,transcriber's note3 ,a few typographical errors have been corrected3 they are listed at the end of the text4 ,braces are inserted by the ,transcriber to clarify the meaning of maths expressions4 ,overlining is the method of grouping used in the original and is marked like this4 ,in ,lib4 ,i4 ,lemma ,,xviii4 ,,xx4 r is upright r distinguished from italics1 in ,lemma ,,xviii4 s is long-s distinguished from short-s1 and in ,prop4 ,,xxii4 ,d is small-caps distinguished from normal font size4 99 99 99 99 99 ,,philosophi ,,naturalis ,,principia ,,mathematica 99 99 99 99 99 ,autore ,,is4 ,,newton1 ,trin4 ,coll4 ,cantab4 ,soc4 ,matheseos ,professore ,lucasiano1 ,societatis ,regalis ,sodali4 99 99 99 99 99 ,,imprimatur4 ,s4 ,,pepys1 ,reg4 ,soc4 ,,pr,,ses4 ,julii #e4 #afhf4 99 99 99 99 99 ,,londini1 ,jussu ,societatis ,regi ac ,typis ,josephi ,streater4 ,prostat apud plures ,bibliopolas4 ,anno ,,mdclxxxvii4 99 99 99 99 99 ,,illustrissim ,,societati ,,regali a ,serenissimo ,,rege ,,carolo ,,ii4 ,,ad ,,philosophiam ,,promovendam ,,fundat1 ,,et ,,auspiciis ,,potentissimi ,,monarch ,,jacobi ,,ii4 ,,florenti4 ,tractatum hunc humillime ,d4,d4,d4 ,,is4 ,,newton4 99 99 99 99 99 ,,pr,,fatio ,,ad ,,lectorem4 ,cum ,veteres ,mechanicam 7uti ,author est ,pappus7 in verum ,naturalium investigatione maximi fecerint1 recentiores1 missis formis substantialibus qualitatibus occultis1 ,phnomena ,natur ad leges ,mathematicas revocare aggressi sint3 ,visum est in hoc ,tractatu ,mathesin excolere quatenus ea ad ,philosophiam spectat4 ,mechanicam vero duplicem ,veteres constituerunt3 ,rationalem qu per ,demonstrationes accurate procedit1 ,practicam4 ,ad practicam spectant ,artes omnes ,manuales1 a quibus utiq2 ,mechanica nomen mutuata est4 ,cum autem ,artifices parum accurate operari soleant1 fit ut ,mechanica omnis a ,geometria ita distinguatur1 ut quicquid accuratum sit ad ,geometriam referatur1 quicquid minus accuratum ad ,mechanicam4 ,attamen errores non sunt ,artis sed ,artificum4 ,qui minus accurate operatur1 imperfectior est ,mechanicus1 si quis accuratissime operari posset1 hic foret ,mechanicus omnium perfectissimus4 ,nam ,linearum rectarum ,circulorum descriptiones in quibus ,geometria fundatur1 ad ,mechanicam pertinent4 ,has lineas describere ,geometria non docet sed postulat4 ,postulat enim ut ,tyro easdem accurate describere prius didicerit quam limen attingat ,geometri2 dein1 quomodo per has operationes ,problemata solvantur1 docet4 ,rectas circulos describere ,problemata sunt sed non ,geometrica4 ,ex ,mechanica postulatur horum solutio1 in ,geometria docetur solutorum usus4 ,ac gloriatur ,geometria quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa prstet4 ,fundatur igitur ,geometria in praxi ,mechanica1 nihil aliud est quam ,mechanic universalis pars illa qu artem mensurandi accurate proponit ac demonstrat4 ,cum autem artes ,manuales in corporibus movendis prcipue versentur1 fit ut ,geometria ad magnitudinem1 ,mechanica ad motum vulgo reseratur4 ,quo sensu ,mechanica rationalis erit ,scientia ,motuum qui ex viribus quibuscunq2 resultant1 virium qu ad motus quoscunq2 requiruntur1 accurate proposita ac demonstrata4 ,pars hc ,mechanic a ,veteribus in ,potentiis quinque ad artes manuales spectantibus exculta fuit1 qui ,gravitatem 7cum potentia manualis non sit7 vix aliter quam in ponderibus per potentias illas movendis considerarunt4 ,nos autem non ,artibus sed ,philosophi consulentes1 deq2 potentiis non manualibus sed naturalibus scribentes1 ea maxime tractamus qu ad ,gravitatem1 levitatem1 vim ,elasticam1 resistentiam ,fluidorum ejusmodi vires seu attractivas seu impulsivas spectant3 ,et ea propter hc nostra tanquam ,philosophi principia ,mathematica proponimus4 ,omnis enim ,philosophi difficultas in eo versari videtur1 ut a ,phnomenis motuum investigemus vires ,natur1 deinde ab his viribus demonstremus phnomena reliqua4 ,et hac spectant ,propositiones generales quas ,libro primo secundo pertractavimus4 ,in ,libro autem tertio exemplum hujus rei proposuimus per explicationem ,systematis mundani4 ,ibi enim1 ex phnomenis clestibus1 per ,propositiones in ,libris prioribus ,mathematice demonstratas1 derivantur vires gravitatis quibus corpora ad ,solem ,planetas singulos tendunt4 ,deinde ex his viribus per ,propositiones etiam ,mathematicas deducuntur motus ,planetarum1 ,cometarum1 ,lun ,maris4 ,utinam ctera ,natur phnomena ex principiis ,mechanicis eodem argumentandi genere derivare liceret4 ,nam multa me movent ut nonnihil suspicer ea omnia ex viribus quibusdam pendere posse1 quibus corporum particul per causas nondum cognitas vel in se mutuo impelluntur secundum figuras regulares cohrent1 vel ab invicem fugantur recedunt3 quibus viribus ignotis1 ,philosophi hactenus ,naturam frustra tentarunt4 ,spero autem quod vel huic ,philosophandi modo1 vel veriori alicui1 ,principia hic posita lucem aliquam prbebunt4 ,in his edendis1 ,vir acutissimus in omni literarum genere eruditissimus ,edmundus ,halleius operam navavit1 nec solum ,typothetarum ,sphalmata correxit ,schemata incidi curavit1 sed etiam ,author fuit ut horum editionem aggrederer4 ,quippe cum demonstratam a me figuram ,orbium clestium impetraverat1 rogare non destitit ut eadem cum ,societate ,regali communicarem1 ,qu deinde hortatibus benignis suis auspiciis effecit ut de eadem in lucem emittenda cogitare inciperem4 ,at postquam ,motuum ,lunarium inqualitates aggressus essem1 deinde etiam alia tentare cpissem qu ad leges mensuras ,gravitatis aliarum virium1 ad figuras a corporibus secundum datas quascunque leges attractis describendas1 ad motus corporum plurium inter se1 ad motus corporum in ,mediis resistentibus1 ad vires1 densitates motus ,mediorum1 ad ,orbes ,cometarum similia spectant1 editionem in aliud tempus differendam esse putavi1 ut ctera rimarer una in publicum darem4 ,qu ad motus ,lunares spectant1 7imperfecta cum sint17 in ,corollariis ,propositionis ,,lxvi4 simul complexus sum1 ne singula methodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere1 sigillatim demonstrare tenerer1 seriem reliquarum ,propositionum interrumpere4 ,nonnulla sero inventa locis minus idoneis inserere malui1 quam numerum ,propositionum citationes mutare4 ,ut omnia candide legantur1 defectus1 in materia tam difficili non tam reprehendantur1 quam novis ,lectorum conatibus investigentur1 benigne suppleantur1 enixe rogo4 99 99 99 99 99 ,,in ,,viri ,,pr,,stantissimi ,d4 ,,isaaci ,,newtoni ,,opus ,,hocce ,,mathematico-,,physicum ,sculi ,gentisque nostr ,decus egregium4 ,en tibi norma ,poli1 div libramina ,molis1 ,computus atque ,jovis2 quas1 dum primordia rerum ,pangeret1 omniparens ,leges violare ,creator ,noluit1 ternique operis fundamina fixit4 ,intima panduntur victi penetralia cli1 ,nec latet extremos qu ,vis circumrotat ,orbes4 ,sol solio residens ad se jubet omnia prono ,tendere descensu1 nec recto tramite currus ,sidereos patitur vastum per inane moveri2 ,sed rapit immotis1 se centro1 singula ,gyris4 ,jam patet horrificis qu sit via flexa ,cometis2 ,jam non miramur barbati ,phnomena ,astri4 ,discimus hinc tandem qua causa argentea ,phoebe ,passibus haud quis graditur2 cur subdita nulli ,hactenus ,astronomo numerorum frna recuset3 ,cur remeant ,nodi1 curque ,auges progrediuntur4 ,discimus quantis refluum vaga ,cynthia ,pontum ,viribus impellit1 dum fractis fluctibus ,ulvam ,deserit1 ac ,nautis suspectas nudat arenas2 ,alternis vicibus suprema ad littora pulsans4 ,qu toties animos veterum torsere ,sophorum1 ,quque ,scholas frustra rauco certamine vexant ,obvia conspicimus nubem pellente ,mathesi4 ,jam dubios nulla caligine prgravat error ,queis ,superum penetrare domos atque ardua ,coeli ,scandere sublimis ,genii concessit acumen4 ,surgite ,mortales1 terrenas mittite curas ,atque hinc coeligen vires dignoscite ,mentis ,a pecudum vita longe lateque remot4 ,qui scriptis jussit ,tabulis compescere ,cdes ,furta ,adulteria1 perjur crimina ,fraudis2 ,quive vagis populis circumdare moenibus ,urbes ,autor erat2 ,cererisve beavit munere gentes2 ,vel qui curarum lenimen pressit ab ,uva2 ,vel qui ,niliaca monstravit arundine pictos ,consociare sonos1 oculisque exponere ,voces2 ,humanam sortem minus extulit2 utpote pauca ,respiciens miser solummodo commoda vit4 ,jam vero ,superis conviv admittimur1 alti ,jura poli tractare licet1 jamque abdita coec ,claustra patent ,terr rerumque immobilis ordo1 ,et qu prteriti latuerunt scula mundi4 ,talia monstrantem mecum celebrate ,camnis1 ,vos qui coelesti gaudetis nectare vesci1 ,,newtonvm clausi reserantem scrinia ,veri1 ,,newtonvm ,musis charum1 cui pectore puro ,phoebus adest1 totoque incessit ,numine mentem3 ,nec fas est propius ,mortali attingere ,divos4 ,,edm4 ,,halley4 99 99 99 99 99 ,,philosophi ,,naturalis ,principia ,,mathematica4 99 99 99 99 99 ,definitiones4 99 99 99 99 99 ,def4 ,i4 ,quantitas ,materi est mensura ejusdem orta ex illius ,densitate ,magnitudine conjunctim4 ,aer duplo densior in duplo spatio quadruplus est4 ,idem intellige de ,nive et ,pulveribus per compressionem vel liquefactionem condensatis4 ,et par est ratio corporum omnium1 qu per causas quascunq2 diversimode condensantur4 ,medii interea1 si quod fuerit1 interstitia partium libere pervadentis1 hic nullam rationem habeo4 ,hanc autem quantitatem sub nomine corporis vel ,mass in sequentibus passim intelligo4 ,innotescit ea per corporis cujusq2 pondus4 ,nam ponderi proportionalem esse reperi per experimenta pendulorum accuratissime instituta1 uti posthac docebitur4 ,def4 ,,ii4 ,quantitas motus est mensura ejusdem orta ex ,velocitate et quantitate ,materi conjunctim4 ,motus totius est summa motuum in partibus singulis1 adeoq2 in corpore duplo majore quali cum ,velocitate duplus est1 et dupla cum ,velocitate quadruplus4 ,def4 ,,iii4 ,materi vis insita est potentia resistendi1 qua corpus unumquodq21 quantum in se est1 perseverat in statu suo vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum4 ,hc semper proportionalis est suo corpori1 neq2 differt quicquam ab inertia ,mass1 nisi in modo concipiendi4 ,per inertiam materi fit ut corpus omne de statu suo vel quiescendi vel movendi difficulter deturbetur4 ,unde etiam vis insita nomine significantissimo vis inerti dici possit4 ,exercet vero corpus hanc vim solummodo in mutatione status sui per vim aliam in se impressam facta1 estq2 exercitium ejus sub diverso respectu et ,resistentia et ,impetus3 ,resistentia quatenus corpus ad conservandum statum suum reluctatur vi impress2 ,impetus quatenus corpus idem1 vi resistentis obstaculi difficulter cedendo1 conatur statum ejus mutare4 ,vulgus ,resistentiam quiescentibus et ,impetum moventibus tribuit2 sed motus et quies1 uti vulgo concipiuntur1 respectu solo distinguuntur ab invicem1 neq2 semper vere quiescunt qu vulgo tanquam quiescentia spectantur4 ,def4 ,,iv4 ,vis impressa est actio in corpus exercita1 ad mutandum ejus statum vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum4 ,consistit hc vis in actione sola1 neq2 post actionem permanet in corpore4 ,perseverat enim corpus in statu omni novo per solam vim inerti4 ,est autem vis impressa diversarum originum1 ut ex ictu1 ex pressione1 ex vi centripeta4 ,def4 ,v4 ,vis centripeta est qua corpus versus punctum aliquod tanquam ad centrum trahitur1 impellitur1 vel utcunq2 tendit4 ,hujus generis est gravitas1 qua corpus tendit ad centrum ,terr3 ,vis magnetica1 qua ferrum petit centrum ,magnetis1 et vis illa1 qucunq2 sit1 qua ,planet perpetuo retrahuntur a motibus rectilineis1 et in lineis curvis revolvi coguntur4 ,est autem vis centripet quantitas trium generum1 absoluta1 acceleratrix et motrix4 ,def4 ,,vi4 ,vis centripet quantitas absoluta est mensura ejusdem major vel minor pro efficacia caus eam propagantis a centro per regiones in circuitu4 ,uti virtus ,magnetica major in uno magnete1 minor in alio4 ,def4 ,,vii4 ,vis centripet quantitas acceleratrix est ipsius mensura ,velocitati proportionalis1 quam dato tempore generat4 ,uti ,virtus ,magnetis ejusdem major in minori ,distantia1 minor in majori3 vel vis gravitans major in ,vallibus1 minor in cacuminibus praltorum montium 7ut experimento pendulorum constat7 atq2 adhuc minor 7ut posthac patebit7 in majoribus distantiis a ,terra2 in qualibus autem distantiis eadem undiq2 propterea quod corpora omnia cadentia 7gravia an levia1 magna an parva7 sublata ,aeris resistentia1 qualiter accelerat4 ,def4 ,,viii4 ,vis centripet quantitas motrix est ipsius mensura proportionalis motui1 quem dato tempore generat4 ,uti pondus majus in majori corpore1 minus in minore2 inq2 corpore eodem majus prope terram1 minus in clis4 ,hc vis est corporis totius centripetentia seu propensio in centrum 7ut ita dicam7 pondus1 innotescit semper per vim ipsi contrariam qualem1 qua descensus corporis impediri potest4 ,hasce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires absolutas1 acceleratrices motrices1 distinctionis gratia referre ad corpora1 ad corporum loca1 ad centrum virium3 ,nimirum vim motricem ad corpus1 tanquam conatum propensionem totius in centrum1 ex propensionibus omnium partium compositum2 vim acceleratricem ad locum corporis1 tanquam efficaciam quandam1 de centro per loca singula in circuitu diffusam1 ad movenda corpora qu in ipsis sunt2 vim autem absolutam ad centrum1 tanquam causa aliqua prditum1 sine qua vires motrices non propagantur per regiones in circuitu2 sive causa illa sit corpus aliquod centrale 7quale est ,magnes in centro vis ,magnetic vel ,terra in centro vis gravitantis7 sive alia aliqua qu non apparet4 ,mathematicus saltem est hic conceptus4 ,nam virium causas sedes physicas jam non expendo4 ,est igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad motum4 ,oritur enim quantitas motus ex celeritate ducta in quantitatem ,materi1 vis motrix ex vi acceleratrice ducta in quantitatem ejusdem materi4 ,nam summa actionum vis acceleratricis in singulas corporis particulas est vis motrix totius4 ,unde juxta ,superficiem ,terr1 ubi gravitas acceleratrix seu vis gravitans in corporibus universis eadem est1 gravitas motrix seu pondus est ut corpus3 at si in regiones ascendatur ubi gravitas acceleratrix fit minor1 pondus pariter minuetur1 eritq2 semper ut corpus in gravitatem acceleratricem ductum4 ,sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo minor est1 pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo vel sextuplo minus4 ,porro attractiones et impulsus eodem sensu acceleratrices motrices nomino4 ,voces autem attractionis1 impulsus vel propensionis cujuscunq2 in centrum1 indifferenter et pro se mutuo promiscue usurpo1 has vires non physice sed ,mathematice tantum considerando4 ,unde caveat lector ne per hujusmodi voces cogitet me speciem vel modum actionis causamve aut rationem physicam alicubi definire1 vel centris 7qu sunt puncta ,mathematica7 vires vere et physice tribuere1 si forte aut centra trahere1 aut vires centrorum esse dixero4 ,scholium4 ,hactenus voces minus notas1 quo in sensu in sequentibus accipiend sunt1 explicare visum est4 ,nam tempus1 spatium1 locum et motum ut omnibus notissima non definio4 ,dicam tamen quod vulgus quantitates hasce non aliter quam ex relatione ad sensibilia concipit4 ,et inde oriuntur prjudicia qudam1 quibus tollendis convenit easdem in absolutas relativas1 veras apparentes1 ,mathematicas et vulgares distingui4 ,i4 ,tempus absolutum verum ,mathematicum1 in se natura sua absq2 relatione ad externum quodvis1 quabiliter fluit1 alioq2 nomine dicitur ,duratio2 relativum apparens vulgare est sensibilis externa quvis ,durationis per motum mensura1 7seu accurata seu inquabilis7 qua vulgus vice veri temporis utitur2 ut ,hora1 ,dies1 ,mensis1 ,annus4 ,,ii4 ,spatium absolutum natura sua absq2 relatione ad externum quodvis semper manet similare immobile2 relativum est spatii hujus mensura seu dimensio qulibet mobilis1 qu a sensibus nostris per situm suum ad corpora definitur1 a vulgo pro spatio immobili usurpatur3 uti dimensio spatii subterranei1 aerei vel clestis definita per situm suum ad ,terram4 ,idem sunt spatium absolutum relativum1 specie magnitudine1 sed non permanent idem semper numero4 ,nam si ,terra1 verbi gratia1 movetur1 spatium ,aeris nostri quod relative respectu ,terr semper manet idem1 nunc erit una pars spatii absoluti in quam ,aer transit1 nunc alia pars ejus1 sic absolute mutabitur perpetuo4 ,,iii4 ,locus est pars spatii quam corpus occupat1 estq2 pro ratione spatii vel absolutus vel relativus4 ,partem dico spatii1 non situm corporis vel superficiem ambientem4 ,nam solidorum qualium quales semper sunt loci2 ,superficies autem ob dissimilitudinem figurarum ut plurimum inquales sunt2 situs vero proprie loquendo quantitatem non habent1 neq2 tam sunt loca quam affectiones locorum4 ,motus totius idem est cum summa motuum partium1 hoc est1 translatio totius de ipsius loco eadem cum summa translationum partium de locis suis1 adeoq2 locus totius idem cum summa locorum partium1 propterea internus in corpore toto4 ,,iv4 ,motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in locum absolutum1 relativus de relativo in relativum4 ,sic in ,navi qu velis passis fertur1 relativus corporis locus est navis regio illa in qua corpus versatur1 seu cavitatis totius pars illa quam corpus implet1 quq2 adeo movetur una cum ,navi2 ,quies relativa est permansio corporis in eadem illa navis regione vel parte cavitatis4 ,at ,quies vera est permansio corporis in eadem parte spatii illius immoti in qua ,navis ipsa una cum cavitate sua contentis universis movetur4 ,unde si ,terra vere quiescit1 corpus quod relative quiescit in ,navi1 movebitur vere et absolute ea cum ,velocitate qua ,navis movetur in ,terra4 ,sin ,terra etiam movetur1 orietur verus et absolutus corporis motus partim ex ,terr motu vero in spatio immoto1 partim ex ,navis motu relativo in ,terra2 et si corpus etiam movetur relative in ,navi1 orietur verus ejus motus partim ex vero motu ,terr in spatio immoto1 partim ex relativis motibus tum ,navis in ,terra1 tum corporis in ,navi1 et ex his motibus relativis orietur corporis motus relativus in ,terra4 ,ut si ,terr pars illa ubi ,navis versatur moveatur vere in ,orientem1 cum ,velocitate partium #ajjaj1 et velis ventoq2 feratur ,navis in ,occidentem cum ,velocitate partium decem1 ,nauta autem ambulet in ,navi ,orientem versus cum ,velocitatis parte una1 movebitur ,nauta vere et absolute in spatio immoto cum ,velocitatis partibus #ajjja in ,orientem1 et relative in ,terra ,occidentem versus cum ,velocitatis partibus novem4 ,tempus absolutum a relativo distinguitur in ,astronomia per quationem ,temporis vulgi4 ,inquales enim sunt dies ,naturales1 qui vulgo tanquam quales pro ,mensura ,temporis habentur4 ,hanc inqualitatem corrigunt ,astronomi ut ex veriore ,tempore mensurent motus clestes4 ,possibile est ut nullus sit motus quabilis quo ,tempus accurate mensuretur4 ,accelerari retardari possunt motus omnes1 sed fluxus ,temporis absoluti mutari nequit4 ,eadem est duratio seu perseverantia existenti rerum1 sive motus sint celeres1 sive tardi1 sive nulli2 proinde hc a mensuris suis sensibilibus merito distinguitur1 ex ijsdem colligitur per quationem ,astronomicam4 ,hujus autem quationis in determinandis ,phnomenis necessitas1 tum per experimentum ,horologii oscillatorii1 tum etiam per ,eclipses ,satellitum ,jovis evincitur4 ,ut partium ,temporis ordo est immutabilis1 sic etiam ordo partium ,spatii4 ,moveantur h de locis suis1 movebuntur 7ut ita dicam7 de seipsis4 ,nam ,tempora ,spatia sunt sui ipsorum rerum omnium quasi loca4 ,in ,tempore quoad ordinem successionis2 in ,spatio quoad ordinem situs locantur universa4 ,de illorum ,essentia est ut sint loca1 loca primaria moveri absurdum est4 ,hc sunt igitur absoluta loca1 sol translationes de his locis sunt absoluti motus4 ,verum quoniam h spatii partes videri nequeunt1 ab invicem per sensus nostros distingui1 earum vice adhibemus mensuras sensibiles4 ,ex positionibus enim distantiis rerum a corpore aliquo1 quod spectamus ut immobile1 definimus loca universa2 deinde etiam omnes motus stimamus cum respectu ad prdicta loca1 quatenus corpora ab iisdem transferri concipimus4 ,sic vice locorum motuum absolutorum relativis utimur1 nec incommode in rebus humanis3 in ,philosophicis autem abstrahendum est a sensibus4 ,fieri etenim potest ut nullum revera quiescat corpus1 ad quod loca motusq2 referantur4 ,distinguuntur autem ,quies ,motus absoluti relativi ab invicem per eorum proprietates1 causas effectus4 ,quietis proprietas est1 quod corpora vere quiescentia quiescunt inter se4 ,ideoq2 cum possibile sit ut corpus aliquod in regionibus fixarum1 aut longe ultra1 quiescat absolute2 sciri autem non possit ex situ corporum ad invicem in regionibus nostris1 utrum horum aliquod ad longinquum illud datam positionem servet1 quies vera ex horum situ inter se definiri nequit4 ,motus proprietas est1 quod partes qu datas servant positiones ad tota1 participant motus eorundem totorum4 ,nam gyrantium partes omnes conantur recedere de axe motus1 et progredientium impetus oritur ex conjuncto impetu partium singularum4 ,igitur motis corporibus ambientibus1 moventur qu in ambientibus relative quiescunt4 ,et propterea motus verus et absolutus definiri nequit per translationem e vicinia corporum1 qu tanquam quiescentia spectantur4 ,debent corpora externa non solum tanquam quiescentia spectari1 sed etiam vere quiescere4 ,alioquin inclusa omnia1 prter translationem e vicinia ambientium1 participabunt etiam ambientium motus veros1 et sublata illa translatione non vere quiescent1 sed tanquam quiescentia solummodo spectabuntur2 sunt enim ambientia ad inclusa ut totius pars exterior ad partem interiorem1 vel ut cortex ad nucleum4 ,moto autem cortice1 nucleus etiam1 absq2 translatione de vicinia corticis1 ceu pars totius1 movetur4 ,prcedenti proprietati affinis est1 quod moto loco movetur una locatum1 adeoq2 corpus1 quod de loco moto movetur1 participat etiam loci sui motum4 ,igitur motus omnes1 qui de locis motis fiunt1 sunt partes solummodo motuum integrorum et absolutorum1 et motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco suo primo1 et motu loci hujus de loco suo1 et sic deinceps1 usq2 dum perveniatur ad locum immotum1 ut in exemplo ,naut supra memorato4 ,unde motus integri et absoluti non nisi per loca immota definiri possunt1 et propterea hos ad loca immota1 relativos ad mobilia supra retuli3 ,loca autem immota non sunt1 nisi qu omnia ab infinito in infinitum datas servant positiones ad invicem1 atq2 adeo semper manent immota1 spatiumq2 constituunt quod immobile appello4 ,caus1 quibus motus veri et relativi distinguuntur ab invicem1 sunt vires in corpora impress ad motum generandum4 ,motus verus nec generatur nec mutatur nisi per vires in ipsum corpus motum impressas3 at motus relativus generari et mutari potest absq2 viribus impressis in hoc corpus4 ,sufficit enim ut imprimantur in alia solum corpora ad qu fit relatio1 ut ijs cedentibus mutetur relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus consistit4 ,rursus motus verus a viribus in corpus motum impressis semper mutatur1 at motus relativus ab his viribus non mutatur necessario4 ,nam si edem vires in alia etiam corpora1 ad qu fit relatio1 sic imprimantur ut situs relativus conservetur1 conservabitur relatio in qua motus relativus consistit4 ,mutari igitur potest motus omnis relativus ubi verus conservatur1 et conservari ubi verus mutatur2 et propterea motus verus in ejusmodi relationibus minime consistit4 ,effectus quibus motus absoluti et relativi distinguuntur ab invicem1 sunt vires recedendi ab axe motus circularis4 ,nam in motu circulari nude relativo h vires null sunt1 in vero autem et absoluto majores vel minores pro quantitate motus4 ,si pendeat situla a filo prlongo1 agaturq2 perpetuo in orbem donec filum a contorsione admodum rigescat1 dein impleatur aqua1 et una cum aqua quiescat2 tum vi aliqua subitanea agatur motu contrario in orbem1 et filo se relaxante1 diutius perseveret in hoc motu3 superficies aqu sub initio plana erit1 quemadmodum ante motum vasis1 at postquam1 vi in aquam paulatim impressa1 effecit vas1 ut hc quoq2 sensibiliter revolvi incipiat1 recedet ipsa paulatim e medio1 ascendetq2 ad latera vasis1 figuram concavam induens1 7ut ipse expertus sum7 et incitatiore semper motu ascendet magis magis1 donec revolutiones in qualibus cum vase temporibus peragendo1 quiescat in eodem relative4 ,indicat hic ascensus conatum recedendi ab axe motus1 per talem conatum innotescit mensuratur motus aqu circularis verus absolutus1 motuiq2 relativo hic omnino contrarius4 ,initio ubi maximus erat aqu motus relativus in vase1 motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe3 ,aqua non petebat circumferentiam ascendendo ad latera vasis1 sed plana manebat1 propterea motus illius circularis verus nondum inceperat4 ,postea vero ut aqu motus relativus decrevit1 ascensus ejus ad latera vasis indicabat conatum recedendi ab axe1 atq2 hic conatus monstrabat motum illius circularem verum perpetuo crescentem1 ac tandem maximum factum ubi aqua quiescebat in vase relative4 ,igitur conatus iste non pendet a translatione aqu respectu corporum ambientium1 propterea motus circularis verus per tales translationes definiri nequit4 ,unicus est corporis cujusq2 revolventis motus vere circularis1 conatui unico tanquam proprio adquato effectui respondens2 motus autem relativi pro varijs relationibus ad externa innumeri sunt1 relationum instar1 effectibus veris omnino destituuntur1 nisi quatenus de vero illo unico motu participant4 ,unde in ,systemate eorum qui ,clos nostros infra ,clos fixarum in orbem revolvi volunt1 ,planetas secum deferre2 ,planet singul ,clorum partes1 qui relative quidem in ,clis suis proximis quiescunt1 moventur vere4 ,mutant enim positiones suas ad invicem 7secus quam fit in vere quiescentibus7 unaq2 cum clis delati participant eorum motus1 ut partes revolventium totorum1 ab eorum axibus recedere conantur4 ,igitur quantitates relativ non sunt e ips quantitates quarum nomina pr se ferunt1 sed earum mensur ill sensibiles 7ver an errantes7 quibus vulgus loco mensuratarum utitur4 ,at si ex usu definiend sunt verborum significationes2 per nomina illa ,temporis1 ,spatij1 ,loci ,motus proprie intelligend erunt h mensur2 sermo erit insolens pure ,mathematicus si quantitates mensurat hic subintelligantur4 ,proinde vim inferunt ,sacris literis qui voces hasce de quantitatibus mensuratis ibi interpretantur4 ,neq2 minus contaminant ,mathesin ,philosophiam qui quantitates veras cum ipsarum relationibus vulgaribus mensuris confundunt4 ,motus quidem veros corporum singulorum cognoscere1 ab apparentibus actu discriminare1 difficillimum est2 propterea quod partes spatij illius immobilis in quo corpora vere moventur1 non incurrunt in sensus4 ,causa tamen non est prorsus desperata4 ,nam suppetunt argumenta partim ex motibus apparentibus1 qui sunt motuum verorum differenti1 partim ex viribus qu sunt motuum verorum caus effectus4 ,ut si globi duo ad datam ab invicem distantiam filo intercedente connexi1 revolverentur circa commune gravitatis centrum2 innotesceret ex tensione fili conatus globorum recedendi ab axe motus1 inde quantitas motus circularis computari posset4 ,deinde si vires qulibet quales in alternas globorum facies ad motum circularem augendum vel minuendum simul imprimerentur1 innotesceret ex aucta vel diminuta fili tensione augmentum vel decrementum motus2 inde tandem inveniri possent facies globorum in quas vires imprimi deberent1 ut motus maxime augeretur1 id est facies postic1 sive qu in motu circulari sequuntur4 ,cognitis autem faciebus qu sequuntur faciebus oppositis qu prcedunt1 cognosceretur determinatio motus4 ,in hunc modum inveniri posset quantitas determinatio motus hujus circularis in vacuo quovis immenso1 ubi nihil extaret externum sensibile1 quocum globi conferri possent4 ,si jam constituerentur in spatio illo corpora aliqua longinqua datam inter se positionem servantia1 qualia sunt stell fix in regionibus nostris3 sciri quidem non posset ex relativa globorum translatione inter corpora1 utrum his an illis tribuendus esset motus4 ,at si attenderetur ad filum inveniretur tensionem ejus illam ipsam esse quam motus globorum requireret2 concludere liceret motum esse globorum1 tum demum ex translatione globorum inter corpora1 determinationem hujus motus colligere4 ,motus autem veros ex eorum causis1 effectibus apparentibus differentijs colligere1 contra1 ex motibus seu veris seu apparentibus1 eorum causas effectus1 docebitur fusius in sequentibus4 ,hunc enim in finem ,tractatum sequentem composui4 99 99 99 99 99 ,,axiomata ,,sive ,,leges ,,motus 99 99 99 99 99 ,lex4 ,i4 ,corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum1 nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare4 ,projectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resistentia aeris retardantur vi gravitatis impelluntur deorsum4 ,trochus1 cujus partes cohrendo perpetuo retrahunt sese a motibus rectilineis1 non cessat rotari nisi quatenus ab aere retardatur4 ,majora autem ,planetarum ,cometarum corpora motus suos progressivos circulares in spatiis minus resistentibus factos conservant diutius4 ,lex4 ,,ii4 ,mutationem motus proportionalem esse vi motrici impress1 fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur4 ,si vis aliqua motum quemvis generet1 dupla duplum1 tripla triplum generabit1 sive simul semel1 sive gradatim successive impressa fuerit4 ,et hic motus quoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice determinatur1 si corpus antea movebatur1 motui ejus vel conspiranti additur1 vel contrario subducitur1 vel obliquo oblique adjicitur1 cum eo secundum utriusq2 determinationem componitur4 ,lex4 ,,iii4 ,actioni contrariam semper qualem esse reactionem3 sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse quales in partes contrarias dirigi4 ,quicquid premit vel trahit alterum1 tantundem ab eo premitur vel trahitur4 ,siquis lapidem digito premit1 premitur hujus digitus a lapide4 ,si equus lapidem funi allegatum trahit1 retrahetur etiam equus qualiter in lapidem3 nam funis utrinq2 distentus eodem relaxandi se conatu urgebit ,equum versus lapidem1 ac lapidem versus equum1 tantumq2 impediet progressum unius quantum promovet progressum alterius4 ,si corpus aliquod in corpus aliud impingens1 motum ejus vi sua quomodocunq2 mutaverit1 idem quoque vicissim in motu proprio eandem mutationem in partem contrariam vi alterius 7ob qualitatem pressionis mutu7 subibit4 ,his actionibus quales fiunt mutationes non velocitatum sed motuum1 7scilicet in corporibus non aliunde impeditis37 ,mutationes enim velocitatum1 in contrarias itidem partes fact1 quia motus qualiter mutantur1 sunt corporibus reciproce proportionales4 ,corol4 ,i4 ,illustration ,corpus viribus conjunctis diagonalem parallelogrammi eodem tempore describere1 quo latera separatis4 ,si corpus dato tempore1 vi sola ,m1 ferretur ab ,a ad ,b1 vi sola ,n1 ab ,a ad ,c1 compleatur parallelogrammum ,,abdc1 vi utraq2 feretur id eodem tempore ab ,a ad ,d4 ,nam quoniam vis ,n agit secundum lineam ,,ac ipsi ,,bd parallelam1 hc vis nihil mutabit velocitatem accedendi ad lineam illam ,,bd a vi altera genitam4 ,accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam ,,bd sive vis ,n imprimatur1 sive non1 atq2 adeo in fine illius temporis reperietur alicubi in linea illa ,,bd4 ,eodem argumento in fine temporis ejusdem reperietur alicubi in linea ,,cd1 idcirco in utriusq2 line concursu ,d reperiri necesse est4 ,corol4 ,,ii4 ,et hinc patet compositio vis direct ,,ad ex viribus quibusvis obliquis ,,ab ,,bd1 vicissim resolutio vis cujusvis direct ,,ad in obliquas quascunq2 ,,ab ,,bd4 ,qu quidem ,compositio resolutio abunde confirmatur ex ,mechanica4 ,illustration ,ut si de rot alicujus centro ,o exeuntes radij inquales ,,om1 ,,on filis ,,ma1 ,,np sustineant pondera ,a ,p1 qurantur vires ponderum ad movendam rotam3 per centrum ,o agatur recta ,,kol filis perpendiculariter occurrens in ,k ,l1 centroq2 ,o intervallorum ,,ok1 ,,ol majore ,,ol describatur circulus occurrens filo ,,ma in ,d3 act rect ,,od parallela sit ,,ac perpendicularis ,,dc4 ,quoniam nihil refert utrum filorum puncta ,k1 ,l1 ,d affixa sint vel non affixa ad planum rot1 pondera idem valebunt ac si suspenderentur a punctis ,k ,l vel ,d ,l4 ,ponderis autem ,a exponatur vis tota per lineam ,,ad1 hc resolvetur in vires ,,ac1 ,,cd1 quarum ,,ac trahendo radium ,,od directe a centro nihil valet ad movendam rotam2 vis autem altera ,,dc1 trahendo radium ,,do perpendiculariter1 idem valet ac si perpendiculariter traheret radium ,,ol ipsi ,,od qualem2 hoc est idem atq2 pondus ,p1 quod sit ad pondus ,a ut vis ,,dc ad vim ,,da1 id est 7ob similia triangula ,,adc1 ,,dok17 ut ,,ok ad ,,od seu ,,ol4 ,pondera igitur ,a ,p1 qu sunt reciproce ut radii in directum positi ,,ok ,,ol1 idem pollebunt sic consistent in quilibrio3 7qu est proprietas notissima ,libr1 ,vectis ,axis in ,peritrochio37 sin pondus alterutrum sit majus quam in hac ratione1 erit vis ejus ad movendam rotam tanto major4 ,quod si pondus p ponderi ,p quale partim suspendatur filo ,np1 partim incumbat plano obliquo p,g3 agantur p,h1 ,,nh1 prior horizonti1 posterior plano p,g perpendicularis2 si vis ponderis p deorsum tendens1 exponatur per lineam p,h1 resolvi potest hc in vires p,n1 ,,hn4 ,si filo p,n perpendiculare esset planum aliquod p,q secans planum alterum p,g in linea ad horizontem parallela2 pondus p his planis p,q1 p,g solummodo incumberet2 urgeret illud hc plana viribus p,n1 ,,hn perpendiculariter1 nimirum planum p,q vi p,n planum p,g vi ,,hn4 ,ideoque si tollatur planum p,q ut pondus tendat filum1 quoniam filum sustinendo pondus1 jam vicem prstat plani sublati1 tendetur illud eadem vi p,n1 qua planum antea urgebatur4 ,unde tensio fili hujus obliqui erit ad tensionem fili alterius perpendicularis ,,pn1 ut p,n ad p,h4 ,ideoq2 si pondus p sit ad pondus ,a in ratione qu componitur ex ratione reciproca minimarum distantiarum filorum suorum ,,am1 p,n a centro rot1 ratione directa p,h ad p,n2 pondera idem valebunt ad rotam movendam1 atq2 adeo se mutuo sustinebunt1 ut quilibet experiri potest4 ,pondus autem p planis illis duobus obliquis incumbens1 rationem habet cunei inter corporis fissi facies internas3 inde vires cunei mallei innotescunt3 utpote cum vis qua pondus p urget planum p,q sit ad vim1 qua idem vel gravitate sua vel ictu mallei impellitur secundum lineam p,h in plano1 ut p,n ad p,h2 atq2 ad vim qua urget planum alterum p,g ut p,n ad ,,nh4 ,sed vis ,cochle per similem virium divisionem colligitur2 quippe qu cuneus est a vecte impulsus4 ,usus igitur ,corollarij hujus latissime patet1 late patendo veritatem ejus evincit1 cum pendeat ex jam dictis ,mechanica tota ab ,authoribus diversimode demonstrata4 ,ex hisce enim facile derivantur vires ,machinarum1 qu ex ,rotis1 ,tympanis1 ,trochleis1 ,vectibus1 radijs volubilibus1 nervis tensis ponderibus directe vel oblique ascendentibus1 cterisq2 potentijs ,mechanicis componi solent1 ut vires ,nervorum ad animalium ossa movenda4 ,corol4 ,,iii4 ,quantitas motus qu colligitur capiendo summam motuum factorum ad eandem partem1 differentiam factorum ad contrarias1 non mutatur ab actione corporum inter se4 ,etenim actio eiq2 contraria reactio quales sunt per ,legem #c1 adeoq2 per legem #b1 quales in motibus efficiunt mutationes versus contrarias partes4 ,ergo si motus fiunt ad eandem partem1 quicquid additur motui corporis fugientis subducetur motui corporis insequentis sic1 ut summa maneat eadem qu prius4 ,sin corpora obviam eant1 qualis erit subductio de motu utriusq21 adeoq2 differentia motuum factorum in contrarias partes manebit eadem4 ,ut si corpus sphricum ,a sit triplo majus corpore sphrico ,b1 habeatq2 duas velocitatis partes1 et ,b sequatur in eadem recta cum velocitatis partibus decem1 adeoq2 motus ipsius ,a sit ad motum ipsius ,b ut sex ad decem2 ponantur motus illis esse partium sex decem1 summa erit partium sexdecim4 ,in corporum igitur concursu1 si corpus ,a lucretur motus partes tres vel quatuor vel quinq2 corpus ,b amittet partes totidem1 adeoq2 perget corpus ,a post reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim2 ,b cum partibus septem vel sex vel quinq2 existente semper summa partium sexdecim ut prius4 ,sin corpus ,a lucretur partes novem vel decem vel undecim vel duodecim1 adeoq2 progrediatur post concursum cum partibus quindecim vel sexdecim vel septendecim vel octodecim2 corpus ,b amittendo1 tot partes quot ,a lucratur1 vel progredietur cum una parte1 amissis partibus novem1 vel quiescet amisso motu suo progressivo partium decem1 vel regredietur cum una parte amisso motu suo 7ut ita dicam7 una parte amplius1 vel regredietur cum partibus duabus ob detractum motum progressivum partium duodecim4 ,atq2 ita summ motuum conspirantium #ae #a vel #af #j1 differenti contrariorum #ag - #a #ah - #b semper erunt partium sexdecim ut ante concursum reflexionem4 ,cognitis autem motibus quibuscum corpora post reflexionem pergent1 invenietur cujusq2 velocitas ponendo eam esse ad velocitatem ante reflexionem ut motus post ad motum ante4 ,ut in casu ultimo1 ubi corporis ,a motus erat partium sex ante reflexionem2 partium octodecim postea1 velocitas partium duarum ante reflexionem2 invenietur ejus velocitas partium sex post reflexionem1 dicendo1 ut motus partes sex ante reflexionem ad motus partes octodecim postea1 ita velocitatis partes du ante reflexionem ad velocitatis partes sex postea4 ,quod si corpora vel non ,sphrica vel diversis in rectis moventia incidant in se mutuo oblique1 requirantur eorum motus post reflexionem1 cognoscendus est situs plani a quo corpora concurrentia tanguntur in puncto concursus2 dein corporis utriusq2 motus 7per ,corol4 #b47 distinguendus est in duos1 unum huic plano perpendicularem1 alterum eidem parallelum3 motus autem paralleli1 propterea quod corpora agant in se invicem secundum lineam huic plano perpendicularem1 retinendi sunt iidem post reflexionem atq2 antea1 motibus perpendicularibus mutationes quales in partes contrarias tribuend sunt sic1 ut summa conspirantium differentia contrariorum maneat eadem qu prius4 ,ex hujusmodi reflexionibus oriri etiam solent motus circulares corporum circa centra propria4 ,sed hos casus in sequentibus non considero1 nimis longum esset omnia huc spectantia demonstrare4 ,corol4 ,,iiii4 ,commune gravitatis centrum ab actionibus corporum inter se non mutat statum suum vel motus vel quietis1 propterea corporum omnium in se mutuo agentium 7exclusis actionibus impedimentis externis7 commune centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum4 ,nam si puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis rectis distantia eorum dividatur in ratione data1 punctum dividens vel quiescet vel progredietur uniformiter in linea recta4 ,hoc postea in ,lemmate xxiii demonstratur in plano1 eadem ratione demonstrari potest in loco solido4 ,ergo si corpora quotcunq2 moventur uniformiter in lineis rectis1 commune centrum gravitatis duorum quorumvis1 vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta1 propterea quod linea horum corporum centra in rectis uniformiter progredientia jungens1 dividitur ab hoc centro communi in ratione data3 similiter commune centrum horum duorum tertii cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta1 propterea quod ab eo dividitur distantia centri communis corporum duorum centri corporis tertii in data ratione4 ,eodem modo commune centrum horum trium quarti cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta1 propterea quod ab eo dividitur distantia inter centrum commune trium centrum quarti in data ratione1 sic in infinitum4 ,igitur in systemate corporum qu actionibus in se invicem1 alijsq2 omnibus in se extrinsecus impressis1 omnino vacant1 adeoq2 moventur singula uniformiter in rectis singulis1 commune omnium centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum4 ,porro in systemate duorum corporum in se invicem agentium1 cum distanti centrorum utriusq2 a communi gravitatis centro sint reciproce ut corpora1 erunt motus relativi corporum eorundem vel accedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi1 quales inter se4 ,proinde centrum illud a motuum qualibus mutationibus in partes contrarias factis1 atq2 adeo ab actionibus horum corporum inter se1 nec promovetur nec retardatur nec mutationem patitur in statu suo quoad motum vel quietem4 ,in systemate autem corporum plurium1 quoniam duorum quorumvis in se mutuo agentium commune gravitatis centrum ob actionem illam nullatenus mutat statum suum2 reliquorum1 quibuscum actio illa non intercedit1 commune gravitatis centrum nihil inde patitur2 distantia autem horum duorum centrorum dividitur1 a communi corporum omnium centro1 in partes summis totalibus corporum1 quorum sunt centra1 reciproce proportionales1 adeoq2 centris illis duobus statum suum movendi vel quiescendi servantibus1 commune omnium centrum servat etiam statum suum2 manifestum est quod commune illud omnium centrum1 ob actiones binorum corporum inter se1 nunquam mutat statum suum quoad motum quietem4 ,in tali autem systemate actiones omnes corporum inter se1 vel inter bina sunt corpora1 vel ab actionibus inter bina composit1 propterea communi omnium centro mutationem in statu motus ejus vel ,quietis nunquam inducunt4 ,quare cum centrum illud ubi corpora non agunt in se invicem1 vel quiescit1 vel in recta aliqua progreditur uniformiter1 perget idem1 non obstantibus corporum actionibus inter se1 vel semper quiescere1 vel semper progredi uniformiter in directum1 nisi a viribus in systema extrinsecus impressis deturbetur de hoc statu4 ,est igitur systematis corporum plurium ,lex eadem qu corporis solitarii1 quoad perseverantiam in statu motus vel quietis4 ,motus enim progressivus seu corporis solitarii seu systematis corporum ex motu centri gravitatis stimari semper debet4 ,corol4 ,v4 ,corporum dato spatio inclusorum ijdem sunt motus inter se1 sive spatium illud quiescat1 sive moveatur idem uniformiter in directum absq2 motu circulari4 ,nam differenti motuum tendentium ad eandem partem1 summ tendentium ad contrarias1 eadem sunt sub initio in utroq2 casu 7ex hypothesi7 ex his summis vel differentiis oriuntur congressus impetus quibus corpora se mutuo feriunt4 ,ergo per ,legem #b quales erunt congressuum effectus in utroq2 casu1 propterea manebunt motus inter se in uno casu quales motibus inter se in altero4 ,idem comprobatur experimento luculento4 ,motus omnes eodem modo se habent in ,navi1 sive ea quiescat1 sive moveatur uniformiter in directum4 ,corol4 ,,vi4 ,si corpora moveantur quomodocunq2 inter se a viribus acceleratricibus qualibus secundum lineas parallelas urgeantur2 pergent omnia eodem modo moveri inter se ac si viribus illis non essent incitata4 ,nam vires ill qualiter 7pro quantitatibus movendorum corporum7 secundum lineas parallelas agendo1 corpora omnia qualiter 7quoad velocitatem7 movebunt 7per ,legem #b47 adeoq2 nunquam mutabunt positiones motus eorum inter se4 ,scholium ,illustration ,hactenus principia tradidi a ,mathematicis recepta experientia multiplici confirmata4 ,per leges duas primas ,corollaria duo prima adinvenit ,galilus descensum gravium esse in duplicata ratione temporis1 motum projectilium fieri in ,parabola1 conspirante experientia1 nisi quatenus motus illi per aeris resistentiam aliquantulum retardantur4 ,ab ijsdem ,legibus ,corollariis pendent demonstrata de temporibus oscillantium ,pendulorum1 suffragante ,horologiorum experientia quotidiana4 ,ex his ijsdem ,lege tertia ,d4 ,christopherus ,wrennus ,eques auratus1 ,johannes ,wallisius ,s4,t4,d4 ,d4 ,christianus ,hugenius1 hujus tatis ,geometrarum facile ,principes1 regulas congressuum reflexionum duorum corporum seorsim adinvenerunt1 eodem fere tempore cum ,societate ,regia communicarunt1 inter se 7quoad has leges7 omnino conspirantes2 ,et primus quidem ,d4 ,wallisius dein ,d4 ,wrennus ,d4 ,hugenius inventum prodidit4 ,sed veritas comprobata est a ,d4 ,wrenno coram ,regia ,societate per experimentum ,pendulorum1 quod etiam ,clarissimus ,mariottus ,libro integro exponere mox dignatus est4 ,verum ut hoc experimentum cum ,theorijs ad amussim congruat1 habenda est ratio tum resistenti aeris1 tum etiam vis ,elastic concurrentium corporum4 ,pendeant corpora ,a1 ,b filis parallelis ,,ac1 ,,bd a centris ,c1 ,d4 ,his centris intervallis describantur semicirculi ,,eaf1 ,,gbh radijs ,,ca1 ,,db bisecti4 ,trahatur corpus ,a ad arcus ,,eaf punctum quodvis ,r1 7subducto corpore ,b7 demittatur inde1 redeatq2 post unam oscillationem ad punctum ,v4 ,est ,,rv retardatio ex resistentia aeris4 ,hujus ,,rv fiat ,,st pars quarta sita in medio1 hc exhibebit retardationem in descensu ab ,s ad ,a quam proxime4 ,restituatur corpus ,b in locum suum4 ,cadat corpus ,a de puncto ,s1 velocitas ejus in loco reflexionis ,a1 absq2 errore sensibili1 tanta erit ac si in vacuo cecidisset de loco ,t4 ,exponatur igitur hc velocitas per chordam arcus ,,ta4 ,nam velocitatem ,penduli in puncto infimo esse ut chorda arcus quem cadendo descripsit1 ,propositio est ,geometris notissima4 ,post reflexionem perveniat corpus ,a ad locum s1 corpus ,b ad locum k4 ,tollatur corpus ,b inveniatur locus v1 a quo si corpus ,a demittatur post unam oscillationem redeat ad locum r1 sit st pars quarta ipsius rv sita in medio1 per chordam arcus t,a exponatur velocitas quam corpus ,a proxime post reflexionem habuit in loco ,a4 ,nam t erit locus ille verus correctus ad quem corpus ,a1 sublata aeris resistentia1 ascendere debuisset4 ,simili methodo corrigendus erit locus k1 ad quem corpus ,b ascendit1 inveniendus locus l1 ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo4 ,hoc pacto experiri licet omnia perinde ac si in vacuo constituti essemus4 ,tandem ducendum erit corpus ,a in chordam arcus ,,ta 7qu velocitatem ejus exhibet7 ut habeatur motus ejus in loco ,a proxime ante reflexionem1 deinde in chordam arcus t,a ut habeatur motus ejus in loco ,a proxime post reflexionem4 ,et sic corpus ,b ducendum erit in chordam arcus ,bl1 ut habeatur motus ejus proxime post reflexionem4 ,et simili methodo ubi corpora duo simul demittuntur de locis diversis1 inveniendi sunt motus utriusq2 tam ante1 quam post reflexionem2 tum demum conferendi sunt motus inter se colligendi effectus reflexionis4 ,hoc modo in ,pendulis pedum decem rem tentando1 idq2 in corporibus tam inqualibus quam qualibus1 faciendo ut corpora de intervallis amplissimis1 puta pedum octo1 duodecim vel sexdecim concurrerent1 reperi semper sine errore trium digitorum in mensuris1 ubi corpora sibi mutuo directe occurrebant quod in partes contrarias mutatio motus erat corpori utriq2 illata1 atq2 adeo quod actio reactio semper erant quales4 ,ut si corpus ,a incidebat in corpus ,b cum novem partibus motus1 amissis septem partibus pergebat post reflexionem cum duabus1 corpus ,b resiliebat cum partibus istis septem4 ,si corpora obviam ibant1 ,a cum duodecim partibus ,b cum sex redibat ,a cum duabus1 redibat ,b cum octo1 facta detractione partium quatuordecim utrinque4 ,de motu ipsius ,a subducantur partes duodecim restabit nihil2 subducantur ali partes du fiet motus duarum partium in plagam contrariam4 sic de motu corporis ,b partium sex subducendo partes quatuordecim1 fiunt partes octo in plagam contrariam4 ,quod si corpora ibant ad eandem plagam1 ,a velocius cum partibus quatuordecim ,b tardius cum partibus quinq2 post reflexionem pergebat ,a cum quinq2 partibus1 pergebat ,b cum quatuordecim1 facta translatione partium novem de ,a in ,b4 ,et sic in reliquis4 ,a congressu collisione corporum nunquam mutabatur quantitas motus qu ex summa motuum conspirantium differentia contrariorum colligebatur4 ,namq2 errorem digiti unius alterius in mensuris tribuerim difficultati peragendi singula satis accurate4 ,difficile erat tum pendula simul demittere sic1 ut corpora in se mutuo impingerent in loco infimo ,,ab1 tum loca s1 k1 notare ad qu corpora ascendebant post concursum4 ,sed in ipsis pilis inqualis partium densitas1 textura aliis de causis irregularis1 errores inducebant4 ,porro nequis objiciat ,regulam ad quam probandam inventum est hoc experimentum prsupponere corpora vel absolute dura esse1 vel saltem perfecte elastica1 cujusmodi nulla reperiuntur in compositionibus naturalibus2 addo quod experimenta jam descripta succedunt in corporibus mollibus que ac in duris1 nimirum a conditione duritiei neutiquam pendentia4 ,nam si conditio illa in corporibus non perfecte duris tentanda est1 debebit solummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate vis ,elastic4 ,in ,theoria ,wrenni ,hugenij corpora absolute dura redeunt ab invicem cum velocitate congressus4 ,certius id affirmabitur de perfecte ,elasticis4 ,in imperfecte ,elasticis velocitas reditus minuenda est simul cum vi ,elastica2 propterea quod vis illa1 7nisi ubi partes corporum ex congressu lduntur1 vel extensionem aliqualem quasi sub malleo patiuntur17 certa ac determinata sit 7quantum sentio7 faciatq2 corpora redire ab invicem cum velocitate relativa qu sit ad relativam velocitatem concursus in data ratione4 ,id in pilis ex lana arcte conglomerata fortiter constricta sic tentavi4 ,primum demittendo ,pendula mensurando reflexionem1 inveni quantitatem vis ,elastic2 deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis casibus concursuum1 respondebant experimenta4 ,redibant semper pil ab invicem cum velocitate relativa1 qu esset ad velocitatem relativam concursus ut #e ad #i circiter4 ,eadem fere cum velocitate redibant pil ex chalybe3 ali ex subere cum paulo minore4 ,in vitreis autem proportio erat #ae ad #af circiter4 ,atq2 hoc pacto ,lex tertia quoad ictus reflexiones per ,theoriam comprobata est1 qu cum experientia plane congruit4 ,in attractionibus rem sic breviter ostendo4 ,corporibus duobus quibusvis ,a1 ,b se mutuo trahentibus1 concipe obstaculum quodvis interponi quo congressus eorum impediatur4 ,si corpus alterutrum ,a magis trahitur versus corpus alterum ,b1 quam illud alterum ,b in prius ,a1 obstaculum magis urgebitur pressione corporis ,a quam pressione corporis ,b2 proindeq2 non manebit in quilibrio4 ,prvalebit pressio fortior1 facietq2 systema corporum duorum obstaculi moveri in directum in partes versus ,b1 motuq2 in spatiis liberis semper accelerato abire in infinitum4 ,quod est absurdum ,legi prim contrarium4 ,nam per ,legem primam debebit systema perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum1 proindeq2 corpora qualiter urgebunt obstaculum1 idcirco qualiter trahentur in invicem4 ,tentavi hoc in ,magnete ferro4 ,si hc in vasculis propriis sese contingentibus seorsim posita1 in aqua stagnante juxta fluitent1 neutrum propellet alterum1 sed qualitate attractionis utrinq2 sustinebunt conatus in se mutuos1 ac tandem in quilibrio constituta quiescent4 ,ut corpora in concursu reflexione idem pollent1 quorum velocitates sunt reciproce ut vires insit3 sic in movendis ,instrumentis ,mechanicis agentia idem pollent conatibus contrariis se mutuo sustinent1 quorum velocitates secundum determinationem virium stimat1 sunt reciproce ut vires4 ,sic pondera quipollent ad movenda brachia ,libr1 qu oscillante ,libra1 sunt reciproce ut eorum velocitates sursum deorsum3 hoc est pondera1 si recta ascendunt descendunt1 quipollent1 qu sunt reciproce ut punctorum a quibus suspenduntur distanti ab axe ,libr2 sin planis obliquis aliisve admotis obstaculis impedita ascendunt vel descendunt oblique1 quipollent qu sunt ut ascensus descensus quatenus facti secundum perpendiculum3 id adeo ob determinationem gravitatis deorsum4 ,similiter in ,trochlea seu ,polyspasto vis manus funem directe trahentis1 qu sit ad pondus vel directe vel oblique ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem manus funem trahentis1 sustinebit pondus4 ,in horologiis similibus instrumentis1 qu ex rotulis commissus constructa sunt1 vires contrari ad motum rotularum promovendum impediendum si sunt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas imprimuntur1 sustinebunt se mutuo4 ,vis ,cochle ad premendum corpus est ad vim manus manubrium circumagentis1 ut circularis velocitas ,manubrii ea in parte ubi a manu urgetur1 ad velocitatem progressivam ,cochle versus corpus pressum4 ,vires quibus cuneus urget partes duas ligni fissi est ad vim mallei in cuneum1 ut progressus cunei secundum determinationem vis a malleo in ipsum impress1 ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo1 secundum lineas faciebus cunei perpendiculares4 ,et par est ratio ,machinarum omnium4 ,harum efficacia usus in eo solo consistit ut diminuendo velocitatem augeamus vim1 contra3 ,unde solvitur in omni aptorum instrumentorum genere ,problema2 ,datum pondus data vi movendi1 aliamve datam resistentiam vi data superandi4 ,nam si ,machin ita formentur ut velocitates ,agentis ,resistentis sint reciproce ut vires1 ,agens resistentiam sustinebit1 majori cum velocitatum disparitate eandem vincet4 ,certe si tanta sit velocitatum disparitas ut vincatur etiam resistentia omnis1 qu tam ex contiguorum inter se labentium corporum attritione1 quam ex continuorum ab invicem separandorum cohsione elevandorum ponderibus oriri solet2 superata omni ea resistentia1 vis redundans accelerationem motus sibi proportionalem1 partim in partibus ,machin1 partim in corpore resistente producet4 ,cterum ,mechanicam tractare non est hujus instituti4 ,hisce volui tantum ostendere quam late pateat1 quamq2 certa sit ,lex tertia motus4 ,nam si stimetur ,agentis actio ex ejus vi velocitate conjunctim2 ,resistentis reactio ex ejus partium singularum velocitatibus viribus resistendi ab earum attritione1 cohsione1 pondere acceleratione oriundis2 erunt actio reactio1 in omni instrumentorum usu1 sibi invicem semper quales4 ,et quatenus actio propagatur per instrumentum ultimo imprimitur in corpus omne resistens1 ejus ultima determinatio determinationi reactionis semper erit contraria4 99 99 99 99 99 ,,de ,,motu ,,corporum 99 99 99 99 99 ,liber ,,primus 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,i4 ,de ,methodo ,rationum primarum ultimarum1 cujus ope sequentia demonstrantur4 99 99 99 99 99 ,,lemma ,i4 ,quantitates1 ut quantitatum rationes1 qu ad qualitatem dato tempore constanter tendunt eo pacto propius ad invicem accedere possunt quam pro data quavis differentia2 fiunt ultimo quales4 ,si negas1 sit earum ultima differentia ,d4 ,ergo nequeunt propius ad qualitatem accedere quam pro data differentia ,d3 contra hypothesin4 ,lemma ,,ii4 ,illustration ,si in figura quavis ,aac,e rectis ,aa1 ,,ae1 curva ac,e comprehensa1 inscribantur parallelogramma quotcunq2 ,ab1 ,bc1 ,cd1 c4 sub basibus ,,ab1 ,,bc1 ,,cd1 c4 qualibus1 lateribus ,bb1 ,cc1 ,dd1 c4 figur lateri ,aa parallelis contenta2 compleantur parallelogramma a,kbl1 b,lcm1 c,mdn1 c4 ,dein horum parallelogrammorum latitudo minuatur1 numerus augeatur in infinitum3 dico quod ultim rationes1 quas habent ad se invicem figura inscripta ,a,kb,lc,md,d1 circumscripta ,aalbmcndo,e1 curvilinea ,aabcd,e1 sunt rationes qualitatis4 ,nam figur inscript circumscript differentia est summa parallelogrammorum ,kl ,lm ,mn ,do1 hoc est 7ob quales omnium bases7 rectangulum sub unius basi ,kb altitudinum summa ,aa1 id est rectangulum ,a,bla4 ,sed hoc rectangulum1 eo quod latitudo ejus ,,ab in infinitum minuitur1 sit minus quovis dato4 ,ergo1 per ,lemma ,i1 figura inscripta circumscripta multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo quales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lemma ,,iii4 ,edem rationes ultim sunt etiam qualitatis1 ubi parallelogrammorum latitudines ,,ab1 ,,bc1 ,,cd1 c4 sunt inquales1 omnes minuuntur in infinitum4 ,sit enim ,,af qualis latitudini maxim compleatur parallelogrammum ,f,aaf4 ,hoc erit majus quam differentia figur inscript figur circumscripta1 at latitudine sua ,,af in infinitum diminuta1 minus fiet quam datum quodvis rectangulum4 ,corol4 #a4 ,hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit omni ex parte cum figura curvilinea4 ,corol4 #b4 ,et multo magis figura rectilinea1 qu chordis evanescentium arcuum ab1 bc1 cd1 c4 comprehenditur1 coincidit ultimo cum figura curvilinea4 ,corol4 #c4 ,ut figura rectilinea qu tangentibus eorundem arcuum circumscribitur4 ,corol4 #d4 ,et propterea h figur ultim 7quoad perimetros ac,e17 non sunt rectiline1 sed rectilinearum limites curvilinei4 ,lemma ,,iv4 ,si in duabus figuris ,aac,e1 ,ppr,t1 inscribantur 7ut supra7 du parallelogrammorum series1 sitq2 idem amborum numerus1 ubi latitudines in infinitum diminuitur1 rationes ultim parallelogrammorum in una figura ad parallelogramma in altera1 singulorum ad singula1 sint edem2 dico quod figur du ,aac,e1 ,ppr,t1 sunt ad invicem in eadem illa ratione4 ,illustration ,etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula1 ita 7componendo7 fit summa omnium ad summam omnium1 ita figura ad figuram2 existente nimirum figura priore 7per ,lemma ,,iii47 ad summam priorem1 posteriore figura ad summam posteriorem in ratione qualitatis4 ,corol4 ,hinc si du cujuscunq2 generis quantitates in eundem partium numerum utcunq2 dividantur1 partes ill1 ubi numerus earum augetur magnitudo diminuitur in infinitum1 datam obtineant rationem ad invicem1 prima ad primam1 secunda ad secundam cterq2 suo ordine ad cteras2 erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione4 ,nam si in ,lemmatis hujus figuris sumantur parallelogramma inter se ut partes1 summ partium semper erunt ut summ parallelogrammorum2 atq2 adeo1 ubi partium parallelogrammorum numerus augetur magnitudo diminuitur in infinitum1 in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum1 id est 7per hypothesin7 in ultima ratione partis ad partem4 ,lemma ,v4 ,similium figurarum latera omnia1 qu sibi mutuo respondent1 sunt proportionalia1 tam curvilinea quam rectilinea1 are sunt in duplicata ratione laterum4 ,lemma ,,vi4 ,illustration ,si arcus quilibet positione datus ,,ab subtendatur chorda ,,ab1 in puncto aliquo ,a1 in medio curvatur continu1 tangatur a recta utrinq2 producta ,,ad2 dein puncta ,a1 ,b ad invicem accendant coeant2 dico quod angulus ,,bad sub chorda tangente contentus minuetur in infinitum ultimo evanescet4 ,nam producatur ,,ab ad b ,,ad ad d1 punctis ,a1 ,b coeuntibus1 nullaq2 adeo ipsius ,ab parte ,,ab jacente amplius intra curvam1 manifestum esi quod hc recta ,ab1 vel coincidet cum tangente ,ad1 vel ducetur inter tangentem curvam4 ,sed casus posterior est contra naturam ,curvatur1 ergo prior obtinet4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lemma ,,vii4 ,iisdem positis1 dico quod ultima ratio arcus1 chord tangentis ad invicem est ratio qualitatis4 ,vide ,fig4 ,lem4 #f #h vi4 ,nam producantur ,,ab ,,ad ad b d secanti ,,bd parallela agatur bd4 ,sitq2 arcus ,ab similis arcui ,,ab4 ,et punctis ,a1 ,b coeuntibus1 angulus d,ab1 per ,lemma superius1 evanescet2 adeoq2 rect ,ab1 ,ad arcus intermedius ,ab coincident1 propterea quales erunt4 ,unde hisce semper proportionales rect ,,ab1 ,,ad1 arcus intermedius ,,ab rationem ultimam habebunt qualitatis4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illustration ,corol4 #a4 ,unde si per ,b ducatur tangenti parallela ,,bf rectam quamvis ,,af per ,a transeuntem perpetuo secans in ,f1 hc ultimo ad arcum evanescentem ,,ab rationem habebit qualitatis1 eo quod completo parallelogrammo ,,afbd1 rationem semper habet qualitatis ad ,,ad4 ,corol4 #b4 ,et si per ,b ,a ducantur plures rect ,,be1 ,,bd1 ,,af1 ,,ag1 secantes tangentem ,,ad ipsius parallelam ,,bf1 ratio ultima abscissarum omnium ,,ad1 ,,ae1 ,,bf1 ,,bg1 chordq2 arcus ,,ab ad invicem erit ratio qualitatis4 ,corol4 #c4 ,et propterea h omnes line in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt4 ,lemma ,,viii4 ,illustration ,si rect dat ,,ar1 ,,br cum arcu ,,ab1 chorda ,,ab tangente ,,ad1 triangula tria ,,arb1 ,,arb1 ,,ard constituunt1 dein puncta ,a1 ,b accedunt ad invicem3 dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis1 ultima ratio qualitatis4 ,nam producantur ,,ab1 ,,ad1 ,,ar ad b1 d r4 ,ipsi ,,rd agatur parallela rbd1 arcui ,,ab similis ducatur arcus ,ab4 ,coeuntibus punctis ,a1 ,b1 angulus b,ad evanescet1 propterea triangula tria r,ab1 r,ab1 r,ad coincident1 suntq2 eo nomine similia qualia4 ,unde hisce semper similia proportionalia ,,rab1 ,,rab1 ,,rad fient ultimo sibi invicem similia qualia4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt4 ,lemma ,,ix4 ,illustration ,si recta ,,ae ,curva ,,ac positione dat se mutuo secent in angulo dato ,a1 ad rectam illam in alio dato angulo ordinatim applicentur ,,bd1 ,,ec1 curv occurrentes in ,b1 ,c2 dein puncta ,b1 ,c accedant ad punctum ,a3 dico quod are triangulorum ,,adb1 ,,aec erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum4 ,etenim in ,,ad producta capiantur ,ad1 ,ae ipsis ,,ad1 ,,ae proportionales1 erigantur ordinat db1 ec ordinatis ,,db1 ,,ec parallel proportionales4 ,producatur ,,ac ad c1 ducatur curva ,abc ipsi ,,abc similis1 recta ,ag tangatur curva utraq2 in ,a2 secantur ordinatim applicat in ,f1 ,g1 f1 g4 ,tum coeant puncta ,b1 ,c cum puncto ,a1 angulo c,ag evanescente1 coincident are curviline ,abd1 ,ace cum rectilineis ,afd1 ,age1 adeoq2 per ,lemma ,v1 erunt in duplicata ratione laterum ,ad1 ,ae3 ,sed his areis proportionales semper sunt are ,,abd1 ,,ace1 his lateribus latera ,,ad1 ,,ae4 ,ergo are ,,abd1 ,,ace sunt ultimo in duplicata ratione laterum ,,ad1 ,,ae4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lemma ,x4 ,spatia1 qu corpus urgente quacunq2 vi regulari describit1 sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum4 ,exponantur tempora per lineas ,,ad1 ,,ae1 velocitates genit per ordinatas ,,db1 ,,ec1 spatia his velocitatibus descripta erunt ut are ,,abd1 ,,ace his ordinatis descript1 hoc est ipso motus initio 7per ,lemma ,,ix7 in duplicata ratione temporum ,,ad1 ,,ae4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,et hinc facile colligitur1 quod corporum similes similium figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores1 qui viribus qualibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis generantur1 mensurantur a locis figurarum1 ad qu corpora temporibus ijsdem proportionalibus absq2 viribus istis pervenirent1 sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime4 ,corol4 #b4 ,errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis generantur1 sunt ut vires quadrata temporum conjunctim4 ,lemma ,,xi4 ,subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata subtens arcus contermini4 ,illustration ,cas4 #a4 ,sit arcus ille ,,ab1 tangens ejus ,,ad1 subtensa anguli contactus ad tangentem perpendicularis ,,bd1 subtensa arcus ,,ab4 ,huic subtens ,,ab tangenti ,,ad perpendiculares erigantur ,,ag1 ,,bg1 concurrentes in ,g2 dein accedant puncta ,d1 ,b1 ,g1 ad puncta d1 b1 g1 sitq2 ,j intersectio linearum ,,bg1 ,,ag ultimo facta ubi puncta ,d1 ,b accedunt usq2 ad ,a4 ,manifestum est quod distantia ,,gj minor esse potest quam assignata quvis4 ,est autem 7ex natura circulorum per puncta ,,abg1 ,abg transeuntium7 ,,ab quad4 quale ,,ag ,,bd ,ab quad4 quale ,ag bd1 adeoq2 ratio ,,ab quad4 ad ,ab quad4 componitur ex rationibus ,,ag ad ,ag ,,bd ad bd4 ,sed quoniam ,,jg assumi potest minor longitudine quavis assignata1 fieri potest ut ratio ,,ag ad ,ag minus differat a ratione qualitatis quam pro differentia quavis assignata1 adeoq2 ut ratio ,,ab quad4 ad ,ab quad4 minus differat a ratione ,,bd ad bd quam pro differentia quavis assignata4 ,est ergo1 per ,lemma ,i1 ratio ultima ,,ab quad4 ad ,ab quad4 qualis rationi ultim ,,bd ad bd4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,inclinetur jam ,,bd ad ,,ad in angulo quovis dato1 eadem semper erit ratio ultima ,,bd ad bd qu prius1 adeoq2 eadem ac ,,ab quad4 ad ,ab quad4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #c4 ,et quamvis angulus ,d non detur1 tamen anguli ,d1 d ad qualitatem semper vergent propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis assignata1 adeoq2 ultimo quales erunt1 per ,lem4 ,i4 propterea line ,,bd1 bd in eadem ratione ad invicem ac prius4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,unde cum tangentes ,,ad1 ,ad1 arcus ,,ab1 ,ab eorum sinus ,,bc1 bc fiant ultimo chordis ,,ab1 ,ab quales2 erunt etiam illorum quadrata ultimo ut subtens ,,bd1 bd4 ,corol4 #b4 ,triangula rectilinea ,,adb1 ,adb sunt ultimo in triplicata ratione laterum ,,ad1 ,ad1 inq2 sesquiplicata laterum ,,db1 db3 ,utpote in composita ratione laterum ,,ad ,,db1 ,ad db existentia4 ,sic triangula ,,abc1 ,abc sunt ultimo in triplicata ratione laterum ,,bc1 bc4 ,corol4 #c4 ,et quoniam ,,db1 db sunt ultimo parallel in duplicata ratione ipsarum ,,ad1 ,ad2 erunt are ultim curviline ,,adb1 ,adb 7ex natura ,parabol7 du terti partes triangulorum rectilineorum ,,adb1 ,adb1 segmenta ,,ab1 ,ab partes terti eorundem triangulorum4 ,et inde h are hc segmenta erunt in triplicata ratione tum tangentium ,,ad1 ,ad2 tum chordarum arcuum ,,ab1 ,ab4 ,scholium4 ,cterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite majorem esse angulis contactuum1 quos circuli continent cum tangentibus suis1 nec iisdem infinite minorem2 hoc est curvaturam ad punctum ,a1 nec infinite parvam esse nec infinite magnam1 seu intervallum ,,aj finit esse magnitudinis4 ,capi enim potest ,,db ut ,,ad#c3 quo in casu circulus nullus per punctum ,a inter tangentem ,,ad curvam ,,ab duci potest1 proindeq2 angulus contactus erit infinite minor circularibus4 ,et simili argumento si fiat ,,db successive ut ,,ad#d1 ,,ad#e1 ,,ad#f1 ,,ad#g1 c4 habebitur series angulorum contactus pergens in infinitum1 quorum quilibet posterior est infinite minor priore4 ,et si fiat ,,db successive ut ,,ad#b1 ,,ad#c_/b1 ,,ad#d_/c1 ,,ad#e_/d1 ,,ad#f_/e1 ,,ad#g_/f1 c4 habebitur alia series infinita angulorum contactus1 quorum primus est ejusdem generis cum circularibus1 secundus infinite major1 quilibet posterior infinite major priore4 ,sed inter duos quosvis ex his angulis potest series utrinq2 in infinitum pergens angulorum intermediorum inseri1 quorum quilibet posterior erit infinite major priore4 ,ut si inter terminos ,,ad#b ,,ad#c inseratur series ,,ad#ac_/f1 ,,ad#aa_/e1 ,,ad#i_/d1 ,,ad#g_/c1 ,,ad#e_/b1 ,,ad#h_/c1 ,,ad#aa_/d1 ,,ad#ad_/e1 ,,ad#ag_/f1 c4 ,et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri potest series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis differentium4 ,neq2 novit natura limitem4 ,qu de curvis lineis deq2 superficiebus comprehensis demonstrata sunt1 facile applicantur ad solidorum superficies curvas contenta4 ,prmisi vero hc ,lemmata ut effugerem tdium deducendi perplexas demonstrationes1 more veterum ,geometrarum1 ad absurdum4 ,contractiores enim redduntur demonstrationes per methodum indivisibilium4 ,sed quoniam durior est indivisibilium ,hypothesis2 propterea ,methodus illa minus ,geometrica censetur1 malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum evanescentium summas rationes1 primasq2 nascentium1 id est1 ad limites summarum rationum deducere1 propterea limitum illorum demonstrationes qua potui breuitate prmittere4 ,his enim idem prstatur quod per methodum indivisibilium1 principiis demonstratis jam tutius utemur4 ,proinde in sequentibus1 siquando quantitates tanquam ex particulis constantes consideravero1 vel si pro rectis usurpavero lineolas curvas1 nolim indivisibilia sed evanescentia divisibilia1 non summas rationes partium determinatarum1 sed summarum rationum limites semper intelligi1 vimq2 talium demonstrationum ad methodum prcedentium ,lemmatum semper revocari4 ,objectio est1 quod quantitatum evanescentium nulla sit ultima proportio2 quippe qu1 antequam evanuerunt1 non est ultima1 ubi evanuerunt1 nulla est4 ,sed eodem argumento que contendi posset nullam esse corporis ad certum locum pergentis velocitatem ultimam4 ,hanc enim1 antequam corpus attingit locum1 non esse ultimam1 ubi attigit1 nullam esse4 ,et responsio facilis est4 ,per velocitatem ultimam intelligi eam1 qua corpus movetur neq2 antequam attingit locum ultimum motus cessat1 neq2 postea1 sed tunc cum attingit1 id est illam ipsam velocitatem quacum corpus attingit locum ultimum quacum motus cessat4 ,et similiter per ultimam rationem quantitatum evanescentium intelligendam esse rationem quantitatum non antequam evanescunt1 non postea1 sed quacum evanescunt4 ,pariter ratio prima nascentium est ratio quacum nascuntur4 ,et summa prima ultima est quacum esse 7vel augeri minui7 incipiunt cessant4 ,extat limes quem velocitas in fine motus attingere potest1 non autem transgredi4 ,hc est velocitas ultima4 ,et par est ratio limitis quantitatum proportionum omnium incipientium cessantium4 ,cumq2 hic limes sit certus definitus1 ,problema est vere ,geometricum eundem determinare4 ,geometrica vero omnia in aliis ,geometricis determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur4 ,contendi etiam potest1 quod si dentur ultim quantitatum evanescentium rationes1 dabuntur ultim magnitudines2 sic quantitas omnis constabit ex indivisibilibus1 contra quam ,euclides de incommensurabilibus1 in libro decimo ,elementorum1 demonstravit4 ,verum hc ,objectio fals innititur hypothesi4 ,ultim rationes ill quibuscum quantitates evanescunt1 revera non sunt rationes quantitatum ultimarum1 sed limites ad quos quantitatum sine limite decrescentium rationes semper appropinquant1 quas propius assequi possunt quam pro data quavis differentia1 nunquam vero transgredi1 neq2 prius attingere quam quantitates diminuuntur in infinitum4 ,res clarius intelligetur in infinite magnis4 ,si quantitates du quarum data est differentia augeantur in infinitum1 dabitur harum ultima ratio1 nimirum ratio qualitatis1 nec tamen ideo dabuntur quantitates ultim seu maxim quarum ista est ratio4 ,igitur in sequentibus1 siquando facili rerum imaginationi consulens1 dixero quantitates quam minimas1 vel evanescentes vel ultimas1 cave intelligas quantitates magnitudine determinatas1 sed cogita semper diminuendas sine limite4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,ii4 ,de ,inventione ,virium ,centripetarum4 ,prop4 ,i4 ,theorema4 ,i4 ,areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis describunt1 in planis immobilibus consistere1 esse temporibus proportionales4 ,illustration ,dividatur tempus in partes quales1 prima temporis parte describat corpus vi insita rectam ,,ab4 ,idem secunda temporis parte1 si nil impediret1 recta pergeret ad c1 7per ,leg4 ,i7 describens lineam ,bc qualem ipsi ,,ab1 adeo ut radiis ,,as1 ,,bs1 c,s ad centrum actis1 consect forent quales are ,,asb1 ,b,sc4 ,verum ubi corpus venit ad ,b1 agat vis centripeta impulsu unico sed magno1 faciatq2 corpus a recta ,bc deflectere pergere in recta ,,bc4 ,ipsi ,,bs parallela agatur c,c occurrens ,,bc in ,c1 completa secunda temporis parte1 corpus 7per ,legum ,corol4 ,i7 reperietur in ,c1 in eodem plano cum triangulo ,,asb4 ,junge ,,sc1 triangulum ,,sbc1 ob parallelas ,,sb1 ,cc1 quale erit triangulo ,s,bc1 atq2 adeo etiam triangulo ,,sab4 ,simili argumento si vis centripeta successive agat in ,c1 ,d1 ,e1 c4 faciens ut corpus singulis temporis particulis singulas describat rectas ,,cd1 ,,de1 ,,ef1 c4 jacebunt h in eodem plano1 triangulum ,,scd triangulo ,,sbc ,,sde ipsi ,,scd ,,sef ipsi ,,sde quale erit4 qualibus igitur temporibus quales are in plano immoto describuntur3 componendo1 sunt arearum summ quvis ,,sads1 ,,safs inter se1 ut sunt tempora descriptionum4 ,augeatur jam numerus minuatur latitudo triangulorum in infinitum1 eorum ultima perimeter ,,adf1 7per ,corollarium quartum ,lemmatis tertii7 erit linea curva2 adeoq2 vis centripeta qua corpus de tangente hujus curv perpetuo retrahitur1 aget indesinenter2 are vero quvis descript ,,sads1 ,,safs temporibus descriptionum semper proportionales1 erunt iisdem temporibus in hoc casu proportionales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,in mediis non resistentibus1 si are non sunt temporibus proportionales1 vires non tendunt ad concursum radiorum4 ,corol4 #b4 ,in mediis omnibus1 si arearum descriptio acceleratur1 vires non tendunt ad concursum radiorum1 sed inde declinant in consequentia4 ,pro4 ,,ii4 ,theor4 ,,ii4 ,corpus omne quod1 cum movetur in linea aliqua curva1 radio ducto ad punctum vel immobile1 vel motu rectilineo uniformiter progrediens1 describit areas circa punctum illud temporibus proportionales1 urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum4 ,cas4 #a4 ,nam corpus omne quod movetur in linea curva1 detorquetur de cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem4 7per ,leg4 ,i47 ,et vis illa qua corpus de cursu rectilineo detorquetur cogitur triangula quam minima ,,sab1 ,,sbc1 ,,scd c4 circa punctum immobile ,s1 temporibus qualibus qualia describere1 agit in loco ,b secundum lineam parallelam ipsi c,c 7per ,prop4 #dj ,lib4 ,i ,elem4 ,leg4 ,,ii47 hoc est secundum lineam ,,bs in loco ,c secundum lineam ipsi d,d parallelam1 hoc est secundum lineam ,,cs1 c4 ,agit ergo semper secundum lineas tendentes ad punctum illud immobile ,s4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,et1 per ,legum ,corollarium quintum1 perinde est sive quiescat superficies in qua corpus describit figuram curvilineam1 sive moveatur eadem una cum corpore1 figura descripta puncto suo ,s uniformiter in directum4 ,scholium4 ,urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus4 ,in hoc casu sensus ,propositionis est1 quod vis illa qu ex omnibus componitur1 tendit ad punctum ,s4 ,porro si vis aliqua agat secundum lineam superficiei descript perpendicularem1 hc faciet corpus deflectere a plano sui motus1 sed quantitatem superficiei descript nec augebit nec minuet1 propterea in compositione virium negligenda est4 ,prop4 ,,iii4 ,theor4 ,,iii4 ,corpus omne quod1 radio ad centrum corporis alterius utcunq2 moti ducto1 describit areas circa centrum illud temporibus proportionales1 urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum ex vi omni acceleratrice1 qua corpus alterum urgetur4 ,nam 7per ,legum ,corol4 #f47 si vi nova1 qu qualis contraria sit illi qua corpus alterum urgetur1 urgeatur corpus utrumq2 secundum lineas parallelas1 perget corpus primum describere circa corpus alterum areas easdem ac prius3 vis autem qua corpus alterum urgebatur1 jam destruetur per vim sibi qualem contrariam1 propterea 7per ,leg4 #a47 corpus illud alterum vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum1 corpus primum1 urgente differentia virium1 perget areas temporibus proportionales circa corpus alterum describere4 ,tendit igitur 7per ,theor4 #b47 differentia virium ad corpus illud alterum ut centrum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas temporibus proportionales1 atq2 de vi tota 7sive simplici1 sive ex viribus pluribus1 juxta ,legum ,corollarium secundum1 composita17 qua corpus prius urgetur1 subducatur 7per idem ,legum ,corollarium7 vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur2 vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alterum ut centrum4 ,corol4 #b4 ,et si are ill sunt temporibus quamproxime proportionales1 vis reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime4 ,corol4 #c4 ,et vice versa1 si vis reliqua tendit quamproxime ad corpus alterum1 erunt are ill temporibus quamproxime proportionales4 ,corol4 #d4 ,si corpus radio ad alterum corpus ducto describit areas qu1 cum temporibus collat1 sunt valde inquales1 corpus illud alterum vel quiescit vel movetur uniformiter in directum2 actio vis centripet ad corpus illud alterum tendentis1 vel nulla est1 vel miscetur componitur cum actionibus admodum potentibus aliarum virium3 ,visq2 tota ex omnibus1 si plures sunt vires1 composita1 ad aliud 7sive immobile sive mobile7 centrum dirigitur1 circum quod quabilis est arearum descriptio4 ,idem obtinet ubi corpus alterum motu quocunq2 movetur1 si modo vis centripeta sumatur1 qu restat post subductionem vis totius agentis in corpus illud alterum4 ,scholium ,quoniam quabilis arearum descriptio ,index est centri quod vis illa respicit qua corpus maxime afficitur1 corpus autem vi ad hoc centrum tendente retinetur in orbita sua1 motus omnis circularis recte dicitur circa centrum illud fieri1 cujus vi corpus retrahitur de motu rectilineo retinetur in ,orbita3 quidni usurpemus in sequentibus quabilem arearum descriptionem ut ,indicem centri circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis peragitur8 ,prop4 ,,iv4 ,theor4 ,,iv4 ,corporum qu diversos circulos quabili motu describunt1 vires centripetas ad centra eorundem circulorum tendere1 esse inter se ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum radios4 ,illustration ,corpora ,b1 b in circumferentiis circulorum ,,bd1 bd gyrantia1 simul describant arcus ,,bd1 bd4 ,quoniam sola vi insita describerent tangentes ,,bc1 bc his arcubus quales1 manifestum est quod vires centripet sunt qu perpetuo retrahunt corpora de tangentibus ad circumferentias circulorum1 atq2 adeo h sunt ad invicem in ratione prima spatiorum nascentium ,,cd1 cd3 tendunt vero ad centra circulorum per ,theor4 ,,ii1 propterea quod are radiis descript ponuntur temporibus proportionales4 ,fiat figura tkb figur ,,dcb similis1 per ,lemma ,v1 lineola ,,cd erit ad lineolam kt ut arcus ,,bd ad arcum bt3 nec non1 per ,lemma ,,xi1 lineola nascens tk ad lineolam nascentem dc ut bt quad4 ad bd quad4 ex quo lineola nascens ,,dc ad lineolam nascentem dc ut ,,bd bt ad bd quad4 seu quod perinde est1 ut ,,bd bt ,sb ad bd quad4 ,sb1 adeoq2 7ob quales rationes bt ,sb ,,bd ,,sb7 ut ,,bd quad4 ,,sb ad bd quad4 ,sb ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc vires centripet sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum4 ,corol4 #b4 ,et reciproce ut quadrata temporum periodicorum applicata ad radios ita sunt h vires inter se4 ,id est 7ut cum ,geometris loquar7 h vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe ratione simplici radiorum inverse3 necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe ratione duplicata temporum periodicorum inverse4 ,corol4 #c4 ,unde si tempora periodica quantur1 erunt tum vires centripet tum velocitates ut radii1 vice versa4 ,corol4 #d4 ,si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii1 vires centripet sunt quales1 velocitates in dimidiata ratione radiorum3 ,et vice versa4 ,corol4 #e4 ,si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata radiorum1 vires centripet sunt reciproce ut radii1 velocitates quales2 ,et vice versa4 ,corol4 #f4 ,si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum1 vires centripeta3 sunt reciproce ut quadrata radiorum2 velocitates autem in radiorum dimidiata ratione3 ,et vice versa4 ,corol4 #g4 ,eadem omnia de temporibus1 velocitatibus viribus1 quibus corpora similes figurarum quarumcunq2 similium1 centraq2 similiter posita habentium1 partes describunt1 consequuntur ex ,demonstratione prcedentium ad hosce casus applicata4 ,scholium4 ,casus ,corollarii sexti obtinet in corporibus clestibus 7ut seorsum colligerunt etiam nostrates ,wrennus1 ,hookius ,halleus7 propterea qu spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum a centris decrevi fusius in sequentibus exponere4 ,porro prcedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripet ad vim quamlibet notam1 qualis est ea gravitatis4 ,nam cum vis illa1 quo tempore corpus percurrit arcum ,,bc1 impellat ipsum per spatium ,,cd1 quod ipso motus initio quale est quadrato arcus illius ,,bd ad circuli diametrum applicato2 corpus omne vi eadem in eandem semper plagam continuata1 describat spatia in duplicata ratione temporum3 ,vis illa1 quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum describit1 efficiet ut corpus idem recta progrediens describat spatium quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato quale2 adeoq2 est ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit4 ,et hujusmodi ,propositionibus ,hugenius1 in eximio suo ,tractatu de ,horologio oscillatorio1 vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit4 ,demonstrari etiam possunt prcedentia in hunc modum4 ,in circulo quovis describi intelligatur ,polygonum laterum quotcunq2 ,et si corpus in ,polygoni lateribus data cum velocitate movendo1 ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur2 vis qua singulis reflexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas1 adeoq2 summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa numerus reflexionum conjunctim1 hoc est 7si ,polygonum detur specie7 ut longitudo dato illo tempore descripta longitudo eadem applicata ad ,radium circuli1 id est ut quadratum longitudinis illius applicatum ad ,radium2 adeoq2 si ,polygonum lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo1 ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium4 ,hc est vis qua corpus urget circulum1 huic qualis est vis contraria qua circulus continuo repellit corpus centrum versus4 ,prop4 ,v4 ,prob4 ,i4 ,illustration ,data quibuscunq2 in locis velocitate1 qua corpus figuram datam viribus ad commune aliquod centrum tendentibus describit1 centrum illud invenire4 ,figuram descriptam tangant rect tres ,,pt1 ,,tqv1 ,,vr in punctis totidem ,p1 ,q1 ,r1 concurrentes in ,t ,v4 ,ad tangentes erigantur perpendicula ,,pa1 ,,qb1 ,,rc1 velocitatibus corporis in punctis illis ,p1 ,q1 ,r a quibus eriguntur reciproce proportionalia2 id est ita ut sit ,,pa ad ,,qb ut velocitas in ,q ad velocitatem in ,p1 ,,qb ad ,,rc ut velocitas in ,r ad velocitatem in ,q4 ,per perpendiculorum terminos ,a1 ,b1 ,c ad angulos rectos ducantur ,,ad1 ,,dbe1 ,,ec concurrentia in ,d ,e3 ,et act ,,td1 ,,ve concurrent in centro qusito ,s4 ,nam cum corpus in ,p ,q radiis ad centrum ductis areas describat temporibus proportionales1 sintq2 are ill simul descript ut velocitates in ,p ,q duct respective in perpendicula a centro in tangentes ,,pt1 ,,qt demissa3 ,erunt perpendicula illa ut velocitates reciproce1 adeoq2 ut perpendicula ,,ap1 ,,bq directe1 id est ut perpendicula a puncto ,d in tangentes demissa4 ,unde facile colligitur quod puncta ,s1 ,d1 ,t sunt in una recta4 ,et simili argumento puncta ,s1 ,e1 ,v sunt etiam in una recta2 propterea centrum ,s in concursu rectarum ,,td1 ,,ve versatur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,pro4 ,,vi4 ,theor4 ,v4 ,si corpus ,p revolvendo circa centrum ,s1 describat lineam quamvis curvam ,,apq1 tangat vero recta ,,zpr curvam illam in puncto quovis ,p1 ad tangentem ab alio quovis curv ,q agatur ,,qr distanti ,,sp parallela1 ac demittatur ,,qt perpendicularis ad distantiam ,,sp3 ,dico quod vis centripeta sit reciproce ut solidum ,,sp quad4 ,,qt quad4 ,,qr1 si modo solidi illius ea semper sumatur quantitas qu ultimo fit ubi coeunt puncta ,p ,q4 ,illustration ,namq2 in figura indefinite parva ,,qrpt lineola nascens ,,qr1 dato tempore1 est ut vis centripeta 7per ,leg4 ,,ii47 data vi1 ut quadratum temporis 7per ,lem4 ,x47 atq2 adeo1 neutro dato1 ut vis centripeta quadratum temporis conjunctim1 adeoq2 vis centripeta ut lineola ,,qr directe quadratum temporis inverse4 ,est autem tempus ut area ,,spq1 ejus dupla ,,sp ,,qt1 id est ut ,,sp ,,qt conjunctim1 adeoq2 vis centripeta ut ,,qr directe atq2 ,,sp quad4 in ,,qt quad4 inverse1 id est ut ,,sp quad4 ,,qt quad4 ,,qr inverse4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,hinc si detur figura quvis1 in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur2 inveniri potest lex vis centripet qu corpus in figur illius perimetro gyrari faciet4 ,nimirum computandum est solidum ,,sp quad4 ,,qt quad4 ,,qr huic vi reciproce proportionale4 ,ejus rei dabimus exempla in problematis sequentibus4 ,prop4 ,,vii4 ,prob4 ,,ii4 ,illustration ,gyretur corpus in circumferentia circuli1 requiritur lex vis centripet tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum4 ,esto circuli circumferentia ,,sqpa1 centrum vis centripet ,s1 corpus in circumferentia latum ,p1 locus proximus in quem movebitur ,q4 ,ad diametrum ,,sa rectam ,,sp demitte perpendiculi ,,pk1 ,,qt1 per ,q ipsi ,,sp parallelam age ,,lr occurrentem circulo in ,l tangenti ,,pr in ,r1 coeant ,,tq1 ,,pr in ,z4 ,ob similitudinem triangulorum ,,zqr1 ,,ztp1 ,,spa erit ,,rp quad4 7hoc est ,,qrl7 ad ,,qt quad4 ut ,,sa quad4 ad ,,sp quad4 ,ergo ,,qrl ,,sp quad4 ,,sa quad4 quatur ,,qt quad4 ,ducantur hc qualia in ,,sp quad4 ,,qr1 punctis ,p ,q coeuntibus1 scribatur ,,sp pro ,,rl4 ,sic fiet ,,sp qc4 ,s,aq4 quale ,q,tq4 ,s,pq4 ,,qr4 ,ergo 7per ,corol4 ,theor4 ,v47 vis centripeta reciproce est ut ,,sp qc4 ,s,aq41 id est 7ob datum ,,sa quad47 ut quadrato-cubus distanti ,,sp4 ,quod erat inveniendum4 ,prop4 ,,viii4 ,prob4 ,,iii4 ,illustration ,moveatur corpus in circulo ,,pqa3 ad hunc effectum requiritur lex vis centripet tendentis ad punctum adeo longinquum1 ut line omnes ,,ps1 ,,rs ad id duct1 pro parallelis haberi possint4 ,a circuli centro ,c agatur semidiameter ,,ca parallelas istas perpendiculariter secans in ,m ,n1 jungantur ,,cp4 ,ob similia triangula ,,cpm1 ,,tpz1 vel 7per ,lem4 ,,viii47 ,,tpq1 est ,c,pq4 ad ,p,mq4 ut ,p,qq4 vel 7per ,lem4 ,,vii47 ,p,rq4 ad ,q,tq4 ex natura circuli rectangulum ,,qr ,,rn ,,qn quale est ,,pr quadrato4 ,coeuntibus autem punctis ,p1 ,q fit ,,rn ,,qn qualis #b,,pm4 ,ergo est ,,cp quad4 ad ,,pm quad4 ut ,,qr #b,,pm ad ,,qt quad4 adeoq2 ,,qt quad4 ,,qr quale #b,,pm cub4 ,,cp quad41 ,,qt quad4 ,,sp quad4 ,,qr quale #b,,pm cub4 ,,sp quad4 ,,cp quad4 ,est ergo 7per ,corol4 ,theor4 ,v47 vis centripeta reciproce ut #b,,pm cub4 ,,sp quad4 ,,cp quad4 hoc est 7neglecta ratione determinata #b,,sp quad4 ,,cp quad47 reciproce ut ,,pm cub4 ,q4 ,e4 ,i4 ,scholium4 ,et simili argumento corpus movebitur in ,ellipsi vel etiam in ,hyperbola vel ,parabola1 vi centripeta qu sit reciproce ut cubus ordinatim applicat ad centrum virium maxime longinquum tendentis4 ,prop4 ,,ix4 ,prob4 ,,iv4 ,illustration ,gyretur corpus in spiral ,,pqs secante radios omnes ,,sp1 ,,sq1 c4 in angulo dato3 ,requiritur lex vis centripet tendentis ad centrum spiralis4 ,detur angulus indefinite parvus ,,psq1 ob datos omnes angulos dabitur specie figura ,,spqrt4 ,ergo datur ratio ,,qt ,,rq estq2 ,,qt quad4 ,,qr ut ,,qt1 hoc est ut ,,sp4 ,mutetur jam utcunq2 angulus ,,psq1 recta ,,qr angulum contactus ,,qpr subtendens mutabitur 7per ,lemma ,,xi47 in duplicata ratione ipsius ,,pr vel ,,qt4 ,ergo manebit ,,qt quad4 ,,qr eadem qu prius1 hoc est ut ,,sp4 ,quare ,q,tq4 ,s,pq4 ,,qr est ut ,,sp cub4 id est 7per ,corol4 ,theor4 ,v47 vis centripeta ut cubus distanti ,,sp4 ,q4 ,e4 ,i4 ,lemma ,,xii4 ,parallelogramma omnia circa datam ,ellipsin descripta esse inter se qualia4 ,idem intellige de ,parallelogrammis in ,hyperbola circum diametros ejus descriptis4 ,constat utrumq2 ex ,conicis4 ,prop4 ,x4 ,prob4 ,v4 ,gyretur corpus in ,ellipsi3 requiritur lex vis centripet tendentis ad centrum ,ellipseos4 ,illustration ,sunto ,,ca1 ,,cb semiaxes ,ellipseos2 ,,gp1 ,,dk diametri conjugat2 ,,pf1 ,qt1 perpendicula ad diametros2 ,qv ordinatim applicata ad diametrum ,,gp2 si compleatur parallelogrammum ,qv,r,p1 erit 7ex ,conicis7 ,pv,g ad ,qv quad4 ut ,,pc quad4 ad ,,cd quad4 7ob similia triangula ,qvt1 ,,pcf7 ,qv quad4 est ad ,qt quad4 ut ,,pc quad4 ad ,,pf quad4 conjunctis rationibus1 ,pv,g ad ,qt quad4 ut ,,pc quad4 ad ,,cd quad4 ,,pc quad4 ad ,,pf quad4 id est v,g ad ,qt quad4 ,pv ut ,,pc quad4 ad ,c,dq4 ,p,fq4 ,p,cq44 ,scribe ,,qr pro ,pv1 7per ,lemma xii47 ,,bc ,,ca pro ,,cd ,,pf1 nec non 7punctis ,p ,q coeuntibus7 #b,,pc pro v,g1 ductis extremis medijs in se mutuo1 fiet ,q,tq4 ,p,cq4 ,,qr quale #b;,b,cq4 ,c,aq4 ,,pc4 ,est ergo 7per ,corol4 ,theor4 ,v47 vis centripeta reciproce ut #b;,b,cq4 ,c,aq4 ,,pc1 id est 7ob datum #b;,b,cq4 ,c,aq47 ut #a ,,pc1 hoc est1 directe ut distantia ,,pc4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,unde vicissim si vis sit ut distantia1 movebitur corpus in ,ellipsi centrum habente in centro virium1 aut forte in circulo1 in quem ,ellipsis migrare potest4 ,corol4 #b4 ,et qualia erunt revolutionum in ,figuris universis circa centrum idem factarum periodica tempora4 ,nam tempora illa in ,ellipsibus similibus qualia sunt per ,corol4 #c #g ,prop4 ,,iv3 ,in ,ellipsibus autem communem habentibus axem majorem1 sunt ad invicem ut ,ellipseon are tot directe arearum particul simul descript inverse2 id est ut axes minores directe corporum velocitates in verticibus principalibus inverse1 hoc est ut axes illi directe ordinatim applicat ad axes alteros inverse1 propterea 7ob qualitatem rationum directarum inversarum7 in ratione qualitatis4 ,scholium4 ,si ,ellipsis1 centro in infinitum abeunte1 vertatur in ,parabolam1 corpus movebitur in hac ,parabola1 vis ad centrum infinite distans jam tendens1 evadet quabilis4 ,hoc est ,theorema ,galilei4 ,et si ,conisectio ,parabolica1 inclinatione plani ad conum sectum mutata1 vertatur in ,hyperbolam1 movebitur corpus in hujus perimetro1 vi centripeta in centrifugam versa4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,iii4 ,de motu ,corporum in ,conicis ,sectionibus excentricis4 ,prop4 ,,xi4 ,prob4 ,,vi4 ,revolvatur corpus in ,ellipsi3 ,requiritur lex vis centripet tendentis ad umbilicum ,ellipseos4 ,illustration ,esto ,ellipseos superioris umbilicus ,s4 ,agatur ,,sp secans ,ellipseos tum diametrum ,,dk in ,e1 tum ordinatim applicatam ,qv in x1 compleatur parallelogrammum ,qx,p,r4 ,patet ,,ep qualem esse semiaxi majori ,,ac1 eo quod acta ab altero ,ellipseos umbilico ,h linea ,,hi ipsi ,,ec parallela1 7ob quales ,,cs1 ,,ch7 quentur ,,es1 ,,ei1 adeo ut ,,ep semisumma sit ipsarum ,,ps1 ,,pi1 id est 7ob parallelas ,,hi1 ,,pr angulos quales ,,ipr1 ,,hpz7 ipsorum ,,ps1 ,,ph1 qu conjunctim axem totum #b;,,ac adquant4 ,ad ,,sp demittatur perpendicularis ,,qt1 ,ellipseos latere recto principali 7seu #b;,,bc quad4 ,,ac7 dicto ,l1 erit ,l ,,qr ad ,l ,pv ut ,,qr ad ,pv2 id est ut ,,pe 7seu ,,ac7 ad ,,pc2 ,l ,pv ad ,gv,p ut ,l ad ,gv2 ,gv,p ad ,qv quad4 ut ,,cp quad4 ad ,,cd quad42 7per ,lem4 ,,viii47 ,qv quad4 ad ,qx quad4 punctis ,q ,p coeuntibus1 est ratio qualitatis1 ,qx quad4 seu ,qv quad4 est ad ,,qt quad4 ut ,,ep quad4 ad ,,pf quad41 id est ut ,,ca quad4 ad ,,pf quad4 sive 7per ,lem4 ,,xii47 ut ,,cd quad4 ad ,,cb quad4 ,et conjunctis his omnibus rationibus1 ,l ,,qr fit ad ,,qt quad4 ut ,,ac ad ,,pc ,l ad ,gv ,c,pq4 ad ,c,dq4 ,c,dq4 ad ,c,bq4 id est ut ,,ac ,l 7seu #b;,c,bq47 ,c,pq4 ad ,,pc ,gv ,c,bq4 sive ut #b,,pc ad ,gv4 ,sed punctis ,q ,p coeuntibus1 quantur #b,,pc ,gv4 ,ergo his proportionalia ,l ,,qr ,,qt quad4 quantur4 ,ducantur hc aqualia in ,s,pq4 ,,qr fiet ,l ,s,pq4 quale ,s,pq4 ,q,tq4 ,,qr4 ,ergo 7per ,corol4 ,theor4 ,v47 vis centripeta reciproce est ut ,l ,s,pq4 id est reciproce in ratione duplicata distanti ,,sp4 ,q4 ,e4 ,i4 ,eadem brevitate qua traduximus ,problema quintum ad ,parabolam1 ,hyperbolam1 liceret idem hic facere3 verum ob dignitatem ,problematis usum ejus in sequentibus1 non pigebit casus cteros demonstratione confirmare4 ,prop4 ,,xii4 ,prob4 ,,vii4 ,moveatur corpus in ,hyperbola3 requiritur lex vis centripet tendentis ad umbilicum figur4 ,illustration ,sunto ,,ca1 ,,cb semi-axes ,hyperbol2 ,,pg1 ,,kd diametri conjugat2 ,,pf1 ,qt perpendicula ad diametros2 ,qv ordinatim applicata ad diametrum ,,gp4 ,agatur ,,sp secans tum diametrum ,,dk in ,e1 tum ordinatim applicatam ,qv in x1 compleatur parallelogrammum ,q,r,px4 ,patet ,,ep qualem esse semi-axi transverso ,,ac1 eo quod1 acta ab altero ,hyperbol umbilico ,h linea ,,hi ipsi ,,ec parallela1 ob quales ,,cs1 ,,ch1 quentur ,,es1 ,,ei2 adeo ut ,,ep semidifferentia sit ipsarum ,,ps1 ,,pi1 id est 7ob parallelas ,,hi1 ,,pr angulos quales ,,ipr1 ,,hpz7 ipsarum ,,pi1 ,,ph1 quarum differentia axem totum #b;,,ac adquat4 ,ad ,,sp demittatur perpendicularis ,,qt4 ,et ,hyperbol latere recto principali 7seu #b;,b,cq4 ,,ac7 dicto ,l1 erit ,l ,,qr ad ,l ,pv ut ,,qr ad ,pv1 id est1 ut ,,pe 7seu ,,ac7 ad ,,pc2 ,et ,l ,pv ad ,gv,p ut ,l ad ,gv2 ,gv,p ad ,qvq4 ut ,c,pq4 ad ,c,dq42 7per ,lem4 ,,viii47 ,qvq4 ad ,qxq41 punctis ,q ,p coeuntibus fit ratio qualitatis2 ,qxq4 seu ,qvq4 est ad ,q,tq4 ut ,e,pq4 ad ,p,fq41 id est ut ,c,aq4 ad ,p,fq41 sive 7per ,lem4 ,,xii47 ut ,c,dq4 ad ,c,bq43 conjunctis his omnibus rationibus ,l ,,qr fit ad ,q,tq4 ut ,,ac ad ,,pc ,l ad ,gv ,c,pq4 ad ,c,dq4 ,c,dq4 ad ,c,bq43 id est ut ,,ac ,l 7seu #b;,b,cq47 ,p,cq4 ad ,,pc ,gv ,,cb quad4 sive ut #b,,pc ad ,gv1 sed punctis ,q ,p coeuntibus quantur #b,,pc ,gv4 ,ergo his proportionalia ,l ,,qr ,q,tq4 quantur4 ,ducantur hc qualia in ,s,pq4 ,,qr fiet ,l ,s,pq4 quale ,s,pq4 ,q,tq4 ,,qr4 ,ergo 7per ,corol4 ,theor4 ,v47 vis centripeta reciproce est ut ,l ,s,pq4 id est in ratione duplicata distanti ,,sp4 ,q4 ,e4 ,i4 ,eodem modo demonstratur quod corpus1 hac vi centripeta in centrifugam versa1 movebitur in ,hyperbola conjugata4 ,lemma ,,xiii4 ,latus rectum ,parabol ad verticem quemvis pertinens1 est quadruplum distanti verticis illius ab umbilico figur4 ,patet ex ,conicis4 ,lemma ,,xiv4 ,illustration ,perpendiculum quod ab umbilico ,parabol ad tangentem ejus demittitur1 medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus a vertice principali figur4 ,sit enim ,,apq ,parabola1 ,s umbilicus ejus1 ,a vertex principalis1 ,p punctum contactus1 ,,po ordinatim applicata ad diametrum principalem1 ,,pm tangens diametro principali occurrens in ,m1 ,,sn linea perpendicularis ab umbilico in tangentem4 ,jungatur ,,an1 ob quales ,,ms ,,sp1 ,,mn ,,np1 ,,ma ,,ao1 parallel erunt rect ,,an ,,op1 inde triangulum ,,san rectangulum erit ad ,a simile triangulis qualibus ,,smn1 ,,spn4 ,ergo ,,ps est ad ,,sn ut ,,sn ad ,,sa4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,p,sq4 est ad ,s,nq4 ut ,,ps ad ,,sa4 ,corol4 #b4 ,et ob datam ,,sa1 est ,s,nq4 ut ,,ps4 ,corol4 #c4 ,et concursus tangentis cujusvis ,,pm cum recta ,,sn qu ab umbilico in ipsam perpendicularis est1 incidit in rectam ,,an1 qu ,parabolam tangit in vertice principali4 ,prop4 ,,xiii4 ,prob4 ,,viii4 ,moveatur corpus in perimetro ,parabol3 requiritur ,lex vis centripet tendentis ad umbilicum hujus figur4 ,illustration ,maneat constructio ,lemmatis1 sitq2 ,p corpus in perimetro ,parabol1 a loco ,q in quem corpus proxime movetur1 age ipsi ,,sp ,parallelam ,,qr perpendicularem ,,qt1 necnon ,qv tangentiparallelam occurrentem tum diametro ,,ypg in v1 tum distanti ,,sp in x4 ,jam ob similia triangula ,pxv1 ,,msp qualia unius latera ,,sm1 ,,sp1 qualia sunt alterius latera ,px seu ,,qr ,pv4 ,sed1 ex ,conicis1 quadratum ordinat ,qv quale est rectangulo sub latere recto segmento diametri ,pv1 id est 7per ,lem4 ,,xiii47 rectangulo #d,,ps ,pv seu #d,,ps ,,qr2 punctis ,p ,q coeuntibus1 ratio ,qv ad ,qx 7per ,lem4 #h47 fit qualitatis4 ,ergo ,qxq4 eo in casu1 quale est rectangulo #d,,ps ,,qr4 ,est autem 7ob quales angulos ,qx,t1 ,,mps1 ,,pmo7 ,qxq4 ad ,q,tq4 ut ,p,sq4 ad ,s,nq4 hoc est 7per ,corol4 ,i4 ,lem4 ,,xiv47 ut ,,ps ad ,,as1 id est ut #d,,ps ,,qr ad #d;,,as ,,qr1 inde 7per ,prop4 #i4 ,lib4 ,v4 ,elem47 ,q,tq4 #d;,,as ,,qr quantur4 ,ducantur hc qualia in ,s,pq4 ,,qr1 fiet ,s,pq4 ,q,tq4 ,,qr quale ,s,pq4 #d;,,as3 propterea 7per ,corol4 ,theor4 ,v47 vis centripeta est reciproce ut ,s,pq4 #d;,,as1 id est1 ob datam #d;,,as1 reciproce in duplicata ratione distanti ,,sp4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 ,i4 ,ex tribus novissimis ,proportionibus consequens est1 quod si corpus quodvis ,p1 secundum lineam quamvis rectam ,,pr1 quacunq2 cum velocitate exeat de loco ,p1 vi centripeta qu sit reciproce proportionalis quadrato distanti a centro1 simul agitetur2 movebitur hoc corpus in aliqua sectionum ,conicarum umbilicum habente in centro virium2 contra4 ,corol4 ,,ii4 ,et si velocitas1 quacum corpus exit de loco suo ,p1 ea sit1 qua lineola ,,pr in minima aliqua temporis particula describi possit1 vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere per spatium ,,qr3 movebitur hoc corpus in ,conica aliqua sectione cujus latus rectum est quantitas illa ,q,tq4 ,,qr qu ultimo fit ubi lineol ,,pr1 ,,qr in infinitum diminuuntur4 ,circulum in his ,corollariis refero ad ,ellipsin1 casum excipio ubi corpus recta descendit ad centrum4 ,prop4 ,,xiv4 ,theor4 ,,vi4 ,si corpora plura revolvantur circa centrum commune1 vis centripeta decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro2 dico quod ,orbium ,latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora1 radiis ad centrum ductis1 eodem tempore describunt4 ,nam per ,corol4 ,,ii4 ,prob4 ,,viii4 ,latus rectum ,l quale est quantitati ,q,tq4 ,,qr qu ultimo fit ubi coeunt puncta ,p ,q4 ,sed linea minima ,,qr1 dato tempore1 est ut vis centripeta generans1 hoc est 7per ,hypothesin7 reciproce ut ,s,pq4 ,ergo ,q,tq4 ,,qr est ut ,q,tq4 ,s,pq4 hoc est1 latus rectum ,l in duplicata ratione are ,,qt ,,sp4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,hinc ,ellipseos area tota1 eiq2 proportionale rectangulum sub axibus1 est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti integra ratione temporis periodici4 ,prop4 ,,xv4 ,theor4 ,,vii4 ,iisdem positis1 dico quod tempora periodica in ,ellipsibus sunt in ratione sesquiplicata transversorum axium4 ,namq2 axis minor est medius proportionalis inter axem majorem 7quem transversum appello7 latus rectum1 atq2 adeo rectangulum sub axibus est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti sesquiplicata ratione axis transversi4 ,sed hoc rectangulum1 per ,corollarium ,theorematis ,sexti1 est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti integra ratione periodici temporis4 ,dematur utrobiq2 dimidiata ratio lateris recti manebit sesquiplicata ratio axis transversi qualis rationi periodici temporis4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,sunt igitur tempora periodica in ,ellipsibus eadem ac in circulis1 quorum diametri quantur majoribus axibus ,ellipseon4 ,prop4 ,,xvi4 ,theor4 ,,viii4 ,iisdem positis1 actis ad corpora lineis rectis1 qu ibidem tangant orbitas1 demissisq2 ab umbilico communi ad has tangentes perpendicularibus3 dico quod velocitates corporum sunt in ratione composita ex ratione perpendiculorum inverse dimidiata ratione laterum rectorum directe4 ,vide ,fig4 ,prop4 ,x4 4 ,,xi4 ,ab umbilico ,s ad tangentem ,,pr demitte perpendiculum ,,sy velocitas corporis ,p erit reciproce in dimidiata ratione quantitatis ,s,yq4 ,l4 ,nam velocitas illa est ut arcus quam minimus ,,pq in data temporis particula descriptus1 hoc est 7per ,lem4 ,,vii47 ut tangens ,,pr1 id est 7ob proportionales ,,pr ad ,,qt ,,sp ad ,,sy7 ut ,,sp ,,qt ,,sy1 sive ut ,,sy reciproce ,,sp ,,qt directe2 estq2 ,,sp ,,qt ut area dato tempore descripta1 id est1 per ,theor4 ,,vi4 in dimidiata ratione lateris recti ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,latera recta sunt in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum duplicata ratione velocitatum4 ,corol4 #b4 ,velocitates corporum in maximis minimis ab umbilico communi distantiis1 sunt in ratione composita ex ratione distantiarum inverse dimidiata ratione laterum rectorum directe4 ,nam perpendicula jam sunt ips distanti4 ,corol4 #c4 ,ideoq2 velocitas in ,conica sectione1 in minima ab umbilico distantia1 est ad velocitatem in circulo in eadem a centro distantia1 in dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam duplicatam4 ,corol4 #d4 ,corporum in ,ellipsibus gyrantium velocitates in mediocribus distantiis ab umbilico communi sunt edem qu corporum gyrantium in circulis ad easdem distantias1 hoc est 7per ,corol4 ,,vi4 ,theor4 ,,iv47 reciproce in dimidiata ratione distantiarum4 ,nam perpendicula jam sunt semi-axes minores1 hi sunt ut medi proportionales inter distantias latera recta4 ,componatur hc ratio inverse cum dimidiata ratione laterum rectorum directe1 fiet ratio dimidiata distantiarum inverse4 ,corol4 #e4 ,in eadem vel qualibus figuris1 vel etiam in figuris inqualibus1 quarum latera recta sunt qualia1 velocitas corporis est reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem4 ,corol4 #f4 ,in ,parabola1 velocitas est reciproce in dimidiata ratione distanti corporis ab umbilico figur1 in ,ellipsi minor est1 in ,hyperbola major quam in hac ratione4 ,nam 7per ,corol4 #b ,lem4 ,,xiv47 perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem ,parabol est in dimidiata ratione distanti4 ,corol4 #g4 ,in ,parabola1 velocitas ubiq2 est ad velocitatem corporis revolventis in circulo ad eandem distantiam1 in dimidiata ratione numeri binarii ad unitatem2 in ,ellipsi minor est1 in ,hyperbola major quam in hac ratione4 ,nam per hujus ,corollarium secundum1 velocitas in vertice ,parabol est in hac ratione1 per ,corollaria sexta hujus ,theorematis quarti1 servatur eadem proportio in omnibus distantiis4 ,hinc etiam in ,parabola velocitas ubiq2 qualis est velocitati corporis revolventis in circulo ad dimidiam distantiam1 in ,ellipsi minor est1 in ,hyperbola major4 ,corol4 #h4 ,velocitas gyrantis in ,sectione quavis ,conica est ad velocitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti ,sectionis1 ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem ,sectionis demissum4 ,patet per ,corollarium quintum4 ,corol4 #i4 ,unde cum 7per ,corol4 #f4 ,theor4 ,,iv47 velocitas gyrantis in hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio1 reciproce in dimidiata ratione distantiarum2 fiet ex quo velocitas gyrantis in ,conica sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem distantia1 ut media proportionalis inter distantiam illam communem semissem lateris recti sectionis1 ad perpendiculum ab umbilico communi in tangentem sectionis demissum4 ,prop4 ,,xvii4 ,prob4 ,,ix4 ,posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distanti a centro1 quod vis illius quantitas absoluta sit cognita2 requiritur linea quam corpus describit1 de loco dato cum data velocitate secundum datam rectam egrediens4 ,illustration ,vis centripeta tendens ad punctum ,s ea sit qu corpus p in orbita quavis data pq gyrare faciat1 cognoscatur hujus velocitas in loco p4 ,de loco ,p secundum lineam ,,pr exeat corpus ,p cum data velocitate1 mox inde1 cogente vi centripeta1 deflectat illud in ,conisectionem ,,pq4 ,hanc igitur recta ,,pr tanget in ,p4 ,tangat itidem recta aliqua pr orbitam pq in p1 si ab ,s ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula1 erit 7per ,corol4 #a4 ,theor4 ,,viii47 latus rectum ,conisectionis ad latus rectum orbit dat1 in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum duplicata ratione velocitatum1 atq2 adeo datur4 ,sit istud ,l4 ,datur prterea ,conisectionis umbilicus ,s4 ,anguli ,,rps complementum ad duos rectos fiat angulus ,,rph1 dabitur positione linea ,,ph1 in qua umbilicus alter ,h locatur4 ,demisso ad ,,ph perpendiculo ,,sk1 erecto semiaxe conjugato ,,bc1 est ,s,pq4 - #b,,kph ,p,hq4 7per ,prop4 #ac4 ,lib4 ,,ii4 ,elem47 ,s,hq4 #d;,c,hq4 #d;,b,hq4 - #d;,b,cq4 ,,sp ,,ph quad4 - ,l ,,sp ,,ph ,s,pq4 #b,,sph ,p,hq4 - ,l ,,sp ,,ph4 ,addantur utrobiq2 #b,,kph ,l ,,sp ,,ph - ,s,pq4 - ,p,hq4 fiet ,l ,,sp ,,ph #b,,sph #b,,kph1 seu ,,sp ,,ph ad ,,ph ut #b,,sp #b,,kp ad ,l4 ,unde datur ,,ph tam longitudine quam positione4 ,nimirum si ea sit corporis in ,p velocitas1 ut latus rectum ,l minus fuerit quam #b,,sp #b,,kp1 jacebit ,,ph ad eandem partem tangentis ,,pr cum linea ,,ps1 adeoq2 figura erit ,ellipsis1 ex datis umbilicis ,s1 ,h1 axe principali ,,sp ,,ph1 dabitur3 ,sin tanta sit corporis velocitas ut latus rectum ,l quale fuerit #b,,sp #b,,kp1 longitudo ,,ph infinita erit1 propterea figura erit ,parabola axem habens ,,sh parallelum line ,,pk1 inde dabitur4 ,quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suo ,p exeat1 capienda erit longitudo ,,ph ad alteram partem tangentis1 adeoq2 tangente inter umbilicos pergente1 figura erit ,hyperbola axem habens principalem qualem differenti linearum ,,sp ,,ph1 inde dabitur4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,hinc in omni ,conisectione ex dato vertice principali ,d1 latere recto ,l1 umbilico ,s1 datur umbilicus alter ,h capiendo ,,dh ad ,,ds ut est latus rectum ad differentiam inter latus rectum #d;,,ds4 ,nam proportio ,,sp ,,ph ad ,,ph ut #b,,sp ad ,l1 in casu hujus ,corollarii1 fit ,,ds ,,dh ad ,,dh ut #d;,,ds ad ,l1 divisim ,,ds ad ,,dh ut #d;,,ds - ,l ad ,l4 ,corol4 #b4 ,unde si datur corporis velocitas in vertice principali ,d1 invenietur ,orbita expedite1 capiendo scilicet latus rectum ejus1 ad duplam distantiam ,,ds1 in duplicata ratione velocitatis hujus dat ad velocitatem corporis in circulo ad distantiam ,,ds gyrantis3 7,per ,corol4 #c4 ,theor4 ,,viii47 dein ,,dh ad ,,ds ut latus rectum ad differentiam inter latus rectum #d;,,ds4 ,corol4 #c4 ,hinc etiam si corpus moveatur in ,sectione quacunq2 ,conica1 ex orbe suo impulsu quocunq2 exturbetur2 cognosci potest orbis in quo postea cursum suum peraget4 ,nam componendo proprium corporis motum cum motu illo quem impulsus solus generaret1 habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco1 secundum rectam positione datam1 exibit4 ,corol4 #d4 ,et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa continuo perturbetur1 innotescet cursus quam proxime1 colligendo mutationes quas vis illa in punctis quibusdam inducit1 ex seriei analogia1 mutationes continuas in locis intermediis stimando4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,iv4 ,de ,inventione ,orbium ,ellipticorum1 ,parabolicorum ,hyperbolicorum ex umbilico dato4 ,illustration ,lemma ,,xv4 ,si ab ,ellipseos vel ,hyperbol cujusvis umbilicis duobus ,s1 ,h1 ad punctum quodvis tertium ,v inflectantur rect du ,,sv1 ,,hv1 quarum una ,,hv qualis sit axi transverso figur1 altera ,,sv a perpendiculo ,,tr in se demisso bisecetur in ,t2 perpendiculum illud ,,tr sectionem ,conicam alicubi tangit3 contra1 si tangit1 erit ,,vh qualis axi figur4 ,secet enim ,,vh sectionem conicam in ,r1 jungatur ,,sr4 ,ob quales rectas ,,ts1 ,,tv1 quales erunt anguli ,,trs1 ,,trv4 ,bisecat ergo ,,rt angulum ,,vrs propterea figuram tangit3 contra4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xviii4 ,prob4 ,x4 ,datis umbilico axibus transversis describere ,trajectorias ,ellipticas ,hyperbolicas1 qu transibunt per puncta data1 rectas positione datas contingent4 ,illustration ,sit ,s communis umbilicus figuraram2 ,,ab longitudo axis transversi ,trajectori cujusvis2 ,p punctum per quod ,trajectoria debet transire2 ,,tr recta quam debet tangere4 ,centro ,p intervallo ,,ab - ,,sp1 si orbita sit ,ellipsis1 vel ,,ab ,,sp1 si ea sit ,hyperbola1 describatur circulus ,,hg4 ,ad tangentem ,,tr demittatur perpendiculum ,,st1 producatur ea ad ,v ut sit ,,tv qualis ,,st2 centroq2 ,v intervallo ,,ab describatur circulus ,,fh4 ,hac methodo sive dentur duo puncta ,p1 p1 sive du tangentes ,,tr1 tr1 sive punctum ,p tangens ,,tr1 describendi sunt circuli duo4 ,sit ,h eorum intersectio communis1 umbilicis ,s1 ,h1 axe illo dato describatur ,trajectoria4 ,dico factum4 ,nam ,trajectoria descripta 7eo quod ,,ph ,,sp in ,ellipsi1 ,,ph - ,,sp in ,hyperbola quatur axi7 transibit per punctum ,p1 7per ,lemma superius7 tanget rectam ,,tr4 ,et eodem argumento vel transibit eadem per puncta duo ,p1 p1 vel tanget rectas duas ,,tr1 tr4 ,q4 ,e4 ,f4 ,prop4 ,,xix4 ,prob4 ,,xi4 ,circa datum umbilicum ,trajectoriam ,parabolicam describere1 qu transibit per puncta data1 rectas positione datas continget4 ,illustration ,sit ,s umbilicus1 ,p punctum ,,tr tangens trajectori describend4 ,centro ,p1 intervallo ,,ps describe circulum ,,fg4 ,ab umbilico ad tangentem demitte perpendicularem ,,st1 produc eam ad ,v1 ut sit ,,tv qualis ,,st4 ,eodem modo describendus est alter circulus fg1 si datur alterum punctum p2 vel inveniendum alterum punctum v1 si datur altera tangens tr2 dein ducenda recta ,,if qu tangat duos circulos ,,fg1 fg si dantur duo puncta ,p1 p2 vel transeat per duo puncta ,v1 v1 si dantur du tangentes ,,tr1 tr1 vel tangat circulum ,,fg transeat per punctum ,v1 si datur punctum ,p tangens ,,tr4 ,ad ,,fi demitte perpendicularem ,,si1 eamq2 biseca in ,k1 axe ,,sk1 vertice principali ,k describatur ,parabola4 ,dico factum4 ,nam ,parabola ob quales ,,sk ,,ik1 ,,sp ,,fp transibit per punctum ,p2 7per ,lemmatis ,,xiv4 ,corol4 #c47 ob quales ,,st ,,tv angulum rectum ,,str1 tanget rectam ,,tr4 ,q4 ,e4 ,f4 ,prop4 ,,xx4 ,prob4 ,,xii4 ,illustration ,circa datum umbilicum ,trajectoriam quamvis specie datam describere1 qu per data puncta transibit rectas tanget positione datas4 ,cas4 #a4 ,dato umbilico ,s1 describenda sit ,trajectoria ,,abc per puncta duo ,b1 ,c4 ,quoniam ,trajectoria datur specie1 dabitur ratio axis transversi ad distantiam umbilicorum4 ,in ea ratione cape ,,kb ad ,,bs1 ,,lc ad ,,cs4 ,centris ,b1 ,c1 intervallis ,,bk1 ,,cl1 describe circulos duos1 ad rectam ,,kl1 qu tangat eosdem in ,k ,l1 demitte perpendiculum ,,sg1 idemq2 seca in ,a a1 ita ut sit ,,sa ad ,,ag ,sa ad a,g1 ut est ,,sb ad ,,bk1 axe ,aa1 verticibus ,a1 a1 describatur ,trajectoria4 ,dico factum4 ,sit enim ,h umbilicus alter figur descript1 cum sit ,,sa ad ,,ag ut ,sa ad a,g1 erit divisim ,sa - ,,sa seu ,,sh ad a,g - ,,ag seu ,aa in eadem ratione1 adeoq2 in ratione quam habet axis transversus figur describend ad distantiam umbilicorum ejus2 propterea figura descripta est ejusdem speciei cum describenda4 ,cumq2 sint ,,kb ad ,,bs ,,lc ad ,,cs in eadem ratione1 transibit hc ,figura per puncta ,b1 ,c1 ut ex ,conicis manifestum est4 ,illustration ,cas4 #b4 ,dato umbilico ,s1 describenda sit ,trajectoria qu rectas duas ,,tr1 tr alicubi contingat4 ,ab umbilico in tangentes demitte perpendicula ,,st1 ,st produc eadem ad ,v1 v1 ut sint ,,tv1 tv quales ,,ts1 ts4 ,biseca ,vv in ,o1 erige perpendiculum infinite ,,oh1 rectamq2 ,,vs infinite productam seca in ,k k ita1 ut sit ,,vk ad ,,ks ,vk ad k,s ut est ,trajectori describend axis transversus ad umbilicorum distantiam4 ,super diametro ,kk describatur circulus secans rectam ,,oh in ,h2 umbilicis ,s1 ,h1 axe transverso ipsam ,,vh quante1 describatur ,trajectoria4 ,dico factum4 ,nam biseca ,kk in ,x1 junge ,,hx1 ,,hs1 ,,hv1 ,hv4 ,quoniam est ,,vk ad ,,ks ut ,vk ad k,s2 composite ut ,,vk ,vk ad ,,ks k,s2 divisimq2 ut ,vk - ,,vk ad k,s - ,,ks id est ut #b,,vx ad #b,,kx #b,,kx ad #b,,sx1 adeoq2 ut ,,vx ad ,,hx ,,hx ad ,,sx1 similia erunt triangula ,,vxh1 ,,hxs1 propterea ,,vh erit ad ,,sh ut ,,vx ad ,,xh1 adeoq2 ut ,,vk ad ,,ks4 ,habet igitur ,trajectoria2 descript axis transversus ,,vh eam rationem ad ipsius umbilicorum distantiam ,,sh1 quam habet ,trajectori describend axis transversus ad ipsius umbilicorum distantiam1 propterea ejusdem est speciei4 ,insuper cum ,,vh1 v,h quentur axi transverso1 ,,vs1 v,s a rectis ,,tr1 tr perpendiculariter bisecentur1 liquet1 ex ,lemmate ,,xv1 rectas illas ,trajectoriam descriptam tangere4 ,q4 ,e4 ,f4 ,illustration ,cas4 #c4 ,dato umbilico ,s describenda sit ,trajectoria qu rectam ,,tr tanget in puncto dato ,r4 ,in rectam ,,tr demitte perpendicularem ,,st1 produc eandem ad ,v1 ut sit ,,tv qualis ,,st4 ,junge ,,vr1 rectam ,,vs infinite productam seca in ,k k1 ita ut sit ,,vk ad ,,sk ,vk ad ,sk ut ,ellipseos describend axis transversus ad distantiam umbilicorum2 circuloq2 super diametro ,kk descripto1 secetur producta recta ,,vr in ,h1 umbilicis ,s1 ,h1 axe transverso rectam ,,hv quante1 describatur ,trajectoria4 ,dico factum4 ,namq2 ,,vh esse ad ,,sh ut ,,vk ad ,,sk1 atq2 adeo ut axis transversus ,trajectori describend ad distantiam umbilicorum ejus1 patet ex demonstratis in ,casu secundo1 propterea ,trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda3 rectam vero ,,tr qua angulus ,,vrs bisecatur1 tangere ,trajectoriam in puncto ,r1 patet ex ,conicis4 ,q4 ,e4 ,f4 ,illustration ,cas4 #d4 ,circa umbilicum ,s describenda jam sit ,trajectoria ,,apb1 qu tangat rectam ,,tr1 transeatq2 per punctum quodvis ,p extra tangentem datum1 quq2 similis sit figur apb1 axe transverso ab umbilicis s1 h descript4 ,in tangentem ,,tr demitte perpendiculum ,,st1 produc idem ad ,v1 ut sit ,,tv qualis ,,st4 ,angulis autem ,,vsp1 ,,svp fac angulos hsq1 shq quales2 centroq2 q intervallo quod sit ad ab ut ,,sp ad ,,vs describe circulum secantem figuram apb in p4 ,junge sp age ,,sh qu sit ad sh ut est ,,sp ad sp quq2 angulum ,,psh angulo psh angulum ,,vsh angulo psq quales constituat4 ,deniq2 umbilicis ,s1 ,h1 axe distantiam ,,vh quante1 describatur sectio conica4 ,dico factum4 ,nam si agatur sv qu sit ad sp ut est sh ad sq1 quq2 constituat angulum vsp angulo hsq angulum vsh angulo psq quales1 triangula svh1 spq erunt similia1 propterea vh erit ad pq ut est sh ad sq1 id est 7ob similia triangula ,,vsp1 hsq7 ut est ,,vs ad ,,sp seu ab ad pq4 quantur ergo vh ab4 ,porro ob similia triangula ,,vsh1 vsh est ,,vh ad ,,sh ut vh ad sh1 id est1 axis ,conic actionis jam descripta3 ad illius umbilicorum intervallum1 ut axis ab ad umbilicorum intervallum sh1 propterea figura jam descripta similis est figur apb4 ,transit autem hc figura per punctum ,p1 eo quod triangulum ,,psh simile sit triangulo psh2 quia ,,vh quatur ipsius axi ,,vs bisecatur perpendiculariter a recta ,,tr tangit eadem rectam ,,tr4 ,q4 ,e4 ,f4 ,lemma ,,xvi4 ,a datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differenti vel dantur vel null sunt4 ,illustration ,cas4 #a4 ,sunto puncta illa data ,a1 ,b1 ,c punctum quartum ,z1 quod invenire oportet3 ,ob datam differentiam linearum ,,az1 ,,bz1 locabitur punctum ,z in ,hyperbola cujus umbilici sunt ,a ,b1 axis transversus differentia illa data4 ,sit axis ille ,,mn4 ,cape ,,pm ad ,,ma ut est ,,mn ad ,,ab1 erecto ,,pr perpendiculari ad ,,ab1 demissoq2 ,,zr perpendiculari ad ,,pr1 erit ex natura hujus ,hyperbol ,,zr ad ,,az ut est ,,mn ad ,,ab4 ,simili discursu punctum ,z locabitur in alia ,hyperbola1 cujus umbilici sunt ,a1 ,c axis transversus differentia inter ,,az ,,cz1 duciq2 potest ,,qs ipsi ,,ac perpendicularis1 ad quam si ab ,hyperbol hujus puncto quovis ,z demittatur normalis ,,zs1 hc fuerit ad ,,az ut est differentia inter ,,az ,,cz ad ,,ac4 ,dantur ergo rationes ipsarum ,,zr ,,zs ad ,,az1 idcirco datur earundem ,,zr ,,zs ratio ad invicem2 adeoq2 rectis ,,rp1 ,,sq concurrentibus in ,t1 locabitur punctum ,z in recta ,,tz positione data4 ,eadem ,methodo per ,hyperbolam tertiam1 cujus umbilici sunt ,b ,c axis transversus differentia rectarum ,,bz1 ,,cz1 inveniri potest alia recta in qua punctum ,z locatur4 ,habitis autem duobus locis rectilineis1 habetur punctum qusitum ,z in earum intersectione1 ,q4 ,e4 ,i4 ,cas4 #b4 ,si du ex tribus lineis1 puta ,,az ,,bz quantur1 punctum ,z locabitur in perpendiculo bisecante distantiam ,,ab1 locus alius rectilineus invenietur ut supra4 ,q4 ,e4 ,i4 ,cas4 #c4 ,si omnes tres quantur1 locabitur punctum ,z in centro circuli per puncta ,a1 ,b1 ,c transeuntis4 ,q4 ,e4 ,i4 ,solvitur etiam hoc ,lemma problematicum per ,librum4 ,tactionum ,apollonii a ,vieta restitutum4 ,prop4 ,,xxi4 ,prob4 ,,xiii4 ,illustration ,trajectoriam circa datum umbilicum describere1 qu transibit per puncta data rectas positione datas continget4 ,detur umbilicus ,s1 punctum ,p1 tangens ,,tr1 inveniendus sit umbilicus alter ,h4 ,ad tangentem demitte perpendiculum ,,st1 produc idem ad ,y1 ut sit ,,ty qualis ,,st1 erit ,,yh qualis axi transverso4 ,junge ,,sp1 ,,hp erit ,,sp differentia inter ,,hp axem transversum4 ,hoc modo si dentur plures tangentes ,,tr1 vel plura puncta ,p1 devenietur semper ad lineas totidem ,,yh1 vel ,,ph1 a dictis punctis ,y vel ,p ad umbilicum ,h ductas1 qu vel quantur axibus1 vel datis longitudinibus ,,sp differunt ab iisdem1 atq2 adeo qu vel quantur sibi invicem1 vel datas habent differentias2 inde1 per ,lemma superius1 datur umbilicus ille alter ,h4 ,habitis autem umbilicis una cum axis longitudine 7qu vel est ,,yh1 vel si ,trajectoria ,ellipsis est1 ,,ph ,,sp2 sin ,hyperbola ,,ph - ,,sp7 habetur ,trajectoria4 ,q4 ,e4 ,i4 ,scholium4 ,illustration ,casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius4 ,dentur puncta ,b1 ,c1 ,d4 ,junctas ,,bc1 ,,cd produc ad ,e1 ,f1 ut sit ,,eb ad ,,ec ut ,,sb ad ,,sc1 ,,fc ad ,,fd ut ,,sc ad ,,sd4 ,ad ,,ef ductam productam demitte normales ,,sg1 ,,bh1 inq2 ,,gs infinite producta cape ,,ga ad ,,as ,ga ad a,s ut est ,,hb ad ,,bs2 erit ,a vertex1 ,aa axis transversus ,trajectori3 qu1 perinde ut ,,ga minor1 qualis vel major fuerit quam ,,as1 erit ,ellipsis1 ,parabola vel ,hyperbola2 puncto a in primo casu cadente ad eandem partem line ,,gk cum puncto ,a2 in secundo casu abeunte in infinitum2 in tertio cadente ad contrariam partem line ,,gk4 ,nam si demittantur ad ,,gf perpendicula ,,ci1 ,,dk1 erit ,,ic ad ,,hb ut ,,ec ad ,,eb1 hoc est ut ,,sc ad ,,sb2 vicissim ,,ic ad ,,sc ut ,,hb ad ,,sb1 seu ,,ga ad ,,sa4 ,et simili argumento probabitur esse ,,kd ad ,,sd in eadem ratione4 ,jacent ergo puncta ,b1 ,c1 ,d in ,conisectione circa umbilicum ,s ita descripta1 ut rect omnes ab umbilico ,s ad singula ,sectionis puncta duct1 sint ad perpendicula a punctis iisdem ad rectam ,,gk demissa in data illa ratione4 ,methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit ,clarissimus ,geometra ,de la ,hire1 ,conicorum suorum ,lib4 ,,viii4 ,prop4 ,,xxv4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,v4 ,inventio orbium ubi umbilicus neuter datur4 ,lemma ,,xvii4 ,illustration ,si a dat conic sectionis puncto quovis ,p1 ad ,trapezii alicujus ,,abcd1 in ,conica illa sectione inscripti1 latera quatuor infinite producta ,,ab1 ,,cd1 ,,ac1 ,,db1 totidem rect ,,pq1 ,,pr1 ,,ps1 ,,pt in datis angulis ducantur1 singul ad singula3 rectangulum ductarum ad opposita duo latera ,,pq ,,pr1 erit ad rectangulum ductarum ad alia duo latera opposita ,,ps ,,pt in data ratione4 ,cas4 #a4 ,ponamus imprimis lineas ad opposita latera ductas parallelas esse alterutri reliquorum laterum1 puta ,,pq ,,pr lateri ,,ac1 ,,ps ac ,,pt lateri ,,ab4 ,sintq2 insuper latera duo ex oppositis1 puta ,,ac ,,bd1 parallela4 ,et recta qu bisecat parallela illa latera erit una ex diametris ,conic sectionis1 bisecabit etiam ,,rq4 ,sit ,o punctum in quo ,,rq bisecatur1 erit ,,po ordinatim applicata ad diametrum illam4 ,produc ,,po ad ,k ut sit ,,ok qualis ,,po1 erit ,,ok ordinatim applicata ad contrarias partes diametri4 ,cum igitur puncta ,a1 ,b1 ,p ,k sint ad ,conicam sectionem1 ,,pr secet ,,ab in dato angulo1 erit 7per ,prop4 #ag #ah ,lib4 ,,iii ,apollonii7 rectangulum ,,pqk ad rectangulum ,,aqb in data ratione4 ,sed ,,qk ,,pr quales sunt1 utpote qualium ,,ok1 ,,op1 ,,oq1 ,,or differenti1 inde etiam rectangula ,,pqk ,,pq ,,pr qualia sunt2 atq2 adeo rectangulum ,,pq ,,pr est ad rectangulum ,,aqb1 hoc est ad rectangulum ,,ps ,,pt in data ratione4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illustration ,cas4 #b4 ,ponamus jam ,trapezii latera opposita ,,ac ,,bd non esse parallela4 ,age ,bd parallelam ,,ac occurrentem tum rect ,,st in t1 tum ,conic sectioni in d4 ,junge ,cd secantem ,,pq in r1 ipsi ,,pq parallelam age ,,dm secantem ,cd in ,m ,,ab in ,n4 ,jam ob similia triangula ,b,tt1 ,,dbn1 est ,bt seu ,,pq ad ,tt ut ,,dn ad ,,nb4 ,sic ,rr est ad ,,aq seu ,,ps ut ,,dm ad ,,an4 ,ergo ducendo antecedentes in antecedentes consequentes in consequentes1 ut rectangulum ,,pq in ,rr est ad rectangulum ,tt in ,,ps1 ita rectangulum ,,ndm est ad rectangulum ,,anb1 7per ,cas4 #a7 ita rectangulum ,q,pr est ad rectangulum ,s,pt1 ac divisim ita rectangulum ,,qpr est ad rectangulum ,,ps ,,pt4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illustration ,cas4 #c4 ,ponamus deniq2 lineas quatuor ,,pq1 ,,pr1 ,,ps1 ,,pt non esse parallelas lateribus ,,ac1 ,,ab1 sed ad ea utcunq2 inclinatas4 ,earum vice age ,pq1 ,pr parallelas ipsi ,,ac2 ,ps1 ,pt parallelas ipsi ,,ab2 propter datos angulos triangulorum ,p,qq1 ,p,rr1 ,p,ss1 ,p,tt1 dabuntur rationes ,,pq ad ,pq1 ,,pr ad ,pr1 ,,ps ad ,ps ,,pt ad ,pt1 atq2 adeo rationes composit ,,pq in ,,pr ad ,pq in ,pr1 ,,ps in ,,pt ad ,ps in ,pt4 ,sed per superius demonstrata1 ratio ,pq in ,pr ad ,ps in ,pt data est3 ,ergo ratio ,,pq in ,,pr ad ,,ps in ,,pt4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lemma ,,xviii4 ,iisdem positis1 si rectangulum ductarum ad opposita duo latera ,trapezii ,,pq ,,pr sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera ,,ps ,,pt in data ratione2 punctum ,p1 a quo line ducuntur1 tanget ,conicam sectionem circa ,trapezium descriptam4 ,illustration ,per puncta ,a1 ,b1 ,c1 ,d aliquod infinitorum punctorum ,p1 puta p1 concipe ,conicam sectionem describi3 dico punctum ,p hanc semper tangere4 ,si negas1 junge ,,ap secantem hanc ,conicam sectionem alibi quam in ,p si fieri potest1 puta in b4 ,ergo si ab his punctis p b ducantur in datis angulis ad latera ,trapezii rect pq1 pr1 ps1 pt bk1 br1 bs1 bd2 erit ut bk br ad bd bs ita 7per ,lemma ,,xvii7 pq pr ad ps pt ita 7per hypoth47 ,,pq ,,pr ad ,,ps ,,pt4 ,est propter similitudinem ,trapeziorum bk,as1 ,,pqas1 ut bk ad bs ita ,,pq ad ,,ps4 ,quare applicando terminos prioris propositionis ad terminos correspondentes hujus1 erit br ad bd ut ,,pr ad ,,pt4 ,ergo ,trapezia quiangula ,drbd1 ,,drpt similia sunt1 eorum diagonales ,db1 ,,dp propterea coincidunt4 ,incidit itaq2 b in intersectionem rectarum ,,ap1 ,,dp adeoq2 coincidit cum puncto ,p4 ,quare punctum ,p1 ubicunq2 sumatur1 incidit in assignatam ,conicam sectionem4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,hinc si rect tres ,,pq1 ,,pr1 ,,ps a puncto communi ,p ad alias totidem positione datas rectas ,,ab1 ,,cd1 ,,ac1 singul ad singulas1 in datis angulis ducantur1 sitq2 rectangulum sub duabus ductis ,,pq ,,pr ad quadratum tertii1 ,,ps quad4 in data ratione3 punctum ,p1 a quibus rect ducuntur1 locabitur in sectione ,conica qu tangit lineas ,,ab1 ,,cd in ,a ,c contra4 ,nam coeat linea ,,bd cum linea ,,ac manente positione trium ,,ab1 ,,cd1 ,,ac2 dein coeat etiam linea ,,pt cum linea ,,ps3 rectangulum ,,ps ,,pt evadet ,,ps quad4 rectq2 ,,ab1 ,,cd qu curvam in punctis ,a ,b1 ,c ,d secabant1 jam ,curvam in punctis illis coeuntibus non amplius secare possunt sed tantum tangent4 ,scholium4 ,nomen ,conic sectionis in hoc ,lemmate late sumitur1 ita ut sectio tam rectilinea per verticem ,coni transiens1 quam circularis basi parallela includatur4 ,nam si punctum p incidit in rectam1 qua quvis ex punctis quatuor ,a1 ,b1 ,c1 ,d junguntur1 ,conica sectio vertetur in geminas rectas1 quarum una est recta illa in quam punctum p incidit1 altera recta qua alia duo ex punctis quatuor junguntur4 ,si trapezii anguli duo oppositi simul sumpti quentur duobus rectis1 line quatuor ,,pq1 ,,pr1 ,,ps1 ,,pt ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibusvis qualibus1 sitq2 rectangulum sub duabus ductis ,,ps ,,pr quale rectangulo sub duabus aliis ,,ps ,,pt1 ,sectio conica evadet ,circulus4 ,idem fiet si line quatuor ducantur in angulis quibusvis rectangulum sub duabus ductis ,,pq ,,pr sit ad rectangulum sub aliis duabus ,,ps ,,pt ut rectangulum sub sinubus angulorum ,s1 ,t1 in quibus du ultim ,,ps1 ,,pt ducuntur1 ad rectangulum sub sinubus angulorum ,q1 ,r1 in quibus du prim ,,pq1 ,,pr ducuntur4 ,cteris in casibus ,locus puncti ,p erit aliqua trium figurarum qu vulgo nominantur ,sectiones ,conic4 ,vice autem ,trapezii ,,abcd substitui potest quadrilaterum cujus latera duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant4 ,sed e punctis quatuor ,a1 ,b1 ,c1 ,d possunt unum vel duo abire in infinitum1 eoq2 pacto latera figur qu ad puncta illa convergunt1 evadere parallela3 quo in casu sectio conica transibit per ctera puncta1 in plagas parallelarum abibit in infinitum4 ,lemma ,,xix4 ,illustration ,invenire punctum ,p1 a quo si rect quatuor ,,pq1 ,,pr1 ,,ps1 ,,pt ad alias totidem positione datas rectas ,,ab1 ,,cd1 ,,ac1 ,,bd singul ad singulas in datis angulis ducantur1 rectangulum sub duabus ductis1 ,,pq ,,pr1 sit ad rectangulum sub aliis duabus1 ,,ps ,,pt1 in data ratione4 ,line ,,ab1 ,,cd1 ad quas rect du ,,pq1 ,,pr1 unum rectangulorum continentes ducuntur1 conveniant cum aliis duabus positione datis lineis in punctis ,a1 ,b1 ,c1 ,d4 ,ab eorum aliquo ,a age rectam quamlibet ,,ah1 in qua velis punctum ,p reperiri4 ,secet ea lineas oppositas ,,bd1 ,,cd1 nimirum ,,bd in ,h ,,cd in ,i1 ob datos omnes angulos figur1 dabuntur rationes ,,pq ad ,,pa ,,pa ad ,,ps1 adeoq2 ratio ,,pq ad ,,ps4 ,auferendo hanc a data ratione ,,pq ,,pr ad ,,ps ,,pt1 dabitur ratio ,,pr ad ,,pt1 addendo datas rationes ,,pi ad ,,pr1 ,,pt ad ,,ph dabitur ratio ,,pi ad ,,ph atq2 adeo punctum ,p4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,hinc etiam ad ,loci punctorum infinitorum ,p punctum quodvis ,d tangens duci potest4 ,nam chorda ,,pd ubi puncta ,p ac ,d conveniunt1 hoc est1 ubi ,,ah ducitur per punctum ,d1 tangens evadit4 ,quo in casu1 ultima ratio evanescentium ,,ip ,,ph invenietur ut supra4 ,ipsi igitur ,,ad duc parallelam ,,cf1 occurrentem ,,bd in ,f1 in ea ultima ratione sectam in ,e1 ,,de tangens erit1 propterea quod ,,cf evanescens ,,ih parallel sunt1 in ,e ,p similiter sect4 ,illustration ,corol4 #b4 ,hinc etiam ,locus punctorum omnium ,p definiri potest4 ,per quodvis punctorum ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 puta ,a1 duc ,loci tangentem ,,ae1 per aliud quodvis punctum ,b duc tangenti parallelam ,,bf occurrentem ,loco in ,f4 ,invenietur autem punctum ,f per ,lemma superius4 ,biseca ,,bf in ,g1 acta ,,ag diameter erit ad quam ,,bg ,,fg ordinatim applicantur4 ,hc ,,ag occurrat ,loco in ,h1 erit ,,ah latus transversum1 ad quod latus rectum est ut ,b,gq4 ad ,,agh4 ,si ,,ag nullibi occurrit ,loco1 linea ,,ah existente infinita1 ,locus erit ,parabola latus rectum ejus ,b,gq4 ,,ag4 ,sin ea alicubi occurrit1 ,locus ,hyperbola erit ubi puncta ,a ,h sita sunt ad easdem partes ipsius ,g3 ,ellipsis1 ubi ,g intermedium est1 nisi forte angulus ,,agb rectus sit insuper ,,bg quad4 quale rectangulo ,,agh1 quo in casu circulus habebitur4 ,atq2 ita ,problematis veterum de quatuor lineis ab ,euclide incpti ab ,apollonio continuati non calculus1 sed compositio ,geometrica1 qualem ,veteres qurebant1 in hoc ,corollario exhibetur4 ,lemma ,,xx4 ,si parallelogrammum quodvis ,,aspq angulis duobus oppositis ,a ,p tangit sectionem quamvis ,conicam in punctis ,a ,p1 lateribus unius angulorum illorum infinite productis ,,aq1 ,,as occurrit eidem sectioni ,conic in ,b ,c2 a punctis autem occursuum ,b ,c ad quintum quodvis sectionis ,conic punctum ,d agantur rect du ,,bd1 ,,cd occurrentes alteris duobus infinite productis parallelogrammi lateribus ,,ps1 ,,pq in ,t ,r3 erunt semper absciss laterum partes ,,pr ,,pt ad invicem in data ratione4 ,et contra1 si partes ill absciss sunt ad invicem in data ratione1 punctum ,d tanget ,sectionem ,conicam per puncta quatuor ,a1 ,b1 ,p1 ,c transeuntem4 ,illustration ,cas4 #a4 ,jungantur ,,bp1 ,,cp a puncto ,d agantur rect du ,,dg1 ,,de1 quarum prior ,,dg ipsi ,,ab parallela sit occurrat ,,pb1 ,,pq1 ,,ca in ,h1 ,i1 ,g2 altera ,,de parallela sit ipsi ,,ac occurrat ,,pc1 ,,ps1 ,,ab in ,f1 ,k1 ,e3 erit 7per ,lemma ,,xvii47 rectangulum ,,de ,,df ad rectangulum ,,dg ,,dh in ratione data4 ,sed est ,,pq ad ,,de seu ,,iq1 ut ,,pb ad ,,hb1 adeoq2 ut ,,pt ad ,,dh2 vicissim ,,pq ad ,,pt ut ,,de ad ,,dh4 ,est ,,pr ad ,,df ut ,,rc ad ,,dc1 adeoq2 ut ,,ig vel ,,ps ad ,,dg1 vicissim ,,pr ad ,,ps ut ,,df ad ,,dg2 conjunctis rationibus fit rectangulum ,,pq ,,pr ad rectangulum ,,ps ,,pt ut rectangulum ,,de ,,df ad rectangulum ,,dg ,,dh1 atq2 adeo in data ratione4 ,sed dantur ,,pq ,,ps propterea ratio ,,pr ad ,,pt datur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,quod si ,,pr ,,pt ponantur in data ratione ad invicem1 tunc simili ratiocinio regrediendo1 sequetur esse rectangulum ,,de ,,df ad rectangulum ,,dg ,,dh in ratione data1 adeoq2 punctum ,d 7per ,lemma ,,xviii47 contingere ,conicam sectionem transeuntem per puncta ,a1 ,b1 ,p1 ,c4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si agatur ,,bc secans ,,pq in r1 in ,,pt capiatur ,pt in ratione ad ,pr quam habet ,,pt ad ,,pr1 erit ,bt ,tangens ,conic sectionis ad punctum ,b4 ,nam concipe punctum ,d coire cum puncto ,b ita ut1 chorda ,,bd evanescente1 ,,bt ,tangens evadet2 ,,cd ac ,,bt coincident cum ,,cb ,bt4 ,corol4 #b4 ,et vice versa si ,bt sit ,tangens1 ad quodvis ,conic sectionis punctum ,d conveniant ,,bd1 ,,cd erit ,,pr ad ,,pt ut ,pr ad ,pt4 ,et contra1 si sit ,,pr ad ,,pt ut ,pr ad ,pt1 convenient ,,bd1 ,,cd ad ,conic sectionis punctum aliquod ,d4 ,corol4 #c4 ,conica sectio non secat ,conicam sectionem in punctis pluribus quam quatuor4 ,nam1 si fieri potest1 transeant du ,conic sectiones per quinq2 puncta ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,p1 easq2 secet recta ,,bd in punctis ,d1 d1 ipsam ,,pq secet recta ,cd in r4 ,ergo ,,pr est ad ,,pt ut ,pr ad ,,pt1 hoc est1 ,,pr ,pr sibi invicem quantur1 contra ,hypothesin4 ,lemma ,,xxi4 ,illustration ,si recta du mobiles infinit ,,bm1 ,,cm per data puncta ,b1 ,c1 ceu polos duct1 concursu suo ,m describant tertiam positione datam rectam ,,mn2 ali du infinit rect ,,bd1 ,,cd cum prioribus duabus ad puncta illa data ,b1 ,c1 datos angulos ,,mbd1 ,,mcd efficientes ducantur2 dico quod h du ,,bd1 ,,cd concursu suo ,d describent sectionem ,conicam4 ,et vice versa1 si rect ,,bd1 ,,cd concursu suo ,d describant ,sectionem ,conicam per puncta ,b1 ,c1 ,a transeuntem1 harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquod ,a1 cum alter du ,,bm1 ,,cm coincidunt cum linea ,,bc1 punctum ,m continget rectam positione datam4 ,nam in recta ,,mn detur punctum ,n1 ubi punctum mobile ,m incidit in immotum ,n1 incidat punctum mobile ,d in immotum ,p4 ,junge ,,cn1 ,,bn1 ,,cp1 ,,bp1 a puncto ,p age rectas ,,pt1 ,,pr occurrentes ipsis ,,bd1 ,,cd in ,t ,r1 facientes angulum ,,bpt qualem angulo ,,bnm angulum ,,cpr qualem angulo ,,cnm4 ,cum ergo 7ex ,hypothesi7 quales sint anguli ,,mbd1 ,,nbp1 ut anguli ,,mcd1 ,,ncp3 aufer communes ,,nbd ,,mcp1 restabunt quales ,,nbm ,,pbt1 ,,ncm ,,pcr3 adeoq2 triangula ,,nbm1 ,,pbt similia sunt1 ut triangula ,,ncm1 ,,pcr4 ,quare ,,pt est ad ,,nm ut ,,pb ad ,,nb1 ,,pr ad ,,nm ut ,,pc ad ,,nc4 ,ergo ,,pt ,,pr datam habent rationem ad ,,nm1 proindeq2 datam rationem inter se1 atq2 adeo1 per ,lemma ,,xx1 punctum ,p 7perpetuus rectarum mobilum ,,bt ,,cr concursus7 contingit sectionem ,conicam4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et contra1 si punctum ,d contingit sectionem ,conicam transeuntem per puncta ,b1 ,c1 ,a1 ubi rect ,,bm1 ,,cm coincidunt cum recta ,,bc1 punctum illud ,d incidit in aliquod sectionis punctum ,a2 ubi vero punctum ,d incidit successive in alia duo quvis sectionis puncta p1 ,p1 punctum mobile ,m incidit successive in puncta immobilia n1 ,n3 per eadem n1 ,n agatur recta n,n1 hc erit ,locus perpetuus puncti illius mobilis ,m4 ,nam1 si fieri potest1 versetur punctum ,m in linea aliqua curva4 ,tanget ergo punctum ,d sectionem ,conicam per puncta quinq2 ,c1 p1 ,p1 ,b1 ,a1 transeuntem1 ubi punctum ,m perpetuo tangit lineam curvam4 ,sed ex jam demonstratis tanget etiam punctum ,d sectionem ,conicam per eadem quinq2 puncta ,c1 p1 ,p1 ,b1 ,a1 transeuntem1 ubi punctum ,m perpetuo tangit lineam rectam4 ,ergo du sectiones ,conic transibunt per eadem quinq2 puncta1 contra ,corol4 #c4 ,lem4 ,,xx4 ,igitur punctum ,m versari in linea curva absurdum est4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xxii4 ,prob4 ,,xiv4 ,trajectoriam per data quinq2 puncta describere4 ,illustration ,dentur puncta quinq2 ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,p4 ,ab eorum aliquo ,a ad alia duo quvis ,b1 ,c1 qu poli nominentur1 age rectas ,,ab1 ,,ac hisq2 parallelas ,,tps1 ,,prq per punctum quartum ,p4 ,deinde a polis duobus ,b1 ,c age per punctum quintum ,d infinitas duas ,,bdt1 ,,crd1 novissime ductis ,,tps1 ,,prq 7priorem priori posteriorem posteriori7 occurrentes in ,t ,r4 ,deniq2 de rectis ,,pt1 ,,pr1 acta recta tr ipsi ,,tr parallela1 abscinde quasvis ,pt1 ,pr ipsis ,,pt1 ,,pr proportionales1 si per earum terminos t1 r polos ,b1 ,c act ,bt1 ,cr concurrant in d1 locabitur punctum illud d in ,trajectoria qusita4 ,nam punctum illud d 7per ,lem4 ,,xx7 versatur in ,conica ,sectione per puncta quatuor ,a1 ,b1 ,p1 ,c transeunte2 lineis ,rr1 ,tt evanescentibus1 coit punctum d cum puncto ,d4 ,transit ergo sectio ,conica per puncta quinq2 ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,p4 ,q4 ,e4 ,d4 ,idem aliter4 ,illustration ,e punctis datis junge tria quvis ,a1 ,b1 ,c1 circum duo eorum ,b1 ,c ceu polos1 rotando angulos magnitudine datos ,,abc1 ,,acb1 applicentur crura ,,ba1 ,,ca primo ad punctum ,d deinde ad punctum ,p1 notentur puncta ,m1 ,n in quibus altera crura ,,bl1 ,,cl casu utroq2 se decussant4 ,agatur recta infinita ,,mn1 rotentur anguli illi mobiles circum polos suos ,b1 ,c1 ea lege ut crurum ,,bl1 ,,cl vel ,,bm1 ,,cm intersectio1 qu jam sit m1 incidat semper in rectam illam infinitam ,,mn1 crurum ,,ba1 ,,ca1 vel ,,bd1 ,,cd intersectio1 qu jam sit d1 ,trajectoriam qusitam ,p,a,dd,b delineabit4 ,nam punctum d per ,lem4 ,,xxi continget sectionem ,conicam per puncta ,b1 ,c transeuntem ubi punctum m accedit ad puncta ,l1 ,m1 ,n1 punctum d 7per constructionem7 accedet ad puncta ,a1 ,d1 ,p4 ,describetur itaq2 sectio ,conica transiens per puncta quinq2 ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,p4 ,q4 ,e4 ,f4 ,corol4 #a4 ,hinc rect expedite duci possunt qu trajectoriam in punctis quibusvis datis ,b1 ,c tangent4 ,in casu utrovis accedat punctum d ad punctum ,c recta ,cd evadet tangens qusita4 ,corol4 #b4 ,unde etiam ,trajectoriarum centra1 diametri latera recta inveniri possunt1 ut in ,corollario secundo ,lemmatis ,,xix4 ,schol4 ,constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendo ,,bp1 in ea si opus est producta1 capiendo ,bp ad ,,bp ut est ,,pr ad ,,pt1 per p agendo rectam infinitam p,d ipsi ,,spt parallelam1 inq2 ea capiendo semper p,d qualem ,pr1 agendo rectas ,b,d1 ,cr concurrentes in d4 ,nam cum sint ,pr ad ,pt1 ,,pr ad ,,pt1 p,b ad ,,pb1 p,d ad ,pt in eadem ratione1 erunt p,d ,pr semper quales4 ,hac methodo puncta ,trajectori inveniuntur expeditissime1 nisi mavis ,curvam1 ut in casu secundo1 describere ,mechanice4 ,prop4 ,,xxiii4 ,prob4 ,,xv4 ,trajectoriam describere qu per data quatuor puncta transibit1 rectam continget positione datam4 ,cas4 #a4 ,dentur tangens ,,hb1 punctum contactus ,b1 alia tria puncta ,c1 ,d1 ,p4 ,junge ,,bc1 agendo ,,ps parallelam ,,bh1 ,,pq parallelam ,,bc1 comple parallelogrammum ,,bspq4 ,age ,,bd secantem ,,sp in ,t1 ,,cd secantem ,,pq in ,r4 ,deniq2 agendo quamvis tr ipsi ,,tr parallelam1 de ,,pq1 ,,ps abscinde ,pr1 ,pt ipsis ,,pr1 ,,pt proportionales respective2 actarum ,cr1 ,bt concursus d 7per ,corol4 #b4 ,lem4 ,,xx7 incidet semper in ,trajectoriam describendam4 ,illustration ,idem aliter4 ,revolvatur tum angulus magnitudine datus ,,cbh circa polum ,b1 tum radius quilibet rectilineus utrinq2 productus ,,dc circa polum ,c4 ,notentur puncta ,m1 ,n in quibus anguli crus ,,bc secat radium illum ubi crus alterum ,,bh concurrit cum eodem radio in punctis ,d ,p4 ,deinde ad actam infinitam ,,mn concurrant perpetuo radius ille ,,cp vel ,,cd anguli crus ,,cb1 cruris alterius ,,bh concursus cum radio delineabit ,trajectoriam qusitam4 ,illustration ,illustration ,nam si in constructionibus ,problematis superioris accedat punctum ,a ad punctum ,b1 line ,,ca ,,cb coincident1 linea ,,ab in ultimo suo situ fiet tangens ,,bh1 atq2 adeo constructiones ibi posit evadent edem cum constructionibus hic descriptis4 ,delineabit igitur cruris ,,bh concursus cum radio sectionem ,conicam per puncta ,c1 ,d1 ,p transeuntem1 rectam ,,bh tangentem in puncto ,b4 ,q4 ,e4 ,f4 ,cas4 #b4 ,dentur puncta quatuor ,b1 ,c1 ,d1 ,p extra tangentem ,,hi sita4 ,junge bina ,,bd1 ,,cp concurrentia in ,g1 tangentiq2 occurrentia in ,h ,i4 ,secetur tangens in ,a1 ita ut sit ,,ha ad ,,ai1 ut est rectangulum sub media proportionali inter ,,bh ,,hd media proportionali inter ,,cg ,,gp1 ad rectangulum sub media proportionali inter ,,pi ,,ic media proportionali inter ,,dg ,,gb1 erit ,a punctum contactus4 ,nam si rect ,,pi parallela ,,hx trajectoriam secet in punctis quibusvis ,x ,y3 erit 7ex ,conicis7 ,,ha quad4 ad ,,ai quad4 ut rectangulum ,,xhy ad rectangulum ,,bhd 7seu rectangulum ,,cgp ad rectangulum ,,dgb7 rectangulum ,,bhd ad rectangulum ,,pic conjunctim4 ,invento autem contactus puncto ,a1 describetur ,trajectoria ut in casu primo4 ,q4 ,e4 ,f4 ,capi autem potest punctum ,a vel inter puncta ,h ,i1 vel extra2 perinde ,trajectoria dupliciter describi4 ,prop4 ,,xxiv4 ,prob4 ,,xvi4 ,trajectoriam describere qu transibit per data tria puncta rectas duas positione datas continget4 ,illustration ,dentur tangentes ,,hi1 ,,kl puncta ,b1 ,c1 ,d4 ,age ,,bd tangentibus occurrentem in punctis ,h1 ,k ,,cd tangentibus occurrentem in punctis ,i1 ,l4 ,actas ita seca in ,r ,s1 ut sit ,,hr ad ,,kr ut est media proportionalis inter ,,bh ,,hd ad mediam proportionalem inter ,,bk ,,kd2 ,,is ad ,,ls ut est media proportionalis inter ,,ci ,,id ad mediam proportionalem inter ,,cl ,,ld4 ,age ,,rs secantem tangentes in ,a ,p1 erunt ,a ,p puncta contactus4 ,nam si ,a ,p sint ,puncta contactuum ubivis in tangentibus sita1 per punctorum ,h1 ,i1 ,k1 ,l quodvis ,i agatur recta ,,iy tangenti ,,kl parallela occurrens curv in ,x ,y1 in ea sumatur ,,iz media proportionalis inter ,,ix ,,iy3 erit1 ex ,conicis1 rectangulum ,,xiy 7seu ,,iz quad47 ad ,,lp quad4 ut rectangulum ,,cid ad rectangulum ,,cld2 id est 7per constructionem7 ut ,,si quad4 ad ,,sl quad4 atq2 adeo ,,iz ad ,,lp ut ,,si ad ,,sl4 ,jacent ergo puncta ,s1 ,p1 ,z in una recta4 ,porro tangentibus concurrentibus in ,g1 erit 7ex ,conicis7 rectangulum ,,xiy 7seu ,,iz quad47 ad ,,ia quad4 ut ,,gp quad4 ad ,,ga quad41 adeoq2 ,,iz ad ,,ia ut ,,gp ad ,,ga4 ,jacent ergo puncta ,p1 ,z ,a in una recta1 adeoq2 puncta ,s1 ,p ,a sunt in una recta4 ,et eodem argumento probabitur quod puncta ,r1 ,p ,a sunt in una recta4 ,jacent igitur puncta contactus ,a ,p in recta ,,sr4 ,hisce autem inventis1 ,trajectoria describetur ut in casu primo ,problematis superioris4 ,q4 ,e4 ,f4 ,lemma ,,xxii4 ,figuras in alias ejusdem generis figuras mutare4 ,illustration ,transmutanda sit figura quvis ,,hgi4 ,ducantur pro lubitu rect du parallel ,,ao1 ,,bl tertiam quamvis positione datam ,,ab secantes in ,a ,b1 a figur puncto quovis ,g1 ad rectam ,,ab ducatur ,,gd1 ipsi ,,oa parallela4 ,deinde a puncto aliquo ,o in linea ,,oa dato ad punctum ,d ducatur recta ,,od1 ipsi ,,bl occurrens in d2 a puncto occursus erigatur recta gd1 datum quemvis angulum cum recta ,,bl continens1 atq2 eam habens rationem ad ,od quam habet ,,gd ad ,,od2 erit g punctum in figura nova hgi puncto ,g respondens4 ,eadem ratione puncta singula figur prim dabunt puncta totidem figur nov4 ,concipe igitur punctum ,g motu continuo percurrere puncta omnia figur prim1 punctum g motu itidem continuo percurret puncta omnia figur nov eandem describet4 ,distinctionis gratia nominemus ,,dg ordinatam primam1 dg ordinatam novam2 ,,bd abscissam primam1 ,bd abscissam novam2 ,o polum1 ,,od radium abscindentem1 ,,oa radium ordinatum primum ,oa 7quo parallelogrammum ,o,a,ba completur7 radium ordinatum novum4 ,dico jam quod si punctum ,g tangit rectam lineam positione datam1 punctum g tanget etiam lineam rectam positione datam4 ,si punctum ,g tangit ,conicam sectionem1 punctum g tanget etiam conicam sectionem4 ,conicis sectionibus hic circulum annumero4 ,porro si punctum ,g tangit lineam tertii ordinis ,analytici1 punctum g tanget lineam tertii itidem ordinis2 sic de curvis lineis superiorum ordinum3 ,line du erunt ejusdem semper ordinis ,analytici quas puncta ,g1 g tangunt4 ,etenim ut est ad ad ,,oa ita sunt ,od ad ,,od1 dg ad ,,dg1 ,,ab ad ,,ad2 adeoq2 ,,ad qualis est ,,oa ,,ab ad ,,dg qualis est ,,oa dg ad4 ,jam si punctum ,d tangit rectam lineam1 atq2 adeo in quatione quavis1 qua relatio inter abscissam ,,ad ordinatam ,,dg habetur1 indeterminat ill ,,ad ,,dg ad unicam tantum dimensionem ascendunt1 scribendo in hac quatione ,,oa ,,ab ad pro ,,ad1 ,,oa dg ad pro ,,dg1 producetur quatio nova1 in qua abscissa nova ad ordinata noua dg ad unicam tantum dimensionem ascendent1 atq2 adeo qu designat lineam rectam4 ,sin ,,ad ,,dg 7vel earum alterutra7 ascendebant ad duas dimensiones in quatione prima1 ascendent itidem ad dg ad duas in quatione secunda4 ,et sic de tribus vel pluribus dimensionibus4 ,indeterminat ad1 dg in quatione secunda ,,ad1 ,,dg in prima ascendent semper ad eundem dimensionum numerum1 propterea line1 quas puncta ,g1 g tangunt1 sunt ejusdem ordinis ,analytici4 ,dico prterea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in figura prima2 hc recta translata tanget lineam curvam in figura nova3 contra4 ,nam si ,curv puncta quvis duo accedunt ad invicem coeunt in figura prima1 puncta eadem translata coibunt in figura nova1 atq2 adeo rect1 quibus hc puncta junguntur simul1 evadent curvarum tangentes in figura utraq24 ,componi possent harum assertionum ,demonstrationes more magis ,geometrico4 ,sed brevitati consulo4 ,igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est1 sufficit rectarum intersectiones transferre1 per easdem in figura nova lineas rectas ducere4 ,sin curvilineam transmutare oportet1 transferenda sunt puncta1 tangentes ali rect quarum ope ,curva linea definitur4 ,inservit autem hoc ,lemma solutioni difficiliorum ,problematum1 transmutando figuras propositas in simpliciores4 ,nam rect quvis convergentes transmutantur in parallelas1 adhibendo pro radio ordinato primo ,,ao lineam quamvis rectam1 qu per concursum convergentium transit2 id adeo quia concursus ille hoc pacto abit in infinitum1 line autem parallel sunt qu ad punctum infinite distans tendunt4 ,postquam autem ,problema solvitur in figura nova1 si per inversas operationes transmutetur hc figura in figuram primam1 habebitur ,solutio qusita4 ,utile est etiam hoc ,lemma in solutione ,solidorum problematum4 ,nam quoties du sectiones conic obvenerint1 quarum intersectione ,problema solvi potest1 transmutare licet unum earum in circulum4 ,recta item sectio ,conica in constructione planorum problematum vertuntur in rectam circulum4 ,prop4 ,,xxv4 ,prob4 ,,xvii4 ,trajectoriam describere qu per data duo puncta transibit rectas tres continget positione datas4 ,illustration ,per concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem1 concursum tangentis terti cum recta illa1 qu per puncta duo data transit1 age rectam infinitam2 eaq2 adhibita pro radio ordinato primo1 transmutetur figura1 per ,lemma superius1 in figuram novam4 ,in hac figura tangentes ill du evadent parallel1 tangens tertia fiet parallela rect per puncta duo transeunti4 ,sunto hi1 kl tangentes du parallel1 ik tangens tertia1 hl recta huic parallela transiens per puncta illa a1 b1 per qu ,conica sectio in hac figura nova transire debet1 parallelogrammum hikl complens4 ,secentur rect hi1 ik1 kl in c1 d e1 ita ut sit hc ad latus quadratum rectanguli ahb1 ic ad id1 ke ad kd ut est summa rectarum hi kl ad summam trium linearum quarum prima est recta ik1 alter du sunt latera quadrata rectangulorum ahb alb3 ,et erunt c1 d1 e puncta contactus4 ,etenim1 ex ,conicis1 sunt hc quadratum ad rectangulum ahb1 ic quadratum ad id quadratum1 ke quadratum ad kd quadratum1 el quadratum ad alb rectangulum in eadem ratione1 propterea hc ad latus quadratum ipsius ahb1 ic ad id1 ke ad kd el ad latus quadratum ipsius alb sunt in dimidiata illa ratione1 composite1 in data ratione omnium antecedentium hi kl ad omnes consequentes1 qu sunt latus quadratum rectanguli ahb recta ik latus quadratum rectanguli alb4 ,habentur igitur ex data illa ratione puncta contactus c1 d1 e1 in figura nova4 ,per inversas operationes ,lemmatis novissimi transferantur hc puncta in figuram primam ibi1 per casum primum ,problematis ,,xiv1 describetur ,trajectoria4 ,q4 ,e4 ,f4 ,cterum perinde ut puncta a1 b jacent vel inter puncta h1 l1 vel extra1 debent puncta c1 d1 e vel inter puncta h1 i1 k1 l capi1 vel extra4 ,si punctorum a1 b alterutrum cadit inter puncta h1 l1 alterum extra1 ,problema impossibile est4 ,prop4 ,,xxvi4 ,prob4 ,,xviii4 ,trajectoriam describere qu transibit per punctum datum rectas quatuor positione datas continget4 ,ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad intersectionem communem reliquarum duarum agatur recta infinita1 eadem pro radio ordinato primo adhibita1 transmutetur figura 7per ,lem4 ,,xxii7 in figuram novam1 ,tangentes bin1 qu ad radium ordinatum concurrebant1 jam evadent parallel4 ,sunto ill hi kl1 ik hl continentes parallelogrammum hikl4 ,sitq2 p punctum in hac nova figura1 puncto in figura prima dato respondens4 ,per figur centrum ,o agatur pq1 existente ,oq quali ,op erit q punctum alterum per quod sectio ,conica in hac figura nova transire debet4 ,per ,lemmatis ,,xxii operationem inversam transferatur hoc punctum in figuram primam1 ibi habebuntur puncta duo per qu ,trajectoria describenda est4 ,per eadem vero describi potest ,trajectoria illa per ,prob4 ,,xvii4 ,q4 ,e4 ,f4 ,lemma ,,xxiii4 ,illustration ,si rect du positione dat ,,ac1 ,,bd ad data puncta ,a1 ,b terminentur1 datamq2 habeant rationem ad invicem1 recta ,,cd1 qua puncta indeterminata ,c1 ,d junguntur secetur in ratione data in ,k3 dico quod punctum ,k locabitur in recta positione data4 ,concurrant enim rect ,,ac1 ,,bd in ,e1 in ,,be capiatur ,,bg ad ,,ae ut est ,,bd ad ,,ac1 sitq2 ,,fd qualis ,,eg1 erit ,,ec ad ,,gd1 hoc est ad ,,ef ut ,,ac ad ,,bd1 adeoq2 in ratione data1 propterea dabitur specie triangulum ,,efc4 ,secetur ,,cf in ,l in ratione ,,ck ad ,,cd1 dabitur etiam specie triangulum ,,efl1 proindeq2 punctum ,l locabitur in recta ,,el positione data4 ,junge ,,lk1 ob datam ,,fd datam rationem ,,lk ad ,,fd1 dabitur ,,lk4 ,huic qualis capiatur ,,eh1 erit ,,elkh parallelogrammum4 ,locatur igitur punctum ,k in parallelogrammi latere positione dato ,,hk4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lemma ,,xxiv4 ,si rect tres tangant quamcunq2 conisectionem1 quarum du parallel sint ac dentur positione2 dico quod sectionis semidiameter hisce duabus parallela1 sit media proportionalis inter harum segmenta1 punctis contactum tangenti terti interjecta4 ,illustration ,sunto ,,af1 ,,gb parallel du ,conisectionem ,,adb tangentes in ,a ,b2 ,,ef recta tertia ,conisectionem tangens in ,i1 occurrens prioribus tangentibus in ,f ,g2 sitq2 ,,cd semidiameter ,figur tangentibus parallela3 ,dico quod ,,af1 ,,cd1 ,,bg sunt continue proportionales4 ,nam si diametri conjugat ,,ab1 ,,dm tangenti ,,fg occurrant in ,e ,h1 seq2 mutuo secent in ,c1 compleatur parallelogrammum ,,ikcl2 erit ex natura sectionum ,conicarum1 ut ,,ec ad ,,ca ita ,,ca ad ,,lc1 ita divisim ,,ec - ,,ca ad ,,ca - ,,cl seu ,,ea ad ,,al1 composite ,,ea ad ,,ea ,,al seu ,,el ut ,,ec ad ,,ec ,,ca seu ,,eb2 adeoq2 7ob similitudinem triangulorum ,,eaf1 ,,eli1 ,,ech1 ,,ebg7 ,,af ad ,,li ut ,,ch ad ,,bg4 ,est itidem ex natura sectionum ,conicarum ,,li seu ,,ck ad ,,cd ut ,,cd ad ,,ch atq2 adeo ex quo perturbate ,,af ad ,,cd ut ,,cd ad ,,bg4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si tangentes du ,,fg1 ,,pq tangentibus parallelis ,,af1 ,,bg occurrant in ,f ,g1 ,p ,q1 seq2 mutuo secent in ,o1 erit 7ex quo perturbate7 ,,af ad ,,bq ut ,,ap ad ,,bg1 divisim ut ,,fp ad ,,gq1 atq2 adeo ut ,,fo ad ,,og4 ,corol4 #b4 ,unde etiam rect du ,,pg1 ,,fq per puncta ,p ,g1 ,f ,q duct1 concurrent ad rectam ,,acb per centrum figur puncta contactuum ,a1 ,b transeuntem4 ,lemma ,,xxv4 ,si parallelogrammi latera quattuor infinite producta tangant sectionem quamcunq2 ,conicam abscindantur ad tangentem quamvis quintam2 sumantur autem abscisse terminate ad angulos oppositos parallelogrammi3 dico quod abscissa unius lateris ad latus illud1 ut pars lateris contermini inter punctum contactus latus tertium1 ad abscissam lateris hujus contermini4 ,illustration ,tangant parallelogrammi ,,mikl latera quatuor ,,ml1 ,,ik1 ,,kl1 ,,mi sectionem ,conicam in ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 secet tangens quinta ,,fq hc latera in ,f1 ,q1 ,h ,e3 dico quod sit ,,me ad ,,mi ut ,,bk ad ,,kq ,,kh ad ,,kl ut ,,am ad ,,mf4 ,nam per ,corollarium ,lemmatis superioris1 est ,,me ad ,,ei ut ,,am seu ,,bk ad ,,bq1 componendo ,,me ad ,,mi ut ,,bk ad ,,kq4 ,q4 ,e4 ,d4 ,item ,,kh ad ,,hl ut ,,bk seu ,,am ad ,,af1 dividendo ,,kh ad ,,kl ut ,,am ad ,,mf4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si parallelogrammum ,,iklm datur1 dabitur rectangulum ,,kq ,,me1 ut huic quale rectangulum ,,kh ,,mf4 quantur enim rectangula illa ob similitudinem triangulorum ,,kqh1 ,,mfe4 ,corol4 #b4 ,et si sexta ducatur tangens eq tangentibus ,,ki1 ,,mi occurrens in e q1 rectangulum ,,kq ,,me quabitur rectangulo ,kq ,me1 eritq2 ,,kq ad ,me ut ,kq ad ,,me1 divisim ut ,qq ad ,ee4 ,corol4 #c4 ,unde etiam si ,eq1 e,q jungantur bisecentur1 recta per puncta bisectionum agatur1 transibit hc per centrum ,sectionis ,conic4 ,nam cum sit ,qq ad ,ee ut ,,kq ad ,me1 transibit eadem recta per medium omnium ,eq1 e,q1 ,,mk2 7per ,lemma ,,xxiii7 medium rect ,,mk est centrum ,sectionis4 ,prop4 ,,xxvii4 ,prob4 ,,xix4 ,illustration ,trajectoriam describere qu rectas quinq2 positione datas continget4 ,dentur positione tangentes ,,abg1 ,,bcf1 ,,gcd1 ,,fde1 ,,ea4 ,figur quadrilater sub quatuor quibusvis content ,,abfe diagonales ,,af1 ,,be biseca1 7per ,cor4 #c4 ,lem4 ,,xxv7 recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum ,trajectori4 ,rursus figur quadrilater ,,bgdf1 sub alijs quibusvis quatuor tangentibus content1 diagonales 7ut ita dicam7 ,,bd1 ,,gf biseca1 recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum sectionis4 ,dabitur ergo centrum in concursu bisecantium4 ,sit illud ,o4 ,tangenti cuivis ,,bc parallelam age ,,kl1 ad eam distantiam ut centrum ,o in medio inter parallelas locetur1 acta ,,kl tanget trajectoriam describendam4 ,secet hc tangentes alias quasvis duas ,,cd1 ,,fde in ,l ,k4 ,per tangentium non parallelarum ,,cl1 ,,fk cum parallelis ,,cf1 ,,kl concursus ,c ,k1 ,f ,l age ,,ck1 ,,fl concurrentes in ,r1 recta ,,or ducta producta secabit tangentes parallelas ,,cf1 ,,kl in punctis contactuum4 ,patet hoc per ,corol4 #b4 ,lem4 ,,xxiv4 ,eadem methodo invenire licet alia contactuum puncta1 tum demum per ,casum #a4 ,prob4 ,,xiv4 ,trajectoriam describere4 ,q4 ,e4 ,f4 ,schol4 ,problemata1 ubi dantur ,trajectoriarum vel centra vel ,asymptoti includuntur in prcedentibus4 ,nam datis punctis tangentibus una cum centro1 dantur alia totidem puncta aliq2 tangentes a centro ex altera ejus parte qualiter distantes4 ,asymptotos autem pro tangente habenda est1 ejus terminus infinite distans 7si ita loqui fas sit7 pro puncto contactus4 ,concipe tangentis cujusvis punctum contactus abire in infinitum1 tangens vertetur in ,asymptoton1 atq2 constructiones ,problematis ,,xv ,casus primi ,problematis ,,xiv vertentur in constructiones ,problematum ubi ,asymptoti dantur4 ,illustration ,postquam ,trajectoria descripta est1 invenire licet axes umbilicos ejus hac methodo4 ,in constructione ,figura ,lemmatis ,,xxi1 fac ut angulorum mobilium ,,pbn1 ,,pcn crura ,,bp1 ,,cp quorum concursu ,trajectoria describebatur sint sibi invicem parallela1 eumq2 servantia situm revolvantur circa polos suos ,b1 ,c in figura illa4 ,interea vero describant altera angulorum illorum crura ,,cn1 ,,bn concursu suo ,k vel k1 circulum ,,ibkgc4 ,sit circuli hujus centrum ,o4 ,ab hoc centro ad ,regulam ,,mn1 ad quam altera illa crura ,,cn1 ,,bn interea concurrebant dum ,trajectoria describebatur1 demitte normalem ,,oh circulo occurrentem in ,k ,l4 ,et ubi crura illa altera ,,ck1 ,,bk concurrant ad punctum istud ,k quod ,regul proprius est1 crura prima ,,cp1 ,,bp parallela erunt axi majori perpendicularia minori2 contrarium eveniet si crura eadem concurrunt ad punctum remotius ,l4 ,unde si detur ,trajectori centrum1 dabuntur axes4 ,hisce autem datis1 umbilici sunt in promptu4 ,axium vero quadrata sunt ad invicem ut ,,kh ad ,,lh1 inde facile est ,trajectoriam specie datam per data quatuor puncta describere4 ,nam si duo ex punctis datis constituantur poli ,c1 ,b1 tertium dabit angulos mobiles ,,pck1 ,,pbk4 ,tum ob datam specie ,trajectoriam1 dabitur ratio ,,oh ad ,,ok1 centroq2 ,o intervallo ,,oh describendo circulum1 per punctum quartum agendo rectam qu circulum illum tangat1 dabitur regula ,,mn cujus ope ,trajectoria describatur4 ,unde etiam vicissim ,trapezium specie datum 7si casus quidam impossibiles excipiantur7 in data quavis sectione ,conica inscribi potest4 ,sunt alia ,lemmata quorum ope ,trajectori specie dat1 datis punctis tangentibus1 describi possunt4 ,ejus generis est quod1 si recta linea per punctum quodvis positione datum ducatur1 qu datam ,conisectionem in punctis duobus intersecet1 intersectionum intervallum bisecetur1 punctum bisectionis tanget aliam ,conisectionem ejusdem speciei cum priore1 atq2 axes habentem prioris axibus parallelos4 ,sed propero ad magis utilia4 ,lemma ,,xxvi4 ,illustration ,trianguli specie magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem positione datas1 qu non sunt omnes parallel1 singulos ad singulas ponere4 ,dantur positione tres rect infinit ,,ab1 ,,ac1 ,,bc1 oportet triangulum ,,def ita locare1 ut angulus ejus ,d lineam ,,ab1 angulus ,e lineam ,,ac1 angulus ,f lineam ,,bc tangat4 ,super ,,de1 ,,df ,,ef describe tria circulorum segmenta ,,dre1 ,,dgf1 ,,emf1 qu capiant angulos angulis ,,bac1 ,,abc1 ,,acb quales respective4 ,describantur autem hc segmenta ad eas partes linearum ,,de1 ,,df1 ,,ef ut liter ,,dred eodem ordine cum literis ,,bacb1 liter ,,dgfd eodem cum literis ,,abca1 liter ,,emfe eodem cum literis ,,acba in orbem redeant3 deinde compleantur hc ,illustration segmenta in circulos4 ,secent circuli duo priores se mutuo in ,g1 sintq2 centra eorum ,p ,q4 ,junctis ,,gp1 ,,pq1 cape ,ga ad ,,ab ut est ,,gp ad ,,pq1 centro ,g1 intervallo ,ga describe circulum1 qui secet circulum primum ,,dge in a4 ,jungatur tum a,d secans circulum secundum ,,dfg in b1 tum a,e secans circulum tertium ,g,ec in c4 ,et compleatur figura ,a,b,cdef similis qualis figur abc,d,e,f4 ,dico factum4 ,agatur enim ,fc ipsi a,d occurrens in n4 ,jungantur a,g1 b,g1 ,,pd1 ,,qd producatur ,,pq ad ,r4 ,ex constructione est angulus ,ea,d qualis angulo ,,cab1 angulus ,ec,f qualis angulo ,,acb1 adeoq2 triangulum anc triangulo ,,abc quiangulum4 ,ergo angulus anc seu ,fn,d angulo ,,abc1 adeoq2 angulo ,fb,d qualis est1 propterea punctum n incidit in punctum b4 ,porro angulus ,,gpq1 qui dimidius est anguli ad centrum ,,gpd1 qualis est angulo ad circumferentiam ,ga,d2 angulus ,,gqr1 qui dimidius est complementi anguli ad centrum ,,gqd1 qualis est angulo ad circumferentiam ,gb,d1 adeoq2 eorum complementa ,,pqg1 ab,g quantur1 suntq2 ideo triangula ,,gpq1 ,gab similia1 ,ga est ad ab ut ,,gp ad ,,pq2 id est 7ex constructione7 ut ,ga ad ,,ab4 quantur itaq2 ab ,,ab1 propterea triangula abc1 ,,abc1 qu modo similia esse probavimus1 sunt etiam qualia4 ,unde cum tangant insuper trianguli ,,def anguli ,d1 ,e1 ,f trianguli abc latera ab1 ac1 bc respective1 compleri potest figura ,a,b,cdef figur abc,d,e,f similis qualis1 atq2 eam complendo solvetur ,problema4 ,q4 ,e4 ,f4 ,corol4 ,hinc recta duci potest cujus partes longitudine dat rectis tribus positione datis interjacebunt4 ,concipe ,triangulum ,,def1 puncto ,d ad latus ,,ef accedente1 lateribus ,,de1 ,,df in directum positis1 mutari in lineam rectam1 cujus pars data ,,de1 rectis positione datis ,,ab1 ,,ac1 pars data ,,df rectis positione datis ,,ab1 ,,bc interponi debet2 applicando constructionem prcedentem ad hunc casum solvetur ,problema4 ,prop4 ,,xxviii4 ,prob4 ,,xx4 ,trajectoriam specie magnitudine datam describere1 cujus partes dat rectis tribus positione datis interjacebunt4 ,describenda sit ,trajectoria qu sit similis qualis line curv ,,def1 quq2 a rectis tribus ,,ab1 ,,ac1 ,,bc positione datis1 in partes datis hujus partibus ,,de ,,ef similes quales secabitur4 ,illustration ,age rectas ,,de1 ,,ef1 ,,df1 trianguli hujus ,,def pone angulos ,d1 ,e1 ,f ad rectas illas positione datas3 7per ,lem4 ,,xxvi7 ,dein circa triangulum describe ,trajectoriam curv ,,def similem qualem4 ,q4 ,e4 ,f4 ,lemma ,,xxvii4 ,trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas quatuor positione datas 7qu neq2 omnes parallel sunt1 neq2 ad commune punctum convergunt7 singuli ad singulas consistent4 ,illustration ,dentur positione rect quatuor ,,abc1 ,,ad1 ,,bd1 ,,ce1 quarum prima secet secundam in ,a1 tertiam in ,b1 quartam in ,c3 describendum sit ,trapezium fghi quod sit ,trapezio ,,fghi simile1 cujus angulus f1 angulo dato ,f qualis1 tangat rectam ,,abc cteriq2 anguli g1 h1 i cteris angulis datis ,g1 ,h1 ,i quales tangant cteras lineas ,,ad1 ,,bd1 ,,ce respective4 ,jungatur ,,fh1 super ,,fg1 ,,fh1 ,,fi describantur totidem circulorum segmenta ,,fsg1 ,,fth1 ,,fvi2 quorum primum ,,fsg capiat angulum qualem angulo ,,bad1 secundum ,,fth capiat angulum qualem angulo ,,cbe2 ac tertium ,,fvi capiat angulum qualem angulo ,,ace4 ,describi autem debent segmenta ad eas partes linearum ,,fg1 ,,fh1 ,,fi1 ut literarum ,,fsgf idem sit ordo circularis qui literarum ,,badb1 utq2 liter ,,fthf eodem ordine cum literis ,,cbec1 liter ,,fvif eodem cum literis ,,acea in orbem redeant4 ,compleantur segmenta in circulos1 sitq2 ,p centrum circuli primi ,,fsg1 ,q centrum secundi ,,fth4 ,jungatur utrinq2 producatur ,,pq1 in ea capiatur ,,qr in ea ratione ad ,,pq quam habet ,,bc ad ,,ab4 ,capiatur autem ,,qr ad eas partes puncti ,q ut literarum ,p1 ,q1 ,r idem sit ordo circularis atq2 literarum ,a1 ,b1 ,c3 centroq2 ,r intervallo ,,rf describatur circulus quartus ,f,nc secans circulum tertium ,,fvi in c4 ,jungatur ,fc secans circulum primum in a secundum in b4 ,agantur a,g1 b,h1 c,i1 figur abc,f,g,h,i similis constituatur figura ,a,b,cfghi3 ,eritq2 ,trapezium fghi illud ipsum quod constituere oportuit4 ,secent enim circuli duo primi ,,fsg1 ,,fth se mutuo in ,k4 ,jungantur ,,pk1 ,,qk1 ,,rk1 a,k1 b,k1 c,k producatur ,,qp ad ,l4 ,anguli ad circumferentias ,fa,k1 ,fb,k1 ,fc,k1 sunt semisses angulorum ,,fpk1 ,,fqk1 ,,frk ad centra1 adeoq2 angulorum illorum dimidiis ,,lpk1 ,,lqk1 ,,lrk quales4 ,est ergo figura ,,pqrk figur abc,k quiangula similis1 propterea ab est ad bc ut ,,pq ad ,,qr1 id est ut ,,ab ad ,,bc4 ,angulis insuper ,fa,g1 ,fb,h1 ,fc,i quantur f,ag1 f,bh1 f,ci per constructionem4 ,ergo figur abc,f,g,h,i figura similis ,a,b,cfghi compleri potest4 ,quo facto ,trapezium fghi constituetur simile ,trapezio ,,fghi angulis suis f1 g1 h1 i tanget rectas ,,ab1 ,,ad1 ,,bd1 ,,ce4 ,q4 ,e4 ,f4 ,corol4 ,hinc recta duci potest cujus partes1 rectis quatuor positione datis dato ordine interject1 datam habebunt proportionem ad invicem4 ,augeantur anguli ,,fgh1 ,,ghi usq2 eo1 ut rect ,,fg1 ,,gh1 ,,hi in directum jaceant1 in hoc casu construendo ,problema1 ducetur recta fghi cujus partes fg1 gh1 hi1 rectis quatuor positione datis ,,ab ,,ad1 ,,ad ,,bd1 ,,bd ,,ce interject1 erunt ad invicem ut line ,,fg1 ,,gh1 ,,hi1 eundemq2 servabunt ordinem inter se4 ,idem vero sic fit expeditius4 ,producantur ,,ab ad ,k1 ,,bd ad ,l1 ut sit ,,bk ad ,,ab ut ,,hi ad ,,gh2 ,,dl ad ,,bd ut ,,gi ad ,,fg2 jungatur ,,kl occurrens rect ,,ce in i4 ,producatur i,l ad ,m1 ut sit ,,lm ad i,l ut ,,gh ad ,,hi1 agatur tum ,,mq ipsi ,,lb parallela rectq2 ,,ad occurrens in g1 tum gi secans ,,ab1 ,,bd in f1 h4 ,dico factum4 ,illustration ,secet enim ,mg rectam ,,ab in ,q1 ,,ad rectam ,,kl in ,s1 agatur ,,ap1 qu sit ipsi ,,bd parallela occurrat i,l in ,p1 erunt ,mg ad ,lh 7,mi ad ,li1 gi ad hi1 ,,ak ad ,,bk7 ,,ap ad ,,bl in eadem ratione4 ,secetur ,,dl in ,r ut sit ,,dl ad ,,rl in eadem illa ratione1 ob proportionales g,s ad g,m1 ,,as ad ,,ap ,,ds ad ,,dl1 erit ex quo ut g,s ad ,lh ita ,,as ad ,,bl ,,ds ad ,,rl2 mixtim1 ,,bl - ,,rl ad ,lh - ,,bl ut ,,as - ,,ds ad g,s - ,,as4 ,id est ,,br ad ,bh ut ,,ad ad ,ag1 adeoq2 ut ,,bd ad g,q4 ,et vicissim ,,br ad ,,bd ut ,bh ad g,q seu fh ad fg4 ,sed ex constructione est ,,br ad ,,bd ut ,,fh ad ,,fg4 ,ergo fh est ad fg ut ,,fh ad ,,fg4 ,cum igitur sit etiam ig ad ih ut ,mi ad ,li1 id est1 ut ,,ig ad ,,ih1 patet lineas ,,fi1 fi in g h1 ,g ,h similiter sectas esse4 ,q4 ,e4 ,f4 ,in constructione ,corollarii hujus postquam ducitur ,,lk secans ,,ce in i1 producere licet i,e ad ,v1 ut sit ,,ev ad i,e ut ,,fh ad ,,hi1 agere ,vf parallelam ipsi ,,bd4 ,eodem recidit si centro i1 intervallo ,,ih describatur circulus secans ,,bd in ,x1 producatur i,x ad ,y1 ut sit i,y qualis ,,if1 agatur ,yf ipsi ,,bd parallela4 ,prop4 ,,xxix4 ,prob4 ,,xix4 ,trajectoriam specie datam describere1 qu a rectis quatuor positione datis in partes secabitur1 ordine1 specie proportione datas4 ,illustration ,describenda sit ,trajectoria fghi1 qu similis sit line curv ,,fghi1 cujus partes fg1 gh1 hi illius partibus ,,fg1 ,,gh1 ,,hi similes proportionales1 rectis ,,ab ,,ad1 ,,ad ,,bd1 ,,bd ,,ec positione datis1 prima primis1 secunda secundis1 tertia tertiis interjaceant4 ,actis rectis ,,fg1 ,,gh1 ,,hi1 ,,fi1 describatur ,trapezium fghi quod sit ,trapezio ,,fghi simile cujus anguli f1 g1 h1 i tangant rectas illas positione datas ,,ab1 ,,ad1 ,,bd1 ,,ce singuli singulas dicto ordine4 ,dein 7per ,lem4 ,,xxvii7 circa hoc ,trapezium describatur ,trajectoria curv line ,,fghi consimilis4 ,scholium4 ,illustration ,construi etiam potest hoc ,problema ut sequitur4 ,junctis ,,fg1 ,,gh1 ,,hi1 ,,fi produc ,,gf ad ,v1 jungeq2 ,,fh1 ,,ig1 angulis ,,fgh1 ,,vfh fac angulos ,,cak1 ,,dal quales4 ,concurrant ,,ak1 ,,al cum recta ,,bd in ,k ,l1 inde aguntur ,,km1 ,,ln1 quarum ,,km constituat angulum ,,akm qualem angulo ,,ghi1 sitq2 ad ,,ak ut est ,,hi ad ,,gh2 ,,ln constituat angulum ,,aln qualem angulo ,,fhi1 sitq2 ad ,,al ut ,,hi ad ,,fh4 ,ducantur autem ,,ak1 ,,km1 ,,al1 ,,ln ad eas partes linearum ,,ad1 ,,ak1 ,,al1 ut liter ,,cakmc1 ,,alk1 ,,dalnd eodem ordine cum literis ,,fghif in orbem redeant1 acta ,,mn occurrat rect ,,ce in i4 ,fac angulum i,e,p qualem angulo ,,igf1 sitq2 ,,pe ad ,ei ut ,,fg ad ,,gi2 per ,p agatur ,q,pf1 qu cum recta ,,aed contineat angulum ,,pqe qualem angulo ,,fig1 rectq2 ,,ab occurrat in f1 jungatur fi4 ,agantur autem ,,pe ,,pq ad eas partes linearum ,,ce1 ,,pe1 ut literarum ,p,ei,p ,,peqp idem sit ordo circularis qui literarum ,,fghif1 si super linea fi eodem quoq2 literarum ordine constituatur ,trapezium fghi ,trapezio ,,fghi simile1 circumscribatur ,trajectoria specie data1 solvetur ,problema4 ,hactenus de orbibus inveniendis4 ,superest ut motus corporum orbibus inventis determinemus4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,vi4 ,de inventione motuum in ,orbibus datis4 ,prop4 ,,xxx4 ,prob4 ,,xxii4 ,illustration ,corporis in data ,trajectoria ,parabolica moventis1 invenire locum ad tempus assignatum4 ,sit ,s umbilicus ,a vertex principalis ,parabol1 sitq2 #d;,,as ,m area ,parabolica ,,aps1 qu radio ,,sp1 vel post excessum corporis de vertice descripta fuit1 vel ante appulsum ejus ad verticem describenda est4 ,innotescit area illa ex tempore ipsi proportionali4 ,biseca ,,as in ,g1 erigeq2 perpendiculum ,,gh quale #c,m1 circulus centro ,h1 intervallo ,,hs descriptus secabit ,parabolam in loco qusito ,p4 ,nam demissa ad axem perpendiculari ,,po1 est ,h,gq4 ,g,sq4 7 ,h,sq4 ,h,pq4 ,g,oq4 ,,po - ,,hgq47 ,g,oq4 ,h,gq4 - #b;,,hg ,,po ,p,oq4 ,et deleto utrinq2 ,h,gq4 fiet ,g,sq4 ,g,oq4 - #b;,,hg ,,po ,p,oq4 seu #b;,,hg ,,po 7 ,g,oq4 ,p,oq4 - ,g,sq4 ,a,oq4 - #b;,,gao ,p,oq47 ,a,oq4 ,p,oq4 ,pro ,a,oq4 scribe ,,ao ,p,oq4 #d;,,as1 applicatis terminis omnibus ad #c,,po1 ductisq2 in #b;,,as1 fiet #d_/c;,,gh ,,as 7 #a_/f;,,ao ,,po ,,as ,,po ,,ao #c;,,as #f ,,po #d;,,ao - #c,,so #f ,,po are ,,apo - ,,spo7 are ,,aps4 ,sed ,,gh erat #c,m1 inde #d_/c;,,hg ,,as est #d;,,as ,m4 ,ergo area ,,aps qualis est #d;,,as ,m4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc ,,gh est ad ,,as1 ut tempus quo corpus descripsit arcum ,,ap ad tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem ,a perpendiculum ad axem ab umbilico ,s erectum4 ,corol4 #b4 ,et circulo ,,asp per corpus movens perpetuo transeunte1 velocitas puncti ,h est ad velocitatem quam corpus habuit in vertice ,a1 ut #c ad #h2 adeoq2 in ea etiam ratione est linea ,,gh ad lineam rectam quam corpus tempore motus sui ab ,a ad ,p1 ea cum velocitate quam habuit in vertice ,a1 describere posset4 ,corol4 #c4 ,hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo corpus descripsit arcum quemvis assignatum ,,ap4 ,junge ,,ap ad medium ejus punctum erige perpendiculum rect ,,gh occurrens in ,h4 ,lemma ,,xxviii4 ,nulla extat figura ,ovalis cujus area1 rectis pro lubitu abscissa1 possit per quationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri4 ,intra ,ovalem detur punctum quodvis1 circa quod ceu polum revolvatur perpetuo linea recta1 interea in recta illa exeat punctum mobile de polo1 pergatq2 semper ea cum velocitate1 qu sit ut rect illius intra ,ovalem longitudo4 ,hoc motu punctum illud describet ,spiralem gyris infinitis4 ,jam si area ,oualis per finitam quationem inveniri potest1 invenietur etiam per eandem quationem distantia puncti a polo2 qu huic are proportionalis est1 adeoq2 omnia ,spiralis puncta per quationem finitam inveniri possunt3 propterea rect cujusvis positione dat intersectio cum spirali inveniri etiam potest per quationem finitam4 ,atqui recta omnis infinite producta spiralem secat in punctis numero infinitis1 quatio1 qua intersectio aliqua duarum linearum invenitur1 exhibet earum intersectiones omnes radicibus totidem1 adeoq2 ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones4 ,quoniam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus1 intersectio una non invenitur nisi per quationem duarum dimensionum1 qua intersectio altera etiam inveniatur4 ,quoniam duarum sectionum ,conicarum quatuor esse possunt intersectiones1 non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per quationem quatuor dimensionum1 qua omnes simul inveniantur4 ,nam si intersectiones ill seorsim qurantur1 quoniam eadem est omnium lex conditio1 idem erit calculus in casu unoquoq2 propterea eadem semper conclusio1 qu igitur debet omnes intersectiones simul complecti indifferenter exhibere4 ,unde etiam intersectiones ,sectionum ,conicarum curvarum terti potestatis1 eo quod sex esse possunt1 simul prodeunt per quationes sex dimensionum1 intersectiones duarum curvarum terti potestatis1 quia novem esse possunt1 simul prodeunt per quationes dimensionum novem4 ,id nisi necessario fieret1 reducere liceret ,problemata omnia ,solida ad ,plana1 plusquam solida ad solida4 ,eadem de causa intersectiones bin rectarum sectionum ,conicarum prodeunt semper per quationes duarum dimensionum2 tern rectarum curvarum terti potestatis per quationes trium1 quatern rectarum curvarum quart potestatis per quationes dimensionum quatuor1 sic in infinitum4 ,ergo intersectiones numero infinit rectarum1 propterea quod omnium eadem est lex idem calculus1 requirunt quationes numero dimensionum radicum infinitas1 quibus omnes possunt simul exhiberi4 ,si a polo in rectam illam secantem demittatur perpendiculum1 perpendiculum una cum secante revolvatur circa polum1 intersectiones spiralis transibunt in se mutuo1 quq2 prima erat seu proxima1 post unam revolutionem secunda erit1 post duas tertia1 sic deinceps3 nec interea mutabitur quatio nisi pro mutata magnitudine quantitatum per quas positio secantis determinatur4 ,unde cum quantitates ill post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas1 quatio redibit ad formam primam1 adeoq2 una eademq2 exhibebit intersectiones omnes1 propterea radices habebit numero infinitas1 quibus omnes exhiberi possunt4 ,nequit ergo intersectio rect spiralis per quationem finitam generaliter inveniri1 idcirco nulla extat ,ovalis cujus area1 rectis imperatis abscissa1 possit per talem quationem generaliter exhiberi4 ,eodem argumento1 si intervallum poli puncti1 quo spiralis describitur1 capiatur ,ovalis perimetro absciss proportionale1 probari potest quod longitudo perimetri nequit per finitam quationem generaliter exhiberi4 ,corollarium4 ,hinc area ,ellipseos1 qu radio ab umbilico ad corpus mobile ducto describitur1 non prodit ex dato tempore1 per quationem finitam2 propterea per descriptionem ,curuarum ,geometrice rationalium determinari nequit4 ,curvas ,geometrice rationales appello quarum puncta omnia per longitudines quationibus definitas1 id est1 per longitudinum rationes complicatas1 determinari possunt2 cterasq2 7ut ,spirales1 ,quadratrices1 ,trochoides7 ,geometrice irrationales4 ,nam longitudines qu sunt vel non sunt ut numerus ad numerum 7quemadmodum in decimo ,elementorum7 sunt ,arithmetice rationales vel irrationales4 ,aream igitur ,ellipseos tempori proportionalem abscindo per ,curvam ,geometrice irrationalem ut sequitur4 ,prop4 ,,xxxi4 ,prob4 ,,xxiii4 ,corporis in data ,trajectoria ,elliptica moventis invenire locum ad tempus assignatum4 ,illustration ,ellipseos ,,apb sit ,a vertex principalis1 ,s umbilicus1 ,o centrum1 sitq2 ,p corporis locus inveniendus4 ,produc ,,oa ad ,g ut sit ,,og ad ,,oa ut ,,oa ad ,,os4 ,erige perpendiculum ,,gh1 centroq2 ,o intervallo ,,og describe circulum ,,efg1 super regula ,,gh1 ceu fundo1 progrediatur rota ,,gef revolvendo circa axem suum1 interea puncto suo ,a describendo ,trochoidem ,,ali4 ,quo facto1 cape ,,gk in ratione ad rot perimetrum ,,gefg1 ut est tempus quo corpus progrediendo ab ,a descripsit arcum ,,ap1 ad tempus revolutionis unius in ,ellipsi4 ,erigatur perpendiculum ,,kl occurrens ,trochoidi in ,l1 acta ,,lp ipsi ,,kg parallela occurret ,ellipsi in corporis loco qusito ,p4 ,nam centro ,o intervallo ,,oa describatur semicirculus ,,aqb1 arcui ,,aq occurrat ,,lp producta in ,q1 junganturq2 ,,sq1 ,,oq4 ,arcui ,,efg occurrat ,,oq in ,f1 in eandem ,,oq demittatur perpendiculum ,,sr4 ,area ,,aps est ut area ,,aqs1 id est1 ut differentia inter sectorem ,,oqa triangulum ,,oqs1 sive ut differentia rectangulorum ,q ,,aq ,,oq ,,sr1 hoc est1 ob datam ,,oq1 ut differentia inter arcum ,,aq rectam ,,sr1 adeoq2 7ob qualitatem rationum ,,sr ad sinum arcus ,,aq1 ,,os ad ,,oa1 ,,oa ad ,,og1 ,,aq ad ,,gf1 divisim ,,aq - ,,sr ad ,,gf - sin4 arc4 ,,aq7 ut ,,gk differentia inter arcum ,,gf sinum arcus ,,aq4 ,q4 ,e4 ,d4 ,scholium4 ,illustration ,cterum ob difficultatem describendi hanc curvam prstat constructiones vero proximas in praxi ,mechanica adhibere4 ,ellipseos cujusvis ,,apb sit ,,ab axis major1 ,o centrum1 ,s umbilicus1 ,,od semiaxis minor1 ,,ak dimidium lateris recti4 ,secetur ,,as in ,g1 ut sit ,,ag ad ,,as ut ,,bo ad ,,bs2 quratur longitudo ,l1 qu sit ad ,,gk ut est ,,ao quad4 ad rectangulum ,,as ,,od4 ,bisecetur ,,og in ,c1 centroq2 ,c intervallo ,,cg describatur semicirculus ,,gfo4 ,deniq2 capiatur angulus ,,gcf in ea ratione ad angulos quatuor rectos1 quam habet tempus datum1 quo corpus descripsit arcum qusitum ,,ap1 ad tempus periodicum seu revolutionis unius in ,ellipsi3 ,ad ,,ao demittatur normalis ,,fe1 producatur eadem versus ,f ad usq2 ,n1 ut sit ,,en ad longitudinem ,l1 ut anguli illius sinus ,,ef ad radium ,,cf2 centroq2 ,n intervallo ,,an descriptus circulus secabit ,ellipsin in corporis loco qusito ,p quam proxime4 ,nam completo dimidio temporis periodici1 corpus ,p semper reperietur in ,apside summa ,b1 completo altero temporis dimidio1 redibit ad ,apsidem imam1 ut oportet4 ,ubi vero proxime abest ab ,apsidibus1 ratio prima nascentium sectorum ,,asp1 ,,gcf1 ratio ultima evanescentium ,,bsp ,,ocf1 eadem est rationi ,ellipseos totius ad circulum totum4 ,nam punctis ,p1 ,f ,n incidentibus in loca p1 f n axi ,,ab quam proximis2 ob quales ,an1 pn1 recta nq1 qu ad arcum ,ap perpendicularis est1 adeoq2 concurrit cum axe in puncto ,k1 bisecat arcum ,ap4 ,proinde est ,ap ad ,gn ut ,,ak ad ,,gk1 ,ap ad ,gn ut #b;,,ak ad ,,gk4 ,est ,gn ad ,gf ut ,,en ad ,,ef1 seu ,l ad ,,cf1 id est1 ut ,,gk ,a,oq4 #b;,,as ,,od ad ,,cf1 seu ,,gk ,a,oq4 ad #b;,,as ,,od ,,cf1 ex quo ,ap ad ,gf ut #b;,,ak ad ,,gk ,,gk ,a,oq4 ad #b;,,as ,,od ,,cf1 id est1 ut ,,ak ,a,oq4 ad ,,as ,,od ,,cf1 hoc est1 ob qualia ,,ak ,,ao ,o,dq4 ut ,,ao ,,od ad ,,as ,,cf4 ,proinde ,ap ,,as est ad ,gf ,,gc ut ,,ao ,,od ,,as ad ,,as ,,cf ,,gc1 seu ,,ao ,,od ad ,c,gq4 id est1 sector nascens ,a,sp ad sectorem nascentem ,g,cf ut ,,ao ,,od ad ,c,gq4 propterea ut area ,ellipseos totius ad aream circuli totius4 ,q4 ,e4 ,d4 ,argumento prolixiore probari potest analogia ultima in ,sectoribus evanescentibus ,,bsp1 ,,ocf3 ideoq2 locus puncti ,p prope ,apsides satis accurate inventus est4 ,in quadraturis error quasi quingentesim partis are ,ellipseos totius vel paulo major obvenire solet3 qui tamen propemodum evanescet per ulteriorem ,constructionem sequentem4 ,per puncta ,g1 ,o1 duc arcum circularem ,,gto just magnitudinis2 dein produc ,,ef hinc inde ad ,t ,n ut sit ,,en ad ,,ft ut ,l ad ,,cf2 centroq2 ,n intervallo ,,an describe circulum qui secet ,ellipsin in ,p1 ut supra4 ,arcus autem ,,gto determinabitur qurendo ejus punctum aliquod ,t2 quod constructionem in illo casu accuratam reddet4 ,si ,ellipseos latus transversum multo majus sit quam latus rectum1 motus corporis prope verticem ,ellipseos desideretur1 7qui casus in ,theoria ,cometarum incidit17 educere licet e puncto ,g rectam ,,gi axi ,,ab perpendicularem1 in ea ratione ad ,,gk quam habet area ,,avps ad rectangulum ,,ak ,,as2 dein centro ,i intervallo ,,ai circulum describere4 ,hic enim secabit ,ellipsim in corporis loco qusito ,p quamproxime4 ,et eadem constructione 7mutatis mutandis7 conficitur ,problema in ,hyperbola4 ,h autem constructiones demonstrantur ut supra1 si ,figura 7vertice ulteriore ,b in infinitum abeunte7 vertatur in ,parabolam1 migrant in accuratam illam constructionem ,problematis ,,xxii4 ,illustration ,si quando locus ille ,p accuratius determinandus sit1 inveniatur tum angulus quidam ,b1 qui sit ad angulum graduum #eg1biegh quem arcus radio qualis subtendit1 ut est umbilicorum distantia ,,sh ad ,ellipseos diametrum ,,ab2 tum etiam longitudo qudam ,l1 qu sit ad radium in eadem ratione inverse4 ,quibus semel inventis1 ,problema deinceps confit per sequentem ,analysin4 ,per constructionem superiorem 7vel utcunq2 conjecturam faciendo7 cognoscatur corporis locus ,p quam proxime4 ,demissaq2 ad axem ,ellipseos ordinatim applicata ,,pr1 ex proportione diametrorum ,ellipseos1 dabitur circuli circumscripti ,,aqb ordinatim applicata ,,rq1 qu sinus est anguli ,,acq existente ,,ac radio4 ,sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire4 ,cognoscatur etiam angulus tempori proportionalis1 id est1 qui sit ad quatuor rectos ut est tempus quo corpus descripsit arcum ,,ap1 ad tempus revolutionis unius in ,ellipsi4 ,sit angulus iste ,n4 ,tum capiatur angulus ,d ad angulum ,b1 ut est sinus iste anguli ,,acq ad ,radium1 angulus ,e ad angulum ,n - ,,acq ,d1 ut est longitudo ,l ad longitudinem eandem ,l cosinu anguli ,,acq ,d diminutam1 ubi angulus iste recto minor est1 auctam ubi major4 ,postea capiatur tum angulus ,f ad angulum ,b1 ut est sinus anguli ,,acq ,e ad radium1 tum angulus ,g ad angulum ,n - ,,acq - ,e ,f ut est longitudo ,l ad ,longitudinem eandem cosinu anguli ,,acq ,e ,f diminutam ubi angulus iste recto minor est1 auctam ubi major4 ,tertia vice capiatur angulus ,h ad angulum ,b1 ut est sinus anguli ,,acq ,e ,g ad radium2 angulus ,i ad angulum ,n - ,,acq - ,e - ,g ,h1 ut est longitudo ,l ad eandem longitudinem cosinu anguli ,,acq ,e ,g ,h diminutam1 ubi angulus iste recto minor est1 auctam ubi major4 ,et sic pergere licet in infinitum4 ,deniq2 capiatur angulus ,a,cq qualis angulo ,,acq ,e ,g ,i c4 ex cosinu ejus ,cr ordinata pr1 qu est ab sinum qr ut ,ellipseos axis minor ad axem majorem1 habebitur corporis locus correctus p4 ,siquando angulus ,n - ,,acq ,d negativus est1 debet signum ipsius ,e ubiq2 mutari in -1 signum - in 4 ,idem intelligendum est de signis ipsorum ,g ,i1 ubi anguli ,n - ,,acq - ,e ,f1 ,n - ,,acq - ,e - ,g ,h negative prodeunt4 ,convergit autem series infinita ,,acq ,e ,g ,i quam celerrime1 adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum secundum ,e4 ,et fundatur calculus in hoc ,theoremate1 quod area ,,aps sit ut differentia inter arcum ,,aq rectam ab umbilico ,s in ,radium ,,cq perpendiculariter demissam4 ,illustration ,non dissimili calculo conficitur ,problema in ,hyperbola4 ,sit ejus centrum ,c1 ,vertex ,a1 ,umbilicus ,s ,asymptotos ,,ck4 ,cognoscatur quantitas are ,,aps tempori proportionalis4 ,sit ea ,a1 fiat conjectura de positione rect ,,sp1 qu aream illam abscindat quamproxime4 ,jungatur ,,cp1 ab ,a ,p ad ,asymptoton agantur ,,ai1 ,,pk ,asymptoto alteri parallel1 per ,tabulam ,logarithmorum dabitur ,area ,,aikp1 eiq2 qualis area ,,cpa1 qu subducta de triangulo ,,cps relinquet aream ,,aps4 ,applicando arearum ,a ,,aps semidifferentiam ,,aps - ,a vel ,a - ,,aps ad lineam ,,sn1 qu ab umbilico ,s in tangentem ,,pt perpendicularis est1 orietur longitudo ,,pq4 ,capiatur autem ,,pq inter ,a ,p1 si area ,,aps major sit area ,a1 secus ad puncti ,p contrarias partes3 punctum ,q erit locus corporis accuratius4 ,et computatione repetita invenietur idem accuratius in perpetuum4 ,atq2 his calculis ,problema generaliter confit ,analytice4 ,verum usibus ,astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur4 ,existentibus ,,ao1 ,,ob1 ,,od semiaxibus ,ellipseos1 7,vide fig4 pag4 #aji4 #aaj47 ,l ipsius latere recto1 qure tum angulum ,y1 cujus ,tangens sit ad ,radium ut est semiaxium differentia ,,ao - ,,od ad eorum summam ,,ao ,,od2 tum angulum ,z1 cujus tangens sit ad ,radium ut rectangulum sub umbilicorum distantia ,,sh semiaxium differentia ,,ao - ,,od ad triplum rectangulum sub ,,oq semiaxe minore ,,ao - ,l differentia inter semiaxem majorem quartam partem lateris recti4 ,his angulis semel inventis1 locus corporis sic deinceps determinabitur4 ,sume angulum ,t proportionalem tempori quo arcus ,,bp descriptus est1 seu motui medio 7ut loquuntur7 qualem2 angulum ,v 7primam medii motus quationem7 ad angulum ,y 7quationem maximam primam7 ut est sinus anguli ,t duplicati ad radium2 atq2 angulum ,x 7quationem secundam7 ad angulum ,z 7quationem maximam secundam7 ut est sinus versus anguli ,t duplicati ad radium duplicatum1 vel 7quod eodem recidit7 ut est quadratum sinus anguli ,t ad quadratum ,radii4 ,angulorum ,t1 ,v1 ,x vel summ ,t ,x ,v1 si angulus ,t recto minor est1 vel differenti ,t ,x - ,v1 si is recto major est rectisq2 duobus minor1 qualem cape angulum ,,bhp 7motum medium quatum27 si ,,hp occurrat ,ellipsi in ,p1 acta ,,sp abscindet aream ,,bsp tempori proportionalem quamproxime4 ,hc ,praxis satis expedita videtur1 propterea quod angulorum perexiguorum ,v ,x 7in minutis secundis1 si placet1 positorum7 figuras duas tresve primas invenire sufficit4 ,invento autem angulo motus medii quati ,,bhp1 angulus veri motus ,,hsp distantia ,,sp in promptu sunt per methodum notissimam ,dris4 ,sethi ,wardi ,episcopi ,salisburiensis mihi plurimum colendi4 ,hactenus de motu corporum in lineis curvis4 ,fieri autem potest ut mobile recta descendat vel recta ascendat1 qu ad istiusmodi motus spectant1 pergo jam exponere4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,vii4 ,de ,corporum ,ascensu ,descensu ,rectilineo4 ,prop4 ,,xxxii4 ,prob4 ,,xxiv4 ,illustration ,posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distanti locorum a centro1 spatia definire qu corpus recta cadendo datis temporibus describit4 ,cas4 #a4 ,si corpus non cadit perpendiculariter describet id sectionem aliquam ,conicam cujus umbilicus inferior congruit cum centro4 ,id ex ,propositionibus ,,xi1 ,,xii1 ,,xiii earum ,corollariis constat4 ,sit sectio illa ,conica ,,arpb umbilicus inferior ,s4 ,et primo si ,figura illa ,ellipsis est1 super hujus axe majore ,,ab describatur semicirculus ,,adb1 per corpus decidens transeat recta ,,dpc perpendicularis ad axem2 actisq2 ,,ds1 ,,ps erit area ,,asd are ,,asp atq2 adeo etiam tempori proportionalis4 ,manente axe ,,ab minuatur perpetuo latitudo ,ellipseos1 semper manebit area ,,asd tempori proportionalis4 ,minuatur latitudo illa in infinitum1 orbe ,,apb jam coincidente cum axe ,,ab umbilico ,s cum axis termino ,b1 descendet corpus in recta ,,ac1 area ,,abd evadet tempori proportionalis4 ,dabitur itaq2 spatium ,,ac1 quod corpus de loco ,a perpendiculariter cadendo tempore dato describit1 si modo tempori proportionalis capiatur area ,,abd1 a puncto ,d ad rectam ,,ab demittatur perpendicularis ,,dc4 ,q4 ,e4 ,i4 ,illustration ,cas4 #b4 ,sin figura superior ,,rpb ,hyperbola est1 describatur ad eandem diametrum principalem ,,ab ,hyperbola rectangula ,,bd3 quoniam are ,,csp1 ,c,bf,p1 ,s,pf,b sunt ad areas ,,csd1 ,,cbed1 ,,sdeb1 singul ad singulas1 in data ratione altitudinum ,,cp1 ,,cd2 area ,s,pf,b proportionalis est tempori quo corpus ,p movebitur per arcum ,,pb1 erit etiam area ,,sdeb eidem tempori proportionalis4 ,minuatur latus rectum ,hyperbol ,,rpb in infinitum manente latere transverso1 coibit arcus ,,pb cum recta ,,cb1 umbilicus ,s cum vertice ,b recta ,,sd cum recta ,,bd4 ,proinde area ,,bdeb proportionalis erit tempori quo corpus ,c recto descensu describit lineam ,,cb4 ,q4 ,e4 ,i4 ,cas4 #c4 ,et simili argumento si figura ,,rpb ,parabola est1 eodem vertice principali ,b describatur alia ,parabola ,,bed1 qu semper maneat data1 interea dum ,parabola prior in cujus perimetro corpus ,p movetur1 diminuto in nihilum redacto ejus ,latere recto1 conveniat cum linea ,,cb1 fiet segmentum ,parabolicum ,,bdeb proportionale tempori quo corpus illud ,p vel ,c descendet ad centrum ,b4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,xxxiii4 ,theor4 ,,ix4 ,positis jam inventis1 dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis ,c est ad velocitatem corporis centro ,b intervallo ,,bc circulum describentis1 in dimidiata ratione quam ,,ca1 distantia corporis a ,circuli vel ,hyperbol vertice ulteriore ,a1 habet ad figur semidiametrum principalem ,,ab4 ,illustration ,namq2 ob proportionales ,,cd1 ,,cp1 linea ,,ab communis est utriusq2 figur ,,rpb1 ,,deb diameter4 ,bisecetur eadem in ,o1 agatur recta ,,pt qu tangat figuram ,,rpb in ,p1 atq2 etiam secet communem illam diametrum ,,ab 7si opus est productam7 in ,t2 sitq2 ,,sy ad hanc rectam ,,bq ad hanc diametrum perpendicularis1 atq2 figur ,,rpb latus rectum ponatur ,l4 ,constat per ,cor4 #i4 ,theor4 ,,viii4 quod corporis in linea ,,rpb circa centrum ,s moventis velocitas in loco quovis ,p sit ad velocitatem corporis intervallo ,,sp circa idem centrum circulum describentis in dimidiata ratione rectanguli ,l ,,sp ad ,,sy quadratum4 ,est autem ex ,conicis ,,acb ad ,c,pq4 ut #b;,,ao ad ,l1 adeoq2 #b;,c,pq4 ,,ao ,,acb quale ,l4 ,ergo velocitates ill sunt ad invicem in dimidiata ratione ,c,pq4 ,,ao ,,sp ,,acb ad ,,sy quad4 ,porro ex ,conicis est ,,co ad ,,bo ut ,,bo ad ,,to1 composite vel divisim ut ,,cb ad ,,bt4 ,unde dividendo vel componendo fit ,,bo - uel ,,co ad ,,bo ut ,,ct ad ,,bt1 id est ,,ac ad ,,ao ut ,,cp ad ,,bq2 indeq2 ,c,pq4 ,,ao ,,sp ,,acb quale est ,b,qq4 ,,ac ,,sp ,,ao ,,bc4 ,minuatur jam in infinitum figur ,,rpb latitudo ,,cp1 sic ut punctum ,p coeat cum puncto ,c1 punctumq2 ,s cum puncto ,b1 linea ,,sp cum linea ,,bc1 lineaq2 ,,sy cum linea ,,bq2 corporis jam recta descendentis in linea ,,cb velocitas fiet ad velocitatem corporis centro ,b interuallo ,,bc circulum describentis1 in dimidiata ratione ipsius ,b,qq4 ,,ac ,,sp ,,ao ,,bc ad ,s,yq4 hoc est 7neglectis qualitatis rationibus ,,sp ad ,,bc ,b,qq4 ad ,s,yq47 in dimidiata ratione ,,ac ad ,,ao4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,punctis ,b ,s coeuntibus1 fit ,,tc ad ,,st ut ,,ac ad ,,ao4 ,prop4 ,,xxxiv4 ,theor4 ,x4 ,si figura ,,bed ,parabola est1 dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis ,c qualis est velocitati qua corpus centro ,b dimidio intervalli sui ,,bc circulum uniformiter describere potest4 ,illustration ,nam corporis ,parabolam ,,rpb circa centrum ,s describentis velocitas in loco quovis ,s 7per ,corol4 #g4 ,theor4 ,,viii7 qualis est velocitati corporis dimidio intervalli ,,sp circulum circa idem ,s uniformiter describentis4 ,minuatur ,parabol latitudo ,,cp in infinitum eo1 ut arcus ,parabolicus ,pf,b cum recta ,,cb1 centrum ,s cum vertice ,b1 interuallum ,,sp cum intervallo ,,bp coincidat1 constabit ,propositio4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xxxv4 ,theor4 ,,xi4 ,iisdem positis1 dico quod area figur ,,des1 radio indefinito ,,sd descripta1 qualis sit are quam corpus1 radio dimidium lateris recti figur ,,des quante1 circa centrum ,s uniformiter gyrando1 eodem tempore describere potest4 ,illustration ,nam concipe corpus ,c quam minima temporis particula lineolam ,cc cadendo describere1 interea corpus aliud ,k1 uniformiter in circulo ,o,kk circa centrum ,s gyrando1 arcum ,kk describere4 ,erigantur perpendicula ,,cd1 cd occurrentia figur ,,des in ,d1 d4 ,jungantur ,,sd1 ,,sk1 ,sk ducatur ,dd axi ,,as occurrens in ,t1 ad eam demittatur perpendiculum ,,sy4 ,cas4 #a4 ,jam si figura ,,des ,circulus est vel ,hyperbola1 bisecetur ejus transversa diameter ,,as in ,o1 erit ,,so dimidium ,lateris recti4 ,et quoniam est ,,tc ad ,,td ut ,cc ad ,dd1 ,,td ad ,,ts ut ,,cd ad ,,sy1 erit ex quo ,,tc ad ,,ts ut ,,cd ,cc ad ,,sy ,dd4 ,sed per ,corol4 ,prop4 #cc4 est ,,tc ad ,,st ut ,,ac ad ,,ao1 puta si in coitu punctorum ,d1 d capiantur linearum rationes ultim4 ,ergo ,,ac est ad ,,ao1 id est ad ,,sk1 ut ,,cd ,cc ad ,,sy ,dd4 ,porro corporis descendentis velocitas in ,c est ad velocitatem corporis circulum intervallo ,,sc circa centrum ,s describentis in dimidiata ratione ,,ac ad ,,ao vel ,,sk 7per ,theor4 ,,ix47 ,et hc velocitas ad velocitatem corporis describentis circulum ,o,kk in dimidiata ratione ,,sk ad ,,sc per ,cor4 #f4 ,theor4 ,,iv4 ex quo velocitas prima ad ultimam1 hoc est lineola ,cc ad arcum ,kk in dimidiata ratione ,,ac ad ,,sc1 id est in ratione ,,ac ad ,,cd4 ,quare est ,,cd ,cc quale ,,ac ,kk1 propterea ,,ac ad ,,sk ut ,,ac ,kk ad ,,sy ,dd1 indeq2 ,,sk ,kk quale ,,sy ,dd1 ,,sk ,kk quale ,,sy ,dd1 id est area ,k,sk qualis are ,s,dd4 ,singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum particul ,k,sk1 ,s,dd1 qu1 si magnitudo earum minuatur numerus augeatur in infinitum1 rationem obtinent qualitatis1 propterea 7per ,corollarium ,lemmatis ,,iv7 are tot simul genit sunt semper quales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illustration ,cas4 #b4 ,quod si figura ,,des ,parabola sit1 invenietur ut supra ,,cd ,cc esse ad ,,sy ,dd ut ,,tc ad ,,st1 hoc est ut #b ad #a1 adeoq2 ,,cd ,cc qualem esse ,,sy ,dd4 ,sed corporis cadentis velocitas in ,c qualis est velocitati qua circulus intervallo ,,sc uniformiter describi possit 7per ,theor4 ,x47 ,et hc velocitas ad velocitatem qua circulus radio ,,sk describi possit1 hoc est1 lineola ,cc ad arcum ,kk est in dimidiata ratione ,,sk ad ,sc1 id est1 in ratione ,,sk ad ,,cd1 per ,corol4 #f4 ,theorem4 ,,iv4 ,quare est ,,sk ,kk quale ,,cd ,cc1 adeoq2 quale ,,sy ,dd1 hoc est1 area ,k,sk qualis ,are ,s,dd1 ut supra4 ,quod erat demonstrandum4 ,prop4 ,,xxxvi4 ,prob4 ,,xxv4 ,illustration ,corporis de loco dato ,a cadentis determinare tempora descensus4 ,super diametro ,,as 7distantia corporis a centro sub initio7 describe semicirculum ,,ads1 ut huic qualem semicirculum ,,okh circa centrum ,s4 ,de corporis loco quovis ,c erige ordinatim applicatam ,,cd4 ,junge ,,sd1 are ,,asd qualem constitue ,sectionem ,,osk4 ,patet per ,theor4 ,,xi1 quod corpus cadendo describet spatium ,,ac eodem tempore quo corpus aliud uniformiter circa centrum ,s gyrando1 describere potest arcum ,,ok4 ,quod erat faciendum4 ,prop4 ,,xxxvii4 ,prob4 ,,xxvi4 ,corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti definire tempora ascensus vel descensus4 ,illustration ,exeat corpus de loco dato ,g secundum lineam ,,asg cum velocitate quacunq24 ,in duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem in circulo velocitatem1 qua corpus ad intervallum datum ,,sg circa centrum ,s revolvi posset1 cape ,,ca ad ,,as4 ,si ratio illa est numeri binarii ad unitatem1 punctum ,a cadet ad infinitam distantiam1 quo in casu ,parabola uertice ,s1 axe ,,sc1 latere quovis recto describenda est4 ,patet hoc per ,theorema ,x4 ,sin ratio illa minor vel major est quam #b ad #a1 priore casu ,circulus1 posteriore ,hyperbola rectangula super diametro ,,sa describi debet4 ,patet per ,theorema ,,ix4 ,tum centro ,s1 intervallo quante dimidium lateris recti1 describatur circulus ,h,kk1 ad corporis ascendentis vel descendentis loca duo quvis ,g1 ,c1 erigantur perpendicula ,,gi1 ,,cd occurrentia ,conic ,sectioni vel circulo in ,i ac ,d4 ,dein junctis ,,si1 ,,sd1 fiant segmentis ,,seis1 ,,seds ,sectores ,,hsk1 ,h,sk quales1 per ,theorema ,,xi4 corpus ,g describet spatium ,,gc eodem tempore quo corpus ,k describere potest arcum ,kk4 ,q4 ,e4 ,f4 ,prop4 ,,xxxviii4 ,theor4 ,,xii4 ,posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu distanti locorum a centro1 dico quod cadentium tempora1 velocitates spatia descripta sunt arcubus arcuumq2 sinibus versis sinibus rectis respective proportionales4 ,illustration ,cadat corpus de loco quovis ,a secundum rectam ,,as2 centro virium ,s1 intervallo ,,as1 describatur circuli quadrans ,,ae1 sitq2 ,,cd sinus rectus arcus cujusvis ,,ad1 corpus ,a1 tempore ,,ad1 cadendo describet spatium ,,ac1 inq2 loco ,c acquisierit velocitatem ,,cd4 ,demonstratur eodem modo ex ,propositione ,x4 quo ,propositio ,,xxxii4 ex ,propositione ,,xi4 demonstrata fuit4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc qualia sunt tempora quibus corpus unum de loco ,a cadendo provenit ad centrum ,s1 corpus aliud revolvendo describit arcum quadrantalem ,,ade4 ,corol4 #b4 ,proinde qualia sunt tempora omnia quibus corpora de locis quibusvis ad usq2 centrum cadunt4 ,nam revolventium tempora omnia periodica 7per ,corol4 #c4 ,prop4 ,,iv47 quantur4 ,prop4 ,,xxxix4 ,prob4 ,,xxvii4 ,posita cujuscunq2 generis vi centripeta1 concessis figurarum curvilinearum quadraturis1 requiritur corporis recta ascendentis vel descendentis tum velocitas in locis singulis1 tum tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet3 ,et contra4 ,illustration ,de loco quovis ,a in recta ,,adec cadat corpus ,e1 deq2 loco ejus ,e erigatur semper perpendicularis ,,eg1 vi centripet in loco illo ad centrum ,c tendenti proportionalis3 ,sitq2 ,,bfg linea curva quam punctum ,g perpetuo tangit4 ,coincidat autem ,,eg ipso motus initio cum perpendiculari ,,ab1 erit corporis velocitas in loco quovis ,e ut are curviline ,,abge latus quadratum4 ,q4 ,e4 ,i4 ,in ,,eg capiatur ,,em lateri quadrato are ,,abge reciproce proportionalis1 sit ,,alm linea curva quam punctum ,m perpetuo tangit1 erit tempus quo corpus cadendo describit lineam ,,ae ut area curvilinea ,,alme4 ,quod erat ,inveniendum4 ,etenim in recta ,,ae capiatur linea quam minima ,,de dat longitudinis1 sitq2 ,,dlf locus line ,,emg ubi corpus versabatur in ,d2 si ea sit vis centripeta1 ut area ,,abge latus quadratum sit ut descendentis velocitas1 erit area ipsa in duplicata ratione velocitatis1 id est1 si pro velocitatibus in ,d ,e scribantur ,v ,v ,i1 erit area ,,abfd ut ,v#b1 area ,,abge ut ,v#b #b,,vi ,i#b1 divisim area ,,dfge ut #b,,vi ,i#b1 adeoq2 ,,dfge ,,de ut #b;,i ,v ,i ,,de1 id est1 si prim quantitatum nascentium rationes sumantur1 longitudo ,,df ut quantitas #b;,i ,v ,,de1 adeoq2 etiam ut quantitatis hujus dimidium ,i ,v ,,de4 ,est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolam ,,de1 ut lineola illa directe velocitas ,v inverse1 estq2 vis ut velocitatis incrementum ,i directe tempus inverse1 adeoq2 si prim nascentium rationes sumantur1 ut ,i ,v ,,de1 hoc est1 ut longitudo ,,df4 ,ergo vis ipsi ,,df vel ,,eg proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere qu sit ut are ,,abge latus quadratum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,porro cum tempus1 quo qulibet longitudinis dat lineola ,,de describatur1 sit ut velocitas1 adeoq2 ut are ,,abfd latus quadratum inverse2 sitq2 ,,dl1 atq2 adeo are nascens ,,dlme1 ut idem latus quadratum inverse3 erit tempus ut area ,,dlme1 summa omnium temporum ut summa omnium arearum1 hoc est 7per ,corol4 ,lem4 ,,iv47 tempus totum quo linea ,,ae describitur ut area tota ,,ame4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,si ,p sit locus de quo corpus cadere debet1 ut1 urgente aliqua uniformi ui centripeta nota 7qualis vulgo supponitur gravitas7 velocitatem acquirat in loco ,d qualem velocitati quam corpus aliud vi quacunq2 cadens acquisivit eodem loco ,d1 in perpendiculari ,,df capiatur ,,dr1 qu sit ad ,,df ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco ,d1 compleatur rectangulum ,,pdrq1 eiq2 qualis abscindatur area ,,abfd2 erit ,a locus de quo corpus alterum cecidit4 ,namq2 completo rectangulo ,,edrs1 cum sit area ,,abfd ad aream ,,dfge ut ,,vv ad #b,v ,i1 adeoq2 ut ,v ad ,i1 id est1 ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis vi inquabili cadentis2 similiter area ,,pqrd ad aream ,,drse ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis2 sintq2 incrementa illa 7ob qualitatem temporum nascentium7 ut vires generatrices1 id est ut ordinatim applicat ,,df1 ,,dr1 adeoq2 ut are nascentes ,,dfge1 ,,drse2 erunt 7ex quo7 are tot ,,abfd1 ,,pqrd ad invicem ut semisses totarum velocitatum1 propterea 7ob qualitatem velocitatum7 quantur4 ,corol4 #b4 ,unde si corpus quodlibet de loco quocunq2 ,d data cum velocitate vel sursum vel deorsum projiciatur1 detur lex vis centripet1 invenietur velocitas ejus in alio quovis loco e1 erigendo ordinatam eg1 capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco ,d ut est latus quadratum rectanguli ,,pqrd area curvilinea ,d,fge vel aucti1 si locus e est loco ,d inferior1 vel diminuti1 si is superior est1 ad latus quadratum rectanguli solius ,,pqrd1 id est ut sqrt,,pqrd vel - ,d,fge ad sqrt,,pqrd4 ,corol4 #c4 ,tempus quoq2 innotescet erigendo ordinatam em reciproce proportionalem lateri quadrato ex ,,pqrd vel - ,d,fge1 capiendo tempus quo corpus descripsit lineam ,de ad tempus quo corpus alterum vi uniformi cecidit a ,p cadendo pervenit ad ,d1 ut area curvilinea ,d,lme ad rectangulum #b,,pd ,,dl4 ,namq2 tempus quo corpus vi uniformi descendens descripsit lineam ,,pd est ad tempus quo corpus idem descripsit lineam ,,pe in dimidiata ratione ,,pd ad ,,pe1 id est 7lineola ,,de jamjam nascente7 in ratione ,,pd ad ,,pd ,,de seu #b,,pd ad #b,,pd ,,de1 divisim1 ad tempus quo corpus idem descripsit lineolam ,,de ut #b,,pd ad ,,de1 adeoq2 ut rectangulum #b,,pe ,,dl ad aream ,,dlme2 estq2 tempus quo corpus utrumq2 descripsit lineolam ,,de ad tempus quo corpus alterum inquabili motu descripsit lineam ,de ut area ,,dlme ad aream ,d,lme1 ex quo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum #b,,pd ,,dl ad aream ,d,lme4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,viii4 ,de ,inventione ,orbium in quibus corpora viribus quibuscunq2 centripetis agitata revolventur4 ,prop4 ,,xl4 ,theor4 ,,xiii4 ,si corpus1 cogente vi quacunq2 centripeta1 moveatur utcunq21 corpus aliud recta ascendat vel descendat1 sintq2 eorum velocitates in aliquo qualium altitudinum casu quales1 velocitates eorum in omnibus qualibus altitudinibus erunt quales4 ,illustration ,descendat corpus aliquod ab ,a per ,d1 ,e1 ad centrum ,c1 moveatur corpus aliud a ,v in linea curva ,v,i,kk4 ,centro ,c intervallis quibusvis describantur circuli concentrici ,,di1 ,,ek rect ,,ac in ,d ,e1 curvq2 ,,vik in ,i ,k occurrentes4 ,jungatur ,,ic occurrens ipsi ,,ke in ,n2 in ,,ik demittatur perpendiculum ,,nt2 sitq2 circumferentiarum circulorum intervallum ,,de vel ,,in quam minimum1 habeant corpora in ,d ,i velocitates quales4 ,quoniam distanti ,,cd1 ,,ci quantur1 erunt vires centripet in ,d ,i quales4 ,exponantur h vires per quales lineolas ,,de1 ,,in2 si vis una ,,in1 per ,legum ,corol4 #b4 resolvatur in duas ,,nt ,,it1 vis ,,nt1 agendo secundum lineam ,,nt corporis cursui ,,itk perpendicularem1 nil mutabit velocitatem corporis in cursu illo1 sed retrahet solummodo corpus a cursu rectilineo1 facietq2 ipsum de ,orbis tangente perpetuo deflectere1 inq2 via curvilinea ,i,t,kk1 progredi4 ,in hoc effectu producendo vis illa tota consumetur3 vis autem altera ,,it1 secundum corporis cursum agendo1 tota accelerabit illud1 ac dato tempore quam minimo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem4 ,proinde corporum in ,d ,i accelerationes qualibus temporibus fact 7si sumantur linearum nascentium ,,de1 ,,in1 ,,ik1 ,,it1 ,,nt rationes prim7 sunt ut line ,,de1 ,,it3 temporibus autem inqualibus ut line ill tempora conjunctim4 ,tempora ob qualitatem velocitatum sunt ut vi descript ,,de ,,ik1 adeoq2 accelerationes1 in cursu corporum per lineas ,,de ,,ik1 sunt ut ,,de ,,it1 ,,de ,,ik conjunctim1 id est ut ,,de quad4 ,,it ,,ik rectangulum4 ,sed rectangulum ,,it ,,ik quale est ,,in quadrato1 hoc est1 quale ,,de quadrato propterea accelerationes in transitu corporum a ,d ,i ad ,e ,k quales generantur4 quales igitur sunt corporum velocitates in ,e ,k eodem argumento semper reperientur quales in subsequentibus qualibus distantiis4 ,q4 ,e4 ,d4 ,sed eodem argumento corpora quivelocia qualiter a centro distantia1 in ascensu ad quales distantias qualiter retardabuntur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si corpus vel funipendulum oscilletur1 vel impedimento quovis politissimo perfecte lubrico cogatur in linea curva moveri1 corpus aliud recta ascendat vel descendat1 sintq2 velocitates eorum in eadem quacunq2 altitudine quales3 erunt velocitates eorum in aliis quibuscunq2 qualibus altitudinibus quales4 ,namq2 impedimento vasis absolute lubrici idem prstatur quod vi transversa ,,nt4 ,corpus eo non retardatur1 non acceleratur1 sed tantum cogitur de cursu rectilineo discedere4 ,corol4 #b4 ,hinc etiam si quantitas ,p sit maxima a centro distantia1 ad quam corpus vel oscillans vel in ,trajectoria quacunq2 revolvens1 deq2 quovis trajectori puncto1 ea quam ibi habet velocitate sursum projectum ascendere possit2 sitq2 quantitas ,a distantia corporis a centro in alio quovis ,orbis puncto1 vis centripeta semper sit ut ipsius ,a dignitas qulibet ,an - #a1 cujus ,index n - #a est numerus quilibet n unitate diminutus2 velocitas corporis in omni altitudine ,a erit ut sqrtn,pn - n,an1 atq2 adeo datur4 ,namq2 velocitas ascendentis ac descendentis 7per ,prop4 ,,xxxix47 est in hac ipsa ratione4 ,prop4 ,,xli4 ,prob4 ,,xxviii4 ,posita cujuscunq2 generis vi centripeta concessis figurarum curvilinearum quadraturis1 requiruntur tum ,trajectori in quibus corpora movebuntur1 tum tempora motuum in ,trajectoriis inventis4 ,illustration ,tendat vis qulibet ad centrum ,c invenienda sit ,trajectoria ,v,i,t,kk4 ,detur circulus ,,vxy centro ,c intervallo quovis ,,cv descriptus1 centroq2 eodem describantur alii quivis circuli ,,id1 ,,ke trajectoriam secantes in ,i ,k rectamq2 ,,cv in ,d ,e4 ,age tum rectam ,,cnix secantem circulos ,,ke1 ,,vy in ,n ,x1 tum rectam ,,cky occurrentem circulo ,,vxy in ,y4 ,sint autem puncta ,i ,k sibi invicem vicinissima1 pergat corpus ab ,v per ,i1 ,t ,k ad k2 sitq2 ,a altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco ,d velocitatem acquirat qualem velocitati corporis prioris in ,i2 stantibus qu in ,propositione ,,xxxix1 quoniam lineola ,,ik1 dato tempore quam minimo descripta1 est ut velocitas atq2 adeo ut latus quadratum are ,,abfd1 triangulum ,,ick tempori proportionale datur1 adeoq2 ,,kn est reciproce ut altitudo ,,ic1 id est1 si detur quantitas aliqua ,q1 altitudo ,,ic nominetur ,a1 ut ,q ,a2 quam nominemus ,z4 ,ponamus eam esse magnitudinem ipsius ,q ut sit sqrt,,abfd in aliquo casu ad ,z ut est ,,ik ad ,,kn1 erit semper sqrt,,abfd ad ,z ut ,,ik ad ,,kn1 ,,abfd ad ,,zz ut ,,ik quad4 ad ,,kn quad4 divisim ,,abfd - ,,zz ad ,,zz ut ,,in quad4 ad ,,kn quad4 adeoq2 sqrt,,abfd - ,,zz ad ,z ut ,,in ad ,,kn1 propterea ,a ,,kn quale ,q ,,in sqrt,,abfd - ,,zz4 ,unde cum ,,yx ,,xc sit ad ,a ,,kn in duplicata ratione ,,yc ad ,,kc1 erit rectang4 ,,yx ,,xc quale ,q ,,in ,,cx quad4 ,,aa sqrt,,abfd - ,,zz4 ,igitur si in perpendiculo ,,df capiantur semper ,db1 ,dc ipsis ,q #bsqrt,,abfd - ,,zz ,q ,,cx quad4 #b ,,aa sqrt,,abfd - ,,zz quales respective1 describantur curv line ab1 cd quas puncta b1 c perpetuo tangunt2 deq2 puncto ,v ad lineam ,,ac erigatur perpendiculum ,vad abscindens areas curvilineas ,v,dba1 ,v,ddc1 erigantur etiam ordinat ,ez1 ,ex3 quoniam rectangulum ,db ,,in seu ,dbz,e quale est dimidio rectanguli ,a ,,kn1 seu triangulo ,,ick2 rectangulum ,dc ,,in seu ,dc ,e quale est dimidio rectanguli ,,yx in ,,cx1 seu triangulo ,,xcy2 hoc est1 quoniam arearum ,v,dba1 ,,vic quales semper sunt nascentes particul ,dbz,e1 ,,ick1 arearum ,v,dcd1 ,,vcx quales semper sunt nascentes particul ,d,exc1 ,,xcy1 erit area genita ,v,dba qualis are genit1 ,,vic1 adeoq2 tempori proportionalis1 area genita ,v,ddc qualis ,sectori genito ,,vcx4 ,dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco ,v1 dabitur area ipsi proportionalis ,v,dba1 inde dabitur corporis altitudo ,,cd vel ,,ci2 area ,v,dcd1 eiq2 qualis ,sector ,,vcx una cum ejus angulo ,,vci4 ,datis autem angulo ,,vci altitudine ,,ci datur locus ,i1 in quo corpus completo illo tempore reperietur4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,hinc maxim minimq2 corporum altitudines1 id est ,apsides ,trajectoriarum expedite inveniri possunt4 ,incidunt enim ,apsides in puncta illa in quibus recta ,,ic per centrum ducta incidit perpendiculariter in ,trajectoriam ,,vik3 id quod fit ubi rect ,,ik ,,nk quantur1 adeoq2 ubi area ,,abfd qualis est ,,zz4 ,corol4 #b4 ,sed angulus ,,kin1 in quo ,trajectoria alibi secat lineam illam ,,ic1 ex data corporis altitudine ,,ic expedite invenitur1 nimirum capiendo sinum ejus ad radium ut ,,kn ad ,,ik1 id est ut ,z ad latus quadratum are ,,abfd4 ,illustration ,corol4 #c4 ,si centro ,c vertice principali ,v describatur sectio qulibet ,conica ,,vrs1 a quovis ejus puncto ,r agatur ,tangens ,,rt occurrens axi infinite producto ,,cv in puncto ,t2 dein juncta ,,cr ducatur recta ,,cp1 qu qualis sit absciss ,,ct1 angulumq2 ,,vcp ,sectori ,,vcr proportionalem constituat2 tendat autem ad centrum ,c vis centripeta cubo distanti locorum a centro reciproce proportionalis1 exeat corpus de loco ,v justa cum velocitate secundum lineam rect ,,cv perpendicularem3 progredietur corpus illud in ,trajectoria quam punctum ,p perpetuo tangit2 adeoq2 si conica sectio ,,cvrs ,hyperbola sit1 descendet idem ad centrum3 ,sin ea ,ellipsis sit1 ascendet illud perpetuo abibit in infinitum4 ,et contra1 si corpus quacunq2 cum velocitate exeat de loco ,v1 perinde ut incperit vel oblique descendere ad centrum1 vel ab eo oblique ascendere1 figura ,,cvrs vel ,hyperbola sit vel ,ellipsis1 inveniri potest ,trajectoria augendo vel minuendo angulum ,,vcp in data aliqua ratione4 ,sed et vi centripeta in centrifugam versa1 ascendet corpus oblique in ,trajectoria ,,vpq qu invenitur capiendo angulum ,,vcp ,sectori ,elliptico ,,cvrc proportionalem1 longitudinem ,,cp longitudini ,,ct qualem3 ut supra4 ,consequuntur hc omnia ex ,propositione prcedente1 per ,curv cujusdam quadraturam1 cujus inventionem ut satis facilem brevitatis gracia missam facio4 ,prop4 ,,xlii4 ,prob4 ,,xxix4 ,data lege vis centripet1 requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum datam rectam egressi4 ,stantibus qu in tribus ,propositionibus prcedentibus3 exeat corpus de loco ,i secundum lineolam ,,it1 ea cum velocitate quam corpus aliud1 vi aliqua uniformi centripeta1 de loco ,p cadendo acquirere posset in ,d3 sitq2 hc vis uniformis ad vim qua corpus primum urgetur in ,i1 ut ,,dr ad ,,df4 ,pergat autem corpus versus k2 centroq2 ,c intervallo ,ck describatur circulus ke occurrens rect ,,pd in e1 erigantur curvarum ,a,l,mm1 ,b,f,gg1 abzv1 dcxw ordinatim applicat em1 eg1 ev1 ew4 ,ex dato rectangulo ,,pdrq1 dataq2 lege vis centripet qua corpus primum agitatur1 dantur curv line ,b,f,gg1 ,a,l,mm1 per constructionem ,problematis ,,xxviii4 ejus ,corol4 #a4 ,deinde ex dato angulo ,,cit datur proportio nascentium ,,ik1 ,,kn inde1 per constructionem ,prob4 ,,xxviii1 datur quantitas ,q1 una cum curvis lineis abzv1 dcxw3 adeoq2 completo tempore quovis ,dbve1 datur tum corporis altitudo ,ce vel ,ck1 tum area ,dcwe1 eiq2 qualis ,sector ,x,cy1 angulusq2 ,x,cy locus k in quo corpus tunc versabitur4 ,q4 ,e4 ,i4 ,supponimus autem in his ,propositionibus vim centripetam in recessu quidem a centro variari secundum legem quamcunq2 quam quis imaginari potest1 in qualibus autem a centro distantiis esse undiq2 eandem4 ,atq2 hactenus corporum in ,orbibus immobilibus consideravimus4 ,superest ut de motu eorum in ,orbibus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,ix4 ,de ,motu ,corporum in ,orbibus mobilibus1 deq2 motu ,apsidum4 ,prop4 ,,xliii4 ,prob4 ,,xxx4 ,efficiendum est ut corpus in ,trajectoria quacunq2 circa centrum virium revolvente perinde moveri possit1 atq2 corpus aliud in eadem ,trajectoria quiescente4 ,in ,orbe ,,vpk positione dato revolvatur corpus ,p pergendo a ,v versus ,k4 ,a centro ,c agatur semper ,cp1 qu sit ipsi ,,cp qualis1 angulumq2 ,v,cp angulo ,,vcp proportionalem constituat2 area quam linea ,cp describit erit ad aream ,,vcp quam linea ,,cp describit1 ut velocitas line describentis ,cp ad velocitatem line describentis ,,cp2 hoc est1 ut angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp1 adeoq2 in data ratione1 propterea tempori proportionalis4 ,cum area tempori proportionalis sit quam linea ,cp in plano immobili describit1 manifestum est quod corpus1 cogente just quantitatis vi centripeta1 revolvi possit una cum puncto p in curva illa linea quam punctum idem p ratione jam exposita describit in plano immobili4 ,fiat angulus ,v,cv angulo ,p,cp1 linea ,cv line ,,cv1 atq2 figura v,cp figur ,,vcp qualis1 corpus in p ,illustration semper existens movebitur in perimetro figur revolventis v,cp1 eodemq2 tempore describet arcum ejus vp quo corpus aliud ,p arcum ipsi similem qualem ,,vp in figura quiescente ,,vpk describere potest4 ,quratur igitur1 per ,corollarium ,propositionis ,,vi1 vis centripeta qua corpus revolvi possit in curva illa linea quam punctum p describit in plano immobili1 solvetur ,problema4 ,q4 ,e4 ,f4 ,prop4 ,,xliv4 ,theor4 ,,xiv4 ,differentia virium1 quibus corpus in ,orbe quiescente1 corpus aliud in eodem ,orbe revolvente qualiter moveri possunt1 est in triplicata ratione communis altitudinis inverse4 ,partibus orbis quiescentis ,,vp1 ,,pk sunto similes quales orbis revolventis partes vp1 pk4 ,a puncto k in rectam1 p,c demitte perpendiculum kr1 idemq2 produc ad m1 ut sit mr ad kr ut angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp4 ,quoniam corporum altitudines ,,pc p,c1 ,,kc k,c semper quantur1 manifestum est quod si corporum in locis ,p p existentium distinguantur motus singuli 7per ,legum ,corol4 #b47 in binos1 7quorum hi versus centrum1 sive secundum lineas ,,pc1 p,c2 alteri prioribus transversi secundum lineas ipsis ,,pc1 p,c perpendiculares determinantur7 motus versus centrum erunt quales1 motus transversus corporis p erit ad motum transversum corporis ,p1 ut motus angularis line p,c ad motum angularem line ,,pc1 id est ut angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp4 ,igitur eodem tempore quo corpus ,p motu suo utroq2 pervenit ad punctum ,k1 corpus p quali in centrum motu qualiter movebitur a ,p versus ,c1 adeoq2 completo illo tempore reperietur alicubi in linea mkr1 qu per punctum k in lineam p,c perpendicularis est2 motu transverso acquiret distantiam a linea p,c1 qu sit ad distantiam quam corpus alterum acquirit a linea ,,pc1 ut est hujus motus transversus ad motum transversum alterius4 ,quare cum kr qualis sit distanti quam corpus alterum acquirit a linea p,c1 sitq2 mr ad kr ut angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp1 hoc est1 ut motus transversus corporis p ad motum transversum corporis ,p1 manifestum est quod corpus p completo illo tempore reperietur in loco m4 ,hc ita se habebunt ubi corpora ,p p qualiter secundum lineas p,c ,,pc moventur1 adeoq2 qualibus viribus secundum lineas illas urgentur4 ,capiatur autem angulus p,cn ad angulum p,ck ut est angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp1 sitq2 n,c qualis k,c1 corpus p completo illo tempore revera reperietur in n2 adeoq2 vi majore urgetur1 si modo angulus m,cp angulo k,cp major est1 id est si orbis ,vpk movetur in consequentia1 minore1 si orbis regreditur2 estq2 virium differentia ut locorum intervallum mn1 per quod corpus illud p ipsius actione1 dato illo temporis spatio transferri debet4 ,centro ,c intervallo ,cn vel ,ck describi intelligetur circulus secans lineas mr1 mn productas in s t1 erit rectangulum mn mt quale rectangulo mk ms1 adeoq2 mn quale mk ms mt4 ,cum autem triangula p,ck1 p,cn dentur magnitudine1 sunt kr mr1 earumq2 differentia mk summa ms reciproce ut altitudo p,c1 adeoq2 rectangulum mk ms est reciproce ut quadratum altitudinis p,c4 ,est mt directe ut mt1 id est ut altitudo p,c4 ,h sunt prim rationes linearum nascentium2 hinc fit mk ms mt1 id est lineola nascens mn1 eiq2 proportionalis virium differentia reciproce ut cubus altitudinis p,c4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc differentia virium in locis ,p p vel ,k k est ad vim qua corpus motu circulari revolvi posset ab r ad k1 eodem tempore quo corpus ,p in orbe immobili describit arcum ,,pk1 ut mk ms ad rk quadratum2 hoc est si capiantur dat quantitates ,f1 ,g in ea ratione ad invicem quam habet angulus ,,vcp ad angulum ,v,cp1 ut ,gq4 - ,fq4 ad ,fq4 ,et propterea1 si centro ,c intervallo quovis ,,cp vel ,cp describatur ,sector circularis qualis are toti ,,vpc1 quam corpus ,p tempore quovis in orbe immobili revolvens radio ad centrum ducto descripsit1 differentia virium1 quibus corpus ,p in orbe immobili corpus p in orbe mobili revolvuntur1 erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio ad centrum ducto ,sectorem illum1 eodem tempore quo descripta sit area ,,vpc1 uniformiter describere potuisset1 ut ,gq4 - ,fq4 ad ,fq4 ,namq2 sector ille area p,ck sunt ad invicem ut tempora quibus describuntur4 ,corol4 #b4 ,si orbis ,,vpk ,ellipsis sit umbilicum habens ,c ,apsidem summam ,v2 eiq2 similis qualis ponatur ,ellipsis vpk1 ita ut sit semper pc qualis ,,pc1 angulus ,v,cp sit ad angulum ,,vcp in data ratione ,g ad ,f2 pro altitudine autem ,,pc vel pc scribatur ,a1 pro ,ellipseos latere recto ponatur #b,r3 erit vis qua corpus in ,ellipsi mobili revolvi potest1 ut ,fq4 ,aq4 ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub4 contra4 ,exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota ,ellipsi per quantitatem ,fq4 ,aq41 vis in ,v erit ,fq4 ,,cv quad4 ,vis autem qua corpus in circulo ad distantiam ,,cv ea cum velocitate revolvi posset quam corpus in ,ellipsi revolvens habet in ,v1 est ad vim qua corpus in ,ellipsi revolvens urgetur in ,apside ,v1 ut dimidium lateris recti ,ellipseos ad circuli semidiametrum ,,cv1 adeoq2 valet ,r,fq4 ,,cv cub43 vis qu sit ad hanc ut ,gq4 - ,fq4 ad ,fq41 valet ,r,gq4 - ,r,fq4 ,,cv cub43 estq2 hc vis 7per hujus ,corol4 #a47 differentia virium quibus corpus ,p in ,ellipsi immota ,,vpk1 corpus p in ,ellipsi mobili vpk revolvuntur4 ,unde cum 7per hanc ,prop47 differentia illa in alia quavis altitudine ,a sit ad seipsam in altitudine ,,cv ut #a ,a cub4 ad #a ,,cv cub41 eadem differentia in omni altitudine ,a valebit ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub4 ,igitur ad vim ,fq4 ,aq4 qua corpus revolvi potest in ,ellipsi immobili ,,vpk1 addatur excessus ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub4 componetur vis tota ,fq4 ,aq4 ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub4 qua corpus in ,ellipsi mobili vpk iisdem temporibus revolvi possit4 ,corol4 #c4 ,ad eundem modum colligetur quod1 si orbis immobilis ,,vpk ,ellipsis sit centrum habens in virium centro ,c2 eiq2 similis1 qualis concentrica ponatur ,ellipsis mobilis vpk1 sitq2 #b,r ,ellipseos hujus latus rectum1 #b,t latus transversum atq2 angulus ,v,cp semper sit ad angulum ,,vcp ut ,g ad ,f2 vires quibus corpora in ,ellipsi immobili mobili temporibus qualibus revolvi possunt1 erunt ut ,fq4,a ,t cub4 ,fq4,a ,t cub4 ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub4 respective4 ,illustration ,corol4 #d4 ,et universaliter1 si corporis altitudo maxima ,,cv nominetur ,t1 radius curvatur quam ,orbis ,,vpk habet in ,v1 id est radius circuli qualiter curvi1 nominetur ,r1 vis centripeta qua corpus in ,trajectoria quacunq2 immobili ,,vpk revolvi potest1 in loco ,v dicatur ,fq4 ,tq4 ,v1 atq2 aliis in locis ,p indefinite dicatur ,x1 altitudine ,,cp nominata ,a1 capiatur ,g ad ,f in data ratione anguli ,v,cp ad angulum ,,vcp3 erit vis centripeta qua corpus idem eosdem motus in eadem ,trajectoria vpk circulariter mota temporibus iisdem peragere potest1 ut summa virium ,x ,v,r,gq4 - ,v,r,fq4 ,a cub4 ,corol4 #e4 ,dato igitur motu corporis in ,orbe quocunq2 immobili1 augeri vel minui potest ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data1 inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur4 ,corol4 #f4 ,igitur si ad rectam ,,cv positione datam erigatur perpendiculum ,,vp longitudinis indeterminat1 jungaturq2 ,,pc1 ipsi qualis agatur ,cp1 constituens angulum ,v,cp1 qui sit ad angulum ,,vcp in data ratione2 vis qua corpus gyrari potest in ,curva illa ,vpk quam punctum p perpetuo tangit1 erit reciproce ut cubus altitudinis ,cp4 ,nam corpus ,p1 per vim inerti1 nulla alia vi urgente1 uniformiter progredi potest in recta ,,vp4 ,addatur vis in centrum ,c1 cubo altitudinis ,,cp vel ,cp reciproce proportionalis1 7per jam demonstrata7 detorquebitur motus ille rectilineus in lineam curvam ,vpk4 ,est autem hc ,curva ,vpk eadem cum ,curva illa ,,vpq in ,corol4 #c4 ,prop4 ,,xli inventa1 in qua ibi diximus corpora hujusmodi viribus attracta oblique ascendere4 ,prop4 ,,xlv4 ,prob4 ,,xxxi4 ,orbium qui sunt ,circulis maxime finitimi requiruntur motus ,apsidum4 ,problema solvitur ,arithmetice faciendo ut orbis1 quem corpus in ,ellipsi mobili1 ut in ,propositionis superioris ,corol4 #b4 vel #c4 revolvens1 describit in plano immobili1 accedat ad formam orbis cujus ,apsides requiruntur1 qurendo ,apsides orbis quem corpus illud in plano immobili describit4 ,orbes autem eandem acquirent formam1 si vires centripet quibus describuntur1 inter se collat1 in qualibus altitudinibus reddantur proportionales4 ,sit punctum ,v ,apsis summa1 scribantur ,t pro altitudine maxima ,,cv1 ,a pro altitudine quavis alia ,,cp vel ,cp1 ,x pro altitudinum differentia ,,cv - ,,cp2 vis qua corpus in ,ellipsi circa umbilicum ejus ,c 7ut in ,corollario #b47 revolvente movetur1 quq2 in ,corollario #b4 erat ut ,fq4 ,aq4 ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub4 id est ut ,fq4 ,a ,r,gq4 - ,r,fq4 ,a cub41 substituendo ,t - ,x pro ,a1 erit ut ,r,gq4 - ,r,fq4 ,t,fq4 - ,fq4,x ,a cub4 ,reducenda similiter est vis alia quvis centripeta ad fractionem cujus denominator sit ,a cub4 numeratores1 facta homologorum terminorum collatione1 statuendi sunt analogi4 ,res ,exemplis parebit4 ,exempl4 #a4 ,ponamus vim centripetam uniformem esse1 adeoq2 ut ,a cub4 ,a cub41 sive 7scribendo ,t - ,x pro ,a in ,numeratore7 ut ,t cub4 - #c,tq4,x #c,t,xq4 - ,x cub4 ,a cub42 collatis ,numeratorum terminis correspondentibus1 nimirum datis cum datis non datis cum non datis1 fiet ,r,gq4 - ,r,fq4 ,t,fq4 ad ,t cub4 ut -,fq4,x ad -#c,tq4,x #c,t,xq4 - ,x cub4 sive ut -,fq4 ad -#c,tq4 #c,,tx - ,xq4 ,jam cum ,orbis ponatur circulo quam maxime finitimus1 coeat orbis cum circulo2 ob factas ,r1 ,t quales1 atq2 ,x in infinitum diminutam1 rationes ultim erunt ,r,gq4 ad ,t cub4 ut -,fq4 ad -#c,tq4 seu ,gq4 ad ,tq4 ut ,fq4 ad #c,tq4 vicissim ,g quadrat4 ad ,f quadrat4 ut ,t quad4 ad #c,t quad4 id est1 ut #a ad #c2 adeoq2 ,g ad ,f1 hoc est angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp ut #a ad sqrt#c4 ,ergo cum corpus in ,ellipsi immobili1 ab ,apside summa ad ,apsidem imam descendendo conficiat angulum ,,vcp 7ut ita dicam7 graduum #ahj2 corpus aliud in ,ellipsi mobili1 atq2 adeo in orbe immobili de quo agimus1 ab ,abside summa ad ,apsidem imam descendendo conficiet angulum ,v,cp graduum #ahj sqrt#c3 id adeo ob similitudinem orbis hujus1 quem corpus agente uniformi vi centripeta describit1 orbis illius quem corpus in ,ellipsi revolvente gyros peragens describit in plano quiescente4 ,per superiorem terminorum collationem similes redduntur hi orbes1 non universaliter1 sed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant4 ,corpus igitur uniformi cum vi centripeta in orbe propemodum circulari revolvens1 inter ,apsidem summam ,apsidem imam conficiet semper angulum #ahj sqrt#c graduum1 seu #ajc gr4 #ee m4 ad centrum2 perveniens ab ,apside summa ad ,apsidem imam1 ubi semel confecit hunc angulum1 inde ad ,apsidem summam rediens1 ubi iterum confecit eundem angulum1 sic deinceps in infinitum4 ,exempl4 #b4 ,ponamus vim centripetam esse ut altitudinis ,a dignitas qulibet ,an - #c seu ,an ,a#c3 ubi n - #c n significant dignitatum indices quoscunq2 integros vel fractos1 rationales vel irrationales1 affirmativos vel negativos4 ,numerator ille ,an seu ,t - ,xn in seriem indeterminatam per ,methodum nostram ,serierum convergentium reducta1 evadit ,tn - n,x,tn - #a nn - n#b ,xq4,tn - #b c4 ,et collatis hujus terminis cum terminis ,numeratoris alterius ,r,gq4 - ,r,fq4 ,t,fq4 - ,fq4,x1 fit ,r,gq4 - ,r,fq4 ,t,fq4 ad ,tn ut -,fq4 ad -n,tn - #a nn - n#b ,,xtn - #b c4 ,et sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam circularem accedunt1 fit ,r,gq4 ad ,tn ut -,fq4 ad -n,tn - #a1 seu ,gq4 ad ,tn - #a ut ,fq4 ad n,tn - #a1 vicissim ,gq4 ad ,fq4 ut ,tn - #a ad n,tn - #a id est ut #a ad n2 adeoq2 ,g ad ,f1 id est angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp1 ut #a ad sqrtn4 ,quare cum angulus ,,vcp1 in descensu corporis ab ,apside summa ad ,apsidem imam in ,ellipsi confectus1 sit graduum #ahj1 conficietur angulus ,v,cp1 in descensu corporis ab ,apside summa ad ,apsidem imam in ,orbe propemodum circulari1 quem corpus quodvis vi centripeta dignitati ,an - #c proportionali describit1 qualis angulo graduum #ahj sqrtn2 hoc angulo repetito corpus redibit ab ,apside ima ad ,apsidem summam1 sic deinceps in infinitum4 ,ut si vis centripeta sit ut distantia corporis a centro1 id est ut ,a seu ,a#d ,a#c1 erit n qualis #d sqrt#d qualis #b2 adeoq2 angulus inter ,apsidem summam ,apsidem imam qualis #ahj #b gr4 seu #ij gr4 ,completa igitur quarta parte revolutionis unius corpus perveniet ad ,apsidem imam1 completa alia quarta parte ad ,apsidem summam1 sic deinceps per vices in infinitum4 ,id quod etiam ex ,propositione ,x4 manifestum est4 ,nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in ,ellipsi immobili1 cujus centrum est in centro virium4 ,quod si vis centripeta sit reciproce ut distantia1 id est directe ut #a ,a seu ,a#b ,a#c1 erit n #b1 adeoq2 inter ,apsidem summam imam angulus erit graduum #ahj sqrt#b seu #abg gr4 #ag min4 propterea corpus tali vi revolvens1 perpetua anguli hujus repetitione1 vicibus alternis ab ,apside summa ad imam ab ima ad summam perveniet in ternum4 ,porro si vis centripeta sit reciproce ut ,latus quadrato-quadratum undecim dignitatis ,altitudinis1 id est reciproce ut ,a#aa_/d1 adeoq2 directe ut #a ,a#aa_/d seu ut ,a ,a#c erit n qualis 1 #ahj sqrtn gr4 qualis #cfj gr4 propterea corpus de ,apside summa discedens subinde perpetuo descendens1 perveniet ad ,apsidem imam ubi complevit revolutionem integram1 dein perpetuo ascensu complendo aliam revolutionem integram1 redibit ad ,apsidem summam3 sic per vices in ternum4 ,exempl4 #c4 ,assumentes m n pro quibusvis indicibus dignitatum ,altitudinis1 b1 c pro numeris quibusvis datis1 ponamus vim centripetam esse ut b,am c,an ,a cub4 id est ut b in ,t - ,xm c in ,t - ,xn ,a cub4 seu 7per eandem ,methodum nostram ,serierum convergentium7 ut mm-m nn-n b,tm - mb,x,tm-#a ----b,x#b,tm-#b c,tn - nc,x,tn-#a ----c,x#b,tn-#b #b #b c4 ---------------------------------------- --------------------------------- ,a cub4 collatis numeratorum terminis1 fiet ,r,gq4 - ,r,fq4 ,t,fq4 ad b,tm c,tn1 ut -,fq4 ad -mb,tm - #a - nc,tn - #a mm - m#b ,,xtm - #b nn - n#b ,,xtn - #b c4 ,et sumendo rationes ultimas qu prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt1 fit ,gq4 ad b,tm - #a c,tn - #a1 ut ,fq4 ad mb,tm - #a nc,tn - #a1 vicissim ,gq4 ad ,fq4 ut b,tm - #a c,tn - #a ad mb,tm - #a nc,tn - #a4 ,qu proportio1 exponendo altitudinem maximam ,,cv seu ,t ,arithmetice per unitatem1 fit ,gq4 ad ,fq4 ut b c ad mb nc1 adeoq2 ut #a ad mb nc b c4 ,unde est ,g ad ,f1 id est angulus ,v,cp ad angulum ,,vcp1 ut #a ad sqrtmb nc b c4 ,et propterea cum angulus ,,vcp inter ,apsidem summam ,apsidem imam in ,ellipsi immobili sit #ahj gr4 erit angulus ,v,cp inter easdem ,apsides1 in ,orbe quem corpus vi centripeta quantitati b,am c,an ,a cub4 proportionali describit1 qualis angulo graduum #ahj sqrtb c mb nc4 ,et eodem argumento si vis centripeta sit ut b,am - c,an ,a cub41 angulus inter ,apsides invenietur #ahj sqrtb - c mb - nc graduum4 ,nec secus resolvetur ,problema in casibus difficilioribus4 ,quantitas cui vis centripeta proportionalis est1 resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes ,a cub4 ,dein pars data ,numeratoris hujus ,r,gq4 - ,r,fq4 ,t,fq4 - ,fq4,x ad partem non datam in eadem ratione ponend sunt3 ,et quantitates superfluas delendo1 scribendoq2 unitatem pro ,t1 obtinebitur proportio ,g ad ,f4 ,corol4 #a4 ,hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas1 inveniri potest dignitas illa ex motu ,apsidum2 contra4 ,nimirum si motus totus angularis1 quo corpus redit ad ,apsidem eandem1 sit ad motum angularem revolutionis unius1 seu graduum #cfj1 ut numerus aliquis m ad numerum alium n1 altitudo nominetur ,a3 erit vis ut altitudinis dignitas illa ,annmm - #c1 cujus ,index est nnmm - #c4 ,id quod per ,exempla secunda manifestum est4 ,unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione decrescere non posse3 ,corpus tali vi revolvens deq2 ,apside discedens1 si cperit descendere1 nunquam perveniet ad ,apsidem imam seu altitudinem minimam1 sed descendet usq2 ad centrum1 describens curvam illam lineam de qua egimus in ,corol4 #c4 ,prop4 ,,xli4 ,sin cperit illud de ,apside discedens vel minimum ascendere1 ascendet in infinitum1 neq2 unquam perveniet ad ,apsidem summam4 ,describet enim curvam illam lineam de qua actum est in eodem ,corol4 in ,corol4 #f4 ,prop4 ,,xliv4 ,sic ubi vis in recessu a centro decrescit in majori quam triplicata ratione altitudinis1 corpus de ,apside discedens1 perinde ut cperit descendere vel ascendere1 vel descendet ad centrum usq2 vel ascendet in infinitum4 ,at si vis in recessu a centro vel decrescat in minori quam triplicata ratione altitudinis1 vel crescat in altitudinis ratione quacunq2 ,corpus nunquam descendet ad centrum usq2 sed ad ,apsidem imam aliquando perveniet3 contra1 si corpus de ,apside ad ,apsidem alternis vicibus descendens ascendens nunquam appellat ad centrum1 ,vis in recessu a centro aut augebitur1 aut in minore quam triplicata altitudinis ratione decrescet3 quo citius corpus de ,apside ad ,apsidem redierit1 eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata4 ,ut si corpus revolutionibus #h vel #d vel #b vel #a de ,apside summa ad ,apsidem summam alterno descensu ascensu redierit1 hoc est1 si fuerit m ad n ut #h vel #d vel #b vel #a ad #a1 adeoq2 nn mm - #c ualeat #a_/fd - #c vel #a_/af - #c vel #a_/d - #c vel #d_/i - #c1 erit vis ut ,a#a_/fd - #c vel ,a#a_/af - #c vel ,a#a_/d - #c vel ,a#d_/i - #c1 id est reciproce ut ,a#c - #a_/fd vel ,a#c - #a_/af vel ,a#c - #a_/d vel ,a#c - #d_/i4 ,si corpus singulis revolutionibus redierit ad ,apsidem eandem immotam1 erit m ad n ut #a ad #a1 adeoq2 ,annmm - #c qualis ,a-#b seu #a ,a#b1 propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis1 ut in prcedentibus demonstratum est4 ,si corpus partibus revolutionis unius vel tribus quartis1 vel duabus tertiis1 vel una tertia1 vel una quarta1 ad ,apsidem eandem redierit1 erit m ad n ut #c_/d vel #b_/c vel #a_/c vel #a_/d ad #a1 adeoq2 ,annmm - #c qualis ,a#af_/i - #c vel ,a#i_/d - #c vel ,a#i - #c vel ,a#af - #c propterea ,vis aut reciproce ut ,a#aa_/i vel ,a#c_/d1 aut directe ut ,a#f vel ,a#ac4 ,deniq2 si ,corpus pergendo ab ,apside summa ad ,apsidem summam confecerit revolutionem integram1 prterea gradus tres1 adeoq2 ,apsis illa singulis corporis revolutionibus confecerit in ,consequentia gradus tres1 erit m ad n ut #cfc;gr4 ad #cfj;gr4 adeoq2 ,annmm - #c erit quale ,a-#bfegjgacagfi1 propterea ,vis centripeta reciproce ut ,a#bfegjgacagfi seu ,a#b-d_/bdc4 ,decrescit igitur ,vis centripeta in ratione paulo majore quam duplicata1 sed qu vicibus #fj propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit4 ,corol4 #b4 ,hinc etiam si corpus1 vi centripeta qu sit reciproce ut quadratum altitudinis1 revolvatur in ,ellipsi umbilicum habente in centro virium1 huic vi centripet addatur vel auferatur vis alia quvis extranea2 cognosci potest 7per ,exempla tertia7 motus ,apsidum qui ex vi illa extranea orietur3 contra4 ,ut si vis qua corpus revolvitur in ,ellipsi sit ut #a ,a#b1 vis extranea ablata ut c,a1 adeoq2 vis reliqua ut ,a - c,a#d ,a#c2 erit 7in ,exemplis tertiis7 ,a qualis #a n qualis #d1 adeoq2 angulus revolutionis inter ,apsides qualis angulo graduum #ahjsqrt#a - c #a - #d;c4 ,ponatur vim illam extraneam esse #ceg1de vicibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in ,ellipsi1 id est c esse #ajj #cegde1 #ahjsqrt#a - c #a - #d;c evadet #ahjsqrt#cefde #cecde seu #ahj1gfjb1 id est #ahj;gr4 #dem4 #cgs4 ,igitur corpus de ,apside summa discedens1 motu angulari #ahj;gr4 #dem4 #cgs4 perveniet ad ,apsidem imam1 hoc motu duplicato ad ,apsidem summam redibit3 adeoq2 ,apsis summa singulis revolutionibus progrediendo conficiet #a;gr4 #cam4 #ads4 ,hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per centrum virium transeunt4 ,superest ut motus etiam determinemus in planis excentricis4 ,nam ,scriptores qui motum gravium tractant1 considerare solent ascensus descensus ponderum1 tam obliquos in planis quibuscunq2 datis1 quam perpendiculares3 pari jure motus corporum viribus quibuscunq2 centra petentium1 planis excentricis innitentium hic considerandus venit4 ,plana autem supponimus esse politissima absolute lubrica ne corpora retardent4 ,quinimo in his demonstrationibus1 vice planorum quibus corpora incumbunt quasq2 tangunt incumbendo1 usurpamus plana his parallela1 in quibus centra corporum moventur orbitas movendo describunt4 ,et eadem lege motus corporum in superficiebus curvis peractos subinde determinamus4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,x4 ,de ,motu ,corporum in ,superficiebus datis1 deq2 ,funipendulorum ,motu reciproco4 ,prop4 ,,xlvi4 ,prob4 ,,xxxii4 ,posita cujuscunq2 generis vi centripeta1 datoq2 tum virium centro tum plano quocunq2 in quo corpus revolvitur1 concessis ,figurarum curvilinearum quadraturis3 requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum ,rectam in ,plano illo datam egressi4 ,illustration ,sit ,s centrum virium1 ,,sc distantia minima centri hujus a plano dato1 ,p corpus de loco ,p secundum rectam ,,pz egrediens1 ,q corpus idem in ,trajectoria sua revolvens1 ,,pqr ,trajectoria illa in plano dato descripta1 quam invenire oportet4 ,jungantur ,,cq1 ,,qs1 si in ,,qs capiatur ,,sv proportionalis vi centripet qua corpus trahitur versus centrum ,s1 agatur ,,vt qu sit parallela ,,cq occurrat ,,sc in ,t3 ,vis ,,sv resolvetur 7per ,legum ,corol4 #b47 in vires ,,st1 ,,tv2 quarum ,,st trahendo corpus secundum lineam plano perpendicularem1 nil mutat motum ejus in hoc plano4 ,vis autem altera ,,tv1 agendo secundum positionem plani1 trahit corpus directe versus punctum ,c in plano datum1 adeoq2 facit illud in hoc plano perinde moveri ac si vis ,,st tolleretur1 corpus vi sola ,,tv revolveretur circa centrum ,c in spatio libero4 ,data autem vi centripeta ,,tv qua corpus ,q in spatio libero circa centrum datum ,c revolvitur1 datur per ,prop4 ,,xlii4 tum ,trajectoria ,,pqr quam corpus describit1 tum locus ,q in quo corpus ad datum quodvis tempus versabitur1 tum deniq2 velocitas corporis in loco illo ,q2 contra4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,xlvii4 ,theor4 ,,xv4 ,posito quod vis centripeta proportionalis sit distanti corporis a centro2 corpora omnia in planis quibuscunq2 revolventia describent ,ellipses1 revolutiones temporibus qualibus peragent2 quq2 moventur in lineis rectis ultro citroq2 discurrendo1 singulas eundi redeundi periodos iisdem temporibus absolvent4 ,nam stantibus qu in superiore ,propositione2 vis ,,sv qua corpus ,q in plano quovis ,,pqr revolvens trahitur versus centrum ,s est ut distantia ,,sq2 atq2 adeo ob proportionales ,,sv ,,sq1 ,,tv ,,cq1 vis ,,tv qua corpus trahitur versus punctum ,c in ,orbis plano datum1 est ut distantia ,,cq4 ,vires igitur1 quibus corpora in plano ,,pqr versantia trahuntur versus punctum ,c1 sunt pro ratione distantiarum quales viribus quibus corpora unaquaq2 trahuntur versus centrum ,s2 propterea corpora movebuntur iisdem temporibus in iisdem figuris in plano quovis ,,pqr circa punctum ,c1 atq2 in spatiis liberis circa centrum ,s1 adeoq2 7per ,corol4 #b4 ,prop4 ,x4 ,corol4 #b4 ,prop4 ,,xxxviii47 temporibus semper qualibus1 vel describent ,ellipses in plano illo circa centrum ,c1 vel periodos movendi ultro citroq2 in lineis rectis per centrum ,c in plano illo ductis1 complebunt4 ,q4 ,e4 ,d4 ,scholium4 ,his affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus curvis4 ,concipe lineas curvas in plano describi1 dein circa axes quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi1 ea revolutione superficies curvas describere2 tum corpora ita moveri ut eorum centra in his superficiebus perpetuo reperiantur4 ,si corpora illa oblique ascendendo descendendo currant ultro citroq2 peragentur eorum motus in planis per axem transeuntibus1 atq2 adeo in lineis curvis quarum revolutione curv ill superficies genit sunt4 ,istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis curvis considerare4 ,prop4 ,,xlviii4 ,theor4 ,,xvi4 ,si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistat1 more rotarum revolvendo progrediatur in circulo maximo2 longitudo itineris curvilinei1 quod punctum quodvis in rot perimetro datum1 ex quo globum tetigit1 confecit1 erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum ex eo tempore inter eundem tetigit1 ut summa diametrorum globi rot ad semidiametrum globi4 ,prop4 ,,xlix4 ,theor4 ,,xvii4 ,si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat revolvendo progrediatur in circulo maximo2 longitudo itineris curvilinei quod punctum quodvis in ,rot ,perimetro datum1 ex quo globum tetigit1 confecit1 erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit1 ut differentia diametrorum globi rot ad semidiametrum globi4 ,illustration ,sit ,,abl globus1 ,c centrum ejus1 ,,bpv rota ei insistens1 ,e centrum rot1 ,b punctum contactus1 ,p punctum datum in perimetro rot4 ,concipe hanc ,rotam pergere in circulo maximo ,,abl ab ,a per ,b versus ,l1 inter eundum ita revolvi ut arcus ,,ab1 ,,pb sibi invicem semper quentur1 atq2 punctum illud ,p in ,perimetro rot datum interea describere viam curvilineam ,,ap4 ,sit autem ,,ap via tota curvilinea descripta ex quo ,rota globum tetigit in ,a1 erit vi hujus longitudo ,,ap ad duplum sinum versum arcus ,,pb1 ut #b;,,ce ad ,,cb4 ,nam recta ,,ce 7si opus est producta7 occurrat ,rot in ,v1 junganturq2 ,,cp1 ,,bp1 ,,ep1 ,,vp1 in ,,cp productam demittatur ,normalis ,,vf4 ,tangant ,,ph1 ,,vh circulum in ,p ,v concurrentes in ,h1 secetq2 ,,ph ipsam ,,vf in ,g1 ad ,,vp demittantur ,normales ,,gi1 ,,hk4 ,centro item ,c intervallo quovis describatur circulus nom secans rectam ,,cp in n1 ,rot perimetrum ,bp in o viam curvilineam ,,ap in m1 centroq2 ,v intervallo ,vo describatur circulus secans ,,vp productam in q4 ,quoniam ,rota eundo semper revolvitur circa punctum contactus ,b1 manifestum est quod recta ,,bp perpendicularis est ad lineam illam curvam ,,ap1 quam ,rot punctum ,p describit1 atq2 adeo quod recta ,,vp tanget hanc curvam in puncto ,p4 ,circuli nom radius sensim auctus quetur tandem distanti ,,cp1 ob similitudinem figur evanescentis ,pnomq figur ,,pfgvi1 ratio ultima lineolarum evanescentium ,pm1 ,pn1 ,po1 ,pq1 id est ratio incrementorum momentaneorum curv ,,ap1 rect ,,cp arcus circularis ,,bp1 ac decrementi rect ,,vp1 eadem erit qu linearum ,,pv1 ,,pf1 ,,pg1 ,,pi respective4 ,cum autem ,,vf ad ,,cf ,,vh ad ,,cv perpendiculares sunt1 anguliq2 ,,hvg1 ,,vcf propterea quales2 angulus ,,vhp1 7ob angulos quadrilateri ,,hvep ad ,v ,p rectos17 complet angulum ,,vep ad duos rectos1 adeoq2 angulo ,,cep qualis est1 similia erunt triangula ,,vhg1 ,,cep2 inde fiet ut ,,ep ad ,,ce ita ,,hg ad ,,hv seu ,,hp1 ita ,,ki ad ,,kp1 divisim ut ,,cb ad ,,ce ita ,,pi ad ,,pk1 duplicatis consequentibus ut ,,cb ad #b;,,ce ita ,,pi ad ,,pv4 ,est igitur decrementum line ,,vp1 id est incrementum line ,,bv - ,,vp1 ad incrementum line curv ,,ap in data ratione ,,cb ad #b;,,ce1 propterea 7per ,corol4 ,lem4 ,,iv47 longitudines ,,bv - ,,vp ,,ap incrementis illis genit sunt in eadem ratione4 ,sed existente ,,bv radio1 est ,,vp cosinus anguli ,,vpb seu ,,bep1 adeoq2 ,,bv - ,,vp sinus versus ejusdem anguli1 propterea in hac ,rota cujus radius est ,,bv1 erit ,,bv - ,,vp duplus sinus versus arcus ,,bp4 ,ergo ,,ap est ad duplum sinum versum arcus ,,bp ut #b;,,ce ad ,,cb4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lineam autem ,,ap in ,propositione priore ,cycloidem extra ,globum1 alteram in posteriore ,cycloidem intra ,globum distinctionis gratia nominabimus4 ,corol4 #a4 ,hinc si describatur ,cyclois integra ,,asl bisecetur ea in ,s1 erit longitudo partis ,,ps ad longitudinem ,,vp 7qu duplus est sinus anguli ,,vbp1 existente ,,eb radio7 ut #b;,,ce ad ,,cb atq2 adeo in ratione data4 ,corol4 #b4 ,et longitudo semiperimetri ,cycloidis ,,as quabitur line rect1 qu est ad ,rot diametrum ,,bv ut #b;,,ce ad ,,cb4 ,corol4 #c4 ,ideoq2 longitudo illa est ut rectangulum ,,bec1 si modo ,globi detur semidiameter4 ,prop4 ,l4 ,prob4 ,,xxxiii4 ,illustration ,facere ut ,corpus pendulum oscilletur in ,cycloide data4 ,intra ,globum ,,qvs centro ,c descriptum detur ,cyclois ,,qrs bisecta in ,r punctis suis extremis ,q ,s superficiei ,globi hinc inde occurrens4 ,agatur ,,cr bisecans arcum ,,qs in ,o1 producatur ea ad ,a1 ut sit ,,ca ad ,,co ut ,,co ad ,,cr4 ,centro ,c intervallo ,,ca describatur ,globus exterior ,,abd1 intra hunc globum ,rota1 cujus diameter sit ,,ao1 describantur du semicycloides ,,aq1 ,,as1 qu globum interiorem tangant in ,q ,s globo exteriori occurrant in ,a4 ,a puncto illo ,a1 filo ,,apt longitudinem ,,ar quante1 pendeat corpus ,t1 ita intra semicycloides ,,aq1 ,,as oscilletur1 ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo ,,ar1 filum parte sui superiore ,,ap applicetur ad semicycloidem illam ,,aps1 versus quam peragitur motus1 circum eam ceu obstaculum flectatur1 parteq2 reliqua ,,pt cui semicyclois nondum objicitur1 protendatur in lineam rectam2 pondus ,t oscillabitur in ,cycloide data ,,qrs4 ,q4 ,e4 ,f4 ,occurrat enim filum ,,pt tum ,cycloidi ,,qrs in ,t1 tum circulo ,,qos in ,v1 agaturq2 ,,cv occurrens circulo ,,abd in ,b2 ad fili partem rectam ,,pt1 e punctis extremis ,p ac ,t1 erigantur perpendicula ,,pb1 ,,tw1 occurrentia rect ,,cv in ,b ,w4 ,patet enim ex genesi ,cycloidis1 quod perpendicula illa ,,pb1 ,,tw1 abscindent de ,,cv longitudines ,,vb1 ,,vw rotarum diametris ,,oa1 ,,or quales1 atq2 adeo quod punctum ,b incidet in circulum ,,abd4 ,est igitur ,,tp ad ,,vp 7duplum sinum anguli ,,vbp existente ,,bv radio7 ut ,,bw ad ,,bv1 seu ,,ao ,,or ad ,,ao1 id est 7cum sint ,,ca ad ,,co1 ,,co ad ,,cr divisim ,,ao ad ,,or proportionales17 ut ,,ca ,,co seu #b;,,ce ad ,,ca4 ,proinde per ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlix4 longitudo ,,pt quatur ,cycloidis arcui ,,ps1 filum totum ,,apt quatur ,cycloidis arcui dimidio ,,aps1 hoc est 7per ,corollar4 #b4 ,prop4 ,,xlix7 longitudini ,,ar4 ,et propterea vicissim si filum manet semper quale longitudini ,,ar movebitur punctum ,t in ,cycloide ,,qrs4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,filum ,,ar quatur ,cycloidis arcui dimidio ,,aps4 ,prop4 ,,li4 ,theor4 ,,xviii4 ,si vis centripeta tendens undiq2 ad ,globi centrum ,c sit in locis singulis ut distantia loci cujusq2 a centro1 hac sola vi agente ,corpus ,t oscilletur 7modo jam descripto7 in perimetro ,cycloidis ,,qrs3 dico quod oscillationum utcunq2 inqualium qualia erunt ,tempora4 ,nam in ,cycloidis tangentem ,,tw infinite productam cadat perpendiculum ,,cx jungatur ,,ct4 ,quoniam vis centripeta qua corpus ,t impellitur versus ,c est ut distantia ,,ct1 7per ,legum ,corol4 #b47 resolvitur in partes ,,cx1 ,,tx1 quarum ,,cx impellendo corpus directe a ,p distendit filum ,,pt per cujus resistentiam tota cessat1 nullum alium edens effectum2 pars autem altera ,,tx urgendo corpus transversim seu versus ,x1 directe accelerat motum ejus in ,cycloide2 manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici proportionalis sit singulis momentis ut longitudo ,,tx1 id est1 ob datas ,,cv1 ,,wv iisq2 proportionales ,,tx1 ,,tw1 ut longitudo ,,tw1 hoc est 7per ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlix47 ut longitudo arcus ,cycloidis ,,tr4 ,pendulis igitur duabus ,,apt1 ,apt de perpendiculo ,,ar inqualiter deductis simul dimissis1 accelerationes eorum semper erunt ut arcus describendi ,,tr1 t,r4 ,sunt autem partes sub initio descript ut accelerationes1 hoc est ut tot sub initio describend1 propterea partes qu manent describend accelerationes subsequentes his partibus proportionales sunt etiam ut tot2 sic deinceps4 ,sunt igitur accelerationes atq2 adeo velocitates genit partes his velocitatibus descript partesq2 describend1 semper ut tot2 propterea partes describend datam servantes rationem ad invicem simul evanescent1 id est corpora duo oscillantia simul pervenient ad perpendiculum ,,ar4 ,cumq2 vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo ,r1 per eosdem arcus ,trochoidales motu retrogrado facti1 retardentur in locis singulis a viribus iisdem a quibus descensus accelerabantur1 patet velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum quales esse1 atq2 adeo temporibus qualibus fieri2 propterea1 cum ,cycloidis partes du ,,rs ,,rq ad utrumq2 perpendiculi latus jacentes sint similes quales1 pendula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem temporibus semper peragent4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lii4 ,prob4 ,,xxxiv4 ,definire velocitates ,pendulorum in locis singulis1 ,tempora quibus tum oscillationes tot1 tum singul oscillationum partes peraguntur4 ,illustration ,centro quovis ,g1 intervallo ,,gh ,cycloidis arcum ,,rs quante1 describe semicirculum ,,hkmg semidiametro ,,gk bisectum4 ,et si vis centripeta distantiis locorum a centro proportionalis tendat ad centrum ,g1 sitq2 ea in perimetro ,,hik qualis vi centripet in perimetro globi ,,qos 7,vide ,fig4 ,prop4 ,l4 ,,li47 ad ipsius centrum tendente2 eodem tempore quo pendulum ,t dimittitur e loco supremo ,s1 cadat corpus aliquod ,l ab ,h ad ,g3 quoniam vires quibus corpora urgentur sunt quales sub initio spatiis describendis ,,tr1 ,,gl semper proportionales1 atq2 adeo1 si quantur ,,tr ,,lg1 quales in locis ,t ,l2 patet corpora illa describere spatia ,,st1 ,,hl qualia sub initio1 adeoq2 subinde pergere qualiter urgeri1 qualia spatia describere4 ,quare1 per ,prop4 ,,xxxviii41 tempus quo corpus describit arcum ,,st est ad tempus oscillationis unius1 ut arcus ,,hi 7tempus quo corpus ,h perveniet ad ,l7 ad semicirculum ,,hkm 7tempus quo corpus ,h perveniet ad ,m47 ,et velocitas corporis penduli in loco ,t est ad velocitatem ipsius in loco infimo ,r1 7hoc est velocitas corporis ,h in loco ,l ad velocitatem ejus in loco ,g1 seu incrementum momentaneum line ,,hl ad incrementum momentaneum line ,,hg1 arcubus ,,hi1 ,,hk quabili fluxu crescentibus7 ut ordinatim applicata ,,li ad radium ,,gk1 sive ut sqrt,s,rq4 - ,t,rq4 ad ,,sr4 ,unde cum in ,oscillationibus inqualibus describantur qualibus temporibus arcus totis ,oscillationum arcubus proportionales1 habentur ex datis temporibus velocitates arcus descripti in ,oscillationibus universis4 ,qu erant primo invenienda4 ,illustration ,oscillentur jam funipendula duo corpora in ,cycloidibus inqualibus earum semiarcubus quales capiantur rect ,,gh1 gh1 centrisq2 ,g1 g intervallis ,,gh1 gh describantur semicirculi ,,hzkm1 hzkm4 ,in eorum diametris ,,hm1 hm capiantur lineol quales ,,hy1 hy1 erigantur normaliter ,,yz1 yz circumferentiis occurrentes in ,z z4 ,quoniam corpora pendula sub initio motus versantur in circumferentia globi ,,qos1 adeoq2 a viribus qualibus urgentur in centrum1 incipiuntq2 directe versus centrum moveri1 spatia simul consecta qualia erunt sub initio4 ,urgeantur igitur corpora ,h1 h a viribus iisdem in ,h h1 sintq2 ,,hy1 hy spatia qualia ipso motus initio descripta1 arcus ,,hz1 hz denotabunt qualia tempora4 ,horum arcuum nascentium ratio prima duplicata est eadem qu rectangulorum ,,ghy1 ghy1 id est1 eadem qu linearum ,,gh1 gh adeoq2 arcus capti in dimidiata ratione semidiametrorum denotant qualia tempora4 ,est ergo tempus totum in circulo ,,hkm1 ,oscillationi in una ,cycloide respondens1 ad tempus totum in circulo hkm ,oscillationi in altera ,cycloide respondens1 ut semiperiferia ,,hkm ad medium proportionale inter hanc semiperiferiam semiperiferiam circuli alterius hkm1 id est in dimidiata ratione diametri ,,hm ad diametrum hm1 hoc est in dimidiata ratione perimetri ,cycloidis prim ad perimetrum ,cycloidis alterius1 adeoq2 tempus illud in ,cycloide quavis est 7per ,corol4 #c4 ,prop4 ,,xlix47 ut latus quadratum rectanguli ,,bec contenti sub semidiametro ,rot1 qua ,cyclois descripta fuit1 differentia inter semidiametrum illam semidiametrum globi4 ,q4 ,e4 ,i4 ,est idem tempus 7per ,corol4 ,prop4 ,l47 in dimidiata ratione longitudinis fili ,,ar4 ,q4 ,e4 ,i4 ,porro si in globis concentricis describantur similes ,cycloides3 quoniam earum perimetri sunt ut semidiametri globorum vires in analogis perimetrorum locis sunt ut distanti locorum a communi globorum centro1 hoc est ut globorum semidiametri1 atq2 adeo ut ,cycloidum perimetri perimetrorum partes similes1 qualia erunt tempora quibus perimetrorum partes similes ,oscillationibus similibus describuntur1 propterea ,oscillationes omnes erunt ,isochron4 ,cum igitur ,oscillationum tempora in ,globo dato sint in dimidiata ratione longitudinis ,,ar1 atq2 adeo 7ob datam ,,ac7 in dimidiata ratione numeri ,,ar ,,ac1 id est in ratione integra numeri sqrt,,ar ,,ac2 hic numerus sqrt,,ar ,,ac servata ratione ,,ar ad ,,ac 7ut fit in ,cycloidibus similibus7 idem semper maneat1 propterea in globis diversis1 ubi ,cycloides sunt similes1 sit ut tempus3 manifestum est quod ,oscillationum tempora in alio quovis globo dato1 atq2 adeo in globis omnibus concentricis sunt ut numerus sqrt,,ar ,,ac1 id est1 in ratione composita ex dimidiata ratione longitudinis fili ,,ar directe dimidiata ratione semidiametri globi ,,ac inverse4 ,q4 ,e4 ,i4 ,deniq2 si vires absolut diversorum globorum ponantur inquales1 accelerationes temporibus qualibus fact1 erunt ut vires4 ,unde si tempora capiantur in dimidiata ratione virium inverse1 velocitates erunt in eadem dimidiata ratione directe1 propterea spatia erunt qualia qu his temporibus describuntur4 ,ergo ,oscillationes in globis ,cycloidibus omnibus1 quibuscunq2 cum viribus absolutis fact1 sunt in ratione qu componitur ex dimidiata ratione longitudinis ,penduli directe1 dimidiata ratione distanti inter centrum ,penduli centrum globi inverse1 dimidiata ratione vis absolut etiam inverse1 id est1 si vis illa dicatur ,v1 in ratione numeri sqrt,,ar ,,ac ,v4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,hinc etiam ,oscillantium1 cadentium revolventium corporum tempora possunt inter se conferri4 ,nam si ,rot1 qua ,cyclois intra globum describitur1 diameter constituatur qualis semidiametro globi1 ,cyclois evadet linea recta per centrum globi transiens1 ,oscillatio jam erit descensus subsequens ascensus in hac recta4 ,unde datur tum tempus descensus de loco quovis ad centrum1 tum tempus huic quale quo corpus uniformiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem describit4 ,est enim hoc tempus 7per ,casum secundum7 ad tempus semioscillationis in ,trochoide quavis ,,aps ut ,,bc ad sqrt,,bec4 ,corol4 #b4 ,hinc etiam consectantur qu ,d4 ,c4 ,wrennus ,d4 ,c4 ,hugenius de ,cycloide vulgari adinvenerunt4 ,nam si globi diameter augeatur in infinitum1 mutabitur ejus superficies ,sphrica in planum1 visq2 centripeta aget uniformiter secundum lineas huic plano perpendiculares1 ,cyclois nostra abibit in ,cycloidem vulgi4 ,isto autem in casu1 longitudo arcus ,cycloidis1 inter planum illud punctum describens1 qualis evadet quadruplicato sinui verso dimidii arcus ,rot inter idem planum punctum describens2 ut invenit ,d4 ,c4 ,wrennus3 ,et pendulum inter duas ejusmodi ,cycloides in simili quali ,cycloide temporibus qualibus ,oscillabitur1 ut demonstravit ,hugenius4 ,sed descensus gravium1 tempore ,oscillationis unius1 is erit quem ,hugenius indicavit4 ,aptantur autem ,propositiones a nobis demonstrat ad veram constitutionem ,terr1 quatenus ,rot eundo in ejus circulis maximis describunt motu clavorum ,cycloides extra globum2 ,pendula inferius in fodinis cavernis ,terra suspensa1 in ,cycloidibus intra globos ,oscillari debent1 ut ,oscillationes omnes evadant ,isochron4 ,nam ,gravitas 7ut in ,libro tertio docebitur7 decrescit in progressu a superficie ,terr1 sursum quidem in duplicata ratione distantiarum a centro ejus1 deorsum vero in ratione simplici4 ,prop4 ,,liii4 ,prob4 ,,xxxv4 ,concessis figurarum curvilinearum ,quadraturis1 invenire vires quibus corpora in datis curvis lineis ,oscillationes semper ,isochronas peragent4 ,illustration ,oscilletur corpus ,t in curva quavis linea ,,strq1 cujus axis sit ,,or transiens per virium centrum ,c4 ,agatur ,,tx qu curvam illam in corporis loco quovis ,t contingat1 inq2 hac ,tangente ,,tx capiatur ,,ty qualis arcui ,,tr4 ,nam longitudo arcus illius ex figurarum ,quadraturis per ,methodos vulgares innotescit4 ,de puncto ,y educatur recta ,,yz ,tangenti perpendicularis4 ,agatur ,,ct perpendiculari illi occurrens in ,z1 erit vis centripeta proportionalis rect ,,tz4 ,q4 ,e4 ,i4 ,nam si vis1 qua corpus trahitur de ,t versus ,c1 exponatur per rectam ,,tz captam ipsi proportionalem1 resolvetur hc in vires ,,ty1 ,,yz2 quarum ,,yz trahendo corpus secundum longitudinem fili ,,pt1 motum ejus nil mutat1 vis autem altera ,,ty motum ejus in curva ,,strq directe accelerat vel directe retardat4 ,proinde cum hc sit ut via describenda ,,tr1 accelerationes corporis vel retardationes in ,oscillationum duarum 7majoris minoris7 partibus proportionalibus describendis1 erunt semper ut partes ill1 propterea facient ut partes ill simul describantur4 ,corpora autem qu partes totis semper proportionales simul describunt1 simul describent totas4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si corpus ,t filo rectilineo ,,at a centro ,a pendens1 describat arcum circularem ,,strq1 interea urgeatur secundum lineas parallelas deorsum a vi aliqua1 qu sit ad vim uniformem gravitatis1 ut arcus ,,tr ad ejus sinum ,,tn3 qualia erunt ,oscillationum singularum tempora4 ,etenim ob parallelas ,,tz1 ,,ar1 similia erunt triangula ,,ant1 ,,tyz2 propterea ,,tz erit ad ,,at ut ,,ty ad ,,tn2 hoc est1 si gravitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datam ,,at1 vis ,,tz1 qua ,oscillationes evadent ,isochron1 erit ad vim gravitatis ,,at1 ut arcus ,,tr ipsi ,,ty qualis ad arcus illius sinum ,,tn4 ,corol4 #b4 ,igitur in ,horologiis1 si vires a ,machina in ,pendulum ad motum conservandum impress ita cum vi gravitatis componi possint1 ut vis tota deorsum semper sit ut linea qu oritur applicando rectangulum sub arcu ,,tr radio ,,ar1 ad sinum ,,tn1 ,oscillationes omnes erunt ,isochron4 ,prop4 ,,liv4 ,prob4 ,,xxxvi4 ,concessis figurarum curvilinearum quadraturis1 invenire tempora quibus corpora vi qualibet centripeta in lineis quibuscunq2 curvis in plano per centrum virium transeunte descriptis1 descendent ascendent4 ,illustration ,descendat enim corpus de loco quovis ,s per lineam quamvis curvam ,s,tt,r in plano per virium centrum ,c transeunte datam4 ,jungatur ,,cs dividatur eadem in partes innumeras quales1 sitq2 ,dd partium illarum aliqua4 ,centro ,c1 intervallis ,,cd1 ,cd describantur circuli ,,dt1 dt1 ,line curv ,s,tt,r occurrentes in ,t t4 ,et ex data tum lege vis centripet1 tum altitudine ,,cs de qua corpus cecidit2 dabitur velocitas corporis in alia quavis altitudine ,,ct1 per ,prop4 ,,xxxix4 ,tempus autem1 quo corpus describit lineolam ,tt1 est ut lineol hujus longitudo 7id est ut secans anguli t,t,c7 directe1 velocitas inverse4 ,tempori huic proportionalis sit ordinatim applicata ,,dn ad rectam ,,cs per punctum ,d perpendicularis1 ob datam ,dd erit rectangulum ,dd ,,dn1 hoc est area ,d,nnd1 eidem tempori proportionale4 ,ergo si ,s,nn sit curva illa linea quam punctum ,n perpetuo tangit1 erit area ,,snds proportionalis tempori quo corpus descendendo descripsit lineam ,,st2 proindeq2 ex inventa illa area dabitur tempus4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,lv4 ,theor4 ,,xix4 ,si corpus movetur in superficie quacunq2 curva1 cujus axis per centrum virium transit1 a corpore in axem demittatur perpendicularis1 eiq2 parallela qualis ab axis puncto quovis ducatur3 dico quod parallela illa aream tempori proportionalem describet4 ,illustration ,sit ,,bskl superficies curva1 ,t corpus in ea revolvens1 ,s,tt,r ,trajectoria quam corpus in eadem describit1 ,s initium ,trajectori1 ,,omnk axis superficiei curv1 ,,tn recta a corpore in axem perpendicularis1 ,,op huic parallela qualis a puncto ,o quod in axe datur educta1 ,,ap vestigium ,trajectori a puncto ,p in line volubilis ,,op plano ,,aop descriptum1 ,a vestigii initium puncto ,s respondens1 ,,tc recta a corpore ad centrum ducta2 ,,tg pars ejus vi centripet qua corpus urgetur in centrum ,c proportionalis2 ,,tm recta ad superficiem curvam perpendicularis2 ,,ti pars ejus vi pressionis qua corpus urget superficiem1 vicissimq2 urgetur versus ,m a superficie1 proportionalis2 ,,phtf recta axi parallela per corpus transiens1 ,,gf1 ,,ih rect a punctis ,g ,i in parallelam illam ,,phtf perpendiculariter demiss4 ,dico jam quod area ,,aop1 radio ,,op ab initio motus descripta1 sit tempori proportionalis4 ,nam vis ,,tg 7per ,legum ,corol4 #b47 resolvitur in vires ,,tf1 ,,fg2 vis ,,ti in vires ,,th1 ,,hi3 ,vires autem ,,tf1 ,,th agendo secundum lineam ,,pf plano ,,aop perpendicularem mutant solummodo motum corporis quatenus huic plano perpendicularem4 ,ideoq2 motus ejus quatenus secundum positionem plani factus1 hoc est motus puncti ,p1 quo ,trajectori vestigium ,,ap in hoc plano describitur1 idem est ac si vires ,,tf1 ,,th tollerentur1 corpus solis viribus ,,fg1 ,,hi agitaretur1 hoc est idem ac si corpus in plano ,,aop vi centripeta ad centrum ,o tendente summam virium ,,fg ,,hi quante1 describeret curvam ,,ap4 ,sed vi tali describetur area ,,aop 7per ,prop4 ,i47 tempori proportionalis4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,eodem argumento si corpus a viribus agitatum ad centra duo vel plura in eadem quavis recta ,,co data tendentibus1 describeret in spatio libero lineam quamcunq2 curvam ,,st1 foret area ,,aop tempori semper proportionalis4 ,prop4 ,,lvi4 ,prob4 ,,xxxvii4 ,concessis figurarum curvilinearum ,quadraturis1 datisq2 tum lege vis centripet ad centrum datum tendentis1 tum superficie curva cujus axis per centrum illud transit2 invenienda est ,trajectoria quam corpus in eadem superficie describet1 de loco dato1 data cum velocitate versus plagam in superficie illa datam egressum4 ,stantibus qu in superiore ,propositione constructa sunt1 exeat corpus de loco ,s in ,trajectoriam inveniendam ,s,tt,r ex data ejus velocitate in altitudine ,,sc dabitur ejus velocitas in alia quavis altitudine ,,tc4 ,ea cum velocitate1 dato tempore quam minimo1 describat corpus ,trajectori su particulam ,tt1 sitq2 ,pp vestigium ejus plano ,,aop descriptum4 ,jungatur ,op1 circelli centro ,t intervallo ,tt in superficie curva descripti sit ,pp,q vestigium ,ellipticum in eodem plano ,o,a,pp descriptum4 ,et ob datum magnitudine positione circellum1 dabitur ,ellipsis illa ,pp,q4 ,cumq2 area ,p,op sit tempori proportionalis1 atq2 adeo ex dato tempore detur1 dabitur ,op positione1 inde dabitur communis ejus ,ellipseos intersectio p1 una cum angulo ,o,pp1 in quo ,trajectori vestigium ,a,pp secat lineam ,,op4 ,inde autem invenietur ,trajectori vestigium illud ,a,pp1 eadem methodo qua curva linea ,v,i,kk in ,propositione ,,xli4 ex similibus datis inventa fuit4 ,tum ex singulis vestigii punctis ,p erigendo ad planum ,,aop perpendicula ,,pt superficiei curv occurrentia in ,t1 dabuntur singula ,trajectori puncta ,t4 ,q4 ,e4 ,i4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,xi4 ,de ,motu ,corporum ,sphricorum viribus centripetis se mutuo petentium4 ,hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum immobile1 quale tamen vix extat in rerum natura4 ,attractiones enim fieri solent ad corpora2 corporum trahentium attractorum actiones semper mutu sunt quales1 per ,legem tertiam3 adeo ut neq2 attrahens possit quiescere neq2 attractum1 si duo sint corpora1 sed ambo 7per ,legum ,corollarium quartum7 quasi attractione mutua1 circum gravitatis centrum commune revolvantur3 si plura sint corpora 7qu vel ab unico attrahantur vel omnia se mutuo attrahant7 hc ita inter se moveri debeant1 ut gravitatis centrum commune vel quiescat vel uniformiter moveatur in directum4 ,qua de causa jam pergo motum exponere corporum se mutuo trahentium1 considerando vires centripetas tanquam ,attractiones1 quamvis fortasse1 si physice loquamur1 verius dicantur ,impulsus4 ,in ,mathematicis enim jam versamur1 propterea missis disputationibus ,physicis1 familiari utimur sermone1 quo possimus a ,lectoribus ,mathematicis facilius intelligi4 ,prop4 ,,lvii4 ,theor4 ,,xx4 ,corpora duo se invicem trahentia describunt1 circum commune centrum gravitatis1 circum se mutuo1 figuras similes4 ,sunt enim distanti a communi gravitatis centro reciproce proportionales corporibus1 atq2 adeo in data ratione ad invicem1 componendo1 in data ratione ad distantiam totam inter corpora4 ,feruntur autem h distanti circum terminos suos communi motu angulari1 propterea quod in directum semper jacentes non mutant inclinationem ad se mutuo4 ,line autem rect1 qu sunt in data ratione ad invicem1 quali motu angulari circum terminos suos feruntur1 figuras circum eosdem terminos 7in planis qu una cum his terminis vel quiescunt vel motu quovis non angulari moventur7 describunt omnino similes4 ,proinde similes sunt figur qu his distantiis circumactis describuntur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lviii4 ,theor4 ,,xxi4 ,si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahunt1 interea revolvuntur circa gravitatis centrum commune3 dico quod figuris1 quas corpora sic mota describunt circum se mutuo1 potest figura similis qualis1 circum corpus alterutrum immotum1 viribus iisdem describi4 ,revolvantur corpora ,s1 ,p circa commune gravitatis centrum ,c1 pergendo de ,s ad ,t deq2 ,p ad ,q4 ,a dato puncto s ipsis ,,sp1 ,,tq quales parallel ducantur semper sp1 sq2 curva pqv quam punctum p1 revolvendo circum punctum immotum s1 describit1 erit similis qualis curvis quas corpora ,s1 ,p describunt circum se mutuo3 proindeq2 7per ,theor4 ,,xx47 similis curvis ,,st ,,pqv1 quas eadem corpora describunt circum commune gravitatis centrum ,c3 id adeo quia proportiones linearum ,,sc1 ,,cp ,,sp vel sp ad invicem dantur4 ,illustration ,cas4 #a4 ,commune illud gravitatis centrum ,c1 per ,legum ,corollarium quartum1 vel quiescit vel movetur uniformiter in directum4 ,ponamus primo quod id quiescit1 inq2 s p locentur corpora duo1 immobile in s1 mobile in p1 corporibus ,s ,p similia qualia4 ,dein tangant rect ,,pr pr ,curvas ,,pq pq in ,p p1 producantur ,,cq sq ad ,r r4 ,et ob similitudinem figurarum ,,cprq1 sprq1 erit ,,rq ad rq ut ,,cp ad sp1 adeoq2 in data ratione4 ,proinde si vis qua ,corpus ,p versus ,corpus ,s1 atq2 adeo versus centrum intermedium ,c attrahitur1 esset ad vim qua corpus p versus centrum s attrahitur in eadem illa ratione data1 h vires qualibus temporibus attraherent semper corpora de tangentibus ,,pr1 pr ad arcus ,,pq1 pq1 per intervalla ipsis proportionalia ,,rq1 rq2 adeoq2 vis posterior efficeret ut corpus p gyraretur in curva pqv1 qu similis esset curv ,,pqv1 in qua vis prior efficit ut corpus ,p gyretur1 revolutiones iisdem temporibus complerentur4 ,at quoniam vires ill non sunt ad invicem in ratione ,,cp ad sp1 sed 7ob similitudinem qualitatem corporum ,s s1 ,p p1 qualitatem distantiarum ,,sp1 sp7 sibi mutuo quales1 corpora qualibus temporibus qualiter trahentur de ,tangentibus2 propterea ut corpus posterius p trahatur per intervallum majus rq1 requiritur tempus majus1 idq2 in dimidiata ratione intervallorum2 propterea quod1 per ,lemma decimum1 spatia ipso motus initio descripta sunt in duplicata ratione temporum4 ,ponatur igitur velocitas corporis p esse ad velocitatem corporis ,p in dimidiata ratione distanti sp ad distantiam ,,cp1 eo ut temporibus qu sint in eadem dimidiata ratione describantur arcus ,,pq1 pq1 qui sunt in ratione integra3 ,et corpora ,p1 p viribus qualibus semper attracta describent circum centra quiescentia ,c s figuras similes ,,pqv1 pqv1 quarum posterior pqv similis est qualis figur quam corpus ,p circum corpus mobile ,s describit4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,ponamus jam quod commune gravitatis centrum1 una cum spatio in quo corpora moventur inter se1 progreditur uniformiter in directum2 1 per ,legum ,corollarium sextum1 motus omnes in hoc spatio peragentur ut prius1 adeoq2 corpora describent circum se mutuo figuras easdem ac prius1 propterea figur pqv similes quales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc corpora duo viribus distanti su proportionalibus se mutuo trahentia1 describunt 7per ,prop4 ,x47 circum commune gravitatis centrum1 circum se mutuo1 ,ellipses concentricas3 vice versa1 si tales figur describuntur1 sunt vires distanti proportionales4 ,corol4 #b4 ,et corpora duo viribus quadrato distanti su reciproce proportionalibus describunt 7per ,prop4 ,,xi1 ,,xii1 ,,xiii47 circum commune gravitatis centrum1 circum se mutuo sectiones conicas umbilicos habentes in centro circum quod figur describuntur4 ,et vice versa1 si tales figur describuntur1 vires centripet sunt quadrato distanti reciproce proportionales4 ,corol4 #c4 ,corpora duo quvis circum gravitatis centrum commune gyrantia1 radiis ad centrum illud ad se mutuo ductis1 describunt areas temporibus proportionales4 ,prop4 ,,lix4 ,theor4 ,,xxii4 ,corporum duorum ,s ,p circa commune gravitatis centrum ,c revolventium tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis alterutrius ,p1 circa alterum immotum ,s gyrantis figuris qu corpora circum se mutuo describunt figuram similem qualem describentis1 in dimidiata ratione corporis alterius ,s1 ad summam corporum ,s ,p4 ,namq2 ex demonstratione superioris ,propositionis1 tempora quibus arcus quivis similes ,,pq pq describuntur1 sunt in dimidiata ratione distantiarum ,,cp ,,sp vel sp1 hoc est1 in dimidiata ratione corporis ,s ad summam corporum ,s ,p4 ,et componendo1 summ temporum quibus arcus omnes similes ,,pq pq describuntur1 hoc est tempora tota quibus figur tot similes describuntur1 sunt in eadem dimidiata ratione4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lx4 ,theor4 ,,xxiii4 ,si corpora duo ,s ,p1 viribus quadrato distanti su reciproce proportionalibus se mutuo trahentia1 revolvuntur circa gravitatis centrum commune3 dico quod ,ellipseos1 quam corpus alterutrum ,p hoc motu circa alterum ,s describit1 ,axis transversus erit ad axem transversum ,ellipseos1 quam corpus idem ,p circa alterum quiescens ,s eodem tempore periodico describere posset1 ut summa corporum duorum ,s ,p ad primam duarum medie proportionalium inter hanc summam corpus illud alterum ,s4 ,nam si descript ,ellipses essent sibi invicem quales1 tempora periodica1 per ,theorema superius1 forent in dimidiata ratione corporis ,s ad summam corporum ,s ,p4 ,minuatur in hac ratione tempus periodicum in ,ellipsi posteriore1 tempora periodica evadent qualia1 ,ellipseos autem axis transversus per ,theorema ,,vii4 minuetur in ratione cujus hc est sesquiplicata1 id est in ratione1 cujus ratio ,s ad ,s ,p est triplicata2 adeoq2 ad axem transversum ,ellipseos alterius1 ut prima duarum medie proportionalium inter ,s ,p ,s ad ,s ,p4 ,et inverse1 axis transversus ,ellipseos circa corpus mobile descript erit ad axem transversum descript circa immobile1 ut ,s ,p ad primam duarum medie proportionalium inter ,s ,p ,s4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxi4 ,theor4 ,,xxiv4 ,si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahentia1 neq2 alias agitata vel impedita1 quomodocunq2 moveantur2 motus eorum perinde se habebunt ac si non traherent se mutuo1 sed utrumq2 a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem traheretur3 ,et ,virium trahentium eadem erit ,lex respectu distanti corporum a centro illo communi atq2 respectu distanti totius inter corpora4 ,nam vires ill1 quibus corpora se mutuo trahunt1 tendendo ad corpora1 tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium1 adeoq2 edem sunt ac si a corpore intermedio manarent4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et quoniam data est ratio distanti corporis utriusvis a centro illo communi ad distantiam corporis ejusdem a corpore altero1 dabitur ratio cujusvis potestatis distanti unius ad eandem potestatem distanti alterius2 ut ratio quantitatis cujusvis1 qu ex una distantia quantitatibus datis utcunq2 derivatur1 ad quantitatem aliam1 qu ex altera distantia quantitatibus totidem datis datamq2 illam distantiarum rationem ad priores habentibus similiter derivatur4 ,proinde si vis1 qua corpus unum ab altero trahitur1 sit directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem2 vel ut qulibet hujus distanti potestas2 vel deniq2 ut quantitas quvis ex hac distantia quantitatibus datis quomodocunq2 derivata3 erit eadem vis1 qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur1 directe itidem vel inverse ut corporis attracti distantia a centro illo communi1 vel ut eadem distanti hujus potestas1 vel deniq2 ut quantitas ex hac distantia analogis quantitatibus datis similiter derivata4 ,hoc est ,vis trahentis eadem erit ,lex respectu distanti utriusq24 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxii4 ,prob4 ,,xxxviii4 ,corporum duorum qu viribus quadrato distanti su reciproce proportionalibus se mutuo trahunt1 ac de locis datis demittuntur1 determinare motus4 ,corpora1 per ,theorema novissimum1 perinde movebuntur1 ac si a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto traherentur2 centrum illud ipso motus initio quiescet 7per ,hypothesin7 propterea 7per ,legum ,corol4 #d47 semper quiescet4 ,determinandi sunt igitur motus ,corporum 7per ,probl4 ,,xxv47 perinde ac si a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur1 habebuntur motus corporum se mutuo trahentium4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,lxiii4 ,prob4 ,,xxxix4 ,corporum duorum qu viribus quadrato distanti su reciproce proportionalibus se mutuo trahunt1 deq2 locis datis1 secundum datas rectas1 datis cum velocitatibus exeunt1 determinare motus4 ,ex datis corporum motibus sub initio1 datur uniformis motus centri communis gravitatis1 ut motus spatii quod una cum hoc centro movetur uniformiter in directum1 nec non corporum motus initiales respectu hujus spatii4 ,motus autem subsequentes 7per ,legum ,corollarium quintum ,theorema novissimum7 perinde fiunt in hoc spatio1 ac si spatium ipsum una cum communi illo gravitatis centro quiesceret1 corpora non traherent se mutuo1 sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur4 ,corporis igitur alterutrius in hoc spatio mobili de loco dato1 secundum datam rectam1 data cum velocitate exeuntis1 vi centripeta ad centrum illud tendente correpti1 determinandus est motus per ,problema nonum vicesimum sextum3 habebitur simul motus corporis alterius e regione4 ,cum hoc motu componendus est uniformis ille ,systematis spatii corporum in eo gyrantium motus progressivus supra inventus1 habebitur motus absolutus corporum in spatio immobili4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,lxiv4 ,prob4 ,,xl4 ,viribus quibus ,corpora se mutuo trahunt crescentibus in simplici ratione distantiarum a centris3 requiruntur motus plurium ,corporum inter se4 ,ponantur imprimis corpora duo ,t ,l commune habentia gravitatis centrum ,d4 ,describent hc per ,corollarium primum ,theorematis ,,xxi4 ,ellipses centra habentes in ,d1 quarum magnitudo ex ,problemate ,v4 innotescit4 ,illustration ,trahat jam corpus tertium ,s priora duo ,t ,l viribus acceleratricibus ,,st1 ,,sl1 ab ipsis vicissim trahatur4 ,vis ,,st per ,legum ,corol4 #b4 resolvitur in vires ,,sd1 ,,dt2 vis ,,sl in vires ,,sd1 ,,dl4 ,vires autem ,,dt1 ,,dl1 qu sunt ut ipsarum summa ,,tl1 atq2 adeo ut vires acceleratrices quibus corpora ,t ,l se mutuo trahunt1 addit his viribus corporum ,t ,l1 prior priori posterior posteriori1 componunt vires distantiis ,,dt ac ,,dl proportionales1 ut prius1 sed viribus prioribus majores2 adeoq2 7per ,corol4 #a4 ,prop4 ,x4 ,corol4 #a #g4 ,prop4 ,,iv47 efficiunt ut corpora illa describant ,ellipses ut prius1 sed motu celeriore4 ,vires reliqu acceleratrices ,,sd ,,sd1 actionibus motricibus ,,sd ,t ,,sd ,l1 qu sunt ut corpora1 trahendo corpora illa qualiter secundum lineas ,,ti1 ,,lk1 ipsi ,,ds parallelas1 nil mutant situs earum ad invicem1 sed faciunt ipsa qualiter accedere ad lineam ,,ik2 quam ductam concipe per medium corporis ,s1 line ,,ds perpendicularem4 ,impedietur autem iste ad lineam ,,ik accessus faciendo ut ,systema corporum ,t ,l ex una parte1 corpus ,s ex altera1 justis cum velocitatibus1 gyrentur circa commune gravitatis centrum ,c4 ,tali motu corpus ,s 7eo quod summa virium motricium ,,sd ,t ,,sd ,l1 distanti ,,cs proportionalium1 trahitur versus centrum ,c7 describit ,ellipsin circa idem ,c2 punctum ,d ob proportionales ,,cs1 ,,cd describet ,ellipsin consimilem1 e regione4 ,corpora autem ,t ,l viribus motricibus ,,sd ,t ,,sd ,l1 7prius priore1 posterius posteriore7 qualiter secundum lineas parallelas ,,ti ,,lk 7ut dictum est7 attracta1 pergent 7per ,legum ,corollarium quintum sextum7 circa centrum mobile ,d ,ellipses suas describere1 ut prius4 ,q4 ,e4 ,i4 ,addatur jam corpus quartum ,v1 simili argumento concludetur hoc punctum ,c ,ellipses circa omnium commune centrum gravitatis ,b describere2 manentibus motibus priorum corporum ,t1 ,l ,s circa centra ,d ,c1 sed paulo acceleratis4 ,et eadem methodo corpora plura adjungere licebit4 ,q4 ,e4 ,i4 ,hc ita se habent ubi corpora ,t ,l trahunt se mutuo viribus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam trahunt corpora reliqua pro ratione distantiarum4 ,sunto mutu omnium attractiones acceleratrices ad invicem ut distanti duct in corpora trahentia1 ex prcedentibus facile deducetur quod corpora omnia qualibus temporibus periodicis ,ellipses varias1 circa omnium commune gravitatis centrum ,b1 in plano immobili describunt4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,lxv4 ,theor4 ,,xxv4 ,corpora plura quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum ab eorundem centris1 moveri posse inter se in ,ellipsibus1 radiis ad umbilicos ductis ,areas describere temporibus proportionales quam proxime4 ,in ,propositione superiore demonstratus est casus ubi motus plures peraguntur in ,ellipsibus accurate4 ,quo magis recedit lex virium a lege ibi posita1 eo magis corpora perturbabunt mutuos motus1 neq2 fieri potest ut corpora secundum legem hic positam se mutuo trahentia moveantur in ,ellipsibus accurate1 nisi servando certam proportionem distantiarum ab invicem4 ,in sequentibus autem casibus non multum ab ,ellipsibus errabitur4 ,cas4 #a4 ,pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo distantias revolvi1 tendantq2 ad singula vires absolut proportionales iisdem corporibus4 ,et quoniam omnium commune gravitatis centrum 7per ,legum ,corol4 quartum47 vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum1 fingamus corpora minora tam parva esse1 ut corpus maximum nunquam distet sensibiliter ab hoc centro3 maximum illud vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum1 absq2 errore sensibili2 minora autem revolventur circa hoc maximum in ,ellipsibus1 atq2 radiis ad idem ductis describent areas temporibus proportionales2 nisi quatenus errores inducuntur1 vel per errorem maximi a communi illo gravitatis centro1 vel per actiones minorum corporum in se mutuo4 ,diminui autem possunt corpora minora usq2 donec error iste actiones mutu sint datis quibusvis minores1 atq2 adeo donec orbes cum ,ellipsibus quadrent1 are respondeant temporibus1 absq2 errore qui non sit minor quovis dato4 ,q4 ,e4 ,o4 ,cas4 #b4 ,fingamus jam ,systema corporum minorum modo jam descripto circa maximum revolventium1 aliudve quodvis duorum circum se mutuo revolventium corporum ,systema progredi uniformiter in directum1 interea vi corporis alterius longe maximi ad magnam distantiam siti urgeri ad latus4 ,et quoniam quales vires acceleratrices1 quibus corpora secundum lineas parallelas urgentur1 non mutant situs corporum ad invicem1 sed ut ,systema totum1 servatis partium motibus inter se1 simul transferatur efficiunt3 manifestum est quod ex attractionibus in corpus maximum1 nulla prorsus orietur mutatio motus attractorum inter se1 nisi vel ex attractionum acceleratricum inqualitate1 vel ex inclinatione linearum ad invicem1 secundum quas attractiones fiunt4 ,pone ergo attractiones omnes acceleratrices in corpus maximum esse inter se reciproce ut quadrata distantiarum1 augendo corporis maximi distantiam1 donec rectarum ab hoc ad reliqua ductarum minores sint differenti inclinationes ad invicem quam dat quvis1 perseverabunt motus partium ,systematis inter se absq2 erroribus qui non sint quibusvis datis minores4 ,et quoniam1 ob exiguam partium illarum ab invicem distantiam1 ,systema totum ad modum corporis unius attrahitur1 movebitur idem hac attractione ad modum corporis unius2 hoc est1 centro suo gravitatis describet circa corpus maximum1 ,sectionem aliquam ,conicam 7viz4 ,hyperbolam vel ,parabolam attractione languida1 ,ellipsim fortiore17 ,radio ad maximum ducto1 verret areas temporibus proportionales1 absq2 ullis erroribus1 nisi quas partium distanti 7perexigu sane pro lubitu minuend7 valeant efficere4 ,q4 ,e4 ,o4 ,simili argumento pergere licet ad casus magis compositos in infinitum4 ,corol4 #a4 ,in casu secundo2 quo propius accedit corpus omnium maximum ad ,systema duorum vel plurium1 eo magis turbabuntur motus partium ,systematis inter se1 propterea quod linearum a corpore maximo ad has ductarum jam major est inclinatio ad invicem1 majorq2 proportionis inqualitas4 ,corol4 #b4 ,maxime autem turbabuntur1 ponendo quod attractiones acceleratrices partium ,systematis versus corpus omnium maximum1 non sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum a corpore illo maximo2 prsertim si proportionis hujus inqualitas major sit quam inqualitas proportionis distantiarum a corpore maximo3 ,nam si vis acceleratrix1 qualiter secundum lineas parallelas agendo1 nil perturbat motus inter se1 necesse est ut ex actionis inqualitate perturbatio oriatur1 majorq2 sit vel minor pro majore vel minore inqualitate4 ,excessus impulsuum majorum agendo in aliqua corpora non agendo in alia1 necessario mutabunt situm eorum inter se4 ,et hc perturbatio addita perturbationi1 qu ex linearum inclinatione inqualitate oritur1 majorem reddet perturbationem totam4 ,corol4 #c4 ,unde si ,systematis hujus partes in ,ellipsibus vel ,circulis sine perturbatione insigni moveantur1 manifestum est1 quod edem a viribus acceleratricibus ad alia corpora tendentibus1 aut non urgentur nisi levissime1 aut urgentur qualiter secundum lineas parallelas quamproxime4 ,prop4 ,,lxvi4 ,theor4 ,,xxvi4 ,si corpora tria1 quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum1 se mutuo trahant1 attractiones acceleratrices binorum quorumcunq2 in tertium sint inter se reciproce ut quadrata distantiarum2 minora autem circa maximum in plano communi revolvantur3 ,dico quod interius circa intimum maximum1 radiis ad ipsum ductis1 describet areas temporibus magis proportionales1 figuram ad formam ,ellipseos umbilicum in concursu radiorum habentis magis accedentem1 si corpus maximum his attractionibus agitetur1 quam si maximum illud vel a minoribus non attractum quiescat1 vel multo minus vel multo magis attractum aut multo minus aut multo magis agitetur4 ,liquet fere ex demonstratione ,corollarii secundi ,propositionis prcedentis2 sed argumento magis distincto latius cogente sic evincitur4 ,illustration ,cas4 #a4 ,revolvantur corpora minora ,p ,q in eodem plano circa maximum ,s1 quorum ,p describat orbem interiorem ,,pab1 ,q exteriorem ,,qe4 ,sit ,,qk mediocris distantia corporum ,p ,q2 corporis ,p versus ,q attractio acceleratrix in mediocri illa distantia exponatur per eandem4 ,in duplicata ratione ,,qk ad ,,qp capiatur ,,ql ad ,,qk1 erit ,,ql attractio acceleratrix corporis ,p versus ,q in distantia quavis ,,qp4 ,junge ,,ps1 eiq2 parallelam age ,,lm occurrentem ,,qs in ,m1 attractio ,,ql resolvetur 7per ,legum ,corol4 #b47 in attractiones ,,qm1 ,,lm4 ,et sic urgebitur corpus ,p vi acceleratrice triplici3 una tendente ad ,s oriunda a mutua attractione corporum ,s ,p4 ,hac vi sola corpus ,p1 circum corpus ,s sive immotum1 sive hac attractione agitatum1 describere deberet areas1 radio ,,ps temporibus proportionales1 ,ellipsin cui umbilicus est in centro corporis ,s4 ,patet hoc per ,prob4 ,,vi4 ,corollaria ,theor4 ,,xxi4 ,vis altera est attractionis ,,lm1 qu quoniam tendit a ,p ad ,s1 superaddita vi priori coincidet cum ipsa1 sic faciet ut are etiamnum temporibus proportionales describantur per ,corol4 #c4 ,theor4 ,,xxi4 ,at quoniam non est quadrato distanti ,,ps reciproce proportionalis1 componet ea cum vi priore vim ab hac proportione aberrantem1 idq2 eo magis quo major est proportio hujus vis ad vim priorem1 cteris paribus4 ,proinde cum 7per ,corol4 #a4 ,prob4 ,,viii4 ,corol4 #b4 ,theor4 ,,xxi47 vis qua ,ellipsis circa umbilicum ,s describitur tendere debeat ad umbilicum illum1 esse quadrato distanti ,,ps reciproce proportionalis2 vis illa composita aberrando ab hac proportione1 faciet ut ,orbis ,,pab aberret a forma ,ellipseos umbilicum habentis in ,s2 idq2 eo magis quo major est aberratio ab hac proportione2 atq2 adeo etiam quo major est proportio vis secund ,,lm ad vim primam1 cteris paribus4 ,jam vero vis tertia ,,qm1 trahendo corpus ,p secundum lineam ipsi ,,qs parallelam1 componet cum viribus prioribus vim qu non amplius dirigitur a ,p in ,s1 quq2 ab hac determinatione tanto magis aberrat1 quanto major est proportio hujus terti vis ad vires priores1 cteris paribus2 atq2 adeo qu faciet ut corpus ,p1 radio ,,sp1 areas non amplius temporibus proportionales describet1 atq2 aberratio ab hac proportionalitate ut tanto major sit1 quanto major est proportio vis hujus terti ad vires cteras4 ,orbis vero ,,pab aberrationem a forma ,elliptica prfata hc vis tertia duplici de causa adaugebit1 tum quod non dirigitur a ,p ad ,s1 tum etiam quod non sit proportionalis quadrato distanti ,,ps4 ,quibus intellectis1 manifestum est quod are temporibus tum maxime fiunt proportionales1 ubi vis tertia1 manentibus viribus cteris1 fit minima2 quod ,orbis ,,pab tum maxime accedit ad prfatam formam ,ellipticam1 ubi vis tam secunda quam tertia1 sed prcipue vis tertia1 fit minima1 vi prima manente4 ,exponatur corporis ,s attractio acceleratrix versus ,q per lineam ,,qn2 si attractiones acceleratrices ,,qm1 ,,qn quales essent1 h trahendo corpora ,s ,p qualiter secundum lineas parallelas1 nil mutarent situm eorum ad invicem4 ,iidem jam forent corporum illorum motus inter se 7par ,legum ,corol4 #f47 ac si h attractiones tollerentur4 ,et pari ratione si attractio ,,qn minor esset attractione ,,qm1 tolleret ipsa attractionis ,,qm partem ,,qn1 maneret pars sola ,,mn1 qua temporum arearum proportionalitas ,orbit forma illa ,elliptica perturbaretur4 ,et similiter si attractio ,,qn major esset attractione ,,qm1 oriretur ex differentia sola ,,mn perturbatio proportionalitatis ,orbit4 ,sic per attractionem ,,qn reducitur semper attractio tertia superior ,,qm ad attractionem ,,mn1 attractione prima secunda manentibus prorsus immutatis3 propterea are ac tempora ad proportionalitatem1 ,orbita ,,pab ad formam prfatam ,ellipticam tum maxime accedunt1 ubi attractio ,,mn vel nulla est1 vel quam fieri possit minima2 hoc est ubi corporum ,p ,s attractiones acceleratrices1 fact versus corpus ,q1 accedunt quantum fieri potest ad qualitatem2 id est ubi attractio ,,qn non est nulla1 neq2 minor minima attractionum omnium ,,qm1 sed inter attractionum omnium ,,qm maximam minimam quasi mediocris1 hoc est1 non multo major neq2 multo minor attractione ,,qk4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,revolvantur jam corpora minora ,p1 ,q circa maximum ,s in planis diversis1 vis ,,lm1 agendo secundum lineam ,,ps in plano ,orbit ,,pab sitam1 eundem habebit effectum ac prius1 neq2 corpus ,p de plano ,orbit su deturbabit4 ,at vis altera ,,nm1 agendo secundum lineam qu ipsi ,,qs parallela est1 7atq2 adeo1 quando corpus ,q versatur extra lineam ,nodorum1 inclinatur ad planum ,orbit ,,pab27 prter perturbationem motus in longitudinem jam ante expositam1 inducet perturbationem motus in latitudinem1 trahendo corpus ,p de plano su ,orbit4 ,et hc perturbatio in dato quovis corporum ,p ,s ad invicem situ1 erit ut vis illa generans ,,mn1 adeoq2 minima evadet ubi ,,mn est minima1 hoc est 7uti jam exposui7 ubi attractio ,,qn non est multo major neq2 multo minor attractione ,,qk4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,ex his facile colligitur quod si corpora plura minora ,p1 ,q1 ,r c4 revolvantur circa maximum ,s3 motus corporis intimi ,p minime perturbabitur attractionibus exteriorum1 ubi corpus maximum ,s pariter a cteris1 pro ratione virium acceleratricum1 attrahitur agitatur atq2 cteri a se mutuo4 ,corol4 #b4 ,in ,systemate vero trium corporum ,s1 ,p1 ,q2 si attractiones acceleratrices binorum quorumcunq2 in tertium sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum1 corpus ,p radio ,,ps aream circa corpus ,s velocius describet prope conjunctionem ,a oppositionem ,b1 quam prope quadraturas ,c1 ,d4 ,namq2 vis omnis qua corpus ,p urgetur corpus ,s non urgetur1 quq2 non agit secundum lineam ,,ps1 accelerat vel retardat descriptionem are1 perinde ut ipsa in antecedentia vel in consequentia dirigitur4 ,talis est vis ,,nm4 ,hc in transitu corporis ,p a ,c ad ,a tendit in antecedentia1 motumq2 accelerat2 dein usq2 ad ,d in consequentia1 motum retardat2 tum in antecedentia usq2 ad ,b1 ultimo in consequentia transeundo a ,b ad ,c4 ,corol4 #c4 ,et eodem argumento patet quod corpus ,p1 cteris paribus1 velocius movetur in ,conjunctione ,oppositione quam in ,quadraturis4 ,corol4 #d4 ,orbita corporis ,p cteris paribus curvior est in quadraturis quam in ,conjunctione ,oppositione4 ,nam corpora velociora minus deflectunt a recto tramite4 ,et prterea vis ,,nm1 in ,conjunctione ,oppositione1 contraria est vi qua corpus ,s trahit corpus ,p1 adeoq2 vim illam minuit2 corpus autem ,p minus deflectet a recto tramite1 ubi minus urgetur in corpus ,s4 ,corol4 #e4 ,unde corpus ,p1 cteris paribus1 longius recedet a corpore ,s in quadraturis1 quam in ,conjunctione ,oppositione4 ,hc ita se habent excluso motu ,excentricitatis4 ,nam si ,orbita corporis ,p excentrica sit1 ,excentricitas ejus 7ut mox in hujus ,corol4 #i4 ostendetur7 evadet maxima ubi ,apsides sunt in ,syzygiis2 indeq2 fieri potest ut corpus ,p1 ad ,apsidem summam appellans1 absit longius a corpore ,s in ,syzygiis quam in ,quadraturis4 ,corol4 #f4 ,quoniam vis centripeta corporis centralis ,s1 qua corpus ,p retinetur in ,orbe suo1 augetur in quadraturis per additionem vis ,,lm1 ac diminuitur in ,syzygiis per ablationem vis ,,kl1 ob magnitudinem vis ,,kl1 magis diminuitur quam augeatur1 est autem vis illa centripeta 7per ,corol4 #b1 ,prop4 ,,iv47 in ratione composita ex ratione simplici radii ,,sp directe ratione duplicata temporis periodici inverse3 patet hanc rationem compositam diminui per actionem vis ,,kl1 adeoq2 tempus periodicum1 si maneat ,orbis radius ,,sp1 augeri1 idq2 in dimidiata ratione qua vis illa centripeta diminuitur3 auctoq2 adeo vel diminuto hoc ,radio1 tempus periodicum augeri magis1 vel diminui minus quam in ,radii hujus ratione sesquiplicata1 per ,corol4 #f4 ,prop4 ,,iv4 ,si vis illa corporis centralis paulatim languesceret1 corpus ,p minus semper minus attractum perpetuo recederet longius a centro ,s2 contra1 si vis illa augeretur1 accederet propius4 ,ergo si actio corporis longinqui ,q1 qua vis illa diminuitur1 augeatur ac diminuatur per vices1 augebitur simul ac diminuetur ,radius ,,sp per vices1 tempus periodicum augebitur ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata ,radii ratione dimidiata qua vis illa centripeta corporis centralis ,s per incrementum vel decrementum actionis corporis longinqui ,q diminuitur vel augetur4 ,corol4 #g4 ,ex prmissis consequitur etiam quod ,ellipseos a corpore ,p descript axis seu ,apsidum linea1 quoad motum angularem progreditur regreditur per vices1 sed magis tamen progreditur1 in singulis corporis revolutionibus per excessum progressionis fertur in consequentia4 ,nam vis qua corpus ,p urgetur in corpus ,s in ,quadraturis1 ubi vis ,,mn evanuit1 componitur ex vi ,,lm vi centripeta qua corpus ,s trahit corpus ,p4 ,vis prior ,,lm1 si augeatur distantia ,,ps1 augetur in eadem fere ratione cum hac distantia1 vis posterior decrescit in duplicata illa ratione1 adeoq2 summa harum virium decrescit in minore quam duplicata ratione distanti ,,ps1 propterea1 per ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlv4 facit ,augem seu ,apsidem summam regredi4 ,in ,conjunctione vero ,oppositione1 vis qua corpus ,p urgetur in corpus ,s differentia est inter vim qua corpus ,s trahit corpus ,p vim ,,kl2 differentia illa1 propterea quod vis ,,kl augetur quamproxime in ratione distanti ,,ps1 decrescit in majore quam duplicata ratione distanti ,,ps1 adeoq2 per ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlv4 facit ,augem progredi4 ,in locis inter ,syzygias ,quadraturas1 pendet motus ,augis ex causa utraq2 conjunctim1 adeo ut pro hujus vel alterius excessu progrediatur ipsa vel regrediatur4 ,unde cum vis ,,kl in ,syzygiis sit quasi duplo major quam vis ,,lm in quadraturis1 excessus in tota revolutione erit penes vim ,,kl1 transferetq2 ,augem singulis revolutionibus in consequentia4 ,veritas autem hujus prcedentis ,corollarii facilius intelligetur concipiendo ,systema corporum duorum ,s1 ,p corporibus pluribus ,q1 ,q1 ,q c4 in ,orbe ,,qe consistentibus1 undiq2 cingi4 ,namq2 horum actionibus actio ipsius ,s minuetur undiq21 decrescetq2 in ratione plusquam duplicata distanti4 ,corol4 #h4 ,cum autem pendeat ,apsidum progressus vel regressus a decremento vis centripet facto in majori vel minori quam duplicata ratione distanti ,,sp1 in transitu corporis ab ,apside ima ad ,apsidem summam2 ut a simili incremento in reditu ad ,apsidem imam2 atq2 adeo maximus sit ubi proportio vis in ,apside summa ad vim in ,apside ima maxime recedit a duplicata ratione distantiarum inversa3 manifestum est quod ,apsides in ,syzygiis suis1 per vim ablatitiam ,,kl seu ,,nm - ,,lm1 progredientur velocius1 inq2 ,quadraturis suis tardius recedent per vim addititiam ,,lm4 ,ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas progressus vel tarditas regressus continuatur1 fit hc inqualitas longe maxima4 ,corol4 #i4 ,si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadrato distanti su a centro1 revolveretur circa hoc centrum in ,ellipsi1 mox1 in descensu ab ,apside summa seu ,auge ad ,apsidem imam1 vis illa per accessum perpetuum vis nov augeretur in ratione plusquam duplicata distanti diminut3 ,manifestum est quod corpus1 perpetuo accessu vis illius nov impulsum semper in centrum1 magis vergeret in hoc centrum1 quam si urgeretur vi sola crescente in duplicata ratione distanti diminut1 adeoq2 ,orbem describeret ,orbe ,elliptico interiorem1 in ,apside ima propius accederet ad centrum quam prius4 ,orbis igitur1 accessu hujus vis nov1 fiet magis excentricus4 ,si jam vis1 in recessu corporis ab ,apside ima ad ,apsidem summam1 decresceret iisdem gradibus quibus ante creverat1 rediret corpus ad distantiam priorem1 adeoq2 si vis decrescat in majori ratione1 corpus jam minus attractum ascendet ad distantiam majorem sic ,orbis ,excentricitas adhuc magis augebitur4 ,igitur si ratio incrementi decrementi vis centripet singulis revolutionibus augeatur1 augebitur semper ,excentricitas2 e contra1 diminuetur eadem si ratio illa decrescat4 ,jam vero in ,systemate corporum ,s1 ,p1 ,q1 ubi ,apsides orbis ,,pab sunt in quadraturis1 ratio illa incrementi ac decrementi minima est1 maxima fit ubi ,apsides sunt in ,syzygiis4 ,si ,apsides constituantur in quadraturis ratio prope ,apsides minor est1 prope ,syzygias major quam duplicata distantiarum1 ex ratione illa majori oritur ,augis motus velocissimus1 uti jam dictum est4 ,at si consideretur ratio incrementi vel decrementi totius in progressu inter ,apsides1 hc minor est quam duplicata distantiarum4 ,vis in ,apside ima est ad vim in ,apside summa in minore quam duplicata ratione distanti ,apsidis summ ab umbilico ,ellipseos ad distantiam ,apsidis im ab eodem umbilico3 e contra1 ubi ,apsides constituuntur in ,syzygiis1 vis in ,apside ima est ad vim in ,apside summa in majore quam duplicata ratione distantiarum4 ,nam vires ,,lm in ,quadraturis addit viribus corporis ,s componunt vires in ratione minore1 vires ,,kl in ,syzygiis subduct viribus corporis ,s relinquunt vires in ratione majore4 ,est igitur ratio decrementi incrementi totius in transitu inter ,apsides1 minima in quadraturis1 maxima in ,syzygiis3 propterea in transitu ,apsidum a quadraturis ad ,syzygias perpetuo augetur1 augetq2 ,excentricitatem ,ellipseos2 inq2 transitu a ,syzygiis ad quadraturas perpetuo diminuitur1 ,excentricitatem diminuit4 ,corol4 #aj4 ,ut rationem ineamus errorum in latitudinem1 fingamus planum ,orbis ,,qes immobile manere2 ex errorum exposita causa manifestum est1 quod ex viribus ,,nm1 ,,ml1 qu sunt causa illa tota1 vis ,,ml agendo semper secundum planum ,orbis ,,pab1 nunquam perturbat motus in latitudinem1 quodq2 vis ,,nm ubi ,nodi sunt in ,syzygiis1 agendo etiam secundum idem ,orbis planum1 non perturbat hos motus2 ubi vero sunt in ,quadraturis eos maxime perturbat1 corpusq2 ,p de plano ,orbis sui perpetuo trahendo1 minuit inclinationem plani in transitu corporis a quadraturis ad ,syzygias1 augetq2 vicissim eandem in transitu a ,syzygiis ad quadraturas4 ,unde fit ut corpore in ,syzygiis existente inclinatio evadat omnium minima1 redeatq2 ad priorem magnitudinem circiter1 ubi corpus ad ,nodum proximum accedit4 ,at si ,nodi constituantur in ,octantibus post quadraturas1 id est inter ,c ,a1 ,d ,b1 intelligetur ex modo expositis quod1 in transitu corporis ,p a ,nodo alterutro ad gradum inde nonagesimum1 inclinatio plani perpetuo minuitur2 deinde in transitu per proximos #de gradus1 usq2 ad quadraturam proximam1 inclinatio augetur1 postea denuo in transitu per alios #de gradus1 usq2 ad nodum proximum1 diminuitur4 ,magis itaq2 diminuitur inclinatio quam augetur1 propterea minor est semper in nodo subsequente quam in prcedente4 ,et simili ratiocinio inclinatio magis augetur quam diminuitur1 ubi nodi sunt in ,octantibus alteris inter ,a ,d1 ,b ,c4 ,inclinatio igitur ubi ,nodi sunt in ,syzygiis est omnium maxima4 ,in transitu eorum a ,syzygiis ad quadraturas1 in singulis corporis ad ,nodos appulsibus1 diminuitur1 fitq2 omnium minima ubi nodi sunt in quadraturis corpus in ,syzygiis3 dein crescit iisdem gradibus quibus antea decreverat1 ,nodisq2 ad ,syzygias proximas appulsis ad magnitudinem primam revertitur4 ,corol4 #aa4 ,quoniam corpus ,p ubi nodi sunt in quadraturis perpetuo trahitur de plano ,orbis sui1 idq2 in partem versus ,q1 in transitu suo a nodo ,c per ,conjunctionem ,a ad nodum ,d2 in contrariam partem in transitu a nodo ,d per ,oppositionem ,b ad nodum ,c2 manifestum est quod in motu suo a nodo ,c1 corpus perpetuo recedit ab ,orbis sui plano primo ,,cd1 usq2 dum perventum est ad nodum proximum2 adeoq2 in hoc nodo1 longissime distans a plano illo primo ,,cd1 transit per planum ,orbis ,,qes1 non in plani illius ,nodo altero ,d1 sed in puncto quod inde vergit ad partes corporis ,q1 quodq2 proinde novus est ,nodi locus in anteriora vergens4 ,et simili argumento pergent ,nodi recedere in transitu ,corporis de hoc nodo in nodum proximum4 ,nodi igitur in quadraturis constituti perpetuo recedunt1 in ,syzygiis 7ubi motus in latitudinem nil perturbatur7 quiescunt2 in locis intermediis conditionis utriusq2 participes recedunt tardius1 adeoq2 semper vel retrogradi vel stationarii singulis revolutionibus feruntur in antecedentia4 ,corol4 #ab4 ,omnes illi in his ,corollariis descripti errores sunt paulo majores in conjunctione ,corporum ,p1 ,q quam in eorum ,oppositione1 idq2 ob majores vires generantes ,,nm ,,ml4 ,corol4 #ac4 ,cumq2 rationes horum ,corollariorum non pendeant a magnitudine corporis ,q1 obtinent prcedentia omnia1 ubi corporis ,q tanta statuitur magnitudo ut circa ipsum revolvatur corporum duorum ,s ,p ,systema4 ,et ex aucto corpore ,q1 auctaq2 adeo ipsius vi centripeta1 a qua errores corporis ,p oriuntur1 evadent errores illi omnes 7paribus distantiis7 majores in hoc casu quam in altero1 ubi corpus ,q circum ,systema corporum ,p ,s revolvitur4 ,corol4 #ad4 ,cum autem vires ,,nm1 ,,ml1 ubi corpus ,q longinquum est1 sint quamproxime ut vis ,,qk ratio ,,ps ad ,,qs conjunctim1 hoc est1 si detur tum distantia ,,ps1 tum corporis ,q vis absoluta1 ut ,,qs cub4 reciproce2 sint autem vires ill ,,nm1 ,,ml caus errorum effectuum omnium de quibus actum est in prcedentibus ,corollariis3 manifestum est quod effectus illi omnes1 stante corporum ,s ,p ,systemate1 sint quamproxime in ratione composita ex ratione directa vis absolut corporis ,q ratione triplicata inversa distanti ,,qs4 ,unde si ,systema corporum ,s ,p revolvatur circa corpus longinquum ,q1 vires ill ,,nm1 ,,ml earum effectus erunt 7per ,corol4 #b4 #f4 ,prop4 ,,iv47 reciproce in duplicata ratione temporis periodici4 ,et inde si magnitudo corporis ,q proportionalis sit ipsius vi absolut1 erunt vires ill ,,nm1 ,,ml earum effectus directe ut cubus diametri apparentis longinqui corporis ,q e corpore ,s spectati1 vice versa4 ,namq2 h rationes edem sunt atq2 ratio superior composita4 ,corol4 #ae4 ,et quoniam si1 manentibus ,orbium ,,qe ,,pab forma1 proportionibus inclinatione ad invicem1 mutetur eorum magnitudo1 si corporum ,q ,s vel maneant vel mutentur vires in data quavis ratione1 h vires 7hoc est vis corporis ,s1 qua corpus ,p de recto tramite in ,orbitam ,,pab deflectere1 vis corporis ,q1 qua corpus idem ,p de ,orbita illa deviare cogitur7 agunt semper eodem modo eadem proportione3 necesse est ut similes proportionales sint effectus omnes proportionalia effectuum tempora2 hoc est1 ut errores omnes lineares sint ut ,orbium diametri1 angulares vero iidem qui prius1 errorum linearium similium vel angularium qualium tempora ut ,orbium tempora periodica4 ,corol4 #af4 ,unde1 si dentur ,orbium form inclinatio ad invicem1 mutentur utcunq2 corporum magnitudines1 vires distanti2 ex datis erroribus errorum temporibus in uno ,casu colligi possunt errores errorum tempora in alio quovis1 quam proxime3 ,sed brevius hac ,methodo4 ,vires ,,nm1 ,,ml cteris stantibus sunt ut ,radius ,,sp1 harum effectus periodici 7per ,corol4 #b1 ,lem4 ,x7 ut vires quadratum temporis periodici corporis ,p conjunctim4 ,hi sunt errores lineares corporis ,p2 hinc errores angulares e centro ,s spectati 7id est tam motus ,augis ,nodorum1 quam omnes in longitudinem latitudinem errores apparentes7 sunt in qualibet revolutione corporis ,p1 ut quadratum temporis revolutionis quam proxime4 ,conjungantur h rationes cum rationibus ,corollarii #ad4 in quolibet corporum ,s1 ,p1 ,q ,systemate1 ubi ,p circum ,s sibi propinquum1 ,s circum ,q longinquum revolvitur1 errores angulares corporis ,p1 de centro ,s apparentes1 erunt1 in singulis revolutionibus corporis illius ,p1 ut quadratum temporis periodici corporis ,p directe quadratum temporis periodici corporis ,s inverse4 ,et inde motus medius ,augis erit in data ratione ad motum medium ,nodorum2 motus uterq2 erit ut tempus periodicum corporis ,p directe quadratum temporis periodici corporis ,s inverse4 ,augendo vel minuendo ,excentricitatem ,inclinationem ,orbis ,,pab non mutantur motus ,augis ,nodorum sensibiliter1 nisi ubi edem sunt nimis magn4 ,corol4 #ag4 ,cum autem linea ,,lm nunc major si nunc minor quam radius ,,ps1 ,exponatur vis mediocris ,,lm per radium illum ,,ps1 erit hc ad vim mediocrem ,,qk vel ,,qn 7quam exponere licet per ,,qs7 ut longitudo ,,ps ad longitudinem ,,qs4 ,est autem vis mediocris ,,qn vel ,,qs1 qua corpus retinetur in orbe suo circum ,q1 ad vim qua corpus ,p retinetur in ,orbe suo circum ,s1 in ratione composita ex ratione radii ,,qs ad radium ,,ps1 ratione duplicata temporis periodici corporis ,p circum ,s ad tempus periodicum corporis ,s circum ,q4 ,et ex quo1 vis mediocris ,,lm1 ad vim qua corpus ,p retinetur in ,orbe suo circum ,s 7quave corpus idem ,p eodem tempore periodico circum punctum quodvis immobile ,s ad distantiam ,,ps revolvi posset7 est in ratione illa duplicata periodicorum temporum4 ,datis igitur temporibus periodicis una cum distantia ,,ps1 datur vis mediocris ,,lm2 ea data datur etiam vis ,,mn quamproxime per analogiam linearum ,,ps1 ,,mn4 ,corol4 #ah4 ,iisdem legibus quibus corpus ,p circum corpus ,s revolvitur1 fingamus corpora plura fluida circum idem ,s ad quales ab ipso distantias moveri2 deinde ex his contiguis factis conflari annulum fluidum1 rotundum ac corpori ,s concentricum2 singul annuli partes1 motus suos omnes ad legem corporis ,p peragendo1 propius accedent ad corpus ,s1 celerius movebuntur in ,conjunctione ,oppositione ipsarum corporis ,q1 quam in ,quadraturis4 ,et ,nodi annuli hujus seu intersectiones ejus cum plano ,orbit corporis ,q vel ,s1 quiescent in ,syzygiis2 extra ,syzygias vero movebuntur in antecedentia1 velocissime quidem in ,quadraturis1 tardius aliis in locis4 ,annuli quoq2 inclinatio variabitur1 axis ejus singulis revolutionibus oscillabitur1 completaq2 revolutione ad pristinum situm redibit1 nisi quatenus per prcessionem ,nodorum circumfertur4 ,corol4 #ai4 ,fingas jam globum corporis ,s ex materia non fluida constantem ampliari extendi usq2 ad hunc annulum1 alveo per circuitum excavato continere ,aquam1 motuq2 eodem periodico circa axem suum uniformiter revolvi4 ,hic liquor per vices acceleratus retardatus 7ut in superiore ,lemmate7 in ,syzygiis velocior erit1 in ,quadraturis tardior quam superficies ,globi1 sic fluet in alveo refluetq2 ad modum ,maris4 ,aqua revolvendo circa ,globi centrum quiescens1 si tollatur attractio ,q1 nullum acquiret motum fluxus refluxus4 ,par est ratio ,globi uniformiter progredientis in directum interea revolventis circa centrum suum 7per ,legum ,corol4 #e7 ut ,globi de cursa rectilineo uniformiter tracti 7per ,legum ,corol4 #f47 ,accedat autem corpus ,q1 ab ipsius inquabili attractione mox turbabitur ,aqua4 ,etenim major erit attractio aqu propioris1 minor ea remotioris4 ,vis autem ,,lm trahet aquam deorsum in ,quadraturis1 facietq2 ipsam descendere usq2 ad ,syzygias2 vis ,,kl trahet eandem sursum in ,syzygiis1 sistetq2 descensum ejus faciet ipsam ascendere usq2 ad ,quadraturas4 ,corol4 #bj4 ,si annulus jam rigeat minuatur ,globus1 cessabit motus fluendi refluendi2 sed ,oscillatorius ille inclinationis motus prcessio ,nodorum manebunt4 ,habeat ,globus eundem axem cum annulo1 gyrosq2 compleat iisdem temporibus1 superficie sua contingat ipsum interius1 eiq2 inhreat2 participando motum ejus1 compages utriusq2 ,oscillabitur ,nodi regredientur4 ,nam ,globus1 ut mox dicetur1 ad suscipiendas impressiones omnes indifferens est4 ,annuli ,globo orbati maximus inclinationis angulus est ubi ,nodi sunt in ,syzygiis4 ,inde in progressu ,nodorum ad ,quadraturas conatur is inclinationem suam minuere1 isto conatu motum imprimit ,globo toti4 ,retinet ,globus motum impressum usq2 dum annulus conatu contrario motum hunc tollat1 imprimatq2 motum novum in contrariam partem3 ,atq2 hac ratione maximus decrescentis inclinationis motus fit in ,quadraturis ,nodorum1 minimus inclinationis angulus in ,octantibus post ,quadraturas2 dein maximus reclinationis motus in ,syzygiis maximus angulus in ,octantibus proximis4 ,et eadem est ratio ,globi annulo nudati1 qui in regionibus quatoris vel altior est paulo quam juxta polos1 vel constat ex materia paulo densiore4 ,supplet enim vicem annuli iste materi in quatoris regionibus excessus4 ,et quanquam1 aucta utcunq2 ,globi hujus vi centripeta1 tendere supponantur omnes ejus partes deorsum1 ad modum gravitantium partium telluris1 tamen ,phnomena hujus prcedentis ,corollarii vix inde mutabuntur4 ,corol4 #ba4 ,eadem ratione qua materia ,globi juxta quatorem redundans efficit ut ,nodi regrediantur1 atq2 adeo per hujus incrementum augetur iste regressus1 per diminutionem vero diminuitur per ablationem tollitur2 si materia plusquam redundans tollatur1 hoc est1 si ,globus juxta quatorem vel depressior reddatur vel rarior quam juxta polos1 orietur motus ,nodorum in consequentia4 ,corol4 #bb4 ,et inde vicissim ex motu ,nodorum innotescit constitutio ,globi4 ,nimirum si ,globus polos eosdem constanter servat motus fit in antecedentia1 materia juxta quatorem redundat2 si in consequentia1 deficit4 ,pone ,globum uniformem perfecte circinatum in spatiis liberis primo quiescere2 dein impetu quocunq2 oblique in superficiem suam facto propelli1 motum inde concipere partim circularem1 partim in directum4 ,quoniam ,globus iste ad axes omnes per centrum suum transeuntes indifferenter se habet1 neq2 propensior est in unum axem1 unumve axis situm1 quam in alium quemvis2 perspicuum est quod is axem suum axisq2 inclinationem vi propria nunquam mutabit4 ,impellatur jam ,globus oblique in eadem illa superficiei parte qua prius1 impulsu quocunq2 novo2 cum citior vel serior impulsus effectum nil mutet1 manifestum est quod hi duo impulsus successive impressi eundem producent motum ac si simul impressi fuissent1 hoc est eundem ac si ,globus vi simplici ex utroq2 7per ,legum ,corol4 #b47 composita impulsus fuisset1 atq2 adeo simplicem1 circa axem inclinatione datum4 ,et par est ratio impulsus secundi facti in locum alium quemvis in quatore motus primi2 ut impulsus primi facti in locum quemvis in quatore motus1 quem impulsus secundus absq2 primo generaret2 atq2 adeo impulsuum amborum factorum in loca qucunq23 ,generabunt hi eundem motum circularem ac si simul semel in locum intersectionis quatorum motuum illorum1 quos seorsim generarent1 fuissent impressi4 ,globus igitur homogeneus perfectus non retinet motus plures distinctos1 sed impressos omnes componit ad unum reducit1 quatenus in se est1 gyratur semper motu simplici uniformi circa axem unicum inclinatione semper invariabili datum4 ,sed nec vis centripeta inclinationem axis1 aut rotationis velocitatem mutare potest4 ,si ,globus plano quocunq2 per centrum suum centrum in quod vis dirigitur transeunte dividi intelligatur in duo hemisphria1 urgebit semper vis illa utrumq2 hemisphrium qualiter1 propterea ,globum quoad motum rotationis nullam in partem inclinabit4 ,addatur vero alicubi inter polum quatorem materia nova in formam montis cumulata1 hc1 perpetuo conatu recedendi a centro sui motus1 turbabit motum ,globi1 facietq2 polos ejus errare per ipsius superficiem1 circulos circum se punctumq2 sibi oppositum perpetuo describere4 ,neq2 corrigetur ista vagationis enormitas1 nisi locando montem illum vel in polo alterutro1 quo in ,casu1 per ,corol4 #ba1 ,nodi quatoris progredientur2 vel in quatore1 qua ratione1 per ,corol4 #bj1 ,nodi regredientur2 vel deniq2 ex altera axis parte addendo materiam novam1 qua mons inter movendum libretur3 hoc pacto ,nodi vel progredientur1 vel recedent1 perinde ut mons hcce nova materia sunt vel polo vel quatori propiores4 ,prop4 ,,lxvii4 ,theor4 ,,xxvii4 ,positis iisdem attractionum legibus1 dico quod corpus exterius ,q1 circa interiorum ,p1 ,s commune ,gravitatis centrum ,c1 radiis ad centrum illud ductis1 describit areas temporibus magis proportionales ,orbem ad formam ,ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem1 quam circa corpus intimum maximum ,s1 radiis ad ipsum ductis1 describere potest4 ,nam corporis ,q attractiones versus ,s ,p componunt ipsius attractionem absolutam1 qu magis dirigitur in corporum ,s ,p commune gravitatis centrum ,c1 quam in corpus maximum ,s1 quq2 quadrato distanti ,,qc magis est proportionalis reciproce1 quam quadrato distanti ,,qs3 ut rem perpendenti facile constabit4 ,prop4 ,,lxviii4 ,theor4 ,,xxviii4 ,positis iisdem attractionum legibus1 dico quod corpus exterius ,q circa interiorum ,p ,s commune gravitatis centrum ,c1 radiis ad centrum illud ductis1 describit areas temporibus magis proportionales1 ,orbem ad formam ,ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem1 si corpus intimum maximum his attractionibus perinde atq2 ctera agitetur1 quam si id vel non attractum quiescat1 vel multo magis aut multo minus attractum aut multo magis aut multo minus agitetur4 ,illustration ,demonstratur eodem fere modo cum ,prop4 ,,lxvi1 sed argumento prolixiore1 quod ideo prtereo4 ,suffecerit rem sic stimare4 ,ex demonstratione ,propositionis novissim liquet centrum in quod corpus ,q conjunctis viribus urgetur1 proximum esse communi centro gravitatis illorum duorum4 ,si coincideret hoc centrum cum centro illo communi1 quiesceret commune centrum gravitatis corporum trium2 describerent corpus ,q ex una parte1 commune centrum aliorum duorum ex altera parte1 circa commune omnium centrum quiescens1 ,ellipses accuratas4 ,liquet hoc per ,corollarium secundum ,propositionis ,,lviii4 collatum cum demonstratis in ,prop4 ,,lxiv4 ,,lxv4 ,perturbatur iste motus ,ellipticus aliquantulum per distantiam centri duorum a centro in quod tertium ,q attrahitur4 ,detur prterea motus communi trium centro1 augebitur perturbatio4 ,proinde minima est perturbatio1 ubi commune trium centrum quiescit1 hoc est ubi corpus intimum maximum ,s lege cterorum attrahitur3 fitq2 major semper ubi trium commune illud centrum1 minuendo motum corporis ,s1 moveri incipit magis deinceps magisq2 agitatur4 ,corol4 ,et hinc si corpora plura minora revolvantur circa maximum1 colligere licet quod ,orbit descript propius accedent ad ,ellipticas1 arearum descriptiones fient magis quabiles1 si corpora omnia viribus acceleratricibus1 qu sunt ut eorum vires absolut directe quadrata distantiarum inverse1 se mutuo trahant agitentq21 ,orbit cujusq2 umbilicus collocetur in communi centro gravitatis corporum omnium interiorum 7nimirum umbilicus ,orbit prim intim in centro gravitatis corporis maximi intimi2 ille ,orbit secund1 in communi centro gravitatis corporum duorum intimorum2 iste terti1 in communi centro gravitatis trium interiorum sic deinceps7 quam si corpus intimum quiescat statuatur communis umbilicus orbitarum ,omnium4 ,prop4 ,,lxix4 ,theor4 ,,xxix4 ,in ,systemate corporum plurium ,a1 ,b1 ,c1 ,d c4 si corpus aliquod ,a trahit ctera omnia ,b1 ,c1 ,d c4 viribus acceleratricibus qu sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente2 corpus aliud ,b trahit etiam ctera ,a1 ,c1 ,d c4 viribus qu sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente3 erunt absolut corporum trahentium ,a1 ,b vires ad invicem1 ut sunt ipsa corpora ,a1 ,b1 quorum sunt vires4 ,nam attractiones acceleratrices corporum omnium ,b1 ,c1 ,d versus ,a1 paribus distantiis1 sibi invicem quantur ex hypothesi1 similiter attractiones acceleratrices corporum omnium versus ,b1 paribus distantiis1 sibi invicem quantur4 ,est autem absoluta vis attractiva corporis ,a ad vim absolutam attractivam corporis ,b1 ut attractio acceleratrix corporum omnium versus ,a ad attractionem acceleratricem corporum omnium versus ,b1 paribus distantiis2 ita est attractio acceleratrix corporis ,b versus ,a1 ad attractionem acceleratricem corporis ,a versus ,b4 ,sed attractio acceleratrix corporis ,b versus ,a est ad attractionem acceleratricem corporis ,a versus ,b1 ut massa corporis ,a ad massam corporis ,b2 propterea quod vires motrices1 qu 7per ,definitionem secundam1 septimam octavam7 ex viribus acceleratricibus in corpora attracta ductis oriuntur1 sunt 7per motus ,legem tertiam7 sibi invicem quales4 ,ergo absoluta vis attractiva corporis ,a est ad absolutam vim attractivam corporis ,b1 ut massa corporis ,a ad massam corporis ,b4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si singula ,systematis corpora ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 c4 seorsim spectata trahant ctera omnia viribus acceleratricibus qu sint reciproce ut ,quadrata distantiarum a trahente2 erunt corporum illorum omnium vires absolut ad invicem ut sunt ipsa corpora4 ,corol4 #b4 ,eodem argumento1 si singula ,systematis corpora ,a1 ,b1 ,c1 ,d c4 seorsim spectata trahant ctera omnia viribus acceleratricibus qu sunt vel reciproce vel directe in ratione dignitatis cujuscunq2 distantiarum a trahente1 quve secundum legem quamcunq2 communem ex distantiis ab unoquoq2 trahente definiuntur2 constat quod corporum illorum vires absolut sunt ut corpora4 ,corol4 #c4 ,in ,systemate corporum1 quorum vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum1 si minora circa maximum in ,ellipsibus umbilicum communem in maximi illius centro habentibus quam fieri potest accuratissimis revolvantur1 radiis ad maximum illud ductis describant areas temporibus quam maxime proportionales3 erunt corporum illorum vires absolut ad invicem1 aut accurate aut quamproxime in ratione corporum2 contra4 ,patet per ,corol4 ,prop4 ,,lxviii4 collatum cum hujus ,corol4 #a4 ,scholium4 ,his ,propositionibus manuducimur ad analogiam inter vires centripetas corpora centralia1 ad qu vires ill dirigi solent4 ,rationi enim consentaneum est1 ut vires qu ad corpora diriguntur pendeant ab eorundem natura quantitate1 ut fit in ,magneticis4 ,et quoties hujusmodi casus incidunt1 stimand erunt corporum attractiones1 assignando singulis eorum particulis vires proprias1 colligendo summas virium4 ,vocem attractionis hic generaliter usurpo pro corporum conatu quocunq2 accedendi ad invicem2 sive conatus iste fiat ab actione corporum vel se mutuo petentium1 vel per ,spiritus emissos se invicem agitantium1 sive is ab actione theris aut ,aeris mediive cujuscunq2 seu corporei seu incorporei oriatur corpora innatantia in se invicem utcunq2 impellentis4 ,eodem sensu generali usurpo vocem impulsus1 non species virium qualitates physicas1 sed quantitates proportiones ,mathematicas in hoc ,tractatu expendens2 ut in ,definitionibus explicui4 ,in ,mathesi investigand sunt virium quantitates rationes ill1 qu ex conditionibus quibuscunq2 positis consequentur3 deinde ubi in ,physicam descenditur1 conferend sunt h rationes cum ,phnomenis1 ut innotescat qunam virium conditiones singulis corporum attractivorum generibus competant4 ,et tum demum de virium speciebus1 causis rationibus physicis tutius disputare licebit4 ,videamus igitur quibus viribus corpora ,sphrica1 ex particulis modo jam exposito attractivis constantia1 debeant in se mutuo agere1 quales motus inde consequantur4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,xii4 ,de ,corporum ,sphricorum ,viribus attractivis4 ,prop4 ,,lxx4 ,theor4 ,,xxx4 ,illustration ,si ad ,sphric superficiei puncta singula tendant vires quales centripet decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis3 dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus nullam in partem attrahitur4 ,sit ,,hikl superficies illa ,sphrica1 ,p corpusculum intus constitutum4 ,per ,p agantur ad hanc superficiem line du ,,hk1 ,,il1 arcus quam minimos ,,hi1 ,,kl intercipientes2 ob triangula ,,hpi1 ,,lpk 7per ,corol4 #c4 ,lem4 ,,vii47 similia1 arcus illi erunt distantiis ,,hp1 ,,lp proportionales1 superficiei ,sphric particul quvis1 ad ,,hi ,,kl rectis per punctum ,p transeuntibus undiq2 terminat1 erunt in duplicata illa ratione4 ,ergo vires harum particularum in corpus ,p exercit sunt inter se aquales4 ,sunt enim ut particul directe quadrata distantiarum inverse4 ,et h du rationes componunt rationem qualitatis4 ,attractiones igitur in contrarias partes qualiter fact se mutuo destruunt4 ,et simili argumento attractiones omnes per totam ,sphricam superficiem a contrariis attractionibus destruuntur4 ,proinde corpus ,p nullam in partem his attractionibus impellitur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxi4 ,theor4 ,,xxxi4 ,iisdem positis1 dico quod corpusculum extra ,sphricam superficiem constitutum attrahitur ad centrum ,sphr1 vi reciproce proportionali quadrato distanti su ab eodem centro4 ,illustration ,sint ,,ahkb1 ahkb quales du superficies ,sphric1 centris ,s1 s1 diametris ,,ab1 ab descript1 ,p1 p corpuscula sita extrinsecus in diametris illis productis4 ,agantur a corpusculis line ,,phk1 ,,pil1 phk1 pil1 auferentes a circulis maximis ,,ahb1 ahb1 quales arcus quam minimos ,,hk1 hk ,,hl1 hl3 ,et ad eas demittantur perpendicula ,,sd1 sd2 ,,se1 se2 ,,ir1 ir2 quorum ,,sd1 sd secent ,,pl1 pl in ,f f4 ,demittantur etiam ad diametros perpendicula ,,iq1 iq2 ob quales ,,ds ds1 ,,es es1 angulos evanescentes ,,dpe dpe1 line ,,pe1 ,,pf pe1 pf lineol ,,df1 df pro qualibus habeantur3 quippe quarum ratio ultima1 angulis illis ,,dpe1 dpe simul evanescentibus1 est qualitatis4 ,his itaq2 constitutis1 erit ,,pi ad ,,pf ut ,,ri ad ,,df1 pf ad pi ut ,,df vel df ad ri2 ex quo ,,pi pf ad ,,pf pi ut ,,ri ad ri1 hoc est 7per ,corol4 #c4 ,lem4 ,,vii47 ut arcus ,,ih ad arcum ih4 ,rursus ,,pi ad ,,ps ut ,,iq ad ,,se1 ps ad pi ut ,,se vel se ad iq2 ex quo ,,pi ps ad ,,ps pi ut ,,iq ad iq4 ,et conjunctis rationibus ,,pi quad4 pf ps ad pi quad4 ,,pf ,,ps1 ut ,,ih ,,iq ad ih iq2 hoc est1 ut superficies circularis1 quam arcus ,,ih convolutione semicirculi ,,akb circa diametrum ,,ab describet1 ad superficiem circularem1 quam arcus ih convolutione semicirculi akb circa diametrum ab describet4 ,et vires1 quibus h superficies secundum lineas ad se tendentes attrahunt corpuscula ,p p1 sunt 7per ,hypothesin7 ut ips superficies applicat ad quadrata distantiarum suarum a corporibus1 hoc est1 ut pf ps ad ,,pf ,,ps4 ,suntq2 h vires ad ipsarum partes obliquas qu 7facta per ,legum ,corol4 #b resolutione virium7 secundum lineas ,,ps1 ps ad centra tendunt1 ut ,,pi ad ,,pq1 pi ad pq2 id est 7ob similia triangula ,,piq ,,psf1 piq psf7 ut ,,ps ad ,,pf ps ad pf4 ,unde ex quo fit attractio corpusculi hujus ,p versus ,s ad attractionem corpusculi p versus s1 ut ,,pf pf ps ,,ps ad pf ,,pf ,,ps ps1 hoc es ut ps quad4 ad ,,ps quad4 ,et simili argumento vires1 quibus superficies convolutione arcuum ,,kl1 kl descript trahunt corpuscula1 erunt ut ps quad4 ad ,,ps quad42 inq2 eadem ratione erunt vires superficierum omnium circularium in quas utraq2 superficies ,sphrica1 capiendo semper sd ,,sd se ,,se1 distingui potest4 ,et per ,compositionem1 vires totarum superficierum ,sphricarum in corpuscula exercit erunt in eadem ratione4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxii4 ,theor4 ,,xxxii4 ,si ad ,spher cujusvis puncta singula tendant vires quales centripet decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis1 ac detur ratio diametri ,spher ad distantiam corpusculi a centro ejus2 dico quod vis qua corpusculum attrahitur proportionalis erit semi-diametro ,sphr4 ,nam concipe corpuscula duo seorsim a ,sphris duabus attrahi1 distantias a centris proportionales esse diametris1 ,sphras autem resolvi in particulas similes similiter positas ad corpuscula4 ,hinc attractiones corpusculi unius1 fact versus singulas particulas ,sphr unius1 erunt ad attractiones alterius versus analogas totidem particulas ,sphr alterius1 in ratione composita ex ratione particularum directe ratione duplicata distantiarum inverse4 ,sed particul sunt ut ,sphr1 hoc est in ratione triplicata diametrorum1 distanti sunt ut diametri1 ratio prior directe una cum ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si corpuscula in circulis circa ,sphras ex materia qualiter attractiva constantes revolvantur1 sintq2 distanti a centris ,sphrarum proportionales earundem diametris2 tempora periodica erunt qualia4 ,corol4 #b4 ,et vice versa1 si tempora periodica sunt qualia2 distanti erunt proportionales diametris4 ,constant hc duo per ,corol4 #c4 ,theor4 ,,iv4 ,prop4 ,,lxxiii4 ,theor4 ,,xxxiii4 ,illustration ,si ad sphr alicujus dat puncta singula tendant quales vires centripet decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis3 dico quod corpusculum intra ,sphram constitutum attrahitur vi proportionali distanti su ab ipsius centro4 ,in ,sphra ,,abcd1 centro ,s descripta1 locetur corpusculum ,p1 centro eodem ,s intervallo ,,sp concipe ,sphram interiorem ,,peqf describi4 ,manifestum est1 per ,theor4 ,,xxx4 quod ,sphric superficies concentric1 ex quibus ,sphrarum differentia ,,aebf componitur1 attractionibus per attractiones contrarias destructis1 nil agunt in corpus ,p4 ,restat sola attractio ,sphr interioris ,,peqf4 ,et per ,theor4 ,,xxxii1 hc est ut distantia ,,ps4 ,q4 ,e4 ,d4 ,scholium4 ,superficies ex quibus solida componuntur1 hic non sunt pure ,mathematic1 sed ,orbes adeo tenues ut eorum crassitudo instar nihili sit2 nimirum ,orbes evanescentes ex quibus ,sphra ultimo constat1 ubi ,orbium illorum numerus augetur crassitudo minuitur in infinitum1 juxta ,methodum sub initio in ,lemmatis generalibus expositam4 ,similiter per puncta1 ex quibus line1 superficies solida componi dicuntur1 intelligend sunt particul quales magnitudinis contemnend4 ,prop4 ,,lxxiv4 ,theor4 ,,xxxiv4 ,iisdem positis1 dico quod corpusculum extra ,sphram constitutum attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distanti su ab ipsius centro4 ,nam distinguatur ,sphra in superficies ,sphricas innumeras concentricas1 attractiones corpusculi a singulis superficiebus oriund erunt reciproce proportionales quadrato distanti corpusculi a centro1 per ,theor4 ,,xxxi4 ,et componendo1 fiet summa attractionum1 hoc est attractio ,sphr totius1 in eadem ratione4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc in qualibus distantiis a centris homogenearum ,sphrarum1 attractiones sunt ut ,sphr4 ,nam per ,theor4 ,,xxxii4 si distanti sunt proportionales diametris ,sphrarum1 vires erunt ut diametri4 ,minuatur distantia major in illa ratione1 distantiis jam factis qualibus1 augebitur attractio in duplicata illa ratione1 adeoq2 erit ad attractionem alteram in triplicata illa ratione1 hoc est in ratione ,sphrarum4 ,corol4 #b4 ,in distantiis quibusvis attractiones sunt ut ,sphr applicat ad quadrata distantiarum4 ,corol4 #c4 ,si corpusculum extra ,sphram homogeneam positum trahitur vi reciproce proportionali quadrato distanti su ab ipsius centro1 constet autem ,sphra ex particulis attractivis2 decrescet vis particul cujusq2 in duplicata ratione distanti a particula4 ,prop4 ,,lxxv4 ,theor4 ,,xxxv4 ,si ad ,sphr dat puncta singula tendant vires quales centripet decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis1 dico quod ,sphra quvis alia similaris attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distanti centrorum4 ,nam particul cujusvis attractio est reciproce ut quadratum distanti ejus a centro ,sphr trahentis1 7per ,theor4 ,,xxxi17 propterea eadem est ac si vis tota attrahens manaret de corpusculo unico sito in centro hujus ,sphr4 ,hc autem attractio tanta est quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem1 si modo illud a singulis ,sphr attract particulis eadem vi traheretur qua ipsas attrahit4 ,foret autem illa corpusculi attractio 7per ,theor4 ,,xxxiv7 reciproce proportionalis quadrato distanti ejus a centro ,sphr2 adeoq2 huic qualis attractio ,sphr est in eadem ratione4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,attractiones ,sphrarum1 versus alias ,sphras homogeneas1 sunt ut ,sphr trahentes applicat ad quadrata distantiarum centrorum suorum a centris earum quas attrahunt4 ,corol4 #b4 ,idem valet ubi ,sphra attracta etiam attrahit4 ,namq2 hujus puncta singula trahent singula alterius1 eadem vi qua ab ipsis vicissim trahuntur1 adeoq2 cum in omni attractione urgeatur 7per ,legem #c47 tam punctum attrahens1 quam punctum attractum1 geminabitur vis attractionis mutu1 conservatis proportionibus4 ,corol4 #c4 ,eadem omnia1 qu superius de motu corporum circa umbilicum ,conicarum ,sectionum demonstrata sunt1 obtinent ubi ,sphra attrahens locatur in umbilico corpora moventur extra ,sphram4 ,corol4 #d4 ,ea vero qu de motu corporum circa centrum ,conicarum ,sectionum demonstrantur1 obtinent ubi motus peraguntur intra ,sphram4 ,prop4 ,,lxxvi4 ,theor4 ,,xxxvi4 ,si ,sphr in progressu a centro ad circumferentiam 7quod materi densitatem vim attractivam7 utcunq2 dissimilares1 in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt undiq2 similares1 vis attractiva puncti cujusq2 decrescit in duplicata ratione distanti corporis attracti3 dico quod vis tota qua hujusmodi ,sphra una attrahit aliam sit reciproce proportionalis quadrato distanti centrorum4 ,illustration ,sunto ,sphr quotcunq2 concentric similares ,,ab1 ,,cd1 ,,ef c4 quarum interiores addit exterioribus componant materiam densiorem versus centrum1 vel subduct relinquant tenuiorem2 h1 per ,theor4 ,,xxxv1 trahent ,sphras alias quotcunq2 concentricas similares ,,gh1 ,,ik1 ,,lm1 c4 singul singulas1 viribus reciproce proportionalibus quadrato distanti ,,sp4 ,et componendo vel dividendo1 summa virium illarum omnium1 vel excessus aliquarum supra alias1 hoc est1 vis qua ,sphra tota ex concentricis quibuscunq2 vel concentricarum differentiis composita ,,ab1 trahit totam ex concentricis quibuscunq2 vel concentricarum differentiis compositam ,,gh1 erit in eadem ratione4 ,augeatur numerus ,sphrarum concentricarum in infinitum sic1 ut materi densitas una cum vi attractiva1 in progressu a circumferentia ad centrum1 secundum ,legem quamcunq2 crescat vel decrescat3 addita materia non attractiva compleatur ubivis densitas deficiens1 eo ut ,sphr acquirant formam quamvis optatam2 vis qua harum una attrahet alteram erit etiamnum 7per argumentum superius7 in eadem illa distanti quadrat ratione inversa4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si ejusmodi ,sphr complures sibi invicem per omnia similes se mutuo trahant2 attractiones acceleratrices singularum in singulas erunt in qualibus quibusvis centrorum distantiis ut ,sphr attrahentes4 ,corol4 #b4 ,inq2 distantiis quibusvis inqualibus1 ut ,sphr attrahentes applicat ad quadrata distantiarum inter centra4 ,corol4 #c4 ,attractiones vero motrices1 seu pondera ,sphrarum in ,sphras erunt1 in qualibus centrorum distantiis1 ut ,sphr attrahentes attract conjunctim1 id est1 ut contenta sub ,sphris per multiplicationem producta4 ,corol4 #d4 ,inq2 distantiis inqualibus1 ut contenta illa applicata ad quadrata distantiarum inter centra4 ,corol4 #e4 ,eadem valent ubi attractio oritur a ,sphr utriusq2 virtute attractiva1 mutuo exercita in ,sphram alteram4 ,nam viribus ambabus geminatur attractio1 proportione servata4 ,corol4 #f4 ,si hujusmodi ,sphr aliqu circa alias quiescentes revolvantur1 singul circa singulas1 sintq2 distanti inter centra revolventium quiescentium proportionales quiescentium diametris2 qualia erunt tempora periodica4 ,corol4 #g4 ,et vicissim1 si tempora periodica sunt qualia1 distanti erunt proportionales diametris4 ,corol4 #h4 ,eadem omnia1 qu superius de motu corporum circa umbilicos ,conicarum ,sectionum demonstrata sunt1 obtinent ubi ,sphra attrahens1 form conditionis cujusvis jam descript1 locatur in umbilico4 ,corol4 #i4 ,ut ubi gyrantia sunt etiam ,sphr attrahentes1 conditionis cujusvis jam descript4 ,prop4 ,,lxxvii4 ,theor4 ,,xxxvii4 ,si ad singula ,sphrarum puncta tendant vires centripet proportionales distantiis punctorum a corporibus attractis3 dico quod vis composita1 qua ,sphr du se mutuo trahent1 est ut distantia inter centra ,sphrarum4 ,illustration ,cas4 #a4 ,sit ,,acbd ,sphra1 ,s centrum ejus1 ,p corpusculum attractum1 ,,pasb axis ,sphr per centrum corpusculi transiens1 ,,ef1 ef plana duo quibus ,sphra secatur1 huic axi perpendicularia1 hinc inde qualiter distantia a centro ,sphr2 ,gg intersectiones planorum axis1 ,h punctum quodvis in plano ,,ef4 ,puncti ,h vis centripeta in corpusculum ,p secundum lineam ,,ph exercita est ut distantia ,,ph1 7per ,legum ,corol4 #b47 secundum lineam ,,pg1 seu versus centrum ,s1 ut longitudo ,,pg4 ,igitur punctorum omnium in plano ,,ef1 hoc est plani totius vis1 qua corpusculum ,p trahitur versus centrum ,s1 est ut numerus punctorum ductus in distantiam ,,pg3 id est ut contentum sub plano ipso ,,ef distantia illa ,,pg4 ,et similiter vis plani ef1 qua corpusculum ,p trahitur versus centrum ,s1 est ut planum illud ductum in distantiam suam ,pg2 sive ut huic quale planum ,,ef ductum in distantiam illam ,pg2 summa virium plani utriusq2 ut planum ,,ef ductum in summam distantiarum ,,pg ,pg1 id est1 ut planum illud ductum in duplam centri corpusculi distantiam ,,ps1 hoc est1 ut duplum planum ,,ef ductum in distantiam ,,ps1 vel ut summa qualium planorum ,,ef ef ducta in distantiam eandem4 ,et simili argumento1 vires omnium planorum in ,sphra tota1 hinc inde qualiter a centro ,sphr distantium1 sunt ut summa planorum ducta in distantiam ,,ps1 hoc est1 ut ,sphra tota ducta in distantiam centri sui ,s a corpusculo ,p4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,trahat jam corpusculum ,p ,sphram ,,acbd4 ,et eodem argumento probabitur quod vis1 qua ,sphra illa trahitur1 erit ut distantia ,,ps4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #c4 ,componatur jam ,sphra altera ex corpusculis innumeris ,p2 quoniam vis1 qua corpusculum unumquodq2 trahitur1 est ut distantia corpusculi a centro ,sphr prim ducta in ,sphram eandem1 atq2 adeo eadem est ac si prodiret tota de corpusculo unico in centro ,sphr2 vis tota qua corpuscula omnia in ,sphra secunda trahuntur1 hoc est1 qua ,sphra illa tota trahitur1 eadem erit ac si ,sphra illa traheretur vi prodeunte de corpusculo unico in centro ,sphr prim1 propterea proportionalis est distanti inter centra ,sphrarum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #d4 ,trahant ,sphr se mutuo1 vis geminata proportionem priorem servabit4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #e4 ,locetur jam corpusculum p intra ,sphram ,,acbd1 quoniam vis plani ef in corpusculum est ut contentum sub plano illo distantia pg2 vis contraria plani ,,ef ut contentum sub plano illo distantia p,g2 erit vis ex utraq2 composita ut differentia contentorum1 hoc est1 ut summa qualium planorum ducta in semissem differenti distantiarum1 id est1 ut summa illa ducta in p,s1 distantiam corpusculi a centro ,sphr4 ,et simili argumento attractio planorum omnium ,,ef1 ef in ,sphra tota1 hoc est attractio ,sphr totius1 est ut summa planorum omnium1 seu ,sphra tota1 ducta in p,s distantiam corpusculi a centro ,sphr4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #f4 ,et si ex corpusculis innumeris p componatur ,sphra nova intra ,sphram priorem ,,acbd sita1 probabitur ut prius1 quod attractio1 sive simplex ,sphr unius in alteram1 sive mutua utriusq2 in se invicem1 erit ut distantia centrorum p,s4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxviii4 ,theor4 ,,xxxviii4 ,si ,sphr in progressu a centro ad circumferentiam sint utcunq2 dissimilares inquabiles1 in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sint undiq2 similares2 vis attractiva puncti cujusq2 sit ut distantia corporis attracti3 dico quod vis tota qua hujusmodi ,sphr du se mutuo trahunt sit proportionalis distanti inter centra ,sphrarum4 ,demonstratur ex ,propositione prcedente1 eodem modo quo ,propositio ,,lxxvii4 ex ,propositione ,,lxxv4 demonstrata fuit4 ,corol4 ,qu superius in ,propositionibus ,x4 ,,lxiv4 de motu corporum circa centra ,conicarum ,sectionum demonstrata sunt1 valent ubi attractiones omnes fiunt vi ,corporum ,sphricorum1 conditionis jam descript1 suntq2 corpora attracta ,sphr conditionis ejusdem4 ,scholium4 ,attractionum ,casus duos insigniores jam dedi expositos2 nimirum ubi vires centripet decrescunt in duplicata distantiarum ratione1 vel crescunt in distantiarum ratione simplici2 efficientes in utroq2 ,casu ut corpora gyrentur in ,conicis ,sectionibus1 componentes corporum ,sphricorum vires centripetas eadem lege in recessu a centro decrescentes vel crescentes cum seipsis4 ,quod est notatu dignum4 ,casus cteros1 qui conclusiones minus elegantes exhibent1 sigillatim percurrere longum esset3 ,malim cunctos methodo generali simul comprehendere ac determinare1 ut sequitur4 ,lemma ,,xxix4 ,si describantur centro ,s circulus quilibet ,,aeb1 7,vide ,fig4 ,prop4 sequentis7 centro ,p circuli duo ,,ef1 ef1 secantes priorem in ,e1 e1 lineamq2 ,,ps in ,f1 f2 ad ,,ps demittantur perpendicula ,,ed1 ed3 dico quod si distantia arcuum ,,ef1 ef in infinitum minui intelligatur1 ratio ultima line evanescentis ,dd ad lineam evanescentem ,ff ea sit1 qu line ,,pe ad lineam ,,ps4 ,nam si linea ,pe secet arcum ,,ef in q2 recta ,ee1 qu cum arcu evanescente ,ee coincidit1 producta occurrat rect ,,ps in ,t2 ab ,s demittatur in ,,pe normalis ,,sg3 ob similia triangula ,,edt1 edt1 ,,eds2 erit ,dd ad ,ee1 ut ,,dt ad ,,et seu ,,de ad ,,es1 ob triangula ,eqe1 ,,esg 7per ,lem4 ,,viii4 ,corol4 #c4 ,lem4 ,,vii47 similia1 erit ,ee ad qe seu ,ff1 ut ,,es ad ,,sg1 ex quo ,dd ad ,ff ut ,,de ad ,,sg2 hoc est 7ob similia triangula ,,pde1 ,,pgs7 ut ,,pe ad ,,ps4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxix4 ,theor4 ,,xxxix4 ,si superficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evanescens ,e,ffe1 convolutione sui circa axem ,,ps1 describat solidum ,sphricum concavo-convexum1 ad cujus particulas singulas quales tendant quales vires centripet3 dico quod vis1 qua solidum illud trahit corpusculum situm in ,p1 est in ratione composita ex ratione solidi ,d,eq4 ,ff ratione vis qua particula data in loco ,ff traheret idem corpusculum4 ,illustration ,nam si primo consideremus vim superficiei ,sphric ,,fe1 qu convolutione arcus ,,fe generatur1 linea de ubivis secatur in r2 erit superficiei pars annularis1 convolutione arcus r,e genita1 ut lineola ,dd1 manente ,sphr radio ,,pe1 7uti demonstravit ,archimedes in ,lib4 de ,sphra ,cylindro47 ,et hujus vis secundum lineas ,,pe vel ,pr undiq2 in superficie conica sitas exercita1 ut hc ipsa superficiei pars annularis2 hoc est1 ut lineola ,dd1 vel quod perinde est1 ut rectangulum sub dato ,sphr radio ,,pe lineola illa ,dd3 at secundum lineam ,,ps ad centrum ,s tendentem minor1 in ratione ,,pd ad ,,pe1 adeoq2 ut ,,pd ,dd4 ,dividi jam intelligatur linea ,,df in particulas innumeras quales1 qu singul nominentur ,dd2 superficies ,,fe dividetur in totidem quales annulos1 quorum vires erunt ut summa omnium ,,pd ,dd1 hoc est1 cum lineol omnes ,dd sibi invicem quentur1 adeoq2 pro datis haberi possint1 ut summa omnium ,,pd ducta in ,dd1 id est1 ut ,p,fq4 - ,p,dq4 sive ,p,eq4 - ,p,dq4 vel ,d,eq4 ductum in ,dd2 hoc est1 si negligatur data ,dd1 ut ,,de quad4 ,ducatur jam superficies ,,fe in altitudinem ,ff2 fiet solidi ,e,ffe vis exercita in corpusculum ,p ut ,d,eq4 ,ff3 puta si detur vis quam particula aliqua data ,ff in distantia ,,pf exercet in corpusculum ,p4 ,at si vis illa non detur1 fiet vis solidi ,e,ffe ut solidum ,d,eq4 ,ff vis illa non data conjunctim4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxx4 ,theor4 ,,xl4 ,si ad ,sphr alicujus ,,aeb1 centro ,s descript1 particulas singulas quales tendant quales vires centripet1 ad ,sphr axem ,,ab1 in quo corpusculum aliquod ,p locatur1 erigantur de punctis singulis ,d perpendicula ,,de1 ,sphr occurrentia in ,e1 in ipsis capiantur longitudines ,,dn1 qu sint ut quantitas ,d,eq4 ,,ps ,,pe vis quam ,sphr particula sita in axe ad distantiam ,,pe exercet in corpusculum ,p conjunctim3 dico quod vis tota1 qua corpusculum ,p trahitur versus ,sphram1 est ut area comprehensa sub axe ,sphr ,,ab linea curva ,,anb1 quam punctum ,n perpetuo tangit4 ,etenim stantibus qu in ,lemmate ,theoremate novissimo constructa sunt1 concipe axem ,sphr ,,ab dividi in particulas innumeras quales ,dd1 ,sphram totam dividi in totidem laminas ,sphricas concavo-convexas ,e,ffe2 erigatur perpendiculum dn4 ,per ,theorema superius1 vis qua lamina ,e,ffe trahit corpusculum ,p est ut ,d,eq4 ,ff vis particul unius ad distantiam ,,pe vel ,,pf exercita conjunctim4 ,est autem per ,lemma novissimum1 ,dd ad ,ff ut ,,pe ad ,,ps1 inde ,ff qualis ,,ps ,dd ,,pe2 ,d,eq4 ,ff quale ,dd in ,d,eq4 ,,ps ,,pe1 propterea vis lamin ,e,ffe est ut ,dd in ,d,eq4 ,,ps ,,pe vis particul ad distantiam ,,pf exercita conjunctim1 hoc est 7ex ,hypothesi7 ut ,,dn ,dd1 seu area evanescens ,d,nnd4 ,sunt igitur laminarum omnium vires in corpus ,p exercit1 ut are omnes ,d,nnd1 hoc est ,sphr vis tota ut area tota ,,abna4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si vis centripeta1 ad particulas singulas tendens1 eadem semper maneat in omnibus distantiis1 fiat ,,dn ut ,d,eq4 ,,ps ,,pe3 erit vis tota qua corpusculum a ,sphra attrahitur1 ut area ,,abna4 ,corol4 #b4 ,si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia corpusculi a se attracti1 fiat ,,dn ut ,d,eq4 ,,ps ,p,eq43 erit vis qua corpusculum ,p a ,sphra tota attrahitur ut area ,,abna4 ,corol4 #c4 ,si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distanti corpusculi a se attracti1 fiat ,,dn ut ,d,eq4 ,,ps ,p,eqq43 erit vis qua corpusculum a tota ,sphra attrahitur ut area ,,abna4 ,corol4 #d4 ,et universaliter si vis centripeta ad singulas ,sphr particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas ,v1 fiat autem ,,dn ut ,d,eq4 ,,ps ,,pe ,v2 erit vis qua corpusculum a ,sphra tota attrahitur ut area ,,abna4 ,prop4 ,,lxxxi4 ,prob4 ,,xli4 ,illustration ,stantibus jam positis1 mensuranda est ,area ,,abna4 ,a puncto ,p ducatur recta ,,ph ,sphram tangens in ,h1 ad axem ,,pab demissa ,normali ,,hi1 bisecetur ,,pi in ,l2 erit 7per ,prop4 #ab1 ,lib4 #b4 ,elem47 ,p,eq4 quale ,p,sq4 ,s,eq4 #b,,psd4 ,est autem ,s,eq4 seu ,s,hq4 7ob similitudinem triangulorum ,,sph1 ,,shi7 quale rectangulo ,,psi4 ,ergo ,p,eq4 quale est contento sub ,,ps ,,ps ,,si #b,,sd1 hoc est1 sub ,,ps #b,,ls #b,,sd1 id est1 sub ,,ps #b,,ld4 ,porro ,,de quad4 quale est ,s,eq4 - ,s,dq4 seu ,s,eq4 - ,l,sq4 #b,,sld - ,l,dq4 id est1 ,,sld - ,l,dq4 - ,,alb4 ,nam ,l,sq4 - ,s,eq4 seu ,l,sq4 - ,s,aq4 7per ,prop4 #f ,lib4 #b4 ,elem7 quatur rectangulo ,,alb4 ,scribatur itaq2 #b,,sld - ,l,dq4 - ,,alb pro ,d,eq4 quantitas ,d,eq4 ,,ps ,,pe ,v1 qu secundum ,corollarium quartum ,propositionis prcedentis est ut longitudo ordinatim applicat ,,dn1 resolvet sese in tres partes #b,,sld ,,ps ,l,dq4 ,,ps ,,alb ,,ps -------- - -------- - --------3 ,,pe ,v ,,pe ,v ,,pe ,v ,illustration ubi si pro ,v scribatur ratio inversa vis centripet1 pro ,,pe medium proportionale inter ,,ps #b,,ld2 tres ill partes evadent ordinatim applicat linearum totidem curvarum1 quarum are per ,methodos vulgatas innotescunt4 ,q4 ,e4 ,f4 ,exempl4 #a4 ,si vis centripeta ad singulas ,sphr particulas tendens sit reciproce ut distantia2 pro ,v scribe distantiam ,,pe1 dein #b,,ps ,,ld pro ,p,eq41 fiet ,,dn ut ,,sl - ,,ld - ,,alb #b,,ld4 ,pone ,,dn qualem duplo ejus #b,,sl - ,,ld - ,,alb ,,ld3 ordinat pars data #b,,sl ducta in longitudinem ,,ab describet aream rectangulam #b,,sl ,,ab2 pars indefinita ,,ld ducta normaliter in eandem longitudinem per motum continuum1 ea lege ut inter movendum crescendo vel decrescendo quetur semper longitudini ,,ld1 describet aream ,l,bq4 - ,l,aq4 #b1 id est1 aream ,,sl ,,ab2 qu subducta de area priore #b,,sl ,,ab relinquit aream ,,sl ,,ab4 ,pars autem tertia ,,alb ,,ld ducta itidem per motum localem normaliter in eandem longitudinem1 describet aream ,hyperbolicam2 qu subducta de area ,,sl ,,ab relinquet aream qusitam ,,abna4 ,unde talis emergit ,problematis constructio4 ,ad puncta ,l1 ,a1 ,b erige perpendicula ,ll1 ,aa1 ,bb1 quorum ,aa ipsi ,,lb1 ,bb ipsi ,,la quetur4 ,asymptotis ,ll1 ,,lb1 per puncta a1 b describatur ,hyperbola ab4 ,et acta chorda ba claudet aream aba are qusit ,,abna qualem4 ,illustration ,exempl4 #b4 ,si vis centripeta ad singulas ,sphr particulas tendens sit reciproce ut cubus distanti1 vel 7quod perinde est7 ut cubus ille applicatus ad planum quodvis datum2 scribe ,,pe cub4 #b;,a,sq4 pro ,v1 dein #b,,ps ,,ld pro ,p,eq42 fiet ,,dn ut ,,sl ,a,sq4 ,a,sq4 ,,alb ,a,sq4 -------- - ---- - ---------- ,,ps ,,ld #b,,ps #b,,ps ,l,dq4 id est 7ob continue proportionales ,,ps1 ,,as1 ,,si7 ut ,,lsi ,,alb ,,si --- - #a_/b,,si - --------4 ,,ld #b,l,dq4 ,si ducantur hujus partes tres in longitudinem ,,ab1 prima ,,lsi ,,ld generabit aream ,hyperbolicam2 secunda ,,si aream ,,ab ,,si2 tertia ,,alb ,,si #b,l,dq4 aream ,,alb ,,si ,,alb ,,si -------- - --------1 #b,,la #b,,lb id est ,,ab ,,si4 ,de prima subducatur summa secund ac terti1 manebit area qusita ,,abna4 ,unde talis emergit ,problematis constructio4 ,ad puncta ,l1 ,a1 ,s1 ,b erige perpendicula ,ll1 ,aa1 ,ss1 ,bb1 quorum ,ss ipsi ,,si quetur1 perq2 punctum s ,asymptotis ,ll1 ,,lb describatur ,hyperbola asb occurrens perpendiculis ,aa1 ,bb in a b2 rectangulum #b;,,asi subductum de area ,hyperbolica ,aasb,b relinquet aream qusitam ,,abna4 ,exempl4 #c4 ,si ,vis centripeta1 ad singulas ,sphr particulas tendens1 decrescit in quadruplicata ratione distanti a particulis1 scribe ,,pe#d #b;,,as#c pro ,v1 dein sqrt#b,,ps ,,ld pro ,,pe1 fiet ,,dn ut ,,sl ,,si#c_/b ,,si#c_/b ,,alb ,,si#c_/b ------------------ - ------------------- - -------------------4 sqrt#b ,,ld#c_/b #bsqrt#b ,,ld#a_/b #bsqrt#b ,,ld#e_/b ,cujus tres partes duct in longitudinem ,,ab1 producunt ,areas totidem1 viz4 sqrt#b ,,sl ,,si#c_/b sqrt#b ,,sl ,,si#c_/b ----------------------- - -----------------------1 ,,la#a_/b ,,lb#a_/b ,,lb#a_/b ,,si#c_/b - ,,la#a_/b - ,,si#c_/b ---------------------------------------- - sqrt#b ,,alb ,,si#c_/b ,,alb ,,si#c_/b ------------------- - -------------------4 #csqrt#b ,,la#c_/b #csqrt#b ,,lb#c_/b ,et h post debitam reductionem1 subductis posterioribus de priori1 evadunt #h,,si cub4 #c,,li4 ,igitur vis tota1 qua corpusculum ,p in ,sphr centrum trahitur1 est ut ,,si cub4 ,,pi1 id est reciproce ut ,,ps cub4 ,,pi4 ,q4 ,e4 ,i4 ,eadem ,methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra ,sphram1 sed expeditius per ,theorema sequens4 ,prop4 ,,lxxxii4 ,theor4 ,,xli4 ,in ,sphra centro ,s intervallo ,,sa descripta1 si capiantur ,,si1 ,,sa1 ,,sp continue proportionales3 dico quod corpusculi intra ,sphram in loco quovis ,i attractio est ad attractionem ipsius extra ,sphram in loco ,p1 in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centro ,,is1 ,,ps dimidiata ratione virium centripetarum1 in locis illis ,p ,i1 ad centrum tendentium4 ,illustration ,ut si vires centripet particularum ,sphr sint reciproce ut distanti corpusculi a se attracti2 vis1 qua corpusculum situm in ,i trahitur a ,sphra tota1 erit ad vim qua trahitur in ,p1 in ratione composita ex dimidiata ratione distanti ,,si ad distantiam ,,sp ratione dimidiata vis centripet in loco ,i1 a particula aliqua in centro oriund1 ad vim centripetam in loco ,p ab eadem in centro particula oriundam1 id est1 ratione dimidiata distantiarum ,,si1 ,,sp ad invicem reciproce4 ,h du rationes dimidiat componunt rationem qualitatis1 propterea attractiones in ,i ,p a ,sphra tota fact quantur4 ,simili computo1 si vires particularum ,sphr sunt reciproce in duplicata ratione distantiarum1 colligetur quod attractio in ,i sit ad attractionem in ,p1 ut distantia ,,sp ad ,sphr semidiametrum ,,sa3 ,si vires ill sunt reciproce in triplicata ratione distantiarum1 attractiones in ,i ,p erunt ad invicem ut ,,sp quad4 ad ,,sa quad42 si in quadruplicata1 ut ,,sp cub4 ad ,,sa cub4 ,unde cum attractio in ,p1 in hoc ultimo casu1 inventa fuit reciproce ut ,,ps cub4 ,,pi1 attractio in ,i erit reciproce ut ,,sa cub4 ,,pi1 id est 7ob datum ,,sa cub47 reciproce ut ,,pi4 ,et similis est progressus in infinitum4 ,theorema vero sic demonstratur4 ,stantibus jam ante constructis1 existente corpore in loco quovis ,p1 ordinatim applicata ,,dn inventa fuit ut ,d,eq4 ,,ps ,,pe ,v4 ,ergo si agatur ,,ie1 ordinata illa ad alium quemvis locum ,i1 mutatis mutandis1 evadet ut ,d,eq4 ,,is ,,ie ,v4 ,pone vires centripetas1 e ,sphr puncto quovis ,e manantes1 esse ad invicem in distantiis ,,ie1 ,,pe1 ut ,,pen ad ,,ien1 7ubi numerus n designet indicem potestatum ,,pe ,,ie7 ordinat ill fient ut ,d,eq4 ,,ps ,,pe ,,pen ,d,eq4 ,,is ,,ie ,,ien1 quarum ratio ad invicem est ut ,,ps ,,ie ,,ien ad ,,is ,,pe ,,pen4 ,quoniam ob similia triangula ,,spe1 ,,sei1 fit ,,ie ad ,,pe ut ,,is ad ,,se vel ,,sa2 pro ratione ,,ie ad ,,pe scribe rationem ,,is ad ,,sa2 ordinatarum ratio evadet ,,ps ,,ien ad ,,sa ,,pen4 ,sed ,,ps ad ,,sa dimidiata est ratio distantiarum ,,ps1 ,,si2 ,,ien ad ,,pen dimidiata est ratio virium in distantiis ,,ps1 ,,is4 ,ergo ordinat1 propterea are quas ordinat describunt1 hisq2 proportionales attractiones1 sunt in ratione composita ex dimidiatis illis rationibus4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxxiii4 ,prob4 ,,xlii4 ,illustration ,invenire vim qua corpusculum in centro ,sphr locatum ad ejus segmentum quodcunq2 attrahitur4 ,sit ,p corpus in centro ,sphr1 ,,rbsd segmentum ejus plano ,,rds superficie ,sphrica ,,rbs contentum4 ,superficie ,sphrica ,,efg centro ,p descripta secetur ,,db in ,f1 ac distinguatur segmentum in partes ,,brefgs1 ,,fedg4 ,sit autem superficies illa non pure ,mathematica1 sed ,physica1 profunditatem habens quam minimam4 ,nominetur ista profunditas ,o1 erit hc superficies 7per demonstrata ,archimedis7 ut ,,pf ,,df ,o4 ,ponamus prterea vires attractivas particularum ,sphr esse reciproce ut distantiarum dignitas illa cujus ,index est n2 vis qua superficies ,,fe trahit corpus ,p erit ut ,,df ,o ,,pfn - #a4 ,huic proportionale sit perpendiculum ,,fn ductum in ,o2 area curvilinea ,,bdlib1 quam ordinatim applicata ,,fn in longitudinem ,,db per motum continuum ducta describit1 erit ut vis tota qua segmentum totum ,,rbsd trahit corpus ,p4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,lxxxiv4 ,prob4 ,,xliii4 ,invenire vim qua corpusculum1 extra centrum ,sphr in axe segmenti cujusvis locatum1 attrahitur ab eodem segmento4 ,a segmento ,,ebk trahatur corpus ,p 7,vide ,fig4 ,prop4 #gi4 #hj4 #ha47 in ejus axe ,,adb locatum4 ,centro ,p intervallo ,,pe describatur superficies ,sphrica ,,efk1 qua distinguatur segmentum in partes duas ,,ebkf ,,efkd4 ,quratur vis partis prioris per ,prop4 ,,lxxxi4 vis partis posterioris per ,prop4 ,,lxxxiii42 summa virium erit vis segmenti totius ,,ebkd4 ,q4 ,e4 ,i4 ,scholium4 ,explicatis attractionibus corporum ,sphricorum1 jam pergere liceret ad leges attractionum aliorum quorundam ex particulis attractivis similiter constantium corporum2 sed ista particulatim tractare minus ad institutum spectat4 ,suffecerit ,propositiones quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum1 deq2 motibus inde oriundis1 ob eorum in rebus ,philosophicis aliqualem usum1 subjungere4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,xiii4 ,de ,corporum etiam non ,sphricorum viribus attractivis4 ,prop4 ,,lxxxv4 ,theor4 ,,xlii4 ,si corporis attracti1 ubi attrahenti contiguum est1 attractio longe fortior sit1 quam cum vel minimo intervallo separantur ab invicem3 vires particularum trahentis1 in recessu corporis attracti1 decrescunt in ratione plusquam duplicata distantiarum a particulis4 ,nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a particulis2 attractio versus corpus ,sphricum1 propterea quod 7per ,prop4 ,,lxxiv47 sit reciproce ut quadratum distanti attracti corporis a centro ,sphr1 haud sensibiliter augebitur ex contactu2 atq2 adhuc minus augebitur ex contactu1 si attractio in recessu corporis attracti decrescat in ratione minore4 ,patet igitur ,propositio de ,sphris attractivis4 ,et par est ratio ,orbium ,sphricorum concavorum corpora externa trahentium4 ,et multo magis res constat in ,orbibus corpora interius constituta trahentibus1 cum attractiones passim per ,orbium cavitates ab attractionibus contrariis 7per ,prop4 ,,lxx47 tollantur1 ideoq2 vel in ipso contactu null sunt4 ,quod si ,sphris hisce ,orbibusq2 ,sphricis partes qulibet a loco contactus remot auferantur1 partes nov ubivis addantur3 mutari possunt figur horum corporum attractivorum pro lubitu1 nec tamen partes addit vel subduct1 cum sint a loco contactus remot1 augebunt notabiliter attractionis excessum qui ex contactu oritur4 ,constat igitur ,propositio de corporibus figurarum omnium4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxxvi4 ,theor4 ,,xliii4 ,si particularum1 ex quibus corpus attractivum componitur1 vires in recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam triplicata ratione distantiarum a particulis3 attractio longe fortior erit in contactu1 quam cum attrahens attractum intervallo vel minimo separantur ab invicem4 ,nam attractionem in accessu attracti corpusculi ad hujusmodi ,sphram trahentem augeri in infinitum1 constat per solutionem ,problematis ,,xli4 in ,exemplo secundo ac tertio exhibitam4 ,idem1 per ,exempla illa ,theorema ,,xli inter se collata1 facile colligitur de attractionibus corporum versus ,orbes concavo-convexos1 sive corpora attracta collocentur extra ,orbes1 sive intra in eorum cavitatibus4 ,sed addendo vel auferendo his ,sphris ,orbibus ubivis extra locum contactus materiam quamlibet attractivam1 eo ut corpora attractiva induant figuram quamvis assignatam1 constabit ,propositio de corporibus universis4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,lxxxvii4 ,theor4 ,,xliv4 ,si corpora duo sibi invicem similia ex materia qualiter attractiva constantia seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis proportionalia ad se similiter posita3 attractiones acceleratrices corpusculorum in corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpusculorum in eorum particulas totis proportionales in totis similiter positas4 ,nam si corpora distinguantur in particulas1 qu sint totis proportionales in totis similiter sit2 erit1 ut attractio in particulam quamlibet unius corporis ad attractionem in particulam correspondentem in corpore altero1 ita attractiones in particulas singulas primi corporis ad attractiones in alterius particulas singulas correspondentes2 componendo1 ita attractio in totum primum corpus ad attractionem in totum secundum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,ergo si vires attractiv particularum1 augendo distantias corpusculorum attractorum1 decrescant in ratione dignitatis cujusvis distantiarum3 attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora directe distantiarum dignitates ill inverse4 ,ut si vires particularum decrescant in ratione duplicata distantiarum a corpusculis attractis1 corpora autem sint ut ,a cub4 ,b cub4 adeoq2 tum corporum latera cubica1 tum corpusculorum attractorum distanti a corporibus1 ut ,a ,b3 attractiones acceleratrices in corpora erunt ut ,a cub4 ,a quad4 ,b cub4 ,b quad4 id est1 ut corporum latera illa cubica ,a ,b4 ,si vires particularum decrescant in ratione triplicata distantiarum a corpusculis attractis2 attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut ,a cub4 ,a cub4 ,b cub4 ,b cub4 id est1 quales4 ,si vires decrescant in ratione quadruplicata1 attractiones in corpora erunt ut ,a cub4 ,aqq4 ,b cub4 ,bqq4 id est1 reciproce ut latera cubica ,a ,b4 ,et sic in cteris4 ,corol4 #b4 ,unde vicissim1 ex viribus quibus corpora similia trahunt corpuscula ad se similiter posita1 colligi potest ratio decrementi virium particularum attractivarum in recessu corpusculi attracti2 si modo decrementum illud sit directe vel inverse in ratione aliqua distantiarum4 ,prop4 ,,lxxxviii4 ,theor4 ,,xlv4 ,si particularum qualium corporis cujuscunq2 vires attractiv sint ut distanti locorum a particulis3 vis corporis totius tendet ad ipsius centrum gravitatis2 eadem erit cum vi globi ex materia consimili quali constantis centrum habentis in ejus centro gravitatis4 ,illustration ,corporis ,,rstv particul ,a1 ,b trahant corpusculum aliquod ,z viribus qu1 si particul quantur inter se1 sint ut distanti ,,az1 ,,bz2 sin particul statuantur inquales1 sint ut h particul in distantias suas ,,az1 ,,bz respective duct4 ,et exponantur h vires per contenta illa ,a ,,az ,b ,,bz4 ,jungatur ,,ab1 secetur ea in ,g ut sit ,,ag ad ,,bg ut particula ,b ad particulam ,a2 erit ,g commune centrum gravitatis particularum ,a ,b4 ,vis ,a ,,az per ,legum ,corol4 #b4 resolvitur in vires ,a ,,gz ,a ,,ag1 vis ,b ,,bz in vires ,b ,,gz ,b ,,bg4 ,vires autem ,a ,,ag ,b ,,bg1 ob proportionales ,a ad ,b ,,bg ad ,,ag1 quantur1 adeoq21 cum dirigantur in partes contrarias1 se mutuo destruunt4 ,restant vires ,a ,,gz ,b ,,gz4 ,tendunt h ab ,z versus centrum ,g1 vim ,a ,b ,,gz componunt2 hoc est1 vim eandem ac si particul attractiv ,a ,b consisterent in eorum communi gravitatis centro ,g1 globum ibi componentes4 ,eodem argumento si adjungatur particula tertia ,c2 componatur hujus vis cum vi ,a ,b ,,gz tendente ad centrum ,g1 vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis globi illius ,g particul ,c2 hoc est1 ad commune centrum gravitatis trium particularum ,a1 ,b1 ,c2 eadem erit ac si globus particula ,c consisterent in centro illo communi1 globum majorem ibi componentes4 ,et sic pergitur in infinitum4 ,eadem est igitur vis tota particularum omnium corporis cujuscunq2 ,,rstv ac si corpus illud1 servato gravitatis centro1 figuram globi indueret4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,hinc motus corporis attracti ,z idem erit ac si corpus attrahens ,,rstv esset ,sphricum3 propterea si corpus illud attrahens vel quiescat1 vel progrediatur uniformiter in directum1 corpus attractum movebitur in ,ellipsi centrum habente in attrahentis centro gravitatis4 ,prop4 ,,lxxxix4 ,theor4 ,,xlvi4 ,si ,corpora sint plura ex particulis qualibus constantia1 quarum vires sunt ut distanti locorum a singulis3 vis ex omnium viribus composita1 qua corpusculum quodcunq2 trahitur1 tendet ad trahentium commune centrum gravitatis1 eadem erit ac si trahentia illa1 servato gravitatis centro communi1 coirent in globum formarentur4 ,demonstratur eodem modo1 atq2 ,propositio superior4 ,corol4 ,ergo motus corporis attracti idem erit ac si corpora trahentia1 servato communi gravitatis centro1 coirent in globum formarentur4 ,ideoq2 si corporum trahentium commune gravitatis centrum vel quiescit1 vel progreditur uniformiter in linea recta1 corpus attractum movebitur in ,ellipsi1 centrum habente in communi illo trahentium centro gravitatis4 ,prop4 ,,xc4 ,prob4 ,,xliv4 ,si ad singula circuli cujuscunq2 puncta tendant vires centripet decrescentes in quacunq2 distantiarum ratione3 invenire vim qua corpusculum attrahitur ubivis in recta qu ad planum circuli per centrum ejus perpendicularis consistit4 ,illustration ,centro ,a intervallo quovis ,,ad1 in plano cui recta ,,ap perpendicularis est1 describi intelligatur circulus2 invenienda sit vis qua corpus quodvis ,p in eundem attrahitur4 ,a circuli puncto quovis ,e ad corpus attractum ,p agatur recta ,,pe3 ,in recta ,,pa capiatur ,,pf ipsi ,,pe qualis1 erigatur ,normalis ,,fk1 qu sit ut vis qua punctum ,e trahit corpusculum ,p4 ,sitq2 ,,ikl curva linea quam punctum ,k perpetuo tangit4 ,occurrat eadem circuli plano in ,l4 ,in ,,pa capiatur ,,ph qualis ,,pd1 erigatur perpendiculum ,,hi curv prdict occurrens in ,i2 erit corpusculi ,p attractio in circulum ut area ,,ahil ducta in altitudinem ,,ap4 ,q4 ,e4 ,i4 ,etenim in ,,ae capiatur linea quam minima ,ee4 ,jungatur ,pe1 in ,,pa capiatur ,pf ipsi ,pe qualis4 ,et quoniam vis1 qua annuli punctum quodvis ,e trahit ad se corpus ,p1 ponitur esse ut ,,fk1 inde vis qua punctum illud trahit corpus ,p versus ,a est ut ,,ap ,,fk ,,pe1 vis qua annulus totus trahit corpus ,p versus ,a1 ut annulus ,,ap ,,fk ,,pe conjunctim2 annulus autem iste est ut rectangulum sub radio ,,ae latitudine ,ee1 hoc rectangulum 7ob proportionales ,,pe ,,ae1 ,ee c,e7 quatur rectangulo ,,pe c,e seu ,,pe ,ff2 erit vis qua annulus iste trahit corpus ,p versus ,a ut ,,pe ,ff ,,ap ,,fk ,,pe conjunctim1 id est1 ut contentum ,ff ,,ap ,,fk1 sive ut area ,f,kkf ducta in ,,ap4 ,et propterea summa virium1 quibus annuli omnes in circulo1 qui centro ,a intervallo ,,ad describitur1 trahunt corpus ,p versus ,a1 est ut area tota ,,ahikl ducta in ,,ap4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si vires punctorum decrescunt in duplicata distantiarum ratione1 hoc est1 si sit ,,fk ut #a ,,pf quad41 atq2 adeo area ,,ahikl ut #a ,,pa - #a ,,ph2 erit attractio corpusculi ,p in circulum #a - ,,pa ,,ph1 id est1 ut ,,ah ,,ph4 ,corol4 #b4 ,et universaliter1 si vires punctorum ad distantias ,d sint reciproce ut distantiarum dignitas qulibet ,dn1 hoc est1 si sit ,,fk ut #a ,dn1 adeoq2 area ,,ahikl ut #a ,,pan - #a - #a ,,phn - #a2 erit attractio corpusculi ,p in circulum ut #a ,,pan - #b - ,,pa ,,phn - #a4 ,corol4 #c4 ,et si diameter circuli augeatur in infinitum1 numerus n sit unitate major2 attractio corpusculi ,p in planum totum infinitum erit reciproce ut ,,pan - #b1 propterea quod terminus alter ,,pa ,,phn - #a evanescet4 ,prop4 ,,xci4 ,prob4 ,,xlv4 ,invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi1 ad cujus puncta singula tendunt vires centripet in quacunq2 distantiarum ratione decrescentes4 ,illustration ,in solidum ,,adefg trahatur corpusculum ,p1 situm in ejus axe ,,ab4 ,circulo quolibet ,,rfs ad hunc axem perpendiculari secetur hoc solidum1 in ejus diametro ,,fs1 in plano aliquo ,,palkb per axem transeunte1 capiatur 7per ,prop4 ,,xc47 longitudo ,,fk vi qua corpusculum ,p in circulum illum attrahitur proportionalis4 ,tangat autem punctum ,k curvam lineam ,,lki1 planis extimorum circulorum ,,al ,,bi occurrentem in ,a ,b2 erit attractio corpusculi ,p in solidum ut area ,,labi4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,unde si solidum ,cylindrus sit1 parallelogrammo ,,adeb circa axem ,,ab revoluto descriptus1 vires centripet in singula ejus puncta tendentes sint reciproce ut quadrata distantiarum a punctis3 erit attractio corpusculi ,p in hunc ,cylindrum ut ,,ba - ,,pe ,,pd4 ,nam ordinatim applicata ,,fk 7per ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xc47 erit ut #a - ,,pf ,,pr4 ,hujus pars #a ducta in longitudinem ,,ab1 describit aream #a ,,ab2 pars altera ,,pf ,,pr ducta in longitudinem ,,pb1 describit aream #a in ,,pe - ,,ad 7id quod ex curv ,,lki quadratura facile ostendi potest37 similiter pars eadem ducta in longitudinem ,,pa describit aream #a in ,,pd - ,,ad1 ductaq2 in ipsarum ,,pb1 ,,pa differentiam ,,ab describit arearum differentiam #a in ,,pe - ,,pd4 ,de contento primo #a ,,ab auferatur contentum postremum #a in ,,pe - ,,pd1 restabit area ,,labi qualis #a in ,,ab - ,,pe ,,pd4 ,ergo vis huic are proportionalis est ut ,,ab - ,,pe ,,pd4 ,illustration ,corol4 #b4 ,hinc etiam vis innotescit qua ,sphrois ,,agbcd attrahit corpus quodvis ,p1 exterius in axe suo ,,ab situm4 ,sit ,,nkrm ,sectio ,conica cujus ordinatim applicata ,,er1 ipsi ,,pe perpendicularis1 quetur semper longitudini ,,pd1 qu ducitur ad punctum illud ,d1 in quo applicata ista ,sphroidem secat4 ,a ,sphroidis verticibus ,a1 ,b ad ejus axem ,,ab erigantur perpendicula ,,ak1 ,,bm ipsis ,,ap1 ,,bp qualia respective1 propterea ,sectioni ,conic occurrentia in ,k ,m2 jungantur ,,km auferens ab eadem segmentum ,,kmrk4 ,sit autem ,sphroidis centrum ,s semidiameter maxima ,,sc3 vis qua ,sphrois trahit corpus ,p erit ad vim qua ,sphra1 diametro ,,ab descripta1 trahit idem corpus1 ut ,,as ,c,sq4 - ,,ps ,,kmrk ,,as cub4 --------------------- ad ---------4 ,p,sq4 ,c,sq4 - ,a,sq4 #c,,ps quad4 ,et eodem computando fundamento invenire licet vires segmentorum ,sphroidis4 ,illustration ,corol4 #c4 ,quod si corpusculum intra ,sphroidem in data quavis ejusdem diametro collocetur2 attractio erit ut ipsius distantia a centro4 ,id quod facilius colligetur hoc argumento4 ,sit ,,agof ,sphrois attrahens1 ,s centrum ejus ,p corpus attractum4 ,per corpus illud ,p agantur tum semidiameter ,,spa1 tum rect du quvis ,,de1 ,,fg ,sphroidi hinc inde occurrentes in ,d ,e1 ,f ,g3 ,sintq2 ,,pcm1 ,,hln superficies ,sphroidum duarum interiorum1 exteriori similium concentricarum1 quarum prior transeat per corpus ,p secet rectas ,,de ,,fg in ,b ,c1 posterior secet easdem rectas in ,h1 ,i ,k1 ,l4 ,habeant autem ,sphroides omnes axem communem1 erunt rectarum partes hinc inde intercept ,,dp ,,be1 ,,fp ,,cg1 ,,dh ,,ie1 ,,fk ,,lg sibi mutuo quales2 propterea quod rect ,,de1 ,,pb ,,hi bisecantur in eodem puncto1 ut rect ,,fg1 ,,pc ,,kl4 ,concipe jam ,,dpf1 ,,epg designare ,conos oppositos1 angulis verticalibus ,,dpf1 ,,epg infinite parvis descriptos1 lineas etiam ,,dh1 ,,ei infinite parvas esse2 ,conorum particul ,sphroidum superficiebus absciss ,,dhkf1 ,,glie1 ob qualitatem linearum ,,dh1 ,,ei1 erunt ad invicem ut quadrata distantiarum suarum a corpusculo ,p1 propterea corpusculum illud qualiter trahent4 ,et pari ratione1 si superficiebus ,sphroidum innumerarum similium concentricarum axem communem habentium dividantur spatia ,,dpf1 ,,egcb in particulas1 h omnes utrinq2 qualiter trahent corpus ,p in partes contrarias4 quales igitur sunt vires coni ,,dpf segmenti ,conici ,,egcb1 per contrarietatem se mutuo destruunt4 ,et par est ratio virium materi omnis extra ,sphroidem intimam ,,pcbm4 ,trahitur igitur corpus ,p a sola ,sphroide intima ,,pcbm1 propterea 7per ,corol4 #c4 ,prop4 ,,lxxii47 attractio ejus est ad vim1 qua corpus ,a trahitur a ,sphroide tota ,,agod1 ut distantia ,,ps ad distantiam ,,as4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,xcii4 ,prob4 ,,xlvi4 ,dato corpore attractivo1 invenire rationem decrementi virium centripetarum in ejus puncta singula tendentium4 ,e corpore dato formanda est ,sphra vel ,cylindrus aliave figura regularis1 cujus lex attractionis1 cuivis decrementi rationi congruens 7per ,prop4 ,,lxxx4 ,,lxxxi4 ,,xci47 inveniri potest4 ,dein factis experimentis invenienda est vis attractionis in diversis distantiis1 lex attractionis in totum inde patefacta dabit rationem decrementi virium partium singularum1 quam invenire oportuit4 ,prop4 ,,xciii4 ,theor4 ,,xlvii4 ,si solidum ex una parte planum1 ex reliquis autem partibus infinitum1 constet ex particulis qualibus qualiter attractivis1 quarum vires in recessu a solido decrescunt in ratione potestatis cujusvis distantiarum plusquam quadratic1 vi solidi totius corpusculum ad utramvis plani partem constitutum trahatur3 dico quod solidi vis illa attractiva1 in recessu ab ejus superficie plana1 decrescet in ratione potestatis1 cujus latus est distantia corpusculi a plano1 ,index ternario minor quam ,index potestatis distantiarum4 ,illustration ,cas4 #a4 ,sit ,l,gl planum quo ,solidum terminatur4 ,jaceat autem solidum ex parte plani hujus versus ,i1 inq2 plana innumera m,h,m1 n,i,n c4 ipsi ,,gl parallela resolvatur4 ,et primo collocetur corpus attractum ,c extra solidum4 ,agatur autem ,,cghi planis illis innumeris perpendicularis1 decrescant vires attractiv punctorum solidi in ratione potestatis distantiarum1 cujus index sit numerus n ternario non minor4 ,ergo 7per ,corol4 #c4 ,prop4 ,,xc7 vis qua planum quodvis m,h,m trahit punctum ,c est reciproce ut ,,chn - #b4 ,in plano m,h,m capiatur longitudo ,,hm ipsi ,,chn - #b reciproce proportionalis1 erit vis illa ut ,,hm4 ,similiter in planis singulis l,g,l1 n,i,n1 o,k,o c4 capiantur longitudines ,,gl1 ,,in1 ,,ko c4 ipsis ,,cgn - #b1 ,,cin - #b1 ,,ckn - #b c4 reciproce proportionales2 vires planorum eorundem erunt ut longitudines capt1 adeoq2 summa virium ut summa longitudinum1 hoc est1 vis solidi totius ut area ,,glok in infinitum versus ,,ok producta4 ,sed area illa per notas quadraturarum methodos est reciproce ut ,,cgn - #c1 propterea vis solidi totius est reciproce ut ,,cgn - #c ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,collocetur jam corpusculum ,c ex parte plani l,g,l intra solidum1 capiatur distantia ,,ck qualis distanti ,,cg4 ,et solidi pars ,l,glo,k,o1 planis parallelis l,g,l1 o,k,o terminata1 corpusculum ,c in medio situm nullam in partem trahet1 contrariis oppositorum punctorum actionibus se mutuo per qualitatem tollentibus4 ,proinde corpusculum ,c sola vi solidi ultra planum ,,ok siti trahitur4 ,hc autem vis 7per ,casum primum7 est reciproce ut ,,ckn - #c1 hoc est 7ob quales ,,cg1 ,,ck7 reciproce ut ,,cgn - #c4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si solidum ,,lgin planis duobus infinitis parallelis ,,lg1 ,,in utrinq2 terminetur2 innotescit ejus vis attractiva1 subducendo de vi attractiva solidi totius infiniti ,,lgko vim attractivam partis ulterioris ,,niko1 in infinitum versus ,,ko product4 ,corol4 #b4 ,si solidi hujus infiniti pars ulterior1 quando attractio ejus collata cum attractione partis citerioris nullius pene est momenti1 rejiciatur3 attractio partis illius citerioris augendo distantiam decrescet quam proxime in ratione potestatis ,,cgn - #c4 ,corol4 #c4 ,et hinc si corpus quodvis finitum ex una parte planum trahat corpusculum e regione medii illius plani1 distantia inter corpusculum planum collata cum dimensionibus corporis attrahentis perexigua sit1 constet autem corpus attrahens ex particulis homogeneis1 quarum vires attractiv decrescunt in ratione potestatis cujusvis plusquam quadruplicat distantiarum2 vis attractiva corporis totius decrescet quamproxime in ratione potestatis1 cujus latus sit distantia illa perexigua1 ,index ternario minor quam ,index potestatis prioris4 ,de corpore ex particulis constante1 quarum vires attractiv decrescunt in ratione potestatis triplicat distantiarum1 assertio non valet1 propterea quod1 in hoc casu1 attractio partis illius ulterioris corporis infiniti in ,corollario secundo1 semper est infinite major quam attractio partis citerioris4 ,scholium4 ,si corpus aliquod perpendiculariter versus planum datum trahatur1 ex data lege attractionis quratur motus corporis3 ,solvetur ,problema qurendo 7per ,prop4 ,,xxvii47 motum corporis recta descendentis ad hoc planum1 7per ,legum ,corol4 #b47 componendo motum istum cum uniformi motu1 secundum lineas eidem plano parallelas facto4 ,et contra1 si quratur ,lex attractionis in planum secundum lineas perpendiculares fact ea conditione ut corpus attractum in data quacunq2 curva linea moveatur1 solvetur ,problema operando ad exemplum ,problematis tertii4 ,operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim applicatas in series convergentes4 ,ut si ad basem ,a in angulo quovis dato ordinatim applicetur longitudo ,b1 qu sit ut basis dignitas qulibet ,amn2 quratur vis qua corpus1 secundum positionem ordinatim applicat1 vel in basem attractum vel a basi fugatum1 moveri possit in curva linea quam ordinatim applicata termino suo superiore semper attingit2 ,suppono basem augeri parte quam minima ,o1 ordinatim applicatam ,a ,omn resolvo in ,seriem infinitam ,amn m n ,,oam - nn mm - mn #bnn ,o#b ,am - #bnn c4 atq2 hujus termino in quo ,o duarum est dimensionum1 id est termino mm - mn #bnn ,o#b ,a7m - #bn7n vim proportionalem esse suppono4 ,est igitur vis qusita ut mm - mn nn ,a7m - #bn7n1 vel quod perinde est1 ut mm - mn nn ,b7m - #bn7m4 ,ut si ordinatim applicata ,parabolam attingat1 existente m #b1 n #a3 fiet vis ut data #b;,b#j1 adeoq2 dabitur4 ,data igitur vi corpus movebitur in ,parabola1 quemadmodum ,galilus demonstravit4 ,quod si ordinatim applicata ,hyperbolam attingat1 existente m #j - #a1 n #a2 fiet vis ut #b;,b#c3 adeoq2 vi1 qu sit ut cubus ordinatim applicat1 corpus movebitur in ,hyperbola4 ,sed missis hujusmodi ,propositionibus1 pergo ad alias quasdam de motu1 quas nondum attigi4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,xiv4 ,de motu corporum minimorum1 qu viribus centripetis ad singulas magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur4 ,prop4 ,,xciv4 ,theor4 ,,xlviii4 ,illustration ,si media duo similaria1 spatio planis parallelis utrinq2 terminato1 distinguantur ab invicem1 corpus in transitu per hoc spatium attrahatur vel impellatur perpendiculariter versus medium alterutrum1 neq2 ulla alia vi agitetur vel impediatur2 ,sit autem attractio1 in qualibus ab utroq2 plano distantiis ad eandem ipsius partem captis1 ubiq2 eadem3 dico quod sinus incidenti in planum alterutrum erit ad sinum emergenti ex plano altero in ratione data4 ,cas4 #a4 ,sunto ,aa1 ,bb plana duo parallela4 ,incidat corpus in planum prius ,aa secundam lineam ,,gh1 ac toto suo per spatium intermedium transitu attrahatur vel impellatur versus medium incidenti1 eaq2 actione describat lineam curvam ,,hi1 emergat secundum lineam ,,ik4 ,ad planum emergenti ,bb erigatur perpendiculum ,,im1 occurrens tum line incidenti ,,gh product in ,m1 tum plano incidenti ,aa in ,r2 linea emergenti ,,ki producta occurrat ,,hm in ,l4 ,centro ,l intervallo ,,li describatur circulus1 secans tam ,,hm in ,p ,q1 quam ,,mi productam in ,n2 primo si attractio vel impulsus ponatur uniformis1 erit 7ex demonstratis ,galili7 curva ,,hi ,parabola1 cujus hc est proprietas1 ut rectangulum sub dato latere recto linea ,,im quale sit ,,hm quadrato2 sed linea ,,hm bisecabitur in ,l4 ,unde si ad ,,mi demittatur perpendiculum ,,lo1 quales erunt ,,mo1 ,,or2 additis qualibus ,,io1 ,,on1 fient tot quales ,,mn1 ,,ir4 ,proinde cum ,,ir detur1 datur etiam ,,mn1 estq2 rectangulum ,,nmi ad rectangulum sub latere recto ,,im1 hoc est1 ad ,h,mq41 in data ratione4 ,sed rectangulum ,,nmi quale est rectangulo ,,pmq1 id est1 differenti quadratorum ,m,lq4 ,p,lq4 seu ,l,iq42 ,h,mq4 datam rationem habet ad sui ipsius quartam partem ,l,mq43 ergo datur ratio ,m,lq4 - ,l,iq4 ad ,m,lq41 divisim1 ratio ,l,iq4 ad ,m,lq41 ratio dimidiata ,,li ad ,,ml4 ,sed in omni triangulo ,,lmi1 sinus angulorum sunt proportionales lateribus oppositis4 ,ergo datur ratio sinus anguli incidenti ,,lmr ad sinum anguli emergenti ,,lir4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illustration ,cas4 #b4 ,transeat jam corpus successive per spatia plura parallelis planis terminata1 ,aab,b1 ,bbc,c c4 agitetur vi qu sit in singulis separatim uniformis1 at in diversis diversa2 per jam demonstrata1 sinus incidenti in planum primum ,aa erit ad sinum emergenti ex plano secundo ,bb1 in data ratione2 hic sinus1 qui est sinus incidenti in planum secundum ,bb1 erit ad sinum emergenti ex plano tertio ,cc1 in data ratione2 hic sinus ad sinum emergenti ex plano quarto ,dd1 in data ratione2 sic in infinitum3 ex quo sinus incidenti in planum primum ad sinum emergenti ex plano ultimo in data ratione4 ,minuatur jam planorum intervalla augeatur numerus in infinitum1 eo ut attractionis vel impulsus actio secundum legem quamcunq2 assignatam continua reddatur2 ratio sinus incidenti in planum primum ad sinum emergenti ex plano ultimo1 semper data existens1 etiamnum dabitur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xcv4 ,theor4 ,,xlix4 ,iisdem positis2 dico quod velocitas corporis ante incidentiam est ad ejus velocitatem post emergentiam1 ut sinus emergenti ad sinum incidenti4 ,capiantur ,,ah1 ,id quales1 erigantur perpendicula ,,ag1 d,k occurrentia lineis incidenti emergenti ,,gh1 ,,ik1 in ,g ,k4 ,in ,,gh capiatur ,,th qualis ,,ik1 ad planum ,aa demittatur normaliter ,tv4 ,et per ,legum ,corol4 #b4 distinguatur motus corporis in duos1 unum planis ,aa1 ,bb1 ,cc c4 perpendicularem1 alterum iisdem parallelum4 ,vis attractionis vel impulsus agendo secundum lineas perpendiculares nil mutat motum secundum parallelas1 propterea corpus hoc motu conficiet qualibus temporibus qualia illa secundum parallelas intervalla1 qu sunt inter lineam ,,ag punctum ,h1 interq2 punctum ,i lineam d,k2 hoc est1 qualibus temporibus describet lineas ,,gh1 ,,ik4 ,proinde velocitas ante incidentiam est ad velocitatem post emergentiam1 ut ,,gh ad ,,ik vel ,,th1 id est1 ut ,,ah vel ,id ad v,h1 hoc est 7respectu radii ,,th vel ,,ik7 ut sinus emergenti ad sinum incidenti4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xcvi4 ,theor4 ,l4 ,iisdem positis quod motus ante incidentiam velocior sit quam postea3 dico quod corpus1 inclinando lineam incidenti1 reflectetur tandem1 angulus reflexionis fiet qualis angulo incidenti4 ,illustration ,nam concipe corpus inter plana parallela ,aa1 ,bb1 ,cc c4 describere arcus ,parabolicos1 ut supra2 sintq2 arcus illi ,,hp1 ,,pq1 ,,qr1 c4 ,et sit ea line incidenti ,,gh obliquitas ad planum primum ,aa1 ut sinus incidenti sit ad radium circuli1 cujus est sinus1 in ea ratione quam habet idem sinus incidenti ad sinum emergenti ex plano ,dd1 in spatium ,dde,e3 ob sinum emergenti jam factum qualem radio1 angulus emergenti erit rectus1 adeoq2 linea emergenti coincidet cum plano ,dd4 ,perveniat corpus ad hoc planum in puncto ,r2 quoniam linea emergenti coincidit cum eodem plano1 perspicuum est quod corpus non potest ultra pergere versus planum ,ee4 ,sed nec potest idem pergere in linea emergenti ,rd1 propterea quod perpetuo attrahitur vel impellitur versus medium incidenti4 ,revertetur itaq2 inter plana ,cc1 ,dd describendo arcum ,parabol ,q,rq1 cujus vertex principalis 7juxta demonstrata ,galili7 est in ,r2 secabit planum ,cc in eodem angulo in q1 ac prius in ,q2 dein pergendo in arcubus parabolicis qp1 ph c4 arcubus prioribus ,,qp1 ,,ph similibus qualibus1 secabit reliqua plana in iisdem angulis in p1 h c4 ac prius in ,p1 ,h c4 emergetq2 tandem eadem obliquitate in h1 qua incidit in ,h4 ,concipe jam planorum ,aa1 ,bb1 ,cc1 ,dd1 ,ee intervalla in infinitum minui numerum augeri1 eo ut actio attractionis vel impulsus secundum legem quamcunq2 assignatam continua reddatur2 angulus emergenti semper angulo incidenti qualis existens1 eidem etiamnum manebit qualis4 ,q4 ,e4 ,d4 ,scholium4 ,illustration ,harum attractionum haud multum dissimiles sunt ,lucis reflexiones refractiones1 fact secundum datam ,secantium rationem1 ut invenit ,snellius1 per consequens secundum datam ,sinuum rationem1 ut exposuit ,cartesius4 ,namq2 ,lucem successive propagari spatio quasi decem minutorum primorum a ,sole ad ,terram venire1 jam constat per ,phnomena ,satellitum ,jovis1 ,observationibus diversorum ,astronomorum confirmata4 ,radii autem in aere existentes 7uti dudum ,grimaldus1 luce per foramen in tenebrosum cubiculum admissa1 invenit1 ipse quoq2 expertus sum7 in transitu suo prope corporum vel opacorum vel perspicuorum angulos 7quales sunt nummorum ex auro1 argento re cusorum termini rectanguli circulares1 cultrorum1 lapidum aut fractorum vitrorum acies7 incurvantur circum corpora1 quasi attracti in eadem2 ex his radiis1 qui in transitu illo propius accedunt ad corpora incurvantur magis1 quasi magis attracti1 ut ipse etiam diligenter observavi4 ,in figura designat s aciem cultri vel cunei cujusvis ,as,b2 gowog1 fnvnf1 emtme1 dlsld sunt radii1 arcubus owo1 nvn1 mtm1 lsl versus cultrum incurvati2 idq2 magis vel minus pro distantia eorum a cultro4 ,cum autem talis incurvatio radiorum fiat in aere extra cultrum1 debebunt etiam radii1 qui incidunt in cultrum1 prius incurvari in aere quam cultrum attingunt4 ,et par est ratio incidentium in vitrum4 ,fit igitur refractio1 non in puncto incidenti1 sed paulatim per continuam incurvationem radiorum1 factam partim in aere antequam attingunt vitrum1 partim 7ni fallor7 in vitro1 postquam illud ingressi sunt3 uti in radiis ckzkc1 biyib1 ahxha incidentibus ad r1 q1 p1 inter k z1 i y1 h x incurvatis1 delineatum est4 ,igitur ob analogiam qu est inter propagationem radiorum lucis progressum corporum1 visum est ,propositiones sequentes in usus opticos subjungere2 interea de natura radiorum 7utrum sint corpora necne7 nihil omnino disputans1 sed trajectorias corporum trajectoriis radiorum persimiles solummodo determinans4 ,prop4 ,,xcvii4 ,prob4 ,,xlvii4 ,posito quod sinus incidenti in superficiem aliquam sit ad sinum emergenti in data ratione1 quodq2 incurvatio vi corporum juxta superficiem illam fiat in spatio brevissimo1 quod ut punctum considerari possit2 determinare superficiem qu corpuscula omnia de loco dato successive manantia convergere faciat ad alium locum datum4 ,illustration ,sit ,a locus a quo corpuscula divergunt2 ,b locus in quem convergere debent2 ,,cde curva linea qu circa axem ,,ab revoluta describat superficiem qusitam2 ,d1 ,e curv illius puncta duo quvis2 ,,ef1 ,,eg perpendicula in corporis vias ,,ad1 ,,db demissa4 ,accedat punctum ,d ad punctum ,e2 line ,,df qua ,,ad augetur1 ad lineam ,,dg qua ,,db diminuitur1 ratio ultima erit eadem qu sinus incidenti ad sinum emergenti4 ,datur ergo ratio incrementi line ,,ad ad decrementum line ,,db2 propterea si in axe ,,ab sumatur ubivis punctum ,c1 per quod curva ,,cde transire debet1 capiatur ipsius ,,ac incrementum ,,cm1 ad ipsius ,,bc decrementum ,,cn in data ratione2 centrisq2 ,a1 ,b1 intervallis ,,am1 ,,bn describantur circuli duo se mutuo secantes in ,d3 punctum illud ,d tanget curvam qusitam ,,cde1 eandemq2 ubivis tangendo determinabit4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,faciendo autem ut punctum ,a vel ,b nunc abeat in infinitum1 nunc migret ad alteras partes puncti ,c1 habebuntur figur ill omnes quas ,cartesius in ,optica ,geometria ad refractiones exposuit4 ,quarum inventionem cum ,cartesius maximi fecerit studiose celaverit1 visum fuit hic propositione exponere4 ,illustration ,corol4 #b4 ,si corpus in superficiem quamvis ,,cd1 secundum lineam rectam ,,ad lege quavis ductam incidens1 emergat secundum aliam quamvis rectam ,,dk1 a puncto ,c duci intelligantur line curv ,,cp1 ,,cq ipsis ,,ad1 ,,dk semper perpendiculares3 erunt incrementa linearum ,,pd1 ,,qd1 atq2 adeo line ips ,,pd1 ,,qd1 incrementis istis genit1 ut sinus incidenti emergenti ad invicem3 contra4 ,prop4 ,,xcviii4 ,prob4 ,,xlviii4 ,iisdem positis1 circa axem ,,ab descripta superficie quacunq2 attractiva ,,cd1 regulari vel irregulari1 per quam corpora de loco dato ,a exeuntia transire debent3 invenire superficiem secundam attractivam ,,ef1 qu corpora illa ad locum datum ,b convergere faciat4 ,juncta ,,ab secet superficiem primam in ,c secundam in ,e1 puncto ,d utcunq2 assumpto4 ,et posito sinu incidenti in superficiem primam ad sinum emergenti ex eadem1 sinu emergenti e superficie secunda ad sinum incidenti in eandem1 ut quantitas aliqua data ,m ad aliam datam ,n2 produc tum ,,ab ad ,g ut sit ,,bg ad ,,ce ut ,m - ,n ad ,n1 tum ,,ad ad ,h ut sit ,,ah qualis ,,ag1 tum etiam ,,df ad ,k ut sit ,,dk ad ,,dh ut ,n ad ,m4 ,junge ,,kb1 centro ,d intervallo ,,dh describe circulum occurrentem ,,kb product in ,l1 ipsiq2 ,,dl parallelam age ,,bf3 punctum ,f tanget lineam ,,ef1 qu circa axem ,,ab revoluta describet superficiem qusitam4 ,q4 ,e4 ,f4 ,nam concipe lineas ,,cp1 ,,cq ipsis ,,ad1 ,,df respective1 lineas ,,er1 ,,es ipsis ,,fb1 ,,fd ubiq2 perpendiculares esse1 adeoq2 ,,qs ipsi ,,ce semper qualem2 erit 7per ,corol4 #b4 ,prop4 ,,xcvii47 ,,pd ad ,,qd ut ,m ad ,n1 adeoq2 ut ,,dl ad ,,dk vel ,,fb ad ,,fk2 divisim ut ,,dl - ,,fb seu ,,ph - ,,pd - ,,fb ad ,,fd seu ,,fq - ,,qd2 composite ut ,,hp - ,,fb ad ,,fq1 id est 7ob quales ,,hp ,,cg1 ,,qs ,,ce7 ,,ce ,,bg - ,,fr ad ,,ce - ,,fs4 ,verum 7ob proportionales ,,bg ad ,,ce ,m - ,n ad ,n7 est etiam ,,ce ,,bg ad ,,ce ut ,m ad ,n3 adeoq2 divisim ,,fr ad ,,fs ut ,m ad ,n1 propterea per ,corol4 #b4 ,prop4 ,,xcvii4 superficies ,,ef cogit corpus in se secundum lineam ,,df incidens pergere in linea ,,fr1 ad locum ,b4 ,q4 ,e4 ,d4 ,scholium4 ,eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures4 ,ad usus autem ,opticos maxime accommodat sunt figur ,sphric4 ,si ,perspicillorum vitra ,objectiva ex vitris duobus ,sphrice figuratis ,aquam inter se claudentibus conflentur1 fieri potest ut a refractionibus aqu errores refractionum1 qu fiunt in vitrorum superficiebus extremis1 satis accurate corrigantur4 ,talia autem vitra ,objectiva vitris ,ellipticis ,hyperbolicis prferenda sunt1 non solum quod facilius accuratius formari possint1 sed etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri sitos accuratius refringant4 ,verum tamen diversa diversorum radiorum refrangibilitas impedimento est1 quo minus ,optica per figuras vel ,sphricas vel alias quascunq2 perfici possit4 ,nisi corrigi possint errores illinc oriundi1 labor omnis in cteris corrigendis imperite collocabitur4 99 99 99 99 99 ,,de ,,motu ,,corporum 99 99 99 99 99 ,liber ,,secundus 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,i4 ,de ,motu corporum quibus resistitur in ratione velocitatis4 ,prop4 ,i4 ,theor4 ,i4 ,corporis1 cui resistitur in ratione velocitatis1 motus ex resistentia amissus est ut spatium movendo confectum4 ,nam cum motus singulis temporis particulis amissus sit ut velocitas1 hoc est ut itineris confecti particula3 erit componendo motus toto tempore amissus ut iter totum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,igitur si corpus gravitate omni destitutum in spatiis liberis sola vi insita moveatur1 ac detur tum motus totus sub initio1 tum etiam motus reliquus post spatium aliquod confectum1 dabitur spatium totum quod corpus infinito tempore describere potest4 ,erit enim spatium illud ad spatium jam descriptum ut motus totus sub initio ad motus illius partem amissam4 ,lemma ,i4 ,quantitates differentiis suis proportionales1 sunt continue proportionales4 ,sit ,a ad ,a - ,b ut ,b ad ,b - ,c ,c ad ,c - ,d c4 dividendo fiet ,a ad ,b ut ,b ad ,c ,c ad ,d c4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,ii4 ,theor4 ,,ii4 ,si corpori resistitur in ratione velocitatis1 sola vi insita per ,medium similare moveatur1 sumantur autem tempora qualia3 velocitates in principiis singulorum temporum sunt in progressione ,geometrica1 spatia singulis temporibus descripta sunt ut velocitates4 ,cas4 #a4 ,dividatur tempus in particulas quales1 si ipsis particularum initiis agat vis resistenti impulsu unico1 qu sit ut velocitas1 erit decrementum velocitatis singulis temporis particulis ut eadem velocitas4 ,sunt ergo velocitates differentiis suis proportionales1 propterea 7per ,lem4 ,i4 ,lib4 ,,ii47 continue proportionales4 ,proinde si ex quali particularum numero componantur tempora qulibet qualia1 erunt velocitates ipsis temporum initiis1 ut termini in progressione continua1 qui per saltum capiuntur1 omisso passim quali terminorum intermediorum numero4 ,componuntur autem horum terminorum rationes ex qualibus rationibus terminorum intermediorum qualiter repetitis1 propterea sunt quales4 ,igitur velocitates his terminis proportionales1 sunt in progressione ,geometrica4 ,minuantur jam quales ill temporum particul1 augeatur earum numerus in infinitum1 eo ut resistenti impulsus reddatur continuus1 velocitates in principiis qualium temporum1 semper continue proportionales1 erunt in hoc etiam ,casu continue proportionales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illustration ,cas4 #b4 ,et divisim velocitatum differenti1 hoc est earum partes singulis temporibus amiss1 sunt ut tot3 ,spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amiss1 7per ,prop4 ,i4 ,lib4 ,,ii47 propterea etiam ut tot4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,hinc si ,asymptotis rectangulis ,,adc1 ,,ch describatur ,hyperbola ,,bg1 sintq2 ,,ab1 ,,dg ad ,asymptoton ,,ac perpendiculares1 exponatur tum corporis velocitas tum resistentia ,medii1 ipso motus initio1 per lineam quamvis datam ,,ac1 elapso autem tempore aliquo per lineam indefinitam ,,dc3 exponi potest tempus per aream ,,abgd1 spatium eo tempore descriptum per lineam ,,ad4 ,nam si area illa per motum puncti ,d augeatur uniformiter ad modum temporis1 decrescet recta ,,dc in ratione ,geometrica ad modum velocitatis1 partes rect ,,ac qualibus temporibus descript decrescent in eadem ratione4 ,prop4 ,,iii4 ,prob4 ,i4 ,illustration ,corporis1 cui dum in ,medio similari recta ascendit vel descendit1 resistitur in ratione velocitatis1 quodq2 ab uniformi gravitate urgetur1 definire motum4 ,corpore ascendente1 exponatur gravitas per datum quodvis rectangulum ,,bc1 resistentia ,medii initio ascensus per rectangulum ,,bd sumptum ad contrarias partes4 ,asymptotis rectangulis ,,ac1 ,,ch1 per punctum ,b describatur ,hyperbola secans perpendicula ,,de1 de in ,g1 g2 corpus ascendendo1 tempore ,d,ggd1 describet spatium ,e,gge1 tempore ,,dgba spatium ascensus totius ,,egb1 tempore ,,ab#b;,g#b;,d spatium descensus ,,bf#b;,g1 atq2 tempore #b;,d#b;,g#b;g#b;d spatium descensus #b;,,gf#b;e#b;g3 velocitates corporis 7resistenti ,medii proportionales7 in horum temporum periodis erunt ,,abed1 ,a,bed1 nulla1 ,,abf#b;,d1 ,,ab#b;e#b;d respective2 atq2 maxima velocitas1 quam corpus descendendo potest acquirere1 erit ,,bc4 ,illustration ,resolvatur enim rectangulum ,,ah in rectangula innumera ,ak1 ,kl1 ,lm1 ,mn1 c4 qu sint ut incrementa velocitatum qualibus totidem temporibus facta2 erunt nihil1 ,ak1 ,al1 ,am1 ,an1 c4 ut velocitates tot1 atq2 adeo 7per ,hypothesin7 ut resistentia ,medii in principio singulorum temporum qualium4 ,fiat ,,ac ad ,,ak vel ,,abhc ad ,a,bk,k1 ut vis gravitatis ad resistentiam in principio temporis secundi1 deq2 vi gravitatis subducantur resistenti1 manebunt ,,abhc1 ,kk,h,c1 ,ll,h,c1 ,nn,h,c1 c4 ut vires absolut quibus corpus in principio singulorum temporum urgetur1 atq2 adeo 7per motus ,legem ,,ii47 ut incrementa velocitatum1 id est1 ut rectangula ,ak1 ,kl1 ,lm1 ,mn c2 propterea 7per ,lem4 ,i4 ,lib4 ,,ii47 in progressione ,geometrica4 ,quare si rect ,kk1 ,ll1 ,mm1 ,nn c4 product occurrant ,hyperbol in q1 r1 s1 t c4 erunt are ,a,bq,k1 ,kqr,l1 ,lrs,m1 ,mst,n c4 quales1 adeoq2 tum temporibus tum viribus gravitatis semper qualibus analog4 ,est autem area ,a,bq,k 7per ,corol4 #c4 ,lem4 ,,vii4 ,lem4 ,,viii4 ,lib4 ,i47 ad aream ,bkq ut ,kq ad kq seu ,,ac ad ,,ak1 hoc est ut vis gravitatis ad resistentiam in medio temporis primi4 ,et simili argumento are q,k,lr1 r,l,ms1 s,m,nt1 c4 sunt ad areas qklr1 rlms1 smnt c4 ut vires gravitatis ad resistentias in medio temporis secundi1 tertii1 quarti1 c4 ,proinde cum are quales ,b,a,kq1 q,k,lr1 r,l,ms1 s,m,nt1 c4 sint viribus grauitatis analog1 erunt are ,bkq1 qklr1 rlms1 smnt1 c4 resistentiis in mediis singulorum temporum1 hoc est1 7per ,hypothesin7 velocitatibus1 atq2 adeo descriptis spatiis analog4 ,sumantur analogarum summ1 erunt are ,bkq1 ,blr1 ,bms1 ,bnt1 c4 spatiis totis descriptis analog2 necnon are ,a,bq,k1 ,a,br,l1 ,a,bs,m1 ,a,bt,n1 c4 temporibus4 ,corpus igitur inter descendendum1 tempore quovis ,a,br,l1 describit spatium ,blr1 tempore ,lrt,n spatium rlnt4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et similis est demonstratio motus expositi in ascensu4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur velocitas maxima1 quam corpus cadendo potest acquirere1 est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam1 ut vis data gravitatis qua perpetuo urgetur1 ad excessum vis hujus supra vim qua in fine temporis illius resistitur4 ,corol4 #b4 ,tempore autem aucto in progressione ,arithmetica1 summa velocitatis illius maxim ac velocitatis in ascensu 7atq2 etiam earundem differentia in descensu7 decrescit in progressione ,geometrica4 ,corol4 #c4 ,sed differenti spatiorum1 qu in qualibus temporum differentiis describuntur1 decrescunt in eadem progressione ,geometrica4 ,corol4 #d4 ,spatium vero a corpore descriptum differentia est duorum spatiorum1 quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descensus1 alterum ut velocitas1 qu etiam ipso descensus initio quantur inter se4 ,prop4 ,,iv4 ,prob4 ,,ii4 ,posito quod vis gravitatis in ,medio aliquo similari uniformis sit1 ac tendat perpendiculariter ad planum ,horizontis2 definire motum ,projectilis1 in eodem resistentiam velocitati proportionalem patientis4 ,illustration ,e loco quovis ,d egrediatur ,projectile secundum lineam quamvis rectam ,,dp1 per longitudinem ,,dp exponatur ejusdem velocitas sub initio motus4 ,a puncto ,p ad lineam ,horizontalem ,,dc demittatur perpendiculum ,,pc1 secetur ,,dc in ,a ut sit ,,da ad ,,ac ut resistentia ,medii ex motu in altitudinem sub initio orta1 ad vim gravitatis2 vel 7quod perinde est7 ut sit rectangulum sub ,,da ,,dp ad rectangulum sub ,,ac ,,cp ut resistentia tota sub initio motus ad vim ,gravitatis4 ,describatur ,hyperbola quvis ,,gtbs secans erecta perpendicula ,,dg1 ,,ab in ,g ,b2 compleatur parallelogrammum ,,dgkc1 cujus latus ,,gk secet ,,ab in ,q4 ,capiatur linea ,n in ratione ad ,,qb qua ,,dc sit ad ,,cp2 ad rect ,,dc punctum quodvis ,r erecto perpendiculo ,,rt1 quod ,hyperbol in ,t1 rectis ,,gk1 ,,dp in t ,v occurrat2 in eo cape ,vr qualem t,g,t ,n1 ,projectile tempore ,,drtg perveniet ad punctum r1 describens curvam lineam ,dra,f1 quam punctum r semper tangit2 perveniens autem ad maximam altitudinem a in perpendiculo ,,ab1 postea semper appropinquans ad ,asymptoton ,,plc4 ,estq2 velocitas ejus in puncto quovis r ut ,curv ,tangens r,l4 ,q4 ,e4 ,i4 ,est enim ,n ad ,,qb ut ,,dc ad ,,cp seu ,,dr ad ,,rv1 adeoq2 ,,rv qualis ,,dr ,,qb ,n1 ,rr 7id est ,,rv - ,vr seu ,,dr ,,qb - t,g,t ,n7 qualis ,,dr ,,ab - ,,rdgt ,n4 ,exponatur jam tempus per aream ,,rdgt1 7per ,legum ,corol4 #b47 distinguatur motus corporis in duos1 unum ascensus1 alterum ad latus4 ,et cum resistentia sit ut motus1 distinguetur etiam hc in partes duas partibus motus proportionales contrarias3 ideoq2 longitudo a motu ad latus descripta erit 7per ,prop4 ,,ii4 hujus7 ut linea ,,dr1 altitudo vero 7per ,prop4 ,,iii4 hujus7 ut area ,,dr ,,ab - ,,rdgt1 hoc est1 ut linea ,rr4 ,ipso autem motus initio area ,,rdgt qualis est rectangulo ,,dr ,,aq1 ideoq2 linea illa ,rr 7seu ,,dr ,,ab - ,,dr ,,aq ,n7 tunc est ad ,,dr ut ,,ab - ,,aq 7seu ,,qb7 ad ,n1 id est ut ,,cp ad ,,dc2 atq2 adeo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem sub initio4 ,cum igitur ,rr semper sit ut altitudo1 ac ,,dr semper ut longitudo1 atq2 ,rr ad ,,dr sub initio ut altitudo ad longitudinem3 necesse est ut ,rr semper sit ad ,,dr ut altitudo ad longitudinem1 propterea ut corpus moveatur in linea ,dra,f1 quam punctum r perpetuo tangit4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si vertice ,d1 ,diametro ,,de deorsum producta1 latere recto quod sit ad #b;,,dp ut resistentia tota1 ipso motus initio1 ad vim gravitatis1 ,parabola construatur3 velocitas quacum corpus exire debet de loco ,d secundum rectam ,,dp1 ut in ,medio uniformi resistente describat ,curvam ,dra,f1 ea ipsa erit quacum exire debet de eodem loco ,d1 secundum eandem rectam ,,dr1 ut in spatio non resistente describat ,parabolam4 ,nam ,latus rectum ,parabol hujus1 ipso motus initio1 est ,,dv quad4 ,vr ,vr est t,g,t ,n seu ,,dr ,tt #b,n4 ,recta autem1 qu1 si duceretur1 ,hyperbolam ,,gtb tangeret in ,g1 parallela est ipsi ,,dk1 ideoq2 ,tt est ,,ck ,,dr ,,dc1 ,n erat ,,qb ,,dc ,,cp4 ,et propterea ,vr est ,d,rq4 ,,ck ,,cp #b;,c,dq4 ,,qb1 id est 7ob proportionales ,,dr ,,dc1 ,,dv ,,dp7 ,d,vq4 ,,ck ,,cp #b;,d,pq4 ,,qb1 ,latus rectum ,,dv quad4 ,vr prodit #b;,d,pq4 ,,qb ,,ck ,,cp1 id est 7ob proportionales ,,qb ,,ck1 ,,da ,,ac7 #b;,d,pq4 ,,da ,,ac ,,cp1 adeoq2 ad #b;,,dp ut ,,dp ,,da ad ,,pc ,,ac2 hoc est ut resistentia ad gravitatem4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #b4 ,unde si corpus de loco quovis ,d1 data cum velocitate1 secundum rectam quamvis positione datam ,,dp projiciatur2 resistentia ,medii ipso motus initio detur1 inveniri potest ,curva ,dra,f1 quam corpus idem describet4 ,nam ex data velocitate datur latus rectum ,parabol1 ut notum est4 ,et sumendo #b;,,dp ad latus illud rectum ut est vis ,gravitatis ad vim resistenti1 datur ,,dp4 ,dein secando ,,dc in ,a1 ut sit ,,cp ,,ac ad ,,dp ,,da in eadem illa ratione ,gravitatis ad resistentiam1 dabitur punctum ,a4 ,et inde datur ,curva ,dra,f4 ,corol4 #c4 ,et contra1 si datur curva ,dra,f1 dabitur velocitas corporis resistentia ,medii in locis singulis r4 ,nam ex data ratione ,,cp ,,ac ad ,,dp ,,da1 datur tum resistentia ,medii sub initio motus1 tum latus rectum ,parabol3 inde datur etiam velocitas sub initio motus4 ,deinde ex longitudine tangentis r,l1 datur huic proportionalis velocitas1 velocitati proportionalis resistentia in loco quovis r4 ,corol4 #d4 ,cum autem longitudo #b;,,dp sit ad latus rectum ,parabol ut gravitas ad resistentiam in ,d2 ex aucta ,velocitate augeatur resistentia in eadem ratione1 at latus rectum ,parabol augeatur in ratione illa duplicata3 patet longitudinem #b;,,dp augeri in ratione illa simplici1 adeoq2 velocitati semper proportionalem esse1 neq2 ex angulo ,,cdp mutato augeri vel minui1 nisi mutetur quoq2 velocitas4 ,illustration ,corol4 #e4 ,unde liquet methodus determinandi ,curvam ,dra,f ex ,phnomenis quamproxime1 inde colligendi resistentiam velocitatem quacum corpus projicitur4 ,projiciantur corpora duo similia qualia eadem cum velocitate1 de loco ,d1 secundum angulos diversos ,,cdp1 c,dp 7minuscularum literarum locis subintellectis7 cognoscantur loca ,f1 f1 ubi incidunt in horizontale planum ,,dc4 ,tum1 assumpta quacunq2 longitudine pro ,,dp vel ,dp1 fingatur quod resistentia in ,d sit ad gravitatem in ratione qualibet1 exponatur ratio illa per longitudinem quamvis ,,sm4 ,deinde per computationem1 ex longitudine illa assumpta ,,dp1 inveniantur longitudines ,,df1 ,df1 ac de ratione ,ff ,,df per calculum inventa1 auferatur ratio eadem per experimentum inventa1 exponatur differentia per perpendiculum ,,mn4 ,idem fac iterum ac tertio1 assumendo semper novam resistenti ad gravitatem rationem ,,sm1 colligendo novam differentiam ,,mn4 ,ducantur autem differenti affirmativ ad unam partem rect ,,sm1 negativ ad alteram2 per puncta ,n1 ,n1 ,n agatur curva regularis ,,nnn secans rectam ,,smmm in ,x1 erit ,,sx vera ratio resistenti ad gravitatem1 quam invenire oportuit4 ,ex hac ratione colligenda est longitudo ,,df per calculum2 longitudo qu sit ad assumptam longitudinem ,,dp ut modo inventa longitudo ,,df ad longitudinem eandem per experimentum cognitam1 erit vera longitudo ,,dp4 ,qua inventa1 habetur tum ,curva ,linea ,dra,f quam corpus describit1 tum corporis velocitas resistentia in locis singulis4 ,scholium4 ,cterum corpora resisti in ratione velocitatis ,hypothesis est magis ,mathematica quam ,naturalis4 ,obtinet hc ratio quamproxime ubi corpora in ,mediis rigore aliquo prditis tardissime moventur4 ,in ,mediis autem qu rigore omni vacant 7uti posthac demonstrabitur7 corpora resistuntur in duplicata ratione velocitatum4 ,actione corporis velocioris communicatur eidem ,medii quantitati1 tempore minore1 motus major in ratione majoris velocitatis1 adeoq2 tempore quali 7ob majorem ,medii quantitatem perturbatam7 communicatur motus in duplicata ratione major1 estq2 resistentia 7per motus ,legem #b4 #c47 ut motus communicatus4 ,videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege ,resistenti4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,ii4 ,de motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum4 ,prop4 ,v4 ,theor4 ,,iii4 ,si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata1 sola vi insita per ,medium similare movetur1 tempora vero sumantur in progressione ,geometrica a minoribus terminis ad majores pergente3 dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progressione ,geometrica inverse1 quod spatia sunt qualia qu singulis temporibus describuntur4 ,illustration ,nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resistentia ,medii1 resistenti proportionale est decrementum velocitatis2 si tempus in particulas innumeras quales dividatur1 quadrata velocitatum singulis temporum initiis erunt velocitatum earundem differentiis proportionalia4 ,sunto temporis particul ill ,,ak1 ,,kl1 ,,lm1 c4 in recta ,,cd sumpt1 erigantur perpendicula ,,ab1 ,kk1 ,ll1 ,mm1 c4 ,hyperbol ,bklm,g1 centro ,c ,asymptotis rectangulis ,,cd1 ,,ch descript occurrentia in ,b1 k1 l1 m1 c4 erit ,,ab ad ,kk ut ,,ck ad ,,ca1 divisim ,,ab - ,kk ad ,kk ut ,,ak ad ,,ca1 vicissim ,,ab - ,kk ad ,,ak ut ,kk ad ,,ca1 adeoq2 ut ,,ab ,kk ad ,,ab ,,ca4 ,unde cum ,,ak ,,ab ,,ca dentur1 erit ,,ab - ,kk ut ,,ab ,kk2 ultimo1 ubi coeunt ,,ab ,kk1 ut ,a,bq4 ,et simili argumento erunt ,kk - ,ll1 ,ll - ,mm1 c4 ut ,kkq41 ,llq4 c4 ,linearum igitur ,,ab1 ,kk1 ,ll1 ,mm quadrata sunt ut earundem differenti1 idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum differenti1 similis erit ambarum progressio4 ,quo demonstrato1 consequens est etiam ut are his lineis descript sint in progressione consimili cum spatiis qu velocitatibus describuntur4 ,ergo si velocitas initio primi temporis ,,ak exponatur per lineam ,,ab1 velocitas initio secundi ,,kl per lineam ,kk1 longitudo primo tempore descripta per arcam ,a,kk,b1 velocitates omnes subsequentes exponentur per lineas subsequentes ,ll1 ,mm1 c4 longitudines descript per areas ,kl1 ,lm1 c4 composite1 si tempus totum exponatur per summam partium suarum ,,am1 longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarum ,a,mm,b4 ,concipe jam tempus ,,am ita dividi in partes ,,ak1 ,,kl1 ,,lm1 c4 ut sint ,,ca1 ,,ck1 ,,cl1 ,,cm1 c4 in progressione ,geometrica1 erunt partes ill in eadem progressione1 velocitates ,,ab1 ,kk1 ,ll1 ,mm1 c4 in progressione eadem inversa1 atq2 spatia descripta ,ak1 ,kl1 ,lm1 c4 qualia4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,patet ergo quod si tempus exponatur per ,asymptoti partem quamvis ,,ad1 velocitas in principio temporis per ordinatim applicatam ,,ab2 velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam ,,dg1 spatium totum descriptum per aream ,hyperbolicam adjacentem ,,abgd2 necnon spatium quod corpus aliquod eodem tempore ,,ad1 velocitate prima ,,ab in ,medio non resistente describere posset1 per rectangulum ,,ab ,,ad4 ,corol4 #b4 ,unde datur spatium in ,medio resistente descriptum1 capiendo illud ad spatium quod velocitate uniformi ,,ab in ,medio non resistente simul describi posset1 ut est area ,hyperbolica ,,abgd ad rectangulum ,,ab ,,ad4 ,corol4 #c4 ,datur etiam resistentia ,medii1 statuendo eam ipso motus initio qualem esse vi uniformi centripet1 qu1 in cadente corpore1 tempore ,,ac1 in ,medio non resistente1 generare posset velocitatem ,,ab4 ,nam si ducatur ,,bt qu tangat ,hyperbolam in ,b1 occurrat ,asymptoto in ,t2 recta ,,at qualis erit ipsi ,,ac1 tempus exponet quo resistentia prima uniformiter continuata tollere posset velocitatem totam ,,ab4 ,corol4 #d4 ,et inde datur etiam proportio hujus resistenti ad vim gravitatis1 aliamve quamvis datam vim centripetam4 ,corol4 #e4 ,et viceversa1 si datur proportio resistenti ad datam quamvis vim centripetam1 datur tempus ,,ac1 quo vis centripeta resistenti qualis generare possit velocitatem quamvis ,,ab2 inde datur punctum ,b per quod ,hyperbola ,asymptotis ,,ch1 ,,cd describi debet2 ut spatium ,,abgd1 quod corpus incipiendo motum suum cum velocitate illa ,,ab1 tempore quovis ,,ad1 in ,medio similari resistente describere potest4 ,prop4 ,,vi4 ,theor4 ,,iv4 ,illustration ,corpora ,sphrica homogenea qualia1 resistentiis in duplicata ratione velocitatum impedita1 solis viribus insitis incitata1 temporibus qu sunt reciproce ut velocitates sub initio1 describunt semper qualia spatia1 amittunt partes velocitatum proportionales totis4 ,asymptotis rectangulis ,,cd1 ,,ch descripta ,hyperbola quavis ,bb,ee secante perpendicula ,,ab1 ab1 ,,de1 de1 in ,b1 b1 ,e1 e1 exponantur velocitates initiales per perpendicula ,,ab1 ,,de1 tempora per lineas ,aa1 ,dd4 ,est ergo ut ,aa ad ,dd ita 7per ,hypothesin7 ,,de ad ,,ab1 ita 7ex natura ,hyperbol7 ,,ca ad ,,cd2 componendo1 ita ,ca ad ,cd4 ,ergo are ,a,bba1 ,d,eed1 hoc est spatia descripta quantur inter se1 velocitates prim ,,ab1 ,,de sunt ultimis ab1 de1 propterea 7dividendo7 partibus etiam suis amissis ,,ab - ab1 ,,de - de proportionales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,vii4 ,theor4 ,v4 ,corpora ,sphrica quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum1 temporibus qu sunt ut motus primi directe resistenti prim inverse1 amittent partes motuum proportionales totis1 spatia describent temporibus istis in velocitates primas ductis proportionalia4 ,namq2 motuum partes amiss sunt ut resistenti tempora conjunctim4 ,igitur ut partes ill sint totis proportionales1 debebit resistentia tempus conjunctim esse ut motus4 ,proinde tempus erit ut ,motus directe resistentia inverse4 ,quare temporum particulis in ea ratione sumptis1 corpora amittent semper particulas motuum proportionales totis1 adeoq2 retinebunt velocitates in ratione prima4 ,et ob datam velocitatum rationem1 describent semper spatia qu sunt ut velocitates prim tempora conjunctim4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur si quivelocia corpora resistuntur in duplicata ratione diametrorum1 ,globi homogenei quibuscunq2 cum velocitatibus moti1 describendo spatia diametris suis proportionalia1 amittent partes motuum proportionales totis4 ,motus enim ,globi cujusq2 erit ut ejus velocitas ,massa conjunctim1 id est ut velocitas cubus diametri2 resistentia 7per ,hypothesin7 erit ut quadratum diametri quadratum velocitatis conjunctim2 tempus 7per hanc ,propositionem7 est in ratione priore directe ratione posteriore inverse1 id est ut diameter directe velocitas inverse2 adeoq2 spatium 7tempori velocitati proportionale7 est ut diameter4 ,corol4 #b4 ,si quivelocia corpora resistuntur in ratione sesquialtera diametrorum3 ,globi homogenei quibuscunq2 cum velocitatibus moti1 describendo spatia in sesquialtera ratione diametrorum inverse1 amittent partes motuum proportionales totis4 ,nam tempus augetur in ratione resistenti diminut1 spatium augetur in ratione temporis4 ,corol4 #c4 ,et universaliter1 si quivelocia corpora resistuntur in ratione dignitatis cujuscunq2 diametrorum1 spatia quibus ,globi homogenei1 quibuscunq2 cum velocitatibus moti1 amittent partes motuum proportionales totis1 erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem illam applicata4 ,sunto diametri ,d ,e2 si resistenti sint ut ,dn ,en1 spatia quibus amittent partes motuum proportionales totis1 erunt ut ,d#c - n ,e#c - n4 ,igitur describendo spatia ipsis ,d#c - n ,e#c - n proportionalia1 retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio4 ,corol4 #d4 ,quod si ,globi non sint homogenei1 spatium a ,globo densiore descriptum augeri debet in ratione densitatis4 ,motus enim sub pari velocitate major est in ratione densitatis1 tempus 7per hanc ,propositionem7 augetur in ratione motus directe1 ac spatium descriptum in ratione temporis4 ,corol4 #e4 ,et si ,globi moveantur in ,mediis diversis1 spatium in ,medio1 quod cteris paribus magis resistit1 diminuendum erit in ratione majoris resistenti4 ,tempus enim 7per hanc ,propositionem7 diminuetur in ratione resistenti1 spatium in ratione temporis4 ,lemma ,,ii4 ,momentum ,genit quatur momentis ,terminorum singulorum generantium in eorundem laterum indices dignitatum coefficientia continue ductis4 ,genitam voco quantitatem omnem qu ex ,terminis quibuscunq2 in ,arithmetica per multiplicationem1 divisionem1 extractionem radicum2 in ,geometria per inventionem vel contentorum laterum1 vel extremarum mediarum proportionalium absq2 additione subductione generatur4 ,ejusmodi quantitates sunt ,facti1 ,quoti1 ,radices1 rectangula1 quadrata1 cubi1 latera quadrata1 latera cubica similes4 ,has quantitates ut indeterminatas instabiles1 quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes hic considero1 eorum incrementa vel decrementa momentanea sub nomine momentorum intelligo3 ita ut incrementa pro momentis addititiis seu affirmativis1 ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur4 ,cave tamen intellexeris particulas finitas4 ,momenta1 quam primum finit sunt magnitudinis1 desinunt esse momenta4 ,finiri enim repugnat aliquatenus perpetuo eorum incremento vel decremento4 ,intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitarum magnitudinum4 ,neq2 enim spectatur in hoc ,lemmate magnitudo momentorum1 sed prima nascentium proportio4 ,eodem recidit si loco momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum1 7quas etiam motus1 mutationes fluxiones quantitatum nominare licet7 vel finit quvis quantitates velocitatibus hisce proportionales4 ,termini autem cujusq2 ,generantis coefficiens est quantitas1 qu oritur applicando ,genitam ad hunc ,terminum4 ,igitur sensus ,lemmatis est1 ut si quantitatum quarumcunq2 perpetuo motu crescentium vel decrescentium ,a1 ,b1 ,c1 c4 ,momenta1 vel mutationum velocitates dicantur a1 b1 c1 c4 momentum vel mutatio rectanguli ,,ab fuerit ,ab a,b1 contenti ,,abc momentum fuerit ,a,bc ,ab,c a,b,c3 dignitatum ,a#b1 ,a#c1 ,a#d1 ,a#a_/b1 ,a#c_/b1 ,a#a_/c1 ,a#b_/c1 #a ,a1 #a ,a#b1 #a ,a#a_/b momenta #b;,aa1 #c;a,a#b1 #d;a,a#c1 #a_/b;a,a-#a_/b1 #c_/b;a,a#a_/b1 #a_/c;a,a-#b_/c1 #b_/c;a,a-#a_/c1 -a,a-#b1 -#b;a,a-#c1 -#a_/b;a,a-#c_/b respective4 ,et generaliter ut dignitatis cujuscunq2 ,an m momentum fuerit n m a,a7n-m7 m4 ,item ut ,genit ,a quad4 ,b momentum fuerit #b;a,a,b ,a#b;b2 ,genit ,a#c;,b#d;,c#b momentum #c;a,a#b;,b#d;,c#b #d;,a#c;b,b#c;,c#b #b;,a#c;,b#d;,cc2 ,genit ,a#c ,b#b sive ,a#c;,b-#b momentum #c;a,a#b;,b-#b - #b;,a#c;b,b-#c3 sic in cteris4 ,demonstratur vero ,lemma in hunc modum4 ,cas4 #a4 ,rectangulum quodvis motu perpetuo auctum ,,ab1 ubi de lateribus ,a ,b deerant momentorum dimidia a b1 fuit ,a - a in ,b - b1 seu ,,ab - a,b - ,ab ab2 quam primum latera ,a ,b alteris momentorum dimidiis aucta sunt1 evadit ,a a in ,b b seu ,,ab a,b ,ab ab4 ,de hoc rectangulo subducatur rectangulum prius1 manebit excessus a,b ,ab4 ,igitur laterum incrementis totis a b generatur rectanguli incrementum a,b ,ab4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,ponatur ,,ab quale ,g1 contenti ,,abc seu ,,gc momentum 7per ,cas4 #a47 erit g,c ,gc1 id est 7si pro ,g g scribantur ,,ab a,b ,ab7 a,b,c ,ab,c ,a,bc4 ,et par est ratio contenti sub lateribus quotcunq24 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #c4 ,ponantur ,a1 ,b1 ,c qualia2 ipsius ,a#b1 id est rectanguli ,,ab1 momentum a,b ,ab erit #b;a,a1 ipsius autem ,a#c1 id est contenti ,,abc1 momentum a,b,c ,ab,c ,a,bc erit #c;a,a#b4 ,et eodem argumento momentum dignitatis cujuscunq2 ,an est na,an - #a4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #d4 ,unde cum #a ,a in ,a sit #a1 momentum ipsius #a ,a ductum in ,a1 una cum #a ,a ducto in a erit momentum ipsius #a1 id est nihil4 ,proinde momentum ipsius #a ,a seu ,a-#a est -a ,a#b4 ,et generaliter cum #a ,an in ,an sit #a1 momentum ipsius #a ,an ductum in ,an una cum #a ,an in na,an - #a erit nihil4 ,et propterea momentum ipsius #a ,an seu ,a-n erit -na ,an #a4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #e4 ,et cum ,a in ,a sit ,a1 momentum ipsius ,a in #b;,a erit a1 per ,cas4 #c3 ideoq2 momentum ipsius ,a erit a #b;,a sive #b;a,a-4 ,et generaliter si ponatur ,am n qualem ,b1 erit ,am quale ,bn1 ideoq2 ma,am - #a quale nb,bn - #a1 ma,a-#a quale nb,b-#a seu nb ,am n1 adeoq2 m na,a7m-n7 n quale b1 id est quale momento ipsius ,am n4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #f4 ,igitur ,genit cujuscunq2 ,am ,bn momentum est momentum ipsius ,am ductum in ,bn1 una cum momento ipsius ,bn ducto in ,am1 id est ma,am - #a nb,bn - #a2 idq2 sive dignitatum indices m n sint integri numeri vel fracti1 sive affirmativi vel negativi4 ,et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc in continue proportionalibus1 si terminus unus datur1 momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per numerum intervallorum inter ipsos terminum datum4 ,sunto ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e1 ,f continue proportionales2 si detur terminus ,c1 momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut -#b;,a1 -,b1 ,d1 #b;,e1 #c;,f4 ,corol4 #b4 ,et si in quatuor proportionalibus du medi dentur1 momenta extremarum erunt ut edem extrem4 ,idem intelligendum est de lateribus rectanguli cujuscunq2 dati4 ,corol4 #c4 ,et si summa vel differentia duorum quadratorum detur1 momenta laterum erunt reciproce ut latera4 ,scholium4 ,in literis qu mihi cum ,geometra peritissimo ,g4 ,g4 ,leibnitio annis abhinc decem intercedebant1 cum significarem me compotem esse methodi determinandi ,maximas ,minimas1 ducendi ,tangentes1 similia peragendi1 qu in terminis surdis que ac in rationalibus procederet1 literis transpositis hanc sententiam involventibus ,data quatione quotcunq2 fluentes quantitates involvente1 fluxiones invenire1 vice versa eandem celarem3 rescripsit ,vir ,clarissimus se quoq2 in ejusmodi methodum incidisse1 methodum suam communicavit a mea vix abludentem prterquam in verborum notarum formulis4 ,utriusq2 fundamentum continetur in hoc ,lemmate4 ,prop4 ,,viii4 ,theor4 ,,vi4 ,si corpus in ,medio uniformi1 ,gravitate uniformiter agente1 recta ascendat vel descendat1 spatium totum descriptum distinguatur in partes quales1 inq2 principiis singularum partium 7addendo resistentiam ,medii ad vim gravitatis1 quando corpus ascendit1 vel subducendo ipsam quando corpus descendit7 colligantur vires absolut2 dico quod vires ill absolut sunt in progressione ,geometrica4 ,illustration ,exponatur enim vis gravitatis per datam lineam ,,ac2 resistentia per lineam indefinitam ,,ak2 vis absoluta in descensu corporis per differentiam ,,kc2 velocitas corporis per lineam ,,ap 7qu sit media proportionalis inter ,,ak ,,ac1 ideoq2 in dimidiata ratione resistenti7 incrementum resistenti data temporis particula factum per lineolam ,,kl1 contemporaneum velocitatis incrementum per lineolam ,,pq2 centro ,c ,asymptotis rectangulis ,,ca1 ,,ch describatur ,hyperbola quvis ,,bns1 erectis perpendiculis ,,ab1 ,,kn1 ,,lo1 ,,pr1 ,,qs occurrens in ,b1 ,n1 ,o1 ,r1 ,s4 ,quoniam ,,ak est ut ,a,pq41 erit hujus momentum ,,kl ut illius momentum #b;,,apq1 id est ut ,,ap in ,,kc4 ,nam velocitatis incrementum ,,pq1 per motus ,leg4 #b4 proportionale est vi generanti ,,kc4 ,componatur ratio ipsius ,,kl cum ratione ipsius ,,kn1 fiet rectangulum ,,kl ,,kn ut ,,ap ,,kc ,,kn2 hoc est1 ob datum rectangulum ,,kc ,,kn1 ut ,,ap4 ,atqui are ,hyperbolic ,,knol ad rectangulum ,,kl ,,kn ratio ultima1 ubi coeunt puncta ,k ,l1 est qualitatis4 ,ergo area illa ,hyperbolica evanescens est ut ,,ap4 ,componitur igitur area tota ,hyperbolica ,,abol ex particulis ,,knol velocitati ,,ap semper proportionalibus1 propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est4 ,dividatur jam area illa in partes quales ,,abmi1 ,,imnk1 ,,knol1 c4 vires absolut ,,ac1 ,,ic1 ,,kc1 ,,lc1 c4 erunt in progressione ,geometrica4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et simili argumento1 in ascensu corporis1 sumendo1 ad contrariam partem puncti ,a1 quales areas ,a,bmi1 imnk1 knol1 c4 constabit quod vires absolut ,,ac1 i,c1 k,c1 l,c1 c4 sunt continue proportionales4 ,ideoq2 si spatia omnia in ascensu descensu capiantur qualia2 omnes vires absolut l,c1 k,c1 i,c1 ,,ac1 ,,ic1 ,,kc1 ,,lc1 c4 erunt continue proportionales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si spatium descriptum exponatur per aream ,hyperbolicam ,,abnk2 exponi possunt vis gravitatis1 velocitas corporis resistentia ,medii per lineas ,,ac1 ,,ap ,,ak respective2 vice versa4 ,corol4 #b4 ,et velocitatis maxim1 quam corpus in infinitum descendendo potest unquam acquirere1 exponens est linea ,,ac4 ,corol4 #c4 ,igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia ,medii1 invenietur velocitas maxima1 sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in dimidiata ratione1 quam habet vis ,gravitatis ad ,medii resistentiam illam cognitam4 ,corol4 #d4 ,sed particula temporis1 quo spatii particula quam minima ,,nklo in descensu describitur1 est ut rectangulum ,,kn ,,pq4 ,nam quoniam spatium ,,nklo est ut velocitas ducta in particulam temporis2 erit particula temporis ut spatium illud applicatum ad velocitatem1 id est ut rectangulum quam minimum ,,kn ,,kl applicatum ad ,,ap4 ,erat supra ,,kl ut ,,ap ,,pq4 ,ergo particula temporis est ut ,,kn ,,pq1 vel quod perinde est1 ut ,,pq ,,ck4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #e4 ,eodem argumento particula temporis1 quo spatii particula nklo in ascensu describitur1 est ut pq ,ck4 ,prop4 ,,ix4 ,theor4 ,,vii4 ,positis jam demonstratis1 dico quod si ,tangentes angulorum sectoris ,circularis sectoris ,hyperbolici sumantur velocitatibus proportionales1 existente radio just magnitudinis3 erit tempus omne ascensus futuri ut sector ,circuli1 tempus omne descensus prteriti ut sector ,hyperbol4 ,rect ,,ac1 qua vis gravitatis exponitur1 perpendicularis qualis ducatur ,,ad4 ,centro ,d semidiametro ,,ad describatur tum circuli ,quadrans ,at,e1 tum ,hyperbola rectangula ,,avz axem habens ,,ax1 verticem principalem ,a ,asymptoton ,,dc4 ,jungantur ,dp1 ,,dp1 erit sector circularis ,at,d ut tempus ascensus omnis futuri2 ,sector ,hyperbolicus ,,atd ut tempus descensus omnis prteriti1 si modo ,sectorem tangentes ,ap ,,ap sint velocitates4 ,illustration ,cas4 #a4 ,agatur enim ,dvq abscindens ,sectoris ,a,dt trianguli ,a,dp momenta1 seu particulas quam minimas simul descriptas t,dv p,dq4 ,cum particul ill1 ob angulum communem ,d1 sunt in duplicata ratione laterum1 erit particula t,dv ut q,dp p,d quad4 ,sed p,d quad4 est ,,ad quad4 ,ap quad4 id est ,,ad quad4 ,ak ,,ad seu ,,ad ,ck2 q,dp est ,,ad pq4 ,ergo ,sectoris particula v,dt est ut pq ,ck1 id est1 per ,corol4 #e1 ,prop4 ,,viii4 ut particula temporis4 ,et componendo fit summa particularum omnium t,dv in ,sectore ,a,dt1 ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentis ,ap particulis amissis pq respondentium1 usq2 dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit2 hoc est1 ,sector totus ,a,dt est ut ascensus totius futuri tempus4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,agatur ,,dqv abscindens tum ,sectoris ,,dav1 tum trianguli ,,daq particulas quam minimas ,,tdv ,,pdq2 erunt h particul ad invicem ut ,d,tq4 ad ,d,pq4 id est 7si ,,tx ,,ap parallel sint7 ut ,d,xq4 ad ,d,aq4 vel ,t,xq4 ad ,a,pq4 divisim ut ,d,xq4 - ,t,xq4 ad ,a,dq4 - ,a,pq4 ,sed ex natura ,hyperbol ,d,xq4 - ,t,xq4 est ,a,dq41 per ,hypothesin ,a,pq4 est ,,ad ,,ak4 ,ergo particul sunt ad invicem ut ,a,dq4 ad ,a,dq4 - ,,ad ,,ak2 id est ut ,,ad ad ,,ad - ,,ak seu ,,ac ad ,,ck3 ideoq2 ,sectoris particula ,,tdv est ,,pdq ,,ac ,,ck1 atq2 adeo ob datas ,,ac ,,ad1 ut ,,pq ,,ck2 propterea per ,corol4 #e4 ,prop4 ,,viii4 ,lib4 ,,ii4 ut particula temporis incremento velocitatis ,,pq respondens4 ,et componendo fit summa particularum temporis1 quibus omnes velocitatis ,,ap particul ,,pq generantur1 ut summa particularum ,sectoris ,,adt1 id est tempus totum ut ,sector totus4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si ,,ab quetur quart parti ipsius ,,ac1 spatium ,,abrp1 quod corpus tempore quovis ,,atd cadendo describit1 erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maxim ,,ac1 eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest1 ut area ,,abrp1 qua spatium cadendo descriptum exponitur1 ad aream ,,atd qua tempus exponitur4 ,nam cum sit ,,ac ad ,,ap ut ,,ap ad ,,ak1 erit #b;,,apq quale ,,ac ,,kl 7per ,corol4 #a4 ,lem4 ,,ii4 hujus7 adeoq2 ,,kl ad ,,pq ut #b;,,ap ad ,,ac1 inde ,,lkn ad ,,pq ,,ad seu ,,dpq ut #b;,,ap ,,kn ad ,,ac ,,ad4 ,sed erat ,,dpq ad ,,dtv ut ,,ck ad ,,ac4 ,ergo ex quo ,,lkn est ad ,,dtv ut #b;,,ap ,,kn ,,ck ad ,,ac cub42 id est1 ob quales ,,ckn ,a,cq41 ut ,,ap ad ,,ac2 hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo potest acquirere4 ,cum igitur arearum ,,abkn ,,avd momenta ,,lkn ,,dtv sunt ut velocitates1 erunt arearum illarum partes omnes simul genit ut spatia simul descripta1 ideoq2 are tot ab initio genit ,,abkn ,,avd ut spatia tota ab initio descensus descripta4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #b4 ,idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur4 ,nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium1 uniformi cum velocitate ,,ac eodem tempore descriptum1 ut est area ,a,bnk ad ,sectorem ,a,dt4 ,corol4 #c4 ,velocitas corporis tempore ,,atd cadentis est ad velocitatem1 quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret1 ut triangulum ,,apd ad ,sectorem ,hyperbolicum ,,atd4 ,nam velocitas in ,medio non resistente foret ut tempus ,,atd1 in ,medio resistente est ut ,,ap1 id est ut triangulum ,,apd4 ,et velocitates ill initio descensus quantur inter se1 perinde ut are ill ,,atd1 ,,apd4 ,corol4 #d4 ,eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem1 qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset1 ut triangulum ,ap,d ad ,sectorem circularem ,at,d1 sive ut recta ,ap ad arcum ,at4 ,corol4 #e4 ,est igitur tempus quo corpus in ,medio resistente cadendo velocitatem ,,ap acquirit1 ad tempus quo velocitatem maximam ,,ac in spatio non resistente cadendo acquirere posset1 ut ,sector ,,adt ad triangulum ,,adc3 tempus1 quo velocitatem ,ap in ,medio resistente ascendendo possit amittere1 ad tempus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascendendo posset amittere1 ut arcus ,at ad ejus ,tangentem ,ap4 ,corol4 #f4 ,hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum4 ,nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima1 per ,corol4 #b4 #c4 ,theor4 ,,vi1 ,lib4 ,,ii4 indeq2 datur spatium quod semisse velocitatis illius dato tempore describi potest1 tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere4 ,et sumendo ,sectorem ,,adt vel ,a,dt ad triangulum ,,adc in ratione temporum2 dabitur tum velocitas ,,ap vel ,ap1 tum area ,,abkn vel ,a,bkn1 qu est ad ,sectorem ut spatium qusitum ad spatium jam ante inventum4 ,corol4 #g4 ,et regrediendo1 ex dato ascensus vel descensus spatio ,a,bnk vel ,,abnk1 dabitur tempus ,a,dt vel ,,adt4 ,prop4 ,x4 ,prob4 ,,iii4 ,tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum ,horizontis1 sitq2 resistentia ut medii densitas quadratum velocitatis conjunctim3 requiritur tum ,medii densitas in locis singulis1 qu faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur1 tum corporis velocitas in iisdem locis4 ,illustration ,sit ,,ak planum illud plano ,schematis perpendiculare2 ,,ack linea curva2 ,c corpus in ipsa motum2 ,f,cf recta ipsam tangens in ,c4 ,fingatur autem corpus ,c nunc progredi ab ,a ad ,k per lineam illam ,,ack1 nunc vero regredi per eandem lineam2 in progressu impediri a ,medio1 in regressu que promoveri1 sic ut in iisdem locis eadem semper sit corporis progredientis regredientis velocitas4 qualibus autem temporibus describat corpus progrediens arcum quam minimum ,,cg1 corpus regrediens arcum ,cg2 sint ,,ch1 ,ch longitudines quales rectiline1 quas corpora de loco ,c exeuntia1 his temporibus1 absq2 ,medii ,gravitatis actionibus describerent3 a punctis ,c1 ,g1 g1 ad planum horizontale ,,ak demittantur perpendicula ,,cb1 ,,gd1 gd1 quorum ,,gd ac gd tangenti occurrant in ,f f4 ,per ,medii resistentiam fit ut corpus progrediens1 vice longitudinis ,,ch1 describat solummodo longitudinem ,,cf2 per vim gravitatis transfertur corpus de ,f in ,g3 adeoq2 lineola ,,hf vi resistenti1 lineola ,,fg vi gravitatis simul generantur4 ,proinde 7per ,lem4 ,x4 ,lib4 ,i47 lineola ,,fg est ut vis gravitatis quadratum temporis conjunctim1 adeoq2 7ob datam gravitatem7 ut quadratum temporis2 lineola ,,hf ut resistentia quadratum temporis1 hoc est ut resistentia lineola ,,fg4 ,et inde resistentia fit ut ,,hf directe ,,fg inverse1 sive ut ,,hf ,,fg4 ,hc ita se habent in lineolis nascentibus4 ,nam in lineolis finit magnitudinis h rationes non sunt accurat4 ,et simili argumento est fg ut quadratum temporis1 adeoq2 ob qualia tempora quatur ipsi ,,fg2 impulsus quo corpus regrediens urgetur est ut hf fg4 ,sed impulsus corporis regredientis resistentia progredientis ipso motus initio quantur1 adeoq2 ipsis proportionales hf fg ,,hf ,,fg quantur2 propterea ob quales fg ,,fg1 quantur etiam hf ,,hf1 suntq2 adeo ,,cf1 ,,ch 7vel ,ch7 ,cf in progressione ,arithmetica1 inde ,,hf semidifferentia est ipsarum ,cf ,,cf2 resistentia qu supra fuit ut ,,hf ,,fg1 est ut ,cf - ,,cf ,,fg4 ,est autem resistentia ut ,medii densitas quadratum velocitatis4 ,velocitas autem ut descripta longitudo ,,cf directe tempus sqrt,,fg inverse1 hoc est ut ,,cf sqrt,,fg1 adeoq2 quadratum velocitatis ut ,c,fq4 ,,fg4 ,quare resistentia1 ipsiq2 proportionalis ,cf - ,,cf ,,fg est ut ,medii densitas ut ,c,fq4 ,,fg conjunctim2 inde ,medii densitas ut ,cf - ,,cf ,,fg directe ,c,fq4 ,,fg inverse1 id est ut ,cf - ,,cf ,c,fq4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,et hinc colligitur1 quod si in ,cf capiatur ,ck qualis ,,cf1 ad planum horizontale ,,ak demittatur perpendiculum ki1 secans curvam ,,ack in l2 fiet ,medii densitas ut ,,fg - kl ,,cf ,,fg kl4 ,erit enim f,c ad k,c ut sqrtfg seu sqrt,,fg ad sqrtkl1 divisim fk ad k,c1 id est ,cf - ,,cf ad ,,cf ut sqrt,,fg - sqrtkl ad sqrtkl2 hoc est 7si ducatur terminus uterq2 in sqrt,,fg sqrtkl7 ut ,,fg - kl ad kl sqrt,,fg kl1 sive ad ,,fg kl4 ,nam ratio prima nascentium kl sqrt,,fg kl ,,fg kl est qualitatis4 ,scribatur itaq2 ,,fk - ,kl ,,fk ,kl pro ,cf - ,,cf ,,cf2 ,medii densitas1 qu fuit ut ,cf - ,,cf ,,cf quad4 evadet ut ,,fg - kl ,,cf ,,fg kl4 ,corol4 #b4 ,unde cum #b;,,hf ,cf - ,,cf quentur1 ,,fg kl 7ob rationem qualitatis7 componant #b;,,fg2 erit #b;,,hf ad ,,cf ut ,,fg - kl ad #b;,,fg2 et inde ,,hf ad ,,fg1 hoc est resistentia ad gravitatem1 ut rectangulum ,,cf in ,,fg - kl ad #d;,,fg quad4 ,corol4 #c4 ,et hinc si curva linea definiatur per relationem inter basem seu abscissam ,,ab ordinatim applicatam ,,bc2 7ut moris est7 valor ordinatim applicat resolvatur in seriem convergentem3 ,problema per primos seriei terminos expedite solvetur3 ut in ,exemplis sequentibus4 ,exempl4 #a4 ,sit ,linea ,,ack semicirculus super diametro ,,ak descriptus1 requiratur ,medii densitas qu faciat ut ,projectile in hac linea moveatur4 ,bisecetur semicirculi diameter ,,ak in ,o2 dic ,,ok n1 ,,ob a1 ,,bc e1 ,,bd vel ,bi o3 erit ,d,gq4 seu ,o,gq4 - ,o,dq4 quale nn - aa - #b;ao - oo seu ee - #b;ao - oo2 radice per methodum nostram extracta1 fiet ,,dg e - ao e - oo #b;e - aaoo #b;e#c - ao#c #b;e#c - a#co#c #b;e#e c4 ,hic scribatur nn pro ee aa evadet ,,dg e - ao e - nnoo #b;e#c - anno#c #b;e#e c4 ,hujusmodi ,series distinguo in terminos successivos in hunc modum4 ,terminum primum appello in quo quantitas infinite parva o non extat2 secundum in quo quantitas illa extat unius dimensionis2 tertium in quo extat duarum1 quartum in quo trium est1 sic in infinitum4 ,et primus terminus1 qui hic est e1 denotabit semper longitudinem ordinat ,,bc insistentis ad indefinit quantitatis initium ,b2 secundus terminus qui hic est ao e1 denotabit differentiam inter ,,bc ,,df1 id est lineolam ,,if1 qu abscinditur complendo parallelogrammum ,,bc - ,,id1 atq2 adeo positionem ,tangentis ,,cf semper determinat3 ut in hoc casu capiendo ,,if ad ,,ic ut est ao e ad o seu a ad e4 ,terminus tertius1 qui hic est nnoo #b;e#c designabit lineolam ,,fg1 qu jacet inter ,tangentem ,curvam1 adeoq2 determinat angulum contactus ,,fcg1 seu curvaturam quam curva linea habet in ,c4 ,si lineola illa ,,fg finit est magnitudinis1 designabitur per terminum tertium una cum subsequentibus in infinitum4 ,at si lineola illa minuatur in infinitum1 termini subsequentes evadent infinite minores tertio1 ideoq2 negligi possunt4 ,terminus quartus1 qui hic est anno#c #b;e#e1 exhibet variationem ,curvatur2 quintus variationem variationis1 sic deinceps4 ,unde obiter patet usus non contemnendus harum ,serierum in solutione ,problematum1 qu pendent a ,tangentibus curvatura ,curvarum4 ,prterea ,,cf est latus quadratum ex ,c,iq4 ,i,fq4 hoc est ex ,b,dq4 quadrato termini secundi4 ,estq2 ,,fg kl qualis duplo termini tertii1 ,,fg - kl qualis duplo quarti4 ,nam valor ipsius ,,dg convertitur in valorem ipsius il1 valor ipsius ,,fg in valorem ipsius kl1 scribendo ,bi pro ,,bd1 seu -o pro o4 ,proinde cum ,,fg sit - nnoo #b;e#c - anno#c #b;e#e c4 erit kl - nnoo #b;e#c anno#c #b;e#e1 c4 ,et horum summa est - nnoo e#c1 differentia - anno#c e#e4 ,terminum quintum sequentes hic negligo1 ut infinite minores quam qui in hoc ,problemate considerandi veniant4 ,itaq2 si designetur ,series universaliter his terminis ,qo - ,roo - ,so#c c4 erit ,,cf qualis sqrtoo ,q,qoo1 ,,fg kl qualis #b,roo1 ,,fg - kl qualis #b,so#c4 ,pro ,,cf1 ,,fg kl ,,fg - kl scribantur hi earum valores1 ,medii densitas qu erat ut ,,fg - kl ,,cf in ,,fg kl jam fiet ut ,s ,r sqrt#a ,,qq4 ,deducendo igitur ,problema unumquodq2 ad seriem convergentem1 hic pro ,q1 ,r ,s scribendo terminos seriei ipsis respondentes2 deinde etiam ponendo resistentiam ,medii in loco quovis ,g esse ad ,gravitatem ut ,ssqrt#a ,,qq ad #b,,rr1 velocitatem esse illam ipsam quacum corpus1 de loco ,c secundum rectam ,,cf egrediens1 in ,parabola1 diametrum ,,cb latus rectum #a ,,qq ,r habente1 deinceps moveri posset1 solvetur ,problema4 ,sic in ,problemate jam solvendo1 si scribantur sqrt#a aa ee seu n e pro sqrt#a ,,qq1 nn #b;e#c pro ,r1 ann #b;e#c pro ,s1 prodibit ,medii densitas ut a ne1 hoc est 7ob datam n7 ut a e seu ,,ob ,,bc1 id est ut ,tangentis longitudo illa ,,ct1 qu ad semidiametrum ,,ol ipsi ,,ak normaliter insistentem terminatur1 resistentia erit ad gravitatem ut a ad n1 id est ut ,,ob ad circuli semidiametrum ,,ok1 velocitas autem erit ut sqrt#b;,,bc4 ,igitur si corpus ,c certa cum velocitate1 secundum lineam ipsi ,,ok parallelam1 exeat de loco ,l1 ,medii densitas in singulis locis ,c sit ut longitudo tangentis ,,ct1 resistentia etiam in loco aliquo ,c sit ad vim gravitatis ut ,,ob ad ,,ok2 corpus illud describet circuli quadrantem ,,lck4 ,q4 ,e4 ,i4 ,at si corpus idem de loco ,a secundum lineam ipsi ,,ak perpendicularem egrederetur1 sumenda esset ,,ob seu a ad contrarias partes centri ,o1 propterea signum ejus mutandum esset1 scribendum -a pro a4 ,quo pacto prodiret ,medii densitas ut -a e4 ,negativam autem densitatem 7hoc est qu motus corporum accelerat7 ,natura non admittit1 propterea naturaliter fieri non potest ut corpus ascendendo ab ,a describat circuli quadrantem ,,al4 ,ad hunc effectum deberet corpus a ,medio impellente accelerari1 non a resistente impediri4 ,exempl4 #b4 ,sit linea ,,alck ,parabola1 axem habens ,,ol horizonti ,,ak perpendicularem1 requiratur ,medii densitas qu faciat ut projectile in ipsa moveatur4 ,ex natura ,parabol1 rectangulum ,,adk quale est rectangulo sub ordinata ,,dg recta aliqua data3 hoc est1 si dicantur recta illa b1 ,,ab a1 ,,ak c1 ,,bc e ,,bd o2 rectangulum a o in c - a - o seu ac - aa - #b;ao co - oo quale est rectangulo b in ,,dg1 adeoq2 ,,dg quale ac - aa b c - #b;a bo - oo b4 ,jam scribendus esset hujus seriei secundus terminus c - #b;a b o pro ,qo1 ejus coefficiens c - #b;a b pro ,q2 tertius item terminus oo b pro ,roo1 ejus coefficiens #a b pro ,r4 ,cum vero plures non sint termini1 debebit quarti termini ,so#c coefficiens ,s evanescere1 propterea quantitas ,s ,rsqrt#a ,,qq cui ,medii densitas proportionalis est1 nihil erit4 ,nulla igitur ,medii densitate movebitur ,projectile in ,parabola1 uti olim demonstravit ,galilus4 ,q4 ,e4 ,i4 ,illustration ,exempl4 #c4 ,sit linea ,,agk ,hyperbola1 ,asymptoton habens ,,nx plano horizontali ,,ak perpendicularem2 quratur ,medii densitas qu faciat ut ,projectile moveatur in hac linea4 ,sit ,,mx ,asymptotos altera1 ordinatim applicat ,,dg product occurrens in ,v1 ex natura ,hyperbol1 rectangulum ,,xv in ,,vg dabitur4 ,datur autem ratio ,,dn ad ,,vx1 propterea datur etiam rectangulum ,,dn in ,,vg4 ,sit illud bb2 completo parallelogrammo ,,dnxz1 dicatur ,,bn a1 ,,bd o1 ,,nx c1 ratio data ,,vz ad ,,zx vel ,,dn ponatur esse m n4 ,et erit ,,dn qualis a - o1 ,,vg qualis bb a - o1 ,,vz qualis m n a - o1 ,,gd seu ,,nx - ,,vz - ,,vg qualis c - m na m no - bb a - o4 ,resolvatur terminus bb a - o in seriem convergentem bb a bb aao bb a#coo bb a#do#c etc4 fiet ,,gd qualis c - m na - bb a m no - bb aao - bb a#co#b - bb a#do#c c4 ,hujus seriei terminus secundus m no - bb aao usurpandus est pro ,qo1 tertius cum signo mutato bb a#co#b pro ,ro#b1 quartus cum signo etiam mutato bb a#do#c pro ,so#c1 eorumq2 coefficientes m n - bb aa1 bb a#c bb a#d scribend sunt1 in ,regula superiore1 pro ,q1 ,r ,s4 ,quo facto prodit medii densitas ut bb --- a#d #a ------------------------------ seu ------------------------------ --------------------- ------------------------- bb _/ mm #bmbb b#d _/ mm #bmbb b#d -- _/ #a - -- - ---- --- _/ aa -- aa - ---- ---- a#c_/ nn naa a#d _/ nn n aa est1 si in ,,vz sumatur ,,vy qualis ,,vg1 ut #a ,,xy4 ,namq2 aa mm nnaa - #bmbb n b#d aa sunt ipsarum ,,xz ,,zy quadrata4 ,resistentia autem invenitur in ratione ad ,gravitatem quam habet ,,xy ad ,,yg1 velocitas ea est quacum corpus in ,parabola pergeret verticem ,g diametrum ,,dg latus rectum ,,yx quad4 ,,vg habente4 ,ponatur itaq2 quod ,medii densitates in locis singulis ,g sint reciproce ut distanti ,,xy1 quodq2 resistentia in loco aliquo ,g sit ad gravitatem ut ,,xy ad ,,yg2 corpus de loco ,a justa cum velocitate emissum describet ,hyperbolam illam ,,agk4 ,q4 ,e4 ,i4 ,exempl4 #d4 ,ponatur indefinite1 quod linea ,,agk ,hyperbola sit1 centro ,x ,asymptotis ,,mx1 ,,nx1 ea lege descripta1 ut constructo rectangulo ,,xzdn cujus latus ,,zd secet ,hyperbolam in ,g ,asymptoton ejus in ,v1 fuerit ,,vg reciproce ut ipsius ,,zx vel ,,dn dignitas aliqua ,,ndn1 cujus index est numerus n3 quratur ,medii densitas1 qua ,projectile progrediatur in hac curva4 ,pro ,,dn1 ,,bd1 ,,nx scribantur ,a1 ,o1 ,c respective1 sitq2 ,,vz ad ,,zx vel ,,dn ut d ad e1 ,,vg qualis bb ,,dnn1 erit ,,dn qualis ,a - ,o1 ,,vg bb ,a - ,on1 ,,vz d e in ,a - ,o1 ,,gd seu ,,nx - ,,vz - ,,vg qualis ,c - d e,a d e,o - bb ,a - ,on4 ,resolvatur terminus ille bb ,a - ,on in seriam infinitam bb nbb,o nn n n#c #cnn #bn ----- ------- -------- bb,o#b -------------- bb,o#c c4 ,an ,an#a #b;,an#b #f;,an#c ac fiet ,,gd qualis d bb d nbb nn n n#c #cnn #bn ,c - -,a - ----- -,o - -------,o - --------bb,o#b - --------------bb,o#c c4 e ,an e ,an#a #b;,an#b #f;,an#c ,hujus seriei terminus secundus d e,o - nbb ,an#a,o usurpandus est pro ,qo1 tertius nn n #b;,an#b;bb,o#b pro ,ro#b1 quartus n#c #cnn #bn #f;,an#c;bb,o#c pro ,so#c4 ,et inde ,medii densitas ,s ,r sqrt#a ,,qq1 in loco quovis ,g1 fit n #b --------------------------------------- 1 -------------------------------- _/ dd #b;dnbb nnb#d #c _/ ,a#b -- ,a#b - ------ ,a ------ _/ ee e,an ,a#bn adeoq2 si in ,,vz capiatur ,,vy qualis n ,,vg1 est reciproce ut ,,xy4 ,sunt enim ,a#b dd ee,a#b - #b;dnbb e,an in ,a nnb#d ,a#bn ipsarum ,,xz ,,zy quadrata4 ,resistentia autem in eodem loco ,g fit ad ,gravitatem ut ,s in ,,xy ,a ad #b,,rr1 id est ,,xy ad #cnn #cn n #b,,vg4 ,et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus projectum in ,parabola pergeret1 verticem ,g1 diametrum ,,gd ,latus rectum #a ,,qq ,r seu #b,,xy quad4 nn n in ,,vg habente4 ,q4 ,e4 ,i4 ,scholium4 ,quoniam motus non fit in ,parabola nisi in ,medio non resistente1 in ,hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam2 perspicuum est quod linea1 quam ,projectile in ,medio uniformiter resistente describit1 propius accedit ad ,hyperbolas hasce quam ad ,parabolam4 ,est utiq2 linea illa ,hyperbolici generis1 sed qu circa verticem magis distat ab ,asymptotis2 in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione ,hyperbolarum quas hic descripsi4 ,tanta vero non est inter has illam differentia1 quin illius loco possint h in rebus practicis non incommode adhiberi4 ,et utiliores forsan futur sunt h1 quam ,hyperbola magis accurata simul magis composita4 ,ips vero in usum sic deducentur4 ,compleatur parallelogrammum ,,xygt1 ex natura harum ,hyperbolarum facile colligitur quod recta ,,gt tangit ,hyperbolam in ,g1 ideoq2 densitas ,medii in ,g est reciproce ut tangens ,,gt1 velocitas ibidem ut sqrt,g,tq4 ,,gv1 resistentia autem ad vim gravitatis ut ,,gt ad #cnn #cn n #b;,,gv4 ,proinde si corpus de loco ,a secundum rectam ,,ah projectum describat ,hyperbolam ,,agk1 ,,ah producta occurrat ,asymptoto ,,nx in ,h1 actaq2 ,,ai occurrat alteri ,asymptoto ,,mx in ,i3 erit ,medii densitas in ,a reciproce ut ,,ah1 corporis velocitas ut sqrt,a,hq4 ,,ai1 ac resistentia ibidem ad ,gravitatem ut ,,ah ad #cnn #cn n #b in ,,ai4 ,unde prodeunt sequentes ,regul4 ,reg4 #a4 ,si servetur ,medii densitas in ,a mutetur angulus ,,nah1 manebunt longitudines ,,ah1 ,,ai1 ,,hx4 ,ideoq2 si longitudines ill in aliquo casu inveniantur1 ,hyperbola deinceps ex dato quovis angulo ,,nah expedite determinari potest4 ,reg4 #b4 ,si servetur tum angulus ,,nah tum ,medii densitas in ,a1 mutetur velocitas quacum corpus projicitur2 servabitur longitudo ,,ah1 mutabitur ,,ai in duplicata ratione velocitatis reciproce4 ,reg4 #c4 ,si tam angulus ,,nah quam corporis velocitas in ,a1 gravitasq2 acceleratrix servetur1 proportio resistenti in ,a ad gravitatem motricem augeatur in ratione1 quacunque3 augebitur proportio ,,ah ad ,,ai eadem ratione1 manente ,parabol latere recto1 eiq2 proportionali longitudine ,a,hq4 ,,ai2 propterea minuetur ,,ah in eadem ratione1 ,,ai minuetur in ratione illa duplicata4 ,augetur vero proportio resistenti ad pondus1 ubi vel gravitas specifica sub quali magnitudine fit minor1 vel ,medii densitas major1 vel resistentia1 ex magnitudine diminuta1 diminuitur in minore ratione quam pondus4 ,reg4 #d4 ,quoniam densitas ,medii prope verticem ,hyperbol major est quam in loco ,a1 ut servetur densitas mediocris1 debet ratio minim tangentium ,,gt ad ,tangentem ,,ah inveniri1 densitas in ,a1 per ,regulam tertiam1 diminui in ratione paulo minore quam semisumm ,tangentium ad ,tangentium ,,ah4 ,reg4 #e4 ,si dantur longitudines ,,ah1 ,,ai1 describenda sit figura ,,agk3 produc ,,hn ad ,x1 ut sit ,,hx qualis facto sub n #a ,,ai2 centroq2 ,x ,asymptotis ,,mx1 ,,nx per punctum ,a describatur ,hyperbola1 ea lege ut sit ,,ai ad quamvis ,,vg ut ,,xvn ad ,,xin4 ,illustration ,reg4 #f4 ,quo major est numerus n1 eo magis accurat sunt h ,hyperbol in ascensu corporis ab ,a1 minus accurat in ejus descensu ad ,g2 contra4 ,hyperbola ,conica mediocrem rationem tenet1 estq2 cteris simplicior4 ,igitur si ,hyperbola sit hujus generis1 punctum ,k1 ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis ,,an per punctum ,a transeuntem1 quratur3 occurrat producta ,,an ,asymptotis ,,mx1 ,,nx in ,m ,n1 sumatur ,,nk ipsi ,,am qualis4 ,reg4 #g4 ,et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc ,hyperbolam ex ,phnomenis4 ,projiciantur corpora duo similia qualia eadem velocitate1 in angulis diversis ,,hak1 h,ak1 incidentq2 in planum ,horizontis in ,k k2 notetur proportio ,,ak ad ,ak4 ,sit ea d ad e4 ,tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculo ,,ai1 assume utcunq2 longitudinem ,,ah vel ,ah1 inde collige graphice longitudines ,,ak1 ,ak1 per ,reg4 #f4 ,si ratio ,,ak ad ,ak sit eadem cum ratione d ad e1 longitudo ,,ah recte assumpta fuit4 ,sin minus cape in recta infinita ,,sm longitudinem ,,sm qualem assumpt ,,ah1 erige perpendiculum ,,mn quale rationum differenti ,,ak ,ak - d e duct in rectam quamvis datam4 ,simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus ,,ah invenienda sunt plura puncta ,n3 tum demum si per omnia agatur ,curva linea regularis ,,nnxn1 hc abscindet ,,sx qusit longitudini ,,ah qualem4 ,ad usus ,mechanicos sufficit longitudines ,,ah1 ,,ai easdem in angulis omnibus ,,hak retinere4 ,sin figura ad inveniendam resistentiam ,medij accuratius determinanda sit1 corrigend sunt semper h longitudines per ,regulam quartam4 ,illustration ,reg4 #h4 ,inventis longitudinibus ,,ah1 ,,hx2 si jam desideretur positio rect ,,ah1 secundum quam ,projectile data illa cum velocitate emissum incidit in punctum quodvis ,k3 ad puncta ,a ,k erigantur rect ,,ac1 ,,kf horizonti perpendiculares1 quarum ,,ac deorsum tendat1 quetur ipsi ,,ai seu ,,hx4 ,asymptotis ,,ak1 ,,kf describatur ,hyperbola1 cujus ,conjugata transeat per punctum ,c1 centroq2 ,a intervallo ,,ah describatur ,circulus secans ,hyperbolam illam in puncto ,h2 projectile secundum rectam ,,ah emissum incidet in punctum ,k4 ,q4 ,e4 ,i4 ,nam punctum ,h1 ob datam longitudinem ,,ah1 locatur alicubi in circulo descripto4 ,agatur ,,ch occurrens ipsis ,,ak ,,kf1 illi in ,c1 huic in ,f1 ob parallelas ,,ch1 ,,mx quales ,,ac1 ,,ai1 erit ,,ae qualis ,,am1 propterea etiam qualis ,,kn4 ,sed ,,ce est ad ,,ae ut ,,fh ad ,,kn1 propterea ,,ce ,,fh quantur4 ,incidit ergo punctum ,h in ,hyperbolam ,asymptotis ,,ak1 ,,kf descriptam1 cujus conjugata transit per punctum ,c1 atq2 adeo reperitur in communi intersectione ,hyperbol hujus circuli descripti4 ,q4 ,e4 ,d4 ,notandum est autem quod hc operatio perinde se habet1 sive recta ,,akn horizonti parallela sit1 sive ad horizontem in angulo quovis inclinata3 quodq2 ex duabus intersectionibus ,h1 ,h duo prodeunt anguli ,,nah1 ,,nah1 quorum minor eligendus est2 quod in ,praxi mechanica sufficit circulum semel describere1 deinde regulam interminatam ,,ch ita applicare ad punctum ,c1 ut ejus pars ,,fh1 circulo rect ,,fk interjecta1 qualis sit ejus parti ,,ce inter punctum ,c rectam ,,hk sit4 ,illustration ,qu de ,hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad ,parabolas4 ,nam si ,,xagk ,parabolam designet quam recta ,,xv tangat in vertice ,x1 sintq2 ordinatim applicat ,,ia1 ,,vg ut qulibet abscissarum ,,xi1 ,,xv dignitates ,,xin1 ,,xvn2 agantur ,,xt1 ,,tg1 ,,ha1 quarum ,,xt parallela sit ,,vg1 ,,tg1 ,,ha parabolam tangant in ,g ,a3 corpus de loco quovis ,a1 secundum rectam ,,ah productam1 justa cum velocitate projectum1 describet hanc ,parabolam1 si modo densitas ,medij1 in locis singulis ,g1 sit reciproce ut tangens ,,gt4 ,velocitas autem in ,g ea erit quacum ,projectile pergeret1 in spatio non resistente1 in ,parabola ,conica1 verticem ,g1 diametrum ,,vg deorsum productam1 latus rectum sqrt#b,t,gq4 nn - n,,xvg habente4 ,et resistentia in ,g erit ad vim ,gravitatis ut ,,tg ad #cnn - #cn n - #b,,vg4 ,vnde si ,,nak lineam horizontalem designet1 manente tum densitate ,medij in ,a1 tum velocitate quacum corpus projicitur1 mutetur utcunq2 angulus ,,nah2 manebunt longitudines ,,ah1 ,,ai1 ,,hx1 inde datur ,parabol vertex ,x1 positio rect ,,xi1 sumendo ,,vg ad ,,ia ut ,,xvn ad ,,xin1 dantur omnia ,parabol puncta ,g1 per qu ,projectile transibit4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,iii4 ,de motu corporum qu resistuntur partim in ratione velocitatis1 partim in ejusdem ratione duplicata4 ,prop4 ,,xi4 ,theor4 ,,viii4 ,si corpus resistitur partim in ratione velocitatis1 partim in velocitatis ratione duplicata1 sola vi insita in ,medio similari movetur1 sumantur autem tempora in progressione ,arithmetica3 quantitates velocitatibus reciproce proportionales1 data quadam quantitate auct1 erunt in progressione ,geometrica4 ,illustration ,centro ,c1 ,asymptotis rectangulis ,c,a,dd ,,ch describatur ,hyperbola ,b,ee,s1 ,asymptoto ,,ch parallel sint ,,ab1 ,,de1 de4 ,in ,asymptoto ,,cd dentur puncta ,a1 ,g3 ,et si tempus exponatur per aream ,hyperbolicam ,,abed uniformiter crescentem2 dico quod velocitas exponi potest per longitudinem ,,df1 cujus reciproca ,,gd una cum data ,,cg componat longitudinem ,,cd in progressione ,geometrica crescentem4 ,sit enim areola ,d,eed datum temporis incrementum quam minimum1 erit ,dd reciproce ut ,,de1 adeoque directe ut ,,cd4 ,ipsius autem #a ,,gd decrementum1 quod 7per hujus ,lem4 ,,ii47 est ,dd ,g,dq4 erit ut ,,cd ,g,dq4 seu ,,cg ,,gd ,g,dq41 id est1 ut #a ,,gd ,,cg ,g,dq44 ,igitur tempore ,,abed per additionem datarum particularum ,e,dde uniformiter crescente1 decrescit #a ,,gd in eadem ratione cum velocitate4 ,nam decrementum velocitatis est ut resistentia1 hoc est 7per ,hypothesin7 ut summa duarum quantitatum1 quarum una est ut velocitas1 altera ut quadratum velocitatis2 ipsius #a ,,gd decrementum est ut summa quantitatum #a ,,gd ,,cg ,g,dq41 quarum prior est ipsa #a ,,gd1 posterior ,,cg ,g,dq4 est ut #a ,g,dq44 ,proinde #a ,,gd1 ob analogum decrementum1 est ut velocitas4 ,et si quantitas ,,gd ipsi #a ,,gd reciproce proportionalis quantitate data ,,cg augeatur1 summa ,,cd1 tempore ,,abed uniformiter crescente1 crescet in progressione ,geometrica4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur si datis punctis ,a1 ,g1 exponatur tempus per aream ,hyperbolicam ,,abed1 exponi potest velocitas per ipsius ,,gd reciprocam #a ,,gd4 ,corol4 #b4 ,sumendo autem ,,ga ad ,,gd ut velocitatis reciproca sub initio1 ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis ,,abed1 invenietur punctum ,g4 ,eo autem invento1 velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest4 ,prop4 ,,xii4 ,theor4 ,,ix4 ,iisdem positis1 dico quod si spatia descripta sumantur in progressione ,arithmetica1 velocitates data quadam quantitate auct erunt in progressione ,geometrica4 ,in ,asymptoto ,,cd detur punctum ,r1 erecto perpendiculo ,,rs1 quod occurrat ,hyperbol in ,s1 exponatur descriptum spatium per aream ,hyperbolicam ,,rsed2 velocitas erit ut longitudo ,,gd1 qu cum data ,,cg componit longitudinem ,,cd1 in ,progressione ,geometrica decrescentem1 interea dum spatium ,,rsed augetur in ,arithmetica4 ,etenim ob datum spatii incrementum ,e,dde1 lineola ,dd1 qu decrementum est ipsius ,,gd1 erit reciproce ut ,,ed1 adeoq2 directe ut ,,cd1 hoc est ut summa ejusdem ,,gd longitudinis dat ,,cg4 ,sed velocitatis decrementum1 tempore sibi reciproce proportionali1 quo data spatii particula ,dde,e describitur1 est ut resistentia tempus conjunctim1 id est directe ut summa duarum quantitatum1 quarum una est velocitas1 altera ut velocitatis quadratum1 inverse ut velocitas2 adeoque directe ut summa dearum quantitatum1 quarum una datur1 altera est ut velocitas4 ,igitur decrementum tam velocitatis quam line ,,gd1 est ut quantitas data quantitas decrescens conjunctim1 propter analoga decrementa1 analog semper erunt quantitates decrescentes3 nimirum velocitas linea ,,gd4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur si velocitas exponatur per longitudinem ,,gd1 spatium descriptum erit ut area ,hyperbolica ,,desr4 ,corol4 #b4 ,et si utcunque assumatur punctum ,r1 invenietur punctum ,g1 capiendo ,,gd ad ,,gr ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis ,,abed descriptum4 ,invento autem puncto ,g1 datur spatium ex data velocitate1 contra4 ,corol4 #c4 ,unde cum1 per ,prop4 ,,xi4 detur velocitas ex dato tempore1 per hanc ,propositionem detur spatium ex data velocitate2 dabitur spatium ex dato tempore3 contra4 ,prop4 ,,xiii4 ,theor4 ,x4 ,illustration ,posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit1 resistitur partim in ratione velocitatis1 partim in ejusdem ratione duplicata3 dico quod si ,circuli ,hyperbol diametris parallel rect per conjugatarum diametrorum terminos ducantur1 velocitates sint ut segmenta qudam parallelarum a dato puncto ducta1 ,tempora erunt ut arearum ,sectores1 rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi3 contra4 ,cas4 #a4 ,ponamus primo quod corpus ascendit1 centroque ,d semidiametro quovis ,,db describatur circuli quadrans ,,betf1 per semidiametri ,,db terminum ,b agatur infinita ,,bap1 semidiametro ,,df parallela4 ,in ea detur punctum ,a1 capiatur segmentum ,,ap velocitati proportionale4 ,et cum resistenti pars aliqua sit ut velocitas pars altera ut velocitatis quadratum1 fit resistentia tota in ,p ut ,,ap quad4 #b,,pab4 ,jungantur ,,da1 ,,dp circulum secantes in ,e ac ,t1 exponatur gravitas per ,,da quadratum1 ita ut sit gravitas ad resistentiam in ,p ut ,d,aq4 ad ,a,pq4 #b,,pab3 tempus ascensus omnis futuri erit ut circuli sector ,,edte4 ,agatur enim ,,dvq1 abscindens velocitatis ,,ap momentum ,,pq1 ,sectoris ,,det momentum ,,dtv dato temporis momento respondens3 velocitatis decrementum illud ,,pq erit ut summa virium gravitatis ,d,bq4 resistenti ,a,pq4 #b;,,bap1 id est 7per ,prop4 #ab4 ,lib4 ,,ii4 ,elem47 ut ,,dp quad4 ,proinde area ,,dpq1 ipsi ,,pq proportionalis1 est ut ,,dp quad42 area ,,dtv1 7qu est ad aream ,,dpq ut ,d,tq4 ad ,d,pq47 est ut datum ,d,tq4 ,decrescit igitur area ,,edt uniformiter ad modum temporis futuri1 per subductionem datarum particularum ,,dtv1 propterea tempori ascensus futuri proportionalis est4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illustration ,cas4 #b4 ,si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinem ,,ap ut prius1 resistentia ponatur esse ut ,a,pq4 #b;,,bap1 si vis gravitatis minor sit quam qu per ,d,aq4 exponi possit2 capiatur ,,bd ejus longitudinis1 ut sit ,a,bq4 - ,b,dq4 gravitati proportionale1 sitque ,,df ipsi ,,db perpendicularis qualis1 per verticem ,f describatur ,hyperbola ,,ftve cujus semidiametri conjugat sint ,,db ,,df1 quq2 secet ,,da in ,e1 ,,dp1 ,,dq in ,t ,v2 erit tempus ascensus futuri ut ,hyperbol sector ,,tde4 ,nam velocitatis decrementum ,,pq1 in data temporis particula factum1 est ut summa resistenti ,a,pq4 #b;,,abp gravitatis ,a,bq4 - ,b,dq4 id est ut ,b,pq4 - ,b,dq4 ,est autem area ,,dtv ad aream ,,dpq ut ,d,tq4 ad ,d,pq4 adeoque1 si ad ,,df demittatur perpendiculum ,,gt1 ut ,g,tq4 seu ,g,dq4 - ,d,fq4 ad ,b,dq4 utque ,g,dq4 ad ,p,bq4 divisim ut ,d,fq4 ad ,b,pq4 - ,d,bq4 ,quare cum area ,,dpq sit ut ,,pq1 id est ut ,b,pq4 - ,b,dq4 erit area ,,dtv ut datum ,d,fq4 ,decrescit igitur area ,,edt uniformiter singulis temporis particulis qualibus1 per subductionem particularum totidem datarum ,,dtv1 propterea tempori proportionalis est4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #c4 ,sit ,,ap velocitas in descensu corporis1 ,a,pq4 #b;,,abp resistentia1 ,d,bq4 - ,a,bq4 vis gravitatis1 existente angulo ,,dab recto4 ,et si centro ,d1 vertice principali ,b1 describatur ,hyperbola rectangula ,,betv secans productas ,,da1 ,,dp ,,dq in ,e1 ,t ,v2 erit ,hyperbol hujus sector ,,det ut tempus descensus4 ,illustration ,nam velocitatis incrementum ,,pq1 eiq2 proportionalis area ,,dpq1 est ut excessus gravitatis supra resistentiam1 id est1 ut ,d,bq4 - ,a,bq4 - #b;,,abp - ,a,pq4 seu ,d,bq4 - ,b,pq4 ,et area ,,dtv est ad aream ,,dpq ut ,d,tq4 ad ,d,pq4 adeoq2 ut ,g,tq4 seu ,g,dq4 - ,b,dq4 ad ,b,pq4 utque ,g,dq4 ad ,b,dq4 divisim ut ,b,dq4 ad ,b,dq4 - ,b,pq4 ,quare cum area ,,dpq sit ut ,b,dq4 - ,b,pq4 erit area ,,dtv ut datum ,b,dq4 ,crescit igitur area ,,edt uniformiter singulis temporis particulis qualibus1 per additionem totidem datarum particularum ,,dtv1 propterea tempori descensus proportionalis est4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,igitur velocitas ,,ap est ad velocitatem quam corpus tempore ,,edt1 in spatio non resistente1 ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset1 ut area trianguli ,,dap ad aream sectoris centro ,d1 radio ,,da1 angulo ,,adt descripti2 ideoque ex dato tempore datur4 ,nam velocitas in ,medio non resistente1 tempori atque adeo ,sectori huic proportionalis est2 in ,medio resistente est ut triangulum2 in ,medio utroq2 ubi quam minima est1 accedit ad rationem qualitatis1 pro more ,sectoris ,trianguli4 ,prop4 ,,xiv4 ,prob4 ,,iv4 ,iisdem positis1 dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum1 est ut summa vel differentia are per quam tempus exponitur1 are cujusdam alterius qu augetur vel diminuitur in progressione ,arithmetica2 si vires ex resistentia gravitate composit sumantur in progressione ,geometrica4 ,capiatur ,,ac 7in ,fig4 tribus ultimis17 gravitati1 ,,ak resistenti proportionalis4 ,capiantur autem ad easdem partes puncti ,a si corpus ascendit1 aliter ad contrarias4 ,erigatur ,ab qu sit ad ,,db ut ,d,bq4 ad #d;,,bac3 area ,ab,n,k augebitur vel diminuetur in progressione ,arithmetica1 dum vires ,,ck in progressione ,geometrica sumuntur4 ,dico igitur quod distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus are ,ab,n,k supra aream ,,det4 ,nam cum ,,ak sit ut resistentia1 id est ut ,a,pq4 #b;,,bap2 assumatur data quvis quantitas ,z1 ponatur ,,ak qualis ,a,pq4 #b;,,bap ,z2 7per hujus ,lem4 ,,ii47 erit ipsius ,,ak momentum ,,kl quale #b;,,apq #b;,,ba ,,pb ,z seu #b;,,bpq ,z1 are ,ab,n,k momentum ,,klon quale #b;,,bpq ,,lo ,z seu ,,bpq ,,bd cub4 #b,z ,,ck ,,ab4 ,cas4 #a4 ,jam si corpus ascendit1 sitque gravitas ut ,a,bq4 ,b,dq4 existente ,,bet circulo1 7in ,fig4 ,cas4 #a4 ,prop4 ,,xiii47 linea ,,ac1 qu gravitati proportionalis est1 erit ,a,bq4 ,b,dq4 ,z ,d,pq4 seu ,a,pq4 #b;,,bap ,a,bq4 ,b,dq4 erit ,,ak ,z ,,ac ,z seu ,,ck ,z2 ideoque area ,,dtv erit ad aream ,,dpq ut ,d,tq4 vel ,d,bq4 ad ,,ck ,z4 ,cas4 #b4 ,sin corpus ascendit1 gravitas sit ut ,a,bq4 - ,b,dq4 linea ,,ac 7,fig4 ,cas4 #b4 ,prop4 ,,xiii47 erit ,a,bq4 - ,b,dq4 ,z1 ,d,tq4 erit ad ,d,pq4 ut ,d,fq4 seu ,d,bq4 ad ,b,pq4 - ,b,dq4 seu ,a,pq4 #b;,,bap ,a,bq4 - ,b,dq4 id est ad ,,ak ,z ,,ac ,z seu ,,ck ,z4 ,ideoque area ,,dtv erit ad aream ,,dpq ut ,d,bq4 ad ,,ck ,z4 ,cas4 #c4 ,et eodem argumento1 si corpus descendit1 propterea gravitas sit ut ,b,dq4 - ,a,bq4 linea ,,ac 7,fig4 ,cas4 #c4 ,prop4 prced47 quetur ,b,dq4 - ,a,bq4 ,z erit area ,,dtv ad aream ,,dpq ut ,d,bq4 ad ,,ck ,z3 ut supra4 ,cum igitur are ill semper sint in hac ratione2 si pro area ,,dtv1 qua momentum temporis sibimet ipsi semper quale exponitur1 scribatur determinatum quodvis rectangulum1 puta ,,bd m1 erit area ,,dpq1 id est1 ,,bd ,,pq2 ad ,,bd m ut ,,ck in ,z ad ,b,dq4 ,atq2 inde fit ,,pq in ,,bd cub4 quale #b;,,bd m ,,ck ,z1 are ,ab,n,k momentum ,,klon superius inventum1 fit ,,bp ,,bd m ,,ab4 ,auferatur are ,,det momentum ,,dtv seu ,,bd m1 restabit ,,ap ,,bd m ,,ab4 ,est igitur differentia momentorum1 id est1 momentum differenti arearum1 qualis ,,ap ,,bd m ,,ab2 propterea 7ob datum ,,bd m ,,ab7 ut velocitas ,,ap1 id est ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit4 ,ideoque differentia arearum spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decrescentia1 simul incipientia vel simul evanescentia1 sunt proportionalia4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,igitur si longitudo aliqua ,v sumatur in ea ratione ad arcum ,,et1 quam habet linea ,,da ad lineam ,,de2 spatium quod corpus ascensu vel descensu toto in ,medio resistente describit1 erit ad spatium quod in ,medio non resistente eodem tempore describere posset1 ut arearum illarum differentia ad ,,bd ,v#b #d;,,ab1 ideoque ex dato tempore datur4 ,nam spatium in ,medio non resistente est in duplicata ratione temporis1 sive ut ,v#b1 ob datas ,,bd ,,ab1 ut ,,bd ,v#b #d;,,ab4 ,tempus autem est ut ,,det seu ,,bd ,,et1 harum arearum momenta sunt ut ,,bd ,v #b;,,ab ductum in momentum ipsius ,v ,,bd ductum in momentum ipsius ,,et1 id est1 ut ,,bd ,v #b;,,ab in ,d,aq4 #bm ,d,eq4 ,,bd #bm1 sive ut ,,bd ,v ,d,aq4 m ,,ab ,d,eq4 ,,bd m4 ,et propterea momentum are ,v#b est ad momentum differenti arearum ,,det ,a,k,nb1 ut ,,bd ,v ,,da m ,,ab ,,de ad ,,ap ,,bd m ,,ab sive ut ,v ,,da ,,de ad ,,ap2 adeoque1 ubi ,v ,,ap quam minim sunt1 in ratione qualitatis4 qualis igitur est area quam minima ,,bd ,v#b #d;,,ab differenti quam minim arearum ,,det ,a,k,nb4 ,unde cum spatia in ,medio utroque1 in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedunt ad qualitatem1 adeoque tunc sunt ad invicem ut area ,,bd ,v#b #d;,,ab arearum ,,det ,a,k,nb differentia2 ob eorum analoga incrementa necesse est ut in qualibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut area illa ,,bd ,v#b #d;,,ab arearum ,,det ,a,k,nb differentia4 ,q4 ,e4 ,d4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,iv4 ,de ,corporum circulari ,motu in ,mediis resistentibus4 ,,lem4 ,,iii4 ,sit ,p,q,rr ,spiralis qu secet radios omnes ,,sp1 ,,sq1 ,,sr1 c4 in qualibus angulis4 ,agatur recta ,,pt qu tangat eandem in puncto quovis ,p1 secetque radium ,,sq in ,t2 ad ,spiralem erectis perpendiculis ,,po1 ,,qo concurrentibus in ,o1 jungatur ,,so4 ,dico quod si puncta ,p ,q accedant ad invicem coeant1 angulus ,,pso evadet rectus1 ultima ratio rectanguli ,,tq ,,ps ad ,,pq quad4 erit ratio qualitatis4 ,illustration ,etenim de angulis rectis ,,opq1 ,,oqr subducantur anguli quales ,,spq1 ,,sqr1 manebunt anguli quales ,,ops1 ,,oqs4 ,ergo circulus qui transit per puncta ,o1 ,s1 ,p transibit etiam per punctum ,q4 ,coeant puncta ,p ,q1 hic circulus in loco coitus ,,pq tanget ,spiralem1 adeoque perpendiculariter secabit rectam ,,op4 ,fiet igitur ,,op diameter circuli hujus1 angulus ,,osp in semicirculo rectus4 ,q4 ,e4 ,d4 ,ad ,,op demittantur perpendicula ,,qd1 ,,se1 linearum rationes ultim erunt hujusmodi3 ,,tq ad ,,pd ut ,,ts vel ,,ps ad ,,pe1 seu ,,po ad ,,ps4 ,item ,,pd ad ,,pq ut ,,pq ad ,,po4 ,et ex quo perturbate ,,tq ad ,,pq ut ,,pq ad ,,ps4 ,unde fit ,p,qq4 qualis ,,tq ,,ps4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xv4 ,theor4 ,,xi4 ,si ,medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili1 sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis3 dico quod corpus gyrari potest in ,spirali1 qu radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato4 ,ponantur qu in superiore ,lemmate1 producatur ,,sq ad ,v1 ut sit ,,sv qualis ,,sp4 ,temporibus qualibus describat corpus arcus quam minimos ,,pq ,,qr1 sintque are ,,psq1 ,q,sr quales4 ,et quoniam vis centripeta1 qua corpus urgetur in ,p est reciproce ut ,s,pq4 7per ,lem4 ,x4 ,lib4 ,i47 lineola ,,tq1 qu vi illa generatur1 est in ratione composita ex ratione hujus vis ratione duplicata temporis quo arcus ,,pq describitur1 7,nam resistentiam in hoc casu1 ut infinite minorem quam vis centripeta negligo7 erit ,,tq ,s,pq4 id est 7per ,lemma novissimum7 ,p,qq4 ,,sp1 in ratione duplicata temporis1 adeoque tempus est ut ,,pq sqrt,,sp1 corporis velocitas qua arcus ,,pq illo tempore describitur ut ,,pq ,,pq sqrt,,sp seu #a sqrt,,sp1 hoc est in dimidiata ratione ipsius ,,sp reciproce4 ,et simili argumento velocitas1 qua arcus ,,qr describitur1 est in dimidiata ratione ipsius ,,sq reciproce4 ,sunt autem arcus illi ,,pq ,,qr ut velocitates descriptrices ad invicem1 id est in dimidiata ratione ,,sq ad ,,sp1 sive ut ,,sq ad sqrt,,sp sqrt,,sq2 ob quales angulos ,,spq1 ,s,qr quales areas ,,psq1 ,q,sr1 est arcus ,,pq ad arcum ,qr ut ,,sq ad ,,sp4 ,sumantur proportionalium consequentium differenti1 fiet arcus ,,pq ad arcum ,rr ut ,,sq ad ,,sp - ,,sp ,,sq1 seu ,,vq2 nam punctis ,p ,q coeuntibus1 ratio ultima ,,sp - ,,sp ,,sq ad ,,vq fit qualitatis4 ,in ,medio non resistente are quales ,,psq1 ,q,sr 7,theor4 ,i4 ,lib4 ,i47 temporibus qualibus describi deberent4 ,ex resistentia oritur arearum differentia ,r,sr1 propterea resistentia est ut lineol ,qr decrementum ,rr collatum cum quadrato temporis quo generatur4 ,nam lineola ,rr 7per ,lem4 ,x4 ,lib4 ,i47 est in duplicata ratione temporis4 ,est igitur resistentia ut ,rr ,p,qq4 ,,sp4 ,erat autem ,,pq ad ,rr ut ,,sq ad ,,vq1 inde ,rr ,p,qq4 ,,sp fit ut ,,vq ,,pq ,,sp ,,sq sive ut ,,os ,,op ,s,pq44 ,namque punctis ,p ,q coeuntibus1 ,,sp ,,sq coincidunt2 ob similia triangula ,,pvq1 ,,pso1 fit ,,pq ad ,,vq ut ,,op ad ,,os4 ,est igitur ,,os ,,op ,s,pq4 ut resistentia1 id est in ratione densitatis ,medii in ,p ratione duplicata velocitatis conjunctim4 ,auferatur duplicata ratio velocitatis1 nempe ratio #a ,,sp1 manebit ,medii densitas in ,p ut ,,os ,,op ,,sp4 ,detur ,spiralis1 ob datam rationem ,,os ad ,,op1 densitas ,medii in ,p erit ut #a ,,sp4 ,in ,medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro ,,sp1 corpus gyrari potest in hac ,spirali4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,velocitas in loco quovis ,p ea semper est quacum corpus in ,medio non resistente gyrari potest in circulo1 ad eandem a centro distantiam ,,sp4 ,corol4 #b4 ,medii densitas1 si datur distantia ,,sp1 est ut ,,os ,,op1 sin distantia illa non datur1 ut ,,os ,,op ,,sp4 ,et inde ,spiralis ad quamlibet ,medii densitatem aptari potest4 ,corol4 #c4 ,vis resistenti in loco quovis ,p1 est ad vim centripetam in eodem loco ut ,,os ad ,,op4 ,nam vires ill sunt ut line ,rr ,,tq seu ut ,,vq ,,pq ,,sq ,p,qq4 ,,sp quas simul generant1 hoc est1 ut ,,vq ,,pq1 seu ,,os ,,op4 ,data igitur ,spirali datur proportio resistenti ad vim centripetam1 viceversa ex data illa proportione datur ,spiralis4 ,corol4 #d4 ,corpus itaque gyrari nequit in hac spirali1 nisi ubi vis resistenti minor est quam dimidium vis centripet4 ,fiat resistentia qualis dimidio vis centripet ,spiralis conveniet cum linea recta ,,ps1 inque hac recta corpus descendet ad centrum1 dimidia semper cum velocitate qua probavimus in superioribus in casu ,parabol 7,theor4 ,x4 ,lib4 ,i47 descensum in ,medio non resistente fieri4 ,unde tempora descensus hic erunt dupla majora temporibus illis atque adeo dantur4 ,corol4 #e4 ,et quoniam in qualibus a centro distantiis velocitas eadem est in ,spirali ,,pqr atque in recta ,,sp1 longitudo ,spiralis ad longitudinem rect ,,ps est in data ratione1 nempe in ratione ,,op ad ,,os2 tempus descensus in ,spirali erit ad tempus descensus in recta ,,sp in eadem illa data ratione1 proindeque datur4 ,corol4 #f4 ,si centro ,s intervallis duobus describantur duo circuli2 numerus revolutionum quas corpus intra circulorum circumferentias complere potest1 est ut ,,ps ,,os1 sive ut ,tangens anguli quem ,spiralis continet cum radio ,,ps2 tempus vero revolutionum earundem ut ,,op ,,os1 id est reciproce ut ,medii densitas4 ,illustration ,corol4 #g4 ,si corpus1 in ,medio cujus densitas est reciproce ut distantia locorum a centro1 revolutionem in ,curva quacunque ,,aeb circa centrum illud fecerit1 ,radium primum ,,as in eodem angulo secuerit in ,b quo prius in ,a1 idque cum velocitate qu fuerit ad velocitatem suam primam in ,a reciproce in dimidiata ratione distantiarum a centro 7id est ut ,,bs ad mediam proportionalem inter ,,as ,,cs37 corpus illud perget innumeras consimiles revolutiones ,,bfc1 ,,cgd1 c4 facere1 intersectionibus distinguet ,radium ,,as in partes ,,as1 ,,bs1 ,,cs1 ,,ds c4 continue proportionales4 ,revolutionum vero tempora erunt ut ,perimetri orbitarum ,,aeb1 ,,bfc1 ,,cgd c4 directe1 velocitates in principiis ,a1 ,b1 ,c1 inverse2 id est ut ,,as1 ,,bs1 ,,cs4 ,atq2 tempus totum1 quo corpus perveniet ad centrum1 erit ad tempus revolutionis prim1 ut summa omnium continue proportionalium ,,as1 ,,bs1 ,,cs pergentium in infinitum1 ad terminum primum ,,as2 id est ut terminus ille primus ,,as ad differentiam duorum primorum ,,as - ,,bs1 quam proxime ut #b_/c;,,as ad ,,ab4 ,unde tempus illud totum expedite invenitur4 ,corol4 #h4 ,ex his etiam prterpropter colligere licet motus corporum in ,mediis1 quorum densitas aut uniformis est1 aut aliam quamcunque legem assignatam observat4 ,centro ,s intervallis continue proportionalibus ,,sa1 ,,sb1 ,,sc c4 describe circulos quotcunque1 statue numerum revolutionum inter perimetros duorum quorumvis ex his circulis1 in ,medio de quo egimus1 esse ad numerum revolutionum inter eosdem in ,medio proposito1 ut ,medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad ,medii1 de quo egimus1 densitatem mediocrem inter eosdem quam proxime2 ,sed in eadem quoq2 ratione esse ,tangentem anguli quo ,spiralis prfinita1 in ,medio de quo egimus1 secat radium ,,as1 ad tangentem anguli quo ,spiralis nova secat radium eundem in ,medio proposito3 ,atq2 etiam ut sunt eorundem angulorum secantes ita esse tempora revolutionum omnium inter circulos eosdem duos quam proxime4 ,si hc fiant passim inter circulos binos1 continuabitur motus per circulos omnes4 ,atque hoc pacto haud difficulter imaginari possimus quibus modis ac temporibus corpora in ,medio quocunque regulari gyrari debebunt4 ,corol4 #i4 ,et quamvis motus excentrici in ,spiralibus ad formam ,ovalium accedentibus peragantur2 tamen concipiendo ,spiralium illarum singulas revolutiones eisdem ab invicem intervallis distare1 iisdemque gradibus ad centrum accedere cum ,spirali superius descripta1 intelligemus etiam quomodo motus corporum in hujusmodi ,spiralibus peragantur4 ,prop4 ,,xvi4 ,theor4 ,,xii4 ,si ,medii densitas in locis singulis sit reciproce ut dignitas aliqua distanti locorum a centro1 sitque vis centripeta reciproce ut distantia in dignitatem illam ducta3 dico quod corpus gyrari potest in ,spirali1 qu radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato4 ,demonstratur eadem methodo cum ,propositione superiore4 ,nam si vis centripeta in ,p sit reciproce ut distanti ,,sp dignitas qulibet ,,spn #a cujus index est n #a2 colligetur ut supra1 quod tempus quo corpus describit arcum quemvis ,,pq erit ut ,,pq ,,spn resistentia in ,p ut ,rr ,p,qq4 ,,spn sive ut n,v,q ,,pq ,,spn ,,sq1 adeoque ut ,,os ,,op ,,spn #a4 ,et propterea densitas in ,p est reciproce ut ,,spn4 ,scholium4 ,cterum hc ,propositio superiores1 qu ad ,media inqualiter densa spectant1 intelligend sunt de motu corporum adeo parvorum1 ut ,medii ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non consideranda veniat4 ,resistentiam quoque cteris paribus densitati proportionalem esse suppono4 ,unde in ,mediis quorum vis resistendi non est ut densitas1 debet densitas eo usque augeri vel diminui1 ut resistenti vel tollatur excessus vel defectus suppleatur4 ,prop4 ,,xvii4 ,prob4 ,v4 ,invenire vim centripetam ,medii resistentiam qua corpus in data ,spirali data lege revolvi potest4 ,vide ,fig4 ,prop4 ,,xv4 ,sit spiralis illa ,,pqr4 ,ex velocitate qua corpus percurrit arcum quam minimum ,,pq dabitur tempus1 ex altitudine ,,tq1 qu est ut vis centripeta quadratum temporis dabitur vis4 ,deinde ex arearum1 qualibus temporum particulis confectarum ,,psq ,,qsr1 differentia ,r,sr1 dabitur corporis retardatio1 ex retardatione invenietur resistentia ac densitas ,medii4 ,prop4 ,,xviii4 ,prob4 ,,vi4 ,data lege vis centripet1 invenire ,medii densitatem in locis singulis1 qua corpus datam ,spiralem describet4 ,ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis1 deinde ex velocitatis retardatione qurenda ,medii densitas3 ut in ,propositione superiore4 ,methodum vero tractandi hc ,problemata aperui in hujus ,propositione decima1 ,lemmate secundo2 ,lectorem in hujusmodi perplexis disquisitionibus diutius detenere nolo4 ,addenda jam sunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum1 deque densitate resistentia ,mediorum1 in quibus motus hactenus expositi his affines peraguntur4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,v4 ,de ,densitate compressione ,fluidorum1 deque ,hydrostatica4 ,definitio ,fluidi4 ,fluidum est corpus omne cujus partes cedunt vi cuicunque illat1 cedendo facile movetur inter se4 ,prop4 ,,xix4 ,theor4 ,,xiii4 ,fluidi homogenei immoti1 quod in vase quocunque immoto clauditur undique comprimitur1 partes omnes 7seposita ,condensationis1 gravitatis virium omnium centripetarum consideratione7 qualiter premuntur undique1 absque omni motu a pressione illa orto permanent in locis suis4 ,illustration ,cas4 #a4 ,in vase sphrico ,,abc claudatur uniformiter comprimatur fluidum undique3 dico quod ejusdem pars nulla ex illa pressione movebitur4 ,nam si pars aliqua ,d moveatur1 necesse est ut omnes ejusmodi partes1 ad eandem a centro distantiam undique consistentes1 simili motu simul moveantur2 atq2 hoc adeo quia similis qualis est omnium pressio1 motus omnis exclusus supponitur1 nisi qui a pressione illa oriatur4 ,atqui non possunt omnes ad centrum propius accedere1 nisi fluidum ad centrum condensetur2 contra ,hypothesin4 ,non possunt longius ab eo recedere nisi fluidum ad circumferentiam condensetur2 etiam contra ,hypothesin4 ,non possunt servata sua a centro distantia moveri in plagam quamcunq2 quia pari ratione movebuntur in plagam contrariam2 in plagas autem contrarias non potest pars eadem eodem tempore moveri4 ,ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #b4 ,dico jam quod fluidi hujus partes omnes sphric qualiter premuntur undique3 sit enim ,,ef pars sphrica fluidi1 si hc undiq2 non premitur qualiter1 augeatur pressio minor1 usq2 dum ipsa undiq2 prematur qualiter2 partes ejus1 per casum primum1 permanebunt in locis suis4 ,sed ante auctam pressionem permanebunt in locis suis1 per casum eundum primum1 additione pressionis nov movebuntur de locis suis1 per definitionem ,fluidi4 ,qu duo repugnant4 ,ergo falso dicebatur quod ,sphra ,,ef non undique premebatur qualiter4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #c4 ,dico prterea quod diversarum partium sphricarum qualis sit pressio4 ,nam partes sphric contigu se mutuo premunt qualiter in puncto contactus1 per motus ,legem ,,iii4 ,sed per ,casum secundum1 undiq2 premuntur eadem vi4 ,partes igitur du quvis sphric non contigu1 quia pars sphrica intermedia tangere potest utramque1 prementur eadem vi4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #d4 ,dico jam quod fluidi partes omnes ubiq2 premuntur qualiter4 ,nam partes du quvis tangi possunt a partibus ,sphricis in punctis quibuscunque1 ibi partes illas ,sphricas qualiter premunt1 per ,casum #c4 vicissim ab illis qualiter premuntur1 per ,motus ,legem ,tertiam4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #e4 ,cum igitur fluidi pars qulibet ,,ghi in fluido reliquo tanquam in vase claudatur1 undique prematur qualiter1 partes autem ejus se mutuo qualiter premant quiescant inter se2 manifestum est quod ,fluidi cujuscunque ,,ghi1 quod undique premitur qualiter1 partes omnes se mutuo premunt qualiter1 quiescunt inter se4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cas4 #f4 ,igitur si ,fluidum illud in vase non rigido claudatur1 undique non prematur qualiter1 cedet idem pressioni fortiori1 per ,definitionem ,fluiditatis4 ,cas4 #g4 ,ideoque in vase rigido ,fluidum non sustinebit pressionem fortiorem ex uno latere quam ex alio1 sed eidem cedet1 idq2 in momento temporis1 quia latus vasis rigidum non persequitur liquorem cedentem4 ,cedendo autem urgebit latus oppositum1 sic pressio undique ad qualitatem verget4 ,et quoniam ,fluidum1 quam primum a parte magis pressa recedere conatur1 inhibetur per resistentiam vasis ad latus oppositum2 reducetur pressio undique ad qualitatem in momento temporis absque motu locali2 subinde1 partes fluidi1 per ,casum quintum1 se mutuo prement qualiter1 quiescent inter se4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,unde nec motus partium fluidi inter se1 per pressionem fluido ubivis in externa superficie illatam1 mutari possunt nisi1 quatenus aut figura superficiei alicubi mutatur1 aut omnes fluidi partes intensius vel remissius sese premendo difficilius vel facilius labuntur inter se4 ,prop4 ,,xx4 ,theor4 ,,xiv4 ,si ,fluidi ,sphrici1 in qualibus a centro distantiis homogenei1 fundo sphrico concentrico incumbentis partes singul versus centrum totius gravitent2 sustinet fundum pondus ,cylindri1 cujus basis qualis est superficiei fundi1 altitudo eadem qu ,fluidi incumbentis4 ,illustration ,sit ,,dhm superficies fundi1 ,,aei superficies superior fluidi4 ,superficiebus sphricis innumeris ,,bfk1 ,,cgl distinguatur fluidum in ,orbes concentricos qualiter crassos2 concipe vim gravitatis agere solummodo in superficiem superiorem ,orbis cujusque1 quales esse actiones in quales partes superficierum omnium4 ,premitur ergo superficies suprema ,,ae vi simplici gravitatis propri1 qua omnes ,orbis supremi partes superficies secunda ,,bfk 7per ,prop4 ,,xix47 premuntur4 ,premitur prterea superficies secunda ,,bfk vi propri gravitatis1 qu addita vi priori facit pressionem duplam4 ,hac pressione insuper vi propri gravitatis1 id est pressione tripla1 urgetur superficies tertia ,,cgl4 ,et similiter pressione quadrupla urgetur superficies quarta1 quintupla quinta sic deinceps4 ,pressio igitur qua superficies unaquque urgetur1 non est ut quantitas solida fluidi incumbentis1 sed ut numerus ,orbium ad usque summitatem fluidi2 quatur gravitati ,orbis infimi multiplicat per numerum ,orbium3 hoc est gravitati solidi cujus ultima ratio ad ,cylindrum prfinitum1 7si modo ,orbium augeatur numerus minuatur crassitudo in infinitum1 sic ut actio gravitatis a superficie infima ad supremam continua reddatur7 fiet ratio qualitatis4 ,sustinet ergo superficies infima pondus cylindri prfiniti4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et simili argumentatione patet ,propositio1 ubi gravitas decrescit in ratione quavis assignata distanti a centro1 ut ubi ,fluidum sursum rarius est1 deorsum densius4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumbentis pondere1 sed eam solummodo ponderis partem sustinet qu in ,propositione describitur2 pondere reliquo a fluidi figura fornicata sustentato4 ,corol4 #b4 ,in qualibus autem a centro distantiis eadem semper est pressionis quantitas1 sive superficies pressa sit ,horizonti parallela vel perpendicularis vel obliqua2 sive fluidum a superficie pressa sursum continuatum surgat perpendiculariter secundum lineam rectam1 vel serpit oblique per tortas cavitates canales1 easque regulares vel maxime irregulares1 amplas vel angustissimas4 ,hisce circumstantiis pressionem nil mutari colligitur1 applicando demonstrationem ,theorematis hujus ad ,casus singulos ,fluidorum4 ,corol4 #c4 ,eadem ,demonstratione colligitur etiam 7per ,prop4 ,,xix47 quod fluidi gravis partes nullum1 ex pressione ponderis incumbentis1 acquirunt motum inter se1 si modo excludatur motus qui ex condensatione oriatur4 ,corol4 #d4 ,et propterea si aliud ejusdem gravitatis specific corpus1 quod sit condensationis expers1 submergatur in hoc fluido1 id ex pressione ponderis incumbentis nullum acquiret motum3 non descendet1 non ascendet1 non cogetur figuram suam mutare4 ,si ,sphricum est manebit sphricum1 non obstante pressione2 si quadratum est manebit quadratum3 idq2 sive molle sit1 sive fluidissimum2 sive fluido libere innatet1 sive fundo incumbat4 ,habet enim fluidi pars qulibet interna rationem corporis submersi1 par est ratio omnium ejusdem magnitudinis1 figur gravitatis specific submersorum corporum4 ,si corpus submersum servato pondere liquesceret indueret formam fluidi2 hoc1 si prius ascenderet vel descenderet vel ex pressione figuram novam indueret1 etiam nunc ascenderet vel descenderet vel figuram novam induere cogeretur3 id adeo quia gravitas ejus cterque motuum caus permanent4 ,atqui1 per ,cas4 #e4 ,prop4 ,,xix4 jam quiesceret figuram retineret4 ,ergo prius4 ,corol4 #e4 ,proinde corpus quod specifice gravius est quam ,fluidum sibi contiguum subsidebit1 quod specifice levius est ascendet1 motumque figur mutationem consequetur1 quantum excessus ille vel defectus gravitatis efficere possit4 ,namque excessus ille vel defectus rationem habet impulsus1 quo corpus1 alias in quilibrio cum fluidi partibus constitutum1 urgetur2 comparari potest cum excessu vel defectu ponderis in lance alterutra libr4 ,corol4 #f4 ,corporum igitur in fluidis constitutorum duplex est ,gravitas3 altera vera absoluta1 altera apparens1 vulgaris comparativa4 ,gravitas absoluta est vis tota qua corpus deorsum tendit3 relativa vulgaris est excessus gravitatis quo corpus magis tendit deorsum quam fluidum ambiens4 ,prioris generis ,gravitate partes fluidorum corporum omnium gravitant in locis suis3 ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius4 ,nam totum omne grave est1 ut in vasis liquorum plenis experiri licet2 pondus totius quale est ponderibus omnium partium1 ideoque ex iisdem componitur4 ,alterius generis gravitate corpora non gravitant in locis suis1 id est inter se collata non prgravant1 sed mutuos ad descendendum conatus impedientia permanent in locis suis1 perinde ac si gravia non essent4 ,qu in ,aere sunt non prgravant1 ,vulgus gravia non judicat4 ,qu prgravant vulgus gravia judicat1 quatenus ab ,aeris pondere non sustinentur4 ,pondera vulgi nihil aliud sunt quam excessus verorum ponderum supra pondus ,aeris4 ,unde vulgo dicuntur levia1 qu sunt minus gravia1 ,aerique prgravanti cedendo superiora petunt4 ,comparative levia sunt non vere1 quia descendunt in vacuo4 ,sic in ,aqua1 corpora1 qu ob majorem vel minorem gravitatem descendunt vel ascendunt1 sunt comparative apparenter gravia vel levia1 eorum gravitas vel levitas comparativa apparens est excessus vel defectus quo vera eorum gravitas vel superat gravitatem aqu vel ab ea superatur4 ,qu vero nec prgravando descendunt1 nec prgravanti cedendo ascendunt1 etiamsi veris suis ponderibus adaugeant pondus totius1 comparative tamen in sensu vulgi non gravitant in aqua4 ,nam similis est horum ,casuum ,demonstratio4 ,corol4 #g4 ,qu de gravitate demonstrantur1 obtinent in aliis quibuscunque viribus centripetis4 ,corol4 #h4 ,proinde si ,medium1 in quo corpus aliquod movetur1 urgeatur vel a gravitate propria1 vel ab alia quacunq2 vi centripeta1 corpus ab eadem vi urgeatur fortius3 differentia virium est vis illa motrix1 quam in prcedentibus ,propositionibus ut vim centripetam consideravimus4 ,sin corpus a vi illa urgeatur levius1 differentia virium pro vi centrifuga haberi debet4 ,corol4 #i4 ,cum autem fluida premendo corpora inclusa non mutent eorum ,figuras externas1 patet insuper1 per ,corollaria ,prop4 ,,xix4 quod non mutabunt situm partium internarum inter se3 proindeque1 si ,animalia immergantur1 sensatio omnis a motu partium oriatur2 nec ldent corporibus immersis1 nec sensationem ullam excitabunt1 nisi quatenus hc corpora a compressione ne condensari possunt4 ,et par est ratio cujuscunque corporum ,systematis fluido comprimente circundati4 ,systematis partes omnes iisdem agitabuntur motibus1 ac si in vacuo constituerentur1 ac solam retinerent gravitatem suam comparativam1 nisi quatenus fluidum vel motibus earum nonnihil resistat1 vel ad easdem compressione conglutinandas requiratur4 ,prop4 ,,xxi4 ,theor4 ,,xv4 ,sit ,fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis1 partes ejus a vi centripeta distantiis suis a centro reciproce proportionali deorsum trahantur3 dico quod si distanti ill sumantur continue proportionales1 densitates fluidi in iisdem distantiis erunt etiam continue proportionales4 ,illustration ,designet ,,atv fundum ,sphricum cui fluidum incumbit1 ,s centrum1 ,,sa1 ,,sb1 ,,sc1 ,,sd1 ,,se1 c4 distantias continue proportionales4 ,erigantur perpendicula ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 ,,dl1 ,,em1 c4 qu sint ut densitates ,medii in locis ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e2 specific gravitates in iisdem locis erunt ut ,,ah ,,as1 ,,bi ,,bs1 ,,ck ,,cs1 c4 vel1 quod perinde est1 ut ,,ah ,,ab1 ,,bi ,,bc1 ,,ck ,,cd c4 ,finge primum has gravitates uniformiter continuari ab ,a ad ,b1 a ,b ad ,c1 a ,c ad ,d c4 factis per gradus decrementis in punctis ,b1 ,c1 ,d c4 ,et h gravitates duct in altitudines ,,ab1 ,,bc1 ,,cd c4 conficient pressiones ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 quibus fundum ,,atv 7juxta ,theorema ,,xiv47 urgetur4 ,sustinet ergo particula ,a pressiones omnes ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 ,,dl1 pergendo in infinitum2 particula ,b pressiones omnes prter primam ,,ah2 particula ,c omnes prter duas primas ,,ah1 ,,bi2 sic deinceps3 adeoque particul prim ,a densitas ,,ah est ad particul secund ,b densitatem ,,bi ut summa omnium ,,ah ,,bi ,,ck ,,dl1 in infinitum1 ad summam omnium ,,bi ,,ck ,,dl1 c4 ,et ,,bi densitas secund ,b1 est ad ,,ck densitatem terti ,c1 ut summa omnium ,,bi ,,ck ,,dl1 c4 ad summam omnium ,,ck ,,dl1 c4 ,sunt igitur summ ill differentiis suis ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 proportionales1 atque adeo continue proportionales per hujus ,lem4 ,i4 proindeq2 differenti ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 summis proportionales1 sunt etiam continue proportionales4 ,quare cum densitates in locis ,a1 ,b1 ,c sint ut ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 erunt etiam h continue proportionales4 ,pergatur per saltum1 7ex quo7 in distantiis ,,sa1 ,,sc1 ,,se continue proportionalibus1 erunt densitates ,,ah1 ,,ck1 ,,em continue proportionales4 ,et eodem argumento in distantiis quibusvis continue proportionalibus ,,sa1 ,,sd1 ,,sq densitates ,,ah1 ,,dl1 ,,qt erunt continue proportionales4 ,coeant jam puncta ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e1 c4 eo ut progressio gravitatum specificarum a fundo ,a ad summitatem ,fluidi continua reddatur1 in distantiis quibusvis continue proportionalibus ,,sa1 ,,sd1 ,,sq1 densitates ,,ah1 ,,dl1 ,,qt1 semper existentes continue proportionales1 manebunt etiamnum continue proportionales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illustration ,corol4 ,hinc si detur densitas ,fluidi in duobus locis1 puta ,a ,e1 colligi potest ejus densitas in alio quovis loco ,q4 ,centro ,s1 ,asymptotis rectangulis ,,sq1 ,,sx describatur ,hyperbola secans perpendicula ,,ah1 ,,em1 ,,qt in a1 e1 q1 ut perpendicula ,,hx1 ,,my1 ,,tz ad asymptoton ,,sx demissa in h1 m1 t4 ,fiat area ,z,ymt,z ad aream datam ,ymh,x ut area data ,eeq,q ad aream datam ,eea,a2 linea ,zt producta abscindet lineam ,,qt densitati proportionalem4 ,namque si line ,,sa1 ,,se1 ,,sq sunt continue proportionales1 erunt are ,eeq,q1 ,eea,a quales1 inde are his proportionales ,ymt,z1 ,xhm,y etiam quales line ,,sx1 ,,sy1 ,,sz id est ,,ah1 ,,em1 ,,qt continue proportionales1 ut oportet4 ,et si line ,,sa1 ,,se1 ,,sq obtinent alium quemvis ordinem in serie continue proportionalium1 line ,,ah1 ,,em1 ,,qt1 ob proportionales areas ,hyperbolicas1 obtinebunt eundem ordinem in alia serie quantitatum continue proportionalium4 ,prop4 ,,xxii4 ,theor4 ,,xvi4 ,sit ,fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis1 partes ejus a gravitate quadratis distantiarum suarum a centro reciproce proportionali deorsum trahantur3 dico quod si distanti sumantur in progressione ,musica1 densitates ,fluidi in his distantiis erunt in progressione ,geometrica4 ,illustration ,designet ,s centrum1 ,,sa1 ,,sb1 ,,sc1 ,,sd1 ,,se distantias in ,progressione ,geometrica4 ,erigantur perpendicula ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 qu sint ut ,fluidi densitates in locis ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e1 c4 ipsius gravitates specific in iisdem locis erunt ,,ah ,s,aq41 ,,bi ,s,bq41 ,,ck ,s,cq41 c4 ,finge has gravitates uniformiter continuari1 primam ab ,a ad ,b1 secundam a ,b ad ,c1 tertiam a ,c ad ,d1 c4 ,et h duct in altitudines ,,ab1 ,,bc1 ,,cd1 ,,de1 c4 vel1 quod perinde est1 in distantias ,,sa1 ,,sb1 ,,sc1 c4 altitudinibus illis proportionales1 conficient exponentes pressionum ,,ah ,,sa1 ,,bi ,,sb1 ,,ck ,,sc1 c4 ,quare cum densitates sint ut harum pressionum summ1 differenti densitatum ,,ah - ,,bi1 ,,bi - ,,ck1 c4 erunt ut summarum differenti ,,ah ,,sa1 ,,bi ,,sb1 ,,ck ,,sc1 c4 ,centro ,s ,asymptotis ,,sa1 ,,sx describatur ,hyperbola quvis1 qu secet perpendicula ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 in a1 b1 c2 ut perpendicula ad ,asymptoton ,,sx demissa ,ht1 ,iu1 ,kw in h1 i1 k2 densitatum differenti tu1 uw1 c4 erunt ut ,,ah ,,sa1 ,,bi ,,sb1 c4 ,et rectangula tu th1 uw ui1 c4 seu tp1 uq1 c4 ut ,,ah th ,,sa ut ,,bi ui ,,sb1 c4 id est ut ,aa1 ,bb c4 ,est enim ex natura ,hyperbol ,,sa ad ,,ah vel ,st1 ut th ad ,aa1 adeoque ,,ah th ,,sa quale ,aa4 ,et simili argumento est ,,bi ui ,,sb qualis ,bb1 c4 ,sunt autem ,aa1 ,bb1 ,cc1 c4 continue proportionales1 propterea differentiis suis ,aa - ,bb1 ,bb - ,cc1 c4 proportionales2 ideoque differentiis hisce proportionalia sunt rectangula tp1 uq1 c4 ut summis differentiarum ,aa - ,cc vel ,aa - ,dd summ rectangulorum tp uq1 vel tp uq wr4 ,sunto ejusmodi termini quam plurimi1 summa omnium differentiarum1 puta ,aa - ,ff1 erit summ omnium rectangulorum1 puta zthn1 proportionalis4 ,augeatur numerus terminorum minuantur distanti punctorum ,a1 ,b1 ,c1 c4 in infinitum1 rectangula illa evadent qualia are ,hyperbolic zthn1 adeoque huic are proportionalis est differentia ,aa - ,ff4 ,sumantur jam distanti qulibet1 puta ,,sa1 ,,sd1 ,,sf in ,progressione ,musica1 differenti ,aa - ,dd1 ,dd - ,ff erunt quales2 propterea differentiis hisce proportionales are thlx1 xlnz quales erunt inter se1 densitates ,st1 ,sx1 ,sz1 id est ,,ah1 ,,dl1 ,,fn1 continue proportionales4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,hinc si dentur ,fluidi densitates du quvis1 puta ,,ah ,,ck1 dabitur area thkw harum differenti tw respondens2 inde invenietur densitas ,,fn in altitudine quacunque ,,sf1 sumendo aream thnz ad aream illam datam thkw ut est differentia ,aa - ,ff ad differentiam ,aa - ,cc4 ,scholium4 ,simili argumentatione probari potest1 quod si gravitas particularum ,fluidi diminuatur in triplicata ratione distantiarum a centro2 quadratorum distantiarum ,,sa1 ,,sb1 ,,sc1 c4 reciproca 7nempe ,,sa cub4 ,s,aq41 ,,sa cub4 ,s,bq41 ,,sa cub4 ,s,cq47 sumantur in progressione ,arithmetica2 densitates ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 erunt in progressione ,geometrica4 ,et si gravitas diminuatur in quadruplicata ratione distantiarum1 cuborum distantiarum reciproca 7puta ,,sa qq4 ,,sa cub41 ,,sa qq4 ,,sb cub41 ,,sa qq4 ,,sc cub47 sumantur in progressione ,arithmetica2 densitates ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 erunt in progressione ,geometrica4 ,et sic in infinitum4 ,rursus si gravitas particularum ,fluidi in omnibus distantiis eadem sit1 distanti sint in progressione ,arithmetica1 densitates erunt in progressione ,geometrica1 uti ,vir ,cl4 ,edmundus ,halleius invenit4 ,si gravitas sit ut distantia1 quadrata distantiarum sint in progressione ,arithmetica1 densitates erunt in progressione ,geometrica4 ,et sic in infinitum4 ,hc ita se habent ubi ,fluidi compressione condensati densitas est ut vis compressionis1 vel1 quod perinde est1 spatium a ,fluido occupatum reciproce ut hc vis4 ,fingi possunt ali condensationis leges1 ut quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-quadratum densitatis1 seu triplicata ratio ,vis qualis quadruplicat rationi densitatis4 ,quo in casu1 si gravitas est reciproce ut quadratum distanti a centro1 densitas erit reciproce ut cubus distanti4 ,fingatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis1 si gravitas est reciproce ut quadratum distanti1 densitas erit reciproce in sesquiplicata ratione distanti4 ,fingatur quod vis comprimens sit in duplicata ratione densitatis1 gravitas reciproce in ratione duplicata distanti1 densitas erit reciproce ut distantia4 ,casus omnes percurrere longum esset4 ,prop4 ,,xxiii4 ,theor4 ,,xvii4 ,particul viribus qu sunt reciproce proportionales distantiis centrorum suorum se mutuo fugientes componunt ,fluidum ,elasticum1 cujus densitas est compressioni proportionalis4 ,et vice versa1 si ,fluidi ex particulis se mutuo fugientibus compositi densitas sit ut compressio1 vires centrifug particularum sunt reciproce proportionales distantiis centrorum4 ,illustration ,includi intelligatur ,fluidum in spatio cubico ,,ace1 dein compressione redigi in spatium cubicum minus ace2 particularum similem situm inter se in utroque spatio obtinentium distanti erunt ut cuborum latera ,,ab1 ab2 ,medii densitates reciproce ut spatia continentia ,,ab cub4 ab cub4 ,in latere cubi majoris ,,abcd capiatur quadratum ,,dp quale lateri cubi minoris db2 ex ,hypothesi1 pressio qua quadratum ,,dp urget ,fluidum inclusum1 erit ad pressionem qua latus illud quadratum db urget ,fluidum inclusum1 ut ,medii densitates ad invicem1 hoc est ab cub4 ad ,,ab cub4 ,sed pressio qua quadratum ,,db urget ,fluidum inclusum1 est ad pressionem qua quadratum ,,dp urget idem ,fluidum1 ut quadratum ,,db ad quadratum ,,dp1 hoc est ut ,,ab quad4 ad ab quad4 ,ergo ex quo pressio qua latus ,,db urget ,fluidum1 est ad pressionem qua latus db urget ,fluidum1 ut ab ad ,,ab4 ,planis ,,fgh1 fgh per media cuborum ductis distinguatur ,fluidum in duas partes1 h se mutuo prement iisdem viribus1 quibus premuntur a planis ,,ac1 ac1 hoc est in proportione ab ad ,,ab3 adeoque vires centrifug1 quibus h pressiones sustinentur1 sunt in eadem ratione4 ,ob eundem particularum numerum similemq2 situm in utroque cubo1 vires quas particul omnes secundum plana ,,fgh1 fgh exercent in omnes1 sunt ut vires quas singul exercent in singulas4 ,ergo vires1 quas singul exercent in singulas secundum planum ,,fgh in cubo majore1 sunt ad vires quas singul exercent in singulas secundum planum fgh in cubo minore ut ab ad ,,ab1 hoc est reciproce ut distanti particularum ad invicem4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et vice versa1 si vires particularum singularum sunt reciproce ut distanti1 id est reciproce ut cuborum latera ,,ab1 ab2 summ virium erunt in eadem ratione1 pressiones laterum ,,db1 db ut summ virium2 pressio quadrati ,,dp ad pressionem lateris ,,db ut ab quad4 ad ,,ab quad4 ,et ex quo pressio quadrati ,,dp ad pressionem lateris db ut ab cub4 ad ,,ab cub4 id est vis compressionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem4 ,q4 ,e4 ,d4 ,scholium4 ,simili argumento si particularum vires centrifug sint reciproce in duplicata ratione distantiarum inter centra1 cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-quadrata densitatum4 ,si vires centrifug sint reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione distantiarum1 cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-cubi vel cubo-cubi densitatum4 ,et universaliter1 si ,d ponatur pro distantia1 ,e pro densitate ,fluidi compressi1 vires centrifug sint reciproce ut distanti dignitas qulibet ,dn1 cujus index est numerus n2 vires comprimentes erunt ut latera cubica ,dignitatis ,en #b1 cujus index est numerus n #b2 contra4 ,intelligenda vero sunt hc omnia de particularum ,viribus centrifugis qu terminantur in particulis proximis1 aut non longe ultra diffunduntur4 ,exemplum habemus in corporibus ,magneticis4 ,horum ,virtus attractiva terminatur fere in sui generis corporibus sibi proximis4 ,magnetis virtus per interpositam laminam ferri contrahitur1 in lamina fere terminatur4 ,nam corpora ulteriora non tam a ,magnete quam a lamina trahuntur4 ,ad eundem modum si particul fugant alias sui generis particulas sibi proximas1 in particulas autem remotiores virtutem nullam nisi forte per particulas intermedias virtute illa auctas exerceant1 ex hujusmodi particulis componentur ,fluida de quibus actum est in hac propositione4 ,quod si particul cujusq2 virtus in infinitum propagetur1 opus erit vi majori ad qualem condensationem majoris quantitatis ,fluidi4 ,ut si particula unaquq2 vi sua1 qu sit reciproce ut distantia locorum a centro suo1 fugat alias omnes particulas in infinitum2 ,vires quibus ,fluidum in vasis similibus qualiter comprimi condensari possit1 erunt ut quadrata diametrorum vasorum3 ideoque vis1 qua ,fluidum in eodem vase comprimitur1 erit reciproce ut latus cubicum quadrato-cubi densitatis4 ,an vero ,fluida ,elastica ex particulis se mutuo fugantibus constent1 ,qustio ,physica est4 ,nos proprietatem ,fluidorum ex ejusmodi particulis constantium ,mathematice demonstravimus1 ut ,philosophis ansam prbeamus ,qustionem illam tractandi4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,vi4 ,de ,motu resistentia ,corporum ,funependulorum4 ,prop4 ,,xxiv4 ,theor4 ,,xviii4 ,quantitates materi in corporibus funependulis1 quorum centra oscillationum a centro suspensionis qualiter distant1 sunt in ratione composita ex ratione ponderum ratione duplicata temporum oscillationum in vacuo4 ,nam velocitas1 quam data vis in data materia dato tempore generare potest1 est ut vis tempus directe1 materia inverse4 ,quo major est vis vel majus tempus vel minor materia1 eo major generabitur velocitas4 ,id quod per motus ,legem secundam manifestum est4 ,jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis1 vires motrices in locis a perpendiculo qualiter distantibus sunt ut pondera3 ideoque si corpora duo oscillando describant arcus quales1 arcus illi dividantur in partes quales2 cum tempora quibus corpora describant singulas arcuum partes correspondentes sint ut tempora oscillationum totarum1 erunt velocitates ad invicem in correspondentibus oscillationum partibus1 ut vires motrices tota oscillationum tempora directe quantitates materi reciproce3 adeoque quantitates materi ut vires oscillationum tempora directe velocitates reciproce4 ,sed velocitates reciproce sunt ut tempora1 atque adeo tempora directe velocitates reciproce sunt ut quadrata temporum1 propterea quantitates materi sunt ut vires motrices quadrata temporum1 id est ut pondera quadrata temporum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,ideoque si tempora sunt qualia1 quantitates materi in singulis corporibus erunt ut pondera4 ,corol4 #b4 ,si pondera sunt qualia1 quantitates materi erunt ut quadrata temporum4 ,corol4 #c4 ,si quantitates materi quantur1 pondera erunt reciproce ut quadrata temporum4 ,corol4 #d4 ,unde cum quadrata temporum cteris paribus sint ut longitudines pendulorum2 si tempora quantitates materi qualia sunt1 pondera erunt ut longitudines pendulorum4 ,corol4 #e4 ,et universaliter1 quantitas materi pendul est ut pondus quadratum temporis directe1 longitudo penduli inverse4 ,corol4 #f4 ,sed in ,medio non resistente quantitas ,materi pendul est ut pondus comparativum quadratum temporis directe longitudo penduli inverse4 ,nam pondus comparativum est vis motrix corporis in ,medio quovis gravi1 ut supra explicui2 adeoque idem prstat in tali ,medio non resistente atque pondus absolutum in vacuo4 ,corol4 #g4 ,et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se1 quoad quantitatem materi in singulis1 tum comparandi pondera ejusdem corporis in diversis locis1 ad cognoscendam variationem gravitatis4 ,factis autem experimentis quam accuratissimis inveni semper quantitatem materi in corporibus singulis eorum ponderi proportionalem esse4 ,prop4 ,,xxv4 ,theor4 ,,xix4 ,corpora ,funependula qu in ,medio quovis resistuntur in ratione momentorum temporis1 quque in ejusdem gravitatis specific ,medio non resistente moventur1 oscillationes in ,cycloide eodem tempore peragunt1 arcuum partes proportionales simul describunt4 ,illustration ,sit ,,ab ,cycloidis arcus1 quem corpus ,d tempore quovis in ,medio non resistente oscillando describit4 ,bisecetur idem in ,c1 ita ut ,c sit infimum ejus punctum2 erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis ,d vel d vel ,e ut longitudo arcus ,,cd vel ,cd vel ,,ce4 ,exponatur vis illa per eundem arcum2 cum resistentia sit ut momentum temporis1 adeoque detur1 exponatur eadem per datam arcus ,cycloidis partem ,,co1 sumatur arcus ,od in ratione ad arcum ,,cd quam habet arcus ,,ob ad arcum ,,cb3 vis qua corpus in d urgetur in ,medio resistente1 cum sit excessus vis ,cd supra resistentiam ,,co1 exponetur per arcum ,od1 adeoque erit ad vim qua corpus ,d urgetur in ,medio non resistente1 in loco ,d1 ut arcus ,od ad arcum ,,cd2 propterea etiam in loco ,b ut arcus ,,ob ad arcum ,,cb4 ,proinde si corpora duo1 ,d1 d exeant de loco ,b his viribus urgeantur3 cum vires sub initio sint ut arcus ,,cb ,,ob1 erunt velocitates prim arcus primo descripti in eadem ratione4 ,sunto arcus illi ,,bd ,bd1 arcus reliqui ,,cd1 ,od erunt in eadem ratione4 ,proinde vires ipsis ,,cd1 ,od proportionales manebunt in eadem ratione ac sub initio1 propterea corpora pergent arcus in eadem ratione simul describere4 ,igitur vires velocitates arcus reliqui ,,cd1 ,od semper erunt ut arcus toti ,,cd1 ,,ob1 propterea arcus illi reliqui simul describentur4 ,quare corpora duo ,d1 d simul pervenient ad loca ,c ,o1 alterum quidem in ,medio non resistente ad locum ,c1 alterum in ,medio resistente ad locum ,o4 ,cum autem velocitates in ,c ,o sint ut arcus ,,cb ,,ob2 erunt arcus quos corpora ulterius pergendo simul describunt1 in eadem ratione4 ,sunto illi ,,ce ,oe4 ,vis qua corpus ,d in ,medio non resistente retardatur in ,e est ut ,,ce1 vis qua corpus d in ,medio resistente retardatur in e est ut summa vis ,ce resistenti ,,co1 id est ut ,oe2 ideoque vires1 quibus corpora retardantur1 sunt ut arcubus ,,ce1 ,oe proportionales arcus ,,cb1 ,,ob2 proindeque velocitates in data illa ratione retardat manent in eadem illa data ratione4 ,velocitates igitur arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuum ,,cb ,,ob2 propterea si sumantur arcus toti ,,ab1 a,b in eadem ratione1 corpora ,d1 d simul describent hos arcus1 in locis ,a a motum omnem simul amittent4 ,isochron sunt igitur oscillationes tot1 arcubus totis ,,ba1 ,,be proportionales sunt arcuum partes qulibet ,,bd1 ,bd vel ,,be1 ,be qu simul describuntur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,igitur motus velocissimus in ,medio resistente non incidit in punctum infimum ,c1 sed reperitur in puncto illo ,o1 quo arcus totus descriptus a,b bisecatur4 ,et corpus subinde pergendo ad a1 iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in descensu suo a ,b ad ,o4 ,prop4 ,,xxvi4 ,theor4 ,,xx4 ,corporum ,funependulorum1 qu resistuntur in ratione velocitatum1 oscillationes in ,cycloide sunt ,isochron4 ,nam si corpora duo a centris suspensionum qualiter distantia1 oscillando describant arcus inquales1 velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti2 resistenti velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem arcus4 ,proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis1 qu sint ut iidem arcus auferantur1 conferantur vel addantur h resistenti1 erunt differenti vel summ ad invicem in eadem arcuum ratione3 cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut h differenti vel summ1 velocitates semper erunt ut arcus toti3 ,igitur velocitates1 si sint in aliquo casu ut arcus toti1 manebunt semper in eadem ratione4 ,sed in principio motus1 ubi corpora incipiunt descendere arcus illos describere1 vires1 cum sint arcubus proportionales1 generabunt velocitates arcubus proportionales4 ,ergo velocitates semper erunt ut arcus toti describendi1 propterea arcus illi simul describentur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xxvii4 ,theor4 ,,xxi4 ,si corpora ,funependula resistuntur in duplicata ratione velocitatum1 differenti inter tempora oscillationum in ,medio resistente ac tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specific ,medio non resistente1 erunt arcubus oscillando descriptis proportionales1 quam proxime4 ,nam pendulis qualibus in ,medio resistente describantur arcus inquales ,a1 ,b2 resistentia corporis in arcu ,a1 erit ad resistentiam corporis in parte correspondente arcus ,b1 in duplicata ratione velocitatum1 id est ut ,a quad4 ad ,b quad4 quamproxime4 ,si resistentia in arcu ,b esset ad resistentiam in arcu ,a ut rectangulum ,,ab ad ,a quad4 tempora in arcubus ,a ,b forent qualia per ,propositionem superiorem4 ,ideoque resistentia ,a quad4 in arcu ,a1 vel ,,ab in arcu ,b1 efficit excessum temporis in arcu ,a supra tempus in ,medio non resistente2 resistentia ,,bb efficit excessum temporis in arcu ,b supra tempus in ,medio non resistente4 ,sunt autem excessus illi ut vires efficientes ,,ab ,,bb quam proxime1 id est ut arcus ,a ,b4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc ex oscillationum temporibus1 in ,medio resistente in arcubus inqualibus factarum1 cognosci possunt tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specific ,medio non resistente4 ,nam si verbi gratia arcus sit altero duplo major1 differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra tempus in ,medio non resistente1 ut differentia arcuum ad arcum minorem4 ,corol4 #b4 ,oscillationes breviores sunt magis ,isochron1 brevissim iisdem temporibus peraguntur ac in ,medio non resistente1 quam proxime4 ,earum vero qu in majoribus arcubus fiunt1 tempora sunt paulo majora1 propterea quod resistentia in descensu corporis qua tempus producitur1 major sit pro ratione longitudinis in descensu descript1 quam resistentia in ascensu subsequente qua tempus contrahitur4 ,sed tempus oscillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per motum ,medii4 ,nam corpora tardescentia paulo minus resistuntur pro ratione velocitatis1 corpora accelerata paulo magis quam qu uniformiter progrediuntur3 id adeo quia ,medium1 eo quem a corporibus accepit motu1 in eandem plagam pergendo1 in priore casu magis agitatur1 in posteriore minus2 ac proinde magis vel minus cum corporibus motis conspirat4 ,pendulis igitur in descensu magis resistit1 in ascensu minus quam pro ratione velocitatis1 ex utraque causa tempus producitur4 ,prop4 ,,xxviii4 ,theor4 ,,xxii4 ,si corpus ,funependulum in ,cycloide oscillans resistitur in ratione momentorum temporis1 erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut excessus arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente descriptum1 ad penduli longitudinem duplicatam4 ,designet ,,bc arcum descensu descriptum1 ,ca arcum ascensu descriptum1 ,aa differentiam arcuum3 stantibus qu in ,propositione ,,xxv4 constructa demonstrata sunt1 erit vis qua corpus oscillans urgetur in loco quovis ,d1 ad uim resistentia ut arcus ,,cd ad arcum ,,co1 qui semissis est differenti illius ,aa4 ,ideoque vis qua corpus oscillans urgetur in ,cycloidis principio seu puncto altissimo1 id est vis gravitatis1 erit ad resistentiam ut arcus ,cycloidis inter punctum illud supremum punctum infimum ,c ad arcum ,,co2 id est 7si arcus duplicentur7 ut ,cycloidis totius arcus1 seu dupla penduli longitudo1 ad arcum ,aa4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xxix4 ,prob4 ,,vii4 ,posito quod corpus in ,cycloide oscillans resistitur in duplicata ratione velocitatis3 invenire resistentiam in locis singulis4 ,illustration ,sit ,ba 7,fig4 ,prop4 ,,xxv47 arcus oscillatione integra descriptus1 sitque ,c infimum ,cycloidis punctum1 ,,cz semissis arcus ,cycloidis totius1 longitudini ,penduli qualis2 quratur resistentia corporis in loco quovis ,d4 ,secetur recta infinita ,,oq in punctis ,o1 ,c1 ,p1 ,q ea lege ut 7si erigantur perpendicula ,,ok1 ,,ct1 ,,pi1 ,,qe1 centroque ,o ,asymptotis ,,ok1 ,,oq describatur ,hyperbola ,,tige secans perpendicula ,,ct1 ,,pi1 ,,qe in ,t1 ,i ,e1 per punctum ,i agatur ,,kf occurrens ,asymptoto ,,ok in ,k1 perpendiculis ,,ct ,,qe in ,l ,f7 fuerit area ,hyperbolica ,,pieq ad aream ,hyperbolicam ,,pitc ut arcus ,,bc descensu corporis descriptus ad arcum ,ca ascensu descriptum1 area ,,ief ad aream ,,ilt ut ,,oq ad ,,oc4 ,dein perpendiculo ,,mn abscindatur area ,hyperbolica ,,pinm qu sit ad aream ,hyperbolicam ,,pieq ut arcus ,,cz ad arcum ,,bc descensu descriptum4 ,et si perpendiculo ,,rg abscindatur area ,hyperbolica ,,pigr1 qu sit ad aream ,,pieq ut arcus quilibet ,,cd ad arcum ,,bc descensu toto descriptum3 erit resistentia in loco ,d ad vim gravitatis1 ut area ,,or ,,oq ,,ief - ,,igh ad aream ,,pienm4 ,nam cum vires a gravitate oriund quibus corpus in locis ,z1 ,b1 ,d1 a urgetur1 sint ut arcus ,,cz1 ,,cb1 ,,cd1 ,ca1 arcus illi sint ut are ,,pinm1 ,,pieq1 ,,pigr1 ,,pitc2 exponatur tum arcus tum vires per has areas respective4 ,sit insuper ,dd spatium quam minimum a corpore descendente descriptum1 exponatur idem per aream quam minimam ,r,ggr parallelis ,,rg1 rg comprehensam2 producatur rg ad h1 ut sint ,g,hhg1 ,r,ggr contemporanea arearum ,,igh1 ,,pigr decrementa4 ,et are ,,or ,,oq ,,ief - ,,igh incrementum ,g,hhg - ,rr ,,oq ,,ief1 seu ,rr ,,hg - ,rr ,,oq ,,ief1 erit ad are ,,pigr decrementum ,r,ggr seu ,rr ,,rg1 ut ,,hg - ,,ief ,,oq ad ,,rg2 adeoque ut ,,or ,,hg - ,,or ,,oq ,,ief ad ,,or ,,gr seu ,,op ,,pi3 hoc est 7ob qualia ,,or ,,hg1 ,,or ,,hr - ,,or ,,gr1 ,,orhk - ,,opik1 ,,pihr ,,pigr ,,igh7 ut ,,pigr ,,igh - ,,or ,,oq ,,ief ad ,,opik4 ,igitur si area ,,or ,,oq ,,ief - ,,igh dicatur ,y1 atque are ,,pigr decrementum ,r,ggr detur1 erit incrementum are ,y ut ,,pigr - ,y4 ,quod si ,v designet vim a gravitate oriundam arcui describendo ,,cd proportionalem1 qua corpus urgetur in ,d2 ,r pro resistentia ponatur3 erit ,v - ,r vis tota qua corpus urgetur in ,d1 adeoque ut incrementum velocitatis in data temporis particula factum4 ,est autem resistentia ,r 7per ,hypothesin7 ut quadratum velocitatis1 inde 7per ,lem4 ,,ii47 incrementum resistenti ut velocitas incrementum velocitatis conjunctim1 id est ut spatium data temporis particula descriptum ,v - ,r conjunctim2 atque adeo1 si momentum spatii detur1 ut ,v - ,r2 id est1 si pro vi ,v scribatur ejus exponens ,,pigr1 resistentia ,r exponatur per aliam aliquam aream ,z1 ut ,,pigr - ,z4 ,igitur area ,,pigr per datorum momentorum subductionem uniformiter decrescente1 crescunt area ,y in ratione ,,pigr - ,y1 area ,z in ratione ,,pigr - ,z4 ,et propterea si are ,y ,z simul incipiant sub initio quales sint1 h per additionem qualium momentorum pergent esse quales1 qualibus itidem momentis subinde decrescentes simul evanescent4 ,et vicissim1 si simul incipiunt simul evanescunt1 qualia habebunt momenta semper erunt quales3 id adeo quia si resistentia ,z augeatur1 velocitas una cum arcu illo ,ca1 qui in ascensu corporis describitur1 diminuetur2 puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum ,c1 resistentia citius evanescet quam area ,y4 ,et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur4 ,jam vero area ,z incipit desinitque ubi resistentia nulla est1 hoc est1 in principio fine motus1 ubi arcus ,,cd1 ,,cd arcubus ,,cb ,ca quantur1 adeoque ubi recta ,,rg incidit in rectas ,,qe ,,ct4 ,et area ,y seu ,,or ,,oq ,,ief - ,,igh incipit desinitque ubi nulla est1 adeoque ubi ,,or ,,oq ,,ief ,,igh qualia sunt3 hoc est 7per constructionem7 ubi recta ,,rg incidit in rectam ,,qe ,,ct4 ,proindeque are ill simul incipiunt simul evanescunt1 propterea semper sunt quales4 ,igitur area ,,or ,,oq ,,ief - ,,igh qualis est are ,z1 per quam resistentia exponitur1 propterea est ad aream ,,pinm per quam gravitas exponitur1 ut resistentia ad gravitatem4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,est igitur resistentia in loco infimo ,c ad vim gravitatis1 ut area ,,op ,,oq ,,ief ad aream ,,pinm4 ,corol4 #b4 ,fit autem maxima1 ubi area ,,pihr est ad aream ,,ief ut ,,or ad ,,oq4 ,eo enim in casu momentum ejus 7nimirum ,,pigr - ,y7 evadit nullum4 ,corol4 #c4 ,hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis3 quippe qu est in dimidiata ratione resistenti1 ipso motus initio quatur velocitati corporis in eadem ,cycloide absque omni resistentia oscillantis4 ,cterum ob difficilem calculum quo resistentia velocitas per hanc ,propositionem inveniend sunt1 visum est ,propositionem sequentem subjungere1 qu generalior sit ad usus ,philosophicos abunde satis accurata4 ,prop4 ,,xxx4 ,theor4 ,,xxiii4 ,si recta a,b qualis sit ,cycloidis arcui quem corpus oscillando describit1 ad singula ejus puncta ,d erigantur perpendicula ,,dk1 qu sint ad longitudinem ,penduli ut resistentia corporis in arcus punctis correspondentibus ad vim gravitatis3 dico quod differentia inter arcum descensu toto descriptum1 arcum ascensu toto subsequente descriptum1 ducta in arcuum eorundem semisummam1 qualis erit are ,b,ka,b a perpendiculis omnibus ,,dk occupat1 quamproxime4 ,illustration ,exponatur enim tum ,cycloidis arcus oscillatione integra descriptus1 per rectam illam sibi qualem a,b1 tum arcus qui describeretur in vacuo per longitudinem ,,ab4 ,bisecetur ,,ab in ,c1 punctum ,c reprsentabit infimum ,cycloidis punctum1 erit ,,cd ut vis a gravitate oriunda1 qua corpus in ,d secundum ,tangentem ,cycloidis urgetur1 eamque habebit rationem ad longitudinem ,penduli quam habet vis in ,d ad vim gravitatis4 ,exponatur igitur vis illa per longitudinem ,,cd1 vis gravitatis per longitudinem penduli2 si in ,,de capiatur ,,dk in ea ratione ad longitudinem penduli quam habet resistentia ad gravitatem1 erit ,,dk exponens resistenti4 ,centro ,c intervallo ,,ca vel ,,cb construatur semicirculus1 ,b,ee,a4 ,describat autem corpus tempore quam minimo spatium ,dd1 erectis perpendiculis ,,de1 de circumferenti occurrentibus in ,e e1 erunt hc ut velocitates quas corpus in vacuo1 descendendo a puncto ,b1 acquireret in locis ,d d4 ,patet hoc per ,prop4 ,,lii4 ,lib4 ,i4 ,exponantur itaq2 h velocitates per perpendicula illa ,,de1 de2 sitque ,,df velocitas quam acquirit in ,d cadendo de ,b in ,medio resistente4 ,et si centro ,c intervallo ,,cf describatur circulus ,ff,m occurrens rectis de ,,ab in f ,m1 erit ,m locus ad quem deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet1 df velocitas quam acquireret in d4 ,unde etiam si ,fg designet velocitatis momentum quod corpus ,d1 describendo spatium quam minimum ,dd1 ex resistentia ,medii amittit1 sumatur ,,cn qualis ,cg3 erit ,n locus ad quem corpus deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet1 ,,mn erit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione oriundum4 ,ad df demittatur perpendiculum ,fm1 velocitatis ,,df decrementum fg a resistentia ,,dk genitum1 erit ad velocitatis ejusdem incrementum fma vi ,,cd genitum1 ut vis generans ,,dk ad vim generantem ,,cd4 ,sed ob similia triangula ,fmf1 ,fhg1 ,,fdc1 est fm ad ,fm seu ,dd1 ut ,,cd ad ,,df1 ex quo ,fg ad ,dd ut ,,dk ad ,,df4 ,item ,fg ad ,fh ut ,,cf ad ,,df2 ex quo perturbate ,fh seu ,,mn ad ,dd ut ,,dk ad ,,cf4 ,sumatur ,,dr ad a,b ut ,,dk ad ,,cf1 erit ,,mn ad ,dd ut ,,dr ad a,b2 ideoque summa omnium ,,mn a,b1 id est ,aa a,b1 qualis erit summ omnium ,dd ,,dr1 id est are ,b,rr,sa1 quam rectangula omnia ,dd ,,dr seu ,d,rrd componunt4 ,bisecentur ,aa a,b in ,p ,o1 erit a,b seu ,,ob qualis ,,cp1 ideoque ,,dr est ad ,,dk ut ,,cp ad ,,cf vel ,,cm1 divisim ,,kr ad ,,dr ut ,,pm ad ,,cp4 ,ideoque cum punctum ,m1 ubi corpus versatur in medio oscillationis loco ,o1 incidat circiter in punctum ,p1 priore oscillationis parte versetur inter ,a ,p1 posteriore autem inter ,p a1 utroque in casu qualiter a puncto ,p in partes contrarias errans3 punctum ,k circa medium oscillationis locum1 id est e regione puncti ,o1 puta in ,v1 incidet in punctum ,r2 in priore autem oscillationis parte jacebit inter ,r ,e1 in posteriore inter ,r ,d1 utroque in casu qualiter a puncto ,r in partes contrarias errans4 ,proinde area quam linea ,,kr describit1 priore oscillationis parte jacebit extra aream ,b,r,sa1 posteriore intra eandem1 idque dimensionibus hinc inde propemodum quatis inter se2 propterea in casu priore addita are ,b,r,sa1 in posteriore eidem subducta1 relinquet aream ,b,k,ta are ,b,r,sa qualem quam proxime4 ,ergo rectangulum ,aa a,b seu ,aa,o1 cum sit quale are ,b,r,sa1 erit etiam quale are ,b,k,ta quamproxime4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,hinc ex lege resistenti arcuum ,ca1 ,,cb differentia ,aa1 colligi potest proportio resistenti ad gravitatem quam proxime4 ,nam si uniformis sit resistentia ,,dk1 figura a,b,kk,t rectangulum erit sub ,ba ,,dk1 inde rectangulum sub ,ba ,aa qualis erit rectangulo sub ,ba ,,dk1 ,,dk qualis erit ,aa4 ,quare cum ,,dk sit exponens resistenti1 longitudo penduli exponens gravitatis1 erit resistentia ad gravitatem ut ,aa ad longitudinem ,penduli2 omnino ut in ,propositione ,,xxviii4 demonstratum est4 ,si resistentia sit ut velocitas1 ,figura a,b,kk,t ,ellipsis erit quam proxime4 ,nam si corpus1 in ,medio non resistente1 oscillatione integra describeret longitudinem ,,ba1 velocitas in loco quovis ,d foret ut circuli diametro ,,ab descripti ordinatim applicata ,,de4 ,proinde cum ,ba in ,medio resistente ,,ba in ,medio non resistente1 qualibus circiter temporibus describantur2 adeoque velocitates in singulis ipsius ,ba punctis1 sint quam proxime ad velocitates in punctis correspondentibus longitudinis ,,ba1 ut est ,ba ad ,,ba2 erit velocitas ,,dk in ,medio resistente ut circuli vel ,ellipseos super diametro ,ba descripti ordinatim applicata2 adeoque figura ,b,k,v,ta ,ellipsis1 quam proxime4 ,cum resistentia velocitati proportionalis supponatur1 sit ,,ov exponens resistenti in puncto ,medio ,o2 ,ellipsis1 centro ,o1 semiaxibus ,,ob1 ,,ov descripta1 figuram a,b,k,v,t1 eique quale rectangulum ,aa ,,bo1 quabit quam proxime4 ,est igitur ,aa ,,bo ad ,,ov ,,bo ut area ,ellipseos hujus ad ,,ov ,,bo3 id est ,aa ad ,,ov ut area semicirculi1 ad quadratum radii sive ut #aa and #g circiter3 ,et propterea3 #g_/aa;,aa ad longitudinem penduli ut corporis oscillantis resistentia in ,o ad ejusdem gravitatem4 ,quod si resistentia ,,dk sit in duplicata ratione velocitatis1 figura ,b,k,t,va ,parabola erit verticem habens ,v axem ,,ov1 ideoque qualis erit duabus tertiis partibus rectanguli sub ,ba ,,ov quam proxime4 ,est igitur rectangulum sub ,ba ,aa quale rectangulo sub #b_/c;,ba ,,ov1 adeoque ,,ov qualis ,aa1 propterea corporis oscillantis resistentia in ,o ad ipsius gravitatem ut ,aa ad longitudinem ,penduli4 ,atque has conclusiones in rebus practicis abunde satis accuratas esse censeo4 ,nam cum ,ellipsis vel ,parabola congruat cum figura ,b,k,v,ta in puncto medio ,v1 hc si ad partem alterutram ,,bkv vel ,v,ta excedit figuram illam1 deficiet ab eadem ad partem alteram1 sic eidem quabitur quam proxime4 ,prop4 ,,xxxi4 ,theor4 ,,xxiv4 ,si corporis oscillantis resistentia in singulis arcuum descriptorum partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione2 differentia inter arcum descensu descriptum arcum subsequente ascensu descriptum1 augebitur vel diminuetur in eadem ratione quamproxime4 ,oritur enim differentia illa ex retardatione ,penduli per resistentiam ,medii1 adeoque est ut retardatio tota eique proportionalis resistentia retardans4 ,in superiore ,propositione rectangulum sub recta a,b arcuum illorum ,,cb1 ,ca differentia ,aa1 qualis erat are ,,bkt4 ,et area illa1 si maneat longitudo a,b1 augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum ,,dk2 hoc est in ratione resistenti1 adeoque est ut longitudo a,b resistentia conjunctim4 ,proindeque rectangulum sub ,aa a,b est ut a,b resistentia conjunctim1 propterea ,aa ut resistentia4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,unde si resistentia sit ut velocitas1 differentia arcuum in eodem ,medio erit ut arcus totus descriptus3 contra4 ,corol4 #b4 ,si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis1 differentia illa erit in duplicata ratione arcus totius2 contra4 ,corol4 #c4 ,et universaliter1 si resistentia sit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis1 differentia erit in eadem ratione arcus totius2 contra4 ,corol4 #d4 ,et si resistentia sit partim in ratione simplici velocitatis1 partim in ejusdem ratione duplicata1 differentia erit partim in ratione arcus totius partim in ejus ratione duplicata2 contra4 ,eadem erit lex ratio resistenti pro velocitate1 qu est differenti illius pro longitudine arcus4 ,corol4 #e4 ,ideoque si1 pendulo inquales arcus successive describente1 inveniri potest ratio incrementi ac decrementi resistenti hujus pro longitudine arcus descripti1 habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi resistenti pro velocitate majore vel minore4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,vii4 ,de ,motu ,fluidorum resistentia ,projectilium4 ,prop4 ,,xxxii4 ,theor4 ,,xxv4 ,si corporum ,systemata duo ex quali particularum numero constent particul correspondentes similes sint1 singul in uno ,systemate singulis in altero1 ac datam habeant rationem densitatis ad invicem1 inter se temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant1 7e inter se qu in uno sunt ,systemate e inter se qu sunt in altero7 si non tangant se mutuo qu in eodem sunt ,systemate1 nisi in momentis reflexionum1 neque attrahant vel fugent se mutuo1 nisi viribus acceleratricibus qu sint ut particularum correspondentium diametri inverse quadrata velocitatum directe3 dico quod ,systematum particul ille pergent inter se temporibus proportionalibus similiter moveri2 contra4 ,corpora similia temporibus proportionalibus inter se similiter moveri dico1 quorum situs ad invicem in fine temporum illorum semper sunt similes3 puta si particul unius ,systematis cum alterius particulis correspondentibus conferantur4 ,unde tempora erunt proportionalia1 in quibus similes proportionales figurarum similium partes a particulis correspondentibus describuntur4 ,igitur si duo sint ejusmodi ,systemata1 particul correspondentes1 ob similitudinem incptorum motuum1 pergent similiter moveri usque donec sibi mutuo occurrant4 ,nam si nullis agitantur viribus1 progredientur uniformiter in lineis rectis per motus ,leg4 ,i4 ,si viribus aliquibus se mutuo agitant1 vires ill sint ut particularum correspondentium diametri inverse quadrata velocitatum directe2 quoniam particularum situs sunt similes vires proportionales1 vires tot quibus particul correspondentes agitantur1 ex viribus singulis agitantibus 7per ,legum ,corollarium secundum7 composit1 similes habebunt determinationes1 perinde ac si centra inter particulas similiter sita respicerent2 erunt vires ill tot ad invicem ut vires singul componentes1 hoc est ut correspondentium particularum diametri inverse1 quadrata velocitatum directe3 propterea efficient ut correspondentes particul figuras similes describere pergant4 ,hc ita se habebunt per ,corol4 #a4 #b1 #g4 ,prop4 ,,iv4 si modo centra illa quiescant4 ,sin moveantur1 quoniam ob translationum similitudinem1 similes manent eorum situs inter ,systematum particulas2 similes inducentur mutationes in figuris quas particul describunt4 ,similes igitur erunt correspondentium similium particularum motus usque ad occursus suos primos1 propterea similes occursus1 similes reflexiones1 subinde 7per jam ostensa7 similes motus inter se1 donec iterum in se mutuo inciderint1 sic deinceps in infinitum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc si corpora duo quvis1 qu similia sint ad ,systematum particulas correspondentes similiter sita1 inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant1 sintque eorum densitates ad invicem ut densitates correspondentium particularum3 hc pergent temporibus proportionalibus similiter moveri4 ,est enim eadem ratio partium majorum ,systematis utriusque atque particularum4 ,corol4 #b4 ,et si similes similiter posit ,systematum partes omnes quiescant inter se3 earum du1 qu cteris majores sint1 sibi mutuo in utroque ,systemate correspondeant1 secundum lineas similiter sitas simili cum motu utcunque moveri incipiant3 h similes in reliquis systematum partibus excitabunt motus1 pergent inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri2 atque adeo spatia diametris suis proportionalia describere4 ,prop4 ,,xxxiii4 ,theor4 ,,xxvi4 ,iisdem positis1 dico quod ,systematum partes majores resistuntur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum duplicata ratione diametrorum ratione densitatis partium ,systematum4 ,nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centrifugis quibus particul systematum se mutuo agitant1 partim ex occursibus reflexionibus particularum partium majorum4 ,prioris autem generis resistenti sunt ad invicem ut vires tot motrices a quibus oriuntur1 id est ut vires tot acceleratrices quantitates materi in partibus correspondentibus2 hoc est 7per ,hypothesin7 ut quadrata velocitatum directe distanti particularum correspondentium inverse quantitates materi in partibus correspondentibus directe3 ideoque 7cum distanti particularum systematis unius sint ad distantias correspondentes particularum alterius1 ut diameter particul vel partis in systemate priore ad diametrum particul vel partis correspondentis in altero1 quantitates materi sint ut densitates partium cubi diametrorum7 resistenti sunt ad invicem ut quadrata velocitatum quadrata diametrorum densitates partium ,systematum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,posterioris generis resistenti sunt ut reflexionum correspondentium numeri vires conjunctim4 ,numeri autem reflexionum sunt ad invicem ut velocitates partium correspondentium directe1 spatia inter eorum reflexiones inverse4 ,et vires reflexionum sunt ut velocitates magnitudines densitates partium correspondentium conjunctim2 id est ut velocitates diametrorum cubi densitates partium4 ,et conjunctis his omnibus rationibus1 resistenti partium correspondentium sunt ad invicem ut quadrata velocitatum quadrata diametrorum densitates partium conjunctim4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur si systemata illa sint ,fluida duo ,elastica ad modum ,aeris1 partes eorum quiescant inter se3 corpora autem duo similia partibus fluidorum quoad magnitudinem densitatem proportionalia1 inter partes illas similiter posita1 secundum lineas similiter positas utcunque projiciantur2 vires autem motrices1 quibus particul ,fluidorum se mutuo agitant1 sint ut corporum projectorum diametri inverse1 quadrata velocitatum directe3 corpora illa temporibus proportionalibus similes excitabunt motus in ,fluidis1 spatia similia ac diametris suis proportionalia describent4 ,corol4 #b4 ,proinde in eodem ,fluido projectile velox resistitur in duplicata ratione velocitatis quam proxime4 ,nam si vires1 quibus particul distantes se mutuo agitant1 augerentur in duplicata ratione velocitatis1 projectile resisteretur in eadem ratione duplicata accurate2 ideoque in ,medio1 cujus partes ab invicem distantes sese viribus nullis agitant1 resistentia est in duplicata ratione velocitatis accurate4 ,sunto igitur ,media tria ,a1 ,b1 ,c ex partibus similibus qualibus secundum distantias quales regulariter dispositis constantia4 ,partes ,mediorum ,a ,b fugiant se mutuo viribus qu sint ad invicem ut ,t ,v1 ill ,medii ,c ejusmodi viribus omnino destituantur4 ,et si corpora quatuor qualia ,d1 ,e1 ,f1 ,g in his ,mediis moveantur1 priora duo ,d ,e in prioribus duobus ,a ,b1 altera duo ,f ,g in tertio ,c2 sitque velocitas corporis ,d ad velocitatem corporis ,e1 velocitas corporis ,f ad velocitatem corporis ,g1 in dimidiata ratione virium ,t ad vires ,v2 resistentia corporis ,d erit ad resistentiam corporis ,e1 resistentia corporis ,f ad resistentiam corporis ,g in velocitatum ratione duplicata2 propterea resistentia corporis ,d erit ad resistentiam corporis ,f ut resistentia corporis ,e ad resistentiam corporis ,g4 ,sunto corpora ,d ,f quivelocia ut corpora ,e ,g2 augendo velocitates corporum ,d ,f in ratione quacunque1 ac diminuendo vires particularum ,medii ,b in eadem ratione duplicata1 accedet ,medium ,b ad formam conditionem ,medii ,c pro lubitu1 idcirco resistenti corporum qualium quivelocium ,e ,g in his ,mediis1 perpetuo accedent ad qualitatem1 ita ut earum differentia evadat tandem minor quam data quvis4 ,proinde cum resistenti corporum ,d ,f sint ad invicem ut resistenti corporum ,e ,g1 accedent etiam h similiter ad rationem qualitatis4 ,corporum igitur ,d ,f1 ubi velocissime moventur1 resistenti sunt quales quam proxime3 propterea cum resistentia corporis ,f sit in duplicata ratione velocitatis1 erit resistentia corporis ,d in eadem ratione quamproxime4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #c4 ,igitur corporis in ,fluido quovis ,elastico velocissime moventis eadem fere est resistentia ac si partes ,fluidi viribus suis centrifugis destituerentur1 seque mutuo non fugerent3 si modo ,fluidi vis ,elastica ex particularum viribus centrifugis oriatur4 ,corol4 #d4 ,proinde cum resistenti similium quivelocium corporum1 in ,medio cujus partes distantes se mutuo non fugiunt1 sint ut quadrata diametrorum1 sunt etiam quivelocium celerrime moventium corporum resistenti in ,fluido ,elastico ut quadrata diametrorum quam proxime4 ,corol4 #e4 ,et cum corpora similia1 qualia quivelocia1 in ,mediis ejusdem densitatis1 quorum particul se mutuo non fugiunt1 sive particul ill sint plures minores1 sive pauciores majores1 in qualem materi quantitatem temporibus qualibus inpingant1 eique qualem motus quantitatem imprimant1 vicissim 7per motus ,legem tertiam7 qualem ab eadem reactionem patiantur1 hoc est1 qualiter resistantur3 manifestum est etiam quod in ejusdem densitatis ,fluidis ,elasticis1 ubi velocissime moventur1 quales sint eorum resistenti quam proxime2 sive ,fluida illa ex particulis crassioribus constent1 sive ex omnium subtilissimis constituantur4 ,ex ,medii subtilitate resistentia projectilium celerrime motorum non multum diminuitur4 ,corol4 #f4 ,cum autem particul ,fluidorum1 propter vires quibus se mutuo fugiunt1 moveri nequeant quin simul agitent particulas alias in circuitu1 atque adeo difficilius moveantur inter se quam si viribus istis destituerentur2 quo majores sint earum vires centrifug1 eo difficilius moveantur inter se3 manifestum esse videtur quod projectile in tali ,fluido eo difficilius movebitur1 quo vires ill sunt intensiores2 propterea si corporis velocissimi in superioribus ,corollariis velocitas diminuatur1 quoniam resistentia diminueretur in duplicata ratione velocitatis1 si modo vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur2 vires autem nullatenus diminuantur1 manifestum est quod resistentia diminuetur in ratione minore quam duplicata velocitatis4 ,corol4 #g4 ,porro cum vires centrifug eo nomine ad augendam resistentiam conducant1 quod particul motus suos per ,fluidum ad majorem a se distantiam per vires illas propagent2 cum distantia illa minorem habeat rationem ad majora corpora3 manifestum est quod augmentum resistenti ex viribus illis oriundum in corporibus majoribus minoris sit momenti2 propterea1 quo corpora sint majora eo magis accurate resistentia tardescentium decrescet in duplicata ratione velocitatis4 ,corol4 #h4 ,unde etiam ratio illa duplicata magis accurate obtinebit in ,fluidis qu1 pari densitate vi ,elastica1 ex particulis minoribus constant4 ,nam si corpora illa majora diminuantur1 particul ,fluidi1 manente ejus densitate vi ,elastica1 diminuantur in eadem ratione2 manebit eadem ratio resistenti qu prius3 ut ex prcedentibus facile colligitur4 ,corol4 #i4 ,hc omnia ita se habent in ,fluidis1 quorum vis ,elastica ex particularum viribus centrifugis originem ducit4 ,quod si vis illa aliunde oriatur1 veluti ex particularum expansione ad instar ,lan vel ramorum arborum1 aut ex alia quavis causa1 qua motus particularum inter se redduntur minus liberi3 resistentia1 ob minorem ,medii fluiditatem1 erit major quam in superioribus ,corollariis4 ,prop4 ,,xxxiv4 ,theor4 ,,xxvii4 ,qu in prcedentibus duabus ,propositionibus demonstrata sunt1 obtinent ubi particul ,systematum se mutuo contingunt1 si modo particul ill sint summe lubric4 ,concipe particulas viribus quibusdam se mutuo fugere1 vires illas in accessu ad superficies particularum augeri in infinitum1 contra1 in recessu ab iisdem celerrime diminui statim evanescere4 ,concipe etiam systemata comprimi1 ita ut partes eorum se mutuo contingant1 nisi quatenus vires ill contactum impediunt4 ,sint autem spatia per qu vires particularum diffunduntur quam angustissima1 ita ut particul se mutuo quam proxime contingant3 motus particularum inter se iidem erunt quam proxime ac si se mutuo contingerent4 ,eadem facilitate labentur inter se ac si essent summe lubric1 si impingant in se mutuo reflectentur ab invicem ope virium prfatarum1 perinde ac si essent ,elastic4 ,itaque motus erunt iidem in utroque casu1 nisi quatenus perexigua particularum sese non contingentium intervalla diversitatem efficiant3 qu quidem diversitas diminuendo particularum intervalla diminui potest in infinitum4 ,jam vero qu in prcedentibus duabus ,propositionibus demonstrata sunt1 obtinent in particulis sese non contingentibus1 idque licet intervalla particularum1 diminuendo spatia per qu vires diffunduntur1 diminuantur in infinitum4 ,et propterea eadem obtinent in particulis sese contingentibus1 exceptis solum differentiis qu tandem differentiis quibusvis datis minores evadant4 ,dico igitur quod accurate obtinent4 ,si negas1 assigna differentiam in casu quocunque4 ,atqui jam probatum est quod differentia minor sit quam data quvis4 ,ergo differentia falso assignatur1 propterea nulla est4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur si ,systematum duorum partes omnes quiescant inter se1 exceptis duabus1 qu cteris majores sint sibi mutuo correspondeant inter cteras similiter sit4 ,h secundum lineas similiter positas utcunque project similes excitabunt motus in ,systematibus1 temporibus proportionalibus pergent spatia similia diametris suis proportionalia describere2 resistentur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum duplicata ratione diametrorum ratione densitatis ,systematum4 ,corol4 #b4 ,unde si ,systemata illa sint ,fluida duo similia1 eorum partes du majores sint corpora in iisdem projecta3 sint autem ,fluidorum particul summe lubric1 quoad magnitudinem densitatem proportionales corporibus3 pergent corpora temporibus proportionalibus spatia similia diametris suis proportionalia describere1 resistentur in ratione ,corollario superiore definita4 ,corol4 #c4 ,proinde in eodem ,fluido ,projectile magnitudine datum resistitur in duplicata ratione velocitatis4 ,corol4 #d4 ,at si particul ,fluidi non sint summe lubric1 vel si viribus quibuscunque se mutuo agitant1 quibus motuum libertas diminuitur3 ,projectilia tardiora difficilius superabunt resistentiam1 propterea magis resistentur quam in velocitatis ratione duplicata4 ,prop4 ,,xxxv4 ,theor4 ,,xxviii4 ,si ,globus ,cylindrus qualibus diametris descripti1 in ,medio raro ,elastico1 secundum plagam axis ,cylindri1 quali cum velocitate celerrime moveantur3 erit resistentia ,globi duplo minor quam resistentia ,cylindri4 ,illustration ,nam quoniam resistentia 7per ,corol4 #c4 ,prop4 ,,xxxiii47 eadem est quam proxime ac si partes ,fluidi viribus nullis se mutuo fugerent1 supponamus partes ,fluidi ejusmodi viribus destitutas per spatia omnia uniformiter dispergi4 ,et quoniam actio ,medii in corpus eadem est 7per ,legum ,corol4 #e47 sive corpus in ,medio quiescente moveatur1 sive ,medii particul eadem cum velocitate impingant in corpus quiescens3 consideremus corpus tanquam quiescens1 videamus quo impetu urgebitur a ,medio movente4 ,designet igitur ,,abki corpus ,sphricum centro ,c semidiametro ,,ca descriptum1 incidant particul ,medii data cum velocitate in corpus illud ,sphricum1 secundum rectas ipsi ,,ac parallelas3 ,sitque ,,fb ejusmodi recta4 ,in ea capiatur ,,lb semidiametro ,,cb qualis1 ducatur ,,bd qu ,sphram tangat in ,b4 ,in ,,ac ,,bd demittantur perpendiculares ,,be1 ,,dl1 vis qua particula ,medii1 secundum rectam ,,fb oblique incidendo1 ,globum ferit in ,b1 erit ad vim qua particula eadem ,cylindrum ,,ongq axe ,,aci circa ,globum descriptum perpendiculariter feriret in b1 ut ,,ld ad ,,lb vel ,,be ad ,,bc4 ,rursus efficacia hujus vis ad movendum globum secundum incidenti su plagam ,,fb vel ,,ac1 est ad ejusdem efficaciam ad movendum globum secundum plagam determinationis su1 id est secundum plagam rect ,,bc qua globum directe urget1 ut ,,be ad ,,bc4 ,et conjunctis rationibus1 efficacia particul1 in globum secundum rectam ,,fb oblique incidentis1 ad movendum eundem secundum plagam incidenti su1 est ad efficaciam particul ejusdem secundum eandem rectam in cylindrum perpendiculariter incidentis1 ad ipsum movendum in plagam eandem1 ut ,,be quadratum ad ,,bc quadratum4 ,quare si ad cylindri basem circularem ,,nao erigatur perpendiculum b,h,e1 sit b,e qualis radio ,,ac1 b,h qualis ,,be quad4 ,,cb1 erit b,h ad b,e ut effectus particul in globum ad effectum particul in cylindrum4 ,et propterea ,solidum quod a rectis omnibus b,h occupatur erit ad solidum quod a rectis omnibus b,e occupatur1 ut effectus particularum omnium in globum ad effectum particularum omnium in ,cylindrum4 ,sed solidum prius est ,parabolois vertice ,v1 axe ,,ca latere recto ,,ca descriptum1 solidum posterius est cylindrus ,paraboloidi circumscriptus3 notum est quod ,parabolois sit semissis cylindri circumscripti4 ,ergo vis tota ,medii in globum est duplo minor quam ejusdem vis tota in cylindrum4 ,et propterea si particul ,medii quiescerent1 cylindrus ac globus quali cum velocitate moverentur1 foret resistentia globi duplo minor quam resistentia cylindri4 ,q4 ,e4 ,d4 ,scholium4 ,illustration ,eadem methodo figur ali inter se quoad resistentiam comparari possunt1 eque inveniri qu ad motus suos in ,mediis resistentibus continuandos aptiores sunt4 ,ut si base circulari ,,cebh1 qu centro ,o1 radio ,,oc describitur1 altitudine ,,od1 construendum sit frustum coni ,,cbgf1 quod omnium eadem basi altitudine constructorum secundum plagam axis sui versus ,d progredientium frustorum minime resistatur3 biseca altitudinem ,,od in ,q produc1 ,,oq ad ,s ut sit ,,qs qualis ,,qc1 erit ,s vertex coni cujus frustum quritur4 ,unde obiter cum angulus ,,csb semper sit acutus1 consequens est1 quod si solidum ,,adbe convolutione figur ,elliptic vel ,ovalis ,,adbe circa axem ,,ab facta generetur1 tangatur figura generans a rectis tribus ,,fg1 ,,gh1 ,,hi in punctis ,f1 ,b ,i1 ea lege ut ,,gh sit perpendicularis ad axem in puncto contactus ,b1 ,,fg1 ,,hi cum eadem ,,gh contineant angulos ,,fgb1 ,,bhi graduum #ace3 solidum1 quod convolutione figur ,,adfghie circa axem eundem ,,cb generatur1 minus resistitur quam solidum prius2 si modo utrumque secundum plagam axis sui ,,ab progrediatur1 utriusque terminus ,b prcedat4 ,quam quidem propositionem in construendis ,navibus non inutilem futuram esse censeo4 ,illustration ,quod si figura ,,dnfb ejusmodi sit ut1 si ab ejus puncto quovis ,n ad axem ,,ab demittatur perpendiculum ,,nm1 a puncto dato ,g ducatur recta ,,gr qu parallela sit rect figuram tangenti in ,n1 axem productum secet in ,r1 fuerit ,,mn ad ,,gr ut ,,gr cub4 ad #d;,,br ,g,bq43 ,solidum quod figur hujus revolutione circa axem ,,ab facta describitur1 in ,medio raro ,elastico ab ,a versus ,b velocissime movendo1 minus resistetur quam aliud quodvis eadem longitudine latitudine descriptum ,solidum circulare4 ,prop4 ,,xxxvi4 ,prob4 ,,viii4 ,invenire resistentiam corporis ,sphrici in ,fluido raro ,elastico velocissime progredientis4 7,vide ,fig4 ,pag4 #cbe47 ,designet ,,abki corpus ,sphricum centro ,c semidiametro ,,ca descriptum4 ,producatur ,,ca primo ad ,s deinde ad ,r1 ut sit ,,as pars tertia ipsius ,,ca1 ,,cr sit ad ,,cs ut densitas corporis ,sphrici ad densitatem ,medii4 ,ad ,,cr erigantur perpendicula ,,pc1 ,,rx1 centroque ,r ,asymptotis ,,cr1 ,,rx describatur ,hyperbola quvis ,,pvy4 ,in ,,cr capiatur ,,ct longitudinis cujusvis1 erigatur perpendiculum ,,tv abscindens aream ,hyperbolicam ,,pctv1 sit ,,cz latus hujus are applicat ad rectam ,,pc4 ,dico quod motus quem globus1 describendo spatium ,,cz1 ex resistentia ,medii amittet1 erit ad ejus motum totum sub initio ut longitudo ,,ct ad longitudinem ,,cr quamproxime4 ,nam 7per motuum ,legem tertiam7 motus quem cylindrus ,,gnoq circa globum descriptus impingendo in ,medii particulas amitteret1 qualis est motui quem imprimeret in easdem particulas4 ,ponamus quod particul singul reflectantur a cylindro1 ab eodem ea cum velocitate resiliant1 quacum cylindrus ad ipsas accedebat4 ,nam talis erit reflexio1 per ,legum ,corol4 #c4 si modo particul quam minime sint1 vi ,elastica quam maxima reflectantur4 ,velocitas igitur quacum a cylindro resiliunt1 addita velocitati cylindri componet totam velocitatem duplo majorem quam velocitas cylindri1 propterea motus quem cylindrus ex reflexione particul cujusque amittit1 erit ad motum totum cylindri1 ut particula duplicata ad cylindrum4 ,proinde cum densitas ,medii sit ad densitatem cylindri ut ,,cs ad ,,cr2 si ,ct sit longitudo tempore quam minimo a cylindro descripta1 erit motus eo tempore amissus ad motum totum cylindri ut #b;,ct ,,cs ad ,,ai ,,cr4 ,ea enim est ratio materi ,medii1 a cylindro protrus reflex1 ad massam cylindri4 ,unde cum globus sit du terti partes cylindri1 resistentia globi 7per ,propositionem superiorem7 sit duplo minor quam resistentia cylindri3 erit motus1 quem globus describendo longitudinem ,l amittit1 ad motum totum globi1 ut ,ct ,,cs ad #b_/c;,,ai ,,cr1 sive ut ,ct ad ,,cr4 ,erigatur perpendiculum tv ,hyperbol occurrens in v1 7per ,corol4 #a4 ,prop4 ,v4 ,lib4 ,,ii47 si corpus describendo longitudinem are ,ctv,p proportionalem1 amittit motus sui totius ,,cr partem quamvis ,ct1 idem describendo longitudinem are ,,ctvp proportionalem1 amittet motus sui partem ,,ct4 ,sed longitudo ,ct qualis est ,c,pvt ,,cp1 longitudo ,,cz 7per ,hypothesin7 qualis est ,,cptv ,,cp1 adeoque longitudo ,ct est ad longitudinem ,,cz ut area ,c,pvt ad aream ,,cpvt4 ,et propterea cum globus describendo longitudinem quam minimam ,ct amittat motus sui partem1 qu sit ad totum ut ,ct ad ,,cr1 is describendo longitudinem aliam quamvis ,,cz1 amittet motus sui partem qu sit ad totum ut ,,ct ad ,,cr4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,si detur corporis velocitas sub initio1 dabitur tempus quo corpus1 describendo spatium ,ct1 amittet motus sui partem ,ct3 inde1 dicendo quod resistentia sit ad vim gravitatis ut ista motus pars amissa ad motum1 quem gravitas ,globi eodem tempore generaret2 dabitur proportio resistenti ad gravitatem ,globi4 ,corol4 #b4 ,quoniam in his determinandis supposui quod particul ,fluidi per vim suam ,elasticam quam maxime a ,globo reflectantur1 particularum sic reflexarum impetus in ,globum duplo major sit quam si non reflecterentur3 manifestum est quod in ,fluido1 cujus particul vi omni ,elastica aliaque omni vi reflexiva destituuntur1 corpus ,sphricum resistentiam duplo minorem patietur2 adeoque eandem velocitatis partem amittendo1 duplo longius progredietur quam pro constructione ,problematis hujus superius allata4 ,corol4 #c4 ,et si particularum vis reflexiva neque maxima sit neque omnino nulla1 sed mediocrem aliquam rationem teneat3 resistentia pariter1 inter limites in constructione ,problematis ,corollario superiore positos1 mediocrem rationem tenebit4 ,corol4 #d4 ,cum corpora tarda paulo magis resistantur quam pro ratione duplicata velocitatis3 hc describendo longitudinem quamvis ,,cz amittent majorem motus sui partem1 quam qu sit ad motum suum totum ut ,,ct ad ,,cr4 ,corol4 #e4 ,cognita autem resistentia corporum celerrimorum1 innotescet etiam resistentia tardorum2 si modo lex decrementi resistenti pro ratione velocitatis inveniri potest4 ,prop4 ,,xxxvii4 ,prob4 ,,ix4 ,aqu de vase dato per foramen effluentis definire motum4 ,si vas impleatur aqua1 in fundo perforetur ut aqua per foramen defluat1 manifestum est quod vas sustinebit pondus aqu totius1 dempto pondere partis illius quod foramini perpendiculariter imminet4 ,nam si foramen obstaculo aliquo occluderetur1 obstaculum sustineret pondus aqu sibi perpendiculariter incumbentis1 fundum vasis sustineret pondus aqu reliqu4 ,sublato autem obstaculo1 fundum vasis eadem aqu pressione eodemve ipsius pondere urgebitur ac prius2 pondus quod obstaculum sustinebat1 cum jam non sustineatur1 faciet ut aqua descendat per foramen defluat4 ,unde consequens est1 quod motus aqu totius effluentis is erit quem pondus aqu foramini perpendiculariter incumbentis generare possit4 ,nam aqu particula unaquque pondere suo1 quatenus non impeditur1 descendit1 idque motu uniformiter accelerato2 quatenus impeditur1 urgebit obstaculum4 ,obstaculum illud vel vasis est fundum1 vel aqua inferior defluens2 propterea ponderis pars illa1 quam vasis fundum non sustinet1 urgebit aquam defluentem motum sibi proportionalem generabit4 ,designet igitur ,f aream foraminis1 ,a altitudinem aqu foramini perpendiculariter incumbentis1 ,p pondus ejus1 ,,af quantitatem ejus1 ,s spatium quod dato quovis tempore ,t in vacuo libere cadendo describeret1 ,v velocitatem quam in fine temporis illius cadendo acquisierit3 motus ejus acquisitus ,,af ,v qualis erit motui aqu totius eodem tempore effluentis4 ,sit velocitas quacum effluendo exit de foramine1 ad velocitatem ,v ut d ad e2 cum aqua velocitate ,v describere posset spatium #b,s1 aqua effluens eodem tempore1 velocitate sua d e,v describere posset spatium #b;d e,s4 ,et propterea columna aqu cujus longitudo sit #b;d e,s latitudo eadem qu foraminis1 posset eo tempore defluendo egredi de vase1 hoc est columna #b;d e,,sf4 ,quare motus #b;dd ee,,sfv1 qui fiet ducendo quantitatem aqu effluentis in velocitatem suam1 hoc est motus omnis tempore effluxus illius genitus1 quabitur motui ,,af ,v4 ,et si quales illi motus applicentur ad ,,fv2 fiet #b;dd ee,s qualis ,a4 ,unde est dd ad ee ut ,a ad #b,s1 d ad e in dimidiata ratione ,a ad ,s4 ,est igitur velocitas quacum aqua exit e foramine1 ad velocitatem quam aqua cadens1 tempore ,t cadendo describens spatium ,s acquireret1 ut altitudo aqu foramini perpendiculariter incumbentis1 ad medium proportionale inter altitudinem illam duplicatam spatium illud ,s1 quod corpus tempore ,t cadendo describeret4 ,igitur si motus illi sursum vertantur2 quoniam aqua velocitate ,v ascenderet ad altitudinem illam ,s de qua deciderat2 altitudines 7uti notum est7 sint in duplicata ratione velocitatum3 aqua effluens ascenderet ad altitudinem ,a4 ,et propterea quantitas aqu effluentis2 quo tempore corpus cadendo describere posset altitudinem ,a1 qualis erit column aqu totius ,,af foramini perpendiculariter imminentis4 ,cum autem aqua effluens1 motu suo sursum verso1 perpendiculariter surgeret ad dimidiam altitudinem aqu foramini incumbentis2 consequens est quod si egrediatur oblique per canalem in latus vasis1 describet in spatiis non resistentibus ,parabolam cujus latus rectum est altitudo aqu in vase supra canalis orificium1 cujus diameter horizonti perpendicularis ab orificio illo ducitur1 atque ordinatim applicat parallel sunt axi canalis4 ,hc omnia de ,fluido subtilissimo intelligenda sunt4 ,nam si aqua ex partibus crassioribus constet1 hc tardius effluet quam pro ratione superius assignata1 prsertim si foramen angustum sit per quod effluit4 ,denique si aqua per canalem horizonti parallelum egrediatur2 quoniam fundum vasis integrum est1 eadem aqu incumbentis pressione ubique urgetur ac si aqua non efflueret2 vas sustinebit pondus aqu totius1 non obstante effluxu1 sed latus vasis de quo effluit non sustinebit pressionem illam omnem1 quam sustineret si aqua non efflueret4 ,tolletur enim pressio partis illius ubi perforatur3 qu quidem pressio qualis est ponderi column aqu1 cujus basis foramini quatur altitudo eadem est qu aqu totius supra foramen4 ,et propterea si vas1 ad modum corporis penduli1 filo prlongo a clavo suspendatur1 hoc1 si aqua in plagam quamvis secundum lineam horizontalem effluit1 recedet semper a perpendiculo in plagam contrariam4 ,et par est ratio motus pilarum1 qu ,pulvere tormentario madefacto implentur1 1 materia in flammam per foramen paulatim expirante1 recedunt a regione flamm in partem contrariam cum impetu feruntur4 ,prop4 ,,xxxviii4 ,theor4 ,,xxix4 ,corporum ,sphricorum in ,mediis quibusque ,fluidissimis resistentiam in anteriore superficie definire4 ,illustration ,defluat aqua de vase ,cylindrico ,,abcd1 per canalem ,cylindricum ,,efgh1 in vas inferius ,,iklm2 inde effluat per vasis marginem ,,im4 ,sit autem margo ille ejusdem altitudinis cum vasis superioris fundo ,,cd1 eo ut aqua per totum canalem uniformi cum motu descendat2 in medio canalis collocetur ,globus ,p1 sitque ,,pr altitudo aqu supra ,globum1 ,,sr ejusdem altitudo supra fundum vasis4 ,sustineatur autem ,globus filo tenuissimo ,,tv1 lateribus canalis hinc inde affixo4 ,et manifestum est per proportionem superiorem1 quod quantitas aqu dato tempore defluentis erit ut amplitudo foraminis per quod defluit2 hoc est1 si ,globus tollatur1 ut canalis orificium3 sin ,globus adsit1 ut spatium undique inter ,globum canalem4 ,nam velocitas aqu defluentis 7per superiorem ,propositionem7 ea erit quam corpus cadendo1 casu suo describendo dimidiam aqu altitudinem ,,sr1 acquirere posset3 adeoque eadem est sive ,globus tollatur1 sive adsit4 ,et propterea aqua defluens erit ut amplitudo spatii per quod transit4 ,certe transitus aqu per spatium angustius facilior esse nequit quam per spatium amplius1 propterea velocitas ejus ubi ,globus adest1 non potest esse major quam cum tollitur3 ideoque major aqu quantitas1 ubi ,globus adest1 non effluet quam pro ratione spatii per quod transit4 ,si aqua non sit liquor subtilissimus fluidissimus1 hujus transitus per spatium angustius1 ob crassitudinem particularum1 erit aliquanto tardior3 at liquorem fluidissimum esse hic supponimus4 ,igitur quantitas aqu1 cujus descensum ,globus dato tempore impedit1 est ad quantitatem aqu qu1 si ,globus tolleretur1 eodem tempore descenderet1 ut basis ,cylindri circa ,globum descripti ad orificium canalis2 sive ut quadratum diametri ,globi ad quadratum diametri cavitatis canalis4 ,et propterea quantitas aqu cujus descensum ,globus impedit1 qualis est quantitati aqu1 qu eodem tempore per foramen circulare in fundo vasis1 basi ,cylindri illius quale1 descendere posset1 cujus descensus per fundi partem quamvis circularem basi illi qualem impeditur4 ,jam vero pondus aqu1 quod vas ,globus conjunctim sustinent1 est pondus aqu totius in vase1 prter partem illam qu aquam defluentem accelerat1 ad ejus motum generandum sufficit1 quque1 per ,propositionem superiorem1 qualis est ponderi column aqu cujus basis quatur spatio inter ,globum canalem per quod aqua defluit1 altitudo eadem cum altitudine aqu supra fundum vasis1 per lineam ,,sr designata4 ,vasis igitur fundum ,globus conjunctim sustinent pondus aqu totius in vase sibi ipsis perpendiculariter imminentis4 ,unde cum fundum vasis sustineat pondus aqu sibi perpendiculariter imminentis1 reliquum est ut ,globus etiam sustineat pondus aqu sibi perpendiculariter imminentis4 ,globus quidem non sustinet pondus aqu illius stagnantis sibi absque omni motu incumbentis1 sed aqu defluenti resistendo impedit effectum tanti ponderis2 adeoque vim aqu defluentis sustinet ponderi illi qualem4 ,nam impedit descensum effluxum quantitatis aqu quem pondus illud accurate efficeret si ,globus tolleretur4 ,aqua pondere suo1 quatenus descensus ejus impeditur1 urget obstaculum omne1 ideoque obstaculum1 quatenus descensum aqu impedit1 vim sustinet qualem ponderi quo descensus ille efficeretur4 ,globus autem descensum quantitatis aqu impedit1 quem pondus column aqu sibi perpendiculariter incumbentis efficere posset2 propterea vim aqu decurrentis sustinet ponderi illi qualem4 ,actio reactio aqu per motus ,legem tertiam quantur inter se1 in plagas contrarias diriguntur4 ,actio ,globi in aquam descendentem1 ad ejus descensum impediendum1 in superiora dirigitur1 est ut descendendi motus impeditus1 eique tollendo adquate sufficit3 propterea actio contraria aqu in ,globum qualis est vi qu motum eundem vel tollere vel generare possit1 hoc est ponderi column aqu1 qu ,globo perpendiculariter imminet cujus altitudo est ,,rs4 ,si jam canalis orificium superius obstruatur1 sic ut aqua descendere nequeat1 ,globus quidem1 pondere aqu in canali vase inferiore ,,iklm stagnantis1 premetur undique2 sed non obstante pressione illa1 si ejusdem sit specific gravitatis cum aqua1 quiescet4 ,pressio illa ,globum nullam in partem impellet4 ,et propterea ubi canalis aperitur aqua de vase superiore descendit1 vis omnis1 qua ,globus impellitur deorsum1 orietur ab aqu illius descensu1 atque adeo qualis erit ponderi column aqu1 cujus altitudo est ,,rs diameter eadem qu ,globi4 ,pondus autem istud1 quo tempore data qulibet aqu quantitas1 per foramen basi ,cylindri circa ,globum descripti quale1 sublato ,globo effluere posset1 sufficit ad ejus motum omnem generandum2 atque adeo quo tempore aqua in ,cylindro uniformiter decurrendo describit duas tertias partes diametri ,globi1 sufficit ad motum omnem aqu ,globo qualis generandum4 ,nam ,cylindrus aqu1 latitudine ,globi duabus tertiis partibus altitudinis descriptus1 ,globo quatur4 ,et propterea aqu currentis impetus in ,globum quiescentem1 quo tempore aqua currendo describit duas tertias partes diametri ,globi1 si uniformiter continuetur1 generaret motum omnem partis ,fluidi qu ,globo quatur4 ,qu vero de aqua in canali demonstrata sunt1 intelligenda sunt etiam de aqua quacunque fluente1 qua ,globus quilibet in ea quiescens urgetur4 ,quque de aqua demonstrata sunt obtinent etiam in ,fluidis universis subtilissimis4 ,de his omnibus idem valet argumentum4 ,jam vero per ,legum ,corol4 #e1 vis ,fluidi in ,globum eadem est1 sive ,globus quiescat ,fluidum uniformi cum velocitate moveatur1 sive ,fluidum quiescat ,globus eadem cum velocitate in partem contrariam pergat4 ,et propterea resistentia ,globi in ,medio quocunque ,fluidissimo uniformiter progredientis1 quo tempore ,globus duas tertias partes diametri su describit1 qualis est vi1 qu in corpus ejusdem magnitudinis cum ,globo ejusdem densitatis cum ,medio uniformiter impressa1 quo tempore ,globus duas tertias partes diametri su progrediendo describit1 velocitatem ,globi in corpore illo generare posset4 ,tanta est resistentia ,globi in superficiei parte prcedente4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,si solidum ,sphricum in ejusdem secum densitatis ,fluido subtilissimo libere moveatur1 inter movendum eadem vi urgeatur a tergo atque cum quiescit2 ejusdem resistentia ea erit quam in ,corollario secundo ,propositionis xxxvi4 descripsimus4 ,unde si computus ineatur1 patebit quod solidum dimidiam motus sui partem prius amittet1 quam progrediendo descripserit longitudinem diametri propri2 ,quod si inter movendum minus urgeatur a tergo1 magis retardabitur3 contra1 si magis urgeatur1 minus retardabitur4 ,corol4 #b4 ,hallucinantur igitur qui credunt resistentiam projectilium per infinitam divisionem partium ,fluidi in infinitum diminui4 ,si ,fluidum sit valde crassum1 minuetur resistentia aliquantulum per divisionem partium ejus4 ,at postquam competentem ,fluiditatis gradum acquisiverit1 7qualis forte est ,fluiditas ,aeris vel aqu vel argenti vivi7 resistentia in anteriore superficie solidi1 per ulteriorem partium divisionem non multum minuetur4 ,nunquam enim minor futura est quam pro limite quem in ,corollario superiore assignavimus4 ,corol4 #c4 ,media igitur in quibus corpora projectilia sine sensibili motus diminutione longissime progrediuntur1 non solum ,fluidissima sunt1 sed etiam longe rariora quam sunt corpora illa qu in ipsis moventur3 nisi forte quis dixerit ,medium omne ,fluidissimum1 impetu perpetuo in posticam projectilis partem facto1 tantum promovere motum ejus quantum impedit resistit in parte antica4 ,et motus quidem illius1 quem projectile imprimit in ,medium1 partem aliquam a ,medio circulariter lato reddi corpori a tergo verisimile est4 ,nam experimentis quibusdam factis1 reperi quod in ,fluidis satis compressis pars aliqua redditur4 ,omnem vero in casu quocunque reddi nec rationi consentaneum videtur1 neque cum experimentis hactenus a me tentatis bene quadrat4 ,fluidorum enim utcunque subtilium1 si densa sint1 vim ad solida movenda resistendaque permagnam esse1 quomodo vis illius quantitas per experimenta determinetur1 plenius patebit per ,propositiones duas qu sequuntur4 ,lemma ,,iv4 ,si vas ,sphricum ,fluido homogeneo quiescente plenum a vi impressa moveatur in directum1 motuque progessivo semper accelerato ita pergat ut interea non moveatur in orbem3 partes ,fluidi inclusi1 qualiter participando motum vasis1 quiescent inter se4 ,idem obtinebit in vase figur cujuscunque4 ,res manifesta est1 nec indiget demonstratione4 ,prop4 ,,xxxix4 ,theor4 ,,xxx4 ,fluidum omne quod motu accelerato ad modum venti increbescentis progreditur1 cujus partes inter se quiescunt1 rapit omnia ejusdem densitatis innatantia corpora1 secum cum eadem velocitate defert4 ,nam per ,lemma superius si vas ,sphricum1 rigidum1 ,fluidoque homogeneo quiescente plenum1 motu paulatim impresso progrediatur2 ,fluidi motum vasis participantis partis omnes semper quiescent inter se4 ,ergo si ,fluidi partes aliqu congelarentur1 pergerent h quiescere inter partes reliquas4 ,nam quoniam partes omnes quiescunt inter se1 perinde est sive fluid sint1 sive aliqu earum rigescant4 ,ergo si vas a vi aliqua extrinsecus impressa moveatur1 motum suum imprimat in ,fluidum2 ,fluidum quoque motum suum imprimet in sui ipsius partes congelatas easque secum rapiet4 ,sed partes ill congelat sunt corpora solida ejusdem densitates cum ,fluido2 par est ratio ,fluidi1 sive id in vase moto claudatur1 sive in spatiis liberis ad modum venti spiret4 ,ergo ,fluidum omne quod motu progressivo accelerato fertur1 cujus partes inter se quiescunt1 solida qucunque ejusdem densitatis inclusa1 qu sub initio quiescebant1 rapit secum1 una moveri cogit4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xl4 ,prob4 ,x4 ,invenire resistentiam solidorum ,sphricorum in ,mediis ,fluidissimis densitate datis4 ,in ,fluido quocunque dato inveniatur resistentia ultima solidi specie dati1 cujus magnitudo in infinitum augetur4 ,dein dic3 ut ejus motus amissus1 quo tempore progrediendo longitudinem semidiametri su describit1 est ad ejus motum totum sub initio1 ita motus quem solidum quodvis datum1 in ,fluido eodem jam facto subtilissimo1 describendo diametri su longitudinem amitteret1 est ad ejus motum totum sub initio quamproxime4 ,nam si particul minim ,fluidi subtiliati eandem habeant proportionem eundemque situm ad solidum datum in eo movens1 quem particul totidem minim ,fluidi non subtiliati habent ad solidum auctum2 sintque particul ,fluidi utriusq2 summe lubric1 viribus centrifugis centripetisque omnino destituantur2 incipiant autem solida temporibus quibuscunque proportionalibus in his ,fluidis similiter moveri3 pergent eadem similiter moveri1 adeoque quo tempore describunt spatia semidiametris suis qualia1 amittent partes motuum proportionales totis2 idque licet partes ,medii subtiliati minuantur1 magnitudo solidi in ,medio non subtiliato moventis augeatur in infinitum4 ,ergo ex resistentia solidi aucti in ,medio non subtiliato1 dabitur per proportionem superiorem resistentia solidi non aucti in ,medio subtiliato4 ,q4 ,e4 ,i4 ,si particul non sunt summe lubric1 supponendum est quod in utroq2 ,fluido sunt qualiter lubric1 eo ut ex defectu lubricitatis resistentia utrinq2 qualiter augeatur3 ,propositio etiamnum valebit4 ,corol4 #a4 ,ergo si ex aucta solidi ,sphrici magnitudine augeatur ejus resistentia in ratione duplicata1 resistentia solidi ,sphrici dati ex diminuta magnitudine particularum ,fluidi1 nullatenus minuetur4 ,corol4 #b4 ,sin resistentia1 augendo solidum ,sphricum1 augeatur in minore quam duplicata ratione diametri2 eadem diminuendo particulas ,fluidi1 diminuetur in ratione qua resistentia aucta deficit a ratione duplicata diametri4 ,corol4 #c4 ,unde perspicuum est quod solidi dati resistentia per divisionem partium ,fluidi non multum diminui potest4 ,nam resistentia solidi aucti debebit esse quam proxime ut quantitas materi fluid resistentis1 quam solidum illud movendo protrudit a locis a se invasis occupatis propellit3 hoc est ut spatium ,cylindricum per quod solidum movetur1 adeoque in duplicata ratione semidiametri solidi quamproxime4 ,corol4 #d4 ,igitur propositis duobus ,fluidis1 quorum alterum ab altero quoad vim resistendi longissime superatur3 ,fluidum quod minus resistit est altero rarius2 suntque ,fluidorum omnium vires resistendi prope ut eorum densitates2 prsertim si solida sint magna1 velociter moveantur1 ,fluidorum qualis sit compressio4 ,scholium ,generale4 ,qu hactenus demonstrata sunt tentavi in hunc modum4 ,globum ligneum pondere unciarum ,romanarum #eg-g_/bb1 diametro digitorum ,londinensium #f-g_/h fabricatum1 filo tenui ab unco satis firmo suspendi1 ita ut inter uncum centrum oscillationis ,globi distantia esset pedum #aj4 ,in filo punctum notavi pedibus decem uncia una a centro suspensionis distans2 e regione puncti illius collocavi ,regulam in digitos distinctam1 quorum ope notarem longitudines arcuum a ,pendulo descriptas4 ,deinde numeravi oscillationes quibus ,globus quartam motus sui partem amitteret4 ,si pendulum deducebatur a perpendiculo ad distantiam duorum digitorum1 inde demittebatur2 ita ut toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum1 totaque oscillatione prima1 ex descensu ascensu subsequente composita1 arcum digitorum fere quatuor2 idem oscillationibus #afd amisit octavam motus sui partem1 sic ut ultimo suo ascensu describeret arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti4 ,si primo descensu descripsit arcum digitorum quatuor1 amisit octavam motus partem oscillationibus #aba2 ita ut ascensu ultimo describeret arcum digitorum #c4 ,si primo descensu descripsit arcum digitorum octo1 sexdecim1 triginta duorum vel sexaginta quatuor1 amisit octavam motus partem oscillationibus #fi1 #ce1 #ah1 #i-b_/c1 respective4 ,igitur differentia inter arcus descensu primo ascensu ultimo descriptos1 erat in casu primo1 secundo1 tertio1 quarto1 quinto1 sexto1 digitorum 1 1 #a1 #b1 #d1 #h respective4 ,dividantur e differenti per numerum oscillationum in casu unoquoque2 in oscillatione una mediocri1 qua arcus digitorum #c1 #g1 #ae1 #cj1 #fj1 #abj descriptus fuit1 differentia arcuum descensu subsequente ascensu descriptorum1 erit #a_/fef1 #a_/bdb1 #a_/fi1 #d_/ga1 #h_/cg1 #bd_/bi partes digiti respective4 ,h autem in majoribus oscillationibus sunt in duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime2 in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione1 propterea 7per ,corol4 #b4 ,prop4 xxxi4 ,libri hujus7 resistentia ,globi1 ubi celerius movetur1 est in duplicata ratione velocitatis quamproxime2 ubi tardius1 paulo major quam in ea ratione3 omnino ut in ,corollariis ,propositionis xxxii4 demonstratum est4 ,designet jam ,v velocitatem maximam in oscillatione quavis1 sintque ,a1 ,b1 ,c quantitates dat1 fingamus quod differentia arcuum sit ,,av ,,bv#c_/b ,,cv#b4 ,et cum velocitates maxim in prdictis sex ,casibus1 sint ut arcuum dimidiorum #a-g_/h1 #c1 #g1 #ae1 #cj1 #fj chord1 atque adeo ut arcus ipsi quamproxime1 hoc est ut numeri 1 #a1 #b1 #d1 #h1 #af3 scribamus in ,casu secundo quarto sexto numeros #a1 #d1 #af pro ,v2 prodibit arcuum differentia #a_/bdb qualis ,a ,b ,c in ,casu secundo2 #b #ce qualis #d;,a #h;,b #af;,c in casu quarto2 #h #i-b_/c qualis #af;,a #fd;,b #bef;,c in casu sexto4 ,unde si per has quationes determinemus quantitates ,a1 ,b1 ,c2 habebimus ,regulam inveniendi differentiam arcuum pro velocitate quacunque data4 ,cterum cum velocitates maxim sint in ,cycloide ut arcus oscillando descripti1 in circulo vero ut semissium arcuum illorum chord1 adeoque paribus arcubus majores sint in ,cycloide quam in circulo1 in ratione semissium arcuum ad eorundem chordas2 tempora autem in circulo sint majora quam in ,cycloide in velocitatis ratione reciproca3 ut ex resistentia in circulo inveniatur resistentia in ,trochoide1 debebit resistentia augeri in duplicata circiter ratione arcus ad chordam1 ob velocitatem in ratione illa simplici auctam2 diminui in ratione chord ad arcum1 ob tempus 7seu durationem resistenti qua arcuum differentia prdicta generatur7 diminutum in eadem ratione3 id est 7si rationes conjungamus7 debebit resistentia augeri in ratione arcus ad chordam circiter4 ,hc ratio in casu secundo est #fbhc ad #fbgi1 in quarto #abeff ad #abecc1 in sexto #beacb ad #bdhfi4 ,et inde resistentia #a #bdb1 #b #ce1 #h #i-b_/c evadunt #fbhc #fbgi #bdb1 #beacb #abecc #ce #bjajef #bdhfi #i-b_/c1 id est in numeris decimalibus #j1jjdace1 #j1jefdhf #j1hcfc4 ,unde prodeunt quationes ,a ,b ,c #j1jjdace3 #d;,a #h;,b #af;,c #j1jefdh #af;,a #fd;,b #bef;,c #j1hcfc4 ,et ex his per debitam terminorum collationem reductionem ,analyticam fit ,a #j1jjjbjig1 ,b #j1jjjhiee ,c #j1jjcjbih4 ,est igitur differentia arcuum ut #j1jjjbjig,v #j1jjjhiee,v#c_/b #j1jjcjbih,v#b3 propterea cum per ,corol4 ,prop4 xxx4 resistentia ,globi in medio arcus oscillando descripti1 ubi velocitas est ,v1 sit ad ipsius pondus ut #g_/aa;,,av #af_/bc;,,bv#c_/b ,,cv#b ad longitudinem ,penduli2 si pro ,a1 ,b1 ,c scribantur numeri inventi1 fiet resistentia ,globi ad ejus pondus1 ut #j1jjjaccd,v #j1jjjfbc,v#c_/b #j1jjbbgbce,v#b ad longitudinem ,penduli inter centrum suspensionis ,regulam1 id est ad #aba digitos4 ,unde cum ,v in casu secundo designet #a1 in quarto #d1 in sexto #af3 erit resistentia ad pondus ,globi in casu secundo ut #j4jjcjbi ad #aba1 in quarto ut #j4jdbhge ad #aba1 in sexto ut #j4fcjac ad #aba4 ,arcus quem punctum in filo notatum in ,casu sexto descripsit1 erat #abj - #h #i-b_/c seu #aai-e_/bi digitorum4 ,et propterea cum radius esset #aba digitorum1 longitudo penduli inter punctum suspensionis centrum ,globi esset #abf digitorum1 arcus quem centrum ,globi descripsit erat #abd-c_/ca digitorum4 ,quoniam corporis oscillantis velocitas maxima ob resistentiam ,aeris non incidit in punctum infimum arcus descripti1 sed in medio fere loco arcus totius versatur3 hc eadem erit circiter ac si ,globus descensu suo toto in ,medio non resistente describeret arcus illius partem dimidiam digitorum #fb-c_/fb2 idque in ,cycloide1 ad quam motum penduli supra reduximus3 propterea velocitas illa qualis erit velocitati quam ,globus1 perpendiculariter cadendo casu suo describendo altitudinem arcus illius ,sinui verso qualem1 acquirere posset4 ,est autem sinus ille versus in ,cycloide ad arcum istum #fb-c_/fb ut arcus idem ad penduli longitudinem duplam #beb1 propterea qualis digitis #ae1bgh4 ,quare velocitas ea ipsa est quam corpus cadendo casu suo spatium #ae1bgh digitorum describendo acquirere posset4 ,unde cum corpus tempore minuti unius secundi cadendo 7uti per experimenta pendulorum determinavit ,hugenius7 describat pedes ,parisienses #ae-a_/ab1 id est pedes ,anglicos #af-aa_/bd seu digitos #aig1 tempora sint in dimidiata ratione spatiorum2 ,globus tempore minut4 #aftert4 #chquart4 cadendo describet #ae1bgh digitos1 velocitatem suam prdictam acquiret2 propterea cum eadem velocitate uniformiter continuata describet eodem tempore longitudinem duplam #cj1eef digitorum4 ,tali igitur cum velocitate ,globus resistentiam patitur1 qu sit ad ejus pondus ut #j1fcjac ad #aba1 vel 7si resistenti pars illa sola spectetur qu est in velocitatis ratione duplicata7 ut #j1ehagb ad #aba4 ,experimento autem ,hydrostatico inveni quod pondus ,globi hujus lignei esset ad pondus ,globi aquei magnitudinis ejusdem1 ut #ee ad #ig3 propterea cum #aba sit ad #bac1d in eadem ratione1 erit resistentia ,globi aquei prfata cum velocitate progredientis ad ipsius pondus ut #j1ehagb ad #bac1d1 id est ut #a ad #cff-e_/f4 ,unde cum pondus ,globi aquei1 quo tempore ,globus cum velocitate uniformiter continuata describat longitudinem pedum #cj1eef1 velocitatem illam omnem in ,globo cadente generare posset2 manifestum est quod vis resistenti uniformiter continuata tollere posset velocitatem minorem in ratione #a ad #cff-e_/f1 hoc est velocitatis totius partem #a #cff-e_/f4 ,et propterea quo tempore ,globus1 ea cum velocitate uniformiter continuata1 longitudinem semidiametri su seu digitorum #c-g_/af describere posset1 eodem amitteret motus sui partem #a_/cbfb4 ,numerabam etiam oscillationes quibus pendulum quartam motus sui partem amisit4 ,in sequente ,tabula numeri supremi denotant longitudinem arcus descensu primo descripti1 in digitis partibus digiti expressam3 numeri medii significant longitudinem arcus ascensu ultimo descripti2 loco infimo stant numeri oscillationum4 ,experimentum descripsi tanquam magis accuratum quam cum motus pars tantum octava amitteretur4 ,calculum tentet qui volet4 ,descensus ,primus #b #d #h #af #cb #fd ,ascensus ultimus #a-a_/b #c #f #ab #bd #dh ,num4 ,oscillat4 #cgd #bgb #afb-a_/b #hc-a_/c #da-b_/c #bb-b_/c ,postea ,globum plumbeum1 diametro digitorum duorum pondere unciarum ,romanarum #bf suspendi filo eodem1 sic ut inter centrum ,globi punctum suspensionis intervallum esset pedum #aj1 numerabam oscillationes quibus data motus pars amitteretur4 ,tabularum subsequentium prior exhibet numerum oscillationum quibus pars octava motus totius cessavit2 secunda numerum oscillationum quibus ejusdem pars quarta amissa fuit4 ,descensus primus #a #b #d #h #af #cb #fd ,ascensus ultimus #g_/h #g_/d #c-a_/b #g #ad #bh #ef ,numerus ,oscillat4 #bbf #bbh #aic #adj #ij-a_/b #ec #cj ,descensus primus #a #b #d #h #af #cb #fd ,ascensus ultimus #c_/d #a-a_/b #c #f #ab #bd #dh ,numerus ,oscillat4 #eaj #eah #dbj #cah #bjd #aba #gj ,in ,tabula priore seligendo ex observationibus tertiam1 quintam septimam1 exponendo velocitates maximas in his observationibus particulatim per numeros #a1 #d1 #af respective1 generaliter per quantitatem ,v ut supra3 emerget in observatione prima #b_/aic ,a ,b ,c1 in secunda #b #ij #d;,a #h;,b #af;,c1 in tertia #h_/cj qu4 #af;,a #fd;,b #bef;,c4 ,qu quationes per reductiones superius expositas dant1 ,a #j1jjjade1 ,b #j1jjjbdg ,c #j1jjji4 ,et inde prodit resistentia ,globi cum velocitate ,v moventis1 in ea ratione ad pondus suum unciarum #bf1 quam habet #j1jjjibc,v #j1jjjagb,v#c_/b #j1jjjfge,v#b ad ,penduli longitudinem #aba digitorum4 ,et si spectemus eam solummodo resistenti partem qu est in duplicata ratione velocitatis1 hc erit ad pondus ,globi ut #j1jjjfge,v#b ad #aba digitos4 ,erat autem hc pars resistenti in experimento primo ad pondus ,globi lignei unciarum #eg-g_/bb ut #j1jjbbgbce,v#b ad #aba3 inde fit resistentia ,globi lignei ad resistentiam ,globi plumbei 7paribus eorum velocitatibus7 ut #eg-g_/bb in #j1jjbbgbce ad #bf in #j1jjjfge1 id est ut #acjcji ad #aggai seu #g-a_/c ad #a4 ,diametri ,globorum duorum erant #f-g_/h #b digitorum1 harum quadrata sunt ad invicem ut #dg #d1 seu #aa-ac_/af #a quamproxime4 ,ergo resistenti ,globorum quivelocium erant in minore ratione quam duplicata diametrorum4 ,at nondum consideravimus resistentiam fili1 qu certe permagna erat1 ac de pendulorum inventa resistentia subduci debet4 ,hanc accurate definire non potui1 sed majorem tamen inveni quam partem tertiam resistenti totius minoris penduli1 inde didici quod resistenti ,globorum1 dempta fili resistentia1 sunt quamproxime in dimidiata ratione diametrorum4 ,nam ratio #g-a_/c - #a_/c ad #a - #a_/c1 id est #g ad #b_/c seu #aj ad #a1 non longe abest a diametrorum ratione duplicata #aa-ac_/af ad #a4 ,cum resistentia fili in ,globis majoribus minoris sit momenti1 tentavi etiam experimentum in ,globo cujus diameter erat #ah digitorum4 ,longitudo penduli inter punctum suspensionis centrum oscillationis erat digitorum #abb inter punctum suspensionis nodum in filo #aji dig4 ,arcus primo penduli descensu a nodo descriptus1 #cb dig4 arcus ascensu ultimo post oscillationes quinque ab eodem nodo descriptus1 #bh dig4 ,summa arcuum seu arcus totus oscillatione mediocri descriptus1 #cj dig4 ,differentia arcuum #d dig4 ,ejus pars decima seu differentia inter descensum ascensum in oscillatione mediocri #b_/e dig4 ,ut radius #aji ad radium #abb1 ita arcus totus #fj dig4 oscillatione mediocri a ,nodo descriptus1 ad arcum totum #fg-a_/h1 oscillatione mediocri a centro ,globi descriptum3 ita differentia #b_/e ad differentiam novam #j1ddge4 ,si longitudo penduli1 manente longitudine arcus descripti1 augeretur in ratione #abf ad #abb1 velocitas ejus diminueretur in ratione illa dimidiata2 arcuum descensu subsequente ascensu descriptorum differentia #j1ddge diminueretur in ratione velocitatis1 adeoque evaderet #j1ddab4 ,deinde si arcus descriptus augeretur in ratione #fg-a_/h ad #abd-c_/ca1 differentia ista #j1ddab augeretur in duplicata illa ratione1 adeoque1 evaderet #a1eji4 ,hc ita se haberent1 ex hypothesi quod resistentia ,penduli esset in duplicata ratione velocitatis4 ,ergo si pendulum describeret arcum totum #abd-c_/ca digitorum1 longitudo ejus inter punctum suspensionis centrum oscillationis esset #abf digitorum1 differentia arcuum descensu subsequente ascensu descriptorum foret #a1eji dig4 ,et hc differentia ducta in pondus ,globi penduli1 quod erat unciarum #bjh1 producit #cac1i4 ,rursus ubi pendulum superius ex ,globo ligneo constructum1 centro oscillationis1 quod a puncto suspensionis digitos #abf distabat1 describebat arcum totum #abd-c_/ca digitorum1 differentia arcuum descensu ascensu descriptorum fuit #abf_/aba in #h #i-b_/c seu #be_/bi1 qu ducta in pondus ,globi1 quod erat unciarum #eg-g_/bb1 producit #dh1ee4 ,duxi autem differentias hasce in pondera ,globorum ut invenirem eorum resistentias4 ,nam differenti oriuntur ex resistentiis1 suntque ut resistenti directe pondera inverse4 ,sunt igitur resistenti ut numeri #cac1i #dh1ee4 ,pars autem resistenti ,globi minoris1 qu est in duplicata ratione velocitatis1 erat ad resistentiam totam ut #j1ehagb ad #j1fcjac1 id est ut #dd1d ad #dh1ee2 pars resistenti ,globi majoris propemodum quatur ipsius resistenti toti1 adeoque partes ill sunt ut #cac1i #dd1d quamproxime1 id est ut #g1jg ad #a4 ,sunt autem ,globorum diametri #aj #f-g_/h2 harum quadrata #cea #dg-ag_/fd sunt ut #g1dch #a1 id est ut ,globorum resistenti #g1jg #a quamproxime4 ,differentia rationum haud major est quam qu ex fili resistentia oriri potuit4 ,igitur resistentiarum partes ill qu sunt 7paribus ,globis7 ut quadrata velocitatum1 sunt etiam 7paribus velocitatibus7 ut quadrata diametrorum ,globorum2 propterea 7per ,corollaria ,prop4 ,,xl4 ,libri hujus7 resistentia quam ,globi majores velociores in aere movendo sentiunt1 haud multum per infinitam aeris divisionem subtiliationem diminui potest1 proindeque ,media omnia in quibus corpora multo minus resistuntur1 sunt aere rariora4 ,cterum ,globorum1 quibus usus sum in his experimentis1 maximus non erat perfecte ,sphricus1 propterea in calculo hic allato minutias quasdam brevitatis gratia neglexi2 de calculo accurato in experimento non satis accurato minime sollicitus4 ,optarim itaque 7cum demonstratio vacui ex his dependeat7 ut experimenta cum ,globis pluribus majoribus magis accuratis tentarentur4 ,si ,globi sumantur in proportione ,geometrica1 puta quorum diametri sint digitorum #d1 #h1 #af1 #cb2 ex progressione experimentorum colligetur quid in ,globis adhuc majoribus evenire debeat4 ,jam vero conferendo resistentias diversorum fluidorum inter se tentavi sequentia4 ,arcam ligneam paravi longitudine pedum quatuor1 latitudine altitudine pedis unius4 ,hanc operculo nudatam implevi aqua fontana1 fecique ut immersa pendula in medio aqu oscillando moverentur4 ,globus autem plumbeus pondere #aff-a_/f unciarum1 diametro #c-e_/h digitorum1 movebatur ut in ,tabula sequente descripsimus1 existente videlicet longitudine penduli a puncto suspensionis ad punctum quoddam in filo notatum #abf digitorum1 ad oscillationis autem centrum #acd-a_/h digitorum4 ,arcus descensu primo a puncto in filo notato #fd #cb #af #h #d #b #a #a_/b #a_/d descriptus digitorum4 ,arcus ascensu ultimo #dh #bd #ab #f #c #a-a_/b #c_/d #c_/h #c_/af descriptus digitorum4 ,arcuum differentia motui amisso proportionalis1 #af #h #d #b #a #a_/b #a_/d #a_/h #a_/af digitorum4 ,numerus oscillationum #bi_/fj #a-a_/e #c #g #aa-a_/d #ab-b_/c #ac-a_/c in aqua4 ,numerus oscillationum #he-a_/b #bhg #ece in aere4 ,in experimento column quart1 motus quales oscillationibus #ece in aere1 #a-a_/e in aqua amissi sunt4 ,erant autem oscillationes in aere paulo celeriores quam in aqua1 nimirum in ratione #dd ad #da4 ,nam #ad-b_/c oscillationes in aqua1 #ac-b_/c in aere simul peragebantur4 ,et propterea si oscillationes in aqua in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in ,medio utroque fierent quiveloces1 numerus oscillationum #a-a_/e in aqua1 quibus motus idem ac prius amitteretur 7ob resistentiam auctam in ratione illa duplicata tempus diminutum in ratione eadem simplici7 diminueretur in eadem illa ratione #dd ad #da1 adeoque evaderet #a-a_/e in #da_/dd seu #abc_/aaj4 ,paribus igitur ,pendulorum velocitatibus motus quales in aere oscillationibus #ece in aqua oscillationibus #abc_/aaj amissi sunt2 ideoque resistentia penduli in aqua est ad ejus resistentiam in aere ut #ece ad #abc_/aaj4 ,hc est proportio resistentiarum totarum in ,casu column quart4 ,designet jam ,,av ,,cv#b resistentiam ,globi in aere cum velocitate ,v moventis1 cum velocitas maxima1 in ,casu column1 quart sit ad velocitatem maximam in casu column prim ut #a ad #h1 resistentia in ,casu column quart ad resistentiam in ,casu column prim in ratione arcuum differenti in his casibus1 ad numeros oscillationum applicat1 id est ut #b_/ece ad #af #he seu ut #he ad #dbhj3 scribamus in his ,casibus #a #h pro velocitatibus1 atque #he #dbhj pro resistentiis1 fiet ,a ,c #he #h;,a #fd;,c #dbhj seu ,a #h;,c #ece1 indeque per reductionem quationum proveniet #g;,c #ddi ,c #fd-c_/ad ,a #ba-b_/g2 atque adeo resistentia ut #ba-b_/g,v #fd-c_/ad,v#b quamproxime4 ,quare in ,casu column quart ubi velocitas erat #a1 resistentia tota est ad partem suam quadrato velocitatis proportionalem1 ut #ba-b_/g #fd-c_/ad seu #he1 ad #fd-c_/ad2 idcirco resistentia penduli in aqua est ad resistenti partem illam in aere qu quadrato velocitatis proportionalis est1 quque sola in motibus velocioribus consideranda venit1 ut #he ad #fd-c_/ad #ece ad #abc_/aaj conjunctim1 id est ut #fcg ad #a4 ,si penduli in aqua oscillantis filum totum fuisset immersum1 resistentia ejus fuisset adhuc major2 adeo ut penduli in aere oscillantis resistentia illa qu velocitatis quadrato proportionalis est1 quque sola in corporibus velocioribus consideranda venit1 sit ad resistentiam ejusdem penduli totius1 eadem cum velocitate in aqua oscillantis1 ut #hjj vel #ijj ad #a circiter1 hoc est ut densitas aqu ad densitatem aeris quamproxime4 ,in hoc calculo sumi quoque deberet pars illa resistenti penduli in aqua1 qu esset ut quadratum velocitatis1 sed 7quod mirum forte videatur7 resistentia in aqua augebatur in ratione velocitatis plusquam duplicata4 ,ejus rei causam investigando1 in hanc incidi1 quod ,arca nimis angusta esset pro magnitudine ,globi penduli1 motum aqu cedentis pr angustia sua nimis impediebat4 ,nam si ,globus pendulus1 cujus diameter erat digiti unius1 immergeretur1 resistentia augebatur in duplicata ratione velocitatis quamproxime4 ,id tentabam construendo pendulum ex ,globis duobus1 quorum inferior minor oscillaretur in aqua1 superior major proxime supra aquam filo affixus esset1 in ,aere oscillando1 adjuvaret motum penduli eumque diuturniorem redderet4 ,experimenta autem hoc modo instituta se habebant ut in ,tabula sequente describitur4 ,arcus descensu primo descriptus #af #h #d #b #a #a_/b #a_/d ,arcus ascensu ultimo descriptus4 #ab #f #c #a-a_/b #c_/d #c_/h #c_/af ,arcuum diff4 motui amisso proportionalis #d #b #a #a_/b #a_/d #a_/h #a_/af ,numerus ,oscillationum #c-c_/h #f-a_/b #ab-a_/ab #ba-a_/e #cd #ec #fb-a_/e ,resistentia hic nunquam augetur in ratione velocitatis plusquam duplicata4 ,et idem in pendulo majore evenire verisimile est1 si modo ,arca augeatur in ratione penduli4 ,debebit tamen resistentia tam in aere quam in aqua1 si velocitas per gradus in infinitum augeatur1 augeri tandem in ratione paulo plusquam duplicata1 propterea quod in experimentis hic descriptis resistentia minor est quam pro ratione de corporibus velocissimis in ,libri hujus ,prop4 xxxvi xxxviii4 demonstrata4 ,nam corpora longe velocissima spatium a tergo relinquent vacuum1 ideoque resistentia quam sentiunt in partibus prcedentibus1 nullatenus minuetur per pressionem ,medii in partibus posticis4 ,conferendo resistentias ,mediorum inter se1 effeci etiam ut pendula ferrea oscillarentur in argento vivo4 ,longitudo fili ferrei erat pedum quasi trium1 diameter ,globi penduli quasi tertia pars digiti4 ,ad filum autem proxime supra ,mercurium affixus erat ,globus alius plumbeus satis magnus ad motum penduli diutius continuandum4 ,tum vasculum1 quod capiebat quasi libras tres argenti vivi1 implebam vicibus alternis argento vivo aqua communi1 ut pendulo in ,fluido utroque successive oscillante invenirem proportionem resistentiarum3 prodiit resistentia argenti vivi ad resistentiam aqu ut #ac vel #ad ad #a circiter3 id est ut densitas argenti vivi ad densitatem aqu4 ,ubi ,globum pendulum paulo majorem adhibebam1 puta cujus diameter esset quasi vel #b_/c partes digiti1 prodibat resistentia argenti vivi in ea ratione ad resistentiam aqu quam habet numerus #ab vel #aj ad #a circiter4 ,sed experimento priori magis fidendum est1 propterea quod in his ultimis vas nimis angustum fuit pro magnitudine ,globi immersi4 ,ampliato ,globo1 deberet etiam vas ampliari4 ,constitueram quidem hujusmodi experimenta in vasis majoribus in liquoribus tum ,metallorum fusorum1 tum aliis quibusdam tam calidis quam frigidis repetere3 sed omnia experiri non vacat1 ex jam descriptis satis liquet resistentiam corporum celeriter motorum densitati ,fluidorum in quibus moventur proportionalem esse quamproxime4 ,non dico accurate4 ,nam ,fluida tenaciora pari densitate proculdubio magis resistunt quam liquidiora1 ut oleum frigidum quam calidum1 calidum quam aqua pluvialis1 aqua quam ,spiritus vini4 ,verum in liquoribus qui ad sensum satis fluidi sunt1 ut in ,aere1 in aqua seu dulci seu falsa1 in ,spiritibus vini1 ,terebinthi ,salium1 in ,oleo a foecibus per destillationem liberato calefacto1 ,oleoque ,vitrioli ,mercurio1 ac ,metallis liquefactis1 siqui sint alii1 qui tam ,fluidi sunt ut in vasis agitati motum impressum diutius conservent1 effusique liberrime in guttas decurrendo resolvantur1 nullus dubito quin regula allata satis accurate obtineat3 prsertim si experimenta in corporibus pendulis majoribus velocius motis instituantur4 ,quare cum ,globus aqueus in aere movendo resistentiam patiatur qua motus sui pars #a_/cbfa1 interea dum longitudinem semidiametri su describat 7ut jam ante ostensum est7 tollatur1 sitque densitas aeris ad densitatem aqu ut #hjj vel #hej ad #a circiter1 consequens est ut hc ,regula generaliter obtineat4 ,si corpus quodlibet ,sphricum in ,medio quocunque satis ,fluido moveatur1 spectetur resistenti pars illa sola qu est in duplicata ratione velocitatis1 hc pars erit ad vim qu totum corporis motum1 interea dum corpus idem longitudinem duarum ipsius semidiametrorum motu illo uniformiter continuato describat1 vel tollere posset vel eundem generare1 ut densitas ,medii ad densitatem corporis quamproxime4 ,igitur resistentia quasi triplo major est quam pro lege in ,corollario primo ,propositionis xxxviii4 allata2 propterea partes quasi du terti motus illius omnis quem ,globi partes antic movendo imprimunt in ,medium1 restituuntur in ,globi partes posticas a ,medio in orbem redeunte1 inque spatium irruente quod ,globus alias vacuum post se relinqueret4 ,unde si velocitas ,globi eousque augeatur ut ,medium non posset adeo celeriter in spatium illud irruere1 quin aliquid vacui a tergo ,globi semper relinquatur1 resistentia tandem evadet quasi triplo major quam pro ,regula generali novissime posita4 ,hactenus experimentis usi sumus oscillantium pendulorum1 eo quod eorum motus facilius accuratius observari mensurari possint4 ,motus autem pendulorum in gyrum actorum in orbem redeundo circulos describentium1 propterea quod sint uniformes eo nomine ad investigandam resistentiam dat velocitati competentem longe aptiores videantur1 in consilium etiam adhibui4 ,faciendo enim ut pendulum circulariter latum duodecies revolveretur1 notavi magnitudines circulorum duorum1 quos prima ultima revolutione descripsit4 ,et inde collegi velocitates corporis sub initio fine4 ,tum dicendo quod corpus1 velocitate mediocri describendo circulos duodecim mediocres1 amitteret velocitatum illarum differentiam1 collegi resistentiam qua differentia illa eo omni corporis per circulos duodecim itinere amitti posset2 resistentia inventa1 quanquam hujus generis experimenta minus accurate tentare licuit1 probe tamen cum prcedentibus congruebat4 ,denique cum receptissima ,philosophorum tatis hujus opinio sit1 ,medium quoddam thereum longe subtilissimum extare1 quod omnes omnium corporum poros meatus liberrime permeet2 a tali autem ,medio per corporum poros fluente resistentia oriri debeat3 ut tentarem an resistentia1 quam in motis corporibus experimur1 tota sit in eorum externa superficie1 an vero partes etiam intern in superficiebus propriis resistentiam notabilem sentiant1 excogitavi experimentum tale4 ,filo pedum undecim longitudinis1 ab unco chalybeo satis firmo1 mediante annulo chalybeo1 suspendebam pyxidem abiegnam rotundam1 ad constituendum pendulum longitudinis prdict4 ,uncus sursum pracutus erat acie concava1 ut annulus arcu suo superiore aciei innixus liberrime moveretur4 ,arcui autem inferiori annectebatur filum4 ,pendulum ita constitutum deducebam a perpendiculo ad distantiam quasi pedum sex1 idque secundum planum aciei unci perpendiculare1 ne annulus1 oscillante ,pendulo1 supra aciem unci ultro citroque laberetur4 ,nam punctum suspensionis in quo annulus uncum tangit1 immotum manere debet4 ,locum igitur accurate notabam1 ad quem deduxeram pendulum1 dein pendulo demisso notabam alia tria loca ad qu redibat in fine oscillationis prim1 secund ac terti4 ,hoc repetebam spius1 ut loca illa quam potui accuratissime invenirem4 ,tum pyxidem plumbo gravioribus1 qu ad manus erant1 metallis implebam4 ,sed prius ponderabam pyxidem vacuam1 una cum parte fili qu circum pyxidem volvebatur ac dimidio partis reliqu qu inter uncum pyxidem pendulam tendebatur4 7,nam filum tensum dimidio ponderis sui pendulum a perpendiculo digressum semper urget47 ,huic ponderi addebam pondus aeris quam pyxis capiebat4 ,et pondus totum erat quasi pars septuagesima octava pyxidis metallorum plen4 ,tum quoniam pyxis ,metallorum plena1 pondere suo tendendo filum1 augebat longitudinem penduli1 contrahebam filum ut penduli jam oscillantis eadem esset longitudo ac prius4 ,dein pendulo ad locum primo notatum distracto ac dimisso1 numerabam oscillationes quasi septuaginta septem1 donec pyxis ad locum secundo notatum rediret1 totidemque subinde donec pyxis ad locum tertio notatum rediret1 atque rursus totidem donec pyxis reditu suo attingeret locum quartum4 ,unde concludo quod resistentia tota pyxidis plen non majorem habebat proportionem ad resistentiam pyxidis vacu quam #gh ad #gg4 ,nam si quales essent ambarum resistenti1 pyxis plena ob vim suam insitam septuagies octies majorem vi insita pyxidis vacui1 motum suum oscillatorium tanto diutius conservare deberet1 atque adeo completis semper oscillationibus #gh ad loca illa notata redire4 ,rediit autem ad eadem completis oscillationibus #gg4 ,designet igitur ,a resistentiam pyxidis in ipsius superficie externa1 ,b resistentiam pyxidis vacu in partibus internis2 si resistenti corporum quivelocium in partibus internis sint ut materia1 seu numerus particularum qu resistuntur3 erit #gh;,b resistentia pyxidis plen in ipsius partibus internis3 adeoque pyxidis vacu resistentia tota ,a ,b erit ad pyxidis plen resistentiam totam ,a #gh;,b ut #gg ad #gh1 divisim ,a ,b ad #gg;,b ut #gg1 ad #a1 indeque ,a ,b ad ,b ut #gg #gg ad #a1 divisim ,a ad ,b ut #eibh ad #a4 ,est igitur resistentia pyxidis vacu in partibus internis quinquies millies minor quam ejusdem resistentia in externa superficie1 amplius4 ,sic disputamus ex hypothesi quod major illa resistentia pyxidis plen oriatur ab actione ,fluidi alicujus subtilis in ,metallum inclusum4 ,ac causam longe aliam esse opinor4 ,nam tempora oscillationum pyxidis plen minora sunt quam tempora oscillationum pyxidis vacu1 propterea resistentia pyxidis plen in externa superficie major est1 pro ipsius velocitate longitudine spatii oscillando descripti1 quam ea pyxidis vacu4 ,quod cum ita sit1 resistentia pyxidum in partibus internis aut nulla erit aut plane insensibilis4 ,hoc experimentum recitavi memoriter4 ,nam charta1 in qua illud aliquando descripseram1 intercidit4 ,unde fractas quasdam numerorum partes1 qu memoria exciderunt1 omittere compulsus sum4 ,nam omnia denuo tentare non vacat4 ,prima vice1 cum unco infirmo usus essem1 pyxis plena citius retardabatur4 ,causam qurendo1 reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis1 ejus oscillationibus obsequendo in partes omnes flectebatur4 ,parabam igitur uncum firmum1 ut punctum suspensionis immotum maneret1 tunc omnia ita evenerunt uti supra descripsimus4 ,eadem methodo qua invenimus resistentiam corporum ,sphricorum in ,aqua argento vivo1 inveniri potest resistentia corporum figurarum aliarum2 sic ,navium figur vari in ,typis exiguis construct inter se conferri1 ut qunam ad navigandum aptissim sint1 sumptibus parvis tentetur4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,viii4 ,de ,motu per ,fluida propagato4 ,prop4 ,,xli4 ,theor4 ,,xxxi4 ,pressio non propagatur per ,fluidum secundum lineas rectas1 nisi ubi particul ,fluidi in directum jacent4 ,illustration ,si jaceant particul a1 b1 c1 d1 e in linea recta1 potest quidem pressio directe propagari ab a ad e2 at particula e urgebit particulas oblique positas f g oblique1 particul ill f g non sustinebunt pressionem illatam1 nisi fulciantur a particulis ulterioribus h k2 quatenus autem fulciuntur1 premunt particulas fulcientes2 h non sustinebunt pressionem nisi fulciantur ab ulterioribus l m easque premant1 sic deinceps in infinitum4 ,pressio igitur1 quam primum propagatur ad particulas qu non in directum jacent1 divaricare incipiet oblique propagabitur in infinitum2 postquam incipit oblique propagari1 si inciderit in particulas ulteriores1 qu non in directum jacent1 iterum divaricabit2 idque toties1 quoties in particulas non accurate in directum jacentes inciderit4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,si pressionis a dato puncto per ,fluidum propagat pars aliqua obstaculo intercipiatur1 pars reliqua qu non intercipitur divaricabit in spatia pone obstaculum4 ,id quod sic etiam demonstrari potest4 ,a puncto ,a propagetur pressio quaquaversum1 idque si fieri potest secundum lineas rectas1 obstaculo ,,nbck perforato in ,,bc1 intercipiatur ea omnis1 prter partem ,coniformem ,,apq1 qu per foramen circulare ,,bc transit4 ,planis transversis de1 fg1 hi distinguatur conus ,,apq in frusta interea dum conus ,,abc1 pressionem propagando1 urget frustum conicum ulterius degf in superficie de1 hoc frustum urget frustum proximum fgih in superficie fg1 frustum illud urget frustum tertium1 sic deinceps in infinitum2 manifestum est 7per motus ,legem tertiam7 quod frustum primum defg1 reactione frusti secundi fghi1 tantum urgebitur premetur in superficie fg1 quantum urget premit frustum illud secundum4 ,frustum igitur degf inter ,conum ,ade frustum fhig comprimitur utrinque1 propterea 7per ,corol4 #f4 ,prop4 ,,xix47 figuram suam servare nequit1 nisi vi eadem comprimatur undique4 ,eodem igitur impetu quo premitur in superficiebus de1 fg conabitur cedere ad latera df1 eg2 ibique 7cum rigidum non sit1 sed omnimodo ,fluidum7 excurret ac dilatabitur1 nisi ,fluidum ambiens adsit1 quo conatus iste cohibeatur4 ,proinde conatu excurrendi premet tam ,fluidum ambiens ad latera df1 eg quam frustum fghi eodem impetu2 propterea pressio non minus propagabitur a lateribus df1 eg in spatia ,,no1 ,,kl hinc inde1 quam propagatur a superficie fg versus ,,pq4 ,q4 ,e4 ,d4 ,illustration ,prop4 ,,xlii4 ,theor4 ,,xxxii4 ,motus omnis per ,fluidum propagatus divergit a recto tramite in spatia immota4 ,cas4 #a4 ,propagetur motus a puncto ,a per foramen ,,bc1 pergatque 7si fieri potest7 in spatio conico ,,bcqp1 secundum lineas rectas divergentes a puncto ,c4 ,et ponamus primo quod motus iste sit undarum in superficie stagnantis aqu4 ,sintque de1 fg1 hi1 kl1 c4 undarum singularum partes altissim1 vallibus totidem intermediis ab invicem distinct4 ,igitur quoniam aqua in undarum jugis altior est quam in ,fluidi partibus immotis ,,lk1 ,,no1 defluet eadem de jugorum terminis e1 g1 i1 l1 c4 d1 f1 h1 k1 c4 hinc inde versus ,,kl ,,no3 quoniam in undarum vallibus depressior est quam in ,fluidi partibus immotis ,,kl1 ,,no2 defluet eadem de partibus illis immotis in undarum valles4 ,defluxu priore undarum juga1 posteriore valles hinc inde dilatantur propagantur versus ,,kl ,,no4 ,et quoniam motus undarum ab ,a versus ,,pq fit per continuum defluxum jugorum in valles proximos1 adeoque celerior non est quam pro celeritate descensus2 descensus aqu hinc inde versus ,,kl ,,no eadem velocitate peragi debet2 propagabitur dilatatio undarum hinc inde versus ,,kl ,,no1 eadem velocitate qua und ips ab ,a versus ,,pq recta progrediuntur4 ,proindeque spatium totum hinc inde versus ,,kl ,,no ab undis dilatatis rfgr1 shis1 tklt1 vmnv1 c4 occupabitur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,hc ita se habere quilibet in aqua stagnante experiri potest4 ,cas4 #b4 ,ponamus jam quod de1 fg1 hi1 kl1 mn designent pulsus a puncto ,a per ,medium ,elasticum successive propagatos4 ,pulsus propagari concipe per successivas condensationes rarefactiones ,medii1 sic ut pulsus cujusque pars densissima ,sphricam occupet superficiem circa centrum ,a descriptam1 inter pulsus successivos qualia intercedant intervalla4 ,designent autem line de1 fg1 hi1 kl1 c4 densissimas pulsuum partes per foramen ,,bc propagatas4 ,et quoniam ,medium ibi densius est quam in spatiis hinc inde versus ,,kl ,,no1 dilatabit sese tam versus spatia illa ,,kl1 ,,no utrinque sita1 quam versus pulsuum rariora intervalla2 eoq2 pacto rarius semper evadens e regione intervallorum ac densius e regione pulsuum1 participabit eorundem motum4 ,et quoniam pulsuum progressivus motus oritur a perpetua relaxatione partium densiorum versus antecedentia intervalla rariora2 pulsus eadem celeritate sese in ,medii partes quiescentes ,,kl1 ,,no hinc inde relaxare debent2 pulsus illi eadem celeritate sese dilatabunt undique in spatia immota ,,kl1 ,,no1 qua propagantur directe a centro ,a2 adeoque spatium totum ,,klon occupabunt4 ,q4 ,e4 ,d4 ,hoc experimur in sonis1 qui vel domo interposita audiuntur1 vel in cubiculum per fenestram admissi sese in omnes cubiculi partes dilatant1 inque angulis omnibus audiuntur1 non reflexi a parietibus oppositis sed a fenestra directe propagati4 ,cas4 #c4 ,ponamus denique quod motus cujuscunque generis propagetur ab ,a per foramen ,,bc3 quoniam propagatio ista non fit nisi quatenus partes ,medii centro ,a propiores urgent commoventque partes ulteriores2 partes qu urgentur ,fluid sunt1 ideoque recedunt quaquaversum in regiones ubi minus premuntur3 recedent edem versus ,medii partes omnes quiescentes1 tam laterales ,,kl ,,no1 quam anteriores ,,pq1 eoque pacto motus omnis1 quam primum per foramen ,,bc transiit1 dilatari incipiet1 abinde tanquam a principio centro in partes omnes directe propagari4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xliii4 ,theor4 ,,xxxiii4 ,corpus omne tremulum in ,medio ,elastico propagabit motum pulsuum undique in directum2 in ,medio vero non ,elastico motum circularem excitabit4 ,cas4 #a4 ,nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo redeundo1 itu suo urgebunt propellent partes ,medii sibi proximas1 urgendo compriment easdem condensabunt2 dein reditu suo sinent partes compressas recedere sese expandere4 ,igitur partes ,medii corpori tremulo proxim ibunt redibunt per vices1 ad instar partium corporis illius tremuli3 qua ratione partes corporis hujus agitabant hasce ,medii partes1 h similibus tremoribus agitat agitabunt partes sibi proximas1 eque similiter agitat agitabunt ulteriores1 sic deinceps in infinitum4 ,et quemadmodum ,medii partes prim eundo condensantur redeundo relaxantur1 sic partes reliqu quoties eunt condensabuntur1 quoties redeunt sese expandent4 ,et propterea non omnes ibunt simul redibunt 7sic enim determinatas ab invicem distantias servando non rarefierent condensarentur per vices7 sed accedendo ad invicem ubi condensantur1 recedendo ubi rarefiunt1 aliqu earum ibunt dum ali redeunt2 idque vicibus alternis in infinitum4 ,partes autem euntes eundo condensat1 ob motum suum progressivum quo feriunt obstacula1 sunt pulsus2 propterea pulsus successivi a corpore omni tremulo in directum propagabuntur2 idque qualibus circiter ab invicem distantiis1 ob qualia temporis intervalla1 quibus corpus tremoribus suis singulis singulos pulsus excitat4 ,q4 ,e4 ,d4 ,et quanquam corporis tremuli partes eant redeant secundum plagam aliquam certam determinatam1 tamen pulsus inde per ,medium propagati sese dilatabunt ad latera1 per ,propositionem prcedentem2 a corpore illo tremulo tanquam centrocommuni1 secundum superficies propemodum ,sphricas concentricas1 undique propagabuntur4 ,cujus rei exemplum aliquod habemus in ,undis1 qu si digito tremulo excitentur1 non solum pergent hinc inde secundum plagam motus digiti1 sed1 in modum circulorum concentricorum1 digitum statim cingent undique propagabuntur4 ,nam gravitas undarum supplet locum vis ,elastic4 ,quod si ,medium non sit ,elasticum3 quoniam ejus partes a corporis tremuli partibus vibratis press condensari nequeunt1 propagabitur motus in instanti ad partes ubi ,medium facillime cedit1 hoc est ad partes qu corpus tremulum alioqui vacuas a tergo relinqueret4 ,idem est casus cum casu corporis in ,medio quocunque projecti4 ,medium cedendo projectilibus1 non recedit in infinitum1 sed in circulum eundo pergit ad spatia qu corpus relinquit a tergo4 ,igitur quoties corpus tremulum pergit in partem quamcunque1 ,medium cedendo perget per circulum ad partes quas corpus relinquit1 quoties corpus regreditur ad locum priorem1 ,medium inde repelletur ad locum suum priorem redibit4 ,et quamvis corpus tremulum non sit firmum1 sed modis omnibus flexile1 si tamen magnitudine datum maneat1 quoniam tremoribus suis nequit ,medium ubivis urgere1 quin alibi eidem simul cedat2 efficiet ut ,medium1 recedendo a partibus ubi premitur1 pergat semper in ,orbem ad partes qu eidem cedunt4 ,corol4 ,hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium flamm ad pressionem per ,medium ambiens secundum lineas rectas propagandam conducere4 ,debebit ejusmodi pressio non ab agitatione sola partium flamm sed a totius dilatatione derivari4 ,prop4 ,,xliv4 ,theor4 ,,xxxiv4 ,si ,aqua in canalis cruribus erectis ,,kl1 ,,mn vicibus alternis ascendat descendat2 construatur autem ,pendulum cujus longitudo inter punctum suspensionis centrum oscillationis quetur semissi longitudinis aqu in ,canali3 dico quod aqua ascendet descendet iisdem temporibus quibus pendulum oscillatur4 ,illustration ,longitudinem aqu mensuro secundum axes canalis crurum1 eandem summ horum axium quando4 ,designent igitur ,,ab1 ,,cd mediocrem altitudinem aqu in crure utroque2 ubi aqua in crure ,,kl ascendit ad altitudinem ,,ef1 descenderit aqua in crure ,,mn ad altitudinem ,,gh4 ,sit autem ,p corpus pendulum1 ,,vp filum1 ,v punctum suspensionis1 ,,spqr ,cyclois quam ,pendulum describat1 ,p ejus punctum infimum1 ,,pq arcus altitudini ,,ae qualis4 ,vis1 qua motus aqu alternis vicibus acceleratur retardatur1 est excessus ponderis aqu in alterutro crure supra pondus in altero1 ideoque ubi aqua in crure ,,kl ascendit ad ,,ef1 in crure altero descendit ad ,,gh1 vis illa est pondus duplicatum aqu ,,eabf1 propterea est ad pondus aqu totius ut ,,ae seu ,,pq ad ,,vp seu ,,pr4 ,vis etiam1 qua pondus ,p in loco quovis ,q acceleratur retardatur in ,cycloide1 est ad ejus pondus totum1 ut ejus distantia ,,pq a loco infimo ,p1 ad ,cycloidis longitudinem ,,pr4 ,quare aqu penduli1 qualia spatia ,,ae1 ,,pq describentium1 vires motrices sunt ut pondera movenda2 ideoque vires ill1 si aqua pendulum in principio1 quali cum velocitate moveantur2 pergent eadem temporibus qualiter movere1 efficientque ut motu reciproco simul eant redeant4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur aqu ascendentis descendentis1 sive motus intensior sit sive remissior1 vices omnes sunt ,isochron4 ,corol4 #b4 ,si longitudo aqu totius in canali sit pedum ,parisiensium #f-a_/i1 aqua tempore minuti unius secundi descendet1 tempore minuti alterius secundi ascendet2 sic deinceps vicibus alternis in infinitum4 ,nam pendulum pedum #c-a_/ah longitudinis1 tempore minuti unius secundi oscillatur4 ,corol4 #c4 ,aucta autem vel diminuta longitudine aqu1 augetur vel diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione dimidiata4 ,prop4 ,,xlv4 ,theor4 ,,xxxv4 ,undarum velocitas est in dimidiata ratione latitudinum4 ,consequitur ex constructione ,propositionis sequentis4 ,prop4 ,,xlvi4 ,prob4 ,,xi4 ,invenire velocitatem ,undarum4 ,constituatur ,pendulum cujus longitudo inter punctum suspensionis centrum oscillationis quetur latitudini ,undarum3 quo tempore pendulum illud oscillationes singulas peragit1 eodem ,und progrediendo latitudinem suam propemodum conficient4 ,undarum latitudinem voco mensuram transversam qu vel vallibus imis vel summis culminibus interjacet4 ,designet ,,abcdef superficiem aqu stagnantis1 undis successivis ascendentem ac descendentem1 sintque ,a1 ,c1 ,e1 c4 undarum culmina1 ,b1 ,d1 ,f1 c4 valles intermedii4 ,et quoniam motus undarum fit per aqu successivum ascensum descensum1 sic ut ejus partes ,a1 ,c1 ,e1 c4 qu nunc infim sunt1 mox fiant altissim2 vis motrix1 qua partes altissim descendunt infim ascendunt1 est pondus aqu elevat2 alternus ille ascensus descensus analogus erit motui reciproco aqu in canali1 easdemque temporis leges observabit3 propterea 7per ,prop4 ,,xliv47 si distanti inter undarum loca altissima ,a1 ,c1 ,e1 infima ,b1 ,d1 ,f quentur dupl penduli longitudini1 partes altissim ,a1 ,c1 ,e tempore oscillationis unius evadent infim1 tempore oscillationis alterius denuo ascendent4 ,igitur inter transitum ,undarum singularum tempus erit oscillationum duarum2 hoc est ,unda describet latitudinem suam1 quo tempore pendulum illud bis oscillatur2 sed eodem tempore pendulum1 cujus longitudo quadrupla est1 adeoque quat undarum latitudinem1 oscillabitur semel4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,igitur ,und1 qu pedes ,parisienses #c-a_/ah lat sunt1 tempore minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam conficient2 adeoque tempore minuti unius primi percurrent pedes #ahc-a_/c1 hor spatio pedes #aajjj quamproxime4 ,corol4 #b4 ,et undarum majorum vel minorum velocitas augebitur vel diminuetur in dimidiata ratione latitudinis4 ,hc ita se habent ex ,hypothesi quod partes aqu recta ascendunt vel recta descendunt2 sed ascensus descensus ille verius fit per circulum1 ideoque tempus hac ,propositione non nisi quamproxime definitum esse affirmo4 ,prop4 ,,xlvii4 ,theor4 ,,xxxvi4 ,pulsuum in ,fluido ,elastico propagatorum velocitates sunt in ratione composita ex dimidiata ratione vis ,elastic directe dimidiata ratione densitatis inverse2 si modo ,fluidi vis ,elastica ejusdem condensationi proportionalis esse supponatur4 ,cas4 #a4 ,si ,media sint homogenea1 pulsuum distanti in his ,mediis quentur inter se1 sed motus in uno ,medio intensior sit3 contractiones dilatationes partium analogarum erunt ut iidem motus4 ,accurata quidem non est hc proportio4 ,verum tamen nisi contractiones dilatationes sint valde intens1 non errabit sensibiliter1 ideoque pro ,physice accurata haberi potest4 ,sunt autem vires ,elastic motrices ut contractiones dilatationes2 velocitates partium qualium simul genit sunt ut vires4 ,ideoque quales correspondentes pulsuum correspondentium partes1 itus reditus suos per spatia contractionibus dilatationibus proportionalia1 cum velocitatibus qu sunt ut spatia1 simul peragent3 propterea pulsus1 qui tempore itus reditus unius latitudinem suam progrediendo conficiunt1 in loca pulsuum proxime prcedentium semper succedunt1 ob qualitatem distantiarum1 quali cum velocitate in ,medio utroque progredientur4 ,cas4 #b4 ,sin pulsuum distanti seu longitudines sint majores in uno ,medio quam in altero2 ponamus quod partes correspondentes spatia latitudinibus pulsuum proportionalia singulis vicibus eundo redeundo describant3 quales erunt earum contractiones dilatationes4 ,ideoque si ,media sint homogenea1 quales erunt etiam vires ill ,elastic motrices quibus reciproco motu agitantur4 ,materia autem his viribus movenda1 est ut pulsuum latitudo2 in eadem ratione est spatium per quod singulis vicibus eundo redeundo moveri debent4 ,estque tempus itus reditus unius in ratione composita ex ratione dimidiata materi ratione dimidiata spatii1 atque adeo ut spatium4 ,pulsus autem temporibus itus reditus unius eundo latitudines suas conficiunt1 hoc est1 spatia temporibus proportionalia percurrunt2 propterea sunt quiveloces4 ,cas4 #c4 ,in ,mediis igitur densitate vi elastica paribus1 pulsus omnes sunt quiveloces4 ,quod si ,medii vel densitas vel vis ,elastica intendatur1 quoniam vis motrix in ratione vis ,elastic1 materia movenda in ratione densitatis augetur2 tempus quo motus iidem peragantur ac prius1 augebitur in dimidiata ratione densitatis1 ac diminuetur in dimidiata ratione vis ,elastic4 ,et propterea velocitas pulsuum erit in ratione composita ex ratione dimidiata densitatis ,medii inverse ratione dimidiata vis ,elastic directe4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xlviii4 ,theor4 ,,xxxvii4 ,pulsibus per ,fluidum propagatis1 singul ,fluidi particul1 motu reciproco brevissimo euntes redeuntes1 accelerantur semper retardantur pro lege oscillantis ,penduli4 ,illustration ,illustration ,designent ,,ab1 ,,bc1 ,,cd1 c4 pulsuum successivorum quales distantias2 ,,abc plagam motus pulsuum ab ,a versus ,b propagati2 ,e1 ,f1 ,g puncta tria ,physica ,medii quiescentis1 in recta ,,ac ad quales ab invicem distantias sita2 ,ee1 ,ff1 ,gg1 spatia qualia perbrevia per qu puncta illa motu reciproco singulis vibrationibus eunt redeunt2 epsilon1 phi1 gamma loca quvis intermedia eorundem punctorum2 ,,ef1 ,,fg lineolas ,physicas seu ,medii partes lineares punctis illis interjectas1 successive translatas in loca epsilonphi1 phigamma ef1 fg4 ,rect ,ee qualis ducatur recta ,,ps4 ,bisecetur eadem in ,o1 centroque ,o intervallo ,,op describatur circulus ,s,i,pi4 ,per hujus circumferentiam totam cum partibus suis exponatur tempus totum vibrationis unius cum ipsius partibus proportionalibus2 sic ut completo tempore quovis ,,ph vel ,p,h,sh1 si demittatur ad ,,ps perpendiculum ,,hl vel hl1 capiatur ,ee qualis ,,pl vel ,pl1 punctum ,physicum ,e reperiatur in epsilon4 ,hac lege punctum quodvis ,e eundo ab ,e per epsilon ad e1 inde redeundo per epsilon ad ,e iisdem accelerationis ac retardationis gradibus1 vibrationes singulas peraget cum oscillante ,pendulo4 ,probandum est quod singula ,medii puncta ,physica tali motu agitari debeant4 ,fingamus igitur ,medium tali motu a causa quacunque cieri1 videamus quid inde sequatur4 ,in circumferentia ,p,h,sh capiantur quales arcus ,,hi1 ,,ik vel hi1 ik1 eam habentes rationem ad circumferentiam totam quam habent quales rect ,,ef1 ,,fg ad pulsuum intervallum totum ,,bc4 ,et demissis perpendiculis ,,im1 ,,kn vel im1 kn2 quoniam puncta ,e1 ,f1 ,g motibus similibus successive agitantur1 si ,,ph vel ,p,h,sk sit tempus ab initio motus puncti ,e1 erit ,,pi vel ,p,h,si tempus ab initio motus puncti ,f1 ,,pk vel ,p,h,sh tempus ab initio motus puncti ,g2 propterea ,eepsilon1 ,fphi1 ,ggamma erunt ipsis ,,pl1 ,,pm1 ,,pn in itu punctorum1 vel ipsis ,pn1 ,pm1 ,pl in punctorum reditu1 quales respective4 ,unde epsilongamma in itu punctorum qualis erit ,,eg - ,,ln1 in reditu autem qualis ,,eg ln4 ,sed epsilongamma latitudo est seu expansio partis ,medii ,,eg in loco epsilongamma1 propterea expansio partis illius in itu1 est ad ejus expansionem mediocrem ut ,,eg - ,,ln ad ,,eg2 in reditu autem ut ,,eg ln seu ,,eg ,,ln ad ,,eg4 ,quare cum sit ,,ln ad ,,kh ut ,,im ad radium ,,op1 ,,eg ad ,,bc ut ,,hk ad circumferentiam ,p,h,sh,p1 vicissim ,,eg ad ,,hk ut ,,bc ad circumferentiam ,p,h,sh,p1 id est 7si circumferentia dicatur ,z7 ut ,,op ,,bc ,z ad ,,op1 ex quo ,,ln ad ,,eg ut ,,im ad ,,op ,,bc ,z3 erit expansio partis ,,eg in loco epsilongamma ad expansionem mediocrem quam habet in loco suo primo ,,eg1 ut ,,op ,,bc ,z - ,,im ad ,,op ,,bc ,z in itu1 utque ,,op ,,bc ,z im ad ,,op ,,bc ,z in reditu4 ,unde si ,,op ,,bc ,z dicatur ,v1 erit expansio partis ,,eg1 punctive ,physici ,f1 ad ejus expansionem mediocrem in itu1 ut ,v - ,,im ad ,v1 in reditu ut ,v im ad ,v2 ejusdem vis elastica ad vim suam elasticam mediocrem in itu1 ut #a ,v - ,,im ad #a ,v2 in reditu1 ut #a ,v im ad #a ,v4 ,et eodem argumento vires ,elastic punctorum ,physicorum ,e ,g in itu1 sunt ut #a ,v - ,,hl #a ,v - ,,kn ad #a ,v2 virium differentia ad ,medii vim elasticam mediocrem1 ut ,,hl - ,,kn #a ------------------------------ ad ---4 ,,vv - ,v ,,hl - ,v ,,kn ,,hl ,,kn ,v ,hoc est 7si ob brevitatem pulsuum supponamus ,,hk ,,kn indefinite minores esse quantitate ,v7 ut ,,hl - ,,kn ,,vv ad #a ,v1 sive ut ,,hl - ,,kn ad ,v4 ,quare cum quantitas ,v detur1 differentia virium est ut ,,hl - ,,kn1 hoc est 7ob proportionales ,,hl - ,,kn ad ,,hk1 ,,om ad ,,oi vel ,,op1 datasque ,,hk ,,op7 ut ,,om2 id est1 si ,ff bisecetur in ,omega1 ut ,omegaphi4 ,et eodem argumento differentia virium ,elasticarum punctorum ,physicorum epsilon gamma1 in reditu lineol ,physic epsilongamma est ut ,omegaphi4 ,sed differentia illa 7id est excessus vis ,elastic puncti epsilon supra vim elasticam puncti gamma17 est vis qua interjecta ,medii lineola ,physica epsilongamma acceleratur2 propterea vis acceleratrix lineol ,physic epsilongamma est ut ipsius distantia a ,medio vibrationis loco ,omega4 ,proinde tempus 7per ,prop4 ,,xxxviii4 ,lib4 ,i47 recte exponitur per arcum ,,pi2 ,medii pars linearis epsilongamma lege prscripta movetur1 id est lege oscillantis ,penduli3 estque par ratio partium omnium linearium ex quibus ,medium totum componitur4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem sit cum numero vibrationum corporis tremuli1 neque multiplicatur in eorum progressu4 ,nam lineola ,physica epsilongamma1 quamprimum ad locum suum primum redierit1 quiescet2 neque deinceps movebitur1 nisi vel ab impetu corporis tremuli1 vel ab impetu pulsuum qui a corpore tremulo propagantur1 motu novo cieatur4 ,quiescet igitur quamprimum pulsus a corpore tremulo propagari desinunt4 ,prop4 ,,xlix4 ,prob4 ,,xii4 ,datis ,medii densitate vi ,elastica1 invenire velocitatem pulsuum4 ,fingamus ,medium ab incumbente pondere1 pro more ,aeris nostri comprimi1 sitque ,a altitudo ,medii homogenei1 cujus pondus adquet pondus incumbens1 cujus densitas eadem sit cum densitate ,medii compressi1 in quo pulsus propagantur4 ,constitui autem intelligatur ,pendulum1 cujus longitudo inter punctum suspensionis centrum oscillationis sit ,a3 quo tempore pendulum illud oscillationem integram ex itu reditu compositam peragit1 eodem pulsus eundo conficiet spatium circumferenti circuli radio ,a descripti quale4 ,nam stantibus qu in ,propositione superiore constructa sunt1 si linea quvis ,physica1 ,,ef singulis vibrationibus describendo spatium ,,ps1 urgeatur in extremis itus reditus cujusque locis ,p ,s1 a vi ,elastica qu ipsius ponderi quetur2 peraget hc vibrationes singulas quo tempore eadem in ,cycloide1 cujus ,perimeter tota longitudini ,,ps qualis est1 oscillari posset3 id adeo quia vires quales qualia corpuscula per qualia spatia simul impellent4 ,quare cum oscillationum tempora sint in dimidiata ratione longitudinis pendulorum1 longitudo penduli quetur dimidio arcui ,cycloidis totius2 foret tempus vibrationis unius ad tempus oscillationis ,penduli cujus longitudo est ,a1 in dimidiata ratione longitudinis ,,ps seu ,,po ad longitudinem ,a4 ,sed vis ,elastica qua lineola ,physica ,,eg1 in locis suis extremis ,p1 ,s existens1 urgetur1 erat 7in demonstratione ,propositionis superioris7 ad ejus vim totam ,elasticam ut ,,hl - ,,kn ad ,v1 hoc est 7cum punctum ,k jam incidat in ,p7 ut ,,hk ad ,v3 vis illa tota1 hoc est pondus incumbens1 qua lineola ,,eg comprimitur1 est ad pondus lineol ut ponderis incumbentis altitudo ,a ad lineol longitudinem ,,eg2 adeoque ex quo1 vis qua lineola ,,eg in locis suis ,p ,s urgetur1 est ad lineol illius pondus ut ,,hk ,a ad ,v ,,eg4 ,quare cum tempora1 quibus qualia corpora per qualia spatia impelluntur1 sint reciproce in dimidiata ratione virium1 erit tempus vibrationis unius urgente vi illa ,elastica1 ad tempus vibrationis urgente vi ponderis1 in dimidiata ratione ,v ,,eg ad ,,hk ,a1 atque adeo ad tempus oscillationis ,penduli cujus longitudo est ,a1 in dimidiata ratione ,v ,,eg ad ,,hk ,a ,,po ad ,a conjunctim2 id est 7cm fuerit1 in superiore ,propositione1 ,v qualis ,,po ,,bc ,z1 ,,hk qualis ,,eg ,z ,,bc7 in dimidiata ratione ,,po qu4 ,,bc ,,eg ,z ad ,,eg ,z ,a qu4 ,,bc seu ,,po qu4 ,,bc qu4 ad ,z qu4 ,a qu4 hoc est in ratione ,,po ,,bc ad ,z ,a1 seu ,,bc ad ,z ,a ,,po4 ,sed tempore vibrationis unius ex itu reditu composit1 pulsus progrediendo conficit latitudinem suam ,,bc4 ,ergo tempus quo pulsus percurrit spatium ,,bc1 est ad tempus oscillationis unius ex itu reditu composit1 ut ,,bc ad ,z ,a ,,po1 id est ut ,,bc ad circumferentiam circuli cujus radius est ,a4 ,tempus autem1 quo pulsus percurret spatium ,,bc1 est ad tempus quo percurret longitudinem huic circumferenti qualem1 in eadem ratione2 ideoque tempore talis oscillationis pulsus percurret longitudinem huic circumferenti qualem4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,l4 ,prob4 ,,xiii4 ,invenire pulsuum distantias4 ,corporis1 cujus tremore pulsus excitantur1 inveniatur numerus ,vibrationum dato tempore4 ,per numerum illum dividatur spatium quod pulsus eodem tempore percurrere possit1 pars inventa erit pulsus unius latitudo4 ,q4 ,e4 ,i4 ,schol4 ,spectant ,propositiones novissim ad motum ,lucis ,sonorum4 ,lux enim cum propagetur secundum lineas rectas1 in actione sola 7per ,prop4 ,,xli4 ,,xlii47 consistere nequit4 ,soni vero propterea quod a corporibus tremulis oriantur1 nihil aliud sunt qum aeris pulsus propagati1 per ,prop4 ,,xliii4 ,confirmatur id ex tremoribus quos excitant in corporibus objectis1 si mod vehementes sint graves1 quales sunt soni ,tympanorum4 ,nam tremores celeriores breviores difficilius excitantur4 ,sed sonos quosvis1 in chordas corporibus sonoris unisonas impactos1 excitare tremores notissimum est4 ,confirmatur etiam ex velocitate sonorum4 ,nam cm pondera specifica ,aqu pluvialis ,argenti vivi sint ad invicem ut #a ad #ac-b_/c circiter1 ubi ,mercurius in ,barometro altitudinem attingit digitorum ,anglicorum #cj1 pondus specificum ,aeris aqu pluvialis sint ad invicem ut #a ad #hej circiter3 erunt pondera specifica aeris argenti vivi ut #a ad #aafag4 ,proinde cum altitudo argenti vivi sit #cj digitorum1 altitudo aeris uniformis1 cujus pondus aerem nostrum subjectum comprimere posset1 erit #cdhejj digitorum seu pedum ,anglicorum #bijdb4 ,estque hc altitudo illa ipsa quam in constructione superioris ,problematis nominavimus ,a4 ,circuli radio #bijdb pedum descripti circumferentia est pedum #ahbdgf4 ,et cum ,pendulum digitos #ci-a_/e longum1 oscillationem ex itu reditu compositam1 tempore minutorum duorum secundorum1 uti notum est1 absolvat2 pendulum pedes #bijdb1 seu digitos #cdhejj1 longum1 oscillationem consimilem tempore minutorum secundorum #ahh-d_/g absolvere debebit4 ,eo igitur tempore sonus progrediendo conficiet pedes #ahbdgf1 adeoque tempore minuti unius secundi pedes #ifh4 ,scribit ,mersennus1 in ,balistic su ,prop4 ,,xxxv4 se factis experimentis invenisse quod sonus minutis quinque secundis hexapedas ,gallicas #aaej 7id est pedes ,gallicos #fijj7 percurrat4 ,unde cum pes ,gallicus sit ad ,anglicum ut #ajfh ad #ajjj1 debebit sonus tempore minuti unius secundi pedes ,anglicos #adgd conficere4 ,scribit etiam idem ,mersennus ,robervallum ,geometram clarissimum in ,obsidione ,theodonis observasse tormentorum fragorem exauditum esse post #ac vel #ad ab igne viso minuta secunda1 cm tamen vix dimidiam ,leucam ab illis ,tormentis abfuerit4 ,continet ,leuca ,gallica hexapedas #bejj1 adeoque sonus tempore #ac vel #ad secundorum1 ex ,observatione ,robervalli1 confecit pedes ,parisienses #gejj1 ac tempore minuti unius secundi pedes ,parisienses #efj1 ,anglicos ver #fjj circiter4 ,multum differunt h ,observationes ab invicem1 computus noster medium locum tenet4 ,in porticu ,collegii nostri pedes #bjh longa1 sonus in termino alterutro excitatus quaterno recursu ,echo quadruplicem efficit4 ,factis autem experimentis inveni quod singulis soni recursibus pendulum quasi sex vel septem digitorum longitudinis oscillabatur1 ad priorem soni recursum eundo ad posteriorem redeundo4 ,longitudinem penduli satis accurat definire nequibam3 sed longitudine quatuor digitorum1 oscillationes nimis celeres esse1 ea novem digitorum nimis tardas judicabam4 ,unde sonus eundo redeundo confecit pedes #daf minore tempore qum pendulum digitorum novem1 majore qum pendulum digitorum quatuor oscillatur2 id est minore tempore qum #bh minutorum tertiorum1 majore qum #ai-a_/f2 propterea tempore minuti unius secundi conficit pedes ,anglicos plures qum #hff pauciores qum #abgb1 atque ade velocior est qum pro ,observatione ,robervalli1 ac tardior qum pro ,observatione ,mersenni4 ,quinetiam accuratioribus postea ,observationibus definivi quod longitudo penduli major esse deberet qum digitorum quinque cum semisse1 minor qum digitorum octo2 adeoque qud sonus tempore minuti unius secundi confecit pedes ,anglicos plures qum #ibj pauciores qum #ajhe4 ,igitur motus sonorum1 secundum calculum ,geometricum superius allatum1 inter hos limites consistens1 quadrat cum ,phnomenis1 quatenus hactenus tentare licuit4 ,proinde cm motus iste pendeat ab aeris totius densitate1 consequens est quod soni non in motu theris vel aeris cujusdam subtilioris1 sed in aeris totius agitatione consistat4 ,refragari videntur experimenta qudam de sono in vasis aere vacuis propagato1 sed vasa aere omni evacuari vix possunt2 ubi satis evacuantur soni notabiliter imminui solent2 ,ex4 gr4 ,si aeris totius pars tantm centesima in vase maneat1 debebit sonus esse centuplo languidior1 atque ade non minus audiri qum si quis sonum eundem in aere libero excitatum audiendo1 subinde ad decuplam distantiam corpore sonoro recederet4 ,conferenda sunt igitur corpora duo qualiter sonora1 quorum alterum in vase evacuato1 alterum in aere libero consistat1 quorum distanti ab auditore sint in dimidiata ratione densitatum aeris3 si sonus corporis prioris non superat sonum posterioris objectio cessabit4 ,cognita sonorum velocitate1 innotescunt etiam intervalla pulsuum4 ,scribit ,mersennus 7,lib4 ,i4 ,harmonicorum ,prop4 ,,iv47 se 7factis experimentis quibusdam qu ibidem describit7 invenisse quod nervus tensus vicibus #ajd recurrit spatio minuti unius secundi1 quando facit ,unisonum cum organica ,fistula quadrupedali aperta vel bipedali obturata1 quam vocant ,organarii ,c fa ut4 ,sunt igitur pulsus #ajd in spatio pedum #ifh1 quos sonus tempore minuti secundi describit3 adeoque pulsus unus occupat spatium pedum #i circiter2 id est duplam circiter longitudinem fistul4 ,unde verisimile est qud latitudines pulsuum1 in omnium apertarum fistularum sonis1 quentur duplis longitudinibus fistularum4 ,porr cur ,soni cessante motu corporis sonori statim cessant1 neque diutis audiuntur ubi longissim distamus corporibus sonoris1 qum cum proxim absumus1 patet ex ,corollario ,propositionis ,,xlviii4 ,libri hujus4 ,sed cur soni in ,tubis ,stenterophonicis valde augentur1 ex allatis principiis manifestum est4 ,motus enim omnis reciprocus singulis recursibus causa generante augeri solet4 ,motus autem in ,tubis dilatationem sonorum impedientibus tardis amittitur fortius recurrit1 propterea motu novo singulis recursibus impresso magis augetur4 ,et hc sunt prcipua ,phnomena ,sonorum4 99 99 99 99 99 ,,sect4 ,,ix4 ,de motu ,circulari ,fluidorum4 ,hypothesis4 ,resistentiam1 qu oritur ex defectu lubricitatis partium ,fluidi1 cteris paribus1 proportionalem esse velocitati1 qua partes ,fluidi separantur ab invicem4 ,prop4 ,,li4 ,theor4 ,,xxxviii4 ,si ,cylindrus solidus infinit longus in fluido uniformi infinito circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur1 ab hujus impulsu solo agatur ,fluidum in ,orbem1 perseveret autem fluidi pars unaquque uniformiter in motu suo2 dico quod tempora periodica partium fluidi sunt ut ipsarum distanti ab axe cylindri4 ,illustration ,sit ,,afl cylindrus uniformiter circa axem ,s in orbem actus1 circulis concentricis ,,bgm1 ,,chn1 ,,dio1 ,,ekp1 c4 distinguatur fluidum in orbes cylindricos innumeros concentricos solidos ejusdem crassitudinis4 ,et quoniam homogeneum est ,fluidum1 impressiones contiguorum orbium in se mutu fact1 erunt 7per ,hypothesin7 ut eorum translationes ab invicem superficies contigu in quibus impressiones fiunt4 ,si impressio in ,orbem aliquem major est vel minor1 ex parte concava qum ex parte convexa1 prvalebit impressio fortior1 motum ,orbis vel accelerabit vel retardabit prout in eandem regionem cum ipsius motu1 vel in contrariam dirigitur4 ,proinde ut ,orbis unusquisque in motu suo uniformiter perseveret1 debent impressiones ex parte utraque sibi invicem quari1 fieri in regiones contrarias4 ,unde cm impressiones sunt ut contigu superficies harum translationes ab invicem1 erunt translationes invers ut superficies1 hoc est invers ut superficierum distanti ab axe4 ,sunt autem differenti motuum angularium circa axem ut h translationes applicat ad distantias1 sive ut translationes direct distanti invers2 hoc est 7conjunctis rationibus7 ut quadrata distantiarum invers4 ,quare si ad infinit rect ,,sabcdeq partes singulas erigantur perpendicula ,aa1 ,bb1 ,cc1 ,dd1 ,ee1 c4 ipsarum ,,sa1 ,,sb1 ,,sc1 ,,sd1 ,,se1 c4 quadratis reciproc proportionalia1 per terminos perpendicularium duci intelligatur linea curva ,hyperbolica2 erunt summ distantiarum1 hoc est motus toti angulares1 ut respondentes summ linearum ,aa1 ,bb1 ,cc1 ,dd1 ,ee3 id est1 si ad constituendum ,medium uniformiter fluidum orbium numerus augeatur latitudo minuatur in infinitum1 ut are ,hyperbolic his summis ,analog ,aa,q1 ,bb,q1 ,cc,q1 ,dd,q1 ,ee,q1 c4 tempora motibus angularibus reciproc proportionalia erunt etiam his areis reciproc proportionalia4 ,est igitur tempus periodicum particul cujusvis ,d reciproc ut area ,dd,q1 hoc est1 7per notas ,curvarum quadraturas7 direct ut distantia ,,sd4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,hinc motus angulares particularum fluidi sunt reciproc ut ipsarum distanti ab axe ,cylindri1 velocitates absolut sunt quales4 ,corol4 #b4 ,si fluidum in vase cylindrico longitudinis infinit contineantur1 cylindrum alium interiorem contineat1 revolvatur autem cylindrus uterque circa axem communem1 sintque revolutionum tempora ut ipsorum semidiametri1 perseveret fluidi pars unaquque in motu suo3 erunt partium singularum tempora periodica ut ipsarum distanti ab axe cylindrorum4 ,corol4 #c4 ,si cylindro fluido ad hunc modum motis addatur vel auferatur communis quilibet motus angularis2 quoniam hoc novo motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi1 non mutabuntur motus partium inter se4 ,nam translationes partium ab invicem pendent ab attritu4 ,pars qulibet in eo perseverabit motu1 qui attritu utrinque in contrarias partes facto1 non magis acceleratur qum retardatur4 ,corol4 #d4 ,unde si toti cylindrorum fluidi ,systemati auferatur motus omnis angularis cylindri exterioris1 habebitur motus fluidi in cylindro quiescente4 ,corol4 #e4 ,igitur si fluido cylindro exteriore quiescentibus1 revolvatur cylindrus interior uniformiter1 communicabitur motus circularis fluido1 paulatim per totum fluidum propagabitur2 nec prius desinet augeri qum fluidi partes singul motum ,corollario quarto definitum acquirant4 ,corol4 #f4 ,et quoniam fluidum conatur motum suum adhuc latius propagare1 hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior nisi violenter detentus2 accelerabitur ejus motus quoad usque tempora periodica cylindri utriusque quentur inter se4 ,quod si cylindrus exterior violenter detineatur1 conabitur is motum fluidi retardare1 nisi cylindrus interior vi aliqua extrinsecs impressa motum illum conservet1 efficiet ut idem paulatim cesset4 ,qu omnia in aqua profunda stagnante experiri licet4 ,prop4 ,,lii4 ,theor4 ,,xxxix4 ,si ,sphra solida1 in fluido uniformi infinito1 circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur1 ab hujus impulsu solo agatur fluidum in orbem2 perseveret autem fluidi pars unaquque uniformiter in motu suo3 dico quod tempora periodica partium fluidi erunt ut quadrata distantiarum centro ,sphr4 ,fig4 ,prop4 ,,li4 ,cas4 #a4 ,sit ,,afl sphra uniformiter circa axem ,s in orbem acta1 circulis concentricis ,,bgm1 ,,chn1 ,,dio1 ,,ekp1 c4 distinguatur fluidum in orbes innumeros concentricos ejusdem crassitudinis4 ,finge autem orbes illos esse solidos2 quoniam homogeneum est fluidum1 impressiones contiguorum ,orbium in se mutu fact1 erunt 7per ,hypothesin7 ut eorum translationes ab invicem superficies contigu in quibus impressiones fiunt4 ,si impressio in orbem aliquem major est vel minor ex parte concava qum ex parte convexa1 prvalebit impressio fortior1 velocitatem ,orbis vel accelerabit vel retardabit1 prout in eandem regionem cum ipsius motu vel in contrariam dirigitur4 ,proinde ut orbis unusquisque in motu suo perseveret uniformiter1 debebunt impressiones ex parte utraque sibi invicem quari1 fieri in regiones contrarias4 ,unde cum impressiones sint ut contigu superficies harum translationes ab invicem2 erunt translationes invers ut superficies1 hoc est invers ut quadrata distantiarum superficierum centro4 ,sunt autem differenti motuum angularium circa axem ut h translationes applicat ad distantias1 sive ut translationes direct distanti invers2 hoc est 7conjunctis rationibus7 ut cubi distantiarum invers4 ,quare si ad rect infinit ,,sabcdeq partes singulas erigantur perpendicula ,aa1 ,bb1 ,cc1 ,dd1 ,ee1 c4 ipsarum ,,sa1 ,,sb1 ,,sc1 ,,sd1 ,,se1 c4 cubis reciproc proportionalia1 erunt summ distantiarum1 hoc est1 motus toti angulares1 ut respondentes summ linearum ,aa1 ,bb1 ,cc1 ,dd1 ,ee3 id est 7si ad constituendum ,medium uniformiter fluidum1 numerus ,orbium augeatur latitudo minuatur in infinitum7 ut are ,hyperbolic his summis analog ,aa,q1 ,bb,q1 ,cc,q1 ,dd,q1 ,ee,q1 c4 ,et tempora periodica motibus angularibus reciproc proportionalia erunt etiam his areis reciproc proportionalia4 ,est igitur tempus periodicum orbis cujusvis ,,dio reciproc ut area ,dd,q1 hoc est1 7per notas ,curvarum quadraturas7 direct ut quadratum distanti ,,sd4 ,id quod volui prim demonstrare4 ,cas4 #b4 ,a centro ,sphr ducantur infinit rect quam plurim1 qu cum axe datos contineant angulos1 qualibus differentiis se mutu superantes2 his rectis circa axem revolutis concipe orbes in annulos innumeros secari2 annulus unusquisque habebit annulos quatuor sibi contiguos1 unum interiorem1 alterum exteriorem duos laterales4 ,attritu interioris exterioris non potest annulus unusquisque1 nisi in motu juxta legem casus primi facto1 qualiter in partes contrarias urgeri4 ,patet hoc ex demonstratione casus primi4 ,et propterea annulorum series qulibet globo in infinitum rect pergens movebitur pro lege casus primi1 nisi quatenus impeditur ab attritu annulorum ad latera4 ,at in motu hac lege facto1 attritus annulorum ad latera nullus est1 neque ade motum1 quo minus hac lege fiat1 impediet4 ,si annuli1 qui centro qualiter distant1 vel citis revolverentur vel tardis juxta polos qum juxta quatorem2 tardiores accelerarentur1 velociores retardarentur ab attritu mutuo1 sic vergerent semper tempora periodica ad qualitatem1 pro lege casus primi4 ,non impedit igitur hic attritus quo minus motus fiat secundum legem casus primi1 propterea lex illa obtinebit3 hoc est annulorum singulorum tempora periodica erunt ut quadrata distantiarum ipsorum centro globi4 ,quod volui secundo demonstrare4 ,cas4 #c4 ,dividatur jam annulus unusquisque sectionibus transversis in particulas innumeras constituentes substantiam absolut uniformiter fluidam2 quoniam h sectiones non spectant ad legem motus circularis1 sed ad constitutionem fluidi solummodo conducunt1 perseverabit motus circularis ut pris4 ,his sectionibus annuli omnes quamminimi asperitatem vim attritus mutui aut non mutabunt aut mutabunt qualiter4 ,et manente causarum proportione manebit effectuum proportio1 hoc est proportio motuum periodicorum temporum4 ,q4 ,e4 ,d4 ,cterum cum motus circularis1 abinde orta vis centrifuga1 major sit ad ,eclipticam qum ad polos2 debebit causa aliqua adesse qua particul singul in circulis suis retineantur1 ne materia qu ad ,eclipticam est recedat semper centro per exteriora ,vorticis migret ad polos1 indeque per axem ad ,eclipticam circulatione perpetua revertatur4 ,corol4 #a4 ,hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi sunt reciproc ut quadrata distantiarum centro globi1 velocitates absolut reciproc ut eadem quadrata applicata ad distantias ab axe4 ,corol4 #b4 ,si globus in fluido quiescente similari infinito circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur1 communicabitur motus fluido in morem ,vorticis1 motus iste paulatim propagabitur in infinitum2 neque prius cessabit in singulis fluidi partibus accelerari1 qum tempora periodica singularum partium sint ut quadrata distantiarum centro globi4 ,corol4 #c4 ,quoniam ,vorticis partes interiores ob majorem suam velocitatem atterunt urgent exteriores1 motumque ipsis ea actione perpetu communicant1 exteriores illi eandem motus quantitatem in alios adhuc exteriores simul transferunt1 eaque actione servant quantitatem motus sui plan invariatam2 patet quod motus perpetu transfertur centro ad circumferentiam ,vorticis1 per infinitatem circumferenti absorbetur4 ,materia inter sphricas duas quasvis superficies ,vortici concentricas nunquam accelerabitur1 e quod motum omnem materia interiore acceptum transfert semper in exteriorem4 ,corol4 #d4 ,proinde ad conservationem ,vorticis constanter in eodem movendi statu1 requiritur principium aliquod activum quo globus eandem semper quantitatem motus accipiat quam imprimit in materiam vorticis4 ,absque tali principio necesse est ut globus ,vorticis partes interiores1 propagantes semper motum suum in exteriores1 neque novum aliquem motum recipientes1 tardescant paulatim in orbem agi desinant4 ,corol4 #e4 ,si globus alter huic ,vortici ad certam ab ipsius centro distantiam innataret1 interea circa axem inclinatione datum vi aliqua constanter revolveretur2 hujus motu raperetur fluidum in vorticem3 prim revolveretur hic vortex novus exiguus una cum globo circa centrum alterius1 interea latis serperet ipsius motus1 paulatim propagaretur in infinitum1 ad modum vorticis primi4 ,et eadem ratione qua hujus globus raperetur motu vorticis alterius1 raperetur etiam globus alterius motu hujus1 sic ut globi duo circa intermedium aliquod punctum revolverentur1 seque mutu ob motum illum circularem fugerent1 nisi per vim aliquam cohibiti4 ,postea si vires constanter impress1 quibus globi in motibus suis perseverant1 cessarent1 omnia legibus ,mechanicis permitterentur1 languesceret paulatim motus globorum 7ob rationem in ,corol4 #c4 #d4 assignatam7 vortices tandem conquiescerent4 ,corol4 #f4 ,si globi plures datis in locis circum axes positione datos certis cum velocitatibus constanter revolverentur1 fierent vortices totidem in infinitum pergentes4 ,nam globi singuli1 eadem ratione qua unus aliquis motum suum propagat in infinitum1 propagabunt etiam motus suos in infinitum1 ade ut fluidi infiniti pars unaquque eo agitetur motu qui ex omnium globorum actionibus resultat4 ,unde vortices non definientur certis limitibus1 sed in se mutu paulatim excurrent2 globiq2 per actiones vorticum in se mutu1 perpetu movebuntur de locis suis2 uti in ,lemmate superiore expositum est2 neq2 certam quamvis inter se positionem servabunt1 nisi per vim aliquam retenti4 ,cessantibus autem viribus illis qu in globos constanter impress conservant hosce motus1 materia ob rationem in ,corollario tertio quarto assignatam paulatim requiescet in vortices agi desinet4 ,corol4 #g4 ,si ,fluidum similare claudatur in vase sphrico1 ac globi in centro consistentis uniformi rotatione agatur in vorticem1 globus autem vas in eandem partem circa axem eundem revolvantur1 sintq2 eorum tempora periodica ut quadrata semidiametrorum3 partes fluidi non prius perseverabunt in motibus suis sine acceleratione retardatione1 qum sint eorum tempora periodica ut quadrata distantiarum centro vorticis4 ,alia nulla ,vorticis constitutio potest esse permanens4 ,corol4 #h4 ,si vas1 ,fluidum inclusum globus servent hunc motum1 motu prterea communi angulari circa axem quemvis datum revolvantur2 quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium fluidi in se invicem1 non mutabuntur motus partium inter se4 ,nam translationes partium inter se pendent ab attritu4 ,pars qulibet in eo perseverabit motu1 quo fit ut attritu ex uno latere non magis tardetur qum acceleretur attritu ex altero4 ,corol4 #i4 ,unde si vas quiescat ac detur motus globi1 dabitur motus fluidi4 ,nam concipe planum transire per axem globi motu contrario revolvi2 pone tempus revolutionis hujus esse ad summam hujus temporis temporis revolutionis globi1 ut quadratum semidiametri vasis ad quadratum semidiametri globi3 tempora periodica partium fluidi respectu plani hujus erunt ut quadrata distantiarum suarum centro globi4 ,corol4 #aj4 ,proinde si vas vel circa axem eundem cum globo1 vel circa diversum aliquem1 data cum velocitate quacunq2 moveatur1 dabitur motus fluidi4 ,nam si ,systemati toti auferatur vasis motus angularis1 manebunt motus omnes iidem inter se qui prius1 per ,corol4 #h4 ,et motus isti per ,corol4 #i4 dabuntur4 ,corol4 #aa4 ,si vas fluidum quiescant globus uniformi cum motu revolvatur1 propagabitur motus paulatim per fluidum totum in vas1 circumagetur vas nisi violenter detentum1 neq2 prius desinent fluidum vas accelerari1 qum sint eorum tempora periodica qualia temporibus periodicis globi4 ,quod si vas vi aliqua detineatur vel revolvatur motu quovis constanti uniformi1 deveniet ,medium paulatim ad statum motus in ,corollariis #h4 #i #aj definiti1 nec in alio unquam statu quocunq2 perseverabit4 ,deinde ver si1 viribus illis cessantibus quibus vas globus certis motibus revolvebantur1 permittatur ,systema totum ,legibus ,mechanicis2 vas globus in se invicem agent mediante fluido1 neq2 motus suos in se mutu per fluidum propagare prius cessabunt1 qum eorum tempora periodica quantur inter se1 ,systema totum ad instar corporis unius solidi simul revolvatur4 ,scholium4 ,in his omnibus suppono fluidum ex materia quoad densitatem fluiditatem uniformi constare4 ,tale est in quo globus idem eodem cum motu1 in eodem temporis intervallo1 motus similes quales1 ad quales semper se distantias1 ubivis in fluido constitutus1 propagare possit4 ,conatur quidem materia per motum suum circularem recedere ab axe ,vorticis1 propterea premit materiam omnem ulteriorem4 ,ex hac pressione fit attritus partium fortior separatio ab invicem difficilior2 per consequens diminuitur materi fluiditas4 ,rursus si partes fluidi sunt alicubi crassiores seu majores1 fluiditas ibi minor erit1 ob pauciores superficies in quibus partes separentur ab invicem4 ,in hujusmodi casibus deficientem fluiditatem vel lubricitate partium vel lentore aliave aliqua conditione restitui suppono4 ,hoc nisi fiat1 materia ubi mins fluida est magis cohrebit segnior erit1 adeoq2 motum tardis recipiet longis propagabit qum pro ratione superis assignata4 ,si figura vasis non sit ,sphrica1 movebuntur particul in lineis non circularibus sed conformibus eidem vasis figur1 tempora periodica erunt ut quadrata mediocrium distantiarum centro quamproxim4 ,in partibus inter centrum circumferentiam1 ubi latiora sunt spatia1 tardiores erunt motus1 ubi angustiora velociores2 neque tamen particul velociores petent circumferentiam4 ,arcus enim describent minus curvos1 conatus recedendi centro non minus diminuetur per decrementum hujus curvatur1 qum augebitur per incrementum velocitatis4 ,pergendo spatiis angustioribus in latiora recedent paul longis centro1 sed isto recessu tardescent2 accedendo postea de latioribus ad angustiora accelerabuntur1 sic per vices tardescent accelerabuntur particul singul in perpetuum4 ,hc ita se habebunt in vase rigido4 ,nam in fluido infinito constitutio ,vorticum innotescit per ,propositionis hujus ,corollarium sextum4 ,proprietates autem ,vorticum hac ,propositione investigare conatus sum1 ut pertentarem siqua ratione ,phnomena coelestia per ,vortices explicari possint4 ,nam ,phnomenon est quod ,planetarum circa ,jovem revolventium tempora periodica sunt in ratione sesquialtera distantiarum centro ,jovis2 eadem ,regula obtinet in ,planetis qui circa ,solem revolvuntur4 ,obtinent autem h ,regul in ,planetis utrisque quam accuratissim1 quatenus observationes ,astronomic hactenus prodidre4 ,ideoq2 si ,planet illi ,vorticibus circa ,jovem ,solem revolventibus deferantur1 debebunt etiam hi ,vortices eadem lege revolvi4 ,verum tempora periodica partium ,vorticis prodierunt in ratione duplicata distantiarum centro motus3 neque potest ratio illa diminui ad rationem sesquialteram reduci1 nisi vel materia vorticis eo fluidior sit quo longius distat centro1 vel resistentia1 qu oritur ex defectu lubricitatis partium fluidi1 ex aucta velocitate qua partes fluidi separantur ab invicem1 augeatur in majori ratione qum ea est in qua velocitas augetur4 ,quorum tamen neutrum rationi consentaneum videtur4 ,partes crassiores minus fluid 7nisi graves sint in centrum7 circumferentiam petent2 verisimile est quod1 etiamsi ,demonstrationum gratia ,hypothesin talem initio ,sectionis hujus proposuerim ut ,resistentia velocitati proportionalis esset1 tamen ,resistentia in minori sit ratione qum ea velocitatis est4 ,quo concesso tempora periodica partium ,vorticis erunt in majori qum duplicata ratione distantiarum ab ipsius centro4 ,quod si vortices 7uti aliquorum est opinio7 celeris moveantur prope centrum1 dein tardis usque ad certum limitem1 tum denu celeris juxta circumferentiam2 cert nec ratio sesquialtera neque alia quvis certa ac determinata obtinere potest4 ,viderint itaq2 ,philosophi quo pacto ,phnomenon illud rationis sesquialter per ,vortices explicari possit4 ,prop4 ,,liii4 ,theor4 ,,xl4 ,corpora qu in ,vortice delata in orbem redeunt ejusdem sunt densitatis cum ,vortice1 eadem lege cum ipsius partibus 7quoad velocitatem cursus determinationem7 moventur4 ,nam si vorticis pars aliqua exigua1 cujus particul seu puncta physica datum servant situm inter se1 congelari supponatur3 hc1 quoniam neq2 quoad densitatem suam1 neque quoad vim insitam aut figuram suam mutatur1 movebitur eadem lege ac prius3 contra1 si ,vorticis pars congelata solida ejusdem sit densitatis cum reliquo vortice1 resolvatur in fluidum2 movebitur hc eadem lege ac prius1 nisi quatenus ipsius particul jam fluid fact moveantur inter se4 ,negligatur igitur motus particularum inter se1 tanquam ad totius motum progressivum nil spectans1 motus totius idem erit ac prius4 ,motus autem idem erit cum motu aliarum ,vorticis partium centro qualiter distantium1 propterea quod solidum in ,fluidum resolutum fit pars ,vorticis cteris partibus consimilis4 ,ergo solidum1 si sit ejusdem densitatis cum materia ,vorticis1 eodem motu cum ipsius partibus movebitur1 in materia proxim ambiente relative quiescens4 ,sin densius sit1 jam magis conabitur recedere centro ,vorticis qum pris2 adeoq2 ,vorticis vim illam1 qua pris in ,orbita sua tanquam in quilibrio constitutum retinebatur1 jam superans1 recedet centro revolvendo describet ,spiralem1 non amplius in eundem ,orbem rediens4 ,et eodem argumento si rarius sit1 accedet ad centrum4 ,igitur non redibit in eundem ,orbem nisi sit ejusdem densitatis cum fluido4 ,eo autem in casu ostensum est1 quod revolveretur eadem lege cum partibus fluidi centro ,vorticis qualiter distantibus4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,ergo solidum quod in ,vortice revolvitur in eundem ,orbem semper redit1 relativ quiescit in fluido cui innatat4 ,corol4 #b4 ,et si vortex sit quoad densitatem uniformis1 corpus idem ad quamlibet centro ,vorticis distantiam revolvi potest4 ,scholium4 ,illustration ,hinc liquet ,planetas ,vorticibus corporeis non deferri4 ,nam ,planet secundum ,hypothesin ,copernicam circa ,solem delati revolvuntur in ,ellipsibus umbilicum habentibus in ,sole1 radiis ad ,solem ductis areas describunt temporibus proportionales4 ,at partes ,vorticis tali motu revolvi nequeunt4 ,designent ,,ad1 ,,be1 ,,cf1 orbes tres circa ,solem ,s descriptos1 quorum extimus ,,cf circulus sit ,soli concentricus1 interiorum duorum ,aphelia sint ,a1 ,b1 ,perihelia ,d1 ,e4 ,ergo corpus quod revolvitur in orbe ,,cf1 radio ad ,solem ducto areas temporibus proportionales describendo1 movebitur uniformi cum motu4 ,corpus autem quod revolvitur in ,orbe ,,be1 tardis movebitur in ,aphelio ,b velocis in ,perihelio ,c1 secundum leges ,astronomicas2 cum tamen secundum leges ,mechanicas materia ,vorticis in spatio angustiore inter ,a ,c velocis moveri debeat qum in spatio latiore inter ,d ,f2 id est1 in ,aphelio velocis qum in ,perihelio4 ,qu duo repugnant inter se4 ,sic in principio ,signi ,virginis1 ubi ,aphelium ,martis jam versatur1 distantia inter orbes ,martis ,veneris est ad distantiam eorundem orbium in principio ,signi ,piscium ut tria ad duo circiter1 propterea materia ,vorticis inter ,orbes illos in principio ,piscium debet esse velocior qum in principio ,virginis in ratione trium ad duo4 ,nam quo angustius est spatium per quod eadem ,materi quantitas eodem revolutionis unius tempore transit1 eo majori cum velocitate transire debet4 ,igitur si ,terra in hac ,materia coelesti relativ quiescens ab ea deferretur1 una circa ,solem revolveretur1 foret hujus velocitas in principio ,piscium ad ejusdem velocitatem in principio ,virginis in ratione sesquialtera4 ,unde ,solis motus diurnus apparens in principio ,virginis major esset qum minutorum primorum septuaginta1 in principio ,piscium minor qum minutorum quadraginta octo3 cum tamen 7experientia teste7 apparens iste ,solis motus major sit in principio ,piscium qum in principio ,virginis1 propterea ,terra velocior in principio ,virginis qum in principio ,piscium4 ,itaq2 ,hypothesis ,vorticum cum ,phnomenis ,astronomicis omnin pugnat1 non tam ad explicandos qum ad perturbandos motus coelestes conducit4 ,quomodo ver motus isti in spatiis liberis absque ,vorticibus peraguntur intelligi potest ex ,libro primo1 in ,mundi ,systemate plenis docebitur4 99 99 99 99 99 ,de ,mundi ,systemate ,,liber ,,tertius ,in ,libris prcedentibus principia ,philosophi tradidi1 non tamen ,philosophica sed ,mathematica tantum1 ex quibus videlicet in rebus ,philosophicis disputari possit4 ,hc sunt motuum virium leges conditiones1 qu ad ,philosophiam maxim spectant4 ,eadem tamen1 ne sterilia videantur1 illustravi ,scholiis quibusdam ,philosophicis1 ea tractans qu generalia sunt1 in quibus ,philosophia maxim fundari videtur1 uti corporum densitatem resistentiam1 spatia corporibus vacua1 motumque ,lucis ,sonorum4 ,superest ut ex iisdem principiis doceamus constitutionem ,systematis ,mundani4 ,de hoc argumento composueram ,librum tertium methodo populari1 ut pluribus legeretur4 ,sed quibus ,principia posita satis intellecta non fuerint1 ij vim consequentiarum minim percipient1 neque prjudicia deponent quibus multis retro annis insueverunt3 propterea ne res in disputationes trahatur1 summam libri illius transtuli in ,propositiones1 more ,mathematico1 ut ab iis solis legantur qui principia prius evolverint4 ,veruntamen quoniam ,propositiones ibi quam plurim occurrant1 qu ,lectoribus etiam ,mathematic doctis moram nimiam injicere possint1 author esse nolo ut quisquam eas omnes evolvat2 suffecerit siquis ,definitiones1 ,leges motuum sectiones tres priores ,libri primi sedul legat1 dein transeat ad hunc ,librum de ,mundi ,systemate1 reliquas ,librorum priorum ,propositiones hic citatas pro lubitu consulat4 ,,hypotheses4 ,hypoth4 ,i4 ,causas rerum naturalium non plures admitti debere1 qum qu vera sint earum ,phnomenis explicandis sufficiunt4 ,natura enim simplex est rerum causis superfluis non luxuriat4 ,hypoth4 ,,ii4 ,ideoque effectuum naturalium ejusdem generis edem sunt caus4 ,uti respirationis in ,homine in ,bestia2 descensus lapidum in ,europa in ,america2 ,lucis in ,igne culinari in ,sole2 reflexionis lucis in ,terra in ,planetis4 ,hypoth4 ,,iii4 ,corpus omne in alterius cujuscunque generis corpus transformari posse1 qualitatum gradus omnes intermedios sucessiv induere4 ,hypoth4 ,,iv4 ,centrum ,systematis ,mundani quiescere4 ,hoc ab omnibus concessum est1 dum aliqui ,terram alii ,solem in centro quiescere contendat4 ,hypoth4 ,v4 ,planetas circumjoviales1 radiis ad centrum ,jovis ductis1 areas describere temporibus proportionales1 eorumque tempora periodica esse in ratione sesquialtera distantiarum ab ipsius centro4 ,constat ex observationibus ,astronomicis4 ,orbes horum ,planetarum non differunt sensibiliter circulis ,jovi concentricis1 motus eorum in his circulis uniformes deprehenduntur4 ,tempora ver periodica esse in sesquialtera semidiametrorum orbium consentiunt ,astronomici3 ,flamstedius1 qui omnia ,micrometro per ,eclipses ,satellitum accuratius definivit1 literis ad me datis1 quinetiam numeris suis mecum communicatis1 significavit rationem illam sesquialteram tam accurat obtinere1 qum sit possibile sensu deprehendere4 ,id qud ex ,tabula sequente manifestum est4 ,satellitum tempora periodica4 #a;d4 #ah;h4 #bh'-c_/e4 #c;d4 #ac;h4 #ag'-i_/aj4 #g;d4 #c;h4 #ei'-c_/e4 #af;d4 #ah;h4 #e'-a_/e4 ,distanti ,satellitum centro ,jovis4 ,ex ,observationibus #a4 #b #c #d --------------------------------- ,cassini #e4 #h4 #ac4 #bc4 ,borelli #e-b_/c4 #h-b_/c4 #ad4 #bd-b_/c4 ,semi- ,tounlei per ,micromet4 #e1ea4 #h1gh4 #ac1dg4 #bd1gb4 diam4 ,flamstedii per ,microm4 #e1ca4 #h1he4 #ac1ih4 #bd1bc4 ,jovis4 ,flamst4 per ,eclips4 ,satel4 #e1egh4 #h1hgf4 #ad1aei4 #bd1ijc4 ---------------------------------------- ------------------- ,ex temporibus periodicis4 #e1egh4 #h1hgh4 #ad1afh4 #bd1ifh4 ,hypoth4 ,,vi4 ,planetas quinque primarios ,mercurium1 ,venerem1 ,martem1 ,jovem ,saturnum ,orbibus suis ,solem cingere4 ,mercurium ,venerem circa ,solem revolvi ex eorum phasibus lunaribus demonstratur4 ,plen facie lucentes ultra ,solem siti sunt1 dimidiat regione ,solis1 falcat cis ,solem2 per discum ejus ad modum macularum nonnunquam transeuntes4 ,ex ,martis quoque plena facie prope ,solis conjunctionem1 gibbosa in quadraturis1 certum est quod is ,solem ambit4 ,de ,jove etiam ,saturno idem ex eorum phasibus semper plenis demonstratur4 ,hypoth4 ,,vii4 ,planetarum quinque primariorum1 7vel ,solis circa ,terram vel7 ,terr circa ,solem tempora periodica esse in ratione sesquialtera mediocrium distantiarum ,sole4 ,hc ,keplero inventa ratio in confesso est apud omnes4 ,eadem utique sunt tempora periodica1 edemq2 orbium dimensiones1 sive ,planet circa ,terram1 sive iidem circa ,solem revolvantur4 ,ac de mensura quidem temporum periodicorum convenit inter ,astronomos universos4 ,magnitudines autem ,orbium ,keplerus ,bullialdus omnium diligentissim ex ,observationibus determinaverunt3 distanti mediocres1 qu temporibus periodicis respondent1 non differunt sensibiliter distantiis quas illi invenerunt1 suntque inter ipsas ut plurimum intermedi2 uti in ,tabula sequente videre licet4 ,planetarum ac ,telluris ,distanti mediocres ,sole4 ,satur4 ,jovis ,mart4 ,tellur4 ,vener4 ,mercur4 ,secundum ,keplerum #ieajjj4 #eaifej4 #aebcej4 #ajjjjj4 #gbdjj4 #chhjf4 ,secundum ,bullialdum #iedaih4 #ebbebj4 #aebcej4 #ajjjjj4 #gbcih4 #chehe4 ,secundum tempora #iechjf4 #ebjaaf4 #aebcii4 #ajjjjj4 #gbccc4 #chgaj4 periodica ,de distantiis ,mercurii ,veneris ,sole disputandi non est locus1 cum h per eorum ,elongationes ,sole determinentur4 ,de distantiis etiam superiorum ,planetarum ,sole tollitur omnis disputatio per ,eclipses ,satellitum ,jovis4 ,etenim per ,eclipses illas determinatur positio umbr quam ,jupiter projicit1 eo nomine habetur ,jovis longitudo ,heliocentrica4 ,ex longitudinibus autem ,heliocentrica ,geocentrica inter se collatis determinatur distantia ,jovis4 ,hypoth4 ,,viii4 ,planetas primarios radiis ad ,terram ductis areas describere temporibus minim proportionales2 at radiis ad ,solem ductis areas temporibus proportionales percurrere4 ,nam respectu terr nunc progrediuntur1 nunc stationarii sunt1 nunc etiam regrediuntur3 ,at ,solis respectu semper progrediuntur1 idque propemodum uniformi cum motu1 sed paulo celerius tamen in ,periheliis ac tardius in ,apheliis1 sic ut arearum quabilis sit descriptio4 ,propositio est ,astronomis notissima1 in ,jove apprim demonstratur per ,eclipses ,satellitum1 quibus ,eclipsibus ,heliocentricas ,planet hujus longitudines distantias ,sole determinari diximus4 ,hypoth4 ,,ix4 ,lunam radio ad centrum terr ducto aream tempori proportionalem describere4 ,patet ex ,lun motu apparente cum ipsius diametro apparente collato4 ,perturbatur autem motus ,lunaris aliquantulum vi ,solis1 sed errorum insensibiles minutias ,physicis in hisce ,hypothesibus negligo4 ,prop4 ,i4 ,theor4 ,i4 ,vires1 quibus ,planet circumjoviales perpetuo retrahuntur motibus rectilineis in orbibus suis retinentur1 respicere centrum ,jovis1 esse reciproce ut quadrata distantiarum locorum ab eodem centro4 ,patet pars prior ,propositionis per ,hypoth4 ,v4 ,prop4 ,,ii4 vel ,,iii4 ,lib4 ,i4 pars posterior per ,hypoth4 ,v4 ,corol4 #f4 ,prop4 ,,iv4 ejusdem ,libri4 ,prop4 ,,ii4 ,theor4 ,,ii4 ,vires1 quibus ,planet primarii perpetuo retrahuntur motibus rectilineis1 in ,orbibus suis retinentur1 respicere ,solem1 esse reciproce ut quadrata distantiarum ab ipsius centro4 ,patet pars prior ,propositionis per ,hypoth4 ,,viii4 ,prop4 ,,ii4 ,lib4 ,i4 pars posterior per ,hypoth4 ,,vii4 ,prop4 ,,iv4 ejusdem ,libri4 ,accuratissim autem demonstratur hc pars ,propositionis per quietem ,apheliorum4 ,nam aberratio quam minima ratione duplicata 7per ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlv4 ,lib4 ,i47 motum ,apsidum in singulis revolutionibus notabilem1 in pluribus enormem efficere deberet4 ,prop4 ,,iii4 ,theor4 ,,iii4 ,vim qua ,luna retinetur in ,orbe suo respicere terram1 esse reciproc ut quadratum distanti locorum ab ipsius centro4 ,patet assertionis pars prior1 per ,hypoth4 ,,ix4 ,prop4 ,,ii4 vel ,,iii4 ,lib4 ,i4 pars posterior per motum tardissimum ,lunaris ,apogi4 ,nam motus ille1 qui singulis revolutionibus est graduum tantum trium in consequentia1 contemni potest4 ,patet enim1 per ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlv4 ,lib4 ,i4 quod si distantia ,lun centro ,terr dicatur ,d1 vis qua motus talis oriatur1 sit reciproce ut ,d#b-d_/bdc1 id est reciproc ut ea ipsius ,d dignitas1 cujus index est #b-d_/bdc1 hoc est in ratione distanti paulo majore quam duplicata inverse1 sed qu vicibus #fj propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit4 ,tantillus autem accessus merit contemnendus est4 ,oritur ver ab actione ,solis 7uti posthac dicetur7 propterea hic negligendus est4 ,restat igitur ut vis illa1 qu ad ,terram spectat1 sit reciproc ut ,d#b2 id quod etiam plenius constabit1 conferendo hanc vim cum vi gravitatis1 ut fit in ,propositione sequente4 ,prop4 ,,iv4 ,theor4 ,,iv4 ,lunam gravitare in terram1 vi gravitatis retrahi semper motu rectilineo1 in orbe suo retineri4 ,lun distantia mediocris centro ,terr est semidiametrorum terrestrium1 secundum plerosque ,astronomorum #ei1 secundum ,vendelinum #fj1 secundum ,copernicum #fj-a_/c1 secundum ,kircherum #fb1 secundum ,tychonem #ef4 ,ast ,tycho1 quotquot ejus ,tabulas refractionum sequuntur1 constituendo refractiones ,solis ,lun 7omnino contra naturam ,lucis7 majores quam fixarum1 idque scrupulis quasi quatuor vel quinque1 auxerunt ,parallaxin ,lun scrupulis totidem1 hoc est quasi duodecima vel decima quinta parte totius parallaxeos4 ,corrigatur iste error1 distantia evadet quasi #fa semidiametrorum terrestrium1 fere ut ab aliis assignatum est4 ,assumamus distantiam mediocrem sexaginta semidiametrorum2 ,lunarem periodum respectu fixarum compleri diebus #bg1 horis #g1 minutis primis #dc1 ut ab ,astronomis statuitur2 atque ambitum ,terr esse pedum ,parisiensium #abcbdifjj1 uti ,gallis mensurantibus nuper definitum est3 si ,luna motu omni privari fingatur1 ac dimitti ut1 urgente vi illa omni qua in ,orbe suo retinetur1 descendat in terram2 hc spatio minuti primi cadendo describet pedes ,parisienses #ae-a_/ab4 ,colligitur hoc ex calculo1 vel per ,propositionem xxxvi ,libri primi1 vel 7quod eodem recedit7 per ,scholium ,propositionis quart ejusdem ,libri1 confecto4 ,unde cum vis illa accedendo ad terram augeatur in duplicata distanti ratione invers1 adeoque ad superficiem ,terr major sit vicibus #fj #fj quam ad ,lunam1 corpus vi illa in regionibus nostris cadendo describere deberet spatio minuti unius primi pedes ,parisienses #fj #fj #ae-a_/ab1 spatio minuti unius secundi pedes #ae-a_/ab4 ,atqui corpora in regionibus nostris vi gravitatis cadendo describunt tempore minuti unius secundi pedes ,parisienses #ae-a_/ab1 uti ,hugenius1 factis pendulorum experimentis computo inde inito1 demonstravit3 propterea vis qua ,luna in orbe suo retinetur1 illa ipsa est quam nos gravitatem dicere solemus4 ,nam si gravitas ab ea diversa est1 corpora viribus utrisque conjunctis ,terram petendo duplo velocius descendent1 spatio minuti unius secundi cadendo describent pedes ,parisienses #cj-a_/f3 omnino contra experientiam4 ,calculus hic fundatur in ,hypothesi quod ,terra quiescit4 ,nam si ,terra ,luna circa ,solem moveantur1 interea quoque circa commune gravitatis centrum revolvantur3 distantia centrorum ,lun ac ,terr ab invicem erit #fj semidiametrorum terrestrium2 uti computationem 7per ,prop4 ,,lx4 ,lib4 ,i47 ineunti patebit4 ,prop4 ,v4 ,theor4 ,v4 ,planetas circumjoviales gravitare in ,jovem1 circumsolares in ,solem1 vi gravitatis su retrahi semper motibus rectilineis1 in orbibus curvilineis retineri4 ,nam revolutiones ,planetarum circumjovialium circa ,jovem1 ,mercurii ac ,veneris reliquorumque circumsolarium circa ,solem sunt ,phnomena ejusdem generis cum revolutione ,lun circa ,terram2 propterea per ,hypoth4 ,,ii4 causis ejusdem generis dependent3 prsertim cm demonstratum sit quod vires1 quibus revolutiones ill dependent1 respiciant centra ,jovis ac ,solis1 recedendo ,jove ,sole decrescant eadem ratione ac lege1 qua vis gravitatis decrescit in recessu ,terra4 ,corol4 #a4 ,igitur gravitas datur in ,planetas universos4 ,nam ,venerem1 ,mercurium cterosque esse corpora ejusdem generis cum ,jove nemo dubitat4 ,certe ,planeta ,hugenianus1 eodem argumento quo ,satellites ,jovis gravitant in ,jovem1 gravis est in ,saturnum4 ,et cum attractio omnis 7per motus legem tertiam7 mutua sit1 ,saturnus vicissim gravitabit in ,planetam ,hugenianum4 ,eodem argumento ,jupiter in ,satellites suos omnes1 ,terraque in ,lunam1 ,sol in ,planetas omnes primarios gravitabit4 ,corol4 #b4 ,gravitatem1 qu ,planetam unumquemque respicit1 ese reciproc ut quadratum distanti locorum ab ipsius centro4 ,prop4 ,,vi4 ,theor4 ,,vi4 ,corpora omnia in ,planetas singulos gravitare1 pondera eorum in eundem quemvis ,planetam1 paribus distantiis centro ,planet1 proportionalia esse quantitati materi in singulis4 ,descensus gravium omnium in ,terram 7dempta saltem inquali retardatione qu ex ,aeris perexigua resistentia oritur7 qualibus temporibus fieri jamdudum observarunt alii2 accuratissim quidem notare licet qualitatem temporum in ,pendulis4 ,rem tentavi in auro1 argento1 plumbo1 vitro1 arena1 sale communi1 ligno1 aqua1 tritico4 ,comparabam pixides duas ligneas rotundas quales4 ,unam implebam ligno1 idem auri pondus suspendebam 7qum potui exact7 in alterius centro oscillationis4 ,pixides ab qualibus pedum undecim filis pendentes constituebant ,pendula1 quoad pondus1 figuram aeris resistentia omnino paria3 ,et paribus oscillationibus juxta posit ibant un redibant diutissime4 ,proinde copia materi in auro 7per ,corol4 #a4 #f4 ,prop4 ,,xxiv4 ,lib4 ,,ii47 erat ad copiam materi in ligno1 ut vis motricis actio in totum aurum ad ejusdem actionem in totum lignum2 hoc est ut pondus ad pondus4 ,et sit in cteris4 ,in corporibus ejusdem ponderis differentia materi1 qu vel minor esset qum pars millesima materi totius1 his experimentis manifest deprehendi potuit4 ,jam ver naturam gravitatis in ,planetas eandem esse atque in ,terram non est dubium4 ,elevari enim fingantur corpora hc ,terrestria ad usque ,orbem ,lun1 una cum ,lun motu omni privata demitti1 ut in ,terram simul cadant2 per jam ante ostensa certum est quod temporibus qualibus describent qualia ,spatia cum ,luna1 adeoque quod sunt ad quantitatem materi in ,luna1 ut pondera sua ad ipsius pondus4 ,porr quoniam ,satellites ,jovis temporibus revolvuntur qu sunt in ratione sesquialtera distantiarum a centro ,jovis1 erunt eorum gravitates acceleratrices in ,jovem reciproc ut quadrata distantiarum centro ,jovis2 propterea in qualibus ,jove distantiis eorum gravitates acceleratrices evaderent quales4 ,proinde temporibus qualibus ab qualibus altitudinibus cadendo describerent qualia ,spatia1 perinde ut fit in gravibus1 in hac ,terra nostra4 ,et eodem argumento ,planet circumsolares ab qualibus ,sole distantiis dimissi1 descensu suo in ,solem qualibus temporibus qualia spatia describerent4 ,vires autem1 quibus corpora inqualia qualiter accelerantur1 sunt ut corpora2 hoc est pondera ut quantitates materi in ,planetis4 ,porr ,jovis ejus ,satellitum pondera in ,solem proportionalia esse quantitatibus materi eorum1 patet ex motu ,satellitum quam maxime regulari2 per ,corol4 #c4 ,prop4 ,,lxv4 ,lib4 ,i4 ,nam si horum aliqui magis traherentur in ,solem pro quantitate materi su qum cteri1 motus ,satellitum 7per ,corol4 #b4 ,prop4 ,,lxv4 ,lib4 ,i47 ex inqualitate attractionis perturbarentur4 ,si 7paribus ,sole distantiis7 ,satelles aliquis gravior esset in ,solem pro quantitate materi su1 quam ,jupiter pro quantitate materi su1 in ratione quacunque data1 puta d ad e3 distantia inter centrum ,solis centrum ,orbis ,satellitis major semper foret quam distantia inter centrum ,solis centrum ,jovis in ratione dimidiata quam proxim2 uti calculis quibusdam initis inveni4 ,et si ,satelles minus gravis esset in ,solem in ratione illa d ad e1 distantia centri ,orbis ,satellitis ,sole minor foret qum distantia centri ,jovis ,sole in ratione illa dimidiata4 ,igitur si in qualibus ,sole distantiis1 gravitas acceleratrix ,satellitis cujusvis in ,solem major esset vel minor qum gravitas acceleratrix ,jovis in ,solem1 parte tantum millesima gravitatis totius2 foret distantia centri ,orbis ,satellitis ,sole major vel minor qum distantia ,jovis ,sole parte #a_/bfjj distanti totius1 id est parte quinta distanti ,satellitis extimi centro ,jovis3 ,qu quidem ,orbis excentricitas foret valde sensibilis4 ,sed ,orbes ,satellitum sunt ,jovi concentrici1 propterea gravitates acceleratrices ,jovis ,satellitum in ,solem quantur inter se4 ,et eodem argumento pondera ,saturni ,comitis ejus in ,solem1 in qualibus ,sole distantiis1 sunt ut quantitates materi in ipsis3 ,et pondera ,lun ac ,terr in ,solem vel nulla sunt1 vel earum massis accurat proportionalia4 ,quinetiam pondera partium singularum ,planet cujusque in alium quemcunque sunt inter se ut materia in partibus singulis4 ,nam si partes aliqu plus gravitarent1 ali minus1 qum pro quantitate materi1 ,planeta totus1 pro genere partium quibus maxim abundet1 gravitaret magis vel minus qum pro quantitate materi totius4 ,sed nec refert utrum partes ill extern sint vel intern4 ,nam si verbi gratia corpora ,terrestria1 qu apud nos sunt1 in ,orbem ,lun elevari fingantur1 conferantur cum corpore ,lun3 ,si horum pondera essent ad pondera partium externarum ,lun ut quantitates materi in iisdem1 ad pondera ver partium internarum in majori vel minori ratione1 forent eadem ad pondus ,lun totius in majori vel minori ratione3 contra quam supra ostensum est4 ,corol4 #a4 ,hinc pondera corporum non pendent ab eorum formis texturis4 ,nam si cum formis variari possent1 forent majora vel minora pro varietate formarum in quali materia2 omnin contra experientiam4 ,corol4 #b4 ,igitur corpora universa qu circa ,terram sunt1 gravia sunt in ,terram2 pondera omnium1 qu qualiter centro ,terr distant1 sunt ut quantitates materi in iisdem4 ,nam si ther aut corpus aliud quodcunque vel gravitate omnino destitueretur vel pro quantitate materi su minus gravitaret1 quoniam id non differt ab aliis corporibus nisi in forma materi1 posset idem per mutationem form gradatim transmutari in corpus ejusdem conditionis cum iis qu pro quantitate materi quam maxim gravitant1 7per ,hypoth4 ,,iii47 vicissim corpora maxime gravia1 formam illius gradatim induendo1 possent gravitatem suam gradatim amittere4 ,ac proinde pondera penderent formis corporum1 possentque cum formis variari1 contra quam probatum est in ,corollario superiore4 ,corol4 #c4 ,itaque ,vacuum necessari datur4 ,nam si spatia omnia plena essent1 gravitas specifica fluidi quo regio aeris impleretur1 ob summam densitatem materi1 nil cederet gravitati specific argenti vivi1 vel auri1 vel corporis alterius cujuscunque densissimi2 propterea nec aurum neque aliud quodcunque corpus in aere descendere posset4 ,nam corpora in fluidis1 nisi specific graviora sint1 minim descendunt4 ,corol4 #d4 ,gravitatem diversi generis esse vi magnetica4 ,nam attractio magnetica non est ut materia attracta4 ,corpora aliqua magis trahuntur1 alia minus1 plurima non trahuntur4 ,estque vis magnetica longe major pro quantitate materi quam vis gravitatis3 sed in eodem corpore intendi potest remitti2 in recessu ver magnete decrescit in ratione distanti plusquam duplicata1 per ,prop4 ,,lxxxv4 ,lib4 ,i42 propterea quod vis longe fortior sit in contactu1 quam cum attrahentia vel minimum separantur ab invicem4 ,prop4 ,,vii4 ,theor4 ,,vii4 ,gravitatem in corpora universa fieri1 eamque proportionalem esse quantitati materi in singulis4 ,planetas omnes in se mutu graves esse jam ante probavimus1 ut gravitatem in unumquemque seorsim spectatum esse reciproc ut quadratum distanti locorum centro ,planet4 ,et inde consequens est1 7per ,prop4 ,,lxix4 ,lib4 ,i4 ejus ,corollaria7 gravitatem in omnes proportionalem esse materi in iisdem4 ,porr cum ,planet cujusvis ,a partes omnes graves sint in ,planetam quemvis ,b1 gravitas partis cujusque sit ad gravitatem totius1 ut materia partis ad materiam totius1 actioni omni reactio 7per motus ,legem tertiam7 qualis sit2 ,planeta ,b in partes omnes ,planet ,a vicissim gravitabit1 erit gravitas sua in partem unamquamque ad gravitatem suam in totum1 ut materia partis ad materiam totius4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #a4 ,oritur igitur componitur gravitas in ,planetam totum ex gravitate in partes singulas4 ,cujus rei exempla habemus in attractionibus ,magneticis ,electricis4 ,oritur enim attractio omnis in totum ex attractionibus in partes singulas4 ,res intelligetur in gravitate1 concipiendo ,planetas plures minores in unum ,globum coire ,planetam majorem componere4 ,nam vis totius ex viribus partium componentium oriri debebit4 ,siquis objiciat quod corpora omnia1 qu apud nos sunt1 hac lege gravitare deberent in se mutu1 cm tamen ejusmodi gravitas neutiquam sentiatur3 ,respondeo quod gravitas in hc corpora1 cum sit ad gravitatem in ,terram totam ut sunt hc corpora ad ,terram totam1 longe minor est quam qu sentiri possit4 ,corol4 #b4 ,gravitatio in singulas corporis particulas quales est reciproc ut quadratum distanti locorum particulis4 ,patet per ,corol4 #c4 ,prop4 ,,lxxiv4 ,lib4 ,i4 ,prop4 ,,viii4 ,theor4 ,,viii4 ,si ,globorum duorum in se mutu gravitantium materia undique1 in regionibus qu centris qualiter distant1 homogenea sit3 erit pondus ,globi alterutrius in alterum reciproc ut quadratum distanti inter centra4 ,postquam invenissem gravitatem in ,planetam totum oriri componi ex gravitatibus in partes2 esse in partes singulas reciproc proportionalem quadratis distantiarum partibus3 dubitabam an reciproca illa proportio duplicata obtineret accurat in vi tota ex viribus pluribus composita1 an ver quam proxim4 ,nam fieri posset ut proportio illa in majoribus distantiis satis obtineret1 at prope superficiem ,planet1 ob inquales particularum distantias situs dissimiles1 notabiliter erraret4 ,tandem ver1 per ,prop4 ,,lxxv4 ,libri primi ipsius ,corollaria1 intellexi veritatem ,propositionis de qua hic agitur4 ,corol4 #a4 ,hinc inveniri inter se comparari possunt pondera corporum in diversos ,planetas4 ,nam pondera corporum qualium circum ,planetas in circulis revolventium sunt 7per ,prop4 ,,iv4 ,lib4 ,i47 ut diametri circulorum direct quadrata temporum periodicorum invers2 pondera ad superficies ,planetarum aliasve quasvis centro distantias majora sunt vel minora 7per hanc ,propositionem7 in duplicata ratione distantiarum inversa4 ,sic ex temporibus periodicis ,veneris circa ,solem dierum #bbd-b_/c1 ,satellitis extimi circumjovialis circa ,jovem dierum #af1 ,satellitis ,hugeniani circa ,saturnum dierum #ae horarum #bb-b_/c1 ,lun circa ,terram #bg dier4 #g hor4 #dc min4 collatis cum distantia mediocri ,veneris ,sole2 cum ,elongatione maxima ,heliocentrica ,satellitis extimi circumjovialis1 qu 7in mediocri ,jovis ,sole distantia juxta observationes ,flamstedii7 est #h'4 #ac2 cum elongatione maxim ,heliocentrica ,satellitis ,saturnii #c'4 #bj2 cum distantia ,lun ,terra1 ex ,hypothesi quod ,solis parallaxis horizontalis seu semidiameter ,terr ,sole vis sit quasi #bj2 calculum ineundo inveni quod corporum qualium ,sole1 ,jove1 ,saturno ac ,terra qualiter distantium pondera in ,solem1 ,jovem1 ,saturnum ac ,terram forent ad invicem ut #a1 #a_/aajj1 #a_/bcfj #a_/bhgjj respectiv4 ,est autem ,solis semidiameter mediocris apparens quasi #af'4 #f4 ,illam ,jovis ,sole visam ,flamstedius1 ex umbr ,jovialis diametro per ,eclipses ,satellitum inventa1 determinavit esse ad elongationem ,satellitis extimi ut #a ad #bd1i adeoque cum elongatio illa sit #h'4 #ac semidiameter ,jovis ,sole visi erit #ai4 ,diameter ,saturni est ad diametrum ,annuli ejus ut #d ad #i1 diameter annuli ,sole visi 7mensurante ,flamstedio7 #ej1 adeoque semidiameter ,saturnie ,sole visi #aa4 ,malim dicere #aj vel #i1 propterea quod globus ,saturni per lucis inqualem refrangibilitatem nonnihil dilatatur4 ,hinc inito calculo prodeunt ver ,solis1 ,jovis1 ,saturni ac ,terr semidiametri ad invicem ut #ajjjj1 #ajfc1 #hhi1 #bjh4 ,unde cum pondera qualium corporum centris ,solis1 ,jovis1 ,saturni ac ,telluris qualiter distantium sint in ,solem1 ,jovem1 ,saturnum ac ,terram ut #a1 #a_/aajj1 #a_/bcfj1 #a_/bhgjj respective1 auctis vel diminutis distantiis diminuuntur vel augentur pondera in duplicata ratione2 erunt pondera eorundem qualium corporum in ,solem1 ,jovem1 ,saturnum ,terram1 in distantiis #ajjjj1 #ajfc1 #hhi #bjh ab eorum centris1 atque adeo in eorum superficiebus versantium1 ut #ajjjj1 #hjd1 #ecf #hje respectiv4 ,pondera corporum in superficie ,lun fer duplo minora esse quam pondera corporum in superficie ,terr dicemus in sequentibus4 ,corol4 #b4 ,igitur pondera corporum qualium1 in superficiebus ,terr ,planetarum1 sunt fere in ratione dimidiata diametrorum apparentium ,sole visarum4 ,de ,terr quidem diametro ,sole visa nondum constat4 ,hanc assumpsi #dj1 propterea quod observationes ,kepleri1 ,riccioli ,vendelini non multo majorem esse permittunt2 eam ,horroxii ,flamstedii observationes paulo minorem adstruere videntur4 ,et malui in excessu peccare4 ,qud si fort diameter illa gravitas in superficie ,terr mediocris sit inter diametros ,planetarum gravitatem in eorum superficiebus3 quoniam ,saturni1 ,jovis1 ,martis1 ,veneris ,mercurii ,sole visorum diametri sunt #ah1 #ci1 #h1 #bh1 #bj circiter1 erit diameter ,terr quasi #bd1 adeoque ,parallaxis ,solis quasi #ab1 ut ,horroxius ,flamstedius propemodum statuere4 ,sed diameter paulo major melius congruit cum ,regula hujus ,corollarii4 ,corol4 #c4 ,innotescit etiam quantitas materi in ,planetis singulis4 ,nam quantitates ill sunt ut ,planetarum ,vires in distantiis se qualibus2 id est in ,sole1 ,jove1 ,saturno ac ,terra ut #a1 #a_/aajj1 #a_/bcfj1 #a_/bhgjj respectiv4 ,si ,parallaxis ,solis statuatur minor quam #bj1 debebit quantitas materi in ,terra diminui in triplicata ratione4 ,corol4 #d4 ,innotescunt etiam densitates ,planetarum4 ,nam corporum qualium homogeneorum pondera in ,sphras homogeneas in superficiebus ,sphrarum1 sunt ut ,sphrarum diametri per ,prop4 ,,lxxii4 ,lib4 ,i4 ideoque ,sphrarum heterogenearum densitates sunt ut pondera applicata ad diametros4 ,erant autem ver ,solis1 ,saturni1 ,jovis ac ,terr diametri ad invicem ut #ajjjj1 #hhi1 #ajfc #bjh1 pondera in eosdem ut #ajjjj1 #ecf1 #hjd #hje1 propterea densitates sunt ut #ajj1 #fj1 #gf1 #chg4 ,densitas autem ,terr1 qu hic colligitur1 non pendet ,parallaxi ,solis1 sed determinatur per parallaxin ,lun1 propterea hic recte definitur4 ,est igitur ,sol paulo densior qum ,jupiter1 ,terra multo densior qum ,sol4 ,corol4 #e4 ,planetarum autem densitates inter se fere sunt in ratione composita ex ratione distantiarum ,sole ratione dimidiata diametrorum apparentium ,sole visarum4 ,nempe ,saturni1 ,jovis1 ,terr ,lun densitates #fj1 #gf1 #chg #gjj1 fere sunt ut distantiarum reciproca #a_/iech1 #a_/ebja1 #a_/ajjj #a_/ajjj1 ducta in radices diametrorum apparentium #ah1 #ci1 #dj1 #aa4 ,diximus utique1 in ,corollario secundo1 gravitatem ad superficies ,planetarum esse quam proxim in ratione dimidiata apparentium diametrorum ,sole visarum2 in ,lemmate quarto densitates esse ut gravitates ill applicat ad diametros veras3 ideoque densitates fere sunt ut radices diametrorum apparentium applicat ad diametros veras1 hoc est reciproce ut distanti ,planetarum ,sole duct in radices diametrorum apparentium4 ,collocavit igitur ,deus ,planetas in diversas distantiis ,sole1 ut quilibet pro gradu densitatis calore ,solis majore vel minore fruatur4 ,aqua nostra1 si ,terra locaretur in orbe ,saturne1 rigesceret1 si in orbe ,mercurii in vapores statim abiret4 ,nam lux ,solis1 cui calor proportionalis est1 septuplo densior est in orbe ,mercurii qum apud nos2 ,thermometro expertus sum quod septuplo ,solis stivi calore aqua ebullit4 ,dubium ver non est quin materia ,mercurii ad calorem accommodetur1 propterea densior sit hac nostra2 cum materia omnis densior ad operationes ,naturales obeundas majorem calorem requirat4 ,prop4 ,,ix4 ,theor4 ,,ix4 ,gravitatem pergendo superficiebus ,planetarum deorsum decrescere in ratione distantiarum centro quam proxim4 ,si materia ,planet quoad densitatem uniformis esset1 obtineret hc ,propositio accurat3 per ,prop4 ,,lxxiii4 ,lib4 ,i4 ,error igitur tantus est1 quantus ab inquabili densitate oriri possit4 ,prop4 ,x4 ,theor4 ,x4 ,motus ,planetarum in ,coelis diutissim conservari posse4 ,in ,scholio ,propositionis ,,xl4 ,lib4 ,,ii4 ostensum est quod globus ,aqu congelat in ,aere nostro1 liber movendo longitudinem semidiametri su describendo1 ex resistentia ,aeris amitteret motus sui partem #a_/cbjj4 ,obtinet autem eadem proportio quam proxim 7per ,prop4 ,,xl4 ,lib4 ,,ii47 in globis utcunque magnis velocibus4 ,jam ver ,globum ,terr nostr densiorem esse quam si totus ex ,aqua constaret1 sic colligo4 ,si ,globus hicce totus esset aqueus1 qucunque rariora essent qum aqua1 ob minorem specificam gravitatem emergerent supernatarent4 ,eaque de causa ,globus terreus aquis undique coopertus1 si rarior esset quam aqua1 emergeret alicubi1 aqua omnis inde defluens congregaretur in regione opposita4 ,et par est ratio ,terr nostr maribus magna ex parte circumdat4 ,hc si densior non esset1 emergeret ex maribus1 parte sui pro gradu levitatis extaret ex ,aqua1 maribus omnibus in regionem oppositam confluentibus4 ,eodem argumento macul ,solares leviores sunt qum materia lucida ,solaris cui supernatant4 ,et in formatione qualicunque ,planetarum1 materia omnis gravior1 quo tempore massa tota fluida erat1 centrum petebat4 ,unde cum ,terra communis suprema quasi duplo gravior sit quam aqua1 paulo inferius in fodinis quasi triplo vel quadruplo aut etiam quintuplo gravior reperiatur3 verisimile est quod copia materi totius in ,terra quasi quintuplo vel sextuplo major sit qum si tota ex aqua constaret2 prsertim cum ,terram quasi quintuplo densiorem esse qum ,jovem jam ante ostensum sit4 ,igitur si ,jupiter paulo densior sit qum aqua1 hic spatio dierum viginti unius1 quibus longitudinem #cbj semidiametrorum suarum describit1 amitteret in ,medio ejusdem densitatis cum ,aere nostro motus sui partem fere decimam4 ,verum cum resistentia ,mediorum minuatur in ratione ponderis ac densitatis1 sic ut aqua1 qu vicibus #ac-b_/c levior est qum argentum vivum1 minus resistat in eadem ratione2 aer1 qui vicibus #hjj levior est qum aqua1 minus resistat in eadem ratione3 si ascendatur in coelos ubi pondus ,medii1 in quo ,planet moventur1 diminuitur in immensum1 resistentia prope cessabit4 ,prop4 ,,xi4 ,theor4 ,,xi4 ,commune centrum gravitas ,terr ,solis ,planetarum omnium quiescere4 ,nam centrum illud 7per ,legum ,corol4 #d47 vel quiescet vel progredietur uniformiter in directum4 ,sed centro illo semper progrediente1 centrum ,mundi quoque movebitur contra ,hypothesin quartam4 ,prop4 ,,xii4 ,theor4 ,,xii4 ,solem motu perpetuo agitari sed nunquam longe recedere communi gravitatis centro ,planetarum omnium4 ,nam cum1 per ,corol4 #c4 ,prop4 ,,viii4 materia in ,sole sit ad materiam in ,jove ut #aajj ad #a1 distantia ,jovis ,sole sit ad semidiametrum ,solis in eadem ratione circiter2 commune centrum gravitatis ,jovis ,solis incidet fere in superficiem ,solis4 ,eodem argumento cm materia in ,sole sit ad materiam in ,saturno ut #bcfj ad #a1 distantia ,saturni ,sole sit ad semidiametrum ,solis in ratione paulo minori3 incidet commune centrum gravitatis ,saturni ,solis in punctum paulo infra superficiem ,solis4 ,et ejusdem calculi vestigiis insistendo si ,terra ,planet omnes ex una ,solis parte consisterent1 commune omnium centrum gravitatis vix integra ,solis diametro centro ,solis distaret4 ,aliis in casibus distantia centrorum semper minor est4 ,et propterea cum centrum illud gravitatis perpetuo quiescit1 ,sol pro vario ,planetarum situ in omnes partes movebitur1 sed centro illo nunquam longe recedet4 ,corol4 ,hinc commune gravitatis centrum ,terr1 ,solis ,planetarum omnium pro centro ,mundi habendum est4 ,nam cm ,terra1 ,sol ,planet omnes gravitent in se mutu1 propterea1 pro vi gravitatis su1 secundum leges mots perpetu agitentur3 perspicuum est quod horum centra mobilia pro ,mundi centro quiescente haberi nequeunt4 ,si corpus illud in centro locandum esset in quod corpora omnia maxim gravitant 7uti vulgi est opinio7 privilegium istud concedendum esset ,soli4 ,cum autem ,sol moveatur1 eligendum erit punctum quiescens1 quo centrum ,solis quam minim discedit1 quo idem adhuc minus discederet1 si mod ,sol densior esset major1 ut minus moveretur4 ,prop4 ,,xiii4 ,theor4 ,,xiii4 ,planet moventur in ,ellipsibus umbilicum habentibus in centro ,solis1 radiis ad centrum illud ductis areas describunt temporibus proportionales4 ,disputavimus supra de his motibus ex ,phnomenis4 ,jam cognitis motuum principiis1 ex his colligimus motus coelestes priori4 ,quoniam pondera ,planetarum in ,solem sunt reciproc ut quadrata distantiarum centro ,solis2 si ,sol quiesceret ,planet reliqui non agerent in se mutu1 forent orbes eorum ,elliptici1 ,solem in umbilico communi habentes1 are describerentur temporibus proportionales 7per ,prop4 ,i4 ,,xi1 ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xiii4 ,lib4 ,i47 ,actiones autem ,planetarum in se muto perexigu sunt 7ut possint contemni7 motus ,planetarum in ,ellipsibus circa ,solem mobilem minus perturbant 7per ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i47 qum si motus isti circa ,solem quiescentem peragerentur4 ,actio quidem ,jovis in ,saturnum non est omnino contemnenda4 ,nam gravitas in ,jovem est ad gravitatem in ,solem 7paribus distantiis7 ut #a ad #aajj2 adeoque in conjunctione ,jovis ,saturni1 quoniam distantia ,saturni ,jove est ad distantiam ,saturni ,sole fere ut #d ad #i1 erit gravitas ,saturni in ,jovem ad gravitatem ,saturni in ,solem ut #ha ad #af #aajj seu #a ad #bag circiter4 ,error tamen omnis in motu ,saturni circa ,solem1 tanta in ,jovem gravitate oriundus1 evitari fere potest constituendo umbilicum ,orbis ,saturni in communi centro gravitatis ,jovis ,solis 7per ,prop4 ,,lxvii4 ,lib4 ,i47 propterea ubi maximus est vix superat minutos duos primos4 ,in conjunctione autem ,jovis ,saturni gravitates acceleratrices ,solis in ,saturnum1 ,jovis in ,saturnum ,jovis in ,solem sunt fere ut #af1 #ha #af #ha #bcfj #be seu #abbcdb1 adeoque differentia gravitatum ,solis in ,saturnum ,jovis in ,saturnum est ad gravitatem ,jovis in ,solem ut #fe ad #abbcdb seu #a ad #ahfg4 ,huic autem differenti proportionalis est maxima ,saturni efficacia ad perturbandum motum ,jovis1 propterea perturbatio orbis ,jovialis longe minor est qum ea ,saturnii4 ,reliquorum orbium perturbationes sunt adhuc longe minores4 ,prop4 ,,xiv4 ,theor4 ,,xiv4 ,orbium ,aphelia ,nodi quiescunt4 ,aphelia quiescunt1 per ,prop4 ,,xi4 ,lib4 ,i4 ut orbium plana1 per ejusdem ,libri ,prop4 ,i4 quiescentibus planis quiescunt ,nodi4 ,attamen ,planetarum revolventium ,cometarum actionibus in se invicem orientur inqualitates aliqu1 sed qu ob parvitatem contemni possunt4 ,corol4 #a4 ,quiescunt etiam ,stell fix1 propterea quod datas ad ,aphelia ,nodosque positiones servant4 ,corol4 #b4 ,ideoque cum nulla sit earum parallaxis sensibilis ex ,terr motu annuo oriunda1 vires earum ob immensam corporum distantiam nullos edent sensibiles effectus in regione ,systematis nostri4 ,prop4 ,,xv4 ,theor4 ,,xv4 ,invenire ,orbium transversas diametros4 ,capiend sunt h in ratione sesquialtera temporum periodicorum per ,prop4 ,,xv4 ,lib4 ,i4 deinde sigillatim augend in ratione summ massarum ,solis ,planet cujusque revolventis ad primam duarum medi proportionalium inter summam illam ,solem1 per ,prop4 ,,lx4 ,lib4 ,i4 ,prop4 ,,xvi4 ,prob4 ,i4 ,invenire ,orbium ,excentricitates ,aphelia4 ,problema confit per ,prop4 ,,xviii4 ,lib4 ,i4 ,prop4 ,,xvii4 ,theor4 ,,xvi4 ,planetarum motus diurnos uniformes esse1 librationem ,lun ex ipsius motu diurno oriri4 ,patet per motus ,legem ,i1 ,corol4 #bb4 ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i4 ,quoniam ver ,lun1 circa axem suum uniformiter revolventis1 dies menstruus est2 hujus facies eadem ulteriorem umbilicum orbis ipsius semper respiciet1 propterea pro situ umbilici illius deviabit hinc inde ,terra4 ,hc est libratio in longitudinem4 ,nam libratio in latitudinem orta est ex inclinatione axis ,lunaris ad planum orbis4 ,porr hc ita se habere1 ex ,phnomenis manifestum est4 ,prop4 ,,xviii4 ,theor4 ,,xvii4 ,axes ,planetarum dimetris qu ad eosdem axes normaliter ducuntur minores esse4 ,planet sublato omni motu circulari diurno figuram ,sphricam1 ob qualem undique partium gravitatem1 affectare deberent4 ,per motum illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta quatorem ascendere conentur4 ,ideoque materia si fluida sit ascensu suo ad quatorem diametros adaugebit1 axem ver descensu suo ad polos diminuet4 ,sic ,jovis diameter 7consentientibus observationibus ,cassini ,flamstedii7 brevior deprehenditur inter polos qum ab oriente in occidentem4 ,eodem argumento1 nisi ,terra nostra paul altior esset sub quatore qum ad polos1 ,maria ad polos subsiderent1 juxta quatorem ascendendo1 ibi omnia inundarent4 ,prop4 ,,xix4 ,prob4 ,,ii4 ,invenire proportionem axis ,planet ad diametros eidem perpendiculares4 ,illustration ,ad hujus ,problematis solutionem requiritur computatio multiplex1 qu facilius exemplis qum prceptis addiscitur4 ,inito igitur calculo invenio1 per ,prop4 ,,iv4 ,lib4 ,i4 quod vis centrifuga partium ,terr sub quatore1 ex motu diurno oriunda1 sit ad vim gravitatis ut #a ad #bij-d_/e4 ,unde si ,,apbq figuram ,terr designet revolutione ,ellipseos circa axem minorem ,,pq genitam2 sitque ,a,c,qqca canalis aqu plena1 polo ,qq ad centrum ,cc1 inde ad quatorem ,aa pergens3 debebit pondus aqu in canalis crure ,a,cca esse ad pondus aqu in crure altero ,q,ccq ut #bia ad #bij1 e qud vis centrifuga ex circulari motu orta partem unam ponderis partibus #bia sustinebit detrahet1 pondus #bij in altero crure sustinebit partes reliquas4 ,porr 7ex ,propositionis ,,xci4 ,corollario secundo1 ,lib4 ,i47 computationem ineundo1 invenio quod si ,terra constaret ex uniformi materia1 motuque omni privaretur1 esset ejus axis ,,pq ad diametrum ,,ab ut #ajj ad #aja3 gravitas in loco ,q in ,terram1 foret ad gravitatem in eodem loco ,q sphram centro ,c radio ,,pc vel ,,qc descriptam1 ut #abf-b_/ae ad #abe-b_/ae4 ,et eodem argumento gravitas in loco ,a in ,sphroidem1 convolutione ,ellipseos ,,apbq circa axem ,,ab descriptam1 est ad gravitatem in eodem loco ,a in ,sphram centro ,c radio ,,ac descriptam1 ut #abe-b_/ae ad #abf-b_/ae4 ,est autem gravitas in loco ,a in ,terram1 media proportionalis inter gravitates in dictam ,sphroidem ,sphram1 propterea quod ,sphra1 diminuendo diametrum ,,pq in ratione #aja ad #ajj1 vertitur in figuram ,terr2 hc figura diminuendo in eadem ratione diametrum tertiam1 qu diametris duabus ,,ap1 ,,pq perpendicularis est1 vertitur in dictam ,sphroidem1 gravitas in ,a1 in casu utroque1 diminuitur in eadem ratione quam proxim4 ,est igitur gravitas in ,a in ,sphram centro ,c radio ,,ac descriptam1 ad gravitatem in ,a in ,terram ut #abf ad #abe1 gravitas in loco ,q in ,sphram centro ,c radio ,,qc descriptam1 est ad gravitatem in loco ,a in ,sphram centro ,c radio ,,ac descriptam1 in ratione diametrorum 7per ,prop4 ,,lxxii4 ,lib4 ,i47 id est ut #ajj ad #aja3 ,conjungantur jam h tres rationes1 #abf-b_/ae ad #abe-b_/ae1 #abe ad #abf #ajj ad #aja fiet gravitas in loco ,q in ,terram ad gravitatem in loco ,a in ,terram1 ut #abf #abf #ajj ad #abe #abe #aja1 seu ut #eja ad #ejj4 ,jam cum per ,corol4 #c4 ,prop4 ,,xci4 ,lib4 ,i4 gravitas in canalis crure utrovis ,a,cca vel ,q,ccq sit ut distantia locorum centro ,terr2 si crura illa superficiebus transversis quidistantibus distinguantur in partes totis proportionales1 erunt pondera partium singularum in crure ,a,cca ad pondera partium totidem in crure altero1 ut magnitudines gravitates acceleratrices conjunctim2 id est ut #aja ad #ajj #ejj ad #eja1 hoc est ut #eje ad #eja4 ,ac proinde si vis centrifuga partis cujusque in crure ,a,cca ex motu diurno oriunda1 fuisset ad pondus partis ejusdem ut #d ad #eje1 e ut de pondere partis cujusque1 in partes #eje diviso1 partes quatuor detraheret2 manerent pondera in utroque crure qualia1 propterea fluidum consisteret in quilibrio4 ,verum vis centrifuga partis cujusque est ad pondus ejusdem ut #a ad #bij4 ,hoc est1 vis centripeta qu deberet esse ponderis pars #d_/eje est tantum pars #a_/bij1 propterea dico1 secundum ,regulam auream1 quod si vis centrifuga #d_/eje faciat ut altitudo aqu in crure ,a,cca superet altitudin aqu in crure ,q,ccq parte centesima totius altitudinis3 vis centrifuga #a_/bij faciet ut excessus altitudinis in crure ,a,cca sit altitudinis in crure altero ,q,ccq pars tantum #c_/fhi4 ,est igitur diameter ,terr secundum quatorem ad ipsius diametrum per polos ut #fib ad #fhi4 ,ideoque cm ,terr semidiameter mediocris1 juxta nuperam ,gallorum mensuram1 sit pedum ,parisiensium #aifaehjj seu milliarium #cibc 7posito quod milliare sit mensura pedum #ejjj27 ,terra altior erit ad quatorem qum ad polos1 excessu pedum #hebjj seu milliarium #ag4 ,si ,planeta vel major sit vel densior1 minorve aut rarior qum ,terra1 manente tempore periodico revolutionis diurn1 manebit proportio vis centrifug ad gravitatem1 propterea manebit etiam proportio diametri inter polos ad diametrum secundum quatorem4 ,at si motus diurnus in ratione quacunque acceleretur vel retardetur1 augebitur vel minuetur vis centrifuga in duplicata illa ratione1 propterea differentia diametrorum augebitur in eadem duplicata ratione4 ,unde cum ,terra respectu fixarum revolvatur horis #bc1 #ef' ,jupiter autem horis #i1 #ef'1 sintque temporum quadrata ut #bi ad #e1 differentia diametrorum ,jovis erit ad ipsius diametrum minorem ut #bi #c #e #fhi ad #a1 seu #a ad #ci-c_/e4 ,est igitur diameter ,jovis ab oriente in occidentem ducta1 ad ipsius diametrum inter polos ut #dj-c_/e ad #ci-c_/e quam proxim4 ,hc ita se habent ex ,hypothesi quod uniformis sit ,planetarum materia4 ,nam si materia densior sit ad centrum qum ad circumferentiam1 diameter1 qu ab oriente in occidentem ducitur1 erit adhuc major4 ,prop4 ,,xx4 ,prob4 ,,iii4 ,invenire inter se comparare pondera corporum in regionibus diversis4 ,quoniam pondera inqualium crurum canalis aque ,a,c,qqca qualia sunt2 pondera partium1 cruribus totis proportionalium similiter in totis sitarum1 sunt ad invicem ut pondera totorum1 adeoque etiam quantur inter se2 erunt pondera qualium in cruribus similiter sitarum partium reciproc ut crura1 id est reciproc ut #fib ad #fhi4 ,et par est ratio homogeneorum qualium quorumvis in canalis cruribus similiter sitorum corporum4 ,horum pondera sunt reciproc ut crura1 id est reciproc ut distanti corporum centro ,terr4 ,proinde si corpora in supremis canalium partibus1 sive in superficie ,terr consistant2 erunt pondera eorum ad invicem reciproc ut distanti eorum centro4 ,et eodem argumento pondera1 in aliis quibuscunque per totam ,terr superficiem regionibus1 sunt reciproc ut distanti locorum centro2 propterea1 ex ,hypothesi quod ,terra ,sphrois sit1 dantur proportione4 ,unde tale confit ,theorema1 quod incrementum ponderis1 pergendo ab quatore ad ,polos1 sit quam proxim ut ,sinus versus latitudinis duplicat1 vel quod perinde est ut quadratum ,sinus recti ,latitudinis4 ,exempli gratia1 ,latitudo ,luteti ,parisiorum est #dh gr4 #de'3 ,ea ,insul ,goree prope ,cape ,verde #ad gr4 #ae'3 ea ,cayenn ad littus ,guian quasi #e gr4 ea locorum sub ,polo #ij gr4 ,duplorum #ig gr4 #bh gr4 #aj gr4 #ahj gr4 ,sinus versi sunt #aacje1 #abaa1 #aeb1 #bjjjj4 ,proinde cum gravitas in ,polo sit ad gravitatem sub quatore ut #fib ad #fhi1 excessus ille gravitatis sub ,polo ad gravitatem sub quatore ut #c ad #fhi2 erit excessus gravitatis ,luteti1 in ,insula ,goree ,cayenn1 ad gravitatem sub quatore ut #c #aacje #bjjjj1 #c #abaa #bjjjj #c #aeb #bjjjj ad #fhi1 seu #cciae1 #cfcc1 #def ad #acghjjjj1 propterea gravitates tot in his locis erunt ad invicem ut #achaciae1 #acghcfcc1 #acghjdef1 #acghjjjj4 ,quare cum longitudines ,pendulorum qualibus temporibus oscillantium sint ut gravitates1 ,luteti ,parisiorum longitudo penduli singulis minutis secundis oscillantis sit pedum trium ,parisiensium #ag_/bd partium digiti2 longitudines ,pendulorum in ,insul ,goree1 in ill ,cayenn sub quatore1 minutis singulis secundis oscillantium superabuntur longitudine ,penduli ,parisiensis excessibus #ha_/ajjj1 #hi_/ajjj #ij_/ajjj partium digiti4 ,hc omnia ita se habebunt1 ex ,hypothesi quod ,terra ex uniformi materia constat4 ,nam si materia ad centrum paul densior sit qum ad superficiem1 excessus illi erunt paul majores2 propterea quod1 si materia ad centrum redundans1 qua densitas ibi major redditur1 subducatur seorsim spectetur1 gravitas in ,terram reliquam uniformiter densam erit reciproc ut distantia ponderis centro2 in materiam ver redundantem reciproc ut quadratum distanti materia illa quam proxim4 ,gravitas igitur sub quatore minor erit in materiam illam redundantem qum pro computo superiore1 propterea ,terra ibi propter defectum gravitatis paul altius ascendet qum in prcedentibus definitum est4 ,jam ver ,galli factis experimentis invenerunt quod ,pendulorum minutis singulis secundis oscillantium longitudo ,parisiis major sit qum in ,insula ,goree1 parte decima digiti1 major qum ,cayenn parte octava4 ,paul majores sunt h differenti quam differenti #ha_/ajjj #hi_/ajjj qu per computationem superiorem prodiere3 propterea 7si crassis hisce ,observationibus sats confidendum sit7 ,terra aliquanto altior erit sub quatore qum pro superiore calculo1 densior ad centrum qum in fodinis prope superficiem4 ,si excessus gravitatis in locis hisce ,borealibus supra gravitatem ad quatorem1 experimentis majori cum diligentia institutis1 accurat tandem determinetur1 deinde excessus ejus ubique sumatur in ratione ,sinus versi latitudinis duplicat2 determinabitur tum ,mensura ,universalis1 tum quatio temporis per qualia pendula in locis diversis indicati1 tum etiam proportio diametrorum ,terr ac densitas ejus ad centrum2 ex ,hypothesi quod densitas illa1 pergendo ad circumferentiam1 uniformiter decrescat4 ,qu quidem ,hypothesis1 licet accurata non sit1 ad ineundum tamen calculum assumi potest4 ,prop4 ,,xxi4 ,theor4 ,,xviii4 ,puncta quinoctialia regredi1 axem ,terr singulis revolutionibus nutando bis inclinari in ,eclipticam bis redire ad positionem priorem4 ,patet per ,corol4 #bj4 ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i4 ,motus tamen iste nutandi perexiguus esse debet1 vix aut ne vix quidem sensibilis4 ,prop4 ,,xxii4 ,theor4 ,,xix4 ,motus omnes ,lunares1 omnesque motuum inqualitates ex allatis ,principiis consequi4 ,planetas majores1 interea dum circa ,solem feruntur1 posse alios minores circum se revolventes ,planetas deferre1 minores illos in ,ellipsibus1 umbilicos in centris majorum habentibus1 revolvi debere patet per ,prop4 ,,lxv4 ,lib4 ,i4 ,actione autem ,solis perturbabuntur eorum motus multimode1 iisque adficientur inqualitatibus qu in ,luna nostra notantur4 ,hc utique 7per ,corol4 #b1 #c1 #d1 #e ,prop4 ,,lxvi47 velocius movetur1 ac radio ad ,terram ducto describit aream pro tempore majorem1 orbemque habet minus curvam1 atque ade propius accedit ad ,terram1 in ,syzygiis qum in ,quadraturis1 nisi quatenus impedit motus ,excentricitatis4 ,excentricitas enim maxima est 7per ,corol4 #i4 ,prop4 ,,lxvi47 ubi ,apogum ,lun in ,syzygiis versatur1 minima ubi idem in ,quadraturis consistit2 inde ,luna in ,perigo velocior est nobis propior1 in ,apogo autem tardior remotior in ,syzygiis qum in ,quadraturis4 ,progreditur insuper ,apogum1 regrediuntur ,nodi1 sed motu inquabili4 ,et ,apogum quidem 7per ,corol4 #g #h ,prop4 ,,lxvi47 velocius progreditur in ,syzygiis suis1 tardius regreditur in ,quadraturis1 excessu progressus supra regressum annuatim fertur in consequentia4 ,nodi autem 7per ,corol4 #aa4 ,prop4 ,,lxvi47 quiescunt in ,syzygiis suis1 velocissim regrediuntur in ,quadraturis4 ,sed major est ,lun latitudo maxima in ipsius ,quadraturis 7per ,corol4 #aj4 ,prop4 ,,lxvi47 qum in ,syzygiis3 motus medius velocior in ,perihelio ,terr 7per ,corol4 #f4 ,prop4 ,,lxvi47 qum in ipsius ,aphelio4 ,atque h sunt inqualitates insigniores ab ,astronomis notat4 ,sunt etiam ali qudam nondum observat inqualitates1 quibus motus ,lunares ade perturbantur1 ut nulla hactenus lege ad ,regulam aliquam certam reduci potuerint4 ,velocitates enim seu motus horarii ,apogi ,nodorum ,lun1 eorundem quationes1 ut differentia inter excentricitatem maximam in ,syzygiis minimam in ,quadraturis1 inqualitas qu ,variatio dicitur1 augentur ac diminuuntur annuatim 7per ,corol4 #ad4 ,prop4 ,,lxvi47 in triplicata ratione diametri apparentis ,solaris4 ,et ,variatio prterea augetur vel diminuitur in duplicata ratione temporis inter quadraturas quam proxim 7per ,corol4 #a #b4 ,lem4 ,x4 ,corol4 #af4 ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i47 ,sed hc inqualitas in calculo ,astronomico1 ad ,prostaphresin ,lun referri solet1 cum ea confundi4 ,prop4 ,,xxiii4 ,prob4 ,,iv4 ,motus inquales ,satellitum ,jovis ,saturni motibus ,lunaribus derivare4 ,ex motibus ,lun nostr motus analogi ,lunarum seu ,satellitum ,jovis sic derivantur4 ,motus medius ,nodorum ,satellitis extimi ,jovialis est ad motum medium ,nodorum ,lun nostr1 in ratione composita ex ratione duplicata temporis periodici ,terr circa ,solem ad tempus periodicum ,jovis circa ,solem1 ratione simplici temporis periodici ,satellitis circa ,jovem ad tempus periodicum ,jovis circa ,solem1 ratione simplici temporis periodici ,satellitis circa ,jovem ad tempus periodicum ,lun circa ,terram3 7per ,corol4 #af4 ,prop4 ,,lxvi47 adeoque annis centum conficit ,nodus iste #i gr4 #cd'4 in antecedentia4 ,motus medii ,nodorum ,satellitum interiorum sunt ad motum hujus1 ut illorum tempora periodica ad tempus periodicum hujus1 per idem ,corollarium1 inde dantur4 ,motus autem ,augis ,satellitis cujusque in consequentia est ad motum ,nodorum ipsius in antecedentia ut motus ,apogi ,lun nostr ad hujus motum ,nodorum 7per idem ,corol47 inde datur4 ,diminui tamen debet motus ,augis sic inventus in ratione #e ad #i vel #a ad #b circiter1 ob causam quam hic exponere non vacat4 quationes maxim ,nodorum ,augis ,satellitis cujusque fere sunt ad quationes maximas ,nodorum ,augis ,lun respectiv1 ut motus ,nodorum ,augis ,satellitum1 tempore unius revolutionis quationum priorum1 ad motus ,nodorum ,apogi ,lun tempore unius revolutionis quationum posteriorum4 ,variatio ,satellitis ,jove spectati1 est ad ,variationem ,lun ut sunt toti motus ,nodorum temporibus periodicis ,satellitis ,lun ad invicem1 per idem ,corollarium1 adeoque in ,satellite extimo non superat #f4 #bb'4 ,parvitate harum inqualitatum tarditate motuum fit ut motus ,satellitum summ regulares reperiantur1 utque ,astronomi recentiores aut motum omnem ,nodis denegent1 aut asserant tardissim retrogradum4 ,nam ,flamstedius collatis suis cum ,cassini ,observationibus ,nodos tarde regredi deprehendit4 ,prop4 ,,xxiv4 ,theor4 ,,xx4 ,fluxum refluxum ,maris ab actionibus ,solis ac ,lun oriri debere4 ,mare singulis diebus tam ,lunaribus qum ,solaribus bis intumescere debere ac bis defluere patet per ,corol4 #ai4 ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i4 ut aqu maximam altitudinem1 in maribus profundis liberis1 appulsum ,luminarium ad ,meridianum loci minori qum sex horarum spatio sequi1 uti fit in ,maris ,atlantici thiopici tractu toto orientali inter ,galliam ,promontorium ,bon ,spei1 ut in ,maris ,pacifici littore ,chilensi ,peruviano3 in quibus omnibus littoribus stus in horam circiter tertiam incidit1 nisi ubi motus per loca vadosa propagatus aliquantulum retardatur4 ,horas numero ab appulsu ,luminaris utriusque ad ,meridianum loci1 tam infra ,horizontem qum supra1 per horas diei ,lunaris intelligo vigesimas quartas partes temporis quo ,luna motu apparente diurno ad ,meridianum loci revolvitur4 ,motus autem bini1 quos ,luminaria duo excitant1 non cernentur distinct1 sed motum quendam mixtum efficient4 ,in ,luminarium ,conjunctione vel ,oppositione conjugentur eorum effectus1 componetur fluxus refluxus maximus4 ,in ,quadraturis ,sol attollet aquam ubi ,luna deprimit1 deprimetque ubi ,sol attollit2 ex effectuum differentia stus omnium minimus orietur4 ,et quoniam1 experientia teste1 major est effectus ,lun qum ,solis1 incidet aqu maxima altitudo in horam tertiam ,lunarem4 ,extra ,syzygias ,quadraturas1 stus maximus qui sola vi ,lunari incidere semper deberet in horam tertiam ,lunarem1 sola ,solari in tertiam ,solarem1 compositis viribus incidet in tempus aliquod intermedium quod terti ,lunari propinquius est2 adeoque in transitu ,lun ,syzygiis ad ,quadraturas1 ubi hora tertia ,solaris prcedit tertiam ,lunarem1 maxima aqu altitudo prcedet etiam tertiam ,lunarem1 idque maximo intervallo paulo post ,octantes ,lun2 paribus intervallis stus maximus sequetur horam tertiam ,lunarem in transitu ,lun ,quadraturis ad ,syzygias4 ,hc ita sunt in mari aperto4 ,nam in ostiis ,fluviorum fluxus majores cteris paribus tardius ad ,greek3 akmn venient4 ,pendent autem effectus ,luminarium ex eorum distantiis ,terra4 ,in minoribus enim distantiis majores sunt eorum effectus1 in majoribus minores1 idque in triplicata ratione diametrorum apparentium4 ,igitur ,sol tempore hyberno1 in ,perigo existens1 majores edit effectus1 efficitque ut stus in ,syzygiis paulo majores sint1 in ,quadraturis paulo minores 7cteris paribus7 qum tempore stivo2 ,luna in ,perigo singulis mensibus majores ciet stus qum ante vel post dies quindecim1 ubi in ,apogo versatur4 ,unde fit ut stus duo omnino maximi in ,syzygiis continuis se mutuo non sequantur4 ,pendet etiam effectus utriusque ,luminaris ex ipsius ,declinatione seu distantia ab quatore4 ,nam si ,luminare in polo constitueretur1 traheret illud singulas aqu partes constanter1 absque actionis intensione remissione1 adeoque nullam motus reciprocationem cieret4 ,igitur ,luminaria recedendo ab quatore polum versus effectus suos gradatim amittent1 propterea minores ciebunt stus in ,syzygiis ,solstitialibus qum in quinoctialibus4 ,in ,quadraturis autem ,solstitialibus majores ciebunt stus qum in ,quadraturis quinoctialibus2 e quod ,lun jam in quatore constitut effectus maxime superat effectum ,solis4 ,incidunt igitur stus maximi in ,syzygias minimi in ,quadraturas ,luminarium1 circa tempora quinoctii utriusque4 ,et stum maximum in ,syzygiis comitatur semper minimus in ,quadraturis1 ut experienti compertum est4 ,per minorem autem distantiam ,solis ,terra1 tempore hyberno qum tempore stivo1 fit ut stus maximi minimi spius prcedant quinoctium vernum qum sequantur1 spius sequantur autumnale qum prcedant4 ,illustration ,pendent etiam effectus ,luminarium ex locorum latitudine4 ,designet ,ap,e,p ,tellurem aquis profundis undique coopertam2 ,c centrum ejus2 ,pp1 polos2 ,,ae quatorem2 ,f locum quemvis extra quatorem2 ,ff parallelum loci2 ,dd parallelum ei respondentem ex altera parte quatoris2 ,l locum quem ,luna tribus ante horis occupabat2 ,h locum ,telluris ei perpendiculariter subjectum2 h locum huic oppositum2 ,k1 k loca inde gradibus #ij distantia1 ,,ch1 ,ch ,maris altitudines maximas mensuratas centro ,telluris2 ,,ck1 ,ck altitudines minimas2 si axibus ,hh1 ,kk describatur ,ellipsis1 deinde ,ellipseos hujus revolutione circa axem majorem ,hh describatur ,sphrois ,h,p,khpk2 designabit hc figuram ,maris quam proxim1 erunt ,,cf1 ,cf1 ,,cd1 ,cd altitudines ,maris in locis ,f1 f1 ,d1 d4 ,quinetiam si in prfata ,ellipseos revolutione punctum quodvis ,n describat circulum ,,nm1 secantem parallelos ,ff1 ,dd in locis quibusvis ,r1 ,t1 quatorem ,,ae in ,s2 erit ,,cn altitudo ,maris in locis omnibus ,r1 ,s1 ,t1 sitis in hoc circulo4 ,hinc in revolutione diurna loci cujusvis ,f1 affluxus erit maximus in ,f1 hora tertia post appulsum ,lun ad ,meridianum supra ,horizontem2 postea defluxus maximus in ,q hora tertia post occasum ,lun2 dein affluxus maximus in f hora tertia post appulsum ,lun ad ,meridianum infra ,horizontem2 ultim defluxus maximus in ,q hora tertia post ortum ,lun2 affluxus posterior in f erit minor qum affluxus prior in ,f4 ,distinguitur enim ,mare totum in duos omnino fluctus ,hemisphricos1 unum in ,hemisphrio ,k,hk,c ad ,boream vergentem1 alterum in ,hemisphrio opposito ,khk,c2 quos igitur fluctum ,borealem fluctum ,australem nominare licet4 ,hi fluctus semper sibi mutu oppositi veniunt per vices ad ,meridianos locorum singulorum1 interposito intervallo horarum ,lunarium duodecim4 ,cumque regiones ,boreales magis participant fluctum ,borealem1 ,australes magis ,australem1 inde oriuntur stus alternis vicibus majores minores1 in locis singulis extra quatorem4 stus autem major1 ,lun in verticem loci declinante1 incidet in horam circiter tertiam post appulsum ,lun ad ,meridianum supra ,horizontem1 ,lun declinationem mutante vertetur in minorem4 ,et fluxuum differentia maxima incidet in tempora ,solstitiorum2 prsertim si ,lun ,nodus ascendens versatur in principio ,arietis4 ,sic experienti compertum est1 quod stus matutini tempore hyberno superent vespertinos vespertini tempore stivo matutinos1 ad ,plymuthum quidem altitudine quasi pedis unius1 ad ,bristoliam ver altitudine quindecim digitorum3 ,observantibus ,colepressio ,sturmio4 ,motus autem hactenus descripti mutantur aliquantulum per vim illam reciprocationis aquarum1 qua ,maris stus1 etiam cessantibus ,luminarium actionibus1 posset aliquamdiu perseverare4 ,conservatio hcce motus impressi minuit differentiam stuum alternorum2 stus proxim post ,syzygias majores reddit1 eosque proxim post ,quadraturas minuit4 ,unde fit ut stus alterni ad ,plymuthum ,bristoliam non multo magis differant ab invicem qum altitudine pedis unius vel digitorum quindecim2 utque stus omnium maximi in iisdem portubus non sint primi ,syzygiis sed tertii4 ,retardantur etiam motus omnes in transitu per vada1 ade ut stus omnium maximi1 in fretis quibusdam ,fluviorum ostiis1 sint quarti vel etiam quinti ,syzygiis4 ,porr fieri potest ut stus propagetur ab ,oceano per freta diversa ad eundem portum1 citius transeat per aliqua freta qum per alia1 quo in casu stus idem1 in duos vel plures successive advenientes divisus1 componere possit motus novos diversorum generum4 ,fingamus stus duos quales diversis locis in eundem portum venire1 quorum prior prcedat alterum spatio horarum sex1 incidatque in horam tertiam ab appulsu ,lun ad ,meridianum portus4 ,si ,luna in hocce suo ad ,meridianum appulsu versabatur in quatore1 venient singulis horis senis quales affluxus1 qui in mutuos refluxus incidendo eosdem affluxibus quabunt1 sic spatio diei illius efficient ut aqua tranquill stagnet4 ,si ,luna tunc declinabat ab quatore1 fient stus in ,oceano vicibus alternis majores minores1 uti dictum est2 inde propagabuntur in hunc portum affluxus bini majores bini minores1 vicibus alternis4 ,affluxus autem bini majores component aquam altissimam in medio inter utrumque1 affluxus major minor faciet ut aqua ascendat ad mediocrem altitudinem in ,medio ipsorum1 inter affluxus binos minores aqua ascendet ad altitudinem minimam4 ,sic spatio viginti quatuor horarum1 aqua non bis ut fieri solet1 sed semel tantum perveniet ad maximam altitudinem semel ad minimam2 altitudo maxima1 si ,luna declinat in polum supra ,horizontem loci1 incidet in horam vel sextam vel tricesimam ab appulsu ,lun ad ,meridianum1 atque ,lun declinationem mutante mutabitur in defluxum4 ,quorum omnium exemplum1 in portu regni ,tunquini ad ,batsham1 sub latitudine ,boreali #bj gr4 #ej min4 ,halleius ex ,nautarum ,observationibus patefecit4 ,ibi aqua die transitum ,lun per quatorem sequente stagnat1 dein ,lun ad ,boream declinante incipit fluere refluere1 non bis1 ut in aliis portubus1 sed semel singulis diebus2 stus incidit in occasum ,lun1 defluxus maximus in ortum4 ,cum ,lun declinatione augetur hic stus1 usque ad diem septimum vel octavum1 dein per alios septem dies iisdem gradibus decrescit1 quibus antea creverat2 ,lun declinationem mutante cessat1 ac mox mutatur in defluxum4 ,incidit enim subinde defluxus in occasum ,lun affluxus in ortum1 donec ,luna iterum mutet declinationem4 ,aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex patet1 alter ab ,oceano ,sinensi inter ,continentem ,insulam ,luconiam1 alter ,mari ,indico inter ,continentem ,insulam ,borneo4 ,an stus spatio horarum duodecim ,mari ,indico1 spatio horarum sex ,mari ,sinensi per freta illa venientes1 sic in horam tertiam nonam ,lunarem incidentes1 componant hujusmodi motus2 sitne alia ,marium illorum conditio1 observationibus vicinorum littorum determinandum relinquo4 ,hactenus causas motuum ,lun ,marium reddidi4 ,de quantitate motuum jam convenit aliqua subjungere4 ,prop4 ,,xxv4 ,prob4 ,v4 ,invenire vires ,solis ad perturbandos motus ,lun4 ,illustration ,designet ,q ,solem1 ,s ,terram1 ,p ,lunam1 ,,padb orbem ,lun4 ,in ,,qp capiatur ,,qk qualis ,,qs2 sitque ,,ql ad ,,qk in duplicata ratione ,,qk ad ,,qp ipsi ,,ps agatur parallela ,,lm2 si gravitas acceleratrix ,terr in ,solem exponatur per distantiam ,,qs vel ,,qk1 erit ,,ql gravitas acceleratrix ,lun in ,solem4 ,ea componitur ex partibus ,,qm1 ,,lm1 quarum ,,lm ipsius ,,qm pars ,,sm perturbat motum ,lun1 ut in ,libri primi ,prop4 ,,lxvi4 ejus ,corollariis expositum est4 ,quatenus ,terra ,luna circum commune gravitatis centrum revolvuntur1 perturbabitur motus ,terr circa centrum illud viribus consimilibus2 sed summas tam virium qum motuum referre licet ad ,lunam1 summas virium per lineas ipsis analogas ,,sm ,,ml designare4 ,vis ,,ml 7in mediocri sua quantitate7 est ad vim gravitatis1 qua ,luna in orbe suo circa ,terram quiescentem ad distantiam ,,ps revolvi posset1 in duplicata ratione temporum periodicorum ,lun circa ,terram ,terr circa ,solem1 7per ,corol4 #ag4 ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i47 hoc est in duplicata ratione dierum #bg4 hor4 #g4 min4 #dc4 ad dies #cfe4 hor4 #f4 min4 #i4 id est ut #ajjj ad #aghgbe1 seu #a ad #agh-h_/aa4 ,vis qua ,luna in orbe suo circa ,terram quiescentem1 ad distantiam ,,ps semidiametrorum terrestrium #fj revolvi posset1 est ad vim1 qua eodem tempore ad distantiam semidiametrorum #fj revolvi posset1 ut #fj ad #fj2 hc vis ad vim gravitatis apud nos ut #a ad #fj #fj4 ,ideoque vis mediocris ,,ml est ad vim gravitatis in superficie ,terr1 ut #a #fj ad #fj #fj #fj #agh-h_/aa seu #a ad #fchjib1f4 ,unde ex proportione linearum ,,sm1 ,,ml datur etiam vis ,,sm3 h sunt vires ,solis quibus motus ,lun perturbantur4 ,q4 ,e4 ,i4 ,prop4 ,,xxvi4 ,prob4 ,,vi4 ,invenire incrementum are quam ,luna radio ad ,terram ducto describit4 ,illustration ,diximus aream1 quam ,luna radio ad ,terram ducto describit1 esse tempori proportionalem1 nisi quatenus motus ,lunaris ab actione ,solis turbatur4 ,inqualitatem momenti 7vel incrementi horarii7 hic investigandam proponimus4 ,ut computatio facilior reddatur1 fingamus orbem ,lun circularem esse1 inqualitates omnes negligamus1 ea sola excepta1 de qua hic agitur4 ,ob ingentem ver ,solis distantiam ponamus etiam lineas ,,qp1 ,,qs sibi invicem parallelas esse4 ,hoc pacto vis ,,lm reducetur semper ad mediocrem suam quantitatem ,,sp1 ut vis ,,sm ad mediocrem suam quantitatem #c,,pk4 ,h vires1 per ,legum ,corol4 #b4 componunt vim ,,sl2 hc vis1 si in radium ,,sp demittatur perpendiculum ,,le1 resolvitur in vires ,,se1 ,,el1 quarum ,,se1 agendo semper secundum radium ,,sp1 nec accelerat nec retardat descriptionem are ,,qsp radio illo ,,sp factam2 ,,el agendo secundum perpendiculum1 accelerat vel retardat ipsam1 quantum accelerat vel retardat ,lunam4 ,acceleratio illa ,lun1 in transitu ipsius ,quadratura ,c ad conjunctionem ,a1 singulis temporis momentis facta1 est ut ipsa vis accelerans ,,el1 hoc est ut #c,,pk ,,sk ,,sp4 ,exponatur tempus per motum medium ,lunarem1 vel 7quod eodem fere recidit7 per angulum ,,csp1 vel etiam per arcum ,,cp4 ,ad ,,cs erigatur ,normalis ,,cg ipsi ,,cs qualis4 ,et diviso arcu quadrantali ,,ac in particulas innumeras quales ,pp c4 per quas quales totidem particul temporis exponi possint1 ductque pk perpendiculari ad ,,cs1 jungatur ,,sg ipsis ,,kp1 kp productis occurrens in ,f f2 erit ,kk ad ,,pk ut ,pp ad ,sp1 hoc est in data ratione1 adeoque ,,fk ,kk seu area ,f,kkf ut #c,,pk ,,sk ,,sp id est ut ,,el2 composit1 area tota ,,gckf ut summa omnium virium ,,el tempore toto ,,cp impressarum in ,lunam1 atque ade etiam ut velocitas hac summ genita1 id est1 ut acceleratio descriptionis are ,,csp1 seu incrementum momenti4 ,vis qua ,luna circa ,terram quiescentem ad distantiam ,,sp1 tempore suo periodico ,,cadbc dierum #bg4 hor4 #g4 min4 #dc4 revolvi posset1 efficeret ut corpus1 tempore ,,cs cadendo1 describeret longitudinem ,,cs1 velocitatem simul acquireret qualem velocitati1 qua ,luna in orbe suo movetur4 ,patet hoc per ,schol4 ,prop4 ,,iv4 ,lib4 ,i4 ,cum autem perpendiculum ,kd in ,,sp demissum sit ipsius ,,el pars tertia1 ipsius ,,sp seu ,,ml in octantibus pars dimidia1 vis ,,el in ,octantibus1 ubi maxima est1 superabit vim ,,ml in ratione #c ad #b1 adeoque erit ad vim illam1 qua ,luna tempore suo periodico circa ,terram quiescentem revolvi posset1 ut #ajj ad #b_/c #aghgb seu #aaiae1 tempore ,,cs velocitatem generare deberet qu esset pars #ajj_/aaiae velocitatis ,lunaris1 tempore autem ,,cpa velocitatem majorem generaret in ratione ,,ca ad ,,cs seu ,,sp4 ,exponatur vis maxima ,,el in ,octantibus per aream ,,fk ,kk rectangulo ,,sp ,pp qualem4 ,et velocitas1 quam vis maxima tempore quovis ,,cp generare posset1 erit ad velocitatem quam vis omnis minor ,,el eodem tempore generat ut rectangulum ,,sp ,,cp ad aream ,,kcgf3 tempore autem toto ,,cpa1 velocitates genit erunt ad invicem ut rectangulum ,,sp ,,ca triangulum ,,scg1 sive ut arcus quadrantalis ,,ca ad radium ,,sp4 ,ideoque 7per ,prop4 ,,ix4 ,lib4 ,v4 ,elem47 velocitatis posterior1 toto tempore genita1 erit pars #ajj_/aaiae velocitatis ,lun4 ,huic ,lun velocitati1 qu are momento mediocri analoga est1 addatur auferatur dimidium velocitatis alterius2 si momentum mediocre exponatur per numerum #aaiae summa #aaiae #ej seu #aaife exhibebit momentum maximum are in ,syzygia ,a1 ac differentia #aaiae - #ej seu #aahfe ejusdem momentum minimum in ,quadraturis4 ,igitur are temporibus qualibus in ,syzygiis ,quadraturis descript1 sunt ad invicem ut #aaife ad #aahfe4 ,ad momentum minimum #aahfe addatur momentum1 quod sit ad momentorum differentiam #ajj ut trapezium ,,fkcg ad triangulum ,,scg 7vel quod perinde est1 ut quadratum ,sinus ,,pk ad quadratum ,radii ,,sp1 id est ut ,pd ad ,,sp7 summa exhibebit momentum are1 ubi ,luna est in loco quovis intermedio ,p4 ,hc omnia ita se habent1 ex ,hypothesi quod ,sol ,terra quiescunt1 ,luna tempore ,synodico dierum #bg4 hor4 #g4 min4 #dc4 revolvitur4 ,cum autem periodus ,synodica ,lunaris ver sit dierum #bi4 hor4 #ab4 min4 #dd4 augeri debent momentorum incrementa in ratione temporis4 ,hoc pacto incrementum totum1 quod erat pars #ajj_/aaiae momenti mediocris1 jam fiet ejusdem pars #ajj_/aajbc4 ,ideoque momentum are in ,quadratura ,lun erit ad ejus momentum in ,syzygia ut #aajbc - #ej ad #aajbc #ej1 seu #ajigc ad #aajgc1 ad ejus momentum1 ubi ,luna in alio quovis loco intermedio ,p versatur1 ut #ajigc ad #ajigc ,pd1 existente videlicet ,,sp quali #ajj4 ,area igitur1 quam ,luna radio ad ,terram ducto singulis temporis particulis qualibus describit1 est quam proxim ut summa numeri #bai-df_/ajj ,sinus versi duplicat distanti ,lun ,quadratura proxima1 in circulo cujus radius est unitas4 ,hc ita se habent ubi ,variatio in ,octantibus est magnitudinis mediocris4 ,sin ,variatio ibi major sit vel minor1 augeri debet vel minui ,sinus ille versus in eadem ratione4 ,prop4 ,,xxvii4 ,prob4 ,,vii4 ,ex motu horario ,lun invenire ipsius distantiam ,terra4 ,area1 quam ,luna radio ad ,terram ducto1 singulis temporis momentis1 describit1 est ut motus horarius ,lun quadratum distanti ,lun ,terr conjunctim2 propterea distantia ,lun ,terr est in ratione composit ex dimidiat ratione ,are direct dimidiat ratione motus horarii invers4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 #a4 ,hinc datur ,lun diameter apparens3 quippe qu sit reciproc ut ipsius distantia ,terra4 ,tentent ,astronomi qum prob hc ,regula cum ,phnomenis congruat4 ,corol4 #b4 ,hinc etiam ,orbis ,lunaris accuratis ex ,phnomenis qum antehac definiri potest4 ,prop4 ,,xxviii4 ,prob4 ,,viii4 ,invenire diametros ,orbis in quo ,luna absque excentricitate moveri deberet4 ,illustration ,curvatura ,trajectori1 quam mobile1 si secundum ,trajectori illius perpendiculum trahatur1 describit1 est ut attractio direct quadratum velocitatis invers4 ,curvaturas linearum pono esse inter se in ultima proportione ,sinuum vel ,tangentium angulorum contactuum ad radios quales pertinentium1 ubi radii illi in infinitum diminuuntur4 ,attractio autem ,lun in ,terram in ,syzygiis est excessus gravitatis ipsius in ,terram supra vim ,solarem #b,,pk 7,vide ,figur4 pag4 #dcd47 qua gravitas acceleratrix ,lun in ,solem superat gravitatem acceleratricem ,terr in ,solem4 ,in ,quadraturis autem attractio illa est summa gravitatis ,lun in ,terram vis ,solaris ,,ks1 qua ,luna in ,terram trahitur4 ,et h attractiones1 si ,,as ,,cs #b dicatur ,n1 sunt ut #aghgbe ,a,sq4 - #bjjj ,,cs ,n #aghgbe ,c,sq4 #ajjj ,,as ,n quam proxime2 seu ut #aghgbe,n in ,c,sq4 - #bjjj;,a,sq4 in ,,cs1 #aghgbe,n in ,a,sq4 #ajjj ,c,sq4 ,,as4 ,nam se gravitas acceleratrix ,terr in ,solem exponatur per numerum #aghgbe1 vis mediocris ,,ml1 qu in ,quadraturis est ,,ps vel ,,sk ,lunam trahit in ,terram1 erit #ajjj1 vis mediocris ,,sm in ,syzygiis erit #cjjj2 de qua1 si vis mediocris ,,ml subducatur1 manebit vis #bjjj qua ,luna in ,syzygiis distrahitur ,terra1 quamque jam ante nominavi #b,,pk4 ,velocitas autem ,lun in ,syzygiis ,a ,b est ad ipsius velocitatem in ,quadraturis ,c ,d ut ,,cs1 ad ,,as momentum are quam ,luna radio ad ,terram ducto describit in ,syzygiis ad momentum ejusdem are in ,quadraturis conjunctim2 id est ut #aajgc;,,cs ad #ajigc;,,as4 ,sumatur hc ratio bis invers ratio prior semel direct1 fiet ,curvatura ,orbis ,lunaris in ,syzygiis ad ejusdem ,curvaturam in ,quadraturis ut #abjdjg #aghgbe;,a,sq4 ,c,sq4 ,n - #abjdjg #bjjj;,,as qq4 ,,cs ad #abbfaa #aghgbe;,a,sq4 ,c,sq4 ,n #abbfaa #ajjj;,,cs qq4 ,,as1 id est ut #baeaifi;,,as ,,cs ,n - #bdjha;,,as cub4 ad #baiacga;,,as ,,cs ,n #abbfa;,,cs cub4 ,quoniam figura orbis ,lunaris ignoratur1 hujus vice assumamus ,ellipsin ,,dbca1 in cujus centro ,s ,terra collocetur1 cujus axis major ,,dc ,quadraturis1 minor ,,ab ,syzygiis interjaceat4 ,cum autem planum ,ellipseos hujus motu angulari circa ,terram revolvatur1 ,trajectoria1 cujus ,curvaturam consideramus1 describi debet in plano quod motu omni angulari omnino destituitur3 consideranda erit figura1 quam ,luna in ,ellipsi illa revolvendo describit in hoc plano1 hoc est ,figura ,cpa1 cujus puncta singula p inveniuntur capiendo punctum quodvis ,p in ,ellipsi1 quod locum ,lun representet1 ducendo ,sp qualem ,,sp1 ea lege ut angulus ,p,sp qualis sit motui apparenti ,solis tempore ,quadratur ,c confecto2 vel 7quod eodem fere recidit7 ut angulus ,c,sp sit ad angulum ,,csp ut tempus revolutionis ,synodic ,lunaris ad tempus revolutionis ,periodic seu #bi d4 #ab4 h4 #dd'1 ad #bg d4 #g h4 #dc'4 ,capiatur igitur angulus ,c,sa in eadem ratione ad angulum rectum ,,csa1 sit longitudo ,sa qualis longitudini ,,sa2 erit a ,apsis ima ,c ,apsis summa orbis hujus ,cpa4 ,rationes autem ineundo invenio quod differentia inter curvaturam orbis ,cpa in vertice a1 curvaturam circuli centro ,s intervallo ,,sa descripti1 sit ad differentiam inter curvaturam ,ellipseos in vertice ,a curvaturam ejusdem circuli1 in duplicata ratione anguli ,,csp ad angulum ,c,sp2 quod curvatura ,ellipseos in ,a sit ad curvaturam circuli illius in duplicata ratione ,,sa ad ,,sc2 curvatura circuli illius ad curvaturam circuli centro ,s intervallo ,,sc descripti ut ,,sc ad ,,sa2 hujus autem curvatura ad curvaturam ,ellipseos in ,c in duplicata ratione ,,sa ad ,,sc2 differentia inter curvaturam ,ellipseos in vertice ,c curvaturam circuli novissimi1 ad differentiam inter curvaturam figur ,spa in vertice ,c curvaturam ejusdem circuli1 in duplicata ratione anguli ,,csp ad angulum ,c,sp4 ,qu quidem rationes ex ,sinubus angulorum contactus ac differentiarum angulorum facil colliguntur4 ,collatis autem his rationibus inter se1 prodit curvatura figur ,cpa in a ad ipsius curvaturam in ,c1 ut ,,as cub4 #afhbd_/ajjjjj;,c,sq4 ,,as ad ,,cs cub4 #afhbd_/ajjjjj;,a,sq4 ,,cs4 ,ubi numerus #afhbd_/ajjjjj designat differentiam quadratorum angulorum ,,csp ,c,sp applicatam ad ,quadratum anguli minoris ,,csp1 seu 7quod perinde est7 differentiam ,quadratorum temporum #bg d4 #g h4 #dc'1 #bi d4 #ab h4 #dd'1 applicatam ad ,quadratum temporis #bg d4 #g h4 #dc'4 ,igitur cum a designet ,syzygiam ,lun1 ,c ipsius ,quadraturam1 proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvatur ,orbis ,lun in ,syzygiis ad ejusdem curvaturam in ,quadraturis1 quam supra invenimus4 ,proinde ut inveniatur proportio ,,cs ad ,,as1 duco extrema media in se invicem4 ,et termini prodeuntes ad ,,as ,,cs applicati1 fiunt #bjfb1gi;,,cs qq4 - #baeaifi,n ,,cs cub4 #cfhfhb,n ,,as ,c,sq4 #cfcdb;,a,sq4 ,c,sq4 - #cfbjdf,n ,a,sq4 ,,cs #baiacga,n ,,as cub4 #djea1d;,,as qq4 #j4 ,hic pro terminorum ,,as ,,cs semisumm ,n scribo #a1 pro eorundem semidifferentia ponendo x1 fit ,,cs #a x1 ,,as #a - x3 quibus in quatione scriptis1 quatione prodeunte resolut1 obtinetur x qualis #j1jjgbjcf1 inde semidiameter ,,cs fit #a1jjgb1 semidiameter ,,as #j1iibh1 qui numeri sunt ut #fi-aa_/ab #fh-aa_/ab quam proxim4 ,est igitur distantia ,lun ,terra in ,syzygiis ad ipsius distantiam in ,quadraturis 7seposita scilicet excentricitatis consideratione7 ut #fh-aa_/ab ad #fi-aa_/ab1 vel numeris rotundis ut #fi ad #gj4 ,prop4 ,,xxix4 ,prob4 ,,ix4 ,invenire ,variationem ,lun4 ,illustration ,oritur hc inqualitas partim ex forma ,elliptica orbis ,lunaris1 partim ex inqualitate momentorum are1 quam ,luna radio ad ,terram ducto describit4 ,si ,luna ,p in ,ellipsi ,,dbca circa ,terram in centro ,ellipseos quiescentem moveretur1 radio ,,sp ad ,terram ducto describeret aream ,,csp tempori proportionalem2 esset autem ,ellipseos semidiameter maxima ,,cs ad semidiametrum minimam ,,sa ut #fi-aa_/ab ad #fh-aa_/ab3 foret ,tangens anguli ,,csp ad ,tangentem anguli motus medii quadratura ,c computati1 ut ,ellipseos semidiameter ,,sa ad ejusdem semidiametrum ,,sc seu #fh-aa_/ab ad #fi-aa_/ab4 ,debet autem descriptio are ,,csp1 in progressu ,lun ,quadratura ad ,syzygiam1 ea ratione accelerari1 ut ejus momentum in ,syzygia ,lun sit ad ejus momentum in ,quadratura ut #aajgc ad #ajigc1 utq2 excessus momenti in loco quovis intermedio ,p supra momentum in ,quadratura sit ut quadratum ,sinus anguli ,,csp4 ,id quod satis accurat fiet1 si tangens anguli ,,csp diminuatur in dimidiata ratione numeri #ajigc ad numerum #aajgc1 id est in ratione numeri #fh-eieh_/ajjjj ad numerum #fh-aa_/ab4 ,quo pacto tangens anguli ,,csp jam erit ad tangentem motus medii ut #fh-eieh_/ajjjj ad #fi-aa_/ab1 angulus ,,csp in ,octantibus1 ubi motus medius est #de gr4 invenietur #dd gr4 #bg'4 #bi3 qui subductus de angulo motus medii #de gr4 relinquit ,variationem #cb'4 #ca4 ,hc ita se haberent si ,luna1 pergendo ,quadratura ad ,syzygiam1 describeret angulum ,,csa graduum tantum nonaginta4 ,verum ob motum ,terr1 quo ,sol in antecedentia motu apparente transfertur1 ,luna1 priusquam ,solem assequitur1 describit angulum ,c,sa angulo recto majorem in ratione revolutionis ,lunaris ,synodic ad revolutionem periodicam1 id est in ratione #bi d4 #ab h4 #dd'4 ad #bg d4 #g h4 #dc'4 ,et hoc pacto anguli omnes circa centrum ,s dilatantur in eadem ratione1 ,variatio qu secus esset #cb'4 #ca4 jam aucta in eadem ratione1 fit #ce'4 #i4 ,hc ab ,astronomis constituitur #dj'1 ex recentioribus ,observationibus #ch'4 ,halleius autem recentissim deprehendit esse #ch' in ,octantibus versus oppositionem ,solis1 #cb' in ,octantibus ,solem versus4 ,unde mediocris ejus magnitudo erit #ce'3 qu cum magnitudine nobis inventa #ce'4 #i probe congruit4 ,magnitudinem enim mediocrem computavimus1 neglectis differentiis1 qu curvatur ,orbis magni1 majorique ,solis actione in ,lunam falcatam novam quam in ,gibbosam plenam1 oriri possint4 ,prop4 ,,xxx4 ,prob4 ,x4 ,invenire motum horarium ,nodorum ,lun in ,orbe circulari4 ,illustration ,designet ,s ,solem1 ,t ,terram1 ,p ,lunam1 ,n,pn ,orbem ,lun1 ,npn vestigium ,orbis in plano ,ecliptic2 ,n1 n1 ,nodos1 n,t,nm lineam ,nodorum infinit productam1 ,,pi1 ,,pk2 perpendicula demissa in lineas ,,st1 ,qq2 ,pp perpendiculum demissum in planum ,ecliptic2 ,q1 q ,quadraturas ,lun in plano ,ecliptic p,k perpendiculum in lineam ,qq ,quadraturis intrajacentem4 ,et vis ,solis ad perturbandum motum ,lun 7per ,prop4 ,,xxv47 duplex erit1 altera line #b;,,it vel #b,kp1 altera line ,,pi proportionalis4 ,et ,luna vi priore in ,solem1 posteriore in lineam ,,st trahitur4 ,componitur autem vis posterior ,,pi ex viribus ,,it ,,pt1 quarum ,,pt agit secundum planum orbis ,lunaris1 propterea situm plani nil mutat4 ,hc igitur negligenda est4 ,vis autem ,,it cum vi #b;,,it componit vim totam #c;,,it1 qua planum ,orbis ,lunaris perturbatur4 ,et hc vis per ,prop4 ,,xxv4 est ad vim qua ,luna in circulo circa ,terram quiescentem tempore suo periodico revolvi posset1 ut #c;,,it ad ,radium circuli multiplicatum per numerum #agh1gbe1 sive ut ,,it ad ,radium multiplicatum per #ei1ege4 ,cterum in hoc calculo eo omni qui sequitur1 considero lineas omnes ,luna ad ,solem ductas tanquam parallelas line qu ,terra ad ,solem ducitur1 propterea quod inclinatio tantum fer minuit effectus omnes in aliquibus casibus1 quantum auget in aliis2 ,nodorum motus mediocres qurimus1 neglectis istiusmodi minutiis1 qu calculum nimis impeditum redderent4 ,designet jam ,,pm arcum1 quem ,luna dato tempore quam minimo describit1 ,,ml lineolam quam ,luna1 impellente vi prfata #c;,,it1 eodem tempore describere posset4 ,jungantur ,,pl1 ,,mp1 producantur e ad m l1 ubi secent planum ,ecliptic2 inque ,tm demittatur perpendiculum ,,ph4 ,et quoniam ,,ml parallela est ipsi ,,st1 si ml parallela sit ipsi ,,ml1 erit ml in plano ,ecliptic1 contra4 ,ergo ml1 cum sit in plano ,ecliptic1 parallela erit ipsi ,,ml1 similia erunt triangula ,,lmp1 ,lmp4 ,jam cum ,m,pm sit in plano ,orbis1 in quo ,luna in loco ,p movebatur1 incidet punctum m in lineam ,nn per ,orbis illius ,nodos ,n1 n1 ductam4 ,et quoniam vis qua lineola ,,lm generatur1 si tota simul semel in loco ,p impressa esset1 efficeret ut ,luna moveretur in arcu1 cujus ,chorda esset ,,lp1 atque ade transferret ,lunam de plano ,m,pm,t in planum ,l,pl,t2 motus ,nodorum vi illa genitus qualis erit angulo m,tl4 ,est autem ml ad m,p ut ,,ml ad ,,mp1 adeoque cum ,,mp ob datum tempus data sit1 est ml ut rectangulum ,,ml m,p1 id est ut rectangulum ,,it m,p4 ,et angulus m,tl1 si modo angulus ,tml rectus sit1 est ut ml ,tm1 propterea ut ,,it ,pm ,tm id est 7ob proportionales ,tm m,p1 ,,tp ,,ph7 ut ,,it ,,ph ,,tp1 adeoque ob datam ,,tp1 ut ,,it ,,ph4 ,quod si angulus ,tml1 seu ,,stn obliquus sit1 erit angulus m,tl adhuc minor1 in ratione ,sinus anguli ,,stn ad ,radium4 ,est igitur velocitas ,nodorum ut ,,it ,,ph ,sinus anguli ,,stn conjunctim1 sive ut contentum sub sinubus trium angulorum ,,tpi1 ,,ptn ,,stn4 ,si anguli illi1 ,nodis in ,quadraturis ,luna in ,syzygia existentibus1 recti sint1 lineola ml abibit in infinitum1 angulus m,tl evadet angulo m,pl qualis4 ,hoc autem in casu1 angulus m,pl est ad angulum ,,ptm1 quem ,luna eodem tempore motu suo apparente circa ,terram describit ut #a ad #ei1ege4 ,nam angulus m,pl qualis est angulo ,,lpm1 id est angulo deflexionis ,lun recto tramite1 quam prfata vis ,solaris #c;,,it dato illo tempore generare possit2 angulus ,,ptm qualis est angulo deflexionis ,lun recto tramite1 quem vis illa1 qua ,luna in ,orbe suo retinetur1 eodem tempore generat4 ,et h vires1 uti supra diximus1 sunt ad invicem ut #a ad #ei1ege4 ,ergo cum motus medius horarius ,lun 7respectu fixarum7 sit #cb'4 #ef4 #bg'4 #ab;iv1 motus horarius ,nodi in hoc casu erit #cc4 #aj'4 #cc;iv4 #abv4 ,aliis autem in casibus motus iste horarius erit ad #cc4 #aj'4 #cc;iv4 #abv4 ut contentum sub sinibus angulorum trium ,,tpi1 ,,ptn1 ,,stn 7seu distantiarum ,lun ,quadratura1 ,lun ,nodo ,nodi ,sole7 ad cubum ,radii4 ,et quoties signum anguli alicujus de affirmativo in negativum1 deque negativo in affirmativum mutatur1 debebit motus regressivus in progressivum progressivus in regressivum mutari4 ,unde fit ut ,nodi progrediantur quoties ,luna inter ,quadraturam alterutram ,nodum ,quadratur proximum versatur4 ,aliis in casibus regrediuntur1 per excessum regressus supra progressum1 singulis mensibus feruntur in antecedentia4 ,illustration ,corol4 #a4 ,hinc si a dati arcus quam minimi ,,pm terminis ,p ,m ad lineam ,quadraturas jungentem ,qq demittantur perpendicula ,,pk1 ,mk1 eademque producantur donec secent lineam ,nodorum ,nn in ,d d2 erit motus horarius ,nodorum ut area ,m,p,dd quadratum line ,,az conjunctim4 ,sunto enim ,,pk1 ,,ph ,,az prdicti tres ,sinus4 ,nempe ,,pk ,sinus distanti ,lun ,quadratura1 ,,ph ,sinus distanti ,lun ,nodo1 ,,az ,sinus distanti ,nodi ,sole3 erit velocitas ,nodi ut contentum ,,pk ,,ph ,,az4 ,est autem ,,pt ad ,,pk ut ,,pm ad ,kk1 adeoque ob datas ,,pt ,,pm est ,kk ipsi ,,pk proportionalis4 ,est ,,at ad ,,pd ut ,,az ad ,,ph1 propterea ,,ph rectangulo ,,pd ,,az proportionalis1 conjunctis rationibus1 ,,pk ,,ph est ut contentum ,kk ,,pd ,,az1 ,,pk ,,ph ,,az ut ,kk ,,pd ,,az qu4 id est ut area ,p,dd,m1 ,,az qu4 conjunctim4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 #b4 ,in data quavis ,nodorum positione1 motus horarius mediocris est semissis motus horarii in ,syzygiis ,lun1 ideoque est ad #af4 #ce'4 #af;iv4 #cfv4 ut quadratum ,sinus distanti ,nodorum ,syzygiis ad quadratum ,radii1 sive ut ,,az qu4 ad ,,at qu4 ,nam si ,luna uniformi cum motu perambulet semicirculum ,q,aq1 summa omnium arearum ,p,dd,m1 quo tempore ,luna pergit ,q ad ,m1 erit area ,q,md,e qu ad circuli tangentem ,,qe terminatur2 quo tempore ,luna attingit punctum n1 summa illa erit area tota ,e,q,an quam linea ,,pd describit2 dein ,luna pergente ab n ad q1 linea ,,pd cadet extra circulum1 aream nqe ad circuli tangentem qe terminatam describet2 qu1 quoniam ,nodi prius regrediebantur1 jam ver progrediuntur1 subduci debet de area priore1 cum qualis sit are ,,qen1 relinquet semicirculum ,n,q,an4 ,igitur summa omnium arearum ,p,dd,m1 quo tempore ,luna semicirculum describit1 est area semicirculi2 summa omnium quo tempore ,luna circulum describit est area circuli totius4 ,at area ,p,dd,m1 ubi ,luna versatur in ,syzygiis1 est rectangulum sub arcu ,,pm radio ,,mt2 summa omnium huic qualium arearum1 quo tempore ,luna circulum describit1 est rectangulum sub circumferentia tota radio circuli2 hoc rectangulum1 cum sit quale duobus circulis1 duplo majus est qum rectangulum prius4 ,proinde ,nodi1 e cum velocitate uniformiter continuat quam habent in ,syzygiis ,lunaribus1 spatium duplo majus describerent qum revera describunt2 propterea motus mediocris quocum1 si uniformiter continuaretur1 spatium se inquabili cum motu revera confectum describere possent1 est semissis motus quem habent in ,syzygiis ,lun4 ,unde cum motus orarius maximus1 si ,nodi in ,quadraturis versantur1 sit #cc4 #aj'4 #cc;iv4 #abv1 motus mediocris horarius in hoc casu erit #af4 #ce'4 #af;iv4 #cfv4 ,et cum motus horarius ,nodorum semper sit ut ,,az qu4 area ,p,dd,m conjunctim1 propterea motus horarius ,nodorum in ,syzygiis ,lun ut ,,az qu4 area ,p,dd,m conjunctim1 id est 7ob datam aream ,p,dd,m in ,syzygiis descriptam7 ut ,,az qu4 erit etiam motus mediocris ut ,,az qu4 atque adeo hic motus1 ubi ,nodi extra ,quadraturas versantur1 erit ad #af4 #ce'4 #af;iv4 #cfv4 ut ,,az qu4 ad ,,at qu4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xxxi4 ,prob4 ,,xi4 ,invenire motum horarium ,nodorum ,lun in ,orbe ,elliptico4 ,illustration ,designet ,qpmaq ,ellipsim1 axe majore ,qq1 minore ab descriptam1 ,q,aq circulum circumscriptum1 ,t ,terram in utriusque centro communi1 ,s ,solem1 p ,lunam in ,ellipsi moventem1 pm arcum quem data temporis particula quam minima describit1 ,n n ,nodos linea ,nn junctos1 p,k mk perpendicula in axem ,qq demissa hinc inde producta1 donec occurrant circulo in ,p ,m1 line ,nodorum in ,d d4 ,et si ,luna1 radio ad ,terram ducto1 aream describat tempori proportionalem1 erit motus ,nodi in ,ellipsi ut area p,ddm4 ,nam si ,,pf tangat circulum in ,p1 producta occurrat ,,tn in ,f1 pf tangat ,ellipsin in p producta occurrat eidem ,,tn in f1 conveniant autem h ,tangentes in axe ,,tq ad ,y2 si ,,ml designet spatium quod ,luna in circulo revolvens1 interea dum describit arcum ,,pm1 urgente impellente vi prdicta #c;,,it1 motu transverso describere posset1 ml designet spatium quod ,luna in ,ellipsi revolvens eodem tempore1 urgente etiam vi #c;,,it1 describere posset2 producantur ,,lp lp donec occurrant plano ,ecliptic in ,g g2 jungantur ,,fg fg1 quarum ,,fg producta secet pf1 pg ,,tq in c1 e ,r respectiv1 fg producta secet ,,tq in r3 ,quoniam vis #c;,,it seu #c,,pk in circulo est ad vim #c;,,it seu #cp,k in ,ellipsi1 ut ,,pk ad p,k1 seu ,,at ad a,t2 erit spatium ,,ml vi priore genitum1 ad spatium ml vi posteriore genitum1 ut ,,pk ad p,k1 id est ob similes figuras ,p,y,kp ,f,y,rc1 ut ,,fr ad c,r4 ,est autem ,,ml ad ,,fg 7ob similia triangula ,,plm1 ,,pgf7 ut ,,pl ad ,,pg1 hoc est 7ob parallelas ,lk1 ,,pk1 ,,gr7 ut pl ad pe1 id est 7ob similia triangula plm1 cpe7 ut lm ad ce2 invers ut ,,lm est ad lm1 seu ,,fr ad c,r1 ita est ,,fg ad ce4 ,et propterea si fg esset ad ce ut f,y ad c,y1 id est ut fr ad c,r1 7hoc est ut fr ad ,,fr ,,fr ad c,r conjunctim1 id est ut f,t ad ,,ft ,,fg ad ce conjunctim17 quoniam ratio ,,fg ad ce utrinque ablata relinquit rationes fg ad ,,fg f,t ad ,,ft1 foret fg ad ,,fg ut f,t ad ,,ft2 propterea quod anguli1 quos ,,fg fg subtenderent ad ,terram ,t1 quarentur inter se4 ,sed anguli illi 7per ea qu in prcedente ,propositione exposuimus7 sunt motus ,nodorum1 quo tempore ,luna in circulo arcum ,,pm1 in ,ellipsi arcum pm percurrit3 propterea motus ,nodorum in ,circulo ,ellipsi quarentur inter se4 ,hc ita se haberent1 si modo fg esset ad ce ut f,y ad c,y1 id est si fg qualis esset ce f,y c,y4 ,verum ob similia triangula fgp1 cep1 est fg ad ce ut fp ad cp2 ideoque fg qualis est ce fp cp1 propterea angulus1 quem fg revera subtendit1 est ad angulum priorem1 quem ,,fg subtendit1 hoc est motus ,nodorum in ,ellipsi ad motum ,nodorum in ,circulo1 ut hc fg seu ce fp cp ad priorem fg seu ce f,y c,y1 id est ut fp c,y ad cp f,y1 seu fp ad f,y c,y ad cp2 hoc est1 si pb ipsi ,,tn parallela occurrat ,,fp in b1 ut ,fb ad ,,fy ,,fy ad ,,fp2 hoc est ut ,fb ad ,,fp seu ,dp ad ,,dp1 adeoque ut area ,dpmd ad aream ,d,p,md4 ,et propterea1 cum area posterior proportionalis sit motui ,nodorum in ,circulo1 erit area prior proportionalis motui ,nodorum in ,ellipsi4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,igitur cum1 in data ,nodorum positione1 summa omnium arearum p,ddm1 quo tempore ,luna pergit ,quadratura ad locum quemvis m1 sit area mp,q,ed1 qu ad ,ellipseos ,tangentem ,,qe terminatur2 summa omnium arearum illarum1 in revolutione integra1 sit area ,ellipseos totius3 motus mediocris ,nodorum in ,ellipsi erit ad motum mediocrem ,nodorum in circulo1 ut ,ellipsis ad circulum1 id est ut ,ta ad ,,ta1 seu #fh-aa_/ab ad #fi-aa_/ab4 ,et propterea1 cum motus mediocris horarius ,nodorum in circulo sit ad #af4 #ce'4 #af;iv4 #cfv4 ut ,,az qu4 ad ,,at qu4 si capiatur angulus #af4 #ba'4 #b;iv4 #cfv4 ad angulum #af4 #ce'4 #af;iv4 #cfv4 ut #fh-aa_/ab ad #fi-aa_/ab1 erit motus mediocris horarius ,nodorum in ,ellipsi ad #af4 #ba'4 #b;iv4 #cfv4 ut ,a,zq4 ad ,a,tq42 hoc est ut quadratum ,sinus distanti ,nodi ,sole ad quadratum ,radii4 ,cterum ,luna1 radio ad ,terram ducto1 aream velocius describit in ,syzygiis qum in ,quadraturis1 eo nomine tempus in ,syzygiis contrahitur1 in ,quadraturis producitur2 una cum tempore motus ,nodorum augetur ac diminuitur4 ,erat autem momentum are in ,quadraturis ,lun ad ejus momentum in ,syzygiis ut #ajigc ad #aajgc2 propterea momentum mediocre in ,octantibus est ad excessum in ,syzygiis1 defectumque in ,quadraturis1 ut numerorum semisumma #aajbc ad eorundem semidifferentiam #ej4 ,unde cum tempus ,lun in singulis ,orbis particulis qualibus sit reciproc ut ipsius velocitas1 erit tempus mediocre in ,octantibus ad excessum temporis in ,quadrantibus1 ac defectum in ,syzygiis1 ab hac causa oriundum1 ut #aajbc ad #ej quam proxime4 ,pergendo autem ,quadraturis ad ,syzygias1 invenio quod excessus momentorum are in locis singulis1 supra momentum minimum in ,quadraturis1 sit ut quadratum ,sinus distanti ,lun ,quadrantibus quam proxim2 propterea differentia inter momentum in loco quocunque momentum mediocre in ,octantibus1 est ut differentia inter quadratum ,sinus distanti ,lun ,quadraturis quadratum ,sinus graduum #de1 seu semissem quadrati ,radii2 incrementum temporis in locis singulis inter ,octantes ,quadraturas1 decrementum ejus inter ,octantes ,syzygias est in eadem ratione4 ,motus autem ,nodorum1 quo tempore ,luna percurrit singulas ,orbis particulas quales1 acceleratur vel retardatur in duplicata ratione temporis4 ,est enim motus iste1 dum ,luna percurrit ,,pm1 7cteris paribus7 ut ,,ml1 ,,ml est in duplicata ratione temporis4 ,quare motus ,nodorum in ,syzygiis1 eo tempore confectus quo ,luna datas ,orbis particulas percurrit1 diminuitur in duplicata ratione numeri #aajgc ad numerum #aajbc2 estque decrementum ad motum reliquum ut #ajj ad #ajigc1 ad motum ver totum ut #ajj ad #aajgc quam proxim4 ,decrementum autem in locis inter ,octantes ,syzygias1 incrementum in locis inter ,octantes ,quadraturas1 est quam proxime ad hoc decrementum1 ut motus totus in locis illis ad motum totum in ,syzygiis differentia inter quadratum ,sinus distanti ,lun ,quadratura semissem quadrati ,radii ad semissem quadrati ,radii1 conjunctim4 ,unde si ,nodi in ,quadraturis versentur1 capiantur loca duo qualiter ab ,octante hinc inde distantia1 alia duo ,syzygi ,quadratur iisdem intervallis distantia1 deque decrementis motuum in locis duabus inter ,syzygiam ,octantem1 subducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus1 qu sunt inter ,octantem ,quadraturam2 decrementum reliquum quale erit decremento in ,syzygia3 uti rationem ineunti facil constabit4 ,proindeque decrementum mediocre1 quod de ,nodorum motu mediocri subduci debet1 est pars quarta decrementi in ,syzygia4 ,motus totus horarius ,nodorum in ,syzygiis 7ubi ,luna radio ad ,terram ducto aream tempori proportionalem describere supponebatur7 erat #cb4 #db'4 #e;iv4 #abv4 ,et decrementum motus ,nodorum1 quo tempore ,luna jam velocior describit idem spatium1 diximus esse ad hunc motum ut #ajj ad #aajgc2 adeoque decrementum illud est #ag'4 #dc;iv4 #ajv1 cujus pars quarta #d'4 #be;iv4 #dhv1 motui horario mediocri superius invento #af4 #ba'4 #b;iv4 #cfv4 subducta1 relinquit #af4 #af'4 #cf;iv4 #dhv4 motum mediocrem horarium correctum4 ,si ,nodi versantur extra ,quadraturas1 spectentur loca bina ,syzygiis hinc inde qualiter distantia2 summa motuum ,nodorum1 ubi ,luna versatur in his locis1 erit ad summam motuum1 ubi ,luna in iisdem locis ,nodi in ,quadraturis versantur1 ut ,,az qu4 ad ,,at qu4 ,et decrementa motuum1 causis jam expositis oriunda1 erunt ad invicem ut ipsi motus1 adeoque motus reliqui erunt ad invicem ut ,,az qu4 ad ,,at qu4 motus mediocres ut motus reliqui4 ,est itaque motus mediocris horarius correctus1 in dato quocunque ,nodorum situ1 ad #af4 #af'4 #cf;iv4 #dhv4 ut ,,az qu4 ad ,,at qu42 id est ut quadratum ,sinus distanti ,nodorum ,syzygiis ad quadratum ,radii4 ,prop4 ,,xxxii4 ,prob4 ,,xii4 ,invenire motum medium ,nodorum ,lun4 ,motus medius annuus est summa motuum omnium horariorum mediocrium in anno4 ,concipe ,nodum versari in ,n1 singulis horis completis retrahi in locum suum priorem1 ut non obstante motu suo proprio1 datum semper servet situm ad ,stellas ,fixas4 ,interea ver ,solem ,s1 per motum ,terr1 progredi ,nodo1 cursum annuum apparentem uniformiter complere4 ,sit autem ,aa arcus datus quam minimus1 quem recta ,,ts ad ,solem semper ducta1 intersectione sua circuli ,n,an1 dato tempore quam minimo describit3 motus horarius mediocris 7per jam ostensa7 erit ut ,a,zq4 id est 7ob proportionales ,,az1 ,,zy7 ut rectangulum sub ,,az ,,zy1 hoc est ut area ,a,z,ya4 ,et summa omnium horariorum motuum mediocrium ab initio1 ut summa omnium arearum a,y,z,a1 id est ut area ,,naz4 ,est autem maxima ,a,z,ya qualis rectangulo sub arcu ,aa radio circuli2 propterea summa omnium rectangulorum in circulo toto ad summam totidem maximorum1 ut area circuli totius ad rectangulum sub circumferentia tota radio2 id est ut #a ad #b4 ,motus autem horarius1 rectangulo maximo respondens1 erat #af4 #af'4 #cf;iv4 #dhv4 ,et hic motus1 anno toto sidereo dierum #cfe4 #f hor4 #i min4 fit #ci gr4 #ch'4 #e4 #ci'4 ,ideoque hujus dimidium #ai gr4 #di'4 #b4 #di' est motus medius ,nodorum circulo toti respondens4 ,et motus ,nodorum1 quo tempore ,sol pergit ab ,n ad ,a1 est ad #ai gr4 #di'4 #b4 #di' ut area ,,naz ad circulum totum4 ,illustration ,hc ita se habent1 ex ,hypothesi quod ,nodus horis singulis in locum priorem retrahitur1 sic ut ,sol anno toto completo ad ,nodum eundem redeat quo sub initio digressus fuerat4 ,verum per motum ,nodi fit ut ,sol citius ad ,nodum revertatur1 computanda jam est abbreviatio temporis4 ,cum ,sol anno toto conficiat #cfj gradus1 ,nodus motu maximo eodem tempore conficeret #ci gr4 #ch'4 #e4 #ci'4 seu #ci1fcdi gradus2 motus mediocris ,nodi in loco quovis ,n sit ad ipsius motum mediocrem in ,quadraturis suis1 ut ,a,zq4 ad ,a,tq4 erit motus ,solis ad motum ,nodi in ,n1 ut #cfj ,a,tq4 ad #ci1fcdi ,a,zq42 id est ut #i1jhbijcb ,a,tq4 ad ,a,zq4 ,unde si circuli totius circumferentia ,n,an dividatur in particulas quales ,aa1 tempus quo ,sol percurrat particulam ,aa1 si circulus quiesceret1 erit ad tempus quo percurrit eandem particulam1 si circulus una cum ,nodis circa centrum ,t revolvatur1 reciproc ut #i1jhbijcb ,a,tq4 ad #i1jhbijcb ,a,tq4 ,a,zq4 ,nam tempus est reciproc ut velocitas qua particula percurritur1 hc velocitas est summa velocitatum ,solis ,nodi4 ,igitur si tempus1 quo ,sol absque motu ,nodi percurreret arcum ,,na1 exponatur per ,sectorem ,,nta1 particula temporis quo percurreret arcum quam minimum ,aa1 exponatur per ,sectoris particulam ,a,ta2 7perpendiculo a,y in ,nn demisso7 si in ,,az capiatur d,z1 ejus longitudinis ut sit rectangulum d,z in ,,zy ad ,sectoris particulam ,a,ta ut ,a,zq4 ad #i1jhbijcb ,a,tq4 ,a,zq4 id est ut sit d,z ad ,,az ut ,a,tq4 ad #i1jhbijcb ,a,tq4 ,a,zq42 rectangulum d,z in ,,zy designabit decrementum temporis ex motu ,nodi oriundum1 tempore toto quo arcus ,aa percurritur4 ,et si punctum d tangit curvam ,nd,gn1 area curvilinea ,nd,z erit decrementum totum1 quo tempore arcus totus ,,na percurritur2 propterea excessus ,sectoris ,,nat supra aream ,nd,z erit tempus illud totum4 ,et quoniam motus ,nodi tempore minore minor est in ratione temporis1 debebit etiam area ,aa,y,z diminui in eadem ratione4 ,id quod fiet si capiatur in ,,az longitudo e,z1 qu sit ad longitudinem ,,az ut ,a,zq4 ad #i1jhbiijcb ,a,tq4 ,a,zq4 ,sic enim rectangulum e,z in ,,zy erit ad aream ,a,z,ya ut decrementum temporis1 quo arcus ,aa percurritur1 ad tempus totum1 quo percurreretur si ,nodus quiesceret3 ,et propterea rectangulum illud respondebit decremento motus ,nodi4 ,et si punctum e tangat curvam ,ne,fn1 area tota ,ne,z1 qu summa est omnium decrementorum1 respondebit decremento toti1 quo tempore arcus ,,an percurritur2 area reliqua ,n,ae respondebit motui reliquo1 qui verus est ,nodi motus quo tempore arcus totus ,,na1 per ,solis ,nodi conjunctos motus1 percurritur4 ,jam ver si circuli radius ,,at ponatur #a1 erit area semicirculi #a1egjgif2 area figur ,ne,fn,t1 per methodum ,serierum infinitarum qusita1 prodibit #j1aahhdgh4 ,motus autem qui respondet circulo toti erat #ai gr4 #di'4 #b4 #di'2 propterea motus1 qui figur ,ne,fn,t duplicat respondet1 est #a gr4 #bi'4 #eg4 #ea'4 ,qui de motu priore subductus relinquit #ah gr4 #ai'4 #d4 #eh'4 motum totum ,nodi inter sui ipsius ,conjunctiones cum ,sole2 hic motus de ,solis motu annuo graduum #cfj subductus1 relinquit #cda gr4 #dj'4 #ee4 #b'4 motum ,solis inter easdem ,conjunctiones4 ,iste autem motus est ad motum annuum #cfj gr4 ut ,nodi motus jam inventus #ah gr4 #ai'4 #d4 #eh'4 ad ipsius motum annuum1 qui propterea erit #ai gr4 #ah'4 #j4 #bb'4 ,hic est motus medius ,nodorum in anno sidereo4 ,idem per ,tabulas ,astronomicas est #ai gr4 #bj'4 #ca4 #a'4 ,differentia minor est parte quadringentesima motus totius1 ab ,orbis ,lunaris ,excentricitate ,inclinatione ad planum ,ecliptic oriri videtur4 ,per ,excentricitatem ,orbis motus ,nodorum nimis acceleratur1 per ejus ,inclinationem vicissim retardatur aliquantulum1 ad justam velocitatem reducitur4 ,prop4 ,,xxxiii4 ,prob4 ,,xiii4 ,invenire motum verum ,nodorum ,lun4 ,illustration ,in tempore quod est ut area ,,nta - ,nd,z1 7in ,fig4 prced47 motus iste est ut area ,n,ae,n1 inde datur4 ,verum ob nimiam calculi difficultatem1 prstat sequentem ,problematis constructionem adhibere4 ,centro ,c1 intervallo quovis ,,cd1 describatur circulus ,,befd4 ,producatur ,,dc ad ,a1 ut sit ,,ab ad ,,ac ut motus medius ad semissem motus veri mediocris1 ubi ,nodi sunt in ,quadraturis3 7id est ut #ai gr4 #ah'4 #j4 #bb'4 ad #ai gr4 #di'4 #b4 #di'1 atque adeo ,,bc ad ,,ac ut motuum differentia #j gr4 #ca'4 #b4 #bg'1 ad motum posteriorem #ai gr4 #di'4 #b4 #di'1 hoc est1 ut #a4 ad #ch-a_/c7 dein per punctum ,d ducatur infinita ,gg1 qu tangat circulum in ,d2 si capiatur angulus ,,bce vel ,,bcf qualis semissi distanti ,solis loco ,nodi1 per motum medium invento2 agatur ,,ae vel ,,af secans perpendiculum ,,dg in ,g2 capiatur angulus qui sit ad motum ,nodi inter ipsius ,syzygias 7id est ad #i gr4 #aj'4 #dj47 ut tangens ,,dg ad circuli ,,bed circumferentiam totam1 atque angulus iste ad motum medium ,nodorum addatur2 habebitur eorum motus verus4 ,nam motus verus sic inventus congruet quam proxim cum motu vero qui prodit exponendo tempus per aream ,,nta - ,nd,z1 motum ,nodi per aream ,n,ae,n2 ut rem perpendenti constabit4 ,hc est quatio annua motus ,nodorum4 ,est quatio menstrua1 sed qu ad inventionem ,latitudinis ,lun minim necessaria est4 ,nam cum ,variatio inclinationis ,orbis ,lunaris ad planum ,ecliptic duplici inqualitati obnoxia sit1 alteri annu1 alteri autem menstru2 hujus menstrua inqualitas quatio menstrua ,nodorum ita se mutu contemperant corrigunt1 ut amb in determinanda ,latitudine ,lun negligi possint4 ,corol4 ,ex hac prcedente ,propositione liquet quod ,nodi in ,syzygiis suis quiescunt1 in ,quadraturis autem regrediuntur motu horario #af4 #ah'4 #da;iv4 ,et quod quatio motus ,nodorum in ,octantibus sit #a gr4 #cj'4 ,qu omnia cum ,phnomenis coelestibus prob quadrant4 ,prop4 ,,xxxiv4 ,prob4 ,,xiv4 ,invenire ,variationem horariam inclinationis ,orbis ,lunaris ad planum ,ecliptic4 ,illustration ,designent ,a a ,syzygias2 ,q q ,quadraturas2 ,n n ,nodos2 ,p locum ,lun in ,orbe suo2 p vestigium loci illius in plano ,ecliptic1 m,tl motum momentaneum ,nodorum ut supra4 ,et si ad lineam ,tm demittatur perpendiculum ,,pg1 jungatur p,g1 producatur ea donec occurrat ,tl in g1 jungatur etiam ,pg3 erit angulus ,p,gp inclinatio orbis ,lunaris ad planum ,ecliptic1 ubi ,luna versatur in ,p2 angulus ,pgp inclinatio ejusdem post momentum temporis completum1 adeoque angulus ,g,pg ,variatio momentanea inclinationis4 ,est autem hic angulus ,g,pg ad angulum ,g,tg ut ,,tg ad ,,pg ,pp ad ,,pg conjunctim4 ,et propterea si pro momento temporis substituatur hora2 cum angulus ,g,tg 7per ,prop4 ,,xxx47 sit ad angulum #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut ,,it ,,pg ,,az ad ,,at cub4 erit angulus ,g,pg 7seu inclinationis horaria ,variatio7 ad angulum #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut ,,it ,,az ,,tg ,pp ,,pg ad ,,at cub4 ,q4 ,e4 ,i4 ,hc ita se habent ex ,hypothesi quod ,luna in ,orbe circulari uniformiter gyratur4 ,quod si orbis ille ,ellipticus sit1 motus mediocris ,nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majorem2 uti supra expositum est4 ,et in eadem ratione minuetur etiam ,sinus ,,it4 ,inclinationis autem ,variatio tantum augebitur per decrementum ,sinus ,,it1 quantum diminuitur per decrementum motus ,nodorum2 propterea idem manebit atque prius4 ,corol4 #a4 ,si ad ,nn erigatur perpendiculum ,,tf1 sitque p,m motus horarius ,lun in plano ,ecliptic2 perpendicula p,k1 ,mk in ,,qt demissa utrinque producta occurrant ,,tf in ,h h3 erit ,kk ad ,mp ut p,k seu ,,it ad ,,at1 ,,tz ad ,,at ut ,,tg ad ,hp2 ideoque ,,it ,,tg quale ,kk ,hp ,,tz ,mp1 hoc est quale are ,hp,mh duct in rationem ,,tz ,mp3 propterea inclinationis ,variatio horaria ad #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut ,hp,mh ducta in ,,az ,,tz ,mp ,pp ,,pg ad ,,at cub4 ,corol4 #b4 ,ideoque si ,terra ,nodi singulis horis completis retraherentur locis suis novis1 in loca priora in instanti semper reducerentur1 ut situs eorum1 per mensem integrum periodicum1 datus maneret2 tota ,inclinationis ,variatio tempore mensis illius foret ad #cc4 #aj'4 #cc;iv1 ut aggregatum omnium arearum ,hp,mh1 in revolutione puncti p generatarum1 sub signis propriis - conjunctarum1 ductum in ,,az ,,tz ,pp ,,pg1 ad ,mp ,,at cub4 id est ut circulus totus ,q,aqa ductus in ,,az ,,tz ,pp ,,pg ad ,mp ,,at cub4 hoc est ut circumferentia ,q,aqa ducta in ,,az ,,tz ,pp ,,pg ad #b,,mp ,,at quad4 ,corol4 #c4 ,proinde in dato ,nodorum situ1 ,variatio mediocris horaria1 ex qu per mensem uniformiter continuat ,variatio illa menstrua generari posset1 est ad #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut ,,az ,,tz ,pp ,,pg ad #b;,a,tq4 id est 7cum ,pp sit ad ,,pg ut ,sinus ,inclinationis prdict ad ,radium1 ,,az ,,tz ,,at sit ad ,,at ut sinus duplicati anguli ,a,tn ad ,radium7 ut inclinationis ejusdem ,sinus ductus in ,sinum duplicat distanti ,nodorum ,sole1 ad quadruplum quadratum ,radii4 ,corol4 #d4 ,quoniam inclinationis horaria ,variatio1 ubi ,nodi in ,quadraturis versantur1 est 7per ,propositionem superiorem7 ad angulum #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut ,,it ,,az ,,tg ,pp ,,pg ad ,,at cub4 id est ut ,,it ,,tg ,,at ,pp ,,pg ad ,,at2 hoc est ut ,sinus duplicat distanti ,lun ,quadraturis ductus in ,pp ,,pg ad radium duplicatum3 summa omnium ,variationum horariarum1 quo tempore ,luna in hoc situ ,nodorum transit ,quadratura ad ,syzygiam1 7id est spatio horarum #agg-a_/f17 erit ad summam totidem angulorum #cc4 #aj'4 #cc;iv4 seu #ehgh1 ut summa omnium sinuum duplicat distanti ,lun ,quadraturis ducta in ,pp ,,pg ad summam totidem diametrorum2 hoc est ut diameter ducta in ,pp ,,pg1 ad circumferentiam2 id est si inclinatio sit #e gr4 #b'1 ut #g #hgf_/ajjjj ad #bb1 seu #bgi ad #ajjjj4 ,proindeque ,variatio tota1 ex summa omnium horariarum ,variationum tempore prdicto conflata1 est #afd1 seu #b'4 #dd4 ,prop4 ,,xxxv4 ,prob4 ,,xv4 ,dato tempore invenire ,inclinationem ,orbis ,lunaris ad planum ,ecliptic4 ,illustration ,sit ,,ad ,sinus inclinationis maxim1 ,,ab ,sinus ,inclinationis minim4 ,bisecetur ,,bd in ,c1 centro ,c1 intervallo ,,bc1 describatur ,circulus ,,bgd4 ,in ,,ac capiatur ,,ce in ea ratione ad ,,eb quam ,,eb habet ad #b;,,ba3 ,et si dato tempore constituatur angulus ,,aeg qualis duplicat distanti ,nodorum ,quadraturis1 ad ,,ad demittatur perpendiculum ,,gh3 erit ,,ah ,sinus inclinationis qusit4 ,nam ,g,eq4 quale est ,g,hq4 ,h,eq4 ,,bhd ,h,eq4 ,,hbd ,h,eq4 - ,b,hq4 ,,hbd ,b,eq4 - #b;,,bh ,,be ,b,eq4 #b;,,ec ,,bh #b;,,ec ,,ab #b;,,ec ,,bh #b;,,ec ,,ah4 ,ideoque cum #b;,,ec detur1 est ,g,eq4 ut ,,ah4 ,designet jam ,a,eg distantiam ,nodorum ,quadraturis post datum aliquod momentum temporis completum1 arcus ,gg1 ob datum angulum ,g,eg1 erit ut distantia ,,ge4 ,est autem ,hh ad ,gg ut ,,gh ad ,,gc1 propterea ,hh est ut contentum ,,gh ,gg seu ,,gh ,,ge2 id est ut ,,gh ,,ge ,,ge qu4 seu ,,gh ,,ge ,,ah1 id est ut ,,ah sinus anguli ,,aeg conjunctim4 ,igitur si ,,ah in casu aliquo sit ,sinus inclinationis1 augebitur ea iisdem incrementis cum sinu inclinationis1 per ,corol4 #c4 ,propositionis superioris1 propterea sinui illi qualis semper manebit4 ,sed ,,ah ubi punctum ,g incidit in punctum alterutrum ,b vel ,d huic ,sinui qualis est1 propterea eidem semper qualis manet4 ,q4 ,e4 ,d4 ,in hac demonstratione supposui angulum ,,beg1 qui distantia est ,nodorum ,quadraturis1 uniformiter augeri4 ,nam omnes inqualitatum minutias expendere non vacat4 ,concipe jam angulum ,,beg rectum esse1 ,gg esse augmentum horarium distanti ,nodorum ,solis ab invicem2 inclinationis ,variatio horaria 7per ,corol4 #c4 ,prop4 novissim7 erit ad #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut contentum sub inclinationis ,sinu ,,ah ,sinu anguli recti ,,beg1 qui est duplicata distantia ,nodorum ,sole1 ad quadruplum quadratum ,radii2 id est ut mediocris inclinationis ,sinus ,,ah ad radium quadruplicatum2 hoc est 7cum inclinatio illa mediocris sit quasi #e gr4 #h'47 ut ejus ,sinus #hif ad radium quadruplicatum #djjjj1 sive ut #bbd ad #ajjjj4 ,est autem ,variatio tota1 ,sinuum differenti ,,bd respondens1 ad variationem illam horariam ut diameter ,,bd ad arcum ,gg2 id est ut diameter ,,bd ad semicircumferentiam ,,bgd tempus horarum #bjhj1 quo ,nodus pergit ,quadraturis ad ,syzygias1 ad horam unam conjunctim2 hoc est ut #g ad #aa #bjhj ad #a4 ,quare si rationes omnes conjungantur1 fiet ,variatio tota ,,bd ad #cc4 #aj'4 #cc;iv4 ut #bbd #g #bjhj ad #aajjjj1 id est ut #bife ad #ajj1 inde ,variatio illa ,,bd prodibit #af'4 #bd4 ,hc est inclinationis ,variatio maxima quatenus locus ,lun in ,orbe suo non consideratur4 ,nam inclinatio1 si ,nodi in ,syzygiis versantur1 nil mutatur ex vario situ ,lun4 ,at si ,nodi in ,quadraturis consistunt1 inclinatio major est ubi ,luna versatur in ,syzygiis1 qum ubi ea versatur in ,quadraturis1 excessu #b'4 #dd2 uti in ,propositionis superioris ,corollario quarto indicavimus4 ,et hujus excessus dimidio #a'4 #bb ,variatio tota mediocris ,,bd in ,quadraturis ,lunaribus diminuta fit #ae'4 #b1 in ipsius autem ,syzygiis aucta fit #ag'4 #df4 ,si ,luna igitur in ,syzygiis constituatur1 ,variatio tota1 in transitu ,nodorum ,quadraturis ad ,syzygias1 erit #ag'4 #df4 adeoque si ,inclinatio1 ubi ,nodi in ,syzygiis versantur1 sit #e gr4 #ag'4 #df4 eadem1 ubi ,nodi sunt in ,quadraturis1 ,luna in ,syzygiis1 erit #e gr4 ,atque hc ita se habere confirmatur ex ,observationibus4 ,nam statuunt ,astronomi ,inclinationem ,orbis ,lunaris ad planum ,ecliptic1 ubi ,nodi sunt in ,quadraturis ,luna in oppositione ,solis1 esse quasi #e gr4 ,ubi ver ,nodi sunt in ,syzygiis1 eandem docent esse #e gr4 #ag' vel #e gr4 #ah'4 ,si jam desideretur ,orbis ,inclinatio illa1 ubi ,luna in ,syzygiis ,nodi ubivis versantur2 fiat ,,ab ad ,,ad ut ,sinus #e gr4 ad ,sinum #e gr4 #ag'4 #df1 capiatur angulus ,,aeg qualis duplicat distanti ,nodorum ,quadraturis2 erit ,,ah ,sinus ,inclinationis qusit4 ,huic ,orbis ,inclinationi qualis est ejusdem ,inclinatio1 ubi ,luna distat #ij gr4 ,nodis4 ,aliis in ,lun locis inqualitas menstrua1 quam ,inclinationis variatio admittit1 in calculo ,latitudinis ,lun compensatur quodammodo tollitur per inqualitatem menstruam motus ,nodorum1 7ut supra diximus7 adeoque in calculo ,latitudinis illius negligi potest4 ,scholium4 ,hactenus de motibus ,lun quatenus ,excentricitas ,orbis non consideratur4 ,similibus computationibus inveni1 quod ,apogum ubi in ,conjunctione vel ,oppositione ,solis versatur1 progreditur singulis diebus #bc' respectu ,fixarum2 ubi ver in ,quadraturis est1 regreditur singulis diebus #af-a_/c circiter3 quodque ipsius motus medius annuus sit quasi #dj gr4 ,per ,tabulas ,astronomicas ,cl4 ,flamstedio ad ,hypothesin ,horroxii accommodatas1 ,apogum in ipsius ,syzygiis progreditur cum motu diurno #bd'4 #bh1 in ,quadraturis autem regreditur cum motu diurno #bj'4 #ab1 motu medio annuo #dj gr4 #da' fertur in consequentia4 ,quod differentia inter motum diurnum progressivum ,apogi in ipsius ,syzygiis1 motum diurnum regressivum in ipsius ,quadraturis1 per ,tabulas sit #d'4 #af1 per computationem ver nostram #f'-b_/c1 vitio ,tabularum tribuendum esse suspicamur4 ,sed neque computationem nostram satis accuratam esse putamus4 ,nam rationem quandam ineundo prodiere ,apogi motus diurnus progressivus in ipsius ,syzygiis1 motus diurnus regressivus in ipsius ,quadraturis1 paulo majores4 ,computationes autem1 ut nimis perplexas approximationibus impeditas1 neque satis accuratas1 apponere non lubet4 ,prop4 ,,xxxvi4 ,prob4 ,,xvi4 ,invenire vim ,solis ad ,mare movendum4 ,illustration ,solis vis ,,ml seu ,,ps1 in ,quadraturis ,lunaribus1 ad perturbandos motus ,lunares1 erat 7per ,prop4 ,,xxv4 hujus7 ad vim gravitatis apud nos ut #a ad #fchjib1f4 ,et vis ,,sm - ,,lm seu #b,,pk in ,syzygiis ,lunaribus est duplo major4 ,h autem vires1 si descendatur ad superficiem ,terr1 diminuuntur in ratione distantiarum centro ,terr1 id est in ratione #fj ad #a2 adeoque vis prior in superficie ,terr est ad vim gravitatis ut #a ad #chfjdfjj4 ,hac vi ,mare deprimitur in locis qu #ij gr4 distant ,sole4 ,vi alter qu duplo major est ,mare elevatur1 sub ,sole in regione ,soli opposita4 ,summa virium est ad vim gravitatis ut #a ad #abhfhbjj4 ,et quoniam vis eadem eundem ciet motum1 sive ea deprimat ,aquam in regionibus qu #ij gr4 distant ,sole1 sive elevet eandem in regionibus sub ,sole ,soli oppositis1 hc summa erit tota ,solis vis ad ,mare agitandum2 eundem habebit effectum ac si tota in regionibus sub ,sole ,soli oppositis mare elevaret1 in regionibus autem qu #ij gr4 distant ,sole nil ageret4 ,corol4 ,hinc cum vis centrifuga partium ,terr diurno ,terr motu oriunda1 qu est ad vim gravitatis ut #a ad #bia1 efficiat ut altitudo ,aqu sub quatore superet ejus altitudinem sub polis mensura pedum ,parisiensium #hebjj1 vis ,solaris1 de qua egimus1 cum sit ad vim gravitatis ut #a ad #abhfhbjj1 atque adeo ad vim illam centrifugam ut #bia ad #abhfhbjj seu #a ad #ddbba1 efficiet ut altitudo aqu in regionibus sub ,sole ,soli oppositis superet altitudinem ejus in locis qu #ij gradibus distant ,sole1 mensura tantum pedis unius ,parisiensis digitorum undecim4 ,est enim hc mensura ad mensuram pedum #hebjj ut #a ad #ddbba4 ,prop4 ,,xxxvii4 ,prob4 ,,xvii4 ,invenire vim ,lun ad ,mare movendum4 ,vis ,lun ad mare movendum colligenda est ex ejus proportione ad vim ,solis1 hc proportio colligenda est ex proportione motuum maris1 qui ab his viribus oriuntur4 ,ante ostium fluvii ,avon1 ad lapidem tertium infra ,bristoliam1 tempore verno autumnali totus aqu ascensus in ,conjunctione ,oppositione ,luminarium 7observante ,samuele ,sturmio7 est pedum plus minus #de1 in ,quadraturis autem est pedum tantum #be3 ,altitudo prior ex summa virium1 posterior ex earundem differentia oritur4 ,solis igitur ,lun in quatore versantium mediocriter ,terra distantium1 sunto vires ,s ,l4 ,et quoniam ,luna in ,quadraturis1 tempore verno autumnali extra quatorem in declinatione graduum plus minus #bc versatur1 ,luminaris ab quatore declinantis vis ad mare movendum minor sit1 idque 7quantum sentio7 in duplicata ratione ,sinus complementi declinationis quam proxim1 vis ,lun in ,quadraturis1 7cum sinus ille sit ad radium ut #iagjf ad #ajjjjj7 erit #hda_/ajjj ,l1 summa virium in ,syzygiis erit ,l ,s1 ac differentia in ,quadraturis #hda_/ajjj ,l - ,s1 adeoque ,l ,s erit ad #hda_/ajjj ,l - ,s ut #de ad #be seu #i ad #e1 inde #e,l #e,s qualis erit #gefi_/ajjj ,l - #i,s1 #ad,s qualis #befi_/ajjj ,l1 propterea ,l ad ,s ut #adjjj ad #befi seu #e-g_/ae ad #a4 ,in ,portu ,plymuthi stus maris 7ex observatione ,samuelis ,colepressi7 ad pedes plus minus sexdecim1 altitudine mediocri attollitur1 ac tempore verno autumnali altitudo stus in ,syzygiis ,lun superare potest altitudinem ejus in ,quadraturis pedibus septem vel octo4 ,si excessus mediocris his temporibus sit pedum septem cum dimidio2 stus in ,syzygiis ascendet ad pedes #ai1 in ,quadraturis ad pedes #ab1 sic ,l ,s erit ad #hda_/ajjj ,l - ,s ut #ai ad #ab1 inde ,l ad ,s ut #gcd ad #ajj seu #g-a_/c ad #a4 ,est igitur vis ,lun ad vim ,solis per computationem priorem ut #e-g_/ae ad #a1 per posteriorem ut #g-a_/c ad #a4 ,donec aliquid certius ex ,observationibus accuratius institutis constiterit1 usurpabimus proportionem mediocrem #f-a_/c ad #a4 ,unde cum vis ,solis sit ad vim gravitatis ut #a ad #abhfhbjj1 vis ,lun erit ad vim gravitatis ut #a ad #bjcahba4 ,corol4 #a4 ,igitur cum aqua vi ,solis agitata ad altitudinem pedis unius undecim digitorum ascendat1 eadem vi ,lun ascendet ad altitudinem pedum duodecim4 ,tanta autem vis ad omnes maris motus excitandos abunde sufficit1 quantitati motuum probe respondet4 ,nam in maribus qu ab ,oriente in ,occidentem lat patent1 uti in ,mari ,pacifico1 ,maris ,atlantici thiopici partibus extra ,tropicos1 aqua attolli solet ad altitudinem pedum sex1 novem duodecim vel quindecim4 ,in mari autem ,pacifico1 quod profundius est latius patet1 stus dicuntur esse majores qum in ,atlantico thiopico4 ,etenim ut plenus sit stus1 latitudo ,maris ab ,oriente in ,occidentem non minor esse debet qum graduum nonaginta4 ,in ,mari thiopico1 ascensus aqu intra ,tropicos minor est qum in ,zonis temperatis1 propter angustiam ,maris inter ,africam ,australem partem ,americ4 ,in medio ,mari aqua nequit ascendere nisi ad littus utrumque orientale occidentale simul descendat3 cum tamen vicibus alternis ad littora illa in ,maribus nostris angustis descendere debeat4 ,ea de causa fluxus refluxus in ,insulis1 qu littoribus longissim absunt1 perexiguus esset solet4 ,in ,portubus quibusdam1 ubi aqua cum impetu magno per loca vadosa1 ad ,sinus alternis vicibus implendos evacuandos1 influere effluere cogitur1 fluxus refluxus sunt solito majores1 uti ad ,plymuthum pontem ,chepstow in ,anglia2 ad montes ,s4 ,michaelis urbem ,abrincatuorum 7vulgo ,auranches7 in ,normania2 ad ,cambaiam ,pegu in ,india orientali4 ,his in locis mare1 magna cum velocitate accedendo recedendo1 littora nunc inundat nunc arida relinquit ad multa ,milliaria4 ,neque impetus influendi remeandi prius frangi potest1 quam aqua attollitur vel deprimitur ad pedes #cj1 #dj vel #ej amplius4 ,et par est ratio fretorum oblongorum vadosorum1 uti ,magellanici ejus quo ,anglia circundatur4 stus in hujusmodi portubus fretis per impetum cursus recursus supra modum augetur4 ,ad littora ver qu descensu prcipiti ad mare profundum apertum spectant1 ubi aqua sine impetu effluendi remeandi attolli subsidere potest1 magnitudo stus respondet viribus ,solis ,lun4 ,corol4 #b4 ,cum vis ,lun ad mare movendum sit ad vim gravitatis ut #a ad #bjcahba1 perspicuum est quod vis illa sit long minor qum qu vel in experimentis ,pendulorum1 vel in ,staticis aut ,hydrostaticis quibuscunque sentiri possit4 ,in stu solo marino hc vis sensibilem edit effectum4 ,corol4 #c4 ,quoniam vis ,lun ad mare movendum est ad ,solis vim consimilem ut #f-a_/c ad #a1 vires ill sunt ut densitates corporum ,lun ,solis cubi diametrorum apparentium conjunctim2 erit densitas ,lun ad densitatem ,solis ut #f-a_/c ad #a direct cubus diametri ,solis ad cubum diametri ,lun invers1 id est 7cum diametri mediocres apparentes ,solis ,lun sint #ca'4 #bg4 #cb'4 #ab47 ut #cd ad #e4 ,densitas autem ,solis erat ad densitatem ,terr ut #ajj ad #chg1 propterea densitas ,lun est ad densitatem ,terr ut #fjj ad #chg1 seu #i ad #e quam proxim4 ,est igitur corpus ,lun densius magis terrestre qum ,terra nostra4 ,corol4 #d4 ,unde cum vera diameter ,lun sit ad veram diametrum ,terr ut #a ad #c1f1 erit massa ,lun ad massam ,terr ut #a ad #bf quam proxim4 ,corol4 #e4 ,et gravitas acceleratrix in superficie ,lun1 erit quasi duplo minor qum gravitas acceleratrix in superficie ,terr4 ,prop4 ,,xxxviii4 ,prob4 ,,xviii4 ,invenire figuram corporis ,lun4 ,si corpus ,lunare fluidum esset ad instar maris nostri1 vis ,terr ad fluidum illud in partibus citimis ultimis elevandum1 esset ad vim ,lun1 qua mare nostrum in partibus sub ,luna ,lun oppositis attollitur1 ut gravitas acceleratrix ,lun in ,terram ad gravitatem acceleratricem ,terr in ,lunam diameter ,lun ad diametrum ,terr conjunctim2 id est ut #bf ad #a #e ad #ah conjunctim seu #fe ad #i4 ,unde cum mare nostrum vi ,lun attollatur ad pedes duodecim1 fluidum ,lunare vi ,terr attolli deberet ad pedes fere nonaginta4 ,eaque de causa figura ,lun ,sphrois esset1 cujus maxima diameter producta transiret per centrum ,terr1 superaret diametros perpendiculares excessu pedum #ahj4 ,talem igitur figuram ,luna affectat1 eamque sub initio induere debuit4 ,q4 ,e4 ,i4 ,corol4 ,inde ver fit ut eadem semper ,lun facies in ,terram obvertatur4 ,in alio enim situ corpus ,lunare quiescere non potest1 sed ad hunc situm oscillando semper redibit4 ,attamen oscillationes ob parvitatem virium agitantium essent long tardissim3 ade ut facies illa1 qu ,terram semper respicere deberet1 possit alterum orbis ,lunaris umbilicum1 ob rationem superius allatam respicere1 neque statim abinde retrahi in ,terram converti4 ,lemma ,i4 ,illustration ,si ,a,p,ep ,terram designet uniformiter densam1 centroque ,c polis ,p1 p quatore ,,ae delineatam2 si centro ,c radio ,,cp describi intelligatur sphra ,pape2 sit autem ,,qr planum1 cui recta centro ,solis ad centrum ,terr ducta normaliter insistit2 ,terr totius exterioris ,pap,a,pep,e1 qu ,sphr mod descript altior est1 particul singul conantur recedere hinc inde plano ,,qr1 sitque conatus particul cujusque ut ejusdem distantia plano3 erit vis efficacia tota particularum omnium1 ad ,terram circulariter movendam1 quadruplo minor qum vis tota particularum totidem in quatoris circulo ,,ae1 uniformiter per totum circuitum in morem annuli dispositarum1 ad ,terram consimili motu circulari movendam4 ,et motus iste circularis circa axem in plano ,,qr jacentem1 axi ,pp perpendiculariter insistentem1 peragetur4 ,sit enim ,,ik circulus minor quatori ,,ae parallelus1 sitque ,l particula ,terr in circulo illo extra globum ,pape sita4 ,et si in planum ,,qr demittatur perpendiculum ,,lm1 vis tota particul illius ad ,terram circa ipsius centrum convertendum proportionalis erit eidem ,,lm3 si hc vis ,,lm 7per ,legum ,corol4 #b47 distinguatur in vires ,,ln1 ,,nm2 efficacia virium ,,mn particularum omnium ,l1 in circuitu ,terr totius extra globum ,pape consistentium1 ad ,terram circa ipsius centrum secundum ordinem literarum ,ap,e,p convertendam1 erit ad efficaciam virium ,,ln particularum omnium ,l1 ad ,terram circa ipsius centrum secundum ordinem contrarium earundem literarum convertendam1 ut tria ad duo4 ,ideoque efficacia virium omnium ,,mn erit ad excessum efficaci hujus supra efficaciam virium omnium ,,ln ut tria ad unum4 ,et si particul ill omnes locarentur in quatore1 efficacia virium omnium ,,ln evanesceret1 efficacia virium omnium ,,mn augeretur in ratione quatuor ad tria4 ,quare excessus ille1 qui est efficacia absoluta particularum in locis propriis1 est pars quarta efficaci particularum earundem in quatore4 ,motus autem quinoctiorum est ut hc efficacia4 ,singula examinet qui volet4 ,brevitati consulo4 ,lemma ,,ii4 ,motus autem ,terr totius circa axem illum1 ex motibus particularum omnium compositus1 erit ad motum annuli circa axem eundem1 in ratione composita ex ratione materi in ,terra ad materiam in annulo1 ratione trium quadratorum ex arcu quadrantali circuli cujuscunque1 ad duo quadrata ex diametro2 id est in ratione materi ad materiam numeri #ibebge #ajjjjjj4 ,est enim motus ,cylindri circa axem suum immotum revolventis1 ad motum ,sphr inscript simul revolventis1 ut qulibet quatuor qualia quadrata ad tres ex circulis sibi inscriptis3 motus ,cylindri ad motum annuli tenuissimi1 ,sphram ,cylindrum ad communem eorum contactum ambientis1 ut duplum materi in ,cylindro ad triplum materi in annulo2 annuli motus iste circa axem ,cylindri uniformiter continuatus1 ad ejusdem motum uniformem circa diametrum propriam1 eodem tempore periodico factum1 ut circumferentia circuli ad duplum diametri4 ,lemma ,,iii4 ,si annulus1 ,terra omni reliqua sublata1 solus in orbe ,terr motu annuo circa ,solem ferretur1 interea circa axem suum1 ad planum ,ecliptic in angulo graduum #bc inclinatum1 motu diurno revolveretur3 idem foret motus ,punctorum quinoctialium sive annulus iste fluidus esset1 sive is ex materia rigida firma constaret4 ,prop4 ,,xxxix4 ,prob4 ,,xix4 ,invenire ,prcessionem quinoctiorum4 ,motus mediocris horarius ,nodorum ,lun in ,orbe circulari1 ubi ,nodi sunt in ,quadraturis1 erat #af4 #ce'4 #af;iv4 #cfv4 hujus dimidium #h4 #ag'4 #ch;iv4 #ahv4 7ob rationes supra explicatas7 est motus medius horarius ,nodorum in tali ,orbe2 fitque anno toto sidereo #bj gr4 #aa'4 #df4 ,quoniam igitur ,nodi ,lun in tali ,orbe conficerent annuatim #bj gr4 #aa'4 #df4 in antecedentia2 si plures essent ,lun motus ,nodorum cujusque1 per ,corol4 #af4 ,prop4 ,,lxvi4 ,lib4 ,i4 forent reciproc ut tempora periodica2 propterea si ,luna spatio diei siderei juxta superficiem ,terr revolveretur1 motus annuus ,nodorum foret ad #bj gr4 #aa'4 #df4 ut dies sidereus horarum #bc4 #ef'4 ad tempus periodicum ,lun dierum #bg4 #g hor4 #dc'2 id est ut #adcf ad #cicdc4 ,et par est ratio ,nodorum annuli ,lunarum ,terram ambientis2 sive ,lun ill se mutu non contingant1 sive liquescant in annulum continuum formentur1 sive denique annulus ille rigescat inflexibilis reddatur4 ,illustration ,fingamus igitur quod annulus iste quoad quantitatem materi qualis sit ,terr omni ,pap,a,pep,e1 qu globo ,pap,e superior est2 quoniam globus iste est ad ,terram illam superiorem ut a,c qu4 ad ,,ac qu4 - a,c qu4 id est 7cum ,terr diameter minor ,,pc vel a,c sit ad diametrum majorem ,,ac ut #fhi ad #fib7 ut #dadc ad #dgdgba seu #ajjj ad #aadehe2 si annulus iste ,terram secundum quatorem cingeret1 uterque simul circa diametrum annuli revolveretur1 motus annuli esset ad motum globi interioris 7per hujus ,lem4 ,,ii47 ut #dadc ad #dgdgba #ajjjjjj ad #ibebge conjunctim1 hoc est ut #dadc ad #dcibdh3 ideoque motus annuli esset ad summam motuum annuli globi1 ut #dadc ad #ddciia4 ,unde si annulus globo adhreat1 motum suum1 quo ipsius ,nodi seu puncta quinoctialia regrediuntur1 cum globo communicet3 motus qui restabit in annulo erit ad ipsius motum priorem ut #dadc ad #ddccia2 propterea motus punctorum quinoctialium diminuetur in eadem ratione4 ,erit igitur motus annuus punctorum quinoctialium corporis ex globo annulo compositi1 ad motum #bj gr4 #aa'4 #df1 ut #adcf ad #cicdc #dadc ad #ddccia conjunctim1 id est ut #a ad #bicb4 ,vires autem quibus ,nodi ,lunarum 7ut supra explicui7 atque ade quibus puncta quinoctialia annuli regrediuntur 7id est vires #c;,,it1 in ,fig4 pag4 #ddd47 sunt in singulis particulis ut distanti particularum plano ,,qr1 his viribus particul ill planum fugiunt2 propterea 7per ,lem4 ,i47 si materia annuli per totam globi superficiem1 in morem figur ,pap,a,pep,e1 ad superiorem illam ,terr partem constituendam spargeretur1 vis efficacia tota particularum omnium ad ,terram circa quamvis quatoris diametrum rotandam1 atque adeo ad movenda puncta quinoctialia1 evaderet quadruplo minor qum prius4 ,ideoque annuus quinoctiorum regressus jam esset ad #bj gr4 #aa'4 #df4 ut #a ad #aagbh1 ac proinde fieret #f4 #ab'4 #b;iv4 ,hc est prcessio quinoctiorum vi ,solis oriunda4 ,vis autem ,lun ad mare movendum erat ad vim ,solis ut #f-a_/c ad #a1 hc vis pro quantitate sua augebit etiam prcessionem quinoctiorum4 ,ideoque prcessio illa ex utraque causa oriunda jam fiet major in ratione #g-a_/c ad #a1 sic erit #de4 #bd'4 #ae;iv4 ,hic est motus punctorum quinoctialium ab actionibus ,solis ,lun in partes ,terr1 qu globo ,pape incumbunt1 oriundus4 ,nam ,terra ab actionibus illis in globum ipsum exercitis nullam in partem inclinari potest4 ,illustration ,designet jam ,a,p,ep corpus ,terr figur ,elliptic prditum1 ex uniformi materi constans4 ,et si distinguatur idem in figuras innumeras ,ellipticas concentricas consimiles1 ,a,p,ep1 ,b,qbq1 ,c,rcr1 ,d,sds1 c4 quarum diametri sint in progressione ,geometrica3 quoniam figur consimiles sunt1 vires ,solis ,lun1 quibus puncta quinoctialia regrediuntur1 efficerent ut figurarum reliquarum seorsim spectatarum puncta eadem quinoctialia eadem cum velocitate regrederentur4 ,et par est ratio motus orbium singulorum ,a,q,eq1 ,b,rbr1 ,c,scs1 c4 qui sunt figurarum illarum differenti4 ,orbis uniuscujusque1 si solus esset1 puncta quinoctialia eadem cum velocitate regredi deberent4 ,nec refert utrum orbis quilibet densior sit an rarior1 si mod ex materia uniformiter densa confletur4 ,unde etiam si orbes ad centrum densiores sint qum ad circumferentiam1 idem erit motus quinoctiorum ,terr totius ac prius2 si modo orbis unusquisque seorsim spectatus ex materia uniformiter densa constet1 figura orbis non mutetur4 ,quod si figur orbium mutentur1 ,terraque ad quatorem ,,ae1 ob densitatem materi ad centrum1 jam altius ascendat qum prius2 regressus quinoctiorum ex aucta altitudine augebitur1 idque in orbibus singulis seorsim existentibus1 in ratione majoris altitudinis materi juxta orbis illius quatorem2 in ,terra autem tota in ratione majoris altitudinis materi juxta quatorem orbis non extimi ,a,q,eq1 non intimi ,gg1 sed mediocris alicujus ,c,scs4 ,terram autem ad centrum densiorem esse1 propterea sub quatore altiorem esse qum ad polos in majore ratione qum #fib ad #fhi1 in superioribus insinuavimus4 ,et ratio majoris altitudinis colligi fer potest ex majore diminutione gravitatis sub quatore1 qum qu ex ratione #fib ad #fhi consequi debeat4 ,excessus longitudinis penduli1 quod in ,insula ,goree in ill ,cayenn minutis singulis secundis oscillatur1 supra longitudinem ,penduli quod ,parisiis eodem tempore oscillatur1 ,gallis inventi sunt pars decima pars octava digiti1 qui tamen ex proportione #fib ad #fhi prodiere #ha_/ajjj #hi_/ajjj4 ,major est itaque longitudo ,penduli ,cayenn qum oportet1 in ratione #a_/h ad #hi_/ajjj1 seu #ajjj ad #gab2 in ,insula ,goree in ratione #a_/aj ad #ha_/ajjj seu #ajjj ad #haj4 ,si sumamus rationem mediocrem #ajjj ad #gfj2 minuenda erit gravitas ,terr ad quatorem1 ibidem augenda ejus altitudo1 in ratione #ajjj ad #gfj quam proxim4 ,unde motus quinoctiorum 7ut supra dictum est7 auctus in ratione altitudinis ,terr1 non ad orbem extimum1 non ad intimum1 sed ad intermedium aliquem1 id est1 non in ratione maxima #ajjj ad #gfj1 non in minima #ajjj ad #ajjj1 sed in mediocri aliqua1 puta #aj ad #h-a_/c vel #f ad #e1 evadet annuatim #ed4 #bi'4 #f;iv4 ,rursus hic motus1 ob inclinationem plani quatoris ad planum ,ecliptic1 minuendus est1 idque in ratione ,sinus complementi inclinationis ad ,radium4 ,nam distantia particul cujusque terrestris plano ,,qr1 quo tempore particula illa plano ,ecliptic longissim distat1 in ,tropico suo 7ut ita dicam7 consistens1 diminuitur1 per inclinationem planorum ,ecliptic quatoris ad invicem1 in ratione ,sinus complementi inclinationis ad ,radium4 ,et in ratione distanti illius diminuitur etiam vis particul ad quinoctia movenda4 ,in eadem quoque ratione diminuitur summa virium particul ejusdem1 in locis hinc inde ,tropico qualiter distantibus3 uti ex prdemonstratis facil ostendi possit3 propterea vis tota particul illius1 in revolutione integr1 ad quinoctia movenda1 ut vis tota particularum omnium1 motus quinoctiorum vi illa oriundus1 diminuitur in eadem ratione4 ,igitur cum inclinatio illa sit #bc gr4 diminuendus est motus #ed4 #bi'4 in ratione ,sinus #iagjf 7qui sinus est complementi graduum #bc7 ad ,radium #ajjjjj4 ,qua ratione motus iste jam fiet #di4 #eh'4 ,regrediuntur igitur puncta quinoctiorum motu annuo 7juxta computationem nostram7 #di4 #eh'1 fere ut ,phnomena coelestia requirunt4 ,nam regressus ille annuus ex observationibus ,astronomorum est #ej4 ,descripsimus jam ,systema ,solis1 ,terr ,planetarum3 superest ut de ,cometis nonnulla adjiciantur4 ,lemma ,,iv4 ,cometas esse ,lun superiores in regione ,planetarum versari4 ,illustration ,ut defectus ,parallaxeos diurn extulit ,cometas supra regiones sublunares1 sic ex ,parallaxi annua convincitur eorum descensus in regiones ,planetarum4 ,nam ,comet qui progrediuntur secundum ordinem signorum sunt omnes1 sub exitu apparitionis1 aut solito tardiores aut retrogradi1 si ,terra est inter ipsos ,solem1 at justo celeriores si ,terra vergit ad oppositionem4 ,et contra1 qui pergunt contra ordinem signorum sunt justo celeriores in fine apparitionis1 si ,terra versatur inter ipsos ,solem2 justo tardiores vel retrogradi si ,terra sita est ad contrarias partes4 ,contingit hoc maxim ex motu ,terr in vario ipsius situ1 perinde ut fit in ,planetis1 qui1 pro motu ,terr vel conspirante vel contrario1 nunc retrogradi sunt1 nunc tardis moveri videntur1 nunc ver celeris4 ,si ,terra pergit ad eandem partem cum ,cometa1 motu angulari circa ,solem celerius fertur1 ,cometa ,terra spectatus1 ob motum suum tardiorem1 apparet esse retrogradus2 sin ,terra tardis fertur1 motus ,comet1 7detracto motu ,terr7 fit saltem tardior4 ,at si ,terra pergit in contrarias partes1 ,cometa exinde velocior apparet4 ,ex acceleratione autem vel retardatione vel motu retrogrado distantia ,comet in hunc modum colligitur4 ,sunto ,aries,,qa1 ,aries,,qb1 ,aries,,qc observat tres longitudines ,comet1 sub initio motus1 sitque ,aries,,qf longitudo ultim observata1 ubi ,cometa videri desinit4 ,agatur recta ,,abc1 cujus partes ,,ab1 ,,bc rectis ,,qa ,,qb1 ,,qb ,,qc interject1 sint ad invicem ut tempora inter observationes tres primas4 ,producatur ,,ac ad ,g1 ut sit ,,ag ad ,,ab ut tempus inter observationem primam ultimam1 ad tempus inter observationem primam secundam1 jungatur ,,qg4 ,et si ,cometa moveretur uniformiter in linea recta1 atque ,terra vel quiesceret1 vel etiam in linea recta1 uniformi cum motu1 progrederetur2 foret angulus ,aries,,qg longitudo ,comet tempore ,observationis ultim4 ,angulus igitur ,,fqg1 qui longitudinum differentia est1 oritur ab inqualitate motuum ,comet ac ,terr4 ,hic autem angulus1 si ,terra ,cometa in contrarias partes moventur1 additur angulo ,,aqg1 sic motum apparentem ,comet velociorem reddit3 ,sin ,cometa pergit in easdem partes cum ,terra1 eidem subducitur1 motumque ,comet vel tardiorem reddit1 vel forte retrogradum2 uti mod exposui4 ,oritur igitur hic angulus prcipu ex motu ,terr1 idcirco pro parallaxi ,comet merit ,illustration habendus est1 neglecto videlicet ejus incremento vel decremento nonnullo1 quod ,comet motu inquabili in orbe proprio oriri possit4 ,distantia ver ,comet ex hac parallaxi sic colligitur4 ,designet ,s ,solem1 ac,t ,orbem magnum1 a locum ,terr in observatione prima1 c locum ,terr in observatione secunda1 ,t locum ,terr in observatione ultima1 ,t,aries lineam rectam versus principium ,arietis ductam4 ,sumatur angulus ,aries,,tv qualis angulo ,aries,,qf1 hoc est qualis longitudini ,comet ubi ,terra versatur in ,t4 ,jungatur ac1 producatur ea ad g1 ut sit ag ad ac ut ,,ag ad ,,ac1 erit g locus quem ,terra tempore observationis ultim1 motu in recta ac uniformiter continuato1 attingeret4 ,ideoque si ducatur g,aries ipsi ,t,aries parallela1 capiatur angulus ,ariesg,v angulo ,aries,,qg qualis1 erit hic angulus ,ariesg,v qualis longitudini ,comet loco g spectati2 angulus ,t,vg parallaxis erit1 qu oritur translatione ,terr de loco g in locum ,t3 ac proinde ,v locus erit ,comet in plano ,ecliptic4 ,hic autem locus ,v orbe ,jovis inferior esse solet4 ,idem colligitur ex curvatura vi ,cometarum4 ,pergunt hc corpora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur celerius2 at in fine cursus1 ubi motus apparentis pars illa qu parallaxi oritur1 majorem habet proportionem ad motum totum apparentem1 deflectere solent ab his circulis1 quoties ,terra movetur in unam partem abire in partem contrariam4 ,oritur hc deflexio maxim ex ,parallaxi1 propterea quod respondet motui ,terr2 insignis ejus quantitas meo computo collocavit disparentes ,cometas satis long infra ,jovem4 ,unde consequens est qud in ,perigis ,periheliis1 ubi propius adsunt1 descendunt spius infra orbes ,martis inferiorum ,planetarum4 ,confirmatur etiam propinquitas ,cometarum ex luce capitum4 ,nam corporis coelestis ,sole illustrati in regiones longinquas abeuntis diminuitur splendor in quadruplicata ratione distanti3 in duplicata ratione videlicet ob auctam corporis distantiam ,sole1 in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum apparentem4 ,unde si detur lucis quantitas apparens diameter ,comet1 dabitur distantia1 dicendo quod distantia sit ad distantiam ,planet in ratione integra diametri ad diametrum direct ratione dimidiata lucis ad lucem invers4 ,sic minima ,capillitii ,comet anni #afhb diameter1 per ,tubum opticum sexdecim pedum ,cl4 ,flamstedio observata micrometro mensurata1 quabat #b'4 #j4 ,nucleus autem seu stella in medio capitis vix decimam partem latitudinis hujus occupabat1 adeoque lata erat tantum #aa vel #ab4 ,luce ver claritate capitis superabit caput ,comet anni #afhj1 stellasque prim vel secund magnitudinis mulabatur4 ,ponamus ,saturnum cum annulo suo quasi quadruplo lucidiorem fuisse3 quoniam lux annuli propemodum quabat lucem globi intermedii1 diameter apparens globi sit quasi #ba1 adeoque lux globi annuli conjunctim quaret lucem globi1 cujus diameter esset #cj3 erit distanti ,comet ad distantiam ,saturni ut #a ad sqrt#d invers1 #ab ad #cj direct1 id est ut #bd ad #cj seu #d ad #e4 ,rursus ,cometa anni #affe mense ,aprili1 ut ,author est ,hevelius1 claritate sua pene fixas omnes superabat1 quinetiam ipsum ,saturnum1 ratione coloris videlicet long vividioris4 ,quippe lucidior erat hic ,cometa altero illo1 qui in fine anni prcedentis apparuerat cum stellis prim magnitudinis conferebatur4 ,latitudo capillitii erat quasi #f'1 at nucleus cum ,planetis ope ,tubi optici collatus1 plane minor erat ,jove1 nunc minor corpore intermedio ,saturni1 nunc ipsi qualis judicabatur4 ,porr cum diameter ,capillitii ,cometarum rar superet #h' vel #ab'1 diameter ver ,nuclei seu stell centralis sit quasi decima vel fort decima quinta pars diametri capillitii1 patet ,stellas hasce ut plurimum ejusdem esse apparentis magnitudinis cum ,planetis4 ,unde cum lux eorum cum luce ,saturni non rar conferri possit1 eamque aliquando superet2 manifestum est quod ,comet omnes in ,periheliis vel infra ,saturnum collocandi sint1 vel non longe supra4 ,errant igitur toto coelo qui ,cometas in regionem ,fixarum prope ablegant3 qua cert ratione non magis illustrari deberent ,sole nostro1 qum ,planet1 qui hic sunt1 illustrantur ,stellis fixis4 ,hc disputavimus non considerando obscurationem ,cometarum per fumum illum maxim copiosum crassum1 quo caput circundatur1 quasi per nubem obtus semper lucens4 ,nam quanto obscurius redditur corpus per hunc fumum1 tanto propius ad ,solem accedat necesse est1 ut copia lucis se reflexa ,planetas muletur4 ,inde verisimile fit ,cometas longe infra ,sphram ,saturni descendere1 uti ex ,parallaxi probavimus4 ,idem ver quam maxim confirmatur ex ,caudis4 ,h vel ex reflexione fumi sparsi per thera1 vel ex luce capitis oriuntur4 ,priore casu minuenda est distantia ,cometarum1 ne fumus ,capite semper ortus per spatia nimis ampla incredibili cum velocitate expansione propagetur4 ,in posteriore referenda est lux omnis tam caud qum capillitii ad ,nucleum capitis4 ,igitur si imaginemur lucem hanc omnem congregari intra discum ,nuclei coarctari1 ,nucleus ille jam cert1 quoties caudam maximam fulgentissimam emittit1 ,jovem ipsum splendore suo multum superabit4 ,minore igitur cum diametro apparente plus lucis emittens1 mult magis illustrabitur ,sole1 adeoque erit ,soli mult propior4 ,quinetiam capita sub ,sole delitescentia1 caudas cum maximas tum fulgentissimas instar trabium ignitarum nonnunquam emittentia1 eodem argumento infra orbem ,veneris collocari debent4 ,nam lux illa omnis si in stellam congregari supponatur1 ipsam ,venerem ne dicam ,veneres plures conjunctas quandoque superaret4 ,idem denique colligitur ex luce capitum crescente in recessu ,cometarum ,terra ,solem versus1 ac decrescente in eorum recessu ,sole versus ,terram4 ,sic enim ,cometa posterior ,anni #affe 7observante ,hevelio17 ex quo conspici cpit1 remittebat semper de motu suo1 adeoque prterierat ,perigum2 ,splendor ver capitis nihilominus indies crescebat1 usque dum ,cometa radiis ,solaribus obtectus desiit apparere4 ,cometa ,anni #afhc1 observante eodem ,hevelio1 in fine ,mensis ,julii ubi primum conspectus est1 tardissim movebatur1 minuta prima #dj vel #de circiter singulis diebus in orbe suo conficiens4 ,ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo augebatur usque ad ,sept4 #d4 quando evasit graduum quasi quinque4 ,igitur toto hoc tempore ,cometa ad ,terram appropinquabat4 ,id quod etiam ex diametro capitis micrometro mensurata colligitur3 quippe quam ,hevelius reperit ,aug4 #f4 esse tantum #f'4 #e inclus com1 at ,sept4 #b4 esse #i'4 #g4 ,caput igitur initio longe minus apparuit qum in fine motus1 at initio tamen in vicinia ,solis longe lucidius extitit qum circa finem1 ut refert idem ,hevelius4 ,proinde toto hoc tempore1 ob recessum ipsius ,sole1 quoad lumen decrevit1 non obstante accessu ad ,terram4 ,cometa ,anni #afah circa medium ,mensis ,decembris1 iste ,anni #afhj circa finem ejusdem ,mensis1 celerrim movebantur1 adeoque tunc erant in ,perigis4 ,verum splendor maximus capitum contigit ante duas fere septimanas1 ubi mod exierant de radiis ,solaribus2 splendor maximus caudarum paulo ante1 in majore vicinitate ,solis4 ,caput ,comet prioris1 juxta observationes ,cysati1 ,decem4 #a4 majus videbatur stellis prim magnitudinis1 ,decem4 #af4 7jam in ,perigo existens7 magnitudine parm1 splendore seu claritate luminis plurimum defecerat4 ,jan4 #g4 ,keplerus de capite incertus finem fecit observandi4 ,die #ab mensis ,decemb4 conspectum ,flamstedio observatum est caput ,comet posterioris1 in distantia novem graduum ,sole2 id quod stell terti magnitudinis vix concessum fuisset4 ,decem4 #ae #ag apparuit idem ut stella terti magnitudinis1 diminutum utique splendore ,nubium juxta ,solem occidentum4 ,decem4 #bf4 velocissim motus1 inque ,perigo propemodum existens1 cedebat ori ,pegasi1 ,stell terti magnitudinis4 ,jan4 #c4 apparebat ut ,stella quart1 ,jan4 #i4 ut ,stella quint1 ,jan4 #ac4 ob splendorem ,lun crescentis disparuit4 ,jan4 #be4 vix quabat ,stellas magnitudinis septim4 ,si sumantur qualia ,perigo hinc inde tempora1 capita qu temporibus illis in longinquis regionibus posita1 ob quales ,terra distantias1 qualiter lucere debuissent1 in plaga ,solis maxim splenduere1 ex altera ,perigi parte evanuere4 ,igitur ex magna lucis in utroque situ differentia concluditur magna ,solis ,comet vicinitas in situ priore4 ,nam lux ,cometarum regularis esse solet1 maxima apparere ubi capita velocissim moventur1 atque adeo sunt in ,perigis2 nisi quatenus ea major est in vicinia ,solis4 ,corol4 #a4 ,splendent igitur ,comet luce ,solis se reflexa4 ,corol4 #b4 ,ex dictis etiam intelligitur cur ,comet tantopere frequentant regionem ,solis4 ,si cernerentur in regionibus long ultra ,saturnum deberent spius apparere in partibus ,soli oppositis4 ,forent enim ,terr vicinioris qui in his partibus versarentur1 ,sol interpositus obscuraret cteros4 ,verum percurrendo historias ,cometarum reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt in ,hemisphrio ,solem versus1 qum in ,hemisphrio opposito1 prter alios procul dubio non paucos quos lux ,solaris obtexit4 ,nimirum in descensu ad regiones nostras neque caudas emittunt1 neque adeo illustrantur ,sole1 ut nudis oculis se prius detegendos exhibeant1 qum sint ipso ,jove propiores4 ,spatii autem tantillo intervallo circa ,solem descripti pars long major sita est latere ,terr quod ,solem respicit2 inque parte illa majore ,comet ,soli ut plurimum viciniores magis illuminari solent4 ,corol4 #c4 ,hinc etiam manifestum est1 quod coeli resistentia destituuntur4 ,nam ,comet vias obliquas nonnunquam cursui ,planetarum contrarias secuti1 moventur omnifariam liberrim1 motus suos etiam contra cursum ,planetarum diutissim conservant4 ,fallor ni genus ,planetarum sint1 motu perpetuo in orbem redeant4 ,nam quod ,scriptores aliqui ,meteora esse volunt1 argumentum capitum perpetuis mutationibus ducentes1 fundamento carere videtur4 ,capita ,cometarum ,atmosphris ingentibus cinguntur2 ,atmosphr infern densiores esse debent4 ,unde nubes sunt non ipsa ,cometarum corpora1 in quibus mutationes ill visuntur4 ,sic ,terra si ,planetis spectaretur1 luce nubium suarum proculdubio splenderet1 corpus firmum sub nubibus prope delitesceret4 ,sic cingula ,jovis in nubibus ,planet illius formata1 situm mutant inter se1 firmum ,jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur4 ,et multo magis corpora ,cometarum sub ,atmosphris profundioribus crassioribus abscondi debent4 ,prop4 ,,xl4 ,theor4 ,,xxi4 ,cometas in ,sectionibus conicis umbilicos in centro ,solis habentibus moveri1 radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describere4 ,patet per ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xiii4 ,libri primi1 collatum cum ,prop4 ,,viii1 ,,xii ,,xiii4 ,libri tertii4 ,corol4 #a4 ,hinc si ,comet in orbem redeunt1 orbes erunt ,ellipses1 tempora periodica erunt ad tempora periodica ,planetarum in ratione sesquialtera transversorum axium4 ,ideoque ,comet maxima ex parte supra ,planetas versantes1 eo nomine orbes axibus majoribus describentes1 tardius revolventur4 ,ut si axis orbis ,comet sit quadruplo major axe orbis ,saturni1 tempus revolutionis ,comet erit ad tempus revolutionis ,saturni1 id est ad annos #cj1 ut #dsqrt#d 7seu #h7 ad #a1 ideoque erit annorum #bdj4 ,corol4 #b4 ,orbes autem erunt ,parabolis adeo finitimi1 ut eorum vice ,parabol absque erroribus sensibilibus adhiberi possunt4 ,corol4 #c4 ,et propterea1 per ,corol4 #g4 ,prop4 ,,xvi4 ,lib4 ,i4 velocitas ,comet omnis erit semper ad velocitatem ,planet cujusvis circa ,solem in circulo revolventis1 in dimidiata ratione duplicat distanti ,comet centro ,solis ad distantiam ,planet centro ,solis quamproxim4 ,ponamus radium orbis magni1 seu ,ellipseos in qua ,terra revolvitur semidiametrum transversam1 esse partium #ajjjjjjjj1 ,terra motu suo diurno mediocri describet partes #agbjbab1 motu horario partes #gafge4 ,ideoque ,cometa in eadem ,telluris ,sole distantia mediocri1 ea cum velocitate qu sit ad velocitatem ,telluris ut sqrt#b ad #a1 describet motu suo diurno partes #bdcbgdg1 motu horario partes #ajacfd4 ,in majoribus autem vel minoribus distantiis1 motus tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diurnum horarium in dimidiata ratione distantiarum respectiv1 ideoque datur4 ,lemma ,v4 ,invenire lineam curvam generis ,parabolici1 qu per data quotcunque puncta transibit4 ,sunto puncta illa ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e1 ,f1 c4 ab iisdem ad rectam quamvis positione datam ,,hn demitte perpendicula quotcunque ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 ,,dl1 ,,em1 ,,fn4 ,illustration ,cas4 #a4 ,si punctorum ,h1 ,i1 ,k1 ,l1 ,m1 ,n qualia sunt intervalla ,,hi1 ,,ik1 ,,kl1 c4 collige perpendiculorum ,,ah1 ,,bi1 ,,ck c4 differentias primas b1 #b;b1 #c;b1 #d;b1 #e;b1 c4 secundas c1 #b;c1 #c;c1 #d;c1 c4 tertias d1 #b;d1 #c;d1 c4 id est1 ita ut sit ,,ha - ,,bi b1 ,,bi- ,,ck #b;b1 ,,ck - ,,dl #c;b1 ,,dl ,,em #d;b1 - ,,em ,,fn #e;b1 c4 dein b - #b;b c c4 sic pergatur ad differentiam ultimam1 qu hic est f4 ,deinde erecta quacunque perpendiculari ,,rs1 qu fuerit ordinatim applicata ad curvam qusitam3 ut inveniatur hujus longitudo1 pone intervalla ,,hi1 ,,ik1 ,,kl1 ,,lm1 c4 unitates esse1 dic ,,ah a1 - ,,hs p1 p in - ,,is q1 #a_/cq in ,,sk r1 r in ,,sl s1 #a_/es in ,,sm t2 pergendo videlicet ad usque penultimum perpendiculum ,,me1 prponendo signa negativa terminis ,,hs1 ,,is1 c4 qui jacent ad partes puncti ,s versus ,a1 signa affirmativa terminis ,,sk1 ,,sl1 c4 qui jacent ad alteras partes puncti ,s4 ,et signis probe observatis erit ,,rs a bp cq dr es ft c4 ,cas4 #b4 ,quod si punctorum ,h1 ,i1 ,k1 ,l1 c4 inqualia sint intervalla ,,hi1 ,,ik1 c4 collige perpendiculorum ,,ah1 ,,bi1 ,,ck1 c4 differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas b1 #b;b1 #c;b1 #d;b1 #e;b2 secundas per intervalla bina divisas c1 #b;c1 #c;c1 #d;c1 c4 tertias per intervalla terna divisas d1 #b;d1 #c;d1 c4 quartas per intervalla quaterna divisas e1 #b;e1 c4 sic deinceps2 id est ita ut sit b ,,ah - ,,bi ,,hi1 #b;b ,,bi - ,,ck ,,ik1 #c;b ,,ck - ,,dl ,,kl c4 dein c b - #b;b ,,hk1 #b;c #b;b - #c;b ,,il1 #c;c #c;b - #d;b ,,km c4 ,postea d c - #b;c ,,hl1 #b;d #b;c - #c;c ,,im c4 ,inventis differentiis1 dic ,,ah a1 - ,,hs p1 p in - ,,is q1 q in ,,sk r1 r in ,,sl s1 s in ,,sm t2 pergendo scilicet ad usque perpendiculum penultimum ,,me1 erit ordinatim applicata ,,rs a bp cq dr es ft1 c4 ,corol4 ,hinc are curvarum omnium inveniri possunt quamproxim4 ,nam si curv cujusvis quadrand inveniantur puncta aliquot1 ,parabola per eadem duci intelligatur3 erit area ,parabol hujus eadem quam proxim cum area curv illius quadrand4 ,potest autem ,parabola per ,methodos notissimas semper quadrari ,geometric4 ,lemma ,,vi4 ,ex observatis aliquot locis ,comet invenire locum ejus ad tempus quodvis intermedium datum4 ,designent ,,hi1 ,,ik1 ,,kl1 ,,lm tempora inter observationes1 7in ,fig4 prced47 ,,ha1 ,,ib1 ,,kc1 ,,ld1 ,,me1 observatas quinque longitudines ,comet1 ,,hs tempus datum inter observationem primam longitudinem qusitam4 ,et si per puncta ,a1 ,b1 ,c1 ,d1 ,e duci intelligatur curva regularis ,,abcde2 per ,lemma superius inveniatur ejus ordinatim applicata ,,rs1 erit ,,rs longitudo qusita4 ,eadem methodo ex observatis quinque latitudinibus invenitur latitudo ad tempus datum4 ,si longitudinum observatarum parv sint differenti1 puta graduum tantum #d vel #e2 suffecerint observationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem latitudinem novam4 ,sin majores sint differenti1 puta graduum #aj vel #bj1 debebunt observationes quinque adhiberi4 ,lemma ,,vii4 ,illustration ,per datum punctum ,p ducere rectam lineam ,,bc1 cujus partes ,,pb1 ,,pc1 rectis duabus positione datis ,,ab1 ,,ac absciss1 datam habeant rationem ad invicem4 ,a puncto illo ,p ad rectarum alterutram ,,ab ducatur recta quvis ,,pd1 producatur eadem versus rectam alteram ,,ac usque ad ,e1 ut sit ,,pe ad ,,pd in data illa ratione4 ,ipsi ,,ad parallela sit ,,ec2 si agatur ,,cpb1 erit ,,pc ad ,,pb ut ,,pe ad ,,pd4 ,q4 ,e4 ,f4 ,lemma ,,viii4 ,sit ,,abc ,parabola umbilicum habens ,s4 ,chord ,,ac bisect in ,i abscindatur segmentum ,,abci1 cujus diameter sit ,imu vertex mu4 ,in ,imu product capiatur mu,o qualis dimidio ipsius ,imu4 ,jungatur ,,os1 producatur ea ad xi1 ut sit ,sxi qualis #b,,so4 ,et si ,cometa ,b moveatur in arcu ,,cba1 agatur xi,b secans ,,ac in ,e3 dico quod punctum ,e abscindet de chorda ,,ac segmentum ,,ae tempori proportionale quamproxim4 ,illustration ,jungatur enim ,,eo secans arcum ,parabolicum ,,abc in ,y1 erit area curvilinea ,,aey ad aream curvilineam ,,acy ut ,,ae ad ,,ac quamproxim4 ,ideoque cum triangulum ,,ase sit ad triangulum ,,asc in eadem ratione1 erit area tota ,,asey ad aream totam ,,ascy ut ,,ae ad ,,ac quamproxim4 ,cum autem xi,o sit ad ,,so ut #c ad #a ,,eo ad ,,yo prope in eadem ratione1 erit ,,sy ipsi ,,eb parallela quamproxim1 propterea triangulum ,,seb1 triangulo ,,yeb quamproxim quale4 ,unde si ad aream ,,asey addatur triangulum ,,eyb1 de summa auferatur triangulum ,,seb1 manebit area ,,asby are ,,asey qualis quamproxim1 atque adeo ad aream ,,ascy ut ,,ae ad ,,ac4 ,sed area ,,asby est ad aream ,,ascy ut tempus descripti arcus ,,ab ad tempus descripti arcus totius4 ,ideoque ,,ae est ad ,,ac in ratione temporum quamproxim4 ,q4 ,e4 ,d4 ,lemma ,,ix4 ,rect ,imu mu,m longitudo ,,aic #d,smu quantur inter se4 ,nam #d,smu est latus rectum ,parabol pertinens ad verticem ,b4 ,lemma ,x4 ,si producatur ,smu ad ,n ,p1 ut mu,n sit pars tertia ipsius mu,i1 ,,sp sit ad ,,sn ut ,,sn ad ,smu4 ,cometa quo tempore describit arcum ,amu,c1 si progrederetur ea semper cum velocitate quam habet in altitudine ipsi ,,sp quali1 describeret longitudinem qualem chord ,,ac4 ,nam si velocitate quam habet in mu1 eodem tempore progrediatur uniformiter in recta qu ,parabolam tangit in mu2 area quam ,radio ad punctum ,s ducto describeret1 qualis esset are ,parabolic ,,ascmu4 ,ideoque contentum sub longitudine in ,tangente descripta longitudine ,smu1 esset ad contentum sub longitudinibus ,,ac ,,sm1 ut area ,,ascmu ad triangulum ,,ascm1 id est ut ,,sn ad ,,sm4 ,quare ,,ac est ad longitudinem in tangente descriptam ut ,smu ad ,,sn4 ,cum autem velocitas ,comet in altitudine ,,sp sit ad velocitatem in altitudine ,smu in dimidiata ratione ,,sp ad ,smu invers1 id est in ratione ,smu ad ,,sn1 longitudo hac velocitate eodem tempore descripta1 erit ad longitudinem in ,tangente descriptam ut ,smu ad ,,sn4 ,igitur ,,ac longitudo hac nova velocitate descripta1 cum sint ad longitudinem in ,tangente descriptam in eadem ratione1 quantur inter se4 ,q4 ,e4 ,d4 ,corol4 ,cometa igitur ea cum velocitate1 quam habet in altitudine ,smu #b_/c;,imu1 eodem tempore describeret chordam ,,ac quamproxim4 ,lemma ,,xi4 ,si ,cometa motu omni privatus de altitudine ,,sn seu ,smu #a_/c;,imu demitteretur1 ut caderet in ,solem1 ea semper vi uniformiter continuata urgeretur in ,solem qua urgetur sub initio2 idem tempore in orbe suo describat arcum ,,ac1 descensu suo describeret spatium longitudini ,imu quale4 ,nam ,cometa quo tempore describat arcum ,parabolicum ,,ac1 eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine ,,sp 7per ,lemma novissimum7 describet chordam ,,ac1 adeoque eodem tempore in circulo cujus semidiameter esset ,,sp revolvendo1 describeret arcum cujus longitudo esset ad arcus ,parabolici chordam ,,ac in dimidiata ratione unius ad duo4 ,et propterea eo cum pondere quod habet in ,solem in altitudine ,,sp1 cadendo de altitudine illa in ,solem1 describeret eodem tempore 7per ,scholium ,prop4 ,,iv4 ,lib4 ,i47 spatium quale quadrato semissis chord illius applicato ad quadruplum altitudinis ,,sp1 id est spatium ,a,iq4 #d,,sp4 ,unde cum pondus ,comet in ,solem in altitudine ,,sn sit ad ipsius pondus in ,solem in altitudine ,,sp1 ut ,,sp ad ,smu3 ,cometa pondere quod habet in altitudine ,,sn eodem tempore1 in ,solem cadendo1 describet spatium ,a,iq4 #d,smu1 id est spatium longitudini ,imu vel ,mmu quale4 ,q4 ,e4 ,d4 ,prop4 ,,xli4 ,prob4 ,,xx4 ,comet in ,parabola moventis ,trajectoriam ex datis tribus observationibus determinare4 ,problema hocce longe difficillimum multimod aggressus1 composui ,problemata qudam in ,libro primo qu ad ejus solutionem spectant4 ,postea solutionem sequentem paul simpliciorem excogitavi4 ,seligantur tres observationes qualibus temporum intervallis ab invicem quamproxim distantes4 ,sit autem temporis intervallum illud ubi ,cometa tardius movetur paulo majus altero1 ita videlicet ut temporum differentia sit ad summam temporum ut summa temporum ad dies plus minus sexcentos4 ,si tales observationes non prsto sint1 inveniendus est novus ,comet locus per ,lemma sextum4 ,illustration ,designent ,s ,solem1 ,t1 t1 tau tria loca ,terr in orbe magno1 ,,ta1 t,b1 tau,c observatas tres longitudines ,comet1 ,v tempus inter observationem primam secundam1 ,w tempus inter secundam ac tertiam1 ,x longitudinem quam ,cometa toto illo tempore ea cum velocitate quam habet in mediocri ,telluris ,sole distantia1 describere posset1 t,v perpendiculum in chordam ,ttau4 ,in longitudine media t,b sumatur utcunque punctum ,b1 inde versus ,solem ,s ducatur linea ,,be1 qu sit ad ,sagittam t,v1 ut contentum sub ,,sb ,st quadrato ad cubum hypotenus trianguli rectanguli1 cujus latera sunt ,,sb tangens latitudinis ,comet in observatione secunda ad radium t,b4 ,et per punctum ,e agatur recta ,,aec1 cujus partes ,,ae1 ,,ec ad rectas ,,ta tau,c terminat1 sint ad invicem ut tempora ,v ,w3 ,tum per puncta ,a1 ,b1 ,c1 duc circumferentiam circuli1 eamque biseca in i1 ut chordam ,,ac in ,i4 ,age occultam ,si secantem ,,ac in lambda1 comple parallelogrammum i,ilambdamu4 ,cape ,isigma qualem #c;,ilambda1 per ,solem ,s age occultam sigmaxi qualem #c,ssigma #c;ilambda4 ,et deletis jam literis ,a1 ,e1 ,c1 ,i1 puncto ,b versus punctum xi duc occultam novam ,,be1 qu sit ad priorem ,,be in duplicata ratione distanti ,,bs ad quantitatem ,smu #a_/c;ilambda4 ,et per punctum ,e iterum duc rectam ,,aec eadem lege ac prius1 id est1 ita ut ejus partes ,,ae ,,ec sint ad invicem ut tempora inter observationes1 ,v ,w4 ,ad ,,ac bisectam in ,i erigantur perpendicula ,,am1 ,,cn1 ,,io1 quarum ,,am ,,cn sint tangentes latitudinum in observatione prima ac tertia ad radios ,,ta taualpha4 ,jungatur ,,mn secans ,,io in ,o4 ,constituatur rectangulum i,ilambdamu ut prius4 ,in ,,ia producta capiatur ,,id qualis ,smu #b_/c;ilambda1 agatur occulta ,,od4 ,deinde in ,,mn versus ,n capiatur ,,mp1 qu sit ad longitudinem supra inventam ,x in dimidiata ratione mediocris distanti ,telluris ,sole 7seu semidiametri orbis magni7 ad distantiam ,,od4 ,et in ,,ac capiatur ,,cg ipsi ,,np qualis1 ita ut puncta ,g ,p ad easdem partes rect ,,nc jaceant4 ,eadem methodo qua puncta ,e1 ,a1 ,c1 ,g1 ex assumpto puncto ,b inventa sunt1 inveniantur ex assumptis utcunque punctis aliis b beta puncta nova e1 a1 c1 g1 epsilon1 alpha1 kappa1 gamma4 ,deinde si per ,g1 g1 gamma ducatur circumferentia circuli ,gggamma secans rectam tau,c in ,z3 erit ,z locus ,comet in plano ,ecliptic4 ,et si in ,,ac1 ac1 alphakappa capiantur ,,af1 af1 alphaphi ipsis ,,cg1 cg1 kappagamma respectiv quales1 per puncta ,f1 f1 phi ducatur circumferentia circuli ,ffphi secans rectam ,,at in ,x2 erit punctum ,x alius ,comet locus in plano ,ecliptic4 ,ad puncta ,x ,z erigantur tangentes latitudinum ,comet ad radios ,,tx tau,z2 habebuntur loca duo ,comet in orbe proprio4 ,denique 7per ,prop4 ,,xix4 ,lib4 ,i47 umbilico ,s1 per loca illa duo describatur ,parabola1 hc erit ,trajectoria ,comet4 ,q4 ,e4 ,i4 ,constructionis hujus demonstratio ex ,lemmatibus consequitur3 quippe cum recta ,,ac secetur in ,e in ratione temporum1 per ,lemma ,,viii3 ,,be per ,lem4 ,,xi4 sit pars rect ,,bs in plano ,ecliptic arcui ,,abc chord ,,aeg interjecta2 ,,mp 7per ,lem4 ,,viii47 longitudo sit chord arcus1 quem ,cometa in orbe proprio inter observationem primam ac tertiam describere debet1 ideoque ipsi ,,mn qualis fuerit1 si mod ,b sit verus ,comet locus in plano ,ecliptic4 ,cterum puncta ,b1 b1 beta non qulibet1 sed vero proxima eligere convenit4 ,si angulus ,a,qt in quo vestigium orbis in plano ,ecliptic descriptum secabit rectam t,b prterpropter innotescat1 in angulo illo ducenda erit recta occulta ,,ac1 qu sit ad #d_/c,tt in dimidiata ratione ,st ad ,,sq4 ,et agendo rectam ,,seb cujus pars ,,eb quetur longitudini ,vt1 determinabitur punctum ,b quod prima vice usurpare licet4 ,tum rect ,,ac delet secundum prcedentem constructionem iterum duct1 invent insuper longitudine ,,mp2 in t,b capiatur punctum b1 ea lege1 ut si ,,ta1 ,,tc se mutu secuerint in ,y1 sit distantia ,yb ad distantiam ,,yb in ratione composita ex ratione ,,mn ad ,,mp ratione dimidiata ,,sb ad ,sb4 ,et eadem methodo inveniendum erit punctum tertium beta2 si mod operationem terti repetere lubet4 ,sed hac methodo operationes du ut plurimum suffecerint4 ,nam si distantia ,bb perexigua obvenerit1 postquam inventa sunt puncta ,f1 f ,g1 g1 act rect ,ff ,gg1 secabunt ,,ta tau,c in punctis qusitis ,x ,z4 ,exemplum4 ,proponatur ,cometa anni #afhj4 ,hujus motum ,flamstedio observatum ,tabula sequens exhibet4 ,tem4 ,temp4 ,lat4 appar4 veru ,long4 ,solis ,long4 ,comet ,comet ---------------------------------------- --------------- #afhj #ab #d4df #d4df4jj ,cap4 #a4ec4 #b ,cap4 #f4cc4 #j #h4bf4 #j ,december #baf4cb-a_/b #f4cf4ei #aa4 #h4aj ,aqu4 #e4 #g4ch #ba4de4cj #bd #f4ab #f4ag4eb #ad4aj4di #ah4di4aj #be4bc4bd #bf #e4ad #e4bj4dd #af4aj4ch #bh4bd4 #f #bg4jj4eg #bi #g4ee #h4jc4 #b #ai4bj4ef ,psc4#ac4aa4de #bh4aj4je #cj #h4 #b #h4aj4bf #bj4bb4bj #ag4cg4 #e #bh4aa4ab #afha #e #e4ea #f4 #a4ch #bf4bc4ai ,ari4 #h4di4aj #bf4ae4bf ,january #i #f4di #g4 #j4ec ,aqu4 #j4bi4ed #ah4dc4ah #bd4ab4db #aj #e4ed #f4 #f4aj #a4bh4cd #bj4dj4eg #bc4dd4jj #ac #f4ef #g4 #h4ee #d4cd4 #f #be4ei4cd #bb4ag4cf #be #g4dd #g4eh4db #af4de4eh ,tau4 #i4ee4dh #ag4ef4ed #cj #h4jg #h4ba4ec #ba4ej4 #i #ac4ai4cf #af4dj4eg ,february #b #f4bj #f4cd4ea #bd4dg4 #d #ae4ac4dh #af4jb4jb #e #f4ej #g4 #d4da #bg4di4ea #af4ei4eb #ae4bg4bc ---------------------------------------- --------------- ,in his observationibus ,flamstedius e usus est diligenti1 ut postquam bis observasset distantiam ,comet ,stella aliqua fixa1 deinde etiam distantiam bis ab alia stella fixa1 rediret ad stellam priorem distantiam ,comet ab eadem iterum observaret1 idque bis1 ac deinde ex distanti illius incremento vel decremento tempori proportionali colligeret distantiam tempore intermedio1 quando distantia stella altera observabatur4 ,ex hujusmodi observationibus loca ,comet festinanter computata ,flamstedius prim cum amicis communicavit1 postea easdem ad examen revocatas calculo diligentiore correxit4 ,nos loca correcta hic descripsimus4 ,his adde observationes quasdam nostris4 ,temp4 appar4 ,comet ,longit4 ,com4 ,lat4 ------------------------------------ ,febru4 #be #h;h4#cj',tau4 #bf4ai'4 #b #ab4df-g_/h #bg #h 4#ae #bg4 #d 4#bh #ab4cf ,mart4 #a #aa 4 #j #bg4ec 4 #h #ab4bd-c_/d #b #h 4 #j #bh4ab 4#bi #ab4ai-a_/b #e #aa 4#cj #bi4bj 4#ea #ab4 #b-b_/c #i #h 4#cj ,gem4 #j4dc 4 #b #aa4dd-c_/e ,h observationes ,telescopio septupedali1 ,micrometro filisque in foco ,telescopii locatis paract sunt3 quibus instrumentis positiones fixarum inter se positiones ,comet ad fixas determinavimus4 ,designet ,a stellam in sinistro calcaneo ,persei 7,bayero omicron7 ,b stellam sequentem in sinistro pede 7,bayero zeta7 ,c1 ,d1 ,e1 ,f1 ,g1 ,h1 ,i1 ,k1 ,l1 ,m1 ,n stellas alias minores in eodem pede4 ,sintque ,p1 ,q1 ,r1 ,s1 ,t loca ,comet in observationibus supra descriptis3 existente distanti ,,ab partium #hj-g_/ab1 erat ,,ac partium #eb1 ,,bc #eh-e_/f1 ,,ad #eg-e_/ab1 ,,bd #hb-f_/aa1 ,,cd #bc-b_/c1 ,,ae #bi-d_/g1 ,,ce #eg1 ,,de #di-aa_/ab1 ,,ak #ch-b_/c1 ,,bk #dc1 ,,ck #ca-e_/i1 ,,fk #bi1 ,,fb #bc1 ,,fc #cf1 ,,ah #ah-f_/g1 ,,dh #ec-e_/aa1 ,,bn #df-e_/ab1 ,,cn #ca-a_/c1 ,,bl #de-e_/ab1 ,,nl #ca-e_/g4 ,,lm erat ad ,,lb ut #b ad #i producta transibat per stellam ,h4 ,his determinabantur positiones fixarum inter se4 ,illustration ,die ,veneris ,feb4 #be4 ,st4 vet4 ,hor4 #h ,p4,m4 ,comet in p existentis distantia stella ,e erat major qum #c_/ac ,,ae1 minor qum #a_/e ,,ae1 adeoque qualis #c_/ad ,,ae proxim2 angulus ,ap,e nonnihil obtusus erat1 sed fere rectus4 ,nempe si demitteretur ad p,e perpendiculum ab ,a1 distantia ,comet perpendiculo illo erat #a_/e p,e4 ,eadem nocte1 hor #i1 ,comet in ,p existentis distantia stella ,e erat major qum #a #d ,,ae1 minor qum #a #e ,,ae1 adeoque qualis #a #d-g_/h ,,ae1 seu #h_/ci ,,ae quamproxim4 ,a perpendiculo autem ,stella ,a ad rectam ,,pe demisso distantia ,comet erat #d_/e ,,pe4 ,die ,martis1 ,mart4 #a1 hor4 #aa4 ,p4,m4 ,cometa in ,r existens1 stellis ,k ,c accurat interjacebat1 rect ,,crk pars ,,cr paulo major erat qum #a_/c ,,ck1 paulo minor quam #a_/c ,,ck #a_/h ,,cr1 adeoque qualis #a_/c ,,ck #a_/af ,,cr seu #af_/de ,,ck4 ,illustration ,die ,mercurii1 ,mart4 #b4 hor4 #h4 ,p4,m4 ,comet existentis in ,s1 distantia stella ,c erat #d_/i ,,fc quamproxim4 ,distantia stell ,f recta ,,cs producta erat #a_/bd ,,fc2 distantia stell ,b ab eadem recta erat quintuplo major qum distantia stell ,f4 ,item recta ,,ns producta transibat inter stellas ,h ,i1 quintuplo vel sextuplo propior existens stell ,h qum stell ,i4 ,die ,saturni1 ,mart4 #e4 hor4 #aa4 ,p4,m4 ,cometa existente in ,t1 recta ,,mt qualis erat ,,ml1 recta ,,lt producta transibat inter ,b ,f1 quadruplo vel quintuplo propior ,f qum ,b1 auferens ,,bf quintam vel sextam ejus partem versus ,f4 ,et ,,mt producta transibat extra spatium ,,bf ad partes stell ,b1 quadruplo propior existens stell ,b quam stell ,f4 ,erat ,m stella perexigua qu per ,telescopium videri vix potuit1 ,l stella major quasi magnitudinis octav4 ,ex hujusmodi observationibus per constructiones figurarum computationes 7posito quod stellarum ,a ,b distantia esset #b gr4 #f-d_/e1 stell ,a longitudo ,tauri #bf gr4 #da'4 #dh latitudo borealis #ab gr4 #h'1 stellque ,b longitudo ,tauri #bh gr4 #dj'4 #af4 latitudo borealis #aa gr4 #ag-a_/e2 quemadmodum ,flamstedio observatas accepi7 derivabam longitudines latitudines ,comet4 ,micrometro parum affabre construct usus sum1 sed ,longitudinum tamen ,latitudinum errores 7quatenus ab observationibus nostris oriantur7 dimidium minuti unius primi vix superant1 prterquam in observatione ultim ,mart4 #i4 ubi positiones fixarum ad stellas ,a ,b minus accurat determinare potui4 ,cassinus qui ,cometam eodem tempore observavit1 se declinationem ejus tanquam invariatam manentem parum diligenter definivisse fassus est4 ,nam ,cometa 7juxta observationes nostras7 in fine motus sui notabiliter deflectere cpit boream versus1 parallelo quem in fine ,mensis ,februarii tenuerat4 ,jam ad ,orbem ,comet determinandum2 selegi ex observationibus hactenus descriptis tres1 quas ,flamstedius habuit ,dec4 #ba1 ,jan4 #e1 ,jan4 #be4 ,ex his inveni ,st partium #ihdb1a ,vt partium #dee1 quales #ajjjj sunt semidiameter orbis magni4 ,tum ad operationem primam assumendo t,b partium #efeg1 inveni ,,sb #igdg1 ,,be prima vice #dab1 ,smu #iejc1 ilambda #dac3 ,,be secunda vice #dba1 ,,od #ajahf1 ,x #hebh1d1 ,,mp #hdej1 ,,mn #hdge1 ,,np - #be4 ,unde ad operationem secundam collegi distantiam tb #efdj4 ,et per hanc operationem inveni tandem distantias ,,tx #dgge tau,z #aacbb4 ,ex quibus orbem definiendo inveni ,nodos ejus in ,cancris ,capricorni #a gr4 #ec'2 ,inclinationem plani ejus ad planum ,ecliptic #fa gr4 #bj-a_/c2 verticem ejus 7seu perihelium ,comet7 in ,sagittarii #bg gr4 #dc' cum latitudine australi #g gr4 #cd'2 ejus latus rectum #bcf1h1 areamq2 radio ad ,solem ducto singulis diebus descriptam #icehe2 ,cometam ver ,decemb4 #h d4 #j h4 #d'4 ,p4,m4 in vertice orbis seu perihelio fuisse4 ,hc omnia per scalam partium qualium chordas angulorum ex ,tabula ,sinuum naturalium collectas determinavi graphic2 construendo ,schema satis amplum1 in quo videlicet semidiameter orbis magni 7partium #ajjjj7 qualis esset digitis #af-a_/c pedis ,anglicani4 ,tandem ut constaret an ,cometa in ,orbe sic invento ver moveretur1 collegi per operationes partim ,arithmeticas partim ,graphicas1 loca ,comet in hoc orbe ad observationum quarundam tempora3 uti in ,tabula sequente videre licet4 ,,comet ,distant4 ,comet ,lon4 ,lat4 ,long4,obs4,lat4 ,obs4 ,diff4,differ4 ,sole ,collect4 ,collect4 ,long4,lat4 ---------------------------------------- ----------------- ,decemb4 ,cap4 ,cap4 #ab #bgib #f4cb #h4ah-a_/b #f4cc #h4bf -#b -#g-a_/b ,psc4 ,psc4 #bi #hdjc #ac4ac-b_/cbh4 #j #ac4aa-c_/dbh4aj-a_/ab #b -#aj-a_/b ,tau4 ,tau4 ,febr4 #e #afffi #ag4 #j #ae4bi-b_/caf4ei-g_/hae4bg-b_/e #j #b-a_/e ,tau4 ,tau4 ,mar4 #e #bagcg #bi4ai-c_/dab4 #d #bi4bj-f_/gab4 #b-b_/c -#a #a-a_/c ,prterea cum ,cl4 ,flamstedius ,cometam1 qui ,mense ,novembri apparuerat1 eundem esse cum ,cometa mensium subsequentium1 literis ad me datis aliquando disputaret1 ,trajectoriam quamdam ab orbe hocce ,parabolico non longe aberrantem delinearet1 visum est loca ,comet in hoc orbe ,mense ,novembri computare1 cum ,observationis conferre4 ,observationes ita se habent4 ,nov4 #ag4 ,st4 ,vet4 ,ponthus alii hora sexta matutina ,rom1 7id est hora #e4 #aj' ,londini7 ,cometam observarunt in ,libr #h gr4 #cj' cum latitudine ,australi #j gr4 #dj'4 ,extant autem eorum observationes in tractatu quem ,ponthus de hoc ,cometa in lucem edidit4 ,eadem hor ,galletius etiam ,rom1 ,cometam vidit in ,libr #h gr4 sine ,latitudine4 ,nov4 #ah4 ,ponthus ,socii hor matutin #f1 #cj' ,rom 7i4 e4 hor4 #e4 #dj' ,londini7 ,cometam viderunt in ,libr #ac cum ,lat4 ,austr4 #a gr4 #bj'4 ,eodem die ,r4 ,p4 ,ango in ,academia ,flechensi apud ,gallos1 hor quint matutin1 ,cometam vidit in medio ,stellarum duarum parvarum1 quarum una media est trium in recta linea in ,virginis ,australi manu1 altera est extrema al4 ,unde ,cometa tunc fuit in ,libr #ab gr4 #df' cum ,lat4 ,austr4 #ej'4 ,eodem die ,bostoni in ,nova ,anglia in ,lat4 #db-a_/c1 hor quint matutin 7id est ,londini hora ,mat4 #i-b_/c7 ,cometa visus est in ,libr #ad circiter1 cum ,lat4 ,austr4 #a gr4 #cj'2 uti ,cl4 ,halleio accepi4 ,nov4 #ai4 hora ,mat4 #d ,cantabrigi1 ,cometa 7observante juvene quodam7 distabat ,spica ,virginis quasi #b gr4 ,boreazephyrum versus4 ,eodem die hor4 #e4 ,mat4 ,bostoni in ,nova-,anglia ,cometa distabat ,spica ,virginis gradu uno1 differenti latitudinum existente #dj'1 atque adeo differentia ,long4 #dd' circiter4 ,unde ,cometa erat in ,libr #ah gr4 #dj' cum ,lat4 ,austr4 #a gr4 #ai'4 ,eodem die ,d4 ,arthurus ,storer ad fluvium ,patuxent prope ,hunting-,creek in ,mary-,land1 in ,confinio ,virgini in ,lat4 #ch gr4 hor quint matutin 7id est hor #aj;a ,londini7 ,cometam vidit supra ,spicam ,virginis1 cum ,spica propemodum conjunctum1 existente distantia inter eosdem quasi gr4 ,observator idem1 eadem hor diei sequentis1 ,cometam vidit quasi #b gr4 inferiorem ,spic4 ,congruent h observationes cum observationibus in ,nova ,anglia factis1 si mod distanti 7pro motu diurno ,comet7 nonnihil augeantur1 ita ut ,cometa die priore superior esset ,spica ,virginis altitudine #eb' circiter1 ac die posteriore inferior eadem stell altitudine perpendiculari #b gr4 #dj'4 ,nov4 #bj4 ,d4 ,montenarus ,astronomi ,professor ,paduensis1 hora sexta ,matutina1 ,venetiis 7id est hora #e4 #aj' ,londini7 ,cometam vidit in ,libr #bc gr4 cum ,lat4 ,austr4 #a gr4 #cj'4 ,eodem die ,bostoni distabat ,cometa ,spica ,virginis1 #d gr4 longitudinis in orientem1 adeoque erat in ,libr #bc gr4 #bd circiter4 ,nov4 #ba4 ,ponthus ,socii hor4 mat4 #g ,cometam observarunt in ,libr #bg gr4 #ej' cum ,latitudine ,australi #a gr4 #af'4 ,ango hor quint mat4 in ,libr #bg gr4 #de'4 ,montenarus in ,libr #bg gr4 #ea'4 ,eodem die in ,insul ,jamaic visus est prope principium ,scorpii1 eandemque circiter latitudinem habuit cum ,spica ,virginis1 id est #a gr4 #ei'4 ,novem4 #bb4 ,visus est ,montenaro in ,scorpii #b4 #cc'4 ,bostoni autem in ,nov ,angli apparuit in ,scorpii #c gr4 circiter1 eadem fere cum latitudine ac prius4 ,deinde visus est ,montenaro ,novem4 #bd4 in ,scorpii #ab gr4 #eb'4 ,nov4 #be4 in ,scorpii #ag gr4 #de'4 ,latitudinem ,galletius jam ponit #b gr4 ,eandem ,ponthus ,galletius decrevisse1 ,montenarus ,ango semper crevisse testantur4 ,crass sunt horum omnium observationes1 sed e ,montenari1 ,angonis observatoris in ,nova-,anglia prferend videntur4 ,ex omnibus autem inter se collatis1 ad meridianum ,londini1 hora mat4 #e4 #aj' reductis1 colligo ,cometam hujusmodi cursum quamproxim descripsisse4 ,long4 ,com4 ,latit4 ,com4 ----------------------------- ,nov4 #ag ,libr #h4j #j4de ,austr4 #ah #ab4eb #a4 #b #ai #ag4dh #a4ah #bj #bb4de #a4cb #ba #bg4df #a4dd #bb ,scorpii #b4dh #a4ee #bc #g4ej #b4 #d #bd #ab4eb #b4ab #be #ag4de #b4ah ,loca autem ,comet iisdem horis in orbe ,parabolico inventa ita se habent4 ,comet4 ,lon4 ,com4 ,lat4 --------------------------- ,nov4 #ag ,libr #h4 #c #j4bc ,a #ba ,libr #bh4 #j #a4bb ,a #be ,scorpii #ah4ag #b4 #f ,a ,congruunt igitur observationes tam mense ,novembri1 quam mensibus tribus subsequentibus cum motu ,comet circa ,solem in ,trajectori hacce ,parabolic1 atque adeo hanc esse veram hujus ,comet ,trajectoriam confirmant4 ,nam differentia inter loca observata loca computata tam ex erroribus observationum quam ex erroribus operationum ,graphicarum in ,orbe definiendo admissis1 facil oriri potuere4 ,cterum ,trajectoriam quam ,cometa descripsit1 caudam veram quam singulis in locis projecit1 visum est annexo schemate in plano ,trajectori optic delineatas exhibere3 observationibus sequentibus in cauda definienda adhibitis4 ,nov4 #ag4 ,cauda gradus amplius quindecim longa ,pontho apparuit4 ,nov4 #ah4 cauda #cj gr4 longa1 ,solique directe opposita in ,nova ,anglia cernebatur1 protendebatur usque ad stellam ,martem1 qui tunc erat in ,virginis #i gr4 #ed'4 ,nov4 #ai in ,mary-,land cauda visa fuit gradus #ae vel #bj longa4 ,dec4 #aj4 cauda 7observante ,flamstedio7 transibat per medium distanti inter caudam serpentis ,ophiuchi stellam delta in ,aquil australi ala1 desinebat prope stellas ,a1 omega1 b in ,tabulis ,bayeri4 ,terminus igitur erat in ,capricorni #ai cum lat4 bor4 #cd gr4 circiter4 ,dec4 #aa4 surgebat ad usque caput sagitt 7,bayero1 alpha1 beta17 desinens in ,capricorni #bf gr4 #dc' cum lat4 bor4 #ch gr4 #cd'4 ,dec4 #ab4 transibat per medium ,sagitt1 nec longe ultra protendebatur1 desinens in ,aquarii #d1 cum lat4 bor4 #db circiter4 ,intelligenda sunt hc de longitudine caud clarioris4 ,nam luce obscuriore1 in coelo forsan magis sereno1 cauda ,dec4 #ab4 hora #e1 #dj' ,rom 7observante ,pontho7 supra cygni ,uropygium ad gr4 #aj4 sese extulit2 atque ab hac stella ejus latus ad occasum boream min4 #de4 destitit4 ,lata autem erat cauda his diebus gr4 #c4 juxta terminum superiorem1 ideoque medium ejus distabat ,stella illa #b gr4 #ae' austrum versus1 terminus superior erat in ,piscium #bb gr4 cum lat4 bor4 #fa gr4 ,dec4 #ba4 surgebat fere ad cathedram ,cassiopei1 qualiter distans beta ,schedir1 distantiam ab utraque distanti earum ab invicem qualem habens1 adeoque desinens in ,piscium #bd gr4 cum lat4 #dg gr4 ,dec4 #bi4 tangebat ,scheat sitam ad sinistram1 intervallum stellarum duarum in pede boreali ,andromed accurat complebat1 longa erat #ed gr4 adeoque desinebat in ,tauri #ai gr4 cum lat4 #ce4 gr4 ,jan4 #e4 tetigit stellam pi in pectore ,andromed1 ad latus suum dextrum stellam mu in ejus cingulo ad latus sinistrum2 7juxta observationes nostras7 longa erat #dj gr42 curva autem erat convexo latere spectabat ad austrum4 ,cum circulo per ,solem caput ,comet transeunte angulum confecit graduum #d juxta caput ,comet2 at juxta terminum alterum inclinabatur ad circulum illum in angulo #aj vel #aa grad4 chorda caud cum circulo illo continebat angulum graduum octo4 ,jan4 #ac4 ,cauda luce satis sensibili terminabatur inter ,alamech ,algol1 luce tenuissima desinebat regione stell kappa in latere ,persei4 ,distantia termini caud circulo ,solem ,cometam jungente erat #c gr4 #ej'1 inclinatio chord caud ad circulum illum #h gr4 ,jan4 #be #bf luce tenui micabat ad longitudinem graduum #f vel #g2 ubi coelum valde serenum erat1 luce tenuissim gerrim sensibili attingebat longitudinem graduum duodecim paulo ultra4 ,dirigebatur autem ejus axis ad ,lucidam in humero orientali ,aurig accurat1 adeoque declinabat ab oppositione ,solis ,boream versus in angulo graduum decem4 ,denique ,feb4 #aj4 caudam oculis armatis aspexi gradus duos longam4 ,nam lux prdicta tenuior per vitra non apparuit4 ,ponthus autem ,feb4 #g4 se caudam ad longitudinem gr4 #ab4 vidisse scribit4 ,orbem jam descriptum spectanti reliqua ,comet hujus ,phnomena in animo revolventi haud difficulter constabit quod corpora ,cometarum sunt solida1 compacta1 fixa ac durabilia ad instar corporum ,planetarum4 ,nam si nihil aliud essent qum vapores vel exhalationes ,terr1 ,solis ,planetarum1 ,cometa hicce in transitu suo per viciniam ,solis statim dissipari debuisset4 ,est enim calor ,solis ut radiorum densitas1 hoc est reciproc ut quadratum distanti locorum ,sole4 ,ideoque cum distantia ,comet ,sole ,dec4 #h4 ubi in ,perihelio versabatur1 esset ad distantiam ,terr ,sole ut #f ad #ajjj circiter1 calor ,solis apud ,cometam eo tempore erat ad calorem ,solis stivi apud nos ut #ajjjjjj ad #cf1 seu #bhjjj ad #a4 ,sed calor aqu ebullientis est quasi triplo major qum calor quem terra arida concipit ad stivum ,solem2 ut expertus sum3 calor ferri candentis 7si rect conjector7 quasi triplo vel quadruplo major quam calor aqu ebullientis2 adeoque calor quem terra arida apud ,cometam in perihelio versantem ex radiis ,solaribus concipere posset2 quasi #bjjj vicibus major qum calor ferri candentis4 ,tanto autem calore vapores exhalationes1 omnisque materia volatilis statim consumi ac dissipari debuissent4 ,cometa igitur in perihelio suo calorem immensum ad ,solem concepit1 calorem illum diutissim conservare potest4 ,nam globus ferri candentis digitum unum latus1 calorem suum omnem spatio hor unius in aere consistens vix amitteret4 ,globus autem major calorem diutius conservaret in ratione diametri1 propterea quod superficies 7ad cujus mensuram per contactum aeris ambientis refrigeratur7 in illa ratione minor est pro quantitate materi su calid inclus4 ,ideoque globus ferri candentis huic ,terr qualis1 id est pedes plus minus #djjjjjjj latus1 diebus totidem1 idcirco annis #ejjjj1 vix refrigesceret4 ,suspicor tamen quod duratio ,caloris ob causas latentes augeatur in minore ratione quam ea diametri3 optarim rationem veram per experimenta investigari4 ,porr notandum est quod ,cometa ,mense ,decembri1 ubi ad ,solem mod incaluerat1 caudam emittebat longe majorem splendidiorem qum antea ,mense ,novembri2 ubi perihelium nondum attigerat4 ,et universaliter caud omnes maxim fulgentissim ,cometis oriuntur1 statim post transitum eorum per regionem ,solis4 ,conducit igitur calefactio ,comet ad magnitudinem caud4 ,et inde colligere videor quod cauda nihil aliud sit quam vapor longe tenuissimus1 quem caput seu ,nucleus ,comet per calorem suum emittit4 ,cterum de ,cometarum caudis triplex est opinio1 eas vel jubar esse ,solis per translucida ,cometarum capita propagatum2 vel oriri ex refractione lucis in progressu ipsius capite ,comet in ,terram3 vel denique nubem esse seu vaporem capite ,comet jugiter surgentem abeuntem in partes ,sole aversas4 ,opinio prima eorum est qui nondum imbuti sunt scientia rerum opticarum4 ,nam jubar ,solis in cubiculo tenebroso non cernitur nisi quatenus lux reflectitur pulverum fumorum particulis per aerem semper volitantibus3 adeoque in aere fumis crassioribus infecto splendidius est1 sensum fortius ferit2 in aere clariore tenuius est grius sentitur3 in coelis autem absque materia reflectente nullum esse potest4 ,lux non cernitur quatenus in jubare est1 sed quatenus inde reflectitur ad oculos nostros4 ,nam visio non fit nisi per radios qui in oculos impingunt4 ,requiritur igitur materia aliqua reflectens in regione ,caud1 ne coelum totum luce ,solis illustratum uniformiter splendeat4 ,opinio secunda multis premitur difficultatibus4 ,caud nunquam variegantur coloribus3 qui tamen refractionum solent esse comites inseparabiles4 ,lux ,fixarum ,planetarum distinct ad nos transmissa demonstrat medium coeleste nulla vi refractiva pollere4 ,nam quod dicitur fixas ab gyptiis comatas nonnunquam visas fuisse1 id quoniam rarissim contingit1 ascribendum est nubium refractioni fortuit4 ,fixarum quoque radiatio scintillatio ad refractiones tum ,oculorum tum aeris tremuli referend sunt3 quippe qu admotis oculo ,telescopiis evanescunt4 ,aeris ascendentium vaporum tremore fit ut radii facile de angusto pupilli spatio per vices detorqueantur1 de latiore autem vitri objectivi apertura neutiquam4 ,inde est quod scintillatio in priori casu generetur1 in posteriore autem cesset3 cessatio in posteriore casu demonstrat regularem transmissionem lucis per coelos absque omni refractione sensibili4 ,nequis contendat quod caud non soleant videri in ,cometis cum eorum lux non est satis fortis1 quia tunc radii secundarii non habent satis virium ad oculos movendos1 propterea caudas fixarum non cerni3 sciendum est quod lux fixarum plus centum vicibus augeri potest mediantibus ,telescopiis1 nec tamen caud cernuntur4 ,planetarum quoque lux copiosior est1 caud ver null3 ,comet autem spe caudatissimi sunt1 ubi capitum lux tenuis est valde obtusa3 sic enim ,cometa ,anni #afhj1 ,mense ,decembri1 quo tempore caput luce sua vix quabat stellas secund magnitudinis1 caudam emittebat splendore notabili usque ad gradus #dj1 #ej1 #fj longitudinis ultra3 postea ,jan4 #bg #bh caput apparebat ut stella septim tantum magnitudinis1 cauda ver luce quidem pertenui sed satis sensibili longa erat #f vel #g gradus1 luce obscurissima1 qu cerni vix posset1 porrigebatur ad gradum usque duodecimum vel paulo ultra3 ut supra dictum est4 ,sed ,feb4 #i4 #aj ubi caput nudis oculis videri desierat1 caudam gradus duos longam per ,telescopium contemplatus sum4 ,porro si cauda oriretur ex refractione materi coelestis1 pro figura coelorum deflecteretur de ,solis oppositione1 deberet deflexio illa in iisdem coeli regionibus in eandem semper partem fieri4 ,atqui ,cometa ,anni #afhj ,decemb4 #bh hora #h ,p4,m4 ,londini1 versabatur in ,piscium #h gr4 #da cum latitudine boreali #bh gr4 #f'1 ,sole existente in ,capricorni #ah gr4 #bf'4 ,et ,cometa ,anni #aegg ,dec4 #bi4 versabatur in ,piscium #h gr4 #da' cum latitudine boreali #bh gr4 #dj'4 ,sole etiam existente in ,capricorni #ah gr4 #bf' circiter4 ,utroque in casu ,terra versabatur in eodem loco ,cometa apparebat in eadem coeli parte3 in priori tamen casu cauda ,comet 7ex meis aliorum observationibus7 declinabat angulo graduum #d ab oppositione ,solis ,aquilonem versus2 in posteriore ver 7ex ,observationibus ,tychonis7 declinatio erat graduum #ba in austrum4 ,igitur repudiata coelorum refractione1 superest ut ,phnomena ,caudarum ex materia aliqua reflectente deriventur4 ,caudas autem capitibus oriri in regiones ,sole aversas ascendere confirmatur ex legibus quas observant4 ,ut quod in planis orbium ,cometarum per ,solem transeuntibus jacentes1 deviant ab oppositione ,solis in eas semper partes quas capita in orbibus illis progredientia relinquunt4 ,quod spectatori in his planis constituto apparent in partibus ,sole direct aversis2 digrediente autem spectatore de his planis1 deviatio paulatim sentitur1 indies apparet major4 ,quod deviatio cteris paribus minor est ubi cauda obliquior est ad orbem ,comet1 ut ubi caput ,comet ad ,solem propius accedit2 prsertim si spectetur deviationis angulus juxta caput ,comet4 ,prterea quod caud non deviantes apparent rect1 deviantes autem incurvantur4 ,quod curvatura major est ubi major est deviatio1 magis sensibilis ubi cauda cteris paribus longior est3 nam in brevioribus curvatura gre animadvertitur4 ,quod deviationis angulus minor est juxta caput ,comet1 major juxta caud extremitatem alteram1 atque ade quod cauda convexo sui latere partes respicit quibus fit deviatio1 quque in rect sunt line ,sole per caput ,comet in infinitum duct4 ,et quod caud qu prolixiores sunt latiores1 luce vegetiore micant1 sint ad latera convexa paul splendidiores limite minus indistincto terminat quam ad concava4 ,pendent igitur ,phnomena caud motu capitis1 non autem regione coeli in qua caput conspicitur2 propterea non fiunt per refractionem coelorum1 sed capite suppeditante materiam oriuntur4 ,etenim ut in aere nostro fumus corporis cujusvis igniti petit superiora1 idque vel perpendiculariter si corpus quiescat1 vel obliqu si corpus moveatur in latus2 ita in coelis ubi corpora gravitant in ,solem1 fumi vapores ascendere debent ,sole 7uti jam dictum est7 superiora vel rect petere1 si corpus fumans quiescit2 vel obliqu1 si corpus progrediendo loca semper deserit quibus superiores vaporis partes ascenderant4 ,et obliquitas ista minor erit ubi ascensus vaporis velocior est3 nimirum in vicinia ,solis juxta corpus fumans4 ,ex obliquitatis autem diversitate incurvabitur vaporis columna3 quia vapor in column latere prcedente paulo recentior est1 ideo etiam is ibidem aliquanto densior erit1 lucemque propterea copiosius reflectet1 limite minus indistincto terminabitur4 ,de caudarum agitationibus subitaneis incertis1 deque earum figuris irregularibus1 quas nonnulli quandoque describunt1 hic nihil adjicio2 propterea quod vel mutationibus aeris nostri1 motibus nubium caudas aliqua ex parte obscurantium oriantur2 vel forte partibus ,vi ,lacte1 qu cum caudis prtereuntibus confundi possint1 ac tanquam earum partes spectari4 ,vapores autem1 qui spatiis tam immensis implendis sufficiant1 ex ,cometarum ,atmosphris oriri posse1 intelligetur ex raritate aeris nostri4 ,nam aer juxta superficiem ,terr spatium occupat quasi #hej vicibus majus quam aqua ejusdem ponderis1 ideoque aeris columna ,cylindrica pedes #hej alta ejusdem est ponderis cum aqu columna pedali latitudinis ejusdem4 ,columna autem aeris ad summitatem ,atmosphr assurgens quat pondere suo columnam aqu pedes #cc altam circiter2 propterea si column totius aere pars inferior pedum #hej altitudinis dematur1 pars reliqua superior quabit pondere suo columnam aqu altam pedes #cb4 ,inde ver 7ex ,hypothesi multis experimentis confirmata1 quod compresso aeris sit ut pondus ,atmosphr incumbentis1 quodque gravitas sit reciproce ut quadratum distanti locorum centro ,terr7 computationem per ,corol4 ,prop4 ,,xxii4 ,lib4 ,,ii4 ineundo1 inveni quod aer1 si ascendatur superficie ,terr ad altitudinem semidiametri unius terrestris1 rarior sit qum apud nos in ratione longe majori1 qum spatii omnis infra orbem ,saturni ad globum diametro digiti unius descriptum4 ,ideoque globus aeris nostri digitum unum latus1 ea cum raritate quam haberet in altitudine semidiametri unius terrestris1 impleret omnes ,planetarum regiones ad usque sphram ,saturni longe ultra4 ,proinde cum aer adhuc altior in immensum rarescat2 coma seu ,atmosphra ,comet1 ascendendo ab illius centro1 quasi decuplo altior sit qum superficies nuclei1 deinde cauda adhuc altius ascendat1 debebit cauda esse qum rarissima4 ,et quamvis1 ob longe crassiorem ,cometarum ,atmosphram1 magnamque corporum gravitationem ,solem versus1 gravitationem particularum ,aeris vaporum in se mutuo1 fieri possit ut aer in spatiis coelestibus inque ,cometarum caudis non adeo rarescat2 perexiguam tamen quantitatem aeris vaporum ad omnia illa caudarum phnomena abunde sufficere ex hac computatione perspicuum est4 ,nam caudarum insignis raritas colligitur ex astris per eas translucentibus4 ,atmosphra terrestris luce ,solis splendens1 crassitudine sua paucorum milliarium1 astra omnia ipsam ,lunam obscurat extinguit penitus3 per immensam ver caudarum crassitudinem1 luce pariter ,solari illustratam1 astra minima absque claritatis detrimento translucere noscuntur4 ,neque major esse solet caudarum plurimarum splendor1 quam aeris nostri in tenebroso cubiculo latitudine digiti unius duorumve1 lucem ,solis in jubare reflectentis4 ,quo tempore vapor capite ad terminum caud ascendit1 cognosci fere potest ducendo rectam termino caud ad ,solem1 notando locum ubi recta illa ,trajectoriam secat4 ,nam vapor in termino caud1 si rect ascendat ,sole1 ascendere cpit capite quo tempore caput erat in loco intersectionis4 ,at vapor non rect ascendit ,sole1 sed motum ,comet1 quem ante ascensum suum habebat1 retinendo1 cum motu ascensus sui eundem componendo1 ascendit oblique4 ,unde verior erit ,problematis solutio1 ut recta illa qu orbem secat1 parallela sit longitudini caud1 vel potius 7ob motum curvilineum ,comet7 ut eadem linea caud divergat4 ,hoc pacto inveni quod vapor qui erat in termino caud ,jan4 #be4 ascendere cperat capite ante ,decemb4 #aa4 adeoque ascensu suo toto dies plus #de consumpserat4 ,at cauda illa omnis qu ,dec4 #aj4 apparuit1 ascenderat spatio dierum illorum duorum1 qui tempore perihelii ,comet elapsi fuerant4 ,vapor igitur sub initio in vicinia ,solis celerrim ascendebat1 postea cum motu per gravitatem suam semper retardato ascendere pergebat2 ascendendo augebat longitudinem caud3 cauda autem quamdiu apparuit ex vapore fere omni constabat qui tempore perihelii ascenderat2 vapor1 qui primus ascendit1 terminum caud composuit1 non prius evanuit qum ob nimiam suam tam ,sole illustrante quam ab oculis nostris distantiam videri desiit4 ,unde etiam caud ,cometarum aliorum qu breves sunt1 non ascendunt motu celeri perpetuo capitibus mox evanescunt1 sed sunt permanentes vaporum exhalationum column1 capitibus lentissimo multorum dierum motu propagat1 qu1 participando motum illum capitum quem habuere sub initio1 per coelos una cum capitibus moveri pergunt4 ,et hinc rursus colligitur spatia clestia vi resistendi destitui2 utpote in quibus non solum solida ,planetarum ,cometarum corpora1 sed etiam rarissimi caudarum vapores motus suos velocissimos liberrim peragunt ac diutissim conservant4 ,ascensum caudarum ex ,atmosphris capitum progressum in partes ,sole aversas ,keplerus ascribit actioni radiorum lucis materiam caud secum rapientium4 ,et auram longe tenuissimam in spatiis liberrimis actioni radiorum cedere1 non est ratione prorsus alienum1 non obstante quod substanti crass1 impeditissimis in regionibus nostris1 radiis ,solis sensibiliter propelli nequeant4 ,alius particulas tam leves quam graves dari posse existimat1 materiam caudarum levitare1 perque levitatem suam ,sole ascendere4 ,cm autem gravitas corporum terrestrium sit ut materia in corporibus1 ideoque servata quantitate materi intendi remitti nequeat1 suspicor ascensum illum ex rarefactione materi caudarum potius oriri4 ,ascendit fumus in camino impulsu aeris cui innatat4 ,aer ille per calorem rarefactus ascendit1 ob diminutam suam gravitatem specificam1 fumum implicatum rapit secum4 ,quidni cauda ,comet ad eundem modum ascenderit ,sole8 ,nam radii ,solares non agitant ,media qu permeant1 nisi in reflexione refractione4 ,particul reflectentes ea actione calefact calefacient auram theream cui implicantur4 ,illa calore sibi communicato rarefiet1 ob diminutam ea raritate gravitatem suam specificam qua prius tendebat in ,solem1 ascendet secum rapiet particulas reflectentes ex quibus cauda componitur3 ,ad ascensum vaporum conducit etiam quod hi gyrantur circa ,solem ea actione conantur ,sole recedere1 at ,solis ,atmosphra materia coelorum vel plane quiescit1 vel motu solo quem ,solis rotatione acceperint1 tardius gyratur4 ,h sunt caus ascensus caudarum in vicinia ,solis1 ubi orbes curviores sunt1 ,comet intra densiorem ea ratione graviorem ,solis ,atmosphram consistunt1 caudas qum longissimas mox emittunt4 ,nam caud qu tunc nascuntur1 conservando motum suum interea versus ,solem gravitando1 movebuntur circa ,solem in ,ellipsibus pro more capitum1 per motum illum capita semper comitabuntur iis liberrim adhrebunt4 ,gravitas enim vaporum in ,solem non magis efficiet ut caud postea decidant capitibus ,solem versus1 quam gravitas capitum efficere possit ut hc decidant caudis4 ,communi gravitate vel simul in ,solem cadunt1 vel simul in ascensu suo retardabuntur1 adeoque gravitas illa non impedit1 quo minus caud capita positionem quamcunque ad invicem causis jam descriptis aut aliis quibuscunque facillim accipiant postea liberrime servent4 ,caud igitur qu ,cometarum periheliis nascuntur1 in regiones longinquas cum eorum capitibus abibunt1 vel inde post longam annorum seriem cum iisdem ad nos redibunt1 vel potius ibi rarefacti paulatim evanescent4 ,nam postea in descensu capitum ad ,solem caud nov breviuscul lento motu capitibus propagari debebunt1 subinde1 in ,periheliis ,cometarum illorum qui adusq2 ,atmosphram ,solis descendunt1 in immensum augeri4 ,vapor enim in spatiis illis liberrimis perpetu rarescit ac dilatatur4 ,qua ratione fit ut cauda omnis ad extremitatem superiorem latior sit quam juxta caput ,comet4 ,ea autem rarefactione vaporem perpetuo dilatatum diffundi tandem spargi per coelos universos1 deinde paulatim in ,planetas per gravitatem suam attrahi cum eorum ,atmosphris misceri rationi consentaneum videtur4 ,nam quemadmodum ,maria ad constitutionem ,terr hujus omnino requiruntur1 idque ut ex iis per calorem ,solis vapores copiose satis excitentur1 qui vel in nubes coacti decidant in pluviis1 terram omnem ad procreationem vegetabilium irrigent nutriant2 vel in frigidis montium verticibus condensati 7ut aliqui cum ratione philosophantur7 decurrant in fontes flumina3 sic ad conservationem marium humorum in ,planetis ,comet requiri videntur2 ex quorum exhalationibus vaporibus condensatis1 quicquid liquoris per vegetationem putrefactionem consumitur in terram aridam convertitur1 continu suppleri refici possit4 ,nam vegetabilia omnia ex liquoribus omnino crescunt1 dein magna ex parte in terram aridam per putrefactionem abeunt1 limus ex liquoribus putrefactis perpetu decidit4 ,hinc moles ,terr arid indies augetur1 liquores1 nisi aliunde augmentum sumerent1 perpetu decrescere deberent1 ac tandem deficere4 ,porr suspicor spiritum illum1 qui aeris nostri pars minima est sed subtilissima optima1 ad rerum omnium vitam requiritur1 ex ,cometis prcipue venire4 ,atmosphr ,cometarum in descensu eorum in ,solem excurrendo in caudas diminuuntur1 7ea certe in parte qu ,solem respicit7 angustiores redduntur3 vicissim in recessu eorum ,sole1 ubi jam minus excurrunt in caudas1 ampliantur2 si mod ,phnomena eorum ,hevelius recte notavit4 ,minim autem apparent ubi capita jam modo ad ,solem calefacta in caudas maximas fulgentissimas abiere1 nuclei fumo forsan crassiore nigriore in ,atmosphrarum partibus infimis circundantur4 ,nam fumus omnis ingenti calore excitatus crassior nigrior esse solet4 ,sic caput ,comet de quo egimus1 in qualibus ,sole ac ,terr distantiis1 obscurius apparuit post perihelium suum quam antea4 ,mense enim ,decem4 cum stellis terti magnitudinis conferri solebat1 at ,mense ,novem4 cum stellis prim secund4 ,et qui utrumq2 viderant1 majorem describunt ,cometam priorem4 ,nam ,juveni cuidam ,cantabrigiensi ,novem4 #ai4 ,cometa hicce luce sua quantumvis plumbea obtusa quabat ,spicam ,virginis1 clarius micabat qum postea4 ,et ,d4 ,storer literis qu in manus nostras incidre1 scripsit caput ejus ,mense ,decembri1 ubi caudam maximam fulgentissimam emittebat1 parvum esse magnitudine visibili longe cedere ,comet qui ,mense ,novembri ante ,solis ortum apparuerat4 ,cujus rei rationem esse conjectabatur quod materia capitis sub initio copiosior esset paulatim consumeretur4 ,eodem spectare videtur quod capita ,cometarum aliorum1 qui caudas maximas fulgentissimas emiserunt1 describantur subobscura exigua4 ,nam ,anno #affh ,mart4 #e4 ,st4 nov4 hora septima ,vesp4 ,r4 ,p4 ,valentinus ,estancius1 ,brasili agens1 ,cometam vidit ,horizonti proximum ad occasum ,solis brumalem1 capite minimo vix conspicuo1 cauda ver supra modum fulgente1 ut stantes in littore speciem ejus mati reflexam facil cernerent4 ,speciem utique habebat trabis splendentis longitudine #bc graduum1 ab occidente in austrum vergens1 ,horizonti fere parallela4 ,tantus autem splendor tres solum dies durabat1 subinde notabiliter decrescens2 interea decrescente splendore aucta est magnitudine cauda4 ,unde etiam in ,portugallia quartam fere coeli partem 7id est gradus #de7 occupasse dicitur1 ab occidente in orientem splendore cum insigni protensa2 nec tamen tota apparuit1 capite semper in his regionibus infra ,horizontem delitescente4 ,ex incremento caud decremento splendoris manifestum est quod caput ,sole recessit1 eique proximum fuit sub initio1 pro more ,comet anni #afhj4 ,et similis legitur ,cometa anni #aaja vel #aajf1 cujus ,stella erat parva obscura 7ut ille anni #afhj7 sed splendor qui ex ea exivit valde clarus quasi ingens trabs ad orientem ,aquilonem tendebat1 ut habet ,hevelius ex ,simeone ,dunelmensi ,monacho4 ,apparuit initio ,mensis ,feb4 circa vesperam ad occasum ,solis brumalem4 ,inde ver ex situ caud colligitur caput fuisse ,soli vicinum4 ,a ,sole1 inquit ,matthus ,parisiensis1 distabat quasi cubito uno1 ab hora tertia rectius sexta usque ad horam nonam radium ex se longum emittens4 ,talis etiam erat ardentissimus ille ,cometa ab ,aristotele descriptus ,lib4 #a4 ,meteor4 #f4 cujus caput primo die non conspectum est1 eo quod ante ,solem vel saltem sub radiis solaribus occidisset1 sequente ver die quantum potuit visum est4 ,nam quam minim fieri potest distanti ,solem reliquit1 mox occubuit4 ,ob nimium ardorem caud scilicet nondum apparebat capitis sparsus ignis1 sed procedente tempore 7ait ,aristoteles7 cum cauda jam minus flagraret1 reddita est capiti ,comet sua facies4 ,et splendorem suum ad tertiam usque coeli partem id est ad #fj gr4 extendit4 ,apparuit autem tempore hyberno1 ascendens usque ad cingulum ,orionis ibi evanuit4 ,cometa ille anni #afah1 qui radiis ,solaribus caudatissimus emersit1 stellas prim magnitudinis quare vel paulo superare videbatur1 sed majores apparuere ,comet non pauci qui caudas breviores habuere4 ,horum aliqui ,jovem1 alii ,venerem vel etiam ,lunam quasse traduntur4 ,diximus ,cometas esse genus ,planetarum in ,orbibus valde excentricis circa ,solem revolventium4 ,et quemadmodum ,planetis non caudatis1 minores esse solent qui in orbibus minoribus ,soli proprioribus gyrantur1 sie etiam ,cometas1 qui in ,periheliis suis ad ,solem propius accedunt1 ut plurimum minores esse in orbibus minoribus revolvi rationi consentaneum videtur4 ,orbium ver transversas diametros revolutionum tempora periodica ex collatione ,cometarum in iisdem orbibus post longa temporum intervalla redeuntium determinanda relinquo4 ,interea huic negotio ,propositio sequens ,lumen accendere potest4 ,prop4 ,,xlii4 ,prob4 ,,xxi4 ,trajectoriam ,comet graphic inventam corrigere4 ,oper4 #a4 ,assumatur positio plani ,trajectori1 per ,propositionem superiorem graphic inventa2 seligantur tria loca ,comet observationibus accuratissimis definita1 ab invicem quam maxim distantia2 sitque ,a tempus inter primam secundam1 ac ,b tempus inter secundam ac tertiam4 ,cometam autem in eorum aliquo in ,perigo versari convenit1 vel saltem non longe ,perigo abesse4 ,ex his locis apparentibus inveniantur per operationes ,trigonometricas loca tria vera ,comet in assumpto illo plano ,trajectori4 ,deinde per loca illa inventa1 circa centrum ,solis ceu umbilicum1 per operationes ,arithmeticas1 ope ,prop4 ,,xxi4 ,lib4 ,i4 institutas1 describatur ,sectio ,conica3 ejus are1 radiis ,sole ad loca inventa ductis terminat1 sunto ,d ,e2 nempe ,d area inter observationem primam secundam1 ,e area inter secundam ac tertiam4 ,sitque ,t tempus totum quo area tota ,d ,e1 velocitate ,comet per ,prop4 ,,xvi4 ,lib4 ,i4 inventa1 describi debet4 ,oper4 #b4 ,augeatur longitudo ,nodorum ,plani ,trajectori1 additis ad longitudinem illam #bj' vel #cj'1 qu dicantur ,p2 servetur plani illius inclinatio ad planum ,ecliptic4 ,deinde ex prdictis tribus ,comet locis observatis inveniantur in hoc novo plano loca tria vera 7ut supra73 deinde etiam orbis per loca illa transiens1 ejusdem are du inter observationes descript1 qu sint d e1 nec non tempus totum t quo area tota d e describi debeat4 ,oper4 #c4 ,servetur ,longitudo ,nodorum in operatione prima1 augeatur inclinatio ,plani ,trajectori ad planum ,ecliptic1 additis ad inclinationem illam #bj' vel #cj'1 qu dicantur ,q4 ,deinde ex observatis prdictis tribus ,comet locis apparentibus1 inveniantur in hoc novo ,plano loca tria vera1 ,orbisque per loca illa transiens1 ut ejusdem are du inter observationes descript1 qu sint delta epsilon1 tempus totum tau quo area tota delta epsilon describi debeat4 ,jam sit ,c ad #a ut ,a ad ,b1 ,g ad #a ut ,d ad ,e1 g ad #a ut d ad e1 gamma ad #a ut delta ad epsilon2 sitque ,s tempus verum inter observationem primam ac tertiam2 signis - probe observatis qurantur numeri m n1 ea lege ut sit ,g - ,c m,g - mg n,g - ngamma1 ,t - ,s quale m,t - mt n,t - ntau4 ,et si1 in operatione prima1 ,i designet inclinationem plani ,trajectori ad planum ,ecliptic1 ,k longitudinem ,nodi alterutrius3 erit ,i n,q vera inclinatio ,plani ,trajectori ad ,planum ,ecliptic1 ,k m,p vera longitudo ,nodi4 ,ac denique si in operatione prima1 secunda ac tertia1 quantitates ,r1 r rho designent ,latera recta ,trajectori1 quantitates #a ,l1 #a l1 #a lambda ejusdem ,latera transversa respectiv3 erit ,r mr - m,r nrho - n,r verum ,latus rectum1 #a ,l ml - m,l nlambda - n,l verum ,latus transversum ,trajectori qum ,cometa describit4 ,dato autem ,latere transverso datur etiam tempus periodicum ,comet4 ,q4 ,e4 ,i4 99 99 99 99 99 ,,finis4 99 99 99 99 99 ,corrections made to printed original4 7,the ,errata of the printed original have been incorporated in the main text7 p4 #f4 ,,iv4 cum ,velocitate partium #ajjaj3 ',volocitate' in original4 p4 #af4 differenti contrariorum #ag - #a #ah - #b3 'contrario-' at end of page in original1 the 'rum' is only in the catchword4 p4 #aa4 ,at si attenderetur ad filum3 'attenderatur' in original4 p4 #bb4 si corpora ibant ad eandem plagam3 'eandam' in original4 p4 #bg4 ,lemma ,,ii4 curva ac,e comprehensa3 ',ac,e' in original4 ibid4 ,lemma ,,iii4 ubi parallelogrammorum latitudines3 'parallelogramomrum' in original4 p4 #ed4 occurrentem tum diametro ,,ypg3 'occurentem' in original4 p4 #ff4 ad illius umbilicorum intervallum3 'il-ius' on line break in original4 p4 #fi4 in secundo casu abeunte in infinitum3 'abeun-in' on line break in original4 p4 #gg4 ,lemma ,,xxi4 describent sectionem ,conicam3 'sec-ionem' in original1 across page break3 the catchword has the missing t4 p4 #gi4 ,prob4 ,,xiv4 occurrentes in ,t ,r3 'occurentes' in original4 p4 #ajf4 sic in infinitum43 'infinium' in original4 p4 #aab4 ,cognoscatur etiam angulus tempori proportionalis3 'porportionalis' in original4 ibid4 ,postea capiatur tum angulus ,f ad angulum ,b3 'augulus ,f' in original4 p4 #aac4 ,asymptotos ,,ck3 ',asymtotos' in original4 p4 #adf4 pro ratione distantiarum quales viribus quibus corpora unaquaq2 trahuntur3 'undiquaq2' in original4 p4 #agf4 ,corol4 #b4 ultimo in consequentia transeundo a ,b ad ,c3 'conseqentia' in original4 p4 #ahj4 augetq2 ,excentricitatem ,ellipseos3 ',ellipsieos' in original4 p4 #ahd4 non mutantur motus ,augis ,nodorum sensibiliter3 'sensibilitur' in original4 p4 #bai4 erit attractio corpusculi ,p in circulum ut #a ,,pan-#b - ,,pa ,,phn-#a43 ,first term '#a ,,pan-#a' in original4 p4 #bbb4 ,et pari ratione3 'pari-' at end of line in original4 p4 #bbf4 resolvo in ,seriem infinitam 444 m n ,,oa4443 'n m' in original4 p4 #bed4 ,prop4 ,,viii4 spatium totum descriptum distinguatur3 'descriptnm' in original4 p4 #bga4 ,reg4 #g4 determinandi hanc ,hyperbolam ex ,phnomenis3 ',phnominis' in original4 ibid4 in angulis diversis ,,hak1 h,ak3 ,the second 'h,a,k' in original4 p4 #bgb4 ,reg4 #h4 quarum ,,ac deorsum tendat3 'tandat' in original4 p4 #bid4 ,corol4 #d4 par est ratio omnium ejusdem magnitudinis3 'magitudinis' in original4 p4 #big4 densitates ,,ah1 ,,dl1 ,,qt erunt continue proportionales3 ,last reads ',,qo' in original - the point near ,q was marked ,o in original but changed by to ,t errata4 p4 #cjf4 ,corol4 accelerabatur in descensu3 'desensu' in original4 p4 #cab4 ,theor4 ,,xxiii4 in arcuum eorundem semisummam3 'eorundam' in original4 p4 #cbj4 ,corol4 #b4 augerentur in duplicata ratione velocitatis3 'augerenter' in original4 p4 #cca4 ,et si quales illi motus applicentur3 'applicenter' in original4 p4 #cdj4 ita ut ascensu ultimo describeret3 'describaret' in original4 p4 #cda4 ut #j1jjjbjig,v #j1jjjhiee,v#c_/b 4443 ,exponent '#b_/c' in original4 p4 #cde4 id est #g ad #b_/c3 '#g ad #c_/b' in original4 p4 #cff4 vim suam elasticam mediocrem3 'medio-' at end of line in original1 'crem' missing4 p4 #dje4 ,prop4 ,,ii4 ,theor4 ,,ii4 7per ,corol4 #a4 ,prop4 ,,xlv4 ,lib4 ,i473 ',coral' in original4 p4 #dah4 sit ad semidiametrum ,solis in eadem ratione circiter3 'semediametrum' in original4 p4 #dcb4 alterum in ,hemisphrio opposito3 ',hmisphrio' in original4 p4 #deh4 ,corol4 #b4 in revolutione puncti p generatarum3 'genetarum' in original4 p4 #dhj4 ,corol4 #a4 in ratione sesquialtera3 'sequialtera' in original4 p4 #dhb4 ,cas4 #b4 r in ,,sl s1 s in ,,sm t3 'r in ,,sl ,s1 ,s in ,,sm t' in original4 p4 #dhg4 ,prob4 ,,xx4 summa temporum ad dies plus minus sexcentos3 'tempo-porum' on line break in original4 p4 #ejd4 ascendendo augebat longitudinem caud3 'longi-dinem' on line break in original4 p4 #ejf4 ad procreationem vegetabilium irrigent nutriant3 'vegitabilium' in original4 p4 #ejg4 luce sua quantumvis plumbea3 'quamtumvis' in original4