,,ber ,,die ,,geometrie ,,der ,,alten ,,gypter ------------------ ,,vortrag ,,gehalten ,,in ,,der ,,feierlichen ,,sitzung ,,der ,,kaiserlichen ,,akademie ,,der ,,wissenschaften ,,am ,,xxix4 ,,mai ,,mdccclxxxiv ,,von ,,dr4 ,,emil ,,weyr ,,wirklichem ,,mitgliede ,,der ,,kaiserlichen ,,akademie ,,der ,,wissenschaften4 ------------------ ,,wien ,,aus ,,der ,k4 ,k4 ,,hof- ,,und ,,staatsdruckerei4 ,,in ,,commission ,,bei ,,karl ,,gerold',s ,,sohn1 ,,buchh,,ndler ,,der ,,kaiserlichen ,,akademie ,,der ,,wissenschaften4 #ahhd ,mge mir gestattet sein1 bei dem heutigen feierlichen ,anlasse ein ,bild zu entrollen1 welches in grossen ,strichen die allgemeinen ,umrisse des ,zustandes der geometrischen ,wissenschaften bei den alten ,aegyptern zur ,darstellung bringen soll2 und mge dasselbe ,wohlwollen1 das1 gepaart mit einer althergebrachten ,sitte1 mich heute auf diesen eben so ehrenvollen als schwierigen ,platz gestellt1 auch bei der ,beurtheilung der folgenden bescheidenen1 weil schwachen ,krften entspringenden ,leistung obwalten6 ,so wie der ,anfang aller menschlichen ,kenntnisse1 so ist auch der ,ursprung der ,geometrie in grauestes ,alterthum zu versetzen1 er ist zu suchen in jenen der ,zeit nach unangebbaren ,perioden der menschlichen ,entwicklung1 in welchen das erste ,erwachen des ,selbstbewusstseins zu finden wre4 ,sind doch manche geometrische ,anschauungen auch dem ,thiere eigen2 so jene der geraden ,verbindungslinie zweier ,punkte als der krzesten ,entfernung2 jene des ,mehr und ,weniger bei ,quantitten der ,entfernungen1 ,hhen1 ,neigungen1 und so werden auch manche abstractere ,raumanschauungen dem ,menschen in seinen ersten ,entwicklungsperioden eigen geworden sein1 ,anschauungen1 welche durch die ,mglichkeit und auf ,grund der sprachlichen ,bezeichnung jene ,stabilitt erhielten1 die sie befhigte1 als erste ,fundamente der geometrischen ,kenntnisse zunchst1 und der ,geometrie als ,wissenschaft spter aufzutreten4 ,geometrisches ,denken entstand zu den verschiedensten ,zeiten1 an den verschiedensten ,orten4 ,denn berall1 wo der menschliche ,geist sich zu entwickeln begann1 und das menschliche ,denken jene ,hhe erreichte1 auf welcher ,abstractionen entstehen1 bildeten sich die grundlegenden ,raumbegriffe2 der des ,punktes1 der geraden und krummen ,linien1 der ebenen und krummen ,flchen4 ,denn berall in der ,natur boten sich dem erwachenden ,menschen ,reprsentanten dieser ,begriffe in grsserer oder geringerer ,genauigkeit dar4 ,whrend der ,anblick der auf- und untergehenden ,sonne1 sowie des vollen ,mondes in sdlichen ,gegenden fast tglich das ,bild der vollkommensten1 der schnsten ,linie1 der ,kreislinie vorfhrte1 stellten sich die zahllosen ,sterne des ,abends dem ,auge als glnzende ,punkte dar1 welche in ihren mannigfaltigen gegenseitigen ,lagenverhltnissen die ,phantasie des ,menschen bei der1 von ihm beliebten ,eintheilung des ,himmels in ,sternbilder zur ,herstellung so mancher geraden und krummen ,linien verleiten mochten4 ,und selbst in seiner nchsten ,umgebung fand der beobachtende ,mensch geometrische ,anklnge2 das ,gewebe der ,spinne mit seinen kreisrunden und radialen ,fden1 die sechseckige ,bienenzelle1 die beim ,fallen eines ,krpers in ruhendes ,wasser entstehenden concentrischen ,wellenringe1 und wie vieles ,andere musste1 wenn auch nach und nach1 so doch mit zwingender ,nothwendigkeit den ,menschen zur ,beobachtung gesetzmssiger geometrischer ,formen fhren4 ,als ,mutterland der ,mathematik im ,allgemeinen1 und der ,geometrie im ,besonderen wird ,aegypten angefhrt2 doch ist die ,zeit lngst vorbei1 wo man sich ,aegypten als einzigen ,ursprungsort dieser ,wissenschaften dachte1 vielmehr muss als feststehend angenommen werden1 dass jedes ,volk in seinem ,entwicklungsgange geometrische ,anschauungen sich anzueignen schon durch praktische ,bedrfnisse gezwungen war4 ,die ,hhe1 zu welcher sich die einzelnen ,vlker in ihren mathematischen ,speculationen emporzuschwingen vermochten1 hing von der ,richtung des ,bildungsganges1 von dem ,maasse des ,bedrfnisses und nicht in letzter ,reihe von dem ,einflsse religiser ,verhltnisse ab4 ,und so mag sich zunchst jene ,naturgeometrie entwickelt haben1 welche allen ,vlkern zugesprochen werden muss1 und auf deren ,vorhandensein1 weil auf die ,anwendungen ihrer freilich einfachsten ,principien1 ,ueberreste von ,bauten berall dort hinweisen1 wo wir in der ,lage sind1 solche beobachten zu knnen4 ,die ,pellasger1 die vorhellenischen ,ureinwohner ,griechenlands1 mussten lange vor ,entstehung der ,philosophie geometrische ,kenntnisse in dem ,maasse besessen haben1 wie sie zur ,auffhrung von ,wasserbauten1 ,dmmen1 ,canlen und ,burgen1 von denen man jetzt noch ,spuren findet1 nothwendig waren4 ,verfolgt man die ,entwicklung der ,geometrie zu ihren ,quellen aufwrts1 so drfen wir nicht berrascht sein1 dass man bei dem uns bekannten ltesten ,culturvolke1 bei den ,aegyptern1 am weitesten vorzudringen vermag1 und zwar an der ,hand der indirecten wie der directen ,nachrichten1 welche uns ber diesen ,gegenstand zugekommen sind4 ,leider jedoch sind die ,ersteren ihrem ,inhalte und die ,letzteren ihrer ,zahl nach nur sprliche zu nennen4 ,zahlreich sind wohl die ,stellen in griechischen ,philosophen und ,geschichtschreibern1 welche ,bezug haben auf aegyptische ,geometrie1 es lsst sich jedoch nicht verkennen1 dass oft die ,spteren auf ,frhere sich sttzen1 und wir es mglicherweise mit einer einzigen1 durch ,jahrhunderte fortgefhrten ,nachricht zu thun haben4 ,durch 99,herodot991 welcher um die ,mitte des fnften vorchristlichen ,jahrhunderts 7#dfj7 ,aegypten bereiste1 erfahren wir7#a71 dass die ,geometrie von ,aegypten nach ,griechenland verpflanzt worden sei4 ,etwas spter 7#cic v4 ,chr47 berichtet 99,isokrates99 die ,thatsache7#b71 dass die ,aegypter die ,aelteren 7unter ihren ,priestern7 ber die wichtigsten ,angelegenheiten setzten1 dagegen die ,jngeren beredeten1 mit ,hintansetzung des ,vergngens1 sich mit ,astronomie1 ,rechenkunst und ,geometrie zu beschftigen4 ,in 99,platon99's ,phdrus sagt 99,sokrates993 ,ich habe vernommen1 zu ,naukratis in ,aegypten sei einer der dortigen alten ,gtter gewesen1 dem auch der ,vogel geheiligt ist1 den sie ,isis nennen1 whrend der ,gott selbst den ,namen ,teuth fhrt2 dieser habe zuerst ,zahlenlehre und ,rechenkunst erfunden und ,geometrie und ,astronomie7#c71 und einen directen ,hinweis finden wir bei 99,aristoteles991 welcher in seiner ,metaphysik sagt37#d7 ,daher entstanden auch in ,aegypten die mathematischen ,wissenschaften1 denn hier war den ,priestern die dazu nthige ,msse vergnnt4 ,uebrigens schrieben sich die ,aegypter neben der ,erfindung der ,buchstabenschrift auch jene der meisten ,wissenschaften und ,knste zu1 worber 99,diodor997#e71 welcher etwa #gj ,jahre v4 ,chr4 ,g4 ,aegypten bereiste1 bemerkt3 ,die ,aegypter behaupten1 von ihnen sei die ,erfindung der ,buchstabenschrift und die ,beobachtung der ,gestirne ausgegangen1 ebenso seien von ihnen die ,theoreme der ,geometrie und die meisten ,wissenschaften und ,knste erfunden worden4 ,neben diesen ganz allgemein gehaltenen ,angaben sind hauptschlich diejenigen ,berichte zu erwhnen1 welche sich auf die ,art der wissenschaftlichen ,leistungen der ,aegypter beziehen4 ,da sagt zunchst 99,herodot997#f7 in ,hinsicht auf die unter dem ,knige 99,sesostris99 durchgefhrte ,lndereintheilung3 ,auch sagten sie1 dass dieser ,knig das ,land unter alle ,aegypter so vertheilt habe1 dass er jedem ein gleich grosses ,viereck gegeben1 und von diesem seine ,einknfte bezogen habe1 indem er eine jhrlich zu entrichtende ,steuer auflegte4 ,wem aber der ,fluss 7,nil7 von seinem ,theile etwas wegriss1 der musste zu ihm kommen und das ,geschehene anzeigen2 er schickte dann die ,aufseher1 die auszumessen hatten1 um wie viel das ,landstck kleiner geworden war1 damit der ,inhaber von dem brigen nach ,verhltniss der aufgelegten ,abgaben steure4 ,hieraus erscheint mir die ,geometrie entstanden zu sein1 die von da nach ,hellas kam4 ,die1 99,herodot991 dem ,vater der ,geschichtsschreibung folgenden ,berichterstatter hielten sich nun1 vielleicht erklrlicherweise1 vorzglich an den einen1 die ,nilberschwemmungen betreffenden ,theil obiger ,nachricht1 und wurde1 gewiss ,unberechtigtermassen der ,nil als der unmittelbare ,anstoss fr alle geometrischen ,arbeiten der ,aegypter hingestellt4 ,und doch scheint es uns viel nherliegend1 die einerseits behufs der ,steuerbemessung und ,controle1 anderseits wegen der aus den ,vernderungen im ,besitzstande sich nothwendig ergebenden ,flchenfestsetzungen als den ,hauptbeweggrund jener ,vermessungen zu erkennen1 wobei die gesammelten ,erfahrungen gewiss auch bei der ,beurtheilung der unzweifelhaft nach den periodisch eintretenden ,nilberschwemmungen vorgekommenen ,terrainvernderungen mit ,vortheil benutzt worden sein mgen4 ,unverkennbar ist der ,zug nach ,aufbauschung und ,ausschmckung des1 jene ,nilberschwemmungen betreffenden ,theiles des 99,herodot99'schen ,berichtes1 wenn man die ,aufzeichnungen spterer ,gewhrsmnner nher betrachtet4 ,zunchst finden wir bei 99,heron99 dem ,aelteren die folgende diesbezgliche ,stelle7#g73 ,die frheste ,geometrie beschftigte sich1 wie uns die alte ,ueberlieferung lehrt1 mit der ,messung und ,vertheilung der ,lndereien1 woher sie ,feldmessung genannt wurde4 ,der ,gedanke einer ,messung nmlich ward den ,aegyptern an die ,hand gegeben durch die ,ueberschwemmungen des ,nil4 ,denn viele ,grundstcke1 die vor der ,flussschwelle offen dalagen1 verschwanden beim ,steigen des ,flusses und kamen erst nach dem ,sinken desselben zum ,vorschein1 und es war nicht immer mglich1 ber die ,identitt derselben zu entscheiden4 ,dadurch kamen die ,aegypter auf den ,gedanken einer solchen ,messung des vom ,nil blossgelegten ,landes4 ,weiter finden wir bei 99,diodor997#h7 einen ,ausspruch1 durch welchen wir brigens auch ber andere wissenschaftliche ,leistungen der ,aegypter belehrt werden2 99,diodor99 sagt3 ,die ,priester lehren ihre ,shne zweierlei ,schrift1 die sogenannte heilige1 und die1 welche man gewhnlich lernt4 ,mit ,geometrie und ,arithmetik beschftigen sie sich eifrig4 ,denn indem der ,fluss jhrlich das ,land vielfach verndert1 veranlasst er viele und mannigfache ,streitigkeiten ber die ,grenzen zwischen den ,nachbarn2 diese knnen nun nicht leicht ausgeglichen werden1 wenn nicht ein ,geometer den wahren ,sachverhalt durch directe ,messung ermittelt4 ,die ,arithmetik dient ihnen in ,haushaltungsangelegenheiten und bei den ,lehrstzen der ,geometrie2 auch ist sie denen von nicht geringem ,vortheile1 die sich mit ,sternkunde beschftigen4 ,denn wenn bei irgend einem ,volke die ,stellungen und ,bewegungen der ,gestirne sorgfltig beobachtet worden sind1 so ist es bei den ,aegyptern geschehen2 sie verwahren ,aufzeichnungen der einzelnen ,beobachtungen seit einer unglaublich langen ,beihe von ,jahren1 da bei ihnen seit alten ,zeiten her die grsste ,sorgfalt hierauf verwendet worden ist4 ,die ,bewegungen und ,umlaufszeiten sowie die ,stillstnde der ,planeten1 auch den ,einfluss eines jeden auf die ,entstehung lebender ,wesen und alle ihre guten und schdlichen ,einwirkungen haben sie sehr sorgfltig beobachtet4 ,am innigsten verknpft erscheint die ,geometrie der ,aegypter mit den ,ueberschwemmungen des ,nil bei 99,strabon997#i72 welcher bemerkt1 dass es einer sorgfltigen und bis auf das ,genaueste gehenden ,eintheilung bedurfte1 wegen der bestndigen ,verwstung der ,grenzen1 die der ,nil bei seinen ,ueberschwemmungen veranlasst1 indem er ,land wegnimmt und zusetzt1 und die ,gestalt verndert1 und die anderen ,zeichen unkenntlich macht1 wodurch das fremde und eigene ,besitzthum unterschieden wird4 ,man msse daher immer und immer wieder messen4 ,hieraus soll die ,geometrie entstanden sein4 ,den gesellschaftlichen ,einrichtungen der ,aegypter entsprechend1 muss als feststehend angenommen werden1 dass sich eine ,kaste1 nach eben ,gehrtem die der ,priester1 mit dem wissenschaftlichen ,theile der ,geometrie beschftigte1 whrend eine andere1 die der ,feldmesser1 die von den ,ersteren aufgestellten und sorgsam gehteten geometrischen ,principien praktisch zur ,anwendung brachte4 ,dabei wurden1 wie wir spter sehen werden1 die ,geheimnisse der ,priester1 insoweit sie geometrische ,wahrheiten und ,berechnungsregeln betrafen1 mglicherweise nur insoweit enthllt1 dass bei deren ,verwendung nur annherungsweise richtige ,resultate zum ,vorschein kamen4 ,wohl sind einige ,schriftsteller so weit gegangen1 dass sie1 die unlugbaren ,uebertreibungen des ,zusammenhanges zwischen den ,nilberschwemmungen und der gyptischen ,geometrie im ,auge behaltend1 die ,existenz der letzteren einfach negirten1 und alle die citirten ,aussprche in das ,gebiet der ,fabel verwiesen4 ,was macht man jedoch dann mit den wohlbeglaubigten ,nachrichten ber die ,reisen1 welche hervorragende griechische ,philosophen nach ,aegypten unternahmen1 oft jahrelang dort verweilend1 um sich in die ,geheimnisse aegyptischer ,priester einweihen und mit deren geometrischem ,wissen vertraut machen zu lassen8 99,eudemus von ,rhodos997#aj71 einer der ltesten ,peripatetiker1 schrieb eine ,geschichte der ,mathematik1 aus welcher uns durch 99,proklos ,diadochus997#aa71 einen ,philosophen des fnften nachchristlichen ,jahrhunderts1 ein ,bruchstck erhalten ist1 welches sozusagen das einzige ,mittel bildet1 das uns einen ,einblick in die geometrischen ,errungenschaften der ,griechen in den ersten dritthalb ,jahrhunderten nach 99,thales99 gewhrt4 ,hierin heisst es unter ,anderem3 99,thales991 der nach ,aegypten ging1 brachte zuerst die ,geometrie nach ,hellas hinber und ,vieles entdeckte er selbst1 von ,vielem aber berlieferte er die ,anfnge seinen ,nachfolgern2 das ,eine machte er allgemeiner1 das ,andere mehr sinnlich fassbar4 ,hundert ,jahre nach dem ,tode des 99,pythagoras99 berichtet der ,redner 99,isokrates997#ab73 ,man knnte1 wenn man nicht eilen wollte1 viel ,bewunderungswrdiges von der ,heiligkeit aegyptischer ,priester anfhren1 welche ich weder allein noch zuerst erkannt habe1 sondern viele der jetzt ,lebenden und der ,frheren1 unter denen auch 99,pythagoras99 der ,samier ist1 der nach ,aegypten kam und ihr ,schler wurde und die fremde ,philosophie zuerst zu den ,griechen verpflanzte4 ,whrend der ,aufenthalt des 99,pythagoras99 in ,aegypten unter ,anderen auch noch von 99,strabon997#ac7 und 99,antiphon997#ad7 besttiget wird1 nennt uns 99,diodor997#ae7 eine ganze ,reihe von ,namen1 indem er sagt2 ,die aegyptischen ,priester nennen unter den ,fremden1 welche nach den ,verzeichnissen in den heiligen ,bchern vormals zu ihnen gekommen seien1 den 99,orpheus991 99,musaios991 99,melampus99 und 99,daidalos991 nach diesen den ,dichter 99,homer991 den ,spartaner 99,lykurgos991 ingleichen den ,athener 99,solon99 und den ,philosophen 99,platon994 ,gekommen sei zu ihnen auch der ,samier 99,pythagoras99 und der ,mathematiker 99,eudoxos991 ingleichen 99,demokritos von ,abdera99 und 99,oinopides von ,chios994 ,von allen diesen weisen sie noch ,spuren auf1 von den ,einen ,bildnisse von den ,anderen ,orte und ,gebude1 die nach ihnen benannt sind4 ,aus der ,vergleichung dessen1 was jeder von ihnen in seinem ,fache geleistet hat1 fhren sie den ,beweis1 dass sie ,dasjenige um desswillen sie von den ,hellenen bewundert werden1 aus ,aegypten entlehnt haben4 ,aus diesen ,stellen geht mit ,sicherheit hervor1 dass viele ,griechen nach ,aegypten zogen1 um bei den dortigen ,priestern ,philosophie und ,mathematik kennen zu lernen1 da wohl in den ,berichten nur die hervorragenden ,mnner angefhrt wurden4 ,der ,milesier 99,thales991 welcher erst in vorgercktem ,alter1 und nachdem er als ,handelsmann frher gewiss schon mehrmals ,aegypten besucht gehabt1 sich daselbst behufs seiner ,studien zu lngerem ,aufenthalt niederlies1 ist merkwrdiger ,weise in dem ,berichte des ,diodor nicht angefhrt1 und knnte man wohl aus diesem ,umstande umsomehr einen gewissen ,grad von ,unglaublichkeit ableiten1 als darin mythische ,namen wie 99,orpheus991 99,daidalos99 und 99,homer99 angefhrt erscheinen4 ,diese letzteren konnten jedoch sehr wohl dem im ,ganzen und ,grossen sonst richtigen ,verzeichnisse vom ,berichterstatter eigenwillig beigefgt worden sein1 um dadurch das hohe ,alter aegyptischer ,wissenschaft in ein vorteilhaftes ,licht zu setzen4 ,abgesehen jedoch von aller ,wahrscheinlichkeit oder ,unwahrscheinlichkeit fr die ,exactheit obiger ,aussprche in ,bezug auf einzelne ,namen1 drfte jedenfalls das als unumstssliche ,wahrheit gelten1 dass die gyptischen ,priester von den ,griechen als in den ,wissenschaften1 insbesondere in der ,geometrie sehr bewandert gehalten wurden1 und zwar in einem solchen ,maasse1 dass eine ,reihe hervorragender griechischer ,philosophen es nicht verschmhte1 die1 fr damalige ,verhltnisse nicht unbedeutende ,reise nach ,aegypten zu unternehmen1 ja oft jahrelang in diesem ,lande mit unbekannter ,sprache und ,schrift zu verweilen1 um sich die ,kenntnisse der ,aegypter anzueignen4 ,stellt man nun zunchst die ,frage nach ,quantitt und ,qualitt des geometrischen ,wissens1 welches die ,griechen von ihren ,studienreisen mit nach ,hause brachten1 so scheint dies1 selbst vom ,standpunkte der unmittelbar nachpythagorischen ,geometrie1 usserst ,weniges gewesen zu sein4 99,thales99 von ,milet1 einer der sieben griechischen ,weltweisen1 der ,begrnder der ionischen ,schule1 99,thales991 welcher fr das ,jahr #ehe v4 ,chr4 ,g4 eine1 auch eingetroffene ,sonnenfinsterniss vorherzusagen wusste1 soll1 den uns von 99,proklos99 zugekommenen ,berichten zufolge1 in ,aegypten nicht viel mehr erfahren haben1 als die ,stze ber die ,gleichheit der ,winkel an der ,basis eines gleichschenkligen ,dreieckes1 die ,gleichheit der ,scheitelwinkel am ,durchschnitt zweier ,geraden2 er wusste ferner1 wie ein ,dreieck durch eine ,seite und die beiden anliegenden ,winkel bestimmt erscheint1 diese ,errterung zur ,messung der ,entfernungen von ,schiffen auf dem ,meere bentzend1 es war ihm bekannt1 dass ein ,kreis durch einen ,durchmesser halbirt wird17#af7 und soll er die ,hhe der ,pyramiden aus der ,lnge des ,schattens gemessen haben1 hchst wahrscheinlich in dem ,momente1 wo die ,schattenlnge eines senkrechten ,stabes der ,stablnge gleich ist17#ag7 mglicherweise jedoch1 wie 99,plutarch997#ah7 berichtet1 auch zu einer beliebigen ,tageszeit4 ,auch wird ihm von 99,pamphile997#ai7 die ,kenntniss des ,satzes zugeschrieben1 dass der ,peripheriewinkel im ,halbkreise ein rechter sei4 ,gewiss hat ,thales wenigstens jene geometrischen ,fundamente in ,aegypten kennen gelernt1 welche es ihm ermglichten1 die genannten ,stze als wahr zu erkennen1 wenn auch bei ihm1 selbst bei diesen einfachen ,dingen an einen strengen ,beweis nicht gedacht werden kann4 ,es wre jedoch voreilig1 aus der ,geringfgigkeit der ,thaletischen geometrischen ,kenntnisse mit 99,montucla99 7#bj7 zu schliessen1 dass auch die ,aegypter nicht viel mehr gewusst htten4 ,man kann wohl annehmen1 dass die aegyptischen ,priester bei ihrer den ,fremden gegenber beobachteten ,zurckhaltung nur einen ,theil ihres ,wissens offenbarten2 wer knnte jedoch bemessen1 in welchem ,verhltnisse dieser ,theil zu ihrem ,gesammtwissen stand8 ,der ,ansicht 99,montucla99's kann man entgegensetzen1 dass die ,aegypter den ,fremden nur einen kleinen ,bruchtheil ihres sorgsam im ,verborgenen gehteten ,wissens preisgegeben haben mochten1 wobei ferner nicht unbercksichtigt bleiben darf1 dass den nach ,aegypten gekommenen ,griechen auch die ,unkenntniss der ,sprache und der ,schrift weitere1 nicht zu unterschtzende ,schwierigkeiten bereitete1 in dem ,maasse als vielleicht ,manches1 was ihnen die aegyptischen ,priester von aegyptischem ,wissen zur ,verfgung stellten1 unverstanden bleiben konnte4 ,was nun das ,wesen aegyptischer ,geometrie betrifft1 so finden wir in den ,berichten der ,alten fast gar keine ,anhaltspunkte1 um uns hierber ,klarheit verschaffen zu knnen1 und war man bis vor ,kurzem darauf hingewiesen1 aus den ,anfngen griechischer ,mathematik auf den ,stand der aegyptischen zurckzuschliessen1 was1 wie aus dem ,vorhergesagten folgen drfte1 mit nicht geringen ,schwierigkeiten verbunden erscheint4 ,die ,ansicht1 dass die ,geometrie der ,aegypter eigentlich nur constructiver ,natur war1 hnlich dem was wir als ,reisskunst zu bezeichnen pflegen17#ba7 drfte sich nicht als stichhltig erweisen2 es mge jedoch gleich jetzt darauf hingedeutet werden1 dass die ,aegypter im ,construiren geometrischer ,formen nicht unbewandert sein konnten4 ,so sagt in etwas prahlerischer ,weise 99,demokritos99 von 99,abdera997#bb7 um #dbj v4 ,chr4 ,g43 ,im ,construiren von ,linien nach ,maassgabe der aus den ,voraussetzungen zu ziehenden ,schlsse hat mich keiner je bertroffen1 selbst nicht die sogenannten ,harpedonapten der ,aegypter2 und 99,theon99 von 99,smyrna997#bc7 erzhlt1 dass ,babylonier1 ,chalder und ,aegypter eifrig nach allerhand ,grundgesetzen und ,hypothesen suchten1 durch welche den ,erscheinungen gengt werden knnte2 zu erreichen suchten sie dies dadurch1 dass sie das frher ,gefundene in ,ueberlegung zogen1 und ber die zuknftigen ,erscheinungen ,vermuthungen aufstellten1 wobei die ,einen sich arithmetischer ,methoden bedienten1 wie die ,chalder1 die ,anderen construirender wie die ,aegypter4 ,aus diesen und hnlichen ,berichten1 sowie aus dem ,umstande1 dass die ,anfnge der griechischen ,geometrie selbst hauptschlich constructiver ,natur waren1 muss man zu dem ,schlusse kommen1 dass die alten ,aegypter seit unvordenklichen ,zeiten die ,reisskunst pflegten1 und in der langen ,reihe der ,jahrhunderte sicherlich eine ziemlich bedeutende ,masse sowohl einfacher als complicirterer ,constructionen erfanden und in ein gewisses ,system brachten1 von ,ersteren zu ,letzteren aufsteigend4 ,diese ,constructionen drften ihrem grsseren ,theile nach1 und zwar jenem ,theile nach1 welcher1 wenn auch ohne ,begrndung ,gemeingut der die ,knste und ,gewerbe betreibenden ,kasten wurde1 nur solche gewesen sein1 die dem praktischen ,bedrfnisse dienen konnten1 also zumeist ,ornamentenconstructionen4 ,wir bemerken hier unter ,anderem das ,vorkommen regelmssiger geometrischer ,figuren auf uralten ,wandgemlden1 wie sie sich z4 ,b4 als frbige ,zeichnungen aus den ,zeiten der fnften ,dynastie1 also unmittelbar nach den ,erbauern der ,pyramiden1 das ist #cdjj ,jahre v4 ,chr4 ,g4 etwa vorfinden47#bd7 ,man sieht unter der grossen ,menge der in dieser ,zeit vorkommenden ,figuren eine1 aus verschobenen1 ineinander gezeichneten1 theilweise durch zu einer ,diagonale ,parallele zerlegten ,quadraten zusammengesetzte ,figur1 ferner aus der ,zeit von der zwlften bis zur sechsundzwanzigsten ,dynastie1 eine ,figur1 bestehend aus einem ,quadrate1 und zwei1 lngs der ,diagonale centrisch hineingelegten lemniscatischen ,curven1 sowie eine ,zusammenstellung von um fnfundvierzig ,grade gegeneinander verdrehten1 sich durchsetzenden ,quadraten4 ,kreise erscheinen durch ihre ,durchmesser in gleiche ,kreisausschnitte getheilt2 so zunchst durch zwei oder vier ,durchmesser in vier beziehungsweise acht1 und in spteren ,zeiten auch durch sechs ,durchmesser in zwlf gleiche ,ausschnitte2 die in den ,zeichnungen vorkommenden ,wagenrder besitzen zumeist sechs1 seltener vier ,speichen1 so dass auch die ,theilung des ,kreises durch drei ,diameter in sechs gleiche ,kreisausschnitte vertreten erscheint4 ,in einer unvollendet gebliebenen ,kammer des ,grabes 99,seti ,i4991 des ,vater 99,ramses ,,ii499 aus der neunzehnten ,dynastie 7das sogenannte ,grab 99,belzoni9977#be7 finden wir die ,wnde behufs ,anbringung von ,reliefarbeiten mit einem ,netze gleich grosser ,quadrate bedeckt1 und es kann keinem ,zweifel unterliegen1 dass wir es hier mit der ,anwendung eines ,verkleinerungs- beziehungsweise ,vergrsserungsmaassstabes zu thun haben4 ,wenn nun auch die einfachen ,figuren des ,dreieckes1 ,quadrates und des ,kreises hchst wahrscheinlich ohne besondere ,ueberlegung1 einfach dem inneren geometrischen ,formendrange entsprungen sein drften1 so ist doch gewiss1 dass ihre verschiedenartige ,zusammensetzung zu ,mustern das ,product1 wenn auch primitiven geometrischen ,denkens war1 welches dann schon eine ziemliche ,selbststndigkeit erreicht haben musste1 als die vorerwhnte ,anwendung von ,proportionalmaassstben in ,uebung kam4 ,andererseits musste das ftere ,betrachten der regelmssigen ,figuren einen geometrisch disponirten ,geist von selbst zum ,aufsuchen unbekannter ,eigenschaften derselben reizen1 und vielleicht ist der ,thaletische ,satz von der ,halbirung des ,kreises durch einen ,durchmesser nichts als eine aus der ,betrachtung jener aegyptischen ,zeichnungen gewonnene ,abstraction1 und huldigen wir in dieser ,beziehung der ,ansicht1 dass 99,thales99 beim ,ausspruche des erwhnten1 fr uns freilich hchst einfach klingenden ,satzes1 wahrscheinlich sagen wollte1 nur der ,kreis habe die ausgezeichnete ,eigenschaft1 von allen durch einen ,punkt1 den ,mittelpunkt1 gehenden ,geraden in lauter untereinander gleiche ,hlften getheilt zu werden4 ,von besonderer ,wichtigkeit scheint uns jedoch der frher citirte selbstgefllige ,ausspruch des 99,demokritos99 zu sein1 da er uns vor einer ungerechtfertigten ,unterschtzung aegyptischer ,constructionsgewandtheit bewahren kann4 ,bedenklich in 99,demokritos99' ,angabe knnte allenfalls jenes ,selbstlob erscheinen1 das er sich spendet2 wenn es nun wohl auch schon im ,alterthume ,mnner geben mochte1 die ihre ,berhmtheit vorzugsweise und oft nur der ,hochschtzung verdankten1 die sie sich selbst und ihren ,werken gezollt1 ,mnner1 welche in der ,verbreitung des eigenen ,lobes so emsig1 so unermdlich waren1 dass sich um sie als die davon ,ueberzeugtesten noch ein ,kreis von ,glubigen bildete1 welche den1 oft nur auf schwankenden ,fssen einhergehenden ,ruhm ihrer ,profeten weiter fhrten1 so ist doch die ,bedeudung des ,geometers 99,demokritos99 durch so viele1 und verschiedenen ,quellen entspringende ,aussprche beglaubigt1 dass es gewiss ,niemandem einfallen wird1 seine ,autoritt als die eines grndlichen ,kenners der ,geometrie seiner ,zeit in ,zweifel zu ziehen4 ,wohl sind uns von den geometrischen ,werken des 99,demokritos991 und kaum von allen nur die ganz allgemein klingenden ,titel erhalten4 ,whrend uns 99,cicero997#bf7 diesen ,philosophen als einen gelehrten1 in der ,geometrie vollkommen bewanderten ,mann anpreist1 theilt uns 99,diogenes ,laertius997#bg7 mit1 dass 99,demokritos99 ber ,geometrie1 ber ,zahlen1 ber den ,unterschied des ,gnomon oder ber die ,berhrung des ,kreises und der ,kugel1 sowie zwei ,bcher ber irrationale ,linien und die dichten ,dinge geschrieben habe1 ,schriften1 deren ,titel theilweise uns ber ihren ,inhalt ganz im ,unklaren lassen4 ,legen wir den angefhrten ,zeugnissen ,glauben bei1 und es ist kein ,grund vorhanden dies nicht zu thuh1 so mssen wir von 99,demokritos99 als von einem in der ,geometrie vollkommenen ,manne voraussetzen1 dass er mit den ,errungenschaften des 99,pythagoras991 welcher ein ,jahrhundert vor 99,demokritos99 ,aegypten besucht hatte1 vollkommen vertraut war4 ,gewiss war ihm somit bekannt3 die ,methode der ,anlegung der ,flchen1 welche wieder die ,vertrautheit mit den ,hauptstzen aus der ,theorie der ,parallelen und der ,winkel1 so wie die ,kenntniss der ,abhngigkeit der ,flcheninhalte von den ihnen zukommenden ,ausmaassen voraussetzt4 ,nicht minder bekannt mussten ihm die1 dem 99,pythagoras99 zugeschriebenen ,constructionen der fnf regelmssigen1 sogenannten kosmischen ,krper sein1 woraus sich weiter schliessen lsst1 dass auch einerseits die ,eigenschaften der ,kugel1 welcher doch jene ,krper eingeschrieben wurden1 und anderseits die ,entstehungen der regelmssigen1 jene ,krper begrenzenden ,vielecke1 vor ,allem die des ,fnfeckes dem 99,demokritos99 nicht ungelufig sein konnten4 ,die ,construction des ,letzteren erheischt wiederum die ,kenntniss der ,lehre vom goldenen ,schnitt1 und diese den ,satz vom ,quadrate der ,hypothenuse7#bh74 ,hat nun 99,demokritos99 auch selbst nichts ,neues hinzugefgt1 so musste er doch ,jenes kennen2 wenn er nun anderseits sagt3 im ,construiren htte ihn ,niemand1 selbst nicht die ,harpedonapten der ,aegypter bertroffen1 so drfen wir hieraus mit ,sicherheit schliessen1 dass die geometrischen ,kenntnisse der aegyptischen ,priester bedeutend genug gewesen sein mussten1 weil sich 99,demokritos99 sonst kaum gerade ber diese ,geometer gesetzt htte4 ,doch verlassen wir fr jetzt die ,nachrichten des griechischen ,alterthums1 welche in der ,beurtheilung aegyptischer ,geometrie nur ,conjecturen zulassen1 und blicken wir nach directen ,denkmalen aegyptischen ,ursprungs1 aus denen vielleicht ,schlsse gezogen werden knnten auf ,wesen und ,umfang aegyptischer ,geometrie4 ,das ,britische ,museum bewahrt eine ,papyrusrolle1 welche aus dem ,nachlasse des ,englnders 99,a4 ,henry ,rhind99 stammt1 die derselbe nebst anderen werthvollen ,rollen in ,aegypten kufllich an sich gebracht haben drfte4 ,der erwhnte ,papyrus1 ein altes ,denkmal gyptischer ,mathematik1 ist1 wie es scheint1 nicht mit vollster ,berechtigung als ein mathematisches ,handbuch der alten ,aegypter bezeichnet worden7#bi74 ,der fragliche ,papyrus nennt sich selbst eine ,nachahmung lterer mathematischer ,schriften1 denn es heisst in der ,einleitung3 ,verfasst wurde diese ,schrift im ,jahre dreiunddreissig im vierten ,monat der ,wasserzeit unter ,knig ,ra-a-us1 ,leben gebend nach dem ,muster alter ,schriften in den ,zeiten des ,knigs 444t vom ,schreiber ,aahmes verfasst die ,schrift4 ,nachdem zuerst ,dr4 99,birch997#cj7 auf diesen mathematischen ,papyrus durch einen kurzen vorlufigen ,bericht aufmerksam gemacht hatte1 wurde der ,gegenstand von dem ausgezeichneten ,heidelberger ,aegyptologen ,dr4 99,eisenlohr99 einer eingehenden1 hchst schwierigen und zeitraubenden ,untersuchung unterzogen1 deren ,resultate1 was die ,uebersetzung betrifft1 unseren gegenwrtigen ,betrachtungen zu ,grunde liegen4 ,bezglich des ,alters des ,papyrus hat man jenes der vorhandenen ,abschrift von dem ,alter des unbekannten ,originals zu unterscheiden4 ,nach der von 99,eisenlohr99 gegebenen ,vervollstndigung der in der erwhnten ,einleitung auf das ,wort ,knig folgenden ,lcke1 wrde der ,herrscher1 unter dessen ,regierung das ,original entstanden ist1 der ,knig 99,ra-en-mat99 sein1 dessen ,regierungszeit 99,lepsius997#ca7 auf #bbba--bagi v4 ,chr4 ,g4 legt4 ,da ferner der ,name 99,ra-a-us99 in den bis dahin vorhandenen ,knigslisten nicht vorkommt1 sah man sich1 um die ,zeit der ,entstehung der ,abschrift wenigstens annhernd angeben zu knnen1 darauf angewiesen1 aus der bekannten ,sitte der ,aegypter die ,eigennamen der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen ,regenten zu gebrauchen1 ,schlsse zu ziehen4 ,und da liess der ,name 99,aahmes99 des ,schreibers1 sowie auch die 7althieratische7 ,schrift des ,papyrus vermuthen1 dass derselbe um #agjj v4 ,chr4 ,g4 entstanden sein drfte4 ,die ,vermuthung in ,bezug auf das ,zeitalter der ,abschrift hat sich nun neueren ,forschungen zu ,folge vollkommen besttigt4 ,denn 99,ra-a-us99 wurde als der ,hyksosknig 99,apophis99 erkannt1 und 99,aahmes99 drfte seinen ,namen von dem1 kurze ,zeit dem ,apophis vorhergegangenen ,knige 99,amasis99 entlehnt haben4 ,es erscheint so vollkommen sichergestellt1 dass unser ,papyrus aus dem achtzehnten ,jahrhundert v4 ,chr4 ,g4 stammt4 ,die ,eingangsworte des ,papyrus1 welche lauten3 ,vorschrift zu gelangen zur ,kenntniss aller dunklen ,dinge1 aller ,geheimnisse1 welche enthalten sind in den ,gegenstnden1 sowie die ,anordnung des ,stoffes in ,arithmetik1 ,planimetrie und ,stereometrie1 an welche sich ein1 verschiedene ,beispiele enthaltender ,theil anschliesst1 konnten im ersten ,augenblicke den ,gedanken aufkommen lassen1 dass wir es vielleicht mit einem ,lehrbuche der ,mathematik zu thun haben4 ,der ,umstand jedoch1 dass der ,papyrus nur die ,zusammenstellung1 allerdings eine in gewissem ,grade systematische ,zusammenstellung von ,aufgaben nebst ihren ,lsungen und den zugehrigen ,proben ist1 ohne dass ,definitionen oder ,lehrstze und ,beweise vorkommen wrden1 liess den ,papyrus wiederum als eine ,aufgabensammlung1 als ein ,anleitungsbuch fr ,praktiker erscheinen4 ,man ist noch weiter gegangen1 und stellte die ,ansicht auf1 der ,autor habe bei ,abfassung dieser ,schrift vorzglich an ,landleute1 welchen die ,theorie unzugnglich war1 gedacht4 ,daraufhin weise nicht nur die ,formulirung des grssten ,theiles der ,aufgaben1 welche ,verhltnisse und ,bedrfnisse der ,landwirthschaft bercksichtigen1 sondern auch der ,schlusssatz des ,papyrus1 welcher sagt3 ,fange das ,ungeziefer und die ,muse1 7vertilge7 das verschiedenartige ,unkraut1 bitte ,gott 99,ra99 um ,wrme1 ,wind und hohes ,wasser4 ,dass wir es nicht mit einem ,handbuche1 welches dem damaligen ,standpunkte der mathematischen ,wissenschaften in ,aegypten entsprechen msste1 zu thun haben1 ergibt sich nicht nur aus dem schon hervorgehobenen ,mangel an ,definitionen1 ,lehrstzen und ,beweisen1 ja es fehlt selbst jede ,erklrung1 sondern auch aus dem ,umstnde1 dass neben der richtigen ,lsung einzelner ,aufgaben die unrichtigen oder unvollendeten ,lsungen derselben oder hnlicher ,aufgaben1 sowie manche ,wiederholungen vorkommen4 ,nur nebenbei verweisen wir darauf1 dass in einem ,handbuche unzweifelhaft wenigstens ,anklnge an die erste der ,wissenschaften des ,alterthums1 an die ,astronomie1 zu finden sein mssten4 ,doch ist von diesem ,theile der ,mathematik im ,papyrus nicht die geringste ,spur zu finden4 ,aufklrungen ber den wahren ,charakter des ,originals unseres ,papyrus1 und eine viele ,wahrscheinlichkeit besitzende ,vermuthung ber die ,entstehung der uns beschftigenden ,abschrift1 verdanken wir dem ,scharfsinne des franzsischen ,aegyptologen ,eugne 99,revillout9947#cb7 ,bei richtiger ,erwgung des ,umstandes1 dass oft auf ein fehlerlos gelstes ,beispiel1 falsche ,lsungen hnlicher ,beispiele folgen1 welchen sich dann gewhnlich eine ,reihe von ,uebungsrechnungen anschliesst1 ,rechnungen die einem ,schulpensum in hohem ,grade hnlich sehen1 bei ,betrachtung der ,thatsache ferner1 wie ein und dasselbe ,zahlenbeispiel oft einigemal und zwar so behandelt wird1 dass der ,reihe nach die vorkommenden ,zahlenwerthe als die berechneten ,resultate erscheinen1 drngt sich uns mit 99,eugne ,revillout99 die ,ueberzeugung auf1 dass wir es mit dem ,uebungs- oder ,aufgabenhefte eines ,zglings jener ,unterrichtshuser 7asbo7 zu thun haben1 wie deren in so manchem ,papyrus ,erwhnung geschieht1 und in denen die ,schler1 welche spter ,landwirthe1 ,verwalter1 ,feldmesser oder ,constructeure werden wollten1 mit den fr ihre knftige ,laufbahn notwendigen ,rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden4 ,da dieses ,schulheft selbstverstndlich nicht fr die ,oeffentlichkeit bestimmt sein konnte1 so trgt es auch thatschlich keinen ,autornamen und keine ,jahresangabe2 denn1 was die in der ,einleitung bezglich der ,zeitperiode1 in welcher das ,original entstanden sein sollte1 gemachte ,erwhnung betrifft1 so ist mehr als wahrscheinlich1 dass dieselbe von dem ,abschreiber 99,aahmes99 herrhrt1 welcher das ,original einige ,jahrhunderte nach seiner ,entstehung auffand1 und dasselbe1 der ,mathematik gewiss ganz unkundig1 sammt allen ,fehlern abschrieb1 zu diesen noch neue hinzufgend4 ,nachdem 99,aahmes99 aus der ,aehnlichkeit der ,schriftart des mathematischen ,heftes mit der ,schrift anderer ihm bekannten ,papyri auf das ,alter des ersteren einen im ,ganzen und ,grossen nicht unrichtigen ,schluss gezogen haben mochte1 so knnen wir das ,ende1 vielleicht auch die ,mitte des dritten ,jahrtausends v4 ,chr4 ,g4 als jene ,zeit betrachten1 in welcher das ,original der ,abschrift entstanden sein drfte4 ,ob 99,aahmes99 die ,abschrift mit der viel versprechenden ,einleitung und der zugleich praktischen und gottesfrchtigen ,schlussregel in der ,absicht versehen hatte1 um sie an irgend einen einfachen aegyptischen ,landmann um gutes ,geld anzubringen1 lassen wir dahingestellt1 und wiederholen nur unsere ,uebereinstimmung mit der ,ansicht1 dass das ,original des ,papyrus neben den von einem ,lehrer der ,mathematik herrhrenden ,musterbeispielen1 die sehr oft verunglckten ,uebungen eines ,schlers enthlt1 eines ,schlers berdies1 der nicht zu den hervorragenden seiner ,glasse gehrt haben mochte4 ,und wie kostbar ist dennoch dieses altgyptische ,schulheft6 ,wenn wir in aller ,eile eine ,skizze seines ,inhaltes vorfhren sollen1 so mssen wir zunchst die sich auf acht ,columnen der oben erwhnten ,einleitung anschliessende ,theilung der ,zahl #b durch die ,zahlen von #c bis #ii erwhnen2 jeder auftretende ,bruch erscheint in zwei bis vier sogenannte ,stammbrche1 ,brche mit dem ,zhler ,eins1 zerlegt1 und sind die ,nenner der letzteren meist gerade ,zahlen mit einer grsseren ,divisorenanzahl4 ,im ,anschluss an diese ,tabelle finden wir sechs ,beispiele1 in denen in ,form von ,brodvertheilungen die ,division der ,zahlen l1 #c1 #f1 #g1 #h und #i durch die ,zahl #aj gelehrt wird1 und es folgt hierauf in #ag ,beispielen die sogenannte ,sequem- oder ,ergnzungsrechnung1 in welcher es sich darum handelt1 ,zahlenwerthe zu finden1 die mit gegebenen ,werthen durch ,addition oder ,multiplication verbunden1 andere gegebene ,zahlenwerthe liefern4 ,die nchsten #ae ,beispiele gehren der sogenannten 99,haurechnung99 an1 und finden wir in diesem ,abschnitte die ,lsungen linearer ,gleichungen mit einer ,unbekannten4 ,zwei weitere1 der sogenannten 99,tunnu-99 oder ,unterschiedsrechnung angehrige ,beispiele belehren uns darber1 dass den alten ,aegyptern der ,begriff arithmetischer ,reihen nicht fremd war4 ,es folgen nun sieben ,beispiele ber ,volumetrie1 ebensoviele ber ,geometrie und fnf ,beispiele ber ,berechnungen von ,pyramiden1 also #ai ,aufgaben ber die wir spter noch einige ,worte sagen mssen4 ,hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen ,materien entlehnte1 ,fragen des brgerlichen ,lebens betreffende ,beispiele1 wie die ,berechnung des ,werthes von ,schmuckgegenstnden1 abermals ,vertheilungen von ,broden oder von ,getreide1 ,bestimmung des auf einen ,tag entfallenden ,theiles eines ,jahresertrages1 ,berechnungen von ,arbeitslhnen1 ,nahrungsmitteln sowie des ,futters fr ,geflgelhfe4 ,einer besonderen ,ankndigung werth erscheinen uns in dieser letzten ,abtheilung zwei ,beispiele2 das eine derselben7#cc7 lsst keinen ,zweifel darber aufkommen1 dass den alten ,aegyptern die ,theorie der arithmetischen ,progressionen vollkommen gelufig war1 whrend wir in dem zweiten7#cd7 unter der ,aufschrift eine ,leiter die geometrische ,progression von #g hoch #a bis #g hoch #e nebst deren ,summe vorfinden1 wobei die einzelnen ,potenzen eigene ,namen3 an1 ,katze1 ,maus1 ,gerste1 ,maass zu fhren scheinen4 ,nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den ,haurechnungen auftretende ,bentzung mathematischer ,zeichen2 so nach links oder rechts ausschreitender ,beine fr ,addition und ,subtraction1 drei horizontale ,pfeile fr ,differenz1 sowie endlich ein besonderes1 dem unseren nicht unhnliches ,gleichheitszeichen4 ,aus dem geometrischen ,theile heben wir zunchst1 der ,anordnung des ,papyrus nicht folgend1 die ,flchenberechnungen von ,feldern hervor4 ,die vorkommenden ,beispiele beziehen sich auf quadratische1 rechteckige1 kreisrunde und trapezfrmige ,felder1 deren ,flcheninhalte aus ihren ,lngenmaassen bestimmt werden4 ,nachdem in den ,aufgaben ber die ,berechnung des ,fassungsvermgens von ,fruchtspeichern mit quadratischer ,grundflche diese letztere gefunden wird durch ,multiplication der ,maasszahl der ,seite mit sich selbst1 kann es gar keinem ,zweifel unterliegen1 dass auch die ,flche des ,rechteckes durch ,multiplication der ,maasszahlen zweier zusammenstossender ,seiten erhalten wurde1 da die ,erkenntniss der ,richtigkeit der einen ,bestimmungsart1 jene der ,richtigkeit der anderen involvirt4 ,schon die ,betrachtung solcher ,proportionalmaassstbe1 wie wir sie im ,grabe 99,belzoni99 bemerken konnten1 htte die alten ,aegypter1 die mit ,gleichungen und arithmetischen ,reihen umzugehen wussten1 auf die ,bestimmung der ,flche eines ,rechteckes aus seinen beiden ,seitenlngen mit ,nothwendigkeit fhren mssen1 und werden wir uns durch den ,umstand1 dass im ,papyrus der diesbezglichen ,aufgabe eine zu ihr nicht gehrige ,lsung beigefgt ist1 durchaus nicht beirren lassen4 ,von hohem ,interesse ist die1 an mehreren ,stellen des ,papyrus vorkommende ,methode der ,flchenberechnung eines ,kreises1 welche zeigt1 dass die alten ,aegypter mit ziemlicher ,annherung den ,kreis zu quadriren wussten1 in der ,that zu quadriren1 weil sie aus dem ,durchmesser eine ,lnge ableiten1 welche als ,seite ein ,quadrat liefert1 dessen ,flche jener des ,kreises gleichgesetzt wurde4 ,da sie acht ,neuntel des ,durchmessers zur ,seite jenes ,quadrates machten1 so entspricht dies einem ,werthe der ,ludolphischen ,zahl1 welcher dem richtigen ,werthe gegenber um nicht ganz zwei ,hundertstel 7um #j1jahija7 zu hoch gegriffen erscheint2 fr das dritte ,jahrtausend v4 ,chr4 ,g4 und im ,vergleiche zu dem ,werth pi #c der ,babylonier1 und noch mehr im ,vergleiche zu dem ,werthe pi #d spterer rmischer ,geometer1 jedenfalls eine nicht zu unterschtzende ,annherung an den richtigen ,werth4 ,eine ,aufgabe behandelt die ,flchenbestimmung des ,dreieckes1 wobei das ,resultat als das ,product zweier ,seitenlngen gefunden wird4 ,die hier beigefgte ,figur7#ce71 welche in ,wirklichkeit ein ungleichseitiges langgestrecktes ,dreieck darstellt1 kann ebensowohl als die verfehlte ,zeichnung eines rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen ,dreieckes betrachtet werden4 ,letztere ,annahme ist von 99,eisenlohr99 gemacht und von 99,cantor997#cf7 acceptirt worden4 ,darnach wrde sich die ,methode der ,dreiecksberechnung der alten ,aegypter nur als eine ,nherungsmethode darstellen1 und ist auch von beiden genannten ,gelehrten der begangene1 in diesem ,falle in der ,that nicht bedeutende ,fehler ermittelt worden4 ,wir sind dagegen mit ,revillout anderer ,meinung4 ,mit ,rcksicht auf den von uns klar erkannten ,charakter des ,originales des ,papyrus als eines sehr ungenauen ,collegienheftes1 dessen ,rechnungen ebensosehr wie die vorkommenden ,zeichnungen von der ,mittelmssigkeit seines ,zusammenstellers beredtes ,zeugniss ablegen1 zweifeln wir keinen ,augenblick1 dass die fragliche ,figur ein rechtwinkliges ,dreieck vorzustellen hatte4 ,die mangelhafte ,schlerzeichnung ist durch den ,copisten 99,aahmes99 nur noch schlechter geworden4 ,dass ein rechtwinkliges ,dreieck gemeint sein soll1 erkennt man brigens auch aus dem ,umstande1 dass in der ,figur die ,maasszahlen der multiplicirten ,seiten bei den ,schenkeln des1 vom rechten ,winkel nur wenig differirenden ,winkels angesetzt sind1 wo doch1 wenn es sich htte um ein gleichschenkliges ,dreieck handeln sollen die ,maasszahl der ,schenkel in der ,figur gewiss bei beiden ,schenkeln zu finden wre4 ,dieselben ,grnde bestimmen uns zu der ,annahme1 dass die im ,papyrus befindliche ,flchenberechnung eines ,trapezes eine vollkommen richtige ist1 indem es sich auch hier nur um ein ,trapez handeln kann1 dessen zwei parallelen ,seiten auf einer der nicht parallelen ,seiten senkrecht stehen4 ,und warum sollten denn die alten ,aegypter nicht die richtige ,art der ,flchenberechnung auch beliebiger ,dreiecke gekannt haben8 ,konnte man einmal die ,flche eines ,rechteckes genau bestimmen1 so musste sich durch einfache ,anschauung eines1 durch eine ,diagonale zerlegten ,rechteckes1 von selbst die ,regel zur ,flchenbestimmung des rechtwinkligen ,dreieckes ergeben2 und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges ,dreieck durch ein ,hhenperpendikel in zwei rechtwinklige zerlegt1 so war nichts leichter als die allgemeine ,regel zur ,bestimmung der ,dreieckflche aus ,basis und ,hhe 7tepro und merit7 zu entwickeln4 ,dass die ,gewinnung des ,hhenperpendikels sowohl bei ,constructionen als auch auf dem ,felde den alten ,aegyptern nicht unmglich war1 folgt zunchst aus der grossen ,bedeutung der ,winkelmaasses 7hapt7 fr alle ,operationen der praktischen ,geometer ,aegyptens4 ,nicht nur1 dass wir in vielen aegyptischen ,documenten das ,winkelmaass erwhnt finden1 sieht man auch ,knige abgebildet1 das ,winkelmaass in der ,hand1 welches von ihnen vielleicht in derselben ,weise durch symbolische ,bentzung geehrt wurde1 wie der ,kaiser von ,china alljhrlich einmal den ,pflug zu fhren pflegt4 ,ein solches ,winkelmaass sieht man brigens auch auf einem ,wandgemlde abgebildet1 das eine ,schreinerwerksttte darstellt17#cg7 und es unterliegt keinem ,zweifel1 dass dasselbe ebensowohl zur ,anlegung rechter ,winkel als zum ,fllen von ,senkrechten bentzt worden ist4 ,aber auch auf freiem ,felde musste den ,aegyptern die ,construction rechter ,winkel gelufig sein2 sowohl die ,pyramiden als auch die aegyptischen ,tempel sind vollkommen orientirt1 und wurde1 wie uns alte ,inschriften7#ch7 belehren1 die ,orientirung in festlicher ,weise vom ,knige unter ,beihilfe der ,bibliotheksgttin 99,safech99 vollzogen1 mit den ,worten3 ,ich habe gefasst den ,holzpflock und den ,stiel des ,schlgels1 ich halte den ,strick gemeinschaftlich mit der ,gttin 99,safech994 ,mein ,blick folgt dem ,gange der ,gestirne4 ,wenn mein ,auge an dem ,sternbilde des grossen ,bren angekommen ist1 und erfllt ist der mir bestimmte ,zeitabschnitt der ,zahl der ,uhr1 so stelle ich auf die ,eckpunkte ,deines ,gotteshauses4 ,in welchem ,maasse bei diesen ,operationen die von 99,demokritos99 so hochgestellten 99,harpedonapten99 oder ,seilspanner betheiligt waren1 hat 99,cantor997#ci7 in hchst scharfsinniger ,weise zu beleuchten versucht1 und es erscheint auch uns wahrscheinlich1 dass sich die alten ,aegypter beim ,construiren rechter ,winkel sowie beim ,fllen von ,senkrechten auf dem ,felde1 der ,thatsache bedienten1 dass der eine ,winkel in einem1 die ,seitenlngen drei1 vier und fnf besitzenden ,dreiecke1 ein rechter ,winkel sein msse4 ,musste ja doch dieser ,satz seit unvordenklichen ,zeiten auch den ,chinesen bekannt sein1 da wir ihn in der bei ihnen so berhmten ,schrift ,tschiu-pi finden1 welche mehrere ,jahrhunderte v4 ,chr4 ,g4 entstanden1 auf den ,kaiser 99,tschiu-,kung99 also in das ,jahr #aajj v4 ,chr4 ,g4 etwa zurckgefhrt wird47#dj7 ,uebrigens konnten directe ,messungsversuche an diagonalen ,linien in den ,proportionalmaassstben sowohl zu dem erwhnten als auch noch zu anderen rechtwinkligen ,dreiecken mit rationalen ,seitenlngen gefhrt haben1 und scheint uns die ,mglichkeit nicht ausgeschlossen1 dass der berhmte und berchtigte ,satz des 99,pythagoras99 ber die ,quadrate der ,katheten und der ,hypothenuse einer eingehenden ,untersuchung solcher ,proportionalmaassstbe entsprungen ist4 ,wenn wir nun einerseits behaupten1 dass die alten ,aegypter nicht nur die ,flche des ,kreises1 des ,quadrates1 des ,rechteckes1 des rechtwinkligen sowie des schiefen ,dreieckes1 und unter ,zuhilfenahme der ,zerlegungen auch die ,flchen beliebiger ,polygone theoretisch genau zu bestimmen im ,stande waren1 mit ,ausnahme der auch fr uns eine solche bildenden ,kreisflche1 so muss doch anderseits zugestanden werden1 dass man sich bei praktischen ,anwendungen mit ,nherungen begngte1 welche im ,laufe der ,zeiten so ausarteten1 dass der ,gebrauch falscher ,regeln ein allgemeiner wurde4 ,am linken ,nilufer in der ,mitte zwischen 99,theben99 und 99,assuan99 liegt 99,edfu991 das alte 99,appollinopolis ,magna99 mit einem stattlichen ,tempelbau aus den ,zeiten der ,ptolomer4 ,der ,tempel1 hauptschlich dem ,gotte 99,horus99 geweiht1 ist mit einer freistehenden ,umfassungsmauer umgeben17#da7 deren ,ostseite zwischen dem ,brunnenthore und dem stlichen ,pylonflgel eine ,inschrift trgt1 welche uns auf acht ,feldern und in hundertvierundsechzig ,columnen7#db7 eine ,schenkungsurkunde des ,knigs 99,ptolomus ,,xi4 ,alexander ,i499 7mit dem ,beinamen 99,philometor997 bekannt gibt4 ,das ,geschenk1 welches hier 99,horus99 und den brigen ,gttern von 99,edfu99 verliehen wird1 besteht aus einer ,anzahl von meist viereckigen ,aeckern1 deren vier ,seitenlngen nebst ,flcheninhalten angegeben erscheinen4 ,da jeder der vorkommenden ,flcheninhalte identisch ist mit dem ,producte der arithmetischen ,mittel der beiden ,gegenseitenpaare1 so wurde nach 99,lepsius99 die ,vermuthung aufgestellt1 die alten ,aegypter htten1 um ,vierecke bei der ,flchenbestimmung annhernd wie ,rechtecke behandeln zu knnen1 den ,unterschied der ,gegenseiten dadurch auszugleichen gesucht1 dass sie die arithmetischen ,mittel derselben in ,rechnung zogen4 ,bei sehr vielen der in der 99,edfu99er ,schenkungsurkunde vorkommenden ,vierecke ist der ,unterschied je zweier ,gegenseiten entweder ,null oder verhltnissmssig so klein1 dass man den betreffenden ,vierecken eine vom ,rechtecke wenig verschiedene ,gestalt beilegen kann1 und die erhaltenen ,resultate somit eine ziemliche ,annherung an den richtigen ,flchenwerth darstellen drften1 nach dem man mit ,rcksicht auf die bei 99,sesostris99 bemerkte ,eintheilung des ,landes in ,rechtecke voraussetzen darf1 gerade diese oder eine ihr zunchst kommende ,form der ,felder sei die auch damals schon beliebte gewesen4 ,doch kommen auch ,vierecke vor1 wo der ,lngenunterschied der ,gegenseiten ein bemerkenswerther ist2 ja es werden auch ,dreiecke als ,vierecke mit einer verschwindenden ,seite behandelt1 so dass der begangene ,fehler in manchen ,fllen ein nicht unbedeutender ist4 ,nur nebenbei bemerken wir1 dass man dieselbe unrichtige ,flchenformel fr das ,viereck erhlt1 wenn man dasselbe zunchst durch eine ,diagonale in zwei ,dreiecke zerlegt1 auf jedes dieser ,dreiecke die unrichtige ,flchenformel1 die den ,inhalt als das halbe ,product der beiden ,seiten liefert1 anwendet1 die beiden so erhaltenen ,dreiecksflchen addirt und dann aus dieser ,summe und jener1 welche man bei dem hnlichen ,vorgange durch ,zerlegung mittelst der zweiten ,diagonale erhlt1 das arithmetische ,mittel construirt4 ,nimmt man mit 99,eisenlohr99 und 99,cantor99 an1 dass die ,aegypter die ,dreiecksflche wirklich dem halben ,producte zweier ,seiten gleichsetzten1 so steht man vor der ,frage1 warum nicht in derselben ,art die ,flchen der in der 99,edfu99er ,schenkungsurkunde auftretenden ,dreiecke bestimmt erscheinen8 ,uebrigens wolle man sich darber nicht wundern1 dass es berhaupt mglich war1 die ,flchenberechnungen im praktischen ,leben nach einer so falschen ,methode durchzufhren4 ,wissen wir doch1 dass im ,alterthume1 zur ,zeit 99,platon99s1 einer der gebildetsten ,mnner1 einer der hervorragendsten ,geschichtschreiber1 dass 99,thukydides997#dc7 in seiner ,unkenntniss der ,beziehung zwischen ,flcheninhalt und ,umfang1 die ,flche einer ,insel nach der zu ihrer ,umschiffung nothwendigen ,zeit zu bestimmen suchte2 in der ,geometrie 99,gerbert99's17#dd7 des nachmaligen ,papstes 99,silvester ,,ii499 finden wir1 #ajjj ,jahre nach ,chr4 ,g41 die ,flche eines gleichschenkligen ,dreieckes durch ,multiplication des ,schenkels mit der halben ,basis berechnet1 wo doch schon 99,hero von 9999 ,alexandrien997#de7 #aajj ,jahre frher die richtige ,formel fr diese ,berechnung kennt4 ,wir berhren diese ,thatsachen1 und knnten noch eine ganze ,reihe hnlicher ,beispiele anfhren1 nur um zu zeigen1 wie bereilt es wre1 aus den oft nur schwache ,annherungen liefernden ,berechnungen der 99,edfu99er ,schenkungsurkunde schliessen zu wollen1 die richtigen ,methoden seien den in die ,wissenschaften eingeweihten aegyptischen ,priestern nicht bekannt gewesen4 ,doch zurck zum ,papyrus 99,rhind994 ,wir bergehen die ,inhaltsbestimmungen von ,fruchthusern1 bei denen der ,inhalt durch ,multiplication einer ,flche mit einer ,lnge bestimmt wird1 weil wir es fr mssig halten1 ,errterungen darber anzustellen1 welche ,flchen und ,lngen hiebei gemeint sind1 so lange uns ber die ,form jener ,fruchthuser oder ,speicher nichts bekannt ist4 ,dagegen erwecken die im ,papyrus vorkommenden ,pyramiden-,berechnungen das hchste ,interesse1 besonders nach den glnzenden ,untersuchungen1 welchen 99,revillout99 diesen ,gegenstand unterzogen hat1 und deren ,resultate wir1 entgegen der von 99,eisenlohr99 ausgesprochenen und auch von 99,lepsius997#df7 acceptirten ,ansicht als solche betrachten1 welche in einfacher und natrlicher ,weise die sogenannte 99,seket99-,rechnung der alten ,aegypter beleuchten4 ,es wird in diesen ,rechnungen die ,bschung der ,seitenflchen einer quadratischen ,pyramide dadurch fixirt1 dass jener ,theil der ,lnge eines der beiden gleichlangen ,schenkel des ,winkelmaasses berechnet wird1 der sich zur ,lnge des anderen ,schenkels so verhlt1 wie die halbe ,lnge der ,basisseite der quadratischen ,pyramide zur ,hhe derselben4 ,zu dem ,behufe war der eine der beiden ,schenkel des ,winkelmaasses in eine gewisse ,anzahl gleich grosser ,theile getheilt1 whrend der andere ,schenkel1 der ,pyramidenhhe entsprechend1 und als ,einheit betrachtet1 ungetheilt blieb4 ,um nun den sogenannten 99,seket99 zu bestimmen1 wurde die halbe ,lnge der ,basisseite durch die ,pyramidenhhe dividirt und mit dem erhaltenen ,quotienten die ,anzahl der ,theile des horizontalen1 getheilten ,schenkels des ,winkelmaasses multiplicirt4 ,es war somit der ,seket 7welcher in derselben ,art fr einen geraden ,kreiskegel aus dem ,durchmesser der ,basis und der ,hhe bestimmt erscheint7 als ,verhltniss aufgefasst1 die goniometrische ,cotangente des ,neigungswinkels der ,seitenflche der ,pyramide1 respective der ,kegelkante zur ,basis4 ,wenn wir selbstverstndlich weit davon entfernt sind1 hierin vielleicht ,anfnge der ,trigonometrie sehen zu wollen1 so erkennen wir doch anderseits1 dass den alten ,aegyptern auch die ,lehre proportionaler ,linien1 wenigstens in ihren ,anwendungen1 bekannt gewesen sein musste1 und erscheint uns auch der am ,eingange erwhnte ,ausspruch ber die dem ,milesier 99,thales99 zugeschriebene ,hhenmessung der ,pyramiden als ein ganz glaubwrdiger1 wenn wir sehen1 wie im ,papyrus von den drei ,werthen3 ,basis1 ,hhe1 ,seket1 jeder aus den beiden anderen berechnet erscheint4 ,fassen wir nun die ,ergebnisse unserer ,betrachtungen zusammen1 so mssen wir aus der quellenmssig erwiesenen grossen ,bewunderung1 welche die ausgesprochen geometrisch hochentwickelten ,griechen den aegyptischen ,geometern rckhaltlos zollten1 wir mssen aus der unanfechtbaren ,thatsache1 dass griechische ,geometer den ,grund zu ihren ,kenntnissen und ,entdeckungen in ,aegypten suchten und fanden1 wir mssen im ,hinblicke auf das1 aus der nun vollends entzifferten#db 99,edfu99er ,schenkungsurkunde sich mit ,sicherheit ergebende ausgebreitete und fest organisirte ,katasterwesen der alten ,aegypter1 welches zugleich mit den zahlreichen1 dem ffentlichen ,leben dienenden ,land- und ,wasserbauten auf eine verhltnissmssig bedeutend entwickelte ,vermessungskunde hinweist1 wir mssen endlich aus dem von uns besprochenen ,papyrus1 der sich als eine ungenaue ,abschrift eines mangelhaften1 aus dem dritten ,jahrtausend vor ,chr4 ,g4 stammenden1 mathematischen ,collegien- oder ,aufgabenheftes erweist1 und aus dessen ,vorhandensein sich fast mit ,gewissheit auf damals existirende1 neben den ,regeln auch ihre ,ableitungen enthaltende ,lehrbcher schliessen lsst1 wir knnen und mssen aus allen diesen ,umstnden den allgemeinen ,schluss ziehen1 dass bereits drei ,jahrtausende vor unserer ,zeitrechnung sowohl die arithmetischen1 als auch die geometrischen ,kenntnisse der ,aegypter1 einen fr dieses ,zeitalter bedeutenden ,grad der ,entwicklung besassen4 ,insbesondere knnen wir in jenen fernen ,zeiten eine staunenswerth weitgehende ,annherung bei der ,berechnung der ,kreisflche beobachten1 wir finden mit vollstndiger ,sicherheit richtige ,flchenbestimmungen des ,quadrates1 ,rechteckes und des rechtwinkligen ,dreieckes2 hchst wahrscheinlich auch richtige ,bestimmungen der ,flchen schiefwinkliger ,dreiecke und ,vierecke1 welche im praktischen ,leben durch leichter zu handhabende ,annherungsformeln ersetzt wurden2 wir sehen ,bestimmungen des ,rauminhaltes durch ihre ,dimensionen gegebener ,krper und erkennen die ,anfnge der ,aehnlichkeitslehre4 ,was das geometrische ,zeichnen betrifft1 so kennen wir schon die ,construction der frher beobachteten regelmssigen ,figuren und drfen weiter vermuthen1 dass die ,anlegung rechter ,winkel und das ,fllen von ,senkrechten sowohl mittelst des ,winkelmaasses als auch mittelst rationaler rechtwinkliger ,dreiecke bekannt1 und die ,zerlegung gegebener ,flchen behufs ihrer ,inhaltbestimmung in allgemeiner ,verwendung war4 ,gewiss werden auch theoretische ,resultate bekannt gewesen sein2 so die ,hlftung des ,kreises durch seinen ,durchmesser1 die sich aus der besprochenen ,seketrechnung von selbst ergebende ,winkelgleichheit an der ,basis gleichschenkliger ,dreiecke und gleichseitiger quadratischer ,pyramiden1 und wohl noch manches ,andere4 ,mge es gelingen1 durch ,auffindung neuer1 sowie durch ,entzifferung der1 noch ihrer ,erklrung harrenden ,denkmale und ,schriften1 von welchen letzteren1 ,dank der hohen ,munificenz des ,erlauchten ,curators unserer ,akademie1 auch ,wien eine imposante ,zahl aufweisen kann1 mge es so gelingen noch weitere ,anhaltspunkte fr die ,kenntniss der mathematischen ,thtigkeit des uns bekannten ltesten ,culturvolkes1 der ,aegypter zu gewinnen6 ,diesen unseren ,wunsch theilen gewiss ,alle1 denen die ,erforschung der ,culturgeschichte des menschlichen ,geschlechtes nicht ohne ,wichtigkeit erscheint6 #a ,,herodot1 ,reisebericht1 ,,ii1 #aji4 #b ,,isokrates1 ,busiris1 c4 #i4 #c ,platonis ,phaedrus1 ed4 ,ast4 ,i4 p4 #bdf4 #d ,,aristoteles1 ,metaph4 ,i1 #a4 #e ,,diodor1 ,i1 #fi4 #f ,herodot l4 c4 #g ,heronis ,alexandr4 geom4 et stereom4 reliquiae1 ed4 ,hultsch4 p4 #ach4 #h ,,diodor1 ,i1 #ha4 #i ,,strabon1 ed4 ,meinike1 lib4 ,,xvii1 ,c4 #ghg1 p4 #ajih4 #aj ,eudemi ,rhodii ,peripatetici fragmenta quae supersunt4 ed4 ,l4 ,spengel4 ,berlin #ahgj4 #aa ,procl4 comment4 ed4 ,rasil4 p4 #ai2 ,barocius p4 #cg4 #ab ,,isokrates1 ,busiris1 cap4 #aa4 #ac ,,strabon1 ,,xiv1 #a4 #af4 #ad ,,porphyrius1 ,de vita ,pythagorae cap4 #g2 ,,diogenes ,,laertius1 ,,viii1 #c4 #ae ,,diodor1 ,i1 c4 #if4 #af ,,proklos1 ed4 ,friedlein1 #bej1 #bii1 #ceb1 #aeg4 #ag ,,diogenes ,,laertius1 ,i1 #bg4 ,,plinius1 ,hist4 nat4 ,,xxxvi1 #ab1 #ag4 #ah ,,plutarch1 ed4 ,didot4 ,vol4 #b1 ,,iii1 p4 #agd4 #ai ,,diogenes ,,laertius ,i1 #bd--be4 #bj ,,montucla1 ,hist4 d4 math4 #b4 dit4 t4 ,i1 p4 #di4 #ba ,,bretschneider1 ,die ,geometrie und die ,geometer vor ,euklides1 p4 #aa4 ,dem ,werke ,bretschneiders1 sowie jenem ,,cantor's3 ,vorlesungen ber ,geschichte der ,mathematik1 sind die grundlegenden ,gedanken entnommen4 #bb ,,clemens ,,alexandrinus1 ,stromata1 ed4 ,potter1 ,i1 #ceg4 #bc ,,theon ,,smyrnaios1 lib4 de astron4 ed4 ,martin1 p4 #bgb4 #bd ,,prisse ,d',,avennes1 ,hist4 de l'art ,egypt4 d'aprs les monuments4 #be ,,wilkinson1 ,manners and customs of the ancient ,egyptians1 ,,iii1 p4 #cac4 #bf ,,cicero1 ,de finibus bonorum ed malorum ,i1 #f1 #bj4 #bg ,,diogenes ,,laertius ,,ix1 #dg4 #bh ,,cantor1 ,vorlesungen ber ,geschichte der ,mathematik1 ,i1 p4 #add--aei 7,leipzig #ahhj74 #bi ,,eisenlohr1 ,ein math4 ,handbuch der alten ,aegypter4 ,leipzig #ahgg4 #cj ,,birch1 in ,lepsius' ,zeitschrift fr gypt4 ,sprache und ,alterthum1 #ahfh1 p4 #ajh4 #ca ,,lepsius1 gypt4 ,zeitschrift1 #ahga1 p4 #fc4 #cb ,,revillout1 ,,eug,,ne1 ,revue ,egyptologique1 #ahha1 ,nr4 ,,ii et ,,iii1 p4 #cjd4 #cc ,,eisenlohr1 ,ein math4 ,handbuch der alten ,aegypter4 ,nr4 #fd4 #cd ibid4 ,nr4 #gi4 #ce ibid4 p4 #abe4 #cf ,,cantor1 ,vorlesungen aus der ,geschichte der ,mathematik1 ,i1 p4 #di4 #cg ,,wilkinson1 ,manners and customs u4 s4 w4 ,,iii41 p4 #add4 #ch ,,brugsch1 ,ueber ,bau und ,maasse des ,tempels von ,edfu 7,zeitschrift fr gypt4 ,sprache u4 ,alterth4 ,bd4 ,,viii47 #ci ,,cantor1 ,vorlesungen u4 s4 w4 ,i1 p4 #ee4 #dj ,d4 ,,biot1 ,journal ,asiatique1 ,paris #ahda1 ,i4 ,sem4 p4 #eic4 #da ,,lepsius1 ,ueber eine hieroglyphische ,inschrift am ,tempel von ,edfu4 ,abhandlung d4 ,acad4 d4 ,wiss4 in ,berlin1 #ahee1 p4 #fi4 #db ,,brugsch1 ,thesaurus ,,iii1 ,leipzig #ahhd4 #dc ,,thukydides1 ed4 ,rothe1 ,,vi4 #a4 #dd ed4 ,olleris1 ,cap4 ,,lxx4 p4 #dfj4 #de ,heronis ,alexandrini geometricorum et stereometricorum reliquiae 7ed4 ,hultsch1 ,berlin #ahfd74 #df ,,lepsius1 ,ueber die #fpalmige grosse ,elle von #g kleinen ,palmen ,lnge in dem math4 ,handbuche von ,eisenlohr4 7,zeitschrift f4 g4 ,sp4 #ahhd4 #a4 ,heft47