,ueber ,riemann's ,theorie der ,algebraischen ,functionen by ,felix ,klein ,edition #a1 7,january #h1 #bjjg7 ,,contents ,abschnitt ,i4 - ,einleitende ,betrachtungen4 4 #a4 ,stationre ,strmungen in der ,ebene als ,deutung der ,functionen von x iy4 4 #b4 ,bercksichtigung der ,unendlichkeitspuncte von w f7z74 4 #c4 ,rationale ,functionen und ihre ,integrale4 ,entstehung hherer ,unendlichkeitspuncte aus niederen4 4 #d4 ,realisation der betrachteten ,strmungen auf experimentellem ,wege4 4 #e4 ,uebergang zur ,kugelflche1 ,strmungen auf beliebigen krummen ,flchen4 4 #f4 ,zusammenhang der entwickelten ,theorie mit den ,functionen eines complexen ,argumentes4 4 #g4 ,noch einmal die ,strmungen auf der ,kugel4 ,riemann's allgemeine ,fragestellung4 ,abschnitt ,,ii4 - ,exposition der ,riemann'schen ,theorie4 4 #h4 ,classification geschlossener ,flchen nach der ,zahl p4 4 #i4 ,vorlufige ,bestimmung stationrer ,strmungen auf beliebigen ,flchen4 4 #aj4 ,die allgemeinste stationre ,strmung4 ,beweis fr die ,unmglichkeit anderweitiger ,strmungen4 4 #aa4 ,erluterung der ,strmungen an ,beispielen4 4 #ab4 ,ueber die ,zusammensetzung der allgemeinsten complexen ,function des ,ortes aus einzelnen ,summanden4 4 #ac4 ,ueber die ,vieldeutigkeit unserer ,functionen4 ,besondere ,betrachtung eindeutiger ,functionen4 4 #ad4 ,die gewhnlichen ,riemann'schen ,flchen ber der x iy-,ebene4 4 #ae4 ,der ,ring p #a und die zweiblttrige ,flche mit vier ,verzweigungspuncten ber der ,ebene4 4 #af4 ,functionen von formula1 welche den untersuchten ,strmungen entsprechen4 4 #ag4 ,tragweite und ,bedeutung unserer ,betrachtungen4 4 #ah4 ,weiterbildung der ,theorie4 ,abschnitt ,,iii4 - ,folgerungen4 4 #ai4 ,ueber die ,moduln algebraischer ,gleichungen4 4 #bj4 ,conforme ,abbildung geschlossener ,flchen auf sich selbst4 4 #ba4 ,besondere ,betrachtung der symmetrischen ,flchen4 #bb4 ,conforme ,abbildung verschiedener ,flchen auf einander4 4 #bc4 ,berandete ,flchen und ,doppelflchen4 4 #bd4 ,schlussbemerkung4 ,,abschnitt ,i4 - ,,einleitende ,,betrachtungen4 4 #a4 ,stationre ,strmungen in der ,ebene als ,deutung der ,functionen von x iy4 ,die physikalische ,deutung der ,functionen von formula1 mit welcher wir im ,folgenden zu arbeiten haben1 ist in ihren ,grundlagen wohlbekannt7#a71 nur der ,vollstndigkeit halber mssen letztere kurz zur ,sprache gebracht werden4 ,sei formula1 formula1 formula4 ,dann hat man vor allen ,dingen3 formula und hieraus3 formula sowie fr v3 formula ,hier wird man nun u als ,geschwindigkeitspotential deuten1 so dass formula formula die ,componenten der ,geschwindigkeit sind1 mit der eine ,flssigkeit parallel zur formula-,ebene strmt4 ,wir mgen uns diese ,flssigkeit zwischen zwei ,ebenen eingeschlossen denken1 die parallel zur formula-,ebene verlaufen1 oder auch uns vorstellen1 dass die ,flssigkeit als unendlich dnne1 brigens gleichfrmige ,membran ber der formula-,ebene ausgebreitet sei4 ,dann sagt die ,gleichung 7#b7--und dies ist der ,kern unserer physikalischen ,deutung--1 dass unsere ,strmung eine stationre ist4 ,die ,curven formula ,const4 heissen die ,niveaucurven1 whrend die ,curven formula ,const41 die vermge 7#a7 den ersteren berall rechtwinkelig begegnen1 die ,strmungscurven abgeben4 ,bei dieser ,vorstellungsweise ist es zunchst natrlich vllig gleichgltig1 wie beschaffen wir uns die strmende ,flssigkeit denken wollen4 ,inzwischen wird es in der ,folge vielfach zweckmssig sein1 dieselbe mit dem elektrischen ,fluidum zu identificiren4 ,es wird dann nmlich u mit dem elektrostatischen ,potential1 welches die ,strmung hervorruft1 proportional1 und die experimentelle ,physik gibt uns mannigfache ,mittel an die ,hand1 um zahlreiche ,strmungszustnde1 die uns interessiren1 thatschlich zu realisiren4 ,die ,strmung selbst wird brigens ungendert bleiben1 wenn wir u durchweg um eine ,constante vermehren3 es sind nur die ,differentialquotienten formula1 welche unmittelbar in ,evidenz treten4 ,das ,analoge gilt von v2 so dass die ,function formula1 welche wir physikalisch deuten1 durch diese ,deutung nur bis auf eine additive ,constante bestimmt ist1 was im ,folgenden wohl zu beachten ist4 ,sodann bemerke man noch1 dass die ,gleichungen 7#a7-7c7 ungendert bestehen bleiben1 wenn man u durch v1 v durch formula ersetzt4 ,dementsprechend erhalten wir einen zweiten ,strmungszustand1 bei welchem v das ,geschwindigkeitspotential abgibt und die ,curven formula ,const4 die ,strmungscurven sind4 ,derselbe reprsentirt in dem oben erluterten ,sinne die ,function formula4 ,es ist hufig zweckmssig1 diese neue ,strmung neben der ursprnglichen zu betrachten1 bei welcher u das ,geschwindigkeitspotential war2 wir wollen dann der ,krze halber von conjugirten ,strmungen sprechen4 ,die ,benennung ist zwar etwas ungenau1 weil sich u zu v verhlt1 wie v zu formula2 sie wird aber fr spter ausreichen4 ,diese ganze ,erluterung bezieht sich1 gleich den ,differentialgleichungen 7#a7-7c71 zuvrderst nur auf einen solchen 7brigens beliebigen7 ,theil der ,ebene1 in welchem formula eindeutig ist und weder formula1 noch einer seiner ,differentialquotienten unendlich wird4 ,um den entsprechenden physikalischen ,vorgang deutlich zu bersehen1 hat man sich also vorab einen solchen ,bereich abzugrnzen und durch geeignete ,vorrichtungen an der ,grnze dafr zu sorgen1 dass der im ,inneren des ,gebietes eingeleitete stationre ,bewegungszustand ungehindert fortdauern kann4 ,in einem so umgrnzten ,gebiete werden diejenigen ,puncte formula unsere besondere ,aufmerksamkeit auf sich ziehen1 fr welche der ,differentialquotient formula verschwindet4 ,ich will der ,allgemeinheit wegen gleich annehmen1 dass auch formula1 formula1 formula bis hin zu formula gleich ,null sein mgen4 ,um ber den ,verlauf der ,niveaucurven1 oder auch der ,strmungscurven1 in der ,nhe eines solchen ,punctes ,aufschluss zu erhalten1 entwickele man w in eine nach ,potenzen von formula fortschreitende ,reihe4 ,dieselbe bringt hinter dem constanten ,gliede unmittelbar ein ,glied mit formula4 ,durch ,einfhrung von ,polarcoordinaten schliesst man hieraus3 dass sich im ,puncte formula formula ,curven formula ,const4 unter resp4 gleichen ,winkeln kreuzen1 whrend ebensoviel ,curven formula ,const4 als ,halbirungslinien der genannten ,winkel auftreten4 ,ich werde einen solchen ,punct dementsprechend einen ,kreuzungspunct nennen1 und zwar einen ,kreuzungspunct von der ,multiplicitt formula4 ,die folgende 7selbstverstndlich nur schematische7 ,figur mag dieses ,vorkommniss fr formula erlutern und namentlich verstndlich machen1 wie sich ein ,kreuzungspunct in das ,orthogonalsystem einfgt1 welches brigens von den ,curven formula ,const41 formula ,const4 gebildet wird3 ,illustration3 ,figur #a4 ,figur #a4 ,die ,strmungscurven formula ,const4 erscheinen in der ,figur ausgezogen und die ,strmungsrichtungen auf ihnen durch beigesetzte ,pfeilspitzen angegeben2 die ,niveaucurven sind durch ,punctirung angedeutet4 ,man sieht1 wie die ,flssigkeit von drei ,seiten auf den ,kreuzungspunct zustrmt1 um ebenfalls nach drei ,seiten von demselben abzustrmen4 ,diess wird nur dadurch mglich1 dass die ,geschwindigkeit der ,strmung im ,kreuzungspunkte gleich ,null wird 7dass sich die ,flssigkeit in demselben staut1 wie man nach ,analogie bekannter ,vorkommnisse sagen knnte74 ,in der ,that ist ja die ,geschwindigkeit durch formula gegeben4 ,es ist weiterhin vortheilhaft1 den ,kreuzungspunkt von der ,multiplicitt formula als ,grnzfall von formula einfachen ,kreuzungspuncten aufzufassen4 ,dass diess zulssig ist1 zeigt die analytische ,behandlung4 ,denn im formula-fachen ,kreuzungspunkte hat die ,gleichung formula eine formula-fache ,wurzel1 und eine solche entsteht1 wie man weiss1 durch ,zusammenrcken von formula einfachen ,wurzeln4 ,im ,uebrigen mgen folgende ,figuren diese ,auffassung erlutern3 ,illustration3 ,figur #b4 ,figur #b4 ,illustration3 ,figur #c4 ,figur #c4 ,ich habe in denselben der ,einfachheit halber nur die ,strmungscurven angegeben4 ,linker ,hand erblickt man denselben ,kreuzungspunct von der ,multiplicitt ,zwei1 auf den sich ,figur #a bezieht4 ,rechter ,hand liegt eine ,strmung vor1 welche dicht bei einander zwei einfache ,kreuzungspuncte aufweist4 ,man erkennt1 wie der eine ,strmungszustand aus dem anderen durch continuirliche ,aenderung hervorgeht4 ,bei dieser ,erluterung wurde stillschweigend vorausgesetzt1 dass das ,gebiet1 in welchem wir den ,strmungszustand betrachten1 sich nicht in's ,unendliche erstrecke4 ,es hat allerdings keinerlei principielle ,schwierigkeit1 den ,punct formula ebenso in ,betracht zu ziehen1 wie irgend einen anderen ,punct formula4 ,an ,stelle der ,reihenentwickelung nach ,potenzen von formula hat dann in bekannter ,weise eine solche nach ,potenzen von formula zu treten4 ,man wird von einem formula-fachen ,kreuzungspuncte bei formula sprechen1 wenn diese ,entwickelung hinter dem constanten ,gliede sofort einen ,term mit formula bringt4 ,aber es scheint berflssig1 die geometrischen ,verhltnisse1 welche diesen ,vorkommnissen bei unserer ,strmung entsprechen1 ausfhrlicher zu schildern4 ,denn wir werden spter ,mittel und ,wege kennen lernen1 um die ,sonderstellung des ,werthes formula1 wie sie uns hier entgegentritt1 ein fr allemal zu beseitigen4 ,ebendesshalb wird der ,punct formula in den nchstfolgenden ,paragraphen 74 #b-d7 bei ,seite gelassen1 trotzdem er auch dort1 wenn man vollstndig sein wollte1 besonders in ,betracht gezogen werden msste4 4 #b4 ,bercksichtigung der ,unendlichkeitspuncte von w f7z74 ,wir wollen nunmehr auch solche ,puncte formula in unser ,gebiet hereinnehmen1 in denen formula unendlich gross wird4 ,dabei schrnken wir indess die unbegrnzte ,reihe der ,mglichkeiten1 welche in dieser ,richtung vorliegt1 mit ,rcksicht auf die specielle von uns allein zu studierende ,functionsclasse bedeutend ein4 ,wir wollen verlangen1 dass der ,differentialquotient formula keine wesentlich singulre ,stelle besitzen soll1 oder1 was dasselbe ist1 wir wollen festsetzen1 dass w nur so unendlich werden darf1 wie ein ,ausdruck der folgenden ,form3 formula unter formula eine bestimmte endliche ,zahl verstanden4 ,entsprechend den verschiedenen ,formen1 die dieser ,ausdruck darbietet1 sagen wir1 dass sich bei formula verschiedene ,unstetigkeiten berlagern3 ein logarithmischer ,unendlichkeitspunct1 ein algebraischer ,unendlichkeitspunct von der ,multiplicitt ,eins1 u4 s4 f4 ,wir werden der ,einfachheit halber hier jedes dieser ,vorkommnisse fr sich betrachten1 worauf es eine ntzliche ,uebung sein wird1 sich in einzelnen ,fllen das ,resultat der ,ueberlagerung deutlich zu machen4 ,sei formula zuvrderst ein logarithmischer ,unendlichkeitspunct4 ,wir haben dann3 formula ,hier ist ,a diejenige ,grsse1 welche man1 mit formula multiplicirt1 nach ,cauchy als ,residuum des logarithmischen ,unendlichkeitspunctes bezeichnet1 eine ,benennung1 die im ,folgenden gelegentlich angewandt werden soll4 ,fr die ,strmung in der ,nhe des ,unstetigkeitspunctes ist es von primrer ,wichtigkeit1 ob ,a reell ist oder rein imaginr1 oder endlich complex4 ,offenbar kann man den dritten ,fall als eine ,ueberlagerung der beiden ersten auffassen4 ,wir wollen daher auch ihn bei ,seite lassen und haben uns somit nur mit zwei getrennten ,mglichkeiten zu beschftigen4 #a7 ,wenn ,a reell ist1 so werde formula gesetzt4 ,man hat dann in erster ,annherung fr formula1 formula3 formula ,die ,curven formula ,const4 umgeben also den ,unendlichkeitspunct in ,gestalt kleiner ,kreise2 die ,curven formula ,const4 laufen1 den wechselnden ,werthen von formula entsprechend1 in allen ,richtungen auf den ,unendlichkeitspunct zu4 ,wir haben eine ,bewegung1 bei welcher formula eine ,quelle von einer gewissen positiven oder negativen ,ergiebigkeit vorstellt4 ,um diese ,ergiebigkeit zu berechnen1 multipliciren wir das ,bogenelement eines kleinen mit dem ,radius r um den ,unstetigkeitspunct beschriebenen ,kreises mit der zugehrigen ,geschwindigkeit und integriren den so gewonnenen ,ausdruck lngs der ,kreisperipherie4 ,da formula in erster ,annherung mit formula und dieses mit formula zusammenfllt1 so kommt3 formula als ,werth der ,ergiebigkeit4 ,die ,ergiebigkeit ist also gleich dem ,residuum1 getheilt durch i2 sie ist positiv oder negativ je nach dem ,werthe von ,a4 #b7 ,sei zweitens ,a rein imaginr1 gleich formula4 ,dann kommt unter ,beibehaltung der brigen ,bezeichnungen in erster ,annherung3 formula ,die ,rollen der ,curven formula ,const41 formula ,const4 sind also geradezu vertauscht4 ,die ,niveaucurven verlaufen jetzt nach allen ,richtungen von formula aus1 whrend die ,strmungscurven den ,unendlichkeitspunct in kleinen ,kreisen umgeben4 ,die ,flssigkeit wirbelt auf letzteren ,curven um den ,punct formula herum4 ,ich will den ,punct dementsprechend als einen ,wirbelpunct bezeichnen4 ,sinn und ,intensitt des ,wirbels werden durch formula gemessen4 ,da die ,geschwindigkeit formula in erster ,annherung gleich formula wird1 so findet die ,wirbelbewegung bei positivem formula im ,sinne des ,uhrzeigers1 bei negativem formula in entgegengesetztem ,sinne statt4 ,wir mgen die ,intensitt des ,wirbels gleich formula setzen1 sie ist dann dem ,residuum des betreffenden ,unendlichkeitspunctes negativ gleich4 ,uebrigens knnen wir sagen1 indem wir uns der ,definition conjugirter ,strmungen1 wie sie im vorigen ,paragraphen gegeben wurde1 mit der ihr anhaftenden ,unbestimmtheit erinnern3 ,hat eine von zwei conjugirten ,strmungen bei formula eine ,quelle von einer gewissen ,ergiebigkeit1 so hat die andere dort einen ,wirbelpunct von gleicher oder entgegengesetzt gleicher ,intensitt4 ,wir betrachten ferner die algebraischen ,unstetigkeitspuncte4 ,bei ihnen ist der ,verlauf der ,strmung seinem allgemeinen ,charakter nach davon unabhngig1 ob das erste ,glied der ,reihenentwickelung einen reellen1 imaginren oder complexen ,coefficienten hat4 ,sei zuvrderst3 formula so wird in erster ,annherung fr formula1 formula3 formula ,betrachten wir zuvrderst den reellen ,theil rechter ,hand4 ,wenn r sehr klein ist1 so kann formula durch geschickte ,wahl von formula doch noch jeden beliebigen vorgegebenen ,werth vorstellen4 ,die ,function u nimmt also in unmittelbarer ,nhe der ,unstetigkeitsstelle noch jeden ,werth an4 ,zur nheren ,orientirung denken wir uns einen ,augenblick r und formula als unbegrnzte ,vernderliche1 setzen also formula ,wir erhalten dann ein ,bschel von ,kreisen1 welche alle die feste ,richtung formula berhren4 ,die ,kreise sind um so kleiner1 je grsser der absolute ,betrag von ,const4 genommen wird4 ,in hnlicher ,weise verlaufen daher die ,curven formula ,const4 in der ,nhe der ,unstetigkeitsstelle4 ,insbesondere haben sie fr sehr grosse positive oder negative ,werthe von ,const4 die ,gestalt kleiner1 geschlossener1 kreishnlicher ,ovale4--,fr den imaginren ,theil des ,ausdrucks rechter ,hand und also die ,curven formula ,const4 gilt eine hnliche ,discussion4 ,der ,unterschied ist nur der1 dass jetzt die ,richtung formula von allen ,curven berhrt wird4 ,hiernach wird die folgende ,figur1 in welcher die ,niveaucurven wieder punctirt1 die ,strmungscurven ausgezogen sind1 verstndlich sein3 ,illustration3 ,figur #d4 ,figur #d4 ,die analoge ,discussion liefert vom formula-fachen algebraischen ,unstetigkeitspuncte die erforderliche ,anschauung4 ,ich will hier nur das ,resultat anfhren3 ,jede ,curve formula ,const4 luft formula-mal durch den ,unstetigkeitspunct hindurch1 indem sie der ,reihe nach formula feste1 gleich stark gegen einander geneigte ,tangenten berhrt4 ,analog die ,curven formula ,const4 ,fr sehr grosse 7positive oder negative7 ,werthe der ,constante sind beiderlei ,curven in unmittelbarer ,nhre der ,unstetigkeitsstelle geschlossen4 ,ich gebe zur ,veranschaulichung eine ,figur fr formula3 ,illustration3 ,figur #e4 ,figur #e4 ,man wird vermuthen1 dass diese hheren ,vorkommnisse aus den niederen durch ,grnzbergang entstehen mgen4 ,ich verschiebe die betreffende ,erluterung bis zum folgenden ,paragraphen1 wo uns eine bestimmte ,functionsclasse die erforderlichen ,anschauungen mit ,leichtigkeit vermitteln wird4 4 #c4 ,rationale ,functionen und ihre ,integrale4 ,entstehung hherer ,unendlichkeitspuncte aus niederen4 ,die entwickelten ,stze gengen1 um den ,gesammtverlauf solcher ,functionen zu veranschaulichen1 die1 brigens in der ganzen ,ebene eindeutig1 keine anderen ,unendlichkeitspuncte aufweisen1 als die eben betrachteten4 ,es sind diess1 wie man weiss1 die rationalen ,functionen und ihre ,integrale4 ,ohne ausgefhrte ,zeichnungen zu geben1 stelle ich hier die ,stze1 welche man bei ihnen betreffs der ,kreuzungspuncte und ,unendlichkeitspuncte findet1 in knapper ,form zusammen4 ,ich beschrnke mich dabei1 aus dem oben angegebenen ,grunde1 auf solche ,flle1 in denen formula keinerlei ausgezeichnete ,rolle spielt4 ,die hierin liegende ,beschrnkung wird hinterher1 wie bereits angedeutet1 von selbst in ,wegfall kommen4 #a7 ,die rationale ,function1 welche wir zu betrachten haben1 stellt sich in der ,form dar3 formula wo formula und formula ganze ,functionen desselben ,grades sind1 die ohne gemeinsamen ,theiler angenommen werden knnen4 ,ist dieser ,grad der formula und zhlt man jeden algebraischen ,unendlichkeitspunct so oft1 als seine ,multiplicitt anzeigt1 so erhlt man1 den ,wurzeln von formula entsprechend1 n algebraische ,unstetigkeitspuncte4 ,die ,kreuzungspuncte sind durch formula1 eine ,gleichung formula ,grades1 gegeben4 ,die ,gesammtmultiplicitt der ,kreuzungspuncte ist also formula1 wobei man aber beachten muss1 dass jede formula-fache ,wurzel von formula eine formula-fache ,wurzel von formula ist und also jeder formula-fache ,unendlichkeitspunct der ,function fr formula ,kreuzungspuncte mitzhlt4 #b7 ,soll das ,integral einer rationalen ,function formula fr formula endlich bleiben1 so muss der ,grad von formula um zwei ,einheiten kleiner sein als der ,grad von formula4 formula und formula sollen dabei ohne gemeinsamen ,theiler angenommen werden4 ,dann liefert formula die freien ,kreuzungspuncte1 d4 h4 diejenigen ,kreuzungspuncte1 welche nicht mit ,unendlichkeitspuncten zusammenfallen4 ,die ,wurzeln von formula geben die ,unendlichkeitspuncte des ,integrals4 ,und zwar entspricht der einfachen ,wurzel von formula ein logarithmischer ,unendlichkeitspunct1 der ,doppelwurzel ein ,unendlichkeitspunct1 der im ,allgemeinen die ,ueberlagerung eines logarithmischen ,unstetigkeitspunctes mit einem einfachen algebraischen sein wird1 etc4 ,wenn man dementsprechend jeden ,unendlichkeitspunct so oft zhlt1 als die ,multiplicitt des entsprechenden ,factors in formula betrgt1 so ist die ,gesammtmultiplicitt der ,kreuzungspuncte um zwei ,einheiten geringer als die der ,unendlichkeitspuncte4 ,uebrigens sei noch an den bekannten ,satz erinnert1 dass die ,summe der logarithmischen ,residua smmtlicher ,unstetigkeitspuncte gleich ,null ist4-- ,das ,vorstehende gibt uns eine zweifache ,mglichkeit1 um hhere ,unstetigkeitspuncte aus niederen entstehen zu lassen4 ,wir knnen einmal--und diess ist fr uns das ,wichtigste--vom ,integral der rationalen ,function ausgehen4 ,bei ihm entsteht ein formula-facher algebraischer ,unstetigkeitspunct1 wenn formula ,factoren von formula einander gleich werden1 wenn also formula logarithmische ,unstetigkeitspuncte in geeigneter ,weise zusammenrcken4 ,dabei ist deutlich1 dass die ,residuensumme der letzteren gleich ,null sein muss1 wenn der entstehende ,unendlichkeitspunct ein rein algebraischer sein soll4 ,die folgenden beiden ,figuren1 in denen nur die ,strmungscurven angegeben sind1 erlutern den betreffenden ,grnzbergang fr den einfachen algebraischen ,unstetigkeitspunct der ,figur 7#d73 ,illustration3 ,fig4 #f4 ,fig4 #f4 ,illustration3 ,fig4 #g4 ,fig4 #g4 ,ich habe dabei die ,anordnung in doppelter ,weise getroffen1 so dass linker ,hand zwei ,quellenpuncte1 rechter ,hand zwei ,wirbelpuncte einander nahe gerckt scheinen und ,figur #d als bereinstimmendes ,resultat des ,grnzberganges in beiden ,fllen erscheint4 ,in derselben ,beziehung stehen die folgenden beiden ,zeichnungen zu ,figur #e3 ,illustration3 ,fig4 #h4 ,fig4 #h4 ,illustration3 ,fig4 #i4 ,fig4 #i4 ,die zweite ,mglichkeit fr das ,entstehen hherer ,unendlichkeitsstellen aus niederen bietet die ,betrachtung der rationalen ,function formula selbst4 ,logarithmische ,unendlichkeitsstellen bleiben dabei ausgeschlossen4 ,der formula-fache algebraische ,unstetigkeitspunct entsteht jetzt aus formula einfachen algebraischen ,unstetigkeitspuncten1 indem nmlich formula einfache lineare ,factoren von formula zu einem formula-fachen zusammenrcken mssen4 ,aber zugleich vereinigt sich mit ihnen eine ,anzahl von ,kreuzungspuncten1 deren ,gesammtmultiplicitt formula betrgt4 ,denn formula erhlt1 wie schon bemerkt1 in demselben ,augenblicke1 wo formula den formula-fachen ,factor bekommt1 einen formula-fachen ,factor4 ,die folgende ,figur erlutert in diesem ,sinne das ,entstehen des in ,figur #e abgeleiteten zweifachen algebraischen ,unendlichkeitspunctes3 ,illustration3 ,fig4 #aj4 ,fig4 #aj4 ,es ist natrlich leicht1 diese beiden ,arten des ,grnzberganges unter eine allgemeinere gemeinsam zu subsumiren4 ,wenn man formula logarithmische ,unendlichkeitspuncte und formula ,kreuzungspuncte successive oder gleichzeitig zusammenfallen lsst1 so wird allemal ein formula-facher algebraischer ,unstetigkeitspunct entstehen4 ,doch ist hier nicht der ,ort1 um diese ,gedanken weiter auszufhren4 4 #d4 ,realisation der betrachteten ,strmungen auf experimentellem ,wege4 ,wir wollen unserer ,betrachtung nunmehr eine andere ,wendung geben1 indem wir uns fragen1 wie diejenigen ,bewegungsformen1 die wir jetzt von den rationalen ,functionen und ihren ,integralen kennen1 physikalisch realisirt werden mgen4 ,dabei sei es gestattet1 von dem ,princip der ,ueberlagerung ausgiebigen ,gebrauch zu machen1 so dass es sich nur um ,herstellung der allereinfachsten ,bewegungsformen handelt4 ,aus der ,theorie der ,partialbrche folgt1 dass man jede der in ,betracht kommenden ,functionen aus einzelnen ,bestandtheilen additiv zusammensetzen kann1 welche sich unter einen der folgenden beiden ,typen subsumiren3 formula ,da formula bei formula einen ,unstetigkeitspunct hat1 was eine unnthige ,besonderheit ist1 so wollen wir den ersten ,typus durch den allgemeineren ersetzen3 formula und diesen selbst wieder1 entsprechend den ,erluterungen des 4 #b1 in zwei ,bestandtheile zerspalten1 indem wir nmlich ,a gleich ,a i,b setzen und nun ,a formula und i,b formula gesondert betrachten4 ,hiernach haben wir im ,ganzen drei ,flle auseinanderzuhalten4 #a7 ,wenn es sich um den ,typus ,a formula handelt1 so haben wir bei formula eine ,quelle von der ,ergiebigkeit #b ,a formula1 bei formula eine solche von der ,ergiebigkeit formula ,a formula anzubringen4 ,man denke sich zu dem ,zwecke die formula-,ebene mit einer unendlich dnnen1 gleichfrmigen1 elektricittsleitenden ,schicht berdeckt4 ,dann wird die entsprechende ,bewegungsform offenbar realisirt1 indem wir bei formula den einen1 bei formula den anderen ,pol einer galvanischen ,batterie von zweckmssig gewhlter ,strke aufsetzen7#b74--,man sieht zugleich1 wesshalb das ,residuum von formula demjenigen von formula entgegengesetzt gleich sein muss3 da der ,strmungszustand stationr sein soll1 muss an der einen ,stelle ebenso viel ,elektricitt zugefhrt werden1 als an der anderen abstrmt4 ,derselbe ,grund gilt1 wie man sofort erkennt1 fr den entsprechenden ,satz bei beliebig vielen logarithmischen ,unendlichkeitspuncten1 wobei allerdings zunchst nur von den rein imaginren ,theilen der betreffenden ,residua die ,rede ist 7welche den von den ,unendlichkeitspunkten ausgehenden ,quellenbewegungen entsprechen74 #b7 ,im zweiten ,falle 7wo i,b formula gegeben ist7 wird die experimentelle ,anordnung etwas schwieriger4 ,das einfachste ,schema ist dieses1 dass man formula und formula durch eine sich selbst nicht schneidende ,curve verbindet und nun dafr sorgt1 dass diese ,curve der ,sitz einer constanten elektromotorischen ,kraft sei4 ,es entwickelt sich dann in der formula-,ebene eine ,strmung1 welche bei formula und formula ,wirbelpunkte aufweist1 welche berall sonst stetig verluft1 und aus der man durch ,integration als zugehriges ,geschwindigkeitspotential eine ,function findet1 welche bei jeder ,umkreisung von formula oder formula um einen gewissen ,periodicittsmodul wchst4 ,von diesem ,geschwindigkeitspotential ist dabei das nothwendig eindeutige elektrostatische ,potential wohl zu unterscheiden4 ,die ,curve1 welche formula und formula verbindet1 ist fr das letztere eine ,unstetigkeitscurve1 und wird eben hierdurch die ,eindeutigkeit des elektrostatischen ,potentials ermglicht7#c74 ,illustration3 ,fig4 #aa4 ,fig4 #aa4 ,ich weiss nicht1 ob es eine experimentelle ,anordnung giebt1 um dieses einfachste ,schema zu realisiren4 ,es scheint1 dass man umstndlicher zu ,werke gehen muss4 ,denken wir zuvrderst etwa an thermoelektrische ,strme4 ,wir wollen die formula-,ebene zum ,theil mit dem ,materiale ,i1 zum ,theil mit dem ,materiale ,,ii berdecken und die ,strke der berdeckenden ,schichten dabei so bemessen1 dass der specifische ,leitungswiderstand berall derselbe sei4 ,wenn wir dann dafr sorgen1 dass die beiden durch formula und formula von einander getrennten ,theile der ,contour1 in welcher die zweierlei ,materialien zusammenstossen1 beide auf constanten1 unter sich verschiedenen ,temperaturen gehalten werden1 so wird in der ,that eine elektrische ,strmung entstehen1 wie wir sie haben wollen4 ,dabei weist das elektrostatische ,potential1 nach den ,vorstellungen1 die man der ,lehre von der ,thermoelektricitt zu ,grunde legt1 an beiden ,theilen der genannten ,contour ,unstetigkeiten auf4--,noch complicirter scheint es1 elektrische ,strme zu benutzen1 wie sie die gewhnlichen galvanischen ,elemente liefern4 ,man muss die ,ebene dann durch mindestens drei ,curven1 welche von formula nach formula verlaufen1 in ,theile zerlegen und zwei dieser ,theile mit metallischen ,belegen1 den dritten mit einem feuchten ,leiter berdecken4 ,man vergleiche hierzu die ,figur #ab4 ,illustration3 ,fig4 #ab4 ,fig4 #ab4 ,durch alle diese ,anordnungen hindurch ist von ,vorne herein ersichtlich1 dass die beiden bei formula und formula auftretenden ,wirbelpuncte in der ,that entgegengesetzt gleiche ,intensitt haben mssen4 ,aus hnlichen ,grnden wird die ,gesammtintensitt smmtlicher ,wirbel bei beliebig vielen gegebenen ,wirbelpuncten immer gleich ,null sein1 und ist dadurch der ,satz von dem ,verschwinden der ,summe aller logarithmischen ,residuen1 auch was den reellen ,theil dieser ,residuen angeht1 auf physikalisch evidente ,grnde zurckgefhrt4 #c7 ,die ,bewegungsformen1 welche den algebraischen ,typen formula entsprechen1 mgen den ,entwickelungen des 4 #c zufolge aus den eben betrachteten durch ,grenzbergang gewonnen werden4 ,es wird diess natrlich nur mit einer gewissen ,annherung geschehen knnen4 ,man setze z4 ,b4 formula ,drhte1 in welche die ,pole einer galvanischen ,batterie auslaufen1 dicht bei einander auf die formula-,ebene auf4 ,dann entsteht eine ,strmung1 welche in einiger ,entfernung von den ,drahtenden mit derjenigen merklich zusammenfllt1 welche einem algebraischen ,unstetigkeitspunkte von der ,multiplicitt formula entspricht4 ,zugleich ergiebt sich eine ,ergnzung unserer obigen ,darstellung4 ,man wird die galvanische ,batterie sehr stark nehmen mssen1 wenn bei der erwhnten ,anordnung noch eine mittlere elektrische ,strmung zu ,stande kommen soll4 ,es entspricht diess dem von analytischer ,seite wohlbekannten ,satze1 dass die ,residua logarithmischer ,unendlichkeitspuncte selbst in's ,unendliche wachsen mssen1 wenn beim ,zusammenfallen der logarithmischen ein algebraischer ,unstetigkeitspunkt entstehen soll4--,ich gehe hier in kein weiteres ,detail1 da es im ,folgenden allein darauf ankommt1 dass auf ,grund der ,figuren #f-i das allgemeine ,princip verstanden wird4 4 #e4 ,uebergang zur ,kugelflche1 ,strmungen auf beliebigen krummen ,flchen4 ,um die unendlich grossen ,werthe von z derselben geometrischen ,behandlungsweise zugnglich zu machen1 wie die endlichen1 bedient man sich in den ,lehrbchern jetzt allgemein der ,kugelflche7#d71 welche stereographisch auf die formula-,ebene bezogen ist4 ,man kennt die einfachen geometrischen ,beziehungen1 welche bei dieser ,abbildung auftreten7#e74 ,man weiss auch zur ,genge1 dass das ,unendlich-,weite der ,ebene sich in einen bestimmten ,punct der ,kugel1 den ,projectionspunct1 zusammenzieht1 so dass es keine symbolische ,ausdrucksweise mehr ist1 wenn man auf der ,kugel von einem ,puncte formula spricht4 ,dagegen scheint es noch immer weniger bekannt zu sein1 dass bei dieser ,abbildung die ,functionen von formula eine ,bedeutung fr die ,kugelflche gewinnen1 welche derjenigen1 die sie fr die ,ebene hatten1 genau analog ist1 dass man also in den ,entwickelungen der vorangehenden ,paragraphen statt der ,ebene die ,kugel gebrauchen kann1 wobei von einer ,sonderstellung des ,werthes formula von vorne herein keine ,rede ist7#f73 ,ich entwickele hier kurz diejenigen ,stze der ,flchentheorie1 aus denen diese ,behauptung folgt1 und nehme meinen ,standpunct dabei gleich so allgemein1 dass meine ,darstellung fr spter anzustellende ,betrachtungen ausreicht4 ,indem wir ,flssigkeitsbewegungen parallel der formula-,ebene studirten1 haben wir uns bereits gewhnt1 die ,flssigkeitsschicht1 welche der ,betrachtung unterliegt1 als unendlich dnn vorauszusetzen4 ,in demselben ,sinne kann man ,flssigkeitsbewegungen offenbar auf beliebig gegebenen ,flchen betrachten4 ,die ,verschiebungen frei ausgespannter ,flssigkeitsmembranen in sich1 wie man sie bei den ,plateau'schen ,versuchen so schn beobachten kann1 geben ein anschauliches ,beispiel dafr4--,wir werden versuchen1 auch derartige ,bewegungen durch ein ,potential zu definiren1 und vor allen ,dingen fragen1 welche ,bewandniss es dann mit den stationren ,bewegungen hat4 ,die zweckmssige ,verallgemeinerung des ,potentialbegriffs bietet sich unmittelbar4 ,es sei u eine ,function des ,ortes auf der ,flche1 so denke man sich auf letzterer die ,curven formula ,const4 gezogen4 ,sodann werde festgesetzt1 dass die ,flssigkeitsbewegung auf der ,flche in jedem ,punkte senkrecht gegen die hindurchgehende ,curve formula ,const4 stattfinden solle1 und zwar mit einer ,geschwindigkeit1 die1 unter formula das ,bogenelement der zugehrigen1 auf der ,flche verlaufenden ,normalrichtung verstanden1 gleich formula ist4 ,wir nennen dann u1 wie in der ,ebene1 das zur ,bewegung gehrige ,geschwindigkeitspotential4 ,die in solcher ,weise definirte ,strmung soll nun eine stationre sein4 ,um eine bestimmte ,formel zu haben1 wollen wir ein krummliniges ,coordinatensystem p1 q auf unserer ,flche annehmen und uns die ,form bestimmt denken3 formula welche vermge dieses ,coordinatensystems das ,bogenelement auf der ,flche annimmt4 ,dann gibt eine einfache ,zwischenbetrachtung1 welche der in der ,ebene blichen durchaus analog verluft1 dass u1 um eine stationre ,bewegung zu veranlassen1 der folgenden ,differentialgleichung zweiter ,ordnung gengen muss3 formula ,an diese ,differentialgleichung knpft nun eine kurze ,ueberlegung1 welche die volle ,analogie mit den auf die ,ebene bezglichen ,resultaten herstellt4 ,es ergiebt sich nmlich aus der ,form von 7#b72 dass man neben jedem u1 welches 7#b7 gengt1 eine andere ,function v einfhren kann1 die zu u genau in dem bekannten ,reciprocittsverhltnisse steht4 ,in der ,that1 vermge 7#b7 sind die folgenden beiden ,gleichungen vertrglich3 formula sie definiren ein v bis auf eine nothwendig unbestimmt bleibende ,constante4 ,aus ihnen aber folgt durch ,auflsung3 formula und hieraus3 formula so dass einmal u sich zu v verhlt1 wie v zu formula1 und andererseits v1 so gut wie u1 der partiellen ,differentialgleichung 7#b7 gengt4 ,zugleich haben die ,gleichungen 7#c71 bez4 7#d71 die geometrische ,bedeutung1 dass die ,curven u ,const4 und v ,const4 einander im ,allgemeinen rechtwinkelig schneiden4 ,was nun die ,behauptung betrifft1 die ich hinsichtlich der stereographischen ,beziehung der ,kugel auf die ,ebene zu ,eingang dieses ,paragraphen voranstellte1 so ist sie ein unmittelbarer ,ausfluss aus dem ,umstande1 dass die ,gleichungen formula in ,e1 ,f1 ,g homogen von der nullten ,dimension sind7#g74 ,wenn zwei ,flchen conform auf einander bezogen sind und man fhrt auf ihnen entsprechende krummlinige ,coordinaten ein1 so unterscheidet sich der ,ausdruck fr das ,bogenelement auf der einen ,flche von dem auf die andere ,flche bezglichen nur durch einen ,faktor4 ,dieser ,factor aber fllt aus dem angegebenen ,grunde aus den ,gleichungen 7#b7--7e7 einfach heraus4 ,wir haben also einen allgemeinen ,satz1 der die besondere auf ,kugel und ,ebene bezgliche1 oben ausgesprochene ,behauptung als speciellen ,fall umfasst4 ,indem ich aus u1 v die ,combination formula bilde und diese als complexe ,function des ,ortes auf der ,flche bezeichne1 spricht sich derselbe folgendermassen aus3 ,wird eine ,flche conform auf eine zweite abgebildet1 so verwandelt sich jede auf ihr existirende complexe ,function des ,ortes in eine ,function derselben ,art auf der zweiten ,flche4 ,vielleicht ist es ntzlich1 ausdrcklich einem ,missverstndnisse entgegenzutreten1 welches hierbei entstehen knnte4 ,derselben ,function formula entspricht eine ,flssigkeitsbewegung auf der einen und auf der anderen ,flche2 man knnte meinen1 dass die eine ,bewegung vermge der ,abbildung aus der anderen hervorgehe4 ,dies ist natrlich richtig mit ,bezug auf den ,verlauf der ,strmungscurven und der ,niveaucurven1 keineswegs aber in ,bezug auf die ,geschwindigkeit4 ,wo das ,bogenelement der einen ,flche grsser ist1 als das ,bogenelement der anderen ,flche1 da ist die ,geschwindigkeit der ,strmung entsprechend kleiner4 ,hierin eben liegt es1 dass der ,werth formula auf der ,kugel seine singulre ,stellung verliert4 ,fr den ,unendlichkeitspunct der ,ebene erweist sich die ,geschwindigkeit der ,strmung1 wie man sofort sieht1 im ,allgemeinen als unendlich klein von der zweiten ,ordnung4 ,sollte der ,unendlichkeitspunkt singulr sein1 so wird die ,geschwindigkeit dort allemal um zwei ,ordnungen kleiner1 als die ,geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden ,punkt des ,endlichen4 ,man erinnere sich nun der oben 7unter dem ,texte7 mitgetheilten ,formel3 formula welche das ,bogenelement der ,kugel zum ,bogenelement der ,ebene in ,beziehung setzt4 ,hier ist formula eben auch eine ,grsse zweiter ,ordnung1 und es findet daher beim ,uebergange zur ,kugel genaue ,compensation statt4 4 #f4 ,zusammenhang der entwickelten ,theorie mit den ,functionen eines complexen ,argumentes4 ,nun wir die ,kugel als ,substrat unserer ,betrachtungen gewonnen haben1 bertragen wir auf sie1 was wir in den 4 #c und #d betreffs rationaler ,functionen und ihrer ,integrale haben kennen lernen4 ,wir gewinnen dadurch1 dass alle frher aufgestellten ,stze auch fr unendlich grosses z und somit ausnahmslos gelten4 ,um so interessanter wird es1 sich auf der ,kugel den ,verlauf bestimmter rationaler ,functionen zu berlegen und ber die ,mittel zu ihrer physikalischen ,realisirbarkeit nachzudenken7#h74 ,aber es ist eine andere wichtige ,frage1 welche sich bei solchen ,untersuchungen aufdrngt4 ,die verschiedenen ,functionen des ,ortes1 welche wir auf der ,kugelflche studiren1 sind zugleich ,functionen des ,argumentes formula4 ,woher dieser ,zusammenhang8 ,man wolle vor allen ,dingen bemerken1 dass formula selbst eine complexe ,function des ,ortes auf unserer ,kugel ist2 gengen doch x und y1 fr u und v eingesetzt1 den frher 74 #a7 fr letztere aufgestellten ,differentialgleichungen4 ,so lange man in der ,ebene operirt1 knnte man denken1 dass diese ,function vor den brigen etwas ,wesentliches voraus habe2 nach dem ,uebergange zur ,kugel ist hierzu keine ,veranlassung mehr4 ,und in der ,that verallgemeinert sich die ,bemerkung1 auf die sich unsere ,frage bezieht1 sofort4 ,wenn formula und formula ,functionen von formula sind1 so ist auch formula eine ,function von formula ,wir haben also fr ,ebene und ,kugelflche den allgemeinen ,satz3 dass von zwei complexen ,functionen des ,ortes im ,sinne der gewhnlichen functionentheoretischen ,ausdrucksweise jede eine ,function der anderen ist4 ,wird dieses nun eine besondere ,eigenthmlichkeit der genannten ,flchen sein8 ,sicher wird sich dieselbe auf alle solche ,flchen bertragen1 die man auf einen ,theil der ,ebene 7oder der ,kugel7 conform beziehen kann4 ,diess folgt aus dem letzten ,satze des vorigen ,paragraphen4 ,ich sage aber1 dass dieselbe ,eigenthmlichkeit berhaupt allen ,flchen zukommt1 womit implicite behauptet wird1 dass man einen ,theil einer beliebigen ,flche auf die ,ebene oder die ,kugelflche conform bertragen kann4 ,der ,beweis gestaltet sich unmittelbar1 wenn man die ,bestandteile formula irgend einer auf einer ,flche existirenden complexen ,function des ,ortes1 formula1 auf der ,flche selbst als krummlinige ,coordinaten einfhrt4 ,dann mssen nmlich die ,cofficienten ,e1 ,f1 ,g in dem ,ausdrucke des ,bogenelementes so beschaffen werden1 dass ,identitten entstehen1 wenn man in die ,gleichungen 7#b7-7e7 des vorigen ,paragraphen fr p und q und gleichzeitig fr u und v bez4 x und y einfhrt4 ,diess bedingt1 wie man sofort ersieht1 dass formula1 formula wird4 ,hierdurch aber verwandeln sich jene ,gleichungen in die wohlbekannten3 formula ,sie gehen also direct in jene ,gleichungen ber1 durch welche man ,functionen des ,argumentes formula zu definiren pflegt1 so dass formula in der ,that eine ,function von formula wird1 was zu beweisen war4 ,zugleich erledigt sich1 was hinsichtlich conformer ,abbildung behauptet wurde4 ,denn ans der ,form des ,bogenelementes formula folgt unmittelbar1 dass unsere ,flche durch formula auf die formula-,ebene conform bertragen wird4 ,ich will dieses ,resultat in etwas allgemeinerer ,form aussprechen1 indem ich sage3 ,wenn man auf zwei ,flchen zwei complexe ,functionen des ,ortes kennt1 und man bezieht die ,flchen so aufeinander1 dass entsprechende ,puncte respective gleiche ,functionswerthe aufweisen1 so sind die ,flchen conform auf einander bezogen4 ,es ist dies die ,umkehr des hnlich lautenden am ,schlusse des vorigen ,paragraphen aufgestellten ,satzes4 ,alle diese ,theoreme haben1 soweit sie sich auf beliebige ,flchen beziehen1 fr's ,erste nur dann einen klaren ,sinn1 wenn man seine ,aufmerksamkeit auf kleine ,stcke der ,flchen beschrnkt1 innerhalb deren die complexen ,functionen des ,ortes weder ,unendlichkeitspuncte noch ,kreuzungspuncte aufweisen4 ,ich habe desshalb gelegentlich auch nur von einem ,flchentheile gesprochen4 ,aber es liegt nahe1 zu fragen1 wie sich die ,verhltnisse gestalten1 wenn man geschlossene ,flchen in ihrer ganzen ,ausdehnung benutzt4 ,diese ,frage ist mit der weiteren ,ideenentwickelung1 die ich im folgenden zu geben habe1 auf das ,innigste verknpft2 ihr speciell sind die 4 #ai--ba des ,folgenden gewidmet4 4 #g4 ,noch einmal die ,strmungen auf der ,kugel4 ,riemann's allgemeine ,fragestellung4 ,wir haben nunmehr alle ,vorbedingungen1 um die ,entwickelungen der ersten ,paragraphen dieser ,einleitung in wesentlich neuer ,weise aufzufassen und uns vermge dieser ,auffassung zu einer grossen und allgemeinen ,fragestellung zu erheben1 welche die ,riemann'sche ist1 und deren ,prcisirung und ,beantwortung den eigentlichen ,gegenstand der gegenwrtigen ,schrift zu bilden hat4 ,das ,primre bei der bisherigen ,darstellung bildete die ,function von formula4 ,wir haben dieselbe durch eine stationre ,strmung auf der ,kugel gedeutet1 und uns bemht1 ,eigenschaften der ,function in solchen der ,strmung wieder zu erkennen4 ,insbesondere haben uns die rationalen ,functionen und ihre ,integrale mit einer einfachen ,art von ,strmungen bekannt gemacht3 es sind die einfrmigen ,strmungen1 diejenigen1 bei denen in jedem ,puncte der ,kugel nur eine ,strmung statt hat4 ,und zwar sind es unter der ,voraussetzung1 dass keine anderen ,unstetigkeitspuncte statt haben1 als die in 4 #b definirten1 die allgemeinsten einfrmigen ,strmungen1 welche es auf der ,kugel gibt4 ,es scheint von ,vorneherein mglich1 diese ganze ,entwickelung umzukehren3 das ,studium der ,strmungen voranzustellen und aus ihm erst die ,theorie gewisser analytischer ,functionen zu entwickeln4 ,die ,frage nach der allgemeinsten in ,betracht kommenden ,strmung mag dann vorab durch physikalische ,betrachtungen beantwortet werden2 geben uns doch die experimentellen ,anordnungen des 4 #d zusammen mit dem ,princip der ,ueberlagerung das ,mittel1 um jede derartige ,strmung zu definiren6 ,die einzelne ,strmung bestimmt uns sodann1 von einer ,integrationsconstante abgesehen1 eine complexe ,function des ,ortes1 deren allgemeinen ,verlauf wir anschauungsmssig verfolgen knnen4 ,jede solche ,function ist eine analytische ,function jeder anderen4 ,indem wir irgend zwei complexe ,functionen des ,ortes zusammenstellen1 werden wir zu analytischen ,abhngigkeiten hingefhrt1 deren ,eigenschaften wir von ,vorneherein bersehen und die wir erst hinterher1 um den ,zusammenhang mit den ,betrachtungen der ,analysis herzustellen1 mit sonst in der ,analysis blichen ,abhngigkeiten identificiren4 ,alles dieses ist so deutlich1 dass eine genauere ,ausfhrung hier berflssig erscheint1 dass wir vielmehr sofort zu der in ,aussicht gestellten ,verallgemeinerung schreiten knnen4 ,auch diese bietet sich auf ,grund der bisherigen ,entwickelungen fast mit ,nothwendigkeit4 ,wir werden alle die ,fragen1 welche wir gerade hinsichtlich der ,kugelflche formulirten1 in gleicher ,weise aufwerfen knnen1 wenn statt der ,kugelflche eine beliebige geschlossene ,flche gegeben ist4 ,auch auf ihr werden wir einfrmige ,strmungen und also complexe ,functionen des ,ortes bestimmen knnen1 deren ,eigenschaften wir anschauungsmssig erfassen4 ,die gleichzeitige ,betrachtung verschiedener ,functionen des ,ortes verwandelt hernach die zu gewinnenden ,ergebnisse in ebenso viele ,lehrstze der gewhnlichen ,analysis4--,die ,ausfhrung dieses ,gedankenganges ist die ,riemann'sche ,theorie2 zugleich haben wir die ,haupteintheilung1 welche bei der folgenden ,exposition derselben zu ,grunde zu legen ist4 ,,abschnitt ,,ii4 - ,,exposition ,,der ,,riemann',,schen ,,theorie4 4 #h4 ,classification geschlossener ,flchen nach der ,zahl p47#i7 ,fr unsere ,betrachtungen sind selbstverstndlich alle diejenigen geschlossenen ,fchen als aequivalent aufzufassen1 die sich durch eindeutige ,zuordnung conform auf einander abbilden lassen4 ,denn jede complexe ,function des ,ortes auf der einen ,flche wird sich bei einer solchen ,abbildung in eine ebensolche ,function auf der anderen ,flche verwandeln3 die analytische ,beziehung also1 welche durch das ,zusammenbestehen zweier complexer ,functionen auf der einen ,flche versinnlicht wird1 bleibt beim ,uebergange zur zweiten ,flche durchaus ungendert4 ,wenn man also z4 ,b4 7zufolge bekannter ,entwickelungen7 das ,ellipsoid derart conform auf die ,kugel beziehen kann1 dass jedem ,puncte desselben ein und nur ein ,kugelpunct entspricht1 so heisst diess fr uns1 dass das ,ellipsoid ebenso geeignet ist1 die rationalen ,functionen und ihre ,integrale zu reprsentiren1 wie die ,kugel4 ,um so wichtiger ist es1 ein ,element kennen zu lernen1 welches nicht nur bei conformer1 sondern berhaupt bei eindeutiger ,umgestaltung einer ,flche ungendert erhalten bleibt7#aj74 ,es ist diess das ,riemann'sche p3 die ,zahl der ,rckkehrschnitte1 welche man auf einer ,flche ziehen kann1 ohne sie zu zerstcken4 ,die einfachsten ,beispiele gengen1 um diesen ,begriff einzuben4 ,fr die ,kugel ist formula2 denn sie zerfllt durch jede auf ihr verlaufende geschlossene ,curve1 in zwei getrennte ,bereiche4 ,fr den gewhnlichen ,ring ist formula1 man kann ihn lngs einer1 aber auch nur lngs einer1 brigens noch sehr willkrlichen1 in sich zurcklaufenden ,curve zerschneiden1 ohne dass er in ,stcke zerfllt4 ,dass es unmglich ist1 zwei ,flchen von verschiedenem p eindeutig auf einander zu beziehen1 scheint evident7#aa74 ,complicirter ist es1 den umgekehrten ,satz zu beweisen1 dass nmlich die ,gleichheit des p die hinreichende ,bedingung fr die ,mglichkeit der eindeutigen ,beziehung zweier ,flchen abgibt4 ,ich muss mich1 was den ,beweis dieses wichtigen ,satzes angeht1 an dieser ,stelle auf blosse ,citate unter dem ,texte beschrnken7#ab74 ,auf ,grund desselben ist man berechtigt1 bei ,untersuchungen ber geschlossene ,flchen1 so lange nur allgemeine ,lagenverhltnisse in ,betracht kommen1 fr jedes p einen mglichst einfachen ,typus zu ,grunde zu legen4 ,in diesem ,sinne wollen wir von ,normalflchen sprechen4 ,fr quantitative ,bestimmungen reichen die ,normalflchen natrlich in keiner ,weise mehr aus2 aber sie bieten auch fr sie ein ,mittel zur ,orientirung4 ,die ,normalflche fr formula sei die ,kugel1 fr formula der ,ring4 ,bei hherem p mag man sich eine ,kugel mit p ,anhngseln 7,handhaben7 versehen denken1 wie folgende ,figur fr formula aufweist3 7see figure #ad7 ,illustration3 ,fig4 #ad4 ,fig4 #ad4 ,eine hnliche ,normalflche ist natrlich auch bei formula statthaft1 wie berhaupt man sich diese ,flchen nicht als starr gegeben1 sondern als beliebiger ,verzerrungen fhig denken muss4 ,auf diesen ,normalflchen mgen nun gewisse ,querschnitte1 von denen wir im ,folgenden ,gebrauch zu machen haben1 festgelegt werden4 ,bei formula kommen dieselben noch nicht in ,betracht4 ,auf dem ,ringe formula mag eine quotedblbase ,meridiancurve#8#8 ,a1 verbunden mit einer ,breitencurve ,b das ,querschnittsystem bilden3 ,illustration3 ,fig4 #ae4 ,fig4 #ae4 ,allgemein gebrauchen wir formula ,querschnitte4 ,es wird1 denke ich1 mit ,rcksicht auf die folgende ,figur verstndlich sein1 wenn ich bei der einzelnen ,handhabe unserer ,normalflche von einer ,meridiancurve und einer ,breitencurve rede3 ,illustration3 ,fig4 #af4 ,fig4 #af4 ,wir whlen die formula ,querschnitte derart1 dass wir um jede der p ,handhaben eine ,meridiancurve und eine ,breitencurve herumlegen4 ,wir wollen diese ,querschnitte der ,reihe nach mit formula1 formula1 formula1 beziehungsweise formula1 formula1 formula bezeichnen4 4 #i4 ,vorlufige ,bestimmung stationrer ,strmungen auf beliebigen ,flchen4 ,wir haben uns nun mit der ,aufgabe zu beschftigen1 auf beliebigen 7geschlossenen7 ,flchen die allgemeinsten einfrmigen1 stationren ,strmungen mit ,geschwindigkeitspotential zu definiren1 immer unter der ,voraussetzung1 dass keine anderen ,unendlichkeitspuncte zugelassen werden sollen1 als die in 4 #b genannten7#ac74 ,zu dem ,zwecke richten wir unsere ,ideen auf die ,normalflchen des vorigen ,paragraphen und benutzen brigens wieder ,vorstellungen der ,elektricittslehre4 ,die gegebene ,flche denken wir uns mit einem unendlich dnnen gleichfrmigen ,ueberzuge einer leitenden ,substanz versehen1 und wenden zunchst diejenigen experimentellen ,mittel an1 die uns von 4 #c her bekannt sind4 ,wir werden also zuvrderst etwa die beiden ,pole einer galvanischen ,batterie auf unsere ,flche an zwei beliebigen ,stellen aufsetzen3 es entsteht dann eine ,strmung1 welche diese beiden ,stellen als ,quellenpuncte von entgegengesetzt gleicher ,ergiebigkeit besitzt4 ,wir werden sodann zwei beliebige ,puncte der ,flche durch eine oder mehrere1 neben einander herlaufende1 sich selbst nicht schneidende ,curven verbinden1 welche der ,sitz constanter elektromotorischer ,krfte sein sollen1--wobei man sich alles ,dessen erinnern mag1 was in 4 #d betreffs der dann nothwendig werdenden experimentellen ,anordnung gesagt wurde4 ,wir erhalten dann eine stationre ,bewegung1 fr welche die beiden ,puncte ,wirbelpuncte von entgegengesetzt gleicher ,intensitt sind4--,wir werden ferner verschiedene solche ,bewegungsformen berlagern und endlich1 wenn es nthig scheint1 getrennte ,unendlichkeitspuncte durch ,grnzbergang zu hheren ,unendlichkeitspuncten zusammenfallen lassen4 ,alles das gestaltet sich genau so1 wie auf der ,kugel1 und wir haben also jedenfalls den folgenden ,satz3 ,wenn man die ,art der ,unendlichkeitsstellen nach ,anleitung des 4 #b beschrnkt1 wenn man ferner daran festhlt1 dass die ,summe smmtlicher logarithmischer ,residua allemal gleich ,null sein muss1 so existiren auf unserer ,flche complexe ,functionen des ,ortes1 welche an beliebig gegebenen ,stellen in brigens beliebig gegebener ,weise unendlich werden und berall sonst stetig verlaufen4 ,mit den so bestimmten ,functionen ist nun aber1 fr formula1 die ,sache noch keineswegs erschpft4 ,wir knnen nmlich eine experimentelle ,anordnung treffen1 fr welche auf der ,kugel noch keinerlei ,mglichkeit gegeben war4 ,es gibt jetzt auf der ,flche in sich zurcklaufende ,curven1 vermge deren die ,flche keineswegs in getrennte ,bereiche zerlegt wird4 ,nichts steht im ,wege1 dass die ,elektricitt von der einen ,seite einer solchen ,curve durch die ,flche hindurch zur anderen ,seite derselben hinberstrmt4 ,wir werden eine solche ,curve1 oder auch mehrere neben einander herlaufende ,curven dieser ,art ebensogut als ,sitz constanter elektromotorischer ,krfte betrachten knnen1 wie diess in 4 #d mit ,curvenzgen geschah1 die von einem ,endpuncte zu einem zweiten hinlaufen4 ,die ,strmungen1 welche wir dann erhalten1 haben berhaupt keine ,unstetigkeiten4 ,wir werden sie als berall endliche ,strmungen und die zugehrigen complexen ,functionen des ,ortes als berall endliche ,functionen bezeichnen knnen4 ,diese ,functionen sind nothwendig unendlich vieldeutig4 ,denn sie erhalten jeweils einen reellen1 der angenommenen elektromotorischen ,kraft proportionalen ,periodicittsmodul1 so oft man die gegebene ,curve in demselben ,sinne berschreitet7#ad7 ,wir fragen1 wie mannigfach die so definirten berall endlichen ,strmungen sein mgen4 ,offenbar sind zwei auf derselben ,flche verlaufende ,curven1 als ,sitz gleich starker elektromotorischer ,krfte betrachtet1 fr unseren ,zweck aequivalent1 wenn sie sich durch stetige ,verschiebung ber die ,flche hin zur ,deckung bringen lassen4 ,verzerrt man eine ,curve so1 dass ,curvenstcke auftreten1 welche zweimal in entgegengesetzter ,richtung durchlaufen werden1 so drfen dieselben einfach weggelassen werden4 ,in ,folge dessen beweist man1 dass eine jede geschlossene ,curve einer ganzzahligen ,combination der ,querschnitte formula1 formula1 wie diese im vorigen ,paragraphen definirt wurden1 aequivalent ist4 ,illustration3 ,fig4 #ag4 ,fig4 #ag4 ,illustration3 ,fig4 #ah4 ,fig4 #ah4 ,in der ,that1 man verfolge den ,weg einer geschlossenen ,curve auf unserer ,normalflche7#ae74 ,fr formula wird die ,richtigkeit unserer ,behauptung dann unmittelbar evident4 ,es gengt1 ein ,beispiel zu betrachten1 wie es in den vorstehenden ,figuren vorliegt4 ,die in ,figur #ag auf der ,ringflche verlaufende ,curve ist mit der anderen1 welche rechter ,hand gezeichnet ist1 durch blosse ,verzerrung zur ,deckung zu bringen1 sie ist also mit einer dreifachen ,durchlaufung der ,meridiancurve ,a 7vergl4 ,fig4 #ae7 und einer einfachen ,durchlaufung der ,breitencurve ,b aequivalent4--,sei ferner formula4 ,so oft dann unsere ,curve ber eine der p ,handhaben verluft1 kann man ein ,stck von ihr abtrennen1 das sich durch blosse ,verzerrung in eine ganzzahlige ,verbindung der betreffenden ,meridiancurve und der zugehrigen ,breitencurve verwandeln lsst4 ,nach ,absonderung aller solcher ,bestandtheile bleibt eine geschlossene ,curve brig1 die sich entweder unmittelbar in einen einzelnen ,punct der ,flche zusammenziehen lsst und also jedenfalls keinen ,beitrag zur elektrischen ,strmung liefert1 oder die eine oder mehrere ,handhaben vllig umschliesst1 wovon ,figur #ai ein ,beispiel aufweist3 ,illustration3 ,fig4 #ai4 ,fig4 #ai4 ,illustration3 ,fig4 #bj4 ,fig4 #bj4 ,die ,figur #bj erlutert1 wie man eine solche ,curve durch ,deformation verndern kann4 ,durch ,fortsetzung des hierdurch angedeuteten ,processes verwandelt sie sich in einen ,curvenzug1 der aus der inneren ,randcurve der betreffenden ,handhabe und einer zugehrigen ,meridiancurve besteht1 dessen ,stcke aber beide zweimal in entgegengesetzter ,richtung durchlaufen werden4 ,also auch eine solche ,curve gibt keinen ,beitrag zur ,strmung4 ,man htte dieses brigens auch von ,vorneherein aus der ,bemerkung ersehen knnen1 dass die jetzt betrachtete ,curve1 gleich einer solchen1 die sich in einen ,punct zusammenziehen lsst1 die gegebene ,flche in getrennte ,gebiete zerlegt4 ,wir erzielen daher durch ,heranziehen beliebiger geschlossener ,curven nicht mehr1 als durch geeignete ,benutzung der formula ,curven formula1 formula4 ,die allgemeinste berall endliche ,strmung1 welche wir hervorrufen knnen1 wird entstehen1 wenn wir jeden der formula ,querschnitte zum ,trger einer beliebigen constanten elektromotorischen ,kraft machen4 ,oder anders ausgedrckt3 ,die allgemeinste von uns zu construirende berall endliche ,function ist diejenige1 deren reeller ,theil an den formula ,querschnitten beliebig vorgegebene ,periodicittsmoduln aufweist4 4 #aj4 ,die allgemeinste stationre ,strmung4 ,beweis fr die ,unmglichkeit anderweitiger ,strmungen4 ,wenn wir die verschiedenen im vorigen ,paragraphen construirten complexen ,functionen des ,ortes additiv zusammenfgen1 so erhalten wir eine ,function1 deren ,willkrlichkeit wir sofort bersehen4 ,indem wir die ,bedingungen1 die hinsichtlich der ,unendlichkeitsstellen ein fr allemal vorgeschrieben sind1 nicht noch besonders erwhnen1 knnen wir sagen3 dass unsere ,function an beliebig gegebenen ,stellen in beliebig gegebener ,weise unendlich wird und berdiess ihr reeller ,theil an den formula ,querschnitten beliebig gegebene ,periodicittsmoduln aufweist4 ,ich sage nun1 dass diess in der ,that die allgemeinste ,function ist1 der auf unserer ,flche eine einfrmige ,strmung entspricht4 ,zum ,beweise mgen wir diese ,behauptung auf eine einfachere reduciren4 ,ist irgend eine complexe ,function der in ,betracht kommenden ,art auf unserer ,flche gegeben1 so haben wir im ,vorhergehenden das ,mittel1 eine zugehrige ,function zu construiren1 welche an denselben ,stellen in derselben ,weise unendlich wird1 und deren reeller ,theil an den ,querschnitten formula1 formula dieselben ,periodicittsmoduln aufweist1 wie der reelle ,theil der gegebenen ,function4 ,die ,differenz der beiden ,functionen ist eine neue ,function1 welche nirgendwo unendlich wird und deren reeller ,theil an den ,querschnitten verschwindende ,periodicittsmoduln besitzt1 welche berdiess1 wie selbstverstndlich1 wiederum eine einfrmige ,strmung definirt4 ,offenbar haben wir zu beweisen1 dass eine solche ,function nicht existirt1 oder vielmehr1 dass sie sich auf eine ,constante reducirt4 ,und in der ,that ist dieser ,beweis nicht schwierig4 ,was eine ,durchfhrung desselben in strenger ,form betrifft1 so will ich mich darauf beschrnken1 zu bemerken1 dass dieselbe mit ,hlfe des verallgemeinerten ,green'schen ,satzes gelingt7#af74 ,die folgenden ,betrachtungen sollen auf anschauungsmssigem ,wege dieselbe ,unmglichkeit darthun4 ,mag man dieselben wegen der unbestimmten ,form1 die sie besitzen1 vielleicht auch nicht als zwingend erachten7#ag71 so scheint es doch ntzlich1 auch in dieser ,weise den ,grnden fr das ,bestehen jenes ,theoremes nachzugehen4 ,wir mgen den besonderen ,fall formula vorweg nehmen und uns also fragen1 wesshalb auf der ,kugel eine einfrmige1 berall endliche ,strmung unmglich ist4 ,das ,zweckmssigste scheint es zu sein1 den ,verlauf der ,strmungscurven auf der ,kugel zu verfolgen4 ,da ,unendlichkeitspuncte nicht auftreten sollen1 so kann eine ,strmungscurve nicht pltzlich abbrechen1 wie es in einem ,quellenpuncte1 oder in einem algebraischen ,unstetigkeitspuncte geschieht4 ,ueberdiess halte man vor ,augen1 dass neben einander herlaufende ,strmungscurven nothwendig gleichen ,strmungssinn haben4 ,man erkennt dann1 dass nur zweierlei ,arten von nicht abbrechenden ,strmungscurven mglich sind4 ,entweder die ,curve windet sich1 je lnger um so enger1 um einen asymptotischen ,punct--dann haben wir wieder einen ,unendlichkeitspunct--1 oder die ,curve ist geschlossen4 ,ist aber eine ,strmungscurve geschlossen1 so sind es die nchstfolgenden auch4 ,dabei schliessen sie einen kleineren und kleineren ,theil der ,kugelflche ein4 ,es kann also nicht fehlen1 dass man zu einem ,wirbelpuncte1 d4 h4 abermals zu einem ,unendlichkeitspuncte gefhrt wird4 ,eine berall endliche ,strmung ist also in der ,that unmglich4 ,allerdings haben wir der ,mglichkeit nicht gedacht1 die in dem ,auftreten von ,kreuzungspuncten liegt4 ,diese ,puncte sind jedenfalls nur1 wie oben hervorgehoben1 in endlicher ,zahl vorhanden4 ,es wird also nur eine endliche ,zahl von ,strmungscurven geben1 welche durch sie hindurchlaufen4 ,man denke sich die ,kugel durch diese ,curven in ,gebiete zerlegt und wiederhole innerhalb der einzelnen ,gebiete die gerade angestellten ,betrachtungen1 wobei sich das frhere ,resultat von ,neuem ergeben wird4 ,nehmen wir nun formula und legen wieder die ,normalflchen des 4 #h zu ,grunde4 ,dass auf diesen ,flchen berall endliche1 einfrmige ,strmungen existiren1 liegt nach dem gerade ,gesagten an dem ,auftreten der ,handhaben4 ,eine auf der ,normalflche gezogene geschlossene ,curve1 die sich in einen ,punct zusammenziehen lsst1 kann ebensowenig1 wie eine geschlossene ,curve auf der ,kugel1 ,strmungscurve fr eine berall endliche ,strmung sein4 ,aber auch eine ,curve1 wie wir sie in ,figur 7#ai7 betrachteten1 ist nicht zu brauchen4 ,denn an eine erste solche ,strmungscurve mssen sich weitere schliessen nach ,art der in ,figur 7#bj7 dargestellten1--so dass wir zuletzt zu einer ,curve gelangen1 deren ,theile zweimal in entgegengesetztem ,sinne durchlaufen werden6 ,die ,strmungscurve muss also nothwendig sich um die eine oder andere ,handhabe herumwinden1 mag diess ein einfaches ,umfassen jener ,handhabe sein1 oder ein wiederholtes ,umkreisen derselben im ,sinne der ,meridian- oder der ,breitencurven4 ,in allen ,fllen lsst sich von der ,strmungscurve ein ,theil abtrennen1 der im ,sinne des vorigen ,paragraphen mit einer ganzzahligen ,combination der betreffenden ,meridiancurve und der zugehrigen ,breitencurve aequivalent ist4 ,nun wchst u1 der reelle ,theil der durch die ,strmung definirten complexen ,function1 fortwhrend1 wenn man lngs einer ,strmungscurve fortschreitet4 ,andererseits liefern zwei ,curven1 welche im ,sinne des vorigen ,paragraphen aequivalent sind1 bei ,durchlaufung nothwendig dieselben ,incremente von u4 ,es gibt also eine ,combination wenigstens einer ,meridiancurve und einer ,breitencurve1 deren ,durchlaufung einen nicht verschwindenden ,zuwachs von u herbeifhrt4 ,das ,gleiche gilt nothwendig von der betreffenden ,meridiancurve oder der ,breitencurve selbst4 ,der ,zuwachs aber1 den u beim ,durchlaufen der ,meridiancurve gewinnt1 entspricht dem ,ueberschreiten der ,breitencurve1 und umgekehrt4 ,daher hat u nothwendig wenigstens an einer ,breitencurve oder ,meridiancurve einen nicht verschwindenden ,periodicittsmodul1 und eine berall endliche1 einfrmige ,strmung1 bei der alle diese ,periodicittsmoduln gleich ,null sind1 ist in der ,that unmglich1 w4 z4 b4 w4 4 #aa4 ,erluterung der ,strmungen an ,beispielen4 ,es scheint sehr ntzlich1 sich her den allgemeinen ,verlauf der nunmehr definirten ,strmungen an ,beispielen zu orientiren1 damit nmlich unsere ,stze nicht blosse abstracte ,formulirungen bleiben1 sondern mit concreten ,vorstellungen verbunden werden7#ah74 ,es gelingt diess im gegebenen ,falle ziemlich leicht1 so lange man sich auf qualitative ,verhltnisse beschrnkt2 die genaue quantitative ,bestimmung wrde selbstverstndlich ganz andere ,hlfsmittel erfordern4 ,ich will mich dabei der ,einfachheit halber auf solche ,flchen beschrnken1 bei denen eine ,symmetrieebene existirt1 die mit der ,ebene der ,zeichnung zusammenfllt1--und auf diesen ,flchen nur solche ,strmungen in ,betracht ziehen1 bei denen der scheinbare ,umriss der ,flche 7d4 h4 der ,schnitt der ,flche mit der ,zeichnungsebene7 entweder ,strmungscurve oder ,niveaucurve ist4 ,man hat dann den wesentlichen ,vortheil1 dass man die ,strmungscurven nur auf der ,vorderseite der ,flche zu zeichnen braucht2 denn auf der ,rckseite verlaufen sie genau gerade so7#ai74 ,illustration3 ,fig4 #ba4 ,fig4 #ba4 ,beginnen wir mit berall endlichen ,strmungen auf dem ,ringe formula4 ,wir betrachten zunchst eine ,breitencurve 7oder mehrere solche ,curven7 als ,sitz der elektromotorischen ,kraft4 ,dann entsteht die ,figur #ba1 in der alle ,strmungscurven ,meridiancurven sind und ,kreuzungspuncte nicht auftreten4 ,die ,meridiancurven sind dabei durch ,stcke radial verlaufender gerader ,linien vorgestellt4 ,die ,pfeilspitzen geben die ,strmungsrichtung auf der ,vorderseite1 auf der ,rckseite haben wir durchweg den umgekehrten ,bewegungssinn4 ,bei der conjugirten ,strmung spielen die ,breitencurven die analoge ,rolle1 wie soeben die ,meridiancurven2 dieselbe mag durch folgende ,zeichnung erlutert sein3 ,illustration3 ,fig4 #bb4 ,fig4 #bb4 ,der ,bewegungssinn ist in diesem ,falle auf ,vorder- und ,rckseite derselbe4 ,illustration3 ,fig4 #bc4 ,fig4 #bc4 ,illustration3 ,fig4 #bd4 ,fig4 #bd4 ,wir wollen nun den ,ring formula dadurch umndern1 dass wir1 etwa auf der rechten ,seite der ,figur1 zwei ,ausstlpungen aus ihm hervorwachsen lassen1 die sich allmhlich zusammenbiegen und schliesslich verschmelzen4 ,so haben wir eine ,flche formula und auf ihr ein ,paar conjugirter ,strmungen1 wie es die ,figuren #bc und #bd erlutern4 ,es haben sich1 wie man erkennt1 rechter ,hand zwei ,kreuzungspuncte eingestellt 7von denen natrlich nur einer auf der ,vorderseite gelegen und also sichtbar ist74 ,etwas ,analoges tritt jedesmal ein1 wenn man berall endliche ,strmungen auf einer ,flche formula studirt4 ,ich setze statt weiterer ,erluterungen noch zwei ,figuren mit je vier ,kreuzungspuncten her1 die sich auf formula beziehen3 ,illustration3 ,fig4 #be4 ,fig4 #be4 ,illustration3 ,fig4 #bf4 ,fig4 #bf4 ,dieselben entstehen1 wenn man auf smmtlichen ,handhaben der ,flche einmal in den ,breitencurven1 das andere ,mal in den ,meridiancurven elektromotorische ,krfte wirken lsst4 ,auf den beiden unteren ,handhaben sind dieselben in gleichem ,sinne orientirt1 bei der oberen im entgegengesetzten4 ,von den ,kreuzungspuncten liegen zwei bei a und b1 der dritte bei c1 der vierte an der entsprechenden ,stelle der ,rckseite4 ,es sind die ,kreuzungspuncte bei a und b in ,figur 7#be7 nur desshalb schwer zu erkennen1 weil am ,rande der ,figur bei der von uns gewhlten ,darstellungsweise eine perspectivische ,verkrzung eintritt und daher beide im ,kreuzungspuncte zusammentreffende ,strmungscurven den ,rand zu berhren scheinen4 ,denkt man sich die 7in entgegengesetzter ,richtung7 stattfindenden ,strmungen auf der ,rckseite der ,flche hinzu1 so kann ber die ,natur dieser ,puncte wohl keine ,unklarheit bestehen4 ,gehen wir nun zum ,ringe formula zurck und lassen bei ihm zwei logarithmische ,unstetigkeitspuncte gegeben sein6 ,man erhlt zugehrige ,figuren1 wenn man die ,zeichnungen 7#bc7 und 7#bd7 einem ,deformationsprocesse unterwirft1 der auch in allgemeineren ,fllen ebenso interessant als ntzlich ist4 ,wir wollen nmlich die ,partieen linker ,hand in den einzelnen ,figuren zusammenziehen1 die rechter ,hand ausdehnen1 so dass wir zunchst etwa folgende ,bilder erhalten3 ,illustration3 ,fig4 #bg4 ,fig4 #bg4 ,illustration3 ,fig4 #bh4 ,fig4 #bh4 und nun die linker ,hand bereits sehr schmal gewordene ,handhabe vollends zur ,curve zusammenziehen1 um sie dann wegzuwerfen4 ,so ist aus der berall endlichen ,strmung auf der ,flche formula eine ,strmung mit zwei logarithmischen ,unstetigkeitspunkten auf der ,flche formula geworden4 ,die ,figuren haben nmlich folgende ,gestalt angenommen3 ,illustration3 ,fig4 #bi4 ,fig4 #bi4 ,illustration3 ,fig4 #cj4 ,fig4 #cj4 ,die beiden ,kreuzungspuncte von 7#bc71 7#bd7 sind geblieben2 m und n sind die beiden logarithmischen ,unstetigkeitspuncte4 ,und zwar sind dieselben im ,falle der ,figur #bi ,wirbelpuncte von entgegengesetzt gleicher ,intensitt1 im ,falle der ,figur #cj ,quellenpuncte von entgegengesetzt gleicher ,ergiebigkeit4 ,dabei ist es wieder eine ,folge der von uns gewhlten ,projectionsart1 wenn im zweiten ,falle smmtliche ,strmungscurven1 von einer einzigen abgesehen1 in m und n den ,rand zu berhren scheinen4 ,wollen wir endlich m und n zusammenrcken lassen1 so dass ein algebraischer ,unstetigkeitspunct von einfacher ,multiplicitt entsteht1 so kommen folgende ,zeichnungen1 bei denen1 wie man beachten mag1 die ,kreuzungspuncte nach wie vor an ihrer ,stelle geblieben sind3 ,illustration3 ,fig4 #ca4 ,fig4 #ca4 ,illustration3 ,fig4 #cb4 ,fig4 #cb4 ,ich will diese ,figuren nicht noch mehr vervielfltigen1 da weitere ,beispiele nach ,art der nunmehr betrachteten leicht zu bilden sind4 ,nur der eine ,umstand werde noch hervorgehoben4 ,die ,zahl der ,kreuzungspunkte einer ,strmung wchst offenbar mit dem p der ,flche und mit der ,zahl der ,unendlichkeitspunkte4 ,algebraische ,unendlichkeitspuncte von der ,multiplicitt r mgen als formula logarithmische ,unendlichkeitspuncte gezhlt werden4 ,dann ist auf der ,kugel bei formula logarithmischen ,unendlichkeitspunkten die ,anzahl der eigentlichen ,kreuzungspunkte allgemein formula4 ,andererseits ist mit der ,zunahme von p um eine ,einheit nach unseren ,beispielen eine ,zunahme der ,zahl der ,kreuzungspunkte um zwei ,einheiten verbunden4 ,hiernach wird man vermuthen1 dass die ,zahl der ,kreuzungspuncte berhaupt formula sein wird4 ,ein strenger ,beweis dieses ,satzes auf ,grund der bisher entwickelten ,anschauungen hat jedenfalls keine besondere ,schwierigkeit7#bj72 er wrde hier aber zu weit fhren4 ,der einzige ,specialfall unseres ,satzes1 den wir spter gebrauchen werden1 ist auf ,grund der gewhnlichen ,untersuchungen der ,analysis situs bekannt3 es handelt sich bei ihm 74 #ad7 um solche ,strmungen1 bei denen m einfache algebraische ,unstetigkeitspuncte vorhanden sind1 bei denen also formula ,kreuzungspuncte auftreten mssen4 4 #ab4 ,ueber die ,zusammensetzung der allgemeinsten complexen ,function des ,ortes aus einzelnen ,summanden4 ,der ,beweisgang des 4 #aj setzt uns in den ,stand1 von der allgemeinsten auf einer ,flche existirenden complexen ,function des ,ortes uns dadurch eine concretere ,vorstellung zu machen1 dass wir dieselbe aus einzelnen ,summanden von mglichst einfacher ,eigenschaft additiv zusammensetzen4 ,betrachten wir zuvrderst berall endliche ,functionen4 ,es seien formula berall endliche ,potentiale4 ,dieselben mgen linear abhngig heissen1 wenn zwischen ihnen eine ,relation formula mit constanten ,cofficienten besteht4 ,eine solche ,beziehung liefert entsprechende ,gleichungen fr die formula ,serien von formula ,periodicittsmoduln1 welche formula an den formula ,querschnitten der ,flche besitzen4 ,umgekehrt wrde1 nach dem in 4 #aj bewiesenen ,satze1 aus solchen ,gleichungen zwischen den ,periodicittsmoduln die lineare ,relation zwischen den u selbst hervorgehen4 ,es ergiebt sich so1 dass man auf mannigfachste ,weise formula linear unabhngige berall endliche ,potentiale formula finden kann1 dass sich aber aus ihnen jedes andere berall endliche ,potential linear zusammensetzt3 formula ,in der ,that kann man formula z4 ,b4 derart whlen1 dass jedes nur an einem der formula ,querschnitte einen nicht verschwindenden ,periodicittsmodul besitzt 7wobei natrlich jedem ,querschnitte ein und nur ein ,potential zugewiesen werden soll74 ,hernach kann man in formula die ,constanten formula so bestimmen1 dass dieser ,ausdruck an smmtlichen formula ,querschnitten dieselben ,periodicittsmoduln aufweist1 wie u4 ,dann ist formula eine ,constante1 und wir haben also die vorstehende ,formel4 ,um nun von den ,potentialen u zu den berall endlichen ,functionen formula berzugehen1 denke ich mir der ,einfachheit halber ein solches ,coordinatensystem formula auf der ,flche eingefhrt 74 #f71 dass formula durch die ,gleichungen verknpft sind3 formula ,sei jetzt formula ein beliebiges berall endliches ,potential4 ,wir bilden das zugehrige formula und haben3 formula und formula sind jedenfalls linear unabhngig4 ,denn wenn zwischen formula eine ,gleichung formula mit constanten ,cofficienten bestnde1 so wrde dieselbe die folgenden ,relationen begrnden3 formula aus denen vermge der angegebenen ,beziehungen das widersinnige ,resultat formula folgen wrde4 ,es sei nun ferner formula von formula und formula linear unabhngig4 ,dann nehmen wir das zugehrige formula und haben dann den allgemeineren ,satz3 ,die vier ,functionen formula sind ebenfalls linear unabhngig4 ,in der ,that knnte man aus jeder linearen ,relation3 formula durch ,benutzung der zwischen den formula bestehenden ,beziehungen die folgenden ,gleichungen ableiten3 formula aus denen durch ,integration eine lineare ,abhngigkeit zwischen formula folgen wrde4-- ,so vorwrts schliessend bekommt man endlich formula linear unabhngige ,potentiale3 formula wo jedes v mit dem gleichbezeichneten u zusammengehrt4 ,wir setzen formula und nennen nunmehr berall endliche ,functionen formula linear unabhngig1 wenn zwischen ihnen keinerlei ,relation3 formula besteht1 unter formula beliebige complexe ,constanten verstanden4 ,dann haben wir sofort3 ,die p berall endlichen ,functionen formula sind linear unabhngig4 ,wenn nmlich eine lineare ,abhngigkeit bestnde1 so knnte man in ihr das ,reelle und ,imaginre sondern und erhielte dadurch lineare ,beziehungen zwischen den u und v4 ,des ,weiteren aber folgt3 ,jede beliebige berall endliche ,function setzt sich aus unseren formula in der ,form zusammen3 formula ,in der ,that knnen wir durch geeignete ,wahl der complexen ,constanten formula bei der linearen ,unabhngigkeit der formula erreichen1 dass eine durch vorstehende ,formel definirte ,function w an den formula ,querschnitten beliebig vorgegebene ,grssen als ,periodicittsmoduln des reellen ,theils aufweist4 ,diess ist das ,theorem1 welches wir hinsichtlich der ,darstellung berall endlicher ,functionen im gegenwrtigen ,paragraphen aufzustellen hatten4 ,der ,uebergang zu ,functionen mit ,unendlichkeitsstellen ist nun sehr leicht zu bewerkstelligen4 ,es seien formula die ,punkte1 in denen unsere ,function in irgendwie vorgeschriebener ,weise unendlich werden soll4 ,wir wollen dann einen ,hlfspunct formula einfhren und eine ,reihe von einzelnen ,functionen formula construiren1 von denen jede einzelne nur in einem der ,puncte formula1 und zwar in der fr diesen ,punct vorgeschriebenen ,weise1 unendlich werden soll und berdies in formula einen logarithmischen ,unstetigkeitspunct besitzen mag1 dessen ,residuum dem1 zu dem betreffenden formula gehrigen1 logarithmischen ,residuum entgegengesetzt gleich kommt4 ,die ,summe formula wird dann in formula stetig2 denn die ,summe aller zu den ,unstetigkeitspuncten formula gehrigen ,residua ist1 wie wir wissen1 gleich ,null4 ,ueberdiess wird sie in den formula und nur in den formula1 dabei in der vorgeschriebenen ,weise unendlich4 ,sie unterscheidet sich also von der gesuchten ,function nur um eine berall endliche ,function4 ,die gesuchte ,function ist also in der ,gestalt darstellbar3 formula womit wir auch das allgemeine hier in ,betracht kommende ,theorem gefunden haben4 ,dasselbe entspricht offenbar der ,zerlegung1 welche wir in 4 #d fr die auf der ,kugel existirenden complexen ,functionen betrachteten1 und die wir damals1 wie man es gewhnlich thut1 der ,lehre von der ,partialbruchzerlegung rationaler ,functionen entnahmen4 4 #ac4 ,ueber die ,vieldeutigkeit unserer ,functionen4 ,besondere ,betrachtung eindeutiger ,functionen4 ,die ,functionen formula1 welche wir auf unseren ,flchen studieren1 sind im ,allgemeinen unendlich vieldeutig3 denn einmal bringt jeder logarithmische ,unendlichkeitspunct einen ,periodicittsmodul mit sich1 andererseits haben wir die ,periodicittsmoduln an den formula ,querschnitten formula1 deren reelle ,theile wir willkrlich annehmen konnten4 ,ich sage nun1 dass mit diesen ,angaben die ,vieldeutigkeit von formula in der ,that erschpft ist4 ,zum ,beweise mssen wir auf den ,begriff der ,aequivalenz zweier ,curven auf gegebener ,flche zurckgreifen1 den wir in 4 #i zunchst zu anderem ,zwecke einfhrten4 ,da die ,differentialquotienten von u und v 7oder1 was dasselbe ist1 die ,componenten der zugehrigen ,strmung7 auf unserer ,flche durchweg eindeutig sind1 so liefern zwei aequivalente geschlossene ,curven1 welche durch keinen logarithmischen ,unstetigkeitspunkt getrennt sind1 bei ,durchlaufung denselben ,zuwachs von u1 wie von v4 ,nun fanden wir aber1 dass jede geschlossene ,curve mit einer ganzzahligen ,combination der ,querschnitte formula aequivalent ist4 ,wir bemerkten ferner 74 #aj71 dass die ,durchlaufung von formula denjenigen ,periodicittsmodul liefert1 welcher der ,ueberschreitung von formula entspricht1 und umgekehrt4 ,hieraus aber folgt das ausgesprochene ,theorem in bekannter ,weise4 ,es wird uns nun insbesondere interessiren1 eindeutige ,functionen des ,ortes zu betrachten4 ,dem ,gesagten zufolge werden wir alle solche ,functionen erhalten1 wenn wir als ,unstetigkeiten nur rein algebraische ,unendlichkeitspuncte zulassen und dann dafr sorgen1 dass die formula ,periodicittsmoduln an den ,querschnitten formula smmtlich verschwinden4 ,dabei wird es der leichteren ,ausdrucksweise wegen gestattet sein1 nur einfache algebraische ,unstetigkeitspuncte in ,betracht zu ziehen4 ,denn wir wissen ja aus 4 #c1 dass der formula-fache algebraische ,unstetigkeitspunct durch ,zusammenrcken von formula einfachen entstehen kann1 wobei brigens1 wie man nicht vergessen darf1 ,kreuzungspuncte in der ,gesammtmultiplicitt formula absorbirt werden4 ,seien also m ,puncte als einfache algebraische ,unendlichkeitspuncte der gesuchten ,function gegeben4 ,so wollen wir zuerst irgend m ,functionen des ,ortes bilden3 formula von denen jede nur an einer der gegebenen ,stellen einfach algebraisch unendlich werden soll aber brigens beliebig vieldeutig sein mag4 ,aus diesen ,z setzt sich die allgemeinste complexe ,function des ,ortes1 welche an den gegebenen ,stellen einfache algebraische ,unstetigkeiten besitzt1 dem vorigen ,paragraphen zufolge in der ,gestalt zusammen3 formula unter formula beliebige constante ,cofficienten verstanden4 ,um eine eindeutige ,function zu haben1 setzen wir die ,periodicittsmoduln1 welche dieser ,ausdruck an den formula ,querschnitten besitzt1 gleich ,null4 ,aber diese ,periodicittsmoduln setzen sich vermge der formula aus den ,periodicittsmoduln der formula linear zusammen4 ,wir finden also formula lineare homogene ,gleichungen fr die formula ,constanten a und c4 ,wir wollen annehmen1 dass diese ,gleichungen linear unabhngig sind7#ba74 ,dann kommt der wichtige ,satz3 ,unter der genannten ,voraussetzung giebt es bei m beliebig vorgeschriebenen einfachen algebraischen ,unstetigkeitspuncten nur dann eindeutige ,functionen des ,ortes1 wenn formula ist1 und zwar enthalten diese ,functionen formula linear vorkommende willkrliche ,constante4 ,man denke sich jetzt die m ,unendlichkeitspuncte als beweglich4 ,so treten m neue ,willkrlichkeiten in die ,betrachtung ein4 ,ueberdies ist klar1 dass man beliebige m ,puncte auf der ,flche durch continuirliche ,verschiebung in beliebige m andere verwandeln kann4 ,wir knnen also sagen1 indem wir uns brigens immer der ,voraussetzung erinnern1 die wir gemacht haben3 ,die ,gesammtheit der eindeutigen ,functionen mit m einfachen algebraischen ,unstetigkeitspuncten1 die auf gegebener ,flche existiren1 bildet ein ,continuum von formula ,abmessungen4 ,nun wir die ,existenz und die ,mannigfaltigkeit der eindeutigen ,functionen haben kennen lernen1 wollen wir auf mglichst anschauungsmssigem ,wege noch eine andere wichtige ,eigenschaft derselben entwickeln4 ,die ,zahl m der ,unendlichkeitspuncte unserer ,function hat nmlich fr letztere eine noch viel weiter gehende ,bedeutung4 ,ich sage1 dass unsere ,function formula jeden beliebig vorgegebenen ,werth formula genau an m ,stellen annimmt4 ,zum ,beweise betrachte man den ,verlauf der ,curven formula auf unserer ,flche4 ,nach 4 #b ist klar1 dass jede dieser ,curven einen ,ast durch jeden der m ,unendlichkeitspuncte hindurchschickt4 ,andererseits folgt aus ,betrachtungen1 wie wir sie in 4 #aj entwickelten1 dass jeder ,curvenast mindestens einen ,unendlichkeitspunct enthalten muss4 ,hiernach ist fr sehr grosse formula die ,richtigkeit unserer ,behauptung unmittelbar klar4 ,denn die betreffenden ,curven formula gehen dann in der ,nhe des einzelnen ,unendlichkeitspunctes nach 4 #b in kleine durch den ,unendlichkeitspunct hindurchlaufende ,kreise ber1 welche nothwendig neben dem 7hier nicht weiter in ,betracht kommenden7 ,unstetigkeitspuncte noch je einen ,schnittpunct gemein haben3 ,illustration3 ,fig4 #cc4 ,fig4 #cc4 ,hieraus aber folgt die ,sache allgemein4 ,denn die ,curven formula1 formula knnen bei continuirlicher ,aenderung von formula1 formula niemals einen ,schnittpunct verlieren4 ,es knnte diess nmlich nach dem ,gesagten nur so geschehen1 dass mehrere ,schnittpuncte zusammenrckten1 um dann in geringerer ,zahl wieder aus einander zu treten4 ,nun bilden die ,curven formula ein ,orthogonalsystem4 ,ein ,zusammenrcken reeller ,schnittpuncte ist also nur in den ,kreuzungspuncten mglich 7in denen es auch wirklich geschieht74 ,die ,kreuzungspuncte aber sind nur in endlicher ,zahl vorhanden1 und also nicht im ,stande1 die ,flche in verschiedene ,gebiete zu zerlegen4 ,die ,eventualitt des ,zusammenrckens ist also berhaupt nicht in ,betracht zu ziehen1 und somit unsere ,behauptung bewiesen4 ,es ist brigens fr das ,folgende ntzlich1 sich die ,vertheilung der ,werthe von formula in der ,nhe eines ,kreuzungspunctes deutlich zu machen4 ,hierzu gengt eine aufmerksame ,beobachtung der oben gegebenen ,figur #a4 ,man erkennt zumal1 dass von den m beweglichen ,schnittpuncten der ,curven formula1 formula bei ,annherung an den formula-fachen ,kreuzungspunct formula zusammenrcken4-- ,analoge ,betrachtungen1 wie wir sie hiermit fr eindeutige ,functionen erledigt haben1 finden natrlich auch bei vieldeutigen ,functionen ihre ,stelle4 ,ich gehe auf sie nur desshalb nicht ein1 weil es die im ,folgenden festgehaltene ,umgrnzung des ,stoffes nicht nthig macht4 ,auch kommt nur in den allereinfachsten ,fllen ein bersichtliches ,resultat4 ,sei in dieser ,beziehung daran flchtig erinnert1 dass eine complexe ,function mit mehr als zwei incommensurabeln ,periodicittsmoduln an jeder ,stelle jedem beliebigen ,werthe unendlich nahe gebracht werden kann4 4 #ad4 ,die gewhnlichen ,riemann'schen ,flchen ber der x iy-,ebene4 ,statt die ,vertheilung der ,functionswerthe formula auf der ursprnglichen ,flche zu betrachten1 kann man ein sozusagen umgekehrtes ,verfahren einschlagen4 ,man deute nmlich die ,functionswerthe--welche dementsprechend jetzt formula genannt werden sollen--in gewhnlicher ,weise in der ,ebene 7oder auch auf der ,kugel7#bb7 und studiere die conforme ,abbildung1 welche demzufolge 7nach 4 #e7 von unserer ursprnglichen ,flche entworfen wird4 ,wir beschrnken uns dabei wieder1 der ,einfachheit halber1 auf den ,fall der eindeutigen ,functionen1 trotzdem es besonderes ,interesse hat1 gerade auch die ,abbildung durch mehrdeutige ,fuuctionen in ,betracht zu ziehen7#bc74 ,eine kurze ,ueberlegung zeigt1 dass wir so gerade zu der mehrblttrigen1 mit ,verzweigungsverzweigungspuncten versehenen1 ber der formula-,ebene ausgebreiteten ,flche gefhrt werden1 welche man gewhnlich als ,riemann'sche ,flche schlechthin bezeichnet4 ,in der ,that1 sei m die ,zahl der 7einfachen7 ,unendlichkeitspuncte1 welche formula auf der ursprnglichen ,flche besitzt4 ,es nimmt dann formula1 wie wir sahen1 jeden ,werth auf der gegebenen ,flche m-mal an4 ,daher berdeckt die conforme ,abbildung unserer ,flche auf die formula-,ebene die letztere im ,allgemeinen mit m ,blttern4 ,eine ,ausnahmestellung nehmen nur diejenigen ,werthe von formula ein1 fr welche einige der m auf der ursprnglichen ,flche zugehrigen ,stellen zusammenfallen1 denen also ,kreuzungspuncte entsprechen4 ,man ziehe zum ,verstndnisse noch einmal die ,figur 7#a7 heran4 ,es folgt aus derselben1 dass man die ,umgebung eines formula-fachen ,krenzungspunctes derart in formula ,sectoren zerlegen kann1 dass formula innerhalb jedes ,sectors denselben ,werthvorrath durchluft4 ,daher werden oberhalb der betreffenden ,stelle der formula ,ebene formula ,bltter der conformen ,abbildung derart zusammenhngen1 dass eine ,umlaufung der ,stelle von einem ,blatte in ein zweites1 von diesem in ein drittes fhrt etc41 und dass eine formula-malige ,umlaufung derselben nthig wird1 um zum ,anfangspuncte zurckzugelangen4 ,diess ist aber genau1 was man gewhnlich als einen formula-fachen ,verzweigungspunct bezeichnet7#bd74 ,dabei ist die ,abbildung in diesem ,puncte selbst natrlich keine conforme mehr2 man beweist leicht1 dass der ,winkel1 den irgend zwei auf der ursprnglichen ,flche verlaufende sich im ,kreuzungspuncte schneidende ,curven mit einander bilden1 auf der ber der formula-,ebene ausgebreiteten ,riemann'schen ,flche genau mit formula multiplicirt erscheint4-- ,aber zugleich erkennen wir die ,bedeutung1 welche diese mehrblttrige ,flche fr unsere ,zwecke beanspruchen kann4 ,alle ,flchen1 welche durch conforme ,abbildung eindeutig aus einander hervorgehen1 sind fr uns gleichbedeutend 74 #h74 ,wir knnen also die m-blttrige ,flche ber der ,ebene ebensogut zu ,grunde legen1 wie die bisher benutzte ,flche1 die wir uns ohne jedes singulre ,vorkommniss frei im ,raume gelegen vorstellten4 ,dabei kommt die ,schwierigkeit1 die man in dem ,auftreten der ,verzweigungspuncte erblicken knnte1 von vorneherein in ,wegfall3 denn wir werden nur solche ,strmungen auf der mehrblttrigen ,flche in ,betracht ziehen1 welche sich in der ,umgebung der ,verzweigungspuncte derart verhalten1 dass sie rckwrts auf die im ,raume gelegene ursprngliche ,flche bertragen dort keine anderen singulren ,vorkommnisse darbieten1 als die ohnehin gestatteten4 ,hierzu ist nicht einmal nthig1 dass man eine entsprechende im ,raume gelegene ,flche kennt2 handelt es sich doch nur um ,verhltnisse in der nchsten ,umgebung der ,verzweigungspuncte1 d4 h4 um differentielle ,relationen1 denen unsere ,strmungen gengen mssen7#be74 ,es hat hiernach auch keinen ,zweck mehr1 wenn wir von beliebig gekrmmten ,flchen sprechen1 uns diese ohne singulre ,puncte zu denken3 sie mgen selbst mit mehreren ,blttern berdeckt sein1 die unter sich durch ,verzweigungspuncte1 beziehungsweise ,verzweigungsschnitte zusammenhngen4 ,aber welche unter den unbegrnzt vielen1 sonach gleichberechtigten ,flchen wir auch der ,betrachtung zu ,grunde legen wollen3 wir mssen zwischen wesentlichen ,eigenschaften unterscheiden1 welche allen gleichberechtigten ,flchen gemeinsam sind1 und unwesentlichen ,eigenschaften1 die der particulren ,flche anhaften4 ,zu ersteren gehrt die ,zahl p1 es gehren dahin die ,moduln1 von denen in 4 #ah ausfhrlicher die ,rede sein soll2 zu letzteren bei mehrblttrigen ,flchen die ,art und ,lage der ,verzweigungspuncte4 ,wenn wir uns eine ideale ,flche denken1 die nur jene wesentlichen ,eigenschaften besitzen soll1 so entsprechen auf ihr den ,verzweigungspuncten der mehrblttrigen ,flche gewhnliche ,puncte1 die1 allgemein zu reden1 vor den brigen ,puncten ,nichts voraus haben1 und die erst dadurch beachtenswerth werden1 dass bei der conformen ,abbildung1 die von der idealen ,flche zur particulren hinberfhrt1 in ihnen ,kreuzungspuncte entstehen4 ,das ,resultat ist also dieses1 dass wir betreffs der ,flchen1 auf denen wir operiren drfen1 eine grssere ,beweglichkeit gewonnen haben1 und dass wir zugleich die ,zuflligkeiten erkennen1 welche die ,betrachtung jeder einzelnen besonderen ,flche mit sich bringt4 ,insbesondere werden wir im ,folgenden1 so oft es ntzlich scheint1 mehrblttrige ,flchen ber der formula-,ebene in ,betracht ziehen2 ihre ,verwendung soll aber in keiner ,weise die ,allgemeinheit der ,auffassung beeintrchtigen7#bf74 4 #ae4 ,der ,ring p #a und die zweiblttrige ,flche mit vier ,verzweigungspuncten ber der ,ebene4 7#bg7 ,ich habe mich im vorigen ,paragraphen ziemlich kurz fassen knnen1 da ich die gewhnliche ,riemann'sche ,flche ber der ,ebene mit ihren ,verzweigungspuncten als bekannt ansah4 ,immerhin wird es ntzlich sein1 wenn ich das ,gesagte an einem ,beispiele erlutere4 ,wir wollen einen ,ring formula betrachten4 ,auf ihm existiren nach 4 #ac formula eindeutige ,functionen mit nur zwei ,unendlichkeitspuncten4 ,eine jede derselben besitzt nach der allgemeinen ,formel des 4 #aa vier ,kreuzungspuncte4 ,der ,ring ist also auf mannigfache ,weise auf eine zweiblttrige ebene ,flche mit vier ,verzweigungspuncten abzubilden4 ,ich will den besonderen ,fall1 in welchem ich diese ,abbildung nunmehr betrachten werde1 auf explicite ,formeln sttzen1 damit auch denjenigen ,lesern1 die in rein anschauungsmssigen ,operationen minder gebt sind1 die ,sache zugnglich sei4 ,allerdings greife ich damit in etwas den ,entwickelungen vor1 welche erst der folgende ,paragraph zu bringen bestimmt ist4 ,illustration3 ,fig4 #cd4 ,fig4 #cd4 ,wir wollen die ,ringflche als gewhnlichen ,torus voraussetzen1 der durch ,rotation eines ,kreises um eine denselben nicht schneidende ,axe seiner ,ebene entsteht4 ,sei formula der ,radius dieses ,kreises1 ,r der ,abstand seines ,mittelpunctes von der ,axe1 formula ein ,polarwinkel4 ,wir fhren die ,rotationsaxe als ,z-,axe1 den ,punct ,o der ,figur als ,anfangspunct eines rechtwinkligen ,coordinatensystems ein und unterscheiden die durch formula hindurchlaufenden ,ebenen nach dem ,winkel formula1 den sie mit der positiven ,x-,axe bilden4 ,dann hat man fr einen beliebigen ,punct der ,ringflche3 formula ,daher wird das ,bogenelement3 formula oder3 formula wo formula gesetzt sein soll4 ,nach ,formel 7#c7 haben wir eine conforme ,abbildung der ,ringflche auf die formula-,ebene4 ,die ganze ,ringflche wird offenbar einmal berstrichen1 wenn formula und formula 7in den ,formeln 7#a77 jedes von formula bis formula luft4 ,die conforme ,abbildung der ,ringflche berdeckt daher ein ,rechteck der ,ebene1 wie es durch folgende ,figur vorgestellt wird3 ,illustration3 ,fig4 #ce4 ,fig4 #ce4 ,ich habe dabei in der ,figur der ,krze halber statt formula einfach p geschrieben4--,wollen wir uns die ,beziehung zwischen ,rechteck und ,ringflche recht anschaulich vorstellen1 so denke man sich ersteres aus dehnsamem ,materiale verfertigt und nun die gegenberstehenden ,kanten des ,rechtecks ohne ,torsion zusammengebogen4 ,oder auch1 man denke sich den ,ring von analoger ,beschaffenheit1 zerschneide ihn lngs einer ,breitencurve und einer ,meridiancurve und breite ihn dann in die formula-,ebene aus4 ,ich setze statt weiterer ,erluterung eine ,figur her1 welche die ,verticalprojection der ,ringflche von der positiven ,z-,axe aus auf die formula-,ebene vorstellt und bei der die ,beziehung zur formula-,ebene markirt ist3 ,illustration3 ,fig4 #cf4 ,fig4 #cf4 ,natrlich erblickt man nur die ,oberseite der ,ringflche1 die auf der ,rckseite abgebildeten ,quadranten #c und #d werden beziehungsweise von #b und #a verdeckt4 ,sei nun andererseits bei reellem formula formula ber der ,ebene eine zweiblttrige ,flche mit vier ,verzweigungspuncten formula1 formula gegeben3 ,illustration3 ,fig4 #cg4 ,fig4 #cg4 wobei ich mir 7wie es in der ,figur angedeutet ist7 die beiden ,halbbltter1 welche die positive ,halbebene berlagern1 schraffirt denken will4 ,dabei sollen die ,verzweigungsschnitte mit den geradlinigen ,strecken zwischen formula und formula einerseits1 und formula und formula andererseits zusammenfallen4 ,diese zweiblttrige ,flche reprsentirt1 wie man weiss1 die ,verzweigung von formula1 und zwar knnen wir1 in ,anbetracht der ,wahl der ,verzweigungsschnitte1 die ,zuordnung so treffen1 dass auf dem oberen ,blatte w durchweg einen positiven reellen ,theil besitzt4 ,wir betrachten nun das ,integral formula ,dasselbe liefert uns in bekannter ,weise die ,abbildung unserer zweiblttrigen ,flche ebenfalls auf ein ,rechteck1 dessen nhere ,beziehung zur zweiblttrigen ,flche durch folgende ,figur gegeben ist1 auf welcher man die ,schraffirungen und sonstigen ,unterscheidungen der ,figur 7#cg7 wiederfindet3 ,illustration3 ,fig4 #ch4 ,fig4 #ch4 ,dem oberen ,blatte von ,figur 7#cg7 entspricht die linke ,seite dieser ,figur4 ,man beachte vor ,allem1 wie sich die ,abbildung fr die ,umgebung der ,verzweigungspuncte der zweiblttrigen ,flche gestaltet4 ,vielleicht ist es am einfachsten1 die ,sache sich so vorzustellen1 dass man von 7#cg7 zunchst durch stereographische ,projection zu einer zweimal berdeckten ,kugelflche bergeht1 welche auf einem ,meridian vier ,verzweigungspuncte trgt1--dass man die so erhaltene ,flche durch einen lngs des ,meridians verlaufenden ,schnitt in vier ,halbkugeln zerlegt1 deren einzelne man durch geeignete ,dehnung und ,deformirung in der ,nhe der vier ,verzweigungspuncte in ein ebenes ,rechteck verwandelt1--dass man endlich die so entstehenden vier ,rechtecke entsprechend den ,beziehungen zwischen den vier ,halbkugeln nach ,art von ,figur 7#ch7 neben einander legt4 ,man sieht auf diese ,art auch deutlich1 dass in ,figur 7#ch7 immer zwei 7zusammengehrige7 ,randpuncte denselben ,punct der ursprnglichen ,flche bezeichnen4 ,um nun zwischen dem ,ringe und der zweiblttrigen ,flche die gewnschte ,beziehung zu erzielen1 haben wir nur dafr zu sorgen1 dass das ,rechteck der ,figur 7#ch7 durch passende ,wahl des ,moduls formula mit dem ,rechtecke der ,figur 7#ce7 hnlich wird4 ,eine proportionale ,vergrsserung des einen ,rechtecks 7welches auch eine conforme ,umgestaltung ist7 bringt dasselbe sodann mit dem anderen ,rechteck zur ,deckung und vermittelt so eine eindeutig-conforme ,abbildung der zweiblttrigen ,flche auf die ,ringflche 7oder der letzteren auf die erstere74 ,es wird wiederum gengen1 das ,sachverhltniss durch eine ,figur zu kennzeichnen1 dieselbe entspricht genau der eben gegebenen ,figur 7#cf73 ,illustration3 ,fig4 #ci4 ,fig4 #ci4 ,die ,schraffirung soll sich dabei nur auf die ,vorderseite der ,ringflche beziehen2 auf der ,rckseite ist die untere ,hlfte der ,figur schraffirt zu denken1 die obere frei zu lassen4-- ,die conforme ,abbildung1 welche wir wnschten1 ist hiermit thatschlich geleistet4 ,wir wollen jetzt rckwrts die ,strmung auf der ,ringflche bestimmen1 durch deren ,vermittelung im ,sinne des 4 #ad die ,abbildung zu ,stande kommt4 ,dieselbe wird an den mit formula1 formula bezeichneten ,stellen ,kreuzungspuncte besitzen mssen1 an den beiden ,stellen formula algebraische ,unendlichkeitspuncte von einfacher ,multiplicitt4 ,man findet die betreffenden ,curven1 die ,niveaucurven sowohl wie die ,strmungscurven1 am besten1 wenn man sich des ,rechtecks als ,zwischenfigur bedient4 ,offenbar bertragen sich die ,curven formula ,const41 formula ,const4 der z-,ebene 7,figur #cg7 auf das ,rechteck der ,figur 7#ch71 wie die ,figuren 7#dj71 7#da7 angeben4 ,ich habe dabei allein den ,curven formula ,const4 ,pfeilspitzen zugesetzt1 um sie im ,gegensatze zu den anderen als ,strmungscurven zu charakterisiren4 ,illustration3 ,fig4 #dj4 ,fig4 #dj4 ,illustration3 ,fig4 #da4 ,fig4 #da4 ,man hat nun einfach diese ,zeichnungen in derselben ,weise zusammenzubiegen1 wie es bei ,figur 7#ce7 geschildert wurde1 um die ,ringflche und auf ihr die gewnschten ,curvensysteme zu erhalten4 ,das ,resultat ist das folgende3 ,illustration3 ,fig4 #db4 ,fig4 #db4 ,illustration3 ,fig4 #dc4 ,fig4 #dc4 ,dabei erscheinen in ,figur 7#db7 die vier ,kreuzungspuncte der ,strmung vermge der gewhlten ,projectionsart als ,berhrungspuncte der ,niveaucurven mit der scheinbaren ,contour der ,ringflche4 4 #af4 ,functionen von formula1 welche den untersuchten ,strmungen entsprechen4 ,sei formula1 wie in 4 #ad1 eine eindeutige complexe ,function des ,ortes auf unserer ,flche mit m algebraischen1 einfachen ,unendlichkeitspuncten4 ,wir verwandeln unsere ,flche nach ,anleitung jenes ,paragraphen in eine m-blttrige ,flche ber der formula-,ebene7#bh7 und legen uns nun die ,frage vor1 in welche ,functionen des ,argumentes formula die bisher untersuchten complexen ,functionen des ,ortes bergehen mgen4 ,man erinnere sich dabei der ,entwickelungen des 4 #f4 ,seizunchst w eine complexe ,function des ,ortes1 welche auf unserer ,flche1 ebenso wie formula1 eindeutig ist4 ,vermge der ,festsetzungen1 die hinsichtlich der ,unendlichkeitspuncte unserer ,functionen und insbesondere der eindeutigen ,functionen getroffen worden sind1 ergibt sich sofort1 dass w als ,function von formula nirgendwo einen wesentlich singulren ,punct hat4 ,ueberdiess ist w auf der m-blttrigen ber der z-,ebene ausgebreiteten ,flche1 so gut wie auf der ursprnglichen ,flche1 eindeutig4 ,daher folgt auf ,grund bekannter ,stze3 dass w eine algebraische ,function von z ist4 ,dabei ist die ,mglichkeit an sich nicht auszuschliessen1 dass die m ,werthe von w1 welche demselben z entsprechen1 zu je formula bereinstimmen mgen 7wobei formula natrlich ein ,theiler von m sein muss74 ,aber jedenfalls knnen wir solche eindeutige ,functionen w auswhlen1 bei denen dieses nicht der ,fall ist4 ,wir bestimmten oben 74 #ac7 die eindeutigen ,functionen1 indem wir ihre ,unendlichkeitspuncte willkrlich annahmen4 ,wir haben es daher in der ,hand1 das erwhnte ,vorkommniss jedenfalls zu vermeiden3 wir brauchen nur die ,unendlichkeitspuncte von w so anzunehmen1 dass nicht jedesmal formula von ihnen dasselbe z aufweisen4 ,dann kommt3 ,die irreducibele ,gleichung1 welche zwischen w und z besteht3 formula hat in w die formula ,ordnung4 ,ebensogut wird sie in z natrlich die formula ,ordnung besitzen1 wenn n die ,gesammtmultiplicitt der ,unendlichkeitspuncte ist1 die w aufweist4 ,aber die ,beziehung dieser ,gleichung formula zu unserer ,flche ist noch eine innigere1 als die blosse ,uebereinstimmung der ,ordnung mit der ,bltterzahl aussagt4 ,zu jedem ,puncte der ,flche gehrt nur ein ,werthepaar w1 z1 das der ,gleichung gengt1 und umgekehrt gehrt zu jedem solchen ,werthepaare im ,allgemeinen7#bi7 nur ein ,punct der ,flche4 ,gleichung und ,flche sind sozusagen eindeutig auf einander bezogen4 ,es sei jetzt formula eine neue eindeutige ,function auf unserer ,flche1 also jedenfalls eine algebraische ,function von z4 ,dann kann man die ,art dieser algebraischen ,function1 nachdem einmal die ,gleichung formula unter der angegebenen ,voraussetzung gebildet ist1 mit zwei ,worten kennzeichnen4 ,man zeigt nmlich1 dass formula eine rationale ,function von w und z ist1 und dass auch umgekehrt jede rationale ,function von w und z eine ,function vom ,charakter des formula abgibt4 ,das ,letztere ist selbstverstndlich4 ,denn eine rationale ,function von w und z ist in unserer ,flche eindeutig2 berdiess als analytische ,function von z eine complexe ,function des ,ortes in der ,flche4 ,aber auch das ,erstere ist leicht zu beweisen7#cj74 ,man bezeichne die m ,werthe von w1 die zu einem beliebigen ,werthe von z gehren1 mit formula1 formula1 formula 7allgemein formula71 die entsprechenden ,werthe von formula 7die nicht nothwendig alle verschieden zu sein brauchen7 mit formula1 formula1 formula4 ,dann ist die ,summe3 formula 7wo formula eine beliebige1 positive oder negative ganze ,zahl bedeuten soll7 als symmetrische ,function der verschiedenen ,werthe formula eine eindeutige ,function von z1 und also1 als algebraische ,function1 eine rationale ,function von z4 ,aus m beliebigen der so entstehenden ,gleichungen kann man formula1 formula1 formula als linear vorkommende ,unbekannte berechnen1 und es zeigt dann eine leichte ,discussion1 dass in der ,that das einzelne formula eine rationale ,function des zugehrigen formula und des z geworden ist4-- ,von diesem ,satze ausgehend bestimmt man nun auch sofort den ,charakter derjenigen ,functionen von z1 welche durch die von uns in ,betracht gezogenen mehrdeutigen ,functionen des ,ortes geliefert werden4 ,sei ,w eine solche ,function4 ,dann ist ,w jedenfalls eine analytische ,function von z2 man kann also von einem ,differentialquotienten formula sprechen und diesen selbst wieder als complexe ,function des ,ortes auf unserer ,flche deuten4 ,derselbe ist nothwendig als ,function des ,ortes eindeutig4 ,denn die ,vieldeutigkeit von ,w bezieht sich ja nur auf constante ,periodicittsmoduln1 welche1 in beliebiger ,vielfachheit genommen1 dem ,anfangswerthe additiv hinzutreten knnen4 ,daher ist formula nach dem eben ,bewiesenen eine rationale ,function von w und z1 und es stellt sich also ,w als ,integral einer solchen ,function dar3 formula ,der umgekehrte ,satz1 dass jedes solche ,integral eine complexe ,function des ,ortes in unserer ,flche abgibt1 welche zu der von uns betrachteten ,functionsclasse gehrt1 ist auf ,grund bekannter ,entwickelungen selbstverstndlich4 ,diese ,entwickelungen beziehen sich einmal auf das ,unendlichwerden der ,integrale1 andererseits auf die ,werthnderungen1 welche die ,integrale durch ,wechsel des ,integrationsweges erleiden4 ,ein nheres ,eingehen hierauf scheint an dieser ,stelle unnthig4-- ,wir sind1 wie wir sehen1 zu einem wohlumgrnzten ,resultate gefhrt worden4 ,ist erst einmal die algebraische ,gleichung bestimmt1 welche die ,abhngigkeit zwischen z und dem in hohem ,maasse willkrlichen w definirt1 so sind die brigen ,functionen des ,ortes der ,art nach wohlbekannt2 sie decken sich in ihrer ,gesammtheit mit den rationalen ,functionen von w und z1 und mit den ,integralen solcher ,functionen4 ,es wird gut sein1 dieses ,resultat am ,falle der wiederholt betrachteten ,ringflche formula zu erlutern4 ,als ,functionen z und w werden wir dieselben zu ,grunde legen1 die im vorigen ,paragraphen besprochen wurden1 und von denen die erstere durch die ,figuren 7#db71 7#dc7 erlutert wird4 ,die zwischen ihnen bestehende ,gleichung lautet einfach1 wie wir wissen3 formula und es verwandeln sich also die ,integrale formula in diejenigen1 die man als elliptische ,integrale zu bezeichnen pflegt4 ,unter ihnen gibt es1 nach 4 #ab1 ein einziges berall endliches ,integral4 ,aus der in ,figur 7#ch7 gegebenen ,abbildung folgt1 dass dieses kein anderes ist1 als das dort betrachtete formula1 das gewhnlich sogenannte ,integral erster ,gattung4 ,die zugehrigen ,niveaucurven und ,strmungscurven sind dieselben1 welche in ,figur 7#ba7 und 7#bb7 dargestellt sind4 ,aber auch diejenigen ,functionen1 denen die ,figuren 7#bi7 und 7#cj71 bez4 7#ca7 und 7#cb7 entsprechen1 sind in der gewhnlichen ,analysis wohlbekannt4 ,wir haben das einemal eine ,function mit zwei logarithmischen ,unstetigkeitspuncten1 das andere ,mal eine solche mit nur einem algebraischen ,unstetigkeitspuncte4 ,als ,functionen von z betrachtet geben dieselben solche elliptische ,integrale ab1 welche man als ,integrale dritter ,gattung bez4 zweiter ,gattung zu bezeichnen pflegt4 4 #ag4 ,tragweite und ,bedeutung unserer ,betrachtungen4 ,mit den ,entwickelungen des vorigen ,paragraphen ist der ,zielpunct1 den wir uns mit der allgemeinen ,fragestellung des 4 #g gesteckt haben1 thatschlich erreicht4 ,wir haben auf beliebiger ,flche die allgemeinsten fr uns in ,betracht kommenden complexen ,functionen des ,ortes bestimmt und nun die analytischen ,abhngigkeiten derselben von einander definirt1 indem wir zusahen1 wie alle von einer1 brigens beliebig gewhlten1 eindeutigen ,function des ,ortes im ,sinne der gewhnlichen ,analysis abhngig sind4 ,es bleibt uns also1 um unseren ,gedankengang abzuschliessen1 nur noch ein ,umblick zu halten1 was ,alles durch unsere ,betrachtungen gewonnen sein mag4 ,wir haben dann allerdings keineswegs den vollen ,inhalt aber doch die ,grundlage der ,riemann'schen ,theorie gewonnen1 und es kann wegen weiterer ,ausfhrungen auf ,riemann's ,originalarbeit sowie die sonstigen ,darstellungen der ,theorie verwiesen werden4 ,constatiren wir zunchst1 dass es in der ,that die ,gesammtheit der algebraischen ,functionen und ihrer ,integrale ist1 welche durch unsere ,untersuchung umspannt wird4 ,denn wenn eine beliebige algebraische ,gleichung formula gegeben ist1 so knnen wir in der gewhnlichen ,weise ber der z-,ebene eine zugehrige mehrblttrige ,riemann'sche ,flche construiren und nun auf dieser einfrmige ,strmungen und complexe ,functionen des ,ortes studieren 7vergl4 4 #ae74 ,wir fragen1 ob das ,studium dieser ,functionen durch unsere ,betrachtungen in der ,that gefrdert sei4 ,erinnern wir uns zu dem ,zwecke1 dass es vor allen ,dingen die ,vieldeutigkeit der ,integrale war1 welche so lange einen ,fortschritt in ihrer ,theorie verhindert hat4 ,dass ,integrale durch das ,auftreten logarithmischer ,unstetigkeitspuncte vieldeutig werden1 hatte schon ,cauchy erkannt4 ,aber erst durch die ,riemann'sche ,flche ist die andere ,art von ,periodicitt1 welche in dem ,zusammenhange der ,flche ihren ,grund hat und an den ,querschnitten der ,flche gemessen wird1 uns vllig deutlich geworden4--,ein anderer ,punct ist dieser4 ,man hat sich von je bei der ,untersuchung der ,integrale der ,umformung durch ,substitution bedient1 ohne sich indess ber eine bloss empirische ,verwerthung derselben betrchtlich zu erheben4 ,bei ,riemann's ,theorie ist eine umfangreiche ,classe von ,substitutionen von selbst gegeben und in ihrer ,wirkung zu beurtheilen4 ,die ,variabelen w und z sind fr uns nur irgend zwei1 von einander unabhngige1 eindeutige ,functionen des ,ortes2 wir knnen statt ihrer ebensogut zwei andere1 formula und formula1 zu ,grunde legen1 wobei sich formula und formula als brigens beliebige rationale ,functionen von w und z und ebensowohl letztere als rationale ,functionen von formula und formula erweisen4 ,die ,riemann'sche ,flche1 auf der wir operiren1 wird von dieser ,umnderung durchaus nicht nothwendig betroffen4 ,unter der ,menge der zuflligen ,eigenschaften unserer ,functionen erkennen wir also wesentliche1 welche bei eindeutiger ,umformung ungendert bleiben4 ,und vor ,allem tritt uns in der ,zahl p von vorneherein ein solches invariantes ,element entgegen4--,indem die ,riemann'sche ,theorie die beiden hiermit bezeichneten ,schwierigkeiten1 welche frhere ,bearbeiter gehemmt hatten1 bei ,seite rumt1 gelangt sie unmittelbar zu dem ,satze1 den wir in 4 #aj aufstellten1 und der die ,willkrlichkeit der in ,betracht zu ziehenden ,functionen bestimmt4 ,ich meine den ,satz1 dass man 7unter den wiederholt angegebenen ,beschrnkungen7 die ,unendlichkeitspuncte der ,function und die ,periodicittsmoduln ihres reellen ,theiles an den ,querschnitten als willkrliche und hinreichende ,bestimmungsstcke derselben erachten darf4-- ,so etwa stellt sich die ,bilanz1 wenn man die functionentheoretischen ,interessen1 wie es unter ,mathematikern zu geschehen pflegt1 voranstellt4 ,aber vergessen wir nicht1 dass die umgekehrte ,auffassung im ,grunde ebenso berechtigt ist4 ,das ,studium einfrmiger ,strmungen auf gegebenen ,flchen kann umsomehr als ,selbstzweck betrachtet werden1 als es bei zahlreichen physikalischen ,problemen unmittelbar zu ,verwerthung gelangt4 ,in der unendlichen ,mannigfaltigkeit dieser ,strmungen orientirt uns die ,riemann'sche ,theorie1 indem sie auf den ,zusammenhang hinweist1 der zwischen diesen ,strmungen und den algebraischen ,functionen der ,analysis statt hat4 ,wir knnen endlich den geometrischen ,gesichtspunct hervorkehren1 und die ,riemann'sche ,theorie als ein ,mittel betrachten1 um die ,lehre von der conformen ,abbildung geschlossener ,flchen auf einander der analytischen ,behandlung zugnglich zu machen4 ,eben diese ,auffassung ist es1 der ich im folgenden1 dritten ,abschnitte meiner ,darstellung ,ausdruck zu geben bemht bin4 ,es wird nicht nthig sein1 schon an dieser ,stelle ausfhrlicher hierauf einzugehen4 4 #ah4 ,weiterbildung der ,theorie4 ,in ,riemann's eigenem ,gedankengange1 wie ich ihn vorstehend zu schildern versuchte1 veranschaulicht die ,riemann'sche ,flche nicht nur die in ,betracht kommenden ,functionen1 sondern sie definirt dieselben4 ,es scheint mglich1 diese beiden ,dinge zu trennen3 die ,definition der ,functionen von anderer ,seite zu nehmen und die ,flche nur als ,mittel der ,veranschaulichung beizubehalten4 ,das ist es in der ,that1 was von der ,mehrzahl der ,mathematiker um so lieber geschehen ist1 als ,riemann's ,definition der ,function bei genauerer ,untersuchung betrchtliche ,schwierigkeiten mit sich bringt7#ca74 ,man beginnt also etwa mit der algebraischen ,gleichung und der ,begriffsbestimmung des ,integrals1 und construirt erst hinterher eine zugehrige ,riemann'sche ,flche4 ,dann aber ist von selbst eine grosse ,verallgemeinerung der ursprnglichen ,auffassung gegeben4 ,bislang galten uns zwei ,flchen nur dann als gleichwerthig1 wenn die eine aus der anderen durch eindeutige conforme ,abbildung entstand4 ,jetzt ist kein ,grund mehr1 an der ,conformitt der ,abbildung festzuhalten4 ,jede ,flche1 welche durch stetige ,abbildung eindeutig in die gegebene verwandelt werden kann1 berhaupt jedes geometrische ,gebilde1 dessen ,elemente sich stetig eindeutig auf die ursprngliche ,flche beziehen lassen1 kann ebensowohl zur ,versinnlichung der in ,betracht zu ziehenden ,functionen gebraucht werden4 ,ich habe diesem ,gedanken1 wie ich bei gegenwrtiger ,gelegenheit ausfhren mchte1 in frheren ,arbeiten nach zwei ,richtungen hin ,ausdruck gegeben4 ,einmal operirte ich mit dem ,begriffe einer mglichst bersichtlichen1 brigens verschiedentlich modificirbaren ,normalflche 7vergl4 4 #h71 auf welcher ich den ,verlauf der in ,betracht kommenden ,functionen durch verschiedene graphische ,hlfsmittel zu illustriren bemht war7#cb74 ,hierher gehren auch die ,polygonnetze1 deren ich mich wiederholt bediente7#cc71 indem ich mir die ,riemann'sche ,flche in geeigneter ,weise zerschnitten und dann in die ,ebene ausgebreitet dachte4 ,es bleibe dabei an dieser ,stelle unerrtert1 ob nicht den so entstehenden ,figuren1 die zunchst beliebig stetig verndert werden drfen1 im ,interesse weitergehender functionentheoretischer ,untersuchungen hinterher doch eine gesetzmssige ,gestalt ertheilt werden soll1 vermge deren sich eine ,definition der durch die ,figur zu veranschaulichenden ,functionen ermglicht4 ,das andere ,mal7#cd7 stellte ich mir die ,aufgabe1 in mglichst anschaulicher ,weise den ,zusammenhang darzulegen zwischen der ,auffassungsweise der ,functionentheorie und derjenigen der gewhnlichen analytischen ,geometrie1 welch' letztere eine ,gleichung zwischen zwei ,variabelen als ,curve deutet4 ,indem ich von dem ,satze ausging1 dass jede imaginre ,gerade der ,ebene und also auch jede imaginre ,tangente einer ,curve einen und nur einen reellen ,punct besitzt1 erhielt ich eine ,riemann'sche ,flche1 die sich an den ,verlauf der gegebenen ,curve auf das ,innigste anschmiegt4 ,ich habe diese ,flche1 wie es mein ursprnglicher ,zweck war1 bisher nur zur ,veranschaulichung gewisser einfacher ,integrale gebraucht7#ce74 ,aber es findet eine hnliche ,bemerkung ihre ,stelle1 wie oben bei den ,polygonnetzen4 ,insofern die ,flche gesetzmssig ist1 muss auch sie zur ,definition der auf ihr existirenden ,functionen dienen knnen4 ,in der ,that kann man fr diese ,functionen eine partielle ,differentialgleichung bilden1 welche den ,differentialgleichungen zweiter ,ordnung1 die wir in 4 #a und #e betrachten1 in etwa analog ist3 nur dass der ,differentialausdruck1 an den diese ,gleichung anknpft1 nicht unmittelbar als ,bogenelement einer ,flche zu deuten ist4-- ,diese wenigen ,bemerkungen mssen gengen1 um auf ,betrachtungen hinzuweisen1 deren ,verfolg mir interessant scheint4 ,,abschnitt ,,iii4 - ,,folgerungen4 4 #ai4 ,ueber die ,moduln algebraischer ,gleichungen4 ,es gibt einen wichtigen ,punct1 in welchem die ,riemann'sche ,theorie der algebraischen ,functionen nicht nur der ,methode sondern auch dem ,resultate nach ber die sonst blichen ,darstellungen dieser ,theorie hinausgreift4 ,sie besagt nmlich dass zu jeder ber der z-,ebene ausgebreiteten1 graphisch gegebenen mehrblttrigen ,flche zugehrige algebraische ,functionen construirt werden knnen1--wobei man beachten mag1 dass diese ,functionen1 sofern sie berhaupt existiren1 in hohem ,maasse willkrlich sind1 da formula im ,allgemeinen gerade so verzweigt ist1 wie w4--,der genannte ,satz ist um so merkwrdiger1 als er eine ,angabe ber eine interessante ,gleichung hheren ,grades implicirt4 ,sind nmlich die ,verzweigungspuncte einer m-blttrigen ,flche gegeben1 so existiren noch eine endliche ,zahl von wesentlich verschiedenen ,mglichkeiten1 dieselben in die m-,bltter einzuordnen3 man wird diese ,zahl durch ,betrachtungen auffinden knnen1 die der reinen ,analysis situs angehren7#cf74 ,aber dieselbe ,zahl hat unserem ,satze zufolge ihre algebraische ,bedeutung4 ,man bezeichne1 wie es ,riemann thut1 alle solche algebraischen ,functionen von z als derselben ,classe angehrig1 die sich1 unter ,benutzung von z1 rational durch einander ausdrcken lassen4 ,dann ist unsere7#cg7 ,zahl die ,anzahl der verschiedenen ,classen algebraischer ,functionen1 welche in ,bezug auf z die gegebenen ,verzweigungswerthe besitzen4 ,ich wnsche im gegenwrtigen und im folgenden ,paragraphen verschiedene ,folgerungen zu ziehen1 die sich aus dem vorausgeschickten ,satze gewinnen lassen1 und zwar mag zunchst die ,frage nach den ,moduln der algebraischen ,functionen behandelt werden1 d4 h4 die ,frage nach denjenigen ,constanten1 welche bei eindeutiger ,transformation der ,gleichungen formula die ,rolle der ,invarianten spielen4 ,sei zu diesem ,zwecke formula eine zunchst unbekannte ,zahl1 welche angibt1 wie vielfach unendlich oft eine ,flche sich eindeutig in sich transformiren1 d4 h4 conform auf sich selber abbilden lsst4 ,sodann erinnere man sich an die ,anzahl der ,constanten in den eindeutigen ,functionen auf gegebener ,flche 74 #ac74 ,es gab im ,allgemeinen formula eindeutige ,functionen mit m ,unendlichkeitspuncten1 und diese ,zahl war jedenfalls genau richtig 7wie ohne ,beweis angegeben wurde71 wenn formula war4 ,nun bildet jede dieser ,functionen die gegebene ,flche auf eine m-blttrige ,flche ber der ,ebene eindeutig ab4 ,daher ist die ,gesammtheit der m-blttrigen ,flchen1 auf welche man eine gegebene ,flche conform eindeutig beziehen kann1 und also auch der m-blttrigen ,flchen1 die man einer ,gleichung formula durch eindeutige ,transformation zuordnen kann1 formula fach4 ,denn jedesmal formula ,abbildungen ergeben dieselbe m-blttrige ,flche1 weil jede ,flche der ,voraussetzung nach formula mal auf sich selber abgebildet werden kann4 ,nun gibt es aber berhaupt formula m-blttrige ,flchen1 unter w die ,zahl der ,verzweigungspuncte1 d4 h4 formula verstanden4 ,denn durch die ,verzweigungspuncte wird die ,flche1 wie oben bemerkt1 endlich-deutig bestimmt1 und ,verzweigungspunkte hherer ,multiplicitt entstehen durch ,zusammenrcken einfacher ,verzweigungspuncte1 wie dieses betreffs der entsprechenden ,kreuzungspuncte bereits in 4 #a erlutert wurde 7vergl4 ,figur 7#b7 und 7#c7 daselbst74 ,zu jeder dieser ,flchen gehren1 wie wir wissen1 algebraische ,functionen4 ,die ,anzahl der ,moduln ist daher formula4 ,bemerken wir hierzu1 dass die ,gesammtheit der m-blttrigen ,flchen mit w ,verzweigungspuncten ein ,continuum bildet7#ch71 wie das ,entsprechende betreffs der auf gegebener ,flche existirenden eindeutigen ,functionen mit m ,unendlichkeitspuncten bereits in 4 #ac hervorgehoben wurde4 ,wir schliessen dann1 dass die algebraischen ,gleichungen eines gegebenen p ebenfalls eine einzige zusammenhngende ,mannigfaltigkeit constituiren 7wobei wir alle ,gleichungen1 die aus einander durch eindeutige ,transformation hervorgehen1 als ein ,individuum erachten74 ,hierdurch erst gewinnt die angegebene ,zahl der ,moduln ihre prcise ,bedeutung3 sie ist die ,zahl der ,dimensionen dieser zusammenhngenden ,mannigfaltigkeit4 ,es kommt jetzt noch darauf an1 die ,zahl formula zu bestimmen4 ,diess geschieht durch folgende ,stze3 #a4 ,jede ,gleichung formula kann formula mal eindeutig in sich1 selbst transformirt werden4 ,denn auf der zugehrigen ,riemann'schen ,flche existiren eindeutige ,functionen mit nur je einem ,unendlichkeitspunct in dreifach unendlicher ,zahl 74 #ac71 von denen man1 um eine eindeutige ,transformation der ,flche in sich zu haben1 nur irgend zwei entsprechend zu setzen hat4--,des ,nheren stellt sich die ,sache so4 ,heisst eine der genannten ,functionen z1 so sind alle anderen 7nach 4 #af7 algebraische eindeutige1 d4 h4 rationale ,functionen von z1 und1 da das ,verhltniss umkehrbar sein muss1 lineare ,functionen von z4 ,umgekehrt ist auch jede lineare ,function von z eine eindeutige ,function des ,ortes in unserer ,flche1 mit nur einem ,unendlichkeitspuncte4 ,daher wird man die allgemeinste eindeutige ,transformation der ,gleichung in sich bekommen1 wenn man jedem ,puncte z der ,riemann'schen ,flche einen anderen durch die ,formel zuordnet3 formula unter formula beliebige ,constante verstanden4 #b7 ,jede ,gleichung formula kann einfach unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden4 ,zum ,beweise betrachte man das zugehrige berall endliche ,integral ,w und insbesondere die ,abbildung1 welche von der zweckmssig zerschnittenen ,riemann'schen ,flche in der ,ebene ,w entworfen wird4 ,wir haben dies in einem besonderen ,falle bereits gethan 74 #ae1 ,figur 7#ch772 eine genaue ,ausfhrung im allgemeinen ,falle wird um so weniger nthig sein1 als es sich um ,betrachtungen handelt1 die in der ,theorie der elliptischen ,functionen ausfhrlich entwickelt zu werden pflegen4 ,das ,resultat ist1 dass zu jedem ,werthe von ,w ein ,punct und nur ein ,punct der betreffenden ,riemann'schen ,flche gehrt1 whrend sich die unendlich vielen ,werthe von ,w1 die demselben ,punkte der ,riemann'schen ,flche entsprechen1 aus einem derselben in der ,form zusammensetzen3 formula1 unter formula1 formula beliebige ganze ,zahlen1 unter formula1 formula die beiden ,perioden des ,integrals verstanden4 ,bei eindeutiger ,umformung wird jedem ,puncte ,w ein ,punct formula in der ,weise zugeordnet werden mssen1 dass jeder ,vermehrung von ,w um ,perioden eine solche von formula entspricht1 und umgekehrt4 ,diess gelingt in der ,that1 aber im ,allgemeinen nur in der ,weise1 dass man formula setzt4 ,nur im besonderen ,falle 7wenn das ,periodenverhltniss formula bestimmte zahlentheoretische ,eigenschaften hat7 kann formula auch gleich formula1 oder formula gesetzt werden 7unter formula eine dritte ,einheitswurzel verstanden77#ci74 ,wie dem auch sei1 wir haben in jedem ,falle in den ,transformationsformeln nur eine willkrliche ,constante und also den wechselnden ,werthen derselben entsprechend in der ,that einfach unendlich viele ,transformationen1 wie behauptet wurde4 #c7 ,gleichungen formula knnen niemals unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden47#dj7 ,ich verweise1 was den analytischen ,beweis dieser ,behauptung angeht1 auf die ,darstellungen von ,schwarz 7,borchardt's ,journal ,bd4 #hg7 und ,hettner 7,gttinger ,nachrichten1 #ahhj1 p4 #chf74 ,auf anschauungsmssigem ,wege kann man sich die ,richtigkeit der ,behauptung folgendermassen verstndlich machen4 ,sollte es unendlich viele eindeutige ,transformationen der ,gleichung in sich geben1 so msste es mglich sein1 die zugehrige ,riemann'sche ,flche derart continuirlich ber sich hin zu verschieben1 dass jede kleinste ,figur mit sich selbst hnlich bleibt4 ,die ,curven1 lngs deren eine solche ,verschiebung vor sich ginge1 mssten die ,flche jedenfalls vollstndig und zugleich einfach berdecken4 ,ein ,kreuzungspunct drfte in diesem ,curvensysteme offenbar nicht vorhanden sein4 ,man msste einen solchen ,punct nmlich1 damit keine ,vieldeutigkeit der ,transformation eintritt1 als festbleibenden ,punct betrachten und also die ,geschwindigkeit der ,verschiebung in ihm gleich ,null setzen4 ,dann aber wrde eine kleine ,figur1 welche bei der ,verschiebung auf den ,kreuzungspunct zu rckt1 im ,sinne der ,bewegung nothwendig zusammengedrckt1 senkrecht dazu auseinandergezogen werden2 sie knnte also nicht mit sich selbst hnlich bleiben1 wie es doch durch den ,begriff der conformen ,abbildung verlangt wird4--,andererseits mssen aber in jedem ,curvensysteme1 das eine ,flche formula vollstndig und einfach berdeckt1 nothwendig ,kreuzungspuncte vorhanden sein4 ,diess ist derselbe ,satz1 den wir1 in etwas weniger allgemeiner ,form1 in 4 #aa aufgestellt haben4--,die ganze ,verschiebung der ,flche in sich ist also unmglich1 was zu beweisen war4 ,nach diesen ,stzen ist formula fr formula1 gleich #a fr formula1 und gleich ,null fr alle grsseren p4 ,die ,zahl der ,moduln ist also fr formula gleich ,null1 fr formula gleich ,eins1 fr grssere p gleich formula4 ,es wird gut sein1 noch folgende ,bemerkungen hinzuzufgen4 ,um den ,punct eines ,raumes von formula ,dimensionen zu bestimmen1 wird man im ,allgemeinen mit formula ,grssen nicht ausreichen3 man wird mehr ,grssen benthigen1 zwischen denen dann algebraische 7oder auch transcendente7 ,relationen bestehen4 ,ausserdem mag es aber auch sein1 dass man zweckmssigerweise ,bestimmungsstcke einfhrt1 von denen jedesmal verschiedene ,serien denselben ,punct der ,mannigfaltigkeit bezeichnen4 ,welche ,verhltnisse bei den formula ,moduln1 die bei formula existiren mssen1 in dieser ,hinsicht vorliegen1 ist nur erst wenig erforscht4 ,dagegen ist der ,fall formula aus der ,theorie der elliptischen ,functionen genau bekannt4 ,ich erwhne die auf ihn bezglichen ,resultate1 um mich im ,folgenden bei aller ,krze doch prcise ausdrcken zu knnen4 ,sei vor allen ,dingen hervorgehoben1 dass fr formula das algebraische ,individuum 7um diesen oben gebrauchten ,ausdruck noch einmal zu verwenden7 in der ,that durch eine 7und nur eine7 ,grsse charakterisirt werden kann3 die absolute ,invariante formula7#da74 ,wenn im ,folgenden gesagt wird1 dass zur ,ueberfhrbarkeit zweier ,gleichungen formula in einander die ,gleichheit des ,moduls nicht nur hinreichend1 sondern auch erforderlich sei1 so ist stets an die ,invariante ,j gedacht4 ,statt ihrer verwendet man1 wie bekannt1 gewhnlich das ,legendre'sche formula1 welches bei gegebenem ,j sechswerthig ist1 so dass bei der ,formulirung allgemeiner ,stze eine gewisse ,schwerflligkeit unvermeidbar scheint4 ,in noch hherem ,maasse ist dies der ,fall1 wenn man das ,periodenverhltniss formula des elliptischen ,integrals erster ,gattung1 wie dies in anderer ,beziehung vielfach zweckmssig ist1 als ,modul einfhrt4 ,jedesmal unendlich viele ,werthe des ,moduls bezeichnen dann dasselbe algebraische ,individuum4 4 #bj4 ,conforme ,abbildung geschlossener ,flchen auf sich selbst4 ,in den nun noch folgenden ,paragraphen mgen die entwickelten ,principien1 wie in ,aussicht gestellt1 nach der geometrischen ,seite verfolgt werden1 um wenigstens die ,grundzge fr eine ,theorie der conformen ,abbildung von ,flchen auf einander zu gewinnen7#db7 und so den ,andeutungen zu entsprechen1 mit denen ,riemann1 wie bereits in der ,vorrede bemerkt1 seine ,dissertation abschloss4 ,ich werde mich dabei1 was die ,flle formula und formula angeht1 um nicht zu weitlufig zu werden1 vielfach auf eine blosse ,angabe der ,resultate oder eine ,andeutung ihres ,beweises beschrnken mssen4 ,indem wir uns zuvrderst nach conformen ,abbildungen einer geschlossenen ,flche auf sich selbst fragen1 haben wir eine ,unterscheidung einzufhren1 von der bislang noch nicht die ,rede war3 die ,abbildung kann ohne ,umlegung der ,winkel geschehen oder mit ,umlegung derselben4 ,wir haben eine ,abbildung der einen ,art1 wenn wir eine ,kugel durch ,drehung um den ,mittelpunct mit sich selbst zur ,deckung bringen2 wir bekommen die zweite ,art1 wenn wir zu demselben ,zwecke eine ,spiegelung an einer ,diametralebene verwenden4 ,die analytische ,behandlung1 wie wir sie bisher benutzten1 entspricht nur den ,abbildungen der ersten ,art4 ,sind formula und formula zwei complexe ,functionen des ,ortes auf derselben ,flche1 so liefert formula1 formula die allgemeinste ,abbildung erster ,art 7vergl4 4 #f74 ,aber es ist leicht zu sehen1 wie man die ,erweiterung zu treffen hat1 um auch ,abbildungen zweiter ,art zu umfassen4 ,man hat einfach formula1 formula zu setzen1 um eine ,abbildung zweiter ,art zu haben4 ,entnehmen wir zunchst den ,entwickelungen des vorigen ,paragraphen1 was sich auf ,abbildung der ersten ,art bezieht4 ,indem wir uns mglichst geometrischer ,ausdrucksweise bedienen1 formuliren wir die folgenden ,theoreme3 ,flchen formula oder formula knnen immer1 ,flchen formula niemals unendlich oft durch ,abbildung der ersten ,art in sich bergefhrt werden4 ,bei den ,flchen formula ist die einzelne ,abbildung der ersten ,art bestimmt1 wenn man drei beliebige ,puncte der ,flche drei beliebigen ,puncten derselben zugeordnet hat4 ,ist formula1 so darf man einen beliebigen ,punct der ,flche einem zweiten nach ,willkr zuweisen1 und hat dann noch zur ,bestimmung der ,abbildung erster ,art im ,allgemeinen eine zweifache1 im besonderen ,falle eine vierfache oder sechsfache ,mglichkeit4 ,mit diesen ,stzen ist natrlich nicht ausgeschlossen1 dass besondere ,flchen formula durch getrennte ,transformationen der ersten ,art in sich bergehen mgen4 ,tritt diess ein1 so bildet es eine bei beliebiger conformen ,umnderung der ,flche invariante ,eigenschaft1 nach deren ,vorhandensein und ,modalitt besonders interessante ,flchenclassen aus der ,gesammtheit der brigen herausgehoben werden knnen47#dc7 ,doch verfolgen wir hier diesen ,gesichtspunct nicht weiter4 ,betreffs der ,transformationen zweiter ,art mgen wir voranstellen1 dass jede ,transformation der zweiten ,art in ,verbindung mit einer solchen der ersten ,art eine neue ,transformation der zweiten ,art ergibt4 ,nun kennen wir bei den ,flchen formula und formula die ,transformationen erster ,art auf ,grund der angegebenen ,stze vollstndig4 ,es wird bei ihnen also gengen1 zu untersuchen1 ob berhaupt eine ,transformation der zweiten ,art existirt4 ,bei den ,flchen formula ist diess sofort zu bejahen4 ,denn es gengt1 eine beliebige der eindeutigen ,functionen des ,ortes mit nur einem ,unendlichkeitspuncte1 formula1 herauszugreifen1 und dann formula1 formula zu setzen4 ,bei den ,flchen formula ist die ,sache anders4 ,man findet1 dass im ,allgemeinen keine ,transformation der zweiten ,art existirt4 ,zum ,beweise ist es am einfachsten1 die ,werthe in ,betracht zu ziehen1 welche das berall endliche ,integral ,w auf der ,flche formula annimmt4 ,man denke sich in der ,ebene ,w die ,puncte formula markirt1 unter formula wie oben beliebige positive oder negative ganze ,zahlen verstanden4 ,man zeigt dann leicht1 dass eine ,transformation der zweiten ,art der ,flche formula in sich nur dann mglich ist1 wenn dieses ,punctsystem eine ,symmetrieaxe besitzt4 ,es ist diess gerade der ,fall1 in welchem die oben definirte absolute ,invariante ,j einen reellen ,werth aufweist4 ,je nachdem dabei formula oder formula1 knnen jene ,puncte in der ,w-,ebene als die ,ecken eines rhombischen oder eines rechteckigen ,systems betrachtet werden4 ,sei nun formula4 ,wenn fr eine solche ,flche eine ,transformation der zweiten ,art existirt1 so wird dieselbe im ,allgemeinen von keiner weiteren ,transformation derselben ,art begleitet sein7#dd74 ,denn sonst wrde die ,wiederholung oder ,combination dieser ,transformationen eine von der ,identitt verschiedene ,transformation der ersten ,art liefern4 ,die ,transformation muss daher nothwendig eine symmetrische sein1 d4 h4 eine solche1 welche die ,puncte der ,flche paarweise zusammenordnet4 ,ich will dementsprechend die ,flche selbst eine symmetrische nennen4 ,uebrigens mgen hinterher unter diesem ,namen berhaupt alle ,flchen mit einbegriffen sein1 welche ,transformationen zweiter ,art in sich zulassen1 die zweimal angewandt zur ,identitt zurckfhren4 ,es gehren dahin1 wie man sofort sieht1 die ,flchen formula1 sowie auch smmtliche ,flchen formula mit reeller ,invariante4 4 #ba4 ,besondere ,betrachtung der symmetrischen ,flchen4 ,fr die symmetrischen ,flchen1 auf die wir hier unser besonderes ,augenmerk richten wollen1 ergibt sich sofort eine ,eintheilung nach der ,zahl und ,art der auf ihr befindlichen ,uebergangscurven1 d4 h4 derjenigen ,curven1 deren ,puncte bei der in ,betracht kommenden symmetrischen ,umformung ungendert bleiben4 ,die ,zahl dieser ,curven kann jedenfalls nicht grsser sein1 als formula4 ,denn wenn man eine ,flche lngs aller ihrer ,uebergangscurven mit ,ausnahme einer einzigen zerschneidet1 so bildet sie1 indem ihre symmetrischen ,hlften noch immer in der einen ,uebergangscurve zusammenhngen1 nach wie vor ein ungetrenntes ,ganze4 ,es wrden sich also1 wenn mehr als formula ,uebergangscurven vorhanden wren1 auf der ,flche mehr als p nicht zerstckende ,rckkehrschnitte ausfhren lassen1 was ein ,widerspruch gegen die ,definition der ,zahl p ist4 ,dagegen ist unterhalb dieser ,grnze jede ,zahl von ,uebergangscurven mglich4 ,es mag hier gengen1 in diesem ,sinne die ,flle formula und formula zu discutiren2 fr die hheren p ergeben sich dann von selbst naheliegen de ,beispiele4 #a7 ,wenn wir eine ,kugel durch ,spiegelung an einer ,diametralebene mit sich zur ,deckung bringen1 so bildet der grsste ,kreis1 in welchem sie von der ,diametralebene geschnitten wird1 eine ,uebergangscurve4 ,wir erhalten eine ,zuordnung der anderen ,art indem wir je zwei solche ,puncte der ,kugel entsprechend setzen1 welche die ,endpuncte eines ,durchmessers bilden4 ,beide ,beispiele sind leicht zu generalisiren4 ,die analytische ,darstellung ist diese4 ,wenn eine ,uebergangscurve existirt1 so gibt es eindeutige ,functionen des ,ortes mit nur einem ,unendlichkeitspuncte1 die auf der ,uebergangscurve reelle ,werthe annehmen4 ,heisst eine derselben formula1 so ist die ,umformung1 wie oben schon als ,beispiel angegeben1 durch formula1 formula gegeben4--,im zweiten ,falle kann man eine ,function formula so whlen1 dass ihre ,werthe formula und #j1 sowie formula und formula zusammengeordnete ,puncte vorstellen4 ,dann ist formula die analytische ,formel der betreffenden ,umnderung4 #b7 ,im ,falle formula mssen wir die ,invariante ,j1 wie wir wissen1 jedenfalls reell nehmen4 ,sei dieselbe zunchst formula4 ,dann knnen wir das zugehrige berall endliche ,integral ,w 7durch ,zufgung eines geigneten constanten ,factors7 so normiren1 dass die eine ,periode reell1 gleich a1 die andere rein imaginr1 gleich formula1 wird4 ,setzen wir dann 7fr formula73 formula so haben wir eine symmetrische ,umformung der ,flche formula mit den zwei ,uebergangscurven3 formula schreiben wir dagegen3 formula was wieder eine symmetrische ,umformung unserer ,flche ist1 so haben wir den ,fall1 in welchem keine ,uebergangscurve entsteht4--,der ,fall mit nur einer ,uebergangscurve tritt ein1 wenn wir formula nehmen4 ,wir knnen dann ,w so whlen1 dass seine beiden ,perioden conjugirt complex werden4 ,wir schreiben dann wieder formula und haben eine symmetrische ,umformung mit der einen ,uebergangscurve formula4 ,neben die hiermit erluterte erste ,unterscheidung der symmetrischen ,flchen nach der ,zahl der ,uebergangscurven stellt sich aber noch eine zweite4 ,ich will die ,flle von #j oder formula ,uebergangscurven einen ,augenblick ausschliessen4 ,dann bietet sich von vorneherein eine doppelte ,mglichkeit4 ,eine ,zerschneidung der ,flche lngs smmtlicher ,uebergangscurven mag nmlich entweder ein ,zerfallen der ,flche herbeifhren1 oder nicht4 ,es sei formula die ,zahl der ,uebergangscurven4 ,man zeigt dann leicht1 dass formula ungerade sein muss1 wenn ein ,zerfallen eintreten soll4 ,eine weitere ,beschrnkung existirt nicht1 wie man an ,beispielen beweist4 ,wir wollen dementsprechend symmetrische ,flchen der einen und der andern ,art unterscheiden und den ersteren 7den zerfallenden7 ,flchen die ,flche mit formula ,uebergangscurven1 den letzteren die ,flche ohne ,uebergangscurve zurechnen4 ,diese ,stze besitzen eine gewisse ,analogie mit den ,resultaten1 welche in der analytischen ,geometrie die gestaltliche ,untersuchung der ,curven von gegebenen p erzielt hat47#de7 ,und in der ,that zeigt sich1 dass diese ,analogie eine begrndete ist4 ,die analytische ,geometrie beschftigt sich bei jenen ,untersuchungen 7zunchst7 nur mit solchen ,gleichungen formula welche reelle ,coefficienten besitzen4 ,beachten wir zunchst1 dass jede solche ,gleichung ber der z-,ebene in der ,that eine symmetrische ,riemann'sche ,flche bestimmt1 insofern ja die ,gleichung und also auch die ,flche ungendert bestehen bleibt1 wenn man w und z gleichzeitig durch ihre conjugirten ,werthe ersetzt--und dass die ,uebergangscurven auf dieser ,flche den reellen ,werthereihen von w und z entsprechen1 welche formula befriedigen1 d4 h4 genau den verschiedenen ,zgen1 welche die ,curve formula im ,sinne der analytischen ,geometrie aufweist4 ,aber auch der ,rckschluss ist leicht zu machen4 ,sei eine symmetrische ,flche und auf ihr eine beliebige complexe ,function des ,ortes1 formula1 gegeben4 ,bei der symmetrischen ,umformung erfhrt unsere ,flche eine ,umlegung der ,winkel4 ,wenn man also jedem ,puncte der ,flche solche ,werthe formula1 formula beilegt1 wie sie1 unter der ,benennung u1 v1 sein symmetrischer ,punct aufweist1 so wird formula eine neue complexe ,function des ,ortes sein4 ,man bilde nun3 formula so hat man einen ,ausdruck1 der im allgemeinen nicht identisch verschwindet2 es gengt zu dem ,zwecke1 die ,unendlichkeitspuncte von formula in unsymmetrischer ,weise anzunehmen4 ,man hat also eine complexe ,function des ,ortes1 welche in symmetrisch gelegenen ,puncten gleiche reelle aber entgegengesetzt gleiche imaginre ,werthe aufweist4--,solcher formula mgen nun irgend zwei3 ,w und ,z1 die berdiess eindeutige ,functionen des ,ortes sein sollen1 herausgegriffen werden4 ,die zwischen diesen bestehende algebraische ,gleichung hat dann die ,eigenschaft1 ungendert zu bleiben1 wenn man ,w und ,z gleichzeitig durch ihre conjugirten ,werthe ersetzt4 ,sie ist also eine ,gleichung mit reellen ,coefficienten1 womit der geforderte ,beweis in der ,that erbracht ist4 ,ich knpfe an diese ,ueberlegungen noch ,bemerkungen her die reellen eindeutigen ,transformationen reeller ,gleichungen formula in sich1 oder1 was dasselbe ist1 ber solche conforme ,abbildungen erster ,art symmetrischer ,flchen auf sich selbst1 bei denen symmetrische ,puncte wieder in symmetrische ,puncte bergehen4 ,in unendlicher ,zahl knnen solche ,transformationen nach dem allgemeinen ,satze des 4 #ai nur fr formula und formula auftreten2 wir beschrnken uns also auf diese ,flle4 ,nehmen wir zuvrderst formula4 ,dann sehen wir sofort1 dass unter den frher aufgestellten ,transformationen nur noch diejenigen formula in ,betracht kommen1 bei denen ,c eine reelle ,constante bedeutet4 ,analog in dem ersten ,falle formula4 ,die ,beziehung formula bleibt ungendert1 wenn man formula und formula gleichzeitig derselben linearen ,transformation3 formula unterwirft1 wo die ,verhltnissgrssen formula reell sind4 ,in dem zweiten ,falle formula ist die ,sache etwas complicirter4 ,auch bei ihm sind lineare ,transformationen mit drei reellen ,parametern mglich4 ,dieselben nehmen aber fr das oben eingefhrte z die folgende ,gestalt an3 formula wo formula die drei reellen ,parameter vorstellen4 ,dieses ,resultat ist implicite in den ,untersuchungen enthalten1 die sich auf die analytische ,reprsentation der ,drehungen der formula-,kugel um ihren ,mittelpunct beziehen47#df7 #bb4 ,conforme ,abbildung verschiedener ,flchen auf einander4 ,wenn es sich jetzt darum handelt1 verschiedene geschlossene ,flchen auf einander abzubilden1 so liefern die vorausgeschickten ,untersuchungen ber die conforme ,abbildung geschlossener ,flchen auf sich selbst die nthigen ,nebenbestimmungen1 welche angeben1 wie oft sich eine solche ,abbildung gestaltet1 sofern eine solche berhaupt mglich ist4 ,flchen1 welche sich conform aufeinander abbilden lassen1 besitzen jedenfalls 7wie schon hervorgehoben7 bereinstimmende ,transformationen in sich selbst4 ,man erhlt also alle ,abbildungen der einen ,flche auf die zweite1 wenn man eine beliebige ,abbildung mit allen solchen verbindet1 welche eine der beiden ,flchen in sich selbst berfhren4 ,ich werde hierauf nicht weiter zurckkommen4 ,betrachten wir nun zuvrderst allgemeine1 d4 h4 nicht symmetrische ,flchen4 ,dann treten die ,abzhlungen des 4 #ai betreffs der ,moduln algebraischer ,gleichungen unmittelbar in ,geltung4 ,wir haben zunchst3 ,flchen formula lassen sich immer conform auf einander abbilden2 und finden brigens1 dass die ,flchen formula einen1 die ,flchen formula formula bei conformer ,abbildung unzerstrbare ,moduln besitzen4 ,jeder solche ,modul ist im ,allgemeinen eine complexe ,constante4 ,dem ,umstande entsprechend1 dass bei symmetrischen ,flchen reelle ,parameter in ,betracht gezogen werden mssen1 wollen wir ihn in seinen reellen und seinen imaginren ,bestandtheil zerlegt denken4 ,dann haben wir3 ,sollen zwei ,flchen formula auf einander abbildbar sein1 so sind im ,falle formula zwei1 im ,falle formula formula ,gleichungen zwischen den reellen ,constanten der ,flchen zu erfllen4 ,indem wir uns jetzt zu den symmetrischen ,flchen wenden1 haben wir noch eine kleine ,zwischenbetrachtung zu machen4 ,zunchst ist ersichtlich1 dass zwei solche ,flchen nur dann symmetrisch'' auf einander bezogen werden knnen1 wenn sie neben dem gleichen p dieselbe ,zahl formula der ,uebergangscurven darbieten und berdiess beide entweder der ersten oder der zweiten ,art angehren4 ,im ,uebrigen wiederhole man speciell fr die symmetrischen ,flchen die ,abzhlungen des 4 #ac betreffs der ,zahl der in eindeutigen ,functionen enthaltenen ,constanten unter der ,bedingung1 dass nur solche ,functionen in ,betracht gezogen werden1 welche an symmetrischen ,stellen conjugirt imaginre ,werthe aufweisen4 ,hiermit combinire man sodann nach dem ,muster des 4 #ai die ,zahl solcher ber der ,z-,ebene construirbarer mehrblttriger ,flchen1 welche in ,bezug auf die ,axe der reellen ,zahlen symmetrisch sind4 ,ich will dabei1 um das ,auftreten unendlich vieler ,transformationen in sich zu vermeiden1 zuvrderst annehmen1 dass formula sei4 ,die ,sache ist dann so einfach1 dass ich sie nicht speciell durchzufhren brauche4 ,der ,unterschied ist nur1 dass die in ,betracht kommenden1 frher unbeschrnkten ,constanten nunmehr gezwungen sind1 entweder einzeln reell oder paarweise conjugirt complex zu sein4 ,in ,folge dessen reduciren sich alle ,willkrlichkeiten auf die ,hlfte4 ,wir mgen folgendermassen sagen3 ,zur ,abbildbarkeit zweier symmetrischer ,flchen formula auf einander ist neben der ,uebereinstimmung in den ,attributen das ,bestehen von formula ,gleichungen zwischen den reellen ,constanten der ,flche erforderlich4 ,die ,flle formula und formula1 welche hierbei ausgeschlossen wurden1 sind implicite bereits im vorigen ,paragraphen erledigt4 ,selbstverstndlich mssen zwei symmetrische ,flchen formula1 die sich auf einander sollen abbilden lassen1 die gleiche ,invariante ,j besitzen1 was eine ,bedingung fr die ,constanten der ,flchen abgibt1 insofern ,j jedenfalls reell ist4 ,im ,uebrigen aber findet man sofort1 dass die ,abbildung sich allemal ermglicht1 sobald die symmetrischen ,flchen1 wie dies selbstverstndlich verlangt werden muss1 in der ,zahl der ,uebergangscurven bereinstimmen4 4 #bc4 ,berandete ,flchen und ,doppelflchen4 ,auf ,grund der nunmehr gewonnenen ,resultate knnen wir den bisherigen ,untersuchungen ber die ,abbildung geschlossener ,flchen eine scheinbar bedeutende ,verallgemeinerung zu ,theil werden lassen1 und habe ich eben desshalb die symmetrischen ,flchen so ausfhrlich betrachtet4 ,wir knnen jetzt nmlich berandete ,flchen und ,doppelflchen in ,betracht ziehen 7mgen nun letztere berandet sein1 oder nicht7 und mit einem ,schlage die auf sie bezglichen ,fragen erledigen4 ,hierzu gehrt1 was die ,einfhrung der ,randcurven angeht1 dass wir uns von einer gewissen ,beschrnkung befreien1 welche wir bisher1 allerdings nur implicite1 vorausgesetzt haben4 ,wir dachten uns die ,flchen1 auf denen wir operirten1 bislang durchweg als stetig gekrmmt1 oder doch nur in einzelnen ,puncten 7den ,verzweigungspuncten7 mit ,unstetigkeiten behaftet4 ,aber nichts hindert uns1 jetzt hinterher auch andere ,unstetigkeiten zuzulassen4 ,wir werden uns z4 ,b4 vorstellen drfen1 dass unsere ,flche aus einer endlichen ,anzahl verschiedener 7im ,allgemeinen selbst gekrmmter7 ,stcke1 welche unter endlichen ,winkeln zusammenstossen1 polyederartig zusammengesetzt sei4 ,knnen wir uns doch auf einer solchen ,flche ebensogut elektrische ,strme verlaufend denken1 wie auf einer stetig gekrmmten6 ,unter diese ,flchen nun lassen sich die berandeten ,flchen subsumiren47#dg7 ,man fasse nmlich die beiden ,seiten der berandeten ,flche als ,polyederflchen auf1 welche lngs der ,randcurve 7also durchweg unter einem ,winkel von #cfj ,grad7 zusammenstossen und behandele nunmehr statt der ursprnglichen berandeten ,flche die aus beiden ,seiten zusammengesetzte ,gesammtflche47#dh7 ,diese ,gesammtflche ist dann in der ,that eine geschlossene ,flche4 ,sie ist aber berdiess eine symmetrische ,flche4 ,denn wenn man die bereinanderliegenden ,puncte der beiden ,flchenseiten vertauscht1 so erfhrt die ,gesammtflche eine conforme ,abbildung auf sich selbst mit ,umlegung der ,winkel4 ,die ,randcurven sind dabei die ,uebergangscurven4 ,zugleich aber gewinnt unsere ,eintheilung der symmetrischen ,flchen in zweierlei ,arten eine wichtige und durchschlagende ,bedeutung4 ,die gewhnlichen berandeten ,flchen1 bei denen man zwei ,flchenseiten unterscheiden kann1 entsprechen offenbar der ersten ,art4 ,der zweiten ,art aber correspondiren die ,doppelflchen1 bei denen man von einer ,flchenseite durch continuirliches ,fortschreiten ber die ,flche hin zur anderen gelangen kann4 ,auch der ,fall ist nicht auszuschliessen 7wie bereits angedeutet71 dass die ,doppelflche berhaupt keine ,randcurve besitzen mag4 ,wir haben dann eine symmetrische ,flche ohne ,uebergangscurve vor uns4 ,ich betrachte nunmehr der ,reihe nach die verschiedenen auseinanderzuhaltenden ,flle4 #a7 ,sei zuvrderst eine einfach berandete1 einfach zusammenhngende ,flche gegeben4 ,eine solche ,flche erscheint fr uns als eine geschlossene ,flche formula1 welche unter ,auftreten einer ,uebergangscurve symmetrisch auf sich selbst bezogen ist4 ,wir finden also1 dass zwei solche ,flchen sich allemal durch ,abbildung der einen oder der anderen ,art conform auf einander beziehen lassen1 und dass man dabei in jedem der beiden ,flle noch drei reelle ,constanten zur willkrlichen ,verfgung hat4 ,wir knnen die letzteren insbesondere dazu benutzen1 um einen beliebigen inneren ,punct der einen ,flche einem entsprechend gelegenen ,puncte der anderen ,flche zuzuweisen und berdiess einen beliebigen ,randpunct der einen ,flche einem beliebigen ,randpuncte der anderen4 ,diese ,bestimmungsweise entspricht dem bekannten ,satze1 den ,riemann betreffs der conformen ,abbildung einer einfach berandeten1 einfach zusammenhngenden1 ebenen ,flche auf die ,flche eines ,kreises gegeben und in ,nro4 #ba seiner ,dissertation als ,beispiel fr die ,anwendung seiner ,theorie auf ,probleme der conformen ,abbildung ausfhrlich erlutert hat4 #b7 ,wir betrachten ferner ,doppelflchen formula 7ohne ,randcurven74 ,aus 4 #ba1 #bb folgt sofort1 dass zwei solche ,flchen allemal conform auf einander bezogen werden knnen1 und man dabei1 den ,schlussformeln des 4 #ba entsprechend1 noch drei reelle ,constanten zu beliebiger ,verfgung hat4 #c7 ,die verschiedenen hier in ,betracht kommenden ,flle1 welche eine ,gesammtflche formula ergeben1 betrachten wir gemeinsam4 ,es gehren dahin zunchst die zweifach berandeten1 zweifach zusammenhngenden ,flchen1 also ,flchen1 die wir uns im einfachsten ,falle als geschlossene ,bnder vorstellen drfen4 ,es gehren dahin ferner die bekannten ,doppelflchen mit nur einer ,randcurve1 die man erhlt1 wenn man die beiden schmalen ,seiten eines rechteckigen ,papierstreifens zusammenbiegt1 nachdem man den ,streifen um #ahj ,grad tordirt hat4 ,es gehren endlich dahin gewisse unberandete ,doppelflchen4 ,man kann sich von denselben ein ,bild machen1 indem man etwa ein ,stck eines ,kautschukschlauches umstlpt und nun so sich selbst durchdringen lsst1 dass bei ,zusammenbiegung der ,enden die ,aussenseite mit der ,innenseite zusammenkommt4 ,bezglich aller dieser ,flchen besagen die frheren ,stze1 dass die ,abbildbarkeit der einzelnen ,flche auf eine zweite derselben ,art das ,bestehen einer aber nur einer ,gleichung zwischen den reellen ,constanten der ,flchen voraussetzt1 dass aber die ,abbildung1 wenn berhaupt1 in unendlich vielen ,weisen geschehen kann1 indem man ein doppeltes ,vorzeichen und eine reelle ,constante zu beliebiger ,verfgung hat4 #d7 ,wir nehmen nunmehr den allgemeinen ,fall einer zweiseitigen ,flche4 ,die ,flche soll formula ,randkurven besitzen und berdiess formula nicht zerstckende ,rckkehrschnitte zulassen1 wobei entweder formula sein muss oder formula4 ,dann wird die aus ,vorder- und ,rckseite gebildete ,gesammtflche formula nicht zerstckende ,rckkehrschnitte zulassen4 ,denn man kann erstens die formula nach ,voraussetzung auf der einfachen ,flchenseite mglichen ,rckkehrschnitte jetzt doppelt benutzen 7sowohl auf der ,vorderseite1 als der ,rckseite71 man kann ferner noch lngs formula der vorhandenen ,randcurven ,schnitte anbringen1 ohne dass die ,gesammtflche aufhrte1 ein einziges zusammenhngendes ,flchenstck zu bilden4 ,wir werden also in den ,stzen des vorigen ,paragraphen formula setzen und haben3 ,zwei ,flchen der betrachteten ,art lassen sich1 wenn berhaupt1 nur auf eine endliche ,anzahl von ,weisen auf einander abbilden4 ,die ,abbildbarkeit hngt von formula ,gleichungen zwischen den reellen ,constanten der ,flchen ab4 #e7 ,wir haben endlich den allgemeinen ,fall der ,doppelflche mit formula ,randcurven und ,p auf der doppelt gedachten ,flche neben den ,randcurven mglichen ,rckkehrschnitten4 ,indem wir die drei unter #b7 und #c7 betrachteten ,mglichkeiten 7formula1 formula oder #a1 und formula1 formula7 bei ,seite lassen1 erhalten wir denselben ,satz1 wie unter #d71 nur dass berall statt formula die ,summe formula zu schreiben ist1 wo ,p nach ,belieben eine gerade oder ungerade ,zahl sein kann4 ,insbesondere betrgt die ,zahl der reellen ,constanten einer ,doppelflche1 die bei beliebiger conformer ,abbildung ungendert bleiben1 formula4-- ,unter die hiermit gewonnenen ,resultate subsumiren sich die allgemeinen ,theoreme und ,entwickelungen1 welche ,herr ,schottky in seiner wiederholt citirten ,abhandlung gegeben hat1 als specielle ,flle4 4 #bd4 ,schlussbemerkung4 ,die ,entwickelungen des nunmehr zu ,ende gefhrten letzten ,abschnitt's dieser ,schrift sollten1 wie wiederholt gesagt1 den ,andeutungen entsprechen1 mit denen ,riemann seine ,dissertation abschloss4 ,allerdings haben wir uns auf eindeutige ,beziehung zweier ,flchen durch conforme ,abbildung beschrnkt4 ,riemann hat1 wie er ausspricht1 ebensowohl an mehrdeutige ,beziehung gedacht4 ,man wrde sich dementsprechend jede der beiden in ,vergleich kommenden ,flchen mit mehreren ,blttern berdeckt vorstellen mssen und erst die so entstehenden mehrblttrigen ,flchen conform eindeutig zu beziehen haben4 ,die ,verzweigungspuncte1 welche diese mehrblttrigen ,flchen besitzen mgen1 wrden ebensoviele neue1 zur ,disposition stehende complexe ,constante abgeben4--,hierzu ist zu bemerken1 dass wir wenigstens einen ,fall einer solchen ,beziehung bereits ausfhrlich in ,betracht gezogen haben4 ,indem wir eine beliebige ,flche mehrblttrig ber die ,ebene ausbreiteten 74 #ae71 haben wir zwischen ,flche und ,ebene eine ,beziehung hergestellt1 die von der einen ,seite mehrdeutig ist4 ,es ist dann weiter hervorzuheben1 dass eben dieser specielle ,fall auch zwei beliebige ,flchen mehrdeutig auf einander beziehen lsst4 ,denn sind erst die beiden ,flchen auf die ,ebene abgebildet1 so sind sie1 durch ,vermittelung der ,ebene1 auch auf einander bezogen4--,mit diesen ,bemerkungen ist die ,frage nach der mehrdeutigen ,abbildung natrlich keineswegs erschpft4 ,aber es ist doch eine ,grundlage zu ihrer ,behandlung gewonnen1 indem gezeigt ist1 wie sie sich in die brigen functionentheoretischen ,speculationen ,riemann's1 von denen wir hier ,rechenschaft zu geben hatten1 einfgt4 ,,footnotes #a ,sei insbesondere auf die ,darstellung verwiesen1 welche ,maxwell in seinem ,treatise on ,electricity and ,magnetisme 7,cambridge #ahgc7 gegeben hat4 ,dieselbe entspricht1 was anschauungsmssige ,behandlung angeht1 genau den ,gesichtspuncten1 die auch ich im ,texte verfolge4 #b ,man vergl4 den grundlegenden ,aufsatz von ,kirchhoff im #fd4 ,bande von ,poggendorff's ,annalen3 ,ueber den ,durchgang eines elektrischen ,stromes durch eine ,ebene 7#ahde74 #c ,die ,behauptungen des ,textes hngen1 wie man weiss1 auf das ,engste mit der ,theorie der sogenannten ,doppelbelegungen zusammen1 wegen deren man ,helmholtz in ,poggendorffs ,annalen ,bd4 #hi1 p4 #bbd ff4 7,ueber einige ,gesetze der ,vertheilung elektrischer ,strme in krperlichen ,leitern1 #ahec7 sowie ,c4 ,neumann in dessen ,buche3 ,untersuchungen ber das ,logarithmische und ,newton'sche ,potential 7,leipzig1 ,teubner1 #ahgg7 vergleichen mag4 #d ,nach dem ,vorgnge von ,c4 ,neumann1 ,vorlesungen ber ,riemann's ,theorie der ,abel'schen ,integrale1 ,leipzig1 #ahfe4--;,die ,einfhrung der ,kugelflche luft sozusagen der ,ersetzung von z durch das ,verhltniss formula zweier ,variabler parallel1 wodurch1 wie man weiss1 die ,behandlung unendlich grosser ,werthe von z auch formal unter die der endlichen ,werthe subsumirt wird4 #e ,unter formula1 formula1 formula rechtwinklige ,coordinaten verstanden1 sei die ,gleichung der ,kugel formula4 ,projectionspunct sei formula1 formula1 formula1 ,projectionsebene 7formula-,ebene7 die gegenberliegende ,tangentialebene 7die formula-,ebene74 ,dann folgt3 formula ,bezeichnet man mit formula das ,bogenelement der ,ebene1 mit formula das entsprechende ,bogenelement der ,kugel1 so kommt3 formula eine ,formel1 welche fr das ,folgende insofern besonders wichtig ist1 als sie die ,abbildung als eine conforme charakterisirt4 #f ,man vergleiche hierzu und zu den folgenden ,entwickelungen3 ,beltrami1 ,delle variabili complesse sopra una superficie qualunque2 ,annali di ,matematica1 ser4 #b1 t4 ,i1 p4 #cbi ff4--,die besondere ,bemerkung1 dass ,oberflchenpotentiale bei conformer ,abbildung ebensolche bleiben1 findet sich in den in der ,vorrede citirten ,schriften von ,c4 ,neumann1 ,kirchhoff und ,tpler1 dann auch z4 ,b4 bei ,haton de la ,goupillire3 ,mthodes de transformation en ,gomtrie et en ,physique ,mathmatique1 ,journal de l',ecole ,polytechnique1 t4 ,,xxv1 #ahfg 7p4 #afi ff474 #g ,es ist brigens nicht schwer1 sich auch ohne alle ,formel von der ,richtigkeit jener ,behauptung ,rechenschaft zu geben2 man sehe die wiederholt citirten ,arbeiten von ,c4 ,neumann und ,tpler4 #h ,ein besonders bersichtliches ,beispiel von doch nicht zu elementarem ,charakter gibt die ,ikosaedergleichwng 7siehe ,mathematische ,annalen1 ,bd4 ,,xii1 p4 #ejb ff474 ,dieselbe lautet1 wie man weiss3 formula ist also 7fr z7 eine ,gleichung vom sechszigsten ,grade4 ,die ,unendlichkeitspunkte von w fallen zu je #e in #ab ,punkte zusammen1 welche die ,ecken eines ,ikosaeders sind1 das der ,kugel1 auf welcher wir z deuten1 einbeschrieben ist4 ,den #bj ,seitenflchen dieses ,ikosaeders entsprechend zerlegt sich die ,kugel in #bj gleichseitige sphrische ,dreiecke4 ,die ,mittelpunkte dieser ,dreiecke sind durch formula gegeben und stellen ebensoviele ,kreuzungspuncte von der ,multiplicitt ,zwei fr die ,function w dar4 ,hiernach kennt man 7unter ,einrechnung der ,unendlichkeitspuncte7 von den formula ,kreuzungspuncten bereits formula4 ,die #cj noch fehlenden werden durch die ,halbirungspuncte der #cj ,kanten1 die jenen #bj sphrischen ,dreiecken angehren1 geliefert4 ,illustration3 ,fig4 #ac4 ,fig4 #ac4 ,die beistehende ,figur reprsentirt in schematischer ,weise eines jener #bj ,dreiecke und auf ihm den ,verlauf der ,strmungscurven2 auf den #ai brigen ,dreiecken ist die ,sache genau ebenso4 #i ,die in diesem ,paragraphen gegebene ,darstellung weicht von der durch ,riemann selbst gegebenen zumal dadurch ab1 dass ,flchen mit ,randcurven vorab berhaupt nicht in ,betracht gezogen werden und also statt der ,querschnitte1 die von einem ,randpuncte zu einem zweiten laufen1 sogenannte ,rckkehrschnitte zur ,verwendung gelangen 7vgl4 ,c4 ,neumann1 ,vorlesungen ber ,riemann's ,theorie der ,abel'schen ,integrale1 p4 #bia ff474 #aj ,es ist immer nur an ,umformung durch stetige ,functionen gedacht4 ,ueberdies sollen bei den willkrlichen ,flchen des ,textes bis auf ,weiteres gewisse besondere ,vorkommnisse ausgeschlossen sein4 ,es ist am ,besten1 sich dieselben ohne alle singulre ,puncte zu denken2 erst spter kommen ,verzweigungspuncte und damit ,selbstdurchsetzungen der ,flche in ,betracht 74 #ac74 ,die ,flchen drfen jedenfalls keine ,doppelflchen sein1 bei denen man von einer ,flchenseite durch continuirliches ,fortschreiten auf der ,flche zur anderen ,flchenseite gelangen kann2 man vergleiche indess 4 #bc4 ,ueberdiess wird vorausgesetzt--wie man es immer thut1 wenn man sich eine geschlossene ,flche als fertig gegeben denkt--dass die ,flche durch eine endliche ,zahl von ,schnitten in einfach zusammenhngende ,theile zerlegt werden kann4 #aa ,damit soll keineswegs gesagt sein1 dass diese ,art geometrischer ,evidenz nicht noch der nheren ,untersuchung bedrftig sei4 ,man vergleiche die ,erluterungen von ,g4 ,cantor in ,borchardt's ,journal1 ,bd4 #hd1 p4 #bdb ff4 ,es bleiben inzwischen diese ,untersuchungen von den ,darlegungen des ,textes ausgeschlossen1 da es fr letztere ,princip ist1 auf anschauungsmssige ,verhltnisse als letzte ,begrndung zu recurriren4 #ab ,man sehe ,c4 ,jordan3 ,sur la dformation des surfaces in ,liouville's ,journal1 ser4 #b1 ,bd4 #aa 7#ahff74 ,einige ,puncte1 die mir besonderer ,aufklrung zu bedrfen schienen1 sind in den mathematischen ,annalen1 ,bd4 ,,vii1 p4 #ebi1 und ,bd4 ,,ix1 p4 #dgf1 besprochen4 #ac ,die ,definition dieser ,unendlichkeitspuncte bezog sich zunchst nur auf die ,ebene1 bez4 die ,kugel4 ,aber es ist wohl klar1 wie dieselbe auf beliebige krumme ,flchen zu bertragen ist3 die ,verallgemeinerung ist so zu treffen1 dass wir auf die alten ,unendlichkeitspuncte zurckkommen1 wenn wir die ,flche und die stationren ,strmungen auf ihr durch conforme ,abbildung auf die ,ebene bertragen4--,in dieser ,beschrnkung hinsichtlich der ,art der ,unendlichkeitspuncte liegt auch1 wie ich hier nicht ausfhren kann1 dass nur eine endliche ,zahl von ,unendlichkeitspuncten bei unseren ,strmungen mglich ist4 ,desgleichen folgt aus unseren ,prmissen1 wie beilufig hervorgehoben sei1 dass von ,kreuzungspuncten bei unseren ,strmungen jedenfalls auch nur eine endliche ,zahl auftritt4 #ad ,ueber die ,periodicitt des imaginren ,theil's der ,function soll hiermit keinerlei ,verfgung getroffen sein4 ,in der ,that ist v bei gegebenem u durch die ,differentialgleichungen 7#a7 der pag4 #a bis auf eine additive ,constante vollstndig bestimmt und es unterliegen also die ,periodicittsmoduln1 welche v an den ,querschnitten formula1 formula besitzen mag1 keinerlei willkrlicher ,festsetzung4 #ae ,einen anderen ,beweis siehe bei ,c4 ,jordan3 ,des contours tracs sur les surfaces1 in ,liouville's ,journal1 ser4 #b1 ,bd4 #aa 7#ahff74 #af ,wegen dieses ,satzes siehe ,beltrami1 #a4 c4 p4 #ced4 #ag ,ich will brigens daran erinnern1 dass man auch den ,green'schen ,satz anschauungsmssig begrnden kann4 ,vgl4 ,tait1 ,on ,green's and allied other theorems1 ,edinburgh ,transactions1 #ahfi--gj1 p4 #fi ff4 #ah ,eine solche ,orientirung ist vermuthlich auch fr den praktischen ,physiker von hohem ,werthe4 #ai ,derartige ,zeichnungen gab ich bereits in dem ,aufsatze3 ,ueber den ,verlauf der ,abel'schen ,integrale bei den ,curven vierten ,grades1 ,mathematische ,annalen1 ,bd4 ,x4 ,allerdings haben die ,riemann'schen ,flchen daselbst eine etwas andere ,bedeutung1 so dass bei ihnen nur in bertragenem ,sinne von einer ,flssigkeitsbewegung die ,rede sein kann2 vergl4 die ,erluterungen1 welche darber in 4 #ag des ,nachfolgenden gegeben werden4 #bj ,zu einem solchen ,beweise scheint vor allen ,dingen nothwendig1 sich ber die verschiedenen ,mglichkeiten klar zu werden1 die betreffs der ,ueberfhrung einer gegebenen ,flche in die ,normalflche des 4 #h vorliegen4 #ba ,sind sie es nicht1 so ist die nchste ,folge1 dass die ,zahl der in m ,puncten unendlich werdenden eindeutigen ,functionen grsser wird als die im ,texte angegebene4 ,man kennt die ,untersuchungen1 welche zumal ,roch ber diese ,mglichkeit angestellt hat 7,borchardt's ,journal ,bd4 #fd2 vergl4 auch1 was die algebraische ,formulirung betrifft3 ,brill und ,nther1 ber die algebraischen ,functionen und ihre ,verwendung in der ,geometrie1 ,mathematische ,annalen1 ,bd4 #g74 ,ich kann diesen ,untersuchungen im ,texte nicht folgen1 obgleich sie sich mit ,leichtigkeit an die ,darstellung des ,abel'schen ,theorems anschliessen lassen1 wie sie ,riemann in ,nr4 #ad der ,abel'schen ,functionen giebt1--und will nur1 mit ,rcksicht auf sptere ,entwickelungen des ,textes 7cf4 4 #ai71 darauf hinweisen1 dass eine lineare ,abhngigkeit zwischen den formula ,gleichungen jedenfalls nicht eintritt1 wenn m die ,grnse formula berschreitet4 #bb ,ich spreche im ,folgenden durchweg von der ,ebene1 statt von der ,kugel1 um mich mglichst an die gewhnliche ,auffassungsweise anzuschliessen4 #bc ,man vergleiche hierzu1 was ,riemann in ,nr4 #ab seiner ,abel'schen ,functionen ber die ,abbildung durch berall endliche ,functionen sagt4 #bd ,wir haben oben 74 #aa7 ohne ausgefhrten ,beweis angegeben1 dass die ,zahl der ,kreuzungspuncte von formula betrgt4 ,wie man jetzt sieht1 ist diese ,behauptung eine einfache ,umsetzung der bekannten ,relation1 welche die ,zahl der ,verzweigungspuncte 7oder vielmehr die ,gesammtmultiplicitt derselben7 mit der ,bltterzahl m und dem p einer mehrblttrigen ,flche verknpft unter p die ,maximahlzahl der ,rckkehrschnitte verstanden1 die man auf dieser mehrblttrigen ,flche ziehen kann1 ohne sie zu zerstcken4 #be ,wegen der expliciten ,formulirung dieser ,relationen vergleiche man die gewhnlichen ,lehrbcher1 sodann insbesondere die ,schrift von ,c4 ,neumann3 ,das ,dirichlet'sche ,princip in seiner ,anwendung auf die ,riemann'schen ,flchen1 ,leipzig #ahfe4 #bf ,es entsteht hier die interessante ,frage1 ob es immer mglich ist1 mehrblttrige ,flchen mit beliebigen ,verzweigungspuncten conform in solche zu verwandeln1 die durchaus keine singulre ,stelle besitzen ,diese ,frage greift ber die im ,texte zu behandelnden ,gegenstnde hinaus1 aber ich habe sie immerhin anfhren wollen4 ,gelingt es im einzelnen ,falle nicht1 so haben die vorgngigen ,betrachtungen des ,textes doch noch die ,bedeutung1 dass sie am einfachsten ,beispiele die allgemeinen ,ideen haben entstehen lassen und dadurch die ,behandlung auch der complicirteren ,vorkommnisse ermglicht haben4 #bg ,vergl4 ,kirchhoff2 ,monatsberichte der ,berliner ,akademie von #ahge1 l4 c4 7wo brigens explicite nur die ,beziehung zwischen ,ringflche und ebenem ,rechtecke besprochen wird74 #bh ,diese geometrische ,umsetzung ist natrlich keineswegs nothwendig2 wir erreichen durch dieselbe nur den ,anschluss an die gewhnlich eingehaltene ,darstellungsweise4 #bi ,im ,besonderen kann diess anders sein4 ,wenn man w und z als ,parallel-,coordinaten1 die zwischen ihnen bestehende ,gleichung durch eine ,curve deutet1 so sind es1 wie man weiss1 die ,doppelpuncte dieser ,curve1 welche jenen besonderen ,vorkommnissen entsprechen4 #cj ,vergl4 die eingehende ,beweisfhrung bei ,prym1 ,borchardt's ,journal1 ,bd4 #hc1 p4 #bea ff43 ,beweis eines ,riemann'schen ,satzes4 #ca ,vergl4 die betreffenden ,bemerkungen der ,vorrede4 #cb ,vergl4 meine ,arbeiten ber elliptische ,modulfunctionen in den ,bnden #ad1 #ae1 #ag der mathematischen ,annalen4 #cc ,man sehe insbesondere die dem #ad4 ,annalenbande beigegebene ,tafel 7,zur ,transformation siebenter ,ordnung der elliptischen ,functionen''7 sowie die spter noch zu nennende ,arbeit von ,dyck im #ag4 ,bande daselbst4 #cd ,ueber eine neue ,art von ,riemann'schen ,flchen''1 mathematische ,annalen ,bd4 #g und #aj4 #ce ,siehe3 ,harnack 7,ueber die ,verwerthung der elliptischen ,functionen fr die ,geometrie der ,curven dritten ,grades7 im #i4 ,bande der mathematischen ,annalen1 siehe ferner meinen schon oben genannten ,aufsatz3 ,ueber den ,verlauf der ,abel'schen ,integrale bei den ,curven vierten ,grades'' im #aj4 ,bande daselbst4 #cf ,solche ,bestimmungen machte z4 ,b4 ,hr4 ,kasten in seiner ,inauguraldissertation3 ,zur ,theorie der dreiblttrigen ,riemann'schen ,flche4 ,bremen #ahgf4 #cg ,wenn es hier wieder gestattet ist auf eigene ,arbeiten zu verweisen1 so geschehe diess zunchst mit ,bezug auf eine ,stelle im #ab4 ,bande der mathematischen ,annalen 7p4 #agc71 wo der ,schluss begrndet wird1 dass gewisse rationale ,functionen durch die ,zahl ihrer ,verzweigungen vllig bestimmt sind1 sodann in ,bezug auf ,bd4 #ae1 p4 #ecc ebenda1 wo eine ausfhrliche ,betrachtung lehrt1 dass es zehn rationale ,functionen elften ,grades gibt1 die gewisse ,verzweigungsstellen besitzen4 #ch ,es folgt diese z4 ,b4 aus den ,stzen von ,lroth und ,clebsch1 die man in den ,bnden #d und #f der mathematischen ,annalen abgeleitet findet4 #ci ,ich fhre dieses ,resultat1 welches aus der ,theorie der elliptischen ,functionen wohlbekannt ist1 im ,texte ohne ,beweis an4 #dj ,es ist bei diesem ,satze an eine continuirliche ,schaar von ,transformationen1 also an ,transformationen mit willkrlich vernderlichen ,parametern gedacht4 ,ob eine ,flche formula unter ,umstnden nicht durch unendlich viele discrete ,transformationen in sich bergehen kann1 bleibt im ,texte unerrtert2 doch scheint diess bei endlichem p in der ,that auch unmglich4 #da ,vergl4 die ,darstellung im #ad4 ,bande der mathematischen ,annalen1 p4 #aab ff4 #db ,die im ,texte aufzustellenden ,stze finden sich explicite grsstentheils in der ,literatur nicht vor4 ,wegen der ,flchen formula vergleiche man den bereits citirten ,aufsatz von ,schwarz 7,berliner ,monatsberichte #ahgj74 ,man sehe ferner eine ,arbeit von ,schottky3 ,ueber die conforme ,abbildung mehrfach zusammenhngender ,flchen1 die als ,berliner ,inaugural-,dissertation #ahge erschien und spter 7#ahgg7 in umgearbeiteter ,form in ,borchardts ,journal ,bd4 #hc abgedruckt wurde4 ,es handelt sich in derselben um solche p-fach zusammenhngende ebene ,bereiche1 welche von formula ,randcurven begrnzt werden4 #dc ,solchen ,flchen entsprechen algebraische ,gleichungen mit einer ,gruppe eindeutiger ,transformationen in sich4 ,die ,bemerkungen des ,textes zielen also auf solche ,untersuchungen ab1 wie sie in neuerer ,zeit von ,hrn4 ,dyck verfolgt worden sind 7cf4 die bereits citirte ,arbeit im #ag4 ,bande der ,mathematischen ,annalen3 ,aufstellung und ,untersuchung von ,gruppe und ,irrationalitt regulrer ,riemann'scher ,flchen74 #dd ,es gibt natrlich wieder ,flchen1 welche neben einer ,anzahl von ,transformationen erster ,art eine gleiche ,anzahl von ,transformationen zweiter ,art zulassen2 dieselben entsprechen den regulr-symmetrischen ,flchen der ,dyck'schen ,arbeit4 #de ,vergl4 ,harnack3 ,ueber die ,vieltheiligkeit der ebenen algebraischen ,curven1 in ,bd4 #aj der ,mathematischen ,annalen1 p4 #ahi ff42 vergleiche ferner p4 #dae1 #daf daselbst1 wo ich die ,eintheilung jener ,curven in zweierlei ,arten gegeben habe4 ,vielleicht ist es zweckmssig1 bei diesen ,untersuchungen die ,lehre von den symmetrischen ,flchen und die ,riemann'sche ,theorie1 so wie beide hier im ,texte dargestellt werden1 geradezu als ,ausgangspunct zu whlen4 #df ,siehe zumal3 ,cayley1 on the correspondence between homographies and rotations1 ,mathematische ,annalen1 ,bd4 #ae1 p4 #bch-bdj4 #dg ,ich verdanke diese ,auffassung einer gelegentlichen ,unterredung mit ,hrn4 ,schwarz 7,ostern #ahha74 ,man vergl4 p4 #cbj ff4 der bereits genannten ,arbeit von ,schottky im #hc4 ,bande von ,borchardt's ,journal1 sowie die ,originaluntersuchungen von ,schwarz ber die ,abbildung geschlossener ,polyederflchen auf die ,kugel 7,berliner ,monatsberichte #ahfe p4 #aej ff41 ,borchardt's ,journal ,bd4 #gj1 p4 #aba--acf1 ,bd4 #ge1 p4 #ccj47 #dh ,ich drcke mich im ,texte der ,krze halber so aus1 als wenn die ursprngliche ,flche eine zweiseitige ,flche gewesen wre1 whrend doch nicht ausgeschlossen sein soll1 dass sie eine ,doppelflche ist4