,ueb] ,riemann's ,!orie d] ,algebrais*5 ,function5 by ,felix ,kle9 ,edition #a1 7,janu>y #h1 #bjjg7 ,,cont5ts ,abs*nitt ,i4 - ,e9leit5de ,betra*tung54 4 #a4 ,/ationre ,/rmung5 9 d] ,eb5e als ,deutung d] ,function5 von x iy4 4 #b4 ,b]cksi*tigung d] ,un5dli*keitspuncte von w f7z74 4 #c4 ,rationale ,function5 und ihre ,integrale4 ,ent/ehung hh]] ,un5dli*keitspuncte aus ni$]54 4 #d4 ,realisation d] betra*tet5 ,/rmung5 auf exp]im5tellem ,wege4 4 #e4 ,ueb]gang zur ,kugelfl*e1 ,/rmung5 auf beliebig5 krumm5 ,fl*54 4 #f4 ,zusamm5hang d] entwickelt5 ,!orie mit d5 ,function5 e9es complex5 ,argum5tes4 4 #g4 ,no* e9mal die ,/rmung5 auf d] ,kugel4 ,riemann's allgeme9e ,frage/ellung4 ,abs*nitt ,,ii4 - ,exposition d] ,riemann's*5 ,!orie4 4 #h4 ,classification ges*loss5] ,fl*5 na* d] ,zahl p4 4 #i4 ,vorlufige ,be/immung /ationr] ,/rmung5 auf beliebig5 ,fl*54 4 #aj4 ,die allgeme9/e /ationre ,/rmung4 ,beweis fr die ,unmgli*keit &]weitig] ,/rmung54 4 #aa4 ,erlut]ung d] ,/rmung5 an ,beispiel54 4 #ab4 ,ueb] die ,zusamm5setzung d] allgeme9/5 complex5 ,function des ,ortes aus e9zeln5 ,summ&54 4 #ac4 ,ueb] die ,vieldeutigkeit uns]] ,function54 ,besond]e ,betra*tung e9deutig] ,function54 4 #ad4 ,die gewhnli*5 ,riemann's*5 ,fl*5 b] d] x iy-,eb5e4 4 #ae4 ,d] ,r+ p #a und die zweiblttrige ,fl*e mit vi] ,v]zweigungspunct5 b] d] ,eb5e4 4 #af4 ,function5 von =mula1 wel*e d5 unt]su*t5 ,/rmung5 entspre*54 4 #ag4 ,tragweite und ,b$eutung uns]] ,betra*tung54 4 #ah4 ,weit]bildung d] ,!orie4 ,abs*nitt ,,iii4 - ,folg]ung54 4 #ai4 ,ueb] die ,moduln algebrais*] ,glei*ung54 4 #bj4 ,con=me ,abbildung ges*loss5] ,fl*5 auf si* selb/4 4 #ba4 ,besond]e ,betra*tung d] symmetris*5 ,fl*54 #bb4 ,con=me ,abbildung v]s*i$5] ,fl*5 auf e9&]4 4 #bc4 ,b]&ete ,fl*5 und ,doppelfl*54 4 #bd4 ,s*lussbem]kung4 ,,abs*nitt ,i4 - ,,e9leit5de ,,betra*tung54 4 #a4 ,/ationre ,/rmung5 9 d] ,eb5e als ,deutung d] ,function5 von x iy4 ,die physikalis*e ,deutung d] ,function5 von =mula1 mit wel*] wir im ,folg5d5 zu arbeit5 hab51 i/ 9 ihr5 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wird es 9 d] ,folge vielfa* zweckmssig se91 dieselbe mit dem elektris*5 ,fluidum zu id5tificir54 ,es wird dann nmli* u mit dem elektro/atis*5 ,pot5tial1 wel*es die ,/rmung h]vorruft1 proportional1 und die exp]im5telle ,physik gibt uns mannigfa*e ,mittel an die ,h&1 um zahlrei*e ,/rmungszu/nde1 die uns int]essir51 ?ats*li* zu realisir54 ,die ,/rmung selb/ wird brig5s ungend]t bleib51 w5n wir u dur*weg um e9e ,con/ante v]mehr53 es s9d nur die ,diff]5tialquoti5t5 =mula1 wel*e unmittelb> 9 ,evid5z tret54 ,das ,analoge gilt von v2 s dass die ,function =mula1 wel*e wir physikalis* deut51 dur* diese ,deutung nur bis auf e9e additive ,con/ante be/immt i/1 0 im ,folg5d5 wohl zu bea*t5 i/4 ,sodann bem]ke man no*1 dass die ,glei*ung5 7#a7-7c7 ungend]t be/eh5 bleib51 w5n man u dur* v1 v dur* =mula ersetzt4 ,dem5tspre*5d erhalt5 wir e95 zweit5 ,/rmungszu/&1 bei wel*em v das ,ges*w9digkeitspot5tial abgibt und die ,curv5 =mula ,con/4 die ,/rmungscurv5 s9d4 ,d]selbe reprs5tirt 9 dem ob5 erlut]t5 ,s9ne die ,function =mula4 ,es i/ hufig zweckmssig1 diese neue ,/rmung neb5 d] ursprngli*5 zu betra*t51 bei wel*] u das ,ges*w9digkeitspot5tial w>2 wir woll5 dann d] ,krze halb] von conjugirt5 ,/rmung5 spre*54 ,die ,b55nung i/ zw> etwas ung5au1 weil si* u zu v v]hlt1 wie v zu =mula2 sie wird ab] fr spt] ausrei*54 ,diese ganze ,erlut]ung bezieht si*1 glei* d5 ,diff]5tialglei*ung5 7#a7-7c71 zuvrd]/ nur auf e95 sol*5 7brig5s beliebig57 ,!il d] ,eb5e1 9 wel*em =mula e9deutig i/ und w$] =mula1 no* e9] se9] ,diff]5tialquoti5t5 un5dli* wird4 ,um d5 entspre*5d5 physikalis*5 ,vorgang deutli* zu b]seh51 hat man si* also vorab e95 sol*5 ,b]ei* abzugrnz5 und dur* geeignete ,vorri*tung5 an d] ,grnze dafr zu sorg51 dass d] im ,inn]5 des ,gebietes e+eleitete /ationre ,bewegungszu/& ungeh9d]t =tdau]n kann4 ,9 e9em s umgrnzt5 ,gebiete w]d5 diej5ig5 ,puncte =mula uns]e besond]e ,aufm]ksamkeit auf si* zieh51 fr wel*e d] ,diff]5tialquoti5t =mula v]s*w9det4 ,i* w d] ,allgeme9heit weg5 glei* annehm51 dass au* =mula1 =mula1 =mula bis h9 zu =mula glei* ,null se9 mg54 ,um b] d5 ,v]lauf d] ,niveaucurv51 od] au* d] ,/rmungscurv51 9 d] ,nhe e9es sol*5 ,punctes ,aufs*luss zu erhalt51 entwickele man w 9 e9e na* ,pot5z5 von =mula =ts*reit5de ,reihe4 ,dieselbe br+t h9t] dem con/ant5 ,gli$e unmittelb> e9 ,gli$ mit =mula4 ,dur* ,e9fhrung von ,pol>coord9at5 s*lies/ man hi]aus3 dass si* im ,puncte =mula =mula ,curv5 =mula ,con/4 unt] resp4 glei*5 ,w9keln kreuz51 whr5d eb5soviel ,curv5 =mula ,con/4 als ,halbirungsl9i5 d] g5annt5 ,w9kel auftret54 ,i* w]de e95 sol*5 ,punct dem5tspre*5d e95 ,kreuzungspunct n5n51 und zw> e95 ,kreuzungspunct von d] ,multiplicitt =mula4 ,die folg5de 7selb/v]/ndli* nur s*ematis*e7 ,figur mag dieses ,vorkommniss fr =mula erlut]n und nam5tli* v]/ndli* ma*51 wie si* e9 ,kreuzungspunct 9 das ,or?ogonalsy/em e9fgt1 wel*es brig5s von d5 ,curv5 =mula ,con/41 =mula ,con/4 gebildet wird3 ,illu/ration3 ,figur #a4 ,figur #a4 ,die ,/rmungscurv5 =mula ,con/4 ers*e95 9 d] ,figur ausgezog5 und die ,/rmungsri*tung5 auf ihn5 dur* beigesetzte ,pfeilspitz5 angegeb52 die ,niveaucurv5 s9d dur* ,punctirung ang$eutet4 ,man sieht1 wie die ,flssigkeit von drei ,seit5 auf d5 ,kreuzungspunct zu/rmt1 um eb5falls na* drei ,seit5 von demselb5 abzu/rm54 ,diess wird nur dadur* mgli*1 dass die ,ges*w9digkeit d] ,/rmung im ,kreuzungspunkte glei* ,null wird 7dass si* die ,flssigkeit 9 demselb5 /aut1 wie man na* ,analogie bekannt] ,vorkommnisse sag5 knnte74 ,9 d] ,t i/ ja die ,ges*w9digkeit dur* =mula gegeb54 ,es i/ weit]h9 vor!ilhaft1 d5 ,kreuzungspunkt von d] ,multiplicitt =mula als ,grnzfall von =mula e9fa*5 ,kreuzungspunct5 aufzufass54 ,dass diess zulssig i/1 zeigt die analytis*e ,beh&lung4 ,d5n im =mula-fa*5 ,kreuzungspunkte hat die ,glei*ung =mula e9e =mula-fa*e ,wurzel1 und e9e sol*e ent/eht1 wie man weiss1 dur* ,zusamm5rck5 von =mula e9fa*5 ,wurzeln4 ,im ,uebrig5 mg5 folg5de ,figur5 diese ,auffassung erlut]n3 ,illu/ration3 ,figur #b4 ,figur #b4 ,illu/ration3 ,figur #c4 ,figur #c4 ,i* habe 9 d5selb5 d] ,e9fa*heit halb] nur die ,/rmungscurv5 angegeb54 ,l9k] ,h& erblickt man d5selb5 ,kreuzungspunct von d] ,multiplicitt ,zwei1 auf d5 si* ,figur #a bezieht4 ,re*t] ,h& liegt e9e ,/rmung vor1 wel*e di*t bei e9&] zwei e9fa*e ,kreuzungspuncte aufwei/4 ,man erk5nt1 wie d] e9e ,/rmungszu/& aus dem &]5 dur* cont9uirli*e ,a5d]ung h]vorgeht4 ,bei dies] ,erlut]ung wurde /ills*weig5d vorausgesetzt1 dass das ,gebiet1 9 wel*em wir d5 ,/rmungszu/& betra*t51 si* ni*t 9's ,un5dli*e er/recke4 ,es hat all]d+s ke9]lei pr9cipielle ,s*wi]igkeit1 d5 ,punct =mula eb5so 9 ,betra*t zu zieh51 wie irg5d e95 &]5 ,punct =mula4 ,an ,/elle d] ,reih55twickelung na* ,pot5z5 von =mula hat dann 9 bekannt] ,weise e9e sol*e na* ,pot5z5 von =mula zu tret54 ,man wird von e9em =mula-fa*5 ,kreuzungspuncte bei =mula spre*51 w5n diese ,entwickelung h9t] dem con/ant5 ,gli$e s(ort e95 ,t]m mit =mula br+t4 ,ab] es s*e9t b]flssig1 die geometris*5 ,v]hltnisse1 wel*e dies5 ,vorkommniss5 bei uns]] ,/rmung entspre*51 ausfhrli*] zu s*ild]n4 ,d5n wir w]d5 spt] ,mittel und ,wege k5n5 l]n51 um die ,sond]/ellung des ,w]!s =mula1 wie sie uns hi] entgeg5tritt1 e9 fr allemal zu beseitig54 ,eb5des%alb wird d] ,punct =mula 9 d5 n*/folg5d5 ,p>agraph5 74 #b-d7 bei ,seite gelass51 trotzdem er au* dort1 w5n man voll/ndig se9 wollte1 besond]s 9 ,betra*t gezog5 w]d5 ms/e4 4 #b4 ,b]cksi*tigung d] ,un5dli*keitspuncte von w f7z74 ,wir woll5 nunmehr au* sol*e ,puncte =mula 9 uns] ,gebiet h]e9nehm51 9 d55 =mula un5dli* gross wird4 ,dabei s*rnk5 wir indess die unbegrnzte ,reihe d] ,mgli*keit51 wel*e 9 dies] ,ri*tung vorliegt1 mit ,rcksi*t auf die specielle von uns alle9 zu /udi]5de ,functionsclasse b$eut5d e94 ,wir woll5 v]lang51 dass d] ,diff]5tialquoti5t =mula ke9e wes5tli* s+ulre ,/elle besitz5 soll1 od]1 0 dasselbe i/1 wir woll5 fe/setz51 dass w nur s un5dli* w]d5 d>f1 wie e9 ,ausdruck d] folg5d5 ,=m3 =mula unt] =mula e9e be/immte endli*e ,zahl v]/&54 ,entspre*5d d5 v]s*i$55 ,=m51 die dies] ,ausdruck d>bietet1 sag5 wir1 dass si* bei =mula v]s*i$5e ,un/etigkeit5 b]lag]n3 e9 log>i?mis*] ,un5dli*keitspunct1 e9 algebrais*] ,un5dli*keitspunct von d] ,multiplicitt ,e9s1 u4 s4 f4 ,wir w]d5 d] ,e9fa*heit halb] hi] j$es dies] ,vorkommnisse fr si* betra*t51 worauf es e9e ntzli*e ,uebung se9 wird1 si* 9 e9zeln5 ,fll5 das ,resultat d] ,ueb]lag]ung deutli* zu ma*54 ,sei =mula zuvrd]/ e9 log>i?mis*] ,un5dli*keitspunct4 ,wir hab5 dann3 =mula ,hi] i/ ,a diej5ige ,grsse1 wel*e man1 mit =mula multiplicirt1 na* ,cau*y als ,residuum des log>i?mis*5 ,un5dli*keitspunctes bezei*net1 e9e ,b55nung1 die im ,folg5d5 geleg5tli* angew&t w]d5 soll4 ,fr die ,/rmung 9 d] ,nhe des ,un/etigkeitspunctes i/ es von primr] ,wi*tigkeit1 ob ,a reell i/ od] re9 imag9r1 od] endli* complex4 ,(f5b> kann man d5 dritt5 ,fall als e9e ,ueb]lag]ung d] beid5 er/5 auffass54 ,wir woll5 dah] au* ihn bei ,seite lass5 und hab5 uns somit nur mit zwei getr5nt5 ,mgli*keit5 zu bes*ftig54 #a7 ,w5n ,a reell i/1 s w]de =mula gesetzt4 ,man hat dann 9 er/] ,annh]ung fr =mula1 =mula3 =mula ,die ,curv5 =mula ,con/4 umgeb5 also d5 ,un5dli*keitspunct 9 ,ge/alt kle9] ,kreise2 die ,curv5 =mula ,con/4 lauf51 d5 we*selnd5 ,w]!n von =mula entspre*5d1 9 all5 ,ri*tung5 auf d5 ,un5dli*keitspunct zu4 ,wir hab5 e9e ,bewegung1 bei wel*] =mula e9e ,quelle von e9] gewiss5 positiv5 od] negativ5 ,ergiebigkeit vor/ellt4 ,um diese ,ergiebigkeit zu b]e*n51 multiplicir5 wir das ,bog5elem5t e9es kle95 mit dem ,radius r um d5 ,un/etigkeitspunct bes*rieb55 ,kreises mit d] zugehrig5 ,ges*w9digkeit und integrir5 d5 s gewonn55 ,ausdruck lngs d] ,kreisp]iph]ie4 ,da =mula 9 er/] ,annh]ung mit =mula und dieses mit =mula zusamm5fllt1 s kommt3 =mula als ,w]? d] ,ergiebigkeit4 ,die ,ergiebigkeit i/ also glei* dem ,residuum1 ge!ilt dur* i2 sie i/ positiv od] negativ je na* dem ,w]! von ,a4 #b7 ,sei zweit5s ,a re9 imag9r1 glei* =mula4 ,dann kommt unt] ,beibehaltung d] brig5 ,bezei*nung5 9 er/] ,annh]ung3 =mula ,die ,roll5 d] ,curv5 =mula ,con/41 =mula ,con/4 s9d also g]adezu v]taus*t4 ,die ,niveaucurv5 v]lauf5 jetzt na* all5 ,ri*tung5 von =mula aus1 whr5d die ,/rmungscurv5 d5 ,un5dli*keitspunct 9 kle95 ,kreis5 umgeb54 ,die ,flssigkeit wirbelt auf letzt]5 ,curv5 um d5 ,punct =mula h]um4 ,i* w d5 ,punct dem5tspre*5d als e95 ,wirbelpunct bezei*n54 ,s9n und ,int5sitt des ,wirbels w]d5 dur* =mula gemess54 ,da die ,ges*w9digkeit =mula 9 er/] ,annh]ung glei* =mula wird1 s f9det die ,wirbelbewegung bei positivem =mula im ,s9ne des ,uhrzeig]s1 bei negativem =mula 9 entgeg5gesetztem ,s9ne /att4 ,wir mg5 die ,int5sitt des ,wirbels glei* =mula setz51 sie i/ dann dem ,residuum des betreff5d5 ,un5dli*keitspunctes negativ glei*4 ,uebrig5s knn5 wir sag51 indem wir uns d] ,def9ition conjugirt] ,/rmung51 wie sie im vorig5 ,p>agraph5 gegeb5 wurde1 mit d] ihr anhaft5d5 ,unbe/imm!it er9n]n3 ,hat e9e von zwei conjugirt5 ,/rmung5 bei =mula e9e ,quelle von e9] gewiss5 ,ergiebigkeit1 s hat die &]e dort e95 ,wirbelpunct von glei*] od] entgeg5gesetzt glei*] ,int5sitt4 ,wir betra*t5 f]n] die algebrais*5 ,un/etigkeitspuncte4 ,bei ihn5 i/ d] ,v]lauf d] ,/rmung se9em allgeme95 ,*>akt] na* davon unabhngig1 ob das er/e ,gli$ d] ,reih55twickelung e95 reell51 imag9r5 od] complex5 ,coeffici5t5 hat4 ,sei zuvrd]/3 =mula s wird 9 er/] ,annh]ung fr =mula1 =mula3 =mula ,betra*t5 wir zuvrd]/ d5 reell5 ,!il re*t] ,h&4 ,w5n r sehr kle9 i/1 s kann =mula dur* ges*ickte ,wahl von =mula do* no* j$5 beliebig5 vorgegeb55 ,w]? vor/ell54 ,die ,function u nimmt also 9 unmittelb>] ,nhe d] ,un/etigkeits/elle no* j$5 ,w]? an4 ,zur nh]5 ,ori5tirung d5k5 wir uns e95 ,aug5blick r und =mula als unbegrnzte ,v]nd]li*e1 setz5 also =mula ,wir erhalt5 dann e9 ,bs*el von ,kreis51 wel*e alle die fe/e ,ri*tung =mula b]hr54 ,die ,kreise s9d um s kle9]1 je grss] d] absolute ,betrag von ,con/4 g5omm5 wird4 ,9 hnli*] ,weise v]lauf5 dah] die ,curv5 =mula ,con/4 9 d] ,nhe d] ,un/etigkeits/elle4 ,insbesond]e hab5 sie fr sehr grosse positive od] negative ,w]! von ,con/4 die ,ge/alt kle9]1 ges*loss5]1 kreishnli*] ,ovale4--,fr d5 imag9r5 ,!il des ,ausdrucks re*t] ,h& und also die ,curv5 =mula ,con/4 gilt e9e hnli*e ,discussion4 ,d] ,unt]s*i$ i/ nur d]1 dass jetzt die ,ri*tung =mula von all5 ,curv5 b]hrt wird4 ,hi]na* wird die folg5de ,figur1 9 wel*] die ,niveaucurv5 wi$] punctirt1 die ,/rmungscurv5 ausgezog5 s9d1 v]/ndli* se93 ,illu/ration3 ,figur #d4 ,figur #d4 ,die analoge ,discussion lief]t vom =mula-fa*5 algebrais*5 ,un/etigkeitspuncte die er=d]li*e ,ans*auung4 ,i* w hi] nur das ,resultat anfhr53 ,j$e ,curve =mula ,con/4 luft =mula-mal dur* d5 ,un/etigkeitspunct h9dur*1 indem sie d] ,reihe na* =mula fe/e1 glei* />k geg5 e9&] g5eigte ,tang5t5 b]hrt4 ,analog die ,curv5 =mula ,con/4 ,fr sehr grosse 7positive od] negative7 ,w]! d] ,con/ante s9d beid]lei ,curv5 9 unmittelb>] ,nhre d] ,un/etigkeits/elle ges*loss54 ,i* gebe zur ,v]ans*auli*ung e9e ,figur fr =mula3 ,illu/ration3 ,figur #e4 ,figur #e4 ,man wird v]mu!n1 dass diese hh]5 ,vorkommnisse aus d5 ni$]5 dur* ,grnzb]gang ent/eh5 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und =mula ganze ,function5 desselb5 ,grades s9d1 die ohne geme9sam5 ,!il] ang5omm5 w]d5 knn54 ,i/ dies] ,grad d] =mula und zhlt man j$5 algebrais*5 ,un5dli*keitspunct s (t1 als se9e ,multiplicitt anzeigt1 s erhlt man1 d5 ,wurzeln von =mula entspre*5d1 n algebrais*e ,un/etigkeitspuncte4 ,die ,kreuzungspuncte s9d dur* =mula1 e9e ,glei*ung =mula ,grades1 gegeb54 ,die ,gesammtmultiplicitt d] ,kreuzungspuncte i/ also =mula1 wobei man ab] bea*t5 muss1 dass j$e =mula-fa*e ,wurzel von =mula e9e =mula-fa*e ,wurzel von =mula i/ und also j$] =mula-fa*e ,un5dli*keitspunct d] ,function fr =mula ,kreuzungspuncte mitzhlt4 #b7 ,soll das ,integral e9] rational5 ,function =mula fr =mula endli* bleib51 s muss d] ,grad von =mula um zwei ,e9heit5 kle9] se9 als d] ,grad von =mula4 =mula und =mula soll5 dabei ohne geme9sam5 ,!il] ang5omm5 w]d54 ,dann lief]t =mula die frei5 ,kreuzungspuncte1 d4 h4 diej5ig5 ,kreuzungspuncte1 wel*e ni*t mit ,un5dli*keitspunct5 zusamm5fall54 ,die ,wurzeln von =mula geb5 die ,un5dli*keitspuncte des ,integrals4 ,und zw> entspri*t d] e9fa*5 ,wurzel von =mula e9 log>i?mis*] ,un5dli*keitspunct1 d] ,doppelwurzel e9 ,un5dli*keitspunct1 d] im ,allgeme95 die ,ueb]lag]ung e9es log>i?mis*5 ,un/etigkeitspunctes mit e9em e9fa*5 algebrais*5 se9 wird1 etc4 ,w5n man dem5tspre*5d j$5 ,un5dli*keitspunct s (t zhlt1 als die ,multiplicitt des entspre*5d5 ,factors 9 =mula betrgt1 s i/ die ,gesammtmultiplicitt d] ,kreuzungspuncte um zwei ,e9heit5 g]+] als die d] ,un5dli*keitspuncte4 ,uebrig5s sei no* an d5 bekannt5 ,satz er9n]t1 dass die ,summe d] log>i?mis*5 ,residua smmtli*] ,un/etigkeitspuncte glei* ,null i/4-- ,das ,vor/eh5de gibt uns e9e zweifa*e ,mgli*keit1 um h"h ,un/etigkeitspuncte aus ni$]5 ent/eh5 zu lass54 ,wir knn5 e9mal--und diess i/ fr uns das ,wi*tig/e--vom ,integral d] rational5 ,function ausgeh54 ,bei ihm ent/eht e9 =mula-fa*] algebrais*] ,un/etigkeitspunct1 w5n =mula ,factor5 von =mula e9&] glei* w]d51 w5n also =mula log>i?mis*e ,un/etigkeitspuncte 9 geeignet] ,weise zusamm5rck54 ,dabei i/ deutli*1 dass die ,residu5summe d] letzt]5 glei* ,null se9 muss1 w5n d] ent/eh5de ,un5dli*keitspunct e9 re9 algebrais*] se9 soll4 ,die folg5d5 beid5 ,figur51 9 d55 nur die ,/rmungscurv5 angegeb5 s9d1 erlut]n d5 betreff5d5 ,grnzb]gang fr d5 e9fa*5 algebrais*5 ,un/etigkeitspunct d] ,figur 7#d73 ,illu/ration3 ,fig4 #f4 ,fig4 #f4 ,illu/ration3 ,fig4 #g4 ,fig4 #g4 ,i* habe dabei die ,anordnung 9 doppelt] ,weise getr(f51 s dass l9k] ,h& zwei ,quell5puncte1 re*t] ,h& zwei ,wirbelpuncte e9&] nahe g]ckt s*e95 und ,figur #d als b]e9/imm5des ,resultat des ,grnzb]ganges 9 beid5 ,fll5 ers*e9t4 ,9 d]selb5 ,beziehung /eh5 die folg5d5 beid5 ,zei*nung5 zu ,figur #e3 ,illu/ration3 ,fig4 #h4 ,fig4 #h4 ,illu/ration3 ,fig4 #i4 ,fig4 #i4 ,die zweite ,mgli*keit fr das ,ent/eh5 hh]] ,un5dli*keits/ell5 aus ni$]5 bietet die ,betra*tung d] rational5 ,function =mula selb/4 ,log>i?mis*e ,un5dli*keits/ell5 bleib5 dabei ausges*loss54 ,d] =mula-fa*e algebrais*e ,un/etigkeitspunct ent/eht jetzt aus =mula e9fa*5 algebrais*5 ,un/etigkeitspunct51 indem nmli* =mula e9fa*e l9e>e ,factor5 von =mula zu e9em =mula-fa*5 zusamm5rck5 mss54 ,ab] zuglei* v]e9igt si* mit ihn5 e9e ,anzahl von ,kreuzungspunct51 d]5 ,gesammtmultiplicitt =mula betrgt4 ,d5n =mula erhlt1 wie s*on bem]kt1 9 demselb5 ,aug5blicke1 wo =mula d5 =mula-fa*5 ,factor bekommt1 e95 =mula-fa*5 ,factor4 ,die folg5de ,figur erlut]t 9 diesem ,s9ne das ,ent/eh5 des 9 ,figur #e abgeleitet5 zweifa*5 algebrais*5 ,un5dli*keitspunctes3 ,illu/ration3 ,fig4 #aj4 ,fig4 #aj4 ,es i/ natrli* lei*t1 diese beid5 ,art5 des ,grnzb]ganges unt] e9e allgeme9]e geme9sam zu subsumir54 ,w5n man =mula log>i?mis*e ,un5dli*keitspuncte und =mula ,kreuzungspuncte successive od] glei*zeitig zusamm5fall5 ls/1 s wird allemal e9 =mula-fa*] algebrais*] ,un/etigkeitspunct ent/eh54 ,do* i/ hi] ni*t d] ,ort1 um diese ,g$ank5 weit] auszufhr54 4 #d4 ,realisation d] betra*tet5 ,/rmung5 auf exp]im5tellem ,wege4 ,wir woll5 uns]] ,betra*tung nunmehr e9e &]e ,w5dung geb51 indem wir uns frag51 wie diej5ig5 ,bewegungs=m51 die wir jetzt von d5 rational5 ,function5 und ihr5 ,integral5 k5n51 physikalis* realisirt w]d5 mg54 ,dabei sei es ge/attet1 von dem ,pr9cip d] ,ueb]lag]ung ausgiebig5 ,gebrau* zu ma*51 s dass es si* nur um ,h]/ellung d] all]e9fa*/5 ,bewegungs=m5 h&elt4 ,aus d] ,!orie d] ,p>tialbr*e folgt1 dass man j$e d] 9 ,betra*t komm5d5 ,function5 aus e9zeln5 ,be/&!il5 additiv zusamm5setz5 kann1 wel*e si* unt] e95 d] folg5d5 beid5 ,typ5 subsumir53 =mula ,da =mula bei =mula e95 ,un/etigkeitspunct hat1 0 e9e unn?ige ,besond]heit i/1 s woll5 wir d5 er/5 ,typus dur* d5 allgeme9]5 ersetz53 =mula und dies5 selb/ wi$]1 entspre*5d d5 ,erlut]ung5 des 4 #b1 9 zwei ,be/&!ile z]spalt51 indem wir nmli* ,a glei* ,a i,b setz5 und nun ,a =mula und i,b =mula gesond]t betra*t54 ,hi]na* hab5 wir im ,ganz5 drei ,flle ause9&]zuhalt54 #a7 ,w5n es si* um d5 ,typus ,a =mula h&elt1 s hab5 wir bei =mula e9e ,quelle von d] ,ergiebigkeit #b ,a =mula1 bei =mula e9e sol*e von d] ,ergiebigkeit =mula ,a =mula anzubr+54 ,man d5ke si* zu dem ,zwecke die =mula-,eb5e mit e9] un5dli* dnn51 glei*frmig51 elektricittsleit5d5 ,s*i*t b]deckt4 ,dann wird die entspre*5de ,bewegungs=m (f5b> realisirt1 indem wir bei =mula d5 e951 bei =mula d5 &]5 ,pol e9] galvanis*5 ,batt]ie von zweckmssig gewhlt] ,/rke aufsetz57#b74--,man sieht zuglei*1 wes%alb das ,residuum von =mula demj5ig5 von =mula entgeg5gesetzt glei* se9 muss3 da d] ,/rmungszu/& /ationr se9 soll1 muss an d] e95 ,/elle eb5so viel ,elektricitt zugefhrt w]d51 als an d] &]5 ab/rmt4 ,d]selbe ,grund gilt1 wie man s(ort erk5nt1 fr d5 entspre*5d5 ,satz bei beliebig viel5 log>i?mis*5 ,un5dli*keitspunct51 wobei all]d+s zun*/ nur von d5 re9 imag9r5 ,!il5 d] betreff5d5 ,residua die ,r$e i/ 7wel*e d5 von d5 ,un5dli*keitspunkt5 ausgeh5d5 ,quell5bewegung5 entspre*574 #b7 ,im zweit5 ,falle 7wo i,b =mula gegeb5 i/7 wird die exp]im5telle ,anordnung etwas s*wi]ig]4 ,das e9fa*/e ,s*ema i/ dieses1 dass man =mula und =mula dur* e9e si* selb/ ni*t s*neid5de ,curve v]b9det und nun dafr sorgt1 dass diese ,curve d] ,sitz e9] con/ant5 elektromotoris*5 ,kraft sei4 ,es entwickelt si* dann 9 d] =mula-,eb5e e9e ,/rmung1 wel*e bei =mula und =mula ,wirbelpunkte aufwei/1 wel*e b]all son/ /etig v]luft1 und aus d] man dur* ,integration als zugehriges ,ges*w9digkeitspot5tial e9e ,function f9det1 wel*e bei j$] ,umkreisung von =mula od] =mula um e95 gewiss5 ,p]iodicittsmodul w*/4 ,von diesem ,ges*w9digkeitspot5tial i/ dabei das no?w5dig e9deutige elektro/atis*e ,pot5tial wohl zu unt]s*eid54 ,die ,curve1 wel*e =mula und =mula v]b9det1 i/ fr das letzt]e e9e ,un/etigkeitscurve1 und wird eb5 hi]dur* die ,e9deutigkeit des elektro/atis*5 ,pot5tials ermgli*t7#c74 ,illu/ration3 ,fig4 #aa4 ,fig4 #aa4 ,i* weiss ni*t1 ob es e9e exp]im5telle ,anordnung giebt1 um dieses e9fa*/e ,s*ema zu realisir54 ,es s*e9t1 dass man um/ndli*] zu ,w]ke geh5 muss4 ,d5k5 wir zuvrd]/ etwa an !rmoelektris*e ,/rme4 ,wir woll5 die =mula-,eb5e zum ,!il mit dem ,mat]iale ,i1 zum ,!il mit dem ,mat]iale ,,ii b]deck5 und die ,/rke d] b]deck5d5 ,s*i*t5 dabei s bemess51 dass d] specifis*e ,leitungswid]/& b]all d]selbe sei4 ,w5n wir dann dafr sorg51 dass die beid5 dur* =mula und =mula von e9&] getr5nt5 ,!ile d] ,cont\r1 9 wel*] die zwei]lei ,mat]iali5 zusamm5/oss51 beide auf con/ant51 unt] si* v]s*i$55 ,temp]atur5 gehalt5 w]d51 s wird 9 d] ,t e9e elektris*e ,/rmung ent/eh51 wie wir sie hab5 woll54 ,dabei wei/ das elektro/atis*e ,pot5tial1 na* d5 ,vor/ellung51 die man d] ,lehre von d] ,!rmoelektricitt zu ,grunde legt1 an beid5 ,!il5 d] g5annt5 ,cont\r ,un/etigkeit5 auf4--,no* complicirt] s*e9t es1 elektris*e ,/rme zu b5utz51 wie sie die gewhnli*5 galvanis*5 ,elem5te lief]n4 ,man muss die ,eb5e dann dur* m9de/5s drei ,curv51 wel*e von =mula na* =mula v]lauf51 9 ,!ile z]leg5 und zwei dies] ,!ile mit metallis*5 ,beleg51 d5 dritt5 mit e9em feu*t5 ,leit] b]deck54 ,man v]glei*e hi]zu die ,figur #ab4 ,illu/ration3 ,fig4 #ab4 ,fig4 #ab4 ,dur* alle diese ,anordnung5 h9dur* i/ von ,vorne h]e9 ersi*tli*1 dass die beid5 bei =mula und =mula auftret5d5 ,wirbelpuncte 9 d] ,t entgeg5gesetzt glei*e ,int5sitt hab5 mss54 ,aus hnli*5 ,grnd5 wird die ,gesammt9t5sitt smmtli*] ,wirbel bei beliebig viel5 gegeb55 ,wirbelpunct5 imm] glei* ,null se91 und i/ dadur* d] ,satz von dem ,v]s*w9d5 d] ,summe all] log>i?mis*5 ,residu51 au* 0 d5 reell5 ,!il dies] ,residu5 angeht1 auf physikalis* evid5te ,grnde zurckgefhrt4 #c7 ,die ,bewegungs=m51 wel*e d5 algebrais*5 ,typ5 =mula entspre*51 mg5 d5 ,entwickelung5 des 4 #c zufolge aus d5 eb5 betra*tet5 dur* ,gr5zb]gang gewonn5 w]d54 ,es wird diess natrli* nur mit e9] gewiss5 ,annh]ung ges*eh5 knn54 ,man setze z4 ,b4 =mula ,drhte1 9 wel*e die ,pole e9] galvanis*5 ,batt]ie auslauf51 di*t bei e9&] auf die =mula-,eb5e auf4 ,dann ent/eht e9e ,/rmung1 wel*e 9 e9ig] ,entf]nung von d5 ,draht5d5 mit d]j5ig5 m]kli* zusamm5fllt1 wel*e e9em algebrais*5 ,un/etigkeitspunkte von d] ,multiplicitt =mula entspri*t4 ,zuglei* ergiebt si* e9e ,ergnzung uns]] obig5 ,d>/ellung4 ,man wird die galvanis*e ,batt]ie sehr />k nehm5 mss51 w5n bei d] erwhnt5 ,anordnung no* e9e mittl]e elektris*e ,/rmung zu ,/&e komm5 soll4 ,es entspri*t diess dem von analytis*] ,seite wohlbekannt5 ,satze1 dass die ,residua log>i?mis*] ,un5dli*keitspuncte selb/ 9's ,un5dli*e wa*s5 mss51 w5n beim ,zusamm5fall5 d] log>i?mis*5 e9 algebrais*] ,un/etigkeitspunkt ent/eh5 soll4--,i* gehe hi] 9 ke9 weit]es ,detail1 da es im ,folg5d5 alle9 d>auf ankommt1 dass auf ,grund d] ,figur5 #f-i das allgeme9e ,pr9cip v]/&5 wird4 4 #e4 ,ueb]gang zur ,kugelfl*e1 ,/rmung5 auf beliebig5 krumm5 ,fl*54 ,um die un5dli* gross5 ,w]! von z d]selb5 geometris*5 ,beh&lungsweise zugngli* zu ma*51 wie die endli*51 b$i5t man si* 9 d5 ,lehrb*]n jetzt allgeme9 d] ,kugelfl*e7#d71 wel*e /]eographis* auf die =mula-,eb5e bezog5 i/4 ,man k5nt die e9fa*5 geometris*5 ,beziehung51 wel*e bei dies] ,abbildung auftret57#e74 ,man weiss au* zur ,g5ge1 dass das ,un5dli*-,weite d] ,eb5e si* 9 e95 be/immt5 ,punct d] ,kugel1 d5 ,projectionspunct1 zusamm5zieht1 s dass es ke9e symbolis*e ,ausdrucksweise mehr i/1 w5n man auf d] ,kugel von e9em ,puncte =mula spri*t4 ,dageg5 s*e9t es no* imm] w5ig] bekannt zu se91 dass bei dies] ,abbildung die ,function5 von =mula e9e ,b$eutung fr die ,kugelfl*e gew9n51 wel*e d]j5ig51 die sie fr die ,eb5e hatt51 g5au analog i/1 dass man also 9 d5 ,entwickelung5 d] vorangeh5d5 ,p>agraph5 /att d] ,eb5e die ,kugel gebrau*5 kann1 wobei von e9] ,sond]/ellung des ,w]!s =mula von vorne h]e9 ke9e ,r$e i/7#f73 ,i* entwickele hi] kurz diej5ig5 ,stze d] ,fl*5!orie1 aus d55 diese ,behauptung folgt1 und nehme me95 ,/&punct dabei glei* s allgeme91 dass me9e ,d>/ellung fr spt] anzu/ell5de ,betra*tung5 ausrei*t4 ,indem wir ,flssigkeitsbewegung5 p>allel d] =mula-,eb5e /udirt51 hab5 wir uns b]eits gewhnt1 die ,flssigkeitss*i*t1 wel*e d] ,betra*tung unt]liegt1 als un5dli* dnn vorauszusetz54 ,9 demselb5 ,s9ne kann man ,flssigkeitsbewegung5 (f5b> auf beliebig gegeb55 ,fl*5 betra*t54 ,die ,v]s*iebung5 frei ausgespannt] ,flssigkeitsmembran5 9 si*1 wie man sie bei d5 ,plateau's*5 ,v]su*5 s s*n beoba*t5 kann1 geb5 e9 ans*auli*es ,beispiel dafr4--,wir w]d5 v]su*51 au* d]>tige ,bewegung5 dur* e9 ,pot5tial zu def9ir51 und vor all5 ,d+5 frag51 wel*e ,bew&niss es dann mit d5 /ationr5 ,bewegung5 hat4 ,die zweckmssige ,v]allgeme9]ung des ,pot5tialbegriffs bietet si* unmittelb>4 ,es sei u e9e ,function des ,ortes auf d] ,fl*e1 s d5ke man si* auf letzt]] die ,curv5 =mula ,con/4 gezog54 ,sodann w]de fe/gesetzt1 dass die ,flssigkeitsbewegung auf d] ,fl*e 9 j$em ,punkte s5kre*t geg5 die h9dur*geh5de ,curve =mula ,con/4 /attf9d5 solle1 und zw> mit e9] ,ges*w9digkeit1 die1 unt] =mula das ,bog5elem5t d] zugehrig51 auf d] ,fl*e v]lauf5d5 ,normalri*tung v]/&51 glei* =mula i/4 ,wir n5n5 dann u1 wie 9 d] ,eb5e1 das zur ,bewegung gehrige ,ges*w9digkeitspot5tial4 ,die 9 sol*] ,weise def9irte ,/rmung soll nun e9e /ationre se94 ,um e9e be/immte ,=mel zu hab51 woll5 wir e9 krumml9iges ,coord9at5sy/em p1 q auf uns]] ,fl*e annehm5 und uns die ,=m be/immt d5k53 =mula wel*e v]mge dieses ,coord9at5sy/ems das ,bog5elem5t auf d] ,fl*e annimmt4 ,dann gibt e9e e9fa*e ,zwis*5betra*tung1 wel*e d] 9 d] ,eb5e bli*5 dur*aus analog v]luft1 dass u1 um e9e /ationre ,bewegung zu v]anlass51 d] folg5d5 ,diff]5tialglei*ung zweit] ,ordnung g5g5 muss3 =mula ,an diese ,diff]5tialglei*ung knpft nun e9e kurze ,ueb]legung1 wel*e die volle ,analogie mit d5 auf die ,eb5e bezgli*5 ,resultat5 h]/ellt4 ,es ergiebt si* nmli* aus d] ,=m von 7#b72 dass man neb5 j$em u1 wel*es 7#b7 g5gt1 e9e &]e ,function v e9fhr5 kann1 die zu u g5au 9 dem bekannt5 ,reciprocittsv]hltnisse /eht4 ,9 d] ,t1 v]mge 7#b7 s9d die folg5d5 beid5 ,glei*ung5 v]trgli*3 =mula sie def9ir5 e9 v bis auf e9e no?w5dig unbe/immt bleib5de ,con/ante4 ,aus ihn5 ab] folgt dur* ,auflsung3 =mula und hi]aus3 =mula s dass e9mal u si* zu v v]hlt1 wie v zu =mula1 und &]]seits v1 s gut wie u1 d] p>tiell5 ,diff]5tialglei*ung 7#b7 g5gt4 ,zuglei* hab5 die ,glei*ung5 7#c71 bez4 7#d71 die geometris*e ,b$eutung1 dass die ,curv5 u ,con/4 und v ,con/4 e9&] im ,allgeme95 re*tw9kelig s*neid54 ,0 nun die ,behauptung betrifft1 die i* h9si*tli* d] /]eographis*5 ,beziehung d] ,kugel auf die ,eb5e zu ,e+ang dieses ,p>agraph5 voran/ellte1 s i/ sie e9 unmittelb>] ,ausfluss aus dem ,um/&e1 dass die ,glei*ung5 =mula 9 ,e1 ,f1 ,g homog5 von d] nullt5 ,dim5sion s9d7#g74 ,w5n zwei ,fl*5 con=m auf e9&] bezog5 s9d und man fhrt auf ihn5 entspre*5de krumml9ige ,coord9at5 e91 s unt]s*eidet si* d] ,ausdruck fr das ,bog5elem5t auf d] e95 ,fl*e von dem auf die &]e ,fl*e bezgli*5 nur dur* e95 ,faktor4 ,dies] ,factor ab] fllt aus dem angegeb55 ,grunde aus d5 ,glei*ung5 7#b7--7e7 e9fa* h]aus4 ,wir hab5 also e95 allgeme95 ,satz1 d] die besond]e auf ,kugel und ,eb5e bezgli*e1 ob5 ausgespro*5e ,behauptung als speciell5 ,fall umfas/4 ,indem i* aus u1 v die ,comb9ation =mula bilde und diese als complexe ,function des ,ortes auf d] ,fl*e bezei*ne1 spri*t si* d]selbe folg5d]mass5 aus3 ,wird e9e ,fl*e con=m auf e9e zweite abgebildet1 s v]w&elt si* j$e auf ihr exi/ir5de complexe ,function des ,ortes 9 e9e ,function d]selb5 ,art auf d] zweit5 ,fl*e4 ,viellei*t i/ es ntzli*1 ausdrckli* e9em ,missv]/ndnisse entgeg5zutret51 wel*es hi]bei ent/eh5 knnte4 ,d]selb5 ,function =mula entspri*t e9e ,flssigkeitsbewegung auf d] e95 und auf d] &]5 ,fl*e2 man knnte me951 dass die e9e ,bewegung v]mge d] ,abbildung aus d] &]5 h]vorgehe4 ,dies i/ natrli* ri*tig mit ,bezug auf d5 ,v]lauf d] ,/rmungscurv5 und d] ,niveaucurv51 ke9eswegs ab] 9 ,bezug auf die ,ges*w9digkeit4 ,wo das ,bog5elem5t d] e95 ,fl*e grss] i/1 als das ,bog5elem5t d] &]5 ,fl*e1 da i/ die ,ges*w9digkeit d] ,/rmung entspre*5d kle9]4 ,hi]9 eb5 liegt es1 dass d] ,w]? =mula auf d] ,kugel se9e s+ulre ,/ellung v]li]t4 ,fr d5 ,un5dli*keitspunct d] ,eb5e erwei/ si* die ,ges*w9digkeit d] ,/rmung1 wie man s(ort sieht1 im ,allgeme95 als un5dli* kle9 von d] zweit5 ,ordnung4 ,sollte d] ,un5dli*keitspunkt s+ulr se91 s wird die ,ges*w9digkeit dort allemal um zwei ,ordnung5 kle9]1 als die ,ges*w9digkeit 9 e9em glei*zub55n5d5 ,punkt des ,endli*54 ,man er9n]e si* nun d] ob5 7unt] dem ,texte7 mitge!ilt5 ,=mel3 =mula wel*e das ,bog5elem5t d] ,kugel zum ,bog5elem5t d] ,eb5e 9 ,beziehung setzt4 ,hi] i/ =mula eb5 au* e9e ,grsse zweit] ,ordnung1 und es f9det dah] beim ,ueb]gange zur ,kugel g5aue ,comp5sation /att4 4 #f4 ,zusamm5hang d] entwickelt5 ,!orie mit d5 ,function5 e9es complex5 ,argum5tes4 ,nun wir die ,kugel als ,sub/rat uns]] ,betra*tung5 gewonn5 hab51 b]trag5 wir auf sie1 0 wir 9 d5 4 #c und #d betreffs rational] ,function5 und ihr] ,integrale hab5 k5n5 l]n54 ,wir gew9n5 dadur*1 dass alle frh] aufge/ellt5 ,stze au* fr un5dli* grosses z und somit ausnahmslos gelt54 ,um s int]essant] wird es1 si* auf d] ,kugel d5 ,v]lauf be/immt] rational] ,function5 zu b]leg5 und b] die ,mittel zu ihr] physikalis*5 ,realisirb>keit na*zud5k57#h74 ,ab] es i/ e9e &]e wi*tige ,frage1 wel*e si* bei sol*5 ,unt]su*ung5 aufdrngt4 ,die v]s*i$55 ,function5 des ,ortes1 wel*e wir auf d] ,kugelfl*e /udir51 s9d zuglei* ,function5 des ,argum5tes =mula4 ,woh] dies] ,zusamm5hang8 ,man wolle vor all5 ,d+5 bem]k51 dass =mula selb/ e9e complexe ,function des ,ortes auf uns]] ,kugel i/2 g5g5 do* x und y1 fr u und v e+esetzt1 d5 frh] 74 #a7 fr letzt]e aufge/ellt5 ,diff]5tialglei*ung54 ,s lange man 9 d] ,eb5e op]irt1 knnte man d5k51 dass diese ,function vor d5 brig5 etwas ,wes5tli*es voraus habe2 na* dem ,ueb]gange zur ,kugel i/ hi]zu ke9e ,v]anlassung mehr4 ,und 9 d] ,t v]allgeme9]t si* die ,bem]kung1 auf die si* uns]e ,frage bezieht1 s(ort4 ,w5n =mula und =mula ,function5 von =mula s9d1 s i/ au* =mula e9e ,function von =mula ,wir hab5 also fr ,eb5e und ,kugelfl*e d5 allgeme95 ,satz3 dass von zwei complex5 ,function5 des ,ortes im ,s9ne d] gewhnli*5 function5!oretis*5 ,ausdrucksweise j$e e9e ,function d] &]5 i/4 ,wird dieses nun e9e besond]e ,eig5?mli*keit d] g5annt5 ,fl*5 se98 ,si*] wird si* dieselbe auf alle sol*e ,fl*5 b]trag51 die man auf e95 ,!il d] ,eb5e 7od] d] ,kugel7 con=m bezieh5 kann4 ,diess folgt aus dem letzt5 ,satze des vorig5 ,p>agraph54 ,i* sage ab]1 dass dieselbe ,eig5?mli*keit b]haupt all5 ,fl*5 zukommt1 womit implicite behauptet wird1 dass man e95 ,!il e9] beliebig5 ,fl*e auf die ,eb5e od] die ,kugelfl*e con=m b]trag5 kann4 ,d] ,beweis ge/altet si* unmittelb>1 w5n man die ,be/&teile =mula irg5d e9] auf e9] ,fl*e exi/ir5d5 complex5 ,function des ,ortes1 =mula1 auf d] ,fl*e selb/ als krumml9ige ,coord9at5 e9fhrt4 ,dann mss5 nmli* die ,coffici5t5 ,e1 ,f1 ,g 9 dem ,ausdrucke des ,bog5elem5tes s bes*aff5 w]d51 dass ,id5titt5 ent/eh51 w5n man 9 die ,glei*ung5 7#b7-7e7 des vorig5 ,p>agraph5 fr p und q und glei*zeitig fr u und v bez4 x und y e9fhrt4 ,diess b$+t1 wie man s(ort ersieht1 dass =mula1 =mula wird4 ,hi]dur* ab] v]w&eln si* j5e ,glei*ung5 9 die wohlbekannt53 =mula ,sie geh5 also direct 9 j5e ,glei*ung5 b]1 dur* wel*e man ,function5 des ,argum5tes =mula zu def9ir5 pflegt1 s dass =mula 9 d] ,t e9e ,function von =mula wird1 0 zu beweis5 w>4 ,zuglei* erl$igt si*1 0 h9si*tli* con=m] ,abbildung behauptet wurde4 ,d5n ans d] ,=m des ,bog5elem5tes =mula folgt unmittelb>1 dass uns]e ,fl*e dur* =mula auf die =mula-,eb5e con=m b]trag5 wird4 ,i* w dieses ,resultat 9 etwas allgeme9]] ,=m ausspre*51 indem i* sage3 ,w5n man auf zwei ,fl*5 zwei complexe ,function5 des ,ortes k5nt1 und man bezieht die ,fl*5 s aufe9&]1 dass entspre*5de ,puncte respective glei*e ,functionsw]! aufweis51 s s9d die ,fl*5 con=m auf e9&] bezog54 ,es i/ dies die ,umkehr des hnli* laut5d5 am ,s*lusse des vorig5 ,p>agraph5 aufge/ellt5 ,satzes4 ,alle diese ,!oreme hab51 s[eit sie si* auf beliebige ,fl*5 bezieh51 fr's ,er/e nur dann e95 kl>5 ,s9n1 w5n man se9e ,aufm]ksamkeit auf kle9e ,/cke d] ,fl*5 bes*rnkt1 inn]halb d]5 die complex5 ,function5 des ,ortes w$] ,un5dli*keitspuncte no* ,kreuzungspuncte aufweis54 ,i* habe des%alb geleg5tli* au* nur von e9em ,fl*5!ile gespro*54 ,ab] es liegt nahe1 zu frag51 wie si* die ,v]hltnisse ge/alt51 w5n man ges*loss5e ,fl*5 9 ihr] ganz5 ,ausdehnung b5utzt4 ,diese ,frage i/ mit d] weit]5 ,ide55twickelung1 die i* im folg5d5 zu geb5 habe1 auf das ,innig/e v]knpft2 ihr speciell s9d die 4 #ai--ba des ,folg5d5 gewidmet4 4 #g4 ,no* e9mal die ,/rmung5 auf d] ,kugel4 ,riemann's allgeme9e ,frage/ellung4 ,wir hab5 nunmehr alle ,vorb$+ung51 um die ,entwickelung5 d] er/5 ,p>agraph5 dies] ,e9leitung 9 wes5tli* neu] ,weise aufzufass5 und uns v]mge dies] ,auffassung zu e9] gross5 und allgeme95 ,frage/ellung zu erheb51 wel*e die ,riemann's*e i/1 und d]5 ,prcisirung und ,beantwortung d5 eig5tli*5 ,geg5/& d] geg5wrtig5 ,s*rift zu bild5 hat4 ,das ,primre bei d] bi%]ig5 ,d>/ellung bildete die ,function von =mula4 ,wir hab5 dieselbe dur* e9e /ationre ,/rmung auf d] ,kugel g$eutet1 und uns bemht1 ,eig5s*aft5 d] ,function 9 sol*5 d] ,/rmung wi$] zu erk5n54 ,insbesond]e hab5 uns die rational5 ,function5 und ihre ,integrale mit e9] e9fa*5 ,art von ,/rmung5 bekannt gema*t3 es s9d die e9frmig5 ,/rmung51 diej5ig51 bei d55 9 j$em ,puncte d] ,kugel nur e9e ,/rmung /att hat4 ,und zw> s9d es unt] d] ,voraussetzung1 dass ke9e &]5 ,un/etigkeitspuncte /att hab51 als die 9 4 #b def9irt51 die allgeme9/5 e9frmig5 ,/rmung51 wel*e es auf d] ,kugel gibt4 ,es s*e9t von ,vorneh]e9 mgli*1 diese ganze ,entwickelung umzukehr53 das ,/udium d] ,/rmung5 voranzu/ell5 und aus ihm er/ die ,!orie gewiss] analytis*] ,function5 zu entwickeln4 ,die ,frage na* d] allgeme9/5 9 ,betra*t komm5d5 ,/rmung mag dann vorab dur* physikalis*e ,betra*tung5 beantwortet w]d52 geb5 uns do* die exp]im5tell5 ,anordnung5 des 4 #d zusamm5 mit dem ,pr9cip d] ,ueb]lag]ung das ,mittel1 um j$e d]>tige ,/rmung zu def9ir56 ,die e9zelne ,/rmung be/immt uns sodann1 von e9] ,integrationscon/ante abgeseh51 e9e complexe ,function des ,ortes1 d]5 allgeme95 ,v]lauf wir ans*auungsmssig v]folg5 knn54 ,j$e sol*e ,function i/ e9e analytis*e ,function j$] &]54 ,indem wir irg5d zwei complexe ,function5 des ,ortes zusamm5/ell51 w]d5 wir zu analytis*5 ,abhngigkeit5 h+efhrt1 d]5 ,eig5s*aft5 wir von ,vorneh]e9 b]seh5 und die wir er/ h9t]h]1 um d5 ,zusamm5hang mit d5 ,betra*tung5 d] ,analysis h]zu/ell51 mit son/ 9 d] ,analysis bli*5 ,abhngigkeit5 id5tificir54 ,alles dieses i/ s deutli*1 dass e9e g5au]e ,ausfhrung hi] b]flssig ers*e9t1 dass wir vielmehr s(ort zu d] 9 ,aussi*t ge/ellt5 ,v]allgeme9]ung s*reit5 knn54 ,au* diese bietet si* auf ,grund d] bi%]ig5 ,entwickelung5 fa/ mit ,no?w5digkeit4 ,wir w]d5 alle die ,frag51 wel*e wir g]ade h9si*tli* d] ,kugelfl*e =mulirt51 9 glei*] ,weise aufw]f5 knn51 w5n /att d] ,kugelfl*e e9e beliebige ges*loss5e ,fl*e gegeb5 i/4 ,au* auf ihr w]d5 wir e9frmige ,/rmung5 und also complexe ,function5 des ,ortes be/imm5 knn51 d]5 ,eig5s*aft5 wir ans*auungsmssig erfass54 ,die glei*zeitige ,betra*tung v]s*i$5] ,function5 des ,ortes v]w&elt h]na* die zu gew9n5d5 ,ergebnisse 9 eb5so viele ,lehrstze d] gewhnli*5 ,analysis4--,die ,ausfhrung dieses ,g$ank5ganges i/ die ,riemann's*e ,!orie2 zuglei* hab5 wir die ,haupte9!ilung1 wel*e bei d] folg5d5 ,exposition d]selb5 zu ,grunde zu leg5 i/4 ,,abs*nitt ,,ii4 - ,,exposition ,,d] ,,riemann',,s*5 ,,!orie4 4 #h4 ,classification ges*loss5] ,fl*5 na* d] ,zahl p47#i7 ,fr uns]e ,betra*tung5 s9d selb/v]/ndli* alle diej5ig5 ges*loss55 ,f*5 als aequival5t aufzufass51 die si* dur* e9deutige ,zuordnung con=m auf e9&] abbild5 lass54 ,d5n j$e complexe ,function des ,ortes auf d] e95 ,fl*e wird si* bei e9] sol*5 ,abbildung 9 e9e eb5sol*e ,function auf d] &]5 ,fl*e v]w&eln3 die analytis*e ,beziehung also1 wel*e dur* das ,zusamm5be/eh5 zwei] complex] ,function5 auf d] e95 ,fl*e v]s9nli*t wird1 bleibt beim ,ueb]gange zur zweit5 ,fl*e dur*aus ungend]t4 ,w5n man also z4 ,b4 7zufolge bekannt] ,entwickelung57 das ,ellipsoid d]>t con=m auf die ,kugel bezieh5 kann1 dass j$em ,puncte desselb5 e9 und nur e9 ,kugelpunct entspri*t1 s heis/ diess fr uns1 dass das ,ellipsoid eb5so geeignet i/1 die rational5 ,function5 und ihre ,integrale zu reprs5tir51 wie die ,kugel4 ,um s wi*tig] i/ es1 e9 ,elem5t k5n5 zu l]n51 wel*es ni*t nur bei con=m]1 sond]n b]haupt bei e9deutig] ,umge/altung e9] ,fl*e ungend]t erhalt5 bleibt7#aj74 ,es i/ diess das ,riemann's*e p3 die ,zahl d] ,rckkehrs*nitte1 wel*e man auf e9] ,fl*e zieh5 kann1 ohne sie zu z]/ck54 ,die e9fa*/5 ,beispiele g5g51 um dies5 ,begriff e9zub54 ,fr die ,kugel i/ =mula2 d5n sie z]fllt dur* j$e auf ihr v]lauf5de ges*loss5e ,curve1 9 zwei getr5nte ,b]ei*e4 ,fr d5 gewhnli*5 ,r+ i/ =mula1 man kann ihn lngs e9]1 ab] au* nur lngs e9]1 brig5s no* sehr willkrli*51 9 si* zurcklauf5d5 ,curve z]s*neid51 ohne dass er 9 ,/cke z]fllt4 ,dass es unmgli* i/1 zwei ,fl*5 von v]s*i$5em p e9deutig auf e9&] zu bezieh51 s*e9t evid5t7#aa74 ,complicirt] i/ es1 d5 umgekehrt5 ,satz zu beweis51 dass nmli* die ,glei*heit des p die h9rei*5de ,b$+ung fr die ,mgli*keit d] e9deutig5 ,beziehung zwei] ,fl*5 abgibt4 ,i* muss mi*1 0 d5 ,beweis dieses wi*tig5 ,satzes angeht1 an dies] ,/elle auf blosse ,citate unt] dem ,texte bes*rnk57#ab74 ,auf ,grund desselb5 i/ man b]e*tigt1 bei ,unt]su*ung5 b] ges*loss5e ,fl*51 s lange nur allgeme9e ,lag5v]hltnisse 9 ,betra*t komm51 fr j$es p e95 mgli*/ e9fa*5 ,typus zu ,grunde zu leg54 ,9 diesem ,s9ne woll5 wir von ,normalfl*5 spre*54 ,fr quantitative ,be/immung5 rei*5 die ,normalfl*5 natrli* 9 ke9] ,weise mehr aus2 ab] sie biet5 au* fr sie e9 ,mittel zur ,ori5tirung4 ,die ,normalfl*e fr =mula sei die ,kugel1 fr =mula d] ,r+4 ,bei hh]em p mag man si* e9e ,kugel mit p ,anhngseln 7,h&hab57 v]seh5 d5k51 wie folg5de ,figur fr =mula aufwei/3 7see figure #ad7 ,illu/ration3 ,fig4 #ad4 ,fig4 #ad4 ,e9e hnli*e ,normalfl*e i/ natrli* au* bei =mula /at?aft1 wie b]haupt man si* diese ,fl*5 ni*t als />r gegeb51 sond]n als beliebig] ,v]z]rung5 fhig d5k5 muss4 ,auf dies5 ,normalfl*5 mg5 nun gewisse ,qu]s*nitte1 von d55 wir im ,folg5d5 ,gebrau* zu ma*5 hab51 fe/gelegt w]d54 ,bei =mula komm5 dieselb5 no* ni*t 9 ,betra*t4 ,auf dem ,r+e =mula mag e9e quot$blbase ,m]idiancurve#8#8 ,a1 v]bund5 mit e9] ,breit5curve ,b das ,qu]s*nittsy/em bild53 ,illu/ration3 ,fig4 #ae4 ,fig4 #ae4 ,allgeme9 gebrau*5 wir =mula ,qu]s*nitte4 ,es wird1 d5ke i*1 mit ,rcksi*t auf die folg5de ,figur v]/ndli* se91 w5n i* bei d] e9zeln5 ,h&habe uns]] ,normalfl*e von e9] ,m]idiancurve und e9] ,breit5curve r$e3 ,illu/ration3 ,fig4 #af4 ,fig4 #af4 ,wir whl5 die =mula ,qu]s*nitte d]>t1 dass wir um j$e d] p ,h&hab5 e9e ,m]idiancurve und e9e ,breit5curve h]umleg54 ,wir woll5 diese ,qu]s*nitte d] ,reihe na* mit =mula1 =mula1 =mula1 beziehungsweise =mula1 =mula1 =mula bezei*n54 4 #i4 ,vorlufige ,be/immung /ationr] ,/rmung5 auf beliebig5 ,fl*54 ,wir hab5 uns nun mit d] ,aufgabe zu bes*ftig51 auf beliebig5 7ges*loss557 ,fl*5 die allgeme9/5 e9frmig51 /ationr5 ,/rmung5 mit ,ges*w9digkeitspot5tial zu def9ir51 imm] unt] d] ,voraussetzung1 dass ke9e &]5 ,un5dli*keitspuncte zugelass5 w]d5 soll51 als die 9 4 #b g5annt57#ac74 ,zu dem ,zwecke ri*t5 wir uns]e ,ide5 auf die ,normalfl*5 des vorig5 ,p>agraph5 und b5utz5 brig5s wi$] ,vor/ellung5 d] ,elektricittslehre4 ,die gegeb5e ,fl*e d5k5 wir uns mit e9em un5dli* dnn5 glei*frmig5 ,ueb]zuge e9] leit5d5 ,sub/anz v]seh51 und w5d5 zun*/ diej5ig5 exp]im5tell5 ,mittel an1 die uns von 4 #c h] bekannt s9d4 ,wir w]d5 also zuvrd]/ etwa die beid5 ,pole e9] galvanis*5 ,batt]ie auf uns]e ,fl*e an zwei beliebig5 ,/ell5 aufsetz53 es ent/eht dann e9e ,/rmung1 wel*e diese beid5 ,/ell5 als ,quell5puncte von entgeg5gesetzt glei*] ,ergiebigkeit besitzt4 ,wir w]d5 sodann zwei beliebige ,puncte d] ,fl*e dur* e9e od] mehr]e1 neb5 e9&] h]lauf5de1 si* selb/ ni*t s*neid5de ,curv5 v]b9d51 wel*e d] ,sitz con/ant] elektromotoris*] ,krfte se9 soll51--wobei man si* alles ,dess5 er9n]n mag1 0 9 4 #d betreffs d] dann no?w5dig w]d5d5 exp]im5tell5 ,anordnung gesagt wurde4 ,wir erhalt5 dann e9e /ationre ,bewegung1 fr wel*e die beid5 ,puncte ,wirbelpuncte von entgeg5gesetzt glei*] ,int5sitt s9d4--,wir w]d5 f]n] v]s*i$5e sol*e ,bewegungs=m5 b]lag]n und endli*1 w5n es n?ig s*e9t1 getr5nte ,un5dli*keitspuncte dur* ,grnzb]gang zu hh]5 ,un5dli*keitspunct5 zusamm5fall5 lass54 ,alles das ge/altet si* g5au s1 wie auf d] ,kugel1 und wir hab5 also j$5falls d5 folg5d5 ,satz3 ,w5n man die ,art d] ,un5dli*keits/ell5 na* ,anleitung des 4 #b bes*rnkt1 w5n man f]n] d>an fe/hlt1 dass die ,summe smmtli*] log>i?mis*] ,residua allemal glei* ,null se9 muss1 s exi/ir5 auf uns]] ,fl*e complexe ,function5 des ,ortes1 wel*e an beliebig gegeb55 ,/ell5 9 brig5s beliebig gegeb5] ,weise un5dli* w]d5 und b]all son/ /etig v]lauf54 ,mit d5 s be/immt5 ,function5 i/ nun ab]1 fr =mula1 die ,sa*e no* ke9eswegs ers*pft4 ,wir knn5 nmli* e9e exp]im5telle ,anordnung treff51 fr wel*e auf d] ,kugel no* ke9]lei ,mgli*keit gegeb5 w>4 ,es gibt jetzt auf d] ,fl*e 9 si* zurcklauf5de ,curv51 v]mge d]5 die ,fl*e ke9eswegs 9 getr5nte ,b]ei*e z]legt wird4 ,ni*ts /eht im ,wege1 dass die ,elektricitt von d] e95 ,seite e9] sol*5 ,curve dur* die ,fl*e h9dur* zur &]5 ,seite d]selb5 h9b]/rmt4 ,wir w]d5 e9e sol*e ,curve1 od] au* mehr]e neb5 e9&] h]lauf5de ,curv5 dies] ,art eb5sogut als ,sitz con/ant] elektromotoris*] ,krfte betra*t5 knn51 wie diess 9 4 #d mit ,curv5zg5 ges*ah1 die von e9em ,endpuncte zu e9em zweit5 h9lauf54 ,die ,/rmung51 wel*e wir dann erhalt51 hab5 b]haupt ke9e ,un/etigkeit54 ,wir w]d5 sie als b]all endli*e ,/rmung5 und die zugehrig5 complex5 ,function5 des ,ortes als b]all endli*e ,function5 bezei*n5 knn54 ,diese ,function5 s9d no?w5dig un5dli* vieldeutig4 ,d5n sie erhalt5 jeweils e95 reell51 d] ang5omm55 elektromotoris*5 ,kraft proportional5 ,p]iodicittsmodul1 s (t man die gegeb5e ,curve 9 demselb5 ,s9ne b]s*reitet7#ad7 ,wir frag51 wie mannigfa* die s def9irt5 b]all endli*5 ,/rmung5 se9 mg54 ,(f5b> s9d zwei auf d]selb5 ,fl*e v]lauf5de ,curv51 als ,sitz glei* />k] elektromotoris*] ,krfte betra*tet1 fr uns]5 ,zweck aequival5t1 w5n sie si* dur* /etige ,v]s*iebung b] die ,fl*e h9 zur ,deckung br+5 lass54 ,v]z]rt man e9e ,curve s1 dass ,curv5/cke auftret51 wel*e zweimal 9 entgeg5gesetzt] ,ri*tung dur*lauf5 w]d51 s drf5 dieselb5 e9fa* weggelass5 w]d54 ,9 ,folge dess5 bewei/ man1 dass e9e j$e ges*loss5e ,curve e9] ganzzahlig5 ,comb9ation d] ,qu]s*nitte =mula1 =mula1 wie diese im vorig5 ,p>agraph5 def9irt wurd51 aequival5t i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #ag4 ,fig4 #ag4 ,illu/ration3 ,fig4 #ah4 ,fig4 #ah4 ,9 d] ,t1 man v]folge d5 ,weg e9] ges*loss55 ,curve auf uns]] ,normalfl*e7#ae74 ,fr =mula wird die ,ri*tigkeit uns]] ,behauptung dann unmittelb> evid5t4 ,es g5gt1 e9 ,beispiel zu betra*t51 wie es 9 d5 vor/eh5d5 ,figur5 vorliegt4 ,die 9 ,figur #ag auf d] ,r+fl*e v]lauf5de ,curve i/ mit d] &]51 wel*e re*t] ,h& gezei*net i/1 dur* blosse ,v]z]rung zur ,deckung zu br+51 sie i/ also mit e9] dreifa*5 ,dur*laufung d] ,m]idiancurve ,a 7v]gl4 ,fig4 #ae7 und e9] e9fa*5 ,dur*laufung d] ,breit5curve ,b aequival5t4--,sei f]n] =mula4 ,s (t dann uns]e ,curve b] e9e d] p ,h&hab5 v]luft1 kann man e9 ,/ck von ihr abtr5n51 das si* dur* blosse ,v]z]rung 9 e9e ganzzahlige ,v]b9dung d] betreff5d5 ,m]idiancurve und d] zugehrig5 ,breit5curve v]w&eln ls/4 ,na* ,absond]ung all] sol*] ,be/&!ile bleibt e9e ges*loss5e ,curve brig1 die si* entw$] unmittelb> 9 e95 e9zeln5 ,punct d] ,fl*e zusamm5zieh5 ls/ und also j$5falls ke95 ,beitrag zur elektris*5 ,/rmung lief]t1 od] die e9e od] mehr]e ,h&hab5 vllig ums*lies/1 wovon ,figur #ai e9 ,beispiel aufwei/3 ,illu/ration3 ,fig4 #ai4 ,fig4 #ai4 ,illu/ration3 ,fig4 #bj4 ,fig4 #bj4 ,die ,figur #bj erlut]t1 wie man e9e sol*e ,curve dur* ,de=mation v]nd]n kann4 ,dur* ,=tsetzung des hi]dur* ang$eutet5 ,processes v]w&elt sie si* 9 e95 ,curv5zug1 d] aus d] inn]5 ,r&curve d] betreff5d5 ,h&habe und e9] zugehrig5 ,m]idiancurve be/eht1 dess5 ,/cke ab] beide zweimal 9 entgeg5gesetzt] ,ri*tung dur*lauf5 w]d54 ,also au* e9e sol*e ,curve gibt ke95 ,beitrag zur ,/rmung4 ,man htte dieses brig5s au* von ,vorneh]e9 aus d] ,bem]kung erseh5 knn51 dass die jetzt betra*tete ,curve1 glei* e9] sol*51 die si* 9 e95 ,punct zusamm5zieh5 ls/1 die gegeb5e ,fl*e 9 getr5nte ,gebiete z]legt4 ,wir erziel5 dah] dur* ,h]anzieh5 beliebig] ges*loss5] ,curv5 ni*t mehr1 als dur* geeignete ,b5utzung d] =mula ,curv5 =mula1 =mula4 ,die allgeme9/e b]all endli*e ,/rmung1 wel*e wir h]vorruf5 knn51 wird ent/eh51 w5n wir j$5 d] =mula ,qu]s*nitte zum ,trg] e9] beliebig5 con/ant5 elektromotoris*5 ,kraft ma*54 ,od] &]s ausg$rckt3 ,die allgeme9/e von uns zu con/ruir5de b]all endli*e ,function i/ diej5ige1 d]5 reell] ,!il an d5 =mula ,qu]s*nitt5 beliebig vorgegeb5e ,p]iodicittsmoduln aufwei/4 4 #aj4 ,die allgeme9/e /ationre ,/rmung4 ,beweis fr die ,unmgli*keit &]weitig] ,/rmung54 ,w5n wir die v]s*i$55 im vorig5 ,p>agraph5 con/ruirt5 complex5 ,function5 des ,ortes additiv zusamm5fg51 s erhalt5 wir e9e ,function1 d]5 ,willkrli*keit wir s(ort b]seh54 ,indem wir die ,b$+ung51 die h9si*tli* d] ,un5dli*keits/ell5 e9 fr allemal vorges*rieb5 s9d1 ni*t no* besond]s erwhn51 knn5 wir sag53 dass uns]e ,function an beliebig gegeb55 ,/ell5 9 beliebig gegeb5] ,weise un5dli* wird und b]diess ihr reell] ,!il an d5 =mula ,qu]s*nitt5 beliebig gegeb5e ,p]iodicittsmoduln aufwei/4 ,i* sage nun1 dass diess 9 d] ,t die allgeme9/e ,function i/1 d] auf uns]] ,fl*e e9e e9frmige ,/rmung entspri*t4 ,zum ,beweise mg5 wir diese ,behauptung auf e9e e9fa*]e r$ucir54 ,i/ irg5d e9e complexe ,function d] 9 ,betra*t komm5d5 ,art auf uns]] ,fl*e gegeb51 s hab5 wir im ,vorh]geh5d5 das ,mittel1 e9e zugehrige ,function zu con/ruir51 wel*e an d5selb5 ,/ell5 9 d]selb5 ,weise un5dli* wird1 und d]5 reell] ,!il an d5 ,qu]s*nitt5 =mula1 =mula dieselb5 ,p]iodicittsmoduln aufwei/1 wie d] reelle ,!il d] gegeb55 ,function4 ,die ,diff]5z d] beid5 ,function5 i/ e9e neue ,function1 wel*e nirg5dwo un5dli* wird und d]5 reell] ,!il an d5 ,qu]s*nitt5 v]s*w9d5de ,p]iodicittsmoduln besitzt1 wel*e b]diess1 wie selb/v]/ndli*1 wi$]um e9e e9frmige ,/rmung def9irt4 ,(f5b> hab5 wir zu beweis51 dass e9e sol*e ,function ni*t exi/irt1 od] vielmehr1 dass sie si* auf e9e ,con/ante r$ucirt4 ,und 9 d] ,t i/ dies] ,beweis ni*t s*wi]ig4 ,0 e9e ,dur*fhrung desselb5 9 /r5g] ,=m betrifft1 s w i* mi* d>auf bes*rnk51 zu bem]k51 dass dieselbe mit ,hlfe des v]allgeme9]t5 ,gre5's*5 ,satzes gel+t7#af74 ,die folg5d5 ,betra*tung5 soll5 auf ans*auungsmssigem ,wege dieselbe ,unmgli*keit d>?un4 ,mag man dieselb5 weg5 d] unbe/immt5 ,=m1 die sie besitz51 viellei*t au* ni*t als zw+5d era*t57#ag71 s s*e9t es do* ntzli*1 au* 9 dies] ,weise d5 ,grnd5 fr das ,be/eh5 j5es ,!oremes na*zugeh54 ,wir mg5 d5 besond]5 ,fall =mula vorweg nehm5 und uns also frag51 wes%alb auf d] ,kugel e9e e9frmige1 b]all endli*e ,/rmung unmgli* i/4 ,das ,zweckmssig/e s*e9t es zu se91 d5 ,v]lauf d] ,/rmungscurv5 auf d] ,kugel zu v]folg54 ,da ,un5dli*keitspuncte ni*t auftret5 soll51 s kann e9e ,/rmungscurve ni*t pltzli* abbre*51 wie es 9 e9em ,quell5puncte1 od] 9 e9em algebrais*5 ,un/etigkeitspuncte ges*ieht4 ,ueb]diess halte man vor ,aug51 dass neb5 e9&] h]lauf5de ,/rmungscurv5 no?w5dig glei*5 ,/rmungss9n hab54 ,man erk5nt dann1 dass nur zwei]lei ,art5 von ni*t abbre*5d5 ,/rmungscurv5 mgli* s9d4 ,entw$] die ,curve w9det si*1 je lng] um s eng]1 um e95 asymptotis*5 ,punct--dann hab5 wir wi$] e95 ,un5dli*keitspunct--1 od] die ,curve i/ ges*loss54 ,i/ ab] e9e ,/rmungscurve ges*loss51 s s9d es die n*/folg5d5 au*4 ,dabei s*liess5 sie e95 kle9]5 und kle9]5 ,!il d] ,kugelfl*e e94 ,es kann also ni*t fehl51 dass man zu e9em ,wirbelpuncte1 d4 h4 ab]mals zu e9em ,un5dli*keitspuncte gefhrt wird4 ,e9e b]all endli*e ,/rmung i/ also 9 d] ,t unmgli*4 ,all]d+s hab5 wir d] ,mgli*keit ni*t g$a*t1 die 9 dem ,auftret5 von ,kreuzungspunct5 liegt4 ,diese ,puncte s9d j$5falls nur1 wie ob5 h]vorgehob51 9 endli*] ,zahl vorh&54 ,es wird also nur e9e endli*e ,zahl von ,/rmungscurv5 geb51 wel*e dur* sie h9dur*lauf54 ,man d5ke si* die ,kugel dur* diese ,curv5 9 ,gebiete z]legt und wi$]hole inn]halb d] e9zeln5 ,gebiete die g]ade ange/ellt5 ,betra*tung51 wobei si* das fr"h ,resultat von ,neuem ergeb5 wird4 ,nehm5 wir nun =mula und leg5 wi$] die ,normalfl*5 des 4 #h zu ,grunde4 ,dass auf dies5 ,fl*5 b]all endli*e1 e9frmige ,/rmung5 exi/ir51 liegt na* dem g]ade ,gesagt5 an dem ,auftret5 d] ,h&hab54 ,e9e auf d] ,normalfl*e gezog5e ges*loss5e ,curve1 die si* 9 e95 ,punct zusamm5zieh5 ls/1 kann eb5s[5ig1 wie e9e ges*loss5e ,curve auf d] ,kugel1 ,/rmungscurve fr e9e b]all endli*e ,/rmung se94 ,ab] au* e9e ,curve1 wie wir sie 9 ,figur 7#ai7 betra*tet51 i/ ni*t zu brau*54 ,d5n an e9e er/e sol*e ,/rmungscurve mss5 si* weit]e s*liess5 na* ,art d] 9 ,figur 7#bj7 d>ge/ellt51--s dass wir zuletzt zu e9] ,curve gelang51 d]5 ,!ile zweimal 9 entgeg5gesetztem ,s9ne dur*lauf5 w]d56 ,die ,/rmungscurve muss also no?w5dig si* um die e9e od] &]e ,h&habe h]umw9d51 mag diess e9 e9fa*es ,umfass5 j5] ,h&habe se91 od] e9 wi$]holtes ,umkreis5 d]selb5 im ,s9ne d] ,m]idian- od] d] ,breit5curv54 ,9 all5 ,fll5 ls/ si* von d] ,/rmungscurve e9 ,!il abtr5n51 d] im ,s9ne des vorig5 ,p>agraph5 mit e9] ganzzahlig5 ,comb9ation d] betreff5d5 ,m]idiancurve und d] zugehrig5 ,breit5curve aequival5t i/4 ,nun w*/ u1 d] reelle ,!il d] dur* die ,/rmung def9irt5 complex5 ,function1 =twhr5d1 w5n man lngs e9] ,/rmungscurve =ts*reitet4 ,&]]seits lief]n zwei ,curv51 wel*e im ,s9ne des vorig5 ,p>agraph5 aequival5t s9d1 bei ,dur*laufung no?w5dig dieselb5 ,increm5te von u4 ,es gibt also e9e ,comb9ation w5ig/5s e9] ,m]idiancurve und e9] ,breit5curve1 d]5 ,dur*laufung e95 ni*t v]s*w9d5d5 ,zuwa*s von u h]beifhrt4 ,das ,glei*e gilt no?w5dig von d] betreff5d5 ,m]idiancurve od] d] ,breit5curve selb/4 ,d] ,zuwa*s ab]1 d5 u beim ,dur*lauf5 d] ,m]idiancurve gew9nt1 entspri*t dem ,ueb]s*reit5 d] ,breit5curve1 und umgekehrt4 ,dah] hat u no?w5dig w5ig/5s an e9] ,breit5curve od] ,m]idiancurve e95 ni*t v]s*w9d5d5 ,p]iodicittsmodul1 und e9e b]all endli*e1 e9frmige ,/rmung1 bei d] alle diese ,p]iodicittsmoduln glei* ,null s9d1 i/ 9 d] ,t unmgli*1 w4 z4 b4 w4 4 #aa4 ,erlut]ung d] ,/rmung5 an ,beispiel54 ,es s*e9t sehr ntzli*1 si* h] d5 allgeme95 ,v]lauf d] nunmehr def9irt5 ,/rmung5 an ,beispiel5 zu ori5tir51 damit nmli* uns]e ,stze ni*t blosse ab/racte ,=mulirung5 bleib51 sond]n mit concret5 ,vor/ellung5 v]bund5 w]d57#ah74 ,es gel+t diess im gegeb55 ,falle ziemli* lei*t1 s lange man si* auf qualitative ,v]hltnisse bes*rnkt2 die g5aue quantitative ,be/immung wrde selb/v]/ndli* ganz &]e ,hlfsmittel er=d]n4 ,i* w mi* dabei d] ,e9fa*heit halb] auf sol*e ,fl*5 bes*rnk51 bei d55 e9e ,symmetrieeb5e exi/irt1 die mit d] ,eb5e d] ,zei*nung zusamm5fllt1--und auf dies5 ,fl*5 nur sol*e ,/rmung5 9 ,betra*t zieh51 bei d55 d] s*e9b>e ,umriss d] ,fl*e 7d4 h4 d] ,s*nitt d] ,fl*e mit d] ,zei*nungseb5e7 entw$] ,/rmungscurve od] ,niveaucurve i/4 ,man hat dann d5 wes5tli*5 ,vor!il1 dass man die ,/rmungscurv5 nur auf d] ,vord]seite d] ,fl*e zu zei*n5 brau*t2 d5n auf d] ,rckseite v]lauf5 sie g5au g]ade s7#ai74 ,illu/ration3 ,fig4 #ba4 ,fig4 #ba4 ,beg9n5 wir mit b]all endli*5 ,/rmung5 auf dem ,r+e =mula4 ,wir betra*t5 zun*/ e9e ,breit5curve 7od] mehr]e sol*e ,curv57 als ,sitz d] elektromotoris*5 ,kraft4 ,dann ent/eht die ,figur #ba1 9 d] alle ,/rmungscurv5 ,m]idiancurv5 s9d und ,kreuzungspuncte ni*t auftret54 ,die ,m]idiancurv5 s9d dabei dur* ,/cke radial v]lauf5d] g]ad] ,l9i5 vorge/ellt4 ,die ,pfeilspitz5 geb5 die ,/rmungsri*tung auf d] ,vord]seite1 auf d] ,rckseite hab5 wir dur*weg d5 umgekehrt5 ,bewegungss9n4 ,bei d] conjugirt5 ,/rmung spiel5 die ,breit5curv5 die analoge ,rolle1 wie soeb5 die ,m]idiancurv52 dieselbe mag dur* folg5de ,zei*nung erlut]t se93 ,illu/ration3 ,fig4 #bb4 ,fig4 #bb4 ,d] ,bewegungss9n i/ 9 diesem ,falle auf ,vord]- und ,rckseite d]selbe4 ,illu/ration3 ,fig4 #bc4 ,fig4 #bc4 ,illu/ration3 ,fig4 #bd4 ,fig4 #bd4 ,wir woll5 nun d5 ,r+ =mula dadur* umnd]n1 dass wir1 etwa auf d] re*t5 ,seite d] ,figur1 zwei ,aus/lpung5 aus ihm h]vorwa*s5 lass51 die si* allmhli* zusamm5bieg5 und s*liessli* v]s*melz54 ,s hab5 wir e9e ,fl*e =mula und auf ihr e9 ,pa> conjugirt] ,/rmung51 wie es die ,figur5 #bc und #bd erlut]n4 ,es hab5 si*1 wie man erk5nt1 re*t] ,h& zwei ,kreuzungspuncte e+e/ellt 7von d55 natrli* nur e9] auf d] ,vord]seite geleg5 und also si*tb> i/74 ,etwas ,analoges tritt j$esmal e91 w5n man b]all endli*e ,/rmung5 auf e9] ,fl*e =mula /udirt4 ,i* setze /att weit]] ,erlut]ung5 no* zwei ,figur5 mit je vi] ,kreuzungspunct5 h]1 die si* auf =mula bezieh53 ,illu/ration3 ,fig4 #be4 ,fig4 #be4 ,illu/ration3 ,fig4 #bf4 ,fig4 #bf4 ,dieselb5 ent/eh51 w5n man auf smmtli*5 ,h&hab5 d] ,fl*e e9mal 9 d5 ,breit5curv51 das &]e ,mal 9 d5 ,m]idiancurv5 elektromotoris*e ,krfte wirk5 ls/4 ,auf d5 beid5 unt]5 ,h&hab5 s9d dieselb5 9 glei*em ,s9ne ori5tirt1 bei d] ob]5 im entgeg5gesetzt54 ,von d5 ,kreuzungspunct5 lieg5 zwei bei a und b1 d] dritte bei c1 d] vi]te an d] entspre*5d5 ,/elle d] ,rckseite4 ,es s9d die ,kreuzungspuncte bei a und b 9 ,figur 7#be7 nur des%alb s*w] zu erk5n51 weil am ,r&e d] ,figur bei d] von uns gewhlt5 ,d>/ellungsweise e9e p]spectivis*e ,v]krzung e9tritt und dah] beide im ,kreuzungspuncte zusamm5treff5de ,/rmungscurv5 d5 ,r& zu b]hr5 s*e954 ,d5kt man si* die 79 entgeg5gesetzt] ,ri*tung7 /attf9d5d5 ,/rmung5 auf d] ,rckseite d] ,fl*e h9zu1 s kann b] die ,natur dies] ,puncte wohl ke9e ,unkl>heit be/eh54 ,geh5 wir nun zum ,r+e =mula zurck und lass5 bei ihm zwei log>i?mis*e ,un/etigkeitspuncte gegeb5 se96 ,man erhlt zugehrige ,figur51 w5n man die ,zei*nung5 7#bc7 und 7#bd7 e9em ,de=mationsprocesse unt]wirft1 d] au* 9 allgeme9]5 ,fll5 eb5so int]essant als ntzli* i/4 ,wir woll5 nmli* die ,p>tie5 l9k] ,h& 9 d5 e9zeln5 ,figur5 zusamm5zieh51 die re*t] ,h& ausdehn51 s dass wir zun*/ etwa folg5de ,bild] erhalt53 ,illu/ration3 ,fig4 #bg4 ,fig4 #bg4 ,illu/ration3 ,fig4 #bh4 ,fig4 #bh4 und nun die l9k] ,h& b]eits sehr s*mal geword5e ,h&habe voll5ds zur ,curve zusamm5zieh51 um sie dann wegzuw]f54 ,s i/ aus d] b]all endli*5 ,/rmung auf d] ,fl*e =mula e9e ,/rmung mit zwei log>i?mis*5 ,un/etigkeitspunkt5 auf d] ,fl*e =mula geword54 ,die ,figur5 hab5 nmli* folg5de ,ge/alt ang5omm53 ,illu/ration3 ,fig4 #bi4 ,fig4 #bi4 ,illu/ration3 ,fig4 #cj4 ,fig4 #cj4 ,die beid5 ,kreuzungspuncte von 7#bc71 7#bd7 s9d geblieb52 m und n s9d die beid5 log>i?mis*5 ,un/etigkeitspuncte4 ,und zw> s9d dieselb5 im ,falle d] ,figur #bi ,wirbelpuncte von entgeg5gesetzt glei*] ,int5sitt1 im ,falle d] ,figur #cj ,quell5puncte von entgeg5gesetzt glei*] ,ergiebigkeit4 ,dabei i/ es wi$] e9e ,folge d] von uns gewhlt5 ,projections>t1 w5n im zweit5 ,falle smmtli*e ,/rmungscurv51 von e9] e9zig5 abgeseh51 9 m und n d5 ,r& zu b]hr5 s*e954 ,woll5 wir endli* m und n zusamm5rck5 lass51 s dass e9 algebrais*] ,un/etigkeitspunct von e9fa*] ,multiplicitt ent/eht1 s komm5 folg5de ,zei*nung51 bei d551 wie man bea*t5 mag1 die ,kreuzungspuncte na* wie vor an ihr] ,/elle geblieb5 s9d3 ,illu/ration3 ,fig4 #ca4 ,fig4 #ca4 ,illu/ration3 ,fig4 #cb4 ,fig4 #cb4 ,i* w diese ,figur5 ni*t no* mehr v]vielfltig51 da weit]e ,beispiele na* ,art d] nunmehr betra*tet5 lei*t zu bild5 s9d4 ,nur d] e9e ,um/& w]de no* h]vorgehob54 ,die ,zahl d] ,kreuzungspunkte e9] ,/rmung w*/ (f5b> mit dem p d] ,fl*e und mit d] ,zahl d] ,un5dli*keitspunkte4 ,algebrais*e ,un5dli*keitspuncte von d] ,multiplicitt r mg5 als =mula log>i?mis*e ,un5dli*keitspuncte gezhlt w]d54 ,dann i/ auf d] ,kugel bei =mula log>i?mis*5 ,un5dli*keitspunkt5 die ,anzahl d] eig5tli*5 ,kreuzungspunkte allgeme9 =mula4 ,&]]seits i/ mit d] ,zunahme von p um e9e ,e9heit na* uns]5 ,beispiel5 e9e ,zunahme d] ,zahl d] ,kreuzungspunkte um zwei ,e9heit5 v]bund54 ,hi]na* wird man v]mu!n1 dass die ,zahl d] ,kreuzungspuncte b]haupt =mula se9 wird4 ,e9 /r5g] ,beweis dieses ,satzes auf ,grund d] bi%] entwickelt5 ,ans*auung5 hat j$5falls ke9e besond]e ,s*wi]igkeit7#bj72 er wrde hi] ab] zu weit fhr54 ,d] e9zige ,specialfall uns]es ,satzes1 d5 wir spt] gebrau*5 w]d51 i/ auf ,grund d] gewhnli*5 ,unt]su*ung5 d] ,analysis situs bekannt3 es h&elt si* bei ihm 74 #ad7 um sol*e ,/rmung51 bei d55 m e9fa*e algebrais*e ,un/etigkeitspuncte vorh&5 s9d1 bei d55 also =mula ,kreuzungspuncte auftret5 mss54 4 #ab4 ,ueb] die ,zusamm5setzung d] allgeme9/5 complex5 ,function des ,ortes aus e9zeln5 ,summ&54 ,d] ,beweisgang des 4 #aj setzt uns 9 d5 ,/&1 von d] allgeme9/5 auf e9] ,fl*e exi/ir5d5 complex5 ,function des ,ortes uns dadur* e9e concret]e ,vor/ellung zu ma*51 dass wir dieselbe aus e9zeln5 ,summ&5 von mgli*/ e9fa*] ,eig5s*aft additiv zusamm5setz54 ,betra*t5 wir zuvrd]/ b]all endli*e ,function54 ,es sei5 =mula b]all endli*e ,pot5tiale4 ,dieselb5 mg5 l9e> abhngig heiss51 w5n zwis*5 ihn5 e9e ,relation =mula mit con/ant5 ,coffici5t5 be/eht4 ,e9e sol*e ,beziehung lief]t entspre*5de ,glei*ung5 fr die =mula ,s]i5 von =mula ,p]iodicittsmoduln1 wel*e =mula an d5 =mula ,qu]s*nitt5 d] ,fl*e besitz54 ,umgekehrt wrde1 na* dem 9 4 #aj bewies55 ,satze1 aus sol*5 ,glei*ung5 zwis*5 d5 ,p]iodicittsmoduln die l9e>e ,relation zwis*5 d5 u selb/ h]vorgeh54 ,es ergiebt si* s1 dass man auf mannigfa*/e ,weise =mula l9e> unabhngige b]all endli*e ,pot5tiale =mula f9d5 kann1 dass si* ab] aus ihn5 j$es &]e b]all endli*e ,pot5tial l9e> zusamm5setzt3 =mula ,9 d] ,t kann man =mula z4 ,b4 d]>t whl51 dass j$es nur an e9em d] =mula ,qu]s*nitte e95 ni*t v]s*w9d5d5 ,p]iodicittsmodul besitzt 7wobei natrli* j$em ,qu]s*nitte e9 und nur e9 ,pot5tial zugewies5 w]d5 soll74 ,h]na* kann man 9 =mula die ,con/ant5 =mula s be/imm51 dass dies] ,ausdruck an smmtli*5 =mula ,qu]s*nitt5 dieselb5 ,p]iodicittsmoduln aufwei/1 wie u4 ,dann i/ =mula e9e ,con/ante1 und wir hab5 also die vor/eh5de ,=mel4 ,um nun von d5 ,pot5tial5 u zu d5 b]all endli*5 ,function5 =mula b]zugeh51 d5ke i* mir d] ,e9fa*heit halb] e9 sol*es ,coord9at5sy/em =mula auf d] ,fl*e e+efhrt 74 #f71 dass =mula dur* die ,glei*ung5 v]knpft s9d3 =mula ,sei jetzt =mula e9 beliebiges b]all endli*es ,pot5tial4 ,wir bild5 das zugehrige =mula und hab53 =mula und =mula s9d j$5falls l9e> unabhngig4 ,d5n w5n zwis*5 =mula e9e ,glei*ung =mula mit con/ant5 ,coffici5t5 be/nde1 s wrde dieselbe die folg5d5 ,relation5 begrnd53 =mula aus d55 v]mge d] angegeb55 ,beziehung5 das wid]s9nige ,resultat =mula folg5 wrde4 ,es sei nun f]n] =mula von =mula und =mula l9e> unabhngig4 ,dann nehm5 wir das zugehrige =mula und hab5 dann d5 allgeme9]5 ,satz3 ,die vi] ,function5 =mula s9d eb5falls l9e> unabhngig4 ,9 d] ,t knnte man aus j$] l9e>5 ,relation3 =mula dur* ,b5utzung d] zwis*5 d5 =mula be/eh5d5 ,beziehung5 die folg5d5 ,glei*ung5 ableit53 =mula aus d55 dur* ,integration e9e l9e>e ,abhngigkeit zwis*5 =mula folg5 wrde4-- ,s vorwrts s*liess5d bekommt man endli* =mula l9e> unabhngige ,pot5tiale3 =mula wo j$es v mit dem glei*bezei*net5 u zusamm5gehrt4 ,wir setz5 =mula und n5n5 nunmehr b]all endli*e ,function5 =mula l9e> unabhngig1 w5n zwis*5 ihn5 ke9]lei ,relation3 =mula be/eht1 unt] =mula beliebige complexe ,con/ant5 v]/&54 ,dann hab5 wir s(ort3 ,die p b]all endli*5 ,function5 =mula s9d l9e> unabhngig4 ,w5n nmli* e9e l9e>e ,abhngigkeit be/nde1 s knnte man 9 ihr das ,reelle und ,imag9re sond]n und erhielte dadur* l9e>e ,beziehung5 zwis*5 d5 u und v4 ,des ,weit]5 ab] folgt3 ,j$e beliebige b]all endli*e ,function setzt si* aus uns]5 =mula 9 d] ,=m zusamm53 =mula ,9 d] ,t knn5 wir dur* geeignete ,wahl d] complex5 ,con/ant5 =mula bei d] l9e>5 ,unabhngigkeit d] =mula errei*51 dass e9e dur* vor/eh5de ,=mel def9irte ,function w an d5 =mula ,qu]s*nitt5 beliebig vorgegeb5e ,grss5 als ,p]iodicittsmoduln des reell5 ,!ils aufwei/4 ,diess i/ das ,!orem1 wel*es wir h9si*tli* d] ,d>/ellung b]all endli*] ,function5 im geg5wrtig5 ,p>agraph5 aufzu/ell5 hatt54 ,d] ,ueb]gang zu ,function5 mit ,un5dli*keits/ell5 i/ nun sehr lei*t zu bew]k/ellig54 ,es sei5 =mula die ,punkte1 9 d55 uns]e ,function 9 irg5dwie vorges*rieb5] ,weise un5dli* w]d5 soll4 ,wir woll5 dann e95 ,hlfspunct =mula e9fhr5 und e9e ,reihe von e9zeln5 ,function5 =mula con/ruir51 von d55 j$e e9zelne nur 9 e9em d] ,puncte =mula1 und zw> 9 d] fr dies5 ,punct vorges*rieb55 ,weise1 un5dli* w]d5 soll und b]dies 9 =mula e95 log>i?mis*5 ,un/etigkeitspunct besitz5 mag1 dess5 ,residuum dem1 zu dem betreff5d5 =mula gehrig51 log>i?mis*5 ,residuum entgeg5gesetzt glei* kommt4 ,die ,summe =mula wird dann 9 =mula /etig2 d5n die ,summe all] zu d5 ,un/etigkeitspunct5 =mula gehrig5 ,residua i/1 wie wir wiss51 glei* ,null4 ,ueb]diess wird sie 9 d5 =mula und nur 9 d5 =mula1 dabei 9 d] vorges*rieb55 ,weise un5dli*4 ,sie unt]s*eidet si* also von d] gesu*t5 ,function nur um e9e b]all endli*e ,function4 ,die gesu*te ,function i/ also 9 d] ,ge/alt d>/ellb>3 =mula womit wir au* das allgeme9e hi] 9 ,betra*t komm5de ,!orem gefund5 hab54 ,dasselbe entspri*t (f5b> d] ,z]legung1 wel*e wir 9 4 #d fr die auf d] ,kugel exi/ir5d5 complex5 ,function5 betra*tet51 und die wir damals1 wie man es gewhnli* ?ut1 d] ,lehre von d] ,p>tialbru*z]legung rational] ,function5 entnahm54 4 #ac4 ,ueb] die ,vieldeutigkeit uns]] ,function54 ,besond]e ,betra*tung e9deutig] ,function54 ,die ,function5 =mula1 wel*e wir auf uns]5 ,fl*5 /udi]51 s9d im ,allgeme95 un5dli* vieldeutig3 d5n e9mal br+t j$] log>i?mis*e ,un5dli*keitspunct e95 ,p]iodicittsmodul mit si*1 &]]seits hab5 wir die ,p]iodicittsmoduln an d5 =mula ,qu]s*nitt5 =mula1 d]5 reelle ,!ile wir willkrli* annehm5 konnt54 ,i* sage nun1 dass mit dies5 ,angab5 die ,vieldeutigkeit von =mula 9 d] ,t ers*pft i/4 ,zum ,beweise mss5 wir auf d5 ,begriff d] ,aequival5z zwei] ,curv5 auf gegeb5] ,fl*e zurckgreif51 d5 wir 9 4 #i zun*/ zu &]em ,zwecke e9fhrt54 ,da die ,diff]5tialquoti5t5 von u und v 7od]1 0 dasselbe i/1 die ,compon5t5 d] zugehrig5 ,/rmung7 auf uns]] ,fl*e dur*weg e9deutig s9d1 s lief]n zwei aequival5te ges*loss5e ,curv51 wel*e dur* ke95 log>i?mis*5 ,un/etigkeitspunkt getr5nt s9d1 bei ,dur*laufung d5selb5 ,zuwa*s von u1 wie von v4 ,nun f&5 wir ab]1 dass j$e ges*loss5e ,curve mit e9] ganzzahlig5 ,comb9ation d] ,qu]s*nitte =mula aequival5t i/4 ,wir bem]kt5 f]n] 74 #aj71 dass die ,dur*laufung von =mula d5j5ig5 ,p]iodicittsmodul lief]t1 wel*] d] ,ueb]s*reitung von =mula entspri*t1 und umgekehrt4 ,hi]aus ab] folgt das ausgespro*5e ,!orem 9 bekannt] ,weise4 ,es wird uns nun insbesond]e int]essir51 e9deutige ,function5 des ,ortes zu betra*t54 ,dem ,gesagt5 zufolge w]d5 wir alle sol*e ,function5 erhalt51 w5n wir als ,un/etigkeit5 nur re9 algebrais*e ,un5dli*keitspuncte zulass5 und dann dafr sorg51 dass die =mula ,p]iodicittsmoduln an d5 ,qu]s*nitt5 =mula smmtli* v]s*w9d54 ,dabei wird es d] lei*t]5 ,ausdrucksweise weg5 ge/attet se91 nur e9fa*e algebrais*e ,un/etigkeitspuncte 9 ,betra*t zu zieh54 ,d5n wir wiss5 ja aus 4 #c1 dass d] =mula-fa*e algebrais*e ,un/etigkeitspunct dur* ,zusamm5rck5 von =mula e9fa*5 ent/eh5 kann1 wobei brig5s1 wie man ni*t v]gess5 d>f1 ,kreuzungspuncte 9 d] ,gesammtmultiplicitt =mula absorbirt w]d54 ,sei5 also m ,puncte als e9fa*e algebrais*e ,un5dli*keitspuncte d] gesu*t5 ,function gegeb54 ,s woll5 wir zu]/ irg5d m ,function5 des ,ortes bild53 =mula von d55 j$e nur an e9] d] gegeb55 ,/ell5 e9fa* algebrais* un5dli* w]d5 soll ab] brig5s beliebig vieldeutig se9 mag4 ,aus dies5 ,z setzt si* die allgeme9/e complexe ,function des ,ortes1 wel*e an d5 gegeb55 ,/ell5 e9fa*e algebrais*e ,un/etigkeit5 besitzt1 dem vorig5 ,p>agraph5 zufolge 9 d] ,ge/alt zusamm53 =mula unt] =mula beliebige con/ante ,coffici5t5 v]/&54 ,um e9e e9deutige ,function zu hab51 setz5 wir die ,p]iodicittsmoduln1 wel*e dies] ,ausdruck an d5 =mula ,qu]s*nitt5 besitzt1 glei* ,null4 ,ab] diese ,p]iodicittsmoduln setz5 si* v]mge d] =mula aus d5 ,p]iodicittsmoduln d] =mula l9e> zusamm54 ,wir f9d5 also =mula l9e>e homog5e ,glei*ung5 fr die =mula ,con/ant5 a und c4 ,wir woll5 annehm51 dass diese ,glei*ung5 l9e> unabhngig s9d7#ba74 ,dann kommt d] wi*tige ,satz3 ,unt] d] g5annt5 ,voraussetzung giebt es bei m beliebig vorges*rieb55 e9fa*5 algebrais*5 ,un/etigkeitspunct5 nur dann e9deutige ,function5 des ,ortes1 w5n =mula i/1 und zw> en?alt5 diese ,function5 =mula l9e> vorkomm5de willkrli*e ,con/ante4 ,man d5ke si* jetzt die m ,un5dli*keitspuncte als bewegli*4 ,s tret5 m neue ,willkrli*keit5 9 die ,betra*tung e94 ,ueb]dies i/ kl>1 dass man beliebige m ,puncte auf d] ,fl*e dur* cont9uirli*e ,v]s*iebung 9 beliebige m &]e v]w&eln kann4 ,wir knn5 also sag51 indem wir uns brig5s imm] d] ,voraussetzung er9n]n1 die wir gema*t hab53 ,die ,gesamm!it d] e9deutig5 ,function5 mit m e9fa*5 algebrais*5 ,un/etigkeitspunct51 die auf gegeb5] ,fl*e exi/ir51 bildet e9 ,cont9uum von =mula ,abmessung54 ,nun wir die ,exi/5z und die ,mannigfaltigkeit d] e9deutig5 ,function5 hab5 k5n5 l]n51 woll5 wir auf mgli*/ ans*auungsmssigem ,wege no* e9e &]e wi*tige ,eig5s*aft d]selb5 entwickeln4 ,die ,zahl m d] ,un5dli*keitspuncte uns]] ,function hat nmli* fr letzt]e e9e no* viel weit] geh5de ,b$eutung4 ,i* sage1 dass uns]e ,function =mula j$5 beliebig vorgegeb55 ,w]? =mula g5au an m ,/ell5 annimmt4 ,zum ,beweise betra*te man d5 ,v]lauf d] ,curv5 =mula auf uns]] ,fl*e4 ,na* 4 #b i/ kl>1 dass j$e dies] ,curv5 e95 ,a/ dur* j$5 d] m ,un5dli*keitspuncte h9dur*s*ickt4 ,&]]seits folgt aus ,betra*tung51 wie wir sie 9 4 #aj entwickelt51 dass j$] ,curv5a/ m9de/5s e95 ,un5dli*keitspunct en?alt5 muss4 ,hi]na* i/ fr sehr grosse =mula die ,ri*tigkeit uns]] ,behauptung unmittelb> kl>4 ,d5n die betreff5d5 ,curv5 =mula geh5 dann 9 d] ,nhe des e9zeln5 ,un5dli*keitspunctes na* 4 #b 9 kle9e dur* d5 ,un5dli*keitspunct h9dur*lauf5de ,kreise b]1 wel*e no?w5dig neb5 dem 7hi] ni*t weit] 9 ,betra*t komm5d57 ,un/etigkeitspuncte no* je e95 ,s*nittpunct geme9 hab53 ,illu/ration3 ,fig4 #cc4 ,fig4 #cc4 ,hi]aus ab] folgt die ,sa*e allgeme94 ,d5n die ,curv5 =mula1 =mula knn5 bei cont9uirli*] ,a5d]ung von =mula1 =mula niemals e95 ,s*nittpunct v]li]54 ,es knnte diess nmli* na* dem ,gesagt5 nur s ges*eh51 dass mehr]e ,s*nittpuncte zusamm5rckt51 um dann 9 g]+]] ,zahl wi$] aus e9&] zu tret54 ,nun bild5 die ,curv5 =mula e9 ,or?ogonalsy/em4 ,e9 ,zusamm5rck5 reell] ,s*nittpuncte i/ also nur 9 d5 ,kreuzungspunct5 mgli* 79 d55 es au* wirkli* ges*ieht74 ,die ,kreuzungspuncte ab] s9d nur 9 endli*] ,zahl vorh&51 und also ni*t im ,/&e1 die ,fl*e 9 v]s*i$5e ,gebiete zu z]leg54 ,die ,ev5tualitt des ,zusamm5rck5s i/ also b]haupt ni*t 9 ,betra*t zu zieh51 und somit uns]e ,behauptung bewies54 ,es i/ brig5s fr das ,folg5de ntzli*1 si* die ,v]!ilung d] ,w]! von =mula 9 d] ,nhe e9es ,kreuzungspunctes deutli* zu ma*54 ,hi]zu g5gt e9e aufm]ksame ,beoba*tung d] ob5 gegeb55 ,figur #a4 ,man erk5nt zumal1 dass von d5 m bewegli*5 ,s*nittpunct5 d] ,curv5 =mula1 =mula bei ,annh]ung an d5 =mula-fa*5 ,kreuzungspunct =mula zusamm5rck54-- ,analoge ,betra*tung51 wie wir sie hi]mit fr e9deutige ,function5 erl$igt hab51 f9d5 natrli* au* bei vieldeutig5 ,function5 ihre ,/elle4 ,i* gehe auf sie nur des%alb ni*t e91 weil es die im ,folg5d5 fe/gehalt5e ,umgrnzung des ,/(fes ni*t n?ig ma*t4 ,au* kommt nur 9 d5 all]e9fa*/5 ,fll5 e9 b]si*tli*es ,resultat4 ,sei 9 dies] ,beziehung d>an fl*tig er9n]t1 dass e9e complexe ,function mit mehr als zwei incomm5surabeln ,p]iodicittsmoduln an j$] ,/elle j$em beliebig5 ,w]! un5dli* nahe gebra*t w]d5 kann4 4 #ad4 ,die gewhnli*5 ,riemann's*5 ,fl*5 b] d] x iy-,eb5e4 ,/att die ,v]!ilung d] ,functionsw]! =mula auf d] ursprngli*5 ,fl*e zu betra*t51 kann man e9 sozusag5 umgekehrtes ,v]fahr5 e9s*lag54 ,man deute nmli* die ,functionsw]!--wel*e dem5tspre*5d jetzt =mula g5annt w]d5 soll5--9 gewhnli*] ,weise 9 d] ,eb5e 7od] au* auf d] ,kugel7#bb7 und /udi]e die con=me ,abbildung1 wel*e demzufolge 7na* 4 #e7 von uns]] ursprngli*5 ,fl*e entworf5 wird4 ,wir bes*rnk5 uns dabei wi$]1 d] ,e9fa*heit halb]1 auf d5 ,fall d] e9deutig5 ,function51 trotzdem es besond]es ,int]esse hat1 g]ade au* die ,abbildung dur* mehrdeutige ,fuuction5 9 ,betra*t zu zieh57#bc74 ,e9e kurze ,ueb]legung zeigt1 dass wir s g]ade zu d] mehrblttrig51 mit ,v]zweigungsv]zweigungspunct5 v]seh551 b] d] =mula-,eb5e ausgebreitet5 ,fl*e gefhrt w]d51 wel*e man gewhnli* als ,riemann's*e ,fl*e s*le*?9 bezei*net4 ,9 d] ,t1 sei m die ,zahl d] 7e9fa*57 ,un5dli*keitspuncte1 wel*e =mula auf d] ursprngli*5 ,fl*e besitzt4 ,es nimmt dann =mula1 wie wir sah51 j$5 ,w]? auf d] gegeb55 ,fl*e m-mal an4 ,dah] b]deckt die con=me ,abbildung uns]] ,fl*e auf die =mula-,eb5e die letzt]e im ,allgeme95 mit m ,bltt]n4 ,e9e ,ausnahme/ellung nehm5 nur diej5ig5 ,w]! von =mula e91 fr wel*e e9ige d] m auf d] ursprngli*5 ,fl*e zugehrig5 ,/ell5 zusamm5fall51 d55 also ,kreuzungspuncte entspre*54 ,man ziehe zum ,v]/ndnisse no* e9mal die ,figur 7#a7 h]an4 ,es folgt aus d]selb51 dass man die ,umgebung e9es =mula-fa*5 ,kr5zungspunctes d]>t 9 =mula ,sector5 z]leg5 kann1 dass =mula inn]halb j$es ,sectors d5selb5 ,w]?vorra? dur*luft4 ,dah] w]d5 ob]halb d] betreff5d5 ,/elle d] =mula ,eb5e =mula ,bltt] d] con=m5 ,abbildung d]>t zusamm5hng51 dass e9e ,umlaufung d] ,/elle von e9em ,blatte 9 e9 zweites1 von diesem 9 e9 drittes fhrt etc41 und dass e9e =mula-malige ,umlaufung d]selb5 n?ig wird1 um zum ,anfangspuncte zurckzugelang54 ,diess i/ ab] g5au1 0 man gewhnli* als e95 =mula-fa*5 ,v]zweigungspunct bezei*net7#bd74 ,dabei i/ die ,abbildung 9 diesem ,puncte selb/ natrli* ke9e con=me mehr2 man bewei/ lei*t1 dass d] ,w9kel1 d5 irg5d zwei auf d] ursprngli*5 ,fl*e v]lauf5de si* im ,kreuzungspuncte s*neid5de ,curv5 mit e9&] bild51 auf d] b] d] =mula-,eb5e ausgebreitet5 ,riemann's*5 ,fl*e g5au mit =mula multiplicirt ers*e9t4-- ,ab] zuglei* erk5n5 wir die ,b$eutung1 wel*e diese mehrblttrige ,fl*e fr uns]e ,zwecke beanspru*5 kann4 ,alle ,fl*51 wel*e dur* con=me ,abbildung e9deutig aus e9&] h]vorgeh51 s9d fr uns glei*b$eut5d 74 #h74 ,wir knn5 also die m-blttrige ,fl*e b] d] ,eb5e eb5sogut zu ,grunde leg51 wie die bi%] b5utzte ,fl*e1 die wir uns ohne j$es s+ulre ,vorkommniss frei im ,raume geleg5 vor/ellt54 ,dabei kommt die ,s*wi]igkeit1 die man 9 dem ,auftret5 d] ,v]zweigungspuncte erblick5 knnte1 von vorneh]e9 9 ,wegfall3 d5n wir w]d5 nur sol*e ,/rmung5 auf d] mehrblttrig5 ,fl*e 9 ,betra*t zieh51 wel*e si* 9 d] ,umgebung d] ,v]zweigungspuncte d]>t v]halt51 dass sie rckwrts auf die im ,raume geleg5e ursprngli*e ,fl*e b]trag5 dort ke9e &]5 s+ulr5 ,vorkommnisse d>biet51 als die ohneh9 ge/attet54 ,hi]zu i/ ni*t e9mal n?ig1 dass man e9e entspre*5de im ,raume geleg5e ,fl*e k5nt2 h&elt es si* do* nur um ,v]hltnisse 9 d] n*/5 ,umgebung d] ,v]zweigungspuncte1 d4 h4 um diff]5tielle ,relation51 d55 uns]e ,/rmung5 g5g5 mss57#be74 ,es hat hi]na* au* ke95 ,zweck mehr1 w5n wir von beliebig gekrmmt5 ,fl*5 spre*51 uns diese ohne s+ulre ,puncte zu d5k53 sie mg5 selb/ mit mehr]5 ,bltt]n b]deckt se91 die unt] si* dur* ,v]zweigungspuncte1 beziehungsweise ,v]zweigungss*nitte zusamm5hng54 ,ab] wel*e unt] d5 unbegrnzt viel51 sona* glei*b]e*tigt5 ,fl*5 wir au* d] ,betra*tung zu ,grunde leg5 woll53 wir mss5 zwis*5 wes5tli*5 ,eig5s*aft5 unt]s*eid51 wel*e all5 glei*b]e*tigt5 ,fl*5 geme9sam s9d1 und unwes5tli*5 ,eig5s*aft51 die d] p>ticulr5 ,fl*e anhaft54 ,zu er/]5 gehrt die ,zahl p1 es gehr5 dah9 die ,moduln1 von d55 9 4 #ah ausfhrli*] die ,r$e se9 soll2 zu letzt]5 bei mehrblttrig5 ,fl*5 die ,art und ,lage d] ,v]zweigungspuncte4 ,w5n wir uns e9e ideale ,fl*e d5k51 die nur j5e wes5tli*5 ,eig5s*aft5 besitz5 soll1 s entspre*5 auf ihr d5 ,v]zweigungspunct5 d] mehrblttrig5 ,fl*e gewhnli*e ,puncte1 die1 allgeme9 zu r$51 vor d5 brig5 ,punct5 ,ni*ts voraus hab51 und die er/ dadur* bea*t5sw]? w]d51 dass bei d] con=m5 ,abbildung1 die von d] ideal5 ,fl*e zur p>ticulr5 h9b]fhrt1 9 ihn5 ,kreuzungspuncte ent/eh54 ,das ,resultat i/ also dieses1 dass wir betreffs d] ,fl*51 auf d55 wir op]ir5 drf51 e9e grss]e ,bewegli*keit gewonn5 hab51 und dass wir zuglei* die ,zuflligkeit5 erk5n51 wel*e die ,betra*tung j$] e9zeln5 besond]5 ,fl*e mit si* br+t4 ,insbesond]e w]d5 wir im ,folg5d51 s (t es ntzli* s*e9t1 mehrblttrige ,fl*5 b] d] =mula-,eb5e 9 ,betra*t zieh52 ihre ,v]w5dung soll ab] 9 ke9] ,weise die ,allgeme9heit d] ,auffassung bee9tr*tig57#bf74 4 #ae4 ,d] ,r+ p #a und die zweiblttrige ,fl*e mit vi] ,v]zweigungspunct5 b] d] ,eb5e4 7#bg7 ,i* habe mi* im vorig5 ,p>agraph5 ziemli* kurz fass5 knn51 da i* die gewhnli*e ,riemann's*e ,fl*e b] d] ,eb5e mit ihr5 ,v]zweigungspunct5 als bekannt ansah4 ,imm]h9 wird es ntzli* se91 w5n i* das ,gesagte an e9em ,beispiele erlut]e4 ,wir woll5 e95 ,r+ =mula betra*t54 ,auf ihm exi/ir5 na* 4 #ac =mula e9deutige ,function5 mit nur zwei ,un5dli*keitspunct54 ,e9e j$e d]selb5 besitzt na* d] allgeme95 ,=mel des 4 #aa vi] ,kreuzungspuncte4 ,d] ,r+ i/ also auf mannigfa*e ,weise auf e9e zweiblttrige eb5e ,fl*e mit vi] ,v]zweigungspunct5 abzubild54 ,i* w d5 besond]5 ,fall1 9 wel*em i* diese ,abbildung nunmehr betra*t5 w]de1 auf explicite ,=meln /tz51 damit au* d5j5ig5 ,les]n1 die 9 re9 ans*auungsmssig5 ,op]ation5 m9d] gebt s9d1 die ,sa*e zugngli* sei4 ,all]d+s greife i* damit 9 etwas d5 ,entwickelung5 vor1 wel*e er/ d] folg5de ,p>agraph zu br+5 be/immt i/4 ,illu/ration3 ,fig4 #cd4 ,fig4 #cd4 ,wir woll5 die ,r+fl*e als gewhnli*5 ,torus voraussetz51 d] dur* ,rotation e9es ,kreises um e9e d5selb5 ni*t s*neid5de ,axe se9] ,eb5e ent/eht4 ,sei =mula d] ,radius dieses ,kreises1 ,r d] ,ab/& se9es ,mittelpunctes von d] ,axe1 =mula e9 ,pol>w9kel4 ,wir fhr5 die ,rotationsaxe als ,z-,axe1 d5 ,punct ,o d] ,figur als ,anfangspunct e9es re*tw9klig5 ,coord9at5sy/ems e9 und unt]s*eid5 die dur* =mula h9dur*lauf5d5 ,eb55 na* dem ,w9kel =mula1 d5 sie mit d] positiv5 ,x-,axe bild54 ,dann hat man fr e95 beliebig5 ,punct d] ,r+fl*e3 =mula ,dah] wird das ,bog5elem5t3 =mula od]3 =mula wo =mula gesetzt se9 soll4 ,na* ,=mel 7#c7 hab5 wir e9e con=me ,abbildung d] ,r+fl*e auf die =mula-,eb5e4 ,die ganze ,r+fl*e wird (f5b> e9mal b]/ri*51 w5n =mula und =mula 79 d5 ,=meln 7#a77 j$es von =mula bis =mula luft4 ,die con=me ,abbildung d] ,r+fl*e b]deckt dah] e9 ,re*teck d] ,eb5e1 wie es dur* folg5de ,figur vorge/ellt wird3 ,illu/ration3 ,fig4 #ce4 ,fig4 #ce4 ,i* habe dabei 9 d] ,figur d] ,krze halb] /att =mula e9fa* p ges*rieb54--,woll5 wir uns die ,beziehung zwis*5 ,re*teck und ,r+fl*e re*t ans*auli* vor/ell51 s d5ke man si* er/]es aus dehnsamem ,mat]iale v]f]tigt und nun die geg5b]/eh5d5 ,kant5 des ,re*tecks ohne ,torsion zusamm5gebog54 ,od] au*1 man d5ke si* d5 ,r+ von analog] ,bes*aff5heit1 z]s*neide ihn lngs e9] ,breit5curve und e9] ,m]idiancurve und breite ihn dann 9 die =mula-,eb5e aus4 ,i* setze /att weit]] ,erlut]ung e9e ,figur h]1 wel*e die ,v]ticalprojection d] ,r+fl*e von d] positiv5 ,z-,axe aus auf die =mula-,eb5e vor/ellt und bei d] die ,beziehung zur =mula-,eb5e m>kirt i/3 ,illu/ration3 ,fig4 #cf4 ,fig4 #cf4 ,natrli* erblickt man nur die ,ob]seite d] ,r+fl*e1 die auf d] ,rckseite abgebildet5 ,quadrant5 #c und #d w]d5 beziehungsweise von #b und #a v]deckt4 ,sei nun &]]seits bei reellem =mula =mula b] d] ,eb5e e9e zweiblttrige ,fl*e mit vi] ,v]zweigungspunct5 =mula1 =mula gegeb53 ,illu/ration3 ,fig4 #cg4 ,fig4 #cg4 wobei i* mir 7wie es 9 d] ,figur ang$eutet i/7 die beid5 ,halbbltt]1 wel*e die positive ,halbeb5e b]lag]n1 s*raffirt d5k5 w4 ,dabei soll5 die ,v]zweigungss*nitte mit d5 g]adl9ig5 ,/reck5 zwis*5 =mula und =mula e9]seits1 und =mula und =mula &]]seits zusamm5fall54 ,diese zweiblttrige ,fl*e reprs5tirt1 wie man weiss1 die ,v]zweigung von =mula1 und zw> knn5 wir1 9 ,anbetra*t d] ,wahl d] ,v]zweigungss*nitte1 die ,zuordnung s treff51 dass auf dem ob]5 ,blatte w dur*weg e95 positiv5 reell5 ,!il besitzt4 ,wir betra*t5 nun das ,integral =mula ,dasselbe lief]t uns 9 bekannt] ,weise die ,abbildung uns]] zweiblttrig5 ,fl*e eb5falls auf e9 ,re*teck1 dess5 n"h ,beziehung zur zweiblttrig5 ,fl*e dur* folg5de ,figur gegeb5 i/1 auf wel*] man die ,s*raffirung5 und son/ig5 ,unt]s*eidung5 d] ,figur 7#cg7 wi$]f9det3 ,illu/ration3 ,fig4 #ch4 ,fig4 #ch4 ,dem ob]5 ,blatte von ,figur 7#cg7 entspri*t die l9ke ,seite dies] ,figur4 ,man bea*te vor ,allem1 wie si* die ,abbildung fr die ,umgebung d] ,v]zweigungspuncte d] zweiblttrig5 ,fl*e ge/altet4 ,viellei*t i/ es am e9fa*/51 die ,sa*e si* s vorzu/ell51 dass man von 7#cg7 zun*/ dur* /]eographis*e ,projection zu e9] zweimal b]deckt5 ,kugelfl*e b]geht1 wel*e auf e9em ,m]idian vi] ,v]zweigungspuncte trgt1--dass man die s erhalt5e ,fl*e dur* e95 lngs des ,m]idians v]lauf5d5 ,s*nitt 9 vi] ,halbkugeln z]legt1 d]5 e9zelne man dur* geeignete ,dehnung und ,de=mirung 9 d] ,nhe d] vi] ,v]zweigungspuncte 9 e9 eb5es ,re*teck v]w&elt1--dass man endli* die s ent/eh5d5 vi] ,re*tecke entspre*5d d5 ,beziehung5 zwis*5 d5 vi] ,halbkugeln na* ,art von ,figur 7#ch7 neb5 e9&] legt4 ,man sieht auf diese ,art au* deutli*1 dass 9 ,figur 7#ch7 imm] zwei 7zusamm5gehrige7 ,r&puncte d5selb5 ,punct d] ursprngli*5 ,fl*e bezei*n54 ,um nun zwis*5 dem ,r+e und d] zweiblttrig5 ,fl*e die gewns*te ,beziehung zu erziel51 hab5 wir nur dafr zu sorg51 dass das ,re*teck d] ,figur 7#ch7 dur* pass5de ,wahl des ,moduls =mula mit dem ,re*tecke d] ,figur 7#ce7 hnli* wird4 ,e9e proportionale ,v]grss]ung des e95 ,re*tecks 7wel*es au* e9e con=me ,umge/altung i/7 br+t dasselbe sodann mit dem &]5 ,re*teck zur ,deckung und v]mittelt s e9e e9deutig-con=me ,abbildung d] zweiblttrig5 ,fl*e auf die ,r+fl*e 7od] d] letzt]5 auf die er/]e74 ,es wird wi$]um g5g51 das ,sa*v]hltniss dur* e9e ,figur zu k5nzei*n51 dieselbe entspri*t g5au d] eb5 gegeb55 ,figur 7#cf73 ,illu/ration3 ,fig4 #ci4 ,fig4 #ci4 ,die ,s*raffirung soll si* dabei nur auf die ,vord]seite d] ,r+fl*e bezieh52 auf d] ,rckseite i/ die unt]e ,hlfte d] ,figur s*raffirt zu d5k51 die ob]e frei zu lass54-- ,die con=me ,abbildung1 wel*e wir wns*t51 i/ hi]mit ?ats*li* gelei/et4 ,wir woll5 jetzt rckwrts die ,/rmung auf d] ,r+fl*e be/imm51 dur* d]5 ,v]mittelung im ,s9ne des 4 #ad die ,abbildung zu ,/&e kommt4 ,dieselbe wird an d5 mit =mula1 =mula bezei*net5 ,/ell5 ,kreuzungspuncte besitz5 mss51 an d5 beid5 ,/ell5 =mula algebrais*e ,un5dli*keitspuncte von e9fa*] ,multiplicitt4 ,man f9det die betreff5d5 ,curv51 die ,niveaucurv5 s[ohl wie die ,/rmungscurv51 am be/51 w5n man si* des ,re*tecks als ,zwis*5figur b$i5t4 ,(f5b> b]trag5 si* die ,curv5 =mula ,con/41 =mula ,con/4 d] z-,eb5e 7,figur #cg7 auf das ,re*teck d] ,figur 7#ch71 wie die ,figur5 7#dj71 7#da7 angeb54 ,i* habe dabei alle9 d5 ,curv5 =mula ,con/4 ,pfeilspitz5 zugesetzt1 um sie im ,geg5satze zu d5 &]5 als ,/rmungscurv5 zu *>akt]isir54 ,illu/ration3 ,fig4 #dj4 ,fig4 #dj4 ,illu/ration3 ,fig4 #da4 ,fig4 #da4 ,man hat nun e9fa* diese ,zei*nung5 9 d]selb5 ,weise zusamm5zubieg51 wie es bei ,figur 7#ce7 ges*ild]t wurde1 um die ,r+fl*e und auf ihr die gewns*t5 ,curv5sy/eme zu erhalt54 ,das ,resultat i/ das folg5de3 ,illu/ration3 ,fig4 #db4 ,fig4 #db4 ,illu/ration3 ,fig4 #dc4 ,fig4 #dc4 ,dabei ers*e95 9 ,figur 7#db7 die vi] ,kreuzungspuncte d] ,/rmung v]mge d] gewhlt5 ,projections>t als ,b]hrungspuncte d] ,niveaucurv5 mit d] s*e9b>5 ,cont\r d] ,r+fl*e4 4 #af4 ,function5 von =mula1 wel*e d5 unt]su*t5 ,/rmung5 entspre*54 ,sei =mula1 wie 9 4 #ad1 e9e e9deutige complexe ,function des ,ortes auf uns]] ,fl*e mit m algebrais*51 e9fa*5 ,un5dli*keitspunct54 ,wir v]w&eln uns]e ,fl*e na* ,anleitung j5es ,p>agraph5 9 e9e m-blttrige ,fl*e b] d] =mula-,eb5e7#bh7 und leg5 uns nun die ,frage vor1 9 wel*e ,function5 des ,argum5tes =mula die bi%] unt]su*t5 complex5 ,function5 des ,ortes b]geh5 mg54 ,man er9n]e si* dabei d] ,entwickelung5 des 4 #f4 ,seizun*/ w e9e complexe ,function des ,ortes1 wel*e auf uns]] ,fl*e1 eb5so wie =mula1 e9deutig i/4 ,v]mge d] ,fe/setzung51 die h9si*tli* d] ,un5dli*keitspuncte uns]] ,function5 und insbesond]e d] e9deutig5 ,function5 getr(f5 word5 s9d1 ergibt si* s(ort1 dass w als ,function von =mula nirg5dwo e95 wes5tli* s+ulr5 ,punct hat4 ,ueb]diess i/ w auf d] m-blttrig5 b] d] z-,eb5e ausgebreitet5 ,fl*e1 s gut wie auf d] ursprngli*5 ,fl*e1 e9deutig4 ,dah] folgt auf ,grund bekannt] ,stze3 dass w e9e algebrais*e ,function von z i/4 ,dabei i/ die ,mgli*keit an si* ni*t auszus*liess51 dass die m ,w]! von w1 wel*e demselb5 z entspre*51 zu je =mula b]e9/imm5 mg5 7wobei =mula natrli* e9 ,!il] von m se9 muss74 ,ab] j$5falls knn5 wir sol*e e9deutige ,function5 w auswhl51 bei d55 dieses ni*t d] ,fall i/4 ,wir be/immt5 ob5 74 #ac7 die e9deutig5 ,function51 indem wir ihre ,un5dli*keitspuncte willkrli* 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unt] d] angegeb55 ,voraussetzung gebildet i/1 mit zwei ,wort5 k5nzei*n54 ,man zeigt nmli*1 dass =mula e9e rationale ,function von w und z i/1 und dass au* umgekehrt j$e rationale ,function von w und z e9e ,function vom ,*>akt] des =mula abgibt4 ,das ,letzt]e i/ selb/v]/ndli*4 ,d5n e9e rationale ,function von w und z i/ 9 uns]] ,fl*e e9deutig2 b]diess als analytis*e ,function von z e9e complexe ,function des ,ortes 9 d] ,fl*e4 ,ab] au* das ,er/]e i/ lei*t zu beweis57#cj74 ,man bezei*ne die m ,w]! von w1 die zu e9em beliebig5 ,w]! von z gehr51 mit =mula1 =mula1 =mula 7allgeme9 =mula71 die entspre*5d5 ,w]! von =mula 7die ni*t no?w5dig alle v]s*i$5 zu se9 brau*57 mit =mula1 =mula1 =mula4 ,dann i/ die ,summe3 =mula 7wo =mula e9e beliebige1 positive od] negative ganze ,zahl b$eut5 soll7 als symmetris*e ,function d] v]s*i$55 ,w]! =mula e9e e9deutige ,function von z1 und also1 als algebrais*e ,function1 e9e rationale ,function von z4 ,aus m beliebig5 d] s ent/eh5d5 ,glei*ung5 kann man =mula1 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,figur5 7#db71 7#dc7 erlut]t wird4 ,die zwis*5 ihn5 be/eh5de ,glei*ung lautet e9fa*1 wie wir wiss53 =mula und es v]w&eln si* also die ,integrale =mula 9 diej5ig51 die man als elliptis*e ,integrale zu bezei*n5 pflegt4 ,unt] ihn5 gibt es1 na* 4 #ab1 e9 e9ziges b]all endli*es ,integral4 ,aus d] 9 ,figur 7#ch7 gegeb55 ,abbildung folgt1 dass dieses ke9 &]es i/1 als das dort betra*tete =mula1 das gewhnli* sog5annte ,integral er/] ,gattung4 ,die zugehrig5 ,niveaucurv5 und ,/rmungscurv5 s9d dieselb51 wel*e 9 ,figur 7#ba7 und 7#bb7 d>ge/ellt s9d4 ,ab] au* diej5ig5 ,function51 d55 die ,figur5 7#bi7 und 7#cj71 bez4 7#ca7 und 7#cb7 entspre*51 s9d 9 d] gewhnli*5 ,analysis wohlbekannt4 ,wir hab5 das e9emal e9e ,function mit zwei log>i?mis*5 ,un/etigkeitspunct51 das &]e ,mal e9e sol*e mit nur e9em algebrais*5 ,un/etigkeitspuncte4 ,als ,function5 von z betra*tet geb5 dieselb5 sol*e elliptis*e ,integrale ab1 wel*e man als ,integrale dritt] ,gattung bez4 zweit] ,gattung zu bezei*n5 pflegt4 4 #ag4 ,tragweite und ,b$eutung uns]] ,betra*tung54 ,mit d5 ,entwickelung5 des vorig5 ,p>agraph5 i/ d] ,zielpunct1 d5 wir uns mit d] allgeme95 ,frage/ellung des 4 #g ge/eckt hab51 ?ats*li* errei*t4 ,wir hab5 auf beliebig] ,fl*e die allgeme9/5 fr uns 9 ,betra*t komm5d5 complex5 ,function5 des ,ortes be/immt und nun die analytis*5 ,abhngigkeit5 d]selb5 von e9&] def9irt1 indem wir zusah51 wie alle von e9]1 brig5s beliebig gewhlt51 e9deutig5 ,function des ,ortes im ,s9ne d] gewhnli*5 ,analysis abhngig s9d4 ,es bleibt uns also1 um uns]5 ,g$ank5gang abzus*liess51 nur no* e9 ,umblick zu halt51 0 ,alles dur* uns]e ,betra*tung5 gewonn5 se9 mag4 ,wir hab5 dann all]d+s ke9eswegs d5 voll5 ,inhalt ab] do* die ,grundlage d] ,riemann's*5 ,!orie gewonn51 und es kann weg5 weit]] ,ausfhrung5 auf ,riemann's ,orig9al>beit s[ie die son/ig5 ,d>/ellung5 d] ,!orie v]wies5 w]d54 ,con/atir5 wir zun*/1 dass es 9 d] ,t die ,gesamm!it d] algebrais*5 ,function5 und ihr] ,integrale i/1 wel*e dur* uns]e ,unt]su*ung umspannt 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grosse ,v]allgeme9]ung d] ursprngli*5 ,auffassung gegeb54 ,bislang galt5 uns zwei ,fl*5 nur dann als glei*w]?ig1 w5n die e9e aus d] &]5 dur* e9deutige con=me ,abbildung ent/&4 ,jetzt i/ ke9 ,grund mehr1 an d] ,con=mitt d] ,abbildung fe/zuhalt54 ,j$e ,fl*e1 wel*e dur* /etige ,abbildung e9deutig 9 die gegeb5e v]w&elt w]d5 kann1 b]haupt j$es geometris*e ,gebilde1 dess5 ,elem5te si* /etig e9deutig auf die ursprngli*e ,fl*e bezieh5 lass51 kann eb5s[ohl zur ,v]s9nli*ung d] 9 ,betra*t zu zieh5d5 ,function5 gebrau*t w]d54 ,i* habe diesem ,g$ank51 wie i* bei geg5wrtig] ,geleg5heit ausfhr5 m*te1 9 frh]5 ,arbeit5 na* zwei ,ri*tung5 h9 ,ausdruck gegeb54 ,e9mal op]irte i* mit dem ,begriffe e9] mgli*/ b]si*tli*51 brig5s v]s*i$5tli* modificirb>5 ,normalfl*e 7v]gl4 4 #h71 auf wel*] i* d5 ,v]lauf d] 9 ,betra*t komm5d5 ,function5 dur* v]s*i$5e graphis*e ,hlfsmittel zu illu/rir5 bemht w>7#cb74 ,hi]h] gehr5 au* die ,polygonnetze1 d]5 i* mi* wi$]holt b$i5te7#cc71 indem i* mir die ,riemann's*e ,fl*e 9 geeignet] ,weise z]s*nitt5 und dann 9 die ,eb5e ausgebreitet da*te4 ,es bleibe dabei an dies] ,/elle un]rt]t1 ob ni*t d5 s ent/eh5d5 ,figur51 die zun*/ beliebig /etig v]nd]t w]d5 drf51 im ,int]esse weit]geh5d] function5!oretis*] ,unt]su*ung5 h9t]h] do* e9e gesetzmssige ,ge/alt er!ilt w]d5 soll1 v]mge d]5 si* e9e ,def9ition d] dur* die ,figur zu v]ans*auli*5d5 ,function5 ermgli*t4 ,das &]e ,mal7#cd7 /ellte i* mir die ,aufgabe1 9 mgli*/ ans*auli*] ,weise d5 ,zusamm5hang d>zuleg5 zwis*5 d] ,auffassungsweise d] ,function5!orie und d]j5ig5 d] gewhnli*5 analytis*5 ,geometrie1 wel*' letzt]e e9e ,glei*ung zwis*5 zwei ,v>iabel5 als ,curve deutet4 ,indem i* von dem ,satze ausg+1 dass j$e imag9re ,g]ade d] ,eb5e und also au* j$e imag9re ,tang5te e9] ,curve e95 und nur e95 reell5 ,punct besitzt1 erhielt i* e9e ,riemann's*e ,fl*e1 die si* an d5 ,v]lauf d] gegeb55 ,curve auf das ,innig/e ans*miegt4 ,i* habe diese ,fl*e1 wie es me9 ursprngli*] ,zweck w>1 bi%] nur zur ,v]ans*auli*ung gewiss] e9fa*] ,integrale gebrau*t7#ce74 ,ab] es f9det e9e hnli*e ,bem]kung ihre ,/elle1 wie ob5 bei d5 ,polygonnetz54 ,ins(]n die ,fl*e gesetzmssig i/1 muss au* sie zur ,def9ition d] auf ihr exi/ir5d5 ,function5 di55 knn54 ,9 d] ,t kann man fr diese ,function5 e9e p>tielle ,diff]5tialglei*ung bild51 wel*e d5 ,diff]5tialglei*ung5 zweit] ,ordnung1 die wir 9 4 #a und #e betra*t51 9 etwa analog i/3 nur dass d] ,diff]5tialausdruck1 an d5 diese ,glei*ung anknpft1 ni*t unmittelb> als ,bog5elem5t e9] ,fl*e zu deut5 i/4-- ,diese w5ig5 ,bem]kung5 mss5 g5g51 um auf ,betra*tung5 h9zuweis51 d]5 ,v]folg mir int]essant s*e9t4 ,,abs*nitt ,,iii4 - ,,folg]ung54 4 #ai4 ,ueb] die ,moduln algebrais*] ,glei*ung54 ,es gibt e95 wi*tig5 ,punct1 9 wel*em die ,riemann's*e ,!orie d] algebrais*5 ,function5 ni*t nur d] ,me?ode sond]n au* dem ,resultate na* b] die son/ bli*5 ,d>/ellung5 dies] ,!orie h9ausgreift4 ,sie besagt nmli* dass zu j$] b] d] z-,eb5e ausgebreitet51 graphis* gegeb55 mehrblttrig5 ,fl*e zugehrige algebrais*e 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,folg]ung5 zu zieh51 die si* aus dem vorausges*ickt5 ,satze gew9n5 lass51 und zw> mag zun*/ die ,frage na* d5 ,moduln d] algebrais*5 ,function5 beh&elt w]d51 d4 h4 die ,frage na* d5j5ig5 ,con/ant51 wel*e bei e9deutig] ,trans=mation d] ,glei*ung5 =mula die ,rolle d] ,inv>iant5 spiel54 ,sei zu diesem ,zwecke =mula e9e zun*/ unbekannte ,zahl1 wel*e angibt1 wie vielfa* un5dli* (t e9e ,fl*e si* e9deutig 9 si* trans=mir51 d4 h4 con=m auf si* selb] abbild5 ls/4 ,sodann er9n]e man si* an die ,anzahl d] ,con/ant5 9 d5 e9deutig5 ,function5 auf gegeb5] ,fl*e 74 #ac74 ,es gab im ,allgeme95 =mula e9deutige ,function5 mit m ,un5dli*keitspunct51 und diese ,zahl w> j$5falls g5au ri*tig 7wie ohne ,beweis angegeb5 wurde71 w5n =mula w>4 ,nun bildet j$e dies] ,function5 die gegeb5e ,fl*e auf e9e m-blttrige ,fl*e b] d] ,eb5e e9deutig ab4 ,dah] i/ die ,gesamm!it d] m-blttrig5 ,fl*51 auf wel*e man e9e gegeb5e ,fl*e con=m e9deutig bezieh5 kann1 und also au* d] m-blttrig5 ,fl*51 die man e9] ,glei*ung =mula dur* e9deutige ,trans=mation zuordn5 kann1 =mula fa*4 ,d5n j$esmal =mula ,abbildung5 ergeb5 dieselbe m-blttrige ,fl*e1 weil j$e ,fl*e d] ,voraussetzung na* =mula mal auf si* selb] abgebildet w]d5 kann4 ,nun gibt es ab] b]haupt =mula m-blttrige ,fl*51 unt] w die ,zahl d] ,v]zweigungspuncte1 d4 h4 =mula v]/&54 ,d5n dur* die ,v]zweigungspuncte wird die ,fl*e1 wie ob5 bem]kt1 endli*-deutig be/immt1 und ,v]zweigungspunkte hh]] ,multiplicitt ent/eh5 dur* ,zusamm5rck5 e9fa*] ,v]zweigungspuncte1 wie dieses betreffs d] entspre*5d5 ,kreuzungspuncte b]eits 9 4 #a erlut]t wurde 7v]gl4 ,figur 7#b7 und 7#c7 daselb/74 ,zu j$] dies] ,fl*5 gehr51 wie wir wiss51 algebrais*e ,function54 ,die ,anzahl d] ,moduln i/ dah] =mula4 ,bem]k5 wir hi]zu1 dass die ,gesamm!it d] m-blttrig5 ,fl*5 mit w ,v]zweigungspunct5 e9 ,cont9uum bildet7#ch71 wie das ,entspre*5de betreffs d] auf gegeb5] ,fl*e exi/ir5d5 e9deutig5 ,function5 mit m ,un5dli*keitspunct5 b]eits 9 4 #ac h]vorgehob5 wurde4 ,wir s*liess5 dann1 dass die algebrais*5 ,glei*ung5 e9es gegeb55 p eb5falls e9e e9zige zusamm5hng5de ,mannigfaltigkeit con/ituir5 7wobei wir alle ,glei*ung51 die aus e9&] dur* e9deutige ,trans=mation h]vorgeh51 als e9 ,individuum era*t574 ,hi]dur* er/ gew9nt die angegeb5e ,zahl d] ,moduln ihre prcise ,b$eutung3 sie i/ die ,zahl d] ,dim5sion5 dies] zusamm5hng5d5 ,mannigfaltigkeit4 ,es kommt jetzt no* d>auf an1 die ,zahl =mula zu be/imm54 ,diess ges*ieht dur* folg5de ,stze3 #a4 ,j$e ,glei*ung =mula kann =mula mal e9deutig 9 si*1 selb/ trans=mirt w]d54 ,d5n auf d] zugehrig5 ,riemann's*5 ,fl*e exi/ir5 e9deutige ,function5 mit nur je e9em ,un5dli*keitspunct 9 dreifa* un5dli*] ,zahl 74 #ac71 von d55 man1 um e9e e9deutige ,trans=mation d] ,fl*e 9 si* zu hab51 nur irg5d zwei entspre*5d zu setz5 hat4--,des ,nh]5 /ellt si* die ,sa*e s4 ,heis/ e9e d] g5annt5 ,function5 z1 s s9d alle &]5 7na* 4 #af7 algebrais*e e9deutige1 d4 h4 rationale ,function5 von z1 und1 da das ,v]hltniss umkehrb> se9 muss1 l9e>e ,function5 von z4 ,umgekehrt i/ au* j$e l9e>e ,function von z e9e e9deutige ,function des ,ortes 9 uns]] ,fl*e1 mit nur e9em ,un5dli*keitspuncte4 ,dah] wird man die allgeme9/e e9deutige ,trans=mation d] ,glei*ung 9 si* bekomm51 w5n man j$em ,puncte z d] ,riemann's*5 ,fl*e e95 &]5 dur* die ,=mel zuordnet3 =mula unt] =mula beliebige ,con/ante v]/&54 #b7 ,j$e ,glei*ung =mula kann e9fa* un5dli* (t e9deutig 9 si* trans=mirt w]d54 ,zum ,beweise betra*te man das zugehrige b]all endli*e ,integral ,w und insbesond]e die ,abbildung1 wel*e von d] zweckmssig z]s*nitt55 ,riemann's*5 ,fl*e 9 d] ,eb5e ,w entworf5 wird4 ,wir hab5 dies 9 e9em besond]5 ,falle b]eits ge?an 74 #ae1 ,figur 7#ch772 e9e g5aue ,ausfhrung im allgeme95 ,falle wird um s w5ig] n?ig se91 als es si* um ,betra*tung5 h&elt1 die 9 d] ,!orie d] elliptis*5 ,function5 ausfhrli* entwickelt zu w]d5 pfleg54 ,das ,resultat i/1 dass zu j$em ,w]! von ,w e9 ,punct und nur e9 ,punct d] betreff5d5 ,riemann's*5 ,fl*e gehrt1 whr5d si* die un5dli* viel5 ,w]! von ,w1 die demselb5 ,punkte d] ,riemann's*5 ,fl*e entspre*51 aus e9em d]selb5 9 d] ,=m zusamm5setz53 =mula1 unt] =mula1 =mula beliebige ganze ,zahl51 unt] =mula1 =mula die beid5 ,p]iod5 des ,integrals v]/&54 ,bei e9deutig] ,um=mung wird j$em ,puncte ,w e9 ,punct =mula 9 d] ,weise zugeordnet w]d5 mss51 dass j$] ,v]mehrung von ,w um ,p]iod5 e9e sol*e von =mula entspri*t1 und umgekehrt4 ,diess gel+t 9 d] ,t1 ab] im ,allgeme95 nur 9 d] ,weise1 dass man =mula setzt4 ,nur im besond]5 ,falle 7w5n das ,p]iod5v]hltniss =mula be/immte zahl5!oretis*e ,eig5s*aft5 hat7 kann =mula au* glei* =mula1 od] =mula gesetzt w]d5 7unt] =mula e9e dritte ,e9heitswurzel v]/&577#ci74 ,wie dem au* sei1 wir hab5 9 j$em ,falle 9 d5 ,trans=mations=meln nur e9e willkrli*e ,con/ante und also d5 we*selnd5 ,w]!n d]selb5 entspre*5d 9 d] ,t e9fa* un5dli* viele ,trans=mation51 wie behauptet wurde4 #c7 ,glei*ung5 =mula knn5 niemals un5dli* (t e9deutig 9 si* trans=mirt w]d547#dj7 ,i* v]weise1 0 d5 analytis*5 ,beweis dies] ,behauptung angeht1 auf die ,d>/ellung5 von ,s*w>z 7,bor*>dt's ,j\rnal ,bd4 #hg7 und ,hettn] 7,gtt+] ,na*ri*t51 #ahhj1 p4 #chf74 ,auf ans*auungsmssigem ,wege kann man si* die ,ri*tigkeit d] ,behauptung folg5d]mass5 v]/ndli* ma*54 ,sollte es un5dli* viele e9deutige ,trans=mation5 d] ,glei*ung 9 si* geb51 s ms/e es mgli* se91 die zugehrige ,riemann's*e ,fl*e d]>t cont9uirli* b] si* h9 zu v]s*ieb51 dass j$e kle9/e ,figur mit si* selb/ hnli* bleibt4 ,die ,curv51 lngs d]5 e9e sol*e ,v]s*iebung vor si* g+e1 ms/5 die ,fl*e j$5falls voll/ndig und zuglei* e9fa* b]deck54 ,e9 ,kreuzungspunct drfte 9 diesem ,curv5sy/eme (f5b> ni*t vorh&5 se94 ,man ms/e e95 sol*5 ,punct nmli*1 damit ke9e ,vieldeutigkeit d] ,trans=mation e9tritt1 als fe/bleib5d5 ,punct betra*t5 und also die ,ges*w9digkeit d] ,v]s*iebung 9 ihm glei* ,null setz54 ,dann ab] wrde e9e kle9e ,figur1 wel*e bei d] ,v]s*iebung auf d5 ,kreuzungspunct zu rckt1 im ,s9ne d] ,bewegung no?w5dig zusamm5g$rckt1 s5kre*t dazu ause9&]gezog5 w]d52 sie knnte also ni*t mit si* selb/ hnli* bleib51 wie es do* dur* d5 ,begriff d] con=m5 ,abbildung v]langt wird4--,&]]seits mss5 ab] 9 j$em ,curv5sy/eme1 das e9e ,fl*e =mula voll/ndig und e9fa* b]deckt1 no?w5dig ,kreuzungspuncte vorh&5 se94 ,diess i/ d]selbe ,satz1 d5 wir1 9 etwas w5ig] allgeme9] ,=m1 9 4 #aa aufge/ellt hab54--,die ganze ,v]s*iebung d] ,fl*e 9 si* i/ also unmgli*1 0 zu beweis5 w>4 ,na* dies5 ,stz5 i/ =mula fr =mula1 glei* #a fr =mula1 und glei* ,null fr alle grss]5 p4 ,die ,zahl d] ,moduln i/ also fr =mula glei* ,null1 fr =mula glei* ,e9s1 fr grss]e p glei* =mula4 ,es wird gut se91 no* folg5de ,bem]kung5 h9zuzufg54 ,um d5 ,punct e9es ,raumes von =mula ,dim5sion5 zu be/imm51 wird man im ,allgeme95 mit =mula ,grss5 ni*t ausrei*53 man wird mehr ,grss5 b5?ig51 zwis*5 d55 dann algebrais*e 7od] au* transc5d5te7 ,relation5 be/eh54 ,auss]dem mag es ab] au* se91 dass man zweckmssig]weise ,be/immungs/cke e9fhrt1 von d55 j$esmal v]s*i$5e ,s]i5 d5selb5 ,punct d] ,mannigfaltigkeit bezei*n54 ,wel*e ,v]hltnisse bei d5 =mula ,moduln1 die bei =mula exi/ir5 mss51 9 dies] ,h9si*t vorlieg51 i/ nur er/ w5ig er=s*t4 ,dageg5 i/ d] ,fall =mula aus d] ,!orie d] elliptis*5 ,function5 g5au bekannt4 ,i* erwhne die auf ihn bezgli*5 ,resultate1 um mi* im ,folg5d5 bei all] ,krze do* prcise ausdrck5 zu knn54 ,sei vor all5 ,d+5 h]vorgehob51 dass fr =mula das algebrais*e ,individuum 7um dies5 ob5 gebrau*t5 ,ausdruck no* e9mal zu v]w5d57 9 d] ,t dur* e9e 7und nur e9e7 ,grsse *>akt]isirt w]d5 kann3 die absolute ,inv>iante =mula7#da74 ,w5n im ,folg5d5 gesagt wird1 dass zur ,ueb]fhrb>keit zwei] ,glei*ung5 =mula 9 e9&] die ,glei*heit des ,moduls ni*t nur h9rei*5d1 sond]n au* er=d]li* sei1 s i/ /ets an die ,inv>iante ,j g$a*t4 ,/att ihr] v]w5det man1 wie bekannt1 gewhnli* das ,leg5dre's*e =mula1 wel*es bei gegeb5em ,j se*sw]?ig i/1 s dass bei d] ,=mulirung allgeme9] ,stze e9e gewisse ,s*w]flligkeit unv]meidb> s*e9t4 ,9 no* hh]em ,maasse i/ dies d] ,fall1 w5n man das ,p]iod5v]hltniss =mula des elliptis*5 ,integrals er/] ,gattung1 wie dies 9 &]] ,beziehung vielfa* zweckmssig i/1 als ,modul e9fhrt4 ,j$esmal un5dli* viele ,w]! des ,moduls bezei*n5 dann dasselbe algebrais*e ,individuum4 4 #bj4 ,con=me ,abbildung ges*loss5] ,fl*5 auf si* selb/4 ,9 d5 nun no* folg5d5 ,p>agraph5 mg5 die entwickelt5 ,pr9cipi51 wie 9 ,aussi*t ge/ellt1 na* d] geometris*5 ,seite v]folgt w]d51 um w5ig/5s die ,grundzge fr e9e ,!orie d] con=m5 ,abbildung von ,fl*5 auf e9&] zu gew9n57#db7 und s d5 ,&eutung5 zu entspre*51 mit d55 ,riemann1 wie b]eits 9 d] ,vorr$e bem]kt1 se9e ,diss]tation abs*loss4 ,i* w]de mi* dabei1 0 die ,flle =mula und =mula angeht1 um ni*t zu weitlufig zu w]d51 vielfa* auf e9e blosse ,angabe d] ,resultate od] e9e ,&eutung ihres ,beweises bes*rnk5 mss54 ,indem wir uns zuvrd]/ na* con=m5 ,abbildung5 e9] ges*loss55 ,fl*e auf si* selb/ frag51 hab5 wir e9e ,unt]s*eidung e9zufhr51 von d] bislang no* ni*t die ,r$e w>3 die ,abbildung kann ohne ,umlegung d] ,w9kel ges*eh5 od] mit ,umlegung d]selb54 ,wir hab5 e9e ,abbildung d] e95 ,art1 w5n wir e9e ,kugel dur* ,drehung um d5 ,mittelpunct mit si* selb/ zur ,deckung br+52 wir bekomm5 die zweite ,art1 w5n wir zu demselb5 ,zwecke e9e ,spiegelung an e9] ,diametraleb5e v]w5d54 ,die analytis*e ,beh&lung1 wie wir sie bi%] b5utzt51 entspri*t nur d5 ,abbildung5 d] er/5 ,art4 ,s9d =mula und =mula zwei complexe ,function5 des ,ortes auf d]selb5 ,fl*e1 s lief]t =mula1 =mula die allgeme9/e ,abbildung er/] ,art 7v]gl4 4 #f74 ,ab] es i/ lei*t zu seh51 wie man die ,erweit]ung zu treff5 hat1 um au* ,abbildung5 zweit] ,art zu umfass54 ,man hat e9fa* =mula1 =mula zu setz51 um e9e ,abbildung zweit] ,art zu hab54 ,entnehm5 wir zun*/ d5 ,entwickelung5 des vorig5 ,p>agraph51 0 si* auf ,abbildung d] er/5 ,art bezieht4 ,indem wir uns mgli*/ geometris*] ,ausdrucksweise b$i551 =mulir5 wir die folg5d5 ,!oreme3 ,fl*5 =mula od] =mula knn5 imm]1 ,fl*5 =mula niemals un5dli* (t dur* ,abbildung d] er/5 ,art 9 si* b]gefhrt w]d54 ,bei d5 ,fl*5 =mula i/ die e9zelne ,abbildung d] er/5 ,art be/immt1 w5n man drei beliebige ,puncte d] ,fl*e drei beliebig5 ,punct5 d]selb5 zugeordnet hat4 ,i/ =mula1 s d>f man e95 beliebig5 ,punct d] ,fl*e e9em zweit5 na* ,willkr zuweis51 und hat dann no* zur ,be/immung d] ,abbildung er/] ,art im ,allgeme95 e9e zweifa*e1 im besond]5 ,falle e9e vi]fa*e od] se*sfa*e ,mgli*keit4 ,mit dies5 ,stz5 i/ natrli* ni*t ausges*loss51 dass besond]e ,fl*5 =mula dur* getr5nte ,trans=mation5 d] er/5 ,art 9 si* b]geh5 mg54 ,tritt diess e91 s bildet es e9e bei beliebig] con=m5 ,umnd]ung d] ,fl*e inv>iante ,eig5s*aft1 na* d]5 ,vorh&5se9 und ,modalitt besond]s int]essante ,fl*5class5 aus d] ,gesamm!it d] brig5 h]ausgehob5 w]d5 knn547#dc7 ,do* v]folg5 wir hi] dies5 ,gesi*tspunct ni*t weit]4 ,betreffs d] ,trans=mation5 zweit] ,art mg5 wir voran/ell51 dass j$e ,trans=mation d] zweit5 ,art 9 ,v]b9dung mit e9] sol*5 d] er/5 ,art e9e neue ,trans=mation d] zweit5 ,art ergibt4 ,nun k5n5 wir bei d5 ,fl*5 =mula und =mula die ,trans=mation5 er/] ,art auf ,grund d] angegeb55 ,stze voll/ndig4 ,es wird bei ihn5 also g5g51 zu unt]su*51 ob b]haupt e9e ,trans=mation d] zweit5 ,art exi/irt4 ,bei d5 ,fl*5 =mula i/ diess s(ort zu bejah54 ,d5n es g5gt1 e9e beliebige d] e9deutig5 ,function5 des ,ortes mit nur e9em ,un5dli*keitspuncte1 =mula1 h]auszugreif51 und dann =mula1 =mula zu setz54 ,bei d5 ,fl*5 =mula i/ die ,sa*e &]s4 ,man f9det1 dass im ,allgeme95 ke9e ,trans=mation d] zweit5 ,art exi/irt4 ,zum ,beweise i/ es am e9fa*/51 die ,w]! 9 ,betra*t zu zieh51 wel*e das b]all endli*e ,integral ,w auf d] ,fl*e =mula annimmt4 ,man d5ke si* 9 d] ,eb5e ,w die ,puncte =mula m>kirt1 unt] =mula wie ob5 beliebige positive od] negative ganze ,zahl5 v]/&54 ,man zeigt dann lei*t1 dass e9e ,trans=mation d] zweit5 ,art d] ,fl*e =mula 9 si* nur dann mgli* i/1 w5n dieses ,punctsy/em e9e ,symmetrieaxe besitzt4 ,es i/ diess g]ade d] ,fall1 9 wel*em die ob5 def9irte absolute ,inv>iante ,j e95 reell5 ,w]? aufwei/4 ,je na*dem dabei =mula od] =mula1 knn5 j5e ,puncte 9 d] ,w-,eb5e als die ,eck5 e9es rhombis*5 od] e9es re*teckig5 ,sy/ems betra*tet w]d54 ,sei nun =mula4 ,w5n fr e9e sol*e ,fl*e e9e ,trans=mation d] zweit5 ,art exi/irt1 s wird dieselbe im ,allgeme95 von ke9] weit]5 ,trans=mation d]selb5 ,art begleitet se97#dd74 ,d5n son/ wrde die ,wi$]holung od] ,comb9ation dies] ,trans=mation5 e9e von d] ,id5titt v]s*i$5e ,trans=mation d] er/5 ,art lief]n4 ,die ,trans=mation muss dah] no?w5dig e9e symmetris*e se91 d4 h4 e9e sol*e1 wel*e die ,puncte d] ,fl*e pa>weise zusamm5ordnet4 ,i* w dem5tspre*5d die ,fl*e selb/ e9e symmetris*e n5n54 ,uebrig5s mg5 h9t]h] unt] diesem ,nam5 b]haupt alle ,fl*5 mit e9begriff5 se91 wel*e ,trans=mation5 zweit] ,art 9 si* zulass51 die zweimal angew&t zur ,id5titt zurckfhr54 ,es gehr5 dah91 wie man s(ort sieht1 die ,fl*5 =mula1 s[ie au* smmtli*e ,fl*5 =mula mit reell] ,inv>iante4 4 #ba4 ,besond]e ,betra*tung d] symmetris*5 ,fl*54 ,fr die symmetris*5 ,fl*51 auf die wir hi] uns] besond]es ,aug5m]k ri*t5 woll51 ergibt si* s(ort e9e ,e9!ilung na* d] ,zahl und ,art d] auf ihr bef9dli*5 ,ueb]gangscurv51 d4 h4 d]j5ig5 ,curv51 d]5 ,puncte bei d] 9 ,betra*t komm5d5 symmetris*5 ,um=mung ungend]t bleib54 ,die ,zahl dies] ,curv5 kann j$5falls ni*t grss] se91 als =mula4 ,d5n w5n man e9e ,fl*e lngs all] ihr] ,ueb]gangscurv5 mit ,ausnahme e9] e9zig5 z]s*neidet1 s bildet sie1 indem ihre symmetris*5 ,hlft5 no* imm] 9 d] e95 ,ueb]gangscurve zusamm5hng51 na* wie vor e9 ungetr5ntes ,ganze4 ,es wrd5 si* also1 w5n mehr als =mula ,ueb]gangscurv5 vorh&5 wr51 auf d] ,fl*e mehr als p ni*t z]/ck5de ,rckkehrs*nitte ausfhr5 lass51 0 e9 ,wid]spru* geg5 die ,def9ition d] ,zahl p i/4 ,dageg5 i/ unt]halb dies] ,grnze j$e ,zahl von ,ueb]gangscurv5 mgli*4 ,es mag hi] g5g51 9 diesem ,s9ne die ,flle =mula und =mula zu discutir52 fr die hh]5 p ergeb5 si* dann von selb/ nahelieg5 de ,beispiele4 #a7 ,w5n wir e9e ,kugel dur* ,spiegelung an e9] ,diametraleb5e mit si* zur ,deckung br+51 s bildet d] grs/e ,kreis1 9 wel*em sie von d] ,diametraleb5e ges*nitt5 wird1 e9e ,ueb]gangscurve4 ,wir erhalt5 e9e ,zuordnung d] &]5 ,art indem wir je zwei sol*e ,puncte d] ,kugel entspre*5d setz51 wel*e die ,endpuncte e9es ,dur*mess]s bild54 ,beide ,beispiele s9d lei*t zu g5]alisir54 ,die analytis*e ,d>/ellung i/ diese4 ,w5n e9e ,ueb]gangscurve exi/irt1 s gibt es e9deutige ,function5 des ,ortes mit nur e9em ,un5dli*keitspuncte1 die auf d] ,ueb]gangscurve reelle ,w]! annehm54 ,heis/ e9e d]selb5 =mula1 s i/ die ,um=mung1 wie ob5 s*on als ,beispiel angegeb51 dur* =mula1 =mula gegeb54--,im zweit5 ,falle kann man e9e ,function =mula s whl51 dass ihre ,w]! =mula und #j1 s[ie =mula und =mula zusamm5geordnete ,puncte vor/ell54 ,dann i/ =mula die analytis*e ,=mel d] betreff5d5 ,umnd]ung4 #b7 ,im ,falle =mula mss5 wir die ,inv>iante ,j1 wie wir wiss51 j$5falls reell nehm54 ,sei dieselbe zun*/ =mula4 ,dann knn5 wir das zugehrige b]all endli*e ,integral ,w 7dur* ,zufgung e9es geignet5 con/ant5 ,factors7 s normir51 dass die e9e ,p]iode reell1 glei* a1 die &]e re9 imag9r1 glei* =mula1 wird4 ,setz5 wir dann 7fr =mula73 =mula s hab5 wir e9e symmetris*e ,um=mung d] ,fl*e =mula mit d5 zwei ,ueb]gangscurv53 =mula s*reib5 wir dageg53 =mula 0 wi$] e9e symmetris*e ,um=mung uns]] ,fl*e i/1 s hab5 wir d5 ,fall1 9 wel*em ke9e ,ueb]gangscurve ent/eht4--,d] ,fall mit nur e9] ,ueb]gangscurve tritt e91 w5n wir =mula nehm54 ,wir knn5 dann ,w s whl51 dass se9e beid5 ,p]iod5 conjugirt complex w]d54 ,wir s*reib5 dann wi$] =mula und hab5 e9e symmetris*e ,um=mung mit d] e95 ,ueb]gangscurve =mula4 ,neb5 die hi]mit erlut]te er/e ,unt]s*eidung d] symmetris*5 ,fl*5 na* d] ,zahl d] ,ueb]gangscurv5 /ellt si* ab] no* e9e zweite4 ,i* w die ,flle von #j od] =mula ,ueb]gangscurv5 e95 ,aug5blick auss*liess54 ,dann bietet si* von vorneh]e9 e9e doppelte ,mgli*keit4 ,e9e ,z]s*neidung d] ,fl*e lngs smmtli*] ,ueb]gangscurv5 mag nmli* entw$] e9 ,z]fall5 d] ,fl*e h]beifhr51 od] ni*t4 ,es sei =mula die ,zahl d] ,ueb]gangscurv54 ,man zeigt dann lei*t1 dass =mula ung]ade se9 muss1 w5n e9 ,z]fall5 e9tret5 soll4 ,e9e weit]e ,bes*rnkung exi/irt ni*t1 wie man an ,beispiel5 bewei/4 ,wir woll5 dem5tspre*5d symmetris*e ,fl*5 d] e95 und d] &]n ,art unt]s*eid5 und d5 er/]5 7d5 z]fall5d57 ,fl*5 die ,fl*e mit =mula ,ueb]gangscurv51 d5 letzt]5 die ,fl*e ohne ,ueb]gangscurve zure*n54 ,diese ,stze besitz5 e9e gewisse ,analogie mit d5 ,resultat51 wel*e 9 d] analytis*5 ,geometrie die ge/altli*e ,unt]su*ung d] ,curv5 von gegeb55 p erzielt hat47#de7 ,und 9 d] ,t zeigt si*1 dass diese ,analogie e9e begrndete i/4 ,die analytis*e ,geometrie bes*ftigt si* bei j55 ,unt]su*ung5 7zun*/7 nur mit sol*5 ,glei*ung5 =mula wel*e reelle ,coeffici5t5 besitz54 ,bea*t5 wir zun*/1 dass j$e sol*e ,glei*ung b] d] z-,eb5e 9 d] ,t e9e symmetris*e ,riemann's*e ,fl*e be/immt1 ins(]n ja die ,glei*ung und also au* die ,fl*e ungend]t be/eh5 bleibt1 w5n man w und z glei*zeitig dur* ihre conjugirt5 ,w]! ersetzt--und dass die ,ueb]gangscurv5 auf dies] ,fl*e d5 reell5 ,w]!reih5 von w und z entspre*51 wel*e =mula befri$ig51 d4 h4 g5au d5 v]s*i$55 ,zg51 wel*e die ,curve =mula im ,s9ne d] analytis*5 ,geometrie aufwei/4 ,ab] au* d] ,rcks*luss i/ lei*t zu ma*54 ,sei e9e symmetris*e ,fl*e und auf ihr e9e beliebige complexe ,function des ,ortes1 =mula1 gegeb54 ,bei d] symmetris*5 ,um=mung erfhrt uns]e ,fl*e e9e ,umlegung d] ,w9kel4 ,w5n man also j$em ,puncte d] ,fl*e sol*e ,w]! =mula1 =mula beilegt1 wie sie1 unt] d] ,b55nung u1 v1 se9 symmetris*] ,punct aufwei/1 s wird =mula e9e neue complexe ,function des ,ortes se94 ,man bilde nun3 =mula s hat man e95 ,ausdruck1 d] im allgeme95 ni*t id5tis* v]s*w9det2 es g5gt zu dem ,zwecke1 die ,un5dli*keitspuncte von =mula 9 unsymmetris*] ,weise anzunehm54 ,man hat also e9e complexe ,function des ,ortes1 wel*e 9 symmetris* geleg55 ,punct5 glei*e reelle ab] entgeg5gesetzt glei*e imag9re ,w]! aufwei/4--,sol*] =mula mg5 nun irg5d zwei3 ,w und ,z1 die b]diess e9deutige ,function5 des ,ortes se9 soll51 h]ausgegriff5 w]d54 ,die zwis*5 dies5 be/eh5de algebrais*e ,glei*ung hat dann die ,eig5s*aft1 ungend]t zu bleib51 w5n man ,w und ,z glei*zeitig dur* ihre conjugirt5 ,w]! ersetzt4 ,sie i/ also e9e ,glei*ung mit reell5 ,coeffici5t51 womit d] ge=d]te ,beweis 9 d] ,t erbra*t i/4 ,i* knpfe an diese ,ueb]legung5 no* ,bem]kung5 h] die reell5 e9deutig5 ,trans=mation5 reell] ,glei*ung5 =mula 9 si*1 od]1 0 dasselbe i/1 b] sol*e con=me ,abbildung5 er/] ,art symmetris*] ,fl*5 auf si* selb/1 bei d55 symmetris*e ,puncte wi$] 9 symmetris*e ,puncte b]geh54 ,9 un5dli*] ,zahl knn5 sol*e ,trans=mation5 na* dem allgeme95 ,satze des 4 #ai nur fr =mula und =mula auftret52 wir bes*rnk5 uns also auf diese ,flle4 ,nehm5 wir zuvrd]/ =mula4 ,dann seh5 wir s(ort1 dass unt] d5 frh] aufge/ellt5 ,trans=mation5 nur no* diej5ig5 =mula 9 ,betra*t komm51 bei d55 ,c e9e reelle ,con/ante b$eutet4 ,analog 9 dem er/5 ,falle =mula4 ,die ,beziehung =mula bleibt ungend]t1 w5n man =mula und =mula glei*zeitig d]selb5 l9e>5 ,trans=mation3 =mula unt]wirft1 wo die ,v]hltnissgrss5 =mula reell s9d4 ,9 dem zweit5 ,falle =mula i/ die ,sa*e etwas complicirt]4 ,au* bei ihm s9d l9e>e ,trans=mation5 mit drei reell5 ,p>amet]n mgli*4 ,dieselb5 nehm5 ab] fr das ob5 e+efhrte z die folg5de ,ge/alt an3 =mula wo =mula die drei reell5 ,p>amet] vor/ell54 ,dieses ,resultat i/ implicite 9 d5 ,unt]su*ung5 en?alt51 die si* auf die analytis*e ,reprs5tation d] ,drehung5 d] =mula-,kugel um ihr5 ,mittelpunct bezieh547#df7 #bb4 ,con=me ,abbildung v]s*i$5] ,fl*5 auf e9&]4 ,w5n es si* jetzt d>um h&elt1 v]s*i$5e ges*loss5e ,fl*5 auf e9&] abzubild51 s lief]n die vorausges*ickt5 ,unt]su*ung5 b] die con=me ,abbildung ges*loss5] ,fl*5 auf si* selb/ die n?ig5 ,neb5be/immung51 wel*e angeb51 wie (t si* e9e sol*e ,abbildung ge/altet1 s(]n e9e sol*e b]haupt mgli* i/4 ,fl*51 wel*e si* con=m aufe9&] abbild5 lass51 besitz5 j$5falls 7wie s*on h]vorgehob57 b]e9/imm5de ,trans=mation5 9 si* selb/4 ,man erhlt also alle ,abbildung5 d] e95 ,fl*e auf die zweite1 w5n man e9e beliebige ,abbildung mit all5 sol*5 v]b9det1 wel*e e9e d] beid5 ,fl*5 9 si* selb/ b]fhr54 ,i* w]de hi]auf ni*t weit] zurckkomm54 ,betra*t5 wir nun zuvrd]/ allgeme9e1 d4 h4 ni*t symmetris*e ,fl*54 ,dann tret5 die ,abzhlung5 des 4 #ai betreffs d] ,moduln algebrais*] ,glei*ung5 unmittelb> 9 ,geltung4 ,wir hab5 zun*/3 ,fl*5 =mula lass5 si* imm] con=m auf e9&] abbild52 und f9d5 brig5s1 dass die ,fl*5 =mula e951 die ,fl*5 =mula =mula bei con=m] ,abbildung unz]/rb>e ,moduln besitz54 ,j$] sol*e ,modul i/ im ,allgeme95 e9e complexe ,con/ante4 ,dem ,um/&e entspre*5d1 dass bei symmetris*5 ,fl*5 reelle ,p>amet] 9 ,betra*t gezog5 w]d5 mss51 woll5 wir ihn 9 se95 reell5 und se95 imag9r5 ,be/&!il z]legt d5k54 ,dann hab5 wir3 ,soll5 zwei ,fl*5 =mula auf e9&] abbildb> se91 s s9d im ,falle =mula zwei1 im ,falle =mula =mula ,glei*ung5 zwis*5 d5 reell5 ,con/ant5 d] ,fl*5 zu erfll54 ,indem wir uns jetzt zu d5 symmetris*5 ,fl*5 w5d51 hab5 wir no* e9e kle9e ,zwis*5betra*tung zu ma*54 ,zun*/ i/ ersi*tli*1 dass zwei sol*e ,fl*5 nur dann symmetris*'' auf e9&] bezog5 w]d5 knn51 w5n sie neb5 dem glei*5 p dieselbe ,zahl =mula d] ,ueb]gangscurv5 d>biet5 und b]diess beide entw$] d] er/5 od] d] zweit5 ,art angehr54 ,im ,uebrig5 wi$]hole man speciell fr die symmetris*5 ,fl*5 die ,abzhlung5 des 4 #ac betreffs d] ,zahl d] 9 e9deutig5 ,function5 en?alt55 ,con/ant5 unt] d] ,b$+ung1 dass nur sol*e ,function5 9 ,betra*t gezog5 w]d51 wel*e an symmetris*5 ,/ell5 conjugirt imag9re ,w]! aufweis54 ,hi]mit comb9ire man sodann na* dem ,mu/] des 4 #ai die ,zahl sol*] b] d] ,z-,eb5e con/ruirb>] mehrblttrig] ,fl*51 wel*e 9 ,bezug auf die ,axe d] reell5 ,zahl5 symmetris* s9d4 ,i* w dabei1 um das ,auftret5 un5dli* viel] ,trans=mation5 9 si* zu v]meid51 zuvrd]/ annehm51 dass =mula sei4 ,die ,sa*e i/ dann s e9fa*1 dass i* sie ni*t speciell dur*zufhr5 brau*e4 ,d] ,unt]s*i$ i/ nur1 dass die 9 ,betra*t komm5d51 frh] unbes*rnkt5 ,con/ant5 nunmehr gezwung5 s9d1 entw$] e9zeln reell od] pa>weise conjugirt complex zu se94 ,9 ,folge dess5 r$ucir5 si* alle ,willkrli*keit5 auf die ,hlfte4 ,wir mg5 folg5d]mass5 sag53 ,zur ,abbildb>keit zwei] symmetris*] ,fl*5 =mula auf e9&] i/ neb5 d] ,ueb]e9/immung 9 d5 ,attribut5 das ,be/eh5 von =mula ,glei*ung5 zwis*5 d5 reell5 ,con/ant5 d] ,fl*e er=d]li*4 ,die ,flle =mula und =mula1 wel*e hi]bei ausges*loss5 wurd51 s9d implicite b]eits im vorig5 ,p>agraph5 erl$igt4 ,selb/v]/ndli* mss5 zwei symmetris*e ,fl*5 =mula1 die si* auf e9&] soll5 abbild5 lass51 die glei*e ,inv>iante ,j besitz51 0 e9e ,b$+ung fr die ,con/ant5 d] ,fl*5 abgibt1 ins(]n ,j j$5falls reell i/4 ,im ,uebrig5 ab] f9det man s(ort1 dass die ,abbildung si* allemal ermgli*t1 sobald die symmetris*5 ,fl*51 wie dies selb/v]/ndli* v]langt w]d5 muss1 9 d] ,zahl d] ,ueb]gangscurv5 b]e9/imm54 4 #bc4 ,b]&ete ,fl*5 und ,doppelfl*54 ,auf ,grund d] nunmehr gewonn55 ,resultate knn5 wir d5 bi%]ig5 ,unt]su*ung5 b] die ,abbildung ges*loss5] ,fl*5 e9e s*e9b> b$eut5de ,v]allgeme9]ung zu ,!il w]d5 lass51 und habe i* eb5 des%alb die symmetris*5 ,fl*5 s ausfhrli* betra*tet4 ,wir knn5 jetzt nmli* b]&ete ,fl*5 und ,doppelfl*5 9 ,betra*t zieh5 7mg5 nun letzt]e b]&et se91 od] ni*t7 und mit e9em ,s*lage die auf sie bezgli*5 ,frag5 erl$ig54 ,hi]zu gehrt1 0 die ,e9fhrung d] ,r&curv5 angeht1 dass wir uns von e9] gewiss5 ,bes*rnkung befrei51 wel*e wir bi%]1 all]d+s nur implicite1 vorausgesetzt hab54 ,wir da*t5 uns die ,fl*51 auf d55 wir op]irt51 bislang dur*weg als /etig gekrmmt1 od] do* nur 9 e9zeln5 ,punct5 7d5 ,v]zweigungspunct57 mit ,un/etigkeit5 behaftet4 ,ab] ni*ts h9d]t uns1 jetzt h9t]h] au* &]e ,un/etigkeit5 zuzulass54 ,wir w]d5 uns z4 ,b4 vor/ell5 drf51 dass uns]e ,fl*e aus e9] endli*5 ,anzahl v]s*i$5] 7im ,allgeme95 selb/ gekrmmt]7 ,/cke1 wel*e unt] endli*5 ,w9keln zusamm5/oss51 poly$]>tig zusamm5gesetzt sei4 ,knn5 wir uns do* auf e9] sol*5 ,fl*e eb5sogut elektris*e ,/rme v]lauf5d d5k51 wie auf e9] /etig gekrmmt56 ,unt] diese ,fl*5 nun lass5 si* die b]&et5 ,fl*5 subsumir547#dg7 ,man fasse nmli* die beid5 ,seit5 d] b]&et5 ,fl*e als ,poly$]fl*5 auf1 wel*e lngs d] ,r&curve 7also dur*weg unt] e9em ,w9kel von #cfj ,grad7 zusamm5/oss5 und beh&ele nunmehr /att d] ursprngli*5 b]&et5 ,fl*e die aus beid5 ,seit5 zusamm5gesetzte ,gesammtfl*e47#dh7 ,diese ,gesammtfl*e i/ dann 9 d] ,t e9e ges*loss5e ,fl*e4 ,sie i/ ab] b]diess e9e symmetris*e ,fl*e4 ,d5n w5n man die b]e9&]lieg5d5 ,puncte d] beid5 ,fl*5seit5 v]taus*t1 s erfhrt die ,gesammtfl*e e9e con=me ,abbildung auf si* selb/ mit ,umlegung d] ,w9kel4 ,die ,r&curv5 s9d dabei die ,ueb]gangscurv54 ,zuglei* ab] gew9nt uns]e ,e9!ilung d] symmetris*5 ,fl*5 9 zwei]lei ,art5 e9e wi*tige und dur*s*lag5de ,b$eutung4 ,die gewhnli*5 b]&et5 ,fl*51 bei d55 man zwei ,fl*5seit5 unt]s*eid5 kann1 entspre*5 (f5b> d] er/5 ,art4 ,d] zweit5 ,art ab] correspondir5 die ,doppelfl*51 bei d55 man von e9] ,fl*5seite dur* cont9uirli*es ,=ts*reit5 b] die ,fl*e h9 zur &]5 gelang5 kann4 ,au* d] ,fall i/ ni*t auszus*liess5 7wie b]eits ang$eutet71 dass die ,doppelfl*e b]haupt ke9e ,r&curve besitz5 mag4 ,wir hab5 dann e9e symmetris*e ,fl*e ohne ,ueb]gangscurve vor uns4 ,i* betra*te nunmehr d] ,reihe na* die v]s*i$55 ause9&]zuhalt5d5 ,flle4 #a7 ,sei zuvrd]/ e9e e9fa* b]&ete1 e9fa* zusamm5hng5de ,fl*e gegeb54 ,e9e sol*e ,fl*e ers*e9t fr uns als e9e ges*loss5e ,fl*e =mula1 wel*e unt] ,auftret5 e9] ,ueb]gangscurve symmetris* auf si* selb/ bezog5 i/4 ,wir f9d5 also1 dass zwei sol*e ,fl*5 si* allemal dur* ,abbildung d] e95 od] d] &]5 ,art con=m auf e9&] bezieh5 lass51 und dass man dabei 9 j$em d] beid5 ,flle no* drei reelle ,con/ant5 zur willkrli*5 ,v]fgung hat4 ,wir knn5 die letzt]5 insbesond]e dazu b5utz51 um e95 beliebig5 inn]5 ,punct d] e95 ,fl*e e9em entspre*5d geleg55 ,puncte d] &]5 ,fl*e zuzuweis5 und b]diess e95 beliebig5 ,r&punct d] e95 ,fl*e e9em beliebig5 ,r&puncte d] &]54 ,diese ,be/immungsweise entspri*t dem bekannt5 ,satze1 d5 ,riemann betreffs d] con=m5 ,abbildung e9] e9fa* b]&et51 e9fa* zusamm5hng5d51 eb55 ,fl*e auf die ,fl*e e9es ,kreises gegeb5 und 9 ,nro4 #ba se9] ,diss]tation als ,beispiel fr die ,anw5dung se9] ,!orie auf ,probleme d] con=m5 ,abbildung ausfhrli* erlut]t hat4 #b7 ,wir betra*t5 f]n] ,doppelfl*5 =mula 7ohne ,r&curv574 ,aus 4 #ba1 #bb folgt s(ort1 dass zwei sol*e ,fl*5 allemal con=m auf e9&] bezog5 w]d5 knn51 und man dabei1 d5 ,s*luss=meln des 4 #ba entspre*5d1 no* drei reelle ,con/ant5 zu beliebig] ,v]fgung hat4 #c7 ,die v]s*i$55 hi] 9 ,betra*t komm5d5 ,flle1 wel*e e9e ,gesammtfl*e =mula ergeb51 betra*t5 wir geme9sam4 ,es gehr5 dah9 zun*/ die zweifa* b]&et51 zweifa* zusamm5hng5d5 ,fl*51 also ,fl*51 die wir uns im e9fa*/5 ,falle als ges*loss5e ,bnd] vor/ell5 drf54 ,es gehr5 dah9 f]n] die bekannt5 ,doppelfl*5 mit nur e9] ,r&curve1 die man erhlt1 w5n man die beid5 s*mal5 ,seit5 e9es re*teckig5 ,papi]/reif5s zusamm5biegt1 na*dem man d5 ,/reif5 um #ahj ,grad tordirt hat4 ,es gehr5 endli* dah9 gewisse unb]&ete ,doppelfl*54 ,man kann si* von d5selb5 e9 ,bild ma*51 indem man etwa e9 ,/ck e9es ,kauts*uks*lau*es um/lpt und nun s si* selb/ dur*dr+5 ls/1 dass bei ,zusamm5biegung d] ,end5 die ,auss5seite mit d] ,inn5seite zusamm5kommt4 ,bezgli* all] dies] ,fl*5 besag5 die frh]5 ,stze1 dass die ,abbildb>keit d] e9zeln5 ,fl*e auf e9e zweite d]selb5 ,art das ,be/eh5 e9] ab] nur e9] ,glei*ung zwis*5 d5 reell5 ,con/ant5 d] ,fl*5 voraussetzt1 dass ab] die ,abbildung1 w5n b]haupt1 9 un5dli* viel5 ,weis5 ges*eh5 kann1 indem man e9 doppeltes ,vorzei*5 und e9e reelle ,con/ante zu beliebig] ,v]fgung hat4 #d7 ,wir nehm5 nunmehr d5 allgeme95 ,fall e9] zweiseitig5 ,fl*e4 ,die ,fl*e soll =mula ,r&kurv5 besitz5 und b]diess =mula ni*t z]/ck5de ,rckkehrs*nitte zulass51 wobei entw$] =mula se9 muss od] =mula4 ,dann wird die aus ,vord]- und ,rckseite gebildete ,gesammtfl*e =mula ni*t z]/ck5de ,rckkehrs*nitte zulass54 ,d5n man kann er/5s die =mula na* ,voraussetzung auf d] e9fa*5 ,fl*5seite mgli*5 ,rckkehrs*nitte jetzt doppelt b5utz5 7s[ohl auf d] ,vord]seite1 als d] ,rckseite71 man kann f]n] no* lngs =mula d] vorh&55 ,r&curv5 ,s*nitte anbr+51 ohne dass die ,gesammtfl*e aufhrte1 e9 e9ziges zusamm5hng5des ,fl*5/ck zu bild54 ,wir w]d5 also 9 d5 ,stz5 des vorig5 ,p>agraph5 =mula setz5 und hab53 ,zwei ,fl*5 d] betra*tet5 ,art lass5 si*1 w5n b]haupt1 nur auf e9e endli*e ,anzahl von ,weis5 auf e9&] abbild54 ,die ,abbildb>keit hngt von =mula ,glei*ung5 zwis*5 d5 reell5 ,con/ant5 d] ,fl*5 ab4 #e7 ,wir hab5 endli* d5 allgeme95 ,fall d] ,doppelfl*e mit =mula ,r&curv5 und ,p auf d] doppelt g$a*t5 ,fl*e neb5 d5 ,r&curv5 mgli*5 ,rckkehrs*nitt54 ,indem wir die drei unt] #b7 und #c7 betra*tet5 ,mgli*keit5 7=mula1 =mula od] #a1 und =mula1 =mula7 bei ,seite lass51 erhalt5 wir d5selb5 ,satz1 wie unt] #d71 nur dass b]all /att =mula die ,summe =mula zu s*reib5 i/1 wo ,p na* ,belieb5 e9e g]ade od] ung]ade ,zahl se9 kann4 ,insbesond]e betrgt die ,zahl d] reell5 ,con/ant5 e9] ,doppelfl*e1 die bei beliebig] con=m] ,abbildung ungend]t bleib51 =mula4-- ,unt] die hi]mit gewonn55 ,resultate subsumir5 si* die allgeme95 ,!oreme und ,entwickelung51 wel*e ,h]r ,s*ottky 9 se9] wi$]holt citirt5 ,abh&lung gegeb5 hat1 als specielle ,flle4 4 #bd4 ,s*lussbem]kung4 ,die ,entwickelung5 des nunmehr zu ,ende gefhrt5 letzt5 ,abs*nitt's dies] ,s*rift sollt51 wie wi$]holt gesagt1 d5 ,&eutung5 entspre*51 mit d55 ,riemann se9e ,diss]tation abs*loss4 ,all]d+s hab5 wir uns auf e9deutige ,beziehung zwei] ,fl*5 dur* con=me ,abbildung bes*rnkt4 ,riemann hat1 wie er ausspri*t1 eb5s[ohl an mehrdeutige ,beziehung g$a*t4 ,man wrde si* dem5tspre*5d j$e d] beid5 9 ,v]glei* komm5d5 ,fl*5 mit mehr]5 ,bltt]n b]deckt vor/ell5 mss5 und er/ die s ent/eh5d5 mehrblttrig5 ,fl*5 con=m e9deutig zu bezieh5 hab54 ,die ,v]zweigungspuncte1 wel*e diese mehrblttrig5 ,fl*5 besitz5 mg51 wrd5 eb5soviele neue1 zur ,disposition /eh5de complexe ,con/ante abgeb54--,hi]zu i/ zu bem]k51 dass wir w5ig/5s e95 ,fall e9] sol*5 ,beziehung b]eits ausfhrli* 9 ,betra*t gezog5 hab54 ,indem wir e9e beliebige ,fl*e mehrblttrig b] die ,eb5e ausbreitet5 74 #ae71 hab5 wir zwis*5 ,fl*e und ,eb5e e9e ,beziehung h]ge/ellt1 die von d] e95 ,seite mehrdeutig i/4 ,es i/ dann weit] h]vorzuheb51 dass eb5 dies] specielle ,fall au* zwei beliebige ,fl*5 mehrdeutig auf e9&] bezieh5 ls/4 ,d5n s9d er/ die beid5 ,fl*5 auf die ,eb5e abgebildet1 s s9d sie1 dur* ,v]mittelung d] ,eb5e1 au* auf e9&] bezog54--,mit dies5 ,bem]kung5 i/ die ,frage na* d] mehrdeutig5 ,abbildung natrli* ke9eswegs ers*pft4 ,ab] es i/ do* e9e ,grundlage zu ihr] ,beh&lung gewonn51 indem gezeigt i/1 wie sie si* 9 die brig5 function5!oretis*5 ,speculation5 ,riemann's1 von d55 wir hi] ,re*5s*aft zu geb5 hatt51 e9fgt4 ,,footnotes #a ,sei insbesond]e auf die ,d>/ellung v]wies51 wel*e ,maxwell 9 se9em ,treatise on ,electricity & ,magnetisme 7,cambridge #ahgc7 gegeb5 hat4 ,dieselbe entspri*t1 0 ans*auungsmssige ,beh&lung angeht1 g5au d5 ,gesi*tspunct51 die au* i* im ,texte v]folge4 #b ,man v]gl4 d5 grundleg5d5 ,aufsatz von ,kir*h(f im #fd4 ,b&e von ,pogg5dorff's ,annal53 ,ueb] d5 ,dur*gang e9es elektris*5 ,/romes dur* e9e ,eb5e 7#ahde74 #c ,die ,behauptung5 des ,textes hng51 wie man weiss1 auf das ,eng/e mit d] ,!orie d] sog5annt5 ,doppelbelegung5 zusamm51 weg5 d]5 man ,helmholtz 9 ,pogg5dorffs ,annal5 ,bd4 #hi1 p4 #bbd ff4 7,ueb] e9ige ,gesetze d] ,v]!ilung elektris*] ,/rme 9 krp]li*5 ,leit]n1 #ahec7 s[ie ,c4 ,neumann 9 dess5 ,bu*e3 ,unt]su*ung5 b] das ,log>i?mis*e und ,newton's*e ,pot5tial 7,leipzig1 ,teubn]1 #ahgg7 v]glei*5 mag4 #d ,na* dem ,vorgnge von ,c4 ,neumann1 ,vorlesung5 b] ,riemann's ,!orie d] ,abel's*5 ,integrale1 ,leipzig1 #ahfe4--;,die ,e9fhrung d] ,kugelfl*e luft sozusag5 d] ,ersetzung von z dur* das ,v]hltniss =mula zwei] ,v>iabl] p>allel1 wodur*1 wie man weiss1 die ,beh&lung un5dli* gross] ,w]! von z au* =mal unt] die d] endli*5 ,w]! subsumirt wird4 #e ,unt] =mula1 =mula1 =mula re*tw9klige ,coord9at5 v]/&51 sei die ,glei*ung d] ,kugel =mula4 ,projectionspunct sei =mula1 =mula1 =mula1 ,projectionseb5e 7=mula-,eb5e7 die geg5b]lieg5de ,tang5tialeb5e 7die =mula-,eb5e74 ,dann folgt3 =mula ,bezei*net man mit =mula das ,bog5elem5t d] ,eb5e1 mit =mula das entspre*5de ,bog5elem5t d] ,kugel1 s kommt3 =mula e9e ,=mel1 wel*e fr das ,folg5de ins(]n besond]s wi*tig i/1 als sie die ,abbildung als e9e con=me *>akt]isirt4 #f ,man v]glei*e hi]zu und zu d5 folg5d5 ,entwickelung53 ,beltrami1 ,delle v>iabili complesse sopra una sup]ficie qualunque2 ,annali di ,matematica1 s]4 #b1 t4 ,i1 p4 #cbi ff4--,die besond]e ,bem]kung1 dass ,ob]fl*5pot5tiale bei con=m] ,abbildung eb5sol*e bleib51 f9det si* 9 d5 9 d] ,vorr$e citirt5 ,s*rift5 von ,c4 ,neumann1 ,kir*h(f und ,tpl]1 dann au* z4 ,b4 bei ,haton de la ,g\pillire3 ,m?odes de trans=mation en ,gomtrie et en ,physique ,ma?matique1 ,j\rnal de l',ecole ,polyte*nique1 t4 ,,xxv1 #ahfg 7p4 #afi ff474 #g ,es i/ brig5s ni*t s*w]1 si* au* ohne alle ,=mel von d] ,ri*tigkeit j5] ,behauptung ,re*5s*aft zu geb52 man sehe die wi$]holt citirt5 ,arbeit5 von ,c4 ,neumann und ,tpl]4 #h ,e9 besond]s b]si*tli*es ,beispiel von do* ni*t zu elem5t>em ,*>akt] gibt die ,ikosa$]glei*wng 7siehe ,ma!matis*e ,annal51 ,bd4 ,,xii1 p4 #ejb ff474 ,dieselbe lautet1 wie man weiss3 =mula i/ also 7fr z7 e9e ,glei*ung vom se*szig/5 ,grade4 ,die ,un5dli*keitspunkte von w fall5 zu je #e 9 #ab ,punkte zusamm51 wel*e die ,eck5 e9es ,ikosa$]s s9d1 das d] ,kugel1 auf wel*] wir z deut51 e9bes*rieb5 i/4 ,d5 #bj ,seit5fl*5 dieses ,ikosa$]s entspre*5d z]legt si* die ,kugel 9 #bj glei*seitige sphris*e ,dreiecke4 ,die ,mittelpunkte dies] ,dreiecke s9d dur* =mula gegeb5 und /ell5 eb5soviele ,kreuzungspuncte von d] ,multiplicitt ,zwei fr die ,function w d>4 ,hi]na* k5nt man 7unt] ,e9re*nung d] ,un5dli*keitspuncte7 von d5 =mula ,kreuzungspunct5 b]eits =mula4 ,die #cj no* fehl5d5 w]d5 dur* die ,halbirungspuncte d] #cj ,kant51 die j55 #bj sphris*5 ,dreieck5 angehr51 gelief]t4 ,illu/ration3 ,fig4 #ac4 ,fig4 #ac4 ,die bei/eh5de ,figur reprs5tirt 9 s*ematis*] ,weise e9es j5] #bj ,dreiecke und auf ihm d5 ,v]lauf d] ,/rmungscurv52 auf d5 #ai brig5 ,dreieck5 i/ die ,sa*e g5au eb5so4 #i ,die 9 diesem ,p>agraph5 gegeb5e ,d>/ellung wei*t von d] dur* ,riemann selb/ gegeb55 zumal dadur* ab1 dass ,fl*5 mit ,r&curv5 vorab b]haupt ni*t 9 ,betra*t gezog5 w]d5 und also /att d] ,qu]s*nitte1 die von e9em ,r&puncte zu e9em zweit5 lauf51 sog5annte ,rckkehrs*nitte zur ,v]w5dung gelang5 7vgl4 ,c4 ,neumann1 ,vorlesung5 b] ,riemann's ,!orie d] ,abel's*5 ,integrale1 p4 #bia ff474 #aj ,es i/ imm] nur an ,um=mung dur* /etige ,function5 g$a*t4 ,ueb]dies soll5 bei d5 willkrli*5 ,fl*5 des ,textes bis auf ,weit]es gewisse besond]e ,vorkommnisse ausges*loss5 se94 ,es i/ am ,be/51 si* dieselb5 ohne alle s+ulre ,puncte zu d5k52 er/ spt] komm5 ,v]zweigungspuncte und damit ,selb/dur*setzung5 d] ,fl*e 9 ,betra*t 74 #ac74 ,die ,fl*5 drf5 j$5falls ke9e ,doppelfl*5 se91 bei d55 man von e9] ,fl*5seite dur* cont9uirli*es ,=ts*reit5 auf d] ,fl*e zur &]5 ,fl*5seite gelang5 kann2 man v]glei*e indess 4 #bc4 ,ueb]diess wird vorausgesetzt--wie man es imm] ?ut1 w5n man si* e9e ges*loss5e ,fl*e als f]tig gegeb5 d5kt--dass die ,fl*e dur* e9e endli*e ,zahl von ,s*nitt5 9 e9fa* zusamm5hng5de ,!ile z]legt w]d5 kann4 #aa ,damit soll ke9eswegs gesagt se91 dass diese ,art geometris*] ,evid5z ni*t no* d] nh]5 ,unt]su*ung b$rftig sei4 ,man v]glei*e die ,erlut]ung5 von ,g4 ,cantor 9 ,bor*>dt's ,j\rnal1 ,bd4 #hd1 p4 #bdb ff4 ,es bleib5 inzwis*5 diese ,unt]su*ung5 von d5 ,d>legung5 des ,textes ausges*loss51 da es fr letzt]e ,pr9cip i/1 auf ans*auungsmssige ,v]hltnisse als letzte ,begrndung zu recurrir54 #ab ,man sehe ,c4 ,jordan3 ,sur la d=mation des surfaces 9 ,li\ville's ,j\rnal1 s]4 #b1 ,bd4 #aa 7#ahff74 ,e9ige ,puncte1 die mir besond]] ,aufklrung zu b$rf5 s*i551 s9d 9 d5 ma!matis*5 ,annal51 ,bd4 ,,vii1 p4 #ebi1 und ,bd4 ,,ix1 p4 #dgf1 bespro*54 #ac ,die ,def9ition dies] ,un5dli*keitspuncte bezog si* zun*/ nur auf die ,eb5e1 bez4 die ,kugel4 ,ab] es i/ wohl kl>1 wie dieselbe auf beliebige krumme ,fl*5 zu b]trag5 i/3 die ,v]allgeme9]ung i/ s zu treff51 dass wir auf die alt5 ,un5dli*keitspuncte zurckkomm51 w5n wir die ,fl*e und die /ationr5 ,/rmung5 auf ihr dur* con=me ,abbildung auf die ,eb5e b]trag54--,9 dies] ,bes*rnkung h9si*tli* d] ,art d] ,un5dli*keitspuncte liegt au*1 wie i* hi] ni*t ausfhr5 kann1 dass nur e9e endli*e ,zahl von ,un5dli*keitspunct5 bei uns]5 ,/rmung5 mgli* i/4 ,desglei*5 folgt aus uns]5 ,prmiss51 wie beilufig h]vorgehob5 sei1 dass von ,kreuzungspunct5 bei uns]5 ,/rmung5 j$5falls au* nur e9e endli*e ,zahl auftritt4 #ad ,ueb] die ,p]iodicitt des imag9r5 ,!il's d] ,function soll hi]mit ke9]lei ,v]fgung getr(f5 se94 ,9 d] ,t i/ v bei gegeb5em u dur* die ,diff]5tialglei*ung5 7#a7 d] pag4 #a bis auf e9e additive ,con/ante voll/ndig be/immt und es unt]lieg5 also die ,p]iodicittsmoduln1 wel*e v an d5 ,qu]s*nitt5 =mula1 =mula besitz5 mag1 ke9]lei willkrli*] ,fe/setzung4 #ae ,e95 &]5 ,beweis siehe bei ,c4 ,jordan3 ,des cont\rs tracs sur les surfaces1 9 ,li\ville's ,j\rnal1 s]4 #b1 ,bd4 #aa 7#ahff74 #af ,weg5 dieses ,satzes siehe ,beltrami1 #a4 c4 p4 #ced4 #ag ,i* w brig5s d>an er9n]n1 dass man au* d5 ,gre5's*5 ,satz ans*auungsmssig begrnd5 kann4 ,vgl4 ,tait1 ,on ,gre5's & alli$ o!r !orems1 ,ed9burgh ,transactions1 #ahfi--gj1 p4 #fi ff4 #ah ,e9e sol*e ,ori5tirung i/ v]mu?li* au* fr d5 praktis*5 ,physik] von hohem ,w]!4 #ai ,d]>tige ,zei*nung5 gab i* b]eits 9 dem ,aufsatze3 ,ueb] d5 ,v]lauf d] ,abel's*5 ,integrale bei d5 ,curv5 vi]t5 ,grades1 ,ma!matis*e ,annal51 ,bd4 ,x4 ,all]d+s hab5 die ,riemann's*5 ,fl*5 daselb/ e9e etwas &]e ,b$eutung1 s dass bei ihn5 nur 9 b]trag5em ,s9ne von e9] ,flssigkeitsbewegung die ,r$e se9 kann2 v]gl4 die ,erlut]ung51 wel*e d>b] 9 4 #ag des ,na*folg5d5 gegeb5 w]d54 #bj ,zu e9em sol*5 ,beweise s*e9t vor all5 ,d+5 no?w5dig1 si* b] die v]s*i$55 ,mgli*keit5 kl> zu w]d51 die betreffs d] ,ueb]fhrung e9] gegeb55 ,fl*e 9 die ,normalfl*e des 4 #h vorlieg54 #ba ,s9d sie es ni*t1 s i/ die n*/e ,folge1 dass die ,zahl d] 9 m ,punct5 un5dli* w]d5d5 e9deutig5 ,function5 grss] wird als die im ,texte angegeb5e4 ,man k5nt die ,unt]su*ung51 wel*e zumal ,ro* b] diese ,mgli*keit ange/ellt hat 7,bor*>dt's ,j\rnal ,bd4 #fd2 v]gl4 au*1 0 die algebrais*e ,=mulirung betrifft3 ,brill und ,n!r1 b] die algebrais*5 ,function5 und ihre ,v]w5dung 9 d] ,geometrie1 ,ma!matis*e ,annal51 ,bd4 #g74 ,i* kann dies5 ,unt]su*ung5 im ,texte ni*t folg51 obglei* sie si* mit ,lei*tigkeit an die ,d>/ellung des ,abel's*5 ,!orems ans*liess5 lass51 wie sie ,riemann 9 ,nr4 #ad d] ,abel's*5 ,function5 giebt1--und w nur1 mit ,rcksi*t auf spt]e ,entwickelung5 des ,textes 7cf4 4 #ai71 d>auf h9weis51 dass e9e l9e>e ,abhngigkeit zwis*5 d5 =mula ,glei*ung5 j$5falls ni*t e9tritt1 w5n m die ,grnse =mula b]s*reitet4 #bb ,i* spre*e im ,folg5d5 dur*weg von d] ,eb5e1 /att von d] ,kugel1 um mi* mgli*/ an die gewhnli*e ,auffassungsweise anzus*liess54 #bc ,man v]glei*e hi]zu1 0 ,riemann 9 ,nr4 #ab se9] ,abel's*5 ,function5 b] die ,abbildung dur* b]all endli*e ,function5 sagt4 #bd ,wir hab5 ob5 74 #aa7 ohne ausgefhrt5 ,beweis angegeb51 dass die ,zahl d] ,kreuzungspuncte von =mula betrgt4 ,wie man jetzt sieht1 i/ diese ,behauptung e9e e9fa*e ,umsetzung d] bekannt5 ,relation1 wel*e die ,zahl d] ,v]zweigungspuncte 7od] vielmehr die ,gesammtmultiplicitt d]selb57 mit d] ,bltt]zahl m und dem p e9] mehrblttrig5 ,fl*e v]knpft unt] p die ,maximahlzahl d] ,rckkehrs*nitte v]/&51 die man auf dies] mehrblttrig5 ,fl*e zieh5 kann1 ohne sie zu z]/ck54 #be ,weg5 d] explicit5 ,=mulirung dies] ,relation5 v]glei*e man die gewhnli*5 ,lehrb*]1 sodann insbesond]e die ,s*rift von ,c4 ,neumann3 ,das ,diri*let's*e ,pr9cip 9 se9] ,anw5dung auf die ,riemann's*5 ,fl*51 ,leipzig #ahfe4 #bf ,es ent/eht hi] die int]essante ,frage1 ob es imm] mgli* i/1 mehrblttrige ,fl*5 mit beliebig5 ,v]zweigungspunct5 con=m 9 sol*e zu v]w&eln1 die dur*aus ke9e s+ulre ,/elle besitz5 ,diese ,frage greift b] die im ,texte zu beh&elnd5 ,geg5/nde h9aus1 ab] i* habe sie imm]h9 anfhr5 woll54 ,gel+t es im e9zeln5 ,falle ni*t1 s hab5 die vorgngig5 ,betra*tung5 des ,textes do* no* die ,b$eutung1 dass sie am e9fa*/5 ,beispiele die allgeme95 ,ide5 hab5 ent/eh5 lass5 und dadur* die ,beh&lung au* d] complicirt]5 ,vorkommnisse ermgli*t hab54 #bg ,v]gl4 ,kir*h(f2 ,monatsb]i*te d] ,b]l9] ,akademie von #ahge1 l4 c4 7wo brig5s explicite nur die ,beziehung zwis*5 ,r+fl*e und eb5em ,re*tecke bespro*5 wird74 #bh ,diese geometris*e ,umsetzung i/ natrli* ke9eswegs no?w5dig2 wir errei*5 dur* dieselbe nur d5 ,ans*luss an die gewhnli* e+ehalt5e ,d>/ellungsweise4 #bi ,im ,besond]5 kann diess &]s se94 ,w5n man w und z als ,p>allel-,coord9at51 die zwis*5 ihn5 be/eh5de ,glei*ung dur* e9e ,curve deutet1 s s9d es1 wie man weiss1 die ,doppelpuncte dies] ,curve1 wel*e j55 besond]5 ,vorkommniss5 entspre*54 #cj ,v]gl4 die e+eh5de ,beweisfhrung bei ,prym1 ,bor*>dt's ,j\rnal1 ,bd4 #hc1 p4 #bea ff43 ,beweis e9es ,riemann's*5 ,satzes4 #ca ,v]gl4 die betreff5d5 ,bem]kung5 d] ,vorr$e4 #cb ,v]gl4 me9e ,arbeit5 b] elliptis*e ,modulfunction5 9 d5 ,bnd5 #ad1 #ae1 #ag d] ma!matis*5 ,annal54 #cc ,man sehe insbesond]e die dem #ad4 ,annal5b&e beigegeb5e ,tafel 7,zur ,trans=mation sieb5t] ,ordnung d] elliptis*5 ,function5''7 s[ie die spt] no* zu n5n5de ,arbeit von ,dyck im #ag4 ,b&e daselb/4 #cd ,ueb] e9e neue ,art von ,riemann's*5 ,fl*5''1 ma!matis*e ,annal5 ,bd4 #g und #aj4 #ce ,siehe3 ,h>nack 7,ueb] die ,v]w]?ung d] elliptis*5 ,function5 fr die ,geometrie d] ,curv5 dritt5 ,grades7 im #i4 ,b&e d] ma!matis*5 ,annal51 siehe f]n] me95 s*on ob5 g5annt5 ,aufsatz3 ,ueb] d5 ,v]lauf d] ,abel's*5 ,integrale bei d5 ,curv5 vi]t5 ,grades'' im #aj4 ,b&e daselb/4 #cf ,sol*e ,be/immung5 ma*te z4 ,b4 ,hr4 ,ka/5 9 se9] ,inauguraldiss]tation3 ,zur ,!orie d] dreiblttrig5 ,riemann's*5 ,fl*e4 ,brem5 #ahgf4 #cg ,w5n es hi] wi$] ge/attet i/ auf eig5e ,arbeit5 zu v]weis51 s ges*ehe diess zun*/ mit ,bezug auf e9e ,/elle im #ab4 ,b&e d] ma!matis*5 ,annal5 7p4 #agc71 wo d] ,s*luss begrndet wird1 dass gewisse rationale ,function5 dur* die ,zahl ihr] ,v]zweigung5 vllig be/immt s9d1 sodann 9 ,bezug auf ,bd4 #ae1 p4 #ecc eb5da1 wo e9e ausfhrli*e ,betra*tung lehrt1 dass es zehn rationale ,function5 elft5 ,grades gibt1 die gewisse ,v]zweigungs/ell5 besitz54 #ch ,es folgt diese z4 ,b4 aus d5 ,stz5 von ,lro? und ,clebs*1 die man 9 d5 ,bnd5 #d und #f d] ma!matis*5 ,annal5 abgeleitet f9det4 #ci ,i* fhre dieses ,resultat1 wel*es aus d] ,!orie d] elliptis*5 ,function5 wohlbekannt i/1 im ,texte ohne ,beweis an4 #dj ,es i/ bei diesem ,satze an e9e cont9uirli*e ,s*a> von ,trans=mation51 also an ,trans=mation5 mit willkrli* v]nd]li*5 ,p>amet]n g$a*t4 ,ob e9e ,fl*e =mula unt] ,um/nd5 ni*t dur* un5dli* viele discrete ,trans=mation5 9 si* b]geh5 kann1 bleibt im ,texte un]rt]t2 do* s*e9t diess bei endli*em p 9 d] ,t au* unmgli*4 #da ,v]gl4 die ,d>/ellung im #ad4 ,b&e d] ma!matis*5 ,annal51 p4 #aab ff4 #db ,die im ,texte aufzu/ell5d5 ,stze f9d5 si* explicite grs/5!ils 9 d] ,lit]atur ni*t vor4 ,weg5 d] ,fl*5 =mula v]glei*e man d5 b]eits citirt5 ,aufsatz von ,s*w>z 7,b]l9] ,monatsb]i*te #ahgj74 ,man sehe f]n] e9e ,arbeit von ,s*ottky3 ,ueb] die con=me ,abbildung mehrfa* zusamm5hng5d] ,fl*51 die als ,b]l9] ,inaugural-,diss]tation #ahge ers*i5 und spt] 7#ahgg7 9 umge>beitet] ,=m 9 ,bor*>dts ,j\rnal ,bd4 #hc abg$ruckt wurde4 ,es h&elt si* 9 d]selb5 um sol*e p-fa* zusamm5hng5de eb5e ,b]ei*e1 wel*e von =mula ,r&curv5 begrnzt w]d54 #dc ,sol*5 ,fl*5 entspre*5 algebrais*e ,glei*ung5 mit e9] ,gruppe e9deutig] ,trans=mation5 9 si*4 ,die ,bem]kung5 des ,textes ziel5 also auf sol*e ,unt]su*ung5 ab1 wie sie 9 neu]] ,zeit von ,hrn4 ,dyck v]folgt word5 s9d 7cf4 die b]eits citirte ,arbeit im #ag4 ,b&e d] ,ma!matis*5 ,annal53 ,auf/ellung und ,unt]su*ung von ,gruppe und ,irrationalitt regulr] ,riemann's*] ,fl*574 #dd ,es gibt natrli* wi$] ,fl*51 wel*e neb5 e9] ,anzahl von ,trans=mation5 er/] ,art e9e glei*e ,anzahl von ,trans=mation5 zweit] ,art zulass52 dieselb5 entspre*5 d5 regulr-symmetris*5 ,fl*5 d] ,dyck's*5 ,arbeit4 #de ,v]gl4 ,h>nack3 ,ueb] die ,viel!iligkeit d] eb55 algebrais*5 ,curv51 9 ,bd4 #aj d] ,ma!matis*5 ,annal51 p4 #ahi ff42 v]glei*e f]n] p4 #dae1 #daf daselb/1 wo i* die ,e9!ilung j5] ,curv5 9 zwei]lei ,art5 gegeb5 habe4 ,viellei*t i/ es zweckmssig1 bei dies5 ,unt]su*ung5 die ,lehre von d5 symmetris*5 ,fl*5 und die ,riemann's*e ,!orie1 s wie beide hi] im ,texte d>ge/ellt w]d51 g]adezu als ,ausgangspunct zu whl54 #df ,siehe zumal3 ,cayley1 on ! correspond5ce betwe5 homographies & rotations1 ,ma!matis*e ,annal51 ,bd4 #ae1 p4 #bch-bdj4 #dg ,i* v]danke diese ,auffassung e9] geleg5tli*5 ,unt]r$ung mit ,hrn4 ,s*w>z 7,o/]n #ahha74 ,man v]gl4 p4 #cbj ff4 d] b]eits g5annt5 ,arbeit von ,s*ottky im #hc4 ,b&e von ,bor*>dt's ,j\rnal1 s[ie die ,orig9alunt]su*ung5 von ,s*w>z b] die ,abbildung ges*loss5] ,poly$]fl*5 auf die ,kugel 7,b]l9] ,monatsb]i*te #ahfe p4 #aej ff41 ,bor*>dt's ,j\rnal ,bd4 #gj1 p4 #aba--acf1 ,bd4 #ge1 p4 #ccj47 #dh ,i* drcke mi* im ,texte d] ,krze halb] s aus1 als w5n die ursprngli*e ,fl*e e9e zweiseitige ,fl*e gewes5 wre1 whr5d do* ni*t ausges*loss5 se9 soll1 dass sie e9e ,doppelfl*e i/4