha #e #e4ea #f4 #a4ch #bf4bc4ai ,ari4 #h4di4aj #bf4ae4bf ,janu>y #i #f4di #g4 #j4ec ,aqu4 #j4bi4ed #ah4dc4ah #bd4ab4db #aj #e4ed #f4 #f4aj #a4bh4cd #bj4dj4eg #bc4dd4jj #ac #f4ef #g4 #h4ee #d4cd4 #f #be4ei4cd #bb4ag4cf #be #g4dd #g4eh4db #af4de4eh ,tau4 #i4ee4dh #ag4ef4ed #cj #h4jg #h4ba4ec #ba4ej4 #i #ac4ai4cf #af4dj4eg ,febru>y #b #f4bj #f4cd4ea #bd4dg4 #d #ae4ac4dh #af4jb4jb #e #f4ej #g4 #d4da #bg4di4ea #af4ei4eb #ae4bg4bc ---------------------------------------- --------------- ,9 8 obs]vationibus ,flam/$ius e usus e/ dilig5ti1 ut po/quam bis obs]vasset di/antiam ,comet ,/ella aliqua fixa1 de9de etiam di/antiam bis ab alia /ella fixa1 r$iret ad /ellam priorem di/antiam ,comet ab eadem it]um obs]v>et1 idque bis1 ac de9de ex di/anti illius increm5to vel decrem5to tempori proportionali collig]et di/antiam tempore int]m$io1 qu&o di/antia /ella alt]a obs]vabatur4 ,ex hujusmodi obs]vationibus loca ,comet fe/9ant] computata ,flam/$ius prim cum amicis communicavit1 po/ea easdem ad exam5 revocatas calculo dilig5tiore correxit4 ,nos loca correcta hic descripsimus4 ,8 adde obs]vationes quasdam no/ris4 ,temp4 app>4 ,comet ,longit4 ,com4 ,lat4 ------------------------------------ ,febru4 #be #h;h4#cj',tau4 #bf4ai'4 #b #ab4df-g_/h #bg #h 4#ae #bg4 #d 4#bh #ab4cf ,m>t4 #a #aa 4 #j #bg4ec 4 #h #ab4bd-c_/d #b #h 4 #j #bh4ab 4#bi #ab4ai-a_/b #e #aa 4#cj #bi4bj 4#ea #ab4 #b-b_/c #i #h 4#cj ,gem4 #j4dc 4 #b #aa4dd-c_/e ,h obs]vationes ,telescopio septup$ali1 ,micrometro filisque 9 foco ,telescopii locatis p>act sunt3 quibus in/rum5tis positiones fix>um int] se positiones ,comet ad fixas det]m9avimus4 ,designet ,a /ellam 9 s9i/ro calcaneo ,p]sei 7,bay]o omicron7 ,b /ellam sequ5tem 9 s9i/ro p$e 7,bay]o zeta7 ,c1 ,d1 ,e1 ,f1 ,g1 ,h1 ,i1 ,k1 ,l1 ,m1 ,n /ellas alias m9ores 9 eodem p$e4 ,s9tque ,p1 ,q1 ,r1 ,s1 ,t loca ,comet 9 obs]vationibus supra descriptis3 exi/5te di/anti ,,ab p>tium #hj-g_/ab1 erat ,,ac p>tium #eb1 ,,bc #eh-e_/f1 ,,ad #eg-e_/ab1 ,,bd #hb-f_/aa1 ,,cd #bc-b_/c1 ,,ae #bi-d_/g1 ,,ce #eg1 ,,de #di-aa_/ab1 ,,ak #ch-b_/c1 ,,bk #dc1 ,,ck #ca-e_/i1 ,,fk #bi1 ,,fb #bc1 ,,fc #cf1 ,,ah #ah-f_/g1 ,,dh #ec-e_/aa1 ,,bn #df-e_/ab1 ,,cn #ca-a_/c1 ,,bl #de-e_/ab1 ,,nl #ca-e_/g4 ,,lm erat ad ,,lb ut #b ad #i producta transibat p] /ellam ,h4 ,8 det]m9abantur positiones fix>um int] se4 ,illu/ration ,die ,v5]is ,feb4 #be4 ,/4 vet4 ,hor4 #h ,p4,m4 ,comet 9 p exi/5tis di/antia /ella ,e erat major qum #c_/ac ,,ae1 m9or qum #a_/e ,,ae1 adeoque qualis #c_/ad ,,ae proxim2 angulus ,ap,e nonnihil obtusus erat1 s$ f]e rectus4 ,nempe si demitt]etur ad p,e p]p5diculum ab ,a1 di/antia ,comet p]p5diculo illo erat #a_/e p,e4 ,eadem nocte1 hor #i1 ,comet 9 ,p exi/5tis di/antia /ella ,e erat major qum #a #d ,,ae1 m9or qum #a #e ,,ae1 adeoque qualis #a #d-g_/h ,,ae1 seu #h_/ci ,,ae quamproxim4 ,a p]p5diculo autem ,/ella ,a ad rectam ,,pe demisso di/antia ,comet erat #d_/e ,,pe4 ,die ,m>tis1 ,m>t4 #a1 hor4 #aa4 ,p4,m4 ,cometa 9 ,r exi/5s1 /ellis ,k ,c accurat int]jacebat1 rect ,,crk p>s ,,cr paulo major erat qum #a_/c ,,ck1 paulo m9or quam #a_/c ,,ck #a_/h ,,cr1 adeoque qualis #a_/c ,,ck #a_/af ,,cr seu #af_/de ,,ck4 ,illu/ration ,die ,m]curii1 ,m>t4 #b4 hor4 #h4 ,p4,m4 ,comet exi/5tis 9 ,s1 di/antia /ella ,c erat #d_/i ,,fc quamproxim4 ,di/antia /ell ,f recta ,,cs producta erat #a_/bd ,,fc2 di/antia /ell ,b ab eadem recta erat qu9tuplo major qum di/antia /ell ,f4 ,item recta ,,ns producta transibat int] /ellas ,h ,i1 qu9tuplo vel sextuplo propior exi/5s /ell ,h qum /ell ,i4 ,die ,saturni1 ,m>t4 #e4 hor4 #aa4 ,p4,m4 ,cometa exi/5te 9 ,t1 recta ,,mt qualis erat ,,ml1 recta ,,lt producta transibat int] ,b ,f1 quadruplo vel qu9tuplo propior ,f qum ,b1 auf]5s ,,bf qu9tam vel sextam ejus p>tem v]sus ,f4 ,et ,,mt producta transibat extra spatium ,,bf ad p>tes /ell ,b1 quadruplo propior exi/5s /ell ,b quam /ell ,f4 ,erat ,m /ella p]exigua qu p] ,telescopium vid]i vix potuit1 ,l /ella major quasi magnitud9is octav4 ,ex hujusmodi obs]vationibus p] con/ructiones figur>um computationes 7posito quod /ell>um ,a ,b di/antia esset #b gr4 #f-d_/e1 /ell ,a longitudo ,tauri #bf gr4 #da'4 #dh latitudo borealis #ab gr4 #h'1 /ellque ,b longitudo ,tauri #bh gr4 #dj'4 #af4 latitudo borealis #aa gr4 #ag-a_/e2 quemadmodum ,flam/$io obs]vatas accepi7 d]ivabam longitud9es latitud9es ,comet4 ,micrometro p>um affabre con/ruct usus sum1 s$ ,longitud9um tam5 ,latitud9um errores 7quat5us ab obs]vationibus no/ris oriantur7 dimidium m9uti unius primi vix sup]ant1 prt]quam 9 obs]vatione ultim ,m>t4 #i4 ubi positiones fix>um ad /ellas ,a ,b m9us accurat det]m9>e potui4 ,cass9us qui ,cometam eodem tempore obs]vavit1 se decl9ationem ejus tanquam inv>iatam man5tem p>um dilig5t] def9ivisse fassus e/4 ,nam ,cometa 7juxta obs]vationes no/ras7 9 f9e motus sui notabilit] deflect]e cpit boream v]sus1 p>allelo quem 9 f9e ,m5sis ,febru>ii t5u]at4 ,jam ad ,orbem ,comet det]m9&um2 selegi ex obs]vationibus hact5us descriptis tres1 quas ,flam/$ius habuit ,dec4 #ba1 ,jan4 #e1 ,jan4 #be4 ,ex 8 inv5i ,/ p>tium #ihdb1a ,vt p>tium #dee1 quales #ajjjj sunt semidiamet] orbis magni4 ,tum ad op]ationem primam assum5do t,b p>tium #efeg1 inv5i ,,sb #igdg1 ,,be prima vice #dab1 ,smu #iejc1 ilambda #dac3 ,,be secunda vice #dba1 ,,od #ajahf1 ,x #hebh1d1 ,,mp #hdej1 ,,mn #hdge1 ,,np - #be4 ,unde ad op]ationem secundam collegi di/antiam tb #efdj4 ,et p] hanc op]ationem inv5i t&em di/antias ,,tx #dgge tau,z #aacbb4 ,ex quibus orbem def9i5do inv5i ,nodos ejus 9 ,cancris ,capricorni #a gr4 #ec'2 ,incl9ationem plani ejus ad planum ,ecliptic #fa gr4 #bj-a_/c2 v]ticem ejus 7seu p]ihelium ,comet7 9 ,sagitt>ii #bg gr4 #dc' cum latitud9e au/rali #g gr4 #cd'2 ejus latus rectum #bcf1h1 areamq2 radio ad ,solem ducto s+ulis diebus descriptam #icehe2 ,cometam v] ,decemb4 #h d4 #j h4 #d'4 ,p4,m4 9 v]tice orbis seu p]ihelio fuisse4 ,hc omnia p] scalam p>tium qualium *ordas angulorum ex ,tabula ,s9uum naturalium collectas det]m9avi graphic2 con/ru5do ,s*ema satis amplum1 9 quo videlicet semidiamet] orbis magni 7p>tium #ajjjj7 qualis esset digitis #af-a_/c p$is ,anglicani4 ,t&em ut con/>et an ,cometa 9 ,orbe sic inv5to v] mov]etur1 collegi p] op]ationes p>tim ,ari?meticas p>tim ,graphicas1 loca ,comet 9 hoc orbe ad obs]vationum qu>undam tempora3 uti 9 ,tabula sequ5te vid]e licet4 ,,comet ,di/ant4 ,comet ,lon4 ,lat4 ,long4,obs4,lat4 ,obs4 ,diff4,diff]4 ,sole ,collect4 ,collect4 ,long4,lat4 ---------------------------------------- ----------------- ,decemb4 ,cap4 ,cap4 #ab #bgib #f4cb #h4ah-a_/b #f4cc #h4bf -#b -#g-a_/b ,psc4 ,psc4 #bi #hdjc #ac4ac-b_/cbh4 #j #ac4aa-c_/dbh4aj-a_/ab #b -#aj-a_/b ,tau4 ,tau4 ,febr4 #e #afffi #ag4 #j #ae4bi-b_/caf4ei-g_/hae4bg-b_/e #j #b-a_/e ,tau4 ,tau4 ,m>4 #e #bagcg #bi4ai-c_/dab4 #d #bi4bj-f_/gab4 #b-b_/c -#a #a-a_/c ,prt]ea cum ,cl4 ,flam/$ius ,cometam1 qui ,m5se ,novembri app>u]at1 eundem esse cum ,cometa m5sium subsequ5tium1 lit]is ad me datis aliqu&o disput>et1 ,trajectoriam quamdam ab orbe hocce ,p>abolico non longe ab]rantem del9e>et1 visum e/ loca ,comet 9 hoc orbe ,m5se ,novembri comput>e1 cum ,obs]vationis conf]re4 ,obs]vationes ita se hab5t4 ,nov4 #ag4 ,/4 ,vet4 ,pon?u alii hora sexta matut9a ,rom1 7id e/ hora #e4 #aj' ,lond9i7 ,cometam obs]v>unt 9 ,libr #h gr4 #cj' cum latitud9e ,au/rali #j gr4 #dj'4 ,extant autem eorum obs]vationes 9 tractatu quem ,pon?u de hoc ,cometa 9 lucem edidit4 ,eadem hor ,galletius etiam ,rom1 ,cometam vidit 9 ,libr #h gr4 s9e ,latitud9e4 ,nov4 #ah4 ,pon?u ,socii hor matut9 #f1 #cj' ,rom 7i4 e4 hor4 #e4 #dj' ,lond9i7 ,cometam vid]unt 9 ,libr #ac cum ,lat4 ,au/r4 #a gr4 #bj'4 ,eodem die ,r4 ,p4 ,ango 9 ,academia ,fle*5si apud ,gallos1 hor qu9t matut91 ,cometam vidit 9 m$io ,/ell>um du>um p>v>um1 qu>um una m$ia e/ trium 9 recta l9ea 9 ,virg9is ,au/rali manu1 alt]a e/ extrema al4 ,unde ,cometa tunc fuit 9 ,libr #ab gr4 #df' cum ,lat4 ,au/r4 #ej'4 ,eodem die ,bo/oni 9 ,nova ,anglia 9 ,lat4 #db-a_/c1 hor qu9t matut9 7id e/ ,lond9i hora ,mat4 #i-b_/c7 ,cometa visus e/ 9 ,libr #ad circit]1 cum ,lat4 ,au/r4 #a gr4 #cj'2 uti ,cl4 ,halleio accepi4 ,nov4 #ai4 hora ,mat4 #d ,cantabrigi1 ,cometa 7obs]vante juv5e quodam7 di/abat ,spica ,virg9is quasi #b gr4 ,boreazephyrum v]sus4 ,eodem die hor4 #e4 ,mat4 ,bo/oni 9 ,nova-,anglia ,cometa di/abat ,spica ,virg9is gradu uno1 diff]5ti latitud9um exi/5te #dj'1 atque adeo diff]5tia ,long4 #dd' circit]4 ,unde ,cometa erat 9 ,libr #ah gr4 #dj' cum ,lat4 ,au/r4 #a gr4 #ai'4 ,eodem die ,d4 ,ar?urus ,/or] ad fluvium ,patux5t prope ,hunt+-,creek 9 ,m>y-,l&1 9 ,conf9io ,virg9i 9 ,lat4 #ch gr4 hor qu9t matut9 7id e/ hor #aj;a ,lond9i7 ,cometam vidit supra ,spicam ,virg9is1 cum ,spica propemodum conjunctum1 exi/5te di/antia int] eosdem quasi gr4 ,obs]vator idem1 eadem hor diei sequ5tis1 ,cometam vidit quasi #b gr4 inf]iorem ,spic4 ,congru5t h obs]vationes cum obs]vationibus 9 ,nova ,anglia factis1 si mod di/anti 7pro motu diurno ,comet7 nonnihil augeantur1 ita ut ,cometa die priore sup]ior esset ,spica ,virg9is altitud9e #eb' circit]1 ac die po/]iore inf]ior eadem /ell altitud9e p]p5dicul>i #b gr4 #dj'4 ,nov4 #bj4 ,d4 ,mont5>us ,a/ronomi ,pr(essor ,padu5sis1 hora sexta ,matut9a1 ,v5etiis 7id e/ hora #e4 #aj' ,lond9i7 ,cometam vidit 9 ,libr #bc gr4 cum ,lat4 ,au/r4 #a gr4 #cj'4 ,eodem die ,bo/oni di/abat ,cometa ,spica ,virg9is1 #d gr4 longitud9is 9 ori5tem1 adeoque erat 9 ,libr #bc gr4 #bd circit]4 ,nov4 #ba4 ,pon?u ,socii hor4 mat4 #g ,cometam obs]v>unt 9 ,libr #bg gr4 #ej' cum ,latitud9e ,au/rali #a gr4 #af'4 ,ango hor qu9t mat4 9 ,libr #bg gr4 #de'4 ,mont5>us 9 ,libr #bg gr4 #ea'4 ,eodem die 9 ,insul ,jamaic visus e/ prope pr9cipium ,scorpii1 e&emque circit] latitud9em habuit cum ,spica ,virg9is1 id e/ #a gr4 #ei'4 ,novem4 #bb4 ,visus e/ ,mont5>o 9 ,scorpii #b4 #cc'4 ,bo/oni autem 9 ,nov ,angli app>uit 9 ,scorpii #c gr4 circit]1 eadem f]e cum latitud9e ac prius4 ,de9de visus e/ ,mont5>o ,novem4 #bd4 9 ,scorpii #ab gr4 #eb'4 ,nov4 #be4 9 ,scorpii #ag gr4 #de'4 ,latitud9em ,galletius jam ponit #b gr4 ,e&em ,pon?u ,galletius decrevisse1 ,mont5>us ,ango semp] crevisse te/antur4 ,crass sunt horum omnium obs]vationes1 s$ e ,mont5>i1 ,angonis obs]vatoris 9 ,nova-,anglia prf]5d vid5tur4 ,ex omnibus autem int] se collatis1 ad m]idianum ,lond9i1 hora mat4 #e4 #aj' r$uctis1 colligo ,cometam hujusmodi cursum quamproxim descripsisse4 ,long4 ,com4 ,latit4 ,com4 ----------------------------- ,nov4 #ag ,libr #h4j #j4de ,au/r4 #ah #ab4eb #a4 #b #ai #ag4dh #a4ah #bj #bb4de #a4cb #ba #bg4df #a4dd #bb ,scorpii #b4dh #a4ee #bc #g4ej #b4 #d #bd #ab4eb #b4ab #be #ag4de #b4ah ,loca autem ,comet iisdem horis 9 orbe ,p>abolico inv5ta ita se hab5t4 ,comet4 ,lon4 ,com4 ,lat4 --------------------------- ,nov4 #ag ,libr #h4 #c #j4bc ,a #ba ,libr #bh4 #j #a4bb ,a #be ,scorpii #ah4ag #b4 #f ,a ,congruunt igitur obs]vationes tam m5se ,novembri1 quam m5sibus tribus subsequ5tibus cum motu ,comet circa ,solem 9 ,trajectori hacce ,p>abolic1 atque adeo hanc esse v]am hujus ,comet ,trajectoriam confirmant4 ,nam diff]5tia int] loca obs]vata loca computata tam ex erroribus obs]vationum quam ex erroribus op]ationum ,graphic>um 9 ,orbe def9i5do admissis1 facil oriri potu]e4 ,ct]um ,trajectoriam quam ,cometa descripsit1 caudam v]am quam s+ulis 9 locis projecit1 visum e/ annexo s*emate 9 plano ,trajectori optic del9eatas exhib]e3 obs]vationibus sequ5tibus 9 cauda def9i5da adhibitis4 ,nov4 #ag4 ,cauda gradus amplius qu9decim longa ,pon?o app>uit4 ,nov4 #ah4 cauda #cj gr4 longa1 ,solique directe opposita 9 ,nova ,anglia c]nebatur1 prot5debatur usque ad /ellam ,m>tem1 qui tunc erat 9 ,virg9is #i gr4 #ed'4 ,nov4 #ai 9 ,m>y-,l& cauda visa fuit gradus #ae vel #bj longa4 ,dec4 #aj4 cauda 7obs]vante ,flam/$io7 transibat p] m$ium di/anti int] caudam s]p5tis ,ophiu*i /ellam delta 9 ,aquil au/rali ala1 des9ebat prope /ellas ,a1 omega1 b 9 ,tabulis ,bay]i4 ,t]m9us igitur erat 9 ,capricorni #ai cum lat4 bor4 #cd gr4 circit]4 ,dec4 #aa4 surgebat ad usque caput sagitt 7,bay]o1 alpha1 beta17 des95s 9 ,capricorni #bf gr4 #dc' cum lat4 bor4 #ch gr4 #cd'4 ,dec4 #ab4 transibat p] m$ium ,sagitt1 nec longe ultra prot5debatur1 des95s 9 ,aqu>ii #d1 cum lat4 bor4 #db circit]4 ,intellig5da sunt hc de longitud9e caud cl>ioris4 ,nam luce obscuriore1 9 coelo =san magis s]5o1 cauda ,dec4 #ab4 hora #e1 #dj' ,rom 7obs]vante ,pon?o7 supra cygni ,uropygium ad gr4 #aj4 sese extulit2 atque ab hac /ella ejus latus ad occasum boream m94 #de4 de/itit4 ,lata autem erat cauda 8 diebus gr4 #c4 juxta t]m9um sup]iorem1 ideoque m$ium ejus di/abat ,/ella illa #b gr4 #ae' au/rum v]sus1 t]m9us sup]ior erat 9 ,piscium #bb gr4 cum lat4 bor4 #fa gr4 ,dec4 #ba4 surgebat f]e ad ca!dram ,cassiopei1 qualit] di/ans beta ,s*$ir1 di/antiam ab utraque di/anti e>um ab invicem qualem hab5s1 adeoque des95s 9 ,piscium #bd gr4 cum lat4 #dg gr4 ,dec4 #bi4 tangebat ,s*eat sitam ad s9i/ram1 int]vallum /ell>um du>um 9 p$e boreali ,&rom$ accurat complebat1 longa erat #ed gr4 adeoque des9ebat 9 ,tauri #ai gr4 cum lat4 #ce4 gr4 ,jan4 #e4 tetigit /ellam pi 9 pectore ,&rom$1 ad latus suum dextrum /ellam mu 9 ejus c+ulo ad latus s9i/rum2 7juxta obs]vationes no/ras7 longa erat #dj gr42 curva autem erat convexo lat]e spectabat ad au/rum4 ,cum circulo p] ,solem caput ,comet transeunte angulum confecit graduum #d juxta caput ,comet2 at juxta t]m9um alt]um incl9abatur ad circulum illum 9 angulo #aj vel #aa grad4 *orda caud cum circulo illo cont9ebat angulum graduum octo4 ,jan4 #ac4 ,cauda luce satis s5sibili t]m9abatur int] ,alame* ,algol1 luce t5uissima des9ebat regione /ell kappa 9 lat]e ,p]sei4 ,di/antia t]m9i caud circulo ,solem ,cometam jung5te erat #c gr4 #ej'1 incl9atio *ord caud ad circulum illum #h gr4 ,jan4 #be #bf luce t5ui micabat ad longitud9em graduum #f vel #g2 ubi coelum valde s]5um erat1 luce t5uissim g]rim s5sibili att+ebat longitud9em graduum duodecim paulo ultra4 ,dirigebatur autem ejus axis ad ,lucidam 9 hum]o ori5tali ,aurig accurat1 adeoque decl9abat ab oppositione ,solis ,boream v]sus 9 angulo graduum decem4 ,d5ique ,feb4 #aj4 caudam oculis armatis aspexi gradus duos longam4 ,nam lux prdicta t5uior p] vitra non app>uit4 ,pon?u autem ,feb4 #g4 se caudam ad longitud9em gr4 #ab4 vidisse scribit4 ,orbem jam descriptum spectanti reliqua ,comet hujus ,phnom5a 9 animo revolv5ti haud difficult] con/abit quod corpora ,comet>um sunt solida1 compacta1 fixa ac durabilia ad in/> corporum ,planet>um4 ,nam si nihil aliud ess5t qum vapores vel exhalationes ,t]r1 ,solis ,planet>um1 ,cometa hicce 9 transitu suo p] vic9iam ,solis /atim dissip>i debuisset4 ,e/ enim calor ,solis ut radiorum d5sitas1 hoc e/ reciproc ut quadratum di/anti locorum ,sole4 ,ideoque cum di/antia ,comet ,sole ,dec4 #h4 ubi 9 ,p]ihelio v]sabatur1 esset ad di/antiam ,t]r ,sole ut #f ad #ajjj circit]1 calor ,solis apud ,cometam eo tempore erat ad calorem ,solis /ivi apud nos ut #ajjjjjj ad #cf1 seu #bhjjj ad #a4 ,s$ calor aqu ebulli5tis e/ quasi triplo major qum calor quem t]ra arida concipit ad /ivum ,solem2 ut exp]tus sum3 calor f]ri c&5tis 7si rect conjector7 quasi triplo vel quadruplo major quam calor aqu ebulli5tis2 adeoque calor quem t]ra arida apud ,cometam 9 p]ihelio v]santem ex radiis ,sol>ibus concip]e posset2 quasi #bjjj vicibus major qum calor f]ri c&5tis4 ,tanto autem calore vapores exhalationes1 omnisque mat]ia volatilis /atim consumi ac dissip>i debuiss5t4 ,cometa igitur 9 p]ihelio suo calorem imm5sum ad ,solem concepit1 calorem illum diutissim cons]v>e pote/4 ,nam globus f]ri c&5tis digitum unum latus1 calorem suum omnem spatio hor unius 9 a]e consi/5s vix amitt]et4 ,globus autem major calorem diutius cons]v>et 9 ratione diametri1 propt]ea quod sup]ficies 7ad cujus m5suram p] contactum a]is ambi5tis refrig]atur7 9 illa ratione m9or e/ pro quantitate mat]i su calid inclus4 ,ideoque globus f]ri c&5tis huic ,t]r qualis1 id e/ p$es plus m9us #djjjjjjj latus1 diebus totidem1 idcirco annis #ejjjj1 vix refrigesc]et4 ,suspicor tam5 quod duratio ,caloris ob causas lat5tes augeatur 9 m9ore ratione quam ea diametri3 opt>im rationem v]am p] exp]im5ta inve/ig>i4 ,porr not&um e/ quod ,cometa ,m5se ,decembri1 ubi ad ,solem mod incalu]at1 caudam emittebat longe majorem spl5didiorem qum antea ,m5se ,novembri2 ubi p]ihelium nondum attig]at4 ,et univ]salit] caud omnes maxim fulg5tissim ,cometis oriuntur1 /atim po/ transitum eorum p] regionem ,solis4 ,conducit igitur calefactio ,comet ad magnitud9em caud4 ,et inde collig]e videor quod cauda nihil aliud sit quam vapor longe t5uissimus1 quem caput seu ,nucleus ,comet p] calorem suum emittit4 ,ct]um de ,comet>um caudis triplex e/ op9io1 eas vel jub> esse ,solis p] translucida ,comet>um capita propagatum2 vel oriri ex refractione lucis 9 progressu ipsius capite ,comet 9 ,t]ram3 vel d5ique nubem esse seu vaporem capite ,comet jugit] surg5tem abeuntem 9 p>tes ,sole av]sas4 ,op9io prima eorum e/ qui nondum imbuti sunt sci5tia r]um optic>um4 ,nam jub> ,solis 9 cubiculo t5ebroso non c]nitur nisi quat5us lux reflectitur pulv]um fumorum p>ticulis p] a]em semp] volitantibus3 adeoque 9 a]e fumis crassioribus infecto spl5didius e/1 s5sum =tius f]it2 9 a]e cl>iore t5uius e/ grius s5titur3 9 coelis autem absque mat]ia reflect5te nullum esse pote/4 ,lux non c]nitur quat5us 9 jub>e e/1 s$ quat5us inde reflectitur ad oculos no/ros4 ,nam visio non fit nisi p] radios qui 9 oculos imp+unt4 ,requiritur igitur mat]ia aliqua reflect5s 9 regione ,caud1 ne coelum totum luce ,solis illu/ratum uni=mit] spl5deat4 ,op9io secunda multis premitur difficultatibus4 ,caud nunquam v>iegantur coloribus3 qui tam5 refractionum sol5t esse comites insep>abiles4 ,lux ,fix>um ,planet>um di/9ct ad nos transmissa demon/rat m$ium coele/e nulla vi refractiva poll]e4 ,nam quod dicitur fixas ab gyptiis comatas nonnunquam visas fuisse1 id quoniam r>issim cont+it1 ascrib5dum e/ nubium refractioni =tuit4 ,fix>um quoque radiatio sc9tillatio ad refractiones tum ,oculorum tum a]is tremuli ref]5d sunt3 quippe qu admotis oculo ,telescopiis evanescunt4 ,a]is asc5d5tium vaporum tremore fit ut radii facile de angu/o pupilli spatio p] vices detorqueantur1 de latiore autem vitri objectivi ap]tura neutiquam4 ,inde e/ quod sc9tillatio 9 priori casu g5]etur1 9 po/]iore autem cesset3 cessatio 9 po/]iore casu demon/rat regul>em transmissionem lucis p] coelos absque omni refractione s5sibili4 ,nequis cont5dat quod caud non soleant vid]i 9 ,cometis cum eorum lux non e/ satis =tis1 quia tunc radii secund>ii non hab5t satis virium ad oculos mov5dos1 propt]ea caudas fix>um non c]ni3 sci5dum e/ quod lux fix>um plus c5tum vicibus aug]i pote/ m$iantibus ,telescopiis1 nec tam5 caud c]nuntur4 ,planet>um quoque lux copiosior e/1 caud v] null3 ,comet autem spe caudatissimi sunt1 ubi capitum lux t5uis e/ valde obtusa3 sic enim ,cometa ,anni #afhj1 ,m5se ,decembri1 quo tempore caput luce sua vix quabat /ellas secund magnitud9is1 caudam emittebat spl5dore notabili usque ad gradus #dj1 #ej1 #fj longitud9is ultra3 po/ea ,jan4 #bg #bh caput app>ebat ut /ella septim tantum magnitud9is1 cauda v] luce quidem p]t5ui s$ satis s5sibili longa erat #f vel #g gradus1 luce obscurissima1 qu c]ni vix posset1 porrigebatur ad gradum usque duodecimum vel paulo ultra3 ut supra dictum e/4 ,s$ ,feb4 #i4 #aj ubi caput nudis oculis vid]i desi]at1 caudam gradus duos longam p] ,telescopium contemplatus sum4 ,porro si cauda oriretur ex refractione mat]i coele/is1 pro figura coelorum deflect]etur de ,solis oppositione1 deb]et deflexio illa 9 iisdem coeli regionibus 9 e&em semp] p>tem fi]i4 ,atqui ,cometa ,anni #afhj ,decemb4 #bh hora #h ,p4,m4 ,lond9i1 v]sabatur 9 ,piscium #h gr4 #da cum latitud9e boreali #bh gr4 #f'1 ,sole exi/5te 9 ,capricorni #ah gr4 #bf'4 ,et ,cometa ,anni #aegg ,dec4 #bi4 v]sabatur 9 ,piscium #h gr4 #da' cum latitud9e boreali #bh gr4 #dj'4 ,sole etiam exi/5te 9 ,capricorni #ah gr4 #bf' circit]4 ,utroque 9 casu ,t]ra v]sabatur 9 eodem loco ,cometa app>ebat 9 eadem coeli p>te3 9 priori tam5 casu cauda ,comet 7ex meis aliorum obs]vationibus7 decl9abat angulo graduum #d ab oppositione ,solis ,aquilonem v]sus2 9 po/]iore v] 7ex ,obs]vationibus ,ty*onis7 decl9atio erat graduum #ba 9 au/rum4 ,igitur repudiata coelorum refractione1 sup]e/ ut ,phnom5a ,caud>um ex mat]ia aliqua reflect5te d]iv5tur4 ,caudas autem capitibus oriri 9 regiones ,sole av]sas asc5d]e confirmatur ex legibus quas obs]vant4 ,ut quod 9 planis orbium ,comet>um p] ,solem transeuntibus jac5tes1 deviant ab oppositione ,solis 9 eas semp] p>tes quas capita 9 orbibus illis progr$i5tia rel9quunt4 ,quod spectatori 9 8 planis con/ituto app>5t 9 p>tibus ,sole direct av]sis2 digr$i5te autem spectatore de 8 planis1 deviatio paulatim s5titur1 indies app>et major4 ,quod deviatio ct]is p>ibus m9or e/ ubi cauda obliquior e/ ad orbem ,comet1 ut ubi caput ,comet ad ,solem propius acc$it2 prs]tim si spectetur deviationis angulus juxta caput ,comet4 ,prt]ea quod caud non deviantes app>5t rect1 deviantes autem incurvantur4 ,quod curvatura major e/ ubi major e/ deviatio1 magis s5sibilis ubi cauda ct]is p>ibus longior e/3 nam 9 brevioribus curvatura gre animadv]titur4 ,quod deviationis angulus m9or e/ juxta caput ,comet1 major juxta caud extremitatem alt]am1 atque ade quod cauda convexo sui lat]e p>tes respicit quibus fit deviatio1 quque 9 rect sunt l9e ,sole p] caput ,comet 9 inf9itum duct4 ,et quod caud qu prolixiores sunt latiores1 luce vegetiore micant1 s9t ad lat]a convexa paul spl5didiores limite m9us indi/9cto t]m9at quam ad concava4 ,p5d5t igitur ,phnom5a caud motu capitis1 non autem regione coeli 9 qua caput conspicitur2 propt]ea non fiunt p] refractionem coelorum1 s$ capite supp$itante mat]iam oriuntur4 ,et5im ut 9 a]e no/ro fumus corporis cujusvis igniti petit sup]iora1 idque vel p]p5dicul>it] si corpus quiescat1 vel obliqu si corpus moveatur 9 latus2 ita 9 coelis ubi corpora gravitant 9 ,solem1 fumi vapores asc5d]e deb5t ,sole 7uti jam dictum e/7 sup]iora vel rect pet]e1 si corpus fumans quiescit2 vel obliqu1 si corpus progr$i5do loca semp] des]it quibus sup]iores vaporis p>tes asc5d]ant4 ,et obliquitas i/a m9or erit ubi asc5sus vaporis velocior e/3 nimirum 9 vic9ia ,solis juxta corpus fumans4 ,ex obliquitatis autem div]sitate incurvabitur vaporis columna3 quia vapor 9 column lat]e prc$5te paulo rec5tior e/1 ideo etiam is ibidem aliquanto d5sior erit1 lucemque propt]ea copiosius reflectet1 limite m9us indi/9cto t]m9abitur4 ,de caud>um agitationibus subitaneis inc]tis1 deque e>um figuris irregul>ibus1 quas nonnulli qu&oque describunt1 hic nihil adjicio2 propt]ea quod vel mutationibus a]is no/ri1 motibus nubium caudas aliqua ex p>te obscurantium oriantur2 vel =te p>tibus ,vi ,lacte1 qu cum caudis prt]euntibus confundi poss9t1 ac tanquam e>um p>tes spect>i4 ,vapores autem1 qui spatiis tam imm5sis impl5dis sufficiant1 ex ,comet>um ,atmosphris oriri posse1 intelligetur ex r>itate a]is no/ri4 ,nam a] juxta sup]ficiem ,t]r spatium occupat quasi #hej vicibus majus quam aqua ejusdem pond]is1 ideoque a]is columna ,cyl9drica p$es #hej alta ejusdem e/ pond]is cum aqu columna p$ali latitud9is ejusdem4 ,columna autem a]is ad summitatem ,atmosphr assurg5s quat pond]e suo columnam aqu p$es #cc altam circit]2 propt]ea si column totius a]e p>s inf]ior p$um #hej altitud9is dematur1 p>s reliqua sup]ior quabit pond]e suo columnam aqu altam p$es #cb4 ,inde v] 7ex ,hypo!si multis exp]im5tis confirmata1 quod compresso a]is sit ut pondus ,atmosphr incumb5tis1 quodque gravitas sit reciproce ut quadratum di/anti locorum c5tro ,t]r7 computationem p] ,corol4 ,prop4 ,,xxii4 ,lib4 ,,ii4 ineundo1 inv5i quod a]1 si asc5datur sup]ficie ,t]r ad altitud9em semidiametri unius t]re/ris1 r>ior sit qum apud nos 9 ratione longe majori1 qum spatii omnis infra orbem ,saturni ad globum diametro digiti unius descriptum4 ,ideoque globus a]is no/ri digitum unum latus1 ea cum r>itate quam hab]et 9 altitud9e semidiametri unius t]re/ris1 impl]et omnes ,planet>um regiones ad usque sphram ,saturni longe ultra4 ,pro9de cum a] adhuc altior 9 imm5sum r>escat2 coma seu ,atmosphra ,comet1 asc5d5do ab illius c5tro1 quasi decuplo altior sit qum sup]ficies nuclei1 de9de cauda adhuc altius asc5dat1 debebit cauda esse qum r>issima4 ,et quamvis1 ob longe crassiorem ,comet>um ,atmosphram1 magnamque corporum gravitationem ,solem v]sus1 gravitationem p>ticul>um ,a]is vaporum 9 se mutuo1 fi]i possit ut a] 9 spatiis coele/ibus inque ,comet>um caudis non adeo r>escat2 p]exiguam tam5 quantitatem a]is vaporum ad omnia illa caud>um phnom5a abunde suffic]e ex hac computatione p]spicuum e/4 ,nam caud>um insignis r>itas colligitur ex a/ris p] eas transluc5tibus4 ,atmosphra t]re/ris luce ,solis spl5d5s1 crassitud9e sua paucorum milli>ium1 a/ra omnia ipsam ,lunam obscurat ext+uit p5itus3 p] imm5sam v] caud>um crassitud9em1 luce p>it] ,sol>i illu/ratam1 a/ra m9ima absque cl>itatis detrim5to transluc]e noscuntur4 ,neque major esse solet caud>um plurim>um spl5dor1 quam a]is no/ri 9 t5ebroso cubiculo latitud9e digiti unius duorumve1 lucem ,solis 9 jub>e reflect5tis4 ,quo tempore vapor capite ad t]m9um caud asc5dit1 cognosci f]e pote/ duc5do rectam t]m9o caud ad ,solem1 not&o locum ubi recta illa ,trajectoriam secat4 ,nam vapor 9 t]m9o caud1 si rect asc5dat ,sole1 asc5d]e cpit capite quo tempore caput erat 9 loco int]sectionis4 ,at vapor non rect asc5dit ,sole1 s$ motum ,comet1 quem ante asc5sum suum habebat1 ret95do1 cum motu asc5sus sui eundem compon5do1 asc5dit oblique4 ,unde v]ior erit ,problematis solutio1 ut recta illa qu orbem secat1 p>allela sit longitud9i caud1 vel potius 7ob motum curvil9eum ,comet7 ut eadem l9ea caud div]gat4 ,hoc pacto inv5i quod vapor qui erat 9 t]m9o caud ,jan4 #be4 asc5d]e cp]at capite ante ,decemb4 #aa4 adeoque asc5su suo toto dies plus #de consumps]at4 ,at cauda illa omnis qu ,dec4 #aj4 app>uit1 asc5d]at spatio di]um illorum duorum1 qui tempore p]ihelii ,comet elapsi fu]ant4 ,vapor igitur sub initio 9 vic9ia ,solis cel]rim asc5debat1 po/ea cum motu p] gravitatem suam semp] ret>dato asc5d]e p]gebat2 asc5d5do augebat longitud9em caud3 cauda autem quamdiu app>uit ex vapore f]e omni con/abat qui tempore p]ihelii asc5d]at2 vapor1 qui primus asc5dit1 t]m9um caud composuit1 non prius evanuit qum ob nimiam suam tam ,sole illu/rante quam ab oculis no/ris di/antiam vid]i desiit4 ,unde etiam caud ,comet>um aliorum qu breves sunt1 non asc5dunt motu cel]i p]petuo capitibus mox evanescunt1 s$ sunt p]man5tes vaporum exhalationum column1 capitibus l5tissimo multorum di]um motu propagat1 qu1 p>ticip&o motum illum capitum quem habu]e sub initio1 p] coelos una cum capitibus mov]i p]gunt4 ,et h9c rursus colligitur spatia cle/ia vi resi/5di de/itui2 utpote 9 quibus non solum solida ,planet>um ,comet>um corpora1 s$ etiam r>issimi caud>um vapores motus suos velocissimos lib]rim p]agunt ac diutissim cons]vant4 ,asc5sum caud>um ex ,atmosphris capitum progressum 9 p>tes ,sole av]sas ,kepl]us ascribit actioni radiorum lucis mat]iam caud secum rapi5tium4 ,et auram longe t5uissimam 9 spatiis lib]rimis actioni radiorum c$]e1 non e/ ratione prorsus ali5um1 non ob/ante quod sub/anti crass1 imp$itissimis 9 regionibus no/ris1 radiis ,solis s5sibilit] propelli nequeant4 ,alius p>ticulas tam leves quam graves d>i posse exi/imat1 mat]iam caud>um levit>e1 p]que levitatem suam ,sole asc5d]e4 ,cm autem gravitas corporum t]re/rium sit ut mat]ia 9 corporibus1 ideoque s]vata quantitate mat]i int5di remitti nequeat1 suspicor asc5sum illum ex r>efactione mat]i caud>um potius oriri4 ,asc5dit fumus 9 cam9o impulsu a]is cui innatat4 ,a] ille p] calorem r>efactus asc5dit1 ob dim9utam suam gravitatem specificam1 fumum implicatum rapit secum4 ,quidni cauda ,comet ad eundem modum asc5d]it ,sole8 ,nam radii ,sol>es non agitant ,m$ia qu p]meant1 nisi 9 reflexione refractione4 ,p>ticul reflect5tes ea actione calefact calefaci5t auram !ream cui implicantur4 ,illa calore sibi communicato r>efiet1 ob dim9utam ea r>itate gravitatem suam specificam qua prius t5debat 9 ,solem1 asc5det secum rapiet p>ticulas reflect5tes ex quibus cauda componitur3 ,ad asc5sum vaporum conducit etiam quod hi gyrantur circa ,solem ea actione conantur ,sole rec$]e1 at ,solis ,atmosphra mat]ia coelorum vel plane quiescit1 vel motu solo quem ,solis rotatione accep]9t1 t>dius gyratur4 ,h sunt caus asc5sus caud>um 9 vic9ia ,solis1 ubi orbes curviores sunt1 ,comet intra d5siorem ea ratione graviorem ,solis ,atmosphram consi/unt1 caudas qum longissimas mox emittunt4 ,nam caud qu tunc nascuntur1 cons]v&o motum suum int]ea v]sus ,solem gravit&o1 movebuntur circa ,solem 9 ,ellipsibus pro m capitum1 p] motum illum capita semp] comitabuntur iis lib]rim adhrebunt4 ,gravitas enim vaporum 9 ,solem non magis efficiet ut caud po/ea decidant capitibus ,solem v]sus1 quam gravitas capitum effic]e possit ut hc decidant caudis4 ,communi gravitate vel simul 9 ,solem cadunt1 vel simul 9 asc5su suo ret>dabuntur1 adeoque gravitas illa non imp$it1 quo m9us caud capita positionem quamcunque ad invicem causis jam descriptis aut aliis quibuscunque facillim accipiant po/ea lib]rime s]v5t4 ,caud igitur qu ,comet>um p]iheliis nascuntur1 9 regiones long9quas cum eorum capitibus abibunt1 vel inde po/ longam annorum s]iem cum iisdem ad nos r$ibunt1 vel potius ibi r>efacti paulatim evanesc5t4 ,nam po/ea 9 desc5su capitum ad ,solem caud nov breviuscul l5to motu capitibus propag>i debebunt1 sub9de1 9 ,p]iheliis ,comet>um illorum qui adusq2 ,atmosphram ,solis desc5dunt1 9 imm5sum aug]i4 ,vapor enim 9 spatiis illis lib]rimis p]petu r>escit ac dilatatur4 ,qua ratione fit ut cauda omnis ad extremitatem sup]iorem latior sit quam juxta caput ,comet4 ,ea autem r>efactione vaporem p]petuo dilatatum diffundi t&em sp>gi p] coelos univ]sos1 de9de paulatim 9 ,planetas p] gravitatem suam attrahi cum eorum ,atmosphris misc]i rationi cons5taneum videtur4 ,nam quemadmodum ,m>ia ad con/itutionem ,t]r hujus omn9o requiruntur1 idque ut ex iis p] calorem ,solis vapores copiose satis excit5tur1 qui vel 9 nubes coacti decidant 9 pluviis1 t]ram omnem ad procreationem vegetabilium irrig5t nutriant2 vel 9 frigidis montium v]ticibus cond5sati 7ut aliqui cum ratione philosophantur7 decurrant 9 fontes flum9a3 sic ad cons]vationem m>ium humorum 9 ,planetis ,comet requiri vid5tur2 ex quorum exhalationibus vaporibus cond5satis1 quicquid liquoris p] vegetationem putrefactionem consumitur 9 t]ram aridam conv]titur1 cont9u suppl]i refici possit4 ,nam vegetabilia omnia ex liquoribus omn9o crescunt1 de9 magna ex p>te 9 t]ram aridam p] putrefactionem abeunt1 limus ex liquoribus putrefactis p]petu decidit4 ,h9c moles ,t]r arid indies augetur1 liquores1 nisi aliunde augm5tum sum]5t1 p]petu decresc]e deb]5t1 ac t&em defic]e4 ,porr suspicor spiritum illum1 qui a]is no/ri p>s m9ima e/ s$ subtilissima optima1 ad r]um omnium vitam requiritur1 ex ,cometis prcipue v5ire4 ,atmosphr ,comet>um 9 desc5su eorum 9 ,solem excurr5do 9 caudas dim9uuntur1 7ea c]te 9 p>te qu ,solem respicit7 angu/iores r$duntur3 vicissim 9 recessu eorum ,sole1 ubi jam m9us excurrunt 9 caudas1 ampliantur2 si mod ,phnom5a eorum ,hevelius recte notavit4 ,m9im autem app>5t ubi capita jam modo ad ,solem calefacta 9 caudas maximas fulg5tissimas abi]e1 nuclei fumo =san crassiore nigriore 9 ,atmosphr>um p>tibus infimis circundantur4 ,nam fumus omnis +5ti calore excitatus crassior nigrior esse solet4 ,sic caput ,comet de quo egimus1 9 qualibus ,sole ac ,t]r di/antiis1 obscurius app>uit po/ p]ihelium suum quam antea4 ,m5se enim ,decem4 cum /ellis t]ti magnitud9is conf]ri solebat1 at ,m5se ,novem4 cum /ellis prim secund4 ,et qui utrumq2 vid]ant1 majorem describunt ,cometam priorem4 ,nam ,juv5i cuidam ,cantabrigi5si ,novem4 #ai4 ,cometa hicce luce sua quantumvis plumbea obtusa quabat ,spicam ,virg9is1 cl>ius micabat qum po/ea4 ,et ,d4 ,/or] lit]is qu 9 manus no/ras incidre1 scripsit caput ejus ,m5se ,decembri1 ubi caudam maximam fulg5tissimam emittebat1 p>vum esse magnitud9e visibili longe c$]e ,comet qui ,m5se ,novembri ante ,solis ortum app>u]at4 ,cujus rei rationem esse conjectabatur quod mat]ia capitis sub initio copiosior esset paulatim consum]etur4 ,eodem spect>e videtur quod capita ,comet>um aliorum1 qui caudas maximas fulg5tissimas emis]unt1 describantur subobscura exigua4 ,nam ,anno #affh ,m>t4 #e4 ,/4 nov4 hora septima ,vesp4 ,r4 ,p4 ,val5t9us ,e/ancius1 ,brasili ag5s1 ,cometam vidit ,horizonti proximum ad occasum ,solis brumalem1 capite m9imo vix conspicuo1 cauda v] supra modum fulg5te1 ut /antes 9 littore speciem ejus mati reflexam facil c]n]5t4 ,speciem utique habebat trabis spl5d5tis longitud9e #bc graduum1 ab occid5te 9 au/rum v]g5s1 ,horizonti f]e p>allela4 ,tantus autem spl5dor tres solum dies durabat1 sub9de notabilit] decresc5s2 int]ea decresc5te spl5dore aucta e/ magnitud9e cauda4 ,unde etiam 9 ,portugallia qu>tam f]e coeli p>tem 7id e/ gradus #de7 occupasse dicitur1 ab occid5te 9 ori5tem spl5dore cum insigni prot5sa2 nec tam5 tota app>uit1 capite semp] 9 8 regionibus infra ,horizontem delitesc5te4 ,ex increm5to caud decrem5to spl5doris manife/um e/ quod caput ,sole recessit1 eique proximum fuit sub initio1 pro m ,comet anni #afhj4 ,et similis legitur ,cometa anni #aaja vel #aajf1 cujus ,/ella erat p>va obscura 7ut ille anni #afhj7 s$ spl5dor qui ex ea exivit valde cl>us quasi +5s trabs ad ori5tem ,aquilonem t5debat1 ut habet ,hevelius ex ,simeone ,dunelm5si ,mona*o4 ,app>uit initio ,m5sis ,feb4 circa vesp]am ad occasum ,solis brumalem4 ,inde v] ex situ caud colligitur caput fuisse ,soli vic9um4 ,a ,sole1 inquit ,mat?u ,p>isi5sis1 di/abat quasi cubito uno1 ab hora t]tia rectius sexta usque ad horam nonam radium ex se longum emitt5s4 ,talis etiam erat ard5tissimus ille ,cometa ab ,ari/otele descriptus ,lib4 #a4 ,meteor4 #f4 cujus caput primo die non conspectum e/1 eo quod ante ,solem vel saltem sub radiis sol>ibus occidisset1 sequ5te v] die quantum potuit visum e/4 ,nam quam m9im fi]i pote/ di/anti ,solem reliquit1 mox occubuit4 ,ob nimium ardorem caud scilicet nondum app>ebat capitis sp>sus ignis1 s$ proc$5te tempore 7ait ,ari/oteles7 cum cauda jam m9us flagr>et1 r$dita e/ capiti ,comet sua facies4 ,et spl5dorem suum ad t]tiam usque coeli p>tem id e/ ad #fj gr4 ext5dit4 ,app>uit autem tempore hyb]no1 asc5d5s usque ad c+ulum ,orionis ibi evanuit4 ,cometa ille anni #afah1 qui radiis ,sol>ibus caudatissimus em]sit1 /ellas prim magnitud9is qu>e vel paulo sup]>e videbatur1 s$ majores app>u]e ,comet non pauci qui caudas breviores habu]e4 ,horum aliqui ,jovem1 alii ,v5]em vel etiam ,lunam quasse traduntur4 ,diximus ,cometas esse g5us ,planet>um 9 ,orbibus valde exc5tricis circa ,solem revolv5tium4 ,et quemadmodum ,planetis non caudatis1 m9ores esse sol5t qui 9 orbibus m9oribus ,soli proprioribus gyrantur1 sie etiam ,cometas1 qui 9 ,p]iheliis suis ad ,solem propius acc$unt1 ut plurimum m9ores esse 9 orbibus m9oribus revolvi rationi cons5taneum videtur4 ,orbium v] transv]sas diametros revolutionum tempora p]iodica ex collatione ,comet>um 9 iisdem orbibus po/ longa temporum int]valla r$euntium det]m9&a rel9quo4 ,int]ea huic negotio ,propositio sequ5s ,lum5 acc5d]e pote/4 ,prop4 ,,xlii4 ,prob4 ,,xxi4 ,trajectoriam ,comet graphic inv5tam corrig]e4 ,op]4 #a4 ,assumatur positio plani ,trajectori1 p] ,propositionem sup]iorem graphic inv5ta2 seligantur tria loca ,comet obs]vationibus accuratissimis def9ita1 ab invicem quam maxim di/antia2 sitque ,a tempus int] primam secundam1 ac ,b tempus int] secundam ac t]tiam4 ,cometam autem 9 eorum aliquo 9 ,p]igo v]s>i conv5it1 vel saltem non longe ,p]igo abesse4 ,ex 8 locis app>5tibus inv5iantur p] op]ationes ,trigonometricas loca tria v]a ,comet 9 assumpto illo plano ,trajectori4 ,de9de p] loca illa inv5ta1 circa c5trum ,solis ceu umbilicum1 p] op]ationes ,ari?meticas1 ope ,prop4 ,,xxi4 ,lib4 ,i4 in/itutas1 describatur ,sectio ,conica3 ejus are1 radiis ,sole ad loca inv5ta ductis t]m9at1 sunto ,d ,e2 nempe ,d area int] obs]vationem primam secundam1 ,e area int] secundam ac t]tiam4 ,sitque ,t tempus totum quo area tota ,d ,e1 velocitate ,comet p] ,prop4 ,,xvi4 ,lib4 ,i4 inv5ta1 describi debet4 ,op]4 #b4 ,augeatur longitudo ,nodorum ,plani ,trajectori1 additis ad longitud9em illam #bj' vel #cj'1 qu dicantur ,p2 s]vetur plani illius incl9atio ad planum ,ecliptic4 ,de9de ex prdictis tribus ,comet locis obs]vatis inv5iantur 9 hoc novo plano loca tria v]a 7ut supra73 de9de etiam orbis p] loca illa transi5s1 ejusdem are du int] obs]vationes descript1 qu s9t d e1 nec non tempus totum t quo area tota d e describi debeat4 ,op]4 #c4 ,s]vetur ,longitudo ,nodorum 9 op]atione prima1 augeatur incl9atio ,plani ,trajectori ad planum ,ecliptic1 additis ad incl9ationem illam #bj' vel #cj'1 qu dicantur ,q4 ,de9de ex obs]vatis prdictis tribus ,comet locis app>5tibus1 inv5iantur 9 hoc novo ,plano loca tria v]a1 ,orbisque p] loca illa transi5s1 ut ejusdem are du int] obs]vationes descript1 qu s9t delta epsilon1 tempus totum tau quo area tota delta epsilon describi debeat4 ,jam sit ,c ad #a ut ,a ad ,b1 ,g ad #a ut ,d ad ,e1 g ad #a ut d ad e1 gamma ad #a ut delta ad epsilon2 sitque ,s tempus v]um int] obs]vationem primam ac t]tiam2 signis - probe obs]vatis qurantur num]i m n1 ea lege ut sit ,g - ,c m,g - mg n,g - ngamma1 ,t - ,s quale m,t - mt n,t - ntau4 ,et si1 9 op]atione prima1 ,i designet incl9ationem plani ,trajectori ad planum ,ecliptic1 ,k longitud9em ,nodi alt]utrius3 erit ,i n,q v]a incl9atio ,plani ,trajectori ad ,planum ,ecliptic1 ,k m,p v]a longitudo ,nodi4 ,ac d5ique si 9 op]atione prima1 secunda ac t]tia1 quantitates ,r1 r rho design5t ,lat]a recta ,trajectori1 quantitates #a ,l1 #a l1 #a lambda ejusdem ,lat]a transv]sa respectiv3 erit ,r mr - m,r nrho - n,r v]um ,latus rectum1 #a ,l ml - m,l nlambda - n,l v]um ,latus transv]sum ,trajectori qum ,cometa describit4 ,dato autem ,lat]e transv]so datur etiam tempus p]iodicum ,comet4 ,q4 ,e4 ,i4 99 99 99 99 99 ,,f9is4 99 99 99 99 99 ,corrections made to pr9t$ orig9al4 7,! ,errata ( ! pr9t$ orig9al h be5 incorporat$ 9 ! ma9 text7 p4 #f4 ,,iv4 cum ,velocitate p>tium #ajjaj3 ',volocitate' 9 orig9al4 p4 #af4 diff]5ti contr>iorum #ag - #a #ah - #b3 'contr>io-' at end ( page 9 orig9al1 ! 'rum' is only 9 ! cat*word4 p4 #aa4 ,at si att5d]etur ad filum3 'att5d]atur' 9 orig9al4 p4 #bb4 si corpora ibant ad e&em plagam3 'e&am' 9 orig9al4 p4 #bg4 ,lemma ,,ii4 curva ac,e compreh5sa3 ',ac,e' 9 orig9al4 ibid4 ,lemma ,,iii4 ubi p>allelogrammorum latitud9es3 'p>allelogramomrum' 9 orig9al4 p4 #ed4 occurr5tem tum diametro ,,ypg3 'occur5tem' 9 orig9al4 p4 #ff4 ad illius umbilicorum int]vallum3 'il-ius' on l9e break 9 orig9al4 p4 #fi4 9 secundo casu abeunte 9 inf9itum3 'abeun-9' on l9e break 9 orig9al4 p4 #gg4 ,lemma ,,xxi4 describ5t sectionem ,conicam3 'sec-ionem' 9 orig9al1 across page break3 ! cat*word has ! miss+ t4 p4 #gi4 ,prob4 ,,xiv4 occurr5tes 9 ,t ,r3 'occur5tes' 9 orig9al4 p4 #ajf4 sic 9 inf9itum43 'inf9ium' 9 orig9al4 p4 #aab4 ,cognoscatur etiam angulus tempori proportionalis3 'porportionalis' 9 orig9al4 ibid4 ,po/ea capiatur tum angulus ,f ad angulum ,b3 'augulus ,f' 9 orig9al4 p4 #aac4 ,asymptotos ,,ck3 ',asymtotos' 9 orig9al4 p4 #adf4 pro ratione di/anti>um quales viribus quibus corpora unaquaq2 trahuntur3 'undiquaq2' 9 orig9al4 p4 #agf4 ,corol4 #b4 ultimo 9 consequ5tia transeundo a ,b ad ,c3 'conseq5tia' 9 orig9al4 p4 #ahj4 augetq2 ,exc5tricitatem ,ellipseos3 ',ellipsieos' 9 orig9al4 p4 #ahd4 non mutantur motus ,augis ,nodorum s5sibilit]3 's5sibilitur' 9 orig9al4 p4 #bai4 erit attractio corpusculi ,p 9 circulum ut #a ,,pan-#b - ,,pa ,,phn-#a43 ,fir/ t]m '#a ,,pan-#a' 9 orig9al4 p4 #bbb4 ,et p>i ratione3 'p>i-' at end ( l9e 9 orig9al4 p4 #bbf4 resolvo 9 ,s]iem inf9itam 444 m n ,,oa4443 'n m' 9 orig9al4 p4 #bed4 ,prop4 ,,viii4 spatium totum descriptum di/+uatur3 'descriptnm' 9 orig9al4 p4 #bga4 ,reg4 #g4 det]m9&i hanc ,hyp]bolam ex ,phnom5is3 ',phnom9is' 9 orig9al4 ibid4 9 angulis div]sis ,,hak1 h,ak3 ,! second 'h,a,k' 9 orig9al4 p4 #bgb4 ,reg4 #h4 qu>um ,,ac deorsum t5dat3 't&at' 9 orig9al4 p4 #bid4 ,corol4 #d4 p> e/ ratio omnium ejusdem magnitud9is3 'magitud9is' 9 orig9al4 p4 #big4 d5sitates ,,ah1 ,,dl1 ,,qt erunt cont9ue proportionales3 ,la/ reads ',,qo' 9 orig9al - ! po9t ne> ,q 0 m>k$ ,o 9 orig9al b *ang$ by to ,t errata4 p4 #cjf4 ,corol4 accel]abatur 9 desc5su3 'des5su' 9 orig9al4 p4 #cab4 ,!or4 ,,xxiii4 9 arcuum eorundem semisummam3 'eorundam' 9 orig9al4 p4 #cbj4 ,corol4 #b4 aug]5tur 9 duplicata ratione velocitatis3 'aug]5t]' 9 orig9al4 p4 #cca4 ,et si quales illi motus applic5tur3 'applic5t]' 9 orig9al4 p4 #cdj4 ita ut asc5su ultimo describ]et3 'describ>et' 9 orig9al4 p4 #cda4 ut #j1jjjbjig,v #j1jjjhiee,v#c_/b 4443 ,expon5t '#b_/c' 9 orig9al4 p4 #cde4 id e/ #g ad #b_/c3 '#g ad #c_/b' 9 orig9al4 p4 #cff4 vim suam ela/icam m$iocrem3 'm$io-' at end ( l9e 9 orig9al1 'crem' miss+4 p4 #dje4 ,prop4 ,,ii4 ,!or4 ,,ii4 7p] ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlv4 ,lib4 ,i473 ',coral' 9 orig9al4 p4 #dah4 sit ad semidiametrum ,solis 9 eadem ratione circit]3 'sem$iametrum' 9 orig9al4 p4 #dcb4 alt]um 9 ,hemisphrio opposito3 ',hmisphrio' 9 orig9al4 p4 #deh4 ,corol4 #b4 9 revolutione puncti p g5]at>um3 'g5et>um' 9 orig9al4 p4 #dhj4 ,corol4 #a4 9 ratione sesquialt]a3 'sequialt]a' 9 orig9al4 p4 #dhb4 ,cas4 #b4 r 9 ,,sl s1 s 9 ,,sm t3 'r 9 ,,sl ,s1 ,s 9 ,,sm t' 9 orig9al4 p4 #dhg4 ,prob4 ,,xx4 summa temporum ad dies plus m9us sexc5tos3 'tempo-porum' on l9e break 9 orig9al4 p4 #ejd4 asc5d5do augebat longitud9em caud3 'longi-d9em' on l9e break 9 orig9al4 p4 #ejf4 ad procreationem vegetabilium irrig5t nutriant3 'vegitabilium' 9 orig9al4 p4 #ejg4 luce sua quantumvis plumbea3 'quamtumvis' 9 orig9al4