,,b] ,,die                              
,,geometrie ,,d] ,,alt5 ,,gypt]         
------------------                      
,,vortrag                               
,,gehalt5 ,,9 ,,d]         ,,fei]li*5   
,,sitzung ,,d] ,,kais]li*5 ,,akademie   
,,d] ,,wiss5s*aft5                      
,,am                                    
,,xxix4 ,,mai ,,mdccclxxxiv             
,,von                                   
,,dr4 ,,emil ,,weyr        ,,wirkli*em  
,,mitgli$e ,,d] ,,kais]li*5 ,,akademie  
,,d] ,,wiss5s*aft54                     
------------------                      
,,wi5                     ,,aus ,,d] ,k4
 ,k4 ,,h(- ,,und ,,/aatsdruck]ei4       
,,9 ,,commission ,,bei ,,k>l ,,g]old',s 
,,sohn1            ,,bu*h,,ndl] ,,d]    
,,kais]li*5 ,,akademie ,,d]             
,,wiss5s*aft54                          
#ahhd              ,mge mir ge/attet    
se91 bei dem heutig5 fei]li*5 ,anlasse  
e9 ,bild zu  entroll51 wel*es 9 gross5  
,/ri*5 die allgeme95 ,umrisse des       
,zu/&es d] geometris*5 ,wiss5s*aft5 bei 

d5 alt5 ,aegypt]n zur  ,d>/ellung br+5  
soll2 und mge dasselbe ,wohlwoll51 das1 
gepa>t mit  e9] al!rgebra*t5 ,sitte1 mi*
 heute auf dies5 eb5 s ehr5voll5  als   
s*wi]ig5 ,platz ge/ellt1 au* bei d]     
,beur!ilung d] folg5d5  bes*eid551 weil 
s*wa*5 ,krft5 entspr+5d5 ,lei/ung       
obwalt56    ,s wie d] ,anfang all]      
m5s*li*5 ,k5ntnisse1 s i/ au* d]        
,ursprung  d] ,geometrie 9 graue/es     
,alt]?um zu v]setz51 er i/ zu su*5 9    
j55 d] ,zeit na* unangebb>5 ,p]iod5 d]  
m5s*li*5 ,entwicklung1 9  wel*5 das er/e
 ,erwa*5 des ,selb/bewus/se9s zu f9d5   
wre4 ,s9d  do* man*e geometris*e        
,ans*auung5 au* dem ,?i]e eig52 s j5e d]
  g]ad5 ,v]b9dungsl9ie zwei] ,punkte als
 d] krze/5 ,entf]nung2 j5e  des ,mehr   
und ,w5ig] bei ,quantitt5 d]            
,entf]nung51 ,hh51 ,neigung51  und s    
w]d5 au* man*e ab/ract]e ,raumans*auung5
 dem ,m5s*5 9  se95 er/5                
,entwicklungsp]iod5 eig5 geword5 se91   
,ans*auung51  wel*e dur* die ,mgli*keit 
und auf ,grund d] spra*li*5 ,bezei*nung 

j5e ,/abilitt erhielt51 die sie         
befhigte1 als er/e ,fundam5te d]        
geometris*5 ,k5ntnisse zun*/1 und d]    
,geometrie als ,wiss5s*aft  spt]        
aufzutret54    ,geometris*es ,d5k5 ent/&
 zu d5 v]s*i$5/5 ,zeit51 an d5          
v]s*i$5/5 ,ort54 ,d5n b]all1 wo d]      
m5s*li*e ,gei/ si* zu  entwickeln       
begann1 und das m5s*li*e ,d5k5 j5e ,hhe 
errei*te1 auf  wel*] ,ab/raction5       
ent/eh51 bildet5 si* die grundleg5d5    
,raumbegriffe2 d] des ,punktes1 d] g]ad5
 und krumm5 ,l9i51 d] eb55  und krumm5  
,fl*54 ,d5n b]all 9 d] ,natur bot5 si*  
dem erwa*5d5  ,m5s*5 ,reprs5tant5 dies] 
,begriffe 9 grss]] od] g]+]]            
,g5auigkeit d>4 ,whr5d d] ,anblick d]   
auf- und unt]geh5d5 ,sonne1  s[ie des   
voll5 ,mondes 9 sdli*5 ,geg5d5 fa/ tgli*
 das ,bild d]  vollkomm5/51 d] s*n/5    
,l9ie1 d] ,kreisl9ie vorfhrte1  /ellt5  
si* die zahllos5 ,/]ne des ,ab5ds dem   
,auge als glnz5de  ,punkte d>1 wel*e 9  
ihr5 mannigfaltig5 geg5seitig5          
,lag5v]hltniss5 die ,phantasie des      

,m5s*5 bei d]1 von ihm beliebt5         
,e9!ilung des ,himmels 9 ,/]nbild] zur  
,h]/ellung s man*] g]ad5  und krumm5    
,l9i5 v]leit5 mo*t54 ,und selb/ 9 se9]  
n*/5  ,umgebung f& d] beoba*t5de ,m5s*  
geometris*e ,anklnge2 das ,gewebe  d]   
,sp9ne mit se95 kreisrund5 und radial5  
,fd51 die se*seckige  ,bi55zelle1 die   
beim ,fall5 e9es ,krp]s 9 ruh5des ,wass]
 ent/eh5d5  conc5tris*5 ,well5r+e1 und  
wie vieles ,&]e mus/e1 w5n au* na*  und 
na*1 s do* mit zw+5d] ,no?w5digkeit d5  
,m5s*5 zur  ,beoba*tung gesetzmssig]    
geometris*] ,=m5 fhr54    ,als ,mutt]l& 
d] ,ma!matik im ,allgeme951 und d]      
,geometrie im  ,besond]5 wird ,aegypt5  
angefhrt2 do* i/ die ,zeit lng/ vorbei1 
wo  man si* ,aegypt5 als e9zig5         
,ursprungsort dies] ,wiss5s*aft5 da*te1 
vielmehr muss als fe//eh5d ang5omm5     
w]d51 dass j$es ,volk 9 se9em           
,entwicklungsgange geometris*e          
,ans*auung5 si* anzueign5 s*on dur*     
praktis*e ,b$rfnisse gezwung5 w>4 ,die  
,hhe1 zu wel*] si* die  e9zeln5 ,vlk] 9 

ihr5 ma!matis*5 ,speculation5           
emporzus*w+5  v]mo*t51 h+ von d]        
,ri*tung des ,bildungsganges1 von dem   
,maasse des  ,b$rfnisses und ni*t 9     
letzt] ,reihe von dem ,e9flsse religis] 
,v]hltnisse ab4    ,und s mag si* zun*/ 
j5e ,naturgeometrie entwickelt hab51    
wel*e  all5 ,vlk]n zugespro*5 w]d5 muss1
 und auf d]5 ,vorh&5se91 weil  auf die  
,anw5dung5 ihr] freili* e9fa*/5         
,pr9cipi51 ,ueb]re/e von  ,baut5 b]all  
dort h9weis51 wo wir 9 d] ,lage s9d1    
sol*e beoba*t5  zu knn54 ,die ,pellasg]1
 die vorhell5is*5 ,ure9wohn] ,grie*5l&s1
  mus/5 lange vor ,ent/ehung d]         
,philosophie geometris*e ,k5ntnisse 9   
dem ,maasse besess5 hab51 wie sie zur   
,auffhrung von ,wass]baut51  ,dmm51 ,cl5
 und ,burg51 von d55 man jetzt no*      
,spur5 f9det1  no?w5dig w>54    ,v]folgt
 man die ,entwicklung d] ,geometrie zu  
ihr5 ,quell5 aufwrts1 s  drf5 wir ni*t  
b]ras*t se91 dass man bei dem uns       
bekannt5 lte/5  ,culturvolke1 bei d5    
,aegypt]n1 am weite/5 vorzudr+5 v]mag1  

und zw>  an d] ,h& d] indirect5 wie d]  
direct5 ,na*ri*t51 wel*e uns b]  dies5  
,geg5/& zugekomm5 s9d4 ,leid] j$o* s9d  
die ,er/]5 ihrem  ,inhalte und die      
,letzt]5 ihr] ,zahl na* nur sprli*e zu  
n5n54    ,zahlrei* s9d wohl die ,/ell5 9
 grie*is*5 ,philosoph5 und              
,ges*i*ts*reib]n1 wel*e ,bezug hab5 auf 
aegyptis*e ,geometrie1 es  ls/ si* j$o* 
ni*t v]k5n51 dass (t die ,spt]5 auf     
,fr"h si*  /tz51 und wir es mgli*]weise 
mit e9] e9zig51 dur* ,jahrhund]te       
=tgefhrt5 ,na*ri*t zu ?un hab54    ,dur*
 99,h]odot991 wel*] um die ,mitte des   
fnft5 vor*ri/li*5  ,jahrhund]ts 7#dfj7  
,aegypt5 b]ei/e1 erfahr5 wir7#a71 dass  
die ,geometrie  von ,aegypt5 na*        
,grie*5l& v]pflanzt word5 sei4 ,etwas   
spt] 7#cic  v4 ,*r47 b]i*tet            
99,isokrates99 die ,?atsa*e7#b71 dass   
die ,aegypt] die  ,aelt]5 7unt] ihr5    
,prie/]n7 b] die wi*tig/5 ,angeleg5heit5
  setzt51 dageg5 die ,jng]5 b]$et51 mit 
,h9tansetzung des ,v]gng5s1  si* mit    
,a/ronomie1 ,re*5kun/ und ,geometrie zu 

bes*ftig54    ,9 99,platon99's ,phdrus  
sagt 99,sokrates993 ,i* habe v]nomm51 zu
 ,naukratis  9 ,aegypt5 sei e9] d]      
dortig5 alt5 ,gtt] gewes51 dem au* d]   
,vogel geheiligt i/1 d5 sie ,isis n5n51 
whr5d d] ,gott selb/ d5  ,nam5 ,teu?    
fhrt2 dies] habe zu]/ ,zahl5lehre und   
,re*5kun/ erfund5  und ,geometrie und   
,a/ronomie7#c71 und e95 direct5 ,h9weis 
f9d5 wir  bei 99,ari/oteles991 wel*] 9  
se9] ,metaphysik sagt37#d7 ,dah]  ent/&5
 au* 9 ,aegypt5 die ma!matis*5          
,wiss5s*aft51 d5n hi]  w> d5 ,prie/]n   
die dazu n?ige ,msse v]gnnt4            
,uebrig5s s*rieb5 si* die ,aegypt] neb5 
d] ,erf9dung d]  ,bu*/ab5s*rift au* j5e 
d] mei/5 ,wiss5s*aft5 und ,kn/e zu1     
worb] 99,diodor997#e71 wel*] etwa #gj   
,jahre v4 ,*r4 ,g4 ,aegypt5 b]ei/e1     
bem]kt3 ,die ,aegypt] behaupt51 von ihn5
 sei die ,erf9dung d]  ,bu*/ab5s*rift   
und die ,beoba*tung d] ,ge/irne         
ausgegang51 eb5so  sei5 von ihn5 die    
,!oreme d] ,geometrie und die mei/5     
,wiss5s*aft5  und ,kn/e erfund5 word54  

,neb5 dies5 ganz allgeme9 gehalt55      
,angab5 s9d haupts*li*  diej5ig5 ,b]i*te
 zu erwhn51 wel*e si* auf die ,art d]   
wiss5s*aftli*5 ,lei/ung5 d] ,aegypt]    
bezieh54    ,da sagt zun*/              
99,h]odot997#f7 9 ,h9si*t auf die unt]  
dem ,knige  99,seso/ris99 dur*gefhrte   
,lnd]e9!ilung3 ,au* sagt5 sie1 dass     
dies]  ,knig das ,l& unt] alle ,aegypt] 
s v]!ilt habe1 dass er j$em e9  glei*   
grosses ,vi]eck gegeb51 und von diesem  
se9e ,e9knfte bezog5  habe1 indem er e9e
 jhrli* zu entri*t5de ,/eu] auflegte4   
,wem ab] d]  ,fluss 7,nil7 von se9em    
,!ile etwas wegriss1 d] mus/e zu ihm    
komm5 und  das ,ges*eh5e anzeig52 er    
s*ickte dann die ,aufseh]1 die          
auszumess5  hatt51 um wie viel das      
,l&/ck kle9] geword5 w>1 damit d]       
,inhab]  von dem brig5 na* ,v]hltniss d]
 aufgelegt5 ,abgab5 /eure4 ,hi]aus      
ers*e9t mir die ,geometrie ent/&5 zu    
se91 die von da na* ,hellas  kam4       
,die1 99,h]odot991 dem ,vat] d]         
,ges*i*tss*reibung folg5d5  ,b]i*t]/att]

 hielt5 si* nun1 viellei*t              
erklrli*]weise1  vorzgli* an d5 e951 die
 ,nilb]s*wemmung5 betreff5d5 ,!il obig] 
,na*ri*t1 und wurde1 gewiss             
,unb]e*tigt]mass5 d] ,nil als d]        
unmittelb>e ,an/oss fr alle geometris*5 
,arbeit5 d] ,aegypt]  h+e/ellt4 ,und do*
 s*e9t es uns viel nh]lieg5d1 die       
e9]seits  behufs d] ,/eu]bemessung und  
,controle1 &]seits weg5 d] aus d5       
,v]nd]ung5 im ,besitz/&e si* no?w5dig   
ergeb5d5  ,fl*5fe/setzung5 als d5       
,hauptbeweggrund j5] ,v]messung5 zu     
erk5n51 wobei die gesammelt5 ,erfahrung5
 gewiss au* bei d]  ,beur!ilung d]      
unzweifelhaft na* d5 p]iodis* e9tret5d5 
,nilb]s*wemmung5 vorgekomm55            
,t]ra9v]nd]ung5 mit ,vor!il  b5utzt     
word5 se9 mg54    ,unv]k5nb> i/ d] ,zug 
na* ,aufbaus*ung und ,auss*mckung des1  
j5e  ,nilb]s*wemmung5 betreff5d5 ,!iles 
des 99,h]odot99's*5 ,b]i*tes1  w5n man  
die ,aufzei*nung5 spt]] ,gewhrsmnn] nh] 
betra*tet4    ,zun*/ f9d5 wir bei       
99,h]on99 dem ,aelt]5 die folg5de       

diesbezgli*e  ,/elle7#g73 ,die frhe/e   
,geometrie bes*ftigte si*1 wie uns die  
alte  ,ueb]lief]ung lehrt1 mit d]       
,messung und ,v]!ilung d] ,lnd]ei51     
woh] sie ,feldmessung g5annt wurde4 ,d] 
,g$anke e9] ,messung nmli*  w>d d5      
,aegypt]n an die ,h& gegeb5 dur* die    
,ueb]s*wemmung5 des  ,nil4 ,d5n viele   
,grund/cke1 die vor d] ,flusss*welle (f5
 dalag51  v]s*w&5 beim ,/eig5 des       
,flusses und kam5 er/ na* dem ,s9k5     
desselb5 zum ,vors*e91 und es w> ni*t   
imm] mgli*1 b] die  ,id5titt d]selb5 zu 
ents*eid54 ,dadur* kam5 die ,aegypt] auf
 d5  ,g$ank5 e9] sol*5 ,messung des vom 
,nil blossgelegt5 ,l&es4    ,weit] f9d5 
wir bei 99,diodor997#h7 e95 ,ausspru*1  
dur* wel*5 wir  brig5s au* b] &]e       
wiss5s*aftli*e ,lei/ung5 d] ,aegypt]    
belehrt w]d52 99,diodor99 sagt3 ,die    
,prie/] lehr5 ihre ,shne zwei]lei       
,s*rift1 die sog5annte heilige1 und die1
 wel*e man gewhnli* l]nt4 ,mit          
,geometrie und ,ari?metik bes*ftig5 sie 
si* eifrig4 ,d5n indem d]  ,fluss jhrli*

 das ,l& vielfa* v]nd]t1 v]anlas/ er    
viele und  mannigfa*e ,/reitigkeit5 b]  
die ,gr5z5 zwis*5 d5 ,na*b>n2 diese     
knn5 nun ni*t lei*t ausgegli*5 w]d51 w5n
 ni*t e9 ,geomet] d5  wahr5 ,sa*v]halt  
dur* directe ,messung ermittelt4 ,die   
,ari?metik di5t  ihn5 9                 
,hau%altungsangeleg5heit5 und bei d5    
,lehrstz5 d] ,geometrie2  au* i/ sie d55
 von ni*t g]+em ,vor!ile1 die si* mit   
,/]nkunde  bes*ftig54 ,d5n w5n bei irg5d
 e9em ,volke die ,/ellung5 und          
,bewegung5 d] ,ge/irne sorgfltig        
beoba*tet word5 s9d1 s i/ es bei  d5    
,aegypt]n ges*eh52 sie v]wahr5          
,aufzei*nung5 d] e9zeln5  ,beoba*tung5  
seit e9] unglaubli* lang5 ,beihe von    
,jahr51 da bei ihn5  seit alt5 ,zeit5 h]
 die grs/e ,sorgfalt hi]auf v]w5det     
word5 i/4  ,die ,bewegung5 und          
,umlaufszeit5 s[ie die ,/ill/nde d]     
,planet51 au*  d5 ,e9fluss e9es j$5 auf 
die ,ent/ehung leb5d] ,wes5 und alle    
ihre  gut5 und s*dli*5 ,e9wirkung5 hab5 
sie sehr sorgfltig beoba*tet4    ,am    

innig/5 v]knpft ers*e9t die ,geometrie  
d] ,aegypt] mit d5  ,ueb]s*wemmung5 des 
,nil bei 99,/rabon997#i72 wel*] bem]kt1 
dass es  e9] sorgfltig5 und bis auf das 
,g5aue/e geh5d5 ,e9!ilung  b$urfte1 weg5
 d] be/ndig5 ,v]w/ung d] ,gr5z51 die d] 
,nil bei  se95 ,ueb]s*wemmung5 v]anlas/1
 indem er ,l& wegnimmt und zusetzt1  und
 die ,ge/alt v]nd]t1 und die &]5 ,zei*5 
unk5ntli* ma*t1  wodur* das fremde und  
eig5e ,besitz?um unt]s*i$5 wird4 ,man   
msse  dah] imm] und imm] wi$] mess54    
,hi]aus soll die ,geometrie ent/&5  se94
    ,d5 gesells*aftli*5 ,e9ri*tung5 d]  
,aegypt] entspre*5d1 muss als  fe//eh5d 
ang5omm5 w]d51 dass si* e9e ,ka/e1 na*  
eb5 ,gehrtem  die d] ,prie/]1 mit dem   
wiss5s*aftli*5 ,!ile d] ,geometrie      
bes*ftigte1 whr5d e9e &]e1 die d]       
,feldmess]1 die von d5  ,er/]5          
aufge/ellt5 und sorgsam gehtet5         
geometris*5 ,pr9cipi5  praktis* zur     
,anw5dung bra*te4 ,dabei wurd51 wie wir 
spt] seh5  w]d51 die ,geheimnisse d]    
,prie/]1 ins[eit sie geometris*e        

,wahrheit5  und ,b]e*nungsregeln        
betraf51 mgli*]weise nur ins[eit en?llt1
 dass  bei d]5 ,v]w5dung nur            
annh]ungsweise ri*tige ,resultate zum   
,vors*e9  kam54    ,wohl s9d e9ige      
,s*rift/ell] s weit gegang51 dass sie1  
die  unlugb>5 ,ueb]treibung5 des        
,zusamm5hanges zwis*5 d5                
,nilb]s*wemmung5 und d] gyptis*5        
,geometrie im ,auge behalt5d1 die       
,exi/5z d] letzt]5 e9fa* negirt51 und   
alle die citirt5 ,ausspr*e  9 das       
,gebiet d] ,fabel v]wies54    ,0 ma*t   
man j$o* dann mit d5 wohlbeglaubigt5    
,na*ri*t5 b] die  ,reis51 wel*e         
h]vorrag5de grie*is*e ,philosoph5 na*   
,aegypt5  unt]nahm51 (t jahrelang dort  
v]weil5d1 um si* 9 die ,geheimnisse     
aegyptis*] ,prie/] e9weih5 und mit d]5  
geometris*em ,wiss5  v]traut ma*5 zu    
lass58    99,eudemus von ,rhodos997#aj71
 e9] d] lte/5 ,p]ipatetik]1 s*rieb e9e  
,ges*i*te d] ,ma!matik1 aus wel*] uns   
dur* 99,proklos ,diado*us997#aa71  e95  
,philosoph5 des fnft5 na**ri/li*5       

,jahrhund]ts1 e9  ,bru*/ck erhalt5 i/1  
wel*es sozusag5 das e9zige ,mittel      
bildet1 das  uns e95 ,e9blick 9 die     
geometris*5 ,errung5s*aft5 d] ,grie*5 9 
d5 er/5 drit?alb ,jahrhund]t5 na*       
99,?ales99 gewhrt4 ,hi]9 heis/ es  unt] 
,&]em3 99,?ales991 d] na* ,aegypt5 g+1  
bra*te zu]/ die  ,geometrie na* ,hellas 
h9b] und ,vieles entdeckte er selb/1 von
 ,vielem  ab] b]lief]te er die ,anfnge  
se95 ,na*folg]n2 das ,e9e ma*te er      
allgeme9]1 das ,&]e mehr s9nli* fassb>4 
,hund]t ,jahre na* dem  ,tode des       
99,py?agoras99 b]i*tet d] ,r$n]         
99,isokrates997#ab73 ,man knnte1  w5n   
man ni*t eil5 wollte1 viel              
,bewund]ungswrdiges von d] ,heiligkeit  
aegyptis*] ,prie/] anfhr51 wel*e i* w$] 
alle9 no* zu]/  erkannt habe1 sond]n    
viele d] jetzt ,leb5d5 und d] ,frh]51   
unt]  d55 au* 99,py?agoras99 d] ,sami]  
i/1 d] na* ,aegypt5 kam und ihr  ,s*l]  
wurde und die fremde ,philosophie zu]/  
zu d5 ,grie*5  v]pflanzte4    ,whr5d d] 
,auf5?alt des 99,py?agoras99 9 ,aegypt5 

unt] ,&]5 au*  no* von 99,/rabon997#ac7 
und 99,antiphon997#ad7 be/tiget wird1   
n5nt uns  99,diodor997#ae7 e9e ganze    
,reihe von ,nam51 indem er sagt2 ,die   
aegyptis*5  ,prie/] n5n5 unt] d5        
,fremd51 wel*e na* d5 ,v]zei*niss5 9 d5 
heilig5 ,b*]n vormals zu ihn5 gekomm5   
sei51 d5 99,orpheus991  99,musaios991   
99,melampus99 und 99,daidalos991 na*    
dies5 d5 ,di*t] 99,hom]991 d5  ,sp>tan] 
99,lykurgos991 +lei*5 d5 ,a!n]          
99,solon99 und d5 ,philosoph5           
99,platon994 ,gekomm5 sei zu ihn5 au* d]
 ,sami] 99,py?agoras99 und d]           
,ma!matik] 99,eudoxos991 +lei*5         
99,demokritos von ,abd]a99 und          
99,o9opides  von ,*ios994 ,von all5     
dies5 weis5 sie no* ,spur5 auf1 von d5  
,e95  ,bildnisse von d5 ,&]5 ,orte und  
,gebude1 die na* ihn5 b5annt s9d4  ,aus 
d] ,v]glei*ung dess51 0 j$] von ihn5 9  
se9em ,fa*e gelei/et  hat1 fhr5 sie d5  
,beweis1 dass sie ,dasj5ige um desswill5
 sie von d5  ,hell55 bewund]t w]d51 aus 
,aegypt5 entlehnt hab54 ,aus dies5      

,/ell5 geht mit ,si*]heit h]vor1 dass   
viele ,grie*5 na* ,aegypt5  zog51 um bei
 d5 dortig5 ,prie/]n ,philosophie und   
,ma!matik k5n5 zu  l]n51 da wohl 9 d5   
,b]i*t5 nur die h]vorrag5d5 ,mnn]       
angefhrt  wurd54    ,d] ,milesi]        
99,?ales991 wel*] er/ 9 vorg]cktem      
,alt]1 und na*dem er  als ,h&elsmann    
frh] gewiss s*on mehrmals ,aegypt5      
besu*t gehabt1 si*  daselb/ behufs se9] 
,/udi5 zu lng]em ,auf5?alt ni$]lies1 i/ 
m]kwrdig] ,weise 9 dem ,b]i*te des      
,diodor ni*t angefhrt1 und knnte  man   
wohl aus diesem ,um/&e umsomehr e95     
gewiss5 ,grad von  ,unglaubli*keit      
ableit51 als d>9 my?is*e ,nam5 wie      
99,orpheus991  99,daidalos99 und        
99,hom]99 angefhrt ers*e954 ,diese      
letzt]5 konnt5  j$o* sehr wohl dem im   
,ganz5 und ,gross5 son/ ri*tig5         
,v]zei*nisse  vom ,b]i*t]/att]          
eig5willig beigefgt word5 se91 um dadur*
 das  hohe ,alt] aegyptis*] ,wiss5s*aft 
9 e9 vorteilhaftes ,li*t zu setz54      
,abgeseh5 j$o* von all] ,wahrs*e9li*keit

 od] ,unwahrs*e9li*keit  fr die ,exac!it
 obig] ,ausspr*e 9 ,bezug auf e9zelne   
,nam51 drfte  j$5falls das als          
unum/ssli*e ,wahrheit gelt51 dass die   
gyptis*5  ,prie/] von d5 ,grie*5 als 9  
d5 ,wiss5s*aft51 insbesond]e 9 d]       
,geometrie sehr bew&]t gehalt5 wurd51   
und zw> 9 e9em sol*5  ,maasse1 dass e9e 
,reihe h]vorrag5d] grie*is*] ,philosoph5
 es ni*t  v]s*mhte1 die1 fr damalige    
,v]hltnisse ni*t unb$eut5de ,reise na*  
,aegypt5 zu unt]nehm51 ja (t jahrelang 9
 diesem ,l&e mit unbekannt]  ,spra*e und
 ,s*rift zu v]weil51 um si* die         
,k5ntnisse d] ,aegypt]  anzueign54      
,/ellt man nun zun*/ die ,frage na*     
,quantitt und ,qualitt des  geometris*5 
,wiss5s1 wel*es die ,grie*5 von ihr5    
,/udi5reis5 mit  na* ,hause bra*t51 s   
s*e9t dies1 selb/ vom ,/&punkte d]      
unmittelb> na*py?agoris*5 ,geometrie1   
uss]/ ,w5iges gewes5 zu  se94           
99,?ales99 von ,milet1 e9] d] sieb5     
grie*is*5 ,weltweis51 d]  ,begrnd] d]   
ionis*5 ,s*ule1 99,?ales991 wel*] fr das

 ,jahr #ehe  v4 ,*r4 ,g4 e9e1 au*       
e+etr(f5e ,sonn5f9/]niss vorh]zusag5    
wus/e1 soll1 d5 uns von 99,proklos99    
zugekomm55 ,b]i*t5 zufolge1 9  ,aegypt5 
ni*t viel mehr erfahr5 hab51 als die    
,stze b] die ,glei*heit  d] ,w9kel an d]
 ,basis e9es glei*s*5klig5 ,dreieckes1  
die ,glei*heit  d] ,s*eitelw9kel am     
,dur*s*nitt zwei] ,g]ad52 er wus/e f]n]1
 wie  e9 ,dreieck dur* e9e ,seite und   
die beid5 anlieg5d5 ,w9kel be/immt      
ers*e9t1 diese ,errt]ung zur ,messung d]
 ,entf]nung5 von ,s*iff5 auf  dem ,me]e 
b5tz5d1 es w> ihm bekannt1 dass e9      
,kreis dur* e95  ,dur*mess] halbirt     
wird17#af7 und soll er die ,hhe d]      
,pyramid5 aus d]  ,lnge des ,s*att5s    
gemess5 hab51 h*/ wahrs*e9li* 9 dem     
,mom5te1  wo die ,s*att5lnge e9es       
s5kre*t5 ,/abes d] ,/ablnge glei*       
i/17#ag7 mgli*]weise j$o*1 wie          
99,plut>*997#ah7 b]i*tet1 au* zu  e9]   
beliebig5 ,tageszeit4 ,au* wird ihm von 
99,pamphile997#ai7 die ,k5ntniss  des   
,satzes zuges*rieb51 dass d]            

,p]iph]iew9kel im ,halbkreise e9  re*t] 
sei4 ,gewiss hat ,?ales w5ig/5s j5e     
geometris*5 ,fundam5te 9  ,aegypt5 k5n5 
gel]nt1 wel*e es ihm ermgli*t51 die     
g5annt5 ,stze  als wahr zu erk5n51 w5n  
au* bei ihm1 selb/ bei dies5 e9fa*5     
,d+5 an e95 /r5g5 ,beweis ni*t g$a*t    
w]d5 kann4    ,es wre j$o* voreilig1 aus
 d] ,g]+fgigkeit d] ,?aletis*5          
geometris*5 ,k5ntnisse mit 99,montucla99
 7#bj7 zu s*liess51 dass au* die        
,aegypt] ni*t viel mehr gewus/ htt54    
,man kann wohl annehm51 dass die        
aegyptis*5 ,prie/] bei ihr] d5 ,fremd5  
geg5b] beoba*tet5  ,zurckhaltung nur e95
 ,!il ihres ,wiss5s (f5b>t52 w] knnte   
j$o*  bemess51 9 wel*em ,v]hltnisse     
dies] ,!il zu ihrem ,gesammtwiss5  /&8  
,d] ,ansi*t 99,montucla99's kann man    
entgeg5setz51 dass die ,aegypt]  d5     
,fremd5 nur e95 kle95 ,bru*!il ihres    
sorgsam im ,v]borg55  gehtet5 ,wiss5s   
preisgegeb5 hab5 mo*t51 wobei f]n] ni*t 
unb]cksi*tigt bleib5 d>f1 dass d5 na*   
,aegypt5 gekomm55 ,grie*5  au* die      

,unk5ntniss d] ,spra*e und d] ,s*rift   
weit]e1 ni*t zu  unt]s*tz5de            
,s*wi]igkeit5 b]eitete1 9 dem ,maasse   
als viellei*t  ,man*es1 0 ihn5 die      
aegyptis*5 ,prie/] von aegyptis*em      
,wiss5 zur  ,v]fgung /ellt51 unv]/&5    
bleib5 konnte4    ,0 nun das ,wes5      
aegyptis*] ,geometrie betrifft1 s f9d5  
wir 9 d5  ,b]i*t5 d] ,alt5 fa/ g> ke9e  
,anhaltspunkte1 um uns hi]b] ,kl>heit   
v]s*aff5 zu knn51 und w> man bis vor    
,kurzem d>auf h+ewies51 aus  d5 ,anfng5 
grie*is*] ,ma!matik auf d5 ,/& d]       
aegyptis*5  zurckzus*liess51 01 wie aus 
dem ,vorh]gesagt5 folg5 drfte1 mit  ni*t
 g]+5 ,s*wi]igkeit5 v]bund5 ers*e9t4    
,die ,ansi*t1 dass die ,geometrie d]    
,aegypt] eig5tli* nur con/ructiv]       
,natur w>1 hnli* dem 0 wir als          
,reisskun/ zu bezei*n5 pfleg517#ba7     
drfte si* ni*t als /i*hltig erweis52 es 
mge j$o* glei* jetzt  d>auf h+$eutet    
w]d51 dass die ,aegypt] im ,con/ruir5   
geometris*]  ,=m5 ni*t unbew&]t se9     
konnt54    ,s sagt 9 etwas prahl]is*]   

,weise 99,demokritos99 von              
99,abd]a997#bb7 um #dbj  v4 ,*r4 ,g43   
,im ,con/ruir5 von ,l9i5 na* ,maassgabe 
d] aus d5  ,voraussetzung5 zu zieh5d5   
,s*lsse hat mi* ke9] je b]tr(f51  selb/ 
ni*t die sog5annt5 ,h>p$onapt5 d]       
,aegypt]2 und 99,!on99 von              
99,smyrna997#bc7 erzhlt1 dass           
,babyloni]1 ,*alder und ,aegypt] eifrig 
na*  all]h& ,grundgesetz5 und ,hypo!s5  
su*t51 dur* wel*e d5  ,ers*e9ung5 g5gt  
w]d5 knnte2 zu errei*5 su*t5 sie dies   
dadur*1  dass sie das frh] ,gefund5e 9  
,ueb]legung zog51 und b] die  zuknftig5 
,ers*e9ung5 ,v]mu?ung5 auf/ellt51 wobei 
die ,e95 si*  ari?metis*] ,me?od5       
b$i5t51 wie die ,*alder1 die ,&]5       
con/ruir5d] wie die ,aegypt]4    ,aus   
dies5 und hnli*5 ,b]i*t51 s[ie aus dem  
,um/&e1 dass die  ,anfnge d] grie*is*5  
,geometrie selb/ haupts*li* con/ructiv] 
,natur w>51 muss man zu dem ,s*lusse    
komm51 dass die alt5 ,aegypt] seit      
unvord5kli*5 ,zeit5 die ,reisskun/      
pflegt51 und 9 d] lang5 ,reihe  d]      

,jahrhund]te si*]li* e9e ziemli*        
b$eut5de ,masse s[ohl  e9fa*] als       
complicirt]] ,con/ruction5 erf&5 und 9  
e9 gewisses  ,sy/em bra*t51 von ,er/]5  
zu ,letzt]5 auf/eig5d4 ,diese           
,con/ruction5 drft5 ihrem grss]5 ,!ile  
na*1 und zw> j5em ,!ile  na*1 wel*]1 w5n
 au* ohne ,begrndung ,geme+ut d] die    
,kn/e und  ,gew]be betreib5d5 ,ka/5     
wurde1 nur sol*e gewes5 se91 die dem    
praktis*5 ,b$rfnisse di55 konnt51 also  
zumei/  ,ornam5t5con/ruction54 ,wir     
bem]k5 hi] unt] ,&]em das ,vorkomm5     
regelmssig] geometris*] ,figur5 auf     
uralt5 ,w&gemld51 wie sie si*  z4 ,b4   
als frbige ,zei*nung5 aus d5 ,zeit5 d]  
fnft5 ,dyna/ie1 also  unmittelb> na* d5 
,erbau]n d] ,pyramid51 das i/ #cdjj     
,jahre v4 ,*r4 ,g4  etwa vorf9d547#bd7  
,man sieht unt] d] gross5 ,m5ge d] 9    
dies] ,zeit vorkomm5d5 ,figur5  e9e1 aus
 v]s*ob551 ine9&] gezei*net51 !ilweise  
dur* zu e9]  ,diagonale ,p>allele       
z]legt5 ,quadrat5 zusamm5gesetzte       
,figur1 f]n] aus  d] ,zeit von d] zwlft5

 bis zur se*sundzwanzig/5 ,dyna/ie1 e9e 
,figur1 be/eh5d aus e9em ,quadrate1 und 
zwei1 lngs d] ,diagonale  c5tris*       
h9e+elegt5 lemniscatis*5 ,curv51 s[ie   
e9e  ,zusamm5/ellung von um fnfundvi]zig
 ,grade geg5e9&] v]dreht51  si*         
dur*setz5d5 ,quadrat54 ,kreise ers*e95  
dur* ihre ,dur*mess] 9  glei*e          
,kreisauss*nitte ge!ilt2 s zun*/ dur*   
zwei od] vi]  ,dur*mess] 9 vi]          
beziehungsweise a*t1 und 9 spt]5 ,zeit5 
au*  dur* se*s ,dur*mess] 9 zwlf glei*e 
,auss*nitte2 die 9 d5  ,zei*nung5       
vorkomm5d5 ,wag5rd] besitz5 zumei/ se*s1
 selt5] vi]  ,spei*51 s dass au* die    
,!ilung des ,kreises dur* drei ,diamet] 
9  se*s glei*e ,kreisauss*nitte v]tret5 
ers*e9t4    ,9 e9] unvoll5det geblieb55 
,kamm] des ,grabes 99,seti ,i4991 des   
,vat]  99,ramses ,,ii499 aus d]         
neunzehnt5 ,dyna/ie 7das sog5annte ,grab
  99,belzoni9977#be7 f9d5 wir die ,wnde 
behufs ,anbr+ung von ,relief>beit5  mit 
e9em ,netze glei* gross] ,quadrate      
b$eckt1 und es kann ke9em  ,zweifel     

unt]lieg51 dass wir es hi] mit d]       
,anw5dung e9es  ,v]kle9]ungs-           
beziehungsweise ,v]grss]ungsmaass/abes  
zu ?un hab54    ,w5n nun au* die e9fa*5 
,figur5 des ,dreieckes1 ,quadrates und  
des  ,kreises h*/ wahrs*e9li* ohne      
besond]e ,ueb]legung1 e9fa* dem  inn]5  
geometris*5 ,=m5drange entsprung5 se9   
drft51 s i/ do*  gewiss1 dass ihre      
v]s*i$5>tige ,zusamm5setzung zu ,mu/]n  
das  ,product1 w5n au* primitiv5        
geometris*5 ,d5k5s w>1 wel*es dann  s*on
 e9e ziemli*e ,selb//ndigkeit errei*t   
hab5 mus/e1 als die  vor]whnte ,anw5dung
 von ,proportionalmaass/b5 9 ,uebung    
kam4    ,&]]seits mus/e das ft]e        
,betra*t5 d] regelmssig5 ,figur5 e95    
geometris* disponirt5 ,gei/ von selb/   
zum ,aufsu*5 unbekannt]  ,eig5s*aft5    
d]selb5 reiz51 und viellei*t i/ d]      
,?aletis*e ,satz  von d] ,halbirung des 
,kreises dur* e95 ,dur*mess] ni*ts als  
e9e aus  d] ,betra*tung j5] aegyptis*5  
,zei*nung5 gewonn5e ,ab/raction1 und    
huldig5 wir 9 dies] ,beziehung d]       

,ansi*t1 dass 99,?ales99 beim           
,ausspru*e des erwhnt51 fr uns freili*  
h*/ e9fa* kl+5d5  ,satzes1 wahrs*e9li*  
sag5 wollte1 nur d] ,kreis habe die     
ausgezei*nete  ,eig5s*aft1 von all5 dur*
 e95 ,punkt1 d5 ,mittelpunkt1 geh5d5    
,g]ad5 9 laut] unt]e9&] glei*e ,hlft5   
ge!ilt zu w]d54    ,von besond]]        
,wi*tigkeit s*e9t uns j$o* d] frh]      
citirte  selb/gefllige ,ausspru* des    
99,demokritos99 zu se91 da er uns vor   
e9]  ung]e*tf]tigt5 ,unt]s*tzung        
aegyptis*] ,con/ructionsgew&!it  bewahr5
 kann4 ,b$5kli* 9 99,demokritos99'      
,angabe knnte all5falls j5es  ,selb/lob 
ers*e951 das er si* sp5det2 w5n es nun  
wohl au* s*on im  ,alt]?ume ,mnn] geb5  
mo*te1 die ihre ,b]hm!it vorzugsweise   
und (t  nur d] ,ho*s*tzung v]dankt51 die
 sie si* selb/ und ihr5 ,w]k5  gezollt1 
,mnn]1 wel*e 9 d] ,v]breitung des eig55 
,lobes s emsig1 s  un]mdli* w>51 dass   
si* um sie als die davon ,ueb]zeugte/5  
no* e9  ,kreis von ,glubig5 bildete1    
wel*e d51 (t nur auf s*wank5d5 ,fss5    

e9h]geh5d5 ,ruhm ihr] ,pr(et5 weit]     
fhrt51 s i/ do* die  ,b$eudung des      
,geomet]s 99,demokritos99 dur* s viele1 
und v]s*i$55  ,quell5 entspr+5de        
,ausspr*e beglaubigt1 dass es gewiss    
,niem&em  e9fall5 wird1 se9e ,autoritt  
als die e9es grndli*5 ,k5n]s d]         
,geometrie se9] ,zeit 9 ,zweifel zu     
zieh54 ,wohl s9d uns von d5  geometris*5
 ,w]k5 des 99,demokritos991 und kaum von
 all5 nur die ganz  allgeme9 kl+5d5     
,titel erhalt54    ,whr5d uns           
99,cic]o997#bf7 dies5 ,philosoph5 als   
e95 gelehrt51 9 d]  ,geometrie vollkomm5
 bew&]t5 ,mann anprei/1 !ilt uns        
99,diog5es  ,la]tius997#bg7 mit1 dass   
99,demokritos99 b] ,geometrie1 b]       
,zahl51  b] d5 ,unt]s*i$ des ,gnomon od]
 b] die ,b]hrung des ,kreises und  d]   
,kugel1 s[ie zwei ,b*] b] irrationale   
,l9i5 und die di*t5  ,d+e ges*rieb5     
habe1 ,s*rift51 d]5 ,titel !ilweise uns 
b] ihr5  ,inhalt ganz im ,unkl>5 lass54 
,leg5 wir d5 angefhrt5 ,zeugniss5       
,glaub5 bei1 und es i/ ke9 ,grund vorh&5

 dies ni*t zu ?uh1 s mss5  wir von      
99,demokritos99 als von e9em 9 d]       
,geometrie vollkomm55 ,manne            
voraussetz51 dass er mit d5             
,errung5s*aft5 des 99,py?agoras991 wel*]
  e9 ,jahrhund]t vor 99,demokritos99    
,aegypt5 besu*t hatte1 vollkomm5        
v]traut w>4 ,gewiss w> ihm somit        
bekannt3 die ,me?ode d] ,anlegung d]    
,fl*51 wel*e wi$] die ,v]trau!it mit d5 
,hauptstz5 aus d]  ,!orie d] ,p>allel5  
und d] ,w9kel1 s wie die ,k5ntniss d]   
,abhngigkeit d] ,fl*59halte von d5 ihn5 
zukomm5d5 ,ausmaass5  voraussetzt4 ,ni*t
 m9d] bekannt mus/5 ihm die1 dem        
99,py?agoras99  zuges*rieb55            
,con/ruction5 d] fnf regelmssig51       
sog5annt5  kosmis*5 ,krp] se91 woraus   
si* weit] s*liess5 ls/1 dass au*        
e9]seits die ,eig5s*aft5 d] ,kugel1     
wel*] do* j5e ,krp]  e+es*rieb5 wurd51  
und &]seits die ,ent/ehung5 d]          
regelmssig51  j5e ,krp] begr5z5d5       
,vielecke1 vor ,allem die des ,fnfeckes 
dem  99,demokritos99 ni*t ungelufig se9 

konnt54 ,die ,con/ruction des ,letzt]5  
erheis*t wi$]um die ,k5ntniss d] ,lehre 
vom gold55 ,s*nitt1 und diese  d5 ,satz 
vom ,quadrate d] ,hypo!nuse7#bh74 ,hat  
nun 99,demokritos99 au*  selb/ ni*ts    
,neues h9zugefgt1 s mus/e er do* ,j5es  
k5n52 w5n er  nun &]seits sagt3 im      
,con/ruir5 htte ihn ,niem&1 selb/ ni*t  
die  ,h>p$onapt5 d] ,aegypt] b]tr(f51 s 
drf5 wir hi]aus mit  ,si*]heit s*liess51
 dass die geometris*5 ,k5ntnisse d]     
aegyptis*5  ,prie/] b$eut5d g5ug gewes5 
se9 mus/51 weil si* 99,demokritos99     
son/ kaum g]ade b] diese ,geomet]       
gesetzt htte4    ,do* v]lass5 wir fr    
jetzt die ,na*ri*t5 des grie*is*5       
,alt]?ums1  wel*e 9 d] ,beur!ilung      
aegyptis*] ,geometrie nur ,conjectur5   
zulass51 und blick5 wir na* direct5     
,d5kmal5 aegyptis*5 ,ursprungs1  aus d55
 viellei*t ,s*lsse gezog5 w]d5 knnt5 auf
 ,wes5 und ,umfang  aegyptis*]          
,geometrie4    ,das ,britis*e ,museum   
bewahrt e9e ,papyrusrolle1 wel*e aus dem
 ,na*lasse  des ,englnd]s 99,a4 ,h5ry   

,rh9d99 /ammt1 die d]selbe neb/ &]5     
w]?voll5 ,roll5 9 ,aegypt5 kuflli* an   
si* gebra*t hab5 drfte4  ,d] erwhnte    
,papyrus1 e9 altes ,d5kmal gyptis*]     
,ma!matik1 i/1 wie  es s*e9t1 ni*t mit  
voll/] ,b]e*tigung als e9 ma!matis*es   
,h&bu* d] alt5 ,aegypt] bezei*net       
word57#bi74 ,d] fragli*e ,papyrus  n5nt 
si* selb/ e9e ,na*ahmung lt]] ma!matis*]
 ,s*rift51 d5n  es heis/ 9 d]           
,e9leitung3 ,v]fas/ wurde diese ,s*rift 
im ,jahre  dreiunddreissig im vi]t5     
,monat d] ,wass]zeit unt] ,knig ,ra-a-u1
 ,leb5  geb5d na* dem ,mu/] alt]        
,s*rift5 9 d5 ,zeit5 des ,knigs 444t vom
  ,s*reib] ,aahmes v]fas/ die ,s*rift4  
,na*dem zu]/ ,dr4 99,bir*997#cj7 auf    
dies5 ma!matis*5 ,papyrus dur*  e95     
kurz5 vorlufig5 ,b]i*t aufm]ksam gema*t 
hatte1 wurde d]  ,geg5/& von dem        
ausgezei*net5 ,heidelb]g] ,aegyptolog5  
,dr4  99,eis5lohr99 e9] e+eh5d51 h*/    
s*wi]ig5 und zeitraub5d5  ,unt]su*ung   
unt]zog51 d]5 ,resultate1 0 die         
,ueb]setzung betrifft1  uns]5 geg5wrtig5

 ,betra*tung5 zu ,grunde lieg54 ,bezgli*
 des ,alt]s  des ,papyrus hat man j5es  
d] vorh&55 ,abs*rift von dem ,alt] des  
unbekannt5 ,orig9als zu unt]s*eid54 ,na*
 d] von 99,eis5lohr99 gegeb55           
,v]voll/ndigung d] 9 d] erwhnt5         
,e9leitung auf das ,wort ,knig  folg5d5 
,lcke1 wrde d] ,h]rs*]1 unt] dess5      
,regi]ung das ,orig9al  ent/&5 i/1 d]   
,knig 99,ra-en-mat99 se91 dess5         
,regi]ungszeit  99,lepsius997#ca7 auf   
#bbba--bagi v4 ,*r4 ,g4 legt4 ,da f]n]  
d] ,"n 99,ra-a-u99  9 d5 bis dah9       
vorh&55 ,knigsli/5 ni*t vorkommt1 sah   
man si*1 um  die ,zeit d] ,ent/ehung d] 
,abs*rift w5ig/5s annh]nd angeb5 zu     
knn51 d>auf angewies51 aus d] bekannt5  
,sitte d] ,aegypt] die  ,eig5nam5 d] eb5
 h]rs*5d5 od] d] unmittelb>             
vorh]gegang55  ,reg5t5 zu gebrau*51     
,s*lsse zu zieh54 ,und da liess d] ,"n  
99,aahmes99  des ,s*reib]s1 s[ie au* die
 7al?i]atis*e7 ,s*rift des ,papyrus     
v]mu!n1 dass d]selbe um #agjj v4 ,*r4   
,g4 ent/&5 se9 drfte4 ,die  ,v]mu?ung 9 

,bezug auf das ,zeitalt] d] ,abs*rift   
hat si* nun neu]5  ,=s*ung5 zu ,folge   
vollkomm5 be/tigt4 ,d5n 99,ra-a-u99     
wurde als d]  ,hyksosknig 99,apophis99  
erkannt1 und 99,aahmes99 drfte se95     
,nam5 von dem1  kurze ,zeit dem ,apophis
 vorh]gegang55 ,knige 99,amasis99       
entlehnt hab54    ,es ers*e9t s         
vollkomm5 si*]ge/ellt1 dass uns]        
,papyrus aus dem  a*tzehnt5 ,jahrhund]t 
v4 ,*r4 ,g4 /ammt4 ,die ,e+angsworte des
 ,papyrus1  wel*e laut53 ,vors*rift zu  
gelang5 zur ,k5ntniss all] dunkl5 ,d+e1 
all] ,geheimnisse1 wel*e en?alt5 s9d 9  
d5 ,geg5/nd51 s[ie die  ,anordnung des  
,/(fes 9 ,ari?metik1 ,planimetrie und   
,/]eometrie1 an  wel*e si* e91 v]s*i$5e 
,beispiele en?alt5d] ,!il ans*lies/1    
konnt5 im er/5 ,aug5blicke d5 ,g$ank5   
aufkomm5 lass51 dass wir es  viellei*t  
mit e9em ,lehrbu*e d] ,ma!matik zu ?un  
hab54 ,d] ,um/&  j$o*1 dass d] ,papyrus 
nur die ,zusamm5/ellung1 all]d+s e9e 9  
gewissem ,grade sy/ematis*e             
,zusamm5/ellung von ,aufgab5 neb/ ihr5  

,lsung5 und d5 zugehrig5 ,prob5 i/1 ohne
 dass ,def9ition5 od]  ,lehrstze und    
,beweise vorkomm5 wrd51 liess d5        
,papyrus wi$]um als  e9e                
,aufgab5sammlung1 als e9 ,anleitungsbu* 
fr ,praktik] ers*e954  ,man i/ no* weit]
 gegang51 und /ellte die ,ansi*t auf1 d]
 ,autor habe  bei ,abfassung dies]      
,s*rift vorzgli* an ,l&leute1 wel*5 die 
,!orie  unzugngli* w>1 g$a*t4 ,d>aufh9  
weise ni*t nur die ,=mulirung des  grs/5
 ,!iles d] ,aufgab51 wel*e ,v]hltnisse  
und ,b$rfnisse d]  ,l&wir?s*aft         
b]cksi*tig51 sond]n au* d] ,s*lusssatz  
des ,papyrus1  wel*] sagt3 ,fange das   
,ungezief] und die ,muse1 7v]tilge7 das 
v]s*i$5>tige ,unkraut1 bitte ,gott      
99,ra99 um ,wrme1 ,w9d und hohes        
,wass]4    ,dass wir es ni*t mit e9em   
,h&bu*e1 wel*es dem damalig5 ,/&punkte  
d] ma!matis*5 ,wiss5s*aft5 9 ,aegypt5   
entspre*5 ms/e1 zu ?un  hab51 ergibt si*
 ni*t nur aus dem s*on h]vorgehob55     
,mangel an  ,def9ition51 ,lehrstz5 und  
,beweis51 ja es fehlt selb/ j$e         

,erklrung1  sond]n au* aus dem ,um/nde1 
dass neb5 d] ri*tig5 ,lsung e9zeln]     
,aufgab5 die unri*tig5 od] unvoll5det5  
,lsung5 d]selb5 od]  hnli*] ,aufgab51   
s[ie man*e ,wi$]holung5 vorkomm54 ,nur  
neb5bei  v]weis5 wir d>auf1 dass 9 e9em 
,h&bu*e unzweifelhaft w5ig/5s  ,anklnge 
an die er/e d] ,wiss5s*aft5 des         
,alt]?ums1 an die  ,a/ronomie1 zu f9d5  
se9 ms/54 ,do* i/ von diesem ,!ile d]   
,ma!matik im ,papyrus ni*t die g]+/e    
,spur zu f9d54 ,aufklrung5  b] d5 wahr5 
,*>akt] des ,orig9als uns]es ,papyrus1  
und e9e viele  ,wahrs*e9li*keit         
besitz5de ,v]mu?ung b] die ,ent/ehung d]
 uns  bes*ftig5d5 ,abs*rift1 v]dank5 wir
 dem ,s*>fs9ne des franzsis*5           
,aegyptolog5 ,eugne 99,revill\t9947#cb7 
,bei ri*tig] ,erwgung des ,um/&es1 dass 
(t auf e9 fehl]los gel/es  ,beispiel1   
fals*e ,lsung5 hnli*] ,beispiele folg51 
wel*5 si* dann  gewhnli* e9e ,reihe von 
,uebungsre*nung5 ans*lies/1 ,re*nung5   
die  e9em ,s*ulp5sum 9 hohem ,grade     
hnli* seh51 bei ,betra*tung d]  ,?atsa*e

 f]n]1 wie e9 und dasselbe              
,zahl5beispiel (t e9igemal und  zw> s   
beh&elt wird1 dass d] ,reihe na* die    
vorkomm5d5 ,zahl5w]!  als die b]e*net5  
,resultate ers*e951 drngt si* uns mit   
99,eugne  ,revill\t99 die ,ueb]zeugung  
auf1 dass wir es mit dem ,uebungs- od]  
,aufgab5hefte e9es ,zgl+s j5]           
,unt]ri*t%us] 7asbo7 zu ?un  hab51 wie  
d]5 9 s man*em ,papyrus ,erwhnung       
ges*ieht1 und 9 d55  die ,s*l]1 wel*e   
spt] ,l&wir!1 ,v]walt]1 ,feldmess] od]  
,con/ructeure w]d5 wollt51 mit d5 fr    
ihre knftige ,laufbahn  notw5dig5       
,re*nungsop]ation5 v]traut gema*t wurd54
 ,da dieses  ,s*ulheft selb/v]/ndli*    
ni*t fr die ,oeff5tli*keit be/immt se9  
konnte1 s trgt es au* ?ats*li* ke95     
,autornam5 und ke9e  ,jahresangabe2 d5n1
 0 die 9 d] ,e9leitung bezgli* d]       
,zeitp]iode1  9 wel*] das ,orig9al      
ent/&5 se9 sollte1 gema*te ,erwhnung    
betrifft1 s i/ mehr als wahrs*e9li*1    
dass dieselbe von dem  ,abs*reib]       
99,aahmes99 h]rhrt1 wel*] das ,orig9al  

e9ige ,jahrhund]te  na* se9] ,ent/ehung 
auff&1 und dasselbe1 d] ,ma!matik gewiss
 ganz  unkundig1 sammt all5 ,fehl]n     
abs*rieb1 zu dies5 no* neue h9zufg5d4   
,na*dem 99,aahmes99 aus d] ,aehnli*keit 
d] ,s*rift>t des ma!matis*5  ,heftes mit
 d] ,s*rift &]] ihm bekannt5 ,papyri auf
 das ,alt] des  er/]5 e95 im ,ganz5 und 
,gross5 ni*t unri*tig5 ,s*luss gezog5   
hab5 mo*te1 s knn5 wir das ,ende1       
viellei*t au* die ,mitte des  dritt5    
,jahrtaus5ds v4 ,*r4 ,g4 als j5e ,zeit  
betra*t51 9 wel*] das  ,orig9al d]      
,abs*rift ent/&5 se9 drfte4 ,ob         
99,aahmes99 die ,abs*rift  mit d] viel  
v]spre*5d5 ,e9leitung und d] zuglei*    
praktis*5 und  gottesfr*tig5            
,s*lussregel 9 d] ,absi*t v]seh5 hatte1 
um sie an  irg5d e95 e9fa*5 aegyptis*5  
,l&mann um gutes ,geld anzubr+51  lass5 
wir dah+e/ellt1 und wi$]hol5 nur uns]e  
,ueb]e9/immung mit  d] ,ansi*t1 dass das
 ,orig9al des ,papyrus neb5 d5 von e9em 
,lehr] d]  ,ma!matik h]rhr5d5           
,mu/]beispiel51 die sehr (t v]unglckt5  

,uebung5 e9es ,s*l]s en?lt1 e9es ,s*l]s 
b]dies1 d] ni*t zu d5  h]vorrag5d5 se9] 
,glasse gehrt hab5 mo*te4 ,und wie ko/b>
 i/  d5no* dieses altgyptis*e ,s*ulheft6
 ,w5n wir 9 all] ,eile e9e ,skizze      
se9es ,inhaltes vorfhr5 soll51 s mss5   
wir zun*/ die si* auf a*t  ,column5 d]  
ob5 erwhnt5 ,e9leitung ans*liess5de     
,!ilung d] ,zahl #b  dur* die ,zahl5 von
 #c bis #ii erwhn52 j$] auftret5de ,bru*
 ers*e9t  9 zwei bis vi] sog5annte      
,/ammbr*e1 ,br*e mit dem ,zhl] ,e9s1    
z]legt1 und s9d die ,n5n] d] letzt]5    
mei/ g]ade ,zahl5 mit e9]  grss]5       
,divisor5anzahl4 ,im ,ans*luss an diese 
,tabelle f9d5 wir se*s  ,beispiele1 9   
d55 9 ,=m von ,brodv]!ilung5 die        
,division d] ,zahl5  l1 #c1 #f1 #g1 #h  
und #i dur* die ,zahl #aj gelehrt wird1 
und es folgt hi]auf  9 #ag ,beispiel5   
die sog5annte ,sequem- od]              
,ergnzungsre*nung1 9  wel*] es si* d>um 
h&elt1 ,zahl5w]! zu f9d51 die mit       
gegeb55  ,w]!n dur* ,addition od]       
,multiplication v]bund51 &]e gegeb5e    

,zahl5w]! lief]n4 ,die n*/5 #ae         
,beispiele gehr5 d] sog5annt5           
99,haure*nung99 an1 und f9d5 wir 9      
diesem ,abs*nitte die ,lsung5  l9e>]    
,glei*ung5 mit e9] ,unbekannt54 ,zwei   
weit]e1 d] sog5annt5  99,tunnu-99 od]   
,unt]s*i$sre*nung angehrige ,beispiele  
belehr5 uns  d>b]1 dass d5 alt5         
,aegypt]n d] ,begriff ari?metis*] ,reih5
 ni*t  fremd w>4 ,es folg5 nun sieb5    
,beispiele b] ,volumetrie1 eb5soviele   
b] ,geometrie und fnf ,beispiele b]     
,b]e*nung5 von ,pyramid51 also #ai      
,aufgab5 b] die wir spt] no* e9ige      
,worte sag5 mss54    ,hi]an s*liess5 si*
 endli* dreiundzwanzig v]s*i$55 ,mat]i5 
entlehnte1 ,frag5 des brg]li*5 ,leb5s   
betreff5de ,beispiele1 wie die          
,b]e*nung des ,w]!s von ,s*muckgeg5/nd51
 ab]mals ,v]!ilung5 von  ,brod5 od] von 
,getreide1 ,be/immung des auf e95 ,tag  
entfall5d5  ,!iles e9es ,jahres]trages1 
,b]e*nung5 von ,arbeitslhn51            
,nahrungsmitteln s[ie des ,futt]s fr    
,geflgelhfe4 ,e9] besond]5  ,ankndigung 

w]? ers*e95 uns 9 dies] letzt5 ,ab!ilung
 zwei  ,beispiele2 das e9e d]selb57#cc7 
ls/ ke95 ,zweifel d>b] aufkomm51  dass  
d5 alt5 ,aegypt]n die ,!orie d]         
ari?metis*5 ,progression5  vollkomm5    
gelufig w>1 whr5d wir 9 dem zweit57#cd7 
unt] d]  ,aufs*rift e9e ,leit] die      
geometris*e ,progression von #g ho* #a  
bis #g  ho* #e neb/ d]5 ,summe vorf9d51 
wobei die e9zeln5 ,pot5z5 eig5e  ,nam53 
an1 ,katze1 ,maus1 ,g]/e1 ,maass zu fhr5
 s*e954    ,ni*t unbem]kt lass5 wir     
endli* die 9 d5 ,haure*nung5 auftret5de 
,b5tzung ma!matis*] ,zei*52 s na* l9ks  
od] re*ts  auss*reit5d] ,be9e fr        
,addition und ,subtraction1 drei        
horizontale  ,pfeile fr ,diff]5z1 s[ie  
endli* e9 besond]es1 dem uns]5 ni*t     
unhnli*es ,glei*heitszei*54    ,aus dem 
geometris*5 ,!ile heb5 wir zun*/1 d]    
,anordnung des ,papyrus  ni*t folg5d1   
die ,fl*5b]e*nung5 von ,feld]n h]vor4   
,die  vorkomm5d5 ,beispiele bezieh5 si* 
auf quadratis*e1 re*teckige1  kreisrunde
 und trapezfrmige ,feld]1 d]5           

,fl*59halte aus ihr5  ,lng5maass5       
be/immt w]d54 ,na*dem 9 d5 ,aufgab5 b]  
die ,b]e*nung  des ,fassungsv]mg5s von  
,fru*tspei*]n mit quadratis*] ,grundfl*e
  diese letzt]e gefund5 wird dur*       
,multiplication d] ,maasszahl d] ,seite 
mit si* selb/1 kann es g> ke9em ,zweifel
 unt]lieg51 dass au* die  ,fl*e des     
,re*teckes dur* ,multiplication d]      
,maasszahl5 zwei]  zusamm5/oss5d] ,seit5
 erhalt5 wurde1 da die ,erk5ntniss d]   
,ri*tigkeit d] e95 ,be/immungs>t1 j5e d]
 ,ri*tigkeit d] &]5  involvirt4    ,s*on
 die ,betra*tung sol*]                  
,proportionalmaass/be1 wie wir sie im   
,grabe  99,belzoni99 bem]k5 konnt51 htte
 die alt5 ,aegypt]1 die mit ,glei*ung5  
und ari?metis*5 ,reih5 umzugeh5 wus/51  
auf die ,be/immung d] ,fl*e  e9es       
,re*teckes aus se95 beid5 ,seit5lng5 mit
 ,no?w5digkeit fhr5  mss51 und w]d5 wir 
uns dur* d5 ,um/&1 dass im ,papyrus d]  
diesbezgli*5 ,aufgabe e9e zu ihr ni*t   
gehrige ,lsung beigefgt i/1  dur*aus    
ni*t beirr5 lass54    ,von hohem        

,int]esse i/ die1 an mehr]5 ,/ell5 des  
,papyrus vorkomm5de  ,me?ode d]         
,fl*5b]e*nung e9es ,kreises1 wel*e      
zeigt1 dass die alt5  ,aegypt] mit      
ziemli*] ,annh]ung d5 ,kreis zu quadrir5
 wus/51 9 d]  ,t zu quadrir51 weil sie  
aus dem ,dur*mess] e9e ,lnge ableit51   
wel*e als ,seite e9 ,quadrat lief]t1    
dess5 ,fl*e j5] des ,kreises            
glei*gesetzt wurde4 ,da sie a*t ,neuntel
 des ,dur*mess]s zur ,seite j5es        
,quadrates ma*t51 s entspri*t dies e9em 
,w]! d] ,ludolphis*5 ,zahl1  wel*] dem  
ri*tig5 ,w]! geg5b] um ni*t ganz zwei   
,hund]t/el 7um  #j1jahija7 zu ho*       
gegriff5 ers*e9t2 fr das dritte         
,jahrtaus5d  v4 ,*r4 ,g4 und im         
,v]glei*e zu dem ,w]? pi  #c d]         
,babyloni]1 und no*  mehr im ,v]glei*e  
zu dem ,w]! pi  #d spt]] rmis*]         
,geomet]1  j$5falls e9e ni*t zu         
unt]s*tz5de ,annh]ung an d5 ri*tig5     
,w]?4    ,e9e ,aufgabe beh&elt die      
,fl*5be/immung des ,dreieckes1 wobei das
  ,resultat als das ,product zwei]      

,seit5lng5 gefund5 wird4 ,die hi]       
beigefgte ,figur7#ce71 wel*e 9          
,wirkli*keit e9 unglei*seitiges         
langge/recktes ,dreieck d>/ellt1 kann   
eb5s[ohl als die v]fehlte  ,zei*nung    
e9es re*tw9klig5 wie au* e9es           
glei*s*5klig5 ,dreieckes  betra*tet     
w]d54    ,letzt]e ,annahme i/ von       
99,eis5lohr99 gema*t und von            
99,cantor997#cf7  acceptirt word54      
,d>na* wrde si* die ,me?ode d]          
,dreiecksb]e*nung  d] alt5 ,aegypt] nur 
als e9e ,nh]ungsme?ode d>/ell51 und i/  
au*  von beid5 g5annt5 ,gelehrt5 d]     
begang5e1 9 diesem ,falle 9 d] ,t  ni*t 
b$eut5de ,fehl] ermittelt word54    ,wir
 s9d dageg5 mit ,revill\t &]] ,me9ung4  
,mit ,rcksi*t auf d5 von uns kl>        
erkannt5 ,*>akt] des ,orig9ales des     
,papyrus als e9es sehr ung5au5          
,collegi5heftes1 dess5 ,re*nung5        
eb5sosehr wie die vorkomm5d5 ,zei*nung5 
von d] ,mittelmssigkeit  se9es          
,zusamm5/ell]s b]$tes ,zeugniss ableg51 
zweifeln wir ke95  ,aug5blick1 dass die 

fragli*e ,figur e9 re*tw9kliges ,dreieck
  vorzu/ell5 hatte4 ,die mangelhafte    
,s*l]zei*nung i/ dur* d5  ,copi/5       
99,aahmes99 nur no* s*le*t] geword54    
,dass e9 re*tw9kliges  ,dreieck geme9t  
se9 soll1 erk5nt man brig5s au* aus dem 
,um/&e1  dass 9 d] ,figur die           
,maasszahl5 d] multiplicirt5 ,seit5 bei 
d5  ,s*5keln des1 vom re*t5 ,w9kel nur  
w5ig diff]ir5d5 ,w9kels  angesetzt s9d1 
wo do*1 w5n es si* htte um e9           
glei*s*5kliges  ,dreieck h&eln soll5 die
 ,maasszahl d] ,s*5kel 9 d] ,figur      
gewiss bei  beid5 ,s*5keln zu f9d5 wre4 
,dieselb5 ,grnde be/imm5 uns zu d]      
,annahme1 dass die im ,papyrus bef9dli*e
 ,fl*5b]e*nung e9es ,trapezes  e9e      
vollkomm5 ri*tige i/1 indem es si* au*  
hi] nur um e9 ,trapez  h&eln kann1 dess5
 zwei p>allel5 ,seit5 auf e9] d] ni*t   
p>allel5  ,seit5 s5kre*t /eh54 ,und w>um
 sollt5 d5n die alt5 ,aegypt] ni*t  die 
ri*tige ,art d] ,fl*5b]e*nung au*       
beliebig] ,dreiecke gekannt  hab58      
,konnte man e9mal die ,fl*e e9es        

,re*teckes g5au be/imm51 s mus/e  si*   
dur* e9fa*e ,ans*auung e9es1 dur* e9e   
,diagonale z]legt5  ,re*teckes1 von     
selb/ die ,regel zur ,fl*5be/immung des 
re*tw9klig5  ,dreieckes ergeb52 und     
wurde nun e9 beliebiges s*iefw9kliges   
,dreieck  dur* e9 ,hh5p]p5dikel 9 zwei  
re*tw9klige z]legt1 s w> ni*ts  lei*t]  
als die allgeme9e ,regel zur ,be/immung 
d] ,dreieckfl*e aus  ,basis und ,hhe    
7tepro und m]it7 zu entwickeln4 ,dass   
die ,gew9nung des  ,hh5p]p5dikels s[ohl 
bei ,con/ruction5 als au* auf dem ,felde
 d5  alt5 ,aegypt]n ni*t unmgli* w>1    
folgt zun*/ aus d] gross5  ,b$eutung d] 
,w9kelmaasses 7hapt7 fr alle ,op]ation5 
d] praktis*5  ,geomet] ,aegypt5s4 ,ni*t 
nur1 dass wir 9 viel5 aegyptis*5        
,docum5t5  das ,w9kelmaass erwhnt f9d51 
sieht man au* ,knige abgebildet1 das    
,w9kelmaass 9 d] ,h&1 wel*es von ihn5   
viellei*t 9 d]selb5 ,weise  dur*        
symbolis*e ,b5tzung geehrt wurde1 wie d]
 ,kais] von ,*9a  alljhrli* e9mal d5    
,pflug zu fhr5 pflegt4 ,e9 sol*es       

,w9kelmaass  sieht man brig5s au* auf   
e9em ,w&gemlde abgebildet1 das e9e      
,s*re9]w]k/tte d>/ellt17#cg7 und es     
unt]liegt ke9em ,zweifel1 dass  dasselbe
 eb5s[ohl zur ,anlegung re*t] ,w9kel als
 zum ,fll5 von  ,s5kre*t5 b5tzt word5   
i/4 ,ab] au* auf freiem ,felde mus/e d5 
,aegypt]n die ,con/ruction re*t] ,w9kel 
gelufig se92 s[ohl die  ,pyramid5 als   
au* die aegyptis*5 ,tempel s9d vollkomm5
 ori5tirt1 und  wurde1 wie uns alte     
,ins*rift57#ch7 belehr51 die ,ori5tirung
 9  fe/li*] ,weise vom ,knige unt]      
,beihilfe d] ,biblio!ksgtt9 99,safe*99  
vollzog51 mit d5 ,wort53 ,i* habe gefas/
 d5 ,holzpflock und d5 ,/iel  des       
,s*lgels1 i* halte d5 ,/rick            
geme9s*aftli* mit d] ,gtt9  99,safe*994 
,me9 ,blick folgt dem ,gange d]         
,ge/irne4 ,w5n me9 ,auge an dem         
,/]nbilde des gross5 ,br5 angekomm5 i/1 
und erfllt i/ d] mir  be/immte          
,zeitabs*nitt d] ,zahl d] ,uhr1 s /elle 
i* auf die ,eckpunkte  ,de9es           
,gotte%auses4    ,9 wel*em ,maasse bei  

dies5 ,op]ation5 die von 99,demokritos99
 s  ho*ge/ellt5 99,h>p$onapt599 od]     
,seilspann] be!iligt w>51 hat           
99,cantor997#ci7 9 h*/ s*>fs9nig] ,weise
 zu beleu*t5 v]su*t1 und es  ers*e9t au*
 uns wahrs*e9li*1 dass si* die alt5     
,aegypt] beim  ,con/ruir5 re*t] ,w9kel  
s[ie beim ,fll5 von ,s5kre*t5 auf dem   
,felde1 d] ,?atsa*e b$i5t51 dass d] e9e 
,w9kel 9 e9em1 die  ,seit5lng5 drei1 vi]
 und fnf besitz5d5 ,dreiecke1 e9 re*t]  
,w9kel  se9 msse4 ,mus/e ja do* dies]   
,satz seit unvord5kli*5 ,zeit5 au*  d5  
,*9es5 bekannt se91 da wir ihn 9 d] bei 
ihn5 s b]hmt5  ,s*rift ,ts*iu-pi f9d51  
wel*e mehr]e ,jahrhund]te v4 ,*r4 ,g4   
ent/&51 auf d5 ,kais] 99,ts*iu-,kung99  
also 9 das ,jahr #aajj v4 ,*r4 ,g4  etwa
 zurckgefhrt wird47#dj7 ,uebrig5s konnt5
 directe ,messungsv]su*e an  diagonal5  
,l9i5 9 d5 ,proportionalmaass/b5 s[ohl  
zu dem erwhnt5  als au* no* zu &]5      
re*tw9klig5 ,dreieck5 mit rational5     
,seit5lng5 gefhrt hab51 und s*e9t uns   
die ,mgli*keit ni*t  ausges*loss51 dass 

d] b]hmte und b]*tigte ,satz des        
99,py?agoras99  b] die ,quadrate d]     
,ka!t5 und d] ,hypo!nuse e9] e+eh5d5    
,unt]su*ung sol*] ,proportionalmaass/be 
entsprung5 i/4    ,w5n wir nun e9]seits 
behaupt51 dass die alt5 ,aegypt] ni*t   
nur die  ,fl*e des ,kreises1 des        
,quadrates1 des ,re*teckes1 des         
re*tw9klig5  s[ie des s*ief5 ,dreieckes1
 und unt] ,zuhilf5ahme d] ,z]legung5 au*
  die ,fl*5 beliebig] ,polygone !oretis*
 g5au zu be/imm5 im ,/&e  w>51 mit      
,ausnahme d] au* fr uns e9e sol*e       
bild5d5 ,kreisfl*e1 s  muss do* &]seits 
zuge/&5 w]d51 dass man si* bei praktis*5
  ,anw5dung5 mit ,nh]ung5 begngte1 wel*e
 im ,laufe d] ,zeit5 s  aus>tet51 dass  
d] ,gebrau* fals*] ,regeln e9 allgeme9] 
wurde4    ,am l9k5 ,niluf] 9 d] ,mitte  
zwis*5 99,!b599 und 99,assuan99 liegt   
99,edfu991 das alte 99,appoll9opolis    
,magna99 mit e9em /attli*5 ,tempelbau   
aus d5 ,zeit5 d] ,ptolomer4 ,d] ,tempel1
 haupts*li* dem ,gotte 99,horus99       
geweiht1 i/ mit e9] frei/eh5d5          

,umfassungsmau] umgeb517#da7 d]5        
,o/seite zwis*5 dem ,brunn5?ore und dem 
/li*5 ,pylonflgel e9e  ,ins*rift trgt1  
wel*e uns auf a*t ,feld]n und 9         
hund]tvi]undse*zig  ,column57#db7 e9e   
,s*5kungsurkunde des ,knigs 99,ptolomu  
,,xi4 ,alex&]  ,i499 7mit dem ,be9am5   
99,philometor997 bekannt gibt4 ,das     
,ges*5k1 wel*es  hi] 99,horus99 und d5  
brig5 ,gtt]n von 99,edfu99 v]lieh5 wird1
 be/eht  aus e9] ,anzahl von mei/       
vi]eckig5 ,aeck]n1 d]5 vi] ,seit5lng5   
neb/ ,fl*59halt5 angegeb5 ers*e954      
,da j$] d] vorkomm5d5 ,fl*59halte       
id5tis* i/ mit dem ,producte  d]        
ari?metis*5 ,mittel d] beid5            
,geg5seit5pa>e1 s wurde na*             
99,lepsius99 die ,v]mu?ung aufge/ellt1  
die alt5 ,aegypt] htt51 um  ,vi]ecke bei
 d] ,fl*5be/immung annh]nd wie ,re*tecke
 beh&eln zu  knn51 d5 ,unt]s*i$ d]      
,geg5seit5 dadur* auszuglei*5 gesu*t1   
dass sie die ari?metis*5 ,mittel d]selb5
 9 ,re*nung zog54    ,bei sehr viel5 d] 
9 d] 99,edfu99er ,s*5kungsurkunde       

vorkomm5d5  ,vi]ecke i/ d] ,unt]s*i$ je 
zwei] ,geg5seit5 entw$] ,null od]       
v]hltnissmssig s kle91 dass man d5      
betreff5d5 ,vi]eck5 e9e vom  ,re*tecke  
w5ig v]s*i$5e ,ge/alt beileg5 kann1 und 
die erhalt55  ,resultate somit e9e      
ziemli*e ,annh]ung an d5 ri*tig5        
,fl*5w]?  d>/ell5 drft51 na* dem man mit
 ,rcksi*t auf die bei 99,seso/ris99     
bem]kte ,e9!ilung des ,l&es 9 ,re*tecke 
voraussetz5 d>f1 g]ade  diese od] e9e   
ihr zun*/ komm5de ,=m d] ,feld] sei die 
au* damals  s*on beliebte gewes54       
,do* komm5 au* ,vi]ecke vor1 wo d]      
,lng5unt]s*i$ d] ,geg5seit5  e9         
bem]k5sw]!r i/2 ja es w]d5 au* ,dreiecke
 als ,vi]ecke mit  e9] v]s*w9d5d5 ,seite
 beh&elt1 s dass d] begang5e ,fehl] 9   
man*5 ,fll5 e9 ni*t unb$eut5d] i/4      
,nur neb5bei bem]k5 wir1 dass man       
dieselbe unri*tige ,fl*5=mel fr  das    
,vi]eck erhlt1 w5n man dasselbe zun*/   
dur* e9e ,diagonale 9  zwei ,dreiecke   
z]legt1 auf j$es dies] ,dreiecke die    
unri*tige  ,fl*5=mel1 die d5 ,inhalt als

 das halbe ,product d] beid5 ,seit5     
lief]t1 anw5det1 die beid5 s erhalt55   
,dreiecksfl*5 addirt und  dann aus dies]
 ,summe und j5]1 wel*e man bei dem      
hnli*5 ,vorgange  dur* ,z]legung mittel/
 d] zweit5 ,diagonale erhlt1 das        
ari?metis*e  ,mittel con/ruirt4         
,nimmt man mit 99,eis5lohr99 und        
99,cantor99 an1 dass die ,aegypt] die   
,dreiecksfl*e wirkli* dem halb5         
,producte zwei] ,seit5 glei*setzt51  s  
/eht man vor d] ,frage1 w>um ni*t 9     
d]selb5 ,art die ,fl*5 d]  9 d]         
99,edfu99er ,s*5kungsurkunde auftret5d5 
,dreiecke be/immt  ers*e958    ,uebrig5s
 wolle man si* d>b] ni*t wund]n1 dass es
 b]haupt mgli*  w>1 die ,fl*5b]e*nung5  
im praktis*5 ,leb5 na* e9] s fals*5     
,me?ode dur*zufhr54 ,wiss5 wir do*1 dass
 im ,alt]?ume1 zur ,zeit  99,platon99s1 
e9] d] gebildet/5 ,mnn]1 e9] d]         
h]vorrag5d/5  ,ges*i*ts*reib]1 dass     
99,?ukydides997#dc7 9 se9] ,unk5ntniss  
d]  ,beziehung zwis*5 ,fl*59halt und    
,umfang1 die ,fl*e e9] ,insel na*  d] zu

 ihr] ,ums*iffung no?w5dig5 ,zeit zu    
be/imm5 su*te2 9 d]  ,geometrie         
99,g]b]t99's17#dd7 des na*malig5 ,pap/es
 99,silve/] ,,ii499 f9d5  wir1 #ajjj    
,jahre na* ,*r4 ,g41 die ,fl*e e9es     
glei*s*5klig5 ,dreieckes  dur*          
,multiplication des ,s*5kels mit d]     
halb5 ,basis b]e*net1 wo do*  s*on      
99,h]o von 9999 ,alex&ri5997#de7 #aajj  
,jahre frh] die ri*tige ,=mel  fr diese 
,b]e*nung k5nt4    ,wir b]hr5 diese     
,?atsa*51 und knnt5 no* e9e ganze ,reihe
 hnli*]  ,beispiele anfhr51 nur um zu   
zeig51 wie b]eilt es wre1 aus d5 (t  nur
 s*wa*e ,annh]ung5 lief]nd5 ,b]e*nung5  
d] 99,edfu99er  ,s*5kungsurkunde        
s*liess5 zu woll51 die ri*tig5 ,me?od5  
sei5 d5  9 die ,wiss5s*aft5 e+eweiht5   
aegyptis*5 ,prie/]n ni*t bekannt        
gewes54    ,do* zurck zum ,papyrus      
99,rh9d994    ,wir b]geh5 die           
,inhaltsbe/immung5 von ,fru*?us]n1 bei  
d55 d]  ,inhalt dur* ,multiplication e9]
 ,fl*e mit e9] ,lnge be/immt wird1  weil
 wir es fr mssig halt51 ,errt]ung5 d>b] 

anzu/ell51 wel*e  ,fl*5 und ,lng5 hiebei
 geme9t s9d1 s lange uns b] die ,=m j5] 
,fru*?us] od] ,spei*] ni*ts bekannt i/4 
,dageg5 erweck5 die im ,papyrus         
vorkomm5d5 ,pyramid5-,b]e*nung5 das     
h*/e ,int]esse1 besond]s na* d5 glnz5d5 
,unt]su*ung51 wel*5  99,revill\t99 dies5
 ,geg5/& unt]zog5 hat1 und d]5          
,resultate wir1  entgeg5 d] von         
99,eis5lohr99 ausgespro*55 und au* von  
99,lepsius997#df7  acceptirt5 ,ansi*t   
als sol*e betra*t51 wel*e 9 e9fa*] und  
natrli*] ,weise die sog5annte           
99,seket99-,re*nung d] alt5 ,aegypt]    
beleu*t54    ,es wird 9 dies5 ,re*nung5 
die ,bs*ung d] ,seit5fl*5 e9]           
quadratis*5 ,pyramide dadur* fixirt1    
dass j5] ,!il d] ,lnge e9es  d] beid5   
glei*lang5 ,s*5kel des ,w9kelmaasses    
b]e*net wird1 d]  si* zur ,lnge des &]5 
,s*5kels s v]hlt1 wie die halbe ,lnge d]
  ,basisseite d] quadratis*5 ,pyramide  
zur ,hhe d]selb54    ,zu dem ,behufe w> 
d] e9e d] beid5 ,s*5kel des             
,w9kelmaasses 9 e9e  gewisse ,anzahl    

glei* gross] ,!ile ge!ilt1 whr5d d] &]e 
,s*5kel1 d] ,pyramid5hhe entspre*5d1 und
 als ,e9heit betra*tet1  unge!ilt blieb4
    ,um nun d5 sog5annt5 99,seket99 zu  
be/imm51 wurde die halbe ,lnge d]       
,basisseite dur* die ,pyramid5hhe       
dividirt und mit dem erhalt55  ,quoti5t5
 die ,anzahl d] ,!ile des horizontal51  
ge!ilt5 ,s*5kels  des ,w9kelmaasses     
multiplicirt4    ,es w> somit d] ,seket 
7wel*] 9 d]selb5 ,art fr e95 g]ad5      
,kreiskegel aus dem ,dur*mess] d] ,basis
 und d] ,hhe be/immt ers*e9t7  als      
,v]hltniss aufgefas/1 die goniometris*e 
,cotang5te des  ,neigungsw9kels d]      
,seit5fl*e d] ,pyramide1 respective d]  
,kegelkante  zur ,basis4    ,w5n wir    
selb/v]/ndli* weit davon entf]nt s9d1   
hi]9 viellei*t  ,anfnge d]              
,trigonometrie seh5 zu woll51 s erk5n5  
wir do*  &]seits1 dass d5 alt5 ,aegypt]n
 au* die ,lehre proportional] ,l9i51    
w5ig/5s 9 ihr5 ,anw5dung51 bekannt      
gewes5 se9 mus/e1 und  ers*e9t uns au*  
d] am ,e+ange erwhnte ,ausspru* b] die  

dem  ,milesi] 99,?ales99 zuges*rieb5e   
,hh5messung d] ,pyramid5 als e9 ganz    
glaubwrdig]1 w5n wir seh51 wie im       
,papyrus von d5 drei ,w]!n3 ,basis1     
,hhe1 ,seket1 j$] aus d5 beid5 &]5      
b]e*net ers*e9t4    ,fass5 wir nun die  
,ergebnisse uns]] ,betra*tung5 zusamm51 
s mss5  wir aus d] quell5mssig erwies55 
gross5 ,bewund]ung1 wel*e die           
ausgespro*5 geometris* ho*5twickelt5    
,grie*5 d5 aegyptis*5  ,geomet]n        
rckhaltlos zollt51 wir mss5 aus d]      
unanfe*tb>5  ,?atsa*e1 dass grie*is*e   
,geomet] d5 ,grund zu ihr5 ,k5ntniss5   
und  ,entdeckung5 9 ,aegypt5 su*t5 und  
f&51 wir mss5 im ,h9blicke auf  das1 aus
 d] nun voll5ds entziff]t5#db           
99,edfu99er ,s*5kungsurkunde si*  mit   
,si*]heit ergeb5de ausgebreitete und fe/
 organisirte ,kata/]wes5  d] alt5       
,aegypt]1 wel*es zuglei* mit d5         
zahlrei*51 dem ff5tli*5  ,leb5 di55d5   
,l&- und ,wass]baut5 auf e9e            
v]hltnissmssig  b$eut5d entwickelte     
,v]messungskunde h9wei/1 wir mss5 endli*

 aus  dem von uns bespro*55 ,papyrus1 d]
 si* als e9e ung5aue ,abs*rift  e9es    
mangelhaft51 aus dem dritt5 ,jahrtaus5d 
vor ,*r4 ,g4 /amm5d51  ma!matis*5       
,collegi5- od] ,aufgab5heftes erwei/1   
und aus dess5  ,vorh&5se9 si* fa/ mit   
,gewis%eit auf damals exi/ir5de1 neb5 d5
  ,regeln au* ihre ,ableitung5 en?alt5de
 ,lehrb*] s*liess5 ls/1 wir  knn5 und   
mss5 aus all5 dies5 ,um/nd5 d5 allgeme95
 ,s*luss  zieh51 dass b]eits drei       
,jahrtaus5de vor uns]] ,zeitre*nung     
s[ohl die  ari?metis*51 als au* die     
geometris*5 ,k5ntnisse d] ,aegypt]1 e95 
fr dieses ,zeitalt] b$eut5d5 ,grad d]   
,entwicklung besass54    ,insbesond]e   
knn5 wir 9 j55 f]n5 ,zeit5 e9e /aun5sw]?
  weitgeh5de ,annh]ung bei d] ,b]e*nung 
d] ,kreisfl*e beoba*t51 wir  f9d5 mit   
voll/ndig] ,si*]heit ri*tige            
,fl*5be/immung5 des  ,quadrates1        
,re*teckes und des re*tw9klig5          
,dreieckes2 h*/  wahrs*e9li* au* ri*tige
 ,be/immung5 d] ,fl*5 s*iefw9klig]      
,dreiecke und ,vi]ecke1 wel*e im        

praktis*5 ,leb5 dur* lei*t] zu  h&hab5de
 ,annh]ungs=meln ersetzt wurd52 wir seh5
 ,be/immung5 des  ,raum9haltes dur* ihre
 ,dim5sion5 gegeb5] ,krp] und erk5n5 die
  ,anfnge d] ,aehnli*keitslehre4    ,0  
das geometris*e ,zei*n5 betrifft1 s k5n5
 wir s*on die  ,con/ruction d] frh]     
beoba*tet5 regelmssig5 ,figur5 und drf5 
weit] v]mu!n1 dass die ,anlegung re*t]  
,w9kel und das ,fll5 von  ,s5kre*t5     
s[ohl mittel/ des ,w9kelmaasses als au* 
mittel/ rational]  re*tw9klig] ,dreiecke
 bekannt1 und die ,z]legung gegeb5]     
,fl*5  behufs ihr] ,inhaltbe/immung 9   
allgeme9] ,v]w5dung w>4    ,gewiss w]d5 
au* !oretis*e ,resultate bekannt gewes5 
se92 s die  ,hlftung des ,kreises dur*  
se95 ,dur*mess]1 die si* aus d]         
bespro*55 ,seketre*nung von selb/       
ergeb5de ,w9kelglei*heit an d]  ,basis  
glei*s*5klig] ,dreiecke und glei*seitig]
 quadratis*]  ,pyramid51 und wohl no*   
man*es ,&]e4    ,mge es gel+51 dur*     
,auff9dung neu]1 s[ie dur* ,entziff]ung 
d]1  no* ihr] ,erklrung h>r5d5 ,d5kmale 

und ,s*rift51 von wel*5  letzt]51 ,dank 
d] hoh5 ,munific5z des ,erlau*t5        
,curators uns]]  ,akademie1 au* ,wi5 e9e
 imposante ,zahl aufweis5 kann1 mge es s
  gel+5 no* weit]e ,anhaltspunkte fr die
 ,k5ntniss d] ma!matis*5  ,?tigkeit des 
uns bekannt5 lte/5 ,culturvolkes1 d]    
,aegypt] zu  gew9n56    ,dies5 uns]5    
,wuns* !il5 gewiss ,alle1 d55 die       
,er=s*ung d]  ,culturges*i*te des       
m5s*li*5 ,ges*le*tes ni*t ohne          
,wi*tigkeit  ers*e9t6                #a 
,,h]odot1 ,reiseb]i*t1 ,,ii1 #aji4      
#b ,,isokrates1 ,busiris1 c4 #i4        
#c ,platonis ,pha$rus1 ed4 ,a/4 ,i4 p4  
#bdf4        #d ,,ari/oteles1 ,metaph4  
,i1 #a4        #e ,,diodor1 ,i1 #fi4    
#f ,h]odot l4 c4        #g ,h]onis      
,alex&r4 geom4 et /]eom4 reliquiae1 ed4 
,hults*4 p4        #ach4        #h      
,,diodor1  ,i1 #ha4        #i ,,/rabon1 
ed4 ,me9ike1 lib4 ,,xvii1 ,c4 #ghg1 p4  
#ajih4       #aj ,eudemi ,rhodii        
,p]ipatetici fragm5ta quae sup]sunt4 ed4
 ,l4        ,sp5gel4 ,b]l9 #ahgj4       

#aa ,procl4 comm5t4 ed4 ,rasil4 p4 #ai2 
,b>ocius p4 #cg4       #ab ,,isokrates1 
,busiris1 cap4 #aa4       #ac ,,/rabon1 
,,xiv1 #a4 #af4       #ad ,,porphyrius1 
,de vita ,py?agorae cap4 #g2 ,,diog5es  
,,la]tius1 ,,viii1 #c4       #ae        
,,diodor1 ,i1 c4 #if4       #af         
,,proklos1 ed4 ,fri$le91 #bej1 #bii1    
#ceb1 #aeg4       #ag ,,diog5es         
,,la]tius1 ,i1 #bg4 ,,pl9ius1 ,hi/4 nat4
 ,,xxxvi1 #ab1 #ag4       #ah ,,plut>*1 
ed4 ,didot4 ,vol4 #b1 ,,iii1 p4 #agd4   
#ai ,,diog5es ,,la]tius ,i1 #bd--be4    
#bj ,,montucla1 ,hi/4 d4 ma?4 #b4 dit4  
t4 ,i1 p4 #di4       #ba ,,brets*neid]1 
,die ,geometrie und die ,geomet] vor    
,euklides1 p4 #aa4        ,dem ,w]ke    
,brets*neid]s1 s[ie j5em ,,cantor's3    
,vorlesung5 b]        ,ges*i*te d]      
,ma!matik1 s9d die grundleg5d5 ,g$ank5  
entnomm54       #bb ,,clem5s            
,,alex&r9us1 ,/romata1 ed4 ,pott]1 ,i1  
#ceg4       #bc ,,!on ,,smyrnaios1 lib4 
de a/ron4 ed4 ,m>t91 p4 #bgb4       #bd 
,,prisse ,d',,av5nes1 ,hi/4 de l'art    

,egypt4 d'aprs les monum5ts4       #be  
,,wilk9son1 ,mann]s & cu/oms ( ! anci5t 
,egyptians1 ,,iii1 p4        #cac4      
#bf ,,cic]o1 ,de f9ibus bonorum ed      
malorum ,i1 #f1 #bj4       #bg ,,diog5es
 ,,la]tius ,,ix1 #dg4       #bh         
,,cantor1 ,vorlesung5 b] ,ges*i*te d]   
,ma!matik1 ,i1 p4 #add--aei             
7,leipzig #ahhj74       #bi ,,eis5lohr1 
,e9 ma?4 ,h&bu* d] alt5 ,aegypt]4       
,leipzig #ahgg4       #cj ,,bir*1 9     
,lepsius' ,zeits*rift fr gypt4 ,spra*e  
und ,alt]?um1        #ahfh1 p4 #ajh4    
#ca ,,lepsius1 gypt4 ,zeits*rift1 #ahga1
 p4 #fc4       #cb ,,revill\t1          
,,eug,,ne1 ,revue ,egyptologique1 #ahha1
 ,nr4 ,,ii et ,,iii1 p4        #cjd4    
#cc ,,eis5lohr1 ,e9 ma?4 ,h&bu* d] alt5 
,aegypt]4 ,nr4 #fd4       #cd ibid4 ,nr4
 #gi4       #ce ibid4 p4 #abe4       #cf
 ,,cantor1 ,vorlesung5 aus d] ,ges*i*te 
d] ,ma!matik1 ,i1 p4 #di4       #cg     
,,wilk9son1 ,mann]s & cu/oms u4 s4 w4   
,,iii41 p4 #add4       #ch ,,brugs*1    
,ueb] ,bau und ,maasse des ,tempels von 

,edfu 7,zeits*rift        fr gypt4      
,spra*e u4 ,alt]?4 ,bd4 ,,viii47        
#ci ,,cantor1 ,vorlesung5 u4 s4 w4 ,i1  
p4 #ee4       #dj ,d4 ,,biot1 ,j\rnal   
,asiatique1 ,p>is #ahda1 ,i4 ,sem4 p4   
#eic4       #da ,,lepsius1 ,ueb] e9e    
hi]oglyphis*e ,ins*rift am ,tempel von  
,edfu4 ,abh&lung d4 ,acad4 d4 ,wiss4 9  
,b]l91 #ahee1 p4 #fi4       #db         
,,brugs*1 ,!saurus ,,iii1 ,leipzig      
#ahhd4       #dc ,,?ukydides1 ed4 ,ro!1 
,,vi4 #a4       #dd ed4 ,oll]is1 ,cap4  
,,lxx4 p4 #dfj4       #de ,h]onis       
,alex&r9i geometricorum et              
/]eometricorum reliquiae        7ed4    
,hults*1 ,b]l9 #ahfd74       #df        
,,lepsius1 ,ueb] die #fpalmige grosse   
,elle von #g kle95 ,palm5 ,lnge        9
 dem ma?4 ,h&bu*e von ,eis5lohr4        
7,zeits*rift f4 g4 ,sp4        #ahhd4   
#a4 ,heft47